Текст
Московский государственный технический университет имени HL Э. Баумана
Ю. С. САРАТОВ, В. Н. БАРАНОВ, Н. Л. НАРСКАЯ
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
1999
Московский ккуларствеиний технический уиив1(миг. . им. Н.Э. Баумана
Ю.С. САРАТОВ, В.Н. БАРАНОВ, HJI. ЦАРСКАЯ
ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЫ ЮЙ ТОЧКИ
Методические указания к курсовой работе по теоретической механике
МГТУ имей»* Н Ь.АУМАМА Ь> I1К
АМН
Iklilil На IBO Ml I > им II ) b.lVM iHil | ч ч 9
|,ЬК -’2 21
<20
Рецензент A. M- Гуськов
Cji.<to. Ю.С.. Баранов B.H.. Нарекая .Л.
Динамика материальной точки: Методические указания к к!рсово>кработе по теоретической механике. — М.: Изд-во МГТ> им. Н.Э. Баумана, 1999- — 24 с., ил.
м,.т0.,Ические указания содержат задании курсовой работы по разделу TvopciH*» ыэй механики “Динамика материальной точки” Приведены основные уравнения движения точки в инерциальной и неинерциальной .нсъчах огечета, рассмотрены примеры решения типовых задач, даны 32 тмриднтз курсовой работы
Для m к «то» 2-го курса всех специальностей.
Ил 39.
ББК 22.21
Редакция заказной литературы
Юрий Сергеевич Саратов Виктор Николаевич Баранов Наталия Лазаревна Нарекая
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
•«Д гкмим ретшгй Н Г. Ковалевская Редактор С.А Филиппова K,W«’op МЛ. Василевская
© МГГУ им. Н Э.
Н шиано й печать 04 08 47 <т.
И» ч л I 5 Уймищи) । 4 у ормат 60x84/16. Бумага тин № 2.
• ’•< Уч изд Д 11.09 Тираж 1000 экз. Изд № ЮЗ. заказ С
Илыгелы.во МПУ им г
им- H.J. Баумана.
Баумана. I999
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
1. Динамика материальной точки в инерциальном системе отсчета
Дифференциальное уравнение движения материально»! пнии относительно инерциальной системы отсчета в векторной фор »• имеет вид
т d2 r/dt 2 = F ,
11 >
где F (r, v, f) - %FA — равнодействующая всех (активных и реакций связей) приложенных к точке сил, т — масса. г — радиус-вектор, у — скорость точки.
Для решения задач динамики применяют уравнения я скалярной форме, проецируя уравнение (I) на те или иные счи (рис. 1). Так в проекциях на оси декартовой системы координат движение материальной точки описывается системой уравнении
проекции ускорения и на <kti координат.
< 2»
В частных случаях движение точки по плоскости или по прямой линии описывается соответственно двумя или одним дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Остальные уравнения вырождаются в условия равновесия и служат для определения реакций связей. Так. при движении по плоскости (hi будем иметь
тх = •
my = F . (3)
✓ v
F = 0.
X
При движении по прямой линии (например, Ох) mK^Fx и Л = ^Г°’ <4)
Lem траектория точки известна, целесообразно применять v равнения в проекциях на естественные оси (касательную, главную нормаль и бинормаль).
ms = F , mv^/p = Ffi , '
?Ь = °’
где л — дуговая координата точки, отсчитываемая от некоторого начала отсчета на траектории, р —- радиус кривизны траектории.
В динамике точки рассматриваются прямая и обратная задали, В прямой по заданному движению точки требуется найти действующую на нес силу. Задача решается путем дифференцирования заданных кинематических уравнений движения точки и последующего определения силы F по проекциям на соответствующие оси
Пример 1. Материальная точка массой т движется согласно уравнениям
X = UI - 1Л( 1 - схр (- t/z)) , ) = gu - (gr - v^) (1 - exp (- z/t)) ,
где z постоянная времени задачи, с, ц, — постоянные с ра мерностью скорости, м/с, g - ускорение силы тяжести.
найзем nrLJ H И ДИФФеРСНиируя функции координат точки, найдем проекции скорости на декартовы оси.
Vx ” ~ # ( 1 — Схр (— Г/т))
Г <6 Л = gr + ехр
rioHU>pHvc дифференцирование дает проекции ускорения точки
= Л; ,Ц = „хр(_ f/r)/r = ((/ _ )/t
"> '/Z - (р(/т ~ к) LXP (- r/l) = g - V()/r .
Г|Р<>™.о<и ..... сими. таким обр.11(1М 4
с тсдующими выражениями:
Fr = »|й< = („ _ ) ,, _ „ (ц _ V l
Fv = = mg-ту /1 = mg-ну ,
’ z > у
где // т г — коэффициент пропорциональности к выралсини ипы сопротивления, линейно зависящей от скопили »г t (Н с/м).
В обратной задаче по известным действующим на точку «.и ыч и начальным условиям се движения требуется найти \.н „ г - г(() движения точки. Эта задача решается путем ингсцнцх вания дифференциальных уравнений (2) — <5> ’с тч дедуюши л определением произвольных постоянных интегрирования по на чальным условиям.
В динамике несвободной материальной точки встречаитя задачи смешанною типа, когда требуется определить как мкон движения точки, так и некоторые неизвестные из притом нны\ сил. а именно: реакции наложенных на точку связей.
Решение таких задач нужно выполнять в следующем иоряд»
I. По условию задачи выбрать способ задания движения и ввести соответствующую систему координат.
2. Разработать расчетную схему — показать на чертеже ючк\ в произвольном положении и приложенные к ней все деиечвчюши; силы — как активные, так и силы реакции связен.
3. Составить векторное уравнение (I) движения точки н спроецировать епт на выбранные оси (декартовы, естественные и др.).
4. Сформулировать начальные условия для полученной ст гемы скалярных дифференциальных уравнении движения точки
5. Проанализировать систему уравнении движения, оценивая связанность уравнений (г.е. присутствие координа » •
производных в уравнениях системы),
тип каждого уравнения (порядок старшей прошве» ин и • кость, од|$"родность и проч.).
6. Установить последовательжктt. решения сис смы и м юн интегрирования входящих в нее уравнении, ориентру > постановку вопросов в условиях задачи.
7. Получить общее решение системы дифферента •« »«ы уравнений и определить но начальным условиям постоянные интегрирования
8. Использовать полученное решение для отпек* на шь.। и*1 ныс в условии вопросы.
Пример 2 Лодку oiroiKHV.iK от берега реки, сообщи» ей скорость v , направ тонную перпендикулярно бсргп рис 2) Скорость м течения ноли г реке неизменна по ширине Л потока и постоянна но времени; сила сопротивления, действующая на лодк> со стороны воды, А ~ - 1П’Г где fl - const > 0.
vr — <ю|кнть лодки относительно воды.
Считая лодку материальной точкой массой т, определить, при каком минимальном значении начальной скорости v0* лодка достигнет противоположного берега. Наши расстояние, на которое отнесет лодку вниз течением реки к моменту ее причаливания при 10 - 2нп4.
Р с ш е н и е. В данной задаче рассматривается двумерное <на плоскости» движение материальной точки. Для описания движения воспользуемся декартовой системой координат Олу, оси кото^юи расположены в горизонтальной плоскости, связанной с берегами реки, а начало совпадает с исходным положением точки. Векторное > равнение движения точки имеет вид
т dv dt = Р + Q + /? ,
где v — абсолютная (относительно берега) скорость лодки, /> ~ rttg — ьес лодки, Q — выталкивающая (архимедова) сила, /? = = - fi {V ~ и) — сила сопротивления.
Спроецируем его на декартовы оси:
mi = - pvrx = - /z(k - и) ,
nty = = -/Zy,
mi = Q - mg .
аким оразом, движение лодки в плоскости Оху описывается в > несвязанными дифференциальными уравнениями второго порядка с неутомимыми коэффициентами при начальных условиях .«0; = /О) = 0, i(0) = 0, у(0) = v0.
Выполняя во втором дифференциальном уравнении замену кезависим1и переменной
у = dv dl — v dv /t/у ,
У У у J
преобразуем его к виду
Т </Vy = - dy t
гпе г - т //( _ характерная постоянная времени данной 1ЛЧ„ Интегрируя это уравнение с учетом начальных условии, „о, чии
> = (•'о - 9 • •
)ТО выражение позволяет найти ий* из условия >•. - 0. ее ш у - л. Таким образом,
vq* = Л/г = hp т.
Очевидно, что при v0 > v()* лодка определенно достигнет противоположного берега за конечное время t *, которое может быть найдено из решения уравнения
ту + у = 0
при условиях / - / *, у - Л.
Определяя в общем решении
у = С, 4- С2 е” 1 '
по начальным условиям (при Г - 0, у в 0. у = v0) произвольные постоянные интегрирования С| - - С2 “ ти0» получим частное решение
Х0 = Tvo (1 “ е~ Г ') •
Из условия у - Л при / ш t * найдем время, необходимое дтм переправы: t
Г* = - т In (I - Л/ту0) = -iln(l -Л/2гу0*) = т1п 2
Интегрируя первое дифференциальное уравнение гг + л ~ и. получим
л(0 = С3 + с4 с" ' г + .
ПС л = lit — частное решение неоднородного уравнения при // - const. При начальных условиях л(0) - 0. л(0) = 0. находим - Сч * - и, поэтому
= Ut - 1ГГ ( I - с ' ) •
Снос лодки к моменту причаливания елк.вит
Х(/Ъ = 1-е''*•) = «<<>п 2 -0.5) = ').),) с, »
Пример 3 Материальная точка массой • - 1.0 КГ может двигаться по круговом млнр.нзмкм.н и. расположенной в нс|пи » ныкн* и iolmhih Точка скреплена с Прч СИНОИ, жесткость котором
196.0 Н/м, л се длина в недсформиро-н ином состоянии равна 2г, г 20,0 см радиус нанравтяюшеи (рис. 3
I) IJpcHcoi тая трением, определить, на ► «к\*ю максимальную высоту Л опу~ cihkm точка, начавшая движение без
из положения, близкою к крайней верхней
нача н.нои скорости
точке 4 <уц ==^0,01);
2» Из гакого положения может
начаться движение точки без
начальной скорости по шероховатой направляющей (.коэффициент трения / ж 0.2) и на какую высоту она опустится в этом случае?
Реше юкру ж кость), Т» »чкИ*
н и с Поскольку форма траектории известна
используем естественный способ задания движения
поместим начало отсчета координаты в точку Л, за направление положительного отсчета координаты примем направление вправо от «очки 4.
в качестве координаты примем длину дуги ЯЛ/ - > - гр.
Векторное уравнение движения точки имеет вид
mdv dt =
F + N + tng .
В ..акциях на естехтиенные осн - касательную и норма а. в» <ение точки описывается уравнениями
- т Л = ,Mgsinr _ Fsin (у) 2) _ F ^ign "П’Л = Л„ + "'Xtos Г - Fcox (у>/2).
1,.ссь J (2г - ОЛ/) = 21т ( | - 1ОЬ 2)), = л.
/1р < /Л, /V = 1,7 1
Н случае гладкой первым \|к1внснием f в 0. \ ~ Sq <у> nept меш и
* пшжение точки определяется
» ы при начальных условиях: при ^0 ~ 0,01), - () Используя замену
Jvr dt = = у dv/rdr .
П| к I . ним по уравнение в виде
vr d^/d? = gr Sin y> - 2A2? ( | - cos Vf 2)) sin (r 2, где к2 - c / m.
Интегрируя его, найдем общее решение
р 2/2 = С - gr cos р - 2к2г2 ( 1 - cos (у> 2)) 2
Определив из начальных условий константу С - d (COS <у>д/2) ~ 1,0), получим
V 2 = 2gr (1 - COS у>) - 4к2? (1 - COS (г '2)) Z.
Значение угла у?*, соответствующее крайнему нижнему паю жению точки, найдем из условия к - 0 при /• - />♦. то есть
£(1 ” cos у?*) = 2g sin2 (у?*/2) = 2А2г(1 - cos (?* 2)) 2
или
I - COS (<р*/2) , л ,л —7~т~ ,_____
sin (у>*/2) 7 = ,g /4) = v g/kr = V«m/" •
откуда
у>* = 4 arctg V gm/cr = 4 arctg (1/2) = 106.26’, А - r(l - cos y>*) - 25,6 см.
Движение точки по шероховатой направляющей определяется системой связанных дифференциальных уравнений, которая при водится к одному нелинейному уравнению. Предварительно приведем уравнение к удобному для численного решения безразмерному виду: введем безразмерное время .t = t г и бс<р.тз мерные функции у, = s/r = у>, у2 = s/d~gr.
В форме Коши уравнение движения будет иметь вил у*' = dy^/dx = >2,
(о , если IQ I < к™'" и >2 ~ б
= </>2/</х = j0 _ Slgn ,2-0.
где Q = sinyj - 2z ( 1 - cos 2)) sin (yj /2), г = er .
z. max = z |cos Vj _ 2z ( I - COS (У| 2)) IOS (J, 2) - IS । 1
РДля численного интегрирования дифференциального уравнения движения точки составн а на языке Фортран программт. библиотечную нро'рамгк.у Рунге Кутты 4-к> порядка ь
Prognm aMiv cHcrnai РГ rev у<8)Я2) ommon ft 2
орол(1 Нс олнуюси form-'formatted) wntcC Ia40\)) и» . 1итс «lop stepx tr z re..-I* *) istop.sk'i xfr;
*X) v<l)X)
1 «• rpikv H f(R2ltfO)g<rto 2 /1 HflhOOJ goto 1
2 CkW RK4(2>s?cp> у RP) wr tq l (3fl2bD • ynlytt)
• (xn «wpi goto 2 er»d
sub’’ ‘ • RK4(n *h у RP) re-» /1).уО(8,у](8)К8) lorrmoo fr 1
M-0
h2-#v/2 de 11 »1л Л)-/)
и yWHW do 12 rd 4
RP.4h] Г)
M-*2
И C eq3j hl ч< do 12 и] л Q«hl*F(l) / . »’ .q
и i eo2) q-Qvq
12 ylfi^yl On В
В ИО vl(i
end
S > UPijf)
f> т /ПН1) rx’i'rry ff I
Hlr /<
< -Z-(1 ,cr./11*2),
H7 -dyO, fnrv,,*- ,/l)/^)
mZ «"OWr
* - /) / Frr . , y^)
( 1 • **Q0 л• F12) h 0) F(2/Xj
» I 4
•*»()
fl»
показаны в таблиц и н ।
Результаты численного решения рис. 4.
X уН) У<2)
0.0 0.2 —.—г 0.0
6.2 1.56920 • • 0.32874
6.4 1.61378 0.11287
6.6 1.61818 -0.О4679
6.8 1.60016 -0,13191
Рис. 4
Из таблицы интерполяцией и У1* - - 1,61689 (92,64°).
точки составит
нахолим, что при у2 - 0 i* - 6,54 Таким образом, высота опускания
А - г (cos у>0 - cos ?•) - 20,5 см, и время движения будет равно
' ’ = X • = 6,54/7 = 0,934 с.
2. Динамика материальной точки в неинерциальной системе
отсчета (динамика относительного движения)
Дифференциальное уравнение, описывающее движение материальной точки (рис. 5) по отношению к системе координат Axyz, заданным образом движущейся относительно инерциальной системы отсчета Ox'y'z', имеет следующую векторную форму:
т = f + ф + Ф. . <6)
Л2 ' ‘
где р — рлдиус-нектор точки в подвижной системе координат; d p/dt - ur •— вго-
Рис. 5
рая относительная производная радиуса-
вектора — огн<ч и тельное ускорение точки; F — равиокисз юиыя приложенных к точке сил, Фг = tnug, ь <
переносная и кориолисова силы инерции точки
Кориолшово и переносное </.. ускорения ючки в . чвем случае движения системы координат tvw опр». к «ях»нч иинч Шим из кинематики (|к»рмулам
a = а4 + = 2w,xv. (7)
i n a A — ускорение полюса .4; a>t., rt. — угловые скорость и ускорение подвижной системы отсчета.
При решении задач динамики векторное уравнение проецируют тибо на оси подвижной декартовой системы координат Avyz, либо на ix и естественного трехгранника Minb.
Пример 4. Материальная точка массой т ккользит по гладкой цилиндрической поверхности бака радиусом г (рис. 6). Бак движется с постоянным ускорением и вниз по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом.
Определить, при каком минимальном значении ускорения бака а* точка сможет доетигнуть его верхней кромки, начав
нижнего положения Мо без начальной скорости?
Решение Определим положение точки на цилиндрической стенке бака дуговой координатой л - M(>W - пр . Система отсчета, связанная с баком»'является неинерциальнои, поэтому в дифференциальном уравнении относительного движения точки помимо приложенных к ней сил тяжести и реакции стенки бака должна быть \чтсна сила инерции от переносного поступательного прямолинейного движения бака
движение из крайнего
та = Р + N + Ф , г е ’
где Р — mg, Ф' = — та.
Прн_цир}я векторное уравнение на касательную к окружности, являющейся относительной траекторией точки, получим
т dv* dt — та cos (р — а\ — /п^ып ,
где dv) dt - (Jv/ dl)d\/ds = v*dv'/(r dp ).
Разделяя переменные и интегрируя уравнение при начальном
условии vr • 0 при р - о, найдем
(v'r) 2г = а |уи| (р — а) + мп а ] — g (| — cos у>).
I < чк зо пнист верхней кромки бака, если при р "• к /2 О, Следован п.но.
а = g/ (мп а т (,<»у « ) - g / ( у'7 bin (и 4- л /4» \
Пример 5. Материальная точка М массой т приводится в движение по гладкой неподвижной горизонтальной плоскости прямой лопаткой ротора, вращающегося вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ш (рис. 7). Лопатка АВ длиной I - г, где г — радиус ротора, расположена под углом а - 45° к радиусу, проведенному в точку А крепления лопатки к ротору. При движении вдоль лопатки на точку действует сила сопротивления R = -/ilvrlvr (R - fiVf\ В - const >0; vr — относительная скорость точки.
Рис. 7
Определить, с каким значением абсолютной скорости точка покинет лопатку, если движение ее началось из положения .1 с начальной относительной скоростью v0 = cur cos а и коэффициент
сопротивления /т - т / (2г).
Решение. Направим вдоль лопатки ось Ох системы координат, начало которой поместим в точку О, как показано на рис. 7. В данной системе отсчета положение точки определяется одной координатой х ОМ. Полагая, что сила тяжести уравновешивается реакцией гладкой опорной плоскости, запишем дифференциальное уравнение относительною движения точки в проекциях на ось Ох:
2 2
т dv /dt - та> х - /п' -гх
Выполняя замену переменной dvrx dt ('^vrx
= </(vrv)2/(2dx) , обозначим (е„)2 = * •• представим дифферен циальное уравнение движения точки в виде
dz/dx + 2z/ Я = х »
где Я - т - 2г - характерная постоянная задачи с размерное, ьк.
длины.
Общее решение полученного уравнен» зицию обшего решения соответствующего
находим как суперно однородною уравнения
z e С exp (- 2.v Я) од
и частого решения
Г = .U +
пшмммого хранения. Шв < - Н - - гА находим методом нсопрлх денных аоэфф«ве"твв. Согласно начальным условиям -(0) = г0? = . Л 2 2 при Л(О) = х,, = Г\1 2. пххтоянная ингсгриро в.ошя С = (г,, - «Хо - .4 ) ехр (л^ г) =(5 2 - х'2) а2г 2 ехр (л0 г ). Зависимость квадрата относительной скорости от координаты принимает вид
v2 = < 2г 2 [ (5 2 - /2) ехр ( - (л - х0) г) + 2 (л г - I) ].
На конце топатки + I ж г('^ 2 + I) и
v2 =• о#2г 2 [ (5 2-/2) е + /2] = 1,8137 а> г 2.
Пгюскции и модуль абсолютной скорости точки: г = р — со г чТ 2 = 0,640 сог, ал г4
у = ш г (I + v7 2) = 1,707 сиг, х/ к 7
v = 1.823 <и г. и
ВАРИАНТЫ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Во всех задачах материальные тела считаются материальными точками. Индекс “О соответствует исходному положению тети (Мо>, текущее положение — М.
1. Кольцо массой т - 5,0 кг может скользить по гладкой круговой направляю щей радиусом г - 0,5 м, расположенной в вертикальной плоскости. Кольцо нитью AM связано с пружиной, жесткость которой с - 402,0 Н/м. Пружина недеформирована. когда кольцо находится в положении \fQ.
Определить, при каком значении начальной скорости Vq кольцо при движении из положения Mq достигнет крайнего верхнего
положения и максимальное значение силы давления кольиа ни
направляющую.
О т в е г: 10,0 м/с; 1049 Н.
2. Толкатель с гладкой круговой направляющей радиусом г - 0,5 м и высотой h • r!~l начинает двигаться по горизонтальной плоско-сти с постоянным ускорением и и приводи» в движение тело, находившееся на плкккости в
покое.
Определить, с каким значением относительной скорости тело покинет направляющую, если а — g ’/?• (Учесть, что поверхность толкателя является неудерживающей связью.)
О т в е т: 2,?й м/с
3. Таю массой т - 1,0 к» движется по плоскости, наклоненной под углом а - 30 к горизонту. На тело действует сила сопро»миле• ния /f = где 7 - оюрхк.ь таю
« -02 Н i/m- Движение началеньс‘ начальной скоросп-ю v0- U0 м/с. направленной перпен дикулярно линии наибольшего ска»а С х
Полагая наклонную плоскость цхтаточно протяженной, найти значение предельной (г - «> ) скорости и наибольшее удаление тела от оси v. ,
Ответ: 24,5 м/с: 5,0 м.
4. Тело массой т - 2,0 кг движется по s' \I X круговой направляющей радиусом г -
2Y ^ /\ “ 1,0 м* врашаюи*е”ся р горизонтальной
( 1ф — 1--/ плоскости с постоянной угловой скоростью
I ) ш “ ^.5 Рад/С вокруг оси, проходящей через
*о zCf точку О. Сила сопротивления, действующая V со стороны направляющей на тело,
R = -fi Iv Iv (R - /о2), где д - 0,3 Н-с2/м2. v — скорость
тела.
Определить, при каком минимальном значении относительной скорости v0 тело, начавшее движение из положения О, совершит полный оборот и придет в исходное положение?
О т в е т: 8,0 м/с.
5. Тело может двигаться в вертикальной плоскости по гладкой внутренней поверхности цилиндра радиусом г - 5,0 м.
При каком значении начальной скорости v0 тело, движущееся из крайнего нижнего положения, достигнет крайнего верхнего положения? (Учесть, что поверхность цилиндра
является неудерживаюшей связью.)
Ответ: 15,7 м/с.
X. 6. Толкатель начинает двигаться с
постоянным ускорением а - 1,0 м/с2 в 4~~ —\ прямолинейных направляющих и гладкой
г прямой лопаткой длиной / •» 1,0 м,
Л/и наклоненной под углом а - 60° к оси
толкателя, приводит в движение по гори-дентальной плоскости тело массой m - 1,0 кг. Сила сопротивления, действующая на тело со стороны плоскости, R = — цу глс у ___
скорость тела относительно плоскости, /х - 0,5 Н с/м
Какое расстояние пройдет тело ло остатки после схода с лопатки толкателя?
От в е г: 3t С м.
10
здесь vx, у., — к » 280,0 Н с/м
Определить максимальное значение вертикальной щей vmdX скорости
7. Планер мааой m - 400.0 >г n.u,,, > v "°В4ПХп°"/И ИМСЙ "‘‘"ыьную СМ.|И „. А° ’ М'С’ наг,равлснную ПО ГОрИ.ЮНГЛ 1И Аэродинамические силы, действующие на пла нер, приводятся К равнодействующей, прю. НИИ которой Ry = kv ^ttVY
проекции скорости планера. ц - 40,0 Н м аэродинамические коэффициенты
-----------------------------J СОс1ан.1мю планера и соответствующее этому моменту
время.
О т в с t:S^2m/c; t « 6,S\
8. Тело массой т - 1,0 ki дп и жегся внутри гладкой трубки, вращающейся с постоянной угловой скоростью uj - 10,и рад/с вокруг вертикальной оси. Тело связано с концом пружины AM. Жесткость пужимы с 500,0 Н/м, ее длина в нсдеформиронан ном состоянии равна 1L - 20,0 см. Движение началось без начальной относительной ско-
|Юсти из положения, соответствующего нсдеформированнои
пру
жине.
Определить максимальную
наибольшее отклонение тела от оси вращения и величину силы давления на боковую стенку Ответ: 15.0 см; 100 Н
9. Тело массой т - 1.0 кг брошено вертикально с поверхности земли со ckoiwctmo v * 20,0 м/с и движется в условиях ветра дующего с постоянной по высоте скоростью w - 8,0 м/с. Сила сопротивления, действующая „а тело, R = ~ скорей • о тела
относительно среды, // “ 0,2 Н с/м.
Определить значение горизонтального достижения им наибольшей высоты.
сноса L тела н momchi
О т в е т: 2J м
10. Тело массой m - 1.0 кг движется в
пубке. изогнутой по дуге окружности Ра иксом -0 2м с умом oxBaraJTJjniM^^-^
вок ру
ТСТьнюНгУпооомн юй yi «оной
» ё Кл
17
скоростью ai - 5,0 рЫс Со сто^.ы
нз тело действует сила сопротивления Я J t 2f 2 Z где v -------
Определить значение ------
его вылета из трубки, полагая, «СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ
v — относительная скорость тела, // »»
—......относительной скорости ла в момент
что его движение началось из в положении Ми, близком к оси врашения трубки. Ответ: 1,18 м/с.
скорости г*0 тело, . роти рополож ной
II. Тело движется в вертикальной плоскости по внутренней поверхности цилиндра радиусом г - 5,0 м. Коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью / - 0,2.
Определить, при каком значении начальной начавшее движение из положения Л, достигнет
кромки цилиндра.
Ответ: 15,1 м/с.
нои плоскости в
12. Рабочая поверхность толкателя представляет собой плоскость, наклоненную под углом а « 45° к горизонту. Верхняя кромка •находится на высоте Л - 1,0 м. Толкатель движется с ускорением а - 2g и приводит в движение тело, находящееся на горизонталь-покое. Коэффициент трения тела о поверхность
толкатели / - 0,2.
реясбрстая сопро’.'^гвлением воздуха, определить, на какую вы. над \ ровном вс** лей кромки толкателя поднимется тело.
Ответ: 0,2 м.
I №. При посадке самолета на этапе его
X. I Mi м , "Р**™ по посадочной полосе к аэродинами-
™ и силам добавляется тормозная сила
F * /Л/, где W модуль силы нормальной реэкнки полосы, f - 0 05
Прении р^одейсгвутеа аэродинамических сил равны у > v скорость самолета, и и Л — постоянные
ьТмомТЛГ КОхМ>ииИс“^- узовлегворяюисие условиям: “п 2 С Поидоч"‘>й скоростью v0 - 180 км/ч
U ° mg), 2/ в горизонтально* полете тяге метопа о - ?П() кН соответствуе, „.хзояниая предельная скорой ° & км/ч
Наиги путь, пройденный СйМплеппм ,,р U ' самолета rn - KXXJ кг. посалкс» если масса
От ист: 644 м.
14. »<ло массой т • 1,0 1ви гстся njTpn «ла jRO’.i трубки. ирлт *юп!еися с постоянной углосйй •скорое ТЬЮ »» • 10,0 рлд/с вокрут вертикальной <хи о, отстоящей от труб™ на некотором расстоянии. Тело саязано с концом пружины AM. Жесткость пружины
ич. хлесткость пружины С - 500 Н/м ее длина в нсдсформировзнном состоянии 2L « 20,0 см.
Полагая, что движение тела началось из состояния относительного покоя при нсдсформированной пружине, определить его ..... отклонение ог начального положения М()
Ответ: 5,0 см.
максимальное
15. Кольцо массой т ш 1,0 кг может двигаться по гладкой круговой направляющей, расположенной к вертикальной плоскости. Кольцо связано с пружиной AM. Жесткость пружины с - 196,0 Н/м, ее свободная длина равна г, где г ™ 20,0 см — радиус направляющей.
Найти: положение равновесия кольца (кроме
положения при у? - 0) и скорость кольца в этом положении, сети его движение началось без начальной скорости из положения.
близкого к Я.
Ответ: 1,682 рад; 1.62 м/с.
16. Тело приводится в движение по горизонтальной плоскости гладкими направляющими спарника параллелограммного механизма, кривошипы О А и СВ которого одинаковой длины L * 1,0 м вращаются с постоянной угловой скоростью о>. Сила со-противления со стороны плоско-
сти Я = - fiv, где я - const > 0, v - скорость тела относительно плоскости. В начальный момент времени кривошипы располагались ПО линии ОС, тело находилось в покое в положении Л/о
(ОМ0 - L). ....
Определить, каким станет расстояние ОМ кривошипов на угол 180°.
после поворота
т в е т: 1,0 м.
л « 1 л кг движется по плоскости, наклоненной
17. Тело массой т . На тел0 действует стета
под углом а - 3(Г к горизонту
р _ _ гдс у — скорость тела, и - 0.5 Н < м сопротивления В - тдь
14
Ч / Hirtni МХ'РД»">’« тслл- 1,1 «""'“'МНС
V------7 положению m.ikciim.i.imH'I'O полы'м.1. сели и. и
/ •'' женнс началось со <ксроч>ю. равной
V, ' _ |0 ^| м . и H.inpan-iCHHoii поа углом
л • 60 к осн с.
Ответ. 4,69 м; 4,8’) м.
18. Тею ПРИВОДИТСЯ в 1ВИЖСНИС но I Т.1ДКОЦ горизонтальной плоскости прямой лопаткой. вра-г / шаюшейхя с постоянной угловой скоростью ( - 1.0 ра.1 с вокруг вертикально»! оси. нроходя- с 1ц и чср<з точке (). Ко нОДициен тр< НИМ СКОЛЬ”
•‘Д. ж ния тела о поверхность лопатки / - 0.2.
Определить путь, пройденный телом вдоль юнатки за I х. если в начальный момент времени оно находилось к покос на расстоянии L • 1.0 м от оси вращения.
Ответ: 0.476 м.
быть уст,н влей ьчрыв б ’fu. пре. с ЦСЛ140
|О. Глубинная бомбе» массой т - 400,0 кг входит в воду под углом а - 60° к поверхности со скоростью »*0 - 100,0 м/с и упреждением по дальности положения пели L - 80.0 м. Сила сопротивления воды 7? = - ни, где т — скорость бомбы, и - 200.0 Н с/м.
Определить, на какую глубину h должен »»лр> атичсо ни зрыватсль для toix), чтобы изошел в точке, находящейся на одной вертикали
Ответ: 170 м.
20. Кольцо может скользить по гладкой 'Pxrv пи направляющий радиуса г - 20,0 см, вращз*>ШСИиЯ с постоянной угловой скоростью ' ^>РЧ вертикальной оси. Кольцо нитью AM И<п пружиной, жесткость юторои
1 м. В крайнем нижнем положении кольиа пру > ин. щ-деформирокдна Масс Ж - 1,0 иГ рсклить, при каком Значении у(лоной |хк и кольно, начавшее движение* без пта ,ЬН°И ьбли ш крайнего иижнет
хлигмел высоты, равной 1,5г.
Ответ: .31.3 рад/с
21 • При катапультировании кресло с пилотом общей массой т - 250,0 кг отд ел я ^2 mn самолета с начальной скоростью v0 * Ю,0 м/с. Сила сопротивления, действующая на кресло со стороны возду-
ха, относительно воздуха, // коэффициент. Скорость и - 720 км/ч.
fivQ , где vQ — скорость кресла
125,0 Н с/м — аэродинамический самолета в горизонтальном полете
Считая связанную с ной, найти координаты мальнои высоты.
самолетом систему координат инерпиаль-крссла в момент достижения им макси-
0 т в с т: 3 0 м; 3.8 м.
22. Тело может двигаться внутри гладкой трубки, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью oj - 10.0 рад/с. Угол между трубкой и скью вращения а - 30".
Определить, при каком значении начальной относительной скорости v0 тело, начавшее движение от оси вращения, сможет покинуть трубку некоторой конечной длины.
Ответ: 1,7 м/с.
23. Тело начинает движение по поверхности гладкого сферического купола радиусом г 6.0 м без начальной скорости из положения Л/о. близкого к крайней верхней точке.
Определить, из каком расстоянии от
поверхности
купола
тело упадет на горизонтальную плоскость.
О т в е т: 0.75 м.
в м,
24. Тело может свободно двигаться гладкой кольцевой трубке радиусом г - 0.4 вращающейся с постоянной угловой скоростью а, относительно вертикальной осн. В начальный момент времени тело находилось в состоянии относительного покоя на оси вращения.
Опр-делить наименьшую угловую скорбь „Pau« необходимую хтя перемещения тела „ крайнее верхнее положение.
21
„ 2
2^. При взлете самолет массой т - 1000 кг разгоняется по взлетной полосе при постоянной тяге мотора Q 5,0 кН.
Проекции аэродинамической силы
. Здесь // и
коэффициенты, определяемые из В Лг - - /п.с где vj ° ISO км/ч — необходимая для отделения от полосы; 2)
к — аэродинамические следующих условий: минимальная скорость, в горизонтальном полете
тяге Q - 5.0 кН соответствует предельная скорость
>’пр " 560 км/ч
Пренебрегая силой сопротивления, действующей со стороны гол«ы, найти хлину пробега самолета при взлете.
Ответ: 288 м.
26. Тело массой т - 1,0 кг приводится в движение по горизонтальной плоскости прямой гладкой лопаткой, вращающейся с постоянной х угловой скоростью о? « 0,4 рад/с вокруг верти-
' кхльной оси, проходящей через точку О. Сила
' сопротивления, действующая на тело со стороны
плоскости R = - цу , где к — скорость движения тела по плоскости, ц - 0.6 Н с/м.
Определить путь, пройденный телом вдоль лопатки за 2 с, сс и в начальным момент времени оно находилось в покос на расстоянии L * 0,5 м от оси вращения.
Ответ: 11,7 см.
положение
-г мекя равновесным).
его давления на направляющею движение кольца началось из
27. Кольцо массой т * 1,0 кг может двигаться по гладкой круговой направляющей радиусом г « 0,5 м. расположенной в горизонтальной плоскости. Кольцо связано с двумя одинаковыми пружинами, жесткость которых с * 196,0 Н/м. Яд ины пружин в и д фор ировзнн м состоянии равны г (т.е.
тела, соответствующее точке О, Опрслотип, скорость кольца и рад
---- ’ • J 8 положении равновесия, - л состояния покоя при
нальную составляющую силы если 45°.
18,3 Н.
28. Рабочая поверхность толкатетя фи«к.кую поверхность радиусом г
представляет собой с углом охвата а
ЦИ 1ИН-- 60*.
лкатель начинает двигаться по г ризен тадьнои плоскости с постоялым /скореии м а и приводит в движение тело, находящееся на плоскости в покос.
Пренебрегая трением тела о поверхность толкателя, определить, при каком миничаль-
„ОМ значении ускорения толкателя тело достигает верхней кромки
Ответ. 17.0 м/с2.
29. Тело массой т - 10,0 кг движется из состояния покоя под действием пружинного толкателя по прямолинейной направляющей. наклоненной к горизонту под углом а - 30е. Сила сопротивления со стороны направляющей R - - // 1 v I v (Л - /ту2), где д - 50,0 Нс2/м2, коэффи-
циент жесткости пружины толкателя с - 1000,0 Н/м, в начальном положении деформация пружины равна L - 20,0 см.
Определить, какую скорость получит тело к моменту окончания действия толкателя. Какую силу надо приложить к телу для того, чтобы его последующее движение оказалось равномерным?
Ответ: 0.58 м/с; 66.0 Н
30. С летящего на высоте h — 100.0 м самолета производится пуск реактивной глубинной бомбы. Скорость самолета v, горизонтальна, относительная скорость отделения бомбы v2 составляет угол а - 30е с vj, Vj - 360,0 км/ч, v2 “ 100,0 м/с, масса бомбы т - 500.0 кг.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, оп-
ределить дальность полета бомбы L до касания ее с л< л
воды. Полагая, что при движении в воде на бомбу де ствуст сила сопротивления, проекция которой Ry в —
и - 10,0 Н с2/м2, найти значение вертикальной составляющей скороо и бомбы на глубине 50,0 м.
О т в е т: 320 м; 32,0 м с.
31. Тело массой т - 0,1 кг начинает движение в гладкой трубке из состояния покоя под действием пружины, жесткость которой с - <0 кН/м. Начальная дсформа ция сжатия пружины составляет L - О.С м
После вылета из трубки тело движется свободно в поле силы тяжести при действии силы сопротивления воздуха R = /т?,
где и
Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении тела по >, насколько оно опустится к моменту удара в от конца тр\бки на л » 20,0 м.
Ответ: 1,48 м.
трубке, определить стену, отстоя 1ц\ю <
32. Тело массой т - 20,0 кг падает без начальной скорости с некоторой высоты и со скоростью 35,0 м/с входит в воду. Сила сопротивления воздуха R = где //] - 2,0 Н с/м, сила сопротивления воды R = -//2lvlv (Я « /т2г ), и2 - 1,0 Н с2/м*. Пренебрегая некоторой потерей скорости при ударе тела о поверхность воды, определить: 1) с какой высоты
h началось движение тела; 2) скорость погружения на глубине Н - 20,0 м.
Ответ: 1) 83,0 м; 2) 18,3 м/с.