/
Автор: Ламперт М. Марк П.
Теги: статическое электричество электростатика электроника полупроводники физика твердого тела диэлектрики твердое тело
Год: 1973
Текст
М. Ламперт,
//. Марк
Инжекционные
токи
в твердых
телах
Перевод с английского
А. И РОЗЕНТАЛЯ
и Л Г. ПАРИЦКОГО
Под редакцией
проф С. М РЫВКИНА
Издательство
«МИР»
Москва
1973
CURRENT INJECTION
IN SOLIDS
by
Murray A. Lampert
Department of Electrical Engineering
Princeton University
Princeton, New Jersey
and
Peter Mark
Department of Electrical Engineering
Princeton University
Princeton, New Jersey
Academic Press New York and London 1970
УДК 537.226/311.33
Книга посвящена новому разделу физики твердого тела
и твердотельной электроники — исследованию монополяр-
ной и двойной инжекции носителей заряда. Рассматриваемые
явления имеют большое значение для понимания механизма
прохождения тока через изоляторы и полупроводники, слу-
жат эффективным средством исследования электрических свойств
твердых тел и, кроме того, имеют много важных технических
применений, в частности в диэлектрической электронике и опто-
электронике.
Предмет книги изложен на нескольких уровнях — от ка-
чественного рассмотрения и феноменологических расчетов до
строгого количественного анализа. Значительное место уделено
обсуждению экспериментальных результатов.
Книга рассчитана на широкий круг научных работников —
специалистов в области физики полупроводников и диэлектри-
ков, инженеров, занимающихся исследованием электронных
процессов в твердом теле, а также на студентов старших кур-
сов и аспирантов соответствующих специальностей.
Редакция литературы по физике
„ 0232-048
J 041(01) 72
М. ЛАМПЕРТ и П. МАРК
ИНЖЕКЦИОННЫЕ ТОКИ
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Редактор Н. Л. ТЕЛЕСНИН. Художник ШУМИЛИН А. С.
Художественный редактор А. Г. Антонова. Технический редактор Г. Б. Алюлина.
Сдано в набор 29/IX 1972 г. Подписано к печати 14/11 1973 г. Бумага М 2 60x901/1» =
=13 бум. л. 26 печ. и. Уч.-изд. л. 25,39. Изд. № 2/6383. Цена 2 р. 75 к. Зак. 0699
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного знамени Московская типография JN5 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Возникновение в кристалле избыточных электронов и дырок,
их движение во внешних полях и рекомбинация обусловливают
широкий круг неравновесных электронных явлений, которые
играют важную роль во многих областях физики полупроводников
и представляют основу работы разнообразных приборов твердотель-
ной электроники. Изменение концентрации носителей заряда в по-
лупроводниках и изоляторах может осуществляться как за счет
внутренней ионизации (светом, электрическим полем и т. п.), так
и при введении носителей извне (из контактов). Наиболее известна
инжекция неосновных носителей в полупроводник из «запорных»
контактов (например, из р — n-перехода), происходящая без
нарушения электрической нейтральности. Она является основой
действия электронно-дырочных полупроводниковых приборов.
Характерно, что при этом в конечном счете имеет место повышение
концентрации электронно-дырочных пар (биполярная инжекция).
В последнее время все большее значение приобретает изучение
инжекции основных носителей в полупроводники и изоляторы из
«антизапорного» контакта. В случае идеального изолятора это
явление аналогично току в вакуумном промежутке при эмиссии
электронов из накаленного катода (известный закон «трех вторых»
Чайлда — Ленгмюра). Однако изолятор существенно отличается
от вакуума, в первую очередь рассеянием носителей на тепловых
колебаниях и несовершенствах решетки, что приводит к другому
закону их движения и другой зависимости тока от приложенного
напряжения. Характерным для этого вида инжекции является вве-
дение в кристалл одного типа носителей (монополярная инжекция)
и резкое нарушение нейтральности, приводящее к ограничению тока
объемным зарядом. В реальном кристалле часть инжектированных
носителей захватывается ловушками, и такие носители не перено-
сят тока, но создают неподвижный объемный заряд, что обуслов-
(J Предисловие редактора периода
ливает появление сложных и своеобразных волы амперных за-
висимостей.
Еще более сложным и интересным является другой вид инжек-
ции, когда потоки электронов и дырок инжектируются в изолятор
с противоположных электродов и движутся навстречу друг другу
(двойная инжекция). Это может иметь место в структуре, где
полупроводник или изолятор снабжен двумя антизапорными
контактами — одним для электронов, другим для дырок. Отметим,
что такая структура, рассматриваемая в целом, представляет
собой запорный контакт, т. е. аналогична растянутому р — п-пере-
ходу (например, р — i — n-структура или р — n-переход с ре-
комбинацией в области объемного заряда, включенные в про-
пускном направлении). Однако двойная инжекция подразумевает
изменение концентрации «внутри» растянутого перехода, а| не
вне его, как это имеет место при обычной инжекции в полупро-
водник через р — n-переход. Инжекционный ток при этом суще-
ственно зависит от условий нейтрализации объемных зарядов,
от характера рекомбинации носителей и при определенных усло-
виях дает вольтамперные характеристики с отрицательным диф-
ференциальным сопротивлением.
По своей сущности явления монополярной и двойной инжекции
замечательны тем, что предоставляют уникальную возможность
«наводнять» носителями заряда из подходящих контактов в прин-
ципе любые изолирующие материалы, модулировать тем самым
их проводимость и исследовать поведение электронов (дырок)
в таких веществах. Условия, подходящие для возникновения токов
монополярной инжекции, реализуются в кристаллах, в аморфных
веществах органического и неорганического происхождения. Изу-
чение стационарных и переходных процессов монополярной ин-
жекции является эффективным методом исследования подвижно-
сти носителей заряда, а также позволяет определить концентра-
ции, энергетическое положение и эффективные сечения захвата
примесных центров в высокоомных полупроводниках и изолято-
рах. Прохождение этих токов является одним из основных меха-
низмов переноса носителей заряда в тонких диэлектрических
пленках и лежит в основе действия своеобразных твердотельных
электронных приборов, составляющих активные элементы цепи
в «диэлектрической электронике». Круг материалов, в которых
Предисловие редактора перевода 7
реализуется двойная инжекция, значительно уже (необходимы
достаточно большие времена жизни, а также относительно высокие
подвижности и электронов, и дырок). Двойная инжекция предо-
ставляет интересные возможности изучения рекомбинационных
процессов и является основой работы некоторых типов инжек-
ционных люминесцентных приборов и твердотельных генераторов
электрических колебаний.
В отечественной литературе отсутствуют обобщающие моно-
графии, посвященные этим видам инжекционных токов. (Хорошие
обзоры явлений, связанных в основном с монополярными тока-
ми, ограниченными объемным зарядом, приведены в сборнике
«Вопросы пленочной электроники», М., 1966 г.) Предлагаемая
вниманию читателей книга М. Ламперта и П. Марка посвящена
специально монополярной и двойной инжекции и в значительной
мере восполняет этот пробел. Авторы книги, видные американ-
ские исследователи, сами внесшие значительный вклад в развитие
этой области физики твердого тела, дают последовательное
и систематизированное изложение теории инжекционных токов с
единых позиций и приводят наиболее важные экспериментальные
результаты. Книга дает достаточно полное представление об
итогах почти двадцатилетнего периода развития исследований
инжекционных токов и о современном состоянии этих иссле-
дований, которые, по нашему мнению, еще далеки от завер-
шения, о чем, в частности, свидетельствует и большое число публи-
куемых в настоящее время работ.
Способ изложения материала отличается своеобразием. Если
обычно количественный анализ стремятся проводить в возможно
более общем виде с тем, чтобы в дальнейшем проиллюстрировать
качественные стороны явления на основе анализа частных случаев,
то авторы настоящей книги, как правило, используют обратный
прием. Они начинают с качественного или полуколичественного,
сильно упрощенного, но наглядного рассмотрения простых част-
ных случаев и лишь в заключение приводят наиболее общее
аналитическое решение задачи. В результате к одному и тому
же вопросу авторы возвращаются многократно, все более его
углубляя. Этот «концентрический» путь изложения, будучи
несколько громоздким, окупается, однако, большой физической
наглядностью и, следовательно, простотой усвоения материала
pethteniopa перевода
для читателя. Вместе с тем такой характер изложения «на разных
уровнях» позволяет читателю в зависимости от степени его заин-
тересованности в проблеме либо ограничиться только качествен-
ным или полуколичественным рассмотрением, либо постепенно
продвигаться в меру необходимости в сторону более подробного
количественного анализа. В частности, при рассмотрении на
количественном уровне авторы демонстрируют применение эффек-
тивного метода региональных приближений, значительно упроща-
ющего расчеты.
В конце книги авторы приводят список литературы, охваты-
вающий в основном работы зарубежных авторов, выполненные
до 1968 г. Поскольку авторы почти не цитируют советских работ,
мы дополнили этот список основными работами советских ученых,
внесших существенный вклад в развитие исследований монополяр-
ной и двойной инжекции. Кроме того, приводится специально
составленная одним из переводчиков (А. И. Розенталем) срав-
нительно полная библиография новейших работ по монополярной
и двойной инжекции. Она содержит свыше 500 наименований
и охватывает период с 1968 г. до середины 1971 г.
В целом книга М. Ламперта и П. Марка несомненно представ-
ляет интерес для широкого круга физиков и инженеров, работа-
ющих в области исследования электронных процессов в твердом
теле.
Перевод книги снабжен примечаниями, в основном касающи-
мися вопросов терминологии. Перевод выполнен А. И. Розенталем
(предисловие авторов, главы 1 — 9 и приложения) и Л. Г. Па-
рицким (главы 10 — 14). Большую помощь в подготовке перевода
оказал А. И. Вейнгер.
С.М. Рывкин
Альберту Роузу,
который предпочел простоту точности
и одарил тем самым всех нас проницательностью-
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
После блестящего успеха биполярного транзистора в элек-
тронике твердого тела проявляется непрестанно растущий интерес
к явлениям, связанным с инжекцией носителей заряда в высоко-
омные материалы, который обусловлен большим научным и тех-
ническим значением этих процессов. Оказалось, что исследование
инжекционных токов в высокоомных полупроводниках и изоля-
торах может дать ценную информацию о локальных состояниях
в запрещенной зоне и о явлениях переноса. Интерес же к техни-
ческим применениям вызван достижениями по созданию униполяр-
ных полевых электронных приборов, электролюминесцентных
устройств, инжекционных полупроводниковых лазеров и неко-
торых других активных элементов.
Настоящая книга представляет собой попытку дать детальное
объяснение особенностей инжекционных токов, определяемых
объемом твердого тела. При этом особое внимание уделяется физике
явлений. Мы надеемся, что книга будет полезной как тем, кто
занимается исследованиями и разработками в данной области,
так и тем, кто только собирается познакомиться с этой областью.
Предмет книги рассматривается на нескольких уровнях, начиная
с чисто феноменологического анализа и кончая относительно
строгими расчетами, причем в последнем случае соответствующие
дифференциальные уравнения исследуются как приближенными
методами, так и по возможности точно. Один из авторов (М.
Ламперт) в течение нескольких лет читал односеместровый курс,
взяв за основу круг вопросов, рассматриваемых в настоящей
книге.
Книга рассчитана на читателя, знакомого с основными поня-
тиями современной физики твердого тела в объеме вводного курса
по физике твердого тела для будущих инженеров в области?
электроники или физиков. Такие понятия, как разрешенные энер-
гетические зоны и запрещенная зона, эффективные массы элек-
тронов и дырок, локальные электронные состояния (уровни
дефектов) в запрещенной зоне, статистика Ферми — Дирака и уро-
вень Ферми, определяют язык, чрезвычайно удобный для рас-
смотрения вопросов, связанных с инжекцией носителей заряда.
10 Из предисловия авторов
Содержание книги естественным образом делится на две части.
В первой части рассматриваются токи монополярной инжекции,
которые обязательно ограничены объемным зарядом, а во второй —
токи двойной инжекции, в формировании которых наряду с объем-
ным зарядом важную роль может играть рекомбинация носителей.
Рассмотрение ограничивается главным образом изучением прохож-
дения стационарных инжекционных токов между плоскими элек-
тродами. Имеются два исключения: глава о переходных процессах
монополярной инжекции в случае плоской конфигурации элек-
тродов и глава о стационарной монополярной инжекции в случае
сферической конфигурации. Приводятся также имевшиеся в рас-
поряжении авторов характерные экспериментальные данные.
Основная тематика книги связана с рассмотрением инжекцион-
ных токов, определяемых объемом твердого тела; поэтому в отли-
чие от случаев, когда инжекционные токи определяются контакт-
ными явлениями, в первом приближении предполагается наличие
идеализированных инжектирующих контактов и полностью нре-
небрегается ограничениями, которые налагаются контактами.
В этом отношении книга дополняет множество хорошо известных
книг по физике полупроводников и полупроводниковой электро-
нике. Поскольку явления, связанные ср — n-переходом, рассмат-
риваются достаточно подробно в большинстве таких книг, мы
не будем здесь касаться этих вопросов. С другой стороны, мы
уделяем должное внимание поправкам, налагаемым на чисто объем-
ную теорию инжекции носителей заряда свойствами «реальных»
контактов, включая и р — n-переход. Эти поправки представляют
особый интерес в случае двойной инжекции в полупроводники
высокой степени чистоты (проблема инжектированной плазмы).
В основу книги положен всесторонний, но весьма сжатый
обзор, написанный одним из авторов х), материал которого значи-
тельно расширен и переработан в свете современных данных.
М. Ламперт
П. Марк
r) Lampert М. А., в книге «Reports on Progress in Physics», vol. 27, Lon-
don, 1964, p. 329.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТОКИ МОНОПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ
ГЛАВА 1
Основные понятия
Ранее изоляторы г) рассматривались лишь как вещества, не
проводящие ток, и их использовали в электротехнике исключи-
тельно для обеспечения изоляции. Действительно, под влиянием
приложенного напряжения в любом изоляторе обнаруживается
сравнительно малый или пренебрежимый ток, по крайней мере
до наступления электрического пробоя при очень больших на-
пряженностях поля. Программа изучения инжекционных токов
в изоляторах, основанная на таком определении, вряд ли могла
бы оказаться перспективной. Полностью эмпирическая точка зре-
ния, о которой идет речь, была вызвана к жизни эксперименталь-
ными данными того времени и поэтому в точности соответствовала
им; к тому же долгое время не существовало теории с критическим
подходом к такой точке зрения. Однако под влиянием современной
квантовой теории появилась новая, совершенно иная точка зрения
на изоляторы, которая и является предметом рассмотрения насто-
ящей книги.
Вскоре после появления квантовой теории Блох [1] применил
ее для изучения электронной структуры твердых тел. Представ-
ление об энергетических зонах, возникшее в итоге проведенного
им анализа, впервые дало прочную теоретическую основу для пони-
мания электропроводности неметаллических твердых тел. В 1940 г.
Мотт и Герни в своей книге [2], ставшей классической, на основе
зонной теории твердого тела пришли к важному заключению отно-
сительно возможности получения инжекции электронов в изолятор
из соответствующего контакта способом, почти полностью ана-
логичным инжекции электронов из термокатода в вакуум.
? 1. РАССМОТРЕНИЕ ИНЖЕКЦИИ НА ОСНОВЕ
ЗОННОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Схема инжекции электронов в изолятор очевидна из рассмотре-
ния соответствующих энергетических диаграмм. На фиг. 1, а
представлена диаграмма контакта металл — вакуум, а на фиг.1, б—
х) При переводе было решено пользоваться преимущественно термином
«изолятор» вместо термина «диэлектрик», так как первый является естествен-
ным противопоставлением термину «проводник».— Прим. ред.
14 Часть I. Токи монополярной инжекции
диаграмма инжектирующего контакта металл — изолятор. Оба
контакта находятся в состоянии теплового равновесия, т. е.
внешнее электрическое поле отсутствует; используются следующие
обозначения: Fo — уровень Ферми, Евак — минимальная энергия
электрона в вакууме, Ее — энергия, соответствующая дну зоны
проводимости изолятора. Обе диаграммы, несомненно, очень
похожи друг на друга. Иначе говоря, электроны «испаряются»
6
Фиг. 1. Энергетические диаграммы контактов.
а — контакт металл — вакуум; б — контакт металл — изолятор, в — контакт в усло-
виях приложенного напряжения Как в случае а, так и в случае б при приложении напря-
жения у поверхности раздела появляется минимум потенциала (максимум энергии
электрона).
из металла в зону проводимости изолятора точно так же, как они
«испаряются» из нагретого катода в вакуум. В термоэлектронной
эмиссии из металла способны участвовать те электроны, которые
термически возбуждены до энергий, достаточных для преодоления
энергетического барьера у поверхности, через которую происхо-
дит эмиссия.
Мотт и Герни отметили, что поверхностный энергетический
барьер Т двойного слоя на контакте металла с изолятором может
быть существенно ниже соответствующего барьера Ф, т. е. работы
выхода электрона из металла в вакуум. В результате этого
даже при температурах, не превышающих комнатную, контакт
может поставлять достаточное количество электронов для поддер-
жания тока, ограниченного объемным зарядом (ТООЗ) х) в изо-
ляторе, что представляет исключительный интерес с точки зрения
техники. Характерным свойством режима ТООЗ как в изоляторе
при наличии «омического» контакта* 2), схематически показанного
на фиг. 1, б, так и в вакууме является то, что кривая потенциала
вблизи эмиттирующей поверхности имеет минимум Vm. Такого
рода минимум показан на фиг. 1, в, схематически изображающей
влияние приложенного напряжения надлежащей полярности
х) Термины «ток, ограниченный объемным зарядом» и «ток монополяр-
ной инжекции» используются в дальнейшем как синонимы.— Прим. ред.
2) В отечественной литературе такие контакты нередко называют также
«антизапорными».— Прим. ред.
Гл. 1. Основные понятия 15
(минус на контакте) на зависимость потенциала и энергии от
координаты. Минимуму Vm соответствует максимум энергии Ет
на фиг. 1, в, так как знак потенциала для электронов противопо-
ложен знаку энергии.
На перенос электронов проводимости в изоляторе оказывают
существенное влияние их частые столкновения как с тепловыми
колебаниями (фононами), так и с химическими и структурными
дефектами кристаллической решетки. Следовательно, математичес-
кое описание ТООЗ в изоляторе будет несколько отличаться от
описания ТООЗ в вакууме. Однако это касается скорее деталей
чем принципа. Более существенное влияние будут иметь локальны,
электронные состояния изолятора, связанные с примесями и струке
турными дефектами, неизбежно содержащимися в реальных ма-
териалах, но не учитываемыми сильно идеализированной моделью-
изображенной на фиг. 1, б и в.
§ 2. ОБЪЕМНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИЗОЛЯТОРЕ
Рассмотрев кратко задачу об инжекционных токах, Мотт
и Герни отметили, что наличие электронных ловушек, которым
соответствуют в запрещенной зоне дискретные уровни (например,
Изолятор
Изолятор
- -EtpZ
-ЕО
Elpt
Металл
Ф и г. 2 Энергетические диаграммы резервуарных контактов металл —
изолятор с ловушками.
а — резервуар образуют электроны; б — резервуар образуют дырки.
Etni и Etni на фиг. 2, а), может служить существенным препят-
ствием прохождению инжекционных токов, особенно при достаточно
низких температурах, когда захват инжектированных электронов
становится «стабильным». Эти краткие замечания Мотта иГернй
впоследствии были развиты в стройную теорию Роузом [3,4],
сумевшим дать детальное описание того, в какой мере и каким
образом уменьшается инжекционный ток вследствие локализации
инжектированных носителей. Ранняя работа Мотта и Герни и обе
указанные статьи Роуза заложили основу целой области иссле-
дований, связанных с изучением инжекционных токов в изо-
ляторах. Воздействие захвата на токи монополярной инжекции
и является центральной темой первой части настоящей книги.
16 Часть f. Токи монополярной инжекции
Чтобы проиллюстрировать аналогию между инжекцией носи-
телей в вакуум и в изолятор, мы рассматривали до сих пор только
инжекцию электронов. В силу известной формальной взаимозаме-
нимости электронов и дырок, очевидно, в равной степени должна
быть возможной инжекция дырок в валентную зону изолятора.
Фиг. 2, б является иллюстрацией «омического» контакта металл —
изолятор, отвечающего этому случаю. Здесь Е„ —верхний уро-
вень валентной зоны. На диаграмме показаны также дырочные
ловушки Etr,i и EtBi, аналогичные соответствующим электронным
ловушкам.
§ 3. КОНТАКТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Единственными инжектирующими контактами металл — изо-
лятор, о которых до сих пор шла речь, были контакты с изгибом
энергетических зон изолятора, способствующим инжекции. На
практике возможны и другие типы инжектирующих контактов,
а б в
г
Ф и г. 3. Энергетические диаграммы инжектирующих контактов.
а — невырожденный контакт с п+ — n-переходом, б — вырожденный контакт с п+ — п-
переходом; в — контакт туннельного типа (запирающий при малых приложенных напря-
жениях); г — резервуарный контакт, создаваемый светом.
показанные на фиг. 3. На фиг. 3, а и б область, обладающая свой-
ствами изолятора, расположена справа от плоскости С. Из
фиг. 3, а видно, что получить инжекцию электронов можно теперь
из «+-области, находящейся слева от плоскости С, через п+ —
«-переход или п+ — i-переход [i (intrinsic) — собственный].Ко-
нечно, «+-область должна быть снабжена соответствующим
электродом. Показанная на данной даграмме п+-область не выро-
ждена. Поэтому она становится бесполезной в качестве составной
части инжектирующего контакта, если температура столь низка,
что происходит вымораживание носителей заряда. Контакт,
показанный на фиг. 3, б, очень похож на контакт, показанный
на фиг. 3,а. Единственное их различие состоит в том, что п+-
область теперь вырожденная. Поскольку в вырожденной области
Гл. 1. Основные понятия 17
никогда не может произойти вымораживания носителей, такой
контакт может инжектировать электроны вплоть до самых низких
температур. На фиг. 3, в контактом, допускающим инжекцию
электронов, является контакт металл — изолятор, запорный для
электронов при низких напряжениях. При этом, однако, прини-
мается, что потенциальный барьер достаточно тонок, чтобы через
него уже при умеренных напряжениях имело место сильное тун-
нелирование электронов из металла в изолятор. Выше этих
напряжений контакт будет вести себя как инжектирующий. Доста-
точно острый точечный металлический электрод в принципе будет
вести себя как инжектирующий контакт независимо от деталей
зонной схемы на контакте. Напряженность электрического поля
оцоло точки соприкосновения металла с изолятором даже при
относительно малых приложенных напряжениях будет достаточно
велика, чтобы вызвать инжекцию путем автоэлектронной (тун-
нельной) эмиссии носителей.
Показанный на фиг. 3, г контакт, допускающий инжекцию
электронов, — это просто резервуар электронов, создаваемый облу-
чением поверхности изолятора интенсивным пучком сильно
поглощаемого света с частотой v, удовлетворяющей неравенству
/iv > Eg, где Eg — ширина запрещенной зоны. Аналогичный резер-
вуар дырок в валентной зоне, одновременно создаваемый погло-
щенным светом, на диаграмме не показан. Для обеспечения элек-
трического контакта на изолятор наносится полупрозрачная
проводящая пленка. Чтобы у поверхности изолятора генерировать
электронно-дырочные пары, вместо света можно воспользоваться
пучком электронов не слишком высокой энергии. В таком случае
полупрозрачная проводящая пленка для обеспечения электрическо-
го контакта может и не потребоваться. Все пять типов инжектиру-
ющих контактов, показанных на фиг. 2,а и 3, оказались пригод-
ными при исследовании инжекционных явлений.
Схематические изображения зонных диаграмм, которые обычно
приводятся, могут навести на мысль, что проблема контактов
относительно проста и до конца понята. В действительности
же получить хороший инжектирующий контакт зачастую очень
трудно. Нередко значительная часть исследовательской программы
по изучению электронных свойств какого-либо изолятора тратится
на решение (или попытки решения) проблемы контакта. Техно-
логия изготовления контактов находится на примитивном уровне,
как и «наука» о контактах. Следовательно, там, где трудности не
удается преодолеть (например, при создании хороших с точки
зрения инжекции дырок контактов для CdS), не очень ясно,
насколько они принципиальны. Тот факт, что зоны у контакта
металла с изолятором имеют соответствующее направление изгиба,
сам по себе не является еще гарантией применимости контакта
для инжекции носителей. Очевидно, если ступенька потенциальной
2-0699
18 Часть I. Токи монополярной инжекции
энергии на контакте (величина Т на фиг. 1, б) слишком велика,
то контакт может дать лишь небольшой, зависящий от температуры
ток насыщения, эквивалентный току в электронной лампе при
недостаточно нагретом термокатоде. Применение гетеропереходов
(например, слоя Cu2S, наращенного или напыленного на CdS,
для создания контакта, инжектирующего дырки) хотя и возможно,
но пока еще слишком мало практиковалось, чтобы можно было
сделать окончательные выводы. Бомбардировка изолятора фото-
нами или электронами в целях «генерирования» контакта позво-
ляет в принципе обойти не выясненные до сих пор трудности,
связанные с химией и металлургией. И действительно, такой метод
измерений успешно применяется на нескольких материалах, в том
числе на иоде и антрацене (гл. 5). В связи с появившимися
за последнее время лазерными источниками света этот метод, по
всей вероятности, в будущем найдет более широкое распростра-
нение.
Хотя зкспериментатор вряд ли может избежать проблемы кон-
такта, теоретик, вообще говоря, может с ней не считаться, по край-
ней мере при изучении монополярной инжекции. Дело в том, что
на токи монополярной инжекции обычно оказывают существенное
влияние только объемные свойства образца. Удовлетворительную
теорию инжекционных токов можно построить, пренебрегая вкла-
дом диффузионного тока в полный ток. В этой связи проблема
деталей структуры инжектирующего контакта полностью исклю-
чается применением идеализированного граничного условия в виде
стремящейся к нулю напряженности электрического поляна катоде.
Несмотря на то, что такое граничное условие ведет к неправильным
результатам для участка образца в непосредственной близости
от катода (концентрация инжектированных свободных носителей
на катоде стремится к бесконечности), оно позволяет правильно
описать распределение тока во внутренней части образца. Ситу-
ация здесь весьма похожа на условия при анализе работы ваку-
умного диода. В последнем случае при выводе известного закона
Чайлда также применяется упрощающее предположение: игно-
рируется распределение эмиттированных электронов по скоростям
и вместе с тем «структура» контакта (потенциальный минимум).
В качестве граничного условия, как и в случае твердого тела,
принимается, что напряженность электрического поля на катоде
обращается в нуль. Это также приводит к неправильному резуль-
тату непосредственно у катода. Сильное упрощение задачи как в
случае вакуума, так и в случае твердого тела достигается очень
небольшой ценой, а именно за счет того, что мы получаем далекую
от истины характеристику условий протекания тока в непосредст-
венной близости от катода. Такой упрощенный подход к задаче
применяется почти до конца части I, только в гл. 9 рассматривается
«точная» теория.
Гл. 1. Основные понятия 19
§ 4. РОЛЬ ИНЖЕКЦИОННЫХ ТОКОВ В ФИЗИКЕ
И ТЕХНИКЕ
Результаты многочисленных работ показывают, что инжек-
ционные токи могут служить отличным «зондом» при исследовании
изоляторов. Получение сведений о локальных уровнях в запре-
щенной зоне — это далеко не единственное, хотя и наиболее
распространенное применение инжекционных токов в исследова-
тельских целях. Как было указано выше, локальные уровни
могут оказывать сильное влияние на вызванный внешним напря-
жением инжекционный ток. Локальные состояния определяют
не только величину изменения тока (например, уменьшение
инжекционного тока вследствие локализации носителей заряда),
но и форму вольтамперной характеристики. Для пояснения ска-
занного достаточно, забегая несколько вперед, привести некото-
рые наиболее яркие результаты теории. На фиг. 4 приведена
в двойном логарифмическом масштабе теоретическая вольтампер-
ная характеристика ТООЗ в изоляторе с моноэнергетическими,
первоначально преимущественно незаполненными уровнями при-
липания. Такую характеристику можно получить в случае,
иллюстрируемом на фиг. 2, если в энергетическом спектре изоля-
тора содержатся локальные уровни только одного типа Etnl
(фиг. 2,*а) или Etpl (фиг. 2, б). На фиг. 5 приведена в двойном
логарифмическом масштабе теоретическая вольтамперная харак-
теристика тока двойной инжекции в изоляторе с моноэнергетиче-
скими уровнями рекомбинации, расположенными в соответствую-
щем месте запрещенной зоны и обладающими определенным
соотношением сечений захвата электрона и дырки.
Характерной особенностью обеих приведенных вольтамперных
/ зависимостей является сложность их структуры. Эти зависимости
будут выведены и подробно проанализированы в последующих
главах. Здесь же мы отметим лишь, что структура кривых, о кото-
рых идет речь, должна, очевидно, содержать полезную информа-
цию об упомянутых локальных уровнях, ответственных за появле-
ние такой структуры. Действительно, напряжение Упзл, при
котором ток на фиг. 4 возрастает почти вертикально, позволяет
непосредственно определить концентрацию ловушек, а по смеще-
нию 0 одного квадратичного участка кривой по отношению к дру-
тому можно определить положение соответствующих уровней
g запрещенной зоне. В случае, представленном на фиг. 5, отно-
шение напряжений 7Пор/^мин Дает отношение сечений захвата
типов носителей заряда центрами рекомбинации, а коэффи-
Диент в формуле, описывающей квадратичную область «полупро-
' ' родникового режима», определяет одно из сечений захвата. Таким
Образом, мы получаем оба сечения захвата, и теперь по 7МВН
ВЯИ Упор можно найти концентрацию центров рекомбинации,
2*
20 Часть I. Токи монополярной инжекции
которую, кстати, можно независимо определить и по У\ — напря-
жению, при котором квадратичная зависимость перелодит в куби-
ческую.
Примером переходного тока монополярной инжекции могут
служить кривые на фиг. 29, изображающие зависимость тока
Фиг. 4. Вольтамперпая харак-
теристика тока монополярной ин-
жекции в двойном логарифмиче-
ском масштабе.
Изолятор содержит одну группу моно-
энергетических ловушек. Деления на
осях соответствуют изменению напря-
жения У и тока I на один порядок
величины.
Ф и г. 5. Вольтамперная характеристика
тока двойной инжекции в двойном лога-
рифмическом масштабе.
Изолятор содержит одну группу моноэнерге-
тических глубоких уровней рекомбинации (пер-
воначально заполненных и характеризуемых
соотношением г? ап или первоначально пу-
стых и характеризуемых соотношением
ап Ср, где ор и ап •— сечения захвата дырки
и электрона). Деления на осях соответствуют
изменению напряжения у и тока I на один
порядок величины.
от времени (обе переменные нормированы) при приложении прямо-
угольной ступеньки напряжения. Здесь также проявляется слож-
ная структура токовой характеристики, позволяющая получить
полезную информацию об изоляторе. Особенности характеристики
одинаково заметны как при наличии ловушек, так и при их отсут-
ствии. В обоих случаях момент, когда ток достигает пикового
Гл. 1. Основные понятия 21
значения, позволяет непосредственно определить подвижность
носителей; медленный спад тока в случае нижней кривой дает
время захвата. Такой метод измерений нашел полезное приме-
нение при определении малых подвижностей в молекулярных кри-
сталлах.
Из приведенных примеров следует, что непосредственно
из измерения инжекционных токов получаются следующие данные
о локальных состояниях: их концентрация, энергетическое поло-
жение в запрещенной зоне и сечения захвата свободных носителей
в эти состояния. Если локальные состояния имеют слишком боль-
шую концентрацию, то они подавляют инжекционные токи при
разумных напряжениях. Чем чище изолятор, тем проще полу-
чить информацию из измерения инжекционных токов. При помощи
рассматриваемой методики можно легко обнаружить концентра-
ции центров вплоть до 1012 см-3 и ниже. В этом отношении она
является дополнительной по отношению к большому количеству
химических, оптических и других методов, на пути применения
которых возникают все возрастающие трудности при повышении
химического и структурного совершенства веществ.
С экспериментальной стороны регистрация ТООЗ получила
к настоящему времени полное признание как метод получения
информации о ловушках в изоляторах,. Подобные измерения
проводились на значительном количестве материалов, начиная
с элементарных полупроводников, полупроводниковых соедине-
ний и ионных диэлектриков и кончая органическими и неоргани-
ческими молекулярными кристаллами и стеклообразными веще-
ствами. Обзор экспериментальных работ дан в гл. 5, где рассматри-
ваются измерения в стационарном режиме, и в гл. 6, где
рассматриваются измерения переходных процессов. В большинстве
случаев токи монополярной инжекции в каком-либо конкретном
материале обнаружены для носителей заряда только одного знака.
Неудача в обнаружении токов, переносимых носителями другого
знака, является показателем тех трудностей, которые в основном
возникают в связи с изготовлением контактов, на что мы уже
обращали внимание. В меньшей мере дают о себе знать труд-
ности, связанные с химической очисткой материалов.
Исследование двойной инжекции, как теоретическое, так
и экспериментальное, относится в общем к более позднему
периоду, чем исследование монополярной инжекции. Довольно
хорошо изучено явление инжекции плазмы. Здесь имеется непло-
хое согласие теории с экспериментом. Что же касается двойной
инжекции при существенной роли захвата, то здесь остается
еще много неясного и в теории, и в эксперименте. При измерении
токов двойной инжекции, вообще говоря, остается неразрешенной
проблема создания контактов. В этом случае требуется, чтобы
на одном и том же образце были и хороший инжектирующий
22 Часть I. Токи монополярной инжекции
электроны катод, и хороший инжектирующий дырки анод.
С определенными трудностями может иногда быть связано также
обеспечение достаточной чистоты образцов.
Инжектируемая плазма наряду с тем, что она подвержена
влиянию дефектов кристаллической решетки твердого тела, пред-
ставляет интерес для экспериментального изучения плазменных
неустойчивостей, чем и обусловлено особое внимание к этому
явлению с точки зрения физики. В настоящей книге мы не рас-
сматриваем проблему неустойчивостей, но в части II уде-
ляем значительное внимание свойствам устойчивой плазмы. Тем
самым обеспечивается необходимая основа для анализа неустойчи-
востей.
Так как область исследования, связанная с изучением инжек-
ционных токов в изоляторах, появилась в связи с решением ряда
прикладных задач, она сохранила тесный контакт с развитием
электронной техники. Одним из наиболее ранних практических
применений достижений в данной области было определение для
некоторых диэлектрических преобразователей, таких, как фото-
резисторы и усилители света, верхнего предела рабочих характе-
ристик, обусловленного появлением ТООЗ. Краткое рассмотрение
этого вопроса содержится в гл. 7. В настоящее время на основе
инжекционных токов в твердом теле разработаны диэлектрические
приборы, аналогичные вакуумным приборам (выпрямляющие
диоды, усилительные триоды), и диэлектрические транзистор-
ные структуры (тонкопленочный транзистор). Библиография,
охватывающая некоторое количество подобных работ, дана
в гл. 5.
Постоянный интерес со стороны разработчиков электронных
приборов к явлениям двойной инжекции в изоляторах возбудили
опыты по получению эффективной генерации света твердыми
телами. Обзор работ по этим вопросам, выполненных до 1960 г.,
дан Хенишем [6]; исчерпывающая библиография приводится
Айви [7]. Фишер [8] рассмотрел трудные проблемы и перспективы
применения инжекционной электролюминесценции в веществах
с широкой запрещенной зоной. Обзорная статья по измерениям
инжекционной электролюминесценции в одном из представителей
органических материалов — антрацене — написана Хельфри-
хом [9]. Исследование высокоэффективной инжекционной люми-
несценции материалов с узкой запрещенной зоной, т. е. полу-
проводников, увенчалось блестящим успехом, связанным с полу-
чением (лазерной) эмиссии когерентного света из GaAs несколь-
кими исследовательскими группами в 1962 г. Обзор этих работ,
а также аналогичных работ на других полупроводниках дал
Пилькун [10]. Томас [И] рассмотрел успехи нелазерной инжек-
ционной электролюминесценции в полупроводниках, в основном
в GaP.
Гл. 1. Основные понятия 23
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В интересах простоты повсюду в настоящей книге рассмотрение
ограничивается однородными образцами. По той же причине
на протяжении всей книги мы будем касаться только стационарных
токов (за исключением гл. 6) и одномерного тока в плоских струк-
турах (за исключением гл. 8). Для простоты мы придерживаемся
упрощенной точки зрения на точечные дефекты решетки: они
рассматриваются главным образом как одноуровневые центры,
причем пренебрегается любым вкладом возбужденных состояний.
Из рассмотрения исключены все явления, обусловливающие
электрический пробой, и почти все то, что излагается в деталях,
базируется на использовании подвижности, соответствующей
слабым полям и, следовательно, не зависящей от поля.
С целью упрощения терминологии во всей части I предпола-
гается, что носителями заряда являются электроны. Это позволило
избежать применения индексов пир, определяющих тип носи-
телей. Все результаты, полученные для электронных инжекцион-
ных токов, в равной степени справедливы и для дырочных инжек-
ционных токов при соответственном изменении терминологии.
На всех схемах, иллюстрирующих явления, принято, что элек-
троны передвигаются слева направо. На протяжении всей книги
(если это не оговаривается особо) используются единицы системы
СИ. В приложении Б наиболее важные формулы приведены
также в практических единицах. В приложении А дан полный
список обозначений.
Несколько слов необходимо сказать о терминологии. В настоя-
щее время не существует единой универсальной терминологии
в физике диэлектриков. Мы не пытаемся проводить различие
между изоляторами и полупроводниками ни в каком точно опре-
деленном смысле. Грубо говоря, мы подразумеваем под изолятором
при комнатной температуре материал с широкой запрещенной
зоной, удовлетворяющей условию Ес 2 эВ, а под полупровод-
ником — материал с узкой запрещенной зоной, удовлетворяющей
условию Eg ч'. 2 эВ. С другой стороны, часто достаточно удобно
определять «изолятор» как высокоомный материал, а «полупро-
водник»— как низкоомный материал. Мы пользуемся терминами
«омический контакт», «резервуарный контакт» и «инжектирующий
контакт» как равнозначными. Всеми этими терминами опреде-
ляется контакт, способный инжектировать носители, причем
на таком контакте падает лишь относительно малая доля прило-
женного напряжения. При рассмотрении монополярной инжек-
ции любой локальный уровень, связанный с каким-либо дефектом
решетки, играет роль уровня прилипания. В тех случаях, когда
существует квазитепловое равновесие между захваченными и сво-
бодными носителями, оно характеризуется квазиуровнем Ферми
24 Часть I. Токи монополярной инжекции
(называемым иногда стационарным уровнем Ферми). Мелкие
и глубокие уровни прилипания можно однозначно определить,
принимая во внимание положение квазиуровня Ферми. Таким
образом, разделение уровней на мелкие и глубокие не является
абсолютным, и смысл, который следует вкладывать в такое разделе-
ние, существенно зависит от уровня инжекции,
ГЛАВА 2
Феноменологический анализ
Весьма глубокое понимание свойств тока монополярной инжек-
ции может быть достигнуто путем проведения относительно
несложного феноменологического анализа. Подобного рода ана-
лиз, введенный в теорию тока, ограниченного объемным зарядом,
Роузом, представляет собой попытку описания только самых
общих, самых характерных черт механизма прохождения тока.
Такой подход позволяет добиться исключительной простоты
выкладок и доказательств, дающих тем не менее в результате
весьма полное представление о физике явления монополярной
инжекции.
Величинами, с которыми мы в основном имеем дело в теории
монополярных токов, являются концентрации свободных и захва-
ченных носителей, подвижность носителей и напряженность
электрического поля. Феноменологический анализ игнорирует
пространственное изменение этих величин, оперируя лишь
их усредненными значениями. Такой прием вполне оправдан,
так как при прохождении тока через плоскую структуру все вели-
чины относительно мало изменяются вдоль длины изолятора
почти на всем его протяжении от катода до анода. Следовательног
любая величина неплохо представляется ее средним значением.
Применяемые средние значения не всегда являются точными
математически определенными средними, хотя, как будет показано
в гл. 4, они и представляют собой хорошие приближения к послед-
ним. В конечном счете полученные при помощи феноменологиче-
ского анализа соотношения, такие, как уравнение вольтамперной
Характеристики, достаточно точно определяют функциональные
ависимости между входящими в них физическими величинами,
; причем в худшем случае эти соотношения содержат лишь неточ-
.. Ный численный множитель. Отметим далее, что ошибка в опреде-
к Пении этого численного множителя невелика. Обычно она не пре-
L ВЫШает множителя 2; таким образом, применение такого неслож-
В ДОго анализа вполне оправдано.
Теперь приступим к рассмотрению конкретных модельных
В||Дач, постепенно усложняя их. Во всех случаях мы будем пред-
ПОЛагать, что катод является резервуарным контактом, т. е. oel
МОжет свободно поддерживать любой ток, требуемый решением.
-26 Часть I. Токи монополярной инжекции
задачи, которое относится к объему изолятора. За исключением
отдельных случаев (очень малые расстояния между катодом и ано-
дом и малые приложенные напряжения), такого рода контакт
играет пренебрежимо малую роль в определении вольтамперной
характеристики. Таким образом, при нашем рассмотрении мы
можем не учитывать влияния контактов.
§ 1. ИДЕАЛЬНЫЙ ИЗОЛЯТОР
Рассмотрим сначала вольтамперную характеристику в про-
стейшем возможном случае, а именно для идеального изолятора,
не содержащего ни центров прилипания г), ни свободных равно-
весных носителей. Следовательно, речь идет по существу о твердо-
тельном аналоге термоэлектронного вакуумного диода. Все инжек-
тированные электроны остаются свободными, т. е. они находятся
в зоне проводимости, и все они участвуют в образовании объем-
ного заряда.
Плотность тока можно записать в виде
7=ру, (2.1)
или, что эквивалентно, в виде
/ = (2.1а)
где р — средняя плотность инжектированного свободного заряда,
v — средняя дрейфовая скорость электрона, Q — полный инжек-
тированный свободный заряд между катодом и анодом, приходя-
щийся на единицу площади поперечного сечения образца,
и t — время пролета свободного электрона от катода до анода.
Величины v и t связаны соотношением
i = (2.2)
а величины р и Q — соотношением
Q = pL, (2.2а)
где L — расстояние между катодом и анодом.
Предполагая, что ток чисто дрейфовый, мы, конечно, совсем
не учитываем вклада в ток диффузии носителей. Диффузионный
ток существен только в непосредственной близости от контактов,
г) При переводе использована терминология, в которой любой локаль-
ный уровень (центр) именуется ловушкой или уровнем (центром) захвата.
Ловушки разделяются на уровни (центры) прилипания и уровни (центры)
рекомбинации. Когда речь идет о темновых токах монополярной инжекции,
понятия «ловушка» и «уровень прилипания», очевидно, совпадают.—
Прим. ред.
Гл. 2. Феноменологический анализ 27
и пренебрежение им логически вытекает из того, что мы не учиты-
ваем роли контактов. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 9.
Из уравнения (2.1) или (2.1а) видно, что для получения вольт-
амперной характеристики достаточно определить только вид
функциональной зависимости величин Q или р, а также t или v
от приложенного напряжения V. Обратимся сначала к величине Q.
Из элементарной электростатики известно, что заряд Qo на одной
пластине плоского конденсатора пропорционален напряжению V
на конденсаторе;
Q0 = C0V при Со = ^, (2.3)
где е — статическая диэлектрическая проницаемость среды
и L — расстояние между пластинами. Площадь пластины считаем
равной единице. С точки зрения электростатики задача об инжек-
ции носителей заряда очень похожа на задачу о конденсаторе.
Заданная разность потенциалов V между катодом и анодом может
поддерживать в изоляторе лишь вполне определенный инжекти-
рованный из резервуарного контакта полный заряд Q, приходя-
щийся на единицу площади. Экстраполируя случай с конденса-
тором, разумно предположить, что и в нашем случае заряд про-
порционален напряжению V, т. е. справедливо равенство Q = CV.
Если бы инжектированный заряд был однородно распределен
между катодом и анодом, то среднее его расстояние от анода
равнялось бы L/2 и емкость С превышала бы, таким образом,
в два раза «геометрическую» емкость Со, заданную выраже-
нием (2.3). На самом же деле, поскольку весь заряд инжектирован
катодом, мы должны ожидать, что его распределение неоднородно,
причем большая часть электронов находится вблизи катода.
Поэтому среднее расстояние инжектированного заряда от анода
несколько превышает значение L/2, но во всяком случае меньше
L — предельного расстояния, соответствующего полному отсут-
ствию инжекции. Итак, из одних только физических соображений
следует, что Со < С < 2С0. Строгое доказательство этого положе-
ния мы приведем в гл. 3. Поскольку нас сейчас не интересует
^большая точность, мы можем допустить ошибку в два раза
и написать
Q«C0F = -J-. (2.4)
Используя уравнения (2.1а), (2.2) и (2.4), получаем
(2.5)
Дрейф электрона в твердом теле характеризуется частыми
столкновениями с тепловыми колебаниями кристаллической решет-
28 Часть I. Токи. монополярной инжекции.
ки, а также с содержащимися в решетке примесями и структур-
ными нарушениями. При не слишком больших напряженностях
поля это приводит к тому, что дрейфовая скорость электрона
будет пропорциональна приложенному полю:
V = = t^. (2.6)
Здесь р, — подвижность электронов и 8 — средняя напряжен-
ность электрического поля. Используя уравнения (2.5) и (2.6),
получаем вольтамперную характеристику в виде
7^5 (2.7)
(безловушечный квадратичный закон). Заметим, что уравне-
ние (4.9), которое будет получено ниже в результате более точ-
ного расчета, отличается от уравнения (2.7) только наличием
в нем численного множителя 9/8.
Хотя идеальный изолятор является лишь воображаемым
объектом, тем не менее уравнение (2.7) оказывается очень полез-
ным, так как оно представляет собой предельную форму вольт-
амперной характеристики неидеального изолятора при достаточно
высоких приложенных напряжениях, когда общее количество
инжектированных электронов уже значительно превышает число
первоначально незанятых электронных ловушек, содержащихся
в каком-либо конкретном материале. Уравнение (2.7) характери-
зует максимальный ток монополярной инжекции, который может
проходить через реальный изолятор при заданном расстоянии
между катодом и анодом.
Необходимо подчеркнуть, что уравнениями (2.1)—(2.5) можно
пользоваться при таких условиях прохождения тока, которые
являются гораздо более общими, чем условия, описываемые
уравнением (2.6). Так, например, они остаются применимыми при
сильных электрических полях, когда подвижность становится
зависящей от поля и дрейфовая скорость уже не пропорциональна
внешнему полю. Видоизменения вольтамперной характеристики,
обусловленные подобными явлениями в сильных полях, рас-
сматриваются в конце настоящей главы.
Далее, уравнения (2.1)—(2.5) описывают прохождение тока
не только через твердые тела. Поучительно применение приве-
денного выше хода рассуждений для вывода вольтамперной
зависимости термоэлектронного вакуумного диода. В этом случае
электроны перемещаются свободно, без столкновений. Следова-
тельно, скорость их движения зависит от разности потенциалов,
которую они успели пройти:
eV \ !/а
т0 I '
(2.8)
V
Гл. 2. Феноменологический анализ 29
где е и т0 — заряд и масса электрона. Подставляя зависи-
мость (2.8) в уравнение (2.5), получаем
, [ е \У2 У3/2
J М rn0 ) Z,2 ’
(2-9)
где е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума. Точный
результат, а именно известный закон Чайлда, отличается от фор-
мулы (2«9) .только наличием численного множителя 4]Л2/9 = 0,63-
§ 2. БЕЗЛОВУШЕЧНЫЙ ИЗОЛЯТОР
С РАВНОВЕСНЫМИ СВОБОДНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ
Следующим по сложности шагом является включение в задачу
равновесных, термически генерируемых свободных электронов
с концентрацией п0. Возможным источником таких электронов
может быть, например, группа очень мелких доноров, т. е. доно-
ров, обладающих столь малой энергией связи электрона, что они
не могут выступать в роли эффективных ловушек для электронов.
При этом предполагается также, что в запрещенной зоне отсут-
ствуют более глубокие электронные уровни прилипания.
Можно ожидать, что при малых напряжениях будет соблю-
даться закон Ома:
V
J = епоц -j-. (2.10)
Заметных отклонений от закона Ома не возникает до тех пор,
пока средняя концентрация пг инжектированных неравновесных
свободных носителей не становится сравнимой с концентра-
цией п0 тех носителей, которые освобождены термически и, следо-
ъательно, нейтрализованы. Отметим, что неравновесный заряд
при любых, в том числе и малых, напряжениях V определяется
формулой (2.4). Стало быть, переход от закона Ома (2.10) к без-
ловушечному квадратичному закону (2.7), т. е. начало ТООЗ,
происходит при напряжении Vx, определяемом из уравнения
en0L = Q = CVX 4-Vx.
Lt
(2.11)
Простое преобразование уравнения (2.11) дает
где
tx
en0L2
е
ИЛИ tx Я» ta,
(2.12)
Z,2
Их
И
efioii
Здесь tx — величина, приблизительно равная времени пролета
электрона между катодом и анодом при напряжении Vx, to — по-
30 Часть I. Токи монополярной инжекции
стоянная времени Максвелла (время диэлектрической релакса-
ции) для равновесного изолятора. Таким образом, формула (2.12)
подтверждает ожидаемое заключение: концентрация инжектиро-
ванных неравновесных электронов начинает преобладать над
концентрацией термически возбужденных электронов, когда время
пролета неравновесных электронов становится настолько малым,
что их заряд уже не успевает рассасываться при участии равно-
весных носителей.
Легко проверить, что напряжение перехода Vx, определяемое
формулой (2.12), соответствует напряжению, при котором токи,
определяемые законом Ома (2.10), равны токам, определяемым
безловушечным квадратичным законом (2.7),
§ 3. ИЗОЛЯТОР С ЛОВУШКАМИ
Присутствие электронных уровней прилипания (характерная
черта реальных изоляторов) приводит обычно к сильному умень-
шению тока при низких уровнях инжекции, так как эти уровни,
являясь первоначально пустыми, могут захватить подавляющее
большинство инжектированных носителей, не допуская их пере-
мещения внешним полем. С другой стороны, неравновесный заряд,,
который может поддерживаться в изоляторе приложенным напря-
жением V, т. е. заряд Q = CV, остается неизменным независима
от того, свободен ли неравновесный заряд или он находится
на локальных уровнях. (Заряд, который можно запасти на пла-
стинах плоского конденсатора при определенном напряжении,
не зависит от того, свободен ли этот заряд или он находится
на поверхностных уровнях.) Следовательно, уравнение (2.2а)
следует преобразовать, используя (2.4), к виду
Q = (P-l p,)L~C0F = ±K (2.13)
где р< — средний инжектированный локализованный заряд..
Изменив таким образом уравнение, определяющее заряд Q, мы
больше не можем пользоваться уравнением (2.1а), хотя уравне-
ние (2.1), конечно, остается в силе.
Чтобы получить вольтамперную характеристику для тока,
ограниченного объемным зарядом, в дополнение к уравнениям (2.1)
и (2.13) требуется еще одно уравнение, связывающее заряды р-
и pt. Для определения вида этого уравнения следует сначала
рассмотреть связь между свободными и захваченными носителями
при тепловом равновесии. Такую связь удобно выразить, приме-
няя понятие уровня Ферми Fo. В случае невырожденного полу-
проводника концентрация свободных носителей при тепловом'
равновесии задается хорошо известным выражением
н0 = Л^сехр^=Д, (2.14)
К1
Гл. 2. Феноменологический анализ 31’
где Ne — эффективная плотность состояний в зоне проводимости,
Ес — энергия, соответствующая дну зоны проводимости,
к — постоянная Больцмана и Т — абсолютная температура. Кон-
центрация заполненных электронных ловушек ntf0, расположен-
ных на уровне Et (фиг. 6), выражается тогда через функцию
Ферми — Дирака в следующем виде:
яг яг Ef— Ер
N=Ncexp—
(2.15)
где Nt — концентрация, g — коэффициент спинового вырождения
(статистический вес) уровней прилипания. Очевидно, равновесное-
Ес
Et
Фиг. 6. Энергетические диаграммы изолятора в тепловом равновесии (а)
и в квазигепловом равновесии при наличии монополярной инжекции (б).
Случай а характеризуется равновесным уровнем Ферми Fa. п„ = Nc exp [(Fo — Ec)/feT],
n/,0 = Wf {1 + (1/e) exP [(Ej — E0)/feT]}-1; случай 6 квазиуровнем Ферми F. n =.
= Ncexp [(F — Ec)/feT], nt = Nf {1 + (1/g) exp [(Ef — F)/feT]}-*.
заполнение получается в результате баланса между захватом
электронов ловушками (стрелка, направленная вниз, на фиг. 6)
и их термическим освобождением (стрелка, направленная вверх).
Решающим моментом для развития теории инжекционных токов
является тот факт, что наличие не очень сильных электрических
полей не влияет на указанные элементарные микропроцессы захвата
и освобождения электронов. (Например, процесс захвата электрона
может измениться только в том случае, если внешнее поле заметно
«разогревает» электроны и сечение захвата электрона сильно
зависит от энергии электрона.) Следовательно, при наличии
не слишком сильных внешних полей баланс между свободными
и захваченными носителями изменяется исключительно вслед-
ствие изменения концентрации свободных носителей при их
инжекции. Другими словами, баланс между свободными и захва-
ченными носителями достигается так, как если бы кристалл нахо-
дился в тепловом равновесии, но с концентрацией свободных
носителей п, зависящей от уровня инжекции, вместо подлинной
равновесной концентрации п0. Соответствующий уровень Ферми F
32 Часть I. Токи, монополярной инжекции
называется электронным квазиуровнем Ферми. Согласно определе-
нию, он связан с п точно так же, как величина Fo связана с кон-
центрацией п0 в выражении (2.14), а именно
п = щ 4- п0 = Nc exp F~^a- , (2.16)
гдо nt — средняя концентрация инжектированных неравновесных
свободных электронов.
В этом случае концентрация захваченных электронов nt
определяется выражением (2.15), в котором, однако, величина Fo
заменена величиной F:
П( = П,. I + ni. ’ Bt — F = 1 N ’
* + 7“рТг- 1 + 7-
где ntli — средняя концентрация инжектированных неравновес-
ных захваченных электронов, a N определяется выражением (2.15).
Пределы справедливости сделанного предположения о квази-
тепловом равновесии более детально рассматриваются в гл. 3,
а в последующих параграфах настоящей главы мы применим
указанное предположение для рассмотрения нескольких моделей
с различным распределением уровней прилипания в запрещенной
зоне изолятора.
§ 4. МЕЛКИЕ ЛОВУШКИ
Будем считать, что электронный уровень прилипания Et
является мелким, если уровень F расположен ниже Et и, следо-
вательно, выполняется неравенство (Et — F)!kT > 1. При этом
уровень Fq должен также располагаться ниже Et, как, например,
в случае состояний с энергией Etnt на фиг. 2, а. Тогда из выраже-
ния (2.17) следует, что при выполнении неравенства (Et — F)!kT>
> 1 справедлива формула
^ = _^ = _Л- = 2К£_ехр^Д=.-0, (2.18)
nt Pt gNt gNt kT ' '
где 0 — постоянная, не зависящая от уровня инжекции до тех
пор, пока уровни прилипания остаются мелкими.
Мелкие ловушки с концентрацией Nt и энергией Et будут
значительно изменять ТООЗ, если 0<С 1- Тогда уравнение (2.13)
можно переписать в виде
(2.19)
Гл. 2. Феноменологический анализ 33
Объединяя соотношения (2.19), (2.1) и (2.6), получаем вольт-
амперную характеристику в виде
Т/2
J « 6ер,-р- (2.20)
(«ловушечный» квадратичный закон). Полученный при количе-
ственном анализе точный результат содержит численный множи-
тель 9/8 точно так же, как в безловушечном случае. Здесь мы
предполагаем, что на ток влияет только один дискретный уро-
вень. Если имеется несколько групп мелких уровней прилипания,
то группа с наименьшим значением 0 наиболее сильно ограничи-
вает ток, и в (2.20) входит постоянная 0, связанная именно с этой
группой. Следует иметь в виду, что уравнение (2.20) справедливо
только до тех пор, пока уровень F расположен ниже уровня Et.
Уровень F, разумеется, поднимается с ростом уровня инжекции,
т. е. с увеличением приложенного напряжения. Вопрос о том,
что происходит, когда уровень F пересекает уровень Ef, мы рас-
смотрим несколько ниже.
Как было отмечено в § 2, при достаточно низких напряжениях
будет соблюдаться закон Ома (2.10), поскольку в изоляторе
имеются равновесные свободные носители с концентрацией п0.
Из этого, конечно, не следует, что концентрация п0, которая рас-
сматривалась в § 2, совпадает по величине с концентрацией па
в настоящем рассмотрении. Значение п0, вообще говоря, изме-
няется от кристалла к кристаллу даже в случае одного и того же
вещества и определяется всей совокупностью дискретных уров-
ней в конкретном кристалле. Условие локальной зарядовой
нейтральности определяет положение равновесного уровня
Ферми Fo в запрещенной зоне, и это в свою очередь на основании
выражения (2.14) определяет значение п0. В настоящей главе
и фактически в большей части книги мы будем считать значение п0,
или, что равноценно, положение уровня F0, просто заданным
параметром. Легко проверить, что напряжение Vx перехода
от закона Ома (2.10) к «ловушечному» квадратичному закону (2.20)
в 1/0 раз превышает напряжение перехода для безловушечного
случая, определяемое формулой (2.12). Если концентрация сво-
бодных электронов удваивается вследствие инжекции, то выра-
жение для концентрации неравновесных электронов, захваченных
на мелкие ловушки, принимает вид n0/Q; при этом
(2.21)
В данном случае удобно ввести понятие эффективной дрейфо-
вой подвижности цЭфф- Если концентрация свободных электронов
отличается от равновесного значения п0, например вследствие
наличия инжекции, и принимает новое значение и, то в проме-
жутки времени, достаточно большие по сравнению с временами
3-0699
34 Часть I. Токи монополярной инжекции
захвата и освобождения, электроны с концентрацией nt, заполняю-
щие уровни прилипания, будут находиться в квазитепловом
равновесии со свободными электронами, как отмечалось уже
в предыдущем параграфе. Тогда общее количество инжектиро-
ванных электронов п + nt ~ nt будет иметь эффективную дрей-
фовую подвижность цЭфф — (п/пг)ц. Исходя из определения
величины цЭфф и уравнения (2.18), легко проверить, что форму-
ла (2.21) эквивалентна выражению
tx =
Цэфф —— Ц — 6ц,
(2.22)
где tx Эфф — эффективное время пролета полного инжектирован-
ного заряда через изолятор при напряжении a ts — время
диэлектрической релаксации, определяемое формулой (2.12).
§ 5. ГЛУБОКИЕ ЛОВУШКИ
Будем считать, что электронный уровень прилипания Et
является глубоким, если уровень F расположен выше Et и, следо-
вательно, выполняется неравенство (F — Et)lkT > 1. Рассмотрим,
например, ситуацию, которая характеризуется только одной
группой уровней с концентрацией Nt, обладающих энергией Et,
меньшей чем Fo, например группой уровней прилипания с энер-
гией Etn2 на фиг. 2, а. Концентрацию дырок на таких уровнях,
или, другими словами, концентрацию центров прилипания,
не заполненных электронами, можно определить при помощи
выражения (2.15). В результате получаем
pt.o = ^-«/>o =----^-^exp?g^, (2.23)
Kl
где последнее приближенное выражение справедливо,| если
выполняется условие (Fo — E^lkT^i-
Как и в предыдущих случаях, закон Ома (2.10) будет справед-
лив вплоть до такого напряжения Vx, при котором концентрация
свободных инжектированных электронов п, становится сравнимой
с равновесной концентрацией п^. Учитывая сказанное в § 3,
можно утверждать, что в таком случае удвоение концентрации
свободных электронов соответствует перемещению квазиуровня
Ферми F вверх на расстояние от уровня Fo, равное кТ (точнее
0,7 кТ). Этого перемещения достаточно, чтобы почти полностью
заполнить глубокие ловушки. Отсюда следует, что напряжение
начала тока монополярной инжекции Vx совпадает с напряже-
нием Уцзл (индекс ПЗЛ обозначает предельное заполнение
ловушек), необходимым для того, чтобы практически полностью
заполнить рассматриваемую группу уровней. Из уравнения (2.4)
Гл. 2. Феноменологический анализ 35
получаем
Рпзл «
^пзл
Со
ept, pL ~ ept, р£2
Со ~ е
(2,24)
где pt,о определяется выражением (2.23).
Рассмотрим теперь, как изменяется ток в зависимости от при-
ложенного напряжения при напряжениях, больших чем Рпзл«
а
Фиг. 7. Возможный вид вольтамперных характеристик в двойном логариф-
мическом масштабе.
а — изолятор содержит одну монознергетическую группу ловушек (1 — Е» > Е^, 2—
Ео < Ер; б — изолятор содержит две группы ловушек: сплошная линия соответствует
условию Е^1 < Го < штриховая линия — условию Ео < Ец < Ej2. Деления на осях
соответствуют изменению напряжения V и тока J на один порядок величины.
Это нетрудно сделать, если ограничиться оценкой, какое ожи-
дается изменение тока при удвоении напряжения от V = Упзл
до V = 2Упзл, Вследствие пропорциональности полного
инжектированного заряда напряжению, как показывает уравне-
ние (2.4), при удвоении напряжения этот заряд также удваи-
вается, т. е. мы можем написать Q (2Рпзл)= 2(?пзл- Посколь-
ку ловушки уже заполняются, когда напряжение равно напря-
жению Упзл, весь избыточный инжектированный заряд
Q (27пзл) — <2пзл = Q пзл= ePt.oL
3*
36 Часть I. Токи монополярной инжекции
должен оставаться в зоне проводимости. В таком случае отноше-
ние токов, соответствующих двум указанным напряжениям,
записывается в виде
J (2Упзл) ~ 2» (2Упзл) ~ pt, о ,9 „г,
•П^пзл) ~ п (^пзл) ~ по
Добавочный численный множитель 2 в числителе центральной
части формулы (2.25) появляется потому, что среднее значение
поля также удваивается при удвоении приложенного напряжения.
Отметим, что здесь использовано соотношение п (Епзл )
« 2и0. В случае изоляторов численное значение отношения
Pt,olnQ может быть очень большим.
Примером вольтамперной характеристики, относящейся к дан-
ному случаю, служит кривая 1 на фиг. 7, а. При V ж Епз.л i
ток возрастает очень резко (кривая почти вертикальна). Выше
напряжения V — 2Рпзл i характеристика сразу же сливается
с графиком безловушечного квадратичного закона (2.7), так как
при этих условиях инжектированный свободный заряд преобла-
дает над инжектированным захваченным зарядом.
Почти вертикальный рост тока, сопровождающий заполнение
отдельной группы моноэнергетических уровней прилипания,
является одним из наиболее ярких результатов теории инжек-
ционных токов в изоляторах. Если бы не существовало теории
тока, ограниченного объемным зарядом, то подобный эксперимен-
тальный факт, несомненно, был бы неправильно истолкован как
электрический пробой.
§ 6. ПОЛНАЯ ВОЛЬТАМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ГРУППЫ МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЛОВУШЕК
Если в изоляторе имеется только одна группа моноэнергетиче-
ских уровней прилипания с концентрацией Nt и, кроме того,
задано положение уровня Ферми Fo, то можно получить целое
семейство вольтамперных характеристик, причем каждая соста-
вляющая этого семейства соответствует определенной глубине
залегания уровней прилипания Et. Вся совокупность кривых
расположена в некотором «треугольнике» на координатной пло-
скости log J — log V, как показано на фиг. 7, а. Этот треугольник
ограничивается законом Ома, безловушечным квадратичным зако-
ном и «вертикальной» стороной — законом предельного заполне-
ния ловушек (ПЗЛ). Третий закон, взятый сам по себе, опреде-
ляет вольтамперную характеристику в воображаемой (нереаль-
ной) ситуации, связанной с предположением о том, что ловушки
неравновесно заполнены уже в самом начале, до приложения
напряжения. Поскольку для поддержания в изоляторе неравно-
Гл. 2. Феноменологический анализ tfl
весного искусственно введенного полного заряда eNtL требуется
напряжение Упзл~ eNtL2/^, ток не может протекать до тех
пор, пока приложенное напряжение V не будет равно Упзл.
G этого момента ток будет возрастать почти вертикально с напря-
жением, о чем уже говорилось, причем эта зависимость при
V ~ 2Упзл переходит в безловушечный квадратичный закон.
Возвращаясь к реальной задаче, следует отметить, что, где бы
ни был расположен уровень Et, график зависимости log J
от log V, очевидно, не может проходить выше, чем прямая, соот-
ветствующая безловушечному квадратичному закону, или ниже,
чем прямая, соответствующая закону Ома, и, кроме того, он
не может находиться справа от прямой закона ПЗЛ, так как это,
очевидно, наиболее неблагоприятная ситуация с точки зрения
прохождения тока. Таким образом, реальная кривая зависимости
логарифма тока от логарифма напряжения должна находиться
в пределах указанного треугольника.
Семейство вольтамперных характеристик состоит по суще-
ству из двух подсемейств: одного, соответствующего условию
Et < Fo, и второго, соответствующего условию Et > Fo. Первый
случай проанализирован в § 5. Типичным примером хода вольт-
амперной характеристики служит кривая 7 на фиг. 7, а. Верти-
кальный участок характеристики наблюдается при напряжении
Упзл 1 « «Pt, oL2/&, где 0 = (Nt/g) exp [(Е1; — F0)/kT]. Чем
глубже ловушки, т. е. чем больше величина (Fo — Et)/kT, тем
меньшие значения принимает напряжение УПзл i- В конце
концов, когда ловушки становятся настолько глубокими, что
справедливо равенство рг>0 ~ п0, вертикальный участок со-
всем исчезает, т. е. ловушки больше не влияют на прохождение
тока.
Второй случай рассмотрен частично в § 4. До тех пор, пока
выполняется условие F < Et, уровни прилипания остаются мел-
кими, и ток подчиняется квадратичному закону (2.20) с множи-
телем 9, определяемым формулой (2.18). Этому закону пред-
шествует закон Ома, когда напряжения ниже переходного напря-
жения Vx- заданного выражением (2.21). Когда же напряжение
почти равно напряжению Упзл, квазиуровень Ферми F пере-
секает уровень Et, и кривая J (V) начинает подчиняться закону
ПЗЛ. Типичной является зависимость, изображаемая кривой 2
на фиг. 7, а. Отметим, что в случае незначительного отличия
энергии Et от энергии дна зоны проводимости, т. е. при 9 да 1
(мы предполагаем, что gN t < Лгс), влияние ловушек становится
пренебрежимо малым и наблюдается только безловушечный
квадратичный закон.
38 Часть I. Токи монополярной инжекции
§ 7. ВОЛЬТАМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА В СЛУЧАЕ
ДВУХ ГРУПП ЛОВУШЕК
Учитывая сказанное выше, мы можем теперь построить вольт-
амперную характеристику и для случаев, когда в изоляторе
имеется более чем одна группа уровней прилипания. Проиллю-
стрируем это для модели с двумя группами уровней прилипания.
Пусть Ntl и У(а — концентрации этих уровней, а Ец и Et2 —
энергии, причем потребуем, чтобы Et2 > Etl и У(2 > Ри,о- Сплош-
ная кривая на фиг. 7, б соответствует ситуации, когда уровень
Ферми удовлетворяет условию Etl <Z F0 < Et2. В этом случае
при напряжениях ниже напряжения ПЗЛ Vi ~ epti>0L2/e ток
подчиняется закону Ома. Затем он нарастает почти вертикально,
Пока не достигнет значения Ji, при котором уровень инжекции
становится таким, что выполняется равенство п12 да Рл,о- Теперь
преобладающее влияние имеют уже уровни У(а с энергией Eti
и ток подчиняется «ловушечному» квадратичному закону вплоть
до второго напряжения ПЗЛ V2 ~ e7VfaL2/e. Последующий, почти
Вертикальный рост тока продолжается вплоть до такого значения
тока /2, при котором справедливо равенство п да 7Vta. После этого
характеристика переходит в безловушечную квадратичную зави-
симость.
Штриховая кривая на фиг. 7, б соответствует ситуации, когда
уровень Ферми удовлетворяет условию Fo < Ец < Ец- В этом
случае на вольтамперной характеристике можно видеть также
квадратичный участок, соответствующий (мелким) уровням прили-
пания Ntl с энергией Etl. В остальном характеристика аналогична
только что рассмотренной (сплошная кривая). Напряжения
Vi’, Fa- и токи Jr, J2' играют ту же роль, что и величины Vi, Fa,
Ji, J2, о которых шла речь выше.
5 8. НЕПРЕРЫВНЫЕ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ И ОДНОРОДНОЕ)
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОВУШЕК ПО ЭНЕРГИЯМ
До сих пор мы считали, что глубина залегания уровней прили-
пания каждого конкретного типа является вполне определенной
величиной Et. Поэтому мы неоднократно говорили о «группе
уровней прилипания Nf с энергией Et». Это, несомненно, неплохая
аппроксимация при анализе инжекционных токов в монокристал-
лических материалах высокой химической и структурной чистоты.
Однако в противоположном случае, когда имеют дело со стекло-
образными или аморфными изоляторами (например, с напыленными
тонкими пленками, обладающими плохо выраженными кристал-
лическими свойствами), вполне может оказаться, что включение
в модель изолированных групп моноэнергетических уровней
прилипания окажется недостаточным, даже если эта модель
Гл. 2. Феноменологический анализ 39
(2.26)
предназначена для описания материала высокой химической
чистоты. Действительно, вследствие значительного структурного
раз упорядочения решетки электронный центр прилипания любого
типа, как связанный с примесями, так и обусловленный собствен-
ными дефектами решетки, не будет обладать однозначно определен-
ным окружением. Дефекты, выступающие в качестве центров
прилипания, будут отличаться один от другого тем, каким обра-
зом расположены ближайшие узлы решетки, следующие за ними
узлы и т. д. В конечном счете это приводит к сильному размазы-
ванию уровня. Учитывая сказанное, естественно принять, что
группа уровней прилипания данного типа описывается нор-
мальным распределением (Е) — exp [— (Е — Ег)а/Га], где
j!T't (Е) — концентрация уровней прилипания, приходящаяся на
единицу энергии, а Г служит мерой размазывания уровня Et-
С другой стороны, структурная неупорядоченность решетки
приводит к тому, что приходится учитывать большое количество
различных групп уровней прилипания. Наличие большого числа
групп уровней прилипания, размазанных по энергиям, можно
учесть, приняв, что спектр уровней прилипания описывается
простым экспоненциальным распределением
(Е) = 0 exp = JTn exp
иГп = еГоехр^=^,
где Tt — температурный параметр, характеризующий распреде-
ление уровней прилипания. В отсутствие детальной теории рас-
пределения уровней прилипания физический смысл параметра Tt
остается неясным. Возможно, что Tt соответствует температуре
окончательной стадии охлаждения образца во время его приго-
товления, когда фактически прекращается отжиг.
Предположим теперь, что параметр Tt больше температуры
решетки Т. Нетрудно показать, что напряжение Vx перехода
от закона Ома при малых напряжениях (2.10) к режиму ТООЗ
дается тогда формулой
(2.27)
В режиме ТООЗ связь концентраций свободных и захваченных
инжектированных носителей с величиной F определяется следую-
щими равенствами:
р ,г F—Ec
и, согласно формуле (2.26),
nf = K=ftT^oeXpZ^C-.
te KI I
40 Часть I. Токи монополярной инжекции
Исключив отсюда F, получаем соотношение между свободным
и захваченным зарядами
•7 ~ ‘ ~ N° ( eL^kf- У’ (2‘28)
е \ ejlrqkIi I \ ; ) ' '
где I = TtlT и p( мы заменили выражением eE/L2. Наконец,
формулу (2.1) можно переписать в виде
J^epNc{ 8 - (2.29)
\ ejlTokTt ) £21+1 ' ’
Легко проверить, что формула (2.27) соответствует напряжению
перехода вольтамперной характеристики ТООЗ (2.29) в закон
Ома (2.10).
Если выполняется условие Tt < Т, влияние незаполненных
уровней прилипания у вершины кривой распределения, т. е. у дна
зоны проводимости, будет всегда преобладать над влиянием уров-
ней около квазиуровня Ферми, и модель сводится к рассмотренно-
му выше случаю мелких уровней прилипания.
При выводе формул (2.28) и (2.29) из (2.26) мы предполагали,
что, хотя и справедливо неравенство Tt > Т, величина kTt
не столь велика, чтобы полный сдвиг квазиуровня Ферми F — Fo,
соответствующий рассматриваемому диапазону токов, был меньше,
чем kTt. Если же F — Fo < kTt, то хорошее приближение можно
получить, приняв, что уровни прилипания распределены одно-
родно по энергиям, т. е. jF't (Е) « ^'п- В таком случае справедливы
выражения nt = pt/e = 'n (F — Fo) и n/n0 = exp [(F — F0)/kT].
Следовательно,
P Pt /<-»
ТГ nQ eXP * П* ex₽ ejrnkTU • (2-30>
Используя формулу (2.1), мы можем теперь написать
(2.31)
где а = zlejf/\k. Точное значение а [см. формулу (4.153)] в два
раза больше. На этот раз типичная погрешность, связанная
с феноменологическим анализом, не будет пренебрежимо малой,
поскольку она появляется в экспоненте.
§ 9. НАЧАЛО ТОКА, ОГРАНИЧЕННОГО ОБЪЕМНЫМ ЗАРЯДОМ;
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Вопрос о ситуации, соответствующей началу ТООЗ в общем
случае, можно выяснить, рассуждая аналогично тому, как это
делалось при рассмотрении предшествующих специальных слу-
чаев. Во всех случаях значительное отклонение от закона Ома
Гл. 2. Феноменологический анализ 41
будет наблюдаться, если концентрация свободных инжектиро-
ванных электронов nt станет сравнимой с равновесной концен-
трацией свободных электронов п0, или, на языке электронного
квазиуровня Ферми, когда этот уровень F переместится в запре-
щенной зоне вверх на расстояние порядка кТ от уровня Fo. Пусть
п*х — полное среднее изменение степени заполнения всех элект-
ронных ловушек вследствие упомянутого перемещения квазиуровня
Ферми. В таком случае напряжение Vx, необходимое для под-
держания полного захваченного объемного заряда Q = era*
на единицу площади (которое также является напряжением
начала ТООЗ), согласно (2.4), определяется в виде
V
ent, xL2
е
(2.32)
В первом приближении вклад в п*х дают:
1) равновесная концентрация электронов на уровнях прили-
пания, расположенных выше уровня Fo (на мелких уровнях);
2) концентрация электронов на уровнях прилипания, распо-
ложенных на расстоянии кТ от уровня F
3) равновесная концентрация дырок (вакансий) на уровнях
прилипания, расположенных ниже уровня Fo (на глубоких
уровнях).
В принципе п*х может в основном определяться любым из этих
трех частичных вкладов. На практике же основную роль, вероят-
нее всего, будет играть второй вклад (или величина, немного
меньшая, чем этот вклад), так как весьма вероятно, что уровень Fo
будет располагаться вблизи основной группы уровней прилипа-
ния, чтобы обеспечивалась локальная зарядовая нейтральность.
Исходя из понятия эффективной дрейфовой подвижности цЭфф,
с которым мы встречались в § 4 [формула (2.22)], нетрудно пока-
зать, что выражение (2.32) эквивалентно выражению
tx, эфф ta, где tx, эФФ — цЭффУх ’ ~ п* х ’
здесь tQ определяется выражением (2.12).
Несколько более точный расчет величины п*х можно про-
вести следующим образом. Пусть nttX обозначает среднюю запол-
ненность данной группы уровней прилипания Nt с энергией Et
и статистическим весом g, соответствующую смещению квази-
уровня Ферми, равному F — Fo — кТ. Определим величину /
как относительное изменение заполненности ловушек Nt вслед-
ствие перемещения уровня F вверх. Тогда, согласно (2.17),
fNt = nt. х-nt, о=» Nt Г (1 + -L exp Г1 -
L \ egg r kl I
<2-34>
42 Часть I. Токи монополярной инжекции
(е0 — основание натуральных логарифмов). Выражение (2.34)
справедливо для каждой группы уровней прилипания. График
зависимости / от (Et — F^IkT при g = 2 приведен на фиг. 8.
При g > 2 кривая /, сохраняя свою форму, смещается вправо
на величину In (g/2); если же g = 1, то она смещается влево
на величину In 2 = 0,693. Как слева, так и справа от максимума
Фиг. 8. Относительное изменение заселенности ловушек / =
-= (nt>x — Щ, 0)/N. в зависимости от величины (Et — F0)/kT при условии
F — Fo = kT и g = 2.
Штриховые линии соответствуют больцмановскому приближению!
кривая / быстро приближается к спадающей экспоненте больц-
мановского типа, соответствующей либо вероятности теплового
возбуждения дырок с уровней, расположенных ниже уровня
Ферми Fo (в первом случае), либо вероятности теплового возбужде-
ния электронов с уровней, расположенных выше уровня Ферми Fo
(во втором случае). Вычисляя сумму по всем неравновесным
захваченным носителям, получаем
= 2 (2.35)
1
где индекс / введен, чтобы различать отдельные группы уровней
прилипания. Если мы будем иметь дело с непрерывным распре-
делением уровней прилипания, то суммирование следует заме-
нить интегрированием, как, например, при выводе формулы (2.27).
§ 10. ЭФФЕКТЫ СИЛЬНОГО ПОЛЯ
В начале этой главы уже отмечалось, что простое феноменоло-
гическое рассмотрение может найти применение даже в случае
сильного поля, когда дрейфовая подвижность начинает зависеть
Гл. 2. Феноменологический анализ 43
ют поля. В задаче об идеальном изоляторе, рассмотренной в § 1,
для получения из формулы (2.5) вольтамперной характеристики
требовалось знать лишь зависимость дрейфовой скорости и от при-
ложенного напряжения V.
Например, если выше некоторой критической напряженности
поля g4 дрейфовая скорость изменяется как квадратный корень
из приложенного напряжения (это характерно для «теплых»
электронов, когда преобладает рассеяние на акустических фоно-
нах), другими словами, если при g > gi
v = н (gig)1/2, (2.36)
где р, — подвижность в условиях слабого поля (не зависящая
от поля), то подстановка в формулу (2.5) дает вольтамперную
зависимость в виде
(2.37)
Если квазитепловое соотношение между свободными и захва-
ченными инжектированными носителями, определяемое выраже-
ниями (2.16) и (2.17), мало нарушается при разогревании носи-
телей (такого рода нарушение требует как того, чтобы электроны
сильно разогревались, так и того, чтобы сечение их захвата
центрами прилипания сильно зависело от скорости), то вольтам-
перная характеристика при условии сильного поля (2.36) полу-
чается из вольтамперной характеристики при условии слабого
поля (применяемой, несмотря на выполнение условия g > gi)
просто путем умножения последней на величину (giL/VJVa неза-
висимо от конкретной модели для центров прилипания. Таким
образом, при g > gi и v = и (gig)1/2 вольтамперная характе-
ристика имеет вид
/слп = /(Е), Лильн. п = )1/2 / (F), (2.38)
где индексы «сл. п» и «сильн. п» соответствуют случаям слабых
и сильных полей.
Если внешнее напряжение создает в образце поля, значительно
превышающие критическое поле gHac, выше которого дрейфовая
скорость, принимая значение vнас, насыщается г) (ситуация, кото-
рая может иметь место, когда электроны разогреваются полем
до энергий оптических фононов), то тогда, т. е. при g>gHac
и v = Унас, Для случая идеального изолятора вместо выраже-
1) Отметим, что в большом числе реальных случаев насыщение дрейфо-
вой скорости в сильных полях не реализуется — Прим. ред.
44 Часть I. Токи монополярной инжекции
ния (2.5) мы можем написать выражение
svHacV
L2 •
J
(2.39)
Если квазитепловое соотношение между свободными и захва-
ченными носителями можно считать достаточно хорошо выпол-
няющимся ив области насыщения, то по аналогии со случаем (2.38)
для случая g>gHac и v = vHac при наличии уровней прилипа-
ния получаем
сильн п
(2.40)
ГЛАВА 3
Математическая формулировка задачи
и некоторые свойства решений
В предыдущей главе мы показали, что многие ценные резуль-
таты теории тока, ограниченного объемным зарядом, могут быть
получены из простых феноменологических соображений даже без
анализа дифференциальных уравнений. Поскольку эти соображе-
ния основаны на анализе средних величин, определяющих ток,
мы, очевидно, не могли получить сведений о детальном ходе
изменения неусредненных величин. Такие сведения могут быть
получены только посредством количественного анализа задачи,
т. е. путем составления дифференциальных уравнений, описы-
вающих прохождение тока, и получения решения, удовлетворяю-
щего соответствующим граничным условиям. При этом более
строго выводится уравнение вольтамперной характеристики
и точнее определяется входящий в него численный множитель.
Уравнениями, описывающими свойства стационарных ТООЗ,
являются само уравнение для тока, уравнение Пуассона и урав-
нения баланса переходов в стационарном состоянии, связывающие
концентрацию свободных электронов в некоторой точке про-
странства с концентрациями электронов, захваченных различными
ловушками. Ниже мы рассмотрим эти уравнения»
§ 1. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ТОКА
Предположим, что электроны инжектируются в твердое тело
в точке х = 0 (на катоде), а покидают его в точке х = L (на аноде).
Для удобства выберем следующие знаки величин:
J = —/х, g = — gx, (3.1)
где J — плотность тока, g — напряженность электрического поля
их — единичный вектор в направлении оси х. При таком выборе
знаков J — всегда положительная величина, так же как и g
(в упрощенном варианте теории, пренебрегающем диффузией).
Из уравнения для тока следует лишь, что полный ток не зави-
сит от координаты и равен сумме дрейфового тока /др и диффу-
зионного тока /диф=
/Др = eiing, (3.2)
/диф= -eD^, (3.3)
46 Часть I. Токи монополярной инжекции
где D ’= pVr, a VT = kTie,
J — + Аиф = Ф = const, (3.4)
Постоянство J в стационарном состоянии — это просто другое
выражение закона сохранения числа частиц:
divJ = -^- = 0. (3.5)
dx ' '
На протяжении большей части книги мы будем пользоваться
упрощенной теорией инжекционных токов, не учитывающей диф-
фузионных токов. В этом приближении (3.4) принимает более
простой вид:
J = /яр = ep,ng = const. (3.6)
Отметим, что тот же символ п, которым мы в гл. 2 обозначали
среднюю концентрацию, теперь обозначает концентрацию, завися-
щую от координаты. Таким же образом изменился смысл и других
символов — nt, g, F и т. д. Однако это изменение обозначений
не должно вызвать недоразумений, поскольку в гл. 2 встречаются
только средние значения величин, а в данной главе и в последую-
щих главах части I для обозначения средних величин мы будем
применять специальные символы.
Уравнение (3.4) справедливо при условии , что внешнее поде-
лишь слегка отклоняет распределение свободных электронов,
по скоростям от равновесного максвелловского распределения.
При достаточно больших напряженностях внешнего поля откло-
нения от максвелловского распределения становятся существен-
ными, и дрейфовый ток в таких случаях, вообще говоря, перестает
быть пропорциональным внешнему полю, о чем уже шла речь
в гл. 2, § 10. Подробно этот вопрос рассматривается, например,
в обзорных статьях Франца [12], Ганна [13], Стрэттона [14],
Конуэлл [15] и Чайновеса [16]. В таких случаях далеко не оче-
видно, что ток по-прежнему можно будет считать суммой дрейфо-
вого и диффузионного токов, а последний — пропорциональным
dn/dx. Однако если даже принять, что это так, остается еще откры-
тым вопрос о соотношении между П(§) и ц(ё). Этот вопрос
в настоящей книге не рассматривается, так как в большинстве
физически интересных задач об инжекции при внешних полях,
достаточно сильных, чтобы вызвать значительную зависимость
подвижности от поля, «диффузионный ток», какой бы ни была его
функциональная форма, остается величиной, относительно малой.
В таком случае мы можем заменить (3.4) и (3.6) уравнением
J — enn(g) = <?np,(g)g = const (3.7)
Гл. 3. Математическая формулировка задачи
(при сильных внешних полях). Возможные виды'зависимостй и (§)=
при сильных полях приводятся в гл. 2, § 10, и в гл. 7, § 4.
Напряженность поля при которой подвижность становится
зависящей от поля, сильно зависит от вещества, степени его
химической и структурной чистоты и температуры. Для очень
чистого германия при 4 К « 1 В/см; для германия и кремния
при 300 К « 103 В/см; для CdS и ZnS при 300 К 105 В/см.
Отметим, что уравнение (3.4) применимо и к участкам образца
с сильными полями, находящимся в тепловом равновесии, напри-
мер к области, прилегающей к контактной поверхности разделаг
или к области полупроводникового перехода. При тепловом равно-
весии максвелловское распределение справедливо на всем протя-
жении этих областей и условие J = 0 соответствует полной
взаимной компенсации противоположно направленных дрейфового
и диффузионного токов, а условие J > 0 — только частичной их
компенсации.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
Это уравнение учитывает роль объемного заряда при прохо-
ждении ТООЗ:
= (3-8>
з
где у — порядковый номер групп уровней прилипания. Здесь
п=п {х) и ntj = ntJ (х)—фактические, изменяющиеся в пространстве
концентрации электронов, свободных и захваченных у’-й группой
уровней, а п0, о — соответствующие им постоянные равновес-
ные значения во внутренней, нейтральной части изолятора, вдали
от контактов и поверхностей. Уравнение (3.8) написано для случая
отдельных групп моноэнергетических ловушек, причем Ец — уро-
вень энергии у'-й группы. Непрерывные распределения уровней
по энергии, как, например, (2.26), легко включить в (3.8), если
рассматривать 2 как обобщенную сумму, которая в случае непре-
з
рывного распределения переходит в j dE, причем соответствую-
щее nt будет в таком случае как энергетической плотностью, так
и объемной концентрацией.
§ 3. УРАВНЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ
СВОБОДНЫХ И ЗАХВАЧЕННЫХ ЗАРЯДОВ
Система уравнений, характеризующая стационарный ток,
ограниченный объемным зарядом, замыкается уравнением, связы-
вающим концентрации свободных и захваченных носителей. Эти
48 Часть I. Токи монополярной инжекции
уравнения при всех j определяются тем, что
п (х) и ntj (х) находится в локальном q.
квазитепловом равновесии, ' * '
т. е. п (х) и ntj (х) подчиняются обычным соотношениям, которые
связывают эти величины в тепловом равновесии в соответствии
с температурой решетки, за исключением того, что теперь п (ж) —
стационарная величина, зависящая от координаты и соответст-
вующая данному току. Используя квазиуровень Ферми F, также
зависящий от координаты F = F (х), можно (3.9) записать в явном
виде
n{x) = Nc exp = Nc ехр 3_
пЧ(х) = ——j в'иЮ-ГЮ ~ Т‘ N, <ЗЛ1>
Эти выражения являются обобщением (2.16) и (2.17) на случай
зависимости энергии от координаты. Отметим, что, в то время
как величины Ес и Etj зависят от координаты, разность Еа — Etj
от нее не зависит. В случае скалярной эффективной массы т
мы имеем
Nc = 2 ( 2л^Т-')3/2 = 4,83 • 1015 3/2 Г3/г см'3,
где h — постоянная Планка. Если в зоне проводимости имеется s
эквивалентных минимумов, а поверхности постоянной энергии —
эллипсоиды вращения, то
Nc = 4,831/2 T3,i см'3,
где mi, mt — продольная и поперечная эффективные массы в диа-
гонализированном тензоре массы. Выражение, определяющее
плотность состояний в валентной зоне для таких полупроводников,
как германий или кремний, у которых поверхности постоянной
энергии вблизи максимума валентной зоны при к = 0 имеют
гофрированный вид, получено Лэксом и Мавруадом [17].
Функция вероятности заполнения в (3.11) соответствует наибо-
лее простому возможному случаю, когда каждый центр прилипа-
ния может захватывать только один электрон и для этого элек-
трона имеется только один электронный уровень со статистиче-
ским весом gj. Формулы для вероятности заполнения уровней
многовалентных и амфотерных дефектов, а также возбужденных
уровнейодновалентных дефектов даны в гл. 3 книги Блейкмора [18].
Физические основания для предположения о квазитепловом
равновесии кратко упоминались в гл. 2, § 3. Рассмотрим теперь
Гл. 3. Математическая формулировка задачи 49
этот вопрос более подробно. В общем случае для стационарного
состояния связь между концентрациями свободных и захвачен-
ных носителей получается путем приравнивания скорости захвата г
в единице объема (фиг. 6, стрелка, направленная вниз)
г = n(ver)(Nt — nt) (3.12)
скорости термической ионизации gth в единице объема (фиг. 6,
стрелка, направленная вверх)
gth = nt(e)Nc. (3.13)
Итак,
r = gth, что дает nt^-------------------. (3.14)
1 + (ра> ~
В этих выражениях v — абсолютная величина скорости свобод-
ного электрона, ст — ст (и) — сечение его захвата центром при-
липания, (ver) — усредненное по скоростям свободных электро-
нов значение ver, a (e)2Vc = 2 гДе еь— вероятность того, что
k
захваченный электрон за единицу времени будет термически
возбужден в определенное состояние с индексом к зоны проводи-
мости, причем сумма берется по всем состояниям в этой зоне.
Заметим, что символы v и е в употребляемом здесь смысле никогда
не используются без скобок ( ); поэтому их нельзя спутать с v
и е, которые обозначают соответственно дрейфовую скорость элек-
трона (гл. 2) и абсолютную величину элементарного заряда.
В тепловом равновесии п = п0 и nt = nt,0. Сопоставление
(3.14) с (2.15) дает
<е>о _ N ___ 1 Et—Ea ,о . г.
Ио gA'c g 6ХР кТ ’ '
где индексом 0, как обычно, отмечены величины в состоянии
теплового равновесия.
Что происходит с (е) и (ver) при приложении напряжения,
если температуру решетки, а следовательно, и Nc можно считать
неизменными? Величина (е), по-видимому, не должна изменяться
до тех пор, пока внешние поля не станут очень сильными, посколь-
ку на вероятность тепловых выбросов влияют только такие поля,
при которых значителен штарковский сдвиг уровней или велика
вероятность туннельного эффекта как фактора ионизации центров
прилипания. К тому же такие поля, по-видимому, достаточно
сильны, чтобы вызвать ударную ионизацию, и поэтому в любом
случае исключаются иэ нашего обсуждения. Приняв (е) — (е)0
4-0699
50 Часть I. Токи монополярной инжекции
и используя (3.15), мы можем переписать (3.13) в следующем виде:
gth^ ntf* ex-p-Ei~TEc , /* = у (уФо (3.16)
Величину /* называют частотным фактором или частотой попыток
вылета./В классической картине она представляет собой частоту,
с которой захваченный электрон ударяется о потенциальные
«стенки» центра прилипания. Больцмановский экспоненциальный
множитель представляет собой тогда вероятность того, что захва-
ченный электрон обладает достаточной тепловой энергией, чтобы
при очередном подходе к барьеру преодолеть его и высвободиться
из центра.
В отличие от (е) величина (ка) может значительно меняться
с полем, если внешнее поле заметно разогревает свободные элек-
троны и сечение захвата а сильно зависит от скорости электронов,
т. е. соответствует кулоновскому взаимодействию. Таким образом,
если а определяется кулоновским притяжением, величина (vcf)
будет уменьшаться при разогревании электронов и, согласно
(3.14), равновесие будет смещаться в сторону больших концен-
траций свободных электронов — эффект, действительно наблю-
давшийся Кёнигом и Гюнтер-Мором [19] на германии при 4 К
в предпробойной области. Если же а определяется кулоновским
отталкиванием, то при разогревании электронов (wr) будет
возрастать и равновесие будет смещаться в сторону меньших
концентраций свободных электронов. В последнем случае может
наблюдаться очень значительный эффект, так как захват требует
предварительного возбуждения выше кулоновского отталкиваю-
щего потенциального барьера и, следовательно, будет сильно
зависеть от конкретного вида функции распределения свободных
электронов. (Приведенные соображения применимы к любому
активационному барьеру, какой бы ни была его физическая при-
рода.) Этот эффект был ярко продемонстрирован Ридли и Прэттом
[20, 21] (см. также [22—24]) на rc-Ge, содержащем Ан2--центры,
при 20 К. В этой работе уменьшение концентрации свободных
электронов вследствие захвата их Ан2--центрами при напряжен-
ности поля g > 10 В/см было достаточно значительным, чтобы
получить отрицательное дифференциальное сопротивление с соот-
ветствующей электрической нестабильностью.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что предположение
о квазитепловом равновесии несомненно допустимо, когда внешнее
поло незначительно изменяет распределение свободных носителей
по скоростям. Оно разумно даже при не очень существенных изме-
нениях этого распределения, если только о слабо зависит от v.
(Если о ~ 1/и, то va не зависит от скорости, и предположение
хорошо оправдывается даже при больших изменениях функции
распределения.)
Гл. 3. Математическая формулировка задачи 51
§ 4. УПРОЩЕННАЯ ТЕОРИЯ
Упрощенная теория токов монополярной инжекции основана
на двух приближениях. Предполагается, что можно
1) пренебречь диффузионным током, т. е. применять уравне-
ние (3.6) вместо (3.4), и
• 2) рассматривать катод как бесконечный резервуар инжекти-
руемых электронов.
Первое приближение упрощает теорию до такой степени, что
она легко поддается элементарному математическому анализу.
Второе приближение, не упрощая далее теорию, делает ее не зави-
сящей от любых особенностей контактов, т. е. в этом смысле фак-
тически универсальной.
Эти два приближения тесно связаны друг с другом: второе
приближение невозможно без первого, так как бесконечная кон-
центрация электронов неизбежно ведет к бесконечному диффу-
зионному току у контакта. Оба приближения, вместе взятые,
приводят к тому, что как истоковые, так и стоковые кон-
такты исключаются из рассмотрения в упрощенной теории. Таким
образом, упрощенная теория, построенная на этих двух прибли-
жениях, неизбежно давая ошибочные результаты в непосред-
ственной близости от контактов, вполне удовлетворительно описы-
вает прохождение тока в объеме изолятора вдали от контактов
и, что особенно важно, вольтамперную характеристику, опре-
деляемую свойствами изолятора в целом. Эти приближения рас-
сматриваются более подробно в гл. 9.
Основными уравнениями упрощенной теории являются урав-
нения (3.6), (3.8) и система уравнений (3.11). Из (3.6) и (3.11)
получаем
"О= ! + («/«,,,) ’ <ЗЛ7>
(3.18)
где gj и имеют, очевидно, размерность напряженности
электрического поля, а индекс J введен, чтобы подчеркнуть их
(линейную) зависимость от J. Подставив (3.17) в (3.8), получим
дифференциальное уравнение первого порядка
/(§;/), (3.19)
4*
52 Часть I. Токи монополярной инжекции
где ntj,0 задается уравнением (3.11), в котором п (х) следует заме-
нить величиной п0. Отметим, что в функции / (S; /) переменной
является S, а плотность тока J является заданным постоянным
параметром, не зависящим от координаты.
Чтобы определить единственное решение уравнения (3.19),
требуется одно граничное условие. Оно имеет вид
g = О при х — 0. (3.21)
Это условие логически следует из приведенного выше второго
приближения. Действительно, для того чтобы бесконечно боль-
шая концентрация электронов на истоковом контакте давала
конечный, а не бесконечный дрейфовый ток, напряженность
электрического поля там, очевидно, должна обращаться в нуль.
Равенство (3.21) является аналитической характеристикой оми-
ческого контакта в рассматриваемой нами упрощенной теории.
Интегрируя (3.19) от катода до анода и используя (3.21),
получаем
L=J /(g; J)dg = g(ga; J), (3.22)
о
где = g(L) — напряженность электрического поля на аноде.
Приложенное напряжение V рассчитывается просто как
интеграл от напряженности электрического поля в пределах
от катода до анода:
L ' К
7=jgdz=J g/(g; J)d$ = h($a, J). (3.23)
о о
При этом используется уравнение (3.19). Такой подход не учиты-
вает внутренних полей, присутствующих в изоляторе при тепло-
вом равновесии, а именно полей, связанных с изгибом зон у кон-
тактов. Пренебрежение в этой связи особенностями контактов
естественно для упрощенной теории, вообще не учитывающей
их роли.
Во многих важных случаях интегралы в (3.22) и (3.23) можно
вычислить аналитически путем разложения / (g; J) и S/ (g; J)
на элементарные дроби, что дает для функций g и h выражения
в явной форме. В таких случаях чисто алгебраические уравнения
L = g (go; J), V = h (ga; J) (3.24)
задают связь между J и V неявно, через параметр ga. Обычно
этот параметр %а нельзя исключить, и, следовательно, не удается
получить явной функции J от V. Однако нередко это может быть
Гл. 3. Математическая формулировка задачи 53
сделано в виде аппроксимаций, относящихся к ограниченным
областям напряжений. В результате получают различные «режи-
мы» прохождения тока, такие, как режим закона Ома, квадратич-
ный режим и т. д. Несколько немаловажных и в то же время
несложных случаев исследуется подробно в гл. 4. В гл. 9 мы рас-
сматриваем видоизменения упрощенной теории, оставляя в силе
уравнение (3.6), но учитывая, что контакты в действительности
являются конечными резервуарами электронов, т. е. опуская
упомянутое выше второе предположение.
Следует сделать еще одно замечание относительно упрощен-
ной теории. Хотя влияние контактов исключается из теории
самим ее построением, иногда его можно «привить» к теории
простым и естественным путем. Так, если катод — хороший оми-
ческий (резервуарный) контакт, а на аноде имеется потенциаль-
ный барьер высотой Vtt то упрощенная теория в большинстве
случаев будет давать хорошее описание вольтамперной характе-
ристики, если приложенное напряжение V в (3.23) и (3.24) заме-
нить разностью V — Vt. (При этом вольтамперная характери-
стика для области 0 < V < Vt должна быть получена из других
соображений, например из теории полупроводникового выпрями-
теля при прямом смещении.)
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ
Интегрирование уравнения Пуассона (3.8) при граничном
условии (3.21) дает для полного (свободного и захваченного)
инжектированного неравновесного заряда Q в изоляторе, при-
ходящегося на единицу площади поперечного сечения образца,
выражение
Q = (3.25)
Это выражение справедливо даже тогда, когда действует закон
Ома; в этом случае инжектированный заряд сосредоточен в непос-
редственной близости от катода. Принимая, что соответствующая
емкость С определяется формулой Q = CV, получаем из (3.25)
= (3'26)
где = V/L — омическая напряженность электрического поля,
а Со = e/L — геометрическая емкость, приходящаяся на единицу
площади поперечного сечения образца,— величина, которой мы
уже пользовались в гл. 2. Соотношение (3.26) успешно исполь-
зуется в следующем параграфе, где мы конкретизируем пределы
изменения и, следовательно, С/Со.
54 Часть I- Токи монополярной инжекции
Дрейфовое время пролета t инжектированных свободных носи-
телей с учетом (3.19) записывается в виде
L L
4 dx If dx _ J f 1 dx __ 1 f f (&, J)
J "W 0 p, J % {x} 0 p, J % d%a& (1, J « G 0 0
(3.27)
где v (х) — локальная дрейфовая скорость, определяемая форму-
лой v (х) — [л§(х). Время пролета t определено здесь так, чтобы
исключить влияние на него захвата, т. е. оно относится к пролету
свободных носителей. В опыте типа опыта Хейнса — Шокли [25],
в котором импульс неравновесных неосновных носителей пере-
мещается через полупроводниковый образец, значительная доля
образующих его носителей может захватываться, находясь
в состоянии квазитеплового равновесия со свободными носителями.
В этом случае в измеренное время пролета импульса входит время,
которое неравновесные неосновные носители проводят на ловуш-
ках, и, таким образом, оно превышает время пролета в отсутствие
захвата t, причем оно пропорционально отношению концентрации
захваченных носителей к концентрации свободных инжектиро-
ванных носителей, как это уже отмечалось в конце гл. 2, § 4.
Среднюю концентрацию свободных носителей п (инжектирован-
ных и равновесных), используя (3.6) и (3.27), можно представить
в виде
L L
п = -^~ f ndx = -^-j- f — (3.28)
L J euL J % eL y '
0 0
Поскольку все свободные носители имеют в точности одинаковое
время пролета t, формула (3.28) есть просто ожидаемый резуль-
тат J = enLIt, которым мы уже пользовались при написании
уравнения (2.1а).
Из соотношения (3.11) между концентрациями свободных
и захваченных носителей, переписанного здесь для удобства без
индекса j и переменной х в виде
Nt
1
1 + — exp
Et-F
kT
Nt
1 #
1+—-—-
g n
(3.29)
7V=7Vcexp^V^
следует
Pi^ = Nt — nt =
Nt
. , F-Ef
l + gexp^-
Nt
(3.30)
[Гл. 3. Математическая формулировка задачи 55
Точное соотношение между дифференциалами функций nt и п
имеет вид
dnt = — dpt = (3.31)
Вместо (3.29) и (3.30) можно пользоваться следующими прибли-
женными формулами:
для случая мелких ловушек
1 Et — F ... 1 N ,
_ехр___>1, Или ?т»1,
(3.32)
М л № лт
.. 6 * * 9 = w Pt*Ntt
для случая глубоких ловушек
1 Et-F . IN,,,
— exp —— < 1, или-------< 1,
g 1 kT x g n
(3.33)
О терминах «мелкие» и «глубокие» ловушки уже говорилось
в гл. 2, § 4 и 5.
6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЕ Q = CV
Из упрощенной теории, определяемой уравнениями (3.6),
(3.8), (3.10), (3.11) и граничным условием (3.21), следует, что
с режимом ТООЗ можно связать некоторые универсальные утвер-
ждения, вообще не зависящие от детальной характеристики уров-
ней прилипания — их числа и распределения по энергиям. Эти
утверждения удобно рассмотреть на примере тока в полубеско-
нечном изоляторе. В случае конечного изолятора решение, отно-
сящееся к соответствующему полубесконечному изолятору, пол-
ностью применимо вплоть до анода.
Имеется два таких универсальных утверждения:
1) п (х) монотонно убывает, стремясь к п0, когда ж—>оо;
2) g (ж) монотонно возрастает и изображается выпуклой кри-
вой, т. е. d^/dx монотонно убывает.
Действительно, граничное условие $ = 0 требует в соответ-
ствии с (3.6), чтобы на катоде, который находится при х= 0, кон-
центрация п обращалась в бесконечность. Следовательно, там,
56 Часть I. Токи монополярной инжекции
согласно (3.8), d^,ldx = оо, так что с удалением от катода g
должно возрастать. В соответствии с этим (3.6) дает, что с удале-
нием от катода п убывает.
Докажем сначала, что кривая п (х) никогда не может пересечь
горизонтальную прямую п = п0. Это легко сделать от против-
ного — предположив, что пересечение возможно, и доказав, что
ф и г. 9. Возможный ход кривой п (х) в случае полубесконечного кристалла
с инжектирующим электроны контактом (кривая 'g).
Кривые и представляют невозможные ситуации, В случае запирающего кон-
такта для электронов возможная зависимость п (х) изображена штриховой кривой 'g'.
это приводит к противоречию. Действительно, если бы п(х)
поресокло п = п0 в некоторой точке х\ (кривая на фиг. 9),
то непосредственно эа xt вступили бы в силу неравенства п < п0
и, согласно (3.11), ntj<2 ntjt 0. В таком случае на основании (3.8) g,
а также и п должны непосредственно за Xi убывать. Однако такой
ситуации, когда и п и g убывают одновременно, согласно (3.6),
быть но может. Следовательно, невозможна и зависимость п (ж),
изображаемая кривой типа
Мы доказали пока, что кривая п (х) проходит всюду выше
прямой п0. Из (3.11) следует, что кривая ntj (х) также всюду нахо-
дится выше прямой ntj,0. Поэтому в соответствии с (3.8) производ-
ная dfeldx в любой точке положительна, так что $ монотонно уве-
Гл. 3. М атематическая формулировка задачи 57
личивается с х. Зависимость п(л), изображаемая кривой типа ®2Т
очевидно, исключается, поскольку не может быть двух таких
точек х2 и х3, для которых п(а?2) = п(ж3), так как ^(ж3) > ^(ж2),
и при этом нарушалось бы условие (3.6). Поэтому функция п(х)
должна монотонно убывать, и нам остается установить, что она
стремится к п0, когда х стремится к бесконечности. Если бы вели-
чина п(х) монотонно убывала, стремясь к щ > п0 (кривая ®3),
то повсюду были бы справедливы неравенства п(х) — п0 >
> Yii — п0 и nt} (х) — ntj,o > ntj,i — 7г{7-,0, где ntJ,i — значение
ntj (х), соответствующее п (х) = щ в (3.11). Таким образом,
величина (е/е) d%ldx должна везде превышать (ni — п0) +
+ 2 — ntj,0), а величина § при любых х имеет сколь угодно
3
малую, но конечную скорость нарастания. Поэтому при больших х
не может выполняться равенство J ~
т еут$(х) = const, поскольку это
нарушало бы (3.6). Отсюда следует, что
величина п(х) монотонно убывает, стре-
мясь к п0, т. е. изображается кривой
‘ё на фиг. 9. Далее, согласно (3.11),
величина ntj (х) монотонно убывает,
стремясь к ntj,0, а, согласно (3.8),
производная d&ldx монотонно убывает,
когда х растет. Стало быть, g (х) моно-
тонно возрастает с х, но со все умень.
Фиг. 10. Выпуклость кривой % (г) в упро-
щенной теории тока монополярной инжекции
(универсальное свойство решения).
Внизу приведены площади соответствующих фигур.
шающейся крутизной, т. е. функция § (х) выпуклая, подобная
изображенной на фиг. 10. Приведенное рассмотрение является
доказательством универсальных утверждений 1 и 2.
Утверждения 1 и 2 для инжекционных токов справедливы при
гораздо более общих условиях, чем (3.6), а также (3.10) и (3.11).
Так, например: а) если мы применим (3.7) вместо (3.6) и потре-
буем, кроме того, чтобы выполнялось соотношение v (^2)
v (^i) при g2 > (это исключает из рассмотрения отрица-
тельное дифференциальное сопротивление, но допускает насыще-
ние дрейфовой скорости), и б) если вместо (3.10) и (3.11) мы потре-
буем лишь, чтобы выполнялось неравенство ntj (х2) ntl (xi)
при п (х2) > п (xi) (это исключает из рассмотрения ударную
и полевую ионизацию центров прилипания), то утверждения 1 и 2
58 Часть I. Токи монополярной инжекции
остаются справедливыми с одним изменением. Функция п (х)
в случае насыщения дрейфовой скорости в надкритическом поле
будет монотонно убывать, пока не достигнет значения «1 (/) > п0,
после чего она идет горизонтально. Это очевидно, поскольку
после того, как дрейфовая скорость достигла насыщения, вели-
чина п больше не может зависеть от х. Доказательства, относя-
щиеся к более общим случаям, весьма сходны с доказательствами,
приведенными выше.
Выпуклый характер кривой $ (ж) приводит к очень полезному
следствию, а именно к двойному неравенству
< §а < 2§а. (3.34)
Оно вытекает из сравнения площадей фигур, изображенных на
фиг. 10. Двойное неравенство (3.34), очевидно, эквивалентно
двойному неравенству, записанному в нижней части фиг. 10.
Используя (3.26), мы видим, что (3.34) эквивалентно двойному
неравенству
Со < С < 2С0, (3.35)
которое было доказано в гл. 2, § 1, на основании общих физиче-
ских соображений.
Во всех приведенных выше доказательствах граничное условие
(3.21) играет очень важную роль в том смысле, что оно определяет
режим инжекции в твердое тело. В данном случае утверждение 1
означает, что нигде в пределах твердого тела не может быть области
обеднения. Справедливо и следующее обобщение этого утвержде-
ния, не зависящее от указанного специального граничного усло-
вия на катоде:
3) в твердом теле не может одновременно быть областей обога-
щения и обеднения.
Доказательство почти не отличается от доказательства того,
что зависимость п от х не может изображаться кривой
Находится ли твердое тело целиком в состоянии обогащения или
обеднения, зависит от типа катода. Если катод инжектиру-
ющий, на что в упрощенной теории указывает граничное усло-
вие (3.21), то твердое тело всюду находится в состоянии обога-
щения, и примером зависимости п от х может служить кривая
на фиг. 9. Если же катод нейтральный или запирающий, то твердое
тело во всех точках оказывается в состоянии обеднения и приме-
ром зависимости п от х служит штриховая кривая на фиг. 9,
изображающая монотонно растущую функцию, стремящуюся
к п0 при х -+ оо.
Необходимо помнить, что утверждение 3 следует из упрощен-
ной теории, пренебрегающей диффузионными токами и явлениями
Гл. 3. Математическая, формулировка задачи 59
в сильных электрических полях. На практике это утверждение
легко может быть нарушено вследствие действия одного из таких
неучтенных факторов. Так, в твердом теле с инжектирующим като-
дом, но запорным анодом утверждение 3 при малых токах, несом-
ненно, нарушается. В этом случае условия прохождения тока
вблизи анода могут быть с достаточной точностью описаны только
с учетом диффузионного тока. Другим примером подобного рода
служат электрические нестабильности, вызванные отрицательной
дифференциальной подвижностью и приводящие в нарушение
утверждения 3 к образованию в твердом теле дипольных доменов.
ГЛАВА 4
Аналитические и приближенные решения
В настоящей главе мы получим точные (в рамках упрощенной
теории) и приближенные решения некоторых задач, представляю-
щих физический интерес, феноменологический анализ которых
мы провели в гл. 2. Кроме вольтамперных характеристик, мы
рассмотрим пространственное распределение концентрации инжек-
тированных свободных носителей, а также объемнозарядовую
емкость и время пролета свободных носителей.
Точные аналитические решения задач, связанных с инжекцией,
часто имеют чрезмерно громоздкий вид. Поэтому даже в тех
случаях, когда такие решения существуют, полезно применять
упрощающие приближения. Очень мощным приближенным мето-
дом, простым в применении и основанным на очевидных физиче-
ских соображениях, является метод региональных приближений.
Этот метод обеспечивает, вообще говоря, хорошую точность реше-
ний. Например, вольтамперная характеристика для плоского
диода с монополярной инжекцией, полученная в этом приближе-
нии, отличается менее чем в два раза от характеристики, полу-
ченной при точном аналитическом решении этой задачи. В дан-
ной главе метод региональных приближений применяется как
дополнительный, весьма полезный метод для упрощений и вне-
сения ясности. В последующих главах он широко используется
для получения решений таких задач, которые не поддаются
точному расчету.
Для удобства мы заново приведем здесь уравнения, определяю-
щие упрощенную теорию:
J = ерп$ = const, (4.1)
T_2"=:=n~no+s^~nfj-0)’ <4*2>
3
/ \ лт F (г) — Ес(х) . . Ntj
п (х) = Nc exp-, ntj (x) -----------—у— , (4,3)
l-i—J---_
gj n (x)
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 61
где N} = Nc exp ((£<; — Ес)!кТ]. Система уравнений (4.1)—(4.3)
решается при граничном условии
g (0) =0. (4.4)
Эти уравнения соответствуют уравнениям (3.6), (3.8), (3.10),
(3.11) и (3.21) предыдущей главы. В настоящей главе мы получим
решения системы уравнений (4.1)—(4.3) в ряде физически инте-
ресных случаев.
§ 1. ИДЕАЛЬНЫЙ БЕЗЛОВУШЕЧНЫЙ ИЗОЛЯТОР
Этот случай является прямым твердотельным аналогом термо-
электронного вакуумного диода. Принимается, что в твердом теле
нет ни равновесных свободных носителей, ни ловушек, т. е.
в упомянутых выше уравнениях концентрация п0 и все концен-
трации ntj тождественно равны нулю. Поэтому уравнениями, опре-
деляющими настоящую задачу, являются уравнение (4.1) и урав-
нение Пуассона в виде
Эти два уравнения дают
(4-6)
Учитывая граничное условие (4.4), уравнение (4.6) легко проин-
тегрировать. В результате получаем
<4-7>
и
7(^)= j g(x)dx = (4.8)
о
Принимая, что в выражении (4.8) х = L и V = V (L), получаем
вольтамперную характеристику
г 9 п.
У = -§-ец-3з-. (4.9)
Зависимость (4.9) обычно называют безловушечным квадратич-
ным законом, или законом Мотта — Герни, или, наконец, по ана-
логии с известным законом Чайлда для вакуумного диода — зако-
ном Чайлда для твердого тела.
62 Часть I. Токи монополярной инжекции
Другие важные соотношения имеют вид
% (х) 3 / X \l/2 V {х) I X \ 3/2
, . . , v .. (4.10)
п (х) _ 1 ( х \ -1/а ' '
~2\Т/
где ёд = V/L — омическая (средняя) напряженность поля,
п — усредненная по изолятору концентрация п (ж):
L
= (4.11)
о
Здесь концентрация п (х) определяется из уравнений (4.7) и (4.1).
Далее, из соотношений (4.10) и (3.26) следует, что емкость на еди-
ницу площади дается формулой
С — — С
(4,12)
которая уточняет соотношение (3.35).
вается в виде
t =
dx 4.
|1$ (х) в 3 °’
Время пролета записы-
(4.13)
К такому же результату можно прийти и прямо, исходя из соот-
ношений (3.28), (4.9) и (4.11). Сводка полученных результатов
приведена в табл. 1. Там же для сравнения приведены соответ-
ствующие результаты для термоэлектронного вакуумного диода.
В нижней части таблицы дана оценка токов, проходящих через:
приборы указанных двух типов. Из этой таблицы следует, что при
одинаковом напряжении вакуумный диод пропускает гораздо
больший ток, чем типичный диод на основе твердого тела тех же
размеров, что и вакуумный. Причина этбго кроется в значении
величины ц. Если выбрать материал с большим ц, то в диэлектри-
ческом диоде можно получить соответственно больший ток, ш>
крайней море при тех напряжениях, при которых еще не прояв-
ляются эффекты сильного поля. Конечно, на практике захват
в подавляющем большинстве случаев ограничивает ТООЗ в твер-
дых телах до значений, много меньших, чем ТООЗ в вакуумном
диоде сравнимых размеров.
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 63
Таблица 1
Свойства тока монополярной инжекции
Вакуумный диод Диэлектрический диод без ловушек
J = (41/2/9) (e/m)1/2e0E3/7A2 = = 2,З.Ю-«У3^/Ьа А/см2 «О/«Й = 4/3 V (х) ~ xi/s п — п = Зпа t = 3L (m/2eV)1/2 = 5-10-8А/71''2 с J — = 10~13хр,72/£3 А/см2 8 ~ х1'2 «а/«й=3/2 V (х) — а:3''2 п — х-1^2 п = 2па « = (4/3) А2/ц7 с
При 7 = 1000 В, А = 10-2см и пло- щади электродов Л = 0,1 см2 /=/Лда100 А t да 10-11 с При 7 = 1000 В, L = 10-2 см, А= = 0,1 см2, ц = 10 см2/(В>с) и х = 10 7да1 А t да 10-8 с
§ 2. БЕЗЛОВУШЕЧНЫЙ ИЗОЛЯТОР С РАВНОВЕСНЫМИ
СВОБОДНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ
Модель, к рассмотрению которой мы приступаем, представляет
собой следующий по сложности шаг при решении задач о ТООЗ.
В настоящем параграфе мы рассмотрим твердое тело, которое
обладает конечной проводимостью сг0 = епоц и в котором отсут-
ствуют ловушки. Таким образом, все концентрации ntj тождест-
венно равны нулю, и модель определяется уравнениями (4.1) и
(4.14)
Термически созданные свободные электроны с концентрацией и0,
хотя и участвуют в переносе тока, но не создают объемного заряда.
Поэтому мы ожидаем отклонения от низковольтного режима
(закона Ома), справедливого, пока выполняется равенство п ж п0.
Сначала мы покажем, как получить точное аналитическое реше-
ние поставленной задачи.
е <Г& , .
€4 Часть I. Токи монополярной инжекции
1. ТОЧНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Для удобства будем пользоваться следующими безразмер-
ными переменными:
п0 _еп0[Т£(х') е3п$Ц27 (г) ,, ,
J ’ W~ ъТ ' V~ еЛ •
Дифференциальное уравнение для поля g, которое получается
из уравнений (4.1) и (4.14), в безразмерных переменных прини-
мает вид
udu 7
----— aw
1 — и
(4,16)
Отсюда в соответствии с граничным условием (4.4), т. е. и = О
при w = 0, получаем решение
w = -и _ In (1 — и). (4.17)
Заметим, что w обращается в бесконечность, когда и->1. Это
означает, что при всех конечных w всегда выполняется неравен-
ство и <Z 1, так что в соответствии с точным решением задачи
твердое тело конечных размеров всегда будет содержать конеч-
ный инжектированный объемный заряд независимо от уровня
инжекции. Интеграл, определяющий напряжение, в безразмерной
записи имеет вид
v= { udw—u-^-du——-----------и — 1п(1 — и), (4.18)
о о
Плотность тока J и напряжение V определяются через безраз-
мерные переменные следующим образом:
у e2n2p,L 1 у__ eiigL2 va |д,
— в wa ’ — е w2a ’ X • )
где индекс а указывает, что переменные, определяемые выраже-
ниями (4.15), соответствуют точке х = L.
Исключить и аналитически из (4.17) и (4.18) и получить тем
самым явное аналитическое соотношение между величинами i/wa
и vjwa, очевидно, невозможно. Однако для исключения и можно
воспользоваться численными методами, протабулировав зависи-
мости w и v от и. Это позволяет получить в конечном счете кривую
зависимости 1/шо от vjwa в двойном логарифмическом масштабе
(кривая 1 на фиг. 11). Пунктирная линия на той же фигуре пред-
ставляет решение, которое будет получено ниже методом регио-
нальных приближений. Имеется два предельных режима:
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 65
1. Линейный режим (иа л; 1), который характеризуется соот-
ношениями
з
Watt — 1 — In (1 — Ua), VaX----2 — ln(l — ua) & U>a,
ИЛИ
Уд 1
&a ~ wa ’
представляющими закон Ома (штриховая линия на фиг. 11 с тан-
генсом угла наклона, равным 1).
Фиг. 11. Обобщенные кривые для прохождения ТООЗ через безловушеч-
ный изолятор с равновесными свободными носителями.
1 — вольтамперная характеристика, J — l/wo, V — vahoa> Я — относительное изменение
концентрации инжектированных электронов на аноде, 1/ио — 1 = (па — п0)/п0; 3 — от-
ношение времени пролета свободного электрона к равновесному времени диэлектриче-
ской релаксации; wa + иа — t/tjj. Пунктирная кривая — вольтамперная характери-
стика, рассчитанная методом региональных приближений. Штриховые линии — асимп-
тоты кривой 1. (Кривые применимы также при рассмотрении плазмы, инжектированной
в полупроводник; см. гл. 12.)
2. Безловушечный квадратичный режим (иа 1), который
характеризуется соотношениями
ua wa va ~ 21/2 / 1 \1/2
Wa ~ 2 ’ Va ~ 3 ’ и£ ~ 3 \ wa ) ’
5-0699
66 Часть I. Токи монополярной инжекции
представляющими безловушечный квадратичный закон (штрихо-
вая линия на фиг. 11 с тангенсом угла наклона, равным 2). Кроме
того, на фиг. 11 нанесены величина (па — п0)/п0 — (1/иа) — 1,
Фиг. 12. Нормированные кривые пространственного распределения инжек-
тированных носителей при прохождении ТООЗ через безловушечный изоля-
тор с равновесными свободными носителями.
1 — безловушечный квадратичный режим (гоа = 0,20);t г — переходный режим (а>а =
— 1,05); 3 — линейный режим (wa = 5,0). Штриховыми линиями нанесены зависимости
(х/L)-(внизу) и exp {гоа [1 — (х/I,)]}. (Кривые применимы также при рассмотрении
плазмы, инжектированной в полупроводник; см> гл. 12.)
служащая мерой концентрации инжектированных электронов
на аноде, и величина t/ta = wa + иа — отношение времени
пролета свободных носителей t, определяемого выражением (3.27),
к равновесному времени диэлектрической релаксации fa —
= E/en0\i. Другими величинами, представляющими интерес,
являются:^ ga/gQ = uawjva, (па — n0)/(n — n0) = wa (l—ua)lu%
и t/t0 — епц $q/J = va (wa + ua)/wat Некоторые численные зна-
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 67
чения этих величин приведены в табл. 2. В частности, указанное
там условие wa -> 0 соответствует безловушечному квадратичному
закону, тогда как условие wa -> оо — закону Ома.
Таблица 2
Численные значения некоторых величин, связанных с задачей о ТООЗ
в безловушечном изоляторе с равновесными свободными носителями
Величина wa
0 o.l 1 10 CO
Ua^a/^a = 3/2 1,44 1,30 1,05 1
а’а(1 — Иа)/“а= (па — п0)/(п — п0) 1/2 0,42 0,23 2,0.10-4 0
Va{wa + ua)/w* = t/t0 = en^a/J 4/3 1,29 1,19 1,05 1
Рассмотрим теперь пространственное распределение инжек-
тированных носителей п — п0. На фиг. 12 изображена зависи-
мость нормированной величины (п — п0)/(па — п0) от рас-
стояния x!L при трех различных уровнях инжекции, соответ-
ствующих: 1) безловушечному квадратичному режиму (wa =
= 0,20), 2) переходному режиму (и>а = 1,05) и 3) линейному
режиму (wa — 5,0). В первом случае распределение незначи-
тельно отличается от распределения в идеальном изоляторе,
т. е. от зависимости п(х)/па = (ж/L)-1/2, показанной на фиг. 12
штриховой кривой. В третьем случае (ша = 5,0) при x/L > 0,2
распределение приближается к простой экспоненциальной зави-
симости (тг — по)/(па — по) ~ exp {wa [1— (яг/L)]}, которая полу-
чается из уравнения (4.17) в пределе и -> 1. Такой зависимости
соответствует характеристическая длина уменьшения концен-
трации свободных носителей, равная L/wa.
г. РЕГИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Хотя только что было получено точное решение рассматривае-
мой простой задачи, поучительно все же проанализировать эту
задачу и методом региональных приближений. В основу метода
региональных приближений положено то обстоятельство, что
две составляющие — равновесные свободные носители с кон-
центрацией п0 и инжектированные носители с концентрацией
nt = п — п0 — вносят аддитивные вклады в полный ток:
J — ецп^, п = п0 + тгг. (4.20)
Кривая зависимости тгг от х схематически изображена штриховой
5*
68 Часть I. Токи монополярной инжекции
линией на фиг. 13. Как установлено в гл. 3 для достаточно общего
случая и как видно из приведенного выше точного решения
(фиг. 12), функция ni{x) монотонно убывает с х. При не слишком
больших токах внутри изолятора можно определить плоскость
в которой выполняется равенство гаг(ж1) = п0. Как следует из
Фиг. 13. Ход кривых пг (г) и п (х) = тц (х) + п0 в случае прохождения
ТООЗ через изолятор при не очень высоком уровне инжекции.
фиг. 13, расположение этой плоскости зависит от тока. Слева
от плоскости Xi выполняется условие гаг > п0, а справа от нее —
условие п0 > пг. Поэтому естественно использовать приближение,
при котором слева от плоскости xi пренебрегают величиной га0,
а справа от плоскости xi — величиной гаг. Именно в этом и состоит
метод региональных приближений. Изолятор разделяют на две
области: область I, определяемую условием 0 х xt,
и область II, определяемую условием xi х L, причем
П;(ж1) = п0. В каждой области используют соответствующее
упрощающее предположение. Несомненно, метод региональных
приближений в том или ином виде применялся в любом разделе
математической физики. Для анализа инжекционных токов
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 69
в изоляторах впервые применила его Патрик [26]. Подробный
обзор этого метода дали Ламперт и Шиллинг [27].
Указанные две области изолятора характеризуются следую-
щими уравнениями:
Область I (0 х ^1):
J — epng,
е
е dx
= П.
(4.21)
(4.22)
Область II (ад х Ь):
J — ецпоё,
6 Ж Q
е dx
(4.23)
(4.24)
Уравнение (4.24) в данном случае, конечно, не является незави-
симым от уравнения (4.23).
Далее, плоскость яд характеризуется равенством
n(Xi) = n^xs) = п0. (4.25)
Наконец, кроме граничного условия (4.4), необходимо указать,
как сшить решения в областях I и II. Для этого мы просто потре-
буем непрерывности функции g (я) в точке од 5
ё (*Т) = ё (4), (4-26)
где ё (яд) — предельное значение функции ё (х) в точке яд при
подходе слева (из области I) и ё (яТ) — предельное значение
функции ё (х) в той же точке при подходе справа (из области II).
Для дальнейшего рассмотрения удобно перейти к безразмер-
ным переменным (4.15). Тогда уравнения Пуассона (4.22) в области
I и (4.24) в области II перепишутся в виде
(область I) т- е- udu=dw, (4-27)
(область II) ^=0. (4.28)
Из выражений (4.15) и (4.25) следует, что в плоскости раздела
Хх (од) выполняется условие
щ = и (од) = 1. . (4.29)
70 Часть I. Токи, монополярной инжекции
Интегралы уравнений (4.27) и (4.28) имеют вид
(область I) iv — ~ (4.30)
(этот интеграл удовлетворяет граничному условию и = 0 при
w = 0) и
(область II) и = Ui = 1 (4.31)
(независимо от w). Последний интеграл удовлетворяет граничному
условию (4.26), Из (4.30) и (4.29) следует
W1 — w (Xi) = ~ , (4.32)
а из (4.32) и (4.15) следует
= (4-33)
Формула (4.33) показывает, что линейно возрастает с J. При
больших J ток может принять критическое значение 7кр, при
котором xi = L (wa — 1/2). Исходя из формулы (4.33), находим
/кр = -2еУ • ' (4.34)
При J Укр область I охватывает весь изолятор.
Потенциал в области I определяется из уравнения (4.27):
W и
SC us
udw— \ u2du = -~-. (4.35)
J । о
о о
Отсюда
[>1 = [>(щ1) = -^-=в-1-. (4.36)
Критическое напряжение Икр, соответствующее равенствам Xi = L
и J = Jкр, можно получить, используя выражения (4.36) и (4.15).
Это дает
^кр = ^г = -^-. (4.37)
Заметим, что напряжение Укр, заданное формулой (4.37), только
в 4/3 раза превышает напряжение Vx, заданное формулой (2.12).
Так как оба напряжения FKP и Vx имеют один и тот же физиче-
ский смысл, они, конечно, и должны быть приближенно равными.
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 71
При распространении области I на весь кристалл, т. е. при
J Jкр, решения (4.30) и (4.35) можно переписать в виде
и2 и3
Wa = -^-, va = -± (4.38)
£ о
Отсюда, исключив иа, находим, что при J 7кр
Последнее соотношение с учетом зависимости (4.19) преобра-
зуется в безловушечный квадратичный закон (4.9).
Для области токов J < JKP остается найти потенциал
в области II. Определим его следующим образом:
W
(область II) р==р14- j udw=vt4-(w—w^) —
W1
= т+(й;“т)=гг;“Т- <4-40)
Потенциал в точке w — wa, т. е. полное приложенное напря-
жение, равен
Ua = Wa — "у- (4.41)
Отсюда получаем уравнение вольтамперной характеристики
в безразмерном представлении при J < JKp в виде
Va_ = J_______________L_
W% wa f>W3a
(4-42)
Эта зависимость нанесена пунктирной линией на фиг. 11. Из этой
фигуры следует, что решение, полученное посредством региональ-
ных приближений, гораздо ближе к точному решению, чем простое
феноменологическое решение, если V < FKP (va/wa <Z 4/3). Выше
напряжения FKP оба приближения дают одинаковый результат,
и кривая следует безловушечному квадратичному закону.
Имеется и другой, более простой путь решения рассматривае-
мой задачи с разделением изолятора на две области, который,
однако, не является общим. Решение получается, если мы поста-
раемся удовлетворить требованию непрерывности тока на границе
между упомянутыми двумя областями. Ток в области I ограничен
объемным зарядом, а в области II является омическим. Отсюда
т 9 ri Тп
Далее, условие непрерывности электрического поля в точке Xi дает
(4-436)
((L43a)
72 Часть I. Токи монополярной инжекции
Очевидно также, что V — Vi + Уп- После некоторых алгебраи-
ческих преобразований из этих выражений можно получить
зависимость (4.42).
§ 3. ИДЕАЛЬНЫЙ ИЗОЛЯТОР С МЕЛКИМИ ЛОВУШКАМИ
Мелкие ловушки, о которых шла речь уже в гл. 2 и 3, характе-
ризуются тем, что отношение концентраций свободных и захва-
ченных носителей при повышении напряжения остается постоян-
ным, т. е. п(х)1щ{х) — 0, где 0 — постоянная, определяемая
выражением (3.32) при наличии в изоляторе ловушек только
одного типа. В этом случае уравнение (4.2) принимает вид
T^==n~n°~'nt~ nt-°= (4"+ (п~ п0)^-^(п — п0). (4.44)
Поскольку диэлектрическая проницаемость е входит только
в уравнение Пуассона, очевидно, что все результаты, полученные
выше при решении безловушечной задачи, применимы также
и в этом случае, если заменить величину е произведением 0е.
(Такая подстановка имеет чисто формальный характер. Она
полезна при рассмотрении данной задачи, но не имеет физического
смысла, если анализируются другие диэлектрические свойства
изоляторов.) Найденное в гл. 2, § 4, феноменологическое решение
задачи о ТООЗ в изоляторе с мелкими ловушками получает теперь
математическое обоснование. Согласно (4.9), точное выражение
для ловуШечного квадратичного закона имеет вид
(4,45)
Если изолятор содержит несколько групп мелких, энергети-
чески значительно разделенных уровней прилипания с концен-
трациями Ntj, то в уравнения (4.44) и (4.45) входит только наи-
меньшее 0j.
§ 4. СЛУЧАЙ ПРЕДЕЛЬНО ЗАПОЛНЕННЫХ ЛОВУШЕК
Эта задача касается, очевидно, ситуации, не реализуемой в дей-
ствительности. Мы предполагаем, что все ловушки с концентра-
цией Nt предельно заполнены до приложения напряжения к изоля-
тору. Рассмотрение этой задачи представляется весьма полезным,
так как, несмотря на свою простоту, оно дает в конечном счете
хорошее описание явлений в том случае, когда квазиуровень
Ферми пересекает уровень, соответствующий центрам прилипа-
ния. Но такая ситуация уже реальна; она рассмотрена феномено-
логически в гл. 2, § 5, и соответствует почти вертикальному росту
тока. Математически данная задача очень похожа на предыдущую,
Гл. i. Аналитические и приближенные решения 73
причем единственное различие состоит в замене члена —п0 в урав-
нении (4.14) на +Nt. Однако при такой простой замене, когда
меняется знак одного члена, характер решения становится совсем
иным.
Модель определяется уравнением (4.1) и уравнением Пуассона
в виде
„ + Лг„ (4.46)
переменные, аналогичные тем, которые
(4.15):
eWfyx e3tf|p,2F (х)
Wt~ &J ’ Vt~~ eJ2 " (4.47)
Введем безразмерные
задаются равенствами
Nt _ eNtp%(x)
Ut~ п(х)~ J ’
Дифференциальное уравнение для поля g, полученное из урав-
нений (4.1) и (4.46), в новых переменных принимает вид
~^-^dwt. (4.48)
Учитывая граничное условие (4.4) в виде щ = 0 при wt = О,
получаем решение уравнения (4.48)
wt = щ — In (1 + ut). (4.49)
Потенциал определяется выражением
wt
С ut
Vt — I utdwt~-7j--U(4-ln(l—ut). (4.50)
J
0
Tok J и напряжение V определяются формулами
e wta ’ 3 wta ' '
где индекс а снова указывает на то, что х = L.
Если протабулировать зависимость w и v от и, то можно
построить график зависимости i/iuta от vta/iuta- Эта зависимость
в двойном логарифмическом масштабе приведена на фиг. 14.
Как уже было указано в гл. 2, § 5, й данном случае сущест-
вует пороговое напряжение токового отклика диэлектрического
диода (Епзл)- Оно определяется из условия 2vialwta = 1 и равно
Упзл = еУг7?/2е. На вольтамперной характеристике можно
наблюдать два участка, соответствующих предельным режимам.
При низком уровне инжекции, когда справедливо неравенство
uta 1, вольтамперная характеристика описывается уравнениями
Uta « U>ta + Ь Wta И Vta « lKfa/2 + lOta (In Wta ~ 1) ИЛИ, ЧТО
эквивалентно, уравнением
।2
wta
74 Часть I. Токи монополярной инжекции
Эта зависимость нанесена на фиг. 14 пунктирной линией. Мы
видим, что ^акая аппроксимация достаточно хороша при условии
Wta > 10. Второй предельный режим проявляется при высоком
уровне инжекции, когда выполняется условие uta 1. ' Этот
режим в точности совпадает с квадратичным режимом, характер-
ным для предыдущих задач. Соответствующая зависимость
изображена на фиг. 14 штриховой линией.
ф и г. 14. Обобщенная вольтамперная характеристика ТООЗ в изоляторе
с ловушками, предельно заполненными до приложения напряжения
(J ~ l/wta, V ~ 2vta/wt^.
Штриховая линия соответствует безловушечному квадратичному закону (и^а 1), пунк-
тирная линия — пределу uia 1.
Другими величинами, представляющими интерес, являются
£tai£a = ulawtalvta, ntJn = wta!uta (uta — wta) и en^aU =
= Vta (uta — wta)lwta- Типичные значения этих величин приве-
дены в табл. 3. Аналогично случаю, соответствующему табл. 2,
безловушечный квадратичный закон получается при обращении wta
в нуль. С другой стороны, пределу u>ta оо в данном случае
соответствует почти вертикальный рост тока при низком уровне
инжекции. Интересно, что при очень малых токах вблизи порога
отношение ц1а1п, а следовательно, и Лепц£а стремятся к нулю.
Таким образом, «неосторожное» применение средних значений, по-
добных тем, которыми пользовались в гл. 2, дает неверные резуль-
таты в этой весьма ограниченной области. В действительности,
однако, эта ограниченная область вообще нереальна, поскольку
в существующих материалах при достаточно малых токах вольт-
амперная характеристика подчиняется закону Ома.
Математическое описание прохождения ТООЗ в изоляторе
с предельно заполненными ловушками, проведенное Лампертом
128], не отличается от описания возникновения ТООЗ при проколе
базы в полупроводниковых структурах. Последнюю задачу
рассмотрели Шокли и Прим [29]. Две указанные работы разли-
чаются только выбором безразмерных переменных и методикой
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 75
Таблица 3
Численные значения некоторых величин,
связанных с задачей о предельном заполнении ловушек
Величина wta
0 0 ,10 1,0 10 94 CO
uta^ta/Ufa = ta!^ q 3/2 1,55 1,65 1,82 1,94 2
wta/uta (uia — wia) = nta!n 1/2 0,465 0,405 0,302 0,207 0
via (uta’^~wta)/wfa::== 4/3 1,38 1,50 1,82 2,48 CO
анализа. Однако более важное значение имеет то обстоятельство,
что физическая интерпретация теории в случае полупроводника
сильно отличается от описанной выше Картины. Для полупровод-
ника концентрация Nt относится к ионному заряду в обедненной
области полупроводника; кроме того, в случае полупроводника
захват носителей вообще не играет никакой роли.
§ 5. ПЕРЕХОДЫ ОТ ЗАКОНА ОМА К ПРЕДЕЛЬНОМУ ЗАПОЛНЕНИЮ
ЛОВУШЕК И ОТ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗАПОЛНЕНИЯ ЛОВУШЕК
К БЕЗЛОВУШЕЧНОМУ КВАДРАТИЧНОМУ ЗАКОНУ
Поскольку вольтамперная зависимость ТООЗ при наличии
в изоляторе предельно заполненных ловушек, определенная
в предыдущем параграфе, соответствует, строго говоря, нереаль-
ной ситуации, желательно получить представление о том, как
в действительности происходит переход от предшествующего
режима к режиму предельного заполнения ловушек (ПЗЛ).
Характеристику такого перехода легко получить для двух четко
определенных моделей, содержащих одну группу уровней прили-
пания, расположенных либо 1) значительно ниже, либо 2) значи-
тельно выше равновесного уровня Ферми. Сначала мы рассмотрим
первый случай, характерной чертой которого является прямой
переход режима закона Ома в режим ПЗЛ. Мы приведем как точное
численное решение, так и решение при помощи метода региональ-
ных приближений.
J. точное' аналитическое решение
Первая модель математически определяется уравнением (4.1)
и уравнением Пуассона в виде
е
е
d%
dx
= (n —n0) + (nt —nt, o) = (w— »o) + (Pi.o — Pt) =
NtN \ / NtN
gn / ' \ gn0
Th
(4.52)
76 Часть I. Токи монополярной инжекции
При написании (4.52) мы пользовались приближенным выраже-
нием для глубоких ловушек (3.33).
Далее, применяя безразмерные переменные (4.15), мы можем
ному граничному условию и = 0 при и> — 0, имеет вид
» = — Ь(1 — и)— -|-ln(l + 4u)]. (4.55)
Выражение для потенциала получается в виде
*=тЬ' [ “ (1 + т)и -1п (1 “ и}+iIn (1+Ли)1 • (4-56)
Ток и напряжение вычисляются согласно формулам (4.19). Гра-
фики зависимости l/wa от valw^ для А = 10а, 103 и 104 в двойном
логарифмическом масштабе приведены на фиг. 15 (сплошные
линии). Там же пунктирными линиями показаны вольтамперные
характеристики, получаемые в конце данного параграфа методом
региональных приближений. Прямые линии изображают: ниж-
няя — закон Ома, верхняя — безловушечный квадратичный
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 11
закон. В случае А = 104 ток при переходе от закона Ома
к безловушечному квадратичному закону очень резко возрастает
приблизительно на три порядка, в то время как напряжение
только удваивается. Очевидно, безловушечный квадратичный
закон изображается одной и той же линией независимо от того,
какие значения прини-
мает А. Область закона
Ома соответствует усло-
вию иа л; 1, переходная
(ПЗЛ) область — усло-
виям иа 1 и Аиа 1,
а область безловушеч-
ного квадратичного за-
кона — условию Aua<^i.
На фиг. 16 приведены
зависимости отношения
(п — п0)/{па—п0) от от-
носительного расстоя-
ния xIL при А — 104
и различных значениях
ua(wa). При иа « 1,
т. е. при соблюдении
Фиг. 16. Нормированные
кривые пространственного
распределения инжектиро-
ванных носителей при про-
хождении ТООЗ через изо-
лятор с глубокими ловуш-
ками при А = Pt,o/no — 104.
1 — режим ПЗЛ (иа — 0,03,
wa — 2,93-10-*); 2 — линейный
режим (ua= 0,99, wa= 4,6-10-‘).
Штриховыми линиями нанесены
зависимости (xlL)~ Va (внизу)
и exp {Av>a [1 — (х/Ь)]}.
закона Ома, справедливо равенство (п — n0)/(na— ио) ~
» exp {Awa [1 — (ж/L)]}. Отличие этого равенства от аналогичного
равенства, приведенного в конце § 2, п. 1, заключается в том,
что здесь в показатель экспоненты входит множитель А. Указан-
ной зависимости соответствует характеристическая длина умень-
шения концентрации инжектированных свободных носителей,
равная L/Awa. Верхняя кривая на фиг. 16 построена для
иа — 0,99 и ша = 4,6-10“4. Это значение параметра wa намного
меньше, чем в случае кривой 3 на фиг. 12. В этом обстоятельстве
78 Часть I. Токи монополярной инжекции
находят отражение тот факт, что вследствие наличия при тепловом
равновесии незаполненных ловушек напряжение перехода к без-
ловушочпому квадратичному закону увеличивается в А раз.
Но мере того как с возрастанием уровня инжекции иа принимает
псе меньшие значения, доля инжектированного объемного заряда,
остающегося свободным, быстро растет, и распределение объем-
ного заряда изменяется аналогично тому, как это показано
на фиг. 16. В конце концов, когда Аиа 1, или, другими словами,
когда ловушки уже заполнены и практически весь инжектирован-
ный объемный заряд участвует в токе, распределение инжектиро-
ванного заряда стремится к зависимости (ж/Ь)-1/2, типичной для
ТООЗ в отсутствие ловушек.
». РЕГИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Получим теперь решение рассматриваемой задачи методом
региональных приближений. Мы будем действовать почти таким же
Ф и г. 17. Энергетиче-
ская диаграмма, при-
меняемая при анализе
методом региональных
приближений прохожде-
ния ТООЗ через изоля-
тор с глубокими ловуш-
ками.
образом, как в § 2, п. 2, за исключением того, что теперь тре-
буются три области, чтобы аппроксимация обладала достаточной
точностью. Как и в § 2, п. 2, концентрация инжектированных
свободных носителей и(- монотонно спадает с х, начиная с беско-
нечности при х = 0. При не слишком больших токах всегда можно-
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 79
определить плоскость ж2(J), в которой справедливо равенство
и,- (ж2) = п0. Справа от этой плоскости выполняется условие
«о > гег, и мы можем пренебречь величиной пг; слева от нее выпол-
няется условие П; > п0, и мы можем пренебречь величиной п0.
Однако вследствие наличия дополнительного члена pt,0 — pt
в уравнении Пуассона (4.52) следует более точно рассмотреть
область слева от плоскости х2. Прежде всего заметим, что равен-
ства nt = п0 и п = п0 4~ nt = 2п0 эквивалентны равенству
Pt — Pt.o/2; другими словами, уровень Ферми смещается вверх
на величину 0,7 кТ. Таким образом, слева от плоскости х2 выпол-
няется условие Pt < Pt,о/2, и мы можем в уравнении (4.52) пре-
небречь величиной pt. Наконец, всегда можно найти такую пло-
скость Xt, для которой справедливо равенство пг (xt) = п (х^ =
— pt,о- Слева от нее n>Pt,o, и мы можем в уравнении (4.52)
пренебречь величиной р(.о; справа от плоскости Xt в интервале
х х2 справедливо условие р{.0 ~ р/10 — Pt > п — по,
так что в уравнении (4.52) мы можем пренебречь как разностью
п — п0, так и величиной р{. Таким образом, в рассматриваемой
задаче характерными являются три области. На зонной диаграм-
ме (фиг. 17) эти области и их границы определяются положением
квазиуровня Ферми F (х). (Отметим, что на том участке образца,
где F (ж) > Ес, мы пренебрегаем необходимостью пользоваться
статистикой Ферми — Дирака. Фактически такой участок почти
всегда будет кончаться на крайне малом расстоянии от катода.-
К тому же, пренебрегая реальной структурой контакта, мы
вообще неточно описываем этот прикатодный участок.)
Указанные три области изолятора определяются следующими
уравнениями:
Область I (О^ж^^):
J = ерп£, (4.57)
8 d'g 7Г~ = п’ е ах (4.58)
п (^1) = Pt,0. (4.59)
Область II (xt х ж2):
J ~~ (4.60)
е d% е dx Р*- °’ (4.61)
п (х2) = п0. (4.62)
Область III (ж2Сж <!/):
(4.63)
^^- = 0. е ах (4.64)
80 Часть I. Токи монополярной инжекции
В дополнение к граничному условию (4.4) мы должны потребо-
вать, чтобы поле g при переходе через поверхности раздела между
смежными областями было непрерывно:
g (x~i) = g(4) и g (ж§) = g (4). (4.65)
Для дальнейшего рассмотрения удобно перейти к безразмер-
ным переменным (4.15). Тогда уравнение Пуассона, записанное
в виде (4.58), (4.61) и (4.63) для областей I, II и III соответственно,
принимает вид
область I = или udu—dw, (4.66)
область II ^-=4; (4.67)
область III -^- = 0, (4.68)
Подставляя (4.59) и (4.62) в (4.15), получаем, что поверхности
раздела Xi и х2 определяются следующими уравнениями:
Ul = u(wt) = -J- (плоскость iq),
, . . , . (4.69)
u2=u(w2) = l (ПЛОСКОСТЬ £2).
Проинтегрировав уравнение (4.66) с учетом граничного условия
и = 0 при w — 0, получим для области I
ц2
и> =—. (4.70)
Из соотношений (4.69) и (4.70) следует, что
1
»1 = -242-. (4.71)
Далее, учитывая граничное условие (4.65) и соотношения (4.69)
и (4.71), находим решение уравнения (4.67), относящееся к обла-
сти II:
и 1
и — щ — — или к>=-д—-ойг* (4.72)
Из соотношений (4.69) и (4.72) получаем
Г--яг-' <4'73>
Наконец, в результате интегрирования уравнения (4.68) с учетом
граничного условия (4.65) получаем, что в области III
и = и2 = const, или и — 1. (4.74)
Из соотношений (4.15), (4.71) и (4.74) находим
Xl = И ж2 («0 = 62П2И (-J 2А^) ' (4’75)
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 81
Поскольку в изоляторе существуют три области, определяемые
плоскостями и х2, возможны и три различных токовых режима.
Границы этих режимов задаются токами Jкр1 и JKp2, определяе-
мыми из уравнений х2 (JKpi) = Ьиж2 (JKp2) = L. Таким образом,
из (4.75) следует, что для А 1
г Ae^nfyiL ,, г __________ 2A2e2n^iL
>кр 1 —------ и 'крг— ~ • (4./о)
Если J < /кр1> то ж2 < L и в изоляторе существуют все три
области I, II и III. В такой ситуации соблюдается линейный режим
(малые токи). В диапазоне /KPi < J < Jкр2 справедливо нера-
венство xi < L < х2, ив изоляторе существуют только области I
и II. Этому соответствует режим ПЗЛ. Наконец, при еще больших
токах, когда J > Jкр2, выполняется условие х^ < L. При этом
изолятор содержит только одну область I и соблюдается безло-
вушечный квадратичный режим.
Запишем теперь выражения для потенциала во всех трех
областях. В области I
Отсюда, учитывая соотношение (4.69), получаем
У1 = У(^1) = -3^з-. (4.78)
В области II
и
. f dw j и2 1 ,, „п,
У = J U lhrdu=2A-
Используя соотношение (4.69), получаем
p2 = p(w2) = ^---g^. (4.80)
В области III
t> = v2 + (w—w2)=-w— 4a+~5az~~ W' (4-81)
Принимая w = wa, находим полное приложенное напряжение
L Va = Wa — -(ЩГ- (4.82)
k
b Теперь мы можем получить уравнение вольтамперной характери-
; стики в безразмерной записи для случая J < /КрГ-
va I______I ( л 1 1 I \ I 1___________I /Z оо\
w% wa 2А \ А ЗЛ2 ) w* ~ wa 2Aw* ‘ ‘ '
Из сказанного мы можем сделать весьма полезное с точки зре-
ния дальнейшего развития теории в настоящей главе заключение
6-0699
82 Часть I. Токи монополярной инжекции
о том, что область I дает пренебрежимо малый вклад в вольтампер-
ную характеристику (4.83). Действительно, если мы вообще будем
пренебрегать областью I, т. е. примем, что левая граница областиII
находится в точке w = 0, считая по-прежнему, что и = 0 при
w — 0, то получим для вольтамперной характеристики при
J < JKPi вместо (4.83) соотношение ;
Pg 1______1_
wl wa 2Aw*a ’
которое при больших А не отличается от (4.83). [Заметим, что при
выводе (4.84) мы должны заменить (4.73) выражением w2 — 1/A.J
Причина, по которой при J < JKpl можно полностью исключить
из рассмотрения область I, состоит в том, что, согласно (4.75),
имеем xt {J}lx2 {J) ж 1/2Л <^1.
Если /кр1 •< J < JKp2, то в изоляторе существуют только
области I и II. Согласно (4.79), потенциал на аноде теперь можно
записать в виде
(4-85>
Из (4.72) следует, что иа = Awa + 1/2А. Подставив это выраже-
ние в (4.85), получим вольтамперную характеристику для диапа-
зона токов JKpl <J< JKP2 в виДе
Га А 1 1 1 А 1 1
“ 2 2Лш„ 24ЛЗи>2 ~ 2 2Awa ’ О00'
т. е. закон ПЗЛ.
Если J > JKp2, т° изолятор содержит только область I. Такая
ситуация описывается уравнениями (4.70), (4.71), (4.77) и (4.78);
вольтамперная характеристика имеет вид (4.39), т. е. соответ-
ствует безловушечному квадратичному закону.
Принимая J = JKPi и используя (4.73) и (4.82), получаем
па,Кр1 ~ 1/2Л. Если же J = /кр2, то, согласно (4.78), па,кр2 =
= 1/ЗЛ3. Подставляя эти результаты в (4.15), получаем критиче-
ские напряжения, соответствующие критическим токам (4.76):
т/ Леп0£2 ept<0L2 т/ iAenolA iept,0IA
Ккр2-----Зё---"----Зё--1 (4’87>
Формулы (4.76) и (4.87) можно представить в виде отношений
фр1 = 2Л = 2££±, = (4.88>
/кр 1 гео Ткр 13 '
Отношения (4.88) определяют характер вольтамперной характе-
ристики в области ПЗЛ: значительному изменению тока соот-
ветствует очень небольшое изменение напряжения.
Решения, полученные при помощи метода региональных
приближений при А = 10а, 103 и 10*, показаны на фиг. 15 пунк-
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 83
тарными линиями. Можно видеть, что они отличаются от соот-
ветствующих точных решений (сплошные кривые) меньше чем
в два раза.
§ 6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ЛОВУШЕК
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы рассмотреть вопрос
о ТООЗ при наличии в изоляторе уровней прилипания только
одной энергии (с концентрацией Nt), когда они расположены значи-
тельно выше уровня Ферми: Et —F0^>kT. Напомним, что это
второй случай, упоминаемый в начале § 5. Задача имеет точное
аналитическое решение. Однако оно чрезмерно громоздко и неудоб-
но в обращении. Поэтому мы приведем его только в конце настоя-
щего параграфа, а теперь перейдем к приближенному решению
задачи.
1. РЕГИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В данном случае изолятор разделяется на четыре различные
области (фиг. 18). Эти четыре области можно описать следующими
уравнениями:
Область I (О^С xi)t
s d<£ (4.89) (4.90) (4.91)
е dx ’ П )= Nt.
Область II (Xi < х < х2)-.
J ~~~ (4.92)
8 <Г& м е dx (4.93)
пЫ Ng (4.94)
Область III (.х2 < х < а?3):
/ == (4.95)
8 е dx 0 * 0 1 1 N ’ ° (4.96)
п (а?з) = п0. (4.97)
Область IV (ж3 < х < L):
J = ер.пдё, (4.98)
е - е dx (4.99)
б*
84 Часть I. Токи монополярной инжекции
Граничными условиями наряду с равенством (4.4) являются обыч-
ные уравнения непрерывности
g(^T) = g(4), = g(4), gfe) = g(4). (4.100)
При написании приведенных выше соотношений мы воспользо-
вались упрощенной функцией для степени заполнения ловушек,
ф и г. 18. Энер етическая диаграмма, применяемая при анализе методом
региональных приближений прохождения ТООЗ через изолятор с одной
группой первоначально мелких ловушек.
не применяя функцию Ферми — Дирака (4.3), дающую точное
соотношение между концентрациями свободных и захваченных
носителей. А именно, мы предположили, что зависимость п аг
аг Nnt/gNt, справедливая для мелких ловушек, выполняется
вплоть до точки, в которой nt = Nf, т. е. при п N/g. При п 2>
> N/g мы просто принимаем nt = Nt- Такая аппроксимация обу-
словливает увеличение «крутизны» функции заполнения, когда
уровень Ферми пересекает уровень прилипания.
Как и в предыдущих случаях, полезно перейти к безразмерным
переменным (4.15).' Тогда уравнения (4.90), (4.93), (4.96) и (4.99)
принимают вид
(область I)
du 1
или udu — dw, (4.101)
dw и ’
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 85
(область II) -^ = В, 5 = ^-; (4.102)
(область III) = или Qudu — dw; (4.103)
(область IV) (4.104)
Плоскостям раздела х3, хг, xi соответствуют три критических
тока 7Kpi, JKP2, 7кр3, определяемые уравнениями
x3(Jкр1) ~ В, Xz^Jкрг) ~ В, x^JКрз) = L. (4.105)
Следовательно, возможны четыре различных токовых режима:
1) линейный режим J < 7кр i,
2) «ловушечный» квадратичный режим 7кр1 < 7 < 7кра,
3) режим ПЗЛ 7р 2 J 7,,р з,
4) безловушечный квадратичный режим 7кр 3 < 7.
Рассмотрим последовательно все эти режимы.
Начнем анализ с рассмотрения линейного режима, или режима
закона Ома, выполняющегося в условиях, когда 7 < 7кр i. Так
как в этом случае х3 (7) < L, изолятор содержит все четыре обла-
сти I, II, III и IV- Мы можем попытаться решить задачу, принимая
во внимание все четыре области, однако мы вправе ожидать, что
в рассматриваемом режиме важную роль играют только области
III и IV. Действительно, поскольку Et — Ро то xjx2 =
= N/2gNt ~ 6/2 <С 1 и хг!х3 = 2 (grc0/M)2 С 1- Следовательно,
области I и II вносят пренебрежимо малый вклад в этот режим.
Поэтому мы не будем учитывать области I и II. Тогда задача сво-
дится к более простой, так как изолятор содержит только две
области — третью и четвертую, причем область III начинается
непосредственно от катода. Используя минимальное количество
выкладок, мы получаем уравнение вольтамперной характеристики
Уд __ 1____9 / ,
wa '
которое представляет собой закон Ома с малой поправкой.
Этот режим кончается при критических токе и напряжении,
которые определяются из уравнения х3 (7кр i) = L:
т ___ 2е2ПоцГ __ 4етгдЛ2 .. .
Apl------, VKP1-----------^g-. (4.1U/)
Сравнивая (4.107) с (4.34) и (4.37), мы видим, что наличие захва-
та на мелкие ловушки увеличивает в 1/9 раз критические ток
и напряжение, при которых происходит отклонение от закона Ома,
по сравнению с безловушечным случаем.
Рассмотрим далее диапазон токов 7кр i < 7 < 7кр 2, т. е.
«ловушечный» квадратичный режим. Поскольку х3 (7) > L, теперь
86 Часть I. Токи монополярной инжекции
изолятор содержит только три области I, II и III. Однако в данном
случае также справедливо приведенное выше неравенство xjx2 «
0/2 < 1, и, следовательно, область I вносит пренебрежимо
малый вклад в определение формы вольтамперной характеристики.
Поэтому мы снова не будем учитывать наличие этой области, сводя
таким образом задачу к более простой задаче двух областей, при-
чем область II начинается непосредственно от катода. Тогда нетруд-
но получить следующее уравнение вольтамперной характеристики:
) = 90^7 2BCwa} ’ (4Л08)
Где Б определяется выражением (4.102). (Отметим, что 9 = CIB
<С 1.) Полученная зависимость представляет собой «ловушечный»
квадратичный закон с малой поправкой.
Рассмотренный режим кончается при критических токе и на-
пряжении, определяемых из уравнения ^(^крг) —
т _ e^nl^LBC v en0L2B eNtL2 .. ,nQ.
•'крг---------> V кр 2 =—2e—~—2e—’
Заметим, что критическое напряжение VKp2 совпадает с напряже-
нием Рцзл феноменологической теории, за исключением числен-
ного множителя. (Выражение для напряжения Тдзл будет также
содержать численный множитель 2 в знаменателе, если в равенство
Q = CV подставить истинное значение емкости С = 2С0 = 2s/L.)
Перейдем теперь к рассмотрению режима ПЗЛ (Укр2 < J <
< Jкрз)- Поскольку в этом случае x2(J) > L, изолятор содержит
только две области I и II. Таким образом, данная задача формаль-
но совпадает с задачей о режиме ПЗЛ при наличии в изоляторе
глубоких ловушек (см. § 5). Следовательно, вольтамперная харак-
теристика в точности определяется уравнением (4.86), если заме-
нить в нем А на В:
_S _______________
и>1 2 "Р 25юа 24ВЗи>*
Исходя из формул (4.76) и (4.87), мы получаем, заменив А на В,
выражения для критических тока и напряжения в рассматривае-
мом режиме:
Т _ 2B2e2n*iiL ZeWfpL
* кр 3 — ------------ ~------
(4.110)
TZ ___ 4e2V(Z/2
в в ’ ГкРЗ-----------зГ^-
Рассмотрим, наконец, безловушечный квадратичный режим,
который имеет место, когда Укр3 <; J. В этом случае в изоляторе
существует только область I, т. е. область со свойствами идеаль-
ного изолятора. Соответствующая вольтамперная характеристика
подчиняется безловушечному квадратичному закону (4.39).
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 31
Чтобы получить непрерывную вольтамперную характеристику
для общего случая прохождения ТООЗ через изолятор с моноэнер-
гетическими ловушками, необходимо сшить кривые для отдельных
режимов. На фиг. 19 сплошной линией показана такая характери-
стика, полученная при следую-
щем выборе значений парамет-
ров: По=1О6 см-3, 2Уг=1014 см-3,
Ес — Et = 0,6 эВ, 9 = 5-Ю"6
(g = 2), Nc = Ю19 см-3 (Т =
= 300 К, ш*/ш = 0,60), 8/80=
=-11, ц = 200 см2 /(В -с) ( р =
= 3-1010 Ом-см). Этим значени-
ям параметров соответствуют
В = 108 и С = 500. Именно
такими значениями параметров
пользовался Ламперт [28], ко-
гда он впервые проанализиро-
нал общую задачу о ТООЗ в
изоляторе с моноэнергетически-
ми уровнями прилипания. На
фигуре указаны также кри-
тические значения величины
va/Wa- Кривая обладает всеми
•Фиг. 19 Вольтамперная характе-
ристика ТООЗ в изоляторе с одной
группой моноэнергетических лову-
шек, расположенных выше уровня
Ферми (/ ~ \Jwa, V ~ vjw*).
Сплошная кривая рассчитана методом ре-
гиональных приближений, пунктирная кри-
вая — по упрощенной теории без дальней-
ших упрощений. Использованы следую-
щие значения безразмерных параметров:
0 = 5 10-е, в _ 10«, с = 5 10!. Штри-
ховые линии соответствуют нижняя —
закону Ома, верхняя — безловушечному
квадратичному закону, вертикальнан —
кзакону ПЗЛ.
особенностями, выявленными при феноменологическом анализе
(фиг. 7, а, кривая 2). Отметим, что метод региональных прибли-
жений часто требует одинакового математического аппарата
при рассмотрении различных физических ситуаций. В подобных
случаях достаточно лишь изменить соответствующим образом
обозначения, и полученные решения могут быть применены к но-
вой ситуации.
На фиг. 19 пунктирной линией изображено точное аналитиче-
ское решение рассматриваемой задачи, при получении которого
88 Часть I. Токи монополярной инжекции
заполненность уровней прилипания описывалась функцией Фер-
ми — Дирака. Пунктирная кривая рассчитывалась при тех же
значениях параметров, что и сплошная. Точное решение задачи
мы опишем в следующем пункте. Здесь мы хотим лишь отметить,
что решение, полученное методом региональных приближений,
отличается от точного решения самое большее в 2 раза и что прибли-
женное решение в переходных областях идет «круче», чем точное.
Аналогичное поведение кривых отмечалось и при рассмотрении
задачи о предельном заполнении ловушек.
Я. ФОРМАЛЬНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
В заключение приведем формальное аналитическое решение
общей задачи для случая моноэнергетических уровней прилипания
[28]. Определяющими уравнениями в этом случае являются урав-
нения (4.1) — (4.3) при одном значении индекса у. Ниже для удоб-
ства мы этот индекс опускаем. В безразмерных переменных (4.15)
уравнение Пуассона (4.2) принимает вид
du> u(l-r-Си) ’ ' 7
где G = С + D, D = BC/(i + С) и, как и раньше, В = А)/по,
С = N/gn0. Уравнение (4.112) интегрируется хорошо известным
методом разложения рациональной функции на элементарные
дроби. Аналогично находится и решение для потенциала
J, (* dw ,
udip = । и du.
J du
В результате получаем решение для va и wa в параметрическом
виде:
Va=----^-U® — ^7? + ^-juo — /?ln(l—Uo) +
+ In (1 +Gua), (4.113)
Wa = --^-Ua — B 1П (1— Ua) — (i. + Gua), (4.114)
где /? — (С-|-1)/(О + 1) и S = DIG (G + 1). Пунктирная кривая
на фиг. 19 представляет собой вольтамперную характеристику,
рассчитанную по уравнениям (4.113) и (4.114) с учетом формулы
(4.19).
Отметим, что решение задачи в параметрическом виде (4.113)
и (4.114) является совершенно общим, если рассматривается изо-
лятор с моноэнергетическими уровнями прилипания, и не зависит
от того, какую концентрацию имеют эти уровни и как они располо-
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 89"
жены относительно уровня Ферми. Именно эта общность решения
обусловливает его громоздкость и соответственно ограничивает
его практическое значение.
§ 7. ЛОВУШКИ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПО ЭНЕРГИЯМ
В этом параграфе мы рассмотрим, каким образом влияют
на ТООЗ уровни прилипания, которые не соответствуют одной
энергии Et, а распределены по энергиям. Возможность существо-
вания такого распределения уровней прилипания уже отмечалась,
в гл. 2. Рассмотрим два различных распределения: 1) экспоненци-
альное распределение, когда концентрация уровней прилипания
на единицу энергии экспоненциально спадает с энергией, начиная
от дна зоны проводимости, и 2) однородное распределение, когда
уровни прилипания однородно распределены по энергиям.
Мы увидим, что метод региональных приближений очень удобен
для получения аналитического решения подобных задач.
1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОВУШЕК
С точки зрения математики отличие задачи с непрерывным рас-
пределением ловушек от задачи, связанной с моноэнергетическими
ловушками, состоит в том, что в правой части уравнения (4.2)
сумма, взятая по уровням прилипания, заменяется интегралом
от непрерывной функции, зависящей от энергии, точнее, от функ-
ции распределения уровней прилипания. Для экспоненциального
распределения ловушек функцию распределения удобно записать
в виде
(4.115)
где jft (Е) — концентрация уровней прилипания в единичном
интервале энергии, Е — энергия и Tt — характеристическая
постоянная распределения. Мы рассматриваем только те значения
энергии, которые удовлетворяют условию Е < Ес. Отметим, что
величина Nt/kTt тождественна величине в феноменологическом
анализе [формула (2.26)]. Общая концентрация уровней прилипа-
ния Nt [F (ж), Fo], относящихся к промежутку энергий между
равновесным уровнем Ферми Fo и стационарным, зависящим от ко-
ординаты х квазиуровнем Ферми F (ж), определяется путем инте-
грирования зависимости (4.115); в результате получаем
Г(х)
M[F(a:), Fo]= J jrt(E)dE =
Го
= JV,[expAfc^_(JL)r/r'], (4.116)
где exp l(F0 — Fc)/kTt] мы заменили на {n0/Nc')T>Tt.
ЧЮ Часть I. Токи монополярной инжекции
Сделаем теперь существенное предположение о том, что кон-
центрация инжектированных захваченных электронов nti (х) с до-
статочной точностью определяется концентрацией уровней прили-
пания Nt [.F (х), Fo]. Такое предположение эквивалентно замене
функции заполнения Ферми — Дирака, обладающей плавной
переходной областью, ступенчатой функцией, принимающей зна-
чение 1 при Е < F (х) и значение 0 при Е > F (х) (как будто мы
рассматриваем диод при Т = 0). Приближение, о котором идет
речь, можно считать хорошим, если Tt > Т. Предположим далее,
что ntl {х) щ (х), где щ — концентрация инжектированных
свободных электронов. Тогда уравнение Пуассона (4.2) можно
записать в виде
= ntl(x) = Nt[F(x), F.]. (4.117)
Соотношение между концентрацией свободных электронов п (х)
и полной концентрацией инжектированных электронов nti (я)
получается путем исключения F (х) из выражения для п (х) (4.3)
и из выражения (4.116). В результате получаем
”»W-"-[(tv)‘"-(^)‘'‘]- г“Т- <4Л18>
Теперь перейдем к безразмерным переменным (4.15). Урав-
нение Пуассона (4.117) тогда принимает вид
-±-Jr=IW, (4.119)
где
r=v (<)’"• <4Л20>
Уравнение (4.119) не интегрируется в квадратурах; поэтому
необходимо применить метод региональных приближений. При
малых токах в изоляторе будут существовать три области: обычная
прилегающая к катоду область I со свойствами идеального изоля-
тора, область II с преобладанием захваченного заряда и обычная
омическая область III. Эти области описываются следующими
уравнениями:
Область I (0 х ^i):
du __ 1
dw и ’
1 Г
га(Ж1) == rat{ (a^i), или u1 = u(w1).
и ।
Здесь nti (^i) определяется выражением (4.118).
(4.121)
(4.122)
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 91
Область II (ад % ж2):
du _ Г
dw ’
л (ж2) = п0, или u2 = 1, и2 ~ и (w2).
(4.123)
(4.124)
К этой области, в которой преобладает инжектированный захва-
ченный заряд, мы применяем обычное приближение, исключая
из рассмотрения равновесные свободные носители, т. е. принимая
п0 = 0 в (4.118). Следовательно, мы заменяем (4.119) на (4.123).
Точнее, такая замена эквивалентна подстановке в качестве ниж-
него предела Fo интеграла (4.116) значения — оо, т. е. пренебре-
жению равновесным захваченным зарядом по сравнению с инжек-
тированным захваченным зарядом. Такая аппроксимация разум-
на, если П; и Г(> Т.
Область III (ж2 х £)
-# = 0. (4.125)
dw ' '
Кроме того, применимы обычные граничные условия, т. е. равен-
ство (4.4) и условие непрерывности электрического поля в точках
и х2.
Мы уже знаем, что при построении вольтамперной характери-
стики достаточно одновременно рассматривать только две области.
При малых токах, пока обйасть III еще не покинула изолятор,
мы пренебрегаем областью I и распространяем область II вплоть
до катода. Тогда область II определяется соотношением
и = |Т£+1)у/(;+1) w!/u+i), (4.126)
которое является интегралом уравнения (4.123) и удовлетворяет
условию и = 0 при w — 0, и соотношением
v= ^2i+lvw+1)> (4.127)
полученным из интеграла
го
v= j udw
о
и соотношения (4.126). Кроме того,
UL — и (Wi) = 1 ’ ^2 = р (/-j-l) ’ v (^2) ' р (2Z 1) ’
(4.128)
В области III выполняется условие и = const = u2 = 1, так что
потенциал в силу уравнений (4.127) и (4.128) равен у = у2 +
+ (ш — ш2) = w — ?2/Г (Z -J- 1) (21 4- 1). Это дает следующее
92 Часть I. Токи монополярной инжекции
уравнение вольтамперной характеристики:
. Л____-_______________ (4 j 29>
и>а < Г (Z-|-l) (2Z + 1) ’
т. е. закон Ома с некоторым поправочным членом, каки ожидалось.
Приняв w2 = wa, т. е. x2 — L, мы получаем критические ток
и напряжение, при которых омическая область III покидает изо-
лятор:
Ш _ пг+i)2 /4130<
\uUkp1 Z ’ \и$/кр1 Z(2Z + 1) •
При уровнях инжекции, превышающих уровень, характери-
зуемый выражениями (4.130), в изоляторе существуют только-
области I и II. Как обычно, для области I определяющие уравне-
ния имеют вид
u2
дает
Г 2Z -1!Z(!-1)
U1“Lr(z+i)J
_ 1 Г 2Z П
Vl~ 3 L Г (Z+l) J
Уравнение (4.122)
и3
р='з_-
(4.131)
1Г 2Z
yL г(Z+l) J
3I/(!-l)
(4.132)
Выполняя интегрирование уравнения (4.123), для области II
получаем
w = K?1 + Г(г+1Г <и(г+1)/г - а1+1)/г)- (4-133>
В то же время решение для потенциала
и
if dw 7
v = v< -г । ~~т~~ du
< J du
Ut
принимает вид
V = щ (п^'+О/г - U.W+W). (4.134)
На аноде и = иа, w = и>„, v = va, и выражения (4.133) и (4.134)
дают
^ = 7[T(z + irJ +Т(ЧЙгК+1)/г-[т(7+1Т.| }’
(4.135)
1 Г 2Z 13i/(i-l) I с w+i)H Г 2Z ч(2!+1)/(г-1)Т
“ 3 Lr(Z + l)J Г (2Z + 1) {W“ Lr(Z + l)J J'
(4.136)
Уравнения (4.135) и (4.136) являются уравнениями, определяю-
щими в параметрическом виде через параметр иа безразмерную
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 93
вольтамперную характеристику в рассматриваемом режиме. Мы
можем определить критические ток и напряжение, при которых
область III покидает изолятор, приняв wa = и va = v±. Учиты-
вая, кроме того, равенства (4.132), получаем
\юа1ы12 |_ 21 J \ /йр 2 3 L 21 J 4 ’
При больших токах и напряжениях вступает в силу безловушеч-
ный квадратичный закон.
Оказывается, что рассмотренная выше область II имеет преоб-
ладающее влияние на ток на протяжении большей части интер-
вала между двумя критическими токами (или напряжениями),
определяемыми выражениями (4.130) и (4.137). Тогда, распростра-
нив соотношение (4.127) на анод, легко получить уравнение вольт-
амперной характеристики в явном виде:
Г (±\ w+1>. (4.138)
L I J 2Z-J-1 \wa) ' 7
Выраженное через непреобразованные переменные уравнение
(4.138) имеет вид
Возможность того, что ток J пропорционален напряжению V
в степени I + 1, впервые была предсказана Роузом [3, 4]. Урав-
нение (4.139) впервые вывели Марк и Хельфрих [30]. Упрощенный
вариант этого уравнения получен нами в гл. 2 [см. (2.29)], исходя
из физических соображений. Применяя то же приближение, что
и выше, мы можем получить зависимость положения квазиуровня
Ферми от координаты х:
Полная вольтамперная характеристика, рассчитанная мето-
дом региональных приближений, нанесена сплошной линией
на фиг. 20. На той же фигуре штриховыми линиями изображены
закон Ома и безловушечный квадратичный закон. При расчете
кривой применялись следующие значения параметров: Nt =
= 10й см-3, п0 = 10е см-3, Nc = 1019 см-3, причем рассматрива-
лись случаи I = 2 (Г = 31,6) и I = 3 (Г == 4640). Заметим, что
положение вольтамперной зависимости «ловушечного» тока силь-
но зависит от значения параметра I даже при неизменных концен-
трациях. Из фиг. 20 следует также, что степенной закон с показате-
лем степени Z-ф-1 [см. (4.139)] описывает «ловушечный» ТООЗ
на протяжении большей части интервала между двумя критиче-
скими токами.
И VrtfHlh / Гnull uniitimi.iM/iHofi инжекции
чисто при проведении эксперимента диапазон измерен-
ЦЫП Токов оказывается недостаточным, чтобы точно охарактери-
зовать переходные области.
Обычно доступная для изме-
рений область токов содержит
лишь одну переходную область,
а иногда не содержит ни одной.
Однако, исходя из независимых
измерений, на график могут
быть нанесены линии, соответ-
ствующие безловушечному квад-
ратичному закону, или закону
Ома, или обе эти линии вместе.
В таком случае можно оце-
нить параметр Г путем линей-
ной экстраполяции степенной
кривой с показателем степени
Z + 1 до ее пересечения с ука-
занными линиями. Мы приве-
дем здесь выражения для соот-
ветствующих переходных на-
Фиг. 20. Вольтамперные характе-
ристики ТООЗ в изоляторе с экспо-
ненциальным распределением лову-
шек (J ~ l/wa, V ~ va/u>*).
Кривая 1 — для ! = Tt/T = 2; кривая 2 —
для I = 3; Nt = 1014 см"3, п0 = 10е см"»
JVc = 1019 см-3. Критические напряжения
”а/юа)кр1 и («а^а^кра соответствуют
кривой 2.
пряжений. Напряжение перехода к омической зависимости
(4.141>
с \ —|- 1 / L
а напряжение перехода к безловушечной квадратичной зависи-
мости
(4.442)
3. ОДНОРОДНОЕ распределение ловушек
В гл. 2 мы рассматривали однородное распределение уровней
прилипания как предельный случай их экспоненциального распре-
деления при больших Tt. Там было отмечено, что экспоненциальное
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 95
распределение можно считать однородным, если выполняется
условие F — Fo<_ kTt, где F — усредненный по пространству
сдвиг квазиуровня Ферми. Здесь мы будем рассматривать строго-
постоянное распределение уровней:
Nt (Я) = = const. (4.143»
Отметим, что величина jF“n совпадает с величиной, которую мы вве-
ли при феноменологическом анализе задачи в гл. 2 [см. соотноше-
ния (2.30) и (2.31)]. Полная концентрация ловушек Nt [F (ж),
^0], расположенных между уровнями Fo и F (ж), дается выраже-
нием
Nt [F (ж), Fo] = IF (ж) - Fo] = nti (ж). (4.144>
Здесь мы предполагаем, как и в предыдущем пункте, что за|кон-
центрацию инжектированных захваченных электронов nti (ж)
с достаточной точностью можно принять концентрацию ловушек
Nt (ж), Fol. Ниже мы будем рассматривать задачу, применяя
то же приближение с разделением изолятора на три области, кото-
рое мы применяли, когда имели дело с экспоненциальным распре-
делением ловушек. Уравнение Пуассона для области II и теперь-
имеет вид (4.117). Исключив при помощи соотношения (4.3) вели-
чину F (ж) из формулы (4.144), получаем
(4.145>
В безразмерных переменных (4.15)] уравнения (4.117) и (4.145)
принимают вид
^ = /?1п-, \D = ^-^. (4.146}
dw и 1 па ' '
Решение этих уравнений, удовлетворяющее условию п = п' при
: w = ш', имеет вид
I А! гт=М£. (1п <4-147>
< U' to —
I и
В где Et — табулированная интегральная показательная функция
'I оо
яи/М&ж.
1 J
i V
! Соответствующее решение для потенциала определяется выраже-
нием
и' и’ 1а -
96 Часть I. Токи монополярной инжекции
Применяя функцию Ei, это выражение можно переписать в виде
’’-4[М2Ь4)-М21,4)]- <4л48>
Далее мы можем идти уже хорошо знакомым путем и считать,
что в изоляторе существует одновременно только две области.
На участке перехода от омическо-
го тока к «ловушечному» ТООЗ мы
будем пренебрегать областью I и
расширим область II до катода,
т. е. примем, что в зависимостях
(4.147) и (4.148) и', w' и и' обра-
щаются в нуль. Заметим, что
рассматриваемое уравнение (4.146)
является прямым аналогом урав-
нения (4.119), а не уравнения
(4.123); J другими словами, теперь
нет необходимости пренебрегать
равновесными свободными носите-
лями в области II, как мы это
делали в предыдущем случае.
Исходя из уравнений (4.147) и
(4.148) при и' = w = v' = 0 и
очевидных свойств омической обла-
сти III, можно рассчитать вольт-
амперную характеристику на уча-
стке перехода от омического тока
к ТООЗ (фиг. 21).
Фиг. 21. Вольтамперная характери-
10s 10s Ю7 108 Ю3 1QW стика ТООЗ в изоляторе с однородным
„ /f„2 распределением ловушек (J ~ l/ica,
')afWa V ~ vju®.
Ход вольтамперной характеристики при переходе к безлову-
шечному квадратичному закону можно определить, принимая
во внимание только области I и II, так как область III уже поки-
нула изолятор. Плоскость раздела Xi между областями I и II за-
дается уравнением
1 1
rii = п (xi) — пц или —=П1н—, (4.149)
при записи которого использованы уравнения (4.145) и (4.146).
Область I является хорошо известной нам областью со свойствами
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 97
идеального изолятора. Она характеризуется соотношениями w± =
= Uj/2 и Vi = v (iVi) = Uj/З. Область II описывается теперь соот-
ношениями (4.147) и (4.148), если принять, что и' = щ, w' = wi
и v' = vi. Наконец, на аноде
«а
+ Т ! А - т+ Т> [£> (ь £) (><) ] <4Л5°)
Ui 1В-
1 и
и
иа
" *’+i tr ”т+т> (2'»£)-£- (2 ь]
Ui и
(4.151)
Исходя из соотношений (4.149) — (4.151), можно рассчитать вольт-
амперную характеристику (зависимость l/iva от va/u%) для рас-
сматриваемого переходного режима. Эта характеристика также
нанесена на фиг. 21.
В заключение мы рассчитаем вольтамперную характеристику
«ловушечного» ТООЗ аналогично тому, как мы поступали в слу-
чае экспоненциального распределения локальных уровней, пред-
положив, что область II заполняет все межэлектродное простран-
ство. Тогда при и' = w = 0 мы можем вычислить интегралы
(4.147) и (4.148) для анода, если будем считать, что мы имеем дело
уже с четко выраженным ТООЗ, т. е. выполняется условие иа 1.
В таком случае Ei » е~х!х, так что
1 — D In иа иа В In иа
-- ~ ------- и —S- =-----5--.
Wa иа И?» 2
Из этих двух уравнений можно исключить параметр иа и получить
в явном виде уравнение вольтамперной характеристики, выражен-
ное через безразмерные переменные:
£=2(йН [!(#)]• <4Л52>
В обычных переменных это уравнение имеет вид
V 9pV
/==2еИо[Х_еХр (4.153)
Последнее уравнение имеет ту же форму, что и уравнение (2.31),
выведенное при феноменологическом анализе задачи, когда рас-
сматривался предельный случай экспоненциального распределе-
ния ловушек при больших I. Однако только что приведенное урав-
нение имеет в показателе степени множитель 2, отсутствующий
в уравнении (2.31). Таким образом, мы видим, что, хотя при фено-
менологическом анализе правильно определяется общий вид вольт-
7 — 0699
98 Часть I. Токи монополярной инжекции
амперной характеристики, значения токов предсказываются
весьма неточно. Причина такого расхождения была указана сразу
же после вывода уравнения (2.31).
§ 8. ЗАКОН ПОДОБИЯ
Упрощенная теория определяется в общем случае уравнениями
(4.1) — (4.3) и граничным условием (4.4). Из этих уравнений выте-
кает некоторое соотношение подобия, показывающее влияние рас-
стояния между катодом и анодом L на вольтамперную характери-
стику. Это соотношение получается непосредственно при переходе
к безразмерным переменным (4.15). Уравнения (4.1) — (4.3)
тогда дают
(1 + у . (4.154)
dw и \ ' п0 gjn0 J ' '
Отсюда для точки на аноде wa = w (L) получаем
«а
ЧФмЬ+П'-УР1- <4ЛМ>
0 i “+a7
Приложенное напряжение определяется интегралом
L
V= j %dx,
о
или в безразмерной записи с учетом уравнения (4.154)
ЧЦ, 0 и
n0
(4.156)
Соотношения (4.155) и (4.156) представляют собой решение
задачи в параметрическом виде, причем параметром служит вели-
чина иа — напряженность поля на аноде. При выводе закона подо-
бия важное значение имеет то обстоятельство, что единственными
константами, входящими в соотношения (4.155) и (4.156), являются
константы, 'относящиеся к равновесному материалу, а именно
n0, gj и Nj. Ни плотность тока J, ни приложенное напряже-
ние V не входят явно в эти соотношения, т. е. функциональная
зависимость между величинами 1/ша и vjwa не содержит в качестве
параметров величины J и V. Поэтому, преобразовав соотношения
(4.19) к виду
_1_ —г е ^2- — 6 К. (А 157\
wa е2п$ц, L ’ w% еп0 L2 ’ ' ’ '
Гл. 4. Аналитические и приближенные решения 99
мы замечаем, что при фиксированных значениях констант материа-
ла вольтамперная характеристика в безразмерной записи, т. е.
зависимость l/wa от va!wa, определяется по существу зависимостью
J/L от V/L2. Символически это можно записать в виде
<4Л58>
Зависимость (4.158) представляет собой универсальный закон
подобия, соответствующий упрощенной теории ТООЗ для случая,
когда подвижность носителей не зависит от поля. Как будет пока-
зано в гл. 14, § 7, зависимость (4.158) справедлива также в случае
общей упрощенной теории токов двойной инжекции (без учета
диффузии), когда подвижность обоих типов носителей не зависит
от поля. Универсальность закона подобия (4.158) при указанных
условиях как для монополярной, так и для двойной инжекции была
впервые отмечена Бартером 2). Из физических соображений сле-
дует (см., например, фиг. 55, а и б), что зависимость (4.158) не мо-
жет применяться в качестве соотношения подобия, если теория
учитывает диффузию и точно описываются реальные контакты.
1, ЗАКОН ПОДОБИЯ В СЛУЧАЕ ПОДВИЖНОСТИ,
ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ПОЛЯ
Полезно вывести соотношения подобия для случая, когда
подвижность зависит от поля. Предположим, что вместо уравнения
(4.1) справедливо следующее уравнение для тока:
J = = const, (4.159)
где (j,j и gi — постоянные параметры с размерностью подвижно-
сти и напряженности поля, а а — безразмерная постоянная.
При этом уравнение (4.2) по-прежнему сохраняет силу. Квазитеп-
ловое соотношение между свободными и захваченными электро-
нами (4.3) при разогреве свободных носителей, вероятно, несколь-
ко изменится. Однако при настоящем выводе мы предположим, что
это изменение мало, и будем им вообще пренебрегать. Таким обра-
зом, мы будем считать, что по-прежнему справедливо и соотно-
шение (4.3).
Как и в предыдущем случае, следует перейти к безразмерным
[ переменным, выбранным таким образом, чтобы ток J больше не вхо-
# дил явно в уравнения. Исходя из формы правой части уравнения
? Пуассона (4.2), удобно использовать определение и = п0/п, как
Г и выше. Тогда из уравнения (4.159) следует
<4-
ftQ /
) J) Warter Р., частное сообщение, 1967 г.
7*
100 Часть I. Токи монополярной инжекции
После подстановки соотношений х = X\w и (4.160) в уравнение
(4.2) мы видим, что выбрать постоянную Xi, исключающую ток J
из безразмерного уравнения Пуассона, можно следующим обра-
зом:
п = —, х = х№, где Xi — —— I----------)i/a,
и аеп° М’Ч'
(4.1М)
тт Т7 Т7 8 / \
V^ViV, где У< =--------I---1----]
При таком выборе постоянной Xt уравнение (4.2) принимает вид
— = —Л + №—\ (4 162)
dm ul/a I ’ ZJ no gjn0 •
\ 3 u+~n7)
Далее, если считать, что V (ж) = Viv, то выбор постоянной Vi,
исключающей ток J из соотношения для потенциала
L
7= j $dx,
о
также определяется согласно (4.161). Тогда выражение для напря-
жения принимает вид
V(L)—ViVa, va^ul^dw=^ul^~du. (4.163)
о о
Теперь основные соотношения имеют подходящую безразмер-
ную форму. По аналогии с соотношениями (4.157) в данном случае
можно написать
7 1 / В \а 1 J Va_ • ,/4 164)
\та) \аеп0 ) ещ^^по La ' т3 аеп0 ’ >
соответственно по аналогии с (4.158) получаем
£-/(£) <4-165)
т. е. искомое соотношение подобия. При а = 1 оно сводится к соот-
ношению (4.158), как это и должно быть. При а = Vg оно эквива-
лентно соотношению (2.37), а именно (V/l?)3/*. Наконец,
при а = 0 полученное соотношение эквивалентно соотношению
(2.39), а именно J ~ V/L2.
ГЛАВА 5
Применение теории для исследования изоляторов
и экспериментальные результаты
В настоящей главе мы рассмотрим существующую ситуацию
в области экспериментального исследования стационарного тока,
ограниченного объемным зарядом, в твердых телах. Что касается
переходных явлений, то их анализ мы отложим до следующей гла-
вы. Мы начнем с краткого изложения истории вопроса. Последую-
щая часть главы будет посвящена информации, которую можно
получить из измерений тока монополярной инжекции в твердых
телах. При этом мы покажем, насколько необходимо проведение
дополнительных экспериментов для однозначного установления
самого наличия ТООЗ. Далее мы дадим обзор экспериментальных
результатов для различных веществ. Этим обзором мы проиллю-
стрируем теоретические соображения предыдущих глав и покажем
важность экспериментальных проверок в данной области исследо-
ваний. Поскольку предлагаемый обзор преследует только эти
весьма ограниченные цели, он ни в коем случае не является всеобъ-
емлющим и не охватывает всю массу экспериментальных работ,
принявшую к настоящему времени весьма внушительные размеры.
Вопросы, связанные со схемами экспериментальных установок,
с приготовлением образцов и нанесением контактов, мы не рас-
сматриваем. Глава заканчивается описанием некоторых исследо-
ваний по техническому применению инжекции носителей в изо-
ляторы»
§ 1. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ
Как уже отмечено в гл. 1, общие представления об инжекцион-
ных токах в изоляторах были отчетливо сформулированы в клас-
сической книге Мотта и Герни [2] в 1940 г. Однако эта книга непо-
средственно не воодушевила физиков к экспериментированию
в данной области. Объяснение этого факта, без сомнения, заклю-
чается в первую очередь в том, что книга была издана во время
войны, и отчасти, может быть, в том, что основное внимание в ней
было сосредоточено на классе веществ, не слишком подходящих
для подобных исследований.
Широкий интерес к данному явлению был вызван развитием
техники. В 1951 г. при изучении фотопроводящих пленок, оказав-
I11 1 '/illlllh It I ЧИП МиИЧНиЛЯрний инжекции
iii и чг ii ни ди и центре внимания в качестве материалов для экранов
видиконов (фотопроводящих передающих телевизионных трубок),
были получены вольтамперные характеристики аморфного селена
1311 и трисульфида сурьмы [32] в «темноте», т. е. при отсутствии
освещения, определенно указывавшие на присутствие ТООЗ х).
Поскольку такие темновые токи вносят заметный вклад в фоновый
уровень шумов и в потери сигнала вследствие утечки, то с точки
зрения работы видикона было очень важно понять их природу
и определить теоретические пределы управления ими. Таковы
были непосредственные причины, стимулировавшие теоретические
и экспериментальные исследования ТООЗ в изоляторах в лабора-
ториях фирмы РКА. Эти ранние работы, выполненные в период
с 1947 по 1951 г., описаны в серии статей, опубликованных в сен-
тябрьском номере журнала «РКА Ревью» за 1951 г. Именно в этом
номере Роуз [3] изложил первые количественные представления
о влиянии уровней прилипания на ТООЗ.
В 1952 г. Смит и Роуз начали серию экспериментальных работ
на монокристаллах CdS. Результаты этих исследований приведе-
ны в классических статьях [33, 34], опубликованных в 1955 г.
Более ранние результаты проведенной работы были доложены
в 1953 г. на июньском собрании Американского физического обще-
ства. В зто же время Роуз [4] дал исчерпывающую теоретическую
картину влияния уровней прилипания на ТООЗ, обратив особое
внимание на роль уровней прилипания, непрерывно распределен-
ных по энергиям в пределах запрещенной зоны. Ламперт [28]
распространил анализ Роуза на случай, когда в диэлектрическом
диоде существует только одна группа моноэнергетических ловушек.
На этом построение теории стационарных ТООЗ было в общих
чертах закончено.
Приблизительно в зто же время Бёэр и Кюммель [35—39] про-
вели аналогичные опыты на монокристаллах CdS, получив при
этом аналогичные результаты. Однако зти авторы дали совершенно
иную интерпретацию полученных ими вольтамперных характери-
стик с резким ростом тока. Этот рост они отнесли за счет электри-
ческого пробоя. Теперь можно сказать вполне определенно, что
интерпретация на основе ТООЗ оказалась правильной. Это дока-
зали остроумные эксперименты Смита и Роуза [34], исключающие
г) Здесь авторы неточны В действительности было сообщено о наблю-
дении Т ООЗ при экспериментах на аморфном селене с применением кон-
такта, возбуждаемого сильно поглощаемым светом. Отметим, что в это же
время независимо С. М. Рывкин и Л. Г. Парицкии обнаружили и исследова-
ли ТООЗ с применением освещаемого контакта на монокристаллах сульфида
кадмия. Кроме вольтамперных характеристик, в этой работе было исследо-
вано распределение потенциала, подтвердившее существование монополяр-
ной инжекции [Парицкий Л Г , Дипломная работа, Ленинградский поли-
технический институт, 1952, Рывкин С. М., Парицкий Л. Г., ЖТФ, 24, 961
(1954)] — Прим. ред.
Гл 5. Применение теории для исследования изоляторов 103
пробой (см. следующий параграф). С тех пор многие исследователи
получили результаты, аналогичные полученным Смитом и Роузом,
и так же их интерпретировали.
Вследствие чрезвычайной чувствительности явлений, связан-
ных с ТООЗ, к структуре вещества очень трудно сделать оконча-
тельное заключение относительно интерпретации, которую Бёэр
и Кюммель дали своим экспериментальным результатам. (Только
обмен кристаллами между сторонами, принимающими участие
в дискуссии, мог разрешить такого рода разногласия.) Как бы то
ни было, авторы настоящей книги считают, что вопрос точного
экспериментального определения того, какое поле при комнатной
температуре должно быть в кристалле CdS, чтобы возникла удар-
ная ионизация заполненных электронных уровней, удаленных
от зоны проводимости на несколько десятых электронвольта или
более, остается до сих пор открытым. Так, Мэни [40], создавая
в кристаллах с помощью блокирующих контактов однородные
поля вплоть до 105 В/см, не наблюдал каких-либо отклонений от за-
кона Ома. Ударная ионизация через запрещенную зону CdS
является еще менее вероятным процессом. Усилия, прилагаемые
в течение ряда лет в лабораториях фирмы РКА для того, чтобы
обнаружить такой процесс, оказались безрезультатными. Уиль-
ямс [41, 42] создавал неоднородные поля напряженностью
до 2 -106 В/см через запирающий контакт без какого бы то ни было
признака даже предлавинного состояния ударной ионизации,
хотя пробой вследствие полевой эмиссии из электродов наблю-
дался при напряженностях поля (1—2)-106 В/см.
Экспериментальным исследованием, относящимся к тому же
времени, что и работа, выполненная Смитом и Роузом на CdS,
является измерение Дейси [43] дырочных ТООЗ в монокристалле
германия при Т = 77 К. Поскольку исследование Дейси затра-
гивало специальное, наблюдающееся в полупроводниках явление,
а именно прокол узкой области п- или i-типа, расположенной
между двумя областями p-типа (базы), оно не оказало большого
влияния на изучение ТООЗ в изоляторах.
5 2. ИНФОРМАЦИЯ, ПОЛУЧАЕМАЯ ИЗ ИЗМЕРЕНИЙ
СТАЦИОНАРНОГО ТООЗ
Теперь мы приступим к рассмотрению информации, которую
можно получить из измерений тока монополярной инжекции
в твердых телах. Мы увидим, что она касается главным образом
энергетического спектра уровней в запрещенной зоне изолятора,
хотя менее прямым образом мы получаем также информацию
о свойствах переноса и об электрических контактах.
Если на графике, изображающем зависимость тока от напряже-
ния в двойном логарифмическом масштабе, имеется почти верти-
104 Часть I. Токи монополярной инжекции
кальный участок, как на фиг. 15 и 19, то, следуя сказанному в гл. 2,
§ 5, и в гл. 4, § 5 и 6, он может быть отнесен за счет заполнения
моноэнергетических уровней прилипания. В таком случае можно
пользоваться выражением (4.87) для VKpi. Если его разрешить
относительно pt<0 и переписать в практических единицах, то оно
будет иметь вид
0<у
рло=1,1.106—g^cM"3, (5.1)
где х — относительная статическая диэлектрическая проницае-
мость. Здесь V измеряется в вольтах, a L — в сантиметрах. Отме-
тим, что напряжение УПзл определяет ту часть полной концен-
трации уровней прилипания, которая связана с уровнями, не за-
полненными в термодинамическом равновесии. Если почти верти-
кальному участку характеристики непосредственно предшествует
квадратичный участок, как на фиг. 19, то можно заключить, что
уровни прилипания расположены значительно выше равновесного
уровня Ферми Fo, т. е. выполняется условие (Et —F^/kT 1,
и поэтому в исходном состоянии все уровни прилипания пустые,
т. е. ptt0 = Nt. Именно с этим результатом теории, к которому
можно прийти, сочетая элементарную электростатику со статисти-
кой Ферми — Дирака, связаны крупные успехи применения токов
монополярной инжекции для получения полезной информации
о свойствах твердых тел. Экспериментально наблюдаемый эффект
не только очень велик и ясно выражен, но и весьма эффективен для
получения информации, поскольку при этом требуются минималь-
ные знания о константах материала. Действительно, необходимо
знать только относительную статическую диэлектрическую про-
ницаемость. (Отметим, что напряжение Уцзл не зависит от под-
вижности даже при сильных полях и разогревании носителей, пока
не проявляется ударная ионизация или явления, обусловливаю-
щие отрицательную дифференциальную подвижность. При этом
справедливо равенство Q ~ CqV и по существу остается в сило
статистика Ферми — Дирака, т. е. выполняются необходимые
условия для наблюдения области ПЗЛ.)
Однако из соотношения (5.1) непосредственно нельзя заклю-
чить, какие ограничения налагаются на максимальные значения
концентраций ловушек, которые еще могут быть определены по из-
меренному напряжению Едзл- Если концентрация Nt слишком
велика, то поле Епзл/^ может вызвать пробой образца или же
напряжение Уцзл — искрение у контакта. По-видимому, при
L 0,1 мкм верхний предел величины Nt доходит примерно
до 1018 см~3. Этот предел пропорционально уменьшается, когда L
возрастает. Так, при L = 10 мкм он будет приблизительно равен
1016 см~3. Верхний предел Nf может определяться также началом
двойной инжекции, обусловленной, например, туннелированием
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 105
неосновных носителей заряда у стокового электрода для основных
носителей. Фактически не существует нижнего предела выявляе-
мых концентраций Nt, и действительный предел задается степенью
общей чистоты кристалла, так как группа уровней прилипания,
содержащихся в относительно большом количестве даже на доволь-
но значительном расстоянии от уровня Ферми Fo, будет иметь
самое большое влияние на вольтамперную характеристику. Таким
образом, метод ТООЗ обладает необычным свойством, заключаю-
щимся в том, что чем чище вещество, тем проще этим методом
пользоваться.
Если почти вертикальному участку характеристики непосред-
ственно предшествует линейный участок, как на фиг. 15, то изве-
стно лишь то, что уровни прилипания расположены на уровне Fo
или ниже него, т. е. выполняется условие (Fo — Ef)lkT 1.
Таким образом, для Nt может быть установлен только нижний
предел, а именно Nt ptt0. Если уровень Et определен незави-
симым путем, например из измерений примесного поглощения
света или примесной фотопроводимости, то, зная Fo и Et, можно
рассчитать и значение Nt. Положение уровня Fo обычно опреде-
ляется просто путем измерения удельной электропроводности
при постоянном напряжении, что подразумевает знание дрейфо-
вой подвижности носителей и плотности состояний в разрешенной
зоне. Плотность состояний в свою очередь невозможно рассчитать
без знания параметров разрешенной зоны, таких, как эффективная
масса свободных носителей и число экстремумов в зоне. К счастью,
поскольку положение уровня Fo зависит от этих величин только
логарифмически, неточное их знание лишь слабо отражается
на определении положения уровня Fo. Так, возможное изменение
указанных величин в 100 раз обусловливает ошибку в определении
положения Fo, при комнатной температуре равную только
0,1 зВ.
Применение соотношения (5.1) предполагает наличие плоско-
параллельной геометрии электродов и одномерного потока носи-
телей. Выполнения этих условий легко достичь, если сделать рас-
стояние L между катодом и анодом значительно меньшим, чем
наименьший линейный размер поверхности электродов. Если
указанное геометрическое условие не выполняется и, скажем, рас-
стояние L больше, чем любой размер эффективного поперечного
сечения образца, то следует применять уравнение (2.24) в виде
<2пзл = СЕпзл, где С — соответствующая емкость. В таком
случае концентрация захваченных носителей при напряжении
Епзл получается с ошибкой, соответствующей ошибке, с которой
определяется емкость С. Дополнительные трудности связаны с тем,
что не известно, какая часть инжектированного заряда помещается
на поверхностных уровнях прилипания (в противоположность
объемным уровням). Плоская геометрия электродов, а также
106 Часть I. Токи монополярной инжекции
цилиндрическая и точечная геометрии подробно рассматриваются
в гл. 8.
Измерения ТООЗ нередко позволяют получить и другую инфор-
мацию, помимо концентрации Nt. Если почти вертикальному
участку вольтамперной характеристики, соответствующему зако-
ну ПЗЛ, непосредственно предшествует квадратичный участок, то
последний должен определяться «ловушечным» квадратичным
законом (2.20), соответствующим той же группе уровней прилипа-
ния Nt. Эта ветвь графика зависимости 1g I от 1g V расположена
ниже прямой безловушечного квадратичного закона (2.7) и (4.9)
на расстоянии от нее, равном величине 1/6, определяемой фор-
мулой (2.18). После того как концентрация Nt определена из соот-
ношения (5.1), величина Et рассчитывается по формуле
Ea-Et = kTln^-. (5.2)
Заметим, что для вычисления 6 необходимо знать х и р, а для
определения энергии Et необходимо знать Nc и g, хотя большие
отклонения g от значения g = 2 маловероятны.
Более надежным методом определения величины Et является
измерение коэффициента в «ловушечном» квадратичном законе 0
как функции температуры. При этом результирующий график
зависимости In 0 от МТ представляет собой прямую линию с тан-
генсом угла наклона (Et — Ec)/k, и отрезок, который она отсекает
на оси ординат МТ = 0, равен In (Nc/gNt)- Указанный метод
определения величины Et требует знания температурной зависимо-
сти р, однако погрешность в определении р отражается на вели-
чине Et только логарифмически. Если в ходе опытов наблюдается
также почти вертикальный участок характеристики ПЗЛ, то тем-
пературные измерения могут послужить в качестве независимой
проверки значения Nt, определенного по формуле (5.1), и значе-
ния Et, определенного по формуле (5.2). Если же почти вертикаль-
ный участок ПЗЛ не может быть измерен из-за трудностей, свя-
занных с приложением слишком больших напряжений или воз-
никновением слишком сильных полей, то для нахождения и Et
достаточно провести одни лишь температурные измерения. Кривые
зависимости In 6 от МТ для электронов в CdS получены Бьюбом
[44] и Харником [45], для дырок в ZnTe Хинотани и Суджигами
[46], для дырок в аморфном Se Хартке [46] и для дырок в иоде
Мэни и др. [48].
Другим важным обстоятельством является то, что если участку
вольтамперной характеристики, описываемому «ловушечным»
квадратичным законом, непосредственно предшествует омический
участок, то 0 определяется дополнительно из напряжения Vx
пересечения при экстраполяции двух указанных участков, кото-
рые представляются прямыми в двойном логарифмическом мае-
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 107
штабе. Из формулы (2.21), переписанной в практических единицах,
получаем
9=1,8.10-^. (5.3)
Следует отметить, однако, что тщательные измерения на CdS
и ZnS показали [49], что при отсутствии охранного кольца омиче-
ская ветвь вольтамперной зависимости ТООЗ может быть обу-
словлена поверхностными токами.
Имеется еще один полезный метод применения ТООЗ для опре-
деления концентрации ловушек и глубины их залегания. Марлор
и Вудс [50] применили этот метод для монокристаллов CdS. Метод
заключается в измерении термостимулированного тока вслед за
прохождением ТООЗ через образец. Указанный метод обладает
практически всеми характерными чертами метода термостимули-
рованных токов, наблюдаемых вслед за оптическим возбуждением
[51].
Отметим, наконец, еще одно интересное, очевидное и весьма
полезное обстоятельство. Когда ток достигает значений, соответ-
ствующих безловуптечному квадратичному закону, мы можем
рассчитать достоверный верхний предел концентрации уровней
прилипания в той области запрещенной зоны, которая пройдена
квазиуровнем Ферми.
Если на вольтамперной характеристике имеется несколько
участков, на которых выполняется «ловушечный» квадратичный
закон, и несколько почти вертикальных участков ПЗЛ, как
на фит. 7, б, то из экспериментальных данных можно извлечь соот-
ветственно большую информацию. Однако, насколько известно
авторам настоящей книги, характеристика со столь богатой
структурой, какой обладают обе кривые на фиг. 7, б, до сих пор не
была обнаружена. Если подобная характеристика будет когда-
нибудь наблюдаться, то это станет примером особенно эффективного
использования метода ТООЗ.
Все, о чем говорилось выше, относится к вольтамперной харак-
теристике, на которую в основном влияют одна или две группы
центров прилипания, которым соответствуют моноэнергетические
уровни в запрещенной зоне. В материалах с высокой степенью
структурной неупорядоченности, даже если они весьма чисты
химически, таких, как напыленные пленки или аморфные твердые
тела, можно ожидать наличия уровней прилипания, непрерывно
распределенных по энергиям. (Континуум локальных состояний,
по-видимому, должен присутствовать и в «хороших» чистых моно-
кристаллах вследствие различной степени ассоциации примесей
или точечных структурных дефектов друг с другом или структур-
ными дефектами других типов, такими, как дислокации. Однако
при наличии доминирующих групп дискретных уровней такой
108 Часть I. Токи монополярной инжекции
континуум будет составлять слабый размытый фон и давать соот-
ветственно пренебрежимый вклад в характеристики ТООЗ. Тем
не менее этот слабый фон может выявляться чувствительными
фотоэлектрическими методами, рассмотренными Роузом [52] и при-
мененными для исследования CdS Никишем [53] и Бьюбом [54].)
В тех случаях, когда распределение может быть описано
экспонентой с характеристической температурой Tt, как в (4.115),
оно будет приводить к вольтамперной характеристике ТООЗ с то-
ком «Л изменяющимся как Vl+1, где I = TJT, т. е. к зависимости
(4.Т39). Поэтому, когда наблюдается степенная зависимость J от V
с показателем степени выше 2, как на фиг. 28, из графика зависи-
мости 1g J от 1g V можно непосредственно определить характери-
стическую температуру Tt экспоненциального распределения
уровней прилипания. Далее, посредством подгонки всех частей
формулы (4.139) к экспериментальной кривой, с точностью, с кото-
рой известны величины ц и Nc, находится и параметр Nt экспонен-
циального распределения уровней прилипания (4.115). Следует
иметь в виду, что определенное таким образом экспоненциаль-
ное распределение «достоверно» только для интервала энергий
в запрещенной зоне от Fo до Fh, где Fh — положение квазиуровня
Ферми при наибольшем напряжении, использованном в экспери-
менте.
Если переход от закона Ома к степенному закону оказывается
относительно широким (фиг. 25), то требуется несколько более
сложная методика подбора эмпирической кривой, например та,
которая применялась Ланьоном [55]. Полезно отметить, что изме-
нение напряжения, необходимое для удвоения тока, обычно служит
хорошей мерой концентрации уровней прилипания в интервале
шириной кТ в окрестности квазиуровня Ферми. В органических
молекулярных кристаллах к тому же оказалось возможным наблю-
дать моноэнергетические уровни прилипания на общем фоне
экспоненциального распределения уровней прилипания. Хельфрих
и Марк [56] и Адольф и др. [57] нашли, что в антрацене такой моно-
энергетический дырочный уровень расположен более чем на
0,9 эВ выше валентной зоны и соответствует концентрации
1011 см-3 и сечению захвата дырки порядка 10~19 см2.
Еще одним применением метода ТООЗ явилось недавнее опре-
деление эффективной плотности состояний в валентной зоне антра-
цена [56]. Это определение исходило из установленного ранее
[30] факта, что уровни прилипания в антрацене распределены
экспоненциально по энергиям.
Если имеется возможность провести измерения при напряже-
ниях выше напряжения Ипзл в области, в которой выполняется
безловупгечный квадратичный закон, то можно получить инфор-
мацию и о подвижности носителей. В измерениях Грегори и Иор-
дана [58], Эйкена и Иордана [59], а также Денды и Николе [60],
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 109
проведенных на кремнии, был определен температурный ход под-
вижности электронов и дырок в слабых полях и зависимость под-
вижности от напряженности электрического поля в условиях,
когда инжектированные носители становятся «теплыми».
Несколько менее прямым образом метод ТООЗ дает также
некоторую информацию об электрических контактах. Во-первых,
уже само наличие ТООЗ свидетельствует о существовании резер-
вуара носителей того типа, которые инжектируются в изолятор.
Уровень тока, выше которого этот резервуар истощается, позво-
ляет оценить контактный потенциал [2]. Так, например, заметив,
что контакты из индия в случае диода на основе GdS позволяют
наблюдать импульсные токи монополярной инжекции до 20 А/см2,
Смит и Роуз [34] заключили, что уровень Ферми в индии должен
находиться ниже дна зоны проводимости CdS на расстоянии мень-
ше 0,3 эВ (в контактной плоскости раздела). Превосходный обзор
вопросов, касающихся роли металлических контактов в явлениях
инжекции объемного заряда, дал Штёкман [61].
Перенос заряда между электролитами и твердыми телами
также можно изучать методом ТООЗ, в частности, в тех случаях,
когда твердые тела являются органическими материалами. Калль-
ман и Поуп [62, 63] показали, что окисляющие электролиты могут
инжектировать дырки в антрацен. Несколько позже Марк и Хель-
фрих [30] пришли к заключению, что такие контакты являются
омическими при токах, не достигающих тока насыщения, величина
которого характерна для исследуемой системы электролит —
твердое тело. Электролитические контакты для антрацена, инжек-
тирующие электроны, изучали Хельфрих и Шнейдер [64, 65],
а также Бюхнер и Мель [66]. Превосходный обзор по электроли-
тическим контактам дали Мель и Хейл [67].
До сих пор наше рассмотрение носило полностью «позитивный»
характер. Однако в отдельных случаях может возникнуть следую-
щий законный вопрос: правильно ли в действительности интерпре-
тируются имеющиеся экспериментальные данные, которые, каза-
лось бы, получили интерпретацию на основе модели тока монопо-
лярной инжекции, и не может ли быть предложена в равной мере
приемлемая интерпретация тех же данных при помощи другой
физической модели? Например, почти вертикальный участок
на вольтамперной характеристике сильно напоминает изменение
тока при электрическом пробое вещества, происходящем вследствие
полевого опустошения заполненных уровней прилипания, или
вследствие их ударной ионизации, или же, наконец, в результате
ударной ионизации через запрещенную зону.
Имеется несколько способов отличить явления ПЗЛ от элект
рического пробоя. Смит и Роуз [34] в своей классической работе,
выполненной на CdS, показали (см. фиг. 4 их статьи), что макси-
мальный ток, измеренный в импульсном режиме, подчиняете»
110 Часть I. Токи монополярной инжекции
безловушечному квадратичному закону вплоть до напряжений,
при которых происходит «вертикальное» нарастание стационарного
тока, что указывает на отсутствие ионизации центров прилипа-
ния. Токи, близкие к максимальному, наблюдались в течение про-
межутка времени, по меньшей мере на порядок большего, чем
требуется для возникновения пробоя. (Следует сказать, что такие
измерения тока в нестационарном режиме отличаются от опытов
по определению времени прохождения импульса носителей через
кристалл, о которых пойдет речь в следующей главе, поскольку
они проводились в более грубой шкале времени и соответственно
при меньшем временном разрешении.) Кроме того, в условиях
постоянной подсветки омический стационарный ток наблюдался
и при напряжениях, при которых темновой ток уже резко возра-
стал. А эти данные, конечно, не согласуются с ионизацией. Дру-
гой способ различить эти две интерпретации можно получить из за-
висимости критического напряжения резкого роста тока от тол-
щины образца. В случае ПЗЛ это напряжение изменяется как L2
[см. соотношение (5.1)], но оно пропорционально L, когда с ним
связано начало ионизации. Именно так рассуждали Грегори и Иор-
дан [58] при объяснении хода зарегистрированных ими вольтам-
перных характеристик кремния эффектом предельного заполне-
ния ловушек в условиях монополярной инжекции.
Более сложной оказывается задача, когда требуется отличить
явления монополярной инжекции от явлений двойной инжекции,
которые подробно рассматриваются в части II. Так, изучая элек-
тронные инжекционные токи, мы можем иметь дело с анодным
материалом, создающим омический контакт для электронов при
слабых полях, который, однако, «пробивается» вследствие тунне-
лирования в сильных полях, что приводит к обильной инжекции
дырок. К сожалению, в настоящее время вряд ли можно считать,
что круг явлений, связанных с двойной инжекцией, исследован
до конца, так что сформулировать окончательные критерии для
различения двух указанных явлений не представляется возмож-
ным. Несмотря на это, было установлено как экспериментально,
так и теоретически, что можно найти некоторые немаловажные
характерные черты, общие для обоих явлений. Например, на чисто,
теоретической вольтамперной характеристике тока двойной инжек-
ции, приведенной на фиг. 5, имеется вертикальный участок при
напряжении Гпор, которому непосредственно предшествует квад-
ратичный участок. Однако интерпретация такого хода вольтампер-
ной характеристики на основе явлений двойной инжекции, которая
дана в гл. 14, § 1, не может быть связана с явлением ПЗЛ монопо-
лярной инжекции. Аналогично экспериментальная вольтамперная
характеристика для CdS, приведенная на фиг. 92, содержит очень
крутой участок в той области, где наблюдается электролюминесцен-
ция и, следовательно, имеет место двойная инжекция. Этот уча-
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов lit
сток весьма похож на очень крутой участок вольтамперной харак-
теристики тока монополярной инжекции в ZnS, приведенной
на фиг. 22.
Заметим здесь, однако, что кривые фиг. 5 и 92 имеют одну общую
характерную черту, являющуюся, по-видимому, обычным, хотя
и не универсальным признаком двойной инжекции в изоляторах
при наличии захвата, как это показано в гл. 14. Эта общая черта
заключается в том, что на вольтам-
перной характеристике наблюдается
область с отрицательным сопротивле-
нием, контролируемым током. Если
имеются хорошие инжектирующие
контакты, то возникновение контро-
лируемого током отрицательного со-
противления при регистрации токов
монополярной инжекции будет ис-
ключительно маловероятным про-
цессом. В самом деле, единственный
известный авторам нетепловой ме-
ханизм, который позволяет реализо-
Ф и г. 22. Вольтамперная характеристика
кристалла ZnS [68].
Кривая проведена через экспериментальные точки,
одни из которых получены при повышении напря-
жения, а другие — при понижении напряжения.
L = 5 • 10-“ см.
вать этот механизм, заключается в рассеянии или возбуждении
носителей из зоны с малой подвижностью, или «кармана»,
в ^-пространстве в зону, или «карман», с большей подвижностью,
о чем говорилось, например, в работах Мак-Уортера и Редикера
[69, 70} и Бока и др. [71]. Конечно, одним из надежных признаков
наличия двойной инжекции является наблюдение стационарной
электролюминесценции, возникшей во всем образце при относи-
тельно слабых полях. Такая люминесценция наблюдалась при
снятии характеристики, приведенной на фиг. 92 (см. также фото
3 в работе Смита [72], соответствующее случаю, когда напряжен-
ность поля приблизительно равна 1000 В/см). Следует отметить,
что электролюминесцентное излучение наблюдали Хинотани
и Суджигами [46], которые исследовали дырочные ТООЗ в ZnTe
в условиях отсутствия отрицательного сопротивления (фиг. 23).
Из всего сказанного можно заключить, что экспериментальные
вольтамперные характеристики действительно можно интерпре-
тировать на основе модели ТООЗ с использованием избыточности
и непротиворечивости получаемых данных и при независимой
112 Часть I. Токи монополярной инжекции
проверке при помощи других экспериментальных методов. Как
отмечалось выше в настоящем параграфе, при наличии достаточно
большого числа характерных участков на вольтамперной харак-
теристике имеются избыточные данные для определения значения
V,B
0. Мы видели также, что
измерение 0 в некотором
диапазоне температур при-
водит к дополнительному
определению величин Nt
и Et. Пользу, получаемую
из такой дополнительной
серии измерений, яркопро-
демонстрировал Бьюб [44],
который показал для моно-
кристалла CdS, что из гра-
фика зависимости In 0 от
l/T получаются значения
Nt и Et, сильно отличаю-
щиеся от тех значений,
которые рассчитывались
из графика зависимости I
от V при постоянной темпе-
Ф и г. 23. Вольтамперная ха-
рактеристика p-ZnTe при 77 К
[46].
Участки- 1 — квадратичный, 2 —
переходный, 3 — квадратичный, 4—
8 — пробойный. При V 100 В
измерения проводились на постоян-
ном токе; при V> 100 В применял-
ся импульсный режим измерения:
4 — частота повторения импульсов
f = 1 кГц, длительность импульсов
т = 460 мкс; S — f — 1 кГц, т =
= 230 мкс, S — f = 1 кГц, т = 160
мкс, 7 — f = 1 кГц, 1 = 100 мкс;
8 — f = 200 Гц, т = 3 мкс.
ратуре. Значения, определенные первым способом, были подтверж-
дены независимыми измерениями термостимулированного тока
и времени фотоответа. Наблюдаемый резкий рост тока с напря-
жением, по-видимому, был обусловлен не предельным заполнением
ловушек, а другими причинами. ч
Отличную возможность проверки интерпретации эксперимен-
тальных результатов на основе ТООЗ дает зависимость хода вольт-
амперной характеристики от толщины образца, если такую зави-
симость можно определить. Зависимости I ~ V2 должна соответ-
ствовать зависимость I ~ L"3. Что это действительно так, было
Гл, 5, Применение теории для исследования изоляторов 113
показано в случае дырочных ТООЗ, проходящих через напыленные
слои CdS [73], и в случае электронных ТООЗ, проходящих через
КС1 [74]. Зависимости I ~ Vl+1, где I >• 1, должна соответство-
вать зависимость I ~ £-(2!+1). Степенной закон в данном случае
связан с экспоненциальным распределением уровней прилипания
[см. выражения (4.115) и (4.139)]. Указанная зависимость была
проверена Ланьоном [55] на стеклообразном селене при I = 2,8,
Сасманом [75] на тонких напыленных слоях фталоцианина меди
при нескольких значениях I, а именно I = 1,5, 2, 2,5, 3 и 4,
и Хельфрихом [76] на антрацене в случае электронного ТООЗ.
Другой способ проверки интерпретации в случае степенной
вольтамперной зависимости состоит в измерении величины I =
= Tt/T при различных температурах. Подобный опыт провел
Сасман [75] на одном из исследованных им напыленных слоев,
причем оказалось, что I = 1,5 при Т = 300 К. Для того же слоя
при Т — 200 К было получено значение I = 2,25, как и ожида-
лось. Как было замечено выше, когда на вольтамперной характе-
ристике наблюдается почти вертикальный участок ПЗЛ, напряже-
ние Упзл должно быть пропорциональным величине L2.
Об измерении переходных токов, в частности безловушечной
квадратичной зависимости для нестационарных токов, в целях
проверки интерпретации экспериментальных данных на основе
ТООЗ уже упоминалось. Этим способом пользовались Смит и Роуз
[34], Мюллер [77] и Зулиг и Маллер [73], экспериментируя на
CdS; Хельфрих и Марк [78] применяли его для антрацена, Марк
и Хельфрих [30] — для к-терфенила, Грегори и Иордан [58]
и Эйкен и Иордан [59] — для кремния. В указанных целях могут
быть полезными и другие стороны переходного процесса. Сюда
относятся, например, измерение переходных ТООЗ при умень-
шении и увеличении напряжения [34], измерение скорости релак-
сации тока [79] и измерение тока при резкой перемене полярности
приложенного напряжения [80, 81]. Рассмотрение измерения
переходных ТООЗ как самостоятельного метода мы отложим
до следующей главы.
Кроме обычного измерения омической проводимости и эффек-
та Холла, существует еще один электрический метод, удобный
для независимой проверки интерпретации результатов измерений.
Это упоминавшийся выше метод термостимулированных- токов,
. или метод токовых кривых «высвечивания», рассмотренный Бью-
! бом [51]. Этот метод применяли Дреснер и Шаллкросс [82], Бьюб
£ [44], Фрэнкс и Китинг [83] и Марлор и Вудс [50] для исследования
ТООЗ в CdS.
Хотя мы не намерены давать обзора работ по шумам, сопровож-
дающим токи монополярной инжекции, следует упомянуть важ-
1 ную работу Шулмана [84], в которой на основе того эксперимон-
тального факта, что шум фототока при выполнении закона Ома
8-0699
114 Часть I. Токи монополярной инжекции
равен чисто флуктуационному шуму налетающего потока фотонов,
подтверждается омический (резервуарный) характер контактов
из галлия или индия к CdS. Теорию шумов при прохождении ТООЗ
рассмотрели Фассетт и ван Влит [85]. Последующие теоретические
работы по этому вопросу опубликовали Сергьеску [86] и ван дер
Зил [87]. О соответствующих экспериментах сообщали Андерсон
и Мельцер [88] и Зейлстра и ван дер Зил [98].
Очевидна возможность применения оптических измерений при
исследовании ТООЗ. Оказывается, что такие измерения весьма
полезны. Так, например, чтобы подтвердить полученное из кривых
ТООЗ распределение уровней прилипания для стеклообразного
селена, применялись данные о примесном поглощении света [55].
Аналогичные измерения были проведены на антрацене [30, 90].
Хельфрих [76] развил теорию, исходящую из экспоненциального
распределения дырочных уровней прилипания, найденного для
антрацена, которая объясняет наблюдаемую для этого материала
зависимость
1 ~ ’
где / — уровень освещенности. Кроме того, весьма полезным может
оказаться измерение фотопроводимости. Когда имеет место экспо-
ненциальное распределение уровней прилипания и вольтамперная
характеристика ТООЗ подчиняется закону I ~ Уг+1, фототок
IL при собственном возбуждении и условии, что ловушки не эф-
фективны в качестве центров рекомбинации, должен зависеть
от интенсивности света как IL ~ /!/<г+1>, что было показано Роузом
[3, 4]. Этот вывод проверялся в упомянутых выше работах [34, 55,
75]. Далее, при любом заданном уровне освещения отношение
времени фотоответа т0 к времени жизни т равно отношению кон-
центрации захваченных носителей nt к концентрации свободных
носителей п. Такое соотношение является общим для «основных»
носителей [3, 4]. Измеренное этим способом значение щ является
нижним пределом величины пг, определенной методом ТООЗ при
одном и том же положении квазиуровня Ферми. Подобного рода
опыты были проведены Смитом и Роузом [34], Бьюбом [44]
и Марком и Хельфрихом [30].
На протяжении всего предыдущего анализа наше внимание
было сосредоточено на применении дополнительных методов для
проверки интерпретации стационарных вольтамперных характе-
ристик на основе ТООЗ и установления отсутствия при этом логи-
ческих противоречий. Очевидно, что пригодность многих из этих
дополнительных методов выходит за рамки таких ограниченных
целей. Действительно, описанные методы позволяют получить
дополнительную информацию о дефектных состояниях в изоля-
торах. Поскольку стационарные вольтамперные характеристики
ТООЗ отражают состояние квазитеплового равновесия между сво-
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 115
бодными и захваченными носителями, они сами по себе не могут
дать сведений о динамическом взаимодействии между свободными
носителями и дефектами решетки. Однако измерение характери-
стических времен переходных токов позволяет получить такую
информацию, например сечение захвата свободного носителя
центром прилипания и частотный фактор освобождения захвачен-
ного носителя. Подобные измерения были проведены Смитом
и Роузом [34] для электронов в CdS, Грегори и Иорданом [58]
для дырок в кремнии при Т = 4 К, Марком и Хельфрихом [30]
для дырок в и-терфениле, рядом авторов для дырок [30, 57, 65,
78, 91, 92] и электронов [65, 66, 93] в антрацене и, наконец, Мэни
и др. [48] и Симхони и Гореликом [94] для дырок в иоде. Измере-
ния примесного поглощения света в сочетании с измерениями ста-
ционарных характеристик токов монополярной инжекции позво-
ляет в принципе определить абсолютное сечение захвата фотона.
Однако авторам настоящей книги не известны такого рода работы.
Сочетая измерения вольтамперных характеристик ТООЗ с дру-
гими стационарными электрическими измерениями (измерением
удельного сопротивления и эффекта Холла в функции температу-
ры), Аллен и Черри [95] установили, что в GaAs существует почти
полная компенсация примесей с точностью до 5 -10~в. Кроме того,
сочетание методов ТООЗ и оптического возбуждения позволило
Марку [96] исследовать амбиполярную диффузию свободных носи-
телей в кристаллах высокоомного CdS.
§ 3. МАТЕРИАЛЫ, ИССЛЕДОВАННЫЕ МЕТОДОМ ТОКОВ
МОНОПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ
Стационарные токи монополярной инжекции наблюдались
во всех типах неметаллических твердых тел: в кристаллах с кова-
лентной связью (Ge, Si), в ионных кристаллах (КС1), в кристаллах
со смешанной ковалентной и ионной связью («классические» изо-
ляторы типа AnSVi), в органических и неорганических молеку-
лярных кристаллах со связью, осуществляемой силами ван дер
Ваальса (антрацен и иод), и в аморфных твердых телах или стекло-
образных веществах (Se). Наблюдались как электронные, так
и дырочные инжекционные токи в некоторых случаях в одном
и том же материале. При этом решающим фактором, определяю-
щим тип инжектируемых носителей, являлось наличие соответ-
ствующих контактов.
1. СУЛЬФИД КАДМИЯ
Сульфид кадмия оказался материалом, очень подходящим для
измерения ТООЗ. Так считалось с самого начала эксперименталь-
ного исследования ТООЗ до настоящего времени. Первоначально
выбор пал на CdS как на материал со значительной фотопроводи-
8*
116 Часть I. Токи монополярной инжекции
мостыо. Сохранение интереса к этому материалу в значительной
степени обусловлено теми потенциальными возможностями, кото-
рыми он обладает с точки зрения диэлектрической электроники
(см. § 4).
В общем было найдено, что индий, галлий и алюминий дают
хорошие контакты, способные инжектировать электроны в CdS;
при этом оказалось, что изготовление таких контактов к образцам
не представляет особых трудностей.
Важными работами, связанными с
CdS, являются работы Смита и Роуза
[33, 34]. Первая из них посвящена
главным образом исследованию
свойств контактов, а вторая — изме-
рению стационарных и переходных
процессов, а также явлений при ос-
вещении образцов. Этими работами
было положено начало интерпретации
экспериментальных данных на основе
ТООЗ.
Фиг. 24. Вольтамперная характеристика
кристалла CdS [95].
L = 1,7 «Ю-8 см. Кривая 1 снята в темноте, кри-
вые 2 и з — при освещении светом с 5200 А
при различных падающих потоках* 2 —1,6* 10*
фотон/с, з—3,4-107 фотон/с. Штриховая линия —
теоретическая, соответствующая безловушечному
квадратичному закону
В одном из проведенных опытов указанные авторы непосред-
ственно измеряли инжектированный заряд путем сбрасывания
образца в чашу электрометра после того, как к нему было прило-
жено напряжение. Хотя в этой ранней работе и наблюдался почти
вертикальный участок ПЗЛ вольтамперной кривой, «ловушечный»
квадратичный участок на кривой отсутствовал. Таким образом,
из результатов измерений (см. [34], фиг. 4) можно было заключить,
что концентрация уровней прилипания составляет по меньшей
мере 3 -IOВ * * * * * 14 см-3, а глубина их залегания, отсчитанная от дна зоны
проводимости, равна 0,8 эВ или более. Оценив полную концен-
трацию эффективных уровней прилипания в 1015 * * * см-3, авторы
указанной работы могли из своих измерений в переходном режиме
сделать вывод, что сечение захвата электрона на эти центры равно
приблизительно 10~19 см2.
В более поздних работах [97, 98], в которых исследовался CdS,
фотоочувствленный посредством введения Си и С1, наблюдался поч-
ти вертикальный участок ПЗЛ с предшествующим «ловушечным»>
квадратичным участком (фиг. 24, кривая 1). Из этих данных можно
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 117
было заключить, что концентрация уровней прилипания Nt при-
близительно равна ЗЛО14 см-3, а глубина их залегания, отсчитан-
ная от дна зоны проводимости, составляет 0,8 эВ. Кривые 2 и 3
на фиг. 24 показывают влияние света (с энергией кванта /iv, боль-
шей ширины запрещенной зоны) на вольтамперную характеристи-
ку. Штриховая линия, изображающая безловушечный квадратич-
ный закон, является здесь чисто теоретической. Измерение произ-
ведения коэффициента усиления на ширину полосы пропускания
для этого фотопроводящего образца показало, что локальные
центры, действующие как электронные центры прилипания в тем-
ноте, превращаются на свету в центры рекомбинации.
Об измерении одной интересной вольтамперной кривой тока
монополярной инжекции сообщил Смит [97]. В его работе иссле-
довался тонкий кристалл (L = 10 мкм) с одним омическим контак-
том из индия и другим запирающим контактом из теллура. На пря-
мой ветви вольтамперной характеристики сначала наблюдался
участок с / ~ У2-8, затем почти вертикальный рост тока и, нако-
нец, участок с J ~ У2, проходящий значительно ниже теоретиче-
ского безловушечного квадратичного закона.
Весьма интересными являются многократные наблюдения Рай-
том [99] и его сотрудниками и Пейджом и др. [100] безловушечного
квадратичного закона в тонких кристаллах CdS толщиной от 5 до
50 мкм. Из этих измерений следует, что концентрация эффектив-
ных центров прилипания в исследованных образцах не может быть
значительно больше Ю12 см-3. Однако такая крайне низкая кон-
центрация отнюдь не говорит об общей чистоте кристалла; скорее
следует полагать, что указанное значение получается вследствие
исключительно точной компенсации глубоких ловушек мелкими
донорами. Аналогичные результаты для GaAs получили Аллен
и Черри [95]. И в этом случае была отмечена исключительно низ-
кая концентрация эффективных электронных ловушек вследствие
очень точной компенсации глубоких ловушек мелкими донорами.
Важная работа Бьюба [44], упомянутая уже в § 2, обращает
внимание на желательность установления непротиворечивости
данных, полученных из снятых вольтамперных характеристик,
или проведения их независимой проверки. Так, например,
из вольтамперной характеристики образца толщиной 75 мкм
(см. [44], фиг. 1) автор рассчитал, применяя формулы (5.1) и (5.2),
что Nt « Ю13 см-3 и Ес — Et « 0,5 эВ. С другой стороны, из гра-
фика зависимости In 0 от 1/Т (см. [44], фиг. 2) получается, что
Nt « 5-1О10 см-3 и Ес — Et = 0,28 эВ. Последние значения
подтверждаются измерениями термостимулированного тока и вре-
мени фотоответа. Бьюб предположил, что возможными причинами
такого расхождения являются полевая или ударная ионизация
ловушек или двойная инжекция. Мы считаем ионизацию ловушек
весьма маловероятным процессом ввиду малого значения максп
118 Часть I. Токи монополярной инжекции
мального поля, которое составляло 2 -104 В/см. Точку зрения Бью-
ба подтверждают несколько неожиданные результаты опытов
Дреспера и Шалкросса [82], полученные на напыленных слоях CdS
с одним электродом из теллура и другим из золота. Так, например
(см. |82], фиг. 4), когда к контакту из теллура был присоединен
положительный полюс источника напряжения, за почти верти-
кальным участком ПЗЛ следовал безловушечный квадратичный
участок, соответствующий подвижности = 2 см2/(В-с) (полу-
ченной из измерения эффекта Холла). Отсюда можно было полу-
чить для концентрации ловушек значение 1013 см-3. С другой сто-
роны, методом термостимулированного тока было получено совсем
иное значение концентрации ловушек, приблизительно равное
1()21 см-3 (были отмечены уровни на 0,17, 0,29 и 0,31 эВ ниже зоны
проводимости), что весьма правдоподобно для напыленных пле-
нок. В этой работе максимальная напряженность поля составляла
примерно Ю4 В/см.
Были проведены также другие исследования ТООЗ в CdS
[45. 50, 77, 79, 101—104]. Мы уже упоминали о работах Беэра
и Кюммеля [35—39], в которых давалась иная интерпретация
экспериментальных результатов, полученных на CdS.
Во время написания данной книги не имелось сообщений об из-
мерении дырочных ТООЗ в CdS. Основная трудность таких изме-
рений, конечно, заключается в приготовлении хороших контак-
тов, способных инжектировать дырки. Это сложная техническая
задача, решение которой может иметь огромное значение для тех-
ники. (Отметим, что, согласно предположению Роуза 4), токи,
которые наблюдались Брозером и Брозер-Варминской [105] в об-
разце CdS при облучении его сильно поглощаемым светом со сторо-
ны анода, были дырочными ТООЗ, а не токами двойной инжекции,
как считали сами авторы.)
У. СУЛЬФИД ЦИНКА
Первыми обнаружили ТООЗ в ZnS Олфри и Кук [106]. Руппель
[68] получил на образце толщиной 50 мкм очень интересную вольт-
амперную характеристику (фиг. 22). По омическому участку харак-
теристики, положив цп«102 см2/(В -с), можно определить значение
разности энергий Ёа — Fo 0,85 эВ, а по почти вертикаль-
ному участку ПЗЛ, согласно формуле (5.1), можно найти концен-
трацию pti0 « 1013 см-3. Поскольку до роста тока, соответствую-
щего ПЗЛ, «ловушечного» квадратичного участка не наблюдается,
мы можем только заключить, что Fo — Et > 0 и Nt > p(j0.
Оценка показывает, что квадратичный участок, следующий
за участком ПЗЛ, занижен в fl л; 10-8 раз, что указывает на нали-
чие в кристалле большой концентрации мелких ловушек.
!) Частное сообщение.
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 119
3. ТЕЛЛУРИД ЦИНКА
В естественном состоянии ZnTe является полупроводником
/>-типа с шириной запрещенной зоны 2,3 эВ. Для изучения дыроч-
ных ТООЗ в этом материале Хинотани и Суджигами [46] создавали
полуизолирующие поверхностные слои с толщиной около 1 мкм,
применяя диффузию индия, который заполнял вакансии цинка
в материале p-типа. Дырочные ТООЗ в таких полуизолирующих
слоях наблюдались при присоединении к объемной части образца
положительного полюса источника напряжения. Вторым электро-
дом служил индий. Из вольтамперной характеристики (фиг. 23),
снятой при 77 К, по напряжению Упзл можно было установить,
что Nt = Ю16 см-3. Кроме того, исходя из известного значения
подвижности дырок при 77 К [р,р = 800 см1 2 * * * * */(В -с)], было рассчита-
но, что 0 = 10~9 и Et = 0,17 эВ. С другой стороны, измерения
зависящего от температуры «ловушечного» квадратичного участка
вольтамперной характеристики при малых напряжениях дали
для параметров следующие значения: Et = 0,13 эВ и Nt =
= 1017 см-3, которые хорошо согласуются со значениями, рассчи-
танными по напряжению Упзл • Квадратичный режим после
роста тока, соответствующего ПЗЛ, может интерпретироваться
двояко. Если в этом явлении принимают участие носители только
одного типа, то можно считать, что основную роль играет захват
на мелкие уровни прилипания, как в опытах Руппеля для ZnS
(см. выше в этом параграфе). Однако в области перехода к квадра-
тичному режиму при напряжениях, превышающих напряжение
Упзл, наблюдалось излучение света в диапазоне 2,0—2,1 эВ.
Это свечение было отнесено за счет рекомбинации носителей, про-
исходящей в процессе двойной инжекции через In-центры с уров-
нями в непосредственной близости от зоны проводимости. Таким
образом, было высказано предположение, что двойная инжекция
играет ключевую роль на этом участке вольтамперной характе-
ристики. Отрицательное сопротивление при очень больших напря-
жениях обусловлено тепловым пробоем: вычисления показали,
что омические потери обусловливают рост температуры, превы-
шающий 200 К при наиболее коротких импульсах.
1. ХЛОРИД НАДИЯ
Электронные ТООЗ наблюдались в очищенных зонной плавкой
кристаллах КС1, снабженных электродами из золота [74]. Толщи-
на образцов при этом колебалась в пределах от 6 до 1000 мкм.
Ло-видимому, наблюдались также ионные ТООЗ. В обоих случаях
авторы работы [74] подтвердили обратную пропорциональность
тока кубу толщины образца.
120 Часть I. Токи монополярной инжекции
б. АРСЕНИД ГАЛЛИЯ
Аллен и Черри [95] измерили электронные ТООЗ в монокрис-
талле GaAs толщиной 120 мкм, снабженном электродами из олова.
Приведенная в этой работе вольтамперная характеристика имеет
омический участок с последующим резким ростом тока. Далее ток
по существу начинает подчиняться безловушечному квадратич-
ному закону (с возможным .поправочным множителем 3). Эффек-
тивная концентрация ловушек, определяемая разностью NA —
— N D, рассчитанная по напряжению Упзл, составляла
8-1010 см-3. Для другого образца соответствующая вольтамперная
характеристика позволяла утверждать, что разность N А — N D
приблизительно равна 4 -1012 см-3. Из других электрических изме-
рений было получено A^D«8-1017 см-3. Следовательно, в этом
случае имеет место почти полная компенсация примесей: коэффи-
циент отклонения от точной компенсации равен 5-10-8. Этот слу-
чай является еще более экстремальным, чем случай гипотетиче-
ской компенсации в кристаллах CdS [100], о котором шла
речь в п. 1.
в. КАРБИД КРЕМНИЯ
Этот материал исследовался в двух работах [107, 108]. Авторы
последней работы провели обширное исследование карбида крем-
ния гексагональной модификации. На высокоомных кристаллах
p-типа они наблюдали при Т = 77 К вольтамперные характери-
стики двух типон: 1) обнаруживающие переход зависимости
I V в зависимость I ~ Уп и 2) демонстрирующие переход зави-
симости I ~ V в зависимость 1 ~ V2 с последующим переходом
в зависимость I ~ V”, где 4 <; п < 9. Из анализа этих характе-
ристик на основе ТООЗ авторы [108] «с осторожностью» установи-
ли, что в ряде исследованных кристаллов концентрация уровней
прилипания Nt составляет около Ю13 см-3, а их расстояние от по-
толка валентной зоны — около 0,2 эВ. В этой работе содержится
также теоретическое рассмотрение вольтамперной характеристики
ТООЗ при наличии в изоляторе двух типов моноэнергетических
уровней.
Впервые ток монополярной инжекции в SiC наблюдала Патрик
[26]; ток возникал в точечных р — и-переходах, смещенных в за-
порном направлении.
7. НИТРИД АЛЮМИНИЯ
Дырочные токи монополярной инжекции в монокристаллах
A1N с электродами из золота исследовали Эдвардс и др. [109].
Авторы приводят несколько вольтамперных характеристик, содер-
Гл. 5 Применение теории для исследования изоляторов 121
жащих омический участок, участок ПЗЛ и безловушечный квад-
ратичный участок. Однако результаты измерений не были пол-
ностью воспроизводимыми. Чтобы интерпретировать квадратич-
ную зависимость I от V при больших токах как безловушечный
квадратичный закон ТООЗ, следует предположить, что подвиж-
ность дырок находится в пределах 10—100 см2/(В -с). Более низкое
значение, по-видимому, является более правдоподобным, посколь-
ку оно находится в лучшем согласии с данными измерений эффек-
та Холла [[Лр = 14 см2/(В -с)], полученными теми же авторайи
на легированных кристаллах нитрида алюминия.
8 ДВУОКИСЬ ТИТАНА (РУТИЛ}
Этот материал исследовался в нескольких лабораториях [110—
112]. Опыты ограничивались наблюдением переходных дрейфовых
эффектов, связанных с ионной проводимостью, что затрудняет
однозначную интерпретацию экспериментальных данных на осно-
ве ТООЗ. Дальнейшие сведения читатель может получить из ли-
тературы.
9. ТИТАНАТ БАРИЯ
Вольтамперные характеристики вида I = a (V/L) + b (V/L)2,
полученные для BaTiO3, были объяснены на основе ТООЗ [ИЗ,
114]. Соответствующие эксперименты проводились на монокри-
сталлах толщиной 100—600 мкм при напряженностях электри-
ческого поля до 8 кВ/см. Коэффициент а является характеристикой
материала образца, а коэффициент Ь, по-видимому, относится к ма-
териалу катода. Общей чертой сегнетоэлектриков (ниже 120°С
BaTiO3 обладает сегнетоэлектрическими свойствами) является то,
что их электрические свойства в приповерхностном слое сильно
отличаются от свойств в объеме [115, 116]. Поэтому для таких
материалов теория тока монополярной инжекции, рассматриваю-
щая однородный объем, по-видимому, неприменима. Во всяком
случае, Робертс и Тредголд необычную зависимость тока от тол-
щины образца, а именно его обратную пропорциональность квад-
рату толщины L, отнесли за счет ограничений тока со стороны диф-
фузионного поля у катода. Детальный обзор экспериментальных
работ, проведенных на ВаТ1О3, можно найти в книге Тредголда
[117].
10. КРЕМНИЙ
Дырочные токи монополярной инжекции в кремниевых р+ —
— р — р+-структурах исследовали Лемке [118, 119] и Лемке и
Мюллер [120]. Измерения в стационарном режиме [118], выполнен-
122 Часть I. Токи монополярной инжекции
ные на кремнии, компенсированном глубокими Fe-, Au- и Gu-
донорами и обладающем удельным сопротивлением 103—104 Ом -см,
позволили регистрировать ТООЗ, определяемый мелкими уровня-
ми прилипания. Измерения в импульсном режиме при температу-
рах 77—300 К применялись для подтверждения зависимости
I ~ L~3 при слабом поле [118], а при Т = 4,2 К — для определе-
ния сечения захвата дырки на Fe-центр, оказавшегося равным
7 -10~1в см2. Измерения переходного ТООЗ (гл. 6, § 3, п. 8) в сочета-
нии со стационарными измерениями [120] на нелегированных
кристаллах с электродами из платины указывают на прохождение
через кремний безловушечных стационарных ТООЗ.
В очень чистых кристаллах p-типа (с удельным сопротивлением
р0 2000 Ом-см при Т = 300 К) при 4 К в условиях насыщения
дрейфовой скорости дырок (иНас ~ Ю7 см/с) также наблюдались
дырочные ТООЗ [58]. Насыщение при этом получается вследствие
чрезвычайно высокой подвижности дырок в очень чистом кремнии
при 4 К [ргр >• 105 см2/(В -с)] и достаточно сильного поля предель-
ного заполнения ловушек (й'пзл £»3-103 В/см). Поскольку
это поле слишком слабое, чтобы вызвать ударную ионизацию
дырочных ловушек, режиму ПЗЛ соответствует крайне резкий
рост тока с NttP = ND л; 6-1012 см-3. Отметим, что в этой работе
измерялась концентрация компенсирующих (неосновных) при-
месных центров. Авторы [58] проверили также зависимость
Упзл ~ А2. Однако вследствие чрезвычайно высокого удельного
сопротивления используемого кремния при Т = 4 К они не могли
наблюдать омический участок вольтамперной характеристики,
который должен предшествовать участку ПЗЛ. При напряжениях
V > 4 Упзл характеристика стационарного ТООЗ, соответствую-
щая ПЗЛ, переходит в почти линейную (вследствие насыщения
дрейфовой скорости дырок) безловушечную характеристику,
измеренную в импульсном режиме. Комбинируя данные, получен-
ные при измерении вольтамперной характеристики ТООЗ, с ре-
зультатами измерений временного спада тока, авторы [58] опре-
делили сечение захвата дырок на акцепторы. Оно оказалось рав-
ным приблизительно 2-10~13 см2. Это значение вполне разумно,
если считать, что речь идет о центрах с кулоновским притяже-
нием и горячих носителях (с температурой составляющей
много сотен кельвинов). Применялись р +—р —р+-структуры
толщиной 60—100 мкм; тонкие вырожденные р+-области обеспе-
чивали резервуарные контакты, работоспособные при низких
температурах.
Электронные токи монополярной инжекции в кремнии при 78
и 300 К исследовали Денда и Николе [60]. Они получили безло-
вушечный ТООЗ и исследовали зависимость дрейфовой подвиж-
ности электронов от напряженности электрического поля и тем-
пературы.
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 123
11 ГЕРМАНИЙ
Дырочные токи монополярной инжекции в германии наблю-
дал Дейси [43]. Он проводил измерения на р — п— р-структуре
при Т = 77 К в условиях прокола базы, т. е. при напряже-
ниях, при которых равновесные свободные носители вытягиваются
из всей n-области. Как было отмечено в гл. 4, § 4, задача о проколе
базы в полупроводниковых структурах формально совпадает
с задачей о напряжении предельного заполнения ловушек в изоля-
торах, поскольку в обоих случаях речь идет о заданном избыточном
заряде в кристалле. Поэтому экспериментальная кривая, полу-
ченная Дейси ([43], фиг. 6), выглядит как типичная кривая ПЗЛ,
хотя на самом деле она совершенно не связана с захватом инжек-
тированных носителей. Подбор соответствующей теоретической
кривой усложнялся тем, что в то время еще не была точно известна
зависимость подвижности дырок от поля при Т = 77 К. Поэтому
теоретическую кривую, полученную Дейси ([43], фиг. 6), необхо-
димо несколько изменить, что признал и сам Дейси. Токи моно-
полярной инжекции, проходящие через полупроводниковые струк-
туры при проколе базы, впервые рассмотрели теоретически Шокли
и Прим [29].
1Я СЕЛЕН
Первыми наблюдали ТООЗ в селене Веймер и Коуп [31], кото-
рые работали с тонкими напыленными аморфными пленками.
Инжектируемые носители (дырки) создавались светом. При силь-
ных освещенностях наблюдалась вольтамперная зависимость типа
I ~ V2. Ланьон [55] провел очень полные исследования на стекло-
образном селене, включающие наряду с измерениями ТООЗ
и оптические измерения. На фиг. 25 точками нанесены экспери-
ментальные результаты измерения ТООЗ в образце толщиной
31 мкм и аппроксимирующая их теоретическая кривая J =
= (То (1 + V!VT)1 V/l, где I = Tt!T =2,8. Такая кривая соответ-
ствует экспоненциальному распределению дырочных уровней
прилипания у потолка валентной зоны в случае, когда концен-
трация уровней прилипания в единичном интервале энергий под-
чиняется зависимости j!Tt exp [— (Е — Ev)/kTt], где
=Ю20 см-3-эВ-1 и kTt — 0,067 эВ. Эта зависимость должна
выполняться при смещении квазиуровня Ферми для дырок в диа-
пазоне 0,69 эВ < Е — Ev <1,0 эВ. Применяя то же значение
параметра Tt, Ланьон смог описать также экспериментальные дан-
ные Хартке [47]. Ланьон пользовался образцами толщиной 2,4—
60 мкм с электродами из платины и теллура. Он получил зависи-
мость тока от толщины образца и, кроме того, подтвердил полу-
ченное методом ТООЗ распределение уровней прилипания изморе-
124 Часть I. Токи монополярной инжекции
нием коэффициента поглощения света и снятием люксамперных
характеристик фототока I ~ /г/<г+1>. Для проверки выявленного
распределения уровней прилипания он использовал и другие
эффекты, в том числе отрицательную фотопроводимость, прово-
димость, возбужденную электронной бомбардировкой, и тушение
фотопроводимости длинноволновым светом. Он отметил также,
Фиг. 25. Вольтамиориая характеристика образца из стеклообразного Se
[55J.
L = 3,1Ю~* см, экспериментальные точки и теоретическая кривая, соответствующая
ЬТ( = 0,067 эВ.
что описание результатов измерений, по-видимому, не ухудшается,
если постулировать распределение уровней прилипания в ограни-
ченной, электрически прозондированной области запрещенной
зоны по нормальному закону распределения ошибок. Более ранние
работы па стеклообразном селене Ланьон выполнил совместно
со Спиром [121, 122].
Имеются сообщения об измерениях тока монополярной инжек-
ции в монокристаллах селена [123, 124]. Эти измерения были про-
ведены на образцах, длинных по сравнению с их поперечными
размерами. Возникающие в связи с зтим вопросы мы рассмотрим
кратко в гл. 8.
Гл. 5. Применение теории для, исследования изоляторов 125
13. ТРИСУЛЬФИД СУРЬМЫ
Первое сообщение об измерении дырочных токов монополяр-
ной инжекции в тонких напыленных пленках SbS3 содержится
в статье Форга и др. [32], которые наблюдали зависимость I ~ V2
при измерении темнового тока в SbS3. Позднее вольтамперные
характеристики ТООЗ измерял Боулт [125], применяя тонкие
пленки толщиной от 3 до 8 мкм с электродами из золота. Вольт-
амперные характеристики начинались омическим участком, кото-
рый далее переходил в зависимость I ~ Vn, где 5,0 < п < 8,2.
14. ИОД
Дырочные токи монополярной инжекции в монокристаллах
иода были измерены Мэни и др. [48]. Способные инжектироваться
дырки возбуждались у анода интенсивной постоянной подсветкой.
Фиг. 26. Зависимость пе-
реходного и стационарного
ТООЗ от толщины монокри-
сталлов иода [48].
Светлые кружки — переходный
(начальный) ток, темные круж-
ки — стационарный ток. Сплош-
ная линия — теоретическая кри-
вая для начального тока, рас-
считанная при ц = 2 см2/(В -с),
и = 2; штриховая линия —
наилучшая аппроксимация ста-
ционарных данных кривой типа
J ~ Ь~».
' Стационарная квадратичная вольтамперная зависимость обычно
' характеризовалась 0 = 0,02. Подвижность = 0,7 см2/(В-с),
t соответствующая кристаллографическому направлению, перпен-
I дикуляриому плоскости ас, была определена из результатов изме-
!'
126 Часть I. Токи монополярной инжекции
рений ТООЗ в переходном режиме. Зависимость тока на квадра-
тичном участке вольтамперной кривой от толщины образца при
определенном напряжении изображена на фиг. 26. Можно видеть,
что закон L~3 находится в хорошем согласии с эксперименталь-
ными данными, хотя и наблюдается значительный разброс точек.
Причина такого разброса заключается в том, что образцы, которые
использовались в опытах, имели различную концентрацию лову-
шек. Значительно меньший разброс наблюдается в случае, относя-
щемся к безловушечной квадратичной кривой, которая измеря-
лась в импульсном режиме. (Зависимость тока от толщины образ-
ца для этого случая также приведена на фиг. 26.) Поскольку теперь
рассматривается начальный переходной ток, захват на него влиять
не может. Измерение зависимости тока от обратной температуры
позволило определить величину Etp — Ev. В зависимости от кон-
кретного образца для нее были получены значения от 0,45 до
0,6 эВ. Отсюда следует, что Nt яа 5 -1013 см-3. Наконец, результа-
ты измерений в стационарном режиме в сочетании с результатами
измерений переходного ТООЗ показывают, что сечение захвата
дырки уровнями прилипания равно приблизительно 10-20 см2.
Рассмотренная работа превосходно иллюстрирует выгоды сочета-
ния измерений ТООЗ в стационарном и переходном режимах при
исследовании свойств изоляторов. Измерения переходных ТООЗ
в иоде, позволившие существенно пополнить наши знания об этом
материале, будут более подробно рассмотрены в следующей главе.
15. АНТРАЦЕН
Метод инжекционных токов успешно применялся для изуче-
ния электронных свойств органических молекулярных кристаллов.
Действительно, раньше электрические измерения на этих мате-
риалах не давали удовлетворительных результатов. Может быть,
не будет преувеличением сказать, что при современном уровне-
технологии твердого тела исследование инжекционных токов —
это если не единственный, то, во всяком случае, основной метод,
изучения электронных свойств органических и родственных им
материалов. Детальный обзор вопроса был недавно дан Хельфри-
хом [9]. Здесь мы ограничимся кратким рассмотрением сведений:
о дефектной структуре антрацена, полученных из измерения ста-
ционарных токов монополярной инжекции. Работы по изучению-
механизма переноса носителей в антрацене, в которых находят-
применение переходные ТООЗ, рассматриваются в следующей
главе, а работы, связанные с измерением токов двойной инжекции,.
— в гл. 14.
Дырочные токи монополярной инжекции в антрацене и низ-
ших полифенилах (см. ниже) впервые исследовали Марк и Хель-
фрих [30], которые проводили измерения на монокристаллах, выра-
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 127
щенных методом сублимации из газовой фазы [126]; в качестве
электродов они применяли водные растворы: иодидный — для
создания отрицательного, неинжектирующего контакта и окисляю-
щий иод-иодидный — для создания положительного, инжектирую-
щего дырки контакта. Начало применения окисляющих электро-
литов для инжекции дырок было положено Калльманом и Поупом
[62, 63].
В антрацене существенную роль играют дырочные уровни при-
липания, экспоненциально распределенные по энергиям. К тако-
му заключению можно было прийти на основе обычно наблюдае-
мой зависимости I ~ V;+1/Z/2i+1. Параметры I и Nt меняются
от образца к образцу и, по-видимому, связаны в очень чистых кри-
сталлах со структурными дефектами, а в менее чистых кристаллах
с примесями, так как в последнем случае I принимает гораздо боль-
шие значения, чем в первом. Концентрация Nt обычно близка
к 1016 см-3. Это значение довольно мало для концентрации струк-
турных дефектов, учитывая слабость связывающих вандервааль-
совых сил и вероятность наличия дефектов упаковки многих
типов вследствие относительно сложной формы молекулы антра-
цена [9]. К тому же Хельфрих и Липсетт [127] высказали предпо-
ложение, что свойства захвата, присущие структурным дефектам,
могут быть обусловлены комбинированным локальным сжатием
решетки, вследствие чего разрешенные зоны антрацена уши-
ряются (рассмотрение основывается на приближении сильной
связи), образуя таким образом уровни прилипания. Сечение
захвата, которым характеризуются ловушки, приблизительно
равно площади поперечного сечения молекулы. Это было показано
измерением времени захвата и проверено с помощью измерения
времени опустошения ловушек [30]. Полученное время опустоше-
ния, кроме того, дало возможность непосредственно определить
величину инжектированного объемного заряда и тем самым под-
твердить наличие токов монополярной инжекции [80]. Наблю-
дался также отдельный глубокий уровень прилипания на расстоя-
нии больше 0,9 эВ от потолка валентной зоны, причем концентра-
ция таких центров была невелика, а именно около 1011 см-3 [56, 57].
Природа этих центров не известна.
Измерения ТООЗ применялись для изучения радиационных
повреждений в антрацене [128]. При достаточно больших дозах
(105 эрг от источника 60Со) вольтамперная характеристика с высо-
ким показателем степени обычно уступала место квадратичной
зависимости с уменьшившимся током, которая переходила в зави-
симость, соответствующую ПЗЛ. Энергия, необходимая для обра-
зования центра прилипания, составляла приблизительно 45 кэВ.
Электронные ТООЗ в антрацене впервые наблюдали Хельфрих
и Шнейдер [64, 65], которые в качестве омического контакта для
электронов применяли раствор отрицательных ионов антрацена
128 Часть I. Токи монополярной инжекции
(антрацен с натрием в тетрагидрофуране). Оказалось, что в доста-
точно чистых кристаллах обычно можно наблюдать рост тока,
соответствующий ПЗЛ, которому предшествует менее крутая
вольтамперная зависимость, характерная для экспоненциального
распределения ловушек. По-видимому, соответствующие элек-
тронные ловушки связаны с примесями, так как электронный ток
монополярной инжекции чрезвычайно чувствителен к чистоте
кристаллов. Электронные ТООЗ наблюдали также Гренахер [93]
и Бюхнер и Мель [66], которые применяли жидкостные электроды,
и Мель и Функ [129], применявшие твердый омический катод
из сплава Na — К.
М. МОНОКРИСТАЛЛЫ ПОЛИФЕНИЛОВ
В монокристаллах низших полифенилов также наблюдались
дырочные токи монополярной инжекции [30].
Для n-кватерфенила измеренная степенная вольтамперная
зависимость соответствует экспоненциальному распределению
уровней прилипания с характеристической энергией kTt т
» 0,05 эВ. В случае тг-терфенила была зарегистрирована та же
характеристическая энергия и, кроме того, значение параметра
Nt, равное приблизительно 7-1017 см-3-эВ-1. Из безловушечной
квадратичной зависимости тока от напряжения, измеренной в им-
пульсном режиме, была определена подвижность дырок. Она оказа-
лась равной приблизительно 2,5 -Ю"2 см2/(В -с). Измерения времен-
ного спада тока позволили установить, что сечение захвата дырки
центрами прилипания составляет примерно 4 -10-17 см2, а частотный
фактор равен 1010 с-1.
77. ФТАЛОЦИАНИН
Молекула фталоцианина C32H18N8 имеет плоскую конфигурацию
и состоит из четырех пиррольных и четырех (внешних) бензоль-
ных колец. В центре молекулы находится одна пара атомов водо-
рода. Наиболее стабильная полиморфная форма фталоцианина
имеет базоцентрированную моноклинную решетку с элементарны-
ми длинами а = 19,85, Ъ = 4,72 и с = 14,8 А. Эта модификация
фталоцианина представляет собой особенно интересный молеку-
лярный органический кристалл, обладающий полупроводнико-
выми свойствами.
Электронные ТООЗ в монокристаллах фталоцианина наблюда-
ли Хейльмейер и Уорфилд [130]. Они применяли электроды, нане-
сенные серебряной пастой. Кроме того, кристаллы были снабжены
охранными кольцами. Эти авторы во всех случаях наблюдали
вольтамперную характеристику с омическим участком, переходя-
щим в квадратичный. Типичная характеристика приведена
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 129
на фиг. 27 (кривая 1). Для некоторых кристаллов вольтамперные
характеристики имели более богатую структуру (кривая 2). Заме-
тим, что кривая 2 кончается ростом тока, соответствующим ПЗЛ
и следующим за «ловушечным» квадратичным участком. Исходя
из этой кривой, можно получить Nt = 2-1012 см-3 и Ес — Etn=
= 0,81 эВ. При расчетах
было принято = 0,1
см2/(В -с) и Nc = 1021 см-3,
причем подвижность опре-
делялась из измерений эф-
фекта Холла, а эффектив-
ная плотность состояний
в зоне проводимости оце-
нивалась по молекуляр-
ной плотности кристалла.
18. ФТАЛОЦИАНИН МЕДИ
Этот материал получа-
ется из фталоцианина пу-
тем замены двух внутрен-
них атомов водорода одним
атомом меди. В очень тон-
ких (L яг 0,1 — 0,3 мкм)
напыленных слоях этого
материала наблюдались
Фиг. 27. Вольтамперные ха-
рактеристики кристаллов фта-
лоцианина [130].
Ь = 2-10-2 см. Крестиками обо-
значены экспериментальные точки;
штриховая линия — квадратичный
закон.
дырочные токи монополярной инжекции, подчиняющиеся зако-
ну I ~ Vl+1 [75]. Примером подобной вольтамперной харак-
теристики служит сплошная кривая на фиг. 28, где крестиками
нанесены результаты измерений для другого образца. В послед-
нем случае можно видеть, как квадратичная зависимость переходит
в кубическую. На одном образце была подтверждена зависимость
параметра I от температуры (Z = Tt/T), а также зависимость фото-
тока от интенсивности света (7 ~ /г/(г+1)). Максимальное прило-
женное напряжение составляло около 10 В. Следовательно,
исследованные напыленные слои содержали центры прилипания
с концентрацией не менее Ntp — 1017 — 1018 см-3. В фталоцианине
9 — 0699
130 Часть I. Токи монополярной инжекции
меди измерялись также электронные ТООЗ [131]. При этом было
отмечено предельное заполнение ловушек, что позволило опреде-
лить концентрацию Ntn, Которая оказалась равной 1016 иг3.
Квадратичная зависимость при напряжениях выше Упзл дает
Ф и г. 28. Лольтампор!।bio характеристики напыленных слоев фталоцианина
меди. (По неопубликованным данным Сасмаиа.)
Ь~2-10-6 см. Сплошная кривая — экспериментальная характеристика для одного
из образцов (шкала тока справа); крестики — экспериментальные точки для другого
образца (шкала тока слева). Штриховыми линиями нанесены законы: 1 — I ~ V, 2 —
I - V2, 3 — I - Vs.
для подвижности электронов значение 10"4 см2/(В-с), которое
хорошо согласуется с результатами измерений переходных токов
(гл. G, § 4, п. 8).
§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ
Одним из наиболее ранних приложений теории ТООЗ к при-
кладным задачам было установление верхнего предела произведе-
ния коэффициента усиления на ширину полосы пропускания для
Гл. 5. Применение теории для исследования изоляторов 131
фотопроводников, который связывается с началом токов монопо-
лярной инжекции [132—134]. Поскольку произведение коэффици-
ента усиления на ширину полосы пропускания характеризует
добротность приборов, эта теория оказала существенное влияние
на проведение исследовательских работ по созданию соответствую-
щих полупроводниковых приборов. Понятие произведения коэф-
фициента усиления на ширину полосы пропускания довольно
подробно рассмотрено в гл. 7.
Уже давно придавалось большое значение созданию диэлектри-
ческих приборов, аналогичных вакуумным, таких, как выпрям-
ляющий диод и триод-усилитель. Функционирование диэлектриче-
ского выпрямляющего диода обеспечивается заключением изоля-
тора между двумя асимметричными контактами: одним — инжек-
тирующим и другим — неинжектирующим — и созданием усло-
вий для прохождения ТООЗ при подаче прямого смещения на диод.
Такие диоды были изготовлены на основе монокристаллов CdS
[104, 135—137], а также на основе напыленных слоев CdS [73, 82]
и фталоцианина меди [75]. Изготовленные из CdS диоды были при-
борами n-типа, причем электроны в них инжектировались в основ-
ном из индиевого катода (Дреснер и Шаллкросс |82] применяли
катод из золота). Материалом неипжектирующего контакта с л у-
жил теллур. Диоды на основе фталоцианина были приборами
/з-типа с инжектирующим контактом из золота и неинжектирую-
щим из хрома, окиси олова или олова [75]. Коэффициент выпрямлю
ния таких диодов был порядка Ю6 и более.
Аналоговый триод, предложенный Шокли [138], использует
ограниченную объемным зарядом инжекцию основных носителей
в собственную область полупроводника; при этом модуляция тока
осуществляется приложением напряжения сигнала на р — i- или
п — i-переход с обратным смещением. Аналоговые триоды впервые
были изготовлены на основе монокристаллов CdS Руппелем и Сми-
том [135] и на основе напыленных пленок CdS Веймером [139]
и Зулигом [103]. Поскольку дырочная проводимость в CdS не наб-
людается, ни в одной из упомянутых работ для подвода модуля-
ционного сигнала не применяются полупроводниковые переходы
с обратным смещением. Вместо этого Руппель и Смит применяли
запирающие контакты из теллура, а Веймер пользовался системой,
применяемой при измерении эффекта поля, с напыленным слоем
SiO в качестве изолятора полевого электрода (затвора). Прибор
на основе монокристалла имел высокое входное сопротивление
(1011 Ом) при крутизне вольтамперной характеристики около
10 мкА/В, но весьма плохую частотную характеристику (верхняя
граница около 10 кГц). Тонкопленочный прибор оказался более
перспективным. Именно с него начались систематические исследо-
вания, связанные с разработкой на основе напыленных слоев CdS
другого прибора, работа которого базируется на том, что при помо-
9*
132 Часть I. Токи монополярной инжекции
щи полевого электрода модулируется равновесная концентрация
носителей примесного полупроводника, а не концентрация носи-
телей, инжектированных в изолятор [140]. Триод на основе ТООЗ
рассматривался также Райтом [141, 142]. Серьезная техническая
трудность, которую следует преодолеть при реализации таких
диэлектрических аналоговых приборов, основанных на ТООЗ,
вытекает из относительно плохой частотной характеристики
(малой ширины полосы пропускания), обусловленной малой под-
вижностью и сильным захватом носителей в изолирующих матери-
алах, особенно в пленках.
ГЛАВА 6
Переходные инжекционные токи
В предыдущих главах мы рассматривали только стационарные
инжекционные токи. Однако до того, как достигается стационарное
состояние, например после приложения напряжения, могут про-
исходить различные переходные процессы, характеристические
времена которых могут колебаться в широких пределах — от на-
носекунд до нескольких дней и более — в зависимости от физиче-
ских механизмов, ответственных за них. Длительные времена рела-
ксации связаны с установлением динамического равновесия между
свободным и захваченным зарядами, т. е. с установлением нового
квазиуровня Ферми (гл. 7, § 3). Следовательно, эти времена
релаксации определяются дефектной структурой образца. Корот-
кие времена релаксации соответствуют перемещению заряда,
инжектированного в начальной стадии переходного процесса,
через кристалл под влиянием внешнего поля. Они связаны с вре-
менем пролета инжектированных носителей, которое зависит
от подвижности последних, длины образца и приложенного напря-
жения и на которое может влиять в разной степени дефектная
структура образца. Ниже будет показано, что определение дрей-
фового времени пролета на практике сводится к измерению вре-
мени прохождения импульса носителей через образец.
До недавнего времени проводились измерения только первого
типа, соответствующие процессам с длительными временами релак-
сации. Отметим здесь измерения Роуза и Смита на CdS и Хельфри-
ха и Марка на органических материалах (ссылки см. в гл. 5).
Такие измерения весьма полезны, поскольку они дополняют изме-
рения стационарных токов, позволяя прежде всего подтвердить
наличие ТООЗ и получить дополнительные сведения о процессах
захвата. В результате работ Брауна [143], Спира [144] и Кеплера
[145], в которых исследовался переходный инжекционный ток,
не ограниченный объемным зарядом (ТНООЗ), и работ Мэни и др.
[48, 146] и Хельфриха и Марка [78], в которых исследовался пере-
ходный ТООЗ, метод измерения времени прохождения импульса
инжектированных носителей стал самостоятельным, по-видимому,
наилучшим, если не единственным, методом исследования подвиж-
ности носителей в изолирующих материалах, когда традиционные
методы, такие, как измерение эффекта Холла, полностью непри-
емлемы.
134 Часть I. Токи монополярной инжекции
Экспериментальные работы по измерению стационарных ТООЗ
в изоляторах большей частью проводились с использованием
«хороших» инжектирующих контактов, т. е. контактов, имеющих
достаточно большой резервуар свободных носителей, чтобы допу-
скать прохождение любого требуемого тока монополярной инжек-
ции в зависимости от напряжения на образце. В соответствии
с этим при теоретическом рассмотрении ТООЗ в предыдущих гла-
вах предполагалось, что мы имеем дело именно с такими контакта-
ми. На самом деле мы идеализировали контакты, принимая, что
резервуар носителей является бесконечно большим. В случае
переходных инжекционных токов ситуация совершенно иная.
В этом случае опыты, в которых были получены наиболее ценные
результаты, проводились не только в условиях, когда образцы
имели «хорошие» инжектирующие контакты, но и в равной степени
в условиях, когда инжектирующие контакты являлись «плохими»,
т. е. обладали весьма ограниченным резервуаром свободных
носителей, причем настолько ограниченным, что в представляющем
интерес интервале напряжений в изоляторе мог поддерживаться
только ТНООЗ. Например, если имеется неинжектирующий катод-
ный контакт, но носители инжектируются у одной поверхности
изолятора под действием импульса сильно поглощаемого света,
то «крепость» резервуара определяется интенсивностью импульса
света: при низких уровнях освещения мы будем иметь «разбавлен-
ный» резервуар и будет наблюдаться ТНООЗ, а при достаточно
высоких уровнях освещения мы будем иметь «концентрированный»
резервуар и будет наблюдаться ТООЗ. (Конечно, другим есте-
ственным способом инжекции, если он только осуществим, являет-
ся инжекция носителей непосредственно из контакта, когда к изо-
лятору приложена ступенька напряжения; в этом случае требуется
наличие хорошего инжектирующего контакта.)
Поскольку в экспериментальных работах применяются как
«концентрированные», так и «разбавленные» контакты, в теории
переходного тока, излагаемой в следующем параграфе, рассмат-
риваются оба этих крайних случая, а также промежуточный слу-
чай. Во всех случаях применяются одни и те же определяющие
уравнения. «Качество» контакта, а следовательно, и характер пере-
ходного процесса определяются граничными условиями на катоде.
После того как мы рассмотрим теоретически вопрос о переходных
инжекционных токах, будет дан обзор экспериментальных резуль-
татов, полученных на разных материалах.
1. ТЕОРИЯ
Настоящее рассмотрение касается идеального, безловушечного
изолятора, к которому в момент t = 0 прикладывается постоянное
напряжение У, вызывающее прохождение тока. Влияние уровней
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 135
прилипания будет рассмотрено несколько ниже. Будем считать,
что мы имеем дело с электронным одномерным током, проходящим
через плоскую структуру.
Определяющими уравнениями задачи о временной зависимо-
сти инжекционного тока являются уравнение для полной плот-
ности тока
J (t) = /пр 7СМ, (6.1)
где
Jnv(x, i) = еп(х, t)}i§(x, t), /см = е-^-,
и уравнение Пуассона
e^|- = ezz(x, i). (6.2)
При написании уравнения (6.1) мы, как обычно, не учитывали
диффузионного тока. Такой прием себя оправдывает, если прило-
женные напряжения значительно больше величины кТ/е [147,
148]. Тб обстоятельство, что полный ток является функцией толь-
ко времени t, т. е. не зависит от координаты х, непосредственно
следует из уравнения Максвелла rot Н = J, если вычислить
дивергенцию обеих его сторон.
Граничными условиями, необходимыми для определения един-
ственного решения системы уравнений (6.1) и (6.2), являются,
кроме условия V = const, также указания о том, как ведут себя
величины g (0, i) и g (х, 0). Поля на катоде и аноде в момент
t %с (i) = g (0, t) и (t) = g (L, t) соответственно связаны
между собой через полный заряд Q (i) на единицу площади попе-
речного сечения изолятора:
= (6.3)
Равенство (6.3) представляет собой запись теоремы Гаусса —
Остроградского и является интегралом уравнения (6.2). Это
равенство обобщает равенство (3.25), которое справедливо при
g0 (0 = о.
Подставляя величину еп (х, t) из (6.2) в (6.1), получаем
j(«) = e[i£^_0+(6.4)
Интегрирование уравнения (6.4) в пределах от катода до анода
дает
= (6.5)
При этом, согласно сделанному предположению, мы пользуемся
равенством
L L
С , д Г , дУ п
\ -т-ах=— \ б ах = ~хг=0.
J ut ut J ut
0 0
136 Часть I. Токи монополярной инжекции
(Интересно отметить, что в тех случаях, когда рассматриваются
одномерные токи в цилиндрических или сферических структурах,
соответствующее выражение для тока J содержит в явной форме
радиальную координату, и тот путь, которым мы пришли к (6.5),
оказывается невозможным. Поэтому теория переходного инжекци-
онного тока в образцах такой геометрии должна быть гораздо
более сложной; по-видимому, она не поддается аналитической
обработке.)
Учитывая, что, согласно равенству (6.3),
^-S? = (Sa-Sc)(Sa + Sc) = 4 (2g“—Г)’
мы можем написать уравнение (6.5) в виде
/(z) = ±y) [2go(0~^]. (6.6)
1. ПЕРЕХОДНЫЙ ТОН, НЕ ОГРАНИЧЕННЫЙ
ОБЪЕМНЫМ ЗАРЯДОМ
Рассмотрим сначала случай, когда заряд Q (i) мал и не зависит
от времени, т. е. Q (t) = Q = const. Это соответствует, например,
случаю запирающего катода и малой интенсивности света в им-
пульсе. В частности, мы предположим, что выполняется неравен-
ство Q < ega, т. е. что заряд Q значительно меньше, чем макси-
мальный заряд, который может быть запасен в изоляторе в соот-
ветствии с его емкостью e/L. Тогда из равенства (6.3) следует
gc (i) = ga (;) = = VIL, и уравнение (6.6) принимает вид
г/ , г . PQP - /Й
J (t) = COnSt = j = /X' (6.7)
Принимая, что в начальной стадии переходного процесса заряд Q
сосредоточен вблизи катода, мы можем определить время t0, за
которое он покидает изолятор через анодный контакт, вычислив
интеграл
to
L — $ dt.
о
Получаем
t
0 р«и pF'
(6-8)
Определенное таким образом время i0 представляет собой, конеч-
но, время пролета в отсутствие объемного заряда. Постоянный
по величине ток (6.7) отмечается только на протяжении временного
интервала 0 < t < tQ. Более подробное рассмотрение этого вопро-
са проведено Шуманом еще в 1933 г. [149].
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 137
Какая физическая картина соответствует этому приближению
малого постоянного заряда Q, можно понять, исходя из случая
фотоинжекции носителей. Образец первоначально находится в тем-
ноте, причем он заключен между двумя инжектирующими контак-
тами, и к нему приложено постоянное напряжение V. Поле всюду
имеет одно и то же значение g (i) = ёа = V/L; в контактной
области не имеется неравновесных носителей. В момент t
импульс света освобождает непосредственно на катоде или в при-
мыкающей к нему области бесконечно тонкий слой носителей
в общем количестве Q/e на единицу площади поперечного сечения
образца, причем это количество значительно меньше того, кото-
рое требуется для образования на катоде минимума потенциала.
Поэтому поле на катоде практически не отличается от омического
значения ^я. Носители будут перемещаться под действием внеш-
него поля отчетливо выраженным слоем. Если не происходит
затухания избыточного свободного заряда Q либо вследствие
захвата носителей, либо вследствие диэлектрической релаксации,
то ток внезапно возрастает в момент t — 0 до постоянного значе-
ния (6.7) и затем сохраняет это значение до тех пор, пока слой
не достигнет в момент tn анода. Затем он резко спадет до нуля.
Если заряд Q затухает во время переходного процесса, то ток,
конечно, будет спадать во времени в интервале 0 t t0. (Пред-
ставление о бесконечно тонком слое заряда, разумеется, является
идеализацией. Слой при своем образовании имеет конечную тол-
щину, обусловленную конечной длительностью импульса света
или конечной длиной поглощения света в изоляторе. Первая при-
чина, кроме того, обусловливает конечное время нарастания
тока. Конечная толщина слоя, которую во время переходного
процесса увеличивает диффузия,носителей, обусловливает также
конечное время спада тока.) Этот метод применялся, например,
Кеплером [145] для исследования переноса электронов и дырок
в антрацене.
Полезна также следующая разновидность рассмотренного мето-
да, применимая в том случае, когда время t0 меньше, чем разре-
шающее время электронной схемы, используемой для измерения
времени прохода импульса инжектированных носителей через
образец. В этом методе ток интегрируется и таким образом изме-
ряется заряд, прошедший через образец. При отсутствии диффу-
зии и затухания заряда Q интеграл по времени от (6.7) дает кри-
вую, которая в интервале 0 < t < t0 нарастает с постоянным
наклоном, а затем идет горизонтально. При учете диффузии и
затухания излом кривой в точке tQ сглаживается. Этот метод был
предложен Брауном [143] и впоследствии развит Спиром [144],
который применял для инжекции неравновесных носителей бом-
бардировку образцов электронными импульсами очень малой
длительности.
138 Часть I. Токи монополярной инжекции
Я. ПЕРЕХОДНЫЙ ТОН, ОГРАНИЧЕННЫЙ
ОБЪЕМНЫМ ЗАРЯДОМ
Если заряд Q достаточно велик, чтобы создавать резервуар
носителей на катоде, либо вследствие того, что применяется доста-
точно интенсивный свет в импульсе, либо вследствие того, что
образец снабжен инжектирующим контактом, то получается совер-
шенно иная переходная характеристика, а именно переходная
характеристика ТООЗ. Эта характеристика имеет следующие
основные особенности (фиг. 29).
1. В момент t = 0 через образец проходит ток, немного мень-
ший, чем половина стационарного безловушечного типа.
2. Затем ток монотонно нарастает до своего максимального
значения, превышающего стационарный ток на 21%, причем этот
максимум имеет место спустя промежуток времени <1, который
на 20% меньше, чем время пролета в условиях прохождения
ТНООЗ t0 при том же напряжении.
3. В точке максимума производная временной характеристики
терпит разрыв, и дальше ток спадает, т. е. в точке максимума
кривая имеет остроконечный пик.
4. За максимумом следует незначительный выброс в отрица-
тельную сторону по отношению к стационарному току.
5. По истечении промежутка времени 2 (0 ток прибли-
жается к своему стационарному значению.
Характеристику переходного ТООЗ до появления остроконеч-
ного пика легко вычислить, исходя из уравнений (6.1) и (6.2)
и граничного условия
Sc (i) S 0. (6.9)
Это обычное граничное условие на катоде, применяемое в упро-
щенной теории ТООЗ, пренебрегающей диффузией. Его можно
считать справедливым до тех пор, пока резервуар свободных носи-
телей на контакте достаточно большой, допускающий нахождение
минимума потенциала в пределах изолятора при напряжении V.
Время, необходимое для установления минимума потенциала,
которое сравнимо с временем диэлектрической релаксации носи-
телей в резервуаре, настолько мало даже по сравнению с масшта-
бом времени начальной части переходного процесса (время поряд-
ка t0), что этот процесс можно считать мгновенным.
Наш дальнейший анализ плоской задачи ограничивается вре-
менном интервалом 0 С t С где ij — момент времени, в кото-
рый передний фронт заряда приходит к аноду. В течение этого
времени ток проводимости /п)) [см. уравнение (6.1)] в анодной точке
тождественно равен нулю, так как инжектированные носители
еще не достигли анода. Таким образом, уравнение (6.1), рассмат-
риваемое в анодной точке, в сочетании с (6.5) и (6.9) дает
^a^a = ^dt. (6.10)
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 139
Решение уравнения (6.10) имеет вид
^=4-4-’ <6Л1)
2«0
так как при t = 0 поле g (х, 0) = V/L, поскольку в этот момент
в объеме изолятора полностью отсутствует инжектированный
заряд. Из уравнения (6.3) следует, что полный инжектированный
заряд Q (i) в изоляторе в момент t определяется выражением
<?(0 = ega==„= (6.12)
1-2^
Подставляя теперь (6.11) в уравнение (6.1), рассматриваемое
в анодной точке, получаем
/и-/.-, ‘,ТГ. (6.13)
Остается рассчитать Это нетрудно сделать, имея в виду то
обстоятельство, что поле у переднего фронта заряда при t < tt
равно полю у анода в момент t, а именно %а (t). Отсюда, согласно
(6.11), получаем
h
J L*
0
1
1—
2*o
Учитывая формулу для времени t0, получаем окончательный
результат
tt = 2(1 - e-V2) t0 « 0,786 t0. (6.14)
Принимая Jt = J (tt) и J= J (oo) = 9ep.72/8L3 (формула
для стационарного безловушечного тока) и используя формулу
(6.14), из (6.13) получаем
ф. = е0«2,72, = (6.15)
J 0 J оо У
Из формул (6.11) и (6.14) и соотношения § (Л, оо) = 3P/2L
следует
Qi ^>а 01)
<?«, $а (оо)
1,10,
3
^_| =е1/2Л~ 1,65А, (6.16)
йг 1*1,- го *о
где Qt = Q (tt), Qoo = Q (оо), а символ tit _ обозначает, что произ-
водная по времени в точке ii берется при приближении к этой
точке слева.
Рассмотренная теория разработана независимо Мэни и др.
1146] и Хельфрихом и Марком [78]. Кроме того, последние авторы
140 Часть I. Токи монополярной инжекции
при помощи дополнительных выкладок получили
^-\ = 1-2^-^с», I да_0 90Л,
it |t1>+ .1 —е0- /2 dt 1*1, - го
где символ iit 4. показывает, что производная берется при прибли-
жении к точке ij справа. Таким образом, кривая зависимо-
сти тока от времени имеет остроконечный пик (разрыв непрерыв-
ности производной) в момент t ~ (фиг. 29). С математической
точки зрения мы можем ожидать разрыва непрерывности производ-
ной потому, что при дифференцировании зависимости (6-5) при
условии Вс = 0 получаем dJ/dt ~ %ad%a/dt. Но, согласно
уравнению (6.4), разрыв непрерывности dWdx при переходе через
перемещающийся фронт заряда должен сопровождаться «компен-
сирующим» разрывом непрерывности производной d’S/dt', произ-
водная д&дх ~ п, очевидно, разрывна при переходе через этот
фронт. В момент ij передний фронт достигает анодной точки, и, сле-
довательно, в этот момент терпит разрыв производная d^a!dt^
Кроме того, следует ожидать, что характер этого разрыва таков,
что производная d%Jdt меняет знак, поскольку в момент ti
ток превышает конечное установившееся значение на 21%. (Оче-
видно, при учете диффузии конец пика был бы закруглен, так как
диффузионное растекание носителей уменьшает резкость перед-
него фронта заряда.)
Полное решение задачи для любых моментов времени t дано
в важной теоретической работе Мэни и Ракави [5]. Авторы полу-
чили также аналитические и численные решения задач о переход-
ном ТООЗ в проводящем кристалле без ловушек и в изолирующем
кристалле с ловушками. На фиг. 29, заимствованной из этой рабо-
ты, при построении обобщенных кривых 'применены единицы:
Jo для плотности тока и t0 для времени t и времени захвата т.
Вследствие сложности анализа этих задач мы не будем останавли-
ваться здесь иа дальнейших подробностях. Однако следует отме-
тить одну важную деталь. Как было показано в этой работе, остро-
конечный пик сохраняется и при наличии захвата, если захват
не является слищком сильным, или, другими словами, при выпол-
нении условия т/£0 > 1, и максимум тока должен наблюдаться
в тот же момент времени ij. Кроме того, начальная плотность тока.
JQ не зависит от времени захвата фактически при любых т.
Прежде чем закончить теоретическое рассмотрение переходного
ТООЗ, мы хотели бы обсудить вопрос о характерных свойствах
процесса с физической точки зрения. При рассмотрении переход-
ного ТНООЗ мы показали, что инжектированные носители пере-
мещаются в образце более или менее определенным тонким слоем;
именно таким слоем они генерируются, причем эта характерная
черта сохраняется и во время переходного процесса, поскольку
полный заряд Q в слое на единицу площади поперечного сечения
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 141
образца далек от максимального заряда, который может суще-
ствовать в изоляторе в соответствии с емкостью последнего. Следо-
вательно, созданный заряд быстро удаляется из приконтактной
области. Однако в случае переходного ТООЗ, когда заряд посту-
пает в объем изолятора и за передним фронтом, находящимся в мо-
мент t на расстоянии Xi = xi (i) от катода, все пространство между
Фиг. 29. Кривые переходного ТООЗ [5].
2—безловушечная кривая; 2—«ловушечная» кривая (время захвата г = 2t0); to= Lz/uV,
Jo = epV2/2IA
катодом и плоскостью Xt заполняется объемным зарядом, так как
теперь имеется резервуар носителей на катоде, который может
поставлять заряд, требуемый емкостью образца. При возрастании
t емкость С системы продолжает увеличиваться, поскольку «сред-
нее» расстояние облака инжектированного заряда от анода про-
должает уменьшаться. Между передним фронтом и анодом нет
заряда, и, следовательно, поле там постоянно по объему, т. е.
при xi х L поле S (х) = Таким образом, поле у перед-
него фронта заряда равно полю у анода в тот же момент. Эти
обстоятельства оказывают основное влияние на характер переход-
142 Часть I. Токи монополярной инжекции
кого ТООЗ вплоть до момента ti, когда передний фронт достигает
анода.
В самом начале процесса при t а? О, когда передний фронт
продвинулся на очень малое расстояние в кристалле, xi х О
и емкость С незначительно отличается от своего геометрического
значения Со; следовательно, полный инжектированный заряд
на единицу площади равен Q — CqV — &V/L. Каждый инжекти-
рованный носитель дает свой вклад в ток evIL = epg/L, так как:
v/L — число "возможных проходов в секунду, которое совершает
носитель с дрейфовой скоростью v. В самом начале процесса облако
инжектированного заряда имеет еще вполне однородную плотность;
поэтому среднее поле внутри облака равно VI2L, поскольку
g (0) = 0 и g (#1) = = VIL. Таким образом, полный ток
в самой начальной стадии переходного процесса можно записать
в виде Jо = <2р.У/2С2 = ерТ^/ЗС3. Это объясняет первое отмечен-
ное выше характерное свойство переходного процесса ТООЗ как
качественно, так и количественно.
По мере того как инжекция развивается во времени и емкость
С соответственно растет, поле перед передним фронтом заряда
продолжает расти, превышая омическое поле ^а,0 = V!L.
Поскольку время пролета fi переднего фронта определяется полем
Sa (i), оно будет обязательно меньше, чем время пролета в слу-
чае ТНООЗ = Л2/цУ. Сказанное качественно объясняет второе
характерное свойство процесса.
Что касается временного превышения тока над его стационар-
ным значением, то это легко понять следующим образом. Полный
инжектированный заряд Qi в момент ti, согласно формуле (6.16),
приблизительно на 10% больше, чем инжектированный заряд
в стационарном состоянии. Это обусловлено более однородным
распределением заряда по кристаллу в момент ti по сравнению
с его распределением в стационарном состоянии, а именно относи-
тельно меньшей концентрацией заряда у катода и большей у ано-
да. Как мы уже отмечали, распределение заряда на ранних стадиях
процесса, когда t ti, является очень однородным вплоть до перед-
него фронта. Такая однородность распределения заряда на всем
участке 0 «С х «С #!, за исключением области, примыкающей к ка-
тоду, сохраняется до момента ti (см. [5], фиг. 4). С другой стороны,
плотность заряда при t = оо монотонно убывает от катода к аноду
по закону п ~ Большая однородность распределения заряда
в рассматриваемом случае эквивалентна большей емкости: Ci =
= С (h) > Сх = С (оо) = Зе/2£ и J Qi = CiV > CXV = Qx.
Далее, хотя среднее время пролета ti всего инжектированного
к моменту tt заряда Qi, несомненно, больше, чем время ti х
х 0,8 <о, тем не менее можно ожидать, что время ti будет меньше
времени пролета носителей в стационарном состоянии tx, опреде-
ляемого соотношением (4.13), т. е. будет выполняться условие
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 143
ti < tx = 4z0/3. Наконец, из неравенств Qi > Qx и ti < сле-
дует Ji = Qtltt > QJtx= Jx.
Остроконечность пика, или, другими словами, наличие излома
на характеристике в момент ti,— результат искусственный.
Такой результат связан с тем, что мы считали передний фронт
заряда бесконечно резким, чего не может быть. Если бы учитыва-
лась диффузия, то, очевидно, получилось бы некоторое «размазы-
вание» резкого переднего фронта и закругление конца пика на вре-
менной кривой.
После того как передний фронт достиг анода, ток, который
превышает установившееся значение, должен спадать к этому
значению. Масштаб времени спада определяется временем диэлек-
трической релаксации для заряда, инжектированного в момент ti,
т. е. величиной е/еиф = eL/Qi^i та = £2/цЕ = t0. Неболь-
шой отрицательный выброс по сравнению с установившимся зна-
чением тока, который можно видеть на теоретической переходной
характеристике, является результатом сдерживания инжекции
в течение короткого промежутка времени вблизи момента
вследствие того, что присутствующий в этот момент заряд превы-
шает установившееся значение. Задачу о переходе к стационарно-
му состоянию после остроконечного пика аналитически рассмот-
рели Шиллинг и Шахтер [150], которые показали, что на этом
участке переходной характеристики должны наблюдаться зату-
хающие колебания. Рассматривалась также задача о переходном
ТООЗ в условиях, когда малая ступенька напряжения налагается
на большое постоянное напряжение, приложенное к образцу
[150, 151]. Оказалось, что и в этом случае на переходной характе-
ристике ТООЗ должны наблюдаться затухающие колебания.
3. ДРУГИЕ СЛУЧАИ
Рассмотрим теперь случай, который является промежуточным
между двумя предельными случаями, рассмотренными выше,
а именно случай, когда в изоляторе первоначально существует
определенный заряд Q, такой, что выполняется условие QL <
< 2eV, но величина QL сравнима с 2eV- Этот случай важен,
например, тогда, когда инжектируемые носители создаются
импульсом света, а интенсивность света недостаточна для того,
чтобы удовлетворялось условие существования ТООЗ QL > 2sV,
или же квантовый выход внутреннего фотоэффекта зависит от поля.
В последнем случае, рассмотренном Шварцем и Хорнигом [152]
в связи с результатами, полученными на антрацене, заряд Q
у катода зависит как от интенсивности света в импульсе, так и от
поля ^5С, и может оказаться, что при любом уровне освещения
нельзя удовлетворить условию существования ТООЗ.
444 Часть Г. Токи монополярной инжекции
Предполагается, что заряд Q создается в исходном состоянии
в виде бесконечно тонкого слоя у катода. Переходная характери-
стика рассчитывается путем приравнивания общего выражения
для зависящего от времени тока (6.6) в функции поля на аноде
составляющей полного тока, связанной со смещением, в выражении
(6.1), которое следует теперь также написать для анодной точки,
и интегрирования, причем заряд Q следует считать постоянным,
не зависящим от времени. В результате для временного интервала
О t t2 получаем следующее выражение для тока:
(вл?)
где t.-, — момент достижения зарядом анода — задается в неявном
виде уравнением
(I-&) <6Л8>
Условие QLIeV < 1 гарантирует, что экспонента в выражении
(6.17) всегда меньше 2 и что выполняется двойное неравенство
/1 где ti определяется выражением (6.14). Очевидно, что
полный заряд, проходящий через образец за интервал времени
О < t < t2, всегда меньше величины 2C0V. Далее, в пределе
ТНООЗ, т. е. при обращении величины QLIeV в нуль, выражение
(6.17) переходит в (6.7), причем t2 переходит в t0, в то время как
при математически допустимом максимуме величины QLIeV,
т. е. при QLIeV = 1, ток J (0) и время t2, вычисляемые по фор-
мулам (6.17) и (6.18), в точности совпадают с значениями для ТООЗ
[формулы (6.13) и (6.14)]. Если величина QLIeV лишь незначи-
тельно меньше единицы, формы кривых, рассчитанных по выра-
жениям (6.17) и (6.13), качественно весьма похожи, как показано
на фиг. 30, где нанесена зависимость (6.17) при QLIeV = 1.
Однако существенное количественное различие указанных зави-
симостей состоит в том, что в рассматриваемом здесь случае полный
заряд, прошедший через образец, всегда меньше 2С0У- Полезно
отметить и другие количественные различия. Если формула (6.13)
требует независимости тока Jo от интенсивности света и в то же
время пропорциональности его квадрату напряжения, то фор-
мула (6.17) допускает и другие возможности: ток J (0) зависит
от интенсивности света в импульсе, если QL/eV < 1, но эта
зависимость ослабевает при QLIeV —>-1. Кроме того, линейная
зависимость J (0) от V постепенно уступает место квадратичной
зависимости, по мере того как неравенство QLIeV < 1 заменяется
равенством.
Весьма сходным образом ведет себя ток, когда возбужденный
светом контактный резервуар истощается либо за первое время
пролета, либо вскоре после этого [153—155]. Если время существо-
вания резервуара удовлетворяет условию tA то переход-
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 145
ный ток до остроконечного пика в интервале 0 < t < ti соответ-
ствует переходному ТООЗ. Однако при t > ti он спадает до нуля
за 3—4 интервала ti и не принимает установившегося значения
ТООЗ при tA = оо. Если tA < ti, то начальный ток и время появ-
ления остроконечного пика снова соответствуют переходному
ТООЗ, однако амплитуда пика уменьшается и последующий спад
тока до нуля ускоряется. В предельном случае tA = 0 максималь-
ный ток определяется формулой J (^)= 2,25 Jo и ток обращается
в нуль при t = 1,7ZO.
Здесь, по-видимому,
уместно повторить, что пе-
реходный ТООЗ всегда
можно получить в тех
случаях, когда образец
снабжен контактом, кото-
рый является инжектиру-
ющим в стационарном со-
стоянии, и когда переход-
ный процесс инициирует-
ся приложением ступен-
чатого напряжения.
Фиг. 30. Кривые переходного
инжекционного тока в усло-
виях, когда следует учитывать
объемный заряд [152].
12— инжектированный заряд рас-
пределен по объему, ток определя-
ется формулой (6.13); 2 — инжек-
тированный заряд перемещается
споем, ток определяется формулой
(6.17), причем QL = eV, Jo =
= epV«/2L«, t0 = ЩцУ.
t/t0
Следует отметить, однако, что существуют условия, при кото-
рых можно получить переходный ток с остроконечным пиком при
фотоинжекции носителей, несмотря на то, что выполняется условие
(XL/eV^l. Такую переходную кривую можно получить, если
образец снабжен инжектирующими контактами и напряжение
приложено к образцу задолго до импульсного освещения. Под
влиянием этого напряжения возникает стационарный «ловушеч-
ный» ТООЗ, который может быть на много порядков меньше после-
дующего переходного тока и поэтому может ускользнуть от наблю-
дения. Стационарный ТООЗ, хотя и незначительный по величине,
тем не менее вызывает такое распределение поля в образце, кото-
рое определяется неоднородным пространственным распределе-
нием инжектированного объемного заряда. Независимо от того,
10-0699
146 Часть I. Токи монополярной инжекции
каким образом ловушки распределены по энергиям, поле всегда
возрастает с увеличением расстояния от катода. Например, если
ловушки почти повсюду мелкие, то $ (х) ~ х1^. Если теперь
небольшое количество заряда (намного меньше, чем eV/L) осво-
бождается импульсом света, то возникающий в результате беско-
нечно тонкий слой заряда будет при своем движении к аноду уско-
ряться в неоднородном поле, и поэтому ток будет увеличиваться
со временем. Таким образом, вместо того, чтобы получить плоскую
переходную характеристику ТНООЗ, плоскость которой обуслов-
лена тем, что поле постоянное, мы получаем нарастание тока. Слой
заряда достигает анода за время пролета tT и покидает кристалл,
после чего ток быстро спадает к своему стационарному значению.
(Разумеется, мы предполагаем, что tT значительно меньше, чем
время захвата т.) Итак, в рассматриваемом случае получается
переходная характеристика с остроконечным пиком вследствие
неоднородного распределения поля, обусловленного объемным
зарядом, захваченным до того, как заряд освобождается падающим
на образец световым импульсом. Подобного рода «ложного» остро-
конечного пика можно избежать, если в случае применения фото-
инжекции работать с неинжектирующими контактами.
§ 2. ИНФОРМАЦИЯ, ПОЛУЧАЕМАЯ ИЗ ИЗМЕРЕНИЯ
ПЕРЕХОДНЫХ ИНЖЕКЦИОННЫХ ТОКОВ
Поскольку кривая переходного ТООЗ обладает более сложной
структурой по сравнению с кривой переходного ТНООЗ, она,
конечно, несет большее количество информации. Вся информация,
которую можно получить из кривых ТНООЗ, содержится и в кри-
вых ТООЗ. Поэтому в дальнейшем мы почти полностью ограни-
чимся рассмотрением переходного ТООЗ, касаясь переходного
ТНООЗ лишь тогда, когда это окажется необходимым. Кроме
того, мы будем предполагать, что учитываются многочисленные,
упомянутые в предыдущем параграфе критерии для распознавания
разновидностей переходного тока.
Если на осциллограмме переходного тока имеется положитель-
ный выброс, то положение этого максимума тока во времени Ц
служит прямой мерой дрейфовой подвижности носителей. Дей-
ствительно, из формул (6.8) и (6.14) следует
р. = 0,786-^ см2/(В-с). (6.19)
Этот метод определения подвижности обладает теми же основными
достоинствами, какими обладает и метод переходных ТНООЗ.
Его применение не требует предварительных знаний каких бы то
ни было констант материала. Далее, положительный выброс отно-
сительно велик и хорошо опознаваем, что позволяет определять р.
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 147
с достаточной точностью, например до 10%. Как будет показано
ниже, рассматриваемый метод успешно применялся при опреде-
лении подвижности дырок в иоде, антрацене и сере.
Пропорциональность времени величине 1/V может служить
хорошим подтверждением интерпретации экспериментальных дан-
ных. В тех же целях можно использовать и пропорциональность
переходного тока величине V2. В случае ТНООЗ переходный ток
пропорционален V. Измерения зависимости начального тока
от толщины образца при заданном напряжении также обеспечива-
ют хорошую проверку принятой модели. Если инжектирующий
контакт создается путем фотовозбуждения, причем применяется
падающий на образец импульсный свет, то независимость тока J<>
от интенсивности света служит веским доводом в пользу того, что
создан достаточный резервуар свободных носителей, для того
чтобы поддерживать прохождение ТООЗ в изоляторе.
Рассчитав и по формуле (6.19), мы получаем возможность
определить по току Jn относительную статическую диэлектриче-
скую проницаемость х
х = 2,25.1013^ , (6.20)
|1 V
где плотность тока 70 выражается в амперах на квадратный санти-
метр, длина L — в сантиметрах, подвижность р. — в единицах
см2/(В-с), а напряжение V — в вольтах. Фактически вследствие
некоторой чувствительности тока к детальной структуре контакта
при таких измерениях можно достичь точности только до постоян-
ного множителя, равного 2. Поскольку х можно измерить со зна-
чительно большей точностью, например емкостным методом, фор-
мулу (6.20) следует рассматривать просто как дополнительную
возможность проверки ц, когда х известно.
Если изолятор анизотропен, то компоненты диагонализирован-
ного тензора подвижности (и тензора диэлектрической проницае-
мости) можно определить по формулам (6.19) и (6.20), измеряя
переходные ТООЗ в направлениях главных осей. Подобные изме-
рения на ориентированных образцах были проведены для антра-
цена и иода.
Когда наблюдаемый переходный ТООЗ напоминает кривую 2
на фиг. 29, подбором соответствующей теоретической кривой с ис-
пользованием безразмерной величины r/t0 в качестве подгоноч-
ного параметра можно определить время захвата т. Самосогласо-
ванность экспериментальных данных проверяется путем подгонки
нескольких переходных кривых, снятых при различных напряже-
ниях. Действительно, поскольку t0 ~ 1/V, значение т/% различно
для разных кривых, но произведение (т/%) % должно быть одина-
ковым для всех кривых. Если концентрацию ловушек Nt можно
определить из измерения стационарного ТООЗ на том же образце
10*
148 Часть I. Токи монополярной инжекции
(см. гл. 5, § 2), то такая информация в сочетании с определением т
по переходному ТООЗ позволяет рассчитать сечение захвата сво-
бодных носителей на уровень прилипания.
При больших временах захвата т/70^> 1 переходная характе-
ристика в диапазоне малых времен, например при t < 5 по-ви-
димому, будет совпадать с безловушечной кривой (т = оо). Однако
последующий спад тока будет происходить в масштабе времени,
сравнимом с т. Это можно видеть из экспериментальных данных
для иода, приведенных на фиг. 39, а (малые времена) и 39, б
(большие времена и различные напряжения). Последние данные
позволяют путем подбора аппроксимирующих кривых показать
наличие двух времен захвата.
Критерии наблюдения переходных ТООЗ в изоляторах, осно-
ванные на приведенных выше соображениях, дали Силвер и др.
1156].
Методы переходных инжекционных токов можно применять
и при исследовании процессов фотопроводимости. Когда инжекти-
рованные носители возбуждаются светом, поведение фотоноси-
телей определяется двумя конкурирующими механизмами: втя-
гиванием носителей электрическим полем в объем образца и их
рекомбинацией в пределах приконтактной области, где происходит
фотовозбуждение. При заданной интенсивности возбуждающего
света (плотности поглощенного потока фотонов) заряд Q в прикон-
тактной области зависит от скорости рекомбинации. Характер
переходного процесса — возникновение ТНООЗ или ТООЗ —
также зависит от Q. Ясно, что скорости рекомбинации в процессе
фотопроводимости можно исследовать, наблюдая переход от неста-
ционарного ТООЗ к нестационарному ТНООЗ в зависимости от ин-
тенсивности света. Подобного рода эксперимент был выполнен
Симхони и Гореликом [94] на кристаллах иода.
§ 3. МАТЕРИАЛЫ, ИССЛЕДОВАННЫЕ МЕТОДОМ!
ПЕРЕХОДНЫХ ИНЖЕКЦИОННЫХ ТОКОВ
Первым прямым приложением описанных выше методов к изу-
чению переноса заряда в твердых телах явилась, по-видимому,
работа Брауна [143] на AgCl. Браун использовал разновидность
метода ТНООЗ, описанную в конце § 1, п. 1, в которой измеряется
интеграл переходного тока. Впоследствии по мере разработки
других временнйх методов были исследованы различные другие
материалы. В обзоре, который составляет содержание настоя-
щего параграфа, мы ограничимся детальным рассмотрением ран-
них оригинальных работ и лишь кратко упомянем более поздние
исследования.
Гл, 6. Переходные инжекционные токи 149
1. ХЛОРИД СЕРЕБРА
Как отмечено выше, первым применением инжекционных токов
для исследования дрейфовой подвижности носителей в твердых
телах, по-видимому, было измерение Брауном [143] подвижности
электронов в AgCl. В этой работе была использована разновид-
ность метода переходных ТНООЗ, рассмотренная в конце § 1,
п. 1. Браун измерял время пролета импульсов вторичных элект-
ронов, освобожденных отдельными налетающими 0-частицами
с энергией 2 МэВ в кристаллах толщиной около 5 мм. Ориентация
кристаллов не уточнялась. Оказалось, что при температуре
—187°С дрейфовая подвижность электронов р,п составляла
274 см2/(В. с), причем она изменялась в интервале температур
от —187 до + 77°С по закону = 2,54 ПО5 T~s>2, что говорит
о рассеянии на акустических колебаниях.
S. СЕЛЕН
Следующий шаг в развитии этого метода был сделан Спиром
[144], который усовершенствовал метод инжекции носителей
по сравнению с тем, который применялся Брауном, заменив
Фиг. 31. Блок-схема установки Спира для изучения переходного ТНООЗ
в селене [144].
1 — образец; 2 — электронный импульс; 3 —усилитель; 4 — осциллограф; 5 — источ-
ник напряжения.
0-источник электронной пушкой. Экспериментальная установка
Спира схематически изображена на фиг. 31. Электронная пушка
испускает импульсы электронов длительностью 0,1 мкс, проникаю-
щие в образцы через напыленные золотые электроды. В качестве
образцов применялись напыленные стеклообразные слои селена
толщиной 2—12 мкм. Последовательно с образцом включены источ-
ник постоянного напряжения и вход усилителя, зашунтированный
интегрирующей емкостью. Спир исследовал перенос как дырок,
так и электронов, выбирая соответствующим образом полярность
приложенного напряжения.
Путем прямого наблюдения времени пролета инжектированных
электронов Спир нашел, что дрейфовая подвижность электронов
150 Часть I. Токи монополярной инжекции
рп при комнатной температуре находится в пределах (4,7—5,5) X
X 10-3 см2/(В -с) и что ее температурная зависимость описывается
экспонентой ехр (—EJkT) с энергией активации Еа = 0,25 эВ.
Аналогично подвижность дырок и;, оказалась равной 0,1 —
0,2см2/(В -с), причем для энергии активации было получено значе-
ние 0,16 эВ. Температура в рассматриваемых опытах изменялась
от —30 до +42ОС. Малые значения и,, и а также их темпера-
турную зависимость Спир отнес за счет ловушечного механизма,
определяющего дрейф носителей, который был рассмотрен в работе
Роуза [3J. В более поздней работе Спир [157] увеличил точность
определения указав в качестве пределов возможных значений
0,13 и 0,14 см2/(В-с). Для энергии активации он привел значение
0,14 эВ.
Спир [158] исследовал также тем же методом перенос заряда
в кристаллах а-мопоклинного селена. Перенос как электронов,
так и дырок исследовался в кристаллографическом направлении,
перпендикулярном плоскости (101). Эти измерения времени про-
лета дали для подвижности электронов и„ при температуре 21° С
значение около 2 см2/(В-с). Выше 0° С наблюдалась зависимость
~ Т~3 * */2, однако при понижении температуры был обнаружен
резкий переход от подвижности, определяемой в основном решет-
кой, к подвижности, контролируемой уровнями прилипания.
Выла определена их глубина залегания, оказавшаяся равной
0,25 эВ. Такая же глубина уровней была найдена и в случае стек-
лообразного селена. Было установлено, что подвижность дырок
контролируется уровнями прилипания в диапазоне температур
от -120 до +110° С.
3. СУЛЬФИД КАДМИЯ
Подвижности и Цр в монокристаллах CdS измеряли Спир
и Морт [159, 160]. Они применяли тот же метод, что и в случае
селена, и провели измерения в интервале температур от —190
до 230 ' С. Значения рге, относящиеся к температурам выше
—110° С, хорошо согласуются с данными по эффекту Холла. При
этих температурах подвижность электронов определяется рассея-
нием на акустических колебаниях и подчиняется зависимости и„ =
~ 1,28-106 Т~3!2. При температурах ниже —110° С авторы наблю-
дали переход к механизму переноса носителей, контролируемому
уровнем, расположенным на 0,049 эВ ниже дна зоны проводимости.
Использованный прямой метод позволил впервые определить
в CdS дрейфовую подвижность дырок иг,. Было измерено также
время жизни дырок. При комнатной температуре были получены
значения колеблющиеся в пределах 10—18 см2/(В-с) со сред-
ним значением около 15 см2/(В-с). Время жизни, измеренное при
комнатной температуре, оказалось равным 0,1—0,3 мкс. Темпера-
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 151
турная зависимость исследовалась в диапазоне от —190 до 230° С.
При понижении температуры подвижность достигала максималь-
ного значения в точке —63° С; в дальнейшем она спадала экспо-
ненциально, причем энергия активации была равна 0,019 эВ.
4. АНТРАЦЕН: ПЕРЕХОДНЫЕ THOO3
Первые подробные исследования механизмов переноса носите-
лей в органических молекулярных кристаллах с использованием
переходных инжекционных токов были проведены Кеплером [145,
161]. Он изучал перенос как электронов, так и дырок в антрацене
Фиг. 33. Типичная кривая зависи-
мости ТНООЗ в антрацене от вре-
мени [161].
Каждое деление на горизонтальной оси
соответствует 50 мкс.
Фиг. 32. Блок-схема установки
Кеплера для изучения переходного
ТНООЗ в антрацене [145].
1 — кристалл антрацена; 2 — электроды
из проводящего стекла; з — импульс све-
та; 4 — усилитель; 5 — осциллограф; 6 —
источник напряжения.
методом ТНООЗ с непосредственной регистрацией переходного
тока. Антрацен представляет собой молекулярный кристалл (связь
осуществляется силами ван дер Ваальса) с моноклинной элемен-
тарной ячейкой, содержащей две молекулы. Кристалл антрацена
имеет четко выраженную плоскость спайности ab, которая являет-
ся основанием моноклинной ячейки. В опытах Кеплера носители
перемещались либо параллельно, либо перпендикулярно этой
плоскости.
Блок-схема установки Кеплера показана на фиг. 32; она не тре-
бует пояснений. Кристалл изолировался от электродов из прово-
дящего стекла с помощью тонких (25 мкм) прослоек из майлара.
Изучался переходный ток после возбуждения кристалла импульса-
ми света длительностью 1—2 мкс, падающими на кристалл через
один из прозрачных электродов. Использовался свет с длиной вол-
ны, меньшей, чем длина волны, соответствующая краю полосы
поглощения. Такой свет не проникал в кристалл глубже чем на
1 мкм. Толщина кристаллов составляла 1—2 мм. В антрацене
152 Часть I. Токи монополярной инжекции
обычно наблюдается только дырочная фотопроводимость, посколь-
ку электроны быстро захватываются примесями. Потратив зна-
чительные усилия на очистку используемого материала, Кеплер
сумел исследовать перенос как дырок, так и электронов. Тип носи-
телей, дающих импульс тока, соответствует полярности освещае-
мого электрода.
На фиг. 33 показан типичный импульс ТНООЗ. Одно деление
на горизонтальной оси соответствует 50 мкс, так что длительность
импульса превышает 300 мкс. Медленное нарастание тока в начале
импульса обусловлено постоянной времени измерительной схемы,
тогда как длинный «хвост» импульса является мерой расширения
тонкого слоя заряда вследствие диффузии. Первоначально этот
слой весьма четко ограничен. Отношение длительности импульса
к времени пролета составляет примерно 5-10-3, так что начальная
ширина слоя приблизительно равна 7 мкм.
Кеплер [161] исследовал зависимость подвижности носителей
обоих типов от температуры, давления и ориентации кристаллов.
В целом эта работа явилась яркой демонстрацией мощности метода
инжекционных токов, применяемого для получения сведений
об электронных свойствах различных материалов. На фиг. 34 пока-
зана полученная температурная зависимость дрейфовой подвиж-
ности электронов и дырок в кристаллографическом направлении,
перпендикулярном плоскости ab, причем подвижность отнесена
к ее значениям при комнатной температуре, = 0,3 см2/(В -с)
и р,р = 0,4 см2/(В -с). Аналогичные зависимости наблюдались
и в других направлениях. Анизотропия дрейфовой подвижности
электронов и дырок в плоскости аЪ показана на фиг. 35.
б. АНТРАЦЕН: ПЕРЕХОДНЫЕ ТООЗ
Переходные ТООЗ в антрацене измеряли Хельфрих и Марк
[78] на образцах со стационарными омическими контактами и Сил-
вер и др. [162] с резервуаром носителей, создаваемым светом.
В обоих случаях исследовался только перенос дырок. Сначала мы
рассмотрим опыты Хельфриха и Марка.
Проблема разрешения элементов кривой переходного ТООЗ
при инжекции носителей из стационарного контакта после при-
ложения ступеньки напряжения усложняется тем, что измеритель-
ная цепь должна обладать постоянной времени, значительно мень-
шей, чем to, и тем, что приложение напряжения к изолирующему
образцу сопровождается значительным емкостным выбросом
тока. Эти трудности были преодолены путем использования мосто-
вой схемы, приведенной на фиг. 36. При замыкании контактов
ртутного реле 3 к точке А подводится потенциал —У/2, а к точке
В — потенциал 4-7/2. Точка В соединена с инжектирующим
контактом Ki, который представляет собой 1 М раствор KI,
Фиг. 34. Температурная зависимость подвижности носителей в антрацене,
полученная методом переходных ТНООЗ [161].
1 — дырки; 2 '— электроны.
Фиг. 35. Анизотропия дрейфовых подвижностей электронов и дырок
в антрацене, полученная методом переходных ТНООЗ [161].
Светлые значки относятся к электронам, темные — к дыркам. Различные типы значков!
соответствуют разной величине исходных кристаллов, из которых для измеренвй были.
, вырезаны малые образцы.
154 Часть I. Токи монополярной инжекции
насыщенный свободным иодом, и с одним каналом двухлучевого
осциллографа 2. Контакт К2 представляет собой 1 М раствор KI
и является неинжектирующим для носителей обоих типов. Точка
ф и г. 36. Мостовая схема Хельфриха и Марка для исследования переход-
ных ТООЗ в антрацене [78].
1 — образец; 2 — двухлучевой осциллограф; з — ртутное реле.
А соединена с подстроечным конденсатором Скоаш. Внутреннее
сопротивление батареи зашунтировано большой емкостью Сд, так
Ф и г. 37. Типичная осциллограмма переходного ТООЗ в антрацене (сред-
няя кривая) [78].
Верхняя кривая — напряжение на образце, средняя — ток при прямом смещении, ниж-
няя — ток при обратном смещении. Начало кривой напряжения находится на два боль-
ших деления выше, чем начало кривых тока. Цена большого деления: для напряжения
10 В, для тока 1-10-» А, для времени 1-10-» с. Толщина кристалла 102 мкм.
что разность потенциалов между точками А и В достигает макси-
мального значения за время меньше 10~7 с. Ток через образец 1
определяется из падения напряжения на нагрузочном сопротивле-
нии 7?Нагр> присоединенном ко второму каналу осциллографа.
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 155
Емкость Спар представляет собой неустранимую паразитную
емкость проводников. Емкостной выброс тока, обусловленный
тем, что образец обладает геометрической емкостью Собр, компенси-
руется током зарядки конденсатора Скомп, емкость которого
равна емкости Собр.
Типичная переходная кривая для кристалла антрацена толщи-
ной 102 мкм при прохождении тока через кристалл перпендику-
лярно плоскости ab показана на фиг. 37. Примененная при снятии
Фиг. 38. Зависимость времени прохождения фронта инжектированного
заряда через кристалл Z, от напряжения, полученная из измерений переход-
ного ТООЗ в антрацене [78].
Толщина кристалла 50 мкм.
этой кривой скорость развертки во времени равна 10 мкс/деление.
Верхняя осциллограмма изображает импульс напряжения. Его
вершина практически горизонтальна, а нарастание происходит
менее чем за 10 ~7 с. Нижняя осциллограмма показывает ток в цепи
при обратном смещении на образце; этот ток обусловлен тем, что
полная компенсация тока зарядки емкости СОбР невозможна,
поскольку в схеме имеются неустранимые индуктивности. Сред-
няя осциллограмма представляет собой переходный ТООЗ, про-
ходящий при прямом смещении на образце. Ток спадает ниже
своего стационарного безловушечного значения вследствие захва-
та носителей. Подобные временные кривые снимались при различ-
ных напряжениях, что позволило построить график зависимости
времени прохождения фронта инжектированного заряда через
кристалл от величины, обратной напряжению. Такой график для
кристалла толщиной 50 мкм показан на фиг. 38. Крутизна полу-
156 Часть I. Токи монополярной инжекции
ченной прямой показывает, что рп = 0,38 см2/(В -с), в то время
как описание тока квадратичным законом дает для рп значение
0,4 см2/(В-с). Эти значения очень хорошо согласуются с резуль-
татами Кеплера. Были проведены также измерения стационарного
тока, подтвердившие наличие «ловушечного» ТООЗ.
В более поздней работе Хельфрих и Шнейдер [64], применяя
стационарные омические контакты для обоих типов носителей,,
наблюдали переходные ТООЗ как электронов, так и дырок. Кон-
такты при этом создавались на основе неводных растворов, содер-
жащих ионы антрацена. Для изготовления омического анода при-
менялся раствор, содержащий положительные ионы антрацена.
Такой раствор был получен при добавлении А1С13 к раствору
антрацена в нитрометане. Раствор для изготовления омического
катода, содержащий отрицательные ионы антрацена, был получен
при взаимодействии натрия с раствором антрацена в тетрагидро-
фуране. Полученные в этой работе экспериментальные данные для
дырок в антрацене были подтверждены Силвером и др. [156].
Последние авторы применяли неинжектирующие электролитиче-
ские контакты и для создания свободных дырок возбуждали кри-
сталлы импульсами света.
Процессы захвата можно исследовать, измеряя спадающую
часть переходной кривой после остроконечного пика. Подобного
рода опыты на антрацене при создании свободных дырок импульс-
ным светом провели Вейс и др. [92]. Они установили, что имеется
два процесса захвата — быстрый с т = 150 мкс и более медленный
ст ~ 10 мс. Авторы показали, что захват с меньшей постоянной
времени может быть ослаблен посредством отжига кристалла;
поэтому они связали этот процесс с собственными дефектами
решетки.
Хостери и Летсон [91] изучали захват электронов и дырок
введенными в антрацен примесями, измеряя переходные ТНООЗ
методом Кеплера. В качестве примесей применялись антрахинон,
антрон и нафтацен в концентрациях 10-3 ат. % или меньше. Антра-
хинон и антрон более эффективно захватывают электроны, чем
дырки, возможно, в результате большего сродства к электрону.
Нафтацен образует дырочные центры прилипания с уровнем
на 0,43 эВ выше валентной зоны и с сечением захвата, превышаю-
щим 10-15 см2 [30].
в. иод
Монокристаллы иода подробно исследовали Мэни и др. [48,
146, 163, 164]. Иод представляет собой молекулярный кристалл
с низкой точкой плавления (114° G), относящийся к базоцентриро-
ванной орторомбической системе. Его удельное сопротивление
при комнатной температуре составляет примерно 1011 Ом-см,
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 157
причем оно экспоненциально зависит от температуры с энергией
активации около 1 эВ. В этом материале наблюдались только
дырочные ТООЗ. По-видимому, в нем содержится слишком много
электронных ловушек с большим сечением захвата электрона,
обусловливающих настолько малые времена захвата, что в совре-
менных экспериментальных условиях невозможно наблюдать
даже переходные электронные ТООЗ. Дырочные токи возбужда-
лись импульсами сильно поглощаемого света, испускаемого ксе-
ноновой или ртутной разрядной трубкой.
В более ранних работах [48, 146] все измерения тока прово-
дились в кристаллографическом направлении, перпендикулярном
плоскости ас. В некоторых кристаллах наблюдался переходный
ток в условиях медленного захвата, в других — переходный ток
в условиях быстрого захвата, временная зависимость которого
напоминает кривую 2 на фиг. 29. Пример переходного тока в слу-
чае медленного захвата показан на фиг. 39, а. Здесь эксперимен-
тальные данные для одного образца, снятые при трех различных
напряжениях, нормированы к величинам Jo и fj. Из фиг. 39, а
можно видеть, что теоретическая безловушечная кривая (т = оо)
довольно хорошо описывает результаты измерений. Подвижность
дырок при комнатной температуре для этого и других образцов
иода, рассчитанная по измеренному значению й с использованием
формулы (6.19), составляет 0,7 см2/(В-с). Было найдено, что тем-
пературная зависимость подвижности дырок имеет вид цр ~
Для значительно больших промежутков времени на том же об-
разце можно было наблюдать спад тока в условиях медленного
захвата, показанный на фиг. 39, б, где приведены зависимости
тока от времени при трех напряжениях. Экспериментальные дан-
ные хорошо согласуются с теоретическими кривыми спада тока,
определяемого двумя процессами, один из которых соответствует
времени захвата 0,55 с, а другой — времени захвата порядка
нескольких минут. Экспериментальные переходные кривые, соот-
ветствующие быстрому захвату, приведены в оригинальной статье
(см. [48], фиг. 9). В этом случае время захвата составляло 50 мкс.
Были проведены [48] также измерения установившегося ТООЗ.
Чтобы подтвердить интерпретацию экспериментальных данных
по переходным и стационарным токам на основе ТООЗ, авторы
исследовали зависимость плотности тока от толщины образца
при заданном напряжении (100 В) и получили результаты, пока-
занные в двойном логарифмическом масштабе на фиг. 26. (Провер-
ка проводилась также и другими методами.) На фиг. 26 для переход-
ных токов по оси ординат отложена начальная плотность
тока Jo- Сплошной линией показана теоретическая кривая для Jo,
построенная по формуле (6.13) для цр = 0,7 см2/(В-с) и х = 2.
Эти значения параметров были взяты из более ранней работы [146].
Можно видеть, что согласие с экспериментом весьма хорошее, хотя
3,0
<1> и г. 39. Переходные характеристики ТООЗ в кристалле иода [48].
а — переходный ТООЗ в растянутом масштабе времени, отнесенный к начальному?току
= eu,V2/2L3. Время отнесено к времени прохождения фронта инжектированного заряда
через кристалл = 0,786 L2/pV. Экспериментальные точки соответствуют различным зна-
чениям напряжения: 7—200 В, 2—400 В, 3—800 В. Сплошная кривая — теоретическая
безловушечная зависимость.
б — изменение переходного ТООЗ при тех же значениях напряжения в сжатом масштабе
времени. Штриховые линии соответствуют двум процессам релаксации (с постоянными
времени 0,55 с и несколько минут), а сплошная линия — суммарному процессу. Толщина
образца 7,2-10-2 см.
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 159’
оно несколько ухудшается, если учесть, что уточненное значение
относительной диэлектрической проницаемости %ь = 3 для данно-
го кристаллографического направления.
Поскольку измеренный установившийся ТООЗ подчиняется
«ловушечному» квадратичному закону-(4.45) при неизвестном зна-
чении 6, через экспериментальные точки нельзя провести расчет-
ную кривую. Штриховая линия, проведенная через эти точки, —
это лишь наилучшим образом подобранная кривая типа J ~ L'3.
Значительный разброс экспериментальных точек вокруг этой
линии связан с изменением концентрации ловушек от одного образ-
ца к другому. Подобный разброс отсутствует вокруг сплошной
линии, аппроксимирующей результаты измерений переходного
тока, так как на величину начального тока не влияет захват,
который начинается только некоторое время спустя. Согласно
формулам (4.45) и (6.13), расстояние по оси ординат между сплош-
ной и штриховой линиями в точности равно 0,44g)-1, откуда следу-
ет, что при комнатной температуре и усреднении по использован-
ным образцам 0 х- 0,02.
Из измеренной на одном кристалле зависимости тока, соот-
ветствующего «ловушечному» квадратичному закону, от темпера-
туры при заданном напряжении (график зависимости In 0 от 1/Т)
была определена глубина залегания ловушек Et‘— Ev. Она ока-
залась равной 0,6 эВ. Принимая Nv ж 1022 см-8, можно было
рассчитать соответствующую концентрацию уровней Nt —
= 5 -1013 см-3. Наконец, из этих данных и результатов измерений
переходного ТООЗ было найдено, что сечение захвата дырки на эти
уровни равно 1Q-20 см2 или меньше.
В более поздних работах [163, 164] переходные ТООЗ измеря-
лись вдоль трех главных кристаллографических направлений ат
& и с в орторомбическом кристалле иода. Полученные значения
подвижности носителей приведены в табл. 4. Данные для направ-
ления b подтверждают результаты более ранней работы [48].
Относительная диэлектрическая проницаемость при комнатной
температуре, определенная емкостным методом с помощью мос-
Таблица 4
Подвижность дырок в иоде [164]
Кристалло- графическое направление цр, СМ2/(В-С) (при комнатной температуре) Температурная зависимость
Т= 190 - 230 К Т = 230 - 260 К т = 260- 320 К
а 2,3+0,2 /2,2 const /-1,5
ь 0,72+0,05 /-0,2 /-0,2 /“1,3
с 2,1+0,2 /0,5 const 2,1
160
Часть I. Токи монополярной инжекции
товой схемы [164], оказалась равной: иа = 6 ± 0,5, =
= 3 ± 0,3 и хс = 40 ± 2. В интервале температур 180—330 К
эти значения изменяются на 10% в сторону уменьшения и на 30%
в сторону увеличения (графики температурной зависимости ха,
хь и хс см. в работе [164]). •
Время жизни дырок, освобождаемых импульсом света в иоде,
определялось из анализа спадающей части переходных характери-
стик ТООЗ, возникающей вследствие рекомбинации носителей
в фотовозбужденной области [94]. В исследованных образцах
в поверхностном слое, параллельном плоскости ас, время жизни
дырок составляло 1 —3 мкс.
7. СЕРА
Перенос заряда в кристаллах серы S8 изучали Адамс и Спир
[165] и Адамс и др. [166], которые применяли метод проинтегри-
рованного переходного ТНООЗ, и Мэни и др. [167], изучавшие
переходные ТООЗ, возбужденные импульсами света.
Адамс и Спир [165] измеряли дрейфовую подвижность дырок
в орторомбическом кристалле серы в кристаллографическом напра-
влении, перпендикулярном плоскости (111), при температурах
от 180 до 370 К. В работе было показано, что при комнатной
температуре дырки дрейфуют с решеточной подвижностью, прибли-
зительно равной 10 см2/(В -с), и имеют рекомбинационное время
жизни 10 мкс. При более низких температурах перенос дырок
является процессом, контролируемым уровнями прилипания,
которые расположены на 0,19 эВ выше потолка валентной зоны.
Методом проинтегрированного ТНООЗ изучался также перенос
электронов [166]; для дрейфовой подвижности при 19°С было полу-
чено значение 5,5-10“4 см2/(В-с). Дрейфовая подвижность экспо-
ненциально возрастает с температурой с энергией активации
0,94 эВ. Мэни и др. [167] подтвердили результаты измерений Адам-
са и др. [166], получив для ц„ значение 6-10~4 см2/(В-с), но для
энергии активации они нашли несколько иное значение, а именно
0,2 эВ. Таким образом, механизм переноса заряда в сере весьма
похож на механизм переноса заряда в стеклообразном селене.
Дрейфовая подвижность электронов очень мала и, очевидно,
описывается механизмом межмолекулярных прыжков (с частотой
перехода 4 -109 с-1), тогда как дрейфовая подвижность дырок доста-
точно велика, чтобы предположить, что перенос заряда происходит
по (узкой) разрешенной зоне.
в. кремний
Подвижность дырок в некомпенсированном (безловушечном)
кремнии с удельным сопротивлением 6 -104 Ом-см измеряли Лем-
ке и Мюллер [120] методом переходного ТООЗ. Дырки инжектиро-
Гл. 6. Переходные инжекционные токи 161
вались либо изр + — р-контакта, либо из напыленного платинового
контакта. Применяя стробоскопический осциллограф, авторы
наблюдали переходные характеристики с остроконечным пиком,
очень хорошо согласующиеся с теорией вплоть до удвоенного вре-
мени пролета. Усредненное по четырем образцам значение подЬиж-
ности дырок составляло 450 см2/(В-с). Отметим, что это значение
в 40 раз превышает наивысшую подвижность, измерявшуюся
когда-либо ранее методом переходного ТООЗ [10 см2/(В -с) для
дырок в сере].
гллал 7
Специальные вопросы
В настоящей главе мы рассмотрим ряд вопросов, относящихся
к токам монополярной инжекции, которые по различным причинам
не были включены в предыдущие главы. Вначале мы коснемся воз-
действия фотовозбуждения на ТООЗ. Затем дадим обзор различ-
ных методов, разработанных для прямого измерения величины
объемного заряда в твердом теле при монополярной инжекции.
Такого рода измерения являются, несомненно, наиболее прямой
проверкой наличия ТООЗ. Вслед за этим мы рассмотрим вопрос
о временах установления теплового равновесия. Этот вопрос имеет
решающее значение при определении возможности проведения
экспериментов в таких условиях, когда образцы в исходном состо-
янии находятся в тепловом равновесии. Далее мы обратим внима-
ние на математические трудности, возникающие в тех случаях,
когда пытаются описать явления в сильных электрических полях,
т. е. когда приходится учитывать зависимость подвижности носи-
телей от напряженности электрического поля. Здесь мы предло-
жим метод аппроксимации, сохраняющий возможность аналити-
ческой обработки задач, которая составляет сильную сторону
упрощенной теории в случае слабых полей. Вслед за этим мы рас-
смотрим инжекционный квазистационарный ТНООЗ при наличии
захвата носителей, измерявшийся, например, в полупроводниках
с широкой запрещенной зоной в условиях, когда инжекция носи-
телей происходит путем внутренней фотоэмиссии. Затем мы рас-
смотрим механизм, связанный с ТООЗ, который ставит предел
увеличению добротности приборов, основанных на явлении фото-
проводимости; важность этого вопроса для практики очевидна.
Мы закончим главу изложением недавно опубликованных дан-
ных, указывающих на возможность возникновения ионных ТООЗ
в целом ряде материалов, таких, как окисные пленки на полупро-
водниках, а также ионные и жидкие кристаллы.
§ 1. ВЛИЯНИЕ СВЕТА
Освещение образца, в котором поддерживается ток монополяр-
ной инжекции, может привести к увеличению ТООЗ в том случае,
когда часть объемного заряда захвачена и носители, находящиеся
Гл. 7. Специальные вопросы 163
на ловушках, могут каким-то путем получать энергию от падаю-
щего света. Последнее условие может выполняться двумя способа-
ми. Захваченный носитель может непосредственно поглотить фотон
и при этом выброситься в одну из разрешенных зон. Другой воз-
можностью является непрямой механизм освобождения, при
котором поглощенный фотон вначале создает экситон, который
в конечном счете передает свою энергию захваченному носителю.
В любом случае под влиянием света объемный заряд перераспреде-
ляется между состояниями, по которым происходит перенос,
и состояниями, в которых находятся захваченные носители, при-
чем полный объемный зЯряд в твердом теле остается неизменным.
Он определяется, конечно, приложенным напряжением и геомет-
рией образца.
Рассмотрим сначала случай твердого тела с одной группой
моноэнергетических ловушек с концентрацией Nt, коэффициентом
спинового вырождения g и энергией Et. Тогда скорость захвата
носителей на ловушки г и скорость их термического освобождения
gth определяются выражениями (3.12) и (3.13), которые мы здесь
для удобства запишем снова:
г = n(v<j)(Nt — nt), (7.1)
где о — сечение захвата для преобладающего механизма захвата
(обычно безызлучательного),
gth = nt{e)Nc, {е) = ехр;-^ , (7.2)
где мы использовали выражение (3.15). Если твердое тело бомбар-
дируется фотонами, то мы можем определить скорость оптического
освобождения носителей следующим образом:
ёопт (7*3)
где сгопг — полное сечение захвата фотона в процессе фотоиониза-
ции, а / — плотность потока фотонов. Ясно, что в смысле теории
ТООЗ соотношение (7.3) математически эквивалентно соотношению
(7.2). Ведь мы заменили только «тепловую» величину (е) Nc на «опти-
ческую» величину аопт/. Поэтому мы можем по аналогии с (3.15)
приравнять выражения (7.1) и (7.3) и определить таким образом
эквивалентную энергию Е* с помощью соотношения
ехр ¥е*—Ес
(ап) g ехр кт ' '
Мы видим, что влияние примесного света на группу моноэнер-
гетических ловушек с энергией Et можно полностью учесть, при-
писав ловушкам энергию Е*. Отметим, что энергия Е* зависит
как от уровня возбуждения /, так и от величины йопт. Подставляя
Е* вместо Et, мы можем использовать все известные результаты
11*
164 Часть I. Токи монополярной инжекции
теории токов монополярной инжекции. Однако поскольку полная
скорость возбуждения является суммой тепловой скорости (7.2)
и оптической скорости (7.3), ТООЗ будет возрастать с интенсив-
ностью света, поглощенного ловушками, только в том случае,
если выполняется условие
= (7.5)
°ОПТ 5и0ПТ
т. е. существует пороговый уровень освещенности. Рассмотренный
режим оптически стимулированного ТООЗ наблюдался в кристал-
лах CdS Дридонксом и Зейлстра [168]. “
Ситуация оказывается несколько более сложной, когда ловуш-
ки непрерывно распределены по энергиям. Рассмотрим в качестве
До
fo
б
в
Фиг. 40. Энергетические диаграммы для определения соотношения между
скоростями теплового и оптического освобождения захваченных носителей.
Ed — демаркационный уровень, F (J) — темновой квазиуровень Ферми при токе J. При
Ed < Е < Ес преобладает тепловое освобождение, при Е < Е& — оптическое осво-
бождение; а — общий случай, б — случай ED '5> F (J), в — случай ED 4, Г (J).
примера экспоненциальное распределение ловушек, описываемое
выражением (2.36). Следуя Хельфриху [76], мы определим демар-
кационный уровень Е D как энергию, при которой тепловая и опти-
ческая скорости возбуждения равны друг другу. Уровни ниже
Ed опустошаются в основном оптически, тогда как носители
из уровней выше ED освобождаются главным образом теплом
(фиг. 40, а). Поскольку уровни прилипания непрерывно распреде-
лены по энергиям, скорость теплового освобождения gth (Е)
для уровней, обладающих энергией Е, определяется выражением
(7.2), которое следует теперь переписать в виде
gin {Е) = nt (Е) (е} Nc = exp. (7.6)
Гл. 7. Специальные вопросы 165
Скорость оптического освобождения задается выражением (7.3).
Демаркационный уровень определяется из равенства gth (ЕD) =
= £опт; отсюда следует
ED=Ee-kTln-^^. (7.7)
5и0ПТ/
Здесь мы пренебрегаем зависимостью сгопт от энергии при задан-
ном значении hv; в частности, энергия кванта hv должна быть
достаточно большой, чтобы в пределах всего диапазона энергий,
соответствующих рассматриваемым уровням, имела место фото-
ионизация.
Далее мы должны различать два случая: 1) случай ED
F (J) и 2) случай Е D<^ F (.7), где F (J) — квазиуровень Ферми
при темновом токе J. (Отметим, что мы применяем здесь феномено-
логический подход, использованный в гл. 2.) Представляет интерес
только первый случай (фиг. 40, Ь), поскольку во втором случае
(фиг. 40, в) освобождение носителей светом возможно только
с более глубоких заполненных ловушек, а последние составляют
лишь малую долю общего числа заполненных уровней. Следова-
тельно, во втором случае свет практически не влияет на прохож-
дение ТООЗ. Наоборот, в первом случае все уровни, которые долж-
ны заполняться вследствие инжекции в отсутствие света, т. е.
уровни, расположенные ниже F (.7), могут опустошаться светом,
что должно приводить к большим токам при освещении образца.
При количественном определении задачи в первом случае
мы будем пренебрегать зарядом на ловушках, расположенных
между уровнями Еа и Е D. Даже в отсутствие света эти уровни
слишком быстро опустошаются тепловым возбуждением, чтобы
они могли играть заметную роль. Тогда эффективная концентрация
ловушек находится путем вычисления интеграла от функции
распределения (4.115) в пределах от Fo до ЕD:
Е
Го
Поскольку вторым членом в этом выражении можно пренебречь,
имеем
JF't^Nt&xp ; (7.8)
наконец, используя формулу (7.7), мы можем написать
Отношение 0 свободного заряда к захваченному заряду можно
рассчитать, приравнивая скорость оптического освобождения
166 Часть I. Токи монополярной инжекции
из фоточувствительных центров скорости захвата свободных носи-
телей на те же центры. Тогда получим
°опт/
(7.10)
Чтобы вычислить соответствующий фототок, ограниченный
объемным зарядом, достаточно умножить безловушечный ток
(4.9) на это значение 6 и исключить при помощи формулы (7.9).
В результате получаем
(7.11)
. _ 9 еаЛг‘/г , <уопт А1-(1/0 72
опт 8 Nt \ <го> J L3 ‘
Фототок, ограниченный объемным зарядом, изменяется как V2/Ls
Фиг. 41. Вольтамперные характеристики фототока, ограниченного объем-
ным зарядом.
а — вид вольтамперных характеристик при экспоненциальном распределении ловушек
(в двойном логарифмическом масштабе): Г — темновой ток: J - V и J Vi+1; 2—4 —
фототок при последовательно возрастающем уровне освещенности /: JronT''' г =
= Т^/Т; б — экспериментальные вольтамперные характеристики для антрацена [78]: 1—
в темноте, 2—при освещении.
от интенсивности света: /опт ~ причем эта формула содер-
жит тот же параметр I, который входит в выражение для темно-
вого тока. Вид вольтамперных характеристик темнового ТООЗ
и фототока, ограниченного объемным зарядом, при различной
интенсивности света показан на фиг. 41, а. На этой фигуре можно
видеть, что кривые фототока, ограниченного объемным зарядом,
Гл. 7. Специальные вопросы 167
при значительных уровнях инжекции сливаются с кривой темно-
вого ТООЗ. При любой заданной интенсивности света /, которая,
согласно соотношению (7.7), определяет положение уровня Е D =
= ЕD (/), точка слияния кривых характеризуется током J, при
котором уровень F (J) совпадает с Е D.
Фототоки, ограниченные объемным зарядом при экспоненци-
альном распределении ловушек, впервые наблюдали в антрацене
Марк и Хельфрих [30, 78]. Одна из полученных кривых приведена
на фиг. 41, б. При низких уровнях инжекции фототок изменяется
почти в точности как V2. В то же время темновой ток пропорцио-
нален более высокой степени V. Подробное экспериментальное
исследование рассматриваемого явления было затем проведено
Янзеном и др. [90]. И в этом случае применялись кристаллы антра-
цена. Эти авторы подтвердили не только пропорциональность
фототока V2, но и связанные между собой зависимости фототока
от интенсивности света и темнового тока от напряжения, вытекаю-
щие соответственно из выражений (7.11) и (4.139).
Применяя аналогичный подход, Хельфрих [76] вывел формулу
для фототока, ограниченного объемным зарядом, в случае одно-
родного распределения уровней прилипания в запрещенной зоне
изолятора (см. гл. 4, § 7, п. 2)
т _ 9 /<?оптер V2 п ,
( ’
где jTq — (постоянная) концентрация уровней прилипания в еди-
ничном интервале энергии [см. (4.143)]. Полученная зависи-
мость сильно отличается от почти экспоненциальной вольтам-
перной зависимости темнового тока, задаваемой выражением
<4.159).
Ситуация может оказаться намного более сложной, когда при
прохождении ТООЗ через твердое тело в нем поглощается соб-
ственный свет. Действие такого света не ограничивается перерас-
пределением инжектированного заряда между разрешенной зоной
и дефектными состояниями, но создает также неосновные носители,
и, пока последние остаются свободными, на них могут влиять силы
неоднородного электрического поля, обусловленного объемным
зарядом основных носителей. Неосновные носители стремятся,
таким образом, нейтрализовать объемный заряд. Это явление уже
по определению биполярное. Мы не будем рассматривать его
далее, за исключением одного краткого замечания. Как показали
в своих ранних экспериментальных работах Смит [33] и Смит
и Роуз [34] (см. фиг. 24), а после них Брейнлих [169], основное
влияние такого света заключается в том, что вместо темнового
ТООЗ будет наблюдаться большой омический фототок.
168 Часть I. Токи монополярной инжекции
§ 2. ПРЯМОЕ^ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА
Когда делались первые попытки обнаружить токи монополяр-
ной инжекции в твердых телах, было очень важно установить
наличие максимального числа теоретически предсказываемых
характерных черт ТООЗ. Пожалуй, наиболее очевидной из таких
черт является само существование объемного заряда. Если он может
быть измерен и его значение согласуется со значением, предска-
зываемым, исходя из приложенного напряжения и размеров образ-
ца, то это действительно веский довод в пользу наличия ТООЗ.
Если бы весь заряд, инжектированный в образец, изготов-
ленный из какого-нибудь часто применяемого материала, на-
пример CdS, оставался свободным, то его было бы весьма трудно
измерить. Как легко понять, причина заключается в том, что
выполнение такого измерения связано с необходимостью опреде-
ления объемного заряда в образце непосредственно после снятия
напряжения, при помощи которого производится инжекция.
В случае обычно применяемых размеров образца (L « 1 мм)
и напряжений (У 100 В) при подвижности носителей порядка
100 см2/(В-с) инжектированный свободный объемный заряд поки-
нул бы кристалл за время порядка времени пролета носителей
(L2/pV), т. е. за время, приблизительно равное 10-6 с, после того,
как снято инжектирующее напряжение. Это очень малый проме-
жуток времени. К счастью, по крайней мере в настоящей задаче,
основная часть объемного заряда, инжектированного в реальный
материал, находится в связанном состоянии, так что «вытекание»
объемного заряда из кристалла после снятия приложенного
напряжения определяется не временем пролета, а временем тепло-
вого освобождения инжектированных носителей из ловушек.
Последнее обычно достаточно велико, и измерение инжектирован-
ного объемного заряда оказывается сравнительно легкой задачей.
(На самом деле в случае материалов с широкой запрещенной
зоной часто возникают трудности, связанные с чрезмерно боль-
шими временами захвата, которые рассматриваются в следующем
параграфе.)
Первое прямое наблюдение инжектированного объемного заря-
да было проведено Смитом и Роузом [34], которые ставили опыты
на CdS. В их установке кристалл удерживался между двумя индие-
выми (омическими) прижимными контактами (фиг. 42). Установка
была снабжена устройством для раздвижения электродов, с по-
мощью которого кристалл освобождался из зажима и после этого
падал в чашу электрометра. ТООЗ вызывался приложением напря-
жения к прижатым к кристаллу электродам. Затем электроды
раздвигались и после падения кристалла в чашу электрометра
можно было прямо измерить заряд кристалла. Полученные таким
способом значения совпадали с точностью до множителя 2 с ожи-
Гл. 7. Специальные вопросы 169
даемым значением. Погрешность измерений приписывалась неточ-
ности определения площади электродов. Этот же метод применил
несколько позднее Руппель [68] при измерении инжектированного
объемного заряда в кристаллах ZnS.
Если нельзя применить омические прижимные контакты, то
следует воспользоваться более сложной методикой. Это относится,
Фиг. 42. Схема опыта по измерению заряда, инжектированного в изоля-
тор [34].
а’—к изолятору приложено напряжение, б — изолятор сброшен в чашу электрометра 2;
2 — кристалл CdS, з — индиевые электроды, 4 — устройство для закорачивания и
раздвижения электродов.
например, к антрацену, для которого используются инжектирую-
щие контакты из электролитов. В этом случае образец следует
снабдить одним инжектирующим и одним неинжектирующим кон-
тактами. После того как при напряжении Vo устанавливается
стационарныйТООЗ, мгновенно включается обратное напряжение
Vr, которое вытягивает избыточный объемный заряд через омиче-
ский контакт, причем приток неравновесных носителей через
неинжектирующий контакт отсутствует. Если Vr < Vo, то кри-
сталл покидает только часть инжектированного объемного заряда,
но если Vr > Vo, то вытягивается по существу весь инжектирован-
ный объемный заряд. Таким образом, измерение снятого заряда
Q как функции Vr показывает, что Q растет с Vr до тех пор, пока
не будет выполняться равенство Vr = Vo, после чего заряд Q
170 Часть I. Токи монополярной инжекции
остается неизменным. Именно такую зависимость наблюдали
Хельфрих и Марк [80], которые экспериментировали на антра-
цене. Измеренный объемный заряд совпал с рассчитанным значе-
нием с точностью до 20%.
§ 3. ВРЕМЕНА УСТАНОВЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ
На протяжении всей книги мы исходим из основного предполо-
жения, что твердое тело до инжекции носителей заряда находится
в тепловом равновесии. Экспериментатор, конечно, не может
это только предполагать, а должен попытаться доказать это путем
измерений или, по крайней мере, путем правдоподобной аргу-
ментации. Чтобы показать, с какими трудностями может быть
связано осуществление гипотетического теплового равновесия,
особенно в полупроводниках с широкой запрещенной зоной, мы
оценим время освобождения носителей из ловушек при тепловом
возбуждении, т. е. величину, определяющую восстановление теп-
лового равновесия вслед за нарушением его, например, в резуль-
тате инжекции носителей заряда.
Обозначим для определенного уровня прилипания скорость
захвата электронов и скорость их теплового освобождения 7?с
и 7?е соответственно. Тогда мы можем написать
= 7- = n(w), (7.13)
1»с
7?е = -^-, (7.14)
•'в
где тс и те — постоянные времени захвата и освобождения элек-
тронов. Выражения (7.13) и (7.14) представляют собой лишь дру-
гую запись выражений (3.12) и (3.13). Величины <е) и (W) свя-
заны условием детального равновесия [соотношение (3.15)]. При
этом из (7.14) следует
Те ~ (га) Nc ехр kf~~ ’ (7« 15)
Подставляя в выражение (7.15) «типичные» значения парамет-
ров при комнатной температуре g = 2, Na = 2 -1019 см'3 и (vo) =
= 10-8 см3/с, или (o’) л; 10~15 см2, мы можем переписать его в виде
те « 10'11 ехр [(^с — Et)/kT], грр кТ = 1/40 эВ. В табл. 5 при-
ведены рассчитанные по последней формуле значения постоянной
времени те, которые соответствуют различным глубинам залегания
ловушек Ес — Ef. Можно видеть, что, когда расстояние уровня
от дна зоны проводимости превышает 0,75 эВ, время теплового
•освобождения при комнатной температуре становится очень боль-
шим. Если имеются столь глубокие уровни прилипания, то для
приведения кристалла в состояние теплового равновесия при-
Гл. 7. Специальные вопросы 171
Таблица 5
Время теплового освобождения носителей
из ловушек при комнатной температуре
10-п ехр ^TEt- , W=^3B
Ес — Яр эВ те эВ хе
1,61 З-Ю» дет1) 0,75 2 мин
1,09 3 года 0,69 10 с
0,98 10 дней 0,58 10-1 с
0,92 1 день 0,52 IO"2 с
0,81 15 мин 0,40 IO”* с
1) Время порядка возраста Земли.
ходится, очевидно, прибегать к другим средствам, например
применять разогрев, за которым следует медленное охлаждение
до комнатной температуры, или облучение кристалла светом под-
ходящей длины волны.
§ 4. ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Путем феноменологического анализа в гл. 2, § 10, было уже
установлено, каким образом зависимость подвижности от поля
влияет на вольтамперную характеристику ТООЗ. Там мы пока-
зали, что если известна зависимость скорости дрейфа носителей
от напряженности поля v (§), то вольтамперную характеристику
легко получить при замене напряженности поля § ее средним зна-
чением VIL, т. е. при подстановке v (V/L) вместо v (§). Если
требуется более детальное описание прохождения тока, то следует
исходить из основных уравнений (3.7), (3.8) и (3.11) и граничного
условия (3.21), математически определяющих ТООЗ. Теперь мы
рассмотрим этот вопрос с учетом всего того, о чем шла речь в гл. 3,
§4, где формулируется упрощенная теория. Вместо полевых пара-
метров и входящих в соотношение (3.18), здесь удобно
ввести аналогичные параметры Vj и vJtJ, имеющие размерность
скорости:
Отметим, что Vj = и Vjj = Теперь мы можем напи-
сать соотношения
(7Л7)
которые эквивалентны соотношениям (3.17).
172 Часть I. Токи монополярной инжекции
Далее в соответствии с уравнениями (3.19) и (3.20) мы получаем
~ = (7.18)
_J—= Л(р у)(До.4_у_^М_\. (7.19)
а (р; J) в ' J ' \ v 1 2-1 vJt '
j
В противоположность тому, как мы поступали в случае фено-
менологического анализа, проведенного в гл. 2, § 10, в настоящем
параграфе поле более удобно считать функцией дрейфовой ско-
рости g = g (к). Применив соотношение tZg = g' (к) dv, где
g' (к) = d&dv, мы можем преобразовать уравнение (7.18) к виду
dx — a (у; J) 'Ц>' (у) dv. (7.20)
Интегрирование уравнения (7.20) от катода до анода дает
Va
L— § a (v; .Г)£' (y)dv=b (п0; J), (7.21)
о
где va = v (Л) — дрейфовая скорость у анода.
Наконец,
L Va
У = С %dx= j а (у, JjV (y)£(y)dv = c(ya\ J). (7.22)
о о
Смысл такого формального подхода заключается в следующем.
В случае слабых полей, когда % (к) = п/р., приведенный анализ
совпадает с формальным подходом, описанным в гл. 2, § 10. Отме-
тим, что а (у; .7) точно так же зависит от скорости v, как / (g; J) —
от поля g. При этом во многих интересных случаях интегралы
в выражениях (3.22) и (3.23) [(7.21) и (7.22)] могут быть вычислены
аналитически через разложение функций / (g, J) или а (г; J)
на элементарные дроби, что дает в результате аналитические выра-
жения для функций g(Sa', J) я h (ga; J) или b (уа; J) и c (p0; J)
в явной форме. В таких задачах чисто алгебраические уравнения
(3.24) или их эквиваленты
L = Ъ (va- J), V == с (п0; J) (7.23)
неявно задают соотношение между / и V через параметр ga (ра).
Важным моментом при рассмотрении влияния сильных полей
является то, что существуют весьма полезные функциональные
формы g (у), не ухудшающие интегрируемость выражений (7.21)
и (7.22) в тех случаях, когда в слабых полях эти интегралы можно
вычислить. В общем случае, например, аналитическую обработку
Гл. 7. Специальные вопросы 173
задачи не нарушает полиномиальная функция
S(v) = 7 + UT+ • • •’ (7,24)
|л ©j \ |л J ©2 ' Н *
где ц — подвижность носителей в слабых полях. Самый простой
вид функции (7.24) — это квадратичная функция
t = - + ^-(-V. (7.25)
И 1 \pj v '
Полезно разрешить (7.25) относительно р, = p/g. При этом мы
получаем выражение
При слабых полях (§ ^i) зависимость (7.26) упрощается и при-
нимает вид х)
<7-2”
в то время как при сильных полях (§ вместо (7.26) можно
написать
Рассматривая только первый, основной член в выражениях (7.27)
и (7.28), мы видим, что подвижность, представленная в виде
(7.26), обладает следующими полезными для аналитического реше-
ния чертами:
1. В слабых полях она становится не зависящей от поля.
2. В сильных полях ее зависимость от поля соответствует зада-
чам, в которых средний свободный пробег носителей принимается
постоянным (например, при рассеянии на акустических колеба-
ниях, описываемых деформационным потенциалом [170]). Так,
Дейси [43] применял выражение (7.28) с одним только первым чле-
ном при рассмотрении ТООЗ в германии в условиях прокола базы.
3. Она гладко переходит от значений, соответствующих области
слабых полей, к значениям, соответствующим области сильных
полей.
4. В общем случае она не затрудняет аналитического решения
тех задач монополярной инжекции, которые поддаются такому
решению при слабых полях.
Отсюда следует, что функция (7.26) является удобным мате-
матическим представлением подвижности для задач с постоянным
средним пробегом носителей.
х) Отметим, что обычно для указанной области полей реализуется иное
соотношение для зависимости подвижности от поля, а именно р, =
= р0 (1 4- р£2) (см., например, [15]).— Прим. ред.
174 Часть I. Токи монополярной инжекции
Другой полезной функциональной зависимостью между §
и и является гипербола
(г'-Унас) (g--£ + £o)== -^нас, ИЛИ g =- g0 - ,
\ г f г v — ^нас
(7.29)
где §0 и унас — параметры. Асимптотами этой гиперболы в плос-
кости v, являются прямые и = Унас и и = pg + pg0; при
g0—> 0 гипербола вырождается в эти две асимптоты. Таким
образом, функция (7.29) при слабых полях соответствует обычной
зависимости и от § (у = pg), а при сильных полях — насыщению
скорости у, т. е. ее стремлению к значению i?Hac. Резкость перехода
от линейной зависимости скорости v от § к ее насыщению опреде-
ляется параметром g0: условию g0 Унас/р соответствует рез-
кий переход, условию g0 унас/р — очень йлавный переход.
Как и в случае зависимости (7.24), зависимость (7.29) в общем
случае не усложняет аналитического решения задач о монополяр-
ной инжекции, которые поддаются такому решению при слабых
полях. Поэтому функция (7.29), по-видийому, является удобным
математическим представлением связи между и и g в задачах,
рассматривающих непосредственный переход от омической связи
между этими величинами при слабых полях к насыщению скорости.
Значительная часть содержания настоящего параграфа взята
из работы Ламперта [171], посвященной теории монополярной
инжекции при подвижности носителей, зависящей от поля.
§ 5. «СТАЦИОНАРНЫЙ» ИНЖЕКЦИОННЫЙ ТНООЗ
Вольтамперная характеристика стационарного монополярного,
тока в образце с хорошим инжектирующим контактом представля-
ет собой вольтамперную характеристику ТООЗ, которая для раз-
личных случаев рассмотрена в гл. 4. Однако имеются эксперимен-
тальные условия, представляющие интерес, при которых черен
образец может проходить квазистационарный ток (т. е. стационар-
ный для «больших», но не стационарный для бесконечных интер-
валов времени), по существу не ограниченный объемным зарядом.
Такими условиями являются: 1) крайне низкий уровень инжекции
(плохой инжектирующий контакт); 2) крайне малый равновесный
ток; 3) сравнительно сильный захват инжектированных носителей
(случай пренебрежимого захвата не представляет интереса с точки
зрения исследования квазистационарного тока, хотя он и полезен
при измерениях переходных токов, как показано в гл. 6, § 1).
Токи, удовлетворяющие этим условиям и притом заметно не огра-
ниченные объемным зарядом в течение довольно продолжительного
времени, хотя и малы, но все же достаточны, чтобы их можно было
измерить (если необходимо, то с помощью интеграторов тока).
Гл. 7. Специальные вопросы 175
Примером инжекции указанного типа является внутренняя фото-
эмиссия иэ металла или полупроводника в материал с широкой
запрещенной зоной (изолятор).
При анализе таких инжекционных токов мы будем полностью
пренебрегать равновесными свободными носителями и полагать,
что объемный заряд достаточно мал и не нарушает омического рас-
пределения поля Sq = VIL, где V — приложенное напряжение
и L — расстояние между катодом и анодом. Для определенности
примем, что заряд переносится электронами. После поступления
из катода (х — 0) в изолятор электроны дрейфуют в постоянном
поле в направлении к аноду. Они могут продвинуться в изоля-
торе только на среднее расстояние Zs, после чего они захватывают-
ся глубокими ловушками. Величину Ks называют эффективной
длиной дрейфа или сдвигом. Если ts — среднее время жизни
носителей до захвата (в отсутствие разогрева носителей Ts посто-
янно и не зависит от поля), то мы можем написать соотношение
^s = M-SaTs==HTS-^. (7.30)
Концентрация свободных электронов в изоляторе определяется
выражением
п = п0ехр
(7-31)
где п0 — концентрация электронов на катоде (но в пределах изо-
лятора). Мы могли написать это выражение, поскольку вероят-
ность захвата за время dt равна dt/xs = dxl“kB.
Среднее расстояние х, которое проходит инжектированный
электрон, определяется суммой двух членов:
1) произведения той части инжектированных электронов, кото-
рые не достигают анода, на среднее пройденное ими расстояние
Па
(я0 — па) J х ( — dn) l L
п0 i С I dn\ , , Г х / х \ dx
—~--------------=4
пп \ (—dn) 0 0
По
= ZS [1-ехр(-^)]-Лехр(-А
2) произведения той части инжектированных электронов, кото-
рые достигают анода, на расстояние L
— Lexp ( —.
по \ /
Таким образом,
(7.32>
176
Часть I. Токи монополярной инжекции
В пределе L/Xs'^> 1 справедливо равенство х Zs; в проти-
воположном случае L/7.S<Z 1 — равенство х та L. Выражение
(7.32) было впервые выведено Хехтом [172].
Ток во внешней цепи в x/L раз превышает электронный инжек-
ционный ток на катоде /Ф- Отсюда
7 = Уф-^[1 —exp ( — = ехР (7-33)
где использовано соотношение (7.30). Отметим, что формулу
(7.33) можно получить более прямым путем, исходя из выражений
J = Q/Т, где
L
Q = е § ndx,
о
а п задается выражением (7.31), t = Ь2/ц,У и Д = ецп0У/Ь.
Такой простой расчет можно провести потому, что поле распреде-
лено однородно.
Как упоминалось выше, рассматриваемый тип инжекционного
тока нашел полезное применение при исследовании фотоэмиссии
из металлов и полупроводников в изоляторы. Изучая зависимость
внутренней фотоэмиссии от длины волны света, падающего на кон-
такт металл — изолятор, мы должны наблюдать порог для инжек-
ции электронов при энергии фотона, соответствующей расстоянию
между уровнем Ферми в металле (или потолком валентной зоны
в полупроводнике) и дном зоны проводимости в изоляторе, если
на контакт подано отрицательное смещение, и другой порог для
инжекции дырок при энергии фотона, соответствующей расстоя-
нию между уровнем Ферми в металле (или дном зоны проводимости
в полупроводнике) и потолком валентной зоны в изоляторе, если
на контакт подано положительное смещение. При более точном
решении задачи применяют энергетические интервалы, несколько
отличающиеся от указанных. Эта поправка связана с эффектом
Шоттки, который приходится учитывать, поскольку на контакте
обычно присутствуют сильные электрические поля. Данный метод
впервые применил Джиллео [173] при определении работы выхода
электронов из серебра в КВг и NaCl (4,3 эВ в обоих случаях),
а также в AgCl (1,1 эВ). Этот же метод использовали позднее
Уильямс [174, 175] и Гудман [176] при изучении фотоэмиссии
электронов из кремния в термически наращенный слой двуоокиси
кремния, чтобы определить взаимное расположение основных
уровней разрешенных энергетических зон на поверхности раздела
кремний — двуокись кремния. Было показано, например, что пото-
лок валентной зоны кремния расположен на 4,25 эВ ниже дна
зоны проводимости двуокиси кремния. По формуле (7.33) можно
вычислить эффективную длину дрейфа при напряженности поля,
Гл. 7. Специальные вопросы 177
равной единице: г = цтв- Измерения Гудмана [176], проведенные
с фотоэмиссией электронов в двуокись кремния из золотого контакта
или из кремниевой подложки, дали значения г порядка 10~9 см2/В.
Метод внутренней фотоэмиссии подробно проанализировал Уиль-
ямс [177].
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ НА ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИБОРОВ
Первоначальный интерес к токам монополярной инжекции
в твердых телах был в значительной мере связан с попытками
понять сущность тех принципиальных затруднений, которые не по-
зволяют повышать качественные характеристики приборов, осно-
ванных на явлении фотопроводимости. Поскольку изучение фото-
проводимости представляет собой обширную самостоятельную
область исследований (см., например, [51, 52]), мы ограничимся
здесь кратким рассмотрением только одного конкретного вопроса:
каким образом монополярная инжекция определяет верхний пре-
дел добротности приборов, основанных на явлении фотопроводи-
мости?
При внешних полях, не превосходящих пробивное поле, чувст-
вительность фотопроводника характеризуется коэффициентом
усиления G. Коэффициент усиления определяется числом электро-
нов, прошедших через фотопроводник на один поглощенный фотон.
Он равен отношению времени жизни т свободного электрона
(время, которое последний проводит в зоне проводимости) к вре-
мени пролета t0 [см. (2.6)] свободного электрона от катода до анода:
G=i’ ‘°=w- <7-34)
При отсутствии заметного захвата время фотоответа равно т.
С другой стороны, время фотоответа равно величине, обратной
ширине полосы пропускания. Отсюда произведение коэффициента
усиления на ширину полосы пропускания для безловушечного
фотопроводника можно записать в виде
иг
т “ t0 ~~ Л2 '
Это соотношение определяет идеальную добротность.
Главная причина, из-за которой для реальных материалов
нельзя достичь идеальной добротности, связана с захватом носи-
телей. При наличии захвата время жизни в формуле (7.35) следует
заменить измеряемым временем фотоответа т0, т. е. временем нара-
стания или временем спада фотопроводимости, получаемым из
опыта. При этом следует использовать соотношение
nt
(7.35)
(7.36)
12-0699
178 Часть I. Токи монополярной инжекции
где п и щ — концентрации свободных и захваченных носителей,
причем обычно п<^ nt. Таким образом, произведение коэффи-
циента усиления на ширину полосы пропускания уменьшается
в n!nt раз и определяется формулой
G 1 . nt L2nt
то to эфф ’ 0 8фф ° п рТп *
Независимо от существования захвата монополярная инжекция
определяет верхний предел добротности. При достаточно малых
напряжениях, когда соблюдается закон Ома, произведение коэф-
фициента усиления на ширину полосы пропускания растет, соглас-
но формулам (7.35) или (7.37), линейно с напряжением. Однако
такой рост с напряжением не может продолжаться до бесконечно-
сти, так как эффективное время пролета t0 эфф, уменьшаясь с уве-
личением напряжения, в конце концов становится меньшим, чем
равновесное время диэлектрической релаксации = е/ецп0,
представляющее собой одну из констант материала, и, следова-
тельно, начинается монополярная инжекция, как показано в гл. 2,
§ 2. В момент начала ТООЗ произведение коэффициента усиления
на ширину полосы пропускания достигает максимального значе-
ния, равного
(7-38)
а при еще больших напряжениях качественные характеристики
фотопроводника ухудшаются. Отметим, что такое заключение
оказывается неверным при наличии лавинного размножения носи-
телей, которое приводит к большему коэффициенту усиления
и вместе с тем к более высоким качественным характеристикам.
Более подробное рассмотрение решающей роли монополярной
инжекции в ограничении добротности различных приборов,
использующих фотопроводимость, а также некоторые уточнения
формулы (7.37), читатель может найти в ряде статей [132—134,
178, 179] и в декабрьском выпуске журнала «РКА Ревью» за 1959 г.
§ 7. ИОННЫЕ ТОКИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЪЕМНЫМ ЗАРЯДАМ
Большая часть работ по токам монополярной инжекции, как
экспериментальных, так и теоретических, касается электронных
токов, т. о.- ограниченного объемным зарядом переноса электронов
или дырок. Поскольку в твердых телах, несомненно, существуют
ионные токи, а также «дефектные» узлы решетки, способные захва-
тывать ионы, следует ожидать ограниченных объемным зарядом
ионных инжекционных токов, аналогичных электронным. Дей-
ствительно, в последнее время было опубликовано немало работ,
связанных с наблюдением ионных ТООЗ в ряде материалов.
Гл. 7.' Специальные вопросы 179
Сообщалось о наблюдении стационарных протонных токов во льду
[180], стационарных катионных токов в КС1 [74], переходных
протонных токов в пленках двуокиси кремния [181, 182] и пере-
ходных ионных (неустановленной природы) токов в жидких кри-
сталлах (п-азоксианизол) [183].
Протонные ТООЗ во льду при Т = 77 К создавались инжек-
тирующими порошковыми электродами из
ного водородом. Резкому росту тока (фиг.
43), связанному с заполнением ловушек,
соответствует концентрация последних
3,5-1012 см-3. Существование захвата было
подтверждено измерением термостимули-
рованного тока протонов, освобождаю-
щихся из ловушек вслед за прохождением
тока монополярной инжекции. Природа
протонных центров прилипания не была
установлена.
Измерения в КС1 проводились на
кристаллах толщиной 6 мкм при темпе-
ратуре 100° С. Наблюдалась зависимость
типа У2/Л3, которая была отнесена за счет
катионного ТООЗ, так как температурная
зависимость тока совпадала с температур-
ной зависимостью ионной проводимости.
При измерении переходных протонных
ТООЗ в пленках двуокиси кремния исполь-
Ф и г. 43. Типичная вольтамперная характери-
стика чистого монокристалла льда при Т = 77 К
(L = 0,15 см) [180].
палладия, насыщен-
зовались стандартные структуры МОП (металл — окись — полупро-
водник), в которых окись наращивалась на монокристаллическую
кремниевую подложку. Протоны инжектировались из положи-
тельно смещенного затвора после того, как соответствующая
поверхность была подвергнута обработке этиловым спиртом.
Наблюдавшийся выброс переходного тока показан на фиг. 44.
Интерпретация выброса на основе ТООЗ была подтверждена тем
фактом, что его положение на шкале времени изменялось как
1/У, а амплитуда была пропорциональна У2. Для идентификации
протонов использовался этиловый спирт, замещенный тритием;
измерялась возникающая радиоактивность у поверхности раздела
окись — полупроводник после прохождения тока. Было показа-
но, что подвижность ионов при температуре 40° С равна
5-10-11 см2/(В-с).
12*
180 Часть I. Токи монополярной инжекции
В опытах с жидкими кристаллами также наблюдался выброс
тока. Амплитуда этого выброса изменялась как Vn/ZA3, где
1,5 <п<2, а его положение на шкале времени — как£1>3/У. Интер-
претация опытов на основе переходных ТООЗ дает подвижность
отрицательных ионов в n-азоксианизоле, приближенно равную
2,5-10-4 см2/(В-с). Такое значение довольно типично для ионов
в растворах.
Имеется один вопрос в теории ионных ТООЗ, которого мы
хотели бы здесь коснуться. Это связь теории со статистикой
Фиг. 44. Переходная характеристика протонного ТООЗ в пленке двуокиси
кремния, наращенной на подложку из монокристаллического кремния [181].
Ток отнесен к рассчитанному значению стационарного ТООЗ Гстац- Сплошная кривая —
экспериментальная, штриховая — теоретическая Спад тока при t > 2 мин обусловлен
истощением резервуара протонов на поверхности раздела двуокись кремния — кремний.
частиц. В теории электронных ТООЗ заполнение ловушек рас-
считывается на основе функции распределения Ферми — Дирака
(2.15). Такой подход оправдан, так как электроны и дырки пред-
ставляют собой фермионы. Поскольку некоторые ионы (например,
дейтрон, однократно ионизованный eLi, дважды ионизованный
4Не ит. д.) являются бозонами, не вникая в суть дела, можно
ожидать довольно сильных отличий в теории, описывающей влия-
ние захвата на инжекционные токи таких ионов. Однако при
проверке оказывается, что подобное предположение необоснован-
но. При применении функции Ферми — Дирака для определе-
ния заполнения ловушек учитывается то обстоятельство, что
локальный уровень может удерживать один и только один элект-
рон (или одну дырку). На самом деле такое условие выполняется
не вследствие требований со стороны статистики электронов
(дырок), а просто из соображений электростатики: если бы уровень
удерживал два электрона (две дырки), то энергия кулоновского
ртталкивания была бы слишком большой. Однако тбчно то же
Гл. 7. Специальные вопросы 181
условие выполняется и при захвате ионов, независимо от того,
являются ли они бозонами или фермионами: в нормальных усло-
виях локальный уровень может удерживать только один ион
не по статистическим (а, например, по электростатическим) при-
чинам. Поэтому функцию распределения Ферми — Дирака можно
применять при рассмотрении захвата ионов как в том случае,
когда они являются фермионами, так и в том случае, когда они
являются бозонами. Мы можем отсюда заключить, что теория
ТООЗ, разработанная для электронных токов, пригодна без
существенных изменений и для ионных токов.
ГЛАВА 8
Инжекция из точечного контакта и некоторые
особые конфигурации электродов
В предыдущих главах мы ограничивались рассмотрением про-
хождения одномерного тока в плоских структурах. В действитель-
ности, конечно, могут встречаться другие конфигурации струк-
тур, либо созданные преднамеренно, либо определяемые некон-
тролируемыми свойствами контактов. Сюда относится, например,
представляющая значительный интерес конфигурация с точечным
контактом. При соответствующих условиях инжекционный ток
в случае точечного контакта хорошо аппроксимируется одномер-
ной моделью со сферическими электродами. Поэтому основное
внимание в настоящей главе уделено изучению некоторых инте-
ресных свойств тока, связанного именно с этой моделью. Однако
мы коснемся также прохождения тока через цилиндрический
диод и через плоский диод, длина которого значительно превы-
шает по крайней мере один из его поперечных размеров.
Мы начнем главу с нескольких замечаний относительно тока
монополярной инжекции в структуре с точечным контактом.
Задача, которую можно исследовать аналитически, касается
радиального растекания носителей в образце сферической гео-
метрии, снабженном двумя концентрическими сферическими
электродами радиуса гс и га, причем гс<^ га (фиг. 45, а). Мы пред-
положим, кроме того, что электрод с меньшим радиусом гс является
инжектирующим катодом. Обратная ситуация будет рассмотрена
несколько ниже. Конфигурацию с точечным контактом (фиг. 45, б)
можно получить, разрезав просто структуру фиг. 45, а на две
части. Таким образом, новая структура будет с одной стороны
ограничена плоской поверхностью А А. Если указанная поверх-
ность сама по себе не обладает какими-нибудь особыми свойства-
ми, которые могли бы влиять на прохождение тока через структу-
ру, например проводящими каналами или необычно высокой
концентрацией поверхностных уровней прилипания, то ток в полу-
сфере будет почти таким же, как в сфере, за исключением того,
что в описывающих его выражениях появляется очевидный мно-
житель 2. Если га as гс, или, иначе, справедливо неравенство
га ~гс (фиг. 45, в), то конфигурация структуры почти пол-
ностью плоская, и нетрудно прийти к заключению, что условия
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 183
для прохождения тока через такую структуру напоминают усло-
вия, существующие в обычном одномерном плоском диоде, рас-
смотренном в гл. 4. Следовательно, особенности тока, проходя-
щего через сферические структуры (и вообще через неплоские
структуры), должны проявляться только в условиях, когда
гсС га- Поэтому мы будем считать это неравенство справедливым
на протяжении всей той части гл. 8, которая относится к рассмот-
рению неплоских структур.
Прежде чем приступать к анализу инжекционных токов в слу-
чае сферической конфигурации электродов, полезно, забегая
несколько вперед, рассмотреть основные свойства таких токов.
Фиг 45. Различные случаи радиального растекания носителей.
а — полностью сферическая конфигурация электродов, гс га; б — случай точечного
контакта (полусферическая конфигурация), гс ю, та, в — квазиплоский случай, га — гс «
X гс, г — реальная конфигурация образца с точечным контактом.
Исходя из анализа аналогичной задачи в вакууме, можно ожи-
дать, что при замене плоской геометрии на сферическую сущест-
венных изменений не произойдет. Так, хорощо известно, что
в случае прохождения ТООЗ через вакуумный диод как плоская,
так и сферическая и цилиндрическая геометрии приводят к одина-
ковой функциональной зависимости тока от напряжения, а именно
к зависимости типа I ~ Уа/а. Действительно/ на основе анализа
размерностей было продемонстрировано [184], что в случае ваку-
умного диода указанная функциональная зависимость должна
оставаться в силе при произвольной конфигурации электродов
(за исключением самых необычных). К аналогичному заключе-
нию, но для зависимости I ~ V2 можно прийти и в случае безло-
вушечного ТООЗ в идеальном изоляторе, в котором отсутствуют
равновесные носители, а подвижность и диэлектрическая прони-
цаемость изотропны.
Особенность инжекции носителей заряда из точечного контак-
та в реальное твердое тело связана с наличием компенсированного
свободного заряда в тепловом равновесии. Такой заряд принци-
пиально не может существовать в вакуумном диоде. В твердо-
184 Часть I. Токи монополярной инжекции
тельном диоде начальная часть вольтамперной характеристики
ТООЗ, которая- непосредственно следует за омическим участком
(/ -~ У), всегда наблюдаемым при достаточно малых напряжениях
(но отсутствующим в случае вакуумного диода), обычно имеет
форму I = KV3^. Коэффициент К зависит от концентрации и энер-
гетического распределения ловушек, способных захватывать
инжектированные носители, обусловливая тем самым их непод-
вижность. Однако коэффициент К не зависит ни от радиуса
катода гс, ни от радиуса анода га при условии, что га гс. Таким
образом, идеальная структура с точечным контактом (фиг. 45, б)
является хорошей аппроксимацией аналогичной реальной струк-
туры (фиг. 45, а).
В § 4 мы покажем, что закон трех вторых является следствием
тех особых условий, в которых инжектированный объемный заряд
при повышении приложенного напряжения распространяется
на некотором расстоянии от инжектирующего контакта все глубже
в объем твердого тела. В диапазоне напряжений, в котором выпол-
няется закон Ома, инжектированный объемный заряд заключен
в основном внутри сферы радиуса гх < 2гс. После того как про-
изошло отклонение от закона Ома, т. е. после начала тока, контро-
лируемого объемным зарядом, радиус сферы, в которой заключен
инжектированный объемный заряд, увеличивается как У1/2, что
и приводит к закону трех вторых. В определении коэффициента
К также вначале играют роль только ловушки, находящиеся
в непосредственной близости от инжектирующей точки. Итак,
закон трех вторых соответствует режиму, в котором выполняется
двойное неравенство гс<^ гх<£ га, а это говорит в пользу при-
менения метода региональных приближений для анализа
задачи.
Указанные характерные черты закона трех вторых наводят
на мысль о применении метода точечного контакта для определе-
ния локальной концентрации ловушек в твердых телах, а именно
концентрации ловушек в окрестности инжектирующей точки.
Удобной особенностью таких измерений является то, что коэф-
фициент К не зависит ни от гс, ни от га. Таким образом, требуется
лишь, чтобы инжектирующий контакт обладал достаточно малыми
размерами; точное значение его радиуса не существенно. Кроме
того, анод фактически не должен быть сферическим, он должен
лишь иметь достаточно большую площадь и может быть совсем
плоским, не ухудшая этим условия эксперимента. Последнее
обстоятельство имеет особенно важное значение при исследова-
нии монокристаллов, так как сферический или полусферический
анод в таком случае, вообще говоря, неосуществим.
Все вопросы, которых мы только что касались и которые
составляют предмет большей части настоящей главы, рассмотрены
в работе Ламперта и др. [185].
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 185
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ О ТОЧЕЧНОМ
КОНТАКТЕ (РАДИАЛЬНОМ РАСТЕКАНИИ НОСИТЕЛЕЙ)
Стационарный ток монополярной инжекции при сферической
конфигурации электродов определяется уравнением сохранения
числа частиц
I = 4neprer2g = const, (8.1)
где в соответствии с нашим общим подходом не учитывается диф-
фузионный ток, и уравнением Пуассона
el d i I
V e) = ni + nt. t, ni^n~n0,
„V/ ' (8.2)
Hl. i — zL (.ntj Utj , o) ,
3
где зависимость между пц и n, как обычно, задается соотношением
(3.11). Уравнения (8.1) и (8.2) — аналоги уравнений (4.1) и (4.2)
для радиального растекания носителей. В уравнении (8.1) I —
полный ток, а не плотность тока; далее предполагается, что твер-
дое тело изотропно с точки зрения переноса заряда в нем и его
диэлектрических свойств, и, следовательно, как ц, так и е
являются скалярными величинами. Одномерная радиальная коор-
дината — длина радиуса-вектора г — изменяется в пределах
от радиуса катода гс до радиуса анода га.
Кроме того, делается обычное предположение, что свободные
и захваченные носители в твердом теле находятся в квазитепло-
вом равновесии, т. е. квазиуровень Ферми F (г) определяет запол-
нение ловушек при радиусе г, согласно уравнению (4.3), если
в нем заменить х на г.
Обычное граничное условие для омического контакта, соот-
ветствующее упрощенной теории, пренебрегающей диффузией,
можно теперь записать в виде
g (гс) = 0. (8.3)
Наконец, приложенное напряжение определяется выражением
га
ya=Jg(r)dr. (8.4)
гс
§ 2. ЧИСТЫЙ ТООЗ В СЛУЧАЕ ТОЧЕЧНОГО КОНТАКТА
Упрощенная теория прохождения ТООЗ через сферический
диод, сформулированная выше, вообще говоря, не поддается
аналитической обработке в противоположность упрощенной тео-
рии для плоской конфигурации, которая, как было показано
в гл. 4, поддается такой обработке в большинстве практически
интересных случаев. До решения настоящей задачи методом
186 Часть I. Токи монополярной инжекции
региональных приближений полезно исследовать предельное пове-
дение ее решений — омического при очень низких уровнях инжек-
ции и чисто объемнозарядного при очень высоких уровнях инжек-
ции — и сравнить эти крайние случаи с их эквивалентами при
плоской конфигурации электродов. Омическому току в плоском
Ф и г. 46. Различные случаи распределения электрического поля.
а — омическое распределение при плоской конфигурации электродов; б — омическое рас-
пределение при сферической конфигурации электродов; в — распределение в случае про-
хождения безловушечного ТООЗ через плоский диод; г — распределение в случае прохож-
дения безловушечного ТООЗ через диод со сферической конфигурацией электродов.
случае соответствует однородное поле на всем протяжении образца
(сплошная линия на фиг. 46, я), за исключением области обычной
поправки у инжектирующего контакта (штриховая линия). В сог-
ласии с используемым граничным условием поле в указанной
области резко устремляется к нулю. В сферическом/случае
ческое поле задается уравнением (8.1) с п = па, а именно
' ' 4лещг0г2
Поле спадает как 1/г2 (сплошная линия на фиг. 46, б). И в
случае поле на контакте должно обращаться в нуль (штриховая
линия), так что максимум поля находится очень близко от катода
(но не непосредственно на нем). Указанные две структуры, соз-
данные на основе идеального безловушечного изолятора, разли-
оми-
(8.5)
этом
Гл, 8. Инжекция из точечного контакта 187
чаются аналогичным образом и в случае прохождения через них
чистого ТООЗ. При плоской конфигурации электродов поле в таких
условиях при удалении от катода монотонно возрастает как
х1/2 [см. (4.7) и фиг. 46, в]. Соответствующее поле в сферическом
случае получается из решения системы уравнений (8.1) и (8.2)
при концентрациях п0, ntj и ntj,0, равных нулю, и граничном
условии (8.3):
«И=и)‘Л(^),Л. (8.0)
Поле g очень быстро растет от нуля на катоде, достигает макси-
мума при радиусе гт, определяемом формулой
gm = g(rm) = ( ' )1/2 (-^)1/2, гт = 4%,, (8.7)
и затем спадает как 1/г1/а (фиг. 46, г). Вольтамперная характери-
стика чистого ТООЗ вычисляется путем подстановки (8.6) в (8.4),
что дает при ra гс
Т Зл V2 ,Q Q.
7 = т ер.-—. (8.8)
" 'а
Согласно ожиданию, ток пропорционален квадрату напряжения,
как и в плоском случае. Мельцер [186] численно проанализиро-
вал случай, когда га незначительно превышает гс.
Рассчитаем теперь обратный ток 70др, т- е. чистый ТООЗ
в случае, когда омический контакт радиуса га смещен таким обра-
зом, что из него происходит инжекция носителей. Тогда поле
определяется формулой (8.6), в которой гс следует заменить
на га, так как граничное условие омического контакта применяется
теперь при радиусе га, и § (га) == 0г
W’SnW- <8-9’
Ток 70бр вычисляется путем подстановки (8.9) в (8.4) и инте-
грирования в направлении, противоположном предыдущему, при-
чем по-прежнему считается, что ra гс1
/обр=(^)2/. (8.10)
Коэффициент выпрямления (га/2гс)2, показывающий, во сколько
раз прямой ток I превышает обратный ток 70бр, очевидно, может
быть очень большим, если реализуема требуемая безловушечная
структура. Выпрямляющее действие определяется чисто геометри-
ческими причинами и не связано ни с какой другой асимметрией
контактов, кроме неравенства их радиусов.
Сводка результатов расчетов чистого ТООЗ как в безловушеч-
ном изоляторе, так и в изоляторе с экспоненциально распреде-
Таблица (>
Вольтамперные характеристика чистого ТООЗ (концентрация По пренебрежимо мала) [185] х)
Геометрия электродов Безловушечный ТООЗ 2) ТООЗ при экспоненциальном распределении ловушек * 2 3)
Плоская 4) Цилиндрическая Сферическая в) О) « 1 7 I е| « . * j ф ф ч- О- 3* А, X I . со со ь? оЦоо Л И «Iм II JI JI Jg JI Jg / el \> /2Z4-1V+1 Vl+1 \ejrQkTt(l+i) I l+l f (ra-rc)2l+' T 1 Vo ЛТ T 1 21 V+1 F(+1 ( ej!rOkTt(l+D ) -Ле^£ ( Z + 1 ) r2/ r 21 , ra \-(!+D /o6₽^Z\ /4-1 1 rc ) r I 3e^ \l, дг /2Z-1U+1 1/1+1 ^[eJTokTt^ + i) ) I Z + l ) z/2Z-l ra \-(Z+l) 'обр-1 \ Z+1 rc )
1) I — ток при инжекции носителей из поверхности гс и их собирании на поверхности rn, TQgp ~ ток в обратном направлении
2) Выражения для ТООЗ при наличии мелких ловушек получаются путем умножения на 0 — отношение свободного заряда к за'
хваченному
т > Nt (Е) = .Жоехр [(Е - Ec)/feTf], ; = Tt/T> 1
4) А — площадь электродов, га — тс — расстояние между катодом и анодом, jfogp = !•
5) L — длина цилиндра; предполагается, что та » rf
в) Предполагается, что >>' с.
a
Гл. 8. Инжекция иа точечного контакта 189
ленными уровнями прилипания (гл. 4, § 7, п.1) приведена в табл. 6.
Случай одной группы мелких моноэнергетических ловушек (гл. 4,
§ 3) можно получить путем умножения безловушечного тока,
на отношение б [выражение (4.45)]. Чтобы облегчить сравнение,
в табл. 6 приведены также решения для плоской конфигурации
электродов. Можно видеть, что на функциональную зависимость
чистого ТООЗ от напряжения не влияет геометрия электродов,
как это было уже отмечено в введении к настоящей главе, и она
определяется распределением уровней прилипания в запрещенной
зоне. Кроме того, из табл. 6 следует, что чистый ТООЗ при
неплоских электродах зависит только от внешнего (большего)
радиуса структуры.
Чтобы получить представление об ожидаемых токах, рассмот-
рим типичный изолирующий материал CdS с е/е0 = 11 и, напри-
мер, н = 200 см2/(В-с). При га = 0,5 см и V = 100 В чистый
безловушечный ТООЗ при цилиндрических и сферических электро-
дах равен соответственно 4 -10~5 А на 1 см длины цилиндра
и 1,5-10~5 А. Для сравнения отметим, что в плоском безловушеч-
ном диэлектрическом диоде чистый ТООЗ при расстоянии между
электродами 0,5 см равен 1,5-10“5 А на 1 сма площади электро-
дов. Ловушки, присутствующие в реальных изоляторах, обычно
уменьшают указанные значения токов на несколько порядков
величины.
Обратимся теперь к случаю сферической конфигурации элек-
тродов, упомянутому в введении, а именно к инжекции носителей
из точечного контакта в условиях, когда область инжектирован-
ного объемного заряда не охватывает целиком твердого тела.
При этом зависимость тока от напряжения подчиняется закону
трех вторых, наблюдавшемуся на полупроводниковом сульфиде
кадмия (см. § 6).
§ 3. ИНЖЕКЦИЯ ИЗ ТОЧЕЧНОГО КОНТАКТА В ИЗОЛЯТОР
€ ЛОВУШКАМИ И РАВНОВЕСНЫМИ СВОБОДНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ;
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ЗАКОН ТРЕХ ВТОРЫХ
В этой главе основное внимание уделяется начальной части
режима ТООЗ, которая непосредственно следует за омическим
режимом. Это режим, в котором инжектированный объемный
заряд с ростом напряжения занимает все большую область твер-
дого тела, достаточно далекую от точечного катода, но при этом
еще не достигает анода. Как было показано в гл. 4, при плоской
конфигурации электродов вид вольтамперной характеристики
сильно зависит от того, какие имеются ловушки; поэтому каждая
модель распределения ловушек в запрещенной зоне анализиро-
валась отдельно. В случае сферической конфигурации электро-
дов ситуация совсем иная: рассматриваемому режиму при любом
190 Часть I. Токи монополярной инжекции
распределении ловушек присуща одна общая черта — зависимость
тока от напряжения подчиняется закону I = КУ3/2, причем при
изменении распределения ловушек изменяется только коэффи-
циент К. Мы докажем это интересное утверждение при помощи
метода региональных приближений. Поскольку рассматривае-
мый режим является переходным между двумя «чистыми» режи-
мами — омическим и чистым ТООЗ (рассмотренным в § 2),— ука-
занный метод оказывается особенно подходящим для решения
этой задачи.
Настоящее рассмотрение вначале имеет много общего с анали-
зом задачи о безловушечном диоде с электродами плоской конфи-
гурации при наличии равновесных свободных носителей (гл. 4, § 2,
и.2). Полный ток также можно представить суммой двух токов —
тока равновесных свободных носителей п0 и тока инжектирован-
ных свободных носителей nt = п — п0. Далее, и, (г) представ-
ляет собой монотонно спадающую функцию г, и в рассматриваемом
диапазоне токов между электродами существует поверхность
радиуса гх, на которой выполняется равенство и, (гх) = п0. При
г < гх справедливо неравенство и, > па, а при г > гх — нера-
венство по > п(. Поэтому основное приближение заключается
в пренебрежении концентрацией п0 при г < гх и концентрацией
nt при г > гх. Таким образом, изолятор разделяется на две области:
Область I (гс г гж), где ток аппроксимируется выраже-
нием
I — (8.11}
и справедливо граничное условие (8.3).
Область II (гж г га), где ток аппроксимируется выраже-
нием
I = 4nepre0r2g. (8.12}
Радиус гх определяется из уравнения
п {гх) = nt (гя) = по. (8.13}
Решения для областей I и II сшиваются с помощью обычного
условия непрерывности при гх:
ё(^)=ё(г+), (8.14}
где g (гх) и g (гД — левый и правый пределы функции g (г) при
радиусе гх.
Полное падение напряжения (8.4) равно, конечно, сумме
падений напряжения в указанных двух областях:
гх
V = Vc.x + Vx.a, Pc.x-Jgdr,
ra 4 (8.15)
Vx,a — j gdf.
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 191
Обычное прямое аналитическое решение задачи потребовало бы
теперь учета уравнения Пуассона (8.2) и, следовательно, конкре-
тизации функции распределения уровней прилипания по энер-
гиям. Поскольку мы предполагаем, что результат, который будет
получен, не зависит от конкретного распределения ловушек,
попытаемся обойти уравнение Пуассона, воспользовавшись эле-
ментарным анализом размерностей. Предположим, что падение
напряжения на области I Vc,x и полный инжектированный заряд,
в этой области
Тх
Qx = 4ле j (nt + nt,,) г2 dr
гс
могут быть записаны в виде
vc,x = С1ГХ$Х, (8.16)-
Qx ==-y-c2r£e(no + «i.o), (8-17)
где gM = g (rj, nt,o — избыточная концентрация захваченных
электронов, находящихся в квазитепловом равновесии с неравно-
весными свободными электронами, концентрация которых п,
равна пс (т. е. nf>0 — избыток захваченных носителей, соответ-
ствующий смещению уровня Ферми вверх на O,7kT), a Ci, с, —
константы порядка единицы. Такое предположение относительно
величин «1 и с2 в выражениях (8.16) и (8.17) приводит к важным
результатам.
Иэ выражения (8.16) следует, что основной вклад в напряже-
ние Vc,x дает участок изолятора, расположенный около эффектив-
ного анода области I, или на расстоянии гх от катода, а не при-
катодный участок. Аналогично, поскольку п> (гх) = н0 и nt,i (гх) =
= nt,0, из выражения (8.17) следует, что величину Qx в области
I можно с достаточной точностью определить, если предположить,
что избыточная плотность заряда у эффективного анода е (п0 +
+ nt'O) имеет то же значение, которое она имеет на всем протяже-
нии области I. Из монотонного спадания величины nt (г) неиз-
бежно следует, что с2 1. Вопрос о справедливости выражений
(8.16) и (8.17) рассматривается в конце настоящего параграфа.
Чтобы вывести закон трех вторых, заметим сначала, что область
II — это «омическая» область, характеризуемая соотношениями
Vx.a = гх$х, (8.18)
I = 4nepnorxvx.a, (8.19)'
как это можно установить, если разрешить уравнение (8.12)
относительно поля g, подставить полученное выражение в (8.15)>
и вычислить интеграл при условии, что гх<^ га. Тогда из (8.15),.
192 Часть I. Токи монополярной инжекции
(8.16) и (8.18) получаем
гх$х = ^, (8.20)
так что выражение для тока (8.1) теперь можно записать в виде
у
1 = 4лецп0гхТ-~. (8.21)
1 "t* С1
Чтобы получить вольтамперную зависимость, требуется только
исключить из (8.21) величину гх. Этого можно достичь, если про-
интегрировать уравнение (8.2) в пределах от гс до гх, применяя
граничное условие (8.3), получаем
(8.22)
Далее, исходя из (8.20), (8.22) и (8.17), определяем
гИ(Т+,,>Х+^)Г <8-23>
Универсальный закон трех вторых следует непосредственно из под-
становки (8.23) в уравнение вольтамперной характеристики (8.21):
<8-24>
Отметим, что уравнение (8.24) относится к полностью сферической
геометрии. При полусферической геометрии, используемой для
аппроксимации точечного контакта, правую часть уравнения
(8.24) следует разделить на 2.
В конце настоящего параграфа будет показано, что константы
£i и с2 принимают значения в интервалах 1/2 сд 2 и
1 с2 2, где нижние пределы соответствуют глубоким ловуш-
кам, а верхние пределы — захвату на мелкие уровни или отсут-
ствию захвата. Соответствующее изменение множителя 1/са1/2(1 4~
-|- Ci)3/2 в уравнении (8.24) происходит в интервале от (2/3)3/2 =
= 0,545 при нижних предельных значениях а и с2 до (3]/б)_1 =
= 0,136 при верхних предельных значениях Ci и с2. Отметим, что
отношение этих двух значений множителя l/ca1/2 (1 + <?i)3/2 рав-
но 4. В последующих параграфах значения Ci и с2будут рассчитаны
в явной форме при отсутствии уровней прилипания, а также для
случаев мелких, глубоких и экспоненциально распределенных
уровней прилипания.
Остается определить напряжение начала режима закона трех
вторых и диапазон напряжений, в котором выполняется этот
закон. Закон Ома уступает место закону трех вторых, когда ток,
определяемый формулой (8.24), становится больше, чем ток,
определяемый формулой (8.19) при гх = гс и Vx,a = V. Нетрудно
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 193
получить следующие соотношения:
гх Кр = (1 + ci)re, (8.25)
VKp-r?(l + ^C2^4^L (8.26)
Оо
И
Лр = с2 (1 + с»)3 («о + nt. о) г3с. (8.27)
Здесь индексом «кр» отмечены величины, рассчитанные при ука-
занном переходе. Далее, используя соотношения (8.20) и (8.22),
мы находим выражение для емкости
QX = CV, С = (8.28)
Если учесть (8.23), то это физически правдоподобное выражение
показывает, что С ~ У1/2. Отметим также, что, согласно (8.25),
Скр = С (Укр) = 4легс.
Из (8.23) и (8.24) следует, что радиус гх поверхности между
двумя областями пропорционален уровню инжекции (току) лишь
в степени 1/3 в противоположность обычной линейной зависи-
мости положения границ областей от уровня инжекции в случае
плоских электродов [см., например, (4.33) и (4.75)]. Именно
потому, что поверхность раздела областей в случае сферических
электродов столь медленно меняет свое положение с током, пере-
ходный режим между чисто омическим током и чистым ТООЗ
имеет гораздо более важное значение, чем в случае прохождения
тока между плоскими электродами. Протяженность переходной
области закона трех вторых можно определить, если заметить, что
переход от этого контролируемого объемным зарядом режима
к последующему режиму ТООЗ, очевидно, имеет место при таком
напряжении У^р, при котором выполняется условие гх = гх кр «
» га. [Из (8.25) следует, что гх кр ж гс, откуда, учитывая (8.23),
получаем Укр/Укр « (га/гс)2. Так как мы предполагаем, что га гс,
то можно видеть, что закон трех вторых должен выполняться в
очень широком диапазоне напряжений.]
Все последующие режимы ТООЗ, которые осуществляются
при повышении поля вслед за режимом закона трех вторых,
зависят в явной форме от радиуса анода га, как это можно видеть
из табл. 6. Следовательно, теоретические результаты для этих
последующих режимов применимы только в том случае, если
действительная форма анода близка к сферической или полусфери-
ческой. В случае монокристаллических материалов такие формы
электродов, несомненно, неудобны или даже их вообще нельзя
осуществить. Однако при исследовании полимеров или стекло-
образных материалов эти формы электродов могут оказаться
практически пригодными.
13-0699
194 Часть I. Токи монополярной инжекции
Прежде чем приступить к вычислению вольтамперных характе-
ристик и распределения электрического поля при различных рас-
пределениях ловушек по энергиям, отметим два следующих полез-
ных свойства констант ci и с2:
1) если г” и п >— 1, то
<•—(8.29)
2) если пг + ntti гт — 3, то
С2 = -^3- (8.30)
Показатель степени т не может быть положительным, так
как сумма nt + nttl не должна возрастать при увеличении г.
Доказательство этих соотношений дано ниже. Если выполняются
условия п > — 1 и m > — 3, то можно пренебречь величиной
гс по сравнению с величиной и величиной гс по сравне-
нию с Гх +3- Тем самым мы обосновываем применимость соотноше-
ний (8.16) и (8.17). Таким образом, при анализе конкретных за-
дач, который проводится в последующих параграфах, в основном
остается рассчитать показатели степени пит.
При доказательстве того, что п > — 1ит> — 3, и установле-
нии соответствующих пределов констант ci и с2 главный этап состоит
в представлении функциональной зависимости между концентра-
циями nt:i и nt в простой форме ~ nf. Если такое представ-
ление справедливо, то легко показать, что 0 <; р <; 1. При задан-
ном смещении квазиуровня Ферми F -> F + aF максимальное
изменение заполнения уровней прилипания имеет место в том
случае, когда уровни мелкие, т. е. nt,t ~ nt, и, следовательно,
р = 1. Наоборот, минимальное изменение заполнения уровней
прилипания имеет место в том случае, когда уровни глубокие.
Тогда заполнение вообще не изменяется (nt,t — const), и, следо-
вательно, р = 0. Для более формального доказательства запи-
шем nt>i ~ пр в виде dnt,ildnt = рп<>г/пг. Но в случае одной
группы моноэнергетических уровней прилипания, согласно функ-
ции заполнения этих уровней (3.29), имеем dnt/dn = qnt/n, где
q = N/(N + gri) (отметим, что в области I, которой соответствуют
настоящие результаты, мы пренебрегаем концентрацией п0 так,
что п = nt и nt = nt,t)', отсюда следует, что 0 О q О 1, где левый
и правый4 знаки равенства относятся соответственно к пределам
п = оо и п = 0.
Приняв плг^>пг в (8.2) (безловушечный случай рассматри-
вается в § 4, п.1) и заметив, что, согласно (8.11), п/>г ~ nf ~
~ (г2£)~р, мы можемнаписать уравнение (8.2) в виде (г2§)рй (r2g) ~
~ r2dr, откуда следует, что (r2g)p+1 ~ г3. Таким образом, § ~
r(i-2P)/(i+P) и nt i ~ г-зр/(р+1)_ Когда р изменяется от 0 до 1,
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 195
отношение (1—2р)/(1 -Ь р) монотонно спадает от 1 до —1/2, а отно-
шение — Зр/(р + 1) монотонно спадает от 0 до —3/2. Поэтому,
учитывая (8.29) и (8.30), мы видим, что закон трех вторых дей-
ствительно справедлив. Кроме того, константа с± должна иметь
значения в пределах от 1/2 до 2, а константа с2 — в пределах
от 1 до 2.
Приведенное доказательство является настолько точным,
насколько справедливо утверждение ntti ~ nf. Мы установили
выше при рассмотрении случая одной группы моноэнергетических
уровней прилипания, что такое утверждение справедливо только
в предельных случаях глубоких и мелких уровней прилипания.
При промежуточном положении уровня Ферми эквивалентная
величина р будет зависеть от длины радиуса-вектора и, следо-
вательно, от п;. Однако поскольку 0 < р < 1 (при экспоненциаль-
ном распределении уровней прилипания р = 1/Z) и поскольку
диапазоны изменения констант ci и с2 при таком изменении пока-
зателя степени р сравнительно узки, кажется правдоподобным,
что закон трех вторых (8.24) справедлив во всех случаях, причем
константы ci и с2 могут обладать очень слабой зависимостью
от напряжения, изменяясь в указанных выше сравнительно узких
пределах. Общая справедливость закона трех вторых подробнее
обсуждается в последующих параграфах.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОВУШЕК
ПО ЭНЕРГИЯМ
Приведенная форма закона трех вторых (8.24) задает вольт-
амперную характеристику через параметр, связанный с концентра-
цией ловушек пг,о, и две безразмерные константы ci и с2порядка
единицы, «слабо» зависящие от распределения ловушек по энер-
гиям. Эти три величины ntf0, а и с2 определяются уравнениями
(8.16) и (8.17). Ниже мы рассмотрим четыре конкретных распре-
деления ловушек и вычислим в каждом случае соответствующие
величины. Мы рассмотрим следующие случаи: безловушечный
диод, диод с мелкими ловушками, диод с глубокими ловушками
и диод с экспоненциальным распределением ловушек. При рас-
чете вольтамперных характеристик следует учитывать только
область I (гс <1 г гх). Мы снова предполагаем, что гх~^> гс.
Если гх < Згс, то мы имеем дело с переходной областью от закона
Ома к закону трех вторых и не можем ожидать, что упрощенный
подход позволит точно описать такой переход. Мы - рассчитаем
также распределение поля в указанных случаях. Это потребует,
в частности, в случае глубоких ловушек и в случае экспоненциаль-
ного распределения ловушек дальнейшего деления области
I на участки в соответствии с преобладанием свободного или
захваченного объемного заряда в уравнении Пуассона (8.2).
13*
196 Часть I. Токи монополярной инжекции
1. БЕЗЛОВУШЕЧНЫЙ ДИОД
В этом случае задача определяется уравнениями (8.11) и (8.2)
при ntii = 0, откуда мы получаем для поля в области I уравнение
(8.6). Когда г^> гс, поле в области I можно записать в виде
----Jr-. (8.31)
Опер. гх/а v '
Распределение электрического поля, рассчитанное по (8.6) и (8.5),
показано на фиг. 47. Так как в применяемом приближении гж^>
';$> гс, максимум поля определяется из соотношения (8.7). Далее,
Фиг. 47. Распределение электрического поля в безловушечном диоде при
выполнении закона трех вторых.
поскольку n-i ~ l/r2g согласно (8.11), из (8.31) следует, что пг ~
~ г-3/2. Итак, согласно (8.29) и (8.30), п = — 1/2 и т = — 3/2,
и, следовательно, = 2 и с2 = 2. Поэтому, исходя из (8.24),
мы получаем уравнение вольтамперной характеристики в виде
/ = О,94ленор. V/2P3/2. (8.32)
Точное решение, которое мы получим в § 5, п.1, содержит числен-
ный множитель 1,06 вместо 0,94.
Ввиду того что максимум поля находится на очень малом
расстоянии от катода, допустимость применения приближенного
распределения поля § по образцу (8.31) при вычислении констант
Ct и с2 вызывает сомнения, поскольку это приближенное распре-
деление дает большую погрешность вблизи катода. Одна из воз-
можностей показать, что применение приближенного распреде-
ления поля не сопряжено с большой ошибкой, состоит в установ-
лении того факта, что расчет вольтамперной характеристики
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 197
на основе такого распределения приводит к правильному резуль-
тату. Прямое интегрирование (8.31) для определения напряжения
Vc,x позволяет получить характеристику I = Злер-V?, х/2гх, кото-
рая в точности совпадает с уравнением вольтамперной характе-
ристики чистого ТООЗ (8.8), выведенным с использованием точного
распределения поля § (8.6) при условии гж^> гс.
Я. ДИОД С МЕЛКИМИ ЛОВУШКАМИ
Обратимся теперь к случаю, когда единственные эффективные
уровни прилипания относятся к одной моноэнергетической груп-
пе, причем эти уровни можно считать мелкими, т. е. они обладают
энергией Et, большей, чем энергия Ферми Fo. Пусть концентра-
ция уровней равна Nt, а их статистический вес равен g. По мере
того как уровень инжекции повышается, квазиуровень Ферми F
смещается в запрещенной зоне вверх. Пока выполняется условие
Et — F > кТ, отношение концентраций свободных и захвачен-
ных носителей остается неизменным и задается выражением
nilnt,i = 0 = N/gNt, как и в (3.32). Указанное условие справед-
ливо на протяжении большей части области I, за исключением
непосредственной окрестности катода, где обязательно выпол-
няется обратное условие F > Et. Для упрощения расчетов пред-
положим, что уровни прилипания можно считать мелкими на про-
тяжении всей области I. Тогда в уравнении (8.2) сумму щ + nt<i
можно заменить на нг/0, принимая 1. Представляет интерес
только тот случай, когда выполняется последнее условие. Отсюда
очевидно, что с математической точки зрения задача о мелких
уровнях прилипания формально совпадает с безловушечной зада-
чей, если диэлектрическую проницаемость везде [например, в (8.8),
(8.23) и (8.24)] заменить произведением 0е. На это обстоятельство
мы уже обращали внимание при рассмотрении плоского Диода
в гл. 4, § 3. Поскольку влияние захвата при такой подстановке
полностью учтено, концентрацию nij0 в (8.17), (8.23) и (8.24) сле-
дует считать равной нулю и Qx относится только к свободному за-
ряду. Наконец, ci = 2 и с2 = 2, как и в безловушечном случае, по-
скольку на эти величины упомянутая выше подстановка не влияет.
Для проведения более точного исследования катодной области
необходимо разделить область I на три отдельные области: 1а,
где гс С г < ГяГ, a nt (r^,) = Nt; 1ь, где < г < rx>, a nt (гх-) =
=GNt, и 1с, где гх- <г<гх, а п (гх) = п0- (Области 1а, 1ь и 1с
соответствуют областям I, II и III в аналогичной задаче о плоском
диоде, которая рассматривается в гл. 4, § 6, п.1, а радиусы-век-
торы гх", гх- и гх соответствуют координатам xi(x2 и х3.) В обла-
сти 1а можно пренебречь концентрацией nt,t в (8.2); в области 1&
можно пренебречь концентрацией щ в (8.2) и принять nttl = Nt =
const; в области 1с можно пренебречь концентрацией nt в (8.2)
198 Часть I. Токи монополярной инжекции
и принять ntl = Hj/6. Поправки, которые вносятся при таком
более точном анализе при условии гх^> гс, очень малы, и приве-
денный выше результат остается справедливым. Однако такое
более точное описание области I полезно при исследовании после-
дующих участков вольтамперной характеристики тока, контроли-
руемого объемным зарядом. Подробнее этот вопрос мы здесь
не рассматриваем.
3. ДИОД, С ГЛУБОКИМИ ЛОВУШКАМИ
Рассмотрим теперь задачу, в которой единственные эффектив-
ные уровни прилипания относятся к одной моноэнергетической
группе, расположенной ниже равновесного уровня Ферми Fo.
Обозначим через pii0 концентрацию незаполненных уровней при-
липания в тепловом равновесии. Если квазиуровень Ферми F
смещается вследствие инжекции носителей и на протяжении всей
области I лежит более чем на кТ выше уровня Fo, то ранее
не заполненные уровни заполняются и ntti xx pt>0. Представляет
интерес случай по', Для этого случая nt<l > на протяже-
нии большей части области I, а именно повсюду, за исключением
непосредственной окрестности катода. Расчет вольтамперной
характеристики (но не расчет распределения поля) значительно
упрощается, если принять, что ntii > пг повсюду в области I,
и, таким образом, пренебречь концентрацией в (8.2), а концент-
рацию ntii считать равной ptiQ. Тогда легко получить решение
уравнения (8.2), которое имеет вид
§ = еРзё ° У ~^Г ДРИ г>Гс’ (8-33)
где первое равенство является точным, удовлетворяющим гранич-
ному условию § (ге) =0. Далее, поскольку щ + щ, г ~ nt>i = pij0 ~
— r° = const, то, обращаясь к (8.29) и (8.30), мы видим, что п = 1
и щ = 0, и, следовательно, ci — 1/2 и с2 = 1- Поэтому уравне-
ние вольтамперной характеристики имеет вид
/ = 3,86nen0H (^у)1/2У3/2. (8.34)
Точное решение, отличающееся только численным множителем,
рассматривается в § 5, п.2.
Здесь, так же как в предыдущей задаче, есть основания поста-
вить вопрос об ошибке, обусловленной неправильным учетом
прикатодной области. Строго говоря, область I следует разделить
на две области: 1а, где гс^г<гЖ', а (гх-) — р(10, и область I&,
где гх> г < гх, а нг (гД = н0, как и вьцпе. На протяжении всей
области 1а иг ~>pt,oi так что в (8.2) можно пренебречь концентра-
цией а на протяжении всей области 1ь пг < pti0, так что
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 199
в (8.2) можно пренебречь концентрацией н;, и правая часть урав-
нения Пуассона постоянна. (В приведенном выше доказательстве
мы считали, что область охватывает всю область I.) Если теперь
проанализировать такую задачу о трех областях, то можно устано-
вить, что в очевидных обозначениях VX’,X = (УС1Ж- + а)/2
ф и г. 48. Распределение электрического поля в диоде с глубокими ловуш-
ками при выполнении закона трех вторых.
Низкий уровень инжекции. Диаграмма построена на основе анализа задачи методом ре-
гиональных приближений. _ . ь.-.
и, следовательно, V = 3 (Ес,ж- + Vx, а)/2. Далее, Vx,a/VCiX’ —
(pt,о/4но)3/2. Таким образом, при можно пренебречь
величиной VC,X'> и, следовательно, приведенный выше результат
оказывается правильным.
Полезно также рассмотреть распределение поля, следующее
из приведенного более точного анализа, в котором изолятор раз-
деляется на три области. Отложим на некоторое время подробное
рассмотрение вопроса и изложим сразу существенные результаты
анализа. Получаемое распределение поля схематически показано
на фиг. 48. Заметим, что функция g (г) имеет три экстремума —
два максимума и один минимум. Первый максимум расположен
в области с характеристиками идеального изолятора — в области 1а.
Этот максимум тождествен максимуму, показанному на фиг. 46,а.
Мы уже видели, что в области I&, где объемный заряд, входящий
в уравнение Пуассона, постоянен и равен nttl = pt,0, поле увели-
чивается почти линейно с радиусом г, так же как в (8.33). Такое
поведение возможно только в том случае, если поле имеет минимум
вблизи поверхности гх> — границы между областями 1а и Ij>.
Аналогично, поскольку в омической области II за поверхностью
гх поле § уменьшается как 1/г2, вблизи поверхности гх оно должно
проходить через второй максимум. Обе поверхности раздела гХ’
200 Часть I. Токи монополярной инжекции
и гх удаляются от инжектирующей точки как 71'3; для поверхности
гх это вытекает уже из уравнений (8.23) и (8.24). Кроме того, в нача-
ле первый максимум поля, расположенный в области 1а, самой
близкой к катоду, ниже второго, расположенного вблизи поверх-
ности раздела областей 1ь и II. Однако первый из них быстрее
растет с уровнем инжекции, чем второй (пропорционально
и I1/3 соответственно); следовательно, в конце концов первый
максимум становится выше второго.
Поскольку, согласно (8.33), Vc,x ~ ept'0rx/6e, режим закона
трех вторых кончается при напряжении Пцзл ~ ePt.o г|/6е. При
этом напряжении все ловушки в диоде заполняются (напомним,
что индекс ПЗЛ обозначает предельное- заполнение ловушек).
Далее ток растет очень резко с напряжением, причем этот рост
аналогичен росту тока, соответствующего ПЗЛ, в случае плоского
диода (гл. 4, § 4). Детали этого режима и его переход в беэлову-
шечный режим (8.8) легко определить на основе рассмотрения
изолятора, разделенного на две области, которые в данном слу-
чае представляют собой область 1а, где rc г <. гх> , а нг(гж-) =
ptio, как и раньше, и область I& где гх- г га.
Отметим, наконец, что, хотя мы и рассматривали случай глу-
боких ловушек, обладающих одной и той же энергией, очевидно,
что проведенный анализ остается справедливым и в случае произ-
вольного распределения ловушек по энергиям при условии, что
все они расположены ниже уровня Fo. Тогда р(,о будет полной
концентрацией незаполненных ловушек при всех энергиях.
Опишем теперь более подробно определение распределения
электрического поля методом региональных приближений. В обла-
сти 1а поле S (г) описывается уравнением (8.6). На поверхности
раздела rX’ nt = ptlOt так что уравнения (8.6) и (8.1) дают
Гх-=гс(1 + «;)1/з, ы = ~о——г- (8.35)
Максимальное поле в области 1а можно рассчитать по формуле
(8.7). Очевидно, эта область полностью проявляется только тогда,
КОГДа Гх' Гмакс 1-
В области Ifi точное распределение поля S задается урав-
нением (8.33), которое мы перепишем здесь в виде
S(r) = Cr + 4’ С = D = r3cC — (8.36)
Поверхность раздела гх определяется путем подстановки гх в (8.36)
и исключения при помощи (8.1) при п = н0:
гж = гс[2гр^- — (w — 1)]1/з- (8-37)
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 201
Если w 1 или (гх>/гс)3 2, то D 0. Далее,
dg п 2D
dr г3 '
(8.38)
Если D < 0, то, очевидно, в области экстремумы отсутствуют
и производная d^ldr имеет максимум на поверхности гХ’, причем
(й^/йг)макс = С Д- 2 | D | /г3х~. Если D = 0, то производная d'^idr
постоянна: d%>!dr = С. Если D > 0, то d&'dr = 0 на поверхности
гмин, определяемой выражением
гМин=(^)1/3 = гс[2(^-1)]1/з. (8.39)
Отметим, что гмин > гх- до тех пор, пока w > 3. Таким образом,
для того, чтобы в области 1а получался максимум (8.7), а также
для того, чтобы в области 1ь получался минимум, требуется,
чтобы выполнялось условие гх> > 41/згс. Кроме того, справедливо
неравенство поскольку мы предположили, что выпол-
няется условие Pt,o/«o^ 1- Далее, гх>г^^, так как
^>4-4».
«0 2 2
Минимальное поле §мин на поверхности гмин в области Д равно
^мин=4Сг“и« = Л£2Г^12^-1)11/3- <8-40)
При 1, т. е. в случае полностью образовавшейся области 1а,
^мин~ ~ [согласно (8.35)]. Из (8.7) и (8.40) следует, что
отношение максимального поля в области 1а к минимальному
полю в области Д равно
^макс1 =(-^у/2( (8.41)
^мин \ 3 ) \ 4 (ш— 1) J
Это отношение равно единице при w — 3 и превышает единицу
при w > 3; во всех случаях, когда область 1а проявляется пол-
ностью, Выполняется условие ^макс! $мии* Далее, (1макс1/(1мин
~ ш1/» при 1, так что при повышении уровня инжекции
минимум в области К всегда остается меньше максимума в обла-
сти 1а.
Наконец, поле на поверхности гх
--Сгх
п0
2и> (w— 1)
п0
и при 1 мы имеем
srx « Сгх = (2и> 1/2 _
ое \ мц /
(8.42)
(8.43)
202 Часть I. Токи монополярной инжекции
где последняя пропорциональная зависимость следует из формулы
(8.35). Поскольку, согласно (8.33), в области 1ь при г гх> выпол-
няется зависимость g ~ г, максимальное поле gMaKC 2 в этой области
получается на поверхности гж, т. е. gMaKC 2 = grx- Отношение gMaKC 2
к §макс 1 равно
-1^=(йИ4),лт‘л- <»•«>
Поскольку мы приняли 1 при малых уровнях инжекции
(малых ю), это отношение превышает единицу. Именно такая
ситуация изображена на фиг. 48. Однако w линейно растет с уров-
нем инжекции, так что в конце концов максимальное поле в области
1в превысит максимальное поле в области If,, но при условии,
конечно, что не появится какой-либо новый режим (например,
Гх га)’
4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОВУШЕК
В качестве последнего примера распределения ловушек
по энергиям рассмотрим экспоненциальное распределение. Анализ
ТООЗ в плоской структуре с таким распределением ловушек про-
веден в гл. 4, § 7, п.1. Данное распределение описывается форму-
лой (4.115), которую мы для удобства приведем здесь снова:
г TP \ N t Е Ес
= ДтТ ехр kTt •
Отметим, что при I = TtIT > 1 интегральная.концентрация лову-
шек между кваэиуровнем Ферми F и уровнем Fo приблизительно
равна концентрации захваченных электронов, т. е. nti «
» 7Vtexp [(А — F0)lkT]. Поступая таким же образом, как в § 3 при
рассмотрении универсального закона трех вторых, разделим диод
на две области: область I, которая начинается от катода и характе-
ризуется преобладанием инжектированного захваченного заряда,
и область II, которая кончается у анода и характеризуется пре-
обладающим влиянием равновесных свободных носителей (омиче-
ская область). В области I мы пренебрегаем равновесными свобод-
ными носителями, так что соотношение между захваченным
и свободным инжектированным зарядами определяется форму-
лой (4.118) с п0 = 0, т. е. при Z> 1 справедливо равенство
= (8-45)
В § 3 мы видели, что из зависимости ntfii ~ п% следуют соотноше-
ния
Пц ~ г~зр/<-р^ и g ~ Ai-Wci+p).
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 203
Здесь р — 1/1 и, таким образом, согласно (8.29) и (8.30), cj =
(I + 1)/(2Z — 1), а с2 = (I + 1)/1- После подстановки этих резуль-
татов в (8.24) цолучаем уравнение вольтамперной характеристики
в виде
'=Мад)'/ЧтТ,л’ <8'46’
Точно так же, как и в случае глубоких ловушек, при более
строгом анализе настоящей задачи область I необходимо разделить
на две части 1О и 1ь, причем у катода в области 1а преобладают
инжектированные свободные носители, а в соседней области I&
преобладают инжектированные захваченные носители. Такое раз-
деление не оказывает влияния на получаемую вольтамперную
зависимость. Однако, как и в случае глубоких ловушек, оно
заметно влияет на получаемое распределение поля, которое,
конечно, зависит от I. Поскольку в области 1Ь § ~ rW-2)/U+1),
d£/dr ~ [(I — 2)/(l + 1)]г-3/(/ +1>. Следовательно, при 1 < I < 2
производная d^/dr' всегда отрицательна, т. е. поле в области 1ь
всегда монотонно спадает с г и существует только один максимум
функции g(r), который определяется формулой (8.7), причем
он находится в области 1а. При I = 2 производная d%,/dr в области
1б обращается в нуль, так что поле там не изменяется. Наконец,
при I > 2 поле в области 1Ь имеет положительный наклон и все
три экстремума поля, характерные для случая глубоких ловушек,
появляются и теперь. Очевидно, что при I —> оо поле в области
1Ь пропорционально радиусу г, а это математически эквивалентно
случаю глубоких ловушек. Аналогично случай I = 1 формально
совпадает с безловушечным случаем. Таким образом, хотя анализ,
проведенный в § 3 и устанавливающий наличие трех экстремумов
поля в случае глубоких ловушек, соответствует в данном случае
обращению I в бесконечность, этот анализ применим при более
общих условиях, а именно при I > 2.
§ 5. ДАЛЬНЕЙШИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ
Монополярную|инжекцию описывают уравнения (8.1) и (8.2).
В этом параграфе нам удобно ввести следующие безразмерные
переменные:
По 4лердог2^
п I ’
12лет10|1гсИ
Зе/
4ле2га§|1г|! ’
(8-47)
204 Часть I. Токи монополярной инжекции
Уравнения (8.1), (8.2) и (3.11), выраженные через эти переменные,,
можно преобразовать к одному уравнению
.du i — и v n i — u
1 h2i с'я’
j (8.48}
P Nti Cj r Nj
j no 1Ч- Cj ’ i 8ino
а выражение для напряжения
(8.4) принимает теперь вид
J
1
(8.49)
Очевидно, интеграл (8.49) нельзя вычислить аналитически
даже в самом простом случае, когда в (8.48) все В} равны нулю,
т. е. в отсутствие ловушек.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев.
1. БЕЗЛОВУШЕЧНЫЙ ДИОД
Поскольку уровни прилипания отсутствуют, все Bj равны
нулю, и уравнение (8.48) можно переписать в виде
-^L=(-i + —L-\du=~dz. (8.50)
Это уравнение имеет решение
— и — In (1 — w) = y(z — 1) — у, (8.51)
удовлетворяющее граничному условию (8.3), которое в безразмер-
ных обозначениях имеет вид и = 0 при z = 1. Выраженное через
переменную у выражение (8.49) имеет вид
Уа
1 (* и dy 1 , ..
V = J / , 1 \4/з ’ Уа-—(ха— 1)
о Ь+-г
(8.52)
Переменная и изменяется в пределах 0 и < 1. Из уравнения
(8.51) следует, что при w~> 6 значение переменной и находится
в пределах 0,999 < и < 1. Таким образом, при z > 1 + 6i или
у > 6 в (8.49) и (8.52) можно принять и = 1 с пренебрежимо
малой ошибкой.
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 205
Режим закона Ома.
=Л + /2, где
Перепишем выражение (8.49) в виде v —
H-6t
J ~^dz’
Д = j -^ = 3[(l + 6i)-1/3-Za-1/s].
14-ei Z
Но при i<^ 1/6 имеем I < 6i*C 1 и I « 3. Следовательно, v as 3,
что, согласно (8.47), дает закон Ома I = 4леи0цгсУ.
Режим закона трех вторых. Рассмотрим токи i в диапазоне -
1 i za. Этот диапазон чрезвычайно широк даже при таких
малых значениях отношения га!гс, как 100, так как тогда za =
= 106. Перепишем выражение (8.52) в виде v = г-1/з К, где К = 1G+
~Ь К2:
В рассматриваемом диапазоне значений i
е
K,»J^- = 8,84,
о у
как показали расчеты, выполненные с помощью ЭВМ. Таким
образом, v = 10,49 У1/3, или, согласно (8.47),
7=1,06лепор ()1/2 У3/2. (8.53)
Приближенный результат (8.24) при значениях rafi0 = 0 и сд =
= с2 = 2, определенных в § 4, п.1, совпадает с (8.53), за исключе-
нием численного множителя, который равен 4/3 У~2 = 0,94 вместо
1,06.
В приведенном выше рассмотрении аппроксимация величины
Кг интегралом
в
5 и dy
yi/3
0 а
обусловливает малую ошибку (завышенную оценку) в диапазоне
(приблизительно) 0 w 1/i. Поскольку при малых у, соглас-
206 Часть I. Токи монополярной инжекции
но (8.51), и ж (2у)1/2, имеем
1/i
о
Выше мы принимали
1/i
|^6У2(1),Л.
Таким образом, при достаточно малых 1/г ошибка пренебрежимо
мала.
диод с ГЛУБОКИМИ ЛОВУШКАМИ
Рассмотрим диод с одной группой моноэнергетических лову-
шек, расположенных ниже уровня Ферми Fo, так что в уравнении
(8.48) С — N!gn<^ 1 (мы опускаем индекс /). Поэтому единствен-
ный ловушечный член в уравнении (8.48) имеет вид В (1 — п)/(1 +
+ Си) а; В (1 — и). В таком приближении уравнение (8.48)
можно переписать в виде
(-д—---т~/п ) du = dz = dy. (8.54)
\ 1 — и 1-\-Ви} i я '
Это уравнение имеет решение
— In (1 — и) —In (1 + Ви) =—у—- (г— 1) = У- (8.55)
Интеграл напряжения (8.49) принимает теперь вид
«а
/ \ г/з (* U &1J 1 /О ЕГП\
Мт+в) / . 1Др/8» Уа^-^-Za. (8.56)
Закон трех вторых соответствует интервалу токов
‘«ТРТ <2-
Следуя приему, примененному при рассмотрении предыдущей
задачи, запишем выражение (8.56) в виде v = [2/(1 + В)]~Ч3К, где
К = Ki + К2, а
6
о
и dy
1+В \4/з ’
Уа
dy
1 + В \ -Vs
14-В
1 + В\4/з
6
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 207
В рассматриваемом интервале токов i
е
^=^=1,65 И К,» Ji*.
О у
Как и в предыдущей задаче, величину Kt можно рассчитать,,
используя (8.54) или (8.55), только с помощью ЭВМ, что пока
не было сделано.
В случае глубоких ловушек С 1, поэтому В т Pt,Jno\ при-
нимая рг,о^> п0, или В~^> 1, мы можем записать конечный резуль-
тат в виде
1 = -V 4лтоИ (——У''2 V3/2, (8.57>
К'2 \ ept!0 / ' 7
где остается вычислить величину К. Приближенный результат
(8.24) при wt>0 = Pt,o~^> п0 и а = 1/2, с2 = 1, определенных
в § 4, п.З, совпадает с (8.57), за исключением множителя Q/K3/*,
который заменен коэффициентом 23/а/3 = 0,94.
Как и в предыдущей задаче, аппроксимация величины Kt
интегралом
в
Ju dy
о у
обусловливает ошибку в диапазоне 0 у (1 + В)Ц. Однако-
легко показать, что, во всяком случае при (1 + В)И^ 1, интеграл
(1+В)/г
и dy
пренебрежимо мал.
3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Этот случай описывается уравнением (8.48). В соответствии
с тем, как мы поступали выше в этом параграфе, получаем
Уа
(I \ ~ Vs (* и dy
1+В/ . ( , 1-4-ВИ/з ’
в=У -Bi - и —-A+J
° ZJ1 + Q’ Уа~ i
э
Как и раньше, запишем выражение для напряжения, соответ-
ствующее токам в интервале 1 i (1 + В) za, в виде v —
208 Часть I. Токи монополярной инжекции
= [i/(l + где К = Kv + Х2,
в
v Г udv v 3
K1~J77T’ Л2~~?7Г’
о *
причем Ki можно вычислить только с помощью ЭВМ. Таким обра-
зом, мы получаем снова закон трех вторых.
§ 6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЗАКОНА ТРЕХ ВТОРЫХ
И ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
Авторам настоящей книги известна только одна эксперимен-
тальная работа, имеющая близкое отношение к закону трех вто-
рых. Результаты этой работы приведены на фиг. 49, где показаны
Фиг. 49. Вольтамперные характеристики точечного диода на монокри-
j . сталле сульфида кадмия с удельным сопротивлением 20 Ом-см [185].
Измерения проведены при комнатной температуре. Радиус контакта около 1 мкм. Кре-
стики — экспериментальные точки, полученные при подаче на острие отрицательного
смещения. Их описывает сплошная кривая 1. Пунктирная линия, совмещенная в точке
1 = 1 мА с экспериментальными данными,— кривая закона трех вторых. Штриховая
линия, совмещенная в той же точке,— кривая квадратичного закона. Темные кружки —
экспериментальные точки, полученные при подаче на острие положительного смещения.
Прямая 2 — закон Ома.
измеренные при комнатной температуре вольтамперные характе-
ристики инжекционного тока в диоде из монокристалла CdS
с точечным контактом радиуса гс » 1 мкм. Можно видеть, что
зависимость I ~ V3/2 хорошо описывает экспериментальные дан-
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 209
ные, в то время как зависимость I ~ V2 делает это довольно пло-
хо. (Когда напряжение прилагалось так, что на точечном контакте
был положительный потенциал, во всем диапазоне напряжений
выполнялся закон Ома, как и следовало ожидать.) Поскольку
удельное сопротивление образца при комнатной температуре
равно 20 Ом-см, соответствующий безловушечный закон трех
вторых (8.32) можно переписать в виде I = 4,77 •10-6V3/2A, где V
выражено в вольтах, е/е0 = 11 и р = 200 см2/(В-с); полусфери-
ческая геометрия учитывается путем введения численного множи-
теля 1/2. Экспериментальная кривая на фиг. 49 аппроксимируется
зависимостью / = 1,75-Ю^У’^А. Уравнение (8.24) позволяет
заключить, что имеет место захват и nti0/n0 = 7. Так как удель-
ному сопротивлению 20 Ом-см соответствует п0 ж 1016 см-3, равно-
весный уровень Ферми Fo расположен приблизительно на 0,2 эВ
ниже дна зоны проводимости. Наблюдение влияния захвата
в CdS при таких условиях довольно вероятно.
Следующие ниже замечания относительно применения метода
инжекционных токов из точечного контакта в целях исследова-
ния дефектной структуры твердых тел даются в несколько спеку-
лятивном плане. Поскольку в условиях выполнения закона трех
вторых область твердого тела, в которой обнаруживается инжекти-
рованный объемный заряд, постепенно расширяется с напряже-
нием, из физических соображений следует, что форма анода не
имеет значения при тех напряжениях V, при которых соблю-
дается условие гх<^ (Аа/лу/2, где Аа — эффективная площадь
анода. Кроме того, даже если инжекция из точечного контакта
с эффективной площадью Ас не может быть адекватно описана
моделью с полусферическим электродом, мы интуитивно ожидаем,
что результаты, полученные для радиального растекания носите-
лей, по-прежнему применимы, когда рассматривается вольтампер-
ная характеристика в диапазоне напряжений, соответствующем
условию
(4)‘л«''«<(т)"‘-
С этим связана потенциальная применимость инжектирующего
точечного контакта в качестве «датчика» для локального исследо-
вания захвата.
Вообще говоря, метод точечного контакта и метод измерения
ТООЗ в плоской структуре, позволяющие изучать спектр локаль-
ных уровней в изоляторе, по-видимому, дополняют друг друга.
Первым методом ловушки исследуются локально, в окрестности
инжектирующего точечного контакта, а вторым методом получают
значения, усредненные по всем ловушкам, находящимся между
катодом и анодом. Метод точечного контакта с экспериментальной
точки зрения более удобен по крайней мере в двух отношениях.
Во-первых, когда трудно изготовить хороший инжектирующий
14-0699
210 Часть I. Токи монополярной инжекции
контакт, как это часто бывает на практике, эту трудность сравни-
тельно просто обойти, заменив плоскостной контакт точечным;
так, например, обеспечить возникновение туннелирования в слу-
чае точечного контакта гораздо проще, чем в случае плоскостного
контакта. Кроме того, когда инжекция носителей происходит
из резервуара, созданного, например, электронной бомбардиров-
кой или светом, локальным возбуждением можно достичь гораздо
более высокой концентрации свободных носителей (локальное воз-
буждение, очевидно, эквивалентно постоянному точечному кон-
такту). Исключительно полезным в этой связи может оказаться
применение лазерного излучения с узким по своей природе пуч-
ком. Плоская конфигурация обычно предъявляет весьма жесткие
требования к толщине образцов, причем часто приходится пользо-
ваться очень тонкими образцами. Метод точечного контакта,
конечно, позволяет применять более толстые образцы. С другой
стороны, в случае высокоомных изоляторов, таких, как полисти-
рол, для применения метода точечного контакта может оказаться
необходимым возбуждение светом некоторой фоновой проводи-
мости, чтобы концентрация п0 была достаточно высокой.
Преимущество применения плоских структур состоит в том,
что при такой конфигурации можно получить более полную инфор-
мацию о локальных уровнях, например можно определить глубину
залегания ловушек, поскольку вольтамперная характеристика
ТООЗ имеет более богатую структуру. Кроме того, полученные
сведения оказываются более точными — например, по напряже-
нию Упзл можно исключительно точно определить среднюю концент-
рацию ловушек. (Конечно, на практике встречаются и трудности,
'связанные с противоречивостью экспериментальных данных.)
Измерения с точечными контактами, проведенные при какой-
либо определенной температуре, не дают возможности непосред-
ственно определить глубину залегания ловушек и, кроме того,
определяют величину nt<0 в (8.24) с максимальной ошибкой в 16 раз.
(На самом деле соответствующую ошибку можно понизить на поря-
док величины при получении лишь ограниченной качественной
информации о ловушках, т. е. при установлении лишь того фак-
та, что они являются мелкими, глубокими или распределенными
по энергиям. Можно ожидать, что такую информацию позволит
получить изучение температурной зависимости концентрации nti0.)
Имеется еще одна неопределенность, связанная с тем, что при
анализе задачи мы идеализируем конфигурацию с точечным кон-
тактом. Действительно, мы описываем инжекцию из точечного
контакта, созданного у поверхности плоского изолятора, на основе
полусферической геометрии и пренебрегаем при этом возможными
поверхностными эффектами. Если общее число поверхностных
состояний вплоть до радиуса гх меньше, чем Qx!e, то при анализе
возникают, по-видимому, лишь небольшие ошибки. Однако если
[Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 211
количество таких состояний превышает Qxle, то в настоящее время
мы не можем оценить возникающую ошибку. В этой связи гораздо
более подходящим и плодотворным может оказаться эксперимен-
тальный подход, а не обобщение теории.
§ 7. ЧИСТЫЙ ТООЗ В СЛУЧАЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
КОНФИГУРАЦИИ
Для полноты мы рассмотрим здесь характеристики цилиндри-
ческого диода. Мы ограничимся одним частным случаем, анало-
гичным рассмотренному в § 2, а именно случаем прохождения
ТООЗ через безловушечный изолятор без равновесных свободных
носителей. Электроды рассматриваемого диода представляют
собой коаксиальные цилиндры радиусов гс и га. Задачу опреде-
ляют уравнение для тока
Г = 2лецпгг§ = const, (8.59)
где Г — ток на единицу длины цилиндра, и уравнение Пуассона
-l£(rg) = Wj (8.60)
с обычным граничным условием для омического контакта в без-
диффузионном приближении (8.3). Если гс — радиус инжектирую-
щего электрода, то поле можно представить в виде
(«•«>
Это поле существенно отличается от поля в случае радиального
растекания носителей. Теперь, когда структура цилиндрическая,
поле монотонно возрастает в направлении от внутреннего инжек-
тирующего контакта. Таким образом, оно больше напоминает
поле в плоской структуре. Аналогично сферическому случаю
легко вычислить прямой Г и обратный Го$9 токи. В результате
имеем
172
/' = 2W" , (8.62)
'а
Л>бр = —— • (8.63)
1п2А
Гс
Можно видеть, что здесь также получается геометрическое выпрям-
ление, однако оно значительно слабее, чем в случае сферического
Диода.
14*
212 Часть I. Токи монополярной инжекции
§ 8. ТООЗ В ПЛОСКОМ ДИОДЕ С КОНЕЧНЫМ
ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
В заключение настоящей главы мы рассмотрим вопрос о про-
хождении ТООЗ через плоский образец конечного поперечного
сечения. Подобная ситуация реализуется при такой геометрии
образца, когда расстояние между катодом и анодом L больше,
чем по крайней мере один из поперечных размеров, т. е. в случае
типичных «щелевых» конфигураций электродов. Эксперименты
на образцах с такими электродами проводили Польке и др. [123,
124], применяя напыленные слои кристаллического гексагональ-
ного селена. Особенностью тока в таких структурах является то,
что за режимом закона Ома при малых напряжениях следует
переход к новому режиму, в котором ток подчиняется закону
I ~ V^ILP, а не закону I ~ V2/La, как это должно быть в случае
обычного одномерного ТООЗ в плоской структуре.
Трудность теоретического исследования токов монополярной
инжекции в длинных иглообразных или пластинообразных образ-
цах заключается в том, что силовые линии, начинающиеся на рас-
пределенном инжектированном заряде, выходят теперь из образца.
Соответственно, если даже вблизи катода существует минимум
потенциала, то полный инжектированный заряд справа от мини-
мума не обязательно целиком скомпенсируется положительным
зарядом на аноде. Силовые линии, начинающиеся на инжектиро-
ванном заряде вблизи катода, выходят из изолятора и возвращаются
через окружающую среду в катодную структуру, т. е. некоторая
часть компенсирующего заряда будет находиться на катодной
структуре. Таким образом, при формулировке граничных условий
необходимо принимать во внимание действительную геометри-
ческую конфигурацию катода и анода. Кроме того, если около
образца находятся другие объекты, то они могут играть сущест-
венную роль в определении инжекции. Примером может служить
затвор в приборах, использующих эффект поля. Следовательно,
проблема прохождения ТООЗ через длинные образцы не имеет
однозначного решения, пока не учтено полностью внешнее окру-
жение.
В случае когда образец расположен далеко от любых внешних
объектов, из простых физических соображений, впервые сформу-
лированных Роузом [3], следует, что при таких экстремальных
геометриях, какими обладают образцы в форме длинных игл или
пластин, большая часть силовых линий покидает образец до того,
как они достигают анодной (или катодной) структуры. Поэтому
естественно ожидать, что емкость С, определяющая полный инжек-
тированный заряд Q с помощью соотношения Q = CV, приблизи-
тельно равна геометрической емкости Со образца в пространстве
(как будто весь образец находится при одинаковом потенциале).
Гл. 8. Инжекция из точечного контакта 213
Если, кроме того, известна часть г) инжектированного заряда,
остающегося свободным (незахваченным) и обусловливающего
ток,— а это предполагает знание спектра уровней прилипания
в образце,— то можно непосредственно применить феноменологи-
ческое уравнение (2.5) с поправочным множителем тр
J « трС0 77 « ту, (8.64)
где принято v = (ig « \TV7L. Множитель г) может изменяться
с напряжением или оставаться постоянным в зависимости от рас-
пределения ловушек по энергиям. Вольтамперная характеристи-
ка, описываемая уравнением (8.64) с постоянным множителем т|,
согласуется с результатами упомянутых выше измерений, а также
с выводами проведенного Гёрстом [487] анализа тока вдоль тонкого
диэлектрического слоя. Этот анализ усложняется тем, что в меж-
электродном пространстве на поверхности изолятора приходится
применять нелинейное граничное условие для тангенциальной
составляющей электрического поля. Для безловушечного иде-
ального изолятора в виде тонкой бесконечно широкой пластины
Гёрст получил следующее уравнение вольтамперной характери-
стики: J' == 2цеЕ2/лЛ2, где J'—ток на единицу ширины слоя.
Оно обнаруживает ожидаемую зависимость тока от L. Однако
практическое применение результатов простого феноменологи-
ческого анализа (8.64), а также результатов анализа Гёрста
осложняется тем, что множитель г) на самом деле определяется
как поверхностными, так и объемными уровнями прилипания.
Очевидно, необходимо проделать большую работу, чтобы выяснить
этот трудный вопрос.
ГЛАВА 9
Точная теория
Наше понимание механизма монополярной инжекции в твер-
дых телах почти полностью основано на упрощенной теории,
пренебрегающей диффузией. Полученная картина, несомненно,
адекватна почти во всех практически интересных случаях. Тем
не менее, прежде чем закончить рассмотрение монополярной инжек-
ции, мы хотим дать краткое изложение точной теории, учитываю-
щей диффузию носителей. Поскольку при этом важную роль играет
структура контакта, мы сразу же после формулировки задачи
перейдем к рассмотрению конкретных контактов. При этом мы
остановимся на контактах металл — изолятор резервуарного
и туннельного типа и контактах с п+ — n-переходом. Затем
мы рассмотрим случай, когда упрощенная теория оказывается
по существу точной, изложим универсальные геометрические
свойства решения и установим пределы справедливости упрощен-
ной теории. Наконец, после кратких замечаний относительно
точной теории ТООЗ в случае идеального изолятора мы приведем
результаты машинных расчетов, связанных с точной теорией
предельного заполнения ловушек, подтверждающие «законность»
упрощенной теории для участка ПЗЛ вольтамперной характери-
стики.
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Точную теорию определяют уравнения (3.4), (3.8) и (3.11),
которые мы для удобства напишем здесь заново:
J = ец (ng —= const, (9.1)
~Т^ = п~по + 2 — п«Ао),. (9.2)
3
Ntj л л Etj —Ес „
пИ =-----TW ’ N}Nc 6ХР кТ~~ ' (9-3)
1 ------
gj п
Используя (9.1) для исключения g и (9.3) для исключения пц,
мы можем из (9.2) получить следующее нелинейное дифференци-
Гл. 9. Точная теория 215
альное уравнение второго порядка относительно п:
Й _ (_L_ + \ ± _ * п {п _ п0) (1 + X у = о.
dx* \фГг ’ dx ] п dx eV? 4 и/ \ Nj-\~gjnf
з
(9-4)
Это чрезвычайно"сложное уравнение. В общем виде его нельзя
решить. Исключением является простейший возможный случай,
когда п0 и все Ntj (а следовательно, и ntjiQ) равны нулю. Даже
для этого случая идеального изолятора аналитическое решение
оказывается настолько громоздким, что им очень трудно пользо-
ваться. Чрезвычайная сложность уравнения (9.4) подчеркивает
необходимость применения упрощенного подхода к задаче, кото-
рому были посвящены предыдущие главы. Разумеется, после
того как будут конкретизированы различные параметры, а также
граничные условия, мы можем решить уравнение (9.4) численно
на быстродействующей электронной вычислительной машине.
Только это и позволяет более строго подойти к рассмотрению
задачи.
Поскольку уравнение (9.4) является дифференциальным урав-
нением второго порядка, чтобы однозначно определить задачу,
требуется два граничных условия. В самом общем виде эти два
условия можно сформулировать следующим образом:
ток электронов, входящий из катода, равен J,
ток электронов, выходящий у анода, равен J. (9-^)
Чтобы выразить граничные условия в форме, полезной для реше-
ния уравнения, необходимо учесть реальную структуру контакта.
Следовательно, различных граничных условий на катоде имеется
столько же, сколько существует типов разных инжектирующих
контактов. Аналогичное утверждение справедливо и относительно
граничных условий на аноде. Ниже мы рассмотрим катоды трех
возможных типов: 1) резурвуарный контакт металл — изолятор,
2) туннельный контакт металл — изолятор и 3) контакт с п+ —
тг-переходом. Что касается анода, то мы ограничимся рассмотре-
нием контакта металл — изолятор, в котором отсутствует тун-
нелирование.
§ 2. КОНТАКТ МЕТАЛЛ - ИЗОЛЯТОР РЕЗЕРВУАРНОГО ТИПА
Энергетические диаграммы такого контакта в случае электрон-
ной проводимости показаны на фиг. 50. Если nCj0 — концентра-
ция свободных электронов на контактной поверхности раздела
в тепловом равновесии, то, пренебрегая отражением на границе,
средний тепловой электронный ток из изолятора в катод можно
216 Часть I. Токи монополярной инжекции
записать в виде * х)
т enc,ovth __ (ЗкТ^/г ._
где m — эффективная масса электрона (скаляр). Согласно прин-
ципу детального равновесия, ток Jth,a равен среднему тепловому
(равновесному) току из катода в изолятор. Действительно, при
замене величины пс>0 в формуле (9.6) выражением Nc ехр (—Ч^/кТ),
Поток
а б 8
Ф и г. 50. Энергетические диаграммы контакта металл — изолятор резер-
вуарного типа.
а — в тепловом равновесии; б — при подаче смещения, обусловливающего инжекцию
носителей; в при подаче смещения, обусловливающего вытягивание носителей.
где Ne определено сразу же после формулы (3.11), а ЧД — энерге-
тический барьер на контактной поверхности раздела (фиг. 50,а),
формула (9.6) превращается в формулу термоэлектронной эмиссии
Ричардсона
jift>c==jHao=±^Fexp (-§-), (9.7)
где h — постоянная Планка. В отсутствие сильных электрических
полей, повышающих эмиссию, ток Jth,e представляет собой опре-
деляемый температурой ток насыщения катода JHac-
При J Jth,c концентрация электронов на катодной поверх-
ности раздела пй может лишь пренебрежимо мало отличаться от nCi0,
так как если бы выполнялось условие пс<^ пС)0, то обратный ток
из изолятора в катод, противоположный входящему тепловому
току Jth,v был бы недостаточен для того, чтобы результирующий
инжекционный ток мог бы удовлетворять условию J J
Поэтому в данном случае применимо следующее граничное усло-
вие на катодной поверхности раздела:
пс = пс>0 при J (9.8)
х) Эта формула выводится в любом учебнике по кинетической теории
газов.
Гл. 9. Точная теория 217
Когда ток J приближается к Jth,e — Atac и, например, превышает
значение Jth,c /3, граничное условие (9.8) уже неприменимо. В этом
случае формальное выражение для соответствующего граничного
условия имеет вид .
п₽и у/<Л,с</</м,с’ (9.9)
где
со со О
v = dvz j dvy dvxvx j (p)
— 00 — 00 — 00
и f(y) нормировано к единице:
j dv / (р) = 1.
Здесь f (р) — функция распределения свободных электронов
по скоростям в изоляторе при х « 0. Отметим, что граничное
условие (9.9) представляет собой просто утверждение, что изме-
ряемый ток J равен разности между током насыщения катода
Jth,c и величиной еп,.и, т. е. средним кинетическим обратным током
из изолятора в катод. Если бы функция распределения электронов
по скоростям была максвелловской, то скорость v была бы равна
У(л/(6л)1/2, где Vth определяется формулой (9.6). Однако, поскольку
из (9.6) следует, что при приближении к насыщению становится
справедливым равенство рдр » vth, где рдр — дрейфовая ско-
рость электронов, в таких условиях должен наблюдаться значи-
тельный разогрев электронов. Поэтому распределение электронов
по скоростям в окрестностях точки х = 0 в действительности
является распределением горячих носителей, которое может
заметно отличаться от максвелловского. Во всяком случае, усло-
вие (9.9) можно уточнить лишь путем конкретизации функции
/ (к). Заметим, что вследствие сильных полей уравнение для тока
(9.1) следует также видоизменить и в окрестности точки х = 0 при-
менять уравнение (9.7). Кроме того, предполагая, что можно
достичь полного насыщения, мы пренебрегаем эффектом Шоттки —
увеличением эмиссии в сильных полях вследствие проявления
сил электрического изображения. Связанная с эффектом Шоттки
поправка учтена в следующем параграфе при рассмотрении тунне-
лирования электронов при экстремально сильных полях.
Аналогичным образом можно рассуждать, если анодом служит
также контакт металл — изолятор. Если па>0 — концентрация
свободных электронов на поверхности раздела при тепловом рав-
новесии, то соответствующее граничное условие на анодной поверх-
ности раздела имеет вид
Иа=Иа,0 при J < Jth, а = . (9.10)
218 Часть I. Токи монополярной инжекции
С другой стороны, при выполнении условия J >• Jth,a равен-
ство (9.10) следует заменить на
ч>" <9Л1>
Отметим, что равенствр (9.10) или (9.11) можно применять
независимо от того, какого типа контакт — резервуарного (искри-
вление зон вниз) или запирающего (искривление зон вверх).
Как и прежде, мы пренебрегаем эффектом Шоттки.
Приложенное напряжение V определяется выражением
(1/е) (Fc — F где Fc и FА — энергия Ферми внутри катода
и анода соответственно. Отметим, что
L
V Ф j g dx
о
вследствие наличия внутренних полей у контактов. Действитель-
но,
ь
е J g dx = Ес, с — Еа, а,
о
где Ес, с и Ес, а — энергии дна зоны проводимости на катодной
и анодной поверхностях раздела соответственно. Следовательно,
разность Fc — FА можно получить путем сложения разностей
Ес, с — Ее, а и — ^с» где и — энергетические барьеры
на анодной и катодной поверхностях раздела соответственно
(фиг. 50, а), причем предполагается, что они не изменяются под
влиянием внешнего поля. Таким образом, приложенное напряже-
ние определяется выражением
L L
7= [ $dx + — (To-Yc)= f $dx + kT\n-^~; (9.12)
J е J па, 0
о о
3 3. КОНТАКТ МЕТАЛЛ — ИЗОЛЯТОР ТУННЕЛЬНОГО ТИПА
(КОНТАКТ С АВТОЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИЕЙ)
В тепловом равновесии такой контакт является просто тонким
запирающим контактом, как это можно видеть на фиг. 51, а. При
малых напряжениях фактически все приложенное напряжение
падает на контакте, так что вблизи контактной поверхности разде-
ла создается очень сильное поле. Когда это поле достигает значений
порядка Ю6 — 107 В/см, сквозь барьер путем туннелирования
могут проходить большие электронные токи. Поскольку вероят-
ность прохождения носителя сквозь барьер зависит от площади
под барьером (в плоскости, перпендикулярной барьеру), а эта
Гл. 9. Точная, теория 219
площадь в свою очередь зависит от поля gc на поверхности разде-
ла, как показано на фиг. 51, б, туннельный ток, или ток автоэлек-
тронной эмиссии, зависит от $с. Эту зависимость можно записать
в виде
, I ^тУс (кГ)К г 4(2w)1/2 тз/2
J ~~ 16rtWcv+ ЗЬНс ) ехр L 3fc е%с (9,13Э
где у — (e3gc/4ne')1/2/4rc, Tt = Л/2л и е' — высокочастотная
(оптическая) диэлектрическая проницаемость изолятора. Пере-
менная у представляет собой относительное понижение барьера
Фиг. 51. Энергетические диаграммы контакта металл — изолятор тун-
нельного типа.
а — в тепловом равновесии; б — при подаче смещения, обусловливающего инжекцию
носителей; в — влияние сил изображения на форму» барьера (понижение барьера
у поверхности раздела). Ес — энергия дна зоны проводимости, — абсолютное умень-
шение барьера, у = &ЕВ/Е — относительное уменьшение барьера (Е = Е — Рх/^тп\
рх — я-компонента импульса электрона; принята зоммерфельдовская модель для сво-
бодных электронов).
Чг<. при учете сил изображения (фиг. 51, в). Соответствующая функ-
ция v (у) (функция Нордгейма) представляет собой поправку, учи-
тывающую роль сил изображения. Когда у изменяется от 0 до 1,
функция v (г/) изменяется от 1 доО. Функция v (у), выражающаяся
через эллиптические интегралы, описана в обзорах по автоэлек-
тронной эмиссии; она протабулирована ([188], табл. 1). Множи-
тель, с помощью которого вводится поправка на влияние темпе-
ратуры [величина в круглых скобках (9.13)], получен в прибли-
жении, справедливом до тех пор, пока выполняется условие
J (Т) < 2,7 J (Т = 0).
Представление о величине туннельного инжекционного тока
и его зависимости от поля можно получить из графиков зависимо-
сти J от gc, приведенных на фиг. 52. Эти графики построены для
То = 2,0 эВ и различных значений отношения е7е0. Если сравнить
220 Часть I. Токи монополярной инжекции
кривую для е'/е0 = оо, соответствующую полному отсутствию
влияния сил изображения, с остальными кривыми, то можно
видеть, что максимальное
влияние сил изображения
имеет место при автоэлектрон-
ной эмиссии в вакуум (кривая
для е /е0 = 1).
ТООЗ в идеальном изоля-
торе при наличии туннельно-
го контакта теоретически ис-
следовал Адирович [189].
Если расстояние L между
катодом и анодом очень мало,
например L 50 А, то тун-
Ф и г. 52. Влияние сил изобра-
жения на туннельные инжекцион-
ные токи; = 2,0 эВ [по не-
опубликованным расчетам Мейер-
хофера, основанным на уравнении
(9.13)].
нелирование из катода может происходить прямо в анод. В этом
случае электроны не попадают в зону проводимости изолятора
и различие между «запирающими» и «инжектирующими» контак-
тами теряет смысл. Такие явления выходят за пределы нашего
рассмотрения.
4. КОНТАКТ С га+ — ге-ПЕРЕХОДОМ
Такой контакт в тепловом равновесии и в случае, когда к нему
приложено напряжение, показан на фиг. 53. Чтобы упростить
рассуждения, будем считать переход резким, а полупроводник
слева от плоскости х = 0 сильно легированным и справа от этой
плоскости слабо легированным. (Отметим, что п+-область, кото-
рая на фиг. 53, а показана невырожденной, может быть вырожден-
ной, как на фиг. 3, б; в этом случае контакт остается инжектирую-
щим вплоть до самых низких температур.) Фактически все искрив-
ление зон имеет место в «изоляторе», т. е. справа от плоскости
х = 0. До тех пор пока в присутствии приложенного напряжения
минимум потенциала (максимум энергии) находится в изоляторе,
как показано на фиг. 53, б, концентрация свободных электронов
повсюду в п+-области по существу будет невозмущенной. В этом
случае естественное граничное условие на инжектирующем контак-
Гл. 9. Точная теория 221
те имеет вид
п — < при х — 0.
(9.14)
Здесь мы пренебрегаем тем, что область перехода охватывает
и небольшую часть материала п+-типа. После того как при повыше-
нии напряжения минимум потенциала исчезает, концентрация
Фиг. 53. Энергетические диаграммы контакта с п+ — «-переходом.
а — в тепловом равновесии; б — при подаче смещения, обусловливающего инжекцию
носителей.
свободных электронов «в глубине» материала тг+-типа остается
по-прежнему невозмущенной, однако область перехода начинает
теперь все глубже проникать в материал п+-типа. Будет ли это
проникновение значительным или нет, зависит от других харак-
теристик перехода, таких, как геометрия, отношение п01тГа и т. д.
Отметим, что если анодный контакт также является резким
п — п+-переходом (в плоскости х — L), то путем аналогичных
рассуждений можно показать, что при не слишком сильных токах
можно применять следующее граничное условие:
п = п* при х = L.
§ 5. УПРОЩЕННАЯ ТЕОРИЯ, УЧИТЫВАЮЩАЯ КОНЕЧНОСТЬ
КОНТАКТНОГО РЕЗЕРВУАРА
Сложность точной теории ТООЗ обусловлена учетом диффузии
носителей. При наличии в изоляторе минимума потенциала
(фиг. 50, б) диффузионный ток в области контакта, очевидно,
должен быть существенным, поскольку в точке минимума потен-
циала дрейфовый ток тождественно равен нулю, а слева от мини-
мума он даже противоположен результирующему току J. Однако
справа от минимума потенциала диффузионный ток быстро ста-
новится пренебрежимо малым по сравнению с дрейфовым током.
По мере того как ток J возрастает, минимум потенциала при-
ближается к катодной поверхности раздела, и наконец, при неко-
тором критическом токе JKp, которому соответствует напряжение
FKp, достигает этой плоскости. Обычно JKP значительно меньше
222 Часть I. Токи монополярной инжекции
J th, с — ^пас- При напряжениях, превышающих напряжение Укр,
изолятор не содержит минимума потенциала и, таким образом,
диффузионный ток повсюду пренебрежимо мал по сравнению
с дрейфовым током. Следовательно, упрощенная теория справед-
лива при напряжениях, превышающих напряжение Укр; соответ-
ствующее граничное условие, заменяющее (9.8), можно записать
в виде
gc = g (0) =-2_ при JKP< J<^Jth,e- (9.15)
При увеличении тока J от значения Jкр к значению Jth, е
вольтамперная характеристика начинает подчиняться закону
Ома J = еп^ 0\iV/L. Теперь концентрация свободных носителей
на протяжении всего изолятора приближается к их концентрации
на катоде, и, следовательно, поле на катоде становится сравни-
мым с полем на аноде Омическое поведение изолятора при
высоких уровнях инжекции иллюстрирует фиг. 56, где в двойном
логарифмическом масштабе нанесены вычисленные на электронной
вычислительной машине вольтамперные характеристики, соот-
ветствующие режиму ПЗЛ.
Если упрощенную теорию, учитывающую через (9.15) конеч-
ность контактного резервуара, применять при малых токах (дру-
гими словами, если просто пренебрегать наличием потенциального
минимума и диффузии носителей), то будет выполняться неравен-
ство ис, о п, где п — полная концентрация свободных электро-
нов (инжектированных и равновесных), усредненная по объему
изолятора, и, следовательно, неравенство ёо = E/L.
В указанном диапазоне токов граничные условия (9.15) и (3.21)
(т. е. gc = 0) с практической точки зрения эквивалентны. Дру-
гими словами, упрощенные теории, использующие в качестве гра-
ничного условия (9.15) или (3.21), будут давать по существу совпа-
дающие вольтамперные характеристики вплоть до тока Jкр,
при котором минимум потенциала покидает изолятор. Проверкой
этого утверждения послужили упомянутые выше расчеты, свя-
занные с задачей о предельном заполнении ловушек; результаты
этих расчетов нанесены пунктирной линией на фиг. 56.
§ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ
В гл. 3, § 6, было показано, что в рамках упрощенной теории,
пренебрегающей диффузией, с режимом ТООЗ можно связать
важные универсальные утверждения, касающиеся геометрических
свойств решений. Теперь мы покажем, что те же утверждения
справедливы и в случае точной теории. Как и в гл. 3, § 6, эти уни-
версальные утверждения удобно рассматривать для случая полу-
бесконечного изолятора, когда граничное условие, заменяющее
Гл. 9. Точная теория 223
(9.10) или (9.11), можно записать в виде
п -> п0 при ж-*оо. (9.16)
Если принять, что катод является резервуарным контактом (т. е.
«с, о>«о), и, кроме того, справедливо условие с или,.
Ф и г. 54. Зависимость п от х для полубесконечного кристалла с инжекти-
рующим электроны контактом.
'Й, и — невозможные ситуации, То — допустимая ситуация.
что эквивалентно, применимо граничное условие (9.8), так что мы
имеем дело с задачей об инжекции, то универсальные утвержде-
ния о геометрических свойствах решений в точной теории совпа-
дают с утверждениями 1 и 2, приведенными в гл. 3, § 6, который
мы для удобства запишем здесь снова:
1) п (ж) монотонно убывает, стремясь к п0, когда х -> оо;
2) g (ж) монотонно возрастает и описывается выпуклой кривой,
т. е. d&ldx монотонно убывает.
Ход рассуждений при доказательстве справедливости этих
утверждений аналогичен ходу рассуждений, примененному в гл. 3,
§ 6. В обоих случаях применимо доказательство от противного.
Однако провести доказательство в данном случае несколько более
сложно, поскольку теперь учитывается диффузия носителей.
Чтобы доказать справедливость утверждения 1, предположим
сначала, что зависимость п от х задается, например, кривой
на фиг. 54. Пусть хх и х2 — расстояния от катода, при которых
выполняется условие п (хх) = п (ж2), причем хх < х2. Поскольку
224 Часть I. Токи монополярной инжекции
в интервале 0 х х2 кривая проходит повсюду над прямой
п = и0, т. е. п > п0 и, следовательно, согласно уравнению (9.3),
ntj > ntji 0, из уравнения (9.2) следует, что § в этом интервале
монотонно возрастает, причем при х = 0 § = §с (где §с < О,
если в изоляторе существует потенциальный минимум, как пред-
полагается на фиг. 54). Таким образом, g (^2) > $ (ад) и, следо-
вательно, /Др (ж2) > /др (ад), где /дР (яд) = еп (яд) цё (жг)- Но
ток /ДИф (х2) направлен в ту же сторону, что и ток /др (я:2),
тогда как ток /ДИф (яд) противоположен току /др (яд), где
/Диф (яд) = — ецУТ (dn/dx)x.. Следовательно, / (я:2) > / (яд), что
нарушает постоянство полного тока / [см. (9.1)]. Аналогично
можно показать, что зависимость п от я: не может задаваться кри-
вой, подобной ^2 на фиг. 54. При этом следует рассмотреть две
точки с абсциссами х3 и я:4, для которых п (я:3) = п (я:4). Таким
образом, правильная зависимость п от х имеет вид, соответствую-
щий кривой % на фиг. 54, Эта кривая изображает функцию,
монотонно спадающую от значения пс = пс, 0 при х = 0 до значе-
ния п0 при х = оо.
После доказательства первого утверждения второе утвержде-
ние можно рассматривать как прямое его следствие. Так как
повсюду справедливо неравенство п > п0, то из уравнения (9.2)
следует, что производная dFJdx повсюду больше нуля, и посколь-
ку п монотонно убывает, то dFJdx должно также монотонно убы-
вать. Заметим, наконец, что, как и в случае упрощенной теории,
приведенные выше утверждения остаются в силе при гораздо
более общих условиях, чем (9.1) и (9.3), а именно при соблюдении
условий «а» и «б», приведенных в гл. 3, § 6.
Поскольку мы рассматривали полубесконечный изолятор,
все заключения, к которым мы пришли, справедливы для конечного
изолятора только в том случае, если не учитывается реальная
структура анодного контакта, т. е. когда решение, полученное для
полубесконечного изолятора, применяется в неизменном виде
вплоть до анодной поверхности раздела в плоскости х = L. В этом
случае приложенное напряжение определяется выражением
V = (1/е) (Fc — F'a), где Fc — внутрикатодный уровень Ферми
и F'a — квазиуровень Ферми в изоляторе в окрестности анода, т.е.
Ес, а — F'a = kT In (Nc/na). Здесь величина па = п (L) опре-
деляется решением для полубесконечного изолятора. Таким обра-
зом, вместо выражения (9.12) мы получаем
L
V = f £dx + kT (9.17)
J na
0
Упомянутые утверждения 1 и 2, очевидно, не справедливы
в окрестности фактического анодного контакта в реальном, конеч-
ном изоляторе. Так, если анодный контакт является контактом
Гл. 9. Точная теория 225
инжектирующего типа (фиг. 50, в), то в тепловом равновесии кон-
центрация свободных носителей п вблизи анода быстро увеличива-
вается, и, следовательно, она ведет себя таким же образом в огра-
ниченном интервале токов. Аналогично, если анодный контакт
является контактом барьерного типа (фиг. 51, а), то в тепловом
равновесии поле ё в окрестности анода быстро убывает (алгебраи-
чески), и, следовательно, оно должно вести себя таким же обра-
зом в ограниченном интервале токов. Тем не менее приведенные
утверждения являются полезными, поскольку повсюду, кроме
непосредственной окрестности анода, решение для конечного изо-
лятора ведет себя так же, как решение для полубесконечного изо-
лятора. В упрощенной теории, пренебрегающей наличием какой-
бы то ни было контактной структуры, эти два решения в их общей
области, конечно, совпадают.
§ 7. ПРЕДЕЛЫ СПРАВЕДЛИВОСТИ УПРОЩЕННОЙ ТЕОРИИ
Поскольку достаточно полное представление о механизме
прохождения ТООЗ можно получить только на основе упрощенной
теории, пренебрегающей диффузией носителей, было бы весьма
желательно точно указать пределы справедливости этой теории.
Хотя в настоящее время нельзя дать полного ответа на этот вопрос,
нетрудно установить справедливость упрощенной теории в случае,
наиболее важном на практике, а именно в случае, когда контакты
достаточно удалены друг от друга.
Рассмотрим изолятор с резервуарными контактами. Опреде-
лим ширину резервуарного контакта W как расстояние, на протя-
жении которого энергетические зоны поднимаются от своего поло-
жения на поверхности раздела до положения в объеме изолятора,
где выполняется условие нейтральности (фиг. 50,а). Ширина кон-
такта W зависит от искривления зон на контакте р и от объемного
заряда, «поддерживающего» это искривление. В изоляторах
соответствующий объемный заряд в основном находится на уров-
нях прилипания. Предполагая, что в окрестности контакта плот-
ность захваченного объемного заряда eNt постоянна, мы можем
написать уравнение Пуассона (9.2) в виде dfeldx — eNt!z. При-
нимая, что поверхность раздела находится в плоскости х = 0,
а «край» контакта — в плоскости х = Ж и используя граничное
условие = 0 при х = W, а также соотношение
w
g dx = ip
о
получаем после двух последовательных интегрирований уравнения
Пуассона выражение для W в виде
(9.18)
15-0699
226 Часть I. Токи монополярной инжекции
Здесь первое выражение записано в единицах системы СИ, а вто-
рое — в практических единицах. В последнем случае X — отно-
сительная диэлектрическая проницаемость, а величины W, ц,
Nt измеряются соответственно в сантиметрах, электронвольтах
и обратных кубических сантиметрах. Принимая х = 11, ц =
= 0,1 эВ и Nt — 10ls см-3 (такое значение Nt соответствует хоро-
шо очищенному изолятору), получаем W = 0,33 мкм. Далее, чем
«грязнее» изолятор, т. е. больше Nt, тем меньше W.
Обоз’начим через Wc и Wa ширину катодного и анодного кон-
тактов соответственно, а через L расстояние между катодной
Ф и г. 55. Энергетические диаграммы для структуры металл — изолятор —
металл.
..« — катод и анод достаточно • разделены, т. е. I.5>WC + W'(J; б — перекрывающиеся
контакты, т. е. L Wc + Wa-
и анодной поверхностями раздела. Если выполняется условие
L~^> Wc + Wa, то можно считать, что эти два контакта достаточно
удалены друг от друга (фиг. 55, а). Покажем теперь, что в этом
случае упрощенная теория является хорошим приближением.
Заметим сначала, что вплоть до напряжения Vx, задаваемого
выражениями (2.32) — (2.35), инжектируется настолько мало
неравновесных носителей, что заметного отклонения от закона
Ома не возникает. Последний соблюдается потому, что прило-
женное напряжение почти полностью падает на объеме изолятора,
так как контакты обладают меньшим сопротивлением и намного
меньшей толщиной. Предположим теперь, что Vx~^> кТ/е. Такое
условие обычно выполняется. Докажем, что при V > Vx и, сле-
довательно, при ЕД> кТ!е упрощенная теория справедлива.
Вблизи катодной поверхности раздела при х = xm(V) = Wc
наблюдается максимум энергетических зон, показанный
на фиг. 50, б (ему соответствует минимум потенциала). Слева
от этого экстремума, т. е. в интервале 0 < х < хт, дрейфовый
ток противоположен проходящему через изолятор результирую-
щему току J; последний равен разности между двумя встречными
токами — диффузионным и дрейфовым: J = /диф — .| /др |.
В точке минимума потенциала ток J чисто диффузионный, т. е.
Гл. 9. Точная теория 227
J = /дИф. Справа от минимума потенциала, т. е. при х > хт, как
дрейфовый, так и диффузионный токи направлены в одну сторону,
и их вклады в ток J суммируются. Покажем теперь, что предполо-
жение о том, что в объеме изолятора выполняется условие J яь
я$ Ар » АиФ- является непротиворечивым, тогда как противо-
положное предположение (/ « /диф» /др) приводит к противо-
речию; тем самым будет обоснована применимость упрощенной
теории.
Прежде всего заметим, что предположение / «^/дР»/ДИф
всегда приводит к пространственному распределению свободных
носителей п(х), которое слабо изменяется с расстоянием от катода,
как это показано в гл. 4. (Экспоненциальное распределение явля-
ется примером «сильной» зависимости п от расстояния.) Поэтому
в качестве приближенной оценки величины
Аиф=
в объеме изолятора справа от хт можно принять /ДИф ~ e\iVTnlL,
где п — среднее значение концентрации п. Но /др « ецпУ/Ь,
и, поскольку, согласно предположению, У» Vr, условие /др »
» не приводит к противоречию. Заметим, что мы использо-
вали неравенство Wa при замене dnldx на n!L и g на
VIL.
С другой стороны, обратное предположение / я$ /диф » /др
сразу приводит к противоречию. Интегрируя / » —еиУг dnldx
в пределах от хт до L, мы получаем, что п линейно зависит от х,
изменяясь от пт при х = хт до па = п (/) < пт при х = L,
и что / ер, (пт — п„) VT!L. Но на середине расстояния между
хт и /, т. е. в точке х'т = (хт -ф /)/2, выполняются неравенства
м пт пт!*21 и g == gm §макс/2 == g (L)I2, причем послед-
нее из них вытекает из выпуклости функции § (ж), установлен-
ной в предыдущем параграфе. Таким образом, без серьезной ошиб-
ки можно принять п^ пт и gm V/L. Отсюда получаем
» /дР » ецптУ/Ь /, что невозможно. (При таком доказатель-
' стве мы пренебрегаем детальной структурой анодного контакта,
, что оправдано, поскольку Wa^L- Во всяком случае, можно пред-
’ положить, что влияние структуры анодного контакта самое
J большее сравнимо с влиянием структуры катодного контакта,
которое, как мы только что показали, пренебрежимо мало. Утвер-
? ждение, что хт < WC1 которое мы применяли в ходе рассуждения,
Следует из того обстоятельства, что внутри резервуарного контак-
та, т. е. в интервале О х » хт, концентрация п (х) мало отли-
чается от своего равновесного значения. Последнее справедли-
во, так как равенство / = /ДИф ~~ | Ар I ПРИ условии / /даф я;
незначительно отличается от равенства 0 = /диф —
, характеризующего контакт в тепловом равновесии.
15*
д₽
ДР
228 Часть I. Токи монополярной инжекции
При последнем условии неравенство пт п0, очевидно, может
реализоваться только внутри катодного резервуара, т. е. в интер-
вале 0 х < Wc. Заметим, наконец, что если в пределах изолято-
ра нет минимума потенциала, то по-прежнему применимо дока-
зательство от противного в приведенном выше виде. В этом случае
просто отсутствует интервал 0 х хт.}
Если анодный контакт является запирающим,как на фиг. 51, а,
то контролируемый объемным зарядом ток не возникает до тех пор,
пока не приложено достаточно большое напряжение V» %/е,
чтобы преодолеть анодный барьер %. После этого будет справед-
лива упрощенная теория также при условии, что Wc + Wa.
Если два контакта перекрываются, как показано на фиг. 55, б,
т. е. если L Wc + Wa, то требуется дальнейший анализ. Такой
анализ пока не был проведен.
§ 8. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ В СЛУЧАЕ ИДЕАЛЬНОГО ИЗОЛЯТОРА
Простейшая задача, которую можно сформулировать в рамках
точной теории ТООЗ (а также, конечно, в рамках упрощенной
теории), — это задача об инжекции носителей в идеальный изо-
лятор, не содержащий ни центров прилипания, ни равновесных
свободных носителей. Это единственная задача, решенная анали-
тически. Первый интеграл уравнения для тока (9.1) и уравнения
Пуассона (9.2), которое теперь имеет простой вид (е/е) dfeldx = п,
легко получить; он имеет вид Jx + const = ep,ga/2 — ецУТп.
Однако дальнейшие расчеты требуют привлечения математическо-
го аппарата в значительно большей мере, чем было бы полезно
приводить здесь. Слева от минимума потенциала уравнение можно
преобразовать в уравнение Бесселя порядка 1/3, а справа от ми-
нимума потенциала — в модифицированное уравнение Бесселя
порядка 1/3. Полное описание прохождения тока требует тогда
применения слева от минимума потенциала функций Бесселя
Л/3, /4/з, У1/з, У4/; и справа от минимума потенциала модифици-
рованных функций Бесселя П/3, It/3, Ki/3, Kt/3- Подробный анализ
дан в работе Шокли и Прима [29], в которой рассматривается
частный случай инжекции в полубесконечный изолятор. По-види-
мому, первой работой, в которой рассматривалась данная задача,
является работа Фаня [190], который преобразовал задачу в урав-
нение Эйри. Однако проведенный им анализ был неполным
и весьма приближенным. Ландсберг [191 ] указал на связь решения,
полученного Фанем, с бесселевыми функциями. Решение Скинне-
ра [192] во многом аналогично решению Шокли и Прима. Однако
примененные им граничные условия были такими, что получалась
вольтамперная характеристика с отрицательным сопротивлением.
Решение данной задачи дали также Сьюте [193], Райт, [194],
Адирович [189] и Линдмейер и др. [195], причем в последней работе
Гл. 9. Точная теория 229
приводится прямое решение задачи на ЭВМ при весьма необычных
граничных условиях (Sc = 0 и па — 0). Особенно полезным
является обсуждение граничных условий, проведенное Адировш
чем. Вообще говоря, отмеченные работы во многом перекрыва-
ваются между собой. Вопросы, имеющие отношение к данной
задаче, изучались с помощью ЭВМ Макдональдом [196] и Роберт-
сом и Тредголдом [197].
Можно предположить, что относительно большой интерес к за-
даче об идеальном изоляторе связан с тем, что эта задача анало-
гична задаче о вакуумном диоде. Однако между этими двумя зада-
чами имеется существенное различие: идеальный вакуумный
диод можно воспроизвести почти точно, но осуществить идеальный
изолятор при современном уровне технологии можно лишь в гру-
бом приближении. Ловушки, неизбежно существующие в любом
изоляторе, дают о себе знать как в объеме (особенно при малых
напряжениях, когда отклонения от упрощенной теории особенно
существенны), так и на контактах. Свойства контактов в тепловом
равновесии, а, следовательно, также в стационарном состоянии
в любом реальном изоляторе, несомненно, определяются ловуш-
ками.
§ 9. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗАПОЛНЕНИЕ ЛОВУШЕК
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТОЧНОЙ ТЕОРИИ
В гл. 4, § 4, задача о предельном заполнении ловушек решена
аналитически в рамках упрощенной теории, пренебрегающей
диффузией. Изменения, которым подвергается теоретическая
вольтамперная характеристика при учете диффузии носителей,
были рассмотрены Лампертом и Эдельманом [198], которые прове-
ли анализ задачи с помощью быстродействующей ЭВМ. Такого
рода изменения представляют практический интерес, поскольку
они определяют ошибку при оценке концентрации уровней при-
липания на основе формулы (5.1) и измеренного напряжения рез-
кого роста тока Упзл- Ниже мы дадим краткое изложение
указанной работы.
Задачу определяют уравнение (9.1) и [заменяющее (9.2)]
уравнение (4.46), которое мы перепишем здесь для удобства снова:
ig = n + M. (9.19)
Если предположить, что ток J значительно меньше, чем ток
насыщения катода, то соответствующим граничным условием
на катоде будет (9.8).
Вместо того чтобы на аноде использовать аналогичное гранич-
ное условие (9.10), авторы [198] поступили так же, как Шокли
и Прим [29], и рассмотрели задачу для полубесконечного изоля-
230 Часть I. Токи монополярной инжекции
тора. В этом случае при рассмотрении роста тока, соответствую-
щего ПЗЛ, граничное условие на бесконечности имеет вид
п (ж) -> 0 при х-+ оо, (9.20)
В случае конечного изолятора решение для полубесконечного изо-
лятора считается справедливым вплоть до анода, а приложенное
напряжение определяется выражением (9.17). Если анодный кон-
такт является резервуарным, что часто бывает на практике, то гра-
ничное условие на аноде, вообще говоря, не должно быть крити-
ческим, судя по анализу задачи об идеальном изоляторе, приведен-
ному в предыдущем параграфе. Можно предположить, что в самом
худшем случае поправка к упрощенной теории, налагаемая гра-
ничным условием на аноде, будет сравнима по величине с поправ-
кой, налагаемой граничным условием на катоде.
Система уравнений (9.1) и (9.19) аналитически не решается.
Поэтому применялся численный анализ задачи на электронной
вычислительной машине. Исходные уравнения удобно выразить
через безразмерные переменные. В работе [198} применялись те
же единицы напряжения, расстояния и т. д., что и в работе Шок-
ли и Прима [29], в которой рассматривался идеальный изолятор,
а именно
= = Е*=(^)1/3, 8* = ^, n*=-g&. (9.21)
Безразмерные переменные можно записать в виде
S==V*’ z==Z*’ У~<&*' 9~~п*' (9.22)
где Ф — электростатический потенциал, и, следовательно,
Х2
Ф2 — Ф1 = У ‘gdx.
XI
В этих переменных уравнения (9.1) и (9.19) принимают вид
1 = ^-^- (9-23)
^-q + B, В = ^-, (9.24)
граничные
условия (9.8) и (9.20) теперь имеют вид
?с — Qct о.
q (z) -> 0 при z oo.
(9.25)
За начало координаты z принято зависящее от тока положение
минимума потенциала в пределах изолятора; следовательно,
У = У о = 0 при z = 0.
Гл. 9. Точная теория 231
Метод решения системы уравнений (9.23) и (9.24) на электрон-
ной вычислительной машине состоял в сведении задачи к задаче
на отыскание собственных значений. Согласно проведенному в § 6
анализу, правильное решение должно монотонно спадать от зна-
чения q = qn при z = 0 до значения q = 0 при z = оо. Величина
q0 является собственным значением данной задачи в том смысле,
что при q (0) qa решение системы уравнений (9.23) и (9.24) не об-
ладает предсказанными свойствами. Если при z = 0 выполняется
условие q = q0:h > q0, то соответствующее решение qh (z) при
удалении от точки z = 0 сначала будет спадать, а затем начнет
нарастать. Если же при z = 0 выполняется условие q — qo,i<Zqo,
то соответствующее решение qi (z) при удалении от точки
z = 0 имеет правильный спадающий характер, но раньше или
позже оно становится отрицательным. При решении задачи был
применен метод проб и ошибок: выбирали некоторое пробное
значение q0, убеждались в неправильном поведении соответствую-
щего решения, полученного с помощью ЭВМ, выбирали следующее
пробное значение и т. д. В конце концов собственное значение qo
оказывалось заключенным между двумя очень близкими значения-
ми '/»./ < 7и < 7о.д, а правильное решеипо — соответственно
между двумн неправильными решениями q^ (z) < q (z) < q-^ (z).
Поскольку разность q^ (z) — q^ (z) монотонно возрастает c z,
рассчитывать этим методом с помощью ЭВМ решения полезно
лишь до некоторых конечных, Не слишком больших значений z,
например до z = z2.
При больших z диффузионный ток становится пренебрежимо
малым и оказывается справедливым решение, полученное в гл. 4,
§ 4, при учете одного только дрейфового тока. Численное решение,
полученное для интервала 0 gC z < z2, следует сшить с этим ана-
литическим решением. В точке z2 диффузионный ток дает малый,
но безусловно не пренебрежимый вклад в полный ток — при тех
значениях z2, которые применялись, этот вклад составляет 5—10%.
Поэтому был введен ряд вспомогательных функций, чтобы полу-
чить гладкое сшивание в точке z = z2. Было установлено, что
выбор этих вспомогательных функций некритичен: они должны
обладать лишь тем свойством, что их влияние распространяется
только на область сшивания около точки z = z2. Практически
были выбраны вспомогательные функции, которые тесно свя-
заны с чисто дрейфовым решением.
После того как собственное значение qa определено с достаточ-
ной точностью, простое численное интегрирование дифференциаль-
ных уравнений (9.23) и (9.24) дает решение слева от минимума
потенциала вплоть до некоторого подходящего расстояния —zt,
выбранного так, чтобы за точкой — zt было справедливо чисто
аналитическое квазитепловое решение. Наконец, в некоторой точке
232 Часть I. Токи монополярной инжекции
— 2<х, < — Zi, определяемой с очень большой точностью, величины
q, —у и —р становятся бесконечными.
Дальнейшие подробности, касающиеся метода решения задачи,
читатель может найти в опубликованной статье. Здесь же мы при-
ведем результаты расчетов двух характеристических величин q0
и —Zoo (табл. 7). Значение q0 в случае, когда В — 0, т. е. в случае
идеального изолятора, согласуется с решением, полученным
Шокли и Примом [29].
Таблица 7
Значения д0 и — рассчитанные с помощью ЭВМ [198]
для задачи о предельном заполнении ловушек (В > 0)
и для задачи о безловушечном изоляторе с равновесными
свободными носителями (В < 0)*)
м в = М-2/з 90 —2оо
оо 0 1,283598
105 0,00046415880 1,283396 1,6621948
Ю’/2 0,001 1,283160 1,6621508
10* 0,0021544340 1,282654 1,6620552
Ю’/2 0,0046415880 1,281564 1,6618495
10» 0,01 1,279222 1,6614048
Ю6/2 0,021544340 1,274205 1,6604404
102 0,046415880 1,263521 1,6583359
103/2 0,1 1,241075 1,6536804
10 0,21544340 1,195291 1,6431375
10*/2 0,46415880 1,107629 1,6185484
1 1 0,9601078 1,5611445
10-*/2 2,1544340 0,7613064 1,4409698
10-! 4,6415880 0,5578439 1,2459873
10-3/2 10 0,3908169 1,0104555
10-2 21,544340 0,2688021 0,78206748
Ю~6/2 46,415880 0,1836974 0,58744148
10-3 100 0,1252744 0,43298785
-0,01 1,288003
-1 1,868586
-20 20,22319
1) Максимальная ошибка равна единице последнего десятичного разряда.
Как было показано в § 6, монотонный спад концентрации инжек-
тированных свободных носителей с расстоянием — универсаль-
ное свойство функции п (яг) при монополярной инжекции в полу-
бесконечный изолятор. Поэтому примененный метод численного
решения задачи является совершенно общим и, таким образом,
по-видимому, применимым для любой задачи этого класса. Конеч-
но, если в изоляторе имеются равновесные свободные носители
Гл. 9. Точная теория 233
По, то правильным граничным условием вместо (9.24) будет п (х) ->-
п0 при х ->.оо Например, та же программа, которая приме-
нялась для определения собственных значений qo в задаче о пре-
дельном заполнении ловушек, была применена для определения
собственных значений qo в задаче о безловушечном изоляторе
с равновесными свободными носителями, когда В = —п0/п*.
Результаты расчета величины q0
приведены в табл. 7 для трех зна-
чений В.
После того как с помощью
ЭВМ получено решение для полу-
бесконечного изолятора, приме-
нить его для изолятора конечной
толщины L очень просто. Вспом-
нив, что точка х = 0 — это по
определению точка, в которой
существует минимум потенциала,
мы можем из кривой п (ж), исполь-
зуя граничное условие (9.8), опре-
делить положение катода хс. (Изо-
лятор содержит минимум потен-
циала, когда хс < 0, и не
содержит его, когда хс > 0.)
Положение катода ха задается
равенством ха = хс + L. Таким
Фиг. 56. Теоретические вольтамперные
характеристики.
Сплошные кривые рассчитаны согласно точ-
ной теории при различных значениях пс0;
штриховая н пунктирная — по упрощенной
теории при пс0 -» х и пс0 = 1010 см-3 соот-
ветственно. Прямые справа: наклонные —
омические асимптоты кривых, горизонталь-
ные — токи насыщения при соответствующих
значениях пс0. Крестиками обозначены точки
на кривых для пс0 = 10е, 1010, 10п,1012 см-3,
которым соответствует нахождение минимума
потенциала на катодной поверхости раздела.
образом, получается полное решение для конечного изолятора,
причем напряжение определяется по формуле (9.17). Как уже отме-
чалось выше, этот метод не определяет истинного поведения реше-
ния в непосредственной близости от анода, однако по крайней мере
катодный контакт рассматривается в весьма хорошем прибли-
жении.
Чтобы сравнить решение задачи о предельном заполнении
ловушек, полученное в пренебрежении диффузией, с решением
-234 Часть I. Токи монополярной инжекции
полученным при учете диффузии, был выполнен численный анализ
при следующих значениях параметров, выбранных таким образом,
чтобы они соответствовали очень чистым тонким кристаллам
CdS: х = 11, = 200 см7(В -с), Nt- = 1012 см’3 и 'L = 5 -Ю"3 см.
Рассчитанные вольтамперные характеристики представлены
в двойном логарифмическом масштабе на фиг. 56. Штриховая кри-
вая рассчитана по упрощенной теории, пренебрегающей диффузи-
ей и принимающей, что' на катоде поле g обращается в нуль.
Сплошные кривые рассчитаны по точной теории, описанной выше,
при различных значениях ис,0. Прямые представляют собой оми-
ческие характеристики (J — егес,орпУ/1/), к которым прибли-
жаются действительные характеристики до насыщения, но зна-
чительно дальше той точки на вольтамперной кривой, в которой
минимум потенциала достигает катодной поверхности раздела.
Такая точка на каждой кривой отмечена крестиком. Во всех слу-
чаях эта точка близко совпадает с точкой пересечения точного
решения с упрощенным решением. Горизонтальными линиями
нанесены токи насыщения Jnac enc,ovth/i, соответствующие
различным концентрациям тгС10. Пунктирная кривая рассчитана по
упрощенной теории, причем в качестве граничного условия на ка-
тоде было принято пс = пс,0 = 1010 см-3.
Можно видеть, что учет диффузии несколько «смягчает» кру-
тизну резкого роста тока с напряжением. Этот эффект связан
со сдвигом положения минимума потенциала с напряжением.
Кроме того, положение резкого роста тока несколько зависит
от «концентрации» катодного резервуара, т. е. от граничного
условия на катоде. Этот эффект также связан с зависимостью (сла-
бой) положения минимума от граничного условия. Следует отме-
тить, однако, что при значительном изменении граничной кон-
центрации тгс,0 (фиг. 56) коэффициент неопределенности напряже-
ния Упзл не превосходит 2. Ситуация получается вполне удовле-
творительной в том смысле, что соответствующая (одинаковая
по величине) неопределенность концентрации ловушек Nt во вся-
ком случае отвечает современному состоянию технологии изоля-
торов.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТОКИ ДВОЙНОЙ ИНЖЕКЦИИ
ГЛАВА 10
Основные понятия и феноменологический анализ
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Ток монополярной инжекции, обусловленный только инжек-
тированными электронами или только инжектированными дырка-
ми, обязательно ограничен объемным зарядом, так как введение
каждого носителя означает проникновение в изолятор избыточного
элементарного заряда, отрицательного для электронов и поло-
жительного для дырок. Если сделать один контакт изолятора
инжектирующим электроны, а другой — инжектирующим дырки
и приложить напряжение соответствующей полярности, то можно
получить двойную инжекцию *), т. е. одновременное введение
в кристалл электронов и дырок, как показано на фиг. 57. Ввиду
того что инжектированные электроны и дырки могут в значитель-
ной мере нейтрализовать друг друга, ток двойной инжекции гораз-
до больше любого из токов монополярной инжекции в том же
кристалле. В данном случае появляется совсем иная причина,
ограничивающая величину тока,— потери носителей заряда вслед-
ствие рекомбинации. Действительно, инжектированные электро-
ны и дырки могут рекомбинировать прежде, чем завершат пролет'
между анодом и катодом. Как правило, рекомбинация — процесс
двухступенчатый, который идет через локальные центры реком-
бинации, обозначенные JVR на фиг. 57. Вначале центр захватывает
электрон, затем дырку или в обратной последовательности. В ста-
ционарном состоянии абсолютные скорости захвата электронов
и дырок каждой группой центров рекомбинации должны быть,
конечно, равны. Вследствие этого необходимого условия динами-
ческого равновесия заполнение центров рекомбинации обычно
не связано квазиравновесными условиями обмена ни с зоной прово-
димости, ни с валентной зоной, т. е. оно обычно не определяется
положением квазиуровня Ферми. В дополнение к доминирующему,
как правило, двухступенчатому рекомбинационному процессу
иногда имеет место и одноступенчатая рекомбинация зона —
зона, как показано на фиг. 57. На этой фигуре показаны также
х) Термин «двойная инжекция» следует отличать от термина «биполяр-
ная инжекция». Последний относится к явлению на запирающем контакте,
Когда при инжекции неосновных носителей через слой Объемного заряда
в нейтральную область, в силу сохранения нейтральности, в кристалле
возрастает и концентрация основных носителей.— Прим. ред.
238 Часть II. Токи двойной инжекции
локальные уровни прилипания электронов Ntn и уровни прилипа-
ния дырок Ntp.
Вакуумный аналог двойной инжекции в изолятор, а именно
одновременная эмиссия электронов из накаленного катода и поло-
жительных ионов с анода, в отличие от случая изолятора не может
привести к существенно большему полному току I, чем монополяр-
ный электронный ТООЗ 1е, определяемый законом Чайлда. Дей-
ствительно, как показал Ленгмюр [199], максимальное возможное
значение отношения 1Ие для плоского диода равно 3,7. Причина
того, что в данном случае достигается лишь ограниченная нейтра-
лизация объемного заряда и, следовательно, ограниченное увели-
чение тока, состоит в том, что в вакуумном диоде скорость движе-
ния носителя зависит от пройденной им разности потенциалов.
Ф и г. 57. Энергетическая диаграмма для случая двойной инжекции в изоля-
тор с металлическими инжектирующими контактами.
Ntn — центры прилипания электронов, — центры прилипания дырок, —
центры рекомбинации.
Таким образом, там, где носители одного знака перемещаются мед-
ленно и поэтому имеют высокую концентрацию, а именно вблизи
«своего» эмиттирующего электрода, носители противоположного
знака движутся с большой скоростью и имеют малую концентра-
цию. В твердом же теле дрейфовая скорость носителей вследствие
рассеяния пропорциональна напряженности электрического поля
в каждой точке образца. Следовательно, как электроны, так и дыр-
ки движутся медленно в областях изолятора с низкой напряжен-
ностью электрического поля, где имеется максимальная возмож-
ность взаимной нейтрализации. Соответственно может быть достиг-
нуто весьма большое увеличение тока при наличии носителей обо-
их знаков. В этом отношении различие между протеканием тока,
характеризуемого рассеянием носителей, и тока в отсутствие
рассеяния имеет более важные следствия для тока двойной инжек-
ции, чем для монополярного ТООЗ.
Приведенные замечания можно сформулировать иначе. Суще-
ственная простота, присущая физике стационарных токов монопо-
лярной инжекции, определяется следующими двумя основными
Гл. 10. Основные понятия и феноменологический анализ 239‘
особенностями': 1) все примесные уровни связаны обменом носите-
лями только с одной зоной, в которую инжектируются носители
из электрода, вследствие чего динамическое равновесие между
свободными и захваченными носителями сводится к простому
квазитермическому равновесию, и 2) существует самая простая
связь между инжектированными носителями и инжектированным
объемным зарядом, а именно все инжектированные носители вно-
сят вклад в объемный заряд. В физике токов двойной инжекции
обе эти особенности отсутствуют вследствие рекомбинации и ней-
трализации зарядов. Поэтому ток двойной инжекции, вообще гово-
ря, сопровождается большим числом различных проявлений, чем
ток монополярной инжекции. Здесь мы сталкиваемся со значи-
тельно более сложным и разнообразным поведением, которое
не выяснено до конца даже в случае одномерного тока в плоской
структуре. Далее, при двойной инжекции роль контактов оказы-
вается значительно более существенной, чем в случае монополяр-
ной инжекции. В частности, можно ожидать, что контакт, являю-
щийся инжектирующим для носителей одного знака, например-
для электронов, является запирающим для носителей противо-
положного знака, т. е. дырок. Поэтому упрощенная теория, пре-
небрегающая условиями на контактах, а в связи с этим и диффу-
зионными токами, приводит к совершенно неудовлетворительному
описанию явлений на расстояниях от контакта порядка длины
амбиполярной диффузии. Однако при расстояниях от катода до-
анода, значительно превышающих эту длину, упрощенная теория,
которой мы будем пользоваться при изучении двойной инжекции,
дает вполне удовлетворительное описание ситуации в объеме изо-
лятора и вольтамперных характеристик, как и в случае монопо-
лярной инжекции.
Сложность физических процессов, лежащих в основе двойной-
инжекции, в какой-то мере становится ясной, если мы попытаемся
ответить на вопрос: что ограничивает ток двойной инжекции?
Ограничим наше рассмотрение упрощенной теорией, автоматиче-
ски не учитывающей влияние контактов, которое нас здесь не инте-
ресует. Было бы неточно, отвечая на поставленный выше вопрос,,
считать, что, подобно случаю монополярной инжекции, ток двой-
ной инжекции ограничивается просто объемным зарядом. Помимо
других трудностей, такой ответ оставляет открытым вопрос о том,,
почему вообще существует какой-то объемный заряд, если инжек-
тируются носители обоих знаков. Действительно, если нет реком-
бинации, то отсутствует всякий механизм ограничения тока и ток
должен стать бесконечным. Это дает ключ к правильному ответу
на наш вопрос, и он таков: либо рекомбинация, лйбо рекомбинация
в сочетании с объемным зарядом. Чтобы понять этот ответ, следует
более детально рассмотреть, каким образом объемный заряд
ограничивает ток монополярной инжекции. Приведенное в гл. 2.
240 Часть II. Токи двойной инжекции
соотношение Q = CV дает наглядное представление о механизме
ограничения тока монополярной инжекции. Однако в гл. 3 мы
видели, что соотношение Q = CV представляет собой просто
интегральную форму уравнения Пуассона
d’g
8 — Рполн — Р+ Pt-
Здесь важно то обстоятельство, что присутствие инжектированных
носителей и, следовательно, объемного заряда обусловливает
конечное неисчезающее значение производной dfeldx. Этим исклю-
чается возможность обращения поля g в нуль в любой точке изо-
лятора, а поэтому обеспечивается конечное значение приложенного
напряжения V при заданном значении тока J. Оказывается, что
в двойной инжекции рекомбинация играет весьма сходную роль,
поскольку она приводит к «исчезновению» инжектированных носи-
телей, и «подсчет» носителей посредством уравнения непрерывно-
сти для электронного Jn и дырочного Jp токов требует, чтобы эти
токи имели отличную от нуля дивергенцию. Поскольку в упрощен-
ной теории Jn % и Jp неисчезающие дивергенции токов
означают, что производная d'feldx имеет конечное значение.
Именно в этом смысле в случае двойной инжекции рекомбинация
может играть роль, подобную роли объемного заряда при монопо-
лярной инжекции, а именно ограничивать ток при заданном при-
ложенном напряжении.
Конечно, уравнение Пуассона по-прежнему остается в силе.
Таким образом, в теории двойной инжекции имеются два уравне-
ния, включающих производную d^ldx. Можно выделить ряд задач
о токах двойной инжекции или частей этих задач, при решении
которых уравнение Пуассона не принимается во внимание. (Дей-
ствительно, в определенных случаях система уравнений решается
в предположении наличия электрической нейтральности на всем
протяжении образца.) В этих случаях dJJdx определяется одной
только рекомбинацией. Локальная плотность объемного заряда
по-прежнему задается величиной edg/dx, а заряд Q по-прежнему
равен произведению СУ, однако этот объемный заряд обусловлен
незначительными возмущениями распределений электронов и ды-
рок, определяемых рекомбинацией. Примером ситуации этого
типа может служить двойная инжекция в полупроводнике, где
имеется достаточно большая концентрация равновесных, терми-
чески генерируемых свободных носителей для ослабления инжек-
тированного объемного заряда. С другой стороны, имеются случаи,
когда для определения величины d^ldx существенны как уравне-
ние Пуассона, так и рекомбинационные уравнения. В этих случаях
говорят, что ток ограничивается одновременно рекомбинацией
и объемным зарядом. Примером двойной инжекции этого типа
является плазма, инжектированная в изолятор.
Гл. 10. Основные понятия и феноменологический анализ 241
Наиболее простыми для анализа и наиболее изученными в на-
стоящее время являются задачи, связанные с инжектированной
плазмой. В этих задачах инжектированные электроны и дырки
остаются свободными и в первом приближении нейтрализуют друг
друга (отсюда термин «инжектированная плазма»). При обсужде-
нии этих вопросов предполагается, что сколько-нибудь существен-
ный захват носителей отсутствует и, кроме того, что роль центров
рекомбинации, если они вообще эффективны, состоит только
в обеспечении канала, через который проходит рекомбинационный
поток; иначе говоря, мы можем не учитывать изменения заселенно-
сти этих центров. Инжектированная плазма всегда является пре-
дельным режимом, достигаемым в любой задаче о двойной инжек-
ции при приложении настолько больших напряжений, что кон-
центрация инжектированных носителей превосходит концентра-
цию локальных примесных состояний. Инжектированная плазма
является относительно простым объектом, й многие из ее характер-
ных свойств могут быть выяснены путем феноменологического
анализа. Это и будет сделано в последующих параграфах настоя-
щей главы.
§ 2. ПЛАЗМА, ИНЖЕКТИРОВАННАЯ В ИЗОЛЯТОР
При рассмотрении плазмы, инжектированной в изолятор,
большое количество полезных данных можно получить с помощью
того же простого феноменологического анализа, который оказался
весьма эффективным в гл. 2 при изучении токов монополярной
инжекции. Здесь, так же как в гл. 2, мы будем рассматривать толь-
ко средние значения интересующих нас физических величин —
концентрации инжектированных свободных носителей, объемного
заряда, дрейфовой скорости и времени жизни носителей. Посколь-
ку инжектированные свободные электроны и дырки почти полно-
стью нейтрализуют друг друга, что является условием существова-
ния инжектированной плазмы, их средние концентрации одина-
ковы и они имеют одинаковое время жизни. Концентрации локаль-
ных примесных уровней предполагаются достаточно малыми, чтобы
можно было пренебречь любыми изменениями их заселенности.
Наконец, концентрации равновесных термически генерированных
электронов и дырок принимаются пренебрежимо малыми.
Полная плотность тока J представляет собой сумму электрон-
ного и дырочного дрейфовых токов:
/ = envn + epvp = еп (vn + vp), (10.1)
где п и р — средние концентрации инжектированных свободных
электронов и дырок, причем п = р (условие инжектированной
плазмы), a vn и vp — средние дрейфовые скорости электронов
и дырок.
16-0699
242 Часть II. Токи двойной инжекции
Поскольку равновесные свободные носители, способные ком-
пенсировать объемный заряд, отсутствуют, последний играет
существенную роль в определении свойств инжектированной
плазмы. Соотношение между инжектированным зарядом и прило-
женным напряжением остается таким же, как и для монополярной
инжекции [соотношение (2.4)]; для удобства приведем его здесь
снова:
Q = pL^C0V=^-V. [(10.2)
Чтобы получить вольтамперную характеристику, очевидно, необ-
ходимо установить соотношение между инжектированным зарядом
Q и средним нейтрализуемым зарядом инжектированной плазмы
enL, т. е. вычислить их отношение 6 = Q!enL.
Нейтрализация плазмы будет неполной, так как электроны
и дырки, инжектированные с противоположных электродов,
должны проходить определенное расстояние, чтобы встретиться
друг с другом. Естественно принять, что отношение 6 определяется
выражением
g Oi + *p
т ’
где т — среднее время жизни, общее для инжектированных элек-
тронов и дырок, a tn и tp — средние времена пролета электронов
и дырок. Действительно, чем меньше время жизни, тем больше
потери носителей на рекомбинацию и, следовательно, тем сильнее
отклонение от нейтральности. Наоборот, чем меньше время проле-
та, тем больше носителей могут избежать рекомбинации и способ-
ствовать достижению более полной нейтральности. Простейшей
мерой этих конкурирующих противоположных тенденций являет-
ся отношение времени пролета к времени жизни. Аддитивность
отношений tnlx и tplx следует из того факта, что электроны и дырки
инжектируются на противоположных электродах и дрейфуют
в противоположных направлениях. Эта общая картина почти пол-
ностью нейтральной плазмы реализуется, если Zn/r<^ 1 и tplx 1.
Используя приведенное выражение для 6, мы можем написать
— ‘п^р
Q ~ enL —
х
(10.3)
Замечая, что tn = L/vn и tp = L/vp, и объединяя (10.1) с (10.3),
получаем
CxvnVpV e.xvnvpV 72
J «----« —£5— = 8ТЦпЦ, £5 . (10.4)
Гл. 10. Основные понятия и феноменологический анализ 243
Этот результат впервые получил Роуз для случая одинаковых
подвижностей; позднее его вновь открыл Ламперт [200].
Соображения, которые приводят к формуле (10.4), в частности
соотношение (10.3), могут быть несколько уточнены, если более
детально рассмотреть распределение объемного заряда. Пусть
контакт, инжектирующий дырки (анод), находится в плоскости
х = 0, а контакт, инжектирующий электроны (катод), — в плоско-
сти х = L. Если п (х) и р (х) — распределения концентраций
свободных электронов и дырок, то в области изолятора, гранича-
щей с анодом, т. е. при х < Ы2, выполняется условие р (х) >
> п (х), а в области, граничащей с катодом, т. е. при х > L/2,
выполняется условие п (х) > р (х); в точках вблизи середины изо-
лятора, т. е. при х « L/2, выполняется условие р (х) = п (х).
В соответствии с изложенными соображениями можно считать
возможным представить приближенное распределение простран-
ственного заряда в виде линейного соотношения
е (р — п) « еп —=-----f— . (10.5)
т ь
Общий нескомпенсированный заряд одного знака в изоляторе
на единицу площади выражается интегралом
L/2 - -
Q+=e Г (р — п) dx л; еп п _ — . (10.6)
о т
Заметим, что
L
<?+=|<?-1 = е j (n — p)dx.
L/2
Это безусловно верно в упрощенной теории, которая, принимая,
что % = 0 на обоих контактах, требует, чтобы изолятор в условиях
инжекции был повсюду нейтральным. В линейном приближении
(10.5) х точно равно Ы2, что обеспечивает общую нейтральность.
Если использовать формулу (10.6) вместо (10.3), то уравнение
(10.4) можно заменить уравнением
— уз
J « 8ет|лп|лр . (Ю.7)
Решение (11.14), полученное аналитически из упрощенной тео-
рии для случая, когда т является постоянной величиной, отли-
чается только тем, что множитель 8 заменяется на 125/18 «s 7.
При выводе вольтамперной характеристики (10.7) [или (10.4)]
не предполагалось никаких ограничений относительно возможной
Э Не опубликовано, 1955.
16*
244 Часть II. Токи двойной инжекции
зависимости среднего времени жизни т от среднего уровня инжек-
ции п. Если такой зависимости нет, то выражение (10.7) представ-
ляет окончательный результат. Там, где такая зависимость имеется,
т. е. т = т (й), очевидно, необходимо исключить т из формулы
(10.7), чтобы получить вольтамперную характеристику, выражен-
ную через константы материала. Но если т является функцией п,
то верно и обратное утверждение, и мы можем считать п функцией
т: й = й (т). Используя уравнения (10.6) и (10.7) при Q = <2+ и
t = Z2/fxV, получаем
т ~ _ eLi pn+pp /4n
п(х) ~ 8Q+ 8eV2 № }
Чтобы получить окончательную вольтамперную характеристику,
уравнение (10.8) при заданной функции п (т) решается относитель-
но т, а результат подставляется в (10.7).
В качестве примера использования уравнения (10.8) рассмотрим
случай прямой рекомбинации свободных электронов и дырок. Это
бимолекулярный процесс, в котором время жизни изменяется
обратно пропорционально концентрации: т = (<мтл) п)~1, где
v — микроскопическая скорость электрона относительно дырки,
°я = ал (и) — сечение рекомбинации и угловые скобки обозна-
чают усреднение по двум распределениям скоростей. Таким обра-
зом, п (т) = ((мТд) т)-1, и уравнение (10.8) для настоящего слу-
чая [т = (<щтЛ)й)-Ч дает
Ид=^. (Ю.9)
4Е L РпРрДл J г 2е ' '
При подстановке (10.9) в (10.7) получаем
+ (10.10)
Приближенный результат (10.10) очень близок к точному
результату (11.35). Он имеет такую же функциональную форму,
а численный коэффициент в (10.10) больше, чем в (11.35), всего
лишь в (32/Эл)1^ ж 1,06 раза.
§ 3. АМБИПОЛЯРНАЯ ПОДВИЖНОСТЬ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
В ТЕОРИИ ДВОЙНОЙ ИНЖЕКЦИИ
Поучительно связать полученные выше результаты с амбипо-
лярной подвижностью ца. Ниже мы покажем, что эта величина
может быть определена, исходя из простых физических соображе-
ний.
Рассмотрим полупроводник n-типа (фиг. 58) с расстоянием меж-
ду анодом и катодом L. Предположим, что плазма, «инжектиро-
Гл. 10. Основные понятия и феноменологический анализ 245
ванная», например, путем оптического возбуждения или электрон-
ной бомбардировки, занимает участок шириной d<^ L, считая, что
плазма заполняет все поперечное сечение образца. Концентрации
свободных носителей внутри «инжектированной» плазмы равны:
р — для дырок и п = п0 + р — для электронов, где Пп — равно-
весная концентрация электронов в полупроводнике. При прило-
жении к полупроводнику внешнего напряжения V напряженность
п=п0+р
Фиг. 58. Плазма, инжектированная в ограниченный объем полупровод-
ника п-типа.
К выводу выражения для амбиполярной подвижности.
электрического поля в плазме будет равна в остальной части
полупроводника напряженность поля приближенно равна VIL
(вследствие предположения d^„ L). Установившиеся токи внутри
и вне плазмы должны быть одинаковыми:
J = е (п0 + р) рп^р + еррр^р = епорп (10.11)
Решая уравнение (10.11) относительно gp, получаем
g = ------L. (10.12)
(по + р) Рп Н-ДИр L
На фиг» 58 дырки движутся в поле слева направо. При
смещении фронта движущихся дырок объемный заряд дырок,
перешедших в правую область полупроводника, нейтрализуется
термически равновесными электронами за время диэлектриче-
ской релаксации t& = е/епор.п» которое мы будем считать малым
по сравнению со всеми другими характеристическими временами
в данной задаче. Нескомпенсированные неравновесные избыточ-
ные электроны на противоположной стороне слоя плазмы стекают
также за относительно короткое время. Таким образом, движение
дырок одновременно является и движением слоя плазмы, т. е.
скорость перемещения слоя плазмы, или амбиполярная дрейфовая
скорость va, равна дрейфовой скорости дырок vp. Тогда, записав
определение амбиполярной дрейфовой подвижности в виде
Va = Рр£р = Ца , (10.13)
получим
,, == _____=. п~Р а о 14)
fao + p) Рп + РРр nllXp — p/Цп ’ '
246 Часть II. Токи двойной инжекции
Это среднее значение (абсолютная величина) амбиполярной под-
вижности, которое понадобится нам в дальнейшем. [Среднее алгеб-
раическое р,а в рассматриваемой задаче непригодно, поскольку
Ра ~ (п — р) = 0]. Принимая п = р в формуле (10.14), получаем
I йа I «... * ~ JL. - *-------, (10.15)
|Г 1 п 1/Цп-Н/Рр enL 1/14-4-1/Цр К 7
где величина | п — р | заменена на QleL. Подставляя QlenL из
(10.3) в (10.15), окончательно получаем важное соотношение
_ _ — 72
tawx, где ta = - . (10.16)
I Иа) V
Поскольку | ра | — средняя дрейфовая подвижность электронно-
дырочных пар, то ta — среднее время пролета пар, или амбиполяр-
ное время пролета. По существу из выражения (10.16) следует,
что при любом заданном напряжении концентрация инжектиро-
ванной плазмы возрастает до тех пор, пока время пролета пар
не становится приближенно равным их времени жизни. Этот
результат можно объяснить следующим образом. С одной стороны,
нет никаких механизмов, которые препятствовали бы возрастанию
концентрации инжектированной плазмы вплоть до ta а? т, а с дру-
гой стороны, при ta > х большое поле g (экспоненциально нара-
стающее), которое потребовалось бы, чтобы полный ток J не зави-
сел от координаты х, учитывая экспоненциальную убыль пар, было
бы слишком велико, чтобы соответствовать фиксированному при-
ложенному напряжению V. Если угодно, соотношение (10.16)
можно считать столь же логически оправданным й физически
верным исходным пунктом, как и выражение (10.3).
§ 4. ПЛАЗМА, ИНЖЕКТИРОВАННАЯ В ПОЛУПРОВОДНИК
Теперь мы проведем простой феноменологический вывод
вольтамперной характеристики для плазмы, инжектированной
в полупроводник, используя в качестве исходного положения соот-
ношение (10.16). Рассмотрим электронный полупроводник и-типа
с равновесными концентрациями электронов и дырок п0 и р0,
причем пй — р0 = ND — N А, где ND и N А — концентрации
доноров и компенсирующих акцепторов. Мы полагаем, что избы-
точная равновесная концентрация свободных электронов п0 — р0
достаточно велика, чтобы избыточный инжектированный заряд
нейтрализовался путем диэлектрической релаксации за время,
более короткое, чем все характеристические времена, которые
следует принимать во внимание в этой задаче. Тогда вместо (10.5)
мы везде имеем локальную нейтральность; для полных концентра-
Гл. 10. Основные понятия и феноменологический анализ 247
ций свободных электронов и дырок п и р имеем
п — р = пй — Ро = N D — N Л. (10.17)
Используя соотношение (10.17) в правой части (10.14), вместо
выражения (10.15) получаем
Яр —Др________i
п l/Нга Vp-p
(10.18)
где мы предполагаем, что уровень инжекции сравнительно высо-
кий, т. е. п п0 и р по, так что п да р. Комбинируя (10.16)
с (10.18), получаем следующее выражение для п:
(«о—v
(10.19)
Нп + Др 7/2
Поскольку, согласно уравнению (10.1), ток J задается формулой
J да еп (p,n + gp) V/L, заменяя величину п ее значением (10.19),
получаем следующее уравнение вольтамперной характеристики:
•7 да е (zip р0) ЦпР-р”1
(10.20)
Конечно, этот результат предполагает, что п0 — р0 0 (хотя
п0 — Ро может быть много меньше, чем п0 и р0 в отдельности).
Это не является существенным ограничением, поскольку компен-
сация не может быть практически полной. В действительности
уже значение п0 — Ро < Ю12 см-3 можно расценивать как превос-
ходный результат (для области температур, в которой все доноры
ионизованы). Приближенное уравнение (10.20) отличается от точ-
ного уравнения (12.7) только тем, что последний содержит числен-
ный множитель 9/8.
Использование соотношения (10.16) в качестве исходного пунк-
та для анализа инжектированной плазмы с самого начала пока-
зывает, что инжектированная плазма ограничена рекомбинацией.
Для полупроводников предположение о локальной нейтральности
(10.17) исключает какую-либо роль объемного заряда:
плазма, инжектированная в полупроводник, ограничена
только рекомбинацией.
С другой стороны, для изоляторов использование выражения
(10.15) отчетливо свидетельствует о роли объемного заряда:
плазма, инжектированная в изолятор, ограничена одновре-
менно рекомбинацией и объемным зарядом.
ГЛАВА 11
Плазма, инжектированная в изолятор
Простейшими из круга задач двойной инжекции являются зада-
чи об инжектированной плазме. Действительно, в предыдущей
главе мы видели, что эти проблемы доступны для прямого фено-
менологического анализа. В настоящей главе мы получим даль-
нейшую информацию о плазме, инжектированной в изолятор,
а именно о распределении концентрации носителей и напряженно-
сти электрического поля, но уже путем аналитического исследо-
вания. В следующей главе мы проделаем то же для плазмы, инжек-
тированной в полупроводник.
Хотя в принципе задача о плазме, инжектированной в идеаль-
ный изолятор, является простейшей из задач об инжектированной
плазме, она связана с задачей о нелинейной бимолекулярной
рекомбинации, которая влечет за собой немалые математические
трудности. Поэтому мы рассмотрим сначала случай инжектирован-
ной плазмы с постоянным временем жизни носителей, который
представляет собой относительно более простую аналитическую
проблему.
§ 1. ПЛАЗМА С ПОСТОЯННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЖИЗНИ
НОСИТЕЛЕЙ
Плазма образована из дырок, инжектированных из анода,
расположенного при х = 0, и электронов, инжектированных из ка-
тода, расположенного при х = L. Так как дырки перемещаются
слева направо, а электроны справа налево, общепринятый выбор
знаков является здесь наиболее удобным; поэтому мы примем
Jp = JрХ, J ~ (11.1)
Уравнения для дырочного и электронного токов в рамках упро-
щенной теории, которую мы здесь используем, могут быть записа-
ны соответственно в виде
Jp J п (11.2)
Ошибки, обусловленные пренебрежением диффузионным током,
рассматриваются в гл. 13.
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 249'
Уравнение Пуассона записывается в виде
8 ЛЪ
-------------------------= р — п,
е dx г
(11.3}
Уравнения сохранения числа частиц, соответствующие стационар-
ному состоянию, имеют вид
е -dx dx хп хр ’ ( • /
= и ^ = r=2L=JL, (11.46)
е dx dx '
где г — скорость рекомбинации, а хп и тр — времена жизни
электронов и дырок. Постоянство времени жизни, естественно,
предполагает рекомбинацию через локальные центры. Из уравне-
ния (И.З) ясно, что мы здесь пренебрегаем любыми изменениями
в заполнении этих центров при рекомбинации.
Граничные условия, соответствующие упрощенной теории,
имеют обычный вид:
g = 0 при х = 0 и х = L. (11.5)
1. РЕЖИМ ИНЖЕКТИРОВАННОЙ ПЛАЗМЫ
В этом режиме везде пхр и соответственно в уравнениях (11.4)
хп « тр. Поэтому мы можем опустить индексы при времени жизни
и обозначить время жизни просто т. Далее мы предполагаем, что т
является постоянной величиной, не зависящей от уровня инжек-
ции, а следовательно, от координаты.
Полная плотность тока J является постоянной величиной:
/ = /n + /p = e(&4-l)ppng = const, Ь = -Н2-. (11.6)
Она вычисляется путем вычитания (11.46) из (11.4а) и использова-
ния формул (11.2).
Умножая (11.46) на величину b и прибавляя к (11.4а), получа-
ем, используя (11.3) и (11.6),
g d / -----J—e /Ц_7),
dx \ dx I 8[Лррпт '
Заметим, что везде принималось р == п, кроме случая, когда встре-
чалась разность р — п, которую мы исключали использованием
уравнения Пуассона (11.3). Теперь удобно использовать следую-
щие безразмерные переменные:
w _ ех и = dw________е________ eg v _
J&1?/2PpT2 ’ dy e (i-j-l) Црхп Jx ’ J2&^2ppT2 ’
(11.8}
250 Часть II, Токи двойной инжекции
X
где V — приложенный потенциал: V (ж) = j g dx. Подстановка
о
(11.8) в уравнение (11.7) дает
с решением
^ = -^(УсУ — У2). (11.10)
Здесь мы произвольно приняли у — 0 при w = wa = 0, т. е.
х = 0; у = ус = у (шс) — значение у, соответствующее х = L.
Индексы а и с относятся к аноду и катоду соответственно. Полу-
ченное уравнение (11.10) удовлетворяет граничным условиям
(11.5).
Интегрирование (11.10) дает
у
w^^udy^—^y^ — ^y^ , = (11.11)
о
Для потенциала имеем
w у
v=^udw= \ (^)2^ = ^| У&3-4^+4^5] ’ (11л2)
0 0
Vc = ^oP6c.
Ток и напряжение, выраженные через безразмерные переменные,
записываются в виде
где V = V (L) — приложенное напряжение. Поскольку 1/шс
является функцией vc/w2c, мы имеем из (11.13) следующее соотно-
шение подобия: JIL является функцией У/L2. Действительно,
комбинируя (11.11) и (11.12), мы получаем vju% = 6/5г/с, что
в конечном счете дает
1 125 , 125 Уз
---= ИЛИ J ~ То” еТЦоЦп тт (11.14)
wc 18 wg 18 r 7 L° ' '
(кубический закон для изолятора). Отметим следующие важные
свойства этого решения:
1. Максимальное значение поля g равно gm — 5gn/4,
где gQ = Ус/Ь. Этот максимум получается в точке х = хт = L/2,
соответствующей wm = wc/2, ут = г/с/2, где ус = 6 (inZp)1/2/5r,
tn = Л2/цпУ, tp = L2/ypV- Таким образом, плоскость, разделяю-
щая изолятор пополам, является плоскостью нейтральности.
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 251
2. Отношение концентрации объемного заряда к концентрации
инжектированной плазмы (р — п)/п — (б+ 1) (уа — 2у)/2&1Д
имеет максимальное абсолютное значение, равное 3 (Fn + 7р)/5т.
Таким образом, приведенное выше решение справедлдно-только
при достаточно высоком напряжении, когда tp/x и tjx
3. Вблизи плоскости нейтральности при х = хт — Ы2 кон-
центрация объемного заряда определяется выражением
4 хт—х
р-п^Тпт—-----------
Это выражение очень близко к результату «физического» подсчета
(10.5), которым мы пользовались выше, и незначительно отли-
чается от него лишь численным коэффициентом. Здесь пт =
= п(хт) является минимальным значением п.
4. Средняя концентрация инжектированной плазмы равна
L
(• dx 25етцпУ2
п “ J ВТ“ Зе (64-1) Л4 '
о
Это можно записать в виде enL — (25/3) {т/ (tn + tp)} C0V, где
Со — &/L. Кроме того, п!пт = 3/2.
5. Уточненное значение времени пролета определяется выра-
жением
L ' L
tn = f V^dx — ^n1 f g^dx — ^.
J Ju
о 0
6. На малых расстояниях Дж от обоих контактов отношение
диффузионного электронного тока (который не учитывается при
выводе) к дрейфовому электронному току составляет
e[lnVT dn/dx _о-|Ло лп-2 VT ((Cdp\i/2
bJ/(b+l) -8 И 3-10 r Цд. ) T2 J •
Таким образом, условие существования инжектированной плазмы
{tn + tp)!x^ 1 является по существу также условием самосогла-
сованное™ в отношении пренебрежения диффузией, за исключе-
нием области в непосредственной близости от контактов.
На фиг. 59 показаны распределения электрического поля и по-
тенциала в зависимости от безразмерной длины x/L (сплошные
кривые). Для построения этих кривых использованы формулы
(11.10) — (11.12) и отношения x/L = w/wa, $ (ж)/£т = ulum
и 7 {x)/V = v/vc. Поскольку n/nm = %m/%, распределение кон-
центрации носителей можно не приводить. Самой поразительной
чертой инжектированной плазмы является ее относительная одно-
родность. На протяжении приблизительно 90% длины изолятора
252 Часть II. Токи двойной инжекции
поле изменяется только в два раза: %1%т = 1/2 при х IL = 0,06.
Кроме того, на фиг. 59 нанесена величина, прямо пропор-
x/L
Фиг. 59. Рассчитанное распределение напряженности электрического поля,
потенциала и плотности объемного заряда вдоль длины образца для плазмы,
инжектированной в изолятор.
Сплошные кривые относятся к случаю постоянного времени жизни носителей, штрихо-
вые кривые— к случаю бимолекулярной рекомбинации. Величина, обозначенная р — п,
для плазмы с постоянным временем жизни носителей равна 2/3 [r/ftn + tp)] (р —
а для случая бимолекулярной рекомбинации равна [(2|Лд/|лр) -|- (2цл/цп)]-»(р — n)/nm;
т — постоянное время жизни, tn и tp—среднее время пролета электронов и дырок соответ-
ственно и пт — концентрация свободных электронов в средней плоскости х = L/2. штри-
ховые прямые — линейное приближение к кривым р — п.
2/3{т/(^п + tp)}(p — п)/пт. Заметим, что линейное - прибли-
жение к этому выражению дает хорошие результаты на протяже-
нии почти всего изолятора (отклонение в 2 раза от линейного хода
имеет место в точке xlL = 0,07).
Экспериментальное подтверждение кубического закона для
изолятора (11.14) рассматривается в гл. 13.
а. ПЕРЕХОД ОТ РЕЖИМА ТООЗ К РЕЖИМУ
ИНЖЕКТИРОВАННОЙ ПЛАЗМЫ
В рассмотренной выше задаче об инжектированной плазме
в случае постоянного времени жизни носителей мы видели и з ана-
лиза вопроса о сопровождающем плазму объемном заряде, что
условие инжектирования плазмы обязательно нарушается при
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 253
достаточно малых напряжениях, когда (tn + tp) lx > 1. Что же
происходит в этой области? Этот вопрос не имеет однозначного
ответа — характер происходящих явлений зависит от деталей
принятой модели изолятора. Имеется одна особенно простая модель,
для которой может быть дано полное аналитическое решение. Такое
решение представляет весьма большой интерес, поскольку оно
позволяет проследить переход от преобладания тока монополяр-
ной инжекции при низких напряжениях к току инжектированной
-------------Ес
-------------Nr-
-------------Го
—————EV
ffp»CXn ' ТПЯ1 const
а
Фиг. 60. Простые модели изолятора, для
которых одно из времен жизни свободных
носителей заряда остается приблизительно
постоянным для любых уровней (двойной)
инжекции.
On, op — сечения рекомбинации для электронов и
для дырок соответственно, а — состояния JVr
акцепторного типа и расположены выше уровня
Ферми, б — состояния JVR донорного типа и рас-
положены ниже уровня Ферми.
---------------------
---------------;-----ро
---------------------
Oh»Op : Тры const
6
плазмы при более высоких напряжениях. Это модель, в которой
одно из времен жизни свободных носителей постоянно и не зависит
от уровня инжекции.
Такая ситуация легко осуществляется в двух простых случаях,
показанных на фиг. 60. В моделе, показанной на фиг. 60, а, имеет-
ся только одна группа уровней рекомбинации с концентрацией
NR, расположенных значительно выше уровня Ферми и поэтому
практически не заполненных электронами в тепловом равновесии.
Кроме того, предполагаются такие значения сечений захвата
электронов и дырок стп и стр этих центров, что стр стп. Это будет
справедливо, если состояния NR акцепторного типа, т. е. отрица-
тельно заряжены, когда заняты электроном, и нейтральны, когда
пусты. В условиях инжектированной плазмы п « р центры реком-
бинации будут оставаться незаполненными. При п « р и стр стп
это единственная возможность, при которой скорости рекомбина-
ции электронов и дырок одинаковы, как это и должно быть в ста-
ционарном состоянии. Таким образом, мы можем считать, что
состояния NR останутся незаполненными при всех напряжениях
254 Часть II. Токи двойной инжекции
и, следовательно, время жизни электронов тп« ((штп) 2VR)-1 будет
постоянным, не зависящим от уровня инжекции.
Модель, показанная на фиг. 60, б, аналогична модели
фиг. 60, а. Здесь уровни рекомбинации расположены гораздо
ниже уровня Ферми и представляют собой уровни донорного типа,
т. е. ап <ур, так что время жизни дырок тр « ((i?crp )2VR)_1 остает-
ся постоянным независимо от уровня инжекции.
Для определенности примем постоянным время жизни электро-
нов, что соответствует фиг. 60, а. Эта задача характеризуется теми
же уравнениями (11.1) — (11.5), которые применялись при анали-
зе задачи об инжектированной плазме, за тем лишь исключением,
что теперь мы используем для г в формуле (11.4) только выражение
г = п/гп с тп — const. Далее, здесь мы считаем, что равенство
п = р нигде не выполняется.
Таким образом, вместо выражения (11.6) мы напишем
J = Jn + Jp = epniTg 4- epppft — const. (11.15)
Используя (11.15) и (11.37), можно определить п и р в отдельности
в зависимости от § и d&'dx:
с11-16)
Умножая теперь (11.46) на Ъ и прибавляя (11.4а), а также исполь-
зуя выражения (11.3) и (11.16), получаем вместо (11.7)
Далее целесообразно перейти к следующим безразмерным пере-
менным:
ez dw гъ eaF ... . о.
W~ J^n ' ~bJ^' v~ * (11л8)
Подстановка (11.18) в (11.17) дает уравнение
d ( du \ 'du d2u ди . d d
U I u I u —-г- —— 1, U—r— = rr-, (11.19)
[du> \ dw I dw dy* dy dw [dy ' '
которое имеет решение
* = С11-20)
Здесь, так же как при переходе от (11.9) к (11.10), мы произвольно
положили у = 0 при w = и>а = 0, что соответствует х — 0; зна-
чение У — ус — У (шс) соответствует х = L. Уравнение (11.20)
удовлетворяет граничным условиям и = 0 при у = 0 и при у —
— ус, что соответствует граничным условиям (11.5). Интегриро-
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 255
вание (11.20) дает
? 1
w> = \ и dy — -^~ у3Ме(у — ехрр + 1), Ме = С_1 ,
J " сл-р у с
о
(11.21)
w’c = w(i/c)=4j/c — (1 — мс)ус. (11.22)
Для потенциала имеем
и— ( udw = § dy = Ml |р — 2(expp —1) +
o о
+ — (exp 2y — 1) J- + MR {y* + 2 (exp у — 1) — 2y exp у} + у у3, (11.23)
ve = V (ye) = 4 yl - (4 - Me} yl + (2 - Me) (1 - Me) yc. (11.24)
В безразмерных переменных получаем
J = -#------V = V(L)= —— . (11.25)
тп6Нп ®c ' ' УпТ>п ™l ' ’
Как и выше, имеем следующий закон подобия: J'L является функ-
цией VIL*.
Фиг. 61. Обобщенная вольтамперная характеристика для двойной инжек-
ции в изолятор с постоянным временем жизни электронов при всех уровнях
инжекции.
Штриховыми линиями изображены приближенные характеристики для двух «чистых»
режимов: 1 — квадратичный закон ТООЗ, 2 — кубический закон двойной инжекции;
J ~ i/we, V ~ »с/и>2.
На фиг. 61 показана зависимость vc!wl от 1/шс в двойном лога-
рифмическом масштабе. Рассмотрим два режима:
1. Квадратичный режим в случае монополярной инжекции:
Уа^Р 1. При этом wa « рс/2 ирс« р?/3, так что (нс/ш|)2 « 8/9шс,
что показано на фиг. 61 штриховой линией 1. Этому случаю соот-
256 Часть II. Токи двойной инжекции
ветствует безловушечный квадратичный закон ТООЗ (4.9), где ц
заменено на поскольку носителями тока теперь являются
дырки. Физический смысл этого результата ясен. При низких
напряжениях электроны не могут существенно внедриться в изо-
лятор вследствие их конечного времени существования в зоне про-
водимости, обусловленного захватом пустыми центрами реком-
бинации. Кроме того, за исключением областей, непосредственно
примыкающих к контакту, центры рекомбинации не заполнены
и не могут захватывать инжектированные дырки. Таким образом,
единственным ограничением инжекции дырок является их соб-
ственный объемный заряд. В соответствии с этой моделью безло-
вушечный квадратичный закон для дырок выполняется вплоть
до самых малых токов. Причина этого состоит в полном пренебре-
жении заселенностью электронами центров рекомбинации. Факти-
чески это нереальное приближение. Некоторые из центров реком-
бинации, даже если концентрация их очень мала, с самого начала
заполнены электронами, поэтому они действуют как ловушки для
дырок при низких уровнях тока. Таким образом, следует ожидать
некоторого порога ПЗЛ для прохождения дырочного тока, ограни-
ченного объемным зарядом. Рассматриваемый безловушечный
квадратичный режим будет проявляться только при напряжениях,
превышающих этот порог, и вплоть до момента наступления эффек-
тивной двойной инжекции.
2. Кубический режим в случае двойной инжекции: ус <^1. При
этом и>,. л? i/g/12 и vc « р^/120, так что (ус/ит|)3 — 18/125шс, что
показано на фиг. 61 штриховой линией 2. Этому режиму соответ-
ствует вольтамперная характеристика двойной инжекции в изоля-
тор (11.14). Квадратичный и кубический законы пересекаются
при напряжении Ру, соответствующем условию
, L2 500 „
tn> X Т г? п. ----- О,17ТП.
iP-n^x 01
В рассматриваемой задаче было вычислено несколько физиче-
ски интересных характеристик, и результаты расчетов приведены
на фиг. 62.
а. Положение хт максимума электрического поля сдвигается
с ростом приложенного напряжения от участка вблизи катода
хт хз L при низких напряжениях к хт « L/2 при высоких
напряжениях. Приведена зависимость xm/L — wm/wc от vjwl.
Величина wm = w (ут) дается формулой (11.21) с ут = In Мс.
Это в свою очередь представляет собой решение уравнения d$!dx=
= 0, или du/dy = 0, с применением (11.20).
б. Положение хп, т минимума концентрации инжектированных
электронов сдвигается с приложенным напряжением от точки
вблизи анода хПг т « 0 при низких напряжениях к значению
хп, т LI2 при высоких напряжениях. На фиг. 62 приведен
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 257
график хп, JL = vn, m/wc в функции от vjwl. Здесь wn,m —
= w (уп, m)i причем уП1 т — 1 — Мс. Это в свою очередь представ-
ляет собой решение уравнения dnldx = 0, или du/dy = и.
в. Положение хр, т минимума концентрации инжектированных
дырок сдвигается от точки, расположенной точно на катоде
Фиг. 62. Локализация экстремумов напряженности электрического поля
и концентрации носителей для случая двойной инжекции в изолятор с посто-
янным временем жизни электронов при любых уровнях инжекции.
хт —положение максимума напряженности электрического поля; хп,т — положение
минимума концентрации инжектированных электронов; хр т — положение минимума
концентрации инжектированных дырок при разных значениях отношения подвижностей
Ь = у,п/цр; кривая Ь построена таким образом, что для каждого значения Ъ соответствую-
щее ^c/u>g определяет минимальное напряжение (V - г>с/ю^), для которого хр, т < L, т. е.
для меньших vjw% напряжений х„ m=L.
и и f
{хр, т = L) при низких напряжениях, к хр, т ж L/2 при высо-
ких напряжениях. В отличие от двух рассмотренных выше экстре-
мумов хр, m/L = wp, m/wc не является однозначной функцией
vjw>c, а зависит также от отношения подвижностей Ъ. Графики
хр< m/L в зависимости от vju%. даны для Ъ = 0,1, 1 и 10. Для каж-
дого значения Ъ имеется некоторое минимальное значение vc/wl,
ниже которого хр, m/L — 1. Соответствующая кривая Ь в функции
от также приведена на фиг. 62. Заметим, что юр,т —
~ш(ур.гп), где Ур.т—решение трансцендентного уравнения
(1 + 2Ъ — ур, тЬ — ЬМе) ехр ур, т = (1 + Ъ).
Это в свою очередь представляет собой решение уравнения dpldx =
= 0.
17—0699
258 Часть II. Токи двойной инжекции
§ 2. ПЛАЗМА С БИМОЛЕКУЛЯРНОЙ РЕКОМБИНАЦИЕЙ
НОСИТЕЛЕЙ
Плазма, инжектированная в идеальный изолятор, является
плазмой с бимолекулярной рекомбинацией носителей. Поскольку
в изоляторе нет центров рекомбинации, рекомбинация инжекти-
рованных электронов и дырок происходит как одноступенчатый
процесс и поэтому является бимолекулярной. (При чрезвычайно
высоких уровнях инжекции может преобладать ударная реком-
бинация Оже, которая представляет собой тримолекулярный
процесс; этот случай мы не рассматриваем.)
Уравнениями, описывающими плазму с бимолекулярной реком-
бинацией, являются уравнения (11.1) — (И.5), однако в уравнении
(11.4) скорость рекомбинации г теперь следует записать в виде
г = (роя) пр, где v — относительная скорость между свободными
электронами и дырками, ин = ин (г) — сечение рекомбинации
при скорости v и угловые скобки означают усреднение по распре-
делению скоростей электронов и дырок. Для удобства мы запишем
уравнения (11.4) в виде
= (И.2в«>
(11.266)
Уравнение (11.15) справедливо здесь, как и в предыдущем случае.
Фундаментальное свойство системы уравнений (11.1) — (И.З),
(11.26а), (11.266) и (11.5), характеризующих бимолекулярную
рекомбинацию, состоит в том, что функциональная форма реше-
ния [/) (х), п (х), § (х), V (х), Jn (х), Jp (х)1 не зависит от прило-
женного напряжения. Это означает, что если приложенное напря-
жение удваивается, то каждая из величин р, п, g и V, сохраняя
свою функциональную форму, удваивается; Jp и Jn, также сохра-
няя функциональную форму, увеличиваются каждая в 4 раза.
Из этого непосредственно можно заключить, что J ~ V2. Эти
качественные выводы становятся очевидными, если провести
несложный анализ.
Вначале мы уже получили важный результат: если при неко-
тором напряжении образуется инжектированная плазма, то она
будет существовать при всех других напряжениях. Этот вывод
резко отличается от полученного в случае плазмы с постоянным
временем жизни носителей, когда для образования инжектирован-
ной плазмы должно быть достигнуто некоторое пороговое напря-
жение, а именно такое напряжение, при котором tn < т, tp < т.
В рассматриваемом случае порогового напряжения не существует,
так как при низком напряжении с увеличением времени пролета
соответственно увеличивается бимолекулярное время жизни, т. е.
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 259
если неравенства tn < т, tp < т справедливы при одном напря-
жении, то они сохранятся при любых напряжениях.
Двойная инжекция в идеальный изолятор не обязательно при-
водит к инжектированной плазме. Интуитивно очевидно, что если
рекомбинационное сечение crR достаточно велико, то ток у анода
будет в основном дырочным ТООЗ, а у катода — электронным
ТООЗ; при этом имеется небольшой участок образца, где эти
два тока монополярной инжекции «встречаются». Ниже в этой
главе мы рассмотрим более общую проблему двойной инжекции
в идеальный изолятор. Но сначала рассмотрим предельный случай
инжектированной плазмы.
1. ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ИНЖЕКТИРОВАННОЙ ПЛАЗМЫ
Поскольку инжектированная плазма характеризуется услови-
ем р « п во всех точках изолятора, вполне законным приближе-
нием является замена р на п всюду в уравнениях (11.1) — (И.З)
и (11.26), за исключением тех случаев, когда эти величины входят
в виде разности р — п. Это то же самое приближение, которое
использовалось в предыдущей главе при анализе задачи о плазме
в случае, когда т является постоянной величиной. Уравнение
Пуассона (И.З) остается без изменений, а уравнения (11.26а),
(11.266) и (11.15) принимают вид
1 dj П d (?l^) . . п ,1. Г. Г, .
T-dT = ^n-dr- = r = ^n ’ (11.27а)
1 dJp d(p%) / , 2 /44
-УТ = -Hp-^ = r==(^R>n \ (И.
J ^Jn ~rJP == е (b+ 1) ррп% = const, Ь = -Нд_. (11.28)
Р-р
Умножая уравнение (11.276) на b и складывая с (11.27а), а также
используя (И.З) и (11.28), получаем
,а d*& = _ 4J2jxr
<fa2 е26 (6 4~ 1) [1® ’
,, _ s(caR)
-----2ё~
(11.29)
Начиная с этого момента удобно перейти к безразмерным пере-
менным
8e2pR2
Я'е [6 (6 + 1) [хз]1'2
и = гз—=--^77Г^- (И.ЗО)
(6 +1) р.рЬ3 п JL3 '
Подстановка выражений (11.30) в (11.29) дает
и2
d?u*
dw3
-1.
(11.31)
17*
260 Часть II. Токи, двойной инжекции
Решение уравнения (11.31) наиболее удобно выразить через искус-
ственную переменную s:
8
w = j dsexp( — №), (11.32)
— ОО
где s = — оо соответствует w = 0 и s = оо соответствует w =
— wc, а и (т. е. g) в этих предельных случаях обращается в нуль,
как это и должно быть, чтобы удовлетворить граничным услови-
ям (11.5).
Чтобы можно было проверить, является ли (11.32) решением
уравнения (11.31), заметим, что du4ds = —2 su, dwtds= У2 и2,
dutldw = (du.2/ds)/(dw/ds) — — У~2з и (d/dw) (du2/dw) =
— — У 2ds/aw, что действительно равно —1/и2.
Теперь удобно определить безразмерную потенциальную пере-
менную v следующим образом:
v =-------—-----------------у.
(11.33)
Затем, вводя определяющее выражение для потенциала
V (х) — j g dx ~ j и dw ~ j и ds ~ j u3 ds,
0 0 — оо — оо
получаем
v=v(s) = j dsexp ( —-|-saj , uc=u(oo)= /2. (11.34)
— 00
Наконец, подстановка значения i?c (11.34) в определяющее выра-
жение для и (11.33) дает следующее уравнение!
, /9л\1/2 г ИпНр(Ип + Нр) -р/г ра
/=hr) eL——J тг» ки-35)
которое в точности совпадает с результатом Парментера — Руппе-
ля (11.52) [2011.
Тот факт, что мы получаем точно такой же результат, не вызы-
вает удивления, поскольку соотношение (11.52) справедливо толь-
ко при условии рр/цн>1, |ЛП/Нн^>1, которое является также
критерием инжектированной плазмы, т. е. п — р^п. Поэтому
мы ожидаем, что полученное выше решение верно воспроизводит
и детали решения Парментера — Руппеля, т. е. не рассчитанные
ещё распределения.
Гл. 11» Плазма, инжектированная в изолятор 261
Прежде чем продолжить детальное обсуждение свойств полу-
ченного решения, заметим, что ток двойной инжекции в случае
плазмы (11.35) по крайней мере на несколько порядков величины
больше, чем соответствующий монополярный электронный или
дырочный ТООЗ в ковалентном полупроводнике с непрямыми
междузонными рекомбинационными переходами при комнатной
температуре. При 300 К в таком материале правдоподобным
значением (гшя) является 10~1а см3/с, что дает |хя а? 10-Б сма/(В -с)
и отношение биполярного инжекционного тока к монополярному
порядка 103—104. Для полупроводника с прямыми рекомбинацион-
ными переходами соответствующее отношение будет меньше
по крайней мере на один порядок, поскольку (i?<JR) в таком мате-
риале примерно на два порядка величины больше.
Инжектированная плазма, описываемая формулами (11.30)
и (11.32), имеет следующие важные свойства:
1. Максимальное значение поля § составляет = (3/2)V2ga.
Этот максимум имеет место при х = хт = LI2, что соответствует
= wc/2, sm = 0.
2. Отношение концентрации объемного заряда к концентра-
ции инжектированных носителей (р — п)/п — —[(2р,я/ця) +
4- (2p,R/p,n)]1/2s. Таким образом, для достаточно больших значе-
ний | s| имеем | р — п | > п и решение не согласуется с предполо-
жением о существовании инжектированной плазмы на малых рас-
стояниях от контактов.
3. Концентрацию инжектированных носителей в средней плос-
кости пт можно представить в виде
пт = [Злрп/4 (b + l)p,R]1/2e7/eL.
L
Кроме того, п =]/2 пт, где п = j ndxIL.
4. Наконец, время пролета tn = (4/3)Ччп, где tn =
L
= tn = L*/pnV.
о
Распределения электрического поля и потенциала в зависимо-
сти от x/L приведены на фиг. 59 (штриховые кривые). При постро-
ении этих кривых использовались соотношения
(11.36)
Эти соотношения удобны, так как Р ($) — хорошо известный инте-
грал ошибок, который табулирован во многих книгах.
262 Часть II. Токи двойной инжекции
Удивительно, насколько близки эти нормированные распреде-
ления к распределениям для случая инжектированной плазмы
с постоянным временем жизни. На фиг. 59 штриховой линией
показана также величина
Г 2^r I 2Ид']~1 р—и
L Цр Цп J пт
Следует отметить, что почти для всего объема изолятора справед-
ливо линейное приближение; отклонение от линейности в 2 раза
появляется при x/L = 0,08. Заметим, что из-за различия коэф-
фициентов пропорциональности не следует придавать слишком
большого значения различию в наклонах вблизи х = L/2 двух
кривых (р — п), одна из которых относится к случаю постоянного
времени жизни (сплошная кривая), а вторая — к случаю бимоле-
кулярной рекомбинации (штриховая кривая).
». ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ МОНОПОЛЯРНОГО ТОНА,
ОГРАНИЧЕННОГО ОБЪЕМНЫМ ЗАРЯДОМ
Второй предельный случай имеет место при очень больших
значениях сечения рекомбинации стн. Если принять, что <тн беско-
нечно, то ток должен быть чисто электронным ТООЗ Jn на катод-
ной стороне изолятора и чисто дырочным ТООЗ Jp на анодной сто-
роне; оба эти тока встречаются и аннигилируют в плоскости, про-
ходящей в толще изолятора. Не существует объема (конечной тол-
щины), где происходит перекрытие обоих токов, поскольку если бы
он существовал, то г было бы бесконечным при конечном объеме,
что невозможно. Пусть хт — плоскость аннигиляции. Приняв
LP = хт, Ln = L — xm, Vp = Vm = V (xm) и Vn = V—Vp, получаем
JP = 9ецрVp/8Lp, Jn = 9ep,nV^/8L3n, J = Jn = Jp. Требование
непрерывности электрического поля при хт дает Vp/Lp = VnlLn.
Теперь легко показать, что Vn/Vp = Ln/Lp = (L — хт)/хт =
(|Лр+|хп)(Тр4-Тп)а |ЛРУ|;
(Лр + Лп)з - £® ~ Лз •
Сопоставление этих результатов дает вольтамперную характери-
стику
>^ = -g-+ Ир) “jr • (11.37)
Полный ток является просто суммой двух разных ТООЗ, каждый
из которых мог бы протекать по всему изолятору в отсутствие
другого.
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 263
3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ПАРМЕНТЕРА — РУППЕЛЯ
Как показали Парментер и Руппель [201], уравнения (11.1) —
(11.3), (11.27) и (11.5), характеризующие двойную инжекцию
в идеальный изолятор, имеют точное аналитическое решение.
Работа этих авторов имеет большое историческое значение,
поскольку они впервые дали аналитическое решение задачи о двой-
ной инжекции для изолятора. Мы отложили рассмотрение этого
решения, поскольку различные математические трудности пока
не позволяют дать детального описания свойств тока двойной
инжекции; однако это решение дает точную вольтамперную харак-
теристику, которая очень важна.
Ниже мы воспроизводим относящуюся к данному вопросу
часть работы Парментера и Руппеля [201] лишь с некоторыми
незначительными изменениями в обозначениях. Они вводят сле-
дующие постоянные:
,, 8<!XTr) gn. 2e ’ ’ _ epnM-p „ __ Фп 2|xaJ ’ P" J ' Дор - Ив ’ о е^Р (11.38)
а также безразмерные переменные
A = a§3, В = рпи§, С = (11.39)
При этом уравнения (11.15), (11.26) и (11.3) принимают вид
В + С = 1, (11.40)
В'=-С' = ^-, (11.41)
А' = vnC = vpB; (11.42)
здесь штрих обозначает дифференцирование по х. Подставив
(11.41) в (11.42), получаем
~ Vn ~в + Vp ~с' (11.43)
Это уравнение непосредственно интегрируется и дает
А = KBVn (1 — B)vp, (11.44)
где К — постоянная интегрирования и использовано соотноше-
ние (11.40). Дифференцируя (11.44), получаем
-1'=КВ'-Ар(В'.(1 -В)М = -В'Л .
264 Часть II. Токи двойной инжекции
что в сочетании с уравнением (11.42), переписанным в виде А' =
= vn (1 — В) — vpB, дает
dx = ~Д(Г-В) dB = kBVn"1 (1 “ ВУр~idB’ (11 -45)
где использовано (11.44).
Интегрируя от анода (х = 0) до катода (х = L), получаем
К = , (11.46)
I В?п'1 (1— B)VP ldB
Ва
где Вс и Ва — значения В на катоде и на аноде. Комбинируя выра-
жения (11.39), (11.44) и (11.45), получаем
gtk = a-1/2Ks/2B3/2Vn“1 (1 — В^р'ЧВ.
Проинтегрировав это уравнение от анода до катода, имеем
с Ls/i $ B3liVn~l (1— B)3/2VP-1 dB
Vc = j § dx =---------------------------. (11.47)
° a1/2 [ f B'n~l (1—5fP-1dS]3/2
Ba
Для инжектирующих контактов и бимолекулярной рекомби-
нации весь ток на аноде переносится дырками (Ва = 0), а весь ток
на катоде — электронами (Sc = 1). (Парментер и Руппель рассмат-
ривают в своей работе и другие типы контактов, имеющих раз-
личные значения Вс и Ва.)
Приняв Ва = 0, Вс = 1, подставляя а из (11.38) в (11.47)
и замечая, что
1
рЩ-ДУД?- (т;7Д,у,-. (11.48)
о
мы можем окончательно записать (11.47) в виде
J — g' еР-эфф > (11.49)
где
_ 4 Г (3/2[vn + vp]-l)! fr (Vn-l)l(Vp-l)! п2
Рэфф [XRVnVp 9 L (3/2vn_l)l(3/2Vp-l)l J [ (v„+vp-l)! J •
(11.50)
Выражения (11.49) и (11.50) справедливы при любых отношениях
подвижностей уп и vp. Выражение для цафф значительно упро-
щается в трех различных предельных случаях.
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор
265
Предельный случай инжектированной плазмы: vp 1 и vn 1.
В этом случае факториалы в выражении для цЭфф можно преобра-
зовать, используя формулу Стирлинга
(11.51)
Применяя (11.51) в выражении (11.50), получаем следующий окон-
чательный результат:
3 г 2лцп|лр(|лп + Цр) “I Vs
Иэфф ~ "2 t |
(11.52)
Этот результат совпадает с (11.35).
Предельный случай монополярного ТООЗ: vp <^1, но vn > 1.
Замечая, что для 0 < б 1 имеем (б — 1)! = б!/б яз 0!/б = 1/6,
и используя это в выражении (11.50), получаем
Нэфф Нп* (11.53)
В этом случае ток является монополярным током электронов, огра-
ниченным объемным зарядом, как и ожидалось. Дырки настоль-
ко малоподвижны, что они не успевают отойти на заметное расстоя-
ние от анода, прежде чем аннигилируют в результате рекомби-
нации.
Предельный случай парного монополярного тока, ограниченного
объемным зарядом: vp<^ 1 и vn<^ 1. Используя снова (б — 1)! яз
яз 1/6 для 0 < б 1 в (11.50), на этот раз получаем
Цэфф ~ Нр "Ь Нп* (11.54)
Этот результат в сочетании с (11.49) тождествен (11.37). Как гово-
рилось выше в этом параграфе, эта формула соответствует чисто
электронному ТООЗ в катодной части изолятора и чисто дыроч-
ному ТООЗ в его анодной части, причем оба тока встречаются
и аннигилируют в объеме изолятора.
4. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РЕГИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Для проблемы двойной инжекции в идеальный изолятор мы
имеем пока детальную картину протекания тока только в предель-
ных случаях, а именно в случаях, рассмотренных в предыдущих
пунктах. Было бы полезно иметь картину протекания тока для
общего случая. Одним из эффективных методов подхода является
метод региональных приближений. Ниже мы остановимся кратко>
на применении этого метода для идеального изолятора и приведем
несколько результатов.
В качестве исходного пункта используем то обстоятельство,
что вблизи инжектирующего анода преобладающую роль в полном
токе играет вклад дырок: J яз Jp- наоборот, вблизи катода преоб-
266 Часть II. Токи двойной инжекции
ладает электронный ток: J » Jn. В обоих случаях преобладание
это настолько полное, что ток около инжектирующего электрода
является по существу монополярным ТООЗ, соответствующим
инжектируемому контактом типу носителей. Говоря более строго,
при приближении к аноду р!п-+- оо, а при приближении к катоду
nip оо. Основываясь на этом обстоятельстве, удобно выделить
три плоскости в изоляторе xit х2 и х3, определив их следующим
образом:
Xi. pi~ р (xi) — Ьп (Ti) = bni,
х2: р2 —р(х2) = 2п(х2) = 2п2,
xs: Рз = р(х3) = -^-п(х3) = -1-Пз,
(11.55)
где b определяется выражением (11.6). Ясно, что в данном случае
мы принимаем b > 2. Плоскости х = 0, х^ х2, х3 и L, как это пока-
зано на фиг. 63, определяют границы различных областей в изоля-
торе, используемых в методе региональных приближений. Эти
<7=
е dx~
р-п
или
р=п
х=О хг хг
! IV
1
_]----------_
1
1 п
I
I
I
•^з L
р=Ъп р=2п п=2р
Фиг. 63. Схема областей региональных приближений для задачи о двой-
ной инжекции в идеальный изолятор для случая Ь = |лп/|лр > 2.
области, а также основные уравнения, действующие в их пределах,
которые представляют собой приближения к уравнениям (11.6),
(11.3) и (11.26), приведены ниже.
Область I (0 х xit р> bn):
J — ерр,рё = const,
(11.56)
s dH, ____
е dx
Р-
(11.57)
Эти уравнения, конечно, являются уравнениями, определяющими
дырочный монополярный ТООЗ в отсутствие захвата; они решают-
ся при обычном граничном условии § = 0 при х = 0. Решение
имеет простой вид и приведено в гл. 4, § 1. Мы исключаем уравне-
ние (11.266), заменив его на (11.56), с которым оно формально несо-
вместимо. Изменение п с х в области I мы получим из (11.26а),
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 267
считая р и g уже определенными из решений уравнений (11.56)
и (11.57).
Область II (х^ х х2, Ъп р 2п):
J = епрпё — const, е _ е dx d (р«) , , — Р-л X. 7 =(WR)np. (11.58) (11.59), (11.60)
Как и в случае уравнения (11.266) в области I, мы здесь пренебре-
гаем уравнением (11.26а), заменив его на (11.58), с которым оно
формально несовместимо. Область II довольно необычна, так как
здесь ток определяется только электронами, а объемный заряд —
только дырками. Используя уравнения (11.58) и (11.59), чтобы
исключить п и р из (11.50), получаем следующее уравнение для ё-
_ё2^_==А^_ А = (И.б!)
dx2 dx еЦпРр ' '
Это дифференциальное уравнение просто решается с использова-
нием хорошо известной экспоненциальной интегральной функции
ОО
Ei (!/) — j dt (ехр — t)/t. Изменения р и п с х в области II опре-
v
деляются из (11.59) и (11.58) соответственно.
Область III (х2 х х3, 2п> р > п/2):
J = ерпё = const, (11.62)
е dH, — р — п, е ах г ’ (11.63)
P-n— (11,64а)
d . о (11.646)
Умножая уравнение (11.646) на Ъ и складывая с (11.64а), получаем
[используя (11.63) и (11.62), чтобы исключить р — п и п соответ-
стввнно]
_g2_^.=5 B = -[b+^Rj2- . (11.65)
Уравнение (11.65) имеет ту же форму, что и (11.29), и практически
почти тождественно ему; если множитель й3 в знаменателе (11.65)
заменить на Ъ (b + I)2, то уравнения становятся в точности тожде-
ственными. Небольшое различие между (11.65) и (11.29) обуслов-
лено тем, что здесь полный ток описывается уравнением (11.62),
x[L
a
Фиг. 64. Распределение электрического поля по длине образца в задаче
прибли-
vp = Цр/Цд. Vn — Дл/Цд, Нд = 8<®ад>/2е, 6 = 8 для всех случаев!
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 269
а при выводе (11.29) было использовано уравнение (11.15).
Поскольку мы принимаем Ъ > 2, этим различием можно прене-
бречь. В обоих случаях описывается область инжектированной
плазмы, так как остальные уравнения, относящиеся к данной зада-
че, тождественны.
Решение уравнения (11.65) выражается через интеграл Гаусса,
а именно оно имеет вид (11.32). При поле g, определенном в обла-
сти III, изменение п в зависимости от х получается из (11.62),
а затем находится р (х) из (11.63).
Область IV (xs х L, п/2 > р):
J = епрп%, (11.66)
(Н-67)
Эти уравнения определяют электронный монополярный ТООЗ
в изоляторе без ловушек. Они решаются при обычном граничном
условии § = 0 при х = L, т. е. в плоскости контакта, инжекти-
рующего электроны. Изменение р в зависимости от ж в этой обла-
сти получаем из уравнения (11.266), принимая, что п и § уже
определены из решений уравнений (11.66) и (11.67).
Решения, полученные для разных областей, сшивают друг
с другом обычным способом, полагая, что поле § непрерывно при
о двойной инжекции в идеальный изолятор, решаемой методом региональных
жений.
а — vp = 1/16, vn = 1/2; б — vp = 1/4, vn = 2; в — Vp = 2, vn = 16.
270 Часть II. Токи двойной инжекции
переходе из одной области в другую:
§ (<) = $ (^), £ Ю = £ % (^) = £ (4)- (И.68>
Приведенное рассмотрение, очевидно, только намечает план
решения по методу региональных приближений. Детали решения
приведены в статье Розенберга и Ламперта [202]. Некоторые кон-
кретные результаты для распределений относительного электриче-
ского поля в трех разных случаях представлены на фиг. 64. Слу-
чай vp = 1/16, vn = 1/2 (фиг. 64, а) в какой-то мере соответствует
предельному случаю монополярного электронного ТООЗ (11.53),
Фиг. 65. Зависимость коэффициента «усиления» тока иэфф/!1п от vp.
Мдфф определяется формулой (11.50), vp и vn — формулами (11.38) для двойной инжекции
в идеальный изолятор; Ь = 8. 1 — точное решение Парментера — Руппеля; 2 —прибли-
жение инжектированной плазмы. J = (р.эфф/мп)
случай ур = 2 и vn = 16 (фиг. 64, в) соответствует предельному
случаю инжектированной плазмы (11.52) и случай vp = 1/4
и vn = 2 (фиг. 64, б) является в некотором роде переходным.
Поскольку единственной количественной характеристикой,
которую можно получить из точного решения Парментера —
Руппеля, является подвижность рЭфф, определяемая формулой
(11.50), решение, полученное методом региональных приближений,
можно сравнить с точным решением только по этой величине.
Такое сравнение дано на фиг. 65 для случая & = 8. Сплошная кри-
вая является графиком точного решения (11.50), штриховая кривая
соответствует графику предельного случая инжектированной плаз-
мы (11.52), а крестиками обозначены точки, полученные методом
региональных приближений, как описано выше. Поскольку этот
последний метод не учитывает вклада дырок в ток инжектирован-
ной плазмы [см. (11.62)], крестики дают асимптоты при больших
Гл. 11. Плазма, инжектированная в изолятор 271
vp для пунктирной кривой, которая отличается от штриховой
кривой постоянным множителем b/(b + 1).
Все приведенное рассмотрение основано на предположении,
что Ъ > 2. Для 2 > Ъ > 1/2 можно не учитывать область II,
и задача решается так же, как и раньше, но только для областей I,
III и IV. При Ъ < 1/2 мы опять возвращаемся к задаче с четырьмя
областями, и решение совпадает с тем, которое проведено для
случая Ъ > 2, но электроны и дырки меняются ролями (таким
образом, область I начинается на катоде, а область IV оканчивает-
ся на аноде).
ГЛАВА 12
Плазма, инжектированная в полупроводник
Инжектированная в полупроводник плазма отличается от плаз-
мы, инжектированной в изолятор, главным образом тем, что в по-
лупроводнике имеется достаточная концентрация свободных равно-
весных носителей тока, чтобы предотвратить путем диэлектриче-
ской (омической) релаксации образование объемного заряда. В со-
ответствии с этим при аналитическом рассмотрении инжектирован-
ной в полупроводник плазмы принимается локальная нейтраль-
ность. Для определенности мы будем считать, что плазма инжек-
тирована в полупроводник n-типа, т. е. п0 > р0; контакт, инжек-
тирующий дырки, расположен при х ~ 0, а контакт, инжектирую-
щий электроны,— при х = L.
§ 1. ПЛАЗМА С ПОСТОЯННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЖИЗНИ НОСИТЕЛЕЙ;
ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬЗИНЖЕКЦИИ
Уравнения, описывающие протекание тока при высоком уровне
инжекции в полупроводнике (п р'^> п0, р0), аналогичны урав-
нениям (11.1) — (11.4), характеризующим протекание тока в изо-
ляторе, за исключением уравнения Пуассона (И.З), которое заме-
няется условием локальной нейтральности (12.2). Для удобства
мы снова напишем здесь полную систему уравнений, соответствую-
щих упрощенной теории, пренебрегающей диффузией [используют-
ся обозначения (11.1)]:
jр — epPp^j Jп ~ (12.1)
п — р = п0 — р0 (12.2)
(уравнение (12.2) свидетельствует о том, что концентрации инжек-
тированных электронов и дырок п — па и р — р0 везде равны друг
другу),
1 dJп ___ d{n%) __ ___ п
е dx dx Г т ’
1 dJP _ .. _ п
е dx ~~ Нр дх —г-ц
(12.3а)
(12.36)
Гл. 12. Плазма, инжектированная в полупроводник 273
где в выражении для рекомбинации использовано предположение
о высоком уровне инжекции. Из (12.3а) и (12.36) следует
J = Jn + Jp = е (Ъ + 1) [ipn ё = const, (12.4)
что совпадает с (11.6). Записав (12.4), мы пренебрегаем вкладом
равновесных носителей в полный ток; мы принимаем пяр,
за исключением тех случаев, когда появляется разность п — р.
Поскольку уравнение Пуассона (11.3) заменяется условием
локальной нейтральности (12.2), характеризующее задачу диффе-
ренциальное уравнение (12.6) является уравнением первого поряд-
ка. Поэтому требуется только одно граничное условие, в качестве
которого мы примем обращение в нуль напряженности электри-
ческого поля на контакте, инжектирующем неосновные носители
(дырки):
§ = О при х = 0. (12.5)
Это граничное условие заменяет граничные условия (11.5), исполь-
зуемые для изолятора.
Умножая уравнение (12.36) на Ъ и складывая с (12.3а), полу-
чаем [используя (12.2) и (12.4)]
<е ___________J_______- (12 6)
dx e (n0 —ро) \ )
Теперь достаточно заметить, что уравнение (12.6) совпадает
с уравнением (4.6), определяющим распределение электрического
поля § ~ а^/2 в изоляторе без ловушек, если в последнем уравне-
нии е заменить на е (п0 — р0) [лрт. Граничные условия для этих
двух задач одинаковы. Таким образом, вольтамперные характе-
ристики для этих двух задач также одинаковы, если е в (4.9)
заменить приведенным выше выражением, т. е.
9 V2
/ = -§-е(п0—Го) НпЦрТ-р- (12.7)
(квадратичный закон для полупроводника). Этот результат впер-
вые получили Ламперт и Роуз [203].
Соотношения (4.10), связывающие относительные распределе-
ния, все справедливы, за исключением того, что здесь используется
L
п=^п^- = 3(п0-р0) рпррг (^-)
вместо (4.11). Последнее выражение отличается от феноменологи-
ческой оценки (10.19) только численным множителем.
18-0699
274 Часть II. Токи двойной инжекции
§ 2. ПЛАЗМА С ПОСТОЯННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЖИЗНИ НОСИТЕЛЕЙ;
НИЗКИЙ УРОВЕНЬ ИНЖЕКЦИИ
При низких напряжениях должен иметь место закон Ома
J = е (raojin + РоНр) (12.8)
Чтобы изучить детали перехода от закона Ома к квадратичному
закону для полупроводника (12.7), необходимо модифицировать
уравнения сохранения числа частиц (12.3) так, чтобы они включа-
ли и термически генерированные свободные носители п0 и р0.
Поскольку п и р в уравнениях (12.3) представляют собой полные
концентрации свободных носителей, т. е. суммы концентраций
инжектированных и равновесных свободных носителей, скорость
рекомбинации г в уравнениях (12.3а) и (12.36) должна записывать-
ся в виде (га — га0)/т:
d(n%) п — п0
~dx -
(12-96)
Задача определяется уравнениями (12.9), уравнением для тока
(12.1), условием нейтральности (12.2) и простым граничным усло-
вием (12.5). Вычитая (12.96) из (12.9а), получаем
J = Jn + Jp = (bn + р) = const. (12.10)
Складывая уравнение (12.96), умноженное на Ь, с (12.9а), имеем
dt _ (&4-1)(га —я0) __ / — е (&«о+Ро) Цр^
dx ~ (га0 —/>о)ЦпТ — е (га0 — ро) Цп|*рТ$ ’ ' ’ '
где использованы также соотношения (12.2) и (12.10).
Теперь целесообразно применить следующие безразмерные
переменные:
briQ-^-po е (Ьпо-р ро) Ppls
W Ьп 4- р J ’
l l3 F (12.12)
е (бгар + ро)2 х g2 (&яо Ч~ Ро)3 Цр’'
W ~ bxiPo — po)! ’ V 6т(га0 —Ро) -Т2
При таком выборе переменных уравнение (12.11) принимает вид
div (12.13)
с решением
w = —и — In (1 — и), (12.14)
Гл. 12. Плазма, инжектированная в полупроводник 275
соответствующим и = 0 при w = 0, т. е. g = О при х = 0.
X
Соотношение для напряжения V — j g dx принимает вид
о
V— j udw= j u-^-du— —^-u2— и — ln(l —и). (12.15)
о о
Мы замечаем, что уравнения (12.13) — (12.15) совпадают с урав-
нениями (4.16) — (4.18), поэтому формальный расчет для этой
задачи тождествен расчету для задачи о монополярной инжекции
в изолятор без ловушек с равновесными свободными носителями,
рассмотренной в гл. 4, § 2. В данном случе индекс а заменяется
на с, поскольку теперь основную роль играет не инжекция электро-
нов, а инжекция дырок.
Ток и приложенное напряжение определяются следующими
выражениями:
J — е (&яо + Ро)2 1
&т (и0 — р0) wc ’
У = (bn0 + p0) /.3 Ус = Л2 ус (12.16)
(«0 —Ро) ИпТ ИаДТ и>с ’
где индекс с соответствует х = L, а ца>/ обозначает амбиполярную
подвижность при очень низком уровне инжекции, когда п « п0
и р ж р0. Кривая v'w2 в функции от 1/w, приведенная на фиг. 11,
применима и для настоящей задачи. Режим и,. 1, vc!wc « i/wa
соответствует закону Ома (12.8). Режим
wc < 1,
vc ~ 23/2 / 1 И/2
w2 ~ 3 \ 1гс )
соответствует квадратичному закону для полупроводника (12.7).
Величина 1/ис — 1 является мерой концентрации инжектирован-
ных носителей на катоде: 1/ис — 1 = (b -J- 1) (гас — п0)/(Ьп0 + />0).
Величина wa + иа, представленная графически на фиг. 11, кото-
рая’в задаче о монополярной инжекции определяла отношение
времени пролета к времени диэлектрической релаксации t/tQ,
здесь является мерой отношения времени пролета к времени жиз-
L
ни: wc + ис = (bn0 + ро) tp /Ъ (п0 + р0) т, где tp = (1/цр) j dx/%.
о
Величины uawa/va, wa(l — иа)/и2, va(wa + ua)/wg, табулиро-
ванные в табл. 2, имеют здесь тот же смысл:
(1 ^с) ас — Hq
~ «Я ’ “I ~ ’
ис(и?с4-цс) _ tp
tp
18*
276 Часть II. Токи двойной инжекции
где tp = L2/ppV. Нормированные распределения концентрации
свободных носителей, приведенные на фиг. 12, также полностью
применимы к данной задаче.
Полезно рассмотреть подробно влияние амбиполярного дрейфа.
Амбиполярная подвижность, определяемая формулой (10.14),
может быть записана в виде = ца>1 (Ьп0 + рй)/(Ъп + р) =
= ца,г и согласно (12.12), где ца>г=(«о — Ро)рп/(Ъпо + ро). Вслед-
ствие пренебрежения диффузионными токами и, а следовательно,
и p,a стремятся к нулю при х = 0. Поскольку электрическое поле
также спадает до нуля при х = 0, амбиполярное время пролета ta
стремится к бесконечности:
оо.
— I
после алгебраических преобра-
(юе + ис)
vc
L «а
ta С dx Г du
т J J и (1 — и\
О о
Это означает, по-видимому, что феноменологическое соотношение
(10.16) в данном случае не применимо. Тем не менее мы должны
понимать, что результат tjx-*- оо получается в упрощенной теории
и является следствием совершенно неверного описания этой теори-
ей приконтактных областей. Поскольку упрощенная теория дает
хорошее описание явлений вдали от контактов, мы можем написать
~ ~.. Ьяо+Ро ______.. .
Ца ~ На.г - - —На>! " Г i77" ’
bn-\-p wc-ruc
последнее равенство получается
зований. Окончательно имеем
ta _ &
Т ЙаИт
Поскольку wc -> 0 при высоком уровне инжекции, tjx -> 3/2
и оправданно использование равенства (10.16). При wc = 0,1,
1 и 10 tjx = 1,8, 2,8 и 11,6 соответственно. Когда щ,->оо,
4/т-> zz?c-> оо.
Наконец, последний вопрос, представляющий интерес, —
сравнение пренебреженного нами выше диффузионного члена
с дрейфовым членом, которое позволяет получить критерий спра-
ведливости применения упрощенной теории. Как следует
из гл; 13, в . которой рассматривается «обобщенная теория»,
соответствующие члены имеют вид 2VTd2n/dx2 (диффузия)
и (пв — ро) dfildx (дрейф). Мы можем написать
диффузия __ 2Vr d^n/dx1 _ f Lj> \2 23 — 2u ~
дрейф n0—p0 d%/dx \ L / Wc и4 ~
( Ld \2 3u,2 _ 3 I Ld 4 2
~ \ L / W 4 \ я / ’
Гл. 12. Плазма, инжектированная в полупроводник 277
где Ld — длина амбиполярной диффузии Lq = 27гцпт/(& + 1).
Таким образом, за пределами диффузионной длины упрощен-
ная теория по крайней мере самосогласована. Более подробное
рассмотрение диффузии, проведенное в следующей главе, показы-
вает, что диффузионный член может преобладать и за пределами
диффузионной длины; это свидетельствует о том, что самосогла-
сованность не является сама по себе адекватным критерием пра-
вильности вычислений.
§ 3. ПЛАЗМА С БИМОЛЕКУЛЯРНОЙ РЕКОМБИНАЦИЕЙ;
ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ ИНЖЕКЦИИ
Уравнения, характеризующие задачу о плазме с бимолекуляр-
ным временем жизни при высоком уровне инжекции, тождествен-
ны уравнениям, использованным для анализа в случае постоянно-
го времени жизни при высоком уровне инжекции, а именно
(12.1) — (12.5), за исключением уравнений сохранения числа
частиц. В этих двух уравнениях скорость рекомбинации г являет-
ся теперь «бимолекулярной» величиной:
г = (уоА) пр « (муд) п2
точно так же, как в гл. И, § 2, п. 1. Таким образом, уравнения
(12.3а) и (12.36) заменяются уравнениями (11.27а) и (11.276),
которые мы запишем здесь снова для удобства:
(12.
Умножая уравнение (12.176) на & и складывая с (12.17а), получаем
[используя (12.2) и (12.4)]
----------------------г- (12.18)
dx е2Ь(&+1)|13 (п0—До) '
Это дифференциальное уравнение при граничном условии (12.5)
легко интегрируется, давая g = ах1^; отсюда
У(ж) = 2Ё.^/з,
где
_ Г ЗМд)Л -]1/з
L е2Ь(6+1)цз (п0—до) J
Полагая х = L и V = V (L) в последнем соотношении, получаем
г_ 8 ... Г(Ь+1)р.71(п0—до) "I1/* Е3/* /19 14)
J - -у е^Р L № J
278 Часть II. Токи двойной инжекции
что совпадает с результатом, полученным ранее Рашбой и Тол-
пыго [204].
Представляют интерес также следующие соотношения:
% _ 4 [ х \ Vs V (х) _ f х \Чз п _ 2 / L \ Vs /л 9
з \ ь) ’ V ~\ь) ’ ’ (12-ZU)
- _ Г Цп(”о—РоП О1/2 _ Г Цп еР /„ „ J1/2
L (& + 1)(рал)£2 J |_2(&+1)Ив eZ2 (гео AOJ •
Заметим, что это значение п можно получить прямо из (10.19) путем
замены т на [r(wtb)]-1. Таким образом, вольтамперная характе-
ристика (12.19), за исключенйем только численного множителя
8/9, вытекает прямо из феноменологических соображений, приве-
денных в гл. 10. Эта задача была обобщена, и было получено реше-
ние, включающее как постоянное время жизни, так и процессы
бимолекулярной рекомбинации [205].
§ 4. УЧЕТ ПОВЕРХНОСТНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ;
ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ
Изложенная выше теория инжектированной плазмы была
полностью одномерной; наличие граничных поверхностей игнори-
ровалось. Можно ожидать, что эта теория дает хорошее описание
для таких образцов, у которых минимальный поперечный размер
d много больше расстояния между анодом и катодом L и для кото-
рых поэтому поверхностная рекомбинация не существенна. С дру-
гой стороны, чтобы диффузионные поправки были пренебрежимо
малы, должно быть L'^ LD, как указано выше. Эксперименталь-
ные исследования инжектированной в полупроводник плазмы
обычно проводились при условиях <d<^Ln LD<^ L, ав этом слу-
чае в опытах с германием поверхностная рекомбинация иногда
значительно преобладала над объемной. Замечательным резуль-
татом этих исследований является то, что одномерная характери-
стика (12.7) соответствует экспериментальным данным, если т за-
менить эффективным временем жизни тЭфф. В опытах с германием
тэфф часто значительно меньше чем т. В данном параграфе мы из-
ложим кратко двумерную теорию для плазмы, инжектированной
в полупроводник, которая приводит к этому результату и дает
точную формулу для тЭфф, выраженного через т и скорость поверх-
ностной рекомбинации s.
Вместо одномерного уравнения для тока (12.1) мы теперь имеем
векторные уравнения
— Jn = + Dn grad n,
1 (12-21)
— — Dp grad p,
Гл. 12. Плазма, инжектированная в полупроводник 279
где характеристики переноса в полупроводнике принимаются
изотропными. Включая с самого начала диффузионные токи, мы
ожидаем, что эти токи в поперечном направлении играют важную
роль.
Вместо одномерного уравнения сохранения числа частиц
(12.9) мы теперь имеем векторные уравнения
-^-divJra = r = n~n° , (12.22а)
—^-div Jp = r= (12.226)
Мы сохраняем предположение о локальной нейтральности (12.2),
которое запишем здесь для удобства в виде
п — п0 = р — р0. (12.23)
Из уравнений (12.22) следует
div J = О, J = Jn + Jp. (12.24)
Мы подробно рассмотрим задачу для полупроводниковой пла-
стины из материала га-типа (п0 > р0) с инжектирующим дырки
Фиг. 66. Конфигурация об-
разца для случая двойной ин-
жекции в полупроводниковую
пластину, помещенную в одно-
родное магнитное поле B0=2?0z.
контактом при х = 0 и инжектирующим электроны контактом
при х = L и с ограничивающими плоскостями при у = + d и у =
= —d, как это показано на фиг. 66. Образец не ограничен в напра-
влении z, и никакие величины от z не зависят. Наконец, предпола-
гается, что пластина симметрична, т. е. что скорость поверхностной
рекомбинации $ одинакова для обеих поверхностей. (Несим-
метричный случай, когда $не одинаково на этих двух поверхностях,
лишь усложняет вычисления, не давая ничего принципиально
нового.)
Основная стратегия решения такой задачи состоит в эффектив-
ном разделении с помощью определенных ключевых приближений
среднего продольного (в направлении х) движения инжектирован-
ных носителей и поперечного движения в направлении у. Про-
дольное движение является преимущественно дрейфовым при
L L D, а поперечное — преимущественно диффузионным. Связь
между двумя этими движениями определяется величиной тЭфф.
280 Часть II. Токи двойной инжекции
Простые алгебраические преобразования и интегрирование
по поперечному сечению приводят к следующему уравнению для
зависимости от х:
(тг0-р0) + 2Vr ,
РпТдфф
1 _ 1 , snd ' >
тэфф т dn” ’
где nd = п (у = d) = п (у = —d), s определено обычным образом
посредством соотношения Jpy (d) = end s — — Jny (d) [аналогично
Jpy (—d) = —end s — Jny (d)], а $хи n — величины, усредненные
d
по поперечному сечению, так n = n (x) — (l/2d) I n (x, y) dy.
-d
Уравнение (12.25) представляет собой уравнение (12.11),
к которому добавлен диффузионный член (второй член с левой
стороны), а т заменено на тЭфф.
При L~^> Ld мы пренебрегаем диффузионным членом в (12.25)
и используем упрощенную теорию, как это делалось в предыдущих
параграфах данной главы. Полученные выше результаты для
плазмы в полупроводнике будут справедливы и здесь, если выпол-
няются следующие два условия: 1) тЭфф — константа, не завися-
щая от х, и 2) n'gx « п$х. Оба эти условия тесно связаны между
собой. Что касается первого условия, то nd и п по отдельности
являются функциями х, но мы требуем, чтобы отношение nd[n
не зависело от х. Оказывается, что это именно так в том случае,
если коэффициент амбиполярной диффузии Da, определяемый
выражением (12.26), постоянен и не зависит от уровня инжекции
и если, кроме того, допустить, что ток Jy сам постоянен,
dJy/dy = 0, а $у не зависит от х, d£y!dx = 0. Поскольку в задаче
нет полей, меняющихся во времени, rot g = 0, так что из условия
dgy !dx — 0 следует dgx /ду = 0, а в этом случае второе условие
автоматически выполняется, так как %х постоянно в среднем
по сечению при фиксированном значении х.
Эти предположения приводят к следующему диффузионному
уравнению для зависимости от у:
П— ге0 , п 52 , . п—Пл .
------- 4- Da -х-=- (п — п0) ---— == const;
Т т « ¥ \ о/ Тэфф (12.26)
D —р + п
“ (plDn) + (nlDp) ’
где
Dn = VTyn, Dp = VTltp, VT = ^-
Гл. 12. Плазма, инжектированная в полупроводник 281
Граничные условия, соответствующие симметричной пластине,
имеют вид
— Da-9 = (п~-п0) s при у = <1,
я, . (12.27)
-Да- gy—-=° ПРИ(/ = 0.
Уравнение (12.26) легко решить и вычислить nd!n, что дает
следующий конечный результат:
9 ' уз
Jw -g-e(n0—Ро^пРрЩф-^ , (12.28)
где
Т^-=4+ d ~г d 'hx ’Jt = (12.29)
Заметим, что при высоком уровне инжекции
При низком уровне инжекции (и — n0<^n0), если р0 пОг
то La — (УТр.рт:')11*. Таким образом, при Ъ > 1
Da (высокий уровень)
Da (низкий уровень)
и в разумном приближении коэффициент амбиполярной диффузии
Da можно считать постоянным и применять описанную выше тео-
рию. С другой стороны, при b<^ 1 Da сильно различается для двух
этих режимов низкого и высокого уровней инжекции, так что
переход между ними очень плохо описывается теорией.
В случае полупроводникового цилиндра радиуса г0 теория
применяется почти так же, как в изложенном выше случае, давая
следующий конечный результат:
+ т Г-^г- -r° !r°/f у ~ 11}"1 , (12.30)
Тэфф т ( 2s L А (го/^а) J J
где /0 и It — модифицированные функции Бесселя.
Более детальный вывод формул (12.29) и (12.30) приведен
в статье'Хирота и др. [205]. Похожий, но не тождественный резуль-
тат типа формулы (12.29) получается для полупроводниковой
пластины при чисто диффузионном протекании тока (область
обычной инжекции транзисторной физики). Здесь математическая
задача является строго разделимой и разрешимой, как показал
Шокли ([206], гл. 12, § 6).
Двумерная теория инжекции для изолятора с учетом ограничи-
вающих поверхностей является значительно более сложной вслед-
ствие важной роли объемного заряда. Как и в сопоставимом слу-
282 Часть II. Токи двойной инжекции
чае монополярного ТООЗ, рассмотренном в гл. 8, § 8, возникает
трудная проблема силовых линий, покидающих образец.
Двумерная теория плазмы, инжектированной в полупроводни-
ковую пластину, помещенную в однородное магнитное поле, рас-
смотрена Робинсоном1). В этом случае наиболее интересна конфигу-
рация, когда однородное поле направлено вдоль оси z, т. е. Во =
Boz (фиг. 66); оно перпендикулярно направлению протекания тока
между электродами и параллельно ограничивающим поверхностям
полупроводниковой пластины. Это конфигурация, при которой
проявляется эффект Суля. Поскольку избыточные инжектирован-
ные электроны и дырки движутся в противоположных направлени-
ях, они отклоняются силой Лоренца в направлении одной и той же
поверхности пластины. Это может приводить к сильному измене-
нию концентрации при стягивании инжектированной плазмы
к поверхности полупроводника. Если Во положительно (магнит-
ное поле направлено вдоль положительного направления z), то
инжектированная плазма отклоняется по направлению к нижней
поверхности пластины, расположенной при у = —d (фиг. 66).
Предполагая наличие локальной нейтральности, а также допус-
кая, что поперечный градиент концентрации дырок везде много
больше, чем продольный градиент концентрации дырок в той же
точке, Робинсон получил следующее экспоненциальное поперечное
распределение концентрации носителей:
р« — рехр (--Ц—) , z = (Ип + |17))ев0£х (12.31)
при 2d^> Z, где
1<_p±ZL<2.
п
Теперь уравнение для продольного распределения усредненной
по сечению концентрации р эффективно отделено от поперечного
потока, и по существу получается уравнение (12.25), исключая
член продольной диффузии. Эффективное время жизни тЭфф для
этой задачи определяется соотношением
=4+т* (12-32)
Тэфф Т I
Особенностью данной задачи является то, что в эффективное время
жизни входит Ех. Робинсон, применяя свою теорию к электронной
инжекции в p-InSb [в выражении (12.31) р заменяется на п],
должен был учитывать эффекты горячих электронов. В этом слу-
чае он брал Т = Т (Ех) ~ Ех, так что зависимость тЭфф от Ех
сокращалась, и окончательная вольтамперная характеристика
имела вид (12.28) с заменой п0 — р0 на р0 — п0 для случая, когда
"^эФФЕ'ЧрпУ.
!) Robinson В., 1969 (не опубликовано).
ГЛАВА 13
Обобщенная теория инжектированной плазмы
и экспериментальные результаты
В предыдущих двух главах, в которых анализировалась инжек-
тированная плазма, случаи инжекции в полупроводник и в изо-
лятор рассматривались совершенно отдельно, хотя очевидно, что
обе эти задачи должны быть связаны. Например, при некотором
достаточно высоком уровне инжекции свободными носителями
в полупроводнике можно пренебречь, и квадратичный закон для
полупроводника (12.7) превращается в кубический закон для изо-
лятора (11.14). Чтобы установить взаимосвязь между инжекцией
в полупроводник и в изолятор, мы сформулируем здесь проблему
инжектированной плазмы обобщенно, включая диффузию. Для
простоты мы рассмотрим только случай постоянного времени
жизни. Соответственно будем предполагать, как и в предыдущих
главах, что изменение заселенности локальных уровней настолько
мало, что его можно не учитывать.
§ 1. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ
Сохраняя ту же полярность приложенного напряжения, что
и раньше, т. е. такую, что дырки движутся в образце слева направо,
можно написать
Jp = Jpx, Jn = Jnx, g = gx. (13.1)
Уравнения для тока имеют вид
Jp = ep^-eDp^, Dp = Vt1lp, = (13.2а)
= + £»n-VT[xn. (13.26)
Уравнение Пуассона теперь имеет вид
V1Г = (Р — Р°) “ (^ ~ п<>), (13-3)
а уравнения сохранения числа частиц записываются в виде
1 dJт> d , гл\ г Т7 Мр ~ PQ / л Q / \
= + УтНп = г = —° = , (13.4а)
1 dJp d „ iPp п — по р — ро. /л-з tn
-7^--= j7(P^). + ^p^-=r = —« — (13.46)
284 Часть II. Токи двойной инжекции
Если условие локальной нейтральности строго выполняется,
т. е. п — п0 = р — р0, то две записи величины г в уравнениях
(13.4) в точности эквивалентны, и совершенно несущественно,
какая из записей будет использоваться в дальнейших выводах.
Если же локальная нейтральность не является хорошим прибли-
жением, то в записи уравнений должны фигурировать те носители,
время жизни которых меньше зависит от уровня инжекции, как
рассматривалось в гл. И, § 1, п. 2.
Сложение уравнений (13.4а) и (13.46) дает
J = А +(р+ &«)§ +сУтру Q^-(6ra — p)j== const. (13.5)
Умножая (13.46) на Ъ = р.п/рр и складывая это уравнение
с уравнением (13.4а), получаем
^1(»-Р)Я + Гг[^^!] = ((. + 1)1=Л. («3.6)
где мы выбрали в уравнениях (13.4) г — (п — п0)/т. Из уравнения
(13.3) следует, что п — р = (п0 — р0) — (е/е) (dM/dz), так что
уравнение (13.6) можно переписать в виде
-~4- +(ио-Ро)-^- + 2ут-Й-»=- + 1)(ra~”o), (13.7)
е dx \ dx / ' ' и dx 1 dx‘ рпт ' '
где в левой части мы опустили член
TZ d2 . 8уг d3%
ИТ , „ (р— П) —---,
dx2 v ' е da?
так как он гораздо меньше оставшегося в уравнении диффузионно-
го члена 2VT(d?nldj$} (самого большого).
Если в уравнениях (13.4) выбрать г = (р — ро)/т, то вместо
(13.7) можно написать
-“У" + + (13.7а)
е dx \ dx / 1 ' и dx 1 dx2 jinT ' ’
где в левой части уравнения опущен член VT [d2 (п — ppdx2].
Уравнение (13.7) [или (13.7а)] является основой для обобщен-
ного рассмотрения задачи об инжектированной плазме. Во-первых,
отметим, что если третий член в левой части (13.7) является доми-
нирующим по всему объему полупроводника, то решение уравне-
ния показывает, что инжектированные в полупроводник носители
п — п0 будут диффундировать в нем на длину амбиполярной диф-
фузии La = [2Утрпт/(Ь + 1)]1/2. Мы будем интересоваться здесь
случаем ЫЬа~^> 1, так что диффузионный член будет доминирую-
щим только вблизи контактов, обусловливая «контактные поправ-
ки» к чисто дрейфовому решению уравнения (13.7). Такие поправ-
ки будут рассмотрены ниже в этой главе. В остальной части данного
параграфа мы не учитываем диффузионный член как в уравнении
(13.7), так и в уравнениях (13.2а) и (13.26).
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 285
Если в большей части кристалла доминирует второй член левой
части уравнения (13.7), то учет только этого члена приводит к рас-
смотренному в гл. 12 случаю плазмы, инжектированной в полу-
проводник. Если доминирующим является первый член, то мы
имеем случай плазмы, инжектированной в изолятор; рассмотре-
нию этого случая посвящена гл. 11.
Учитывая значения членов в левой части уравнения (13.7),
при разборе конкретных случаев мы будем называть первый член
диэлектрическим, второй — полупроводниковым, а третий — диф-
фузионным.
Если в левой части уравнения (13.7) сохраняются два первых
члена, то задачу можно еще рассматривать аналитически. Решение
для такого случая было получено Лампертом и Роузом [203].
Здесь мы обсудим только различные участки вольтамперной харак-
теристики (возможные режимы). Таких участков четыре. При
низких напряжениях должен наблюдаться закон Ома (участок I).
При высоких напряжениях должен наблюдаться кубический закон,
характерный для изолятора (участок III). На вольтамперной
характеристике могут быть только эти два участка. Но при проме-
жуточных напряжениях могут осуществляться и две другие воз-
можности: квадратичный закон для полупроводника (п0 велико,
участок II) или, когда концентрация собственных электронов мала
(для изолятора), безловушечный квадратичный закон для дырок
(участок 1Г). Мы можем считать, что ловушки для дырок отсут-
ствуют, так как мы выбрали постоянным время жизни электронов
[уравнение (13.7)]. Если бы мы выбрали постоянным время жизни
дырок [уравнение (13.7а)], то получили бы безловушечный квад-
ратичный закон для электронов. Итак, возможны следующие
участки:
участок I J = e(|in7z0 + ppp())-^-, (13.8.1)
9 У2
участок II /=g-e(7z0 —р0)|1п|1рТ г^з-, (13.8.П)
участок 1Г J — , (13.8.1Г)
участок III J = ^8T|in|Xp (13.8.III)
Поскольку на участках II и 1Г наблюдается одна и та же зави-
симость тока от напряжения и длины образца (V2/L3), если вольт-
амперная характеристика построена в двойном логарифмическом
масштабе, то соответствующие кривые идут параллельно и разли-
чие этих участков определяется только параметрами материала.
Так, участок II расположен выше, чем участок 1Г, если
fn, а „ „ . е
т . у где q — • •
286 Часть II. Токи двойной инжекции
Введем обозначение (I, II) для пересечения кривых, описываю-
щих участки I и II. Для этого пересечения4выполняется соотно-
шение
t ~ ДоМр)
1+ро/«оЬ ’
где tp = LP/iipV. Подобным же образом для пересечений различных
участков вольтамперной характеристики выполняются следующие
соотношения:
а-п') <13-9>
(II, III)
(If, III) tp^Qbr, a = -g-.
При разных экспериментальных условиях могут осуществлять-
ся три различные ситуации:
1. Если 6(6 + а) т> tn,a > (1 — а)ат/6(& + а), то на
вольтамперной характеристике наблюдаются только участки
I и III: участок I при tp > [6&aZn>Q т/ (b + а)]1/2 и участок III
при выполнении обратного неравенства. Записанные выше нера-
венства возможны только в том случае, если 6b > 1 — 7а; их
можно записать также в виде
6 (& 4- a) Q fn> а
(1—а)а > '>6 (&+«)’
2. Если т > tn>Q / (1 — а) и т > 6 (Ь + а) £п,й/(1 — а)2, то
на вольтамперной характеристике наблюдаются участки I, II
и III: участок I при выполнении условия tp >
> b (1 — а) т/ (Ь + а), участок II при выполнении условия
b (1 — а) т/ (b + а) > tp > $btn,a /(1 — а) и участок III при
условии &btn, я /(1 — а) > tp.
3. Если т < tn, д/(1 — а) и t<J„, й/6 (Ь + а), то на вольт-
амперной характеристике наблюдаются участки I, 1Г и III: уча-
сток I при выполнении условия tp > btn,al(b + а), участок 1Г
при btn, Q / (b + а) > tp > 6&т и участок III при 66т > tp.
В заключение этого рассмотрения обобщенной теории сделаем
еще одно замечание о непротиворечивости делаемых приближений.
Если пренебречь первым и третьим членами в левой части урав-
нения (13.7), то решением упрощенного дифференциального урав-
нения будет квадратичный закон для полупроводника (13.8.II)
Г'л. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 287
для случая высоких уровней инжекции. В гл. 12 мы видели, что
пространственная зависимость напряженности поля для этого
случая имеет вид g ~ х1?2 . Следовательно, £ d&dx =
= х/2 d’&b/dx = const не зависит от х. Согласно этому решению,
первый член в левой части уравнения (13.7) тождественно обра-
щается в нуль независимо от приложенного напряжения. Таким
образом, получается так, что пренебрежение этим членом должно
оставаться справедливым при произвольно высоких уровнях
инжекции. Теперь мы знаем, что это заключение неверно: при дос-
таточно высоком напряжении первый член доминирует и дает
кубический закон для изолятора. Вывод, очевидно, состоит в том,
что сравнение отброшенных и оставленных членов «характеристи-
ческого» дифференциального уравнения (на основе решения урав-
нения с оставленными членами) дает необходимое, но не достаточ-
ное условие самосогласованности решения. В приведенном част-
ном примере потеря граничного условия при пренебрежении пер-
вым членом и соответствующем снижении порядка дифференци-
ального уравнения приводит к неправильному определению пре-
делов справедливости приближенного решения.
§ 2. ТРАДИЦИОННЫЙ ПОДХОД
Обычно используемые преобразования уравнений сохранения
числа частиц (13.4) отличаются от преобразований этих уравне-
ний, предпринятых для получения уравнения (13.7). Уравнение
(13.4а) умножают на р,лр, а уравнение (13.46) — на цпп; затем,
сложив их, получают
о, I dp dn\ Tz Г d*n , d2p Ч
-FMipg _p_+ J =
= (PpP + |-i»«)^~-, (13.10)
где использовано г = (p — Po)/i в уравнениях (13.4). Следует
заметить, что
(13.11а)
+ = + («•!«>
Если теперь обе части уравнения (13.10) разделить на сумму
црр + рпп и использовать соотношения (13.11а) и (13.116), то мы
получим
+ = (13-12)
r dx 1 dx2 т ' '
288 Часть II. Токи двойной инжекции
ГДО.
_ П~Р -а. п0—р0
‘° Р/Рп + «/|1р Р/Рп + и/Рр’
D = т/ ^ЯЧ~Р
а р/Цп+п/Цр Т p/Dn-\-n/Dp’
В левой части уравнения (13.12) мы не учли два члена, а именно
члены
f р% 1 d(n — p) = _ f 1 W
I P/Pn + n/Pp / dx I j е <Ь2
И
( УтР 1 rd2(„_p) _ -j е
I Р/Рп + п/р,.р J dx2 t J е йхЗ ’
где использовано уравнение (13.3).
Из формы уравнения (13.12) следует, что оно особенно полезно
в тех задачах, когда поле g постоянно по всему образцу, напри-
мер при низком уровне инжекции неосновных носителей в полу-
проводник с примесной проводимостью (т. е. в классических тран-
зисторных задачах). В таких задачах оба члена, которые мы не учи-
тываем, очевидно, очень малы и пренебрежение ими вполне оправ-
дано.
Уравнение (13.12) очень похоже на уравнение (13.4), если
последнее переписать в виде
+ • (13.14)
где в левой части опущен член —р;]р (dg/cfa).
Для примесного полупроводника п0 р0 и при низких уров-
нях инжекции В этом случае уравнения (13.12)
и (13.14) совпадают, так как ра = ц;] и Da = Dp.
§ 3. ДИФФУЗИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Вплоть до настоящего параграфа при рассмотрении инжекти-
рованной плазмы мы пренебрегали диффузией при выводе вольт-
амперных характеристик. Однако, поскольку контакт, который
инжектирует носители одного знака, обычно оказывается запор-
ным для носителей другого знака, мы ожидаем, что вблизи контак-
та будет преобладать диффузионный ток. Действительно, при
затрудненном выходе в контакт носителей, например электронов
в контакт, инжектирующий дырки, происходит накопление элек-
тронов в окрестности этого контакта. Накопление электронов
и дырок (для сохранения нейтральности) приводит к уменьшению
напряженности электрического поля и к преобладанию диффузи-
онного члена в уравнении (13.7). Область вблизи инжектирующего
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 289
контакта, в которой оказывается справедливым диффузионное
решение, удобно называть «областью согласования». Этот термин
применяется потому, что такая область должна существовать
в связи с необходимостью согласовать дрейфовое решение, кото-
рое доминирует в объеме при L'^> La, с граничными условиями,
существующими на инжектирующем контакте. Тогда, используя
метод региональных приближений, можно задачу об инжектиро-
ванной плазме разделить на три отдельные задачи для трех обла-
стей: 1) области согласования вблизи анода, 2) центральной обла-
сти, где справедливо дрейфовое решение, и 3) области согласова-
ния вблизи катода. Задачи о плазме, инжектированной в полупро-
водник или изолятор, в определенных пределах всегда могут
быть решены таким способом; это показано ниже в настоящем
параграфе, где приведены результаты работы Шиллинга и Лампер-
та [208].
1. ПЛАЗМА, ИНЖЕКТИРОВАННАЯ В ПОЛУПРОВОДНИК
При высоких уровнях инжекции (п « р Д> п0) и при постоян-
ном времени жизни носителей полный набор уравнений, необхо-
димый^для решения этой задачи, состоит из уравнения для тока
J = ер,р(& + l)ng = const, (13.15)
аналогичного уравнению (13.5), в котором принято п = р и опу-
щен диффузионный член, и уравнения
(«о-Ро)^- + 2Ут-^- = ^±^, (13.16)
v и ru/ dx 1 1 dx2 unT ' 7
аналогичного уравнению (13.7), в котором опущен первый член
в левой части, характерный для изолятора. В левой части уравне-
ния (13.16) первый член — полупроводниковый, второй — диф-
фузионный.
Граничные условия задачи можно записать в виде
(43'17>
La - t-b+Г J •
Если принять 0n = Op = 1, то эти граничные условия соответ-
ствуют тому, что Jn (0) = 0 и Jp (L) = 0, где Jn и Jp определяют-
ся выражениями (13.2а) и (13.26). Множители 0П и 9Р представля-
ют собой просто подгоночные параметры, введенные в теорию Баро-
ном [209], чтобы улучшить согласие теории с экспериментом.
Три области, характерные для этой задачи, показаны на фиг. 67.
Область I. Доминирующим является диффузионный член урав-
нения (13.16), и при пренебрежении полупроводниковым членом
19-0699
290 Часть II. Токи двойной инжекции
получается решение, описывающее экспоненциальный спад п (х)
и экспоненциальный рост g (х). При использовании этого реше-
ния очевидно, что полупроводниковый член, который опущен,
является положительным и экспоненциально возрастает с увели-
чением х, в то время как диффузионный член экспоненциально
уменьшается. Таким образом, полупроводниковый член должен
в конце концов превзойти диффузионный член; граница области I
определяется как та плоскость Х\, где оба эти члена равны.
(ь+1}п_
Рп*
z 1 и i in
1 L (по~РоУя£- 1 Щ-Йг
х=О
Фиг. 67. Схема применения метода региональных приближений к задаче
об инжектированной в полупроводник плазме.
В областях I и III основную роль играет диффузия носителей, в области II — дрейф
носителей.
Область II. В уравнении (13.16) доминирует полупроводнико-
вый член, и при пренебрежении диффузионным членом решение
этого уравнения дает монотонное увеличение g (х) с ростом х.
Левая граница области II — плоскость xit правая — плоскость х2.
Область III. В уравнении (13.16) снова доминирует диффузи-
онный член, а следовательно, как в области I, полупроводнико-
вым членом можно пренебречь. Поскольку напряженность элек-
трического поля g велика в плоскости х2 и должна становиться
малой внутри области III, вблизи плоскости х2 должна находиться
плоскость хт, в которой напряженность электрического поля
достигает максимума: (d^/dx)Xm = 0. Справа от хт полупровод-
никовый член (которым мы пренебрегаем) отрицателен, слева
от хт этот член положителен. В плоскости х2 полупроводниковый
член равен диффузионному. Чтобы напряженность электрического
поля g имела максимум в области III, необходимо использовать
оба решения диффузионного уравнения — экспоненциально воз-
растающее и экспоненциально спадающее.
Наконец, необходимо сшить решения на границах областей.
Здесь требуется, чтобы полупроводниковый член был непрерыв-
ным при переходе через плоскости и х2. Легко показать, что это
эквивалентно требованию, чтобы напряженность электрического
поля g, а следовательно, и концентрация носителей тока п были
непрерывны при переходе через эти плоскости.
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 291
х*
Для математического рассмотрения задачи удобно использо-
вать следующие безразмерные переменные:
g (х) = g*u, п (х) = n*s, х = х*и>, V (я) = V*v,
yt___ Г_____2УТГ*_____1х/4 „*_.г -- /13 18^
® “ t^b(&+l)T(n0-p0)2J ’ La I Ь+1 J ’ (13Л8)
*______J _ Г Ьх (пр — роУ J2 | Х/4
п ~ер.р(Ь + 1)^ \2e^p(b-i-l)3VTJ ’
С 8У^ЛЬт -> 1/4
У* = §*я* = {-g—.
Уравнения (13.15) и (13.16) в этих переменных принимают вид
1 = su, (13.19)
= « = (13.20)
dw dw2 и ' '
первый член здесь полупроводниковый, а второй диффузионный.
Заметим, что, поскольку х* — длина амбиполярной диффузии,
величина wc — w (L) = L/x* — LILa является постоянной, не за-
висящей от тока J и напряжения V. Вольтамперная характери-
стика теперь дается зависимостью
2 1
sc = -72 от рс«с,
где индекс с означает, что значение данной величины определяется
на катоде при х — L. Таким образом,
{(Ь+1) т}1^
(13.21)
s£ = J9£---pcsc=79n
С е(по-Ро){2рр7т&3}^’ 2ЬУГ
Заметим также, что
_ — Де. —й Г JW+l) Г/4 6р
С п* Нп \2е2УТрр& (Пр —pp)2J ’ Sa=Sc&0^-
Теперь квадратичный закон для полупроводника (12.7)
записать в виде
о 9 1 . . п 2^3
S= = 8" 7^ ’ ИЛИ Ре = 8" Wc •
Отдельные области теперь описываются следующими уравнениями.
Область I (0 w wi). В уравнении (13.20) опускается
полупроводниковый член; тогда
<13-25)
Используется только экспоненциально убывающее решение этого
уравнения:
s = soexp( — w), или н = наехрщ при иа — —. (13.26)
sa
(13.22)
(13.23)
можно
(13.24)
19*
292 Часть II. Токи двойной инжекции
Диффузионный член имеет вид d2s/dw2 = s = sa ехр (—w), а полу-
проводниковый член duldw — иа ехр w = ехр w/sa. Граница
области I (jVi) находится там, где полупроводниковый член равен
диффузионному:
1
— ехр Wi = sa ехр (— w^, или expw^ — sa, si=s(wi)=u1==u(w1) = l.
(13.27)
Падение напряжения в области I определяется выражением
(13.28)
(13.29)
(13.31)
Г , 4 1
щ = I udw = \------*
J sa
0
Область II (wi w w2). В уравнении (13.20) опускаем
диффузионный член, что дает
du 1 1 du2 .
-r- = —, ИЛИ -7Г-1— = 1.
div и 2 dw
Решение этого уравнения имеет вид
и2 — 1 = 2 (w — wt), (13.30)
где использовано соотношение (13.27). Для падения напряжения
в области II имеем
W2
Ри = j и dw = у [{2 (w2 — i) -f-1}3/2 — 1 ].
W1
Заметим, что если область II заполняет весь полупроводник, т.е.
w2 и w2 ж wc"^> 1, то выражение (13.31) переходит в квадра-
тичный закон для полупроводника (13.24), как и следовало ожи-
дать.
Область III (ш2 w шс). Как и в области I, основным урав-
нением является чисто диффузионное уравнение
(13‘32)
В противоположность области I в этой области мы используем
оба экспоненциальных решения уравнения (13.32) — растущее
и убывающее:
s = А ехр [— (шс — ш)] + В ехр (шс — ш), (13.33)
откуда получаем
sc = s (щ.) = А + В. (13.34)
Левая граница области III (ш2) находится там, где полупроводни-
ковый член (который мы опустили) равен диффузионному члену:
(4М = (тгт) ~®2’ или ~ ("тМ =sr (13.35)
\ dw ) 2 \ div2 / 2 \ div ) 2 2 ' '
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 293
Используя решение (13.33), можно переписать (13.35) в виде
В ехр шс2 — А ехр (— шс2) = [А ехр (— шс2) + В ехр шс213,
(13.36)
Wc2 = шс — Ш2.
Непрерывность величины s при переходе через плоскость и>2
дает, если использовать решения (13.30) и (13.33),
(2ш21 + I)-1/2 = А ехр (— шс2) + В ехр шс2, ш21 = ш2 — шь
(13.37)
Введем обозначения а = А ехр (— wc2), Р = В ехр шс2. Тогда
уравнения (13.36) и (13.37) можно переписать в виде
(13-38)
(13'39)
которые легко решить относительно а, и Р:
а = ш21 (2ш21 + 1)"3/2, р = (ш21 + 1) (2ш21 + I)"3/2.
Отсюда
А =-----№21 з/ ' ехР ^сг, В = —Ц,21~*~1з7~ ехр ( —«7с2). (13.40)
(2u>214-1)3/2 (2u>21 + 1)/2 К
Теперь уравнение (13.34) можно переписать в виде
„ tr2j [ехр wc2 + oxp ( —ц?с2)]+ехр (—шс2) (13 41)
с (2^i + l)3/2 * К ’
Поскольку
Wc = Шс2 + Ш21 + Ш1, ИЛИ Шс2 = (шс — Ш1) — Ш21, (13.42)
и wi — In (scbftp/Qn), уравнение (13.41) дает однозначную связь
между ш21 и sc с помощью постоянных wc, b, 9;) и 9П.
Падение напряжения в области III определяется интегралом
Wc Wc
J, (* dw
U dw= I ---<
J s
wa Wg
Используя решение (13.33), получаем следующее выражение для
падения напряжения в области III:
{tg_1 [(4)1/2expM-tg_1 (т)1/2} • <13’43)
294 Часть II. Токи двойной инжекции
Полное падение напряжения на образце равно vc = Vi + Vu +
+ 1Дп, где из (13.28) и (13.31) имеем
^п = 4-[(2^21 +1)3/2 —1]. (13.45)
О
При заданных wc, Ъ, 9р и 9ге безразмерная вольтамперная
характеристика (13.21) вычисляется с помощью выбора значения
sc, решения уравнений (13.41) и (13.42) для w2i и н?с2, получения
Фиг. 68. Рассчитанные вольтамперные характеристики для инжектирован-
ной в полупроводник плазмы с постоянным временем жизни.
Сплошные линии— расчетные характеристики, полученные Бароном [210]:
1 — L/La = 12, 2 — L/La = 25, 3 — L/La — 50. Точки получены методом региональных
приближений для двух случаев L/La = 12, L/La = 25. Штриховые линии — линейные
и квадратичные вольтамперные зависимости.
значений А и В из (13.40) и, наконец, определения ис из уравнений
(11.43) — (11.45). На фиг. 68 сравниваются результаты таких
расчетов вольтамперных характеристик, проведенных при 9Р =
= 9П и b = 2 для двух случаев: L/La = 12 и L/La = 25 (светлые
кружки), с вольтамперными характеристиками, рассчитанными
на ЭВМ Бароном 1210] (сплошные линии).
При увеличении напряжения в конце концов достигается такое
критическое напряжение Бкр, при котором область II исчезает
(wi = ю2):
тг л icc rz VTn I b \i/2 lL\
* (13.46)
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 295
Выше этой точки ток растет без дальнейшего увеличения напря-
жения, как показано на верхнем участке кривой 1 (L/La = 12)
на фиг. 68.
Приведенные выше результаты можно рассматривать упрощен-
ным способом, считая, что приближенно справедлив квадратичный
(b+f)n
I 1 1 II 1 1,1
2V ! в dx Г dx } 1 i 1 2V^ 1 1
х—О L
Фиг. 69. Схема применения метода региональных приближений к задаче
об инжектированной в изолятор плазме с постоянным временем жизни.
В областях I и III основную роль играет диффузия носителей, в области II — дрейф носи-
телей.
закон для полупроводника (12.7), но используя вместо действитель-
ного расстояния от анода до катода L некоторое эффективное
расстояние АЭфф. Тогда
—р0)рпррТ-7^—, ТЭфф^Т — Wa — Wc, (13.47)
° ^эфф
где Wa = Xi и Wc = L — хг на фиг. 67. Поскольку обе величины
Wa и Wc увеличиваются с напряжением, уравнение (13.47) экви-
валентно степенной зависимости тока от напряжения с показате-
лем степени, превышающим 2:
J ~ (13.48)
где т порядка 2 или 3.
В. ПЛАЗМА, ИНЖЕКТИРОВАННАЯ В ИЗОЛЯТОР
При высоких уровнях инжекции д « р и при постоянном вре-
мени жизни полная система уравнений для этой задачи состоит
из уравнения (13.15) и уравнения
--Г" +27г-^- = (6^1)-, (13.49)
е dx \ dx ) 1 1 dx2 щт ' '
аналогичного уравнению (13.7), но с опущенным полупроводни-
ковым членом (средним членом в левой части). Граничные усло-
вия те же, что и для полупроводника, т. е. имеют вид (13.17).
Как и в предыдущем случае, образец делится на три области.
Эти области показаны на фиг. 69.
Область I. В уравнении (13.49) доминирует диффузионный
член, и, пренебрегая диэлектрическим членом, получаем, что
проходящий ток определяется диффузией носителей. Однако в про-
296 Часть II. Токи двойной инжекции
тивоположность предыдущему случаю здесь нельзя использовать
только убывающую часть экспоненциального решения, так как
диэлектрический член (который мы опустили), соответствующий
этому решению, всегда отрицателен. Следовательно, решение
в области I является суммой убывающей и возрастающей экспо-
нент. В большей части области I диэлектрический член отрицате-
лен. Он проходит через нуль в плоскости xt и для х > хг стано-
вится положительным, а затем начинает превышать диффузион-
ный член. Граница области I находится в плоскости Xi, где оба
члена равны.
Область II. В уравнении (13.49) доминирует диэлектрический
член. Пренебрегая диффузионным членом, получаем соответствую-
щее дрейфовое решение, качественно йохожее на решение, полу-
ченное в гл. И, § 1, п. 1, т. е. такое, в котором напряженность
электрического поля g достигает максимума в середине образца.
Левая граница области II находится в плоскости х^ а правая —
в плоскости хг.
Область III. Здесь, как и в области I, доминирующим является
диффузионный член уравнения (13.49), так что диэлектрический
член можно опустить. Область III качественно во всех отношениях
похожа на область I. Здесь снова необходимо использовать воз-
растающую и убывающую экспоненты в решении, чтобы диэлек-
трический член, который мы опустили, не был отрицательным
во всей области III. При движении от катода внутрь образца
диэлектрический член сначала отрицателен и остается отрицатель-
ным в большей части этой области вплоть до плоскости х — хТ,
где он проходит через нуль. Дальше, т. е. при х < хг, диэлектри-
ческий член становится положительным и в плоскости сравни-
вается с диффузионным членом.
Решения в соседних областях сшиваются таким же образом,
как и в предыдущей задаче, т. е. требуется, чтобы диэлектриче-
ский член оставался непрерывным при переходе через плоскости
Xi и ж2. Это требование эквивалентно тому, чтобы при переходе
через эти плоскости оставались непрерывными напряженность
электрического поля и концентрация носителей тока. Относитель-
но условия сшивания необходимо сделать еще одно замечание.
Как определено выше, плоскость Xi — это такая плоскость, в ко-
торой опущенный в области I диэлектрический член становится
равным диффузионному члену; такое же условие определяет
и плоскость х2 в области III. Но этих условий недостаточно для
нахождения единственного решения. Для этого необходимо иметь
еще два дополнительных условия, которые можно определить
следующим образом: в плоскости Xi диффузионный член, который
в области II не учитывается, должен быть равен диэлектри-
ческому члену; аналогичное условие принимается и для плоскости
х2. (Ни одно из этих условий не требовалось в случае плазмы,
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 297
инжектированной в полупроводник, так как, во-первых, тогда
полупроводниковый член был дифференциалом первого порядка,
а теперь диэлектрический член — дифференциал второго порядка
и, во-вторых, в предыдущем случае использовалась только убы-
вающая часть экспоненциального решения.)
Для математического рассмотрения задачи удобно использовать
следующие безразмерные переменные:
8 (ж) = п (ж) = n's, х = x^w, V (х) = V^v,
<gt f 2VTJ 1V3 t г Г2Угр.лт) */2
g=W+W • *t=z- = t^+r/ 1
nt=____________L_____=J___________________y/3
epp (&4-1) L2VTe3 (6-|-l)2 p2 j ’
у — © X — | S2(6+1)5 J
Уравнения (13.15) и (13.48) соответственно принимают i
1 = su,
d ( du \ d2s 1
dw \ dw ) i" dw2 S и
(13.50)
вид
(13.51)
(13.52)
Величина wc = w (L) = Ш = LILa является постоянной и не за-
висит от тока и напряжения. Вольтамперная характеристика
определяется зависимостью
8с — ~^з от у+с’ (13.53)
з газ Г (Ь + 1) Ирт3 1 1/2 а 6+1 ,,о к/.
sc —J9n | 2&3е2Ут } ’ Vcsc — vdn 2bVT (13.54)
Кубический закон для изолятора (11.14) теперь имеет простой
вид:
„3 126 (ycSc)s _ 7>3 18 ,.,5 /''14
с —18 (г3 ’ ИИ Vc~125 с‘ (13.55)
Отдельные области теперь определяются следующим образом.
Область I (0^ w $4 wi). Диэлектрический член в уравнении
(13.52) опускается, и оно имеет вид
а его решение определяется в виде
s — С ехр (— w) + D exp w. (13.57)
В плоскости w = 0
Sa = с + D « С. (13.58)
Опущенный диэлектрический член теперь имеет вид
-4 _ _Л-4 (4)=4 Г1 -4 (4+1. (13.59)
dw \ dw j 2 dw2 \ s2 / s2 L 52 \ dw J J v '
298 Часть II. Токи двойной инжекции
Этот член отрицателен при малых w, проходит через нуль внутри
области I и после этого становится положительным. (Цель сохра-
нения возрастающей экспоненты в решении (13.57) состоит как
раз в том, чтобы диэлектрический член становился положитель-
ным в области I). Правая граница области I ioi находится там,
где опущенный диэлектрический член становится равным диффу-
зионному члену:
=(-Й-) =«!• (13.60)
[ dw \ dw IJ 1 \ dw2 11 ' '
Из решения (13.57) находим
в! = у 4- б, у = С ехр (— к>1), б = D ехр ioi. (13.61)
Поскольку (ds/dw)i = б у, уравнения (13.59) и (13.60) дают
(6 + 7)з=1_з(|=1)2. (13.62)
Падение напряжения vi в области I
W1
Vi = и dw
"о
определяется аналогично тому, как это делалось в области III
предыдущей задачи, т. е. выражением (13.43), которое в обоз-
начениях этой задачи имеет вид
Vl==’^'{tg"1[(T')1/2expK’1]“tg"1 (13-63>
Область II (ioi w к>2). Здесь мы опускаем диффузионный
член в уравнении (13.52) и получаем
d / du \ 1 d f du \ л /j о с/\
— -5— I u-ч— | ~ , или и -г- I и I — — 1. (Io.b4)
dw \ dw I и dw \ dw I 4 '
.Делая теперь замену переменных и — dw/dy, т. е. и (d/dw) = d/dy,
вместо (13.64) получаем уравнение
(13-65)
с решением
и — — 42/2 + ’^ {(“2 —wi) + y yQ , (13.66)
удовлетворяющим граничным условиям
у = 0 при to = loi, у = Уч при io = (и = и2), [(13.67)
где loi и io2 — левая и правая границы области II. Условие dio =
= и dy дает
v
1Г—«>!= j udy=. — ^ys + -^- {(u2 —+uiy (13.68)
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 299
И
1 1
гр2—iVi = ^^ + j(us — щ)у2. (13.69)
Теперь решение (13.66) удобно переписать в виде
u = ez/2 + /y + u1, <?=—у, / = -^--[(w2 —+ (13.70)
Падение напряжения в области II определяется выражением
W2 102 W2
уд = j udw = $ и ^dy = $ u2dy,
Wi W1
или, учитывая (13.70),
уд = у е2У\+у + у (/2 + 2е“1) У* + /“11/1 + “&2- (13.71)
Заметим, что если предположить, что область II занимает
весь объем изолятора и граничные условия имеют вид Wi — 0,
u>2 = wc, у2 = ус и ui — и2 — 0, то из (13.69) следует юс = у?/12,
а из (13.71) следует vc = Ус/120, так что у? = 18^/125, т. е.
получаем кубический закон для изолятора (13.55). На обеих гра-
ницах области II мы должны удовлетворить условию равенства
опущенного диффузионного члена и диэлектрического члена, т. е.
d2s d f du \ 1 d2 I 1 \ .
I u или u-T-s-1 — j =1. (13.72)
div2 div \ div ] и dw2 \ и j ' '
Ho
d2 / 1 \ _ d Г 1 li / 1 \ ~|
U div2 \ и ) dy L и dy \ и / J ’
так что равенство (13.72) принимает вид
“4 = — “7^+3 (^)2’ или “4=“ + 3(/ —у)2, (13.73)
где мы использовали решение (13.70). В плоскостях Wi и w2 урав-
нение (13.73) имеет вид
ui = щ. 4- З/2 и и* = и2 4- 3 (/ — у2)2. (13.74)
Решение двух уравнений (13.74), совместимое с выражением,
определяющим / в (13.70), имеет вид
щ = и2 (si = s2) и у2 = 2/. (13.75)
Подставляя решение (13.75) в (13.69) и (13.71), получаем
гу.2 — 1У1= j2 1/1+ “1^2 (13.76)
и
Уп = Поу26 + т “11/1+ “11/2- (13.77)
300 Часть, II.^.ТокиЦдвойной инжекции. ...
Область III (w2 w sC ггс). Эта область симметрична области I.
Основным уравнением здесь является диффузионное уравнение
(I3-78)
с решением
s = М ехр [ — (wc — w)] 4- N ехр (wc — w), (13.79)
из которого получаем
sc = М 4- N ж N. (13.80)
Опущенный диэлектрический член имеет вид (13.59). Левая гра-
ница области III соответствует такому положению плоскости ш2,
при котором этот член равен диффузионному члену:
=s2- (13.81)
[ aw L J J 2 \ du2 12 2 ' '
Это равенство, конечно, совпадает с (13.60), но взято в плоско-
сти w2.
Из решения (13.79) имеем
s2 = p + v, р = М ехр (— wc>2), v = N ехр wCl2, wCl2 =wc — w2.
(13.82)
По аналогии с соотношением (13.62) имеем
(v + p)3=l-3 (^)2, (13.83)
а по аналогии с соотношением (13.63)
К' (т)*'1 «РJ -1g-1 (т)1"} -
(13.84)
Из (13.61), (13.75) и (13.82) получаем
у 4- 6 = р 4- v. (13.85)
Уравнение (13.83), в которое входит отношение (v — p)/(v 4~ р),
тождественно уравнению (13.62) с отношением (б — у)/(б + у)-
Используя этот факт и равенство (13.85), мы заключаем, что
б — у = v — р. (13.86)
Из равенств (13.85) и (13,86) следует
б = v и у = р. (13.87)
Отсюда, учитывая (13.61) и (13.82), получаем
уб = pv w CD = MN. (13.88)
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной ^плазмы 301
Выражения для падения напряжения (13.63) и (13.84) теперь
упрощаются и принимают вид
(13.89)
(13.90)
Фиг. 70. Рассчитанные вольтамперные характеристики для инжектирован-
ной в изолятор плазмы с постоянным временем жизни.
Толстые линии — вольтамперные характеристики, рассчитанные Бароном [209] (кружки—
расчетные точки): 1 — р2 = 4, 2 — уг = 6, 3 — у* = 8, 4 — Уг = 10, S — уг = 15, в—
у = 25. Крестики — точки, полученные методом региональных приближений для случая
L/La — 2уг = 16. Тонкие линии — кубические вольтамперные зависимости. По осям
отложены напряжение и ток в безразмерных единицах (вместо напряжения — величина
[еп|1р (Ь 4- 1)/4цпЬ] V, вместо тока — величина [0пЬац2(Ь + 1)г/4ер2ц®] J).
= 0П, то отсюда следует, что С = ЪМ, Кроме того,
ур = у2 — [С exp (-i^i)l [М exp (w2 — ioc)l =
• = ЬМ2 exp (ц?2 — wi) exp (— wc)-
302 Часть II. Токи двойной инжекции
ИЛИ
М = -^-ехр-у-ехр ( — -2~ц?1 С=ЪМ. (13.91)
При заданных wc, Ъ, 9Р и 0П (здесь принимается, что 9Р = 9П)
безразмерная вольтамперная характеристика (13.54) вычисляет-
ся выбором значения si=s2=y + 6 — p.-]-v = 1/ui = l/u2
и использованием соотношения (13.62) для нахождения разности
6 — у. Теперь у и 6 известны в отдельности. Из уравнения (13.74)
определяем / и, следовательно, у2 =2/. Затем из уравнения (13. 76)
получаем w2 — wi, а из уравнения (13.91) — М и С. Наконец,
принимая sa «j С, sc ж М, определяем г'с == ьт + Цн + yni,
используя выражения (13.77), (13.89) и (13.90).
Результаты расчета вольтамперных характеристик при 9Р —
= Вп и b = 2 для случая L/La = 16 показаны крестиками
на фиг. 70; для сравнения здесь же изображены вольтамперные
характеристики, рассчитанные на ЭВМ Бароном [209].
Как и в предыдущей задаче, ток и напряжение в конце концов
достигают таких значений, что область II исчезает, так что wi —
= w2. Выше этой точки ток не зависит от напряжения. Как и в пре-
дыдущем случае [выражение (13.46)], критическое напряжение
VKP приближенно равно VT ехр (L/2LJ.
Аналогично предыдущей задаче упрощенное рассмотрение
полученных результатов заключается в применении кубического
закона для изолятора (11.14) для всего объема кристалла, но при
замене расстояния от катода до анода L некоторым эффективным
расстоянием АЭфф
J = ерпЦрТ , АЭфф = А—Wa—Же, (13.92)
16 ^эфф
где Wa — Xi, We — L — x2 (фиг. 69). Поскольку Wa и Wc уве-
личиваются с напряжением, уравнение (13.92) эквивалентно сте-
пенной зависимости тока от напряжения с показателем степени,
превышающим 3:
J ~ уз/ci-n^/L), (13,93)
где п порядка 2 или 3.
§ 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Основными результатами теории инжектированной плазмы
для достаточно длинных образцов являются квадратичный закон
для полупроводника (12.7) и кубический закон для изолятора
(11.14). Оба эти закона подтверждены экспериментально.
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 303
Квадратичный закон для полупроводника был проверен экспе-
риментально непосредственно после его предсказания Ларраби
[211] на германии. На фиг. 71, взятой из его работы, показаны
вольтамперные характеристики для длинного (L — 0,97 см) образ-
ца германия n-типа при трех различных температурах. Каждая
из этих характеристик имеет омический участок, переходящий
в квадратичный. Важная особенность характеристик состоит в том.
что на квадратичном участке
ток при высокой температуре
(Т = 60° С) примерно в 1,6
раза меньше, чем ток при
низкой температуре (Т =1 и
22 °C), вто время как на омиче-
ском участке ток при высокой
температуре на порядок боль-
ше, чем ток при низкой тем-
пературе, что связано с более
высоким по ~ Ро при темпе-
ратуре 60 °C. Малое различие
между вольтамперными ха-
Ф и г. 71. Температурная зависи-
мость вольтамперных характери-
стик для плазмы, инжектирован-
ной в монокристалл германия
[211].
L =0,97 см, поперечное сечение
0,063 х 0,055 см2; образец при ком-
натной температуре был почти соб-
ственным полупроводником (п<гЬ 2-101а
см—8). 1—1° С, 2— 22° С, 3—60° С.
рактеристиками на квадратичном участке прямо показывает, что ток
на этом участке, который описывается выражением (12.7) или (12.38),
зависит от разности п0—р0, которая не зависит от температуры
при температурах выше области вымораживания носителей.
Небольшое уменьшение тока при высокой температуре на квад-
ратичном участке находится в соответствии с температурной
зависимостью подвижностей ~ Т1-2’3, р.п ~ Г-1’68, так что
РпРр (1° С)/рт»Р-р (60 °C) » 2. Величина этого отношения хорошо
согласуется с наблюдаемым расхождением для тока, если учесть,
еще слабую температурную зависимость времени жизни. Заметим,
что расхождение между омическими участками на вольтамперных
характеристиках при 1 и 22 °C находится в соответствии с темпе-
ратурным изменением подвижностей; здесь температурная зави-
симость времени жизни не оказывает влияния. Численная подгон-
ка квадратичного закона (12.7), переписанного в практических
304 Часть II. Токи двойной инжекции
единицах в виде
V2
J = 1,8-1О“19тцпЦр(ло —Ро) £§'
дает значение времени жизни т = 10~3 с, которое очень хорошо
согласуется с экспериментально определенным объемным време-
нем жизни при низком уровне инжекции, равным 600 мкс, т. е.
тЭфф т в уравнении (12.38). (Заметим, что в расчете мы исполь-
зовали полную длину образца L = 0,97 см без каких-либо диффу-
зионных поправок.) Поверхность германия была обработана таким
образом, чтобы создать на ней слой сильного накопления элек-
тронов, который не дает инжектированным дыркам приблизиться
к поверхностным рекомбинационным состояниям. Такое же зна-
чение времени жизни т соответствует наблюдаемому напряжению
перехода от омического участка к квадратичному участку при 22 °C
(около 1 В). Напомним, что этот переход происходит при т «
^L*/ppVx.
На фиг. 71 видно также, что при высоких уровнях инжекции
вольтамперные характеристики становятся более пологими. Это
результат ожидаемой зависимости времени жизни от концентра-
ции инжектированных носителей. Рост концентрации инжектиро-
ванных носителей приводит к уменьшению времени жизни. Точное
совпадение экспериментальных наклонов вольтамперных харак-
теристик с теоретическим квадратичным законом вызывает удивле-
ние, если учесть большую длину амбиполярной диффузии (La =
= 2 мм). Неясно, почему диффузионные поправки, рассмотренные
в § 3, п. 1, этой главы для случая одномерного плоского распреде-
ления тока, играли такую малую роль в экспериментах Ларраби.
Возможно, что в окрестности контактов эквивалентная длина
амбиполярной диффузии была гораздо меньше (вследствие мень-
шего времени жизни).
Марш и др. [212] также проверили квадратичный закон для
плазмы, инжектированной в полупроводник, на образцах из сла-
бо легированного кремния уэ-типа, т. е. на р — л — «-структурах,
пропуская ток в прямом направлении. Длина этих образцов
была в пределах от 0,8 до 8,1 мм, а площадь поперечного сечения —
от 0,02 до 9,10 см2.
Вольтамперные характеристики, полученные этими авторами,
представлены на фиг. 72. Сплошные линии соответствуют квадра-
тичному закону. Видно, что с увеличением отношения L)La точ-
ность аппроксимации экспериментальных данных квадратичным
законом улучшается, как и следовало ожидать согласно обсуж-
дению в § 3, п. 1. Черные значки при напряжении 10 В соответ-
ствуют значениям тока, рассчитанным из уравнения (12.28)
с использованием измеренных значений р0 — п0 = р0, тЭфф и L.
Для образцов 4 и 5 получено превосходное согласие между экспе-
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 305
риментами и расчетом. Авторы заметили, что для образцов 2 и 3
различие между экспериментальными и рассчитанными токами
сильно уменьшается, если в выражениях (12.7) или (12.38) длину
L заменить эффективной длиной £Эфф = L — 2,2 -2La [см. (13.47)].
Фиг. 72. Вольтамперные характеристики в случае двойной инжекции
в слабо легированный кремний р-типа [212].
Сплошные линии имеют квадратичный наклон. Характеристики образцов: 1—L «=
= 0,080 см, р = 1,3-10й саг-’, X = 10 мкс, L/La = 6,45; г—L = 0,345 см, р =
= 2-1011 саг-’, т = 40 мкс, Ь/La = 13,9; 3—L = 0,491 см, р — 3,7-10’1 car-3, X =
= 28 МКС, L/La = 23,6; 4—L = 0,805 см, р = 1,4-10*’ СМ-3, X = 12,5 МКС, L/La = 57,9;
J—L = 0,705 см, р = 2,9-1011 см-3, х = 18,5 мкс, L/La = 41,6.
Экспериментальная проверка кубической зависимости тока
от длины образца для плазмы, инжектированной в полупроводник,
показана на фиг. 73, взятой из работы тех же авторов. Здесь пред-
ставлена зависимость величины Лрох от Z3 (плотность тока J
определялась путем экстраполяции экспериментальной квадра-
тичной зависимости от точки 10 В) для 19 образцов с большими
отношениями ЫЬа. Значения р0 лежали в пределах от 1011
до 2 -1012 см-3 и тэфф — от 4 до 30 мкс.
20-0699
Фиг. 73. Экспериментальная проверка зависимости тока от длины образца
для случая плазмы, инжектированной в полупроводник [212].
Изображена зависимость величины J/pox от L’ в двойном логарифмическом масштабе.
Точки представляют результаты измерений на 19 образцах из р-кремния с большим отно-
шением L/La при падении напряжения 10 В. Концентрация дырок р0 равна 1011—
2-10“ см-» , эффективное время жизни т $ф равно 4—30 мкс.
Фиг. 74. Распределение инжек-
тированной плазмы вдоль длин-
ного тонкого стержня из р-герма-
ния (L = 1 см, а = 0,55 мм)
с удельным сопротивлением
38 Ом-см [213].
Теоретическое распределение (штрихо-
вая линия) совмещено с эксперименталь-
ным (сплошная линия) в одной точке,
обозначенной светлым кружком. Наи-
лучшее совпадение получается при эф-
фективном времени жизни тдфф=72 мкс
(объемное время жизни t = 840 мкс,
скорость поверхностной рекомбинации
S =ь 400 см/с. Температура 27° С; плот-
ность тока в образце 11,1 А/см2.
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной плазмы 307
Аризуми и др. [213], работая с длинными тонкими стержнями
из р-германия, измеряли концентрацию инжектированной плазмы
вдоль стержня. Результаты такого измерения представлены
Фиг. 75. Вольтамперные характеристики р — i — га-переходов из кремния
при температуре 300 К в двойном логарифмическом масштабе [218].
Длина образцов L и длина амбиполярной диффузии La равны:
1 — L = 4,4 мм, Ьа = 0,5 мм, Ь/Ьа = 8,8; 2 — L = 3,9 мм, La = 0,42 мм, L/La = 9,3;
3 — L = 2,8 мм, Ьа = 0,2 мм, L/La = 14,0; 4 — L — 4,0 мм, Ьа = 0,35 мм, Ь/Ьа = 11,5;
5 — Ь = 3,9 мм, Ьа = 0,15 мм, L/La = 26,0; р — i — n-переходы изготовлены с помощью
дрейфа лития. Сплошные линии имеют кубический наклон.
на фиг. 74. Теоретическая штриховая кривая подгонялась к экс-
периментальной зависимости в одной точке, показанной свет-
лым кружком. Видно, что на протяжении всей кривой получается
довольно хорошее согласие с теорией при эффективном времени
жизни тЭфф = 72 мкс, которое следует сопоставить с измеренным
объемным временем жизни т = 840 мкс. Соответствующее зна-
чение скорости поверхностной рекомбинации s = 400 см/с опреде-
лено по формуле, аналогичной (12.29) и (12.30).
Как отметил Роуз *), данные, полученные Стафеевым ([214],
фиг. 2) и объясненные им с помощью совсем другой модели, можно
х) Не опубликовано.
20*
308 Часть II. Токи двойной инжекции
очень точно объяснить на основе квадратичного закона для плазмы,
инжектированной в полупроводник (12.7), если принять п0 — р0=
2-1014 см-3 (это значение не приводилось Стафеевым), чтобы
получить согласие в одной точке.
Плазма, инжектированная в полупроводник, является удоб-
ной моделью для изучения плазменных неустойчивостей. Посколь-
ку этот вопрос выходит за пределы содержания данной книги, мы
отсылаем читателя для получения дальнейшей информации к-обзо-
рам других авторов [215, 216] 4).
Фиг. 76. Вольтамперные характеристики пяти р — i — и-диодов из крем-
ния с шириной /-области от 0,13 до 3,97 мм [218].
Сплошные линии — зависимости для двойной инжекции, рассчитанные с использованием
эффективной длины. Диоды изготовлены с помощью дрейфа лития.
Кубический закон для плазмы, инжектированной в изолятор,
проверялся Бароном и др. [217] и Мейером и др. [218, 219], рабо-
тавшими со специально изготовленным высокоомным кремнием,
компенсированным в большом объеме с помощью дрейфа лития.
На фиг. 75 [218] показаны вольтамперные характеристики в двой-
ном логарифмическом масштабе, полученные при комнатной тем-
пературе на пяти различных р — i — «-структурах кремния с раз-
личной длиной j-области. Прямые линии 'представляют собой
подгонку кубического закона к экспериментальным данным. Вид-
но, что для этих образцов получается хорошее согласие с теорией.
1) По этому вопросу можно рекомендовать читателю обзор А. А. Введе-
нова, Усп. физ. наук, 84, 533 (1964).— Прим. ред.
Гл. 13. Обобщенная теория инжектированной, плазмы 309
Заметим, что отношение длины образца L к длине амбиполярной
диффузии La для всех этих образцов было большим. Как показано
в § 3, п. 2, поправки, обусловленные накоплением носителей вблизи
инжектирующих контактов, в таких условиях оказываются несу-
щее т венными.
Фиг. 77. Зависимость L-5 от величины У/тцпцр для 15 образцов [218].
Значения тока взяты из кубических участков вольтамперных характеристик фиг. 75 ,
экстраполированных до напряжения 10 В. темные кружки получены при использовании
измеренной ширины {-области, светлые кружки — при использовании аффективной дли-
ны, вычисленной по формуле Ьдфф = L — 2,2-2La. Сплошная линия показывает, какая
, аффективная длина соответствует наблюдаемому, току.
На фиг. 76 [218] мы видим, что при уменьшении активной длины
образца вольтамперная характеристика приближается к экспонен-
те (слева), характерной для диффузии носителей, инжектирован-
ных через контакт. Такая зависимость ожидалась здесь для малых
отношений LILa. Заметим, что для крайней правой характеристи-
ки, которая получена на наиболее длинном образце (L = 4 мм),
наблюдается хорошее совпадение с кубическим законом.
На фиг. 77 [218] показана зависимость вольтамперных харак-
теристик в случае плазмы, инжектированной в изолятор, от длины
образцов. Ожидалось, что 7/(тцп[лр) ~ L"5 при постоянном напря-
жении У = 10 В. Но такая зависимость не наблюдалась, если
использовалась длина образцов без поправок (черные кружки
310 Часть II. Токи двойной инжекции
на фиг. 77). Затем была использована скорректированная длина
Т^эфф — L — 2,2*2 La (светлые кружки). Такой вид поправок дает
теория [см. § 3, п. 2, и особенно уравнение (13.92)]. Сплошной
линией показан кубический закон для изолятора (11.14). Видно,
что скорректированные экспериментальные точки относительно
хорошо согласуются с теорией.
Кубический закон для изолятора проверяли также Оказаки
и Хирамацу [220], работавшие с кремнием p-типа. Эти авторы
также получили зависимость тока от длины образца J ~ L~5 при
фиксированном значении напряжения. Кубический закон был
подтвержден также в многочисленных работах, проведенных под
руководством Холоньяка [221—224]. В этих работах исследовались
кремниевые р — i — п-диоды, i-область которых была компенси-
рована золотом. Концентрация инжектированной плазмы была
примерно на два порядка меньше, чем концентрация введенного
золота. Интересной особенностью этих работ явилось существо-
вание спонтанных осцилляций на участке с положительным сопро-
тивлением кубической вольтамперной характеристики. Эти осцил-
ляции, вероятно, связаны с существованием динамического отри-
цательного сопротивления, точная природа которого до сих пор
Не выяснена.
ГЛАВА 14
Двойная инжекция с захватом.
Отрицательное сопротивление
Вплоть до настоящей главы при обсуждении проблем двойной
инжекции очень мало внимания уделялось локальным центрам
в изоляторе. Они рассматривались как центры рекомбинации, но
при этом предполагалось, что их заполнение не изменяется. Это
условие может выполняться только в сверхчистых материалах,
таких, как германий, кремний или антимонид индия. Однако
гораздо чаще в случае двойной инжекции концентрация свобод-
ных инжектированных носителей оказывается меньше, чем кон-
центрация носителей, захваченных примесными центрами. Этот
случай мы будем называть «двойной инжекцией с захватом».
Из сопоставления монополярной и двойной инжекции можно
ожидать, что и в последнем случае захват инжектированных носи-
телей будет сильно влиять на вольтамперную характеристику.
Наиболее интересным и практически ценным эффектом является
возникновение на вольтамперной характеристике участка с отри-
цательным сопротивлением, контролируемым током *), который
появляется из-за того, что время жизни инжектированных носи-
телей существенно увеличивается с уровнем инжекции. Ниже
подробно рассматриваются два случая, приводящие к возникно-
вению такого участка отрицательного сопротивления.
Вольтамперную характеристику для случая двойной инжекции
с захватом нельзя описать каким-либо одним простым соотноше-
нием во всей области ее существования. В этом случае вольтампер-
ная характеристика имеет гораздо более сложный вид, чем при
монополярной инжекции, так как здесь приходится принимать
во внимание значительно больше независимых физических меха-
низмов. Поэтому аналитическое решение задач двойной инжекции
связано с гораздо большими трудностями, чем в случае монополяр-
ной инжекции. Даже если пренебречь диффузионными токами,
учет воздействия объемного заряда и рекомбинации создает такие
трудности, что точный анализ становится невозможным. Однако
применение метода региональных приближений позволило достичь
больших успехов в исследовании этой проблемы. Ниже мы опишем
*) Вольтамперную характеристику такого типа часто называют «S-об-
разной»,— Прим. ред.
312 Часть II. Токи двойной инжекции
несколько простых моделей двойной инжекции с захватом носите-
лей, которые изучены более подробно. Содержание § 1 и 2 основа-
но большей частью на работе Ваксмана и Ламперта [225].
§ 1. ЦЕЛИКОМ ЗАПОЛНЕННЫЕ ЦЕНТРЫ РЕКОМБИНАЦИИ
Сначала мы рассмотрим ситуацию, представленную схемати-
чески на фиг. 78, т. е. такой материал, в котором центры реком-
бинации создают только один моноэнергетический уровень в запре-
щенной зоне, расположенный значительно ниже уровня Ферми
и, следовательно, целиком заполненный электронами. Будем
-----------------------Ес
------------------------Ео
+NR
-----------------------Ev
Фиг. 78. Энергетическая диаграмма, рассматриваемая в задаче о двой-
ной инжекции при захвате целиком заполненными центрами рекомбинации.
считать, что в начальный момент в изоляторе очень мало свобод-
ных носителей по сравнению с концентрацией центров рекомби-
нации. Кроме того, для определенности предположим, что стп,
т. е. центры Nд являются акцепторами, которые при захвате
электронов заряжаются отрицательно. В тепловом равновесии
выполнение условия нейтральности в каждой точке может быть
обеспечено пустыми мелкими донорами, полностью компенси-
рующими заряженные акцепторы, но не оказывающими никакого
другого влияния на электрические характеристики изолятора.
(Другой крайний случай оп ор рассмотрен в гл. 11, § 1. В этом
случае центры рекомбинации остаются заполненными при любом
уровне инжекции, время жизни дырок постоянно и решение при
низких напряжениях соответствует монополярной инжекции
электронов, которая при увеличении напряжения переходит
в инжекцию плазмы.)
1. ФИЗИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Каких основных особенностей вольтамперной характеристики
можно ожидать, исходя из физических предпосылок? При очень
низких уровнях инжекции, когда заполнение центров ./VR изме-
няется очень мало, время жизни электронов тп,г оказывается,
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 313
по существу, бесконечным, так как нет пустых центров, способных
захватить инжектированные электроны. При этом время жизни
дырок -tp,i = (N R (PCTp))-1 относительно мало. Иными словами,
в кристалле существует «рекомбинационный барьер» для прохож-
дения дырок и нет никакого барьера для прохождения электронов.
В этом случае инжекционный ток будет в основном электронным
безловушечный ТООЗ почти на всем протяжении образца вплоть
до расстояния порядка диффузионной длины для дырок от анода.
Ближе к аноду будет наблюдаться рекомбинация электронов
с инжектированными дырками. Когда приложенное напряжение
оказывается достаточным для того, чтобы провести дырки через
весь кристалл, т. е. когда достигается напряжение УПор, при
котором Zp.nop = £2/|XpFnOp ~ Тр.г, положение резко изменяется.
Поскольку ар стп, центры рекомбинации преимущественно
захватывают дырки и, таким образом, заполняются ими. Это в свою
очередь вызывает увеличение времени жизни дырок. Так как
теперь в объем изолятора инжектируются как электроны, так
и дырки, он будет нейтральным. При высоких уровнях инжекции,
когда концентрация как электронов, так и дырок превышает
концентрацию центров NR, носители остаются свободными при-
близительно в равных концентрациях. При п « р для сохранения
стационарного состояния должно выполняться равенство тп,^ ~
« tp.h, гДе индекс h соответствует временам жизни при высоком
уровне инжекции. Так как теперь центры рекомбинации почти
целиком заполнены дырками, тп,Л л; (NB<wn))~1- Таким образом,
при изменении уровня инжекции от низкого до высокого время
жизни дырок увеличивается в <Jp!<Jn раз, или, точнее,
в (пор)/(van) раз (это отношение может быть гораздо больше
единицы).
Из приведенных рассуждений видно, что «рекомбинационный
барьер» для прохождения дырок уменьшается с увеличением уров-
ня инжекции: чем больше дырок инжектируется, тем легче им
пройти через кристалл. В действительности их прохождение ока-
зывается настолько легким, что падение напряжения на образце
даже уменьшается при увеличении тока. Замечательной особенно-
стью тока двойной инжекции такого рода является участок вольт-
амперной характеристики с отрицательным сопротивлением, кон-
тролируемым током; на этом участке при увеличении тока напря-
жение уменьшается. (Этот механизм возникновения отрицатель-
ного сопротивления — увеличение времени жизни с увеличением
уровня инжекции — впервые рассмотрел Стафеев [226], который
качественно проанализировал задачу о прохождении диффузион-
ного тока.)
Ниже мы определим минимальное напряжение Уман и соот-
ветствующий ток /мин, при которых кончается участок с отрица-
тельным сопротивлением. Заметим, что после того, как ток превы-
314 Часть II. Токи двойной инжекции
сит значение 7Мин» создаются условия высокого уровня инжекции,
т. е. условия инжектированной плазмы, для которой тп = хп, h =
= Тр = Тр./р В этом случае электроны с центров рекомбинации
переходят в зону проводимости, и изолятор превращается в полу-
проводник n-типа с равновесной концентрацией электронов N R.
В гл. 12, § 1, выведена вольтамперная характеристика для такого
случая. Напряжение УМин представляет собой просто наименьшее
напряжение, при котором в полупроводнике еще выполняется
квадратичный закон, и определяется уравнением
U
tp. мин — Tp, h — (Nд {von})
гр'мин
Соответствующий ток
гл 2 г,
Jмин ~ дТр, ьЦпЦр т-g— ~ eNд —--.
lp, h
Заметим, что
^ПОр (гор) Хр) fa
^МИН (гоп) Tp, I
Все особенности, которые мы только что рассмотрели, представ-
лены на полной вольтамперной характеристике, показанной
на фиг. 80.
Рассмотрим теперь эту проблему теоретически, сначала пред-
полагая электрическую нейтральность в каждой точке изолятора,
а затем отказавшись от этого предположения.
Я. РЕШЕНИЕ ПРИ СОХРАНЕНИИ НЕЙТРАЛЬНОСТИ
В случае упрощенной теории, когда выполняется условие
нейтральности, задача определяется следующими уравнениями:
1) уравнением для тока
J = + ецрр§ = const, (14.1)
где, как обычно, диффузионные токи не учитываются;
2) условием нейтральности в каждой точке изолятора
П = р 4- pR, (14.2)
где рн — концентрация пустых рекомбинационных центров;
3) уравнениями сохранения числа частиц
^(ng) = r=-^(p§); (14.3)
4) уравнениями, описывающими кинетику рекомбинации,
г = —={v<Jn>pR, —-=(vop}nR, nR±pR = NR.
(14.4)
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 315
Комбинируя два уравнения (14.3), получаем
« = (М-5)
аЗ/ ► РпГп Ига ”
Если мы' воспользовались бы полным уравнением Пуассона
(14.29) вместо (14.2), то получили бы дифференциальное уравне-
ние второго порядка в качестве уравнения, определяющего задачу.
Пренебрегая объемным зарядом, порядок этого дифференциального
уравнения можно снизить до первого, что позволяет ограничиться
использованием только одного граничного условия. Это совер-
шенно аналогично положению, возникающему в случае задачи
о плазме, инжектированной в полупроводник, когда пренебрегают
объемным зарядом. Так же, как и'там, мы используем граничное
условие § = 0 на контакте, инжектирующем «неосновные» носи-
тели. В данном случае носителями, эквивалентными «неосновным»,
являются дырки, и подходящее граничное условие имеет вид
§ == 0 при х = 0. (14.6)
Система уравнений (14.1) — (14.5) при граничном условии
(14.6) была решена Лампертом [227] без дальнейших упрощений.
Здесь мы примем дальнейшие упрощающие предположения, чтобы
получить гораздо более простое и более наглядное решение.
Используя знакомый нам метод региональных приближений, раз-
делим изолятор на две области: область I от анода до плоскости
х = Xi и область II от плоскости х = xi до катода. В области I,
в которой выполняется условие п (х) > Nл, центры рекомбина-
ции в значительной степени опустошены и электроны с них пере-
шли в зону проводимости. В области II центры рекомбинации еще
в значительной степени заполнены. Ниже мы рассмотрим эти
области более подробно.
Область I (0 х а^): п > N R, pR «г NR.
Полагая pR = NR в (14.2), можно представить уравнения
(14.5) и (14.1) в виде
= { = (14.7)
। де xh — обычное время жизни при высоком уровне инжекции, и
J = (а + 1) п — eppNя§. (14.8)
Подставляя выражение (а + 1) п из (14.8) в уравнение (14.7),
получаем дифференциальное уравнение
решение которого, удовлетворяющее граничному условию (14.6),
имеет вид
% — S 1п-^^- = 7ж. (14.10)
316 Часть II. Токи двойной инжекции
Разность потенциалов между точками 0 и г равна
я %
V{x) = J = J g ^g2_sg + S4nl±^) . (14.11)
о 0
(14.13)
На правой границе области I (x = х^) имеем из уравнения (14.8)
n^n^Nn, gI = g(x1) = —= (14.12)
Подстановка (14.12) в (14.10) и (14.11) дает соответственно
яд = у- [а — In (1 + а)],
Va, 1 = v (Xi) = -у- а2 — а + In
Пусть ток /мин и напряжение Уинн соответствуют условию
Xi = L, т. е. п = Nr на катоде. Это состояние изолятора соответ-
ствует точке минимального напряжения на участке вольтампер-
ной характеристики с отрицательным сопротивлением (фиг. 80).
Тогда, используя (14.9), два выражения (14.13) можно представить
в виде
/мин = Ж-^,
1Л
^МИН— ц,рТл»
а—1п(1-|-а) ’
g(fl)__ [q-ln(i+a)P (14,14)
°' ' ар/гв—а+1н(1-(-а)]’
Заметим, что эти выражения в точности соответствуют выра-
жениям, полученным согласно строгой теории, учитывающей
условие нейтральности [см. [2271, выражения (В9) и (В10)1.
Выражения (14.13) удобно переписать в виде
Xi = L-=^—, Vo>1= FM1IH(-y^— V при /</мин. (14.15)
•'мин V •'мин /
Область II (xi х L): п < Nr, р <^п, nR « NR.
Принимая pR = п и nR = Nr в выражении (14.4), получаем
(14.16)
~ П2 {Mn)
P ~ NR\(vUp)
Перепишем теперь уравнение (14.1) в виде
еРп 1-ТЕ
где, согласно (14.16),
С = д-^-СТп\ <1.
П NR<VVp>
Тогда вместо (14.3) получаем уравнение
dn eNR(vap)
----r =----г— dx,
n2 aJ ’
(14.17) '
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 317
решение которого, удовлетворяющее граничному условию
п = Nr при х = Xi, имеет вид
Напряженность электрического поля % определяется выражением
gte—- = < (14.19)
ецп п Нр v
а разность потенциалов между точками xi и L — выражением
-с т Nr (wTn)
F1>0= f Sdx = —^(L-xi') + --2-^(L-xtf. (14.20)
Xi
Для полного падения напряжения V = Va,i + Vi,c, используя
выражения (14.14), (14.15) и (14.20), получаем
F = 7„M[(/-)2 + /(a)(y?-) (1--у-)] + Fnop(l-)2,
ЬХ^МИН/ \ •'мин / ' •'МИН г J X •'мин/
(14.21)
Нп\= «[a-In(! + «)] v _ <^Р>£27Уя _ L*
i/^-a + lntl + a)' Ипор 2up 2цртр, Г
Основные особенности вольтамперной характеристики при реше-
нии задачи с учетом нейтральности можно видеть прямо из фор-
мулы (14.21). Когда ток увеличивается от 0 до JMm, напряжение
монотонно уменьшается от порогового значения УПОр До мини-
мального значения Кмин- Пороговое напряжение соответствует
условию
7 - £2 - 2т ,
^•п°р- ИрУпор-
(14.22)
где £р, по — среднее время пролета дырок при пороговом напря-
жении. Заметим, что / (а) — почти постоянная величина порядка
единицы; ее значение меняется от 3/2 при а 1 до 2 при а )^>1.
Сравнивая величины УПор и Кмин, из (14.21) и (14.14) получаем
^пор ____ g (a) (vap>
^мил 2 (von)
(14.23)
Из (14.14) мы видим, что g (а) монотонно уменьшается от 3/8 при
а 1 до 1/а при а~^> 1. Таким образом, пока а очень велико,
Ипор^> Имин- В этом случае формулу (14.21) можно еще больше
упростить и записать в виде
И = Г„ин (-J-f + Fnopfl—у—?. (14.24)
X «/мин / X •'мнн /
Если вольтамперную характеристику представить в двойном
логарифмическом масштабе, как на фиг. 80, то можно видеть, что
318 Часть II. Токи двойной инжекции
при уменьшении напряжения вблизи порога ток увеличивается
очень резко, достигая значения 0,3 при уменьшении напря-
жения только на 50% (V = Упор/2). Соответственно участок с отри-
цательным сопротивлением на вольтамперной характеристике
оказывается очень плавным: ток увеличивается от 0,3 /мин
до /Мин при уменьшении напряжения от УПОр/2 до Умин-
Режим отрицательного-сопротивления (/ < /мин) представляет
собой первый пример инжекции в плоской структуре, когда
электрическое поле не изображается выпуклой функцией и в соот-
ветствии с этим не изменяется относительно плавно на протяжении
всего кристалла. Действительно, так как область I имеет высокую
проводимость (п>ЛГн), а область II —низкую (n </Уд), при-
ложенное напряжение падает в основном в области II. В области I
поле g является выпуклой функцией, которая монотонно уве-
личивается от нуля в плоскости х = 0 до значения gi = J!e\inNR
в плоскости х = Х\, при этом производная d'fe/dx уменьшается
от бесконечности в плоскости х = 0 до значения (а + 1)/[лртр
в плоскости х = х\. В области II поле g монотонно увеличивается
от значения gj в плоскости х = xi до значения gi +
+ NR(vop) (L — Ж1)/[ЛР в плоскости х = L, причем скорость
роста электрического поля постоянна и равна d%/dx =
= NR{vap)/nP = 2Vnop/ZA
Производная d/feldx терпит разрыв в плоскости х = х\ вслед-
ствие слишком сильных упрощений. Действительно, мы имеем
(^/fc)II; Ж1 _ <ГСТр)
Ж1 (а-|-1) (увп)
В точной теории, учитывающей нейтральность образца, этот
разрыв, конечно, исключается.
Уравнение для напряженности электрического поля в обла-
сти II (14.19) можно переписать, используя (14.14), (14.15)
и (14.21), в виде
+ (14.25а)
откуда получаем
gc=§(L)^/(a)_2_J!ffiL+^Р.(1-----------(14.256)
•'МИН \ J мин /
< Возрастание напряженности электрического поля при прибли-
жении к катоду удобно измерять как отношение gc/gG, ч которое
можно записать, используя (14.256) и (14.24), в виде
%СЬ /(«) ^МИН ///мин 4-2Vnop (1
= ~ = (///мин)2 + Vnop (1 - ///Мин)2 ’ }
О) -(-г1)'"'
\©q 'макс \ 'мин /
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 319
причем максимальное значение отношения gc/ga, получаемое
путем приравнивания нулю производных числителя и знаменателя
по J/Jmhh, соответствует
7 ~ j / ^мин V/2
•7мин ' 1\юр /
При токах, превышающих токи, соответствующие участку
с отрицательным сопротивлением, т. е. при J >/МИн; в изоляторе
существует только одна область I, и вольтамперная характеристи-
ка определяется в неявном виде уравнениями
gc-51n + 5 — TL,
У = -|- (|§с-5§с + № 1п -Ь+£
2Умин,
(14.27)
(14.28)
полученными из уравнений (14.10) и (14.11) при х —L и-g = gc,
причем 5 и Т определяются выражениями (14.9). При /А/минЗ» 1
и gc/S 1 разложение логарифма в ряд дает ^c/2S ~ TL
и V ~ ^c/3TS; объединяя эти соотношения, как и следовало
ожидать, получаем квадратичный закон для полупроводника:
V2
J = 9e2VHpnp,pTftg^3-.
Чтобы проверить применимость предположения о нейтрально-
сти, заметим прежде всего, что условие нейтральности (14.2)
заменяет уравнение Пуассона
vf-P+P»-"- <14.29)
Из сказанного непосредственно после уравнения (14.24) следует,
что пренебрегаемый объемный заряд в области II гораздо больше,
чем в области I. В области II р <^pR, п, так что уравнение (14.29)
для области II можно переписать в виде
“=р»-т<- <14-30>
Поскольку, согласно (14.19), d&dx — const в области II, а,
согласно (14.18), концентрация электронов п монотонно умень-
шается с увеличением х, то для установления справедливости
решения, основанного на предположении о нейтральности, доста-
точно сравнить пренебрегаемый объемный заряд с плотностью
свободных носителей на катоде пс. Используя соотношения (14.14),
(14.15), (14.18) и (14.19), можно написать для области II
— — (^) .. (Аин__1\ Где tR G = —. (14.31)
пс е \dx I с ah (а) Гр, i \ J I ’ e\ipNR ' 7
Таким образом, мы приходим к заключению, что если tR,a
Тр.г, то существует широкий интервал токов J, превышающих
некоторый пороговый ток, в котором применимо приближение,
320 Часть II. Токи двойной инжекции
основанное на условии нейтральности. Однако для достаточно
малых токов такое решение всегда неприменимо. К этому заклю-
чению мы уже пришли на основе физических соображений в преды-
дущем пункте, где отметили, что при малых плотностях ток дол-
жен быть электронным и подчиняться безловушечному закону
ТООЗ. Однако если TH,QTh > Тр,г, то существует пренебрежимо
узкий интервал токов J, несколько не доходящий до Jw,,, в кото-
ром решение применимо.
Ниже мы покажем, каким образом можно непротиворечиво
включить в рассмотрение объемный заряд, по-прежнему приме-
няя метод региональных приближений.
3. УЧЕТ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА
У чет объемного заряда, т. е. замена условия нейтральности
(14.2) уравнением Пуассона (14.29), требует использования для
анализа четырех областей изолятора. Эти области показаны
I । П . Ш | IV
1
Инжекти- . 1 I
рованная 1*-----р«л -----------*
плазма. | । 1 - ।
I I I
I I I
х=° *г х3 L
Фиг 79. Схема применения метода региональных приближений к задаче
о двойной инжекции при захвате заполненными центрами рекомбинации.
I и II — области, в которых справедливо приближение нейтральности, III — переходная
область; IV — область безловушечного ТООЗ.
на фиг. 79. Области I и II остаются такими же, как и раньше,
а именно областями, в которых сохраняется нейтральность в каж-
дой точке [условие (14.2)]. Однако теперь область II заканчивается
внутри изолятора в плоскости ж2, где нельзя уже пренебрегать
объемном зарядом, так как он становится сравнимым с членами,
входящими в уравнение Пуассона, которое записывается теперь
в виде
е / \
е \dx J2
PR, 2 ~ И2,
где п2 обозначает п (ж2) и т. д. Области III и IV — это области,
в которых нельзя пренебрегать объемным зарядом. Для этих двух
областей условие (14.2) следует заменить уравнением (14.29)
или эквивален!ным ему уравнением (14.30), поскольку концен-
трацией дырок р здесь можно пренебречь.
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 321
Область IV, примыкающая к катоду, является областью, в ко-
торой можно пренебречь проникновением дырок: р С Рн С п-
и, следовательно, в этой области преобладает отрицательный
объемный заряд. Поскольку центры рекомбинации в изоляторе
заполнены с самого начала, этот отрицательный заряд является
свободным. Следовательно, ток в области IV является электрон-
ным безловушечный ТООЗ, инжектированным из катода. Левая
граница области IV находится в такой плоскости х3, где уже
нельзя пренебрегать захваченными дырками, т. е., согласно урав-
нению (14.30), где выполняется условие
' I е / сГ£ \ I
| — ^J3|.
Область III является «буферной» и необходима для постепенного
перехода от области II, где выполняется условие нейтральности, к
области IV, где преобладает отрицательный объемный заряд. Посколь-
ку концентрации pR и п сравнимы на обеих границах области III,
как видно из предшествующего обсуждения, они должны быть
сравнимы во всей области III, и их можно заменять друг на друга
во всех выражениях, кроме тех, в которые входит разность кон-
центраций. В этом отношении область III похожа на область II.
Эти две области отличаются только тем, что для описания обла-
сти III необходимо использовать уравнение (14.30), а для описа-
ния области II — условие (14.2). Объемный заряд необходимо
учитывать в области III для изменения хода напряженности
электрического поля на обратный, поскольку напряженность
электрического поля увеличивается в области II согласно (14.19)
и уменьшается в области IV согласно (14.36). Другими словами,
напряженность поля § достигает максимума и d^/dx = 0 где-то
внутри области III.
Области III и IV характеризуются следующими соотношениями;
Область III (ж2 х ж3): п « рп <^NR, nR « N R.
Дифференциальное уравнение для pR в этой области получает-
ся непосредственно из уравнения (14.17) простой заменой п
па pR.
dpR eNR(vap)
=-----F—— dx.
Pr aJ
(14.32)
IЭта процедура справедлива, так как члены, входящие в уравне-
ния (14.17) или (14.32), не содержат разности п — рн.]
Интегрирование уравнения (14.32) дает
1 1 eNR(vUp)
---7~Г--------=-------?---И — х2) •
PR (*) PR, 2 aJ '
(14.33)
Пространственная зависимость напряженности электрического
ноля в области III дается решением дифференциального уравнения
1-0699
322 Часть II. Токи, двойной инжекции
(14.30), которое здесь записывается в виде
в / \ । I 1 _л
е \ dx ) eiin % PR ’
где pR определяется уравнением (14.33). Мы не будем решать это
дифференциальное уравнение, так как нас интересует главным
образом разность потенциалов на границах области III:
«3
v2,3 = j gdx.
Х2
Для этой цели можно использовать простую интерполяционную
схему вычисления g (ж), например квадратичную.
Область IV (ж3 х L): pR<^ п, nR «г Nн.
Прохождение тока через эту область характеризуется следую-
щими уравнениями:
J = ep,nng, (14.34)
п =—(14.35)
в ах ' '
Последнее уравнение аналогично уравнению (14.30), но здесь мы
пренебрегаем величиной pR.
Эти уравнения описывают, конечно, безловушечный ток моно-
полярной инжекции электронов. Инжекция происходит из катода
при х = L. Решение этих уравнений, приведенное в гл. 4, § 1,
дает
g(^)=(-^-V/2(L-^)1/2, «(^)=(y^-V/2----(14.36)
Для дальнейшего обсуждения задачи удобно ввести безраз-
мерные переменные
х = ж**ш, § = §**u, V = V** v,
г** *____2а J f 14 371
^е^н^р)2’ - >
4a2uD/2
у** =____ р _ %**%**Л
е2Ун <уПр)3
Отдельные области теперь характеризуются следующим обра-
зом:
Область I (0 ш iri).
Уравнение (14.9), характеризующее эту область, теперь при-
нимает вид
= И = = В = (14.38)
и-^А 2еацр ’ <УСГр> ©** 4
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 323
где S и Т определяются уравнением (14.9). Система уравнений
(14.38) имеет решение
’ u-Aln^-^~ = Bw, (14.39)
удовлетворяющее граничному условию (14.6), а именно и = О
при w = 0.
Правая граница области I находится в плоскости «ч, соответ-
ствующей плоскости Ж1, которая определяется (14.12). Исполь-
зуя уравнение (14.38) и соотношения (14.12) и (14.13), получаем
wr = -у [а — In (1-|- a)], Ui = u(wi) = aA. (14.40)
Отсюда же определяем безразмерное падение напряжения va,i
в области I
Va, 1 = v (№i) = а2 — а 4- In (а 4- 1) J . (14.41)
Область II (wi и> ш2)-
Уравнение (14.17), характеризующее эту область, принимает
вид
£=1 (П.«)
с решением
и — щ = iv — ivi, (14.43)
где W} и Wi определяются выражениями (14.40).
Из предыдущего обсуждения известно, что правая граница
области II выбрана так, что там выполняется условие
е [ сГ& \
T\iri2^PR‘2^nR‘2-
Из соотношений (14.37) следует, что такому выбору соответствуют
следующие безразмерные величины:
»2= = №2 = 1-аЛ + 4[а-1п(1 + а)], (14.44)
где использованы также соотношения (14.40) и (14.43). (Если бы
мы использовали критерий (е/е) (й§/йж)2 = рн,2/2 для опреде-
ления правой границы области II, то получили бы и2 = 1/4.
Конечный результат, которым является уравнение вольтамперной
характеристики, при таком относительно малом изменении разме-
ров двух смежных областей изменился бы незначительно. Дей-
ствительно, метод региональных приближений оказывается
наиболее точным в тех случаях, когда вольтамперная характери-
стика мало чувствительна к выбору критериев, определяющих
(раницы отдельных областей.)
21*
324 Часть II. Токи двойной инжекции
Падение напряжения в области II определяется выражением
W2 U2
У1.2= j udw = j udu = ^ (u“ — u,) = y a2^2) » (14.45)
Wj Uj
Здесь использованы соотношения (14.40), (14.42) и /14.44).
Область III (wz w w3).
Нам следует получить выражение (14.33) для плоскости х =
= х3. В качестве критерия для определения х3 возьмем соотноше-
ний
Рн. з — Pr (хз) —
п (ж3) е / d% \
2 2е \ dx /з
{выше мы уже использовали при определении х2 соотношение
Pr,2 — Pr (ж2) = (е/е) (dfildx)}. Тогда выражение (14.33) в плос-
кости х = х3, записанное в безразмерных переменных (14.37),
принимает вид
—i/ ----------/j L , ’= 2 (w3 — wz), (14.46)
— г/2 (du/dw)3 (du/dw)z \ л in \ >
ИЛИ
4 (wc — w3y^ — 1 + 2 (w3 — wz).
Здесь мы использовали также уравнения (14.42) и (14.53).
Как уже было отмечено выше, мы вычислим приближенное
значение и (g) в области III по интерполяционной схеме. Имеется
целый ряд таких схем. Здесь мы поступим следующим образом.
Пусть и = U2 (w) — уравнение касательной к кривой и = и (w)
в точке w = wz области II, а и = U3 (id) — уравнение касательной
к кривой и = и (w) в точке w = w3 области IV. Тогда получаем
Uz(w) = u2-y(w — wz) =u2 + (w-wz),
л (14.47)
U3(w) = u3-\-(w— ®з) (-7—= и3-------—Ws 77-,
3V ’ k 3>\dw}3 3 2 (»c-»3)/2
где использованы уравнения (14.42) и (14.53).
Выберем далее две линейные весовые функции a (w) и р (w):
а(№) = ^~Е^’ а(»3) = 0 и а(а>2) = 1,
= Р(^з)=1 и ₽(«>2) = 0,
Где а 4- р — 1.
Таким образом, наша интерполяционная формула имеет вид
и (w) = U2 (w) a (w) + U3 (w) р (ы). (14.49)
(14.48)
Гл. 14. Двойная, инжекция с захватом 325
После подстановки (14.47) и (14.48) она принимает вид
и (w>) = (u2 + w — w2) W3"~W -j- Ги3-Ц?~Ц?317 1 . (14.50)
V V 27 К--3 —И’г L 2(u>c —“>з) /2-J Wa~Wi
Заметим, что и(ш2) = u2 и u(w3) = u3;, это обеспечивает непре-
рывность напряженности электрического поля % в плоскостях
раздела х — х2 и х = х3.
Падение напряжения к2,3 в области III определяется выраже-
нием
W3
^2.3= j udw = -^(u2 + u3)(wa — W2) 4-
+ 4 [1 + 4(-c-^3)^J(^3-^2)2. (14.51)
Область IV (w3 w шс).
Объединяя уравнения (14.34) и (14.35), получаем следующее
уравнение в безразмерных переменных:
du2 dw = т-1. (14.52)
Это уравнение имеет решение
и = (шс — ш)1/2, (14.53)
удовлетворяющее граничному условию
ис = u(wc) = 0, т. е. g (L) = 0.
Падение напряжения в области IV равно
Уз.с= f udw — 4(«V— w3)8/a. (14.54)
J
W3
Теперь мы можем выписать все полученные результаты. Вольт-
амперная характеристика определяется зависимостью 1/шс от
поскольку
1 _ 2ацР Т ______v ! Л Л 55\
U>c~ eN^vOj^L w*~ NR(vop)L3 • 7
Используя соотношения wc = w2 4~ {w3 — w2) 4- (wc — юз)>
а также (14.40) и (14.44), получаем
7^ -1-аА + (А/В) [a-In (14-a)]4-(у 4-1)2 ’ У = (Wc”
(14,56)
326 Часть 11. Токи двойной инжекции
Из (14.54) получаем и3,с = 2у3/3, а из (14.46), (14.51) и (14.53)
имеем
5,1 1,1
^3=TJ/2+TJ/-T + W
Подставляя эти результаты в формулу для напряжения
VC = Va. 1 + Vi, 2 + V2’ з + Уз-
и используя, кроме того, (14.45) и (14.41), получаем
Va — вМ2) + (42/В) [1/2а2 - а + In (а +1)] + i/3yS + +
+ 1/4У —1/4 + I1/iSy)_____ (14 57)
Ус ___________________________________________
u>£ { — 1 —а4 + (Л/В) [а —1п(1+а)] + (^ + 1)}2
Соотношения (14.56) и (14.57) дают параметрическое пред-
ставление вольтамперной характеристики через
у и константы материала а, А и В.
Критические ток 7МИН и напряжение Умин на
характеристике, рассчитанные исходя из условия
выражаются через безразмерные переменные следующим образом:
(_L\ (_М =-4т (14.58)
\ и>с ) мин аА • \Wc ! мин ag (а)
Уравнение вольтамперной характеристики, полученное из ус-
ловия нейтральности (14.21), может быть записано в виде
V ( J \ 2 ( / х / [л J \ , ag
УмиН
один параметр
вольтамперной
нейтральности,
мин
мин
Ашн / 25
—V
•^мин /
(14.59)
где
^е/^е
МИН (Гс/й’Юмин
/ _ l/wc
At ин (1/^с)мин
(14.60)
V
(использовано соотношение (14.23)].
Пороговое напряжение для вольтамперной характеристики,
определенной исходя из условия нейтральности, имеет вид
(» =4’ (14-61)
' wc / пер
где использованы уравнения (14.21) и (14.55),
Безловушечный квадратичный закон для электронов J —
= (9/8) ер,п (У2/!.3) в безразмерных переменных имеет вид
К=Ш)2
На фиг. 80 сравниваются вольтамперные характеристики,
полученные с учетом пространственного заряда [уравнения (14.56)
и (14.57)] и исходя из условия нейтральности [уравнения (14.59)
Гл. 14. Двойная, инжекция с захватом 327
и (14.60)]. Сравнение проводится для двух случаев. Сплошная
прямая линия с наклоном, равным 2, изображает безловушечный
квадратичный закон для электронного ТООЗ (14.62). Две сплош-
ные кривые являются вольтамперными характеристиками, вычис-
ленными на основе условия нейтральности, а две штриховые кри-
вые — вольтамперными характеристиками, полученными с учетом
Ф и г. 80. Типичные вольтамперные характеристики при двойной инжекции
в изолятор с одной группой целиком заполненных центров рекомбинации
Вольтамперные характеристики в безразмерных переменных, которые связаны с напря-
жением и током соотношениями J — l/wc, V — Ug/w2, Приведены графики для двух слу-
чаев. 1 — ап/ар — Ю-3, 2 —ап/<тр = 3-10~‘. Сплошные кривые — вольтамперные харак-
1еристики, полученные в предположении нейтральности, штриховые кривые — вольт-
амперные характеристики, полученные при учете пространственного заряда Сплошная
прямая — электронный безловушечный ТООЗ
объемного заряда. Выбраны следующие значения параметров:
<7е0 = 12, = [Лу = 101 см2/(В-с),
Д7д=Ю15 см-3, (муп) = 9-10~10 см3/с
и
(vdp) =я 3 • 10-8 см3/с.
Такие значения справедливы для кремния при температуре жидко-
го азота. В этом случае безразмерные параметры равны: а = 1,
А = 10~3 и В = 3-10~4. Для верхней пары кривых следующие
328 Часть II. Токи двойной инжекции
значения параметров материала отличаются от приведенных:
(иоп) = 10~9 см3/с, (иЧр} — 10-в см3/с, А = 3-10-4 и В = 10-3.
Рассмотрим некоторые интересные особенности кривых.
На нижней штриховой кривой в точке а область электронного
объемного заряда IV занимает 83% кристалла, и на ней падает
81% приложенного напряжения. Переходная область III зани-
мает остальную часть кристалла, и на ней падает остаток напряже-
ния. Размерами области I и II можно пренебречь. При переходе
к точке 0 нейтральные области I и II начинают оказывать влияние
на вольтамперную характеристику. Они теперь занимают 32%
полного расстояния между анодом и катодом £, хотя на этих
областях падает только 2% напряжения. Область III занимает
при этом 43% кристалла, и на ней падает 72% напряжения, а об-
ласть IV занимает 25%, и на ней падает 26% напряжения. В точке
у области I и II занимают 55% расстояния от катода до анода,
и на них падает 5% напряжения, причем область III занимает
34%, и на ней падает 80% напряжения, а область IV занимает
11 %, и на ней падает 5% напряжения. При дальнейшем движении
вдоль кривой в сторону точки 6 область IV быстро исчезает. В точке
6 две нейтральные области I и II занимают 99% кристалла, и на
них падает 98% напряжения.
2. ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫЕ ЦЕНТРЫ РЕКОМБИНАЦИИ
Теперь мы рассмотрим задачу, которая схематически представ-
лена на фиг. 81, т. е. вольтамперные характеристики материала,
в котором центры рекомбинации создают единственный уро-
вень рекомбинации, расположенный вблизи уровня Ферми и, сле-
довательно, в тепловом равновесии лишь частично заполненный
——————— £с
--------------------------Го
*- Ф и г. 81. Схема энергети-
ческих зон в тепловом рав-
новесии, рассматриваемая в
задаче о двойной инжекции
с захватом частично запол-
________________________ w ненными центрами рекомби-
~ &V нации.
электронами. Мы будем предполагать опять, что собственными
свободными носителями в изоляторе можно пренебречь и что
выполняется условие сгр сгп. Фактически задача, которую мы
сейчас собираемся решить, получается из предыдущей задачи,
схематически представленной на фиг. 78, простым приближением
уровня рекомбинации к уровню Ферми (безразлично, с какой
стороны от него).
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 329
Вольтамперная 'характеристика для такой задачи о двойной
инжекции имеет некоторые общие черты с характеристикой для
предыдущей задачи. В этом случае также, поскольку ар стп,
время жизни дырок увеличивается с увеличением уровня инжек-
ции, что приводит к уменьшению падения напряжения в изолято-
ре, т. е. обусловливает возникновение отрицательного сопротив-
ления, контролируемого током. Так же как в предыдущем случае,
после поворота вольтамперной характеристики при низком
напряжении изолятор ведет себя как полупроводник n-типа с рав-
новесной концентрацией электронов nR, о и выполняются условия
существования инжектированной плазмы. Резкое различие с преды-
дущей задачей возникает при низких уровнях инжекции. Посколь-
ку с самого начала имеется значительное количество как пустых,
так и заполненных центров, существует так называемый «реком-
бинационный барьер» для прохождения как электронов, так
и дырок. Поэтому существует пороговое напряжение для прохож-
дения тока. Это пороговое напряжение, которое мы рассчитаем
ниже, определяется объемным зарядом на центрах рекомбинации.
Следовательно, приближение, исходящее из нейтральности в каж-
дой точке изолятора, является плохим исходным приближением
для решения этой задачи.
Задача характеризуется теми же уравнениями, что и в преды-
дущем случае, т. е. уравнениями (14.1), (14.3) — (14.5), но урав-
нение Пуассона (14.21) теперь записывается в виде
~_^’ = Р + (Рв—Рв.°)“ (14.63)
поскольку принимается во внимание начальная концентрация
пустых рекомбинационных центров ря, 0. Граничное условие
(14.6) теперь заменяется граничными условиями
g = О при х = 0 и при х = L, (14.64)
т. е. теми же граничными условиями, которые использовались
н предыдущей задаче, когда учитывался пространственный заряд,
(приближение с четырьмя областями).
Эта система уравнений решается ниже методом региональных
приближений. Сначала мы рассмотрим ее в области пороговых
напряжений, т. е. в пределе исчезающе малого тока.
/. ПОРОГОВОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
При низких уровнях инжекции главный вклад в полный ток
вносят электроны, так как инжектированные дырки сразу же
захватываются зайолненными центрами (сгр стп). Следовательно,
вместо уравнения (14.1) мы можем написать
J = епцп$ = const. (14.65)
330 Часть II. Токи двойной инжекции
Далее, поскольку большая часть инжектированных носителей
захватывается центрами рекомбинации, мы можем пренебречь
величинами р и п в уравнении (14.63), которое, следовательно,
принимает вид
в d%
T~dx^PR~~PR,°'
(14.66)
Умножая обе части рекомбинационно-кинетического уравнения
(14.4), т. е. уравнения p(vap}nR = n(v<Jn)pR, на и под-
ставляя в него (14.65), получаем
(14.67)
р <yffp) «в v 7
Поскольку
d [ Pr \ _ Nr &Pr 8./Уд
dx \ nR ) dx en^ dx% ’
уравнение (14.67) дает
(14.68)
dx e(y(Jp)n2R dx* 4 ’
Из уравнения (14.3) следует
dtA p
—— == — er = — en (ixrn) pR,
или, согласно (14.65),
djrP
dx
J {van)PR
(14.69)
Уравнения (14.68) и (14.69) дают дифференциальное^уравнение
да ~ __ е nR.PR ~ _ е <Vgp> nR, qPr, о , I /
® dx* ~ еррУУд ~ 4ipNr ' ' ‘ '
Появление тока J как в уравнении (14.68), так и в уравнении
(14.69), приводит к его отсутствию в уравнении (14.70), и это
выражает математическим языком существование порогового
напряжения, не зависящего от тока. Замена в уравнении (14.70)
nR и pR на nR, о и pR, 0 соответственно всегда допустима при доста-
точно низком уровне инжекции.
Дифференциальное уравнение (14.70) будет решено ниже.
Здесь мы только заметим, что простой анализ размерностей, т. е.
замена g d^ldx^ на — Уцор /L4, дает хорошее приближение для
порогового напряжения
L -J
Точный результат (14.106а), получаемый при решении диффе-
ренциального уравнения (14.70) с граничными условиями (14.64),
Гл 14 Двойная инжекция с захватом 331
отличается от (14.71) только численным коэффициентом (1/4л)х/2.
Заметим, что если используется параболическое приближение
для распределения напряженности электрического поля g,
а именно принимается g = 4gMaKC х (L — x)/LP, то (F'gldx2 —
= — 8gMaKC/L2 и g = 2/3gMaKc,1 так что gd2g/cfa2 =
= — 12 Vnop/Ь4- Используя этот результат в уравнении (14.70),
получаем, что в правой части (14.71) появляется множитель 1/]/" 12,
который очень близок к точному множителю (1/4л)х/2. Таким обра-
зом, параболическое приближение для распределения напря-
женности электрического поля по образцу очень близко к точному
распределению.
У. ПРОХОЖДЕНИЕ КОНЕЧНОГО ТОКА
Система уравнений (14.1), (14.3) — (14.5) и (14.63) не может
быть решена. Успеха опять можно достигнуть с помощью метода
---------1--------------j-------------------
7 । II । III
Нейтральность j
л-0 xt лг 1>
п-п
о-пх,0
Ф и(г. 82 Схема применения метода региональных приближений к задаче
о двойной инжекции при захвате частично заполненными центрами реком-
бинации.
I и II — обла ти, в которых справедливо приближение нейтральности; III — область,
в которой преобладающую роль играет объемный заряд.
региональных приближений. Для анализа необходимо весь кри-
сталл разбить на три области, как это показано на фиг. 82. Обла-
сти I и II очень похожи на такие же области, рассмотренные при
решении предыдущей задачи (фиг. 79). В обеих этих областях
сохраняется нейтральность в каждой точке. Область I, которая
расположена между анодом и плоскостью х — Xi, характеризуется
тем, что п (х) Д> «н>0, и тем, что центры рекомбинации в ней пусты,
а электроны перешли в зону проводимости. В области II, харак-
теризуемой тем, что п (х) < «н.о> заполнение центров рекомби-
нации электронами не сильно отличается от заполнения при теп-
ловом равновесии. Граница этой области находится в плоскости
х2, где уже нельзя пренебрегать объемным зарядом. Область III,
расположенная между плоскостью и катодом, отличается
от двух предыдущих тем, что в ней доминирует объемный заряд,
332 Часть II. Токи двойной инжекции
захваченный центрами рекомбинации; эта область уже описана
в предыдущем пункте, но в данном случае она не занимает весь
изолятдр.
Рассмотрим теперь отдельные области более подробно:
Область I (0 х п > пд>0, pR да Nд.
Вместо уравнения (14,63) мы применяем условие нейтральности,
которое для Рн = Nr записывается в виде
п — р = Nr — рн,о = пв,0. (14.72)
Подставляя (14,72) в уравнение (14.5), получаем
, — — {v4n}NR. (14.73)
ах р.р тд
Подставляя (14.72) в уравнение, (14.1), имеем
J = ep,ng (а 4- 1) п — eppnH>og. (14.74) .
Уравнения (14.72) и (14.73) тождественны уравнениям (14.7)
и (14.8) соответственно, за исключением замены Nr на пд>0.
Таким образом, мы имеем уравнения (14.75) — (14.81), соответ-
ствующие уравнениям (14.9) — (14.15):
-l--d$=--Tdx, So = — -----, 7’ = —!—. (14.75)
® + 5о фр»Я,0 ’
Решение уравнения (14.75) имеет вид
g-50ln^±^- = 7’a; (14.76)
и удовлетворяет граничному условию g = О при х = 0.
Разность потенциалов между плоскостями 0 и х
V (ж) - | g dx =-- ± _50g + In . (14.77)
На правой границе области I при х = х^
п = п(х1) = пв,0, g1 = g(a:1) = —----= aS0, (14.78)
= — 1п (! + “)], = [4 аа — а + 1п (! + “)]•
(14.79)
На низковольтном краю участка вольтамперной характеристики
с отрицательным сопротивлением
/мин = h (a) , 7МИЯ = * -Д-, (14.80)
где h (а) и g (а) определяются (14.14). При J /мия
Ж1==£ / , УаИ = Гмиа( ' V (14.81)
J МИН \ J МИН f
Гл. 14. Двойная, инжекция с захватом 333
Область II (ач С х жг): п < гея.о, Р С ге’ Pr ~ Рв.о ~
пп гея.о-
Здесь нет достаточно близкой аналогии с областью II преды-
дущей задачи, как это было для области I. Условие нейтральности
для этого случая получаем из (14.63), опуская р:
п — pR — Pr,o — гая.о — пп (14.82)
Вместо уравнения (14.74) теперь мы имеем просто
J = еИпп§. (14.83)
Испойьзуя (14.83), получаем, что здесь имеет место также соот-
ношение (14.67). Теперь, используя равенство
d I Pr \ __ NR dpR __ Nr dn
dx \ nR f nfa dx n^ dx ’
которое является следствием (14.82), получаем
dfp _ al <fOn) Nr dn (14 841
dx (vOp) n2R dx ' \ • >
Поскольку из уравнения (14.3) следует dJp!dx — —er =
— —en(wjn) рк, используя (14.82), получаем
dn e rA> e Пп) гея л . . „
---------- = .J % л dx « ^-PLH-0 dx. (14.85)
ге(ге + Рв, o) aJNR aJNR v ’
Заметим, что в уравнении (14.85) мы заменили nR на йк,0-
Это полностью соответствует нашей замене nR на N R в области II
предыдущей задачи и справедливо при том же условии п < пк,0
во всей области II, а при п <Z nR, 0/2 — на большей части этой
области (везде, за исключением окрестности плоскости a:i). (Задачу
можно решить и точнее с использовангщй величины nR в уравнении
(14.85). т. е. записывая nR = пк,0 — п из уравнения (14.82), но
при этом сильно возрастает количество алгебраических выкладок,
которые не приводят к заметному повышению точности.) С другой
стороны, мы не заменяем сумму п + pR, о = pR на величину
pR, о в левой части уравнения (14.85), так как не можем сделать
никаких предположений об относительной величине п и pR, 0
в области II. Отметим также, что если pR, 0 = 0 и nR, 0 = NR,
то уравнение (14.85) превращается в уравнение (14.17), как это
и должно быть.
Из уравнения (14.83) следует
dn —
Т с№
J ’
Используя это соотношение, мы можем переписать уравнение
(14.85) в виде
(1486)
©Ч--------
О
334 Часть II. Токи двойной инжекции
Правая граница х2 области II находится в том месте, где член,
описывающий объемный заряд в уравнении Пуассона, равен
остальным членам этого уравнения, т. е. там, где
= Т <14'87>
Для дальнейшего рассмотрения задачи удобно перейти к без-
размерным переменным
x = x*w, g = g+w, V = V*v,
х* = -гп =----------а-^-------ту, (14.88)
е <r(JP> nR, qPr, о (е (vOp) n?R' QpRi QEp.pNR)
у* ф
Х ’
Отдельные области теперь характеризуются следующим образом:
Область I (0 ш гщ).
Уравнение (14.75), характеризующее эту область, теперь имеет
вид
U du „ , _ / е {vOp) PR, о \ Т/2
—г-тг = D aw, С = -——)
И + С ' I /14 89>
/ a2sN r \ 1/2 \ ' /
D = <1ЩП) Nr ( е <vGp) oPr. оИр ) .
Решение этого уравнения записывается в виде
u-Cln^~- = Dw (14.90)
С
и удовлетворяет граничному условию (14.6), т. е. и = 0 при
w = 0.
Правая граница области I при w = гщ, соответствующая плос-
кости х = xt, определяется формулой (14.79), которая теперь имеет
вид
Ш1=-^-[а — In (1-|-а)], щ = аС. (14.91)
Здесь также учтена формула (14.78).
Безразмерная разность потенциалов в области I va,i опреде-
ляется согласно формуле (14.79):
^.1 = -^[4-а2~<*+In (! + «)] • (14.92)
При J Ущин и V Рмин, где Умин и Рмин определяются
по формулам (14.80), в изоляторе существует только область I
при всех wc <Z wi, где wc ~ w (L). Вместо (14.91) и (14.92) теперь
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 335
можно написать
<14-93>
*-£[4»Ч^)г-а^4111 (»•£+*)]’ <14'94>
где ui определяется по формуле (14.91). При высоких уровнях
инжекции
ис < wc « и vc « .
Соответствующее уравнение вольтамперной характеристики при
ис wi имеет вид
I va \2 8 1 Т 9 72 . пс.
=“-9СДУ7’ или J = ~8 еМ-пМ-Рив. отд , (14.95)
т. е. представляет собой уравнение для плазмы, инжектированной
в полупроводник при п0 — ро = nR, о, т. е. при переходе электро-
нов с заполненных центров рекомбинации в зону проводимости.
Область II (ал w ш2).
Уравнение (14.86), характеризующее эту область, принимает
вид
Ли / 8 <VOT.'i гА п 4 Чъ
-^--=dw, Е — ( — • (14.96)
и-\-Е \ еДрРд.оЛ^r I ' '
Это уравнение имеет решение
= <14-97*
Правая граница области II определяется соотношением (14.87),
которое, используя уравнение (14.96), можно переписать в виде
w2 (w2 + Е) = 1, где и2 — и (а?2). (14.98)
Подставляя (14.98) в формулу (14.97), получаем
т2 — wt = In = — In[w2(w14-£;)1. (14.99)
И1"ГЛ
Падение напряжения в области II получаем, используя урав-
нение (14.96):
171,2= f udw= Г—^-=-du — u2—щ — Е In Ui . (14.100)
J J u-j-E 2 1 Ui + E v '
wt Ut
Область III (w2 w шс).
Эта область подробно рассматривается в п. 1 настоящего пара-
графа. Там принимается, что эта область занимает весь изолятор
(это приближение применимо при очень низких уровнях инжек-
ции), а здесь она является одной из трех областей, которые мы
рассматриваем, а именно обл.астью, примыкающей к катоду.
336 Часть II. Токи двойной инжекции
Уравнение (14.70), характеризующее эту область, принимает
вид
<14.101)
Мы уже встречались с этим уравнением выше [см. (11.31)],
где оно описывает задачу Парментера — Руппеля в пределе инжек-
тированной плазмы. Применяя решение в виде (11.32) к нашей
задаче, получаем решение дифференциального уравнения (14.101)
в виде
8
и=ит ехр (—s2), w—ы2=У 2 ds exp (—s2), (14.102)
s2
где um — максимальное значение w, которого оно достигает при
з = 0. Различия между выражениями (14.102) и (11.32) обуслов-
лены тем, что (14.101) является уравнением относительно и,
а (11.31) — уравнением относительно и2.
Чтобы обеспечить непрерывность и в плоскости х = х2 (w =
= w2), напишем, согласно формуле (14.102),
и2 = ит exp (—s£),
где и2 определяется выражением (14.98). Далее, поскольку и
монотонно возрастаете увеличением шв областях I и II, из (14.90)
и (14.97) следует, что и должно достигать максимума внутри обла-
сти III, т. е. s должно обращаться в нуль. Таким образом, s2
должно быть отрицательным и может быть записано в виде — | s2 I-
Кроме того, граничное условие S = 0 при х = L, т. е. и = 0
при w = wc. соответствует sc = s (wc) = оо в (14.102). Исполь-
зуя это, получаем для wz = w (Л)
wc—w2 = 2 w2 (exp s2) dsexp(— s2). (14.103)
“I s2 I
Падение напряжения в области III равно
Wc °о
5, С 7
и dw — j и ds =
W2 -1 S2 |
= w2exp(2s^) j dsexp( — s2). (14.104)
- У 2 | s2|
Здесь мы использовали (14.102) и тождество
У 2 j ds exp (— 2s2) = j ds exp (— s2).
.“I «2 I -/2|«2l
Гл. 14. Двойная инжекция с вахватом 337
Теперь подытожим полученные результаты. Вольтамперная
характеристика определяется зависимостью 1/и>с от vjw2, поскольку
— = aN2R =—1—-( (14.105)
«с e<~vap>nR.oPR.oL nRt0L* \ epR, о {vop) J ' '
Заметим, что если область III занимает весь изолятор (что прак-
тически имеет место при малых токах), то w2 = 0, | s2 | = оо
и ^2.с = ис в уравнениях (14.103) и (14.104). Из-этих же уравнений
получаем соответствующее безразмерное пороговое напряжение
(>U=[2 J
— оо ' '
Используя это выражение в (14.105), получаем пороговое напря-
жение в обычной записи
le<yOp)LWR oPr.oX1^ ,
) • (14.106a)
Эшли [229] приводит более общий результат для порогового
напряжения
V -Г L2 F - Г(2а + 1)Г(2Р + 1)/Г (2а + 20 + 1) ...
поР Р 2дрТр, / ’ Р [Г(а + 1)Г(р + 1)/Г(а + ₽ + 1)]2 ’
a =_ R= ТР’1 nRi0 ' , е , _ е
Zn, £2 t’p< n Nr ’ n< enRt oPn ’ p’ Й PR, flPp ’
где Г (ж) — гамма-функция. Для а 1 0 1 использование
аппроксимации Стирлинга дает
Ш1 +1)Г- <14Л06в>
При (i2Op)> (z?on) имеем ган,0Тр,г/ЛГн, а при гад,0 <+
+ NrI2 и Цр Ц-n получаем < fp,B , так что а 0. Если,
кроме того, Pr.q достаточно велико, так что 0 1, то F ж (0/л)1/2.
Подставив это значение в выражение (14.1066), получим выраже-
ние (14.106а).
Возвращаясь к задаче о прохождении конечного тока, запи-
шем wa в виде ivc = (шс — ш2) + (ш2 — ivi) + wi. Тогда, исполь-
зуя (14.91), (14.98) и (14.103), мы получим
ОО
wa = ]/2w2 (ехр Sj) j ds exp (— s2) —
— [ 82 I
— In [u2 (aC + £)] +"^- [a —In (1 + «)], (14.107)
22-0699
338 Часть II. Токи двойной инжекции
где, согласно (14.98),
w2 = 4[-1 + (1+4^)1/2J' (14.108)
Поскольку кс = иаЛ + к112 + к2,с, из уравнений (14.92),
(14.100) и (14.104) следует
ус = -^-[-у a2 — a + ln(l + a)] + (u2 — aC) —
— In + ul exp (2s*) Г dsexp( —s2). (14.109)
UU -j- ZL J
- V2 ]s2J
Уравнения (14.107) — (14.109) дают параметрическое представле-
ние зависимости i/wc от vc/w%, причем | s2 | является параметром.
Фиг. 83. Типичная вольтамперная характеристика при двойной инжекции
в изолятор с моноэнергетическими частично заполненными центрами реком-
' бинации.
Штриховая линия — решение в предположении нейтральности.
Для получения более подробных результатов необходимо прове-
сти вычисления. Вольтамперная характеристика для одного выбо-
ра параметров представлена на фиг. 83. Использованы следующие
Гл 14. Двойная инжекция с захватом 339
значения параметров: е/е0 = 12, р.п = р.п = Ю4 см2/(В-с), nR, 0 =
-= рн,0 = 5-1014 см-3, (итп) = 10-9 см3/с и <ycrp) = 10-7 см®/с,
что соответствует а= 1, С = Е — 5,8-Ю-9 и D — 2,3-10-4.
Пороговое напряжение (рс/^с)пор равно 0,28; напряжение начала
участка отрицательного сопротивления на вольтамперной харак-
теристике (рс/ш?)мин составляет 2,1 -Ю-5, а ток начала этого участ-
ка (1/шс)мин равен 0,13. В точке а вольтамперной характеристики
область I занимает почти 2% изолятора, область II—1% и об-
ласть III—97%; по существу 100% приложенного напряжения
падает на области III. В точке 0 области I и II занимают 14 и 7%
длины образца соответственно, но на них падает еще очень малая
часть напряжения; область III занимает 79% расстояния между
катодом и анодом и на ней падает 100% напряжения. В точке у
области I, II и III занимают 48, 26 и 26% изолятора, и на них пада-
ет 4, 14 и 82% напряжения соответственно. В точке 6 области I, II
и III занимают 56, 29 и 15% изолятора, и на них падает 8, 33
и 59% напряжения. Штриховая кривая на фиг. 83 представляет
решение, соответствующее условию нейтральности (предполагает-
ся, что области I и II целиком заполняют изолятор); в этом при-
ближении получается бесконечное пороговое напряжение [228].
Поскольку в этой задаче существуют пустые центры рекомби-
нации, то существует и пороговое напряжение для прохождения
монополярного электронного ТООЗ, т. е. напряжение предельного
заполнения ловушек
v еРп, о^2 _____ ^2
УпЗЛ~ 2е -2Ир^>й’
где использованы обозначения (14.1066). При а 0^> 1 и nR, в>
>Nr/2
^пор « (трг) ^пзлС ^пзл-
В этом случае электронный ТООЗ не предшествует току двойной
инжекции. Если 7Пзл <. Кюр, то до появления двойной инжек-
ции будет наблюдаться вольтамперная характеристика электрон-
ного ТООЗ, соответствующая ПЗЛ. (Этот начальный участок
вольтамперной характеристики не следует ни из нашего анализа,
ни из анализа Эшли [229], поскольку мы пренебрегаем обратным
тепловым выбросом электронов с центров рекомбинации в зону
проводимости. Другими словами, при учете с самого начала пустых
центров и пренебрежении тепловым выбросом электронов инжек-
ция электронов подавляется до тех пор, пока не возникнет инжек-
ция дырок.) Поскольку электронный ток ПЗЛ полностью запол-
няет центры рекомбинации до начала двойной инжекции, следует
ожидать, что та часть вольтамперной характеристики, которая
описывает ток двойной инжекции, будет иметь вид, описанный в § 1
22*
340 Часть II. Токи двойной инжекции
данной главы. Там, где эта последняя вольтамперная характери-
стика соединяется с вольтамперной характеристикой электронного
ТООЗ при ПЗЛ, естественно должен наблюдаться некоторый
переходный участок, чтобы переход от ТООЗ к току двойной
инжекции был плавным.
§ 3. ПРИСУТСТВИЕ В ОБРАЗЦЕ РАВНОВЕСНЫХ СВОБОДНЫХ
НОСИТЕЛЕЙ
В рассмотренных до сих пор в этой главе задачах не учитыва-
лось присутствие в образце равновесных свободных носителей.
Теперь мы обратим внимание на эту проблему. Предположим, что
в задаче, рассмотренной в § 2 и схематически представленной
на фиг. 81, образец вначале имеет электропроводность р-типа
и концентрацию свободных дырок р0.
Уравнениями, определяющими эту задачу, являются уравнение
для тока (14.1), которое мы запишем здесь снова для удобства:
J = g + eji.ppg — const, (14.110)
уравнение Пуассрна
-—-{p-pd + kPR-PR.d-n, (14.111)
которое получено из уравнения (14.63) подстановкой р0 в предпо-
ложении п0 = 0, и уравнения сохранения числа частиц
Р^(^)=-Нр^-(^) = г-^ (14-112)
Г — ё = гп = Гр — gp,
1 11
— =<роп)Рд, — = <ш7р)гад, — — {ep)NR,
тде мы пренебрегли обратным тепловым выбросом электронов,
так как выше мы приняли п0 = 0. Перепишем уравнение (14.110)
в виде
11 = ецппё 1 -|- л --|- cpyPog, 8р = р — р0. (14.114)
Предположим теперь, что 8р/п = const независимо от уровня
инжекции, а следовательно, от координаты х. Это справедливо,
если в уравнениях (14 112) и (14.113)
п 6р
Гп « — ~, Гр ёр ~ ,
I I
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 341
где
= <van) pR, о, тп^г = (z?ctp) ган, о,
как мы всегда полагаем при не слишком высоких уровнях инжек-
ции. Тогда бр/га = тр,г/тп, г. При этом уравнение (14.114) при-
нимает вид
d j Л \ -1 d%
^-^=-^0(1+^)
Мы сделаем дальнейшее упрощение, соответствующее задаче об от-
рицательном сопротивлении; а именно примем абр/га<^1, т. е.
"Гр. i ^п. I- Окончательно получаем
— (1vS'’ bpR = pR — Pr> о, (14.115)
где в соответствии с вышеизложенным принято брн/рн, 0<^1.
[Это уравнение можно было бы записать немедленно, если поло-
жить р = р0 в уравнении сохранения числа дырок (14.112). Но
приведенный выше вывод является более полезным для установ-
ления пределов применимости уравнения (14.115).] Уравнение
(14.115) удобно переписать в виде
—-^- =----td£3 = __^i т =_*----------------(14.116)
е dx хПг1 ероРр (^п)Рв, О v '
С учетом наших упрощений уравнение (14.114) можно пере-
писать в виде
J та ep,nng + ецрр0 S = const. (14.117)
Уравнения (14.116) и (14.117) имеют в основном такой же вид, как
и уравнения (4.44) и (4.1), характеризующие ТООЗ в изоляторе
с мелкими ловушками; эквивалентом коэффициента 0 в данном
случае является отношение тп, i/tPtQ. (Такая замена становится
очевидной, если положить п -f- ар0 = п'. Отрицательный знак
в эквивалентном уравнении (14.116) обусловлен тем, что катод
мы поместили в плоскости х — L, так что электроны движутся
по кристаллу справа налево.) Теперь не представляет труда запи-
сать уравнение для получающихся участков вольтамперной
характеристики. При низком напряжении соблюдается закон Ома
т V
J ёРо[1р .
После достижения током значения, соответствующего напряжению
Vx L2/p.nTn, i, что эквивалентно tn, х « L2/y,nVx « хп, h зави-
симость тока от напряжения становится квадратичной
(14.119)
° ср, Я ь
(14.118)
342 Часть II. Токи двойной инжекции
Уравнение (14.119) является, конечно, аналогом уравнения (4.45).
Важным различием является то, что эквивалент коэффициента
О — величина тп, — может быть больше единицы, хотя
и не обязательно.
Квадратичный закон (14.119) впервые получил Эшли [229]
(см. также [230]). Заметим, что этот закон выведен только из усло-
вий рекомбинации; уравнение Пуассона не играет никакой роли
при его выводе. Появление в уравнении (14.119) диэлектрической
проницаемости е часто вводит в заблуждение. Эта величина,
конечно, сокращается с диэлектрической проницаемостью, кото-
рая входит в величину определяемую выражением (14.116).
Хотя уравнение Пуассона (14.111) не рассматривалось выше, оно
всегда справедливо, и из него можно получить некоторую инте-
ресную информацию. Подставляя (14.116) в уравнение (14.111)
и пренебрегая разностью р — р0, получаем, используя уравнение
(14.115),
6рд = от, а=1—(14.120)
Здесь могут быть два случая:
1. Случай tp,Q < тп,г. При этом 6pR я» п, т. е. инжектирован-
ные электроны приходят с центров рекомбинации почти так же,
как в области I в § 1 и 2 данной главы.
2. Случай При этом (е/е) dg/dx « 6рн, т. е.
инжектированный отрицательный заряд находится в основном
на центрах рекомбинации, что согласуется с тем, что tn,i/tp,a <1.
Нерешенной проблемой остается исследование перехода от
квадратичного закона (14.119) к участку с отрицательным
сопротивлением. Эшли и Милн [230] высказали предположение,
что этот переход адекватно описывается уравнением (14.119)
до точки пересечения с участком отрицательного сопротивления,
а затем уравнением вольтамперной характеристики, полученным
(например, с помощью процедуры, описанной в § 2) в пренебреже-
нии р0 и, следовательно, gp в определяющих уравнениях
(14.110) — (14.113). Хотя это, вероятно, справедливо при некото-
рых условиях, совсем не очевидно, что этот путь справедлив при
всех физических условиях, представляющих интерес. Только
детальное исследование задачи позволит выяснить это.
§ 4. ШНУРОВАНИЕ ТОКА
Как отметил Ридли [231], равномерное распределение плотно-
сти тока по поперечному сечению образца при объемном отрица-
тельном сопротивлений, контролируемом током, оказывается
Гл. 14. Двойная, инжекция с захватом 343
нестабильным. В этом случае должно происходить шнурование
тока, т. е. прохождение тока по отдельным каналам. Впервые шну-
рование, связанное с отрицательным сопротивлением, контроли-
руемым током, изучал Барнетт [232] (см. также [233]). Барнетт
проводил исследования, используя полуизолирующий кремний
p-типа при температуре жидкого азота. Удельное сопротивление
материала было порядка 104 Ом-см, что соответствовало концен-
трации р0 = 2-1010 см~®. Кремний был легирован индием с кон-
центрацией 6-101* см-3, который создавал акцепторный уровень
на расстоянии 0,16э В от потолка валентной зоны. Образец содер-
жал также мелкие доноры и акцепторы, причем ND — NА =
= 4-1013 см-3, где ND и NA — концентрации доноров и акцепто-
ров. Шнуры изучались с помощью фотографирования рекомби-
национного излучения инжектированных электронов и дырок
(длина волны 1,06 и 1,2 мкм).
Вольтамперная характеристика, полученная на диоде с рас-
стоянием от анода до катода L = 165 мкм и эквивалентным радиу-
сом поперечного сечения R = (А/л)1^ = 440 мкм, где А — пло-
щадь поперечного сечения образца (прямоугольного), показа-
на на фиг. 84. «Предпробойные» омический и квадратичный участки
хорошо описываются теорией [уравнения (14.118) и (14.119)].
Шнурование наблюдалось при токай 10 мА и больше; для фикси-
рования шнуров требовалась экспозиция порядка 30 мин и более,
так как в кремнии эффективность излучательной рекомбинации
очень мала. Заметим далее, что изучение шнуров производилось
исключительно на участке «послепробойного» положительного
сопротивления. Ограниченная чувствительность метода не позво-
лила изучать шнуры на вертикальном участке вольтамперной
характеристики, который следует непосредственно за «пробоем».
До тока 50 мА наблюдался один шнур.
Распределение плотности тока по поперечному сечению образ-
ца показано на фиг. 85 при трех различных значениях тока, про-
ходившего через образец. Приведены и соответствующие теорети-
ческие кривые. Кривая для тока 10 мА была совмещена с экспе-
риментальными данными в двух точках; две верхние кривые под-
гонки не требовали. При токах больше 50 мА образуется второй
шнур. Это видно на фиг. 86, где изображено распределение тока
по поперечному сечению образца при токах через образец 80
и 160 мА. Теоретические кривые, представленные на этой фигуре,
являются суперпозицией токов для каждого шнура. Различие
между теорией и экспериментом при более сильных токах обуслов-
лено в основном взаимодействием между отдельными шнурами
в области их перекрытия. В общем, когда наблюдается образование
шнуров, участок «послепробойного» положительного сопротивле-
ния на вольтамперной характеристике имеет вид I ~ Vх, где
1,5 а 1,9.
1000
Фиг. 85. Распределение плот-
ности тока в кремниевом диоде
при различной силе тока [233].
Теоретические кривые и экспери-
ментальные точки.
Фиг. 84. Вольтамперная характе-
ристика кремниевого диода с длиной
базы 1,65-10-2 см и радиусом
4,4-10~2 см [233].
Сплошные линии получены теоретически.
rf мм
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 345
Теоретическая оценка токового шнура, проведенная Барнет-
। ом, основывается в значительной степени на феноменологиче-
ских принципах. Исходным пунктом его рассмотрения является
Фиг. 86. Распределение плотности тока в кремниевом диоде при образо-
вании двух шнуров [233].
феноменологическое уравнение (10.8), характеризующее прохож-
дение тока в плоской структуре в случае плазмы, инжектирован-
ной в изолятор. Перепишем здесь это уравнение в виде
- 8етцпцрР2
в(Цп + Рр)£4
Далее Барнетт предположил, что рекомбинация по всему шнуру
определяется соотношением
1
т = ——.
Fn
Подставляя (14.122) в уравнение (14.121), получаем
Г 8ецпрр П1/2 у
n-icF(ixn+llp)d
(14.121}
(14.122)
(14.123)
346 Часть II. Токи двойной инжекции
Подстановка (14.123) в уравнение для тока J = еп (pn + рр) (V/L)
дает
Г ЗеецпРр (Цп + Цр) "]i/2 уг
/=L---------f-------J (14.124)
(Заметим, что соотношения п ~ VII? и J ~ WL? также характе-
ризуют плазму, инжектированную в полупроводник при условии
постоянства времени жизни мономолекулярной рекомбинации.
Это видно из уравнений (10.19) и (10.20) или (12.7).]
Затем Барнетт сделал смелое предположение о том, что урав-
нения, описывающие прохождение тока в плоской структуре
(14.123) и (14.124), справедливы в центре токового шнура, и заме-
нил п на п0 = п (0).
Распределение концентрации носителей по радиусу определяет-
ся диффузионным уравнением
Z)aV2n = ^- = ^n2, (14.125)
где V2 = d?ldr2 + (1/r) d/dr, a Da — коэффициент амбиполярной
диффузии, определяемый выражением (13.13). Приближенное
решение этого уравнения радиальной диффузии Барнетт записал
в виде
п(г)«-----------п-; (14.126)
1+(гео*76Ра)Ч-
это решение представляет собой точное решение одномерного диф-
фузионного уравнения, когда V2 = d2!dr2. Применимость такого
приближения убедительно доказана в приложении А работы Бар-
нетта и Милна [223] (см., в частности, фиг. 10 этой работы).
Комбинируя уравнения (14.126) и (14.123) с соотношением
— V
J (г) = еп (г) (рп 4- рр) -j- ,
получаем
1« - <ГРЙ. • (14.12?)
тде
Г 8в8рпЦр(Цп + Ир) I1/2 У2 Г 2spnppF у/2 , у ,i/2
L F J £3 а~ L в(р„ + рр) J \3Pa£2J •
Интегрирование уравнения (14.127) по поперечному сечению
образца дает для полного тока
+ (14.128)
Гл. 14. Двойная, инжекция с захватом, 347
Хотя уравнение (14.128), очевидно, не является точным степенным
законом, оно может быть аппроксимировано степенной зависимо-
стью в ограниченном интервале напряжений. Авторы установили,
что степенная зависимость имеет вид I ~ V1-6 для Rd > 1,2
и I ~ V1-9 для Rd < 0,8.
Вертикальный участок вольтамперной характеристики, непо-
средственно следующий за «пробоем», не был объяснен в зтой
работе, хотя была сделана довольно точная оценка минимального
значения тока /МИн на зтом участке, которая исходила из изме-
ренного значения напряжения Умин и оценки концентрации дырок
в точке наименьшего напряжения пробоя.
Очевидно, для более глубокого понимания процесса шнурова-
ния тока требуется гораздо более детальная теория. По-видимому,
для описания шнурования тока необходим подход, подобный опи-
санию двумерно распределенной плазмы, инжектированной в полу-
проводник (гл. 12, § 4). Основной целью теории должно быть
нахождение соответствующего приближения для разделения про-
дольного и поперечного потоков носителей. Можно предполагать,
что уравнение, характеризующее (средний) продольный поток,
будет похоже на такое же уравнение для одномерного случая
(§ 1 или 2), и решить его можно будет методом региональных
приближений. Уравнение, характеризующее поперечный поток,
по-видимому, будет чисто диффузионным. В зтом смысле теорети-
ческая оценка Барнетта является попыткой угадать результаты
такой теории.
Одновременно с созданием более последовательной теории
желательна постановка гораздо большего числа эксперименталь-
ных работ. Например, необходима экспериментальная проверка
предположения о бимолекулярном характере рекомбинации
в шнуре [уравнение (14.122)]. Вполне вероятно, что процесс шну-
рования является таким же сложным, как распространение доме-
нов в эффекте Ганна, связанное с отрицательным сопротивлением
объемного типа, контролируемым напряжением, которое наблю-
дается, например, в арсениде галлия (см. обзор Батчера [234]),
и для его объяснения потребуются значительные усилия.
Интересно, что шнурование наблюдалось не во всех образцах,
обладающих отрицательным сопротивлением. В частности, его
не было в диодах с длиной L, превышающей 220 мкм. В этих
«длинных» диодах «послепробойный» участок положительного
сопротивления почти в точности соответствовал зависимости
I ~ V2, предсказанной одномерной теорией в § 1 и 2. (Последнее
утверждение подтверждается зкспериментами Мейера и др. [219]
по изучению длинных р — л — n-структур из кремния (L > 2 мм)
при температуре — 40° С.) В тех случаях, когда шнурования
не происходит, оказывается вполне применимой одномерная тео-
рия, описанная в § 1 и 2.
348 Часть II. Токи двойной инжекции
§ 5. РАННИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
В последующем обсуждении мы не будем касаться изучения
двойной инжекции в образцах, изготовленных не из монокристал-
лов (например, из порошков), так как интерпретация таких
экспериментов связана с большими трудностями. Читателя, кото-
рый интересуется инжекцией в таких материалах, мы отсылаем
к достаточно полным библиографиям Айви [7] или Хениша [6].
Наиболее ранним экспериментом, известным авторам, который,
без сомнения, связан с двойной инжекцией и захватом, было
наблюдение Тайлером [235] вольтамперных характеристик в гер-
мании, легированном железом, при температуре 77 К. Применял-
ся высокоомный германий га-типа с вплавленными контактами —
индиевым для инжекции дырок и оловянным для инжекции элект-
ронов. Расстояние от катода до анода составляло около 3 мм.
Вольтамперная характеристика изучалась с помощью осциллогра-
фа; к образцу прикладывалось напряжение с частотой 60 Гц.
Ниже 50 В (амплитудное значение) в прямом направлении наблю-
дались инжекционные токи порядка микроампер, которые соот-
ветствовали удельному сопротивлению порядка 1012 Ом-см. При
амплитудном значении напряжения порядка 50 В наблюдался
«пробой», после которого эффективное удельное сопротивление
понижалось до величины порядка 102 Ом-см. Условия для поддер-
жания «пробоя» сохранялись при понижении напряжения до нес-
кольких вольт. Освещение диода сильно поглощаемым светом
(hv > Eg) сильно снижало начальное напряжение пробоя. С дру-
гой стороны, освещение диода светом большой длины волны (hv «
ж 0,35—0,7 эВ) в случае, когда приложенное к нему напряжение
было немного выше минимального напряжения, необходимого
для поддержания пробоя, вызывало тушение «пробоя».
Наблюдения Тайлера можно качественно объяснить на основе
простой модели отрицательного сопротивления, которая рассмат-
ривалась в § 1 и 2. Поскольку германий га-типа, уровень Ферми
располагается достаточно высоко в запрещенной зоне и примесные
центры железа целиком заполнены электронами. Эти центры,
будучи акцепторами, имеют сечение захвата для дырок при темпе-
ратуре жидкого азота больше 10~14 см2. Таким образом, заполнен-
ные центры железа создают рекомбинационный барьер для про-
хождения инжектированных дырок. При амплитудном значении
напряжения около 50 В tp = L2l\npV = 10-7с, если принять
Рр т Ю4 см2/(В-с). Полагая (vap) та 10~7 см3/с, замечаем, что
если концентрация NR центров Fe (эта величина не приводилась
Тайлером) составляет 1014 см“3, то rp,i » 10-7 с, т. е. равно tp.
Это показывает, что наблюдавшийся «пробой» представляет собой
«преодоление» рекомбинационного барьера инжектированными
дырками. Поддержание «пробоя» при более низких напряжениях
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 349
несомненно обусловлено временем теплового освобождения для
дырок при температуре 77 К, которое оказалось больше 1/60 с,
так что диод не успевает «восстановиться» за полупериод обратного
смещения. Когда диод освещается светом с hv > Ев, свободные
дырки, созданные светом, захватываются отрицательно заряжен-
ными центрами железа, «снижая» таким образом рекомбинацион-
ный барьер для инжектированных дырок, а следовательно, и на-
пряжение «пробоя». С другой стороны, освещение светом с энерги-
ей фотонов в диапазоне 0,35—0,7 эВ возбуждает с центров железа
захваченные дырки обратно в валентную зону, вызывая таким
образом тушение пробоя в том случае, когда напряжение, прило-
женное к образцу, чуть выше минимального напряжения, необхо-
димого для поддержания пробоя. Такое же освещение, как изве-
стно, вызывает тушение собственной фотопроводимости в германии,
легированном железом, причем механизм тушения тот же.
Лебедев и др. [236] наблюдали спонтанные осцилляции при
приложении постоянного напряжения к образцу германия, леги-
рованного золотом. Эти осцилляции несомненно связаны с отри-
цательным сопротивлением, создаваемым центрами рекомбина-
ции золота при двойной инжекции. Другие работы, выполненные
на германии, рассматриваются ниже.
Сульфид кадмия долгое время был популярен как материал,
пригодный для электролюминесценции. К тому же двойная инжек-
ция в монокристаллах сульфида кадмия изучалась несколькими
группами исследователей. К сожалению, к этому материалу нельзя
изготовить контакт, хорошо инжектирующий дырки. Инжекция
дырок в этом случае зависит от приложенного поля. Поэтому обсу-
ждение двойной инжекции в сульфиде кадмия мы отложим до сле-
дующего параграфа, где оно будет более уместным.
Холоньяк и др. [237—239] обнаружили несколько объектов для
изучения двойной инжекции при комнатной температуре. Этими
объектами являются арсенид галлия, германий и кремний с глубо-
кими примесными уровнями. Они наблюдали вольтамперные хара-
ктеристики с отрицательным сопротивлением, обусловленным
увеличением времени жизни дырок при увеличении уровня инжек-
ции в высокоомном арсениде галлия (10s — 107 Ом-см); в эпитак-
сиальных р — si — re-диодах из арсенида галлия с si (полуизо-
лирующей) областью, легированной медью; в очень чистом (около
10s Ом-см) кремнии, легированном золотом; в кремнии га-типа,
компенсированном золотом, цинком, кадмием или кобальтом;
в германии га-типа, компенсированном медью, железом, никелем,
кобальтом или марганцем. Диоды создавались вплавлением,
диффузией или тем и другим методами одновременно. На фиг. 87
представлены вольтамперные характеристики, воспроизведенные
с экрана осциллографа. На фиг. 87, а показана вольтамперная
характеристика диода на арсениде галлия без специального осве-
350 Часть II. Токи двойной инжекции
щения (кривая 1) и при освещении лампой от микроскопа (кривая
2). Последняя кривая обнаруживает небольшое уменьшение на
Напряжения «пробоя», как и в экспериментах Тайлера на герма-
нии. Наибольшее значение отношения Vnop/^мин; наблюдавшееся
в арсениде галлия, было около 4. Ток на «предпробойном» участке
в
г
Фиг 87 Вольтамперные характеристики р — i — га-диодов при комнатной
температуре [237]
а — арсенид галлия с р+-областью, образованной диффузией марганца, и п+-областью»
образованной вплавлением олова (1 — при комнатном освещении, 2 —освещение микро-
скопной лампой) б — арсенид галлия с р+-областью созданной диффузией цинка, и п+-
областью созданной вплавлением олова, в — кремний, компенсированный кобальтом,
с р+-областью, созданной вплавлением сплава алюминия с бором, и п^-областью, создан-
ной вплавлением золота с сурьмой (1 — без специального освещения, 2—4 — при посте-
пенном увеличении освещения, г — германий, компенсированный медью (1—3 — при
постепенном увеличении освещения)
кривой 1 изменяется как V2 в соответствии с предсказанием теории
Эшли (§ 3). «Послепробойный» участок зависимости тока от напря-
жения не обсуждался.
Вольтамперная характеристика для другого диода из арсенида
галлия представлена на фиг. 87, б. Здесь ясно различаются два
участка с отрицательным сопротивлением, что указывает на слож-
ность рекомбинационных процессов. На фиг. 87, в показаны
вольтамперные характеристики кремниевого диода при последо-
вательно увеличивающейся силе света. Освещение здесь вызывает
понижение порога «пробоя», как и в экспериментах Тайлера, при-
Гл 14. Двойная инжекция с захватом. 351
чем участок отрицательного сопротивления почти исчезает при
наиболее сильном освещении (кривая 4). Послепробойный ток
в этом образце не зависит от напряжения; это показывает, что диф-
фузионная длина при высоком уровне инжекции уже превосходит
толщину активной области. В кремниевых образцах ток до пробоя
был пропорционален квадрату напряжения. Наконец, на
фиг. 87, г изображены вольтамперные характеристики герма-
ниевого диода при увеличении освещенности образца. Общие осо-
бенности для этого образца подобны особенностям вольтамперных
характеристик кремниевого диода, показанных на фиг. 87, в,
за исключением протяженности участка отрицательного сопротив
ления. Возможно, что некоторая часть результатов (например,
результаты для арсенида галлия), а может быть, и все они связаны
с механизмом оптической обратной связи, который рассматривает-
ся в § 6, п. 2.
Эшли [229] провел обширные исследования отрицательного'
сопротивления, обусловленного двойной инжекцией, в германии,
легированном золотом. Его диоды имели напаянные контакты
из сплава индия с оловом для инжекции электронов и из чистого
индия для инжекции дырок. Поперечное сечение образцов состав-
ляло 3x3 мм2, а длина изменялась от 0,1 до 3 мм. Концентрация
примесных центров золота Атд « 5 -1014 см-3, и, следовательно,
германий был частично компенсирован, так как концентрация
доноров составляла Атв«2-1014 см-3. Таким образом, в этих
экспериментах ган> 0 « 2-10м см“3 и рн, 0 ~ 3-1014 см-3. Центры
nR, 0 однократно отрицательно заряжены и имели энергию акти-
вации, соответствующую наинизшему акцепторному уровню золо-
та, расположенному на 0,15 эВ выше потолка валентной зоны.
Соответственно центры pR 0 были нейтральными. Эксперименты
проводились при температуре 77 К. Длина амбиполярной диффу-
зии при высоких уровнях инжекции составляла около 0,1 мм,
что соответствовало цп = « 2-104 см2/(В-с) и тл » 10~6 с
(исходя из <txrn > «s2-10~9 см3/с, NR — 5 -1014 см-3).
Как и следовало ожидать, Эшли наблюдал на вольтамперной
характеристике линейный участок, квадратичный участок и уча-
сток с отрицательным сопротивлением. (На некоторых образцах
между линейным и квадратичным участками Эшли наблюдал
переходный участок более крутой, чем квадратичный. Этот уча-
сток Эшли связывал с неидеальностью контакта, инжектирующего'
электроны, и относительно малой площадью контакта, инжекти-
рующего дырки.) Совсем не изучался участок вольтамперной
характеристики, расположенный выше области с отрицательным
сопротивлением Все характеристические напряжения Ипор,
Умин и VxitVxi — напряжение перехода от закона Ома к пред-
пробойному квадратичному участку) изменялись как L2, как
и следовало ожидать Из измеренных значений Vn0F и Vxt Эшли
352 Часть II. Токи двойной инжекции
получил, что при 77 К ор « 0,5 ПО-14 см2 и ап та 2-10-16 см2.
Последнее значение совпадает с литературными данными, в то вре-
мя как первое оказалось несколько меньше. (Следует заметить,
что значения, которые приводятся в литературе, имеют большой
разброс и наименьшее из них [240] только в 4 раза больше полу-
ченного Эшли.)
Отрицательное сопротивление наблюдали Рьюзан [241] и ван
Рёйвен и Адриане [242] в пластически деформированном германие-
вом р — ге-переходе; оно интерпретировалось последними автора-
ми с применением модели с одним уровнем рекомбинации, которая
Ф и г. 88. Вольтамперные характеристики Кристалла германия с пласти-
чески деформированным р — п-переходом [242].
Крцвые соответствуют температурам: 100 °C (I), 88 °C (2), 20 °C (3), 0 °C (4), —60 °C (5)
—80 °C (6), —140 °C (7), —196 °C (3).
рассмотрена в предыдущем параграфе. В работе ван Рейвена и Ад-
рианса германий p-типа был легирован индием и имел удельное
сопротивление 0,15 Ом-см, германий re-типа был легирован висму-
том и имел удельное сопротивление 0,8 Ом-см. Образец прямо-
угольной формы размером 2x3x20 мм, ось <111) которого
была перпендикулярна продольной оси образца, изгибался вдоль
этой оси в атмосфере водорода при температуре 600 °C. После
охлаждения наносились контакты из индия и сплава индия с 1 %
мышьяка. Собственная область в получившейся р — i — re-струк-
туре имела толщину около 0,2 мм. Вольтамперные характеристики,
снятые при различных температурах, приведены на фиг. 88. При
очень малых токах наблюдался омический закон, переходивший
в квадратичный, а затем появлялся участок с отрицательным
Гл. 14. Двойная, инжекция с захватом 353
сопротивлением. При наиболее высокой температуре Т\ = 100 °C
отрицательное сопротивление отсутствовало вследствие теплового
выброса захваченных центрами рекомбинации носителей.
Отрицательное сопротивление при двойной инжекции наблю-
дали Мелнгайлис и Редикер [243, 244] в антимониде индия при
77 К. Они объясняют зтот эффект увеличением времени жизни
электронов с 10“9 с при низком уровне инжекции до 10“6 — 10“’ с
при высоком уровне инжекции, когда захват электронов прекра-
щается.
Очень большой эффект отрицательного сопротивления, свя-
занный с двойной инжекцией, наблюдался в кремнии при 4 К
Джоншером [245]. Здесь двойная инжекция приводила к переходу
электронов с акцепторных состояний на донорные, после чего
ни акцепторы, ни доноры не были ловушками для свободных носи-
телей.
Вольтамперные характеристики при двойной инжекции, не со-
держащие участка отрицательного сопротивления, получили для
карбида кремния Патрик [26], для сульфида и селенида цинка Авен
и Кузано [246] и для титаната бария Кокс и Тредголд [247].
Электролюминесценция при двойной инжекции в антрацене опи-
сана в важных работах Хельфриха и Шнейдера [64, 65] и в работе
Дреснера [248].
§ 6. ДРУГИЕ МЕХАНИЗМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Изучавшееся до сих пор в этой главе отрицательное сопротив-
ление, контролируемое током, является чисто объемным эффек-
том, который предполагает наличие контактов, хорошо инжекти-
рующих носители обоих знаков. Причиной возникновения отри-
цательного сопротивления в этом случае является заметное уве-
личение времени жизни свободных носителей при увеличении
уровня инжекции. Мы видели, что имеется много случаев, когда
существование отрицательного сопротивления определяется
именно этим механизмом. Однако увеличение времени жизни
с повышением уровня инжекции является не единственным источ-
ником отрицательного сопротивления, контролируемого током
и связанного с присутствием в образце свободных носителей обоих
знаков. Другим большим классом механизмов отрицательного
сопротивления являются механизмы, в которых контакт тем или
иным образом играет главную роль в создании такого участка
вольтамперной характеристики. Мы рассмотрим здесь две возмож-
ности. Первая возможность, когда инжекция носителей одного
знака (неосновных носителей, если образец является полупровод-
ником) сначала подавлена тем, что контакт является неинжекти-
рутощим или слабо инжектирующим, а затем повышается благо-
даря пробою контакта или области в окрестностях контакта в элек-
23-0699
354 Часть II. Токи двойной инжекции
трическом поле. Вторая возможность существования отрицатель-
ного сопротивления возникает в том случае, когда рекомбинация
в области контакта создает излучение, которое поглощается в объ-
еме, создавая отрицательное сопротивление.
1. ПРОБОЙ В1ЭЛЕКТРИЧЕСК0М ПОЛЕ КАК ИСТОЧНИК
ОТРИЦАТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Предположим, что образец из изолятора или полупроводника
имеет два контакта, которые способны инжектировать основные
носители. Тогда наблюдаемая вольтамперная характеристика при
Фиг. 89 Вольтамперные характе-
ристики полупроводника при моно-
полярной инжекции (оба контакта
являются омическими для основных
носителей) 1 и при двойной инжек-
ции (один контакт инжектирует элек-
троны, а другой — дырки) 2.
Пробивной ток Тпр и пробивное напряже-
ние Упр указаны для вольтамперной харак-
теристики при монополярной инжекции.
Фиг. 90. Участок отрицательного
сопротивления на вольтамперной
характеристике при лавинном про-
бое в монокристалле германия с
удельным сопротивлением 20
Ом-см [249]
Катодом служит вольфрамовое острие
диаметром 0,03 см (омический контакт
при малых токах), анод имеет боль-
шую площадь (омический контакт).
низком напряжении должна быть характеристикой, обусловленной
монополярной инжекцией основных носителей, как это показано
на фиг. 89 штриховой линией. В этом частном случае вольгампер-
ная характеристика для основных носителей оказывается линей-
ной вплоть до насыщения в области сильных полей. Такая харак-
теристика может быть получена в германии или кремнии при
комнатной температуре. Сплошной линией на фиг. 89 показана
вольтамперная характеристика для случая двойной инжекции.
Такая характеристика может наблюдаться в случае, когда соз-
даются инжектирующие контакты для носителей обоих знаков.
В частности, приведенная вольтамперная характеристика, опре-
деляемая двойной инжекцией, осуществляется в случае инжек-
Гл. 14 Двойная инжекция с захватом 355
ции плазмы в полупроводник. В рассматриваемом примере в сла-
бых полях такая характеристика подавлена, так как отсутствуют
неосновные носители. Однако предположим теперь, что при напря-
жении Упр и токе 7пр в стоковом контакте для основных носителей
или вблизи него происходит «пробой», который приводит к силь-
ной инжекции неосновных носителей в объем образца. Такой
«пробой» может произойти как в результате автоэлектронной
эмиссии (туннелирования) неосновных носителей из электрода
в объем, так и в результате ударной ионизации через запрещен-
ную зону вблизи контакта. В любом из этих двух случаев ток
в объеме изолятора начинает определяться носителями обоих
знаков, и падение напряжения на образце становится меньше,
чем для монополярного случая, как показано на фиг. 89. Умень-
шение падения напряжения на образце проявляется как отрица-
тельное сопротивление. Действительный ход вольтамперной
характеристики при переходе от монополярного участка к бипо-
лярному, представленный на фиг. 89 пунктирной линией, будет
зависеть от внешней цепи.
Пример отрицательного сопротивления такого типа приведен
на фиг. 90, взятой из работы Стила и др. [249]. Эта вольтамперная
характеристика получена на образце из германия p-типа с сопро-
тивлением 20 Ом-см с контактами, инжектирующими дырки.
Образец имеет поперечное сечение 1X1 мм, причем расстояние
от анода до катода составляет 5 мм. Катод изготовлен в виде воль-
фрамового точечного зонда диаметром 0,3 мм. Поскольку дрей-
фовая скорость дырок почти насыщается при увеличении тока,
кристалл в конце концов оказывается в состоянии пробоя, обу-
словленного ударной ионизацией вблизи точечного контакта,
которая обеспечивает прохождение тока, приходящего на контакт
из объема образца. Ударная ионизация создает резервуар элект-
ронов у катода, который после этого (при больших токах) рабо-
тает как хороший источник электронов. Тот факт, что в этом слу-
чае наблюдается уменьшение падения напряжения в объеме
полупроводника, связанное с наблюдаемым отрицательным сопро-
тивлением, непосредственно установлен путем измерения потен-
циала.
Аналогичный эффект наблюдали также Андо и др. [250] при
использовании образца из германия с гантелевидными контакта-
ми, более удобными для измерений потенциала. (Подобные эффек-
ты были обнаружены в германии и кремнии Кикучи [251], который
не объяснил свои результаты, но отметил, что их нельзя тракто-
вать на основе ударной ионизации.) Для количественной интер-
претации отрицательного сопротивления такого типа необходимо
знать не только, какая часть общего напряжения необходима для
создания и поддержания «пробоя», но и полностью ли эквива-
лентен резервуар электронов, возникающий при пробое, инжекти-
23*
356 Часть II Токи двойной инжекции
рующему контакту или он ведет себя только как плохой контакт.
Ударная ионизация в описанных выше экспериментах локали-
зовалась на инжектирующем контакте или вблизи него вследствие
геометрических особенностей образца, а именно сужения области,
через которую проходит ток вблизи этого контакта. Но к отрица-
тельному сопротивлению, контролируемому током, приводит
не только ударная ионизация, связанная с геометрией образца.
Рассмотрим стержень из антимонида индия n-типа с постоянным
поперечным сечением и с контактами, инжектирующими электро-
ны. В электрических полях порядка нескольких сотен вольт
на сантиметр первоначально существующие электроны разогре-
ваются настолько, что возникает возможность ударной ионизации,
причем этот эффект не может определяться дырками вследствие
малости электрических полей. Поскольку до пробоя приложенное
напряжение однородно распределено по объему кристалла, удар-
ная ионизация также должна быть приблизительно однородной.
Однако катод, будучи инжектирующим для электронов, оказы-
вается запирающим для дырок. Таким образом, дырки, созданные
ударной ионизацией, накапливаются вблизи катода, создавая
ситуацию, подробно изученную в гл. 13, § 3, п. 1 и 2. Эти дырки
нейтрализуются4 равным числом электронов, инжектированных
катодом. Плазма, созданная накоплением дырок, имеет понижен-
ное сопротивление; падение напряжения в области, где существу-
ет зта плазма, оказывается меньше, чем начальное, так как должно
быть обеспечено равенство нулю дивергенции полного тока. Если
область существования плазмы (порядка длины амбиполярной
диффузии) составляет значительную часть общего расстояния
от катода до анода, то падение напряжения на полупроводнике
существенно понижается, /г. е. наблюдается значительное отрица-
тельное сопротивление. В действительности область пробоя сдви-
гается по направлению к аноду с увеличением концентрации
накопленных у катода дырок. При таком доказательстве предпо-
лагается, что время жизни дырок сравнимо с временем их пролета
через образец при пробивном поле или превосходит его.
Накопление неосновных носителей при наличии контактов,
инжектирующих основные носители, вместе с достаточной длиной
амбиполярной диффузии определяет достаточные, но не необхо-
димые условия возникновения отрицательного сопротивления,
связанного с ударной ионизацией. (Мы здесь не рассматриваем
пробоев, которые происходят у контактов при создании образцов
соответствующей геометрии; такие пробои рассматриваются
выше.) Например, отрицательное сопротивление, обусловленное
ударной ионизацией, наблюдали Тосима и Андо (252] в образце
из антимонида индия п-типа специальной формы, показанной
на фиг, 91. Пробой происходит вначале во всей активной области
L, но затем смещается в этой области к аноду одновременно с во'з-
Гл. 14 Двойная инжекция с захватом 357
никновением отрицательного сопротивления. Накопление дырок
в этом случае не может происходить у катодного конца области
L и, таким образом, не может объяснить наблюдаемое отрицатель-
ное сопротивление. Тосима [253] объяснил отрицательное сопро-
тивление в этом случае различной полевой зависимостью элек-
тронной и дырочной подвижностей в сильных электрических полях,
которая обусловливает амбиполярный дрейф носителей в противо-
положную сторону [254].
Фиг. 91. Геометрия образца, которая предот-
вращает влияние контактов.
Активная область образца имеет длину L
Отрицательное сопротивление, связанное с ударной иониза-
цией, в области объемного заряда р — ^-перехода с обратным
смещением впервые изучал Ганн [13, 255]. Обзор более поздних
работ дал Хефлингер [256], который также предложил модели
для отрицательного сопротивления, возникающего “при ударной
ионизации у одного края слоя объемного заряда, т. е. в м++ —
— р+ — р++-структурах, и возникающего при ударной ионизации
у обоих краев слоя объемного заряда, т. е. в п++ ~ р+ — i — р++-
структурах.
Выше мы рассматривали только отрицательное сопротивление
при прохождении постоянного тока. Существует обширная лите-
ратура, посвященная высокочастотному отрицательному сопротив-
лению, определяемому временем пролета. Такие исследования
были начаты Ридом [257]. Более полные сведения по отрицатель-
ному сопротивлению такого типа приведены в специальных выпу-
сках журнала IEEE Transactions on Electron Devices ED-13,
No. 1 (1966); ED-14, No. 9 (1967).
Обратимся теперь к отрицательному сопротивлению, связан-
ному с инжекцией дырок из анода вследствие автоэлектронной
эмиссии, а именно к вольтамперной характеристике, показанной
на фиг. 92, которая взята из работы Смита [72] по изучению элек-
тролюминесценции в сульфиде кадмия. Эта кривая была получена
на очень чистой монокристаллической пластине при расстоянии
между контактами 1 мм (ток пропускался вдоль пластины). При-
менялись таллиевые электроды. Вольтамперная характеристика
обнаруживает как отрицательное сопротивление, так и гистерезис.
Штриховая линия представляет собой ветвь вольтамперной
характеристики электронного ТООЗ для контактов, инжектирую-
щих электроны. В более сильных полях появляется двойная инжек-
ция, и вольтамперная характеристика определяется сплошной
358 Часть II. Токи двойной инжекции
линией. Наличие двойной инжекции подтверждается наблюдением
электролюминесцентного излучения с hv ж EG, распределенного
по всему образцу (см. [72], фиг. 3). Интересной особенностью
наблюдаемой электролюминесценции является то, что ее ин-
тенсивность Ii, пропорциональна току. Вследствие того чт-о
энергия hv очень близка к
ширине запрещенной зоны, 1Ь должна
быть пропорциональна произведе-
нию концентраций инжектирован-
ных свободных носителей рп. Если
сделать естественное предположение,
что электрический ток I пропор-
ционален концентрации электронов,
то концентрация дырок не может
быть пропорциональной концентра-
ции электронов. Возможное объясне-
ние этого факта исходит из предпо-
ложения о том, что во всей области
исследованных токов, показанной на
фиг. 92, поведение электронов соот-
ветствует случаю предельного запол-
нения ловушек, что, по-видимому,
действительно наблюдается на штри-
ховой ветви ТООЗ. Поскольку на-
пряжение во всей области измерений
Фиг. 92. Вольтамперная характеристика
при двойной инжекции в монокристалл
сернистого кадмия длиной 0,1 см [72].
Штриховая линия получена при увеличении тока,
сплошная — при уменьшении. Область перекрытия
двух ветвей вольтамперной характеристики со-
ответствует гистерезису. Переход с одной ветви
на другую происходит скачком. Световое излуче-
ние наблюдается на верхнем участке вольтампер-
ной характеристики.
изменяется не более чем в 3 раза, полная концентрация инжекти-
рованных электронов должна изменяться столь же мало. Боль-
шое изменение концентрации свободных электронов, следующее
из графика, может быть обусловлено в таком случае очень боль-
шим изменением отношения концентрации свободных электронов
п к концентрации электронов на ловушках nt, типичным для задачи
о ПЗЛ, которая рассмотрена в гл. 2, § 5, и в гл. 4, § 4. До тех пор
пока для свободных дырок не наблюдается аналогичного явления
ПЗЛ, их концентрация р изменяется не более чем в 3 раза, и про-
изведение пр в указанной ограниченной области изменения напря-
жения должно изменяться пропорционально току. До настоящего
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 359
времени не предложено теоретической модели, объясняющей все
Особенности фиг. 92. Во-первых, как дырки, так и электроны,
инжектированные из контактов, большей частью захватываются
примесными центрами: электроны — центрами прилипания, а
дырки — центрами рекомбинации или центрами прилипания. Та-
кие сложные теоретические модели пока еще не изучены. Во-
вторых, не совсем ясно и, возможно, маловероятно, что при про-
бое анод преобразуется в хороший резервуарный контакт, спо-
с обный инжектировать дырки. Исследования электролюминесцен-
ции в сульфиде кадмия, аналогичные работе Смита, проведены
также Литтоном и Рейнольдсом [258], Ямаситой и др. [259] и Ки-
тингом [260].
Другим примером, в котором автоэлектронная эмиссия из кон-
такта (туннелирование) приводит к отрицательному сопротивле-
нию, является тиристор [261].
ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА В ОБЛАСТИ КОНТАКТА
КАК ИСТОЧНИК ОТРИЦАТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
)
Для объяснения вольтамперной характеристики с отрицатель-
ным сопротивлением, полученной Вейзером и Левиттом [262]
{см. также [263]) и представленной на фиг. 93, Думке [207] пред-
ложил модель, основанную на оптической обратной связи. Харак-
теристика была получена на р — i — n-диоде из арсенида галлия,
легированного цинком и марганцем. В приложении к указанному
эксперименту на арсениде галлия эта модель предполагает гене-
рацию света вследствие рекомбинации электронов, достигающих
p-области, где основной примесью являются атомы цинка. Неко-
торая часть этого света поглощается в i-области примесными ато-
360 Часть II. Токи двойной инжекции
мами марганца, заполненными электронами, которые, таким обра-
зом, возбуждаются в зону проводимости. Если скорость генерации
света пропорциональна току, то такая внутренняя фотопроводи-
мость должна проявляться как быстрое возрастание тока при
некотором критическом напряжении, т. е. как «пробой». В исполь-
зованном образце арсенида галлия скорость генерации света
изменялась сверхлинейно с током и, следовательно, пробою соот-
ветствовало отрицательное сопротивление.
Рассмотрим теперь простую модель, развитую Думке. В «пред-
пробойной» области вследствие присутствия равновесных дырок
ток изменяется с ростом напряжения по квадратичному закону
(14.119), который мы здесь запишем в виде
/ = ₽Г2, V' = V-V}, р = (14.129)
где Vj — напряжение, необходимое для преодоления барьера
р — «-перехода. Электроны, проникающие в р+-область и здесь
рекомбинирующие, создают фотоны с квантовым выходом у, т. е.
со скоростью у Ле. Часть ср этих фотонов поглощается глубокими
акцепторами в i-области, заполненными электронами. В резуль- ;
тате этого в зоне проводимости появляются электроны. Если пред- i
положить приблизительно однородное поглощение света во всей
г-области, то скорость генерации фотоэлектронов равна
(14Л30>
где nL — концентрация фотоэлектронов, njrn, i — скорость
рекомбинации, и мы предполагаем, что время жизни электронов
равно времени их жизни при низком уровне инжекции. Теперь
для простоты предположим, что фототок JL является омическим!
г
J ь — eniji п
и его можно просто прибавить к квадратичному инжекционному <
току (14.129). Тогда полный ток можно записать в виде
J. (14.131) .
Решая уравнение (14.131) относительно тока J, получаем
где *л(Г)==й^г’ <14Л32> '
Электрический «пробой» происходит в том случае, когда
<рутп, {/tn (V) да 1. Если у не зависит от тока, то это условие при-
водит к сильному возрастанию тока, но без отрицательного сопро- |
тивления. Однако если у возрастает с увеличением тока, то уело-
вия для пробоя могут сохраняться при уменьшении напряжения
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 361
в процессе увеличения тока, а это как раз соответствует отрицатель-
ному сопротивлению.
Перейдем теперь к безразмерным переменным
J _ V V'_ L»
7- г v~ * *“<рНпЪ,г’
где V'i — напряжение «пробоя» при у = 1. Уравнение
теперь принимает вид
7 = v2 + yjv.
(14.133)
(14.131)
(14.134)
Решение этого уравнения имеет вид
—4+[(1)М‘Л-
(14.135)
Вольтамперные характеристики, соответствующие (14.135), пока-
заны на фиг. 94 для разных значений квантового выхода у в форме
у — 7П/ О’* + const) при п =
= 1, 2 и 4. Можно видеть,
что эти теоретические харак-
теристики очень похожи на
экспериментальные кривые,
приведенные на фиг. 93. Ве-
личина у действительно рас-
тет с током, как этого требует
теория Думке, что видно из
экспериментальных зависимо-
стей квантового выхода света
от тока, полученных на тех
же диодах [207]. Действие
внешнего освещения на вольт-
Ф и г. 94. Теоретические безраз-
мерные вольтамперные характе-
ристики р — i — л-диодов с опти-
ческой обратной связью [206].
Квантовый выход излучения у выражен
в виде у = jn/0n4- const), где п= 4, 2,
1 (сверху вниз).
амперные характеристики также было рассмотрено Думке
(см. [207]), и результат снова оказался очень близким к экс-
периментальным данным.
Возникает вопрос, какие из экспериментальных наблюдений
отрицательного сопротивления, отмеченных в § 5, обусловлены
механизмом Думке. Поскольку шнурование тока исключается
в этом механизме, наблюдение токовых шнуров является убеди-
362 Часть II. Токи двойной инжекции
тельным признаком того, что механизм Думке здесь не действует.
Точно так же «послепробойный» квадратичный или почти квадра-
тичный участок вольтамперной характеристики свидетельствует
об отсутствии механизма Думке. В других случаях вопрос решает-
ся не так просто. (Например, .в отношении данных Холоньяка
[237], полученных на германии.) Как отметил Думке, при боль-
шом времени жизни электронов достаточен очень низкий квантовый ,
выход у, чтобы наступил пробой в результате оптической обрат-
ной связи. Уверенный выбор механизма отрицательного сопро-
тивления в таких неясных ситуациях можно будет сделать только i
после появления результатов количественного измерения некото-
рых малых величин.
? 7. ЗАКОН ПОДОБИЯ ;
В гл. 4, § 7 мы вывели закон подобия для общей упрощенной (
теории ТООЗ. Здесь мы получим этот закон для общей упрощенной j
теории тока двойной инжекции. Эта теория определяется следую- i
щими уравнениями: ’
уравнением для тока з
Jn Jp == ^PpP^t J == Jn “1“ Jp == const, (14.136) |
уравнением Пуассона ;
7-g-“(P-Po)~3(«o-«o.o)-(n-no). (14-137) j
3 i!
уравнениями сохранения числа частиц 1
(14.138а) з
r — g = 2 (rj- gj), rj — gj = rn} — gnj = rp} — gpj, (14.1386) 'i
rn, *= n (vunj)pt}, gnj = ntj{enj}Ne, nt} + ptj = Ntj,
rPj = p{vGpj)ntj, gpj = pt)(ep})Nv, (14.138b) |
(en;) = -J— (exp EiJ^Ea ) №n]),
ёп} _ ' (14.138r) *
(ep;) = -J— (exp ) {wsp)},
gp] ' I K1 •
где gnj и gpj — обычные статистические множители, причем мы j
пренебрегаем прямой бимолекулярной рекомбинацией электро- ]
нов и дырок и прямой генерацией пар через запрещенную зону. ,1
(Закон подобия не изменяется, если мы включим эти члены.)
Гл. 14. Двойная инжекция с захватом 363
Уравнения (14.136) — (14.138) должны быть решены при обыч-
ных граничных условиях, характеризующих упрощенные теории:
§ = 0 при х — 0 и х — L. (14.139)
Уравнения (14.138) непосредственно дают
#-Kn-p)g]-(re+1-^-^ =
= 2 ~ nt> Nc>- (14.140)
rp .
J
Уравнение (14.136) можно записать в виде
J = epng (м-J-ap), (14.141)
Ип
Величины ntj и ptj можно исключить из уравнений, используя
соотношения
(п <ерр У у) Ntj
nts~ p<.v0pp + n{vGnj) + (enj)Nc + {epj) Nv
__________________(P<Mpj>+<enj>Nc)Nt} (14.142)
Ptj— t ntj — р(уар;)4.п(уопр-Неп,)Лгс+<еР./)Лгу ‘
Перейдем теперь к безразмерным переменным
п = NqS, р = Not, х = xtiv, V (х) = Vtv, . ...
nJ v e/а (14.148)
где No — произвольная концентрация, выбранная для удобства
(например, в качестве No может быть взята концентрация п0, Ро,
какая-либо Ntj и т. д.). При таком выборе параметров и при исполь-
зовании уравнения (14.141) уравнение (14.137) принимает вид
1 („ JLj. _±_\-t—<? I гео~^о
(a<4-s)* \а dw 1” dw ) Nq
21 Nfj___________*fnc,j + fpe, j_______ntj,0 \
\ No sf nc, j~\~tfpc, j~\-fne, j + fpe, j No I ’
3
а уравнение (14.140) записывается в виде
— ( s~f \ = V Nf] v
dip \sdf-at/ No
3
Г s (^ipc, j~\~ fne, j) (fnc, j/fo, r) — (.sfnc,j-Jrfpe,j)(fre,j/fo,a) "1
*- sfnc, /+ if pc, j-Vfne, S~Vfpe, j
где f — частоты, определенные следующим образом:
(14.144)
Ф
(14.145)
fnc, j ~~ No{vUnj), fpc, j — No(VOpj), fne,j (enj)Nc,
(14.146)
fpe, j — {epj} Ny, fo, й = eN0 i) e •
364 Часть II. Токи двойной инжекции
(14.147)5
Падение напряжения
X
V (х) = { gdx
о
записывается теперь в виде
W wc
Г dw Г dw
V = I —П 7 vc = I -г-i— •
О О
Уравнения (14,144) и (14.145) представляют собой систему диф-
ференциальных уравнений для $ и t как функций w. Важным заклю-
чением для закона подобия является то, что ток J не входит явно
в эти уравнения [а также в уравнение (14.147)]. Действительно, j
безразмерные параметры (14.143) выбраны так, чтобы
ток J. Если t(w) и s(w) в принципе определены, то
(14.147) дает зависимость ис от шс. Поскольку
1 е J vc е V
wc e2Nfy,n L ’ w% eN0 L2 ’
закон подобия можно символически записать в виде
ИСКЛЮЧИТЬ '
уравнение ,
(14.148)s
(14.149)
Эта зависимость тождественна закону подобия для случая моно- j
полярной инжекции (4.158). Заметим, что теория для монополяр-
ного случая, рассмотренная в гл. 4, § 8, содержится в теории, опи- «
санной в настоящем параграфе. Следует только принять |ЛР = 0, ]
Р = Ро = 0 и rnJ = gnj в уравнениях этого параграфа, и мы полу- ]
чим теорию для тока монополярной инжекции. «
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Список обозначений
С — емкость на единицу площади попереч-
ного сечения,
Со — геометрическая емкость на единицу пло-
щади поперечного сечения,
D — коэффициент диффузии,
Da — коэффициент амбиполярной диффузии,
Dn — коэффициент диффузии электронов,
Dp — коэффициент диффузии дырок,
Е — энергия,
Eg — ширина запрещенной зоны,
Ес — энергия, соответствующая дну эоны про-
водимости,
Et (Etj, Etn, Etnj) — энергия уровней прилипания,
Ev — энергия, соответствующая потолку ва-
лентной зоны,
F — квазиуровень Ферми,
Fo — уровень Ферми,
I — ток,
J — плотность тока,
/диф ~ плотность диффузионного тока,
7др — плотность дрейфового тока,
/вас — плотность тока насыщения (тока Ри-
чардсона),
Jnp — плотность тока проводимости,
/см ~ плотность тока смещения,
L — расстояние между катодом и анодом
в плоском диоде,
LD — эффективная длина амбиполярной диф-
фузии,
N = Nc exp [(£f - Ес)/кТ],
Na — концентрация акцепторов,
ND — концентрация доноров,
Nr — концентрация центров рекомбинации,
Nc — эффективная плотность состояний в зоне
проводимости,
N} = Nc exp [(Et} - Ec)/kTl,
366 Приложение А
Nt (Ntj, Ntni Ntn.j) — концентрация уровней прилипания,
No — эффективная плотность состояний в ва-
лентной эоне,
Q — полный заряд на единицу площади по-
перечного сечения в задачах о плоском
диоде; полный заряд в задачах о цилинд-
рическом диоде,
(?о = eWL,
Rc — скорость захвата электронов уровнями
прилипания на единицу объема,
Re — скорость термической ионизации уров-
ней прилипания на единицу объема,
Т — температура,
Tt — характеристическая температура экспо-
ненциального распределения уровней
прилипания по энергиям,
V — напряжение или потенциал,
VT = кТ/е,
® Рр/Цп,
= Цп/Цр,
е = 1,602-10-19 Кл — элементарный заряд,
е0 = 2,718 ... — основание натуральных логарифмов,
(е) —усредненная по зоне вероятность теп-
лового выброса в единицу времени захва-
ченного электрона в эону проводимости,
/, fj — относительное изменение заполнения
уровней прилипания при условии F —
—Fo = кТ; интенсивность возбуждаю-
щего света,
/* = (v(J)0Nc/g — частотный фактор,
g, gj — коэффициент спинового вырождения
уровней прилипания,
gth — скорость термической ионизации уров-
ней прилипания на единицу объема,
h = 6,62-10-34 Дж-с — постоянная Планка,
&=8,62-10~5 эВ-град-1—постоянная Больцмана,
I = Tt/T,
m — эффективная масса электрона или дырки
в твердом теле,
т0 — 9,105-10-31 кг — масса электрона в вакууме,
п = п0 + nt — полная концентрация свободных элек-
тронов,
nR — концентрация заполненных центров
рекомбинации,
nt— концентрация инжектированных свобод-
ных электронов,
Список обозначений 367
щ = nt 0 -f- nt,i — полная концентрация захваченных
электронов,
nt,i — концентрация инжектированных захва-
ченных электронов,
щ.о — концентрация равновесных захваченных
электронов,
п0— концентрация равновесных свободных
электронов,
р — полная концентрация свободных дырок,
рв — концентрация незаполненных центров
рекомбинации,
pt,о — концентрация равновесных захвачен-
ных дырок,
г — скорость захвата или рекомбинации
на единицу объема; радиус-вектор,
га — радиус анода сферического диода,
гс — радиус катода сферического диода,
5 — скорость поверхностной рекомбинации,
t — время,
ta = eJenop — равновесное время диэлектрической
релаксации,
t0 = L2/[iV — время пролета в отсутствие объемного-
заряда,
ti — 0,786 i0,
ta = L2/ |ца| V — время амбиполярного пролета,
и — безразмерная напряженность электри-
ческого поля,
и — дрейфовая скорость носителей; микро-
скопическая дрейфовая скорость, если
символ применяется в угловых скобках,,
обозначающих операцию усреднения;,
безразмерное напряжения (потенциал),
vlh = (SfcT/nm)1/2 — тепловая скорость электронов,
w — безразмерное расстояние,
х — расстояние по оси х,
у — безразмерная фиктивная переменная;
расстояние по оси у,
z = (г/гс)3 — безразмерный радиус-вектор,
§ — напряженность электрического поля,
§й= V/L — омическая напряженность электриче-
ского поля в плоском диоде,
jfTt (Е) — концентрация уровней прилипания»
на единицу энергии,
JT0 = (Е)/ exp [(£ - E,)/kTt],
jfn = Jr о exp [(Fo — Ec)lkTt},
Г — (N't/no) (.n0/Nc)i/l (при рассмотрении.
368 Приложение А
экспоненциального распределения уров-
ней прилипания), ;
Ф —работа выхода, , ]
Y — энергетический барьер на контакте ме- *
талл — изолятор,
а = s,/ej/\k (при рассмотрении однородного
распределения уровней прилипания),
б = Q/enL,
е — статическая диэлектрическая проница-
емость,
е0 = 8,854-10-12 Ф/м —диэлектрическая проницаемость ваку-
ума,
ц = nJ (nt + nt,J — часть инжектированного заряда, остаю-
щаяся свободной,
9 — отношение свободного заряда к заряду,
захваченному на мелкие уровни прили-
пания,
х = е/е0 — относительная диэлектрическая прони-
цаемость,
— эффективная длина дрейфа (сдвиг),
ц — дрейфовая подвижность,
— амбиполярная дрейфовая подвижность,
Нэфф — 0Ц — эффективная дрейфовая подвиж-
ность,
Цв = е (рстн)/2е —рекомбинационная подвижность,
v — частота,
Vp — Цр/Цв)
р — плотность свободного заряда,
pt — плотность захваченного заряда,
ст — сечение захвата,
стн — рекомбинационное сечение захвата,
т — время жизни свободных носителей,
тл — время жизни электронно-дырочной па-
ры при высоком уровне инжекции, J
Тз — время жизни электрона до захвата (при
рассмотрении|эффективной^длины дрейфа))
тс — время захвата электрона,
те — время освобождения электрона,
тп —время жизни свободного электрона,
тр — время жизни свободной дырки,
То — время фотоответа,
т — время жизни электронно-дырочнойпары,
ПЗЛ — предельное заполнение ловушек,
ТНООЗ — ток, не ограниченный объемным зарядом,;
ТООЗ — ток, ограниченный объемным зарядом.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Таблица перевода формул из системы единиц СИ
в практическую систему единиц
В левом столбце формулы даны в системе единиц СИ, в правом
столбце — в практической системе единиц.
(2.7) (2.10) Ja J = E2 V enop. -j- Ja J= 8,85-10 14zp,А/см2 1,60 • 10~iew0p, -j- А/см2
(2.12) vx en<)L2 ~ 8 Vx' «1,81-Ю-8-^ В 1 и
(2.12) ta = s * enop, ta = : 5,52-IO6— с nop,
(2.13) <2 = <2 = 8,85-Ю’14-^ К/см2 ХУ
(2.27) vx- . ekTtJfnL* 8 Vx- = 1,56-10~10^—£2Г- В
(2.29) J A .. t 8 \! Pi+1 ,e^Nc\eJir3kTt} MM J a 1,6-10-^с|х(-Ц^)'х ' Jv 1 /
X £21+1 А/См2
(2.31) J A V aV ' epjiQ p exp 2 t J a 1,6-1О“19?гоиХ-х Lt
X ехр-^j А/см2
ГДе eJiTnh (2.39) J Aizvm0-^- (3.25) (3.28) J (4.11) n 2eLi где a = 6,4-IO9— Jv n J a 8,85- 10-14хц§У2 -~L a/cm2 J » 8,85-10“14xi?Hac-£3- А/см2 (? = 8,85-10-14xga К/см2 гё=6,23-1018 ~ CM-3 n = 8,29- 10s CM-3
24-0699
370 Приложение Б
,о оч т Зл V2
(8.8) —Ф —
« • а
(8.24) Z = 4nepjio X
г Зе ~11/2 ( v \3/2
L^n+nf.ojJ ' l-Hi /
(8.26) FKP = r?(l + c1)3X
„ с(по + пг,о)
ХСг 37
(8.27) /кр=^^2(1+<)3Х
X (ир-|- nt, о) р3
V2
(8.62) Г = 2лецЛг
,tt ... , 125 V3
(11.14) J =7[8ЕгИрНп
(11.29) =
(11.35) /=(4рх
.) V/г V2
“J Л»
(12.7) / = -|-е(по—Ро) X
V2
X ЦпЦрт рЗ
(12.19) / = |х
v<>11 Г(& + Р Рп (пр-РоН1/2 V3/2
xeHpL (pffH) J L2
(14.38) A
8<Р^р>
2eau.p
3/2
A
I = 4,17- IO’13 A
ra
Z = 2,59-lO-ls^oX
X Г T/2
Lc2('lo+'lj,o)J \1 + CJ
FKP = 6,04 • 10-’r9 (1 + cj)3 x
x c n+"t.o B
2 X
ZKP = 1,21-ю-24 c2(l+<4)3X
X (n0 + nt, 0)r? A
/' = 5,57-10"13xp, A
ra
J = 6,15 • 10-13хтр,р|лп A/cm2
p.H = 2,76-10sx(i?crH) cm2/(B-c)
J = l,66-10-13x x
Г PpPn (Рр + Нп) I1/2 ?2 ,
x —a-------n------ A/cm2
L p,H J L2
J = 1,80-IO-19 (n0 — p0) x
F2
X |Лп|ЛрТ -J-^- A/CM2
/= 1,42-10“19Цр x
L <voR) J L2
A = 2,76-106 X<Pgp>-
aflp
„ Г 8<l?an> PR, 0 I1'2
(14-89) M
(14.89) D = (von) Nr X
г_______а2а7Уя______"I x/2
l e (V0p) gPR, oHp-l
(14.96)
8 (PCIp) nB, 0 Ю2
ePpPR, <Nr -I
И Рн, о T/2
c = 7,44-IO2 Г—,
L a2ppNR J
D = 7,44-IO2 {v<jn) X
„ Г xa2N н
H L p) gPft' 0Pp
Г X (lXJn) n.% n "iVz
]g = 7,44-102 P v’-
L РрРн, (Nr -*
Таблица перевода формул в практическую систему единиц 371
(14.106а) Упор =
Г e(pgp) L№Rt qPR'Q
~ L 4ле(1рЛГв
(14 121) Й =
' ' п e(fln+flp)L4
Fnop = 3,8-10-4 х
Г (иврУТЛп.^' 0Рв, о у/г
XL J
п = 4,42- 10е см-
(Рп+Рр)^4
г'З
В правом столбце величины Jtf\ и jfCn измеряются в единицах
см~3эВ-1, а величины Tt и Т — в кельвинах.
Литературах)
1. Bloch F., Zs. Phys., 52, 555 (1928).
2. Mott N. F., Gurney R. W., Electronic Processes in Ionic Crystals, Lon-:
don, 1940. (См. перевод: H. Мотт, P. Герни, Электронные процессы ,
в ионных кристаллах, ИЛ, 1950.)
3. Rose A., RCA Rev., 12,362 (1951).
4. Rose A., Phys. Rev., 97, 1538 (1955).
5. Many A., Rakavy G., Phys. Rev., 126, 1980 (1962). i
6. Henisch H. K., Electroluminescence, Oxford, 1962. (См. перевод: Г. Xe-
ниш, Электролюминесценция, изд-во «Мир», 1964.)
7. Ivey H. F., Journ. Electrochem. Soc., 180, 590 (1961).
8. Fischer A. G., Solid State Electron., 2, 232 (1961). )
9. Helfrich W., в книге «Physics and Chemistry of the Organic Solid State», j
eds. D. Fox, M. Labes, A. Weissberger, vol. 3, New York, 1967, p. 1. I
10. Pilkuhn M. H. Phys. Status Solidi, 25, 9 (1968). [См. перевод: УФН, I
98, 295 (1969).] #
11. Thomas D. G., Phys. Today, 21, 42 (1968). ''
12. Franz W., в книге «Handbuch der Physik», Hrsg. S. Fliigge, Bd 17, Ber- ’
lin, 1956, S. 155. (См. перевод: В. Франц, Пробой диэлектриков, ИЛ, -
1961.) ' :
13. Gunn J. В., Proc. Phys. Soc., В69, 781 (1956). »l
14. Stratton R., в книге «Progress inlDielectrics», eds. J. B. Birks, J. Hart, J
Vol. 3, London, 1961, p. 233. ‘
15. Conwell E. M., High Field Transport in Semiconductors, New York, j
1967. (См. перевод: Э. Колуэлл, Кинетические свойства полупроводни-
ков в сильных электрических полях, изд-во «Мир», 1970.) 1
16. Chynoweth A. G., в книге «Semiconductors and Semimetals», eds. j
R. K. Willardson, A. C. Beer, vol. 4, New York, 1968, p. 263. I
17. Laz B., Mavroides J. G., Phys. Rev., 100, 1650 (1955). ]
18. Blakemore J. S., Semiconductor Statistics, Oxford, 1962. (См. перевод: ‘
Д. Блекмор, Статистика электронов в полупроводниках, изд-во «Мир», ,
1964.) х
19. Koenig S. Н., Gunther-Mohr G. R., Journ. Phys. Chem. Solids, 2, 268*
(1957). j
20. Ridley В. K., Pratt R. G., Phys. Lett., 4, 300 (1963). j
21. Ridley В. K., Pratt R. G., Jounn. Phys. Chem. Solids, 26, 21 (1965). Я
22. Pratt R. G., Ridley В. K., Proc. Phys. Soc., 81, 966 (1963). I
23. Pratt R. G., Ridley В. K., Proc. Phys. Soc., 85, 293J(1965).
24. Pratt R. G., Ridley В. K., Journ. Phys. Chem. Solids, 26, 11 (1965). 1
25. Haynes J. R., Shockley W., Phys. Rev., 75, 691 (1949). Д
26. Patrick L., Journ. Appl. Phys., 28, 765 (1957). a
27. Lampert M. A., Schilling R. В., в’книге «Semiconductors and Semimetals»,,J
eds. R. K. Willardson, A. C. Beer, vol. 6, NewJYork, 1970, p. 1- 'И
28. Lampert M. A., Phys. Rev., 103, 1648 (1956). J
t) Литература, отмеченная звездочкой (*), добавлена редактором пере-1
вода. Она включает работы советских авторов, опубликованные до 1968 г.—я
Прим. ред. 1
Литература 373
29. Shockley W., Prim R. C., Phys. Rev., 90, 753 (1953).
30. Mark P., Helfrich W., Journ. Appl. Phys., 33, 205 (1962).
31. Weimer P. K., Cope A. D., RCA Rev., 12, 314 (1951).
32. Forgue S. V., Goodrich R. R., Cope A. D., RCA Rev., 12, 335 (1951).
33. Smith R. W., Phys. Rev., 97, 1525 (1955).
34. Smith R. W., Rose A., Phys. Rev., 97, 1531 (1955).
35. Boer K. W., Kiimmel U., Zs. phys. Chem., 200, 180 (1952).
36. Boer K. W., Kiimmel U., Zs. Naturforsch., 9a, 177 (1954).
37. Boer K. W., Kiimmel U., Ann. Phys., 14, 341 (1954).
38. Boer K. W., Kiimmel U., Ann. Phys., 20, 303 (1957).
39. Bber K. W., Kiimmel U., Zs. Naturforsch., 13a, 698 (1958).
40. Many A., Journ. Phys. Chem. Solids, 26, 575 (1965).
41. Williams R., Journ. Phys. Chem. Solids, 22, 129 (1961).
42. Williams R., Phys. Rev., 125, 850 (1962).
43. Dacey G. C., Phys. Rev., 90, 759 (1953).
44. Bube R. H., Journ. Appl. Phys., 33, 1733 (1962).
45. Harnik E., Journ. Appl. Phys., 36, 3850 (1965).
46. Hinotani K., Sugigami M., Japan. Journ. Appl. Phys., 4, 731 (1965),
47. Hartke J. L., Phys. Rev., 125, 1177 (1962).
48. ManyfA., Weisz S. Z., Simhony M-, Phys. Rev., 126, 1989 (1962).
49. Russ M. J., Journ. Appl. Phys., 34, 1831 (1963).
50. Marlor G. A., Woods J., Brit. Journ. Appl. Phys., 16, 1449 (1965).
51. Bube R. H., Photoconductivity of Solids, New York, 1960. (См. перевод:
P. Бъюб, Фотопроводимость твердых тел, ИЛ, 1962.)
5 2. Rose A., Concepts in Photoconductivity and Allied Problems, New York,
1963. (См. перевод: А. Роуз, Основы теории фотопроводимости, изд-bq
«Мир», 1966.)
53. Niekisch Е. A., Zs. phys. Chem., 217, 110 (1961).
54. Bube R. H., Journ. Appl. Phys., 32, 1621 (1961).
55. Lanyon H. P. D., Phys. Rev., 130, 134 (1963).
56. Helfrich W., Mark P., Zs. Phys., 171, 527 (1963).
57. Adolph J., Baldinger E., Czaja W., Griinacher I., Phys. Lett., 6, 137 (1963),
58. Gregory B. L., Jordan A. G., Phys. Rev., 134, A1378 (1964).
59. Aiken J. G., Jordan A. G., Journ. Appl. Phys., 36, 3943 (1965).
60. Denda S., Nicolet M.-A., Journ. Appl. Phys., 37, 2412 (1966).
61. Stockmann F., в книге «Halbleiterprobleme», Hrsg. F. Sauter, Rd. 6,
Braunschweig, 1961, S. 279.
62. Kaliman H. P., Pope M., Nature, 186, 31 (1960).
63. Kaliman H. P., Pope M., Journ. Chem. Phys., 32, 300 (1960). (См. пере-
вод в книге: X. Инокути, X. Акамату, Электропроводность органиче-
ских полупроводников, ИЛ, 1963, стр. 152.)
64. Helfitch W., Schneider W. G., Phys. Rev. Lett., 14, 229 (1965).
65. Helfrich W., Schneider W. G., Jcurn. Chem. Phys., 44, 2902 (1966).
66. Buchner W., Mehl W., Zs. phys. Chem., 69, 376 (1965).
67. Mehl W., Hale J. M., в книге «Advances in Electrochemistry and Elec-
trochemical Engineering», ed. P. Delahay, vol. 6, New York, 1967,
p. 399.
68. Ruppel W-, Helv. Ph^s. Acta, 31, 311 (1958).
69. McWhorter A. L.. Rediker R. H., Proc. IRE, 47, 1207 (1959).
70. McWhorter A. L., Rediker R. H., в книге «Proc. Intern. Conf. Semicon-
ductor Phys., 5th, Prague, 1960», Prague, 1961, p. 134.
71. Bok J., Sohm J. C., Zylbersztejn А., в книге «Proc. Intern. Conf. Semicon-
ductor Phxs., 5th, Prague, 1960», Prague, 1961, p. 138.
72. Smith R. W., Phys. Rev., 105, 900 (1957).
73. Zuleeg R., Muller R. S., Solid-State Electron., 7, 575 (1964).
Tbdheide-Haupt U., Gysler A., Ruppel W., Phys. Status Solidi, 15, 567
74. (1966).
374 Литература
75. Sussman A., Journ. Appl. Phys., 38, 2738, 2748 (1967).
76. Helfrich W., Phys. Status Solidi, 7, 863 (1964).
77. Muller G. 0., Journ. Phys. Chem. Solids, 23, 1503 (1962).
78. Helfrich W., Mark P., Zs. Phys., 166, 370 (1962).
79. Ruppel W., в книге «Proc. Intern. Conf. Semiconductor Phys., 5th, Pra-
gue, 1960», Prague, 1961, p. 1057.
80. Helfrich W., Mark P., Zs. Phys., 168, 495 (1962).
81. Bassler H., Becker G., Riehl N., Phys. Status Solidi, 15, 347 (1966).
82. Dresner J., Shallcross F. V., Solid State Electron., 5, 205 (1962).
83. Franks J., Keating P. N., Journ. Phys. Chem. Solids, 22, 25 (1961).
84. Shulman С. I., Phys. Rev., 98, 384 (1955).
85. Fassett J. R., van Vliet К. M., в книге «Proc. Intern. Conf. Semiconduc-
tor Phys., 6th, Exeter, 1962», London, 1962, p. 886.
86. Sergiescu V., Brit. Journ. Appl. Phys., 16, 1435 (1965).
87. van der Ziel A., Solid State Electron., 9, 123 (1966).
88. Anderson JV. J., Meltzer B., Journ. Electron. Control, 11, 111 (1961).
89. Ziflstra R. J. J., van der Ziel A., Physica, 29, 78 (1963).
90. Jansen P., Helfrich W., Riehl N., Phys. Status Solidi, 7, 851 (1964).
91. Hoestery D. C., Letson G. M., Journ. Phys. Chem. Solids, 24, 1609 (1963).
92. Weisz S. Z., Jarnagin R. C., Silver M., Simhony M., Balberg J., Journ.
Chem. Phys., 40, 3365 (1964).
93. Granacher I., Solid State Commun., 3, 331 (1965).
94. Simhony M., Gorelik J., Journ. Phys. Chem. Solids, 26, 1133 (1965).
95. Allen J. W., Cherry R. J., Nature, 189, 297 (1961).
96. Mark P., Phys. Rev., 137, A203 (1965).
97. Smith R. W., RCA Rev., 20, 69 (1959). j
98. Lampert M. A., Rose A., Smith R. W., Journ. Phys. Chem. Solids, 8,
464 (1959).
99. Wright G. T., Proc. IEE, 106B, Suppl., 915 (1959). <
100. Page D. J., Kayali A. A., Wright G. T., Proc. Phys. Soc., 80, 1133 ‘
(1962).
101. Steinberger I. T., Journ. Phys. Chem. Solids, 15, 354 (1960).
1B2. Ruppel W., Journ. Phys. Chem. Solids, 22, 199 (1961). :
103. Zuleeg R., Solid State Electron., 6, 193 (1963). J
104. Webb P. W., Wright G. T., Brit. Journ. Appl. Phys., 15, 385 (1964). j
105. Broser I., Broser-Warminsky R., Journ. Phys. Chem. Solids, 6, 386 (1958). s
106. Alfrey G. F., Cooke I., Proc. Phys. Soc., B70, 1096 (1957). ’
107. Ozarow V., Hysell R. E., Journ. Appl. Phys., 33, 3013 (1962). j
108. English A. C., Drews R. E., Sci. Electrica, 9, 1 (1963). 1
109. Edwards J., Kawabe K., Stevens G., Tregdold R. H., Solid State Commun., J
3, 99 (1965). I
110. Greener E. H., Whitmore D. H., Journ. Appl. Phys., 32, 1320 (1961). ]
111. Cardan F., Physica, 27, 841 (1961). ]
112. von Hippel A., Kalnais J., Westphal W. B., Journ. Phys. Chem. Solids, |
23, 779 (1962). J
113. Branwood A., Tredgold R. H., Proc. Phys. Soc., 76, 93 (1960). 1
114. Branwood A., Hughes О. H., Hurd J. D., Tredgold R. H., Proc. Phys.
Soc., 79, 1161 (1962). 1
115. Kanztg W., Phys. Rev., 98, 549 (1955).
116. Lefkowitz I., Nature, 198, 657 (1963). ,-j
117. Tredgold R. H., Space Charge Conduction in Solids, Amsterdam, 1966.1
118. Lemke H., Phys. Status Solidi, 3, 2083 (1963). J
119. Lemke H., Phys. Status Solidi, 16, 427 (1966). J
120. Lemke H., Miiller G. O., Phys. Status Solidi, 24, 127 (1967). 1
121. Spear W. E., Lanyon H. P. D., в книге «Proc. Intern. Conf. Semiconduc-Cj
tor Phys., 5th, Prague, 1960», Prague, 1961, p. 987. .-j
122. Lanyon H. P D., Spear W. E., Proc. Phys. Soc., 77, 1157 (1961). я
Литература 375
123. Polke М., Stuke J., Vinaricky E., Phys. Status Solidi, 3, 1885 (1963).
124. Polke M., Phys. Status Solidi, 5, 279 (1964).
125. Bowlt C., Proc. Phys. Soc., 80, 810 (1962).
126. Mark P., Zs. Naturforsch., 16a, 950 (1961).
127. Helfrich W., Lipsett F. R., Journ. Chem. Phys., 43, 4368 (1965).
128. Weisz S. Z., Cobos A., Richardson P. E., Szmant H. H., Trester S., J ourn.
Chem. Phys., 44, 1364 (1966).
129. Mehl W., Funk B., Phys. Lett., 25A, 364 (1967).
130. HeilmeierG. H., Warfield G., Journ. Chem. Phys., 38, 163 (1963).
131. Delacote G. M., Fillard J. P., Marco F. J., Solid State Commun., 2, 373
(1964).
132. Rose A., Helv. Phys. Acta, 30, 242 (1957).
133. Rose A., Lampert M. A., Phys. Rev., 113, 1227 (1959).
134. Rose A., Lampert M. A., RCA Rev., 20, 57 (1959).
135. Ruppel W., Smith R. W., RCA Rev., 20, 702 (1959).
136. Shao J., Wright G. T., Solid State Electron., 3, 291 (1961).
137. Page D. J., Solid State Electron., 9, 255 (1966).
138. Shockley W., Proc. IRE, 40, 1289 (1952).
139. Weimer P. K., IRE Trans., ED-8, 421 (1961).
140. Weimer P. K., Proc. IRE, 50, 1462 (1962). [См. перевод: ТИРИ, 50, 1526
(1962).]
141. Wright G. T., Solid State Electron., 5, 117 (1962).
142. Wright G. T., Solid-State Electron., 7, 167 (1964).
143. Brown F. C., Phys. Rev., 97, 355 (1955).
144. Spear W. E., Proc. Phys. Soc., B70, 669 (1957).
145. Kepler R. G., Phys. Rev., 119, 1226 (1960).
146. Many A., Simhony M., Weisz S. Z., Levinson J., Journ. Phys. Chem.
Solids, 22, 285 (1961).
147. Schilling R. B., Schachter H., Journ. Appl. Phys., 38, 841 (1967).
148. Schilling R. B., Schachter H., Solid State Electron., 10, 689 (1967).
149. Schumann W. 0., Zs. techn. Phys., 14, 23 (1933).
150. Schilling R. B., Schachter H., Journ. Appl. Phys., 38, 1643 (1967).
151. Baron R., Nicolet M.-A., Rodriguez V., Journ. Appl. Phys., 37, 4156
(1966).
152. Schwartz L. M., Hornig J. F., Journ. Phys. Chem. Solids, 26, 1821 (1965).
153. Trester S., Cobas A., Weisz S. Z., Journ. Phys. Chem. Solids, 27, 1701
(1966).
154. Papadakis A. C., Journ. Phys. Chem. Solids, 28, 641 (1967).
155. Weisz S, Z., Cobas A., Trester S., Many A., Journ. Appl. Phys., 39, 2296
(1968).
156. Silver M., Mark P., Olness D., Helfrich W., Jarnagin R. C., Journ. Appl.
Phys., 33, 2988 (1962).
157. Spear W. E., Proc. Phys. Soc., 76, 826 (1960).
158. Spear W. E., Journ. Phys. Chem. Solids, 21, 110 (1961).
159. Mort J., Spear W. E., Phys. Rev. Lett., 8, 314 (1962).
160. Spear W. E., Mort J., Proc. Phys. Soc., 81, 130 (1963).
161. Kepler R. G., в книге «Organic Semiconductors», eds. J. J. Brophy, J. W.
Buttrey, New York, 1962. (См. перевод в книге «Органические полупро-
водники», изд-во «Мир», 1965, стр. 14.)
162. Silver М., Swicord М., Jarnagin R. С., Many A., Weisz S. Z., Simho-
ny М., Journ. Phys. Chem. Solids, 23, 419 (1962).
163. Simhony M., Journ. Phys. Chem. Solids, 24, 1297 (1963).
164. Many A., Simhony M., Weisz S. Z., Teacher Y., Journ. Phys. Chem. So-
lids, 25, 721 (1964).
165. Adams A. R., Spear W. E., Journ. Phys. Chem. Solids, 25, 1113 (1964).
166. Adams A. R., Gibson D. J., Spear W. E., Solid State Commun., 2, 387
(1964).
376 Литература
167. Many A., Simhony М., Grushkevitz Y., Journ. Phys. Chem. Solids, 26,
1925 (1965).
168. Driedonks F., Zijlstra R. J. J., Phys. Lett., 23, 527 (1966).
169. Braunlich P., Phys. Status Solidi, 21, 383 (1967).
170. Shockley W., Bell System Techn. Journ., 30, 990 (1951).
171. Lampert M. A., Journ. Appl. Phys., 29, 1082 (1958).
172. Hecht K., Zs. Phys., 77, 235 (1932).
173. Gilleo M. A., Phys. Rev., 91, 534 (1953).
174. Williams R., Phys. Rev., 140, A569 (1965).
175. Williams R., Journ. Appl. Phys., 37, 1491 (1966).
176. Goodman A. M., Phys. Rev., 144, 588, 152, 780, 785 (1966).
177. Williams R., в книге «Semiconductors and Semimetals», eds. R. K. Will-
ardson, -A. C. Beer, vol. 6, New York, 1970, p. 97.
178. Rose А., в книге «Progress in Semiconductors», ed. A. F. Gibson, vol. 2,
London, 1957, p. ill.
179. Redington R. W., Journ. Appl. Phys., 29, 189 (1958).
180. Engelhardt H., Riehl N., Phys. Lett., 14, 20 (1965).
181. Hofstein S. R., Appl. Phys. Lett., 10, 291 (1967).
182. Hofstein S. R., Appl. Phys. Lett., 11, 95 (1967).
183. Heilmeier G. H., Heyman P. M., Phys. Rev. Lett., 18, 583 (1967).
184. Spangenberg K. R., Vacuum Tubes, New York, 1948, ch. 6. (См. перевод:
К. Шпангенберг, Электронные лампы, т. 1, изд-во «Сов. радио», 1953.)
185. Lampert М. A., Many A., Mark Р., Phys. Rev., 135, А1444 (1964).
186. Meltzer В., Journ. Electron. Control, 8, x 171 (1960).
187. Geurst J. A., Phys. Status Solidi, 15, 107 (1966).
188. Good R. H., Miiller E. VP., в книге «Handbucn der Physik», Hrsg.
S. Fliigge, Bd 21, Berlin, 1956, p. 176. 1
189. Адирович Э. И., ФТТ, 2, 1410 (I960).
190. Fan H. Y., Phys. Rev., 74, 1505 (1948).
191. Landsberg P. T., Zs. phys. Chem., 198, 75 (1951).
192. Skinner-S. M., Journ. Appl. Phys., 26, 509 (1955).
193. Suits G. H., Journ. Appl. Phys., 28, 454 (1957).
194. Wright G. T., Solid State Electron., 2, 165 (1961).
195. Lindmayer J., Reynolds J., Wrigley C., Journ. Appl. Phys., 34, 809 (1963).
196. Macdonald J. R., Solid State Electron., 5, 11 (1962).
197. Roberts G. G., Tredgold R. H., Phys. Lett., 2, 6 (1962).
198. Lampert M. A., Edelman F., Journ. Appl. Phys., 35, 2971 (1964).
199. Langmuir I., Phys. Rev., 33, 954 (1929).
200. Lampert M. A., RCA Rev., 20, 682 (1959),
201. Parmenter R. H., Ruppel W., Journ. Appl. Phys., 30, 1548 (1959).
202. Rosenberg L. M., Lampert M. A., Journ. Appl. Phys., 41, 508 (1970).
203. Lampert M. A., Rose A., Phys. Rev., 121, 26 (1961).
204. Рашба Э. И., Толпыго К. Б., ЖТФ, 25, 1335 (1955).
205. Hirota R., Tosima S., Lampert M. A., Journ. Phys. Soc. Japan, 18, 535>
206. Shockley W., Electrons and Holes in Semiconductors, New York, 1950.
(См. перевод: В. Шокли, Теория электронных полупроводников, ИЛ,
1953.)
207. Dumke И7. Р., в книге «Physics of Semiconductors, Proc. 7th Intern.
Conf., Paris, 1964», Paris, 1964, p. 611.
208. Schilling R. B., Lampert M. A., Journ. Appl. Phys., 41, 1791 (1970).
209. Baron R., Phys. Rev., 137, A272 (1965).
210. Baron R., Journ. Appl. Phys., 39, 1435 (1968).
211. Larrabee R. D., Phys. Rev., 121, 37 (1961).
212. Marsh O. J., Mayer J. W., Baron R., Appl. Phys. Lett., 5, 74 (1965).
213. Arizumi T., Umeno M., Honba Y., Journ. Phys. Soc. Japan, 20, 1904
(1965).
Литература 377
214. Стафеев В. И., ЖТФ, 28, 1631 (1958).
215. Иоффе А. Ф., Физика полупроводников, изд-во АН СССР, 1957.
216. A ncker-Johnson В., в книге «Semiconductors and Semimetals», eds.
R. К. Willardson, A. C. Beer, vol. 1, New York, 1966, p. 379.
217. Baron R., Mayer J. W., Marsh 0. J., Appl. Phys. Lett., 4, 65 (1964).
218. Mayer J. W., Baron R., Marsh 0. J., Phys. Rev., 137, A286 (1965).
219. Mayer J. И7., Baron R., Marsh 0. J., Appl. Phys. Lett., 6, 38 (1965).
220. Okazaki S., Hiramatsu M., Solid State Commun., 5, 475 (1967).
221. Moore J. S., PhD thesis, Univ. Illinois, 1967.
222. Moore J. S., Penchina С. M., Holonyak N., Sirkis M. D. Yamada T.,
Journ. Appl. Phys., 37, 2009 (1966).
223. Moore J. S., Holonyak N., Sirkis M. D., Blouke M. M., Appl. Phys.
Lett., 10, 58 (1967).
224. Moore J. S., Holonyak N., Sirkis M. D., Solid State Electron., 10 , 823.
(1967).
225. Waxman A., Lampert M. A., Phys. Rev., Bl, 2735 (1970).
226. Стафеев В. И., ФТТ, 1, 841 (1959).
227. Lampert М. A., Phys. Rev., 125, 126 (1962). -
228. Keating P. N., Phys. Rev., 135, A1407 (1964).
229. Ashley K. L., PhD thesis, Carnegie Inst. Technol., 1963.
230. Ashley K. L., Milnes A. G., Journ. Appl. Phys., 35, 369 (1964).
231. Ridley В. K., Proc. Phys. Soc., 82, 954 (1963).
232. Barnett A. M., PhD thesis, Carnegie Inst. Technol., 1966.
233. Barnett A. M., Milnes A. G., Journ. Appl. Phys., 37, 4215 (1966).
234. Butcher P. N., к книге «Reports on Progress in Physics», ed. A. C. Stick-
land, vol. 30, pt. 1, London, 1967, p. 97.
235. Tyler W. W., Phys. Rev., 96, 226 (1954).
236. Лебедев А. А., Стафеев В. И., Тучкевич В. М., ЖТФ, 26, 2131 (1956).
237. Holonyak N., Proc. IRE, 50 , 2421 (1962). [См. перевод: ТИРИ, 50, 244»
(1962).]
238. Holonyak N., Ing S. W., Thomas R. C., Bevacqua S. F., Phys.
Rev. Lett., 8, 426 (1962).
239. Holonyak N., Bevacqua S. F., Appl. Phys. Lett., 2, 71 (1963).
240. Vogl T. P., Hansen I. R., Garbuny M., Journ. Opt. Soc. Am., 51, 70
(1961).
241. Ryuzan O., Journ. Phys. Soc. Japan, 16, 2177 (1961).
242. van Ruyven L. J., Adriaens W. H. Th., Phys. Lett., 3, 109 (1962).
243. Melngailis I., Rediker R. H., Journ. Appl. Phys., 33, 1892 (1962).
244. Melngailis I., Rediker R. H., Proc. IRE, 50, 2428 (1962).
[См. перевод: ТИРИ, 50, 2451 (1962).]
245. Jonscher A. K., Brit. Journ. Appl. Phys., 12 , 363 (1961).
246. Aven M., Cusano D. A., Journ. Appl. Phys., 35, 606 (1964).
247. Cox G. A., Tredgold R. H., Phys. Lett., 4, 199 (1963).
248. Dresner J., RCA Rev., 30, 322 (1969).
249. Steele M. C., Ando K., Lampert M. A., Journ. Phys. Soc. Japan, 17, 1729
(1962).
250. Ando K., Steele M. C., Lampert M. A., Journ. Phys. Soc. Japan, 18, 591
(1963).
251. Kikuchi M., Japan. Journ. Appl. Phys., 2, 31 (1963).
252. Tosima S., Ando K., Journ. Phys. Soc. Japan, 23, 812 (1967).
253. Tosima S., Journ. Phys. Soc. Japan, 22, 1025 (1967).
254. Prior A. C., Proc. Phys. Soc., 76, 465 (I960).
255. Gunn J. В., в книге «Progress in Semiconductors», ed. A. F. Gibson, vol. 2,
London, 1957, p. 213.
256. Hoefflinger B., IEEE Trans., ED-13, 151 (1966).
257. Read W. T., Bell System Techn. Journ., 37, 401 (1958).
258. Litton C. W., Reynolds D. C., Phys. Rev., 133, A536 (1964).
378 Литература
259. Yamashita Н., Ibuki S., Komiya H., Mitsubishi Deuki Lab. Rept. No. 4,
1963, p. 117.
260. Keating P. N., Journ. Phys. Chem. Solids, 24, 1101 (1963).
261. Mueller C. W., Hilibrand J., IRE Trans., ED-5, 2 (1958).
262. Weiser K., Levitt R. C., Journ. Appl. Phys., 35, 2431 (1964).
263. Weiser K., IBM Journ. Res. Developm., 9, 315 (1965).
264*. Авакъянц Г. M., Радиотехн. и электрон., 10, 1880 (1965).
265*. Авакъянц Г. М., Изв. АН Арм. ССР, Физика, 1, 248 (1966).
266*. Авакъянц Г. М., Атакулов Б. А., Дмитриенко И. Л., Мурыгин В. И.,
Церфас Р. А., Радиотехн. и электрон., 10, 2037 (1965).
267*. Авакъянц Г. М., Алимова Л. И., Мурыгин В. И , Скрипников Ю. С.,
Церфас Р. А., Радиотехн. и электрон., 10, 2074 (1965).
268*. Авакъянц Г. М., Барсегян Р.С., Каниязов Ш., Корнилъцева Г. В., Муры-
гин В. И., Церфас Р. А., Изв. АН Арм. ССР, Физика,2, 223 (1967).
269*. Авакъянц Г.М., Дмитриенко И.Л., Мурыгин В. И., Радиотехн. и элек-
трон., 10, 1700 (1965).
270*. Авакъянц Г. М., Зуев А. В., Мурыгин В. И., Скрипников Ю.С., Су-
ров В. П., Церфас Р. А., Радиотехн. и электрон., 10, 2077 (1965).
271*. Авакъянц Г. М., Каниязов Ш-, Изв. АН Арм. ССР, Физика, 1, 95, 105
(1966).
272*. Авакъянц Г. М., Каниязов Ш., Изв. АН Арм. ССР, Физика, 2, 291, 304,
388,395 (1967).
273*. Авакъянц Г. М., Рахимов А. У., Изв. АН Арм. ССР, Физика, 2, 105,
316, 330 (1967).
274*. Адирович Э. И., ФТП, 1, 1620 (1967).
275*. Адирович Э. И., Дубровский Л. А., ДАН СССР, 164, 771 (1965).
276*. Адирович Э. И., Дубровский Л. А., ДАН СССР, 173, 1032 (1967).
277*. Адирович ЭЛИ., Дубровский Л. А., Суздалкина Л. Б., ДАН СССР, 177,
1047 (1967)."
278*. Алферов Ж. И., Трукан М. К., ТучкевичВ. М., в книге «Электронно-
дырочные переходы в полупроводниках», Ташкент, 1962, стр. 76.
279*. Аронов Д. А., Изв. АН Узб. ССР,сер. физ.-мат. наук, № 6, 68 (1960).
280*. Аронов Д. А., Изв. АН Узб. ССР, сер. физ.-мат. наук, № 5,71 (1963).
281*. Аронов Д. А., Карагеоргий-Алкалаев П. М., Котов Я П., Лейдер-
ман А. Ю., Рыжиков И. В., Круглов И. И., Изв. АН Узб. ССР, сер. физ,-
мат. наук, № 6, 54 (1966).
282*. Аронов Д. А., Котов Я. И., ДАН Узб. ССР, № 10, 20 (1966).
283*. Аронов Д.А , Котов Я. И., Изв. АН Узб. ССР, сер. физ.-мат. наук,
№5, 63 (1966).
284*. Аронов Д. А., Котов, Я. И. Радиотехн и электрон., 12, 1479 (1967).
285*. Аронов Д. А., КотовЯ. П., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук,
№ 2,61 (1967).
286*. Аронов Д. А., Котов Я. П., ДАН Узб. ССР, № 11, 20 (1967). 1
287*. Афанасьева Е. А.,Виноградов В. С., Конорова Е.А.,Изв. АН СССР, сер. J
физ., 24, 66 (1960). *
288*. Бакиров М. Я., Джалилов Н. 3., ФТТ, 8, 293 (1966). »
289*. Барсуков Ю. К., ФТТ, 1, 602 (1959).
290*. Барсуков Ю. К , ФТТ, 1, 1659 (1959).
291*. Беликова Г. С., Кусев В. Г., Фридкин В. М , ФТТ, 5, 1735 (1963).
292*. Берковский Ф. М., Касымова Р. С., Радиотехн. и электрон., 9, 899 j
(1964). -
293*. Берковский Ф. М., Касымова Р. С., ФТТ, 8, 1985 (1966). ;
294*. Васильев Б. И., Грибников 3. С., в книге «Физика р —n-переходов», j
Рига, 1966, стр. 76. j
295*. Варламов И. В.,Сондаееская И. А., Сондаевский В. П., ФТП, 1, 452 ]
(1967). I
296*. Вищакас Ю. К., Матуленис А Ю., Reprographie, 11, Koln, 1967, S. 87. I
Литература 379
297*. Вищакас Ю. К., Матуленис А.Ю., Юшка Г. В., Литовск. физ. сб., 6,
67 (1966).
298*. Вищакас ТО. К., МачкусП. В., Смилга А. А , в книге «Математика, фи-
зика, кибернетика», Вильнюс, 1967, стр. 152
299*. Вищакас 10. К., Смилга А. А., Юшка Г. Б , ФТП, 1, 1733 (1967).
ЛОО*. Вищакас Ю.К., Юшка Г. Б., Петравичус А. Д., Матуленис А. Ю.,
ФТТ, 8, 1616 (1966).
301*. Гершун А. С., Сысоев Л. А., Тиман Б. Л , ФТТ, 8, 1633 (1966).
302*. Гершун А. С., Сысоев Л. А., Тиман Б. Л , ФТТ, 8, 3116 (1966).
303*. Гершун А. С., Сысоев Л. А., Тиман Б. Л., ФТТ, 8, 3712 (1966).
304*. Гершун А. С., Тиман Б. Л., ФТТ, 9, 935 (1*967).
305*. Гершун А. С., Тиман Б. Л., ДАН СССР, 173, 310 (1967).
306*. Грибников 3. С., Радиотехн. и электрон., 9, 163 (1964).
307*. Грибников 3. С., Радиотехн. и электрон., 9, 851 (1964).
308*. Грибников 3. С., ФТТ, 7, 251 (1965).
309*. Грибников 3. С., Тхорик Ю. А., УФЖ, 9, 851 (1964).
310*. Грибников 3 С., Тхорик Ю. А., в книге «Физика р —п-переходов»,
Рига, 1966, стр. 59.
311*. Гугешашвили М. И., Елигулашвили И. А.,Накашидзе Г. А., Розен-
штейн Л. Д., Электрохимия, 3, 339 (1967).
312*. Гущин М. Н., Радиотехн. и электрон., 11, 2024 (1966).
313*. Гущин М. H.t Рябинкин Ю. С., Радиотехн. и электрон., 11, 321 (1966).
314*. Елинсон М.'И., Степанов Г. В., Перов П.И., Покалякин В. И., в книге
«Вопросы пленочной электроники», М., 1966, стр. 5
315*. Зибуц Ю. А., ПарицкийЛ. Г., Рывкин С. М., ФТП, 1, 724 (1967).
316*. Казаринов Р. Ф., Стафеев В. И., Сурис Р. А., ФТП, 1, 1293 (1967)
317*. ЛейдерманА. Ю., Изв АН Узб. ССР, сер. физ.-мат.гнаук, № 2, 29 (1965).
318*. Климов Б. Н., ФТТ, 6, 1356 (1964).
319*. Коломиец Б. Т., Лебедев Э. А., ФТП, 1, 815 (1967).
320*. Косенко В. Е., ЖТФ, 27, 451 (1957).
321*. Крамарева С. А., Стафеев В. И., ФТТ, 2, 377 (1960).
322*. Лейдерман А. Ю., Карагеоргий-АлкалаевП. М., Радиотехн. и электрон.,
9, 1868 (1964).
323*. Лейдерман А. Ю.,Карагеоргий-Алкалаев П. М.,Изв. АН Узб. ССР, сер.
физ.-мат. наук, № 5, 80 (1965).
324*. Лейдерман А. Ю., Карагеоргий-Алкалаев П. М., Радиотехн. и электрон.,
10, 720 (1965).
325*. Лейдерман А. Ю., Карагеоргий-Алкалаев П. М., в книге «Физика р — п-
переходов», Рига, 1966, стр. 6$.
326*. Лейдерман А. Ю. .Карагеоргий-Алкалаев П. М., Радиотехн. и электрон.,
12, 1651 (1967).
327*. Лившиц В. А., Блюменфельд Л. А.,Журн. структурн. химии, 8, 433
(1967).
328*. Литвиненко В. Ю., Фридкин В. М., ФТТ, 9, 3615 (4967)
329*. Мачку с П. В., Смилга А. А., Вищакас Ю. К Литовск. физ. сб., 7, 789
(1967).
330*. МонтримасЕ. А., Гайдялис В. И., Вищакас Ю. К., Литовск. физ. сб.,
7, 423 (1967).
331*. Мусабеков Т. Ю., Сандомирский В. Б., ФТТ, 7, 1687 (1965).
332*. Мусабеков Т. Ю., Сандомирскир, В. Б., в книге «Вопросы пленочной
электроники», М., 1966, стр. 83.
333*. Мусабеков Т. Ю., С андомирский В. Б., в книге «Вопросы пленочной
электроники», М., 1966, стр. 288.
334*. Осипов В. В., Стафеев В. И., ФТП, 1, 1795 (1967).
335*. Павличенко В. И., Рыжиков И. В., Кмита Т. Г., Карагеоргий-Алкала-
ев П. М., Лейдерман А. Ю., ФТТ, 8, 1239 (1966).
336*. Парицкий Л. Г., Дипломная работа, ЛПИ им. М. И. Калинина, Ленин-
град, 1952.
380 Литература
337*. Парицкий Л. Г., Розенталь А. И., ФТП, 1, 265 (1967).
338*. Парицкий Л. Г., Рывкин С. М., ЖТФ, 24, 3 (1954),
339*. Рашба Э. И., Носарь А. И., ЖТФ, 27, 1431 (1957).
340*. Рашба Э. И., Толпыго К. Б., ЖТФ, 26, 1419 (1956).
341*. Ротенберг 3. А., Электрохимия, 3, 1269 (1967).
342*. Ротенберг 3. Л., Левина С. Д., Электрохимия, 3, 272 (1967).
343*. Ротенберг 3. А., Левина С. Д., Короб Л. Л., Электрохимия, 2, 1224
(1966).
344*. Рыжиков И.В., Новоселова И. А., 'Кручинин А. У., Николаев Ю. Н.,
Карагеоргий-Алкалаев П.М., Лейдерман А. Ю., Круглов И. И-, ФТП,
1, 1182 (1967).
345*. Рыжиков И.В., Павличенко В.И., Кмита Т. Г., Радио-техн, и электрон.,
12, 848 (1967).
346*. Рыжиков И. В., Павличенко В. И., Кмита Т. Г., Лейдерман А. Ю.,
Карагеоргий-Алкалаев И. М., Радиотехн и электрон., 12, 842 (1967)-
347*. Рябинкин Ю. С., ФТТ, 6, 2989 (1964).
348*. Рябинкин Ю. С., ЖТФ, 35, 428 (1965).
349*. Рябинкин Ю .С., ЖТФ, 36, 735 (1966).
350*. Сабликов В. А., Павлинов А. Б., ДАН Узб. ССР, № 9, 27 (1967).
351*. Сондаевский В. П., Стафеев В. И., ФТТ, 6, 80 (1964).
352*. Сондаевский В. П., Стафеев В. Ив книге «Физика р — п-переходов»,
Рига, 1966, стр. 83.
353*. Стафеев В. И., ФТТ, 1, 848 (1959).
354*. Стафеев В. И., ФТТ, 3, 185 (1961).
355*. Стафеев В. И., ФТТ, 3, 2513 (1961).
356*. Тиман Б. Л., ФТТ, 9, 1521 (1967).
357*. Толпыго К. Б., Заславская И. Г., ЖТФ, 25, 955 (1955).
358*. Филаретов Г. А., Стафеев В. И-, ФТП, 1, 1092 (1967).
359*. Чеголков Е. И., Хлебникова Л. В., в книге «Электронно-дырочные*
переходы в полупроводниках», Ташкент, 1962, стр. 300.
360*. Шалимова К. В., Павлов Л.П., Резвый Р. Р., ФТТ, 6, 2209 (1964).
361*. Яснополъский Н.Л., Алексеева А. П., в книге «Физика диэлектриков»,
Труды Второй всесоюзной конференции, М., 1960, стр. 522
362*. Яснополъский Н.Л., Алексеева А. П., Кофанова Т. И., Радиотехн и
электрон., 5, 1299 (1960).
363*. Яснополъский Н. Л., Нндришенок В. И., Крикунов Ж- Л., в книге
«Вопросы пленочной электроники», М., 1966, стр. 328.
364*. Яснополъский Н. Л., Нндришенок В И , Крикунов Ж. А., в книге1
«Вопросы пленочной электроники», М., 1966, стр. 347.
365*. Яснополъский Н.П , Сергейчева Л.Н., Нндришенок В. И., в книга
«Вопросы пленочной электроники», М., 1966, стр. 407.
ТОКИ МОНОПОЛЯРНОЙ и двойной
ИНЖЕКЦИИ
Библиография за период 1968 г. — середина 1971 г?)
1968 г.
ТОКИ МОНОПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ
1. Адирович Э. И., Дубровский Л. А., ДАН СССР, 178, 68 (1968).
Вольтамперная характеристика гетероконтакта полупроводник —
диэлектрик.
2. Адирович Э. И., Дубровский Л. А., ДАН СССР, 180, 52 (1968).
Гетероконтакт полупроводник — диэлектрик с потенциальной ло-
вушкой для электронов в прикатодном слое.
3. Азимходжаев X. Э., ШейнкманМ. К.,Изв. АН Узб. ССР, сер. физ.-мат.
наук, № 2, 39 (1968).
Влияние сильного постоянного электрического поля на заполнение
уровней прйлипания в CdS-монокристаллах.
4. Акулинин С. А., Щевелев М. И., в книге «Релаксационные явления в твер-
дых телах», ред. В. С. Постников, изд-во «Металлургия», 1968, стр. 634.
Поляризационные явления в диэлектрической структуре Ti—TiO2—
металл. .
-5. Андрэеу А. Д., Лойка В. I., Некрйшэв1ч I. Р., Изв. АН БССР, сер.
физ.-мат. наук, № 4, 123 (1968).
Влияние экспозиции и напряжения на инжекцию электронов из
плазмы газового разряда в Se.
•6. Бакиров М- Я., Ибаеев Г. И., Phys. Status Solidi, 30, К.73 (1968).
Эффекты накопления заряда в кристаллах Se под действием электри-
ческого поля.
7. Вищакас Я., Мачкус П., Смилга A., Phys. Status Solidi, 25, 331 (1968).
ТООЗ и эффекты сильного электрического поля в пленках стекло-
образного Se.
8. Гасанов О. К., Извозчиков В. А., Богословский В. И-, в книге «XXI Гер-
ценовские чтения, Межвузовская конференция, 1968, Физика и полупро-
водниковая электроника», Л., 1968, стр. 84.
Стимуляция фотоэлектрической чувствительности тонких пленок
РЪО электрическим полем.
9. Гершун А. С., Тиман Б. Л., ФТП, 2, 488 (1968).
Нестационарные процессы, протекающие в системе металл — ди-
электрик — металл в постоянном электрическом поле
ТО. Гершун А. С., Тиман Б. Л., ФТТ, 10, 1583 (1968).
Перенос вакансий и электрические процессы в кристаллах CdS.
11. Гугешашвили М. И., Елигулашвили И. А., Накашидзе Г. А., Розен-
штейн Л Д., Хатиашвили А. А., Электрохимия, 4, 593 (1968).
Распределение уровней нафтацена в антрацене.
12. Гугешашвили М. И., Елигулашвили И. А , Накашидзе Г. А., Розен-
штейн Л. Д., Чавчанидзе В. В., ФТП, 2, 144 (1968).
Индуцированная инжекцией длинноволновая фотопроводимость
антрацена.
ТЗ. Дохолян Ж. Г., ЗибуцТО. А., Парицкий Л. Г., Розенталь А. И-, ФТП,
2, 137 (1968).
Особенности электроиндуцированного фотоэффекта в CdS.
х) Библиографию составил А. И. Розенталь. — Поим. ред.
382 Библиография за период 1968 г.—середина 1971 г.
14. Дохолян Ж. Г., Парицкий Л. Г., Розенталь А. И., ФТП, 2, 897 (1968).
Исследование собственной фотопроводимости в условиях монопо-
лярной инжекции
15. Дубовой В. К., Кучеров I. Я., BicHHK Кигвськ. ун-ту, сер. ф!зики, № 9,
23 (1968).
Влияние поверхности иа вольтамперную характеристику CdS-кри-
сталлов с омическими контактами.
16. Ждан А. Г., Мусабеков Т. Ю., Сандомирский В. Б-, Елинсон М. И.,
Чугунова] М. Е., Радиотехн. и электрон., 13, 296 (1968).
Динамические вольтамперные характеристики тонкопленочных
гетеропереходов CdS — SiOx.
17. Ждан А. Г., Мусабеков Т. Ю., Сандомирский В. Б-, Елинсон М. И.,.
Чугунова М. Е., Solid State Electron., 11, 577 (1968).
Исследование переходных ТООЗ при пилообразном сигнале напря-
жения.
18. Зудов А. И., Зудова Л. А., Радиотехн. и электрон., 13, 1025 (1968).
Релаксации тока в диодных структурах типа металл— диэлектрик—
металл.
19. Зудов А. И., Зудова Л. А., Изв. вузов СССР, Физика, № 12, 115 (1968)
Вольтамперные характеристики структур металл — диэлектрик —
металл.
20. Извозчиков В. А-, ФТП, 2, 254 (1968).
ТОПЗ и распределение ловушек в поликрис^аллической РЬО.
21. Корсунская М. Е., Маркевич И. В., Шейнкман М. К., ФТТ, 10, 522
(1968).
Образование новых локальных центров в монокристаллах CdS,
вызванное присутствием свободных электронов и дырок.
22. Коцумаха И. А., Лихобабин Н. П., Изв. вузов СССР, Физика, № 8,.
139 (1968).
ТООЗ в тонких кристаллических слоях Сп2О.
23. Круглов В. И., Страхов Л. Я., Изв. АН СССР, Неорганические мате-
риалы, 4, 289 (1968).
Изменение дрейфовой подвижности в аморфных слоях As2Se3 при
освещении.
24. Кучеров I. Я., Шияновский В. I., В1сник Кигвськ. ун-ту, сер. ф!зики,
№ 9, 20 (1968).
Исследование влияния температуры на кинетику темнового тока
в CdS-монокристаллах.
25. Левина С. Д., Ротенберг 3. А., Лобанова К. Я., в книге «Труды II сове-
щания по органическим полупроводникам, Рига, 1966», Рига, изд-ва
«Зинатне», 1968, стр. 157.
Электрофизические свойства тонких пленок фталоцианина.
26. Панов В. П., Вергунас Ф. И., Гаврилов Ф. Ф., Изв. вузов СССР, Физика,
№ 7, 76 (1968).
Определение глубины и плотности ловушек в монокристаллах CdS
методом исследования ТОПЗ.
27. Попов Ю. М., Нестеренко П. С., ФТП, 2, 1373 (1968).
ТОПЗ в монокристаллах SbSI.
28. Правилова Н. В., Ученые записки Ленинградского государственного
педагогического института им. А. И. Герцена, 384, 75 (1968).
О связи поляризации и ТОПЗ в монокристаллах РЬО.
29. Рябинкин Ю. С., ФТП, 2, 1168 (1968).
О попытке обнаружения эффекта Ганна в режиме пространственного
заряда.
30. Сердюк В. В., Фурлей А. И., Изв. вузов СССР, Физика, № 4, 97 (1968).
Динамическое поведение In-контактов с монокристаллами CdS
при температурах выше комнатной.
Библиография за период 1968 г. —середина 1971 г. 383
31. Силинъ Э. А., Тауре Л. Ф., Фрейманис Я. Ф., в книге «Труды II совеща-
ния по органическим полупроводникам, Рига, 1966», Рига, изд-во «Зи-
натне», 1968, стр. 94.
О влиянии межмолекулярной ассоциации на электрофизические
свойства органических полупроводников
32. Тазенкое Б. А., Беляев И. II., в книге «XXI Герценовские чтения, Меж-
вузовская конференция, 1968, Физика и полупроводниковая электро-
ника», Л., 1968, стр. 118.
ТООЗ в аморфном Se.
33. Тиман Б. Л., Фесенко В. М., ФТП, 2, 272 (1968).
ТОПЗ при наличии доноров.
34. Тиман Б. Л., Фесенко В. М., ФТП, 2, 1692 (1968).
Переходные процессы в диэлектриках при больших напряженно-
стях электрического поля.
35. Тиман Б. Л., Фесенко В. М., Деп. ВИНИТИ, № 402-68 (1968).
Динамическая характеристика диэлектрического диода при нали-
чии слабоионизированных доноров.
36. Тиман Б. Л., Фесенко В. М., Деп. ВИНИТИ, № 403-68 (1968).
Динамическая характеристика диэлектрического диода при наличии
полностью ионизированных доноров для случая слабого синусои-
дального сигнала.
37. Чемересюк Г. Г., Сердюк В. В., Изв. вузов СССР, Физика, № 12, 7 (1968).
Явления, обусловленные захватом носителей, инжектированных
в освещенные монокристаллы CdSe.
38. Antula J., Phys. Status Solidi, 28, 395 (1968).
Влияние отрицательного объемного заряда на ток Шоттки в топких
изолирующих пленках.
39. Baessler Н., Vaubel G., Solid State Commun., 6, 631 (1968).
Фотоинжекция электронов в кристаллы антрацена.
40. Balazs J., Acta Phys. Hung., 25, 413 (1968).
Исследование вольтамперных характеристик монокристаллов ZnS.
41. Boudry М. В., Electron. Lett., 4, 193 (1968).
Расчет нестационарного состояния в структуре металл — полупро-
водник — металл с уровнями прилипания.
42. Braunlich Р., Henisch Н. К., в книге «Ргос. Intern. Conf. Luminescence,
Budapest, 1966», vol. 2, Budapest, 1968, p. 1899.
Электролюминесценция и инжекционные явления в монокристал-
лах ZnS(Mn).
43. Bullemer В., Engelhardt Н , Knoblauch L., Biehl N., Schrdder-Etzdorf C.r
Solid State Commun., 6, 545 (1968).
Эксперименты, устанавливающие природу носителей заряда во льду.
44. Carles D., Vautier С., Colombani A., Compt. Rend., 267В, 1101 (1968).
ТООЗ в тонких пленках аморфного Se.
45. Champness С. Н., Griffiths С. Н., Sang Н., Appl. Phys. Lett., 12, 314
(1968).
Выпрямляющие структуры Те — Se — Cd на основе монокристал-
лических пленок Se.
46. Chatemer F. J. du, Philips Res. Rep., 23, 142 (1968).
Фото-ТООЗ в осажденных из газовой фазы слоях красной РЬО.
47. Chisholm. С. Н., Yeh С. S., Electron. Lett., 4, 498 (1968).
Экспериментальные данные, касающиеся пролетных эффектов
в твердотельных приборах с ТООЗ на основе п — v — п-структур
из Si.
48. Chisholm С. Н., Yeh С. S., Proc. IEEE, 56, 2178 (1968). [См. перевод:
ТИИЭР, № 3, 189 (1969).]
Высокочастотная полная проводимость твердотельных приборов
типа п — v — п с ТООЗ.
384 Библиография за период 1968 г,—середина 1971 г.
49. Dasc&lu D., Solid State Electron., 11, 491 (1968).
Эффекты прилипания и времени пролета в диэлектрических диодах
с ТООЗ на высоких частотах. Частотные характеристики.
50. Dasc&lu D., Intern. Journ. Electron., 25, 301 (1968).
ВолныЗ’объемного заряда и высокочастотное отрицательное сопро-
тивление в диодах с ТООЗ.
51. Eskertova L., в книге «Proc. 4th Czechosl. Conf. Electron, and Vacuum
Phys., Prague, 1968», Prague, 1968, p. 363.
Прохождение тока через сэндвич-структуры с, неоднородным рас-
пределением поля в диэлектрике.
52. Feldman С., Mater. Res. Bull., 3, 95 (1968).
Аморфные пленки из В.
53. Feldman С., Gutierrez W. A., Journ. Appl. Phys., 39, 2474 (1968).
Переключение и отрицательное сопротивление в аморфных слоях В.
54. Gibbons D. J., Papadakis А. С., Journ. Phys. Chem. Solids, 29, 115 (1968).
Нестационарные токи, возмущенные объемным зарядом, в ортором-
бической S.
55. Gill W. D., MacDonald R. Е., Greene D. В., Rev. Sci. Instr., 39, 1114
(1968). [См. перевод: ПНИ, № 8, 32 (1968).]
Возбуждаемый лазером «искровой» источник света для измерения
дрейфовой подвижности в веществах с широкой запрещенной зоной.
56. Gopalam В. S. V., Majhi J., Current Sci., 37, 693 (1968).
ТООЗ в плавных р — га-переходах.
57. Hamann С., Phys. Status Solidi, 26, 311 (1968).
О распределении уровней прилипания в тонких пленках Си-фтало-
цианина. ,
58. Hovel Н. J., Milnes A. G., Intern. Journ. Electron., 25, 201 (1968).
Электрические характеристики ra-ZnSe — p-Ge-гетеродиодов.
59. Kawamura N., Japan. Journ. Appl. Phys., 7, 94 (1968).
Определение дрейфовой скорости насыщения в полупроводниках j
„ по вольтамперным характеристикам в режиме ТООЗ.
50. Klaassen F. М., Solid State Electron., 11, 377 (1968). ,
Тепловой шум в твердотельных диодах с ТООЗ. ,
61. Kryszewski М-, Sapieha S., Szymanski A., Acta Phys. Polon., 33, 529
(1968). j
ТООЗ в монокристаллах га-терфенила и га-кватерфенила.
62. 'Kuchis Е. В., Wright G. Т., Electron. Lett., 4, 35 (1968). !
«Прокольный» Si-диод. ,
63. Lilly А. С., Lowitz D. A., Schug J. С., Journ. Appl. Phys., 39, 4360 '
(1968). ,
Проводимость диэлектриков при наличии объемного заряда.
64. Lipp inann Н., Wauer L., Kosak W., в книге «Ргос. 2nd Colloq. Thin Films, *
Budapest, 1967», Budapest, 1968, p. 434. ,
ТООЗ и барьеры в напыленных слоях CdS. (
65. Liu S Т., van der Ziel A., Jatnieks G. U., Physica, 38, 279 (1968). ’
О предельных шумах твердотельных диодов с ТООЗ. j
66. Lohmann F., Journ. Phys. Chem. Solids, 29, 1693 (1968).
Темновая инжекция дырок из электролитических контактов в моно-
кристаллы I. |
67. Mehl W., Solid State Commun., 6, 549 (1968).
Темновая инжекция электронов из щелочных металлов в антрацен. 1
68. Miyazaki Т., Oyo buturi, 37, 339 (1968). 1
ТООЗ в пленках А12О3. 1
•69. Muckenfuss С., Phys. Fluids, 11, 2389 (1968). _ |
Роль диффузии в проводимости диэлектрических жидкостей. 1
70. Nicolet М.-А., Rodriguez V., Stolfa D., Surf. Sci., 10, 146 (1968). J
Униполярный ток, ограниченный зарядом на границе. а
Библиография за период 1968 г. — середина 1971 г. 385
71. Roberts G. G., Phys. Status Solidi, 27, 209 (1968).
Инжекция электронов в дырочный полупроводник.
72. Roberts G. G., Marks L. М., Electron. Lett., 4, 265 (1968).
О двухточечной граничной задаче в теории инжекционных токов.
73. Riiegg И. W., IEEE Trans., ED-15, 577 (1968).
О возможности создания прокольного СВЧ-диода с отрицательным
сопротивлением.
74. Schade Н., Helv. Phys. Acta, 41, 1142 (1968).
Явления прилипания в GaAs015P015(Fe).
75. Schadt М., Zschokke-Granacher L., Baldinger Е., Helv. Phys. Acta, 41,
1349 (1968).
Оптическая активация центров прилипания в монокристаллах антра-
цена.
76. Schmidlin F. W., Roberts G. G., Phys. Rev. Lett., 20, 1173 (1968).
Интерпретация энергий термической активации в материалах с ши-
рокой запрещенной зоной.
77. Seitz М. A., Whitemore D. Н., Journ. Phys. Chem. Solids, 29, 1033 (1968).
Дрейфовая подвижность электронов и ТООЗ в ZnO(Li).
78. Sergiescu V., Physica, 40, 110 (1968).
Анализ составных частей токового шума в твердых телах при нали-
чии объемного заряда.
79. Simhony М., Williams R., Willis A., Journ. Appl. Phys., 39, 152 (1968).
Электрические свойства диэлектрических слоев на монокристаллах
CdS с диффузионно введенным Си.
80. Sworakowski J., Surf. Sci., 12, 497 (1968).
Инжекция дырок из жидкостных редокс-электродов в органические
кристаллы.
81. Szymanski A., Acta Phys. Polon., 34, 201 (1968).
Электропроводность га-полифенила и его олигомеров.
82. Szymanski A., Mol. Cryst., 3, 339 (1968).
ТООЗ в поликристаллических слоях п-кватерфенила.
83. Szymanski A., Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math., Astron., Phys., 16, 669
(1968).
Определение распределения уровней прилипания методом ТООЗ.
84, . Tdbak М. D., Roberts G. G., Journ. Appl. Phys., 39, 4873 (1968).
Дрейфовая подвижность электронов в монокристаллах HgS.
85. Thomas J. М., Williams J. О., Turton L. M., Trans. Farad. Soc., 64, 2505
(1968).
Дефекты решетки в органических полупроводниках. IV. Исследова
ние при помощи ТООЗ центров прилипания в кристаллах антрацена.
86. Van der Ziel A., van Vliet К. M., Solid State Electron., 11, 508 (1968).
Высокочастотный тепловой шум в твердотельных диодах с ТООЗ. II.
87. Weisz S. Z., Cabas A., Trester S., Many A., Journ. Appl. Phys., 39, 2296
(1968).
Переходные ТООЗ и токи, ограниченные эмиссией, в диэлектриках.
88. Williams R., Journ. Appl. Phys., 39, 57 (1968).
Ударная ионизация и перенос заряда в сплаве GaAs0 5Р015.
89. Wright G. Т., Electron. Lett., 4, 462 (1968).
Полевой транзистор с изолированным затвором, использующий
90. Wright G. Т., Electron. Lett., 4, 543 (1968).
Прокольно-пролетный осциллятор.
91. Yamashita A., Japan. Journ. Appl. Phys., 7, 1084 (1968).
ТООЗ и зависимость дрейфовой скорости носителей от поля в GaAs.
25-0699
386 Библиография за период 19S8 з.— середина 2971 г.
ТОКИ ДВОЙНОЙ ИНЖЕКЦИИ
92. Авакъянц Г. М., Абрамян Ю. А., Сераго В. И., ДАН Арм.ССР, 47, 12
(1968).
Статистические исследования вольтамперных характеристик
8г(2п)-диодов.
93. Авакъянц Г. М., Абрамян Ю. А., Сераго В. И., ДАН Арм.ССР, 47, 167
(1968).
Исследование переходных характеристик диодов с отрицательным
сопротивлением.
94. Авакъянц Г. М., Альтман И. Р., Альтман Ц. Р., ДАН Арм.ССР, 46,
103 (1968).
К природе отрицательного сопротивления в Si-диодах.
95. Авакъянц Г. М., Арутюнян В. М., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 3, 200
(1968).
Влияние уровней прилипания на вольтамперную характеристику
диода.
96. Авакъянц Г. М., Арутюнян В. М., ДАН Арм.ССР, 46, 228 (1968).
К вопросу о прохождении тока через полупроводник, содержащий
глубокие уровни.
97. Аронов Д. А., Котов Я. П., ФТП, 2, 76 (1968).
Исследование частотных свойств р — п — п+-руцуц<ув с минимумом
распределения стационарной концентрации носителей тока в базе.
98. Галкин В. В., Зауголъникова Е. Г., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат.
наук, № 3, 63 (1968).
Длинные диоды из GaAs с отрицательным сопротивлением.
99. Галкин В. В., Зауголъникова Е. Г., Мурыгин В. И., Изв. АН Узб.ССР,
сер. физ.-мат. наук, № 1, 48 (1968).
Некоторые свойства 8ЦСо)-диодов.
100. Кадыров М. А., Омелъяковский Э. М., Первова Л. Я., Соловьев М. Н.г
Фиету ль В. И., ФТП, 2, 862 (1968).
Исследование некоторых свойств GaAs(Fe).
101. Круглов В. И., Страхов Л. П., ФТП, 2, 1030 (1968).
Импульсные вольтамперные характеристики стеклообразного As2Se3.
102. Лебедев А. А., Султанов Н. А., ФТП, 2, 1551 (1968).
Диоды с отрицательным сопротивлением из Si(Zn).
103. Матвеенко Ю. А., Мурыгин В. И., Рубин В. С., ФТП, 2, 1844 (1968).
Некоторые свойства GaAs(Ni).
104. Мирсагатов Ш. А., Морозкин В. В., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат.
наук, № 6, 37 (1968).
Длинные диоды на SiC.
105. Николаев Ю. Н., в книге «Инжекционная электролюминесценция»,
Тарту, 1968, стр. 69.
Модели двойной инжекции электронов и дырок.
106. Селищев Г. В., ФТП, 2, 139 (1968).
Вольтамперная характеристика р — п — га+-диода с учетом изме-
нения времени жизни носителей заряда в базовой области.
107. Тазенков Б. А., Бойцов В. Г., Беляев И. П., в книге «XXI Герценовские
чтения, Межвузовск. конф., 1968. Физика и полупроводн. электроника»,
Л., 1968, стр. 126.
S-образная вольтамперная характеристика электрофотографических
Se-слоев в режиме зарядки короной.
108. Тягай В. А., Лукъянчикова Н. Б., Укр. физ. журн., 13, 1900 (1968).
Наблюдение инжекции дырок в монокристаллы CdS с помощью
электролитического контакта.
109. Шприт В. А., Радиотехн. и электрон., 13, 1647 (1968).
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 387
О модуляции сопротивления базы р — «-перехода под действием
синусоидального тока СВЧ.
110. Ancker-Johnson В., Journ. Appl. Phys., 39, 3365 (1968).
СВЧ-излучение из неравновесной плазмы в InSb в присутствии маг-
нитного поля.
111. Barnett А. М., Jensen Н. A., Appl. Phys. Lett., 12, 341 (1968).
Наблюдение шнуров тока в полуизолирующем GaAs.
112. Baron R., Journ. Appl. Phys., 39, 1435 (1968).
Учет диффузии и тепловой генерации в теории двойной инжекции
в полупроводниках.
113. Bilger Н. R., Lee D. Н., Nicolet М. A., McCarter Е. R., Journ. Appl.
Phys., 39, 5913 (1968).
Шумы и эквивалентная схема двойной инжекции.
114. Dean R. Н., Appl. Phys. Lett., 13, 164 (1968).
Нестационарная двойная инжекция в Ge.
115. Driedonks F., Zijlstra R. J. J., в книге «Proc. Conf. Phys. Aspects of Noise
in Electron. Devices, Nottingham, 1968», Stevenage, 1968, p. 95.
Двойная инжекция и шумы в Ge-диодах.
116. Fazakas А. В., Friedman A., Phys. Status Solidi, 28, 385 (1968).
О токовом шуме в твердых телах при двойной инжекции.
117. Fatuzzo Е., Phys. Lett., 26А, 179 (1968).
Эффекты отрицательного сопротивления в монокристаллах AgCl.
118. Granacher I., Schadt M., Baldinger E., в книге «Proc. Intern. Conf. Lumi-
nescence, Budapest, 1966», vol. 2, Budapest, 1968, p. 1915.
Зависимость электролюминесценции и тока двойной инжекции
от толщины кристалла в случае антрацена.
119. Hdnsch H.-J., Phys. Status Solidi, 28, 255 (1968).
Исследования механизма электролюминесценции монокристаллов
CdS.
120. Henning H.-Р., Phys. Status Solidi, 26, 225 (1968).
Вольтамперные характеристики N- и 5-типа и релаксационные коле-
бания в Ое(Аи)-диодах, использующих двойную инжекцию.
121. Henning H.-Р., Phys. Status Solidi, 29, K167 (1968).
К механизму проводимости диодов с двойной инжекцией в области
неустойчивости.
122. Ishikura О., Miyoshi Т., Japan. Journ. Appl. Phys., 7, 294 (1968).
Отрицательное сопротивление в точечных диодах из Si.
123. Liao J. Н., Electron. Lett., 4, 402 (1968).
Шумы в Ge-диодах с двойной инжекцией.
124. Mayer J. W., Marsh О. J., Baron R., Journ. Appl. Phys., 39, 1447 (1968).
Двойная инжекция в длинных р — л — «-переходах на Si.
125. Mehnsky К., Betko J., Morvic M., Kordos P., Solid State Electron., 11,
187 (1968).
Электрические характеристики магнетодиодов из Ge.
126. Miyazaki К., Yamaguchi J., Japan. Journ. Appl. Phys., 7, 1210 (1968).
Влияние поперечного магнитного поля на инжекцию носителей
в тонкие пластинки Ge.
127. Nordman J. Е., Kvinlang Н., Journ. Appl. Phys., 39, 3244 (1968).
Вольтамперная характеристика с отрицательным сопротивлением
р+ — р — п+-диодов из InSb.
128. O'Dtvyer J. J., Journ. Appl. Phys., 39, 4356 (1968).
Теория двойной эжекции носителей из диэлектрика.
129. Okazaki S., Hiramatsu М., Japan. Journ. Appl. Phys., 7( 557 (1968).
Экспериментальное исследование двойной инжекции в p-Si.
130. Otani Y., Matsubara K-, Nishida Y., Nakano S., Mem. Fac. Engng. Kyoto
Univ., 30, 290 (1968).
Отрицательное сопротивление в полупроводниках (InSb).
25*
388 Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г.
131. Peters D. W , Shipley М., IEEE Trans., ED-15, 852 (1968).
Переходные характеристики р + — п — ?г+-диодов из Si(Au) при пря-
мом смещении.
132. Saunders I. J., Solid-State Electron., 11, 1165 (1968).
Двойная инжекция в диоде из GaAs.
13$.* Selway Р. R., Franks I., Brit. Journ. Appl. Phys., 1, 25 (1968).
Чувствительный к ИК-свету диод, полученный посредством диффу-
зии Сг в GaAs.
134. Van der Ziel A., IEEE Trans., MTT-16, 308 (1968).
Шумы в твердотельных диодах с двойной инжекцией.
135. Wright G. Т., Ibrahim A. F., Electron. Lett., 4, 597 (1968).
Монополярная инжекция, двойная инжекция и отрицательное
сопротивление в высокоомном Si(Au).
1969 г.
ТОКИ МОНОПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ
136. Адирович Э. И., в книге «Микроэлектроника», вып. 3, изд-во «Сов. ра-
дио», 1969, стр. 393.
Эмиссионные токи в твердых телах и диэлектрическая электроника.
137. Благодаров А. Н., Луценко Э. Л., Розенштейн Л. Д., ФТТ, 11, 3379
(1969).
Низкочастотная проводимость пленок фталоцианина при монопо-
лярной инжекции.
138. Будинас И., Мачкус П., Смилга А., Вищакас Я-, Phys. Status Solidi,
31, 375 (1969).
ТООЗ в пленках стеклообразной Sb2S3.
139. Васильковский А. А., Лещук Л. В., Тиман Б. Л., Укр. физ. журн., 14,
1142 (1969).
Исследование нестационарных процессов в пленках CdS, CdSe
во внешнем электрическом поле.
140. Галкин А. А., Игнатьев О. М., Письма ЖЭТФ, 9, 657 (1969).
Туннельный ТОПЗ в переходах А1 — А12О3 — А1.
141. Гоман В. И., Базаров В. Д., Резников В. А., Изв. вузов СССР, Физика,
№ 2, 15 (1969).
Вольтамперная характеристика системы металл — диэлектрик —
полупроводник.
142. Гифейсман Ш. Н., ФТТ, И, 2097 (1969).
Распределение поля в контактной системе металл — диэлектрик —
металл.
143. Ждан А- Г., Сандомирский В. Б., Journ. Vac. Sci. Techn., 6, 929 (1969).
S-обраэные вольтамперные характеристики в некоторых пленочных
системах и их интерпретация.
144. Каганович Е. Б., Потехина В. Н., Свечиков С. В., Укр. физ. журн., 14,
671 (1969).
ТООЗ в слоях CdS.
145. Календарев Р. И., Белкинд А. И., Изв. АН ЛатвССР, сер. физ. техн,
наук, № 4, 73 (1969).
Исследование дефектов в кристаллах тетрацена. I. Квазинепрерыв-
пые ловушки в кристаллах тетрацена.
146. Календарев Р. И., Белкинд А. И., Александров В. В., Изв. АН ЛатвССР,
сер. физ. техн, наук, № 5, 49 (1969).
Исследование дефектов в кристаллах тетрацена. II. Фоточувстви-
тельность в ближней инфракрасной области.
147. Корзо В. Ф., ФТТ, 11, 415 (1969).
Библио графил за период 1968 г.— середина 1911 г. 389
Низкотемпературный пробой сверхтонких слоев стеклообразного
кварца.
148. Корсунская Н. Е., Маркевич И. В., Шейнкман М. К., в книге «Труды
IX междунар. конф. физ. полупроводн., М., 1968», т. 2, изд-во «Наука»,
1969, стр. 1156.
Образование новых центров прилипания и рекомбинации в CdS-
и CdSe-монокристаллах под действием различных факторов.
149. Кунин В. Я., Цикин А. Н., Шакиров А., Изв. АН СССР, Неорганиче-
ские материалы, 5, 1273 (1969).
Электропроводность и вольтамперная характеристика титансодер-
жащих диэлектриков в процессе старения.
150. Ляук П., Пийльма М., Кире Я., Изв. АН ЭстССР, Физ., мат., 18, 109
(1969).
О новом методе обнаружения объемного заряда, инжектированного
в диэлектрик из электрического контакта.
151. Лыук П. А., Тенно Ю. Т., Кире Я. Я., Труды Института физики
и астрономии АН ЭстССР, 36, 163 -(1969).
Исследование некоторых свойств In-контактов к монокристаллам
CdS.
152. Любин В. М., Майдзинский В. С., ФТП, 3, 1675 (1969).
Особенности прохождения тока и фотоэлектрических процессов
в аморфной Sb2Se3 при наличии инжектирующих и блокирующих
контактов.
153. Маловичко А. В., Свечников С. В., Укр. физ. журн., 14, 1177 (1969).
Продольный фототок в селеновых мишенях видиконов.
154. Панов В. П., Вергунас Ф. И., Гаврилов Ф. Ф., Изв. вузов СССР, Физика,
№ 2, 140 (1969).
Температурная зависимость ТОПЗ в монокристаллах CdS.
155. Панов В. П., Вергунас Ф. И., Гаврилов Ф. Ф., Изв. вузов СССР, Физика,
К» 6, 124 (1969).
Исследование релаксации темновой проводимости кристаллов CdS.
156. Панов В. П., Вергунас Ф. Й., Гаврилов Ф. Ф., Изв. вузов СССР, Физика,
№ 6, 148 (1969).
О причине, вызывающей резкое нарастание тока'в кристаллах CdS.
157. Розенталь A., Surf. Sci., 15, 555 (1969).
Замечания к статье Николе, Родригеса и Столфа «Униполярный
ток, ограниченный зарядом на границе».
158. Ротенберг 3. А., Левина С. Д., Электрохимия, 5, 1141 (1969).
Определение контактной разности потенциалов между Ga и Hg
на основе ТООЗ в фталоцианинах.
159. С андомирский В. Б., Ждан А. Г., Письма ЖЭТФ, 9, 201 (1969).
О возможном типе неустойчивости при монополярной инжекции.
160. Силинь Э. А., Тауре Л. Ф., Phys. Status Solidi, 32, 847 (1969).
О механизме генерации носителей заряда в тонких слоях молеку-
лярных ассоциатов.
161. Тиман Б- Л., Гершун А. С., Карпова А. П., Укр. физ. журн., 14, 858
(1969).
Об определении концентрации ловушек в кристаллах CdS по ТОПЗ.
162. Тиман Б. Л., Фесенко В. М-, Деп. ВИНИТИ, К» 999-69 (1969).
Переходные процессы в диэлектрическом диоде с полностью иони-
зированными донорами при малом ступенчатом изменении напря-
жения.
163. Трофимов О. А., Соминская И. В., в книге «Вопросы общей и приклад-
ной физики», изд-во «Наука», Алма-Ата, 1969, стр. 8.
Вольтамперные характеристики образцов аморфного Se с аномаль-
ной проводимостью.
164. Atten Р., Gosse J. Р., Journ. Chem. Phys., 51, 2804 (1969).
390 Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г.
Переходные характеристики токов монополярной инжекции в по-
лярных жидкостях.
165. Baessler Н., Herrmann G., Riehl N., Vaubel G., Journ. Phys. Chem. Solids,
30, 1579 (1969).
ТООЗ в монокристаллах тетрацена.
166. Barbe D. F., Westgate C. R., Solid State Commun., 7, 563 (1969).
Прилипание электронов и объемная проводимость в безметальн лх
монокристаллах Р-фталоциапина в вакууме.
167. Bauser Н-, Ruf Н. Н., Phys. Status Solidi, 32, 135 (1969).
Спектры возбуждения стационарного фототока в монокристаллах
антрацена в области синглетного поглощения.
168. Benguigut L., Solid State Commun., 7, 1245 (1969).
ТООЗ в монокристаллах ВаТ1О3.
169. Caserta G., Rispoli В., Serra A., Phys. Status Solidi, 35, 237 (1969).
ТООЗ и зонная структура аморфных пленок органических материа-
лов.
170. Cervenak I., Czech. Journ. Phys., B19, 1379 (1969).
ТООЗ в тонкопленочных структурах металл — InSb — металл.
171. -Dascalu D., Electron. Lett., 5, 196 (1969).
Экспериментальные данные, касающиеся пролетных эффектов
в прокольных диодах из Si.
172. Dascalu D., Electron. Lett., 5, 230 (1969).
Малосигнальный импеданс полупроводниковых диодов с ТООЗ.
173. Fillard J.-P., Ann. de phys., 4, 617 (1969).
Полупроводниковые свойства тонких пленок Си-фталоцианина.
174. Fitton В., Journ. Phys. Chem. Solids, 30, 211 (1969).
Подвижность дырок и электронов в монокристаллах I.
175. Gutmann F., Hermann А. М., Rembaum A., Nature, 221, 1237 (1969).
Данные об активированной подвижности носителей в твердых орга-
нических материалах. ’
176. Henderson Н. Т., Ashley К. L., Phys. Rev., 186, 811 (1969).
ТООЗ в облученном нейтронами Si, показывающий наличие пол-
ного лампертовского треугольника.
177. Ноуеп Н. A., Strozier J. A., Li C.-I., Appl. Phys. Lett., 14, 104
(1969).
Доказательство существования ионного ТООЗ на границе AgCl —
водный раствор AgCl.
178. Johnston G. Е., Chem. Phys. Lett., 3, 699 (1969).
Вольтамперные характеристики темнового тока в антрацене.
179. Korn A. I., Arndt R. A., Damask А. С., Phys. Rev., 186 , 938 (1969).
Холловская подвижность дырок в антрацене.
180. Lemke Н., Phys. Status Solidi, 31, 471 (1969).
Вытягивание основных носителей из полупроводника после импульс-
ной монополярной инжекции.
181. Lemke Н., Miiller G. О., Phys. Status Solidi, 31, 355 (1969).
К вытягиванию основных носителей локализованным объемным
зарядом в Si(Au).
182. Many A., Levinson J., Teucher I., Mol. Cryst., 5, 273 (1969).
Фотоэмиссия электронов из контактов, изготовленных из щелочных
металлов, в антрацен.
183. Meaudre R., Mesnard G., Compt. Rend., 268B, 293 (1969).
Дифференциальная емкость монокристалла ZnO между несимметрич-
ными контактами.
184. Meaudre R., Mesnard G., Phys. Status Solidi, 32, K159 (1969).
ТООЗ в монокристалле ZnO с несимметричными контактами.
185. Michel-Beyerie М. Е., Rebentrost F., Willig F., Solid State Commun., 7,
493 (1969).
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 391
Инжекция дырок из электролитических контактов в монокристаллы
перилена.
186. Michel-B eyerie М. Е., Willig F., Solid State Commun., 7, 913 (1969).
Инжекция электронов из водного электролитического контакта
в га-хлоранил.
187. Milller L., St. сегс. fiz., 22, 1001 (1969).
Изучение оптических и фотоэлектрических явлений в гексагональ-
ном и аморфном Se.
188. Neumann Н-, Phys. Lett., 29A, 258 (1969).
Влияние ТООЗ на полевую эмиссию из полупроводников.
189. Neumann И., Kreher К., Schmitz W., Phys. Lett., 28А, 743 (1969).
Нелинейные вольтамперные характеристики SbSI в параэлектри-
ческой фазе.
190. Pott G. Т., Williams О. F., Journ. Chem. Phys., 51, 1901 (1969).
Низкотемпературная инжекция и переходные ТООЗ в кристаллах
антрацена.
191. Pultrey D. L., Wilcox Р. S., Young L., Journ. Appl. Phys., 40, 3891
(1969).
Диэлектрические свойства тонких пленок Та2О5.
192. Richman Р., IEEE Trans., ED-16, 759 (1969).
Модуляция ТООЗ в полевых тетродах с изолированным затвором.
193. Roberts G. G., Lind Е. L., Davis Е. А., Journ. Phys. Chem. Solids, 30,
833 (1969).
Фотоэлектронные свойства синтетических кристаллов HgS.
194. Roberts G. G., Schmidlin F. W., Phys. Rev., 180, 785 (1969).
Изучение локальных уровней в полуизоляторах методом комбини-
рованного измерения термически активированных омического тока
и ТООЗ.
195. Rodriguez V., Nicolet М.-А., Journ. Appl. Phys., 40, 496 (1969).
Др°йфовая скорость электронов в Si в температурном интервале
4,2—300 К при наличии сильных электрических полей.
196. Rohde Н. J., Phys. Status Solidi, 34, 229 (1969).
Инжекция и нолевое возбуждение носителей заряда в монокристал-
лах CdS. )
197. Schadt М., Williams D. F., Journ. Chem. Phys., 50, 4364 (1969).
Низкотемпературная инжекция дырок и распределение дырочных
уровней прилипания в антрацене.
198. Scharfetter D. L., Seidel Т. Е., IEEE Trans., ED-16, 98 (1969).
Анализ вольтамперной характеристики р+ — п — л — р '-структу-
ры для определения дрейфовой скорости дырок в Si.
199. Sharma R., Ghosh S- К., Indian Journ. Pure Appl. Phys., 7, 137 (1969).
ТООЗ в монокристаллах Se.
200. Shumka A., Journ. Appl. Phys., 40, 438 (1969).
Твердотельный триод на основе Ge.
201. Silver M., Опп D. G., Smejtek P., Journ. Appl. Phys., 40, 2222
(1969).
Стационарные и переходные токи в органических жидкостях при
инжекции из туннельного катода.
202. Simhony М., Williams R., Journ. Appl. Phys., 40, 691 (1969).
Ударная ионизация заполненных уровней прилипания в CdS.
203. Smejtek Р., Cesk. Cas. Fys., A19, 554, 676 (1969).
ТООЗ как метод исследования переноса заряда в неметаллических
твердых телах.
204. Srivastava S. К., Bhattacharyya R., Intern. Journ. Electron., 27, 237
(1969).
Температурная зависимость ТООЗ в тонких пленках CdS.
205. Stoorakoivski J., Acta Phys. Polon., 35, 33 (1969).
392 Библиография га период 1968 г.— середина 1971 г.
Температурная зависимость тока насыщения в системе антрацен —
жидкостной редокс-электрод.
206. Sworakowski J., Zes. Nauk. Polit. Wroclawsk., 24, № 217, 3 (1969).
ТООЗ в органических кристаллах.
207. Sworakowski J., Mager J., Acta Phys. Polon., 36, 483 (1969).
ТООЗ в монокристаллах антрацена, легированного переленом.
208. Sworakowski J., PigoA К., Journ. Phys. Chem. Solids, 30, 491 (1969).
ТООЗ и распределение уровней прилипания в органических кри-
сталлах. Антрацен.
209. Szymanski A., Larsen D. С., Labes М. М., Appl. Phys. Lett., 14, 88
Проводящее состояние в тонких пленках тетрацена, не зависящее
от температуры.
210. Taroni A., Zananni G., Journ. Phys. Chem. Solids, 30, 1861 (1969).
ТООЗ в p — га-переходах.
211. Tredgold R. H., Roberts G. G., Phys. Status Solidi, 31, K75 (1969).
Механизм отрицательной проводимости, связанный с инжекцией
объемного заряда в полупроводники.
212. Whittier R. J , Tremere D. A., IEEE Trans., ED-16, 39 (1969).
Усиление тока и спад частоты среза при сильных токах.
213. Yamashita A., Rev. Electr. Commun. Lab., 17, 1089 (1969).
ТООЗ и зависимость дрейфовой скорости носителей от поля в п-
GaAs.
ТОКИ ДВОЙНОЙ ИНЖЕКЦИИ
214. Авакъянц Г. М., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 380 (1969).
Динамическое отрицательное сопротивление у компенсированных
полупроводников.
215. Авакъянц Г. М., Абрамян Ю. А., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 239
(1969).
Исследование S-диодов с примесью Cd (Zn ~ 10~2%).
216. Авакъянц Г. М., ДАН Арм.ССР, 48, 267 (1969).
О природе отрицательного сопротивления.
217. Авакъянц Г. М., Абрамян № А., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 370
(1969).
Исследования S-диодов из Si (Cd, Zn ~ 10-2%).
218. Авакъянц Г. М., Абрамян Ю. А., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 376
(1969).
Некоторые вопросы физики формирования отрицательного сопро-
тивления в S-диодах.
219. Авакъянц Г. М., Абрамян Ю. А., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 386
(1969).
К вопросу о диодах с отрицательным сопротивлением.
220. Авакъянц Г. М., Адамян 3. И., Барсегян Р. С., Тарумян С. А., ДАН
Арм.ССР, 49, 24 (1969).
Магниточувствительность диодов, изготовленных из Si (Cd,
Zn ~ 10-2%).
221. Авакъянц Г. М., Арутюнян В. М., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 71
(1969).
К вопросу о двойной и лавинной инжекции в полупроводниках.
222. Авакъянц Г. М., Арутюнян В. М., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 307
(1969).
К вопросу о лавинной инжекции в компенсированных полупровод-
никах.
223. Авакъянц Г. М., Арутюнян В. М., Изв. АН Арм.ССР, Физика, 4, 318
(1969).
[Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 393
Отрицательное сопротивление ъп — v — п-ир—п — р-структурах.
224. Авакъянц Г. М., Арутюнян В. М., ФТП, 3, 964 (1969).
Влияние ударной ионизации уровней прилипания на вольтампер-
ную характеристику диода, работающего в режиме двойной
инжекции.
225. Авакьянц Г. М., Барсегян Р. С-, Степанов А. А., ДАН Арм.ССР, 49,.
233 (1969).
Влияние излучения лазера на процессы в базе Si-диода с отрица-
тельным сопротивлением.
226. Алексеев М. Е , Варламов И. В., Полторацкий Э. А., Сондаевский В. П.,
ФТП, 3, 1787 (1969).
Некоторые свойства шнура тока в диодных структурах на основе
полупроводников с глубокими примесными уровнями.
227. Аронов Д. А-, Котов Я. П., в книге «Физика электронно-дырочных пере-
ходов и полупроводниковых приборов», изд-во «Наука», 1969, стр 3.
О дифференциальном сопротивлении и диффузионной емкости
в р — п — га+-структурах при высоких уровнях инжекции.
228. Аронов Д А , Котов Я. П., Котов Е. П., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат.
наук, № 3, 59 (1969).
К теории двойной инжекции в полупроводниках при больших плот-
ностях тока.
229. Аронов Д. А., Котов Я. П., Котов Е. П., ФТП, 3, 1715 (1969)
К теории малосигнального импеданса р — п — га+-структур
со «сверхдлинной» базой при высоком уровне инжекции.
230. Аронов Д. А , Маматкулов Р., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ -мат. наук,
№ 5, 57 (1969). '
К динамической теории р — п — га+-структур при действии боль-
шого динамического сигнала.
231. Аронов Д. А., Маматкулов Р., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук,
№ 6, 37 (1969).
Об особенностях эффекта модуляции проводимости базы р — п —
— га+-диода при высоком уровне инжекции под действием синусои-
дального тока СВЧ.
232. Бараненков А. И., Осипов В. В., ФТП, 3, 39 (1969).
Вольтамперные характеристики длинных диодов из компенсиро- 1
ванных полупроводников.
233. Бараненков А. И., Осипов В. В., ФТТ, 11, 720 (1969).
Градиентно-рекомбинационная неустойчивость тока в полупровод-
никах.
234. Бараненков А. И., Осипов В. В., ФТП, 3, 1656 (1969).
Неустойчивость тока, импеданс и переходной процесс в диодах <
с длинной базой-
235. Варламов И. В., Полторацкий Э. А., Сондаевский В. П., ФТП, 3, 305
(1969).
О влиянии радиальных потоков носителей на формирование вольт-
амперных характеристик диодов в условиях шнурования тока
236. Варламов И. В., Сондаевская И. А., Сондаевский В. П.,ъ книге «Физика:
р — n-переходов и полупроводниковых приборов», изд-во «Наука»,
1969, стр. 97.
«Шнурование» тока в диодах на основе полупроводников с глубо-
кими примесными уровнями.
237. Гринблюм Т. М., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук, № 1, 61 (1969).
К теории двойной инжекции в полупроводниковых р — г — п-
структурах с неидеальными контактами.
238. Егизарян Г. А-, Мурыгин В. И , Рубин В. С., Стафеев В. И., ФТП, 3,.
1652 (1969).
Некоторые исследования S-диодов из полуизолирующего GaAs.
394 Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г.
239. Казаринов Р. Ф., Осипов В. В., ФТП, 3, 810 (1969).
Инжекционный пробой в длинном диоде.
240. Карагеоргий-Алкалаев П. М., Лейдерман А. Ю., Деп. ВИНИТИ,
№ 1266-69 (1969).
Кинетическая неустойчивость и резонансные эффекты при двойной
инжекции в полупроводник.
241. Киров К., Германова К., Атанасова Й., ФТП, 3, 1616 (1969).
Переходные процессы при двойной инжекции в монокристаллах CdS.
242. Лейдерман А. Ю., ФТП, 3, 1492 (1969).
Влияние центров прилипания на токовые характеристики полупро-
водникового р — п — n+-TSfK>lSfl..
243. Лейдерман А. Ю., Рабинович Ф. Я., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат.
наук, № 1, 65 (1969).
О влиянии центров прилипания на вольтамперную характеристику
р — i — га-диода.
244. Лейдерман А. Ю., Рабинович Ф. Я., Карагеоргий-Алкалаев П. М., Изв.
АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук, № 6, 51 (1969).
К теории двойной инжекции в компенсированных полупроводниках.
245. Мурыгин В. И., Рубин В. С., ФТП, 3, 959 (1969).
Некоторые исследования электрофизических свойств и инжек-
ционной проводимости в GaAs(Ni).
246. Мурыгин В. И., Рубин В. С., ФТП, 3, 1087 (1969).
Электролюминесценция в S-диодах из GaAs(Fe) и GaAs(Ni).
247. Мурыгин В. И., Рубин В. С., Деп. ВИНИТИ, № 468-69 (1969).
Исследование S-диодов из GaAs(Fe).
248. Панов В. П., Вергунас Ф. И., Гаврилов Ф. Ф., ФТП, 3, 463 (1969).
Электролюминесценция кристаллов CdS, обусловленная двойной
инжекцией носителей тока.
249. Ancker-Johnson В., в книге «Труды IX междунар. конф. физ. полупро-
водн., М., 1968», т. 2, изд-во «Наука», 1969, стр. 859.
Плазменные эффекты в полупроводниках.
250. Ancker-Johnson В., Dick С. L., Appl. Phys. Lett., 15, 141 (1969).
Инжекция носителей в ra-InSb при слабых полях.
251. Barnett А. М., IBM Journ. Res. Developm., 13, 522 (1969).
Шнурование тока в полупроводниках.
252. Bhargava В. N., Appl. Phys. Lett., 14, 193 (1969).
Отрицательное сопротивление в электролюминесцентных диодах
из GaP.
253. Bilger Н. В., WorchP. B.,LeeL. L., Nicolet M. -A., Solid State Electron.,
12, 849 (1969).
Генерационно-рекомбинационные шумы в диодах с двойной инжекцией.
254. Brousseau М., Schuttler В., Solid State Electron., 12, 417 (1969).
Применение техники СВЧ при измерении времени жизни и подвиж-
ности носителей в полупроводниках.
255. Cingolani A., Journ. Appl. Phys., 40, 911 (1969).
Эффекты отрицательного сопротивления в кристаллах ZnS.
256. Dean В. Я., Journ. Appl. Phys., 40, 585 (1969).
Нестационарная двойная инжекция в безловушечных полупровод-
никах.
257. Dean В. Н., Journ. Appl. Phys., 40, 596 (1969).
Нестационарная двойная инжекция в полупроводниках с ловушками.
258. Dresner J., RCA Rev., 30, 322 (1969).
Электролюминесценция на основе двойной инжекции в антрацене.
259. Fazakas A., Progr. stiintei, 5, 9 (1969).
Эффекты сильных полей в полупроводниках.
260. Fazakas А. В., Friedman A., Novacu V., Journ. Appl. Phys., 40, 764
(1969).
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 395
Распространение импульса носителей в условиях двойной'инжекции.
261. Hagenlocher А. К., Chen W. Т., IBM Journ. Res. Developm., 13, 533
(1969).
Нестабильности, связанные с ТООЗ в п+ — л — га+-диодах из Si.
262. Henderson Н. Т., Ashley К. L., Proc. IEEE, 57, 1677 (1969). [См. перевод:
ТИИЭР, № 10, 103 (1969).]
Диод из Si(Tl) с отрицательным сопротивлением в области двойной
инжекции.
263. Hickmott Т. W., Thin Solid Films, 3, 85 (1969).
Фотопроводимость, электролюминесценция и инжекция дырок
в тонких НЬ2О5-диодах.
264. Hiramatsu М., Okazaki S., Journ. Appl. Phys., 40, 5312 (1969).
Двойная инжекция в безловушечном Si при малых плотностях тока.
265. Kirov К., Ghermanova К., AtanassovaY., Compt. rend. acad. bulgaresci.,
22, 607 (1969).
Переходные процессы при двойной инжекции в монокристаллах CdS.
266. Lee D. Н., Nicolet М.-А., Phys. Rev., 184, 806 (1969).
Тепловой шум при двойной инжекции.
267. Lohmann F., Mehl W-, Journ. Chem. Phys., 50, 500 (1969).
Темновая инжекция и излучательная рекомбинация электронов
и дырок в кристаллах нафталина.
268. Maher А. Т., Streetman В. G., Holonyak N., IEEE Trans., ED-16,
963 (1969).
Свойства приемников ИК-света на основе р — i — га-диодов из
Si(Zn).
269. Schwob Н. Р., Zschokke-Granacher I., Baldinger Е., Helv. Phys. Acta,
42, 939 (1969).
К теории двойной инжекции.
270. Selway Р. R., Nicolle W. М., Journ. Appl. Phys., 40, 4087 (1969).
Отрицательное сопротивление в р — i — га-диодах из GaAs(Cr).
271. Streetman В. G., Holonyak N., IBM Journ. Res. Developm., 13, 529
(1969).
Осцилляции тока в полупроводниках с глубокими примесными
уровнями.
272. Streetman В. G., Krone Н. V., Holonyak N., Compton W. D., Appl. Phys.
Lett., 14, 63 (1969).
Осцилляции тока в p — i — га-переходах на основе Si после облу-
чения перехода электронами с энергией 1 Мэв.
273. Van der Ziel A., Electron. Lett., 5, 298 (1969).
Адмиттанс диодов с двойной инжекцией на переменном токе.
274. Vichmann W., Appl. Phys. Lett., 14, 39 (1969).
Осцилляции тока в фотовозбужденном GaAs.
1970 г.
ТОКИ МОНОПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ
275. Андреев А. Д., ФТП, 4, 35 (1970).
Вольтамперные характеристики структуры плазма — Se — металл.
276. Андреев А. Д., Кузменко Л. В., ФТП, 4, 1384 (1970).
О ТОПЗ в структуре Al — Se — Au, граничащей с плазмой.
277. Андриеш А. М., Kpoumopy Н., ФТП, 4, 563 (1970).
Вольтамперные характеристики стеклообразного полупроводника
TlAsSe2 в области больших напряжений.
278. Астахов В. П., Карашев Т. Б., Аранович Р. М., ФТП, 4 , 2128 (1970).
396 Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г.
О механизме прохождения тока и свойствах ионно-внедренных слоев
Si3Ni на Si.
279. Бережной В. Н., Гриценко Н. И., ФТП, 4, 2032 (1970).
Переходные процессы в пленках некоторых органических полупро-
водников.
280. Бардовский Г. А., Извозчиков В. А., ФТП, 4, 1171 (1970).
Исследование механизма ТОПЗ в неоднородных полупроводниках
методом термостимулированной проводимости.
281. Галкин А. А., Игнатьев О. М., Укр. физ. журн., 15, 438 (1970).
Ограничение туннельного тока в переходах металл — диэлектрик —
Bij-xSb^ центрами захвата, локализованными вблизи границы
раздела диэлектрик — Bi1_xSbx.
282. Гриценко Н. И., Курик М. В., Phys. Status Solidi (а), 3, К57 (1970).
ТООЗ в поликристаллических пленках стильбена.
283. Каганович Э. Б., Лукьянчикова Н. Б., Радиотехн. и электрон., 15.
1701 (1970).
Уровни прилипания в фоточувствительных слоях CdS, полученных
осаждением в вакууме.
284. Карпова А. П., Тиман Б. Л., в книге «Монокристаллы и техника», Вып.
2, Харьков, 1970, стр. 81.
Влияние характера контактов на инерционные характеристики
системы металл — CdS — металл.
285. КорсуньВ.М., Мальцев Е. К., Романченко В. А., Перекрестова Л. Г.,
Изв. вузов СССР, Физика, № 2, 131 (1970).
Об электропроводности монокристаллов ZnS.
286. Крапивин В. Ф., Ченский Е. Ф., ФТТ, 12, 597 (1970).
ТОПЗ в системе металл — сегнетоэлектрик — металл.
287. Мачкус П., Сакалас А., Смилга A., Phys. Status Solidi (а), 2, 171
(1970).
Влияние температуры на ТООЗ в монокристаллах CdSe.
288. Павленко А. А., Музалевский Е. А., ФТП, 4, 1598 (1970). ~
ТОПЗ в переходной области плавных п — п-гетеропереходов
CdS — CdSe.
289. Парицкий Л. Г., Розенталь А. И., ФТП, 4, 537 (1970).
Монополярная инжекция в условиях неоднородного объемного
распределения центров прилипания.
290. Розенталь А., Лембер Л., Phys. Status Solidi, 39, 19 (1970).
Переходные токи в диэлектрике, определяемые объемным зарядом
и диффузией.
291. Розенталь А. И., Парицкий Л. Г., ФТП, 4, 392 (1970).
Особенности ТООЗ в случае двух типов уровней прилипания.
292. Сажин Б. И., Шуваев В. П., Будтов В. П., Высокомолекулярные соеди-
нения, А12, 2393 (1970).
Ионные инжекционные токи в полимерных диэлектриках.
293. Соколов В. Д., Шамирзаев С. X., ФТП, 4, 1947 (1970).
Расчет импеданса неоднородного кристалла.
294. Тиман Б. Л., Карпова А. П., ФТТ, 12, 1554 (1970).
Постоянство заряда в точках минимума темнового тока в высоко-
омных монокристаллах CdS.
295. Фурлей А. И., Сердюк В. В., Электрон, техн., сер. 12, № 5, 43 (1970).
Долговременная нестабильность темнового тока монокристаллов
296. Яснопольский Н. Л., Бару В. Г., Черноморская Э. И., Нндришенок В. И.,
Радиотехн. и электрон., 15, 1472 (1970).
Фототок в полупроводнике с произвольным инжектирующим кон-
тактом.
297. Balfas J., Bod6 Z., Acta Phys. Hung., 29, 279 (1970).
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 397
Теория ТООЗ и ее приложение к исследованию монокристаллов
ZnS.
298. Barbe D. F., Westgate C. R., Journ. Chem. Phys., 52, 4046 (1970).
Уровни прилипания в объеме монокристаллов 0-фталоцианина.
299. Batra I. Р., Kanazawa К. К., Sekl Н., Journ. Appl. Phys., 41, 3416
(1970).
Разрядные характеристики фотопроводников.
300. Batra I. Р., Schechtman В. Н., Kanazawa К. К., Solid State Commun.,
8, 1433 (1970).
Изменение распределения носителей заряда в пространстве и вре-
мени вслед за импульсной фотоинжекцией.
301. Batra I. Р., Schechtman В. Н., Sekl И., Phys. Rev., В2, 1592 (1970).
Переходные ТООЗ в структурах фотопроводник — диэлектрик.
302. Batra I. Р., Sekl Н., Journ. Appl. Phys., 41, 3409 (1970).
Фототоки, обусловленные импульсным освещением, при наличии
прилипания.
303. Charles J. Р., Fillard J. Р., Journ. Phys. Chem. Solids, 31, 2141 (1970).
Электропроводность и объемный заряд в Си2О.
304. Chopra К. L., Bahl S. К., Phys. Rev., Bl, 2545 (1970).
Структурные, электрические и оптические характеристики аморф-
ных пленок из Ge.
305. Croitoru N., в книге «Probleme actuate ale fizicii semiconductorilor»,
coord. C. Constantinescu, Bucuresti, 1970, p. 21.
Неомическая проводимость в полупроводниках.
306. Croitoru N., Grlgorescu St., Rev. Roum. Phys., 15, 465 (1970).
Влияние распределения уровней прилипания на ТООЗ.
307. Dascalu D., Rev. Roum. Phys., 15, 1197 (1970).
Основные уравнения нелинейной теории ТООЗ в полупроводниках.
308. Dascdlu D., Badila М., Marin N., Rev. Roum. Phys., 15, 1201 (1970).
Точная мало сигнальная теория ТООЗ в полупроводниках.
309. Fridkin V. М., Kreher Ку, Phys. Status'Solidi (а), 2, 281 (1970).
Теория ТООЗ в сегнетоэлектриках.
310. Gavenc. М. С., Bdget U., Journ. Phys., D3, 1990 (1970).
Прохождение тока в диодах из p-Si с ТООЗ.
311. Howson R. Р., Taylor A., Thin Solid Films, 6, 31 (1970).
Накопление заряда в напыленных пленках SiO.
312. Jacobi W., Schmidt J., Kleinheins G., Phys. Lett., 32A, 79 (1970).
Темновые токи в твердом бензоле.
313. Jerhot J., Snejdar V., Czech. Journ. Phys., 20, 903 (1970).
Теоретическое Исследование области объемного заряда в тонких
полупроводниковых монокристаллических пленках.
314. Kassing R., Schenke L., Phys. Status Solidi (a), 3, K223 (1970).
О вольтамперных характеристиках тонкопленочных Au — CdS —
Те-диодов.
315. Kim C., Yang E. S., Solid-State Electron., 13, 1577 (1970).
Накопление носителей и прохождение ТООЗ в полевых транзисто-
рах.
31$. Kleinheins G., Phys. Lett., 32А, 104 (1970).
ТООЗ, контролируемый уровнями прилипания в жидком бензоле.
317. Kryszewsky М., Szymanski A., Journ. Polym. Sci., 4, 245 (1970).
ТООЗ в полимерах.
318. Lampert М. A., Schilling R. В., в книге «Semiconductorsand Semimetals»,
eds. R. К. Willardson, A. Beer, vol. 6, New York, 1970, p. 1.
Инжекционные токи в твердых телах. Метод региональных при-
ближений.
319. Lemke Н., Phys. Status Solidi (а), 1, 283 (1970).
Свойства донорных Cu-уровней в Si.
398 Библиография за период 1968 г.— середина 1911 г.
320. Lemke Н., Phys. Status Solidi (а), 2, 149 (1970).
Переходные характеристики вытягивания носителей при наличии
запирающих контактов.
321. Lemke Н., Phys. Status Solidi, 42, 885 (1970).
Релаксация свободного объемного заряда в твердом теле.
322. Lemke Н., Muller G. О., Phys. Status Solidi (а), 1, 287 (1970).
Временная зависимость ТООЗ в p-Si(Au).
323. Lewis Т. J., Wright A. J., Journ. Phys., D3, 1329 (1970).
Электропроводность MgO в сильных полях.
324. Marchal G., Journ. Phys., 31, 681 (1970).
Определение параметров уровней прилипания в тонких пленках:
ZnS.
325. McKenna J., Wasserstrom E., Solid State Electron., 13, 1257 (1970).
Поле положительно заряженной точки, линии или плоскости в полу-
проводнике п-типа.
326. Miiller L., Georgescu 1.1., OpricaD., Phys. Status Solidi (a), 2, 441 (1970)..
Электрические и оптические свойства двух производных стильбена.
327. Munn R. W., Nicholson J. R., Siebrand W., Williams D. F., Journ. Chem.
Phys., 52, 6442 (1970).
Доказательство влияния изотопов на дрейфовую подвижность элек-
тронов в кристаллах антрацена.
328. MurgatroydP. N., Jourh. Phys., D3, 151 (1970).
Теория ТООЗ с учетом эффекта Френкеля.
329. Murgatroyd Р. N., Journ. Phys., D3, 1488 (1970).
Соображения подобия для ТООЗ в твердых телах.
330. Nagerl Н., Haussiihl S., Phys. Status Solidi (a), 3, K203 (1970).
О влиянии инжектированных носителей заряда на электропро-
водность LiIO3.
331. Prudenziati М., Phys. Status Solidi (a), 1, K81 (1970).
ТООЗ в Р-ромбоэдрическом В.
332. Pulfrey D. L., Shousha A. H., Young L., Journ. Appl. Phys., 41, 283S
(1970). •
Электропроводность и объемный заряд в аморфных изолирующих
пленках.
333. Roberts G. G., Lind Е. L., Phys. Lett., ЗЗА, 365 (1970).
ТООЗ в монокристалле Si2Te3.
334. Rohde Н. J., Monatsber. Deutsch. Akad. Wiss., 12, 840 (1970).
Исследование полосы распределения уровней прилипания в моно-
кристаллах CdS методом ТООЗ.
335. Rosen G., Eckstut G., Journ. Math. Phys., 11, 1981 (1970).
Теория флуктуаций при прохождении ТООЗ.
336. Rossiter Е., Mark Р., Lampert М. A., Solid State Electron., 13, 491
(1970).
Необычные полевые эффекты, связанные с инжекцией основных
носителей из точечного контакта.
337. Ruppel W., в книге «Semiconductors and Semimetals», eds. R. К. Wil-
lardson, A. Beer, vol. 6, New York, 1970, p. 315.
Контакт фотопроводник — металл.
338. Scharfe M. E., Phys. Rev., B2, 5025(1970).
Переходный фототок в стеклообразном As2Se3.
339. Schneider J. M., Watson P. K., Phys. Fluids, 13, 1948 (1970).
Электрогидродннамическая стабильность ТООЗ в диэлектрических
жидкостях. I. Теория.
340. Schug J. С., Lilly А. С., LowitzD. A., Phys. Rev., Bl, 4811 (1970).
Токи Шоттки в диэлектрических пленках.
341. Shirakawa Т., Hayashi A., Nakai J., Japan Journ. Appl. Phys., 9, 420
(1970).
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 399
ТООЗ в пленках ZnTe, полученных осаждением в вакууме.
342. Shumka A., Solid State Electron., 13, 751 (1970).
Тепловой шум в твердотельных диодах с ТООЗ.
343. Silver М., Kumbhare Р., Smejtek Р., Опп D. G., Journ. Chem. Phys., 52r
5195 (1970).
Инжекция горячих электронов из туннельного катода в жидкий Аг.
344. Soma М., Journ. Chem. Phys., 52, 6042 (1970).
Инжекция электронов в кристаллы хинона.
345. Sostanch М., Solid State Electron., 13, 385 (1970).
Приближенное решение задачи о ТООЗ без пренебрежения диффу-
зией.
346. Srivastava S. К., Sinha А. Р. В., Solid State Electron., 13, 57 (1970).
ТООЗ в Cr — CdS — Cr-диодах.
347. Srivastava S. К., Ratna V., Bhattacharyya R., Intern. Journ. Electron.,.
29, 269 (1970).
Температурная зависимость спада тока и определение параметров
центров прилипания в тонких пленках CdS.
348. Sworakowski J., Journ. Appl. Phys., 41, 292 (1970).
ТООЗ при неоднородном объемном распределении центров прили-
пания.
349. Van der Ziel A., Proc. IEEE, 58, 1178 (1970). [См. перевод: ТИИЭР,
№ 8, 5 (1970).]
Шумы в твердотельных приборах и лазерах.
350. Watson Р. К., Schneider J. М., Till Н. R., Phys. Fluids, 13, 1955 (1970).
Электрогидродинамическая стабильность ТООЗ в диэлектрических
жидкостях. II. Эксперимент.
351. Wintie К. J., Journ. Appl. Phys., 41, 4004 (1970).
Рассасывание статической электризации процессами проводимости
в полиэтилене.
352. Zbionski Z., Sworakowski J., Postepy fiz., 21, 713 (1970).
ТООЗ в твердых диэлектриках. /
353. Zhelev V., Todorov G., Phys. Status Solidi (a), 3, K.195 (1970).
Электродная инжекция электронов в поликристаллический AgBr.
354. Zijlstra R. J. J., Driedonks F., Physica, 50, 331 (1970).
Теория шумов прилипания в твердотельных диодах с ТООЗ.
ТОКИ ДВОЙНОЙ ИНЖЕКЦИИ
355. Авакьянц Г. М., ДАН Арм.ССР, 50, 204 (1970).
Влияние рекомбинации на прохождение тока через полупроводники.
356. Авакьянц Г. М., ДАН Арм.ССР, 51, 164 (1970).
Прохождение тока через полупроводники при задержанной ин-
жекции.
357. Авакьянц Г. М., Адамян 3. Н., Барсегян Р. С., Тарумян С. А., Изв.
АН Арм.ССР, Физика, 5, 41 (1970).
Исследование шумовых свойств и некоторых особенностей темпера-
турных зависимостей вольтамперных характеристик Si(Cd,
Zn ~ 10-2%)-диодов.
358. Авакьянц Г. М., Минасян С. В., Оганесян О. А., ДАН Арм.ССР, 50,
20 (1970).
Диоды с отрицательным сопротивлением на основе Si(Ni).
359. Авакьянц Г. М., Минасян С. В., Оганесян О. А., Степанов А. А., ДАН
Арм.ССР, 51, 283 (1970).
Некоторые свойства диодов на основе Si(Ni).
360. Алферов Ж. И., Ергаков В. К., Корольков В. И., Никитин В. Г.,
Третьяков Д. Н., Яковенко А. А., ФТП, 4, 2035 (1970).
Исследование S-диодов на основе полуизолирующего GaAs(Cr).
400 Библиография aa период 1968 г.— середина 1971 е.
361. Аронов Д. А., Котов Я. И., Котов Е. П., Изв. АН Узб.ССР, сер.
физ.-мат. наук, № 2, 43 (1970).
Реактивные свойства р — п — п+-структур со «сверхдлинной» базой
при больших плотностях прямого тока.
362. Аронов Д. А., Котов Я. П., Маматкулов Р., Изв. АН Узб.ССР, сер.
физ.-мат. наук, № 3, 28 (1970).
Об импедансе р — п — га+-структур при высоком уровне инжекции.
363. Болтаев А. И., Варламов И. В., ФТП, 4, 1901 (1970).
Перемещение токового шнура в магнитном поле.
364. Воробьев В. Л., Гонтаръ В. М., Егигарян Г. А., Нзергин А. П., Мака-
ров В. В., Мурыгин В. И., Рубин В. С., ФТП, 4, 995 (1970).
Некоторые свойства высокоомного GaAs(Ti).
365. Григорьев В. К., Казанцев О. И., Мурыгин В. И., Рубин В. С., Ста-
феев В. И., ФТП, 4, 116 (1970).
Об инжекционной проводимости в компенсированных полупровод-
никах с примесным рассеянием.
366. Григорьев В. К., Музюкин Л. П., Мурыгин В. И., Стафеев В. И., ФТП,
4, 973 (1970).
Переходные процессы в длинных диодах из компенсированного Si.
367. Душкин В. А., Егигарян Г. А., Мурыгин В. И., Стафеев В. И., ФТП,
4, 1755 (1970).
Шумовые свойства диодных структур из GaAs(Cr).
368. Душкин В. А., Коварский В. Я., Мурыгин В. И., Ракитин В. В., Ста-
феев Bi И., ФТП, 4, 1267 (1970).
Шумовые колебания тока в S-диодах из Si(Cd).
369. Казаринов Р. Ф., Лукичева Н. И., Омельяновский 9. М., Первова Л. Я.,
Сурис Р. А., ФТП, 4, 1677 (1970).
Инжекционный пробой в высокоомных GaAs(Fe) и GaAs(Cr). i
370. Капитонова Л. М., Лебедев А. А., Султанов Н. А., ФТП, 4,-1130 '
(1970) . ;
Переходные характеристики диодов с отрицательным сопротивле-
нием.
»3 71. Каракушан 9. И., Коварский В. Я., Комаровских К. Ф., Кружанов Ю. В.,
Стафеев В. И., ФТП, 4, 628 (1970).
Магнитодиоды из Si(Ni).
372. Лебедев А. А., Султанов Н. А., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук,
№ 1, 65 (1970).
Диоды с S-образной вольтамперной характеристикой, изготовлен-
ные из Si(Cu).
373. Лейдерман А. Ю., Рабинович Ф. Я., Карагеоргий-Алкалаев П. М., Изв.
АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук, № 2, 47 (1970).
Влияние уровней прилипания на вольтамперную характеристику
р — п — п+-диода при бимолекулярной рекомбинации носителей
в базе. _
374. Музюкин Л. П., Мурыгин В. И., Сондаревская И. А., Стафеев В. И.,
ФТП, 4, 971 (1970).
О температурной зависимости вольтамперной характеристики длин- 1
ного диода из Si(Au). |
375. Музюкин Л. П., Мурыгин В. И., Сондаревская И. А., Стафеев В. И., -Я
ФТП, 4, 1801 (1970). |
Модуляция базы р — I — га-структуры за счет дрейфа носителей |
при двойной инжекции. |
376. Мурыгин В. И., Рубин В. С., Изв. АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук, Я
№ 4, 96 (1970). -
Импульсные свойства S-диодов из GaAs(Fe).
377. Николаев Ю. Н., фок М. В., в книге «Электролюминесценция», Труды з
ФИАН, т. 50, изд-во «Наука», 1970, стр. 106. JI
Библиография га период 1968 г.— середина 1971 г. 701
Принципы преобразования электрической энергии в световую.
378. Осипов В. В., Холодное В. А., ФТП, 4, 1216 (1970).
Шнурование тока в длинном диоде.
379. Осипов В. В., Холодное В. А., ФТП, 4, 2241 (1970).
Теория диодов с излучательной и безызлучательной примесной
реко мбинацией.
380. Павличенко В. И., Рыжиков И. В., Абдуллаев О. Р., Деп. ВИНИТИ,
№ 1807-70 (1970). ч
Исследование двойной инжекции и электролюминесценции
р — i — га-структур из SiC(Al).
381. Саимкулов 3. А., Филатова Е. С., Ягодкин В. М., ФТП, 4, 2396
(1970).
Влияние квантующего магнитного поля на вольтамперные харак-
теристики ra-InSb-диодов с отрицательным участком.
382. Стафеев В. И., ФТП, 4, 106 (1970).
О гистерезисных явлениях в полупроводниках при образовании
доменов.
. 383. Тешабаев А. Т., Кумеков С. Е., Дадамирзаев Г., Изв. АН Узб.ССР, сер.
физ.-мат. наук, № 1, 45 (1970).
Процесс накопления в р — i — n-д кодах носителей зарядов при
сверхвысоких уровнях инжекции.
384. Ancker-Johnson В., Robbins W. Р., Chang D. В., Appl. Phys. Lett., 16,
377 (1970).
Переходный процесс при высоком уровне инжекции в полупро-
водниках с ловушками.
385. Balberg I., Appl. Phys. Lett., 16, 491 (1970).
Простой способ подтверждения механизма двойной инжекции
в явлениях переключения.
386. Barnett А. М., в книге «Semiconductors and Semimetals», eds. R. К. Wil-
lardson, A. C. Beer, vol. 6, New York, 1970, p. 141.
Шнурование тока.
387. Baron R., Mayer J. W., в книге «Semiconductors and Semimetals», eds.
R. K. Willardson, A. C. Beer, vol. 6, New York, 1970, p. 201.
Двойная инжекция в полупроводниках.
388. Blouke М. М., Holonyak N., Streetman В. G., Zwicker H. R., Solid State
Electron., 13, 337 (1970).
Осцилляции тока в p — i — га-диодах из Si(Zn).
389. Boissiere C., Chanussot G., Compt. Rend., 271B, 729 (1970).
Ионный вклад в инжекцию и проводимость в случае BaTiOg.
390. Bowers Н. С., Barnett А. М., IEEE Trans., ED-17, 971 (1970).
Токовые инжекционные шнуры в полуизолирующем GaAs.
391. Brousseau М., Barrau J., Brabant J.-C., Compt. Rend., 270B, 1620
(1970).
Переходная проводимость p+ — n — р+-структур при низких тем-
пературах.
392. Brousseau М., Barrau J., Brabant J.-C., Appl. Phys. Lett., 17, 297
(1970).
Прямые токи в длинных р+ — п — р+-структурах из Si при низких
температурах.
' 393. Brousseau М., Barrau J., Brabant J.-C., van Tuyen N., Solid State Ele-
ctron., 13, 906 (1970).
Рекомбинационные осцилляции в полупроводниках при наличии
двойной инжекции.
394. Deuhng Н. J., Journ. Appl. Phys., 41, 2179 (1970).
Двойная инжекция в длинных р — i — n-диодах с одним уровнем
захвата.
395. Driedonks F., Physica, 46, 291 (1970).
26-0699
402 Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г.
Генерационно-рекомбинационный шум и адмиттанс диодов с двойной
инжекцией.
Driedonks F., van Gasteren J. J. M., Physica, 50, 606 (1970).
Адмиттанс и шумы в Ge-диоДах с двойной инжекцией.
Ferro А. Р., Ghandhi S. К,., Appl. Phys. Lett., 16, 196 (1970).
Наблюдение токовых шнуров в GaAs(Cr).
Ferro А. Р., Ghandhi S. К., Appl. Phys. Lett., 17, 183 (1970).
Термически возбуждаемые колебания и отрицательное сопротивле-
ние в приборах с двойной инжекцией. ~
Gaudron J., Thureau Р., Compt. Rend., 271В, 651 (1970).
Электропроводность тонких диэлектрических пленок, полученных
катодным реактивным распылением.
Gyulai J., Acta Phys. Hung., 29, 75 (1970).
Энергетическое распределение ловушек в кристаллах GaP.
Ham W. Е., Ashley К. L., Appl. Phys. Lett., 16, 273 (1970).
Прямое наблюдение закона трех вторых Эшли — Милна в диодах
с двойной инжекцией из Ge(Au) в предпробойной области.
Hiramatsu М., Kusaka М., Okazaki S., Japan Journ. Appl. Phys., 9,
854 (1970).
Двойная инжекция в безловушечном Si при больших плотностях •
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
, 408.
409.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
тока.
Lee D. Н., Journ. Appl. Phys., 41, 3467 (1970).
Температурная зависимость двойной инжекции в длинной р+ — л —
— п+-структуре из Si.
Lemke Н., Phys. Status Solidi (a), 2, K209 (1970).
Двойная инжекция в очень чистом Si с металлическими контактами.
Liao J. Н., Electron. Lett., 6, 175 (1970).
Шум в диодах из InSb с двойной инжекцией.
Maeda К., Japan Journ. Appl. Phys., 9, 71 (1970).
Двойная инжекция в электролюминесцентных диодах из GaP.
Otani Y., Matsubara К., Nishida Y., Journ. Appl. Phys., 41, 4711 (1970).
Влияние магнитного поля на отрицательное сопротивление при
двойной инжекции в длинных р+ — я — п+-структурах.
Romeo N., Phys. Status Solidi (a), 2, 335 (1970).
Электролюминесценция на основе двойной инжекции в GaS.
Rosenberg L. М., Lampert М. A., Journ. Appl. Phys., 41, 508 (1970).
Двойная инжекция в идеальном диэлектрике. Дальнейшие анали-
тические результаты.
Saunders A. F., Wright G. Т., Electron. Lett., 6, 207 (1970).
Наблюдение граничных состояний в системе Si — SiOa методом тер-
мостимулированного освобождения заряда. ;
Schilling R. Б., Lampert М. A., Journ. Appl. Phys., 41, 1791 (1970).
Инжекция плазмы в твердое тело. Учет диффузионных поправок.
Schmidlin F. W., Phys. Rev., В4, 1583 (1970).
Переключающий прибор, основанный на двойной инжекции, кон-
тролируемой зарядом. ,!
Thomas R. Т., Journ. Phys., D3, 1434 (1970). т|
Временная зависимость электропроводности монокристаллов BaTi()s, I
отожженных в Оа- 'а
Van der Ziel A., Electron. Lett., 6, 45 (1970). a
Тепловой шум в твердотельных диодах с двойной инжекцией. я
Van der Ziel A., Solid State Electron., 13, 191 (1970). ' ’Я
Адмиттанс диодов с двойной инжекцией в омическом и омическомЯ
релаксационном режимах на переменном токе.
Van der Ziel A., Solid State Electron., 13, 195 (1970).
Влияние тока смещения на адмиттанс диодов с двойной инжекцией*»
Van der Ziel A., Electron/Lett., 6, 231 (1Э70). " •*Д
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 403
Более строгое доказательство формулы, описывающей тепловой шум
в диодах с двойной инжекцией при ют > 1.
418. Waxman A., Lampert М. A., Phys. Rev., Bl, 2735 (1970).
Двойная инжекция в диэлектриках. II. Дальнейшие аналитические
результаты с отрицательным сопротивлением.
419. Weber W. Н., Appl. Phys. Lett., 16, 396 (1970).
Двойная инжекция в длинных р — i — га-диодах с глубокими двой-
ными акцепторами.
420. Weber W. И., Ford G. W., Solid State Electron., 13, 1333 (1970).
Двойная инжекция в полупроводниках, сильно легированных
глубокими двухвалентными центрами захвата.
421. Worch Р. R., Bilger Н. R., Physica, 50, 161 (1970).
Эксперименты по исследованию генерационно-рекомбинационных
шумов в Si-диодах с двойной инжекцией, работающих в полупровод-
никовом режиме.
422. Zwicker Н. R., Streetman В. G., Andrews А. М., Deuling Н. J.,\ Appl.
Phys. Lett., 16, 63 (1970).
Двойная инжекция в р — л — n-диодах из Si(Au).
423. Zwicker И. R., Streetman В. G., Holonyak N., Andrews’ A. M., Journ.
Appl. Phys., 41, 4697 (1970).
Двойная инжекция в полупроводниках с многовалентными центра-
ми захвата.
1971 г.
ТОКИ МОНОПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ
424. Адирович 9. И., в книге «Proc. Intern. Conf. Phys. Chem. Semicond.
Heterojunct. and Layer Struct., Budapest, 1970», vol. 4, Budapest, 1971,
p. 41.
Диэлектрическая электроника и тонкие пленки.
425. Азимов С., Шамирзаев С. X., ФТП, 5, 931 (1971).
Импеданс диэлектрического диода с ловушками при наличии зави-
симости подвижности от поля.
426. Алимпиев В. Н., Баранов Л. И., Роках А. Г., Радиотехн. и электрон.,
16, 1237 (1971).
О вольтамперной характеристике продольного квазимонополярного
фотопроводника при неравномерном освещении.
427. Вродовой. В. А., Шевченко А. Д., ФТП, 5, 315 (1971).
ТОПЗ в полуизолирующем GaAs(Cu). '
428. Воробьев Ю. В., ФТП, 5, 596 (1971).
Эффект полевого управления основными неравновесными носите-
лями заряда в полупроводнике.
429. Зотов В. В., Сердюк В. В., Изв. вузов СССР, Физика, № 6, 103 (1971).
Изменение свойств контакта CdS — In при длительном протека ии
фототока. •
430. Зюганов А. Н., Маловичко А. В., Письменный Ю. Г., Свечников С. В.,
Радиотехн. и электрон., 16, 829 (1971).
Теория вольтамперных характеристик монополярных полупровод-
ников при различных уровнях инжекции носителей.
431. Зюганов А. Н., Письменный Ю. Г., Свечников С. В., Phys. Status Solidi.
44, 85 (1971). •
Теория вольтамперных характеристик монополярных и квазимоно-
полярных полупроводников при различных уровнях Контактной
и объёмной инжекции.
432. Коломиец Б. Т., Лебедев 9. А., Цэндин К. Д., ФТП, 5,1568 (1971).
Влияние ТОПЗ на тепловой пробой. f
. ' 26*
404 Библиография за период 1968 г.— середина 1971 «.
433. Курочкин В. А., Курхинен Г. И., Корзо В. Ф., в книге «Итоги науки
и техники. Электроника и ее применение», 1969, ВИНИТИ, 1971,
стр. 69.
Тонкие диэлектрические пленки в современной электронике.
434. Лихобабин Н. П., Изв. вузов СССР, Физика, № 2, 141 (1971).
Температурная зависимость ТОПЗ в Сп2О.
435. Лихобабин Н. П., Дроздова В. М., Изв. вузов СССР, Физика, № 4,
127 (1971).
Фото-ТОПЗ в Сп2О.
436. Луценко О. Л., Подольская Т. И., Розенштейн Л. Д., ФТП, 5, 339
(1971).
Локальные состояния в органических красителях (пинацианол).
437. Панов В. П., Гаврилов Ф. Ф., Андреев В. С., Шаляпин А. П., Труды
Уральского политехнического института, 183, 26 (1971).
Исследование электропроводности поликристаллов Na2ZrSiO8.
438. Райкерус П. А., Радиотехн. и электрон., 16, 400 (1971).
ТОПЗ в диэлектриках при равномерном распределении ловушек
по энергиям.
439. Райкерус П. А., Радиотехн. и электрон., 16, 607 (1971).
ТОПЗ в диэлектриках при наличии ловушек, обладающих кулонов-
ским потенциалом.
440. Розенталь А. И., Вайну Т. Л., ФТП, 5, 1528 (1971).
О применении ТООЗ для измерения микроскопической подвижности
в монокристаллах CdS.
441. Тиман В. Л., Фесенко В. М., ФТП, 5, 555 (1971).
Вольтамперная характеристика диэлектрической диодной структуры <
при неоднородном распределении ловушек с учетом полевой иони-
зации.
442. Batra I. Р., Kanazawa К. К., Schechtman В. Н., Seki Н., Journ. Appl.
Phys., 42, 1124 (1971).
Динамика носителей заряда после импульсной фотоинжекции»
443. Batra I. Р., Schechtman В. Н., Journ. Phys. Chem. Solids, 32, 769 (1971).
Фототоки при импульсном возбуждении и распределение поля
в структурах фотопроводник — диэлектрик.
444. Batra I. Р., Schechtman В. Н., Seki Н., Phys. Rev., ВЗ, 3571 (1971).
Переходный ТООЗ в структурах фотопроводник — диэлектрик.
445. Bougalis D. N., van der Ziel 4., Solid State Electron., 14, 265 (1971).
Эффекты горячих носителей в Si-диодах с ТООЗ.
446. Canali С., Ottaviani G., Martini М., Zanio К., Appl. Phys. Lett., 19, 51
(1971).
Дрейфовая скорость дырок в полуизолирующем CdTe.
447. Canali С., Ottaviani G., Taroni A., Zanarini G., Solid State Electron., 14,
661 (1971).
Экспериментальные данные по переходным ТООЗ в р — м-перехо-
Дах.
448. Croitoru N., Vescan L., Popescu C., Lazarescu М», Journ. Non-Cryst.
Solids, 4, 493 (1971).
Неомическое поведение некоторых аморфных полупроводников.
449. Fillard J. Р., Lecoy G., Savelli M., Solid State Electron., 14, 371 (4971).
Возможность определения микроскопической подвижности носи-
телей в полупроводниках в условиях ТООЗ.
450. Friedmann A., Solid State Electron., 14, 361 (1971).
Шумы горячих носителей. ,
451. Jakubowski W., Postepy fiz., 22, 85 (1971).
ТООЗ в полупроводниках с широкой запрещенной зоной.
452. Lipinski A., Kondrasiuk J., Szymatlski A., Molec. Cryst. and Liquid
Cryst., 13, 381 (1971).
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 405
Определение дрейфовой подвижности дырок в слоях и-кватерфе-
нила по времени прохождения импульса носителей.
453. Milton A. F., Blouke М. М., Phys. Rev., ВЗ, 4312 (1971).
Вытягивание и диэлектрическая релаксация в компенсированных
примесных фотопроводниках.
454. Mortensen О. S., Munn R. W., Williams D. F., Journ. Appl. Phys., 42
1192 (1971).
Феноменологическая теория эффекта Холла в диэлектриках.
455. Muller М. A., Mihai I. С., Miiller L. Р., Phys. Status Solidi (а), 4, 479
(1971).
Определение распределения уровней прилипания в тонком слое
Сп-фталоцианина методом ТООЗ.
456. Murgatroyd Р. N., Phys. Status Solidi (а), 6, 217 (1971).
Насыщение резервуарных контактов.
457. Nicolet М.-А., Bilger Н. R., Shumka A., Solid State Electron., 14, 667
(1971).
Шум горячих дырок в Ge-диодах с ТООЗ.
458. Paul R., Kristall und Technik, 6, 405 (1971).
ТООЗ в полупроводниковых кристаллах К(Та, Nb)O3.
459. Queisser Н. J., Casey Н. С., van Roosbroeck W., Phys. Rev. Lett., 26, 551
(1971).
Перенос носителей и распределение потенциала для полупровод-
никового р — n-перехода в релаксационном режиме.
460. Rossiter Е. L., Warfield G., Journ. Appl. Phys., 42, 2527 (1971).
Переходный ТООЗ в тонких пленках аморфного Se.
461. Schneider J. М., Watson Р. К., в книге «1970 Annual Report. Conf, on
Electrical Insulation and Dielectric Phenomena», Washington, 1971,
p. 125.
Переходный ТООЗ в жидких диэлектриках. II.
462. Seki Н., Batra I. Р., Journ. Appl. Phys., 42, 2407 (1971).
Фототоки, обусловленные импульсным освещением, при наличии
прилипания. II.
463. Sergiescu V., Solid State Electron., 14, 357 (1971).
Шумы ТООЗ как эффект статистической корреляции носителей.
464. Sheorey U. В., Lundstrom I., Ash Е. A., Intern. Journ. Electron. 30, 19
(1971).
Теория прокольной инжекции в случае пролетного диода с отри-
цательным сопротивлением.
465. Shumka A., Solid State Electron., 14, 367 (1971).
Тепловой шум в твердотельном диоде с ТООЗ в случае зависимости
подвижности от поля при разогреве носителей.
466. Simmons J. G., Journ. Phys., D4, 613 (1971).
Электропроводность тонких диэлектрических пленок.
467. Sostarich М., St. cere. fiz., 23, 87 (1971).
ТООЗ в полупроводниках.
468. Srivastava S. К., Bhattacharyya R., Intern. Journ. Electron., 30, 287
(1971).
ТООЗ в полых кристаллах CdS.
469. Thoma Р., von Rosenberg-Lipinsky М., Zs. angew. Phys., 31, 158 (1971).
Новый метод для более общего анализа ТООЗ в диэлектриках
с уровнями прилипания.
470. Vavrina К,, Czech. Journ. Phys., В21, 275 (1971).
Свойства поликристаллических слоев Se при высоких плотностях
тока.
471. Wright G. Т., Electron. Lett., 7, 449 (1971).
Пролетный осциллятор с инжекцией, ограниченной дрейфовой ско-
ростью.
406 Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г.
472. Zijlstra R. J. J., Solid'State Electron., 14, 365 (1971).
Шум прилипания в твердотельных диодах с ТООЗ.
ТОКИ ДВОЙНОЙ ИНЖЕКЦИИ
473. Авакьянц Г. М., Адамян 3. Н., Барсегян Р. С., Оганесян~С. В., Тару-
мян С. А., ДАН Арм.ССР, 52, 76 (1971).
Исследование S-диодов из Si(Zn) и Si(Cd).
474. Авакьянц Г. М., Адамян 3. Я., Варсегян Р. С.. Тарумян С. А., ФТП,
5, 809 (1971).
Исследование температурной зависимости генерационных свойств !
S-диодов на основе Si(Cd).
475. Азимов С. А., Муминов Р. А., Нуркузиев Г., Хакназарова Ш., Изв. *|
АН Узб.ССР, сер. физ.-мат. наук, № 3, 40 (1971). I
О реактивных свойствах Ge-диодов с двойной инжекцией. а
4767 Аронов Д. А., Котов Я. П., Котов Е.П., Радиотехн. и электрон., 16,1518 Й
(1971). j
К теории частотных свойств длинных р — п — га+-диодов при высо- 1
ких уровнях инжекции. J
477. Аронов Д. А., Котов Я. П., Маматкулов Р., Изв. АН Узб.ССР, сер. 4
физ.-мат. наук, № 1, 40 (1971). Я
Реактивные свойства р — п — ^-структур в режиме высокого J
уровня инжекции при воздействии СВЧ-сигналом произвольной Я
амплитуды. -Я
478. Аронов Д. А., Котов Я. П., Маматкулов Р., Изв. АН Узб.ССР, сер. и
физ.-мат. наук, № 3, 64 (1971), |
К теории частотных свойств р — I — n-диодов при высоком уровне я
инжекции в режиме СВЧ. Д
479. Бараненков А. И., Осипов В. В., ФТП, 5, 836 (1971).
Инжекционный пробой компенсированных полупроводников. 3
480. Варанов Л. И., Селищев Г, В., Радиотехн. и электрон., 16, 404 (1971). 3
Влияние зависимости времени жизни неравновесных носителей j
от концентрации на вольтамперную характеристику р — i — п~
(р—п — п+)-диода. 1
481. Баранов Л. И., Селищев Г. В., Самсонов А. В., Радиотехн. и электрон., 1
16, 578 (1971). 3
О реактивных свойствах р — i — га-диода в режиме большого сиг- J
нала при высоких уровнях инжекции. я
482. Якизили М. Я., Иващенко А. И., Наследов Д. Я., Слободчиков С. В., ]
ФТП, 5, 462 (1971). 3
Электрические свойства и электролюминесценция GaP(Au) и GaP(Ag)
р — «-переходов. i
483. Музюкин Л. П., Мурыгин В. И., Стафеев В. И., Ткачев В. А., ФТП, J
5, 1055 (1971). Ч
Импеданс р — I — «-структуры из компенсированного Si. I
484. Осипов В. В., Холодное В. А., ФТП, 5, 1387 (1971). |
Отрицательное сопротивление в диодах из компенсированных полу- Ц
проводников при двойной инжекции. ’а
485. Ancker-Johnson В., Robbins W. Р., Journ. Appl. Phys., 42, 762 (1971). *||
Нестационарная и стационарная инжекция электронно-дырочнойd|
плазмы в p-InSb. Я
486. Batra 1. Р., Journ. Appl. Phys., 42, 2067 (1971). Я
Переходная оптическая двойная инжекция в диэлектриках. д|
487. Barrau J., Bailon L., Brabant J.-С., Brousseau М., Rev. Phys. Appl.,
6, 19 (1971). 41
Импульсный метод определения времени жизни носителей в цен-Д
тральной части р — I т «-структуры. -Ш
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г. 407
488. Brabant J. С., Brousseau М., Barrau J., Phys. Status Solidi (a), 5, 471
(1971).
Релаксационная модель для осцилляций в полупроводниках при
наличии двойной инжекции.
489. Brousseau М., Barrau J., Brabant J. С., Rev. Phys. Appl., 6, 1 (1971).
Установка, использующая технику СВЧ для определения времени
жизни инжектированных носителей в полупроводниках при низких
температурах. Измерения на р — i — п-структурах.
490. Buget U., Journ. Phys., D4, 480 (1971).
Экспериментальное исследование токов двойной инжекции в корот-
ких Ge-структурах.
491. Driedonks F., Solid State Electron., 14, 373 (1971).
к Шумы в германиевых р — п — п+-диодах с двойной инжекцией.
492. Fillard J. Р., Lecoy G., Bonnet G., Manifacier J. C., Rigaud D., Solid
State Electron., 14, 389 (1971).
Предварительные результаты исследования Ge — SnO2 — Ag-струк-
тур co значительной ролью объемного заряда.
493. Gill W. D., Batra I. P., Journ. Appl. Phys., 42, 2067 (1971).
Нестационарная оптическая двойная инжекция в диэлектриках.
494. Goodman А. М., Rose A., Journ. Appl. Phys., 42, 2823 (1971).
Двойная экстракция из диэлектриков с нейнжектирующими кон-
тактами при однородном возбуждении электронно-дырочных пар.
495. Hentsch Н. К., Fagen Е. A., Ovshinsky 8. R., Journ. Non-Cryst. Solids,
4, 538 (1971).
Качественная теория процессов переключения в моностабильных
аморфных структурах.
496. Huang С. Н., van der Zlel A., van Vliet К. M., Electron. Lett., 7, 291
(1971).
Диффузионный шум в диодах с двойной инжекцией в омическом
релаксационном режиме.
. 497. Jordan A. G., Knepper R. W., Solid State Electron., 14, 381 (1971).
Электрические характеристики и флуктуационные явления в полу-
проводниковых приборах с двойной инжекцией.
498. Lee D. И., Baron R., Solid State Electron., 14, 295 (1971).
Влияние геометрии на двойную инжекцию в полупроводниках.
499. Nicolet М.-А., Solid State Electron., 14, 377 (1971).
Тепловой шум в диодах с монополярной и двойной инжекцией.
500. Ottoson М. О., Solid State Electron., 14, 305 (1971).
ОаР(Си)-диоды с отрицательным сопротивлением и сверхлииейной
люксамперной характеристикой фототока.
501. Romeo N., Braglia R., Sberveglieri G., Phys. Status Solidi (a), 5, Kll
(1971).
Осцилляции тока в изолирующих монокристаллах GaSe.
502. Schwob Н. Р., Zschokke-Grdnacher I., Molec. Cryst. and Liquid Cryst.,
13, 115 (1971).
Двойная инжекция и электролюминесценция в легированных кри-
сталлах антрацена.
503. Weber W. Н., Appl. Phys. Lett., 18, 241 (1971).
Осцилляции, связанные с объемным зарядом, в структурах с двой-
ной инжекцией.
504. Weber W. Н., Elliott R- 8., Cederqutst A. L., Journ. Appl. Phys., 42,
2497 (1971).
* Малосйгнальная нестационарная двойная инжекция в сильцолеги-
рованных полупроводниках с глубокими ловушками.
505. Worch Р. R., Bilger Н. R., Solid State Electron., 14, 383 (1971).
Измерение генерационно-рекомбинационного шума Si-диодов С двой-
ной инжекцией в полупроводниковом режиме.
4
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авен (Aven М.) 353
Адамс (Adams A. R.) 160
Адирович Э. И. 220, 228, 229
Адольф (Adolph I.) 108
Адриане (Adriaens W. Н. Th.) 352
Айви (Ivey Н. F.) 22, 348
Аллен (Allen J. W.) 115, 117, 120
Андерсон (Anderson N. I.) 114
Андо (Ando К.) 355, 356
Аризуми (Arizumi Т.) 307
Барнетт (Barnett А. М.) 343, 345—
347
Барон (Baron R.) 289, 294, 301,
302, 308
Батчер (Butcher Р. N.) 347
Бёэр (Вбег К. W.) 102, 103, 118
Блейкмор (Blakemore J. S.) 48
Блох (Bloch F.) 13
Бок (Bok I.) 111
Боулт (Bowlt'C.) 125
Браун (Brown F. С.) 133, 137, 148,
149
Брейнлих (Braunlich Р.) 167
Брозер (Broser I.) 118
Брозер-Варминская (Broser-Warmin-
sky R.) 118
Бьюб (Bube R. H.) 106, 108, 112—
114, 117
Бюхнер (Buchner W.) 109, 128
Ваксман (Waxman A.) 312
Бартер (Warter P.) 99
Вейзер (Weiser K.) 359
Веймер (Weimer P. K.) 123, 131
Вейнгер А. И. 8
Вейц (Weisz S. Z.) 156
Влит ван (van Vliet К. M.) 114
Волков А. Ф. 308
Вудс (Woods J.) 107, 113
Ганн (Gunn J. B.) 46, 347, 357
Герни (Gurney R. W.) 13—15, 101
Гёрст (Geurst J. A.) 213
Горелик (Gorelik J.) 115, 148
Грегори (Gregory B. L.) 108, 110,
113, 115
Гренахер (Granacher I.) 128
Гудман (Goodman A. M.) 176, 177
ГюнТер-Мор (Gunther-Mohr G. R.) 50
Дейси (Dacey G. C.) 103, 123, 173
Денда (Denda S.) 108, 122
Джиллео (Gilleo M. A.) 176
Джоншер (Jonscher A. K.) 353
Дреснер (Dresner J.) 113, 118, 131,
353
Дридонкс (Driedonks F.) 164
Думке (Dumke W. P.) 359—362
Зейлстра (Zijlstra R. J. J.) 114, 164
Зил ван дер (van der Ziel A.) 114
Зулиг (Zuleeg R.) 113, 131
Иордан (Jordan A. G.) 108, 110, 113,
115
Калльман (Kailman H. P.) 109, 127
Кейлер (Kepler R. G.) 133, 137,
11 V> 1 nfi
Кёниг (Koenig S. H.) 50
Кикучи (Kikuchi M.) 355
Китинг (Keating P. N.) 113, 359
Коган Ш. M. 308
Кокс (Cox G. A.) 353
Конуэлл (Conwell E. M.) 46
Коуп (Cope A. D.) 123
Кузано (Cusano D. A.) 353
Кук (Cooke I.) 118
Кюммель (Kiimmel U.) 102, 103,
118
Ламперт (Lampert M. A.) 7—9, 69,
74, 87, 102, 174, 184, 229, 243,
270, 273, 285, 289 , 312, 315
Ландсберг (Landsberg P. T.) 228
Ланьон (Lanyon H. P. D.) 108, 113,
123, 124
Ларраби (Larrabee R. D.) 303, 304
Лебедев A. A. 349
Левитт (Levitt R. S.) 359
Лемке (Lemke H.) 121, 160
Ленгмюр (Langmuir I.) 5, 238
Летсон (Letson G. M.) 156
Именной указатель 409*
Линдмейер (Lindmayer G.) 228
Липсетт (Lipsett F. R.) 127
Литтон (Litton С. W.) 359
Лэке (Lax В.) 48
Мавруад (Mavroides J. G.) 48
Макдональд (Macdonald J. R.) 229
Мак-Уортер (McWhorter A. L.) 111
Маллер (Muller R. S.) 113
Марк (Mark Р.) 7, 8, 93, 108, 109,
113-115, 126, 133, 139, 152, 154,
167, 170
Марлор (Marlor G. А.) 107, 113
Марш (Marsh О. I.) 304
Мейер (Mayer J. W.) 308, 347
Мейерхофер (Meyerhofer) 220
Мелнгайлис (Melngailis I.) 353
Мель (Mehl W.) 109, 128
Мельцер (Meltzer В.) 114, 187
Милн (Milnes A. G.) 342, 346
Морт (Mort I.) 150
Мотт (Mott N. F.) 13—15, 101
Мэни (Many А.) 103, 106, 115, 125,
133, 139, 140, 156, 160
МюЛлер (Muller G. О.) 113, 121, 160
Никиш (Niekisch Е. А.) 108
Николе (Nicolet М. А.) 108, 122
Оказаки (Okazaki S.) 310
Олфри (Alfrey G. F.) 118
Парицкий Л. Г. 8
Парментер (Parmenter R. Н.)
260, 263, 264, 270, 336
Патрик (Patrick L.) 69, 120, 353
Пейдж (Page D. J.) 117
Пилькун (Pilkuhn М. Н.) 22
Польке (Polke М.) 212
Поуп (Pope М.) 109, 127
Прим (Prim R. С.) 123, 228—230,
232
Прэтт (Pratt R. G.) 50
Райт (Wright G. Т.) 117, 132, 228
Ракави (Rakavy G.) 140
Рашба Э. И. 278
Редикер (Rediker R. Н.) 111, 353
Рейнольдс (Reynolds D. С.) 359
Рёйвен ван (van Ruyven L. J.) 352
Рид (Read W. T-) 357
Ридли (Ridley В. K.) 50, 342
Робертс (Roberts G. G.) 121, 229
Робинсон (Robinson B.) 282
Розенберг (Rosenberg L.) 270
Розенталь А. И. 8
Роуз (Rose A.) 15, 25, 93, 102, 103,
108, 109, 113—116, 118, 133, 150,
167, 168, 212, 243, 273, 285, 307
Руппель (Ruppel W.) 118, 119, 131,
169, 260, 263, 264, 270, 336
Рьюзан (Ryuzan O.) 352
Сасман (Sussman A.) 113, 130
Сергьеску (Sergiescu V.) 114
Силвер (Silver M.) 148, 156
Симхони (Simhony M.) 115, 148
Скиннер (Skinner S. M.) 228
Смит (Smith R. H.) 102, 103, 109,
111, 113-117, 131, 133, 167, 168,
357 359
Спир’(Spear W. E.) 124, 133, 137,
149, 150, 160
Стафеев В. И. 307, 308, 313, 349
Стил (Steele М. С.) 355
Стрэттон (Stratton R.) 46
Суджигами (Sugigami М.) 106, 111,
119
Сьюте (Suits G. Н.) 228
Тайлер (Tyler W. W.) 348, 350
Толпыго К. Б. 278
Томас (Thomas D. G.) 22
Тосима (Tosima S.) 356, 357
Тредголд (Tredgold R. Н.) 121, 229,
353
Уильямс (Williams R.) 103, 176, 177
Уорфилд (Warfield G.) 128
Фань (Fan Н. Y.) 228
Фассетт (Fassett J. R.) 114
Фишер (Fischer A. G.) 22
Форг (Forgue S. V.) 125
Франц (Franz W.) 46
Фрэнкс (Franks I.) ИЗ
Функ (Funk В.) 128
Харник (Harnik Е.) 106
Хартке (Hartke J. L.) 106, 123
Хейл (Hale J. М.) 109
Хейльмейер (Heilmeier G. Н.) 128
Хейнс (Haynes J. R.) 54
Хельфрих (Helfrich W.) 22, 93, 108,
109, 113—115, 126—128, 133, 139,
152, 154, 156, 164, 167, 170, 353
Хениш (Henisch Н. К.) 22, 348
Хехт (Hecht К.) 176
Хефлингер (Hoefflinger В.) 357
Хинотани (Hinotani К.) 106, 111, 119*
Хирамацу (Hiramatsu М.) 310
Хирота (Hirota R.) 281
Холоньяк (Holonyak N.) 310, 349,
362
410 Именной указатель
Хорниг (Hornig J. F.) 143
Хостери (Hoestery В. С.) 156
Чайновес (Chynoweth A. G.) 46
Черри (Cherry R. I.) 115, 117, 120
Шаллкросс (Shallcross’ F. V.) ИЗ,
118, 131
Шахтер (Schachter Н.) 143
Шварц (Schwartz L. М.) 143
Шиллинг (Schilling В. В.) 69, 143,
289
Шнейдер (Schneider W. G.) 109, 127,
156, 353
Шокли (Shockley W.) 54, 123, 131,
228, 229, 230, 232, 281
Штёкман (Stockmann F.) 109
Шулман (Shulman С. I.) ИЗ
Шуман (Schumann W. О.) 136
Эдвардс (Edwards I.) 120
Эдельман (Edelman F.) 229
Эйкен (Aiken J. G.) 108, ИЗ
Эшли (Ashley К. L.) 337, 339, 342,
350—352
Ямасита (Yamashita Н.) 359
Янзен (Jansen Р.) 167
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
в-Азоксианизол 179, 180
Антимонид индия 311, 353, 356
Антрацен 22, 108,109, 113—115, 126,
137, 143, 147, 151, 152, 167, 169,
170, 353
Арсенид галлия 22, 120, 349, 359
Ассоциация примесей 107
Бозоны 180
Бромид калия 176
Видикон 102
Время диэлектрической релаксации
30, 34, 66, 138, 178, 245,
— жизни 114, 150, 160, 177 , 241,
242, 244, 249, 284, 362
---бимолекулярное 258, 277
— — постоянное 249, 253, 283
— — увеличение с инжекцией 313,
349, 353
— — эффективное 278
— захвата 140, 146—148, 157, 170
— освобождения 170
— пролета 26, 29, 54, 62, 66, 133,
136, 138, 146, 149, 168, 177, 241,
251, 261, 357
— — амбиполярное 244, 276
— — переднего фронта 142
* - — эффективное 34, 178
— фотоответа 112, 114, 117, 177
Выпрямитель полупроводниковый
53
Выпрямление геометрическое 187,
211
Вытягивание носителей 123, 216
1 Германий 47, 48, 123, 173, 303, 307,
311, 348, 349, 351, 352, 355, 362
Гетеропереход 17
Горячие носители 122, 282 (см. также
Разогрев носителей)
| Двуокись кремния 176, 179
И»' — титана 121
В - Диод вакуумный 18, 26, 28, 63, 183,
> 229, 238
V' диэлектрический 63, 73
— выпрямляющий 131
Диффузионный ток 26, 45—47, 51,
59, 221, 227, 231, 239, 251, 279,
288
Длина амбиполярной диффузии 239,
277, 284, 291, 304, 309, 351, 356
— дрейфа эффективная 175, 176
Добротность фотопроводниковых
приборов 131, 177, 178
Домены дипольные 59
Дрейфовый ток 26, 45—47, 52, 221,
227, 241, 251
Емкостный выброс 152, 155
Жидкие кристаллы 180
Закон квадратичный безловушечный
28, 36, 61, 67, 71, 74, 77, 82, 86,
87, 93, 94, 96, 106—108, 110, 117,
256, 285, 320, 327
— — для полупроводника 273, 275,
283, 285, 286, 295, 303, 304, 319
— — «ловушечный» 33, 38, 72, 86,
106, 107, 129, 159
— — Эшли 342
— кубический для изолятора 250,
256, 283, 285, 287, 299, 302, 308,
310
— Мотта — Герни см. Закон квад-
ратичный безловушечный
— предельного заполнения ловушек
36, 82, 87, 106 (см. также Предель-
ное заполнение ловушек)
— трех вторых 184, 192, 208
— Чайлда 18, 29, 238
— — для твердого тела см. Закон
квадратичный безловушечный
Изолятор 13, 23, 131, 229, 241, 247,
248, 282, 312, 329
Инжекция носителей в транзистор-
ной физике 281
— — импульсом света 134, 143, 151,
157, 160
Иод 106, 115, 125, 147, 148, 156
Ионизация полевая 109, 117
Карбид кремния 120, 353
412 Предметный указатель
Квазиуровень Ферми 23, 32, 34, 40,
41, 48, 72, 108, 165, 185
п-Кватерфенил 128
Компенсация примесей 117, 120, 247,
312, 351
Контакт запирающий 16, 56, 117,
218, 220, 228, 239, 288
— инжектирующий 17, 23, 134, 138,
145, 147, 174, 184, 220, 237, 239,
288 (см. также Контакт омический,
Контакт резервуарный)
— — для антрацена 152
------- CdS 116
— металлический 109
— омический 14, 23, 52, 117, 169
(см. также Контакт инжектирую-
щий, Контакт резервуарный)
— — для антрацена 156
— резервуарный 23, 25, 114, 218,
225, 359 (см. также Контакт инжек-
тирующий, Контакт омический)
----для Si 122
— — созданный светом, 16, 123, 210
— трудности изготовления 17, 21,
118
— электролитический 109, 127, 156,
169
Континуум локальных состояний 107
Коэффициент амбиполярной диф-
фузии 280, 281, 346
— диффузии. 46
Кремний 47, 48, 109, НО, 113, 115,
121, 161, 176, 304, 308, 310, 311,
327, 343, 347, 349, 351, 353
Лавинное размножение носителей
178 (см. также Ударная ионизация)
Лед 179
Ловушки 26, 210, 229 (см. также
Уровни прилипания, Центры при-
липания)
— глубокие 34, 55, 76
— мелкие 32, 55, 72
Метод региональных приближений
60, 68, 78, 83, 89, 90, 95, 186,
265, 289, 311, 315, 331, 347
Накопление неосновных носителей
288, 309, 356
Насыщения ток 109, 216, 234
Неустойчивости плазменные 22, 308
Нитрид алюминия 120
Обратная связь оптическая 359, 361
Объемный заряд инжекционный,
«вытекание» 168
— — — вытягивание 169
Отрицательное сопротивление высо-
кочастотное 357
Охранное кольцо 107, 128
Подвижность амбиполярная 242, 275.
276
— дрейфовая эффективная 33, 41
— зависимость от поля 43, 46, 47,
171, 357
— эффективная 264
Поле магнитное 279, 282
Полупроводник 23, 244, 273, 282
Постоянная времени Максвелла см.
Время диэлектрической релакса-
ции
Предельное заполнение лову-
шек 34, 75, 104, 110, 113, 116,
118, 119, 122, 129, 229, 256, 339,
358
Приборы диэлектрические аналого-
вые 22, 131, 132
Принцип детального равновесия 216
Пробег свободный 173
Прокол базы 74, 103, 123, 173
Работа выхода 14
Равновесие квазитепловое 23, 31,
48, 50, 54, 114, 185
— - тепловое 30, 31, 48, 49, 77, 170,
229, 312
Разогрев носителей 31, 43, 50, 99,
104, 175, 217, 356
Рекомбинационный барьер 313, 329,
348
Свет, поглощение 114, 115, 124, 137
— примесный 163
— собственный 167
Сдвиг см. Длина дрейфа эффективная
— уровней штарковский 49
Селен 102, 106, ИЗ, 123, 149, 212
Селенид цинка 253
Сера 147, 160
Сечение захвата 115, 116, 122, 128,
148, 157, 159, 163, 253
— — фотона 115, 163
— рекомбинации 242, 258, 259, 262
Скорость захвата 49, >163, 170, 237
— оптического освобождения 163
— поверхностной рекомбинации 27®,
279, 307
— рекомбинации 249, 258, 274, 277
— термического освобождения 49,
163, 170
Структура МОП 179
— р — i — п 308, 310, 350, 352, 359
— р — п — р 103, 123 /
— р+ — р — р+ 121, 122
Предметный указатель 413
Структура р — л — п 304, 347
Сульфид кадмия 47, 102, 106—109,
112—115, 131, 150, 189, 208, 349,
357 359
— цинка 47, 107, 111, 118, 169, 353
Теллурид цинка 106, 111, 112, 119
-Тепловой пробой 119
Термостимулированный ток 107, 112,
113, 117, 118, 179
п-Терфенил 113, 115, 128
Титанат бария 121, 253
Ток, ограниченный объемным заря-,
дом, парный 265
Тонкие пленки 38, 125
Триод на основе ТООЗ 132
Трисульфид сурьмы 102, 125
Туннелирование 17, 104, 110, 210,
218, 355, 359
Туннельный ток 219
Ударная ионизация 49, 103, 109,
117, 355-357
Уровни прилипания 26, 32, 34, 39,
55, 75, 83, 89, 104, 106—108, 236
(см. также Ловушки, Центры при-
липания)
— — статистический вес 31
— рекомбинации 26, 253, 352 (см.
также Центры рекомбинации)
— Ферми 30, 33, 36, 104, 253, 312,
328
— — стационарные см. Квазиуро-
вень Ферми
Фермионы 180
Фосфид галлия 22
Фотоинжекция носителей 137, 145
Фотопроводимость 114, 148, 177
Фототок, ограниченный объемным
зарядом 166, 167
Фотоэмиссия внутренняя 175—177
Фталоцианин 128
— меди 113, 129, 131
Функция Нордгейма 219
Хлорид калия ИЗ, 119, 179
— натрия 176
— серебра 149, 176
Центры прилипания 72, 238 (см.
также Ловушки, Уровни прили-
пания)
— рекомбинации 114, 117, 237, 241,
249, 256, 312, 328 (см. также
Уровни рекомбинации)
Частотный фактор 50, 115, 128
Шнурование тока 342
Шум 114
Электроды «щелевые» 212
Электролюминесценция 22, 110, 111,
349, 353, 357, 359
Эмиссия автоэлектронная см. Тун-
нелирование
— термоэлектронная 216
Эффект Холла 113,115,118, 129,133,
150
— Шоттки 176, 217
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода................................... 5
Из предисловия авторов........................................... 9
I,
Частьпервая
ТОКИ МОНОПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ...................................
§ 1. Рассмотрение инжекции на основе зонной энергетиче-
ской модели ........................................
§ 2. Объемные процессы в изоляторе...................
§ 3. Контактные процессы.............................
§ 4. Роль инжекционных токов в физике и технике......
§ 5. Дополнительные замечания . . . ................
ГЛАВА 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ..........................
§ 1. Идеальный изолятор..............................
§ 2. Безловушечный изолятор с равновесными свободными
носителями .........................................
§ 3. Изолятор с ловушками............................
§ 4. Мелкие ловушки.............,....................
§ 5. Глубокие ловушки ...............................
§ 6. Полная вольтамперная характеристика в случае одной
группы моноэнергетических ловушек...................
§ 7. Вольтамперная характеристика в случае двух групп
ловушек.............................................
§ 8. Непрерывные (экспоненциальное и однородное) распре-
деления ловушек по энергиям.........................
§ 9. Начало тока, ограниченного объемным зарядом; общий
случай .............................................
§ 10. Эффекты сильного поля...........................
ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И НЕКОТО-
РЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ.......................................
§ 1. Уравнение для тока..............................
§ 2. Уравнение Пуассона..............................
§ 3. Уравнения, связывающие концентрации свободных и
захваченных зарядов.................................
§ 4. Упрощенная теория...............................
§ 5. Некоторые соотношения и приближения.............
§ 6. Геометрические соображения и соотношение Q = CV
ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ...............
§ 1. Идеальный безловушечный изолятор................
§ 2. Безловушечный изолятор с равновесными свободными
носителями..........................................
§ 3. Идеальный изолятор с мелкими ловушками..........
§ 4. Случай предельно заполненных ловушек............
j 5. Переходы от закона Ома к предельному заполнению
ловушек и от предельного заполнения ловушек к без-
ловушечному квадратичному закону....................
13 ’
13 '
Оглавление 415
§ (J . Общий елучай моноэнергетических ловушек......... 83
§ 7. Ловушки, распределенные по энергиям............... 89
§ 8. Закон подобия..................................... 98
ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ИЗОЛЯТОРОВ
И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ................................ 101
§ 1. Краткая история.................................. 101
§ 2. Информация, получаемая из измерений стационарного
х ТООЗ.................................................. 103
§ 3. Материалы, исследованные методом токов монополярной
инжекции ............................................. 115
§ 4. Применения ..................................... 130
ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ИНЖЕКЦИОННЫЕ ТОКИ........................ 133
§ 1. Теория ......................................... 134
§ 2. Информация, получаемая из измерения переходных
инжекционных токов................................... 146.
§ 3. Материалы, исследованные методом переходных инжек-
ционных токов......................................... 148
ГЛАВА 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................. 162
§ 1. Влияние света................................... 162'
§ 2. Прямое определение объемного заряда............. 168
. § 3. Времена установления теплового равновесия....... 170
§ 4. Явления в сильных электрических полях........... 171
§ 5. «Стационарный» инжекционный ТНООЗ............... 174
§ 6. Некоторые ограничения, Налагаемые на предельные
характеристики приборов............................... 177
§ 7. Ионные токи, ограниченные объемным зарядом . . . 178
ГЛАВА 8. ИНЖЕКЦИЯ ИЗ ТОЧЕЧНОГО КОНТАКТА И НЕКОТОРЫЕ
ОСОБЫЕ КОНФИГУРАЦИИ ЭЛЕКТРОДОВ................................ 182
§ 1. Математическая формулировка задачи о точечном кон-
такте (радиальном растекании носителей)............... 185
§ 2. Чистый ТООЗ в случае точечного контакта......... 185,
§ 3. Инжекция из точечного контакта в изолятор с ловуш-
ками и равновесными свободными носителями; универ-
сальный закон трех вторых....................... 189
§ 4. Некоторые конкретные распределения ловушек по энер-
гиям ................................................. 195
§ 5. Дальнейший анализ задачи.................... 203
§ 6. Энспериментальная проверка закона трех вторых и
дальнейшие применения теории................ 208
§ 7. Чистый ТООЗ в случае цилиндрической конфигурации 211
( § 8. ТООЗ в плоском диоде с конечным поперечным сечением 212
ГЛАВА 9. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ....................................... 214
§ 1. Математическая формулировка задачи.............. 214
§ 2. Контакт металл — изолятор резервуарного типа . . . 215
§ 3. Контакт металл — изолятор туннельного типа -(кон-
такт с автоэлектронной эмиссией)...................... 218
§ 4, Контакт с п+ — «-переходом...................... 229
§ 5. Упрощенная теория, учитывающая конечность контакт-
„ ного резервуара................................. 221
416 Оглавление
§ 6. Геометрические соображения . ... , ....... 222
§ 7. Пределы справедливости упрощенной теории............ 225
§ 8. Точная теория в случае идеального изолятора .... 228
§ 9. Предельное заполнение ловушек с точки зрения точной
теории .................................................. 229
Часть вторая
ТОКИ ДВОЙНОЙ ИНЖЕКЦИИ
ГЛАВА 10. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 237
§ 1. Общие замечания.......................................... 237
§ 2. Плазма, инжектированная в изолятор....................... 241
§ 3. Амбиполярная подвижность и ее значение в теории
двойной инжекции.................................... 242
§ 4. Плазма, инжектированная в полупроводник.................. 244
ГЛАВА И. ПЛАЗМА, ИНЖЕКТИРОВАННАЯ В ИЗОЛЯТОР , ....................... 248
§ 1. Плазма с постоянным временем жизни носителей . . . 248
§ 2. Плазма с бимолекулярной рекомбинацией носителей 258
ГЛАВА 12. ПЛАЗМА, ИНЖЕКТИРОВАННАЯ В ПОЛУПРОВОДНИК . , 272
§ 1. Плазма с постоянным временем жизни носителей; высо-
кий уровень инжекции.....................>.......... 272
§ 2. Плазма с постоянным временем жизни носителей; низ-
кий уровень инжекции................................ 274
§ 3. Плазма с бимолекулярной рекомбинацией; высокий
уровень инжекции.................................... 277
§ 4. Учет поверхностной рекомбинации; двумерная теория 278
ГЛАВА 13. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ИНЖЕКТИРОВАННОЙ ПЛАЗМЫ И
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ................................ 283
§ 1. Обобщенная теория.................................. 283
§ 2. Традиционный подход ................................. 287
§ 3. Диффузионные поправки................................ 288
§ 4. Экспериментальные результаты......................... 302
ГЛАВА 14. ДВОЙНАЯ ИНЖЕКЦИЯ С ЗАХВАТОМ. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ СО-
ПРОТИВЛЕНИЕ ................................................ 311
§ 1. Целиком заполненные центры рекомбинации.............. 312
§ 2. Частично заполненные центры рекомбинации .... 328
§ 3. Присутствие в образце равновесных свободных носителей 340
§ 4. Шнурование тока...................................... 342
§ 5. Ранние экспериментальные работы...................... 348
§ 6. Другие механизмы отрицательного сопротивления . . . 353
§ 7. Закон подобия............................................ 362
Приложение А. Список обозначений.................................... 365
Приложение Б. Таблица перевода формул из системы единиц СИ
в практическую систему единиц.................... 369
Литература........................................................... 372
Библиография за период 1968 г.— середина 1971 г...................... 381
Именной указатель..............'......................................408
Предметный указатель................................................. 411