Г. И. МОСКИНОВА
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА ДЛЯ МЕНЕДЖЕРА
В ПРИМЕРАХ И УПРАЖНЕНИЯХ
Рекомендовано Министерством образования Российской
Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по экономическим и
управленческим специальностям и направлениям
Москва • «Логос» • 2000
ББК 22.1+65.290-2в6(я7)
УДК [5 Г.658.01](075)
М82
Федеральная программа книгоиздания России
Рецензенты:
Доктор технических наук профессор О П Кузнецов
Кафедра менеджмента Московского государственного
университета коммерции
Москинова Г.И.
М82 Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах
и упражнениях: Учебное пособие. - М.: Логос, 2000. - 240 с., ил.
ISBN 5-94010-016-3
Пособие содержит основные понятия теории множеств, логики,
теории графов в иллюстрациях и поясняющих примерах, адаптирован-
ных под потребности менеджмента и управления Может быть исполь-
зовано как развернутый справочник для менеджера по современным
формализованным представлениям.
Для студентов вузов, обучающихся по экономическим и управлен-
ческим специальностям и направлениям Представляет интерес для
преподавателей и аспирантов, менеджеров-аналитиков, управленчес-
ких консультантов и пользователей компьютерных технологий в
менеджменте.
ББК 22.1+65.290-2в6(я7)
ISBN 5-94010-016-3
© Г.И. Москинова, 2000
© «Логос», 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вашему вниманию предлагается оригинальное учебное пособие по
математике для менеджеров. Книга эта во многом необычная как для
математиков, так и для менеджеров. Потребность в ее издании обус-
ловлена рядом немаловажных обстоятельств.
Сегодня вряд ли требуется объяснять полезность применения ме-
тодов моделирования при решении многих управленческих проблем.
Основа моделирования - математика. Отсюда напрашивается вывод,
казалось бы, естественный: в программе подготовки хороших менед-
жеров (потребности в которых чрезвычайно велики) надо предусмот-
реть достаточное количество учебных часов под математику и вопрос
сам собою будет решен, так как, во-первых, математика тренирует ум,
а, во-вторых, зная некоторую “базу”, менеджер сможет потом самосто-
ятельно углубить свои знания в нужном ему направлении. Однако та-
кой вывод, на наш взгляд, во многом ошибочен.
Действительно, для лучшего понимания многих реальных управленче-
ских ситуаций полезно (а иногда и необходимо) владение средствами
конструктивного анализа ситуаций, использование средств их модели-
рования. Но ... часто управленческие ситуации, требующие от менед-
жера принятия решений, столь сложны и неопределенны (особенно на
начальных этапах анализа), что не удается их описать, используя аппа-
рат классической математики. Заостряя вопрос и рискуя навлечь гнев
“традиционных” математиков, автор смеет утверждать, что во многих
управленческих ситуациях классическая математика “не работает”.
Вместе с тем по сложившейся традиции преподавания математики в
отечественной высшей школе подготовка менеджеров во многих но-
вых и старых университетах, школах бизнеса и т.п. нередко ограничи-
вается только курсами классической математики.
Учебное пособие знакомит с новыми средс’гвам и конструктивного
анализа и моделирования в управлении - методами формализованного
представления реальных управленческих ситуаций, процессов, систем:
теоретико-множественными, графическими, логическими. Несмотря на
разнообразие подобных методов, общим в них является дискретность
описания (представления) объектов анализа. Методы так называемой
дискретной математики широко используются в современной практике
4
Предисловие
моделирования в управлении, во всех случаях качественного анализа
сложных проблем управления, в ситуациях, с которыми сталкиваешься
каждый раз, когда испытываешь острую потребность в какой-либо сис-
тематизации того, что известно по интересующей проблеме, в ее струк-
туризации, представлении имеющихся знаний в виде, удобном для пос-
ледующего анализа как “вручную”, так и с использованием современ-
ных средств компьютерной техники. Методы дискретной математики
пригодны для описания и последующего конструктивного анализа мно-
гих проблемных ситуаций, в том числе не поддающихся описанию тра-
диционными средствами классической математики, и позволяют при не-
обходимости активно использовать современную вычислительную тех-
нику, новые информационные технологии.
Информация, которой оперирует менеджер, в отличие, например,
от инженера, по сути своей дискретна. В некоторых случаях ее можно
“обобщить”, идеализировать, представляя отдельные параметры ме-
неджмента как непрерывные, но если это и удается, то является, ско-
рее, исключением. Дискретная математика предлагает универсальные
средства (языки) формализованного представления, способы коррект-
ной переработки информации, представленной на этих языках, а так-
же возможности и условия перехода с одного языка описания явлений
на другой с сохранением содержательной ценности моделей.
Важность владения методами дискретной математики обусловлена
еще и тем, что современная информационная техника переработки
информации базируется на дискретных представлениях. Не случайно
за рубежом дискретную математику часто называют компьютерной
математикой. Современный менеджер не может обойтись без исполь-
зования компьютерной техники. Сегодня это не только специальные
текстовые и иные редакторы, системы документационного обеспече-
ния, с которыми менеджер работает без посредников, но и более слож-
ные системы поддержки принятия решений,экспертные и другие ин-
теллектуальные системы, разнообразные информационные системы,
помогающие разработке бизнес-плана, проведению маркетинговых
исследований и др. Такое современное направление (новая парадигма)
в менеджменте, как реинжиниринг бизнес-процессов (business process
reengineering - BPR), просто немыслимо без активного вовлечения в
управленческий процесс новых информационных технологий .
Однако имеющаяся учебная литература по дискретной математике
ориентирована либо на “чистых” математиков, либо на инженеров раз -
ного профиля, включая специалистов по искусственному интеллекту,
Предисловие	5
разработчиков новых информационных технологий. Язык таких учеб-
ников сух и академичен для неподготовленного читателя, углубление в
детали и нюансы обоснований, делаемых в угоду “безукоризненной
строгости”, нередко заслоняет существо дела, вводимые понятия и
обсуждаемые специфические “прикладные” вопросы далеко не одина-
ково важны для менеджера.
Предлагаемая книга является первой попыткой изложить вопросы
дискретной математики в учебной литературе по менеджменту. Содер-
жание книги представляет собой конспект лекций односеместрового
курса, читаемого автором в течение семи лет в ряде университетов
Москвы, в том числе в Международном университете. Цель курса -
познакомить будущих менеджеров с основными методологическими
подходами, моделями и методами формализованного представления,
отработать на специально подобранных примерах базовые понятия дис-
кретной математики. Их усвоение, как показывает опыт, снимает труд-
ности вхождения в современные дисциплины менеджмента, как обще-
образовательные, так и дисциплины специализации, в числе которых:
“Управленческие решения”, “Исследование систем управления”, “Те-
ория организации”, “Логистика”,“Информационные технологии управ-
ления”, “Стратегический менеджмент”, другие обязательные дисцип-
лины государственного образовательного стандарта высшего профес-
сионального образования второго поколения и, разумеется, такие
курсы, как “Системный анализ в управлении”, “Теория принятия ре-
шений” и т.п., если таковые введены в программу подготовки мене-
джеров.
Книга может быть использована не только для подготовки бакалав-
ров и специалистов менеджмента, но и по другим гуманитарным, со-
циально-экономическим, управленческим направлениям и специаль-
ностям в качестве учебного пособия по математике. Книга снабжена
многочисленными примерами и упражнениями, благодаря которым
обеспечивается хорошее усвоение материала курса студентами, не име-
ющими серьезной математической подготовки.
Книга задумана и как развернутый справочник по дискретной
математике для менеджера. В ней много определений и примеров,
но практически отсутствуют теоремы. Ее, насколько это возможно,
словесный, а не формульный характер, предпочтительный для гума-
нитарных направлений и специальностей, проявляется и в том, что
введение основных понятий сопровождается пояснениями с приме-
рами, иллюстрациями, упражнениями.
6	Предисловие
Поэтому книга может быть полезна также студентам старших кур-
сов, прослушавшим “традиционный” курс высшей математики, для ус-
транения имеющихся пробелов в знаниях при освоении программных
дисциплин. Как самоучитель книга полезна и дипломированным
менеджерам, желающим совершенствовать свое образование. Освое-
ние базовых понятий книги облегчит взаимодействие со специалиста-
ми в области новых информационных технологий, системного анали-
за, теории принятия решений, со специалистами по организационно-
му проектированию, управленческими консультантами и пр. Книга
содержит тот минимум информации, который необходим для началь-
ного знакомства со специальной литературой по системному анализу в
менеджменте, теории систем и ее приложениям, реинжинирингу, дру-
гим новым и интересным направлениям менеджмента.
Автор выражает признательность рецензенту, академику РАЕН,
доктору технических наук, профессору О.П. Кузнецову, одному из ав-
торов фундаментального учебника по дискретной математике1, за вни-
мательное прочтение рукописи и высказанные замечания, доброжела-
тельность и поддержку.
1 Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика
для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1989.
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемый курс дискретной математики знакомит с
современными средствами моделирования - универсальными мо-
делями и методами формализованного описания (представления)
систем, процессов, явлений. В процессе моделирования этот класс
методов занимает одно из ключевых мест. Отметим два важных
обстоятельства, касающихся моделирования как процесса.
• Процесс моделирования заключается в уточнении (форма-
лизации) исследуемой ситуации, системы, процесса при исполь-
зовании каких-либо средств фиксации (представления) имеющих-
ся и выявленных знаний в виде модели как результата такой фор-
мализации. Модель как описательное уточнение фиксирует то,
что известно на данный момент и может быть использовано для
решения проблемы. При этом к модели не судем предъявлять
жестких требований обязательной представимости ее средства-
ми классической (функциональной, вероятностной) математики.
Такое представление не всегда необходимо и возможно, напри-
мер, в силу сложности исследуемого объекта, различия целей
исследования, степени “точности” имеющихся знаний и др.
• При исследовании сложных систем, происходящих в них
процессов, сложных управленческих ситуаций и проблем, как
правило, не удается сразу представить их в виде, пригодном для
принятия решений. В таких случаях моделирование становится
многошаговым процессом уточнения - постепенной формализа-
ции2 представлений об исследуемом объекте. Так, на начальных
стадиях формализации моделью может являться вербальное (сло-
весное) описание интересующего объекта. Естественный язык
позволяет уточнить и описать мысленные представления. Дру-
гие методы, включающие искусственные языки (такие, как тео-
ретико-множественные, графические, логические представления)
позволяют уточнить словесное описание и т.п. В этом смысле
точные методы классической математики находятся на противо-
положном “полюсе” по отношению к вербальному описанию. Они
в наибольшей степени удовлетворяют требованиям однозначно-
сти и компактности описания.
2 В.Н. Волкова, А.А. Денисов. Основы теории систем и системного анализа.
СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. § 2.2.
8
Введение
Однако модель - это не любое описание. К обязательным от-
носятся требования
•	прагматической значимости - модель должна фиксиро-
вать имеющиеся знания, не обязательно все (это во многих
случаях просто недостижимо), но существенные для реше-
ния проблемы;
•	конструкт ивност и - модель должна представлять эти зна-
ния в виде, удобном для использования в последующем про-
цессе анализа и принятия решений, т.е. требование быть
своего рода инструментом принятия решений.
В процессе моделирования используются разнообразные ме-
тоды постепенной формализации, направленные на построение
моделей, облегчающих решение проблемы. К ним относятся:
1.	Методы извлечения знаний о данной предметной (проблем-
ной) области. Такие знания могут быть отражены в различных
печатных, визуальных и других источниках (книгах, отчетах,
микрофильмах, рекламных проспектах, электронных носителях
информации и пр.). Важными знаниями могут обладать специа-
листы в данной предметной (проблемной) области. Это могут
быть, например, знания о законах, закономерностях, теориях су-
ществования, поведения, развития интересующего объекта ис-
следования, накопленный опыт, интуитивные догадки и т.п. Про-
блемы извлечения такого рода знаний специалистов, представ-
ления их в виде словесных описаний (вербализация знаний) или
иных моделей формализованного представления изучаются в та-
ких сравнительно новых дисциплинах, как когнитология (наука
о знаниях), когнитивная психология и др.
2.	Методы системного анализа, способствующие переходу от
реального объекта к модели и обеспечивающие эффективное ис-
пользование имеющихся знаний об исследуемой предметной
(проблемной) области, их пополнение, уточнение и приобрете-
ние новых знаний и пр. Это методы конструктивного анализа
проблемных ситуаций; методы, направленные на активизацию
творчества, интуиции, использование опыта в решении проблем;
методы, обеспечивающие конструктивное взаимодействие и вза-
имопонимание между участниками, заинтересованными в реше-
нии проблемы и др. Эта группа методов столь обширна и важна,
что требует специального обсуждения, выходящего за рамки на-
стоящей книги.
3.	Методы формализованного представления имеющихся
и выявляемых знаний об исследуемом объекте в виде модели.
Как методы моделирования они включают не только средства
(язык) символьного (знакового) описания для построения мо-
Введение
9
дели, но и разработанный аппарат корректных преобразова-
ний (операций над этими символами). Такие преобразования,
допустимые в данном методе, позволяют получить новые зна-
ния об объекте исследования или выявить направления, в ко-
торых могут быть получены недостающие знания, дают воз-
можность проводить последующий анализ и формализацию.
Разумеется, такое выделение групп методов достаточно услов-
но, так как, например, методы извлечения знаний (методы пер-
вой группы) должны включать элементы активизации интуиции
и опыта, обеспечивать конструктивное взаимодействие и др. (т.е.
содержать элементы методов второй группы); результатом извле-
чения знаний (методы первой группы) должно быть их изложе-
ние на некотором языке представления знаний (т.е. содержать эле-
менты методов третьей группы) и т.д. Очевидна также связь ме-
тодов второй и третьей групп. Однако в целом следует согласиться
с тем, что выделенные три группы методов обеспечивают реше-
ние разных задач в общем процессе моделирования.
При исследовании, анализе и решении управленческих проблем,
моделировании объектов исследования и анализа широко исполь-
зуются дискретные методы формализованного представления, яв-
ляющиеся предметом рассмотрения в дискретной математике. К
ним относятся методы, основанные на теоретико-множественных
представлениях, графы, алгоритмы, формальные системы, мате-
матическая логика, лингвистика и семиотика и др.
Дискретная математика предлагает:
•	универсальные средства (языки) формализованного пред-
ставления;
•	способы корректной переработки информации, представ-
ленной на этих языках;
•	возможности и условия перехода с одного языка описания
явлений на другой с сохранением содержательной ценнос-
ти моделей.
Задачей курса и является знакомство и освоение основных
моделей и методов формализованного представления: теорети-
ко-множественных, логических, графических Теория множеств,
логика, теория графов являются фундаментом дискретной мате-
матики. Теоретико-множественные, логические и графические
представления, относящиеся к этим разделам дискретной мате-
матики, и являются предметом рассмотрения в трех последую-
щих разделах книги.
Раздел 1.
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ
Теоретико-множественные представления - описание иссле-
дуемой системы, процессов средствами теории множеств, т.е. как
множества взаимосвязанных и/или взаимодействующих частей -
элементов. Связи между элементами задаются через отношения
и/или соответствия. Множества, элементы, отношения, соот-
ветствия характеризуются определенными свойствами и набо-
ром допустимых операций над ними.
Глава 1. МНОЖЕСТВА
Состав объекта исследования может быть представлен в
виде дискретного множества. Множество - основное поня-
тие в теории множеств, которое вводится без определения.
О множестве известно как минимум, то, что оно состоит из
элементов.
§1.1. Основные понятия
Множество - состоит из элементов. Принадлежность эле-
мента а множеству М обозначается а е М (“а принадлежит
М'"), непринадлежность -a <t Мили а~ёМ.
Множество А называется подмноже-
ством множества В (обозначается А с В ),
если всякий элемент из А является элемен-
том В (рис 1.1). Если Л с S и А * В, то А
называется строгим (собственным) под-
множеством (обозначается А с В).
Содержательные примеры множеств и их
возможные обозначения:
Рис. 1.1
j> /./. Основные понятия
1 1
А - множество сотрудников фирмы “Элегант”;
М - множество всех операций (работ) по сборке компью-
тера;
М2 - множество видов услуг, предоставляемых фирмой
“Силуэт”;
N-множество натуральных чисел 1, 2, 3,...;
N - множество натуральных чисел, не превосходящих 100;
R - множество всех действительных чисел и т.д.
Два определения равенства множеств:
I. Множества А и В равны (А = В), если их элементы со-
впадают.
И. Множества А и В равны, если А с В и В <z А.
Множество, состоящее из конечного числа элементов, на-
зывается конечным, в противном случае - бесконечным (на-
пример, множества N, R- бесконечные множества). Число
элементов в конечном множестве Мназывается его мощнос-
тью и обозначается \М\.
Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов,
называется пустым (обозначается 0): 10 | =0. Принято
считать, что пустое множество является подмножеством
любого множества.
Способы задания множеств:
• Перечислением, т.е. списком своих элементов. Спис-
ком можно задать лишь конечные множества. Обозначение
списка - в фигурных скобках. Например, множество А уст-
ройств домашнего компьютера, состоящего из процессор-
ного блока а, а также периферийных устройств В (монито-
ра Ь, клавиатуры с и принтера d), может быть представлено
списком:
А = {а, В} или А = {a, b, с, d}.
(Задание типаМ= 1,2,3, ...-не список, но лишь допусти-
мое условное обозначение.)
• Порождающей процедурой, которая описывает способ
получения элементов множества из уже полученных элемен-
тов либо других объектов. В таком случае элементами мно-
жества являются все объекты, которые могут быть построены
с помощью такой процедуры. Например, множество всех це-
12
Глава 1. МНОЖЕСТВА
лых чисел, являющихся степенями двойки Л/2„ ,neN, где N-
множество натуральных чисел, (допустимое обозначение
М2„ = 1,2,4,8,16,...) может быть представлено порождающей
процедурой, заданной двумя правилами, называемыми рекур-
сивными, или индуктивными'.
а)	1 еМ2„; б) если теМ2„, то 2теМ2„.
• Описанием характеристических свойств, которыми
должны обладать его элементы; обозначается:
М= {х | Р(х)} или А/= {х : Р(х)}.
(“Множество Л/состоит из элементов х таких, что х обла-
дает свойством Р’’) Например, множество А периферийных
устройств персонального компьютера PC может быть опре-
делено:
А = {х: х - периферийное устройство персонального
компьютера PC}.
Если свойство элементов множества М может быть опи-
сано коротким выражением, это упрощает его символьное
представление. Например, множество всех натуральных чет-
ных чисел Л/2я может быть представлено:
М2п = {х: x = 2n,neN}.
Надежным способом точно описать свойство элементов
данного множества является задание распознающей (раз-
решающей) процедуры. Она должна устанавливать для лю-
бого объекта х, обладает ли он данным свойством Р (и, сле-
довательно, принадлежит множеству) или нет. Например,
распознающей процедурой для множества А всех сотруд-
ников фирмы “Квант”, имеющих удостоверение фирмы,
является проверка его наличия. Тогда множество А может
быть представлено более точно: “А - множество всех со-
трудников фирмы «Квант», имеющих соответствующее удо-
стоверение фирмы”.
Еще пример: для описания характеристического свой-
ства элементов множества М2„ всех целых чисел, являющих-
ся степенями двойки (“быть степенью двойки”), разреша-
ющей процедурой может служить любой метод разложе-
£ 1.1. Основные понятия
13
ния целых чисел на простые множители. Тогда а е Л/2« ,
если а = 1 или если а = 2 х 2 х ... х 2 = 2”, п е N.
Пример 1. Задать различными способами множество N
всех натуральных чисел: 1,2, 3,...
>	Списком множество N задать нельзя ввиду его бес-
конечности.
Порождающая процедура содержит два правила:
а)1еМ б) если n<=N, то п +1 &N.
Описание характеристического свойства элементов
множества N:
N = {х: х - целое положительное число}.
Пример 2. Задать различными способами множество М
всех четных чисел 2,4, 6,..., не превышающих 100.
>	Л/2я= {2,4,6,..., 100}.
а)2еЛ/2я; б) если neN, то	в) п <98.
ЛГ2я= {п: п - целое положительное число, не превыша-
ющее 100} или М2п = {и: п е Nи и/2 е N, п < 100}.
Пример 3. Пусть U= {а, Ь, с}. Определить в явном виде
(перечислением своих элементов) булеан Р(£7) - множество
всех подмножеств, состоящих из элементов множества U. Ка-
кова мощность множества Р(£7) ?
> р(С7) = {0 , {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь, с}}.
Мощность |Р(£7)1= 8.
Пример 4. Какие из приведенных определений множеств
А, В, С, D являются корректными:
а)Л= {1,2,3},	в)С- {х:хеА},
б)	В ={5,6, 6, 7},	г)Р={Л,С}?
Принадлежит ли число 1 множеству D?
> а) Определение множества А = {1,2,3} списком своих
элементов формально корректно.
14
Глава 1. МНОЖЕСТВА
б)	При перечислении элементов множества не следует ука-
зывать один и тот же элемент несколько раз. Корректное оп-
ределение В = {5, 6, 7}.
в)	Определение множества С = {х: хе А} заданием харак-
теристического свойства его элементов “принадлежать мно-
жеству Л” корректно, А = {1, 2, 3}.
г)	Определение списком множества D = {А, С} коррект-
но: элементами множества D являются множества Л и С.
Однако 1 не принадлежит D, 1 D, так как элемент 1 не
перечислен в списке.
Упражнения
1.	Пусть А" - множество {1, 2}, a Y- множество {х: х =
= y+z; y,z е X}. Определить в явном виде (списком) множе-
ство Y. Каковы множества Y = {у: у ~ x+z; х, у еХ\ и К= {у: х=
= y+z; х, zeX} 7
2.	Задать различными способами множество М2„ всех чи-
сел, являющихся степенями двойки: 2,4, 8,16,..., не превы-
шающих 300?
3.	Задать различными способами множество натуральных
чисел, кратных пяти: 5,10,15,20,...
4.	Задать в явном виде (списком) множество P(t/) всех под-
множеств множества U, если U = {1, 2, 5, 7}. Какова мощ-
ность множества Р( СТ) ?
§1.2. Операции над множествами
/ 1.2. Операции над множествами
15
А п В = {х: хеА и хеВ}.
Объединение и пересечение произвольной совокупности
множеств определяются аналогично. Символическая запись,
например, для объединения: А и В и С и D;
AeS /=1	/=1	/б/
Разностью множеств А и В (обознача-
ется А \ В) называется множество всех тех
и только тех элементов А, которые не со-
держатся в В (рис 1.4):
А\В- {х: хеА их<£В}.
Разность - операция строго двухместная и некоммутатив-
ная: в общем случае А \ В ф В \ А.
Пусть U - универсальное множество
такое, что все рассматриваемые множе-
ства являются его подмножествами.
Дополнением (до U) множества А
(обозначается А) называется множество
всех элементов, не принадлежащих А (но
принадлежащих U) (рис. 1.5):
Рис. 1.5
А = U\A.
Операции объединения, пересечения, дополнения {и, п, -}
часто называют булевыми операциями над множествами.
Пример 1. Пусть универсальное множество U - множе-
ство всех сотрудников некоторой фирмы; А - множество всех
сотрудников данной организации старше 35 лет; В - множе-
ство сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С -
множество менеджеров фирмы. Каков содержательный
смысл (характеристическое свойство) каждого из следую-
щих множеств:
а)	В ; б) А гуВ суС\ в) А и (В п С); г) В \ С; д) С \ В ?
> а) В - множество сотрудников организации, стаж ра-
боты которых не превышает 10 лет.
16
Глава I. МНОЖЕСТВА
б)	А оВг\С- множество менеджеров фирмы не старше
35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.
в)	A (В п С) - множество всех сотрудников фирмы стар-
ше 35 лет, а также сотрудников, не являющихся менеджера-
ми, стаж работы которых более 10 лет.
г)	В \ С - множество сотрудников организации со стажем
работы более 10 лет, не работающих менеджерами.
д)	С \ В - множество менеджеров со стажем работы не
более 10 лет.
Пример 2. Задать множества М, N, если:
М - множество всех натуральных чисел, не превосходя-
щих 100;
N- множество натуральных чисел.
>	М-множество всех натуральных чисел, больших 100.
Запись W без контекста (т.е. без указания универсального
множества U) не ясна:
•	то ли это множество всех отрицательных целых чисел;
•	то ли это множество положительных дробных чисел;
•	то ли это пустое множество натуральных чисел.
Пример 3. Осуществить операции над множествами
А = {«, Ь, с, d} и В = {с, d, e,f, g, h}.
>	Au В = {a, b, c, d, e, f g, h}; A n В - {c, d}.
Универсальное множество t/не определено, поэтому, стро-
го говоря, операции дополнения над множествами Л и В не
могут быть выполнены. Дополним условие. Пусть
U ={а, Ь, с, d, е, f g, h}, тогда А = U \ А = {е, f g, h}, В =
={а,Ь]. А\ В = { a, b}; В\А - {е, f g, h}.
Пример 4. Пусть t/= {1, 2, 3, 4}, А = {1, 3,4}, В= {2, 3},
С~ {1,4}. Найти:
а) А и В; б) А п В; в) А о В ; г) (В \А) и С .
> a) A <jB = ([/ \ А) и (L7 \ В) = ({1, 2, 3, 4}
\ {1, 3, 4}) и ({Г, 2, 3, 4} \ {2, 3}) = {2} и {1,4} = {1,2,4}.
§ 1.2. Операции над множествами	17
б)л77в= U\(AnB) = {1,2, 3, 4} \({1,3, 4} п {2,3})-
={1,2, 3,4} \ {3} = {1,2,4}.
в)Л n-B =Ao(U\B)= {1,3,4} п ({1,2,3,4} \ {2,3}) =
={1, 3,4} п {14} = {1,4}.
г) (В \ А) иС= ({2, 3} \ {1, 3, 4}) u ({1, 2, 3, 4} \ {1, 4}) =
={2} и {2,3} = {2,3}.
Упражнения
1.	Проиллюстрировать на содержательном примере неком-
мутативность операции разности множеств: А \ В # В \ А.
2.	Для множеств А,В,С с t/из примера 1 определить со-
держательный смысл следующих множеств:
а)Лп(В\С);	б)(ЛпВ)\С;
в) А \В',	г) В\ А ;
д) (А п В) и С;	е) А п (В о С).
3.	Осуществить операции над множествами Л,В с U, если:
Л = {a, b, d}; В = {b, d, е, h}; U= {a, b, с, d, e,f, g, h}.
4.	Осуществить операции над множествами Л = {2, 4, 6,
8}, В = {3,6,9}, если U= {1,2, 3,..., 10}.
5.	ПустьЛ= {1,2},В = {2,3}, С = {1,3}. Найти:
а) А и В и С; б) Л п В n С;
в)А\(ВоС); г)(Л\В)иС;
д) (А и В) \ (Л п В).
6.	Указать,какие из следующих утверждений справедливы:
а)Об0; 6)0={О}; в) | {0} | = 0; г) | 0 | = 0?
7.	Пусть U= {a, b, с, d},X= {а, с}, Y= {a, b, d}, Z= {b, с}.
Найти множества:
а)ХпУ;	б)(АЪ2)иУ;
г)(^и У)п(2Ги2); д)	e)W;
ж)1пУ	з)(ХиУ)и2;	n)X'j(Y'uZ);
k)X\Z;	я) (X\Z)<j (Y\Z).
8.	Пусть {/={1,2,3,4, 5,6}; Л = {1,2,3}; В ={1,3,5,6};
С ={4, 5,6}. Найти множества:	_
а)Л\С;_ б)В\С; в)С\В; г)Л\В; д) Л иВ;
е) В п А ; ж) Л n С; з) (С и А) \ (С п Л).
9.	Даны два произвольных множества Л и В такие, что
Л п В = 0. Что представляют собой Л \ В и В \ А?
10.	Даны два произвольных множества С nD такие, что С
r>D= ^гЧто моядю^сказаягр С n D, С о D?
18
Глава 1. МНОЖЕСТВА
И. Дано произвольное множество А". Найти множества:
а) X n X; б) X о X; в) X \ X.
§ 1.3. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна - геометрические представления мно-
жеств. Построение диаграммы заключается в изображении
большого прямоугольника, представляющего универсальное
множество U, а внутри его - кругов (или каких-нибудь дру-
гих замкнутых фигур), представляющих множества. Фигу-
ры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуе-
мом в задаче, и должны быть соответствующим образом обо-
значены. Точки, лежащие внутри различных областей
диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответ-
ствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно
заштриховать определенные области для обозначения вновь
образованных множеств.
Приведенные на рис. 1.2 - 1.5 иллюстрации операций
объединения, пересечения, разности и дополнения двух мно-
жеств являются диаграммами Венна.
Пример 1. Представить множество А и (В n С ) диаграм-
мой Венна.
> Начнем с общей диаграммы, показанной на
рис. 1.6,а.
Заштрихуем В диагональными линиями в одном направ-
лении, а С - в другом (рис. 1.6, б). Площадь с двойной штри-
ховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество
В пС . Выделим это множество жирной линией. На новой
копии диаграммы заштрихуем эту область Br\C линиями од-
ного направления, а А - другого. Вся заштрихованная на рис.
1.6,в область представляет объединение множеств А и В n С,
т.е. множество Ао(ВсС ). Обведем искомую область так-
же жирной линией.
Пример 2. Проиллюстрировать на конкретных множествах
и с помощью диаграммы Венна справедливость соотношения
А п (В о Q = (А п В) и (A n С)
£ 1.3. Диаграммы Венна
19
(свойство дистрибутивности слева операции пересечения п
относительно объединения и).
> Пусть U= {а, Ь, с, d, е}.
А = {а, Ь}, В = {а, с, d},C= {b, с, d, е}. Тогда:
левая часть равенства
А п (В о С) = {a, b} n ({а, с, d} и {b, с, d, е}) =
= {a, b} п {а, Ь, с, d, е} = {а, Ь};
правая часть равенства
(А п В) о (A n Q = ({a, b} n {а, с, d}) <j{{a,b} n {b,c,d, e}) =
-{a} и {£} = {«, b}.
Таким образом, левая и правая части соотношения совпа-
дают, т.е. равенство подтверждено.
Построим теперь диаграммы Венна. Левая часть равен-
ства представлена на рис. 1.7,а, правая - на рис. 1.7,6. Из
диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллю-
стрируемого соотношения.
(BuQ б) А-(В.'С)
Ап В	Ап С (АпВ)и(АпС)
Рис. 1.7
20
Глава 1. МНОЖЕСТВА
Упражнения
1.	В примере 2 проиллюстрировано свойство дистрибутив-
ности слева операции пересечения п относительно операции
объединения и. Подтвердить справедливость свойства дист-
рибутивности справа пересечения п относительно объедине-
ния и, а также слева и справа и относительно п, т.е.:
а)	(А и В) п С = (A n С) и (В n С) - справа п относитель-
но и;
б)	А и (В n С)=(А и В) п (А о В) - слева и относительно п;
в)	(А п В) и С = (А и С) п (В и С) - справа и относитель-
но п.
2.	Построить диаграммы Венна, иллюстрирующие мно-
жества а) - л) из упражнения 7 в § 1.2.
3.	Построить диаграммы Венна, иллюстрирующие мно-
жества а) - з) из упражнения 8 в § 1.2. Отметить точками
внутри соответствующих областей диаграмм элементы ис-
ходных множеств U, А, В, С.
4.	Пусть А,В,Ссг U. Проиллюстрировать на примере кон-
кретных множеств и с помощью диаграмм Венна справед-
ливость следующих соотношений:
а)	А о (В п С) = (А п В) n С; г)) A u (А п В) = А;
б)	A kJ (ВkJ С) = (A kJ В) kJ С; е) А о (А В) = А;_
в)АпВ = А kJB',	ж)(АпВ)и(АоВ)=А;
г)АиВ-А п В;	з)А л (А гл В) = Akj В.
§ 1.4. Доказательства
Проблема доказательства изучается в теории формаль-
ных систем - фундаментальном разделе дискретной мате-
матики. Доказательства используются в любой аксиомати-
ческой теории, например в любом разделе классической и
высшей математики, дискретной математики, в том числе
теории множеств и др. Далее под доказательством будем
понимать способ получения (вывод) новых соотношений
(знаний) из уже имеющихся путем корректных преобразо-
ваний, гарантирующих получение истинных знаний в той
мере, в какой можно гарантировать истинность исходных
знаний.
§ 1.4. Доказательства	21
Ниже в примерах 1-5 проиллюстрированы наиболее час-
то используемые в теории множеств приемы доказательств:
•	доказательство равенства - соотношений типа Х= У;
•	доказательство единственности существования;
•	доказательство от противного.
В примерах 1, 2 доказательства соотношений типа
Х= У, где М и У - множества, основаны на использовании
определений I и II равенства двух множеств.
В соответствии с определением I для равенства двух мно-
жеств требуется совпадение их элементов. Поэтому сначала
доказывается, что для произвольного элемента а из того, что
а е X, следует, что а 6 У, затем доказывается, что если a ё X,
то а е У. Таким образом, элементы множествами У совпада-
ют и, следовательно, по определению I, Х= У.
В соответствии с определением IIX- У, если Me У и УсМ.
Поэтому для доказательства равенства двух множеств тре-
буется показать справедливость включений М с У и УеМ.
В примере 3 для доказательства единственности суще-
ствования теоретико-множественного объекта М использо-
ван основной математический подход, в соответствии с ко-
торым сначала предполагается, что существуют два таких
объектам7и X", а затем доказывается, что они совпадают:
М'=М"т.е.М'=М"=М.
На последовательности примеров 1—4 показано, как мож-
но выводить сравнительно сложные утверждения путем пос-
ледовательности доказательств простых утверждений.
Пример 5 иллюстрирует косвенный метод доказательства
- доказательство от противного. Для доказательства ис-
тинности некоторого утверждения Q при исходных услови-
ях Р предполагается, что Q при этих условиях ложно; далее
показывается, что в таком случае имеют место противоре-
чия. Следовательно, принятое предположение ложно, т.е.
утверждение £7 ~ истинно *.
Пример 1. Доказать справедливость соотношения
А и (В n Q = (А и В) п (А д Q
Строгое обоснование этого и др. подходов к доказательству см., например,
в [3. ч. 3, гл. 4, § 3].
22
Глава I. МНОЖЕСТВА
(свойство дистрибутивности слева объединения о относи-
тельно пересечения п).
> Такое доказательство может быть выполнено с помо-
щью диаграмм Венна (см. пример 2, § 1.3). Здесь для этих
целей используем один из приемов доказательства равенства
двух множеств.
В соответствии с определением I равенства множеств мно-
жества равны, т.е. Х= Y, если их элементы совпадают. Это
означает, что X=Y, если из того, что а е X, следует а е У, и из
того, что а <£ X, следует а £ Y.
Покажем сначала, что если произвольный элемент а при-
надлежит левой части соотношения, т.е. а е А и (В n С), то
он принадлежит и правой части данного соотношения, т.е.
а е (A u B)n (A и С). Пусть
1.	а е А и (В n Q.
Из определения операции объединения следует, что элемент
а принадлежит объединению множеств А и (В n С), если он
принадлежит хотя бы одному из них (или, что очевидно, тому
и другому). Таким образом, а е А или а е (В п С), при этом
возможны следующие случаи:
1.1.	а принадлежит множеству Л и а не принадлежит пе-
ресечению множеств В n С:
аеЛиае(ВпС).
Последнее условие выполняется, если а не принадлежит
В, или С, или им обоим, т.е.
1.1.1.	а Е А, а £ В, а Е С;
1.1.2.	а е А, а е В, a £ С;
1.1.3.	а е А, а £ В, a £ С;
1.2.	a £ А и а е (В n С), т.е. а £ А,	а	е	В, а	е	С;
1.3.	а е А и а е (В п С), т.е. а е А,	а	е	В, а	е	С.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1.1.	Так как а е А, то а принадлежит объединению множен
ства А с любым множеством, в том числе а е (Л и В) и
а е (A u С); следовательно, а принадлежит и их пересечению:
а е (А и В) n (A u С).
1.2.	Так как а е В, а е С, то а е (А и В) и а е (A u С),
следовательно,
а е (А и В) п (А и С).
§ 1.4. Доказательства	23
1.3.	Так как а е А, то этого достаточно, чтобы а е (А о В)
и а 6 (A u С), следовательно,
а с (А о В) n (A u С).
Таким образом, в любом из рассмотренных случаев из
того, что а е А и (В n С), следует, что а е (А и Б) п (А и Q.
Покажем теперь справедливость второго условия опреде-
ления I равенства множеств: если произвольный элемент а
не принадлежит левой части соотношения a g А и (В n С), то
он не принадлежит и правой части данного соотношения а
<£. (A В) и С). Пусть теперь:
2.	a <£ А и (В п С).
Элемент а не принадлежит объединению двух множеств,
если он не принадлежит ни одному их них. Тогда a <£ А и
a <£ (В п С), т.е. возможны следующие случаи (см. п. 1.1):
2.1.	а ё А, а £ В, а е С\
2.2.	а £ А, а е В, a £ С',
2.3.	a <£ А, а g В, а <£ С.
Рассмотрим каждый из этих случаев:
2.1.	Так как а £ А, а «г В, то а £ (А о В), следовательно,
a <£ (А о В) n (A u С).
2.2.	Так как а £ А, а С, то а £ (А и С), следовательно,
а £ (А о В) п (А и С).
2.3.	Так как a <£ А, а £ В, то этого достаточно, чтобы
а <£ (A<j В) и, следовательно,
a <£ (А и В) гу (А С).
Как видим, в любом из этих случаев из того, что
а <£ А и (В о Q, следует, что a <£. (А и В) п (А о С).
Таким образом, множества Л о (В о С) и (А и В) п (А и С)
совпадают и по определению I равенства множеств
А и (В п С) = (А и Б) п (А и С),
что и требовалось доказать.
Примечание 1.В примере 1 проверка условий 1.1.3 и 2.3 вооб-
ще говоря избыточна.
Примечание 2. Далее будем использовать символ =>, который в
выражениях типа P^=>Q будет означать: “если справедливо Р, то спра-
ведливо и Q” или “из того, что Р, следует Q' и т.п., а символ о в выра-
жениях типа P&Q будет означать: “тогда и только тогда, когда”, “если
и только если” и т.п.
24
Глава 1. МНОЖЕСТВА
Пример 2. Доказать справедливость соотношения
(А и В) п С = (A n С) и (В n С)
(свойства дистрибутивности справа пересечения п относи-
тельно объединения и).
> Множества X = У, если Xq Y и У с X. Поэтому пока-
жем сначала, что (А и В) п С с (А п С) и (В n С), т.е. любой
произвольный элемент а из множества, заданного левой ча-
стью соотношения, принадлежит и множеству, заданному
правой частью соотношения.
Пусть а е (А и В) n С. Тогда
а е (А и В)иа е С =>
=> (а е А или а е В) и (а е С) =>
=>(а е Айа е С) или (а е Виа е С) =>
=>а е (A n Q или а 6 (В n Q =>
=> а 6 (A n Q и (В n С).
Таким образом, (А о В) п С с (A n Q и (В n Q.
Покажем теперь, что (A n С) и (В n С) cz (А и В) n С, т.е.
любой элемент а из множества, заданного правой частью ис-
ходного соотношения, принадлежит и множеству, заданно-
му левой частью исходного соотношения.
Пусть а е (A n С) и (В n Q. Тогда
а е (А п С) или а е (В n Q =>
=> (а еАиа&С) или (а еВиаеС)=>
=> (а е А или йеВ)иаеС=>
=> а е (А и В) иа е С =>
=> a g(A и В) п С.
Следовательно, (A n Q и (В n Q с (А и В) n С.
Таким образом, (А и В) п С = (A n Q и (В п С), что и
требовалось доказать.
Примечание 3. В примере 2, в силу точного совпадения второй час-
ти доказательства с первой, можно записать:
ае(ЯиВ)пС<=>пе(ДиВ)иабС«-и т.д.
Пример 3*. Доказать, что относительно данного универ-
сального множества U дополнение любого множества А,
если А с U, единственно.
Здесь и далее примеры и упражнения, отмеченные ♦, взяты из [2].
§ 1.4. Доказательства	25
> Для доказательства единственности дополнения А
множества А с U предположим, что существуют два множе-
ства В и С в U, каждое из которых удовлетворяет требовани-
ям дополнения множествам, т.е. их пересечение с А пусто, а
объединение с А дает U:
а)Вг>А = 0; б)СпЛ = 0;
в) В u А = U-, г) С и X = U.
Очевидно, что В=В r^U.C учетом условия г) В=В n (С и Л).
Тогда по доказанному выше (см. пример 2, § 1.3)
В=(В n Q и (В п Л), но с учетом условия a)B=(BnQu0 =
= В n С, т.е. В = Вс\С. Поэтому
йеВ=>йеВиаеС=>Вс(ВпС)=>ВсйиВсС.
Очевидно, что В с В, отсюда следует, что Bq С.
В то же время (с учетом условий в), б), а также в соответ-
ствии с доказанным выше примером 2 § 1.3):
С = С n U = С п (В и А) = (С п В) u (С п А) =
- (С п В) и 0 = С п В.
Поэтому
а е С => а е С и а е В => С q(C п В) => С с С и С с В.
Отсюда следует, что С с В.
Таким образом, В сСиСсВ, откуда В = С. Следователь-
но, В = С = А и А - единственно, что и требовалось дока-
зать.
Пример 4*. Пусть даны множества А, В, С такие, что
AuBuC=UwA,B,C попарно не пересекаются. Доказать, что
А = Ви С, В = А и С, С-АиВ.
> Докажем, что А = В и С.
По условию, А, В, С попарно не пересекаются, т.е.
а) А п В = 0; б) A n С = 0; в) В n С = 0,
кроме того,
г) А и В и С = U, т.е. А и (В и Q = U.
Согласно доказанному в примере 2, § 1.3 А п (В и С) =
(А п В) и (A n Q, где в соответствии с условиями а), б):
(А п В) и (A n Q = 0 о 0 = 0. Таким образом, Л п(ВиС) = 0.
Итак, пересечение Аи(ВиС) пусто, а их объединение по
условию г) составляет универсальное множество U\
АгЦВиС) = 0; А и (В и Q = U.
26
Глава 1. МНОЖЕСТВА
Следовательно, Ви С удовлетворяет условиям для А , кото-
рое единственно (в соответствии с доказанным в примере 3).
Поэтому А = В и С, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается В = А'-о Си С=Ли В.
Пример 5*. Доказать, что для произвольных множеств А
и В имеет место соотношение А с В <=> Вс А .
> Отметим вначале, что если a А , то а е А, и проведем
доказательство от противного, т.е. допустим, что А с В и
. В А . Тогда
1. А с В => если а е А, то а ё В.
С другой стороны,
2._ В А => существует элемент а такой, что а е В и
а & А => а е В и а е А.
Но тогда с учетом (1) - (2):
аеАиаеВ^>аеВиаеВ=>ае(Вг\В) = 0 (проти-
воречие).
Следовательно, предположение В g А ложно и поэтому
Вс А , т.е. А сс В => Вс А .
Аналогично можно показать, что Вс А =>.4сВк. зна-
чит, А а В <=> В с А , что и требовалось доказать.
Упражнения
1. Доказать справедливость соотношений, заданных в уп-
ражнении 4 § 1.3.
2*. Пусть даны множества А, В, С, причем СсВ. Дока-
зать, что
а).4пСс.4сВ; б) Ли С сЛи В; в)Л\ВсЛ\С;
г)С\А^В\А; д)В\ЛсС\Л.
3*. Доказать эквивалентность приведенных ниже утвер-
ждений, т.е. что из каждого следует другое:
A<jB=U; AqB;	Аг\В=0.
§ 1.5. Векторы, прямые произведения,
проекции векторов
Для описания свойств элементов множества удобны век-
торные представления. Пусть нас интересуют свойства (зна-
1.5. Векторы, прямые произведения, проекции векторов 27
чения, состояния, признаки, атрибуты и т. и.) элементов v
множества Ипо п фиксированным характеристикам (парамет-
рам) А р A v..., А п; при этом каждая характеристика А, (/=1,2,
..., и) представлена множеством из т, - |Л;| допустимых
значений <я е А [см. поясняющий пример 1 ]. В таком случае
каждый элемент v множества V может быть задан упорядо-
ченным набором значений av а2,..., по интересуемым ха-
рактеристикам А р А2, ...,?4п,такчтоа1е Лр п2еЛ2,..., Лп;
обозначение: v = (ар а2,..., ап).
Основные понятия векторных представлений:
Вектор v - упорядоченный набор элементов
v = (ai,a2,-.,an),
где а р а2,..., ап-компоненты (координаты) вектора. Число п
компонент называется длиной (размерностью) вектора.
Два вектора v = (Ярй,,..., пя)и v2= (b {,Ь2, ...,Ь Драены,
если они имеют одинаковую длину и соответствующие ко-
ординаты их равны, т.е.
(а ,, о,,..., а ) = (Ь ,,Ь^,..., Ь ),
\	1 ’	2’	’ п; v I ’	2’	5 гм7’
если: 1) п = /и; 2) a t = b р а 2 = Ь2,а п = Ь т.
Множество всех возможных (различающихся) векторов
(«р а2,..., аД длины «таких, что А р а 2 е А2,..., ап е Ап,
называют прямым произведением множеств А р А ,..., А п.
Обозначение прямого произведения: А , х А 2 х ... х А п; пря-
мое произведение п одинаковых множеств А, т.е. когда А =
=А2= ... = Ап=А, обозначают Л] х Л2 х ... х Л П=Л".
Мощность прямого произведения множеств А , А 2, ... ,
Л п равна произведению мощностей этих множеств, т.е.
[Л,хЛ2х...хЛл| = |Л1|-И2|-
Способы задания прямого произведения множеств А , х
х Л 2 х ... х Ап~ аналогичны способам задания множеств с
той разницей, что требуется задание каждого множества Л р
А 2,..., Аппрямого произведения.
Операции над множествами векторов (данно-
го прямого произведения) - объединение, пересечение, раз-
ность, дополнение - аналогичны соответствующим опера-
циям над множествами элементов.
28
Глава 1 МНОЖЕСТВА
Операции над вектором v длины п: v = (ax,a2,
...,а„) •
Проекцией вектора v на i-ю ось называется его /-я компо-
HeHia‘	пр( v = а .
Проекцией вектора v на оси с номерами i,, i 2,i kназы-
вается вектор длины к:
пр(1,ilkv = (an,an,..., а1к).
Операции над множеством векторов V дли-
ны п: v = (др а2,..., ап~), v е V.
Проекцией множества векторов V на i- ю ось называет-
ся множество проекций всех векторов из V на /-ю ось:
пр( V= {пр( v: v е V}.
Проекцией множества векторов V на оси с номерами zp
i2,..., ik называется множество проекций всех векторов v е V
на оси с номерами i x,i2,..., ik:
пр(), ,lk V= {np,p ,,tv;ve И}.
В частности, если V= А .х А , х ... х А , то
пр,ь ,,к Р=А,ххА12х ...хА,к.
Операции над упорядоченным множеством
векторов V длины п\ V=(yx,v2, .-,vn),v = (ai,a2,
Проекцией упорядоченного множества векторов V на
i-ю ось называется упорядоченное множество проекций век-
торов на эту ось:
пр, V- (пр, v,, пр, v2,..., пр, v„).
Проекцией упорядоченного множества векторов V на оси
с номерами ix, i2,..., ik называется упорядоченное множество
проекций всех векторов v е Ина оси с номерами iр i2,ik:
пр, ., И=(пр ,, vrnp v2,...,np , v„).
1 к	\ k \ k	I t
Кроме того, над векторами v одинаковой длины и возмож-
но выполнение различных операций сравнения, задаваемых
теми или иными правилами сравнения векторов, например
следующим.
§15 Векторы, прямые произведения, проекции векторов 29
Правило 1 сравнения векторов по предпочтению:
Пусть V - множество векторов длины п, компонентами
которых являются числа. Вектор а = (а р а2, не менее
предпочтителен, чем вектор b = (b р Ь 2,..., Ьп) (обозначение
а>-й), если компоненты вектора а не меньше соответствую-
щих компонент вектора Ь, т.е.:
а>-Ь, если а} >b{,a2>b2,...,a„>bn.
Пример 1. Пусть при предварительном отборе претенден-
тов на вакантную должность кадровую службу организации
интересуют следующие их характеристики:
-пол; А} = {женск., мужск.};
А2 - возраст (лет); А2 = {18,19,..., 35};
А3 - образование; А3 = {среднее, незаконченное высшее,
высшее};
А4 -общий стаж работы (лет); Л4 = {0,1,2,..., 15,более 15};
А5 - стаж работы менеджером (лет); А5 = {0, 1, 2,..., 10,
более 10};
А6 - знание английского языка; А6 = {не владеет, со слова-
рем, свободно};
А2 - владение компьютером; Л7 = {компьютер, нет};
Л8 - семейное положение; А&= {холост (не замужем), же-
нат (замужем)}.
Опишите векторно двух претендентов:
а)	Иванова 23 лет, окончившего МИФИ, владеющего анг-
лийским со словарем, однако не имеющего стажа работы по
специальности менеджера, неженатого;
б)	Петрова 27 лет, окончившего Международный универ-
ситет 3 года назад и проработавшего далее менеджером в
коммерческой фирме, свободно владеющего двумя иностран-
ными языками, в том числе, английским, женатого.
Определите проекции полученных векторов на оси с но-
мерами: 2, 5,6, 7.
> При указанной последовательности характеристик
векторные описания претендентов:
а=(мужск., 23, высшее, 5,0, со словарем, компьютер, неженат),
30
Глава 1. МНОЖЕСТВА
б = (мужск., 27, высшее, 7,3, свободно, компьютер, женат).
Проекции полученных векторов на оси (характеристики)
с номерами 2, 5, 6, 7:
пр 2 5 6 7 а = (23, 0, со словарем, компьютер),
пр 2 5 6 7 б = (27, 3, свободно, компьютер).
Пример 2. Пусть V= {(a, b, d), (с, b, d), (d, b,b)}. Чему равны
проекции Vна первую ось, на вторую, а также на вторую и тре-
тью? Чему равны проекции Vна эти оси, если V - упорядочен-
ное (указанным выше образом) множество векторов V ?
> Проекции множества векторов Г:
пр1Г= {а, с, d}; пр2И= {6}; пр23Г= {(b, d),(b, b)}.
Проекции упорядоченного множества векторов V- ((a, b, dy
(с, b, d), (d,b, 6)):
пр|7 = (а, с, dy пр27= (b, b, b); пр2з V = ((b, d), (b, d), (b, ЬУ).
Пример 3. Пусть V = {(а, by (b, с, d ), (с, a, d )}. Чему
равна проекция пр, И?
> Проекция пр! V не может быть определена, так как за-
дано множество V векторов разной длины.
Пример4. ПустьХ= {0,1}, Y= {а, Ь}. НайтиХх Y, YхХ,
X2, Хх YxX.
> Хх Y= {(0,а),(0,6),(1,а),(1,6)}.
YxX= {(а, 0), (а, 1), (b, 0), (6,1)}.
Таким образом, X х Y * Y х X.
Х2 = {(0, 0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
Хх YxX- {(0, а, 0), (0, а, 1), (0, 6, 0), (0, Ь, 1),(1,а, 0),
(1,а,1),(1,6, 0), (1,6,1)}.
Пример 5. Проиллюстрировать на конкретном примере
утверждение: если АсХиВс Y, тоЛх BczXx Y.
> ПустьЧ = {а},Х= {а, 6}, т.е. А сХ, и
В= {1,2,}, Y= {1,2, 3}, т.е. Вс Y. Тогда:
А хВ= {{а, 1), (а, 2)};
f 1.5. Векторы, прямые произведения, проекции векторов 31
X*Y= {(а, 1), (а, 2), (а, 3), (b, 1), (Ь, 2), (Ь, 3)} =
= {(а, 1), (а, 2)} о {(о, 3), (b, 1), (Ь, 2), (Ь, 3)} =
= [А х В] и {(а, 3), (&, 1), (Ь, 2), (Ь, 3)} = А'х Y.
Таким образом, А х В а X х Y.
Пример 6. Пусть А - алфавит, т.е. конечное множество,
элементами которого являются символы (буквы, цифры, зна-
ки препинания, знаки операций и т.д.). Словом длины п в ал-
фавите А (обозначается последовательностью из п симво-
лов без скобок и запятых) называют любой элемент множе-
ства Л". В этом определении слово представлено как вектор.
Множество всех слов в алфавите А - это множество А*:
Л* = А 1 и А 2 и А 3 и ...
Пусть теперь алфавит А состоит из трех символов, напри-
мер: А = {а, Ь, с}. Определить множество всех слов длины 1,
2, 3, 4 в алфавите А.
> • Множество всех слов длины 1 в алфавите А = {а, Ь, с} -
это множество всех слов из одной буквы алфавита А :
Л' = {а, Ь, с}, | Л11 =3.
•	Множество всех слов длины 2 в алфавите Л - множе-
ство всех возможных двухбуквенных слов в алфавите Л:
Л2 = Л х Л = {аа, ab, ас, ba, bb, be, са, cb, сс}, | Л21 = 9 = 32.
•	Множество всех слов длины 3:
Л3 = ЛхЛхЛ = {ааа, aab, aac, aba, ...,.ссс}, | Л 31 = 27 = 3 3.
•	Множество всех слов длины 4:
Л4 = ЛхЛхЛхЛ = {аааа, aaab, ааас, aaba,сссс}, IЛ41 =
= 81 =34.
Очевидно, что мощность множества всех слов длины п в ал-
фавите Л равна мощности алфавита в степени п, т.е. | А” | = | Л|".
Пример 7. Пусть при сравнении пяти вариантов решений
а, Ъ, с, d, е по четырем характеристикам-критериям X, Y, Z, С
получены следующие векторные оценки каждого варианта;
V = {(2, 3, 1, 2), (3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2),
(2,3,2, 2)}.
Используя правило 1 сравнения векторов по предпочте-
нию (см. с. 29), определить наилучшие векторные оценки и
соответствующие им варианты решений.
32
Глава I. МНОЖЕСТВА
> В соответствии с правилом 1 выполним попарное срав-
нение векторных оценок из V. При сравнении первой век-
торной оценки со второй последняя оказывается не менее
предпочтительной, а именно.
(2,3,1,2)^ (3, 3, 1,2).
Поэтому дальнейшее сравнение первой векторной оцен-
ки со всеми другими можно не выполнять и далее ее не рас-
сматривать. Оставшиеся векторные оценки:
V' = {(3, 3,1,2), (2,2,2,2), (3,2,1,2), (2, 3,2,2)}.
В полученном списке V' векторных оценок первая срав-
нима по правилу 1 только с третьей этого списка:
(3,3, 1, 2)> (3,2, 1,2).
Это позволяет отбросить третью векторную оценку в V'
как менее предпочтительную. Новый список векторных оце-
нок:
V" = {(3, 3,1,2), (2, 2,2,2), (2, 3,2,2)}.
В новом списке V " сравнимыми по правилу 1 оказыва-
ются только последние две оценки:
(2,2, 2, 2)-< (2,3,2,2).
Оставшиеся две векторные оценки
V"'= {(3,3,1,2), (2,3,2,2)}
несравнимы по правилу 1, т.е. никакой из них нельзя отдать
предпочтение по данному правилу. Поэтому их следует при-
знать лучшими среди векторных оценок исходного списка V.
Таким образом, наилучшими по правилу 1 сравнения век-
торов по предпочтению оказались вторая и последняя век-
торные оценки исходного списка V, и соответствующие им
варианты решений {Ь, е} следует также признать наилуч-
шими с учетом оценок, полученных ими по критериям X, Y,
Z, U.
Заметим, что полученное с использованием правила 1 мно-
жество Л/п = {Ь, е} наилучших и несравнимых вариантов
решений называют в теории принятия решений областью
компромиссов, или множеством парето-оптимальныхре-
шений.
Упражнения
1.	Определить проекции v: пр, v, пр 3 v, пр ] 3 v, если:
a) v = (2,3,1,1); б) v = (2,2, 3,1).
£ 7.5. Векторы, прямые произведения, проекции векторов 33
2.	Определить проекции множества векторов V: пр , V,
пр3 V, пр, 3 V, если:
а)	{(2,3, U), (2,2,3, 1), (1,2, 3,1)};
б)	{(1,3,5), (2, 4, 6), (3,5,7)}.
3.	Пусть Х= {а, с}, Y= {a, d f}. Найти Ух Y, Y1, YxXxY.
4.	Проиллюстрировать на конкретном примере справед-
ливость соотношения А х (В п С) = (А х В) n (А х С).
5.	Пусть Л, = А2~ {а, Ь, с},А3 = Л4 = {d, е} и V=AX хА^х
хА3х А4. Найти: пр, V, пр, 3 V.
6.	Сравнить векторные оценки множества V= {(3,1,2, 3),
(2, 2, 1, 3), (1, 2, 3, 2), (3, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 3), (3, 2, 3, 2),
(2, 2, 2, 2), (2, 3, 1,3)} с использованием правила 1 сравне-
ния векторов по предпочтению и определить подмножество
V' наилучших - парето-оптимальных - векторных оценок,
V' с К [см. пример 7].
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
Отношения - один из способов задания взаимосвязей
между элементами множества. Наиболее изученными и чаще
всего используемыми являются так называемые унарные и
бинарные отношения.
Унарные (одноместные) отношения отражают наличие
какого-то определенного признака R (свойства и т.п.) у эле-
ментов множества М (например, "‘быть белым” на множе-
стве шаров в урне). Тогда все такие элементы а из множе-
ства М, которые отличаются данным признаком R, образуют
некоторое подмножество в М, называемое унарным отноше-
нием R, т.е. a g R и R с М.
Бинарные (двухместные) отношения используются для
определения каких-то взаимосвязей, которыми характери-
зуются пары элементов в множестве М (так, на множестве
людей могут быть заданы, например, следующие бинарные
отношения: “жить в одном городе”, “быть моложе”, “быть
сыном”, “работать в одной организации” и т.п.). Тогда все
пары (а, Ь) элементов из М, между которыми имеет место
данное отношение R, образуют подмножество пар из мно-
жества всех возможных пар элементов Мх М = М2, называ-
емое бинарным отношением R, т.е. (a, h) е R, при этом
R с М х М.
В общем случае могут рассматриваться п-местные от-
ношения, например отношения между тройками элементов -
трехместные (тернарные) отношения и т.д.
Под п-местным отношением понимают подмножество R
прямого произведения п множеств: R с х Л/2 х ... х Мп.
Говорят, что элементы д,, а2, ..., ап (я, е Мъ а2 е Л/2,...,
ап е Л/„) находятся в отношении R, если (а,, а2 ..., а„) g R.
Если «-местное отношение R задано на множестве М своих
элементов, т.е. = М2 = ... = Mn, wRcM1'.
§21. Бинарные отношения. Основные определения
35
§ 2.1. Бинарные отношения. Основные определения
Двухместным, или бинарным, отношением R называется
подмножество пар (а, b) е R прямого произведения х Л/2,
т.е. R с М{ х Л/2. При этом множество Л/, называют областью
определения отношения R, множество М2 - областью значе-
ний. Часто рассматривают отношения R между парами эле-
ментов одного и того же множества М, тогда RcMxAL Если
а, Ь находятся в отношении R, это часто записывается как а
Rb.
Пусть R с А х В определено в соответствии с изображе-
нием на рис. 2.1. Область определения D(R) и область зна-
чений Q(R) определяются соответственно:
D(R) = {а: (а, Ъ) е Я}, Q(R) = {b: (a, b) е R}.
Элементы А, не	Элементы В. не
включенные в R	включенные в R
Рис. 2.1
Способы задания бинарных отношений - любые спосо-
бы задания множеств (так как отношения определены выше
как подмножества некоторых множеств - прямых произве-
дений) . Отношения, определенные на конечных множествах,
обычно задаются:
1. Списком (перечислением) пар, для которых это отно-
шение выполняется. Например, R - {(a, b), (а, с), (b,d)}.
2. Матрицей - бинарному отношению R с М х М, где
М= {а},а2,..., ап}, соответствует квадратная матрица поряд-
ка п, в которой элемент с , стоящий на пересечении i-Й стро-
36
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
ки и j-го столбца, равен 1, если между а/ и а имеет место
отношение R, или 0, если оно отсутствует:
1, если а, 7? а,,
О впротивномслучае.
Пример 1. Пусть Л/= {1,2,3,4, 5,6}. Задать в явном виде
(списком) и матрицей отношение R с М х М, если R означа-
ет - “быть строго меньше”.
> Отношение R как множество содержит все пары эле-
ментов а, b из М такие, что а < Ь:
R = {(a, b): a,b е М; а< Ь}.
Тогда
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}.
Матрица отношения приведена на рис. 2.2, а.
£
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
А
1
10 11111
2 0	0	1	1	1	1
3 0	0	0	1	1	1
4 0	0	0	0	1	1
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
111111
0 10 10 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
0 10 10 1
0 0 1 0 0 1
0 10 10 1
0 0 0 0 1 0
0 1110 1
2
3
4
5
6
а)
6)	в)
Рис. 2.2
10 0 10 0
0 10 0 10
0 0 1 0 0 1
10 0 10 0
0 10 0 10
0 0 1 0 0 1
г)
Л 1 2 3 4 5 6
5 0 0 0 0 0 1
6 0 0 0 0 0 0
1
2
Пример 2. Пусть М- {1,2,3,4, 5,6}. Составить матрицы
отношения R{, Rv R3 с Мх М, если:
1)	7?! - “быть делителем”;
2)	Т?2- “иметь общий делитель, отличный от единицы”;
3)	7?3- “иметь один и тот же остаток от деления на 3”.
> 1) 7?i = {(а, Ь\. а,b е М\ а- делитель Ь} и выполняется
для пар {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4),
(2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. Эти пары (a, b) е 7?i
определяют наличие единиц в матрице отношения R\ сМ2
на пересечении строки элемента а и столбца элемента д;
а,Ъ е М(рис. 2.2, б);
£ 2.1. Бинарные отношения. Основные определения 37
2) Т?2 = {(a, by a,b е М; а и b имеют общий делитель, с Ф 1}.
Матрица отношения Л2 представлена на рис. 2.2, в;
3) Л3 = {(а, by a,b е М\ а, b имеют один и тот же остаток от
деления на 3}. Матрица отношения Л3 приведена на рис. 2.2, г.
Пример 3. Для указанных ниже отношений привести при-
меры пар, для которых выполняются отношения, и пар, для
которых отношения не выполняются.
1.	Отношения, заданные на множестве точек действитель-
ной плоскости:
a)	R\ - “находиться на одинаковом расстоянии от начала
координат”;
б)	Ri -“находиться на разном расстоянии от начала коорд инат”;
в)	Л3 - “находиться на одной и той же окружности с цент-
ром в начале координат”;
г)	Л4 - “быть симметричным относительно оси А'”.
2.	Отношения, заданные на множестве элементов структу-
ры, изображенной на рис. 2.3:
а)	Л5 - “быть частью целого”;
б)	Лб - “быть непосредствен-
но связанным с”;
в)	Л? - “быть начальником”;
г)	Л8 - “быть непосредствен-
ным начальником”.
3.	Отношения, заданные на
системе множеств 0(Л/),
М={а, Ь, с}:
a)	Rg - “пересекаться с”
(иметь непустое пересечение);
б)	Лю - “являться строгим включением с: ”;
в)	Ли - “являться нестрогим включением с
г)	Лю - “быть дополнением к”.
> Примеры пар элементов с отношениями между ними и
без таковых приведены в табл. 2.1.
1.Отношения, заданные на множестве точек
действительной плоскости .
Отношения Л] и Л3 равны и выполняются (не выполня-
ются) для одних и тех же пар точек.
38
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
Таблица 2.1
Отношение	Примеры пар. для которых отношение	
	выполняется	не выполняется
1. Отношения, заданные на множестве точек действи- тельной плоскости: Rt - "находиться на одинако-	«3, 4), (-3, 4)),	((3, 4), (1,6))
вом расстоянии от начала координат" Я2 - "находиться на разном	((3, 4), (0. -5)) ((3. 4), (1, 6))	'	((3, 4), (-3, 4)),
расстоянии от начала координат" Я,- "находиться на одной и	((3, 4), (-3, 4)),	((3, 4), (0, -5)) ((3, 4), (1,6))
той же окружности с цент- ром в начале координат" Я4- "быть симметричным	((3, 4), (0, -5)) ((3, 4), (3, -4)),	((3, 4), (-3, 4)),
относительно оси X"	((-3, 4), (-3, -4))	((3, 4), (-3, -4))
2. Отношения, заданные на множестве элементов струк- туры (рис. 2.3)' Я5- "быть частью целого"	(b, a), (d, а), (с, а)	(d,f), (а, b}, (g, b)
R6- "быть непосредственно	(d, b}, (b, d), (с, а)	(d, f), (g, b), (d, a)
связанным с" Л,- "быть начальником"	(b, d), (а. d), (а, с)	(d, b), (b, g)
Я8- "быть непосредственным	(b, d), (а, Ь)	(d. b), (a. d), (b, g)
начальником 3. Отношения, заданные на системе множ ест в $(М), М= {а, Ь, с}: Я,- "пересекаться с" (иметь	({а}, {а, с}),	({«}, {6}),
не пустое пересечение)	({а, с}, {а, Ь}),	({a}, {b. c})
Я|0- "являться строгим вклю-	({а, с}, {а, Ь, с}) ({а}, (а, с}),	({a. d, {a, b}),
чением с "	({а, с}, {а, Ь, с})	({a. c), {a, c}),
Яп- "являться нестрогим	({а}, {а, с}),	({a}, {b, c}) ({a, c), {a, b}),
включением с "	({а, с}, {а, Ь, с}),	({a}, {b. c})
Я12- "быть дополнением к"	({а, с}, {а. с}) ({а}, {Ь. с}),	({a), {a, c}),
	(0, (а, Ь, с})	({a, b}, {a, c}).
Отношение Т?2 выполняется для тех и только тех пар точек,
для которых не выполняются предыдущие отношения 7?, и Ry
Отношение /?4 выполняется для всех пар точек (х у) и
(х2, у2), удовлетворяющих условию Xj = х2, у = -у , и не вы-
полняется в противном случае.
J1' 2. 1. Бинарные отношения. Основные определения	39
2. Отношения, заданные на множестве эле-
ментов структуры.
Рисунок 2.3 отражает связи между элементами, задающие
отношения.
Структура, задающая отношение Т?5, свидетельствует о том,
что целое а состоит из двух частей: Ьп с, которые в свою оче-
редь разделены на части d, e,fvig,h соответственно.
Отношение 7?6 выполняется лишь для пар элементов, не-
посредственно связанных между собой линией.
Структура, задающая отношения Т?7 и 7?g , определяет на-
чальника а, которому непосредственно подчинены b и с; в
свою очередь, каждый из них имеет своих непосредствен-
ных подчиненных-, d, e,f и g, /г соответственно.
3. Отношения, заданные на системе мно-
жеств Р(Л/), М- {а, Ь, с}.
Отношение Т?9 выполняется для тех и только тех пар
множеств из Р (Л/), которые содержат хотя бы один общий
элемент из М.
Отношение 7?|0 выполняется лишь для пар множеств, вто-
рое из которых содержит все элементы первого и по край-
ней мере еще один, не содержащийся в первом.
Отношение 7?п выполняется для тех пар подмножеств, для
которых выполняется отношение R , а также для пар одина-
ковых подмножеств.
Отношение Т?12 выполняется для пар непересекающихся
множеств, содержащих элементы,вместе составляющие (без
повторов) множество М.
Пример 4. Составить матрицы отношений, заданных на
системе множеств Р(Л7),М= {а, Ь, с}'.
1)7?- “пересекаться с” (иметь непустое. пересечение);
2)	7?' - “являться строгим включением с*.
2
> Р(Л7)= {0, {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь, с}}.
Матрицы отношений 7?f и Т?2 представлены на рис. 2.4.
Пример 5. Для отношений, определенных на множестве
М= {а, Ь, с, d, e,f g, h} элементов структуры (см. рис. 2.3),
составить матрицы:
40
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
	0	(а)	W	(с) ja,*){a.c}{i,c)			0	{a} W	{с) {а.Ь} {а,с) {£.<?) {а,Ь,с}
0	0	0	0	0 0 0 0	0	0	0	1 1	11111
{0}	0	1	0	0 110	1	W	0	0 0	0 110	1
{Ь}	0	0	1	0 10 1	1	{*)	0	0 0	0 10 11
{С}	0	0	0	10 11	1	м	0	0 0	0 0 111
	0	1	1	0 111	1		0	0 0	0 0 0 0	1
(о. с}	0	1	0	1111	1	м	0	0 0	0 0 0 0	1
(М	0	0	1	1111	1	{Ь.е}	0	0 0	0 0 0 0	1
{ab.c	0	1	1	1111	1	{а,ь,с}	0	0 0	0 0 0 0	0
Рис. 2.4
1)7?]- “быть частью целого”;
2) Т?2 - “быть непосредственно связанным с”.
> Матрицы отноше- R
ний 7?] и Т?2 приведены на -7
рис. 2.5. (При построении ь
матрицы отношения Rx ®
предполагалось, что “це- е
лое есть часть самого f
себя”; аналогично при по- ь
строении матрицы отно-
шения Т?2.)
abcdefgh	abcde f g h
10000000 а 11	0	0	0	0	0	0	ь 1 0	1	0	0	0	0	0	с 110	1	0	0	0	0	d 110 0 10 0 0 е 1 1	0	0	0	10	0	f 10	1	0	0	0	10	g 1 0	1	0	0	0	0	1	h	11 1 0 0 0 0 0 110 1110 0 1	0	1	0	0	0	11 0	1	0	1	0	0	0	0 0	1	0	0	1	0	0	0 0	1	0	0	0	1	0	0 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 0 1
Рис. 2.5
Пример 6. Пусть отношение 7? - “быть отцом”, опреде-
ленное на множестве людей М= {a, b, с, d, e,f g, h}, пред-
ставлено схемой рис. 2.3. Задать списком отношение 7?. Оп-
ределить (назвать) родственные отношения между следую-
щими парами: (a, b), (a, d), (b, с), (b, d), (b, h), (с, d).
>1)7? = {(а, Ь\ (а, с), (b, J), (b, ё),	(с, g), (с, h)} -
“быть отцом”.
2)	а - отец для 6; а - дед для J; b - родной брат для с; b -
отец для d\b- дядя для h',c- дядя для d.
В целом заданная матрица отношения 7? - “быть отцом” -
позволяет установить новые отношения между элементами
множества М, в том числе:
7?] = {(a, d), (а, е), (a,f), (a, g), (a, h)} - “быть дедом”;
Т?2 = {(Ь, с), (с, b), (d, е), (е, d), (d, f), (f d\ (e, f), (f, e),
(g, h), (h, g)} - “быть родным братом или сестрой”;
/ 2.1. Бинарные отношения. Основные определения
41
= {(4 g\ (g, d), (d, И), (h, d), (e, g), (g, e), (e, h), (h, e\
(f> g\ (gJ\ (f, ty, (h,f)} -“быть двоюродным братом или сестрой”;
R4 = {(b, g), (b, h), (с, d), (с, е), {c,f}} - “быть дядей”;
Т?5 = {(g, b), (h, b), (d, с), (е, с), (f с)} - “быть племянником
или племянницей”;
R6 = {(b, а),(с, а), (d, b),(e,b),(f b),( g, с), (h, с)} - “быть
сыном или дочерью”.
Уточним потомков b и с. Пусть d и g - дочери, e,f».h-
сыновья для b и с соответственно. Тогда:
Я7 = {(b, с), (с, Ъ), (е, f), (f г)} - “быть родным братом”
(очевидно, что R7 cz Т?2);
/?8 = {(b, а), (с, а), (е, b), (f b), (h, с)} - “быть сыном”
(очевидно, что R* с 7?6).
Т?9 = {(d, с), (g, b)} - “быть племянницей” (/?9 с Т?5) и т.д.
Пример 7*. Пусть М- множество клеток шахматной доски,
М=Хх Y, гдеХ={а, b,c, d, e,f g, h,}, Y= {1,2,3,4,5,6,7,8}.
Определить бинарное отношение /?., на М для ладьи так,
4to(w)5w2) е 7?лтогда и только тогда, ко гда/и ] и/и ^элемен-
ты Л/и ладья может пройти от к т2 одним ходом на пус-
той доске (Задать 7?л описанием его характеристического
свойства.)
> Ладья за один ход на шахматном поле может изменить
либо горизонтальную координату, либо вертикальную, но не
обе координаты вместе. Обозначим mv т2 е М: т}= (хр у,),
т = (х2, у2), где х,, х2 е X, у,,у2е Y. Тогда
Rn = {((*,,У,), (х2,У2)): (\ =х2 иу{ ^у2) или (х, *х2 и у, = у2)}.
Пример 8. Для отношения R, заданного в примере 1, ус-
тановить области определения и значений.
> Область определения D(R) = {1, 2, 3, 4, 5}, область
значений Q(R) = {2, 3,4, 5, 6}.
Пример 9*. Пусть некоторая программа читает два числа
из множества М= {1,2, 3,4, 5}, обозначаемых х иу, и, если
х < у, печатает число z (также из М) такое, что х < z < у.
В любом случае программа останавливается после считыва-
42
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
ния всех чисел на множестве М. Чему равны области опре-
деления и значений отношения?
> При поступлении на вход программы двух чисел
ху> <= Мтаких, что х <у, программа выдает результат z такой,
что х < z < у, т.е. устанавливает отношениеRcM* Л/такое,
что R = {((х, у), z): х <у, х < z < у)};
R = {((1, 2), 1); ((1, 3), 1); ((1, 3), 2); ((1, 4), 1); ((1, 4), 2);
((1,4), 3); ((1,5), 1); ((1,5), 2); ((1,5), 3); ((1,5), 4); ((2,3), 2);
((2, 4), 2); ((2, 4), 3); ((2, 5), 2); ((2, 5), 3); ((2, 5), 4);
((3,4), 3); ((3,5), 3); ((3,5), 4); ((4, 5), 4)}.
Ш) = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4),
(3,5), (4,5)}.
ад ={1,2, 3,4}.
Упражнения
1.	Выполнить условие примера 4 для отношений:
a)	R3 - “являться нестрогим включением с “;
б)	R4 - “быть дополнением к”.
2.	Выполнить условие примера 5 для отношений:
а)	7?3 - “быть начальником”;
б)	J?4 - “быть непосредственно подчиненным”.
3.	Для отношений, заданных в примере 3, составить мат-
рицы отношений R с М х М, задав произвольно 6-8 эле-
ментов множества М.
4.	Пусть М = Р(Л), А = {1, 2, 3, 4}. Найти все элементы
(пары) отношения R на М, если R означает:
а)	с; в) “пересекаться с” ;
б)	с; г) “быть дополнением к”.
Задать R описанием его характеристического свойства.
5.	Пусть отношение R задано наЛ/= {1,2,3,..., 9}. Выпи-
сать все элементы R, если:
a)	R = {(а, Ь)}: а,Ь е М;(а + 1) - делитель (а + Ь)};
б)	R = {(a, b)}: а, b е а - делитель (а + Ь), а * 1}.
6*. Пусть М ~ множество клеток шахматной доски (см.
пример 7). Требуется:
а)	Задать характеристическим свойствам отношение Л. с с
Мх М, связывающее клетки mv т2 е М, которые определяются
ходом коня (т.е. если конь может перейти с т} на пу за один шаг);
§2.2. Свойства бинарных отношений	43
б)	описать отношение Rp с М х М, область определения
D(Rp), область значений Q(Rp), если Rp такое, что (т,. т,) g Rp
тогда и только тогда, когда т, - начальная позиция белой пеш-
ки, а т, - клетка, где первый ход игры заканчивается.
§ 2.2.	Свойства бинарных отношений
Пусть R - отношение на множестве М, RcM* М. Тогда:
1)7?- рефлексивно, если имеет место a R а для любого
а е М (например, отношение "жить в одном городе" - реф-
лексивно);
2)	R - антирефлексивно, если ни для какого а е Л/не вы-
полняется a Ra (например, отношение "быть сыном" - ан-
тирефлексивно);
3)	R - симметрично, если a R b влечет b Ra (например,
отношение "работать на одной фирме" - симметрично);
4)	R - антисимметрично, если a R b и b R а влекут
а = Ь, т.е. ни для каких различающихся элементов а и b (а *
Ь) не выполняется одновременно a R b uh R а (например,
отношения "быть сыном", "быть начальником" - антисим-
метричны);
5)7?- транзитивно, если aRbubRc влекут a Rc (например,
отношения "быть моложе", "быть братом" -транзитивны).
Пример 1. Какими признаками характеризуется матрица
отношения 7?, если 7? соответственно: рефлексивно, антиреф-
лексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.
> Пусть 7? задано на М, 7? с М х М.
1)	7? рефлексивно, если для любого а е М имеет место
a Ra, т.е. оно выполняется для всех пар (а, а), аеМ.В мат-
рице этим парам соответствуют элементы сп. Такие элемен-
ты составляют главную диагональ матрицы. Следовательно,
главная диагональ матрицы рефлексивного отношения со-
держит только единицы;
2)	7? антирефлексивно, если ни для какого а е М не вы-
полняется a R а. Из этого следует, что главная диагональ мат-
рицы антирефлексивного отношения должна содержать толь-
ко нули;
44
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
3)	7? симметрично, если для пары (a, b) & М х Mvn a R b
следует bRa, т.е. для любой пары отношение R выполняется
в обе стороны либо не выполняется вообще. Таким обра-
зом, если в матрице единица стоит на пересечении /-й стро-
ки и j-ro столбца, т.е. cv = 1, то она должна стоять и на пере-
сечении j-й строки и /-го столбца, т.е. с}1= 1, и наоборот, если
Cji = 1, то су= 1. Таким образом, в матрице симметричного
отношения су = с7,, т.е. матрица симметрична относительно
главной диагонали;
4)	R антисимметрично, если vnaRbnbRa следует
а=Ь. Это означает, что в соответствующей матрице ни для каких
ij е[1,2,...т], т = | М\, i rj, не выполняется су = Сц= 1. Таким
образом, в матрице антисимметричного отношения отсутствуют
единицы, симметричные относительно главной диагонали;
5)	R транзитивно, если для любых а, Ь, с из a R b и b R с
следует a R с. В матрице такого отношения должно выпол-
няться следующее условие: если в /-й строке стоит единица,
например в j-й координате (столбце) строки, т.е. су = 1, то
всем единицам в у-й строке (пусть этим единицам соответ-
ствуют Л-е координаты
такие, что - 1) дол-
жны соответствовать
единицы в г-й строке в
тех же к-х координа-
тах, т.е. с,к = 1 (и, мо-
жет быть, еще и в дру-
гих координатах). Это
условие иллюстриру-
ется на рис. 2.6, где
кружком выделена
единица су = 1, для ко-
торой производится проверка условия, а стрелками показа-
на последовательность проверки данного условия.
В матрице транзитивного отношения это условие должно вы-
полняться для любых /,у е т = | М | таких, что су = 1. И наоборот,
если в матрице R имеется хотя бы одна единица с9 = 1, для кото-
рой данное условие не выполняется, то R не транзитивно *.
‘ Обоснование справедливости описанного правила выявления нетранзитив-
ности отношения R см. (3. ч. 1, гл. 3, §5].
/ 2.2. Свойства бинарных отношений	45
Пример 2. Пусть бинарное отношение R на М задано в
виде диаграммы, состоящей из узлов и стрелок так, что уз-
лам взаимно однозначно соответствуют элементы множества
М, а стрелкам, соединяющим пару а и b в направлении от а к
Ь, - наличие отношения aRb. Определить графические осо-
бенности диаграммы в зависимости от характера свойств от-
ношения R.
> 1. Отношение RcM*M рефлексивно, если a Ra для
любых а е М. Соответствующая диаграмма рефлексивного
отношения должна содержать петли во всех узлах (т.е. стрел-
ки, начинающиеся и заканчивающиеся в одном узле).
2.	Отношение R антирефлексивно, если ни для каких
а е Мне выполняется aRa. Диаграмма антирефлексивного
отношения не должна содержать ни одной петли.
3.	Отношение R симметрично, если из a R b следует bRa.
В диаграмме симметричного отношения для каждой стрел-
ки, соединяющей два узла, существует также стрелка, соеди-
няющая эти узлы в обратном направлении.
4.	Отношение R антисимметрично, если wsaRbubRa
следует а = Ь. В диаграмме антисимметричного отношения
не существует двух различных узлов, связанных парой (раз-
нонаправленных) стрелок.
5.	Отношение R транзитивно, если wsaRbvtbRc следует
a R с. В диаграмме транзитивного отношения для любых двух
стрелок таких, что одна направлена от а к Ь, а другая - от b к с,
существует стрелка, соединяющая а и с в направлении от а к с.
Пример 3. Каковы свойства отношений, заданных:
1.	На множестве натуральных чисел N:
a)	R} - "быть не больше < ";
б)	R2 - "быть делителем";
в)	/?3 - "быть равным".
2.	На множестве точек действительной плоскости 91 х 91:
а)	/?4 - "находиться на одинаковом расстоянии от начала
координат";
б)	R5 - "быть симметричным относительно оси X".
3.	На системе множеств Р(Л/):
a)	R6 - "пересекаться с" (иметь непустое пересечение);
46
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
б)	Я, - "являться строгим включением с".
4.	На множестве людей:
а)	/?8 - "быть сыном";
б)	Т?9 - "жить в одном городе";
в)	R}0 - "быть братом".
5.	На множестве элементов структуры (рис. 2.3):
а)	7?и - "быть непосредственно связанным с";
б)	/?12 - "быть начальником".
> 1. На множестве N:
a)R{ = {(a, b)}:a<b}:
•	рефлексивно, не антирефлексивно, так как выполняет-
ся а < а для всех а е М, например 2 < 2;
•	не симметрично, так как 2 < 3, но неверно,что 3 < 2;
•	антисимметрично, поскольку если а < b, а b < а, то а = 6;
•	транзитивно, так как если а < b, а b < с, то а < с, напри-
мер 2<3, 3<4и2<4;
б)	R2 = {(а, Ь): а - делитель Ь}:
•	рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое чис-
ло делит само себя без остатка: а/а = 1 для всех а е N',
•	не симметрично, антисимметрично, например 2 - де-
литель 4, но 4 не является делителем 2;
•	транзитивно, так как если Ыа е N и c/b е N, то с/а =
= Ыа  c/b е N, например, если 6/3 = 2 е N и 18/6 = 3 е N, то
18/3 = 18/6-6/3 = 6 еМ
в)	R3= {(а, b):a = b}:
•	рефлексивно, не антирефлексивно, поскольку а =а для
всех а е N;
•	симметрично, так как если а = Ь, то b = а;
•	антисимметрично, так как если a R3 b и b R3 а, то а = h;
•	транзитивно, так как если а = b и b = с, то а = с.
2	. На множестве точек действительной плоскости 91 х 91:
а) Я4 = {((х,,у,), (х2,у2))}: (х,)2 + (у1)2 = (х2)2 + (у2)2}:
•	рефлексивно, не антирефлексивно, так как х 2 + у 2 =
= х2 + у2 для любых точек (х, у) действительной плоскости
91x91;
•	симметрично, не антисимметрично, так как, например,
для точек (2,3) и (-2,3) имеет место 22 + З2 = (-2)2 + З2 ,но
(2, 3)*(-2,3);
2.2. Свойства бинарных отношений
47
•	транзитивно, поскольку если (хру ) и (х2,у2) находятся
на одинаковом расстоянии от начала координат, а также -
(х2,у2) и (.г,,у.), то и (ХрУ]) и (х3,у3) находятся на одинаковом
расстоянии от начала координат;
б) Я5 = {((х,, j/j), (х2,^2)): X] = x2,yt =-у2}:
•	не рефлексивно, так как для точек плоскости (х, у), не
находящихся на оси У, т.е. для точек с координатами у Ф 0, не
выполняется (х, у) В5 (х, у);
•	не антирефлексивно, так как точка плоскости симмет-
рична самой себе, если она лежит на оси X, т.е. для точек
(х, у) с координатами у = 0 имеет место (х, у) R5 (х, у);
•	симметрично, например (2,3) R5 (2, - 3) и (2, -3) R5 (2,3);
•	не антисимметрично, поскольку имеет место, напри-
мер, (2, 3) R5 (2, -3) и (2, -3) R5 (2, 3), но (2, -3) * (2, 3);
•	не транзитивно, так как, например, (2, 3) /?5 (2, -3) и
(2, -3) В5 (2, 3), но не выполняется (2, 3) В. (2, 3).
3.	На системе множеств р(Л/):
а) В6 = {(Л, В): А п В * 0, А,В с р(ЛГ>}:
•	не рефлексивно, поскольку для 0 е (3(А/) имеет место
0^0 = 0;
•	не антирефлексивно, так как для А е 0(Л/), если А не
пусто, т.е. А 0, то А п А 0, т.е. отношение выполняется;
•	симметрично, так как если А пересекается с В, то и В —
с А;
•	не антисимметрично, поскольку A R6BnB R6 А для А * В;
•	не транзитивно, например {a} R6 {a,b} и {a, b}R6 {b},
но {a} R, }Ь} не выполняется;
б)Л7={(Л,В):Л^В}:
•	не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для ка-
ких А е р(Л/) не выполняется А а А',
•	не симметрично, поскольку из А с В не следует В с А;
•	антисимметрично, так как ни для каких А, В таких, что
А В, не выполняется одновременно А с В и В с А;
•	транзитивно, так как для любых А, В,С е 0(Л/) из А <z В
иВсС следует А с: С.
4.	На множестве людей:
a)7?g= {(a, by. а -сын Ь}:
• не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для ка-
ких а не выполняется: а - сын <я;
48
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
•	не симметрично, антисимметрично, поскольку ни для
каких a b не выполняется: а - сын b и b - сын а;
•	не транзитивно, так как если: а - сын b и b - сын с, то
а - не сын с;
б)	Т?9 - {{a, by. а живет в одном городе с Ь}:
•	рефлексивно, не антирефлексивно, так как aR^a для всех а;
•	симметрично, поскольку для любых а, Ь, если a Rg b,
то b Rg а-,
•	не антисимметрично, так как имеет место a Rg b и b
Rg а для а Ь\
•	транзитивно, поскольку для всех а, Ь, с, если aR9bnb
Rg с, то a R9 с;
в)	/?10 = {(a, by а - брат Ь}:
•	не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного от-
сутствия a Rwa для всех а;
•	не симметрично, так как в общем случае между бра-
том а и сестрой b имеет место a Rl0 b, но не b 7? а;
•	не антисимметрично, так как если а и Ъ - братья, то
а 7?10 b и b Rw а, но а* Ь;
•	транзитивно, если называть братьями людей, имеющих
общих родителей (отца и мать).
5. На множестве элементов структуры (см. рис. 2.3):
а) = {(a, by а - непосредственно связан с Ь}\
•	не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной
интерпретации а а не имеет смысла;
•	симметрично, не антисимметрично, поскольку для всех
а*Ь, если выполняется а Ь, то b Ru а-,
•	не транзитивно, так как при a R}}b и b RX} с не выпол-
няется a Rn с (а и с связаны, но опосредованно);
б) Rn = {(a, by. а - начальник Ь}:
•	не рефлексивно, антирефлексивно (см. 7?и);
•	не симметрично, антисимметрично, так как для всех
а г b не выполняется одновременно a Rnbnb Rna\
•	транзитивно, так как если а - начальник Ъ и Ь - на-
чальник с, то а - начальник с.
Упражнения
1.	Для отношений R, заданных в примере 3, п. 2 и 3, § 2.1,
составить матрицы для RcM* М, задав произвольно 6-8
§ 2.2. Свойства бинарных отношений
49
Таблица 2.2
Отношение	Рефлек- сивно	Анти- рефле- ксивно	Симмет- рично	Анти- симмет- рично	Транзи- тивно
На множестве N: R, - “быть меньше” Я, - “быть не больше”	X			X	X
Я, - “быть делителем”	X	—	—	X	X
R4 - “иметь общий делитель, отличный от единицы” R} - “иметь один и тот же остаток от де- ления на 5” R6 - “быть равным’’	X		X	X	X
На множестве эле- ментов структуры (рис. 2.3): R7 - “быть частью це- лого” Rg - “быть начальни-		X		X	X
ком” Rg - “быть непосред- ственным начальни- ком” Rlls - “быть непосред-		X	X		
ственно связанным с” На системе мно- жеств Р(М): Ян - “пересекаться с”			X		
(иметь непустое пе- ресечение) Я12 - “являться стро-			X			X	X
гим включением” Я13 - “являться нест- рогим включением” Я14 - “быть дополне- нием к” На множестве людей: Я|5 - “быть сыном”		X		X	
Я16 - “быть прямым потомком” Я17 - “жить в одном	X		X		X
городе” Я18 - “быть моложе” Я19 - “быть знакомым” Я;о - “быть братом”	—	X	—	—	X
50
Глава 2 ОТНОШЕНИЯ
элементов множества М. Определить по матрице, какими
свойствами характеризуется соответствующее отношение.
2.	Составить матрицы отношений, заданных в примере 3,
определив произвольно множество	х Л/таким об-
разом, чтобы по матрице можно было бы судить о свойствах
отношения, и назвать эти свойства.
3.	Какими свойствами характеризуются следующие отно-
шения наЛ/= {1, 2, 3,..., 9}:
а)	7?1 = {(<7, b): (a-bi)- четное};
б)	/?2 = {(я, by (а + Ь)- четное};
в)	R3 = {(а, Ь): (а + 1) - делитель (а + &)};
г)	Т?4 = {(a, by. а - делитель (а + Ь), а т- 1}.
4.	Заполнить табл. 2.2 (стр. 49), доопределив свойства за-
данных в ней отношений.
§ 2.3. Эквивалентность и порядок
Рассмотренные ниже отношения представляют собой фор-
мально определенные типы отношений, отличающиеся фик-
сированным набором свойств.
Отношением эквивалентности (или просто эквивалент-
ностью) называют бинарное отношение на множестве, если
оно рефлексивно, симметрично, транзитивно. Например,
отношение "жить в одном городе" на множестве людей - эк-
вивалентность.
Отношение эквивалентности имеет важную особенность:
эквивалентность R разбивает множество М, на котором оно
задано, на непересекающиеся подмножества так, что элемен-
ты одного и того же подмножества находятся в отношении
R, а между элементами из разных подмножеств отношение
R отсутствует. В таком случае говорят, что отношение R за-
дает разбиение на множестве М, или систему классов экви-
валентности по отношению R. Мощность этой системы на-
зывается индексом разбиения. В то же время любое разбие-
ние множества М на классы определяет некоторое отношение
эквивалентности, а именно отношение "входить в один и тот
же класс данного разбиения".
Отношением нестрогого порядка (или нестрогим поряд-
ком) называют бинарное отношение на множестве, если оно
§2.3 Эквивалентность и порядок
51
рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, и отношени-
ем строго порядка (строгим порядком), если оно антиреф-
лексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба эти отноше-
ния называются отношениями порядка. Например, отноше-
ния "быть не старше" на множестве людей, "быть не больше"
на множестве натуральных чисел - нестрогий порядок; от-
ношения "быть моложе", "быть прямым потомком" на мно-
жестве людей - строгий порядок.
Элементы а,Ь&М сравнимы по отношению порядка R на
М, если выполняется a R b или bRa.
Множество М, на котором задано отношение порядка,
может быть:
а)	полностью упорядоченным множеством, если любые
два элемента из М сравнимы по отношению порядка. В та-
ком случае говорят, что отношение R задает полный порядок
на множестве М. Например, отношение "быть не старше" за-
дает полный порядок на множестве людей;
б)	частично упорядоченным множеством - в противном
случае. При этом говорят, что отношение R задает на множе-
стве Мчастичный порядок. Например, отношение "быть на-
чальником" задает на множестве сотрудников организации
частичный порядок, так как, например, для пары сотрудни-
ков одного отдела данное отношение не выполняется: они не
сравнимы по данному отношению.
Пример 1. К каким типам отношений относятся:
1)	отношение равносильности на множестве формул, опи-
сывающих элементарные функции (формулы равносильны,
если они задают одну и ту же функцию, например (а + 6)х
х(а - Ь) = a2- b2, sin2 а + cos2 b = 1);
2)	отношение, определяемое на множестве всех программ
{(а, Ь): а и b вычисляют одну и ту же функцию на определен-
ной машине};
3)	отношения < и < на множестве векторов длины п с ком-
понентами из N, определяемые следующим образом:
а)	(Яр ..., ап) < (Ь},..., Ьп), если а. < b.. ап < Ьп',
б)	(ар ..., аПп) < (Ь},..., b"), если (av..., ап) < (Ь},Ьп) и хотя
бы в одной координате i выполняется а < b;
52
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
4) отношение предшествования букв -< конечного алфа-
вита Л (например, отношение предшествования букв русского
алфавита, отношение предшествования чисел 0, 1,2,..., 9 и
т.п.), заданного фиксированным списком:
а -< а , если а, предшествует а в списке букв;
5) отношение предшествования слов -< упорядоченного
конечного алфавита А - лексикографическое упорядочение,
определяемое следующим образом.
Пусть даны слова а = a (aI2...alm и а2 = а21а22...а2п, тогда:
а, -< а2, если и только если:
a)	ci] = Рау, а2 = Ра8 и а -< а , где Р, у, 8 - некоторые
слова, возможно пустые; а( и а^ - буквы, либо
б)	а2 = аД где Р - непустое слово.
> Отношения, заданные в п. 1 и 2, являются отношениями
эквивалентности на соответствующих множествах; отноше-
ния, заданные в п. 3 - 5, являются отношениями порядка; при
этом отношение < , определенное в п. 3, есть отношение не-
строго порядка, а отношение < в п. 3, а также отношения пред-
шествования в п. 4 и 5 - отношения строго порядка.
Пример 2. Проиллюстрировать диаграммой Венна сле-
дующие разбиения множества U:
а)	{А, А};	_ _
б)	{А п В, А п В , А п В, А п В}',
в)	{А\В,А оВ,В\А}.
> Указанные разбиения изображены на рис. 2.7.
а)	б)	в)
Рис. 2.7
Пример 3. Каков индекс разбиения и мощности классов
эквивалентности по отношению R, если R:
2.3. Эквивалентность и порядок	53
1)	отношение равенства (тождества) на любом множестве;
2)	универсальное (полное) отношение на любом множе-
стве;
3)	отношение равносильности на множестве формул (см.
пример 1, п.1);
4)	отношение "иметь один и тот же остаток от деления
на 5" на множестве натуральных чисел ЕЛ
> 1) Все классы эквивалентности по отношению равен-
ства (тождества) Е = {(а, Ь): а = Ь} нд любом множестве М,
а,Ь&М, состоят из одного элемента. Индекс разбиения Л/по
отношению Е равен мощности множества Л/, т.е. | М\.
2)	Индекс разбиения универсального (полного) отноше-
ния U, U= {(a, by.aUb для любых a,b е М}, т.е. U= М* М
для любого М, равен единице. Все элементы множества Л/при-
надлежат одному классу эквивалентности по отношению U.
Мощность класса равна | м\.
3)	Формулы, описывающие одну и ту же элементарную
функцию, находятся в одном классе эквивалентности по от-
ношению равносильности (см. пример 1, п.1). Поэтому счет-
ны само множество формул, множество классов эквивален-
тности (индекс разбиения) и каждый класс эквивалентнос-
ти. (Счетными множествами называются множества,
равномощные N- множеству натуральных чисел.)
4)	Индекс разбиения множества N по заданному отно-
шению R равен 5. Множества натуральных чисел, составля-
ющие каждый класс эквивалентности,- счетны.
Пример 4. Какой порядок на множестве задают отно-
шения:
1)	< и > , а также < и > для чисел множеств ТУи 91.
2)	< и < на 91”, введенные в примере 1, п. 3;
3)	с ис на системе подмножеств Р(М) множества М~,
4)	подчиненности на предприятии;
5)	предшествования -< букв и слов конечного алфавита А,
определенных в примере 1, п. 4, 5.
> 1) Отношения нестрого порядка < и > , а также строго
порядка < и > полностью упорядочивают множества N и 91.
54
Глава 2 ОТНОШЕНИЯ
2)	Отношения < и < на множестве векторов длины п с ком-
понентами из 5? определяют частичный порядок на 91":
(-3,3/5,2) > (-3,1/2,2); (-3,1/2,2) и (-3,2,1/2) - не сравнимы;
3)	Отношение cz на системе Р(Л/) задает строгий частич-
ный порядок, а отношение с - нестрогий частичный поря-
док. Например, {а, Ь} с {а, Ь, с}, но {а, Ь} и {b, с, d} несрав-
нимы по отношению <z .
4)	Отношение подчиненности на предприятии задает стро-
гий частичный порядок. В нем несравнимыми являются, на-
пример, сотрудники разных звеньев одного уровня органи-
зационной структуры.
5)	Отношения предшествования -< букв и слов в алфави-
те А задают полное упорядочение соответственно множества
всех букв в алфавите А и множества всех конечных слов в
алфавите Л. Например:
солист-< соло (случай 1 определения 0 - "сол", "и" -< "о",
у = "ст", S = "о");
соло -< соловей (случай 2 определения: 0 = "вей").
Упражнения
1. Пусть М- конечное множество. Какие отношения эквива-
лентности дают наибольший и наименьший индекс разбиения?
2*. Пусть 7?! и R2 - отношения на У2, определяемые следу-
ющим образом: (а, Ь) 7?( (с, d) тогда и только тогда, когда
а < с и b < d; (a, b) R2 (с, d) тогда и только тогда, когда а < с и
b>d. Являются ли R и Т?2 отношениями порядка?
3. Для отношений R- R,n из табл. 2.2 уточнить их свой-
ства и определить, к какому типу относится каждое из отно-
шений; каков индекс разбиения и мощности классов экви-
валентности множества по отношению или какой порядок
задает отношение на соответствующем множестве. Соста-
вить матрицы отношений, задав произвольно 6-8 элементов
соответствующего множества.
§ 2.4. Операции над бинарными отношениями
Так как отношения на М задаются подмножествами,
R cz М, х М2 (или 7? cz М2, если М}=М = М), для них опреде-
лимы те же операции, что и над множествами (см. § 1.2)’.
£ 2.4. Операции над бинарными отношениями	55
1.	Объединение R. о Т?2:
R{ u Т?2 = {(tz, b): (a, b) е 7?t или (а, b) е Т?2).
2.	Пересечение R, п Т?2:
R} п Т?2 ~ {(а, Ь): (а, Ь) е 7?1 и (a,b) е R2}.
3.	Разность /? \ Т?2:
7?]\ Т?2 = {(а, Ь): (a, b) е R{ и (a, b) £ R2}.
4.	Дополнение R :
R= U\R, где U= М{ х М2 (или U= МД.
Кроме того, определяют другие операции над отношени-
ями, в том числе:
5. Обратное отношение R ':
a R ' b тогда и только тогда, когда b Ra:
R 1 = Да, by (Да) е R}.
Например, если R - “быть моложе”, то R - “быть старше”,
если R - “быть сыном”, то 7? 1 - “быть отцом (или матерью)”.
6. Составное отношение (композиция)
Пусть заданы множестваМ}. М, М. и отношения 7?t с М.*
х Л/2 и Т?2 с Л/2 х Мг Составное отношение действует из М в
М2 посредством 7?(, а затем из М2 в М2 посредством Rr т.е.
(а, Ь) е Д°Д, если суще-
ствует такое с е М2, что
(а, с) е 7?j и (с, Д е Т?2. На
рис. 2.8 показаны множе-
ства М}, М2, М3, в них - об-
ласти определений D(R),
D(R2} и области значений
Q(R\) и Q(R1), заштрихо-
ванные в разных направле-
ниях для 7?( и R2. Сегменты
с двойной штриховкой на Л/,, М, М, представляют собой
D(R°R2), Q(R() n D(R2) и Q(R}°R2) соответственно.
В частности, если отношение R определено на множестве
М, R с М2, то составное отношение
R°R = {(a, by (а, с), (с, b) е R}.
Например, если R - “быть сыном”, то R°R - “быть внуком”.
Обозначим R°R = R(2}. Используя это обозначение, мож-
но определить R^ для любого п е N, п> 1 следующим об-
разом:
7?(п) = Да, by (а, с) е 7? и (с, Ь) е 7?(" °}.
56
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
7. Транзитивное замыкание R°.
Транзитивное замыкание R° состоит из таких и только
таких пар элементов а,Ь из М, т.е. (a, b) е R°, для которых в
Мсуществует цепочка из (£+2) элементов М, к> 0: а, с}, с2,...,
ск, Ь, между соседними элементами которой выполняется R:
aRc,, c,Rc„ .... c.Rb, т.е.:
R° = {(a. b): (а, c,), (cp c2),..., (ck, b) e /?} (определение I).
Унарная операция транзитивного замыкания R° может
быть также определена как бесконечное объединение:
R° = R u 7?(2) u R(y> и... о R(n) и ... (определение II).
Например, для отношения R - “быть сыном” составное отно-
шение (композиция) R°R = R1-1- “быть внуком”, R°R°R = R°' -
“(Тыть правнуком” и т.д. Тогда объединение всех этих отноше-
ний есть транзитивное замыкание R° - “быть прямым потом-
ком”.
Если отношение R транзитивно, то R° = R. Например, тран-
зитивное замыкание отношения R - “быть больше” совпада-
ет с этим отношением, т.е. R° - R.
8. Рефлексивное замыкание R*.
Пусть тождественное отношение Е= {(а, а): а е М}. Тогда
R* = R° о Е.
Если R транзитивно и рефлексивно, то R* = R.
Процедура вычисления транзитивного замыкания* R° для
отношения R е М х М:
1)	присвоить /?) <— R ;
2)	вычислить /?] и У?](2) = 7?! и RpR\', присвоить R2 <-	А/2’;
3)	сравнить: R} = R2. Если R} R2, то присвоить <- R2 и
перейти к шагу 2. В противном случае - к шагу 4;
4)	конец: R} = R2 = R°.
Пример 1. Пусть отношение R - “быть руководителем”,
определенное на множестве сотрудников организации М.
Назовите отношения: R , R-1, R°, R*. Каковы свойства отно-
шений?
> R=(MxM)\R- “не быть руководителем”.
R '= {(Ь, а)\ (a, b) е R} - “быть подчиненным”.
2.4. Операции над бинарными отношениями
57
R° = R - “быть руководителем” (так как R - транзитивно).
R* = R°<jE = R<jE - трудно назвать такое отношение,
возможно - “быть руководителем, в том числе по отноше-
нию к самому себе”.
Отношение R - “быть руководителем”:
а)	не является рефлексивным, так как выражение “быть
руководителем по отношению к самому себе” вряд ли имеет
смысл (с точки зрения должностных инструкций, должност-
ной организационной структуры);
б)	антирефлексивно, так как ни для какого члена органи-
зации А не выполняется “Л - руководитель Л”;
в)	не симметрично, так как если А - руководитель В, то В
не является руководителем А (В- подчиненный для Л);
г)	антисимметрично, так как ни для каких членов организа-
ции А, В не выполняется одновременно ‘М - руководитель В”
и “В - руководитель А" (считаем, что речь не идет о разных
сферах деятельности внутри одной организации, например
об участии А, В в разных проектах);
д)	транзитивно, так как если А - руководитель В и В -
руководитель С, то А - руководитель С.
Итак, отношение R - “быть руководителем” антирефлек-
сивно, антисимметрично и транзитивно, т.е. является от-
ношением строгого порядка на множестве М сотрудников
организации. Очевидно, что R задает на множестве М час-
тичный порядок, поскольку в любой организации существу-
ют сотрудники (например, работники одного отдела), кото-
рые не являются руководителями по отношению к другим.
Отношение R- “не быть руководителем”:
а)	рефлексивно, так как любой член организации А - не
руководитель самому себе (по должностной структуре);
б)	не антирефлексивно, поскольку неверно, что ни для ка-
кого А не выполняется: “Л - не руководитель Л”;
в)	не симметрично, ибо в организации существуют сотруд-
ники, для которых не выполняется одновременно “Л - не ру-
ководитель В” и “В - не руководитель Л” (в случаях, когда,
например, “Л - руководитель В”);
См : [3,ч. 1, гл. 3 §4].
58
Глава 2 ОТНОШЕНИЯ
г)	не антисимметрично, так как в организации суще-
ствуют сотрудники А, В, никто из которых не является
руководителем для другого: для них справедливо одно-
временно “Л - не руководитель В” и “В - не руководи-
тель Л”;
д)	не транзитивно, так как если, например, Л - руководитель
для С, а сотрудник В работает в другом отделе, то имеет место:
“Л - не руководитель В”, а “В - не руководитель С\ но неверно,
что “Л - не руково- дитель С ”. Очевидно, что	Таблица 2.3					
	Отношение	Реф- ле к-	Анти- рефлек-	Сим- мет-	Анти- симмет-	Тран- зитив-
отношение В не		сивно	СИВНО	рично	рично	но
является ни экви-	R	-	X	-	X	X
валентностью, ни	R	X	-	-	-	-
порядком. Рассуждая ана- логично, нетруд- но определить	в-1	-	X	-	X	X
	В°	-	X	-	X	X
	В*	X	-	-	X	X
						
свойства отношений В'1, В		0 R *	Результаты сведены в			
табл. 2.3.
Пример 2. Пусть на множестве М = {2, 4, 6} определе-
но отношение R - “быть меньше”. Задать характеристи-
ческим свойством и списком отношение R, обратное от-
ношение В-1 и дополнение R . Сравнить отношения. Оп-
ределить их свойства.
> R = {(а, Ь\. а<Ь} - “быть меньше”.
В ={(2,4), (2, 6), (4, 6)}.
В-1 = {(a, by (Ь,а) е В} = {(а, Ь): а > Ь} - “быть больше”.
^' = {(4, 2), (6, 2), (6,4)}.
В = (М х М) \ В = {(<7, by. (a, b) £ R} = {(а, Ь): а> Ь} -
“быть не меньше”.
В = {(2, 2), (4,_2), (4, 4), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}.
Между В, В~' и В имеют место соотношения:
•	В = В 1 u Е; В"’п £ = 0, где Е = {(а, Ь): а = Ь} - тожде-
ственное отношение;
•	В п В = U, Ro RЕ = С, где U= М х М;
•	RrvR = 0-,Rr> В'= 0; В п £= 0.
2.4. Операции над бинарными отношениями	59
Диаграмма Венна представлена
на рис. 2.9, где заштрихованное
множество соответствует дополне-
нию R .
Отношения R и R~{ - антиреф-
лексивны, антисимметричны,
транзитивны, т.е. являются отно-
шениями строгого порядка. Эти
отношения задают полный порядок
Отношение R - рефлексивно, антисимметрично, транзи-
тивно, т.е. является отношением нестрогого порядка; оно так-
же задает полный порядок на множестве М.
Рис. 2.9
на множестве М.
Пример 3. Пусть R - отношение на N: R = {(а, Ьу.а>Ь}~
“быть больше”. Выполнить операции над R.
> R<jR = R-
RnR = R;
R\R = 0-
R [ = {(a, b): a<b} - “быть меньше”;
R =U\R= {(a,by.a<b} = TT’u E-“быть не больше”,где
Е - тождественное отношение, Е = {(a, Ь}: а = Ь}',
R°R = /?(2) = {(a, by <7-1 > Ь} - “быть больше по крайней
мере на 2”;
R° = R (так как R транзитивно);
R* = R° u Е = {(a, by а > b или а = Ь} = {(а, Ь): а>Ь}~
“быть не меньше”.
Пример 4. Пусть отношение R на множестве точек дей-
ствительной плоскости - “находиться на одинаковом рас-
стоянии от начала координат”. Каков содержательный
смысл отношений 7?_| и R ? Определить соотношения меж-
ду отношениями R, 7?'1 и R . Каковы свойства отношений?
> R' = {(а, Ь): bRa}. Так как заданное отношение R сим-
метрично, т.е. для любых a,b е М aRb влечет b R а, то 7Т1 = R -
“находиться на одинаковом расстоянии от начала координат”.
R = U\R, т.е. соответствует отношению “находиться на
разном расстоянии от начала координат”; U = МхМ.
60
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
Очевидны следующие соотношения: 7? п 7? = 0; R о R=U.
Кроме того, R = R[. поэтому R п Л-1 = 0, R и R~' = U, а
также RA n R - R, Rt1<j R = R.
Отношения R и R~' - рефлексивны, симметричны, тран-
зитивны. Отношение R- антирефлексивно, симметрично,
нетранзитивно.
Пример 5. Пусть R{ и Т?2 - отношения на N:
Ri = {(а, b): b = а + 2; a,b е N},
R2 = {(a, b): b = a2; a,b е N}.
Определить составные отношения R°R2, R2°RV
= 7?,(2), R2°R2 = Rf\ R®, RW.
> R\°R2 - {(я, by. (a, c) e R}‘, (c, b) e R2, a,b,c e N} =
= {(a, b): c = a+2; c2 - b; a,b,c e N}.
Таким образом: R{°R2 = {(a, by (a+2)2 = b; a,b e 7V} =
= (1,9), (2, 16), (3,25), (4,36),...
Аналогично: R2°R{ = {(a, b)\ a2+2 = b, a,b e N} =
= (1,3), (2, 6), (3,11), (4, 18),...
R™ = R^ = {(a, by. a+4 = b;aj>eR} =
= (1,5), (2, 6), (3,7), (4, 8),...
7?/2’ = R2°R2 = {(a, b): a* = b;a,beN} =
= (1,1), (2,16), (3,81),...
= {(a, b): a+2n = b\ a,b e N} =
= (1,2и+1), (2, 2n+2), (3, 3w+3),...
T?2(n) = {(a, b): a2"= b-, a,b e N} =
= (1,1), (2, 4”), (3,9”), (4,16"),...
Пример 6. Пусть Р(Л/) - множество всех подмножеств,
составленных из элементов множества М = {а, Ь}. Задать
списком отношение R = {(А, В): А с В) - “являться строгим
включением”, определенное на $(М), а также R~l, R , R°, R*.
> P(M)={0,{a},{b},{a,b}}.
R= {(A, B): AcB)- “являться строгим включением”;
R = {(0, {a}); (0, {b})- (0,{a, b)); ({a}, {a, b}); ({b}, {a, b})}.
Rrl = {(Л, By. AzjB} - “строго включать”;
V = {({a}, 0)- ({b}, 0); ({a, b}, 0); ({a, b}, {a}); ({a, b} {b})}.
R = {(A, B): A<zB} - “не являться строгим включением”;
61
J 2.4. Операции над бинарными отношениями
л = { (0, 0); ({а}, 0); ({а}, {а}); ({а}, {/>}); ({Ь}, 0);
({6}, {а}); ({Ь}, {Ь}\, ({а, Ь}, 0); ({а, Ь}, {а}У, ({а, Ь}, {&});
({а, Ь},{а, Ь})}.
R° = R= {(А, В): А с В} - “являться строгим включени-
ем” (так как R транзитивно);
В* = R° u Е = R + Е = {(А, В): А с В или А = В} =
= {(А, В): А с В} - “являться нестрогим включением”;
В* = {(0, 0); (0, {а}); (0, {А}); (0, {а, Ь}У, ({а}, {а})-,
({а}, {а, Ь}у ({/>}, {Ь}У, ({/>}, {а, 6}); ({а, Ь}, {а, Ь})}.
Пример 7. Пусть на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
определено отношение В, - “быть сы-
ном”, графически проиллюстрирован- 1 q
ное рис. 2.10. Исходя из данных рисун-
ка, задать матрицами отношения В, -	3
“быть сыном” и В2 - “быть сыном или W уМ.
внуком”, т.е. “быть прямым потомком / \	/	\
по мужской линии” на множестве М. А	О О О О
Убедиться (используя определение I	5 6	7 8
транзитивного замыкания) в том, что
транзитивным замыканием отношений	Рис. 2.10
В]0 и В2° является отношение В2 - “быть
прямым потомком”, т.е. R° = R° = Rr Определить свойства
отношений.
> Матрицы отношений R, и В2 приведены на рис. 2.11.
Списки элементов отношений В1 и В2 (исходя из рис. 2.10
или матриц рис. 2.11) включают:
В. = {(2, 1), (3,1),
(4, 2), (5, 2), (6, 3),
(7, 3), (8, 3};
В2={(2,1), (3,1),
(4, 2), (5, 2), (6, 3),
(7, 3), (8, 3}; (4, 1),
(5, 1), (6, 1), (7, 1),
(8,1)}-
В соответствии с
определением I тран-
Рис. 2.11
зитивного замыкания, если существует в Мэлемент с, такой,
62
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
что (а, с) е R и (с, 6) е R, то пара (а, Ь) должна принадлежать
транзитивному замыканию R°, т.е.
если (а, с) е 7? и (с, b) е R, то (<я, 6) е Л°; a,b,c е М. (2.1)
Воспользуемся этим определением для формирования пар
транзитивного замыкания R°, анализируя список пар исход-
ного отношения Л, (в табл. 2.4 отражены случаи нарушения
транзитивности в 7?.).
Таблица 2.4
Имеется	Отсутствует	Имеется	Отсутствует
(4, 2); (2, 1) (5, 2); (2, 1) (6, 3); (3, 1)	(4, 1) (5, 1) (6, 1)	(7, 3); (3, 1) (8,3); (3, 1)	(7, 1) (8,1)
Других нарушений транзитивности, т.е. условия (2.1), нет.
Добавив в список пар отношения 7?1 полученные пары
{(4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (8, 1)} (и соответствующие им
единицы - в матрицу 7?,), убеждаемся в том, что полученное
отношение R}' совпадает с Т?2 - “быть сыном или внуком”
(“быть прямым потомком”) на множестве М. Кроме того,
нетрудно убедиться (проверить самостоятельно!), что:
7?I' = 7?]u7?1o7?1=7?,u7?/2).
Аналогичная проверка выполнимости условия (2.1) для
полученного списка 7?' (совпадающего с отношением Т?2) не
выявляет нарушений транзитивности (проверить самостоя-
тельно!), т.е. данный список 7?,' (отношение Т?2) представля-
ет транзитивное отношение наМ. Это означает, что:
а)	в соответствии с правилом (процедурой) вычисления тран-
зитивного замыкания (см. начало параграфа) полученный спи-
сок 7?,' является транзитивным замыканием отношения R,:
= 7?.'
(если бы в полученном списке оказались новые нетранзи-
тивности, т.е. не выполнялось условие (2.1), то рассмотрен-
ная процедура выявления всех нетранзитивностей должна
быть повторена,	Таблица 2.5
список вновь по- лученных пар вне- сен в предыдущий список и т.д. до получения списка,	Отношение	Реф- лек- сивное	Анти- рефлек- сивное	Сим- метри- чное	Анти- симмет- ричное	Тран- зитив- ное
		-	X	-	X	-
		-	X	-	X	X
£ 2.4. Операции над бинарными отношениями
63
в котором нетранзитивности отсутствуют, т.е. для которого
выполняется условие (2.1));
б)	отношение 7?, транзитивно, следовательно:
7?°=7?2.
Таким образом, R° = R^ = Rr
Свойства отношений 7?°, = R° = Т?2 приведены в табл. 2.5.
Пример 8. На рис. 2.12 схематично представлено распо-
ложение офисов семи подразделений (компаний), располо-
женных на двух этажах. Выполнить условия предыдущего
примера для отношений (рис. 2.12) R, - “иметь общую сте-
ну“ (“работать в соседнем офи-
се”) и R2 - “находиться на одном
этаже”, определенных на множе-
стве офисов М = {1, 2, 3, ..., 7}.
Сформулировать правила получе-
ния списка элементов транзитив-
ного замыкания и построения
II этаж	1	2	3
I этаж	4	5,6	7
Рис. 2.12
матрицы транзитивного замыкания нетранзитивного отно-
шения . Определить свойства отношений.
> Матрицы отношений R{ и Т?2, построенные на основа-
нии рис .2.12, приведены на рис. 2.13.
Списки пар элементов из М, принадлежащих отношени-
ям R} и Т?2, исходя
из рис. 2.12, имеют
вид:
/?, = {(!,2),(2,1),
(2, 3), (3, 2), (4, 5),
(4, 6), (5, 4), (5, 7),
(6, 4), (6, 7), (7, 5),
(7,6)};
Т?2= {(1,1), (1,2),
(1,3), (2, 1), (2, 2),
(2,3),(3, 1),(3,2),
R{ 1 2 34567
10 10 0
2 10 10
3 0 10 0
4 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 0
0 0 1
0 0 1
1 1 о
*2
1
2
3
4
5
6
7
1234567
1110000
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1
0001111
0001111
0 0 0 1 1 1 1
Рис. 2.13
(3, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7) (5, 4), (5,5), (5,6), (5,7), (6,4),
(6, 5), (6, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 7)}.
Воспользуемся условием (2.1) предыдущего примера для
формирования пар элементов из М, требующих включения
5 0 0 0 1
6 0 0 0 1
7 0 0 0 0
64	Глава 2 ОТНОШЕНИЯ
в транзитивное замыкание R°. Проанализируем список пар
исходного отношения R{, обращая внимание на нарушения
транзитивности в 7?р (табл. 2.6). Других нарушений тран-
зитивности (условия (2.1)) нет.
Таблица 2.6
Имеется	Отсутствует	Имеется	Отсутствует
(1,2) и (2,3)	(1,3)	(2, 1) и (1,2)	(2, 2)
(3, 2) и (2, 1)	(3, 1)	(3, 2) и (2, 3)	(3,3)
(4, 5) и (5, 7)	(4, 7)	(4, 5) и (5, 4)	(4, 4)
(5, 4) и (4, 6)	(5,6)	(5, 4) и (4, 5)	(5,5)
(6, 4) и (4, 5)	(6, 5)	(6,4) и (4,6)	(6, 6)
(7, 5) и (5, 4)	(7, 4)	(7,6) и (6,7)	(7, 7)
(1,2) и (2, 1)	(1, 1)		
Добавив в список пар отношения R, полученные пары
{(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 4), (4, 7), (5, 5), (5, 6),
(6, 5), (6, 6), (7,4), (7, 7)} (и соответствующие им единицы в
матрицу 7?,), получаем отношение R{, которое:
а)	совпадает с R2 - “находиться на одном этаже” на мно-
жестве Л/;
б)	совпадает с объединением отношения R{ и его состав-
ного отношения R^Ry (проверить самостоятельно!):
R}' = R^R°R} = R^R}m.
Аналогичная проверка выполнимости условия (2.1) для
полученного списка 7?/ (совпадающего с отношением Т?2) не
выявляет нарушений транзитивности (проверить самостоя-
тельно!), т.е. данный список R}' (отношение Т?2) представля-
ет транзитивное отношение на М.
Это означает, что:
•	полученный список 7?^ является транзитивным замыка-
нием для 7?]-. 7?1° = 7?1'.
•	отношение Т?2 транзитивно, следовательно, R° = R2.
Таким образом,
_>5 о II >5 О II >3		Таблица 2.7				
Свойства от- ношений 7?р R° = = Т?2° = Т?2 сведены в табл. 2.7.	Отношение	Реф- лек- сивно	Анги- рефпек- сивно	Сим- мет- рично	Анти- симмет- рично	Тран- зитив- но
		-	X	X	-	-
		X	-	X	-	X
§2 4. Операции над бинарными отношениями
65
Пример 9. Пусть М= {a, b. с, d. e,f g}, отношение R на М
задано графически на рис. 2.14. Вычислить транзитивное за-
мыкание отношения R с исполь-
зованием процедуры, описан-
ной в предыдущем примере.
> Зададим отношение R
списком и, воспользовавшись
алгоритмом вычисления транзи-
тивного замыкания, выполним
ряд итераций над элементами
списка для определения нетран-
зитивностей. Процедуру повторяем до тех пор, пока в оче-
редном списке нетранзитивностей не окажется:
Я = {(a, b), (b, с), (с, d). (d, е), (f g), (g, <?)}.
В табл. 2.8 (слева) указаны случаи нарушения транзитив-
ности. Других нарушений транзитивности (условия (2.1) при-
мера 7) нет.		Таблица 2.8		
Добавив	Имеется	Отсутствует	Имеется	Отсутствует
в список пар	(а, Ь) и (Ь, с)	(а, с)	(а, Ь) и (b, d)	(а, d)
отношения	(Ь, с) и (с, d)	(b, d)	(а, с) и (с, е)	(а, е)
R выявлен- ные пары	(с. d) и (d. е) (f g) и (g, е)	(с, е) de)	(Ь, с) и (с, е)	(й. е)
{(а, с), (b, d), (с, е), (J, е)} (и соответствующие им единицы -
в матрицу R), получаем отношение
R' = {(а, Ь), (а, с), (Ь, с), (6, d), (с, d), (с, е), (d, е), (f, g),
«, е), (g, е)}.
Матрицы отношений R и R' приведены на рис. 2.15. Про-
верка полученного отношения R' на транзитивность (выпол-
R
а
b
с
d
е
f
g
0	1	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	1
0	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	0 0	0
0	0	1	1	0 0	0
0	0	0	110	0
0	0	0	0	10	0
0	0	0	0	0 0	0
0	0	0	0	10	1
0	0	0	0	10	0
R"
а
b
с
d
е
f
g
0 11110 0
0 0 1110 0
0	0	0	1	1	0	0
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	1	0	1
0	0	0	0	1	0	0
а b с d е f
a b с d е f
Рис. 2.15
66	Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
нимость условия (2.1)) отражена в табл. 2.8 (справа). Дру-
гих нарушений транзитивности (условия (2.1)) нет.
Добавив в список пар отношения R' выявленные пары
{(u, d), (а, е), (Ь, е) (и соответствующие им единицы в матри-
цу У?'), получаем отношение
R" = {(a, b), (а, с), (a, d), (а, е), (b. с), (b, d), (b, е), (с, d),
(с, е), (d, е), ( f g), (f е), (g, е)}.
Матрица отношения R" приведена на рис. 2.15. Проверка
полученного отношения R" на транзитивность не обнаружива-
ет нарушений транзитивности. Таким образом, R" транзитив-
но, т.е. получено транзитивное замыкание R° отношения R:
R° = R" = {(а, b), (а, с), (a, d), (а. е), (b, с), (b, d), (b, е),
(с, d), (с, е), (d, е), (f g), (f е), (g, е)}.
К такому же результату можно прийти, используя опреде-
ление II транзитивного замыкания
R° = R и R(\j ...<j R^ ...
(и данное выше правило вычисления транзитивного замы-
кания). Действительно, нетрудно убедиться (проверить са-
мостоятельно!), что:
R' = R u R°R = R и Я(2).
R" = R'<J R'°R' = R'<j R'™
Доказано *, что для любого отношения R, если R и 7?(2)
обозначить через R', то
R' и /?'(2)= Ru WKj R^KjR^ = R".
Так как последующая проверка условия (2.1) показывает,
что новые нетранзитивности не выявляются, т.е.
R"oR"m= R",
то для всех п > 4 имеет место: 7?(и) = 0. Таким образом,
R° = R u R^u ... и ... = R u 7?<2Ъ R^ = R".
Кроме того, отсутствие нетранзитивностей в R" при про-
верке условия (2.1) показывает, что процедура вычисления
транзитивного замыкания отношения R закончена и R° = R”.
Пример 10. Пусть на множестве чисел М= {1,2,3,4,5,6}
определено отношение R - “отличаться на 2”. Используя пра-
вило получения транзитивного замыкания, определить реф-
лексивное замыкание R* списком и матрицей.
* См. [3. ч 1, гл 3, § 4, утверждение 15].
/ 2.4. Операции над бинарными отношениями
67
> R = {(a, b): a+2 = b или а = Ь+2} - “отличаться на 2”.
Зададим отношение R списком и, воспользовавшись ал-
горитмом вычисления транзитивного замыкания, выполним
ряд итераций над элементами списка для определения не-
транзитивностей. Процедуру продолжаем до тех пор, пока в
очередном списке нетранзитивностей не окажется.
R = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)}.
Результаты проверки отражены в табл. 2. .9 Других нару-
шений транзитивности (условия (2.1) примера 7) нет.
Таблица 2. 9
Имеем	Отсутствует	Имеем	Отсутствует
(1,3) и (3, 1)	(1, 1)	(4,2) и (2,4)	(4, 4)
(1,3) и (3,5)	(1,5)	(5, 3) и (3, 1)	(5, 1)
(2, 4) и (4, 2)	(2, 2)	(5, 3) и (3, 5)	(5, 5)
(2,4) и (4,6)	(2, 6)	(6,4) и (4,2)	(6, 2)
(3, 1) и (1, 3)	(3, 3)	(6,4) и (4,6)	(6, 6)
Добавив в список пар отношения R найденные пары
{(1, 1), (1, 5), (2, 2), (2, 6), (3, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 5), (6, 2),
(6,6)} (и соответствующие им единицы в матрицу /?,), полу-
чим отношение
R' = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3),
(3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}.
Матрицы отношений R и R' приведены на рис. 2.16. Про-
верка полученного отношения R' на транзитивность не об-
наруживает нарушений транзитивности, т.е. R° = R'. Так как
полученное транзи-
тивное замыкание R°
рефлексивно (в его
матрице на главной
диагонали стоят еди-
ницы), то оно совпа-
дает с рефлексивным
замыканием R*, т.е.
R* = R° = R'.
R' 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
Рис
10 10
0 10 1
10 10
0 10 1
10 10
0 10 1
R
1 2 3 4 5 6
1 1 0
2 0 1
3 1 0
4 0 1
5 1 0
6 0 1
2 ’6
68
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
Пример 11. Пусть на множестве чисел М= {1,2,3,4,5,6}
определено отношение R. Задать матрицами отношения R.
R R°, R*, если R означает соответственно:
1. R- “быть меньше”;
2. R2- “отличаться на 1”;
3.7?3- “иметь общий делитель, отличный от 1”.
Сформулировать правила получения матриц соответству-
ющих отношений по исходной матрице отношения R.
> 1. Отношение R} - “быть меньше <”: антирефлексивно,
антисимметрично, транзитивно. Воспользуемся результата-
ми выполнения унарных операций над указанным отноше-
нием, полученными в примере 2:
7?, = {(а, by а< Ь} - “быть меньше”;
R} = {(а, by а>Ь}~“бытьне меньше”;
Т?^1 = {(а, by. а>Ь} - “быть больше”.
Если У?, означает, по существу, - “быть меньше по край-
ней мере на 1”, то составное отношение:
7?^7?! = 7?](2) = {(a, by (а - 1) < Ь} - “быть меньше по край-
ней мере на 2”.
Наконец, в силу транзитивности отношения 7?,:
R° = 7?, = {(а, Ь): а< Ь} - “быть меньше”;
Л,	1 2		3	4	5	6		1 2		3	4	5	6	v	1 2		3	4	5	6
1	0	1	1	1	1	‘1	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	1	1	1	2	1	1	0	0	0	0	2	1	0	0	0	0	0
3	0	0	0	1	1	1	3	1	1	1	0	0	0	3	1	1	0	0	0	0
4	0	0	0	0	1	1	4	1	1	1	1	0	0	4	1	1	1	0	0	0
5	0	0	0	0	0	1	5	1	1	1	1	1	0	5	1	1	1	1	0	0
6	0	0	0	0 1)	0	0	6	1	1	1	1 б)	1	1	6	1	1	1 в	1	1	0
Я®	1	2	3	4	5	6	Я,0	1	2	3	4	5	6		1	2	3	4	5	6
1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	0	0	0	1	1	1	2	0	0	1	1	1	1	2	0	1	1	1	1	1
3	0	0	0	0	1	1	3	0	0	0	1	1	1	3	0	0	1	1	1	1
4	0	0	0	0	0	1	4	0	0	0	0	1	1	4	0	0	0	1	1	1
5	0	0	0	0	0	0	5	0	0	0	0	0	1	5	0	0	0	0	1	1
6	0	0	0	0 г)	0	0	6	0	ООО д) Рис. .2.17			0	0	6	0	0	0 0 е)		0	1
2.4. Операции над бинарными отношениями
69
R* = R° и Е = 2?1 и Е = {(а, Ь): а<Ь} - “быть не больше”.
Матрицы отношений R}, Rt, R~', R®, R°, R* приведе-
ны на рис. 2.17.
2. Отношение R2 - “отличаться на 1”: антирефлексивно,
симметрично, но не транзитивно:
R2 = {(а, Ь)‘. а +1 = b или а = b +1} - “отличаться на 1”.
ly = {(a, by. а +1 Ф b и а Ф b +1} - “не отличаться на 1”.
В силу симметричности отношения /?2
R~x -R2 = {(a, by а+1 = b или а = b +1} -“отличаться на 1”.
R2°R2 = R™ = {(a, by а +2= b или b +2 = а или а = Ь} -
“отличаться на 2 или не отличаться”;
Т?2° = {(a, by a, b & М} = U, где U=Mx М- полное отно-
шение.
R* = R° u E=U- полное отношение.
Матрицы полученных отношений приведены на рис. 2.18.
^1	1 2 3 4 5 6	1 2 3 4 5 6 ^-'	1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 R21	0	1	0	0	0	0	1 1	0	1	0	0	0	2 0	10	10	0	3 0	0	10	10	4 0	0	0	1	0	1	5 0	0	0	0	1	0	6 а) 1 2 3 4 5 6 ^"	10 1111	1 0 10 111	2 10 10 11	3 110 10 1	4 1110 10	5 11110 1	6 б) 1 2 3 4 5 6 Л/	0 1 0 0 0 0 10 10 0 0 0 10 10 0 0	0	10	10 0	0	0	1	0	1 0	0	0	0	1	0 в) 1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6	1 0 1 0 0 0	1 0	10	10	0	2 10 10 10	3 0	10	10	1	4 0	0 10 10	5 0	0 0	1 0	1	6 г)	111111 1 111111 2 111111 3 111111 4 111111 5 111111 6 д) Рис. .2.18	111111 111111 111111 111111 111111 111111 е)
3. Отношение /?3 - “иметь общий делитель, отличный от
1”: не рефлексивно, симметрично, не транзитивно.
7?3 = {{a, by а, Ь имеют общий делитель, отличный от 1} =
= {(а, Ь): существует п е М, п Ф 1, что а/п, Ь/пеМ}.
70
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
R. - {(а, Ь): а, b не имеют общего делителя, отличного от
1} = {(a, by. не существует п е М, п * 1, что Ып, Ып & М}.
В силу симметричности отношения R3:
R3~' = R3 = {(a, b): b, а имеют общий делитель, отличный
от 1} = {(а, by существует п 6 М, п * 1, что Ып, ain е М}.
R3°R3 = R32} = {(а, by существует с в М, что а, с и с, b
имеют общий делитель, отличный от 1} = {(а, by. существу-
ют с е Ми п}, п, е М, что Ыпх, с/п{, dnv Ып3 е М}.
В соответствии с определением II транзитивного замыка-
НИЯ:	Ra = R<jR^KjR^<J ...\jRw<j ...
Но для данного отношения имеет место R3 о 2?3(2) = Ry2\
так как R3 с /?3(2) (см. матрицы на рис. 2.19: а,г) и 7?3(2) - тран-
зитивно (проверить самостоятельно). Поэтому:
R° = R3<J Ry2' u Rjv u ... о Rd\j ...= R} о R 3(2) = 7?3(2);
R3' = R3C u E.
Матрицы отношений 7?3,7?3, R3 7?3(2), 7?3°, R3* представле- ны на рис. 2.19.											
^1	1 2	3 4	5 6	Ы	1 2	3 4	5 6		1 2	3 4	5 6
1	0 0	0 0	0 0	1	I I	1 1	1 1	1	0 0	0 0	0 0
2	0 1	0 1	0 1	2	1 0	1 0	1 0	2	0 1	0 1	0 1
3	0 0	1 0	0 1	3	1 1	0 1	1 0	3	0 0	1 0	0 1
4	0 1	0 1	0 1	4	1 0	1 0	1 0	4	0 1	0 1	0 1
5	0 0	0 0	1 0	5	1 1	1 1	0 1	5	0 0	0 0	1 0
6	0 1	1 1 а)	0 1	6	1 0	0 0 б)	1 0	6	0 1	1 1 в)	0 1
r®	1 2	3 4	5 6		1 2	3 4	5 6		1 2	3 4	5 6
1	0 0	0 0	0 0	1	0 0	0 0	0 0	1	1 0	0 0	0 0
2	0 1	1 1	0 1	2	0 1	1 1	0 1	2	0 1	1 1	0 1
3	0 1	1 1	0 1	3	0 1	1 1	0 1	3	0 1	1 1	0 1
4	0 1	1 1	0 1	4	0 1	1 1	0 1	4	0 1	1 1	0 1
5	0 0	0 0	1 0	5	0 0	0 0	1 0	5	0 0	0 0	1 0
6	0 1	1 1 г)	0 1	6	0 1 Рис.	1 1 д) 2.19	0 1	6	0 1	1 1 е)	0 1
Правила построения матриц отношений R,
R~l, R(2\ R°, R‘ по известной матрице отношения 7?:
2.4. Операции над бинарными отношениями	71
•	Матрица дополнения R-в матрице исходного отноше-
ния R заменить единицы нулями, а нули - единицами.
•	Матрице обратного отношения R } - проставить в ней
единицы, симметричные (относительно главной диагонали)
соответствующим единицам исходной матрицы. Очевидно,
что матрица симметричного отношения совпадает с матри-
цей его обратного отношения.
•	Матрица составного отношения Rt2>- для каждой еди-
ницы исходной матрицы отношения R, принадлежащей z-й
строке, например единицы ву-й компоненте, т.е. для с = 1, в
z-й строке вычисляемой матрицы проставить единицы в тех
к-х компонентах, в которых имеются единицы в у-й строке
исходной матрицы (см. поясняющий рис. 2.6).
•	Матрица транзитивного замыкания R' нетранзитивного
отношения R- выполнить серию (одну или более)итераций,
заключающихся в следующем:
а)	для каждой единицы исходной матрицы отношения R,
принадлежащей z-й строке, например единицы ву-й компо-
ненте, т.е. для c:j = 1, в z-й строке вычисляемой матрицы про-
ставляются единицы в тех к-х компонентах, в которых име-
ются единицы в z-й строке, а также ву-й строке исходной
матрицы (см. поясняющий рис. 2.6);
б)	полученную матрицу отношения R-uR^R = R^J#2' при-
нимают за исходную и повторяют процедуру а), выполняя
таким образом следующий цикл вычислений (построения
матрицы), и т.д. до тех пор, пока матрица не перестанет из-
меняться, т.е. пока в некотором цикле вычислений исходная
и вычисленная матрицы не совпадут.
Очевидно, что матрица транзитивного замыкания R° со-
впадает с матрицей исходного отношения R, если отноше-
ние Rтранзитивно.
•	Матрица рефлексивного замыкания R' -построить
матрицу транзитивного замыкания (см. выше), а затем в
полученной матрице заменить нули на главной диагона-
ли, если таковые имеются, на единицы. Очевидно, что
если отношение R рефлексивно, матрица рефлексивного
замыкания R’ совпадет с матрицей транзитивного замы-
кания R°.
72
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
R
а b с
1 0
о о
1 о
о
1
о
а
b
с
Рис. 2.20
Пример 12. Каковы свойства отношения R, за-
данного матрицей на рис. 2.20? Выполнить опера-
ции над R.
г* Отношение R = {(а, Ь), (Ь, а), (с, />)}:
•	антирефлексивно (следовательно, нерефлек-
сивно), так кг/ на главной диагонали только нули;
•	не симметрично, поскольку имеется cRb, но нет bRc,
•	не антисимметрично, так как имеются aRb и симмет-
ричная пара bRa-,
•	не транзитивно, поскольку, например, имеются cRb и
bRa, но нет cRa.
Выполним операции над R = {(а, Ь), (Ь, а), (с, />)}:
RyR = R- RryR = 0- R\R = 0:
R = U \ R= {(a, a), (a, c), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c)} (cm.
матрицу на рис. 2.21, а);
R~1 = {(a, b), (b, a), (b, с)} (см. матрицу на рис. 2.21, б).
а b с
а 1 0 1
b 0 1 1
с 1 0 1
R'	а b с
а b с	0 1 0 1 0 1 ООО
7?2>	а b с
а	1 0 0
b	0 1 0
с	1 0 0
а110
b 1 1 0
с 1 1 0
/?°аЬс/?*аЬс
а110
b 1 1 0
с 1 1 1
а)	б)	в)	г)	д)
Рис. 2.21
Для получения транзитивного замыкания R° выполним про-
цедуру выявления нетранзитив-
ностей для исходного отношении
R = {(о, Ь), (Ь, а), (с, Ь)}. Обнару-
женная нетранзитивность отраже-
на в табл. 2.10. Других нарушений
транзитивности (условия (2.1)
Таблица 2.10
Имеем	Отсутствует
(а, Ь) и (Ь, а)	(а, а)
(Ь, а) и (а, Ь)	{Ь, Ь)
(с, Ь'} и (Ь, а)	{с, а)
примера 7) нет.
Полученные пары представляют составное отношение
R°R =	= {(a, a), (b, b), (с, a)}. Матрица R°R = R<2> приведе-
на на рис. 2.21, в.
Добавив пары {(а, а), (Ь, Ь), (с, я)} к R, получим:
R' = R и Rm = {(а, а), (а, Ь), (Ь, а), (Ь, Ь), (с, а), (с, Ь)}.
£ 2.4. Операции над бинарными отношениями	73
Проверка на транзитивность отношения R' не выявляет в
нем нарушений транзитивности, поэтому:
R° = R' = {(а, а), (а, Ь), (Ь, а), (Ь, Ь), (с, а), (с, Ь)}
(см. матрицу на рис. 2.21, г);
R" = R° о Е = {(а, а), (а, Ь), (Ь, а), (Ь, Ь), (с, а), (с, Б), (с, с)}
(см;матрицу на рис. 2.21, д).	Таблица 2.11						
свойства ис- ходного и полу- ченных отноше- ний после выпол- нения унарных операций над R приведены в табл. 2.11.	Отношение	Реф- лек- сивное	Анти- рефлек- сивное	Сим- метри- чное	Анти- симмет- ричное	Тран- зитив- ное
	R	-	X	-	-	-
	R	X	-	-	-	-
	R-'	-	X	-	-	-
	R™	-	-	-	X	-
	R°	-	-	-	-	X
	R‘	X	-	-	-	X
Упражнения
1.	Назвать отношения R , R ', R(2\ R°, R', если отношение
R означает:
а)	“быть братом”,	в) “жить в одном городе”,
б)	“быть сыном”,	г) “быть частью целого”.
Каковы свойства отношений?
2.	Пусть на множестве М= {1, 2, 3, 4} определено отно-
шение R - “быть больше”. Выполнить операции над отно-
шением 7?; задать полученные в результате операций отно-
шения характеристическим свойством, списком, а также на-
звать отношения. Сравнить отношения; определить их
свойства.
3.	Пусть Р(Л/) - множество всех подмножеств, составлен-
ных из элементов множества М= {а, Ь, с}. Задать_списком
отношение R, определенное на 0(Л7), а также R~', R , R°, R',
если R означает:
а)	“являться нестрогим включением с“;
б)	“быть дополнением к”;
в)	“пересекаться с”.
4.	Пусть отношения R}, Rv R3, заданные на N:
R} = {(a, b): а < b}, R, = {(a, b): а = b], R3 = {(а, Ь): а>Ь}.
Выполнить операции над R ,R ,R .
74
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
5.	Пусть 7?! и Т?2 — отношения на N из примера 5. Опреде-
лить области определений и значений R и R... а также со-
ставных отношений R}°R2, 7?2°7?i,	^2(л>-
6.	Пусть M= {1,3, 5, 7} и отношение R с Мх М. Задать
списком отношение R, обратное отношение R дополне-
ние R , транзитивное R° и рефлексивное R' замыкания,
если:
a) R = {(а, by а < Ь}; ' г) R= {(a, b):(a + b-V)eM};
б) R = {(а, by.a + 2-b}', д) R = {(а, 6): а - 1 = Ь\:
в) R = {(а, by (а + 6)/2еЛ/}; е) R = {(а, Ь): 2а + ЬеМ].
1. Пусть М = {а, Ь, с} и Р(ЛУ) - множество всех подмно-
жеств множества М. Задать списком отношение R, заданное
на Р(Л7), а также отношения R , R~', R°, R', если:
a) R= {(A, By А а В}-, г)7? = {(А,В): АпВ*0};
6)R={(A,B): А а В}; a)R={(A,By АпВ = 0}:
в) 7? = {(Л, В): Л о В}; е) 7? = {(А, В): А п В = 0 и
A<jB=U}.
8*. Пусть отношения RuS определены на М, где М-мно-
жество всех людей, следующим образом:
7? = {(a, by а является отцом b}, S= {(a, by а-дочь Ь}.
Описать следующие отношения:
a)7?<2);	6)S2);	в)7?°В; г) S° R;
jl)S°R-y e)B-'oS-,	з)^'о7?;
и) 5"° 5м; к) 7?-'° 7?-'.
9.	Используя отношения 7? и В упражнения 8, описать за-
мыкания отношений:
а) 7?°, б) S°, в) 7?’,
е) (тг^ву,
г) 5", д) QP, если Q = S ° 5й',
ж) G°, если G = В2)° 7?(2).
10.	Пусть на множестве М = {1, 2, 3
отношение R} - “быть непосредствен-
но связанным с”, графически проиллю-
стрированное рис. 2.22. Исходя из дан-
ных рисунка, задать матрицами отно-
шения 7?, - “быть непосредственно
связанным с” и Т?2 - “быть связанным
с” на множестве М. Убедиться (исполь-
зуя определение I транзитивного замы-
кания) в том, что транзитивным замы-
канием отношений Ry и Т?2° является
..., 11} определено
8 9 10	11
Рис. 2.22
2.4. Операции май бинарными отношениями
75
1		2		III этаж
3	4,5		6	II этаж
7	8		9,10	I этаж
отношение Я2 - быть связанным с”, т.е. R° = R° = Rr Опре-
делить свойства отношений.
11.	Пусть на рис. 2.23 схе-
матично представлено распо-
ложение квартир на трех эта-
жах, в которых проживают 10
человек: М= {1, 2, 3, ..., 10}.
Выполнить условия предыду-
щего упражнения для отно-
шений Я] - “иметь общую
стену” и Я2 — “находиться на
одном этаже”, определенных на множестве М.
12.	Для отношений R, заданных в табл. 2.2, построить мат-
рицы, задав 6-8 элементов множества М: R с Му М. Выпол-
нить унарные операции над отношениями и определить свой-
ства полученных отношений. К какому типу отношений от-
носятся последние? 13. Отношение R на множест с, d} задано матрицей на рис. 2 свойства отношения Я? Почем) Я нетранзитивно? Как будет вы рица его транзитивного замыка Какова матрица рефлексивног Я’ отношения Я? 14. Пусть Я] и Я2 - от- ношения наЛ/= {а, Ь, с, d},	. г ,	, R вем = Ь, 	 .24. Каковы а отношение глядеть мат- ния Я0?	с о замыкания d а b с d R2	abed 1111 0 0 11 0 111 0 10 0 Рис. 2.24 abed
заданные матрицами. Осу- а ществить операции над отношениями Я! и Я2 (рис. 2.25).	с Определить свойства ис- d ходных и полученных отно-	0 10 0а 10 10b 0 110с 1 0 0 0 d Рис. 2.25	0 10 0 10 0 1 0 0 0 0 0 10 0
шений.
15.	Пусть отношение R с М х Л/задано матрицей, М =
= {1,2, 3,4} (рис. 2.26, варианты а- в). Определить матрицы
отношений R, R ,Rr', RP\ R°,R\ Каковы свойства исходных и
полученных отношений?
16.	Пусть отношениеRcM*M, М= {1,2, 3,4, 5}, задано
матрицей (рис. 2.27, варианты а - в). Вычислить матрицу тран-
76
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ
R	1 2 3 4	R	1 2 3 4 5	R	12 3 4
1 2 3 4	0	10	0	1 0	0 0	1	2 110 0	3 0	10	0	4 5 а)	10	0	10	1 0 10	0 1	2 0 0	1	0 0	3 10	0	10	4 0 110 1 б)	10 10 0 10 1 0 0 10 0 10 1 в)
Рис. 2.26
зитивного замыкания R°, используя процедуру, полученную
в примере 11.
R	1	2	3	4	5	R	1	2	3	4	5	R	1	2	3	4	5
1	0	0	0	1	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	1	2	0	0	0	0	0	2	1	0	0	0	0
3	1	0	1	1	0	3	0	0	0	0	1	3	0	0	0	0	0
4	0	1	0	1	0	4	1	0	0	1	0	4	1	0	1	0	1
5	0	0	0	0	1	5	0	1	0	0	1	5	0	1	0	0	0
			а)				б) Рис. 2.27								в)		
Каковы свойства отношения 7? и его транзитивного замы-
кания А0?
17.	Каковы свойства отношений, заданных матрицами на
рис. 2.28?
R а b с
7? a b с 7? а b с
R а b с
а 0 1 О
b 1 0 1
а 1 0 1
b О О О
с 1 0 1
а 1 0 1
b 0 1 О
с 1 0 1
с 0 1 О
а)
б)
Рис. 2.28
в)
а	1	0	1
b	0	1	О
с	1	О	О
г)
К какому типу отношений относятся данные отношения?
Выполнить унарные операции над отношениями и опреде-
лить их свойства.
J 2.4. Операции над бинарными отношениями	77
18. Пусть/?] и/?2 — отношения наЛ/= {a, b, с, d}, заданные
матрицами (рис. 2.29, варианты а, б). Осуществить опера-
ции над отношениями R} и Rr Определить свойства исход-
ных и полученных отношений.
	а b с d R2	abed Л,	abed R2	abed
а b с d	0 10 0а 0 10 1b 110 0с 0 1 0 1 d	10	10	а 0	1	0 1	ь 0	0	10	с 0	10 1	d	10 11а 0 0 10b 0 0 11с 1 0 1 0 d	0 10 1 1 0 1 0 110 1 10 10
а)	б)
Рис. 2.29
Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ
Соответствие - способ задания взаимосвязей, взаимо-
действий между элементами множества (наряду с отноше-
ниями). Частными случаями соответствий являются функ-
ции, отображения, преобразования, операции и др.
§ 3.1. Соответствия и их свойства.
Основные определения
Соответствием между множествами А и В называется
подмножество G прямого произведения этих множеств:
G с А х В. Если (a, b} е G, то говорят, что “5 соответствует а
при соответствии G ”.
Область определения соответствия G - множество npt G =
= {а : (a, b) е G}, Область
значений соответствия G -
множество пр2 G = {Ь : (а, Ь)&
eG} (рис. 3.1).
Свойства соответствий
GcA х В :
•	Всюду (полностью) опре-
деленное соответствие - если
ПР] G = А. Частично опреде-
ленное соответствие - в про-
тивном случае.
•	Сюръективное соответствие - если пр, G = В.
Образом элемента а в множество В при соответствии G
называется множество всех b е В, соответствующих элемен-
ту а е А. Прообразом элемента b в множество А при соот-
ветствии G называется множество всех а е А, которым соот-
ветствует b е В.
Образом множества С с npj G называется объединение об-
разов всех элементов а е С. Прообразом множества D с пр2 G
называется объединение прообразов всех элементов b е D.
J' 3.1. Соответствия и их свойства. Основные определения JC)
•	Функциональное ('однозначное) соответствие - если об-
разом любого элемента а из области определения npjG явля-
ется единственный элемент h из области значений пр2 G.
*	Взаимно однозначное соответствие - если оно: а) всюду
определено; б) сюръективно; в) функционально; г) прообра-
зом любого элемента b из области значений пр2 G является
единственный элемент а из области определения npj G.
Если между множествами А и В существует взаимно од-
нозначное соответствие, то мощности этих множеств рав-
ны, т.е. |Л| = \В\. В таком случае говорят, что множества^ и В
равномощны. Этот факт позволяет:
•	установить равенство мощностей двух множеств, не
вычисляя этих множеств;
•	вычислить мощность множества, установив его взаим-
но однозначное соответствие с множеством, мощность ко-
торого известна или легко вычисляется.
Множества, равномощные множеству натуральных чи-
сел N, называются счетными. Множества, равномощные
множеству вещественных чисел R, называются континуаль-
ными.
Пример 1. Пусть G - множество всех пар действитель-
ных чисел (х, у), удовлетворяющих соотношению (х-3)2+
+(у - 2)2 < 1. Графически такое соответствие G представляет
собой круг радиуса 1 с центром в точке (3, 2). Таким обра-
зом, круг G задает соответствие между R и R (осью абсцисс
и осью ординат, рис. 3.2).
Определить, чему равны:
а)	образы и прообразы чи- у i i
сел 2, 3,4;	4
б)	образы и прообразы от- 3.. хТТХ G
резков [2, 3], [2, 4].	Zy///\
Каковы свойства соответ-	V//,?///
ствия G?	1--
> а) Образом числа 0	1 2	3 4 х
2епр16 (на оси абсцисс)	Рис. 3.2
при соответствии G (см.
рис. 3.2) является единственное число 2enp2G (на оси ор-
80
Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ
динат). Образ числа 3 при соответствии G есть множество
всех действительных чисел отрезка [1, 3], а образ числа
4 - число 3.
Прообразом числа 2 е пр2 G (на оси ординат) при соответ-
ствии G будет множество всех действительных чисел отрез-
ка [2, 4] с пр^ (на оси абсцисс), прообразом числа 3 при
соответствии G - число 3, а прообраза числа 4 при соответ-
ствии G не существует.
б) Образом множества чисел отрезка [2, 3] с пр, G являет-
ся объединение образов всех чисел отрезка, т.е. отрезок [1,
3] с np2G. Аналогично образом отрезка [2,4] будет отрезок
[1,3] при соответствии G.
Прообраз отрезка [2,3] при соответствии G - это отрезок
[2,4], а прообраз отрезка [2, 4] - также [2,4].
Если допустить, что соответствие G установлено на мно-
жестве действительных чисел, т.е. G с R х R, то оно являет-
ся:
•	частично определенным, так как nptG * R (np,G с 2?);
•	не сюръективным, поскольку np2G ф R ( пр2 G с 7?);
•	не функциональным, ибо для любого числа отрезка
[2, 4] = пр^ (кроме чисел 2, 4) отсутствует единственность
образа;
•	не взаимно однозначным, так как отсутствуют необхо-
димые условия: G не является всюду определенным на R, не
сюръективно, не функционально, а также для любого числа
отрезка [1,3] = пр2 G (кроме чисел 1, 3) отсутствует един-
ственность прообраза.
Если определить соответствие G с [2, 4] х [1, 3], то,
очевидно, оно будет всюду определенным и сюръектив-
ным, однако останется не
функциональным и не взаим- У 4
но однозначным.
Пример 2. Пусть G - мно- j
жество точек прямой линии,
удовлетворяющей соотноше-
нию х - 2 = у при х, у > 0 (рис.
3.3). Каковы свойства соответ-
ствия G?
12	3 4
Рис. 3.3
/ 3.1. Соответствия и их свойства Основные определения 81
> 1. Если соответствие G задано на множестве действи-
тельных чисел, т.е. G с R х R, то G:
•	частично определено, так как nptG = [2, оо) cz R-,
•	не сюръективно, поскольку пр2 G = R+ cz R, где R + =
= [0, оо] - множество всех положительных действительных
чисел с нулем;
•	функционально, ибо любому х из области определения
соответствует единственный у из области значений, т.е. для
соответствия G имеет место единственность образа для лю-
бого х 6 np,G;
•	не взаимно однозначно, так как не выполняются усло-
вия - всюду определенности и суръективности.
2.	В случае, если соответствие G задано на множестве R +
с нулем, т.е. G с J?+ х R+, тогда соответствие G:
•	частично определено, так как пр j G = [2, оо) и пр ] G с: 7? +;
•	сюръективно, поскольку пр2 G = R + ;
•	функционально;
•	не взаимно однозначно, так как не выполняется усло-
вие - всюду определенности.
3.	При G q [2, оо) х R + соответствие G:
•	всюду определено;
•	сюръективно;
•	функционально;
•	взаимно однозначно, так как наряду с выполнением пе-
речисленных выше условий имеет место также единствен-
ность прообраза для любого у е пр, G.
Пример 3. Англо-русский словарь устанавливает соответ-
ствие между множествами английских и русских слов. Ка-
ковы свойства этого соответствия?
> Данное соответствие не является:
•	всюду определенным (всегда можно найти английское
слово, не содержащееся в словаре);
•	сюръективным (по отношению русских слов, имеющих-
ся в словаре);
•	функциональным (одному английскому слову ставится
в соответствие, как правило, несколько русских);
•	взаимно однозначным (в силу предыдущего).
82
Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
Пример 4. Пусть множества 0(L7), где U= {а, Ь, с}, и В3
определены следующим образом:
Р(U) - множество всех подмножеств (булеан) множества
U= {а, Ь, с};
В3 - множество всех двоичных векторов длины 3, т.е.
В3 = А х А х А, где А = {0, 1}.
Показать, что между множествами 0(С7) и В3, где U= {а,
Ь, с} , имеет место взаимно однозначное соответствие.
> 0(СЭ = {0, {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь, с}};
lml=8.
В3 = {(ООО), (001), (010), (ОН), (100), (101), (ПО), (111)};
I В31 = 8
(для упрощения обозначений запятые между компонентами
векторов опущены).
Установим следующее соответствие G между множества-
ми из Р(П) и векторами из В3.
•	если в множестве из Р( U) присутствует элемент а, то в
соответствующем ему векторе из В3 первая компонента рав-
на 1, а если отсутствует - то 0;
•	если в множестве из P(t7) присутствует элемент Ь, то в
соответствующем ему векторе из В3 вторая компонента рав-
на 1, а если отсутствует - то 0;
•	аналогичное соответствие установим между элементом
с в множестве из P(LZ) и значением третьей компоненты век-
тора из Ву
Например, множеству {Ь} из Р(U) соответствует вектор
(010) из В3, множеству {а, с} - вектор (101) и т.д.:
G: 0 -> (000), {а} -> (100), {Ь} -> (010), {с} -> (001),
{а,	->(110), {л,с} ->(101), {Ь, с} ->(011), {а, Ь, с} ->
->(111).
Очевидно, что установленное таким образом соответствие
G является взаимно однозначным, так как выполняются все
условия для взаимно однозначного соответствия.
Пример 5. Каковы свойства соответствия между мно-
жеством N натуральных чисел и множеством М2„ степеней
двойки:
G = {(и, 2"-1); п е N, 2"~' е М?} с N х Л/2„ ?
£ 3.1. Соответствия и их свойства Основные определения 83
> Соответствие G взаимно однозначно:
•	всюду определено, так как nptG = N;
•	сюръективно, поскольку пр2 G = М2„,
•	функционально, так как любому пеХ’ соответствует
единственный образ 2й 1 е Л/2„;
•	характеризуется единственностью прообраза, ибо для
любого 2"“’ е М2„ существует единственное п eN.
Пример 6. Используя определение равномощности мно-
жеств, показать, что множество М2„ натуральных чисел, яв-
ляющихся степенями двойки, счетно.
> Для доказательства следует установить взаимно одно-
значное соответствие между множествами М п и N. Если каж-
дому натуральному п g N поставить в соответствие число
2п-1еЛ/2„, то установленное таким образом соответствие
G с А х М2„, очевидно, является взаимно однозначным (удов-
летворяет всем требованиям для взаимно однозначного со-
ответствия, см. пример 5) и представляет множество всех
векторов G = {(п, 2”'1): п е N}. А так как мощность множе-
ства Асчетна, то из установленной взаимной однозначности
между множествами N и М2„, согласно определению равно-
мощности бесконечных множеств, следует, что множество
М2„ также счетно.
Упражнения
1. Соответствия G- G8 определены графически на рис. 3.4.
84
Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ
Найти образы и прообразы: чисел 1, 2, 3, 4; отрезков
[2, 3], [1, 2], [2, 4], [3, 4], [3, 5]. Каковы свойства соответ-
ствий?
Примечание. Для ответа на последний вопрос определите множества
А и В: G с А х В
2. Каковы свойства соответствия G между множеством N
натуральных чисел и множеством М натуральных четных
чисел:
G с N х М2п; G = {(и, 2и): п е N, 2п е .
Используя определение равномощности множеств, пока-
зать, что множество М^п натуральных четных чисел счетно.
f 3. 2. Функции и отображения
85
§ 3.2. Функции и отображения
Функцией называется функциональное соответствие. Если
функция f устанавливает соответствие между множествами
А и В, то говорят, что функция имеет тип А—> В (обознача-
ется /: А —> В). Каждому элементу а из области определения
функция f ставит в соответствие элемент b из области зна-
чений. Это обозначается f (а) = Ь. Элемент а - аргумент
функции, элемент Ъ - значение функции на а.
Отображением А в В называется всюду определенная
функция f: А В. Отображением А на В называется
всюду определенное и при этом сюръективное функциональ-
ное соответствие f: А —> В.
Отображение типа А -> А часто называют преобразова-
нием множества А. Функция типа Л —> Л. являющаяся ото-
бражением Л на А, называется перестановкой на Л.
Таблица 3.1
Соответствие	Обязательное свойство		
	функциональное	всюду определенное	сюръективное
Функция	+		
Отображение А в В	Л-		
Отображение А на В	+		+
Функции fug равны, если:
•	их области определения - одно и то же множество Л,
•	для любого а е Л f(a) = g (а).
Функция типа /;АхА2х... х Ап—> В называется п-мест-
ной. В этом случае принято считать, что функция имеет п
аргументов: f(av ..., ап) = Ь, где а} е Лр ..., ап е Ап, b е В.
Пусть дано соответствие G с Л х В. Тогда соответствие
Hq В х А называется обратным к G (обозначается G-1), если
//таково, что (Ь, а) е Н тогда и только тогда, когда (a, Z>) е G.
Если соответствие, обратное к функции f:A->B, являет-
ся функциональным, то оно называется функцией, обрат-
ной к f (обозначается / ’). Для функции f:A-> В обратная
функция существует тогда и только тогда, когда f является
взаимно однозначным соответствием между своими облас-
тями определения и значений.
86
Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
Пусть даны функции f'. А —> В и g : В С. Функция
h : А С называется композицией функций fug (обозна-
чается f °g), если имеет место равенство
h(x)=g(f(x)), где хе А.
Часто говорят, что функция h получена подстановкой f
в g. Для многоместных функций f : Ат -> В, g : Вп С
возможны различные варианты подстановки f в g, дающие
функции различных типов. Например, при т = 3 и п = 4
функция h = g (xr f (yt,y2,y3), x3, x4) имеет шесть аргументов
и тип В х Ч3 х В1 С.
Функция, полученная из f, некоторой подстановкой
их друг в друга и переименованием аргументов, называется
суперпозицией f Выражение, описывающее эту супер-
позицию и содержащее функциональные знаки и символы
аргументов (и, разумеется, скобки), называется формулой.
Способы задания функции:
•	графиком;
•	таблицей;
•	формулой, описывающей функцию как суперпозицию
других (исходных) функций;
•	рекурсивной вычислительной процедурой. Например,
функция/(х) = 1 • 2 • 3 •... • (х-1) x-xl описывается рекур-
сивной вычислительной процедурой, задаваемой следующи-
ми правилами:
1)/(0)=1; 2)/(х+1) =/(х) • (х+1).
Пример 1. Таблица выигрышей лотереи устанавливает
соответствие G между парами чисел из N х N = N2 (серия,
номер выигравшего билета) и множеством выигрышей М,
т.е. GcN2x М. Является ли заданное соответствие функци-
ей, и если - да, то какой?
>	Соответствие G cz N 2х М, задаваемое таблицей выиг-
рышей, является функциональным, так как для каждой ука-
занной пары из N2 (серии, номера билета) определен конк-
ретный (единственный) выигрыш из М. Таким образом, дан-
ное соответствие есть двухместная функция f-.N kN М.
Функция такого типа не всюду определена, значит не явля-
§32 Функции и отображения
87
ется отображением. Более того, как правило, число выигр ав-
ших билетов (мощность области определения пр(/) больше
перечня наименований выигрышей (мощности области зна-
чений пр2 /), поэтому данная функция не обладает един-
ственностью прообраза. В силу сказанного f не является
взаимно однозначным соответствием.
Таким образом, таблица выигрышей лотереи определяет
функцию	которая не является отображением
и тем более - взаимно однозначным соответствием.
Пример 2. Является ли функция f(x) = 2х, имеющая тип
N N, отображением, и если - да, то каким? Имеет ли фун-
кция f обратную функцию/ и если - да, то является ли
/’ отображением?
> Функция /(х) = 2х, f: N —> N, всюду определена на
N, однако не сюръективна, так как область значений фун-
кции / равна пр2 / = М N (область значений содержит
не все натуральные числа из N, а только четные). Поэтому
/является отображением N в Л' или преобразованием
множества N.
Между областью определения npt/= N и областью значе-
ний пр2 / = Л/я имеет место взаимно однозначное соответ-
ствие: любому элементу п из N соответствует один и только
один элемент 2п из М2п и наоборот. Поэтому функция/(х) =
=2х,	имеет обратную функцию /"’. Однако обрат-
ная функция /_|: N -> N не всюду определена: ее областью
определения является множество четных чисел М2п* N.
Поэтому обратная функция /“’ в отличие от исходной / не
является отображением.
Пример 3. Задать несколько возможных типов для функ-
ции / (х) = 2я. Для каждого типа определить:
•	свойства функции/;
•	является ли /отображением и, если является, то каким?
>	1. Пусть тип функции f:N->N. Тогда /(х) = 2я всюду
определена, так как пр/^ N, но не сюръективна, поскольку
пр2/= М2„ N (М2п - множество натуральных чисел, являю-
88
Глава J. СООТВЕТСТВИЯ
щихся степенями двойки). Следовательно, функция f явля-
ется отображением N в N.
2.	f'.N-t М2„. Тогда функция f всюду определена и сюръ-
ективна, следовательно, является отображением N на Л/„.
3.	f: N R. Функция f всюду определена, но не сюръек-
тивна, т.е./ есть отображение N в R.
4.	/: R + -> N. Функция / частично определена и сюръек-
тивна, поскольку область значений / (х) = 2й при заданном
типе функции / представляет множество натуральных чи-
сел, т.е. пр2 / = N, значит не для всех х е R + функция /
определена, т.е. пр1 /* 7? +. Следовательно, /: R + -> N не
является отображением.
5.	/: R -> R. Функция / всюду определена, но не сюръек-
тивна (/ не имеет отрицательных значений). Следователь-
но, /- отображение R в R.
6.	f:R-+R + . Функция всюду определена и сюръектив-
на, т.е. является отображением R на R +.
Кроме названных свойств во всех случаях / есть функци-
ональное соответствие, а для случаев 2 и 6 - взаимно одно-
значное.
Пример 4. Чему равна композиция функций /(х) = 2х и
g(x) = 1+х?
> Пусть функции /(х) = 2х и g (х) = 1+х имеют тип 91 -» 91.
Тогда их композиции возможны в произвольном порядке.
Композиция функций /о g = ht представляет собой подста-
новку / в g, т.е.
й, = /° g = g (/(*)) = 1 +/W = 1 + 2х.
Композиция gof = h2 есть функция, полученная подста-
новкой g в / т.е.
= g°f = f(g (х)) = 2g (х) = 2(1 + х) = 2 + 2х.
Пример 5. Чему равна композиция функций / (х) = 21 и
g(x) = log2x?
Каковы области определения функций и их композиций?
> Пусть функции / (х) = 2х и g (х) = log2 х имеют тип
R—>R, т.е. отображают одно и то же множество в себя. Тог-
£ 3. 2. Функции и отображения
89
да композиция возможна в произвольном порядке и дает
функции:
\ = /° g = g (/(х)) = log22x = х ;
= g°f = /(g(x)) = 2log2\
Области определения исходных функций и их композиций:
пр,/= 7?, np,g = /? + , прД = Я, np/2 = /? + .
Пример 6. Функции / ng имеют тип /: Л3 —> В, g.B4 —>С.
Какой тип имеют функции А, и h , являющиеся композици-
ями / и g:
= g(x,, /(у,,у2,^з),х3,х4);
б)й2= g{f{yvyvy3), f(z{,z2,z^xvx^
> Функция й, содержит шесть аргументов и ее тип
/г, : В х А3 х В1 С.
Функция /?2 содержит восемь аргументов, ее тип
h2: А3 х А3 х В2 -> С или /?2: А6 х В2 —> С .
Пример 7. Пусть функция / (х , х , х3) = х - 2х2 + 5х3.
Определить функции, образованные переименованием:
а) х3 в х2;	б) х, и х3 в х2.
> 1. Переименование х3 в х2 приводит функцию Дх,, х2, х3)
к функции х, - 2х2 + 5х2, которая равна функции двух аргу-
ментов: / (х,, х2) = х, + Зх2.
2. Переименование х, и х3 в х2 приводит к одноместной
функции /(х2) = 4х2.
Пример 8. Дано множество А = {a, b, с, d} и два преобра-
зования этого множества (т.е. функции типа А -> А, являю-
щейся отображением А в А):
сс = (1 —> 3,2 —> 3, 3 —> 1,4 —> 2); Р = (1 —> 2, 2 —> 1, 3 —>
—>1,4 —> 3).
Обычно преобразования конечных множеств записывают-
ся так:
Г1 2341	„_Г1 234'
а~ 3312 ’	Р 2113'
Чему равна композиция преобразований?
90
Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ
> Композиция преобразований - это новое преобразова
ние:
а°Р=
1234
1121
Р°а=
1234
33 3 1
Упражнения
1.	Задать несколько типов для функции f (х):
а)/(х)=>/7,	г)/(х)=х2,
б) /(х) = sin х,	д) /(х) = 1g х,
в)/(х) = 2х+1,	е)/(х) = бЛ
Для каждого из заданных типов функции f определить:
• свойства /;
•	является ли f отображением, и если - да, то каким;
•	имеет ли f обратную функцию / и если имеет, то
является ли / ' отображением.
2.	Какой тип имеет функция f (х) = sin х, при котором для
f существует обратная функция /-1?
3.	Чему равна композиция функций /(х) и g (х), если:
а)/(х) = 2х и g(x) = Zgx;
б)/(х)=х3 и g(x) = V7 ;
в) /(х) = 2хи g(x)=x+ 1 ?
Каковы области определения функций и их композиций?
4.	Функции f и g имеют тип f: А2 -> В, g: В5 -> С. Какой
тип имеют функции и й2, являющиеся композициями f ng:
а)^ =g(xp /Ор^), /(ZpZ2),x4, х5);
б)	ft2 = g(XpX2, /(УрУ2), х4, /(zpZ2));
в)	h2 = g (f(yp у2), x2,f(z}, z2),f(ut, и2), х5) ?
5.	Найти композицию преобразований:
а=
а=
а=
L
123 22 1		р=	’123' 312 L J	9
а be cb с	9		a be b ba	Ч>
abed b dac			abed с add	
£ 3.3. Операции
91
§ 3.3.	Операции
Операцией называют функцию, все аргументы и значе-
ния которой принадлежат одному и тому же множеству.
В общем случае «-местная функция типа ср: Л/х Мк ... х М
—> М (иное обозначение ср: Мп -» И) называется п-арной
операцией на множестве М. В таких случаях говорят, что
множество М замкнуто относительно операции (р (резуль-
тат выполнения операции (р на М принадлежит М).
В частности:
1.	Функция одного аргумента ср(х) = у, имеющая тип
ср: Л/—> Л/, называется унарной операцией. Примеры унар-
ных операций:
•	элементаные функции ех, logx, sinx идрц_
•	операция над множествами - дополнение А ;
•	отображения типа А А, такие как преобразования,
перестановки;
•	операции над отношениями: дополнение R , обратное
отношение 7?-1, составное отношение 7?(2) = R° R, транзитив-
ное R° и рефлексивное R* замыкания и др.
2.	Функция двух аргументов ср(х, у) = z, имеющая тип
ср: Л/х Л/ —> М, называется бинарной операцией. Примеры
бинарных операций:
•	арифметические операции: сложение, вычитание, умно-
жение, деление, возведение в степень;
•	операции над множествами: пересечение п, объедине-
ние и, разность \;
•	операция композиции функций, отображений, отноше-
ний и др. Если над элементами a,b е М выполняется опера-
ция ср, дающая результат z е М, то это записывается часто
как а ср b - z.
Свойства бинарных операций:
1)	ср - ассоциативна, если для любых а, Ь, с из М
(а ср /?) ср с = а ср (Ь ср с)
(арифметические операции сложения и умножения, опера-
ции пересечения и объединения множеств, композиция ото-
бражений - ассоциативные операции).
92
Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
Выполнение этого условия (свойства ассоциативности)
означает, что скобки в выражении а ср Ь ср с можно не
расставлять;
2)	ср - коммутативна, если для любых а, Ь, с
а b = b <р а
(арифметические операции сложения и умножения, опера-
ции пересечения и объединения множеств - коммутативные
операции; арифметические операции вычитания и деления,
операция разности множеств, композиция перестановок и
преобразований типа А -> А конечного множества - неком-
мутативны);
3)	ср - дистрибутивна слева относительно операции ср,
если для любых а, Ь, с
а ср (Ь ср с) - (а ср Ь) ср (а ср с)
и ср дистрибутивна справа относительно операции ср, если
для любых а, Ь, с
(а ср £>) ср с ~ (а ср с) ср (Ь ср с)
(арифметические операции умножения и деления дистри-
бутивны относительно операций сложения и вычитания сле-
ва и справа, но не наоборот: операции сложения и вычита-
ния недистрибутивны относительно операции умножения и
деления; операции объединения и пересечения множеств ди-
стрибутивны относительно друг друга слева и справа).
Способы задания операций. Так как операция яв-
ляется функцией, то для ее задания применимы любые спо-
собы задания функций, перечисленные в предыдущем пара-
графе. Приведем некоторые наиболее употребимые спосо-
бы представления унарных и бинарных операций.
1.	Способы задания унарных операций ср: Л/ —> Л/на ко-
нечном множестве М= а2,..., aj:
•	Перечнем всех аргументов а из Л/(для частично опре-
деленной операции - из ее области определения пр1 ср с М)
и соответствующих им значений b, a,b е М, представлен-
ных строкой
Ф = «А -> Ъ{, а, -» ь2, ...,ап-+ Ьп),
§33 Операции	93
а чаще парой строк:
В случае, если предварительно зафиксирован список (по-
следовательность) элементов (ар avап) множества М, то
для задания операции ср достаточно указать вектор значений
(Ь , ЬгЬп). При этом <р(а) = bt, т.е. результат выполнения
операции <р для /-го аргумента списка равен i-й компонен-
те вектора значений.
•	Списком всех пар “аргумент-значение” (a, b) е ср, а,b е
еЛ/, для всех возможных значений аргументов:
ср = {(«,,/>,), (а2, Ь2),...,(ап,Ь)}.
Число таких пар |пр3ср| = m < |Л/| = п.
•	Формулой ср(ц) = Ь, например 1g а = Ь.
2.	Способы задания бинарных операций <р: М *. М М
на конечном множестве М= av ..., aj:
•	Таблицей Кэли - для чего слева и сверху таблицы выписы-
ваются все значения аргументов а и b из множества Л/соответ-
ственно, а на пересечении строки, соответствующей аргументу
а, и столбца, соответствующего аргументу Ь, записывается ре-
зультат с операции ср над а и Ь. На рис. 3.5
таблица Кэли для операции, называемой “сложени-
ем по модулю 3” на множестве М = {0, 1, 2} и
обозначаемой “mod 3”, или ®3 (результат с вы-
полнения операции ®3 равен остатку от деления
суммы аргументов (а + Ь) на 3).
•	Списком всех троек (а, Ь, с), где а,b - соот-
ветственно первый и второй аргументы из Л/, с - результат
выполнения операции ср над а и b, a,b,c е М. Для всюду
определенной операции число всех троек в списке \М х М\ =
= п2. Например, для операции сложения по модулю 3: ®3 =
={(0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,0,1), (1,1,2),(1,2,0), (2,0,2),(2,1,0),
(2,2,1)}.
•	Формулой ср(о, Ь) = с - так называемое префиксное пред-
ставление операции; иное - инфиксное - представление би-
нарной операции формулой а ср b = с, например а ®3 b = с,
где ©3 - операция сложения по модулю 3.
приведена
®, 0 1 2
0 0 1 2
112 0
2 2 0 1
Рис. 3.5
94
Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ
Пример 1. Являются ли ассоциативными:
а) бинарные арифметические операции;
б) бинарные операции над множествами?
> а) Арифметические операции сложения и умножения
ассоциативны, так как выполняются условия:
(а + Ь) + с = а + (6 + с), например (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3);
(а х Ь) х с = а х (Ь х с), например (5 х 2) х 3 = 5 х (2 х 3).
Операции вычитания, деления и возведения в степень
неассоциативны, так как
(а-Ь)-с * а — (Ь -с), например (12 -6) -2 * 12-(6-2),
т.е. 4*8;
(а : Ь): с * а :(Ь :с), например (12 : 6): 2 * 12 : (6 : 2), т.е.
1*4;
(б?)с * а(ЬС\ так как аь с * аьс, например (22)3 * 2(23), т.е. 26 * 28.
б) Операции объединения и пересечения множеств
ассоциативны, операция разности множеств неассоци-
ативна:
•	(А о В) о С = А и (В и С);
•	(А п В) п С = А п (В n С);
•	(Л \ В) \ С*Л \ (В \ С).
Проиллюстрируем справедливость данных соотношений
на примере конкретных множеств. Пусть А = {а, Ь, с}, В =
={b,c,d}, С = {b, d}. Тогда:
•	левая часть первого соотношения: (А и В) и С=({а, Ь, с}о
и{6, с, J}) и {b, d} = {a,b,c,d} и {b,d} = {a,b,c.d};
правая часть: А и (В и С) = (а, 6, с} о ({b, c,d}<j {b, d}}=
= {а, Ь, с} и {Ь, с, d} = {a, b, с, d}•,
•	левая часть второго соотношения: (А п В) п С=({а, Ь, с}п
n{Z>, с, б7}) n {b, d} = {b, с} n {b, d} = {6};
правая часть: А п (В n Q = {a, b, с} n ({b, c,d} o{b,d}) =
= {a,b,c} n {b, d} = {b};
•	левая часть третьего соотношения: (А \ В) \ С = ({а, Ь, с}\
\{b, c,d})\ {b,d} = {а} \ {b,d} - {а}-,
правая часть: А \ (В \ С) = {a, b, с} \ ({b, с, d} \ {Ь, б7}) =
- {а,Ь,с} \ {с} = {а, Ь},
т.е. действительно {б?} * {а, Ь}.
(Проиллюстрировать справедливость указанных соотно-
шений с помощью диаграмм Венна самостоятельно!)
3.3. Операции
95
Пример 2. Проиллюстрировать на примерах некоммута-
тивность операций:
а)	возведения в степень на множестве N;
б)	композиции элементарных функций;
в)	композиции преобразований и перестановок типа
Л —> Л конечного множества А.
> а) Бинарная арифметическая операция возведения в
степень некоммутативна, т.е. аь * Ьа, например 23 = 8, но З2 =
= 9, т.е. 23 * З2.
б) Некоммутативность операции композиции элементар-
ных функций, т.е. f °g*g°f, иллюстрируется примерами 4,
5 в § 3.2.
в) Иллюстрацию некоммутативное™ операции преобра-
зования конечного множества см. в примере 8 § 3.2. (Неком-
мутативность операции перестановки на конечном множе-
стве проверить самостоятельно!)
Пример 3. Пусть операции композиции о , объединения
о и пересечения п определены на множестве бинарных
отношений 91. Доказать:
а)	ассоциативность операции композиции (составного
отношения) о:
б)	дистрибутивность слева композиции ° относительно
объединения и:
в)	дистрибутивность справа композиции ° относительно
объединения и:
(Я, и А2)о Я3 = (/?,<> R3)u(R2° RJ-,
г)	дистрибутивность слева композиции ° относительно
пересечения п:
Я, ° (Т?2 п 7?3) = (7?, ° Я2) п (Я, ° Я3);
д)	дистрибутивность справа композиции ° относительно
пересечения п:
(л, п л2) °	= (/?, °/г3) п (/?2 °/?з).
> Так как бинарное отношение R с М х М, по определе-
нию, является множеством пар (a, b) е R прямого произве-
96
Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
дения Мх М, то для доказательства справедливости свойств
а) - в) можно воспользоваться определением II равенства
множеств: А = В, если А с В и В с А.
a) R, ° (r2 ° r3) = (R, ° r2) о лз.
Пусть пара элементов a,b е М и (a, b) е R{ ° (R2 ° R3),
т.е. принадлежит левой части доказываемого соотноше-
ния. Тогда убедимся, что пара (а, Ь) принадлежит и пра-
вой части соотношения, т.е. (a. b) £ (Rt ° R2) ° R3,h наобо-
рот, если (a, 6)e(Rj ° R2) ° R3, то (а, Ь) е R1 ° (R2 ° R3).
Действительно:
(а, Ь) е Rt° (R2 ° R3) <=> (а, с) е R. и (с, b) е R2 ° R3 <=>
<	=> (а, с) е Rt и (с, d) е R2 и (d, b) е R, <=>
<	=> (a, d) 6 Rj ° R2 и (d, b)eR} <=>
(R,°R2)oR3,
где c,d 6 M.
Доказанное позволяет опускать скобки, т.е.
R, ° (R2 о R3) = (R, О Я2) О Дз = о Д2 о Ry
6)R,0(R2oR3) = (R]o/?2)u(R1oR3).
Пусть a,b е М и (a, b) е R, ° (R2 u R3). Тогда
(a, b) е Rj ° (R2 о R3) <=> (а, с) е R\H (с, b) е R, и R3 <=>
<	=> (а, с) е R] и [(с, b) е R2 или (с, b) е R3] о
[(cz, с) е R1 и (с, Ь) 6 R2] или [(а, с) е R, и (с, 6) е R3] <=>
<=> (a, b) е R, ° R2 или (a, b) е R, ° R3 <=> (R} ° R2) и (R, ° R3),
где с 6 М.
Аналогично доказывается свойство в) (доказать самосто-
ятельно!).
г)^о(Л2П^) = (^оЛ2)п(^о^).
Пусть a,b е М и (a, b) е R} ° (R2 n R3). Тогда
(a, b) e R\° (R2 n R3) <=> (a, c) e R, и (c, b) e R2 n R3 <=>
<=> (a, c)e R1 и [(c, 6) e R2 и (c, b) e RJ <=>
<=> [(a, c) s R, и (c, b) e R2] и [(a, c)e R, и (c, b) e R^ <=>
(R1oR2)n(R,oR3),
<=> (a, b) e R] ° R2 и (a, b) e R, ° R3 <=>
где c e M.
Аналогично доказывается свойство
(доказать самостоятельно!).
® а b 0' а b
а а а а b а
д)
b b a b а b
Пример 4. Какими свойствами отличают-	Рис. 3.6
ся операции ® и ®', заданные таблицами Кэли (рис. 3.6)?
§33 Операции

> 1. Проверим операции ® и ®' на коммутативность:
a) a®b = b®a7	б) а®' b = 6 ®' а 7
а * Ь.	а = а.
Операция ® - некоммутативна, ®* - коммутативна.
2.	Проверим операции на ассоциативность:
а)	Операция ® неассоциативна, так как не выполняется,
например:
(b ® а) ® b = b ® (а ® h) 1
b ® b = b ®а7
а* Ь.
б)	Операция ®' ассоциативна, так как соответствующее
условие выполняется для всех возможных троек аргументов
а, b из М:
(а ®' а)®’ а-а ®' (а ®' а) 7 (а®' Ь)®' а =а ®' (Ь ®' а) 7
b®' а = а®' b 7
а = а.
(а ®' а)®’ Ь = а ®' (а ®' Ь) 7
Ь®' Ь= а®' а 7
Ь= Ь.
(b ®' а)®' а = b ®' (а ®' а) 7
а®'а = Ь®'Ь7
а®' а = а®' а?
b = b.
(а ®' Ь)®' Ь = а ®' (Ь ®' Ь) 7
a®' b = а®' b 7
а = а.
(Ь ®' Ь)®' а = Ь ®' (Ь ®' а) ?
Ь®' а = Ь®' а 7
b = b.	а = а.
(b ®'a)®' b = b ®' (а ®' b) 7 (b®'b)®'b = b ®' (Ь ®' Ь) 7
а®' Ь= Ь®' а 7	b®'b = b®' b 7
а = а.	b = Ь.
Операция ® - неассоциативна, тогда как ®' - ассоциа-
тивна.
3.	Проверим операции на дистрибутивность.
а)	Дистрибутивность слева и справа ® относительно ®'
не выполняется, так как, например:
а® (а®' а)-(а® а)®' (а® а)7 (п®' а)® Ь-(а® Ь)®' (а® Ь)7
а® Ь = а®' а 7	b® b = а®' а 7
а b.	a t Ь.
б)	Дистрибутивность слева и справа ®' относительно ®
также не выполняется, так как, например:
а ®' (а ® а) = (а ®' а) ® (а ®' а) 7 (а ® а) ®' а=(а ®' а) ® (а ®' а) 7
а®' а - Ь® Ь7	а®' а = Ь® Ь7
b * а.	b Ф а.
98
Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ
Операции ® и ®' не дистрибутивны слева и справа отно-
сительно друг друга.
Таким образом, операция ® - некоммутативна, неассо-
циативна и недистрибутивна (относительно операции ®');
операция ®'- коммутативна, ассоциативна, но недистрибу-
тивна (относительно операции ®).
Упражнения
1.	Являются ли коммутативными бинарные операции:
а)	арифметические на множестве натуральных чи-
сел У;
б)	бинарные над множествами?
Проиллюстрировать ответы на примерах.
2.	Показать дистрибутивность справа и слева операции
умножения относительно сложения на множестве N. Явля-
ется ли дистрибутивной справа (слева) операция возведения
в степень относительно умножения, операция сложения от-
носительно умножения?
3.	Доказать дистрибутивность справа и слева операций
пересечения и объединения относительно друг друга на сис-
теме множеств:
А п (В и С) = (А п В) u (А п С) - дистрибутивность слева
п относительно и;
А и (В п С) = (А и В) п (А и С) - дистрибутивность слева
и относительно п;
(А и В) п С = (А п С) и (А п С) - дистрибутивность
справа п относистельно и;
(А с В) и С = (А о С) с (А о С) - дистрибутивность
справа и относистельно п.
Проиллюстрировать на примере конкретных множеств, а
также диаграммами Венна.
4.	Пусть Rt, R2 - бинарные отношения, определенные на
множестве М= {1, 2, 3, 4}. Показать на примере заданных
ниже отношений Rt,R2 сМхМ некоммутативностьопера-
ции композиции отношений (составного отношения), т.е.
R}° R2 R° Rt, если:
а)	7?] - “быть меньше”, R2 - “быть больше, по крайней
мере на 2”;
§34 Гомоморфизмы и изоморфизмы
99
) а b с
I b с а
> а Ь с
'.cab
Рис. 3 7
б)	R{ - “быть больше”, R2 - “иметь общий дели- ф
тель, отличный от Г’.	"а
5. Пусть операция ср на множестве М= {a,b,c} b
определена таблицей Кэли (рис. 3.7). Подтвердить с
ассоциативность и коммутативность опера- 1
ции ф.	ф а b ср' а b
6. Каковы свойства операций <р и <р', за- a a b abb
данные таблицами Кэли (рис. 3.8)?	b
а b
b а b
Рис. 3.8
§ 3.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы
Множество Мвместе с заданными на нем операциями {ср ,
ф ,..., <ри} называется алгеброй. Обозначение алгебры:
(7И; ср,, <р2,..., <рт),
где Мназывается основным множеством (несущим множеством,
носителем), a L = {ф|5 ср ,..., фт} - сигнатурой алгебры Ж
Примером алгебры является полугруппа - множество М
с заданной на нем одной бинарной ассоциативной операци-
ей (обозначается: . ), т.е. {Л/; например множество
натуральных чисел N с операцией сложения + на нем, т.е.
.%= {Лт; +} является полугруппой.
Типом алгебры <9? называется вектор арностей операций
сигнатуры. Например, в алгебре {91; +, х}, где 91 - мно-
жество действительных чисел, + и х - соответственно опе-
рации сложения и умножения (такая алгебра называется по-
лем действительных чисел), сигнатура Z = {+, х) включает
две бинарные операции - сложение и умножение. Поэтому
тип данной алгебры (2, 2).
Множество М вместе с заданными на нем отношениями
{R{, R2,Rn} называется.моделью. Обозначение модели:
Ж= (М- 7?,, R,,..., R ),
где М- несущее множество (универсум), Е = { Rx, R2,..., Rn}~
сигнатура модели Ж Например, моделью является мно-
жество М} чисел с отношениями: “быть больше” (>) и “быть
равным” (=), т.е. Ж, = (М}; >, =), или некоторое множество
людей с отношением R - “быть руководителем”, т.е.
3^2 = (М2, R), и т.д.
100______________Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ_______________
Множество Мвместе с заданными на нем операциями {ф|5
ф ...,<рт} и отношениями {R}, RvRn} называется алгебра-
ической системой, или алгебраической структурой. Обозна-
чение алгебраической структуры:
Ж= (Л/; Ф|, ф2,фт; Я,, R2, ....Rn).
Примером алгебраической структуры является так назы-
ваемая решетка - множество Мс заданными на нем: одним
бинарным отношением частичного порядка (обозначение <)
и двумя бинарными операциями (п и и): {Л/; < ; п, и}.
Таким образом, алгебры - это алгебраические структуры
с пустым множеством отношений. Другим частным случаем
алгебраических структур являются модели, т.е. множества,
на которых заданы только отношения.
Пусть между множествами А и В установлено соответ-
ствие Г - отображение А в В, т.е. Г: А В. Это означает, что
каждому элементу а из А поставлен в соответствие Г един-
ственный элемент а из В, т.е. Г(я) = а. Пусть также на мно-
жестве А задана операция ф, на множестве В - операция ф,
обе одинаковой арности, например обе бинарные, так что
a<pb = c, а,Ь,с&А, и афР = у, а, Р, у е В. Таким образом,
имеем две алгебры (А; ф) и (5; ф).
Тогда отображение Г: А —> В называется гомоморфизмом
алгебры (А; ф) в алгебру (5; ф), если выполняется условие:
Г(а ф Ь) = Г(а) ф Г(6).	(3.1)
Условие гомоморфизма (3.1) требует (см. рис. 3.9), чтобы
отображение Г результата с = a<pb выполнения на множестве
А операции ф над элементами а и Ь, т.е. Г (с) = Г(афй), совпа-
дало с результатом
у выполнения на
множестве В опе-
рации ф над ото-
бражениями этих
элементов, т.е. над
Г(д) = а и Г(&) = р.
Проверка усло-
вия гомоморфиз-
ма заключается в
Рис. 3.9
§34 Гомоморфизмы и изоморфизмы	101
следующем. В соответствии с левой частью условия (3.1) сна-
чала над элементами а и b из А должна быть выполнена опе-
рация ср, а затем результат с = а ср b выполнения операции ср
отображается из Л в множество В. В соответствии с правой
частью условия (3.1) требуется сначала выполнить отобра-
жения элементов а и b из множества Л в В, т.е. найти Г(а) = а
и Г(6) = Р, а затем над а и Р выполнить операцию ц/ (задан-
ную на множестве В), т.е. Г(а) ср Г(й),или а ср р = у. Условие
(3.1) будет выполнено, если результат отображения элемен-
та с = aq b изЛвВ совпадает с элементом у из В, т.е. если
Г(с) = у.
Если при этом отображение Г: А —> В является взаимно
однозначным соответствием, оно называется изоморфизмом
алгебры (Л; ср) на алгебру (В; ср). В этом случае существует и
обратное отображение Г1: В -> Л, также взаимно однознач-
НОС’
Г '(а ср Р) = Г-'(а) ср Г ’(Р).
Отображение Г-1 - это, в свою очередь, изоморфизм В на
Л. Итак, если существует изоморфизм Л на В, то существует
изоморфизм В на Л. При этом алгебры (Л; ср) и (В; ср) назы-
ваются изоморфными.
В более общем случае, если на множествах Л и В заданы
несколько операций соответственно (А; ср ср ..., срт) и (В;
срр ср ,..., срт), отображение Г: А —> В является гомоморфиз-
мом алгебры (Л; <рр <р2,..., срт) в алгебру (В; срр ср2,..., срт),
если условия, аналогичные (3.1), выполняются для каждой
пары операций <pf и ср|? ... , срт и срт.
В силу взаимной однозначности соответствия Г: Л —> В
при изоморфизме мощности основных множеств изоморф-
ных алгебр равны. Поэтому проверка алгебр на изоморфизм
сводится к проверке условия гомоморфизма для каждой пары
операций и установления взаимной однозначности соответ-
ствия Г (равной мощности множеств Л и В).
Аналогично определяется гомоморфизм (изоморфизм)
множеств с отношениями - моделей (Л; Вр Я2, ..., R ) и
(В;!^', ',..., R/).
Пусть, например, на множестве Л задано бинарное отно-
шение R(a,b), a,b е А, и на множестве В-бинарное отноше-
ние B'(ot,P), а,Р g В. Тогда отображение Г: Л —> В является
102
Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
гомоморфизмом модели (A; R) в модель (В; 7?'), если для лю-
бой пары элементов а,Ь из А такой, что а и Ь находятся в
отношении R. следует, что их отображения Г(я) = а и Г(7>) = р
находятся в отношении R' (см. рис. 3.10). т.е.
aRb влечет Г(а) R' Г(6) для любых аф е А. (3.2)
Если при этом ото-
бражение Г: А —> В яв-
ляется взаимно одно-
значным соответствием,
оно называется изомор-
физмом модели (А; 7?)
на модель (В; R'). В этом
случае существует и об-
ратное отображение Г-1:
Рис. 3.10
В -> Л, также являющееся изоморфизмом:
а В'Р влечет Г"1 (а) R Г"1 (Р) для любых а,Р е В.
При этом модели (A; R) и (В; В') называются изоморфными.
Понятие гомоморфизма (изоморфизма) для алгебраичес-
ких структур вводится аналогично тому, как это сделано для
алгебр и моделей, при этом должны выполняться условия
сохранения и операций, и отношений.
Понятие изоморфизма - одно из важнейших понятий в
современной математике. Так, из условия изоморфизма сле-
дует, например, что любое эквивалентное соотношение в
алгебре .^сохраняется в любой изоморфной ей алгебре <9?.
Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре <5^ ав-
томатически распространить их на все алгебры, изоморф-
ные В частности, изоморфизм сохраняет свойства ассо-
циативности, коммутативности и дистрибутивности опера-
ций, а также рассматриваемые выше свойства отношений.
Важным примером изоморфных алгебр являются так на-
зываемые булевы алгебры (подробнее см. в § 4.6), в том числе:
1) (Р(Е7); п, и, -) - булева алгебра множеств.
Здесь 0(77) - множество всех подмножеств (булеан) мно-
жества U',
{п, и, -} - соответственно операции пересечения, объе-
динения, дополнения над множествами;
§34 Гомоморфизмы и изоморфизм ы	103
2) (Ви; &. v, -) - булева алгебра двоичных векторов дли-
ны п.
Здесь Вп - множество всех двоичных векторов длины п, т.е.
Вп~ В х В х ... х В = Вп, где В ~ {0,1};
{&, V, -} - операции логического {покомпонентного') ум-
ножения, сложения и дополнения соответственно, опреде-
ленные следующим образом:
для любых векторов а = (ар а2,..., ая) и 0 = (0р 02,..., 0и):
а) а & 0 = (с^ & 0р а2 & 02,..., аи & 0я), при этом а г & 0; = 1,
если а( = 01 = 1,иа(<&0/=О -в любом другом случае, т.е.
„ о о 1, если а, =1 и 0г =1,
0 i । Л
I 0 - в противном случае;
6)av0 = (aj v0pa2v02,... , anv0n), при этом а; v0, =0,
если а, = 0; = 0, и а, v 0 г = 1 - в любом другом случае, т.е.
а,
0, если а, =0 и 0 ; = 0,
1 - в противном случае;
в) а =(а],а2,„. ,аД
где а , =
1, если а, =0,
0 - если а ( = 1.
Изоморфизм булевых алгебр широко используется в ком-
пьютерных вычислениях, например при необходимости вы-
полнения операций над множествами с применением соот-
ветствующих и легко реализуемых на компьютере поразряд-
ных операций над соответствующими двоичными векторами.
Пример 1. Пусть - множество сотрудников органи-
зации и R. - заданное на нем отношение “быть старше”
(>); М2 - конечное множество натуральных чисел (ограни-
ченное, например, числом 100) и R2 - заданное на нем от-
ношение “быть больше” (>). Гомоморфны (изоморфны) ли
модели:
^ = (Л/];>) и ^=(Л/2;>)?
104
Глава J СООТВЕТСТВИЯ
> 1. Определим отображение Г: М—> Л/2 следующим обра-
зом: каждому сотруднику организации из поставим в соот-
ветствие Г число из Л/2, соответствующее его возрасту (в го-
дах). Установленное таким образом отображение
Г: М —>Л/2 является гомоморфизмом моделей СЯ= (Мх; >) и
&= (М2, >), так как очевидно выполняется условие (3.2). Дей-
ствительно, если ‘Иванов ’,31 лет, старше ‘Петрова ’, 26 лет, т.е.
‘Иванов ’ >- ‘Петрова ’и Г( ‘Иванов ’) = 37,
Г( ‘Петров ’) = 26, то и 37 > 26.
2.	Однако установленное отображение Г: Мх -> М2 не яв-
ляется изоморфизмом моделей	>-) на (М2, >),
так как не является в общем случае взаимно однозначным
(если в организации имеются сотрудники одного возраста,
например ‘Петров ’ 26 лет и Сидоров' 26 лет. В этом слу-
чае обратное соответствие Г’1 не является отображением,
поскольку не функционально (отсутствует единственность
образа 26 на множество сотрудников организации).
Таким образом, заданные модели г9Г= (Мх, >-) и = (Л/2;
>) гомоморфны, но не изоморфны.
Пример 2. Пусть Zn - множество всех целых чисел, Z2n -
множество всех четных целых чисел. Изоморфны ли следу-
ющие алгебры:
а)	(Zn; +) и В = (Z2n; +) при отображении Г: п -> 2п,
б)	Ж= (Z( ; +) и В = (Zn; +) при отображении Г: и -> (-«),
в)	(ZM; х) и В = (Zn; х) при отображении Г: п (-п),
г)	(Zn; х) и В = (Z2n; х) при отображении Г: п -> 2п,
д) (Zn; +, х) и В = (Z2n; +, х) при отображении Г: п -> 2п,
где +, х - операции арифметического сложения и умноже-
ния соответственно.
> а) Условие гомоморфизма для алгебр ZK = (Zn ; +) и
5? = (Z2n; +) проиллюстрировано на рис. 3.11, где изображе-
ны два множества Zn, Z2n и в Zn выделены произвольные два
элемента а, Ь.
В соответствии с левой частью условия (3.1) гомоморфиз-
ма для бинарных операций выполним над а и b операцию
сложения + алгебры гЗГ и отобразим результат с - а +Ь в
множество Z2n алгебры 35. При заданном отображении
£ 3.4 Гомоморфизмы и изоморфизмы
105
Г(с)=Г(а)+Г(Ь)?
Рис. 3.11
Г: п —> 2п элементу с
множества Zn соответ-
ствует элемент 2с мно-
жества Z2w, т.е. левая
часть условия (3.1) при-
мет вид:
Г(а + Ь) = 2(о + Ь).
Правая часть усло-
вия (3.1) требует снача-
ла отображения элементов а,Ь в множество Z2n (получаем
Г(<я) = 2а, T(Z>) = 2Ь), а затем осуществления над их отобра-
жениями операции сложения (+) алгебры <$, т.е. правая часть
условия (3.1) примет вид:
Г(о) + Г(6) = 2а + 2Ь.
Таким образом, условие гомоморфизма (3.1) для алгебр
£?= (Zn; +) и (Z2m ; +) при отображении Г: п -> 2п имеет
ВВД’	Г(о+г>) = Г(о) + ОД, т.е.
2(о + Ь) = 2а + 2Ь.
Так как данное условие выполняется, алгебры .^и (В го-
моморфны, а в силу взаимной однозначности отображения
Г: и -> 2и они и изоморфны.
б)	Отображение Г: п -> (-и) для алгебр (Z ; +) и
(Z ; +) является изоморфизмом. Действительно, усло-
вие (3.1) имеет вид
- {а + Ь) = (я) + (-6)
и,кроме того, отображение Г: п -> (-и) (каждому целому чис-
лу п в алгебре соответствует то же целое число, но с про-
тивоположным знаком (-и) в алгебре $5) - взаимно однознач-
но.
в)	Отображение Г: п -> (-и) для алгебр (Zn ; х) и
(Zn; х) не является ни изоморфизмом, ни гомоморфиз-
мом, так как не выполняется условие (3.1) гомоморфизма:
-(а •&)*(- a) (-h).
г)	Алгебры (Z,; х) и (Z2n; х) не являются гомо-
морфными, а значит, и изоморфными при отображении
106
Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
Г: п —> 2и, поскольку для них не выполняется условие гомо-
морфизма (3.1):
2(а • Ь) * 2а  2Ъ.
д)	Д)1я алгебр (Zn; +, х) и gg= ; +, х) при отображе-
нии Г: и —> 2и условие гомоморфизма выполняется для опера-
ций сложения и не выполняется для операций умножения [см.
а) и г)], поэтому алгебры и 55'не являются гомоморфными.
Пример 3. Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры (93 + ;
х) и (91; +) при отображении Г: а -» log а (91, 91 + - множе-
ства действительных и положительных действительных чи-
сел соответственно)?
> Алгебры (93 + ; х) и (91; +) изоморфны при задан-
ном отображении Г: а -> log а, так как выполняется ус-
ловие (3.1):
log (tz-b) - log а • log b
и отображение Г: а —> log а взаимно однозначно. В частно-
сти, этот принцип (изоморфизм указанных алгебр при дан-
ном отображении) используется при вычислениях с помо-
щью логарифмической линейки.
Пример 4. Изоморфны ли булевы алгебры множеств
(Р((7); п, и, -) и (р((7');	~)> образованные двумя раз-
личными множествами UvlU' одинаковой мощности?
> Алгебры (Р((7);	~) и (Р(^');	-), гДе 1^1 =
= I U' |, изоморфны, так как операции у них просто одина-
ковы, а отображением Г может служить любое взаимно од-
нозначное соответствие между Un U'. Например, множе-
ства U = {1, 2, 3} и U' = {а, Ь, с} одинаковой мощности,
I U | - | U' [ = 3. Тогда отображение Г: {1 -> а,2 -> Ь,3 -> с}
задает изоморфизм алгебр (P(t7); п, и, -) и (Р((7'); п, и, -).
Пример 5. Пусть алгебры (N; +) и (А3; ф), где
Ф - сложение по модулю 3 и А3 = {0, 1, 2}, и отображение
Г: N —> А3 определено следующим образом: Г(н) равно ос-
татку от деления и на 3. Иначе говоря,
если п = За + Ь, где b < 3, то Г(и) = Ь.
§34 Гомоморфизмы и изоморфизмы
107
Например, 2 ® 1 = 0, 2 ® 2 = 1 и т.д.
Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры	+) и
^=(^;Ф)?
> Пусть п{ = За( + Ь.и и2 = За2 + Ь2- два произвольных
натуральных числа из N\ b{,b2 < 3. Проверим условие (3.1):
и2) = ц^) © г(и2),
Г(3а + А, + За, + ЬЛ = Г(3а + b ) © Г(3а + b ),
Г(6,+ z>2) = Г(^) Ф Г(62),
V(b + b2) = b}® ъ2.
Очевидно это условие выполняется. Например, пусть
п = 56, п = 37. Тогда 56 = 3-18 + 2, 37 = 3-12 + 1; подставив
в полученное условие гомоморфизма, убедимся в его выпол-
нимости:
Г(2+ 1) = 2® 1,
0 = 0.
Таким образом, отображение Г - гомоморфизм. Но оно не
является изоморфизмом, так как нет взаимной однозначнос-
ти для Г: N -> N3.
Этот пример показывает, что возможен гомоморфизм бес-
конечной алгебры (т.е. алгебры с бесконечным основным
множеством) в конечную алгебру.
Пример 6. Изоморфны ли модели (Р(U); с ) и (Б3; <), где:
Р(С7) - множество всех подмножеств (булеан) множества
U= {а, Ь, с}\
В. - множество всех двоичных векторов длины 3;
с-отношение нестрогого включения;
< - отношение нестрогого порядка над векторами такое,
что для двух двоичных векторовт = (т15т2,т3) и а = (ст1,с2,о3);
т<с, т.е. (тр т2, т3) < (а,, а2, ст3),
если и только если т1 < с^, т2 < ст2, т3 < сг3.
Например, (1 0 0) < (1 0 1), но (1 0 1) и (0 1 1) несравнимы.
> Р((/) = {0, {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь,с}}-,
вз = {(0 0 0), (0 0 1), (0 1 0), (0 1 1), (1 О 0), (1 О 1), (1 1 0),
(1 1 1)} (для упрощения обозначений запятые между компо-
нентами векторов опущены).
108	Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
Мощности этих множеств равны: | р(Е) | = | В?| = 8. Ото-
бражение Г: p(L7) -> В3 является взаимно однозначным (см.
также пример 4 из § 3.1):
Г: 0 -> (0 0 0), {а} ->(10 0), {Ь} -> (0 1 0),... , {а, с} ->
->(10 1),... , {а,Ь, с} ->(1 1 1).
Остается показать, что условие гомоморфизма (3.2) вы-
полняется для заданных отношений:
А сВвлечетГ(Л)<Г(В) для любых А,В е p(L); A,BqU.
Смысл этого условия заключается в следующем. Если два
множества А, В из p(t7) сравнимы по отношению включе-
ния cz, то соответствующие им векторы т и а из В3 такие, что
Г(Л) = т и Г(2?) = а, сравнимы по отношению неравенства <
и из того, что А с В, следует, что т < ст.
Очевидно, что данное условие выполняется. Например,
из того, что {а} с {а, с} следует (1 0 0) < (1 0 1). Ав силу
взаимной однозначности отображения Г справедливо и об-
ратное, например из того, что (0 1 0) < (1 1 1), следует, что
{Ь} с {а, Ь, с}:
т < ст влечет Г-1 (т) с Г-1 (с) для любых т, ст е Ву
Таким образом, установленное отображение Г: p(L) -> В3
является изоморфизмом; модели (р( £7); <z) и (53; <) изомор-
фны. Отметим, что изоморфными будут и другие аналогич-
ные модели (р(СТ); cz ) и (Вп; < ), если мощность несущего
множества | С7[ и длина векторов п из Вп равны, т.е. | С71 = п.
В этом случае выполняется взаимно однозначное соответ-
ствие
|р((7)1 = |В I.
Пример 7. Используя установленное в предыдущем при-
мере взаимно однозначное соответствие между множества-
ми из Р(С7), где U= {а, Ь, с}, и двоичными векторами длины
3 из В3, проиллюстрировать на примере конкретных мно-
жеств А = {а, с} и В = {Ь, с}, А,В с U, изоморфизм между
булевыми алгебрами множеств (0(С7); п, и, -), | и\ = 3, и
двоичных векторов длины 3 (В3; &, м, -).
> Для U= {а, Ь. с}\
P(L/) = {0, а}, {М, И, id}, {а, Ь], {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь, с}}.
При п = 3 [ p(L) | = | В31 = 8:
§ 3 4 Гомоморфизмы и изоморфизмы
109
В = {(0 О О), (О О 1), (О 1 0), (01 1), (1 о 0), (1 О 1), (1 1 0), (111)}.
Установленное в примере 5 взаимно однозначное соот-
ветствие Г: Р((7) -> В3 для заданных множеств А - {а, с} и
В = {Ь,с} имеет вид:
1) Г(Л) = Г({а, с}) = (1 0 1) = а, Г(В) = Ц{Ь, с}) = (0 1 1) = 0
и наоборот
Г-'(а) = Г ’((1 0 1)) = {а, с}; Г ’(Р) = Г"’((0 1 1)) = {Ь, с}.
2) Подтвердим теперь выполнение условия гомоморфиз-
ма для каждой пары операций булевых алгебр на примере
множеств Л,В с U:
а)Г(Л пВ) = Г({а,с}п{М}) = Г({с}) = (001) = (101)&
&(0 1 1) = а&Р;
б) Г(А иВ) = Г({а, с} и {Ь, с}) = Г({а, Ь, с}) =(111) =
= (1 0 1) v (0 1 1) =а v р;
в) Г( А )=Г(и\А) = Г({а, Ь, с} \ {а, с}) =Г({6}) = (0 1 0) =а.
Таким образом, для трех пар булевых операций имеет
место выполнение условия гомоморфизма:
а)	Г (А п В) = а & р;
б)	Г(Л_о В) = а v р;
в)	Г( А ) = а.
Алгебры (0(Z7); п, и. -) и (В3; &, v, -) гомоморфны, и
отображение множеств Г: 0(П) -> В, взаимно однозначно.
Следовательно, данные алгебры также и изоморфны при дан-
ном отображении (см. также пример 4 § 4.6).
Упражнения
1.	Пусть Мг„ - множество степеней двойки; Л/2и - множе-
ство четных чисел, п е N. Гомоморфны (изоморфны) ли ал-
гебры -5Ги $5', если:
a)	(А; +) и ^= (Л/2„; +) при отображении Г: п -> 2";
б)	<5Г= (тУ; +) и ^= (Л/2„; х) при отображении Г: п -> 2я;
в)	&= (А; +) и gS= (М2п-, +) при отображении Г: п -> 2и;
г)	-.9?= (А; х) и <£= (М2п; х) при отображении Г: п -> 2и;
д)	£?=	+, х) и 5?= (Л/2л; +, х) при отображении Г: п -> 2п ?
2.	Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры -5Ги ЗВ при ото-
бражении Г: N -» Ns, если:
а)^Г=(М+), ^=(А5;Ф);
б) г9Г= (А; х).	(У5; ®);
по
Глава 3 СООТВЕТСТВИЯ
в)^=(М+,х),
Примечания: a)^s = {0,l,2,3,4)c^;
б) отображение Г: N —> N такое, что для п е. N, п = 5а + Ь, где b < 5, Г(н) = А>;
в) бинарные операции сложения и умножения по модулю 5 (Ф, ®) такие,
что:	/	\	/	\
_	| п. + п, ।	п, • и, \
п,®п=г —------ :	п,® п = г —J—- - остатки от деления на 5
1	2 V 5 )	'	\ 5 )
соответственно суммы и произведения чисел п + п2, nt- п2,
г) при проверке условия гомоморфизма удобно представить:
n] = 5a + bl,	п2=5а2 + Ь2
3. Является ли для заданного множества Uалгебра (P(Z7);
п, и) изоморфной алгебре (0(U); п, и) при отображении
Г: А -> А , где А - элемент множества 0(t7), А - его дополне-
ние.
4. Пусть алгебры = (JV4; ®) и
& = (W4; ®'), где N4 = {0, 1, 2, 3} и
операции ® и ®' заданы таблицами
Кэли, (рис. 3.12) (см. § 3.3).
Является ли отображение
	0	1 2	3		0	1	2	3
0	3	3 1	2	0	1	0	0	2
1	2	2 3	1	1	2	3	3	0
2	2	2 0	1	2	3	0	0	2
3	1	0 1	0	3	2	2	1	1
Рис. 3.12
Г:0—>1,1—>2, 2 —>0, 3 —> 3 гомоморфизмом, изомор-
физмом?
5. В булевой алгебре двоичных векторов длины 6 (В6; &,
v, -) выполнить операции над векторами а и 0, определен-
ные на стр. 103,если:
а)а = (1 0 1	1	00),	р = (1 0 0	1 0	1);
б) а = (0 1 1	0	1 0),	р = (0 1 0	0 1	0);
в) а = (00 1	1	01),	р = (0 1 0	1 0	1).
6.	Задать таблицами Кэли операции булевых алгебр:
a)	(Р(£7); п, и, -) при | и\ = 2;
б)	(В2;&, v, -).
7.	Проиллюстрировать на конкретном примере изомор-
физм булевых алгебр (Р(U); п, и, -) и	v, -) на приме-
ре множеств А,В с U, если:
а)Л = {2,3,6}, В= {1,2, 4, 6},
б) А = {а, Ь, с, d,f},B= {b, с, e,f\,
в)Я = {1,2, 4,6},
г) А = {а, с, d, е},
5 ={2,3, 5, 6},
В= {а, b, c,f},
U= {1,2, 3,4, 5,6}
U= {а, Ь, с, d, e,f};
[/={1,2, 3,4, 5,6}
U= {a, b, c,d,e,J}.
Раздел 2.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Логические представления - описание исследуемой сис-
темы, процесса, явления в виде совокупности сложных выс-
казываний, составленных из простых (элементарных) выс-
казываний и логических связок между ними. Логические
представления и их составляющие характеризуются опре-
деленными свойствами и набором допустимых преобразо-
ваний над ними (операций, правил вывода и т.п.), реализую-
щих разработанные в формальной (математической) логике
правильные методы рассуждений - законы логики.
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Способы (правила) формального представления выска-
зываний, построения новых высказываний из имеющихся
с помощью логически выдержанных преобразований, а так-
же способы (методы) установления истинности или лож-
ности высказываний изучаются к математической логике.
Современная математическая логика включает два основ-
ных раздела: логику высказываний и охватывающую ее ло-
гику предикатов (рис. 4.1), для построения которых суще-
Математическая логика
Логика
высказываний
Алгебра
логики
Логические
исчисления
Логика
предикатов
------1/
Рис. 4.1
112
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ствуют два подхода (языка), образующих два варианта фор-
мальной логики: алгебру логики и логические исчисления.
Между основными понятиями этих языков формальной ло-
гики имеет место взаимно однозначное соответствие. Их
изоморфизм обеспечивается в конечном итоге единством
законов логики, лежащих в основе допустимых преобразо-
ваний.
Основными объектами традиционных разделов логики
являются высказывания.
Высказывание - повествовательное предложение (утвер-
ждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что
оно истинно или ложно. Все научные знания (законы и яв-
ления физики, химии, биологии и др., математические тео-
ремы и т.п.), события повседневной жизни, ситуации, воз-
никающие в экономике и процессах управления, фор-
мулируются в виде высказываний. Повелительные, вопро-
сительные и бессмысленные предложения не являются выс-
казываниями.
Примеры высказываний: “Дважды два - четыре”, “Регис-
трация фирмы требует наличия ее устава”, “Мы живем в XXI
веке”, “Рубль - российская валюта”, “Алеша - брат Олега”,
“Операции объединения, пересечения и дополнения являют-
ся булевыми операциями над множествами”, “Человек смер-
тен”, “От перестановки мест слагаемых сумма не меняет-
ся”, “Сегодня понедельник”, “Если идет дождь, вам следует
взять зонт”.
Для того чтобы далее оперировать этими предложениями
как высказываниями, мы обязаны знать относительно каж-
дого из них, истинно оно или ложно, т.е. знать их истиннос-
тное значение (истинность). Заметим, что в ряде случаев
истинность или ложность высказывания зависит от того, ка-
кую конкретную реальность (систему, процесс, явление) мы
пытаемся с его помощью описать. В таком случае говорят,
что данное высказывание истинно (или ложно) в данной
интерпретации (контексте). Далее предполагаем, что контекст
задан и высказывание имеет определенное истинностное
значение.
§ 4.1. Основные понятия
113
§ 4.1. Основные понятия
Будем называть высказывание простым (элементарным),
если оно рассматривается нами как некое неделимое целое
(аналогично элементу множества). Обычно к ним относят
высказывания, не содержащие логических связок. Сложным
(составным) называется высказывание, составленное из про-
стых с помощью логических связок.
В естественном языке (при вербальном описании явле-
ния) роль связок при составлении сложных предложений из
простых играют следующие грамматические средства: со-
юзы “и”, “или”, “не”; слова “если ..., то”, “либо ... либо” (в
разделительном смысле), “тогда и только тогда, когда” и др.
В логике высказываний логические связки, используемые для
составления сложных высказываний, обязаны быть опреде-
ленными точно.
Основные логические связки (операции)ло-
гики высказываний:
Конъюнкцией (операцией “И”, логическим произведени-
ем) двух высказываний Р и Q называется высказывание,
истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное - во
всех других случаях. Обозначения: Р & Q; Р aQ; P Q (чита-
ется: “Р и Q”).
Дизъюнкцией (операцией "ИЛИ”, логической суммой)
двух высказываний PuQ называется высказывание, ложное
в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное - во
всех других случаях. Обозначение: Р v Q, Р + Q (читается:
“Р или Q понимается как неразделительное “или”).
Отрицанием (инверсией) высказывания Р называется
высказывание, истинное, когда высказывание Р ложно, и
ложное - в противном случае. Обозначение: Р, "|Р (читает-
ся: “неР”, “неверно, что Р”).
Импликацией (логическим, следованием) двух высказыва-
ний Р и Q называется высказывание, ложное, когда Р истин-
но, a Q ложно; во всех других случаях - истинное. Обозначе-
ние: Р -+ Q, Р Q (читается: “если Р то Q”, “Р влечет Q”,
“из Р следует Q”). При этом высказывание Р называется по-
сылкой импликации, а высказывание Q - заключением.
114
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Эквивалентностью (эквиваленцией, равнозначностью)
двух высказываний Р и Q называется высказывание, истин-
ное, когда истинностные значения Р и Q совпадают, и лож-
ное - в противном случае. Обозначение: Р ~ Q, P = Q, P++Q
(читается: “Р эквивалентно Q”, “Р, если и только если Q",
“Р равнозначно Q”).
Неравнозначностью (исключающим “ИЛИ”, сложением
по модулю 2) двух высказываний Р и Q называется высказы-
вание, истинное, когда истинностные значения Р и Q не со-
впадают, и ложное - в противном случае. Обозначение: Р ф
©2 Р А 2идр. (читается: “либоР либо 2’> “илиД или 2’;
понимается - в разделительном смысле).
Буквы, обозначающие высказывания, логические связки
и скобки.составляют алфавит языков логики высказываний,
алгебры логики и исчисления высказываний. С помощью
элементов алфавита можно построить разнообразные логи-
ческие формулы. Дадим в качестве примера более точное
определение логической формулы, как это принято в мате-
матической логике. Будем называть выражение, составлен-
ное из обозначений высказываний и связок (и, разумеется,
скобок), - логической формулой, если оно удовлетворяет сле-
дующим условиям:
•	любая переменная, обозначающая высказывание, - фор-
мула;
•	если Л и В - формулы, то (А & В), (Р v Q), (1Л), (Р	(J )
(Р ~ 2)> (Р © 2) ~ формулы;
•	других формул нет.
Пример 1. Представить логическими формулами следу-
ющие высказывания:
1.	“Сегодня понедельник или вторник”.
2.	“Идет дождь или снег”.
3.	“Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а кры-
ши мокрые”.
4.	“Что в лоб, что по лбу”.
> 1. Составное (сложное) высказывание “Сегодня поне-
дельник или вторник” состоит из двух простых:
А - “Сегодня понедельник”;
§41 Основные понятия	I |J
В - "Сегодня вторник .
Высказывания А, В соединены связкой 'или” очевидно ь
разделительном смысле, т.е. - ®. Таким образом, данное выс-
казывание представимо логической формулой:
4 ® В
Пр н:: е ч а н я г Внешние	тлп; , ..й ф.-.р-; ,г г,ят >
2.	Высказывание "Иде г дождь и ли сне!	... инн из
двух простых, соединенных связкой "или”
А - "Идет дождь”;
В - "Идет снег”.
Но в отличие от предыдутцет о связка "или’ ш пользована
здесь не в разделительном смысле, поэтому - v и логическая
формула имеет вид:
А , а.
3.	Сложное высказывание "Вели идет дождь, то крыши
мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые включас т два дрис гьи
высказывания:
А - "Идет дождь”,
В - "Крыши мокрые .
В нервом предложении "Ьл.ли и дет цижць, то крыши мок-
рые Высказывания .1, b соединены овяэкоИ если ... ш
т > В
Во Втором Дождя H.l a kpcliifH iSiOKptlc ' СОЮЗ a t
имеет смысл связки "и" и кроме того высказывание т
следует взять с отрицанием (Id j.
Ъ & В
Остается объединиль представленные выше два высказы-
вания в одно связкой &:
(А -> В) & (Ъ & В)
4.	Высказывание “Что влоб, что но лбу1' е. шт обомтачить
А - “В лоб”,
В-“По лбу”,
представимо логической формулой
А~В.
116	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Пример 2. Записать логическими формулами следующие
сложные высказывания:
1. “Если допоздна работаешь с компьютером и при этом
пьешь много кофе, то утром просыпаешься в дурном распо-
ложении духа или с головной болью”.
2. “Если социологические исследования показывают, что
потребитель отдает предпочтение удобству и многообразию
выбора, то фирме следует сделать упор на усовершенствова-
ние товара или увеличение многообразия новых форм”.
Сравнить логические формулы и сделать выводы.
> 1. Первое составное высказывание состоит из следую-
щих простых:
X— “Допоздна работаешь с компьютером”.
Y-“Пьешь много кофе”.
Z- “Утром встаешь в дурном расположении духа”.
U—“Утром встаешь с головной болью”.
С учетом введенных обозначений простых высказываний и
определенных выше логических связок сложное высказывание
может быть представлено символьно в виде следующей логи-
ческой формулы:
(Х& Y)^> (Zv U).
2. Второе составное высказывание состоит из следующих
простых:
X— “Социологические исследования показывают, что по-
требитель отдает предпочтение удобству”.
Y- “Социологические исследования показывают, что по-
требитель отдает предпочтение многообразию выбора”.
Z- “Фирме следует сделать упор на усовершенствование
товара”.
U- “Фирме следует сделать упор на увеличение многооб-
разия новых форм”.
Логическая формула второго составного высказывания:
(Х& У)-> (Zv U).
Как видим из примеров, оба составных высказывания
описываются одной и той же формулой, хотя имеют различ-
ное содержание (символы высказываний X. Y Z, U содержа-
тельно различным образом интерпретируются).
£ 4.1. Основные понятия
117
В логике изучается строение сложных логических выска-
зываний, выраженных формулами, вне зависимости от содер-
жания составляющих их простых высказываний. Поэтому
данные высказывания логически неразличимы. Истинност-
ное значение этих и любых других сложных высказыва-
ний, описываемых данной логической формулой
(X & У) -> (Z v U), будет определяться только тем, истинно
или ложно каждое входящее в них высказывание X Y, Z, U.
Поскольку каждое из этих высказываний может быть либо
истинным, либо ложным, т.е. может иметь одно из двух значе-
ний, то нетрудно видеть, что данная формула (составное выс-
казывание), включающая четыре символа простых высказы-
ваний, имеет 42 = 16 различающихся логических интерпре-
таций (наборов значений составляющих ее высказываний).
При этом содержательных интерпретаций этой формулы,
очевидно, бесконечное множество.
Пример 3. Представить логической формулой следую-
щий текст (составное высказывание):
«Если фирма продолжает выпуск существующего про-
дукта и ориентирована на существующий рынок, то для
нее целесообразна стратегия "‘малого корабля”, или эко-
номии издержек. Такая стратегия привлекательна, если ин-
тенсивный маркетинг - стратегический хозяйственный
фактор, но слабая сторона организации. Если интенсив-
ный маркетинг является стратегическим хозяйственным
фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует
придерживаться стратегии захвата новых рынков для су-
ществующего продукта.»
> Введем обозначения простых высказываний, содержа-
щихся в первом предложении:
А - “Фирма продолжает выпуск существующего про-
дукта”.
В - “Фирма ориентирована на существующий рынок”.
С - “Для фирмы целесообразна (привлекательна) страте-
гия «малого корабля»”.
D - “Для фирмы целесообразна (привлекательна) страте-
гия экономии издержек”.
118	Ггава 4 1JO1 ИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
С учетом введенных обозначений логическая формула для
первого предложения примет вид:
(А & В) (С ~ D).
Второе предложение содержит новые простые высказывания:
К - “Интенсивный маркетинг является стратегическим
хозяйственным фактором организации”.
L - “Интенсивный маркетинг является слабой стороной
организации”.
Логическая формула, представляющая второе предложение:
(К & L) (С ~ D).
В третьем предложении содержатся новые простые выс-
казывания:
М- “Интенсивный маркетинг является сильной стороной
организации”.
tV - “Фирме следует придерживаться стратегии захвата
новых рынков для существующего продукта”.
Логическая формула для третьего предложения:
Окончательно текст записывается следующей логической
формулой:
((А & В)(С ~ £>)) & ((К	D)) &\(К. & М)N).
Пример 4. Записать формулами логики высказываний два
способа доказательства равенства множеств, вытекающие из
определений I и II равенства множеств (см. § 1.1).
> Определения I и II равенства множеств, сформулиро-
ванные в конструктивном для доказательств виде (см. § 1.4,
примеры 1.2):
Определение!: множества X и У равны, если для любо-
го элемента а из того, что а принадлежит X. следуе г что л
принадлежит У, и иэ того, что а не принадлежит X. следует,
чго а не принадлежит У, или:
'X — Y, если из того, что а е X, следует а е У, и из того, что
а £ X, следует а <£ У”.
Определение II: множества X и У равны, если для лю-
бого элемента а из того, что а принадлежит X, следует, что
а принадлежит У, и из того, что а принадлежит У, следует,
что а принадлежит X, или:
§41 Основные понятия
119
“Х= Y, если из того, что а е Xследует а е К, и из того, что
а е Y, следует а е X”.
Обозначим простые высказывания:
А - “Элемент а принадлежит X т.е. а е X”.
В - “Элемент а принадлежит Y, т.е. а е У”.
С-“Множества X и У равны, т.е. Х= У”.
Тогда процедура доказательства равенства множеств, ис-
ходя из определения I:
“Если из А следует В, и из ~[А следует ~]в, то С ”, или
((А В) & (14 -> 1В)) -> С.
В соозветствии с определением II процедура доказатель-
ства равенства множеств:
“Если из А следует В, и из В следует Л, то С”, или
((В -> А) & (В А)) -> С.
Упражнения
1. Исходя из определения логической формулы, опреде-
лить, являются ли формулами следующие выражения:
а)	(((J v В)-ЙС) ~ Z>) d ((Л ® С)->	).
б)	((А © 1В) С) ~ ( D & В ).
2,	Записать логическими формулами следующие сложные
высказывания:
а)	“Этот человек студент или предприниматель”.
б)	“Петров женат на Марье Ивановне или Лукерии Ильи-
ничне”.
в)	“Если при выполнении программы отклонение конт-
ролируемых параметров превышает предусмотренные нор-
мы (стандарты), то требуется оперативная корректировка
программы или уточнение стандартов”.
3.	Представить формутами логики высказываний следу-
ющие суждения (сложные высказывания):
а)	“Если темпы роста рынка продукта корпорации высо-
кие и размер контролируемой ею доли рынка также высок,
то в соответствии с матрицей портфельного анализа этот
продукт относится к категории «звезда»; он дает большой
доход, но требует значительных вложений”.
б)	“Стратегическая хозяйственная единица корпорации
занимает сильные позиции на рынке и работает в привлека-
120
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
тельной отрасли, следовательно, имеет наиболее высокий
приоритет при распределении ресурсов”.
в)	“Если стратегическая хозяйственная единица корпора-
ции - лидер в непривлекагельной (возможно, старой) отрас-
ли, ее стратегией может быть максимизация прибыли на уже
вложенный капитал, но не вложение нового”.
г)	“Если при высокой доле рынка темпы роста рынка
низкие, то продукт относится к категории «денежного меш-
ка», или «дойной коровы»; он дает большие доходы и ха-
рактеризуется малыми затратами в связи со стабильностью
рынка”.
д)	“Если прогноз показывает, что можно получить круп-
ную прибыль на выпуске новых товаров, то при разработке
стратегии развития фирме следует сделать упор на марке-
тинг и сеть распределения, а также целесообразно открыть
более крупные магазины и расширить торговую сеть”.
е)	“В ситуации, где жизненно необходимо расширение
фирмы или где ключевые патенты или ключевые ресурсы
находятся в руках у других компаний, а данной фирме недо-
стает технических знаний, лучшей стратегией для нее явля-
ется приобретение (предприятий)”.
4.	Записать логической формулой следующий текст:
“Если компьютер при запуске не выдает ошибку при про-
верке оперативной памяти, то она исправна. Если при запус-
ке он выдает ошибку при проверке оперативной памяти и
память установлена правильно, то либо оперативная память
дефектна, либо дефектна материнская плата. Тогда если эта
оперативная память правильно установлена в другой (конт-
рольный) компьютер и он при запуске не выдает ошибку при
проверке оперативной памяти, то оперативная память ис-
правна”.
5.	Записать логической формулой следующую посло-
вицу:
“Не ел - не мог, поел - без ног”.
6.	Составить таблицы Кэли для основных логических свя-
зок - бинарных логических операций.
§4.2. Основные схемы логически правильных рассуждений 121
§ 4.2.	Основные схемы логически правильных
рассуждений
Наряду с алфавитом и правилами построения сложных выс-
казываний - логических формул, языки логики высказываний
содержат правила преобразования логических формул’. Прави-
ла преобразования реализуют общелогические законы и обес-
печивают логически правильные рассуждения. Корректность
допустимых в логике преобразований является фундаменталь-
ным свойством формальной (математической) логики.
Если описание системы (процесса, явления и т.п.) пред-
ставлено совокупностью сложных высказываний - логичес-
ких формул, истинных для данной системы (в данной ин-
терпретации ее простых высказываний), то с помощью
допустимых преобразований имеющихся логических пред-
ставлений о системе может быть выполнен их анализ (син-
тез), могут быть получены новые представления, характери-
зующие указанную систему (истинные для данной системы)
и т.п. Таким образом, с помощью допустимых в логике пре-
образований появляется возможность получения новых зна-
ний из имеющихся.
Процесс получения новых знаний, выраженных высказы-
ваниями, из других знаний, также выраженных высказыва-
ниями, называетсярассуждением (умозаключением). Исход-
ные высказывания называются посылками (гипотезами, ус-
ловиями), а получаемые высказывания - заключением
(следствием).
Приведем примеры наиболее употребимых схем логичес-
ки правильных рассуждений'.
1.	Правило заключения - утверждающий модус (Modus
Ponens):
“Если из высказывания А следует высказывание В и
справедливо (истинно) высказывание А, то справедливо В”.
Обозначается:	Я —> В Л
~В
* В алгебре логики - это эквивалентные соотношения, а также правило под-
становки и правило замены; в исчислении высказываний - это общелоги-
ческие аксиомы и правила подстановки и заключения, называемые прави-
лами вывода.
122	Глава 4 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
2.	Правило отрицания - отрицательный модус (Modus
Tollens):
“Если из А следует В, но высказывание В неверно, то
неверно А:
А->В,~[В .
1а
3.	Правила утверждения-отрицания (Modus Ponendo-
Tollens):
“Если справедливо или высказывание А, или высказыва-
ние В (в разделительном смысле) и истинно одно из них, то
другое ложно”:
А® В, А ; А® В, В .
~"1S“ ~а
4.	Правила отрицания-утверждения (Modus Tollen-
Ponens):
а)	“Если истинно или А, или В (в разделительном смыс-
ле) и неверно одно из них, то истинно другое”:
А®В,1А ; А Ф В, \в .
В	А
б)	“Если истинно А или В (в неразделительном смысле)
и неверно одно из них, то истинно другое”:
Л у В, ~|л ; А уВ.ДВ .
В	А
5.	Правило транзитивности (упрощенное правило силло-
гизма):
“Если из А следует В, а из В следует С, то из А следует С”:
А^В, В-*С
А->С
6.	Закон противоречия:
“Если из А следует В и "|В, то неверно А”-.
А В, А->1В
\А
7.	Правило контрапозиции:
“Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует,
что неверно А”:
8.	Правило сложной контрапозиции:
“Если из Л и В следует С, то из Л и "|С следует "|В”:
$42 Основные схемы логически правильных рассуждений 123
(А &В) -> С
(Л <&1С)-> V
9.	Правило сечения:
“Если из А следует В, а из В и С следует Р, то из Л и
С следует Р:
А^В, (В&О^Р
(А & С)->Р
Приведем без пояснений еще несколько правил умозак-
лючений.
10.	Правило импортации (объединения посылок):
А^>(В-+С)
(А & В) -> С
11.	Правило экспортации (разъединения посылок):
(А & В)С
А (В-> С)
12.	Правила дилемм:
а) Л -» С, В С, Ау В ; б) Л -> В, Л -» С, 1В v 1С;
С	И
в) А->В, С ^>Р, Ау С  г) Л-»В, С—>Р,~\Ву~\Р
ВуР	1Л v "|с
Примечание. Для построения логических формул, отражающих указан-
ные выше логически правильные рассуждения, следует все посылки соеди-
нить связкой “И” (&) и полученную таким образом обобщенную посылку -
связкой “если ..., то ...” (->). Например, правило заключения (Modus Ponens)
должно быть представлено логической формулой
Л	=>	((Л В) & А) В
Примерами рассуждений, не являющихся правильными,
могут служить:
aS А -^> В, В ; б) Л —> В, |л ; f ) Л v В, Л и др.
А	Ъ	~\В
Для того чтобы проверить, является ли данное умозак-
лючение логически правильным, следует восстановить
схему рассуждения и определить, относится ли она к схе-
мам логически правильных рассуждений. Однако такая
проверка осложняется тем, что схем логически правиль-
ных рассуждений бесконечное множество. Для проверки
правильности рассуждений может быть использован ме-
124	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
тод доказательства от противного (закон противоречия -
правило 6), однако такая проверка может оказаться тру-
доемкой (см. пример 4). Далее на примере алгебры логи-
ки будут показаны простые способы проверки правиль-
ности рассуждений.
Пример 1. К каким схемам относятся следующие рассуж-
дения:
1.	“Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил
задания. Он не выполнил задания. Следовательно, он отсут-
ствовал на работе”.
2.	“Этот человек студент или предприниматель. Он сту-
дент. Следовательно, не предприниматель”.
3.	“Этот человек постоянно живет в Москве или Санкт-
Петербурге. Он живет в Москве. Следовательно, он не жи-
вет в Санкт-Петербурге.”
4.	“Сегодня понедельник или вторник. Сегодня вторник.
Следовательно сегодня не понедельник”.
Являются ли данные рассуждения логически правиль-
ными?
> 1. Обозначим в скобках каждое из простых высказыва-
ний первого рассуждения: “Если рабочий отсутствовал на
работе (Я), он не выполнил задания (В). Он не выполнил за-
дания (В). Следовательно, он отсутствовал на работе (Л)”.
Схема данного рассуждения
А^В, В
А
относится к схеме (а) неправильных рассуждений, следова-
тельно, это рассуждение неверно.
2.	“Этот человек студент (А) или предприниматель (В). Он
студент (Л). Следовательно, не предприниматель (1В)”.
Учитывая то, что в первом предложении союз “и” исполь-
зован в неразделительном смысле, схема данного рассужде-
ния имеет вид:
Л у В, А.
1в
Схема соответствует схеме (в) неправильных рассуждений,
поэтому данное рассуждение также является неправильным.
§ 4.2. Основные схемы логически правильных рассуждений 125
3.	“Этот человек постоянно живет в Москве (А) или Санкт-
Петербурге (В). Он не живет в Москве (14). Следовательно,
он живет в Санкт-Петербурге (В)”.
Рассуждение правильное, так как его схема представляет
правило правильных рассуждений (см. правило 4, а):
А® В, 1а
В
4.	“Сегодня понедельник (А) или вторник (В). Сегодня
вторник (В). Следовательно, сегодня не понедельник (14)”.
Союз “или” здесь использован в разделительном смысле,
поэтому рассуждение правильное, так как относится к схе-
мам правильных рассуждений (см. правило 3):
А®В, В
Пример 2. Записать логической формулой следующее
умозаключение:
“Если фирма приглашает на работу крупного специалис-
та в области новейшей технологии, то она считает ее при-
влекательной и разворачивает работы по изменению техно-
логии производства своего традиционного продукта или на-
чинает разработку нового продукта. Конкурирующая фирма
пригласила на работу крупного специалиста в области но-
вейшей технологии. Следовательно, она разворачивает ра-
боты по изменению технологии производства выпускаемого
продукта или разработке нового продукта.”
Уточнить справедливость данного умозаключения.
> Выделим простые высказывания и примем обозначе-
ния:
А - “Фирма приглашает на работу крупного специалиста
в области новейшей технологии”.
В - “Фирма считает данную новейшую технологию при-
влекательной”.
С - “Фирма разворачивает работу по изменению техноло-
гии производства своего традиционного продукта”.
D - “Фирма начинает разработку нового продукта”.
С учетом принятых обозначений умозаключение примет вид:
“Если А, то В и (Сили/)). А. Следовательно, СилиD.”
126	Глава 4 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Используя логические связки, получим окончательно:
((Л -> (В & (С v £>))) & А) -> (С v D).
Для проверки правильности умозаключения восстановим
схему рассуждения и сравним ее со схемой правила заклю-
чения 1:
Л-» (В <& (С v D)), А
CvD.
В соответствии с этим правилом истинно заключение
В & (С v D). Конъюнкция двух высказываний В и (С у D)
истинна, если истинны оба высказывания. Полагая, что В ис-
тинно (что видно из контекста), истинно также (С у D). Таким
образом, данное умозаключение верно при истинности В.
Пример 3. Записать логической формулой следующее
краткое изложение очередного TV сериала:
“Если Марианна - не дочь дона Педро, то либо Хосе Игна-
сиас - отец Марианны, либо Луис Альберто - не ее брат. Если
Луис Альберто - брат Марианны, то Марианна - дочь дона
Педро и Хосе Игнасиас лжет. Если Хосе Игнасиас лжет, то
либо Луис Альберто - не брат Марианны, либо Хосе Игнаси-
ас - ее отец. Следовательно. Марианна - дочь дона 11едро.”
> Введем обозначения для простых высказываний, содер-
жащихся в тексте:
А - “Марианна - дочь дона Педро”.
В - “Луис Альберто - не брат Марианны”.
С - “Хосе Игнасиас - отец Марианны”.
D - “Хосе Игнасиас лжет”.
С учетом принятых обозначений первые три предложе-
ния текста могут быть представлены в виде следующих фор-
мул соответственно:
(Ъ-> (С ©В));	(]В (А & £>));	(D->(B©Q).
В первом и третьем высказываниях использована связка
неравнозначности ®, так как, очевидно, связка “либо ... ,
либо” использована в тексте в разделительном смысле. Кро-
ме того, из контекста ясно, что высказывания Л и С не могут
выполняться одновременно, поэтому получаем еще одно ис-
тинное высказывание:
(Л® С).
§42 Основные схемы логически правильных рассуждений 127
В результате получаем составное высказывание:
(14 -> (С Ф В)) & (1в -> (Л & £>)) & (Р (В Ф О) & (Л Ф Q.
Оно является посылкой для следствия (последнего пред-
ложения в тексте) - А, Поэтому окончательно логическая фор-
мула, отражающая логические связи между высказывания-
ми А, В, С, D, примет вид:
((Ъ •-> (СФ В)) & (1В -> (Л <£ £>)) &(£)-> (В Ф С)) &
&(А Ф Q) -> А.
Пример 4. Доказать справедливость (истинность) умозаклю-
чения из примера 3, используя правило 6 правильного рассуж-
дения - закон противоречия (доказательство от противного).
> Схема рассуждения, отражающая закон противоречия
(правило 6), имеет вид:
“Если из F следует G и 1G, то неверно F
F^G, F—>"\G
Т
В соответствии со схемой предположим, что полученная
в предыдущем примере логическая формула F ложна. Тогда
в соответствии с законом противоречия, если обнаружится
некая подформула G такая, что из принятого предположения
следуют одновременно ее истинность и ложность, т.е. G и
1G, то данное предположение относительно F (F ложно) не-
верно, следовательно, справедливо If (неверно, что F лож-
но), т.е. F - истинно.
В последующих рассуждениях будем использовать знак
=> при фиксации истинностного значения (И - истина, Л -
ложь) формулы.
Итак, пусть F => Л, т.е.
((14 -> (С Ф ВУ) & (\В -> (А & D)) & (D	(В Ф Q) & (А Ф Q) ->
=>Л.
Это возможно в единственном случае - если посылка
внешней (крайней справа) импликации истинна, а заключе-
ние ложно (см. определение импликации в § 4.1), т.е.
(14 -> (С Ф В)) & (]В (А & D)) &(£)-> (В Ф Q) & (1)
&(А Ф С) => И,
А => Л.	(2)
128_________Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ__________
В свою очередь, формула (1) представляет собой конъюн-
кцию четырех подформул. В соответствии с определением
конъюнкции (см. § 4.1) конъюнкция истинна в единствен-
ном случае - если истинны все ее составляющие подформу-
лы, т.е.
Ън>(С®В)^>И;	131
Дв -> (А & Р) => И;	(4)
Р (В ® Q => И;	(5)
А ® С => И.	(6)
В соответствии с (2) А => Л. Тогда в формуле (6) по опре-
делению неравнозначности (см. §4.1) Л ® С => И в един-
ственном случае, если
С=>И.	(7)
Рассмотрим формулу (3). Так как А => Л (см. (2)), то по
определению отрицания (см. § 4.1) посылка импликации
=> И. Тогда импликация ~U —> (С ® В) => И в единствен-
ном случае, когда С ® В => И. Но в соответствии с (7) С => И.
Поэтому по определению неравнозначности возможен един-
ственный случай:
В =>Л.	(8)
Рассмотрим наконец формулу (4). Так как В =>77 (см. (8)),
то посылка импликации => И. Импликация 1# -> (А & Р) =>
=> И в единственном случае, если А & Р => И. Но по опреде-
лению конъюнкции для ее истинности требуется, чтобы оба
высказывания были истинными, в частности:
А => И.	(9)
Сравнивая (2) и (9), обнаруживаем противоречие. Следо-
вательно, в соответствии с законом противоречия наше пред-
положение о том, что F ложно, неверно и справедливо
~\F, т.е F истинно. Таким образом, соответствующая исход-
ной формуле схема рассуждения
~\А^>(С®В\ ~\В^>(А&Р\ Р^(В®О, а® с
А
является логически правильной, что и требовалось доказать.
Упражнения
1.	К каким схемам рассуждений относятся следующие рас-
суждения:
§42 Основные схемы логически правильных рассуждений 129
а)	“Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил
задания. Он отсутствовал на работе. Следовательно, он не
выполнил задания.”
б)	“Петров женат на Марье Ивановне или Лукерии Ильи-
ничне. Он женат на Марье Ивановне. Следовательно, он не
женат на Лукерии Ильиничне.”
в)	“Идет дождь или снег. Идет дождь. Следовательно, не
идет снег.”
г)	“Если при выполнении программы отклонение контро-
лируемых параметров превышает предусмотренные нормы
(стандарты), то требуется оперативная корректировка про-
граммы или уточнение стандартов. Выявленное отклонение
превышает стандарты. Следовательно, требуется корректи-
ровка программы или уточнение стандартов.”
Являются ли данные рассуждения логически правиль-
ными?
2.	Записать логической формулой следующие умозаклю-
чения и уточнить их справедливость:
а)	“Если фирма ориентирована на усиление маркетинга и
сети распределения, то она намерена получить крупную при-
быль на выпуске новых товаров. Если фирма предусматри-
вает открытие более крупных магазинов и расширение тор-
говой сети, то она намерена получить крупную. фибыль на
выпуске новых товаров. Фирма предусматривает усиление
маркетинга и сети распределения или собирается открыть
более крупные магазины и расширить торговую сеть. Сле-
довательно, она намерена получить крупную прибыль на вы-
пуске новых товаров”.
б)	“Если капиталовложения останутся постоянными, то
возрастут правительственные расходы или возникнет безра-
ботица. Если правительственные расходы не возрастут, то
налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капи-
таловложения останутся постоянными, то безработица не
возрастет. Следовательно, правительственные расходы воз-
растут ” *
в)	“Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо
Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убий-
‘ Мендельсон Э Введение в математическую логику. М.. 1971. С.31.
130
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
цей, то Джонс не встречал Смита этой ночью и убийство
имело место после полуночи. Если убийство имело место
после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс
лжет. Следовательно, Смит был убийцей *
3.	Придумать на произвольную тему умозаключение, реа-
лизующее какое-либо из правил 7-12 правильных рассуж-
дений.
§ 4.3. Алгебра логики
Как было отмечено выше (см. рис. 4.1), существуют два
подхода к построению логики высказываний, которые обра-
зуют два варианта логики: алгебру логики и исчисление вы-
сказываний. Далее рассмотрим содержание логики выска-
зываний, используя язык алгебры логики. В алгебре логики
логические формулы рассматриваются как алгебраические
выражения, которые можно преобразовывать по определен-
ным правилам, реализующим логические законы. Алгебра
логики как раздел математической логики изучает строение
сложных логических высказываний (логических формул) и
способы установления их истинности с помощью алгебраи-
ческих методов.
Основные объекты, изучаемые в этом разделе, - формулы
алгебры логики, состоящие из букв, знаков логических опе-
раций и скобок. Буквы обозначают логические (двоичные)
переменные, которые принимают только два значения -
“ложь” и “истина”. Знаки операций обозначают логические
операции (логические связки). Каждая формула задает логи-
ческую функцию - функцию от логических переменных, ко-
торая сама может принимать только два логических значе-
ния.
Итак, пусть В = {0, 1} - бинарное множество, элемента-
ми которого являются формальные символы 1 и 0, не имею-
щие арифметического смысла и интерпретируемые как {“да”,
“нет”}, {“истинно”, “ложно”} ит.д.
Алгебра логики - алгебра, образованная множеством
В ={0, 1} вместе со всеми возможными операциями на нем.
* Мендельсон Э Введение в математическую логику. М.. 1971. С.31.
£ 4.3. Алгебра логики
131
Функцией алгебры логики (или логической функцией) f
от п переменных f (х х2, ..., хи) называется п-арнаялогичес-
кая операция на В, т.е. В. Множество всех логичес-
ких функций (логических операций) обозначается Р2, мно-
жество всех логических операций п переменных - Р2 (п).
Любую логическую функцию f (х.... , хп) можно задать
таблицей истинности, в левой части которой выписаны все
возможные наборы значений ее аргументов х ,..., х , а пра-
вая часть представляет собой столбец значений функций,
соответствующих этим наборам. Набор значений перемен-
ных, на котором функция принимает значение/1, называ-
ется единичным набором функции f; множество всех еди-
ничных наборов - единичным множеством функции f Ана-
логично набор значений, на котором f = 0, называется
нулевым набором функции / а множество нулевых наборов -
нулевым множеством.
Число всех возможных различающихся наборов значений
п переменных логической функцииДхр..., х) равно 2" (рав-
но числу всех возможных двоичных векторов длины п). Число
всех различных функций п переменных равно числу возмож-
ных расстановок нулей и единиц в столбце с 2" строками, т.е.
|Р2(и)1 = 22".
Особую роль в алгебре логики играют логические функ-
ции одной и двух переменных - унарные и бинарные логи-
ческие операции, так как очевидным образом интерпретиру-
ются естественными логическими связками “не”, “и”, “или”
и т.д., широко используемыми при описании систем, явле-
ний, формализации рассуждений и пр.
Множество всех логических функций одной переменной
Р2(1) - унарных логических операций - представлено в табл.
4.1 своими таблицами истинности, |Р2(1)| = 4:
ср0 и ср3 — константы 0 и 1 соответ-
ственно. Значения этих функций не	Таблица 4.1
зависят от переменной х, в таких слу-
чаях говорят, что переменная х явля-
ется несущественной (фиктивной)
для этих функций;
(Р](х) =х (повторение переменной),
(р2(х) = х - отрицание переменной.
X	Фо	Ф1	ф2	Фз
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1
	0	X	х	1
132
Глава 4 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Множество всех логических функций двух переменных
Р2(2) - бинарных логических операций - представлено в
табл. 4.2 своими таблицами истинности; |Р2(2)| = 16 функ-
Таблица 4.2
	<Ро	Ф1	ф2	<₽3	ф4	ф5	Фб	Ф,
0 0	0	0	0	0	0	0	0	0
0 1	0	0	0	0	1	1	1	1
1 0	0	0	1	1	0	0	1	1
1 1	0	1	0	1	0	1	0	1
	Кон-	Конъ-		Пере-		Пере-	Сложе-	Дизъ-
	стан та	ЮНК-		менная		менная	ние по	ЮНК-
	0	ция				Х2	моду-	ция
							Л1 2	
	0	&		Х1		Х2	&	V
Продолжение таблицы
Х,Х2	Ф8	%	Фю	Фо	Ф>2	Фв	Ф14	Ф15
00	1	1	1	1	1	1	1	1
0 1	0	0	0	0	1	1	1	1
1 0	0	0	1	1	0	0	1	1
1 1	0	1	0	1	0	1	0	1
	Стрелка	Экви-	Отри-		Отри-	Импли-	Штрих	Кон-
	Пирса	валент-	цание		цание	кация	Шеф-	станта
		ность	Х2		xi		фера	1
	4		*2	<—	xi	—>	1	1
ций, из которых шесть имеют фиктивные переменные.
В двух нижних дополнительных строках таблицы указаны
наиболее употребимые наименования логических операций
и их обозначения, которые, однако, не являются единствен-
ными.Например:
х2) - конъюнкция (логическое умножение, операция
И), обозначается: xt&х2, х(- х2 (часто х, х2), х,л х2;
Ф7(хр х2) - дизъюнкция (логическое сложение, операция
ИЛИ), обозначается: XjV х, иногда xt + x2(mod 2) и т.п.
Логические функции трех и более переменных обычно за-
даются (наряду с таблицами истинности) также формулами,
состоящими из символов переменных и знаков унарных и
§43 Алгебра логики
133
бинарных операций. Например, выражение f (хгх2,х3) =
= (х, v х2) -> (Х[& х3) означает, что функция трех переменных
f задана формулой, состоящей из символов этих перемен-
ных X], х2, х3, над которыми выполняются одна унарная
операция отрицания и три бинарные операции: дизъюнкция
(v), импликация (->) и конъюнкция (&).
Наиболее употребимыми являются операции: -, v , &,
Ф, |, ф. Значение любой логической формулы, со-
держащей знаки этих операций, можно вычислить для лю-
бого набора значений переменных, используя табл. 4.1 и
4.2.
Таким образом, формула наряду с таблицей служит спо-
собом задания и вычисления функции. В общем случае фор-
мула описывает логическую функцию как суперпозицию дру-
гих более простых функций.
Эквивалентными, или равносильными, называются фор-
мулы, представляющие одну и ту же функцию (эквивалент-
ность формул в алгебре логики обозначается знаком = ).
Стандартный метод установления эквива-
лентности двух формул:
1) по каждой формуле восстанавливается таблица истин-
ности;
2) полученные таблицы сравниваются по каждому набо-
ру значений переменных (стандартный метод требует 2 •2”
вычислений).
Пример 1. Логическая функция трех переменных задана
формулой в префиксной форме:
/(xr х2, х3) =/,(/ (х3, х1),/2(х1,/3(х1, х2))).
Представить f в инфиксной форме, если fv fv f2- би-
нарные операции: j\ -&, f2~ Ф, /3 - v.
Вычислить значение функции на наборе (0, 1, 1): х = О,
х2= 1, х3= 1.
> Инфиксная форма заданной логической функции:
/(хг Х2, Х3) = (хз & X]) V (х,Ф (х, V Х2)).
Вычислим значение/на наборе (0,1,1), для чего в полу-
ченную формулу подставим значения переменных и восполь-
зуемся табл. 4.2:
134
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
/(О,1,1) = (1 & О) V (О ® (О v 1)) = 1.
Таким образом, анализ показал, что составное высказы-
вание, построенное из трех простых высказываний таких,
что х] - ложно, х2 и х3 - истинны, с помощью логических
связок: & - “И”, v - “ИЛИ”, ® - “ЛИБО... , ЛИБО”, - ис-
тинно.
Пример 2. Составить таблицу истинности функции трех
переменных, заданной формулой:
/(х,, Х2, X,) = (х, v х2) -> (х, & х3).
> Для построения таблицы истинности f вычислим ее
значения на каждом из восьми наборов значений, используя
табл. 4.1 и 4.2.
Таблица 4.3
	*1	x,vx2	X! & X,	(х (v х2) —> (х & & х3)
ООО	1	1	0	0
00 1	1	1	0	0
0 1 0	1	1	0	0
. 0 1 1	1	1	0	0
1 00	0	0	0	1
1 0 1	0	0	1	1
1 1 0	0	1	0	0
11 1	0	1	1	1
Пример 3. Доказать эквивалентность (равносильность)
формул:____________
а)	х |x2=Xj&x2 =x,vx2;	(4.1)
б)	х]Фх2- X]VX2 = х,&.х2.	(4.2)
> Для доказательства эквивалентности формул использу-
ем стандартный метод, для чего составим таблицы истинно-
сти каждой из указанных формул (используя при этом табл.
4.1 и 4.2).	_____
Формулы х)|х2,х1&х2 HX]Vx2 принимают одинаковые
значения на одних и тех же наборах значений (столбцы, соот-
ветствующие этим формулам, помечены в табл. 4.4 меткой *),
§4.3 Алгебра логики
135
Таблица 4.4
		X*	Xj & Х2	X! & X*	*1	Х2	х, v х2*
0 0		1	0	1	1	1	1
0 1		1	0	1	1	0	1
1 0		1	0	1	0	1	1
1 1		0	1	0	0	0	0
следовательно, они представляют одну и ту же функцию. Та-
ким образом, X] | х2= х, &х2 и х, v х2.
Аналогично доказывается второй случай, что отражено в
табл. 4.5.
Таблица 4.5
х(х2	х(4х2*	X1VX2		*1	Х2	Х[ & X*
			x(vx2’			
0 0	1	0	1	1	1	1
0 1	1	0	1	1	0	1
1 0	1	0	1	0	1	1
1 1	0	1	0	0	0	0
Пример 4. Умозаключения, соответствующие схемам ло-
гически правильных рассуждений (см. § 4.2), истинны при
любых наборах значений входящих в них высказываний.
Подтвердить истинность правил 1 и 2 построением таблиц
истинности.
> Правила 1 и 2 представляются логическими формула-
ми (см. примечание на с. 123):
1. ((Л -> В) & А) -> В;2. ((А -> В) & 1В) -> Ъ.
Построенные таблицы истинности этих правил (табл. 4.6)
подтверждают их тождественную истинность при любых
значениях высказываний А, В.
Таблица 4.6
А В	А -+В	(Л->Д)&Л	Правило 1: ((А^&А) -	+ В	Ъ		(.(А-	+В)&]В	Правило 2:
00	1	0	1		1	1		1	1
0 1	1	0	1		1	0		0	1
1 0	0	0	1		0	1		0	1
11	1	1	1		0	0		0	1
136
Глава 4 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Упражнения
1.	Что означает запись f (хгх2,х3) =- g (х{, х2) 2
2.	Чему равно число различных логических функций трех
переменных?
3.	Представить префиксные формулы логических функ-
ций трех переменныхf (хгх2,х) в инфиксной форме, если -
v,
О/ (Ху /2WX|)'
2)	Л (/ (*3, хД /2(х,, Д3 (х,,/4 (х2))));
3)	/3 (/4 ОД/, (х2, /2(х3, /3 (х,, /4 (х3))))).
Вычислить f на наборах значений: а) (0, 1, 1), б) (1, 0, 1).
4.	Вычислить значения функций f (хг х х3) на наборах:
а) (0, 1,0);	б)(1, 1, 0).;
1)	(*, ~*2)->((*, &*3)v*2);
2)	((х3Ф х,) & х2) -> (х,v х3);
3)	((х2-> х3) & х,) ~ ((х, v х3) Ф хД
5.	Доказать справедливость следующих соотношений:
а)	х v (у v z) = (х vy) v z (ассоциативность дизъюнкции);
б)	х- (y-z) = (x-y)-z (ассоциативность конъюнкции);
в)	х-( у v z ) v y-z = х v y-z;
г)	х-(у v z) = х-у v x-z (дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции);
д)	х v (y-z) = (х vy)-(x v z) (дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции);
е)	х v х = х ;
ж)	X V х-у = X .
6.	Построением таблиц истинности подтвердить справед-
ливость (тождественную истинность) правил 4-8, 10-11
(см. § 4.2) логически правильных рассуждений.
§ 4.4. Булева алгебра. Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма
Как видно из предыдущих примеров, одна и та же логи-
ческая функция может быть задана формулами, включаю-
щими различные наборы логических операций. Например,
£ 4.4. Булева алгебра. Совершенная дизъюнктивн нориальн. форма 137
х( | х2=х, • х2 = х, v х2. Существуют наборы логических функ-
ций (операций), с помощью которых можно выразить лю-
бые другие логические функции. Такие наборы называют
функционально полными системами, или базисами. Функ-
ционально полные системы характеризуются определенным
набором свойств составляющих ее функций. Не останавли-
ваясь на этих вопросах*, приведем примеры функциональ-
но полных систем логических функций:
{&,v,K {&,!}, {v,U Ш, {^},	(4.3)
{&,©, 1 }, {->,!}, {V,-,©}, {&,-,©} и др.
Наиболее хорошо изученным является базис {&, v, 1}.
Формулы, содержащие кроме переменных (и скобок) только
знаки функций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания {&,
v, 1} (И, ИЛИ, НЕ), называются булевыми. Справедлива сле-
дующая теорема.
Теорема 1. Всякая логическая функция может быть пред-
ставлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция дизъ-
юнкции, конъюнкции и отрицания.
Из этого следует, что система булевых функций (опера-
ций) S = {&, v, 1} функционально полна.
Наряду с определением свойств функций набора для до-
казательства его функциональной полноты достаточно по-
казать, что через функции набора можно выразить дизъюнк-
цию, конъюнкцию и отрицание. Справедливо и более общее
утверждение.
Теорема 2. Если все функции функционально полной си-
стемы S * представимы формулами над S, то S также
функционально полна.
Алгебра (Р,; &, v, "I), основным множеством которой яв-
ляется множество всех логических функций Рэ, а операция-
ми - конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, называется бу-
левой алгеброй логических функций. Операции и формулы
булевой алгебры часто называют булевыми.
Система операций булевой алгебры { &, v, ~|} функцио-
нально полна. Это означает, что переход от табличного зада-
* См., например: [3, ч. III, разд. 5, гл. 2].
138	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ния любой логической функции к формуле булевой алгебры,
или булевой формуле, всегда возможен.
Способ перехода от табличного задания ло-
гической функции к булевой формуле: для каж-
дого набора значений переменных х,,..., х„, на котором фун-
кция f (xj,..., х„) равна 1, выписываются конъюнкции всех
переменных: над теми переменными, которые на этом набо-
ре равны 0, ставятся отрицания; все такие конъюнкции со-
единяются знаками дизъюнкции.
Полученная таким образом формула называется совершен-
ной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) логичес-
кой функции f (х,,..., х„).
Для каждой функции СДНФ единственна (с точностью
до перестановок переменных или конъюнкций). Например,
для функции, заданной табл. 4.3, СДНФ имеет вид (для удоб-
ства ее восприятия используем в формуле другой, более упот-
ребимый в алгебре логики символ конъюнкции):
Пример 1. В алгебре (Р2&, Ф, 1), называемой алгеброй
Жегалкина, ее сигнатура Е = {&, Ф, 1} является функцио-
нально полной системой. Это означает, что любая логичес-
кая функция может быть представлена формулой над Е, т.е.
формулой, содержащей только символы переменных, скоб-
ки и символы операций из {&, Ф, 1}.
Опираясь на теоремы 1 и 2, пояснить, почему для доказа-
тельства функциональной полноты {&, Ф, 1} достаточно под-
тверждения:
а)	х = хф 1,	(4.4)
б)	x,vx2= х1 • х2 Ф х1 Фх2.	(4.5)
Убедиться в справедливости указанных соотношений
стандартным методом доказательства эквивалентности
формул.
> Из теоремы 1 следует, что набор булевых функций
Е *={&, v, 1} функционально полон. В соответствии с теоре-
мой 2 для того, чтобы выяснить, является ли система
Е= {&, Ф, 1} функционально полной, достаточно показать,
§4 4. Булева алгебра. Совершенная дизъюнктивн нормальн. форма 139
что через операции X можно выразить операции булевого ба-
зиса £* = {&, v, 1}. Операция конъюнкции & - общая для
этих систем, остается показать, что другие булевы операции
- дизъюнкции (v) и отрицания (1) представимы через опе-
рации Е = {&, ф, 1}, что предлагается в (4.4) и (4.5).
Построенные таблицы истинности левых и правых час-
тей соотношений (4.4) и (4.5) (табл. 4.7 и 4.8) подтверждают
справедливость последних.
Таблица 4.7	Таблица 4.8
X	х’	1	хФГ
0	1	1	1
1	0	1	0
ХхХ2	х, v х;	Х,-Х2	X, • X, Фх,	X, • Х2 Фх, Фх2'
0 0 0 1 1 0 11	0 1 1 1	0 0 0 1	0 0 1 0	0 1 1 1
Пример 2. Логическую функцию трех переменных
f (Х], Х2, Х3) = (х, ~Х2 ) -> ((X) v хД & х2)
представить булевой формулой - в виде СДНФ.
> Для того чтобы воспользоваться описанной выше про-
цедурой построения СДНФ логической функции, заданной
небулевой формулой, восстановим по исходной формуле ее
таблицу истинности (табл. 4.9).
Таблица 4.9
X, Х2 Х3	Х2	х,-х2	x,vx3	(x,vxj&x2	(х,~х,)->(х^х3)&х2
ООО	1	0	0	0	1
00 1	1	0	1	0	1
0 1 0	0	1	0	0	0
0 1 1	0	1	1	1	1
100	1	1	1	0	0
1 0 1	1	1	1	0	0
1 1 0	0	0	1	1	1
1 1 1	0	0	1	1	1
Искомая СДНФ логической функции (опуская символ
конъюнкции)
f (Ху Х2, Х3У=Х\ х2 X, V у х2 Х3 V Х.Х^Хз V X, Х2 х3 V X] Х2 Ху
140
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Пример 3. Показать справедливость представления ос-
новных бинарных логических операций следующими буле-
выми формулами:
Х]—> х2= Xj м х2;	(4-6)
X) ~ х2= Х]Х2 v X) х2;	(4.7)
Xj®x2= XjX2v XjVx2;	(4.8)
X] | x2 = x, v x2;	(4.9)
х|Фх2 = х1х2.	(4.10)
Какие из этих операций представлены в виде СДНФ?
Определить СДНФ остальных операций.
> На основании таблиц истинности бинарных операций
(см. табл. 4.2) определим СДНФ операций:
х,—> х2= X] х2 vх, х2 v X] х2;
х, ~х2— Х]Х2 v х, х2;
х!®х2= X] х2 v x,vx2;
X] | х2= х, х2 v XjX2 v х, х2;
Xj 4- Х2~ X] х2.
Как видим, СДНФ операций ~ и Ф совпадают с задан-
ными формулами (4.7), (4.8). Справедливость булевых фор-
мул (4.9) и (4.10) для операций | и ф была подтверждена в
§ 4.3, примере 3 [см. формулы (4.1) и
(4-2)].
Остается подтвердить справедли-
вость соотношения (4.6) для операции
используя стандартный метод дока-
зательства эквивалентности формул.
Совпадение столбцов в табл. 4.10, по-
меченных *, свидетельствует об этом.
Таблица 4.10
Х,Х2				x,vx2’
00		1	1	1
01		1	1	1
10		0	0	0
11		1	0	1
Упражнения
1. Функциональной полнотой обладают “усеченные” на-
боры булевых операций {&, v, 1} (см. (4.3)):
а){<&Л};	6){v, ]}.
$ 4.4. Булева алгебра. Совершенная дизъюнктивн. нормальн. форма 141
Для подтверждения их функциональной полноты доста-
точно выразить дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание че-
рез функции этих наборов. Проверить (стандартным мето-
дом) справедливость подтверждающих это соотношений от-
носительно “недостающих” операций:
a)x,vx2 = xt&x2; б) х>& х2 = х, v х2.	(4.11)
2. Для доказательства функциональной полноты систем
{|} и {Ф}, состоящих из единственной операции, достаточ-
но показать (используя результаты упражнения 1), что соот-
ветственно:
1)	операции функционально полной системы {&, 1} пред-
ставимы через штрих Шеффера |:
а)х=х|х, б) х,&х2 = (х, |х2) | (х, | х2);	(4.12)
2)	операции функционально полной системы {v, 1} пред-
ставимы через стрелку Пирса Ф :
а)х=хФх, б) X]Vx2 = (X]Фх2)Ф(х,Фх2).	(4.13)
Проверить стандартным методом справедливость соотно-
шений (4.12) и (4.13), подтверждающих функциональную
полноту систем { |} и {ф} .
3.	Найти СДНФ логических функ-
ций трех переменных f заданных
в табл. 4.11.
4.	Получить СДНФ логической фун-
кции f (x,y,z\ используя табличное
представление функции, если f зада-
на булевой формулой:
1)	у-Z V Х-у V Х-z V Ху Z ;
2)	х-у v y-z v х • z v х -у- z ;
3)	x-z v y-z v х -у v х-у -z;
4)	х-у v x-z v y-z v х -y-z;
5)	y-z v х -z v x-y-z‘,
6)	x -z v y-z V x -у V x-y-z;
7)	x-y v y-z v x-z v x-(z v у);
8)	x-z v x-y v y-z v x-y-z;
9)	y- z v x -y v x -z v x-y-z;
10)	y-z V x-y V x-z v x-y-z 
Таблица 4.11
X у z	/,	Л		Л
000	0	0	i	0
00 1	0	0	0	1
0 1 0	0	1	0	0
0 1 1	1	1	1	1
i о о	1	0	1	1
1 0 1	0	1	0	0
1 1 0	1	1	1	1
i 11	1	1	0	0
142
Глава 4 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
5. Представить булевой формулой рассуждения из упраж-
нения 1 в § 4.2 и проверить их правильность (тождествен-
ную истинность) стандартным методом.
§ 4.5. Эквивалентные преобразования
При исследовании логических формул во многих случаях
требуются их корректные преобразования, гарантирующие
выполнение тех или иных условий и прежде всего позволя-
ющие получить новые формулы, эквивалентные данным, и
др. Корректность преобразований обеспечивается выполне-
нием следующих двух правил:
1. Правило подстановки формулы F вместо переменной х.
При подстановке формулы F вместо переменной х все
вхождения переменной х в исходное соотношение должны
быть одновременно заменены формулой F. Правило приме-
няется к эквивалентным соотношениям для получения но-
вых эквивалентных соотношений. Например, выше стандар-
тным методом была доказана эквивалентность соотношений:
xt • х2 = х, v х2. Если вместо всех вхождений переменной х в
данное соотношение подставить формулу F = х v х3, полу-
чим новое соотношение (Х] v х3)-х2 = (xj v x3)v х2, также эк-
вивалентное.
2. Правило замены подформул. Если какая-либо фор-
мула F, описывающая функцию /, содержит 7?1 в каче-
стве подформулы, то замена F{ на эквивалентную F2
(E'j = F2) не изменит функции /; полученная при такой
замене новая формула F' эквивалентна исходной F. Пра-
вило замены подформул позволяет, используя извест-
ные эквивалентные соотношения, получать формулы,
эквивалентные данной, в частности упрощать форму-
лы, облегчая последующий анализ логической функции,
и др.
Эквивалентные преобразования - преобразования, ис-
пользующие эквивалентные соотношения и правило заме-
ны. Эквивалентные преобразования (наряду со стандартным
методом) являются мощным средством доказательства эк-
вивалентности формул.
§45 Эквивалентные преобразования	143
Основные эквивалентные соотношения (за-
коны) в булевой алгебре.
Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции:
а)х1-(х2-х3) = (х,-х2)-х3 ~хрх2-х3,	(4.14)
б) X|V(x2VX3) = (X|VX2)VX3= x1vx2vx3.
Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции:
а)Х)-х2 =х2-Х], 6)xjvx2 =x2vx1.	(4.15)
Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:
Xf(x2vx3) =XfX2 v Х]-х3.	(4.16)
Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
xtv (х2-х3) = (X]V x2)-(x,vx3).	(4.17)
Идемпотентность:
а) хх = х, б) х v х = х.	(4.18)
Закон двойного отрицания:
% = х.	(4.19)
Свойства констант 0 и 1:
a)xl = x,	b)xv1=1,	д)0 = 1,	(4.20)
б)х-0=0, r)xv0=x,	е) 1 = 0 .
Правила де Моргана:
а) Л] -х2 = x,vx2; б) Xj v х2 = х,-х2.	(4.21)
Закон противоречия;
х-х =0.	(4.22)
Закон исключенного третьего:
х v х = 1.	(4.23)
Основные эквивалентные соотношения (4.14) - (4.23) от-
личаются тем, что:
а)	они не выводимы друг из друга; убедиться в их спра-
ведливости можно, используя стандартный метод доказатель-
ства эквивалентности формул;
144
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
б)	этих соотношений достаточно для выполнения любых
эквивалентных преобразований: для любых эквивалентных
формул F\ и F2 существует эквивалентное преобразование
F\ в F2 с помощью соотношений (4.14) - (4.23).
Другие соотношения, часто применяемые в преобразова-
ниях булевых формул, выводимы с помощью основных за-
конов. Рассмотрим некоторые задачи эквивалентных преоб-
разований в булевой алгебре и способы их решения.
1. Упрощение формул. Наряду с основными соотноше-
ниями для упрощения формул часто используются следую-
щие эквивалентные соотношения, выводимые из основных
с помощью эквивалентных преобразований:
a)xvxy = х, б) x-(xvy) = х - поглощение; (4.24)
х-у v х- у = х - склеивание;	(4.25)
x-z v у-z v х-у = x-z \jy-z- обобщенное склеивание; (4.26)
х vx -у = х vy.	(4.27)
2. Приведение к дизъюнктивной нормальной форме.
Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция пе-
ременных или их отрицаний, в которой каждая переменная
встречается не более одного раза.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется
формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюн-
кций. Примерами ДНФ являются формулы упражнения 4 в
§ 4.4. В таком случае совершенная ДНФ (СДНФ) - это ДНФ,
каждая элементарная конъюнкция которой включает все пе-
ременные с отрицаниями или без.
Процедура приведения к ДНФ:
1.	Все отрицания “спустить” до переменных с помощью
(4.19) и (4.21).
2.	Раскрыть скобки с помощью (4.14), (4.16),(4.17).
3.	Удалить лишние конъюнкции и повторения перемен-
ных в конъюнкциях с помощью (4.18), (4.22), (4.23).
4.	Удалить константы с помощью (4.20).
Процедура приведения ДНФ к СДНФ состоит в расщеп-
лении (обратном склеивании: использовании (4.25) в обрат-
ную сторону) конъюнкций, которые содержат не все пере-
менные.
£ 4.5. Эквивалентные преобразования	145
3. Приведение к конъюнктивной нормальной форме.
Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция пе-
ременных или их отрицаний, в которой каждая переменная
встречается не более одного раза.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется
конъюнкция элементарных дизъюнкций. Пример КНФ:
(х vy )-(х v z)-(x vyvz).
Пусть ДНФ Fимеет вид F = k2v ... v кт, где кх, к2,...,
кт - элементарные конъюнкции.
Процедура приведения ДНФ к КНФ:
1. Применить к F правило двойного отрицания
F = к, v к2 v ... v кт и привести v к2 v ... v кт к ДНФ
ii'v^v - v к'Р, где к[,к2, ... к' - элементарные конъюнк-
ции. Тогда
F = k7v ... v кт= к^ k2v ... v km = k\v k'^y ... v k'p',
2. С помощью правил де Моргана освободиться от второго
отрицания и преобразовать отрицания элементарных конъюн-
кций в элементарные дизъюнкции Dx, D7. ..., Dp. Тогда
F = к'у k'2v ... v к'р = к\ • к'2 • ... • к'р = D} D2 ... -Dp.
Совершенной КНФ (СКНФ) называется КНФ, каждая эле-
ментарная дизъюнкция которой содержит все переменные.
4. Двойственность. Функция f *(хь ... , х„) называется
двойственной к функции f(x{, ... , х„), если
/*(Х1, ..., х„) = /(х,,... ,х„).
Отношение двойственности между функциями симмет-
рично, т.е. если /* двойственна к /, то f двойственна к /*:
/(Х1,... ,х„) = f*(xx ,..., х„) = /*(х„ ... , х„).
Функция, двойственная к самой себе, называется само-
двойственной.
Принцип двойственности: если в формуле F, представ-
ляющей функцию/, все знаки функций заменить соответ-
ственно на знаки двойственных функций, то полученная
формула F* будет представлять функцию f *, двойствен-
ную /.
146__________Глава 4 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ_________________
Принцип двойственности в булевой алгебре, если в фор-
муле F, представляющей функцию/, все конъюнкции заме-
нить на дизъюнкции, дизъюнкции на конъюнкции, 1 на О, О
на 1, то получим формулу F*, представляющую функцию f *,
двойственную f.
Справедливо утверждение: если функции равны, т.е. f =
=/2, то и двойственные им функции равны, т.е. f * =/2*.
Пример 1. Доказать справедливость обобщенного склеи-
вания (4.26) методом эквивалентных преобразований (исполь-
зуя основные эквивалентные соотношения (4.14) - (4.23)).
> Выполним эквивалентные преобразования, указывая под
знаком равенства номер используемого соотношения:
xz v yz V ху = xz v yz V ху-1 = xz v yz v xy(z V z ) =
(4 20, а)	(4 23)	(4 16)
= xz v yz v xyzx/ xyz = xz v yz .
(4 24, a)
Подтвердим справедливость использованного выше соот-
ношения (4.24,а):
X V ху = х-1 V ху = х(1 V у) = х-1 = X.
(4 20, а) (4 16)	(4 20, в) (4 20, а)
Пример 2. Получить СДНФ функции, используя эквива-
лентные соотношения:
f(x,y,z,u) = ху V xz V ZU.
> Для получения СДНФ воспользуемся расщеплением
(склеиванием в обратную сторону) (4.23), имея в виду так-
же, что х = х-1 (4.20, а) и 1 = х vx (4.23). Далее раскроем
скобки, используя (4.16), и освободимся от одинаковых чле-
нов дизъюнкции на основании х v х= х (4.18, б):
f(x,y,Z,U) = ху V XZ V -w4^5 .
= xy(z v z )(w v й ) v xz(y у )(w V U ) V zu(x V X )(y v у ) =
(4 26)
= xyzu \/ xyzи v xyzii v xyzu v xyzu v xyzu v
v xyzu V xyziiX'xyzu X/xyzu v xyzux/ xyzu =
§45 Эквивалентные преобразования	147
= xyzu v xyz и v xyzu v xyz U V xy ZU v xyzu V X yzu V
v xyzи.
Пример 3. Упростить булевы формулы:
а)	/(ХрХ^Хз) = х, v Х]Х3 v х,х2х3 vx2x3;
б)	/(х,у z) = х( J v z)( х v у v z).
> a) f (xbx2,x3) = Xj v х,х3 v х,х2 х3 v х2х3 =
= X) V Х,Х2 Х3 V Х2 Х3 = X] V Х2 Х3 V х2 х3 =
(4 27)	(4 16)
= X, vx2(x3vx3) = х1 v х2-1 = Xt vx2;
(4 23)	(4 20, а)
б) f(x.y.z) = х(у v z)(x v у v z) = хху v xxz vxyy V
(4 16)
v xyz v xyz V xzz = 0- у V O'Z V x-0 v xyz v xyz V xzz =
(4 22)	(4 20, б.г)
= xyz V xyz V xzz = xyz v xyz v xz = xz.
(4 18, a)	(4 24)
Пример 4. Представить булеву формулу х, х2 v х2 (x3v х4)
в базисе {&, 1} и {v, 1}. Сделать выводы.
> Представим формулу базиса {&, v, 1} в базисах {&, 1}
и {v, |последовательно используя правила де Моргана
(2.21,6) и (2.21, а) соответственно, а также правило двой-
ного отрицания (2.19):
а)	* х2 V х2 (XV х4)= х х v х2 	- ^-х2	;
б)	X, хг V х2 (x3v х4) = x,vx2 V х2 (x3v х4) =
= Xj V х2 V х2 V х3 V х4 .
Булев базис { &, v, "1 } в некотором смысле “избыто-
чен” - при удалении из него операции & или v функцио-
нальная полнота полученных систем {<&,)} и {v, ”|} сохра-
148
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
няется. Однако в представлении { &, v, ”1} логические фун-
кции выражаются более простыми формулами, как это вид-
но из примера. За неизбыточность базисов операций при-
ходится платить избыточностью формул: каждая замена
одной операции на другую вносит в формулу лишние отри-
цания.
Пример 5. Пусть логическая функция f{x,yz) представ-
лена формулой х \fyz v xyz. Требуется:
1)	упростить формулу, 2) получить СДНФ, используя:
а) табличное представление функции f (x,y,z),
б) расщепление (обратное склеивание).
> 1) Упростим формулу: х v yz vxyz = х v у. yz =
= X v z(y v у ) = x v Z-1 = XV z.
(4.23)	(4.20)
Таким образом,/(x,y,z) = х\/ z.
2)	Получим СДНФ функции:
а)	расщеплением (обратным склеиванием):
/(x,y,z) = X V z = х(у V у )(z V Z ) V z(x V X )(у V у ) =
= xyzvxyzv xyzv xjzvxyzv xyz \J xyz \J xyz =
= xyz vxyz vxyz v xyz v xyz V xyz ;
б)	табличным представлением функции Таблица 4.12
f (,x,y,z) = xv z (табл. 4.12); /= 1 на наборах П П /Л 1 14 /1 Л Ш fl Л 1 4 f 1 1 ЛЧ f 1 1 141	xyz	X V z
((UU 1;Ди i l)f (1 U U), (1 U 1/(1 1U/(1 1 1J),		
поэтому СДНФ функции /	0 0 0	0
f (x,y,z) = xyzvxyz v xyz v xyz v xyzv	0 0 1	1
v xyz.	0 1 0	0
Сравнивая результаты а) и б), убеждаемся в	0 1 1	1
их идентичности. Таким образом, СДНФ фун-	1 0 0	I
кции /(x,y,z) = х vyz vxyz :	1 0 1	1
f(x,y,z) = xyz v xyz v xyz v xyz v xyz v	1 1 0	1
v xyz.	1 1 1	1
Пример 6. Упростить СДНФ функции
f(x,y,z,u) = xyzu '4 xyzu \/xyzu vxyzu yxyzu v xyzu X/
vxyzu.
4.5. Эквивалентные преобразования
149
> Для эффективного упрощения СДНФ используем
метод Блейка-Порецкого. Метод заключается в попар-
ном склеивании всех элементарных конъюнкций СДНФ
между собой, а также полученных в процессе склеива-
ния элементарных конъюнкций меньшего числа пере-
менных и затем - поглощении конъюнкциями мень-
шего числа переменных конъюнкций большего числа пе-
ременных.
Рассмотрим метод Блейка-Порецкого “в действии”, для
чего пронумеруем элементарные конъюнкции СДНФ:
xyzu \/ xyzuv xyzuv xyzuv xyzu\/ xyzuv xyzu.
12	3	4	5	6	7
Выполним все возможные попарные склеивания
(4.25) элементарных конъюнкций в СДНФ (под резуль-
татом склеивания проставим номера склеиваемых конъ-
юнкций):
xzu vyzu v xzuvxyuv yzu\ixyu\/yzuyjxzu\ixyu.
1,6	1,7	2,3	2,4	2,5	3,7	4,6	4,7	5,6
Выполним все возможные попарные склеивания получен-
ных элементарных конъюнкций трех переменных:
ZU V	ZU V	X и V	х и	V у и V	у U.
1,6	1,7	2,3	2,4	2,4	2,5
4, 7	4, 6	4, 7	3, 7	5, 6	4, 6
Очевидно, что дальнейшее склеивание в данном примере
невозможно. Объединим символом v все полученные дизъ-
юнкции элементарных конъюнкций.
Таким образом, в результате попарного склеивания полу-
чили:
/(x,y,z,w) =xyzuv xyzuv xyzuv xyzuv xyzuv xyzuv
v xyzu v xzu v yzu v xzuvxyuvyzuvxyuvyzuvxzuv
v xyuv ZU V XU v yu.
Выполним теперь в этом выражении поглощение (4.24), в
результате чего получим:
f(x,y,z,u) = zu v хи v уи.
150	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Пример 7. Привести к ДНФ формулу:
f(x,y,z) = ху v х (у v xz) (x(yvz)v yz) •
>	f(x,yz) = ху V х (у v xz) (x(yvz)v yz) -
= xy V (XУ V х xz)- х(у v z)-yz = xyv ху (X V(у v z))-yz =
= ху vxy (X V yz ) (у v z) = xyv xy(xy V xz vyyzv
v yzz) =xy V xy(xy v xz V yz ) = xyvxy(xy V yz) =
= xy vxyz=y (x vxz )=y(xvz) = xy v yz .
Пример 8. Привести формулу к КНФ:
f (x,y,z) = Ху VXyV XZ .
>	f (x,y,Z) = ху vxy v xz = хуч ху V XZ =
= xy-xy-xz =(х v y)(xvy)(xv z) = (ху V ху)(х v z)~
= xyv xyzv xyz = xyv xyz =(x vy)(x vy vz).
Пример 9. Рассуждение логически правильно, если фор-
мула, его представляющая, тождественно истинна, т.е. при
любых значениях истинности своих простых высказываний
принимает значение “истина”. Подтвердить справедливость
умозаключения из примера 2, § 4.2, используя метод эквива-
лентных преобразований:
((A -+(B&(Cv D))) & А) -о- (С v D).
t
> Приведем логическую формулу к булевой форме с по-
мощью эквивалентного соотношения (4.6), получим ДНФ и
упростим формулу, используя основные эквивалентные со-
отношения (4.14) - (4.23):
(А -> (В-(С у Р)))-А -> (С у D) = (A v (В-(С v D)))-A -►
-^(CvD) =Av(B-(CvD)) vZv (С у D) = A-B-(Cv D)v
v Av(Cv D)= B-(C~4 D))vA vCvD= Bv C-Dv Av Cv D=
= Bv Cv Av C v D = Bv Av Dv 1 = 1.
Таким образом, данное рассуждение логически пра-
вильно.
4.5. Эквивалентные преобразования	151
Пример 10. Проверить правильность рассуждений, при-
веденных в примере 3 § 4.2:
((U -> (С® В)) & (\в^> (A&D))&(D—>(B®C))&(A®C)) -+А.
> Приведем посылку внешней импликации к булевой
форме, используя соотношения (4.6) и (4.8),и упростим, ис-
пользуя основные эквивалентные соотношения:
(Л-> (С ® В))(В-> A-D)-(D -> (В © С))-(Л ® С) =
= (JvBCvB-C)-(Bv^P)-(DvBCvBC)(I-CvJC) =
= (A-В v А-D v А В -C-D v B-C v A B C -D)-(D vB -C v
vBC)(^-C v AC) = (AB v AD v BC )-(D v B-C v
vB-C)-(A -C v A-C) = (A-B-Dv A-B-Cv A-В -C D v
v A B C -D v B-C -D vB-C )-(A -C v A C ) = (A-B-D v
v A- В -CD v B-C )•( A-C v A-C) = AB-C • D v AB- C =
=A-B-C.
Таким образом, после упрощения посылки формула рас-
суждения имеет вид:
А-В-С —>А = A vBvCv?l = lvB v С = 1,
что подтверждает правильность приведенного в примере 3
§ 4.2 умозаключения относительно телевизионного сериала.
Пример 11. Пусть f (x,y,z) = xvyzvxyz. Требуется:
а)	получить СКИФ функции f;
б)	построить таблицу истинности f;
в)	сформулировать правило получения СКИФ функции,
исходя из ее табличного представления.
> a)/(x,yz) = x'-jyzv xyz = xv yz\/ xyz =
= x-yz-xyz= x(yvz)(xv yvz) = (yvz)(xyvxz) =
•=xyzvxyzvxz = xyz V xyz\i xyz\i xyz = xyzvxyz =
= xyz-xyz = (x vy vz) (x Vу V z) .
б) Таблица истинности функции f (x,y,z) была получена в
примере 5 (см. табл. 4.12).
152
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
в) Сравнивая СКНФ функцииf (x,y,z) = (х v у v z)(x vyvz)
и ее табличное представление, можно сделать вывод о том,
что между нулевым множеством функции, определяемым ее
таблицей, и СКНФ функции имеет место взаимно однознач-
ное соответствие, очевидным образом определяющее требу-
емое правило получения СКНФ функции по ее таблице ис-
тинности:
СКНФ строится из элементарных дизъюнкций, соответству-
ющих обратным наборам, на которых функция равна нулю.
Пример 12. Для функции из упражнения 3 § 4.4, задан-
ной таблично (табл. 4.11), получить СКНФ.
> Воспользуемся правилом, сформулированным в предыду-
щем примере. Нулевое множество функции/(х,у,г) в соответ-
ствии с табл. 4.11 включает наборы {(0 0 0), (0 0 1), (0 1 0), (1
0 1)}. В таком случае в соответствии с правилом построения
СКНФ, сформулированным в примере 11, получаем:
f(x,y,z) = (х vy vz)(х vy vz) (х vy v z) (x vyvz).
Пример 13. Получить СКНФ функции f (х, у z, и) из примера 2.
> В примере 2 для заданной функции f (x,y,z) = ху v xz v zu
была получена СДНФ:
f(x,y,z) = xyzu v xyz uvxyzliv xyz й vxyzuvxyzuv
vx у Z и V X у z и.
Воспользуемся этими данными для получения СКНФ, для
чего определим единичное множество функции f (х, у, z, и),
т.е. множество наборов, на которых f = 1: {(1111), (110 1),
(1 1 1 0), (1 1 0 0), (1 0 1 1), (1 0 1 0), (0 1 1 1), (0 0 1 1)}.
Всего наборов функции четырех переменных 24 - 16. Оп-
ределим теперь нулевое множество для f (х, у, z, и), т.е. мно-
жество наборов, на которых f = 0: {(0 0 0 0), (0 0 0 1),
(0 0 1 0), (0 1 0 0), (0 1 0 1), (0 1 1 0), (1 0 0 0), (1 0 0 1)}.
Отсюда по правилу построения СКНФ из нулевого множе-
ства функции:
f(x, у, Z, и) = (х V у У Z V и) (х V у V Z V й ) (х V у V Z V и)
(xvyv z v н) (х v у v Z V м) (х V у vz V и) ( X V у V z v и)
(xvyvzvu).
f 4.5. Эквивалентные преобразования
153
Пример 14. Доказать справедливость принципа двой-
ственности в булевой алгебре, исходя из общего принципа
двойственности.
> Булева алгебра (Р2 ; <&, v, 1) содержит три операции;
S = { &, V, 1}. Найдем для каждой операции булевой алгеб-
ры двойственные им операции.
а)	Пусть f (х,у) = х-у. Тогда f *(х,у) = f (х,у) =
= х у = х vy
б)	Пусть f (х,у) = х vу. Тогдаf *(х,у) = f (х,у) =
= xvy =х-у.	=
в)Пусть /(х) = х . Тогда/*(х) =/(х)=х^х .
Таким образом, конъюнкция двойственна дизъюнкции,
дизъюнкция - конъюнкции, а отрицание самодвойственно.
Наконец, константы 0 и 1 принадлежат множеству логи-
ческих функций Р, поэтому 0 и 1 могут содержаться в буле-
вой формуле и являются двойственными друг к другу: если
/(хг ..., хя) = 0, то /* (х,, ... , хи) = /(х,, ... ,х„) =0= 1.
Аналогично, если /=1,то/* = 0.
Отсюда следует справедливость принципа двойственно-
сти в булевой алгебре.
Пример 15. Пусть/(x,yz) = х v yz vxyz. Найти ДНФ
двойственной функции/ *(х,у z), исходя из:
а)	определения двойственности функции;
б)	принципа двойственности в булевой алгебре.
> a) f*(x,yz) = xvyzvxyz = x-yz-xyz =
= х(у v z)(x vу v z) = xyz v xyz v xz =-- xz ;
6) /*(x,yz) -x-(y v z) (x vy v z) =xyz v xyz V xz = xz.
Тот же результат получим, если сначала упростим исход-
ную функцию / (x,y,z), что дает / (x,yz) = х v z (см. при-
мер 5), а затем воспользуемся принципом двойственности в
булевой алгебре: /*(x,yz) =x-z.
Упражнения
1.	Доказать методом эквивалентных преобразований
с использованием основных эквивалентных соотноше-
154	Глава 4 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ний (4.14) - (4.23) справедливость соотношений (4.25),
(4.27).
2.	Упростить СДНФ импликации и штриха Шеффера (см.
табл. 4.2), используя эквивалентные соотношения.
3.	Для логических функций трех переменных, заданных в
упражнении 4, § 4.4, в виде ДНФ:
а)	упростить формулы с помощью эквивалентных преоб-
разований;
б)	получить СДНФ, используя расщепление (обратное
склеивание).
4.	Логическая функция f(xvx2,x3) представлена формулой
f (хрХ2,Х3) = Х2 Х3 V X, Х2 V Х,х2 х3. Упростить формулу и полу-
чить СДНФ, используя:
а)	табличное представление функции /;
б)	расщепление (обратное склеивание).
5.	Для функций, заданных в виде ДНФ, получить СДНФ,
используя эквивалентные преобразования, и упростить
СДНФ, используя метод Блейка-Порецкого, описанный в
примере 6:
a)	f (x,y,z) = xz v xyz v xz ;
6)	f (x,yz) = xy v xz v yz vyzvxz;
в)	f (x,yz) = yz v xz v у z ;
r) /(x,y,z) = xyv XZ v yzv xyz ;
Д) f(x,yz) = xyv xz v yzv xy;
e)	/(x,y,z) = xy v yz v xzvyz ;
ж)	f (x,y,z~) = xy v xz v xz ;
з)	/(x,y,z) = yz v xyz v yz v xyz;
и)	/(x,yz) = xy v yz v yz ;
к)	/(x,y,z) = xy VXZV yzvxz
6.	Привести формулы к ДНФ:
a)	f(xvx2,x3) = (х, v x2)v XjX3 v х2;
б)	f (хгх2,х3) = X]х2 v (X]х3 v х2) vХ,Х2 х3;
ь) f(xx,x2,x^ = x1vx3v(x1x2vx3) vx,x2x3;
г)	f(xrx2,x3) = x,x2x3v (x2 V X]) X]X3VX2;
§45 Эквивалентные преобразования
155
д)	f(xvxrx^) = х,х2 v(x1x3vx2)vx1 V x(x2x3vx2x3;
е)	/(xrx2,x) = Xj v х3 v (Xj х2 v х2 х3) v Х[Х3;
ж)/(хгх2,хз) = х2 V х3  (х, х2 V х2 х3) V Х| .
7.	Для функций/2 -/4 из упражнения 3, § 4.4, заданных
таблично (табл. 4.11), получить СКНФ.
8.	Для функций/(хрх2,х3), заданных в упражнении 6:
1)	получить КНФ, используя правило приведения ДНФ к КНФ;
2)	найти СДНФ и СКНФ, используя табличное представ-
ление функции.
9.	Подтвердить самодвойственность функции f (х, у, z) =
= rv v xzvyz, используя принцип двойственности в булевой
алгебре.
10.	Для функции f (х1,х2,х3) найти ДНФ двойственной
функции/*(хгх2,х3), исходя из:
1) определения двойственной функции;
2) принципа двойственности в булевой алгебре:
а)/(Х],х2,х3) = X! х2 х3 v х2х3 v х^ ;
б)/(х1;х2,х3) = (x,v X2)v (X2x3v Х]Х3);
в)/(х1,х2,х3) = х,х2 v X[X2X3V Х[х2 v хз;
г)/(хрх2,х3) = Х2х3 V x1x2vx1x2x3;
д)У(х|,х2,х3) = (х, vx2)(x,x3 V х2х3);
е) f (xvx2,x3) = Xj х2 х3 v х( х2 v Xj v х2 х3 .
11.	Методом эквивалентных преобразований подтвердить
справедливость (тождественную истинность) правил 9, 12
§ 4.2 логически правильных рассуждений.
12.	Убедиться в неправильности рассуждений а) - в), при-
веденных в § 4.2:
а)	стандартным методом;
б)	методом эквивалентных преобразований.
156	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
13.	Используя эквивалентные преобразования булевой
алгебры, проверить справедливость рассуждений, приведен-
ных в упражнении 2 (а - в) § 4.2.
§ 4.6.	Булева алгебра и теория множеств
Всякая алгебра, содержащая две бинарные и одну унар-
ную операции, называется булевой, если ее операции удов-
летворяют соотношениям (4.14) - (4.23).
Примеры булевых алгебр:
(Л;&-v- 1) - булева алгебра логических функций с опера-
циями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания;
(Р2(т); &, v, 1) - булева алгебра логических функций т
переменных, являющаяся подалгеброй алгебры (Р; &, v,"l),
P2(w)cP2;
(P(U); п, о, |) - булева алгебра множеств над U с опе-
рациями пересечения, объединения и дополнения;
(Р( Цу, г\ и, ) - булева алгебра множеств над U, Ifcz Ц
являющаяся подалгеброй алгебры (р( L/); •'Л u, 1);
(Bn; &, v, 1) - булева алгебра двоичных векторов длины п
с покомпонентными (поразрядными) логическими операци-
ями над двоичными векторами, определенными следующим
образом.
Для любых векторов а = (ар а2,..., а„)ир =(Р|( Р2,..., рл):
а)	а & р =(at& pv а2& р2,..., а„& р„),
где а; & Р; = 1, если а;- = р ; = 1 и а ,• & Р ( = 0 в любом
другом случае;
б)	a v р = (a,v pr а2 v р2,..., а„ v р„),
где а, v р ( = 0, если а ( = р ( = 0 и а ( v р ( =1 в любом
другом случае;
в)	а = (аьа2,... ,а„),
где а, = 0, если а, = 1 и а, = 1 в противном случае.
Для булевых алгебр логических функций, множеств, дво-
ичных векторов справедливы следующие теоремы.
Теорема 3. Если | U | = п , то булева алгебра множеств
(Р(С7); п, о, 1) изоморфна булевой алгебре двоичных
векторов (Bn; &, v, 3).
£ 4.6. Булева алгебра и теория множеств
157
Теорема 4. Если \U\= 2т, то булева алгебра множеств
(P(Z7); n, и,~| ) изоморфна булевой алгебре функций
(P2(w); &, v, 1).
Взаимный изоморфизм данных булевых алгебр, таким
образом, выполняется, если
\и\=п = 2т.	(4.28)
В этом случае I Р(со1 = Is | = |Р2(>п)| и между множе-
ствами Р(U), Вп и Р/т) устанавливается взаимно однознач-
ное соответствие.
Изоморфизм булевых алгебр широко используется в ком-
пьютерных вычислениях, например вместо выполнения опе-
раций над множествами или логическими функциями ис-
пользуют их изоморфные аналоги - легко реализуемые на
компьютере поразрядные операции над двоичными векто-
рами.
Пример 1. Представить соотношения (4.14) - (4.23) для
булевой алгебры множеств.
> Пусть множества А, В, С с U.
Основные эквивалентные соотношения (за-
коны) в булевой алгебре множеств (Р(Е);п, о, ~|):
Ассоциативность пересечения и объединения:
а) А п (В п 0 = (ЛпВ)пС = ЛпВпС; (4.29)
б) (.4 и В) и С = (4 и В) и С = А и В и С.
Коммутативность пересечения и объединения:
а) Л п В = ВпЛ ; 6)АиВ = В и А. (4.30)
Дистрибутивность пересечения относительно объеди-
нения:	А п (В и С) = (Ап В) и (Ап С).	(4.31)
Дистрибутивность объединения относительно пересече-
ния:
А и (В п Q = (А и В) п (A u 0.	(4.32)
Идемпотентность:
a) Ап А = А ;	б) А и А = А.	(4.33)
158	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Закон двойного “отрицания”:
1 = А.	(4.34)
Свойства универсального U и пустого Z множеств:
а)	Л п 17 = Л; в) A u U = U; д) 0” = U;	(4.35)
б)	А п 0 = 0; г) А и 0 = А- е) U = 0.
Законы де Моргана:
А С\В = А о В , б) А и В = Ап В.	(4.36)
Закон противоречия:
А п А =0.	(4.37)
Закон исключенного третьего:
A u А = U.	(4.38)
Пример 2. Для любых множеств A,BcU булевой алгеб-
ры множеств (Р(U); n, u, 1) доказать справедливость:
1)	дистрибутивности пересечения и объединения относи-
тельно друг друга (4.31) - (4.32):
А п (В u С) = (А П В) u (А п С);
А и (В n С) = (Л и В) n (A u 0;
2)	правил де Моргана (4.43):
ЛпВ = A U В или U \(А п В) = (U \ А) о (U \ В);
ЛиВ = ЛпВ или t/ЦЛиВ) = (U \ A) n (U \ В).
> 1) Доказательство дистрибутивности пересечения и
объединения относительно друг друга (2.31) - (2.32) в виде
соотношений
(Л и В) п С = (A n 0 и (В n 0,
Ли(Вп0 = С4иВ)п(ЛиС)
(дистрибутивности справа п относительно и и слева и от-
носительно п) было проведено в § 1.4 (см. примеры 1, 2).
Аналогично доказывается дистрибутивность слева п отно-
сительно о и справа и относительно п:
А п (В u Q = (А п В) о (A n С);
(А п В) о С = (А и С) п (В u С)
(доказать самостоятельно ’.).
£ 4.6. Булева алгебра и теория множеств	159
2)	правил де Моргана (4.36):
а) АпВ = А иВ или U\(AnB) =(U\A)u(U\B);
б)АиВ=А п Вилии\(АиВ) = (и\А)г>(и\В)
покажем на примере первого соотношения, но разными способами:
с привлечением определений I и П равенства множеств (см. § 1.1).
В соответствии с определением II равенства двух мно-
жеств: А = В, если AciB и В с Л. Иначе говоря, для любого
а е U, если а е Ап В, то а е A В ,и, наоборот, если
а е А 'и В , то а е Ап В :
а е Л п В <=> а t А п В <р>а t А или а t В <=>
а е А или а е В a g A^JB .
Докажем соотношение А п В =А В с использованием
определения I равенства множеств: множества равны, если
их элементы совпадают. Иначе говоря, для любого а е U, если
а е Ап В ,лса е А и~В,а. если atAnB,roatA иВ.
Пусть а е Ап В, т.е. а ё А п В. Тогда возможны случаи:
1)	а £ А и а е В;
2)	а е А и а(В‘
3)	а £ А и а(В.
При этом:
1)	так как а £ А, т.е. а е А, тоа <= А и В ;
2)	так как а £ В, т.е. а е В, то а е А и В ;
3)	так как a £ А, а £ В, т.е. а е А , а е В, то а е А и В .
Пусть теперь а £ Ап В, т.е. а е А п В. Тогда
а е А, аеВ,т.е.а(А, а£В. Следовательно, а£ A <jB .
Таким образом, Ап В = А о В  Показать справедливость
правил де Моргана можно также с помощью диаграмм Вен-
на (выполнить самостоятельно !) или иллюстрацией на при-
мерах конкретных множеств. ______
Второе правило де Моргана А и В = А п В доказать са-
мостоятельно.
Пример 3. Проиллюстрировать на примере конкретных
множеств Л, В изоморфизм между булевыми алгебрами
160	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
множеств (Р((7); п, о, 1}, где I и\ = 4, и булевой алгеброй
двоичных векторов длины 4 (Вя; &, v, "|).
> Пусть U = {а, Ь, с, d}. Тогда
P(?J) = {0, {a}, {b}, {с}, {d}, {а, Ь},..., {а, Ь, с},..., {a, b, с, d}}.
При п = 4 (для упрощения не будем разделять запятыми
компоненты векторов):
В4 = {(0 0 0 0), (0 0 0 1), (0 0 1 0), ...,(1 1 1 1)};
Р(П) I = IВ41 = 24 = 32.
По определению изоморфизма булевы алгебры (Р(£7); гл,
и, 1) и (В4; &, v, "I) изоморфны, если:
1) между подмножествами из Р(Ь') и двоичными векто-
рами из В4 существует взаимно однозначное соответствие -
отображение Г: P(LZ) —> В4, т.е. любому подмножеству А из
Р(£7) соответствует единственный вектор а из В4 такой, что
Г(Л) = а и Г_|(а) = Л;
2) для отображения Г: Р(Т7) -> В4 выполняется условие
гомоморфизма, которое в случае заданных алгебр (P(L7); п,
u, 1) и (В4; &, v, "|) сводится к трем равенствам. Так, если
Г(Л) = а, а Г(В) = р, то:
а)	Г(Л п В) = а & р,
б)	Г(Л и В) = a v Р,
в)	Г(Л) = а.
Проиллюстрируем выполнение всех условий изоморфиз-
ма заданных алгебр на примере двух конкретных множеств,
например А = {Ь, с} и В = {а, с, d}:
1)	взаимно однозначное соответствие:
Г(Л) = (0 1 1 0) = а, Г(В) = (101 1) = Р и наоборот,
Г '(а) = Г'((0 110)) = {Ь, с}- Г-’(р) = Г '((1 0 11)) =
= {о, с, d}\
Т) условие гомоморфизма:
а)	Г(Л п В) = Г({В, с} n {а, с, d}) = Г({с}) = (0010) =
= (0 1 10)<£(101 1) = а£р;
б)	Г(Л и В) = Г({/>, с} {а, с, d}) = Г({а, b, с, d}) =
= (1 И 1) = (0 1 1 0)v(l 0 1 1) = avp;
в)Г(Л) = Г(£ДЛ) = Г({а, Ь, с, d} \ {b, с}) = Г( {a, d}) =
= (100 1) =а.
Таким образом, алгебры (Р(П); n, u, 1) и (В4; &, v, 1)
гомоморфны и отображение множеств Г: Р(6Г) В4 взаимно
«' 4 6 Булева алгебра и теория множеств	161
однозначно, следовательно, данные алгебры также изомор-
фны при данном отображении.
Пример 4. Используя изоморфизм булевых алгебр мно-
жеств и двоичных векторов, выполнить булевы операции:
1) над множествами А = {a, d, е}, В = {b, с, d};
2) над двоичными векторами т = (1 0 0 1 1 0) и ст =
= (010011).
> Булевы алгебры множеств (Р(£7); n, u, 1) и двоичных
векторов (В„; &, v, 1 ) изоморфны при выполнении усло-
вия: | [/| = п [см. (4.28)].
1)	Пусть | Ц I = п = 5 и = {a, b. с, d. е}, так что A.BczU.
Булева алгебра множеств (P(Lr1); n, u, 1), где U} = {a, b, с, d,
е}, изоморфна булевой алгебре двоичных векторов длины 5
v, I). Выполним операции надмножествами {п, и,1),
используя изоморфизм этих алгебр Г: Р(Ц) -> В?:
Г(Л) = Г({«, d, е}) = (1 0 0 1 1) = а.
Г(В) = Ц{Ь, с, <Д) = (0 1 1 1 0) = р.
Тогда:
а)	Г(Л п В) = а & р = (1 0 0 1 1) & (0 1 1 1 0) = (0 0 0 1 0).
Но вектору (0 0 0 1 0) соответствует множество {d}\
Г-1 ((0 0 1 0 0)) = {d}. Таким образом,
Л nB = {d}.
б)	Г(Л и В) = а V р = (1 0 0 1 1) V (0 1 1 1 0) = (1 1 1 1 1), но
Г1 ((11111)) = {а, Ь, с. d, е}. Таким образом,
А о В = {а, Ь, с, d, е}.
в)	Г( А) = а = (10011) = (0 1 1 0 0), но Г 1 ((0 1 1 0 0)) =
={Ь, с}, откуда	_
А = {Ь, с}.
Изоморфизм булевых алгебр множеств и двоичных век-
торов позволяет заменить теоретико-множественные опера-
ции над множествами поразрядными логическими операци-
ями над двоичными векторами.
2)	Длина п заданных двоичных векторов т = (1 0 0 1 1 0) и
о = (0 1 0 0 1 1) равна 6. Поэтому в соответствии с условием
(4.28) пусть | U, | = п 6 и С, = { f g. А. к, т. q}.
162
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Выполним операции (<&, v, ) над векторами, используя
изоморфизм алгебр Г: Вь -> P(t/2):
Г(т) = Г((1 0 0 1 1 0)) = {f к, т} = С ;
Г(ст) - Г((0 10 0 11)) = {g, т, q} = D.
Тогда:
а) Г(т & ст) = С п D = {f к, т} п {g, т, q} = {т}.
Но множеству {т} соответствует вектор (0 0 0 0 1 0):
Г-1 ({w}) = (0000 1 0).Таким образом,
т & ст = (1 О 0 1 1 0) & (0 1 0 0 1 1) = (0000 1 0).
б)Г(т v ст) = Си D = {/, к, т} и {g, m,q} = {f, g, к, т, q}, но
Г-1 ({/ g, к, т, q}) = (110111). Таким образом,
т v ст = £1 0 0 1 1 0) v (0 1 0 0 1 1) = (110 111).
в)Г(т) =С = U2\ С ={fg, h, к, m,q}\{f к, m} = {g, h, q}, но
Г-1 ({g, h, q}) = (0 1 10 0 1). Следовательно,
т = (0 1 1 00 1).
Пример 5. Проиллюстрировать изоморфизм между буле-
выми алгебрами множеств (Р(U); n, u, 1) и логических фун-
кций (Р2 (w); &, v, 1) для | С) = 2".
> Пусть | с| = 2” при т = 2; U = {a, b, с, d}. Тогда в
соответствии (4.28) булева алгебра множеств (Р(С); n, u, "I)
изоморфна булевой алгебре логических функций двух пере-
менных (Р (m); &, v, 1).
Изоморфизм данных алгебр означает следующее:
1. Между логическими функциями двух переменных из
Р2 (2) и множествами из Р(С) существует взаимно однознач-
ное соответствие Г: Р2(2) -> Р(С), т.е. любой функции
f е Р2(2) соответствует одно и только одно множество
М/ еР(С), так что Г(/) = Mf и Г-1 (Л£) = f. При этом
функция f называется характеристической функцией мно-
жества Mf.
2. Для отображения Г: Р2(2)	P(f7) выполняется усло-
вие гомоморфизма, которое для данных алгебр (Р (ту &, v, 1)
и (р(С); n, u, 1) сводится к трем равенствам:
если Г(/) = Mf и T(g) = Mg, то
a)r(f&g)=MfryMg-,
6)r(/vg)_=A£uA£;
в) Г(/) = Mf.
f 4.6. Булева алгебра и теория множеств
163
Отметим, что в силу изоморфизма этих алгебр справед-
ливо и обратное:
$T'(Mf^Mg)=f&g-
б) Г-’(Mf	vg;
Однако из-за взаимной однозначности Г достаточно по-
казать справедливость лишь первых трех равенств.
Пусть Mf = {а, с} wMg = {Ь, с}; Mf, Mg g 0(U).
Функции f и g, соответствующие множествам Mt и Mg
при взаимно однозначном отображении Г (характеристичес-
кие функции для Mf и	определены таблицами истиннос-
ти (табл. 4.13). В	Таблица 4.13
крайнем левом столбце таблицы 4.13 перечисле-	Элемент множе- ства и	Х1 Х2	f	g	f&g	fv g	/
							
ны элементы	а	0 0	1	0	0	1	0
множества U =	b	0 1	0	1	0	1	1
= {а, Ь, с, d}, яв-	с	1 0	1	1	1	1	0
ляющиеся, по су-	d	1 1	0	0	0	0	1
ществу, обозна-
чениями всех возможных наборов двух переменных {(0 0),
(0 1), (1 0), (1 1)}. Множества Mf и Mg представляют собой
единичные множества функций / и g соответственно, т.е.
множества наборов, на которых эти функции равны едини-
це. Тогда (см. табл. 4.13):
1) ПА) = М = {а, с}, T(g) = М = {Ь, с} и, наоборот;
Г-'(Л/)=/ и Г’(Л/)=/;
2)I\f&g)=Mf,g = {c} = {а, с} п {Ь, с} = MfnMg,
Г(/vg) = M/,g = {а, b, с} = {а, с} u {b, с} = Mf и Л/,
Г(/) = Mf = {b, d} = U \ {а, с} = U\ Mf= Mf .
Пример 6. Выполнить булевы операции над логическими фун-
кциями трех переменных / и /, используя изоморфизм буле-
вых алгебр логических функций и двоичных векторов, если:
1)/ и /2 определены таблицами истинности в табл. 4.11
(см. § 4.4, упражнение 3);
2)/ и / определены своими СДНФ:
/ = xyz V ху z v xyz v xyz,
/ = xyz V х у zv ху z v xyz v xyz.
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
164
> Изоморфизм булевых алгебр логических функций
(Р2(от); &, v,1) и двоичных векторов (Bn; &, v, 1) позволяет
переходить от операций над функциями к операциям над
двоичными векторами и обратно при выполнении условия
(4.28): 2я = п. Поэтому функциям трех переменных (от = 3)
соответствуют вектора длины п = 8. Установим взаимно од-
нозначное соответствие Г: Р (3) -> и выполним необхо-
димые операции, используя изоморфизм булевых алгебр.
1)	Зафиксировав последовательность рассмотрения всех
возможных наборов значений переменных, например, как это
указано в табл. 4.14, ус-
тановим взаимно одно-
значное соответствие
Г: Р2 (3) Bs следую-
щим образом:
для функции /, пред-
ставленной таблицей ис-
тинности, в соответству-
ющем ей векторе а =
= (аг а2, .... aj i-я ком-
понента а = 1, если для
f z-й набор значений пе-
ременных является единичным, т.е. функция на этом наборе
принимает значение /= 1, и а = 0 - в противном случае.
Тогда:
Щ) = (0 0 0 1 1 0 1 1) = а, Г(/2) = (0 0 1 1 0 1 1 1) = р.
Выполним операции (&, v, 1) над функциями/, и /2, ис-
пользуя изоморфизм булевых алгебр Г: Р2 (3) -> Bg:
а)	Г(/,<6/2) = а & Р = (0 0 0 1 1 0 1 1) & (0 0 1 1 0 1 1 1) =
= (000 1 00 1 1).
Но вектору (000 1 00 1 1) соответствует функция & f2):
Г’1 ((0 0 0 1 0 0 1 1)) = /,&f2,
таблица истинности которой представлена в табл. 4.14.
б)	Г(/ v/2) = a v р = (0 0 0 1 1 0 1 1) v (0 0 1 1 0 1 1 1) =
= (00111111).
Но Г1 ((0 0 1 1 1 1 1 1 )) =f{ v/2 (см. табл. 4.14).
в)	ПЛ) = « = (000 1 1 0 1 1) = (1 1 1 00 1 00).
Г'1 ((1 11 О О 1 0 0)) = 7] (см. табл. 4.14).
Таблица 4.14
*1 х2 Х3	/>	Л	/л Л	/лЛ	Z
0 0 0	0	0	0	0	1
0 0 1	0	0	0	0	1
0 1 0	0	1	0	1	1
0 1 1	1	1	1	1	0
1 0 0	1	0	0	1	0
1 0 1	0	1	0	1	1
1 1 0	1	1	1	1	0
111	1	1	1	1	0
4.6. Булева алгебра и теория множеств	165
2)	Определим последовательность всех возможных эле-
ментарных конъюнкций всех переменных (xyz, xyz, xyz ,
xyz , xyz , xyz , xyz , xyz) и установим взаимно однознач-
ное соответствие Г: Р2 (3) —> В8 следующим образом:
для функции f, представленной СДНФ, в соответствую-
щем ей векторе а = (а,, а2,ая) z-я компонента = 1, если
в СДНФ f имеется z-я конъюнкция, и а = 0 - в противном
случае.
Тогда:
Г(/^) = r(xj22vxyzvx_yzvx_yz) = (0 001 101 1) = а,
Г(/2) =Г(хуг vxyzvxyzvxyz vxyz) = (00 1 1011 1)=р.
Выполним операции (&, v, 1) над функциями/^ и f2,
используя изоморфизм булевых алгебр Г: Р2 (3)->В8:
а) Щ<£/2) = а & р = (0 0 0 1 1 0 1 1) & (0 0 1 1 0 1 1 1) =
=(000 1 00 1 1).
Но вектору (000 1 00 1 1) соответствует функция, СДНФ
которой
Г-1 ((0 0 0 1 0 0 1 1)) = х у z v xyz v ху z.
Таким образом,= xyzvxyz v xyz.
б)Щv/2) =a v p = (0 0 0 1 1 0 1 1) v (0 0 1 1 0 1 1 1) =
= (00111111).
Но Г1 ((0 0 1 1 1 1 1 1)) = xyz v х у z v ху z v xyz v
v xyz v xyz.
Таким образом У, v/2= xyz vxyzv xyzvxyzv xyz vxyz.
В) r(/) = a = (00 0 1 1 0 1 1) = (1 1 1 0 0 1 0 0). Ho
Г~1((1 1 1 0 0 1 0 0)) = xyz v xyz vxyz v xyz.
Таким образом, /, =xyz vxyz vxyz vxy z.
Пример 7. Выполнить операции объединения и пересече-
ния над множествами А, В с U из примера 4, используя изо-
морфизм булевых алгебр множеств и логических функций.
> Изоморфизм булевых алгебр позволяет переходить от
операций над множествами к операциям над функциями и
обратно. Изоморфизм булевых алгебр требует выполнения
условия (4.28): | и\ = 2”. Поэтому для выполнения опера-
ций над Л = {a, d, е}, В = {b, с, d} рассмотрим изоморфные
алгебры: (Р(/7); п, о, 1) и (Р2 (3); п, о, 1).
166	Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Пусть U = {а, Ь, с, соответствие Г: Р(77) — табл. 4.15, где в край- нем правом столбце перечислены элемен- ты множества U. Фун-	d, е, h, к, /}; взаимно однозначное Р2 (3) установим так, как показано в Таблица 4.15					
	xyz	\f	g	f&g	fvg	Элемент множе- ства и
кции f и g, соответ-	ООО	1	0	0	1	a
ствующие множе-	0 0 1	0	1	0	1	b
ствам А, В, а также их	0 1 0	0	1	0	1	c
конъюнкция, дизъюн-	0 1 1	1	1	1	1	d
кция, отрицание даны	1 0 0	1	0	0	1	e
таблицами истинное-	1 0 1	0	0	0	0	h
ти (табл. 4.15). Тогда:	1 1 0	0	0	0	0	к
V(A&B)=f <&g,HO	1 1 1	о	о	о	о	I
П-1/ГА/VЛ А/ — /хЛ						
						
т.е. А & В = {<7};						
Г(Л v 5) =/v g, но	г-1(/	Vg)		'g~	b, c, d, e}, т.е	
A v В = {а, Ь, с, d, е}.						
Упражнении
1.	Представить соотношения (4.14) - (4.23) для булевой
алгебры двоичных векторов (Вп; &, v, 1).
2.	Для булевой алгебры множеств (3(?7); п, и, 1) пока-
зать справедливость соотношений (4.29) - (4.38) для произ-
вольных А, В, С с U:
а)	используя определения I и II равенства множеств;
б)	в помощью диаграммы Венна;
в)	иллюстрацией на примерах конкретных множеств
ЛДСс U.
3.	Показать изоморфизм булевых алгебр (Р(7/); п, и, "|)
и (5; &, V, 1) на примере А,В с U, если:
а)	А =	{2, 4,	6},	В =	{1, 2, 3, 6},	U =	{1,	2,	3,	4, 5, 6};
б)	А =	{а, с,	d,f},	B=	{b,c,e,f},	U =	{a,	b,	с,	d, e,f};
в)А =	{1, 3,	4, 6},	В =	{2, 3, 5, 6},	U=	{1,	2,	3,	4, 5, 6};
г)	А =	{с, d,	е},	B =	{a,b,c,f\,	U =	{a,	b,	с,	d, e,f}.
4.	Показать изоморфизм булевых алгебр (Р(7/); п, и, "I )
и(Р2(ю); &, v, "I) на примере А, В с U, если:
а)	Л = {2, 4, 6}, В = {1, 2, 3, 6}, U = {1, 2, 3,..., 8};
б)	А = {1,3, 4,6, 8}, В = {2, 3,5, 6, 7}, 77= {1,2, 3, ...,8};
£ 4.6. Булева алгебра и теория множеств	167
в)	А = {а, с, 4 h}, В = {Ь, с, d, е, h}, U = {а, Ь, с, ..., h};
г)	А = {с, d, е, g}. В = {а, с, d, g, h}, U - {a, b, c, ... , h}.
5.	Задать множества А. В c U. Выполнить операции
{n, u,"|} над множествами А, В, используя изоморфизм бу-
левых алгебр множеств (Р(СТ); u, 1) и:
а)	двоичных векторов (В„, &, v, "|);
б)	логических функций (Р2 (w); &, v, 1).
6.	Используя изоморфизм булевых алгебр логических фун-
кций и двоичных векторов, выполнить булевы операции над
логическими функциями трех переменных/3 и /4 из упраж-
нения 3 §4.4 (табл. 4.11).
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Логика предикатов представляет собой развитие логики
высказывании (см. рис. 4.1). С помощью формул логики выс-
казываний. например алгебры логики, можно описать и ис-
следовать структуру сложных высказываний, установить их
истинность или ложность в зависимости от истинности или
ложности входящих в нее простых высказываний. Для опи-
сания внутренней логической структуры простых высказы-
ваний (т.е. высказываний, не содержащих связок) использу-
ется понятие предиката.
Предикат - повествовательное предложение, содержащее
предметные переменные, определенные на соответствующих
множествах; при замене переменных конкретными значе-
ниями (элементами) этих множеств предложение обращает-
ся в высказывание, т.е. принимает значение “истинно” или
“ложно”. Обозначение предиката, содержащего п перемен-
ных («-местного предиката): Р (хр х2,..., хи), при этом пред-
полагается, что х, е Л/|5 х2 е М ...,хпе Мп.
В качестве примера рассмотрим три высказывания:
А - “Рубль - валюта России” ;
В - “Доллар - валюта России” ;
С - “Доллар - валюта США”.
Высказывания А и С - истинны, а В - ложно. Если вместо
конкретных наименований валюты в выражениях А, В (и,
может быть, аналогичных им) подставить предметную пере-
менную х и определить ее на множестве наименований де-
нежных единиц х е {рубль, доллар, фунт стерлингов,..., мар-
ка}, то получим одноместный предикат Р(х) - “х - валюта
России”.
Если в выражениях А, В, С (или аналогичных им) вместо
конкретных наименований валюты и государства подставить
соответственно переменные х и у, где у е {Россия, США,
Англия,..., Германия}, получим двухместный предикат Р(х,
у) - “х - валюта у”. Общим для этих предикатов является то,
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
169
что, приписав значения входящим в них переменным из со-
ответствующих областей определения, получим высказыва-
ния, обладающие свойством “истинно” или “ложно”.
С помощью логических связок (и скобок) предикаты мо-
гут объединяться в разнообразные логические формулы -
предикатные формулы. Исследование предикатных формул
и способов установления их истинности является основным
предметом логики предикатов. Логика предикатов вместе с
входящей в нее логикой высказываний является основой ло-
гического языка математики. С ее помощью удается форма-
лизовать и точно исследовать основные методы построения
математических теорий. Логика предикатов является важным
средством построения развитых логических языков и фор-
мальных систем (формальных теорий).
Логика предикатов, как и логика высказываний, может
быть построена в виде алгебры логики предикатов и исчис-
ления предикатов. Здесь, как и в случае логики высказыва-
ний, для знакомства с основными понятиями логики преди-
катов воспользуемся языком алгебры, а не исчислений. Та-
кой выбор обусловлен рядом причин:
•	Исследование предикатных формул алгебры логики,
выполнение их преобразований значительно проще, чем то
же в исчислении предикатов.
•	Ограничения в использовании аппарата алгебры обус-
ловлены тем, что предметные области (множества, на кото-
рых определены предметные переменные предикатов) тео-
ретически могут быть и бесконечными. В таких случаях стан-
дартный метод проверки истинности предикатов и формул в
целом, требующий подстановки всех возможных значений
предметных переменных, не может быть осуществлен в стро-
гом смысле (точнее, процедура вычисления истинности мо-
жет быть бесконечной и не дать ответа ни за какое конечное
время). Однако в практических ситуациях при описании ре-
альных систем, процессов, явлений в качестве предметных
областей, как правило, используются конечные множества.
Поэтому проблема бесконечности в значительной степени
теряет свою актуальность.
• Ниже, в иллюстративных примерах с бесконечными
множествами, например множеством натуральных чисел, при
170	Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ______________
необходимости проверки формул на истинность будем ос-
новываться на знаниях, полученных в других дисциплинах
средней школы, например школьной арифметике.
§ 5.1.	Предикаты. Основные понятия
п-местный предикат - это функция Р(хр х2, ..., хл) от п
переменных, принимающих значения из некоторых задан-
ных предметных областей так чтох( е Л/рх е М2,...,хп е Мп,а
функция Р принимает два логических значения - “истинно”
или “ложно” (обозначения: {И, Л}, {1, 0}). Таким образом,
предикат Р(х|5 х2 , ..., х ) является функцией типа
Р: М} х М2 х ... х Мп В, где множества Л/р М,... ,Мп назы-
ваются предметными областями предиката; хр х2, ..., хп -
предметными переменными предиката; В - двоичное (би-
нарное) множество: В - {И, Л} или {1, 0}. Если предикат-
ные переменные принимают значения на одном множестве,
то Р: Мп -> В.
Соответствия между предикатами, отноше-
ниями и функциями:
1.	Для любых М и п существует взаимно однозначное
соответствие между «-местными отношениями R с: Мп и п-
местными предикатами Р(хр х2,..., хп), Р: Мп -> В:
•	каждому «-местному отношению R соответствует пре-
дикат Р(хр х2,..., хп) такой, что P(at, а2, ..., а ) = 1, если и
только если (at, а2,ап) е Р;
•	всякий предикат Р(х} ,х2,...,хп) определяет отношение
7? такое, что(ара2, —,ап) е R, если и только если Р(а},а2,...,
я,) = 1 
При этом R задает область истинности предиката Р.
2.	Всякой функции f (хр х2,..., хп), /: Мп —> М, соответ-
ствует предикат Р(хх,х2, ...,хл,хи+]), Р\Мп+} -> В, такой, что
Р(а{, а2,..., ап,ап+]) = 1, если и только если /(ар а2,..., ап) =
= ап+1-
Понятие предиката шире понятия функции (см. рис. 5.1),
поэтому обратное соответствие (от («+1)-местного преди-
ката к «-местной функции) возможно не всегда, а только для
таких предикатов Р', для которых выполняется условие (свя-
занное с требованием однозначности функции):
$ 5.1. Предикаты. Основные понятия
171
ecwP'(al,a2,...,an,an {R}
то для любого а' ,±а ,
P\avav...,an,a'n+]) = Q. (5.1)
Аналогичное соответ-
ствие (взаимно однозначное)
имеется между подмноже-
ством отношений {R'}a {/?} и
множеством функций {f}.
Для этого класса отношений
{G}
R
{Р}
Р'
Рис. 5.1
выполняется аналогичное условие:
если (а,,а., ...,а ,а ,) е R', то для любого а' ,,+а
v 1’ 2’ ’ и’ п + 1'	’	л4-]	я+1
(а., о,, ...,а ,а ) <£ R'.	(5.2)
Выражение Р(а{, а2,..., аи) будем понимать как высказы-
вание “Р(а}, а2,..., ап) = 1” или “P(alf а2,..., ап) истинно”, а
выражение Р(х}, х2, ..., хи) - как переменное высказывание,
истинность которого определяется подстановкой элементов
множества Мвместо переменных х , х ,..., хп. При этом бу-
дем также называть Р(х{, х2,..., хп) логической (двоичной)
переменной, в отличие от хрх2, ...,хп-предметных (нелоги-
ческих) переменных.
Из предикатов как высказываний можно образовывать
составные высказывания - формулы логики предикатов.
Для обозначения двухместных предикатов помимо пре-
фиксной записи Р(хр х2) используется нередко инфиксная
запись X] Р х2.
Пример 1. Каким отношениям и функциям соответству-
ют следующие предикаты, определенные на множестве на-
туральных чисел:
1.	Предикат тождества £: N2 —> В:
Е(а}, а2) = 1 тогда и только тогда, когда а = аг
2.	Предикат порядка Q: N2 —> В:
Q(a{, а2~) = 1 тогда и только тогда, когда а<; а2.
3.	Предикат делимости D: N2 —> В:
D (а|5 а2) = 1 тогда и только тогда, когда а. делится на а2.
4.	Предикат суммы 5: N3 -> В:
S(a\, а2, а2) = 1 тогда и только тогда, когда а{+ а2 = а,.
172
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
5.	Предикат произведения П: N3 -> В:
П (ар а2, а3) = 1 тогда и только тогда, когда а2 = а3.
> 1. Двухместному предикату тождества Е - “х = х”
взаимно однозначно соответствуют:
а)	двухместное отношение Rx - “быть равным”, R, с Ж
(ар а2) е R{ тогда и только тогда, когда Е (яр а2) = 1;
б)	одноместная функция (операция) тождества/^) =х2,
а именно : /i (jr) =х, f:N^N.
2.	Двухместному предикату порядка Q-“х< х ” взаимно
однозначно соответствует двухместное отношение R2 - “быть
не больше”, R2 сЖ
(а{, а2) е R2 тогда и только тогда, когда Q(a{, а2) = 1.
Однако функции f(x])=x2 для предиката порядка Q(xr х2)
не существует, так как не выполнено условие (5.1): при оди-
наковых значениях переменной х существует не единствен-
ное значение переменной х2, при котором предикат Q исти-
нен. Например, Q(2, 4) = 1 и Q(2,6) - 1, однако 4*6.
3.	Двухместному предикату делимости D - “х, делится на
х2” взаимно однозначно соответствует двухместное отноше-
ние R3 - “делиться”, R3 с Ж:
(а(, а2) е R3 тогда и только тогда, когда D(a}, а2) - 1.
Однако функции f (х^ = х2 для предиката делимости
D (хрх2) не существует, так как не выполнено условие (5.1),
например 7)(6, 2) = 1 и D(6, 3) = 1, однако 2*3.
4.	Трехместному предикату суммы S - “х + х2 =х ” взаим-
но однозначно соответствуют:
а)	трехместное отношение Т?4 с Ж:
(яр а2,я,) е Т?4 тогда и только тогда, когда 5(ар а2, а3) = 1;
б)	двухместная функция (операция арифметики) - сло-
жение f2 (Xj, х2) = х3, а именно: х, + х2 = х3.
5.	Трехместному предикату произведения П- “х( • х2 = х3”
взаимно однозначно соответствуют:
а)	трехместное отношение Т?5 с Ж:
(а,, а2, а3) е Rs тогда и только тогда, когда Я(х,, х2, х3) = 1;
б)	двухместная функция (операция арифметики) - ум-
ножение f3 (Xj, х2) = х3, а именно: х(- х2 = х3.
Взаимная однозначность соответствия между 5 и f2
(Пи /3) обусловлена выполнением для предикатаS (77) уело-
£ 5.1. Предикаты. Основные понятия	173
вия (5.1): для каждой системы элементов а}, а2& N суще-
ствует единственный элемент aJ е N такой, что S(ap а2, а3) = 1
(соответственно для П(ах, а2, о3) = 1).
Пример 2. Проиллюстрировать на примере предиката
делимости, определенного в примере 1, понятия перемен-
ного высказывания, истинного высказывания, ложного выс-
казывания.
> Предикат делимости Z)(xpx2) - это переменное (двух-
местное) высказывание, предметной областью которого мо-
гут служить любые множества действительных чисел, напри-
мер множество N.
D(6, 2) - высказывание, значение которого есть истина,
т.е. истинное высказывание.
D(5, 2) - ложное высказывание.
Z)(3,x), D(x, 2) - переменные (одноместные) высказыва-
ния, истинность которых зависит от того, каким числом бу-
дет замещен символ х, но D(a, 1) - истинное высказывание,
так как для любого элемента а & N имеет место: D(a, 1) = 1
(любое натуральное число делится на единицу).
Пример 3. Записать формулой логики предикатов пред-
ложение, отражающее транзитивное свойство делимости
целых чисел.
> Составное высказывание (предложение), являющееся
формулировкой свойства транзитивности отношения дели-
мости целых чисел:
“если а делится на b и b делится на с, то а делится на с”,
состоит из трех простых высказываний D(a, b), D(b, с) и
D(a, с). Следовательно, транзитивное свойство делимости
можно записать в виде составного высказывания (логичес-
кой формулы):
“если D(a, h) и D(b, с), то /)(<?, с)” или
(Да, b) & D(b, с)) -> D(a, с).
Пример 4. Дать словесные формулировки следующих
составных высказываний (предложений):
174
Глава 5 ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
1.	S(a, b, с) & D(a, d) & D(b, d) -> D(c, d),
где S и D - предикаты суммы и делимости соответственно
(см. пример 1);
2.	~\D(a,b) &~\S(a,b,c);
3.	S(a, b, c) ~ S(b, a, c);
где Pj - предикат “число Зп является четным”; Р2 - преди-
кат “число п является четным”.
Примечание. Здесь и далее для обозначения связки (логической опе-
рации) отрицания будем использовать символ 1, принятый в логике преди-
катов.
> 1. “Если каждое слагаемое а, Ъ суммы целых чисел
делится на некоторое число d, то и сумма с делится на это
S(a, Ъ, с) & D(a, d) & D(b, d) —> D(c, d).
2.	“Число а не делится на число b, и неверно, что их сум-
ма равна с”:
W(a, b)&lS(a, b, с).
3.	“От перестановки мест слагаемых а и b сумма с не
меняется” - свойство коммутативности арифметической опе-
рации сложения:
S(a, b, с) ~ S(b, а, с);
4.	“Число Зп является четным тогда и только тогда, когда
п является четным”:
Л ~ р2.
Эквивалентность может быть выражена и другими сло-
весными формулировками, в том числе:
•	“из того что Р{, следует, что Р2, и обратно”;
•	“из того, что Р2, следует, что Р{, и обратно”;
•	“условия Р^ необходимо и достаточно для того, что-
бы Р2”;
•	” Р2 необходимо и достаточно, чтобы Р^’;
•	“Р,, если и только если Р2”;
•	“Р2, если и только если Pt”;
•	“условия Р] и Р2 эквивалентны”;
•	“Р2 тогда и только тогда, когда Р” и др.
§52 Кванторы
175
Упражнения
1.	Проиллюстрировать на примере предиката порядка,
определенного в примере 1, понятия истинного, ложного и
переменного высказываний.
2.	Записать предикатной формулой предложение, которое
выражает для произвольных а,Ь,с е Л' в модели
У=(У;$,/7,Е),
называемой в логике предикатов арифметикой натуральных
чисел, где N - множество натуральных чисел и S, П, Е-
предикаты суммы, произведения, равенства соответственно,
определенные в примере 1:
а)	коммутативность умножения;
б)	ассоциативность сложения;
в)	ассоциативность умножения;
г)	дистрибутивность слева умножения относительно сло-
жения;
д)	дистрибутивность справа умножения относительно
сложения;
е)	транзитивность равенства.
§ 5.2. Кванторы
Важную роль в логических представлениях систем, про-
цессов, явлений с использованием предикатов играют соб-
ственные связки логики предикатов: общности V и существо-
вания 3.
Пусть Р(х) - предикат, определенный на М, т.е. х е М.
Высказывание “для всех х из М Р(х) истинно” обознача-
ется Vx Р(х); знак Vx называется квантором общности. Выс-
казывание “существует такой х из М, что Р(х) истинно”
обозначается Зх Р(х); знак Зх называется квантором суще-
ствования.
Переход от Р(х) к Vx Р(х) или Зх Р(х) называется
связыванием переменной х, или навешиванием квантора на
переменную х (или на предикат Р), или квантификацией
переменной х.
176
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Переменная, на которую навешен квантор, называется
связанной, несвязанная квантором переменная называется
свободной.
Выражения \/х Р(х) и Эх Р(х) не зависят от х и при фик-
сированных Р и М имеют вполне определенные значения,
представляя вполне конкретные высказывания относитель-
но всех х предметной области М.
Навешивать кванторы можно и на многоместные преди-
каты и вообще на любые логические выражения. Выраже-
ние, на которое навешивается квантор Vx или Эх, называ-
ется областью действия квантора', все вхождения перемен-
ной х в это выражение являются связанными.
Пример 1. Пусть х определен на множестве людей М, a
Р(х) - предикат “х - смертен”. Дать словесную формулиров-
ку предикатной формулы Vx Р(х).
> Выражение Vx Р(х) означает “все люди смертны”. Оно
не зависит от переменной х, а характеризует всех людей в
целом, т.е. выражает суждение относительно всех х множе-
ства М.
Пример 2. Пусть Р(х) - предикат “х - четное число”,
определенный на множестве М. Дать словесную форму-
лировку высказыванию ЭхР(х), определить его истин-
ность.
> Исходный предикат Р(х) - “х - четное число” является
переменным высказыванием: при подстановке конкретного
числа вместо переменной х он превращается в простое выс-
казывание, являющееся истинным или ложным, например
при подстановке числа 5 превращается в высказывание “5 -
четное число”, являющееся ложным. Высказывание ЭхР(х)
означает “в М существует четное число”. Поскольку мно-
жество М, на котором задан предикат Р(х), не определено в
условии (в таком случае говорят, что задача сформулирова-
на не вполне корректно), доопределим М.
Пусть предикат Р(х) определен на множестве натураль-
ных чисел N, т.е. х 6 N, тогда высказывание ЭхТ’(х) - истин-
5 2. Кванторы
177
но. В общем случае высказывание ЗхР(х) истинно на любом
множестве М, содержащем хотя бы одно четное число, и
ложно на любом множестве нечетных чисел.
Пример 3. Пусть N(x) - предикат “х - натуральное чис-
ло”. Рассмотреть варианты навешивания кванторов. Проин-
терпретировать полученные высказывания и определить их
истинность.
> Vx N(x) - высказывание “все числа - натуральные” ис-
тинно на любом множестве натуральных чисел и ложно, если
М содержит хотя бы одно ненатуральное число, например
целое отрицательное;
Эх N(x) - высказывание “существует натуральное х” ис-
тинно на любом множестве М, содержащем хотя бы одно на-
туральное число, и ложно - в противном случае.
Пример 4. Записать предикатной формулой предложение
“Любой человек имеет отца”.
> Для построения предикатной формулы используем два
предиката “х - человек” и “у - отец х” и для удобства
восприятия обозначим их соответственно: ЧЕЛОВЕК (х) и
ОТЕЦ (у, х). Тогда предложение “Любой человек имеет отца”
в предикатной форме имеет вид:
Vx (ЧЕЛОВЕК (х) -> Зу ОТЕЦ (у, х)).
Заметим, что если предикат ОТЕЦ (у, х) определен на мно-
жестве людей, то выражение “любой человек имеет отца”
можно записать проще:
Vx By ОТЕЦ (у, х).
Пример 5. Пусть предикат Р(х, у) описывает отно-
шение “х любит у” на множестве людей. Рассмотреть
все варианты навешивания кванторов на обе перемен-
ные. Дать словесную интерпретацию полученных выс-
казываний.
> Обозначим предикат “х любит у” через ЛЮБИТ (х, у).
Предложения, соответствующие различным вариантам на-
178	Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
вешивания кванторов, проиллюстрированы на рис. 5.2, где
х и у показаны на разных множествах, что является услов-
а) Vx ЭуЛЮБИТ (х,у) б) Зу Vx ЛЮБИТ (х^)
в) VxVy ЛЮБИТ (х,у) г) 3 X 3 у ЛЮБИТ (х,у)
Д) 3 xVy ЛЮБИТ (х,у)
е) Vy Эх ЛЮБИТ (х^)
Рис. 5.2
ностью и предпринято только для объяснения смысла пред-
ложений (реальные множества переменных х и у, очевидно,
должны совпадать):
Vx Зу ЛЮБИТ (х, у} - “для любого человека х существует
человеку, которого он любит” (см. рис. 5.2, а) или “всякий
человек кого-нибудь любит”;
Зу Vx ЛЮБИТ (х, у) - “существует такой человек у, что его
любят все х” (см. рис. 5.2, б);
Vx Vy ЛЮБИТ (х,_у) - “все люди любят всех людей” (рис.
5.2, в);
Эх Зу ЛЮБИТ (х, _у) - “существует человек, который кого-
то любит” (рис. 5.2, г);
Эх Vy ЛЮБИТ (х,у) - “существует человек, который любит
всех людей” (рис. 5.2. д);
£ 5.2. Кванторы
179
Vy Эх ЛЮБИТ (х, у) - “для всякого человека существует
человек, который его любит"’ или “каждого человека кто-то
любит” (рис. 5.2, е).
Из приведенного выше можно сделать вывод о том, что пе-
рестановка кванторов общности и существования меняет смысл
высказывания, т.е. кванторы общности и существования не об-
ладают в общем случае свойством коммутативности.
Пример 6. Пусть Q(x, у) - предикат порядка “х < у”. Рас-
смотреть различные варианты квантификации его перемен-
ных. Определить истинность получаемых выражений для
разных случаев интерпретации области определения М пре-
диката, х, у е М.
> Vx(x<y) - одноместный предикат (переменное выс-
казывание) от у: “для любого х имеет место х <у” или “лю-
бое число не больше у”. Если М - бесконечное множество
неотрицательных целых чисел, то этот предикат ложен; на
любом конечном множестве натуральных чисел предикат
истинен в единственной точке, представляющей наибольшее
число в М, например для М= {1,2,3,..., 99} предикат исти-
нен в единственной точке у - 99. При подстановке любого
другого у из М этот предикат обращается в ложное высказы-
вание;
Vy (х < у) - одноместный предикат от х: “для любого у
имеет место х < у” или “любое число из М не меньше х”.
Если М— множество неотрицательных целых чисел, то этот
предикат истинен в единственной точке х = 0 и ложен при
подстановке вместо х любого другого числа из М-
Эх (х <у) - одноместный предикат оту: “существует чис-
ло в М, которое не больше у”. Если М- любое непустое мно-
жество чисел, то данный предикат превращается в истинное
высказывание при подстановке какого-либо у из М. Напри
мер,если 5 е М, то приу = 5 получаем Эх (х < 5) - истинное
высказывание;
Эу (х <у) - одноместный предикат от х: “существует чис-
ло в М, которое не меньше х”. На любом непустом множе-
стве Мчисел данный предикат превращается в истинное выс-
казывание при подстановке какого-либо х из М.. Например,
180	Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
если 5 е М, то при х = 5 получаем Эх (5 < у) - истинное
высказывание;
VxVy(x<y) - высказывание “для любых х и у выполня-
ется х < у” ложно на любом множестве, состоящем более
чем из одного элемента, и истинно на множестве с одним
элементом;
Эх Зу (х < у) - высказывание “существуют такие х и у,
что х <у ” истинно на любом непустом множестве;
Vx Зу (х < у) - высказывание “для любого числа х
существует число у, не меньшее чем х” истинно на лю-
бом непустом множестве (ввиду рефлексивности отно-
шения <);
Зу Х/х (х < у) - высказывание “существует у такой, что
для любого х х <у ” утверждает, что в М имеется единствен-
ный максимальный элемент. Оно истинно на любом конеч-
ном множестве целых чисел, но ложно, например, на множе-
стве векторов длины п, из которого удален вектор, состоя-
щий из одних единиц;
Эх Vy (х <у) - высказывание “существует х такой, что он
не больше любого у” утверждает, что в М имеется единствен-
ный минимальный элемент. Оно истинно на любом конеч-
ном множестве целых чисел, но ложно, например, на множе-
стве векторов длины и, из которого удален вектор, состоя-
щий из одних нулей;
\/уЭх(х<у) - высказывание “для любого числа у суще-
ствует число х, не большее чем у ” истинно на любом непу-
стом множестве (ввиду рефлексивности отношения <).
Отметим здесь еще раз, что в общем случае перестановка
кванторов общности и существования меняет смысл выска-
зывания и условия его истинности.
Пример 7. Рассмотреть все возможные варианты наве-
шивания кванторов на предикат D(x, у) - “х делится на у”,
определенный на множестве натуральных чисел (без нуля)
N. Дать словесные формулировки полученных высказыва-
ний и определить их истинность.
> Операции навешивания кванторов приводят к следую-
щим формулам:
/ 5.2. Кванторы
181
Vx D(x, у) - одноместный предикат (переменное выска-
зывание) “всякое натуральное число из N делится на нату-
ральное число у из N"‘, истинный только для одного значе-
ния свободной переменной у = 1;
Эх £>(х, у) - переменное высказывание “существует нату-
ральное число, которое делится на у”, истинное для любого
значения свободной переменной у, взятой из множества N;
\/yD(x,y) - переменное высказывание “натуральное число
х делится на всякое натуральное число у”, ложное для любо-
го значения свободной переменной х, взятой из множества
N;
Зу £>(х, у) - переменное высказывание “существует нату-
ральное число, которое делит натуральное число х”, истин-
ное для любого значения свободной переменной х ;
Vx Vy £>(х, у); Vy Vx D(x, у) - высказывания “для любых
двух натуральных чисел имеет место делимость одного на
другое” ложные;
Зх Зу £>(х, у); Зу Зх £>(х, у) - высказывания “существуют
такие два натуральных числа, что первое делится на второе”,
истинны;
Зх Vy D(x, у) - высказывание “существует натуральное
число, которое делится на любое натуральное”, ложное;
Vy Зх D(x, у) - высказывание “для всякого натурального
числа найдется такое натуральное, которое делится на пер-
вое”, истинное;
Vx Зу D(x, у) - высказывание “для всякого натурального
существует такое натуральное число, на которое оно делит-
ся”, истинное;
Зу Vx D(x, у) - высказывание “существует натуральное
число, которое является делителем всякого натурального
числа”, истинное (таким делителем является единица).
Пример 8. Какой смысл имеют предикатные формулы:
a)	Vy Vz Зх 77(х, у, z);
б)	Vx Vy Vz Vи (П(х, у, z) & П(х, у, и) -> £(z, w)),
где П,Е - предикаты произведения и равенства, определен-
ные на N 2 Истинны ли эти формулы? Привести примеры
наборов переменных, иллюстрирующие заключение относи-
тельно истинности или ложности формул.
182
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
> а) Формула \/у \/z Зх П(х,у, z) - высказывание “для всех
натуральных чисел у и z существует натуральное число х та-
кое, что х-у = z ” является ложным. Например, 77(х, 5, 2) не
выполняется ни при каком натуральном х, т.е. не для любых
у, z существует х такое, что х-у = z, следовательно, высказы-
вание, заданное формулой \/у \/z Зх П(х, у, z), - ложно.
б) Vx Vy Vz Vw (77(х, у, z) & П(х, у, и) —> E(z, п)) - высказы-
вание, отражающее однозначность операции умножения
“для любых натуральных чисел х, у, z, и из того, что х-у = z и
х-у = и, следует, что z = и” истинно. Для подтверждения это-
го заключения рассмотрим варианты наборов чисел, значе-
ния предикатов и формулы в целом на этих наборах:
1)	(2, 3, 6, 6):
77(2, 3,6) <£77(2,3, 6)->Е(6, 6) - 1 & 1 -> 1 = 1 -> 1 = 1;
2)	(2, 3.5, 5):
77(2, 3, 5) <£ 77(2, 3, 5) —> Е(5, 5) = 0 0 —► 1 = 0 —> 1 = 1;
3)	(2, 3,3, 6):
77(2, 3, 3) <£77(2, 3, 6)-> Е(3, 6) = 0 <& 1 —> 0 = 0 —> 0 = 1;
4)	(2, 3, 3, 5):
77(2, 3, 3) <£ 77(2, 3, 5) —> 7ДЗ, 5) = 0 <£ О ->0 = 0->0=1;
5)	(2, 3,6, 5):
77(2,3,6) <£77(2,3,5)->Е(6, 5) = 1 <£ О ->0 = 0 ->0 = 1.
Очевидно, нет таких натуральных чисел х,у, произведе-
ние которых было бы не единственно, т.е. не существует на-
бора чисел {a ,b, с, d), на котором были бы истинны предика-
ты 77(а, Ь, с) и П(а, b,d) и одновременно ложен предикат
Е(с. d), следовательно, высказывание Vx Vy Vz Vw (77(x, у, z) &
П(х,у, и) -> E(z, и)) истинно.
Упражнения
1.	Рассмотреть варианты навешивания кванторов на пре-
дикат Т’(х), определенный на множестве натуральных чисел
с нулем N Дать словесную формулировку исходных и полу-
ченных высказываний и определить их истинность, если:
а)	7’(х) = Зу S(y, у, х);	в) Р(х) = Vy 77(х, у, у);
б)	Р(х) = Зу П(у, у, х);	г) 7>(х) = Vy S(x, у, у).
Примечание. S и П - предикаты суммы и произведения соответственно.
£ 5.2. Кванторы
183
2.	Пусть Q(x, у) - предикат порядка “х < у", определен-
ный на конечном множестве натуральных чисел М =
= {0, 1, 2, 3, ..., 9}. Рассмотреть различные варианты кван-
тификации его переменных. Определить истинность полу-
чаемых выражений.
3.	Пусть предикат Р(х, у) задан на множе-
стве М- {а, Ь,с} таблицей (табл. 5.1). Опреде-
лить истинность следующих формул:
а)	Vx Р(х, а), Эх Р(х, а), \/уР(а,у), ЭуР(а,у);
6)~:хР(х.Ь), ЭхР(х.Ь), \/уР(Ь,у), ЭуР(Ь,уУ,
в)	Vx Vy Р(х, у), Vx Эу Р(х, у), Vy Эх Р(х, у),
Эу Vx Р(х. у);
г)	Vy Vx Р(х, у), Эх Vy Р(х, у), Эх Эу Р(х, у),
Эу Эх Р(х, у).
4.	Пусть S(x, у, z) и 77(х, у, z) - предикаты сум-
мы и произведения, определенные:
а)	на множестве Z всех целых чисел;
Таблица 5.1
х у	Р(х,у)
а а	0
а b	1
а с	1
b а	0
b b	1
b с	1
с а	0
с b	1
с с	1
б)	на множестве N натуральных чисел с нулем.
Какой смысл имеют формулы:
1)	Эу Vx S(x, y,z);	3) Vz Vx Эу S(x, у, z);
2)	Эу Vx 77(x, y, z);	4) Vz Vx Эу 77(x, y, z) ?
На каком из множеств N или Z они истинны?
5.	Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на
предикат Р(х, у), описать в словесной форме полученные
высказывания и определить их истинность, если:
1.	Р(х. у), определенный на конечном множестве нату-
ральных чисел М сК. означает:
а)	“х делиту” (или, что то же, “х является делителем у”);
б)	“х имеет общий делитель с у”;
в)	“х,у делятся на 3”;
г)	“х > у”;
д)	“х, у - четные числа”;
е)	“х < у”.
2.	Р(х,у), определенный на системе множеств 0(G), оз-
начает:
а)	“х является частью у”;
б)	“х пересекается с У’.
3.	Р(х,у), определенный на множестве людей, означает:
а) “х является родителем у”;
184
Глава 5 ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
б)	“х живет в одном городе с У’;
в)	“х является родственником у”;
г)	“х является сыном у”;
д)	‘х равнодушен к У’.
6. Выполнить задание упражнения 2 в § 5.1 для общего
случая переменных х,у, z е N, используя кванторы общно-
сти и/или существования.
§ 5.3.	Выполнимость и истинность
При логической интерпретации формул логики преди-
катов возможны три основные ситуации:
1.	Формула F(xx,..., х„) называется выполнимой в облас-
ти М, если в этой области для формулы F существует такая
подстановка констант а., ..., ап вместо переменных хр ...,
х„, что F(ap ..., а„) становится истинным высказыванием.
Формула называется просто выполнимой, если существует
область М, где F выполнима.
2.	Формула F(xp ... , х„) называется тождественно ис-
тинной в области М, если F выполнима в М при любых
подстановках констант. Формула F называется тождествен-
но истинной (ТИ), или общезначимой, если она тождествен-
но истинна в любых М.
3.	Формула F называется тождественно ложной в облас-
ти М, если F невыполнима в М, и тождественно ложной
(ТЛ), или противоречивой, если F невыполнима ни в каких М.
Моделью 5К в логике предикатов называют множество М вме-
сте с заданной на нем совокупностью предикатов Е = {Р,..., Рк}:
SF = (М, Р},..., Р^,
где М - основное множество модели Ж; Е = {Рх,..., Рк} -
сигнатура модели Ж Например, сигнатура модели SV =
= {N; S, П, Е}, называемой арифметикой натуральных чи-
сел, включает предикаты суммы S, произведения П и ра-
венства Е. Аналогично предыдущему определяются фор-
мулы, выполнимые на модели Sfc, тождественно истинные
(ТИ-формулы) и тождественно ложные (ТЛ-формулы) на
модели SK.
£ 5.3. Выполнимость и истинность
185
Пример 1. Определить истинность, ложность либо вы-
полнимость на модели {Л7; S, П, Е} следующих формул:
1.	(7Z(x,y,z) & П(х,у,й)) -> E(z, и);
2.	Зу П(х, х, у);
3.	Эх П(х, х,у).
> 1. Предикатная формула (/7(х, у, z) & П(х, у, к)) -> E(z, и) -
ТИ-формула на модели -5^' в силу единственности значения
произведения чисел из N. Действительно, для любых под-
становок констант вместо переменных х, у, z, и, например
a,b,c.d е N, формула (П(а, Ь, с) & П(а, b, <Д) -> £(с, d) имеет
значение “истинно” (см. поясняющие примеры различных
подстановок констант вместо переменных х,у, z,u в приме-
ре 8 §5.2).
2. Формула Зу П(х, х, у) - ТИ-формула на модели N, выра-
жающая существование натурального квадрата натурально-
го числа х. Действительно, при подстановке любой констан-
ты вместо свободной переменной х формула Зу П(х, х, у) ис-
тинна.
3. Формула ЗхП(х,х,у) выполнима на модели N: “суще-
ствует натуральное значение квадратного корня для натураль-
ного,)/ изJV”или “yly -натуральноечисло”.Очевидно.фор-
мула истинна при подстановках вместо свободной перемен-
ной у чисел 0,1,4,9,16,... и ложна при подстановке 2,3,5,
6, 7, 8, 10,...; например, ЭхП(х,х, 4) - истинна, а ЗхП(х,х, 5)-
ложна.
Пример 2. Определить истинность, ложность либо вы-
полнимость следующих формул:
a)	Vx Р(х, у, х);
б)	Эх Р(х, у) —> Vx Р(х, у);
в)	Vx (Р(х) v "| Р(х)\,
г)Эх(Р(х) & 1?(х));
д) 1 Vx Р(х) —> Эх | Р(х).
> а) 5/х Р(х,у,х) - выполнимая формула. Действительно,
формула выполнима в области No натуральных чисел с ну-
лем (например, на модели N = (JV0; S, П, Е) - арифметики
натуральных чисел). Пусть, например, Р - предикат суммы S.
186
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Тогда для формулы Vx S(x. у, х) существует подстановка кон-
станты вместо свободной переменной у = 0, при которой эта
формула становится истинной: Vx S(x, 0, х). Если Р проин-
терпретировать предикатом произведения П, то такой (тоже
единственной) подстановкой константы является у=1: Vx77(x,
1, х) - истинно. Таким образом, существует область NQ (мо-
дель 5V), в которой формула Vx Р(х, у, х) выполнима, а зна-
чит, она просто выполнима;
б)	Эх Р(х, у) —> Vx Р(х, у) - выполнимая формула. Она
является ТИ-формулой в области Мх, состоящей из одного
элемента, однако не является ТИ-формулой во всех облас-
тях. Например, она лишь выполнима в области Л/ с No,
являющейся конечным множеством натуральных чисел.
Пусть Р(х. у) есть предикат порядка Q(x, у) - “х < у”. Тогда
формула Эх Q(x, у) —> Vx Q(x, у) истинна при подстановке
у = а еМ,:Зх Q(x, а ) -> Vx Q(x, а ) и ложна при под-
становке других констант а * атт вместо свободной пере-
менной у.
Очевидно также, что данная формула с предикатом по-
рядка, но определенном на множестве А/3 всех двоичных
векторов фиксированной длины п без вектора, состоящего
из одних единиц, является ТЛ-формулой в области М3.
Таким образом, для формулы Эх Р(х, у) -> Vx Р(х, у) су-
ществуют области, в которых она является ТИ-формулой,ТЛ-
формулой, а также выполнимой, т.е. она является просто
выполнимой;
в)	Vx (Р(х) v 1 Р(х)) - ТИ-формула, так как она истинна в
любой области М. Действительно, при подстановке любой
константы а любой области М предикат Р(а) либо исти-
нен, т.е. Р(а) = 1, тогда 1 Р(а) ~ 0 и Р(а) \/1 Р(а) = 1 v 0 = 1
(истинно), либо ложен, т.е. Р(а) = 0, тогда I Р(а) = 1 и
Р{а) v | Р(а) = 0 v 1 = 1 (истинно);
г)	Эх (Р(х) & 1 Р(х)) - ТЛ-формула, поскольку она ложна
в любой области М. Пояснения этого заключения аналогич-
ны предыдущему в);
fl)~|VxP(x) -> Эх"| Р(х) - ТИ-формула, так как она истин-
на в любой области М. Формула выражает очевидно истин-
ное для любой М высказывание “если не для любого а е М
Р(а) истинно, то существует а, для которого Р(а) ложно, т.е.
/ 5.3. Выполнимость и истинность	187
1 Р(а) истинно’’. Левая и правая части формулы принимают
одинаковые значения при подстановке константы а е М, но
0-»0=1и1->1 = 1, т.е. формула 1 Vx Р(х) -> 3x1 Р(х)
всегда истинна.
Пример 3. Доказать истинность формулы:
Vx((P(x) & 0(х))	Л*))-
> Предположим противное. Пусть формула ложна, т.е. не
для всех х (Р(х) & Q(x)) -> Р(х) истинно. Тогда существует
константа а 6 М, подстановка которой в формулу сделает ее
ложной, т.е. (Р(а) & Q(a)) -> Р(а) = 0.
Это возможно лишь тогда, когда Р(а) = 0 (правая часть
импликации), а Р(а) & Q(a) = 1 (левая часть), но последнее
требует, чтобы Р[а) = 1 и Q(a) = 1.
Таким образом, требуется, чтобы существовала констан-
та а в области М такая, что Р(а) = 0 и Р(а) = 1, что невоз-
можно.
Принятое предположение относительно ложности форму-
лы привело к противоречию, поэтому оно неверно и, следо-
вательно, формула Vx ((Р(х) & Q(x)) -> Р(х)) - истинна.
Упражнения
1.	Определить истинность, ложность либо выполнимость
в области Nq натуральных чисел следующих формул:
a)	Vx Vy Vz Vz/ ((S(x, у, z) & S(x, y,u)) —> E(z, и))',
6)	(S(x, y, z) & S(y, x, w)) -> E(z, u)‘,
в)	Vx Vy Vz Vw ((/7(x, y, z) & П(у, x, i/)) —> E(z, w));
г)	By (П(х, x,y) —> S(x, x, y));
д)	Vx Vy Vz ((77(x, y, z) & I £(x, y)) S(x, y, z));
e)3y((S(x,y,z) v£(x,z)) -> Q(x,z));
ж)	Q(x, z) -> (3>> S(x, y, z) v E(x, z));
з)	Зх П(х, у, z) —> D(z, у);
и)	Зх S(x, у, у) Vx S(x,y,y)-,
к)	Зх П(у, х, у) —> Vy П(у, х, у);
л)	Зх S(x, х, у);
м) Зу S(x, х, у).
188
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Примечание: S,n,E,Q,D - соответственно предикаты суммы, произ-
ведения, равенства, порядка, делимости.
2.	Показать, что следующие формулы являются ТИ-фор-
мулами:
а)	Р(хх,..., хп) -> Bxj... Зхи Р(хх,..., хи);
б)	Vxp ...Vxfl Р(хх,... ,хп) -> Р(хх,... ,хД.
3.	Доказать методом от противного истинность формул:
a)Vx((P(x) ->	£(х))	v	(2(х)	-> Р(х)));
6)Vx((P(x) -►	0(х))	v	(Р(х)	-> 0(х)));
b)Vx(P(x) -> (Q(x)	(Р(х)	& 2(х))));
г) Vx ((1 Р(х) -+1 0(х)) -> (£(х)	Р(х)));
д)7х((Р(х)	0(х))^((Р(х)	->Ш))	->1?(х)));
е) Vx ((б(х) ВД) ((Р(х) v 0(х)) -> (Р(х) -> Я(х))));
>k)Vx(((P(x) -+ 0(х)) -> Р(х)) -> Р(х));
3)Vx(|P(x) -+ (Р(х)	£(х))).
§ 5.4. Эквивалентные соотношения.
Префиксная нормальная форма
Формулы называются эквивалентными, если при любых
подстановках констант они принимают одинаковые значе-
ния. В частности, все ТИ-формулы (и все ТЛ-формулы) эк-
вивалентны. Если формулы Fx иР2 эквивалентны, тоFx~ F2~
ТИ-формулы.
Множество ТИ-формул логики предикатов входит в лю-
бую теорию, исследование этого множества - важная цель
логики предикатов. При этом выделяются две проблемы:
1) получение ТИ-формул (проблема построения порож-
дающей процедуры для множества ТИ-формул);
2) проверка формулы на истинность (проблема разреша-
ющей процедуры).
В отличие от логики (алгебры) высказываний, где есть стан-
дартная разрешающая процедура (вычисление формул на на-
борах значений переменных), с помощью которой очевидна
организация порождающей процедуры построения множе-
ства ТИ-формул, в логике предикатов прямой перебор всех
значений переменных может быть невозможен, если предмет-
ные переменные имеют бесконечные области определения.
5.4. Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальн. форма 189
Поэтому в логике предикатов используются различные
косвенные приемы, в том числе эквивалентные соотноше-
ния, позволяющие выполнить корректные преобразования
предикатных формул. В логике (алгебре) предикатов спра-
ведливы все эквивалентные соотношения логики (алгебры)
высказываний, а также собственные эквивалентные соот-
ношения, включающие связки V и 3 (ниже под Y будем
понимать переменное высказывание или формулу, не со-
держащую х):
”1 Зх Р(х) ~ Vx 1 Р(х).	(5-3)
lVxP(x) ~ Эх1Р(х).	(5.4)
Vx (Р,(х) & Р2(хУ) - (Vx Р,(х) & Vx Р2(х)).	(5.5)
Зх (Р,(х) v Р2(х)) ~ (Зх Р,(х) v Зх Р2(х)).	(5.6)
Vx Vy Р(х, у) ~ Vy Vx Р(х, у).	(5.7)
Эх Зу Р(х, у) ~ Зу Зх Р(х, у).	(5.8)
Vx (Р(х) &	Y)	~	(VxP(x) & У).	(5.9)
Vx (Р(х) v	У)	~	(Vx Р(х) v У).	(5.10)
Эх(Р(х) &	У)	~	(ЗхР(х)<£ У).	(5.11)
Зх(Р(х) v	У)	~	(ЗхР(х)мУ).	(5.12)
Используя соотношения (5.3), (5.4), можно выразить один
квантор через другой. Соотношения (5.5) и (5.6) показыва-
ют дистрибутивность квантора общности Vx относительно
конъюнкции & и квантора существования Зх относитель-
но дизъюнкции V. Если в этих выражениях поменять мес-
тами кванторы Vx и Зх, то получим соотношения, верные
лишь в одну сторону (см. пример 1):
Зх (Р/х) & Р2(х)) -> (Зх Р,(х) & Эх Р2(х));
(Vx Р((х) v Vx Р2(х)) -> Vx (Р/х) v P2(x)).
Поэтому в таких случаях эквивалентных преобразований
применяют переименование переменной х в одном из пре-
дикатов на новую переменную:
(ЭхР/х) & ЗуР2(у)) ~ ЗхЗу(Р](х) & Р2(у));
(VxPt(x) v VyP2(y)) ~ VxVy(P,(x) v Р2(у)).
190	Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Соотношения (5.7), (5.8) отражают в некотором смысле
коммутативность одноименных кванторов (возможность ме-
нять местами одноименные кванторы), что несправедливо
для разноименных кванторов, например Vx Эу Р(х, у) и Эу
Vx Р(х, у) не эквивалентны. Соотношения (5.9) - (5.12) по-
зволяют формулу, не содержащую переменную х, выносить
за пределы действия квантора, связывающего эту перемен-
ную. Указанных соотношений (5.3) - (5.12), а также эквива-
лентных соотношений логики (алгебры) высказываний дос-
таточно для выполнения преобразований формул логики (ал-
гебры) предикатов.
Как и в логике высказываний, в логике предикатов суще-
ствуют эквивалентные нормальные формы представления
любых предикатных формул, в том числе префиксная (или
пренексная) нормальная форма.
Префиксной нормальной формой (ПНФ) называется фор-
мула, имеющая вид:
Q х Q х ... Q х F,
где Q}x}, Q2x2, Qnxn - кванторы; F-формула, не имею-
щая кванторов, с операциями {&, v, 1}. В логике предика-
тов для любой формулы существует эквивалентная ей пре-
фиксная нормальная форма.
Процедура получения ПНФ:
1.	Используя формулы
Р2 = (Р}^> Р2) & (Р2^ Р,),	(5.13)
Р,->Р2 = ТРЛ Р2,	(5.14)
заменить операции ~ на &, v, 1.
2.	Воспользовавшись выражениями (5.3), (5.4), а также
правилом двойного отрицания и правилами де Моргана
Т\Р = Р,	(5.15)
1(Р, v Р2) = ^Р}& 1Р2,	(5.16)
1(Р,<£ P2) = lP,v 1Р2,	(5.17)
представить предикатную формулу таким образом, чтобы
символы отрицания были расположены непосредственно
перед символами предикатов.
§54 Эквивалентные соотношения. Префиксная нормален форма 191
3.	Для формул, содержащих подформулы вида
Vx Д(х) v Vx Р2 (х), Зх Р/х) & Зх Р2 (х),
ввести новые переменные, позволяющие использовать соот-
ношения (5.9) - (5.12).
4.	С помощью формул (5.5) - (5.12) получить формулы в
виде ПНФ.
Пример 1. В соответствии с соотношениями (5.5) и (5.6)
квантор общности обладает свойством дистрибутивности
относительно конъюнкции, а квантор существования - от-
носительно дизъюнкции. Показать, что если в указанных
формулах поменять местами кванторы Vx и Зх, то полу-
ченные при этом соотношения будут верны лишь в одну
сторону:
Зх(Р,(х) & Р2(х))-> (Зх Р,(х) & ЗхР2(х));	(5.18)
(Vx/J|(x) v Vx Р2(х)) —> Vx (Р](х) v Р2(х)).	(5.19)
> В соотношениях (5.18)и(5.19) левая часть более силь-
ная, чем правая, поскольку она требует для своей истиннос-
ти выполнения более жестких условий, чем правая. Так, в
левой части (5.18) требуется, чтобы Рх(а) и Р2 (а) были ис-
тинны для одного и того же а, тогда как в правой части Р{ и
Р2 могут быть истинны при различных и а2. Что касается
(5.19), то здесь требуется, чтобы в левой части хотя бы один
предикат выполнялся для всех а е М; в правой части доста-
точно, чтобы один предикат был истинен там,где ложен дру -
гой. В этих рассуждениях, по существу, содержатся доказа-
тельства справедливости (5.18) и (5.19).
Для иллюстрации рассмотрим примеры. Пусть предмет-
ная область предикатов М= {а, Ь, с}. При этом допустим,
что истиной являются только Р} (а), Р, (Z>), Р2 (с). Тогда левая
часть (5.19) не выполняется, а ее правая часть является ис-
тинной, следовательно, левая и правая части не равны. И об-
ратно, если выполняется левая часть, то ясно, что непремен-
но выполняется и правая часть, т.е. соотношение (5.19) спра-
ведливо.
Пусть теперь на М = (а, Ь, с} истинны Р,(а) и Р2(Ь).
Тогда левая часть (5.18) не выполняется, тогда как правая
192	Глава 5 ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
часть будет истинной. Но если справедлива левая часть, то
непременно справедлива и правая часть.
Из доказанного следует, что в рассмотренных случаях
нельзя непосредственно получить ПНФ предикатной фор-
мулы. Ее удается построить введением новых переменных:
ЗхР,(х) <& ЗуР2(у) ~ЗхЗу(Р,(х) <& Р2(у));	(5-20)
VxP,(x) v VyP2(y) ~ VxVy(Pj(x) v Р2(у)).	(5.21)
Пример 2. Привести к ПНФ следующую предикатную
формулу. (3х р	р> у))
> Поскольку в данной предикатной формуле имеются два
высказывания 3xVyPj(x,y) и 3xVyР2(х,у), объединенные
связкой & и общим отрицанием 1, то, применив правило де
Моргана (5.17) к исходной формуле, получим:
1 (Зх Vy Pt (х, у) & Зх Vy Р2 (х, у) ) ~
~ 1 Зх Vy Р\ (х, у) vl Зх Vy Р2 (х, у).
Воспользуемся далее эквивалентным соотношение (5.3):
1 Зх Vy Р} (х, у) vl Зх Vy Р2 (х, у) ~
~ Vxl Vy Pj (х, у) v Vxl Vy Р2 (х, у).
Продолжая перемещение символов отрицания непосред-
ственно к символам предикатов, используем соотношение (5.4):
Vx ! Vy Р (х, у) v Vxl Vy Р2 (х, у) ~
~ Vx Зу | Р, (х, у) v Vx 3у1 Р2 (х, у).
Так как квантор общности Vx не дистрибутивен относи-
тельно дизъюнкции v, поменяем в каком-либо предикате,
например во втором, переменную х на новую переменную г.
VxBylP (х,у) v Vx Зу] Р2 (х, у) ~
~ Vx Зу I Pj (х, у) v Vz 3yl Р2 (z, у).
Воспользовавшись дважды эквивалентным соотношени-
ем (5.10) или соотношением (5.21), получим:
Vx3ylPj(x,y) v Vz3ylP2(z,y)~
~ Vx Vz (Зу1 Pj (х, у) v 3yl Р2 (z, у)).
Поскольку квантор существования Зу дистрибутивен от-
носительно дизъюнкции v (см. (5.6)), окончательно получим
префиксную нормальную форму для исходной предикатной
формулы:
Vx Vz (3yl Pj (х, у) v 3ylP2(z,y))~
~ Vx Vz Зу (1Р, (х, у) vl Р2 (z, у)).
§54 Эквивалентные соотношения Префиксная нормален форма 193
Пример 3. Получить ПНФ предикатной формулы:
Vx Vy (3z (Р{ (х, z) & Р2 (у, z)) Эи Р3 (к, у, м)).
> Для получения ПНФ удалим из исходной формулы связ-
ку используя формулу булевой алгебры (5.14):
Vx Vy (3z (Л (x, z) & P2(y,z)) —> 3u P3(x,y, m)) ~
~ Vx Vy (1 Hz (Pj (x, z) & P2(y,z)) v Зм P3(x,y, m)).
Избавимся от отрицания перед квантором Hz, используя
(5-3):
Vx Vy ("I Hz (Pj (x, z) & P2(y,z)) v Зм P3(x,y, m)). ~
~ Vx Vy (Vz I (Pj (x, z) & P2 (y, z)) v H и P3 (x, y, m)).
Воспользуемся далее правилом де Моргана (5.17):
Vx Vy (Vzl (P (x, z) & P2 (y, z)) v 3 м P3 (x, y, u)) ~
~ Vx Vy (Vz (I Pj (x, z) v 1P2 (y, z)) v 3м P3 (x, y, m)).
Так как последний предикат не зависит от переменной z,
используем соотношение (5.10):
Vx Vy (Vz (1 Pj (x, z) v 1P2 (y, z)) v Зм P3 (x, у, m)) ~
~ VxVy Vz(1Pj(x,z) v"|P2(y,z) v Зм P3(x,y, m)).
Аналогично для вынесения квантора Зм (благодаря неза-
висимости первых предикатов от переменной м) воспользу-
емся (5.12):
Vx Vy Vz (1 Pj(x, z) v"|P2(y, z) v ЗмР3(х,у, m)) ~
~ Vx Vy Vz 3м (1 Pj (x, z) v 1P2 (y, z) v P3 (x, у, m)).
Полученная в результате выполненных эквивалентных
преобразований формула является ПНФ исходной формулы.
Пример 4. Получить ПНФ предикатной формулы
(1 Зм Pj (м) -> 1 Vy Vm Р2 (у, м)) Vx Р3 (х).
> Для получения ПНФ осуществим эквивалентные пре-
образования, указывая каждый раз справа номер используе-
мого эквивалентного соотношения:
(1 Зм Pj (м) —> 1 Vy Vm Р2(у, м)) —> Vx Р3(х) ~ по (5.14)
~ (~1'|ЗмР1(м) vlVyVMP2(y, м))-> VxP3(x) ~ по (5.15)
~ (Зм Р, (м) v "1 Vy Vm Р2(у, м)) ->VxP3(x) ~ по (5.14)
~ 1 (Зм Pj (м) v 1 Vy Vm Р2(у, м)) v VxP3(x) ~ по (5.16)
~ (13mPj(m) <& Т1 Vy Vm Р2 (у, м) ) v Vx Р3 (х) - по (5.15)
194
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
~ ("IBwPJu)	&	VyVu Р2(у, w))	v VxP3(x)	-	по (5 3)
~ (Vm"| Р, (и)	&	Vy Vu Р2 (у, и))	v VxР.(х)	~	по (5.5)
- Vw^PJm)	&	Vy Р2(у,и)) v	VxP3(x) ~	по (5.9)
~ VwVy^P^w)	& Р2(у, w)) v	Vx Р3(х) -	по (5.10)
~ Vu Vy Vx ("IР{ (и) & Р2(у,и) v Р3(х)) ~	по (5.7)
~ Vx Vy Vw ("| Р, (и) & Р2(у,и) v Р3(х)) ~
Упражнения
1.	Проиллюстрировать справедливость соотношений
(5.18) и (5.19) для предикатов
Р] (х) - “х - четное число” и Р2 (х) - “х - нечетное число”
и недопустимость замены в (5.18) и (5.19) символа —> на
т.е. показать, что для данных предикатов указанные соотно-
шения справедливы лишь в одну сторону.
2.	Получить ПНФ следующих предикатных формул:
a)	3xVyP,(x,y) -> Vx3yP2(x,y);
б)	(Зх Vy Pj (х, у) v Зх Р2 (х) ) -> Зу Vz Р3 (у, z);
в)	1 (ЗхVzР](х,z) 3y3zP2(y,z)) & 13y3zP2(y,z);
г)	(3xVzPj(x, z) v "I VxVyP2(x,y)) ”|VzP3(z);
д)	(Vx3y VzPj(x,y,z) v lVyP2(y)) -> 1 Vx Vz P3 (x, z);
e)	~i(VxVyVzlPJx^z)	3y3zP2(y,z)) & \/x\fzP3(x,z);
ж)	(VxVyPj(x, у) ЗхЗу VzP2(x,y,z)) -> 3zP3(z);
з)	1 Vx Зу P, (x, y) -► (VyVzP2(y,z) -> "|VzP3(z));
и)	(13уР,(у) -► 1 Vx Vy P2 (x, y)) -> Vz P}(z);
к)	l(Vx Vy РДх,у) v Vx Зу P2(x,y)).
Раздел 3.
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Графические представления в широком смысле - любые
наглядные отображения исследуемой системы, процесса,
явления на плоскости. К ним могут быть отнесены рисунки,
чертежи, графики зависимостей характеристик, планы-кар-
ты местностей, блок-схемы процессов, диаграммы и т.п.
Такие изображения наглядно представляют различные вза-
имосвязи, взаимообусловленности: топологическое (про-
странственное) расположение объектов, хронологические
(временные) зависимости процессов и явлений, логические,
структурные, причинно-следственные (каузальные) и другие
взаимосвязи.
Глава 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
§ 6.1. Основные понятия
Графические представления-удобный способ иллюстра-
ции содержания различных понятий, относящихся к другим
способам формализованных представлений (см., например,
диаграммы Венна и другие графические иллюстрации основ-
ных теоретике-множественных и логических представлений).
Все более распространенными становятся представления
количественных характеристик, взаимосвязей между объек-
тами в виде разного рода одно-, двух- и более мерных гисто-
грамм (рис. 6.1), круговых диаграмм (рис. 6.2), других анало-
Рис. 6.1
Рис. 6.2
196 Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
гичных способов представления в виде тех или иных гео-
метрических фигур, по наглядным характеристикам которых
(высоте, ширине, площади, радиусу и пр.) можно судить о ко-
личественных соотношениях сравниваемых объектов, значи-
тельно упрощая их анализ.
Мощным и наиболее исследованным классом объектов,
относящихся к графическим представлениям, являются так
называемые графы, изучаемые в теории графов. Теория
графов имеет огромные приложения, так как ее язык, с од-
ной стороны, нагляден и понятен, а с другой - удобен в фор-
мальном исследовании. На языке теории графов формули-
руются и решаются многие задачи управления, в том числе
задачи сетевого планирования и управления, анализа и про-
ектирования организационных структур управления, ана-
лиза процессов функционирования и целеполагания, мно-
гие задачи принятия решений в условиях неопределеннос-
ти и др.
Следует иметь в виду, что при изображении графа не все
детали рисунка одинаково важны; в частности, несуществен-
ны геометрические свойства ребер (длина, кривизна и т.д.) и
взаимное расположение верщин на плоскости.
Графические представления в узком смысле - это описа-
ние исследуемой системы, процесса, явления средствами те-
ории графов в виде совокупности двух классов объектов:
вершин и соединяющих их линий - ребер или дуг. Графы и
их составляющие характеризуются определенными свойства-
ми и набором допустимых преобразований (операций) над
ними.
Графом G называется совокупность двух множеств: вер-
шин V и ребер Е, между элементами которых определено
отношение инцидентности - кажде ребро ее£ инциден-
тно ровно двум вершинам v', v"e V, которые оно соединя-
ет. При этом вершина v' (v") и ребро е называются инци-
дентными друг другу, а вершины v' и v", являющиеся
для ребра е концевыми точками, называются смежными.
Часто вместо v е V и е е Е пишут соответственно v е G,
е е G.
Ребро, соединяющее две вершины, может иметь на-
правление от одной вершины к другой; в этом случае
§61 Основные понятия
197
оно называется направленным, или ориентированным,
или дугой и изображается стрелкой, направленной от
вершины, называемой началом, к вершине, именуемой
концом.
Граф, содержащий направленные ребра (дуги) с нача-
лом v' и концом v", называется ориентированным (оргра-
фом), а ненаправленные - неориентированным (назовем
н-графом).
Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, на-
зываются параллельными, или кратными. Граф, содер-
жащий кратные ребра, именуется мулътиграфом. Реб-
ро, концевые вершины которого совпадают, называется
петлей.
Граф называется конечным, если множество его элемен-
тов (вершин и ребер) конечно, и пустым, если его множе-
ство вершин V (а значит и ребер Е) пусто. Граф без петель и
кратных ребер именуется полным, если каждая пара вершин
соединена ребром.
Дополнением графа G называется граф G , имеющий те
же вершины, что и граф G, и содержащий только те ребра,
которые нужно добавить к графу G, чтобы получить пол-
ный граф.
Каждому неориентированному графу канонически
соответствует ориентированный граф с тем же мно-
жеством вершин, в котором каждое ребро заменено
двумя ориентированными ребрами, инцидентными тем
же вершинам и имеющими противоположные направ-
ления.
Локальной степенью (или просто степенью) вершины
v е V н-графа G называется количество ребер p(v), инци-
дентных вершине v. В н-графе сумма степеней всех вер-
шин равна удвоенному числу ребер т графа, т.е. четна
(предполагается, что в графе с петлями петля дает вклад 2
в степень вершины):
^p(v) = 2w,
veG
отсюда следует, что в н-графе число вершин нечетной степе-
ни четно.
198 Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
Для вершин орграфа определяются две локальные сте-
пени:
* Pi (v)_ число ребер с началом в вершине v, или количе-
ство выходящих из v ребер;
• р2 (у) - количество входящих в v ребер, для которых эта
вершина является концом.
Петля дает вклад 1 в обе эти степени.
В орграфе суммы степеней всех вершин р, (у) и р2 (у)
равны количеству ребер т этого графа, а значит, и равны
между собой:
ZPiO) = £p2(v) = т.
veG	veG
Графы G[ и G2 равны, т.е. Gx = G2, если их множе-
ства вершин и ребер (выраженных через пары инциден-
тных им вершин) совпадают: V\ ~ V., и Е] = Е2. Графы
Gj и G2 на рис. 6.3 равны. Граф G считается полностью
заданным в строгом смысле, если нумерация его вер-
шин и ребер зафиксирована. Графы, отличающиеся
только нумерацией вершин и ребер, называются изомор-
фными.
Пример 1. Задать
граф G], представ-
ленный на рис. 6.3,
через множества вер-
шин и ребер Ег
> Граф G, может
быть полностью оп-
ределен:
• двумя множе-
ствами -поимено-
ванных вершин
о—о—о—о—о
vi Ъ 'з v4 v5
G2
Рис. 6.3
Ej = {у,, v2, v3, v4, vj и поименованных ребер E, = {er
e2, e2, e4} (в строгом смысле требуется установление от-
ношения инцидентности ребер соответствующим вер-
шинам);
§6 1. Основные понятия	199
• множеством ребер, каждое из которых представлено па-
рой своих концевых вершин: Е= {(vp v), (v4, v3), (v3, v5),
(V5, V2)}.
Порядок указания вершин при описании ребра здесь без-
различен, так как все ребра в графе G неориентированные.
Пример 2. На рис. 6. 4 изображены графы G}- Gn с че-
тырьмя вершинами в каждом. Сравнить графы.
Рис. 6.4
> Результаты сравнения графов таковы:
G] - G7 - неориентированные; G - G - ориентирован-
ные;
Gj, G2 - полные, причем G, = G2;
G7 - не является полным, так как хотя каждая пара вер-
шин и соединена ребром, но имеется одна петля. (Иногда
полным называют граф с петлями во всех вершинах, каждая
пара которых соединена ребром. Граф G7 не отвечает и это-
му определению. В дальнейшем мы будем придерживаться
определения полного графа, данного в начале параграфа.)
200 Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
G, - все вершины этого графа являются изолированными
(граф с пустым множеством ребер, т.е. Е = 0); _
64 и G5 являются дополнением друг другу: G = Gs и G = G4;
G6 - мультиграф, так как содержит кратные ребра а и Ь, а
также ей/;
G8 - ориентированный, канонически соответствующий
неориентированному графу G5;
G, и G|fl не являются равными, так как имеют отличаю-
щиеся ребра: (4,1)-вС9и (1,4) - в 6]0;
6И - ориентированный мультиграф: ребра а и Ь- крат-
ные, тогда как G]2 мультиграфом не является, поскольку в
нем ребра а и b различно ориентированы.
Пример 3. Чему равны степени вершин графов G., G3 на
рис. 6.5?
Рис. 6.5
> Оба графа имеют по четыре вершины: V= {1,2, 3,4}.
Степени вершин неориентированного графа G : р(1) = 3,
р(2) = 4, р(3) = 3, р(4) = 4, если условиться считать вклад
петли в степень вершины, равный 2, и р(4) = 3, если петля
дает вклад 1 в степень вершины. Сумма степеней всех вер-
шин графа Gt равна 14, т.е. вдвое больше числа ребер графа:
p(v) = 14 = 2т, где т = 7 - число ребер графа.
veG
Степени вершин ориентированного графа G3:
р,(1) = 2, р,(2) = 3, р,(3)=1, р,(4)=1;
р2(1)=1, р2(3) = 1, р2(3) = 2, р2(4) = 3.
6.2. Способы задания графов
201
Суммы степеней вершин первого и второго типа графа G,
совпадают и равны числу т ребер графа:	(v) =
= Sp2(v) =7 = w.
veG
Упражнения
1.	Задать графы G2 - G} (см. рис. 6.3) множествами их
вершин и ребер. Сравнить графы G} - G2 (см. пример 1).
2.	Равны ли графы G, - G2 на рис. 6.5? Задать графы
G} - G2 множествами их вершин и ребер. Сравнить графы.
3.	Определить дополнение G графа G, если:
a) G - пятиугольник; б) G - треугольник.
Какой ориентированный граф канонически соответству-
ет графу G (представить графически)?
§ 6.2. Способы задания графов
Выше мы познакомились с двумя способами описания
графов: графическим и в виде двух множеств вершин V и
ребер Е, когда каждое ребро е е Е определено парой инци-
дентных ему концевых вершин (v v ”). Рассмотрим другие
способы, используемые в теории графов.
В общем виде задать граф - значит описать множества
его вершин и ребер, а также отношение инцидентности. Для
описания вершин и ребер достаточно их занумеровать. Пусть
vp v2,... , v, ... ,vn - вершины графа G; е,, е2,... , et,... , ет -
ребра. Отношение инцидентности задается:
• матрицейинци дентности ||е Цразмера т х п : по вер-
тикали и горизонтали указываются вершины и ребра соот-
ветственно, а на пересечении z-й вершины иj-го ребра в слу-
чае неориентированного графа проставляется 1, если они
инцидентны, и 0 - в противном случае, т.е.
1,если ребро е, инцидентно вершине v7 ,
е/ j п
О-в противном случае ,
202 Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
а в случае орграфа: -1, если вершина является началом реб-
ра, 1 - если вершина является концом ребра, и 0 - если вер-
шина и ребро не инцидентны; если некоторая вершина яв-
ляется для ребра и началом, и концом (т.е. ребро - петля),
проставляется любое другое число, например 2, т.е.
е
и
-1, если вершина -начало ребра ех;
1,	если вершина v - конец ребра ех‘
- а (любое число, отличное от-1, 1, 0), если
et - петля, a v~инцидентная ей вершина;
О-в остальных случаях;
• списком ребер графа, представленным двумя столбца-
ми: в левом перечисляются все ребра ее Е, а в правом -
инцидентные ему вершины vr, v^; для н-графа порядок вер-
шин в строке произволен, для орграфа первым стоит номер
начала ребра;
* матрицей смежности || Зу || - квадратной матрицей
размера п х п: по вертикали и горизонтали перечисляются
все вершины vye Г, а на пересечении k-й и /-й вершин в
случае н-графа проставляется число, равное числу ребер,
соединяющих эти вершины; для орграфа 5* равно числу ре-
бер с началом в А:-й вершине и концом в /-й.
Если два графа равны, то их матрицы совпадают. Если в
графе поменять нумерацию вершин, матрицы (и список ре-
бер) в общем случае изменяются, т.е. вид матриц и списка
ребер зависит от нумерации вершин и ребер графа. Строго
говоря, граф считается полностью заданным, если нумера-
ция его вершин зафиксирована. Графы, отличающиеся только
нумерацией вершин, являются изоморфными. Проверка изо-
морфности графов - в общем случае трудоемкая задача.
Пример 1. Задать матрицами инцидентности и смежнос-
ти, а также списком ребер графы G, (см. рис. 6.5).
> Матрицы инцидентности графов Су и G3 приведены в
табл. 6.1. В матрице инцидентности в каждом столбце толь-
ко два элемента, отличных от 0 (или один, если ребро - пет-
ji 6.2. Способы задания графов
203
а b с d е f g
i
1 1 1 0 0 0 0
110 110 0
0 0 1 10 10
0 0 0 0 1 1 1
Таблица 6.1
G3 a b с d е f g
"ы 1 -1 0~0 о о
2
3
4
2 1-10-1-10 0
3 0 0 1 1 0 -1 0
4 0 0 0 0 1 1 2
ля). Список ребер является более компактным описанием
графа. Список ребер орграфа G3 приведен в табл. 6.3, для
н-графа Gj он аналогичен, однако последовательность ука-
зания вершин здесь безразлична. Матрицы смежности гра-
фов Gp G3 даны в табл. 6.2.
	12 3 4
1 2 3 4	0 2 10 2 0 11 110 1 0 111
Таблица 6.2
	12 3 4
1 2 3 4	0 110 10 11 0 0 0 1 0 0 0 1
Таблица 6.3
Ребро	Вершины
а	1 2
ь	2 1
с	1 3
d	2 3
е	2 4
f	3 4
g	4 4
Пример 2. На рис. 6.6 изображен сетевой граф (сетевая
модель) выполнения комплекса операций (работ) некоторой
программы. В нем
стрелки обозначают
операции, вершины -
события, характеризу-
ющие окончание од-
них работ и начало
других. Направлен-
ность стрелок отража-
ет последователь-
ность наступления
этих событий. Задать
сетевой граф различными способами.
> Изображенная сетевая модель представляет собой ори-
ентированный граф, который может быть полностью задан
различными способами:
204 Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
1)	графически (см. рис. 6.6);
2)	с помощью задания двух множеств:
К- {1,2,3,4,5,6} и Е = {(1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,6), (5,6)};
3)	матрицей инцидентности (см. табл. 6.4). Особеннос-
тью сетевой модели является то, что из начального события
1 стрелки только выходят, а в конечное 6 - только входят.
Поэтому в первой строке матрицы инцидентности имеются
единицы только со знаком “минус”, а в последней - только
со знаком “плюс”;
4)	матрицей смежности (см. табл. 6. 5). По причине, ука-
занной в п. 3, в последней строке матрицы смежности про-
ставлены только нули;
5)	списком ребер сетевой граф задается очевидным обра-
зом, поскольку ребра графа обозначены через свои конце-
вые вершины. В таком случае в столбце “вершины” списка
	Таблица 6.4 (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,6) (5,6)	1	2	Таблица 6.5			
				3	4	5	6_
1	-1 -1 0 0 0 0 0	1	0	1	1	0	0	0
2	1 0 -1 -1 0 0 0	2	0	0	0	1	1	0
3	0 1 0 0 -1 0 0	3	0	0	0	1	0	0
4	0 0 10 1-10	4	0	0	0	0	0	1
5	0 0 0 1 0 0 -1	5	0	0	0	0	0	1
6	0 0 0 0 0 1 1	6	0	0	0	0	0	0
будут повторяться номера вершин, указанных в столбце “реб-
ра”, причем в той последовательности, в какой в данном слу-
чае стрелки-ребра обозначены.
Пример 3. Задать различными способами графы G{ и G2,
представленные на рис. 6.7 и 6.8 соответственно. Как вы-
числить число вершин и число ребер по матрицам и списку
ребер? Сформулировать правила переходов от описания гра-
фа списком ребер к матрице инцидентности и от матрицы
смежности к списку ребер.
> Матрицы инцидентности н-графа G{ и орграфа G2 при-
ведены в табл. 6.6, соответствующие этим графам списки
ребер - в табл. 6.7, а их матрицы смежности - в табл. 6.8.
f 6.2. Способы задания графов
205
VI
Рис. 6.7
При наличии матрицы инцидентности число всех вер-
шин и число ребер графа определяется очевидным об-
Таблица 6.6
	I	II	III	IV	V VI VII	G2	I	II	III	IV	V	VI VII
1	Т	1	0	0	ООО	1	-1	1	0	0	0	0 0
2	1	0	1	0	ООО	2	-1	0	1	0	0	0 0
3	0	1	0	1	ООО	3	0	-1	0	1	0	0 0
4	1	0	0	0	1 0 0	4	0	1	0	-1	0	0 0
5	0	0	1	1	ООО	5	0	0	0	2	0	0 0
6	0	0	1	1	ООО	6	0	0	-1	0	1	0 0
7	0	0	0	1	ООО	7	0	0	-1	0	1	0 0
8	0	0	1	0	1 0 0	8	0	0	-1	0	0	1 0
9	0	0	0	1	0 0 1	9	0	0	-1	0	0	0 1
10	0	0	0	0	1 1 0	10	0	0	0	0	0	0 2
11	0	0	0	0	0 1 1							
разом по размеру матрицы: число ребер |Е| графа рав-
но числу строк т, а число вершин - числу столбцов
п матрицы. То же с определением числа ребер по спис-
ку ребер; число вершин равно максимальному номеру
из перечисленных номеров вершин. Число вершин гра-
фа по матрице смежности определяется порядком п
списка.
206 Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
Матрица смеж-
ности н-графа
симметрична от-
носительно глав-
ной диагонали
8 = 8 , и все его
ребра определя-
ются верхним
правым треуголь-
ником матрицы,
расположенным
над диагональю,
включая после-
днюю Таким об-
	
Ребра	Вершины
1	I, п
2	I, III
3	II, IV
4	I, V
5	III, IV
6	III, IV
7	IV, IV
8	III, V
9	IV, VII
10	V, VI
11	VI, VII
Таблица 6.7
G2	
Ребра	Вернины
1	I, П
2	I, Ш
3	П, IV
4	П
5	IV, IV
6	Ш, V
7	Ш, V
8	Ш. VI
9	III, VII
10	VII, VII
Таблица 6.8
61	I	II III IV V	VI VII		I	II	III IV	V	VI VII
I	0	110 1	0 0	I	0	1	1 0	0	0 0
II	1	0 0 10	0 0	II	0	0	0 1	0	0 0
III	1	0 0 2 1	0 0	III	0	0	0 0	2	1 1
IV	0	12 10	0 1	IV	0	1	0 1	0	0 0
V	1	0 10 0	1 0	V	0	0	0 0	0	0 0
VI	0	0 0 0 1	0 1	VI	0	0	0 0	0	0 0
VII	0	0 0 10	1 0	VII	0	0	0 0	0	0 1
разом, число ребер н-графа по матрице смежности равно
сумме элементов 8( , расположенных на диагонали и выше,
п п
т.е. равно	• Ребра орграфа определяются всеми
i=i j=i
элементами 8 матрицы смежности, отсюда их число равно
п п
1=1 у=1
Список ребер графа является, по существу, сокращенным
представлением матрицы инцидентности (в каждой ее стро-
ке только два элемента отличны от 0 или даже один, если
ребро - петля).
£ 6.2. Способы задания графов
207
Построение матрицы инцидентности по списку ребер.
Каждая строка списка соответствует строке матрицы с тем
же номером. Для н-графа в строке списка указаны номера
элементов строки матрицы инцидентности, равные I. Для ор-
графа в этой строке первым стоит номер элемента строки
матрицы, равного -1, а вторым - номер элемента, равного 1.
При совпадении номеров в строке списка ребер в названном
элементе строки матрицы инцидентности проставляется,
например, 2 (см. табл. 6.6).
Построение по матрице смежности списка ребер. Эле-
менту матрицы, расположенному в z-й строке иj-ом столбце,
соответствует 8 строк списка ребер (при Зу= 0 - ни одной
строки), в каждой из которых записаны номера i,j. Для н-
графа эти строки соответствуют только элементам верхнего
правого треугольника матрицы смежности, т.е. элементам 8/(
с j > z, а для орграфа нужно рассматривать все элементы б\
Пример 4. Определить, изоморфны ли графы Gv Gv изоб-
раженные на рис. 6.9?
> В пер-
вом G\ и вто-
ром G2 графах
I ^,1 = 1^21 = 5,
|Е,| = |Е2| = 7.
Пусть верши-
ны и ребра
пронумерова-
ны, как это
Таблица 6,9
с d
е f g
G, а b
1|То
2 1 1
3 0 0
4 0 0
5 0 0
с d е f g
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
1110 0
0 0 0 1 1
0 0 10 1
G2 a b
2
3
4
5
1	0	0	0	1	1	0
1	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0
0	0	0	1	0	1	1
1
208 Глава 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
	1	2	3	4	5		Таблица 6. 12 3 4	10 5
1	0	1	0	1	0	1	110 0	1
2	1	1	1	0	0	2	10 10	0
3	0	1	1	0	1	3	0 10 1	0
4	1	0	0	0	1	4	0 0 10	1
5	0	0	1	1	0	5	10 0 1	1
с,	
а	1,2
b	2,2
с	2,3
d	з,з
е	3,5
f	1,4
g	4,5
Таблица 6.11
	
а	1,2
b	2,3
с	3,4
d	4,5
е	1,1
f	1,5
g	5,5
сделано на рис. 6.9. Построим для этих графов матрицы инци-
дентности и смежности, а также список ребер (табл. 6.9 - 6.11).
Для проверки изоморфности графов G{ и G2, например
по матрице смежности, требуется определить, существует ли
<1 2 3 4 5 Л
перестановка I а	а I строк и столбцов в матрице
смежности G, такая, чтобы в результате была получена мат-
рица смежности Gr Таким образом, необходимо будет про-
извести всевозможные перестановки строк и столбцов мат-
рицы смежности графа Gr При этом если после одной из
этих перестановок возникает матрица, тождественно совпа-
дающая со второй, то это означает, что графы, изображае-
мые данными матрицами смежности, изоморфны. Но чтобы
убедиться в этом таким способом, потребуется выполнить
максимально п\ = 5! перестановок строк и столбцов (чтобы
убедиться в неизоморфности графов, потребуется выполнить
все и! перестановок). Это достаточно трудоемкая операция
для “ручного” способа решения задачи.
Очевидно, что для проверки изоморфности графов G, и G2
по матрице инцидентности (и списку ребер) требуется осуще-
ствить всевозможные перестановки строк и столбцов матри-
цы G(, чтобы проверить, получается ли в результате пары пе-
рестановок
'а b с d е f g
РА Ре Р. Ре Р/ Р.
р 2 3 4 5'
Qj а2 а3 а4 а5,
матри-
ца инцидентности, соответствующая графу G2. Максимальное
число требуемых перестановок равно и! ml = 51 7!, поэтому
решение задачи таким способом не менее трудоемко.
§6.2 Способы задания графов
209
Однако в нашем случае по графическим представлениям
G{ и G2 (см. рис. 6.9) нетрудно обнаружить сходство графов.
Для этого достаточно на рисунке графа G2 “поднять” верши-
ну 3 до уровня вершин 2, 4, что позволяет обнаружить изо-
морфность графов.
Таким образом, графы G. и G, изоморфны и отличаются
только нумерацией. Нетрудно определить требуемые пере-
нумерации вершин и ребер графа Gv позволяющие перейти
от матриц инцидентности, смежности или списка ребер гра-
фа G к соответствующим представлениям графа G2:
'abcde f g\ (12345)
е f g d b с) 2 \ 5 3
Упражнения
1. Задать графы G- С}, изображение на рис. 6.3. матри-
цами инцидентности и смежности, а также списком ребер.
2. Задать различными способами графы G}- G2, опреде-
ленные ниже. Проверить справедливость сформулированных
в примере 3 правил переходов от одного способа задания гра-
фа к другому:
a)	G, - тетраэдр;
б)	G2 - тетраэдр с петлями во всех вершинах;
в)	G3-Ky6;
д)	G4 - граф, представленный на рис. 6.10, а;
е)	G. - граф на рис 6.10, б;
Рис. 6.10
210 Глава б ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЬРАЦИИ ЧА !	' 1
ж)	G6 - граф на рис 6.10, в;
з)	G7 - граф на рис 6.10, г .
3.	Построить матрицы инцидентности и смежности, а так-
же список ребер для графа G,, изображенного на рис. 6.9.
Изоморфен ли граф G3 графам Gt и G? на рис. 6.9? Прове-
рить по матрицам смежности (или инцидентности) графив
(см. пример 4).
4.	Представленные на рис. 6.11 графы задать матрицами
смежности. Определить, изоморфны ли эти графы.
Рис. 6.11
5.	Показать, что два графа на рис 6.12 изоморфны.
Рис 6 12
§ 6.3. Операции над частями графа.
Графы и бинарные отношения
Граф //называется частью графа G, // с G, если мн ,я с
ства его вершин HG) и ребер EIJ1G оце" кате?’ в , с в
§63 Операции над частями графа Графы и бинарн отношения 21 1
вершин E(G) и ребер £(G) соответственно, т.е. V(H) с E(G) и
Е(Н) с £(G).
Если V(H) = V(G), часть Н графа G называется суграфом
Суграф Н является покрывающим для н-графа G, если любая
вершина графа G инцидентна хотя бы одному ребру из Н.
Подграфом G(V) графа G(E) с множеством вершин Е’сЕ
называется часть, которой принадлежат все ребра с обоими
концами из V.
Над частями графа G могут производиться следующие
операции:
•	дополнение Н к части Н - определяется множеством
всех ребер графа G, не принадлежащих Н\ Е(Н) п Е(Н) = 0,
Е(Н)и Е(Н) = E(G);
•	сумма Н{ и Н2 частей Н} и Н2 графа G:
V(H} u Н2) = u V( Н2) и Е(Н{ и Я2) - £(Я,) и £(Я2);
• произведение Н пЯ,:
V{HX п Я2) = К(Я,) п ЦЯ2) и £(Я, n Н2) = E(HJ п £(Я2).
Две части Я, и Я2 не пересекаются по вершинам, если
они не имеют общих вершин V(H}) п Е(Я2) = 0, а значит, и
общих ребер Е(Н{\ п £(Я2) = 0. Части Нх и Я2 не пересека-
ются по ребрам, если Е(Е1{) п £(Я,) = 0. Если V(HX) п Е(Н2) =
- 0, ю сумма Н{ и Я2 называется прямой.
Графы и бинарные отношения: отношению R, заданному
на множестве V, взаимно однозначно соответствует ори-
ентированный граф G(£) без кратных ребер с множеством
вершин V, в котором ребро (v', v") существует, только если
выполнено v' R v".
Пример 1. Какими особенностями отличается граф G,
взаимно однозначно соответствующий бинарному отноше 
нию R, если R:
а)	симметрично;	в) рефлексивно;
б)	антисимметрично;	г) антирефлексивно;
д)транзитивно.
> Пусть бинарное отношение R определено на множе
стве V= {v,,... , vn}.
а)	Симметричному отношению R взаимно однозначно со--
ответствуе г неориентированный граф без краппах ребер G(£),
212 Глава 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА ГРАФАХ
в котором ребро (у', v") существует, если и только если выпол-
нено v' R v" (а значит, и v" R v' в силу симметричности А).
б)	Антисимметричному отношению R взаимно однознач-
но соответствует ориентированный граф без кратных ребер,
не содержащий пар вершин с ребрами, противоположно на-
правленными к разным вершинам.
в)	Если R рефлексивно, то граф G(R) без кратных ребер
имеет петли во всех вершинах.
г)	Если R антирефлексивно, то граф G(R) без кратных ре-
бер не имеет петель.
д)	Если R транзитивно, то в графе G(R) без кратных ребер
для каждой пары ребер (v', v") и (v", v"') имеется замыкаю-
щее ребро (v', v"').
Пример 2. Пусть ориентированный граф G на рис. 6.10,6
задает отношение R: G(R). Каковы свойства отношения?
> Отношение R определено на множестве V= {a, b, с, d,
e,f\ элементов - вершин графа: | = 6. Свойства отношения:
а)	не является рефлексивным, так как отсутствует, напри-
мер, a R a, b R Ь',
б)	не антирефлексивно, поскольку имеет место с R с, dRd\
в)	не является симметричным, так как, например, имеет
место a R Ь, но отсутствует b R ст,
г)	не антисимметрично, поскольку' выполняется, напри-
мер, a R с и cR а;
д)	не транзитивно, так как, например, имеется aRbnb Rd,
но отсутствует a Rd.
Пример 3. Каким операциям над графами соответствуют
основные операции над отношениями?
> 1. Пусть R - дополнение отношения R на V. R =
= U\R, где U- универсальное (полное) отношение U=VxV,
т.е. отношение, имеющее место между любой парой элемен-
тов из V.
Граф G( R ) является дополнением графа G(R) (до полно-
го орграфа К с множеством вершин V и множеством ребер
Е(К) = Vx V).
6.3. Операции над частями графа. Графы и бинарн. отношения 213
2.	Граф обратного отношения G(R) отличается от графа
G(R) тем, что направления всех ребер заменены на обрат-
ные.
3.	Граф объединения двух отношений, заданных на V,
G(R, u А,) является графом суммы двух графов G(7?,) и G(7?2):
о RJ = G(R^ и G(R2).
4.	Граф пересечения отношений Rt n R2 на V G(R} п /?2)
является графом произведения двух графов G(R}) и G(R2)'.
G(7?,nA2)= G(/?,)nG(/?2).
Упражнения
1.	Для графов на рис. 6.7 и 6.8 задать части Н} и Н2 такие,
что:
•	сумма и Н2 является прямой;
•	и Н2 не пересекаются по вершинам;
•	Н{ и Н2 не пересекаются по ребрам.
2.	Для графа G на рис 6.13:
1) определить, является ли следующая часть Я (/ е {1,2,
..., 5}) графа G подгра-
фом, суграфом, по-
крывающим сугра-
фом, если:
а) {«,/>,.,/},
£(Я,)={1,3, 4,6};
б)	V(H2)-{a,b,e,J},
Е(Н2) = {1, 3, 4, 5, 6, з
13}f
в)	Г(Я3) = {/, g, т,
12
Рис. 6.13
k},E(HJ= {14,15,17,
18, 19, 20,21,22};
г)	Г(Я4) = {Ь, с, d,f g, h},E(HJ = {2,7,9,11};
д)	ЦЯ5)= K(G), Е(Н5)= {1,2, 7, 8, 13, 16, 17, 18}.
2)	Выполнить операции над H.t, Н2, Н3 графа G.
3.	Каким отношениям соответствуют графы Gt - G2 из
упражнения 2 § 6.2? Задать каждое отношение списком и
матрицей. Какими свойствами характеризуется отношение
в каждом случае?
214 Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ НА Г РАФА А
4.	Пусть множество V= {v(}, i= 1,2,3,4- На Г задано отно-
шение эквивалентности R так, что v R vk, где j,k~ 1,2, 3, 4
Какому графу G соответствует отношение R ? Задать G гра-
фически.
5.	Пусть граф G содержит V= {v(, v2, v3. v4, vj, E = {(vt,
V2), (V,, V5),(v2, V3), (v2, V4), (V3 V5)}, И = 5, |£| = 5. Задать граф
G графически, а соответствующее ему отношение - матри-
цей смежности. Каковы свойства данного отношения?
6.	Изобразить графы, соответствующие отношениям, пред-
ставленным следующими матрицами:
R, а b с d е
R2 а b с d е
То 1 1 1 О
а 0 1 1 О О
b 10 0 0 0
b 1 0 0 0 1
с 10 0 11
d 0 0 1 0 0
е 0 0 10 0
с 10 0 10
d 10 10 1
е 0 1 0 1 0
а)
б)
। лава 7. МАРШРУТЫ И ДЕРЕВЬЯ
S 7.1. Маршруты, нуги, цепи, циклы
Дус и. G - неориентированный граф.
Маршрутом в G называется такая последовательность
ребер М(е{, е2,.., et,... , еп), в которой каждые два соседних
ребра е и е имеют общую вершину. В маршруте одно и то
/е ребро может встречаться несколько раз. Начало маршру-
та - вершина т0, инцидентная ребру и не инцидентная
конец маршрута vn инцидентен еп и не инцидентен епt.
Если е ,е^ (еп , е ) - кратные, требуется дополнительное
указание, какую из двух инцидентных вершин считать нача-
лом (концом) маршрута.
Маршрут, в котором совпадают его начало и конец vQ = vn,
(т.е замкнутый), называется циклическим. Маршрут, в кото-
ром все ребра разные, называется цепью. Цепь, не пересека-
ющая себя, т.е. не содержащая повторяющихся вершин, име-
нуется простой цепью.
1 Циклический маршрут называется циклом, если он явля-
ек я цепью, и простым циклом, когда это - простая цепь.
Вершины v', v"e G называются связанными, если суще-
ствует маршрут М с началом v' и концом v". Связанные мар-
шрутом вершины связаны также и простой цепью. Отноше-
ние связанности вершин обладает свойствами эквивалент-
ности и определяет разбиение множества вершин графа на
ненересекающиеся подмножества Ц, / = 1,2, ..., к. Граф G
называется связным, если все его вершины связаны между
собой. Поэтому все подграфы G(l') связны и называются
связными компонентами графа Каждый н-граф распадает-
ся единственным образом в прямую сумму своих связных
компонент G = [ J G(V:)
Пусть G - ориентированный граф.
216
Глава 7. МАРШРУТЫ И ДЕРЕВЬЯ
Последовательность ребер, в которой конец каждого пре-
дыдущего ребра е совпадает с началом следующего е,,
называется путем (в нем все ребра проходят по их ориента-
ции). В пути одно и то же ребро может встречаться несколь-
ко раз. Началом пути является начало vQ ребра е{, концом
пути - конец vn ребра еп.
Путь называется ориентированной цепью (или просто
цепью), если каждое ребро встречается в нем не более одно-
го раза, и простой цепью, если любая вершина графа G ин-
цидентна не более чем двум его ребрам.
Контур - путь, в котором vQ = у,. Контур называется цик-
лом, если он является цепью, и простым циклом, когда это -
простая цепь. Если граф содержит циклы, то он содержит и
простые циклы. Граф, не содержащий циклов, называется
ациклическим.
Вершина v"e G называется достижимой из вершины
v'e G, если существует путь Ду',..., г") с началом v'и концом v".
Орграф G именуется связным, если он связен без учета
ориентации дуг, и сильно связен, если из любой вершины v'
в любую v" существует путь.
Число ребер маршрута (пути) называется его длиной.
Расстоянием d(y', v") между вершинами v' и v" н-графа
G называется минимальная длина простой цепи с началом
у' и концом у". Центром называется вершина н-графа, от
которой максимальное из расстояний до других вершин яв-
лялось бы минимальным. Максимальное расстояние от цен-
тра G до его вершин называется радиусом графа r(G).
Эйлеров цикл - цикл графа, содержащий все ребра гра-
фа. Эйлеров граф - граф, имеющий эйлеров цикл (эйлеров
цикл можно считать следом пера, вычерчивающего этот граф,
не отрываясь от бумаги).
Теорема Эйлера: конечный неориентированный граф G
эйлеров тогда и только тогда, когда он связен и степени всех
его вершин четны.
Эйлерова цепь - цепь, включающая все ребра данного ко-
нечного н-графа G, но имеющая различные начало v' и ко-
нец v". Чтобы в конечном н-графе G существовала эйлерова
цепь, необходимы и достаточны его связность и четность сте-
пеней всех вершин, кроме начальной у' и конечной v" (у' и
j> 7.1. Маршруты, пути. цепи, циклы
217
v" должны иметь нечетные степени). Чтобы в конечном ор-
графе существовал эйлеров цикл, необходимы и достаточны
его связность а также равенство степеней вершин этого графа
по входящим и выходящим ребрам, т.е. р (у) = р2 (у), V v е G.
Гамильтонов цикл - простой цикл, проходящий через все
вершины рассматриваемого графа. Гамильтонова цепь -
простая цепь, проходящая
через все вершины графа, с
началом и концом в разных
вершинах v , \\ е G.
Пример 1. Для вершин
V] и v6 графа G на рис. 7.1
привести примеры марш-
рута, цепи, простой цепи;
определить в графе цикли-
ческий маршрут, цикл,
простой цикл, приняв вер-
шину V! за их начало и ко-
нец.
Рис. 7.1
> Для вершин V], v6 е 6':
•	маршрут, не являющийся цепью, - (в] , е2, е3, е4, , е,
^8 ’ ^7 ’ ^6 ’	’ ^8 ’ или (в। , е2, е3, е4, ef,	, е*, <?7) и т.п.,
•	цепь, не являющаяся простой цепью, - (, е2, е3, е4, е5, е);
•	простая цепь — (в,, е6) или (eg, а,).
Для вершины V]:
•	циклический маршрут, не являющийся циклом, -(е ,е2,
е3,е4,е5,е2,е3,^,е5,е6,е7,е8,е(,е6,е7,е8);
•	цикл, не являющийся простым циклом, - (е , е.,, су, е4,
е5,е6,е7,е8);
•	простой цикл - (£], е6, е7, е8).
При описании цикла в качестве его начала и конца может
быть выбрана любая вершина, поэтому последовательности
(,ер ’ е7 ’ (еб ' е7 ’ ^8 • е|)’ (^7 ’ es ’ ei ’ еб)’ ^8 ’ ei ’ £6 ' е7^
представляют один и тот же цикл. Более того, часто считает-
ся, что можно менять порядок ребер цикла на противопо-
ложный, т.е. последовательность (е ,е7,е6.е ) представляет
тот же цикл.
218	1 чава 7 МАРШРУТ Ы И ДЕРЕВЬЯ
Пример 2. Какими свойствами обладает отношен7 р
связанности вершин
н-графа на рис. 7.2? Чему
равно число vc связных
компонент графа G на
рис. 7.2?
> 1. Отношение связан-
ности вершин н-графа обла-
дает свойствами:
• рефлексивности: если
вершина v е G связана с ка-
кой-либо другой вершиной
v', то она связана и сама с
собой (изолированные вер-
шины также считаются свя-
Рис. 7.2
занными сами с собой);
•	симметричности: если в графе G существует маршрут с
началом / и концом v", то существует маршрут с началом
г” и концом v';
•	транзитивности: если вершина г' связана с г" маршрутов
ЛГ(<?'15..., е’и), a г” и г”’ - маршрутом ... , е"р), то т'
связанас v'" маршрутом М(е\,..., е’п, е",, ...с";,).
Таким образом, отношение связанности вершин н-графа
является отношением эквивалентности, а значит, разбивает
все множество вершин 7(G) на непересекающиеся подмно-
жества И, lr(G) = U К . так что вершины одного и того дт
множества К связаны друг с другом, а вершины различны'
множеств V. и V. не связаны между собой: И п К = 0. По
этому в графе G нет ребер г концами в раз тчкых мнеою 
».гвах К и И , и он может быть разложен в прямую сумм’'
подграфов
I
В графе G на рис. 7.2 K(G) = {v,, г,,... , v])}. Отношение
связанности вершин разбивает G на 4 непересекающихее
класса:
Jг,= {v,, V,, V,, V4, V,}, f ' = {V6. V7}, Г = {V = {vy, v10 ,VX,}
Поэтому граф G представляет прямую сумму подграфов
§71 Маршруты, пути, цепи циклы	219
4
G(P) ~ ljG(K,), являющихся связными компонентами гра-
/=1
фа G( К).
Таким образом, число связных компонент графа G на рис.
7.2 v =4.
с
Пример 3. Являются ли ориентированные графы G3 на
рис. 6.3, G12 на рис. 6.4, G3 на рис. 6.5 связными, сильно связ-
ными?
> Граф G3 на рис. 6.3 связен, но не сильно связен, так как
в графе имеется, например, вершина v2, недостижимая из
других вершин. Граф G12 на рис. 6.4 связен и сильно связен,
поскольку любая вершина достижима из любой другой. Граф
G, на рис. 6.5 связен, но не сильно связен, так как, например,
в вершину 1 нет пути из вершин 3,4.
Пример 4. Для четырех графов на рис. 7.2 определить
расстояния между вершинами. Какие вершины являются
центрами графов? Чему равны радиусы графов?
> Пусть G] - граф с вершинами К, = {v3,... , v5}; G2 - с
вершинами К, = {v6, vj; G3 - с вершинами К3 = {гД и G4 -
с K4={v9,v10,vn}.
Расстояние J(v',v") между вершинами v' и v" как мини-
мальная длина простых цепей с началом г' и концом v” (за-
метим, что d(v\ v") = d( v", v')):
Gj-. d(y{, Vj) - 2, d(yt, v) = 1. d(y3, v5) = 2, и т.д.;
Gd(v6, v,) = 1, d(y6, v6) = d(y7,	= 0;
G3: J(vg,vg) = 0;
G4; d ’ Vl0) = 1 • d - Vll)^2^(V10’Vu)=1’J <V9	" 0’ И L Д
Для определения центров и радиусов графов G-- G4 най-
дем предварительно для каждого максимальные расстояния
г (v') от вершины v':
Gp г (V]) = 2, r(v2) = 2, г (v3) = 2, г (v4) = 1, г (v5) -
G2: r(v6) = 1, r (v7) = 1;
'G-. r(v8) = 0;
G- r (v ) = 2, r (v 0) = 1, r (v ) = 2.
220	Глава 7. МАРШРУТЫ И ДЕРЕВЬЯ
Отсюда нетрудно определить радиусы г (G) =minr(v') и
центры G:
г (G,) = 1, центр - вершина v4;
р (G2) = 1, центры - обе вершины v6, v7;
г (G3) = 0, центр - вершина v8;
г (G4) = 1, центр - вершина v10.
Пример 5. Имеют ли пятиугольник и пятигранник-пи-
рамида с петлями в некоторых вершинах эйлеров цикл
(цепь)?
> Так как петля дает вклад 2 в степень вершины (чет-
ное число), то наличие петель в некоторых вершинах графа
не влияет на наличие или отсутствие в нем эйлерова цикла
или цепи.
Любая вершина пятиугольника имеет степень 2 (с петлей -
4), т.е. четна. Поэтому в соответствии с теоремой Эйлера
пятиугольник является эйлеровым графом, т.е. содержит эй-
леров цикл. В пятиграннике степени всех вершин равны 3,
кроме одной вершины со степенью 4. поэтому пятигранник-
пирамида не содержит эйлерова цикла.
Для существования эйлеровой цепи в графе (т.е. цепи,
проходящей через все ребра, с разными началом и концом)
требуется четность степеней всех вершин, кроме двух (не-
четных). Поэтому как в пятиугольнике, так и в пятигранни-
ке-пирамиде с петлями в некоторых вершинах отсутствуют
эйлеровы цепи.
'2
Рис. 7.3
£ 7.1. Маршруты, пути, цепи циклы	221
Пример 6. Имеют ли графы на рис. 7.3 гамильтоновы цик-
лы, цепи?
г Гамильтонов цикл как простой цикл, проходящий
через все вершины графа, существует в графе G, - он
проходит по ребрам, соединяющим вершины (a, b, с, d, е,
f, g, q, п, т, /, h, а). В G} существует и гамильтонова цепь,
для чего в гамильтоновом цикле достаточно удалить лю-
бое ребро.
В графе G2 гамильтонова цикла нет: чтобы пройти через
вершины а, Ь, с внешнего треугольника графа G, гамильто-
нов цикл должен содержать все лежащие на этих сторонах
ребра, но тогда он не проходит через расположенную в цен-
тре треугольника вершину d. Однако гамильтонова цепь в
графе G2 существует, например с началом в вершине а, кон-
цом d и последовательностью ребер, соединяющих верши-
ны a, f b, g, с, е, d.
Упражнения
1.	Для вершин Ь, с графа G на рис. 6.13 привести при-
меры маршрута, цепи, простой цепи. Привести примеры
циклического маршрута, цикла, простого цикла. Суще-
ствует ли в графе G эйлеров цикл (цепь), гамильтонов цикл
(цепь)?
2.	Задача о кёнигсбергс-
ких мостах была сформу-
лирована и решена Эйлером
в 1736 г. План расположе-
ния семи мостов в Кёнигс-
берге XVIII века приведен
на рис. 7.4. Задача заключа-
ется в том, чтобы пройти
каждый мост по одному
разу и вернуться в исходную
Нис. 7.4
точку. Существует ли такой обход мостов? Решить задачу
графически, для чего построить граф задачи, в котором каж-
дая часть города - вершина, а каждый мост - ребро, инци-
222
Глава 7 МАРШРУТЫ И ДЕРЕВЬЯ
дентное вершинам, относящимся к соединяемым им час-
тям суши.
3.	Какими свойствами характеризуются отношения дос-
тижимости вершин в ориентированных графах Gx- Gy на
рис.7.5? Какой порядок задают отношения достижимости
вершин в Ст, — G3?
Рис. 7.5
Рис. 7.6
4’ 7 2 Дерево и ie<.	223
4.	Имеют пи пятигранник-призма и пятиугольник с пет-
>ями в некоторых вершинах гамильтонов цикл (цепь)?
5.	Содержат ли графы G}- G7 из упражнения 2 § 6.2 эй-
леров цикл (цепь)? Каковы расстояния между вершинами в
.'Р.’фах G - Ср? Какие вершины графов Ср - G, являются цен-
। р.э vin, каковы радиусы этих графов?
6О Построить матрицы смежности и инцидентности гра-
фов G - G,o рис. 7.6. Чему равны степени вершин? Имеют
ли j рафы эйлеров цикл (цепь)? Какому отношению соответ-
ствует каждый граф (задать отношение матрицей, опреде-
лить свойства отношения)? Каковы расстояния между вер-
шинами в графах G- G7? Какие вершины графов являются
центрами9 Каковы радиусы этих графов?
§ 7 2. Дерево и лес
Н-граф называется неориентированным деревом (или
просто деревом), если он связен и не содержит циклов, а зна-
чит, петель и кратных ребер. Дерево -- это минимальный связ-
ный граф в том смысле, что при удалении хотя бы одного
ребра он теряет связность. Наличие этих двух свойств (связ-
ное ги и отсутствия циклов) позволяет жестко связать число
вершин и число ребер: в дереве с п вершинами всегда п-1
чеоро.
Лее - несвязный н-граф без циклов; связные компоненты
леса являются деревьями. Любая часть леса или дерева так-
«л- не имеет циклов, i.e. является лесом или деревом. Любая
чдпь в таком графе - простая, иначе она содержала бы цикл.
В неориентированном дереве между любыми двумя вер-
шинами существует цепь и притом только одна. Верно и об-
ратное: если любые две вершины графа связаны единствен-
ной цепью, то граф является деревом.
п гриппа г графа G называется концевой, или висячей.
' |'и се степень p(v) = 1. Ребро, инцидентное концевой вер-
гчгч’г, называется концевым. Если конечное дерево состоит
эотее чем и а одной вершины, оно имеет хотя бы две конце-
s' ьеишины и хотя бы одно концевое ребро.
224	Глава 7. МАРШРУТЫ И ДЕРЕВЬЯ
Ориентация неориентированного дерева осуществляет-
ся следующим образом. В дереве G отмечается (выбирает-
ся) вершина va - так называемый корень дерева G, и все реб-
ра такого дерева с корнем ориентируются от этой вершины-
корня. Вершину у' ребра (v', v") можно соединить
единственной цепью L с корнем vQ. Если эта цепь не содер-
жит ребра (v', v"), в это ребро вводится ориентация от v' к у",
в противном случае - от у" к у'. Такая ориентация согласо-
вана с ориентацией того же ребра, определенной через вер-
шину у". Данная ориентация дерева с корнем vQ единствен-
на. Ориентированное таким образом дерево с корнем назы-
вается ориентированным деревом. В нем все ребра имеют
направление от корня. При выборе другой вершины-корня
получаем другой орграф-дерево.
Пусть у - вершина дерева G с корнем vQ; B(v) - множе-
ство всех вершин, связанных с корнем цепями, проходящи-
ми через вершину у. Это множество порождает подграф G(v),
называемый ветвью вершины v в дереве с корнем v0. Если
дерево имеет более двух вершин, то среди них есть неконце-
вые вершины.
Пусть дано конечное дерево G. Вершинами типа 1
называют его концевые вершины. Если из дерева G уда-
лить все вершины типа 1 и инцидентные им концевые
ребра, то в оставшемся дереве G' концевые вершины
называют вершинами типа 1 в дереве G. Аналогично
определяются вершины типов 3, 4 и т.д. Конечное дере-
во имеет вершины лишь конечного числа типов, при-
чем число вершин максимального типа равно единице
или двум.
Цикломатическим числом конечного н-графа G называ-
ется	_
v(G) = v+v-vv,
где vc - число связных компонент графа; v - число его ре-
бер; vv - число вершин. Цикломатическое число любого ко-
нечного н-графа неотрицательно.
Пример 1. Пусть граф типа дерева - G1 на рис. 7.6.
Сколько вершин максимального типа имеется в данном гра-
фе? Каково цикломатическое число графа? Чему равно цик-
f 7.2. Дерево и лес
225
ломатическое число графа G', являющегося лесом и пред-
ставленного двумя одинаковыми деревьями G7? Построить
ориентированное дерево с корнем v0, являющимся верши-
ной максимального типа.
> Типы вершин графа G7 отмечены на рис. 7.7, а, граф
содержит две вершины максимального (4-го) типа.
Рис. 7.7
Цикломатическое число любого дерева v (G) = vc+ve-
-v = 0. Действительно, число вершин vv в дереве на едини-
цу больше числа ребер ve (см. выше), т.е. ve-vv= -1, а число
связных компонент графа типа дерева v = 1. Таким обра-
зом, цикломатическое число любого дерева, в том числе гра-
фа G7, v = 0.
Цикломатическое число леса равно сумме цикломати-
ческих чисел своих связных компонент - деревьев, т.е.
также равно нулю; таким образом, v(G') = v(G) + v(G) = О,
где G' -граф, представленный двумя одинаковыми дере-
вьями G.
Построенное из н-графа G ориентированное дерево
с корнем, являющимся вершиной максимального типа
4 (левая вершина - на рис. 7.7, а ), изображено на рис.
7.7,6.
Упражнения
1. Вычислить цикломатические числа н-графов из упраж-
нения 2 § 6.2.
226_________Глава 7 МАРШРУТЫ И ДЕРЕВЬЯ________
2. Выполнить задание примера 1 для графов, изображен-
ных на рис. 7.8.
Рис. 7.8
предметный указатель
А
Аксиомы 121
Алгебра 99-103
— булева 102, 136-138, 156-157
-----векторов двоичных 103, 156
-----множеств 102, 156
----функций логических 137,156
— Жегалкина 138
— логики 111, 130-133
Алгебраическая структура (алгеб-
раическая система) 100
Алфавит 31
—	языков логики 114
Антирефлексивность 43; => Свой-
ства отношения бинарного
Антисимметричность 43; => Свой-
ства отношения бинарного
Аргумент функции 85
Арифметика натуральных чисел
184
Ассоциативность 91-92, 143; =>
Свойства операции бинарной
Б
Базис (функционально полная ло-
гическая система) 137
Блейка-Порецкого метод 39
Булеан 13
В
Вектор 26-29
Вектора длина (размерность) 27-29
— компоненты (координаты) 27
Вершина графа 196
—	достижимая 216
—	концевая 223
Вершины связанные 215
—	смежные 196-197
Ветвь вершины 223
Взаимная однозначность 79; =>
Свойства соответствия
Взаимно однозначное соответ-
ствие между графом и бинарным
отношением 211
Всюду (полностью) определен-
ность 78; => Свойства соответ-
ствия
Высказывание (утверждение, суж-
дение) 111-113
— переменное 171
— простое (элементарное) 111-113
— сложное (составное) 111-113
Г
Гамильтонов граф 217
—	цикл 217
Г амильтонова цепь 217
Гипотеза, см. Посылка рассужде-
ния
Гомоморфизм 100-103
—	алгебр; моделей; алмгебраичес-
ких структур 100-103
Граф 196-198
—	ациклический 216
 Символ => далее указывает на отношение (принадлежность) данного понятия к более
общему (охватывающему его) понятию
228
Предметный указатель
— конечный 196-198
— неориентированный (н-граф)
197
— ориентированный (орграф) 197
— покрывающий 211
— полный 197
— пустой 197
— связный 215-216
— связный сильно 216
Графа компоненты связные; связ-
ные сильно 215-216
Графы, пересекающиеся по вер-
шинам 211
-------ребрам 211
Д
Двойного отрицания закон 143; =>
Эквивалентные соотношения
Двойственность; принцип двой-
ственности 145-146
Дерево 222-224
— неориентированное; ориенти-
рованное 222-223
— с корнем 223
Диаграммы Венна 18
Дизъюнктивная нормальная фор-
ма (ДНФ) 144
Дизъюнкция («ИЛИ» функция,
операция) 113, 132-133; => Фун-
кция логическая; => Операции
алгебры булевой
— элементарная 145
Дилемм правило 123; => Схемы
логически правильных рассуж-
дений
Дистрибутивность (слева, справа)
92, 143; => Свойства операции
бинарной; => Эквивалентные со-
отношения алгебры булевой
Длина вектора; маршрута; см.:
Вектора длина; Маршрута длина
ДНФ , см. Дизъюнктивная нор-
мальная форма
Доказательства 20-21
— эквивалентности логических
формул: способ стандартный
133; способ эквивалентных пре-
образований 142-146
Доказательство единственности
существования 21,24-25
— от противного 21,26
—	равенства множеств 21-23
Дополнение графа 197, 211
—	множества 15
— отношения 55
Дуга (ребро ориентированное) 197
3
Заключение (следствие) имплика-
ции 113
---рассуждения 121
Заключения правило 121; => Схе-
мы логически правильных рас-
суждений
Законы логики 111-112
Замены правило 142
Замыкание транзитивное; рефлек-
сивное 56; => Операции над от-
ношениями бинарными
Значение высказывания; предика-
та 112
— функции 85
И
«И» функция, операция; см.
Конъюнкция
Идемпотентность 143; => Эквива-
лентные соотношения
Изоморфизм 100-103
—	алгебр; моделей; алгебраичес-
ких структур 100-103
—	графов 198-202
«ИЛИ»: функция, операция; см.
Дизъюнкция
«ИЛИ» исключающее: функция,
операция; см. Сложение по мо-
дулю 2
Предметный указатель
224
Импликация (следование логичес-
кое) 113, 132; => Функция логи-
ческая
Импортации правило 123; => Схе-
мы логически правильных рас -
суждений
Инверсия, см. Отрицание
Индекс, см. Разбиения индекс
Инфиксное представление, фор-
мула 93
Интерпретация логическая 116-
117
— содержательная 116-117
Инцидентность, инцидентности
отношение; инцидентности мат-
рица 196, 201
Исключенного третьего закон
143; => Эквивалентные соотно-
шения
Истинности таблица 131
Истинностное значение (истин-
ность) 112
Исчисления высказываний 111
— предикатов 111, 169-170
К
Каноническое соответствие гра-
фов 197
Квантификация переменной (наве-
шивание квантора на перемен-
ную, предикат; связывание пере-
менной) 175
Квантор общности; существова-
ния 175-176
КНФ, см. Конъюнктивная нор-
мальная форма
Коммутативность 92, 143; ^Свой-
ства операции бинарной; =>
Эквивалентные соотношения
алгебры булевой
Композиция отношений (состав-
ное отношение) 55; => Операции
над отношениями бинарными
— функций 86
Компоненты вектора; графа; мно-
жества; см. Вектора компоненты;
Графа компоненты; Подмноже-
ство
Константа О Д 131-132
Контрапозиции правило 121-2-123;
=> Схемы логически правильных
рассуждений
— сложной правило 123 , => Схе-
мы логически правильных рас-
суждений
Контур графа 216
Конъюнктивная нормальная фор-
ма (КНФ) 145
Конъюнкция («И» функция, опера-
ция; произведение логическое)
113, 132-133; => Функция логи-
ческая; => Операции алгебры
булевой
Конъюнкция элементарная 144
Корень дерева 223
Кэли таблица 93
Л
Лексикографическое упорядоче-
ние 52
Лес 223
Логика высказываний 111-112
—математическая (формальная) 111
— предикатов 111-112,168-171
М
Маршрут графа 215
----циклический 215
Маршрута длина 216
Матрица инцидентности графа
201
— отношения бинарного 35-36
— смежности графа 202
Множества равномощные 79
Множество 10-13
— бесконечное 11
— всех логических функций 131-132
230
Предметный указатель
—	единичное логической функции
131
—	конечное 11
—	континуальное 79
—	несущее (основное, носитель)
алгебры; модели; алгебраиче-
ской структуры 99-100
— нулевое логической функции
131
—	Парето-оптимальных решений
(Область компромиссов) 32
—	пустое 11
—	счетное 53, 79
—	универсальное 15
—	упорядоченное полностью; ча-
стично 51
Модель 99-102, 184
Моргана де правила (законы) 143;
=> Эквивалентные соотношения
Мощность множества 27
— прямого произведения мно-
жеств 27
Мультиграф 197
Н
Набор единичный логической
функции 131
— нулевой логической функции
131
Н-граф, см. Граф неориентирован-
ный
Навешивание квантора на пере-
менную, предикат, см. Кванти-
фикация
Неравнозначность; см. Сложение
по модулю 2
Нестрогого порядка отношение
(нестрогий порядок) 50-51
О
Область истинности предиката
170
— действия квантора 175, 176
— значений отношения 35
---соответствия 78
—	компромиссов, см Множество
Парето-оптимальных решений
—	определения отношения 35
	соответствия 78
—	предметная предиката 170
Образ элемента; множества 78
Обратное отношение 55; => Опе-
рации над отношениями бинар-
ными
—	соответствие 85
Объединение множеств 14-15; =>
Операции над множествами
— отношений 55; => Операции над
отношениями бинарными
Операции алгебры булевой 156-
157
------векторов двоичных 102-
ЮЗ
------множеств 15
------функций логических 137
— над векторами 27-29
---двоичными 103, 156
---множествами 10, 14-15
------векторов 27-28
---отношениями бинарными 10,
54-56
---частями графа 210-213
Операция 10,78,91-93
— булева 137
— логическая 111, 113-114, 130-
133
---унарная; бинарная; л-арная
131-133
— унарная; бинарная; и-арная 91 -93
Орграф; см. Граф ориентирован-
ный
Ориентация неориентированного
дерева 223
Отношение 10,34
—	бинарное (двухместное) 34-36
—	инцидентности; см. Инцидент-
ность
—	порядка; см Порядок
Предметный указатель
231
----нестрогого; строгого; см. По-
рядок нестрогий;строгий
— связности; см. Связность
— смежности; см. Смежность
— унарное (одноместное) 34
— эквивалентности; см. Эквивалент-
ность
— «-местное 34
Отображение в 78
— на 78, 85
Отрицание (инверсия) 113, 131-
132; => Функция логическая; =>
Операции алгебры булевой
Отрицания правило 122; => Схемы
логически правильных рассуж-
дений
— утверждения правило 122; =>
Схемы логически правильных
рассуждений
П
Переменная логическая (двоич-
ная); нелогическая (предметная)
130,168,170-171
— предметная 168, 170-171
— свободная; связанная 176
— фиктивная (несущественная)
131-132
Пересечение множеств 14-15; =>
Операции над множествами
— отношений 5 5; => О перации над
отношениями бзнарными.
Перестановка 85
Переход от табличного задания
функции логической к формуле
булевой: процедуры (СДНФ,
СКНФ) 138, 152
Перечисление (список) 11, 27, 35;
=>С поссб ы задания множеств
Петля графа 197
ПНФ, см. Префиксная нормальная
форма
Поглощение 144; — Экви-
валентные соотношения
Подграф 211
Подмножество строгое (собствен-
ное); нестрогое 10
Подстановка 86
Подстановки правило 142
Полностью определенность; см.
Всюду определенность
Получение КНФ по ДНФ: проце-
дура 145
— ПНФ: процедура 190-191
— СДНФ по ДНФ: процедура 144
----по таблице истинности', про-
цедура 138
— СКНФ по таблице истинности:
процедура 152
— формулы булевой по формуле
логической 136-138, 142-144
---------- таблице истинности:
процедура 138
Порождающая процедура 11-12,
188
Порядок (отношение порядка) 51-53
Порядок нестрогий; строгий (от-
ношение порядка нестрогого;
строгого)51-53
Построение матриц отношений
R , R', R°, R* и др. по матрице
отношения R: правила 70-71
— матрицы инцидентности по
списку ребер: правило 207
— списка ребер по матрицам
инцидентности; смежности:
правило 207
Посылка (условие) импликации
ИЗ
Посылка (гипотеза, условие) рас-
суждения 121
Правила вывода; подстановки; зак-
лючения 111, 121
Предикат 168-171
Предикат «-местный 170
Представления графические 195-196
— логические 111-112
— теоретико-множественные 10
Преобразование 79, 85
232
Предметный указатель
Префиксная нормальная форма
(ПНФ) 190-191
Префиксное представление, фор-
мула 93, 190-191
Приведение ДНФ к СДНФ: проце-
дура 144
------КНФ: процедура 145
— формулы булевой к ДНФ: про-
цедура 144
— формулы логической к форму-
ле алгебры булевой 137-138
Проекция вектора; множества век-
торов; упорядоченного множе-
ства векторов 28
Произведение графов 211
Произведение логическое, см
Конъюнкция
— прямое множеств 27
Прообраз элемента; множества 78
Противоречия закон 143; => Экви-
валентные соотношения
— правило 122; => Схемы логичес-
ки правильных рассуждений
Путь графа 216
Р
Равенство векторов 27
—	графов 198
—	множеств 11
—	функций 85
Равнозначность, см Эквивалент-
ность, эквиваленция
Равномощность множеств, см
Множества равномощные
Равносильность формул логичес-
ких, см Эквивалентность формул
логики высказываний; предикатов
Радиус графа 216
Разбиение на множестве 50
Разбиения индекс 50
Размерность вектора, см Вектора
длина
Разность множеств 15; => Опера-
ции над множествами
— отношений 55; =>Операции над
отношениями бинарными
Разрешающая процедура 55
Распознающая процедура 55
Расстояние между вершинами
216
Рассуждение (умозаключение) 121
— логически правильное (непра-
вильное) 111, 121-124
Рассуждения правила (методы)
111
Расщепление (обратное склеива-
ние) 144; => Эквивалентные со-
отношения
Ребра кратные 196-197
Ребро графа 196-197
— концевое 223
— ориентированное, см Дуга
Рефлексивное замыкание 56; =>
Операции над отношениями би-
нарными
Рефлективность 43; => Свойства
отношения бинарного
Решетка 100
С
Свойства констант 143; => Эквива-
лентные соотношения
— операции бинарной 10, 91-92
----логической, см Эквивалент-
ные соотношения
— отношения бинарного 10, 78-
79
— соответствия 10, 78-79
Связки логические 111, 113-114
Связность графа 201 -202,215-216
— компонент графа 215-216
Связывание переменной, см
Квантификация
СДНФ, см Совершенная дизъюн-
ктивная нормальная форма
Сечения правило 123; => Схемы
логически правильных рассуж-
дений
Предметный указатель
233
Сигнатура алгебры; модели; алгеб-
раической структуры 99
Символ алфавита 31
Симметричность 43; => Свойства
отношения бинарного
Система классов эквивалентности,
см Эквивалентности система
классов
Склеивание 144; => Экви-
валентные соотношения
СКНФ, см Совершенная конъюн-
ктивная нормальная форма
Следование логическое, см
Импликация
Следствие импликации, см Заклю-
чение импликации
— рассуждения, см Заключение
рассуждения
Слово длины п в алфавите А 31
Сложение по модулю 2 (исключа-
ющее «ИЛИ», неравнознач-
ность) 114, 132-133 => Функция
логическая
Смежность, смежности отно-
шение; смежности матрица
202
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма (СДНФ) 138,
144
— конъюнктивная нормальная
форма (СКНФ) 145
Соответствие 78-79
— между предикатами, отношени-
ями и функциями 170-171
— обратное 85
Составное отношение, см Компо-
зиция отношений
Список ребер графа 202
Способы задания графа 198,
201-202
— логических функций 133
— множеств 11-13
— операций, в т.ч. бинарных, унар-
ных 92-93
— отношений бинарных 35-36
— прямого произведения 27
— функций 86
Сравнение векторов по предпочте-
нию: правило 28-29
Сравнимость по отношению по-
рядка 51
Стандартный метод установления
эквивалентности логических
формул 133
Степень (локальная) вершины
197
Стрелка Пирса; => Функция логи-
ческая
Суграф 211
Суждение, см Высказывание
Сумма графов 211; => Операции
над частями графа
----прямая 211
Суперпозиция 86,133
Схемы логически правильных рас-
суждений (правила рассужде-
ний) 121-124
Сюръективность 78; => Свойства
соответствия
Т
Тип алгебры; модели 99
—	вершины 224
—	функции 85
ТИ-формула, см Формула
тождественно истинная 150,
184
ТЛ-формула, см Формула
тождественно ложная 184
Транзитивного замыкания вычис-
ление: процедура 56
Транзитивное замыкание 56; =>
Операции над отношениями би-
нарными
Транзитивности правило 122; =>
Схемы логически правильных
рассуждений
Транзитивность 43; => Свойства
отношения бинарного
234
Предметный указатель
У
Утверждение, см. Высказывание
Умозаключение, см. Рассужде-
ние
Упрощение формул булевой алгеб-
ры: процедуры 144.
Условие импликации; см. Посыл-
ка импликации
— рассуждения, см. Посылка рас-
суждения
Утверждения-отрицания правило
122; => Схемы логически пра-
вильных рассуждений
Ф
Формальная логика, см. Логика
математическая
Формула 86
—	алгебры логики 130
—	булева 137
—	выполнимая 184
---в области 184
—	инфиксная 93
—	логики высказываний 114
---предикатов 169, 171
—	префиксная 93
— тождественно истинная (обще-
значимая) 150, 184
------в области 184
--- ложная (противоречивая)
184
------в области 184
Функционально полная логичес-
кая система (базис) 137
Функциональность (однознач-
ность) 79; => Свойства соответ-
ствия
Функция 78, 85-86
— двойственная, самодвойствен-
ная 145-146
— логическая (алгебры логи-
ки) 131
—	обратная 85
—	«-местная 85
X
Характеристическая функция мно-
жества 162
Характеристическое свойство эле-
ментов 12
Ц
Центр графа 216
Цепь; цепь простая 215
— ориентированная; ориентиро-
ванная простая 216
Цикл; цикл простой 215
Циклический маршрут 215
Цикломатическое число 224
Ч
Частичная определенность 78; =>
Свойства соответствия
Часть графа 210-211
Ш
Штрих Шеффера 132; => Функция
логическая
Э
Эквивалентности система классов
50
Эквивалентность (отношение эк-
вивалентности) 50
Эквивалентность (равносиль-
ность) формул логики высказы-
ваний 133
---------предикатов 188
Эквивалентность (эквиваленция,
равнозначность) 50; => Функция
логическая
Предметный указатель
235
Эквивалентные преобразования
142-146
Эквивалентные соотношения
(законы) алгебры булевой
функций логических 121,
142-146
----------множеств 157-158
----логики предикатов 188-191
Эйлеров граф; цикл 216
Эйлерова цепь 216-217
Экспортации правило 123; => Схе-
мы логически правильных рас-
суждений
Элемент множества 10
236
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1.	Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский ГМ. Дискретная математика
для инженера. - М.: Энергоатомиздат, 1989.
2.	Кук Д, Бейз Г. Компьютерная математика: Пер. с англ. - М/.
Мир, 1992.
3.	Москинова Г.И. Дискретная математика в примерах и упражне-
ниях. В 3-х частях. - Кемерово: Кем. гос. унив-тет, 1993.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................3
Введение.....................................7
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ.......10
Глава 1. МНОЖЕСТВА......................... 10
§1.1.	Основные понятия...................10
§ 1.2.	Операции над множествами...........14
§ 1.3.	Диаграммы Венна....................18
§ 1.4.	Доказательства.....................20
§1.5.	Векторы, прямые произведения,
проекции векторов.......................26
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ..........................34
§ 2.1.	Бинарные отношения. Основные определения .. 35
§ 2.2.	Свойства бинарных отношений........43
§ 2.3.	Эквивалентность и порядок..........50
§ 2.4.	Операции над бинарными отношениями.54
Глава 3. СООТВЕТСТВИЯ.......................78
§ 3.1.	Соответствия и их свойства. Основные
определения.............................78
§ 3.2.	Функции и отображения..............85
§3.3.	Операции...........................91
§ 3.4.	Гомоморфизмы и изоморфизмы.........99
Раздел 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА............111
Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ...............111
§4.1.	Основные понятия..................113
238
Оглавление
§ 4.2.	Основные схемы логически правильных
рассуждений............................ 121
§ 4.3.	Алгебра логики.................. 130
§ 4.4.	Булева алгебра. Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма........................136
§ 4.5.	Эквивалентные преобразования.....142
§ 4.6.	Булева алгебра и теория множеств.156
Глава 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ............... 168
§ 5.1.	Предикаты. Основные понятия..... 170
§ 5.2.	Кванторы........................ 175
§ 5.3.	Выполнимость и истинность....... 184
§ 5.4.	Эквивалентные соотношения. Префиксная
нормальная форма....................... 188
Раздел 3. ТЕОРИЯ ГРАФОВ...................195
Глава 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ
НА ГРАФАХ.............................. 195
§6.1.	Основные поня гия............... 195
§ 6.2.	Способы задания графов...........201
§ 6.3.	Операции над частями графа. Графы и
бинарные отношения......................210
Глава 7. МАРШРУТЫ И ДЕРЕВЬЯ...............215
§7.1. Маршруты, пути, цепи, циклы.......215
§ 7.2. Дерево и лес.....................223
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ......................227
ЛИТЕРАТУРА................................236
Учебное издание
Москинова Галина Ивановна
Дискретная математика.
Математика для менеджера
в примерах и упражнениях
Учебное пособие
Редактор Е В Комарова
Перемет Д Ю Коночкина
Компьютерная верстка С Ю Ах макова
Изд лицензия ИД № 01670 от 24 04 2000
Подписано в печать 01 08 2000 I арнитура Таймс
Формат 60x90/16 Бумага офсетная Печать офсетная
Печ л 15 Тираж 3000 экз Заказ № 1254
Издательско-книготорговый дом «Логос»
105318, Москва, Измайловское ш , 4
Отпечатано с готовых диапозитивов
Марийским полиграфическо-издательским комбинатом
424000, Йошкар-Ола, ул Комсомольская, 112
Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2
953000 Гигиенический сертификат № 77 99 2 953 П 10163 4 00 от 05 04 2000
0
По вопросам приобретения литературы следует
обращаться по адресу:
105318, Москва, Измайловское шоссе, 4
Тел./факс: (095) 369-56-68, 369-77-27
Электронная почта: universitas@mail.ru
Пейджер: 956-19-56 (аб. 55-032)