/
Текст
ЛППортаев
ААПетраков
ВППортаев
ТЕХНИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
Л. П. Портаев, А. А. Петраков, В. Л. Портаев
ТЕХНИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Л. П. ПОРТАЕВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального
образования СССР в качестве
учебника для строительных специальностей
средних специальных учебных заведений
МОСКВА
СТРОИИЗДАТ
1987
ББК 30.12
П 60
УДК [531.8+624.04] (075.32)
Рецензенты: д-р техн, наук Г. И. Пшеничнов (Вычислитель-
ный центр Академии наук СССР); Перетятько В. П. (Мос-
ковский строительный техникум)
Портаев Л. П. и др.
П 60 Техническая механика: Учеб, для техникумов/
Л. П. Портаев, А. А. Петраков, В. Л. Портаев; Под
ред. Л. П. Портаева. — М.: Стройиздат, 1987.—
464 с.
Изложены ocHOBHoie теоремы статики при действии сил на абсо-
лютно твердое тело и законы плоского движения точки и твердого
тела. Приведены методы расчета упругодеформируемых простейших
систем, работающих в условиях растяжения, сдвига, кручения, изги-
ба и их совместного действия. Даны методы расчета многопролетных
статически определимых и неопределимых балок и рам, трехшарнир-
ных арок, плоских ферм, подпорных стен. Теоретические положения
излагаемого материала сопровождаются примерами из строительной
практики.
Для учащихся строительных техникумов.
2105000000-412
047(0])—87
102-87
ББК 30.12
УЧЕБНИК
Лев Петрович Портаев
Александр Андреевич Петраков
Владимир Львович Портаев
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Редакция литературы по строительным материалам и конструкциям
Зав. редакцией И. X. Н а н а з а ш в и л и
Редактор Т. Л. Пилюгина
Технические редакторы Н. Г. Алеева, Ю. Л. Циханкова
Корректор К. М. Корепанова
ИБ № 3694
Сдано в набор 25.03.86. Подписано в печать 12.10.86. Формат 84Х 1О8’/з2. Бумага
тип. № 1. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл. печ. л. 24,36.
Усл. кр.-отт. 24,36. Уч.-изд. л. 24,24. Тираж 58 000 экз. Изд. № А.Ш-1197.
Заказ № 480. Цена 1 р.
Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская 23а
Владимирская типография Союзполнграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
С00000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
© Стройиздат, 1987
ПРЕДИСЛОВИЕ
В Основных направлениях экономического и социального раз-
вития СССР на 1986—1990 годы и на период до 2000 года преду-
смотрено дальнейшее ускорение научно-технического прогресса во
всех отраслях народного хозяйства страны, в том числе и в стро-
ительстве. Ускорение научно-технического прогресса партия рас-
сматривает как главное направление своей экономической стра-
тегии, основной рычаг интенсификации народного хозяйства. Это
значит, что надо создавать условия для того, чтобы реализовать
на практике все новое, прогрессивное.
Всемерное использование научно-технических достижений в
строительной практике, разработка и внедрение эффективных техно-
логических процессов даст возможность создать более надежные,
экономически выгодные и высокого качества строительные конст-
рукции, повысить производительность труда, снизить трудоемкость
работ и ускорить сроки ввода сооружений в эксплуатацию. Для
выполнения поставленных задач необходимы квалифицированные
кадры строителей с высоким уровнем технической подготовки.
Курс «Техническая механика», который завершает общетехни-
ческую подготовку учащихся строительных техникумов служит ба-
зой для последующих специальных дисциплин, дает основополагаю-
щие представления о работе различных строительных конструкций
и методах их расчета на внешние воздействия. Для приобретения
учащимися достаточно глубоких знаний по этим важным вопросам
назрела необходимость в создании отдельного учебника по техни-
ческой механике. До настоящего времени подобный учебник не
издавался, а имеющаяся литература по данному предмету не отра-
жает тех необходимых единых сведений, которые требуются для
изложения и усвоения материала курса. Авторами учебника стави-
лась задача — систематизировать разрозненный материал, изложить
в сжатой, доступной форме основные положения и закономерности
курсов теоретической механики, сопротивления материалов и стати-
ки сооружений в соответствии с программой обучения.
Предисловие, введение, второй и третий разделы написаны
Л. П. Портаевым, главы 1—8 первого раздела — В. Л. Портаевым,
главы 9—13 первого раздела — А. А. Петраковым.
1*
3
ВВЕДЕН И Е
Техническая механика представляет собой комплекс-
ную дисциплину, в которой излагаются основные поло-
жения о взаимодействии твердых тел, прочности матери-
алов и методах расчета конструктивных элементов зда-
ний и сооружений на внешние воздействия.
С древних времен строители и архитекторы стара-
лись возводить прочные и надежные здания. При этом
для определения размеров сооружения и его элементов
пользовались эмпирическими правилами. В одних слу-
чаях это приводило к авариям, в других же удавалось
строить вполне надежные сооружения (сохранившиеся
до наших дней египетские пирамиды, римские виадуки и
т. д.)
Обычно считают, что наука о прочности материалов
возникла в XII в. после выхода книги великого италь-
янского ученого Г. Галилея «Беседы и математические
доказательства двух новых отраслей науки» (1638 г.), в
которой были заложены основы сопротивления материа-
лов. На протяжении последующих двух веков многие
выдающиеся математики, физики и инженеры внесли
большой вклад в развитие теоретических положений
науки о прочности материалов: Я. Бернулли было выве-
дено и решено уравнение изогнутой балки при изгибе;
Р. Гуком открыт закон о прямой пропорциональности
между нагрузкой и перемещением; О. Кулоном дано ре-
шение по расчету подпорных стен; Л. Эйлером — реше-
ние задачи об устойчивости центральносжатых стерж-
ней и т. д. Однако эти положения, как правило, носили
чисто теоретический характер и не могли быть примене-
ны на практике.
В XIX в. в связи с бурным развитием промышленно-
сти, транспорта и строительства потребовались новые
разработки прочности материалов. Навье и Коши полу-
чили полную систему уравнений для решения простран-
ственной задачи изотропного тела; Сен-Венаном решена
задача о косом изгибе бруса с произвольной формой по-
перечного сечения; Клапейроном был разработан метод
расчета неразрезных балок при помощи уравнений трех
моментов; Брессом — методика расчета двухшарнирных
4
и бесшарнирных арок; Максвеллом и Мором предложен
метод определения перемещений и т. д.
Большой вклад в развитие науки внесли и русские
ученые. Д. И. Журавскому принадлежит теория расчета
мостовых ферм, а также формула для определения каса-
тельных напряжений при изгибе балки; А. В. Годолин
разработал методы расчета толстостенных цилиндров;
X. С. Головин произвел расчет кривого бруса; Ф. С.
Есинский решил задачу по определению критических
напряжений при продольном изгибе в неупругой работе
материала и т. д.
В XX столетии роль русских и советских ученых в
области расчета строительных конструкций стала веду-
щей. А. Н. Крыловым, И. Г. Бубновым и П. Ф. Папко-
вичем была создана общая теория расчета конструкций.
И. Г. Бубнову и Б. Г. Галеркину принадлежит один из
самых эффективных современных методов решения слож-
ных задач — вариационный. И. П. Пузыревским и Н. М.
Герсеваном разработан способ расчета конструкций,
лежащих на грунтовом основании. В трудах видных
ученых С. П. Тимошенко, А. Н. Динника, Н. Н. Давиден-
кова, С. В. Сересена, В. В. Болотина, В. 3. Власова, А. А.
Ильюшина, И. М. Рабиновича, А. Р. Ржаницына, А. Ф.
Смирнова и многих других были развиты новые направ-
ления по созданию удобных методов расчета на проч-
ность, устойчивость и динамические воздействия различ-
ных сложных пространственных сооружений.
На современном этапе развития большое внимание
уделяется сближению расчетных схем и основных допу-
щений с действительными условиями эксплуатации зда-
ний и сооружений. С этой целью проводятся исследования
по выявлению влияния на напряженно-деформированное
состояние конструкций изменчивого характера прочно-
стных параметров материала, внешних воздействий, не-
линейной связи напряжений и деформаций, больших
перемещений и т. д. Разработка соответствующих расчет-
ных методик производится с использованием специаль-
ных разделов математики. Все современные методы рас-
чета разрабатываются с широким применением
электронно-вычислительной техники. В настоящее время
создано большое число стандартных программ для ЭВМ,
позволяющих не только осуществлять расчеты различ-
ных сооружений, но производить конструирование от-
дельных элементов и выполнять рабочие чертежи.
5
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ
СТАТИКИ
§ 1.1. Основные понятия
Статикой называется раздел механики, посвященный изу-
чению условий равновесия абсолютно твердых тел под
действием сил. Состояние покоя или равномерного пря-
молинейного поступательного движения тела по отноше-
нию к другим материальным телам называется равнове-
сием. Если движением тела, по отношению к которому
рассматривается равновесие, можно пренебречь, то рав-
новесие условно называется абсолютным, в противном
случае — относительным. В статике изучается только
абсолютное равновесие тел. Тело, по отношению к ко-
торому рассматривается равновесие других тел, называ-
ется телом отсчета. При инженерных расчетах за тело
отсчета обычно принимают Землю. Тогда абсолютным
можно считать равновесие по отношению к Земле или к
телам, жестко связанным с ней.
В статике рассматриваются решения двух основных
задач: 1) приведение системы сил, действующих на абсо-
лютно твердое тело, к простейшему виду; 2) определе-
ние условий равновесия абсолютно твердого тела под
действием произвольной системы сил. Задачи статики мо-
гут решаться или путем соответствующих геометрических
построений (графоаналитический и графический мето-
ды), или с помощью численных расчетов (аналитичес-
кий метод). В настоящем учебнике будут рассмотрены
все эти методы.
Абсолютно твердых тел в природе не существует, все
реальные тела под действием различных внешних фак-
торов изменяют свою форму и размеры, т. е. деформиру-
ются. Однако в теоретической механике рассматриваются
абсолютно твердые (недеформируемые) тела, расстоя-
ние между двумя любыми точками которых всегда оста-
ется постоянным. Это позволяет пренебречь теми свой-
ствами реальных тел, которые не играют существенной
роли в изучаемом механическом явлении или в рассмат-
риваемой задаче, и дает возможность получить общие
законы равновесия и движения. После изучения статики
абсолютно твердого тела (в курсе сопротивления мате-
6
риалов) переходят к рассмотрению более сложной зада-
чи о равновесии деформируемого тела.
При дальнейшем изложении слово «абсолютно» опу-
скается.
Простейшим материальным телом является точка.
Под материальной точкой в теоретической механике по-
нимают твердое тело, размерами и формой которого
можно пренебречь, но обладающее массой. Любое тело
можно представить в виде системы материальных точек.
Абсолютно твердое тело представляет собой неизменяе-
мую систему материальных точек.
Рассматривая какое-нибудь тело, нельзя представить
его изолированно, вне влияния на него других тел. Про-
явлением этого взаимного влияния тел являются силы.
Сила — это мера механического взаимодействия мате-
риальных тел между собой.
Рассматриваемые в механике величины можно разде-
лить на скалярные, которые полностью характеризуются
их численным значением, и векторные, которые, помимо
численного значения, характеризуются еще и направле-
нием. Сила является величиной векторной, т. е. она оп-
ределяется тремя следующими элементами: численным
значением или модулем; направлением и точкой прило-
жения.
Модуль силы находится путем ее сравнения с неко-
торой другой силой, принимаемой за единицу. Единица
измерения силы в Международной системе единиц
(СИ) — ньютон (Н).
Точка приложения и направление силы зависят от
характера взаимодействия тел и их взаимного положе-
ния. Например, сила тяжести, действующая на любое
тело, направлена по вертикали вниз. Силы давления
двух прижатых друг к другу гладких шаров направлены
по нормали к поверхностям шаров в точках их касания
и приложены в этих точках и т. д. Точкой приложения
силы называется та материальная частица тела, к ко-
торой сила непосредственно приложена.
Графически сила изображается направленным отрез-
ком прямой (со стрелкой) — вектором, длина которого,
измеренная в определенном масштабе, равна численно-
му значению (модулю) силы, а направление стрелки ука-
зывает направление ее действия. Всякий вектор можно
определить двумя точками. Одну из них называют на-
чалом (точка В на рис. 1.1, а), она обычно совпадает с
7
Рис. 1.1
ТОЧКОЙ приложения СИЛЫ, другую точку В] — концом
вектора. Иногда бывает удобно изображать силу так,
чтобы точкой приложения являлся ее конец (как на рис.
1.1, б). Прямая, вдоль которой направлена сила, назы-
вается линией действия силы. Обозначать вектор будем
буквой F или двумя буквами, обозначающими начало и
конец вектора с черточкой над ними ВВЬ Для модуля
вектора будем использовать следующее обозначение: F.
Совокупность сил, одновременно действующих на ка-
кое-либо тело, называется системой сил. Обозначать си-
стему _сил будем фигурными скобками, например {F[t
F2,...» Fn} — система, состоящая из п сил.
Силы разделяются на внешние (взаимодействие тел
между собой) и на внутренние, проявляющиеся внутри
тела или между телами внутри системы тел под действи-
ем внешних сил. Внешние силы в свою очередь можно
разделить на активные и реактивные. Активные силы
стремятся вызвать перемещение тела, на которое они
действуют. К ним относятся: сила земного притяжения,
сила давления снега, ветра и т. д. Активные силы при-
нято называть нагрузками. Реактивные силы стремятся
противодействовать перемещению тела под действием
активных сил. Они проявляются лишь тогда, когда на
тело начинают действовать активные силы. Реактивные
силы, так же как и активные, приложены к рассматри-
ваемому телу.
Если площадь, на которую действует распределенная
сила, незначительна по сравнению с размерами всего
тела, то такую силу будем условно рассматривать как
сосредоточенную в центре тяжести1 этой площади, т. е.
1 Вопрос о нахождении центров тяжести тел будет рассмотрен
в гл. 7«
8
как приложенную в одной точке (например, давление
концов балки на колонны и т. п.). В остальных случаях
силы называются распределенными.
Тело называется свободным, если его перемещения
в пространстве относительно некоторого тела отсчета
ничем не ограничены (например, самолеты, космические
корабли, планеты и т. д.). Если некоторые перемещения
для тела невозможны, то тело называется несвободным
или связанным. Материальные тела, ограничивающие
перемещения данного тела, называются связями. Наличие
связей обусловливает возникновение сил, препятствую-
щих перемещениям точек несвободного тела. Сила, с ко-
торой связь действует на данное тело, называется реак-
цией связи.
Если одну систему сил, действующих на свободное
твердое тело, можно заменить другой системой, не изме-
няя при этом состояния, в котором находится тело, то
такие две системы сил называются эквивалентными.
Если произвольная система сил эквивалентна одной
силе, то эта сила называется равнодействующей данной
СИСТеМЫ СИЛ Гравн.
Уравновешенной или эквивалентной нулю системой
сил называется такая система, которая, будучи прило-
женной к твердому телу, не нарушает его состояния. На-
пример, если тело находится в равновесии до приложе-
ния уравновешенной системы сил, то оно не изменит это-
го состояния и после приложения к нему такой системы.
Уравновешенная система сил обозначается следующим
образом:
{Гь ^2, •••, ЛЛсоО (со—знак эквивалентности).
Уравновешивающей для данной системы сил называ-
ется такая сила, которая, будучи приложенной к твердо-
му телу, обеспечивает состояние его равновесия.
§ 1.2. Аксиомы статики
Все теоремы и уравнения статики выводятся из не-
скольких исходных положений, принимаемых без доказа-
тельств и являющихся обобщением опытов и наблюде
ний за поведением тел, находящихся в равновесии. Эти
положения, неоднократно подтвержденные практикой,
называются аксиомами статики.
9
Аксиома 1 (закон инерции). Твердое тело, свободное
от внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения. Подробнее за-
кон инерции будет рассмотрен в гл. 13.
Аксиома 2 (условие равновесия твердого тела под
действием двух сил). Свободное твердое тело находится
в равновесии под действием двух сил тогда и только тог-
да, когда эти силы равны по модулю (F^Fz) и направ-
лены вдоль одной прямой в противоположные стороны
(рис. 1.2).
Эту аксиому мож_но переписать следующим образом:
{Flt F2)c<0, если a) F{ =—F2 б) линии действия F[ и F2
совпадают.
Аксиома 3 (принцип присоединения и отбрасывания
системы сил, эквивалентной нулю). Действие данной си-
стемы сил на твердое тело не изменится, если к ней до-
бавить или от нее отнять уравновешенную систему сил
{^ь _р2, ..xF„}co{Fb F2... Fn, Fl, F'z.. Fn}, если
{Fi, F'2.Fn]eoO.
Аксиома 4 (правило параллелограмма сил). Равно-
действующая двух сил, приложенных к твердому телу в
одной точке под углом друг к другу, равна их геометри-
ческой сумме, т. е. выражается по модулю и направле-
нию диагональю параллелограмма, построенного на этих
силах (рис. 1.3). _ _
Другими словами {Fh /^соГравн,
если а) ГРавн_=Л + Г2,
б) силы F], F2, Гравн приложены в одной точке.
Аксиома 5. (Закон равенства действия и противодей-
ствия). Силы, с которыми действуют друг на друга два
тела, всегда равны по модулю и направлены вдоль одной
прямой в противоположные стороны.
Другими словами, действие тела 1 (рис. 1.4) на тело
2 (сила F2i) равно и противоположно направлено дей-
ствию тела 2 на тело 1 (сила Fi2) , т. е. противодействию.
Эту аксиому можно сокращенно записать j3 следую-
щем виде: a) F2i = —Fi2, б) линии действия F2l и Fl2
совпадают. Силы Fn и Fi2 хотя и равны по модулю и
направлены вдоль одной прямой в противоположные сто-
роны, не уравновешивают друг друга, так как они при-
ложены не к одному, а к двум различным телам.
10
Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформи-
руемое тело находится в равновесии, то это равновесие
не нарушится, если тело станет твердым (отвердеет).
Эта аксиома позволяет применять к любому деформи-
руемому телу условия равновесия, полученные в статике
для твердого тела. Условия эти являются необходимыми
условиями равновесия деформируемых тел, но не всег-
да достаточными.
§ 1.3. Следствия из аксиом
Следствие 1. Действие силы на твердое тело не из-
менится, если перенести точку приложения силы вдоль
ее линии действия в любую другую точку тела.
Доказательство. Дано твердое тело, на которое дей-
ствует сила F, приложенная в точке В (рис. 1.5). Возь-
мем на линии действия этой силы какую-нибудь точку
Bi и приложим в ней уравновешенную систему сил {F\,
F2}co0, что вполне допустимо на основе аксиомы 3. При-
чем модули всех трех сил будут равны между собой:
= = направления сил F и F{ совпадают, а направ-
ление^силы F2 им_противоположно. Полученная система
сил {F, Fb F2}coF, но так как силы F{ и F2 образуют
уравновешенную систему, т. е. {F, F2}co0, то на основа-
нии_аксиомы 3 их можно отбросить. Отсюда следует, что
F=F{.
Таким образом, вектор, изображающий силу F, мож-
11
Рис. 1.5
Рис. 1.6
но считать приложенным в любой точке на линии ее дей-
ствия. Такой вектор называется скользящим.
Полученный результат справедлив только для сил,
действующих на твердое тело. В применении к реаль-
ным конструкциям данным следствием можно пользо-
ваться только тогда, когда определяются общие условия
равновесия этой конструкции под действием лишь внеш-
них сил и не учитываются возникающие в ней внутрен-
ние силы и деформации.
Следствие 2. Если к твердому телу приложена урав-
новешенная система сил, то любая из этих сил, взятая с
обратным знаком, является равнодействующей для всех
остальных сил.
Доказательство. Дано твердое тело, которое находит-
ся в равновесии под действием системы сил {F, F2, •••>
Fn} (рис. 1.6). Заменим систему сил {Fb F^ ...^Fn} од-
ной силой ^равн. Согласно аксиоме 2 силы F и FpaBu дол-
жны быть равны по модулю и направлены вдоль одной
прямой в противоположные стороны. Следовательно,
{Л, Ль Лг}соО.
Из этого следствия можно сделать вывод, что нахож-
дение равнодействующей данной системы сил можно за-
менить нахождением силы, уравновешивающей эту си-
стему.
§ 1.4. Виды связей и их реакции
Аксиома о связях (принцип освобождаемости). Рав-
новесие тела не нарушится, если наложенные на него
связи заменить реакциями связей.
Всякое инженерное сооружение (балка, ферма, арка
и др.) оказывает давление на опоры, т. е. на тела, пре-
пятствующие его перемещению. Силы, равные и проти-
12
Рис. 1.7
воположные этому давлению, называются опорными си
лами реакций или просто опорными реакциями. Присое-
диняя их к активным силам (нагрузкам), получим, со-
гласно аксиоме о связях, уравновешенную систему
сил. Таким образом, можем мысленно отбросить опоры,
заменив действие их соответствующими опорными реак-
циями, и рассматривать сооружение как свободное тело,
находящееся в равновесии под действием нагрузок и ре-
акций.
В зависимости от характера закрепления тела или от
вида опоры можно выделить следующие основные виды
идеальных связей (т. е. такие связи, в которых отсутст-
вует трение):
Гладкая опорная поверхность. Гладкой называется
поверхность, трением тела о которую можно пренебречь.
Реакция гладкой связи направлена по нормали1 к по-
верхностям в их точке касания.
Если одна из соприкасающихся поверхностей имеел
1 Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к каса-
тельной плоскости, проведенный через точку касания
13
Рис. 1.8
заостроение, то реакция должна быть направлена по
нормали к другой. Например, к гладкому брусу ВК (рис.
1.7, а), опирающемуся в точке К на пол и в_точке В на
стену, приложены реакции: Rk — пола и RB — стены
(здесь и далее тело, осуществляющее связь, отмечено
штриховкой).
Гибкая нерастяжимая связь. Связь, выполненная в
виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 1.7, б), не дает
телу перемещаться от точки подвеса нити по направле-
нию ВК, поэтому реакция RB натянутой нити направле-
на вдоль ее продольной оси и приложена к телу в точке
крепления. К этому виду будем относить связи, осущест-
вляемые с помощью тросов, канатов, цепей и т. д. Ра-
ботают они только на растяжение.
Жесткий стержень. В некоторых конструкциях опор-
ной связью может являться стержень ВК, закрепленный
на концах идеальными шарнирами (рис. 1.7, в). Весом
стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой
обычно пренебрегают. Вследствие отсутствия трения в
шарнирах реакция стержня, согласно 2-й аксиоме, на*
правлена вдоль его продольной оси.
14
Сферический шарнир. Этот вид связи закрепляет те-
ло таким образом, что оно не может совершать никаких
поступательных перемещений в пространстве, а может
только поворачиваться относительно трех координатных
осей, проходящих через центр шарнира. Для нахождения
модуля и направления реакции RB ее необходимо заме-
нить тремя составляющими RBx, Rb^, ^Rbz с линиями
действия, параллельными осям координат (рис. 1.7, г).
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.8,а). Эта опо
ра препятствует любому поступательному перемещению
системы в ее плоскости, но дает ей возможность свобод-
но поворачиваться вокруг оси шарнира (трением в шар-
нире пренебрегаем). Схематически такая опора изобра-
жается двумя стержнями (рис. 1.8, б), шарнирно сое-
диненными на одном конце. Реакция такой опоры про-
ходит через ось шарнира, но неизвестна как по модулю,
так и по направлению и, следовательно, характеризуется
двумя неизвестными величинами. Для их нахождения
реакцию RB необходимо заменить двумя взаимно пер-
пендикулярными составляющими RBx и RBy.
Шарнирно-подвижная опора, (рис. 1.8,в). Эта опора
препятствует лишь перемещению, перпендикулярному к
опорной плоскости, но не препятствует перемещению оси
шарнира параллельно этой плоскости. Реакция шарнир-
но-подвижной опоры всегда перпендикулярна опорной
плоскости. Таким образом, для шарнирно-подвижной
опоры неизвестна только величина реакции. Схематиче-
ски такая опора изображается в виде одного стержня с
шарнирами по концам (рис. 1.8, г). Реакция такой опо-
ры проходит через ось шарнира и направлена вдоль
стержня.
Шарнирно-неподвижная и шарнирно-подвижная опо-
ры являются опорами балочных систем. Третий вид
балочной опоры — жесткая заделка — будет рассмот-
рен в гл. 4.
§ 1.5. Основные понятия векторной алгебры
_ Сложение двух сил. В § 1.2 геометрическую сумму
^равн Двух сил Fi и F2 мы находили по правилу паралле-
лограмма (рис. 1.3). Однако иногда удобнее пользо-
ваться другим построением, которое называется прави-
лом треугольника (рис. 1.9):
15
а) от произвольной точки О откладываем вектор,
изображающий одну из сил, например, Fit т. е. в точку
О поместим начало вектора Л; _
б) из конца вектора F{ откладываем вектор Г2;
в) геометрической сумм_ой двух сил F{ и F2 называ-
ется вектор Гравн (Т’равп=Л+/72), начало которого сов-
падает с началом вектора F{t а конец — с концом век-
тора F2. __
Модуль FPaBH определяется из Д ОВК. Он может
быть найден двумя методами: графическим и графоана-
литическим.
При графическом решении задачи заданные силы от-
кладываем на чертеже в выбранном масштабе, а затем
после проведения вышеуказанных геометрических пост-
роений получаем величину в данном масштабе. Графи-
ческие методы будут подробно рассмотрены в гл. 5.
При решении задачи графоаналитическим методом
нет необходимости соблюдать масштаб. В этом случае
16
достаточно знать величину угла между заданными сила-
ми, а затем по теореме косинусов имеем
Гравн = 2F/2 cos ,?2). (1.1)
Сложение системы сил. Геометрическая сумма '(глав-
ный вектор) любой системы сил определяется или после-
довательным сложением сил по правилу параллелограм-
ма, или построением силового многоугольника. Второй
способ является более простым и удобным. Для нахож-
дения этим способом суммы сил Fi, F2i F3, ..., Fn нужно:
а) в конец первого вектора F\ поместить начало вто-
рого вектора F2, в конец вектора F2 поместить начало
вектора F3 и т. д.;
б) построить результирующий вектор F™, начало ко-
торого совпадает с началом вектора f ь а конец с кон-
цом вектора Fn. На рис. 1.10 приведен пример построе-
ния суммы Ггл четырех векторов F\t F2l F3, F4.
Вектор Ггл = F[4-F2+F3+F4 называют замыкающим
вектором многоугольника. При построении силового мно-
гоугольника следует помнить, что у всех слагаемых век-
торов стрелки должны быть направлены в одну сторону,
а у замыкающего вектора Frjl — в противоположную
сторону. Если линии действия сил Fb F2i F3 и Г4 пересе-
каются в одной точке, то главный вектор этой системы
будет равен равнодействующей, приложенной в точке
пересечения.
Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости
(правило параллелепипеда). Применяя последователь-
но правило параллелограмма, можно найти геометриче-
скую сумму любого числа сил, приложенных вводной точ-
ке. Найдем сначала сумму трех сил Fb F2, F3, прило-
женных в точке О и не лежащих в одной плоскости (рис.
1.11).
Сложив по правилу параллелограмма силы F\ и F2,
получим их сумму Гравн’, Затем, СЛОЖИВ СИЛЫ F3 И Гравн ,
найдем сумму FpaBH трех данных сил Fb F2 и F3._Из рис.
LH видно, что геометрическая сумма трех сил Fb F2 и
F3, не лежащих в одной плоскости, изображается диаго-
налью параллелепипеда, построенного на этих силах.
Разложение силы по двум заданным направлениям.
2—480
17
Разложим заданную силу F (рис. 1.12, а) по направле-
ниям, заданным прямыми ОВ и ОК, которые лежат в
одной плоскости с этой силой. Задача сводится к пост-
роению такого параллелограмма, для которого сила F
будет являться диагональю. Для решения задачи прово-
дим через конец силы F прямые, параллельные ОВ и
ОК. Силы F1 и F2 и будут искомыми составляющими,
так как Fx-\-F2 = F.
Разложение можно также произвести построением
силового треугольника (рис. 1.12, б). Для этого от про-
извольной точки 0 откладываем силу F и через ее конец
и начало проводим прямые, параллельные ОВ и ОК, до
их взаимного пересечения.
Проекция силы на ось. Проекцией Fn силы F на ось
п (рис. 1.13) называется скалярная величина, равная
длине отрезка ОВ, отсекаемого от оси перпендикуляр-
ными ей плоскостями, проведенными через начало и ко-
нец вектора F.
Другими словами, проекция силы на ось равна ее мо-
дулю, умноженному на косинус угла между направлени-
ем силы и положительным направлением оси:
nPnF = Fn = F c°s(f.n). (1.2)
Проекция будет положительной, если направление си-
18
лы составляет с положительным направлением оси ост-
рый угол, и отрицательной — если тупой; т\ е. прл/?>0,
если cos (FAn)>0, равна нулю, если cos (FA, п)=0, и
отрицательна, если cos (FA , n)<0.
Разложение силы по направлениям координатных
осей. Для того, чтобы разложить силу F по направле-
ниям трех координатных осей, нужно построить на_этих
осях такой параллелепипед, для которого вектор F бу-
дет являться диагональю (рис. 1.14, а).
Проекции вектора F на оси прямоугольной декарто-
вой системы координат на основании формул (1.2) бу-
дут иметь вид:
Fx = Fcosa, Fy = Fcos0, Fz = Fcosy. (1.3)
Возводя теперь эти выражения почленно в квадрат и
складывая их, получим F2=Fx-±-Fy-}-Fl, так как cos2a+
+cos2p4-cos2y= 1. В результате выражение для модуля
вектора примет вид:
(1.4)
Модуль вектора равен квадратному корню из суммы
квадратов его проекций на три любые взаимно перпен
дикулярные оси.
Косинус угла между вектором и положительным на-
правлением оси проекций называется направляющим ко-
синусом. Он равен отношению проекции вектора на соот-
ветствующую ось к модулю вектора.
2*
19
cos a = cos (fA x) = Fx/P> cos 0 = cos у] = Fyl'F,
cos у = cos (?л, z) — FJF. (1 .5)
Если вектор силы лежит в одной из координатных
плоскостей, например, Оху (рис. 1.14,6), то формулы
(1.4) и (1.5) примут вид:
f=Vf2x + fI, (1.6)
cos a = cos (?* x), cos p = cos p = (?Л , t/). (1.7)
ГЛАВА 2. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ
СИЛ
§ 2.1. Геометрические условия равновесия
плоской системы сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пересекаются
в одной точке, называется системой сходящихся сил. В
предыдущем параграфе уже отмечалось, что произволь-
ная система сходящихся сил может быть заменена рав-
нодействующей, равной главному вектору данной системы
сил. Если система сходящихся сил находится в равнове-
сии, то ее равнодействующая, а следовательно, и ее
главный вектор равны нулю.
В соответствии с двумя способами определения глав-
ного вектора условия равновесия системы сходящихся
сил могут быть также записаны в двух формах. Рассмот-
рим сначала геометрические условия равновесия систе-
мы сходящихся сил.
Теорема. Для равновесия свободного твердого тела
под действием плоской системы сходящихся сил необ-
ходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, по-
строенный из этих сил, был замкнут.
Доказательство необходимости. Дано твердое тело,
которое находится в равновесии под действием системы
сходящихся сил {?i, F2, ..., Fn} (рис. 2.1, а). Следова-
тельно, согласно § 1.1, {Fj, F2, ..•» fzJcoO. С_другой сто-
роны, согласно 4-й аксиоме статики, {F\, F2± ...»
сохрани, поэтому ГравнСоО. РавНОДеЙСТВуЮЩаЯ Гравп явля-
ется замыкающим вектором силового многоугольника, а
так как она равна нулю, то конец последнего вектора
20
a)
Рис. 2.1
совпадает с началом первого вектора, т. е. силовой мно-
гоугольник замкнут.
Доказательство достаточности. Так как силовой мно-
гоугольник замкнут (рис. 2.1, б), то геометрическая сум-
ма сил системы равна нулю, т. е. Fi+F2+...+Fn = 0. Ес-
ли геометрическая сумма системы сходящихся сил_равиа
нулю, то система сил уравновешена: {Fh F2, •••, Fn}coO.
а это означает, что тело под действием такой системы
находится в равновесии.
§ 2.2. Равновесие трех непараллельных сил
Теорема. Если три непараллельные силы, лежащие
в одной плоскости, представляют собой уравновешенную
систему, то их линии действия пересекаются в одной
точке.
Доказательство. Дано тело, которое находится в рав-
новесии под действием трех сил Fh F2, F3, т. е. {Fb F2,
F3}co0. Продолжим линии действия двух из них, пусть
это будут силы Fi и F2; так как линии действия сил не-
параллельны, они пересекутся
в некоторой точке О (рис. 2.2).
На основании следствия 1 пе-
ренесем их точки приложения
в точку О и согласно аксиоме
4 заменим эти силы равнодей-
ствующей FpaBH. Так как {Fb
F2) со Еравн и поскольку тело
находится _в равновесии, то
{Е1, F2, F3} 00 {FравнЕ3} со 0.
На основании аксиомы 2 силы
^3 И FpaBH ДОЛЖНЫ быть рЗВНЫ
по модулю и направлены вдоль
21
одной прямой в противоположные стороны, поэтому ли-
ния действия силы F3 совпадает с линией действия силы
^равн и, следовательно, проходит через точку О пересе-
чения линий действия сил и F2. На основании теоре-
мы, доказанной в предыдущем параграфе, ясно, что это
условие является необходимым, но не достаточным, т. е.
пересечение линий действия трех сил, приложенных к
телу, не гарантирует равновесия этого тела.
§ 2.3. Аналитические условия равновесия
плоской системы сходящихся сил
Теорема. Для равновесия свободного твердого тела
под действием плоской системы сходящихся сил необхо-
димо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проек-
ций этих сил на каждую из осей системы координат
Оху были равны нулю.
Доказательство необходимости. Дано тело, которое
находится в равновесии под действием плоской ^истемы
сходящихся сил, следовательно {Л, F2, ...,
или /7Равн = 0. В § 1.5 мы доказали, что модуль любой
силы, в том числе и равнодействующей, определяется на
плоскости по формуле
F = 1/" г2 4- F2 (2.1)
1 равн " равн х । 2 равн у* ' '
Так как под корнем стоит сумма положительных сла-
гаемых, то Рравн обратится в нуль только тогда, когда
одновременно
^равн х = О и ^paBHZ/ = 0* (2-2)
Но так как в свою очередь
п п
^равн х= 1 Fkx > ^равн у = Fkyt (2 3)
k=l k=l
то мы получим доказательство необходимости в следую-
щем виде:
п п
= %Fky = 0. (2.4)
k=i *=1
Уравнения (2.4) называются уравнениями равнове-
сия системы сходящихся сил на плоскости.
22
Доказательство достаточности. Пусть выполняются
условия {2.4), тогда будут справедливы и выражения
(2.2). Следовательно, FpaBH=0, т. е. система {/4, F2- •••,
Тп} является уравновешенной системой сил, а это значит
(согласно § 1.1), что тело под действием такой системы
сил будет находиться в равновесии.
§ 2.4. Методика решения задач
Решение каждой задачи можно условно разделить
на три этапа.
Первый этап. Отбрасываем внешние связи системы
тел, равновесие которой рассматривается, и заменяем
их действие реакциями. Необходимость этого вызвана
тем, что положения статики применимы только к свобод-
ным от внешних связей телам или системам тел.
Второй этап. Расчленяем систему тел на отдельные
элементы. Это дает нам возможность определить внут-
ренние силы (если это необходимо).
Третий этап. Составляем условия равновесия для
каждого отдельного элемента, из которых находим иско-
мые неизвестные величины и направления сил или реак-
ций.
В зависимости от метода решения задач условия рав-
новесия используются в геометрической или аналитиче-
ской форме.
Пример. Кронштейн, состоящий из стержней ОВ и ВК, соеди-
ненных между собой и со стеной шарнирами, нагружен силой Г=
= 10 кН.<КОВ = 90°; <ОВК=ОКВ = 45° (рис. 2.3, а).
Требуется определить силы, возникающие в стержнях ОВ и
ВК, пренебрегая весом самих стержней.
Решение. Реакции стержней ОВ и ВК, равные искомым силам
направлены вдоль их осей. Первоначально предположим, что обе
реакции положительны (т. е. направлены от узла В), а стержни
кронштейна растянуты (рис. 2.3, а).
Графоаналитический метод.
Для определения неизвестных сил строим силовой треугольник
(рис. 2.3,6). Из треугольника ВОК определяем модули сил JVi и
iV2:
Nt = F/cos 45° = 5 VI кН; N2 = F = 10 кН.
Для определения направлений реакций и М2 надо обойти
силовой треугольник по его периметру в направлении известной си-
лы F (в данном случае по часовой стрелке).
Из построенного силового треугольника видно, что действитель-
ное направление реакции противоположно первоначально приня-
23
тому на рис. 2.3, а. Следовательно, стержень ОВ под действием
силы F будет растянут, а стержень ВК сжат.
Аналитический метод.
Для решения воспользуемся уравнениями равновесия (2.4).
В соответствии с выбранным направлением осей (рис. 2.3, в) будем
иметь
1FV = — F — A\cos45° = 0; N, = — F/cas 45° = — 5^2 кН.
1FX = — N2 — N1cos45° = 0; N2 = — cos 45° = F = 10 кН.
Знак минус перед значением Wj указывает на то, что действи-
тельное направление этой силы противоположно первоначально
принятому на рис. 2.3, а.
Полученные величины усилий полностью совпадают с теми, кото-
рые были определены графоаналитическим методом.
Пример. Требуется определить реакции опор в точках В и К
и усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 2.4, а если в уз-
ле О приложена горизонтальная сила F=1 кН.
Решение. Неизвестные реакции и силы будем определять ана-
литическим методом.
Реакция шарнирно-подвижной опоры К направлена по нормали
к горизонтальной плоскости. Реакцию ^ларнирно-неподвижной опо-
ры В заменим двумя составляющими (Rbx, Rbv) (рис. 2.4,6).
Запишем уравнения равновесия для узлов В, К, О (рис. 2.4, в)
а) Узел В. IX = NBK + NBOcos 60° + RBx = 0;
xy = RBy + NBo5inG0U = 0;
б) Узел К. = — NKB — NK0 cos 60° = 0;
2У = RK + NK0 sin 60° = 0;
24
Рис. 2.4
у»
^вк ***
в) Узел О. IX = F + JV0/< cos 60° — N0B cos 60° = 0;
£Y = - N0K cos 30° — N0B cos 30° = 0.
Полученная система шести уравнений содержит шесть неизве-
стных: Nqb = Nbo\ Nok—Nko', Rbx, Rsy, Rk, = Xkb-
Решим эту систему. Из второго уравнения (в) имеем: Nok=
=—N ов-
Тогда из первого уравнения (в) получим NoB=NBo=F=l кН;
/у0К = Л\0 = _ Г=_ 1 кН.
Уравнения (б) с учетом найденного значения_ NKo запишутся
следующим образом: —Nkb+F/2 = 0; RK—V3 F/2=0, откуда
Nkb=Nbk=Q,5F=0,5 кН; Як=0,5/3 F=0,866 кН.
Подставляя значения Nbk и N_bo в уравнение (а), будем иметь:
0,5 F+0,5 F+/?bx=0; Fb^+0,5)/ 3 F=0, откуда Rbx—F=—1 кН;
RBy=—0,5}Л3 F=—-0,866 кН. Знак минус перед значениями RBx и
RBy указывает на то, что действительное направление их противопо-
ложно принятому на рис. 3.4, б.
ГЛАВА 3. ПАРА СИЛ
§ 3.1. Момент силы относительно точки
на плоскости
Момент силы является одним из основных понятий
механики.
Рассмотрим силу F, приложенную в точке В (рис.
3.1). Допустим, что сила стремится повернуть тело во-
круг точки С. Из точки С опустим перпендикуляр СО
на линию действия силы. Длина этого перпендикуляра
h называется плечом силы относительно точки С.
Моментом силы F относительно точки С называется
величина, равная произведению модуля силы на длину
плеча (кратчайшее расстояние от данной точки до линии
действия силы), взятому с соответствующим знаком
Mc(F) = ±Fh. (3.1)
25
Рис. 3.1
Момент силы F будет поло-
жительным, если сила стремится
повернуть плоскость, на которой
она лежит, вокруг оси, перпенди-
кулярной этой плоскости и про-
ходящей через точку С, по часо-
вой стрелке. Если поворот про-
исходит в противоположном на-
правлении, то момент будет от-
рицательным. Таким образом, мо-
мент на рис. 3.1 будет положи-
тельным. В Международной системе единиц (СИ) мо-
мент измеряется в ньютон-метрах (Н-м).
Из определения момента силы вытекают следующие
свойства:
1) модуль и знак момента не изменяется при перено-
се силы вдоль линии ее действия;
2) момент силы относительно точки равен нулю
MC(F)=O только тогда, когда модуль силы равен нулю
или когда линия действия силы проходит через данную
точку (в этом случае плечо равно нулю);
3) абсолютная величина момента силы численно вы-
ражается удвоенной площадью треугольника КВС
(рис. 3.1).
MC(F) = 2 пл. лКВС. (3.2)
§ 3.2. Пара сил. Момент пары сил на плоскости
Система двух равных по модулю и противоположных
по направлению параллельных сил называется парой
сил или просто парой (рис. 3.2). Силы, из которых состо-
ит пара, не лежат на одной прямой, следовательно, она
не может быть уравновешена одной силой, т. е. не име-
ет равнодействующей. Это означает, что пара сил, в от-
личие от любой другой неуравновешенной системы сил,
не поддается дальнейшему упрощению и сама является
простейшим элементом.
Плоскость, на которой лежат линии действия сил, со-
ставляющих пару, называется плоскостью действия па-
ры. Кратчайшее расстояние h между линиями действия
сил F и F', составляющих пару, называется плечом пары.
Действие пары на твердое тело характеризуется враща-
тельным эффектом, зависящим от: 1) модуля сил пары
26
F и длины ее плеча Л; 2) на-
правления вращения пары в пло-
скости ее действия.
Таким образом, вращатель-
ный эффект пары зависит не толь-
ко от модуля ее сил, но и от рас-
стояния между ними, поэтому по
аналогии с момента сил введем
следующее определение: момен-
том пары сил называется произ-
ведение модуля одной из сил па-
ры на ее плечо, взятое со знаком
плюс или минус,
М = ±Fh.
(3.3)
Если пара стремится повернуть плоскость, в которой
она действует, в направлении движения часовой стрелки,
то ее действие будем считать положительным, если в про-
тивоположном направлении — отрицательным. Момент
пары измеряется в тех же единицах, что и момент силы—
в ньютон-метрах (Н-м).
Свойства момента пары сил:
1) Из рис. 3.2 следует, что модуль момента пары чис-
ленно равен удвоенной площади треугольника, основани-
ем которого является одна из сил пары F или F', а вы-
сотой — плечо пары Л;
2) Так как силу можно переносить вдоль линии ее
действия в любую точку, то момент пары равен моменту
одной из сил, ее составляющих, относительно любой точ-
ки, лежащей на линии действия другой силы:
M = ±MB(F') = ±MK(Fy, (3.4)
3) Алгебраическая сумма моментов сил, составляю-
щих пару, относительно любой точки плоскости ее дей-
ствия есть величина постоянная и равная моменту пары.
Доказательство. Возьмем в плоскости действия пары
произвольную точку О (рис. 3.2). Затем запишем выра-
жения моментов сил F и F' относительно этой точки.
Принимая во внимание, что F = F', получим
Fc — F'b = F (с — b) = Fh = М.
(3.5)
27
Рис. 3.3
§ 3.3. Эквивалентность пар
Теорема. Две пары, ле-
жащие в одной плоскости,
имеющие одинаковые нап-
равления вращения и мо-
менты, равные по абсолют-
ной величине — эквивалент-
ны, т. е. оказывают на твер-
дое тело одинаковое воздей-
ствие.
Доказательство. Пусть
даны_две пары сил (F, F') и
(Л, Fi), лежащие в одной
плоскости и имеющие чис-
ленно равные моменты и
одинаковое направление
вращения (на рис. 3.3 вра-
щение происходит по часо-
вой стрелке)
= (3.6)
Предполагая, что силы f и Л не параллельны, про-
должим линии их действия до пересечения друг с дру-
гом. Перенесем силы F и F' в точки В и В' соответствен-
но. Разложив силу F по направлениям ВВ' и ВКУ по-
лучим две силы F3 и 72. Точно так же разложив силу F'
по направлениям В'В и В'О, получим силы ^зи F2 . Та-
ким образом,
{A ~F2, F-л, ?з}. (3.7)
Очевидно, что_ параллелограммы, полученные при
разложении сил F и F', равны (так как у них равны
диагонали, а соответственные стороны параллельны),
поэтому ^2 = —F2 и F3 =—F3. Силы F3 и F3 , лежащие
на одной прямой, равные по модулю и противоположно
направленные, уравновешиваются, т. е.
{г3, ?з}сло. (3.8)
Отбросим уравновешенную^ систему, тогда оставшие-
ся силы образуют пару (F2, F2). Из формулы (3.7) с
учетом .(3.8) получаем
28
{F, F)go{F2, f;). (3.9)
Теперь осталось доказать эквивалентность пар
(F2t F2 ) и (Л, F\). Момент пары (F, F') численно ра-
вен удвоенной^ площади заштрихованного АВ'ВК'У а
момент пары (Т2, F2) равен удвоенной площади ДВ'В/(;
но эти треугольники равновелики, поскольку их верши-
ны лежат на прямой К'К, параллельной основанию
В'В. Кроме того, пары (F,Fr ) и (F2tF'2) лежат в одной
плоскости, и направления их вращения одинаковы (по-
ложительные). Следовательно
Fh^Fzfh. (З.Ю)
Учитывая (3.6), имеем
F2h1 = F1h1 (3.11)
или/?2 = /?1. _
Таким образом, получим, что силы F2 и Л равны по
модулю и направлены вдоль одной прямой в одну и ту
же сторону, т. е. сила F2 — это та же самая сила Fi9
перенесенная из точки О' в точку В; то же самое_ отно-
сится и к силам F2 п Fi. Следовательно, (F2, F2) со
c*(Vi').
Учитывая выражение (3.9), окончательно получаем,
что - - -
(F, ?')сл(7р F'j). (3.12)
Следствия из теоремы об эквивалентных парах:
1) данную пару, не изменяя оказываемого ей дейст-
вия на твердое тело, можно переносить в любое место на
плоскости ее действия [это следует из первой части тео-
ремы об эквивалентных парах, см. формулу (3.9)];
2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею дей-
ствия на твердое тело, можно произвольно менять моду-
ли сил или длину плеча, сохраняя неизменным их произ-
ведения — момент;
3) две данные пары всегда можно привести к одно-
му плечу.
Перенос пары в плоскости ее действия применим
только для твердого тела. Это свойство пары может при-
меняться и для решения задач на равновесие тела, де-
формирующегося под действием внешних сил. Данное
равновесие не нарушится, если такое тело считать твер-
дым (принцип отвердевания).
29
§ 3.4. Сложение пар, лежащих в одной плоскости.
Условие равновесия плоской системы пар
Как уже отмечалось в § 3.2, пара представляет со-
бой простейшую систему сил, которая не имеет равно-
действующей, т.е. не может быть заменена одной силой,
поэтому нам необходимо отдельно рассмотреть элемен-
тарные операции, производимые над парами сил.
Теорема. Пары, лежащие в одной плоскости, можно
складывать. В результате получается пара, лежащая в
той же плоскости и имеющая момент, равный алгебраи-
ческой сумме моментов слагаемых пар.
Доказательство. Даны пары (Fif F\) и (F2, F2), ко-
торые лежат в одной плоскости, и их моменты соответ-
ственно равны Mx = FJi\ и M2 = F2h2 (рис. 3.4) На осно-
вании теоремы об эквивалентности пар и следствий из
нее заменим эти пары двумя другими, им эквивалентны-
ми (F3, F3) и (Ft, F4), приложенными в точках К и В и
имеющими общее плечо h.
Так как моменты эквивалентных пар равны соответ-
ствующим моментам заданных пар, то модули сил, об-
разующих новые пары, будут иметь вид: F3=Milht F4=
Сложив силы, приложенные в точках К и В, получим
соответственно F3+F4 = F, F^ + F^=F\ Поскольку F =
= —F', то мы получим новую пару сил (F, F'). А так
как система пар {(Fi, F\), (F2, F2)} эквивалентна си-
стеме {(F3, F3), (F4,F4)}, to пара (F, F'), называемая
результирующей, получается посредством сложения пар
(Fit Fi) и (F2, F'z).
Момент М результирующей пары
М = Fh = (F3 + F4) h = F3h + F4h = + M2.
Для случая двух пар теорема доказана. Очевидно,
тот же результат получится при любом числе пар. Дей*
ствительно, если бы имелась система из трех пар, то
сложив первоначально две из них, а потом к резуль-
тирующей паре прибавив третью, получим новую пару,
представляющую собой сумму трех заданных пар.
Таким образом, система состоящая из п пар с мо-
ментами Mh М2,..., Мп может быть заменена одной па-
рой с моментом
^ = ^ + ^2+ ... +Mn = S Mh. (3.13)
*=1
30
Рассмотрим теперь вопрос об условиях равновесия
свободного тела под действием системы пар, лежащих
в одной плоскости.
Теорема. Для равновесия свободного тела, находя-
щегося под действием плоской системы пар, необходимо
и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов
этих пар была равна нулю.
Доказательство необходимости. Рассмотрим свобод-
ное твердое тело, находящееся в равновесии под дейст-
вием системы пар, которые имеют моменты Afi, М2,...,
Af„. На основании только что доказанной теоремы эта
система может быть заменена одной парой с моментом
М, определяемым по формуле (3.13).
Так как тело находится в равновесии под действием
одной пары (F, F'), то должно выполняться следующее
условие
{?, К}слО. (3.14)
Но это условие выполняется лишь в двух случаях:
a) F=F'=0; б) плечо пары h равно нулю. Очевидно,
что в обоих этих случаях тело будет находиться в рав-
новесии. Тогда исходя из выражения (3.13), имеем
2 Л4л=0. (3.15)
А=1
Доказательство достаточности. Предположим, что
алгебраическая сумма моментов системы пар равна ну-
лю, т. е. выполняется условие (3.15). На основании пре-
дыдущей теоремы заменим систему пар результирую-
щей парой (F, F'), момент которой исходя из формулы
(3.13), также равен нулю. Как отмечалось выше, это
может иметь место, если либо F=F'=O, либо /г=0. Вы-
полнение любого из этих условий делает систему сил,
образующих результирующую пару, уравновешенной, и,
следовательно, тело находится в равновесии.
31
ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО
РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ
§ 4.1. Приведение силы к данной точке.
Приведение плоской системы сил к данному
центру
Произвольная плоская система сил представляет со-
бой систему сил, линии действия которых расположены
в плоскости каким угодно образом.
Теорема. Всякую силу, приложенную к твердому те-
лу, можно переносить параллельно в любую точку тела.
Для того чтобы оказываемое ею на тело действие не
изменилось, нужно к нему приложить пару с моментом,
равным моменту исходной силы относительно точки, в
которую она переносится. __
Доказательство. Пусть имеется сила F, приложенная
к телу в точке К (рис. 4.1). Действие этой силы не из-
менится, если в произвольной точке В тела приложить
параллельно силе F две уравновешенные силы F' и F",
причем модули всех сил равны: F' = F" = F. Поскольку
{F', F"}o^Q, то согласно третьей аксиоме статики систе-
ма £ил_ {F, F', F"} эквивалентна силе F. Систему
{F, F\ F"} можно представить в виде силы F', которую
можно рассматривать как силу F, перенесенную парал-
лельно ее первоначальному положению из точки К в
точку В, и пары (F, F"), момент которой равен момен-
ту силы F относительно точки В, в которую сила пере-
носится:
М = Mb(f) = ±Fh, (4.1)
где h — плечо этой пары, т. е. длина перпендикуляра, опущенного
из точки В на линию действия силы F.
Пару (F, F"), образующуюся при переносе точки
приложения силы из точки К в точку В, называют при-
соединенной парой.
Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действу-
ет произвольная система сил {Fb F2,..., Fn}, лежащих в
одной плоскости и приложенных в точках В2,..., Вп
соответственно. Возьмем в этой плоскости произволь-
ную точку С и перенесем в нее все действующие силы
32
Рис. 4.1
Рис. 4.2
г(рис. 4.2,а). Тогда согласно теореме, доказанной в на-
чале этого параграфа, получим систему сходящихся сил
{Fi, F2, F'n] и систему присоединенных пар {(Л, Л),
(F2, F2)..., [Fn, Fn)} с моментами Л4Ь Мп, равны-
ми моментам сил Ft, F2.. Fn относительно точки С:
Ml=Mc(Fi), M2=Mc(Fi),..., Mn=Mc(Fn). Причем
Fi = F;, f2=F2..= (4.2)
Сложим все сходящиеся силы, приложенные в точ-
ке С, по правилу многогранника. Результирующая сила
п _
будет равна: Frn=Fi+'F2+...+Fn—^lFk или, учитывая
выражения (4.2), получим
Ггл=2П- (4.3)
k=l
Затем, используя теорему о сложении пар, заменим
все присоединенные пары одной, лежащей в той же пло-
скости, момент которой равен
3—480 33
Мс ~ м1 + М2 + ...+ мп = Мс (FJ + мс (f2) + ... + Мс (?л) =
п
<4-4)
Л=1
Произвольная точка тела, в которую переносятся
параллельно самим себе все силы системы, называется
центром приведения. Величина Frn, равная геометричес-
кой сумме всех сил, действующих на тело, называется
главным вектором данной системы. Величина Мс, равная
алгебраической сумме моментов всех сил, действующих
на тело, относительно центра приведения, называется
главным моментом системы относительно этого центра.
Пользуясь этими терминами, полученными выше резуль-
таты можно сформулировать следующим образом. Произ-
вольная плоская система сил статически эквивалентна
по своему действию: главному вектору данной системы
FrJi, приложенному в центре приведения, и главному мо-
менту Мс относительно центра приведения С (рис. 4.2 6).
Сила />л не является равнодействующей данной си-
стемы сил, так как она заменяет эту систему не одна, а
вместе с присоединенной парой. Из определения главного
вектора Frjl следует, что он не меняется при изменении
центра приведения. Другими словами, если за центр
приведения берутся различные точки плоскости, то сила
Ггл, равная главному вектору, будет одна и та же, как
по модулю, так и по направлению.
Величина главного момента зависит от положения
центра приведения (при условии, что главный вектор
не равен нулю), так как с изменением центра приведе-
ния плечи сил данной системы, а следовательно, и их
моменты изменяются, т. е. каждой точке плоскости соот-
ветствует определенное значение главного момента, по-
этому задавая главный момент, нужно указывать, отно-
сительно какого центра он вычислен.
Значение Frjl может быть определено либо анали-
тическим методом по формуле (1.6)), либо геометричес-
ким методом путем построения силового многоугольни-
ка. Величина Мс определяется по формуле (4.4).
§ 4.2. Равнодействующая плоской системы сил.
Теорема Вариньона
Пусть на твердое тело действует произвольная плос-
кая система сил {Fif Ft,..., Fn}. Приведем данную систе-
му к главному вектору, приложенному в произвольно
п
выбранном центре С: Ггл=2^к> и главному моменту,
имеющему относительно этого центра момент, равный
п
Мс=^ MC(FK). Затем представим главный момент си-
стемы Мс в виде пары сил (обозначим их через F и F'),
у которых модули равны модулю главного вектора си-
стемы, т. е. Frn = F = F'. Для этого необходимо изменить
плечо этой пары таким образом, чтобы ее момент оста-
вался равным Мс. Воспользовавшись тем, что пару
можно как угодно переносить в плоскости ее действия,
приложим одну из составляющих ее сил, например F't
в центре С и направим в сторону, противоположную
действию вектора FrJl (рис. 4.3). Вторая сила F, состав-
ляющая присоединенную пару, должна быть направлена
таким образом, чтобы знак ее момента относительно
центра С и знак главного момента Мс совпадали (на
рис. 4.3 они положительные).
Тогда плечо этой пары будет равно:
h = Mc/Frn = Mc/F. (4.5)
Итак, данная плоская система сил эквивалентна си-
ле Ггл и паре (F, F'), но так как силы и F' уравно-
вешиваются, то заданная система эквивалентна одной
силе F, проходящей через центр приведения Сь и, сле-
довательно, эта сила является равнодействующей FpaBll.
Таким образом, доказано, что если главный вектор дан-
ной плоской системы сил не равен нулю, то эта система
приводится к равнодействующей, равной по модулю и
направленной параллельно главному вектору в ту же
сторону:
^Равн = ^гл = 2 Fk, (4-6)
А=1
Докажем теперь теорему о моменте равнодействую-
щей, принадлежащую французскому механику Варинь-
ону.
.3*
35
Теорема. Момент равнодействующей произвольной
плоской системы сил относительно любого центра (точ-
ки) равен алгебраической сумме моментов всех сил этой
системы относительно того же центра.
Доказательство. На основании предыдущей теоремы:
момент равнодействующей ?раВн, приложенной в точке
Ci, относительно центра приведения С равен:
МсС^равн) =/7равн/1 (СМ. рИС. 4.3). С ДРУГОЙ СТОрОНЫ, ИЗ
формулы (4.5) очевидно, что Мс является главным мо-
ментом системы сил относительно центра С. Учитывая
выражение (4.4), окончательно имеем
_ п _
^(fpa8H)=2^c(f*)- (4.7)
/г=1
Теоремой Вариньона широко пользуются при реше-
нии различных задач статики. В частности, ее применя-
ют при определении равнодействующей параллельных
сил. Силы называются параллельными, если их линии
действия параллельны между собой.
Найдем равнодействующую двух параллельных сил
Fi и F2, действующих на твердое тело (рис. 4.4). На ос-
новании формулы (1.6) модуль главного вектора плоской
системы имеет вид /?гл=’|/ F2rJ1 Х+Р~л у, где ^гл.х = 2
k=i
п
/?гл у= FKy. Пользуясь тем, что координатные оси мож-
Л=1
но располагать в плоскости произвольно, направим ось
х таким образом, чтобы она была перпендикулярна к
линиям действия сил Fi и F?, а ось у им параллельна.
Тогда, учитывая, что главный вектор равен по модулю
36
равнодействующей, параллелен и направлен в ту же
сторону; £^=0, 277«у = /?>+/2> ^равн =
fe=l k=l
// П \2 И
0+| = 2 /7ку=/:'1 + /:'2- Записав затем сумму
\п=1 /
сил относительно любой точки, лежащей на прямой
В\В2 или ее продолжении, по теореме Вариньона наедем
положение линии действия равнодействующей- FpaBH.
Приняв за центр моментов точку Вь имеем: Л4В1(Рравн) =
=Л1В1 (F\)+Л4В1 (F2), откуда, так как MBl (Fi)=0,
(Fi + F2)B{C = F2B.B2 или
F1b1c = f2b2C. (4.8)
§ 4.3. Частные случаи приведения плоской
системы сил
Рассмотренный в предыдущем параграфе случай
приведения произвольной плоской системы сил, когда
^гл=И=0 и Л4с=И=0, является общим. Рассмотрим теперь
частные случаи, к которым приводится произвольная
плоская система сил.
1. Frjl = Q, Л1с=И=0. Если главный вектор Frn равен
нулю, то произвольная система сил будет статически
п _
эквивалентна одной паре с моментом Мс= 2 Mc(FK).
л=1
Равнодействующая в этом случае равна нулю, по-
этому главный момент остается постоянным, какому бы
центру мы не приводили данную систему сил. В про-
тивном случае получается, что одна и та же система сил
заменялась бы разными, не эквивалентными друг другу
парами, что невозможно.
2. ^гЛ=И=0, Л1с = 0. Если главный вектор не равен
нулю, а главный момент относительно данного центра
С равен нулю, то произвольная система сил статически
_ _ п _
эквивалентна равнодействующей Гравн = ^гл = ^\Fk9 при-
/?=1
ложенной в центре С.
3. ?Гл=0, А4с = 0. Если главный вектор и главный
37
момент равны нулю, то данная система сил находится в
равновесии. Подробнее этот случай будет рассмотрен в
следующем параграфе.
§ 4.4. Условия равновесия произвольной плоской
системы сил. Формы уравнений равновесия
Теорема. Для равновесия свободно твердого тела под
действием произвольной плоской системы сил необходи-
мо и достаточно, чтобы главный вектор и главный мо-
мент этой системы относительно произвольно выбранно-
го центра (точки) были равны нулю, т. е.
?гл = °, Мс = 0. (4.9)
Доказательство необходимости. Приведем произволь-
ную плоскую систему сил, под действием которой твер-
дое тело находится в равновесии, к главному вектору
Ггл, приложенному в центре С, и паре (У7, F') с момен-
том Мс, равным главному моменту системы. Для того
чтобы система сходящихся сил, приложенных в центре
С, была уравновешенной, необходимо выполнение усло-
вия F^=0. Для того чтобы сумма моментов присоеди-
ненных пар была равна нулю, необходимо выполнение
условия Мс = 0.
Следовательно, для равновесия произвольной плос-
кой системы сил необходимо одновременное выполнение
условий (4.9).
Доказательство достаточности. Пусть условия (4.9)
выполняются для любого центра приведения С тела. Но
тогда, поскольку Frjl=0, произвольная система сил мо-
жет быть приведена только к паре с моментом Мс, а так
как Л4с=0, то твердое тело находится в равновесии.
Теперь рассмотрим аналитические условия равнове-
сия твердого тела, находящегося под действием произ-
вольной плоской системы сил, вытекающих из выраже-
ний (4.9).
Первая форма уравнений равновесия. Так как рас-
сматривается равновесие плоской системы сил, то вы-
ражение для модуля главного вектора может быть за-
писано в следующем виде:
^л = К^л.х+^- ИЮ)
Учитывая выражение (4.4) и то, что Лгл будет равен
38
нулю только тогда, когда будут равны нулю оба его
слагаемых, формулу (4.9) можно переписать в следую-
щем виде:
п п п
2 Fkx=0, ^Fky=0, ^Mc(Fk)=0. (4.11)
k=l k=l k=l
Выражения (4.11) представляют собой уравнения
равновесия свободного тведого тела под действием про-
извольной плоской системы сил. Следовательно, для
равновесия свободного твердого тела под действием про-
извольной плоской системы сил необходимо и достаточ-
но, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил
этой системы на каждую из двух координатных осей
равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их мо-
ментов относительно произвольно выбранной точки
(центра) также равнялась нулю.
Вторая форма уравнений равновесия. Теорема. Для
равновесия свободного твердого тела под действием
произвольной плоской системы сил необходимо и доста-
точно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил
этой системы на произвольно выбранную ось равнялась
нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов отно-
сительно двух произвольных точек, не лежащих на од-
ном перпендикуляре к этой оси, также равнялась ну-
лю, т. е.
п п - п _
S Л4о(^)=0, 2>e(^) = °- (412)
/г=1 Л=1 1г=1
Доказательство необходимости. Так как тело нахо-
дится в равновесии, то сумма проекций всех сил на лю-
бую ось и сумма их моментов относительно любой точ-
ки плоскости, в которой лежит данная система сил, рав-
ны нулю (см. начало данного параграфа).
Доказательство достаточности. Докажем это положе-
ние методом от противного. Если для данной системы
сил выполняются только два условия (4.12). т. е.
п _ п _
2AIo(F/e)=0, 2мв(Fh) =0, то такая система сил со-
k=\ k=i
гласно п. 2 § 4.3 не будет находиться в равновесии, а бу-
дет иметь равнодействующую Гравп, проходящую одно-
временно через точки О п В (линия действия такой рав-
нодействующей должна совпадать с прямой ОВ). Следо-
вательно, если бы ось х была направлена перпендику-
39
п
лярно К прямой ОВ, ТО Вравн.х = о ИЛИ 2^ = 0, и пеРвОе
Л=1
уравнение (4.12) будет являться следствием из вы-
п _ п _
ражений ^Mo(Fk)=0 и 2 ^в(Вл)=0. Но так как в
Л=1 k=l
нашем случае ось х проведена не перпендикулярно к пря-
мой ОВ, то первое выражение из формулы (4.12) мо-
жет быть удовлетворено только тогда, когда /?равн = 0,
т. е. когда имеет место равновесие тела.
Третья форма уравнений равновесия. Теорема. Для
равновесия свободного твердого тела под действием про-
извольной плоской системы сил необходимо и достаточ-
но, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил
этой системы относительно трех произвольно выбран-
ных точек, не лежащих на одной прямой, были равны
нулю, т. е.
п п. п
2М^) = °- (4-13)
Л=1 А=1 k=i
Доказательство необходимости. Пусть тело находит-
ся в равновесии, тогда главный момент системы сил или
сумма моментов всех ее сил относительно любой точки
плоскости, в которой действует данная система сил, бу-
дет равен нулю (см. начало данного параграфа).
Доказательство достаточности. Если из трех условий
(4.13) выполняются только первые два, и все три точки
О, В и С лежат на одной прямой. Тогда из выражений
п — П —
2 Afo(F^)=0 и 2 Л1в(/7к)=0 следует, что согласно
k=i k=i
§ 4.3 такая система сил не будет находиться в равнове-
сии и линия действия ее равнодействующей совпадает
с прямой ОВ, тогда Л4с(/7Равн) =0 или используя теоре-
п _
му П. Вариньона, у Mc(Fk) =0.
k=i
Таким образом, третье условие выражения (4.13) яв-
ляется следствием первых двух. Но поскольку точки О,
В и С не лежат на одной прямой, то равнодействующая
плоской системы сил должна быть равна нулю. Следо-
вательно, при выполнении всех трех условий (4.13) име-
ет место равновесие тела.
40
Отметим, что для твердо-
го тела, которое находится
в равновесии под действием
произвольной плоской си-
стемы сил, можно составить
не более трех независимых
уравнений равновесия.
Частным случаем произ-
вольной плоской системы
сил является система парал-
лельных сил. Системой па-
раллельных сил называется
совокупность сил, линии действия которых параллельны.
Пусть {Л, ^2,..., Fn} — система параллельных сил на
плоскости. Пользуясь тем,что координатные оси можно
располагать в плоскости произвольно, направим ось х
таким образом, чтобы она была перпендикулярна к ли-
ниям действия системы параллельных сил, а ось у была
им параллельна (рис. 4.5). Тогда первое из уравнений
(4.11) обратится в тождество, а два оставшихся уравне-
ния будут представлять собой первую форму уравнений
равновесия системы параллельных сил:
п п _
S^=°> (4.14)
А=1 k=l
Таким образом, для равновесия свободного твердого
тела под действием плоской системы параллельных сил
необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма
всех сил системы была равна нулю и чтобы алгебраи-
ческая сумма их моментов относительно произвольно
выбранной точки С также была равна нулю.
Вторую форму условий равновесия для системы па-
раллельных сил получаем из уравнений (4.12) или
(4.13):
2М») = °. 2Л4В(Л) = °- <4-15>
Л=1 А’=1
Таким образом, для равновесия свободного твердого
тела под действием плоской системы параллельных сил
необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы
моментов всех сил относительно двух произвольно вы-
бранных точек, не лежащих на одной прямой, парал-
лельной линиям действия сил, были равны нулю.
41
§ 4.5. Методика решения задач
Большинство задач статики сводится к определению
реакций связей, в частности, к определению реакций
опор различного вида. На практике наиболее часто
встречаются опоры трех видов: а) шарнирно-подвижная
опора; б) шарнирно-неподвижная опора; в) неподвиж-
ная защемляющая опора или жесткая заделка. Первые
два вида опор были рассмотрены в § 1.4.
В случае жесткой заделки исключены какие бы то
ни было перемещения балки, как линейные, так и угло-
вые. В этом случае на заделанный конец балки со сто-
роны опорных плоскостей действует некоторая совокуп-
ность реакций (рис. 4.6, а), которая представляет собой
произвольную плоскую систему сил. Используя теорему
о параллельном переносе сил, эту систему заменим од-
ной силой — реакцией RB, равной главному вектору, и
парой с моментом Мв, равным главному моменту этих
сил относительно точки В (рис. 4.6, а). Эта совокуп-
ность силы и пары представляет собой реакцию задел-
ки. Нахождение неизвестной по модулю и направлению
реакции RB можно заменить нахождением ее двух со-
ставляющих RBx и RBy. Таким образом, для нахождения
реакции жесткой_заделки надо определить две проекции
силы Rb'Rbx и RBy и момент Мв (рис. 4.6,а). Условное
обозначение жесткой заделки показано на рис. 4.6,6.
Все аксиомы и положения статики справедливы для
сосредоточенных сил (см. § 1.1). На практике же часто
приходится иметь дело с параллельными силами, рас-
положенными вдоль данной плоскости по некоторому
закону. Такая система распределенных сил характери-
зуется интенсивностью q, которая равна силе, приходя-
щейся на единицу длины загруженного участка. Изме-
ряется интенсивность в ньютонах на метр (Н/м). При
решении задач статики такую систему сил необходимо
предварительно заменять ее равнодействующей.
Если нагрузка равномерно распределена вдоль оси
сооружения (рис. 4.7,а), то в этом случае интенсивность
q является величиной постоянной, и равнодействующая
F такой системы сил будет равна по модулю
F = ql. (4.16)
Направление силы F совпадает с направлением сил,
42
Рис. 4.6
ffrrrymr
Ip : -
2/31
Рис, 4.7
образующих систему, а точкой ее приложения является
середина отрезка, вдоль которого действует данная си-
стема сил.
Если нагрузка распределена вдоль оси сооружения
по линейному закону (рис. 4.7,6), то для такой системы
сил интенсивность является величиной переменной, из-
меняющейся от нуля до максимального значения q.
Равнодействующая такой системы сил равна площади
ее интенсивности и приложена в центре тяжести Д ОКВ
2 1 ъ
на расстоянии — I от точки О:
F = O,5ql. (4.17)
Пример. На балку ВК с двумя опорами действует равномерно
распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м, пара с момен-
том Л1=4 кН-м и сосредоточенная сила, модуль которой равен
Fi=10 кН (рис. 4.8). Требуется определить неизвестные опорные
реакции.
Решение. Для определения неизвестных опорных реакций вос-
пользуемся второй формулой уравнений равновесия.
Предварительно заменим равномерно распределенную нагрузку
ее равнодействующей Г=^-4.
2AfB = Q-4-2 + Al + F1.8 — RK -10 = 0, = (16 + 6 + 80)/10 ®
= 10,2 кН;
43
mW V
t)
| 4 м ],2м|2м|2м|
Рис. 4.8
ЕЛ4Л= -Ff2 + M - g.4-8 + RBy-10 = 0, RBy = (20 — 6 + 64)/10=
= 7,8 кН;
SX = rBx = 0.
Из последнего выражения видно, что в случае действия на
балку только вертикальной нагрузки горизонтальная составляющая
реакции шарнирно-неподвижной опоры будет равна нулю. Для про-
верки правильности найденных реакций воспользуемся уравненисхМ
= —7.4 —^ + ^ + ^ = 0; —8—10+7,8 + 10,2 = 0.
Пример. На консольную балку ВК действует равномерно рас-
пределенная нагрузка интенсивностью q—2 кН/м, пара с моментом
Л1 = 6 кН-м и сосредоточенная сила, модуль которой равен Л+
= 10 кН (рис. 4.6). Требуется определить неизвестные опорные
реакции.
Решение. Для определения неизвестных реакций воспользуемся
первой формой уравнений равновесия.
2Г = -^2~Гх + ^ = 0, /?^=14кН;
2Л1^ = -<7.2.5-Г1.2 + 6 + /?в/6 + Л4в = 0,
Мв = 20 + 20 — 6 — 84 = — 50 кН-м;
2Х = /?Вх = 0.
Знак минус указывает на то, что заданное на рис. 4.6 направ-
ление реактивного момента Мв противоположно действительному.
Для проверки полученных реакций воспользуемся уравнением
ZMQ = RBy-4 — 50 — д-2-3 + Л4 = 0; 56 — 50 — 12 + 6 = 0.
§ 4.6. Равновесие твердого тела при наличии
сил трения скольжения
При решении задач статики для простоты пренебре-
гают трением и считают все опорные связи идеальными.
Однако в природе таких связей нет. Возникновение тре-
ния обусловлено прежде всего неровностью поверхности
44
тел, взаимодействующих между собой (любые, даже
очень хорошо отшлифованные поверхности имеют мель-
чайшие выступы и впадины). При перемещении одного
тела по другому взаимодействие этих выступов и впадин
(рис. 4.9), а также взаимодействие между частицами
поверхностных слоев соприкасающихся тел обусловли-
вают появление сил трения скольжения.
Сопротивление, возникающее при движении одного
тела по поверхности другого, называется трением сколь-
жения. Сила трения возникает только при наличии сдви-
гающей силы F (рис. 4.9) и направлена в сторону ей
противоположную. До тех пор, пока нет сдвигающей
силы, трение никак не проявляется, и сила трения рав-
на нулю. Если бы сила трения существовала без наличия
сдвигающей силы, она сама привела бы тело в движе-
ние. Однако опыт это опровергает.
Законы трения скольжения были экспериментально
установлены французскими учеными Г. Амонтоном и
Ш. Кулоном.
1. Модуль силы трения скольжения в состоянии рав-
новесия изменяется в широких пределах от нуля до не-
которого максимального значения:
О < ?тр < (4.18)
Наибольшее значение сила трения имеет в момент
«трогания» тела с места. Модуль максимальной силы
45
трения скольжения пропорционален нормальной реак-
ции в момент начала скольжения одного тела по по-
верхности другого:
^рах = /^. (4.19)
2. Коэффициент трения f зависит от материалов, из
которых состоят взаимодействующие тела при их отно-
сительном перемещении, а также от степени шерохова-
тости их поверхностей.
Величины коэффициента трения скольжения для не-
которых пар материалов равны: сталь-сталь 0,15; брон-
за-чугун 0,16; дерево-дерево 0,4—0,6.
3. Сила трения не зависит от размеров соприкасаю-
щихся поверхностей.
Замечание. Если тело находится на наклонной плос-
кости (рис. 4.10), то изучение его равновесия сводится
обычно к рассмотрению предельного положения равно-
весия, когда сила трения достигает своего максимально-
го значения F™\ В этом случае сила трения будет про-
порциональна нормальной составляющей всех сил, дей-
ствующих на тело.
Тело, представленное на рис. 4.10, а, находится в пре-
дельном положении равновесия, под действием силы тя-
жести G, силы трения F™* и нормальной реакции Rn.
Направления сил Rn и F™pax известны, поэтому, постро-
ив силовой треугольник (рис. 4.10,6), получим, что
ГттраХ = ^‘8“шах( (4'2°)
где amftx — максимальное значение угла между вертикалью и нор-
мальной реакцией к наклонной плоскости, который называется уг-
лом трения и обозначается обычно буквой ср.
Сравнивая выражения (4.19) и (4.20), получим
*4^F™*/Rn = f. (4.21)
Из полученного выражения видно, что равновесие
тела на наклонной плоскости возможно при условии,
что
(4.22)
Пример. По лестнице длиной /=5 м, сила тяжести которой рав-
на Gi=0,15 кН, поднимается человек с силой тяжести 02=0,7 кН
(рис. 4.11). Требуется определить наибольший угол между полом и
нижним концом лестницы, при котором не произошло бы ее переме-
щение. Коэффициент трения лестницы о пол и стену 0,5.
46
Решение. Пусть человек находится на расстоянии Ъ от верхне-
го конца лестницы. В_предельном положении на лестницу дейст-
вуют активные силы G\ и G2, а также нормальные реакции пола
и стены RB и Rk и силы трения FBax и F™ax. Последние направ-
лены в стороны, противоположные возможным перемещениям кон-
цов лестницы (рис. 4.11). Составим уравнения равновесия лест-
ницы:
^Х = /?х-^ах = 0; ^ax + /?B-G1-G2 = 0;
2М0 = 5 sin а + G2 d cos а + G£ 2,5 cos а — RB 5 cos а = О
Принимая во внимание, что FBax = 0,5 RB', F™ax=0,5 R*t и под-
ставляя эти выражения в первые два уравнения, получим
/?к=0,5/?в; RB — 0,7 — 0,15 + 0,257?в = 0
или RB = 0,85/1,25 = 0,68 кН; /?^ = 0,34 кН;
Подставляя найденные значения реакций в третье уравнение
равновесия, будем иметь 1,7 sin а+(0,7 Ъ—3,0) cosa=0. Разделим
полученное уравнение на cos а, тогда
tga= (3,0 — 0,7-6)/1,7 = 1,7647 — 0,41 b.
Из полученного выражения видно, что при уменьшении рас-
стояния b угол а увеличивается. Таким образом, самое опасное
положение лестницы будет при 6 = 0, тогда tga=l,7647 (a = 60o28z)-
Это и есть наименьшее значение угла между полом и нижним кон-
цом лестницы, при котором не произойдет ее перемещение.
ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ГРАФОСТАТИКИ
Графостатикой называется раздел статики, в кото-
ром рассматриваются графические методы решения за-
дач. В настоящее время графические методы уже не
имеют такого широкого применения в инженерной прак-
тике, как раньше, так как они менее точны по сравне-
нию с аналитическими и точность их решений всецело
зависит от тщательности выполнения чертежей. Однако,
несмотря на это, графические методы обладают тем
преимуществом, что дают наглядные, а в некоторых слу-
чаях и более простые решения поставленных задач, по-
этому их часто используют при проведении предвари-
тельных расчетов сложных конструкций. В этой главе
рассматриваются графические методы решения задач
статики для плоской произвольной системы сил.
47
§ 5.1. Силовой и веревочный многоугольники.
Графическое определение равнодействующей
для плоской произвольной системы сил
Одна из задач статики, как было отмечено в § 1.1,
состоит в нахождении равнодействующей произвольной
системы сил. Эта задача может быть решена путем по-
следовательного сложения данных сил (см. §1.5). Од-
нако этот метод громоздок и неудобен, особенно при
сложении большого количества сил. Рассмотрим более
удобный и в то же время простой способ нахождения
равнодействующей произвольной плоской системы сил
(в том числе и системы параллельных сил).
Пусть на свободное твердое тело действует произ-
вольная плоская система сил {Fb F2, F3} (рис. 5.1). Мо-
дуль и направление равнодействующей этой системы
сил найдем по правилу силового многоугольника (§ 1.5).
Найдем теперь положение линии действия равнодей-
ствующей ^равн данной системы сил. Возьмем в плос-
кости силового многоугольника произвольную точ-
ку О, не лежащую на сторонах многоугольника или
на их продолжениях, и соединим ее прямыми со всеми
вершинами многоугольника. Потом возьмем произволь-
ную точку В (рис. 5.1, а) и проведем через нее линию,
параллельную прямой Ов, до пересечения с линией дей-
ствия силы Fi в точке В\. Затем из точки Bi проведем
линию, параллельную прямой Oelf до пересечения ее с
линией действия силы F2 в точке В2, и так далее. По-
строенная таким образом ломаная линия ВВ^В2В3С на-
зывается веревочным многоугольником, это название
обусловлено тем, что если гибкую нить закрепить в точ-
ках В и С, а в точках Вь В2 и В3 приложить силы Fh
F2, F3, то она будет находиться в равновесии только
тогда, когда примет положение ломаной линии
BBiB2B3C. Продолжим теперь две крайние стороны ве-
ревочного многоугольника ВВ\ и В3С ж их пересечения
в точке К. Через эту точку и пройдет линия действия
равнодействующей данной системы сил {Fb F2, F3}, ко-
торая будет параллельна прямой вз3.
Докажем теперь, что линия действия равнодейству-
ющей FpaBH действительно проходит через точку /С_Из
силового многоугольника (рис. 5.1,6) находим, что Fi =
48
Рис. 5.2
= ee1=eb + Oei. Так как любую силу можно переме-
щать вдоль линии ее действия, перенесем силу Fi в
точку Bi и заменим ее составляющими ЬО и Obi. Тогда,
поскольку при построении веревочного многоугольника
сторона BBi проводилась параллельно прямой ЬО, а
BiB2 — параллельно bi О, сила ЬО будет направлена
вдоль стороны BBi, а сила Obi— вдоль стороны BiB2.
Аналогично разложим на составляющие силы F2 и F3:
F2 = bib2 = biO + Ob2, F3 = h2b3 — b2O + Ob3, и приложим
их в точках В2 и В3 соответственно. Теперь заметим,
что действующие по линиям BiB2 и В2В3 силы Obi, b,0
Ob2, Ь2О взаимно уравновешиваются, так как они по-
парно равны по модулю и направлены в противополож-
4-480
49
ные стороны. Следовательно, эти силы можно отбросить.
В результате данная система сил будет эквивалентна
двум силам ЬО и Обз, направленным вдоль крайних
сторон веревочного многоугольника BBi и В3С, т. е.
{Л. ?2> Ъ>]<л{ьд, бь3}. (5.1)
Но линии действия двух этих сил пересекаются в точ-
ке К. Следовательно, через эту точку проходит и их
равнодействующая или, что то же самое, равнодейству-
ющая FpaBH данной системы сил.
Полученное правило графического определения рав-
нодействующей является общим, поэтому оно примени-
мо и к системе параллельных сил, направленных как в
одну, так и в разные стороны. Силовой многоугольник в
этом случае превращается в отрезок прямой. Сложение
трех параллельных сил показано на рис. 5.2.
§ 5.2. Графическое определение результирующей
пары. Графические условия равновесия
произвольной плоской системы сил
Пусть на свободное твердое тело действует произ-
вольная плоская система сил {Fb ^2, F3}> силовой мно-
гоугольник которой будет замкнутым, т. е. главный век-
тор такой системы равен нулю (рис. 5.3). Тогда, построив
по вышеизложенному правилу веревочный много-
угольник, получим, что крайние стороны BBi и В3С
будут параллельны друг другу, так как проводились
они параллельно одной и той же прямой ОЬ. Таким об-
разом, точка пересечения этих сторон К лежит в беско-
нечности, и веревочный многоугольник не будет замкну-
тым. Но согласно (5.1) заданную систему можно заме-
нить двумя силами, равными в данном случае ЬО и ОЬ,
так как ОЬ3 = ОЬ, и направленными вдоль параллельных
прямых BBi и В3С. Таким образом, данная система сил
будет эквивалентна одной паре (ЬО, ОЬ) с плечом /г,
т. е.
{Fl. ?2. Ob). (5.2)
Момент такой пары равен M = Obh. Величина М
представляет собой главный момент данной системы
сил и не зависит от выбора точки О.
50
Рис. 5.4
Теорема. Для равновесия свободного твердого тела
под действием произвольной плоской системы сил не-
обходимо и достаточно, чтобы силовой и веревочный
многоугольники, построенные для этой системы сил,
были замкнутыми (геометрические условия равновесия).
Доказательство необходимости. Докажем это поло-
жение от противного. Действительно, если либо силовой,
либо веревочный многоугольники не будут замкнутыми,
то данная система сил будет соответственно эквивален-
тна либо равнодействующей (см. §5.1), либо паре (см.
начало данного параграфа). Очевидно, что в обоих этих
случаях твердое тело под действием такой системы сил
не будет находиться в равновесии.
Доказательство достаточности. Если же эти условия
будут выполнены, т. е. оба многоугольника будут замкну-
тыми, то данная система будет эквивалентна двум силам,
равным по модулю и направленным вдоль одной прямой
в противоположные стороны, т. к. й = 0. Эти две силы
4*
51
будут образовывать уравновешенную систему, и, следо-
вательно, тело будет находиться в равновесии. На рис.
5.4 изображена уравновешенная система трех сил.
§ 5.3. Графическое определение опорных реакций
На основании результатов, полученных в §5.1 и
§ 5.2, порядок графического определения опорных реак-
ций можно сформулировать следующим образом.
1. Пронумеруем действующую на конструкцию си-
стему сил: сначала все активные (нагрузки), а затем
реакции, причем реакции, линия действия которой не-
известна, присваиваем последний номер.
2. Выбрав масштаб для изображения сил, строим си-
ловой многоугольник, откладывая силы последователь-
но в соответствии с их номерами. Построение обрывает-
ся на изображении направления первой неизвестной
реакции. Так как при равновесии силовой многоуголь-
ник должен быть замкнутым, то конец последней реак-
ции должен совпадать с началом первой приложенной
к конструкции активной силы.
3. Выбрав произвольную точку О, соединим ее с на-
чалом и концом каждой силы в силовом многоуголь-
нике.
4. Строим веревочный многоугольник, начиная его
построение от точки, где приложена неизвестная по на-
правлению реакция, (в противном случае веревочный
многоугольник не будет замкнутым).
5. Проводим замыкающую сторону веревочного мно-
гоугольника.
6. Проводим из точки О прямую, параллельную за-
мыкающей стороне веревочного многоугольника. Точка
ее пересечения с направлением первой неизвестной ре-
акции даст нам возможность определить модули и на-
правления искомых реакций. В случае системы парал-
лельных сил построение веревочного многоугольника
можно начинать из любой точки, так как направления
реакций известны.
Пример. Пусть на балку, изображенную на рис. 5.5, действуют
силы 7*!= 15 кН и F2=20 кН. Требуется определить опорные реак-
ции.
Решение. Выберем масштаб сил 1 см=10 кН и построим_сило-
вой многоугольник. Построение останавливается на реакции /?3, так
как ее направление нам известно, а модуль нет. Известно также,
52
что конец силы /?4 будет находиться в точке Ь, поскольку силовой
многоугольник при равновесии должен быть замкнутым.
Затем строим веревочный многоугольник, начиная его из точ-
ки В, где приложена неизвестная по направлению реакции /?4. За-
мыкающая сторона веревочного многоугольника согласно условиям
равновесия соединит точки К и В. После этого в силовом много-
угольнике проводим из точки О прямую, параллельную линии КВ.
Точка ее пересечения с линией действия реакции Кз даст нам неиз-
вестную вершину силового многоугольника и позволит определить
нам модули и направления искомых реакций. Таким образом, век-
тор Ь2К будет изображать в выбранном масштабе реакцию /?3, а
вектор КЬ — реакцию /?4.
ГЛАВА 6. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 6.1. Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси характеризуется вра-
щательным эффектом, создаваемым силой, стремящейся
повернуть тело вокруг данной оси. Пусть к телу в про-
извольной точке К приложена сила F и задано направ-
ление оси z. Проведем через точку К плоскость Оху.
перпендикулярную к этой оси (рис. 6.1). Точку пересе-
чения плоскости_ с осью z обозначим через О. Затем
разложим силу F на составляющие: F_xy, линия действия
которой лежит в плоскости Оху. и Fz. линия действия
которой будет параллельна оси г. Очевидно, что сила
Fz. параллельная оси г, не может повернуть тело отно-
сительно этой оси; эта сила будет только стремиться
53
переместить его вдоль оси г. Таким образом, вращатель-
ный эффект будет создаваться только силой Fxy.
Запишем момент этой силы относительно точки О:
<6-‘)
Mo(Fxy) будет положительным, если при наблюдении со
стороны положительного конца оси z сила Fxy будет
вращать тело по часовой стрелке. В противном случае
момент будет отрицательным.
Таким образом, момент силы относительно оси бу-
дет равен моменту проекции этой силы на плоскость,
перпендикулярную к данной оси, относительно точки их
пересечения:
Л42(7) = (Fxy) = ± Fxyh = ±Fh cos а. (6.2)
Так как произведение Fxyh равно удвоенной площади
АОКВ (рис. 6.1), то формулу (6.2) можно переписать
в следующем виде:
MZ(F) = 2ПЛ д ОКВ. (6.3)
Свойства момента силы относительно оси
1. Момент силы относительно оси не зависит от вы-
бора точки О на оси z, через которую проводится плос-
кость Оху\ это следует непосредственно из определения
и из рис. 6.1.
2. Момент силы относительно оси не зависит от по-
ложения силы на ее линии действия, так как при изме-
нении точки приложения силы ее проекция и плечо про-
екции остаются постоянными.
3. Момент силы относительно оси равен нулю тогда,
Рис. 6.1
когда линия действия силы
и ось лежат в одной плос-
кости. При этом возможны
два случая: а) сила парал-
лельна оси. Тогда M2(F) =
= ±Fh cos а = 0, так как
cosa = 0; б) линия действия
силы пересекает ось. Тогда
MZ(F) =±Fh cos а=0, так
как й=0.
Момент силы относитель-
но оси измеряется в тех же
54
величинах, что и момент силы относительно точки, а
именно, в Международной системе единиц (СИ) —в нью-
тон-метрах (Н-м).
§ 6.2. Приведение произвольной пространственной
системы сил к заданному центру.
Частные случаи
Метод приведения системы сил к произвольно вы-
бранному центру (точке), рассмотренный в § 4.1 для
случая плоской системы, применим и для случая произ-
вольной пространственной системы сил. В результате
приведения произвольной пространственной системы к
некоторому центру (точке) С она будет статически экви-
валентна главному вектору и главному моменту отно-
сительно этого же центра.
Главный вектор Ргл произвольной пространственной
системы сил будет являться замыкающим вектором си-
лового многоугольника (пространственного, а не плос-
кого), а его величина будет равна геометрической сум-
ме всех сил системы:
?гл = 2 К (6.4)
k=l
Модуль главного вектора может быть определен ана-
литическим методом по формуле
= (6 -5)
В случае произвольной пространственной системы
главный момент равен геометрической, а не алгебраиче-
ской сумме моментов всех ее сил относительно точки
С, так как при приведении к точке С все присоединен-
ные пары будут действовать в различных плоскостях
7Wc = Mj + A42 + ...+ Mn=2 Mc(Fk), (6.6)
k=l
где
M2 = Mc(Fz),..„ Mn = Mc(Fn).
Нахождение главного момента из векторного много-
угольника очень неудобно, так как требует громоздких
пространственных построений, и поэтому его обычно на-
55
ходят аналитическим методом, определяя предваритель-
но проекции главного момента на координатные оси.
Обозначим проекции вектора Мс на оси координат
через MCXi МСу, MCz. Проекция геометрической суммы
моментов (главного момента) на любую ось равна ал-
гебраической сумме проекций на ту же ось отдельных
моментов. Но проекция момента силы относительно точ-
ки на произвольную ось, проходящую через эту точку,
есть момент силы относительно этой оси. Тогда пользу-
ясь общими зависимостями между вектором и его про-
екциями на координатные оси, получим выражение для
модуля главного момента в следующем виде:
/---------------/~ / п — V
мс=У м*Сх+м2С1/+м2Сг = у 2 AJs(Fa) +
(П -V / п _ \2
2 м + 2ЧЫ • (6Л>
/г=1 / \Л==1 /
Рассмотрим теперь частные случаи, к которым при-
водится произвольная пространственная система сил.
1. /^=0, Л1с=#0. Данная система сил будет стати-
чески эквивалентна одной паре с моментом Мс, опреде-
ляемым по формуле (6.6). Главный момент такой систе-
мы сил будет постоянным, т. е. не будет зависеть от ме-
ста расположения центра (точки) приведения.
2. Лл^О, Л4с=0. Данная система сил будет стати-
чески эквивалентна одной равнодействующей /?равн = /?гл,
проходящей через точку С и определяемой по формуле
(6.5).
3. Л-лт^О, Afc=0, причем McA_FTn. Данная система
будет статически эквивалентна одной равнодействующей,
равной FTn, но не проходящей через точку С. Вектор
момента всегда перпендикулярен плоскости действия
пары. А так как в данном случае Mc-LF^, то,-Следова-
тельно, пара, момент которой равен Afc, и сила Ггл лежат
в одной плоскости.
На основании .§ 4.2 силу и пару, лежащие в одной
плоскости, можно привести к одной равнодействующей,
равной Fr„, проходящей через точку Ct, отстоящую от
центра С на расстоянии h=Mc!Frn._
4. F„#=0, Мс=#0, причем Л4с||ГГл (рис. 6.2). Данная
56
Рис. 6.2
система сил статически эквивалентна динамическому
винту или динаме, т. е. совокупности силы Ал и пары с
моментом Мс, лежащих во взаимно перпендикулярных
плоскостях. При этом вектор Мс параллелен вектору
Ал, а прямая, вдоль которой направлен вектор Ал, на-
зывается осью динамы.
Дальнейшее упрощение этой системы невозможно.
Свободное твердое тело под действием такой системы
сил будет совершать винтовое движение.
5. Ал=И=0, Л4с=#0, 0°<Ал, Мс<90°. Данная система
сил также будет статически эквивалентна динаме, но ее
ось не будет проходить через точку С. В этом случае
пару с моментом Мс можно разложить на составляю-
щие: одну, лежащую в одной плоскости с силой Ал, сле-
довательно Ал-LMi, вторую, лежащую с вектором Ал во
взаимно перпендикулярных плоскостях, следовательно,
Ал11М2 (рис. 6.3).
Пару с моментом 7И1 и силу Ал (М1_1_Ал) можно на
основании п. 3 этого параграфа заменить одной силой
Ал, проходящей через точку Сь Таким образом, данная
система сил будет эквивалентна силе Ал, проходящей
через точку Сь и паре с моментом М2, вектор которого
будет параллелен Ал, т. е. динаме с осью, проходящей
через центр Сь_
6. Ал=0, А4с=0. Данная система будет находиться
в равновесии. Подробнее этот случай будет рассмотрен
в следующем параграфе.
57
§ 6.3. Условия равновесия произвольной
пространственной системы сил. Система
параллельных сил. Система сходящихся сил
Теорема. Для равновесия свободного твердого тела
под действием произвольной пространственной системы
сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и
главный момент этой системы относительно любой точки
были равны нулю:
п _ __ п __ __
= = Mc = £Mc(Fh)=O. (6.8)
k=l k=\
Доказательство необходимости. Приведем произволь-
ную пространственную систему сил, под действием кото-
рой свободное твердое тело находится в равновесии, к
главному вектору Ггл, приложенному в точке С, и паре
с моментом А4С, равным главному моменту системы, от-
носительно этой же точки. В предыдущем параграфе_бы-
ло доказано, что во всех случаях, когда Лгл^О или Л4с#=
=#0, произвольная пространственная система сил
эквивалентна либо равнодействующей силе, либо паре
сил, либо динаме. Очевидно, что во всех этих случаях
твердое тело не будет находиться в равновесии. Следо-
вательно, для равновесия произвольной пространствен-
ной системы сил необходимо выполнение условий (6.8).
Доказательство достаточности. Эти необходимые ус-
ловия, очевидно, являются и достаточными, так как при
их выполнении будут уравновешиваться и все данные
силы, перенесенные в точку С, и все присоединенные
пары.
Условия равновесия (6.8) могут быть также записа-
ны через проекции на оси координат:
п п п
/*ГЛ.Х = 2 = ~ 2 FkV = ^Гд.х = 2 = О’
/?=1 k=l
(6.9)
МСх = S Л1Х = 0. МСи (Fk) = о,-
Л=1 fc=i
п _
Мсг = 2Х(М = °-
/г=1
Итак, для равновесия свободного твердого тела под
действием произвольной пространственной системы сил
58
необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма
проекций всех сил на каждую из трех осей и алгебраи-
ческая сумма моментов всех сил относительно каждой
из трех осей координат были равны нулю. Таким обра-
зом, количество независимых уравнений равновесия для
произвольной пространственной системы сил не превос-
ходит шести. Другими словами, для одного свободного
твердого тела, равновесие которого рассматривается,
можно составить не более шести независимых уравне-
ний равновесия.
Физическая сущность полученных уравнений равно-
весия (6.9) становится более ясной, если ввести новое
понятие: степень свободы. Степенью свободы какого-ни-
будь тела или системы тел называется количество неза-
висимых геометрических параметров, которые полностью
определяют положение этого тела. Свободное твердое
тело, находящееся в пространстве, имеет шесть степеней
свободы. Оно может перемещаться и поворачиваться
относительно трех взаимно перпендикулярных коорди-
натных осей, поэтому для того, чтобы свободное твердое
тело находилось в пространстве в равновесии, надо оп-
ределить, при каких соотношениях между заданными си-
лами его линейные и угловые перемещения относительно
трех взаимно перпендикулярных координатных осей бы-
ли бы равны нулю. Таким образом, количество уравне-
ний равновесия равно числу степеней свободы данного
тела или системы тел.
Рассмотрим некоторые частные случаи.^
Система параллельных сил. Пусть {F\t F2i...fFn} —
система параллельных сил в пространстве. Пользуясь
тем, что оси координат можно располагать в пространст-
ве произвольно, направим ось z параллельно линиям
действия системы параллельных сил. Тогда проекции
всех сил системы на оси х и у и их моменты относитель-
но оси z будут равны нулю, и условия (6.9) примут вид:
2^=0, ijAfx(FA) = O, S^(f*) = 0. (6.10)
А—1 Л=1 fe=l
Таким образом, для равновесия свободного твердого
тела под действием пространственной системы парал-
лельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраи-
ческая сумма проекций всех сил на ось, параллельную
их линиям действия, и алгебраические суммы моментов
59
Рис. 6.4
всех сил относительно двух
других осей координат были
равны нулю.
Система сходящих сил.
В этом случае линии действия
всех сил системы пересекают-
ся в одной точке. Примем эту
точку за начало координат.
Тогда последние три из уравне-
ний (6.9) будут тождественно
удовлетворяться, и условия
равновесия примут вид:
п п п
£глх = о, 2^ = 0, 2^ = °- (б.п)
k=\ k=l k=l
Таким образом, для равновесия свободного твердого
тела под действием пространственной системы сходя-
щихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраиче-
ская сумма проекций всех сил на каждую из координат-
ных осей была равна нулю.
§ 6.4. Теорема Вариньона о моменте
равнодействующей относительно оси
Теорема. Если произвольная пространственная си-
стема сил имеет равнодействующую, то ее момент от-
носительно любой оси будет равен сумме моментов всех
сил относительно той же оси.
Доказательство. Пусть на твердое тело действует
произвольная пространственная система сил {Fb F2,...
..., Fn}. Линия действия равнодействующей FpaBH этой
системы проходит через точку В (рис. 6.4). Приложим в
этой точке_силу FpaBii = 3“FpaBH, тогда тело под действием
системы {Fi, F2t...tFn, FpaBH} будет находиться в равно-
весии и для него будут выполняться условия (6.9).
В частности, сумма моментов всех сил системы {Fb F2,...
..., Fth FpaBH} относительно координатной оси х будет
равна:
п _
2^Рй) + Мх(^равн)=0- (6.12)
Л=1
60
Но так как сила /?раВн=—FpaBH и обе они направлены
вдоль одной и той же прямой, то Mx(FpaBil)=— Mx(FpaB„).
Подставляя это выражение в формулу (6.12), оконча-
тельно получим:
(Трави) = 2 (?*). (6.13)
k=l
ГЛАВА 7. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§ 7.1. Центр системы параллельных сил
Перед тем как перейти к определению центра тяже-
сти тела, рассмотрим вопрос о нахождении центра систе-
мы параллельных сил. Пусть к твердому телу в точках
Bi и В2 приложены две параллельные и направленные в
одну сторону силы Fi и F2 (рис. 7.1). Их равнодействую-
щая ^равн проходит через точку С', лежащую на линии
BiB2, Причем, согласно § 4.2
C'BFi = C'B2F2. (7.1)
Точка С' обладает тем_свойством, что если повернуть
параллельные силы Fi и F2 вокруг точек их приложения
в одну сторону на один и тот же угол а, то и равнодей-
ствующая FpaBH повернется вокруг точки С' в ту же сто-
рону на тот же угол (рис. 7.1). Доказанное свойство
справедливо и для системы параллельных сил {Fb F2,...
..., Fn}. Для_ этого сначала сложим две силы системы,
например, Fi и F3 и найдем их равнодействующую FPaBH,
которая будет проходить через некоторую точку С", За-
тем сложим силы F2 и FpaBH и так далее. Положение точ-
ки С будет всегда неизменным для данной системы па-
раллельных сил, поэтому эту точку называют центром
системы параллельных сил.
Для определения положения центра системы парал-
лельных сил воспользуемся теоремой Вариньона (см.
§ 6.4). Повернув все силы системы {Fb F2,..., Fn} относи-
тельно их точек приложения таким образом, чтобы они
стали параллельны оси г (рис. 7.1), запишем моменты
всех сил, включая и равнодействующую относительно
оси у
61
Рис. 7.1
п
Гравн*С = 2 Fkxk-
R=l
Учитывая, что модуль
равнодействующей FPaBH=
= 2 Fk> окончательно получим
fe=l
п , п
хс—2 Fkxk/ 2 Fk-
k=i ' k=i
Аналогично могут быть по-
лучены формулы для двух дру-
гих координат t/с и Zc центра
системы параллельных сил,
Приведем их без вывода:
п , п п . п
F [2: Fk> zc = 2 Fkzk 2 Fk'
A=1 / A=1 k=l ' k=l
В формулах (7.2) и (7.3) ук и z* — координаты
точки приложения Л-той силы Fk.
В случае плоской системы параллельных сил (пло-
скость Оху) координата z*, а следовательно, и гс будут
равны нулю, тогда выражения для двух других коорди-
нат центра системы параллельных сил примут вид:
п , п п / п
хс = 2 2 Fk> FbUk/2 Fk- (7-4)
k=l ‘ k=l k=l 1 *=1
§ 7.2. Сила тяжести. Центр тяжести
На любое тело, находящееся вблизи земной поверх-
ности, действует сила притяжения, направленная к цент-
ру Земли. Пренебрегая центробежной силой инерции,
учитывающей эффект суточного вращения Земли, силу
притяжения можно считать равной силе тяжести. Линии
действия сил тяжести всех частиц тела практически пе-
ресекаются в одной точке — центре Земли. Однако, так
как линейные размеры любого тела значительно меньше
радиуса Земли, можно считать, что силы тяжести его
частиц параллельны. Равнодействующая системы па-
раллельных сил тяжести отдельных частиц тела будет
эквивалентна силе тяжести всего тела.
62
Центром тяжести называется геометрическая точка,
неизменно связанная с твердым телом, через которую
проходит равнодействующая всех сил тяжести, действу-
ющих на отдельные частицы тела при любом положении
последнего в пространстве; она может не совпадать ни
с одной из точек данного тела (например, у кольца).
Таким образом, центр тяжести тела совпадает с центром
системы параллельных сил тяжести его отдельных ча-
стиц.
Согласно выражениям (7.2) и (7.3), координаты цент-
ра тяжести тела определяются по формулам
п / п п
хс — 2 ^л/2 Gk= S
k = l ' k=l Л=1
п , п п
Ус~1£1 ^кУк 2^ = 2 ^кУк!^»
fe=l / k=l k=l
п. , п п
ZС = 2 ^кгк 2^ = 2 6кгк!6>
k=\ ' k=l k=l
(7.5)
где Хс, Ус, zc— координаты центра тяжести тела; Xk, tjk, zk— коор-
динаты центра тяжести /г-той частицы тела; G — модуль силы тя-
жести всего тела; Gk — модуль силы тяжести /г-той частицы тела.
Для однородного тела (плотность которого постоян-
на по всему объему) модуль силы тяжести любой его
части пропорционален объему Vk этой части тела, т. е.
Gk=yVkf где у — модуль силы тяжести единицы объема
тела (удельный вес). Тогда модуль силы тяжести всего
тела равен: G=yVt где V — объем всего тела.
Подставляя эти выражения в формулу (7.5), полу-
чим
п п п
= (7.6)
А=1 к=1 к=1
Таким образом, центр тяжести однородного тела за-
висит только от его геометрической формы (в случае про-
странственного тела — объема), и его часто называют
центром тяжести объема. Величины, стоящие в числите-
лях формул (7.6) и равные суммам произведений объе-
мов отдельных частей тела на соответствующие коорди-
наты их центров тяжести, называются статическими мо-
ментами объема относительно плоскостей Oyz, Oxz и Оху
соответственно.
63
Тонкие однородные пластинки, толщина которых по-
стоянна и значительно меньше двух других размеров,
можно считать плоскими фигурами. Для таких пласти-
нок можно находить центр тяжести площади, а не объ-
ема. В этом случае выражения (7.6) примут вид:
п п
хс = 2 Akxk/A • Ус = 2 AkVklA ’ (7 •7)
k=l /г=1
где Ak — площадь k-ro элемента фигуры; Xk, tjk — координаты его
центра тяжести; А — площадь всей фигуры.
Для изделий из тонкой проволоки постоянного сече-
ния вместо определения центра тяжести объема можно
находить центр тяжести линии, координаты которого
п п п
ZC—^4lkZJ^
k=l k=l fe=l
где Ik — длина k-го отрезка линии; xk, у к, Zk— координаты центра
тяжести этого отрезка; / — длина всей линии.
§ 7.3. Статический момент площади плоской
фигуры относительно оси
Выражения, стоящие в числителях формул (7.7), на-
зываются статическими моментами площади фигуры от-
носительно осей у, х и обозначаются соответственно Sy
и Sx, Они равны суммам произведений площадей от-
дельных элементов фигуры на соответствующие коорди-
наты их центров тяжести:
п п
= <7-9)
k=l k=l
При вычислении статических моментов площадь Ak
считается всегда положительной, а координаты ее цент-
ра тяжести имеют соответствующий знак. Следователь^
но, статический момент площади фигуры относительно
оси может быть или положительным, или отрицатель-
ным. В Международной системе единиц (СИ) статиче-
ский момент измеряется в метрах в кубе (м3).
Используя выражения (7.9), формулы (7.7) для оп-
ределения координат центра тяжести плоских фигур
можно переписать в следующем виде:
xc^Sy/At yc = Sx/A. (7.10)
64
Если Хс и ус равны ну-
лю, то выбранные оси коор-
динат проходят через центр
тяжести фигуры и называ-
ются центральными осями
координат. В этом случае
Sy и Sx равны нулю, так
как Д=й=оо. Таким образом,
статический момент площа-
ди относительно централь-
ной оси равен нулю.
Из формулы (7.10) сле-
дует, что статический мо-
мент площади данной фигуры относительно рассматри-
ваемой оси равен произведению площади этой фигуры
на кратчайшее расстояние от ее центра тяжести до оси
(рис. 7.2).
= ^ = Лгс. (7.11)
Используя формулы (7.11), можно определить стати-
ческий момент площади данной фигуры относительно
любой оси, если известно положение ее центра тяжести.
Статический момент площади произвольной фигуры
относительно любой оси равен сумме статических мо-
ментов отдельных ее частей относительно этой же оси
(рис. 7.2).
\ = 2 Аку. = А1У1 + Azy2+...+ Апуп = Si + S* +...+ 5^.
/г=1
(7.12)
где Ль А2,..., Ап — площади частей, на которые разбита фигура;
pi» Z/2, Уп — координаты их центров тяжести относительно оси //;
S^., 5^, ..., Snx— статические моменты отдельных частей фигуры
относительно оси х.
§ 7.4. Методы нахождения координат центра
тяжести
Метод разбиения. Для определения координат цент-
ра тяжести тела его разбивают на конечное число эле-
ментов, положения центров тяжести которых известны
или могут быть легко определены. Если Gi, G2,..., Gn—-
модули силы тяжести отдельных частей тела, так что
Gi + G2+... + Gn=G) и если хс^ Хс2,-<;Хсп —координа-
5—480
65
ты центров тяжести этих частей относительно оси х, то
= (tG^/G^ ХСг = (XG^VGj,..., хСп = (2Gkxk)n/Gn. (7.13)
Здесь знаки суммирования распространяются на все
частицы каждого отдельного элемента тела, на которые
оно было разбито.
Теперь запишем формулу (7.5), предварительно
сгруппировав слагаемые, относящиеся к каждой части
тела:
v _ (S Ghxh)i + • 4~ (^(jhxh)n ___
G
= l°l + °2 (2°Л)2/°2 + • • •+ Gn (2ВДп/°п1/° =
= (<Vc, + G/C, +• • •+ GnXCn)/G- <7’14>
Формулы для определения двух других координат
центра тяжести тела могут быть получены аналогичным
способом. В случае однородного тела силы тяжести в
формуле (7.14) можно заменить объемами, площадями
или длинами.
Использование симметрии. Для определения коорди-
нат центра тяжести этим методом необходимо различать
следующие случаи.
66
Плоские фигуры, имеющие диаметр. Если середины
всех параллельных хорд контура тела лежат на одной
прямой, то последняя называется диаметром (рис.
7.3,а). Если диаметр принять за ось х, то для каждого
элемента В с одной стороны диаметра можно найти со-
ответствующий ему элемент В' на другой стороне, при-
чем середина хорды ВВ', соединяющей эти элементы,
лежит на диаметре (оси х). Тогда кратчайшие расстоя-
ния ув и ув' обоих элементов от оси х равны и противо-
положны по знаку, т. е. ув=—Ув'А, так как элементар-
ные площади Ав и Ав1 одинаковы, то: Авув-\-Ав' Увг = 0.
И следовательно, из формулы (7.7) получим, что ус=0.
Таким образом, центр тяжести плоской фигуры, контур
которой имеет диаметр, лежит на этом диаметре. Центр
тяжести плоских фигур, имеющих несколько диаметров,
лежит в точке их пересечения (рис. 7.3, а).
Плоские фигуры, имеющие оси симметрии. Если диа-
метр перпендикулярен к направлению хорд, то он будет
являться осью симметрии. В этом случае центр тяжести
фигуры лежит на оси симметрии.
Плоские фигуры, имеющие центр симметрии. В этом
случае фигура имеет две или больше осей симметрии, и
«е центр тяжести лежит в точке их пересечения (рис.
7.3,6), которая называется центром симметрии.
Однородное тело, имеющее одну плоскость симмет-
рии. В этом случае центр тяжести тела находится в пло-
скости симметрии, и для определения его положения не-
обходимо найти две другие координаты.
Однородное тело, имеющее центр симметрии. В этом
случае центр тяжести тела находится в центре симмет-
рии (цилиндр, шар, правильная призма и т. д.).
Метод дополнений. При наличии в теле отверстий или
вырезов его можно рассматривать как разность двух тел,
т.е. G\ — G2==G или Gi== G-|-G2.
Выражения (7.14) в этом случае примут вид: xct =
(C2xCi +Gxc)/Gi или
ХС = (G!XCt — G2XC$G • {1 • 15)
В случае однородных тел силы тяжести можно заме-
нять объемами, площадями или длинами.
Рассмотрим однородную прямоугольную тонкую пла-
стинку с квадратным вырезом (рис. 7.4). Используя сим-
метрию пластинки, можно сделать вывод, что центр ее
тяжести лежит на оси х. Дополним площадь пластинки
5* 67
до полного прямоугольника (часть 1) и вычтем из по-
лученной площади площадь вырезанного квадрата
(часть 2). При этом условно будем считать площадь ква-
драта отрицательной. Обе части имеют центры симмет-
рии, в которых и будут лежать их центры тяжести (точ-
ки С] и Сг). Согласно формулам (7.15) имеем: Хс—
= (Л1%1—A2x2)/(Ai—А2). Так как Л1=2Ь&1, *1=0;
A2 — bi, x2=(b—bi)/2, то
xc = [2^ 0 - bi (b - 61)/2]/(2№1 - 6?) =- bt (b- bJ/2 (2b - bj.
Экспериментальный метод (метод подвешивания).
Центры тяжести тел сложной формы можно определить
экспериментально. Для этого тело подвешивают за раз-
личные его точки. Нить или трос, на которых висит те-
ло, каждый раз определяют линию действия его силы
тяжести. Точка пересечения этих линий и даст нам по-
ложение центра тяжести тела (рис. 7.5).
§ 7.5. Положение центров тяжести простых
геометрических фигур и линий
Центр тяжести одонородной дуги окружности. Рас-
смотрим дугу ВВ{ окружности радиуса г с центральным
углом B0Bi = 2a (рис. 7.6). Центр тяжести этой дуги ле-
жит на оси симметрии, проходящий через центр окруж-
ности и середину дуги, т. е. t/c = 0. Для нахождения ко-
ординаты Хс разобьем дугу на бесконечно малые участки
длиной Д/А. Центры тяжести этих участков будут на-
ходиться в их середине. Следовательно, координата хл
будет равна Xh = r cos ф/€. По формуле (7.8), если обоз-
/ п \ /
начить длину дуги ВВХ через Z, получим хс= 2 xk^k \
\л=1 /'
/1==г[^1 AZa cos 1-
Из треугольника со сторонами Дх*, Ауи и Д/л нахо-
дим, что Д/лС03(рл=Дг/А, тогда предыдущая формула
(п \ /
2 &Уъ / 1=гВВ1Ц, где ВВ\ — длина
ft=l /'
хорды.
Учитывая, что /=2га, a BBi = 2rsina, окончательно
получим
68
Рис. 7.9
хс — г sina/a. (7.16)
Для дуги полуокружности 2а=л и Хс=2г/я=0,637г.
Центр тяжести однородного треугольника. Каждая
медиана делит противоположную сторону пополам (рис.
t7.7), т. е. является диаметром треугольника, поэтому
центр тяжести треугольника находится в точке пересе-
чения его медиан. Расстояние от этой точки до каждой
из сторон, как известно, равно одной трети соответству-
ющей высоты.
Если Xi, у\, Z\\ х2, у2, zi\ х3, уз, 2з—координаты вер-
шин треугольника, то по формулам аналитической гео-
метрии координаты центра тяжести будут равны:
хс = 1 /3 (*1 + Х2 + хз), Ус = 1/3 (У1 + у2 + У»)>
хс=1/Чг1 + г2 + гз)- (7->7)
69
Центр тяжести однородного параллелограмма.
В этом случае центр тяжести находится в точке пересе-
чения диагоналей. Частными случаями параллелограм-
ма являются прямоугольник и квадрат (рис. 7.3, б).
Центр тяжести однородной трапеции. Прямая
MN, соединяющая середины параллельных сторон ВКн
OD, есть диаметр, поэтому центр тяжести трапеции на-
ходится на нем (рис. 7.8). Разобьем трапецию одной
диагональю, например, ОК, на два треугольника с цен-
трами тяжести, лежащими на медианах ON и КМ в
точках Ci и Сг, соответственно. Таким образом, центр
тяжести трапеции должен находиться на прямой, соеди-
няющей точки Ci и С2. Тогда пересечение прямой С]С2
с диаметром MN и будет являться центром тяжести С
трапеции. Расстояние от центра тяжести С до нижнего
основания трапеции определим по формуле (7.7). Пло-
щадь треугольника ВКР равна Ai = 0,5bh, а координата
Ус, его центра тяжести yct =h!3. Аналогично для вто-
рого треугольника OKD имеет Л2 = 0,5Ь1Л, г/с2 = 2Л/3.
Окончательно получим, что центр тяжести лежит на
прямой, соединяющей середины параллельных сторон,
на расстоянии ус от нижнего основания.
bh h , b^h 2h h2
2 ~+ 3 3 _ 6 &1) _ h(b + 2dt)
+ + M " 3(4 + 4 ' l7'l8)
Центр тяжести однородного кругового сектора. При-
мем за начало координат центр окружности радиуса г
и направим ось х по оси симметрии сектора ВОВ (рис.
7.9). Разобьем данный сектор на п равных элементар-
ных секторов с центральными углами Дср^. В пределе при
неограниченном увеличении числа элементарных секто-
ров последние можно рассматривать как равнобедрен-
ные треугольники с высотой г. Центр тяжести треуголь-
ника лежит на его медиане на расстоянии 2/Зг от точки
О. Таким образом, центры тяжести всех элементарных
секторов расположены на дуге окружности радиуса 2/Зг.
Следовательно, поставленная задача свелась к опреде-
лению центра тяжести однородной дуги окружности ра-
диуса 2/Зг с центральным углом 2а. Из формулы (7.16)
имеем
2 sin а
> — г —-------> Ус — 9.
с 3 а с
(7.19)
70
Для полукруга 2а=л и Хс = 4/73л = 0,424г.
Центр тяжести однородного параболического тре-
угольника. Положение центра тяжести однородного па,
раболического треугольника (рис. 7.10) определяется
следующими координатами, приведем их без вывода:
ос/
хс> = —— , уСх = 0,3/г, At = bh/3,
3/?
хс> = —— , yc* = A2 = 2bh!3.
(7.20)
§ 7.6. Положение центров тяжести фигур сложной
формы
Для определения координат центров тяжести фигур
сложной формы следует использовать методы, изложен-
ные в § 7.4, и результаты, полученные в § 7.5.
В строительстве широко используется стальной про-
кат различного профиля, все параметры которого регла-
ментируются ГОСТами, поэтому для определения цент-
ров тяжести фигур, полученных путем соединения не-
скольких стандартных профилей, следует пользоваться
специальными таблицами (сортаментами прокатной ста-
ли), в которых, в частности, содержатся координаты
центров тяжести всех стандартных сечений.
Пример. Найти координаты центра тяжести однородной пла-
стинки, изображенной на рис. 7.11.
Решение. Проводим оси координат и разбиваем площадь пла-
стинки на три части: два прямоугольника и треугольник. Центры
тяжести прямоугольников находятся на пересечении диагоналей, а
центр тяжести треугольника — на пересечении медиан. Определяем
координаты центров тяжести каждой части:
jq = 0,4/2 = 0,2 м, yt = 0,6/2 = 0,3 м;
х2 = 0,4 + 0,6-1/3 = 0,6 м, г/2 = 0,3 + 0,3* 1/3 = 0,4;
х3 = 0,4 + 0,6/2 = 0,7 м, {/з = 0,3/2 = 0,15 м.
Находим площади частей и площадь всей пластинки.
Лх = 0,6-0,4 = 0,24 м2, А2 = 0,6«0,3/2 = 0,09 м2,
Л3 = 0,6*0,3 = 0,18 м2, Л = о,24 + 0,09 + 0,18 = 0,51 ма.
Подставляя вычисленные значения в формулы (7.7), получим
координаты центра тяжести всей пластинки: хс = (0,24*0,2+0,09/06+
+0.18 • 0,7) /0,51 = 0,447 м, ус = (0,24 * 0,3 + 0,09 • 0,4 + 0,18 • 0,15) /0,51 =
=0,265 м.
71
Пример. Найти координаты центра тяжести плоского сечения,
составлено™ из швеллера № 30 и равнобокого уголка № 20 с тол-
щиной полки 12 мм (рис. 7.12).
Решение. Из сортамента для прокатной стали имеем:
Швеллер № 30 (ГОСТ 8240—72 с изм.), Л1=0,00405 м2, хС1=
е= 0,0252 м, уС1=0,15 м.
Уголок равнобокий № 20, толщина полки 12 мм (ГОСТ
8504—72 с изм.), Лг=0,00471 м2, ^с2=^С2 = 0.0537 м.
Так как в данном примере ось х проходит вдоль нижней полки
швеллера и отстоит от нижней полки уголка на 0.3 м, то координа-
та у убудет равна: уСг=0,0537+0,3=0,3537 м.
По формулам (7.7) определяем координаты центра тяжести со-
ставного сечения Хс= (0,00405-0,0252 = 0,00471 -0,0537) /(0,00405 +
+0,0047) = 0,0405 м, ус = (0,00405 • 0,15 + 0,00471 • 0,3537) / (0,00405 +
+ 0,0047) =0,2595 м.
ГЛАВА 8. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
§ 8.1. Устойчивые и неустойчивые формы
равновесия
Равновесие твердого тела может быть устойчивым,
безразличным и неустойчивым. Например, шар, лежа-
щий на вогнутой поверхности, находится в состоянии
устойчивого равновесия. Если ему сообщить небольшое
отклонение от этого положения и отпустить, то он снова
возвратится в исходное положение (рис. 8.1,а). Шар,
лежащий на горизонтальной поверхности, находится в
состоянии безразличного равновесия (рис. 8. 1, б). Бу-
дучи отклоненным от этого положения, он в исходное
положение не возвращается, но движение его вследст-
72
Рис. 8.1
вие внешнего сопротивления со временем прекращается.
Наконец, шар, лежащий на выпуклой поверхности, на-
ходится в состоянии неустойчивого равновесия (рис.
8.1, в). Будучи отклоненными от первоначального поло-
жения, он продолжает двигаться дальше.
Рассматриваемый шар находится в равновесии под
действием силы тяжести G и нормальной реакции Rn.
Тогда в первом случае центр тяжести шара будет рас-
полагаться ниже горизонтального уровня (h=r) и рав-
нодействующая ^равн сил G и Rn будет стремиться вер-
нуть его в исходное положение. Во втором случае центр
тяжести шара будет находиться на горизонтальном уров-
не (Л=г),и равнодействующая ^равнбудет равна нулю.
И наконец, в случае неустойчивого равновесия шара его
центр тяжести будет находиться выше горизонтального
уровня (Л=г), и при сколь угодно малом отклонении от
положения равновесия равнодействующая ^равн будет
это отклонение увеличивать.
Следовательно, равновесие тела будет устойчивым
тогда, когда его центр тяжести занимает самое низкое
положение, и неустойчивым, когда самое высокое.
§ 8.2. Условия равновесия несвободного тела
Ранее в § 2.3,4.4 и 6.3 были получены необходимые и
достаточные условия равновесия свободного твердого
тела. К несвободным телам эти условия применяют,
пользуясь аксиомой о связях. При этом часть условий
равновесия превращается в уравнения, из которых можно
определить реакции, возникающие в самих связях.
В случае жестко закрепленного тела все уравнения со-
держат реакции связей и служат только для их опреде-
ления.
73
Рис. 8.2
Вопрос об условиях равновесия несвободного твер-
дого тела возникает только тогда, когда наложенные на
тело связи закрепляют его не жестко. В этом случае
только часть уравнений, получаемых с помощью аксио-
мы о связях, содержит реакции связей и служит для их
определения. Остальные уравнения показывают, при ка-
ких соотношениях между заданными силами или в ка-
ком положении возможно равновесие тела, т. е. дают ус-
ловия его равновесия. Таким образом, условия равнове-
сия несвободного твердого тела определяются теми
уравнениями, которые не содержат реакций связей.
Тело, имеющее неподвижную точку. Рассмотрим
твердое тело, у которого одна точка закреплена непод-
вижно при помощи сферического шарнира. Поместим в
эту точку начало системы координат Oxyz (рис. 8.2, а).
В отличие от свободного такое тело будет обладать тре-
мя степенями свободы, а именно: оно может поворачи-
ваться относительно трех взаимно перпендикулярных ко-
ординатных осей. Пусть также на это тело действует
произвольная система сил {F[t F2,.>., Fn}> Если тело на-
ходится в равновесии, то должна удовлетворяться си-
стема шести уравнений (6.9).
В данном случае она будет иметь вид:
п п
*=1 Л=1
п _ п _
SA4(fA) = 0,
<•-=1 *=1
п
= °- =
k=l
2 М (F*)= 0.
(8.1)
74
Здесь Rox, Roy и Roi — проекции реакции в сферичес-
ком шарнире на соответствующие координатные оси.
Так как начало системы координат расположено в
центре сферического шарнира, то моменты от возника-
ющей в нем реакции относительно всех координатных
осей равны нулю, и в последние три уравнения форму-
лы (8.1) входят только моменты от заданных сил. Таким
образом, главный момент Мо заданной системы сил от-
носительно точки О равен нулю, т. е. эта система приво-
дится к равнодействующей (см. §6.2), линия действия
которой проходит через эту точку. Следовательно, усло-
вие равновесия тела, имеющего неподвижную точку, со-
стоит в том, что алгебраические суммы моментов всех
сил, действующих на тело, относительно трех взаимно
перпендикулярных координатных осей, начало которых
находится в неподвижной точке, были равны нулю:
J]M(Fa) = 0, £Л1(/\)=0. (8.2)
fe=l Л=1 /?=1
Из первых трех уравнений _(8.1) можно определить
проекции неизвестной реакции /?0, а следовательно, най-
ти ее модуль и направление.
Тело, имеющее неподвижную ось. В этом случае те-
ло имеет одну степень свободы: оно может только по-
ворачиваться вокруг неподвижной оси (рис. 8.2, б).
Уравнения равновесия (6.9) будут иметь вид:
п п
2^+^+^ = °. 2^+^+^=°.
fe=l А>=1
1 Fkz + Roz + RB^0, 2 + Л4Л.(/?О) + Лфв) = о,
А=1 /?=1
ix(h)=°- (в-3)
Л=1 Л-1
В первые пять уравнений формулы (8.3) входят ре-
акции в шарнирах О и В. В последнее из этих уравнений
неизвестные реакции не войдут, так как они пересекают
ось г и их моменты относительно этой оси будут равны
нулю. Следовательно, условие равновесия тела, имею-
щего неподвижную ось вращения, состоит в том, что ал-
75
гебраическая сумма моментов всех сил, действующих на
тело, относительно этой оси была равна нулю.
п,
2 = 0- (8-4)
k=l
§ 8.3. Условие равновесия тела, имеющего опорную
плоскость
Рассмотрим твердое тело, например, подпорную стен-
ку (рис. 8.3), которая опирается на бесконечно жесткое
основание. На подпорную стенку со стороны грунта дей-
ствует горизонтальная сила F, стремящаяся повернуть
(опрокинуть) ее вокруг ребра В, и вертикальная сила
тяжести G, приложенная в центре тяжести. Со стороны
основания на подпорную стенку действуют нормальная
реакция /?п и сила трения Л-р. Поскольку активные си-
лы F и G лежат в одной плоскости, то они образуют си-
стему сходящихся сил, и по правилу параллелограмма
можно найти их равнодействующую. Если эта равнодей-
ствующая пройдет справа от точки В, то равновесие бу-
дет устойчивым, если слева — то неустойчивым. В пер-
вом случае момент равнодействующей относительно
точки В будет положительным (вращает подпорную
стенку по часовой стрелке), во втором — отрицатель-
ным. Так как момент равнодействующей равен сумме
моментов сил, ее составляющих, то следовательно, для
равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось неравенство
— + (8.5)
где b и bi соответственно плечи сил G и F относительно точки В
или
Gb> Fbt. (8.6)
Произведение Gb называется удерживающим момен-
том, а произведение Fbi— опрокидывающим моментом.
В качестве критерия устойчивости принимают вели-
чину коэффициента устойчивости, которая определяется
как отношение удерживающего момента относительно
точки В к опрокидывающему, т. е.
Ку = 7Иуд/Л4опр = Gb/Fbl. (8.7)
По величине коэффициента устойчивости можно су-
дить о степени устойчивости тела под действием задан-
76
Рис. 8.3
Рис. 8.4
ной системы сил, поэтому определение его значения яв-
ляется весьма важной задачей, в особенности при воз-
ведении высоких сооружений, таких как водонапорные
башни, дымовые трубы, опоры ЛЭП и т. д.
Пример. Гусеничный кран грузоподъемностью 100 кН, сила тя-
жести которого без стрелы равна 195 кН, установлен на абсолютно
жесткой горизонтальной площадке (рис. 8.4). Требуется выполнить
проверку устойчивости данного крана.
Решение. Устойчивость крана проверяем в рабочем состоянии
(грузовая устойчивость) и в нерабочем (собственная устойчивость).
Коэффициенты грузовой и собственной устойчивости должны быть
не менее 1,15. Грузовая устойчивость проверяется исходя из опроки-
дывания крана вокруг ребра В (рис. 8.4,а). В этом случае: Мвуд =
= (1,19+0,68) = 195-1,87=364,65 кН-м; Мв опр = GCTp-1 + Grp-2,31 +
+Мвет = 10,6 • 1 +100 • 2,31 + 48=289,6 кН • м, где Мвет=Мх + М2+
+-Л1з=34,5+10,2 + 3,3 — суммарный опрокидывающий момент, соз-
даваемый давлением ветра на груз (Afi), стрелу (М2) и кабину кра-
на (М3).
Следовательно: Кур=Л1в УД/Л4Д ОпР = 364,65/289,6= < 1,26> 1,15.
Собственная устойчивость проверяется исходя из опрокидывания
крана вокруг ребра Bi (рис. 8.4, б). В этом случаеЛ1В1Уд=бкр(1,19—
—0,68)+ОСТР(2,38+0,7) = 195-0,51 + 10,6-3,08= 132,1 кН-м; Мв10пр =
Л4вет=18,6 кН-м, где Л4вет = ^2+Afз = 15,3 + 3,3.
Следовательно Ку=МВ1УД/ЛЪ? опр = 132,1/18,6=7,1>1,15.
77
ГЛАВА 9. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§9.1. Введение в кинематику. Способы задания
движения точки
В кинематике изучается перемещение тела или мате-
риальной точки вне зависимости от причин, вызвавших
это движение, а также не учитываются физические свой-
ства тел и силы, действующие в это время на тело или
точку, т. е. в кинематике рассматривают только геомет-
рию движения.
Под движением понимают изменение с течением вре-
мени положения тела или материальной точки в прост-
ранстве. Это положение определяют в любой системе
координат, жестко связанной с некоторым телом. Эту
систему называют системой отсчета. Тело, по отношению
к которому рассматривается движение, называется те-
лом отсчета. Обычно за тело отсчета принимают Землю.
В кинематике принимается, что скорость движения
тела намного меньше, чем скорость света, поэтому по-
ложение тела в пространстве относительно выбранной
системы отсчета определится на основании евклидовой
геометрии.
Положение тел в пространстве меняется с течением
времени, причем время не зависит от выбранной систе-
мы отсчета, т. е. является независимой переменной. Все
остальные переменные величины (расстояние, скорость,
ускорение) являются функциями времени. За единицу
времени в системе СИ принята секунда (с), а за едини-
цу длины— метр (м).
Время отсчитывается от некоторого, заранее выбран-
ного начального момента (/=0). Число единиц времени,
прошедших от начального момента до данного мгнове-
ния, называют моментом времени t. Промежуток време-
ни Az = /2—определяется числом единиц времени, про-
шедших от более раннего момента времени t\ до более
позднего t2.
Воображаемая непрерывная линия, которую описы-
вает некоторая точка движущегося тела относительно
данной системы отсчета, называется траекторией дви-
жения. Траектории движения бывают криволинейными и
прямолинейными.
При прямолинейном движении все точки тела пере-
мещаются одинаково. При криволинейном движении
78
Рис. 9.3 Рис. 9.5
каждая отдельная точка тела движется по-разному.
Чтобы определить движение всего тела в целом, надо
указать, как движутся отдельные его точки, поэтому ки-
нематика делится на кинематику точки и кинематику
тела. Изучение кинематики начинается с более простого,
т. е. с изучения кинематики точки.
Траектория движения точки зависит от тела отсчета.
Рассмотрим, например, точку Л, лежащую на колесе ав-
томобиля (рис. 9.1, а), который едет прямолинейно с
постоянной скоростью. Если за тело отсчета принять
Землю, то траектория движения этой точки будет цик-
лоида. Если же за тело отсчета взять автомобиль и на-
чало системы координат принять в центре колеса, то
точка Л, лежащая на колесе, будет двигаться уже по
79
окружности (рис. 9.1,6). Криволинейное движение точки
можно задать двумя способами: естественным и коорди-
натным.
Рассмотрим сначала естественный способ. Этот спо-
соб удобен, когда известна траектория движения точки
А (рис. 9.2). Тогда на этой траектории выбирают точку
отсчета О, в которой помещают начало координат.
В этом случае траектория движения является криволи-
нейной осью. Положение точки А в данный момент вре-
мени определяется законом движения по заданной тра-
ектории:
s = f(O. (9.1)
Здесь криволинейная координата s представляет дли-
ну отрезка от точки отсчета О до точки А через проме-
жуток времени t.
Функция f(t) является однозначной, непрерывной и
дифференцируемой по времени /, т. к. движущаяся точка
в любой момент времени может находиться только в од-
ном месте и при своем движении по заданной траекто-
рии пробегает все положения на кривой.
Следовательно, чтобы задать естественным способом
движение точки, надо указать: 1) траекторию точки;
2) точку отсчета и положительное направление отсчета
на этой траектории; 3) закон движения точки с помощью
функции f(t), которая должна быть однозначной, непре-
рывной и дифференцируемой.
Необходимо отметить, что закон движения (9.1) оп-
ределяет положение материальной точки на ее траекто-
рии, а не пройденный путь. Например, при колебании
маятника траекторией движения точки М (рис. 9.3) бу-
дет дуга ММ'. Если за точку отсчета О принять поло-
жение статического равновесия, то криволинейная коор-
дината s по абсолютной величине будет всегда меньше
или равна длине дуги ОМ, и может принимать положи-
тельные и отрицательные значения, тогда как пройден-
ный путь всегда является положительной величиной и
поэтому будет все время увеличиваться.
Допустим, что точка М совершит одно колебание, то
есть пройдет последовательно точки О, М, М' и снова
будет в точке О. В этой точке криволинейная координа-
та s равна нулю, а пройденный путь равен двойной дли-
не дуги ММ'.
80
Для описания закона движения точки обычно поль-
зуются графиком движения, т. е. кривой, отражающей
зависимость координаты s от времени t и характеризу-
ющей перемещение точки по траектории. В качестве при-
мера рассмотрим движение центра тяжести маятника
при колебании (рис. 9.3). В этом случае графиком дви-
жения будет синусоида (рис. 9.4). По этому графику,
во-первых, легко можно определить смещение нашей
точки со временем. Так, в момент времени /, криволи-
нейная координата будет равна Sj. Во-вторых, по пост-
роенному графику можно судить о пройденном пути.
Например, в момент времени Л (см. рис. 9.4) пройден-
ный путь будет равен длине дуги ОМ.
График движения нельзя путать с траекторией дви-
жения. Так, в выше приведенном примере графиком дви-
жения является синусоида (рис. 9.4), а траекторией
движения — дуга ММ' (см. рис. 9.3).
При координатном способе задания закона движения
точки необходимо знать положение точки в пространст-
ве в каждый момент времени, т. е. надо задать коорди-
наты точки, как функции времени t.
Для задания положения точки можно воспользовать-
ся любой системой координат, той, которая удобна в
данном конкретном случае. Так, в декартовой системе
координат х, у, z (рис. 9.5) закон движения точки зада-
ется в виде уравнений движения точки:
x = x(t), y = y(f), z = z(t). (9.2)
Очевидно, что уравнения (9.2) в параметрическом
виде задают траекторию движения. Если из (9.2) исклю-
чить параметр t, то можно получить саму траекторию
движения.
При движении точки на плоскости одна координата
г будет равна нулю, и мы получим только два уравне-
ния движения:
х = х(/), y = y(t). (9.3)
При прямолинейном движении точки, допустим вдоль
оси х, получим только одно уравнение движения, кото-
рое будет совпадать в этом случае с законом движения
при естественном способе задания движения точки:
х=х(0. (9.4)
От координатного способа задания движения можно
6—480
81
Рис. 9.6
Рис. 9.8
перейти к естественному. Как было показано выше, по
уравнениям движения (9.2) или (9.3) можно определить
траекторию точки.
Рассмотрим небольшой участок траектории ММ'
длиной ds (рис. 9.6). Его проекции на оси х, у, z будут
соответственно равны dx, dy, dz. Тогда квадрат длины
этого участка
ds* = dx* + dy* + dzK (9.5)
Приращение времени, в течение которого точка
прошла этот участок ММ', обозначим через dt. Теперь
разделим и умножим на dt2 правую часть равенства
Если принять, что в начальный момент времени (/ =
= 0) криволинейная координата s равна нулю, то мы из
(9.6). получим закон движения в следующем виде:
82
и
При движении точки на плоскости равенство (9.7)
примет вид:
Пример. Найти уравнение и закон движения, а также построить
график движения точки М (рис. 9.7), находящейся на ободе колеса,
которое равномерно катится без скольжения по прямой линии. Диа-
метр колеса равен D, а закон движения оси колеса задан в виде
Решение, За ось х примем прямую линию, по которой катится ко-
лесо. Начало координат О возьмем в точке М на ободе колеса в
начальный момент времени.
В некоторый момент времени t ось колеса займет положение С'
(см. рис. 9.7). При этом точка окружности М перейдет в положение
ЛГ, а сама окружность колеса будет касаться оси х в точке Л/. Так
как колесо катится без скольжения, то длина дуги NM' будет равна
расстоянию ON=v0t. Таким образом, угол ф на который повернулась
точка М, будет равен:
<р = NM'/(D/2) = 2v0t/D.
Найдем абсциссу х точки /И':
х = OP = ON — PN = ON — M'L.
Из прямоугольного треугольника M'C'L легко можно найти
M'L = (D/2.) sin ф = (D/2) sin (2vQt/D).
Значит
x = vQt — (D/2) sin (2vQt/D).
Аналогично находится координата у точки /И:
у = М'Р = C'N — C'L = D/2 [1 — cos (2u0//D)].
Итак, уравнения движения точки М:
x—v9t — D/2 sin (2v„t/D)
y = D/2[\ — cos (2v0//D)].J ( '
Теперь найдем траекторию точки М, исключив из уравнения ее
движения время t. Для этого запишем эти уравнения в виде
х — uQt = — D/2 sin (2vqND);
у — DI2 = — D/2 cos (2o0//D).
Возведя обе части каждого из последних соотношений в квад-
рат и складывая полученные равенства, будем иметь (х—uot) 2+ (у-•-
6* 83
—D/2)2= (D/2)2 или (x-M2=-(</-D/2)2+(D/2)2=f/(D-z/).
Следовательно
x — vat = ± У у (D — (/).
(9.10)
В это равенство входит время /, которое можно найти из вто-
рого уравнения движения точки М (9.9):
cos(2y0//D) = 1— 2y/D, то есть / = D/(2y0)arccos(l— 2y/D).
Тогда, подставляя найденное время t в соотношение (9.10), мы
получим зависимость между х и у: х— (D/2)arccos(l— 2y)D) =
= ±К y(D—у).
Найденная траектория точки Л4, которая называется циклоидой,
показана на рис. 9.8.
Определим теперь закон движения точки М по этой траектории.
Для этого вычислим производные от х и у по t:
Подставляя эти значения в равенства (9.8), будем иметь
s 2 — cos ~~ уо J 4sin2 =
= 2и0 f sin 1 dt = — 2D cos .
J D Do
При вычислении интеграла было принято, что время меньше
лР/и0, т. е. sin VntlD:$>Q.
Окончательно получим закон движения точки М. в следующем
виде:
s = 2D 11 — cos—— j.
(9.Н)
График движения точки М показан на рис. 9.9.
§ 9.2. Скорость точки
Быстроту движения точки в пространстве характери-
зует векторная величина, называемая скоростью. Опре-
деление ее зависит от способа задания движения.
Рассмотрим естественный способ задания движения.
При этом нам известна траектория движения точки (рис.
9.10) и закон движения s=f(t).
Допустим, что в момент времени t точка находится
в положении М, а в момент времени t\ в положении
Перемещение, благодаря которому точка из положения
М переходит в положение определяется расстоянием
и направлением хорды т. е. вектором, и называет-
ся вектором перемещения точки за промежуток времени
= —/. В дальнейшем векторы обозначаются черточ-
кой наверху: ММ\.
Отношение вектора перемещения точки к соответст-
вующему промежутку времени называется вектором
средней скорости за данный промежуток времени:
усР = ЛГМ1/Д/. (9.12)
Направление вектора средней скорости совпадает с
направлением вектора перемещений, а модуль равен:
гср = МЛ11/Д/. (9.13)
Для того чтобы знать скорость в каждый данный мо-
мент времени, нужно уменьшить промежуток времени Д/.
Переходя к пределу, найдем
ммг
v = lim wcp = lim —I • (9.14)
Д/-0 д/-о Д/
Предел вектора средней скорости при стремлении
Д/ к нулю называется вектором скорости точки в дан-
ный момент времени.
В пределе (при Д/->0) секущая ММ{ переходит в ка-
сательную, значит вектор скорости точки в момент вре-
ни t направлен по касательной и траектории в сторону
движения точки. Модуль скорости равен:
мм1
v = lim —— . (9.15)
д/->о Д/
85
Однако отношение длины дуги
ЛШ, = |A.S| = |s (/^-5(01
к длине стягивающей ее хорды ММ} в пределе (при
/->-0) равно единице, поэтому
v = lim
д/-о
МЛ41
ММХ
MMj
А/
lim
д/->о
ММ1
lim —;—
д/-о А/
= lim
д/ ->o
ЛШ1
А/
I As | I ds I
lim —— = —— .
д/->о А/ I dt |
(9.16)
Следовательно, модуль скорости точки в данный мо-
мент времени равен модулю первой производной от кри-
волинейной координаты s по времени t.
Если движение точки задано с помощью графика
движения (рис. 9.11), то
1 = |tga|. (9.17)
at |
Отсюда следует, что чем более круто поднимается
или опускается график движения, тем больше скорость
точки. Если же график параллелен оси/, то скорость рав-
на нулю. В системе СИ за единицу скорости принята
скорость такого движения, при котором точка за одну
секунду проходит один метр пути (м/с).
Когда движение точки задано координатами х, у, 2.
выраженными в функции времени /, то проекции вектора
скорости на координатные оси будут равны первым
производным от соответствующих координат
времени:
dx dy dz
dt J dt z dt
ТОЧКИ no
(9.18)
Абсолютная величина скорости выразится в таком
случае формулой
При движении точки на плоскости одна из проекций
скорости, например, vz равна нулю, поэтому модуль ско-
рости будет вычисляться по формуле
86
Углы, которые образуют вектор v с осями координат
(рис. 9.12), определяются из соотношений
cos а = cos(y, х) = ух/у, cos [3 = cos (у, yj = vy/v. (9.21)
Если точка движется прямолинейно, то направляя
ось х вдоль движения точки, получим
Уд = У = ]/~v2x =± Ух. (9.22)
Проекция скорости является алгебраической величи-
ной. Если она положительна, то движение точки проис-
ходит в направлении, совпадающим с положительным
направлением оси.
§ 9.3. Ускорение точки
Равномерное прямолинейное движение характеризу-
ется только одной величиной — скоростью, которая оста-
ется постоянной во время всего движения точки. При
криволинейном движении скорость точки в разные мо-
менты времени различна. Даже если величина скорости
не меняется, все же имеет место изменение направления
скорости. В общем случае скорость изменяется как по
величине, так и по направлению. Для характеристики
неравномерного движения нужна величина, показываю-
щая быстроту изменения численного значения и направ-
ления скорости движения точки. Эта величина называ-
ется ускорением точки.
Рассмотрим естественный способ задания движения.
Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис.
9.13), находилась в некоторый момент времени t в поло-
жении М и имела скорость и, а через малый промежуток
времени &t=ti—t—положение Mi и скорость цр Изме-
нение скорости есть разность между векторами v и
Перенесем вектор в точку М и возьмем векторную раз-
ность между v и Для того построим параллелограмм,
в котором диагональю будет вектор а одной из сто-
рон — вектор V. Тогда другая сторона будет изображать
изменение скорости точки и называться вектором прира-
щения скорости:
Ду = У£ — у.
(9.23)
87
Рис. 9.14
Отношение вектора приращения скорости к проме-
жутку времени АЛ за который произошло это прираще-
ние, называется вектором среднего ускорения за данный
промежуток времени:
Ду
асР = Д/ * (9.24)
Этот вектор направлен так же, как и вектор прира-
щения скорости. Однако при криволинейном движении
направление вектора ускорения не совпадает с направ-
лением вектора скорости.
Уменьшая промежуток времени Д/, придем к понятию
векторного мгновенного ускорения, которое определяет-
ся как предел отношения приращения вектора скорости
к приращению времени
Ду dv
а= lim “— =-------.
д/->о Д/ dt
Рассмотрим плоское движение точки. Разложим век-
тор ускорения а на две составляющие, одну из которых
at направим по касательной к траектории в данной точ-
ке М, а другую ап по нормали к траектории (рис. 9.14):
5 = at-\-an, где (9.26)
(9.25)
88
at называется тангенциальным или касательным ускорением, а ап^
нормальным или центростремительным ускорением.
При прямолинейном движении вектор скорости на-
правлен всегда вдоль прямой, по которой движется точ-
ка. Очевидно, что направление ускорения совпадает с
направлением вектора Ди (рис. 9.15). В этом случае про-
екция ускорения точки на нормаль к траектории равна
нулю (ап=0):
a = at-Yan = at. (9.27
Модуль вектора тангенциального ускорения at будет
равен модулю производной от величины скорости по вре-
мени:
Касательное ускорение характеризует изменение мо-
дуля скорости.
Рассмотрим теперь равномерное движение точки по
криволинейной траектории. Будем считать, что траекто-
рией движения является окружность. Возьмем два близ-
ких положения М и Mi движущейся точки. Скорость точ-
ки постоянна по величине, но меняет свое направление.
Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом тре-
угольника (рис. 9.16). Полученные два равнобедренных
треугольника OMMi и МАВ подобны, так как имеют оди-
наковые углы при вершине. Из подобия треугольников
следует, что сходственные стороны пропорциональны:
kv/MM^v/R, (9.29)
где R — радиус окружности.
Будем уменьшать промежуток времени Af, за кото-
рый точка из положения М переходит в положение Мь
В этом случае длина хорды ММг будет стремиться к
длине дуги: ММ1 = иД/. В пределе получим
Ди , Ди а
lim ——— = lim —----— — .
д/->о д/->о Д/и v
Предел правой части соотношения (9.29) равен:
V V
lim — = — .
д/->о 7? R
Тогда
a/v = v/Rf
89
или
a = t'2//?. (9.30)
Направление вектора ускорения перпендикулярно
хорде а в пределе (при Д/->0) вектор ускорения
направлен к центру окружности по нормали к траекто-
рии. Следовательно, в данном случае касательное уско-
рение равно нулю, поэтому модуль нормального ускоре-
ния равен:
а = ап = у2/Я. (9.31)
В данном случае изменение скорости происходит
только по направлению. Значит, нормальное ускорение
характеризует изменения только направления скорости
точки.
Если траектория точки не окружность, а произволь-
ная кривая линия, то в формуле (9.31) вместо радиуса
окружности следует взять р — радиус кривизны кривой
в данной точке. Это возможно, так как можно заменить
бесконечно малую дугу кривой линии вблизи данной
точки соответствующей дугой окружности. Из рис. 9.14
нетрудно найти соотношения между модулями каса-
тельного, нормального и полного ускорений:
at = a cos а; 1
1 У (9.32)
ап = a sin а. )
Тогда модуль полного ускорения представляет собой
геометрическую сумму касательного и нормального уско-
рений:
а2 а2 = a2 cos2 а -|- a2 sin2 а = а2,
или
a = Ya]-\-a^V(dvldt^ + v^lp . (9.33)
Если движение точки задается координатным спосо-
бом, то проекции ускорения на оси координат представ-
ляются в виде первых производных по времени от про-
екции скорости точки на эти оси:
dvx d2 х __ dvy _ d2 у
Gx== dt = dt2 ’ ay~ dt “ dt2
dvz_____d2z
a*= dt = dt* '
(9.34)
90
Модуль ускорения в этом случае представляется в
виде
а\ + а2у + а*. (9.35)
Направление ускорения определяется из соотноше-
ний
cos (а, х) = —— , cos (а, у ) = ——, cos (а, z) — —— . (9.36)
a v 7 a v 7 а
При движении точки на плоскости или по прямой в
формуле (9.35) соответственно один az или два члена
az и ау будут равны нулю. Согласно системе СИ ускоре-
ние выражается в метрах на секунду в квадрате (м/с2).
Пример. Определить модули скорости, тангенциального, нор-
мального и полного ускорений для точки Af, находящейся на ободе
колеса, которое равномерно катится без скольжения по прямой ли-
нии (рис. 9.7).
Решение. Закон движения для точки М найдем в предыдущем
примере:
s = 2D [ 1 — cos (1>0 t/D)],
где у0 — скорость движения оси колеса; D — диаметр колеса.
Модуль скорости точки М по формуле (9.16)
V =
ds
dt
о I • I
= 2t>„ sin — .
Найдем модуль тангенциального ускорения. В соответствии с
формулой (9.28) имеем
I dv I vQt
= = "d"|cos“d“ •
Для модуля нормального ускорения (9.30) получим
Модуль полного ускорения (9.33)
а = Г4"/ + ап = cosa + sin4
ГЛАВА 10. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 10.1. Равномерное движение
Движение, при котором скорость — постоянная вели-
чина, характеризующая движение точки на любом уча-
стке траектории и за любой промежуток времени, назы-
вается равномерным: v = v0 = const.
91
Алгебраическая величина скорости (9.16)
v = v0 = ds/dt. (10.1)
В этой формуле, если первая производная от криво-
линейной координаты s по времени t положительна, то
направление скорости совпадает с положительным на-
правлением s.
Из соотношения (10.1) следует, что ds = vdt. Инте-
грируя правую и левую части этого выражения и учи-
тывая, что в начальный момент времени (/=0) точка
находится на расстоянии s0 от начала отсчета, получим
s t t
J ds = J' vdt = ( Ц, dt, (10.2)
s0 b b
Так как значение скорости постоянно, то ее можно
вынести из-под знака интеграла, тогда получим закон
у
криволинейного равномерного движения s—so=Vo^ dt==
= vQtt
92.
или
S Sq -J- Уд t • (10.3)
Допустим, что в момент времени Ц движущаяся точ-
ка находилась в положении Mh а в момент времени —1
в положении М2. Тогда согласно (10.3), имеем
si=So+yo6, «2=$о+^о6, или $2—Si = u0(6—Л), отсюда
скорость выразится формулой
v0 = («2 — — ti). (Ю.4)
Следовательно, при равномерном движении скорость
численно равна длине пути, пройденного за единицу вре-
мени.
Как уже отмечалось, при криволинейном равномер-
ном движении тангенциальное ускорение at равно нулю.
Если же движение будет прямолинейное, то скорость не
будет меняться и по направлению, т. е. нормальное уско-
рение ап=0. Значит полное ускорение а будет также
нулевым. Прямолинейное равномерное движение явля-
ется единственным движением, при котором ускорение
равно нулю.
Графически равномерное движение изображается в
виде наклонной прямой линии, которая возрастает (рис.
10.1,а), если значение скорости положительно, или убы-
вает, если значение скорости отрицательно (рис. 10.1,6).
Чем больше скорость равномерного движения, тем круче
график движения. Наклон графика зависит, естественно,
от масштабов s и /. Если эти масштабы выбрать одина-
ковыми, то
t>o = ds/dt = tg а = (s — s0),7. (10.5)
С помощью графика движения легко найти пройден-
ный путь и скорость движения точки. Например, из рис.
10.1, а видно, что за промежуток времени 4 с точка про-
шла путь, равный 3 метрам. Тангенс угла наклона пря-
мой можно найти из треугольника ABC: v0=tga=BCI
/АС= (6—3)/4=0,75 м/с.
Аналогично графику движения можно построить
график скорости. В этом случае по оси ординат будем
откладывать в соответствующем масштабе скорость точ-
ки, а по оси абсцисс — время. Скорость является произ-
водной от криволинейной координаты s по времени t,
поэтому графики движения и скорости связаны между
собой. Например для равномерного движения график
скорости будет прямая линия, параллельная оси абсцисс
93
(рис. 10.2), ордината которой v0 определяется по фор-
муле (10.5) с помощью графика движения. И наоборот,
по графику скорости можно определить пройденный
путь. Из формулы (10.4) следует, что
S2 — Sl = VQ(h — t1) =VQM. (10.6)
Но произведение скорости на промежуток времени
равно площади прямоугольника, заштрихованного на
графике. Таким образом, при равномерном движении
путь, пройденный за данный промежуток времени, чис-
ленно равен площади прямоугольника, сторонами кото-
рого являются ось абсцисс, график скорости и две верти-
кальные прямые, проведенные из точек, соответствующих
началу и концу рассматриваемого промежутка времени.
§ 10.2. Равнопеременное движение
Равнопеременным движением называется такое дви-
жение, при котором модуль касательного ускорения ос-
тается все время постоянной величиной. Если при этом
модуль мгновенной скорости движущейся точки растет,
то движение называется равноускоренным, если модуль
мгновенной скорости уменьшается, то движение называ-
ется равнозамедленным. Изменение модуля скорости
характеризуется касательным ускорением, поэтому дви-
жение будет равноускоренным, если постоянное танген-
циальное ускорение и скорость имеют одинаковые знаки,
и равнозамедленным, если они разные. В первом ^случае
угол а между векторами ускорения а и скорости v будет
острым (рис. 10.3, а), а во втором случае — тупым (рис.
10.3,6).
Допустим, что при равнопеременном движении ско-
рость в начальный момент времени равна ц0, а по исте-
чении промежутка времени t скорость стала равной ц.
Виду того, что ускорение является постоянной величиной
для всех промежутков времени, мгновенное тангенциаль-
ное ускорение и среднее тангенциальное ускорение будут
равны. Тогда ускорение at можно найти по формуле
at = dv/dt = bv/M= (v — vQ)/t. (10.7)
Отсюда находим уравнение скорости
v=^vQ + att. (10.8)
Полученное выражение для скорости подставляем в
соотношение (10.2):
94
s t
J ds = I’ (!>„-}- atl)dt.
s. b
После интегрирования, учитывая, что Vo=const и
at=const, получим
s = s„ + v9t-'r at t2/2. (10.9)
При прямолинейном движении нормальное ускорение
равно нулю, т. е. а=а«, поэтому
s = s0 + i + а/2/2. (10.10)
На основании формул (10.9) и (10.10) график движе-
ния при равнопеременном движении будет иметь вид па-
раболы (рис. 10.4, а). В точке экстремума происходит
перемена направления движения. В этой точке производ-
ная от криволинейной координаты s по времени t равна
нулю, т. е. скорость нулевая.
График скорости, как видно из формулы (10.8),
95
представляет собой прямую линию (рис. 10.4,6). Точка
пересечения этого графика с осью времени — это точка
перемены знака скорости, т. е. перемены направления
движения. Она соответствует точке экстремума на гра-
фике движения. По графику скорости можно определить
касательное ускорение. Если величина скорости и време-
ни откладывается на осях в одинаковых масштабах, то
касательное ускорение численно равно тангенсу угла на-
клона графика скорости:
at = dv/dt = tg ф. (10.11)
В нашем случае при равнопеременном движении ка-
сательное ускорение является величиной постоянной,
поэтому график ускорения (рис. 10.4, в) имеет вид пря-
мой, параллельной оси времени. Если график скорости
изображается наклонной прямой, направленной вверх,
то тангенциальное ускорение положительно. При отрица-
96
тельном ускорении график движения направлен выпук-
лостью вверх (рис. 10.5, а), а график скорости изобража-
ется прямой, наклонной в этом случае вниз.
На графиках можно проиллюстрировать все измене-
ния движения точки с течением времени. Так, на рис.
10.4, а ветвь АВ соответствует отрицательной скорости,
которая убывает от начального значения и0 в точке А до
нулевого значения в точке В. Далее после точки В ско-
рость становится положительной и начинает возрастать.
Участок АВ соответствует равнозамедленному движению
'(скорость и касательное ускорение имеют разные знаки),
а участок ВС — равноускоренному движению (знаки
скорости и касательного ускорения совпадают).
Для случая, изображенного на рис. 10.5, ветвь DE
соответствует равнозамедленному движению, a EF —
равноускоренному. Из графика скорости можно опреде-
лить путь, пройденный точкой за время Д/ = /2—Л. Со-
/1
гласно формуле (10.2), имеем s2—Si=As= ( vdt.
h
Но интеграл от скорости, взятой по времени, равен
площади заштрихованной трапеции на рис. 10.4, б:
— . (10.12)
Пример. Тело брошено вертикально снизу вверх со скоростью
19,6 м/с. На какую высоту оно поднимается и за какое время? По-
строить графики движения, скорости и ускорения (сопротивлением
воздуха пренебречь, тело считать за точку).
Решение. Будем считать движение тела прямолинейным и рав-
нопеременным. За положительное направление отсчета удобно при-
нять вертикальное направление снизу вверх. При таких условиях
можно написать s0 = 0; v0=19,6 м/с; a = at = —g=—9,8 м/с2, vt = O,
где g — ускорение силы тяжести (направлено всегда к центру
Земли).
Применяя формулу (10.8), находим 19,6-}-(—9,8)-/ = 0, откуда
/ = 2 с. Тогда по формуле (10.10) находим закон движения тела
s = s0+ v0t + aP/2= 19,6/ —4,9/2.
Отсюда высота, на которую поднимается тело
s = 19,6.2 — 4,9-2= 19,6 м.
Графически закон движения тела показан на рис. 10.6, а.
График скорости у = 19,6—9,8/ дан на рис. 10.6,6. Так как уско-
рение постоянное и всегда направлено вниз, т. е. положительно-
го направления отсчета, то его график будет прямая, параллельная
оси абсцисс и лежащая ниже оси (рис. 10.6, в).
Из графиков видно, что в первые две секунды полета тело дви-
галось равнозамедленно, а в следующие две секунды — равноуско-
ренно.
7—480
97
ГЛАВА 11. ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
/
§ 11.1. Поступательное движение твердого тела
При поступательном движении тела прямая, соединя-
ющая две произвольные точки тела, будет перемещаться
параллельно самой себе. Примерами поступательного
движения могут служить движение кузова автомобиля,
который едет прямолинейно, движение кабины лифта,
движение поршня в цилиндре двигателя и т. д. Докажем,
что при поступательном движении все точки тела двига-
ются по одинаковым траекториям и имеют в любой мо-
мент времени одинаковые векторы скорости и ускорения.
В теле, которое движется поступательно, возьмем две
любые точки А и В (рис. 11.1). Соединим эти точки от-
резком прямой линии. При перемещении тела длина это-
го отрезка остается постоянной, так как в кинематике
рассматриваются абсолютно твердые тела. Через неко-
торый промежуток времени тело займет новое положе-
ние, а вместе с ним займет новое положение AjBi отре-
зок прямой линии АВ. Совершим теперь параллельный
перенос всех точек траектории ВВ\ так, чтобы точка В
заняла положение А. Так как отрезки прямых АВ и
AiSj параллельны и равны друг другу, то очевидно, что
при параллельном переносе точка Bi перейдет в точку
А]. Такое рассуждение можно провести для любого по-
ложения Вь а значит при параллельном переносе траек-
тория точки В полностью совпадает с траекторией точки
А, т. е. они тождественны. Естественно, раз мы брали
любые точки А и В, это справедливо для всех точек те-
ла. Кроме этого, совпадает и положение точек А и В на
этой траектории в любой момент времени (Bi тождест-
венно Ai). Если считать, что в начальный момент време-
ни все точки тела находятся в начале отсчета своих
траекторий, то законы движения точек А и В будут оди-
наковыми:
5 л= sb • 01 • 1)
Продифференцируем это равенство по времени:
dsA dsB
dt = dt ’
или
98
Рис. 11.1
Рис. 11.2
VA = VB = и‘ 0 1 2>
Следовательно, так как положение точек А и В про-
извольно, то векторы скоростей всех точек в данный мо-
мент времени равны друг другу. Вектор v называется
вектором скорости поступательного движения тела.
Если продифференцировать равенство (11.2) по вре-
мени, то получим
^д dvB
dt - dt ’
или
°А=~ав = °- (,к3)
т. е. векторы ускорений всех точек тела в данный момент
времени равны друг другу. Вектор а называется векто-
ром ускорения поступательного движения тела. Из выше
доказанного следует, что поступательное движение твер-
дого тела определяется движением одной его точки.
Обычно за такую точку принимают центр тяжести тела.
Пример. Квадрат ABDE (рис. 11.2) движется по кругу радиу-
са R. При перемещении квадрата его диагональ AD остается все
время в горизонтальном положении. На рис. 11.2 квадрат показан в
четырех положениях. Точка А движется по кругу радиуса R, так же
как и центр тяжести фигуры С и другая конечная точка диагона-
ли D. Все траектории движения тождественны друг другу.
7’
§ 11.2. Вращательное движение
При вращательном движении тела две его точки (или
точки, связанные с ним) остаются неподвижными, а пря-
мая, проходящая через них, называется осью вращения.
Примерами вращательного движения могут служить
вращение шестерни, вращение карусели и т. д.
Если через ось вращения провести плоскость Р, жест-
ко связанную с телом, то при вращении тела эта плос-
кость будет занимать новые положения (рис. 11.3). Угол
между первоначальным положением плоскости Р и ее
новым положением Р{ в текущий момент времени назы-
вается углом поворота тела и обозначается ср. Измеряет-
ся этот угол в радианах и считается положительным,
если плоскость Р поворачивается против часовой стрел-
ки (при этом надо смотреть с положительного конца оси
г, направленной вдоль оси вращения тела). Кроме оси
вращения для полного определения движения тела надо
еще знать угол поворота <р как функцию времени /:
Ф=/(/). (11.4)
Это уравнение называется законом вращательного
движения тела.
Отношение угла поворота тела <р к соответствующе-
му промежутку времени Д/ называется вектором средней
угловой скорости за данный промежуток времени и обо-
значается «ср. Предел средней угловой скорости при
стремлении Д/ к нулю называется угловой скоростью и
обозначается со. Л1одуль угловой скорости аналогично
модулю скорости будет равен первой производной от
угла поворота по времени:
Считается, что вектор угловой скорости всегда на-
правлен вдоль оси вращения, причем так, что вращение
тела направлено против часовой стрелки, если смотреть
с конца вектора со на его исходную точку. Вектор со
является положительным (рис. 11.4, а), если его направ-
ление совпадает с направлением оси z или отрицатель-
ным (рис. 11.4, б), если не совпадает. В системе СИ угло-
вая скорость измеряется в радианах, деленных на секун-
ду (рад/с).
В технике на практике при равномерном вращении
100
вместо скорости пользуются числом оборотов п в минуту,
которое связано с угловой скоростью равенством:
со = 2л/г/60 = лл/30 (рад/с) (11.6)
ИЛИ
п = ЗОсо/л (об/мин). (11.7)
Так как в общем случае угловая скорость не постоян-
на и зависит от времени
со = /(/), (11.8)
то для характеристики вращения необходимо знать бы-
строту изменения угловой скорости. Аналогично ускоре-
нию точки величина, равная первой производной от уг-
ловой скорости по времени и характеризующая быстроту
изменения угловой скорости, называется модулем угло-
вого ускорения тела:
Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вра-
щения, при вращении тела модуль угловой скорости мо-
жет уменьшаться или увеличиваться. В первом случае
вращение будет замедленным, а во втором—ускоренным.
При ускоренном движении направление вектора ускоре-
ния совпадает с направлением вектора скорости, а при
замедленном — векторы скорости и ускорения будут на-
правлены в разные стороны. В системе СИ угловое уско-
рение измеряется в радианах, деленных на секунду в
101
квадрате (рад/с2). Векторы угловой скорости п углового
ускорения являются скользящими, т. е. они могут быть
приложены в любой точке оси вращения.
Равномерным вращением тела называется такое дви-
жение, при котором угловая скорость вращения тела
остается постоянной. Если угловое ускорение тела посто-
янно, то такое вращение называется равнопеременным.
Законы для равномерного и равнопеременного вращений
получаются так же, как и аналогичные законы движения
точки, поэтому при равномерном движении имеем (ана-
логично формуле (10.3)
Ф = То + «о (11.Ю)
где фо — начальный угол поворота; соо — постоянная угловая ско-
рость тела.
Заменяя s, s0, t’o, 0/ в формуле (10.9) на ср, ф0, со» е,
получаем закон равнопеременного движения
Ф=Ф0 + ш0/ + е/2/2. (11.11)
Здесь wo — начальная угловая скорость. В любой мо-
мент времени угловая скорость будет определяться по
формуле, аналогичной (10.8):
со = <о0 + е/. (11.12)
Если при равнопеременном вращении скорость и ус-
корение направлены в одну сторону, то вращение назы-
вается равноускоренным и соответственно если направ-
ления скорости и ускорения не совпадают, то равноза-
медленным.
Пример. После отключения электродвигателя его вал вращался
равнозамедленно до полной остановки 10 секунд. За это время он
сделал 60 оборотов. Определить угловое ускорение и угловую ско-
рость вала в момент отключения двигателя.
Решение. Определим угол поворота вала за время остановки
двигателя ф = 60 • 2л = 120л.
Примем, что фо=О. Тогда в соответствии с формулой (11.11)
получим
Ф = 120л = со0 • 10 + е-50. (11.13)
Из соотношения (11.12), учитывая, что <о = 0 (при t=10 с), име-
ем (Оо=—е-10.
Подставляя это выражение в уравнение (11.13), получим угло-
вое ускорение 8=—2,4л.
Тогда угловая скорость в момент отключения двигателя wc=
=—е-10= — (—2,4л) 10=24л.
Число оборотов вала в минуту п — ЗОсо/л = 30-24л/л —
= 720 об/мин.
102
§ 11.3. Линейные скорости и ускорения точек
вращающегося тела
Любая точка вращающегося тела, лежащая на рас-
стоянии R от оси вращения, будет описывать окруж-
ность радиуса /?. Центр этой окружности находится на
оси вращения, а плоскость Q, в которой она лежит, бу-
дет перпендикулярна оси вращения (рис. 11.5).
Скорость и ускорение любой точки вращающегося те-
ла называются линейными. Для их определения рассмот-
рим некоторую точку М (рис. 11.5). Траекторией ее дви-
жения, как было уже показано, является дуга окруж-
ности. В начальный момент времени точка М находится
в положении Л40, а в момент времени t\ — в положении
Afi. Начало отсчета возьмем в точке Мо, а положитель-
ное направление криволинейной координаты s пусть сов-
падает с направлением возрастания угла поворота тела.
Тогда координата s будет равна длине дуги М0Л1|, но из
геометрии известно, что длина дуги окружности равна
радиусу, умноженному на соответствующий центральный
угол. Поэтому
s =/?<р. (11.14)
Продифференцируем по времени t полученное ра-
венство:
ds_____d (/?ф) __ dtp
dt = dt " К dt ’
или
u = /?co. (11.15)
Таким образом, значение линейной скорости любой
точки вращающегося тела равно произведению расстоя-
ния от этой точки до оси вращения на угловую скорость.
Из этого следует, что чем дальше от оси вращения нахо-
дится точка тела, тем больше ее линейная скорость. На-
правлена линейная скорость по касательной и окружно-
сти. Так как при вращении тела его точки двигаются по
криволинейной траектории, то вектор линейного ускоре-
ния будет равен векторной сумме векторов нормального
и касательного ускорений (рис. 11.6): a = at-\-an.
Для определения касательного ускорения в формулу
(9.28) подставим соотношение (11.15):
d'J d (Z?co) Л dco
at =----= —-—- = R---------= Re.
1 dt dt dt *
(11.16)
103
Рис. 11.6
Рис. 11.5
Аналогично находим значение нормального ускорения
по формулам (9.31) и (11.15):
ап = v*/R = (/?<о)2//? = /?со2. (11.17)
Модуль полного ускорения
а=К а2-\-а2 =]Л?2е2 + /?2й>2 =/?]/ е2+ш2. (11.18)
Из формулы (11.18) следует, что чем дальше точка
находится от оси вращения, тем больше ее ускорение.
Пример. Шестерня /, находящаяся в зацеплении с шестерней 2
(рис. 11.7), из состояния покоя начинает вращаться равноускоренно
с угловым ускорением ej = 0,1 рад/с. Найти закон вращения шестер-
ни 2, если радиус первой шестерни равен 0,3 м, а радиус второй —
0,2 м. Найти линейные скорости и ускорение точки N, лежащей на
расстоянии 0,1 м от оси вращения второй шестерни.
Решение. Начальная угловая скорость первой шестерни равна ну-
лю, поэтому (Oi = ei/+0,l -t.
Закон равнопеременного вращения первой шестерни будет
= <Ро “Ь wo 4“ ®i 2 = /2/2 = 0,05/2.
Так как шестерни находятся в зацеплении, то при вращении
точка контакта этих шестерен М будет иметь одинаковую линейную
скорость v. Если рассмотреть первую шестерню, то линейная скорость
точки М v = (0i/?i = 0,11-0,3 = 0,03/.
Эту же линейную скорость будет иметь точка, принадлежащая
второй шестерне, поэтому у = со2/?2, откуда (о2 = и/#2 = 0,03//0,2 =
= 0,15/.
Учитывая, что со2 = (/(рг/'dt, будем иметь dcp2=(o2d/ = 0,15/(//.
Если проинтегрировать правую и левую части последнего равен-
ства, считая, что в начальный момент времени (р2 = 0, то мы полу-
чим закон вращения шестерни 2\ ср2= f 0,15/(// = 0,15-/2/2-=0,075-/2.
б
104
Рис. 11.7
Вращение второй шестерни, как видно из закона движения, бу-
дет равноускоренным. При этом касательное ускорение е2=2(р2Л2 =
= 0,075 -2/2//2=0,15 рад/с2.
Находим линейную скорость точки N: У№(о2/?л=0,15/-0,1 =
= 0,015/.
Модуль полного ускорения точки N = е24'(й1 =
= 0,11/ 0,152+(0,1504=о, 01 + 0,0225/*.
Необходимо отметить, что в точке касания М только линейные
ускорения колес будут одинаковы, а линейные нормальное и полное
ускорения будут различными (рис. 11.8). Так в нашем случае зна-
105
чения касательных ускорений будут равны: ацм = /?iei = 0,3-0,l =
= 0,03 м/с2; = /?2б2=0,2-0,15 = 0,3 м/с2.
Так как линейные нормальные ускорения зависят от расстояния
точки до оси вращения, то имеем
_ (0,0302
апш = ”2/Я1 = ~п", = 0,003/2,
и ,о
(0,03/)2
ап2М = ^2 = —0>2 = 0,045/2.
Нормальные ускорения имеют не только разные значения, но и на-
правления — нормальное ускорение точки ЛЬ первой шестерни на-
правлено к центру 01, а нормальное ускорение аП2м направлено к
центру О2.
Модули ускорений вычисляются по формуле (12.18):
аш= + =0,3 ]Л),12 + (0, U)4 = 0,031Л + 0,01/4,
а2М = °-2]/0,152 + (0,15/)* = 0,03 1 + 0,0225/* .
ГЛАВА 12. РАБОТА И МОЩНОСТЬ
§ 12.1. Работа постоянной силы при прямолинейном
движении
Перемещение тела при действии на него силы назы-
вается работой и обозначается W. Если сила постоянна
и ее направление параллельно направлению перемеще-
ния тела, то при прямолинейном движении работа равна
произведению модуля силы F на пройденный путь s. Это
произведение может быть положительным или отрица-
тельным, — в зависимости от направления силы и пути.
Если эти направления совпадают, то сила совершает по-
ложительную работу. Если сила направлена в противо-
положную к перемещению сторону, то работа будет от-
рицательной, тогда
W=±Fs. (12.1)
Работа силы в общем случае, когда перемещение s
образует произвольный угол а (рис. 12.1, а) с направле-
нием силы F, равна произведению модуля силы на мо-
дуль перемещения и на косинус угла между ними:
W = Fs cos а. (12.2)
Из формулы (12.2) видно, что если а=л/2 (рис.
12.1,6), то работа будет равна нулю. Следовательно, ес-
ли направления силы и перемещения перпендикулярны
106
Рис. 12.1
Рис. 12.5
Рис. 12.4
друг другу, то работа не совершается. В случае если
а>л/2, то работа будет отрицательная (рис. 12.1, в).
Выражение (12.2) можно написать также в виде ска-
лярного произведения вектора силы F на вектор пути s:
ir = (F, s). (12.3)
За единицу работы в системе СИ принят джоуль
(Дж). Один джоуль — это работа силы в один ньютон,
совершаемая на прямолинейном участке длиной в один
метр (1 Дж=1 Н-м).
§ 12.2. Работа переменной силы на криволинейном
пути
Рассмотрим общий случай, когда работа будет совер-
шаться переменной силой на криволинейном пути. Разо-
107
бьем этот путь на большое число малых участков Д$ь
As2,..., &sn (рис. 12.2). На каждом участке можно с до-
статочной точностью считать, что путь прямолинеен, а
сила постоянна. Тогда для вычисления работы на каж-
дом участке можно воспользоваться формулой (12.2):
bWi = Ft cos = (F;, AsJ. (12.4)
В пределе, уменьшая длину участка до нуля, полу-
чим
dW — Fds cos а.
Эта работа называется элементарной. Сумма элемен-
тарных работ представляет работу на конечном участке
\ dW = Г = j? F cos ads. (12.5)
Si Si
Здесь: sb s2—криволинейные координаты, соответст-
венно начала и конца участка, на котором определяется
работа силы.
Рассмотрим в качестве примера работу, совершае-
мую при растяжении пружины (рис. 12.3). Из опыта из-
вестно, что чем большую силу приложить к пружине, тем
больше она растягивается (сжимается). В определен-
ных пределах силу F, направленную вдоль оси пружины,
можно считать пропорциональной величине, равной уве-
личению длины пружины s:
F = cs, (12.6)
где с — постоянная величина, называемая жесткостью пружины
и определяемая экспериментально.
Так как направления силы и перемещения совпадают,
то cosa = l, поэтому имеем
W = f cxdx = f = -у" , (12.7)
<7 * d
О О
или
W = Fs/2. (12.8)
Работу можно изобразить графически. Из математи-
ки известно, что определенный интеграл равен площади
фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми, прове-
денными перпендикулярно к ней из точек, соответствую-
щих началу и концу участка интегрирования и графиком
подынтегральной функции. Для рассмотренного примера
108
график подынтегральной функции будет иметь вид пря-
мой (рис. 12.4). Тогда работа равна площади треуголь-
ника W=Fs/2 и совпадает с формулой (12.8), получен-
ной ранее.
Если сила является величиной постоянной, то графи-
чески работа силы (при cosa=0) представляет собой
площадь прямоугольника (рис 12.5):
U7 = F(S2 —«1). (12.9)
В общем случае траектория может быть криволиней-
ной, например, когда тело опускается по криволинейной
траектории с высоты у\ № высоты у2 (рис. 12.6, а).
В этом случае работа, совершаемая силой тяжести G
f G cos ads.
b
Но как видно из рис. 12.6,6, dscosa=—dy.
109
Минус в этой формуле поставлен потому, что направ-
ление оси у противоположно направлению проекции ds
на эту ось. Тогда
У 2 [У 2
U?=-j Gdy——G =-G(y2-yi) = Gh. (12.10)
У1 ' Ух
Следовательно, по какому пути не опускалось бы те-
ло, сила тяжести совершает работу, равную произведе-
нию силы тяжести на разность высот h начального и ко-
нечного положения точки. Работа в этом случае положи-
тельна. Если же тело будет подниматься, то работа бу-
дет отрицательна.
Теорема. Если куточке А приложена система несколь-
ких сил (F1, Е2,..., Fn), имеющая равнодействующую R
(рис. 12.7), то работа равнодействующей R на некотором
пути $ равна алгебраической сумме работ составляющих
сил на том же пути.
Доказательство. Вектор равнодействующей равен
векторной сумме составляющих сил:
R = Fi + F2+ ••• +F„. (12.11)
Умножим скалярно правую и левую части равенства
на элементарное перемещение:
(R, <й) = (Л + ?2+ ••• +Fn, ds). (12.12)
Но скалярное произведение силы на перемещение
равно работе, поэтому левая часть равенства (12.12) рав-
на элементарной работе равнодействующей R на эле-
ментарное перемещение ds. Преобразуем правую часть
этого равенства:
(}?, d's) = dW = (F,. di) + (72> ds) + ... +(Fn, d~s).
Проинтегрируем полученное соотношение в пределах
от до s2:
j? dW - Г = J (?! ds) + j? (f2, di) + ... + J (Fn, ds).
St Sj st st
Ho
J (Ft, ds) = | Ft cos a, ds = Wt.
Sj Sj
поэтому
W = + + ... +^H, (12.13)
что и требовалось доказать.
110
§ 12.3. Работа постоянной силы при вращательном
движении
Допустим, что к плоской фигуре, вращающейся в
своей плоскости вокруг полюса О, приложен в точке А
вектор постоянной силы F. Траекторией точки А явля-
ется окружность радиуса_/? (рис. 12.8). Разложим силу
F на две составляющие: Ft — направленную по касатель-
ной к окружности и Fn — направленную по нормали к
окружности. Элементарная работа па перемещении ds
силы F
dW= (г, ds).
На основани теоремы 12.1 получим
dW = (Ft, ds)-\-(Fn, ds).
Но направление силы Fn перпендикулярно к переме-
щению ds, поэтому
(Fn, ds) = 0.
Кроме этого, угол между направлением силы Ft и
перемещением ds равен нулю, поэтому
dW = (Ft, ds) = Ft ds.
Учитывая, что ds = Rdq, получим
dW = Ft Rd(f>.
Но произведение силы Ft на плечо R есть момент Mt си-
лы Ft относительно точки 0:
dW = Mt dy.
Момент Mn силы FH относительно точки 0 равен ну-
лю, так как ее плечо равно нулю. Момент М силы F от-
носительно точки 0 на основание теоремы Вариньона
равен сумме моментов сил Ft и Fn относительно той же
точки: M = MtA-Mn = Mt. Следовательно
d\V = Md^. (12.14)
Или окончательно после интегрирования получим
ф ф
I'dttZ w = I* Md<p. (12.15)
о о
111
Так как момент М силы
F относительно точки 0 по-
стоянен, то формула (12,12)
будет иметь вид:
W = Mq>. (12.16)
Таким образом, работа
постоянной силы при вра-
щательном движении равна
произведению момента этой
силы относительно центра
вращения на угол поворота
плоской фигуры.
§ 12.4. Мощность
Для характеристики действия силы важно не только
значение работы, которую совершает данная сила, но и
время, в течение которого эта работа может быть совер-
шена. Работа, выполненная в единицу времени, называ-
ется мощностью.
Мощность обозначается буквой Р. За единицу мощ-
ности в системе СИ принимают такую мощность, при ко-
торой за одну секунду времени совершается работа, рав-
ная одному джоулю (1 Дж/с). Эта единица называется
ватт (Вт). Кроме ватта, мощность вычисляется в ки-
ловаттах: 1 кВт=103 Вт. Если элементарная работа Д1Г
силы F выполняется за малый промежуток времени Д/,
то средняя мощность за этот промежуток времени
Рср = ДГС7Д/. (12.17)
В общем случае работа выполняется в течение про-
межутка времени неравномерно, то есть является функ-
цией времени, поэтому формула (12.17) определяет сред-
нюю мощность за данный промежуток времени. Если мы
хотим узнать истинную мощность в данный момент вре-
мени /, то необходимо устремить промежуток времени
Д/ к нулю и перейти к пределу:
дг
Р= lim —- = dW/dt. (12.18)
д/-*о Д/
Необходимо отметить, что при равномерном выпол-
нении работы мощность выражается формулой:
P = W[t.
(12.19)
112
Подставим в формулу (12.18) выражение для элемен-
тарной работы (12.4):
Р = lim (^Ascosa) цт Cos a = cos a. (12.20)
дг—О А/ д/—о\ А/ /
Здесь угол a — угол между векторами силы F и ско-
рости V. Формулу (12.20) можно представить в виде
P=(F,v). (12.21)
Для определения работы при вращательном движе-
нии подставим элементарную работу, вычисляемую по
формуле (12.14), в соотношение (12.18):
Р = Mdyldt = Л1(О. (12.22)
Итак, мощность при вращательном движении равна
произведению момента относительно центра вращения
на угловую скорость тела.
§ 12.5. Коэффициент полезного действия
Каждая машина и механизм, совершая работу, тра-
тит часть энергии на преодоление сил трения. Так, па-
пример, поднимая груз весом G с помощью неподвижно-
го блока (рис. 12.9), надо тянуть за другой конец верев-
ки с силой У7, большей, чем вес груза G. Часть работы,
производимая силой F, тратится на бесполезное нагре-
вание блока вследствие трения. Таким образом, меха-
низм всегда кроме полезной работы производит еще и
лишнюю работу, т. е. полная работа механизма всегда
больше полезной. Отношение полезной
работы (или мощности) к полной рабо-
те (или мощности) называется коэффи-
циентом полезного действия (КПД) и
обозначается т].
КПД никогда не может достигнуть
единицы вследствие неизбежных потерь
затрачиваемой энергии на преодоление
трения, нагревание и т. д. Чем совершен-
нее машина, тем больше будет КПД.
Пример. Чтобы поднять груз весом G = 8 Н
(рис. 12.9) на высоту /г-=2 м, надо тянуть за дру-
гой конец веревки с силой F=10 Н. Надо опре-
делить КПД блока.
ЩЖ22
Рис. 12.9
ИЗ
8—480
Решение. Движение будем условно считать равномерным. Тогда
совершаемая полезная работа определяется ио формуле (12.1): №„•=
= 6/1 = 8-2=16 Дж. Аналогично определяется полная работа U7no;,=
= /7t= 10-2 = 20 Дж. Тогда КПД равен т] = И?я/№Пол= 16/20 = 0,8.
ГЛАВА 13. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
ТОЧКИ
§ 13.1. Основные положения динамики.
Законы динамики
В динамике изучаются законы движения тел и связь
их с силами, вызвавшими это движение, т. е. выясняет-
ся, почему в одних случаях тела покоятся или движутся
прямолинейно и равномерно, а в других — движутся за-
медленно или ускоренно.
Силы, действующие на тела, делятся на активные и
реактивные. Активной силой называется сила, которая
может вызвать ускорение точки или тела. Пусть, напри-
мер, на тело А действует активная сила F (рис. 13.1, о),
но движению тела препятствует упор В. Тогда активная
сила F уравновешивается реакцией опоры R и в этом
случае не вызывает ускорения. Достаточно убрать упор,
как под действием активной силы, т. е. сжатой пружины,
тело приобретет ускорение и начнет двигаться (рис.
13.1,6).
Опыт показывает, что тела изменяют свою скорость
по величине или по направлению только при действии на
них других тел. Например, если шар лежит неподвижно
на столе, то после удара о него другим шаром он приоб-
ретет некоторое ускорение. Причем если одну и ту же
силу приложить к разным покоящимся телам, то эти
тела будут иметь в результате разные ускорения. Так,
тяжело груженая машина медленнее набирает скорость,
чем пустая, хотя силы, действующие в этих случаях, оди-
наковые.
Многочисленные опыты, проведенные в конце XVI и
в начале XVII веков Галилеем, позволили ему устано-
вить следующий закон, который был позже сформулиро-
ван Ньютоном: если на любое тело не действуют ника-
кие внешние воздействия, то тело сохраняет состояние
покоя или прямолинейного равномерного движения.
Необходимо подчеркнуть, что тело может находиться
или в покое, или в состоянии прямолинейного равномер-
114
Рис. 13.1
ного движения в зависимости от принятой системы отсче-
та. Например, космонавт, находящийся в свободно ле-
тящем космическом корабле, сохраняет состояние покоя
относительно корабля, но движется прямолинейно и рав-
номерно по отношению к Солнцу.
Свойства тел сохранять величину и направление ско-
рости при отсутствии внешних воздействий, а также бы-
стрее или медленнее изменять свое движение под дейст-
вием сил называют инерцией тел. Этот закон называется
законом инерции. Инерция или инертность тела зависит
от количества заключенного в нем вещества. Мерой
инертности тела является величина, называемая массой
тела. Чем больше масса тела, тем больше это тело со-
противляется изменению ее скорости. Например, если с
одной и той же силой оттолкнуть от берега пустую лодку
и тяжело груженую лодку, то первая начнет двигаться
быстрее, чем вторая. Отсюда видно, что ускорение, при-
обретаемое в результате действия силы, зависит от мас-
сы тела. Эту зависимость устанавливает второй закон —
основной закон динамики, который формулируется так.
Ускорение, которое получает тело под действием данной
силы, совпадает по направлению с этой силой и по моду-
лю равно этой силе, деленной на массу тела:
а = Т1т (13.1)
или
F = та.
(13.2)
115
8*
Масса тела является скалярной величиной. О количе-
стве вещества в теле, т. е. о его массе, судят по силе тя-
жести тела. Согласно основному закону, сила тяжести
тела равна:
G = mg, (13.3)
где g — ускорение силы тяжести.
Понятия массы тела и силы тяжести не следует пу-
тать. Масса тела остается неизменной, а сила тяжести
зависит от местоположения тела. Так, в космосе ускоре-
ние силы тяжести равно нулю, следовательно, и сила тя-
жести отсутствует, т. е. наступает явление невесомости.
Единицей измерения массы в системе СИ является ки-
лограмм (кг).
Третий закон (закон равенства действия и противо-
действия). Всякому действию соответствует равное и
противоположно направленное противодействие. Напри-
мер, если человек пойдет в лодке, которая до этого нахо-
дилась в покое, то силы взаимодействия между лодкой и
человеком будут равны по величине и противоположны
по направлению. Вследствие этого лодка поплывет в
сторону, противоположную движению человека.
Рассмотрим соударение двух тел. При ударе друг о
друга (рис. 13.2) первое тело действует на второе силой
а второе действует на первое силой F\, Согласно за-
кону равенства, действия и противодействия, модули
этих сил равны, но они обратно направлены: Fi = F2.
На основании основного закона динамики имеем
пц аг = т2 а2,
где аь а2 — ускорения, получаемые соответственно первым и вто-
рым телом; т\, т2— массы этих тел.
Следовательно,
т1/т2 = а2/а1. (13.4)
Таким образом ускорения, получаемые телами в ре-
зультате взаимодействия, будут обратно прпорциональ-
ны их массам и направлены в разные стороны.
Четвертый закон (закон независимости действия сил).
В большинстве случаев тело находится во взаимодейст-
вии с несколькими телами.
Если на тело действует одновременно несколько сил,
то ускорение, получаемое телом, равно геометрической
сумме ускорений, сообщенных каждой силой в отдельно-
сти независимо друг от друга:
116
G = ai-|_a2+ ... 4~0n- (13.5)
Здесь Oi, 02,... • Дл— ускорения, сообщенные телу массой т силами
Fi, F2t..., Fn, действующими независимо друг от друга; а — ускоре-
ние, которое приобретает тело от действия всех сил одновременно.
Умножим правую и левую части равенства (13.5) на
массу тела: am=a1m-Hz2m4-...+ anin.
Учитывая, что Fi = aitn1 получим
Н/п = Г1 + ?2+ ... +Fn- (13 6)
С правой стороны равенства (13.6) стоит векторная
сумма системы сил. Как известно, она равна вектору
равнодействующей R. Следовательно,
am — R. (13.7)
Таким образом, если на тело действует система сил,
то равнодействующая этих сил сообщает телу такое же
ускорение, как и вся система сил. Из (13.7) следует, что
если равнодействующая сила равна нулю, то и ускоре-
ние, которое получает тело от действия системы сил, рав-
но нулю, т. е. тело находится в покое или равномерно и
прямолинейно движется.
Характер движения тела зависит не только от его
массы и от приложенных к нему сил, но также от гео-
метрических размеров тела и расположения массы его ча-
стей. Чтобы не учитывать этот фактор, вводится понятие
материальной точки. Материальной точкой называют те-
ло, имеющее массу, но размерами которого можно прене-
бречь. За материальную точку принимают геометричес-
кую точку, но считают, что она имеет массу. Все законы
динамики, сформулированные выше, справедливы и для
материальной точки.
§ 13.2. Принцип Даламбера
Допустим, что материальная точка А имеет массу т
и совершает движение в результате действия активной
силы Fa (рис. 13.3). В общем случае материальная точка
является несвободной, т. е. ее движению препятствуют
различные связи, в которых возникают реактивные силы.
Обозначим равнодействующую всех реактивных сил
через R. Если убрать связи и заменить их действие реак-
тивными силами, то на точку А будут действовать две
117
Рис. 13.5
Рис. 13.6
силы: активная Fa и реактивная R. Сложив векторы этих
еил, мы получим силу F:
F = Fa + R. (13.8)
После того как мы отбросим связи, несвободную точ-
ку можно рассматривать как свободную, которая совер-
шает движение под действием силы F. Но согласно вто-
рого закона динамики, эта сила равна произведению
массы на ускорение:
F = = (13.9)
Введем некоторую фиктивную силу Fn, которая будет
равна по модулю произведению массы точки_на модуль
ее ускорения и противоположна ускорению а. Эта сила
называется силой инерции:
ра==—гпа. (13.10)
Тогда уравнение (13.9) можно преобразовать:
7а + Я=~Л|»
118
или
F + tf + FM = O. (13.1!)
Это уравнение выражает принцип Германа — Эйле-
ра — Д’Аламбера — неуравновешенная система сил, при-
ложенная к движущейся материальной точке, может
быть уравновешена силой инерции. В дальнейшем этот
принцип будем именовать принципом Даламбера.
Согласно уравнению (13.10), сила инерции возникает
только при движении с ускорением. В случае криволи-
нейного и неравномерного движения полное ускорение
материальной точки можно разложить на касательное и
нормальное ускорение. Соответственно сила инерции
также состоит из нормальной силы инерции Fnn и каса-
тельной силы инерции Fttt (рис. 13.4), которые определя-
ются по формулам
Fnn= тап, (13.12)
Fnl=-mat, (13.13)
Модуль полной силы инерции
/7„п = К^п + ^. (13.14)
Как уже говорилось, сила инерции является фиктив-
ной, т. е. к точке во время движения приложена только
активная сила Fa и реактивная сила R. Но при помощи
принципа Даламбера неуравновешенную систему можно
преобразовать в уравновешенную, а для такой системы
легко составить простые уравнения равновесия, исполь-
зуя законы статики.
В динамике рассматриваются две задачи: 1) опреде-
ление действующей на тело силы по известным законам
движения точки; 2) определение закона движения мате-
риальной точки по известным действующим на эту точку
силам. Вторая задача является обратной первой.
Рассмотрим, как с помощью принципа Даламбера ре-
шить эти задачи.
Пример. Панель стены весом G поднимается краном прямоли-
нейно и равноускоренно с ускорением а (рис. 13.5). Определить на-
тяжение троса.
Решение. Так как панель движется поступательно, то все точки
имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому ее можно считать
материальной точкой. Заменим действие троса реакцией R. Теперь
панель будет свободной. Согласно принципа Даламбера, на панель
119
будет действовать сила инерции Ри=та, но m=G!g. Тогда F=a
= (Glg)a.
Составим уравнение равновесия на ось Y:
R — Fn — G = 0,
R = Л. + G = (Ga)/g + G =G( 1+ a/g).
Пример. Материальная точка А, имеющая массу /и, равномерно
вращается вокруг точки О (рис. 13.6). Сила натяжения нита, с по-
мощью которой точка связана с центром вращения, равна F. Найти
ускорение материальной точки и ее скорость (силу тяжести не учи-
тывать).
Решение. Так как материальная точка совершает равномерное
вращательное движение, то касательное ускорение будет равно нулю,
а нормальное ускорение по модулю an — v2IR. Таким образом, если
рассматривать материальную точку как свободную, то на нее будут
действовать реакции нити F и, согласно принципу Даламбера, сила
инерции Fn = anm.
Из уравнения равновесия на ось, проходящую через центр вра-
щения и материальную точку Л, получим F^—F=0 или anm—F — 0,
откуда an=Flm. ___ _________
Скорость вращения v=]f anR = FR/m.
РАЗДЕЛ 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ГЛАВА 14. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГИПОТЕЗЫ
§ 14.1. Наука о сопротивлении материалов
Все здания и сооружения проектируются на основе
встестороннего анализа их работы в процессе будущей
эксплуатации. Создаваемые инженерные конструкции
должны быть прочными и надежными, эстетически кра-
сивыми и гармонично вписываться в окружающую среду,
по в то же время быть недорогими, простыми в изготов-
лении и монтаже, с минимальным расходованием строи-
тельных материалов, труда и электрической энергии для
их возведения. В задачу сопротивления материалов как
науки входит разработка методов и принципов расчета
элементов сооружений на прочность, жесткость и устой-
чивость, а также рекомендаций для рационального про-
ектирования инженерных конструкций.
Под прочностью сооружений подразумевается спо-
собность конструкции сопротивляться разрушению под
действием приложенных к ней внешних сил. Цель расче-
та на прочность состоит в том, чтобы подобрать такой
120
материал и размеры элементов сооружений, которые
обеспечивали бы достаточную надежность от действия
сил разрушения на весь период эксплуатации.
Все строительные материалы могут деформироваться
под действием внешних нагрузок. При этом значения де-
формаций зависят от физико-механических свойств ма-
териалов, поэтому при проектировании сооружений сле-
дует заранее знать, при каких деформациях может про-
изойти разрушение элемента или при каких нагрузках
возникнут такие деформации, которые затруднят нор-
мальную эксплуатацию сооружений.
Способность элемента конструкции сопротивляться
деформациям называется жесткостью конструкции. Цель
расчета на жесткость заключается в создании такой кон-
струкции, в которой не возникнут большие деформации,
осадки или вибрации, хотя и безопасные для самой кон-
струкции, однако неудобные в процессе ее эксплуатации.
Кроме расчета на прочность и жесткость конструк-
ции, для нормальной эксплуатации некоторых элементов
ее требуется проверка первоначальной формы равнове-
сия, которая носит название расчета на устойчивость.
Например, в гибком прямолинейном стержне, нагружен-
ном небольшой сжимающей продольной силой, возника-
ют деформации сжатия. При увеличении нагрузки может
появиться дополнительная деформация изгиба из-за по-
тери первоначальной прямолинейной формы равновесия.
Так как на совместное действие сжатия и изгиба несу-
щая способность гибкого стержня значительно меньше,
чем на одно сжатие, то появление дополнительного изги-
ба приводит к его разрушению. Цель расчета на устой-
чивость состоит в сохранении первоначальной формы
равновесия, чтобы в элементах конструкции не появи-
лись дополнительные виды деформаций, которые не бы-
ли предусмотрены первоначальным расчетом.
В сопротивлении материалов для обоснования выво-
дов и разработки методов расчета пользуются данными
смежных дисциплин: материаловедения, физики, теоре-
тической механики, математики и др. В свою очередь,
сопротивление материалов как наука является опорной
базой в курсах металлических, железобетонных, деревян-
ных конструкций и в других дисциплинах, связанных с
расчетом и проектированием инженерных сооружений.
121
§ 14.2. Внешние силы
В сопротивлении материалов под внешними воздейст-
виями подразумевается не только силовое взаимодейст-
вие, но и тепловое, возникающее из-за неравномерного
изменения температурного режима окружающей среды,
а также воздействия на элементы сооружений различных
осадок опорных связей или перемещения отдельных час-
тей сооружения.
Силовые нагрузки делят на объемные и поверхност-
ные силы. Объемные или массовые силы — силы, прило-
женные ко всем внутренним точкам тела, к ним относятся
гравитационные силы тяжести, силы инерции, элект-
ромагнитные силы и другие. Поверхностные силы — си-
лы, приложенные к поверхности тела. Они делятся на
сосредоточенные силы и распределенные нагрузки.
Поверхностная нагрузка, действующая на небольшой
площади, условно заменяется сосредоточенной силой,
приложенной в центре тяжести этой площади и равной
по величине равнодействующей. Например, давление ко-
леса локомотива на рельс представляется в виде сосре-
доточенной силы, приложенной в центре площади кон-
такта колеса с рельсом. Обозначение сосредоточенных
сил — Н (ньютон), кН = 103 Н (килоньютон).
Нагрузка, приложенная на значительной площади,
называется распределенной. Мерой такой нагрузки слу-
жит ее интенсивность, т. е. предел отношения равнодей-
ствующей, приходящейся на весьма малую площадку,
к величине этой площадки, когда она стремится к нулю.
Если интенсивность во всех точках площади нагрузки
одинакова, то такая нагрузка носит название равномер-
но распределенной. Если же интенсивность разная, то
она называется неравномерно распределенной. Обозна-
чение распределенных нагрузок — Па = Н/м2 (паскаль),
МПа = 106 Па (мегапаскаль). Примером распределен-
ных нагрузок является вес снега на кровле здания, соб-
ственный вес плит перекрытия и т. п. В тех случаях,
когда площадь распределенной нагрузки представляет
собой вытянутый прямоугольник, а интенсивность вдоль
короткой стороны b постоянна и изменяется только по
длинной стороне, такую нагрузку условно заменяют по-
гонной распределенной нагрузкой интенсивностью q=
=рй = Па-м = Н/м.
На сооружения могут действовать моментные нагруз-
122
кн: в виде распределенных моментов по поверхности
(обозначаются Па-м), распределенных погонных момен-
тов (обозначаются Па-м/м) или сосредоточенных мо-
ментов (обозначаются Н-м).
По характеру действия различают статические и ди-
намические нагрузки. Статической нагрузкой называет-
ся такая нагрузка, величина которой возрастает или
уменьшается во времени медленно, плавно, т. е. ускоре-
ниями точек элемента (силами инерции) можно прене-
бречь.
Динамическая нагрузка в отличие от статической из-
меняет свою величину во времени с большой скоростью.
Действие таких нагрузок сопровождается возникновени-
ем колебаний сооружений и дополнительных сил инер-
ции, которые необходимо учитывать. Источниками дина-
мических нагрузок являются различные машины и меха-
низмы с неуравновешенными движущимися частями, а
также воздействия от падающих грузов, сейсмические,
ветровые и т. п. По продолжительности действия внеш-
ние нагрузки делятся на постоянные и временные. По-
стоянной называется нагрузка, которая действует непре-
рывно в течение всего срока службы сооружения, напри-
мер, собственный вес конструкций здания. Временной
называется нагрузка, которая действует ограниченное
время, после чего исчезает, например, вес снега, давле-
ние ветра и т. д.
Внешние нагрузки делятся на неподвижные, не меня-
ющие своего местоположения, и перемещающиеся, кото-
рые в течение непродолжительного отрезка времени из-
меняют свое местоположение на сооружении, сохраняя
направление действия, например, давление движущегося
локомотива на мост.
§ 14.3. Деформации линейные и угловые.
Упругость материалов
В отличие от теоретической механики, где изучалось
взаимодействие абсолютно жестких (недеформируемых)
тел, в сопротивлении материалов исследуется поведение
конструкций, материал которых способен деформиро-
ваться от внешних воздействий, т. е. изменять взаимное
расположение частиц, приводящее к изменению его фор-
мы и размеров.
Для случая малых деформаций произвольное измене-
ние формы и размеров тела можно разложить на изме-
123
некие линейных и угловых размеров тела. Изменение
линейных размеров называется линейной, а изменение
угловых размеров — угловой деформациями. Если на
поверхность тела нанести прямоугольную сетку, то пос-
ле приложения внешних сил прямоугольники превратят-
ся в параллелограммы.
Способность деформироваться от внешних воздейст-
вий присуща всем твердым телам из реальных материа-
лов. Характер и величина деформаций зависит не толь-
ко от внешнего воздействия, но и от физических свойств
самого материала. При растяжении равными силами
двух стержней одинаковых геометрических размеров из
разных материалов, например, из стали и резины, рези-
новый стержень удлинится на большую величину, чем
стальной.
Важную роль играет процесс поведения деформаций
твердого тела при его нагружении и последующей раз-
грузке. Способность тела возвращаться к своей первона-
чальной форме и размерам после удаления нагрузки на-
зывается упругостью. Если нагруженное тело после сня-
тия нагрузки не полностью возвращается к своей перво-
начальной форме, то оно называется пластическим.
Часть деформации, которая исчезает после снятия на-
грузки, является упругой, а та часть, которая остается,
называется остаточной или пластической деформацией.
Упругостью и пластичностью обладают все реальные ма-
териалы. При небольших нагрузках влияние пластичес-
ких свойств материала обычно незначительно и им пре-
небрегают, считая, что тело полностью восстанавливает
свою первоначальную форму и размеры после снятия
нагрузки.
§ 14.4. Расчетная схема сооружений.
Опорные связи
Для создания общего подхода по изучению поведения
конструктивных элементов все разнообразие реальных
сооружений можно разбить на несколько групп: массив-
ные тела, имеющие все три размера одного порядка
(гидротехнические плотины, грунтовые основания), двух-
мерные, имеющие два размера одного порядка (пластин-
ки, оболочки) и третий, значительно меньший, чем пер-
вые два; и одномерного элемента, имеющего два разме-
124
Рис. 14.3
Рис. 14.2
ра ничтожно малой величины по сравнению с третьим
размером — длиной (брус).
В сопротивлении материалов объектом изучения слу-
жит в основном элемент третьей группы — одномерный
элемент, брус. Брус представляет собой тело, образован-
ное движением плоской фигуры по некоторой кривой
(или прямой), совпадающей с центром тяжести этой фи-
гуры. Для такого элемента кривая, по которой двигалась
плоская фигура, является осью бруса, а сама плоская
фигура — его поперечным сечением. На практике по-
перечное сечение принимается в виде простых фигур:
квадрата, прямоугольника, круга, или в виде сложных:
двутавра и т. д. По длине брус может иметь постоянное,
переменное или ступенчатое поперечное сечение. Расчет-
ная схема бруса изображается в виде его осевой линии,
проходящей через центры тяжести поперечных сечений.
Брус соединяется с другими элементами и основанием
условными опорными связями. Непосредственно к осевой
линии прикладываются внешние нагрузки и опорные ре-
акции.
В качестве опорных связей используются следующие
виды: шарнирно-подвижная, шарнирно-неподвижная и
жесткая опора (заделка). Описание этих опор приведе-
но в гл. 1 и 4.
В дальнейшем изложении будут употребляться тер-
125
мины балка, стержень, которые являются тем же бру-
сом, но отличаются специфическими условиями дефор-
мирования. Балка работает на изгиб, а стержень—на
растяжение-сжатие.
Таким образом, в сопротивлении материалов, а также
и в строительной механике исследуются не действитель-
ные сооружения, а их расчетные схемы. Замена реаль-
ного сооружения его расчетной схемой является ответст-
венной и сложной проблемой, от правильного решения
которой зависит достоверность результатов последующих
расчетов. На примере покажем, как реальная балка, изо-
браженная на рис. 14.1, а, заменяется ее расчетной схе-
мой (рис. 14.1, б).
Следует обратить внимание на ограничение примене-
ния правил теоретической механики. В сопротивлении
материалов нельзя переносить момент пары сил в дру-
гую точку или точку приложения сосредоточенной силы
по линии ее действия, так как перенос нагрузки в новое
положение вызывает изменение в распределении вну-
тренних сил в конструкции. Например, при загружении
фермы силой F в верхнем узле С (рис. 14.2, а) в стерж-
не CD не возникает никаких сил. Если же силу F перене-
сти по линии ее действия и приложить к нижнему узлу
D (рис. 14.2,6), то в стержне CD появится растягиваю-
щая сила, равная F.
Также нельзя систему сил заменять ее равнодейству-
ющей при определении перемещений конструкции. На-
пример, в балке, нагруженной двумя силами F в опорных
сечениях В и С, не возникает никаких перемещений ее
оси (рис. 14.3, а). Если же эти две силы заменить равно-
действующей 2 F, приложенной посередине пролета бал-
ки (рис. 14.3, 6), то балка изогнется. Правила теоретиче-
ской механики всегда остаются справедливыми при со-
ставлении условий равновесия.
§ 14.5. Допущения и ограничения, принятые
в сопротивлении материалов
Реальные строительные материалы, из которых воз-
водятся различные здания и сооружения, представляют
собой довольно сложные и неоднородные твердые тела,
обладающие различными свойствами. Учесть это разно-
образие свойств трудно, поэтому в сопротивлении мате-
риалов используются не все характеристики твердых тел,
12G
а. только общие признаки, присущие всем телам с уста-
новившимися внутренними связями между ними. Иными
словами, в сопротивлении материалов изучается поведе-
ние конструкции из идеализированного материала, с со-
хранением главных физико-механических характеристик.
Сопротивление материалов — экспериментально-тео-
ретическая наука, в которой опыту отводится первосте-
пенное значение. На основе опытов производится сравне-
ние и уточнение теоретических положений с действи-
тельными явлениями, протекающими в реальных соору-
жениях. По мере накопления новых экспериментальных
данных, создания более общих физических закономерно-
стей механики твердого тела и развития математических
методов из описания принятые допущения и ограничения
видоизменяются — грубые и приближенные отбрасыва-
ются и вводятся более общие и достоверные.
В настоящем курсе сопротивления материалов, пред-
назначенном для начального изучения основ работы
строительных конструкций, изложение проводится на ос-
нове использования наиболее простых в математическом
смысле допущений и ограничений, которые с достаточ-
ной степенью точности для практических целей описыва-
ют поведение реальных сооружений. В тех случаях, когда
принятые допущения и ограничения приводят к не-
верным результатам, будут сделаны специальные уточ-
нения.
1. Допущение о непрерывном (сплошном) строении
материала. По этому допущенйю принимается, что весь
объем любого элемента конструкции заполнен вещест-
вом без каких-либо пустот, т. е. не учитывается действи-
тельная дискретная атомистическая структура материа-
лов. Это допущение позволяет выделять из любой части
сооружения бесконечно малый элемент и, приписывая ему
свойства материала всего сооружения, пользоваться при
исследовании напряженно-деформированного состояния
математическими методами анализа бесконечно малых
величин.
2. Допущение о ненапряженном состоянии тела. Со-
гласно этому допущению, в материале элемента до его
нагружения нет никаких напряжений, т. е. действитель-
ные (начальные) напряжения, характер и величина ко-
торых зависят от причин возникновения, принимаются
равными нулю. Иными словами, возникающие напряже-
ния в результате нагружения тела внешними силами
127.
принимаются за фактические напряжения в то время как
они в действительности составляют лишь прирост напря-
жений, вызванных этими силами.
3. Допущение об однородности материала. Согласно
этому допущению принимается, что материал во всех
точках любого объема имеет одинаковые физико-механи-
ческие характеристики.
4. Допущение об изотропности материала. Согласно
этому допущению, материал в любой точке и по всем на-
правлениям, проведенным через эту точку, имеет одина-
ковые физико-механические характеристики. Реальные
материалы не являются абсолютно изотропными. Напри-
мер, у технических сплавов стали физико-механические
характеристики не одинаковы по разным направлениям,
что обусловлено ее структурой и условиями обработки,
но этими различиями обычно пренебрегают и считают
сплавы стали изотропными. Если различия характерис-
тик материала в разных направлениях будут значитель-
ными, то такие конструкции следует рассчитывать по
теории анизотропных тел. В данном случае материал
наделяется свойствами абсолютной изотропии.
5. Допущение об идеальной упругости материала. Со-
гласно этому допущению предполагается, что материал
обладает способностью полностью восстанавливать свою
первоначальную форму и размеры тела после устранения
причин, вызвавших его деформацию. Деформация иде-
ально упругого тела зависит лишь от тех нагрузок, ко-
торые в данный момент действуют на тело и не зависят
от того, каковы были нагрузки в предшествовавшие мо-
менты времени. Данная гипотеза применима только при
напряжениях, не превышающих предела упругости мате-
риала.
6. Допущение о линейной зависимости между напря-
жениями и деформациями. Согласно этому допущению,
упругое тело наделяется наиболее простой, а именно ли-
нейной зависимостью между напряжениями и деформа-
циями в данной точке, которая носит название закона
Гука. Для такого материала диаграмма растяжения-
сжатия, построенная в координатах «напряжение-де-
формация», имеет вид наклонной прямой линии, прохо-
дящей через начало координат. Для реальных материа-
лов диаграмма имеет нелинейный характер, но на
начальном этапе нагружения при сравнительно неболь-
ших напряжениях, соответствующих действительной
128
работе материала в конструкции, диаграмму с неболь-
шой кривизной заменяют прямолинейной зависимостью
Таким образом, в сопротивлении материалов закон Гука
применим при напряжениях, не превосходящих некото-
рого предела, называемого пределом пропорционально-
сти. Если же исследуется поведение конструкции за пре-
делом пропорциональности или же криволинейность
Диаграммы значительна, то расчеты проводят по физи-
чески нелинейной теории.
7. Допущение о малости перемещений по сравнению
с геометрическими размерами элементов сооружений. Со-
гласно этому допущению, не учитываются изменения
геометрических размеров элементов и местоположения
нагрузок из-за искривления, растяжения, сжатия и сдви-
га после приложения к ним внешних сил. Поскольку в со-
противлении материалов исследуются элементы в виде
бруса, то сравнение перемещений производится с его
длиной. Таким образом, реакции и внутренние силовые
факторы определяются по заданной, начальной геомет-
рии, что значительно упрощает расчет, так как все урав-
нения приобретают линейный вид. В тех же случаях,
когда перемещения сравнимы с длинами элементов, рас-
чет следует производить по деформированной схеме,
пользуясь геометрически нелинейной теорией.
8. Следствием трех последних допущений об идеаль-
ной упругости материала, линейной зависимости между
напряжениями и деформациями и малости перемещений
является принцип независимости действия сил или прин-
цип суперпозиции.
Согласно этому принципу, эффект от действия суммы
сил равен сумме эффектов действия каждой силы от-
дельно. Иными словами, в сопротивлении материалов
можно вычислять реакции, внутренние силовые факто-
ры, напряжения и перемещения как алгебраическую сум-
му этих факторов от раздельного действия внешних
сил независимо от порядка их приложения к соору-
жению.
9. Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Со-
гласно этой гипотезе, поперечное сечение элемента (бал-
ки, стержня), плоское и перпендикулярное к его оси до
приложения к элементу внешних сил, остается плоским
и перпендикулярным к оси и после приложения к эле-
менту нагрузок.
10. Гипотеза Сен-Венана. Согласно этой гипотезе, в
9—480
129
достаточно удаленных точках элемента от места прило-
жения нагрузки внутренние силовые факторы весьма ма-
ло зависят от способа приложения этой нагрузки.
§ 14.6. Внутренние силовые факторы. Метод сечений.
Напряжения
Основной целью расчета в сопротивлении материалов
является определение внутренних силовых факторов, ко-
торые возникают в элементах конструкции от внешних
воздействий. Однако природа внутренних сил твердого
тела обусловлена сложным характером взаимодействия
атомной структуры самого вещества, поэтому в сопро-
тивлении материалов под внутренними силовыми факто-
рами подразумеваются не вся совокупность развиваю-
щихся в теле взаимодействий, а только те дополнитель-
ные взаимодействия, которые соответствуют внешней
нагрузке. Для их определения пользуются методом сече-
ний, согласно которому конструкция (или элемент) мыс-
ленно рассекается плоскостью, перпендикулярной оси
элемента, на две части В и С (рис. 14.4, а). В рассечен-
ных частях В и С во всех точках плоскости сечения (со-
гласно допущению о сплошности материала) возникают
внутренние силы взаимодействия этих частей, которые
на основе третьего закона Ньютона равны и противопо-
ложно направлены (рис. 14.4,6). Следовательно, каж-
дая отдельная часть В или С находится под воздействием
заданных внешних сил и сил, заменяющих дейст-
вие другой, удаленной части тела, приложенных к плос-
кости проведенного сечения. Но теперь силы взаимодей-
ствия для каждой части В и С перешли в категорию
внешних сил, которые можно привести к одной силе —
главному вектору и к одной паре — главному моменту.
Обычно в прямоугольной системе координат, совпа-
дающей с главными осями поперечного сечения элемен-
та, силы взаимодействия приводят к шести внутренним
силовым факторам: трем силам W, Qx, Qy и трем момен-
там Мх, Му, Mz, действующим на каждую часть В и С, как
показано на рис. 14.5, а. Тогда внутренние силовые факто-
ры приобретают конкретный физический смысл, а имен-
но: N — (нормальная) продольная сила, действующая в
направлении, перпендикулярном к плоскости сечения
бруса; Qx — поперечная сила, действующая в плоскости
поперечного сечения и направленная по оси Ох\ Qy — по-
130
Рис. 14.4
Рис. 14.5
перечная сила, действующая в плоскости поперечного
сечения и направленная по оси Оу\ Мх — изгибающий
момент, действующий в плоскости yOz\ Му — изгибаюг
щий момент, действующий в плоскости xOz; Mz — крутя-
щий момент, действующий в плоскости поперечного сече-
ния хОу.
Так как до мысленного рассечения элемент ВС нахо-
дился в равновесии под действием внешних сил F2,
F3 и Л4, то и после разделения его на части В и С каж-
дая из них также должна находиться в равновесии, но
уже под действием сил, приложенных непосредственно к
этой части. Например, для части В внутренние силовые
факторы jV, Qx, Qv, Л4х, Му и Мг будут уравновешиваться
с приложенными к ней только внешними силами Fx и F2
(рис. 14.5, а) и удовлетворять шести условиям равнове-
сия статики:
2Г = 0; .
EZ = 0; SMz = 0,
из которых и находятся внутренние силовые факторь!.
Таким образом, метод сечений является основным
9* J31
способом выявления и нахождения внутренних силовых
факторов в элементах конструкций от внешних воздей-
ствий. Для лучшего запоминания последовательности
операций можно условно назвать его РОЗУ по началь-
ным буквам выполняемых операций: Р — разрезаем эле-
мент на две или большее число частей; О—отбрасываем
другие части и оставляем только одну часть; 3 — за-
меняем влияние отброшенных частей внутренними сило-
выми факторами; У — уравновешиваем, т. е. для остав-
шейся части записываем уравнения статического равно-
весия.
Для каждого из силовых факторов характерен свой
вид деформирования бруса. Продольной силе N соответ-
ствует растяжение (сжатие), поперечной силе Qx или
Qy — сдвиг по направлению осей х и у, изгибающему мо-
менту Мх или Му — изгиб в соответствующей плоскости
yOz или xOz и крутящему моменту Мг—кручение
бруса.
От произвольных нагрузок в поперечных сечениях
бруса могут одновременно возникнуть несколько или все
шесть внутренних силовых факторов и соответствующие
им виды деформации. В сопротивлении материалов сна-
чала изучаются раздельно каждый из этих видов дефор-
мации, а затем различные их сочетания.
Для оценки прочностных свойств элементов необхо-
димо также уметь определять характер и величину рас-
пределенных по плоскости рассечения внутренних сил
взаимодействия, которые называются внутренними на-
пряжениями или просто напряжениями. Рассмотрим эле-
ментарную силу Др, действующую на малую площадку
АД около точки К и направленную под произвольным
углом к ее плоскости (рис. 14.5,6). Предел отношения
элементарной равнодействующей внутренних сил Др, при-
ходящейся на малую площадку ДЛ, к величине этой пло-
щадки, стремящейся к нулю, т. е. р = ПтДр/ДЛ носиг
название полного напряжения в точке К. Разложим эле-
ментарную силу Др на две составляющие: нормальную
силу ДМ, перпендикулярную к площадке ДЛ, и силу Д7\
лежащую в плоскости площадки ДЛ. Тогда ст=lim ДМ/ДЛ
называется интенсивностью нормальных сил в точке К
или нормальным напряжением, а т=НшДТ/ДЛ называ-
ется интенсивностью касательных сил в точке К или каса-
тельным напряжением и обозначается Па, МПа= 106-Па.
Следовательно, касательные т и нормальные а на-
132
пряжения являются составляющими полного напряжения
р в рассматриваемой точке по данному сечению и связа-
ны между собой следующей зависимостью: р = |Ла2+т2.
Величины напряжений а и т в каждой точке элемен-
та зависят от направления сечения, проведенного через
точку, а совокупность напряжений, действующих по раз-
личным площадкам, проходящим через рассматриваемую
точку, представляет собой напряженное состояние в этой
точке. Поскольку внутренние силовые факторы N, Qx,
Qy, Мх, Му, Mz являются равнодействующими внутренних
напряжений о и т, то между ними можно установить
количественные соотношения. Рассмотрим какое-либо
сечение элемента (рис. 14.5, в). Совместим прямоуголь-
ную систему координат с главными осями этого сечения.
Около произвольной точки К выделим элементарную
площадку dA с действующим нормальным напряжением
а и двумя составляющими касательного напряжения тх
и Ту, направленными по осям Ох и Оу. Из уравнений
проекций на координатные оси и моментов относительно
осей Ох, Оу, Oz суммы элементарных сил adA, xxdA,
TydA по всей площади А получим зависимости между
напряжениями и внутренними силовыми факторами в
следующем виде:
/V=fcrdX; Mx=[(JydA;
А А
Qx = f Тх dA’, Му = j' (Jx dA’,
А А
Qy = [ Ту dA’, Mz = f (тх у + Ту x) dA.
A A
Полученные зависимости позволяют определять вну-
тренние силовые факторы через напряжения, если изве-
стен закон распределения последних по площади сече-
ния. Однако, используя только эти зависимости, по рав-
нодействующим нельзя найти закон распределения
напряжений, так как даже одной равнодействующей мо-
гут соответствовать различные законы распределения на-
пряжений. Однозначный результат можно получить толь-
ко из совместного решения геометрических, физических
и статических уравнений равновесия.
133
ГЛАВА 15. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПРЯМОГО
БРУСА
§ 15.1. Центральное растяжение прямого бруса.
Напряжения
Центральным растяжением или сжатием называется
такой вид деформации, при котором в любом поперечном
сечения бруса возникает только продольная (нормаль-
ная) сила Af, а все> остальные внутренние силовые фак-
торы равны нулю.
Явление центрального растяжения (сжатия) возника-
ет только тогда, когда все внешние нагрузки действуют
по оси, проходящей через центры тяжести поперечных
сечений бруса. Например, центральное растяжение испы-
тывает трос башенного крана от веса поднимаемого гру-
за. Условимся внутреннюю силу W считать положитель-
ной, если она направлена от сечения (соответствует рас-
тяжению), и отрицательной, если она направлена к
сечению (соответствует сжатию).
В тех случаях, когда направление силы Af неизвестно,
следует ее принимать всегда положительной, т. е. растя-
гивающей. Если после решения уравнения сила N полу-
чится со знаком плюс, то брус в данном сечении будет
растянут, если же со знаком минус, то сжат.
Рассмотрим прямой брус (рис. 15.1, а) постоянного и
симметричного поперечного сечения, жестко закреплен-
ный вверху и нагруженный тремя внешними сосредото-
ченными силами Л = Ю кН, F2 = 20 кН, F3=30 кН,
приложенными в точках В, С, D и направленными вдоль
его продольной оси. Естественно, что на разных участках
длины бруса будут возникать разные по величине вну-
тренние продольные силы. В данной задаче таких участ-
ков будет три: участок ВС, участок CD и участок DK.
Для нахождения внутренних продольных сил W вос-
пользуемся методом сечений, т. е. мысленно рассечем
брус плоскостью, перпендикулярной к его оси, на две ча-
сти.
Поскольку к брусу приложены три внешние силы, то
необходимо рассечь брус в трех местах, т. е. в пределах
всех трех участков ВС, CD и DK, отбросить одну из час-
тей и ее влияние на оставленную часть заменить неизве-
стной пока внутренней силой N. Из условия равновесия
jZ = 0 для оставленной части найти ее величину и на-
134
правление. Приступим к решению нашей задачи.
Сечение 1—1. Рассекаем брус сечением 1—1 на две
части, отбрасываем одну из них, например, верхнюю.
Для упрощения расчета следует отбрасывать ту часть,
на которую действует большее число внешних сил.
В данном случае на верхнюю часть действуют три силы,
поэтому целесообразнее ее отбросить, а оставить ниж-
нюю часть, на которую действует только одна сила Г\.
Заменяем действие отброшенной части неизвестной про-
дольной силой предполагая последнюю растягиваю-
щей, получим схему (рис. 15.1, б).
Составляем условия равновесия для оставленной ча-
сти бруса: SZ=jVi—10=0, откуда N\ = 10 кН. Отсюда
видно, что сила постоянна на всем протяжении уча-
стка ВС, так как независимая переменная z не вошла в
уравнение равновесия.
Сечение 2—2. Для определения продольной силы ^2
в произвольном сечении 2—2 поступаем совершенно ана-
логично предыдущему (рис. 15.1, в). Составляем урав-
нение равновесия: SZ = /V2—10—20 = 0, W2=30 кН.
Сечение 3—3. Для определения продольной силы
в сечении 3—3 рациональнее было бы оставить верхнюю
часть, но при этом надо было предварительно определить
реакцию в жесткой опоре. Так как мы ее не находи-
ли, оставим нижнюю часть (рис. 15.1, г), для которой
уравнение равновесия запишется в виде SZ = Ws—10—
—20—30 = 0, откуда М3=60 кН.
Для наглядного представления характера (закона)
изменения какого-либо из внутренних силовых факторов
135
по длине бруса строят график изменения этого фактора,
в котором абсцисса соответствует местоположению сече-
ния на оси, а ордината показывает значение исследуе-
мого фактора в данном сечении. Такой график называ-
ется эпюрой. Перейдем к построению эпюры продольных
сил для заданного бруса. В данном случае брус содер-
жит три участка, поэтому для построения эпюры W необ-
ходимо провести исследование изменения продольной
силы на каждом участке отдельно.
На участке ВС из уравнения равновесия мы опреде-
лили величину ^ = 10 кН и установили, что ее значе-
ние в пределах этого участка не меняется, т. е. всюду
остается постоянной М1 = 10 кН, где бы мы ни прово-
дили сечение 1—/. Следовательно, график продольной
силы Wi на первом участке будет постоянным.
На участке DC закон изменения продольной силы
тоже будет постоянным в силу того, что переменная z
не входила в уравнение равновесия. График на этом уча-
стке отличается от графика на первом участке только
величиной, так как М2 = 30 кН.
На участке DK закон изменения продольной силы ЛГз
также будет постоянным (М3=60 кН).
Для построения эпюры продольных сил W в заданном
брусе проведем прямую линию, параллельную оси бру-
са, и перпендикулярной к ней отложим ординаты, изо-
бражающие в некотором масштабе величины продоль-
ных сил, возникающих в соответствующих поперечных
сечениях бруса. Эпюра продольных сил показана на рис.
15.1, д.
Перейдем к определению нормальных напряжений в
поперечных сечениях прямого бруса при его центральном
растяжении (сжатии). При центральном растяжении в
поперечных сечениях бруса возникает только продоль-
ная растягивающая (или сжимающая) сила W, являю’
щаяся равнодействующей нормальных напряжений az,
распределенных по всей площади этого сечения. Следо-
вательно, для любого сечения связь между напряжения-
ми oz и равнодействующей W можно записать в таком
виде:
N=\(JzdA. (15.1)
А
Однако из этого выражения нельзя найти закон распре-
деления нормальных напряжений по площади сече-
136
Рис. 15.2
Рис. 15.3
а)
№
d юокН
Эпюра N
Эпюра 6Z
ния, так как одной и той же силе /V может соответство-
вать бесчисленное множество способов распределения
нормальных напряжений по поперечному сечению. По-
этому для выяснения закона распределения нормальных
напряжений сг2 в поперечных сечениях бруса обратимся
к эксперименту.
Рассмотрим прямой брус постоянного поперечного
сечения и нанесем на его боковую поверхность до нагру-
жения ряд поперечных линий а—а, b—ft, с—с, перпен-
дикулярных к оси бруса. Приложим к торцу бруса рав-
номерно распределенную внешнюю нагрузку, равнодей-
ствующая которой равна F. Как показывают многократ-
ные опыты, после нагружения бруса поперечные линии
останутся прямыми, а только переместятся параллельно
самим себе и займут положения а'—а'’, Ь'—Ь', с'—с'
(рис. 15,2,а). Представим, что брус состоит из отдель-
137
ных тонких продольных призматических элементов пло-
щадью dA (рис. 15.2,6). Поскольку все поверхностные
продольные элементы удлиняются одинаково, то можно
предположить, что и все внутренние продольные приз-
матические элементы также удлиняются одинаково. Тог-
да любое поперечное сечение бруса перемещается па-
раллельно своему первоначальному положению, т. е.
сечение, плоское до деформации, остается плоским и
после деформации. Следовательно, при центральном
растяжении (сжатии) прямого бруса выполняется ги:
потеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Так как
одинаковым деформациям удлинения соответствуют оди-
наковые нормальные напряжения сгг, то во всех точках
поперечного сечения бруса нормальные напряжения бу-
дут постоянными. Тогда при o2 = const, связь между V
и oz примет такой вид
/V = \ dA = А, (15.2)
А
то есть
(Jz = NI А. (15.3)
Следовательно, в поперечных сечениях бруса при
центральном растяжении или сжатии возникают равно-
мерно распределенные нормальные напряжения oz, рав-
ные отношению внутренней продольной силы к площади
поперечного сечения. Нормальные напряжения при рас-
тяжении принимаются положительными, а при сжатии—
отрицательными.
Приведенное доказательство о равномерном распре-
делении нормальных напряжений по поперечному сече-
нию бруса проводилось в предположении, что внешняя
нагрузка, приложенная по торцу бруса, распределена
равномерно. Рассмотрим другие способы приложения
внешних сил по торцам бруса, например, в виде сосре-
доточенной силы или нескольких сосредоточенных сил.
В этих случаях приложения внешних нагрузок гипо-
теза плоских сечений около места приложения внешних
сил недействительна. В местах приложения сосредото-
ченной силы сечение сильно искривляется, что приводит
к появлению больших местных напряжений и деформа-
ций. Но на некотором расстоянии, примерно равном ли-
нейному размеру поперечного сечения, от места прило-
жения сосредоточенной силы распределение нормальных
138
напряжений по сечению выравнивается, приближаясь к
равномерному.
Быстрое убывание местных напряжений по мере уда-
ления от места приложения сосредоточенных сил было
исследовано Сен-Венаном и названо его именем. Соглас-
но принципу Сен-Венана: в сечениях, достаточно уда-
ленных от места приложения внешних нагрузок, напря-
жения весьма мало зависят от действительного способа
приложения этих нагрузок, а определяются только ее
равнодействующей.
Примером может служить случай с клещами, кото-
рыми сминают малую область проволоки при ее перере-
зании. Действительно, как бы ни были велики силы дав-
ления, создаваемые нажатием клещами (равнодейству-
ющая которых равна нулю), они почти не вызывают
напряжений в остальных частях проволоки. Изучение
закона распределения напряжения в области, лежащей
в непосредственной близости к месту приложения сосре-
доточенных сил составляет особую задачу, которая изу-
чается в курсе теории упругости. Местные напряжения
возникают также и в местах скачкообразного изменения
поперечных размеров бруса — в ступенчатом брусе или
в брусе с отверстием.
При практических расчетах местные напряжения
обычно не учитывают (если этот вопрос специально не
исследуется), и нормальные напряжения определяют пу-
тем деления продольной силы JV на фактическую пло-
щадь поперечного сечения, считая их равномерно рас-
пределенными.
Для наглядного изображения характера изменения
интенсивности нормальных напряжений в различных се-
чениях по длине бруса строят эпюру нормальных напря-
жений az, т. е. график, осью которого является ось бруса,
а ординатами являются значения интенсивности нор-
мального напряжения во всех сечениях.
Пример. Для бруса (рис. 15.3, а) построить эпюры W и о2.
Решение. Вначале вычислим значение внутренних продольных
сил N.
В данной задаче для определения внутренних продольных сил
N необходимо провести два сечения, т. е. в пределах участков BCD
и DR. Из решения предыдущей задачи следует, что внутренняя про-
дольная сила зависит только от действующих нагрузок и не зависит
от размеров поперечного сечения (площади сечения), так как в урав-
нение равновесия S2=0 площадь не входила.
Сечение 1—1. Составляем условие равновесия нижней част
(рис. 15.3,6). ^2 = ^!—Ю0 = 0, откуда М = 100 кН. Следовательно,
139
в пределах всего участка BCD во всех сечениях независимо от раз-
меров площадей возникает одинаковая внутренняя продольная сила
#1=100 кН.
Сечение 2—2, Составляем условие равновесия сил для нижней
части (рис. 15.3, в). Ег=#2—100—200=0, откуда #2=300 кН.
В пределах всего участка DK во всех сечениях возникает внут-
ренняя продольная сила #2=300 кН. По этим данным строим эпюру
продольных сил N (рис. 15.3, г).
Перейдем к определению нормальных напряжений о2. Согласно
полученной формуле (15.3), нормальное напряжение зависит от
величины продольной силы, а также от размера площади попереч-
ного сечения. Для рассматриваемого ступенчатого бруса, в отличие
от продольных сил, нормальные напряжения будут разными на участ-
ках ВС, CD и DK, где или N или площадь сечения различны.
Во всех поперечных сечениях на участке ВС нормальное напря-
жение равно:
ах = Nl/A1 = 100000/0,2 = 500000 Па = 0,5 МПа.
Во всех поперечных сечениях на участке CD нормальное напря-
жение равно
а2 = #Х/Л2 = ЮО 000/0,4 = 0,25 МПа.
Во всех поперечных сечениях на участке DK нормальное напря-
жение равно:
сг3 = n2/A2 = 300 000/0,4 = 0,75 МПа.
По этим данным построена эпюра изменения интенсивности нор-
мальных напряжений вдоль оси бруса (рис. 15.3,0).
Из приведенного примера следует, что для бруса со
ступенчатым законом изменения поперечных сечений
эпюра интенсивности нормальных напряжений имеет
скачки не только в сечениях, в которых приложены со-
средоточенные силы (где имеет скачки эпюра продоль-
ных сил), но и в местах изменения размеров поперечных
сечений.
§ 15.2. Продольные и поперечные деформации бруса
при растяжении (сжатии). Закон Гука. Перемещения
Приложим к брусу длиной / постоянного поперечного
сечения площадью А внешнюю силу F (рис. 15.4, а). Как
уже было сказано, изображая силу стрелкой, мы счита-
ем, что она равномерно распределяется по всему торце-
вому сечению. Иначе говоря, предполагаем, что все во-
ображаемые продольные призматические элементы (во-
локна) бруса одинаково нагружены и получают
одинаковые деформации.
Под действием растягивающих сил длина стержня I,
как показывают опыты, увеличивается на величину AZ,
140
а поперечные размеры его
уменьшаются. На рис. 15.4, а
пунктиром показан дефор-
мированный вид растянуто-
го бруса. Если силы дейст-
вуют в обратную сторону, то
брус будет сжат. Для сжи-
маемого бруса, имеющего
небольшую длину по срав-
нению с его поперечными
размерами, длина его I
уменьшится на величину Д/,
Сечение м /-/
Рис. 15.4
а поперечные размеры уве-
личатся. Когда длина бруса значительна по сравне
нию с его поперечными размерами, то сжимающие
силы могут изогнуть его, т. е. произойдет потеря устой-
чивости. Этот случай будет рассмотрен в гл. 24. Величи-
на Д/ называется продольным удлинением стержня при
растяжении. Удлинение при растяжении считается поло-
жительным, а укорочение при сжатии — отрицательным.
Естественно, что чем больше величина силы, растягива-
ющей брус, и его длина, тем больше удлинение Д/, и
наоборот, чем больше площадь поперечного сечения, тем
меньше Д/. Брусья из различных материалов удлиняют-
ся на разную величину.
Зависимость между силами и удлинениями впервые
была получена Р. Гуком, которая получила название за-
кона Гука, согласно которому продольное удлинение
стержня определяется по следующей формуле: Д/=
= J Nzl!EAz. При постоянных Nz и Az
M — NI/EA,
(15.4)
где Д/ — абсолютное удлинение бруса; / — первоначальная длина
бруса; А — площадь поперечного сечения бруса; Е— модуль про-
дольной упругости или модуль упругости первого рода. Это физи-
ческая постоянная материала, характеризующая его способность
сопротивляться упругому деформированию. Чем больше Е, тем
меньше продольная деформация; ЕА — жесткость поперечного сече-
ния бруса при растяжении или сжатии.
Следовательно, удлинение бруса прямо пропорцио-
нально действующей в сечении силе N, длине бруса I и
обратно пропорционально жесткости бруса ЕА.
Так как в любых точках рассматриваемого бруса о2
имеет одинаковое значение, то и линейные деформации
141
во всех точках также будут одинаковыми, и ее значение
можно определить по формуле
е2 = Д///. (15.5)
Линейную деформацию е2 при растяжении (сжатии)
бруса обычно называют относительным удлинением или
относительной продольной деформацией. Относительная
продольная деформация — отвлеченная величина, кото-
рая равна абсолютному удлинению единицы длины
бруса.
Разделим левую и правую части в формуле (15.4) на
I и, учитывая, что az = N/At получим Д/// =N/ЕА; е2 =
о2/Е или
(jz = e,zE. (15.6)
Тогда закон Гука можно сформулировать так: отно-
сительная продольная деформация прямо пропорцио-
нальна соответствующему нормальному напряжению.
Одновременно с продольными деформациями при ра-
стяжении бруса происходит сокращение размеров по-
перечного сечения (ширины b и высоты й). Обозначим
величины поперечных укорочений для b и h через — Д6
и —Дй (рис. 15.4,6). Относительная поперечная дефор-
мация
ех ——Д£/Ь\ Еу =—&h/h. (15.7)
Для изотропных материалов поперечные деформации
одинаковы, т. е. ех = е?7. Как показывают опыты, при на-
пряжениях, не превышающих предела упругости, отно-
сительная поперечная деформация прямо пропорцио-
нальна относительной продольной деформации, но имеет
противоположный знак:
ег =— ех/р =— Ey/[i. (15.8)
Отношение поперечной деформации к продольной де-
формации (по абсолютной величине) называется коэф-
фициентом Пуассона:
И = I |/| е2|. (15.9)
Коэффициент Пуассона ц—безразмерная величина.
Модуль продольной упругости Е и ц являются физико-
механическими характеристиками изотропного мате-
риала.
Коэффициент Пуассона определяется эксперимен-
тально. Для различных материалов он имеет значение
от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,5 (для
резины). Для стали ц равен 0,25—0,3, Для некоторых
материалов значения Е и ц приведены в табл. 15.1.
142
Таблица 15.1
Наименование материала Е, МПа Л Наименование материала Е-МПа й
Сталь 2,1-10* 0,25—0,3 Бетон (0,18— 0,25)10* 0,1— 0,2
Медь 1 • 10* 0,31—0;34 Камень 0,01-105 0,16— 0,34
Алюминий 0,7-10* 0,32—0,36 Дерево 0,1-105 —-
Чугун 1,1-10* 0,23—0,27 Стекло 0,56-105 0,25
Перемещения поперечных сечений бруса. Перемеще-
нием поперечного сечения называется изменение перво-
начального положения сечения в результате деформации
бруса. Перемещение может быть линейным из-за изме-
нения расстояния или угловым при повороте сечения.
При центральном растяжении (сжатии) на основе
гипотезы плоских сечений поперечные сечения после де-
формации бруса занимают новые положения, параллель-
ные своему первоначальному, смещаясь вдоль оси за
счет удлинений (укорочений). В этом случае угловые пе-
ремещения всех поперечных сечений равны нулю. Кро-
ме того, перемещение исследуемого сечения также зави-
сит от того, относительно какого сечения вычисляется
перемещение, поскольку величина перемещения пред-
ставляет собой изменение расстояния между двумя се-
чениями. Обычно в качестве сечения, относительно кото-
рого вычисляются линейные (продольные) перемещения
бруса, принимают сечение, совпадающее с жестким за-
щемлением (перемещение которого равно нулю).
Перемещение определяется по формуле
b = NUEA, (15.10)
где I — расстояние между исследуемыми сечениями; N— внутренняя
продольная сила; ЕА — жесткость бруса при растяжении (сжатии).
Если между двумя исследуемыми сечениями брус
имеет ступенчатое изменение поперечных сечений или
нагружен несколькими внешними продольными сосредо-
точенными силами, то исследуемый участок делится на
ряд участков, в пределах которых постоянны как внут-
ренняя продольная сила так и площадь поперечного
сечения Л/.
Перемещение вычисляется как алгебраическая сумма
удлинений каждого отдельного участка:
143
Рис. 15.5
п
Д=5 (Nil'/EAt).
1=1
Результаты расчета изображают в виде эпюры про-
дольных перемещений сечений бруса. Процесс построе-
ния эпюры перемещений поясним на примере.
Пример. Для ступенчатого бруса (рис. 15.5, а) построить эпюру
перемещений.
Решение.
Для этого бруса (см. рис. 15.2, б, в) уже были вычислены внут-
ренние продольные силы и построены эпюры N и az, поэтому перей-
дем непосредственно к построению эпюры продольных перемещений.
В данном случае ступенчатый стержень имеет три участка KD,
DC и СВ в пределах которых построены N и о^.
Так как верхнее сечение К, совпадающее с жесткой защемляю-
щей опорой, не имеет перемещений, то относительно него и будем
вычислять перемещения остальных сечений бруса.
Вначале рассмотрим участок KD. В произвольном сечении 1—1
его перемещение от удлинения верхней части (рис. 15.5, г) равно:
Дг = N2 z/EA2 — z/E.
Из этого выражения устанавливаем, что закон изменения переме-
щений вдоль участка KD будет линейным. При 2=0 ДЛ = 0; при z = l
до = а3/Е=0,75 ЦЕ м.
Участок DC. Перемещение произвольного сечения 2—2
(рис. 15.5, д) равно сумме перемещений участка DK и удлинения бру-
са на участке DC длиной z:
^SD + Ntz/EA2.
Закон изменения перемещений также является линейным. При
2 = 0 Дв = 0,75//Е, при 2 = 1 Дс=0,75//Е+М1//ЕЛ2=0,75//Е+0,25//Е«
= 1/Е м.
Участок СВ. Перемещение произвольного сечения 3—3 (рис.
15.5, е) равно сумме перемещений двух верхних участков KD и DC
и удлинения бруса на участке СВ длиной z:
144
A3 = Ac+^ Z>EA1-
На этом участке перемещения изменяются по линейному зако*
ну. При 2=0 = ПРИ 2=Z:
Ав = ЦЕ + Nr UEAt = ЦЕ + 0.5//Е = 1,5 ЦЕ м.
По полученным данным построена эпюра продольных перемеще-
ний сечений бруса (рис. 15.5, ж).
§ 15.3. Влияние собственного веса бруса
Если раньше мы пренебрегали собственным весом бру-
са, считая его невесомым, то теперь рассмотрим прямой
брус постоянного поперечного сечения площадью А (рис.
15.6, а) с удельным весом материала у.
Для определения внутренних продольных сил прове-
дем сечение 1—/, перпендикулярное к оси бруса и отстоя-
щее от торца на расстоянии z (рис. 15.6,6). Отбросим
верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижней остав-
шейся части. Действие верхней отброшенной части заме-
ним продольной силой УУь
Из уравнения равновесия для нижней части получим
S2=Wi—Д2у = 0, откуда Ni=Azyt Продольная сила
по длине бруса изменяется по линейному закону. При
z = 0 A^i=0; при z = l Nl = Aylt Эпюра продольных сил
изображена на рис. 15.6, г.
По линейному закону изменяется и нормальное на-
пряжение 6Z, так как bz=Ni/A=yz. При z=0 б2 = 0; при
z = l bz = ly. Эпюра 62 изображена на рис. 15.6, в.
Таким образом, в прямом брусе постоянного попереч-
ного сечения нормальное напряжение 62 от собственного
веса бруса не зависит от размеров площади поперечного
сечения, а определяется только у и г. Для определения
продольных перемещений от собственного веса бруса вы-
делим двумя параллельными сечениями бесконечно ма-
лый элемент длиной dz (рис. 15.6, д). Удлинение этого
элемента равно dAl=Nldz/EA=yzdz/E. Полное удлине-
ние всего бруса равно сумме удлинений элементарных
участков длиной dz, т. е.
(.5.1D
J Е 2Е
О
Согласно выражению (15.11), перемещения по длине
стержня изменяются по квадратичному закону. Эпюра
10—480
145
Рис. 15.6
продольных перемещений представлена на рис. 15.6, е.
Умножим числитель и знаменатель'формулы (15.11) на
А. Получим Д/=уД/2/2ЕЛ. Отсюда следует, что удлине-
ние прямого бруса постоянного поперечного сечения под
действием собственного веса равно удлинению такого же
невесомого бруса, на конце которого приложена полови-
на собственного веса.
§ 15.4. Напряжения в наклонных сечениях бруса.
Закон парности касательных напряжений.
Концентрация напряжений
Рассечем прямой брус плоскостью п—п под углом а
к поперечному сечению (рис. 15.7, а). Условимся угол а
считать положительным, если нормальное поперечное се-
чение 1—1 для совмещения с наклонным сечением п—п
необходимо повернуть на этот угол против часовой стрел-
ки (см. 15.7, а). Поскольку удлинения всех продольных
волокон бруса при его центральном растяжении одинако-
вы, можно предположить, что напряжения р, направлен-
ные параллельно оси г, во всех точках наклонного сече-
ния п—п также одинаковы. Площадь наклонного сечения
бруса Аа выразим через площадь поперечного сечения
A^ = A/cos а.
Расмотрим нижнюю часть бруса (рис. 15.7, б), отсе-
ченную сечением п—п. Из условий ее равновесия вытека-
ет, что равнодействующая напряжений р равна внутрен-
ней продольной силе =N или
р = NlAa = N cos а/А = О2 cos а, (15.12)
где ог=^/А — нормальное напряжение в поперечных сечениях
бруса.
146
a)
t)
»)
(15.13)
Разложим напряжение p на два составляющих напря-
жения: нормальное оа, перпендикулярное плоскости се-
чения п—п, и касательное та, параллельное этой плоско-
сти (рис. 15.7, в). Получим:
аа = р cos а = ог cos2 а,
та = р sin а = cos а sin а = —— sin 2а. (15.14)
Определим величины углов, при которых напряжение
и та имеют наибольшие и наименьшие значения. Из
формул (15.13) и (15.14) следует, что при а = 0 (cosa=l,
sin2a = 0) в сечениях, перпендикулярных к оси бруса,
нормальные напряжения будут наибольшими: оа=о^
= Oniax = Oz, а касательные напряжения равны нулю:
та=о=О. Наибольшие касательные напряжения возника-
ют в сечениях, наклоненных под углом 45° к оси бруса
(sin2a = ±l), та=45° =Ттах = аг/2, а нормальные напря-
жения в этих сечениях равны касательным напряжениям
arz^45c=Ta=45oQz/2. В сечениях, параллельных оси бруса
(a=90°, cosa = 0, sin2a = 0), нормальные и касательные
напряжения равны нулю: оа=9ос^та=9о° =0, т. е. при
центральном растяжении (сжатии) продольные призма-
тические элементы бруса по боковым поверхностям друг
с другом не имеют никакого внутреннего силового взаи-
модействия. В этом смысле растяжение бруса можно упо-
добить растяжению пучка не связанных друг с другом па-
раллельных нитей.
Выделим из бруса около точки К бесконечно малый
параллелепипед размерами dv, ds и толщиной, равной
10* 147
единице, двумя парами параллельных плоскостей п—п,
nk~ni и т—т, mt—mh перпендикулярных друг к другу
(рис. 15.8, а). На выделенный элемент действуют нор-
мальные напряжения <уа и o,j и касательные напряжения
та и т,з (рис. 15.8, б). Нормальные напряжения оа и ор
взаимно уравновешены, так как их равнодействующая
равна нулю. Касательные напряжения по его граням об-
разуют две пары сил: xads с плечом dv и xpdv с плечом
ds. Моменты этих пар равны друг другу: xadsdv=vf',dvds
или
та = тр. (15.15)
Таким образом, касательные напряжения в двух вза-
имно перпендикулярных площадках равны друг другу по
величине и направлены оба либо к ребру пересечения
этих площадок, либо от ребра. Полученная зависимость
называется законом парности касательных напряжений.
В местах ступенчатого изменения площади попереч-
ного сечения (около отверстий, вырезов, трещин и т. д.)
при растяжении нормальные напряжения по сечению рас-
пределяются неравномерно. Увеличение напряжений в
местах резкого изменения геометрической формы бруса
называется концентрацией напряжений. В этих сечениях
бруса эпюра напряжений имеет криволинейный вид с наи-
большим значением в местах изменения геометрии сече-
ния.
Наибольшее напряжение определяется по формуле:
о = аЛ (J
max о ном’
где аа — теоретический коэффициент концентрации напряжений, за-
висящий от степени изменения сечения; оИОм — номинальное (сред-
нее) напряжение в ослабленном сечении (Оном = Л^Мнетто).
В качестве примера приведены эпюры распределения
нормальных напряжений для полосы с небольшим круго-
вым отверстием в центре и двумя полукруглыми ослаб-
лениями по краям при ее растяжении. Максимальное на-
пряжение у края круглого отверстия в три раза больше
среднего (рис. 15.9, а), а у полукруглого в два раза (рис.
15.9,6).
Для уменьшения концентрации напряжений следует
при проектировании конструкций сглаживать резкие
очертания, т. е. заменять уступы плавными переходными
кривыми (галтелями), круглые отверстия — эллиптиче-
скими, вытянутыми вдоль оси бруса, и т. п.
148
Рис. 15.9
Следует заметить, что теоретический коэффициент
концентрации напряжений аа, вычисленный в предполо-
жении линейной связи между напряжениями и деформа-
циями, не во всех случаях оказывает влияние на действи-
тельную прочность конструкции. Для конструкций, изго-
товленных из пластичных материалов, при возрастании
внешней нагрузки в местах концентрации напряжений
происходит перераспределение (сглаживание) напряже-
ний за счет развития пластических деформаций. Разру-
шение конструкции происходит почти при той же нагруз-
ке, что и при отсутствии концентраций напряжений.
Для конструкций из хрупких материалов такого пе-
149
рераспределения не происходит, и разрушение происхо-
дит при меньших нагрузках. В этом случае снижение проч-
нрстных характеристик материала определяется эффек-
тивным коэффициентом концентрации напряжений Ка,
который находится из опытов как отношение предела
пррчности ов конструкции без концентрации напряжений
к пределу прочности опк конструкции, имеющей задан-
ный!концентратор напряжений.
^Числовые значения коэффициентов Ко приводятся в
специальной справочной литературе.
ГЛАВА 16. МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ
МАТЕРИАЛОВ
§ 16.1. Диаграмма растяжения
Для определения механических характеристик мате-
риалов, необходимых при расчетах элементов конструкций
на прочность, жесткость и устойчивость, используются
различные испытательные машины и приборы, а также
различные методики проведения самих испытаний. Наи-
более распространенным видом испытаний материалов
является испытание на растяжение и сжатие статической
нагрузкой. Такой вид испытания просто осуществить, и
в то же время при растяжении или сжатии особенно ярко
выявляются особенности материала. Для получения срав-
нимых результатов испытаний разных материалов из них
изготовляют специальные образцы, форма и размеры ко-
торых определяются стандартом СССР. При испытании
металлов на растяжение образцы изготовляются круглого
или прямоугольного поперечного сечения с расчетной дли-
ной l0= 10d=200 мм. По концам образец имеет кониче-
ские участки для исключения появления концентрации на-
пряжений и утолщения для закрепления в зажимах ис-
пытательной машины (рис. 16.1). Образец в испытатель-
ной машине закрепляется таким образом, чтобы
не возникали перекосы и прилагаемая нагрузка действо-
вала по его продольной оси. Последнее достигается уст-
ройством специальных вкладышей с шаровыми поверх-
ностями. Эксперименты на растяжение проводятся на
различных испытательных машинах, например, на маши-
нах марки ИМ-4, ИМ-12, УМ-5, ГМС-20, прессе Гагарина
и других с механическим и гидравлическим приводом.
150
Рис. 16.1
Укрепленный образец в испытательной машине подверга-
ется принудительному удлинению за счет перемещения
одного из захватов машины. Перемещение производится
плавно и непрерывно с небольшой скоростью, что созда-
ет эффект статического нагружения образца. В процессе
опыта отмечают ряд последовательных величин нагрузки
и измеряют соответствующее увеличение расчетной дли-
ны образца.
На большинстве машин имеется автоматическое при-
способление, называемое диаграммным прибором, с по-
мощью которого на листе бумаги вычерчивается зави-
симость (график) между удлинениями, полученными
образцом, и нагрузками, соответствующими этим удлине-
ниям. Полученный график называется диаграммой рас-
тяжения. По вертикальной оси откладывается в опреде-
ленном масштабе действующая на образец растягиваю-
щая сила F, а по горизонтальной оси — абсолютные
удлинения Д/.
Для изучения свойств материала значительно удобнее
пользоваться диаграммой растяжения, характеризующей
зависимость между нормальным напряжением о и отно-
сительной деформацией 8. Переход от диаграммы F—&1
к диаграмме о—8 осуществляется с использованием из-
вестных зависимостей:
а = F/Aq и е = Д///о,
где Ао — начальная площадь поперечного сечения образца; —
расчетная длина образца.
Поскольку нормальное напряжение а вычисляется по
151
Рис. 16.2
первоначальной площади поперечного сечения До, кото-
рая в процессе нагружения образца уменьшается, а е на-
ходится в предположении равномерного распределения
продольных деформаций, то диаграмма о—8 называется
условной.
Рассмотрим более детально диаграмму растяжения
образца из мягкой строительной стали и характерные точ-
ки диаграммы Bt С, D, L и М (рис. 16.2).
На начальном этапе нагружения образца от 0 и до
точки В диаграмма представляет собой наклонную пря-
мую ОВ. В пределах участка OS относительные удлинения
е увеличиваются пропорционально напряжениям о, т. е.
соблюдается закон Гука. Наибольшее напряжение, до ко-
торого справедлив закон Гука, называется пределом про-
порциональности оп.ц, которому на диаграмме соответст-
вует точка В.
Тангенс угла ф между наклонной прямой ОВ и гори-
зонтальной осью равен модулю нормальной упругости:
tgcp = Е == а/е.
Выше точки В диаграмма растяжения искривляется,
закон Гука несколько нарушается, поскольку относитель-
ные деформации 8 растут немного быстрее роста напря-
152
жений а. Этому явлению соответствует небольшой участок
ВС, а напряжение, соответствующее точке С, на-
зывается пределом упругости оуп. Если растянутый обра-
зец, имеющий напряжение о=оуп, постепенно разгрузить,
то диаграмма разгрузки совпадет с начальным участком
нагружения ОВС, т. е. в материале развивались только
другие деформации.
Пределом упругости оуп называется максимальное на-
пряжение, до которого в материале появляются только
упругие деформации. Предел упругости подавляющего
большинства материалов практически совпадает с преде-
лом пропорциональности, и поэтому их обычно считают
одинаковыми.
При дальнейшем нагружении образца диаграмма бы-
стро искривляется и, начиная с некоторой точки D, ста-
новится горизонтальной (или почти горизонтальной). При
этом относительные деформации растут без увеличения
напряжений, т. е. происходит явление, называемое теку-
честью материала, а напряжение от — пределом текуче-
сти. Горизонтальный участок DK диаграммы называется
площадкой текучести. Пределом текучести от называется
напряжение, при котором деформации увеличиваются без
увеличения нагрузки.
У некоторых материалов на диаграмме растяжения
нет площадки текучести, например, у меди, алюминия и
др. Для этих материалов вводится понятие так называе-
мого условного предела текучести о0,2, равного напряже-
нию, при котором остаточные деформации составля-
ют 0,2 %.
Явление текучести металлов связано с изменением
внутренней структуры и представляет собой результат
необратимых смещений ионов и атомов в кристалличе-
ской решетке зерен феррита и протекает в основном пу-
тем скольжения и двойникования. Качественная сторона
явления текучести проявляется в виде сетки линий (линий
Людерса—Чернова), которые появляются на полирован-
ной поверхности растянутого образца, направленных под
углом около 45° к оси образца. Эти линии являются сле-
дами скольжения слоев, по которым действуют наиболь-
шие касательные напряжения.
После окончания процесса перестройки внутренней
структуры, природа которого еще недостаточно изучена,
металл приобретает способность вновь сопротивляться
действующей нагрузке. Растягивающая сила начинает
153
шейка увеличиваться, т. е. происхо-
[]х=гге===го дит так называемое явле-
"" ние упрочнения металла.
163 Между напряжением и де-
ис* ’ формацией устанавливается
сложная криволинейная за-
висимость, выраженная кривой KL. Напряжение в выс-
шей точке носит название предела прочности ав или
временного сопротивления.
Пределом прочности называется отношение наиболь-
шей растягивающей силы, которую выдерживает образец,
к первоначальной площади поперечного сечения Ло, т. е.
пв = ^ах/Л0. Следовательно, предел прочности ов явля-
ется условной величиной, которая меньше истинного на-
пряжения прочности, так как к этому моменту деформи-
рования образца его действительная площадь сечения
меньше первоначальной.
После достижения предела прочности характер отно-
сительных продольных удлинений изменяется. Они кон-
центрируются в одном месте на небольшой длине, где
происходит местное сужение образца и образуется так
называемая шейка, в пределах которой затем происходит
разрыв образца (рис. 16.3).
Уменьшение площади поперечного сечения в шейке
влечет за собой падение нагрузки (чтобы разорвать тон-
кий образец, нужна меньшая сила). Диаграмма от точки
L до разрыва образца описывается ниспадающей кривой
LM. В точке М происходит разрушение образца при на-
пряжении ор.
Величины напряжений опп, <jyn, от и ов характеризуют
способность материала сопротивляться стремлению внеш-
них сил деформировать и разрушать образец и называ-
ются характеристиками прочности материала.
Параллельно можно построить и истинную диаграмму
растяжения, которая на рис. 16.2 показана пунктирной
линией. В истинной диаграмме напряжение Одейств вычис-
ляется по действительной площади сечения образца в
процессе его растяжения:
^Действ = Адейств-
Истинная диаграмма располагается выше условной
диаграммы. На начальном же этапе нагружения истинная
диаграмма практически совпадает с условной, и только
154
после предела прочности происходит резкое увеличение
напряжений.
При практических расчетах пользуются характеристи-
ками прочности оп.ф аут От и ов условной диаграммы, так
как в реальных конструкциях действительные напряже-
ния не превосходят от, а прочность элементов определя-
ется только по первоначальным размерам поперечных се-
чений.
Полную деформацию образца при разрыве еРол (от-
резок OAfJ делят на упругую деформацию еРп (отрезок
Л4[А42) и остаточную бРст или пластическую (отрезок
0М2), которая называется остаточным относительным уд-
линением при разрыве. Остаточное удлинение находится
по формуле
б = (/р — /о)//о>
где /р — длина образца (двух половинок) после разрыва; /о — пер-
воначальная длина образца.
Остаточное удлинение в процентах характеризует пла-
стичность материала, т. е. способность испытывать боль-
шие деформации при разрушении. Для различных марок
сталей пластичность колеблется в пределах от 8 до 28 %.
Пластичность материала может быть также оценена по
величине остаточного относительного сужения площади
поперечного сечения при разрыве:
Ф = (Ло — Лш) 1ОО%/ло,
где Лш — площадь минимального сечения шейки образца после раз-
рыва.
Аналогично проводятся испытания на растяжение дру-
гих материалов. Прочностные характеристики разных ма-
териалов и вид диаграммы значительно отличаются друг
от друга, например, высокопрочные стали, алюминиевые
сплавы не имеют площадки текучести. Другие материалы
не имеют прямолинейных участков, как, например, серый
чугун. Различие в прочностных характеристиках метал-
лов и поведении их под нагрузкой определяется внутрен-
ними физико-химическими и структурными свойствами, а
также условиями создания, обработки, температуры и
т. п. Условно материалы делят на пластичные и хрупкие.
Пластичные материалы разрушаются при растяжении с
развитием больших остаточных деформаций, и само раз-
рушение сопровождается образованием шейки в образце.
155
Например, низколегированные, мягкие стали, алюминие-
вые и титановые сплавы, медь и другие.
Хрупкие материалы разрушаются при растяжении с
малыми деформациями, например, бетон, кирпич, мрамор,
чугун и т. д., однако одни и те же материалы в разных
условиях могут приобретать свойства пластичного или
хрупкого материала. Например, образец из мягкой стали
при низкой температуре разрушается как хрупкий мате-
риал, поэтому правильнее различать пластичное или
хрупкое состояние материала.
§ 16.2. Повышение предела пропорциональности
в результате повторных нагружений
Если образец растянуть до некоторого напряжения,
большего, чем предел текучести: о>от (точка Т на рис.
16.2), а затем его постепенно разгрузить, то диаграмма
разгрузки не совпадет с диаграммой начального нагру-
жения. Разгрузка будет происходить по прямой, парал-
лельной упругому участку ОВ, При этом полная деформа-
ция 8пол (отрезок ОГ1) будет состоять из упругой де-
формации 8уП (отрезок Т1Г2), исчезающей при полной
разгрузке образца, и остаточной или пластической дефор-
мации 80ст (отрезок 0Т2), остающейся после разгрузки,
т. е.
Спол = еуп+еОст.
Повышение предела пропорциональности может быть
достигнуто в пластичных материалах при повторных на-
гружениях. Разгруженный образец после его предвари-
тельного растяжения до напряжения: о>от (рис. 16.2)
будем вновь постепенно нагружать статически растяги-
вающей нагрузкой. При вторичном нагружении диаграм-
ма начнется из точки Т2 и пойдет примерно по линии Т2Т,
образуя небольшую петлю, называемую петлей Гистере-
зиса. Петля Гистерезиса возникает из-за необратимых по-
терь энергии деформации (на изменение температуры,
электромагнитных и физических свойств материала и
т. п.), которая на рис. 16.2 заштрихована. После точки Т
диаграмма совпадает с линией TLMt т. е. повторяет диа-
грамму при первичном нагружении образца.
Таким образом, при повторном растяжении образца,
который предварительно был растянут выше предела те-
кучести от, а затем полностью разгружен, механические
свойства материала несколько изменяются. Повышается
156
предел пропорциональности сгп.ц, уменьшаются относи-
тельные остаточные деформации, исчезает зона текучести,
при этом модуль упругости остается почти таким же. Яв-
ление повышения предела пропорциональности при по-
вторных нагружениях называется наклепом. Явление на-
клепа используется на практике, например, с целью
повышения предела пропорциональности арматурной ста-
ли путем ее предварительного вытягивания. Иногда на-
клеп нежелателен, например, при пробивке отверстий для
заклепок и болтов края отверстий из-за наклепа стано-
вятся хрупкими, и его приходится устранять. Следова-
тельно, в результате наклепа повышается предел про-
порциональности, уменьшаются относительные деформа-
ции, но материал становится менее пластичным.
§ 16.3. Диаграмма сжатия
Испытание на сжатие производится на образцах раз-
личной формы и размеров в зависимости от материала.
Для металлов испытания проводятся на цилиндрических
образцах, у которых d=h=20 мм. Для других материа-
лов образцы изготавливаются в виде кубиков с размера-
ми граней: для цемента 70 мм, для бетона 200 или 300 мм
и т. п.
Рассмотрим вначале сжатие образца из мягкой строи-
тельной стали (рис. 16.4, а). В начале нагружения диа-
грамма сжатия описывается прямой 0В (рис. 16.5), вы-
ражающей пропорциональность между силой и деформа-
цией, т. е. на начальном участке справедлив закон Гука.
Точка В соответствует пределу пропорциональности, име-
ющему примерно то же значение, что и при растяжении.
После точки В на диаграмме появляется небольшой уча-
сток, где происходит более быстрое возрастание деформа-
ций по сравнению с ростом нагрузки, но выраженной
площадки текучести не появляется.
Непосредственно за этим участком диаграмма подни-
мается вверх по вогнутой кривой. Это происходит из-за
того, что при переходе за предел пропорциональности ин-
тенсивно увеличивается площадь поперечного сечения об-
разца, которая способна выдерживать все большую на-
грузку. Образец принимает бочкообразную форму (рис.
16.4, б) и постепенно сплющивается без разрушения
(рис. 16.4, в). Иными словами, пластичный материал при
сжатии практически нельзя разрушить. Это свойство ши-
157
в
роко используется при холодной обработке пластичных
металлов штамповкой, прессованием и другими способа-
ми для изготовления деталей нужной формы и размеров.
Условно принимают при сжатии такой же предел прочно-
сти, как и при растяжении.
Характер поведения и разрушения при сжатии хруп-
ких материалов резко отличается от поведения пластич-
ных материалов. Хрупкие материалы при сжатии (также
как и при растяжении) разрушаются при очень малых
продольных деформациях образца, а само разрушение
происходит внезапно. Кроме того, предел прочности у
хрупких материалов при сжатии много больше предела
прочности при растяжении (рис. 16.6), поэтому из при-
родных и промышленных материалов: известняка, гра-
нита, мрамора, кирпича, цемента, бетона и других изго-
товляют элементы строительных конструкций, восприни-
мающих только сжимающие нагрузки, В качестве
примера рассмотрим поведение при сжатии образца из
серого чугуна (рис. 16.7) и соответствующую диаграмму
сжатия (см. рис, 16.6).
158
В начале нагружения
образца диаграмма пред-
ставляет собой кривую с не-
большой кривизной, затем
кривизна увеличивается.
При максимальном значе-
нии напряжения, которое
принимается за предел. Рис- 16,8
прочности при сжатии
Овсж, диаграмма резко обрывается и происходит раз-
рушение образца. Перед разрушением на поверхности
образца появляется ряд наклонных трещин, направлен-
ных под углом 45° к его продольной оси (рис. 16.7, б).
В момент разрушения в средней части происходит отка-
лывание материала, и образец принимает вид двух усе-
ченных конусов, соединенных меньшими основаниями
(рис. 16.7, в). Примерно такую же диаграмму сжатия
имеют образцы в виде кубиков, приготовленных из це-
мента, бетона и других материалов (рис. 16.8, а). Сам
же процесс разрушения может происходить по-разному в
зависимости от условий контакта но поверхности между
образцом и плитами испытательного пресса. Если между
образцом и плитами пресса имеется трение, то образец
разрушается путем выкалывания материала в средней
его части, принимая вид двух усеченных пирамид (рис.
16.8, б). Если же трение отсутствует (которое устраняется
путем смазки этих поверхностей), то образец раскалыва-
ется по продольному направлению на несколько продоль-
ных частей (рис. 16.8, в).
Кроме испытаний на растяжение и сжатие проводятся
испытания материалов и на другие виды нагружения: на
изгиб, на кручение, на длительную прочность, выносли-
вость, твердость и т. п. Большое внимание уделяется ис-
пытанию на динамические нагрузки, на изменение темпе-
ратуры, на радиоактивное облучение и на другие воз-
действия среды, которые влияют на механические
характеристики материалов.
§ 16.4. Механические характеристики некоторых
строительных материалов
Предел прочности при растяжении и сжатии, предел
текучести и другие характеристики различных строитель-
ных материалов: стали, алюминиевых и титановых спла-
вов, чугуна, дерева, кирпича, цемента, бетона и других
159
изменяются в широком диапазоне, который зависит от
качества исходного сырья, технологии изготовления И
других факторов. Для регламентации прочностных харак-
теристик специальными стандартами установлены марки
материалов с соответствующими правилами и технологи-
ей проведения испытаний на предприятиях, производя-
щих строительные материалы.
В табл. 16.1 приведены прочностные характеристики
для некоторых материалов.
Таблица 16.1
Наименование материала Е, МПа от, МПа "в. рас МПа б, %
Сталь углеро- дистая 2,М05 240 380-470 21
Сталь хроми- стая 2,1-105 650 800 12
Сталь хроми- стокремневая 2,1-105 1400 1650 10
Чугун серый 1,1-105 — 120—380 1—•
Дюралюминий 0,7-105 330 450—500 12
Титановый сплав 2,1-105 700—800 800—900 22
В последнее время в строительстве стали применять-
ся новые материалы, созданные на основе синтетических
полимеров в виде различных пластмасс, обладающих ма-
лым собственным весом и высокими прочностными харак-
теристиками. Пластмассы могут быть образованы как на
основе одного полимера (полиэтилен, пенопласт, оргстек-
ло), так и представлять собой композиционный конгло-
мерат (текстолит, СВАМ, гетинакс), в состав которого
кроме полимера входят еще различные наполнители и
пластификаторы. В качестве наполнителей, повышающих
прочность пласмасс, используются инертные материалы:
древесная и асбестовая мука, асбестовое волокно, стекло-
волокно, хлопчатобумажная ткань, древесный шпон и
другие. Например, СВАМ состоит из тонких стекловоло-
кон, уложенных параллельно друг другу, пропитанных
горячей эпоксидной смолой.
Пластмассы обычно испытываются на растяжение.
Испытания проводятся на плоских образцах, полученных
штамповкой. Прочностные характеристики некоторых
пластмасс приведены в таблице 16.2.
160
Таблица 16.2
Наименование материала Е, МПа %, рас’ МПа % ок’ МПа 6, %
Полиэтилен 0,0015-105 12—18 12—13 150—600
Фенопласт 0,03-105 25—50 70—150 0,8—1,5
Оргстекло 0,03-105 78 120 3
СВАМ 1 : 1 0,35-105 480—500 420 1,4—2
СВАМ 1 : 10 0,58-105 900—950 — —
§ 16.5. Понятие о ползучести и релаксации
В конструкции под действием неизменных внешних
воздействий напряженно-деформированное состояние во
времени не остается постоянным, а изменяется. Измене-
ние в течение времени напряжений и деформаций связа-
но с ползучестью и релаксацией реальных материалов.
Если нагруженный образец оставить под постоянной
нагрузкой на некоторое время, то он будет продолжать
деформироваться, причем вначале быстрее, а затем мед-
леннее. Способность материала деформироваться во вре-
мени при действии постоянных нагрузок называется пол-
зучестью. Явление ползучести для однородных материа-
лов проявляется в меньшей степени, чем для неоднород-
ных. Ярко выраженное свойство ползучести проявляется
у таких материалов, как бетон, кирпич, пластмассы, дре-
весина, грунты и т. п. На основании опытных данных ус-
тановлено, что ползучесть проявляется почти при любых
напряжениях, в том числе и при напряжениях, меньших
предела пропорциональности. Зависимость деформаций
от времени изображают в виде кривых ползучести для
различных напряжений. Свойство ползучести материала
может отрицательно сказаться на работе конструкций —
привести к появлению больших перемещений (прогибов)
и даже к разрушению.
Противоположное явление, при котором происходит
медленное уменьшение напряжений при постоянной де-
формации, называется релаксацией. Явление релаксации
также может привести к ухудшению работы конструкции.
Так, например, в результате релаксации материала бол-
товое соединение при длительной работе ослабевает. Яв-
ления ползучести и релаксации учитываются при созда-
нии комбинированных предварительно напряженных кон-
струкций.
11—480 161
ГЛАВА 17. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ, СЖАТИИ
§ 17.1. Методы расчета инженерных конструкций
После определения в конструкции значений и харак-
тера распределения всех внутренних силовых факторов
переходят к решению главного и основного вопроса о
прочности и надежности всей конструкции и ее отдель-
ных элементов, т. е. определению необходимых парамет-
ров, гарантирующих конструкцию от разрушения на весь
период эксплуатации при минимальном расходе материа-
ла. Расчет инженерных конструкций производится с ис-
пользованием различных методик, основными из которых
являются метод расчета по допустимым напряжениям и
метод расчета по предельным состояниям.
Метод допускаемых напряжений. Определить точные
числовые значения внешних нагрузок и прочностных ха-
рактеристик на практике почти невозможно, так как их
величины зависят от многих факторов, учесть которые до-
вольно сложно. Например, трудно определить, какое ко-
личество снега выпадает на кровлю здания в течение зи-
мы, тем более в разные годы, поэтому при проектирова-
нии для создания прочной н надежной конструкции не-
обходимо, чтобы наибольшие напряжения в элементах
конструкции не превышали бы некоторого значения мень-
шего предела прочности материала, которая называется
допускаемым напряжением.
Допускаемое напряжение определяется делением со-
ответствующих прочностных характеристик материала на
определенное число, большее единицы, называемое коэф-
фициентом запаса. Коэффициент запаса устанавливается
(регламентируется) специальными нормативными доку-
ментами.
Для хрупких материалов допускаемые напряжения
выражаются через пределы прочности на растяжение
Ов рас и сжатие оВСж следующими зависимостями:
[Ор] = ов рас/f^i]5 • [Оок] = °в сж/[^г)»
где [ор]—допускаемое напряжение на растяжение; [nJ— норма-
тивный коэффициент прочности по отношению к пределу прочности
па растяжение; [оСж] — допускаемое напряжение на сжатие; [п2] —-
нормативный коэффициент прочности по отношению к пределу
прочности на сжатие.
162
Для пластичных материалов допускаемые напряжения
на растяжение и сжатие принимаются одинаковыми и
вычисляются по формуле
ар сж = 1пз1»
где [п3] — нормативный коэффициент запаса по отношению к пре-
делу текучести материала.
Выражение допускаемого напряжения для пластич-
ных материалов через предел текучести, а не предел проч-
ности, связано с тем, что после достижения в конструк-
ции напряжений, равных пределу текучести, в ней раз-
виваются значительные остаточные необратимые дефор-
мации, затрудняющие нормальную эксплуатацию.
При известной площади поперечного сечения А и вы-
численной нормальной силе Wmax от заданных нагрузок
условие прочности составляется из того, чтобы наиболь-
шие напряжения не превосходили допускаемых:
ainax ~ Nшах^Л М
или наибольшая продольная сила не превосходила «гру-
зоподъемности» сечения:
^тах Л.
Требуемая площадь поперечного сечения стержня при
известной продольной силе от заданных нагрузок и за-
данном допускаемом напряжении находится из условия
Дтр > Afmax/[o].
К недостаткам расчета по методу допускаемых напря-
жений относится то, что устанавливается единый коэф-
фициент запаса только на прочностные характеристики
материала. Совершенно не учитывается характер измен-
чивости внешних нагрузок, т. е. принимается, например,
что нагрузка от собственного веса и веса снега изменя-
ется одинаково. В действительности же нагрузка от снега
изменяется в широком диапазоне для одного и того же
климатического района, а от веса конструкций — незна-
чительно. При проектировании не учитываются разные
условия эксплуатации, например, жилого дома и марте-
новского цеха, а также продолжительность срока служ-
бы сооружения. С 1955 г. в нашей стране перешли на
расчет строительных конструкций по методу предельных
состояний. Расчет по методу допускаемых напряжений
используется в машиностроении.
Метод предельных состояний. В разработке нового ме-
тода расчета принимали участие известные ученые:
11*
163
А. А. Гвоздев, И. И. Гольденблат, Н. С. Стрелецкий, а
также ведущие научно-исследовательские институты:
ЦНИИСК, Проектстальконструкция, Промстройпроект и
многие другие.
В строительных нормах и правилах предельные со-
стояния разделены на две группы. Первая группа — по
несущей способности (вследствие разрушения) или не-
пригодности в эксплуатации (вследствие текучести мате-
риала, сдвигов в соединениях и других факторов). Вторая
группа — по непригодности к нормальной (без ограниче-
ний) эксплуатации (вследствие недопустимых перемеще-
ний, колебаний и трещин). Таким образом, расчет по ме-
тоду предельных состояний должен гарантировать, что за
время эксплуатации сооружения не наступит ни одно из
предельных состояний.
В отличие от метода расчета по допускаемым напря-
жениям, где использовался только один общий коэффи-
циент запаса, в методе расчета по предельным состояни-
ям введены несколько раздельных коэффициентов запа-
са: на нагрузки, на прочностные характеристики
материала и на условия эксплуатации сооружения.
Введение дифференцированных коэффициентов запаса
позволяет проектировать надежные сооружения, отвечаю-
щие действительным условиям эксплуатации с меньшим
общим (суммарным) коэффициентом запаса, а следова-
тельно, создавать более экономичные конструкции.
При расчете по предельным состояниям устанавлива-
ются два значения нагрузок: нормативные и расчетные.
Основной характеристикой нагрузок и воздействий явля-
ются их нормативные величины от веса конструкций, тех-
нологического оборудования, людей и т. п.; от атмосфер-
ных воздействий ветра, снега и т. п.; динамических
воздействий от вращающихся неуравновешенных частей
машин и т. п. Расчетная нагрузка определяется умноже-
нием нормативной нагрузки на коэффициент перегрузки
п, т. е. Fpac = FHn. Коэффициент перегрузки учитывает
возможное отклонение в неблагоприятную сторону нагру-
зок от нормативных значений вследствие изменчивости
нагрузок или случайных отступлений от условий нормаль-
ной эксплуатации и имеет различные значения для раз-
ных видов нагрузок. Например, для нагрузки от собст-
венного веса он равен п= 1,1, а для снеговой нагрузки
п=1,4. Сопротивление строительных материалов внеш-
Г64
ним воздействиям характеризуется двумя показателями:
нормативным и расчетным сопротивлениями.
Основными параметрами сопротивления материалов
внешним воздействиям являются нормативные сопротив-
ления /?н, устанавливаемые с учетом условий контроля и
статистической изменчивости сопротивлений. Норматив-
ное сопротивление устанавливается соответствующими
ГОСТами. Вследствие изменчивости механических
свойств материала и выборочных испытаний образцов и
других факторов возможно некоторое понижение проч-
ностных характеристик материала. С целью обеспечения
требуемой надежности конструкции введено расчетное со-
противление материалов.
Расчетное сопротивление определяется делением зна-
чений нормативных сопротивлений на коэффициент на-
дежности по материалу R=RH/ym.
Значения коэффициента надежности по материалу за-
висят от физико-механических свойств материалов. На-
пример, для стали он изменяется в пределах 1,05—1,15,
а для бетона от 1,3 до 2,5.
Кроме того, вводятся следующие коэффициенты. Ко-
эффициент условий работы ус, который учитывает особые
условия эксплуатации сооружения: агрессивность среды,
концентрацию напряжений, способ изготовления конст-
рукций и т. п. Коэффициент ус может быть больше или
меньше единицы. Коэффициент надежности yk, учитывает
степень ответственности и капитальности сооружения.
Расчет по первой группе предельных состояний вслед-
ствие потери несущей способности производится по рас-
четным нагрузкам и расчетным сопротивлениям материа-
ла с учетом остальных коэффициентов. Условие прочности
при растяжении (сжатии) записывается так:
апаиб = Mnax/^n Ry Yc Yft» (17.1)
где Лгтак — расчетное усилие, возникшее в элементах конструкции
от расчетных внешних нагрузок; Ап — площадь сечения элемента
нетто; Ry — расчетное сопротивление материала растяжению (сжа-
тию); ус — коэффициент условий работы; у* — коэффициент на-
дежности.
Расчет по второй группе предельных состояний вслед-
ствие непригодности к нормальной эксплуатации произ-
водится по нормативным нагрузкам. Целью расчета яв-
ляется ограничение перемещений и колебаний, затрудня-
ющих условия жизни и деятельности людей, обеспечение
нормальной эксплуатации технических устройств (напри-
165
мер, лифтов) и повышение долговечности и эксплуатаци-
онных качеств конструкции.
Условие жесткости записывается в виде
и < ип ред, (17.2)
где и — расчетное значение перемещения конструкции; пПред — пре-
дельное допустимое значение перемещения или характеристика ко-
лебаний, которые устанавливаются нормами или техническими тре-
бованиями.
§ 17.2. Основные типы задач при расчете
на прочность
В зависимости от цели поставленной задачи по усло-
вию прочности (17.1) можно выполнить три вида расчета
на прочность: 1) проверочный, 2) определение расчетной
нагрузки, 3) проектный (прямого проектирования).
Указанные виды расчетов на прочность относятся не
только к растяжению (сжатию), но и к другим случаям
деформирования конструкций: изгибу, кручению, внецент-
ренному сжатию и т. п. Рассмотрим указанные виды рас-
чета.
1. Проверочный расчет состоит в проверке прочности,
т. е. в определении фактического напряжения в заданном
элементе при известных нагрузке, размерах поперечного
сечения и материале и сравнении наибольшего напряже-
ния с расчетным сопротивлением
апапб = ^max/^n ** RyVcYk-
При этом фактическое напряжение не должно отли-
чаться от расчетного сопротивления более чем на 3—5 %,
чтобы конструкция была достаточно прочной и экономи-
чески выгодной.
2. Определение расчетной нагрузки состоит в вычисле-
нии наибольшей внутренней силы по заданным размерам
поперечного сечения, материалу и известному расчетному
сопротивлению.
Nmax А п Ry Yc Yh • (1 /. 3)
3. Проектный расчет состоит в определении требуемых
размеров поперечного сечения элемента при известной
нагрузке, материале и расчетном сопротивлении:
Лтр > Л%ах/^!/ Yc Y/i- (17.4)
Аналогично три вида указанных задач выполняются
при расчетах на жесткость и устойчивость.
166
§ 17.3. Расчет статически определимых систем
Строительные конструкции по способу расчета делят-
ся на две группы: статически определимые и статически
неопределимые системы.
Статически определимые системы — такие системы,
рассчитать которые возможно только с использованием
уравнений статического равновесия.
Статически неопределимые системы — такие системы,
для расчета которых недостаточно уравнений статики, а
в дополнение к ним необходимо составлять геометриче-
ские и физические уравнения деформирования системы.
В данном параграфе рассмотрим расчет на прочность
при растяжении статически определимых систем. Будем
считать, что внешние заданные нагрузки представляют
собой расчетные нагрузки, т. е. нормативные нагрузки,
умноженные на коэффициенты перегрузки.
Пример. Для бруса из мягкой стали, защемленного в верхнем се-
чении (рис. 17.1, а) и нагруженного расчетной сосредоточенной си-
лой F=105 кН, определить необходимую площадь поперечного сече-
ния, если /^=210 МПа.
Решение. Вначале вычислим продольные внутренние силы N в
брусе, а затем перейдем к определению площадей поперечных сече-
ний. Для нахождения N проведем два сечения: одно па участке ВС
и второе на участке CD.
Сечение 1—1. Из уравнения равновесия SZ=0 для оставленной
нижней части (рис. 17.1, б) следует, что внутренняя продольная си-
ла Mi на участке ВС всюду равна нулю.
Сечения 2—2. Составим условие равновесия для нижней части,
(рис. 17.1, в). 2Z=M2—Ю5=0, откуда получим ;V2=105 кН. По вы-
численным значениям /Vi и М2 построим эпюру N (рис. 17.1,г).
На участке ВС внутренняя продольная сила отсутствует, следо-
вательно, требуемая теоретическая площадь поперечного сечения рав-
на нулю. Запишем условие прочности на участке ВС:
— ^тр Ry Ус Ук •
Пусть Yc = Yft = h тогда
Лтр = N2/Ry = 105-103/210• 106 = 5-10-* м2 = 5 см2.
Пример. Абсолютно жесткий (недеформируемый) брус ВС в
точке В имеет шарнирно-неподвижную опору и в точке С подвешен
при помощи стального стержня СС\. Брус нагружен сосредоточенной
силой F=210 кН (рис. 17.2, а). Определить усилие в стержне CCi и
вычислить площадь его поперечного сечения, если /^=210 МПа.
Решение. Разрежем стержень CCi и отбросим его верхнюю часть,
а также отбросим шарнирно-неподвижную опору в точке В. Влия-
ние отброшенных частей заменим силами: внутренней продольной си-
лой N и двумя реакциями RB и Нв (рис. 17.2,6).
Таким образом, на оставшуюся часть ВС действуют три неиз-
вестные силы, которые однозначно определяются из трех уравнений
167
Рис. 17.1
Рис. 17.2
статического равновесия. Следовательно, данная система является
статически определимой.
Так как по условию задачи не требуется находить реакции Rb
и Нв> то подберем такое уравнение равновесия, из которого можно
сразу определить продольную силу N, ^MB = F-2—2V-5=O, откуда
N=F-2/5 = 2-210/5 = 84 кН.
Требуемая площадь поперечного сечения стального стержня
равна:
Лтр = NlRy = 84-103/210• Ю6 = 4-10-4 м2 = 4 см2.
§ 17.4. Расчет статически неопределимых систем
Для осуществления расчета статически неопредели-
мой системы надо составить дополнительные уравнения
из условия ее деформирования, число которых определя-
ется количеством «лишних» неизвестных. (Здесь слово
«лишние» взято в кавычки в том смысле, что эти неизве-
стные нельзя найти из уравнений статики). Кроме того,
перед расчетом этих систем надо знать модуль упругости
материала и размеры поперечных сечений всех элементов
или их отношения, так как распределение внутренних си-
ловых факторов и реакций в связях зависит от жесткост-
ных характеристик сечений сооружения. Следовательно,
при заданных размерах сечений элементов и механиче-
ских характеристик материала для статически неопреде-
лимой системы можно выполнить только проверочный
расчет.
При расчете прямого проектирования необходимо пе-
ред расчетом задать эти параметры конструкции. Строи-
тельный материал выбирают исходя из технологических
требований проектируемого сооружения. Что же касает-
ся неизвестных размеров поперечных сечений, то их при-
168
Рис. 17.3
нимают приближенно. После выполнения расчета стати-
чески неопределимой системы производят сравнение при-
нятых размеров сечений с полученными. В случае
расхождения проводят повторные расчеты, которые про-
должают до тех пор, пока расхождение не будет в тре-
буемых пределах.
Детали расчета статически неопределимых систем по-
ясним на примерах.
Пример. Для бруса, защемленного в верхнем и нижнем сечениях
и нагруженного силой F=105 кН, направленной вдоль его оси, по-
строить эпюру N (рис. 17.3,а). Брус выполнен из мягкой стали по-
стоянного сечения с площадью, равной Д|.
Решение. Данный брус имеет шесть опорных стержней по три в
каждом опорном закреплении. Но при действии силы F, направлен-
ной вдоль его оси, в опорах возникают только две вертикальные ре-
акции RB и Rd. Для определения двух реакций можно записать
только одно уравнение статического равновесия SZ = 0. Остальные
уравнения будут линейно зависимыми. Из одного уравнения нельзя
определить две неизвестные реакции RB и RD. Следовательно, за-
данная система один раз статически неопределима, и для ее расчета
необходимо составить одно дополнительное уравнение из условия
деформирования системы.
Отбросим нижнюю защемляющую опору и заменим ее влияние
неизвестной реакцией Rb (рис. 17.3,6). Для составления дополни-
тельного уравнения рассмотрим деформацию полученной системы от
действия сил F и опорной реакции Rb. На основании принципа неза-
висимости действия сил выразим перемещения опорного сечения В
отдельно от силы F и опорной реакции Rb.
Под действием силы F брус удлинится, и опорное сечение В пере-
местится вниз. Это перемещение обозначим Abf (рис. 17.3, в). Под
действием опорной реакции Rs брус сожмется, и опорное сечение В
переместится вверх. Это перемещение обозначим Ав/? (рис. 17.3,г).
Так как в заданной системе опорное сечение В не имеет перемеще-
169
ний, то суммарное перемещение от совместного действия силы F и
опорной реакции RB должно быть равно нулю:
двг+дв« = 0. (17.5)
Полученное уравнение (17.5) является геометрическим уравнени-
ем перемещений системы.
Используя закон Гука, вычислим эти перемещения:
Abf= Fl2/EAi и Abr =-RB(ll + iyEAv
Перемещению &br присвоен знак минус, так как опорная реакция
Rb в брусе вызывает его сжатие. Подставим вычисленные перемеще-
ния Дал и Д8/? в уравнение (17.5). Получим:
^А-^(/1 + '2)/£Л1 = 0-
откуда /?B=f/2//I+/2= 105-2/(14-2) =70 нН.
После определения неизвестной опорной реакции Rb задача по
расчету внутренних продольных сил N является статически опреде-
лимой. Используя принцип независимости действия сил, построим от-
дельно эпюры продольных сил от заданной силы F (рис. 17.3, д) и
от реакции RB (рис. 17.3, е), а затем их сложим. Окончательная эпю-
ра продольных сил N в заданной системе показана на рис. 17.3, ж.
§ 17.5. Температурные и монтажные напряжения
в статически неопределимых системах
При нагревании или охлаждении любой статически
определимой системы в ее элементах не возникает ника-
ких напряжений, так как изменению геометрических раз-
меров элементов не препятствуют опорные связи. Напри-
мер, в статически определимом стержне (рис. 17.4, а) при
нагревании его размеры увеличатся и поперечное сечение
С переместится вправо на АС/. При нагревании же ста-
тически неопределимого стержня (рис. 17.4, б) продоль-
ному перемещению сечения С препятствует жесткая опо-
ра, что приводит к возникновению в его поперечных сече-
ниях внутренних продольных сил. Кроме того, в
статически неопределимых системах из-за неточного изго-
товления длин ее отдельных элементов при сборке возни-
кают дополнительные напряжения (монтажные напря-
жения).
Температурные и монтажные напряжения в статически
неопределимых системах определяются так же, как и
при расчете на силовые нагрузки.
Пример. Для стального бруса, изображенного на рис. 17.5, а, на-
гретого до температуры / = 25°, построить эпюры У и ог. Коэффи-
циент линейного расширения а = 10-5 и Е=2«105 МПа.
170
Решение. Для определения двух опорных реакций Rb и Rc, воз-
никающих в опорных закреплениях при нагревании бруса, можно за-
писать только одно независимое уравнение статического равновесия
'2z=Rc—Rb=0, откуда Rc = Rb.
Данная система статически неопределимая, и для определения
неизвестных опорных реакций необходимо составить одно дополни-
тельное уравнение деформирования системы. Отбросим нижнюю за-
щемляющую опору и заменим ее влияние неизвестной реакцией R(:.
В полученной преобразованной системе определим перемещение се-
чения С отдельно от заданной температуры и от неизвестной опор-
ной реакции Rc. От нагрева стержень удлинится, и опорное сечение С
переместится на Дс/ = а(/1 + /2)/. От реакции Rc сечение С перемес-
тится на
Дс/? =— Rc ( lY А2 + /2 Л1)/ЕЛ1 Л2-
Поскольку в заданной системе опорное сечение С не имеет пе-
ремещения, то суммарное перемещение от совместного действия опор-
ной реакции Rc и нагрева стержня должно быть равно нулю:
= 0
171
или
а ( Zi + У ' ~ М Zx Л2 + '2 А2 = 0,
откуда
10-5(1 + 1,5) 25»2-10^106.10е. 104• 20• 10—4
Продольная сила N во всех сечениях бруса одинакова и рав-
на jV = — 71,2 кН (рис. 17.5,г). Нормальные напряжения во всех по-
перечных сечениях также будут сжимающими. Эпюра oz показана
на рис. 17.5, д.
Пример. В системе, показанной на рнс. 17.6, а, стержень С\С2
был изготовлен меньше требуемой длины на величину Д. Опреде-
лить возникающие в стержнях DDi и С\С2 внутренние силы после
сборки системы.
Решение. Для того чтобы собрать данную систему, необходимо
стержень С\С2 растянуть силой N2. Но при этом в стержне DD\ воз-
никает сжимающая сила М (рис. 17.6,6), Составим условие равно-
весия системы:
= = откуда ^ = 5^, (17.6)
Из этого уравнения нельзя определить две внутренние силы Ni
и ?V2. Для решения задачи необходимо составить дополнительное
уравнение из условия деформирования системы.
После сборки системы за счет растяжения стержня С\С2 жест-
кий брус переместится вверх (поворачиваясь вокруг шарнира В) и
займет некоторое положение BD2C3 (рис. 17.6, в). При этом стер-
жень CiC2 удлинился на величину C2C3=N2IIEA\.
Уравнение перемещений для стержня СС\ имеет вид (рис. 17.6, в):
СС3+С2С3=Д или СС3=Д—N2l/EAi.
Связь между перемещениями СС3 и DD2 установим из подобия
треугольников BDD2 и ВСС3:
DD2 = СС3/ 5 или JVj. 1/2EAl = (Д — 1/EAJ/5. (17.7)
Решая совместно уравнения (17.6) и (17.7), находим Ni =
=AEAl/0Jl и N2=bEAi/3,5l.
Знак плюс перед значениями М и N2 показывает, что стержень
DDi сжат, а стержень CCi растянут, т. е. совпадает с предваритель-
ным предположением.
ГЛАВА 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ
§ 18.1. Понятие напряженного состояния в точке.
Виды напряженных состояний
В предыдущей главе при исследовании растяжения и
сжатия прямого бруса было установлено, что в его попе-
речных сечениях возникают нормальные напряжения, а
в наклонных сечениях — нормальные и касательные на-
172
пряжения, т. е. вид и значение напряжений в точке зави-
сит от положения элементарной площадки бруса. Таким
образом, напряженное состояние в точке представляет
собой совокупность напряжений, действующих по всевоз-
можным площадкам, проведенным через эту точку, т. е.
по площадкам, имеющим множество положений относи-
тельно системы координатных осей бруса. Поскольку на
брус могут действовать любые произвольные нагрузки,
напряженное состояние в его точках будет неоднородным,
т. е. будет иметь различный характер и значения в раз-
ных точках объема бруса.
Кроме того, напряжения в одной и той же точке, но
имеющие разную ориентировку площадок (плоскостей,
проведенных через эту точку), также имеют различные
значения. Следовательно, при анализе напряженного со-
стояния в брусе необходимо решить две задачи:
1) определить закон изменения напряжения при пере-
ходе от одной точки к другой. Данная задача решается
методом сечений с учетом характера деформирования
бруса. Например, при центральном растяжении прямого
бруса было установлено, что во всех точках поперечного
сечения, перпендикулярного его продольной оси, нормаль-
ные напряжения распределяются равномерно, что было
зафиксировано в виде эпюры о. Аналогичные задачи мы
будем решать в дальнейшем при изучении кручения, из-
гиба, внецентренного сжатия и т. п.;
2) определить в одной точке (при известных напряже-
ниях по площадкам, ориентировка которых также извест-
на), как будет изменяться напряжение по площадкам,
проведенным через эту же точку, но имеющим другую
ориентировку. Данная задача решалась, когда находились
напряжения по наклонным площадкам бруса при его рас-
тяжении.
Для установления зависимостей изменения напряже-
ний в одной точке по площадкам, имеющим разную ори-
ентировку, вырежем около рассматриваемой точки беско-
нечно малый параллелепипед с гранями длиной dx, dy
и dz.
Будем считать, что действующие по его граням на-
пряжения распределены равномерно, а также будут рав-
номерно распределены напряжения по любому наклонно-
му сечению. При этом напряжения по граням dx, dy и dz
считаются известными (заданными).
Из бруса всегда можно выделить около любой точки
173
элементарный параллелепипед, расположенный так, что-
бы по его граням касательные напряжения были бы
равны нулю. В этом случае его грани будут главными
площадками, а нормальные напряжения, действующие
перпендикулярно к этим площадкам—главными нор-
мальными напряжениями.
В зависимости от числа действующих в точке глав-
ных нормальных напряжений различают три вида на-
пряженных состояний: одноосное (рис. 18.1, а), когда
одно из трех главных напряжений не равно нулю: ai=^=
=/=0, а два другие равны нулю: о2 = 0з=О; двухосное
(рис. 18.1,6), когда два из трех не равны нулю: oi#=0,
о2¥=0, а третье равно нулю: оз = 0; трехосное (рис.
18.1, в), когда все три главные напряжения не равны
нулю. При этом считается, что ai^o2^o3. С одноосным
напряженным состоянием мы познакомились при изуче-
нии центрального растяжения прямого бруса. В этом
случае в поперечных сечениях бруса возникало только
174
одно нормальное напряжение ог, а два другие были
равны нулю.
Двухосное напряженное состояние возникает во мно-
гих элементах сооружении, например, при изгибе плит
перекрытий, уложенных на опоры по всем четырем сто-
ронам, в покрытиях зданий, выполненных в виде тонко-
стенных оболочек, и других случаях. Двухосное напря-
женное состояние в зависимости от распределения на-
пряжений и характера деформаций делится на плоскую
деформацию и плоское напряженное состояние. Плоское
напряженное состояние возникает при действии внешних
нагрузок на тонкую пластинку (у которой толщина име-
ет малую величину по сравнению с двумя другими гео-
метрическими размерами), лежащих в плоскости пла-
стинки (рис. 18.2).
Вследствие малой толщины пластинки напряжения
ог, Оу и TztJ по ее толщине считаются равномерно распре-
деленными и не зависящими от координаты х. Напря-
жения в направлении оси ох, ох = 0. Но из-за присущей
всем упругим телам способности к поперечной деформа-
ции пластинка будет деформироваться в направлении
оси ох и в зависимости от действия внешних нагрузок
утолщаться или утоньшаться.
Трехосное напряженное состояние возникает, как
правило, в массивных сооружениях, к которым относят-
ся массивные гидротехнические плотины, фундаменты
под оборудование специальных агрегатов, грунтовые ос-
нования зданий и т. п.
§ 18.2. Напряжения в наклонных площадках
при плоском напряженном состоянии.
Главные напряжения
Для анализа напряженного состояния в произволь-
ной точке выделим около этой точки из пластинки (рис.
18.2) бесконечно малый параллелепипед с размерами
граней dy-dz-1 (рис. 18.3, а). Будем считать, что на-
пряженное состояние выделенного элемента однородно,
т. е. нормальные напряжения по параллельным граням
элемента будут одинаковыми и противоположно направ-
ленными. На основании закона о парности касательных
напряжений также будут равны и противоположно на-
правлены касательные напряжения т!/2=тг!/.
175
Рис. 18.3
Здесь касательные напряжения обозначены с двумя
подстрочными индексами, первый из которых показыва-
ет площадку, перпендикулярную к координатной оси, а
второй индекс — направление касательного напряжения,
параллельное координатной оси. Например, касательное
напряжение тгу действует по площадке, перпендикуляр-
ной к оси oz и направленной параллельно оси оу.
Правило знаков для касательных и нормальных на-
пряжений при плоском напряженном состоянии прини-
мается таким же, как при растяжении в наклонных сече-
ниях бруса, а именно: касательное напряжение считает-
ся положительным, если изображающий его вектор в
площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с по-
ложительным направлением координатной оси, направ-
лен в положительную сторону координатной оси в плос-
кости этой площадки; или если изображающий вектор
в площадке, внешняя нормаль которой противоположна
положительному направлению координатной оси, на-
правлен в отрицательную сторону координатной оси в
плоскости этой площадки. Нормальное напряжение счи-
тается положительным, если оно соответствует растяже-
нию выделенного элемента.
На рис. 18.3, а показаны положительные нормальные
и касательные напряжения ог, ау, т1у и т^.
Для определения напряжений, действующих в наклон-
ных сечениях выделенного параллелепипеда dzdy-\,
проведем в нем наклонное сечение под углом а, перпен-
176
дикулярное к плоскости zoy и рассмотрим нижнюю эле-
ментарную треугольную призму (рис. 18.3,6).
Угол а будем считать положительным при повороте
оси oz до совмещения с осью oz' против хода часовой
стрелки. Обозначим площадь наклонного сечения тре-
угольной призмы через dA, тогда
dAz = \dy = dA cos a;
dAy = Idz = dA sin a.
Поскольку выделенная треугольная призма находит-
ся в равновесии, из уравнения статического равновесия
Sz'=0 найдем значение нормального напряжения
действующего в наклонной площадке:
Sz' = о dA — о dA cos a — a dA sin a — т dA sin a —
a z z и у zy z
— xyz dAy cos a = 0;
dA — a dA cos2 a — a dA sin2 a — т dA sin a cos a —
a z у zy
— xyz dA a in a cos a = 0.
Поскольку xyz=xzy, сократив на dA, получим aa =
= cf2 cos2 a+oi/ sin2 a4-2rZ2/ sin a cos a.
Произведя замену 2 sin a cos a = sin 2a, окончатель-
но получим
n =a cos2a+a sin2a + r sin 2a. (18.1)
a z 1 у ' zy '
Значение касательного напряжения та найдем из
уравнения равновесия:
Zy' = dA + a dA sin a — a dA cos a — т X
57 a 1 z z у у zy
X dAz cos a + %yz dAy sin a = 0.
x„ dA =— a dA sin a cos a + a dA sin a cos a 4-
a z 1 у 1
+ xzy dA cos2 a — iyz dA sin2 a.
Так как xyz=xzy, сократив на dA, получим
та =— o^ sin a cos a + o^ sin a cos a + т (cos2 a — sin2 a).
Произведя замену sin a cos a = -y-sin 2a и cos2 a —
—sin2 a = cos 2a, окончательно получим
та =— - г % °У sin 2a + т2г/ cos 2a. (18.2)
Полученные значения (18.1) и (18.2) показывают за-
кон изменения нормального <та и касательного напряже-
ния Та в зависимости от изменения угла а наклона пло-
щадки к оси oz.
12—480 177
Естественно, что при некотором значении угла а нор-
мальные напряжения достигают экстремальных значе-
ний. Таких площадок будет две, расположенных под
углами а0 и ао+9О°, на одной из которых действует
наибольшее нормальное напряжение отах, а на другой—
наименьшее omin, а касательные напряжения Та равны
нулю. Такие площадки называются главными площад-
ками, а соответствующие им нормальные напряжения —
главными напряжениями в точке при плоском напря-
женном состоянии.
Для определения положения главных площадок при-
равняем касательное напряжение та к нулю, получим
— -Я? . sin 2а0 + Т2 у cos 2а0 = 0,
откуда
tg2a0 = 2т2г//(а2 —а^). (18.3)
Зная значения угла а0, характеризующие положение
главных площадок, найдем значения главных напряже-
ний. Для этого в выражение (18.1) подставим найден-
ное значение угла а0:
°тах = % cos2 ао + ° у Sin'2 а0 + Sin 2<Х0-
min
Используя тригонометрические зависимости cos2 а0 =
<= — (l+cos2a0) и sin2 а0= -—-(1—cos 2ао), выражение
для Отах можно представить в таком виде:
mi п
%ах = + %)/2 + l(Qz - %)/2 + \у 41 C0S 2а0‘
mi п
Подставив значение cos 2а0± 1/ V l.+tg2 2а0 и
tg 2a0 = 2TZI//(oz—иу), окончательно получим значения
главных напряжений:
°тяХ=(^ + %)/2±К (СТ;-%)2+44/ • (,8 4>
mi п
В полученном выражении знак плюс перед корнем
соответствует максимальному главному напряжению.
Сумма Отах и Omin всегда равна: omax+omin = o<2+o//.
178
§ 18.3. Деформированное состояние в точке.
Линейные деформации. Деформации сдвига.
Главные деформации
В общем случае плоского напряженного состояния
на выделенный бесконечно малый параллелепипед dyX
XdzXl действуют нормальные напряжения, Оу, oz и
Tzy,xyz (рис. 18.4, а). Возникновение этих напряжений со-
провождается деформацией элемента: линейными удли-
нениями его граней по осям Oz, Оу, укорочением по оси
Ох и изменением угла между его гранями dy и dz (де-
формацией сдвига).
Обозначим линейные удлинения элемента по оси Oz
\dz, вдоль оси Оу kdy и вдоль оси Ox \dx. Деформацию
сдвига, характеризующую изменение угла между граня-
ми dy и dz, обозначим через угол сдвига yzy (рис. 18.4, б).
Обычно абсолютные удлинения граней М,у и Adz за-
меняют соответствующими продольными деформациями
по формулам:
гу = \dyldy и е2 = \dzldz.
По аналогии с напряженным состоянием в точке при
повороте параллелепипеда dydz-\ на различные углы
а около рассматриваемой точки происходит изменение
значений продольных деформаций &у, ег и углов сдвигов
между ними. Совокупность этих изменений для всевоз-
можных положений граней характеризует деформиро-
ванное состояние в точке.
Очевидно, что при некотором значении угла поворо-
та а = а0 параллелепипеда около рассматриваемой точ-
ки угол сдвига yzy будет равен нулю, т. е. ориентирован-
ный таким образом бесконечно малый элемент будет ис-
пытывать только продольные деформации, которые
называются главными деформациями в данной точке.
В теории упругости доказывается, что главные нор-
мальные напряжения и главные деформации совпадают
и действуют по главным площадкам, т. е. отах соответ-
ствует Етах И Omin COOTBeTCTByeT Ещ|П.
При практических расчетах, при произвольных зна-
чениях Oy, uz и тгу вначале определяют положение глав-
ных площадок, далее вычисляют главные нормальные
напряжения о1Т1ах и Отш, а затем находят главные де-
формации Стах и ет1п.
12*
179
§ 18.4. Обобщенный закон Гука при плоском
и трехосном напряженных состояниях
Выделим из пластины элементарный параллелепипед
dr/XdzXl, грани которого совпадают с главными пло-
щадками (рис. 18.5). Обозначим oi = omax, O2 = Omin и
81 = emax, 82 = emin и через ез продольные деформации
элемента перпендикулярно плоскости 102. При извест-
ных главных напряжениях оч и о2 главные продольные
деформации еь е2 и ез определяются по следующим
формулам:
£1= (art — цстг)/^;
е2 = (а2 —Pai)/£; О8-5)
е3 =— р (Од 4- cf2)/ Е.
Эти зависимости называются обобщенным законом
Гука при плоском напряженном состоянии.
Для общего случая напряженного состояния, когда
по граням элемента возникают как нормальные напря-
жения (5У и так и касательные напряжения xzy и xyz
(рис. 18.6), продольные деформации е^, е2 и ех по на-
правлению координатных осей обычно определяют без
учета касательных напряжений. В этом случае обобщен-
ный закон Гука записывается в таком виде:
ez = (а2 —(18.6)
еЛ==— р (0у+иг)/Е.
180
Рис. 18.5
Рис. 18.6
Для трехосного напряженного состояния обобщенный
закон Гука имеет вид:
ci = [<*1 — И (а2+ а3)]Е;
е2 = [о2 — р (ох + а3)]/Е; О8-7)
63= 1а3 — И (а1 + а2)1/^‘
§ 18.5. Объемная деформация.
Потенциальная энергия
Рассмотрим трехосное напряженное состояние эле-
ментарного параллелепипеда, нагруженного главными
нормальными напряжениями оь о2 и оз (рис. 18.7).
Элементарный параллелепипед до деформации имеет
грани длиной dli, dl2 и d/з и его объем равен dv =
= dlidl2dl3. Пусть после деформации его грани удли-
нились и стали равными:
dlL -р ^dl±, d/2 Ad/2 и dl3 &dl3.
Увеличение объема элементарного параллелепипеда
после деформации равно:
bdv = (d^ + ^dlr)(dl2 + AtZZ2) (dZ3 + Ad/3) —
/ Ad/. \f &dl2 \
-d^ d/2d/3 = d/1 dl2dl3{l+—-L](i+—^]X
\ u/i / \ ai2 /
x (1 + dli dl2 dl3-
\ dl3 /
181
Обозначим продольные деформации граней
= &dl] / dly\ t*2 == bdl2! dl2, 63 == &dl$l dl3,
тогда
&dv = dv [(1 + 61)(1 + e2)(l + e3) - 1] = dv (C1 + 82 -I- 80 +
+ e2 e3 + el £3 + 81 e2 + е1 e2 ез) >
где dv = dlidl2dlz — первоначальный объем элемента.
Поскольку продольные деформации граней представ-
ляют собой малые величины, их произведениями как
величинами второго порядка малости пренебрегают, и
изменение объема бесконечно малого элемента после его
деформации записывают в следующем виде: &dv =
= dv (81+62+63).
Обычно в качестве характеристики изменения объе-
ма элементарного параллелепипеда принимают относи-
тельную объемную деформацию, равную:
v = kdvtdv — 8j + е2 + £3. (18.8)
Подставим в полученное выражение значения ei, 62
и ез по обобщенному закону Гука (18.7) и после соот-
ветствующих преобразований относительная объемная
деформация примет вид
v = (l-2p)(0i+a2+<W- (18.9)
182
Для определения потенциальной энергии деформа-
ции элементарного параллелепипеда будем считать, что
внешние элементарные силы а^М/з, Qzdlxdh и e^dlidl^
действующие по его граням, приложены статически, т.е.
возрастают постепенно от нуля до своего окончательно-
го значения. В этом случае работа внешних сил равна
половине произведения силы на соответствующее значе-
ние перемещения:
dw = (<J| dl2 dl3 Adli)/2 -j- (?2 dli dl$ ^d^l^ dl± dl2 Adl^/2.
На основании закона сохранения энергии потенци-
альная энергия б/Эпот будет равна работе внешних сил
d3aOT = dw. Заменим абсолютные удлинения граней про-
дольными деформациями Arf/l=eirfZi, Ad/2 = 82^Z2 и
ЛШз = ез^/з, получим значение потенциальной энергии
деформации в виде
^пот dli dl2 dl$ (dj ex + cr2 e2 H' аз ез)/2.
Разделив полученное значение б/ЭПОт на первоначаль-
ный объем элементарного параллелепипеда, получим
полную удельную потенциальную энергию деформации
Э = (сг1 ех + п2 е2 + аз ез)/2.
После замены еь е2 и ез через напряжения оь о2 и оз
по обобщенному закону Гука полная удельная потенци-
альная энергия будет равна:
Э = [о/ + — 2,и (а£ а2 + а3 + а,, а3)]/2£. (18.10)
Поскольку под воздействием элементарных сил, при-
ложенных к граням элементарного параллелепипеда, его
объем изменился на величину Adu, а также изменилась
и форма самого параллелепипеда за счет разных зна-
чений продольных деформаций его граней (е1=4=82¥=ез),
полную удельную потенциальную энергию деформации
представляют в виде двух составляющих:
1) удельной потенциальной энергии изменения объе-
ма Эоб при сохранении формы элементарного паралле-
лепипеда;
2) удельной потенциальной энергии формы Эф при
неизменяемости его объема Э = ЭОб+Эф.
Изменение объема элементарного параллелепипеда
при сохранении его формы возможно только в том слу-
чае, когда по его граням будут действовать одинаковые
нормальные напряжения. В качестве такого напряжения
183
принимают среднее значение из действующих напряже-
ний аь а2 и аз:
аср == (а1 + а2 + аз)/3.
Тогда исходное напряженное состояние элементарно-
го параллелепипеда можно представить в виде двух
напряженных состояний (рис. 18.8), где первое напря-
женное состояние представляет собой всестороннее рас-
тяжение напряжениями аср, которое соответствует изме-
нению объема элементарного параллелепипеда, и
второе, равное разности заданного напряжения, дейст-
вующего по соответствующей грани, и среднего напря-
жения. Второе напряженное состояние связано с изме-
нением только формы параллелепипеда без изменения
его объема.
Подставив в формулу (18.10) вместо ai, а2 и аз сред-
нее значение напряжения аср= (а1+а2+аз)/3, получим
выражение удельной потенциальной энергии изменения
его объема:
30б = 0 - 2|0(cr1 + *2 + а3)2/6Е. (18.11)
Выражение для удельной потенциальной энергии из-
менения формы получим после подстановки в формулу
(18.10) вместо ai, a2 и аз, значений напряжений второго
напряженного состояния: ai—acp, as—acp и аз—аср.
Эф = (1 + Ц) (а? + + <Тз — 01 <J.2 — % — 02 аз)/3£- (18-12)
Для плоского напряженного состояния выражения
для удельной потенциальной энергии ЭОб и Эф получим
из формул (18.10), (18.11) и (18.12), положив оз=0,
тогда полная удельная потенциальная энергия деформа-
ции
э = + 02 - 2Ц0, ^/2Е, (18.13)
удельная потенциальная энергия изменения объема
Эоб = (1 - 2р) (ах + аг)2/6Е, (18.14)
удельная потенциальная энергия изменения формы
Зф=(1+н)К + ^-<\%)/ЗЯ. (18.15)
§ 18.6. Экстремальные касательные напряжения.
Чистый сдвиг
По найденным значениям главных напряжений <jmax
и Gmin и положениям главных площадок можно опреде-
лить величину и положение площадок, по которым бу-
184
Рис. 18.9
дут действовать наибольшие касательные напряжения
Ттах. При исследовании напряженного состояния в на-
клонном сечении бруса при его центральном растяжении
было установлено, что наибольшие касательные напря-
жения действуют по площадкам относительно главных
под углом а=±45° и равняются Ттах = а2/2.
При плоском напряженном состоянии выделенный
элемент в отличие от центрального растяжения или сжа-
тия испытывает растяжение или сжатие по двум взаим-
но перпендикулярным направлениям. Формулы (18.1) и
(18.2) для определения напряжений аа итхв этом слу-
чае можно представить в таком виде:
ga=gnlax+£r.dn+ Pmax-gmin cos2a> (J8 J6)
Ta ~
...gmax-?min sin2g
(18.17)
Наибольшие касательные напряжения действуют по
площадкам под углом к главным, равным: а=—45°
(sin2a=—1). Если оба главных напряжения положи-
тельны: О»тах>0 И Gmin^O, ТО Ттах == (О'max—0mln)/2, ИЛИ
подставив вместо отах и Отт их значения по выражению
(18.4), окончательно получим
*тах=/ (g2-g/+4^/2- (18.18)
На площадках, по которым действуют ттах, нормаль-
ные напряжения будут равны: <Та=±45‘= (On^x+Omln)^.
Рассмотрим другой случай, когда главные напряжения
равны и имеют разные знаки, т. е. отах=—Omin, тогда
Ттах==Огтах«
.185
В этом случае нормальные напряжения па площад-
кам, по которым действуют ттах, равны нулю: оа=0.
Такой вид плоского напряженного и деформированного
состояния, при котором на двух взаимно перпендику-
лярных площадках действуют только касательные на-
пряжения, а нормальные напряжения отсутствуют, на-
зывается чистым сдвигом (рис. 18.9,а). Явление чистого
сдвига возникает при кручении бруса круглого или коль-
цевого поперечного сечения. Особенностью явления чис-
того сдвига является отсутствие изменения объема, а
любой выделенный элемент изменяет только свою форму.
§ 18.7. Закон Гука при чистом сдвиге
Рассмотрим элементарный параллелепипед daXdbX
X 1» по четырем граням которого действуют касательные
напряжения (рис. 18.9, а). При чистом сдвиге длины
граней элементарного параллелепипеда не изменяются,
а изменяются только величины углов между ними. На
рис. 18.9,6 штриховыми линиями показано деформиро-
ванное состояние элементарного параллелепипеда. При
этом каждая грань перемещается в своей плоскости от-
носительно противоположной грани на величину А, на-
зываемую абсолютным сдвигом. Отношение абсолютно-
го сдвига к расстоянию между противоположными
гранями называется относительным сдвигом у или уг-
лом сдвига, который (ввиду малости) равен y^kfda.
Угол сдвига у при напряжениях, не превышающих пре-
дела пропорциональности материала, как показывают
многочисленные экспериментальные данные, пропорцио-
нален касательным напряжениям т:
у = т/G или т = yG. (18.19)
Полученное соотношение называется законом Гука
при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G в вы-
ражении (18.19) называется модулем сдвига или моду-
лем упругости второго рода. Модуль сдвига является
физической постоянной материала и характеризует его
способность сопротивляться упругим деформациям при
сдвиге. Модуль сдвига G определяется при кручении
трубчатых образцов. Модуль сдвига так же, как и мо-
дуль продольной упругости Е, выражается в МПа.
186
§ 18.8. Потенциальная энергия при чистом сдвиге.
Зависимость между £, G и р
При чистом сдвиге удельная потенциальная энергия
изменения объема равна нулю. Это утверждение легко
доказать, если в формулу Эоб (18.14) для плоского на-
пряженного СОСТОЯНИЯ вместо Oi=Omax=Tmax И 02 =
* Omin==: Ттах-
(1 -2ц) , (1—2ц),
^об— (crl4-a2)2— се (ттах Ттах) — О*
ос oh
Удельная потенциальная энергия изменения формы
при чистом сдвиге равна:
(1+р)
“ ЗЕ
/ 9 9 9 \ (1 “Ь Р) Ттах
X- (ттах 4" ттах 4~ Ттах) = £ • (18.20)
Следовательно, при чистом сдвиге полная удельная
потенциальная энергия равна удельной потенциальной
энергии изменения формы. Для определения зависимости
между модулем сдвига G, модулем нормальной упруго-
сти Е и коэффициентом Пуансона ц вычислим работу
внешних касательных сил при деформировании элемен-
тарного параллелепипеда dadb-1 (рис. 18.9,6).
Будем считать, что внешняя сдвигающая сила
Tmaxdfr-1, действующая по верхней грани элементарного
параллелепипеда, приложена статически. Тогда работа
этой силы на перемещении Л будет равна:
dw = Tmax dbb/2.
Произведя замену \=yda=xm^da/G, получим
dw = т^ах dadb!2G.
Удельная работа сдвигающей силы равна: w —
= dw/dadb-l или
^ = <ax/2G- 08-21)
На основании закона сохранения энергии потенци-
альная энергия равна работе внешних сил Эф = оу или
(1+ц)^ах /£=^Х/2С,
откуда
187
Полученная зависимость связывает между собой три
физические характеристики упругого изотропного мате-
риала и показывает, что две из них являются независи-
мыми характеристиками. Обычно Е и р определяют из
опытов, a G вычисляют по формуле (18.22).
§ 18.9. Практические расчеты на срез и смятие
Соединения отдельных элементов строительных кон-
струкций между собой осуществляются по-разному, в за-
висимости от материала, из которого возводится соору-
жение, и технологических требований.
Для металлических конструкций используются соеди-
нения на сварке и на болтах; для деревянных конструк-
ций— на клее, шпонках и врубках; для железобетонных
конструкций — при помощи специальных закладных де-
талей и т. п. Для нормальной эксплуатации сооружения
все соединения должны быть прочными и надежными,
поэтому они также подлежат расчету. Общие вопросы
расчета соединений излагаются в курсах соответствую-
щих конструкций. В данном параграфе рассмотрен рас-
чет некоторых простых видов соединений, воспринимаю-
щих растягивающие (сжимающие) нагрузки: соедине-
ния металлических листов на сварке и на болтах и
соединение деревянной фермы на врубках.
Сварные соединения. Сварные соединения деталей из
металла благодаря своей простоте, надежности и эко-
номичности получили широкое применение в строитель-
ных конструкциях. Рассмотрим сварные соединения с
угловыми швами. На рис. 18.10 показано соединение
двух стальных листов внахлестку при помощи фланго-
вых швов, подверженное действию растягивающих сил
F. Под действием этих сил F листы по плоскости сопри-
косновения стремятся сдвинуться относительно друг
друга. Этому сдвигу препятствуют угловые /вилковые)
сварные швы, в которых возникают растягивающие и
касательные напряжения. Так как прочность наплавлен-
ного металла шва на разрыв больше, чем на срез, то счи-
тают, что разрушение шва происходит от касательных
напряжений путем среза по наиболее слабой плоскости,
проходящей через биссектрису прямого угла. При этом
касательные напряжения принимают равномерно рас-
пределенными по площади среза. В действительности в
сварном шве возникает сложное напряженное состояние
188
Рис. 18.11
как по толщине шва, так и по его длине за счет укоро-
чения при остывании и неравномерного процесса сварки.
Для улучшения качества сварных швов используют ав-
томатическую сварку под слоем флюса и другие приемы.
Условие прочности по металлу сварного шва имеет
вид:
(18-23)
где N — продольная сила, передающаяся на фланговый шов; —
расчетная длина шва, принимаемая меньше его полной длины на
10 мм; kf — высота катета сварного шва; 0/ — коэффициент, прини-
маемый в зависимости от сварочной проволоки и вида сварки. При
ручной сварке 0/ = О,7; R^— расчетное сопротивление срезу по
металлу шва, принимается в зависимости от типа электродов. Для
электродов типа Э42 R^f =180 МПа, для электродов типа Э46 R®f =
= 200 МПа, и т. п.; ус — коэффициент условий работы, который из-
меняется от 0,7 до 1,1.
Обычно высоту катета сварного шва kf принимают по
конструктивным соображениям и из условия прочности
(18.23) находят расчетную длину сварного шва:
'«* + ' (18 И>
Пример. Определить длину фланговых швов соединения двух
стальных листов толщиной 6 = 8 мм (рис. 18.10), если F=0,2 МН,
^=180 МПа.
189
Решение. Примем высоту катета сварных швов kf = 6 мм. Tat
как фланговые швы расположены симметрично относительно линии
действия растягивающей силы F, то на каждый шов передается си-
ла, равная N = 0,5F. Расчетная длина сварного шва /(|)=0,5 0,2/6Х
ХЮ-3-0,7-180+1 = 13,2+1 = 14 см.
Сединение на болтах. При помощи болтов соединя-
ются металлические конструкции, работающие на рас-
тяжение, сжатие, изгиб и т. п.
Рассмотрим болтовое соединение двух стальных ли-
стов, воспринимающее растягивающее усилие F (рис.
18.11). Действительные условия напряженного состоя-
ния материала болтов и соединяемых листов довольно
сложны. При практических расчетах считают, что сое-
динение на болтах разрушается от среза по плоскости
поперечного сечения болта или от смятия листов (или
болта) по площади их соприкосновения. Если разру-
шение каждого болта происходит по одной плоскости
среза а—а, то такое соединение называется односрезным
(рис. 18.11, а), если по двум плоскостям среза а—а и b—
Ь, то соединение называется двухсрезным (рис. 18.11, б)
и т. д.
При расчете на срез для упрощения принимают, что
касательные напряжения в поперечном сечении среза
болта распределены по всей площади равномерно, и все
болты нагружены одинаково.
Расчетная сила Nb, которая может быть воспринята
Одиши болтом, на срез определяется по формуле
Mb <Rbs VbK (18.25)
где Rbs — расчетное сопротивление материала болта на срез, кото-
рое определяется в зависимости от класса прочности. Для класса
4.8ЯЬв=160 МПа, для класса 5-8/?&<,= 190 МПа и т.п.; A = itd2l4—
расчетная площадь сечения стержня болта; d — наружный диаметр
стержня болта; уь— коэффициент условий работы соединения; за-
висит от количества болтов и равен 0,8 при л <5; 0,9 при 5<л<10;
1,0 при л>10; ns — число расчетных срезов одного болта.
Расчет на срез обеспечивает прочность соединяемых
элементов, но при недостаточной толщине этих элемен-
тов могут возникнуть большие контактные напряжения
между стенками отверстий и болтом, что приведет к мест-
ным обмятиям и нарушению соединения. Для нормаль-
ной эксплуатации болтовых соединений контактные на-
пряжения смятия не должны вызывать развития остаточ-
ных местных деформаций.
Действительное распределение напряжений смятия
по площади контакта болта с отверстием детали очень
190
Рис. 18. 12
Рис. 18.13
сложно, поэтому напряжения контакта считают равно-
мерно распределенными по условной площадке, равной
проекции площади контакта на диаметральную плос-
кость болта, т. е. X = d6, где б—толщина листа.
Расчетная сила Л''ь, которая может быть воспринята
одним болтом из условия смятия, определяется по фор-
муле
(18.26)
где Ri>p — расчетное сопротивление болтового соединения на смя-
тие, которое принимается в зависимости от временного сопротивле-
ния сталей соединения и точности соединения. Для /?м=355 МПа
^бР = 350 МПа; для /?ы=365 МПа /?&р=365 МПа и т.п.; уь — коэф-
фициент условий работы соединения; S6 — наименьшая суммарная
толщина элементов, сминаемых в одном направлении.
Количество болтов п при действии продольной силы определя-
ется по формуле
п = N / (ус iVbniin) «
где A'tmin — меньшее из значений расчетной силы для одного бол-
та, вычисленное из условия на срез и на смятие.
Пример. Рассчитать болтовое соединение двух стальных листов
одинаковой толщины 6 = 0,8 см, нагруженное растягивающей силой
^=300 кН, если /?6р = 365 МПа, болты нормальной точности М20
(d==2,0 см) класса 5.6, /?р$=190 МПа (рис. 18.12).
Решение. Вычисляем расчетные силы одного болта при условии
п>5 по срезу Nb = RbsVbAna= 19-0,9(3,14-22/4) • 1 =53,7 кН, по смя-
тию Nb = RbpVbdZb = 36,5 -0,9- 2 -0,8 = 52,6 кН.
Требуемое число болтов для соединения листов n = F/Nb min=
= 300/52,6=5,7.
Принимаем п=6.
Соединения на врубках. В качестве примера рассмот-
рим конструкцию опорного узла деревянной стропиль-
ной формы на лобовой врубке (рис. 18.13).
191
Для создания прочного соединения в опорном узле
наклонного и горизонтального элементов фермы произ-
водят два расчета лобовой врубки: на скалывание и на
смятие. Под действием силы Н часть древесины гори-
зонтального элемента по плоскости скалывания abed
стремится сдвинуться. Для предотвращения сдвига не-
обходимо, чтобы несущая способность древесины была
больше сдвигающей силы //, т. е. ТС^Н.
Несущая способность древесины на скалывание оп-
ределяется по формуле
Т пСр д
1 СК хск ^ск ’
где /?ск — расчетное среднее сопротивление древесины скалыва-
нию; AcK=lcieb — расчетная площадь скалывания; b — ширина го-
ризонтального элемента; 1СК — длина площадки скалывания.
При известной ширине горизонтального элемента
фермы находим длину плоскости скалывания /Ск>#Д?скЬ.
По конструктивным соображениям согласно СНиП дли-
на скалывания должна быть /Ск^1,5й. Под действием
сжимающей силы в месте сопряжения наклонного
элемента с горизонтальным возникают местные сжима-
ющие напряжения и деформации смятия площади cdef.
Для предотвращения их развития необходимо, чтобы
несущая способность древесины на смятие была больше
силы ?Vi, т. е.
Несущая способность на смятие древесины опреде-
ляется по формуле
7 _р л
см сма см’
где /?сма— расчетное сопротивление древесины смятию под углом
а к направлению волокон; ACM = h\b[ — расчетная площадь смятия,
которая располагается перпендикулярно оси сжатого элемента;
Ь[ — ширина наклонного элемента; h\ — глубина врубки.
При известной ширине наклонного элемента фермы
находим глубину врубки:
\ ^j/^сма •
Согласно СНиП, глубина врубки должна быть
Пример. Определить для опорного узла фермы (рис. 18.13) дли-
ну скалывания и глубину лобовой врубки, если jVi = 50 кН, Н =
= 43,3 кН, 6=12 см, 6 = 16 см, я£Р=240 МПа, ЯСМзо = 900 МПа.
Решение. Длину скалывания определяем по формуле /Ск =
192
= Н/^Р& = 43300/240-10«-12-10-г=0,15 м=15 см<1,5й. Длину
скалывания принимаем конструктивно /СК=1,5А = 24 см.
Глубину лобовой врубки находим по формуле /u = Wi/Rcm зо& =
= 50 000/900-10е-12-10-2 = 0,046 м = 4,6 см.
ГЛАВА 19. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЕЧЕНИЙ
§ 19.1. Моменты инерции сечений
При определении напряжений и деформаций растя-
нутого или сжатого прямого бруса основной характери-
стикой поперечного сечения являлась только площадь
независимо от его формы. Другая характеристика плос-
кого сечения — статический момент сечения рассматри-
валась в теоретической механике при определении коор-
динат центра тяжести площади простых и сложных гео-
метрических фигур.
При изучении изгиба, кручения, внецентренного рас-
тяжения бруса вводятся более сложные геометрические
характеристики поперечных сечений — моменты инер-
ции сечения, которые учитывают не только его форму,
но и относительно каких осей вычисляются эти харак-
теристики.
Осевым или экваториальным моментом инерции се-
чения относительно некоторой оси называется сумма
произведений элементарных площадок dA на квадраты
их расстояний до этой оси, взятых по всей площади А.
Для плоского сечения (рис. 19.1) осевые моменты
инерции относительно осей Ох и Оу выражаются следу-
ющими формулами:
Jx =f y?dA и Jy = $ x*dA. (19.1)
A A
Полярным моментом инерции сечения относительно
некоторой точки (полюса) называется сумма произве-
дений элментарных площадок dA на квадраты их рас-
стояний до этой точки, взятых по всей площади, т. е.
/р=[рМЯ. (19.2)
А
Осевые и полярные моменты инерции всегда положи-
тельны, так как в их выражения под знаки интегралов
входят квадраты расстояний элементарных площадок
dA от данной оси или полюса.
13—480
193
Рис. 19.1
Сумма осевых моментов
инерции сечения относи-
тельно двух взаимно перпен-
дикулярных осей равна по-
лярному моменту инерции
этого сечения относительно
точки пересечения указан-
ных осей:
J + J = J или у? dA +
Л У к
А
4-J х?Л4 = J (х*+ у?) dA =
А А
= $p?dA. <19-3)
Центробежным моментом инерции сечения относи-
тельно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей
называется сумма произведений элементарных площадок
dA на их расстояния от этих осей, взятых по всей пло-
щади А, т. е.
Jxv=$xydA. (19.4)
А
Центробежный момент инерции может быть положи-
тельным, отрицательным или равным нулю. Центробеж-
ный момент инерции сечения относительно осей, из ко-
торых одна или обе совпадают с его осями симметрии,
равен нулю. Обозначение моментов инерции — м4 или
см4.
§ 19.2. Изменение моментов инерции
при параллельном переносе осей
При параллельном переносе прямоугольной системы
осей хОу в новое положение Х\0\у\ (рис. 19.2) значения
моментов инерции /х, Jy, Jxy заданного сечения изменя-
ются. Для вывода формул перехода запишем координа-
ты элементарной площадки dA в новой системе коорди-
нат х{0\у\ :Х1=х+& и у\=у-\-а. Тогда моменты инерции
заданного сечения относительно новой системы коорди-
нат Х\0\у\ будут равны:
= [у? = f (у + a)2 dA = jya dA + 2aJ xdA + аг J dA =
A A A A A
= Jx + 2aSx + a?A;
194
= .f dA = Г +
+ tv2 dA = f x2 dA +
A
4-2&J хЛ4 +
+ 6? f dA = Jy+2bSy +
A
-\-b*A\
J*\*k ~ f Xl = f +
A A
b)(y +<2) dA =
= Jxy 4“ abA a$y 4“ bSx»
где Sx и Sy — статические моменты сечения относительно старых
осей Ох и Оу.
В том случае, когда оси Ох и Оу проходят через центр
тяжести сечения (SX=S1Z=O), формулы перехода упро-
щаются:
^=^х + аМ; Jyi=Jy + b2A; JXiyi^Jxy + abA. (19.5
Если от произвольных осей переходят к осям
хОу, проходящим через центр тяжести площади сечения,
то моменты инерции относительно координатной системы
хОу записываются в таком виде:
Jxu = Jw ~abA- <19-6>
Моменты инерции сечения относительно осей, прохо-
дящих через его центр тяжести, имеют наименьшее зна-
чение по сравнению с моментами инерции относительно
других параллельных осей.
§ 19.3. Изменение моментов инерции при повороте
осей. Главные оси инерции. Главные моменты
инерции
Повернем координатную систему осей хОу вокруг точ-
ки 0 на некоторый угол а, т. е. до положения uOv (рис.
19.3) и найдем значения моментов инерции Ju, Jv, Juv от-
носительно осей vO и иО. Угол а считается положительным
при повороте системы осей хОу против хода часовой
13*
195
стрелки. Для осуществления перехода к новым осям вы-
разим координаты площадки dA в новой системе коор-
динат uOv через координаты в системе хОу\
v = у cos а — х sin а; и -- у sin а + х cos а.
Тогда момент инерции относительно оси Ои будет равен:
Ju = J v? dA = | (у cos а — х sin а)2 dA = cos2 af у2 dA +
A A A
+ sin2 a f x2dA — 2 sin a cos а [ xydA.
A A
ИЛИ
Ju — Jx cos2 а + Jy sin2 a — Jxy sin 2а. (19.7)
Момент инерции относительно оси Ov равен:
Jv = J и2 dA = [ (у sin а + х cos а)2 dA =
А А
= sin? а [ y2dA -J- cos2 а | х2 dA + 2 sin а cos а| xydA
А л А
ИЛИ
Jv = Jx sin2 а -J- Jу cos2 а 4- Jxy sin 2а. (19.8)
Центробежный момент инерции равен:
Juv = J uvdA = J (у cos а — х sin a)(t/ sin a +
A A
+ x cos a) dA = sin 2a -f- Jxy cos 2a. (19.9)
Сумма осевых моментов инерции относительно двух
взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную
величину при повороте на любой угол а, т. е.
=/х4-Л/.
При повороте осей осевые моменты Ju и изменяют
только свою величину, а центробежный момент инерции
Juv может изменить и
свой знак. Те взаимно
перпендикулярные оси,
относительно которых цен-
тробежный момент инер-
ции равен нулю (/иу =
=0), а осевые моменты
достигают экстремаль-
ных значений (один —
максимума, а другой —
минимума), называются
196
главными осями инерции. Осевые моменты относитель-
но главных осей называются главными осевыми момен-
тами инерции.
Угол а, при котором оси Ои и Ov будут главными, най-
дем из условия Jul, = 0, т. е. — sin 2a4-/Xt/COS 2а =
— О, откуда
tg 2а =—2JX£Z/(JX — J^). (19.10)
Из формулы (19.10) получим два значения угла пово-
рота: а и а+ 90°, что соответствует положению осей Ои
и Ov. Ось, относительно которой осевой момент инерции
имеет максимум, всегда составляет меньший угол с той из
осей (Ох и Оу), относительно которой осевой момент инер-
ции имеет большее значение.
Через любую точку, взятую на плоскости сечения или
вне его, можно провести главные оси инерции. Расчеты в
сопротивлении материалов производят только относитель-
но главных осей инерции, проходящих через центр тяже-
сти площади поперечного сечения. Моменты инерции от-
носительно главных центральных осей инерции называют-
ся главными центральными осевыми моментами инерции.
Сумма главных центральных осевых моментов инерции
имеет наименьшее значение (Jx+/i/ = rnin) из всех воз-
можных сумм осевых моментов инерции.
Положение главных центральных осей инерции для
простых симметричных фигур обычно определяется без
расчета, так как для любой симметричной фигуры цент-
робежный момент инерции относительно оси симметрии
равен нулю, т. е. ось симметрии является главной цент-
ральной осью инерции. Для сложных сечений положение
главных осей инерции определяют по формуле (19.10).
§ 19.4. Главные центральные осевые моменты
инерции простых сечений
В качестве простых фигур рассмотрим прямоуголь-
ник, квадрат, треугольник, круг и кольцо.
Прямоугольник, Для определения момента инерции
/х относительно центральной оси Ох рассечем мысленно
прямоугольник на множество горизонтальных полосок,
параллельных оси Ох, толщиной dy (рис. 19.4, а). Эле-
ментарная площадь каждой полоски равна dA = bdy.
Рассмотрим одну из них, находящуюся на расстоянии у
от оси Ох. Подставим значение dA в формулу (19.1):
197
Рис. 19.6
г 4/2
/x = \y2dA = f by* dy = bh3/l2.
A —h/2
Аналогично вычисляется момент инерции относительно
оси Оу (рие. 19.4, б):
д/2
( hx2 dx = hb3/\2.
А ~Ь/2
Квадрат, Зная моменты инерции для прямоугольника,
легко получить моменты инерции относительно централь-
ных осей для квадрата. Для квадрата h=a и Ь = а, тогда
Jx = jy = a*/\2.
Равнобедренный треугольник. Момент инерции отно-
сительно центральной оси Ох, параллельной основанию
треугольника (рис. 19.5, а)
(2/3)Л
= f byy2dy.
A ~h/3
198
Ширину полоски by найдем из подобия треугольника
ВОС и B\DC\by=bll2hf3 — у)/h, подставив которую в
интеграл, получим
C2/3)ft
, С b ( 2 , \ j bh*
Jk— 1 V "T" —У 1 У2 du — —
J h \ 3 * * * 36
-Л/3
Момент инерции относительно центральной оси Оу
(рис. 19.5,5)
Ы'2
Jy = [ х2 dA = 2 [ x2hxdx.
A b
Ширина полоски hx также определяется из подобия
соответствующих треугольников DCK и D\CK\'.hx =
=2h(b/2 — x)/b.
После подстановки в интеграл получим
Ь}2
Jv=^x2dA — 2 =
А О
Круг. Для круга вначале вычисляют полярный момент
инерции, а затем через него определяют моменты инер-
ции относительно центральных осей Ох и Оу. Рассечем
круг на множество колечек толщиной dp (рис. 19.6, а).
Площадь элементарного колечка, находящегося на рас-
стоянии р от центра круга, равна: d4=2npdp.
Полярный момент инерции круга
R
j = [ р2 dA = [ р2 2лрф = л/?4/2.
А 0
Моменты инерции круга относительно центральных
осей Ох и Оу
jx-Jv = jp /2 = ^*-
Кольцо. Рассечем кольцо также на множество коле-
чек, толщиной dp (рис. 19.6, б). Элементарная площад-
ка колечка dA=2npdp. Полярный момент инерции
кольца
R
Jp = J р2 dA = [ р2 2npdp = л (/?4 — г4)/2.
А г
Моменты инерции кольца относительно центральных
осей Ох и Оу равны: (/?4—г4)/4.
Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осе-
199
вые моменты инерции относительно двух взаимно пер-
пендикулярных центральных осей, одна из которых сов-
падает с осью симметрии, равны между собой: Jx=Jy =
= const, т. е. для квадрата, круга, кольца и равносторон-
него треугольника. Значения моментов инерции прокат-
ного сортамента: уголков, швеллеров, двутавров и др.
принимаются по таблицам ГОСТа.
§ 19.5. Вычисление моментов инерции сложных
сечений
Для вычисления главных центральных осевых момен-г
тов инерции сложной фигуры ее предварительно делят
на ряд простых частей, геометрические характеристики
которых могут быть вычислены по известным формулам
или найдены по справочным таблицам. Затем для каж-
дой части выбирается своя прямоугольная система коор^
динат. Для удобства расчета все системы координат ^от-
дельных частей принимают параллельными друг другу;
Находят положение центра тяжести сложной фигуры,
через который проводят центральные оси, параллельные
осям отдельных частей.
Вычисляют относительно этих осей осевые и центро-
бежный моменты инерции всего сечения. Затем находят
угол а, показывающий положение главных центральных
осей инерции, и вычисляют главные центральные осевые
моменты инерции.
Пример. Для сечения в виде уголка (рис. 19.7) определите? поло
жение главных центральных осей и вычислить главные центральные
осевые моменты инерции.
Решение. Разобьем сечение на два прямоугольника площадью
Hi = 20 см2 и Л2=26 см2. Проведем в каждом прямоугольнике оси
координат, проходящие через их центры тяжести. Выберем произ-
вольную систему координат xQOy0t параллельную осям каждого пря-
моугольника.
Относительно системы осей x0OyQ вычислим координаты центра
тяжести всей фигуры:
xc = Sx/A= (20-1 + 16-6)/(20+ 16) = 3,222 см,
yc = Sy/A = (20-5+ 16.9)/(20+ 16) = 6,778 см.
Через центр тяжести всей фигуры с проведем центральные оси
ехс и сус, параллельные осям х^Оуо, и вычислим относительно цент-
ральных осей моменты инерции:
jXc = 2.103/12 + 20-1,7782 + 8-23/12 + 16-2,222? = 314,2 см,
Jyc = 10-23/12 + 20-2,222? + 2-83/12 + 16-2,7782 = 314,2 см\
200
/я^ = 20(—2,222)(— 1,778) + 16-2,222.2,778 = 177,8 см*.
Находим угол а между осью схс и главной центральной осью си:
tg 2а =- MxcyJ(JXc — JVc) =— 2-177,8/314,2 — 314,2 =—оо,
а =—45°.
Вычисляем главные центральные осевые моменты инерции:
Ju = Jx0 cos2 45° + JVc sin- 45° — JXcyc sin (— 90°) =
= 314,2+ 177,8 = 492 см1,
Jv = JXc sin? 45° + Jyc cos2 45° + JXcyc sin (- 90°) =
= 314,2 — 177,8 = 136,4 cm1.
ГЛАВА 20. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА
КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
§ 20.1. Крутящие моменты. Построение эпюры
крутящих моментов
Кручением называется такой вид деформации, при
котором в поперечных сечениях бруса возникает только
один внутренний силовой фактор — крутящий момент
Мк, действующий в плоскости его поперечного сечения,
а все остальные внутренние силовые факторы равны ну-
лю. На практике явление кручения испытывают многие
элементы конструкций: трансмиссионные валы, валы дви-
гателей и турбин, винтовые пружины, элементы прост-
ранственных конструкций и другие.
Кручение прямого бруса происходит при нагружении
его внешними скручивающими моментами, действующи-
ми в плоскости, перпендикулярной продольной оси бру-
са. Внешние скручивающие моменты будем обозначать
Мск. Обозначение крутящих и внешних скручивающих
моментов Н-м или кН-м.
Характер деформации при кручении бруса во многом
зависит от формы его поперечного сечения. Кручение
бруса прямоугольного сечения или бруса, имеющего сече-
ГПТП^Р
Рис. 20.1
ние в виде швеллера,
значительно отлича-
ются от кручения бру-
са круглого сечения.
В данной главе рас-
сматривается кручение
прямого бруса только
круглого сечения, т. е.
в виде круга или коль-
ца. Вначале, так же
как и при растяжении,
от действия заданных
внешних скручиваю-
щих моментов находят
характер распределе-
ния вдоль оси бруса
крутящих моментов.
Определение крутящих
моментов производят
202
на основании метода сечений. Крутящий момент в
произвольном поперечном сечении бруса численно равен
алгебраической сумме внешних скручивающих момен-
тов, приложенных к оставшейся части бруса после его
мысленного рассечения на две части. Знак крутящего мо-
мента не играет существенной роли в расчетах, но для
удобства построения эпюры Л1К им присваивают знаки.
Условимся о следующем правиле знаков для AfK: крутя-
щий момент Л1к считается положительным, если при
взгляде в торец оставшейся части бруса внутренний кру-
тящий момент будет совпадать с ходом часовой стрелки.
Изменение крутящих моментов по длине бруса удобно
изображать в виде графика — эпюры крутящих момен-
тов. Каждая ордината эпюры Мк в принятом масштабе
равна крутящему моменту, действующего в том попереч-
ном сечении бруса, которому соответствует эта ордината.
В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручи-
вающий момент, ордината эпюры меняется скачком на
величину, равную значению этого момента.
Эпюра Мк строится по участкам, границами которых
являются сечения, где приложены внешние скручиваю-
щие моменты. Для произвольного сечения в пределах
каждого участка составляется условие статического
равновесия для оставшейся части в виде 2Л1к=0, из ко-
торого находится значение внутреннего крутящего мо-
мента.
Пример. Построить эпюру М* для бруса (рис. 20.1,а), закреп-
ленного в подшипниках В и С и нагруженного скручивающими мо-
ментами Л/1==500 Н-м, М2=300 Н-м, М3=200 Н-м.
Решение. В данном случае брус имеет четыре участка: BD, DH,
КТ и ТС. Будем считать, что в подшипниках В и С трение отсут-
ствует и брус может свободно поворачиваться. Тогда на двух край-
них участках BD и ТС не возникнет внутренних крутящих моментов.
На участке DH проведем сечение 1—/, перпендикулярное к оси
бруса. Для оставшейся левой части (рис. 20.1,6) запишем уравнение
статического равновесия SM2=—500+Л1Л =0, откуда Mk =
= 500 Н-м.
На участке КТ проведем сечение 2—2. Уравнение статического
равновесия для оставшейся левой части (рис. 20.1, в) запишется в
таком виде: 2Л12=—500+300+Л1Л1 = 0, откуда M/ej = 200 Н-м.
Из полученных выражений для Mk и Mk видно, что в преде-
лах участков DH и КТ крутящие моменты являются постоянными,
и графики их изменения изображаются прямой, параллельной оси
бруса. Эпюра Мк показана на рис. 20.1, а.
203
§ 20.2. Напряжения и деформации при кручении
бруса круглого поперечного сечения
Характер распределения деформаций при кручении
бруса круглого поперечного сечения исследуем на моде-
ли резинового стержня с нанесенной на его поверхности
сеткой в виде прямоугольников, составленных из парал-
лельных окружностей и продольных линий, параллель-
ных продольной оси стержня (рис. 20.2, а).
Под действием скручивающего момента Мск прямо-
угольники на поверхности бруса перекашиваются, при
этом продольные линии наклоняются, вид же окружно-
стей не меняется, а их взаимные расстояния остаются
почти прежними (рис. 20.2, б). При кручении происхо-
дит поворот одного сечения относительно другого н^ не-
который угол — угол закручивания, расстояние же меж-
ду параллельными окружностями не меняется. Допустим,
Что Характер деформаций, наблюдаемый на поверхности,
будет таким же и внутри бруса, что равносильно введе-
нию следующих гипотез:
1) поперечные сечения, плоские до деформации, ос-
таются плоскими и после деформации;
2) продольная ось стержня, прямая до деформации,
остается прямой и не удлиняется и не укорачивается;
3) радиусы, проведенные в любом поперечном сечении
брура, в процессе кручения не искривляются, т. е. оста-
ются прямыми.
1аким образом, деформации кручения бруса кругло-
го поперечного сечения происходит в результате сдвига
за счет взаимного поворота поперечных сечений относи-
тельно друг друга, в которых возникают только каса-
тельные напряжения, а нормальные напряжения равны
нулю, так как продольные деформации отсутствуют.
Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, име-
ющий жесткую защемляющую опору в сечении В и на-
груженный внешним скручивающим моментом Л4СК в се-
чении С. Пусть под действием момента Л4СК сечение С
повернется относительно неподвижного сечения В на не-
который угол ф (рис. 20.3, а). Выделим из бруса на рас-
стоянии z двумя смежными сечениями, перпендикуляр-
ными к его оси, бесконечно малый элемент длиной dz.
Очевидно, что взаимный угол поворота двух смежных
сечений для элемента dz будет равен t/ф. При этом про-
дольная линия £)/< на поверхности элемента отклонится
204
Рис. 20.2
также на малый угол у и займет положение DK\ (рис.
20.3,6). Угол сдвига у ввиду малости этого угла будет
tg у « у = KKJDK = KK-Jdz.
С другой стороны tgd(p«d(p = 7<7<]/r, откуда КК\ =
*=rdq, следовательно,
y — rdq/dz. (20.1)
Для внутреннего волокна, находящегося на расстоя-
нии р от центра тяжести сечения, угол сдвига мфжно
записать в таком виде:
yp = pd(p/dz. (20.2)
Используя закон Гука при сдвиге, получим касатель-
ные напряжения в рассматриваемых точках:
т = yQ =: Grdq/dz\ (20.3)
тр = 7р G = Gpdq/dz. (20.4)
Таким образом, в поперечных сечениях бруса при кру-
чении возникают касательные напряжения т, направлен-
ные в каждой точке перпендикулярно к радиусу. Вели-
чина касательного напряжения пропорциональна рассто-
янию каждой точки от центра поперечного сечения.
В центре касательные напряжения равны нулю, а в точ-
ках, расположенных в непосредственной близости от
внешней поверхности бруса, они достигают наибольшего
значения. Эпюра касательных напряжений вдоль любого
радиуса изображается наклонной линией (рис. 20.3, в).
Найдем зависимость между крутящим моментом Л1К
и касательными напряжениями, действующими в сечении
бруса. Рассмотрим произвольную площадку dA, распо-
ложенную в плоскости поперечного сечения и находящу-
юся на произвольном расстоянии р от центра сечения
/рис. 20.3,6). Поскольку крутящий момент Л4К является
205
равнодействующей касательных напряжений, действую-
щих во всех точках сечения, то можно записать:
Мк=ллТр ptiA'
Подставим в интеграл значение тР =pGdq>/dz, полу-
чим
Mk = { G (dff/dz) р? dA.
А
Так как Gdq)/dz=const, a fp2dA=Jp, где /р—по-
А
лярный момент инерции сечения, окончательно получим
= dq)/dz,
откуда
dyldz = Mk/GJQ. (20.5)
Подставим полученное значение dqjdz в формулу
(20.4) и найдем касательное напряжение в произвольной
точке поперечного сечения бруса, выраженное через Мк
и JР:
tli = MkplJQ.
(20.6)
206
Наибольшее касательное напряжение, возникающее
в непосредственной близости к наружной поверхности
бруса (при р=г),
где Wp—полярный момент-сопротивления поперечного сечения бру-
са: »'р=4 1г. :
Полярным моментом сопротивления сечения называ-
ется отношение полярного момента инерции к расстоя-
нию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной
его точки. Обозначение полярного момента сопротивле-
ния— м3 или см3. Для круглого поперечного сечения
Jp =пг4/2, тогда полярный момент сопротивления
lFp=Jp /г=лг3/2.
Аналогично вычисляются касательные напряжения
при кручении бруса, имеющего кольцевое сечение, так
как характер деформаций для круглого и кольцевого
сечений совпадает.
Касательные напряжения направлены перпендику-
лярно к радиусу во всех точках сечения, а эпюра т по
поперечному сечению изображается наклонной прямой
(рис. 20.4). Касательное напряжение у внутренней по-
верхности кольца определяется по формуле:
Значение касательного напряжения у наружной по-
верхности кольца (где оно достигает наибольшего значе-
ния) определяется по формуле:
Tm.x = jM* dJp = Mk/^p<
где Wq— полярный момент сопротивления кольцевого сечения.
Для кольцевого сечения полярный момент инерции
J£ = n(r4 — г4)/2, тогда полярный момент сопротивле-
ния кольца будет
W* = л (г6 - л4)/2г.
Из формулы (20.5) найдем взаимный угол поворота
двух смежных сечений для элемента длиной dz\
Jcp = ) dz.
Для бруса длиной I полный угол закручивания равен
сумме взаимных углов поворота его элементов dz, т. е.
/
<Р = f {Mk/GJp )dz.
207
При постоянных значениях AfK по длине бруса и- раз-
мерах поперечного сечения полный угол закручивания
определяется по формуле:
Ф = (20.7)
Произведение G/p называется жесткостью сечения
при кручении, т. е. характеризует способность бруса со-
противляться скручиванию. Угол закручивания ф изме-
ряется в радианах. Более удобной характеристикой де-
формации бруса при кручении является относительный
угол закручивания Q=ME/GJP , измеряется в 1/м.
§ 20.3. Расчет на прочность и жесткость
при кручении
Стержни круглого сечения, работающие на кручение,
в основном применяются в машиностроении. Из таких
стержней изготовляют разного вида валы, служащие для
передачи вращательного движения от одного агрегата к
другому. В дополнение к кручению валы испытывают
изгиб от собственного веса, натяжения ременных передач
и других факторов. При вращении вала напряжения все
время изменяются, что приводит металл к усталостному
разрушению, поэтому расчет на прочность валов при кру-
чении производят по пониженным значениям допускае-
мых касательных напряжений [т], которые принимают-
ся: для стали [т] = (0,5—0,55) [ст]; для чугуна [т] --
= [ор], где [ор]—допускаемое напряжение при растя-
жении.
Перед расчетом на прочность и жесткость от задан-
ных скручивающих моментов по длине вала строят эпю-
ры внутренних крутящих моментов МЕ. Если вал имеет
постоянное поперечное сечение, то опасным сечением бу-
дет то, где действует наибольший крутящий момент
Af/tmax. Проверка прочности при известных размерах се-
чения в опасном сечении производится по формуле:
Tmax = |Mftraax|/lFp<[T].
Если вал имеет ступенчатое изменение поперечных
сечений по длине, то проверку напряжений производят
для каждого участка вала отдельно по наибольшим зна-
чениям Мк для этих участков.
Подбор поперечных размеров вала ступенчатого или
постоянного поперечного сечения также производят по
208
наибольшим значениям крутящих моментов для каждого
участка по формуле:
тр = | max |/W *
По полученному полярному моменту сопротивления
Гртр находят требуемый диаметр вала.
Кроме расчета на прочность валы рассчитываются на
жесткость ввиду того, что недостаточная жесткость, т. е.
появление больших углов закручивания, может привести
к появлению крутильных колебаний и другим нежела-
тельным последствиям, нарушающим условия нормаль-
ной эксплуатации.
Условие жесткости записывается в виде 0^[0], где
[0]—допускаемый относительный угол закручивания.
Его значение для разных условий работы вала колеблет-
ся в широких пределах: [0]= (0,15—20)град/м или [0] =
= (0,26—3,5)10"4 рад/см. Из вычисленных значений ди-
аметра вала при расчете на прочность и жесткость при-
нимают наибольший, который округляют до ближайшего
стандартного значения.
ГЛАВА 21. ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА
§ 21.1. Основные понятия
Рассмотрим прямой брус (рис. 21.1,а), который за-
тем нагрузим системой взаимно уравновешенных парал-
лельных сил Fi, F2 и F3, направленных перпендикуляр-
но к его продольной оси (рис. 21.1, б). Под действием этой
системы сил брус изогнется, т. е. первоначально прямая
продольная ось бруса перейдет в некоторую кривую ли-
нию. При этом нижние волокна бруса удлинятся, а верх-
ние волокна укоротятся, т. е. нижняя часть сечения бу-
дет испытывать растяжение, а верхняя часть — сжатие.
Деформация прямого бруса, при которой происходит
искривление его продольной оси, называется изгибом.
Брус, испытывающий деформацию изгиба, называется
балкой.
В инженерных конструкциях многие элементы испы-
тывают деформацию изгиба, например, прогоны и пли-
ты перекрытий зданий, рандбалки и подкрановые балки,
железнодорожные рельсы и т. п.
В данной главе рассматривается изгиб балок, когда
все действующие нагрузки перпендикулярны продольной
14—480
209
a)
Рис. 21.1
оси балки и расположены в одной плоскости (силовая
плоскость), проходящей через одну из главных централь-
ных осей инерции каждого поперечного сечения. Такой
вид изгиба называется прямым изгибом. В этом случае
изогнутая ось балки представляет собой плоскую кривую,
лежащую в плоскости действия внешних нагрузок. При
прямом изгибе в поперечных сечениях балки возникают
два внутренних силовых фактора: изгибающий момент
М и поперечная сила Q, а все остальные внутренние си-
ловые факторы равны нулю.
Изгибающий момент представляет собой равнодейст-
вующий момент нормальных сил упругости, действующий
в плоскости внешних нагрузок и направленный перпен-
дикулярно к поперечному сечению балки, M = ^(jzydA.
А
Поперечная сила представляет собой равнодейству-
ющую касательных сил упругости, направленную пер-
пендикулярно к продольной оси балки и лежащую в пло-
скости ее поперечного сечения, Q = JtcM.
.4
Обозначение изгибающего момента Н-м или кН-м —
= 103 Н-м, поперечной силы Н или кН.
Если в поперечном сечении балки возникает только
один изгибающий момент, то такой случай изгиба назы-
вается чистым изгибом.
В реальных сооружениях балки соединяются со
стенами, колоннами и другими элементами с помощью
210
их замоноличивания в стену, простого опирания на ко-
лонну или каким-либо другим способом. При переходе
к расчетной схеме все разнообразие реальных соединений
заменяется условными опорами следующих видов: шар-
нирно-подвижной, шарнирно-неподвижной и жесткой за-
щемляющей опорой. Сама балка заменяется осевой ли-
нией, проходящей через центры тяжести всех ее попереч-
ных сечений, к которой непосредственно прикладывают-
ся внешние нагрузки.
Из различных комбинаций условных опорных связей
можно получить три вида балок: консольную балку
(рис. 21.2, а), однопролетную балку (рис. 21.2,6), одно-
пролетную балку с консолями (рис. 21.2, в). В данной
главе рассматриваются только статически определимые
балки, поэтому все опорные реакции в опорных связях
можно определить из уравнений статического равно-
весия.
§ 21.2. Построение эпюр изгибающих моментов
и поперечных сил при изгибе балки
Сначала определяются опорные реакции, затем в по-
перечных сечениях балки вычисляются значения внут-
ренних силовых факторов: изгибающих моментов М и
поперечных сил Q. Определение М и Q производят ме-
тодом сечений. Для наглядного представления изменения
М и Q по длине балки строят соответствующие эпюры
М и Q.
Эпюрой изгибающих моментов называется график,
изображающий закон изменения изгибающих моментов
по длине балки. Эпюрой поперечных сил называется
график, изображающий закон изменения поперечных сил
по длине балки. Изгибающий момент считается положи-
тельным, если в рассматриваемом сечении балка изги-
бается выпуклостью вниз (нижние волокна растянуты).
Поперечная сила считается положительной, если ее на-
правление совпадает с вращением оставшейся части
балки по ходу часовой стрелки.
Вычисление Л1 и Q производится в предположении от-
сутствия деформаций балки, т. е. по ее первоначальной
недеформированной схеме. Детально методика построе-
ния эпюр М и Q рассматривается в примерах.
Пример. Для однопролетной балки (рис. 21.3,а), нагруженной
посередине пролета сосредоточенной силой F, построить эпюры
М и Q.
14*
211
4/2 jz t/2
_____J
Ж> iW*p
ft * Kb
ftwW’’ «
Рис. 21.4
Рис. 21.3
Решение. Вначале найдем значения опорных реакций Нв, Rb и
Rc. Введем второе, дополнительное правило знаков, по которому мо-
мент (от внешних и внутренних сил) считается положительным, если
он направлен по ходу часовой стрелки, отрицательным — против ча-
совой. Этим правилом знаков будем пользоваться при записи урав-
нений статического равновесия.
Три опорные реакции найдем из следующих трех уравнений ста-
тики:
SZ = 0; Яв = 0;
ЪМВ = 0; Fl/2 — Rc I = 0, откуда Rc = F/2;
%МС = 0; RBl — Fl/2 = Qt откуда RB = F/2.
Проверка: 2 У=Rb—F+ Rc=F/2—F+F/2 — 0.
Изменение M, а также Q в различных сечениях по длине балки
происходит по разным законам и зависит от вида внешних нагрузок
и вида опорных связей, поэтому балку делят на отдельные участки,
в пределах которых изменение М и Q происходит по постоянному
для данного участка закону. Границами участков являются попереч-
ные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные на-
грузки (силы или моменты), опорные реакции, начинается либо за-
канчивается распределенная нагрузка или в которых интенсивность
распределенной нагрузки начинает меняться по новому закону.
В данной балке таких участков два: участок BD и участок DC. По-
местим начало координатной системы yOz в точке В, тогда границы
участков будут для BD(0cz<//2) и для DC(//2<z</). Для опреде-
ления характера изменения М и Q на этих участках проведем на
участке BD и сечение 1—1 и на участке DC — сечение 2—2, отстоя-
щие от начала координат на текущем расстоянии z (рис. 21.3, а).
Построение эпюры М.
212
Сечение 1—1. Рассечем балку сечением 1—/, перпендикулярным
к его продольной оси, на две части (рис. 21.3,б). Возникшие в обе-
их разрезанных частях балки М и Q примем положительными так,
как показано на рис. 21.3,6. Следует отметить, что для левой части
положительная поперечная сила Q направлена вниз, а для правой
части положительная поперечная сила направлена вверх, так как
только в этом случае каждая из них соответствует вращению остав-
шейся части балки по ходу часовой стрелки.
Отбросим правую часть балки (для упрощения расчета следует
отбрасывать ту часть балки, на которую действует большее число
сил). Для определения Л4 запишем условие равновесия левой или
правой части балки относительно центра тяжести поперечного сече-
ния, совпадающего с проведенным разрезом 1—1. Можно записать
уравнение равновесия относительно другой точки, но тогда в него
вошла бы неизвестная пока поперечная сила Q, что усложнит за-
дачу, так как пришлось бы решать систему двух уравнений с двумя
неизвестными.
Уравнение равновесия для левой части запишется: 2М^ев=0;
RBz—7^ = 0, откуда Mi = RBz = Fz/2.
Запишем условия статического равновесия для правой части
балки:
£a1p1 = ^1 + F(//2-z)-/?c(/-2)=0,
откуда
=- р (//2 — z) + F (I — г) 12 = Fz/2.
Получим тот же результат.
Изгибающий момент М, представляющий собой результирую-
щий момент внутренних нормальных сил упругости относительно
нейтральной линии, численно равен алгебраической сумме момен-
тов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.
Из полученного решения следует, что изгибающий момент на
участке BD имеет положительное значение и изменяется по линей-
ному закону (так как z входит в решение в первой степени).
График М изображается наклонной прямой, имеющей значения в
крайних точках участка BD при z=0, Mi=0; при z=l/2 Mi=RbI/2.—
— Fl/4.
Сечение 2—2. На участке DC проведем сечение 2—2 (рис.
21.3, в). Отбросим правую часть и оставим левую. Запишем усло-
вие равновесия для левой части относительно центра тяжести се-
чения, совпадающего с проведенным сечением 2—2. SM2=0, RBz—
—F(z-—1/2)—jM2 = 0, откуда M2=RBz—F(z—l/2).
На участке DC изгибающий момент также всюду положитель-
ный и изменяется по линейному закону, т. е. по наклонной прямой.
Вычислим значения изгибающих моментов в двух крайних сечениях
участка DC при z=l/2 M2=Fl/$—F(l/2—l/2)=Flib\ при z=l Mz —
= Fl/2—F (1-1/2) =0.
Складывая графики изменения изгибающих моментов на участ-
ках BD и DC, получим полную эпюру М в заданной балке (рис.
21.3, г). Положительные ординаты эпюры изгибающих моментов
откладываются вниз от продольной оси балки, а отрицательные —
вверх. При таком правиле построения ординаты эпюры М получа-
ются расположенными со стороны растянутых волокон балки.
Построение эпюры поперечных сил Q
213
Для определения законов изменения поперечных сил в балке
воспользуемся теми же сечениями 1—/ и 2—2, проведенными в пре-
делах участков BD и DC.
Сечение 1—1. Из условия равновесия ХУ=0 для левой остав-
шейся части балки (рис. 2L3,6) получим 2У=—Qi4-/?a=0, откуда
QJ=/?>==f/2.
Запишем условия статического равновесия для правой части
2<y=QI-F4-/?c = 0, откуда Qf=F—Г/2=Г/2.
Получен тот же результат.
Поперечная сила Q, представляющая собой равнодействующую
внутренних касательных сил упругости, численно равна алгебраи-
ческой сумме проекций на ось, перпендикулярную к продольной оси
балки, всех сил, действующих по одну сторону от сечения.
Из полученного решения следует, что поперечная сила во всех
сечениях участка BD имеет одно и то же положительное значение
Qi=Fj2t Поэтому график поперечной силы будет изображаться
прямой, параллельной оси г.
Сечение 2—2. Из условия равновесия ХУ=0 для правой остав-
шейся части балки (рис. 21.3, в) получим 2У =ф2-ЬЯс = 0, откуда
Qa----R ~-F/2.
СледоваТ’ельно, на участке DC поперечная сила во всех сече-
ниях также имеет одно и то же отрицательное значение Q2=—F/2.
График Q2 изображается прямой, параллельной оси z, но с отрица-
тельными ординатами.
Складывая графики изменения поперечных сил на участках BD
и DC, получим полную эпюру Q в. заданной балке (рис. 21.3,д).
Положительные ординаты эпюры поперечных сил откладываются
вверх от' продольной оси балки, а отрицательные — вниз.
Пример. Для однонролетной балки, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой интенсивностью q, построить эпюры М
и Q (рис. 21.4,а).
Решение. Вначале определим опорные реакции Нв, Rb и Rc.
Так как внешняя действующая нагрузка направлена вертикально,
то горизонтальная опорная реакция Нв равна нулю.
Для определения реакции Rc составим уравнение ХЛ4а=0:
^MB = qll[2—Rcl, откуда Rc—qtl2.
Опорную реакцию RB найдем из уравнения 2Л1с = 0: 2Л4с=
=—ql2/2 + RBl = 0, откуда RB=qll2.
Проверка: 2 У=RB—ql + Rc = ql/2—ql4- ql/2 = 0.
Построение эпюры М.
Заданная балка имеет один участок, поэтому достаточно про-
вести одно сечение 1—1 на произвольном расстоянии z от начала
координат (рис. 21.4, а). Отбросим правую часть и заменим ее
влияние внутренними усилиями Afi и Qi (рис. 21.4,6). Для опреде-
ления изгибающего момента Mi составим уравнение моментов для
левой отсеченной части относительно центра тяжести сечения 1—/.
27WjeB = RBz—qz2/2—Mi = 0, откуда Mi = qlz/2—qz2/2.
Изгибающие моменты в сечениях балки положительны и изме-
няются по квадратной параболе. Вычислим значение моментов в
трех сечениях: яри z=0Ali = 0; ври z=//2 Mt = ql2/4—ql2/&=ql2/&, при
z=Z Mi=0. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 21.4, в,
Построение эпюры Q.
Поперечную силу Qi в сечении 1—1 найдем из уравнения ста-
214
ДОММИШНМ1
1--—i
и)
Рис. 21.6
Ряс. 21.5
тики для левой оставшейся части балки: 2У=/?в—<?2=0, откуда
Qx = qll2—qz.
Поперечные силы по длине балки изменяются по линейному за-
кону. Вычислим значения поперечных сил в крайних сечениях бал-
ки: при z=0, Q\ = qll2 при z=l Qi=ql/2-—<?/ =—ql/2. Эпюра попереч-
ных сил приведена на рис. 21.4, г.
В среднем сечении балки при z=l/2 Qt = ql/2—ql/2 = Q.
Пример. Для консольной балки, нагруженной на свободном
конце сосредоточенной силой F, построить эпюры М и Q (рис.
21.5, а).
Решение. В консольной балке можно не находить опорные ре-
акции, но тогда для вычисления внутренних силовых факторов
необходимо отбрасывать (после проведения мысленного разреза
балки) часть балки с жесткой защемляющей опорой, оставляя часть,
не содержащую опорных связей.
В данном случае балка имеет один участок ВС (0<г<1), по-
этому достаточно провести одно сечение 1—1 (рис. 21.5, б) в пре-
делах этого участка.
Построение эпюры Л4.
Сечение 1—1. Из условия равновесия 2Л4{1ев = 0 для левой
части находим SAfJeB =—Fz—Mi=0, откуда M\=—Fz.
Изгибающий момент изменяется по линейному закону при 2=0
М1 = 0; при 2=/ Л41 = —FI.
Эпюра изгибающих моментов в балке показана на рис. 21.5, в.
Построение эпюры Q
Сечение 1—1. Из условия равновесия 2У=0 для левой части
находим Qr. 2У=—F—Qi=0, откуда Qi = —F.
Поперечная сила во всех сечениях консольной балки постоян-
ная и имеет отрицательное значение, равное Qi =—F.
Эпюра Q показана на рис. 21.5, г.
215
Пример. Для консольной балки, нагруженной равномерно рас-
пределенной нагрузкой интенсивностью q, построить эпюры М и Q
(рис. 21.6, а).
Решение. Здесь также балка имеет один участок ВС
в пределах которого проведем сечение 1—1.
Построение эпюры М.
Из условия равновесия 27WfeB =0 для левой части (рис. 21.6,6)
находим Alb SMfeB=— qz2j2—Ah=0, откуда Mi=—t?z2/2.
По длине участка изгибающий момент М\ изменяется по зако-
ну квадратичной параболы. Вычислим значение М\ в крайних се-
чениях: при г=0, Л41=0; при z=/, Лй=—?/2/2.
Эпюра Д4 изображена на рис. 21.6, в.
Построение эпюры Q
Из условия равновесия £У=0 для левой части балки находим
Qi: 2«У=—qz— Qi=0, откуда Qi=—qz.
По длине участка поперечные силы изменяются по линейному
закону: при z=0 Qi = 0; при z=l Q} = —ql.
Эпюра Q изображена на рис. 21.6, г.
§ 21.3. Дифференциальные зависимости между
изгибающим моментом, поперечной силой
и интенсивностью распределенной нагрузки
Изгибающий момент М, поперечная сила Q и интен-
сивность внешней распределенной нагрузки q, действую-
щей на балку (рис. 21.7, а), связаны между собой опре-
деленными зависимостями. Выделим в пределах дейст-
вия распределенной нагрузки двумя сечениями бесконеч-
но малый элемент длиной dz. По левому и правому
сечениям этого элемента возникают положительные изги-
бающие моменты и положительные поперечные силы, ко-
торые возрастают с увеличением абсциссы z (рис.
21.7,6). Если в левом сечении элемента dz возникает
изгибающий момент М, то в правом сечении он будет ра-
вен M-\-dM. Аналогичные приращения получает и попе-
речная сила. Интенсивность q распределенной нагрузки
в пределах бесконечно малого элемента dz будем счи-
тать постоянной и положительной, если ее направление
совпадает с положительным направлением оси Оу.
Под действием всех приложенных усилий элемент
dz, так же как и вся балка, находится в равновесии. Со-
ставим уравнение статического равновесия элемента dz
в виде суммы моментов действующих на него сил отно-
сительно центра тяжести О среднего сечения:
1 1 1
2Л40 = М — (М + dM) + — Qdz + — Qdz +— dQdz = 0.
X ~ &
216
Рис. 21.7
f)
, dz
Q*dQ
Отбрасывая бесконечно малые величины второго по-
рядка, получим — dM-\-Qdz=Q, откуда
dM/dz = Q. (21.1)
Таким образом, первая производная от функции из-
гибающего момента по длине балки равна поперечной
силе.
Запишем второе уравнение статического равновесия
для элемента dz в виде суммы проекций на ось Оу всех
сил, действующих на этот элемент: 1,y=qdz-{-Q — Q—
dQ=0, откуда
q = dQ/dz = d?M/dz?. (21-2)
Следовательно, первая производная от функции по-
перечной силы по длине балки равна интенсивности рас-
пределенной нагрузки, перпендикулярной к ее продоль-
ной оси.
Известно, что первая производная равна тангенсу уг-
ла а между осью Oz и касательной к кривой у=ф(г).
На основании полученных зависимостей между М, Q и
q можно сделать следующие выводы изгиба балок:
1) тангенс угла наклона касательной к эпюре изги-
бающих моментов в сечении балки и осью эпюры равен
поперечной силе в этом сечении;
2) на участках балки, на которых поперечная сила
положительна, изгибающий момент возрастает, а на уча-
стках, на которых она отрицательна, соответственно убы-
вает;
3) изгибающий момент достигает максимума или ми-
нимума в сечениях балки, в которых поперечная сила
равна нулю;
4) на незагруженных участках балки эпюра изгибаю-
щих моментов изменяется по линейному закону, а эпюра
поперечных сил постоянная;
5) в пределах действия распределенной нагрузки
217
эпюра М изменяется по кривой, выпуклость которой
совпадает с направлением внешней нагрузки. Если рас-
пределенная нагрузка имеет постоянную интенсивность,
то эпюра М изменяется по закону квадратичной парабо-
лы, а эпюра Q изменяется по линейному закону;
6) в сечении балки, где приложена внешняя сосредо-
точенная сила, эпюра М имеет точку перелома, а эпюра
Q меняется скачком на величину приложенной внешней
силы;
7) в сечении балки, где приложен внешний сосредо-
точенный изгибающий момент, значение внутреннего из-
гибающего момента меняется скачком на величину при-
ложенного момента, а эпюра Q не изменяется, т. е. име-
ет одно и то же значение слева и справа от сечения;
8) в сечении балки, совпадающем с началом или кон-
цом действия распределенной нагрузки или в котором
интенсивность распределенной нагрузки начинает менять-
ся по новому закону, эпюра М не имеет перелома, а на
эпюре Q возникает точка перелома.
Использование полученных выводов значительно уп-
рощает построение эпюр М и Q при изгибе балок, а так-
же является удобным способом для контроля правиль-
ности их построения.
На основе этих зависимостей можно строить эпюры
М и Q в балке без составления аналитических выраже-
ний для соответствующих сечений. Для этого достаточно
вычислить значение изгибающих моментов и поперечных
сил в характерных сечениях балки, совпадающих с гра-
ницами участков, затем провести прямую, если на этом
участке отсутствует распределенная нагрузка, или кри-
вую, если она имеется. Поясним данный способ постро-
ения эпюр М и Q.
Пример. Для балки (рис. 21.8, а) построить эпюры М и Q.
Решение. В данной балке три участка: ВС, CD и DK. На участ-
ках ВС и DK нет внешней распределенной нагрузки, поэтому на
этих участках эпюра М изменяется по линейному закону, а эпюра Q
имеет постоянное значение. На участке CD приложена внешняя
равномерно распределенная нагрузка, в его пределах эпюра М из-
меняется по квадратной параболе, а эпюра Q — по линейному за-
кону.
Из уравнений статического равновесия находим опорные ре-
акции:
SZ — 0; Яс = 0;
=— 2-3 + 2-5-2,5 + 3 — RD 5 = 0, откуда RD = 4,4 кН;
218
О)
Рис. 21.9
=—2*8 — 2.5«2,5 + 3 +/?с5 = 0, откуда /?с = 7,6 кН.
Проверка: 2У=—2+7,6—2-5 + 4,4=0.
Вычислим значения М и Q в характерных сечениях балки.
Сечение В. Л4в = 0, так как слева от сечения нет сил, а линия
действия силы F проходит через сечение В. Qb=—2 кН, так как
для сечения правее точки В из уравнения 2У=0 следует, что попе-
речная сила будет постоянной до границы участка ВС.
Сечение С. Мс=—2-3=—6 кН-м (из условия равенства внут-
реннего изгибающего момента моменту всех сил относительно сече-
219
ния В, расположенных слева от этого сечения. Так как в сечении С
приложена сосредоточенная опорная реакция /?с=7,6, направленная
снизу вверх, то на эпюре Q появится скачок, равный этой силе.
Поэтому вычислим в этом сечении два значения поперечных сил:
слева от сечения Q^eB и справа от сечения Q"p; С?сев = —2 кН;
Q”P=_2+7,6=5,6 кН.
Сечение D. MD — — 2-8—2-5-2,5+7,6-5=—3 кН-м. В сечении D
действует опорная реакция /?д=4,4 кН. Находим два значения по-
перечных сил: слева от сечения QpeB = —2+7,6—2-5=—4,4 кН; и
справа Q£p=—2+7,6—2-5+4,4=0.
Сечение К. В крайнем сечении К приложен внешний изгибаю-
щий момент Л4 = 3 кН-м, который вызывает растяжение верхних во-
локон балки. Согласно принятому правилу знаков, М считается
отрицательным, поэтому Л4х=—3 кН*м. Поперечная сила сечения К
равна нулю, так как это сечение является крайним и к нему не
приложена сосредоточенная сила.
По вычисленным значениям строим эпюры М и Q (рис. 21.8,6,
в). На участке CD в сечении L поперечная сила равна нулю, следо-
вательно, в этом сечении изгибающий момент достигает максималь-
ного значения. Расположение сечения L находится из подобия
треугольников эпюры Q на этом участке, т. е. aL = 5- 5,6/10=2,8 м.
Максимальный изгибающий момент в сечении L:
ML=— ;2«5,8 + 7,6-2,8 — 2-2,8-2,8/2 = 1,84 кН-м.
: Дифференциальную зависимость между М и Q можно нагляд-
но представить и использовать для построения и проверки пра-
вильности, эпюр М и Q.
Рассмотрим произвольный участок п балки длиной 1п с абсцис-
сами Z\ и г2 (рис. 21.9). Запишем дифференциальную зависимость
между М и Q, т. е. dM!dz = Q или dM=Qdz.
Проинтегрируем левую и правую часть этого выражения в пре-
z, z2 z2
отрезка п J dM= J Qdz, откуда Л4г — M2i = J Qdz =
Zt Zj Zi
= или в обозначениях (см. рис. 21.9) получим Мп = Мп-\ +
-lQQnt где Мп — значение изгибающего момента в правом сечении
участка л; Л4я-1 — значение изгибающего момента в левом сечении
участка п\ —площадь эпюры поперечных сил на участке п.
Таким образом, изменение величины изгибающего момента на участ-
ке длиной 1п равно площади эпюры поперечных сил на этом участ-
ке. Эта зависимость справедлива при условии, если на данном
участке не приложены внешние сосредоточенные изгибающие мо-
менты.
Используя вторую дифференциальную зависимость между Q и
интенсивностью распределенной нагрузки q можно получить сле-
дующее: фя=<2л-1 + Одп, где Qn и Qn-i — соответственное значе-
ние поперечной силы в правом и левом сечениях участка п\ Qqn —
п.:ощадь эпюры распределенной нагрузки на участке п. Таким об-
разом, изменение величины поперечной силы на участке балки дли-
ной In равно площади эпюры распределенной нагрузки q.
22Q
Проверим эпюру М (рис. 21.8,6). Вычислим изгибающие мо-
менты в характерных сечениях балки.
В сечении С: Mc = Mb + &qbc =0—2’3 = —6 кН-м;
в сечении L: Ml=Mc + &qcl =-6 + 5.6-2,8/2= 1,84 кН-м;
в сечении D: Md=Ml-\-^q^d=\>84—4,4-2,2/2=—3 кН-м;
в сечении К: Mx=Md+QqD7<=—3 + 0=—3 кН-м.
Результаты расчетов совпадают — эпюра М построена верно.
При действии на балку большого числа внешних нагрузок эпю-
ры М и Q строят отдельно от каждой нагрузки. Полученные ре-
зультаты алгебраически суммируют.
§ 21.4. Нормальные напряжения при изгибе балки
При прямом изгибе балки в ее сечениях возникают
изгибающие моменты и поперечные силы. Рассмотрим
простой случай изгиба (чистый изгиб), когда в попереч-
ных сечениях возникают только изгибающие моменты,
например, изгиб балки, нагруженный двумя равными,
противоположно направленными сосредоточенными мо-
ментами (рис. 21.10, а).
Предположим, что поперечное сечение балки имеет
ось симметрии Оу, т. е. главную центральную ось инер-
ции, лежащую в плоскости изгиба, а другую главную ось
перпендикулярную к ней. На участке чистого изгиба бал-
ки выделим двумя сечениями, отстоящими на расстоянии
Z и Z+dz от опоры В, бесконечно малый элемент дли-
ной dz (рис. 21.10, в). Действие отброшенной левой ча-
сти балки на этот элемент по его левому сечению пред-
ставим в виде изгибающего момента Мх. Действие пра-
вой отброшенной части балки по правому сечению
элемента dz представим в виде элементарных сил czdA,
приложенных в каждой элементарной площадке dA по-
перечного сечения и направленных параллельно оси Oz.
Из шести уравнений равновесия элемента йгтри об-
ращаются в тождества, а именно: SX=0, 2У = 0, 2Л42=
= 0, так как элементарные силы параллельны оси Oz.
Запишем три другие уравнения равновесия для элемен-
та dz:
S Л4Х = (‘ yozdA = Л4Х; Му = ЪМУ = J х <JzdA = 0 (Му) = 0,
А А
так как в плоскости xOz не происходит изгиб балки; W2 = SZ =
= \ctdA = 0 (Nz = Q, так как внешние моменты не дают проекций
А
сил на ось oz).
221
Однако этих трех статических условий недостаточно
для определения закона распределения нормальных на-
пряжений по поперечному сечению, так как интеграль-
ной сумме нормальных напряжений по поперечному сече-
нию может удовлетворять бесчисленное множество их
значений. Поэтому в дополнение к уравнениям статики
необходимо составить геометрические и физические
уравнения, связывающие деформации и напряжения при
изгибе балки. Характер деформации при чистом изгибе
рассмотрим на модели балки с нанесенной на ее боко-
вую поверхность сеткой в виде прямоугольников, кото-
рые образованы линиями перпендикулярными и парал-
лельными продольной оси (рис. 21.11, а). При изгибе
двумя внешними моментами, приложенными по концам
балки, продольные линии примут криволинейное очер’
тание, а линии, перпендикулярные к продольной оси,
наклонятся, оставаясь прямыми и нормальными к ис-
кривленным продольным линиям (рис. 21.11, б). При
этом происходит удлинение горизонтальных граней пря-
222
моугольников у выпуклой стороны балки и укорочение—
у вогнутой стороны. Так как переход по высоте балки
от тех волокон, которые удлиняются, к тем волокнам,
которые укорачиваются, происходит постепенно, то меж-
ду ними существует слой волокон, которые искривляют-
ся, но не меняют своей длины. Такой слой называется
нейтральным слоем, а его след на плоскости попереч-
ного сечения — нейтральной линией или нейтральной
осью.
Предположим, что характер распределения продоль-
ных деформаций, наблюдаемых на боковой поверхности
балки, будет таким же и внутри ее, т. е. во всех слоях,
параллельных боковым, также происходит постепенный
переход от удлинения к укорочению продольных воло-
кон. Каждая линия сетки, перпендикулярная к оси бал-
ки, представляет собой след плоскости поперечного се-
чения на боковую поверхность балки. Поскольку эти ли-
нии остаются прямыми, то для каждого поперечного
сечения справедлива гипотеза плоских сечений. Таким
образом, поперечные сечения, плоские и нормальные к
оси балки до изгиба, остаются и после изгиба плоскими
и нормальными к изогнутой оси балки, т. е. поперечные
сечения взаимно наклоняются, вращаясь около своих
нейтральных осей.
Для исследования деформаций вновь рассмотрим
бесконечно малый элемент длиной dzt выделенный из
балки (рис. 21.11, а).
Итак, после изгиба все продольные волокна элемен-
та искривятся по цилиндрической поверхности около
общего центра кривизны С. При этом нижние волокна
удлиняются, а волокна нейтрального слоя сохранят свою
первоначальную длину, равную dz. Крайние сечения по-
вернутся и образуют между собой малый угол dtp (рис.
21J2,а). Обозначим радиус кривизны нейтральных во-
локон через р. Тогда волокна, отстающие от нейтраль-
ного слоя на расстоянии у, будут иметь радиус кривиз-
ны, равный р+/Л
Поскольку искривление продольных волокон для
бесконечно малого элемента dz незначительно, для
удобства будет считаться, что все его волокна после де-
формации останутся прямыми и деформация элемента
dz имеет вид, показанный на (рис. 21.12, б). Обозначим
абсолютное удлинение волокна тп, отстоящего на рас-
стоянии у от нейтрального слоя Adz.
223
Рис. 21.12
Величину Adz найдем из подобия треугольников
СО{62 и O2mmi
откуда &dz=ydz/p.
Относительное удлинение волокна тп z=kdzldz—
=*у!р-
При изгибе вводится допущение, что отдельные во-
локна балки не давят друг на друга, а каждое из них
находится в условиях простого растяжения или сжатия.
Используя зависимость Гука при растяжении о=£е, по-
лучим выражение закона распределения нормальных на-
пряжений по поперечному сечению при изгибе:
az = E<//p. (21.3)
Таким образом, в поперечном сечении балки в каждой
его точке нормальные напряжения пропорциональны
расстоянию у этой точки от нейтральной оси и не зави-
сят от координаты х. В точках нейтральной оси нормаль-
ные напряжения равны нулю, и по одну сторону от этой
оси растягивающие, а по другую — сжимающие. Так как
в полученное выражение входит неизвестная пока вели-
чина радиуса кривизны р, то из него нельзя определить
числовое значение нормального напряжения oz. Найдем
положение нейтральной оси поперечного сечения из ус-
ловия равенства нулю продольной силы Nz. Для этого
224
в уравнение статики 2Z=0 подставим значение о2, по-
лучим
2 Z = f c.dA = f (Еу/р) dA = (E/p) f ydA = 0.
A A A
Так как £/p=#0, то J ydA = 0, и представляет собой
A
статический момент площади поперечного сечения. Он
равен нулю тогда и только тогда, когда ось Ох проходит
через центр тяжести сечения. Следовательно, нейтраль-
ная ось при чистом изгибе балки проходит через центр
тяжести поперечного сечения, от которой следует отсчи-
тывать расстояния у при определении нормального на-
пряжения (т2 в заданной точке.
Подставив в уравнение статики 244^=0 выражение
ДЛЯ вг = Еу/р, ПОЛУЧИМ
S Му = [ xozdA = (Е/р) [ xydA,
А А
так как £/р=й=О, то [ xydA = 0 и представляет собой
А
центробежный момент инерции сечения. Он равен нулю
только относительно главных центральных осей инер-
ции. В нашем случае ось Оу является осью симметрии,
поэтому оси Оу и Ох являются главными центральными
осями инерции сечения. Теперь найдем зависимость меж-
ду кривизной 1/р и изгибающим моментом в сечении бал-
ки. В уравнение статического равновесия 244х=0 под-
ставим выражение для вг=Еу]р и получим
Мх = f (Е^/р) dA = (Е/р) [ уЧА.
А А
Здесь Jx= J y2dA представляет собой главный цея-
А
тральный осевой момент инерции относительно централь-
ной оси сечения.
Тогда
Mjc = EVx/p или 1/.р = MX!EJX. (21.4)
Произведение EJX называется жесткостью балки при
изгибе, которая характеризует ее способность сопротив-
ляться искривлению. Подставив в выражение (21.4) зна-
чение 1,/p = azylEt получим значение нормального на-
пряжения при изгибе балки, выраженное через изгиба-
ющий момент, геометрическую характеристику попереч-
15—480
225
ного сечения Jx и расстояние у от рассматриваемой
точки до нейтральной оси сечения Ох:
<5г = МхУих. (21.5)
Наибольшие нормальные напряжения при изгибе
возникают в наиболее удаленных волокнах поперечного
сечения от нейтральной оси при у=у^^:
анаиб = ^хУтах^х-
Эпюра нормальных напряжений по поперечному се-
чению показана на рис. 21.12, г.
§ 21.5. Касательные напряжения при изгибе балки
В отличие от чистого изгиба при прямом поперечном
изгибе в поперечных сечениях балки, кроме изгибающих
моментов, возникают и поперечные силы Q. Следова-
тельно, в поперечных сечениях балки кроме нормальных
напряжений появляются и касательные напряжения.
На основании парности касательных напряжений они
также возникают в сечениях, параллельных нейтраль-
ному слою балки, вызывая сдвиги продольных волокон
относительно друг друга в продольном направлении.
В этом легко убедиться на примере изгиба балки, со-
стоящей из множества отдельных слоев. После преодо-
ления сил трения отдельные слои сдвинутся так, как
изображено на рис. 21.13, б.
В результате деформации сдвига поперечные сечения
слегка искривляются, и гипотеза плоских сечений при
поперечном изгибе нарушается. Но это обстоятельство
мало сказывается на распределении и величине нор-
мальных напряжений, поэтому гипотезу плоских сече-
ний считают также справедливой при поперечном из-
гибе, и нормальные напряжения вычисляют по той же
формуле, полученной при чистом изгибе, т. е. ог =
==: МхУ / X-
Выделим из балки прямогольного поперечного сече-
ния, нагруженной внешней нагрузкой (рис. 21.14, а),
бесконечно малый элемент длиной dz. Поскольку по бо-
ковым поверхностям не приложено никаких касательных
нагрузок, то касательные напряжения у контура попе-
речного сечения могут быть направлены по касатель-
ной к нему или равны нулю. Для прямоугольного сече-
ния касательные напряжения будут параллельны попе-
226
Рис. 21.13 а)
речной силе Qy. Пусть в левом сечении элемента dz
действуют изгибающий момент Мх и поперечная сила
Qy, а по правому сечению Mx+dMx и Qy. В соответствии
с этим по левым элементарным площадкам dA попереч-
ного сечения действует нормальное напряжение ог =
= MxylJx, и по площадкам dA правого сечения действу-
ют нормальные напряжения az + d(5z = (Mx + dMx)y/Jx
(рис. 21.14, б).
Проведем в выделенном элементе dz дополнительное
сечение п—п, параллельное нейтральному слою и от-
стоящее от оси Ох на расстоянии у. Отбросим нижнюю
часть и оставим верхнюю часть элемента dz (рис.
21.15, а).
На левую часть поперечного сечения оставшегося па-
раллелепипеда действует равнодействующая нормаль-
ных напряжений
= f OtdA = (Mx/Ix) f ydA.
^отс ^отс
На правую часть поперечного сечения действует рав-
нодействующая нормальных напряжений, равная:
A/+J/V = (а2 + duz) dA = (Mx/Jx) (’ ydA + (dMx/Jx) [ ydA.
^отс лотс лотс
15*
227
Рис. 21.15
По площадкам левой и правой частей оставшегося
элемента dz действуют касательные напряжения, на-
правленные вдоль оси Оу, значения которых изменяют-
ся по высоте сечения. Обозначим величину касательного
напряжения в нижних точках площадок п—п\ и п—п2
через тгуп.
На основании закона парности касательных напря-
жений 'izyn^^yzn такие же касательные напряжения
действуют по нижним площадкам плоскости сечения
nniiiti2, равнодействующую которых обозначим через Л
Из условия равновесия Sz=0 для оставшейся части
элемента dz получим: T-±N—N—dN—О, откуда Т—
= dN=(dMx/Jx)\ ydA.
^отс
Здесь Sotc=J ydA представляет собой статический
А
отс
момент отсеченной части площадки Л0Тс поперечного се-
чения относительно нейтральной оси Ох (рис. 21.15,6).
Тогда
Т= dMxS0TC/Jx. (21.6)
Из этого условия нельзя установить величину каса-
тельных напряжений и закон их изменения, который за-
висит от формы поперечного сечения.
Прямоугольное сечение. Для прямоугольного попе-
речного сечения предполагается, что касательные напря-
жения равномерно распределены по ширине сечения и из-
меняются только по высоте. Тогда сдвигающая сила
т = J^nd2by‘
где Ьу — ширина сечения на расстоянии у от нейтральной оси (А.
228
Подставим значение для Т в формулу (21.6), по-
^zvndzbv^dMxS^Jx или т2г/п(ЛИ^г)(5отс/6/х)-
Так как dMx/dz=Qy, окончательно получим
Ч=%М (217)
Полученная формула Для вычисления касательных на-
пряжений при изгибе балки носит название формулы
Журавского.
Построим эпюру касательных напряжений в балке
прямоугольного поперечного сечения высотой h и ши-
риной Ь. Осевой момент инерции для прямоугольного
сечения относительно оси Ох равен Jx=bh3/12', статиче-
ский момент SOtc верхней части площадки сечения, от-
сеченной прямой п—п:
Sqtc “ Лотс1/с,
где ЛОтс — площадь отсеченной части сечения; ус — расстояние от
центра тяжести площади отсеченной части до нейтральной оси Ох.
В данном случае
ГЛ 1 I h \1 Ь / Л2 \
= »(W[---(- -(--,).
Значение касательного напряжения %zyn по площад-
кам на расстоянии у от оси Ох:
/Л2 \
= <?^отс = Qg \ 4 ~yj _6Q„ /Л2 \
rT^n ’ bJx bh32b bh3 \ 4 /
Из полученного выражения видно, что для прямо-
угольного поперечного сечения при постоянном значе-
нии ширины сечения b касательные напряжения по
высоте сечения изменяются по закону квадратичной па-
раболы. В крайних площадках при (/= ±Л/2 tz1/=0. Наи-
большие касательные напряжения возникают на ней-
тральной оси поперечного сечения при у=0.
Тцаиб = SQyl2bh.
Эпюра касательных напряжений показана на рис.
21.15, в. Для.сечений другой формы закон изменения ка-
сательных напряжений по высоте сечения зависит не
только от изменения S0Tc, но и от изменения ширины
поперечного сечения Ь.
229
Рис. 21.16
Двутавровое сечение. Двутавровое сечение имеет
резкое изменение ширины в местах сопряжения верти-
кальной стенки двутавра с горизонтальными полками,
что накладывает дополнительные особенности на рас-
пределение касательных напряжений, поэтому касатель-
ные напряжения в стенке и в полках вычисляют отдель-
но. Определим касательные напряжения в стенке дву-
тавра. Для этого проведем горизонтальное сечение п—п
в стенке, отстоящее от оси Ох на расстоянии у (рис.
21.16, а). По формуле Журавского касательное напря-
жение
T^n = QUS^JxbCT = % (Л1 У1 + А2
где — осевой момент инерции всего сечения относительно оси
Ох\ Ьсч — ширина стенки; А^у\— статический момент площади пол-
ки относительно оси Ox [_Aiy\ = buhn (h—/гп)/2]; А2У2 — статический
момент отсеченной части площади стенки относительно оси Ох.
Здесь А=const, а статический момент А2у2 изме-
няется по закону квадратной параболы A2y2 = bCT (Л*/
/4-у2)/2.
Касательные напряжения в стенке двутавра на рас-
стоянии у:
230
или хгу =----— &п/1д- (ft — ft ) 4- —.
Wn JxbCT .2 2 \ 4 /J
При z/ = Act/2 Xzy = Qybuhn(h—hn)/2JxbcT'
При y=0 касательное напряжение достигает наи
большего значения:
*наиб = (WeJ [(Vn/2) (Л - М + 6стЛст/8].
Эпюра касательных напряжений в стенке двутавра
показана на рис. 21.16, б.
Эпюра касательных напряжений по высоте стенки
двутавра изменяется по закону квадратичной парабо-
лы, но в отличие от прямоугольного сечения в крайних
точках стенки касательные напряжения не равны нулю.
Наибольшие значения касательных напряжений возни-
кают на нейтральной оси двутавра.
Теперь остановимся на касательных напряжениях в
полках двутавра. В каждой точке двутавра возникают
два касательных напряжения: xzy и xzx (рис. 21.16).
Вертикальные касательные напряжения xzy в полке
не могут быть определены способами сопротивления ма-
териалов, и для их исследования необходимо привлекать
более строгие методы теории упругости. Ввиду того, что
эти касательные напряжения почти не оказывают влия-
ния на прочность балки, их значениями пренебрегают.
Горизонтальные касательные напряжения xzx в полке
принимаются равномерно распределенными по толщине
полки и направленными в противоположные стороны от
оси Оу. Их равнодействующие представляют собой само-
уравновешенную систему сил (рис. 21.17).
При практических расчетах значения горизонталь-
ных касательных напряжений определяют по формуле
Журавского. При этом отсеченную часть площади пол-
ки принимают от края полки до текущего вертикального
разреза п—п (рис. 21.17). Статический момент отсечен-
ной части площади подсчитывается относительно оси Ох
двутавра (рис. 21.17):
•^ОТС = х) у.
Тогда значение касательного напряжения xZXn в се-
чении п—я:
= «Атс/^а = W2 ~ y/J*>
где у = (h — /tn)/2.
231
Рис* 21.17
Эпюры горизонтальных касательных напряжений в
полках двутавра показаны на рис. 21.17.
Круглое сечение. В круглом сечении касательные на-
пряжения направлены по касательной к его контуру.
Для упрощения вывода формул допускают, что полные
касательные напряжения на любом горизонтальном
уровне, параллельном оси Ох, взаимно пересекаются на
вертикальной оси Оу (рис. 21.18, а). Их раскладывают
на вертикальные и горизонтальные составляющие ту и
т.<. Вертикальные составляющие принимают одинаковы-
ми по ширине сечения и изменяющимися по вертикаль-
ной оси Оу. Их равнодействующая равна поперечной си-
232
ле Qy. Используя формулу Журавского, находим закон
изменения
= 4Qy(r* - ^)/злг4.
Наибольшее значение ту возникает на уровне гори-
зонтального диаметра при у=0:
TZ/max — 4Qy/3jTr2.
Горизонтальные составляющие тх представляют со-
бой взаимно уравновешенные напряжения. На горизон-
тальном диаметре они равны нулю и не оказывают вли-
яния на прочность балки. Эпюра ту показана на рис.
21.18, в.
§ 21.6. Главные нормальные напряжения
и максимальные касательные напряжения при изгибе
балки
Из проведенного исследования напряженного состо-
яния при изгибе балки было установлено, что в ее попе-
речных сечениях возникают нормальные напряжения oz
и касательные напряжения т2у, которые вычисляются по
следующим формулам;
== MxylJx и tzZ/ = QyS0TC/Jxb.
Так как согласно введенному допущению об отсутст-
вии надавливания продольных волокон друг на друга
оу=0, то при изгибе балки имеет место частный случай
плоского напряженного состояния. Для плоского напря-
женного состояния общего вида выражения для глав-
ных напряжений имеют вид:
Тогда при изгибе балки главные напряжения будут
равны:
°i=°тах="т+т У <21 •8)
a2=%ln = T_T^ + 4T^ (2L9)
Положение главных площадок находится по условию
tg 2а0 = — 2tzj//(J2.
233
Для определения максимальных касательных напря-
жений воспользуемся ранее полученной формулой:
т = —- j/” (о — а \2 4- 4т2 .
max 2 г ' 1 V' ' гУ
В нашем случае максимальное касательное напря-
жение
ттах = 4“^+4тад- (21J0)
По полученным формулам определяют главные на-
пряжения Omax, Отт И Ттах В ряде ТОЧеК ПО ВЫСОТе ПОПв-
речного сечения балки и строят соответствующие эпю-
ры. Главными напряжениями иногда пользуются для
проверки прочности балок, имеющих резкое (скачкооб-
разное) изменение ширины поперечного сечения, напри-
мер, для сечений в виде двутавра, швеллера, так как в
местах изменения ширины сечения могут возникнуть
главные напряжения большей величины, чем нормаль-
ные напряжения oz в крайних волокнах. Кроме того, для
конструкций, изготовленных из материалов, плохо со-
противляющихся растягивающим напряжениям, напри-
мер, из бетона, необходимо знать величину и направле-
ние главных растягивающих напряжений в каждой точ-
ке, чтобы при проектировании прочной и надежной же-
лезобетонной конструкции расположить в этом направ-
лении стержни стальной арматуры, которые воспримут
эти растягивающие напряжения. Для этого в произволь-
ной точке произвольного вертикального сечения балки
определяют направление аШах- Затем продолжают это
направление до пересечения со смежным вертикальным
сечением балки. В полученной точке снова определяют
направление главного растягивающего напряжения, ко-
торое продолжают до пересечения со следующим смеж-
ным вертикальным сечением балки. В результате построе-
ния получают ломаную линию, которая в пределе (при
бесконечно близких сечениях) обратится в кривую. Эта
кривая называется траекторией главного напряжения.
Касательная к этой кривой в любой точке определяет
направление главного напряжения в этой точке. Анало-
гично строят траекторию сжимающего главного напря-
жения (jmin. Таким образом, через каждую точку балки
можно провести две траектории главных напряжений
Отах и Отт, которые между собой пересекаются под уг-
234
лом 90°, а нейтральную ось они пересекают под углом
45°. Траектории главных напряжений зависят от вида
внешней нагрузки и типа опорных связей.
На рис. 21.19, а показаны траектории главных напря-
жений растяжения (пунктирными линиями) и главных
напряжений сжатия (сплошными линиями) в однопро-
летной балке, нагруженной равномерно распределенной
нагрузкой. На рис. 21.19, б показано расположение
стальной арматуры в этой балке, которое примерно сов-
падает с направлением траекторий главных растягиваю-
щих напряжений.
§ 21.7. Понятие о теориях прочности
Из рассмотренных в предыдущих главах условий
работы строительных конструкций при растяжении,
сжатии, кручении и сдвиге при внешних воздействиях
частного вида было установлено, что в конструкциях
возникают нормальные и касательные напряжения, уд-
линения и сдвиги. Для каждого вида деформированно-
го состояния суждение о прочности конструкции прово-
дилось из условия достижения одним напряжением пре-
дельного значения для данного материала в опасной
точке.
Для пластичных материалов за предельное напряже-
ние принимают предел текучести от. Для материалов, у
которых на диаграмме растяжения нет явно выражен-
ной площадки текучести и предельным состоянием счи-
тается начало развития значительных остаточных (пла-
стических) деформаций <у0,2. Для хрупких материалов
за предельное напряжение принимают пределы проч-
ности при растяжении ав.р или при сжатии ав.сж и про-
дельным состоянием считается момент начала разруше-
ния.
235
В общем случае нагружения в конструкции возника-
ют одновременно все указанные факторы, и при этом их
количественные соотношения могут принимать бесчис-
ленное множество сочетаний. Возникает вопрос: при ка-
кой величине одного из этих факторов или при каких
значениях и каких комбинациях этих факторов наступит
опасное или предельное напряженное состояние в иссле-
дуемой точке? Поставленную задачу можно решить дву-
мя способами. Во-первых, можно создать соответству-
ющую модель (или действительную конструкцию), дове-
сти ее до опасного состояния, а затем исследовать, при
каких условиях было достигнуто это опасное состояние.
Однако этот путь решения задачи нереален, так как
пришлось бы провести бесчисленное множество экспе-
риментов.
Другой способ решения основан на сравнении хоро-
шо изученного поведения материала при одноосном на-
пряженном состоянии (при растяжении и сжатии и по-
лученных экспериментальных данных) и исследуемого
сложного напряженного состояния, которое в общем
случае задается тремя главными нормальными напря-
жениями аь а2 и 0з (01>02>а3). Иными словами, ре-
зультаты испытания на одноосное растяжение и сжа-
тие становятся как бы эталоном прочности, с которым
сравнивается прочность материала в любом случае
сложного напряженного состояния. Но сравнивать раз-
личные по характеру напряженные состояния сложно.
Введем понятие о равнопрочности и равноопасности
двух напряженных состояний. Два каких-либо напря-
женных состояния считаются равнопрочными и равно-
опасными, если они одновременно переходят в предель-
ные состояния при увеличении их главных напряжений
в одно и то же число раз. Это означает, что коэффи-
циент запаса прочности для этих двух напряженных со-
стояний будет одинаковым. При расчетах на прочность
любое сложное напряженное состояние заменяют равно-
прочным и равноопасным ему одноосным растяжением,
которре называется эквивалентным напряжением 0ЭКВ.
Это напряжение. 0Экв сравнивают с характерными на-
пряжениями для данного материала, полученными, в ре-
зультате испытания на растяжение. Однако возникает
вопрос: что является причиной разрушения материала
или перехода его, в предельное состояние при сложном
напряженном состоянии? В настоящее время однознач-
$36
ного ответа пока не получено, поэтому истинную причи-
ну наступления разрушения материала или перехода его
в предельное состояние заменяют различными гипоте-
зами, которые называются теориями прочности или тео-
риями предельных напряженных состояний.
Проблема прочности является центральной для нау-
ки о сопротивлении материалов. По мере накопления
экспериментальных данных и развития основополагаю-
щих концепций о процессах напряженно-деформирован-
ных состояний, возникающих в конструкциях от внеш-
них воздействий, происходит замена одних теорий проч-
ности другими.
В настоящее время создано большое количество раз-
личных теорий прочности, используемых для расчета
конструкций как из традиционных материалов: металла,
бетона и т. п., так и из новых конструкционных мате-
риалов: различных сплавов с повышенной прочностью,
анизотропных материалов, пластмасс и др. В данном
параграфе излагаются некоторые теории прочности, ко-
торыми наиболее широко пользуются при расчете стро-
ительных конструкций.
Гипотеза наибольших касательных напряжений.
(Третья теория прочности). Согласно этой гипотезе
опасное состояние материала наступает, когда макси-
мальное касательное напряжение достигает опасного
значения. Условие прочности записывается в виде
Тэкв шах тпред»
где Теквтах — значение максимального касательного напряжения
для исследуемого состояния; тпРед — предельное значение касатель-
ного напряжения, определяемое из опыта на простое растяжение
Тпред = Ппред/2.
Для напряженного состояния общего вида макси-
мальное касательное напряжение определяется по фор-
муле тЭКв.тах= (ai—<у2)/2 и условие прочности записыва-
ется в виде
тэкв max = (^1 — ^пред/^.
Для плоского напряженного состояния после подста-
новки в выражение прочности вместо главных напряже-
ний Qi и оз соответствующих им напряжений о2, оу и тгу
получим
°8кв = V (% - + 4т« < °лр*д-
237
При расчете по методу предельных состояний усло-
вие прочности примет вид
аэкв = / (%-%)2+4<V
где Rv — расчетное сопротивление растяжению.
Для частного случая плоского напряженного состоя-
ния, когда оу=0, условие прочности записывается в
виде
Недостатком этой теории прочности является то, что
в случае объемного напряженного состояния ею не учи-
тывается главное промежуточное нормальное напряже-
ние 02, величина которого, как показывают результаты
экспериментов, оказывает влияние на прочность мате-
риала. Данная теория дает удовлетворительные резуль-
таты при расчете на прочность деталей из пластического
материала, но ее нельзя применять для хрупких мате-
риалов.
Теория прочности Мора. В основе этой теории лежит
то же положение о максимальных касательных напря-
жениях, но поскольку третья теория прочности непри-
менима для расчета хрупких материалов, то немецким
ученым О. Мором в нее было внесено усовершенствова-
ние, позволившее распространить ее на материалы, об-
ладающие разными прочностными характеристиками на
растяжение и сжатие.
Условие прочности по теории Мора записывается в
таком виде:
^экв = v<73 °пред>
где v — коэффициент, представляющий собой отношение предель-
ных напряжений при растяжении и сжатии данного материала,
v=ов.р /(7в.сж-; <У1 и оз — главные нормальные напряжения исследуе-
мого напряженного состояния; опРед — предельное значение нор-
мального напряжения, определяемое из опыта при простом растя-
жении.
Для частного случая плоского напряженного состоя-
ния после подстановки в выражение прочности вместо
главных напряжений си и оз соответствующих им напря-
жений oz, Оу и Tzy, получим
1—v 1 + v 1/"Т7\ 2
°экв = ~£~ at + < %РеД-
238
При расчете по методу предельных состояний условие
прочности записывается в виде:
Ооив = -V2 °’ + * Ry' (21 •12)
где Ry — расчетное сопротивление растяжению материала.
Недостатком теории прочности Мора является то, что
в случае объемного напряженного состояния не учиты-
вается главное нормальное напряжение о2.
Гипотеза удельной потенциальной энергии изменения
формы (энергетическая теория прочности). Согласно
этой гипотезе, предельное состояние в материале при
сложном напряженном состоянии наступает, когда на-
копленная в нем удельная потенциальная энергия изме-
нения формы достигает такого же значения, как и при
предельном состоянии простого растяжения. По энерге-
тической теории условие прочности записывается в сле-
дующем виде:
'Ээкв.ф ^ф.р>
где Ээкв.ф — удельная потенциальная энергия изменения формы для
исследуемого напряженного состояния; Эф.р — удельная потенци-
альная энергия изменения формы, полученная из опыта при про-
стом растяжении.
Подставив в условие прочности вместо ЭЭКв.ф и Эф.р
значение удельной потенциальной энергии изменений
формы ДЛЯ ОбъеМНОГО НапрЯЖеННОГО СОСТОЯНИЯ: Ээкв.ф =
= (1 + н) [(<?!—о2)24-(О1—Оз)2+(а2—аз)2]/6£ и для про-
стого растяжения Эф.р=2(1 + ц)о^ред/6£, после соответ-
ствующих преобразований получим условие прочности
в таком виде:
0экв = /о,5 [ах — аг)2 + (at — а^2 + (а2 — а3)2] < апреД.
В энергетической теории прочности учитываются все
три главные нормальные напряжения, что обеспечивает
более лучшее совпадение результатов расчета с экспери-
ментальными данными, чем по теории наибольших ка-
сательных напряжений. Энергетическая теория прочно-
сти широко применяется при практических расчетах для
пластических материалов. При расчете по методу пре-
дельных состояний условие прочности примет вид:
Оэкв = Ко ,5 [(0J - 02)’ 4- (Oj - 03)’ + (°2 - °з)21 < Ryt
где Ry расчетное сопротивление растяжению.
239
Для плоского напряженного состояния после подста-
новки в выражение прочности вместо главных напряже-
ний соответствующих им напряжений оу и %zy полу-
чим
- ]/ (+ 3 < Rr
Для частного случая плоского напряженного состоя-
ния (оу=0) условие прочности записывается так:
%kb = K^ + 3^<^. (21.13)
§ 21.8. Расчет балок при изгибе на прочность
В зависимости от поставленной цели расчет на проч-
ность может быть представлен тремя видами решаемых
задач.
1. Проверка напряжений в балке при известных раз-
мерах поперечных сечений и заданных прочностных xai-
рактеристик материала.
2. Подбор сечения, т. е. определение необходимых
размеров поперечных сечений при заданной его форме и
прочностных характеристиках материала (проектный
расчет).
3. Определение предельной нагрузки при заданных
размерах поперечных сечений и прочностных характери-
стиках материала.
Расчеты балок производят по наибольшим нормаль-
ным, касательным и эквивалентным напряжениям.
В данном параграфе приводится расчет балок постоян-
ного поперечного сечения из пластичного материала.
Расчет на прочность по наибольшим нормальным на-
пряжениям. Балки из пластичного материала, как пра-
вило, изготовляют симметричного поперечного сечения,
для того чтобы растягивающие и сжимающие напряже-
ния в крайних волокнах были одинаковыми. Опасным
сечением балки будет то сечение, в котором возникает
наибольший изгибающий момент Л4хтах, а опасными
точками этого сечения будут наиболее удаленные, на-
ходящиеся на расстоянии //max от нейтральной оси. Усло-
вие прочности в опасном сечении без учета знака изги-
бающего момента записывается так:.
azmax = l^xmaxl Утах/^х Ку» (21.14)
240
где #так — наибольшее расстояние от нейтральной оси до крайних
волокон поперечного сечения; Jx — осевой момент инерции попе-
речного сечения относительно нейтральной оси; Ry — расчетное со-
противление стали.
Для симметричного поперечного сечения */тах=Л/2,
условие прочности имеет вид:
azmax = IMxmaxl/lFx < Я», (21.15)
где №x=Zx//i/2 называется осевым моментом сопротивления попе-
речного сечения. Обозначение момента сопротивления — м3 или см3.
Таким образом, момент сопротивления представляет
собой геометрическую характеристику прочности по-
перечного сечения балки при изгибе. Чем больше момент
сопротивления, тем меньше напряжение, возникающее в
ее опасных точках.
Момент сопротивления для прямоугольного сечения
высотой h и шириной b
Wx = Jx/ymdLX = (M3/12)/(n/2) = MV6.
Момент сопротивления Wx для круглого сечения радиу-
сом г
Wx = Jx/r ~ лгЧ^г = лгЩ.
Момент сопротивления W* для кольцевого сечения с
наружным радиусом г
Wkx = Jkx/г = л(г4 —rf)/4r.
Для прокатных профилей двутавра, швеллера момен-
ты сопротивления приводятся в справочной литературе.
Для подбора сечения балки (проектного расчета) вели-
чина требуемого момента сопротивления определяется по
формуле:
Гх.тр> (21.16)
По полученному значению Wx при заданной форме
поперечного сечения подбирают размеры этого сечения.
Определение предельной нагрузки производится по
формуле прочности (21.15). По известным величинам Wx
и Ry вычисляется наибольший по абсолютной величине
изгибающий момент, который может выдержать данная
балка:
|Мхшах1 = ^. (21.17)
Затем по полученной величине | Мх max | находятся
предельные значения внешних нагрузок, действующих
на балку.
16—480
241
Расчет на прочность по наибольшим касательным
напряжениям. После расчета балки по нормальным на-
пряжениям производят проверку на прочность по наи-
большим касательным напряжениям. Балки, имеющие
постоянную ширину сечения по высоте (прямоугольник,
квадрат и т.п.), обычно не рассчитывают на касатель-
ные напряжения, так как определяющими ее прочность
являются нормальные напряжения. Исключение состав-
ляют балки, в которых возникают большие поперечные
силы или сечение имеет резкое изменение ширины (дву-
тавр, швеллер и т.п.). Опасным является то сечение
балки, где действует наибольшая поперечная сила
Qmax*
Условие прочности записывается в виде
Ттах = Отах^отс/^х^ст ^s» (21 .18)
где Sotc — статический момент отсеченной части поперечного сече-
ния относительно нейтральной оси; Jx — осевой момент инерции
всего сечения относительно нейтральной оси; дСт — ширина сечения,
где определяется касательное напряжение; Rs — расчетное сопротив-
ление на сдвиг.
Расчет на прочность по эквивалентным напряжениям.
Расчет по эквивалентным напряжениям производится в
основном для балок, имеющих поперечное сечение в ви-
де двутавра, швеллера и т. п. При произвольной внешней
нагрузке сечения, в которых возникают максимальный
изгибающий момент и наибольшая поперечная сила,
обычно не совпадают, поэтому опасным сечением будет
то сечение, где одновременно действует большой величи-
ны изгибающий момент и поперечная сила. Опасными
точками сечения будут те, в которых эквивалентное на-
пряжение достигает наибольшего значения. Наибольшие
эквивалентные напряжения в балке двутаврового по-
перечного сечения возникают в точках сопряжения вер-
тикальной стенки с горизонтальными полками. Эквива-
лентное напряжение при расчете стальных балок вычис-
ляется по энергетической теории прочности. Условие
прочности записывается в виде
а = V о^ + Зт^,, < 1,15/? (91 iq\
эквтах г 2 • zy yt
где Qz—MxylJх — нормальное напряжение в опасной точке;
Vzy = QyS0TCIJxb — касательное напряжение в опасной точке;
/?у — расчетное сопротивление стали.
Подробнее процесс расчета поясним на примере.
242
Ряс. 21.20
504кН
В
6)
252кНм
Рис. 21.21
Пример. Для стальной балки, изображенной на рис. 21.20, а,
имеющей поперечное сечение в виде двутавра (рис. 21.21, а), выпол-
нить расчет на прочность, если Ry=2jQ МПа, R8 = 121,8 МПа, Jx—
= 253,9-IO-6 м4 и IFX = 1209-IO-6 м3.
Решение. От действующих нагрузок на балку находим опорные
реакции: Sz=0; //с =0.
2Л4В = 504-0,5 + 504-4,5 — Rc -5 = 0; Rc = 504 кН.
ZMc = RB-b — 504-4,5 — 504-0,5 = 0; RB = 504 кН.
Вычисляем изгибающие моменты и поперечные силы в харак-
терных сечениях балки.
Сечение В. Мх = 0\ Qy=Rg=504 кН.
Сечение D. Мх=Яв0,5=252 кН-м; Q*eB=504 кН; Q"p =0.
Сечение К. M,=RB-4,5-504-4=252 кН-м; QjeB =0; =
=—504 кН.
Сечение С. Л1х=0; Qy=—504 кН.
1G*
243
По этим значениям строим эпюры М и Q (рис. 21.20, б и в).
Расчет по наибольшим нормальным напряжениям.
В данной балке опасным сечением, где действует наибольший
изгибающий момент МШах, будут все поперечные сечения на участ-
ке DK. Л1тах = 252 кН-м.
Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в верхних и
нижних волокнах (рис. 21.21,6).
о2гаах = Мтах/Гх = 252-103/1209-10-« = 208,4 МПа.
Условие прочности удовлетворяется, так как
azmax <Ry или 208,4 < 210.
Расчет по наибольшим касательным напряжениям.
Опасными сечениями, где действует наибольшая поперечная си-
ла, являются участки BD и КС. Qmax=504 кН.
Вычисляем касательные напряжения на нейтральной оси сечения
(точка 1) и в местах сопряжения вертикальной стенки с полками
(точка 2).
Для точки 1
~ ^тах^отс^х^ст “
= 504-103-682,2-10“6/253,9 - Ю^-Э-Ю”3 = 150,4 МПа.
Здесь Soiс =245-1 -20,5 = 20-0,9.10 = 682,2 см3=682,2-10"6 м3.
Для точки 2
504-103-502,2»10—°
253,9-10—«-9-10—»
= 110,76 МПа.
Здесь Зотс=245.1-20,5=502,2 см3=502,2• 10-• мэ.
Эпюра тгу показана на рис. 21.21, в.
Для точки 2 условие прочности по касательным напряжениям
удовлетворяется, так как xzy2 <Rs или 110,78<121,8.
Для точки 1 условие прочности не удовлетворяется, так как
>Rs или 150,4> 121,8.
Расчет по наибольшим эквивалентным напряжениям.
В данной балке опасными сечениями, где одновременно дейст-
вуют наибольший изгибающий момент и наибольшая поперечная си-
ла, являются сечения D и K.Afx=252 кН-м и Qy=504 кН. Опасны-
ми точками в этих сечениях будут точки 2, т. е. места сопряжения
вертикальной стенки с полками. Вычислим в этих точках нормальные
напряжения:
^,2 = Л4х!/2/^х = 252-103-20.10-2/253,9-10-«= 19,85 МПа.
Касательное напряжение в точках 2 вычислено ранее:
2 = 110,76 МПа
Вычисляем эквивалентное напряжение:
о =1/^4-3-t't = V 198,52 + 3-110,76» = 283,2 МПа.
энв max *
Условие прочности по эквивалентным напряжениям также не
удовлетворяется, так как тЭкв max> 1,15/?у или 283,2>241,5.
244
Балка не удовлетворяет условиям прочности по наибольшим ка-
сательным и эквивалентным напряжениям. Необходимо увеличить
размеры поперечного сечения.
§ 21.9. Перемещения линейные и угловые.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
и его решение
Проведенный в предыдущем параграфе расчет бал-
ки по наибольшим напряжениям позволяет ответить
только на вопрос о ее прочности. Однако в ряде случаев
прочная балка может не удовлетворять условиям ее
нормальной эксплуатации из-за появления в ней значи-
тельных деформаций, поэтому кроме расчета на проч-
ность необходимо проводить ее расчет на жесткость. Изу-
чение деформаций необходимо при расчете изгибаемых
статически неопределимых конструкций.
Чтобы знать распределение деформаций, необходимо
научиться определять их в любом сечении изгибаемой
балки. От действия внешних нагрузок, расположенных в
плоскости одной из главных осей инерции поперечного
сечения, балка изгибается в той же плоскости. Нейтраль-
ная продольная ось балки, прямая по деформации,
переходит в плоскую кривую, которая называется изогну-
той осью или упругой линией балки. Например, консоль-
ная балка, нагруженная на свободном конце сосредото-
ченной силой Л изогнется, как показано на рис. 21.22.
Так как длина продольной оси не изменяется (на нейт-
ральной оси нормальные напряжения о2 равны нулю),
то точка С центра тяжести крайнего поперечного сече-
ния балки При переходе в положение Ci не только опус-
тится на величину Ду, но и сместится по горизонтали на
Д2. Горизонтальное смещение Д2 является величиной вто-
рого порядка малости по сравнению с вертикальным
смещением Ду и им пренебрегают. Действительные пере-
мещения точек оси (на рис. 21.22 — отрезок CCi) в ре-
альных балках обычно не превышают значений 0,01 —
0,001 от ее длины, поэтому их считают равными верти-
кальными смещениями. Перемещения точек оси балки,
перпендикулярные к ее недеформированной продольной
оси, называются прогибами или линейными перемеще-
ниями. Размерность линейных перемещений — М или
245
Рис. 21.22 Рис. 21.23
Каждое поперечное сечение после деформации балки
(согласно гипотезе плоских сечений) остается плоским
и перпендикулярным к изогнутой оси. Следовательно,
поперечные сечения поворачиваются вокруг своих нейт-
ральных осей на некоторый угол <р. Углы поворота ф се-
чений называются угловыми перемещениями. Размер-
ность угловых перемещений — радиан.
При прямом поперечном изгибе не учитывают дефор-
мации сдвига от поперечных сил Q, и углы поворота
вычисляют только от действия изгибающих моментов.
В этом случае угол поворота сечения равен углу между
касательной, проведенной к изогнутой оси в заданной
точке, и недеформированной осью балки. При напряже-
ниях, не превышающих предела пропорциональности, уп-
ругая линия представляет собой непрерывную и глад-
кую кривую, характер которой зависит от действующих
нагрузок, геометрических размеров балки, материала и
вида опорных связей. Зависимость прогибов, углов пово-
рота упругой линии может быть выражена некоторой
функцией от расположения сечения. В прямоугольной
системе кординат yOz уравнение прогибов можно пред-
ставить так:
у= Ф(г), (21.22)
где у — прогиб балки в текущем сечении; г—абсцисса сечения
(расстояние от выбранного начала координат до рассматриваемого
сечения).
Так как угол поворота ф сечения равен углу между
касательной к упругой линии и осью Ozt можно записать
tg<p = Ф = dyldz = t/Ф (z)/dz. (21.23)
Так как величина прогибов по сравнению с длиной
балки мала, углы поворота сечений также будут малы-
246
ми, и принимается tg <р«<р. Тогда угол поворота можно
представить в следующем виде:
<р= d<b(z)ldz. (21.24)
Следовательно, для определения прогибов в любом
сечении балки необходимо найти аналитическое выра-
жение уравнения изогнутой оси г/=Ф(з). Первая произ-
водная функции прогибов по z является уравнением уг-
лов поворота поперечных сечений.
Для вывода уравнения прогибов воспользуемся полу-
ченной ранее зависимостью между кривизной и изгиба-
ющим моментом:
\lp = MIEJ. (21.25)
Из курса математики известна связь кривизны плос-
кой кривой с производными функции этой кривой:
1/р = (dty/dz^/V (1 + (dy/dz)2]».
Как уже отмечалось, в реальных балках угол пово-
рота dy/dz имеет малую величину, квадратом которой
(dy/dz)2 по сравнению с единицей можно пренебречь.
Приближенное выражение кривизны запишется в виде:
1/р = cPy/dz*. (21.26)
Подставив вместо кривизны значение МХ/Е1Х, полу-
чим приближенное дифференциальное уравнение изогну-
той оси балки:
dty/dz* = Мх/EJX. (21.27)
Перед решением полученного дифференциального
уравнения необходимо изгибающие моменты в балке Мх
представить аналитической функцией от координаты г.
Интегрируя уравнение (21.27) один раз, получим
уравнение углов поворота поперечных сечений:
С Мх
Ф = dy/dz = I —~~ dz + С. (21.28)
J EJ X
Интегрируя второй раз, получим уравнение прогибов
балки:
у== Л ^E^ + Cz + D‘ (2129)
Постоянные интегрирования С и D находятся из гра-
ничных условий, зависящих от вида опорных связей
балки.
247
Пример. Для консольной балки постоянного поперечного сечения
(рис. 21.23, а), нагруженной сосредоточенной силой F, записать
уравнение углов поворота и прогибов. Вычислить прогиб сечения В.
Решение. Начало прямоугольной системы координат совместим
с сечением В. Ось Оу направим вверх, а ось Oz — вправо. Для кон-
сольной балки можно не находить реакции в опоре С. Изгибающий
момент в сечении на расстоянии z от начала координат для левой
оставшейся части равен Мх——Fz. Дифференциальное уравнение
упругой линии примет вид
d*yldz* = —FzlEJx.
Интегрируя один раз, получим
1
du С
~- = -FlEJx zdz + C.
az J
о
Интегрируя второй раз, получим
1
F С Fz3
у=———\ z4z + Cz + D = ^—— + Cz+D.
2EJX J 6EJX
о
Постоянные интегрирования- С и D определим- из двух условий
в жесткой опоре С, в которой угол поворота (рс и прогиб ус равны
нулю. При z=l фс = 0, фс=—Fl2/2EJx + C=0t откуда C=F12!2E1 л.
При z=lyc = Q, yc = —Fl3/6EJx+El3/2EJx-\-D=0,
откуда D=—Fl3!?>EJx.
Таким образом, постоянные интегрирования С и D равны соответст-
венно углу поворота и прогибу сечения балки в начале координат.
Значения С и D подставим в уравнения для ср и у и получим: урав-
нение углов поворота: q=dy]dz=—Fz2l2EJx-rFl2/2EJx\
уравнение прогибов:
у = — Fz*lbEJx + FFzl2EJx — Fl3/3EJX.
Прогиб в сечении В (при z=0): Дв =—Fl3/3EJX>
Знак минус указывает, что сечение В перемещается по отрица-
тельному направлению оси Оу.
Следует заметить, что изложенным методом непо^
средственного интегрирования дифференциального урав-
нения изогнутой оси обычно пользуются при наличии в
балке одного или двух силовых участков. При большем
числе силовых участков применение этого метода приво-
дит к значительным усложнениям расчета, связанным с
необходимостью составления и решения дифференциаль*
ных уравнений изогнутой оси для каждого участка балки.
В этом случае для определения лрогибов и углов поворо-
та упругой линии используют более совершенный метод
начальных параметров.
При . решении ряда практических задач приходится
определять линейные и углевые перемещения в каких-то
2413
определенных сечениях, например, при вычислении наи-
большего прогиба, при расчете статически неопредели-
мых систем и т. п. В данном случае не проводят полно-
го исследования характера упругой линии балки. Пере-
мещения (линейные и угловые) в заданных сечениях
определяют более простым методом Максвелла-Мора,
основанного на энергетических свойствах упругих ли-
нейно-деформируемых систем.
Подробное изложение метода Максвелла — Мора
приведено в гл. 33.
§ 21.10. Расчет балок на жесткость при изгибе
После расчета балки на прочность производят ее
проверку на жесткость, определяют в балке прогибы и
сравнивают их с нормативными, которые устанавлива-
ются в зависимости от вида конструкции, ее категории и
условий эксплуатации. Согласно Строительным Нормам
и Правилам (СНиП) проектирования строительные кон-
струкции на жесткость рассчитываются по нормативным
нагрузкам, без учета коэффициентов перегрузки.
Условие жесткости записывается в виде неравенства:
Анаиб Анор>
где Дпацб —наибольшее значение прогиба в балке; ДПор— норма-
тивная величина прогиба.
Величину нормативного прогиба ДНюр назначают не
по абсолютной величине, а в относительных единицах —
в долях от длины пролета балки. Например, для второ-
степенных балок перекрытий Днор=//250, для главных
балок перекрытий ДНОр=//400, для балок крановых путей
Днор = //600 и т. п.
Пример. Проверить прочность и жесткость главной стальной бал-
ки перекрытия, нагруженной нормативной нагрузкой (?н=18,3 кН/м
(рис. 21.24). Коэффициент перегрузки равен 1,2, /?v=210 МПа, W* =
= 472 см3; Jx=7080 см4 и £=2,1 • 105 МПа.
Решение. Расчет на прочность.
Наибольший изгибающий момент в среднем сечении балки от
расчетной нагрузки (/рас = 18,3-1,2=22 кН/м.
Mmax = ^рас/2/8 = 22-62/8 = 99 кН-м.
Условие Прочности Oz = Mmax/W7x<^y
о2 = 99-103/472- 10-е = 209-10° н/м2 = 209 МПа < 210 МПа.
Условие прочности удовлетворяется.
Расчет на жесткость.
249
Наибольший прогиб в среднем сечении балки от нормативной
нагрузки равен:
Ашах = 5<ZH Г*/384 EJX = 5-18,3- 10s-6*/(384-2,1 • 10*- 10е-7080•
= 0,02 м.
Условие жесткости -т^ <1/400, тогда 0,02/6= 1/300 > 1/400.
Условие жесткости не удовлетворяется. Для нормальной экс-
плуатации балки необходимо увеличить размеры поперечного се-
чения.
При проектировании балок следует выбирать наи-
более рациональное по расходу материала поперечное
сечение, т. е. находить такую его форму, при которой
площадь была бы наименьшей, а моменты инерции и со-
противления имели бы наибольшее значение. Для этого
следует большую часть площади располагать как мож-
но дальше от нейтральной оси сечения, где напряжения
наибольшие и материал используется более полно, при
этом ось с максимальным значением момента инерции
должна совпадать с нейтральной осью сечения. Наибо-
лее рациональным являются сечения в форме двутавра,
швеллера, коробчатое, у которых основная часть площа-
ди расположена в верхних и нижних полках. Менее ра-
циональными являются сечения в виде квадрата, круга,
прямоугольника и др. В них основная площадь распола-
гается у нейтральной оси, где действуют незначительные
нормальные напряжения.
Для сравнения рассмотрим два сечения в форме про-
катного двутавра и сплошного квадрата. Например,
двутавра № 18а, имеющего Д=25,4 см2, /х=1430 см4,
Wx = 159 см3, и квадрата 4ft = 25 см2 с размерами сторон
а = 5 см. Определим Jk и Wk для квадрата:
7fe = a4/12 = 54/12 = 52,08 см4; №Ла3/6 = 53/6=20,83 см3.
Вычислим отношения геометрических характеристик
этих сечений: Jx/Jk = 1430/52,08 = 27,45; Wx/ Wk =
= 159/20,83=7,63. Резуль-
тат сравнения показывает,
что по жесткости сечение в
форме двутавра превосхо-
дит квдратное в 27,45 раза,
а по прочности в 7,63 раза,
поэтому стальные конструк-
ции, работающие на изгиб,
МИИ1ПИП1И1
1~6 м
Рис. 21.24
250
изготовляются, как правило, в виде двутаврового сече-
ния, для чего используют прокатный сортамент или их
делают сварными.
ГЛАВА 22. КОСОЙ ИЗГИБ
§ 22.1. Нормальные напряжения при косом изгибе
Косым изгибом называется такой вид изгиба, при ко-
тором плоскость действия суммарного изгибающего мо-
мента в сечении не совпадает ни с одной из главных цент-
ральных осей инерции поперечного сечения. Косой изгиб
возникает в балке с прямолинейной осью из-за несовпа-
дения линии действия внешней нагрузки (силовой ли-
нии) с какой-либо главной центральной осью инерции.
При этом силовая линия проходит через центр тяжести
поперечного сечения балки.
Если все внешние силы лежат в одной плоскости, то
происходит плоский косой изгиб. В этом случае упругая
линия балки является плоской кривой. Если нагрузки
расположены в разных плоскостях, то в балке возникает
пространственный косой изгиб и упругая линия представ-
ляет собой пространственную кривую.
Исследуем явление плоского косого изгиба. В каче-
стве примера рассмотрим консольную балку, нагружен-
ную сосредоточенной силой F, направленной под углом а
к оси Оу, силовая линия которой проходит через центр
тяжести сечения (рис. 22.1,а). Разложим силу F на со-
ставляющие по направлениям центральных главных
осей Ох и Оу.
Fy = Feos а,
Fx = F sin а.
Составляющие Fy и Fx вызывают поперечный изгиб
балки относительно осей Ох и Оу. Изгибающие моменты
Мх и Му в произвольном сечении на расстоянии г от сво-
бодного конца балки равны:
= FyZ = Fz cos а,
Му = Fxz = Fz sin а.
Обычно эпюры изгибающих моментов строят в аксо-
нометрии: эпюру Мх в вертикальной плоскости yOz, а
эпюру Му — в горизонтальной плоскости хОг (рис.
22.1,6, в). Знаки на эпюрах Мх и Му не указывают, а
251
Рис. 22.1 Рис. 22.2
ординаты откладываю^ со стороны растянутых волокон
балки. Таким образом, косой изгиб представляет собой
совокупность двух прямых изгибов во взаимоперпенди-
кулярных плоскостях. Кроме изгибающих моментов Мх,
Му, в поперечных сечениях возникают поперечные силы
Qx и Qy, действующие вдоль соответствующих осей Ой
и Оу. На практике обычно поперечные силы не учитыва-
ют и расчет на прочность производят по нормальным на-
пряжениям. Нормальные напряжения от каждого изги-
бающего момента Мх и Му определяют по полученной
ранее формуле для плоского поперечного изгиба. На
основании принципа независимости действия сил сум-'
марное нормальное напряжение в любой точке попереч-
ного сечения от изгибающих моментов Мх и Му записы-
вается так:
= °мх + ° му = Mxy!Jx + (22- О
где х и у — расстояния от соответствующих центральных осей инер-
ции до рассматриваемой точки сечения.
Знак составляющим напряжениям ом и ом присваи-
вается в зависимости от характера деформаций балки,
возникающих от Мх и Му: при растяжении — знак плюс,
и при сжатии — знак минус.
Для наглядного представления о характере распре-’
деления нормальных напряжений по поперечному сече-
нию строят раздельно эпюры оМхи aMff от изгибающих
моментов» Мх и Му (рис. 22.2).
. : Из анализа построенные эпюр ом и ам видно, что от
х у
252
совместного действия изгибающих моментов Мх и Му
наибольшее растягивающее нормальное напряжение в
заданном прямоугольном сечении возникает в точке 2, а
наибольшее сжимающее напряжение — в точке 4, следо-
вательно
а2>1 = Мх/Гх+ MylWy.
<J^ = -Mx/Wx-My/Wy,
где W* и Wy — моменты сопротивления сочетания относительно
осей Ох и. Оу.
Следует заметить, что данное утверждение справед-
ливо только для тех сечений (прямоугольных, двутав-
ров, швеллеров и т.п.), у которых крайние точки одно-
временно наиболее удалены от центральных осей Ох
и Оу.
Для сечений произвольного вида, когда крайние точ-
ки одновременно не находятся на наибольшем расстоя-
нии от осей Ох и Оу, оно неверно. Для таких сечений
вначале определяют положение нейтральной оси (нуле-
вой линии), т.е. геометрическое место точек, в которых
суммарное нормальное напряжение oz равно нулю. Так
как нормальные напряжения при косом изгибе, так же
как и при прямом поперечном изгибе, прямо пропорцио-
нальны расстоянию точки до нейтральной оси, то наи-
большие нормальные напряжения возникают в наиболее
удаленных точках поперечного сечения от нейтральной
оси.
Приравняв нулю суммарное нормальное напряжение,
получим выражение уравнения нейтральной оси п—п:
az=Mxyn/Jx+MyXn/Iy=O, откуда
— Уп1хп — J*MVI JyMxt (22.2)
где хп и у„ — текущие координаты нейтральной оси.
Из полученного выражения следует, что нейтральная
ось — прямая, проходящая через центр тяжести попереч-
ного сечения. Для определения ее положения введем сле-
дующие правила знаков: положительные направления
осей координат Ох и Оу принимаются вверх и вправо, а
изгибающие моменты Мх и Му пусть вызывают деформа-
ции волокон балки одного знака в I и III квадрантах се-
чения.
В этом случае правая часть выражения (22.2) будет
положительной, и равенство удовлетворяется, когда зна-
ки у координат нейтральной оси хп и уп будут разными.
253
Следовательно, нейтральная ось должна проходить че-
рез II и IV квадранты поперечного сечения.
Обозначим угол наклона нейтральной оси к оси Ох
через <р (рис. 22.2), тогда
tg ф = — уц! хп = JxMylJyM.%, (22.3)
Подставив в выражение (22.3) текущие значения из-
гибающих моментов для консольной балки Mx=Fzcosa
и Afy=/7zsina, получим
tg<P = JxFz sin a! JyFz tvs а = (Jx/Jy) tga, (22.4)
где tg a — тангенс угла наклона силовой линии к оси Оу.
Из выражения (22.4) видно, что в отличие от прямо-
го поперечного изгиба при косом изгибе нейтральная ось
не перпендикулярна силовой линии (tgcp^tga). Вели-
чина угла между ними зависит от отношения главных
центральных моментов инерции сечения Jx и Jy. Только
для сечений, у которых Jx=Jy (круг, кольцо, квадрат,
равносторонний треугольник, правильный шестиуголь-
ник и др.), угол между нейтральной осью и силовой ли-
нией равен 90°, т. к. для этих сечений все центральные
оси являются главными осями и поэтому не происходит
косого изгиба.
Построим суммарную эпюру нормальных напряже-
ний о2 для сечения, изображенного на рис. 22.3. Прове-
дем через центр тяжести нейтральную ось п—п под уг-
лом ср к оси Ох и параллельно ей две касательные к се-
чению. Для данного сечения наиболее удаленными от
нейтральной оси являются точки D и В, а не точка А.
Перпендикулярно к нейтральной оси проводим ось эпю-
ры о2. Значения ординат напряжений о2в и ozd соединя-
ем прямой линией.
Пространственный косой изгиб возникает в балке при
действии нагрузок, расположенных в разных плоскостях.
Например, однопролетная балка, нагруженная верти-
кальной силой Л в сечении С и горизонтальной силой
F2 в сечении D, испытывает пространственный косой
изгиб (рис. 22.4,а). Действующие нагрузки, так же как
и при плоском косом изгибе, можно разложить на со-
ставляющие по направлению главных центральных осей
инерции сечения. Потом строят эпюры изгибающих мо-
ментов Мх и Му. Пусть в рассматриваемой балке глав-
ные центральные оси инерции Ох и Оу совпадают с на-
правлением действующих сил F2 и F[. Тогда вертикаль-
254
Рис. 22.3
Рис. 22.4
ная сила F\ вызовет поперечный изгиб относительно оси
Ох, а горизонтальная сила — поперечный изгиб отно-
сительно оси Оу и соответствующие им эпюры Мх и Му
(рис. 22.4, б, в).
Суммарное нормальное напряжение о2 от совместно-
го действия изгибающих моментов Мх и Му в попереч-
ных сечениях балки вычисляют по формуле (22.1). При
пространственном косом изгибе отношение изгибающих
моментов Мх и Му изменяется по длине балки. В раз-
личных сечениях нейтральная ось имеет разное положе-
ние, и для определения ее направления можно пользо-
ваться только формулой (22.3), а именно:
tg ф=== А1у/Х/МХ/у.
В этом случае величина угла между нейтральной
осью и силовой линией зависит не только от отношения
главных моментов инерции сечения, но и от отношения
изгибающих моментов Мх и Му.
§ 22.2. Расчет балок на прочность при косом
изгибе
Расчет балок на прочность при косом изгибе произ-
водят по нормальным напряжениям о2. При плоском
косом изгибе опасным является сечение, в котором дей-
ствуют наибольшие изгибающие моменты Мх и Му. При
пространственном изгибе сечения с наибольшими значе-
ниями Мх и Му обычно не совпадают. В этом случае про-
водят расчеты для нескольких сечений, где сочетания
Мх и Му имеют наибольшие значения.
255
Балки из пластичного материала рассчитываются по
наибольшему (по абсолютной величине) нормальному
напряжению о2. Условие прочности по предельному со-
стоянию записывается так:
атах = Mxy/Jx + Myx/Jy <Ryt (22.5)
где х и у — координаты наиболее удаленной точки в опасном се-
чении от нейтральной оси; Ry — расчетное сопротивление.
Для балок из хрупкого материала с различными
прочностными характеристиками на растяжение и сжа-
тие условие прочности в опасном сечении записывается
для двух наиболее удаленных точек В и D от нейтраль-
ной оси:
аР max ~МхУв Uх + Uv < [<^р] I 1
К maxi = \^DUX + MyXD Uy\ < [ас1. )
ГДе Ортах — наибольшее растягивающее нормальное напряжение,
возникающее в наиболее удаленной точке В от нейтральной оси;
Ос max — наибольшее сжимающее нормальное напряжение, возни-
кающее в наиболее удаленной точке D от нейтральной оси; [ор] —
допускаемое напряжение на растяжение; [ос] — допускаемое напря-
жение на сжатие.
Определение требуемых размеров поперечного сече-
ния производится по формулам (22.5) и (22.6) в зависи-
мости от материала балки. Поскольку в эти формулы вхо-
дят две неизвестные величины Jx и Jy, то расчет прихо-
дится производить несколько раз. Приняв какие-либо
размеры сечения (или отношение Jx к Jy), проверяют ус-
ловия прочности. Если расхождение между полученными
напряжениями о2 и расчетным сопротивлением (допус-
каемым напряжением) материала окажется больше 5 %,
то принимают другие размеры сечения, и расчет повто-
ряют до тех пор, пока расхождение не будет меньше
указанной величины.
§ 22.3. Прогибы при косом изгибе
Прогибы при косом изгибе определяются по направ-
лению главных центральных осей инерции сечения.
Обозначим прогиб балки в сечении К по направле-
нию оси Ох через &кх и по направлению оси Оу через
Д/ty. Полный прогиб определяют на основе принципа
независимости действия сил путем геометрического сум-
мирования прогибов в направлении главных осей:
+ ^Кх-
256
Рис. 22.5
Рис. 22.6
Определим составляющие прогиба A/и и &ку свобод-
ного конца консольной балки, изображенной на рис. 22.5.
На основе полученных ранее решений прогиб свободного
конца балки выражается формулой Д =FP/3EJ, тогда
= Fxl*/3EJy = Fl* sin a/3EJy,
ЬКу = Fyl*/3EJx = Fl* cos a/3£
Найдем угол наклона линии полного прогиба к вер-
тикальной оси Оу:
tg Р = = F/3sin a3E^x/Fl3 cos a 3EJy = (Jx/Jy) tg a. (22.7)
Из анализа формул (22.4) и (22.7) видно, что при
плоском косом изгибе направление полного прогиба пер-
пендикулярно нейтральной оси (<р = Р) и не совпадает с
направлением силовой линии, так как р=#а.
Условие жесткости при косом изгибе записывается в
виде
где Днаиб — наибольшее значение полного прогиба в балке;
Диор — нормативная величина прогиба.
Пример. Проверить прочность и жесткость стальной балки из
двутавра № 24, нагруженной сосредоточенной нормативной сплои
FH = 20 кН, направленной к оси Оу под углом a = 10°, если коэффи-
циент перегрузки равен 1,25 /?у=210 МПа, £=2,1 -105 МПа и ДНор^=
= //300 (рис. 22.6,а).
Решение. Выполним расчет на прочность. Вычислим расчетную
нагрузку F=£«. 1,25=20-1,25=25 кН и ее составляющие по на-
правлению главных центральных осей инерции сечения
17—480 257
Рис. 22.7
Fx = F-sin 10° = 25-0,1736 = 4,34 кН,
Fy = F-cos 10° = 25-0,9848 = 24,62 кН.
От сил Fx и Fv строим эпюры изгибающих моментов Мх и Му
(рис. 22.6, б, с).
Опасным будет среднее сечение балки, в котором действуют наи-
большие изгибающие моменты Мх наиб=24,62 кН*м и М1ГНаиб =
= 4,34 кН-м. Эпюры нормальных напряжений амх и Ому показаны
на рис. 22.7, а. Поскольку материал балки имеет одинаковые расчет-
ные сопротивления на растяжение и сжатие, а крайние точки В и С
сечения находятся одновременно на наибольшем расстоянии от
осей Ох и Оу, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные
напряжения возникают в этих точках.
По ГОСТ 8239—72сизм.для двутавра находим /х = 3460-10-8 м4;
1ГХ = 289-10-6 м3; 4=198-10"8 м4; IFy = 34,5- 10"в м3.
Тогда O’z.b.c = | Мх наи б/^-р^нанб/^! = 24,62* 107289-10-6 ь
+4,34* 10734,5* 10~в = 210,9 МПа = 2!0 МПа.
Условие прочности удовлетворяется, перенапряжение не превы-
шает 0,5 %•
Перемещения в строительных конструкциях определяют от нор-
мативной нагрузки, которая в данной задаче равна FH = 20 кН. Раз-
ложим F" по направлению осей Оу и Ох:
Fy= F" cos 10°= 20-0,9848 = 19,696 кН.
Fx = F" sin 10° = 20-0,1736= 3,472 кН.
Прогиб среднего сечения однопролетной балки от сосредоточен-
ной силы, приложенной в этом сечении Д = /Ч3/48£Л
Прогиб в горизонтальной плоскости
Да = Fx/748£Jz/= 19,696* 103-43/48*2,1 • 105- 10е *3460* 10~8= 0,36 см.
Прогиб э вертикальной плоскости
Д,7 = FyP/48EJx 3,472-103• 43/48• 2,1 • 10Б- 10е-198* 10“® =1,11 см.
258
Полный прогиб в среднем сечении балки (рис. 22.7,6)
Дна„б = ’1120.362 = 1,167 см.
Условие жесткости удовлетворяется, так как Дпапб<//300 или
1,167 <400/300.
Найдем угол наклона полного прогиба к вертикальной оси Оу:
tg ^=гДЛ/Ду= 1,11/0,36=-3,08, откуда (3 — 72°, рис. 22,7 б.
Направление полного прогиба не совпадает с направлением си-
ловой линии, так как {3=/=а.
ГЛАВА 23. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
(РАСТЯЖЕНИЕ)
§ 23.1. Нормальные напряжения при внецентренном
сжатии (растяжении)
Внешняя продольная сила может быть приложена не
в центре тяжести поперечного сечения, а с некоторым
смещением относительно главных центральных осей
инерции сечения. Например, давление от прогонов пере-
крытия на крайние колонны здания, давление от под-
крановых балок на колонны и др. В этом случае в от-
личие от центрального сжатия в прямом брусе (колонне)
кроме продольных (нормальных) внутренних сил, воз-
никают и изгибающие моменты. Таким образом, вне-
центренным сжатием (растяжением) называется таком
вид деформации прямого бруса, когда в его поперечных
сечениях одновременно действуют продольная сжимаю-
щая (растягивающая) сила и изгибающий момент.
В настоящей главе рассматриваются брусья, имею-
щие значительную жесткость на изгиб, которые назы-
ваются жесткими. При расчете жестких брусьев не учи-
тываются прогибы (перемещения), перпендикулярные
продольной оси (бруса) от изгибающих моментов.
На рис. 23.1, а изображен жесткий брус, в верхнем
поперечном сечении которого приложена продольная
сжимающая сила F в точке В. Точка приложения силы
Г называется центром давления или полюсом.
Пусть точка В, где приложена сила F, имеет относи-
тельно главных центральных осей инерции Ох и Оу ко-
ординаты ех и еу, называемые эксцентриситетами этих
осей. От приложенной силы в произвольном поперечном
сечении бруса возникает нормальная сила N =—F и два
изгибающих момента относительно главных осей Ох и
Оу Mx = —Fey, My = —Fex.
17*
259
Рис. 23.1
Рис. 23.2
Внешняя сжимающая сила F принимается со знаком
минус, а растягивающая сила со знаком плюс. Знаки ко-
ординат ех и еу зависят от расположения точки В от-
носительно осей Ох и Оу. Для жестких брусьев приме-
няется принцип независимости действия сил и нор-
мальные напряжения определятся в любой точке по-
перечного сечения как алгебраическая сумма напряже-
ний от сжатия (растяжения) силой F и двух изгибающих
моментов Мх и Му\
% = + °мх + °му = ± F1А ± M^/Jx ± MyxlJy, <23 и
где А — площадь поперечного сечения бруса; Jx — момент инерции
относительно оси Ox; Jy — момент инерции относительно оси Оу\
х,у— координаты точки, в которой определяется нормальное напря-
жение. Значения х и у следует подставлять в формулу с учетом их
знаков относительно координатной системы хОу.
260
В частном случае внецентренного сжатия (растяже-
ния), когда точка приложения внешней силы F находит-
ся на одной из главных осей инерции (например, на оси
Оу у ел==0), формула для определения нормальных на-
пряжений принимает вид:
ог = = ± F/A ± Mxy!Jx. (23.2)
Для бруса, имеющего простую форму поперечного се-
чения (прямоугольник, двутавр и др.) при определении
наибольшего нормального напряжения вычисляются зна-
чения напряжений для ряда наиболее удаленных точек
от координатных осей. В этом случае эпюра строится
в аксонометрии. Для ее построения значения напряжений
в характерных точках откладываются перпендикуляр-
но плоскости поперечного сечения, и соединяются пря-
мыми линиями (рис. 23.1,6).
При произвольной форме поперечного сечения для
нахождения опасных точек определяется положение ней-
тральной оси и отыскиваются наиболее удаленные от нее
точки, в которых и будут возникать наибольшие нор-
мальные растягивающие и сжимающие напряжения.
Уравнение нейтральной оси получим, приравняв нор-
мальное напряжение ог нулю:
± F/A ± MuJJ ± Mx/J — О, (23.3)
Л и Л </ и у
где xQ и уо — текущие координаты точек нейтральной оси.
Подставив в уравнение (23.3) значения изгибающих
моментов Mx=Fey и My=Fex, получим
± F/А ± FeyyJJx ± FexxQ/Jу --= О
или
± F/A (1 + еуУьНх1А + exxj JylА) + 0.
Выражения ix= УJx/A и iy= УJy/A представляют
собой радиусы инерции поперечного сечения относитель-
но главных центральных осей инерции Ох и Оу. Так как
±/?/А=^=0, то окончательно получим уравнение нейтраль-
ной оси в следующем виде:
J ++ (23-4)
Полученное уравнение является уравнением прямой,
поскольку значение координаты Ло и yQ имеют в нем пер-
вую степень.
Нейтральная ось при внецентренном сжатии (растя-
жении) не проходит через центр тяжести поперечного
261
сечения, так как при ,го=;/о = О, oz^0. Для определения
положения нейтральной оси (нулевой линии) найдем от-
резки, отсекаемые этой осью на осях координат Ох и О//.
Обозначим эти отрезки через ах и Ьу. Вначале найдем
значение отрезка ах, отсекаемого нейтральной осью на
оси Ох. Координаты точки пересечения нейтральной оси
и осью Ох будут равны: xQ = ax и уо = О, тогда уравне-
ние (23.4) примет вид:
1 ехах'% = °.
Для определения отрезка Ьу подставим в уравнение
(23.4) координаты точки пересечения нейтральной оси с
осью Оу у$ = Ьу и Хо = О, получим И-еу&у//х2 = 0.
Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые
нейтральной осью на осях координат:
ах = - fyex И bv = ~ $еу (23 5)
Так как радиус инерции всегда положителен, то вели-
чины ах и ех, а также Ьу и еу имеют разные знаки. Сле-
довательно нейтральная ось и точка приложения внеш-
ней силы расположены по разные стороны от центра тя-
жести сечения. Положение нейтральной оси зависит не
от величины и знака, а от координат точки приложения
внешней силы F.
Определив положение нейтральной оси, переходят к
построению эпюры oz. Для этого к контуру поперечного
сечения проводят две касательные, параллельные нейт-
ральной оси, и находятся наиболее удаленные от этой
оси точки. Для сечения, изображенного на рис. 23.2, опас-
ными точками будут D и Е. В них вычисляются нор-
мальные напряжения oz,D и о2)е, и полученные значения
откладываются на соответствующих касательных и со-
единяются прямой. Следует заметить, что при внецент-
ренном сжатии (растяжении) нормальное напряжение в
центре тяжести сечения всегда равно аг,о=±Л^/Л.
Расчет на прочность бруса из пластичного материала
при внецентренном сжатии (растяжении) производится
по наибольшему (по абсолютной величине) нормально-
му напряжению az, возникающему в наиболее удаленной
от нейтральной оси точке сечения.
Для сечения, изображенного на рис. 23.2, в точке £>,
условие прочности по предельному состоянию записы-
вается в виде
262
аго = |У/Л MxyD !Jx + MyxD IJy\ < Ry, (23 f>)
гдг a'd и yD — координаты наиболее удаленной точки сечения от
и.’йгральпой оси; Ry— расчетное сопротивление материала растяже-
нию (сжатию).
Для бруса из материала, имеющего различные сопро-
тивления растяжению и сжатию, необходимо производить
проверку прочности как по наибольшим растягивающим,
так и по наибольшим сжимающим нормальным напря-
жениям в точках Е и D.
Условие прочности при внецентренном сжатии запи-
сывается в виде двух неравенств:
наиб = °z.E = N/ A -J- МхуЕ/Jх + МухЕ /</у < 7?р; | (93 7)
Qc наиб = «2D = - Л'М - MxyD их - MyxD иу < Rci J
где /?р — расчетное сопротивление материала на растяжение; Rc —
расчетное сопротивление материала на сжатие.
§ 23.2. Ядро сечения
При внецентренном сжатии стремятся подбирать та-
кие размеры поперечного сечения, чтобы во всех его точ-
ках не возникали растягивающие напряжения. Для этого
нейтральная ось должна проходить вне сечения, не пере-
секая его. Положение нейтральной оси согласно полу-
ченным формулам (23.5) ах =—i~y/ex и Ьу =—ix/ey за-
висит от координат точки приложения силы F. Из фор-
мулы (23.5) получим
е и е — — ii/b
X Ух У X у
(23.8)
Из анализа зависимостей между ех и ах, а также еу
и Ьу следует, что с увеличением координат ех, еУ1 следо-
вательно с удалением точки приложения силы F от
центра тяжести сечения, отрезки ах и Ьу уменьшаются, и
нейтральная ось приближается к центру тяжести сече-
ния. С уменьшением координат ех и еу нейтральная ось
удаляется от центра тяжести сечения. В пределе, когда
e.v=e?/ = 0, получим случай центрального сжатия. Ней-
тральная ось при этом удаляется в бесконечность.
Рассмотрим поперечное сечение с плавным очертани-
ем контура. При некоторых значениях координат ех=Х[
н еи=У1> соответствующих приложению силы в точке В(,
нейтральная ось п\—П\ будет касаться поперечного сече-
ния в точке Ci (рис. 23.3). Тогда эпюра нормальных на-
263
Рис. 23.3 Рис. 23.4
пряжений примет треугольный вид с нулевой ординатой
на нейтральной оси п\— щ. Для другого положения
нейтральной оси п2—п2 при касании поперечного сече-
ния в точке С2 получим новые значения координат ех =
=х2 и еу=у2 точки В2 приложения силы F (см.
рис. 23.3).
Если нейтральная ось будет последовательно касать-
ся различных точек контура поперечного сечения не пе-
ресекая его, то точка приложения силы опишет некото-
рую кривую, называемую границей ядра сечения.
Для многоугольного поперечного сечения при перехо-
де от одной стороны контура к другой (от П1—Hi к
п2—П2) нейтральная ось будет вращаться вокруг верши-
ны С, разделяющей эти стороны (рис. 23.4).
Определим, как должна перемещаться точка прило-
жения силы F, чтобы нейтральная ось проходила через
одну и ту же точку С (хс, у с), вращаясь около этой
точки.
Запишем уравнение для нейтральной оси пз—пз, про-
ходящей через точку С (хс, у с):
1 + еуУс /‘х + еххс = °-
Из этого уравнения видно, что координаты ех и еу
точки Вз, в которой приложена сила, связаны между со-
бой линейно. Следовательно, при вращении нейтральной
оси около постоянной точки С точка приложения силы F.
движется по прямой В\— Вз границы ядра сечения.
Справедливо и обратное утверждение: перемещение си-
264
$ 1/
Рис. 23.5
лы F по прямой связано с вращением нейтральной оси
около постоянной точки, лежащей на ней. Ядром сечения
называется находящаяся около его центра тяжести об-
ласть и при приложении к которой продольной силы во
всех точках поперечного сечения возникают нормальные
напряжения одного знака.
При построении ядра сечения необходимо провести
множество нейтральных осей, касательных к контуру
поперечного сечения и не пересекающих его. Затем для
каждой нейтральной оси определить координаты точек
границы ядра сечения, которые последовательно соеди-
нить (кривой или прямой). Полученная фигура и будет
ядром сечения. Рассмотрим несколько простых примеров
построения ядра сечения.
Прямоугольное сечение. Так как прямоугольное сече-
ние (рис. 23.5, а) представляет собой многоугольник, то
для построения ядра сечения достаточно провести четы-
ре нейтральные оси гц—ni,...,n.4—гц, касательные к кон-
туру и параллельные главным центральным осям инер-
ции. Соответствующие этим положениям нейтральных
осей полюсы 1,..., 4 приложения силы F будут располо-
жены на главных осях инерции.
Вычислим квадраты радиусов инерции прямоуголь-
ного сечения:
ix = Jx/A = ft/i3/126ft = ft2/12
»2 = Jy/A = hbAl\2bh = ft2/12,
Для нейтральной оси п,—П\, отсекающей на оси Оу
отрезок by=h/2, и на оси Ох — ах — оо координаты по-
ложения полюса 1
ех — ~ fyax — ~ '^оо =
265
е — — iy/bk — — 1г2/12/i=— 6/6.
// A л
Для нейтральной оси П2—n2, отсекающей на оси Оу
Ьу — оо и на оси Ох отрезок ах = Ь/2, координаты поло-
жения полюса 2
ех = — Ь~2/126 == — 6/6,
Для нейтральной оси п3—н3, отсекающей на оси Оу
отрезок Ьу = —h/2, и на оси Ох ах = оо, координаты по-
ложения полюса Зех =—1У/°°-—0, еу = —й22/12(—й)
Для нейтральной оси т— отсекающей на оси Оу
Ьу = оо и на оси Ох отрезок ах =—Ь/2, координаты при-
ложения полюса 4 ех = —Ь22/12(—b) = Ь/6, еу = —1x1^ =
= 0.
Переход от нейтрально оси ti[—п\ к оси п,2—п2, а так-
же от оси п2—п2 к пз—пз и т.д. осуществляется путем
вращения нейтральной оси около угловых точек по-
перечного сечения. Соответствующие полюсы будут пе-
ремещаться по прямым 1—2, 2—3 и т.д. Поэтому после-
довательно соединив точки полюсов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4,
4 и 1 прямыми линиями, получим ядро сечения для пря-
моугольного сечения, которое имеет вид ромба с диаго-
налями й/3 и Ь/3.
Двутавровое сечение. Для двутаврового сечения
(рис. 23.5,6), так же как и для прямоугольного сечения
при построении ядра сечения проводят четыре нейтраль-
ных оси tii——гц, касательные к контуру двутав-
ра, которые образуют прямоугольник. Следовательно,
для двутаврового сечения ядро сечения также имеет
форму ромба, крайние точки которого вычисляют так же,
как и для прямоугольного сечения. Геометрические ха-
рактеристики двутавра принимаются по таблицам сорта-
мента по ГОСТ 8239—72 с пзм.
Круглое сечение. Для круглого сечения (рис. 23.5, в)
все центральные оси являются главными осями инерции,
поэтому для любой нейтральной оси п\—п\, касательной
к его контуру, полюс приложения силы F будет лежать
на диаметре, перпендикулярном к нейтральной оси, и
иметь эксцентриситет е=г!4.
По условию круговой симметрии ядро сечения также
будет кругом с радиусом ri=r/4, где г — радиус задан-
ного круглого сечения.
266
ГЛАВА 24. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО-
СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 24.1. Общие положения
Как указывалось в гл. 14, в дополнение к расчетам на
прочность и жесткость строительные сооружения и их
элементы, воспринимающие сжимающие напряжения,
должны быть рассчитаны также и на устойчивость.
Из теоретической механики известно, что положение
равновесия абсолютно жесткого тела может быть устой-
чивым, безразличным и неустойчивым (рис. 24.1, а, б, в).
В сопротивлении материалов кроме положения рав-
новесия рассматривается равновесие системы в дефор-
мированном состоянии. Так, например, гибкий прямоли-
нейный стержень при действии на него небольшой сжи-
мающей осевой силы находится в состоянии устойчивого
равновесия. Если этот стержень изогнуть какой-нибудь
поперечной нагрузкой, а затем ее убрать, то стержень
вернется к первоначальной прямолинейной форме рав-
новесия (рис. 24.2,а). При значении осевой сжимающей
силы, превышающей определенное значение, прямоли-
нейная форма равновесия станет неустойчивой и сменит-
ся криволинейной (рис. 24.2, в). Таким образом, устой-
чивостью называется свойство сооружений сохранять
свое первоначальное положение или некоторую дефор-
мированную форму равновесия и возвращаться к ним при
малых отклонениях после снятия причин, вызвавших эти
отклонения.
Различают устойчивое положение равновесия и ус-
тойчивость формы равновесия стержня в деформирован-
ном состоянии. Первое относится к достаточно «жестким»
сооружениям, как, например, подпорные стенки, башни
и т. п. Второе относится к гибким конструкциям, выпол-
ненным из упругого материала.
Выход сооружения из первоначального состояния
равновесия называется потерей устойчивости. Нагрузка,
при небольшом превышении которой возможно сущест-
вование новой устойчивой формы равновесия, называ-
ется критической нагрузкой и обозначается Гкр. Критиче-
ская сила — это наименьшее значение центральной сжи-
мающей силы, при которой стержень теряет способность
сохранять свою первоначальную форму равновесия. По-
теря устойчивости с качественной сменой деформирован-
267
ной формы равновесия называется потерей устойчивости
первого рода или Эйлеровой потерей устойчивости.
В новой форме равновесия за счет качественного из-
менения деформированного состояния в конструкции
(элементе) возникают дополнительные напряжения, не
предусмотренные обычным расчетом на прочность. Эти
дополнительные напряжения могут вызвать разрушение
конструкции при меньших внешних нагрузках, получен-
ных из расчета на прочность по первоначальной форме
равновесия. Явление потери устойчивости наступает вне-
запно, поэтому его трудно предупредить в тех сооруже-
ниях, в которых неверно назначены размеры сжатых эле-
ментов.
Прямолинейный стержень, нагруженный осевой сжи-
мающей силой меньше критической, работает только на
сжатие, а при силе больше критической он уже испыты-
вает совместное действие сжатия и изгиба за счет ис-
кривления его оси.
Потеря устойчивости первого рода происходит и в
ряде других случаев. Например, при критическом значе-
нии гидростатического давления круговая форма кольца
становится неустойчивой, и оно приобретает форму эл-
липса в новом состоянии равновесия (рис. 24.3). Изги-
баемая в вертикальной плоскости консоль тонкостенного
прямоугольного сечения при критическом значении изги-
бающего момента теряет первоначальную форму, и в
балке появляются дополнительный изгиб в горизонталь-
ной плоскости и кручение (рис. 24.4).
Исследование устойчивости сооружений и определе-
ние критических нагрузок имеет большое практическое
значение для создания надежных конструкций. В целях
безопасности сооружения должна быть обеспечена устой-
чивость первоначальной формы равновесия под действи-
ем приложенных к нему внешних нагрузок, меньших кри-
тических. Недооценка вопросов устойчивости в прошлом
приводила к серьезным катастрофам крупных инженер-
ных сооружений !.
Общая теория расчета сооружений излагается в спе-
циальном курсе — устойчивости сооружений. В данной
главе рассматривается расчет на устойчивость простой
конструкции в виде прямолинейного стержня, нагружен-
ного осевой сжимающей силой.
§ 24.2. Формула Эйлера
Исследование устойчивости упругих систем и опреде-
ление критических нагрузок или их параметров в общем
случае выполняется тремя методами: динамическим,
энергетическим или статическим. В курсе сопротивления
материалов для расчета на устойчивость центрально
сжатых прямолинейных стержней обычно пользуются
статическим методом. Согласно статическому методу,
исследуемой системе задается форма равновесия, полу-
ченная после потери устойчивости. Эта форма принима-
ется бесконечно близкой к первоначальной, и из условия
равновесия находятся критические нагрузки или их па-
раметры, способные удержать систему, в этой новой де-
формированной форме.
Рассмотрим прямой стержень с постоянным попереч-
ным сечением, шарнирно закрепленный на опорах. Допу-
стим, что при действии центральной продольной силы
1 Например, в 1907 г. обрушился мост через реку Св. Лаврен-
тия около г. Квебека из-за неверного расчета сжатого составного
стержня на устойчивость.
2G9
Рис. 24.5
Гкр [рис. 24.5] стержень получит не-
значительное начальное искривление
в плоскости наименьшей жесткости.
Момент инерции поперечного сечения
стержня относительно нейтральной
оси, перпендикулярной к этой плоско-
сти, будет минимальным. Для иссле-
дования потери устойчивости и опре-
деления критической силы будем счи-
тать, что изогнутая ось стержня
описывается приближенным диффе-
ренциальным уравнением изгиба
балки:
±-TT^min = ±Mz,
где Mz— текущее значение изгибающего момента в произвольном
сечении стержня.
Для кривизны и изгибающего момента принимается
следующее правило знаков. Кривизна считается положи-
тельной, если центр кривизны расположен в положитель-
ном квадранте принятой системы координат. Изгибаю-
щий момент считается положительным при умножении
силы FKp на положительную ординату у. Тогда Л4г=
=—FKpf/ и уравнение примет вид:
d2y d2y
EJmla= — Гкр!/ ИЛ" EJmln ~<& + ЕкрУ = °'
Обозначив k2 = FKp/EJmln, получим
d2u
vr + ^ = °- (24J)
аг*
Это обыкновенное линейное дифференциальное урав-
нение второго порядка. Его общее решение имеет вид:
у = Ceos kz + D sin kz, (24.2)
где С и D — постоянные интегрирования, которые определяют из ус-
ловий закрепления стержня по концам:
1) при z = 0 z/ = 0, находим С = 0. Следовательно,
стержень изогнется по синусоиде y=Dsin^2;
2) при z=l у=0, находим Dsinfez = 0. Полученное
соотношение справедливо в двух случаях. В первом
случае £>=0. Но если С = 0 и D = 0, то как следует из
решения (24.2), прогибы стержня во всех точках равны
нулю, и стержень остается прямым, что противоречит,
270
поставленной задаче; во втором случае sin Л/ = 0. Это
условие выполняется, когда принимает бесконечный ряд
значений: kl = 0, л, 2л,..., пл, где п — любое целое чис-
ло. Отсюда Z?Z=nn. Первый корень п = 0 соответствует
силе Fkp = 0. Решение будет при п>0.
Учитывая fe2 = 7?Kp/£'/min, получим бесчисленное мно-
жество критических сил, соответствующих различным
формам искривления стержня:
Л<р = J min/ Р »
где п = (1, 2,...).
Для инженерных расчетов практический интерес
представляет только наименьшая критическая сила при
п = 1:
^кр = я2Е/т1п//2. (24.3)
Полученное выражение называется формулой Эйле-
ра, а определяемую этой формулой критическую силу
называют Эйлеровой критической силой.
Из формулы Эйлера видно, что величина критичес-
кой силы пропорциональна жесткости и обратно про-
порциональна квадрату длины стержня. Критическая
сила не зависит от прочностных характеристик материа-
ла стержня, поэтому при данных размерах стержня пз
обычной стали замена его высокопрочной не увеличива-
ет критическую силу.
При выводе формулы Эйлера не удалось найти чис-
ленные значения прогибов стержня, так как величина
постоянной интегрирования D осталась неопределенной.
Это связано с тем, что изогнутая ось стержня описыва-
лась приближенным дифференциальньш уравнением.
Если использовать для исследования потери устойчи-
вости стержня точное дифференциальное уравнение изо-
гнутой оси, то можно определить как критическую силу,
так и зависимость между сжимающей силой и прогиба-
ми стержня.
§ 24.3. Влияние способа закрепления концов
стержня на критическую силу
Рассмотренный пример стержня с шарнирными опо-
рами по концам принято называть основным случаем
потери устойчивости центрально-сжатого стержня. При
других способах закрепления стержня (рис. 24.6) для
271
определения критической силы необходимо провести
свое решение соответствующего дифференциального
уравнения. Однако, как показывают исследования, для
указанных на рис. 24.6 случаев закрепления концов
стержня можно критическую силу определить по уни-
версальной формуле по виду аналогичной формуле для
стержня с шарнирными опорами:
FKp = n^JmIn/(v/)2, (24.4)
где vZ— приведенная длина стержня; v — коэффициент приведения
длины, который зависит от способа закрепления стержня по концам.
Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления
концов стержня v имеет следующие значения: а) для стержня с шар-
нирно закрепленными концами v=l; б) для стержня с заделанными
концами v = 0,5; в) для стержня с одним заделанным и другим сво-
бодным концом v = 2; г) для стержня с одним заделанным и другим
шарнирно закрепленным концом v = 0,7.
Так, например, для стержня с одним заделанным и
другим свободным концом критическая сила FKp =
= jr2£/min/4/2, т. е. в четыре раза меньше, чем для стер-
жня с шарнирными опорами. Поэтому при проектирова-
нии строительных конструкций, подверженных действию
сжимающих нагрузок, следует сжатые элементы закреп-
лять на обоих концах.
§ 24.4. Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера была выведена на основе диффе-
ренциального уравнения изогнутой оси стержня, кото-
рое справедливо в пределах применимости закона Гука.
Поэтому ею можно пользоваться, пока напряжения в
стержне не превышают предела пропорциональности
материала.
272
Сжимающее нормальное напряжение в поперечном
сечении при потере устойчивости, соответствующее кри-
тическому значению сжимающей силы, называется кри-
тическим напряжением и равно:
<Ър = FkPM = JiWmin/(v/)M, (21.5)
где А — площадь поперечного сечения стержня.
Геометрическая характеристика сечения ’K/minM =
= /min представляет собой величину наименьшего ради-
уса инерции поперечного сечения стержня.
Формулу (24.5) можно записать в таком виде:
аКр = Л2 £/(V//
Обозначим ----= %. Величина X называется гибкос-
Чп1п
тью стержня, которая зависит от способа закрепления
концов стержня, его длины и жесткости поперечного се-
чения. Окончательно получим следующую формулу для
критического напряжения:
акр = л2£/%2. (24.6)
Таким образом, пользоваться формулой Эйлера мож-
но при условии:
акр = л2£/Л2 < <тп.ц, (24-7)
где аи.ц — предел пропорциональности материала.
Откуда
к > nV(24.8)
Величина л V£/огп.ц=Апред называется предельной
гибкостью, которая зависит только от физико-механи-
ческих и прочностных характеристик материала, а не
его размеров.
Записывая формулу (24.8) относительно гибкости,
получим условие применимости формулы Эйлера в виде
X > ^пред- (24.9)
Следовательно, формула Эйлера применима лишь в
тех случаях, когда гибкость рассчитываемого стержня
больше или равна предельной гибкости для материала,
из которого изготовлен стержень. Например, для мяг-
кой строительной стали оп.ц=200 МПа и £’ = 2-105 МПа
^пред = 3, 14 V2-105/200 = 100.
Таким образом, для стержней из малоуглеродистой
стали формула Эйлера применима, если гибкость боль-
18-480
273
ше 10. Аналогично полу-
чают условие применимо-
сти формулы Эйлера для
стержней из других ма-
териалов: для чугуна
Лпред=80, для хромомо-
либденовой стали ХПред =
= 70 и т.д. Если гибкость
стержня будет меньше
указанных значений, то
формула Эйлера уже не
применима, так как кри-
тическое напряжение пре-
взойдет предел пропорциональности, и закон Гука ста-
новится недействительным. Для таких стержней крити-
ческие напряжения определяются по эмпирической фор-
муле Ясинского, полученной на основании многочислен-
ных опытов:
^кр — а — b'kf
24.10)
где а и b — коэффициенты, зависящие от материала.
Например, для малоуглеродистой стали при гибкос-
тях, изменяющихся от 40 до 100, коэффициенты а и b
принимаются равными а~310 МПа и Ь* 1,14 МПа.
При гибкости от 0 до 40 критические напряжения
принимаются постоянными и равными пределу текучес-
ти материала. График зависимости критического напря-
жения от гибкости стержня из малоуглеродистой стали
приведен на рис. 24.7, который состоит из трех участ-
ков.
1. При гибкостях от 0 до 40 (стержни малой гибкос-
ти) напряжение оКр имеет постоянное значение. Стерж-
ни рассчитываются не на устойчивость, а на прочность
o = N/A.
2. При гибкостях от 40 до 100 (стержни средней гиб-
кости) зависимость оКр от гибкости линейная, и они рас-
считываются на устойчивость по формуле Ясинского
Опр = о—Ь'К,
3. При гибкостях больше 100 (стержни большой гиб-
кости) зависимость оКр от гибкости гиперболическая, и
они рассчитываются на устойчивость по формуле Эйле-
ра оКр = л2Е/Х2.
Пример. Для стального стержня из двутавра № 16 с жесткими
опорами по концам длиной /=400 см, нагруженного центральной
сжимающей силой, вычислить величину критической силы Л—.
274
Решение. По ГОСТ находим геометрические характеристики дву-
тавра № 16: Jx=873 см4, 7^=58,6 см4, Л = 20,2 см2 и /mtn = l,7 см.
/Модуль упругости стали £=2,1-105 МПа. Коэффициент свободной
-( 1!!ны для данного случая v = 0,5, и приведенная длина стержня
/V - 0,5-400 = 200 см.
Потеря устойчивости стержня произойдет в плоскости наимень-
шей жесткости. Гибкость стержня* X = v//imin = 200/l>7= 117,6> 100.
Следовательно, критическую силу определяем по формуле Эйлера:
Лкр = л2 ^Zmln/Cv/)2 = 3,142-2,1 • 105-58,6-10—в - 10б/22 = 28,9 кН.
§ 24.5. Практическая формула для расчета
на устойчивость
Для надежной работы центрально сжатого гибкого
стержня расчетное напряжение должно быть меньше
КрИТИЧеСКОГО (пОНИЖеННЫМ) : Орас^Икр/Туст (Ууст> 1).
Значение пониженного напряжения выражают через
основное расчетное сопротивление на сжатие данного
материала Окр/уУст=ф/?у, где <р—коэффициент про-
дольного изгиба, понижающий основное расчетное со-
противление при потере устойчивости.
При практических расчетах на устойчивость сжатых
стержней вместо двух формул Эйлера и Ясинского, каж-
дая из которых справедлива для определенных значений
гибкости, пользуются практической формулой следую-
щего вида:
арас = ^/^бр или ^рас = AZ/фДбр By> (24.11)
где У— продольная сжимающая сила в стержне; ДоР — площадь по-
перечного сечения брутто (без учета ослабления отверстия); Ry —
расчетное сопротивление материала на сжатие; ф — коэффициент
продольного изгиба, зависящий от материала стержня и его гибко-
сти. Численные значения коэффициентов ф приведены в табл. 24.1.
Таблица 24.1
Г пбкость, X Коэффициент ф Г нбкость, Z Коэффициент ф
Сталь Чугун Дере- во Сталь Чугун Дере- во
40 0,906 0,69 0,87 120 0,479 0,22
60 0,827 0,44 0,71 130 0,425 •— 0,18
80 0,734 0,26 0,48 140 0,376 — 0,16
90 0,665 0,20 0,38 150 0,328 — 0.14
100 0,599 0,16 0,31 160 0,290 — 0,12
НО 0,537 0,10 0,25 170 0,259 — 0,11
18*
275
Расчет по формуле (24.11) по внешнему виду совпа-
дает с расчетом на прочность, но по существу он явля-
ется расчетом на устойчивость, поскольку при составле-
нии таблиц коэффициентов было учтено явление потери
устойчивости центрально сжатого стержня. Если же
стержень имеет значительное ослабление, то, кроме ра-
счета на устойчивость, следует выполнять и обычный
расчет на прочность по ослабленному сечению:
= WЛНетто Ry >
где Ицетто — площадь ослабленного сечения стержня.
Формула для подбора сечения (проектный расчет)
центрально сжатого гибкого стержня записывается в
следующем виде:
Лтр> N/qRy,, (24.12)
где ЛТр — необходимая площадь поперечного сечения стержня.
Следует обратить внимание на то, что в формуле
(24.12) две неизвестные величины Лтр и ср. Величина <р
зависит от размеров и формы поперечного сечения и по-
этому заранее не может быть определена. Ввиду этого
подбор сечения проводят способом последовательных
приближений. Вначале задаются примерным значением
коэффициента <рь например, 0,5, и находят площадь по-
перечного сечения ЛТр. При заданной форме сечения
вычисляют момент инерции, радиус инерции и гибкость.
На основании полученной гибкости по табл. 24.1 опре-
деляют величину коэффициента ф2 и находят напряже-
ние. Полученное напряжение при первой попытке обыч-
но отличается от расчетного сопротивления, поэтому про-
цесс расчета повторяют. Во втором приближении при-
нимают фз= (<Р1 + ф2)/2, находят площадь и т. д. Этот
процесс продолжают до тех пор, пока расхождение меж-
ду напряжением и расчетным сопротивлением не будет
в пределах требуемой точности расчета. Допустимое
расхождение в этих напряжениях не должно превышать
3—5%.
Пример. Для стальной колонны двутаврового поперечного се-
чения с шарнирными опорами по концам длиной /=300 см, нагру-
женной сжимающей силой F=260 кН, подобрать размеры попереч-
ного сечения. Расчетное сопротивление стали /?у=210 МПа.
Решение. Приближение 1. Примем в первом приближении (fi =
= 0,5 и определим необходимую площадь поперечного сечения
Лтр = FlqRy = 260-103/0,5-210.10° = 24,76 см2.
276
По таблице сортамента принимаем двутавр № 18а, для которо-
го А -25,4 см2, imin = 2,12 см.
Вычисляем гибкость стержня:
= vZ/Zmln = 1-300/2» 12 = 141,5.
По табл. 24.1 для этой гибкости находим ср2 = 0,37 и определяем
рас icnioe напряжение в колонне:
Qpac = Л7/фЛ = 260- Юз/0,37-25,4.10~* = 276,6 МПа > 210.
Так как расчетное напряжение больше расчетного сопротивления,
то необходимо сделать повторное приближение.
Приближение 2. Принимаем ср3=0,5 (tpi-J-qb) =0,435 и определяем
необходимую площадь поперечного сечения:
Лтр = 260-103/0,435-210-106 = 28,46 см2.
По таблице сортамента принимаем двутавр № 20а, для которо-
го А=28,9 см2, 1пнп=2,32 см.
Вычисляем гибкость стержня Х= 1-300/2,32/= 129,3.
По табл. 24.1 для этой гибкости находим <р4=0,43 и определяем
расчетное напряжение в колонне:
орас = 260-103/0,43-28,9-10~4 = 209,2 МПа < 210.
Расчетное напряжение практически совпало с расчетным сопро-
тивлением, поэтому окончательно принимаем для данной колонны
двутавр № 20а.
В заключение рассмотрим вопрос о рациональной
форме поперечных сечений центрально-сжатых стерж-
ней. В сопротивлении потери устойчивости при заданных
длине, материале и площади сечения стержня определя-
ющим является его гибкость, зависящая от наименьшего
радиуса инерции поперечного сечения, поэтому при со-
здании устойчивой конструкции необходимо стремиться,
чтобы величина наименьшего радиуса инерции была
возможно большей. Для этого материал сечения следу-
ет располагать как можно дальше от центра тяжести.
Кроме того, при одинаковых способах закрепления кон-
цов стержня в главных плоскостях инерции следует
форму сечения принимать такой, при которой моменты
инерции будут одинаковыми: Jx = Jy, т. е. проектировать
равноустойчивую конструкцию. Обоим этим условиям
удовлетворяют кольцевое сечение (рис. 24.8, а) или ко-
робчатое сечение, состоящее из двух швеллеров (рис.
24.8,6) или четырех равнобоких уголков (рис. 24.8, в),
соединенных между собой решеткой.
Для равноустойчивого стержня из двух швеллеров
расстояние между центрами тяжести швеллеров нахо-
дится из условия
Jx = Ju* + Д(Ь/2)2>
277
Рис. 24.8
где Jx — момент инерции швеллера относительно оси Ох\ Jy,} — момент
инерции швеллера относительно оси Оуо\ /1 — площадь сечения
швеллера.
Откуда b = 2 V (Jx—Jy„)/A.
В тех случаях, когда закрепления стержня в главных
плоскостях инерции неодинаковые и коэффициенты сво-
бодной длины при изгибе в этих плоскостях имеют раз-
ные значения Vi и v2, необходимо вычислять две крити-
ческие силы Лкр и ?2кр. Рациональным будет сечение,
при котором равны между собой эти критические силы:
/?п<р = /?2кр. При этом следует так распределять площадь
по сечению, чтобы радиусы инерции относительно обоих
главных осей инерции были наибольшими.
ГЛАВА 25. ОСНОВЫ РАСЧЕТА НА ДЕЙСТВИЕ
ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
§ 25.1. Понятие о действии динамических нагрузок
В предыдущих главах рассматривалось действие ста-
тических нагрузок, которые изменялись во времени так
медленно, что сооружение оставалось почти неподвиж-
ным. На практике часто действуют нагрузки, изменяю-
щиеся во времени с большой скоростью, что приводит к
колебаниям сооружения и значительным ускорениям
его элементов. Такие нагрузки называются динамичес-
кими.
Действие динамической нагрузки сопровождается уп-
ругими перемещениями и появлением сил инерций. Си-
278
,чы инерции возникают также при нагрузке, сообщающей
движению тела некоторое ускорение (например, при
подъеме груза). Возникающие при этом дополнительные
напряжения и деформации могут превысить напряжения
п деформации от основных статических нагрузок.
Динамические нагрузки по своей природе весьма раз-
нообразны. Приведем несколько видов динамических
нагрузок:
1) периодическая нагрузка создается движущимися
пастями машин и механизмов. Частным видом этой на-
грузки является гармоническая нагрузка, возникающая
при равномерном вращении неуравновешенных частей
двигателя и изменяющаяся по закону синуса (косинуса):
7\o=F0sin 0/;
2) ударная нагрузка возникает в определенном мес-
те сооружения при падении на него различных грузов.
Например, ударную нагрузку создают ударные части
копров, молотов и др. механизмов.
3) подвижная нагрузка характеризуется изменением
своего месторасположения на сооружении. Например,
нагрузок от веса поезда при его перемещении по мосту.
4) сейсмическая нагрузка проявляется в виде беспо-
рядочного колебания почвы при землетрясении и пере-
дается основанию сооружения.
Расчет конструкций на динамическую нагрузку зна-
чительно сложнее, чем расчет на статическую нагрузку.
Если статическая нагрузка определяется ее величиной,
то при расчетах на динамическую нагрузку наряду с
величиной существенную роль играет характер самой
нагрузки: частота, продолжительность действия, перио-
дичность и др. Для расчета конструкций на динамичес-
кие нагрузки используют два метода: кинетостатический
(статический) и энергетический. Статический метод ос-
нован на составления уравнения движения с использо-
ванием принципа Даламбера. Движущееся тело может
рассматриваться как находящееся в состоянии мгно-
венного равновесия, если к действующим на него внеш-
ним силам добавить силу инерции, равную произведе-
нию массы тела на его ускорение и направленную в
сторону, противоположную ускорению. Таким образом,
принцип Даламбера формально сводит задачу динами-
ки к задаче статики, поэтому в тех случаях, когда из-
вестны силы инерции, для определения внутренних уси-
лий можно пользоваться методом сечений. Энергетичес-
279
кий метод основан на исследовании кинетической и
упругой энергии системы при движении. Если силы сопро-
тивления движению не учитываются, этот метод осно-
вывается на законе сохранения энергии, согласно кото-
рому сумма потенциальной и кинетической энергии
упругой системы является величиной, постоянной во
времени.
Общие вопросы расчета строительных конструкций
изучаются в курсе «Динамика сооружений». В сопротив-
лении материалов рассматривается обычно расчет про-
стых систем с использованием различных упрощающих
допущений.
§ 25.2. Расчет троса при подъеме груза
Пусть груз весом G при помощи троса поднимается
с некоторым ускорением а (рис. 25.1,а). Пока груз не-
подвижен, то в произвольном сечении троса (собствен-
ным весом троса ввиду его малости будем пренебрегать)
возникает внутреннее статическое продольное усилие
Wct=G.
При подъеме груза с ускорением а составляем урав-
нение движения. В дополнение к весу груза прикладыва-
ем к поднимаемому грузу силу инерции, равную произ-
ведению массы груза на ускорение и направленную в
сторону, противоположную ускорению:
Fин == ^гр а = Ga/S >
где g=9,81 м/с2 — ускорение свободного падения; /нГр — масса груза.
Применяя метод сечений из уравнения 5У = 0 для
отсеченной части (рис. 25.1,6) определяем полную (ди-
намическую) силу, возникающую в поперечном сечении
троса:
Nz = G + Лш = G + Ga/g = G (1 + a/g)
или
Л^д = Wct (1 + a/g) = NCT Рд, (25.1)
где ]iA=(14-a/g)—динамический коэффициент, который зависит от
величины ускорения поднимаемого груза.
При подъеме груза с ускорением динамическое внут-
реннее усилие в тросе может быть значительно больше,
чем от статического веса груза.
Пример. Определить динамическое усилие в тросе при подъеме
груза весом 6=30 кН с постоянным ускорением а = 4 м/с2. Массу
троса не учитывать.
280
Рис. 25.1
(г
Решение. Динамическое усилие в тросе при подъеме груза с
учетом возникающей инерционной силы равно:
Nji = Q (1 + a/g) = 30 (1 + 4/9,81) = 30-1,41 = 42,3 кН.
При подъеме груза с ускорением а = 4 м/с2 динамическое уси-
лие в тросе увеличится в 1,41 раза по сранению с усилием, возника-
ющем от неподвижного груза.
§ 25.3. Понятие о колебаниях сооружений
Под действием динамических нагрузок сооружение
и его отдельные элементы выходят из состояния стати-
ческого равновесия и начинают совершать колебания
около этого положения. В зависимости от направления
внешнего воздействия в сооружении могут возникнуть
различного рода колебания: продольные, поперечные,
крутильные и др. Каждый вид колебаний определяется
соответствующими упругими (упругопластическими) де-
формациями его элементов: удлинениями, прогибами,
сдвигами, углами закручивания и др. Например, при
действии на прямолинейный стержень динамической на-
грузки, направленной вдоль его оси, в стержне возник-
нут продольные колебания за счет его растяжения и
сжатия. При действии на балку нагрузки, направленной
перпендикулярно к ее продольной оси, в балке возни-
кают поперечные колебания, сопровождающиеся ее из-
гибом. Колебания различают по графику процесса на
простые, сложные, затухающие, незатухающие и беспо-
рядочные. В зависимости от продолжительности дейст-
вия динамической нагрузки колебания делятся на сво-
бодные (собственные) и вынужденные. При исследова-
нии поведения колебаний сооружения вводится понятие
о степени свободы. Степенью свободы называется чис-
281
Рис. 25.2
ло независимых геометрических параметров, определя-
ющих положение всех масс сооружения в любой момент
времени при колебании.
Каждый реальный стержень (балка) имеет бесчис-
ленное множество степеней свободы, так как его рас-
пределенную по длине массу можно представить в виде
бесконечно большого количества бесконечно малых со-
средоточенных масс. Рассчитать такое сооружение до-
вольно сложно, поэтому реальное сооружение с распре-
деленными массами заменяют системой с сосредоточен-
ными массами. Количество, величину и местоположение
сосредоточенных масс назначают на основании экспери-
ментальных данных. Таким способом получают систему
с конечным числом степеней свободы: одной, двумя и
др. Кроме того, в расчет вводят не все возможные де-
формации сооружения, а учитывают только важные и
характерные для данного вида колебания. Например,
при поперечных колебаниях учитывают только дефор-
мации изгиба, пренебрегая продольными удлинения-
ми и деформациями сдвига.
На рис. 25.2, а показана система с одной степенью
свободы, так как ее перемещение при поперечных коле-
баниях определяется одной геометрической величиной —
прогибом г/1. Система, изображенная на рис. 25.2,6, име-
ет две степени свободы, так как перемещения двух масс
определяются двумя различными прогибами у\ и уг.
С увеличением числа степеней свободы возрастает сло-
жность расчета системы. В сопротивлении материалов
рассматриваются простые системы с одной степенью сво-
боды.
§ 25.4. Свободные колебания системы с одной
степенью свободы
Если упругую систему вывести из состояния равно-
весия каким-либо внешним воздействием (ударом, от-
клонением), а затем убрать это воздействие, то система
будет совершать колебания около положения статичес-
кого равновесия. Такие колебания системы называются
свободными. Свободные колебания будут продолжаться
до тех пор, пока сообщенная начальная энергия не из-
расходуется полностью на работу против сил внутренне-
го трения в материале и сопротивления среды. Однако
силы сопротивления незначительно влияют на числовые
значения частот свободных колебаний, поэтому при оп-
ределении частот свободных колебаний их не учитыва-
ют, т. е. считают колебания незатухающими.
Свободные колебания системы с одной степенью сво-
боды рассмотрим на примере невесомой консольной бал-
ки с сосредоточенной массой т (рис. 25.3). Будем счи-
тать, что поперечные колебания массы т происходят в
плоскости чертежа за счет изгиба невесомой, но упругой
балки. При составлении уравнения движения при сво-
бодном колебании массы m применим принцип Далам-
бера. К движущейся с ускорением массе добавим силу
инерции. Обозначим отклонение массы от положения
равновесия через у (рис. 25.3), В любой момент времени
при свободных колебаниях на массу tn, отклонившуюся
от положения равновесия на величину у, будут действо-
вать следующие силы:
1) восстанавливающая сила Fr — сила упругой ре-
акции системы, возникающая при отклонении массы т\
восстанавливающая сила Fr, стремящаяся вернуть мас-
су в положение статического равновесия, направлена в
сторону, противоположную перемещению. Восстанавли-
вающая сила пропорциональна величине отклонения у
и жесткости балки Гц:
где 6ц — перемещение от силы, равной единице, приложенной в точке
ь’ассы т по направлению ее перемещения;
2) сила инерции равная произведению массы на
ускорение, т. е. на вторую производную пути или пере-
мещения по времени. Эта сила направлена в сторону,
283
Рис. 25.3
Рис. 25.5
£
противоположную ускорению и считается отрицатель-
ной: Fw=—m[d2yldt2).
Уравнение динамического равновесия всех сил, дей-
ствующих на массу
2У =-F„H + Fr = 0
или
d2 и
+ y^ = Q-
at2
Разделим все члены уравнения нат,получпмй2у/б//24-
Ч-г//т6и=0.
Введем обозначение (о2 = 1/тбц, получим обыкновен-
ное однородное линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами:
d2r//d/2 + <o2z/ = O. (25.2)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
г/(/) = Z^coscof + B2sinc«rt, (25.3)
где Bi и В2 — произвольные постоянные интегрирования, которые оп-
ределяются из начальных условий движения.
284
Полученное решение (25.3) представляет собой уравне-
ние гармонического колебания системы с одной степенью
свободы. Пусть в начальный момент времени при / = 0
смещение массы было г/(/)=у0 и скорость v(t)=uj9
тогда из (25.3) получим Bi=y0 и В2 = и0/(о.
После подстановки ностоянных инегрирования в ре-
шение (25.3) и тригонометрических преобразований
уравнение гармонического колебания примет вид:
г/(0 = В sin (orf + <po), (25.4)
где В = +(уо/®)2 — представляет собой наибольшее отклонение
массы (амплитуды) от положения равновесия; cp0=arctg сог/о/^о—
называется начальной фазой колебания или сдвигом фазы по вре-
мени.
По этому уравнению построим график колебания
(рис. 25.4). Повторение значений отклонений y(t) бу-
дет происходить через 2л/со сек, так как при подстанов-
ке в выражение (25.4) вместо t значения /* = / + 2л/со =
= / + Т получим то же отклонение массы:
y{t} = в sin (со/ + ф0) = В sin [со (t + 2л/со) + cpj.
Следовательно, величина Т = 2л/со представляет со-
бой полный период колебания, т. е. промежуток во вре-
мени, по истечении которого колеблющаяся масса возвра-
щается в исходное положение. Отсюда ^ = 2п!Т являет-
ся частотой свободных колебаний за 2л сек, которая
называется круговой или циклической частотой. В ис-
ходном дифференциальном уравнении было введено,
что со2= 1/тбц. Из этого соотношения получаем простую
формулу для определения частоты свободных колеба-
ний для системы с одной степенью свободы:
со = V1 //пбп. (25.5)
Частота свободных колебаний является динамической
характеристикой конструкции. Она повышается с увели-
чением жесткости системы 1/бц и уменьшается с увели-
чением величины массы т.
Пример. Определить круговую частоту свободных колебаний со-
средоточенного груза 0=3 кН, расположенного посередине одно-
пролетной стальной балки (рис. 25.5). Собственный вес балки не
учитывать (двутавр № 24). Модуль продольной упругости Е=
= 2,1.105 МПа, Л=3460 см4.
Решение. Прогиб балки 6Н по направлению перемещения массы
находим по формуле 6ц=/3/48Е/х,
би = 63/48-2,1-105 • 10е-3460-10—8 = 0,6193.10—®.
285
Круговую частоту определяем по формуле (25.5):
ы=Уl/mbn = Уg/G6n = У9,81/3-10-0,6193-10—в = 72,6 сек-Ч
§ 25.5. Вынужденные колебания системы с одной
степенью свободы. Резонанс
Вынужденными колебаниями системы называются та-
кие ее колебания, которые все время поддерживаются
внешней возмущающей силой F(0. Возмущающая сила
может быть периодической и непериодической. Наиболь-
шее практическое значение для расчета строительных
конструкций имеет гармоническая нагрузка, изменяю-
щаяся по закону синуса или косинуса:
F(О = Fо sin 0/ ’
где Fo— амплитудное значение нагрузки; 0 — круговая частота воз-
мущающей нагрузки; / — время.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, к ко-
торой приложена гармоническая возмущающая сосредо-
точенная сила /7(f) = 770sin 0/ (рис. 25.6). В этом случае
в уравнение динамического равновесия, кроме восста-
навливающей силы Fr и силы инерции 5Ин, войдет и си-
ла F(0, и оно примет вид:
2Y =—F + F — = 0
ПН * 71 (О
ИЛИ
т (d2 у/dt2) + y/6n = Fq sin 0/.
Разделив все члены уравнения на т и произведя за-
мену (о2 = 1//нбц:
d2 y/dt2 + со2 у = FQ/tn sin 0/, (25.6)
получим неоднородное обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициен-
тами. Полное решение этого уравнения состоит из обще-
го решения соответствующего однородного уравнения
(25.2) и частного решения неоднородного уравнения, ко-
торое имеет вид:
cos со/ В2 sin со/ -|- FQ 6n/(l — 02/со2) sin 0/. (25.7)
Первые два члена этого решения выражают свобод-
ные колебания, а третий — вынужденные. Свободные ко-
лебания быстро затухают благодаря силам сопротивле-
286
ния и устанавливаются вынужденные колебания с часто-
той 0, тогда уравнение принимает вид:
y{t}- Fo бц/d — 02/о^2) sin0^ (25.8)
или
*/(/) = ^McTSin0/’ (25-9)
где //ст = /?о6ц — статическое перемещение массы от амплитудного
значения возмущающей нагрузки; цд=1/(1—02/со2)—динамический
коэффициент при колебании системы с одной степенью свободы, по-
казывающий, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний
больше статического перемещения, вызванного максимальным зна-
чением возмущающей нагрузки.
Так как эпюры изгибающих моментов от Fo и от инер-
ционной силы подобны, то по такому же закону бу-
дет происходить изменение внутренних усилий в конст-
рукции. Например, нормальное напряжение в произволь-
ном сечении принимает значения
од = ост |1д sin 0/, (25.10)
где Ост — статическое напряжение от амплитудного значения
возмущающей силы.
На рис. 25.7 показан график значений динамического
коэффициента (по абсолютному значению). Из этого
графика следует, что при значениях частоты вынужден-
ных колебаний 0, приближающихся к частоте свободных
287
колебаний со, динамический коэффициент неограничен-
но возрастает. При совпадении частот (0 = (о) наступает
явление резонанса и цд стремится к бесконечности.
В действительности при резонансе не происходит не-
ограниченного возрастания амплитуды колебания вслед-
ствие наличия сил неупругого сопротивления. Амплиту-
да колебаний хотя и будет ограниченной, но обычно
настолько значительна, что состояние резонанса всегда сле-
дует считать опасным, поэтому при проектировании стро-
ительных конструкций необходимо, чтобы значения со и
6 существенно отличались друг от друга. Последнее до-
стигается изменением либо жесткости самой системы,
либо применением специальных устройств — виброгаси-
телей.
Пример. Определить динамический коэффициент и наибольшее
нормальное напряжение в консольной стальной балке (рис. 25.8) от
веса двигателя 0 = 20 кН, создающего возмущающую силу Гщ =
= FuSin0/, если F0=5 кН, число оборотов п = 240 об/мин, Е =
= 2,1-105 МПа, Fx=472 см3 и /х=7080 см4.
Решение. Для консольной балки перемещение крайнего сечения
6П = P/3EJX = 33/3-2,1-Ю5-10б -7080-10-8= 0,605-10-».
Круговая частота свободных колебаний
<о = Кg/G8n = V9,81/20-103-0,605-10—6 = 28,47 сек-1.
Круговая частота вынужденных колебаний
0 = п2л/60 = 240-2-3,14/60 = 25,1 сек-1.
Динамический коэффициент
рд = 1/(1 _ eV©2) = 1 —(1 — 25,12/28,472) = 2,32.
Наибольший изгибающий момент возникает в жесткой опоре
балки от веса двигателя и динамической Fo силы:
Mmax = (G + рд Fo) Z = (20 + 5 • 2,32) 3 = (60 + 34,8) кН.
Наибольшее нормальное напряжение в опасном поперечном се-
чении балки
°дшах = = (60 + 34,8) 10-3/472-10~« = 127,1 + 73,7 =
И X
= 200,8 МПа.
§ 25.6. Приближенный способ расчета на удар
Ударная нагрузка характеризуется таким взаимодей-
ствием движущихся тел, при котором после их соприко-
сновения за весьма малый промежуток времени проис-
288
ходит резкое изменение скоростей. Например, груз, па-
дающий с высоты на верхний торец забиваемой сваи,
-после ее погружения в грунт останавливается почти
мгновенно. Изменение скорости ударяющего тела за ко-
роткое время (от некоторого значения до нуля) вызыва-
ет появление между обоими ударяющимися телами (па-
дающим грузом и конструкцией) весьма больших сил
взаимодействия. Целью расчета на ударную нагрузку
является определение наибольших деформаций и напря-
жений в конструкции в результате удара. В зависимости
от направления действия ударной нагрузки в конструк-
ции возникают различные виды деформаций: сжатие, из-
гиб, сжатие с изгибом, кручение с изгибом и т. п.
Задача по расчету сооружений на ударную нагрузку
представляет собой сложную проблему, так как сила
удара, период ее действия и закон изменения во време-
ни зависит не только от величины массы и скорости
ударяющего тела, но и от упругих свойств конструкции,
времени прохождения отраженной волны и других фак-
торов, учет влияния которых довольно сложен. Кроме
того, трудность задачи связана с более сложными мето-
дами определения механических свойств материала при
ударном напряжении. Некоторые материалы, которые
при статическом действии нагрузки являлись пластичны-
ми, работают как хрупкие при ударе, поэтому обычно
для практических расчетов пользуются приближенным
способом, основанным на следующих упрощающих до-
пущениях.
1. Напряжения при ударе не превосходят предела
пропорциональности материала конструкции. Система
считается линейно-деформируемой, следующей закону
Гука, и модуль продольной упругости при ударном на-
гружении имеет то же значение, что и при статическом
нагружении.
2. Кинетическая энергия падающего тела полностью
переходит в потенциальную энергию деформации упру-
гой системы, т. е. не происходит потери энергии, пере-
шедшей в теплоту и в энергию колебательного движения.
3. Удар является неупругим, и после него ударяю-
щее тело не отделяется от конструкции и при ее дефор-
мации продолжает двигаться вместе с ней.
4. Масса конструкции считается малой по сравнению
с массой ударяющего тела. Инерционными свойствами
конструкции пренебрегают, и она рассматривается как
19—480
289
невесомая. Ввиду трудности
определения инерционной
силы при ударе поставлен-
ную задачу решают энерге-
тическим методом. Пусть
груз весом G падает с высо-
ты h на некоторую упругую
систему, например, однопро-
летную балку (рис. 25.9, а).
После соприкосновения па-
дающего груза с упругой
системой в последней под действием силы удара возник-
нут деформации. Обозначим через ул перемещение си-
стемы в точке удара по направлению действия динами-
ческой нагрузки от удара (рис. 25.9,6). К моменту окон-
чания деформации системы ударяющий груз пройдет
путь, равный
Работа, совершаемая весом падающего груза, равна:
^ = б(/1 + г/д).
(25.11)
Так как кинетическая энергия падающего груза (чис-
ленно равная его работе) полностью переходит в потен-
циальную энергию деформации упругой системы, то
можно записать
№ = ЭП0Т. (25.12)
Выражение для потенциальной энергии деформации
системы Эпот при динамическом действии нагрузки при-
нимают таким же, как и при статическом действии на-
грузки. Иными словами, считается, что при ударе дефор-
мации в системе возникают не мгновенные, а растут хотя
и быстро, но постепенно от нуля до своего окончатель-
ного значения ул. Параллельно с деформациями посте-
пенно возрастает динамическая сила Гд от удара. Тогда
на основании теоремы Клайперона потенциальную энер-
гию деформации системы можно представить в виде
^пот = Гд //д/2. (25.13)
Поскольку при ударе напряжения не превышают пре-
дела пропорциональности материала, согласно закону
Гука, как статические перемещения от веса груза, так и
динамические перемещения от удара в упругой системе
будут обратно пропорциональны жесткости системы:
£/Ст = б//’11, Уд~ Гд/Гц,
где гц = 1/6н — коэффициент жесткости системы.
290
Откуда
Гц = О/г/ст> Рд —Удгн = бУд! Уст (25.14)
Подставим в выражение (25.13) полученное значение
fIK, найдем
5пот = О^Чт. (25.15)
Приравняв (25.11) и (25.15), получим
G = (h + yn)-Gy\/2yCT,
откуда
Уд-Ч»ст-ЧтЛ = 0-
Решив это квадратное уравнение, определим значе-
ние
Уд = Уст (1 + К1 + 2Л/(/ст). (25.16)
Здесь второй корень уравнения не приводится, так
как определяется наибольшее перемещение.
Выражение (25.16) обычно записывают в виде
Уд = Уст Ид» (25 • 17)
где цд= 14-1^14-2/1/г/ст — динамический коэффициент при ударе, по-
казывающий, во сколько раз динамическое перемещение при ударе
больше возникающего в системе перемещения от статически прило-
женной силы, равной весу падающего груза.
Динамические напряжения в системе при ударе вы-
числяются по формуле
ад = астЦд. (25.18)
где Ост — статическое напряжение в системе от силы, равной весу
падающего груза.
Из полученных формул видно, что динамические пе-
ремещения и напряжения зависят от деформации упру-
гой системы. Чем меньше жесткость системы (более по-
датливая), тем меньшей величины напряжения возника-
ют в ней при ударе, поэтому для смягчения действия
ударной нагрузки применяются различного рода аморти-
заторы (рессоры, пружины, резиновые прокладки и т. п.).
В частном случае при внезапном приложении нагруз-
ки, когда высота падения й=0, динамический коэффи-
циент Цд=2. Следовательно, при внезапном (мгновен-
ном) приложении нагрузки деформации и напряжения
в два раза больше, чем при статическом действии той же
нагрузки. Если высота падения груза значительно боль-
19*
291
ше статической деформации уСт упругой системы, то
для определения динамического коэффициента можно
пренебречь единицей перед корнем и под корнем по срав*
нению с величиной отношения 2Л/уст и пользоваться слё-i
дующей приближенной формулой:
Нд » V
Пример. Определить наибольшие нормальные напряжения и мак-
симальный прогиб в стальной однопролетной балке (двутавр №24}
пролетом 6 м от падающего груза весом 0=1 кН с высоты /:=-
= 10 см. Груз падает посередине пролета балки. Момент инерции
сечения /х=3460 см4, момент сопротивления 1ГХ = 289 см3 и модуль
упругости £ = 2,Ь105 МПа.
Решение. Вычисляем статический прогиб балки под грузом or его
веса:
уСт = Gl3/4SEJX = 1- Ю3-63/48-2, Ь 105-10«.3460-10—8 = 0>0619 см.
Находим динамический коэффициент при ударе груза о балку
рд = 1 + V1 + 2/i/</CT = 1 + К1 +2-10/0,0619 = 19.
В данном случае динамическое действие падающего груза в
19 раз больше его статического действия.
Наибольший изгибающий момент от веса груза возникает в
среднем сечении балки;
Мтах = 6//4= 1-6/4= 1,5 кН-м = 1500 Н-м.
Наибольшее статическое напряжение
1500
аст ^шах/^х— 1л_в“5,19 МПа.
Наибольшее динамическое напряжение от удара
(Уд = аст р,д = 5,19-19 = 98,6 МПа.
Наибольший динамический прогиб среднего сечення балки
Уд = Уст’Р-д = 0,0619-19 = 1,17 см.
Из рассмотренного примера видно, насколько опасны
по своему действию ударные нагрузки, поэтому при мон-
таже и эксплуатации зданий и сооружений следует пре-
дотвращать появление всякого рода ударов.
292
РАЗДЕЛ 3. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ (СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ)
ГЛАВА 26. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ
СХЕМЫ СООРУЖЕНИЙ
§ 26.1. Основные понятия
Задача статики сооружений — изучение методов рас-
чета на прочность, жесткость и устойчивость при стати-
ческом действии нагрузок на отдельные строительные
конструкции. Под сооружением в строительной механике
подразумевают совокупность отдельных элементов, со-
единенных между собой связями и образующих некото-
рую неизменяемую пространственную или плоскую
систему. В статике сооружений пользуются теми же допу-
щениями и ограничениями, что и в сопротивлении мате-
риалов, но применительно не к отдельному элементу, а
ко всему сооружению в целом. Подробно эти допущения
рассмотрены в гл. 14. Напомним краткое содержание
основных допущений.
Материал всех элементов сооружений является
сплошным, однородным, изотропным и идеально упругим.
Зависимость между напряжениями и деформациями, а
также между силами и перемещениями принимается ли-
нейной, следующей закону Гука, т. е. после снятия на-
грузки деформации полностью исчезают.
Поскольку перемещения точек сооружения, завися-
щие от упругих деформаций, считаются весьма малыми
по сравнению с размерами самого сооружения, при оп-
ределении внутренних силовых факторов и реакций не
учитывают изменения геометрии самого сооружения и
местоположения нагрузок, и уравнения равновесия за-
писываются для недеформированной (первоначальной)
схемы сооружения. Идеальная упругость материала, ли-
нейная зависимость между напряжениями и деформаци-
ями и малая величина перемещений позволяют в статике
сооружений пользоваться принципом независимости дей-
ствия сил, согласно которому эффект от действия суммы
сил равен сумме эффектов действия от каждой силы от-
дельно. При расчете сооружений также справедлива ги-
потеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), т. е. попе-
речное сечение любого элемента, плоское и перпендику-
293
лярпое к его оси до приложения к элементу внешней
нагрузки, остается плоским и перпендикулярным к оси
и после приложения к нему нагрузки.
Для определения напряженно-деформированного со-
стояния сооружений используют известный из курса со-
противления материалов метод сечений, который назы-
вается аналитическим методом. В некоторых частных
случаях для расчета сооружений применяют графический
способ, основанный на правилах графостатики.
Важную роль в строительной механике играют экспе-
риментальные методы по определению распределения
напряжений и деформаций в сооружении. Проведение
экспериментальных исследований необходимо как для
проверки принятых теоретических допущений, так и для
разработки новых, более совершенных методов расчета.
Второй не менее важной задачей статики сооружений
является изучение различных схем соединений отдель-
ных элементов для создания сооружения, способного
воспринимать действующие на него нагрузки. При ана-
лизе различных геометрических схем сооружения прини-
мается, что все его элементы выполнены из абсолютно
жесткого (недеформируемого) материала. Это допуще-
ние позволяет пользоваться при исследовании геометри-
ческих свойств сооружения основными положениями те-
оретической механики.
В строительной механике исследуются также вопро-
сы оптимального проектирования сооружений, т. е. зда-
ния и сооружения должны быть не только прочными и
надежными в эксплуатации, но экономически эффектив-
ными и долговечными. В соответствии со строительными
нормами и правилами (СНиП) расчет сооружений про-
изводится по методу предельных состояний, методика ко-
торого приведена в гл. 17.
В статике сооружений, так же как и в сопротивле-
нии материалов, считается, что внешние нагрузки пред-
ставляют собой расчетные нагрузки, т. е. нормативные
нагрузки, умноженные на соответствующие коэффициен-
ты перегрузки, а прочностные характеристики материала
соответствуют расчетным сопротивлениям.
§ 26.2. Расчетная схема сооружения. Классификация
расчетных схем сооружений
Большинство реальных зданий и сооружений имеет
довольно сложную геометрическую структуру, состоя-
щую из комплекса элементов (стержней, брусьев, пла-
стин и т. п.), соединенных между собой различными спо-
собами. Расчет такого сооружения или здания с учетом
всех действительных характеристик представляет слож-
ную, а иногда и неразрешимую проблему, поэтому в
строительной механике, так же как и в сопротивлении
материалов, для расчета вместо действительного соору-
жения рассматривается его упрощенное изображение,
называемое расчетной схемой. В расчетной схеме учи-
тываются основные свойства, определяющие поведение
сооружения под нагрузками. В этой схеме стержни и бал-
ки заменяются осевыми линиями, проходящими через
центры тяжести поперечных сечений. Пластины и обо-
лочки заменяются их срединными плоскостями. Опорные
устройства и соединения отдельных элементов заменя-
ются идеальными шарнирами. Поперечные сечения эле-
ментов характеризуются значениями их площадей и мо-
ментов инерции. Нагрузки, действующие на поверхности
сооружения, переносятся на осевые линии или средин-
ные поверхности.
Выбор расчетной схемы сооружения является важ-
ным и ответственным этапом, поскольку от правильного
выбора зависит достоверность результатов расчета. По-
этому предварительно проводится всестороннее изучение
основных свойств реального сооружения. На основе этого
анализа устанавливаются геометрическая конфигурация
расчетной схемы, виды связей, соединяющих отдельные
элементы, характер действующих нагрузок, требуемые
свойства материала. По мере накопления новых данных
о поведении сооружения переходят к более совершенной
расчетной схеме.
В данном курсе при изложении методов расчета раз-
личных сооружений считается, что их расчетные схемы
отражают действительные свойства реальных сооруже-
ний. При этом расчетная схема называется сооружением
или системой. Сооружения (расчетные схемы) для удоб-
ства их описания и расчета обычно делят на отдельные
группы по следующим основным признакам.
1, По расположению осей элементов и нагрузок:
295
а) пространственные сооружения, оси элементов которых
и нагрузки расположены в разных плоскостях; б) пло-
ские сооружения, оси элементов которых и нагрузки рас-
положены в одной плоскости. Плоские системы для упро-
щения их расчета обычно получают из пространственно-
го сооружения после расчленения его на отдельные
части.
2. По геометрическим характеристикам элементов:
а) стержневые сооружения: балки, фермы, рамы, арки
и т. д.; б) тонкостенные сооружения: пластины и различ-
ного вида оболочки — призматические, цилиндрические,
сферические и др.; в) массивные сооружения: плотины,
подпорные стены, фундаменты и основания.
3. По методам расчета:
а) статически определимые сооружения, для расчета
которых достаточно уравнений статического равновесия;
б) статически неопределимые сооружения, для расчета
которых в дополнение к уравнениям статического равно-
весия необходимо составлять геометрические и физиче-
ские уравнения деформирования сооружения.
4. По кинематическим признакам: а) геометрически
неизменяемые сооружения; б) геометрически изменяе-
мые сооружения.
В данном курсе статики сооружений в основном рас-
сматриваются плоские стержневые геометрически неиз-
меняемые сооружения.
ГЛАВА 27. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СООРУЖЕНИЙ
§ 27.1. Геометрически изменяемые и неизменяемые
сооружения. Степень свободы плоской системы
Сооружение, которое под действием приложенных на-
грузок в результате деформации его отдельных элемен-
тов изменяет свою форму и размеры, называется геомет-
рически неизменяемым. Примером такой системы явля-
ется расчетная схема фермы в виде треугольника (рис.
27.1, а). Под действием силы F ферма изменяет свою
форму только за счет упругих продольных деформаций
стержней. Обычно этими деформациями пренебрегают,
поскольку они, как правило, незначительны.
Сооружение, которое под действием даже незначи-
296
тельной нагрузки изменяет свою форму и положение
вследствие движения его отдельных элементов без их
деформации, называется геометрически изменяемым. Та-
кие сооружения не уравновешивают внешние нагрузки,
а наоборот, под их действием приходят в движение.
Примером изменяемого сооружения является шарнирный
стержневой прямоугольник (рис. 27.1,6).
В строительстве применяются только геометрически
неизменяемые сооружения, которые способны без изме-
нения формы и размеров воспринимать внешние воздей-
ствия. Для выяснения вопроса о неизменяемости (изме-
няемости) сооружения и необходимых для этого условий
служит кинематический анализ сооружения. Показате-
лем изменяемости структуры и положения сооружения
является его степень свободы. Степенью свободы соору-
жения называется число независимых геометрических
параметров, определяющих перемещения всех его эле-
ментов. Элемент (или система элементов) из абсолютно
жесткого материала, не изменяющий своей формы и раз-
меров, называется диском. Диском может быть отдель-
ный элемент (стержень) или часть сооружения (или все
сооружение). В дальнейшем рассматриваются только
плоские диски. Диск при движении в плоскости имеет
три степени свободы, так как он может относительно не-
297
подвижного основания поступательно перемещаться
вдоль осей Ох и Оу и поворачиваться вокруг любой точки.
Чтобы лишить диск возможности перемещаться в пло-
скости, необходимо прикрепить его к неподвижному ос-
нованию тремя опорными стержнями. В сооружении ди-
ски соединяются между собой и прикрепляются к осно-
ванию тремя видами связей.
1. Связь первого вида представляет собой стержень
с шарнирами по концам (рис. 27.2,а). Данная связь при
соединении двух дисков препятствует поступательному
перемещению одного диска относительно другого по на-
правлению этого стержня. В связи первого вида возни-
кает реактивная сила, направленная вдоль оси стержня
(рис. 27.2, б).
2. Связь второго вида представляет собой простой
цилиндрический шарнир (рис. 27.3, а). Рассмотрим вза-
имные перемещения двух дисков, соединенных между
собой простым цилиндрическим шарниром (рис. 27.3, а).
Пока диски не соединены между собой, общая их сте-
пень свободы равна утроенному числу дисков, т. е. рав-
на шести. Степень свободы двух дисков, соединенных
между собой простым цилиндрическим шарниром, равна
четырем, так как они совместно как единое целое могут
перемещаться вдоль осей Ох, Оу и вращаться около лю-
бой точки плоскости, а также один диск относительно
298
другого может поворачиваться около шарнира. Следо-
вательно, простой цилиндрический шарнир, соединяющий
два диска, эквивалентен двум связям. В простом цилин-
дрическом шарнире может возникнуть реактивная сила
любого направления, проходящая через его центр, кото-
рую можно разложить на две составляющие по задан-
ным направлениям (рис. 27.3,6).
Если шарнир соединяет в одной точке три и больше
дисков, то он называется сложным или кратным. Напри-
мер, шарнир, соединяющий в точке С три диска (рис.
27.4), является сложным, и он эквивалентен уже четы-
рем связям. Обычно вычисляют не общее число связен
сложного шарнира, а его кратность. Кратность шарнира
показывает, во сколько раз число связей сложного шар-
нира больше простого, т. е. каким количеством простых
шарниров его можно заменить. Если шарнир соединяет
п дисков, то его кратность равна k = n—1, т. е. он мо-
жет быть заменен (п—1) простыми шарнирами. Общее
же число связей сложного шарнира равно 2k.
3. Связь третьего вида — жесткое соединение двух
дисков в единое целое (рис. 27.5, а). Данная связь не
допускает ни поступательных перемещений, ни вращения
одного диска относительно другого, т. е. эквивалентна
трем связям. В жесткой связи возникают две реактивные
силы заданных направлений и момент относительно точ-
ки пересечения реактивных сил (рис. 27.5,6).
Поскольку все реальные здания и строительные кон-
струкции возводятся на грунтовом основании, при про-
ведении кинематического анализа расчетной схемы со-
оружения основание (земля) принимается в качестве не-
подвижного диска. Для таких сооружений описанные
выше связи трех видов подразделяются на две группы:
299
внешние и внутренние. Внешними связями называются
его опорные стержни. Внутренними называются связи,
при помощи которых соединяются между собой отдель-
ные диски самого сооружения.
Перейдем к определению степени свободы сложного
сооружения. Пусть сооружение состоит из D дисков.
«Число простых цилиндрических шарниров, соединяющих
эти диски, равно Ш. Сооружение прикреплено к непо-
движному основанию при помощи Соп опорных стержней.
Пока диски не соединены между собой и не связаны с
основанием, их общая степень свободы будет равна ЗД.
После их соединения цилиндрическими шарнирами сте-
пень свободы уменьшится на 2Ш, а после присоединения
дисков к земле опорными стержнями степень свободы
еще уменьшится на величину Соп. На основании прове-
денных рассуждений получим следующую форму для оп-
ределения подвижности плоского сооружения:
№ = ЗД-2Ш-СОП, (27.1)
где W — степень свободы сооружения; D — число дисков сооруже-
ния; Ш — число простых цилиндрических шарниров, соединяющих
диски; Соп — число опорных стержней.
По формуле (27.1) можно получить три качественно
различных результата:
1) Сооружение не имеет достаточного количе-
ства связей, т. е. является геометрически изменяемым
{механизмом);
2) №=0. Сооружение обладает необходимым числом
связей, которые при правильной их расстановке образу-
ют геометрически неизменяемую, статически определи-
мую систему;
3) №<0. Сооружение обладает избыточным числом
связей, которые при правильной их расстановке образу-
ют геометрически неизменяемую, статически неопреде-
лимую систему.
Таким образом, для образования геометрически неиз-
меняемого сооружения необходимо, чтобы число связей
было больше или равно степени свободы, т. е. №=ЗД—
2Ш — Соп^О. В некоторых случаях исследуют изменяе-
мость системы, не имеющей опорных стержней. Степень
свободы такой системы состоит из двух частей: степени
изменяемости внутренней структуры системы и степени
ее подвижности относительно основания как единого це-
лого. Подвижность плоской системы равна трем.
300
.Степень изменяемости И определяется по формуле:
И = ЗД —2Ш —3. (27.2)
Если И^О, то система обладает необходимым (из-
быточным) числом связей, которые при правильной их
расстановке образуют внутреннюю геометрически неиз-
меняемую систему.
§ 27.2. Анализ геометрической структуры
сооружения
Аналитическое условие является необходимым,
но недостаточным для суждения о неизменяемости и не-
подвижности сооружения, поскольку его неизменяемость
зависит не только от количества связей и дисков, но и от
их взаимного расположения, т. е. от геометрической схе-
мы. Для выяснения вопроса о неизменяемости и непо-
движности сооружения необходимо (в дополнение к под-
счету степени свободы) проанализировать, как и в какой
последовательности соединяются между собой диски и
как они прикрепляются к основанию. Иногда система мо-
жет иметь необходимое число связей, но при неправиль-
ном их расположении будет изменяемой.
В геометрически неизменяемом сооружении соедине-
ние его отдельных элементов должно производиться по
следующим правилам.
1. Три диска, соединенные между собой тремя про-
стыми цилиндрическими шарнирами, не лежащими на
одной прямой, образуют геометрически неизменяемую
систему (рис. 27.6,а).
2. Два диска, соединенные между собой простым шар-
ниром С и стержнем ВД, ось которого не проходит че-
рез центр шарнира, образуют геометрически неизменяе-
мую систему (рис. 27.6,6).
3. Два диска, соединенные между собой тремя стерж-
нями, оси которых не параллельны и не пересекаются в
одной точке, образуют геометрически неизменяемую си-
стему (рис. 27.6, в).
4. Узел С, присоединенный к диску двумя стержня-
ми СВ и СД, оси которых не лежат на одной прямой,
образуют геометрически неизменяемую систему (рис.
27.6,г). Такое присоединение узла к диску называется
Диадой.
Все приведенные способы создания геометрически не-
301
О-) б) б)
Рис. 27.6
Рис. 27.7
изменяемых систем основаны на принципе образования
шарнирного треугольника (рис. 27.6, д).
Пример. Для фермы (рис. 27.7, а) определить степень свободы и
проверить ее неизменяемость.
Решение. Число дисков в ферме равно числу ее стержней, т. е.
D = 9. В данной ферме стержни в узлах соединены как простыми, так
и сложными шарнирами. Возле каждого шарнира фермы указана
его кратность. Число простых шарниров 111=12. Число опорных
стержней Соп--=3. Тогда №=3-9—2-12—3 = 0. Ферма обладает доста-
точным числом связей, однако схема фермы изменяемая, так как
имеет подвижный четырехугольник beef.
Выясним причины изменяемости фермы. Выделим геометрически
неизменяемую ее часть в виде шарнирного треугольника ade (рис.
27.7,6), который прикреплен к земле тремя непараллельными и не-
пересекающимися в одной точке опорными стержнями. Обозначим
ее через диск I. К этому диску прикрепляется узел Ь, при помощи
трех стержней ba, bd и be, из которых один лишний, так как для
создания геометрически неизменяемой системы достаточно было бы
узел b соединить с диском только двумя стержнями. Наличие лиш-
него стержня в левой части фермы привело к тому, что ее правая
часть оказалась изменяемой. На рис. 27.7, в показано, как следует
302
расставить то же количество связей для образования геометрически
неизменяемой фермы. Для этого к диску I присоединим узел b дву-
ь я стержнями Ьа и be, получим неизменяемую систему — диск I—II.
К этому диску присоединим узел f двумя стержнями jb и fe, получим
диск I—II—III. И наконец, к диску I—II—III присоединим узел с
оержнями cb и cf.
§ 27.3. Мгновенная изменяемость системы
В некоторых случаях при неправильной расстановке
необходимого количества связей могут образоваться си-
лемы, допускающие бесконечно малые перемещения
отдельных элементов без их деформации.
Система, допускающая без деформации ее элементов
бесконечно малые относительные перемещения, после
прекращения которых она превращается в неизменяемую,
называется мгновенно изменяемой. Для пояснения рас-
смотрим систему, состоящую из двух стержней (дисков),
расположенных на одной прямой, соединенных между
собой шарниром В и прикрепленных к земле шарнирами
С и Д (рис. 27.8). Данная система имеет необходимое
число связей, так как Д = 2, Ш = 1 и Соп = 4. В7=3-2—
21—4 = 0. Однако от произвольной внешней нагрузки
точка В может переместиться в положение В{ без де-
формации стержней ВС и ВД. Действительно, две ок-
ружности, проведенные из центров С и Д радиусами
СВ и ДВ, в точке В имеют общую касательную, перпен-
дикулярную к стержням ВС и ВД. Следовательно, точ-
ка В может поступательно переместиться перпендику-
лярно к радиусам СВ и ДВ на бесконечно малую вели-
чину BBi. После перехода шарнира В в положение В^
данная система обращается в геометрически неизменяе-
мую, так как совместно с землей представляет собой три
диска, соединенные между собой тремя шарнирами С,
В и Д, не лежащими на одной прямой.
В мгновенно изменяемой системе усилия в ее элемен-
тах и опорные реакции могут оказаться неопределенны-
ми и равными бесконечности. Докажем это утверждение
i а примере балки, прикрепленной тремя опорными стер-
жнями, оси которых пересекаются в точке В (рис. 27.9, а).
Данная балка является мгновенно изменяемой, так как
может поворачиваться на бесконечно малый угол во-
круг мгновенного центра вращения В. Введем предполо-
жение, что ось опорного стержня С не проходит через
шарнир В, а занимает положение, показанное на рис.
303
Рис. 27.8
Рис. 27.9 ->
27.9,6. Тогда опорная реакция может быть определена
из уравнения статического равновесия
£Мв = 0, Fa — Rcr = 0, откуда Rc — Fa!r.
При повороте опорного стержня С в первоначальное
горизонтальное положение расстояние г стремится к ну-
лю. В пределе
Rc =
Г-+ОО
При отсутствии внешней нагрузки F = 0 получим не-
определенность /?с = 0/0.
Проведенное исследование показывает, что в строи-
тельных конструкциях не должны применяться мгновен-
но изменяемые системы. Также не следует применять си-
стемы, по своим свойствам близкие к мгновенно изменя-
емым, поскольку в таком случае могут возникнуть
усилия значительной величины. Поэтому при проведении
кинематического анализа сооружения в дополнение к
определению степени свободы и исследованию геометри-
ческой структуры необходимо еще производить провер-
ку на мгновенную изменяемость. Для простых систем
проверку на мгновенную изменяемость обычно проводят
путем сравнения с заведомо мгновенно изменяемыми. Ес-
ли исследуемая система не похожа на стандартную мгно-
венно изменяемую, то она является неизменяемой.
Простые мгновенно изменяемые системы получаются
при следующих способах расположения дисков, стерж-
ней и шарниров.
1. Три диска, соединенные между собой тремя шар-
нирами, лежащими на одной прямой, образуют мгновен-
но изменяемую систему (рис. 27.10, а).
2. Два диска, соединенные между собой шарниром С
804
и стержнем ВД, ось которого проходит через шарнир С,
образуют мгновенно изменяемую систему (рис. 27.10,6).
3. Два диска, соединенные между собой тремя стерж-
нями, оси которых пересекаются в одной точке О, обра-
зуют мгновенно изменяемую систему (рис. 27.10, в).
4. Два диска, соединенные между собой тремя парал-
лельными стержнями разной длины, образуют мгновен-
но изменяемую систему (рис. 27.10,г).
Проверка на мгновенную изменяемость системы со
сложной структурой производится аналитическим спосо-
бом. Для этого из уравнений статического равновесия
определяются усилия в ее элементах и реакции от задан-
ной нагрузки. Если некоторые усилия или реакции об-
ращаются в бесконечность или получают для одного и
того же элемента различные значения усилия из разных
уравнений, то данная система является мгновенно изме-
няемой. Таким образом, кинематический анализ расчет-
ных схем сооружений состоит из трех последовательных
операций. По формуле (27.1) определяют степень свобо-
ды системы.
1) если №>0, то система изменяема и не может быть
использована в качестве строительной конструкции.
20—480
305
2) при U/^О проводят анализ геометрической струк-
туры, пользуясь правилами образования геометрически
неизменяемых систем.
3) если система имеет геометрически неизменяемую
структуру и не содержит лишних связей, то производят
проверку на мгновенную изменяемость.
Пример. Провести кинематический анализ фермы, изображенной
на рис. 27.11.
Решение. В данной ферме шарниров Ш=10, стержней D = 8 и
опорных стержней Спп=4. Степень свободы U7=3D—2Ш—СОп =
= 3-8—2-10—4 = 0, т. е. ферма имеет необходимое число связей. Пе-
рейдем к анализу геометрической структуры. В исследуемой ферме
можно выделить две геометрически неизменяемые части: шарнирные
треугольники abf и cde. На рисунке они заштрихованы и обозначе-
ны соответственно как диски I и II. Диск I прикреплен к земле тре-
мя непараллельными и не пересекающимися в одной точке опорными
стержнями, то есть образует с землей единое целое, которое будем
считать диском I. Итак, анализируемая система состоит из непо-
движного диска I, к которому прикрепляется диск II при помощи
опорного стержня в точке d и двумя стержнями фермы Ьс и )е.
Поскольку оси указанных стержней пересекаются в одной точке
(точке d), то рассматриваемая ферма является мгновенно изме-
няемой.
Пример. Провести кинематический анализ рамы, изображенной
на рис. 27.12.
Решение. В данной раме дисков Д=3, простых цилиндрических
шарниров Ш=3 и опорных стержней СОп=3.
Степень свободы №=3Д—2Ш—СОП=3-3—2-3=0, т. е. рама
имеет необходимое число связей. Перейдем к анализу геометриче-
ской структуры. Исследуемая рама состоит из трех дисков abc, cde
и bd, которые соединены между собой тремя шарнирами Ь, с и d,
ие лежащими на одной прямой. Следовательно, эти диски образуют
геометрически неизменяемую систему — один диск. Этот диск при-
креплен к земле тремя непараллельными и не пересекающимися в
одной точке опорными стержнями. Данная рама неизменяема с не-
обходимым числом связей, т. е. статически определимая.
ГЛАВА 28. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫЕ (ШАРНИРНЫЕ) БАЛКИ
§ 28.1. Виды многопролетных балок.
Условия неизменяемости
В курсе сопротивления материалов рассматривались
три вида простых статически определимых балок: одно-
пролетная балка с шарнирными опорами, однопролетная
балка с консолями и консольная балка с жесткой опорой.
Из этих простых балок можно образовать более сложную
систему, соединив между собой шарнирами указанные
306
Рис. 28.1
Рис. 28.2
простые балки. Такая система носит название многопро-
летной (шарнирной) статически определимой балки
(рис. 28.1).
В строительной практике многопролетные балки при-
меняются для перекрытия нескольких смежных проле-
тов. Они используются при устройстве различных
эстакад, проезжей части мостов и перекрытий зданий. Ши-
рокое распространение многопролетных балок обуслов-
лено их экономичностью. При одинаковой длине проле-
тов и нагрузке изгибающие моменты в многопролетной
шарнирной балке значительно меньше, чем в последова-
тельно уложенных однопролетных балках, что приводит
к меньшему расходу материалов на ее изготовление.
В многопролетных статически определимых балках,
в отличие от многопролетных неразрезных балок (балок
без промежуточных шарниров), не возникают дополни-
тельные напряжения от теплового воздействия и от осад-
ки (перемещений) ее опорных закреплений. К недостат-
кам следует отнести меньшую жесткость по сравнению
с неразрезными и меньшую надежность, так как разру-
шение одного пролета может привести к обрушению со-
седнего или всей балки. Необходимость устройства про-
межуточных шарниров требует некоторых дополнитель-
ных затрат.
По определению многопролетная шарнирная балка
является статически определимой системой. Для таких
систем необходимым условием неизменяемости геомет-
рической структуры и статической определимости служит
равенство нулю ее степени свободы:
W = ЗД — 2Ш — Соп = О,
Из этого условия определим необходимое число про-
межуточных шарниров при заданном количестве опор-
ных стержней. Поскольку в многопролетной шарнирной
балке ее отдельные элементы (диски) располагаются в
20* 307
одну линию, то число дисков всегда на единицу больше
числа промежуточных шарниров, соединяющих эти ди,
ски, т. е. Д = Ш+1. Тогда 3(Ш+1) —2Ш — Соп=0, от-
куда Ш == Соп — 3, следовательно, необходимое число
промежуточных шарниров в многопролетной балке дол-
жно быть на три меньше числа опорных стержней.
Полученное количество шарниров является необходи-
мым, но недостаточным условием для обеспечения гео-
метрической неизменяемости и статической определимо-
сти балки. Шарниры должны быть размещены так, чтобы
все отдельные элементы многопролетной балки были не-
изменяемыми и статически определимыми.
Для этого шарниры в пролетах балки следует распо-
лагать следующим образом:
1) в каждом пролете должно быть не более двух
шарниров;
2) пролеты с двумя шарнирами должны чередовать-
ся с пролетами без шарниров;
3) пролеты с одним шарниром могут следовать один
за другим при условии, что одна из крайних опор жест-
кая, а другая шарнирная. Если обе крайние опоры шар-
нирные, то один пролет должен быть без шарнира.
Пример. Для многопролетной шарнирной балки, изображенной
на рис. 28.1, а, провести кинематический анализ.
Решение. В данной балке Д=3, Ш=2 и Соп = 5. Степень свобо-
ды №=3-3—2-2—5 = 0. Балка имеет необходимое количество связей.
Перейдем к анализу геометрической структуры. Балка BCD прикрепле-
на к земле при помощи трех опорных стержней, которые непарал-
лельны и не пересекаются в одной точке, т. е. она неизменяема и об-
разует совместно с землей неподвижный диск. К диску BCD при-
крепляется диск DEF двумя стержнями в шарнире D и опорным
стержнем в точке Е. Эти три стержня непараллельны и не пересека-
ются в одной точке. Следовательно, система двух дисков BCD и
DEF неизменяема. И наконец, к этой неизменяемой системе прикреп-
ляется диск FG тремя непараллельными и не пересекающимися в
одной точке стержнями. Данная балка геометрически неизменяема.
Пример. Для многопролетной шарнирной балки, изображенной
на рис. 28.2, а, провести кинематический анализ.
Решение. В данной балке Д=3, Ш = 2 и Соа = 5. Степень свобо-
ды W=3-3—2-2—5 = 0. Балка имеет необходимое количество связей.
Перейдем к анализу геометрической структуры. Балка ВС прикреп-
лена к опоре В к земле жесткой связью, т. е. она неизменяема.
Диск DEF соединен с землей двумя опорными стержнями в точках
Е и F и соединен с неподвижной балкой ВС стержнем CD. Указан-
ные три стержня непараллельны и не пересекаются в одной точке.
Следовательно, анализируемая многопролетная балка неизменяема.
На основе проведенного кинематического анализа
можно выделить в многопролетной шарнирной балке два
308
впда элементов: основные элементы (основные балки),
прикрепленные к земле тремя стержнями, т. е. образую-
щие с землей неизменяемую систему, и второстепенные
элементы (второстепенные балки), прикрепленные к зем-
ле одним опорным стержнем или не имеющие связей с
землей и опирающиеся на соседние (нижележащие)
элементы.
Например, в многопролетной шарнирной балке (рис.
28.1, а) основным элементом является балка BCD, а
второстепенными элементами — балки DEF и FG. В мно-
гопролетной шарнирной балке (рис. 28.2, а) главными
элементами являются балки ВС и DEF и второстепен-
ным— балка CD. Здесь следует внести уточнения. Хотя
балка DEF и не прикреплена к земле тремя стержнями
(а только двумя вертикальными), но при действии вер-
тикальной нагрузки она способна сама (без участия со-
седних балок) воспринять эту нагрузку. Благодаря ука-
занной особенности работы балки DEF считается глав-
ным элементом.
Деление элементов на основные и второстепенные
позволяет выяснить, как происходит передача силовых
воздействий от одной балки к другой. Для наглядности
многопролетную шарнирную балку изображают в виде
этажной схемы. В основании располагаются основные
балки, неподвижно связанные с землей, а все второсте-
пенные элементы размещают на вышележащих этажах
в соответствии с условиями их соединения между собой.
Этажные схемы многопролетных шарнирных балок по-
казаны на рисунках 28.1,6 и 28.2,6. На этажной схеме
многопролетной шарнирной балки (рис. 28.2) для при-
дания неизменяемости основной балке DEF добавлен
третий (горизонтальный) опорный стержень, который
изъят из шарнира D. Такой перенос связи возможен, по-
скольку усилие в горизонтальном стержне балки от вер-
тикальной нагрузки равно нулю. По этажной схеме лег-
ко проследить, что вертикальная нагрузка (направлен-
ная сверху вниз) может передаваться только сверху
вниз, т. е. от вышележащих балок к нижележащим.
§ 28.2. Аналитический расчет многопролетных
статически определимых балок
Аналитический расчет многопролетной шарнирной
балки заключается в определении внутренних силовых
факторов от заданного воздействия, т, е. в построении
309
эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. В любой
многопролетной шарнирной балке опорных стержней
всегда больше трех. В этих опорных связях от внешних
воздействий возникают опорные реакции, для определе-
ния которых недостаточно известных трех уравнений
статического равновесия, поэтому для решения постав-
ленной задачи, в дополнение к уравнениям статики, со-
ставляют уравнения изгибающих моментов относительно
промежуточных шарниров балки.
Как известно, в любом цилиндрическом шарнире
один элемент может поворачиваться относительно дру-
гого (или других), и ничто не препятствует этому пово-
роту. Следовательно, изгибающий момент в шарнире ра-
вен нулю. По определению, доказанному в курсе сопро-
тивления материалов, изгибающий момент в сечении
любой системы равен сумме моментов от всех сил, распо-
ложенных слева или справа от рассматриваемого сече-
ния. Тогда для каждого промежуточного шарнира бал-
ки можно составить дополнительное уравнение из усло-
вия, что изгибающий момент от всех сил, расположенных
слева или справа от шарнира, равен нулю:
- 2М"Р = 0.
Данное уравнение является уравнением статики, так
как оно записано из условия равновесия некоторой части
системы. Таких дополнительных уравнений всегда мож-
но записать столько, сколько имеется в балке промежу-
точных шарниров. Необходимое количество промежуточ-
ных шарниров в балке было определено выше, и оно
равно: Ш = С0П—3. Таким образом, система трех уравне-
ний статического равновесия совместно с дополнитель-
ными уравнениями 2ЛРев =2Л1^р =0 образуют необхо-
димое и достаточное число уравнений для определения
всех опорных реакций многопролетной шарнирной бал-
ки. Поскольку полная система разрешающих уравнений
представляет собой систему уравнений статического рав-
новесия, рассчитываемая балка является статически оп-
ределимой. Расчет многопролетной шарнирной балки с
использованием полной системы разрешающих уравне-
ний не всегда рационален, так как требует решения си-
стемы уравнений со многими неизвестными. При практи-
ческих расчетах стремятся полную систему уравнений
разделить на ряд подсистем, каждая из которых содер-
310
xj[T часть неизвестных. Деление на подсистемы произ-
водится на основе анализа взаимодействия отдельных
элементов многопролетной шарнирной балки. Характер
передачи силовых взаимодействий от одного элемента к
другому отражен на этажной схеме балки. Таким обра-
зом, этажная схема балки показывает последователь-
ность ее расчета.
Расчет начинается с верхних второстепенных балок
с последующим переходом к нижележащим второстепен-
ным и главным балкам. Верхние второстепенные балки
рассчитываются на нагрузку, непосредственно приложен-
ную к этим балкам. Нижележащие второстепенные и глав-
ные балки рассчитываются на нагрузку, приложенную
непосредственно к этим балкам, а также на опорное дав-
ление, передающееся от смежной вышележащей второ-
степенной балки. Опорное давление равно опорной
реакции вышележащей балки, но имеющей противопо-
ложное направление. Окончательные эпюры изгибающих
моментов и поперечных сил многопролетной шарнирной
балки являются суммой соответствующих эпюр ее от-
дельных элементов.
При построении эпюр М и Q придерживаются тех же
правил знаков, которыми пользовались в курсе сопро-
тивления материалов.
Изгибающий момент считается положительным, если
в рассматриваемом сечении балка изгибается выпукло-
стью вниз (нижние волокна растянуты). Поперечная си-
ла считается положительной, если ее направление сов-
падает с вращением оставшейся части балки по ходу ча-
совой стрелки. Ординаты эпюры М откладываются со
стороны растянутых волокон балки; положительные ор-
динаты эпюры Q откладываются вверх от ее оси.
Детали расчета поясним на примере.
Пример. Для многопролетной шарнирной балки построить эпю-
ры М и Q (рис. 28.3,а).
Решение. Вначале выполним кинематический анализ. В данной
Салке Д = 4, Ш=3 и СОп=6. Степень свободы 1^^3«4—2-3—6 = 0.
Балка имеет необходимое число связей. Перейдем к анализу геомет-
рической структуры. Балка ВС прикреплена в опоре В к земле жест-
кой связью, т. е. она неизменяема. К этому неподвижному диску
(земле) прикреплен диск CDE двумя стержнями в шарнире С и опор-
ным стержнем в точке D, т. е. тремя стержнями, оси которых не-
параллельные и не пересекаются в одной точке. Полученная систе-
ма из двух дисков ВС и CDE неизменяема и неподвижна. Балка
EGH прикреплена к земле двумя вертикальными опорными стержня-
в -Iочках G и //, а также соединена с неподвижной системой
311
/4
$
и)
в
Id
ia
20
ж)
24
lllgnnl
'sillll1
ЦМ(к^)
в
ШГЕПШ
w
w [
7/7-
Ш1111Ш11111У1
IIIIIILO]|IIII
Рис. 28.3
lyrwimk л (MJ
BC—-CDE горизонтальным стержнем EK. Так как эти три связи
непараллельны и не пересекаются в одной точке, го вся система не-
изменяема. Проверку на мгновенную неизменяемость не производим,
так как нигде не нарушены правила образования геометрически не-
изменяемых систем.
На основании проведенного кинематического анализа устанав-
ливаем, что главными элементами являются балки ВС и KGH, а вто-
ростепенными — балки CDE и ЕК. На рис. 28.3, б показана этажная
схема заданной многопролетной шарнирной балки.
Переходим к анлитическому расчету.
312
Расчет заданной балки начнем с верхней второстепенной бал-
ки ЕК. Балка ЕК представляет собой однопролстную балку с шар-
нирными опорами, нагруженную посередине пролета сосредоточен-
ной силой F2 (рис. 28.3, в). Находим опорные реакции Re и Rk из
уравнений:
? SM£ = F2-l -Rk -2 = 0, RK = 10 кН;
= Re -2 - F2-1=0, Re = 10 кН.
Для построения эпюр M и Q вычислим изгибающие моменты и
поперечные силы в характерных сечениях балки ЕК.
Сечение Е. ME = Q\ Qe = Re=1Q кН.
Сечение посередине пролета. Mc^ = Re' 1 = 10 кН-см;
<2сЛрВ = = Ю кН; <Э£₽ = Re - F2 =- Ю кН.
По полученным данным строим эпюры М и Q.
Второстепенная балка ЕК передает давление на две нижележа-
щие балки: главную балку KGH и второстепенную CDE. Вначале
рассчитаем главную балку KGH, которая представляет собой одно-
пролетную балку с левой консолью. Балка нагружена собственной
нагрузкой — изгибающим моментом. К этой нагрузке добавим в точ-
ке К опорное давление FK от вышележащей балки ЕК Опорное
давление равно опорной реакции /+ = /?к=10 кН, и направлено
в противоположную сторону, вниз (рис. 28.3, г).
Находим опорные реакции из уравнений:
10-2 + 5+ 7?н-3 = 0 /?н = 5 кН;
SMH=— 10-5 + Rg -3 + 5 = 0 Rg= 15 кН.
Для построения эпюр М и Q вычисляем изгибающие моменты и
поперечные силы в характерных сечениях балки KGH.
Сечение К. AfK = O; Qk=—FK = \0 кН.
Сечение G. Мо=—FK-2=—20 кН-м; QfB =—Fs------------ЮкН;
Q2P =-Fk+«g=5 кН.
Сечение Н. Мн =—Мо——5 кН-м; Qh=Rh=5 кН.
По этим данным строим эпюры М и Q.
Теперь перейдем к расчету второй второстепенной балки CDE
(рис. 28.3, д). Балка CDE нагружена собственной равномерно рас-
пределенной нагрузкой интенсивностью q=2 кН/м. К этой нагрузке
в точке Е добавим опорное давление FE от вышележащей второсте-
пенной балки ЕК. Опорное давление FE равно опорной реакции Re
и направлено вниз, Ле =10 кН.
Находим опорные реакции из уравнений:
2МС = Fe -6+g-6-3 — Rd -4 = 0, Rd = 24 кН;
SMD= F£-2 —g-6-1 — /?c-4 = 0, Rc = 2 кН.
Вычисляем изгибающие моменты и поперечные силы в характер-
ных сечениях балки CDE.
Сечение С. Мс = 0', Qc = Rc=—2 кН.
Сечение D. MD = — Rc-2 = — 24 кН-м;
<?ов=— Rc — q-i=- 10 кН; Qop=—Лс —9-4 + /?D= 14 кН.
Сечение Е. МЕ = 0; Q = FE= 10 кН.
313
По этим данным строим эпюры М и Q.
Последней рассчитываем главную балку ВС (рис. 28.3, е), кото-
рая представляет собой консоль с жесткой опорой в сечении В. Бал-
ка нагружена в точке С собственной сосредоточенной силой F|. В эту
же точку передается опорное давление о г второстепенной балки
CDE, равное Fc=^2 кН и направленное вверх. Равнодействующая
сила Fi и Fc равна их разности F(—Fq^S кН и направлена вниз.
Для консольной салки можно не определять опорные реакции, а не-
посредственно от действующей нагрузки вычислять в характерных
сечениях изгибающие моменты и поперечные силы.
Сечение В. Мя =—(Ft—Fc)-3 =—24 кН-м; Qu=Fi—Fc = 8 кН.
Сечение С. Л1с=0» Qc=Ft—Fc=8 кН.
По этим данным стронем эпюры М и Q,
Окончательные эпюры М и Q в заданной многопролетной шар-
нирной балке строятся путем объединения соответствующих эпюр,
построенных для каждого элемента отдельно (рис. 28.3, ж, и).
В заключение рассмотрим вопрос о рациональном раз-
мещении промежуточных шарниров в многопролетной
шарнирной балке с целью создания наиболее экономич-
ной конструкции. С позиции минимального расхода мате-
риалов промежуточные шарниры следует располагать
так, чтобы наибольшие изгибающие моменты в пролетах
были равны по абсолютному значению моментам на опо-
рах. Такие балки называются равномоментными. Напри-
мер, в балке с равными тремя пролетами, нагруженной
равномерно распределенной нагрузкой, для создания рав-
номоментной конструкции необходимо располагать шар-
ниры в среднем пролете на расстоянии 0,15/ от опоры, а
вылеты консолей основных балок принимать равными
0,35/ (рис. 28.4, а).
ГЛАВА 29. ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ
§ 29.1. Общие сведения
Аркой называется стержневая система с криволиней-
ной осью, выпуклость которой направлена в сторону, про-
тивоположную действию внешних нагрузок. Очертание
i си арки назначается в зависимости от технологии ее из-
готовления материала и характера действующих нагру-
зок. Обычно уравнение оси арки принимают в виде про-
стых кривых: окружности, эллипса, квадратной параболы
и т. п.
В зависимости от вида устройства опор арки делятся
на бесшарнирные, двухшарнирные и трехшарнирные. В
бесшарнирной арке (рис. 29.1, а) левая и правая опоры
жесткие, в которых возникают шесть опорных реакций.
Б двухшарнирной арке (рис. 29.1,6) левая и правая опо-
ры шарнирно-неподвижные, в которых возникают четыре
опорные реакции. Бесшарнирная и двухшарнирная арки
являются статически неопределимыми системами. Расчет
этих арок производится методом сил.
В трехшарнирной арке (рис. 29.1, в) левая и правая
опоры шарнирно-неподвижные. В них также возникают
четыре опорные реакции: две вертикальные и две горизон-
тальные. Трехшарнирная арка является статически опре-
делимой системой, так как можно составить дополнитель-
ное уравнение относительно промежуточного шарнира в
виде суммы моментов левых или правых сил: =
= '%Мпр =0. Основным отличием арок от балок является
возникновение в опорных связях горизонтальных реакций
не только при действии наклонных нагрузок, а и от одних
вертикальных. Горизонтальные реакции называются рас-
пором, а арки — распорными системами.
Наличие в арке горизонтальных реакций положитель-
но сказывается на ее работе, так как изгибающие момен-
ты по сравнению с обычной балкой уменьшаются. Поэто-
му арки при прочих равных условиях экономически более
выгодны по сравнению с балочными системами. Кроме
того, в поперечных сечениях арки в отличие от балки от
вертикальных нагрузок возникают нормальные сжимаю-
щие силы.
Сочетание значительных сжимающих сил и небольших
изгибающих моментов позволяет при возведении исполь-
3)5
Рис. 29.1
« 6] ej я
Рис. 29.2
зовать материалы с низкими расчетными сопротивления-
ми на растяжение: бетон, камень, кирпич и т. д. Указан-
ные достоинства арочных конструкций обеспечили им на
протяжении всей истории строительства весьма широкое
и разнообразное применение. Арочные конструкции ис-
пользуются при строительстве разнообразных сводчатых
перекрытий, акведуков, мостов, большепролетных про-
мышленных и гражданских зданий. Они служат для уст-
ройства покрытий стадионов, выставочных павильонов,
рынков, ангаров, складов и т. д.
Опорные сечения В и С арки называются пятами, а
точки пересечения опорных стержней с осью арки — цент-
рами пят. Наиболее высокая точка арки называется клю-
чом или замком. Расстояние между центрами пят называ-
ется пролетом арки /. Расстояние по вертикали от линии,
соединяющей центры пят арки, до ключевого сечения на-
зывается стрелой подъема арки f. По величине отношения
f/l арки делятся на: пологие при ///<75 и подъемистые
при ///^1/5. Если центры пят расположены на разных
уровнях, то такая арка называется ползучей (рис. 29.2, а).
Поперечные сечения арки по длине пролета выполняются
сплошными, постоянными или переменными.
В трехшарнирной арке для устранения передачи дав-
ления от распора на нижележащие конструкции или ос-
нование вводят дополнительный элемент (затяжку), вос-
принимающий этот распор, а одна из шарнирно-непо-
движных опор заменяется шарнирно-подвижной (рис.
316
29.2, б). Затяжка может располагаться либо на уровне
опор (рис. 29.2, б), либо выше (рис. 29.2, в) и иметь вид
прямолинейного стержня или ломаной шарнирной цепи
(рис. 29.2, г).
В строительстве наряду с традиционными арками при-
меняются и другие виды распорных систем: трехшарнир-
ные рамы и трехшарнирные арочные фермы. Трехшарнир-
ная рама представляет собой систему с ломаным очерта-
нием оси. Трехшарнирная арочная ферма состоит из двух
ферм, соединенных между собой шарниром и прикреплен-
ных к основанию двумя шарнирно-неподвижными опора-
ми. В данной главе излагается расчет симметричных ста-
тически определимых трехшарнирных арок сплошного по-
перечного сечения с опорами на одном уровне.
При начале координат в точке В на левой опоре урав-
нение оси арки, угол наклона <р касательной к оси арки и
тригонометрические величины sin <р и cos q> вычисляются
по следующим формулам:
1) ось арки — квадратичная парабола
у = ф (?) = 4f (lz — z2)//2; у' = tg ф = 4///2 (Z — 2z);
5Шф = со5ф*£ф; cos ф = 1/]/" 1 + tg2 ф;
2) ось арки — окружность
|/ = ф(г) = К^-(//2-г)2-/?4-/; /? =//2 +/2/8/;
sin ф == (/ — 2z)/2/?; cos ф = (у + R — f)IR.
§ 29.2. Аналитический расчет трехшарнирной арки
Рассмотрим трехшарнирную арку с опорами на од-
ном уровне пролетом I и стрелой подъема f, нагружен-
ную произвольной вертикальной нагрузкой (рис. 29.3, а).
Уравнение оси арки, отнесенное к началу координат на
левой опоре, известно и имеет вид
г/ =
где z — текущая координата произвольной точки оси арки.
Промежуточный шарнир D находится посередине
пролета арки.
Вначале проведем кинематический анализ. Трехшар-
нирная арка состоит из двух дисков BD и DC, соединен-
ных между собой простым цилиндрическим шарниром в
точке D и прикрепленных к земле четырьмя опорными
стержнями. Степень свободы 117=3-2—2-1—4 = 0, следо-
312!
Рис. 29.3
вательно, трехшарнирая арка имеет необходимое число
связей.
При анализе геометрической структуры к двум дис-
кам арки добавим основание (землю), которое представ-
ляет собой неподвижный диск. Тогда два диска арки сов-
местно с третьим диском основания образуют геометри-
чески неизменяемую и неподвижную систему, так как
три диска соединены между собой тремя шарнирами В,
[) и С, не лежащими на одной прямой (рис. 29.3, б).
Следовательно, трехшарнирная арка — неизменяемая и
статически определимая система.
Определение опорных реакций. В опорных связях
трехшарнирной арки возникают четыре опорные реак-
ции. Обозначим вертикальные и горизонтальные состав-
ляющие соответственно VB, Vc, Нв и Нс (рис. 29.3, а).
Для определения четырех опорных реакций используем
три уравнения статического равновесия для плоской си-
стемы сил. В дополнение к уравнениям статики составим
уравнение равенства нулю изгибающего момента отно-
сительно промежуточного шарнира D от всех сил, распо-
ложенных слева или справа от этого шарнира. Полная
система уравнений статики для определения четырех
опорных реакций запишется в виде
= 0;
= 0 (или = 0);
SZ = 0;
. 2М£ев = = °-
Моменты, направленные по ходу часовой стрелки, бу-
дем считать положительными. Из первого уравнения на-
ходим опорную реакцию Vc-
= Л \ + Р2 (а2 + а1) - Ус 1 =
откуда = [^^4-F2(a2 + a1)]//.
Из второго уравнения находим опорную реакцию VB:
^=^/-^(/-^-^(/-^-^ = 0,
откуда VB = [F1 (I — aj + F2 (I — — a^\H.
Полученные выражения для Vb и Vc показывают, что в
грехшарнирной арке, загруженной вертикальной нагруз-
кой, вертикальные реакции равны соответствующим вер-
319
тикальным реакциям однопролетной балки того же про?
лета от такой же нагрузки (рис. 29.3, в):
Vb^Rb« vc=
где Rqb и Rc — вертикальные опорные реакции в однопролетной бал*
ке с шарнирными опорами.
Из третьего уравнения находим
= Нв — Нс =0,
откуда Нв=Нс=Н, т. е. горизонтальные опорные реак-
ции в трехшарнирной арке от вертикальной нагрузки
равны между собой и противоположно направлены.
Обычно их обозначают одной буквой Н.
Величину горизонтальной опорной реакции найдем
из четвертого уравнения:
=- Нв f + VB 1/2 - Fl (1/2 - aj = 0,
откуда
Числитель полученного выражения представляет со-
бой изгибающий момент в сечении D однопролетной
балки с шарнирными опорами того же пролета, что и
арка, и нагруженной той же вертикальной нагрузкой:
VB Z/2-F1(Z/2-a1) = Al",.
Тогда выражение для горизонтальной опорной реак-
ции можно записать в таком виде:
H = (29.1)
Из полученного выражения видно, что горизонталь-
ная опорная реакция (распор) прямо пропорциональна
балочному изгибающему моменту относительно сечения,
совпадающего с шарниром Z), и обратно пропорциональ-
на величине стрелы подъема арки у промежуточного
шарнира f.
Определение внутренних силовых факторов в сече-
ниях арки. Для определения внутренних силовых факто-
ров в арке воспользуемся методом сечений. Разрежем
арку на две части сечением 1—/, перпендикулярным к
ее оси, находящимся на произвольном расстоянии от ле-
вой опоры В. Отбросим правую часть, и ее влияние на
левую оставшуюся часть заменим внутренними усилиями
QzaNz (рис. 29.3, г).
320
Обозначим абсциссу центра сечения /—1 через zt
ординату — через у, а угол наклона касательной к оси
арки в этом сечении — через <р. Введем следующие пра-
вила знаков для внутренних сил: изгибающий момент
считается положительным, если в рассматриваемом се-
чении арка изгибается выпуклостью вниз. Поперечная
сила считается положительной, если ее направление со-
впадает с вращением оставшейся части по часовой
стрелке. Положительная продольная сила соответствует
растяжению.
Изгибающий момент в сечении 1—1 определим из
уравнения суммы моментов относительно центра сече-
ния от всех сил, действующих на оставшуюся левую
часть арки 2М-]ев =0:
= VB z - (z - a J - Hy - Mz = 0,
откуда
В полученном выражении два первых члена представ-
ляют собой изгибающий момент на расстоянии z от ле-
вой опоры в сечении однопролетной балки того же про-
лета от указанной нагрузки, что и арка, и
Увг-?г(г-<^ = 1Л\.
М°г носит название балочного изгибающего момента.
После подстановки Af° получим
MZ = NPZ-Hy. (29.2)
Из уравнения (29.2) видно, что изгибающий момент
в арке меньше изгибающего момента в однопролетной
балке на величину момента, вызываемого распором.
Согласно полученному выражению, эпюра изгибаю-
щих моментов в арке может быть построена как раз-
ность балочной эпюры Л4“ и эпюры Ну. Эпюра Ну пред-
ставляет собой площадь, образованную криволинейной
осью арки у='¥(г) и горизонтальной осью z, умножен-
ную на величину распора Н.
Поперечную силу Qz в арке определим из уравнения
проекций на ось s, параллельную плоскости сечения 1—1
(перпендикулярную к касательной), всех сил,действую-
щих на оставшуюся левую часть 2*ев =0 (рис. 29.3, г).
2Уе£! = ув cos <р — Ft cos q> — Н sin ф — Qz = 0,
21—480
321
откуда
Q2 = (Vs — FJ cos q> — fi sin <p.
Выражение Vb—Fi представляет собой поперечную
силу на расстоянии z от левой опоры в сечении однопро-
летной балки того же пролета от заданной нагрузки, что
и арка:
где Qz—балочная поперечная сила. После подстановки Qz, получим
Qz = cos ф — Н sin ф. (29.3)
Из уравнения (29.3) видно, что поперечная сила в
арке намного меньше поперечной силы в однопролетной
балке при равных пролетах и одинаковой вертикальной
нагрузке.
Продольную силу в арке определим из уравнения
проекций на ось ш, перпендикулярную плоскости сече-
ния 1—1 (параллельную касательной к кривой арки),
всех сил, действующих на оставшуюся левую часть
—о (рис. 29.3,а):
£(0лев = ув sin ф — sin ф + Н cos Ф + Nz = О,
откуда
Nz =—Ц^в— /^пф + Ясозф].
Здесь также VB—F\ = ($z- После подстановки Qz по-
лучим
Nz =— (Qz sin ф + Н со5ф). (29.4)
Полученные выражения для MZi Qz и Nz позволяют
вычислять внутренние силовые факторы в любом попе-
речном сечении арки, следовательно, построить соот-
ветствующие эпюры. Обычно эпюры М, Q и N строят на
горизонтальной базовой прямой (проекции криволиней-
ной оси арки на прямую, параллельную линии, соединя-
ющей пяты арки). Поскольку эпюры М, Q и N от лю-
бой нагрузки являтся криволинейными, предварительно
намечают ряд сечений, в которых вычисляют их значе-
ния. Найденные значения откладывают перпендикулярно
базовой прямой в выбранном масштабе, и вершины ор-
динат соединяют кривыми.
Пример. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных
сил и нормальных сил в трехшарнирной арке, нагруженной верти-
322
Н(кН)
ж)
55, №5*,69
Q
^^57 21 51‘09 51 52,25
65,9 S5>56
Рис. 29.4
21*
Сечение Координаты сечения sin ф COS ф
х 1 У
В 0 0 0,555 0,833 !
1 3 1,75 0,447 0,894
2 6 3,0 0,317 0,953 1
3 9 3,75 0,164 1 0,986
D 12 4,0 0 1
4 15 3,75 —0,164 0,986
5 18 3 —0,317 0,953
6 21 1,75 —0,447 0,894
С 24 0 —0,555 0,833 I
Таблица 29.1
м°, кН м Qc. кН М, кН-м Q, кН N, кН
0 44 0 8,35 —66,9
105 26 15,75 0,44 —57,21
156 8 3,0 —8,55 —51,14
180 8 11,5 —0,57 —51,09
204 8 0 8 —51
—12 — 12
168 —12 —23,25 —3,47 —52,25
132 —12 —21,0 4,74 —52,40
—22 —4,79 —55,56
66 —22 —23,25 3,13 —55,42
0 —22 0 9,98 -54,69
калькой нагрузкой (рис. 29.4,а). Ось арки очерчена по квадратичной
параболе y = 4f(lz—г*)Ц\ отнесенной к началу коордипа! на левой
опоре В.
Решение. Вначале находим значения вертикальных составляю-
щих опорных реакций VB и Vc-
£МВ = (7-6-3+ /у 12 +/у 18 — Vc -24 = 0;
Vc = (6-6-3 + 20-12 + 10-18)/24 = 22 кН;
ЪМС=— (/.6-21 — Fx-12 — F2-6 + Vb -24 = 0;
VB = (6-6-21 + 20.12 + 10• 6)/24 = 44 кН.
Проверим найденные вертикальные реакции:
SF = Vs-(7-6-F1-F2+ Ус = 0,
44 — 6-6 — 20 — 10 + 22 = 0.
Вертикальные опорные реакции найдены верно.
Определяем горизонтальные опорные реакции Нв и Нс- При вер-
тикальной нагрузке горизонтальные опорные реакции НвнНс равны
друг другу и противоположно направлены:
Нв=нс = н = M°D/I = у — q-e-9)/f = (44-12 — 6-6-9)/4 =
= 51 кН.
Для построения эпюр Л4, Q и W разобьем арку на восемь рав-
ных частей длиной 3 м. В фиксированных сечениях В, 1,2,...»С на-
ходим ординаты у по заданному уравнению оси арки; r/=4/(Zz—z2)/Z2
и тригонометрические величины по следующим формулам:
У’ = tg ф = 4///2 (I - 2г); cos ф = 1/l^i + 483ф;
sin ф = COS(p tg ф.
Так как внутренние силовые факторы Л4, Q и N в арке выраже-
ны через балочные изгибающие моменты и балочные поперечные
силы Q^, то вначале определим их значения. Для этого арку заме-
ним однопролетной балкой того же пролета и нагруженной той же
нагрузкой, что и арка (рис. 29.4,6). Эпюры М® и показаны на
риис. 29.4, в, г.
В фиксированных сечениях В, 1,2,..., С арки изгибающие момен-
ты, поперечные и нормальные силы вычисляем по формулам (29.2),
(29.3), (29.4). Результаты подсчета этих величин приведены в табл.
29.1. Эпюры М, Q и N в арке показаны на рис. 29.4, д-ж.
§ 29.3. Трехшарнирная арка с затяжкой
Рассмотрим трехшарнирную арку с горизонтальной
затяжкой, расположенной на расстоянии b от опор (рис.
29.5). Начало прямоугольной системы координат поме-
стим в точке В. Ось Оу направим вверх, а ось Ог —
вправо.
325
В трехшарнирной ар-
ке с затяжкой в отличие
от обычной трехшарнир-
ной арки распор воспри-
нимается введенной за-
тяжкой и не передается
на опоры, поэтому в этих
арках опоры устраивают-
ся такими же, как в про-
стой балке, т. е. одна шар-
нирно неподвижной, а
Для определения силы
Рис. 29.5
другая — шарнирно-подвижной.
Н в затяжке арка разрезается на две части сечением,
проходящим через средний шарнир D и затяжку. Из
уравнения равновесия SAfoeB = SAfg’=0 определяют ве-
личину усилия И в затяжке. Рассмотрим левую часть
арки от проведенного разреза (рис. 29.5):
SA4jeB = Ув 1/2 - Fj (1/2 - aj - Я (f - fc) = О,
откуда
W = ps-y-F1(y-a1) /(f-b) = MQD/(f-b). (29.5)
Из полученного выражения видно, что М, Q, N в за-
тяжке зависит не только от действующей нагрузки от
но и от ее местоположения. Чем выше относитель-
но опор арки расположена затяжка, тем большей вели-
чины возникает сила Н. Местоположение затяжки так-
же оказывает влияние и на характер распределения
внутренних силовых факторов в сечениях самой арки.
Сила в затяжке, расположенной на уровне опор, равна
горизонтальной опорной реакции в обычной трехшарнир-
ной арке. Эпюры М, Q и N в этих арках при загружении
их одной и той же нагрузкой будут одинаковыми.
Внутренние силовые факторы в сечениях арки, рас-
положенных ниже уровня затяжки (на участках BE и
CG) определяются по формулам для балки с криволи-
нейной осью:
MZ = MZ; Qz=QzC0Sfp; /Vz =—Qz sin ср. (29.6)
В сечениях арки выше уровня затяжки (на участках
ED и DG) внутренние силовые факторы вычисляются по
формулам для обычной трехшарнирной арки:
Mz = — Я (//— 6); Qz = Qz cos<р — Я sin ср;
326
Рис. 29.6
Nz=— (Q2sin(f + ^CO3(P)-
Пример. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и
нормальных сил в трехшарнирной арке с затяжкой, нагруженной
вертикальной нагрузкой (рис. 29.6, а).
Решение. Данная арка с затяжкой имеет те же геометрические
327
328
Сечение Координаты сечения sin ф COS ф
х 1 У
В 0 0 0,555 0,833
1 3 1,75 0,447 0,894
2 6 3 0,317 0,953
3 9 12 3,75 4 0,164 0 0,986 1
4 15 3,75 —0,164 0,986
5 18 3 —0,317 0,953
6 21 1,75 —0,447 0,894
С 24 0 —0,555 0,833
Таблица 29.2
М°, кН-м Q0, кН М, кН -м Q, кН /V, кН
0 44 0 36,65 —24,42
105 26 105 23,24 —11,62
— 17,29 —92,68
156 8 42,67 —21,10 —88,73
180 8 —1,33 —7,65 —90,71
204 8 0 8 —90,67
—12 —12
168 — 12 — 13,33 3,31 —91,17
132 —12 18,67 17,31 —90,2
—22 7,77 —93,37
66 —22 66 20,86 —90,89
— 19,67 —9,83
0 —22 0 — 18,33 —12,21
размеры и нагружена такой же нагрузкой, как и арка, рассчитанная
в предыдущем примере (рис. 29.6,а). Поэтому вертикальные реакции
Vb и Vc будут одинаковыми, VB = 44 кН и Vc = 22 кН.
Вычислим усилие в затяжке
M°D
Н = -[-^~ь= (FB//2 —<7-6-9)/(4 — 1,75) = (44-12 — 6-б-9)/2,25 =
= 90,67 кН.
Для расчета арку разобьем на восемь равных частей длиной 3 м.
В фиксированных сечениях арки В, 1, 2, ..., С вычислим ординаты у
и тригонометрические величины tg ср, sin ср и cos <р. Значения этих
величин приведены в табл. 29.2.
Балочные изгибающие моменты Мрг и балочные поперечные силы
Q® в арке с затяжкой вычисляются так же, как и для обычной трех-
шарпирной арки. Эпюры и показаны на рис. 29.6, в, г.
Внутренние силовые факторы М, Q, N в сечениях ниже уровня
затяжки (на участках В—1 и 6—С) определяются по формулам
(29.6), без учета усилия в затяжке.
В сечениях арки выше уровня затяжки (на участке 1—D—6)
Л1, Q и N вычисляются по формулам (29.2), (29.3), (29.4). Резуль-
таты подсчета внутренних силовых факторов приведены в табл. 29.2.
Эпюры М, Q и N в арке показаны на рис. 29.6, д—ж.
Из сравнения эпюр Л4, Q и N, построенных в обычной трехшар-
нирной арке (рис. 29.4, а) и в арке с затяжкой (рис. 29.6, а) видно,
что повышенное расположение затяжки оказывает неблагоприятное
влияние на распределение изгибающих моментов в балочной части
арки. Изгибающий момент в сечении 1 увеличился в 6,6 раза, а в
сечении 6 — в 2,8 раза, поэтому с целью уменьшения изгибающих
моментов затяжку следует устраивать на уровне опор арки или в се-
чениях, близких к ним.
§ 29.4. Кривая давления. Рациональная ось арки
В арках, так же как и в балках, внешние нагрузки
действуют в одной из главных плоскостей инерции попе-
речного сечения. От внешних нагрузок в поперечных се-
чениях трехшарнирной арки возникают изгибающий мо-
мент, центрально приложенная сжимающая сила и по-
перечная сила. Такой случай соответствует внецентрен-
ному сжатию в главной плоскости инерции.
Заменим совместное действие изгибающего момента
и центральной сжимающей силы в любом сечении арки
одной продольной сжимающей силой, приложенной вне-
центренно, т. е. действующей в точке К, расположенной
на некотором расстоянии е от центра тяжести попереч-
ного сечения (рис. 29.7, а). Величина этого расстояния
(эксцентриситет) определяется по известной формуле
329
виецентренного сжатия e=MfN. Внецентренную продоль-
ную сжимающую силу и поперечную силу можно заме-
нить одной равнодействующей /?, проходящей через точ-
ку К (рис. 29.7, 6).
Так как любая отсеченная часть арки находится в
равновесии под действием приложенных к этой части
внешних нагрузок и силовых факторов, то равнодейству-
ющая внешних нагрузок, действующих слева или справа,
равна равнодействующей внутренних сил R и проходит
также через точку Л. Таким образом, точку приложения
равнодействующей (эксцентриситет) в любом сечении
арки можно определить либо от внешних нагрузок, ли-
бо через внутренние силовые факторы Л1 и W. В первом
случае эксцентриситеты находятся графическим спосо-
бом, а во втором — аналитически.
Пусть в ряде поперечных сечений найдены точки при-
ложения равнодействующих. Соединив эти точки прямы-
ми, получим многоугольник точек приложения равнодей-
ствующих в арке, который называется многоугольником
давления или кривой давления (рис. 29.8). При верти-
кальной нагрузке кривая давления подобна эпюре изги-
бающих моментов, отличаясь от действительной эпюры
М только знаком и масштабом. Следовательно, кривая
давления показывает характер распределения изгибаю-
щих моментов в арке. Чем ближе точки кривой давления
располагаются от оси арки, тем меньше изгибающие мо-
менты. Очевидно, что при совпадении кривой давления
330
с осью арки изгибающие моменты во всех сечениях рав-
ны нулю. Ось арки, совпадающая с кривой давления,
называется рациональной осью. В поперечных сечениях
арки с рационально очерченной осью возникают только
сжимающие нормальные напряжения. Уравнение раци-
ональной оси трехшарнирной арки находят из условия
равенства нулю изгибающих моментов:
= Л42 —/й/= 0, откуда уг = М^Н.
При заданном виде внешних нагрузок и расположе-
нии шарниров распор Н является величиной постоянной,
и уравнение оси определяется законом изменения ба-
лочной эпюры изгибающих моментов
Определим рациональную ось симметричной трех-
шарнирной арки, нагруженной вертикальной равномер-
но распределенной нагрузкой интенсивностью q по дли-
не пролета. Средний шарнир находится на расстоянии
f от линии, соединяющей ее опоры.
Опорные реакции:
VB = Vc = qU2\ Н = qV4bf.
Балочный изгибающий момент в произвольном се-
чении на расстоянии z от левой опоры
= V в г — ?z2/2 = qlz/2 — ?z2/2,
тогда
у (г) = (qlz/2 - qz*/2) = 4/ (lz - z*)/l*.
Таким образом, при действии на трехшарнирную ар-
ку вертикальной равномерно распределенной нагрузки
рациональной осью является квадратичная парабола.
При действии на трехшарнирную арку равномерно
распределенного гидростатического давления (давления,
перпендикулярного к оси арки) рациональным очертани-
ем оси является окружность. При действии на арку по-
стоянных и временных нагрузок кривая давления будет
изменять свое положение в зависимости от сочетания
этих нагрузок. В таком случае следовало бы уравнение
оси арки принять таким, чтобы ось занимала среднее по-
ложение в диапазоне возможных отклонений кривых
давлений. Однако такое решение не всегда возможно,
так как может привести к сложному уравнению оси ар-
ки, что затруднит ее изготовление. На практике обычно
уравнение оси арки принимают в виде простой кривой.
331
близкой к средней кривой давления. В арках, выполнен-
ных из материала с низким расчетным сопротивлением
на растяжение (бетон, кирпич и т. д.), не допускается
появление растягивающих напряжений. При внецентрен-
ном сжатии нормальные напряжения определяются по
формуле:
(Jz =- N/A ± M/Wx =- N/A ± Ne/Wx,
где А — площадь поперечного сечения; Wx — момент сопротивления;
е — эксцентриситет.
Для прямоугольного сечения высотой h и шириной b
A = bh\ Wx = b'n2/6== Ah/6,
тогда
oz=—N/A± 6Ne/Ah =- Л7A (1 ± 6e//i).
Чтобы растягивающие напряжения не возникали в
поперечных сечениях арки, необходимо 1—6е/Л = 0 или
e^/i/б, т. е. кривая давления не должна выходить за
пределы ядра сечения.
ГЛАВА 30. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ
ПЛОСКИЕ РАМЫ
§ 30.1. Общие сведения
Рамой называется геометрически неизменяемая стер-
жневая система с преимущественно жесткими соедине-
ниями в узлах1. В узле с жесткой связью исключен вза-
имный поворот сходящихся стержней, поэтому первона-
чальные величины углов между ними до деформации и
после нее остаются без изменений. Рама состоит из сто-
ек и ригелей. Стойкой называется вертикальный или
близкий к вертикальному стержень. Стойки выполняются
постоянного, ступенчатого или переменного поперечного
сечения по высоте. Ригелем называется горизонтальный
или слегка наклонный стержень рамы. Ось ригеля мо-
жет быть прямолинейной, ломаной или криволинейной.
Расстояние между центрами опор соседних стоек назы-
вается пролетом рамы. Геометрические схемы рам весь-
ма разнообразны. Они могут быть однопролетными, мно-
гопролетными, одноэтажными и многоэтажными.
1 Некоторые узлы рамы могут быть шарнирными или упруго-
податливыми,
332
Применение рамных конструкций в строительстве
весьма разнообразно. Рамные системы образуют карка-
сы промышленных, гражданских и жилых зданий. Рамы
могут входить в состав различных инженерных соору-
жений: эстакад, опорных устройств мостов, фундаментов
под оборудование или использоваться в виде отдельных
конструктивных элементов. Рамные конструкции, как
правило, представляют собой пространственные системы,
по в целях упрощения расчета их расчленяют на отдель-
ные плоские рамы. Естественно, что такую операцию
можно производить, если погрешность, вносимая в рас-
чет, незначительна. В подавляющем большинстве слу-
чаев рамы являются статически неопределимыми систе-
мами. Расчет таких систем излагается в гл. 34 и 35. В
настоящей главе рассматриваются плоские статически
определимые рамы.
§ 30.2. Аналитический расчет простых рам
Простая рама представляет собой геометрически не-
изменяемую стержневую систему, состоящую из двух
или трех стержней, соединенных в узлах жесткими свя-
зями. На рис. 30.1 приведены некоторые геометрические
схемы простых рам. Аналитический расчет рамы заклю-
чается в определении трех внутренних силовых факторов
от внешних нагрузок — в построении эпюр изгибающих
моментов, поперечных и продольных сил. Эпюры Л4,
Q и N строятся на геометрической схеме рамы, по осям
стоек и ригелей. На эпюре М обычно знаки не ставят, а
ординаты изгибающих моментов откладывают обяза-
тельно со стороны растянутых волокон. Ординаты на
эпюрах Q и N снабжают знаками в соответствии со
следующими правилами: поперечная сила считается по-
ложительной, если ее направление совпадает с вращени-
ем оставшейся части рамы по часовой стрелке; продоль-
ная сила считается положительной при растяжении
стержня и отрицательной при ее сжатии.
Детали поясним на примере.
Пример. Для рамы, изображенной на рис. 30.2, а, построить
эпюры М, Q и /V.
Решение. Вначале выполним кинематический анализ. Данная ра-
ма имеет один жесткий диск, прикрепленный к земле тремя непарал-
лельными и не пересекающимися в одной точке опорными стерж-
нями. Данная рама неизменяема.
Определение опорных реакций Нв, Rb и Re. Моменты, действу-
333
Рис. ЗОЛ
Рис. 30.2
ющие по ходу часовой стрелки, будем считать положительными, а
против — отрицательными.
2Z = //B + ^ —F = //B + 2-4 —10 = 0, Нв = 2 кН;
2Л1В = ^2/2 + т — Fh/2 — REl = 2-42/2 + 5 — 10-2 — RE 5 = 0;
RE = 0,2 кН.
ЪМЕ =-RBl-+ qh*/2 + tn — Fh/2 = —RB5 + 2-42/2 + 5 — 10 2 =
= 0; /?в = 0,2кН.
Полученные реакции положительны, следовательно, их действи-
тельные направления совпадают с принятыми направлениями (рис.
30.2,а). Для проверки найденных реакций составляем уравнение мо-
ментов относительно произвольной точки
ХЛ1К=— RB-G + HB-1 +^-3 + m — F-3 + Re -1 =0,
= 0,2-6+ 2-1 +2-4-3+ 5 — 10-3 4-0,2.1 =0.
Опорные реакции определены верно.
Переходим к определению внутренних силовых факторов Af, Q
334
и N. Для их определения разрезаем раму в пределах каждого си-
лового участка сечением, перпендикулярным к оси стержня, на две
части. Отбрасываем одну из частей и ее влияние заменяем М, Q и /V.
Для оставшейся части составляем три уравнения статического равно-
весия от всех сил, приложенных к этой части. Из решения этих урав-
нений находим M, Q и W. В данной раме четыре силовых участка
ВС, CD, DG и GE, в пределах которых проводим четыре сечения
/—1, 2—2, 3—3 и 4—4.
Сечение 1—1. Оставляем часть рамы, расположенную ниже сече-
ния 1—1, а верхнюю часть отбрасываем (рис. 30.2,6). Поскольку
в рамах на эпюре изгибающих моментов знаки не ставятся, то при
записи уравнений равновесия их назначают произвольно. Примем из-
гибающий момент М[ в сечении 1—1 положительным, направленным
по ходу часовой стрелки. Соответственно и моменты от внешних
сил, направленные по ходу часовой стрелки, также будем считать
положительными. Это правило распространено и на все остальные
участки рамы. Величину и действительное направление Afj найдем
из уравнения
SA4?CT = М, - Нв у, - qyl/2 = 0,
откуда
М! = нвУ1 + wi/2-
Изгибающий момент Mi положителен, следовательно, в стойке
ВС растянуты левые волокна. Согласно полученному выражению,/VI.
по длине стойки ВС изменяется по закону квадратичной параболы
и имеет значения:
при r/x = 0 = =
при y1 = h = = Мсв = 2-4 2*42/2 = 24 кН*м.
Величину и знак поперечной силы Qi определяем из уравнения
проекций на ось, перпендикулярную оси стойки ВС, т. е.
SZOCT = /7B + ^1 + Q1 = 0,
откуда
Qi = — нв~ ЯУ1
Поперечная сила Qi на стойке ВС отрицательная и изменяется
по линейному закону: при z/i = 0 Q1 = Qbc=— 2 кН; при //,=/1 = 4
Qi = QCB=—2-2-4= —10 кН.
Величину и знак нормальной силы Afi определяем из уравнения
проекций на ось, параллельную оси стойки ВС, £У0СТ=—/?b+Wi = 0,
откуда Ni = /?b = 0,2 кН. Продольная сила У! в стойке ВС положи-
тельная, растягивающая и имеет постоянное значение.
Сечение 2—2. Оставляем часть рамы, расположенную левее се-
чения 2—2, а правую часть отбрасываем (рис. 30.2, в). Величину и
направление изгибающего момента М2 определим из уравнения сум-
мы моментов от всех сил, действующих на оставшуюся часть, отно-
сительно центра тяжести сечения 2—2:
= -RBz2-HBh-qh2/2 + М2 = 0,
335
откуда
M2 = RBz2+HBh + qh42.
Изгибающий момент М2 положительный, следовательно, в риге*
ле CD растянутыми являются верхние волокна. Момент М2 изменя-
ется по линейному закону и имеет значения: при z2 = 0 M2=MCd —
= 2-4 + 2*42/2 = 24 кН-м; при z2=/=5 м M£=Mdc = 0,2’5-}-2-4 +
+ 2-42/2=25 кН-м.
Поперечную силу Q2 определяем из уравнения проекций на ось,
перпендикулярную к оси ригеля CD: 2У0СТ =—Rb~Q2=0, откуда
Q2=—Rb =—0,2 кН.
Поперечная сила Q2 на ригеле CD отрицательная и имеет по-
стоянное значение.
Продольную силу N2 определяем из уравнения проекций на ось,
параллельную оси ригеля CD. SZ0CT= HB + qh^-N2=Q, откуда М2 =
= —Нв—qh = —2—2-4= —10 кН.
Продольная сила N2 в ригеле CD отрицательная (т. е. сжимаю-
щая) и имеет постоянное значение.
Сечение 3—3. Оставляем нижнюю часть стойки EGD, так как
на нее действует .меньшее число внешних сил, и отбрасываем верх-
нюю часть (рис. 30.2, г).
Величину и направление изгибающего момента Л43 определим из
уравнения суммы моментов от всех сил, действующих на оставшую-
ся часть, относительно центра тяжести сечения 3—3. SM§CT =
= F(f/3—2)+М3 = 0, откуда М3 = — F(y3—2), 2<t/<4.
Изгибающий момент М3 в стойке на участке DG отрицательный,
следовательно, растянуты правые волокна. Момент М3 изменяется
по линейному закону и имеет значения: при гу=2 М3 = 0; при t/3=4
M3=MDG = —10(4—2)=— 20 кН-м.
Поперечную силу Q3 определим из уравнения проекций на ось,
перпендикулярную к оси стойки DG. SZ0CT=—F+Q3=0, откуда
Q3 = F=10 кН. Поперечная сила Q3 на участке стойки DG положи-
тельна и имеет постоянное значение.
Продольную силу W3 на участке стойки DG определим из урав-
нения проекций на ось, параллельную оси стойки DG: 2УОСТ =
=/?е + Л^з=0, откуда Л/3=— Re= — 0,2 кН.
Продольная сила N3 на участке стойки DG отрицательная (сжи-
мающая) и имеет постоянное значение.
Сечение 4—4. Оставляем нижнюю часть стойки GE и отбрасыва-
ем верхнюю часть (рис 30.2, д).
Из получим: М4 = 0. Из SZOCT = 0 получим Q4=0.
Продольную силу Л^4 на участке стойки GE определим из уравнения
2УОСТ = /?Е+2У4 = 0, откуда jV4 = —/?Е=—0,2 кН.
Продольная сила ТУ4 на участке стойки GE отрицательная (сжи-
мающая) и имеет постоянное значение. Эпюры М, Q и N в заданной
раме показаны на рис. 30.2, ж. Как видно из примера, расчет рамы
связан с большим числом вычислений, что может привести к оши-
бочным результатам. Поэтому полученное значение М, Q и 7V сле-
дует проверить с использованием других уравнений, по которым не
вычислялись внутренние силовые факторы. Проверку обычно произ-
водят из условия равновесия всех узлов рамы и отдельной ее части.
336
Рис. 30.3
Узел С. Вырежем из заданной рамы узел С (рис. 30.3, а) и со-
ставим три уравнения равновесия.
= MCD-Мсв = 24 — 24 = 0;
ZY = -Ncb+QCd = -0,2 + 0,2=0;
SZ = QCB — MCD = 10 — 10 = 0.
Все уравнения удовлетворяют требованиям равновесия, следова-
тельно, узел С находится в равновесии.
Узел D. Для вырезанного из заданной рамы узла D (рис. 30.3, б)
составим три уравнения равновесия:
ZMD = m + MDG — MDC = 5 + 20-25 = 0;
ZY=-QDC+NDE =-0,2+0,2 = 0;
SZ = HCD-QDG = 10-10 = 0.
Узел D находится в равновесии.
Отрежем раму о г опор и их влияние заменим внутренними си-
лами Q и N (рис. 30.3, а). Составим уравнения равновесия:
2Y = -NBC + NED =-0,2 + 0,2 = 0;
£Z = q-4 + QBC — F = 2-4 + 2— 10 = 0.
Все условия равновесия для узлов С, D и всей рамы удовлетво-
ряются, следовательно, эпюры М, Q и Л' построены верно.
§ 30.3. Аналитический расчет трехшарнирных рам
Трехшарнирная рама является распорной системой,
так как в ее опорных связях от вертикальной нагрузки
возникают горизонтальные составляющие реакций. На
рис. 30.4 приведены некоторые виды трехшарнирных рам.
Чтобы не передавать горизонтальное давление на ниже-
лежащие конструкции, в трехшарнирную раму вводят
затяжку. В трехшарнирной раме от внешних нагрузок
возникают четыре опорные реакции: две вертикальные
и две горизонтальные. Для их определения записывают
три обычных уравнения статического равновесия. Чет-
вертое дополнительное уравнение составляют из условия
равенства нулю изгибающего момента в промежуточном
22—480
337
Рис. 30.4
шарнире от всех сил, дей-
ствующих слева или спра-
ва от этого шарнира.
Полная система уравне-
ний имеет вид:
ЬИв = 0;
£МС == 0; (2Y = 0)
SX = 0;
= 0.
После определения всех опорных реакций переходят
к построению эпюр М, Q и JV, так же как и в простых ра-
мах.
ГЛАВА 31. ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
§ 31.1. Общие сведения
В сечениях многопролетных шарнирных балок, трех-
шарнирных арок и рам возникают изгибающие моменты.
Как известно, при изгибе эпюра нормальных напряже-
ний по высоте сечения имеет вид двух треугольников с
наибольшими значениями в крайних волокнах. Иными
словами, при наличии изгиба не во всех волокнах и не во
всех поперечных сечениях нормальные напряжения до-
стигают расчетных сопротивлений, т. е. большая часть
материала конструкции работает с недонапряжением.
Естественно, что более экономичной конструкцией будет
такая, в которой во всех волокнах и во всех поперечных
сечениях нормальные напряжения равны расчетным со-
противлениям. Этого можно достигнуть, если в конструк-
ции будут возникать только продольные силы, вызыва-
ющие либо растяжение, либо сжатие всех ее элементов.
Такой конструкцией является строительная ферма. Фер-
мы выполняются из металла, дерева, пластмассы или
железобетона. Соединение стержней в узлах осуществля-
ется на сварке, клее, шпонках или монолитно.
Реальная ферма представляет собой стержневую кон-
струкцию, состоящую из прямолинейных стержней, сое-
диненных в узлах обычно- жесткими связями. Наличие в
реальной ферме жестких узлов приводит к появлению в
ее стержнях изгибающих моментов. Однако они оказы-
338
вают незначительное влияние на распределение и вели-
чину продольных сил и ими пренебрегают. Поэтому при
практических расчетах в качестве расчетной схемы фер-
мы принимают геометрически неизменяемую стержневую
систему, состоящую из прямолинейных стержней, соеди-
ненных в узлах идеальными шарнирами, допускающими
их взаимный поворот без трения. При этом внешняя на-
грузка считается приложенной только в узлах. При таких
предпосылках во всех стержнях фермы возникают толь-
ко продольные силы.
Экономичность, рациональность распределения напря-
жений и несложность изготовления обеспечили фермам
широкую и разнообразную область применения в строи-
тельстве.
Стержни, ограничивающие верхний контур фермы,
образуют верхний пояс, а стержни, ограничивающие
нижний контур, — нижний пояс. Совокупность стержней
фермы между верхним и нижним поясами образуют ре-
шетку фермы. Вертикальные элементы решетки называ-
ются стойками, а наклонные — раскосами (подкосами).
Расстояние между осями опор фермы называется проле-
том, а расстояние между соседними узлами верхнего
(нижнего) пояса — панелью (рис. 31.1).
Фермы классифицируются по следующим признакам.
1. По назначению фермы делятся на стропильные,
подстропильные, мостовые, крановые, башенные и т. п.
2. По очертанию поясов фермы устраиваются трех ви-
дов: с параллельными поясами (см. рис. 31.1), с тре-
угольным поясом (рис. 31.2), с полигональным (лома-
ным) очертанием поясов (рис. 31.3).
3. По направлению опорных реакций фермы делятся
на безраспорные и распорные. В опорных стержнях без-
распорных ферм от вертикальной нагрузки возникают
только вертикальные реакции. В зависимости от место-
положения опорных стержней безраспорные фермы де-
лятся на балочные (см. рис. 31.2), балочно-консольные
(см. рис. 31.3) и консольные (рис. 31.4). В опорных стер-
жнях распорных ферм при действии вертикальной на-
грузки возникают не только вертикальные, но и горизон-
тальные составляющие опорных реакций. Распорные
фермы делятся на арочные (рис. 31.5) и висячие (рис.
31.6).
4. По системе решетки фермы разделяются на следу-
ющие типы: фермы с раскосной решеткой, включающей
22*
339
Панель Верхний пояс
Подкосы
Рис. 31.1
Рис. 31.4
Рис. 31.6
стойки и подкосы (см. рис. 31.1); фермы с треугольной
решеткой, включающей только подкосы (см. рис. 31.4);
фермы с полураскосной решеткой (рис. 31.7). Здесь под-
кос соединяет верхний (нижний) пояс с серединой стой-
ки. Фермы со сложной решеткой (см. рис. 31.3).
5. По уровню движения транспорта или действия
внешних нагрузок фермы устраиваются трех типов: при
движении транспорта по нижнему поясу; при движении
транспорта по верхнему поясу; при одновременном дви-
жении транспорта по нижнему и верхнему поясам.
340
§ 31.2. Кинематический анализ фермы
Расчетная схема фермы, полученная после замены в
реальной ферме всех жестких узлов шарнирами, долж-
на быть обязательно геометрически неизменяемой. Сте-
пень свободы фермы можно определить по общей фор-
муле (27.1), однако использование этой формулы не всег-
да целесообразно из-за необходимости предварительного
подсчета кратности шарниров. Обычно степень свободы
фермы определяют по более простой формуле:
Г = 2У-Сф-С0П,
где У — число шарнирных узлов фермы; С$ — число стержней фер-
мы; Соп — число опорных стержней.
При U7=0 ферма имеет необходимое число связей.
Однако равенство нулю степени свободы является необ-
ходимым, но не достаточным условием геометрической
неизменяемости фермы. Следует проанализировать гео-
метрическую схему ее образования. Анализ структуры
фермы проводится с использованием правил образова-
ния геометрически неизменяемых систем. Обычно в фер-
ме всегда можно выделить шарнирный треугольник. Ес-
ли к этому треугольнику последовательно присоединя-
ются узлы двумя стержнями, не лежащими на одной
прямой, то вся ферма геометрически неизменяемая.
Например, ферма, показанная на рис. 31.8, а, геомет-
рически неизменяема, так как У = 8, Сф=13 и Соп = 3.
W = 2-8—13—3 = 0. При исследовании структуры фер-
мы примем в качестве основного элемента шарнирный
треугольник 1.2.3 (можно принять и любой другой). К
этому треугольнику присоединяется узел 4 двумя стер-
жнями 2—4 и 3—4, не лежащими на одной прямой. За-
тем аналогично присоединяется узел 5 и т. д. Следова-
тельно, внутренняя структура представляет собой гео-
метрически неизменяемую систему, т. е. один диск, кото-
рый прикреплен к земле тремя опорными стержнями,
непараллельными и не пересекающимися в одной точке.
Естественно, что могут быть и другие способы образова-
ния ферм. В этих случаях анализ геометрической струк-
туры проводится по общим правилам, т. е. в ферме вы-
деляются геометрически неизменяемые части (диски) и
рассматриваются способы их соединения между собой.
Например, ферма, изображенная на рис. 31.8, б, геомет-
рически неизменяема, так как У=6, Сф = 9, Соп = 3. W=
341
= 2-6—9—3 = 0. В этой ферме выделим два диска: тре-
угольник 1.2.3 и треугольник 4.5.6. Эти диски соединены
между собой тремя стержнями 1—4, 2—5 и 3—6, оси
которых непараллельны и не пересекаются в одной точ-
ке. Следовательно, внутренняя структура образует гео-
метрически неизменяемую систему (диск). Этот диск
прикреплен тремя опорными стержнями, непараллельны-
ми и не пересекающимися в одной точке.
§ 31.3. Аналитический способ расчета ферм
Для расчета ферм пользуются двумя способами: ана-
литическим и графическим. Расчет статически определи-
мой фермы любым способом начинается с определения
опорных реакций.
В стержнях фермы от внешней нагрузки, приложен-
ной в узлах, возникают только продольные сжимающие
или растягивающие силы. Растягивающие продольные
(нормальные) силы в стержнях фермы считаются поло-
жительными, а сжимающие — отрицательными. Перед
расчетом все внутренние продольные силы принимают
положительными, т. е. растягивающими. Если в резуль-
тате расчета продольная сила в стержне получится со
знаком минус, то этот стержень испытывает сжатие.
Внутренние продольные силы в стержнях фермы опре-
деляются методом сечений.
В зависимости от проведенного в ферме разреза и
записанных уравнений статического равновесия наи-
большее распространение получили следующие анали-
тические способы расчета:
1) вырезания узлов;
2) сквозного сечения, который делится на два: а) мо-
ментных точек, б) проекций;
342
3) замкнутого сечения.
Кроме указанных способов разработаны и другие
специальные способы расчета ферм. Они в данном кур-
се не излагаются.
Способ вырезания узлов. Отличительная особенность
этого способа состоит в проведении такого сечения, при
помощи которого из фермы вырезается один ее узел. Вся
остальная часть фермы отбрасывается, и ее влияние за-
меняется неизвестными продольными силами, направ-
ленными вдоль осей разрезанных стержней. Так как в
каждом узле фермы все внешние нагрузки и внутренние
силы пересекаются в центре узла (т. е. представляют
собой систему сходящихся сил, равнодействующая ко-
торых равна нулю), то для каждого узла можно соста-
вить только два независимых уравнения равновесия в
виде суммы проекций на две непараллельные оси.
Третье уравнение SM = 0 обращается в тождество.
Обычно два уравнения равновесия записывают в виде
22 = 0и2У = 0.
Решают эти уравнения и находят неизвестные силы
в стержнях фермы, сходящихся в данном узле. Следо-
вательно, способом вырезания узлов можно пользовать-
ся только тогда, когда в вырезанном узле имеются толь-
ко две неизвестные силы. Последовательность расчета
фермы способом вырезания узлов должна быть такой,
чтобы число неизвестных внутренних сил в вырезанном
узле было не более двух. Переходя от одного узла к
другому, вычисляют силы во всех стержнях фермы.
Статически определимые фермы, образованные при-
соединением к основному треугольнику узлов с по-
мощью двух стержней, всегда можно рассчитать спосо-
бом вырезания узлов. Если в ферме нет ни одного узла,
в котором сходятся два стержня, или при последова-
тельном переходе от узла к узлу неизвестных сил будет
больше двух, то расчет таких ферм следует производить
другими способами.
Недостатком данного способа расчета является зави-
симость последующих вычислений от предыдущих и воз-
можность перехода ошибок, допущенных при вычисле-
нии сил в одних стержнях, на результаты расчета в дру-
гих стержнях. Однако благодаря простоте методики
расчета способ вырезания узлов широко используется на
практике. Этот способ оказался очень удобным при рас-
чете ферм с использованием ЭВМ.
343
Пример. Определить продольные силы в стержнях фермы, изо-
браженной на рис. 31.9, а.
Решение. Находим опорные реакции:
2Z = 0, tfB = 0;
= —/?с • 15 +/у5 + F-10 = 0;
Яс= (17,5-5 + 10-10)/15 = 12,5 кН;
RB -15 — Fr10-F2.5 = 0;
RB = (17,5-10+ 10-5)/15 = 15 кН.
В данной ферме в опорных узлах В и С сходятся по два стер-
жня, поэтому вначале вырежем один из них, например, узел В
(рис. 31.9,6):
2У = RB + N#2 sin 45° = 0,
/VB2 = — RB /sin 45° = — 15/0,707 = — 21,21 кН;
SZ = NB2 cos 45° + Nb2 = 0,
NBi = — jVb2cos45° = — (21,21)-0,707= 15 кН.
Следующим вырезаем узел 1> в котором сходятся две неиз-
вестные силы Л;]2 и (рис. 31.9, в):
2У = 0, JV12 = 0;
SZ = -JVls + /V14 = O, /Vu = ,V1b=15 кН.
Затем вырезаем узел 2, в котором две неизвестные силы М2з и
JV24 (рис. 31.9, г):
2У = — NBX cos 45° — F± — /V24 cos 45° = 0,
- Fycos45° = - (—21,21) - 17,5/0,707 = —3,54 кН;
2Z = - sin 45е + Л/24 sin 45- + A/^ = 0,
344
^2з = (^1 - sin 45° = (~21,214-3,54)-0,707=- 12,5 кН.
Следующим вырезаем узел 3 (рис. 31.9,д):
XZ= — Л/зг + W3Csin 45° = О,
Д/Зс = A/32/sin45°= — 12,5/0,707 = — 17,68 кН;
SK = — Afg4 — F2 — N3C sin 45° = О,
/Vg4 = F2 — N3csin 45° = — 10 — (— 17,68)-0,707 = 2,5 кН.
Вырезаем узел 4 (рис. 31.9, е):
SZ = — Л/41 — Л/42 sin 45° 4- N4C = О,
N4C = Л/41 +/V42 Sin 45° = 15 4- (—3,54)-0,707= 12,5 кН.
После обхода узлов В, 1, 2, 3 и 4 определены силы во всех
стержнях ферм. При этом не рассматривался узел С. Условия рав-
новесия узла С используем в качестве проверки найденных сил
Л^сз и Л^С4 (рис. 31.9,ж):
2У = Nc3 sin 45°4-/?с = 0,
Д/сз = — /?с/sin45° = — 12,5/0,707 = — 17,68 кН;
SZ = — NC4 — NC3 cos 45° = 0,
JVC4 = — WC3cos45° = — (— 17,68)-0,707 = 12,5 кН.
Силы Nc3 и Nc4 имеют те же значения, следовательно, расчет
фермы выполнен верно.
Частные случаи равновесия узлов. В фермах обычно
имеются неработающие стержни, силы в которых равны
нулю при данной нагрузке. Такие стержни называются
нулевыми. Перед расчетом выявляют такие стержни,
пользуясь следущими признаками:
1) если к узлу, в котором сходятся только два стерж-
ня, не приложена внешняя нагрузка, то силы в этих
стержнях равны нулю (рис. 31.10, а). Действительно, из
условия равновесия получим: 2У=Л/1 sin а = 0, Afi=O;
,SZ=A/24-A/1cos а = 0, М2 = 0;
2) если в незагруженном узле сходятся три стержня,
два из которых лежат на одной прямой, а третий на-
правлен к ним под углом, то в отдельно направленном
(одиночном) стержне сила равна нулю. Силы же в стер-
жнях, направленные по одной прямой, равны между со-
бой (рис. 31.10,6). Из уравнения 2У=Мз5Ша = 0 на-
ходим Мз = 0. Из уравнения SZ = —/Vi4-N2 = 0 находим
Wi=w2;
345
Рис. 31.11
3) если в незагруженном узле сходятся четыре стер-
жня, две пары из которых лежат на одной прямой, то
силы в стержнях, направленные по одной прямой, равны
между собой (рис. 31.10, в). Из условия равновесия
2У = 0 находим М3 = М4. Из условия равновесия SZ=0
находим Л^=ЛГ2;
4) если к стержневому узлу, два стержня которого
лежат на одной прямой, а третий направлен к ним под
углом, приложена нагрузка F, направленная вдоль оси
одиночного стержня, то Nz = F и Vi=W2 (рис. 31.10, г).
Способ моментных точек. В данном способе сквозным
сечением ферма разрезается на две части таким образом,
чтобы перерезанными оказались не более трех стержней
с неизвестными силами.1 При этом оси этих перерезан-
ных стержней не должны пересекаться в одной точке.
Одну из частей фермы отбрасывают, а ее действие на
оставшуюся часть заменяют внутренними продольными
силами, направленными вдоль осей перерезанных стер-
жней.
Для оставшейся части записывают три уравнения мо-
ментов относительно трех точек плоскости, не лежащих
1 Это требование диктуется тем, что для плоской системы сил
можно составить только три уравнения статического равновесия,
846
па одной прямой. Если взять произвольные точки, то
придется при определении трех неизвестных сил решать
систему трех уравнений с тремя неизвестными. Для уп-
рощения расчета в качестве моментных точек принимают
точки, находящиеся на пересечении осей двух из трех
перерезанных стержней. В этом случае получим три не-
зависимых уравнения, в каждое из которых входит толь-
ко одна неизвестная сила. Поскольку три моментные точ-
ки выбираются так, чтобы получить каждый раз уравне-
ние с одним неизвестным, то данный способ расчета
ферм получил название способа моментных точек.
Преимущество этого способа по сравнению со спо-
собом вырезания узлов состоит в том, что сила в любом
стержне определяется независимо от сил в других стер-
жнях.
Пример. В ферме, изображенной на рис. 3.11, а, определить
силы N2з, /V24 и Л/и в стержнях 2—5, 2—4 и 1—4.
Решение. Находим опорные реакции:
SZ = 0, Яв = 0;
Ff5 + F2.10 + F3.15-Z?c -20 = 0,
/?Cj= (6-5 + 16-10 4-8-15)/20 = 15,5 кН;
£МС = RB -20 - Ff 15 - F2- Ю - F3‘5 = 0,
RB = (6-15+ 16-10+ 8-5)/20= 14,5 кН.
Проверка: 2У=0; Rb—F\—F2—Рз + Рс=14,5—б—16—8+15,5 = 0.
Разрежем ферму сквозным сечением 1—1 во второй панели.
Отбросим правую часть и оставим левую (рис. 3.11, б). Момент-
ная точка для определения силы находится на пересечении
стержней 2—4 и 1—4, т. е. в узле 4.
2Mr = N&r2S+Rs.W-F1.5 = 0i
N„ = (- RB • 10 + F, -5)/r„ = (- 14,5-10 + 6-5)/10 sin 30° =
= — 23 кН.
Моментная точка для определения силы М24 находится на пе-
ресечении стержней 1—4 и 2—3, т. е. в узле В:
SA-lg=T = W24/-24 + F1-5 = 0,
jV24 = — F^-Ь/г^ = —6,5/10-sin 30° = — 6кН.
Моментная точка для определения силы Л/|4 находится на пе-
ресечении стержней 2—3 и 2—4, т. е. в узле 2:
ZMr = -Nl4-ru + RB-5 = 0,
Nlt = RB5/ru= 14,5-5/5 tg30° = 25,13 кН.
347
Рис. 31.13
Частные случаи способа сквозного сечения. В неко-
торых частных случаях сквозным сечением можно пере-
резать и более трех стержней, если п—1 стержней пе-
ресекаются в одной точке. Для определения силы в п
стержне в качестве моментной точки принимают точку
пересечения п—1 стержней.
Например, для определения силы в стержне 3—4
верхнего пояса проведем сквозное сечение 1—1 через 5
стержней (рис. 31.12, а). В качестве моментной точки
примем точку пересечения стержней 1—5, 2—5, 3—5 и
6—5, т. е. узел 5 (рис. 31.12, б).
Силу Af34 найдем из уравнения SM5CT=/?B3d—Fi2d—
—^+^34^ = 0, откуда (-RB^d-{-Fi2d-\-F2d)/h.
Способ проекций. Способ проекций применяется при
расчете ферм с параллельными поясами. Здесь также
ферма сквозным сечением разрезается на две части так,
чтобы перерезанными оказались не более трех стержней.
Одна часть отбрасывается и рассматривается равнове-
сие оставшейся части.
348
В отличие от способа моментных точек в этом спо-
собе третье уравнение моментов заменяется уравнением
проекций на ось, перпендикулярную к поясам фермы.
Данная замена вызвана тем, что моментная точка пере-
сечения осей стержней параллельных поясов фермы на-
ходится в бесконечности. В остальном методика расчета
такая же, как и при расчете способом моментальных
точек.
Пример. Определить силу /У23, ^24 и в стержнях фермы,
изображенной на рис. 31.13, а.
Решение. Находим опорные реакции:
SZ = 0, Яв = 0;
/уб + ТуЮ — Rc J5 = 0,
Rc = (17,5-5 + IO-10)/15 = 12,5 кН;
SMC= RB .15-F1.10-F2.5 = 0,
RB = (17,5-10 + 10-5)/15 = 15 кН.
Разрезаем ферму сквозным сечением 1—1 во второй панели.
Отбрасываем правую часть и оставляем левую (рис. 31.13,6). Мо-
ментная точка для определения силы Л/23 находится на пересече-
нии стержней 2—4 и 1—4, т. е. в узле 4'.
2Л*Г = /?B-1°-^f5 + A/23-5 = 0,
Л/23= (—15.10+ 17,5-5)/5 = — 12,5 кН.
Моментная точка для определения силы Nu находится на пере-
сечении стержней 2—3 и 2—4, т. е. в узле 2: SAfJ07 ~Rb'^—/Vi4*5=
= 0, откуда Л^14=/?в=15 кН.
Для определения силы Л/24 составляем уравнение проекций
всех сил, действующих на оставшуюся часть, на ось, перпендику-
лярную к поясам, т. е. 2УОСТ=0:
2У0СТ = Rя — F — N sin 45° = 0,
о 1 24
- -57S7115 -17’5> - - кН-
Способ замкнутого сечения. Способом замкнутого се-
чения пользуются при расчете ферм специального вида,
например, фермы В. Г. Шухова. Замкнутым сечением
разрезается более трех стержней. Сечение проводят та-
ким образом, чтобы только три стержня разрезались
один раз, а остальные стержни — два раза. Стержни,
перерезанные дважды, отбрасываются, так как равно-
действующая сил в этих стержнях равна нулю. В ре-
зультате остаются три стержня с неизвестными силами.
349
Рис. 31.14
Величину и направление сил в оставшихся трех стерж-
нях определяют методом моментных точек или спосо-
бом проекций.
Пример. В ферме, изображенной на рис. 31.14, а, определить
силы NB\, Л'2з и Л'4с.
Решение. Находим опорные реакции:
SZ = 0, Яв = 0;
SMB = Ff4 + F2-8 -Rc -12 = 0,
Rc = (Ю-4 + 25-8)/12 = 20 кН;
ZMC= RB -12 — /у8 — Fr4 = 0,
RB = (10-8 + 25-8)/12= 15 кН.
Проводим замкнутое сечение, разрезав стержни В—1, 2—3 в
4—С, один раз, а стержни В—3 и В—4 два раза (рис. 31.14, а)<
Отбросим внешнюю часть от проведенного сечения и оставим внут-
реннюю (рис. 31.14, б).
Моментная точка для определения силы Nci находится на пе-
ресечении стержней В—1 и 2—3 в точке К.
= Ff4-/?c -12-/V4c-12 = 0,
N4C = (/у4-/?с -12)/12 = 1 (10-4 — 20-12)/12 =
= — 16,67 кН.
Моментная точка для определения силы находится на пе-
ресечении стержней С—4 и 2—3 в точке L.
2Л^ст = —^,12 —^-8 = 0,
^ = —^•8/12 = —10-8/12 = —6,67 кН.
Силу Na найдем из уравнения проекций на ось Ог
2^=0, ^ = 0.
350
§ 31.4. Графический способ определения сил
в стержнях фермы
Графический способ расчета основан на построении
многоугольника сил для данного узла фермы. Так как
каждый узел фермы находится в равновесии, а действу-
ющие в нем внешние и внутренние силы представляют
собой систему сходящихся сил, то многоугольник сил в
каждом узле будет замкнутым. Ввиду того, что силы в
стержнях фермы неизвестны, построение многоугольника
сил, а точнее треугольника сил, начинают с того узла,
в котором сходятся два стержня с неизвестными силами.
В таком узле действующую на него известную на-
грузку — силу или равнодействующую нескольких сил
раскладывают по направлению двух стержней, т. е.
строят замкнутый треугольник сил. Затем переходят к
следующему узлу, в котором неизвестных сил не более
двух, и т. д. Последовательно строя замкнутые много-
угольники для всех узлов фермы, находят графически
неизвестные силы в стержнях фермы. Объединенные на
одном чертеже многоугольники сил, построенные для
каждого узла фермы, носят название диаграммы Макс-
велла-Кремоны или диаграммы сил.
Перед расчетом фермы графическим способом необ-
ходимо выполнить следующие подготовительные опера-
ции:
1) найти опорные реакции фермы. Обычно их вычис-
ляют аналитическим способом;
2) вычертить в масштабе схему фермы с приложен-
ными в узлах заданными силами Fi и опорными реак-
циями;
3) обозначить внешние поля (зоны между каждой за-
данной силой и реакциями) и внутренние поля фермы
(зоны внутри решетки), обходя их по ходу часовой стрел-
ки. Поля удобнее обозначать цифрами. При таком обо-
значении полей каждая внешняя и внутренняя сила бу-
дут содержать два подстрочных индекса по наименова-
нию смежных полей.
Для внешних сил первой записывается цифра при
обходе фермы по ходу часовой стрелки, а для усилия в
стержне первой — цифра при обходе вырезанного узла
по ходу часовой стрелки.
Пример. Определить графическим способом силы в
стержнях, изображенной на рис. 31.15, а.
351
Рис. 31.15
Решение. Опорные реакции определены ранее в при-
мере для фермы (см. рис. 31.13, а): Нв=0; Rc = 12,5 кН;
/?в=15 кН.
Обозначим внешние поля фермы цифрами /, 2, 3 и 4
и внутренние — цифрами 5, 6, 7 и 8 (рис. 31.15, а). Для
пояснения процесса построения диаграммы сил все узлы
фермы дополнительно обозначим буквами В, С, О, Е, К,
L. При практических расчетах такого обозначения узлов
не делают.
Выбираем масштаб сил и построим многоугольник
внешних сил F12, F23, R34 и /?41, обходя ферму по ходу ча-
совой стрелки (рис. 31.15,6). Так как эта система сил,
направленных вертикально, уравновешена, то замкнутый
многоугольник превращается в две накладывающиеся
друг на друга вертикальные линии 1—2—3 и 3—4—1.
Определение сил в ферме начинается с левого опор-
ного узла В, в котором сходятся две неизвестные силы
Ms и Л^54. Для их определения строим замкнутый тре-
угольник трех сил /?4Ь TVis и Л^54. На диаграмме сил
построение силового треугольника на базе известной
силы В41 производится следующим образом. Через точку
1 проводится прямая, параллельная стержню фермы
352
1—5, а через точку 4 — прямая, параллельная стержню
5—4. Пересечение этих прямых образует на диаграмме
точку 5. Отрезки диаграммы 1—5 и 5—4, умноженные
на масштаб сил, равны силам Л^5 и Л/54.
Знаки сил /Vis и определяются по направлению
соответствующих векторов на диаграмме сил. Начало
вектора соответствует первой подстрочной цифре сил, а
конец вектора — второй подстрочной цифре сил. Так,
вектор 1—5 на диаграмме имеет начало в точке 1 и ко-
нец в точке 5, т. е. направлен к узлу В, Следовательно,
сила iVi5 в стержне 1—5 сжимающая. Вектор 5—4 на
диаграмме имеет начало в точке 5 и конец в точке 4,
т. е. направлен от узла В. Следовательно, сила в
стержне 5—4 растягивающая.
Переходим к узлу D, в котором сходятся три силы
Л^45, Nse и Л^64« Однако из этих сил определено ^45 = ^54.
Для определения сил М56 и Л^б4 на диаграмме через точ-
ку 5 проводится прямая, параллельная стержню фермы
5—6 (вертикальная), и через точку 4 — прямая, парал-
лельная стержню 6—4 (горизонтальная). Пересечение
этих прямых образует точку 6. В данном случае точки 5
и 6 совпадают. Следовательно, сила в стержне 5—6 рав-
на нулю Л^56 = О, а сила в стержне 6—4 равна силе в
стержне 4—5, т. е. W45 = ^64. Полученный результат пол-
ностью соответствует рассмотренному ранее частному
случаю равновесия трехстержневого незагруженного
узла.
Следующим рассматриваем узел Е, в котором схо-
дятся четыре силы W5i, N27, М76 и Мб5 и внешняя сила
F12. Две силы уже известны: W51 = Wi5 и Лгб5 = Л;56. Для
определения двух неизвестных сил N27 и N7Q через точку
6 проводится прямая, параллельная стержню фермы 7—6,
и через точку 2—прямая, параллельная стержню фер-
мы 2—7. Пересечение этих прямых образует на диаграм-
ме точку 7. Отрезки диаграммы 2—7 и 7—6, умноженные
на масштаб сил, равны силам N27 и N7Q.
Переходим к узлу L, в котором сходятся четыре си-
лы М46, Л^67, Л^78 и Л^84- Для определения двух неизвестных
сил Л/78 и Л^84 через точку 7 проводится прямая, парал-
лельная стержню фермы 7—8, и через точку 4—прямая,
параллельная стержню 8—4.
Последним вырезаем узел К (можно вырезать узел
С), в котором сходятся три силы Л/87, М72 и М38. Первые
две силы уже известны. Для определения неизвестной
23—480 353
СИЛ Л^38 из точки 3 (или из точки S) проводится прямая,
параллельная стержню фермы 3—8, которая должка
соединить на диаграмме две известные точки 3 и 8, Эта
последняя прямая 3—8 называется замыкающей прямой
диаграммы и является контролем правильности постро-
енной диаграммы сил в ферме. Если замыкающая пря-
мая действительно соединяет точки 3 и 8 и при этом па-
раллельна стержню фермы 3—8, то диаграмма сил по-
строена верно.
Иногда проверку построенной диаграммы сил произ-
водят из условий равновесия разрезанных произвольным
сквозным сечением частей фермы. Так как любая отсе-
ченная часть находится в равновесии, то многоугольник
сил, действующих на каждую часть, должен быть замк-
нутым. Проведем произвольное сквозное сечение 1—1 во
второй панели (рис. 31.15, а). На левую часть действуют
следующие внешние и внутренние силы: Fj2, /V27, W76,
и /?4i. На диаграмме находим соответствующий замк-
нутый многоугольник 1—2—7—6—4—/. На правую часть
фермы действуют следующие внешние и внутренние си-
лы: F23, /?34, Л^46» Л^67 и Л^72. На диаграмме им соответст-
вует замкнутый многоугольник 2—3—4—6—7—2.
Диаграмма сил и расчетная схема фермы обладают
свойством взаимности, которое имеет следующие харак-
терные особенности. Каждому узлу фермы соответствует
силовой многоугольник диаграммы, стороны которого
параллельны стержням фермы и внешней нагрузке, схо-
дящимся в этом узле. Каждой вершине диаграммы (уз-
лу) соответствует поле фермы, стороны которого парал-
лельны векторам сил на диаграмме. Число вершин диа-
граммы равно числу полей фермы, а число узлов фермы
равно числу полей диаграммы.
Частные случаи построения диаграммы сил в фермах.
Для некоторых видов ферм или действующих нагрузок
построить диаграмму сил без предварительного преобра-
зования бывает невозможно. Ниже приводятся некото-
рые способы таких преобразований.
1. В ферме (рис. 31.16, а) приложенная внешняя на-
грузка к внутреннему узлу D не является границей двух
изолированных полей. При такой нагрузке нельзя по-
строить многоугольник внутренних сил. В этом случае
нагрузку переводят на внешний контур фермы (верхний
или нижний) по линии ее действия. При этом вводят
дополнительный стержень, соединяющий внутренний
354
2
Рис. 31.16
узел с точкой К внешнего контура фермы, в которую
вводят шарнир (рис. 31.16,6). После указанного преоб-
разования диаграмму сил строят обычным способом. Пе-
ренос нагрузки из внутреннего узла на внешний контур
не изменяет распределения внутренних сил во всех стер-
жнях фермы1.
На построенной диаграмме сил в стержне фермы,
разделенном введенным шарниром К, сила повторится
дважды, т. е. получим силы и Л^-з, которые всегда
равны друг другу. Кроме того, появится лишняя сила
Л^9—8 в добавленном стержне D—К. Эту силу не учитыва-
ют, так как этого стержня в заданной ферме не было.
2. В ферме (рис. 31.17, а) стержни решетки BE, CD и
DK, EL не пересекаются, что не позволяет пронумеро-
вать внутренние поля. В этом случае в местах пересече-
ния указанных стрежней решетки вводят фиктивные
шарниры. После этого легко пронумеровать все внут-
ренние поля фермы и построить диаграмму сил (рис.
31.17,6). При этом на диаграмме в стержнях, разделен-
ных введенными фиктивными шарнирами, силы повто-
рятся дважды. Действительная величина и знак силы не
изменятся.
3. В ферме (рис. 31.18) определить силы во всех,
стержнях графическим способом невозможно. Действи-
тельно, после определения сил в стержнях 6—5, 1—6,
1—7, 7—8 и 8—5 (или 5—18, 18—4, 17—18, 16—17 и
17—4) в узлах D и Е (или L и К) будет по три неизвест-
ных силы. В этом случае задача решается комбинирован-
ным способом. Аналитическим вычисляются силы в тре-
тьем стержне, обычно 5—12.
1 Доказательство этого преобразования нагрузки приводится в
специальном курсе строительной механики.
23* 355
Разрезав ферму сквозным сечением 1—1, проведен-
ным через шарнир Р и стержень 5—12, из уравнения
2Л4^т=0 находят величину и знак силы Ws-n. Найден-
ная сила Л^5—12 в выбранном масштабе сил откладывает-
ся на диаграмме и продолжают ее построение.
§ 31.5. Понятие о расчете шпренгельных ферм
Шпренгельная ферма — сложная ферма, в которой
часть прямолинейных стержней (обычно стержней верх-
него или нижнего поясов) заменены небольшими фер-
мочками.
Введенные дополнительные фермочки называются
шпренгелями, а первоначальная ферма с прямолинейны-
ми осями — основной фермой. Шпренгели вводятся в ос-
новную ферму для уменьшения длины панелей ее грузо-
вого пояса и свободной длины сжатых элементов поясов
и подкосов. Например, устройство дополнительных узлов
в панели мостовой фермы (после введения в эту панель
шпренгеля) позволяет устранить внеузловую передачу
нагрузки от пролетного строения и уменьшить длину
продольных балок проезжей части. Шпренгели выполня-
ются в виде простых балочных ферм пролетом, равным
356
длине панели основной
фермы. Шпренгели устра-
иваются двух видов: опи-
рающиеся на узлы грузо-
вого пояса (одноярус-
ные), опирающиеся на
узлы другого негрузового
пояса (двухъярусные).
Некоторые виды
шпренгельных ферм при-
ведены на рис. 31.19.
Обычно шпренгели уст-
раиваются таким обра-
Рис. 31.19
зом, что некоторые их стержни сливаются со стержнями
основной фермы. На рис. 31.19 контуры геометрической
схемы введенных шпренгелей показаны штриховой лини-
ей. Определение сил в стержнях шпренгельной фермы
выполняется общим способом нескольких сечений. На
практике пользуются более простым способом, основан-
ном на рассмотрении работы стержней основной фермы
и шпренгеля. В шпренгельной ферме выделяют три кате-
гории стержней, входящих в состав: а) только шпренге-
ля; б) только основной фермы; в) основной фермы и
шпренгеля.
Поскольку все шпренгели представляют собой балоч-
ные фермочки, опирающиеся на узлы основной фермы,
то стержни 1-ой категории воспринимают нагрузку толь-
ко местного вида, приложенную непосредственно к дан-
ному шпренгелю. В стержнях 2-ой категории силы возни-
кают от нагрузки, приложенной к узлам основной фер-
мы. В стержнях 3-й категории силы возникают от на-
грузки, приложенной к шпренгелю и к узлам основной
фермы. В соответствии с проанализированной ра-
ботой элементов сложной шпренгельной фермы ее рас-
чет производится в следующей последовательно-
сти:
1) каждый шпренгель рассчитывается как балочная
ферма, на приложенную к ней местную нагрузку;
2) основная ферма рассчитывается на собственную
нагрузку и опорные давления, возникающие в узлах
опирания шпренгелей;
3) в стержнях сложной фермы, которые одновремен-
но входят в состав обеих ферм, силы двух проведенных
расчетов алгебраически суммируют.
357
Расчет шпренгеля и основной фермы производится
изложенными ранее аналитическим или графическим
способами.
ГЛАВА 32. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА ПОДВИЖНЫЕ
НАГРУЗКИ
§ 32.1. Общие сведения
Кроме неподвижных нагрузок постоянного или вре-
менного характера, на строительные сооружения дейст-
вуют различного вида подвижные нагрузки, т. е. изменя-
ющие свое местоположение на сооружении. Например,
нагрузки от веса движущегося транспорта: автомобилей,
тракторов, поездов и т. п. Считается, что подвижные на-
грузки действуют на сооружение статически, при своем
перемещении по сооружению они не создают динамичес-
кого эффекта.
В зависимости от вида транспортного средства под-
вижную нагрузку представляют в виде распределенной
нагрузки постоянной интенсивности или системы парал-
лельных сосредоточенных сил, расположенных на задан-
ных друг от друга расстояниях. При изменении местопо-
ложения подвижной нагрузки в сооружении происходит
перераспределение внутренних силовых факторов и де-
формаций его элементов, что значительно усложняет
расчет по сравнению с расчетом на неподвижные нагруз-
ки. Для создания надежного сооружения необходимо
найти наиболее невыгодное положение заданной подвиж-
ной нагрузки, при котором в элементах возникнут наи-
большие силы, напряжения и деформации. Такое поло-
жение подвижной нагрузки называется расчетным, а
наибольшие величины сил, напряжений и деформаций—
расчетными значениями.
При расчете на подвижную нагрузку вначале нахо-
дится расчетное положение заданной нагрузки, а затем
вычисляются расчетные значения внутренних сил, напря-
жений и деформаций. Нахождение расчетного положе-
ния подвижной нагрузки производится двумя способами:
общим аналитическим и линий влияния. Общий анали-
тический способ довольно трудоемок, поэтому не рас-
358
сматривается. При практических расчетах пользуются
способом линий влияния.
Рассчитываются на подвижную нагрузку способом
линий влияния только те сооружения, для которых спра-
ведлив принцип независимости действия сил. При этом
способе заданная подвижная нагрузка любого вида за-
меняется одной подвижной сосредоточенной силой того
же направления, равной единице F=l. Перемещая еди-
ничную силу по сооружению, устанавливают закон изме-
нения внутренней силы (или реакции) в одном заданном
сечении. Полученный закон изменения исследуемой си-
лы (или реакции) изображается в виде графика, кото-
рый называется линией влияния.
Используя принцип независимости действия сил, по
построенной линии влияния определяют значение иссле-
дуемого фактора от заданной перемещающейся нагруз-
ки при любом ее расположении. Линии влияния строят-
ся на базовой прямой, параллельной продольной оси
сооружения, которая соединяет опорные связи конструк-
ции. Перпендикулярно к базовой прямой откладываются
ординаты, которые выражают величину исследуемого
фактора в заданном поперечном сечении при расположе-
нии единичной сосредоточенной силы /?=1 в том месте,
где отложена соответствующая ордината. Положитель-
ные ординаты на линии влияния откладываются вверх от
базовой прямой, а отрицательные — вниз.
Линия влияния существенно отличается от эпюры
внутреннего силового фактора. Эпюра показывает закон
изменения внутренней силы во всех поперечных сечениях
элемента сооружения при фиксированном (неподвиж-
ном) положении любой заданной нагрузки на сооруже-
нии. Линия влияния показывает закон изменения внут-
ренней силы только в одном заданном поперечном сече-
нии элемента сооружения при перемещении по сооруже-
нию одной сосредоточенной силы F=l. Построение
линий влияния производится двумя способами: стати-
ческим и кинематическим.
§ 32.2. Статический способ построения линий
влияния опорных реакций, М и Q в однопролетной
балке
Рассмотрим однопролетную балку, по которой пере-
мещается единичная сосредоточенная сила F=1 от ле-
вой опоры В правой опоры С или в обратном направ-
359
Рис. 32.2
лении (рис. 32.1, а). Совместим начало прямоугольной
системы координат с левой опорой В. При статическом
способе построения линии влияния любого фактора на-
ходится аналитическое выражение закона изменения
этого фактора при перемещении В=1 вдоль продольной
оси балки.
Линия влияния опорной реакции Rc. Пусть сила F=
= 1 переместилась от опоры В на какое-то произволь-
ное расстояние (рис. 32.1,а). Так как балка находится
в равновесии, то для определения опорной реакции со-
ставим уравнение моментов относительно центра левой
опоры В. ^MB=Fz—Rcl=Ot откуда Rc = Fzll. Так как
F=l, то окончательно получим Rc=zjL
Из полученного выражения видно, что опорная реак-
ция изменяется по линейному закону. Для построения
графика ее изменения, т. е. линии влияния, вычислим ее
ординаты при крайних положениях силы F—1 на бал-
ке: при z=0 7?с=0, при z=l Rc = l. По этим вычис-
ленным значениям строим линию влияния изменения
опорной реакции Rc (рис. 32.1, б).
Линия влияния опорной реакции RB. Для определе-
ния опорной реакции RB при текущем положении еди-
360
личной силы F=1 на расстоянии z от опоры В составим
уравнение моментов относительно центра правой опоры
С (рис. 32.1, в). ЪМс=Ив1—F(l—z) =0, откуда RB=
= F(l—z)/l. Так как F=i, то окончательно получим
Rb=(1—z)/1,
Опорная реакция RB также изменяется по линейному
закону. Вычислим значения RB при крайних положениях
силы F=1 па балке: при z = 0, RB=1\ при z = l =
По этим вычисленным значениям строим линию влияния
опорной реакции RB (рис. 32.1, г).
Следует заметить, что характер уравнения, описыва-
ющего изменения реакции или любого внутреннего сило-
вого фактора при перемещении силы F=l, зависит толь-
ко от статической определимости или неопределимости
данной системы. Во всех статически определимых систе-
мах законы изменения всех реакций и внутренних сило-
вых факторов описываются линейными уравнениями, и
соответствующие линии влияния изображаются прямы-
ми линиями. В статически же неопределимых системах
законы изменения всех реакций и внутренних силовых
факторов описываются нелинейными уравнениями, и
соответствующие линии влияния изображаются кри-
выми.
Ординаты линий влияния опорных реакций являются
безразмерными величинами, так как размерность z и I
одинаковая, а сила F=1 не имеет размерности. Линии
влияния строятся в масштабе. По построенной линии
влияния можно определить величину исследуемого фак-
тора при любом расположении силы F=l. Например,
для определения опорной реакции RB по построенной
линии влияния RB необходимо измерить (или вычислить)
ординату линии влияния RB в том сечении, где располо-
жена единичная сила F=l. Если на балку действует си-
ла F произвольной величины, то для определения опор-
ной реакции RB надо ординату линии влияния RB в том
сечении, где расположена сила F, умножить на величину
этой силы.
Так как линии влияния опорных реакций имеют вид
наклонных прямых, то их строят, пользуясь общим пра-
вилом. Построение линии влияния левой опорной реак-
ции RB в однопролетной балке выполняется следующим
образом: в принятом масштабе у левой опоры отклады-
вается ордината, равная единице, которая соединяется
прямой линией с нулевой ординатой у правой опоры. По-
361
строение линии влияния правой опорной реакции /?с в
однопролетной балке выполняется следующим образом:
в принятом масштабе у правой опоры откладывается
ордината, равная единице, которая соединяется прямой
линией с нулевой ординатой у левой опоры.
Линия влияния изгибающего момента в сечении D,
Пусть сечение D находится на расстоянии а от левой
опоры и на расстоянии b от правой опоры балки (рис.
32.2, а). Единичная сосредоточенная сила F=1 может пе-
ремещаться левее и правее относительно этого сечения
D. Пусть вначале сила F= 1 перемещается левее сече-
ния D, т. е. занимает любое положение между опорой В
и сечением D и находится на расстоянии z от опоры В,
(рис. 32.2, а). Разрежем балку в сечении D на
две части. Отбросим левую часть и рассмотрим равно-
весие правой части балки. На правую часть действуют
опорная реакция Rc и два внутренних усилия MD и QD-
Принимаем MD и QD положительными, как показано на
рис. 32.2, б.
Закон изменения изгибающего момента в сечении D
при перемещении силы F=1 левее сечения D находится
из условия равновесия правой части балки: —
= MD—Rcb = 0, откуда MD = Rcb.
Так как опорная реакция при перемещении силыВ =
= 1 по балке изменяется по закону Rc = zll, то подста-
вив это выражение в уравнение равновесия, получим
Rcb = гЪЦ.
Из полученного уравнения видно, что изгибающий
момент в сечении D при перемещении силы F=T левее
сечения D изменяется так же, как и опорная реакция
Rc. При этом ординаты линии влияния Rc необходимо
умножить на постоянное число, равное Ь.
Однако это только левая ветвь линии влияния MDt
гак как сила F=1 перемещалась левее сечения D. Для
построения левой ветви вычислим значения MD при рас-
положении силы F=1 в крайних сечениях левой части
балки; при z = 0 MD=0; при z=a MD=ab/l. По этим
данным строим левую ветвь линии влияния MD (рис.
32.2, в).
Теперь исследуем изменение изгибающего момента в
сечении D при перемещении силы F=1 правее сечения
D. Пусть F=1 находится на расстоянии z от опоры В
a^.z^.1 (рис. 32.2, г). Разрежем балку в сечении D на
362
две части. Отбросим правую часть и рассмотрим равно-
весие левой части, на которую действуют опорная реак-
ция Rb и две внутренние силы MD и QD- Положительное
направление MD и QD показано на рис. 32.2, д. Закон из-
менения MD в сечении D при перемещении силы Л=1
правее этого сечения найдем из условия равновесия ле-
вой части балки: SA1£CB =RBa—MD=0, откуда MD=RBa.
Опорная реакция изменяется по закону RB=(l—z)/l.
Подставив это выражение в уравнение равновесия, по-
лучим
MD =
Из полученного уравнения следует, что изгибающий
момент в сечении D при перемещении силы F=1 правее
сечения D (правая ветвь линии влияния MD) изменяет-
ся так же, как и опорная реакция RB. При этом ордина-
ты линии влияния RB надо умножить на постоянное чис-
ло, равное а. Для построения правой ветви линии влия-
ния MD вычисляются ее ординаты при расположении
силы F=1 в крайних сечениях правой части балки; при
z=a MD = ba/l\ при z=l MD=0. По этим данным строим
правую ветвь линии влияния MD (рис. 32.2, е).
Объединив на одном чертеже построенные левую и
правую ветви, получим полную линию влияния изгиба-
ющего момента в сечении D при перемещении силы
F=1 по всему пролету заданной однопролетной балки
(рис. 32.2, ж). Ординаты линии влияния изгибающего
момента имеют размерность длины. На линии влияния
MD точка пересечения левой и правой ее ветвей всегда
находится под сечением D,
Построение линии влияния изгибающего момента в
любом сечении однопролетной балки выполняется сле-
дующим образом: в принятом масштабе у левой опоры
балки откладывается ордината, равная расстоянию а
от этой опоры до рассматриваемого сечения, и соединя-
ется прямой линией с нулевой ординатой у правой опо-
ры. На построенную прямую переносится данное сече-
ние D, и полученная точка соединяется с нулевой орди-
натой у левой опоры.
Линия влияния поперечной силы в сечении D. Линию
влияния поперечной силы в однопролетной балке пост-
роим в том же сечении D, которое находится на рассто-
363
янии а от левой опоры и на расстоянии b от правой
опоры. Так как сечение D находится в пролетной части
балки, то линия влияния QD будет состоять из двух вет-
вей — левой и правой.
Пусть вначале сила F=1 перемещается левее сече-
ния D (рис. 32.2, а). Разрежем балку в сечении D на
две части. Отбросим левую часть. Из условия равнове-
сия 2У=0 правой части найдем закон изменения по-
перечной силы в сечении D при перемещении силы F=
= 1 левее сечения D, т. е. ее левую ветвь. На правую
часть действует опорная реакция Rc и две внутренние
силы MD и Qd (рис. 32.2,6). SynPaB=QD—Rc = 0t откуда
Qd=—Rc-
Так как Rc изменяется по закону Rc=zll, то под-
ставив это выражение в уравнение равновесия, получим
Qd=— z/l.
Следовательно, левая ветвь линии влияния попереч-
ной силы в сечении D описывается таким же уравнением,
как и линия влияния опорной реакции Rc, но только се
ординаты надо взять со знаком минус.
Вычислим значения QD при расположении силы F =
1 в крайних сечениях левой части балки: при z=0 Qd~
0; при z=aQB =—а/l, По этим данным строим левую
ветвь линии влияния Qd (рис. 32.2, и).
Теперь исследуем изменение поперечной силы в се-
чении D при перемещении силы F=1 правее сечения D
при (рис. 32.2, г). Разрежем балку в сечении D
на две части. Отбросим правую часть. Из условия рав-
новесия £Улев = 0 левой части найдем закон изменения
Qd в сечении D, т. е. правую ветвь линии влияния. На
левую часть действуют опорная реакция RB и две внут-
ренние силы MD и Qd (рис. 32.2,6): 2Улев=/?в—QD=0,
откуда Qd=Rb- При движении силы ^=1 правее сече-
ния D поперечная сила изменяется по закону изменения
опорной реакции RB, т. е. QB= (l—z)//.
Вычислим значения QD при расположении силы F=
I в крайних сечениях правой балки: при z=a Q»= (I—
а)/1==Ь/Ц при z—l Qd=0- Построенная правая ветвь
линии влияния Qd показана на рис. 32.2, и. Скачок на
линии влияния поперечной силы QD под рассматривае-
мым сечением D равен единице, т. е. \а/1-ТЬ/1\ = 1. Если
продолжить линии влияния Qd до опор, то соответству-
ющая ордината над левой опорой равна 4-1, а над пра-
364
вой =—1. Ординаты линии влияния поперечной силы
qd не имеют размерности.
Построение линии влияния поперечной силы в лю-
бом сечении однопролетной балки выполняется следую-
щим образом: в принятом масштабе у левой опоры от-
кладывается ордината, равная единице, и соединяется
прямой линией с нулевой ординатой у правой опоры.
Затем у правой опоры откладывается ордината, равная
минус единице, и соединяется прямой с нулевой ордина-
той у левой опоры. На построенные две параллельные
прямые переносится рассматриваемое сечение D.
§ 32.3. Статический способ построения линий влияния
М и Q в консольной балке
Рассмотрим консольную балку ВС с жесткой опорой
в сечении В, по которой перемещается сила F=1 (рис.
32.3, а).
Линия влияния изгибающего момента в сечении К,
Пусть сечение К находится на расстоянии а от опоры В и
на расстоянии b от свободного конца балки. Линия влия-
ния Мк состоит из двух ветвей — левой и правой. Внача-
ле будем перемещать силу В=1 левее сечения К (рис.
32.3,а). Разрежем консольную балку в сечении К на
две части. Левую часть отбросим и оставим правую
(рис. 32.3, б). Так как на правую часть не действует
внешняя нагрузка, то изгибающий момент в сечении К
при любом положении силы левее этого сечения
равен нулю. Соответственно левая ветвь влияния Мк
сольется с базовой прямой (рис. 32.3, д).
Теперь исследуем изменение изгибающего момента
Мк при перемещении силы F=1 правее сечения К,
Пусть сила F=1 находится на расстоянии z от крайнего
сечения балки (рис. 32.3, в). Разрежем балку в сечении
К на две части. Отбросим левую часть и оставим пра-
вую, на которую действует сила F= 1 (рис. 32.3, г). Из
уравнения равновесия 2М^рав=0 найдем закон измене-
ния Мк- SAf^paB=AfK + F(&—z)=0, откуда Л1К—F(Ь—г)
или Мк =—(Ь—z). Приг=0Мк=—6; приг=&Мк=0.
По этим данным строим правую ветвь линии влияния
изгибающего момента в сечении К (рис. 32.3, д). Пост-
роение линии влияния Мк в консольной балке выполня-
ется по следующему правилу: в принятом масштабе у
365
И' ---------------<?
L_S—I------5---J-
(?к 1
: ъ -у
рщ * -4
К 1 --С
_____с
I____
uuujj I Hill кт Л&НК
0 "л(|
«)
ч "‘С^_t
и«ая *—
Прд^дя^егп^ь6
Мая | | | |®| | ГП 8. QK
Рис. 32.3
свободного конца консо-
ли откладывается отрица-
тельная ордината, равная
расстоянию от рассматри-
ваемого сечения до сво-
бодного конца консоли,
которая соединяется пря-
мой линией с нулевой ор-
динатой у сечения К.
Линия влияния попе-
речной силы в сечении К.
Линия влияния попереч-
ной силы QK также будет
состоять из двух ветвей.
Вначале построим левую
ветвь Qk при перемеще-
нии силы F=1 левее се-
чения К. Разрежем бал-
ку в сечении К на две части. Отбросим левую и оставим
правую часть. На правую оставшуюся часть не дейст-
вует внешняя нагрузка, следовательно, поперечная си-
ла Qk равна нулю, и левая ветвь линии влияния Qk
сольется с базовой линией (рис. 32.3, е).
Для построения правой ветви линии влияния QK раз-
режем балку в этом сечении. Отбросим левую и оставим
правую часть с перемещающейся силой F=l. Из урав-
нения равновесия 2Уп₽ав = 0 найдем закон изменения
правой ветви линии влияния QK I>YU^B = QK—F=0, от-
куда QK = F=i. Следовательно, правая ветвь линии
влияния Qk имеет вид прямой, параллельной базовой
линии, и отстоящей от нее на величину, равную единице.
Полная линия влияния QK в консольной балке показана
на рис. 32.3, е.
§ 32.4. Статический способ построения линий
влияния в однопролетной балке с консолями
Линия влияния опорной реакции Rc- Рассмотрим
однопролетную балку пролетом I с двумя консолями —
левой длиной и правой длиной С2 (рис. 32.4, а). При
перемещении силы F=l между опорами В и С опорная
реакция Rc будет изменяться по такому же закону, как
и в однопролетной балке без консолей, т. е. Rc=zU»
O^z^l.
366
Рис. 32.4
Рис. 32.5
Линия влияния Rc имеет вид прямой, проходящей че-
рез нулевую ординату у левой опоры и ординату, рав-
ную единице, у правой опоры. При переходе единичной
силы на правую консоль (рис. 32.4, а) для определения
величины Rc составим уравнение моментов относительно
опоры В. 2МВ=—Fz—Rcl = 0', откуда Rc = Fzjl или Rc~
Получили то же уравнение прямой,
какое было получено при перемещении силы F=1 меж-
ду опорами В и С. Следовательно, линия влияния Rc
при перемещении силы F=1 по правой консоли будет
продолжением линии влияния в пролетной части балки
сординатами: при z=l Rc=l при z=l+ C2Rc = U + C2)/
//=1 + C2/Z.
Рассмотрим теперь перемещение силы F=1 по ле-
вой консоли. Пусть F= 1 находится на расстоянии z от
опоры В (рис. 32.4, а). Из уравнения 2Л4в = 0 находим
1МВ=—F(—z)—Rcl=0, откуда Rc = z/l(—c^z^.O).
Здесь также получим то же уравнение, что и для про-
летной части балки. Вычислим ординаты: при z=0 Rc —
= 0; при z=—Ci Rc=—Ci/l. Полная линия влияния Rc
показана на рис. 32.4, б.
Таким образом, линия влияния опорной реакции Rc
в однопролетной балке с консолями определяется той
же прямой, что и опорная реакция в однопролетной бал-
ке без консолей, продолженной за опоры до концов ее
консолей. При этом ординаты на консоли, примыкаю-
щей к рассматриваемой опоре, будут положительными,
а ординаты на консоли, примыкающей к другой опоре—
отрицательными. Аналогично доказывается, что линия
влияния другой опорной реакции RB описывается тем
же уравнением, которое было получено для однопролет-
ной балки без консолей RB=(l—z)/l. Полная линия
влияния опорной реакции RB показана на (рис. 32.4,в).
Построение линий влияния опорных реакций в од-
нопролетной балке с консолями выполняется по следую-
щему правилу: под опорой, для которой строится линия
влияния опорной реакции,складывается ордината, рав-
ная единице у противоположной опоры—ордината, рав-
ная нулю. Через вершины этих ординат проводят прямую
линию, которую продолжают вправо и влево до концов
соответствующих консолей. Характер линии влияния
внутренних сил М и Q зависит от положения сече-
ния, для которого строится соответствующая линия
влияния. Линия влияния для сечений, находящихся меж-
368
ду опорами балки и на ее консолях, будут различ-
ными.
В заданной балке (рис. 32.5, а) построим линии вли-
яния изгибающих моментов в трех сечениях: в сечении
D, принадлежащем пролетной части, и в сечениях К и
L на консолях.
Линия влияния изгибающего момента в сечении D.
При перемещении силы F=1 между опорами В и С
уравнения, выражающие закон изменения MDt записы-
ваются так же, как и для простой однопролетной балки.
При перемещении силы F= 1 слева от сечения D при
уравнение левой ветви имеет вид:
= Rcb = zb/1.
При переходе силы F=1 на левую консоль это урав-
нение остается справедливым, так как MD выражается
через Rc, поэтому левую ветвь линии влияния MD для
пролета можно продолжить до конца левой консоли. Ор-
динаты левой ветви: при z=a MD=ab/l\ при z=—с{
MD——C[b/L По этим данным построится левая ветвь
линии влияния MD (рис. 32.5, в).
При перемещении силы F= 1 справа от сечения D
при a^.z^l-\-c2 уравнение правой ветви имеет вид:
MD = RBa = (l — г) а/1.
При переходе силы F=1 на правую консоль это
уравнение останется также справедливым, и поэтому
правую ветвь линии влияния MD для пролета продол-
жим до конца правой консоли.
Ординаты правой ветви: при z=a MD=(l—a)a/l =
= ab/l\ при z=l-\-c2 MD=[l—(l+c2)]a/l = —c2a/l. По
этим данным построена правая ветвь линии влияния MD
(рис. 32.5, в).
Линия влияния изгибающего момента для сечения,
находящегося в пролетной части, строится в следующей
последовательности. Вначале строится линия влияния
изгибающего момента для этого сечения без учета консо-
лей, т. е. как для однопролетной балки. Затем левую
ветвь продолжают до конца левой консоли, а правую
ветвь — до конца правой консоли.
Линия влияния, изгибающего момента в сечении К.
Так как сечение К принадлежит консоли, то правая
ветвь линии влияния Мк сольется с базовой прямой (рис.
24—480
369
32.5, г). При движении силы F=I левее сечения К (рис.
32.5, б) уравнение левой ветви имеет вид: = —
—Мк—F(f—z} =0, откуда Мк=—(f—z). Тогда при z~
= 0 Мк = — f', при z=f Мк = 0. Линия влияния показана
на рис. 32.5, г.
Характер линий влияния поперечных сил в однопро-
летной балке с консолями такаже зависит от местополо-
жения рассматриваемого сечения. На (рис. 32.5, ж—к)
показаны линии влияния поперечных сил в сечениях D,
КиЬ.
§ 32.5. Кинематический способ построения линий
влияния
Статический способ построения линий влияния не
всегда позволяет заранее представить форму и характер
линии влияния исследуемого внутреннего фактора или
опорной реакции, поэтому наряду со статическим при-
меняется кинематический способ построения линий вли-
яния, основанный на принципе возможных перемеще-
ний, согласно которому для системы, находящейся в
равновесии, сумма работ действующих на нее сил на
любых возможных бесконечно малых перемещениях
равна нулю.
В любой статически определимой геометрически не-
изменяемой системе степень свободы равна нулю, что
не допускает никаких перемещений ее элементов. По-
этому такую систему превращают в изменяемую (в ме-
ханизм с одной степенью свободы) путем удаления од-
ной связи, по направлению которой исследуется сила.
К полученному механизму с перемещающейся силой F—
= 1 прикладывается исследуемая сила и механизму сооб-
щается бесконечно малое возможное перемещение. На
основании принципа возможных перемещений составля-
ется условие равновесия механизма, и из решения полу-
ченного уравнения определяется неизвестная сила.
Рассмотрим построение линий влияния кинемати-
ческим способом опорных реакций, изгибающего момен-
та и поперечной силы в однопролетной балке.
Линия влияния опорной реакции Rc- Для определе-
ния опорной реакции Rc от перемещающейся силы F=l
в балке ВС (рис. 32.6, а) удаляется правый опорный
стержень, в котором возникает эта реакция. Влияние
370
Рис. 32.6 Рис. 32.7
Рис. 32.8
Рис. 32.9
отброшенного стержня на балку заменяется ракцией
Rc (рис.32.6,б). Полученный механизм с одной степенью
свободы допускает только вращение балки вокруг опор-
ного шарнира В. Сообщим балке по направлению Rc
бесконечно малое перемещение 6с. Соответственно орди-
нату перемещения силы F=1 обозначим через 6р (рис.
32.6, б). Ввиду малости перемещений их принимают пер-
пендикулярными к первоначальному положению балки
ВС. Поскольку механизм под действием приложенных
к нему сил F=1 и опорных реакций Rc и RB находится в
равновесии, на основании принципа возможных переме-
щений получим Rcbc—F6f=0, откуда Rc=£>f/Sc-
В полученном выражении перемещение 6с — величина
постоянная, так как ее значение было задано. Пере-
мещение 6f — величина переменная, зависящая от ме-
стоположения перемещающейся силы Г=1. Следова-
24*
371
тельно величина опорной реакции /?< зависит от переме-
щения 6F. Тогда при 6р = 0 /?с = 0, при 8F=8cRc = 1 (рис.
32.6, в). Так как 6F представляет собой ординату пере-
мещения силы F=l, то эпюра перемещений механизма
является моделью линии влияния опорной реакции Rc,
ординаты которой построены в масштабе заданного пе-
ремещения 8с-
Таким образом, для построения линии влияния кине-
матическим способом достаточно построить эпюру воз-
можных перемещений механизма после удаления из
заданной системы связи, соответствующей исследуемо-
му усилию. Масштаб линии влияния определяется из
условия равновесия механизма с использованием прин-
ципа возможных перемещений.
Линия влияния опорной реакции RB- Для определе-
ния опорной реакции RB в заданной балке ВС (рис.
32.7, а) удаляется левый опорный стержень, в котором
возникает эта реакция (рис. 32.7, б). Его влияние на
балку заменяется реакцией RB. Полученный механизм
допускает вращение балки вокруг шарнира С. Если со-
общить балке по направлению RB бесконечно малое пе-
ремещение бв, тогда условие равновесия механизма под
действием приложенной к нему силы F=1 и опорной
реакции RB будет иметь вид RB8B—F8f = 0, откуда RB =
8f/8b. При бг = 0 /?в=0; при 8F = 8B RB=1. Линия вли-
яния опорной реакции RB показана на рис. 32.7, в.
Линия влияния изгибающего момента в сечении D.
Для построения линии влияния изгибающего момента в
сечении D (рис. 32.8, а) в это сечение вводится шарнир,
т. е. из трех связей, соответствующих жесткому соеди-
нению балки, удаляется одна, препятствующая повороту
в этом сечении. Оставшиеся две связи эквивалентны ци-
линдрическому шарниру. Удаленная связь заменяется
противоположно направленными положительными мо-
ментами MD (рис. 32.8,6). Полученный механизм допус-
кает вращение диска BD вокруг опорного шарнира В и
вращение диска DC вокруг опоры С. Сообщим шарниру
вертикальное бесконечно малое перемещение 8d- Эпюра
возможных перемещений механизма показана на рис.
32.8, в. На основании принципа возможных перемеще-
ний записывается выражение суммы работ силы F=1
и моментов MD:
MDa + MDf>-F8F = 0,
372
откуда
MD = 6F/(a + p).
Так как углы поворота дисков BD и DC бесконечно
малы, то их значения заменим соответствующими тан-
генсами: а=6в/а, Р = бр/Ь и а+р = бв(а+&)/аЬ.
Подставив эти значения углов, получим
ablbD (а-\- b).
Тогда при бг=0 Л1в=0; при 6F = 6D MD=abll.
Линия влияния изгибающего момента показана на
рис. 32.8, г.
Линия влияния поперечной силы в сечении D. Для по-
строения линии влияния поперечной силы в сечении D
(рис. 32.9, а) из него удаляется одна из трех внутренних
связей, препятствующая сдвигу в этом сечении. Тогда ос-
тавшиеся две связи будут представлять собой два парал-
лельных горизонтальных стержня (рис. 32.9, б). Отбро-
шенная связь заменяется поперечными силами Qd- Полу-
ченному механизму сообщается возможное бесконечно
малое перемещение, например, угол поворота у диску
BD. Так как мгновенный центр вращения диска BD от-
носительно диска DC находится в бесконечности, то при
повороте диска BD вокруг шарнира В на угол у второй
диск DC также повернется на угол у вокруг опоры С, т. е.
диски будут параллельны друг другу (рис. 32.9, в).
На основании принципа возможных перемещений за-
пишем сумму работ силы F=1 и поперечных сил
откуда
Qd=Sf/№b+^)-
Так как и &$=уЬ, окончательно получим
Qz> = 6F/lY (« + *))•
При 6f=0 Qd=0. При расположении силы F=1 над
ординатой б£Р
QnJ = b/l.
При расположении силы F=1 над ординатой б£ев =
=-^ев
QpeB = —а//.
Линия влияния поперечной силы Qd показана на рис.
32.9, г.
373
§ 32.6. Линии влияния при узловой передаче
нагрузки
В ряде случаев подвижная нагрузка действует не не-
посредственно на основные несущие элементы сооруже-
ния, а передается на них через промежуточные специаль-
ные устройства. Например, в мостах нагрузка от тран-
спорта, воспринимаемая проезжей частью, передается
через поперечные балки на основную несущию конструк-
цию (продольные балки, фермы, арки и т. п.) в виде дав-
лений в местах опирания поперечных балок. Места опи-
рания поперечных балок называются узлами. Пе-
редающееся в узлах давление принимают в виде
сосредоточенных сил. Расстояние между узлами называ-
ется панелью. Такой вид передачи нагрузки на несущую
конструкцию называется узловым.
При узловой передаче нагрузки линии влияния вну-
тренних усилий и реакций несколько изменяют свой вид.
В качестве примера рассмотрим построение линий влия-
ния реакций RB и Rc в однопролетной балке (рис. 32.10,
с). Вначале строится линия влияния опорной реакции Rc.
При перемещении силы F=1 (например, в пределах вто-
рой панели) на несущую балку ВС будут передаваться
давления в узлах 1 и 2 в виде сил F\ и F2i сумма которых
^1+^2 = ^= 1. Поскольку момент параллельных сил от-
носительно произвольной точки равен моменту равнодей-
ствующей относительно этой же точки, то при записи
уравнения SA4B = 0 вместо составляющих F\ и F2 берется
их равнодействующая F=l.
Закон изменения опорной реакции Rc запишется так:
Rc=z/l, т. е. получается то же уравнение, что и при не-
посредственной передаче нагрузки на балку ВС. Так как
узлы передачи нагрузки совпадают с опорными стержня-
ми В и С несущей балки, то ординаты линии влияния:
при 2=0 Rc=0't при z = l Rc=l. Следовательно, линия
влияния опорной реакции Rc при узловой передаче на-
грузки будет такой же, как и при перемещении силы F =
= 1 непосредственно по несущей балке ВС. Данное ут-
верждение справедливо и для опорной реакции RB. Линии
влияния опорных реакций Rc и RB показаны на рис.
32.10, б, в.
Следует заметить, что и линии влияния внутренних
силовых факторов, построенные для сечений, совпадаю-
щих с узлами передачи нагрузок, будут такими же, как
374
Рис. 32.10
Рис. 32.11
при непосредственном перемещении F=1 по несущей кон-
струкции.
Некоторые отличия появятся в линиях влияния для
сечений, не совпадающих с узлами передачи нагрузки.
Рассмотрим этот вопрос более подробно при построении
линии влияния изгибающего момента в сечении D. Пусть
сечение D находится в третьей панели и расположено на
расстоянии а от опоры В и на расстоянии b от опоры С
(рис. 32.11, а). Для определения MD проводится сквозной
разрез через сечение D, который перережет и настил.
В данном случае перемещение силы F=1 от опоры В
до опоры С будет делиться на три участка: левее левого
узла перерезанной панели (от опоры В до узла 2), правее
правого узла перерезанной панели (от узла 3 до опоры
С) и в пределах перерезанной панели (между узлами 2
и 5).
Рассмотрим перемещение силы F=1 левее левого уз-
ла перерезанной панели. Для определения MD после раз-
реза балки отбросим левую часть и оставим правую. Из
условия равновесия правой части получим уравнение для
левой ветви линии влияния MD:
г
MD = Rcb= —b (0 < z < 2d).
При z = 0 Л1о=0; при z=2d, MD=2db/l. Левая ветвь
показана на рис. 32.11, б.
Рассмотрим перемещение силы F=l правее правого
узла перерезанной панели. Из условия равновесия левой
375
части получим уравнение для правой ветви линии влия-
ния MD:
(l — z)
MD = ’— а (3d < г < /).
При z=3d MD= (/—3d)a/l при z = l MD = 0. Правая
ветвь показана на рис. 32.11, б.
Из полученных уравнений линии влияния MD для ле-
вой и правой ветвей видно, что при узловой передаче на-
грузки при перемещении F=1 вне пределов перерезанной
панели их законы совпадают с законами MD при непо-
средственном перемещении F—1 по несущей балке.
Теперь рассмотрим перемещение силы F=1 в преде-
лах перерезанной панели. Поместим начало координат в
узел 2 (рис. 32.11, а). Пусть сила F=1 находится на
расстоянии 21 от узла 2. При ее перемещении между уз-
лами 2 и 3 в них передаются опорные давления F2 и F3,
которые изменяются по закону опорных реакций однопро-
летной балки: F2=(d—Zi)Id и Fs=Z\!d.
На основании принципа независимости действия сил
по неполной линии влияния MD можно определить его ве-
личину и закон изменения при перемещении силы F=1
между узлами 2 и 5:
2db
' ----- -г- F
2 1 Г Г3
I — 3d
——а
или
I — 3d
-------а.
I
Найдем ординаты линии влияния MD при Zi = 0 MD —
= 2dbll и при Zi = d, MD= (l—3d)a/l.
Следовательно, линия влияния изгибающего момента
в сечении D при перемещении силы F=1 в пределах пе-
ререзанной панели представляет собой прямую, соеди-
няющую вершины ординат, которые равны соответствую-
щим ординатам линии влияния при непосредственном пе-
ремещении силы F=\ по несущей балке. Полученная
прямая называется передаточной прямой. Таким образом,
при узловой передаче нагрузки линия влияния MD состо-
ит из трех частей: левой ветви, правой ветви и переда-
точной прямой (рис. 32.11, б).
Аналогичный вид имеет и линия влияния поперечной
силы Q (рис. 32.11, в). На основании проведенного иссле-
376 '
дования построение линии влияния реакции или внутрен-
него силового фактора при узловой передаче нагрузки
производится в такой последовательности. Вначале стро-
ится линия влияния реакции или внутреннего силового
фактора без учета узловой передачи нагрузки в предполо-
жении перемещения F=1 непосредственно по несущей
конструкции. Затем на построенную линию влияния сно-
сятся крайние узлы перерезанной панели; левый узел на
левую ветвь и правый узел на правую ветвь. Полученные
вершины ординат соединяются передаточной прямой.
§ 32.7. Линии влияния продольных сил в стержнях
фермы
В строительных фермах давления от подвижных на-
грузок через поперечные балки пролетного строения пе-
редаются строго в узлы фермы. Проезжая часть устраи-
вается по верхнему или по нижнему поясу. В некоторых
случаях движение транспорта происходит одновременно
по обоим поясам фермы.
Линии влияния продольных сил в стержнях фермы от
перемещающейся силы F=1 строят статическим спосо-
бом с учетом узловой передачи нагрузки.
Для записи закона изменения рассматриваемой си-
лы пользуются известными аналитическими способами
расчета ферм: вырезания узлов; моментных точек; про-
екций и другими. Обычно выбирается тот способ, кото-
рый приводит к более простому решению задачи.
Рассмотрим построение линий влияния опорных ре-
акций и продольных сил W12, #15 и #25 в стержнях фер-
мы при перемещении силы F=1 по верхнему поясу
(рис. 32.12, а).
Линия влияния опорных реакций Rc и RB. Данная
ферма — балочная. Так как крайние узлы передачи на-
грузки от проезжей части совпадают с опорными стерж-
нями фермы, то линии влияния опорных реакций будут
такими же, как в однопролетной балке (рис. 32.12,б,в).
Линия влияния силы #12. Для определения закона
изменения силы #i2 ферма разрезается сквозным сече-
нием 1—1 во второй панели на две части (рис. 32.12, а).
После данного разреза пределы перемещения силы
Г=1 будут ограничены тремя участками: левее левого
узла перерезанной панели (от опоры В до узла /), пра-
вее правого узла перерезанной панели (от узла 2 до
377
Рис. 32.12
левой ветви линии влияния
опоры С) и в пределах пе-
ререзанной панели (между
узлами 1 и 2).
1. Рассмотрим перемеще-
ние силы F=1 левее левого
узла перерезанной панели.
Отбросим левую часть фер-
мы. Рассмотрим равновесие
правой части. Все внутрен-
ние продольные силы в пе-
ререзанных стержнях при-
нимаются положительны-
ми— направленными от се-
чения. Для определения си-
лы Л^12 воспользуемся спосо-
бом моментных точек. В ка-
честве моментной точки
примем узел 5. Из условия
равновесия правой части
фермы находим уравнение
W12. SM?paB =—/?c3d—iVi2/i =
= 0, откуда N\2=— Rc(3d/h).
Из полученного уравнения видно, что левая ветвь ли-
нии влияния W12 изменяется по закону опорной реакции
/?С, но ее ординаты должны быть умножены на отрица-
тельное число (—Sdlh). Левая ветвь линии влияния Wt2
справедлива от опоры В до узла 1 (рис. 32.12, г).
2. Рассмотрим перемещение силы F=1 правее пра-
вого узла перерезанной панели. Отбросим правую часть
фермы. Из условия равновесия левой части находим
уравнение правой ветви линии влияния N12 : SAf?60 =
= RB2d+Nl2h = 0, откуда N{2 = —Ri£dlh. Правая ветвь
линии влияния А^(2 изменяется по закону опорной реак-
ции /?в, но ее ординаты должны быть умножены на от-
рицательное число (—2d//i). Правая ветвь линии влия-
ния N[2 справедлива от узла 2 до опоры С (рис. 32.
12, г).
Теперь пусть сила F=1 перемещается в пределах пе-
ререзанной панели. Так как в ферме осуществляется
узловая передача нагрузки, то при перемещении F=1
между узлами / и 2 линия влияния У12 описывается пе-
редаточной прямой. Передаточная прямая соединяет ор-
динату левой ветви под узлом 1 с ординатой правой
378
ветви под узлом 2 (рис. 32.12, г). В данном случае пере-
даточная прямая сливается с продолжением левой вет-
ви. Левая и правая ветви линии влияния продольной
силы в стержнях фермы всегда пересекаются под мо-
ментной точкой.
Линия влияния силы /Vis. Для определения закона
изменения силы Af15 ферма разрезается во второй панели
сквозным сечением 1—1 на две части (рис. 32.12, а).
Движение силы разбивается на три участка F=l; от
опоры В до узла /, от узла 2 до опоры С и между узла-
ми 1 и 2.
Рассмотрим перемещение силы F=1 левее левого
узла перерезанной панели. При таком перемещении си-
лы F=\ отбросим левую часть и оставим правую. Для
определения сил A^is воспользуемся способом проекций,
так как в этой панели стержни верхнего и нижнего поя-
сов параллельны. Из условия равновесия правой части
находим уравнение левой ветви линии влияния У15:
2Управ=/^с_|_^1581П а=о, откуда Nib=—Rc/sin а.
Левая ветвь линии влияния Afi5 изменяется по зако-
ну опорной реакции Rc, но ее ординаты должны быть
умножены на отрицательное число (—1/sina). Левая
ветвь A^ig справедлива от опоры В до узла / (рис.
32.12, д).
Когда сила F=1 перемещается правее правого узла
перерезанной панели, то отбрасывается правая часть и
остается левая. Из условия равновесия левой части фер-
мы находится уравнение правой ветви линии влияния
/V15. 2Улев=/?в—A^issin а = 0, откуда Wi5=/?B/sin a.
Правая ветвь линии влияния A^s изменяется по за-
кону опорной реакции RB, но ее ординаты должны быть
умножены на постоянное число 1 /sin а. Правая ветвь
Л/15 справедлива от узла 2 до опоры С (рис. 32.12, д).
3. При перемещении силы F=l в пределах перере-
занной панели линия влияния Л\5 изменяется по закону
прямой. Для построения передаточной прямой соединяем
вершину ординаты левой ветви под узлом 1 и с верши-
ной ординаты правой ветви под узлом 2. Полная линия
влияния продольной силы Л^15 показана на рис. 32.12,(5.
Линия влияния силы A^s- Для определения Л^5 поль-
зуются способом вырезания узлов. Стержень 2—5 при-
мыкает к узлам 2 и 5. Рациональнее вырезать узел 2,
так как в этом узле сходится меньшее число стержней,
а именно три.
379
Вырезаем узел 2 замкнутым сечением. При этом раз-
резается и проезжая часть во второй и третьей панелях
(рис. 32.12, е). Перемещающаяся сила F=l может за-
нимать по отношению к узлу 2 только два положения:
отсутствовать или находиться в этом узле.
В первом случае силы F=1 нет в узле 2. Из условия
равновесия SF—О вырезанного узла находим Л/25=0.
Во втором случае сила F=l находится в узле 2 (см.
рис. 32.12, е). Из условия равновесия вырезанного узла
находим N23. 2У =—F—N25=0, откуда М25 =—F=—1.
На линии влияния N23 откладываем ординату, рав-
ную—1 под узлом 2. Так как при вырезании узла 2 были
разрезаны две панели, проводим две передаточные пря-
мые (рис. 32.12, ж).
§ 32.8. Определение сил по линиям влияния
По построенной линии влияния можно вычислить ве-
личину исследуемого усилия как от сосредоточенных
сил, так и от распределенных нагрузок, совпадающих с
направлением силы F=l. Нагрузка, направленная свер-
ху вниз, считается положительной, а снизу вверх — от-
рицательной. При действии на сооружение одной сосре-
доточенной силы FK в сечении К (рис. 32.13, а) величи-
на MD по линии влияния MD равна произведению силы
FK на ординату ук (рис. 32.13,6) линии влияния Md,
расположенную под сечением /(, т. е. Мп=РкУк-
При действии нескольких сил Fi, F2t F3 (рис. 32.14,
с) величина момента MD равна алгебраической сумме
произведений каждой силы F\, F2 и F3 на соответствую-
щую ординату линии влияния Мо (рис. 32.14, б): Л4д=
= Fiyi+F2y2—F3y3= 2 F{yi.
1=1
Действующую на сооружение равномерно распреде-
ленную нагрузку интенсивностью q можно представить
в виде бесконечного числа элементарных сосредоточен-
ных сил qdz (рис. 32.15, а). Изгибающий момент в се-
чении D равен интегральной сумме произведений эле-
ментарных сил qdz на соответствующие ординаты линии
влияния Md (рис. 32.15, б):
d d
MD = f qdzy = <? [ ydz = сол„ q,
'f f
где (Ол.в — площадь линии влияния Md под участком действия рав-
номерно распределенной нагрузки интенсивностью q.
380
Рис. 32.14
Рис. 32.15
При действии на сооружение системы сосредоточен-
ных сил и равномерно распределенных нагрузок на не-
скольких участках момент в сечении D
п т
MD = 2^ + 2 ЧУj>
£=1 /=1
где со/ — площади линии влияния Md, которые находятся под рас-
пределительными нагрузками.
Аналогично определяются величины других силовых
факторов и опорных реакций по построенным линиям
влияния.
§ 32.9. Нахождение расчетного (невыгоднейшего)
положения подвижной нагрузки на сооружение
Как указывалось выше, основной задачей расчета на
подвижные нагрузки является определение в элементах
сооружения наибольших сил, напряжений и деформа-
ций. После построения линий влияния данная задача
сводится к нахождению такого положения на линии вли-
яния подвижной нагрузки, при котором величина рас-
сматриваемой силы (реакции) достигает максимального
значения. Это положение подвижной нагрузки называ-
ется расчетным или невыгоднейшим загружением пост-
роенной линии влияния.
381
Рис. 32.16
Рис. 32.17
Очевидно, что при движении по сооружению только
одной сосредоточенной силы F максимальное значение
исследуемого фактора будет при совмещении этой силы
с наибольшей ординатой //max построенной линии влия-
ния, т. е. Sm3LX = Fymax. При движении системы парал-
лельных сосредоточенных сил, находящихся на задан-
ном расстоянии друг от друга (перемещения транспорт-
ного средства), задача по определению расчетного
положения значительно усложняется. В настоящее вре-
мя не получено общего аналитического выражения, и по-
ставленная задача решается способом последовательных
приближений.
Рассмотрим наиболее простую задачу по определе-
нию невыгоднейшего загружения линии влияния тре-
угольного очертания одного знака, например, линии вли-
яния изгибающего момента М в однопролетной балке
(рис. 32.16, б). Пусть по балке перемещается система
сосредоточенных сил, связанных между собой заданны-
ми расстояниями (рис. 32.16, а). Согласно общему свой-
ству линий влияния, невыгоднейшее положение системы
связанных сосредоточенных сил соответствует тому мо-
менту, когда одна из сил находится над вершиной тре-
угольной линии влияния. Та сила, при расположении
которой над вершиной линии влияния рассматриваемого
фактора достигает максимального значения, называется
критической и обозначается FKp. При этом положении
системы сил должны выполняться одновременно следу-
ющие два неравенства:
382
(Е/'лев + /‘кр)/0 > 2Fnp/b, |
^^лев/а (FKp 4" 2^цр)/Ь, J
где SFjieu — сумма всех сил, расположенных левее критической си-
лы; SFnp — сумма всех сил, расположенных правее критической си-
лы; а — проекция левой ветви линии влияния на базисную прямую;
b — проекция правой ветви линии влияния на базисную прямую.
Эти два неравенства служат тем условием, из кото-
рого определяется критическая сила. Поскольку зара-
нее неизвестно, какая из сил критическая, то ее находят
способом последовательных попыток. Вначале в качест-
ве критической принимают какую-то силу и решают эти
неравенства. Если неравенства не удовлетворяются, то
принимают другую силу в качестве критической и т. д.
Этот процесс продолжают до тех пор, пока не будет оп-
ределена критическая сила.
В процессе поиска критической силы все рассматри-
ваемые сосредоточенные силы должны располагаться в
пределах заданной линии влияния. Если хотя бы одна из
сил окажется за ее пределами, то следует вновь нахо-
дить критическую силу, но из тех сил, которые размеща-
ются на заданной линии влияния.
Пусть в нашем случае критической будет сила F3 =
= /7кр (рис. 32.16, а). Тогда максимальное значение из-
гибающего момента в сечении D
max + ^кр^тах + ^4^4 + ^5^5*
Пример. Вычислить максимальное значение изгибающего момен-
та в сечении D при движении по балке системы четыре связанных
между собой сосредоточенных сил (рис. 32.17, а). Линия влияния
изгибающего момента Мд показана на рис. 32.17,6.
Решение. Примем в качестве критической силу /7з=/7кр=10 кН.
В этом случае SFneB=Fi + F2=60 кН; Snp = F4=10 кН.
Эти данные подставим в два неравенства:
(60 + 10)/5 > 10/4 или 14 >2,5,
60/5 <(10+ 10)/4 или 12 >5.
Второе неравенство не удовлетворяется, следовательно, приня-
тая сила F3 не является критической.
Примем в качестве критической силу /?2=Л<р=30 кН.
2ТЛев = = 30 кН; SFnp = F3 + = 20 кН.
Эти данные подставим в неравенства:
(30+ 30)/5 > 20/4 или 12 >5,
30/6< (30+ 20)/4 или 6< 12,5.
Оба неравенства удовлетворяются. Сила /72=Л<р<
383
Для вычисления MD помещают силу FkP над вершиной линии
влияния MD. Из подобия треугольников находим ординаты y[t у3
и у4 под соответствующими силами (рис. 32.17, в):
^Dmax = ^1^1 + ^кр^тах + ^3^3 + ^4^4 “'
= 30-1,76 + 30-2,22+ 10-1,11 + 10-0,55 = 136 кН-м.
Определение наибольших значений сил при невыгоднейшем рас-
положении на заданной линии влияния системы сосредоточенных
сил требует довольно больших вычислений. Поэтому при практи-
ческих расчетах обычно пользуются эквивалентной нагрузкой. Экви-
валентная нагрузка представляет собой равномерно распределенную
нагрузку ^экп по всей длине линии влияния и вызывающую ту же
силу, что и соответствующая система сосредоточенных сил при не-
выгоднейшем загружении. Величина эквивалентной нагрузки зави-
сит от вида очертания линии влияния, взаимного расположения и
значения сосредоточенных сил.
Для нагрузок от автомобильного и железнодорожно-
го транспорта составлены специальные таблицы значе-
ний эквивалентных нагрузок. Беря из этих таблиц со-
ответствующее значение эквивалентной нагрузки, мак-
симальную величину силовых факторов определяют по
формуле
•Smax = ^л.в^экв»
где сол.в — площадь заданной линии влияния.
ГЛАВА 33. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ УПРУГИХ
СИСТЕМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ 33.1. Общие сведения
Под влиянием различных воздействий в сооружении
возникают не только внутренние силовые факторы, но
его элементы деформируются, т. е. изменяют свои фор-
му и положение. Изучение деформированного состояния
сооружения необходимо как для оценки о его жест-
кости, так и для расчета статически неопределимых си-
стем.
Рассматриваемые системы являются линейно-дефор-
мируемыми системами, т. е. такими системами, которые
полностью восстанавливают свои первоначальные форму
и размеры после снятия внешнего воздействия. Для та-
кой системы зависимость между перемещениями и на-
грузкой выражается линейным соотношением. Переме-
щения считаются малыми по сравнению с размерами
сооружения. При определении перемещений в таких си-
384
стемах можно пользоваться принципом независимости
действия сил. Перемещения линейные и угловые обоз-
начаются буквой А с двумя подстрочными цифровыми
или буквенными индексами, например: Aff, Aff, Ли,
Д12 и т. д. Первый индекс указывает направление пере-
мещения, а второй — причину, вызвавшую данное пе-
ремещение. Например, перемещение Aff читается так:
перемещение по К-тому направлению, вызванное силой
F. Ап — перемещение по первому направлению, вызван-
ное первой силой F\. Перемещение от сил, равных еди-
нице, обозначается буквой б. Например, бц — переме-
щение по первому направлению, вызванное силой Ft =
= 1, равной единице.
Полное перемещение записывают так: Ah = 6hFi.
Перемещение по направлению силы FK от действия на си-
стему группы сил Fb F2, ...» Fn определяется как алге-
браическая сумма перемещений от каждой силы Fb
F2, Fn:
Общий метод определения перемещений линейно-де-
формируемой системы основан на энергетических прин-
ципах, поэтому перед его изложением остановимся на
изучении энергетических свойств упругих систем.
§ 33.2. Работа внешних сил
Действительная работа внешних сил (теорема Кла-
пейрона). Действительной работой внешних сил назы-
вается работа силы, совершаемая на перемещениях,
вызванных этой же силой. Рассмотрим статическое на-
гружение однопролетной балки силой F{ и определим
работу, совершаемую этой силой на собственных пере-
мещениях (рис. 33.1, а).
При статическом приложении силы Fb т. е. при по-
степенном, плавном возрастании силы от нуля до ее ко-
нечного значения, также постепенно возрастает и пере-
мещение Ап. Зависимость для линейно-деформируемой
системы между перемещением точки приложения силы
в направлении ее действия и значением силы выражает-
ся линейным графиком (рис. 33.1, б). Работа силы F{
на перемещении равна площади треугольника ОВВ{:
И7и=(1/2) ОВгВВ{ или ^^FiAn/2.
25—480
385
Рис. 33.1
Рис. 33.2
Таким образом, при статическом действии силы на
линейно-деформируемую систему действительная работа
внешней силы равна половине произведения оконча-
тельного значения этой силы на окончательное значение
перемещения, вызванного этой силой.
Работа внешнего сосредоточенного момента Л1ь при-
ложенного статически на вызванном им в линейно-де-
формируемой системе угле поворота фц равна №ц =
М1фц/2.
В общем случае действия сил на систему работа, со-
вершаемая этими силами, равна алгебраической полу-
сумме произведений каждой из сил на соответствующее
ей перемещение, вызванное действием всей группы сил.
Возможная работа внешних сил. Под возможной ра-
ботой внешних сил понимают работу сил на перемеще-
ниях по их направлению, но вызванных другими сила-
ми. При этом силы, совершающие возможную работу,
должны предварительно достичь своего окончательного
значения.
Рассмотрим однопролетную балку, которая предва-
рительно была нагружена силой Fi (рис. 33.2, а). При-
ложим к этой балке статически другую силу F%. От дей-
ствия силы F2 точка приложения силы F\ переместится
на величину Д12. Зависимость между силой F\ = const и
перемещением Д|2 по направлению ее действия выража-
ется графиком, показанным на рис. 33.2, б. Возможная
работа силы Fx на перемещениях, вызванных силой F2,
равна площади прямоугольника ODBB{ (рис. 33.2, б)
W\2 = 0D 0Bv или U7i2 = /?iAi2- В выражение возможной
работы не входит множитель 0,5.
§ 33.3. Работа внутренних сил
В процессе нагружения упругой системы внешние си-
лы совершают положительную работу, так как главный
вектор нагрузки и главный вектор перемещений всегда
386
Рис. 33.3
совпадают. При возрастании деформаций возникающие
в упругой системе внутренние силовые факторы Л4, Q и
N, препятствуя их развитию, совершают отрицательную
работу. При разгрузке системы внешние силы соверша-
ют отрицательную работу, а внутренние силы, возвра-
щая систему к первоначальному недеформированному
состоянию, совершают положительную работу за счет
накопившейся в системе потенциальной энергии. Счита-
ется, что при деформировании системы не происходит
потерь энергии на образование и выделение тепла, на
изменение электромагнитных и химических свойств ма-
териала, а работа внешних сил полностью накапливается
в упругой системе. Следовательно, согласно закону со-
хранения энергии работа внешних сил равна работе
внутренних сил с противоположным знаком и равна по-
тенциальной энергии деформации системы W =— V=
= ЭП.
Действительная работа внутренних сил. Для опреде-
ления работы внутренних сил рассмотрим произвольную
систему, нагруженную внешней нагрузкой (рис. 33.3, а).
Выделим из системы двумя сечениями элемент длиной
ds. Влияние отброшенных частей заменим внутренними
усилиями М, Q и N (рис. 33.3, б). Поскольку по отноше-
нию к выделенному элементу ds силовые факторы явля-
ются внешними воздействиями, то для определения ра-
боты, совершаемой этими силами, воспользуемся теоре-
мой Клапейрона.
Так как М в элементе ds вызывает только поворот
крайних сечений без их сдвига и удлинения осевой линии,
N вызывает только удлинение элемента ds без сдвига и
поворота крайних сечений и Q вызывает только сдвиг без
поворота крайних сечений и удлинения осевой линии,
25*
387
то элементарную работу от этих сил определим отдельно
от каждой силы, а затем результаты сложим.
Работа изгибающих моментов. Под действием изги-
бающих моментов элемент ds изогнется, и его крайние се-
чения повернутся на угол d<p (рис. 33.3, в). Так как в про-
цессе нагружения системы внутренние изгибающие
моменты возрастали постепенно (статически), то элемен-
тарная работа, совершаемая этими моментами dVM—
=— Mdq/2.
Угол поворота dq> можно выразить через длину эле-
мента ds, М и EJ, т. е. d^ — NldsfEJ. Подставив это вы-
ражение, получим элементарную работу изгибающего мо-
мента dVM=—M2ds/2EJ.
Работа продольных сил. Под действием продольных
сил длина элемента ds изменится на Ads (рис. 33.3, г).
Элементарная работа продольных сил dV№—WAds/2.
Удлинение Ads определяется по формуле закона Гука
&ds = Nds/EA.
Элементарная работа продольных сил примет вид
dVN=—N2ds/2EA.
Работа поперечных сил. Под действием поперечных
сил крайние сечения элемента ds сдвинутся на Аг/ (рис.
33.3, д).
Элементарная работа поперечных сил dVq=—Q&y/2.
Сдвиг двух сечений определяется по формуле Аг/=
= (Qds/GX)p.
Элементарная работа поперечных сил
dVQ = — (Q2ds/2GA) р,
где р — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность
распределения касательных напряжений по поперечному сечению и
зависящий от формы сечения.
Полная элементарная работа для элемента ds равна
сумме элементарных работ от сил М, N и Q:
/ M-ds
dVQ = dVMdVN + dVQ = ^^—
N2ds
2ЕА
Q2ds
2GA
Интегрируя элементарную работу по длине каждого
стержня и произведя суммирование по всем стержням,
получим действительную работу внутренних сил для всей
системы:
Г M2ds yi С N2ds
2^ J ^EJ + jZj J 2ЕА
Q2ds I
2GA M’
Потенциальная энергия деформации системы. Потен*
388
Состояние /
6)
Рис. 33.4
Рис. 33.6 ->
циальная энергия деформации системы равна действи-
тельной работе внутренних сил с противоположным зна-
ком:
Из этого выражения видно, что потенциальная энергия
деформации всегда положительна и не подчиняется прин-
ципу независимости действия сил, т. е. потенциальная
энергия, вызванная группой сил, не равна сумме потенци-
альных значений, вызванных каждой силой отдельно. Так
как действительная работа внешних сил равна потенци-
альной энергии деформации системы, то можно записать
следующее выражение:
где Mi, W| и Qi — внутренние силовые факторы в системе, вызванные
нагрузкой Гь
Возможная работа внутренних сил. Для вычисления
возможной работы внутренних сил вначале загрузим уп-
ругую систему силой F\ (состояние 1) (рис. 33.4, а). От
действия силы в системе возникнут внутренние силовые
389
факторы, которые обозначим через М{, и Qi. Выделим
из системы элемент длиной ds с приложенными к нему
этими силами (рис. 33.4, б). Затем к нагруженной систе-
ме приложим вторую силу F2 (состояние 2) (рис. 33.5, а).
В упругой системе возникнут дополнительные внутренние
силы М2, N2 и Q2, которые вызовут дополнительные де-
формации /рис. 33.5, б). Обозначим дополнительные де-
формации элемента ds, вызванные силами М2, N2 и Q2,
соответственно через йфг, bds2 и &у2 (рис. 33.6, а—в).
На этих дополнительных деформациях силы Mi, Nt и
Qi совершат возможную элементарную работу, равную:
dV \2=— (Midtf2~l-N i&ds2-^-Qi&y2).
Возможная работа записана со знаком минус, так как
внутренние силы Af1( и Qi препятствуют развитию до-
полнительных деформаций dq>2, &ds2 и &у2.
Дополнительные деформации, вызванные силами М2,
N2 и Q2, соответственно равны:
M2ds N2ds Q2ds
^ч>2 — _, ; &ds2 = : Дуг — r. ₽•
EJ EA GA
Подставив эти значения в выражение элементарной
возможной работы, получим
( MtM2ds l^N^ds QtQ2ds \
dV12 = -+ + Ре-
интегрируя возможную элементарную работу по дли-
не каждого стержня и производя суммирование по всем
стержням, получим возможную работу внутренних сил
для всей системы:
С MiM2ds , V’ f ^2* , \?о
2Л ~s~~ + 2jJ —~«d
§ 33.4. Теоремы взаимности
Теорема о взаимности работ (теорема Бетти). Рас-
смотрим два случая последовательного загружения одно*
пролетной балки силами Fx и F2. Приложим сначала к
балке статически возрастающую силу Fx (состояние 1)
(рис. 33.7, а). Под действием этой силы балка прогнется,
и точка ее приложения переместится на Дп. Сила Fx на
своем перемещении Дц совершит действительную работу
^и=^Ди/2.
Затем к изогнутой балке приложим статически вторую
силу F2. Под действием силы Fz точка ее приложения пе-
390
Состояние 2
Рис. 33.7
Рис. 33.8
реместится на Д22, и сила F2 совершит действительную ра-
боту и^22== ^2^22/2.
В то же время сила F\t достигшая своего окончател! -
ного значения, совершит возможную работу на переме-
щении Д12, вызванном силой F2, ^12=^iAi2.
Полная работа сил Fi и F2 состояния 1 равна сумме
работ, совершенных этими силами:
U71 + ir22 + U712 = F^n/2 + F2^/2 + FA2.
Теперь рассмотрим другой порядок нагружения той же
балки и теми же силами и F2 (состояние 2) (рис.
33.7, б). Вначале приложим статически силу F2. Под дей-
ствием этой силы ее точка приложения переместится
на Д22.
Сила F2 совершит действительную работу W22 =
= F2&22/2. Затем к изогнутой балке приложим статически
первую силу Fb Под действием силы Fi ее точка прило-
жения переместится на величину Дп, и сила F{ совершит
действительную работу W7n=FiAn/2.
Но теперь сила F2 оставаясь постоянной, совершит
возможную работу на перемещении Д21, вызванном силой
Fi W2i = F2&2[.
Полная работа при втором порядке загружения в со-
стоянии 2
W2 = W22 + Fu + = F^/2 + F1A11/2 + F2A2P
Полная работа внешних сил не зависит от порядка на-
гружения упругой системы, а определяется только исход-
ным и конечным состоянием. В данном случае исходное и
конечное состояние одинаковы, так как одна и та же уп-
391
ругая балка загружалась теми же силами F\ и F2, следо-
вательно, полные работы состояния 1 и состояния 2 рав-
ны друг другу:
№1! + №22 + №12 = W22 + №п + №21, откуда
№12 = №21.
Полученное равенство выражает теорему о взаимности
работ: возможная работа сил первого состояния на пе-
ремещениях, вызванных силами второго состояния, равна
возможной работе сил второго состояния на перемещени-
ях, вызванных силами первого состояния. Теорема о вза-
имности работ справедлива и для возможных работ внут-
ренних сил.
Теорема о взаимности перемещений (теорема Макс-
велла). Рассмотрим два состояния упругой системы, на-
пример, балки, от нагружения силами /4 и F2, равными
единице.
В первом состоянии загрузим балку только силой
Fl = l (рис. 33.8, а), а во втором состоянии загрузим
только силой /?2=1 (рис. 33.8, б). От раздельного дейст-
вия этих сил возникнут соответствующие перемещения
612 И 62b
Применяя теорему о взаимности работ Wi2=W2if
можно записать 612F2 = 62i/7i.
Так как F{=F2=1, то получим 612=621.
Это уравнение выражает теорему о взаимности пере-
мещений. Перемещение точки приложения первой единич-
ной силы по ее направлению, вызванное действием вто-
рой единичной силы, равно перемещению точки приложе-
ния второй силы по ее направлению, вызванному
действием первой единичной силы.
§ 33.5. Зависимость между возможной работой
внешних и внутренних сил
Приложим к упругой системе статически силу F{ и оп-
ределим от ее воздействия внутренние силы, которые обо-
значим через Л4Ь Afi и Qb Затем к нагруженной системе
статически приложим вторую силу F2. Внутренние силы,
возникшие в системе от силы F2, обозначим через М2, №2
и Q2. На основании принципа независимости действия сил
внутренние силовые факторы в любом сечении системы
равны алгебраической сумме от сил F{ и F2, т. е. М —
=Я+Л12, #=У,+ЛГ2 и Q = Q1+Q2.
392
Потенциальная энергия деформации от совместного
действия сил и F2 примет вид:
. VIС (Mi+m2)% . VI CWi+Wds . V п С (Qi+Q2)2^
Эп =2j 2EJ +2j J' 2ЕА " +2j Р J 20Д -
Полная работа внешних сил F\ и F2 от совместного их
действия
IF = U711 + W22 + IF12 = F^n/2 + F2A22/2 + FXA12.
Так как №=ЭП и, учитывая равенства
Возможная работа внутренних сил 1Л2 определяется
по формуле
следовательно, JFi2=—V12.
Возможная работа внешних сил равна возможной ра-
боте внутренних сил, взятых с противоположным знаком.
§ 33.6. Общая формула перемещений
(формула Максвелла-Мора)
По формуле Максвелла—Мора можно определять пе-
ремещение только в каком-нибудь одном заданном сече-
нии и по одному направлению. При этом заранее задают
вид перемещения (угловое, линейное и т. п.), направле-
ние и сечение, в котором необходимо его вычислить.
393
«С
Фиктивное
состояние
Рис. 33.9 Рис. 33.10
Действительное
состояние
Я\ /* Действительное
J < состояние
тц—
Д) IFb~1 Фиктивное
D у состояние -
I -----------
Рассмотрим упругую систему, нагруженную произ-
вольной нагрузкой, которую для простоты представим в
виде силы F. Необходимо определить вертикальное пере-
мещение сечения К (рис. 33.9, а). Загружение заданной
системы силой F назовем действительным (реальным)
состоянием. Под действием силы F система деформиру-
ется, и сечение К переместится вниз на ДКр. Возникающие
в заданной системе внутренние усилия от действия силы
F обозначим через MFt NF и QF.
Для определения перемещения ДК£ воспользуемся
теоремой о возможности работ. Но для этого необходимо
два загружения заданной системы. Поскольку заданная
система нагружена только одной нагрузкой, то второе за-
гружение подбирается в зависимости от определяемого
перемещения. Второе загружение называется фиктивным
состоянием. Правила подбора загружения в фиктивном
состоянии приводятся ниже. В данном случае в фиктив-
ном состоянии приложим в сечении К единичную (безраз-
мерную) сосредоточенную силу FK = 1 по направлению
определяемого перемещения Дкг (рис. 33.9, б). Под дей-
ствием силы Fk=1 заданная система (без нагрузки) изо-
гнется, и сечение по направлению заданной силы F пере-
местится на величину Д2К (рис. 33.9,6). Возникшие в
заданной системе внутренние силы от действия единичной
силы FK=1 обозначим через Мк, NK и QK.
Для двух состояний, действительного и фиктивного,
запишем выражение возможной работы WKF=WFK или
F k&kf = F
394
Возможную работу ГД1К выразим через внутренние
силы
учитывая, что Fk = ], получим
Полученное выражение называется формулой или ин-
тегралом Масквелла—Мора, по которой можно опреде-
лить перемещение в любой линейно-деформируемой си-
стеме от сосредоточенных сил, распределенных нагрузок
и сосредоточенных моментов.
Единичную обобщенную силу в фиктивном состоянии
принимают в зависимости от вида перемещения заданной
системы:
а) при определении линейного перемещения в задан-
ном сечении прикладывают единичную сосредоточенную
силу, действующую по направлению искомого перемеще-
ния;
б) при определении углового перемещения в заданном
сечении прикладывают единичный сосредоточенный мо-
мент;
в) при определении линейного взаимного перемещения
двух сечений систему загружают двумя единичными про-
тивоположно направленными сосредоточенными силами
по линии, соединяющей эти сечения;
г) при определении взаимного угла поворота двух се-
чений систему в этих сечениях загружают двумя единич-
ными сосредоточенными и противоположно направленны-
ми моментами.
Вычисление перемещений с помощью интеграла Маск-
велла—Мора проводится в следующей последовательно-
сти:
1) в заданной системе от заданной нагрузки составля-
ется аналитическое выражение внутренних силовых фак-
торов MFf Nf и Qf;
2) в заданной системе от единичного воздействия, при-
нятого в зависимости от вида определяемого перемеще-
ния, составляется аналитическое выражение внтуренних
силовых факторов Мк, NK и Qk;
3) вычисляются интегралы от произведения двух
395
функций, и результаты суммируются по всем участкам
системы;
4) положительный результат вычисленных интегралов
показывает, что принятое направление единичного воз-
действия совпадает с направлением действительного пе-
ремещения. Отрицательный результат свидетельствует о
том, что действительное перемещение направлено в про-
тивоположную сторону единичного воздействия.
Пример. В консольной балке постоянного поперечного сечения,
В (рис. 33.10,а),
Решение. В рамах и балках обычно перемещения вычисляют
с учетом только изгибающих моментов, так как N и Q незначи-
тельно влияют на результаты расчета.
Поместим начало координат в точке В. От заданной силы F
в балке (в действительном состоянии) запишем выражение изги-
бающего момента в произвольном сечении (рис. 33.10, б) Mf=—Fz.
Для определения прогиба в сечении В приложим в этом сече-
нии (без силы F) вертикальную сосредоточенную силу FB—\ и
запишем выражение изгибающего момента от этой силы (рис.
33.10,в) lz.
Прогиб в сечении В определим по интегралу
z _ i
__ Г MBMFds __ Г (— z) (— Fz) dz Fl3
J EJ
о-------------------о
Знак плюс показывает, что прогиб_сечения В совпада-
ет с направлением единичной силы FB=l и направлен
вниз.
§ 33.7. Правило Верещагина
При определении перемещения на прямолинейном
участке балки или рамы, жесткость которого постоянна
(£j = const), формула Максвелла—Мора записывается
в следующем виде:
ь
а
=
В интеграле графики аналитических выражений Mg
и представляют собой соответствующие эпюры изги-
бающих моментов на этом участке^Если одна из подын-
тегральных функций Мк (эпюра Мк) или функция М?
(эпюра MF) линейная, а другая — криволинейная, или
396
Рис. 33.12
ЦТ., Uf=f-l
4 1 г/2-Ч
Т__^
X. Квадратная f.i
^>^парабала. си = ~г^
..ваиратная
^.nnpnfinnn 2/,
3
J V2 г/-^ч
Квадратная
"•" । ^парабола
ЦТ*
Рис. 33.13
обе функции линейные, вычисление интеграла
ъ _ _
J MKMFdz заменяют перемножением эпюр Мк и MF по
а
правилу Верещагина.
Пусть эпюра изгибающих моментов от заданной на-
грузки MF имеет_ криволинейное очертание, а эпюра от
единичной силы Мк — линейное (рис. 33.11)._Продолжим
прямую, ограничивающую линейную эпюру Мк пере-
сечения с осью абсцис Oz. Эту точку пересечения примем
397
за начало координат. Выразим ординату линейной эпю-
ры Мк через текущую абсциссу г:
= z tga,
где tg a — тангенс угла наклона прямой к оси Oz,
Для любого расстояния tga — постоянная величина.
Интеграл примет такой вид:
ь ь
If tg a (*
&кг = ~Ё7 Mf dzz tg a = ~ёГ IгМр dz'
а а
Произведение MFdz представляет собой элементарную
площадь эпюры MF, т. е. MFdz=d&Fi тогда
ь
к f Л
J zd®F •
а
b
Полученный интеграл Sg)F== [zdcoF представляет ста-
а
тический момент площади эпюры изгибающих моментов
MF относительно вертикальной оси, проходящей через
принятое начало координат. Статический момент площа-
ди равен произведению площади на расстояние от ее
центра тяжести до рассматриваемой оси:
S(i)p —— (Dp Zс*
где cof — площадь эпюры изгибающих моментов MF на участке
(а, Ь).
Подставив Scop, окончательно получим
] С _ tg аг aF
I MKMFdz =-----
L J C J
EJ
a
где AlKcMgaZc — ордината линейной эпюры изгибающих моментов
М л с, расположенная под центром тяжести криволинейной эпюры М?,
Таким образом, интеграл Максвелла—Мора на пря-
молинейном участке системы, жесткость которого посто-
янна, равен произведению площади юр криволинейной
эпюры изгибающих моментов на ординату Мкв линейной
эпюры, расположенную под центром тяжести криволиней-
ной, деленному на жесткость данного участка.
Произведение эпюр MFMKcсчитается положительным,
если они расположены по одну сторону от оси стержня,
и отрицательным — по разные стороны. Положительный
результат перемножения эпюр означает, что направле-
ние действительного перемещения совпадает с направ-
лением единичного воздействия. В частном случае, когда
обе эпюры MF и Мк линейные, можно умножать пло-
щадь любой из них на соответствующую ординату дру-
гой.
По правилу Верещагина нельзя определить переме-
щение, если обе эпюры Mf и Мк криволинейные или же-
сткость стержня на рассматриваемом участке перемен-
на. При сложном очертании эпюры Мр или Мк их делят
на простые эпюры, площади и положение центра тяжести
которых известны. На рис. 33.12 приведены значения
площадей и координаты центров тяжести простых фигур.
Пример. В консольной балке постоянного поперечного сечения,
нагруженной сосредоточенной силой F, определить прогиб сечения
В (рис. 33.13,а).
Решение. От заданной нагрузки в балке строим эпюру изги-
бающих моментов MF (действительное состояние), показанную на
рис. 33.13,6). Для определения прогиба в сечении В_прикладываем
(без силы F) вертикальную сосредоточенную силу Ffl=l _(фиктив<
ное состояние) и строим эпюру изгибающих моментов Мв (рис.
33.13, в). _
Поскольку обе эпюры MF и Мв линейны, можно вычислить пло-
щадь любой из них. Площадь эпюры MF равна (Bf=F/2/2. Ордината
эпюры ^расположенная под центром тяжести треугольной эпюры
равна МВс —21/3.
Прогиб в сечении В __
д _ °>fmbc Е1г21 FF
BF~ EJ ~ 2EJ3 ~ 3EJ '
Результат положительный, следовательно, перемещение сечения В
совпадает с направлением силы FB=1 и направлено вниз.
Пример. В однопролетной балке постоянного поперечного сече-
ния, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсив-
ностью q, определить прогиб посередине пролета (рис. 33.14, а).
Решение. Загружаем балку заданной равномерно распределен-
ной нагрузкой (действительное состояние) и строим эпюру MF
(рис. 33.14,6). К ненагруженной балке прикладываем в среднем
сечении вертикальную сосредоточенную силу Fk=U (фиктивное со-
стояние) и строим эпюру изгибающих моментов Мк (рис. 33.14, о).
Так как эпюра Мк от единичной силы имеет ломаное очерта-
ние, то_разделим балку на два участка В К и КС» в пределах кото-
рых Мк изменяется по прямолинейному закону. Соответственно,
разделим эпюру MF на две части и вычислим их площади.
На участке ВК имеем (oF=2f//3-2=?/3/24;
399
на участке КС имеем сок = 2///3^-2=^/3/24.
Вычисляем ординаты эпюры Мк, расположенные под центрами
тяжести соответствующих частей эпюры MF.
На участке ВК имеем ЛЬсс = 5//32;
на участке КС имеем Мкс=5//32.
Прогиб балки в среднем сечении равен:
д VI ql*bl ql35l bql*
KF~~ EJ “ 24EJ32 24£732 ~ 384EJ
ГЛАВА 34. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ
§ 34.1. Общие сведения
Статически неопределимой системой называется та-
кая геометрически неизменяемая система, в которой внут-
ренние силовые факторы или опорные реакции не могут
быть определены с помощью только одних уравнений
статического равновесия. Для расчета таких систем не-
обходимо составлять дополнительные уравнения, учиты-
вающие деформации системы.
Статически неопределимая система содержит избыточ-
ное количество связей сверх необходимого числа для не-
изменяемости системы. Степень свободы такой системы
отрицательна: №=ЗД—Ш—Соп<0.
Избыточные связи называют «лишними», так как их
удаление не нарушает геометрической неизменяемости и
неподвижности системы. Основными преимуществами
статически неопределимых систем по сравнению с соот-
ветствующими статически определимыми является их
большая надежность, так как разрушение части системы
не всегда приводит к разрушению всего сооружения. В
статически неопределимых системах при тех же нагрузках
возникают силы меньшей величины, что позволяет возво-
дить их с меньшими затратами материалов. Кроме того,
в статически неопределимых системах при действии оди-
наковых нагрузок возникают меньшие деформации и пе-
ремещения.
К недостаткам статически неопределимых систем от-
носится появление дополнительных сил и напряжений от
теплового воздействия, неточности сборки и от перемеще-
ний опорных закреплений.
400
В статически неопределимой системе распределение
внутренних силовых факторов зависит не только от дей-
ствующих нагрузок, геометрической схемы сооружения,
но и от жесткостных характеристик ее элементов (EJ, ЕА,
и 6Л), поэтому перед расчетом статически неопределимой
системы необходимо задавать жесткость ее элементов или
их отношения. При неверном задании приходится неодно-
кратно повторять расчет, пока принятые размеры попе-
речных сечений не будут соответствовать сечениям, подо-
бранным по условиям прочности. Расчет статически не-
определимых систем значительно сложнее расчета
статически определимых. Для их расчета пользуются ме-
тодом сил, методом перемещений, смешанным методом и
различными приближенными способами. Благодаря эко-
номичности, надежности и большой жесткости статиче-
ски неопределимые системы широко применяются в
строительных конструкциях.
§ 34.2. Степень статической неопределимости
При расчете статически неопределимой системы мето-
дом сил вначале определяют степень ее статической не-
определимости. Степенью статической неопределимости
называется разность между числом неизвестных сил и
числом независимых уравнений статики, которые можно
составить для определения этих сил. Эта разность равна
числу избыточных (лишних) связей в системе.
Избыточными могут быть как внешние, так и внутрен-
ние связи, в соответствии с чем различают внешнюю и
внутреннюю статическую неопределимость. При внешней
статической неопределимости избыточными являются
опорные связи, а при внутренней избыточными являются
внутренние связи. Степень статической неопределимости
для системы, каждый диск которой представляет собой
статически определимую систему, можно определить по
формуле степени подвижности, взятой с противополож-
ным знаком:
Л = 2Ш + Соп - ЗД,
где Л — степень статической неопределимости; Ш — число простых
цилиндрических шарниров; СОп — число опорных стержней; Д — чис-
ло дисков.
По данной формуле можно определять степень стати-
ческой неопределимости для ферм, многопролетных ба-
26—480
401
Рис 34.3
лок, арок и однопролетных рам без замкнутых контуров
и затяжек. В качестве примера для каждой системы
(рис. 34.1) соответственно определяется степень статиче-
ской неопределимости:
Ш = 8, С011 = 3 и Д = 6 ... Л = 2-8 + 3 — 3-6= 1
(рис. 34. 1, а)
Ш = О, Соп = 4 и Д = 1 ... Л = 4 — 3-1 = 1 (рис. 34. 1, б).
Ш = О, Соп = 5 и Д = 1. ... Л = 5 — 3-1 = 2 (рис. 34. 1, в).
Ш = 1, Соп = 6 и Д = 2. ... Л = 2-1 + 6 — 3-3 = 2
(рис. 34.1} г).
В статически неопределимой системе различают два
вида связей: условно необходимые и абсолютно необходи-
мые. Удаление условно необходимых связей не превраща-
ет заданную систему в геометрически изменяемую, и каж-
дая из этих связей может быть принята за избыточную.
Удаление абсолютно необходимой связи превращает за-
данную систему в геометрически изменяемую или в мгно-
402
венно изменяемую. Рассмотрим систему, изображенную
на рис. 34.2, а. Данная система является внешне статиче-
ски определимой, так как из трех уравнений статического
равновесия можно определить три опорные реакции Нв>
Rb и Rc. Эти опорные стержни являются абсолютно не-
обходимыми. Если удалить любой из этих опорных стер-
жней, то система превратится в механизм.
Для определения внутренних сил, например, в сечении
Т, проведем через это сечение сквозной разрез. Чтобы
разделить заданную раму на две части, необходимо пе-
ререзать и второй горизонтальный стержень, например, в
сечении D. В каждом разрезанном стержне будет дейст-
вовать по три внутренние силы (рис. 34.2, б). Определить
шесть неизвестных внутренних силовых факторов из трех
уравнений статического равновесия невозможно. Таким
образом, любой замкнутый контур без шарниров три ра-
за статически неопределим. Эти внутренние связи явля-
ются условно необходимыми, и их удаление не превра-
щает заданную систему в геометрически изменяемую.
Введем в эту систему, например в сечении D, шарнир,
т. е. из трех связей, соответствующих жесткому соедине-
нию, отбросим одну (рис. 34.2, в).
Полученная система будет уже два раза статически
неопределима, так как для определения пяти неизвестных
внутренних сил по-прежнему имеется три уравнения ста-
тики (рис. 34.2, г). Следовательно, введение шарнира в
замкнутый контур или в любое другое место, где имеются
условно необходимые связи, понижает степень статиче-
ской неопределимости на единицу. Определение степени
статической неопределимости в рамах, имеющих замкну-
тые контуры и затяжки, производится по следующей фор-
муле:
л = зк + соп — ш — 3,
где Л — степень статической неопределимости: К — число замкну-
тых контуров, образованных элементами системы (без учета земли);
Сол —число опорных стержней; Ш —число одиночных цилиндриче-
ских шарниров; 3 — три уравнения статического равновесия.
Определим степень статической неопределимости для
рамы (рис. 34.3). Здесь К=2, СОп=3, Ш=3. Степень ста-
тической неопределимости Л =3-2+3—3—3=3.
§ 34.3. Выбор основной системы
После определения степени статической неопредели-
мости переходят к выбору основной системы, которая при-
26* 403
Рис. 34.4
нимается за основу расчета заданной статически неопре-
делимой системы. Основной системой при расчете по ме-
тоду сил статически неопределимой системы называется
статически определимая и геометрически неизменяемая
система, полученная из заданной путем отбрасывания из-
быточных условно необходимых связей. Число отбрасы-
ваемых связей равно степени статической неопределимо-
сти заданной системы. В качестве избыточных (лишних)
при выборе основной системы могут быть приняты как
внешние, так и внутренние связи. Чтобы основная систе-
ма была геометрически неизменяемой, отбрасывать мож-
но только условно необходимые связи.
Для любой статически неопределимой системы имеет-
ся бесчисленное множество вариантов выбора основной
системы. На рис. 34.4 приведено несколько возможных
вариантов основной системы для дважды статически не-
определимой рамы. Следует заметить, что выбор основной
системы является важным этапом, так как от него зави-
сит простота и трудоемкость расчета,
§ 34.4. Канонические уравнения метода сил
В основной системе влияние отброшенных избыточных
связей заменим неизвестными силами, действующими по
направлению этих отброшенных связей. Неизвестные си-
лы (опорные реакции или внутренние силовые факторы
Mt Q и N) обозначают буквой Xj с подстрочным цифро-
вым или буквенным индексом. Таких неизвестных усилий
всегда будет столько, сколько отброшено избыточных
связей в заданной статически неопределимой системе при
переходе к основной статически определимой. Поскольку
в качестве неизвестных приняты силы взамен отброшен-
ных связей, то данный метод расчета статически неопре-
делимых систем получил название метода сил. Неизвест-
ные сил Xj определяются из условия эквивалентности
деформированных состояний заданной статически неон*
404
-----|е xzjepTT
Рис. 34.5
ределимой системы и ее ос-
новной системы, нагруженной
заданной нагрузкой и неизве-
стными силами X*.
Рассмотрим два раза ста-
тически неопределимую систе-
му (рис. 34.5, а) и ее основную
систему, нагруженную задан-
ной нагрузкой F и неизвестны-
ми силами Xi и Х2 (рис. 34.5,6). Условиями эквивалент-
ности деформирования заданной и основной системы в
данном случае будут отсутствие горизонтального пере-
мещения в основной системе сечения С, так как по этому
направлению имеется опорный стержень, т. е. Д1=0, и
отсутствие взаимного угла поворота в сечении D верти-
кального стержня DB и горизонтального DE, так как в
узле D эти стержни соединены жестко и их взаимный
угол поворота невозможен, т. е. Д2 = 0. Таким образом,
получим два условия совместности перемещений:
Ai = 0)
д2 = о).
Таких условий всегда можно составить столько, сколь-
ко необходимо определить неизвестных сил Xj. Следо-
вательно, поставленная задача по определению неизвест-
ных сил всегда имеет единственное решение.
Если удаляются внешние связи, то условием совмест-
ности перемещений заданной и основной систем является
равенство нулю перемещений по направлению удаленных
связей. Если удаляются внутренние связи, то условием
совместности перемещений заданной и основной систем
является равенство нулю взаимного перемещения по на-
правлению удаленных связей.
На основании принципа независимости действия сил
перемещения Д1 и Д2 в основной системе запишем в виде
алгебраической суммы перемещений отдельно от каждого
воздействия:
Д! = Ац + Д12+Д1Г "° 1
Д2= Д21 + Д22+Д^=0 Ь
* В дальнейшем изложении основную систему будем изображать
с заданными нагрузками и неизвестными усилиями Л/.
405
Подставив значения An=6iiXi,Ai2=6i2-Ya,A2i=«3SPYj
и Д22=б22^2, окончательно получим:
бНЛ1+б12Х2 + Д^ = 0 1
б21\+б22Х2 + ^=^ L
где бц — перемещение в основной системе по направлению силы Хь
вызванное сплои Xi=l; 612 — перемещение в основной системе по на-
лравлениию силы Хь вызванное силой Х2=1; 621 — перемещение в
основной системе по направлению силы Х2» вызванное силой Х>=1;
622 — перемещение в основной системе по направлению силы Х>, вы-
званное силой .¥2=1*» Air—перемещение в основной системе по на-
правлению силы Хь вызванное заданной нагрузкой; Ajf — перемеще-
ние в основной системе по направлению силы Х2> вызванное задан-
ной нагрузкой.
Полученные уравнения для определения неизвестных
сил и Х2 называются каноническими уравнениями ме-
тода сил. Вид и количество этих уравнений не зависит от
схемы заданной системы и действующих нагрузок, а за-
висит только от степени ее статической неопределимости.
Коэффициенты при неизвестных X/, имеющие одина-
ковые индексы бц, 622, ...» б/л называются главными. Они
являются величинами всегда положительными и имеют
значение больше нуля. Коэффициенты с различными ин-
дексами 612, 613, ...» 61/ называются побочными. Они могут
быть положительными, отрицательными и равными нулю.
Побочные коэффициенты с обратными индексами равны
между собой, т. е. 612 = 621, 631 = 613, ...» 6zj=6jt-. Переме-
щения Air, Д2г, •••» Д/f называются грузовыми или сво-
бодными членами.
§ 34.5. Вычисление коэффициентов при неизвестных
и свободных членов канонических уравнений
и их проверка
Коэффициенты при неизвестных и свободные члены
вычисляют по формуле Максвелла—Мора, так как они
представляют собой перемещение в определенных сечени-
ях основной системы по заданному направлению от сил
Л/=1 и внешней нагрузки. Число учитываемых слагае-
мых в интеграле Максвелла—Мора зависит от рассчи-
тываемой системы. Обычно при расчете рам и балок учи-
тываются только изгибающие моменты, при расчете
арок — изгибающие моменты и продольные силы, а при
расчете ферм — продольные силы. В данном параграфе
406
все перемещения при расчете статически неопределимых
рам будем вычислять только с учетом изгиба по следую-
щим формулам: _
VI f M*ds
главные коэффициенты 6» = I —;
VC AL M; ds
~;
свободные члены д^= J • M/ .
Для рам с прямолинейными осями и постоянной же-
сткостью S//, 6if и Д/г вычисляют по правилу Верещагина
путем перемножения соответствующих эпюр изгибающих
моментов М2, Mf и MF, построенных в основной
системе отдельно от каждой силы Х=1 и от заданной на-
грузки.
Перед решением канонических уравнений вычисленные
коэффициенты при неизвестных и свободные члены сле-
дует проверить во избежание ошибок в окончательных
результатах расчета. Для коэффициентов при неизвест-
ных проводят две проверки: строчную и универсальную.
Строчная проверка состоит в определении перемещения
в основной системе по направлению каждой силы X/ от
действия всех единичных сил Xj = l, Х2 = 1, Х/=1. На-
пример, перемещение по направлению силы для дваж-
ды статически неопределимой системы от действия двух
единичных сил = 1 и Х2 = 1 равно алгебраической сумме
коэффициентов при неизвестных первого канонического
уравнения = 6n+6i2.
Эту сумму вычисляют другим способом, а именно:
Г
где + — суммарная эпюра изгибающих моментов, постро-
енная в основной системе от сил %! = 1 и Х2=1.
Из сравнения этих двух результатов устанавливают
правильность вычисленных коэффициентов при неизвест-
ных в первом каноническом уравнении.
Аналогично производится проверка коэффициентов
при неизвестных во втором каноническом уравнении:
62l + S22 - 62S = 2jJ EJ dS‘
407
Универсальная проверка коэффициентов при неизве-
стных состоит в определении перемещений по направле-
нию всех сил Xj от действия единичных сил Xi = l и
Л2=1.
Это перемещение представляет собой алгебраическую
сумму коэффициентов при неизвестных во всех канониче-
ских уравнениях:
Vf Ж ds
। I 7ГТ •
jeij C.J
Для свободных членов канонических уравнений про-
водят универсальную проверку, т. е. находят алгебраиче-
скую сумму свободных членов во всех уравнениях, кото-
рую сравнивают с величиной
д ! Л V f
aif + A2f = JjJ Ej ds,
где AJf — эпюра изгибающих моментов, построенная в основной си-
стеме от заданной нагрузки.
§ 34.6. Построение окончательных эпюр Л4, Q и W
и их проверка
После определения неизвестных сил Х2, ..., Xj из
решения канонических уравнений переходят к заключи-
тельному этапу расчета—построению окончательной эпю-
ры изгибающих моментов. Окончательную эпюру Л10к
можно построить двумя способами. По первому способу
найденные значения сил A'i, Х2, •••» Я/ и заданную нагрузку
прикладывают к основной системе. От этих нагрузок из
уравнений статики определяются реакции в опорных стер-
жнях и для построения эпюры Л40к составляются анали-
тические выражения для отдельных участков основной
системы.
По второму способу на основании принципа незави-
симости действия сил окончательная эпюра изгибающих
моментов строится_ как алгебраическая сумма ординат
единичных эпюр Mjf умноженных на соответствующие
найденные значения сил Xj и эпюры Ж:
м0К = Ж*1 + Жх2 + м3Хз + Ж-
При практических расчетах обычно пользуются вто-
рым способом. Построенная эпюра изгибающих момен-
тов в свою очередь должна быть проверена из условия
статики и кинематики.
408
При статической проверке проверяются равновесия
всех ее узлов, т. е. в каждом узле сумма моментов должна
быть равна нулю. Однако статическая проверка является
необходимым, но не достаточным условием правильности
эпюры Л40К.
Достаточной проверкой служит кинематическая, ко-
торая производится из условия деформирования задан-
ной системы. Если окончательная эпюра Л40к построена
верно, то перемещение в основной системе по направле-
нию, по которому в заданной системе данное перемеще-
ние запрещено, должно быть равно нулю:
.^OK^s. = 0)
где Mj—эпюра изгибающих моментов от Xj = l, построенная в лю-
бой основной системе, которую можно получить из заданной стати-
чески неопределимой системы.
Окончательную эпюру поперечных сил также можно
построить несколькими способами. Обычно эпюру Q стро-
ят по окончательной эпюре Л10к. Заданную раму расчле-
няют на отдельные однопролетные статически определи-
мые балки с шарнирными опорами. Каждую балку рас-
считывают отдельно на нагрузку, приложенную к этой
балке, и опорные моменты, действующие по концам этой
балки. Величину и направление опорных моментов при-
нимают по построенной эпюре МОю Поперечную силу в се-
чениях рассматриваемой балки находят по формуле:
п __ ло । I Мпр I I Млев I
— Ч2 i >
где Qz—балочная поперечная сила, т. е. поперечная сила в сече-
нии однопролетной балки пролетом /, вызванная действием нагруз-
ки, приложенной к этой балке; Млев — изгибающий момент на левом
конце балки; Мпр — изгибающий момент на правом конце балки.
В этой формуле знаки перед слагаемыми принимают
по следующим правилам:
а) балочная поперечная сила Qz считается положи-
тельной, если она вращает оставшуюся часть балки по
ходу часовой стрелки; опорные моменты, направленные
в одну сторону, суммируются, а при направлении в раз-
ные стороны записываются в виде разности;
б) положительный знак перед дробью ставится, если
ось стержня для совмещения с касательной к эпюре опор-
ных моментов следует повернуть по ходу часовой стрелки.
409
Построение эпюры N производится по эпюре Q спо-
собом последовательного вырезания узлов рамы и рас-
смотрения их равновесия. Определение продольных сил
следует начинать с того узла, в котором сходится не боль-
ше двух стержней. К вырезанному узлу прикладываются
узловые внешние сосредоточенные силы, поперечные си-
лы с учетом их знака и искомые продольные силы. Из
условия равновесия узла SZ=0 и 5У=0 находят про-
дольные силы в вырезанном узле. Построенные эпюры V
и Q проверяют из условия равновесия любой отсеченной
части рамы.
§ 34.7. Последовательность расчета статически
неопределимых рам методом сил
Расчет статически неопределимых рам проводится в
следующей последовательности:
1) определяется степень статической неопределимости
заданной системы;
2) выбирается основная система путем отбрасывания
из заданной избыточных условно необходимых связей и
их влияние заменяется неизвестными силами X/. Число
отброшенных связей и количество неизвестных сил равно
степени статической неопределимости заданной системы;
3) записываются канонические уравнения из условия
равенства нулю перемещений по направлению каждой
отброшенной связи. Количество записываемых уравнений
должно быть равно степени статической неопределимо-
сти;
4) основная система поочередно загружается силами
Х=1 и заданной нагрузкой, и от каждого воздействия от-
дельно строятся эпюры изгибающиХ-Момешгов;
5) по построенным эпюрам Mh M2f М/ и MF вычис-
ляются коэффициенты при неизвестных и свободные чле-
ны канонических уравнений;
6) решив систему канонических уравнений, находят
значения неизвестных сил Xj в отброшенных связях;
7) строится окончательная эпюра изгибающих момен-
тов Мок как алгебраическая сумма единичных эпюр М/,
умноженных на найденные значения сил Xj и эпюры от
заданной нагрузки в основной системе;
8) по эпюре Мок строятся эпюры Q и /V;
9) проводятся проверки правильности построенных
эпюр.
410
Рис. 34.6
Пример. Построить эпюры М9 Q и N для рамы, изображенной
на рис. 34.6, а.
Решение. Заданная рама два раза статически неопределима,
так как Соп=5, Ш = 0 и Д=1, то Л = 5—0—3-1=2. Основную си-
стему выберем путем отбрасывания горизонтального и вертикаль-
ного опорных стержней в опоре В. Взамен отброшенных связей
приложим неизвестные силы Xi и Х2 (рис. 34.6,6). Составим кано-
нические уравнения из условия равенства нулю горизонтального
и вертикального перемещений сечения В в основной системе от
действия неизвестных сил Хь Х2 и внешней нагрузки, поскольку в
заданной системе имеются опорные стержни, запрещающие эти
перемещения:
+ + I
^*1 + ^+^ = ° I
Так как оси всех стержней рамы прямолинейны и жесткости в
пределах каждого сечения постоянны, то для вычисления переме-
щений б// и &if воспользуемся правилом В^рещаги^а. Последова-
тельно загружая основную систему силами Xj_=l, Х2=1 и внешней
нагрузкой, строим единичные эпюры Мь М2 и эпюру (рис.
34.6, в—д).
Коэффициенты при неизвестных: _ V f Mldi _ 3-3-2-3 EJ 2-3EJ 3-3-2-3 36 + 2-3EJ ~ EJ V f Mi M2ds _ 3-4-2 °i2 - c2i - | EJ ~ 2EJ (’ Mr, ds. 4-4-2-4 22~^4J EJ ~ 2-2-3EJ ‘ 3-4-3 ’ + + T 2EJ T 3-3-4 30 + 2EJ = EJ • 4-3-4 _ 58,66 EJ ~ EJ ’
411
Строим суммарную единичную эпюру =Afi+Af2 (рис.
34.6, е) и проводим универсальную проверку правильности вычис-
ленных коэффициентов при неизвестных:
1 154 66
= 61! + 622 + 2612 = ^7 (36 + 58 ’66 + 2‘3°) = ;
1 Г M^ds 3-3-2-3 3-4 / 2*3 7 \
j J EJ ~ 2-3FJ + 4EJ \ 3 + 3 J +
7-4 / 2-7 3 \ 7*3 / 2-7 _4_\
4EJ \ 3 + 3 2EJ \ 3 + 3 J +
4*3 / 2»4 7 \ 154,66
+ 2EJ \ 3 + 3 J EJ
Результаты совпали, следовательно, коэффициенты при неиз-
вестных вычислены верно. Вычисляем свободные члены:
Мх Мр ds
EJ
9-3-3-3
3-4EJ
9-4-3
2EJ
3-3 / 2-11 29 \ 2,25
~ 2EJ \ 3 + 3 ) EJ '
VI f 9.4.2
A2f=J^J ej =— 2EJ
4-3 / И + 29 \ 204
EJ \ 2 EJ
Проверяем найденные значения свободных членов:
1 206,25
A1F + Д2р= ТГ (2.25 + 204) ---------~
VC MFMZ 9-3-3-3
। I -------Js =—-----------
" EJ 3-4EJ
7-3 / 2-11 29 \ 4-3 ( 2-29
+ . I + --I I -----I
2E J \ 3 3 2EJ \ 3
9-4 / 3 + 7 \
2EJ \ 2 /
11 \ 203,25
3 EJ
Свободные члены вычислены верно. Подставив вычисленные
значения коэффициентов б// и свободных членов в канонические
уравнения, получим:
36Xj + 30Х2 + 2,25 = 0 |
30Xi + 58,66Х2 + 204 = 0
Из решения системы находим значения неизвестных: Xi =
=4,94 кН; Х2=—6,003 кН. Х2 получилось со знаком минус, следо-
вательно, предварительное направление выбрано неверно. Действи-
тельная вертикальная реакция направлена вниз.
412
Рис. 34.8
Строим эпюру Мок как алгебраическую сумму эпюры^от задан-
ной нагрузки в основной системе MF и единичных эпюр Mi, М2, ум-
ноженных на_найденные значения неизвестных сил Хь Х2, т. е. =
=MF+M{Xx + M2X2:_
Эпюры MjXi, М2%2 и Мок показаны на рис. 34.7, а—в.
Проверяем построенную эпюру Мок.
Статическая проверка удовлетворяется, так как узлы D и Е
находятся в равновесии.
Кинематическая проверка. Вычислим перемещения в опоре В
по горизонтальному и вертикальному направлениям путем умноже-
ния МОк на М2, которые должны быть равны нулю. При перемно-
жении сложную эпюру Мок на стойке BD разделим на две простые:
треугольник и параболический сегмент со средней ординатой,
равной (^/2)/8=(2-32)/8=2,25.
VI С MoitMs 2-2,25-3.1,5 5,82-3-3.2
~ EJ dS~ 3EJ 2-3EJ
3-4/2-5,82 18,19 \ 7-4 / 5,82 2-18,19 \
+ 4EJ \ 3 ~3/+4£7\3— 3 / +
7-3 / 2-1,81 4,99 \ 4-3 / 1,81
~ 2EJ \ 3 т 3 /Т2Е/ \ 3 т
2-4,99 \ 0,069
+ 3 ) EJ
0,069-100
Погрешность составляет всего —ztt— =0,08 %, следователь-'
77, и
но, эпюра Мок построена верно.
413
Для построения эпюры поперечных сил каждый стержень ра-
мы представим в виде однопролетной балки (рис. 34.8).
Стержень BD. Этот стержень загружаем заданной равномерно
распределенной нагрузкой (?=2 кН/м и правым опорным моментом,
равным 5,82 кН-м (рис. 34.8,а).
Находим опорные реакции:
SMB = ^3-1,5 — 5,82 — ЯрЗ = 0, HD = 1,06 кН;
= ЯВ -3 — 2.3.1,5 — 5,82 = 0, Яв=4,94 кН.
По этим данным на стержне BD построена эпюра Q (рис.
34.8, а).
Стержень DE. Этот стержень загружен левым опорным мо-
ментом, равным 5,82 кН-м, и правым опорным моментом, равным
18,19 кН-м (рис. 34.8,6). Находим опорные реакции:
ZMD =5,82+ 18,19 — RE 4 = 0, RE = 6,003 кН;
=-Rd + Re = 0, Rd = 6,003 кН.
Эпюра Q для стержня DE показана на рис. 34.8, б.
Стержень ЕТ. К этому стержню не приложена внешняя на-
грузка, поэтому загружаем его только опорными моментами: ле-
вым, равным 1,81 кН-м, и правым, равным 4,99 кН*м (рис. 34.8, в).
Находим опорные реакции:
2Мг = Я£ -3+1,81—4,99 = 0, НЕ = 1,06 кН;
ZZ=HE — HT=0t Яг=1,06 кН.
Эпюра для стержня ЕТ показана на рис. 34.8, в.
Стержень ЕК. Этот стержень представляет собой статически
определимую часть рамы, т. е. консоль, нагруженную на конце
сосредоточенной силой F=10 кН. Эпюра Q на консоли постоянна
и равна 10 кН.
Окончательная эпюра Q в заданной раме показана на рис.
34.8, г.
Для построения эпюры продольных сил вырежем вначале узел
D, в котором сходятся два стержня DB и DE (рис. 34.9, а). При-
мем неизвестные продольные силы Ndb и NDe положительными,
направленными от узла D. К этому узлу приложим поперечные
силы Qdb и Qde с учетом их знаков. (Положительная поперечная
сила вращает узел относительно его центра по ходу часосой стрел-
ки). Из уравнений равновесия находим:
= 6,093 — NnR = 0,NnR = 6,003 кН;
SZ= l,06 + /VD£ = 0,/VDE=— 1,06 кН.
Вырезаем узел Е, в котором сходятся три стержня ED, ЕТ и
ЕК (рис. 34.9,6). К этому узлу прикладываем поперечные силы
Qed, Qet и Qek с учетом их знаков, а также Ned=Nde = — 1,06 кН.
Из уравнений равновесия находим:
XY = 6,003— 10 — Net = 0, Net=— 16,003 кН.
SZ = 1,06 — 1,06 + Nek = 0, Nek = 0.
414
Ms...... ,
I (V) ц
^6,003
в л
^BD
Рис. 34.9 Рис. 34.10
Окончательная эпюра N в заданной раме показана на рис.
34.9, в.
Для проверки построенных эпюр Q и N разрезаем раму на
уровне опор. В местах разрезов прикладываем внутренние силы М,
Q и W (рис. 34.10).
Записываем уравнения статического равновесия:
ZY =—F — NBD + NTE=0, —6,003 — 10+ 16,003 = 0.
2Z = q-3 — Qbd — Qte = G, 2.3 — 4,94 — 1,06 = 0.
Оба уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно,
эпюры Q и N построены верно.
§ 34.8. Упрощения при расчете симметричных рам
Наиболее трудоемкой частью расчета статически не-
определимой системы методом сил является вычисление в
основной системе перемещений от единичных и грузового
воздействий и решение канонических уравнений. Добить-
ся упрощения при расчете рам методом сил можно толь-
ко за счет обращения в нуль побочных коэффициентов
при неизвестных. Для рамы произвольного геометриче-
ского очертания этого можно достигнуть путем выбора та-
кой основной системы, в которой эпюры от единичных воз-
действий носили бы локальный характер. С этой целью
систему расчленяют на ряд таких геометрически неизме-
няемых частей, для которых большее число единичных
эпюр не имело бы общих участков. При таком выборе ос-
новной системы каждое каноническое уравнение будет
содержать неполное количество неизвестных, что облег-
чит ее расчет.
Добиться более существенных упрощений можно при
расчете симметричных систем. Такие системы имеют сим-
метричную геометрическую схему, в которой жесткости
симметрично расположенных элементов равны между со-
бой. Для упрощения расчета симметричной рамы необхо-
димо выбирать только симметричную основную систему.
415
Рис. 34.11
IF
Рис. 34.12
л
В симметричной основной системе, выбранной путем от-
брасывания избыточных связей, расположенных на оси
симметрии, неизвестные силы X/ разделяются на две
группы: симметричные и обратносимметричные (косо-
симметричные). Разделение неизвестных на две группы
приводит к делению общей системы канонических урав-
нений на две подсистемы, в одну из которых войдут толь-
ко симметричные неизвестные, а в другую только об-
ратносимметричные неизвестные.
Рассмотрим симметричную раму (рис. 34.11, а). Дан-
ная рама три раза статически неопределима. Выберем
симметричную основную систему, разрезав раму по оси
симметрии на две части (рис. 34.11). Поскольку в месте
разреза удалены три внутренние связи, то и их влияние
заменим тремя внутренними силами М, N и Q, действую-
щими на обе половины разрезанной рамы. Изгибающий
момент обозначим через Хь продольную силу — через Х3
и поперечную силу — через Х3 (рис. 34.11, б). Запишем
канонические уравнения для три раза статически неопре-
делимой системы:
«пХ1 + 612Х2+61зХз + Д1г=0;
621Х1 + «22\+«2зХз + Д2Г=0;
ез1\+*з2*2+*3зХз + Д^=0- .
Для определения коэффициентов при неизвестных по-
строим в выбранной основной системе эпюры изгибающих
416
моментов от единичных сил Х>==1; Х2=1 и Хз=1 (рис.
34.11, г—е). Эпюры Мг и М2 представляют собой симмет-
ричные эпюры изгибающих моментов, так как в симмет-
рично расположенных сечениях ординаты моментов рав-
ны между собой и совпадают по знаку. Эпюра М3 пред-
ставляет собой обратносимметричную эпюру изгибающих
моментов, так как в симметричных сечениях ординаты
моментов по величине равны друг другу, но противопо-
ложны по знаку. Соответственно неизвестные Xi и Х2 яв-
ляются симметричными, а Х3 — обратносимметричными
неизвестными. Таким образом, в симметричной основной
системе неизвестные X/ взамен отброшенных внутренних
связей на оси симметрии разделяются на симметричные и
обратносимметричные.
Все эпюры Mi, М2 и М3 линейные, поэтому для опре-
деления коэффициентов при неизвестных воспользуемся
правилом Верещагина. Покажем, что от перемножения
симметричной эпюры М] на обратносимметричную эпюру
М3 побочное перемещение блз будет равно нулю. Вначале
перемножим эпюры М{ и М3 на левой части рамы, а за-
тем на правой:
«и = «si = Sf ds -
— (П • 1) / (2Г J2 2 • 2) + (lh • 1) / (2ЕЛ) + 'll • 1) I (2EJ2 2 • 2) = 0.
Аналогично получим, что 623=632=0. Таким образом,
от перемножения симметричной эпюры по правилу Вере-
щагина на обратносимметричную эпюру соответствующее
перемещение (единичное или грузовое) равно нулю. В на-
шем случае система канонических уравнений примет вид:
®н*1-М12*2+Д1£=0; |
«21Х1 + е22Х2+^=0: )
8«А + дзе=0.
т. е. полная система разделится на две подсистемы.
Для определения симметричных неизвестных Xt и Х2
необходимо решить систему двух уравнений с двумя не-
известными, а обратносимметричное неизвестное Х3 нахо-
дится из решения одного (третьего) уравнения с одним
неизвестным.
27—480
417
Использование групповых неизвестных. При расчете
сложных статически неопределимых рам не всегда уда-
ется разместить все неизвестные силы взамен отброшен-
ных связей на оси симметрии. В этом случае для обраще-
ния неизвестных в симметричные и обратносимметричные
используют способ групповых неизвестных.
В качестве примера рассмотрим симметричную раму
(рис. 34.12, а). Данная рама два раза статически неопре-
делима. Выберем симметричную основную систему, от-
бросив стержни в опорах В и С и заменив их неизвест-
ными силами Х\ и Х'2 (рис. 34.12, б). Поскольку силы
Х\ и Х'2 не равны друг другу, то для расчета заданной
рамы необходимо решить систему двух канонических
уравнений с двумя неизвестными. Однако для этой же вы-
бранной симметричной основной системы можно получить
симметричные и обратносимметричные эпюры изгибаю-
щих моментов от неизвестных сил. Для этого вместо оди-
ночных сил прикладывают группы сил. Неизвестную ре-
акцию в опоре В представим в виде суммы двух сил Х\ и
Х2, а неизвестную опорную реакцию в опоре С в виде
разности этих же сил Х^ и Х2 (можно и наоборот: в опоре
В приложить разность сил Х^ и Х2, а в опоре С — их
сумму) (рис. 34.12, в).
Данное преобразование основано на известной теоре-
ме алгебры, согласно которой две неизвестные величины
Х'1 и Х'2 могут быть заменены двумя другими неизвестны-
ми: Х{= (Х[+Х2)/2 и Х2 = (Х[—Х2)/2.
После перехода к групповым неизвестным две равные
силы Хь приложенные в симметричных сечениях рамы,
являются симметричными неизвестными, так как от их
одновременного действия эпюра изгибающих моментов
Л4, в основной системе симметричная (рис. 34.12, г). Две
другие силы Х2 являются обратносимметричнымп неиз-
вестными, так как от их одновременного действия эпюра
изгибающих моментов М2 в основной системе обратно-
симметричная (рис. 34.12, д).
Поскольку неизвестные Xi и Х2 разделились на две
группы, то побочное перемещение 612=621=0 от перемно-
жения симметричной эпюры на обратносимметричную
М2 будет равно нулю, и система канонических уравнений
разделится на два независимых уравнения, каждое с од-
ним неизвестным: 6hXi+Aif = 0 и 622^2+A2f=0.
41Ъ
Рис. 34.14
Введение жестких консолей. Иногда при расчете сим-
метричной трижды статически неопределимой рамы, со-
стоящей из одного замкнутого контура или имеющей
П-образное очертание, полную систему канонических
уравнений можно разделить на три самостоятельных
уравнения при помощи введения жестких консолей, каж-
дое из которых будет содержать только одно неизвестное.
Для иллюстрации этого способа рассмотрим П-об-
разную симметричную трижды статически неопредели-
мую раму (рис. 34.13,а). Выберем симметричную основ-
ную систему, разрезав ригель рамы по оси симметрии на
две части. В месте разреза в каждой части ригеля доба-
вим вертикальные жесткие консоли (£7 = оо). Введение
жестких консолей в основную систему не изменит ха-
рактер распределения внутренних сил и деформаций в
заданной системе.
На оси ригеля взамен отброшенных трех связей при-
ложим продольные силы Xj и поперечные силы Х2. Вме-
сто изгибающих моментов, возникающих в разрезанном
сечении ригеля, приложим к жестким консолям на не-
котором расстоянии уо от оси ригеля противоположно
направленные горизонтальные силы Х3 (рис. 34.13,6).
Эти силы заменяют момент в разрезе, который равен
Х3уо.
В выбранной симметричной основной системе неизве-
стные сил разделились на симметричные Хь Х3 и обрат-
27*
419
несимметричные Х2. Соответственно разделятся канони-
ческие уравнения на две группы
\1*1+61зхз+д1р=°; 1
\ + бзз Хз + Дзр = 0; /
*22*2+Д2Р=°-
Для разделения симметричной системы канонических
уравнений на два независимых уравнения необходимо,
чтобы побочное перемещение б13=бз1=0 обратилось в
нуль. Побочное перемещение 6j3 обратится в нуль, если
принять длину жесткой консоли, равную у0=2Л/3. В этом
случае против центра тяжести эпюры изгибающих мо-
ментов Mi на стойке будет находиться нулевая ордината
эпюры Л43 (рис. 34.13, д) и 6i3=0, в результате система
канонических уравнений для расчета заданной рамы рас-
падется на три независимых уравнения:
+ Д1г = 0 $22Х2 + A2f =0, 633Х3 + Д2г =0-
Преобразование внешней нагрузки. Изложенные спо-
собы упрощения расчета симметричных рам проводились
независимо от вида и характера действующих нагрузок,
поскольку для разделения полной системы канонических
уравнений на симметричную и обратносимметричную
подсистемы достаточно было обращения в нуль побоч-
ных коэффициентов при неизвестных. Однако при дей-
ствии на симметричную раму только симметричной на-
грузки обратятся в нуль все свободные члены в обрат-
носимметричной подсистеме канонических уравнений, и
соответствующие неизвестные будут равны нулю. Равен-
ство нулю неизвестных понизит степень статической не-
определимости заданной рамы.
Рассмотрим симметричную два раза статически не-
определимую раму, нагруженную симметричными сосре-
доточенными силами (рис. 34.14,а). Для расчета этой
рамы выберем симметричную основную систему, разре-
зав ее в шарнире D на две части. Взамен отброшенных
связей к каждой части приложим продольные силы Xi и
поперечные силы Х2 (рис. 34.14,6). Так как неизвестные
расположены на оси симметрии, то Xi является симмет-
ричной, а Х2 — обратносимметричной. Канонические
уравнения разделяются на два независимых уравнения:
6hXi+Ai_f=^, &22X2+&2f=0. Эпюры изгибающих мо-
ментов Л4Ь М2 и Mf показаны на рис. 34.14, в — 6.
420
Для определения свободных членов Aif и Д2г необхо-
димо перемножить по правилу Верещагина соответству-
ющую единичную эпюру с эпюрой от заданной нагрузки:
f М,МР VI С M2MF
&1F~ Zd I ZJ ds 0; Д2/г = I — ds = 0.
ЛЯЯЯ J EJ 4ЯШ J LJ
Свободный член Д2£ равен нулю, так как эпюра М2
обратносимметричная, а эпюра MF— симметричная. Ка-
нонические уравнения примут вид: 6цХ1+Д1г=0, отку-
р
да Х[==---g-£-; 622^’2+0=0, откуда Л'2=0. Таким обра-
зом, если к симметричной раме приложена только
симметричная нагрузка, то все обратносимметричные неиз-
вестные равны нулю. Если к симметричной раме прило-
жена только обратносимметричная нагрузка, то все сим-
метричные неизвестные равны нулю.
Действующую на симметричную раму нагрузку про-
извольного вида можно разложить на симметричные и
обратносимметричные составляющие. При этом суммар-
ное действие составляющих нагрузок должно быть равно
заданной нагрузке.
После преобразования нагрузки заданная рама рас-
считывается дважды: отдельно на симметричное загру-
жение и отдельно на обратносимметричное загружение,
а затем результаты расчетов алгебраически суммируют-
ся. При действии на раму нагрузки произвольного вида
преобразование нагрузки не снижает степени статичес-
кой неопределимости, и этим правилом обычно не поль-
зуются. При действии же нагрузки частного вида преоб-
разование нагрузки приводит к снижению степени ста-
тической неопределимости и упрощению ее расчета.
Рассмотрим симметричную раму, нагруженную со-
средоточенной силой (рис. 34.15,а). Разложим заданную
силу F на симметричные и обратносимметричные состав-
ляющие (рис. 34.15,б,в).
При симметричном загружении на раму действуют в
узлах D и К две самоуравновешенные силы F/2, которые
не вызывают в элементах рамы изгибающих моментов
и поперечных сил. От этих сил в стержне DK. возникает
только сжимающая продольная сила, равная Ndk=
=—F/2, которую надо будет добавить к окончательной
эпюре AZ. Следовательно, заданную раму необходимо
рассчитать только на обратносимметричное загружение.
421
Рис. 34.16
Для расчета выберем симметричную основную систе-
му, отбросив стержень DK и заменив его продольными
силами Х\ и удалив опорные стержни в опорах В и С.
Опорные реакции в опорах В и С заменим групповыми
неизвестными Х2 и Х3 (рис. 34.16,а). Примем Х2 симмет
ричным, а Хз — обратносимметричным неизвестными.
Так как неизвестные силы разделились, то разделится и
полная система канонических уравнений на две подси-
стемы. Система канонических уравнений для определе-
ния симметричных неизвестных примет вид:
«uW2 + Aif=0! |
621Х1 + 622Х2 + Д^=°- J
Каноническое уравнение для определения обратно-
симметричного неизвестного запишется
63з*3 + Дзг=0-
Так как внешняя нагрузка обратносимметричная,
свободные члены Alf = A2F=0 и симметричные неизве-
стные Х1=Х2 = 0- Для расчета заданной рамы необхо-
димо найти только одно неизвестное Х3.
422
ГЛАВА 35. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
§ 35.1. Расчет неразрезных балок
Многопролетная статически неопределимая (нераз-
резная) балка представляет собой сплошной брус посто-
янного (переменного) поперечного сечения, перекрыва-
ющий несколько пролетов и не имеющий шарниров
(рис. 35.1, а). Промежуточные опоры неразрезной балки
устраиваются шарнирно-подвижными, а крайние опоры
могут быть либо шарнирно-неподвижными, либо жестки-
ми защемлениями. Неразрезные балки устраиваются
двухпролетными, трехпролетными и т. д. с консолями или
без них.
От нагрузки, приложенной в произвольном пролете,
возникают изгибающие моменты и поперечные силы во
всех ее пролетах. Эта способность неразрезных балок пе-
рераспределять внутренние силы приводит к уменьшению
значений пролетных моментов по сравнению с однопро-
летными балками и меньшему расходу материалов на
их возведение. Благодаря высокой экономичности, на-
дежности и повышенной жесткости неразрезные балки
широко используются в строительстве. Например, в пе-
рекрытиях зданий, при устройстве проезжей части мо-
стов, эстакад и т. д. К недостаткам относится возникно-
вение дополнительных сил от неравномерной осадки опор
и от изменения температурного режима.
Многопролетную статически неопределимую балку
можно рассчитать любым классическим методом строи-
тельной механики. При расчете неразрезной балки по
методу сил для упрощения основную систему выбирают
такой, чтобы эпюры от единичных сил взамен отброшен-
ных связей имели меньшее число общих участков. Для
этого вводят шарниры на всех промежуточных опорах
и крайних жестких. Степень статической неопределимо-
сти неразрезной балки находят по формуле
Л = Соп 3,
где Соп — число опорных стержней; 3 — трп уравнения статическо-
го равновесия.
Рассмотрим балку (см. рис. 35.1, а). Степень стати-
ческой неопределимости равна четырем: Л = 7—3=4.
Пронумеруем опоры неразрезной балки слева направо
423
цифрами О, 1, 2, 3 и 4. Длину пролетов нумеруем по но-
меру правой опоры данного пролета /2, /з и /4. Край-
нюю левую жесткую опору представим в виде трех опор-
ных стержней (рис. 35.1, б) и отбросим правую консоль,
влияние которой заменим моментом М3=—F2a. Основ-
ную систему получим путем введения шарниров на про-
межуточных опорах 0,1,2 и 3. Взамен отброшенных свя-
зей приложим слева и справа от каждого шарнира про*
424
тивоположно направленные опорные моменты Mo, МьМг
и М3 (рис. 35.1,6). Выбранная основная система пред-
ставляет собой совокупность статически определимых
однопролетных балок. Нагрузка, приложенная в любом
пролете, а также неизвестные опорные моменты М;=1
вызывают появление М и Q только в том пролете, где
приложена эта_нагрузка. Эпюры изгибающих моментов
от единичных М;=1 (рис. 35.1, в—е) и заданной нагруз-
ки (рис. 35.1, ж) в основной системе строятся отдельно
для каждого пролета, как для однопролетной балки.
Канонические уравнения записывают из условия ра-
венства нулю взаимного угла поворота на каждой про-
межуточной опоре (где введен шарнир) для левого и
правого сечения смежных однопролетных балок основ-
ной системы, так как в заданной неразрезной балке в
этом сечении нет шарнира. Для рассматриваемой балки
канонические уравнения имеют вид:
Soo^o+5oi^ + Aof=0:
6^0+6^ + ^+^= °;
632 M2+« + A3f = 0.
При таком выборе основной системы каждое канони-
ческое уравнение содержит не более трех неизвестных.
Например, во второе уравнение входят только неизвест-
ные Мо, Мь М2. Неизвестное М3 не_входит, так как б13 =
= 0, поскольку единичные эпюры Mi и М3 не имеют об-
щих участков. Каноническое уравнение такого вида по-
лучило название уравнения трех неизвестных опорных
моментов, или трех моментов. Оно впервые было получе-
но Клапейроном и носит его имя. Рассмотрим произволь-
ное каноническое уравнение, например, уравнение, запи-
санное для опоры 2, и вычислим коэффициенты при не-
известных и свободный член
б2Л1+522Л12+523УИз + ^=0-
Будем считать, что жесткость балки постоянная по всей
длине. Вычисление коэффициентов и свободного члена
выполним по правилу Верещагина путем перемещения
соответствующих эпюр.
Yf M^ds 1-/2 /2
0)2 - EJ — 2EJ3 — f>EJ ’
425
V Г M22ds _ ь/22 1-/3-2 .
0’2 EJ 2EJ3 'И 2Ej'3 ’
x Vf l/3 l3
023 EJ - 2EJ-3 “ &EJ '
f 0>2y2 в>зу3
2F~ J EJ ~ EJ + EJ ~
_ to2 a2 । to3 ^3
” EJl2 + EJl3 ’
где y2=a2/4; Уъ=Ь%11ъ\ o)2 и co3 — площади эпюр изгибающих мо-
ментов в основной системе от внешней нагрузки в пролетах /2 и /3.
Подставив вычисленные значения коэффициентов и свободного члена
в уравнение, получим
/, 1 /3
777^ + —-(/2+/3)м2+-|-м3 =
ОС/ ОС J ОС J
_ 1 / <*>2 а2 , to3 ^3 \
~~ EJ [ 12 * /3 Л
Умножим левую и правую части полученного уравнения
на 6EJ и обозначим (по отношению к опоре 2): М{ =
= Л1лев‘, Л^2==^ср1 Л4з = Л1пр*, /2==^лев‘, /з==^пр’, (02==^лев‘^
а2 = алев; (о3=(опр; Ь3 = &пр. Получим уравнение трех мо-
ментов следующего вида:
^лев МЛев + 2 (/Лев + ^пр) МСр + ^пр ^пр =
~ ( ^лев алев , wnp ^пр \
= — о ----------------f- ------I.
\ ^лев ^пр /
Таким образом, в каждое каноническое уравнение,
выражающее условие неразрывности деформации на про-
межуточной опоре, входят три неизвестных: опорный мо-
мент на данной опоре Мср и два опорных момента на
смежных опорах — слева (Мдев) и справа (Мир). Для
расчета неразрезной балки необходимо записать столь-
ко уравнений трех моментов, сколько балка имеет про-
межуточных опор. Из совместного решения системы всех
уравнений трех моментов определяют неизвестные опор-
ные моменты и строят их эпюру. Для этого над опорами
неразрезной балки откладывают ординаты найденных
опорных моментов (с учетом их знаков) и их вершины
соединяют прямыми линиями. В неразрезных балках из-
гибающие моменты, вызывающие растяжение в нижних
волокнах, принимаются положительными, а при растя-
жении в верхних волокнах — отрицательными. Оконча-
426
тельную эпюру изгибающих моментов строят способом
алгебраического суммирования эпюры опорных момен-
тов и эпюр от заданной нагрузки, построенных в основ-
ной системе.
Величину пролетного момента в л-ом пролете для се-
чения, расположенного на расстоянии z от левой опоры,
определяют по формуле
= Л?Рг + Млев (/п - г)/ 1п + /Ипр (г/1п) (
где Млев и Мпр — левый и правый опорные моменты н-го пролета,
значения которых подставляют в формулу с учетом их знаков;
— балочный изгибающий момент от заданной нагрузки в сечении
z от левой опоры л-го пролета. Значение принимается по эпюре А^;
1п — длина n-го пролета неразрезной балки.
Эпюру поперечных сил можно построить по эпюре М
с использованием дифференциальной зависимости меж/у
М и Q. Обычно эпюру Q строят для каждого пролета от-
дельно, а затем результаты складывают. В этом случае
значения поперечных сил для n-го пролета определяют
по формуле
^=Qz+(^np-^eB)/Zn-
где Qa — балочная поперечная сила в сечении z п-ro пролета от за*
данной нагрузки.
Опорные реакции в балке определяются по формуле
<?п + ^+1 •
где Qn и Qn+i — поперечные силы, действующие слева и справа от
опоры.
Детали расчета неразрезной балки поясним на при-
мере.
Пример. Для балки (рис. 35.2, а) построить эпюры М и Q.
Решение. Степень статической неопределимости Л = 6—3=3.
Отбросим левую консоль и ее влияние заменим опорным моментом
Af0 =—Fia = —4 кН«м. Правую жесткую опору представим тремя
опорными стержнями с пролетом между ними /4=0. Основную си-
стему выберем, введя шарниры на промежуточные опоры 1, 2, 3.
Приложим опорные моменты Afb М2 и Af3 (рис. 35.2,6). Построим
эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 35.2, в).
Составим уравнения трех моментов для промежуточных опор 2
й 3:
I Мо к 4* 2А11 (/А -|- /2) 4“ AI2 I2 =— 6^2 ^2/ ^2>
I Ml /2 + 2A^2 (/2 Ч" /з) Ч“ М3 = ((&2 а2^ ^2 Ч~ ^3 ^3/ ^3) ' 6»
I 4“ 2А43 (Z3 + /4) 4- Mi li =— (хоо а3/Z3.
427
cl
!ИИППНИ!
Рис. 35.2
Вычислим площади эпюр (о2, соз и расстояния от центров тя-
жести площадей эпюр до опор: (о2=2-6’4/3= 16 кН-м2;
= /2/2=2 м; соз=1 • 12-4/2=24 кН-м2; а3 = 63=/3/2=2 м.
После подстановки числовых значений (с учетом /Ио=—4 и
/4=0) и преобразования система уравнений примет вид:
20Мх + 4М2 =— 24;
4МХ+ 16.М24-4М3=— 120;
4М2 + 8М3 =— 72,
428
откуда Afx = O;
М2=—6 кН*м;
М3=—6 кН-м.
Строим эпюру опорных моментов Моп (рис, 35.2, д) и эпюру
поперечных сил QOn (рис. 35.2, е) от этих моментов.
Окончательные эпюры Мок и Qo* (рис. 35.2, ж и 35.3, и) получим
путем алгебраического суммирования эпюр Моп, Мр и эпюр QOa
и Qf**
§ 35.2. Расчет неразрезных балок на постоянные
и временные нагрузки.
Для создания надежного сооружения расчет на проч-
ность производят на неблагоприятные сочетания посто-
янных и временных нагрузок, вызывающих наибольшие
положительные и отрицательные изгибающие моменты
и поперечные силы. При определении максимального
изгибающего момента Л4тах в заданном сечении к изги-
бающему моменту от постоянной нагрузки Л4ПОст при-
бавляют все положительные моменты от временных на-
грузок 2Л1вр в этом сечении:
44щах = Мдост + 2Л4+Вр-
При определении минимального момента Л4т1п в за-
данном сечении к Л4ПОст от постоянной нагрузки прибав-
ляют все отрицательные моменты от временных нагрузок
244—вр*
Л1ш1п=Л1Пос1 + 2Л1-вР-
Характер распределения Mmax и МШ1п по длине бал-
ки изображают в виде совмещений эпюры, которая на-
зывается объемлющей эпюрой Мтах . Аналогично вы-
mln
числяют наибольшие и наименьшие поперечные силы в
сечениях балки по формулам
^тах ^пост + ^Ч-вр ’
^mln ^пост + 2^вр
и строят соответствующую объемлющую эпюру.
Пример. Для трехпролетной балки, нагруженной постоянной
нагрузкой <7=10 кН/м и временными нагрузками Fi = 20 кН, Л2=
=30 кН и р=12 кН/м (рис. 35.3, а), построить объемлющую эпюру
44 max*
mi n
Решение. Вначале загрузим заданную балку только постоянной
нагрузкой <7=10 кН/м, От постоянной нагрузки эпюра МПост пока-
429
41,
а) ГёМкН FfWKtt р=1!кН/м
ГТгЛ........
В 1^ С 2^' ]) 3*
р.5р,54 2J2 ,5М j
Рис. 35.3
зана на рис. 45.3, б. Затем последовательно загружаем балку вре-
менными нагрузками F2 и р и от каждой нагрузки отдельно
строим эпюры MFi, Мрг и Мр (рис. 35.3, в—д). По формулам
Мтах=Л4пост+2Л1+вр и Мт1п = МПост+Л1-вр вычисляем изгибающие
моменты в характерных сечениях и строим объемлющую эпюру
^юах (рис. 35.3, е),
min
§ 35.3. Расчет неразрезных балок и рам по таблицам
В проектной практике широко пользуются для ра-
счета статически неопределимых балок и рам готовыми
решениями. В справочной литературе1 приведены фор-
мулы для расчета двух-, трех-, четырех- и пятипролет-
ных неразрезных балок и различных схем рам (Г-образ-
ных, Т-образных, П-образных и т. д.), нагруженных рав-
номерно распределенной нагрузкой, сосредоточенными
силами и моментами. В справочниках значения изгибаю-
щих моментов в характерных сечениях записаны в бук-
венном виде, т. е. выражены через нагрузку, геометричес-
кие размеры (длину пролета и высоту) и отношения
жесткости элементов.
Чтобы получить численные значения моментов, до-
статочно в приведенную формулу подставить конкрет-
ные данные заданной балки или рамы. В качестве при-
мера рассмотрим расчет трехпролетной неразрезной бал-
ки постоянной жесткости с равными пролетами, нагру-
женной равномерно распределенной нагрузкой интен-
1 Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический, Кни-
га 1. — Стройиздат, 1972 г.
430
Т-5М [1=5 и | 1=5 И |z
Мв=5нНМ Мс=5кН-М
° ч^’ 27 ®
! М„= Wtf \мг1=1,25кНИ \Mtf4KH-M
j । t
Q0B-4kH | Qbc=5kH [ ИнгбкН { >
(W 4^!^^ @
Qbq-6kH Qqq-^kH
Рис. 35.4
°) \F=20kH
B EJ^tJ 27
EJj-EJ EJ,
0 C
77777 7/77,
г/2=зм^.
Рис. 35.5
сивностью q=2 кН/м (рис. 35.4,а). В Справочнике про-
ектировщика (см. с. 393) приведены следующие фор-
мулы для определения изгибающих моментов и попереч-
ных сил в фиксированных сечениях.
Пролетные моменты Л4н=0,08^/2, Л421 = 0,025 ql2.
Опорные моменты МВ=МС = —О,!*?/2.
Поперечные силы Qob=0,4^L Qbo=—0,6ql, QBc~
= 0,5 ql, Qcb=—0,5 ql, QcD=0,0ql, Qdc=—0,4 ql.
Подставив в эти формулы числовые значения для за-
данной балки, получим: Л1ц=0,08-2-52=4 кН-м; Л121 =
=0,025-2.52 = 1,25 кН-м; Л1В=Л4С=—0,1-2-52=5 кНХ
431
Хм; QOB = 0,4-2-5=4 кН; QB0 = — 0,6-2-5=—6 кН’
QBC = 0,5-2-5 = 5 кН; Qcb=— 0,5-2-5=—5 кН; QCd=’
= 0,6-2-5=6 кН.
По этим данным построены эпюры М и Q (рис.
35.4, б, в).
В качестве второго примера приведем порядок пост-
роения эпюры изгибающих моментов в П-образной ра-
ме, нагруженной сосредоточенной силой (рис. 35.5, а)<
Для расчета этой рамы воспользуемся решениями, при-
веденными в Справочнике проектировщика (см. с. 440).
MB = MD= Fl/(2 + = 1-20-6/4-4 = 7,5 кН-м;
МО = МС= Fl/(2 + k)-8 = 1-20-6/4-8 = 3,75 кН-м,
где
k = i2H1 = EJ2hHFJi = 4EJ-3/6/V = 2.
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 35, б.
ГЛАВА 36. РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН
§ 36.1. Общие сведения
Подпорными стенами называются инженерные соо-
ружения, предназначенные для удержания грунта или
сыпучего тела от обрушения. По конструктивному реше-
нию подпорные стены обычно подразделяют на три ос-
новные типа: массивные, тонкостенные (угловые) и
шпунтовые. Массивные подпорные стены — ограждения
с поперечными размерами примерно одного порядка по
ширине и высоте (рис. 36.1, а), которые возводятся из
монолитного бетона, кирпича, камня и т. п. Устойчи-
вость массивных подпорных стен обеспечивается в ос-
новном их собственным весом. Тонкостенные подпорные
стены возводятся из железобетона. Они состоят из свя-
занных между собой двух плит—вертикальной (ограж-
дающей) и горизонтальной (фундаментной) (рис.
36.1,6). Устойчивость стен этого типа обеспечивается в
основном весом грунта, расположенного на фундамент-
ной плите. Шпунтовые подпорные стены возводятся пу-
тем забивки в грунт сплошного ряда деревянных, желе-
зобетонных или металлических свай (рис. 36.1, в).
Устойчивость шпунтовых стен обеспечивается за счет
защемления свай в основании. Для уменьшения глуби-
ны забивки свай в грунт и повышения их жесткости
применяют анкеры. К подпорным стенам также относят-
432
Рис. 36.1
Рис. 36.2
ся. наружные стены подвалов зданий, набережные рек,
береговые устои мостов, ограждения дорог в выемках,
плотины и т. д. В настоящей главе рассматривается ра-
счет массивных подпорных стен.
• Нагрузкой на подпорную стену считается давление
массы грунта, которое удерживается стеной от обруше-
ния. Природные грунты отличаются большим разнооб-
разием физико-механических характеристик, определить
которые довольно сложно. К трудно определяемым и из-
менчивым характеристикам относятся силы сцепления
и трения между частицами грунта, поэтому при практи-
ческих расчетах грунтовую среду заменяют идеализиро-
ванной, которая называется идеально сыпучим телом.
Идеально сыпучее тело состоит из твердых однородных
частиц, между которыми отсутствуют силы сцепления.
Сыпучее тело по своим физическим свойствам занимает
промежуточное положение между твердым телом и жид-
костью. От твердого тела оно отличается тем, что оно
не способно оказывать противодействия отделению ча-
стиц друг от друга, а от жидкости—тем, что между его
частицами существуют силы трения. Такое тело, поме-
щенное в сосуд, оказывает давление на его вертикаль-
ные стенки, меньшее, чем гидростатическое давление,
за счет наличия сил трения между частицами. Сыпуче-
му телу присваиваются следующие основные физико-ме-
ханические характеристики грунта.
1. Пористость т|—отношение объема пустот (пор ) в
единице объема грунта ко всему объему. Пористость
выражается в отвлеченных числах или в процентах.
2. Удельный вес грунта уГр — вес единицы грунта,
Н/м3 или кН/м3. Удельный вес грунта зависит от плот-
ности частиц, от пористости и от степени заполнения его
водой.
28—480
433
3. Удельный вес грунта в воде увзв, Н/м’ или кН/м3.
При погружении грунта в воду он взвешивается и теряет
в весе в размере, равном весу объема воды, вытеснен-
ной твердыми частицами грунта. Удельный вес грунта
во взвешенном состоянии
Твэв = Угр — Тв (1 — Л) >
где ув — удельный вес воды.
4. Угол естественного откоса р — наибольший угол,
образуемый поверхностью свободно насыпанного грун-
та с горизонтальной плоскостью (рис. 36.2). Угол р ха-
рактеризует трение между частицами грунта на его по-
верхности. Коэффициент трения равен тангенсу угла ес-
тественного откоса, т. е. f=tgp.
5. Угол внутреннего трения ф— угол трения между
частицами внутри массы грунта. Ввиду трудности опре-
деления этого угла его обычно принимают равным углу
естественного откоса <р«р. Это допущение справедливо
только для несвязных грунтов, таких как песчаные грун-
ты, для которых можно пренебречь силами сцепления.
6. Угол трения грунта <р0 между частицами грунта и
поверхностью подпорной стены. Угол <р0 всегда меньше
угла внутреннего трения. Его величина зависит от шеро-
ховатости поверхности подпорной стены, ее влажности и
характеристик грунта. По СНиП угол <р0 принимают рав-
ным половине угла внутреннего трения: <ро=О,5ф. При
наличии специального обоснования допускается прини-
мать: для стен с грубой шероховатой поверхностью ф0=
=Ф и для мелкозернистых водонасыщенных песков или
при покрытии поверхности подпорной стены битумной
гидроизоляцией фо=О. Характеристики для основных
грунтов засыпки подпорных стен приведены в табл. 36.1.
Таблица 36.1
Наименование Удельный вес, кН/мя Угол внутрен- него тре- ния ф, град Угол трения, град, для
стали дерева бетона
грунта
Песок мокрый 20 20—25 ш 24
> влажный 17—18 40 18 21 25
> сухой 15—17 30—35 25—40 24 29—40
Глина мокрая 19—22 15—25 17—20 14 11
» влажная 17—19 25—35 22—35 —— 18
> сухая 16—17 40—45 35—45 — 32
Грави й мокрый 19—20 25—35 — — 22
> сухой 18 35—45 37—40 — 24—31
434
§ 36.2. Приближенная теория Ш. Кулона
Для определения давления грунта на подпорную сте-
ну разработаны различные теории, однако ни одна из
них не дает результатов, полностью совпадающих с
опытными данными. Это объясняется многообразным
взаимодействием между подпорной стеной и реальной
грунтовой массой. Давление грунта зависит от многих
факторов: от механических свойств, степени уплотнения
и способов засыпки грунта, от геометрической формы,
размеров и жесткости стены, от податливости основания
и от других трудно учитываемых параметров. Решение
задачи в общей постановке пока еще не получено, поэто-
му существующие методы расчета подпорных стен стро-
ятся на различных допущениях. При практических рас-
четах обычно пользуются наиболее простой, приближен-
ной теорией Кулона, заключающейся в следующем:
1. Реальный грунт, оказывающий давление на под-
порную стену, заменяется идеальным сыпучим телом, ко-
торое может воспринимать сжимающие и сдвигающие
усилия, но лишенное сцепления.
2. Давление на подпорную стену определяется не в
состоянии покоя (установившееся давление), а в тот
момент, когда подпорная стена начинает перемещаться
в сторону от грунта, но эти перемещения еще бесконечно
малы, т. е. в состоянии предельного равновесия. В со-
стоянии предельного равновесия (в момент обрушения)
давление грунта (сыпучего тела) на подпорную стену
достигает наибольшего значения и называется активным
давлением {или напором) грунта. В момент предельного
равновесия часть грунта начинает также перемещаться
вслед за подпорной стеной. Поверхность, по которой
происходит перемещение грунта, имеет криволинейное
очертание (на рис. 36.3, а — пунктирная линия). При
расчетах ее принимают за плоскость (на рис. 36.3, а —
линия ВН) и называют плоскостью обрушения или пло-
скостью скольжения. Находящаяся в движении часть
грунта (на рис. 36.3, а — треугольник КВН) называется
призмой обрушения или призмой скольжения, у которой
в качестве второй поверхности скольжения принимается
непосредственно задняя грань стены КВ.
3. Сползающая призма обрушения принимается в виде
абсолютно твердого тела, что позволяет заменить дейст-
вующие на нее объемные и поверхностные силы по пло-
28*
4^5
Рис. 36.3
скостям скольжения их равнодействующими G, RCt и /?гр
(рис. 36.3,а).
4. Сползающая призма находится в равновесии под
действием трех сил: собственного веса G, реакции /?ст
подпорной стены и реакции /?ГР остальной части грунта.
5. Принимается, что подпорная стена имеет неогра-
ниченную длину, ее поперечные размеры и состав грунта
являются постоянными по всей длине, т. е. любая выде-
ленная часть двумя параллельными сечениями, перпен-
дикулярными к продольной оси стены, находится в
условиях плоской деформации. Это обстоятельство по-
зволяет выполнить расчет подпорной стены как плоской
системы длиной, равной единице (1 м).
§ 36.3. Определение активного давления
Давление грунта на подпорную стену зависит от веса
в объеме призмы обрушения. Все призмы обрушения оп-
ределяются углом 0 наклона плоскости обрушения к го-
ризонту и удельным весом грунта угр, т. е. О = пл тР-ка
KBHvrp.
Угол 0 пока неизвестен, но, очевидно, он всегда дол-
жен быть больше угла внутреннего трения <р, так как
при их равенстве призма обрушения не могла бы сдви-
нуться по этой плоскости из-за наличия трения между
частицами грунта. Примем 0><р .(рис. 36.3, а).
В предельном состоянии, когда призма обрушения
КВН начнет перемещаться вниз, реакция со стороны
стены /?ст отклонится от нормали к ее поверхности в сто-
рону, противоположную движению призмы, на угол фо
трения между грунтом и подпорной стеной. Аналогично
отклонится от нормали к плоскости обрушения реакции
со стороны грунта на угол ф внутреннего трения грунта
436
по грунту. Все три силы в предельном состоянии изобра-
жены на рис. 36.3, а.
Поскольку призма обрушения находится в равнове-
сии, то три силы G, Ret и Rrp должны пересекаться в од-
ной точке и силовой треугольник из этих сил должен
быть замкнутым (рис. 36.3,6). Здесь обозначено: ф =
=90°—е—фо, где е — угол между вертикальной линией
и наклонной задней гранью КВ подпорной стены.
Давление грунта на подпорную стену Ел равно реак-
ции Ret и противоположно направлено. Из силового тре-
угольника (рис. 36.3, б) на основании теоремы синусов
находим
/?CT/G = sin (9 — <р)/sin [180° — (ф + 9 — ф)],
откуда
Еа = Ret = G sin (9 — Ф)/sin (ф + 9 — ф) •
В полученной формуле RCt, а следовательно, и давле-
ние грунта Еа на подпорную стену зависит от угла 0 на-
клона плоскости обрушения к горизонтальной линии.
Согласно теории предельного равновесия, следует
принять угол 0 наклона плоскости обрушения таким,
чтобы активное давление грунта на подпорную стену
было бы небольшим. Для нахождения угла 0, при кото-
ром давление достигает наибольшего значения, исследу-
ем полученную функцию RCt на экстремум. Найдем про-
изводную по углу 0 и приравняем ее нулю:
, sin (9—Ф) d sin (9 — ф)
dRct/dd = dGldf)----1——------f- G---------1= 0.
sin (ф -f- 9 — ф) dd sin (Ф + 9 — ф)
Опуская промежуточные довольно сложные преобра-
зования *, окончательно получим следующую общую фор-
мулу для определения активного давления на подпор-
ную стену:
1 .„ cos2 (ф — е)
Ra = 2 ?грЛ-г- ----------------------]2
. / sio(T + <..),ln№-a) s. о
V sin ф cos (е — a) J
Если грунт засыпки ограничен горизонтальной плос-
костью а=0, а поверхность стены идеально гладкая
ф0=0, формула примет вид:
1 Доказательство этой формулы см. Клейн Г, К. «Строительная
механика сыпучих тел». — М.: Стройиздат, 1977,
437
1 Г / л ф 4- в \
Еа = — Угрh2 tg(45°——------1 + tg eI cose.
" L \ / J
Если грунт засыпки ограничен горизонтальной плос-
костью а=0, поверхность стены вертикальная и идеаль-
но гладкая е=фо=0, получим
£a=-7Vrpftatg»(45°-q>/2).
§ 36.4. Распределение интенсивности активного
давления грунта по высоте подпорной стены
Кроме полной величины активного давления грунта,
при расчете подпорной стены необходимо знать закон
распределения интенсивности давления по высоте стены,
чтобы найти точку приложения равнодействующей этого
давления. Запишем формулу полного активного давле-
ния при а=е=<ро=О:
£а=у Vrp л? tg“ (45° — ф/2),
Здесь высота стены h отсчитывается от верха стены.
Для определения величины полного активного давле-
ния на произвольной глубине у (рис. 36.4, а) от верха
стены, очевидно, в эту формулу необходимо вместо Л
подставить у, т. е.
Еау =-£-Trpt/?tg2(45°-<p/2).
Из анализа полученного выражения видно, что вели-
чина полного активного давления по глубине стены из-
меняется по закону квадратичной параболы.
Зная закон изменения полного активного давления
грунта, легко определить интенсивность активного дав-
ления на любой глубине от верха подпорной стены. Ин-
тенсивность активного давления грунта равна производ-
ной полного давления по переменной у:
qay = dEaV!dy = угр у tg? (45° — <р/2).
Таким образом, интенсивность активного давления
грунта на стену изменяется по линейному закону. Эпюра
интенсивности активного давления имеет вид треуголь-
ника с наибольшей ординатой на уровне подошвы стены
(рис. 36.4, б). При y=h
?e/»=Vrp/itg?(45°-<p/2>.
438
Рис. 36.4
Площадь эпюры интенсивности давлений равна пол-
ной силе (равнодействующей) активного давления грун-
та на подпорную стену:
Еа = qah h/2 = -у Vrp Л? tg? (45° - <р/2).
Полная сила активного давления приложена на уров-
не центра тяжести эпюры интенсивности давлений.
В данном случае эпюра интенсивности давления имеет
вид треугольника, и ее центр тяжести находится на рас-
стоянии Л/3 от основания стены (рис. 36.4,6). Для под-
порной стены с наклонной задней гранью под углом е к
вертикали, при горизонтальной засыпке а=0 и идеаль-
но гладкой поверхности стены <ро=О полное активное
давление определяется по формуле:
Еа = -^ЧТР^
(Ф Ч- е\
45°-1yj4-tge/ cGse.
Соответственно полное давление на глубине у
1
^ау = 2 ^гр
(Ф Ч- е\
45°-^)4-tge
cos е.
В этом случае полное давление также изменяется по
закону квадратичной параболы. Интенсивность активно-
го давления по длине наклонной грани, перпендикуляр-
ного к ее поверхности, равно производной полного дав-
ления по переменной г.
Интенсивность активного давления по длине наклон-
ной грани стены также изменяется по линейному зако-
ну и имеет вид треугольника с наибольшей ординатой
на уровне основания стены (рис. 36.5, а). Обычно эпюру
интенсивности активного давления строят не на наклон-
ной грани, а на ее проекции на вертикальную ось (рис.
439
36.5, б). Горизонтальную составляющую интенсивности
активного давления определяют по формуле
з
4ah = 4ar/cos 8 = тгр Л tg 45° -
<Р + е\
2 )
+ tge
соз е.
Полная сила активного давления равна площади
эпюры интенсивности давлений
Еа — Q&h h/2.
Точка приложения полного давления Еа находится на
расстоянии й/3 от основания стены, и оно направлено
перпендикулярно к наклонной грани.
§ 36.5. Влияние равномерно распределенной нагрузки,
приложенной на поверхности засыпки
На поверхности засыпки за подпорной стеной часто
действуют различные временные нагрузки от веса скла-
дируемых материалов, от транспорта и т. п. Рассмотрим
наиболее характерную из них в виде равномерно распре-
деленной нагрузки интенсивностью р (Н/м2 или кН/м2),
действующей в пределах призмы обрушения (рис.
36.6, а). Согласно проведенным экспериментальным ис-
следованиям, данная поверхностная нагрузка создает
дополнительное давление по всей высоте подпорной сте?
ны почти одинаковой интенсивности, поэтому равномер-
но распределенную нагрузку, действующую на поверх-
ности засыпки, условно заменяют эквивалентным слоем
грунта Ло, вес которого равен интенсивности р заданной
нагрузки:
Тгр ^0 = Р»
откуда
ho = р/Тгр-
Полную высоту стены от ее верха увеличивают на
вычисленное значение й0 и для полученной преобразован-
ной высоты (й+й0) с эквивалентным слоем грунта по
приведенным выше формулам определяют суммарной
значение давления от грунта и равномерно распределен-
ной нагрузки.
Для подпорной стены (рис. 36.6,6), имеющей верти-
кальную и идеально гладкую поверхность задней грани
(е=ф0 = 0) и горизонтальную плоскость засыпки (а = 0)
интенсивность суммарного давления у верха стены
<7о = Тгр hQ tg2 (45° — tp/2) = р tg2 (45° — <р/2),
440
lah
Рис. 36.6
интенсивность суммарного давления у основания стены
Я ah = Угр (Ло+Л) tg? (45° — ф/2).
По этим данным строится эпюра интенсивности ак-
тивного давления на заданную подпорную стену (рис.
36.6, в), которая имеет вид трапеции. Полное суммарное
давление равно площади трапеции эпюры интенсивности
давления:
Еа = (<7о + <7ай) Л/2.
Точка приложения полного давления находится на
уровне центра тяжести трапеции (рис. 36.6,6):
Ус = Л(‘7аЛ + Ч)/3(‘?ал + <?о)-
§ 36.6. Влияние грунтовой воды
Грунтовая вода, полностью заполняющая поры грун-
та (водонасыщенный грунт), совместно с грунтовой за-
сыпкой создает большее давление на подпорную стену,
чем одно давление маловлажного грунта. При расчетах
подпорных стен влияние грунтовой воды разделяют на
два воздействия: на гидростатическое давление воды, на-
правленное перпендикулярно к поверхности грани стены,
и активное давление грунта во взвешенном состоянии,
направленное под углом фо к поверхности стены. Сум-
мировать эти давления можно только тогда, когда угол
фо принимается равным нулю.
В качестве примера рассмотрим подпорную стену с
вертикальной и гладкой гранью (е=ф0=0) и горизон-
тальной засыпкой (а=0) (рис. 36.7,а). Засыпка грун-
та по высоте стены имеет постоянный удельный вес,
44Г
Рис. 36.7
равный угр. Уровень грунтовых вод находится на высо-
те Л2 от основания стены.
В верхней части стены, где грунт находится в усло-
виях естественной влажности, интенсивность давления
на глубине h\\
= Угр Л1 tg2 (45°-ср/2).
На нижнем участке стены грунт находится в водона-
сыщенном состоянии, давление на подпорную стену
складывается из давления грунта во взвешенном состоя-
нии и гидростатического.давления воды. Для определе-
ния давления грунта вышележащую часть грунта высо-
той hi приведем к объемному весу взвешенного грунта.
Высота эквивалентного слоя hQ равна весу грунта вы-
сотой Ль т. е. угр/11 = йоувзв, откуда Л0=ТгрЛ1/твзв.
Для грунта во взвешенном состоянии следует также
принимать и другой угол внутреннего трения фвзв<ф.
Интенсивность давления от эквивалентного слоя на глу-
бине /и:
яо = h0 YB3B tg» (45° - -^-)= Угр /I, tg? (45° - фвзв /2).
На глубине Ль где засыпка грунта имеет разные углы
внутреннего трения фВЗв<Ф, интенсивности давлений бу-
дут разными: qo>qi. Интенсивность давления грунта во
взвешенном состоянии на уровне основания стены
?взв =(Л0 + \)?взв tg? (45° - фвзв /2).
К вычисленному значению давления от грунта во взве-
шенном состоянии необходимо добавить треугольную
эпюру интенсивности гидростатического давления воды
на нижнем участке стены, с наибольшей ординатой у ос-
нования стены, равной Суммарная эпюра ин-
тенсивности давления на подпорную стену показана на
рис. 36.7, б.
442
§ 36.7. Пассивное давление грунта
При перемещении подпорной стены в сторону грунта
в нем возникает пассивное давление (отпор) £п как ре-
активное сопротивление этому перемещению. Например,
при действии на береговой устой моста внешнего гори-
зонтального усилия от вышележащих конструкций по
задней грани устоя возникает пассивное давление грунта
(рис. 36.8, а)' или от активного давления грунта Еа по
передней грани стены возникает пассивное давление
(рис. 36.8,6).
Значение равнодействующей пассивного давления
Еп и состояние грунта зависит от величины перемеще-
ния подпорной стены. При малых перемещениях стены
не происходит образования призмы выпирания, анало-
гичной призме обрушения. При определении пассивного
давления при образовании призмы выпирания пользу-
ются теми же допущениями, которые были введены при
определении активного давления грунта. При этом на
призму выпирания силы трения будут действовать в про-
тивоположную сторону по сравнению с тем, как они
действовали на сползающую призму, т. е. отклонение
сил /?ст и /?Гр происходит вниз (рис. 36.8, в).
Пассивное давление определяется из условия равно-
весия трех сил G, Rcr и Rrp в момент предельного равно-
весия, т. е. так же, как и при вычислении активного дав-
ления. Это обстоятельство позволяет пользоваться фор-
мулами активного давления грунта после изменения в
них знаков при углах <р и <р0 на противоположные. Напри-
мер, пассивное давление для стены с вертикальной и
гладкой задней гранью (е=фо=О) и горизонтальной
(а=0) засыпкой вычисляется по формуле
£п = Y?rp/lS(45° + 'p/2)-
Рис. 36.8
443
Вычисленное значение пассивного давления соответ-
ствует довольно большим перемещениям подпорной сте-
ны. Если реальная подпорная стена не получает боль-
ших перемещений, то в СНиП рекомендовано принимать
коэффициент бокового давления равным единице, т, е.
=tg2 (45°+q)/2) = 1.
§ 36.8. Расчет подпорных стен на устойчивость
и прочность
Для удержания грунта от обрушения подпорная сте-
на должна обладать достаточной устойчивостью и проч-
ностью. В связи с этими требованиями подпорные стены
рассчитываются на устойчивость против опрокидывания
относительно нижнего переднего ребра (точка В, рис.
36.9) и сдвига по плоскости подошвы стены и на проч-
ность самой стены и грунта в ее основании.
Условие устойчивости против опрокидывания под-
порной стены должно удовлетворять неравенству
М <т0 Мпр,
где М — расчетный опрокидывающий момент относительно центра
тяжести подошвы подпорной стены, равный алгебраической сумме
расчетных моментов всех сил, действующих на стену; то — коэффи-
циент условий работы, который принимается для подпорных стен
промышленных сооружений, то=О,9 и для подпорных стен граждан-
ских сооружений то=0,8. Л4Пр — предельный опрокидывающий мо-
мент относительно той же точки подошвы стены: Мпр=л2№епр, где
ЛГН — вертикальная нормативная составляющая всех сил, действую-
щих на подпорную стену, № = GH+£y; еПр — предельный эксцентри-
ситет силы равный расстоянию от центра тяжести подошвы
стены до переднего нижнего ребра, enp=W2; МПр= (n2GH + ni£y)&/2.
При вычислении расчетных моментов нормативные
силы от активного давления стремящиеся опрокинуть
подпорную стену, умножатся на коэффициент перегруз-
ки, больший единицы 1 (для насыпного грунта =
= 1,2). Нормативные силы, препятствующие опрокиды-
ванию (нормативные силы от собственного веса стены
GH, нормативная сила от пассивного давления Е^, умно-
жаются на коэффициент перегрузки, меньший единицы
п2< 1 (/12=0,9). Для подпорной стены (рис. 36.9) рас-
четный опрокидывающий момент
м==п1 ЕхУ1-п1ЕПу( *i+ -n2GH е^п.2Е^у2.
Условие устойчивости против сдвига подпорной стены
444
по плоскости подошвы должно удовлетворять следующе-
му неравенству:
т < /wcTnp,
где Т — расчетная сдвигающая сила, равная сумме проекций всех
расчетных сил активного давления на плоскость скольжения Т=
= ni£”; тс — коэффициент условий работы, который для подпорных
стен промышленных и гражданских сооружений пока не установлен.
Обычно его принимают тс=0,9; ТПр — предельная сдвигающая сила,
равная сумме проекций сил на плоскость скольжения, препятствую*
щнх сдвигу, и сил трения от нормальных сил.
Здесь также те нормативные силы, которые стремят-
ся сдвинуть подпорную стену, умножаются на коэффици-
ент перегрузки, больший единицы: ni>l, а силы, пре-
пятствующие сдвигу, умножаются на коэффициент пере-
грузки, меньший единицы: п2<1:
Гор = (6ИП2+Е”П1}Ь
где f — коэффициент трения материала подпорной стены о грунт ос-
нования.
Для различных грунтов оснований принимают следу-
ющие значения коэффициентов трения:
445
Для глин, глинистых известняков, глинистых слан-
цев влажных .................................... 0,25
То же, для сухих, а также суглинков и супесей . 0,3
Для песков.................................. 0,4
» крупнообломочиых грунтов ...... 0,5
» скальных » ................. 0,6
Прочность самой подпорной стены зависит от напря-
жений, возникающих в ее поперечных (горизонтальных)
сечениях от давления грунта и веса вышележащей части
стены. Для расчета на прочность подпорную стену по
высоте делят на несколько частей и определяют равно-
действующую в этом сечении всех сил, расположенных
выше сечения. Равнодействующую приводят к внецент-
ренно приложенной нормальной силе Ni. При вычислении
нормальной силы N{ нормативный вес стены умножается
на коэффициент перегрузки, больший единицы. Напря-
жение в любом из сечений определяется по формуле для
внецентренного сжатия, которое не должно превышать
расчетного сопротивления материала стены;
стшах = N-JAt ± Ni et/Wtt <R,
где е,- — эксцентриситет приложения силы Nt в i-ом сечении; Л< =
=&<•!—площадь горизонтального сечения подпорной стены длиной
1 м; 1Г2{ = 1-6^/6— момент сопротивления поперечного сечения;
bi — ширина i-ro сечения.
Расчет по условию прочности грунта в основании
подпорной стены производится на действие равнодейст-
вующей от всех сил, приложенных к подпорной стене.
Равнодействующую всех сил также приводят к внецент-
ренно приложенной нормальной силе N по подошве сте-
ны. При определении М нормативный вес стены также
умножается на коэффициент перегрузки, больший еди-
ницы. Точка приложения нормальной силы N может на-
ходиться в пределах ядра сечения или вне его.
Если нормальная сила N находится в пределах ядра
сечения (е^Ь/6), то грунт по всей площади подошвы
сжат (рис. 36.10,6). Наибольшее давление у нижнего
переднего ребра определяется по формуле
Ртах = ^/-4 ± We/IFZ </?Ос-
которое должно быть меньше или равно расчетному со-
противлению грунта основания /?Ос.
Если нормальная сила W приложена вне ядра сечения
446
(е^Ь/Ъ), то в этом случае под подошвой стены должны
были возникнуть растягивающие напряжения, которые
грунт не может воспринимать. В этом случае эпюру дав-
лений принимают сжимающей треугольного вида (рис.
36.10, в).
Из условия равновесия площадь эпюры давлений
должна быть равна jV и ее центр тяжести должен лежать
на линии действия силы N, т. е. pmaxbi*l/2=W и C=fei/3.
Условие прочности записывается в следующем виде:
Ртах = 22V№cL /?ос*
ГЛАВА 37. РАСЧЕТ НА ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
И ОСАДКУ ОПОРНЫХ СВЯЗЕЙ
§ 37.1. Расчет рамы на тепловое воздействие
Кроме силовых нагрузок от собственного веса, веса
технического оборудования, снега и т. п. строительные
сооружения в процессе эксплуатации подвергаются теп-
ловому воздействию (нагреву элементов) и различным
перемещениям (осадкам) опорных связей.
В статически определимых системах от теплового
воздействия не возникают внутренние силовые факторы,
а только происходит деформация системы за счет удли-
нения и искривления осей стержней, и поперечные сече-
ния получают линейные и угловые перемещения. В ста-
тически же неопределимых системах развитию дефор-
маций от теплового воздействия препятствуют избыточ-
ные связи, что приводит к появлению в этих системах
внутренних сил. При определении внутренних силовых
факторов в статически неопределимой системе от тепло-
вого воздействия по методу сил начальная стадия расче-
та аналогична расчету на внешние нагрузки: определя-
ется степень статической неопределимости заданной си-
стемы, выбирается основная система, строятся эпюры от
единичных неизвестных сил взамен отброшенных избы-
точных связей и выполняются проверки вычисленных
коэффициентов при неизвестных. Отличие появляется в
канонических уравнениях. Перемещения от нагрузки в
основной системе заменяются перемещениями Дд,
447
вызванными тепловым воздействием по направлению от-
брошенных избыточных связей. Например, для системы
два раза статически неопределимой канонические урав-
нения при расчете на тепловое воздействие записывают-
ся в следующем виде:
Xi + ^12 + &Lt = 0; 1
^21 Xi + 622 Х2 + Д2< = 0. J
Каждое каноническое уравнение составлено из усло-
вия равенства нулю полного перемещения по направле-
нию отброшенной связи в основной системе от действия
всех неизвестных Xj и теплового воздействия, так как в
заданной системе по этому направлению оно запрещено.
Перемещение (свободный член) определяется по
формуле Максвелла—Мора
Л v (*f — *2) а С 77 + У а С V Лс
Дд — 2 I Mj ds + J - I Nj dst
где Mj — эпюра изгибающих моментов в основной системе от силы
Xj = l; а — коэффициент линейного расширения материала; /Vj —
эпюра продольных сил в основной системе от силы Xj=l; d — тол-
щина нагреваемого элемента; ti и /г— температура в крайних во-
локнах по толщине элемента рамы.
Так как в основной системе эпюра изгибающих мо-
ментов от теплового воздействия отсутствует, то оконча-
тельная эпюра изгибающих моментов в заданной систе-
ме состоит только из одних единичных эпюр, умножен-
ных на найденные значения неизвестных
М0К = М1 Xi + M2X2.
Универсальная кинематическая проверка оконча-
тельной эпюры изгибающих моментов состоит в опреде-
лении полных перемещений в основной системе по на-
правлению отброшенных связей от совместного действия
усилий Xj и теплового воздействия, которые должны быть
равны нулю: __
уч г мокм2* уч
EJ +^ДЯ-0.
Эпюры Q и N строятся так же, как при расчете на
внешние нагрузки.
Пример. Построить эпюры Mt Q и N в раме (рис. 37.1,а), на-
ружные волокна стержней которой нагреваются до /1=50 °C, а
внутренние волокна—до /2=10 °C, если £7=15 МН-м2, а=10~5 и
высота поперечных сечений всех стержней d=0,4 м,
448
£‘ZE ‘and
I ZC and
Решение. Степень статической неопределимости заданной рамы
равна: Л=Cqn + Ш—ЗД=5+0—3* 1 =2.
Выбираем основную систему, отбросив опорные стержни в опо-
ре D (рис. 37.1,6).
Записываем канонические уравнения:
^11 + ^12 %2 + = 0» 1
^21 + ^12 %2 + ^2t = О* J _
Загружая основную систему последовательно силами Xi = l и
Xi=l, строим_эпюры изгибающих моментов Afj и Af2 и эпюры про-
дольных сил и Л^2 (рис. 37.1,8—е). Вычисляем коэффициенты при
неизвестных, для определения которых учитываем только изгибаю-
щие моменты:
«1* 3-3-2-3 3-6-3 3-3-2-3 72
EJ ~ 2-3EJ + EJ + 2-3EJ ~ EJ ’
х _ УСМ».*— 3-3‘6 _ 3-6'3 — 81 -
012EJ 2EJ EJ EJ '
s VI f ds 6-3-6 6-6-2-6 180
22~^Jj EJ ~ EJ + 2-3EJ ~ EJ '
Вычисляем свободные члены канонических уравнений
(50—10)аЗ-3 (50—10)аЗ-6 (50—Ю)а3-3
14 ~ л л ° 0,4 0,4-2
0,4-2
(50+ 10) аб
- - -----= 2520а;
2
/ 50—10)а6-3 (50—10)а6-3 (50 +
2‘~ \ 0,4 ~ 0,4-2 + 3
(50+ 10) аЗ
— ———--------=— 2700а.
2
Подставляя полученные значения коэффициентов при неизвест-
ных и свободные члены в канонические уравнения, получим:
72Хх — 81Х2 + 2520EJa = 0; 1
— 81Xi + 18Х2 — 2700EJa = 0.)
Решая эту систему уравнений, находим Xi=—36,7 EJa и Х2-
=—15,19 EJa.
Отрицательные значения найденных сил Xi и Х2 показывают,
что их действительные направления противоположны первоначаль-
но принятому.
Строим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 37.2, а).
Мок = Mi Xi +ЛХ2.
. Выполняем универсальную кинематическую проверку построен-
ной Л4ок
* V f , , . , . 101аЗ 1п , 3\
ej <Ь+Ди++т)_
450
9,ПаЗ/ ( 2-3 \ 9.Наб/ 2-3 3 \
~ 2\3^3/2\3 3/
ИОаЗ-2-З
— ——----+ 2520а + 2700а =0,35.
л* О
Погрешность составляет 0,35* 100/3126=0,01%, следовательно,
эпюра Мок построена верно.
Эпюры Q н N строим по эпюре Мок {рис. 37.2, б, в).
§ 37.2. Расчет рам на осадку опорных связей
От осадки опорных связей (перемещений линейных и
угловых) в статически неопределимых системах, так же
как и от теплового воздействия, возникают дополнитель-
ные внутренние силы.
Начальная стадия расчета статически неопределимой
системы методом сил на осадку опорных связей также
аналогична расчету на внешние нагрузки. Отличие по-
является при записи канонических уравнений, в которых
свободные члены от внешней нагрузки Ад? заменяются
перемещениями Д/с, вызванными заданной осадкой опор-
ных связей в основной системе по направлению отбро-
шенных избыточных связей.
Для системы два раза статически неопределимой ка-
нонические уравнения записываются так:
6и\ + 612х2+д1с = о; |
+ д2С = о. J
Свободные члены Д/С в канонических уравнениях вы-
числяются в зависимости от вида выбранной оснрвнсй
системы.
Если при выборе основной системы была отброшена
избыточная связь, по направлению которой не происхо-
дит в заданной системе осадки опоры, то свободный член
определяется по формуле
А/С=-ЦЛд.
где Rj — реакция от единичного неизвестного Х> = 1, возникающая
в основной системе в опоре, которая имеет заданную осадку Дзад.
Если при выборе основной системы была отброшена
связь, по направлению которой имеется заданное пере-
мещение, то свободный член уравнения непосредственно
равен этому перемещению Д/с = ± Азад. При этом свобод-
ный член считается положительным, если направление
29* 451
заданного смещения опоры и направление неизвестного
усилия Xj, приложенного к самой опоре, совпадает или
противоположно направлению неизвестного Xj, прило-
женного к отсеченной от опоры раме.
Окончательная эпюра изгибающих моментов в задан-
ной системе состоит только из одних единичных эпюр,
умноженных на найденные значения неизвестных:
Л1ок = ~Ь Л4г Х% 4-...
Универсальная кинематическая проверка построен-
ной окончательной эпюры изгибающих моментов произ-
водится по условию
Г м^М-
дхс= р, -Ф + Чс = °-
с/ £3 J
По эпюрам Л40к обычным способбм строятся эпюры Q
и N.
Пример. Построить эпюры М, Q и N в раме от смещения опор-
ного стержня в опореD на величину а=7,2 см, если £7= 14200 кН-м2,
(рис. 37.3,а).
Решение. Заданная рама один раз статически неопределима.
Выберем основную систему, отбросив опорный стержень в опоре D
(рис. 37.3,6). Запишем каноническое уравнение
б11Х1+Д1С=°- _
В _основной системе строим эпюру изгибающих моментов М\ от
силы Л\=1 (рис. 37.3, в) и вычисляем коэффициент 6ц.
M*ds
EJ
2-2-3£J EJ EJ *
В выбранной основной системе была отброшена вертикальная
связь в опоре D, по направлению которой имеется заданное пере-
мещение а, поэтому Д1с = а = 0,072.
Решая каноническое уравнение, находим величину силы Xi
Д1Г 0,072£7
Хп =— — —Чт.— =— 0.0005EJ =— 7,1 кН.
би 144
Строим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 37.3, г)
МОк — Mj Xj.
Выполняем кинематическую проверку построенной эпюры Мок
Л - ГмтMids , . _ 6-0,0005£J6-2-6
2С ~ J - Е ~ + 1С-------- 2-2-3EJ
6-0,0005£J3-6 л„п „
—----:-----------Ю.072 = 0.
Эпюра Мок построена верно.
452
Список литературы
1. Аркуша А. И., Фролов М. И. Техническая механика. — М.:
Высшая школа, 1983. — 447 с.
2. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1976.—
3. Дарков А. В. и др. Строительная механика. — М.: Высшая
школа, 1976.— 599 с.
4. Ицкович Г. М. Сопротивление материалов, — М.: Высшая
школа, 1982.— 383 с.
5. Клейн Г. К., Леонтьев Н. Н., Портаев Л. П. и др. Руковод-
ство к практическим занятиям по курсу строительной механики. —
М.: Высшая школа, 1980.— 384 с.
6. Никитин Е. М. Теоретическая механика для техникумов.—
М.: Наука, 1977.— 415 с.
7. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Лащеников Б. Я. и др.
Строительная механика. Стержневые системы.— М.: Стройиздат,
1981. —512 с.
8. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.:
Наука, 1974.— 478 с.
9. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Наука,
1979,-559 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Б
Аксиомы статики 10, 11
Амплитуда колебаний 285
Анизотропное тело 228
Арка бесшарнирная 315
•— двухшарнирная 315
— трехшарнирная 315
*---с затяжкой 316, 326
Балка 126, 209
— второстепенная 309
— главная 309
• — консольная 211
— неразрезная 423
— однопролетная 211
•--с консолями 211
453
-г статически неопределимая
423
—— статически определимая
210
— трехпролетная 428
Балочный изгибающий момент
320
Балочная поперечная сила 32&
Бетти теорема 391
Брус 125
В
Вал 202, 208, 209
Вариньона теорема 35
Вектор 6
Векторная алгебра 16, 17
Веревочный многоугольник 48
Верещагина правило 397
Виды связей 12, 13
Внешние силы 122
Внутренние силовые факторы
130
Врубка 192
Г
Главный вектор 55
— момент 55
Геометрически изменяемые со-
оружения 296
— неизменяемые сооружения
296
Гибкость стержня 273
---- предельная 273
Гипотеза плоских сечений 129,
223
— Сен-Венана 129
График движения точки 81
Графостатика 47
Гука закон обобщенный 189
----при растяжении 141, 142
----при сдвиге 205
д
Даламбера принцип 117, 119,
279
Движение точки 91
--- плоское 91
--- равномерное 91
--- равнопеременное 94
— твердого тела вращательное
100
------ поступательное 98
Деформация главная 179
Деформация изгиба 209
— кручения 204
— линейная 124
— объемная 182
— остаточная 124
— поперечная 142
— продольная 142
— сдвига 205
— угловая 124, 204
— упругая 124
Длина приведенная при про-
дольном изгибе 272
Диаграмма растяжения 152
— истинная 154
— сжатия 158
Динамические нагрузки 279
Диск 297
Дифференциальное уравнение
изогнутой оси балки 247
Ж
Жесткость при изгибе 225
---кручении 208
•--растяжении (сжатии) 143
Журавского формула 229
3
Закон движения точки 81
— парности касательных на«
пряжений 148
— Ньютона первый 114
— — второй 115
— — третий 116
и
Изгиб прямого бруса 209
— косой 251
— плоский 251
— поперечный 251
~ пространственный 251
— чистый 210, 221
Интенсивность нагрузки 122
Испытание материалов 150
К
Канонические уравнения мето-
да сил 406
Кинематический анализ 297
---- ферм 341
Колебания сооружений 281
----вынужденные 281, 286
----свободные 281, 283
Концентрация напряжений 148,
149
Коэффициент динамический 280
— полезного действия 113
— продольного изгиба 275
— Пуассона 142
— трения 42
Кривая давления 330
Критическая сила 267
Кручение бруса 202
Л
Линия влияния изгибающего
момента 362, 363
--------опорной реакции 360, 362
----поперечной силы 364
----продольной силы 378
Линия нейтральная 223
— нулевая 223
— силовая 251
Чернова—Людерса 153
М
Материал пластичный 155
— хрупкий 155
Метод сечений 130, 134
Многоугольник веревочный 48
— силовой 48
Мгновенно изменяемая система
303
Многопролетная статически оп-
ределимая балка 306, 308
----неопределимая балка 423
Модуль продольной упругости
(модуль первого рода) 141
— сдвига (второго рода) Г86
Момент изгибающий 131, 213
— инерции главный 196
----центральный 198
---- осевой 193
---- относительно параллель-
ных осей 195
---- полярный 194
----центробежный 194
— крутящий 131, 203
— скручивающий 202, 203
— сопротивления осевой 241
----полярный 207
— статический площади
— силы относительно точки 25
------- оси 53
Мощность мгновенная 112
— при вращательном движении
113
— средняя 112
Н
Нагрузка временная 123
— динамическая 123, 278
— постоянная 123
— подвижная 358
— при ударе 279
— равномерно распределённая
122
— статическая 123
Наклеп 157
Направление главных площа-
док 178
Напряжение в наклонных сече-
ниях 147, 177
455
• — главное 233
— допускаемое 208
— касательное 132, 205, 208
— критическое 273
— местное 138, 139
— нормальное 132, 138
— смятия 191
— статическое 287
— эквивалентное 236
О
Образец 151, 157
Опора шарнирная неподвиж-
ная 125
----подвижная 125
— защемляющая 125
Основная система 404
Ось арки 315
---- рациональная 329
— балки изогнутая 245
— бруса 125
— инерции главная 196
---- центральная 197
— нейтральная 223
----при внецентренном сжа-
тии 261
----при косом изгибе 253
П
Пара сил 25
Перемещение линейное 143,245
— угловое 143, 245
Период колебаний 285
Петля Гистерезиса 156
Пластичность 124
Пластмасса 160
Площадка главная 178
— наклонная 147, 177
Площадь сечения нетто 276
Ползучесть 161
Предел пропорциональности
152
— прочности 154
— текучести 153
— упругости 153
Приведенная длина стержня
272
Принцип Даламбера 117, 119
— независимости действия сил
129
— Сен-Венана 139
Прогиб балки 245
----динамический 287
---- статический 287
---- при косом изгибе 257
Пролет арки 316
— фермы 338
Р
Работа сил внешних 385
----внутренних 287
— постоянной силы при пря-
молинейном движении 106
— переменной силы на криво-
линейном пути 107, 108
— постоянной силы при вра-
щательном движении 111, 112
— силы тяжести 109, НО
Равновесие абсолютное
— твердого тела при наличии
сил трения скольжения 45
— неустойчивое 267
— устойчивое 267
Равнодействующая 9
Радиус инерции сечения 265
Рама 332
Растяжение прямого бруса 134,
138
------от собственного веса
142
— по трем направлениям 184
Расчет балки по наибольшим
касательным напряжениям 242
------нормальным напря-
жениям 240, 243
------эквивалентным на-
пряжениям 242, 244
456
*---при изгибе на жесткость
249
----при косом изгибе на жест-
кость 257
---------на прочность 255,
256
— по допускаемым напряже-
ниям 162
— по предельным состояниям
164
— плоской фермы способом
вырезания узлов 343
замкнутого сечения
349
---------моментных точек 346
----проекций 348
— при кручении на прочность
и жесткость 208, 209
Расчетная схема 126
----сооружения 295
Резонанс 288
Релаксация 161
Решетка фермы полураскосная
340
---- раскосная 340
----сложная 340
---- треугольная 340
С
Сдвиг абсолютный 186
— относительный 186
— чистый 186
Свободное тело 9
Сжатие 134
Сила активная 8
— инерции 284
— критическая 267
— поперечная 131, 210
— продольная 131, 134
— реактивная 8
— тяжести 62
Силовой многоугольник 48
Система сил 9
Скалярная величина 6
Скорость точки мгновенная 85
--- средняя 84
Следствия аксиом статики 11
Сложение эпюр 221
Слой нейтральный 223
Соединение болтовое 189
— на врубках 191
— на сварке 188
Сопротивление нормативное
165
— расчетное 165
Степень свободы плоской си-
стемы 297
Стержень 126
Стрела подъема арки 316
Сыпучее тело 433
Т
Тело абсолютно твердое 6
Теорема Бетти 391
— Клапейрона 385
— Максвелла 392
Теория прочности Мора 238
--- третья 237
--- энергетическая 239
Траектория главного напряже-
ния 234, 235
— движения точки 81
У
Угол внутреннего трения 434
— естественного откоса 434
— закручивания 207
— сдвига 179
— трения грунта 434
Удлинение относительное 142
Условие равновесия плоской
системы сил 20
--- произвольной плоской си-
стемы сил 38
— плоской системы пар 31
Упругость 124
Уравнение деформаций геомет-
рическое 170
457
—— фиэическое 170
— колебания балки 285
~ равновесия плоских сил 20
---пространственных сил 58
— трех моментов 425
— упругой линии 247
Уравновешенная система сил
У скорение точки 97
— касательное 90
— мгновенное 88
— нормальное 90
— полное 90
— среднее 88
Ф
Ферма 338, 339
— Шухова 349
Форма равновесия безразличная
267
---неустойчивая 267
--- устойчивая 267
— рациональная сечения ба-
лок 250
------ колонн 277
Формула Журавского 229
— Максвелла—Мора 395
— Ясинского 274
— Эйлера 271
Ц
Центр тяжести 61
Центробежный момент инер-
ции 194
Ч
Частота возмущающей силы 286
— колебаний 285
---- круговая 285
Ш
Шейка 154
Шов сварной фланговый 188
Э
Эквивалентность пары 28
Эксцентриситет 259
Энергия деформации полная
184
---- изменения объема 184
----формы 184
Эпюра изгибающего момента
211
— крутящего момента 203,231
— касательных напряжений
при изгибе 229, 230, 232
------при кручении 205, 206
— нормальных напряжений при
изгибе 226
------ при внецентренном
сжатии 261
------при косом изгибе 253,
255
— поперечных сил 211, 214
— продольных сил 136
Я
Ядро сечения 265
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие............................................. 3
Введение ............................................... 4
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА .... 6
Глава 1. Основные понятия и аксиомы статики .... 6
§ 1.1. Основные понятия........................... 6
§ 1.2. Аксиомы статики............................ 9
§ 1.3. Следствия из аксиом......................... 11
§ 1.4. Виды связей и их реакции.....................13
§ 1.5. Основные понятия векторной алгебры . . . 15
*458
Стр,
Глава 2. Плоская система сходящихся сил . « * . . 20
§ 2.1. Геометрические условия равновесия плоской сис-
темы сходящихся сил................................20
§ 2.2. Равновесие трех непараллельных сил ... 21
§ 2.3. Аналитические условия равновесия плоской систе-
мы сходящихся сил................................ 22
§ 2.4. Методика решения задач.....................23
Глава 3. Пара сил.......................................25
§ 3.1. Момент силы относительно точки на плоскости . 25
§ 3.2. Пара сил. Момент пары сил на плоскости . . 26
§ 3.3. Эквивалентность пар ........ 28
§ 3.4. Сложение пар, лежащих в одной плоскости. Ус-
ловие равновесия плоской системы пар ..... 30
Глава 4. Плоская система произвольно расположенных сил . 32
§ 4.1. Приведение силы к данной точке. Приведение
плоскости системы сил к данному центру .... 32
§ 4.2. Равнодействующая плоской системы сил. Теорема
Вариньона........................................ 35
§ 4.3. Частные случаи приведения плоской системы сил 37
§ 4.4. Условия равновесия произвольной плоской систе-
мы сил. Формы уравнений равновесия.................38
§ 4.5. Методика решения задач......................42
§ 4.6. Равновесие твердого тела при наличии сил трения
скольжения.........................................44
Глава 5. Элементы графостатики ........ 47
§ 5.1. Силовой и веревочный многоугольники. Графиче-
ское определение равнодействующей для плоской произ-
вольной системы сил................................48
§ 5.2. Графическое определение результирующей пары.
Графические условия равновесия произвольной плоской
системы сил...................................., 50
§ 5.3. Графическое определение опорных реакций . . 52
Глава 6. Пространственная система сил ...... 53
§ 6.1. Момент силы относительно оси ..... 53
§ 6.2. Приведение произвольной пространственной систе-
мы сил к заданному центру. Частные случаи . . , 55
§ 6.3. Условия равновесия произвольной пространствен-
ной системы сил. Система параллельных сил. Система
сходящихся сил.....................................58
§ 6.4. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
относительно оси...................................60
Глава 7. Центр тяжести................................ 61
§ 7.1. Центр системы параллельных сил .... 61
§ 7.2. Сила тяжести. Центр тяжести............62
§ 7.3. Статический момент площади плоской фигуры от-
носительно оси................................... 64
§ 7.4. Методы нахождения координат центра тяжести . 65
§ 7.5. Положение центров тяжести простых геометриче-
ских фигур и линий................................ 68
§ 7.6. Положение центров тяжести фигур сложной фор»
мы ............. t 71
459
Стр.
Глава 8. Устойчивость равновесия............................72
§ 8.1. Устойчивые и неустойчивые формы равновесия , 72
§ 8.2. Условия равновесия несвободного тела ... 73
§ 8.3. Условие равновесия тела, имеющего опорную
плоскость..............................................76
Глава 9. Кинематика точки...................................78
§ 9.1. Введение в кинематику. Способы задания движе-
ния точки..............................................78
§ 9.2. Скорость точки . .......................84
§ 9.3. Ускорение точки ................................87
Глава 10. Плоское движение точки ...........................91
§ 10.1. Равномерное движение...........................91
§ 10.2. Равнопеременное движение..................., 94
Глава 11. Простейшие виды движения твердого тела . . 98
§ 11.1. Поступательное движение твердого тела , » 98
§ 11.2. Вращательное движение........................100
§ 11.3. Линейные скорости и ускорения точек вращаю-
щегося тела..........................................103
Глава 12. Работа и мощность
§ 12.1. Работа постоянной силы при прямолинейном дви
жении........................................
§ 12.2. Работа переменной силы на криволинейном пути
§ 12.3. Работа постоянной силы при вращательном дви
жении .......................................
§ 12.4. Мощность.............................
§ 12.5. Коэффициент полезного действия • , . .
106
106
107
111
112
113
Глава 13. Общие теоремы динамики точки...........114
§ 13.1. Основные положения динамики. Законы дина-
мики ...................................... 114
§ 13.2. Принцип Даламбера ................. 117
РАЗДЕЛ 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ .... 120
Глава 14. Основные понятия и гипотезы....................120
§ 14.1. Наука о сопротивлении материалов . . ♦ 120
§ 14.2. Внешние силы................................121
§ 14.3. Деформации линейные и угловые. Упругость ма-
териалов ...........................................123
§ 14.4. Расчетная схема сооружений. Опорные связи . 124
§ 14.5. Допущения и ограничения, принятые в сопро-
тивлении материалов.................................126
§ 14.6. Внутренние силовые факторы. Метод сечений.
Напряжения..........................................130
Глава 15. Растяжение и сжатие прямого бруса . . . . 134
§ 15.1. Центральное растяжение прямого бруса. Напря-
жения ..............................................134
§ 15.2. Продольные и поперечные деформации бруса при
растяжении (сжатии). Закон Гука. Перемещения . . 140
460
Стр,
§ 15.3. Влияние собственного веса бруса .... 145
§ 15.4. Напряжения в наклонных сечениях бруса. Закон
парности касательных напряжений. Концентрации на-
пряжений ............................. «... 146
Глава 16. Механические испытания материалов ... 150
§ 16.1. Диаграмма растяжения........................150
§ 16.2. Повышение предела пропорциональности в ре-
зультате повторных нагружений........................156
§ 16.3. Диаграмма сжатия.............................157
§ 16.4. Механические характеристики некоторых строи-
тельных материалов................................, 159
§ 16.5. Понятие о ползучести и релаксации . . . . 161
Глава 17. Расчет на прочность при растяжении, сжатии . . 162
§ 17.1. Методы расчета инженерных конструкций . . 162
§ 17.2. Основные типы задач при расчете на прочность 166
§ 17.3. Расчет статически определимых систем ... 167
§ 17.4. Расчет статически неопределимых систем . 168
§ 17.5. Температурные и монтажные напряжения в ста-
тически неопределимых системах.......................170
Глава 18. Элементы теории напряженного состояния ... 172
§ 18.1. Понятие напряженного состояния в точке. Виды
напряженных состояний................................172
§ 18.2. Напряжения в наклонных площадках при плос-
ком напряженном состоянии. Главные напряжения . . 175
§ 18.3. Деформированное состояние в точке. Линейные
деформации. Деформации сдвига. Главные деформации 179
§ 18.4. Обобщенный закон Гука при плоском и трехос-
ном напряженных состояниях...........................180
§ 18.5. Объемная деформация. Потенциальная энергия 181
§ 18.6. Экстремальные касательные напряжения. Чис-
тый сдвиг............................................184
§ 18.7. Закон Гука при чистом сдвиге ..... 186
§ 18.8. Потенциальная энергия при чистом сдвиге. За-
висимость между Е, G и |х . . . . . . . . 187
§ 18.9. Практические расчеты на срез и смятие , , 188
Глава 19. Геометрические характеристики сечений ... 193
§ 19.1. Моменты инерции сечений.....................193
§ 19.2. Изменение моментов инерции при параллельном
переносе осей .... ................194
§ 19.3. Изменение моментов инерции при повороте осей.
Главные оси инерции. Главные моменты инерции . . 195
§ 19.4. Главные центральные осевые моменты инерции
простых сечений......................................197
§ 19.5. Вычисление моментов инерции сложных сечений 200
Глава 20. Кручение прямого бруса круглого сечения . 202
§ 20.1. Крутящие моменты. Построение эпюры крутя-
щих моментов.........................................202
§ 20.2. Напряжения и деформации при кручении бруса
круглого поперечного сечения ....... 204
461
Стр.
§ 20.3. Расчет «а прочность и жесткость при кручении , 208
Глава 21. Изгиб прямого бруса.............................209
§ 21.1. Основные понятия........................... 209
§ 21.2. Построение эпюр изгибающих моментов и по-
перечных сил при изгибе балки...................... 211
§ 21.3. Дифференциальные зависимости между изги-
бающим моментом, поперечной силой и интенсивностью
распределенной нагрузки..............................216
§ 21.4. Нормальные напряжения при изгибе балки . , 221
§ 21;5. Касательные напряжения при изгибе балки . . 226
§ 21.6. Главные нормальные напряжения и максималь-
ные касательные напряжения на изгиб балки . . . 233
§ 21.7. Понятия о теориях прочности.................235
§ 21.8. Расчет балок при изгибе на прочность . . . 240
§ 21.9. Перемещения линейные и угловые. Дифференци-
альное уравнение изогнутой оси балки и его решение 245
§ 21.10. Расчет балок на жесткость при изгибе . . , 249
Глава 22. Косой изгиб 251
§ 22.1. Нормальные напряжения при косом изгибе . . 251
§ 22.2. Расчет балок на прочность при косом изгибе . 255
§ 22.3. Прогибы при косом изгибе ...... 256
Глава 23. Внецентренное сжатие (растяжение) .... 259
§ 23.1. Нормальные напряжения при внецентренном
сжатии (растяжении) ......... 259
§ 23.2. Ядро сечения ...............................263
Глава 24. Устойчивость центрально-сжатых стержней . . 267
§ 24.1. Общие положения..............................267
§ 24.2. Формула Эйлера...............................269
$ 24.3. Влияние способа закрепления концов стержня на
критическую силу.................................... 271
§ 24.4. Пределы применимости формулы Эйлера . . 272
§ 24.5. Практическая формула для расчета на устойчи-
вость ...............................................275
Глава 25. Основы расчета на действие динамических нагрузок
§ 25.1. Понятие о действии динамических нагрузок . 278
§ 25.2. Расчет троса при подъеме груза .... 280
§ 25.3. Понятие о колебаниях сооружений . 281
§ 25.4. Свободные колебания системы с одной степенью
свободы..............................................283
§ 25.5. Вынужденные колебания системы с одной сте-
пенью свободы. Резонанс......................... . 286
§ 25.6/ Приближенный способ расчета на удар . . 288
РАЗДЕЛ 3. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫ^
СИСТЕМ (СТАТИКА СООРУЖЕНИЯ) . .. . 293
Глава 26. Основные понятия и расчетные схемы сооружений 293
462
Стр,
§ 26,1. Основные понятия . »......................• 293
§ 26.2. Расчетная схема сооружений. Классификация
расчетных схем сооружений . ................295
Глава 27. Кинематический анализ плоских стержневых со-
оружений ................................................296
§ 27.1. Геометрически изменяемые и неизменяемые со-
оружения. Степень свободы плоской, системы . . . 296
§ 27.2. Анализ геометрической структуры сооружения . 301
§ 27.3. Мгновенная изменяемость системы .... 303
Глава 28. Многопролетные статически определимые (шарнир-*
ные) балки...............................................306
§ 28.1. Виды многопролетных балок. Условия неизме-
няемости ...........................................306
§ 28.2. Аналитический расчет многопролетных статиче-
ски определимых балок............................. 309
Глава 29. Трехшарнирные арки • 315
§ 29.1. Общие сведения . . .....................» 315
§ 29.2. Аналитический расчет трехшарнирной арки . . 317
§ 29.3. Трехшарнирная арка с затяжкой .... 325
§ 29.4. Кривая давления. Рациональная ось арки . . 329
Глава 30. Статически определимые плоские рамы .... 332
§ 30.1, Общие сведения............................ 332
§ 30.2. Аналитический расчет простых рам .... 333
§ 30.3. Аналитический расчет трехшарнирных рам . 337
Глава 31. Плоские статически определимые фермы . . . 338
§ 31.1. Общие сведения ......... 338
§ 31.2. Кинематич1еский анализ фермы . . . . . 341
§ 31.3. Аналитический способ расчета ферм .... 342
§ 31.4. Графический способ определения сил в стерж-
нях фермы...........................................351
§ 31.5. Понятие о расчете шпренгельных ферм . . . 356
Глава 32. Линии влияния. Расчет сооружений на подвижные
нагрузки............................................... 358
§ 32.1. Общие сведения..............................358
§ 32.2. Статический способ построения линий влияния
опорных реакций, М и Q в однопролетной балке . . 359
§ 32.3. Статический способ построения линий влияния
М и Q в консольной балке.......................... 365
§ 32.4. Статический способ построения линий влияния в
однотгролетной балке с консолями ...... 366
§ 32.5. Кинематический способ построения линий влия-
ния 370
§ 32.6. Линии влияния при узловой передаче нагрузки . 374
§ 32.7. Линии влияния продольных сил в стерж-
нях фермы...........................................377
§ 32.8. Определение сил по линиям влияния . . . 380
463
§ 32.9. Нахождение расчетного (невыгоднейшего) поло-
жения подвижной нагрузки на сооружение
Глава 33. Основные теоремы упругих систем. Определение пе-
ремещений ...............................................
§ 33.1. Общие сведения.............................
§ 33.2. Работа внешних сил.........................
§ 33.3. Работа внутренних сил .....................
§ 33.4. Теоремы взаимности.........................
§ 33.5. Зависимость между возможной работой внешних
и внутренних сил...................................
§ 33.6. Общая формула перемещений (формула Макс-
велла—Мора)........................................
§ 33.7. Правило Верещагина.........................
Глава 34. Расчет статически неопределимых рам методом сил
§ 34.1. Общие сведения.............................
§ 34.2. Степень статической неопределимости
§ 34.3. Выбор основной системы.....................
§ 34.4. Канонические уравнения метода сил
§ 34.5. Вычисление коэффициентов при неизвестных и
свободных членов канонических уравнений и их проверка
§ 34.6. Построение окончательных эпюр М, Q и N и их
проверка ..........................................
§ 34.7. Последовательность расчета статически неопреде-
лимых рам методом сил..............................
§ 34.8. Упрощения при расчете симметричных рам .
Глава 35. Многопролетные статически неопределимые балки .
§ 35.1. Расчет неразрезных балок...................
§ 35.2. Расчет неразрезных балок на постоянные и вре-
менные нагрузки ...................................
§ 35.3. Расчет неразрезных балок и рам по таблицам ,
Глава 36. Расчет подпорных стен..........................
§ 36.1. Общие сведения.............................
§ 36.2. Приближенная теория Ш. Кулона ....
§ 36.3. Определение активного давления ....
§ 36.4. Распределение интенсивности активного давления
грунта по высоте подпорной стены ..................
§ 36.5. Влияние равномерно распределенной нагрузки,
приложенной на поверхности засыпки.................
§ 36.6. Влияние грунтовой воды.....................
§ 36.7. Пассивное давление грунта..................
§ 36.8. Расчет подпорных стен на устойчивость и проч-
ность .............................................
Глава 37. Расчет на тепловое воздействие и осадку опорных
связей ..................................................
§ 37.1. Расчет рамы на тепловое воздействие .
§ 37.2. Расчет рам на осадку опорных связей .
Список литературы .... .................
Предметный указатель.....................................
464