/
Автор: Тимошпольский В.И. Трусова И.А. Несенчук А.П. Бродский С.С.
Теги: металлургия теплоэнергетика теплотехника термодинамика теплофизика промышленная теплоэнергетика
ISBN: 985-06-0561-8
Год: 2000
Похожие
Текст
ПРОМЫШЛЕННЫЕ
ТЕПЛОТЕХНОЛОГИИ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Под общей редакцией
доктора технических наук,
профессора В. И. Тимошпольского
и доктора технических наук,
профессора А. П. Несенчука
Утверждено Министерством образования
Республики Беларусь
в качестве учебника для студентов
специальности “Теплоэнергетика"
высших учебных заведений
Минск
“Вышэйшая школа"
2000
УДК [621+669] (075.8)
ББК 31.391я73
П81
А в т о р ы: В. И. Тимошпольский, И. А. Трусова, А. П. Несенчук,
С. С. Бродский, О. В. Дубина, И. А. Павлюченков
Рецензенты: кафедра металлургии литейных сплавов Белорусской
государственной политехнической академии; академик-
секретарь Национальной академии наук Беларуси
Г. А. Анисович
Промышленные теплотехнологии: Моделирование нелиней-
П81 ных процессов: Учеб./В. И. Тимошпольский, И. А. Трусова,
А. П. Несенчук и др.; Под общ. ред. В. И. Тимошпольского,
А. П. Несенчука. - Мн.: Выш. шк., 2000. - 319 с.: ил.
ISBN 985-06-0561-8.
Книга завершает комплекс учебников под общим названием “Промыш-
ленные теплотехнологии” и подводит черту под более чем десятилетним тру-
дом авторского коллектива. В книге представлен оригинальный материал и
изложены вопросы математического моделирования нелинейных задач высоко-
температурных теплотехнологий: режимов затвердевания, охлаждения и нагрева
слитков и заготовок, плавления материалов в расплавах. Рассмотрены основы
теории оптимального управления при нагреве стали в промышленных печах.
Большое практическое значение имеют методики экспериментальных исследо-
ваний и постановочная часть основополагающих теплофизических задач в ме-
таллургии и машиностроении.
Для студентов теплоэнергетических, теплотехнических, теплофизических
и металлургических специальностей вузов всех форм и ступеней обучения, осо-
бенно при дипломном и курсовом проектировании, а также аспирантов, инже-
неров и научных работников.
УДК 1621+6691(075.8)
ББК 31.391я73
ISBN 985-06-0561-8
ISBN 985-06-0089-6
© Коллектив авторов, 2000
© Издательство “Вышэйшая школа”, 2000
Посвящается памяти наших учи-
телей, коллег, выдающихся ученых
теплофизиков-металлургов XX сто-
летия, профессоров Николая Михай-
ловича Беляева, Юрия Иосифовича
Розенгарта
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пятая книга комплекса учебников под общим названием “Про-
мышленные теплотехнологии” посвящена моделированию тех процес-
сов промышленных теплотехнологий и их звеньев, которые занимают
наиболее существенное место в сложнейшей структуре машинострои-
тельного и металлургического предприятия. К ним относятся прежде
всего процессы затвердевания, охлаждения и нагрева слитков, отливок
и поковок, плавления шихтовых материалов, нагрева слитков и заго-
товок в промышленных печах современной конструкции, оптимизации
режимов и управления высокотемпературными теплотехнологиями.
Вопросам математического моделирования нелинейных теплотех-
нологических процессов в машиностроении и металлургии уделяли
ранее и уделяют внимание сегодня многие ученые бывшей крупнейшей
в мире державы - Союза Советских Социалистических Республик, го-
сударства, к концу семидесятых годов вышедшего на первое место в
мире по объему выплавленной стали и достигшего рекордной цифры
150 миллионов тонн стали в год.
Наиболее выдающимися учеными, внесшими большой вклад в
металлургическую теплотехнику, теплоэнергетику и теплофизику, явля-
ются ушедшие из жизни Б. И. Китаев, Ф. Р. Шкляр, А. В. Кавалеров,
В. Н. Тимофеев (г. Екатеринбург), Н. Ю. Тайц, И. Д. Семикин, Ю. И. Ро-
зенгарт, Э. М. Гольдфарб, Н. М. Беляев (г. Днепропетровск), А. И. Вей-
ник (г. Минск), Г. П. Иванцов, М. А. Глинков, Э. И. Спивак (г. Моск-
ва), Л. А. Бровкин (г. Иваново), Н. Н. Доброхотов, В. Ф. Копытов (г. Ки-
ев) и ныне здравствующие и продолжающие плодотворно трудиться
Ю. Г. Ярошенко, Ю. А. Самойлович, В. И. Лобанов (г. Екатеринбург),
Е. В. Торопов (г. Челябинск), Н. И. Иванов (г. Магнитогорск), В. И. Гу-
бинский, С. И. Аверин, В. М. Ольшанский, Н. П. Свинолобов (г. Днеп-
ропетровск), Ю. С. Постольник (г. Днепродзержинск), В. А. Арутю-
нов, Б. С. Мастрюков, Ю. П. Филимонов, В. М. Тымчак, В. Л. Гусов-
ский, А. Е. Лифшиц (г. Москва), Г. А. Анисович (г. Минск), Б. И. Ме-
довар, А. Е. Еринов, Б. С. Сорока (г. Киев) и многие другие.
Авторы заранее приносят свои извинения ученым, которых они здесь
не упомянули. Мы руководствовались прежде всего тем, что перечислен-
ные выше ученые создали целые научные школы, по-хорошему конкури-
3
рующие друг с другом: днепропетровскую, уральскую, московскую, а их
ученики успешно продолжают сегодня дела научных патриархов.
Молодая белорусская научная школа, руководимая В. И. Тимош-
польским, унаследовала лучшие традиции днепропетровской, ураль-
ской и московской научных школ в области теплофизики и теплоэнер-
гетики металлургических теплотехнологий, но тем не менее, учитывая
инфраструктуру этих теплотехнологий, внесла много нового в уже из-
вестное, развила классические подходы, расширила диапазоны приме-
нения известных математических моделей, разработала оригинальные
модели новейших теплотехнологических процессов и агрегатов. Под-
тверждением заслуг белорусской школы явилось присуждение Указом
Президента Республики Беларусь № 625 от 28 декабря 1998 г. Государст-
венной премии Республики Беларусь 1998 г. в области науки и техники
доктору технических наук, профессору В. И. Тимошпольскому, докто-
ру технических наук, профессору А. П. Несенчуку, кандидату техниче-
ских наук, доценту И. А. Трусовой за цикл научных работ “Теория вы-
сокотемпературных энерго- и ресурсосберегающих теплотехнологиче-
ских процессов в машиностроении и металлургии”.
В рамках созданной авторским коллективом теории разработаны
новые подходы к математическому моделированию известных тепло-
технологических процессов - затвердевания, охлаждения, нагрева, плав-
ления материалов, оптимизации - и управления ими. В рамках этого
направления опубликовано около 300 научных Статей и сообщений и
издано 17 книг, пять из которых авторы имеют честь представить на
суд читателя в виде многотомного учебника.
Материал учебника распределен следующим образом: гл. 1 напи-
сали В. И. Тимошпольский (§ 1.1, 1.2, 1.5), О. В. Дубина (§ 1.2) и
И. А. Трусова (§ 1.2-1.4), гл. 2 - В. И. Тимошпольский (§2.1, 2.2, 2.5),
И. А. Трусова (§ 2.3-2.5), С. С. Бродский (§ 2.5), гл. 3 - В. И. Тимош-
польский (§3.1, 3.3), О. В. Дубина (§ 3.1), И. А. Трусова (§ 3.2, 3.3),
гл. 4 - В. И. Тимошпольский (§4.1,4.2,4.4), А. П. Несенчук (§ 4.2,4.4) и
И. А. Трусова (§ 4.3, 4.5), гл. 5 - И. А. Павлюченков (§ 5.1-5.4, § 5.6,
§ 5.8), В. И. Тимошпольский (§ 5.3), С. С. Бродский (§ 5.7), И. А. Трусо-
ва (§ 5.5), гл. 6 - В. И. Тимошпольский (§ 6.1-6.3), И. А. Трусова (§ 6.1-
6.3), О. В. Дубина (§ 6.3).
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам - кол-
лективу кафедры металлургии литейных сплавов Белорусской государст-
венной политехнической академии и академику Национальной акаде-
мии наук Беларуси, профессору Г. А. Анисовичу за многочисленные и
ценные замечания, сделанные при рецензировании рукописи.
Все отзывы и пожелания просим направлять по адресу: 220048,
Минск, проспект Машерова, 11, издательство “Вышэйшая школа”.
Авторы
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЙ
В МЕТАЛЛУРГИИ И МАШИНОСТРОЕНИИ
1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Проведение экспериментальных исследований высокотемператур-
ных теплотехнологических процессов в металлургии и машинострое-
нии в том многообразии и количестве, которое может удовлетворить в
конечном счете исследователя, - весьма сложная и трудоемкая задача.
Это связано в первую очередь с конструктивными и технологическими
особенностями высокотемпературных установок, организацией метал-
лургического и машиностроительного производства, физико-химиче-
скими свойствами слитков и заготовок и др. Тем не менее во главу ис-
следования любого процесса, и в особенности высокотемпературных
теплотехнологий, должен быть положен эксперимент, как подготови-
тельная база для последующего математического моделирования про-
цессов теплообмена.
Для корректного и надежного математического моделирования
высокотемпературных процессов необходимо наличие эксперименталь-
ных результатов, полученных непосредственно на объекте исследова-
ния, в производственных условиях, так как они несут первичную и наи-
более качественную информацию о теплофизических процессах.
Следует заметить, что при проведении промышленных экспери-
ментов необходим дифференцированный подход к изучению конкрет-
ного действующего агрегата в связи с наличием особенностей его кон-
струкции и ведения технологического процесса (расположение обору-
дования, сортамент и типоразмер металла, расположение и тип сожи-
гательных устройств и др.).
В данной главе рассмотрены методики и результаты эксперимен-
тальных исследований высокотемпературных теплотехнологий произ-
водства металлургических слитков и заготовок на примере крупней-
ших металлургических предприятий, таких как Днепровский металлур-
гический комбинат им. Дзержинского (Украина, г. Днепродзержинск),
Новосибирский металлургический завод им. Кузьмина (Российская
Федерация), Белорусский металлургический завод (г. Жлобин).
1.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПРОЦЕССОВ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ И ОХЛАЖДЕНИЯ
СЛИТКОВ И ЗАГОТОВОК
1.2.1. Экспериментальные исследования
формирования крупных слитков [1]
Объектом исследования явился блюминговый 8-тонный слиток
осевой стали поперечным сечением 0,736 х 0,655 м и высотой 2,8 м, нагре-
5
ваемый в регенеративных нагревательных колодцах и прокатываемый
на блюминге 1150 Днепровского металлургического комбината
им. Дзержинского. Толщина стенки изложницы составляет 0,19 м.
Для расположения и удержания блока термопар в горизонталь-
ном сечении слитка на заданную глубину погружения был изготовлен
специальный металлический каркас (рис. 1.1), который крепился на
верхнем срезе прибыльной надставки изложницы.
Использовали вольфрам-рениевые термопары (типа ВР 5/20) с диа-
метром электродов 0,5 мм. При этом зачищенные концы проволоки
скручивали в жгут длиной 2...3 мм, который сваривали в атмосфере
аргона. После сваривания концов жгут раскручивали, а электроды изо-
лировали друг от друга двухканальной алундовой соломкой. Изготов-
ленную термопару помещали в кварцевую трубку с толщиной стенки
5...6 мм, а затем в металлическую трубку с толщиной стенки до 2 мм.
Межтрубное пространство заполняли графитовым порошком, а сво-
бодное пространство между соломкой и стеклянным чехлом - мелко-
дисперсным безводным оксидом алюминия. Схема готовой термопары
описанной конструкции представлена на рис. 1.2.
На рис. 1.3 показана изложница в комплекте с блоком термопар.
Для записи показаний термодатчиков использовали многоточечный
потенциометр КСП-4.
Особенностью подготовки слитков к прокатке, в частности для
условий ДМК им. Дзержинского, является параллельное расположе-
ние мартеновского цеха и блюминга. В соответствии с этим организа-
ция проведения эксперимента заключалась в следующем. При поступ-
лении составов с изложницами в разливочный пролет цеха первая или
последняя платформа, на которой предполагалась установка термопар,
подавалась в свободный от составов пролет. Заранее подготовленный
к опыту и подключенный к приборам блок с термопарами устанавли-
вали на прибыльной надставке. Включение потенциометров произво-
дилось за несколько минут до начала заливки. После окончания заме-
ров и снятия каркаса платформу с экспериментальной изложницей при-
Рис 1.1 Каркас для фиксирования термодатчиков:
/ — упорная гайка. 2 — упорный винт, 3 — термодатчик. 4 — опорный элемент. 5 — упорный
элемент. 6 — фиксирующий винт. 7 — направляющая втулка
6
Рис. 1.2. Схема термодатчика:
1 - свободные концы; 2 замазка; 3 внешний
чехол; 4 - графитовый порошок; 5 внутрен-
ний кварцевый кожух; 6 - алундовая засыпка;
7 - алундовая двухканальная соломка. 8 спай
термопары ВР 5/20
Рис. 1.3. Экспериментальная изложни
на в сборе:
/ - каркас для фиксирования термопар. 2
прибыльная надставка; 3 - термодатчик; 4
изложница
цепляли к очередному составу для прохождения обычного технологи-
ческого маршрута.
Результаты измерений температур поверхности и центральной
части слитка осевой стали (ОСВ), кристаллизующейся в интервале тем-
ператур 1492... 1420 °C, представлены на рис. 1.4. Время полного затвер-
девания в соответствии с экспериментальными замерами составляет
2,6...2,7 ч, температура поверхности при этом равна 965...975 °C. Время
снятия теплоты перегрева стали составляет 0,78...0,95 ч.
В соответствии с действующей в условиях комбината им. Дзержин-
ского технологической инструкцией время прохождения слитков сред-
неуглеродистой стали (сталь ОСВ по химическому составу близка к
среднеуглеродистой стали 45) составляет 3,0...3,5 ч, т. е. в момент поса-
да слитка в ячейку нагревательного колодца он является полностью
затвердевшим. Температура поверхности в момент посада такого слитка
составляет 930...880 °C, в центральной части - 1300... 1250 °C.
Таким образом, можно отметить, что при уменьшении времени
подготовки слитков к нагреву до 2,5...2,2 ч в конкретном случае суще-
7
Рис. 1.4 График изменения температур центра (/ц) и поверхности (/„) 8-тонного
слитка из стали ОСВ, затвердевающего в чугунной изложнице
ствует возможность посада неполностью затвердевших слитков в ячейку
нагревательного колодца. Объем жидкой сердцевины в слитке необхо-
димо уточнять в каждом конкретном случае расчетным путем.
1.2.2. Экспериментальные исследования режимов
затвердевания и охлаждения непрерывно-литого слитка
Методика проведения промышленного эксперимента по исследо-
ванию закономерностей формирования непрерывно-литого слитка на
третьей машине непрерывной разливки стали (МНЛЗ-З) Белорусского
металлургического завода подробно изложена в учебнике [2]. На рис. 1.5
представлены результаты экспериментального исследования затверде-
вания и охлаждения заготовки размером 0,250 х 0,300 м из стали с со-
держанием углерода С = 0,75... 0,80%, предназначенной для изготовле-
ние 1 5 Динамика затвердевания и охлаждения слитка при разливке высокоуглеродис-
той стали
8
ния проволоки. Здесь очевидно, что термопары, вмороженные в тело
затвердевающего слитка, расположены не в характерных точках сече-
ния заготовки, а на незначительном расстоянии от них. Это привело к
невозможности точного определения времени полного затвердевания
заготовки. Очевидно лишь то, что время полного затвердевания заго-
товки из высокоуглеродистой стали на конкретной МНЛЗ составляет
более 20 мин.
Для получения качественной информации здесь очевидна необхо-
димость проведения дальнейших теоретических исследований процес-
сов затвердевания и охлаждения слитков и заготовок на базе матема-
тического моделирования.
1.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ
НАГРЕВА СТАЛЬНЫХ ЗАГОТОВОК В МЕТОДИЧЕСКИХ
ПЕЧАХ ТОЛКАТЕЛЬНОГО ТИПА
1.3.1. Экспериментальные исследования тепловой работы
методических печей Днепровского металлургического
комбината им. Дзержинского [3]
Методические толкательные печи двухстороннего обогрева явля-
ются наиболее распространенным типом печей, которые функциони-
руют в условиях среднесортных и листовых станов. Наряду с недостат-
ками (повышенный удельный расход условного топлива, высокая удель-
ная продолжительность нагрева, свариваемость заготовок и т. д.) ме-
тодические печи имеют ряд преимуществ, а именно: большая гибкость
в регулировании тепловой работы, в частности в сварочной и томиль-
ной зонах печи, увеличение производительности печи за счет удлине-
ния сварочных зон, легкость запуска печи как после капитальных и
текущих ремонтов, так и после аварийных остановок стана. Отмечен-
ные обстоятельства, а также большой парк печей данного типа, функ-
ционирующих как в условиях рядовых теплотехнологий, так и в усло-
виях специальных производств, обусловили необходимость дальней-
шего изучения закономерностей теплообмена в методических печах.
Методические печи (три - со сводово-торцевым отоплением, одна -
со сводовым) входят в состав трубозаготовочного стана. Печи со сво-
дово-торцевым отоплением (рис. 1.6) оборудованы керамическими ре-
куператорами, а также металлическими рекуператорами для подогре-
ва газообразного топлива, сжигаемого в верхних и нижних отсеках
горения. Посад заготовок однорядный. Методическая зона оборудо-
вана дискофакельными горелками в количестве 9 шт., а верхняя сва-
рочная, нижняя сварочная и томильная зоны - двадцатью инжекцион-
ными горелками и отапливаются доменным газом с дополнительной
подачей природного.
Печь со сводовым отоплением (рис. 1.7) не имеет аналогов в ме-
таллургической практике в связи с тем, что в последние годы широко
2. Зак. 5040.
9
7800
8900
ново
Рис. 1.6. Методическая печь со сводово-торцевым отоплением
25984
27724
Рис. 1.7. Методическая печь со сводовым отоплением
внедряются печи с механизированным подом со сводовым отоплением
плоскопламенными горелками. В качестве топливосжигающих уст-
ройств на исследуемой методической печи использованы плоскопла-
менные горелки ГР конструкции института “Стальпроект”, в свароч-
ной зоне нижнего обогрева - двухпроводные горелки типа “труба в
трубе”.
Основные технические характеристики методических печей при-
ведены в табл. 1.1 и 1.2.
10
Таблица 1 1
Теплотехнические характеристики методических печей
трубозаготовочного стана (ТЗС) ДМК
Параметр Значение
Производительность, т/ч:
при холодном посаде 60
* при горячем посаде 80
Размеры нагреваемых заготовок, мм:
сечение 200 х 250,280 х 350
длина До 6000
Продолжительность нагрева, ч:
при холодном посаде 4,0...6,5
при теплом посаде 3,0...5,0
при горячем посаде 2,5...4,5
Основные размеры печи, мм:
общая длина по кладке 14 356
длина методической зоны 10 068
длина сварочной зоны 8423
длина томильной зоны 5874
ширина * 6728
Количество отапливаемых зон 4
Количество горелок в зоне, шт.:
методической 9
верхней сварочной 7
нижней сварочной 7
томильной 6
Теплота сгорания топлива, МДж/м3:
коксового газа 21,03
природного газа 34,36
доменного газа 3,65
Тепловая мощность печи, МДж/м3 220 000
Распределение температур в зоне, °C:
методической 1000...1100
верхней сварочной 1250...1350
нижней сварочной 1220...1320
томильной 1220... 1270
Расход газа на печь, м3/ч:
доменного 40 000...50 000
природного 1000...1500
коксового 600...800
Температура подогрева доменного газа в 3OO...35O
металлическом рекуператоре, °C
Температура подогрева воздуха в 600...650
керамическом рекуператоре, °C
Для проведения промышленного эксперимента были подготовле-
ны две опытные заготовки размерами 0,27 х 0,35 х 5,8 м с отверстиями
в центральной Плоскости (рис. 1.8, а). С помощью кислородных трубок
были пробиты три отверстия для измерения температур непрерывным
способом. При этом термодатчики из спаев ХА с диаметром электро-
дов 1,2 мм прошли тарировку в условиях лабораторной печи, помеща-
лись в фарфоровые бусы и обматывались специальным асбестовым
11
Таблица 1 2
Теплотехнические характеристики методической печи ТЗС
Параметр Значение
Производительность, т/ч:
при холодном посаде 75
при горячем посаде 85...90
Размеры нагреваемых заготовок, мм.
сечение 200...330 х 300...600
длина 5000...6100
Продолжительность нагрева, ч:
при холодном посаде 4,0...6,5
при теплом посаде 2,5...4,0
при горячем посаде 2,5...4,5
Основные размеры печи, мм:
общая длина по кладке 27 724
длина методической зоны 10 700
длина сварочной зоны 9300
длина томильной зоны 7730
ширина 6728
Количество отапливаемых зон Количество горелок в зоне, шт.: 5 •
методической 20
верхней сварочной 20
нижней сварочной 6
томильной 16
нулевых горелок 4
Теплота сгорания топлива, МДж/м3:
коксового газа 16,74
природного газа 34,36
Тепловая мощность печи, МДж/м3 Распределение температур в зоне, °C: 230 000... 240 000
методической 1000... 1100
сварочной 1250...1350
томильной 1220... 1320
Расход газа на печь, м3/ч:
природного 6000...6200
коксового 12 000...13 000
Температура подогрева воздуха в рекуператоре, °C 350...400
шнуром. После этого подготовленные термопары помещали в жаро-
прочный чехол, который вставляли в подготовленное отверстие и за-
крепляли на поверхности блюма (рис. 1.8, б). В качестве вторичного
прибора для измерения температур по сечению заготовки использова-
ли переносной потенциометр.
Результаты экспериментальных измерений температур по сечению
опытного блюма приведены на рис. 1.9, 1.10. Анализ термограмм по-
казывает, что контрольные температуры (по данным табл. 1.1 и 1.2) по
сечению блюма могут быть достигнуты практически через 4 ч с момен-
та посада металла в печь со сводовым отоплением, в то время как при
нагреве блюмов в печи со сводово-торцевым отоплением для этого не-
12
Рис. 1.8. Схема закрепления датчиков в стальном блюме (а) и термодатчик в сборе (б):
1 термоэлектрод; 2 - уплотнение из каолиновой ваты; 3 алундовая засыпка; 4 - двухканальная
алундовая изоляция; 5 - жаропрочный чехол; 6 - спай термопары
Рис. 1.9. Результаты измерения
температур в характерных точках
сечения блюма при нагреве в печи
со сводово-торцевым отоплением:
о-о-о, а-а-а-температура со-
ответственно верхней поверхности,
центра и нижней поверхности, ф-
штатная термопара
13
Рис. 1.10. Результаты измерения тем-
ператур в характерных точках сече-
ния блюма при нагреве в печи со сво-
довым отоплением:
о-о-о. - температура соответствен-
но верхней поверхности и центра, Ф -
штатная термопара
обходимо 4,5...5,0 ч. Следует отметить, что производительность при
этом на 10... 15% ниже. Температура конца прокатки блюма на ТЗС
находилась на уровне 980... 1010 °C.
1.3.2. Экспериментальные исследования тепловой работы
методических печей Новосибирского
металлургического завода
Методические печи стана 810 Новосибирского металлургическо-
го завода (НМЗ) конструкции “Сталытроекта” расположены последо-
вательно в линии стана и предназначены для нагрева различного сор-
тамента сталей и специальных сплавов. Схема методической печи пред-
ставлена на рис. 1.11. Печи отапливаются природным газом с теплотой
сгорания бр = 35,5...36 МДж/м3.
Рис. 1.11. Схема методической печи толкательного типа Новосибирского металлурги-
ческого завода
14
Для экспериментального ис-
следования нагрева металла были
отобраны слябы следующих наи-
более представительных марок:
10СП, 79НМ, 12Х18Н10Т, 65X13,
29НК. Методика эксперимента
аналогична приведенной в п. 1.3.1,
однако в конкретном случае для
учета неравномерности прогрева
слябов по длине была установле-
на термопара в сечении, располо-
женном над глиссажной трубой
(рис. 1.12).
Посадку опытных слябов в
печь осуществляли следующим об-
разом: площадка перед воздушным
Рис. 1.12. Схема размещения термодатчиков:
1...4 точки замера температуры
отбойником освобождалась от сляба; на площадку по направлению дви-
жения укладывались 2 деревянных бруса высотой 100... 120 мм; на бру-
сы устанавливали опытный сляб; брусы вместе с опытным слябом ак-
куратно проталкивали очередными слябами до тех пор, пока брусы не
проваливались между охлаждаемыми трубами в боров.
Темп проталкивания в период эксперимента и, следовательно, про-
изводительность печи контррлировали на выходе слябов из печи. Кро-
ме того, осуществляли дополнительный визуальный контроль тепло-
вого состояния опытных слябов и температур в зонах печи каждые
15 мин с помощью оптического пирометра. Одновременно в процессе
эксперимента проводили анализ газовой среды в зонах печи. Условия
проведения экспериментальных исследований указаны в табл. 1.3, в ка-
честве примера приведены результаты нагрева опытных слябов из спла-
ва 29НК (рис. 1.13) и стали 12Х18Н10Т (рис. 1.14). Анализ эксперимен-
тальных термограмм позволил установить нижеследующее.
1. Слябы всех исследуемых сталей и сплавов в методической печи
№1 стана 810 нагреваются несимметрично. Температура нижней по-
верхности сляба значительно ниже температуры верхней поверхности
и по значению близка к температуре центральной плоскости металла.
2. При форсированных режимах к концу нагрева по сечению сляба
имеют место значительные температурные перепады, превышающие
требуемые по технологии нагрева.
3. Температуры в верхних зонах нагрева, фиксируемые штатными
зонными термопарами, ниже, а в нижней - выше действительных, из-
меренных экспериментально, что обусловлено неправильным размеще-
нием штатных термопар.
4. Опытные термопары, установленные рядом со штатными и вы-
двинутые на 100 мм в пространство печи, удовлетворительно реагиру-
ют на изменение температурно-тепловых режимов в зонах.
15
Таблица 1.3
Условия проведения экспериментов
Марка стали Продол- житель- ность нагрева, ч-мин Сред- ний расход топлива на печь, м3/ч Темп про- тал- кива- ния, сл/ч Температура в зонах нагрева, °C Коэффициент избытка воздуха в зоне Остановки
то- миль- ной сварочной допол- нитель- ной то- миль- ной сварочной допол- нитель- ной
низ | верх низ верх
10СП 1-20 3615 26,25 1280 1260 1290 1210 1,015 1,02 1,02
29НК 1-25 2367 27,3 1110 1100 1200 1060 1,0 — 0,8 0,95 __
79НМ 2-11 2371 19,7 1160 1210 ИЗО 1100 1,02 1,015 1,02
65X13 3-50 2442 13,3 1180 1240 1200 1080 1,0 — 1,05 0,95 В сварочной зоне 4(15, 22, 12 и 10 мин), в томильной 1 (8 мин)
12Х18Н10Т 3-04 2561 15,0 1180 1230 1160 1100 1,02 - 1,02 1,02 Остановки в связи с перевалкой стана
12Х18Н10Т 2-28 2201 18,3 1200 1240 1245 ИЗО 1,0 - 0,8 1,0 В дополнительной зоне 1 (22 мин), в сварочной 1(12 мин)
5. Использование оптического пирометра для определения темпе-
ратуры сляба на выходе из печи целесообразно при наличии графиков
пересчета в зависимости от сортамента исследуемого сляба.
1.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИИ
НАГРЕВА СТАЛИ В ПЕЧАХ С ШАГАЮЩИМИ БАЛКАМИ
И ШАГАЮЩИМ ПОДОМ БЕЛОРУССКОГО
МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО ЗАВОДА
1.4.1. Экспериментальные исследования технологии нагрева
стали в печи стана 320/150 Белорусского
металлургического завода [4]
Нагревательная печь мелкосортно-проволочного стана 320/150 Бе-
лорусского металлургического завода (БМЗ) (рис. 1.15) предназначена для
нагрева непрерывно-литых заготовок из углеродистых, низколегиро-
ванных и конструкционных марок стали сечением 0,125 х 0,125 м, длиной
10,3 ... 12,0 м. В печи возможен нагрев заготовок сечением 0,140 х 0,140 м,
длиной 12,0 м. Под печи составляют 2 подвижных участка: участок
шагающих балок и участок шагающего пода. Технические характери-
стики нагревательной печи приведена в табл. 1.4.
Методика экспериментальных измерений заключалась в следую-
щем. Заготовка сверлилась в соответствии со схемой, показанной на
рис. 1.16. В отверстия монтировались спаи термопары ХА с диаметром
электрода 1,2 мм. Свободные спаи защищались керамическими изоля-
торами с бусами. Жгут проводов покрывался слоем асбеста для предо-
хранения от механических повреждений в начальной стадии экспери-
мента и каолиновой ватой для защиты от мощных тепловых потоков
горелок. Затем термрэлектроды выводились через окно в торце печи со
стороны посада заготовок и подключались к самопишущему вторич-
ному прибору. По мере прохождения экспериментальной заготовки по
зонам жгут термопарных проводов подавался в печь по направляю-
щим, а в конце эксперимента отключался от самописца и выдавался из
печи вместе с заготовкой через окно возврата. В качестве вторичного
прибора использовался электронный потенциометр типа ЭПП-09.
Сводовые горелки
АГ
Посад
заготовок
Выдача
заготовок
Боковые длинно- Шагающие балки
факельные горелки
1,П . Ш , 1У .У,У1УП,
Номер технологической зоны
—— ДГ Металл—
. Участок шагающего пода
Рис 1 15. Схема нагревательной печи стана 320/150 (ДГ - дымовые газы)
18
Таблица 1.4
Технические характеристики нагревательной печи с шагающими балками
и шагающим подом стана 320/150 СПЦ-1 БМЗ
Параметр Значение
Производительность печи <7И11ОТ (номинальная) максимально
возможная, т/ч 170/200
Тепловая мощность печи, МВт:
максимальная 69.619
номинальная (при GHnm =170 т/ч, шаге раскладки 0,2 м, 64,255
новой изоляции и холодном посаде)
Удельный расход теплоты при G„ ain IGnmsa, кДж/кг 1365/1100
Максимальная температура подогрева воздуха горения, К 720
Теплота сгорания топлива (природный газ) Q", кДж/м3 34 400
Максимальный расход топлива, м3/ч :
газа 7300
воздуха 72 000
Количество зон автоматического регулирования теплового 7
режима печи Размеры заготовок:
длина, м 10,3...12,0
высота, мм 125; 140
ширина, мм 125; 140
Температура заготовок, К:
на входе в печь 293
на выходе из печи 1400...1470
Минимальное время нагрева заготовок, ч Длительность боковой загрузки (Е&дачи), с 1,1...1,2
28
Перемещение пода и балок, мм:
горизонтальное 200
вертикальное относительно уровня стационарных балок -80...+ 100
Рабочая площадь пода, м2 374,3
Расход воды на испарительное охлаждение пода и балок, м3/ч 150
Рис. 1.16. Расположение отверстий
для термопар в опытной заготовке
19
Измерение температуры среды в районе поверхности осуществля-
лось открытым спаем на расстоянии 50...80 мм от поверхности, закреп-
ленным приваренной скобой или другим жестким жаропрочным при-
способлением. Для измерения верхней (обращенной к своду) поверхно-
сти сляба и уголка конец термодатчика приваривали к ним и уклады-
вали в канавку или вдоль угла. Измерение температур в точке 1 заго-
товки выполнено в соответствии со схемой, показанной на рис. 1.17.
На рис. 1.18 и 1.19 представлены результаты экспериментов при нагре-
ве заготовки размерами 0,125 х 0,125 х 12,0 м из кордовой стали. Теп-
Рис. 1.17. Методика крепления тер-
модатчиков в непрерывнолитой за-
готовке размерами 0,125x0,125 м:
1 - непрерывно-литая заготовка; 2 - спай
термодатчика; 3- двухканальная алундо-
вая соломка: 4 - каолиновая вата; 5 - уго-
лок (защита); 6 - безводный оксид алю-
миния
Сводовые аор&лки
i
Рис 1.18. Динамика нагрева заготовки размерами 0,125x0,125x12,0 м из стали 70К
в печи стана 320/150
20
лотехнические параметры нагревательной печи для этих вариантов
нагрева указаны в табл. 1.5.
Данные, приведенные в таблице, свидетельствуют о том, что терми-
ческий КПД находится на уровне 60%, а удельный расход условного
Рис. 1.19. Изменение температур в характерных точках сечения заготовки размерами
0,125x0,125x12,0 м из стали 70К при нагреве в печи стана 320/150:
ф - штатные термопары
Теплотехнические параметры нагревательной печи
для двух вариантов нагрева
Таблица 1.5
Параметр Режим
I (рис. 1.18) II (рис. 1 19)
Расход природного газа, м 3/ч 1587 2090
Температура металла 1160(1433) 1170(1443)
к концу нагрева. °C (К) Температура дыма в конце 720 (993) 830(1 103)
методической зоны, °C (К) Температура подогрева 400 (673) 430 (703)
воздушного дутья, °C (К) Теплота сгорания 34 310 34 280
природного газа, кДж/м3 Производительность, т/ч 46,3 61,5
Удельный расход условного 40,13 39,75
топлива, кг у т/т Термический КПД 0,575 0.61
21
топлива - на уровне 40 кг у.т/т. Очевидно, что эти показатели, которые
исключительно высоки, можно улучшить только в случаях интенсифика-
ции и оптимизации тепловых режимов описанной печи стана 320/150.
1.4.2. Экспериментальные исследования технологии
нагрева стали в печи стана 850 БМЗ
Методическая печь (рис. 1.20) с шагающими балками предназна-
чена для нагрева непрерывнолитых блюмов сечением 0,250 х 0,300 и
0,300 х 0,400 м, длиной от 2,5 до 5,5 м при шаге раскладки соответст-
венно 0,150 и 0,200 м. Посад и выдача металла торцевые. Общая длина
печи 23 м, по расположению и количеству горелок она разделена на 7
зон. Печь оборудована 45 газогорелочными устройствами фирмы
“Bloom-Europa” (18 длиннофакельных горелок типа “HTR” Bloom-1200
и 27 плоскофакельных типа “HTR” Bloom-ЙЮО). Нагрев металла в ниж-
них зонах осуществляется боковыми длинйофакельными горелками, в
верхних - сводовыми плоскопламенными горелками. Методическая
зона печи неотапливаемая, сталь прогревается за счет теплоты дымо-
вых газов, поступающих из высокотемпературных зон. Для утилиза-
ции теплоты сбросных газов используется металлический рекуператор,
в котором идущий на горелки воздух нагревается до 45О...5ОО°С. В ка-
честве топлива используется природный газ. Предусмотрены автоном-
ные системы регулирования температуры и соотношения топливо-воз-
дух для каждой технологической зоны.
Для обеспечения посада металла загрузочная решетка печи обо-
рудована термостатом, что позволяет производить нагрев блюмов с
начальной температурой 700...800°С. Минимальная температура горя-
чего посада стали 650°С. Основные технические характеристики печи
приведены в табл. 1.6.
Дымовые газы отсасываются из печи через канал, находящийся
под уровнем пода в зоне загрузки печи. В канале смонтирован рекупе-
ратор тепла, в котором нагревается воздух, поступающий к горелкам.
Отработавшие газы выбрасываются в атмосферу через дымовую трубу
высотой 65 м и диаметром 2,5 м.
Рис 1 20. Схема нагревательной печи стана 850
22
Таблица 1 6
Технические характеристики нагревательной печи стана 850
Параметр Значение
Размеры печи:
эффективная длина пода, м 22.3
ширина пода, м 6
полезная площадь пода, м2 122
полезная емкость печи, т 200
Размер блюмов:
сечение, мм 300x400; 250x300
длина, м 2,5... 5,5
Количество балок, шт.:
шагающих 3
неподвижных 3
Подъем шагающих балок, мм 240
Продольное перемещение балок, мм 300
Цикл шага с загрузкой и выдачей, с 34
Максимальная тепловая мощность, МДж/ч 120
Число зон автоматического регулирования 6
теплового режима
Теплота сгорания топлива (природный газ), 34,7
МДж/м3
Количество горелок, шт.:
сводовых “HTR” Bloom-2100 27
боковых “HTR” Bloom-1200 18 •
Удаление продуктов сгорания Дымосос—дымовая труба
Максимальный расход газа, м’/ч 3750
Максимальный расход воды на охлаждение, т/ч 200
Максимальная производительность, т/ч:
при холодном посаде 90
при горячем посаде 102
По сравнению с методикой, подробно описанной в п. 1.4.1, в кон-
кретном случае, помимо температур в теле металла, измеряли темпера-
туру среды в районе заготовки (над поверхностью, обращенной к сво-
ду печи) и применяли вторичный самопишущий прибор типа SE-460,
что позволило более качественно “прописать” температура в харак-
терных точках сечения заготовки. В ходе эксперимента подготовили
непрерывно-литую заготовку размерами 0,25 х 0,30 х 5,5 м из стали 45
и стали 70 К. Режим нагрева устанавливали в соответствии с действую-
щей технологической инструкцией. Результаты измерений показаны на
рис. 1.21, 1.22.
23
мм
т
Рис. 1.21. Динамика температур в характерных точках сечения заготовки размерами
0,25x0,30x5,5 м из стали 45:
▲- штатные термопары
Рис. 1.22. Изменение температур в ха-
рактерных точках заготовки размерами
0,250 х 0,300 м в печи стана 850 (сталь 70 К,
Р = 70 т/ч)
24
Таблица 1 7
Теплотехнические параметры нагревательной печи
стана 850 при нагреве кордовой стали
Параметр
Значение
Расход природного газа, м Уч 1549
Температура металла к концу нагрева, °C 1150
Температура дыма в конце методической зоны, °C 720
Температура подогрева воздушного дутья, °C 390
Производительность, т/ч 46,3
Удельный расход условного топлива, кг у.т/т 39.17
Термический КПД 0.59
Теплотехнические параметры нагревательной печи стана 850 при
нагреве кордовой стали приведены в табл. 1.7.
1.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИИ
НАГРЕВА СТАЛИ В КОЛЬЦЕВЫХ ПЕЧАХ
К нагреву металла в трубопрокатном и осепрокатном производст-
вах предъявляются повышенные требования с точки зрения получения
высококачественной конечной продукции. В этих производствах, как
правило, эксплуатируются кольцевые печи с механизированным вра-
щающимся подом. Они имеют ряд преимуществ по сравнению с други-
ми печами (методические толкательного типа, с шагающими балками
и шагающим подом). К таким преимуществам следует отнести: высо-
кую степень механизации и автоматизации, возможность достижения
высокого качества нагрева, сравнительно невысокий удельный расход
топлива (например, по сравнению с методическими толкательными),
малый угар и обезуглероживание, высокая напряженность активного
пода и т. д. То обстоятельство, что такие печи позволяют выполнять ка-
чественный нагрев перед пластической деформацией, явилось основной
причиной их широкого применения в различных металлургических теп-
лотехнологиях, а также в кузнечных цехах машиностроительных заводов
для нагрева крупных заготовок с целью получения из них поковок.
Объектами изучения явились кольцевые печи стана 250 попереч-
но-винтовой прокатки ДМК, предназначенные для нагрева и термооб-
работки осевых заготовок перед прокаткой и катаных осей.
Печи отапливаются природным газом с помощью комбинирован-
ных газомазутных горелок с глубиной регулирования производитель-
ности: для печи нагрева - 40... 130 м3/ч, печи нормализации (термиче-
ской обработки) - 20...40 м3/ч. Подача природного газа осуществляет-
ся автоматически в зависимости от заданной температуры печи по зо-
нам. Мазут предусмотрен в качестве резервного топлива. Коэффици-
ент расхода воздуха а = 1,05...1,15. Общий вид кольцевой печи пред-
ставлен на рис. 1.23, технические характеристики даны в табл. 1.8.
Для определения фактического температурного состояния метал-
ла в теплотехнологиях осепрокатного производства и установления
25
Рис. 1.23. Общий вид кольцевой печи осепрокатного стана 250
Рис. 1.24. Схема расположения
термодатчиков в цилиндрической
заготовке
Рис. 1.25. Схема закрепления тер-
модатчиков:
1 заготовка; 2 головка термодатчи-
ка; 3 алундовая засыпка; 4 алундо-
вая двухканальная изоляция: 5 алун-
довая замазка; 6 заварка; 7 спай по-
верхностной термопары
26
Таблица 1.8
Технические характеристики кольцевых печей
осепрокатного стана 250
Параметр Характеристика печи
нагрева нормализации
Производительность, т/ч:
при холодном посаде 40 25...27(30)
при горячем посаде - 30(23)
Размеры нагреваемых заготовок, м:
диаметр 0,23...0,24 —
(0,29...0,30)
длина 1,9...2,0 —
(0,89...0,90)
Число отапливаемых зон, шт. 4 4
Основные размеры печи, м:
общая длина по кладке 56,60 56,60
неотапливаемый участок методической 15,30 16,00
зоны
подогреваемый участок методической 10,85 12,20
зоны
первая сварочная зона 10,85 12,20
вторая сварочная зона 10,85 12,20
томильная зона 8,74 14,00
ширина пода 3,50 3,50
высота в свету 1,57 1,57
Число горелок в зоне, шт.:
методической 9 11
первой сварочной 9 10
второй сварочной 9 10
томильной 8 10
Распределение температур в зоне, °C:
методической 1100±10 870±10
первой сварочной 1200±10 870±10
второй сварочной 1250±10 870±10
томильной 1260±10 900±10
Расход газа на печь, м3/ч 1500...2000 800...1400
Температура подогрева воздуха в 250...350 250...350
рекуператоре, °C
взаимосвязи временных, температурных и теплотехнических парамет-
ров процесса была разработана методика проведения промышленных
экспериментов [5]. При проведении экспериментальных исследований
в качестве термодатчиков использовали термопары ХА стандартных
градуировок с диаметром электродов 0,5 и 1,2 мм. Схемы размещения
термопар и закрепления термодатчиков приведены на рис. 1.24, 1.25
соответственно. Укладка экспериментальных заготовок в печь нагрева
и осей в печь термообработки (нормализации) осуществлялась следую-
щим образом: заготовка или катаная ось с установленными и закреп-
ленными термодатчиками с помощью мостового крана помещалась на
рольганг перед загрузочным окном печи в момент, когда отверстие в
поду печи устанавливалось перед загрузочным окном. Снизу через от-
верстие в подине выводилась проволока диаметром 5 мм, которая про-
тягивалась до заготовки, и на ней закреплялся жгут с термопарами.
27
Загрузочный кран-хобот медленно проталкивал заготовку в печь, од-
новременно с этим жгут протягивался в отверстие в поду. После этого
жгут снизу разворачивался и концы термопар быстро закреплялись с
помощью разъемов на концах компенсационных проводов прибора
КСП-4. Результаты экспериментального исследования нагрева цилин-
дров различного диаметра приведены на рис. 1.26...1.30, причем иссле-
дования нагрева цилиндрических заготовок осуществлены как в условиях
эксплуатации печей после капитального ремонта либо в первые месяцы
пуска осепрокатного производства, так и в условиях длительной эксплуа-
тации печей, т. е. на деформированной подине (рис. 1.29, 1.30).
Из анализа приведенных результатов очевидно, что нагрев цилин-
дра диаметром 0,23 м и длиной 2,0 м (рис. 1.26), т. е. “неограниченно-
го”, практически симметричный. Динамика нагрева “короткого” ци-
линдра (диаметром 0,29 м и длиной 0,88...0,89 м) приведена на рис. 1.28,
из которого видно, что нагрев заготовки в печи является несимметрич-
ным, причем существенно выражено влияние теплообмена с торцов
заготовки.
Нагрев заготовок диаметром 0,27 м и длиной 1,75...2,0 м также
несимметричный, однако в этом случае теплообмен с торца цилиндра
практически не сказывается на внутреннем теплопоглощении метал-
лом.
Анализ рис. 1.29 и 1.30 показывает, что наибольшие температуры
имеют место на торцах заготовки и на участках поверхности, наиболее
Рис 1 26. Изменение температур по сечению осевой заготовки (ОСВ) диаметром 0,23 м
в кольцевой печи нагрева
28
удаленных от пода. Температуры оси заготовки и участков поверхно-
сти, соприкасающихся с подом или расположенных возле него, прак-
тически различаются на 10...20 градусов на протяжении всего периода
Рис. 1.27. Изменение температурного поля заготовки диаметром 0,29 м и дымовых га-
зов при нагреве перед прошивкой
Рис 1 28. Изменение температур по сечению осевой заготовки (ОСЛ) диаметром 0,27 м
в кольцевой печи нагрева
29
Рис. 1.29. Изменение температур по сечению осевой заготовки (ОСВ) диаметром 0,23 м
при нагреве в кольцевой печи с деформированной подиной:
------показания штатных термопар
Рис. 1.30. Изменение температур по сечению осевой заготовки (ОСЛ) диаметром 0,27 м
при нагреве в кольцевой печи с деформированной подиной
нагрева. Таким образом, можно сделать вывод о несимметричности
процесса нагрева заготовок относительно средней перпендикулярной
к поду плоскости при нагреве на деформированной подине.
30
ЛИТЕРАТУРА
1. Тепловое состояние слитка из среднеуглеродистой стали при его затвердева-
нии и охлаждении / В. И. Тимошпольский, Э. А. Гурвич, А. К. Голубченко и др. //
Металлургическая и горнорудная промышленность. - 1987. - № 3.
2. Промышленные теплотехнологий: Машиностроительное и металлургическое
производство: В 2 ч. 4.2 / А. П.Несенчук, В. И. Тимошпольский, Н. П. Подберезный и
др.; Под общ. ред. А. П. Несенчука, В. И. Тимошпольского. - Мн.: Выш. шк., 1997.
3. Тимошпольский В. И. Разработка режимов нагрева стальных заготовок в мето-
дических печах Днепровского металлургического комбината // Литье и металлургия. -
1998.-№3.
4. Тимошпольский В. И. Теплотехнологические основы металлургических процес-
сов и агрегатов высшего технического уровня. - Мн.: Навука i тэхжка, 1995.
5. Тимошпольский В. И., Трусова И. А., Пекарский М. Я. Кольцевые печи: Теория
и расчеты / Под общ. ред. В. И. Тимошпольского. - Мн.: Выш. шк., 1993.
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ
ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ЗАТВЕРДЕВАНИЯ И ОХЛАЖДЕНИЯ СЛИТКОВ
2.1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРОЦЕССОВ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ И ОХЛАЖДЕНИЯ
2.1.1. Общие сведения
Необходимость изучения процессов затвердевания и охлаждения
слитков определяется тем, что на основе их изучения для конкретных
случаев становится возможной реализация рациональных теплотехно-
логических процессов, обеспечивающих ресурсосбережение и получе-
ние слитков высокого качества.
Процессы затвердевания и охлаждения слитков сопровождаются
целым рядом различных явлений.
В период заполнения изложницы на процесс теплообмена сущест-
венное влияние оказывают гидродинамические условия течения метал-
ла. В общем случае характер течения может заметно сказаться на ходе
процесса формирования, а следовательно, и на качестве слитка.
После заполнения формы влияние вынужденной конвекции на ха-
рактер движения жидкого металла быстро прекращается. По мере ох-
лаждения слитка и приближения его температуры к температуре затвер-
девания естественная конвекция также затухает. Одновременно с этим
происходит нарастание твердой корки со стороны поверхности охлаж-
дения. С течением времени затвердевшая корка все более и более охла-
ждается, а температура жидкого ядра быстро приближается к темпера-
туре затвердевания. Начиная с некоторого момента, температура жид-
кого ядра слитка устанавливается на уровне, близком к температуре
фронта затвердевания.
Процесс затвердевания слитка усложняется переохлаждением кри-
сталлизующегося металла, а также тем, что кристаллизация сталей и
сплавов происходит в интервале температур.
При неравномерном распределении температуры по сечению затвер-
девающего слитка (в процессе его охлаждения) наличие интервала кри-
сталлизации неизбежно приводит к образованию двухфазной зоны, огра-
ниченной изотермами начала и конца процесса кристаллизации (темпе-
ратура ликвидуса tL и солидуса ts или ф4 и ГфОН на рис. 2.1, а и б) [1]. В
этой зоне одновременно присутствуют расплав и кристаллы. В преде-
лах двухфазной зоны выделяется теплота фазового превращения.
После затвердевания всего жидкого металла температура слитка
уменьшается во всем объеме одновременно, при этом температуры раз-
личных точек изменяются с неодинаковой скоростью. Охлаждение слит-
ка сопровождается процессом неравномерного по сечению нагрева из-
ложницы.
Термическая усадка слитка и расширение изложницы приводят к
образованию зазора между ними, величина которого заметно изменя-
32
Рис. 2.1. Схема затвердевания слитка и распределения температур в слитке и стенке
формы при отсутствии переохлаждения на границах фаз («) и при наличии переохлаж-
дения (б):
/ - стенка формы; II - полностью затвердевший слой : 111 кристаллизующийся слой: IV жидко-
твердая зона, V - жидкая фаза; IIIй • затвердевающая фаза (при температуре ниже /$); 1 Vй зона
зарождения центров кристаллизации
ется со временем. Термическое сопротивление зазора оказывает суще-
ственное влияние на интенсивность процесса теплообмена между слит-
ком и изложницей.
В процессе теплового взаимодействия слитка и изложницы проис-
ходит изменение всех физических коэффициентов, характерных для
явления теплообмена.
Схемы затвердевания слитка и распределение температур при ох-
лаждении приведены на рис. 2.1, на котором 6И (зона /) - толщина стен-
ки формы (кристаллизатора); 5заз - величина зазора между стенкой фор-
мы и затвердевшей частью слитка (зазор появляется из-за усадки ме-
талла при затвердевании); £ - затвердевшая часть слитка (зона II); е -
двухфазная зона (кристаллизующаяся часть слитка); /ж - температура
жидкости; Zn - температура поверхности слитка, 1'п и t"- температуры
стенки; /нар - температура охлаждающей среды (воздух). На рис. 2.1, а
показана схема затвердевания при отсутствии переохлаждения, т. е. в
том случае, когда начало и конец затвердевания соответствуют темпе-
ратурам tL и ts. При этом tL и ts оказываются точно на границах тол-
щины двухфазной зоны £. В пределах двухфазной зоны образуются зер-
на - кристаллы металла, которые растут подобно дереву и поэтому назы-
ваются дендритами. Количество образующихся зерен и скорость их роста
зависят от скорости охлаждения. Так, при затвердевании в изложнице вбли-
зи стен формы скорость охлаждения наибольшая: здесь зерен образуется
много, размер их небольшой. Ближе к центру изложницы скорость охлаж-
дения уменьшается и возникают более крупные зерна. Здесь образуются
крупные кристаллы продолговатой, вытянутой к оси слитка формы, ко-
торые называются столбчатыми. В центре слитка, где охлаждение проис-
ходит медленнее, образуются крупные зерна неправильной формы -
3 Зак. 5040
33
равноосные дендриты. Двухфазная зона состоит из твердой фазы - кри-
сталлов (зона III) - и жидкой фазы (зона IV).
При строгой постановке задачи затвердевания слитка необходи-
мо принять во внимание все особенности теплообмена между слитком
и изложницей. В частности, должны быть учтены выделение теплоты
кристаллизации в интервале температур, особенности механизма про-
цесса затвердевания сплавов, геометрические и физические свойства
слитка и изложницы, свойства зазора между ними, изменение зазора в
процессе охлаждения слитка и нагрева изложницы, изменение физиче-
ских коэффициентов материалов, термических напряжений и т. д.
2.1.2. Численные методы решения задач теплопроводности
Разностная схема и разностное решение [2]. Основные понятия чис-
ленных методов разберем на примере одномерного нестационарного
уравнения теплопроводности для пластины
Эг . Э2/ Л Л
СРЭт=ХЭ?’ 0<х</;
На границах пластины заданы граничные условия третьего рода
С . Э/
±^Ч” + ао/ “0о,/*
k °х Jx=qi
(2.1)
(2.2)
а начальное условие имеет вид
'Mt.o = 'oW- (2-3)
Искомой в задаче (2.1)...(2.3) является функция /(х,т), заданная в
непрерывной области
П = {0^х</}х{02т^ттах}.
При использовании численных методов в пространственной об-
ласти выбирается некоторое конечное число значений координаты
х2,..., X/ (узлы пространственной сетки), для временной переменной
также выбирается конечное число значений т0, Т|,...,Туу (узлы времен-
ной сетки). Цель - определение значений температуры в узлах про-
странственной сетки х, в моменты времени тл :
/” = /(^,тл), / = 1,...,7; л=0.ЛГ,
т. е. находятся значения искомой функции в дискретной области Дх
(рис. 2.2):
34
Для упрощения будем считать про-
странственное и временное разбиения
равномерными с шагами Ах и Ат: х,- =
= (/-1)Ах, Ах=//(/-1), / = 1,тл =
= иАт, Ат = ттах / N, п = 0, 1 ,..., N.
Для определения t" необходимо
иметь какие-то уравнения, и эти уравне-
ния следует получить из основной задачи (2.1)...(2.3).
Возьмем произвольный момент времени тл (только не начальный)
и произвольный узел х, (только не лежащий на границе, т. е. / * 1,1) и
обратимся к уравнению (2.1). Поставим задачу выразить производные
dz/Эт и Э2//дх2 в точке (д;-,тл) через значения функции t" в этой точке
и в некоторых соседних узлах сетки Пд^ Дт.
Используя определение производной, запишем:
dz
Эт
tn — //,~1 tn _ tn~^
= lim 1 ' = -i- ‘ - + б" (Дт),
Дт-»0 Дт Дт
(2.4)
где 8/ (Ат) - некоторая величина, стремящаяся к нулю при Ат —> 0.
Конечную разность t" - zf-1 называют “разностью назад” или левой
разностью.
Найдем выражение для З”(Ат), подставив в уравнение (2.4) t”~x с
помощью разложения в ряд Тейлора в точке (лу ,тл):
.л э
Ат2
I. 2
Тогда
tn tn~x
8'"(Дх)=Ш -Чг-
\дт), АТ
ГЭ2Г Ат ( Э3/^Ат2
М 2
При достаточно малом Ат выполняется неравенство
|б”(Ат)| < 4Ат, 4 = const. (2.5)
Условия типа (2.5) записывают в символическом виде: 8” (Ат) = 0(Ат).
Аналогичным образом можно построить аппроксимацию для вре-
менной производной с помощью разности вперед (или правой разно-
сти):
э/ z"+,-z"
Я =_К^ + О(ЛТ)- (2-6)
Л/ Дм
35
Запишем выражения для второй производной Э2г/Эх2 .Использо-
вав значения искомой функции l" в трех соседних узлах пространст-
венной сетки, будем иметь
= -2г" +г”|)/Дх2 +у"(Дх).
(2.7)
Для обоснования выражения (2.7) используем представление
и /Д, с помощью рядов Тейлора в точке ,тл):
t
п
/±1
Тогда получим
£-2г," + г,",
(Э4г W
М 12 +'
т. е. выражение (2.7) действительно дает оценку второй производной, а
для величины у J* при достаточно малых Ах выполняется неравенство
|у"| < Aito? или у" = (ХДл-2). (2.8)
Итак, подставив выражения для производных (2.4) и (2.7) в урав-
нение теплопроводности (2.1), получим
tn - /л-1
.Л..-+§“ = А + . (2.9)
Ат ср Ах2 J
Однако пользоваться соотношением (2.9) в качестве требуемого
уравнения для искомых значений t" нельзя, поскольку величины 6" и
у” зависят от производных высших порядков решения /(х.т) и неиз-
вестны. Следует, учитывая свойства (2.5) и (2.8), выбрать достаточно
малые Ат и Ах и пренебречь величинами 6?, у". Тогда получится урав-
нение
Ат
=А(<,-Х+^1)
Ar v '
ср’
(2.10)
Очевидно, что изменились неизвестные: в уравнении (2.9) они были
обозначены /,л, а в (2.10) - и". Это изменение обоснованно. Действи-
тельно, если бы мы знали значения величин 6Л и у* и решили урав-
нение (2.9), то получили бы точные значения температуры в узлах сет-
ки . Однако этими величинами пренебрегают и получают упрощен-
36
ное уравнение, при решении которого можно получить лишь прибли-
женные значения температуры, которые и обозначены и" (и-1 * t*). С
другой стороны, поскольку 6/ и у" малы, то значения и" будут не
слишком сильно отличаться от значений t".
Уравнение (2.10) можно записать для всех внутренних простран-
ственных узлов (л = 2, ... , N-1). Уравнения для «[’ и «"получим из
граничных условий (2.2). Простейший способ построения уравнений
для граничных узлов состоит в замене производных в уравнении (2.2)
разностными отношениями:
(2.И)
где хЗ = 0( Ах); X/ = 0(Ах).
Подставляя выражение (2.11) в уравнение (2.2) и пренебрегая ма-
лыми значениями величин xj и х”» приходим к уравнениям для гра-
ничных узлов:
« «2 Ц п * Ur “И/_1
L + a0M1 = ?0; V* Л +а/«/=^/. (2.12)
ZjLa> ИЛ
Наконец, для определения значений t ® в начальный момент време-
ни специальных уравнений составлять не надо, так как они находятся из
начального условия (2.3): = /0(aj) , поэтому uf = i = ,т. e.
t? определяем точно.
Теперь запишем всю систему уравнений для м" и разберемся в ее
структуре. При п = 0
t°='oW> < =
при л = 1,..., N
Х(«1л -M?yAx+aowf = qQi i = 1;
ц" -м""1 а / я л п \ ~ г <
~ — о (ц+i “2ц +Ц-1), i — 2,...,Z —1,
Ат Ах ' ’
-u^^^x+aiu" i = I.
(2.13)
(2.14)
Для наглядности будем отмечать узлы, значения и" в которых
определяются из системы уравнений (2.13), (2.14), на пространственно-
временной сетке (рис. 2.3). В начальный момент времени т0 = 0 (нижний
горизонтальный ряд) все значения и? вычисляются по начальному ус-
ловию (см. выражение (2.13)). В систему уравнений для следующего
момента времени (часто говорят “для следующего временного слоя”)
Т| = Ат входят только неизвестные ц1 для этого момента времени, обо-
значенные на рис. 2.3 символом “*”, и значения и? для предыдущего
37
Рис. 2.3. Пространственно-временная
сетка для определения значений и"
момента времени. Отмеченная особен-
ность справедлива для любого после-
дующего временного слоя. Поэтому
после определения и? из начального
условия надо решить систему (2.14)
при п = 1 и найти все и} (i =!,...,/) на
первом шаге по времени. Далее, зная
и-, следует решить систему (2.14) при
п = 2 и найти неизвестные и} на вто-
ром шаге по времени и т. д. Таким
образом, приближенные значения
температур и" определяются последовательно по временным шагам.
Дискретное множество называется пространственной сет-
кой, дискретное множество {тл}л_0 ~ временной сеткой, дискретное
множество (область) Од* Дт - пространственно-временной сеткой.
Совокупность значений t? =1(х{,тп) в узлах пространственно-вре-
менной сетки называется сеточной функцией точного решения. Сово-
купность приближенных значений и? называется сеточной функцией
разностного решения или просто разностным решением. Различие ме-
жду t" и и" называется погрешностью разностного (численного) ре-
шения. Эту погрешность обозначим
г" =t"-и".
Система алгебраических уравнений (2.13), (2.14), соответствующая
исходной дифференциальной задаче (2.1)...(2.3), называется разностной
схемой.
Из изложенного ясно, что при решении дифференциальных урав-
нений численными методами можно выделить следующие этапы: 1) за-
мена исходной области непрерывного изменения переменных простран-
ственно-временной сеткой; 2) построение разностной схемы; 3) реше-
ние системы разностных уравнений.
Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Основным требова-
нием к разностной схеме является стремление сеточной функции раз-
ностного решения и" к сеточной функции точного решения t" при
стремлении к нулю шагов по пространственной и временной коорди-
натам. Погрешность е" различна в разных узлах пространственно-вре-
менной сетки. Чтобы охарактеризовать погрешность во всей области
Од* Дт, вводят одно число, которое называют нормой погрешности и
обозначают ||е"|| . Нормы сеточных функций определяют по аналогии с
нормами функций непрерывных аргументов. Определим норму сеточ-
ной функции в дискретной области Од* Дт следующим образом:
kl=чт1е:'1-
(2.15)
38
Заметим, что возможны и другие математические трактовки нор-
мы. Например, можно использовать нормы вида
\1/2
7
Используя понятие нормы, сформулированное требование к раз-
ностной схеме можно записать в виде
.JsJ'l’0- <2,б>
Условие (2.15) называется условием сходимости разностной схе-
мы. Оно должно быть выполнено.
Погрешность ||е?|| может стремиться к нулю при измельчении сет-
ки с различной скоростью. Если при достаточно малых Дт и Дх выпол-
няется условие
|е"[ < С,Дтг + С2Дх'’ , (2.17)
то говорят, что разностная схема сходится со скоростью о(дтг + Дхр)
или порядок точности схемы равен г по временной ир по пространст-
венной переменной, т. е. понятие порядка точности характеризует асим-
птотическое поведение погрешности при измельчении сетки. В выра-
жении (2.17) Сь С2 - постоянные, не зависящие от Дт и Дх.
Требование сходимости приводит в свою очередь к требованию
выполнения для разностной схемы двух условий - аппроксимации и
устойчивости. Можно доказать, что при наличии аппроксимации и
устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на
понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого.
Вернемся к переходу от уравнения (2.9) для сеточной функции точ-
ного решения t" к разностному уравнению (2.10) для и" . Эти уравне-
ния различаются на величины 8/ и у", стремящиеся к нулю при Дт —> 0
и Дх —> 0 соответственно. Поэтому точные сеточные функции t" в об-
щем случае не удовлетворяют уравнениям для разностного решения, а
при подстановке t" в эти уравнения возникает некоторая невязка у" .
Для разностного уравнения (2.10) эта невязка определяется так:
(2.18)
Невязка у'1, которая возникает при подстановке сеточной функ-
ции точного решения в уравнение для разностного решения, называет-
39
ся погрешностью аппроксимации исходного дифференциального урав-
нения разностным уравнением. Эта невязка, как следует из соотноше-
ний для 5" и у", стремится к нулю при измельчении сетки:
|\|/?| = о(дт +Дх2).
Таким же образом определяются невязки для разностных уравне-
ний (2.12), которыми мы заменили точные граничны? условия:
tn -tn
Дх
+ aoz" -f-X^- + aozl = -^(Дх)
) \ °Х /.v=0
Аналогично V/ = -^Х/ •
Для характеристики погрешности аппроксимации всей разност-
ной схемы вводят ее норму ||\|/," [, определяемую, как и Це^Ц, из выраже-
ния (2.15).
Условие аппроксимации исходной дифференциальной задачи раз-
ностной схемой заключается в том, что погрешность аппроксимации
(2.18) должна стремиться к нулю при измельчении пространственно-
временной сетки:
lim jk|d| = O.
Дт-»О,Дх-»о11 II
(2.19)
Иначе говоря, различие между уравнениями разностной схемы и
точными уравнениями должно уменьшаться при уменьшении шагов Дт
и Дх. Однако при наличии аппроксимации решения могут быть не близ-
ки, если не выполняется условие устойчивости.
Если |р” || = О^Дт' + Дхр ), то говорят, что имеет место аппроксима-
ция с порядком г по времени и р по пространственной координате.
Подчеркнем, что погрешность аппроксимации не следует путать с
погрешностью разностного решения: первая характеризует различие
между уравнениями, вторая - различие между решениями этих уравне-
ний rf и и".
Из полученных выше результатов следует, что разностное уравне-
ние (2.10) аппроксимирует уравнение (2.1) с первым порядком по вре-
мени и вторым по координате. Разностные уравнения (2.12) аппрокси-
мируют граничные условия (2.2) с первым порядком по координате.
Поэтому в целом для разностной схемы (2.13), (2.14) ||v7|| = 0( Ат + А*).
Существуют различные способы построения разностных схем, для
которых выполняется условие аппроксимации. Выше мы использова-
Эг Эг Э2г
операторов —г в ис-
Эт Эх Эх"
ходной задаче выражениями, в которые входят значения сеточной функ-
ции t" и некоторые добавочные члены, стремящиеся к нулю при из-
мельчении сетки (§J‘, у", Хо, X/) • Эти добавочные члены называют по-
ли замену отдельных дифференциальных
40
грешностями аппроксимации соответствующих дифференциальных
операторов. Погрешность аппроксимации уравнения является в этом
случае алгебраической суммой погрешностей аппроксимации отдель-
ных операторов и также стремится к нулю при Дт —» 0 и Дх —> 0. Воз-
можны и другие пути построения разностных схем, некоторые из них
будут рассмотрены ниже. Если разностная схема уже построена каким-
либо путем, то проверить наличие аппроксимации и выяснить ее поря-
док можно, подставив в разностную схему сеточную функцию точного
решения г" и выполнив разложения в ряд Тейлора около точки ,тл),
для которой записано соответствующее разностное уравнение.
Перейдем теперь к условию устойчивости. Выполнение этого ус-
ловия необходимо для того, чтобы при достаточно малых погрешно-
стях аппроксимации у" можно было бы получить достаточно малые
погрешности разностного решения е,.
Понятие устойчивости связано с “поведением” погрешности е"
при Дт —> 0 и Дх —> 0. Как было отмечено выше, рассматриваемая раз-
ностная задача решается последовательно во времени, причем реше-
ние на (п - 1)-м слое используется для определения решения на и-м слое.
Погрешность ej на первом временном слое уже отлична от нуля и бу-
дет зависеть от у}. На втором временном слое погрешность £;2 опре-
деляется погрешностью на предыдущем слое е- и погрешностью ап-
проксимации \|/? • Таким образом, происходит как бы “перенос” по-
грешности разностного решения с предыдущего шага на текущий и ее
“усиление” с погрешностью аппроксимации.
Если схема не обладает устойчивостью, то погрешность увеличи-
вается по модулю и меняет знак при переходе от одного временного
слоя к следующему. Качественное поведение погрешности для неустой-
чивой схемы иллюстрирует рис. 2.4. В итоге к концу рассматриваемого
временного интервала ттах либо получается разностное решение wf , не
имеющее ничего общего с точными значениями температуры t", либо
разностное решение достигает столь больших значений, что происхо-
дит останов программы из-за переполнения порядка еще до достиже-
ния конца временного интервала.
При измельчении сетки в случае
неустойчивых схем погрешность не
уменьшается, несмотря на уменьшение
погрешности аппроксимации у" . Это
обстоятельство можно качественно
истолковать как неблагоприятный
результат уменьшения различий точ-
ных и разностных уравнений (невязок
\|/" ) и увеличения общего числа урав-
нений (при Дт —> 0 и Дх —> 0 число уз-
Рис. 2 4. Качественное поведение по-
грешности для неустойчивой схемы
лов сетки IN -> о®). Для устойчивых
схем такого роста погрешности не про-
4. Зак. 5040.
41
исходит. Величина остается ограниченной и уменьшается при умень-
шении погрешности аппроксимации несмотря на то что при измель-
чении пространственно-временной сетки увеличивается число решаемых
уравнений (число узлов IN). Таким образом, условие устойчивости мож-
но записать как условие выполнения неравенства
(2.20)
при достаточно малых Дх и Дт и постоянной В, не зависящей от Ах и Дт.
При более общей математической трактовке устойчивость рассмат-
ривается как свойство разностной схемы, которое заключается в том,
что малым изменениям правых частей в системе алгебраических урав-
нений разностной схемы соответствуют малые изменения разностного
решения. ♦
Если условие (2.20) выполняется при любом соотношении шагов
Дх и Дт, то схему называют безусловно устойчивой. Если устойчивость
имеет место лишь при условии выполнения определенного соотноше-
ния шагов по пространственной координате и по времени, то схему
называют условно устойчивой.
Рассмотрим связь между аппроксимацией, устойчивостью и схо-
димостью. При наличии аппроксимации (условие (2.19)) и устойчиво-
сти (условие (2.20)) всегда имеет место и сходимость. Действительно,
из условия аппроксимации
lim М| = 0,
Дт-*0,Дх->()11 I'
а из условия устойчивости
1Ф+11.
но тогда
т. е. разностное решение сходится к точному, причем порядок точно-
сти схемы совпадает с порядком аппроксимации.
Явная и неявная схемы. Для решения нестационарных одномер-
ных задач теплопроводности можно построить большое число разно-
стных схем. Однако мы рассмотрим только те разностные схемы, важ-
ность которых подтверждена вычислительной практикой.
В связи с наличием в нестационарном уравнении теплопроводно-
сти двух дифференциальных операторов - по временной и пространст-
венной переменным - различают два вида схем: явные и неявные. Рас-
смотрим особенности этих схем на примере решения одномерной не-
стационарной задачи (2.1)...(2.3) на равномерных пространственной и
временной сетках (см. рис. 2.2).
42
Разностную схему для определения разностного решения будем по-
прежнему строить, заменяя в уравнении (2.1) и граничных условиях (2.2),
(2.3) производные конечными разностями. Рассмотрим аппроксимацию
производной по времени. В принципе для построения соотношений,
аппроксимирующих временную производную, в п-й момент времени
можно использовать значения температур в различные моменты вре-
мени: t", t"~1, г'1-2,... Однако на практике в подавляющем большинстве
случаев используются только значения температуры в п-й и (и - 1)-й
моменты времени. При этом наибольшее распространение получили
два случая. В первом случае при аппроксимации используются только
значения температуры для искомого и-го момента времени:
Э2<
Эх2 Дх2
а во втором - только значения температуры для предыдущего (п - 1)-го
момента времени:
Э2/ .
Эх2 Дх2
Соответственно получают два различных разностных уравнения,
аппроксимирующих уравнение теплопроводности (2.1):
ср^- = А.(^-2,Г+/Д,) (2.21)
И
fn /1-1 л
<2'и>
Для аппроксимации граничных условий (2.2) пока воспользуемся
простейшим способом замены производных по координате правой и
левой разностями. Соответственно получим:
tn -tn
-A.JL—L+ao,”=<7O; <2-23>
Дх
tn -fn
+ (2.24)
Ax
Начальное условие для разностной схемы задается точным образом:
/,° = 75(х„), п = 1,...,1. (2.25)
Уравнение (2.21) или (2.22) вместе с уравнениями (2.23)...(2.25) об-
разует разностные схемы, позволяющие найти сеточную функцию .
Рассмотрим, в чем заключается принципиальная разница между схема-
ми, использующими уравнения (2.21) и (2.22).
43
Уравнение (2.22) позволяет выразить в явном виде неизвестное
значение /" сеточной функции на следующем временном слое п через
известные значения сеточной функции на предыдущем (п - 1)-м слое:
г," = аДт^1 -2z"*‘ + z"*1 • (2.26)
Так как в начальный момент времени значения t” заданы услови-
ем (2.25), по формуле (2.26) можно найти сначала для внутренних
узлов i = 2,...,/-1, а затем из граничных уравнений (2.23), (2.24) опре-
делить и t\. Аналогичная процедура проводится для отыскания се-
точной функции на втором временном слое и т. д.
Разностная схема (2.22)...(2.25) называется явной, так как позво-
ляет искомые значения сеточной функции t" в явном виде выразить
через найденные ранее значения . Алгоритм численного расчета по
явной схеме очень прост и легко программируется.
Перейдем к разностной схеме, заданной уравнениями (2.21),
(2.23)...(2.25). Здесь ситуация сложнее, поскольку в каждое уравнение
вида (2.21), кроме неизвестного значения для i-й пространственной
точки, входят еще два искомых значения сеточной функции /,"+1 и tln_l
для соседних (/-1)-й и (У+1)-й точек. Поэтому рассмотренный выше для
явной схемы прием получения явной формулы для неизвестного значе-
ния t” в этой ситуации не подходит. Система состоит из I - 2 уравне-
ний (2.21) для внутренних узлов и двух уравнений (2.23), (2.24), соот-
ветствующих граничным условиям. Всего имеем I уравнений относи-
тельно I неизвестных . Таким образом, в данном случае на каж-
дом временном слое значения сеточной функции определяются не
по явным формулам, а из решения системы I уравнений, поэтому рас-
смотренная разностная схема называется неявной. Эффективен алго-
ритм решения системы уравнений (2.21), (2.23), (2.24).
На первый взгляд явная схема предпочтительнее, так как она име-
ет такой же порядок аппроксимации 0(Дт + Дх) , как и неявная, но не
требует решения на каждом шаге по времени систем I уравнений. Од-
нако более подробный анализ показывает, что явная схема условно
устойчивая, т. е. устойчивая при определенном ограничении на вели-
чину шага по времени Дт. Условие устойчивости для явной схемы
(2.22)...(2.24) имеет вид
At < Atycr = A?/(2zi). (2.27)
Из условия устойчивости следует, что измельчение пространствен-
ной сетки должно сопровождаться измельчением временной сетки.
Например, при увеличении числа пространственных узлов I в 4 раза
требуется увеличить число шагов по времени в 16 раз. Необходимость
соблюдения условия (2.27) приводит к тому, что при определении шага
по времени для решения реальной нестационарной задачи мы не мо-
44
жем исходить только из характера протекания во времени изучаемого
физического процесса. Это в ряде случаев приводит к неприемлемым
затратам машинного времени. Кроме того, при неоправданно большом
числе временных шагов может начать проявляться погрешность округ-
ления, возникающая в ЭВМ при реализации арифметических опера-
ций.
Неявная схема (2.21) безусловно устойчивая, т. е. явление неустой-
чивости не возникает при любых значениях Дт. Поэтому при решении
задачи по неявной схеме значение шага по времени задают только из
соображений обеспечения требуемой погрешности численного реше-
ния.
Проиллюстрируем механизм возникновения неустойчивости при
расчете по явной схеме на примере плоской стенки без источников теп-
лоты. Предположим, что начальная температура стенки равна нулю во
всех точках пространственной сетки, кроме одной точки с номером i = к
(рис. 2.5): t,° =0, i = i*k; t® = l.
Пусть Дх = 1, а = 1. Выберем Дт = 1, т. е. величина шага вдвое
превышает условие устойчивости (2.27). Расчет по явной схеме ведется
по формуле (2.26), которая в данном случае записывается в виде
Выполнив расчет, получим следующие данные:
Номер п шага по времени Номер точки по пространственной координате
к -2 к-\ к к- 1 к - 2
0 0 0 1 1 0
1 0 1 — 1 1 0
2 1 -2 3 -2 1
Из рис. 2.5 видно, что получается разностное решение с возрас-
тающими от слоя к слою значениями |//’|, не имеющее ничего общего с
точным решением, представляющим функцию, которая принимает толь-
ко положительные значения и убывает в точке с номером к. “Разболт-
Рис 2 5 Механизм возникновения неустойчиво-
сти при расчете по явной схеме на примере пло-
ской стенки без источников теплоты (рассмот-
рен на пространственной сетке)
45
ка” началась из-за того, что температура t[ “упала” в отрицательную
область и стала меньше, чем температуры соседних точек, что противоре-
чит физическому смыслу. Нетрудно убедиться, что при расчете на границе
устойчивости с шагом Ат = 0,5 получим = 0,5, t[. = 0, = 0,5, т. е.
все температуры положительны и не превышают температур соответ-
ствующих им соседних точек на предыдущем временном слое. Даль-
нейший расчет с шагом Ат = 0,5 привел бы к получению колеблющего-
ся решения /" с убывающей нормой ||z,”||.
Расчет же по неявной схеме при любом Ат дает решение, правиль-
но отражающее качественный характер изменения температуры.
Рассмотренному различию в поведении решений, полученных по
явной и неявной схемам, можно дать следующее физическое объясне-
ние. При расчете по явной и неявной схемам ггоедполагается, что функ-
ция меняется линейно на интервале [хл_!,т„], но значение производ-
ной по времени при явной схеме вычисляется по значениям искомой
функции в начале временного интервала, поэтому приращение t" - t?~l
искомой функции не зависит от получаемых значений, а абсолютная
величина этого приращения пропорциональна шагу (см. формулу
(2.26)). В результате при некотором критическом шаге Ат мы можем
получить новые значения , противоречащие физическому смыслу
задачи, как это и было в рассмотренном примере. В неявной же схеме
приращение t" - Г,"-1 зависит от всех значений t" на новом временном
слое, т. е. имеется как бы “обратная связь”, не позволяющая получать
абсурдные приращения сеточной функции. Например, при решении
задачи нагрева тела внутренними источниками теплоты по неявной
схеме при любом Ат получается решение с температурами, не превы-
шающими стационарных значений.
Можно построить разностную схему, являющуюся линейной ком-
бинацией явной и неявной схем с весовыми коэффициентами а и 1 - а:
*2'-" +''-0+7х(^‘ + 'м)
а Ат Дх ' ' Ах х '
Эту схему называют схемой с весами. Видно, что она при а * 0 неяв-
ная, так как содержит в правой части искомые значения /?+1, на
новом временном слое. Чтобы отличить неявную схему (2.21), послед-
нюю называют чисто неявной.
Схема с весами безусловно устойчива при а > 1 / 2, а при а < 1 / 2
условие устойчивости имеет вид
2а(1-2а) '
Кроме предельных случаев явной (а = 0) и чисто неявной (о = 1)
схем, достаточно часто применяют схему с весом а = 1/2, назыг.чемую
схемой Кранка-Николсона. Эта схема имеет более высокий (второй)
46
порядок аппроксимации по времени: ||У/‘ | = О^Дт2 + Ах~), а также явля-
ется безусловно устойчивой.
2.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДЛЯ СОВМЕЩЕННОГО ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
ПРОЦЕССА ПОДГОТОВКИ СЛИТКА К ПРОКАТКЕ
Анализ современных методов исследования высокотемпературных
теплотехнологий показывает, что изучение процессов затвердевания и
охлаждения слитков требует дальнейшего развития и совершенствова-
ния сточки зрения как разработки ресурсосберегающих теплотехноло-
гий, так и дальнейшего управления циклом производства слитков и
заготовок от выплавки до разливки. Огромное значение здесь приоб-
ретает использование методов математического моделирования как
основы для научного обоснования энерго- и ресурсосберегающих теп-
лотехнологических процессов.
Имеющийся в арсенале ученых-металлургов современный матема-
тический аппарат позволяет успешно осуществлять его реализацию для
изучения вопросов теплового переноса в слитках и заготовках при их
затвердевании, охлаждении и нагреве, а также управлять этими про-
цессами. В связи с изложенным представляют интерес теоретические
разработки в данном направлении, в частности влияние различных
факторов на закономерности изменения теплового состояния слитка
от разливки до прокатки.
Авторами данного учебника дополнены известные теоретические
разработки и вместе с тем созданы новые теоретические предпосылки
для моделирования высокотемпературных процессов тепломассопере-
носа при затвердевании, охлаждении и нагреве крупных слитков. Ра-
нее на примере листовых и цилиндрических слитков проанализирова-
ны качественные и количественные закономерности совмещенного те-
плотехнологического процесса “затвердевание в изложнице - охлаж-
дение на воздухе - нагрев в колодце” [3]. Однако приведенная матема-
тическая модель, являясь одномерной, не включает расчет напряжений
и деформаций при охлаждении и нагреве слитка, имеющих важное прак-
тическое значение, и не учитывает геометрию слитка.
Разработка качественной математической модели стала возмож-
ной после проведения описанного ранее (§ 1.2) промышленного экспе-
римента с термометрированием затвердевающего 8-тонного слитка из
осевой стали.
Ниже рассматривается двухмерная математическая модель совме-
щенного теплотехнологического процесса “затвердевание - охлажде-
ние - нагрев”, включающая расчет термических напряжений. Двухмер-
ная модель обоснованна при решении задачи для горизонтального сече-
ния слитка (рис. 2.6), которое находится между 1/3 и 1/2 высоты, считая
от основания изложницы, где, как показано в работе [4], практически
отсутствуют температурные градиенты по вертикали.
47
Put 2 6. Схема затвердевания блюминго-
вого слитка в изложнице:
/ - жидкое ядро. 2 - двухфазная зона. 3 - корка,
4 - газовый зазор. 5 - неметаллическая прослой-
ка. 6 - изложница
Модель имеет следующий вид:
z. ,^дТЛ д L д7[>
“ ^1’ ^1т=0 “ ^02 ;
= 0
х=0
ЭТ1
дх
= 0;
= 0;
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
\ °У)
(2.35)
где индексы “ 1 ”, “2”, “в” относятся к слитку, изложнице и внешней сре-
де; р. с, X, Т- соответственно плотность, теплоемкость, теплопровод-
48
ность и температура; Г01 - температура заливаемого металла; Г02 - тем-
пература изложницы в начальный момент времени; /| , /2 - половина
толщины сечения слитка, выбираемая соответственно по осям ОХ и OY;
d - толщина стенки изложницы; алс - коэффициент лучистого тепло-
обмена между внешней поверхностью изложницы и внешней средой.
Под С|(Г) понимается эффективная теплоемкость, учитывающая
выделение скрытой теплоты затвердевания в интервале температур [5]:
T<TS-
где
^(Л = кэ=<ч(П-Л Г5<т<тд;
[сж(Т); T>Tt;
(2.36)
(2.37)
\|/ - относительное количество твердой фазы в объеме двухфазной зоны;
т> 1- показатель, зависящий от содержания углерода в слитке. Осно-
вываясь на данных работы [5], примем т = 1. Значения рь Xj в уравне-
нии (2.28) определяются следующим образом:
Ртв> T<TS\
Pi =«1-¥ХРж -Рт);
(2.38)
К., T<TS;
А., -
(1-у)(Хж-Хт); TS<,T<TL,
Лж. rL,
(2.39)
где ртв, рж, ХгВ, X* - плотность и теплопроводность соответственно твер-
дой и жидкой фаз.
Под а в уравнениях (2.33) и (2.34) понимается коэффициент тепло-
обмена между слитком и рабочей поверхностью изложницы.
В соответствии с работой [6] пренебрегаем конвекцией в зазоре и
контактной тепловой проводимостью через зазор между слитком и из-
ложницей. Рассматривая только лучистую составляющую теплообме-
на, записываем:
f/ т\4 / \4>
а Ш - -5-
KiooJ UooJ
а = ----—------- + а
(2.40)
где а - параметр, зависящий от конкретных условий литья и требую-
щий теоретико-экспериментальной идентификации.
Ts < Т< тй
,Рж> 7'->
49
Математическая модель для описания процессов транспортиров-
ки и нагрева слитка в ячейке колодца имеет следующий вид:
c(Dp(Dy = у [ Х(Т) у)+у Г КПу1;
Эх Эх< Эх; ЭД ду)
Ч=о=4
3Z =о; & =0;
Эх х=о ду у=0
= ак1(Т-Т)-С1(Т4-Т4);
Х=/1
№ = ак2(Т-Т)-а2(Т4-Т4),
у*
№
Эх
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
где Т-температура воздуха при транспортировке и печного простран-
ства на стадии нагрева; акЬ ак2 - коэффициенты теплообмена конвек-
цией в направлении осей ОХ и OY соответственно; ab а2 - коэффициен-
ты излучения в направлении осей ОХ и OY. Для процесса транспорти-
ровки принимаем (Хк = 10 Вт/(м2 • К).
Учет окалинообразования при транспортировке в соответствии с
рекомендациями, данными в работе [7], выполняется по выражению
SB = 3,4 • 104 ехр(-1620 / Т„) + 6,7 • 1 О'4 ехр (-3150 / ) 1пт,
где $в - толщина “воздушной” окалины; т - время транспортировки.
Для оценки динамики роста окалины при нагреве слитка в печи
используется численное решение дифференциального уравнения [7]
Записанная двухмерная модель задачи теплопроводности позво-
ляет прогнозировать тепловые процессы, происходящие в слитке, а так-
же динамику окалинообразования на его поверхности.
При построении математической модели для расчета термических
напряжений и деформаций учитываем, что формирование напряжен-
ного состояния происходит в условиях изменения толщины корки во
времени, сложного характера теплообмена и других процессов, т. е. в
соответствии с терминологией, принятой в работе [8], в условиях слож-
ного нагружения. Расчет напряжений и деформаций требует учета ис-
тории нагружения, что достаточно полно можно осуществить в рам-
ках теории течения [9].
50
Система уравнений для расчета напряжений и деформаций имеет
вид:
Да,у = 0; (2.46)
Де,7 = Де + tef} + Де + 8,7Де г; (2.47)
-Де*,,jn + Де*,. »>+ ^m.jk ~ tenj'ik = 0; (2.48)
ЛсуП(= Л/]. (249)
Для компонент приращения упругой деформации Де,у и темпера-
турного расширения Дег с учетом зависимости механических свойств
от температуры можно записать [9]:
т
= + Зц8,у Да) + 16,7-
jz а 1
а = а,у / 3.
Приращение пластической деформации
Де,? = + г^а,, 7)Д7)5;7,
где
°' V 2 ’ Su~ ®<7 - [ р
I ZO • I
1
Е{Т)}
(2.50)
(2.51)
(2-52)
Касательный модуль Ек и коэффициент температурных расширений
р являются функциями температуры и интенсивности напряжений а,.
В выражениях (2.59)...(2.61) |1- коэффициент Пуассона, Е- модуль
упругости, вычисляемый по экспериментально полученным диаграм-
мам а - е.
Приращение деформации ползучести
Де? = У,уДт .
(2.53)
Существует множество вариантов теории ползучести, однако в
данной главе исследуются лишь уже применяемые для расчета напря-
жений в стальных слитках теории Максвелла [10] и Нортона [11], со-
гласно которым скорость ползучести имеет вид
v,y=|p(7)af,<n-'^. (2.54)
51
Предположим, что поле температур в растущей корке одномер-
но. Тогда задача сводится к отысканию напряжений и деформаций в
пластине переменной толщины. Это позволяет существенно упростить
систему уравнений (2.46)...(2.54), используя модель плоского напряжен-
ного состояния.
2.3. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУР И НАПРЯЖЕНИЙ В СЛИТКЕ
2.3.1. Построение разностной схемы
Горизонтальную область слитка разобьем на сетку, представлен-
ную на рис. 2.7.
Решение задачи (2.28)...(2.45) выполняется локально-одномерным
методом по неявной конечно-разностной схеме с равномерной сеткой:
для слитка
^='А; = / = у = о,...,М;
для широкой грани изложницы
= iht; у} = Д; i = J = О,..., N;
для узкой грани изложницы
x,=ih; yj = jh2', i = J = 0,...,W2>
где h\ - шаг по координате X для слитка; h2 - шаг по координате Y для
слитка; h - шаг по координате X для узкой и по координате Y для ши-
рокой грани изложницы; - количество узлов по оси ОХ в слитке; W-
количество узлов по толщине стенки изложницы; N = N\ + N - количест-
во узлов по широкой грани изложницы.
Разностная схема как для слитка, так и для изложницы имеет один
и тот же вид:
'т’Аг+1 _ ’j'k
______-JL
,jP,j Ат
'рА:+1 >т'к+\ 1т'к+\ гт'к+\
7<+1>; 7 у у к 7 У *’-1J
й2 й2
где X/+l/2 = 0,5(Х, + Х,+1); = 0,5(Х, - Xy-j).
Используя локально-одномерный метод, суть которого состоит в
последовательной прогонке по каждой из координат, вначале приве-
дем схему к следующему виду:
по координате X
4У,-\ -с,У, + в,У,+ \ =~Fi, / = 1....,^ -1;
52
Рис. 2.7. Схема сеточной области:
□ - узлы сетки широкой грани изложницы; х -
то же, но узкой границы изложницы; • - узлы
сетки слитка
Рис. 2.8. Сравнение расчетной и экспе-
риментальной динамики температур
охлаждаемого блюмингового слитка:
------эксперимент; —о—о— расчет
по координате Y
А^-С^ + В^ =-Fj, J =
и получим (для X):
\-l/2 D \+1/2
^,-1/2 р-с*. г - Р*с<*
hl hl Дт ’ ' " Дт * '
Далее решение проводится стандартным методом прогонки.
Для повышения точности математической модели процесса про-
водили ее теоретико-экспериментальную идентификацию путем отыс-
кания значений адаптивного параметра а в формуле (2.40), миними-
зирующего среднеквадратичное отклонение рассчитанных и измерен-
ных температур в слитке.
На рис. 2.8 представлены результаты сравнения эксперименталь-
ной и расчетной динамики температур. Идентифицируемая модель об-
ладает необходимой для дальнейших расчетов точностью: максималь-
ные расхождения расчетной и экспериментальной температур имеют
место в период снятия теплоты перегрева расплава над tL и составляют
2...3%. В последующие периоды охлаждения слитка рассогласование
расчетных и измеренных значений уменьшается, что позволяет выпол-
нять расчеты, связанные с транспортировкой раздетого слитка и на-
гревом его в колодце.
2.3.2. Расчет и анализ термических напряжений
Обычным приемом для расчета термических напряжений в затвер-
девающем слитке является построение конечно-элементной аппрокси-
мации для всей области затвердевания, включая зону незатвердевшего
53
расплава, где задают нулевой модуль упругости либо искусственно вво-
дят нулевые напряжения. Этот метод малоэффективен, особенно при
расчете напряжений на ранней стадии затвердевания, когда толщина
корки мала. Поэтому применен метод, основанный на использовании
растягивающейся во времени координатной сетки [9]. Суть его сводит-
ся к изменению координат узлов сетки со временем пропорционально
изменению толщины корки. При этом задача решается лишь в преде-
лах затвердевшей части слитка с постоянным числом узлов сетки по ее
толщине. Дополнительное преимущество предлагаемого метода заклю-
чается в возможности сгущения сетки в области максимальных измене-
ний теплофизических и механических свойств. При этом достоверные
данные о свойствах металла в условиях высоких температур на его за-
твердевающей поверхности отсутствуют, и можно получить лишь ка-
чественную картину термонапряженного состояния. Далее решается одно-
мерная задача для наиболее характерного сечения корки слитка, а затем
при охлаждении и нагреве полностью затвердевшего слитка рассматрива-
ется задача обобщенного плоско-деформированного состояния.
Для решения исходной системы уравнений (2.46)...(2.54) использо-
ван метод конечных элементов. Время релаксации является функцией
температуры остывающего слитка и определяется так:
т(7) = 9 • 108 е °’0114Г.
С целью выбора термодеформационной модели, адекватно опи-
сывающей напряженно-деформированное состояние слитков при теп-
ловой обработке, выполнен сравнительный анализ термических напря-
жений.
Расчетные поля напряжений в начальной стадии затвердевания
слитка показаны на рис. 2.9, из которого видно, что решения, получен-
ные в упругом и упругопластическом приближениях, практически со-
впадают. Это объясняется малостью самих напряжений, которые лишь
незначительно превышают предел упругости, несмотря на высокие тем-
пературы. Учет вязкой составляющей значительно занижает напряже-
ния, причем решения, полученные по двум исследуемым моделям вяз-
коупругого поведения материала, весьма близки друг к другу.
Рис 2.9. Напряжения в корочке за-
твердевающего слитка (т = 2060 с) :
--------упругая модель;---------упру-
гопластическая модель, ----- вязко-
упругая модель по данным работы [10].
-х-х- вязкоупругая модель поданным ра-
боты [II], -о-о- вязкоупругая модель
54
Дальнейший анализ термонапряжений в слитке, проведенный на
упругой, упругопластической, вязкоупругой и вязкоупругопластиче-
ской моделях (рис. 2.10...2.12), показал, что на всех стадиях моделирова-
ния совмещенного процесса учет пластических эффектов не уточняет вяз-
коупругую модель: всюду результаты расчетов, полученные на вязкоуп-
ругой и вязкоупругопластической моделях, практически совпадают. При
холодном посаде слитка в печь пластичность сказывается в диапазоне тем-
ператур 200... 1200 °C, а при t > 1200 °C пластичность становится незначи-
тельной, но сильное влияние оказывает вязкость (рис. 2.13, 2.14). Таким
образом, решение термодеформационной задачи при затвердевании слитка
в изложнице и в ячейке нагревательного колодца (при горячем посаде)
целесообразно проводить с использованием вязкоупругой модели, а при
нагреве с холодного посада - упругопластической.
Анализ термических напряжений, значения которых представле-
ны на рис. 2.15,2.16, указывает на преимущества нагрева неполностью
затвердевших слитков с точки зрения прочности слитка.
Рис. 2.10. Напряжения в затверде-
вающем слитке перед смыканием
корочек (т = 8400с):
-------упругая модель;----упруго-
пластическая модель;------вязкоупру-
гая модель; -о-о- вязкоупругопласти-
ческая модель
Рис. 2.11. Напряжения в слитке (т = 14 230 с):
------упругая модель;-------упругопластичес-
кая модель, - - - вязкоупругая модель, -о-о-
вязкоупругопластическая модель
Рис 2.12. Напряжения в слитке (т = 15 500 с):
-------упругая модель.---------упругоплас-
тическая модель. - - - вязкоупругая модель,
-о-о- вязкоупругопластическая модель
55
Рис. 2.13. Напряжения в слитке при хо-
лодном посаде (т = 1280 с):
-------упругая и вязкоупругая модель,-
упругопластическая модель
Рис. 2.14. Напряжения в слитке при хо-
лодном посаде (т = 13 760 с):
------упругая модель;---------упругоплас-
тическая модель;------вязкоупругая модель,
-о-о- вязкоупругопластическая модель
Рис. 2.15. Напряжения в слитке в момент
полного затвердевания (т = 8400 с, вязко-
упругая модель):
1 - в изложнице; 2 - в ячейке нагревательного
колодца
Рис. 2.16. Напряжения в слитке в момент
охлаждения на воздухе (вязкоупругая мо-
дель):
/ - при затвердевании в изложнице; 2 - при за-
твердевании в ячейке нагревательного колодца
Таким образом, анализ применения различных термодеформаци-
онных моделей к процессам затвердевания и нагрева металла позволя-
ет сделать следующие выводы:
1) при построении деформационной модели затвердевания слитка
и нагрева его с горячего посада целесообразно использовать представ-
ление о вязкоупругом поведении материала;
2) для установления остаточных напряжений в стальном слитке
(заготовке) при нагреве с холодного посада при температуре до 1200 °C
целесообразно использование упругопластической модели;
56
3) с точки зрения опасности возникновения трещин в слитке пред-
почтительным является технологически!! режим, который предусмат-
ривает нагрев не полностью затвердевшего слитка.
2.4. РАСЧЕТ СОВМЕЩЕННОГО ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
ПРОЦЕССА НА ПРИМЕРЕ БЛЮМИНГОВОГО СЛИТКА
2.4.1. Теплофизический анализ совмещенного процесса
В последние годы рядом институтов и предприятий страны и зару-
бежными фирмами проведены исследования с целью поиска оптималь-
ных режимов нагрева слитка с незатвердевшей сердцевиной. В приве-
денных разработках температуру и расход топлива в колодце задают,
исходя из теплового состояния слитка в момент посада его в нагрева-
тельное устройство. При этом должны выполняться следующие усло-
вия [12]: перепад температур по сечению слитка находится в пределах,
обеспечивающих возможность прокатки; к моменту выдачи слитка из
колодца заканчивается полное затвердевание его сердцевины; темпе-
ратура поверхности слитка при выдаче имеет заданное значение.
К вышеизложенному следует добавить требование отсутствия ли-
квационных зон, трещин и других дефектов, которые могут иметь ме-
сто при нагреве слитков с жидкой сердцевиной.
В соответствии с теплотехнологическими условиями производст-
ва блюминговых слитков нагрев их в ячейках регенеративных либо
рекуперативных колодцев осуществляется с горячего посада. При этом
температура поверхности слитка должна быть не ниже 700 °C. С уче-
том отмеченных условий выполнена серия теплотехнических расчетов
совмещенного процесса.
На рис. 2.17 представлена рассчитанная на основе идентифициро-
ванной модели динамика изменения температур в характерных точках
8-тонного слитка из среднеуглеродистой стали (сталь 45) в процессе
его охлаждения в чугунной изложнице, при транспортировке к нагрева-
тельному колодцу и последующем нагреве при различном начальном
объеме жидкой фазы в слитке. На рисунке приняты следующие обозна-
чения: гц - температура центра; Ггр - температура грани; гу - температура
угла; гпеч - температура колодца; т0 - время от конца разливки до поса-
да в колодец; ти - время нагрева слитка в колодце до fq, = 1250 °C; ин-
декс “1” над т относится к слитку, имеющему при посаде в колодец 30%
жидкой фазы; “2” - 20%; “3” - 1 б%; “4” - 0%; “5” - затвердевший слиток.
Из графиков, приведенных на рис. 2.17, следует:
в зависимости от времени выдержки в изложнице температурный
перепад по слитку в период его затвердевания растет, а после затверде-
вания падает, в то время как разность температур между углом и гра-
нью на всех этапах охлаждения слитка имеет тенденцию к снижению;
характер изменения температурных кривых показывает, что судить
о теплосодержании слитка в момент посада в колодец можно только
по временным этапам нахождения его в изложнице и транспортировки
57
1600
Рис. 2.17. Динамика совмещенного теплотехнологического процесса
в нагревательное устройство. Измеренная температура грани или угла
не отражает полностью тепловое состояние слитка, так как в разное (в
зависимости от транспортировки) время она может иметь одинаковые
значения. Это принципиальное замечание было учтено при разработке
рациональных режимов нагрева слитков горячего посада по двухсту-
пенчатому режиму, когда тепловая обработка слитка сначала осуще-
ствляется при постоянной мощности нагревательной ячейки, а с мо-
мента выхода ее на контрольную температуру следует процесс томле-
ния слитка до заданных выходных параметров;
в процессе нагрева слитка при одном и том же температурном ре-
жиме колодца видно, что наибольшая скорость нагрева наблюдается в
углах слитка. Они перегреваются по сравнению с гранью и иногда до-
стигают температур, близких к температурам пережога, что может при-
вести к браку при прокатке.
В дальнейшем была выполнена серия комплексных теплотехниче-
ских расчетов нагрева слитка стали ОСВ с целью установления тепло-
вых и временных параметров процесса. При этом принимали следую-
щие исходные данные нагревательной ячейки регенеративного колод-
ца блюминга 1150 ДМК. Размеры камеры 4,0 х 2,0 м, высота 3,17 м,
размеры горизонтального сечения слитка 0,655 х 0,736 м, высота слит-
ка 2,8 м, масса слитка 8,2 т, контрольная температура ячейки 1300 °C,
топливо - смесь доменного и природного газа с теплотой сгорания
gP = 4500 кДж/м3.
Результаты численных экспериментов представлены в виде номо-
грамм (рис. 2.18, 2.19).
58
Рис. 2.18. Номограмма для определения параметров совмещенного теплотехнологиче-
ского процесса
Рис. 2.19. Номограмма для определения теплотехнических характеристик нагреватель-
ной ячейки регенеративного колодца:
/ - Ч™ = 14.65 ГДж/ч; 2 - Мпм = 16.75.3- = 18,85, 4 - = 20,95,5 - = 23.05 ГДж/ч
59
2.4.2. Анализ номограммы для определения параметров
совмещенного теплотехнологического процесса
Номограмма позволяет определять: температурное состояние слит-
ка в момент раздевания и посада в нагревательное устройство; время
нагрева поверхности слитка до 1250 °C при имеющемся температурном
режиме колодца; температурное состояние слитка к моменту достиже-
ния поверхностью грани температуры 1250 °C; количество жидкой фазы
в зависимости от времени выдержки в изложнице; время полного за-
твердевания слитка в колодце при посаде его с жидкой сердцевиной и
заданном температурном режиме колодца; толщину окалины к концу
нагрева; температуру колодца к моменту достижения гранью темпера-
туры 1250 °C. Кроме вышеперечисленных, имеется еще одна важная ха-
рактеристика - критерий прочности (Ка = (ор - оп)/оп, гДе <*р - расчет-
ное напряжение; оп - предел прочности на разрыв), определяющий воз-
можность нарушения сплошности слитка в процессе охлаждения и на-
грева в печи.
На рис. 2.18: тразд - время с момента разливки до выемки слитка из
изложницы; тн - время нагрева слитка в колодце до = 1250 °C; т3.п -
время затвердевания слитка в колодце при посаде с жидкой сердцеви-
ной; - температура грани в момент посада в колодец; - конеч-
ная температура грани; ач - температура угла слитка в момент поса-
да в колодец; /у0Н - температура угла слитка при = 1250 °C; /”ач -
температура на оси слитка в момент посада; Z*0H - температура на оси
слитка при = 1250 °C; S0K-толщина окалины на поверхности слитка
в момент выдачи слитка из колодца; - критерий прочности.
Применительно к рассматриваемым условиям наиболее приемле-
мым является нагрев слитков, имеющих в момент посада 7...26% жид-
кой фазы. При этом выдача слитка под прокатку может осуществлять-
ся без традиционной выдержки. В период выхода температуры колод-
ца на контрольную время нагрева сокращается и составляет 74...86 мин.
Перепад температур между центром и гранью находится в пределах от
-50 до +120 °C, а между углом и гранью - от +25 до -10 °C; критерий
прочности имеет отрицательный знак, что гарантирует целостность
слитка к началу прокатки.
Приведенные данные позволяют сделать вывод о возможности
снижения контрольной температуры в ячейке при нагреве слитков с
незатвердевшей сердцевиной от 1300 до 1250 °C в зависимости от коли-
чества жидкой фазы.
Практическое применение номограммы (см. рис. 2.18) рассмотрим
на примере. Пусть слиток извлечен из изложницы через 214 мин (точ-
ка а). Чтобы определить вышеперечисленные параметры, поступаем сле-
дующим образом: из точки а проводим перпендикуляр к оси т до пере-
сечения его с линией тразд (точка 6), а через точку b - линию с - парал-
лельную оси т. Из точек пересечения этой линии со всеми кривыми про-
водим перпендикуляры к соответствующим осям и определяем: темпе-
60
ратура грани в момент раздевания слитка 924 °C, в момент посада в
ячейку 850 °C; температура угла в момент раздевания 780 °C, в момент
посада 712 °C; температура в центре слитка в момент раздевания 1180 °C,
в момент посада 1150 °C. В момент достижения гранью температуры
1250 °C температура угла 1295 °C, температура центра 1095 °C, время
нагрева грани до 1250 °C 116 мин, толщина печной окалины 2,36 мм,
температура печи 1310 °C, критерий прочности 0,32 (тенденция к обра-
зованию поверхностных трещин).
Как видим, при указанном температурном режиме печи (см.
рис. 2.18) к моменту достижения гранью температуры 1250 °C угол слит-
ка нагревается, а температура центра на 160 °C ниже температуры гра-
ни, т. е. такой нагрев неудовлетворителен.
2.4.3. Расчет нагрева слитков горячего посада
по методу тепловой диаграммы
(двухступенчатый температурно-тепловой режим)
Результаты теплового состояния слитка, представленные на номо-
грамме (см. рис. 2.18), положены в основу расчетов по обоснованию
реконструкции нагревательных ячеек при увеличении их габаритных
размеров с 4,0 х 2,0 м до 4,88 х 2,0 м для посада 8 слитков вместо 6. В
данном случае при установлении температур грани, ребра и центра слит-
ка появляется возможность, используя метод тепловой диаграммы
И. Д. Семикина [13], выполнить комплексный теплотехнический рас-
чет нагрева слитков в расширенной ячейке колодца.
Методика расчета нагревательной ячейки регенеративного колод-
ца следующая:
1) при заданных размерах ячейки колодца, слитка, температурном
поле (номограмма на рис. 2.18) определяем мощность холостого хода
ячейки Мхх;
2) исходя из известной мощности ячейки Л7обц(, находим рабочую
мощность (Л/Обш ~ ЛА.х) и удельную тепловую мощность т0;
3) методом последовательных приближений по известному значе-
нию /ио определяем температуру дыма в конце первого периода нагре-
ва (до выхода на контрольную температуру печи) /*он1, коэффициент
использования топлива Г|конЬ тепловой поток дКОН|, начальный тепло-
вой поток <?нач и средний тепловой поток за весь первый период нагре-
ва^;
4) вычисляем время нагрева слитка до выхода ячейки на контроль-
ную температуру, а также температуру поверхности и центра слитка;
5) продолжительность второго периода нагрева слитка определя-
ем по известной методике [13].
Результаты расчетов для действующих на ДМК расширенной и
нерасширенной ячеек приведены в табл. 2.1, из которой видно, что хотя
общая продолжительность нагрева в расширенных колодцах увеличи-
вается в среднем в 1,15...1,2 раза, однако производительность расши-
ренных колодцев по сравнению с нерасширенными растет, а удельный
61
Таблица 2 1
Результаты расчета нагрева слитков горячего посада
Параметр Температура поверхности в момент посада, °C Колодец
расширенный (8 слитков) нерасширенный (6 слитков)
Время нагрева, ч 750 3,121 2,650
800 2,850 4 2,400
850 2,310 1,964
Производительность, т 750 20,51 18,1
800 22,46 20,0
850 23,70 21,0
Удельный расход топли- 750 30,82 34,9
ва, кг у.т/т 800 28,10 31,6
850 22,80 23,9
Время выхода на контрольную 750 2,14 1,240
температуру, ч 800 1,49 0,869
850 0,99 0,434
Время выдержки при конт- 750 0,98 1,41
рольной температуре, ч 800 1,36 1,52
850 1,32 1,53
Температура поверхности в 750 1201 1169
момент выхода на контрольную 800 1201 1170
температуру, °C 850 1210 1170
Температура центра в 750 908 774
момент выхода на контроль- 800 908 764
ную температуру, °C 850 1016 1044
Температура печи в момент 750 1008 1053
посада слитков, °C 800 1030 1073 ‘
850 1046 1088
расход топлива снижается. Следует также отметить, что и требуемая
начальная температура расширенного колодца при посаде слитков с
одинаковой температурой снижается. Таким образом, можно сделать
вывод о целесообразности использования действующих расширенных
колодцев.
С целью обоснования целесообразности реконструкции нагрева-
тельной ячейки и обобщения данных по нагреву слитков при измене-
нии тепловой нагрузки ячейки от 14,65 до 23,05 ГДж/ч по разработан-
ной модели была составлена программа расчета на ЭВМ. Результаты
расчетов после соответствующей обработки и анализа основных пара-
метров обобщены в виде номограммы (см. рис. 2.19).
62
2.4.4. Анализ номограммы для определения
теплотехнических показателей нагревательной
ячейки регенеративного колодца
Номограмма, приведенная на рис. 2.19, построена применительно
к слиткам из среднеуглеродистой стали, нагреваемым в традиционных
(сплошная линия) и расширенных (штриховая линия) нагревательных
ячейках регенеративных колодцев блюминга 1150 ДМК. Максималь-
ная тепловая мощность ячеек изменяется от 14,65 до 23,05 ГДж/ч, в ка-
честве топлива используется смесь доменного и природного газов
( qp = 4,5 МДж/м3).
В зависимости от начального теплового состояния слитка в мо-
мент посада в ячейку (определяется временем т0 с момента заливки до
посада, а также максимальной тепловой мощностью ячейки Л/тах) мож-
но определить: требуемую начальную температуру нагревательной
ячейки в момент загрузки слитка время подъема Т| температуры ячей-
ки до заданной контрольной температуры (I период нагрева); общее
время тобщ пребывания слитка в ячейке, а значит, и время выдержки
т2 ~ тобщ ~ т1’ производительность Р нагревательной ячейки; удельный
расход условного топлива b на нагрев металла.
Номограмма состоит из четырех квадрантов, каждый из которых
позволяет определять один конкретный показатель. Снятие показаний
по номограмме ведут, начиная с первого квадранта, расположенного в
левой нижней части рисунка, а затем - против хода часовой стрелки по
всем остальным.
Алгоритм применения описанной номограммы рассмотрим на
конкретном примере. Пусть время посада слитка в традиционную ячей-
ку нагревательного колодца То = 4,0 ч, а максимальная мощность
Л/тах = 16,75 ГДж/ч. Тогда для определения требуемых параметров не-
обходимо:
выбрать на горизонтальной оси первого квадранта значение 4,0
(точка а) и провести из нее перпендикуляр до пересечения с кривой,
соответствующей заданной мощности (линия 2, точка Ь)\
провести горизонтальную прямую из точки b до пересечения с вер-
тикальной осью квадранта; точка пересечения определяет начальную
температуру камеры =1180 °C;
из точки начальной температуры камеры перейти по стрелке во
второй квадрант до пересечения с кривой времени разогрева (разгона)
ячейки до контрольной температуры и кривой общего времени разо-
грева; точки end соответствуют времени разгона и общему времени
разогрева при заданной максимальной мощности;
из точек cad провести перпендикуляры до пересечения с осью т;
полученные точки пересечения определяют время разгона Т| = 0,78 ч и
общее время разогрева тобщ = 2,5 ч;
пройти вверх по линии, соответствующей общему времени тОбЩ,
до пересечения с кривой производительности (третий квадрант, точка е)
и провести перпендикуляр из точки е к вертикальной оси Р. Получен-
ная точка соответствует производительности ячейки Р = 20 т/ч;
63
продолжить этот перпендикуляр влево в четвертый квадрант до
пересечения с кривой, соответствующей заданной мощности; опустив
перпендикуляр из полученной точки/на горизонтальную ось, найдем
искомый удельный расход условного топлива b = 12,5 кг у.т/т.
Необходимо отметить, что начальное тепловое состояние ячейки
колодца зависит от температуры посада слитка (определяется време-
нем посада т0) и мощности ячейки Мта*. С увеличением мощности тре-
буемая начальная температура ячейки t*™ возрастает. При постоян-
ной мощности ячейки ее требуемая начальная температура растет с
повышением температуры посада (см. рис. 2.19). Увеличение же мощ-
ности ячейки и температуры поверхности слитка (т. е. уменьшение вре-
мени посада) приводит к повышению производительности и снижению
удельного расхода топлива.
Приведенная номограмма позволяет выполнить сравнительный
анализ и оценить целесообразность нагрева слитков в расширенной
ячейке. Очевидно, что при одних и тех же условиях посада (одинако-
вые мощность ячейки и температура посада), несмотря на снижение
начальной температуры ячейки и увеличение общей продолжительно-
сти нагрева, производительность ячейки в расширенных колодцах рас-
тет при практически неизменном удельном расходе топлива. С другой
стороны, для нерасширенных колодцев при производительности менее
21 т/ч удельный расход топлива с ростом мощности увеличивается, а
при производительности свыше 21 т/ч - уменьшается. Для расширен-
ных колодцев такое явление наблюдается при производительности
Р = 32 т/ч.
Таким образом, по основным экономическим показателям исполь-
зование расширенных ячеек вместо нерасширенных предпочтительнее
при производительности нерасширенных ячеек Р < 21 т/ч.
Необходимо отметить, что совокупность параметров, которые
могут быть получены с помощью предложенной номограммы, приоб-
ретает важное значение при оценке взаимосвязи производительности
нагревательного устройства г прокатного стана. Она позволяет в каж-
дом конкретном случае выявить узкое место, которым может стать либо
нагревательное устройство, либо прокатный стан, т. е. в зависимости
от конкретной садки можно определить количество ячеек, которые не-
обходимо использовать для обеспечения максимальной производитель-
ности прокатного стана.
2.4.5. Расчет нагрева слитков горячего посада
по методу тепловой диаграммы
(трехступенчатый температурно-тепловой режим)
В БГПА был разработан способ нагрева слитков с жидкой сердце-
виной, составляющей от 5 до 30% [14], который предполагает трехсту-
пенчатый режим нагрева. На первой стадии нагрева, продолжающейся
до завершения процесса затвердевания слитка, температура ячейки
64
колодца повышается со скоростью 120... 130 °С/ч. При достижении ячей-
кой контрольной температуры осуществляется томление (выдержка)
слитка. Указанные скорости подъема температур ячейки на первых двух
стадиях нагрева слитка получены в результате численных расчетов тем-
пературных и временных параметров процесса и на основании экспе-
риментальных данных по макро- и микроструктуре слитков, прошед-
ших тепловую обработку при рассмотренных режимах.
Ниже с учетом рекомендуемых скоростей нагрева рассматривает-
ся взаимосвязь температурных и временных параметров, а также энер-
гетических и экономических показателей нагревательных ячеек колод-
цев при подготовке слитков с жидкой сердцевиной к прокатке. Для
выявления характера изменения рассматриваемых параметров 8-тон-
ного блюмингового слитка из стали ОСВ проводилась серия расчетов,
при которых варьировались значения начальной и конечной
zkoh (контрольной ) температур ячейки и количество жидкой фазы в
момент посада слитка в ячейку, которое принималось равным 5,12 и 20%.
В дополнение к указанным ранее ограничениям при завершении
процесса нагрева слитка в ячейке вводятся следующие технологические
условия:
температура поверхности слитка находится в интервале значений
1250 °С<гп< 1310 °C;
если температура центра ниже температуры поверхности слитка,
то в этом случае температурный перепад АТ между центром и поверх-
ностью не должен превышать 50 °C;
при температуре центра слитка выше температуры его поверхно-
сти процесс нагрева завершается при условии полного затвердевания.
На рис. 2.20 и 2.21 представлены рассчитанные на основе иденти-
фицированной модели температурные и тепловые диаграммы процес-
сов нагрева исследуемого слитка с различным содержанием жидкой
фазы по предложенному трехступенчатому режиму и при разных на-
чальных температурах ячейки t*™.
Из приведенных графиков следует, что независимо от значения
наблюдается интенсивный рост температуры поверхности слитка со
скоростью, значительно превышающей скорость подъема температу-
ры ячейки, что обусловлено внутренним тепловыделением жидкого
ядра. Вследствие увеличения разности температур между поверхностью
слитка и окружающей печной средой тепловой поток в этот период
резко изменяется.
На последующем временном интервале очевидно торможение ско-
рости роста температуры поверхности вследствие выравнивания внут-
реннего и внешнего потоков теплоты относительно поверхности слит-
ка. Этому моменту соответствует ярко выраженный минимум резуль-
тирующего теплового потока.
На следующем временном интервале имеет место увеличение зна-
чений результирующих тепловых потоков q^. Причем в момент уве-
личения скорости подъема температуры ячейки (второй период нагре-
ва) наблюдается излом кривых дрез.
5 Зак. 5040.
65
a
T
Рис. 2.20. Диаграмма нагрева слитка с жидкой сердцевиной по трехступенчатому ре-
жиму при /*ач =900°C:
а - температурная диаграмма; б - тепловая диаграмма
Максимум значений результирующих тепловых потоков для всех
описанных случаев наблюдается в момент достижения нагревательной
ячейкой контрольной температуры 1^.
Анализ результатов численного расчета позволяет выявить и ряд
других закономерностей.
На основании полученных ранее результатов (см. рис. 2.18) по на-
чальным значениям температур поверхности угла ty и центра гц за-
твердевающего слитка перед посадом в нагревательную ячейку можно
отметить, что время полного затвердевания слитка в колодце практи-
чески не зависит от начальной температуры колодца, а изменяется толь-
ко в зависимости от величины жидкого ядра (рис. 2.22).
66
Рис. 2.21. Диаграмма нагрева слитка с жидкой сердцевиной по трехступенчатому ре-
жиму при /*ач =1200°C:
а - температурная диаграмма; б - тепловая диаграмма
Рис. 2 22. Зависимость времени полно-
го затвердевания жидкого ядра от зна-
чения Ф :
1 - <р = 5%; 2 - ф = 12%. 3 - ф = 20%
Учет условий завершения процесса позволил получить данные о
максимальных контрольных температурах ячейки в зависимости от ее
начальной температуры и величины жидкого ядра. Из рис. 2.23 и 2.24
видно, что при жидком ядре объемом 5 и 12% рост начальной темпера-
туры ячейки от 900 до 1200 °C позволяет снизить ее максимальную кон-
трольную температуру с 1320 до 1300 °C при 5% жидкой фазы, и с 1320
до 1272 °C при 12% жидкой фазы. При этом общее время нагрева слит-
ка в печи соответствует времени выхода ячейки на контрольную тем-
пературу. Другими словами, процесс
нагрева можно осуществить без тра-
диционного томления.
Иной характер носит процесс
нагрева слитка с объемом жидкой
фазы <р = 20% (рис. 2.25). В этом слу-
чае при повышении начальной тем-
пературы ячейки имеется интервал
начальных температур, при которых
можно осуществить двухступенчатый
режим нагрева (от t*™ = 900 °C до
гна? ~ Ю50 °C) без томления, а при
дальнейшем увеличении начальной
температуры - двухступенчатый ре-
67
Рис. 2.23. Номограмма для определения
временных параметров температурного ре-
жима нагревательного колодца в зависимо-
сти от его начальной и конечной темпера-
тур при ф = 5%
Рис. 2.24. Номограмма для определения
временных параметров температурного
режима нагревательного колодца в зави-
симости от его начальной и конечной тем-
ператур при ф= 12 %
жим, но уже при наличии томления (заштрихованный участок номограм-
мы на рис. 2.25), лежащий ниже временного уровня затвердевания). При
этом исключается этап интенсивного разогрева ячейки при скорости на-
грева 290 °С/ч.
На рис. 2.26 представлена номограмма, которая в комплексе с
рис. 2.23 ... 2.25 позволяет в зависимости от мощности ячеек и требуемой
производительности определять технологию нагрева слитков с жидкой
сердцевиной на основе ранее выявленных скоростей нагрева по трехсту-
пенчатому режиму. Можно также по ранее разработанным технологи-
ческим режимам нагрева определить энергетические показатели ячеек
нагревательных колодцев.
Алгоритм нахождения требуемых параметров рассмотрим на кон-
кретном примере. Нужно определить технологические параметры про-
цесса нагрева 8-тонного блюмингового слитка из среднеуглеродистой
стали в ячейке нагревательного колодца мощностью 14,3 ГДж/ч при
производительности 41 т/ч.
По известным мощности и производительности ячейки определя-
ем объем жидкой фазы (ф = 5%, точка 1) в блюминговом слитке в мо-
68
Рис. 2 25. Номограмма для определения
временных параметров температурно-
го режима нагревательного колодца в
зависимости от его начальной и конеч-
ной температур при <р = 20 %
мент его посада. Продлив ли-
нию 1-В до пересечения с графи-
ками зависимости от t*™,
для <р = 5% определяем диапа-
зон, а также взаимосвязанные
параметры и t™. Видно,
чтогк™ = 1ООО...1О7О°С,а /X =
= 1270...1308 °C.
В данном случае выбираем
^нач ~ Ю50 °C и соответствую-
щую ей = 1282 °C. Перехо-
дя к номограмме (см. рис. 2.23),
определяем временные парамет-
ры процесса нагрева:
время затвердевания слитка
в ячейке, или время нагрева
ячейки, со скоростью 120 °С/ч
составляет 16 мин;
Рис. 2.26. Номограмма для определения теплотехнологических параметров нагрева
слитка с жидкой сердцевиной в ячейке колодца
КГ'У.Т/Т
69
общее время разгона ячейки до контрольной температуры =
= 1282 °C 58 мин;
полное время нагрева слитка в колодце 74 мин.
Сравнительный анализ данных номограммы показывает, что про-
изводительность ячеек при нагреве слитков с жидкой сердцевиной по
трехступенчатому режиму, как и в случае двухступенчатого нагрева,
растет по мере увеличения мощности ячеек. Однако в каждом конкрет-
ном случае максимум производительности зависит от ф. Чем больше ф,
тем меньше максимальная производительность. Сравнительное увели-
чение или уменьшение производительности ячейки при нагреве слит-
ков с разным значением ф также зависит от конкретной мощности ко-
лодца. Так, при мощности ячейки 11 ГДж/ч наибольшая производитель-
ность будет при нагреве слитков с 20% жидкой фазы, при 14 ГДж/ч -
с 12%, а при 20 ГДж/ч - с 5%.
Таким образом, можно отметить, что увеличение доли жидкой
сердцевины в начале нагрева имеет смысл только при малых мощно-
стях ячеек, а выбор рациональной технологии зависит от характери-
стик колодцев и требуемой производительности.
2.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ
И ОХЛАЖДЕНИЯ СТАЛЬНЫХ СЛИТКОВ
ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ЛИТЬЕ
2.5.1. Физико-математическая модель
теплофизических процессов при формировании
непрерывно-литой заготовки на МНЛЗ
Опыт показывает, что неудачное конструктивное решение МНЛЗ
или неправильный режим охлаждения слитка приводит к аварийным
ситуациям (прорыву жидкой стали через твердую оболочку) или низ-
кому качеству литой структуры. Особое значение приобретает тейлофи-
зическое обоснование рациональных режимов литья при непрерывной
разливке стали в сортовые заготовки на МНЛЗ радиального типа, ко-
гда технологические просчеты неизбежно сказываются на качестве слит-
ка или надежности (стабильности) процесса разливки. В связи с этим
актуальной задачей является исследование процесса затвердевания не-
прерывно-литой заготовки для получения данных о распределении поля
температур и доли твердой фазы вдоль поперечного сечения слитка с
реальными условиями на границе слиток - кристаллизатор, слиток -
зона вторичного охлаждения в зависимости от различных скоростей
разливки.
Математическая модель процессов затвердевания при непрерыв-
ном литье [15,16] в общем случае должна содержать сопряженные сис-
темы уравнений, описывающие различные физические процессы: кон-
вективное движение расплава в незатвердевшей части слитка и пере-
охлажденной части слитка; зарождение и рост кристаллов в переохлаж-
денной части расплава; перераспределение части примесей, газов и ле-
70
гирующих элементов сплава и др. Недостаточная изученность ряда
физических явлений, сложность системы дифференциальных уравнений
вынуждают упростить математическую формулировку задачи, описы-
вающую кристаллизацию слитка.
Уравнение нестационарной теплопроводности, описывающее эф-
фект перемещения массы вдоль оси z,
рс [ = div(XgradT)+• (2.55)
V от dz J от
Уравнение (2.55) следует дополнить соответствующими граничны-
ми условиями, которые учитывают особенности теплообмена поверх-
ности слитка с окружающей средой на различных участках МНЛЗ. За-
дача теплопроводности для отвердевающей части слитка дополняется
анализом тепловых и гидродинамических явлений в незатвердевшей его
части. Глубина незатвердевшей части сортовых стальных слитков при
непрерывном литье в десятки раз превышает размеры их поперечного
сечения и глубину проникновения струи жидкой стали. В связи с этим
преобладающая часть незатвердевшего стального слитка подвержена
конвективному перемешиванию жидких масс, имеющему термограви-
тационную природу, с весьма небольшими локальными скоростями. В
этих условиях можно пренебречь воздействием конвективных потоков
на форму фронта кристаллизации и рассматривать задачу теплопро-
водности для отвердевающей части слитка отдельно от задачи термо-
гравитационной конвекции для незатвердевшей его части.
При непрерывном литье перепады температур в поперечном сече-
нии слитка, как правило, преобладают над перепадом температуры
дТ
вдоль оси z и можно принять = 0. В этом случае уравнение (2.55)
упрощается:
„„ ,„эт эртл аГэтЛ
где c^(T) = с - Q— принимается в соответствии с квазиравновесной
дТ
трактовкой процесса кристаллизации бинарного сплава.
Задача рассматривается при граничном условии на охлаждаемой
поверхности слитка:
\ /п
(2.57)
где коэффициент теплоотдачи а, приведенный коэффициент излучения
о и температура поверхности слитка Тп в общем случае зависят от вре-
мени и пространственных координат.
Граничные условия на оси слитка - условия симметрии:
71
= 0;—
дх ду
= 0.
(2.58)
Уравнения (2.55)...(2.58) дополняются заданием начального состоя-
ния расплава на свободной поверхности слитка:
Т(х,у) =/(х,у), т = 0.
По данным работы [6], в отдельных зонах МНЛЗ от слитка отво-
дится следующее количество теплоты: в кристаллизаторе 20...40% от
общего, отданного слитком; в зоне вторичного охлаждения 40...55% и
затем 20...30% до полного остывания. Точный расчет коэффициента
теплоотдачи невозможен ни для кристаллизатора, ни для зоны вторич-
ного охлаждения. Объясняется это рядом взаимосвязанных факторов,
влияющих на значение коэффициента теплоотдачи. К этому следует
добавить влияние движения слитка и колебания кристаллизатора, ко-
нусности кристаллизатора в нижней его части, упругих деформаций в
затвердевшем слое стали, а также влияние ферростатического давле-
ния [16].
Таким образом, расчет значения коэффициента теплоотдачи в кри-
сталлизаторе можно осуществить на основании измеренных темпера-
тур в характерных точках заготовки на различных участках МНЛЗ в
комбинации с числовым расчетом теплового баланса для данного уча-
стка. После этого может быть рассчитан коэффициент теплоотдачи.
Физические явления на поверхности заготовки в зоне вторичного
охлаждения МНЛЗ отличаются не меньшей сложностью^ чем в кристал-
лизаторе. Пограничный слой на поверхности слитка разрушается вслед-
ствие закипания воды и образования паровой “рубашки”, что в значи-
тельной степени снижает интенсивность теплоотдачи. Теоретическая
оценка коэффициентов теплоотдачи при форсуночном охлаждении
поверхности заготовки усложняется существенной неоднородностью
плотности орошения, стеканием воды на орошаемый участок с сосед-
него участка слитка, небольшими размерами участка орошения (не
достаточного для стабилизации течения слоя), существенной зависи-
мостью коэффициента теплоотдачи а от плотности орошения G, отно-
сительного расположения охлаждаемой поверхности и форсунки (угла
атаки струи), температуры охлаждаемой поверхности и т. д.
Следует отметить, что для каждого конкретного промышленного
процесса зависимость коэффициента теплоотдачи от удельного расхо-
да воды в зоне вторичного охлаждения (ЗВО) может существенно от-
личаться от значений, приведенных в литературе, что объясняется спе-
цификой условий разливки стали (типоразмером слитка, конструктив-
ными особенностями МНЛЗ и ЗВО, типом форсунок и т. д.).
При определении значений коэффициента теплоотдачи необхо-
димо по замеренным температурам слитка вдоль всей технологической
оси выполнить многовариантный расчет процесса затвердевания. При
этом подбирается такое изменение коэффициента а вдоль технологи-
72
ческой оси, при котором расчетная температура в контрольной точке
заготовки совпадает (с заранее заданной точностью) со значением тем-
ператур, полученных в эксперименте. При достижении указанного сов-
падения математическая модель позволяет выполнять анализ распре-
деления температур в затвердевающем слитке. Сопоставление получен-
ных значений коэффициента теплоотдачи со значениями плотности
водяного орошения поверхности слитка вдоль зоны вторичного охла-
ждения дает основание записать зависимость u=f(G), которая может
быть использована в последующих расчетах затвердевания слитка при
разных скоростях вытягивания и интенсивности охлаждения.
2.5.2. Метод контрольного объема при решении задачи
затвердевания непрерывно-л итого слитка
Уравнение баланса теплоты записываем в неявной разностной
форме, предварительно расщепив тепловые потоки по направлениям х
и у. Такая форма записи удобна для последующего применения метода
прогонки [17].
Шаг по координате х определяется в виде Ах = 777—7, по коор-
(JW-1)
h
динате у - в виде Ау = »где ~ половина длины соответствен-
но широкой и узкой граней; M,N - задаваемое количество расчетных
узлов.
1 .Уравнения баланса теплоты в направлении х.
Уравнение баланса теплоты для контрольных объемов с координата-
ми I < / < М, j = 1 (верхняя строка)
Ax Ax n n 4,1 _ Ax Gj ~ *2,1
2 2 P*jC1,1 Дт 2 Дх Дх ’
24i 2К2Л
A A _fn a .,Л+1/2
Ax Ax n n lm,\ '-m,\ _ Ax
2 2 Р'Я’|С'"’1 Дт 2 Дх Дх
А А ,л+1/2 л л+1/2 _ .л+1/2
Ах Ах п п *Л1.1 * л»,1 _ Ах Чи-|,| *л»,1
2 2 дт 2 Ах Дх
(2.59)
(2.60)
73
(2.61)
6 Зак 5040.
Уравнения баланса теплоты для контрольных объемов с коорди-
натами 1 < i < М, 2 < j < N - 1 (внутренние строки):
/»+1/2 п fn+
тДхр,.уС1.у -Д>
_z,.y/2
Дх Дх
(2-62)
fn+\f2 _ fn 4n+\l- _ fn+№
ДхДхр "jC- : -У------= Дх—4^---------Чг-----
'J 'J Дт Дх Ax
,л+1/2 .л+1/2
-Дх iJ M'j •
Дх Дх ’
2^“+2^~
(2.63)
A fn+\/2 _tn
А* а___п п
л-~
fn+\f2 _ fn+\j2
Дх Ax
2^!,; +2A^“
-Дхоф^-Ц
(2.64)
Уравнения баланса теплоты для контрольных объемов с коорди-
натами 1 < z< MJ = N (нижняя строка):
ДхДх и я CV2 ~С
2 2 Р1,я 1л Дт
А /л+1/2 tn к
А п п h,n h,n
А*^-р;,лс/,л-----VI--------—
2 Дт
A fn + №
АХ /1,л ~12,п
2
Лх Дх ’
4
2К1,„ 2Кя2,„
л+1/2 _ л+1/2
*1-1, п li,n
(2.65)
Дх Дх
2^7+ЩГ
2
А #л+1/2 ,п+\/2
-<,Ч1Л
2 Дх Дх
2^7+Ы7
(2.66)
7, п
А А /Л+1/2 /Л А /Л+1/2 /Л+1/2
ДХ Ду п п ~lm,N Ду
2 2 <?m-NCm-N дт “ 2 Дх Дх
^"m.N
(2-6Ъ
14
2.Уравнения баланса теплоты в направлении у.
Для контрольных объемов с координатами i = 1, 1 <j < У
^дхр^'/2
ДхДх я+|/2 л+1/2
2 2 Рм м
,л+1 *1,1 _.л+,/2 4.1 _ Ах fn+\ хЛ+1 4.1 “*1,2
Ат 2 Дх Дх 1
2X71/2 2Х721/2
лЛ+1 ILL _ л+1/2 Н.у #Л + 1 хЛ+1 M./-I ~l2.j
Ат 2 Ах Ах _ _ .х
2X7$ 2X7$
(2.68)
уЛ+1 хЛ+1
l\,j 4J+1
Дх Ах
2 _____ _____
2x7$ т 2x7$
(2.69)
А А /Л+1 1П + У- к /Л+1 /Л+1
Ах Дх л+1/2 л+1/2 ll,N ~l\,N Ах t\,N-\ ~l\,N
2 2 Р,л Cl-N Д^ ~~Т Дх ! ~ДГ~
лл л+1/2 ла л+1/2
— ал(/л+|
2 “ V'-*
(2.70)
Уравнения баланса теплоты для контрольных объемов с коорди-
натами 2<i< М -1, 1 <j<N -1 (внутренние столбцы):
. хЛ+l ,п+\/2 ,л+1 ,л+1
Дх^р-^V2 ---- -дх ----•
Дт
Дх Ах
^л+1_#л+1/2
&х&хр^2с^2-У
2X71/2 2X7$
,Л + 1 ,Л + 1
= Дх-
Ах Ах
2X7'/? 2А?+У2
,л+1 #л+1
Ах Дх
2X7$ 2X7$
А ,л+1 Л+1/2
Av—n"+,/2Z+1/2 li'N 1>N
Ь* 2 Р'.АГ Ci,N
,л+1 +л+1
litN-\ ~ 4,N
Ах Ах
2X7^!+2Х"^2
Ат
-Дха"^1
75
Уравнения баланса теплоты для контрольных объемов с коорди-
натами / = М, \<j<N (правый столбец):
А А #Л+1 #«+|/2 А //,+ |
Дх Дх м+1/2 л + 1/2 * Л/,1 — * Л/,1 _ 1 М,\ 1М,2
~ 2 Рмл w S " 2 Ах Дх ’
/чл л + 1/2 -члл+1/2
ZA м 1 ZA, л/ 2
А #л+1 tn+\/2 л+1 л+1
&Х Л удп+1/2РП+|/2 *MJ 'M'j - 1 MJ
2 P mj mj дт ^2 Дх Дх
О1л+У 2 + ^лл+1/2
£*MJ-\ £*MJ
л+1 л+1
— Дх
Ах Дх
'У,\п+\/2 *)<\л+1/2
£*MJ ^MJ+l
А А #Л+1 + А /Л + * ,Л+1
ДХ л+1/2 Л+1/2 lM,N ~lM.N ДХ IA/./V-l “ 1 M,N
2 2 Pm,Ncm,n ~ - 2 дх дх —
л+1/2 + л+1/2
lnM,N-\ lnM,N
_А^ал(/л+1 _/ )
2 01 \M,N 1ср)’
2.5.3. Алгоритм расчета теплофизических процессов
при затвердевании непрерывно-литого слитка
Рассчитаем температуры t^2 в направлении х. Уравнения балан-
са теплоты (2.59)...(2.67) представим в следующем виде:
4 См2 - GCV2+Д7Г+м2 = -Pi, 2 < i < м -1,
где
(2..71)
4=-----
2Дт
1 1
-------1----
уп дл
Л,-
; Д=---
АхШ1
2Дт
/
1 1
А",+^
Уравнение баланса теплоты (2.59) запишем в виде
=-^,=0.
4Дт
(2.72)
где Bi =----
to2M,
J-+-l
Ли I
76
Перепишем выражение (2.71):
л tn+№ । с tn+^ _ г .
лЛ#Л/-1,1+сЛГЛ/,| --гл/’
4Дт_____________
' 1 1 у
1
V»--------\п
УА'Л/-1,1 км,\ J
2Дта" „ 2Дтапгс
где См = + „ср
А*Рл/.1СЛ/,1
Прогоночные коэффициенты определим так:
®/+1 ~ ~ 7“ ’ Р>+1 =
BM = 0; Bt=--------
z = 2,3,...,Af-l.
Значения коэффициентов р2 найдем из уравнения (2.72):
п+1/2 _ Д л+1/2 . Д
,|Л "q'2J + q’
откуда а2 = BjCx ;02 = F^Q .
Определим температуру ’•
1/2 =а,+1'м1/2 +₽,+!. ' = М-\,т-2,...,1.
(2.73)
(2.74)
(2-75)
(2.76)
Значение tn^2 определим из уравнений (2.72) и (2.76).
В выражение (2.73) вместо подставляем tn^2aM^M. В ре-
зультате имеем
.л+1/2 __
М'1 См ” м
Для расчета tfj^2 во внутренних строках матрицы уравнения
(2.62)...(2.64) представим в следующем виде:
А^] + с^2+в^
где
4=--------------
(2.77)
(2.78)
2<i<, М-1,
В/=----------
д*2р;у,",
2Дт
г
1 1
------1----
\п УП
{*'1-1, j ^ij
2Дт
/
Л 1
77
- с^'12 + Д/2",7/2 = -Л; 4=0,
(2.79)
где С| =1 + В,;
Рх-Чг
Am‘mZ + CMt"£!2 =-FM-, Вм=0; (2.80)
Л ду -
А^Р Л/,усЛ/,у
„ 2 Ата"/.
Г _ /Я J_____________
ГМ - 1MJ ~ ~ 'п
^nMtjcnM)j
4Дт
1 1
--------1------
KM,j у
'ср
См - 1 + Ам
2Дтал
^Рл/.у^Л/.у
Прогоночные коэффициенты а,, 0, определим по формулам (2.74),
(2.75). Находим температуры /"j*4/2:
'"у+1/2 =а1+1/Г;1/2+Р/+ь i= М-1,т-2,..., 1, (2.81)
где t"+^2 определяется по формуле (2.77).
Формулы для определения температур t"$2 запишем аналогично
формулам (2.78)...(2.81), в которых индекс j заменен на индекс N.
Полученные поля температур ffl2 используются для расчета .
Для расчета соотношение (2.69) запишем в виде
+ (2.82)
где
л 2Ат
д/р?У2<;|/2
д------------------------------
КЛ1.у Л1.у+1
Су. = l+Aj + Bj-, Fj = t^2.
1 1
уп+У2 лл+1/2
Aq./ ^Li-i
Уравнения (2.68) и (2.70) представим в следующем виде:
-Qu' +Д^‘ =-Д; 4=о,
(2.83)
78
где
С| = 1 + Д; В,=--------F^t^2',
4Х+лг-1 + CNt$ =-Fn; Bn = 0; (2.84)
^N~----------------
Дп2пЛ+1/2гл+1/2
аУ Pl.tf C\XN
4Дт
7 А
! -L-+-L-
л л+1/2 л л+1/2
V'n./v-i 'Члм J
я+1/2 2Дтал/со
?N tl'N ДЮя+|/2 л+1/2 •
АУР1Л c\,n
С" - 1+ Л + л+1/2 n+t/2 >
^УР\,М C\,N
Находим температуры /ц1:
l!j‘ = «м'& +Р>. J = • (2.85)
Прогоночные коэффициенты ау , Ру запишем в виде:
• <™>
Коэффициенты а2, 02 получим из формулы (2.75).
И, наконец, определим :
гл+1 = fn?nan (2.87)
^N~aN^N
Для расчета температур для i = 2,3,...,Л/ необходимо записать
выражения вида (2.82)...(2.87), где вместо первого индекса, равного еди-
нице, необходимо записывать соответствующий индекс /. Расчет по
формулам (2.72)...(2.87) позволяет рассчитывать поле температур .
2.5.4. Разработка режимов затвердевания
и охлаждения непрерывно-литых слитков
Приведенная математическая модель после параметрической на-
стройки (рис. 2.27) использована при разработке режимов разливки
высокоуглеродистых сталей на МНЛЗ Белорусского металлургическо-
го завода ( в частности, при освоении промышленного производства
специальных видов проволоки из высокоуглеродистых марок сталей
по ГОСТ 15598-70 и ГОСТ 9398-75).
79
Рис. 2.27. Результаты параметрической настройки математической модели затвердева-
ния и охлаждения непрерывно-литых заготовок
Рис 2 28. Изменение температур поверхности (/п) и центра (/ц) в процессе разливки
стали с различной скоростью
80
С целью выбора оптимальных скоростей разливки сталей при про-»
ведении численного эксперимента варьировали скорость вытягивания
слитка и интенсивность вторичного охлаждения. Некоторые результа-
ты расчета после обработки приведены на рис. 2.28. Анализ показыва-
ет, что повышение скорости разливки до 0,7...0,8 м/мин приводит к уве-
личению длины жидкой лунки металла до 16,5... 19,0 м. В конкретном слу-
чае удлинение жидкой лунки металла может привести к прорыву жидкой
стали из-за неполного затвердевания слитка по сечению. Таким образом,
с целью достижения необходимого качества непрерывно-литых загото-
вок с повышенным содержанием углерода скорость разливки на МН ЛЗ-З
следует поддерживать в пределах 0,6...0,7 м/мин.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лисиенко В. Г., Лобанов В. И., Китаев Б. И. Теплофизика металлургических
процессов. - М.: Металлургия, 1982.
2. Дульнев Г. Н., Парфенов В. Г., Сигалов А. В. Применение ЭВМ для решения
задач теплообмена. - М.: Высш, шк., 1990.
3. Промышленные теплотехнологий: Машиностроительное и металлургическое
производство: В 2 ч. Ч. 2/ А. П. Несенчук, В. И. Тимошпольский, Н. П. Подберезный и
др.: Под общ. ред. А. П. Несенчука, В. И. Тимошпольского. - Мн.: Выш. шк., 1997.
4. О влиянии некоторых факторов на затвердевание стального слитка / В. Д. Ма-
рон, К. А. Черепанов, Е. А. Маклов и др. // Изв. вузов. Черная металлургия. - 1966. - № 6.
5. Самойлович Ю. А. Формирование слитка. - М.: Металлургия, 1977.
6. Шмрга Л. Затвердевание и кристаллизация стальных слитков. - М.: Металлур-
гия, 1985.
7. Казанцев Е. И. Промышленные печи. - М.: Металлургия, 1975.
8. Шевченко Ю. Н. Термопрочность при переменных нагружениях. - Киев: Наук,
думка, 1970.
9. Дымова Л. Г., Севастьянов П. В., Тимошпольский В. И. Сравнительный анализ
математических моделей формирования термических напряжений и деформаций в за-
твердевающем слитке // ИФЖ. - 1991. - Т. 60. - № 1.
10. Kristiansson J. О. Thermomechanical behavior of the solidifying stell within
continious casting billet molds - a numerical approach // J. Therm. Stresses. - 1984. - Vol. 7. -
№3/4.
И. Самойлович Ю. А., Кабаков 3. К. Учет эффекта релаксации при определении
термических напряжений в отливке, затвердевающей в интервалах температур // Горе-
ние, теплообмен и нагрев металла. - 1973. - № 24.
12. Теплофизический анализ процессов затвердевания, охлаждения и нагрева слит-
ков (отливок) / В. И. Тимошпольский, Э. А. Гурвич, И. А. Трусова, Н. Л. Мандель //
ИФЖ.- 1988.-Т. 54.-№4.
13. Расчеты нагревательных печей / С. И. Аверин, Э. М. Гольдфарб, Б. Л. Крав-
цов и др.; Под ред. Н. Ю. Тайца. - Киев: Тэхшка, 1969.
14. А. с. 1381179 СССР. Способ нагрева слитков в колодцах / В. И. Тимошполь-
ский, Ю. А. Самойлович, И. С. Тимошпольский и др.; Заявл. 20.01.86; Опубл. 15.03.88.
Бюл. № 10.
15. Самойлович Ю. А. Системный анализ кристаллизации слитка. - Киев: Наук,
думка, 1983.
16. Тимошпольский В. И. Теплотехнологические основы металлургических про-
цессов и агрегатов высшего технического уровня. - Мн.: Навука i тэхшка, 1995.
17. Теплообмен и тепловые режимы в промышленных печах / В. И. Тимошполь-
ский, И. А. Трусова, А. Б. Стеблов, И. А. Павлюченков. - Мн.: Выш. шк., 1992.
81
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ
ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ПРИ НАГРЕВЕ МЕТАЛЛА В ПЕЧАХ
3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ ПРИ НАГРЕВЕ МЕТАЛЛА
В МЕТОДИЧЕСКИХ ПЕЧАХ
3.1.1. Анализ моделей методических печей
Основной особенностью применяемых для нагрева перед прокат-
кой методических печей толкательного типа является противоточное
движение дымовых газов и нагреваемого металла. В связи с этим воз-
никают определенные трудности при математическом моделировании
тепловой работы печей, которые обусловлены тем, что в начальный
период расчета печи состояние дыма и металла приходится определять
на противоположных краях печи. Следует отметить также некоторые
сложности, связанные с неравномерностью поля температур по высоте
и ширине печи, особенно в ее сварочных зонах. Последнее обстоятель-
ство вызвано прежде всего тем, что печь имеет сложный продольный
профиль, который создает определенную аэродинамику дымовых га-
зов. Практически она не поддается расчету, но оказывает существен-
ное влияние на тепловую работу печи. Влияют на ее работу и глиссаж-
ные (подовые) трубы, по которым движется металл: на нижней поверх-
ности металла образуются “затемнения”.
Все перечисленные факторы говорят о том, что точный расчет на-
грева металла в методических печах затруднен и практически неосуще-
ствим без параметрической настройки по результатам промышленных
экспериментов и корректировки в связи с этим данных расчетного ана-
лиза. Но даже с учетом отмеченных трудностей математические Моде-
ли печей существенно облегчают выбор новых вариантов при проек-
тировании, поиск оптимальных режимов при наладке и эксплуатации
уже работающих печей. Математические модели необходимы также для
создания АСУ ТП в прокатных цехах металлургических заводов.
С учетом рекомендаций, изложенных в книге [1], математические
модели работы методических печей любого класса подразделяются на
нижеследующие типы.
1. Математические модели на основе уравнения теплопроводно-
сти для термически массивного тела.
2. Упрощенные математические модели, основанные на описании
процесса среднеинтегральных температур. В качестве примера такой
модели может служить исходная запись нестационарного уравнения
теплопроводности для термически тонкого тела.
3. Статистические модели. Функционирование таких моделей ил-
люстрируется при работе системы “печь-прокатный стан”. В этой сис-
теме можно контролировать изменение температуры поверхности ме-
82
талла во времени. С помощью пирометров осуществляется слежение за
металлом до черновой клети прокатного стана и за ней. Здесь возмож-
на следующая полиноминальная запись:
Тм = ^*0 ++ ^2^1 + С3Т2 "Ь Сд 7э + ^5^3 +
+c6Ti+c1S+ctx„+c9t„T„, (3.1)
где с0,...,с9 - коэффициенты модели; т,,...,т3 - время нагрева загото-
вок соответственно в томильной, первой и второй сварочных зонах;
tw - время транспортировки металла с момента выхода из печи до под-
хода к контрольному пирометру; Тп - показания контрольного пиро-
метра; S - толщина сляба или заготовки.
Несомненно, все перечисленные математические модели имеют на-
ряду с преимуществами и недостатки. К недостаткам двух последних
типов моделей, в частности, следует отнести некоторое их несоответст-
вие физическим процессам и узкий диапазон работы. Действительно,
если следовать модели (3.1), то при увеличении времени нагрева метал-
ла температура Тм будет изменяться линейно. Хотя в действительно-
сти температура металла стремится к определенному пределу, т. е. в
конкретном случае она асимптотически стремится к температуре печи.
Поэтому модель (3.1) естественным образом должна быть усложнена,
а это в свою очередь приводит к увеличению объема памяти ЭВМ.
Следует отметить, что математические модели второго и третьего
типов представляют собой частные случаи моделей первого типа. Осо-
бенно существенно это замечание для модели второго типа.
3.1.2. Математическая постановка задачи
С учетом вышеизложенного модель тепловой работы методиче-
ской печи может быть сформулирована следующим образом:
с(Г)Р(Г)^ = у[а.(Г>^} (3.2)
дт dxV дх J
4=0=го; (3.3)
-Х(Т)^ дх =9r (3.4) х=0
-Х(Т)^Г дх x=L мет.низ . мет.низ. = <7л +?« (3.5)
дх х=0 =?;,лч“+?гверх; (3.6)
-ЦТ)^- дх x=L = 9“га"+^вниз; (3.7)
83
-Х(Т)^
ох л=0
том верх . „том верх .
= 9л +9к ;
_X(T-)iL
OX x=L
том.низ , „том низ
= Ял + Як
(3.8)
(3.9)
где индексы “мет”, “св”, “том” соответствуют методической, свароч-
ной и томильной зонам; “верх” и “низ” - верху и низу зоны; “л” и “к” -
лучистому и конвективному тепловым потокам.
Граничные условия (3.4)...(3.9) для любой из технологических зон
печи можно переписать так:
'т'Верх
1 кл
100
^лерх+^ВСрХ=^
j'верх
100
„низ . „низ
Ял + Як
Т’низ
1 м
100
+ а
где индексы “кл”, “м”, “г” означают кладку, металл и газ.
Для каждой технологической зоны тепловой баланс, отнесенный
к единице времени, имеет вид
где Q^m - приходные статьи баланса в j -й зоне, кДж; QJacx - расход-
ные статьи баланса в j -й зоне, кДж.
В более общем виде тепловой баланс можно записать следующим
образом:
^т+^т+^.в+йсз+аунос=е^+е^х+0(оТ, (з.ю)
где 2/т - количество химической теплоты топлива, выделяющееся в у-й
зоне, кДж; QjJ т - количество теплоты, вносимое за счет подогрева то-
плива ву-й зоне, кДж; 0фв - количество теплоты, вносимое окислите-
лем (воздухом) ву-ю зону, кДж; g/K3 - количество теплоты, выделяемое
в результате экзотермической реакции при прохождении металла че-
рез у-ю зону, кДж; Q^H0C - количество теплоты, вносимое ву-ю зону с
продуктами сгорания, кДж; - количество теплоты, затрачиваемое
84
на нагрев металла в у-й зоне, кДж; бух - количество теплоты, уноси-
мое с уходящими продуктами сгорания из у-й зоны, кДж; Q^oT - коли-
чество теплоты, теряемое через ограждения у-й зоны, кДж.
Отдельные статьи теплового баланса зоны вычисляются следую-
щим образом:
количество теплоты от сжигания топлива (химическая теплота
топлива)
^.т = 5;а₽;
количество теплоты, вносимое подогретым топливом,
количество теплоты, вносимое подогретым воздухом,
Qi. = BjVai.;
количество теплоты, выделяемое в результате окисления,
= 5650 Ру j ,4j= AS; /г;
количество теплоты, вносимое с продуктами сгорания,
IHOC “
( N )
1Вк
количество теплоты, затраченное на нагрев металла,
количество теплоты, уходящее с продуктами сгорания,
( N А
Qi.=\lBk i™ya.
\k=j У
Здесь Ив,*д " объем воздуха и дыма на единицу сжигаемого топлива,
м3/м3; /т, zB, , /дуЧ, *д°Н“ энтальпия топлива, подогреваемого
воздуха, металла и дыма, кДж/м3 или кДж/кг; индексы “нач” и “кон”
указывают на расчет энтальпии в начале или конце зоны;у- номер зоны;
Q? -теплота сгорания топлива, кДж/м3; Р- производительность печи, кг/с;
Y - угар металла, %; S - увеличение толщины окалины за время пребы-
вания металла в зоне, м; г - половина толщины металла, м; Bj - расход
топлива в зоне, м3/с; W - число зон.
Для вычисления толщины окислившегося слоя можно воспользо-
ваться формулой
5^ = 0.5(ехр(-10125/ +7,25))2 .
85
Приведем уравнение (3.10) к более удобному виду. Согласно опре-
делению коэффициента использования топлива, имеем
_ е/т + + oi., + Qioc - п. n
Л"Т’ Q't+QUc
Перегруппируем члены уравнения (3.10) и разделим обе части на
. Имеем:
х.т
Qx т + вф.т + вф.в + бвнос ~ бух _ 6м ~ бэкз t Опот
бх.Т + бвнос бх.т + бвнос бх.т + бвнос
или
J = &-&3
2/, + QL
Тогда
К. = 1_^ПД
ПЙ.Т
(3.12)
После подстановки в уравнение (3.10) значения Т|£т из формулы
(3.11) имеем
(1 - Kj\oi.T+$.т+%я+&нос - &)=o' - оь,. о. 1з>
На основании обобщения экспериментальных данных о работе
проходных печей отношение Л кцд / л и т ПРИ холодном саде как для печи
в целом, так и для отдельных расчетных зон можно принять в пределах
0,46...0,51, что позволяет использовать это отношение при балансовых
расчетах нагревательной печи по зонам. Алгоритм расчета теплового
баланса многозонной печи толкательного типа с противотоком стро-
ится с учетом того, что расчет баланса начинается с последней зоны
печи и заканчивается в первой.
Подставим в уравнение (3.13) значения составляющих его членов:
-i“")-5650Py,. -Ид(1-К)(/д7 -1д7) ^Вк
В _k=j+i
1 (1-^)(ен₽+'т+^'в-<д7ил)
Полученная формула является рекуррентной и позволяет вычис-
лять расход топлива в каждой из зон, начиная с последней. При этом
n
для j = W слагаемое Кд (1-#)(/*?“-/™ч) ^Вк обращается в нуль, что
k=j+\
соответствует отсутствию поступления теплоты в последнюю со сто-
роны выхода зону печи.
86
Таким образом, сформулирована сопряженная задача нагрева в
методической печи толкательного типа термически массивной пласти-
ны одновременно излучением и конвекцией.
В основу расчета методической печи толкательного типа положе-
на одноразмерная схема [2]. При этом печь разбивали по длине на эле-
ментарные расчетные зоны. Также полагали, что имеет место скачко-
образное изменение температуры при переходе из одной расчетной зоны
(например, методической) в другую (сварочную) и т. д.
3.1.3. Численный метод решения задачи
о нагреве массивной пластины в методической печи
Решение задачи нагрева термомассивной пластины выполнено с
использованием абсолютно устойчивой сеточной схемы Дю-Фора и
Франкела [3]:
дТ _ Tj+ijc - Tj-ijc дТ _ Tjk+i - .
Эх 2Дх ’ Эт 2Дт ’ (3 14)
т т Y л
Преобразовав уравнение (3.2), получим
д2Т_ Tj+ijc ~ Т,к+\ ~ 7л-1 +
Эх2 Дх2
Кроме того, запишем:
дХ _
Эх 2Дх
Сеточная форма уравнения теплопроводности (3.2) примет вид
7л+1“7л-1 K+\,k~K-l,k Т+\.к~Т-\,к ,
г 2Дт 2Дх 2Дх
t ~ Кк-\ ~ Tj,k+\ + Tj-\,k} р J5)
+ (Ах)2
Температуру для (к + 1)-го временного слоя можно получить в виде
= 477^------7ГТ-(^*+'(сР 2(Дх)2 ~4ДтМ
2(Дх)Чрл+4ДтХ,Р 7
+ Т+1,*(Дх^>+м ~ Дт\-1,* +4ДтХ, + ДДтХ^! * -
-Дх\+1.* + 4Дт\.*)).
87
В конкретном случае учет нелинейных граничных условий (3.4)...(3.9)
основан на введении фиктивного полуслоя у нагреваемой поверхности
пластины:
Т — 4-7" -/^Тфикт)
/и +/фикт), 1 фикт 'фикт )’
гДе > ^фикт “ значения температур в фиктивном полуслое для (п+1 )-го
и (zi)-ro приближений.
В дальнейшем формула для нахождения температуры Тф^ мето-
дом последовательных приближений принимает вид
(3.16)
В последующих расчетах использован известный и широко при-
меняемый в технической литературе метод тепловой диаграммы
И. Д. Семикина [4]. Теплофизические свойства нагреваемого металла
приняты в соответствии с данными, приведенными в работе [5].
В дальнейшем с использованием разработанной математической
модели (3.2)...(3.9) и алгоритма численного расчета (3.14)...(3.16) вы-
Рис 3.1. Изменение температур в характерных точках сечения блюма при нагреве в печи
со сводово-торцевым отоплением.
-о-о—о- эксперимент.------расчет
88
1400
Рис. 3.2. Изменение температур в характерных точках сечения блюма при нагреве в
печи со сводовым отоплением
полнены серии теплотехнических расчетов методических печей толка-
тельного типа с целью параметрической настройки модели по резуль-
татам эксперимента (см. гл. 1). Настройка проводилась при следую-
щих исходных данных:
1) методическая печь со сводово-торцевым отоплением: нагревае-
мый металл - сталь 45; производительность печи Р = 70 т/ч; толщина
блюма S = 0,27 м; длина блюма L = 6,0 м; температура уходящего из
печи дыма ZyX = 700 °C; температура сварочной зоны 1300 °C; температу-
ра томильной зоны 1275 °C; конечная температура поверхности металла
Z*0H _ |2зо °с; конечный температурный перепад Az = zJ0H - Z*0H = 30 °C;
2) методическая печь со сводовым отоплением: производительность
печи Р = 80 т/ч; температура уходящего из печи дыма zjx = 800 °C;
остальные исходные данные те же, что и в предыдущем пункте.
Результаты параметрической идентификации (рис. 3.1, 3.2) под-
твердили надежность математической модели (3.2)...(3.9) и возможность
ее дальнейшего использования для теплотехнических расчетов.
3.1.4. Расчет полей температур, напряжений
и деформаций в массивной стальной пластине
при нагреве конвекцией и излучением
В практике инженерных решений задач теплопроводности и опре-
деления термических напряжений достаточно широко апробированы
приближенные аналитические методы, имеющие ряд достоинств по
сравнению с численными [6, 7]. Рассмотрим квазистатическую несвя-
занную задачу термоупругопластичности [8, 9] для конкретных реаль-
ных условий нагрева [10]. Такой подход возможен, поскольку погреш-
ность итоговых вычислений вследствие пренебрежения инерционным
89
эффектом и эффектом связанности полей температур и деформаций для
данного класса задач практически мала [11].
В печи толкательного типа блюмы укладываются вплотную боко-
выми поверхностями, адлина блюма в 15...20 раз больше его ширины
и толщины. Поэтому пакет блюмов в печи можно рассматривать как
массивную пластину, ширина которой равна 6 м (длина блюма), а дли-
на соответствует рабочей длине печи (24...28 м).
Упрощенная модель задачи (3.2)...(3.9) для случая симметричного
нагрева пластины толщиной 2h при линейной аппроксимации тепло-
физических характеристик металла для внутреннего теплопоглощения
в безразмерных координатах имеет вид:
эц( £х0)э^
0(^0) = е0; =0;
^^=0
(1 - = Sk(i - е4п (г))+Bi(l - 0п(г)),
(3.17)
(3.18)
(3-19)
где = x//i, 0(^, г) = во=|. 0n=V’ т = Fo = ^-соответст-
Ас /с /с п
венно безразмерные координата, температура (текущая, начальная и
поверхности металла), время нагрева; индексы “п”, “с” относятся к
поверхности металла и печной среде; / Хо; = ЬСу1^1 Су, Xq,
Су - начальные значения теплопроводности и теплоемкости при Т = То;
,5С - тангенсы угла наклона прямых X - Г, с - Т.
Решение (3.17)...(3.19) получено в виде следующих расчетных со-
отношений [10]:
для инерционного этапа
FoH =(1-р2) -^е;8° , 0^р<!1;
6(1+ех0о)
~ + (®и.п
х2-р2+2р21п(р/х)
} 1-Р2+2р21пР ’
0ип
= 00 +
(Sk(l + UA) + Bi( 1 -17))(1 - Р2 + 2Р2 1пр)
2(1 +£XI/)(1 -р2) + Bi(l -р2 + 2Р21пР) ’
для регулярного этапа
0 =0 +________3AFo(2 + ex0n,.|g)_________
2(1+ec0n <_|) + (4Sk2+Bi)(l + £r0n,_1) ’
90
0(x,Fo) = 0ni-O,5—.
1 + еХ°п /-I
Особую ценность данное решение приобретает в связи с тем, что
появляется возможность детального исследования внутреннего тепло-
поглощения металлом на инерционном этапе нагрева.
Подставив расчетные выражения для температур на инерционном
и регулярном этапах в интегральные уравнения термопластичности,
сформулируем упрощенную несвязанную задачу термопластичности.
Задача для упругопластических напряжений и деформаций в рам-
ках деформационной теории пластичности записывается следующей
системой уравнений [12]:
^ = 0- ₽
» 2^Эх; Эл; ]
+ £Л _ ^£i< + .
dxjdx, дх,дхк dxjdxk dxjdxj ’
Е ( V s 1 + v __ >
Ст,> “ l + v[e'> + l-v£**8'7 l-v°7
xl = a,yw,; = 1, 2, 3.
(3.20)
Для рассматриваемой пластины координатная плоскость YOZ со-
вмещена со срединной плоскостью недеформированной пластины, а ось
ОХ направлена по нормали к срединной плоскости. Напряжениями
а х, т ху, т х: можно пренебречь [11].
Воспользовавшись гипотезой прямых нормалей [11], деформацию
любой точки пластины можно представить как сумму деформации сре-
динной поверхности и деформации, связанной с изгибом:
еу = ёу + лху; ег=ёг + лхг; 7^ = 7^ + ^,
где ёу, £,, у ^-деформации срединной поверхности; %,, кри-
визна, которую можно выразить через прогиб пластины (при малых
прогибах) [11]: %у = Э2их / Эу2;%, = Э2их / dz2;= Э2их / (dydz).
В рассматриваемом случае пластина свободна от закреплений и
температура изменяется только по толщине. Тогда
вуу=а„=а = с(х); тг=0; £/. =е = е(х); у^=0.
Напряжение в системе уравнений (3.20) можно переписать в виде
Е
а = ---(£-£ -а7).
1-v р
91
Обозначим деформацию срединной плоскости ё v = ё. = а и кри-
визну Ху = Х: = Ь. Тогда суммарная деформация в любой точке пла-
стины £ = а + Ьх.
Силовая деформация
г=а+Ьх-аТ, (3.21)
напряжение
р
<з = --(a + bx-г -аТ). (3.22)
1-v р
Постоянные а и b определяются из условия равновесия в любом
сечении пластины, для которого справедлив принцип Сен-Венана [11]:
h h
J adx =0; J csxdx = 0. (3.23)
-h -h
Подставив выражение (3.22) в (3.23), получим систему уравнений
для определения а и Ь\
\ Е , ЛЕх, \Ее. \ЕаТ,
а ------dx+b ---dx = ——dx+ -------dx,
Al —v Al —v \1 — v J,l-v
—Л — n —Л — n
J,1 — V J-V J-V J-V
—n —n —n —n
Введем обозначения:
. 1 | Вт2 . . 1 *f Ex , . 1 r £ ,
A =— -----dx\ A, =— ---ax; A = — -----ax,
д Ai—v 2 д Al—v 3 aj.i-v
—n —n ~n
h F h F 2 (h F Y
где Д = f—dx\—dx- f—dx .Тогда
-?-v -V-v L?-v J
-Л* V -hl v
, *f EaT. . л .. I Ее.
b= J—-(4Х- 4idx)+ J Ai)dx-
-h1 -A1
Подставив уравнения (3.24) и (3.25) в (3.21), получим
£ = — glT+ — A2S— А2 х+ AyxS^dS+
-A1“V
+ J-—~(At - A2S- А2х+ A}xS)dx.
(3-24)
(3.25)
(3.26)
92
Введем обозначения:
/(х) = Jу^-(4 - A2S- А2х+ A3xS)dS-aT.
£е
K(x,S) = А{- А2х- A2S+ A3xS) ; Ф(ЭД5)) = .
Тогда формулу (3.26) можно представить в виде
h
е(х) = J Х(х,5)Ф(5,£)</$+ /(х). (3.27)
-h
Так как неизвестная деформация входит в функцию Ф, в общем слу-
чае нелинейно зависящую от е, полученное уравнение (3.27) является не-
однородным интегральным уравнением Гаммерштейна, где K(x,S) -
ядро уравнения.
Считая, что материал имеет линейное упрочнение, пластическую
деформацию можно выразить следующим образом:
6,(1-л)(е-Signe ет),
где л = Ек / Е- безразмерный параметр упрочнения; Ек - касательный
модуль в области упрочнения. В этом случае уравнение Гаммерштейна
превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода [12]
— — Е
с ядром К(х, S), где К(х, S) =-(1 - л)К(х, S). Полученное интеграль-
1-v
ное уравнение Фредгольма решается методом итераций.
Приведенный алгоритм расчета напряжений и деформаций про-
верен на тестовых примерах. В качестве теста рассматривался случай,
когда равномерно нагретая пластина с обеих сторон охлаждается сре-
дой с бесконечно большим коэффициентом теплоотдачи. Решение этой
задачи для идеально пластического материала дано в работах [13, 14].
На рис. 3.3 результаты, полученные вышеизложенным методом,
сравниваются с решениями [13, 14]. Здесь показано изменение относи-
тельного напряжения (S) во времени (Fo) в точках пластины с относи-
тельными координатами т] = 0; 0,5; 0,9; 1,0 при т = 0 (без упрочнения,
рис. 3.3, а) и при т = 1 (с упрочнением, рис. 3.3, 6).
По приведенному алгоритму рассчитано термонапряженное состоя-
ние стальной пластины при нагреве ее в методической печи перед прокат-
кой. Исходные данные: толщина 2А = 0,27 м; марка стали - сталь 45; тех-
нологические ограничения - температура поверхности tn = 1190 °C и
AZ = 25 °C; режим нагрева - трехступенчатый.
Результаты расчета приведены в табл.3.1. Из данных таблицы оче-
видно, что необходимого температурного перепада А/ и температур
поверхности массивная пластина достигает через 5,5 ч, причем в тече-
ние всего времени нагрева на регулярном этапе температурный пере-
93
Рис. 3.3. Распределение напряжения в нагретой пластине при ее симметричном охлаж-
дении в среде с коэффициентом теплоотдачи а = «»:
0,1;---в соответствии с работой [13]; О - предлагаемый метод; □ - в соответ-
ствии с работой [14]
Таблица 3.1
Изменение упругих Е/, пластических £р деформаций и напряжений о на поверхности и
в центре массивной пластины при продолжительном нагреве перед прокаткой
Т, с г, °C о, МПа Признак нагрузки
360 195 -0,00122 -0,00071 -360,8 0
20 0,00062 0,00000 189,0 0
2160 451 -0,00097 -0,00079 -259,0 0
320 0,00075 0,00000 214,0 0
3960 659 -0,00054 -0,00315 -126,9 0
527 0,00082 0,00013 207,9 0
5760 821 0,00030 -0,00266 60,5 2
705 -0,00004 0,00030 -8,8 1
7560 921 0,00022 -0,00213 37,7 2 .
828 -0,00010 0,00030 -20,5 1
9360 999 0,00026 -0,00185 39,2 2
924 -0,00018 0,00030 -31,5 1
11160 1059 0,00030 -0,00163 38,9 2
998 -0,00026 0,00030 -38,0 1
12960 1106 0,00033 -0,00146 37,8 2
1056 -0,00030 0,00029 -39,0 2
14760 1125 0,00034 -0,00128 37,1 2
1086 -0,00031 0,00025 -38,4 2
16560 1154 0,00035 -0,00116 35,8 2
1122 -0,00034 0,00024 -37,2 2
18360 1177 0,00037 -0,00107 34,6 2
1151 -0,00035 0,00024 -36,0 2
20160 1190 0,00038 -0,00101 33,5 2
1165 -0,00037 0,00022 -34,8 2
Примечания: 1. Верхняя строка соответствует расчетным данным на поверхно-
сти (р = 1,0), нижняя — данным в центре пластины (р = 0,0).
2. В последней колонке 0 обозначает нагрузку, 1 — разгрузку, 2 — обратное течение
94
пад уменьшается. Анализ изменения температурных напряжений пока-
зывает, что своего максимального значения (360,8 МПа) они достига-
ют к моменту окончания инерционного этапа (360 с). В дальнейшем
напряжения постепенно уменьшаются.
На рис. 3.4 приведено распределение упругопластических зон в
пластине при продольном нагреве. Очевидно, что в начальный период
упругопластические деформации развиваются от тепловоспринимаю-
щей поверхности к центру пластины. Затем, при дальнейшем нагреве,
происходит развитие зон от периферии к центру и от центра к перифе-
рии. Упругая зона по мере проявления пластических деформаций умень-
шается. Однако, несмотря на значительные температуру поверхности
и температурные перепады, к моменту окончания процесса нагрева
упругопластическая зона не охватывает всего поперечного сечения пла-
стины, что в свою очередь может привести к порывам плоских слитков
и заготовок при последующей прокатке их на обжимных и листовых
станах, а также к прогибам и короблению металла при нагреве.
3.1.5. Анализ влияния теплофизических и
физико-механических параметров
на процессы нагрева металла
Рассмотрим серию численных экспериментов, моделирующих нагрев
массивной пластины из стали 45. Каждый эксперимент проводился при
наборе теплофизических и механических характеристик, зависящих от
температуры или принимающих постоянные значения. При существова-
нии зависимости параметра от температуры f (7) значение его задается в
виде таблицы, аппроксимирующей эту зависимость кусочно-линейной
функцией. Если параметр задается постоянным значением /0, то это зна-
чение определяется как среднеинтегральная величина изменения парамет-
ра в рассматриваемом интервале температур (0...900 °C). В качестве сред-
неинтегральных значений параметров определены следующие величины:
Хо =45,6 Вт/(м °С); =5,05 МДж/(м3 оС); £0 = 250 МПа ; =
= 18,5104 МПа ; а0 = 13,05 1/°С.
95
При расчете используем следующие исходные данные: D = R = 0,135 м;
/0 = 20 ° С; zc = 890 ° С; ак = 70 Вт/( м2 ° С); ав11д = 2,3 • 10'8 Вт/(м2 °C).
Зависимости изменения теплофизических параметров от темпера-
туры взяты из работы [10], а физико-механических - из работы [15].
Проведенное варьирование параметров позволило оценить влия-
ние этих зависимостей на временные, температурные и качественные
характеристики процесса нагрева металла.
Результаты расчетов изменения температур центра и поверхности
неограниченной пластины при нагреве в печи представлены на рис. 3.5.
Видно, что наибольшее влияние на временные параметры процесса
оказывает неучет переменности теплоемкости cv. Задание среднего
значения теплоемкости cv в данном случае уменьшает расчетную про-
должительность нагрева почти на 20%. Такое упрощение при расчете
может привести к значительным ошибкам при конструировании на-
гревательного устройства, а конкретно - к несоответствию расчетной
и действительной производительности агрегата в сторону уменьшения
последней, что в дальнейшем явится причиной нерентабельности ис-
пользования обжимного или
прокатного оборудования.
На рис. 3.6 показано
влияние учета зависимостей
термомеханических парамет-
ров от температуры на мак-
симальные и остаточные на-
пряжения, рассчитанные на
основе данных задачи тепло-
проводности при перемен-
ных теплофизических пара-
метрах. Из графиков видно,
что значение максимальных
термических напряжений,
имеющих место в процессе
нагрева, практически не за-
висит от способа задания
термомеханических пара-
метров, в то время как зна-
Рис 3 5. Влияние учета зависимо-
сти теплофизических параметров
от температуры на динамику про-
цесса нагрева
96
Рис. 3.6. Влияние учета зависимо-
сти термомеханических парамет-
ров от температуры на расчетные,
максимальные и остаточные напря-
жения
чения остаточных напряже-
ний в конце нагрева сильно
разнятся. Если попарно срав-
нить эти напряжения с рас-
четными при всех перемен-
ных параметрах, то видно,
что наибольшее влияние ока-
зывает неучет зависимости
коэффициента линейного
расширения от температуры.
При постоянных параметрах
это влияние сказывается еще
больше. Оно может привес-
ти к ошибке в оценке оста-
точных напряжений в 3...5
раз в сторону их занижения
и явиться причиной прежде-
временного выхода из строя
валков прокатного или об-
жимного стана и снижения
качества проката.
Таким образом, неучет влияния температуры на теплофизические
свойства усугубляется усреднением физико-механических свойств при
расчетах нагрева металла перед прокаткой, т. е. любая замена перемен-
ных параметров на усредненные приводит к ошибке при разработке
технологии нагрева и, как следствие, к ухудшению технико-экономи-
ческих показателей оборудования.
3.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА
В НАГРЕВАТЕЛЬНЫХ ПЕЧАХ
3.2.1. Математическая модель нагрева металла в толкатель-
ной методической печи
Рассмотрим задачу сопряженного теплообмена в рабочем про-
странстве трехзонной толкательной методической печи с двухсторон-
ним нагревом металла [16]. Примем следующие размеры: длина печи
L = 21 м, длина методической зоны LMCT = 9 м, сварочной LCB = 7,5 м,
7. Зак. 5040. 97
томильной Lt0M = 4,5 м, средняя высота рабочего пространства печи
над поверхностью нагреваемого металла в пределах методической и
томильной зон Ямет = 1,5 м, в пределах сварочной зоны Ясв = 2,5 м.
В качестве параметров математической модели сопряженного те-
плообмена будем рассматривать следующие величины: половину тол-
щины нагреваемой заготовки 5, м; характеристики горения топлива
(низшую рабочую теплоту сгорания Q?, Дж/м3; теоретическое количе-
ство воздуха, необходимое для сжигания единицы топлива (стехиомет-
рическое число) Q , кг/кг; коэффициент расхода воздуха К? в; состав
продуктов сгорания (парциальные давления рСОг и рНг0, Па); теп-
лофизические характеристики тел, участвующих в теплообмене: коэф-
фициент теплопроводности X, Вт/(м-К); удельную объемную теплоем-
кость металла с', Дж/(м3К); среднюю удельную теплоемкость продук-
тов сгорания сРпх , Дж/(кг-К); степени черноты металла ем и кладки Е^.
Если указанные теплофизические характеристики зависят от темпера-
туры, параметрами модели являются коэффициенты в формулах, ап-
проксимирующих эти зависимости.
Входными переменными математической модели, значения кото-
рых при расчете теплообмена должны быть заданы по условию, являют-
ся: производительность печи (в расчете на единицу ширины) Р, кг/(м-с)
или скорость перемещения металла в печи и = Р! (28р), м/с (р - плот-
ность металла); общий расход топлива на печь ( в расчете на единицу
ширины) В, кг/(м с); распределение расхода топлива между сварочной
И ТОМИЛЬНОЙ зонами Хс, = Вс./5 И Хтом = Дом /В (Хс„ + Хтом = 1), где
Всв и Ртом - расходы топлива в сварочной и томильной зонах соответ-
ственно.
В качестве выходных переменных, значения которых определяют-
ся в результате расчета теплообмена, могут выступать: температура
поверхности заготовки Т“он и перепад температур по ее сечению
Д 7^он на выходе из печи; температура продуктов сгорания, покидаю-
щих рабочее пространство, Тп с вых; максимальная разность между сред-
немассовой и минимальной температурами заготовки на начальной
стадии нагрева (используется при оценке термических напряже-
ний) и т. д.
Если математическая модель применяется для прогнозирования
тепловой работы печи, например при проведении проверочных расче-
тов спроектированной печи, цель решения задачи сопряженного теп-
лообмена состоит в определении значений выходных параметров, в
частности температуры поверхности металла Т“он и перепада темпе-
ратур Д7^он, отвечающих заданным значениям производительности Р,
расхода топлива В и его распределения по зонам печи %св и хТОм • При
решении оптимизационных задач некоторые выходные переменные
являются заданными по условию (на часть из них накладываются ог-
раничения). а значения некоторых входных переменных подлежат оп-
ределению. Обычно существует множество значений входных перемен-
98
ных, удовлетворяющих условию задачи, поэтому возникает возмож-
ность выбора такого решения, которому соответствует экстремум ка-
кой-либо целевой функции (критерия оптимизации).
Простейшим примером может служить рассматриваемая ниже за-
дача о нахождении минимального расхода топлива, обеспечивающего
требуемое конечное температурное состояние металла. В этом случае
заданными по условию являются производительность печи и конечная
температура поверхности металла, на перепад температур по сечению
заготовки Д7^он накладывается ограничение Д7^он < Д7^онтах, а цель
расчета заключается в определении таких значений входных перемен-
ных В, Хсв и Хтом> Для которых указанные требования соблюдаются
при минимальном расходе топлива. Целевая функция в данном случае
совпадает с одной из входных переменных - расходом топлива.
Для упрощения математической модели примем следующие допу-
щения:
1) температуры металла, футеровки и дымовых газов постоянны
по ширине печи;
2) нагрев металла в методической и сварочной зонах является сим-
метричным, так что расчет теплообмена в этих зонах можно прово-
дить только для одной (верхней) половины рабочего пространства печи;
3) температуры футеровки и продуктов сгорания, заполняющих
сварочные зоны, постоянны в пределах каждой зоны;
4) в пределах томильной зоны температура поверхности металла
изменяется достаточно слабо, так что при решении задачи внешнего
теплообмена всю эту поверхность можно рассматривать как единую
расчетную зону;
5) плотность потока тепловых потерь через футеровку печи при-
ближенно равна плотности потока конвективной теплоотдачи от ды-
мовых газов к внутренней поверхности футеровки, поэтому лучистую
составляющую результирующего теплового потока на этой поверхно-
сти можно считать равной нулю;
6) лучистым теплообменом между сварочной и томильной зонами
можно пренебречь;
7) для всех поверхностных зон коэффициент конвективной тепло-
отдачи а имеет постоянное значение;
8) состав продуктов сгорания постоянен по всему рабочему про-
странству печи, а их средняя удельная теплоемкость ср не зависит от
температуры;
9) все тела, принимающие участие в теплообмене (металл, кладка,
продукты сгорания), являются серыми.
Введем систему координат, в которой ось ОХ совпадает с направ-
лением движения металла, ось О У перпендикулярна к его поверхности,
а ось OZ направлена по ширине печи. Начало координат выберем во
входном сечении печи в центральной плоскости заготовки, являющей-
ся плоскостью симметрии температурного поля. С учетом первого до-
пущения, справедливого при достаточно большой ширине печи, мож-
но считать, что рабочее пространство имеет бесконечную протяжен-
99
11 ость по направлению оси OZ, и проводить расчет теплообмена на еди-
ницу ширины печи.
Задача внешнего теплообмена. Применив зональный
метод решения задачи внешнего теплообмена, разобьем рабочее простран-
ство печи на расчетные зоны согласно схеме, приведенной на рис. 3.7. С
учетом указанных выше допущений будем рассматривать газовые объ-
емы в пределах сварочной II и томильной III зон как единые объемные
зоны, а соответствующие им поверхности кладки - как единые поверх-
ностные зоны. На поверхности металла в пределах сварочной зоны II
выделим пять расчетных участков длиной Lx = 1,5 м каждый, а в преде-
лах томильной зоны III будем рассматривать эту поверхность как еди-
ную расчетную зону. Для учета изменения температуры газа, кладки и
металла по длине методической зоны I разобьем ее на шесть одинако-
вых участков длиной L{ = 1,5 м каждый и выделим соответствующие
им поверхностные и объемные расчетные зоны.
Пренебрегая лучистым теплообменом между сварочной и томиль-
ной зонами, разделим рабочее пространство печи на две замкнутые в
радиационном отношении подсистемы, одна из которых включает ме-
тодическую I и сварочную // зоны, а другая - томильную зону II. Реше-
ние задачи внешнего теплообмена будем проводить для каждой из этих
подсистем независимо друг от друга, учитывая лишь конвективный
перенос тепла продуктами сгорания, поступающими из томильной в
сварочную зону.
Расчет внешнего теплообмена. С учетом указанных
выше допущений в пределах томильной зоны III можно выделить три
расчетные зоны (см. рис. 3.7): Г - поверхность металла, 2' - поверх-
ность кладки, У - газовый объем. Заданными величинами считаются
температура поверхности металла Тг, поток результирующего излуче-
ния на поверхности кладки Q^3 = 0 и результирующий тепловой по-
ток для объемной зоны Qr = -Qy, где в рассматриваемом случае мощ-
ность тепловыделения в газовом объеме Qy = Втом , а Втом = %том В -
расход топлива в томильной зоне. В результате расчета определяются
следующие величины: результирующий тепловой поток на поверхно-
сти металла Q,; температура кладки ; температура продуктов сго-
Рис 3 7. Схема разбиения рабочего пространства методической печи на расчетные зоны.
Стрелками обозначены направления движения топлива и воздуха (а) и продуктов сго-
рания (б)
100
рания, поступающих из томильной в сварочную зону, Ту (в дальней-
шем, при анализе внешнего теплообмена в сварочной зоне, будем обо-
значать эту температуру через 7^с(том) )•
В пределах методической и сварочной зон печи введем следующую
нумерацию расчетных зон (см. рис. 3.7): / = 111 для зон на поверх-
ности металла; i = 12,...., 19 для зон на поверхности кладки; / = 20,...,26
для объемных газовых зон. Итак, в данном случае общее число зон i - 26,
число поверхностных зон m = 19, число объемных зон п = 6.
Для расчета сложного теплообмена применим резольвентный зо-
нальный метод, позволяющий значительно упростить алгоритм и по-
высить эффективность численного решения задачи.
Определение разрешающих обобщенных угло-
вых коэффициентов излучения. Рассматривая все
поверхностные зоны (за исключением поверхности объемных зон) как
бесконечные полосы, расположенные в параллельных или перпендику-
лярных плоскостях, находим геометрические угловые коэффициенты
излучения (pfo между этими зонами. При расчете значений угловых ко-
эффициентов для поверхности кладки сварочной зоны используем свой-
ство замкнутости геометрических угловых коэффициентов излучения.
Для определения обобщенных угловых коэффициентов излучения
(pfo используем формулу
= <рй exp -2Х s? , k,i = 1,... ,26,
(3.28)
где kj - коэффициент поглощения газа в пределаху-й объемной зоны;
= 3,6 Vj IFj - эффективная длина пути луча дляу-й объемной зоны.
Зависимость коэффициента поглощения газа kj от парциальных дав-
лений pCOi и рНг0 в продуктах сгорания, эффективной длины пути
луча и температуры газа 7J может быть выражена соотношением
kj = (о,8 +1,6• 10-5Рн2о)(1 - 038• Ю-3 tJJ(Pco2+Ph2o)10s / ,
где Tj - температура у-й газовой зоны, К.
После нахождения обобщенных угловых коэффициентов излуче-
ния и коррекции их значений по свойствам замкнутости и взаимности
определяются значения разрешающих обобщенных коэффициентов
излучения 4fkt:
J
Определение степеней черноты. Считая газ серым,
степень черноты i - й объемной зоны найдем по формуле
е, =1-ехр(-Л,Лэф), z = 20.26. (3.29)
101
Степени черноты поверхностей металла и кладки будем считать
не зависящими от температуры и равными соответственно Ем = 0,8 и
£кл = 0’6 •
Определение коэффициентов радиационного
обмена. Рассчитав значения разрешающих обобщенных угловых
коэффициентов излучения, зная степени черноты всех зон и учитывая,
что все тела, участвующие в теплообмене, являются серыми, найдем
коэффициенты радиационного обмена:
«и = е*а0^(Тйе,. -8fc), k,i = 1,... ,26. (3.30)
Определение мощности тепловыделения в объ-
емных зонах. В пределах сварочной зоны (/ = 26) мощность тепло-
выделения определяется следующим выражением:
где Всв = 0,5%свВ - расход топлива в сварочной зоне (множитель 0,5
учитывает, что расчет производится для одной (верхней) половины сва-
рочной зоны). Объемное тепловыделение в пределах методической зоны
отсутствует: = 0 при i = 20,...,25.
Определение коэффициентов конвективного
обмена. Учтем, что потоки массы топлива и воздуха, вводимые в
сварочную зону, равны соответственно Всв и ВсвОКр в, а поток массы
продуктов сгорания, поступающий из томильной зоны, равен
(1 + Q Ар в ). Полный поток массы продуктов сгорания в рассмат-
риваемой системе
^п.с = (Д:в + ^том )(1 + Ф ^р.в)-
Учтем также, что, согласно одному из упрощающих допущений,
средняя удельная теплоемкость продуктов сгорания сРпл не зависит от
температуры. В этом случае для всех объемных зон, кроме сварочной,
g? = 0 (i = 20,... ,25), а для сварочной зоны (i = 26)
#26 = Срл Д:в + cpt Д:в^^р.в + cp,LC .с(то.м)Дгом 0 ^^р.в ) +
+ 273((српс -срт )Всв +(српс -сръ )BCBQApB),
где , Тъ - температуры топлива и воздуха; ср, ср* - средние удельные
теплоемкости топлива и воздуха в интервале температур от 273 К до Тт
и Тв соответственно.
Коэффициенты конвективного обмена для объемных зон
(/=20,...,26) в рассматриваемом случае вычисляются по следующи? ? фор-
мулам:
102
Ski
О, к * J; к * i +1, к * /;
аГ7 , k = j \
Cpllje ^n.c’ & = I + 1,
aS Fj + cpILC Gi
к J
, k = i,
где j - номера поверхностных зон, смежных с f-й объемной зоной.
Для поверхностных зон (/ = 1,19) получим gf = 0 и
О, к* j,k*i\
Sid ='<*Fi9 k = j;
7aFi> k = i,
где j- номер смежной объемной зоны.
Запись и решение системы зональных уравне-
ний. Поскольку целью расчета внешнего теплообмена на каждом шаге
итерационного решения сопряженной задачи является определение зональ-
ных значений результирующих тепловых потоков Q на поверхности
металла при заданных зональных значениях температур 7} (/ = 1,... ,11),
зоны на поверхности металла являются зонами первого рода (/, = 11).
Соответствующие зональные уравнения представляют собой явные фор-
мулы
й=х(в^пд)+?;. «=1.и,
по которым производится вычисление результирующих потоков после
нахождения всех неизвестных значений температур.
Зоны на поверхности кладки (/ = 12,... ,19) являются зонами вто-
рого рода: для них заданы значения потоков результирующего излуче-
ния Qp = 0, а искомыми являются температуры 7}. Объемные газовые
зоны (i = 20,...,26) также представляют собой зоны второго рода, для
которых известны значения результирующих потоков Q = , а тре-
буется определить температуры 7}. Итак, в рассматриваемом случае
общее число зон /Урода /2 = 15.
Зональные уравнения для зон на поверхности кладки и для объем-
ных зон имеют вид:
Хаи3?= 0, ( = 12, ...,19;
(3.31)
=0, i = 20,...,26.
к
(3.32)
103
Для решения системы уравнений (3.31), (3.32) относительно тем-
ператур зон второго рода Tj (/ = 12,...,26) перепишем ее, обозначив в
каждом уравнении через ~ сумму первых (Z( =11) слагаемых, опреде-
ляемых известными температурами зон на поверхности металла:
н
:, = 'Lah7k< 1 = 12,. ..,19;
к=\
Н
= / = 20, ...,26.
к=\
Подстановка этих величин в уравнения (3.31), (3.32) приводит их к сле-
дующему виду:
+ / = 1, ...,19;
*=12 (3.33)
26
Eta# )++£,“ + = 0, i = 20,...,26.
£-=12
В полученных уравнениях явно выделены слагаемые, содержащие
искомые температуры зон второго рода.
Применив для решения системы зональных уравнений (3.33) итера-
ционный метод Ньютона, обозначим их левые части через Ф,f (ТХ1,..., 7J6),
i = 12,... ,26, и найдем выражения для частных производных от каждой
функции Ф, по температурам Тк (к = 12,... ,26). Пренебрегая зависи-
мостью коэффициентов радиационного обмена от искомых темпера-
тур, получим
ЭфЛ4^, 1 = 12,...,19; (3 34)
1 = 20,... ,26.
Алгоритм, реализующий метод Ньютона в рассматриваемом слу-
чае, включает перечисленные ниже этапы:
1) задание начального приближения искомых температур Тк = 7^ \
к = 12, ..., 26; эти температуры в начальном приближении можно, на-
пример, принять одинаковыми и равными температуре продуктов сго-
рания на выходе из томильной зоны: 7^} = ТП.с(том) ’
2) вычисление “невязок” Ф, , i = 12,... ,26;
3) вычисление частных производных ЭФ,/Э^, А: = 12,...,26, по
формулам (3.34);
4) определение смещений &Тк,к = 12,... ,26, путем решения систе-
мы линейных уравнений
ЭФ- ЭФ
—1_д^ + ...+^.д^=Ф/, < = 12,...,26;
Э7[2 д*26
104
5) нахождение нового приближения искомых температур по фор-
муле 7^ = Тк - Д7£ , к = 12,... ,26;
|Д7^. / 7^| < Д , где Д-
6)
проверка условия окончания итераций max
заданная по условию величина, определяющая относительную погреш-
ность расчета;
7) присваивание новых значений переменным Тк\Тк = Тк\
Отметим, что для учета зависимости коэффициентов радиацион-
ного обмена от искомых температур объемных газовых зон необходи-
мо пересчитывать значения степеней черноты этих зон и разрешающих
обобщенных угловых коэффициентов излучения на каждом шаге ите-
раций.
Задача внутреннего теплообмена. Для расчета
температурного поля 7\х, у) нагреваемых заготовок в пределах мето-
дической и сварочной зон введем неподвижную систему координат, в
которой ось ОХ совпадает с направлением движения, ось О Y перпен-
дикулярна к поверхности нагрева, а ось OZ направлена по ширине печи.
Учитывая, что при нагреве металла в методических толкательных пе-
чах продольный перенос теплоты обусловлен главным образом движе-
нием среды, запишем уравнение теплопроводности:
, эг э (, этЛ
СЫЭх ЭД ду^
О < х < + Ц.в;
0< у<S,
(3.35)
со следующими граничными условиями:
во входном сечении печи (при х = 0)
(3.36)
где То - начальная температура металла;
в плоскости симметрии температурного поля (при у = 0)
Fu=°; <з-37)
оу и
на поверхности металла (при у = 5)
X^L.J= ?„(*)• (3.38)
оу 1
В силу допущений зонального метода плотность результирующе-
го теплового потока на поверхности металла является постоянной в
пределах каждой расчетной зоны. Таким образом, на протяжении ме-
тодической и сварочной зон (0< х< Д,ет + Цв)
qw(x) = Q/b, (/-1)4 <х</Д; / =
В пределах томильной зоны (L^CJ + L(.B<x< L)нагрев заготовок
является односторонним, поэтому расчет температурного поля необ-
8 Зак 5040.
105
ходимо производить по всей толщине металла, т. е. в области -5 < у < 5.
В этом случае вместо условия (3.37) следует записать граничное усло-
вие на нижней поверхности заготовки, которое при пренебрежении
отводом теплоты от этой поверхности принимает вид
ду 1
С учетом постоянства плотности результирующего теплового по-
тока на поверхности металла на протяжении томильной зоны в гра-
ничном условии (3.38) следует положить qw(x) = ILT0M.
Решим уравнение теплопроводности (3.35) с граничными условия-
ми (3.3 6)... (3.3 8) методом конечных разностей, описанным в гл. 2 при-
менительно к задачам нестационарной теплопроводности. Для того
чтобы более наглядно показать возможность использования этого ме-
тода в рассматриваемом случае, перейдем от координаты х к перемен-
ной t = х/ у, имеющей смысл времени, в течение которого некоторое
фиксированное сечение нагреваемой заготовки перемещается в печи на
расстояние х. В результате вместо уравнения (3.35) получим соотноше-
ние, совпадающее по форме с уравнением нестационарной теплопро-
водности:
,ЪТ д(. эт)
дт ЭД ду)
с начальным условием (при т = 0) 7(0,у) = 7J, граничными условиями
(3.38) при 0 < т < тмст + тсв и (3.39) при тмет + тсв < т < xL и граничным
условием второго рода на поверхности металла
, где
плотность внешнего теплового потока является кусочно-постоянной
функцией времени:
Q/Lj при(/-1)т1 <т<П|, / = 1,...,11;
2T/LT притмст+тсв <t<tl.
Здесь Т| =L\ / и - промежуток времени, в течение которого заготовка
проходит одну расчетную зону в пределах методической и сварочной
зон печи; тмет = / и, тсв = L^l и - продолжительность нагрева заго-
товки соответственно в методической и сварочной зонах; tL = Ы и - пол-
ное время нагрева металла в печи.
В результате расчета определим дискретное температурное поле в
моменты времени tk = k&t (к = 1,2,... ,kL), где Д/ - шаг по времени;
kL = tLl - число шагов, соответствующее полному времени пребы-
вания металла в печи. В дальнейшем будем использовать также сле-
дующие обозначения: кх - число шагов по времени, соответствующее
прохождению заготовкой одной расчетной зоны в пределах мето диче-
106
ской и сварочной зон печи; 7^ - температура поверхности металла в
момент времени тк.
Решение задачи сопряженного теплообмена.
Уточним содержание основных этапов алгоритма решения задачи со-
пряженного теплообмена.
1. Задание начального приближения температур расчетных зон на
поверхности металла 7? (/ = 1,... ,11) и Tv .
2. Решение внешней задачи: определение зональных значений резуль-
тирующих тепловых потоков на поверхности металла Q (/ = 1,... ,11)
и
3. Решение внутренней задачи: расчет изменения температуры по-
верхности металла по длине печи (к = 1,2,... ,XL), соответствующе-
го зональным значениям результирующих тепловых потоков, найден-
ных в п. 2.
4. Определение уточненных значений зональных температур
I} (i = 1,... ,11) и Tv путем усреднения температуры поверхности метал-
ла в пределах расчетных зон по формулам:
1 «Ь, 1 *4
?=т- ^т«’ > = Ь-Д1; # = * |.fc Ы,
*=(/-l)*l+1 *=Н*|+1
где kL -11&| - число шагов по времени, соответствующее нагреву ме-
талла в пределах томильной зоны.
5. Сравнение найденных температур с первоначально заданными
и проверка условия окончания итераций |т* - т| < Д, где Ти Т* - сово-
купности значений температур в предыдущем и последующем прибли-
жениях; Д - величина, определяющая погрешность расчета.
6. При необходимости продолжения итерационного процесса
присваивание уточненных значений температур Г* переменным Т
(т^=7^, / = 1,...,11, Tv = 7^) ивозвраткп. 2.
Определение минимального расхода топлива, обес-
печивающего заданное качество нагрева. Применим рас-
смотренную математическую модель сопряженного теплообмена для
определения минимального расхода топлива Bmin, кг /(м • с) (в расчете
на 1 м ширины печи), обеспечивающего достижение поверхностью ме-
талла заданной конечной температуры Ткон = 1500 К при перепаде тем-
ператур по сечению заготовки на выходе из печи ДТК0Н, не превышаю-
щем заданного по условию значения = 50 К.
Нагреваемые заготовки представляют собой слябы из малоугле-
родистой стали толщиной 26 = 0,3 м. Удельная объемная теплоемкость
стали с' = 5 Ю6 Дж/(м3 • К), коэффициент теплопроводности зависит
от температуры: X = 54 - 0,03 (Т- 300) Вт/(м • К) при 300 К < Т< 1100 К;
X = 30 Вт/(м • К) при Т = 1100 К. Начальная температура металла
То = 300 К.
107
Топливом служит смесь природного и доменного газов с теплотой
сгорания = 21,3 МДж/кг (20,9 МДж/м3). Расчет горения топлива по-
зволяет установить значения стехиометрического числа Q = 7,5 м и пар-
циальных давлений рСОэ = 10 кПа и = 16 кПа (при коэффициен-
те расхода воздуха /Срв = 1,1). Среднюю удельную теплоемкость про-
дуктов сгорания ср ориентировочно примем равной 1300 Дж/(кг-К)
(1625 Дж/(м3 К)). Температура топлива 7\ = 300 К, температура подогре-
ва воздуха Тв = 700 К. При указанных температурах с= 1500 Дж/(кг-К),
ср = 1000 Дж/(кг-К). Коэффициент конвективной теплоотдачи поло-
жим равным а = 15 Вт/(м2К).
Производительность печи (в расчете на 1 м ширины) Р = 2,92 кг/(м с)
(или 10,5 т/(м ч)); при этом удельная производительность (напряжение
активного пода) р = P/L = 0,139 кг/(м2 с) (или 500 кг/(м2ч)). Скорость
перемещения заготовок в печи и = РД26р) = 1,25 • 10"3 м/с (р = 7800 кг/м3 -
плотность стали). Интервал времени т|5 в течение которого заготовка
проходит одну расчетную зону длиной = 1,5 м, разобьем на десять
элементарных интервалов, т. е. положим к{ = 10, тогда шаг по времени
Дт = Li / (икх) = 120 с.
Рис 3 8. Изменение температуры верхней поверхности (а) и средней плоскости заго-
товки (б), а также нижней поверхности заготовки в пределах томильной зоны (в) по
длине печи. Горизонтальные отрезки представляют среднезональные температуры по-
верхности металла (штриховые линии) и дымовых газов (сплошные линии). Цифры
соответствуют номерам расчетных зон
108
Расчет выполнен в указанной ниже последовательности.
1. Задаем исходные значения хсв и Хтом> определяющие распределе-
ние топлива между сварочной и томильной зонами.
2. Подбираем расход топлива В таким образом, чтобы конечная
температура поверхности металла равнялась заданному значению Ткон.
3. Если при этом конечный перепад температур по сечению заго-
товки ДТКОН превышает максимально допустимое значение ДТ™*, пе-
рераспределяем топливо между сварочной и томильной зонами, умень-
шая значения хтом>если конечный перепад температур оказывается мень-
ше допустимого, т. е. режим является приемлемым; для нахождения
минимального расхода топлива следует сместить тепловую нагрузку к
концу печи, увеличив значение хтом-
4. Вновь изменяем суммарный расход топлива, приводя конечную
температуру металла в соответствие с заданной температурой Ткон, и
возвращаемся к п. 3.
Описанная процедура повторяется до тех пор, пока не будет най-
ден минимальный расход топлива, обеспечивающий требуемое качест-
во нагрева металла. Для рассматриваемого примера получим Bmin =
= 0,122 кг/(м с) (или 0,124 м3/(м-с)) при ХсВ = 96,5% и хтом = 3,5%. Соот-
ветствующие этим значениям распределения по длине печи температур
дымовых газов, температуры поверхности и центра нагреваемого метал-
ла приведены на рис. 3.8. Отметим, что немонотонное изменение тем-
пературы верхней поверхности металла в пределах сварочной зоны, ко-
нечно, не имеет никакого физического смысла и объясняется ступенча-
тым изменением плотности внешнего теплового потока по длине печи
вследствие допущений зонального метода.
3.2.2. Математическая модель нагрева металла
в печи стана 320/150 БМЗ (сопряженная постановка)
При математическом моделировании нагрева заготовок в печах с
шагающими балками необходимо учитывать особенности рассматри-
ваемых печей, а именно: геометрию нагреваемых заготовок и различ-
ную раскладку их на подине. В литературе имеется мало сведений о
влиянии взаимного расположения заготовок на закономерности про-
цессов нагрева. Немногочисленные исследования в данной области
показали [17, 18], что изменение шага раскладки заготовок примени-
тельно к нагреву металла в печах с вращающимся подом в значитель-
ной степени влияет на продолжительность нагрева и температурное поле
заготовки.
С учетом отмеченного сформулируем сопряженную математиче-
скую модель нагрева заготовок в печи с шагающими балками стана
320/150 БМЗ, которая должная учитывать основные факторы, опреде-
ляющие процессы теплообмена: тепловыделение за счет горения топ-
лива с учетом расположения горелок, наличие конвективного перено-
са теплоты, селективность излучения, сопряженность температурных
полей металла и печного пространства, геометрию заготовки, произ-
водительность печи.
109
Рассмотрим симметричный нагрев прямоугольных заготовок. Сим-
метричность задачи позволяет учитывать верхнюю половину рабоче-
го пространства печи (рис. 3.9).
Для математической модели сопряженного теплообмена по ана-
логии с моделированием теплообмена в методических толкательных
печах будем рассматривать:
1) геометрические параметры (размеры заготовок, высота до сво-
да печи, длина методической, сварочной, томильной зон);
2) технологические параметры (начальная температура металла,
производительность печи, расход топлива и воздуха, теплота сгорания
топлива, распределение топлива по зонам печи, температура подогре-
ва топлива и воздуха, состав продуктов сгорания топлива, коэффици-
енты теплоотдачи к поверхности кладки и металла, расстояние от фа-
кела до металла, толщина зон горения, степень черноты поверхности
металла и кладки, предельно допустимые температуры нагрева метал-
ла по зонам печи);
3) теплофизические параметры (коэффициенты в формулах, ап-
проксимирующих зависимости теплопроводности, теплоемкости, плот-
ности металла, продуктов сгорания от температуры).
Величинами, определяемыми в результате решения сопряженной
задачи теплообмена, будут: температурные поля по сечению заготовки
и в рабочем пространстве печи, тепловой поток и коэффициенты теп-
лообмена по длине печи, время нагрева, удельный расход топлива.
Очевидно, что дискретный характер расположения заготовок при-
водит к необходимости решения задачи радиационно-кондуктивного
теплообмена для системы сложной конфигурации. Следуя работе [19],
применим для решения задачи двухэтапный метод расчета. На первом
этапе дискретная поверхность заготовок заменяется условной плоско-
стью, что позволяет построить и реализовать традиционную зональ-
ную модель теплообмена. Расположение в представленной на рис. 3.9
расчетной схеме зон горения, а также основные направления движения
газов определяются характером отопления печи (боковое в зоне ша-
гающего пода, сводовое в зоне шагающих балок).
6 7 8 9 Ю
Рис. 3.9. Расчетная схема первого эта-
па решения сопряженной задачи теп-
лообмена для печи с шагающими бал-
ками
110
Принципиальным при построении модели является рациональный
выбор числа расчетных зон по тракту печи. С одной стороны, подроб-
ная дискретизация расчетной области по направлению движения ме-
талла позволяет получать довольно точное решение задачи, с другой -
существенно возрастает объем машинного времени. С учетом имеюще-
гося опыта решения подобных задач в осевом направлении печь разби-
ваем на 5 расчетных участков. Следовательно, общее число расчетных
зон при реализации первого этапа решения рассматриваемой задачи
составляет 24 (см. рис. 3.9).
Модель внешнего лучисто-конвективного теплообмена сводится
к системе нелинейных алгебраических уравнений теплового баланса
+ ieN2, (3.40)
А = 1
для зон второго рода. Здесь N- общее число зон (для конкретного при-
мера N = 24); N2 - множество номеров зон второго рода (N2 = 6,..., 24).
Тепловые потоки на поверхности металла вычисляются по явным
формулам
Q = Z(a^+?*,?)+??. (3.41)
A=l
где W| - множество номеров узлов зон первого рода (N\ = 1,..., 5).
Эффективные коэффициенты радиационного теплообмена в
формулах (3.40), (3.41) запишутся следующим образом:
м
«й = 1<хМ" . (3.42)
Ш=1
В выражении (3.42) вычисляются с помощью формул (3.28)... (3.30).
Для определения коэффициентов внутреннего теплообмена в вы-
ражениях (3.40), (3.41) запишем:
для объемных зон (/ = 13,...,24)
0, к* j\k*i + V,k*i\
aFj, k = j;
cpHi;Gnc^ k = i + l;
к = z;
для поверхностных зон (/ = 1,...,12)
8 la ~
0, к* j‘,k*i\
aFt, к = j:
-aFj, k = i.
Ill
Для зон горения имеем (в соответствии с рис. 3.9)
«1°4 = «п = -273)G*Mel> /2 + C,t(7>273)GB(Mel) /2 +
+ 273Ср^ ((7т{мет) + ^в(мет)Н 2,
«2°о = «22 = сРг (?; - 273)Gt(CB) / 2 + c,t (Тв - 273)GB(CB) / 2 +
+ 273 (Gr(CB) + Gg(CB)) 12,
g2°4 =cp,a -273)GT(IOM)/2 + Cpt(7;-273)GB(TOM)/2 +
+ 273c/>hc (G-^том) + GB(TOMj) / 2,
где cp , Ср , cp -теплоемкости соответственно топлива, воздуха, про-
дуктов сгорания; GT, GB - расходы топлива и воздуха в зонах; Тт, Тв -
температуры подогрева топлива и воздуха.
Находим мощность тепловыделения в зонах горения топлива
в рамках принятой расчетной схемы (рис. 3.9):
04 = 07 = О^метСО? /2; 02о = Qii = 0,5xCBGQ? / 2;
04=O,5xtomGQ?,
где G - общий расход топлива; %мет, %св, %том - коэффициенты распреде-
ления топлива по зонам печи. Остальные обозначения соответствуют
приведенным в работе [16].
В рамках сопряженной математической модели внешняя задача
(3.40), (3.41) дополняется внутренней задачей, которая, согласно мето-
дологии двухэтапного рассмотрения, записывается следующим обра-
зом:
(3.43)
гдет' = х/и (0<х<^);
Здесь и - скорость движения металла; F, - площадь условной поверхно-
сти t-й зоны металла; 6 - половина толщины заготовки.
Второй этап решения задачи (3.40)...(3.46) состоит в корректиров-
ке результатов расчета первого этапа с учетом переизлучения между
112
Рис. 3.10. Локальные зональ-
ные модели второго этапа ре-
шения сопряженной задачи
теплообмена:
а - методическая зона; 6 - сва-
рочная и \ эмильная зоны печи
заготовками, лежащими на поду печи с за-
зором. Для этого каждый из выделенных
участков печи заменяем соответствующей
локальной зональной моделью (рис. 3.10).
отражающей основные механизмы лучисто-
го теплообмена.
При формулировке локальных зональ-
ных моделей в качестве начального распре-
деления искомых функций используем реше-
ние, найденное на первом этапе. Поскольку
предварительно полученное поле темпера-
тур уже учитывает конвективный теплооб-
мен в печи, на втором этапе для каждого
участка внешняя задача становится задачей
только лучистого теплообмена. Поскольку
целью расчета на втором этапе является де-
тализация температурного поля металла, допустимо пренебречь изме-
нением температуры кладки и соответствующего участка печного про-
странства за счет реальной геометрии заготовок. Тогда задачу внеш-
него теплообмена можно свести к явным формулам для вычисления
тепловых потоков, действующих на заготовку:
н,
$ = ' = 1.2; /е^. (3.47)
Л=1
Здесь i = 1 и i = 2 означают соответственно горизонтальную и верти-
кальную плоскости заготовки; /V/ - общее число зон в локальной моде-
ли (Ni = 13 для методической зоны, N[ = 10 для сварочной и томильной
зон); а% - локальные селективные коэффициенты радиационного теп-
лообмена.
Внутренняя задача теплообмена на втором этапе расчета с учетом
условий симметрии сводится к двухмерной задаче нестационарной теп-
лопроводности для прямоугольника (квадрата), представляющего 1/4
поперечного сечения заготовки. Имеем:
c(7’)p(7’)^- = ^-[l(T)^-l+^-fx(7’)^-I ZelV,; (3.48)
ът, дТ
v 1 ду >=0 1 dz = 0, IgNi; (3.49) :=0
Э77
А.(7 j=5, = yr, leNt-, (3.50)
МГ)^ OZ z=6: = ^-> 7e(Vt; (3.51)
113
/еМ- (352)
Модель сопряженного теплообмена (3.40)...(3.52) реализована чис-
ленным методом на ПЭВМ типа IBM. Ниже приведены основные эта-
пы алгоритма решения задачи.
1. Задание начального приближения температур расчетных зон на
поверхности металла Т, (Т, = 1,...,5).
2. Решение внешней задачи (итерационным методом Ньютона):
определение зональных значений результирующих потоков на поверх-
ности металла Q (Q = 1,...,5).
3. Решение внутренней задачи: расчет изменения температуры по-
верхности металла по длине печи, соответствующего зональным зна-
чениям результирующих тепловых потоков.
4. Определение уточненных значений зональных температур 7} (7} =
= ) путем усреднения температуры поверхности металла в преде-
лах расчетных зон.
5. Сравнение найденных температур с первоначально заданными
и проверка условия окончания итераций.
6. Решение задачи внешнего теплообмена на втором этапе расчета
с помощью формулы (3.47).
7. Решение задачи внутреннего теплообмена (3.48)...(3.52).
3.2.3. Численная реализация задачи сопряженного
теплообмена
При построении алгоритма решения рассматриваемой задачи за
основу возьмем расчетную схему, приведенную ранее для исследова-
ния нагрева металла в толкательной методической печи. По аналогии
с ней для решения системы (3.40) запишем:
*=1
После подстановки этого выражения в систему (3.40) приходим к сис-
теме уравнений
24
п4+ Тк) + g,° + Qy + 3 = 0, i = 6,...,24. (3.53)
к=6
Обозначим левые части выражения (3.53) через Ф, (Т6, Т^,..., Т24),
/ = 6,... ,24, и найдем частные производные функций Ф, по температурам Тк
(к = 6,...,24). Примем коэффициенты радиационного обмена постоян-
ными. Их зависимость от температуры учитывается с отставанием на шаг
в итерационном алгоритме решения системы (3.53), т. е. они вычисляются
по температуре, полученной на предыдущей итерации. С учетом данного
допущения формулы для вычисления производных примут вид
114
-^r = ^T^gh, i =
dlk
Следующим шагом является решение системы линейных уравне-
ний относительно смещений температуры
ЭФ- ЭФ-
э^д2г+ -+э^д^4=ф'’ '=6’- ’24-
Далее находим новое приближение для температурного поля по
формуле
1* = Т-Д^, 1=6,...,24.
После проверки условия удовлетворения относительной погреш-
ности температур на двух последовательных итерациях заданному кри-
терию вся процедура решения системы (3.40) либо повторяется, либо
заканчивается. Когда температурное поле в зонах второго рода найде-
но, по нему с использованием формул (3.41) вычисляются тепловые
потоки в зонах первого рода, т. е. на поверхности металла.
Для решения задачи внутреннего теплообмена на первом этапе
расчета уравнение теплопроводности (3.43) аппроксимируется с помо-
щью неявной конечно-разностной схемы:
рП____рп—\ f рп _рп рп _рп
_ Л Ч Ч _ 1 у Ч+\ Ч у Ч Ч-\ ж/ ('i c/i\
С/Р/ —“ Т Л/+1/2 —77---------------------Л/-1/2 —72— ’1 6
Ат Л/ hi ht
где
V=^+i-w hl
f г"-1 +т,
1 1 z/+l 11
Л/+1/2 - Л ~—
=У1-У1-й
л-1
--- > Л/-1/2 “
f pn-\ + рп-}
= Х -ii-----
2
Краевые условия (3.44)... (3.46) аппроксимируются следующим
образом:
рП __ рп
-2----!l=0, it Ny (3.55)
ЛГ
ул _рп
М. ‘L 'L'' = &. ieNb (3.56)
Л] г/
Т^То •
I/ им
Систему разностных уравнений (3.54) решаем методом прогонки
[201. Для этого представим ее в виде
115
^rc‘Tz+B'T^=-F‘-
(3.57)
где4Ч^-;С'=4+в,+^; F‘=c^-
Формулы прямого хода прогонки имеют вид.
а = В' В = A'bi + fi
м Ct-Ap,’ ₽/+1 С,-4а,’
Начальные коэффициенты прогонки задаются из граничных ус-
ловий (3.55), (3.56): eq = 1, = 0. Температура
т _ + XL
iL O-L
Обратный ход прогонки реализуется с помощью рекуррентного
соотношения
/ = 1....Л-1-
Итак, решение рассматриваемой задачи на первом этапе расчета
реализует итерационный алгоритм последовательного решения внеш-
ней (уравнения (3.53)) и внутренней (уравнения (3.57)) задач теплооб-
мена.
Задача внешнего теплообмена на втором этапе расчета, как было
показано ранее при формулировке математической модели, сводится к
вычислению тепловых потоков на поверхности заготовок для каждого
расчетного участка печи (3.47). Найденные значения тепловых пото-
ков используются при решении задачи теплопроводности (3.48)...(3.52).
Последнюю аппроксимируем с помощью локальной одномерной неяв-
ной схемы, отвечающей расщеплению процессов теплопереноса по фи-
зическим факторам. Согласно этой схеме, на каждом временном шаге
решение задачи (3.48)...(3.52) заменяется решением последовательности
двух одномерных разностных задач:
л-1/2 л-1 , л-1/2 „л-1/2
U. —U. 1 , U, — U;
Ч;н 4,ni 1 '/л>+1 Ч,т
cl,mPl,m • \^/лн-1/2
л-1/2 _ л-1/2 А
h-
i e ,
(3.58)
где обозначения соответствуют принятым при описании параметров
уравнения (3.54);
----= 0, /е*,;
(3.59)
116
и"-'12-и"-'12
о м______
IM h.
-M
un-\ = Tn-\
4,m 4,m
w" -wn 1/2
4,m 4,m
cljn9ljn A /
ДТ
И’" - w"
Ч+\,т 4,
7+1/2, m
hl
wf - W”
lLm ll^\jn
—VL—= V 'ejV>
T.” =wn .
4,m 4,m
(3.60)
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
”^/-l/2,m
&
V
i €
Каждая из задач (3.58)...(3.61), (3.62)...(3.65) решается методом про-
гонки аналогично задаче теплопроводности, рассматриваемой на пер-
вом этапе расчета. На основе полученного решения вычисляются ус-
редненные значения температур горизонтальной и вертикальной по-
верхностей заготовки:
_ 1 М _ 1 L
т2=-^м>
М т=\ Ll=\
которые затем подставляются в соотношение (3.47), и итерационная про-
цедура повторяется до выполнения заданного критерия сходимости.
Таким образом, алгоритм расчета задачи сопряженного теплооб-
мена в целом состоит из двух последовательных итерационных алго-
ритмов, реализующих решения задачи на первом и втором этапах. От-
метим, что при определенных соотношениях задаваемых значений тех-
нологических параметров процесса этот алгоритм может приводить к
физически противоречивым результатам. Причиной этого является
неодновременное выполнение на каждой итерации двух условий сопря-
жения температурных полей в печи и металла на поверхности загото-
вок. В самом деле, согласно данному алгоритму, на каждом итераци-
онном шаге выполняется одно из условий сопряжения - равенство тем-
пературных полей или тепловых потоков, затем они последовательно
чередуются. В тех случаях, когда тепловые нагрузки на металл доста-
точно велики, после решения внешней задачи теплообмена на поверх-
117
ности заготовки могут быть получены настолько большие тепловые
потоки, что, согласно решению внутренней задачи теплопроводности,
поверхность металла достигает температуры, превышающей темпера-
туру газов в прилегающей объемной зоне. Это в свою очередь приво-
дит к неверному решению внешней задачи теплообмена на следующей
итерации, и далее итерационный процесс расходится. Для предотвра-
щения таких случаев на основе численной апробации в общий алго-
ритм решения сопряженной задачи теплообмена была включена про-
цедура релаксации, которая использовалась при вычислении значений
температуры поверхности металла на каждом итерационном шаге.
Согласно методу релаксации
где T^j - температура металла в j-й зоне на к-й итерации; у- параметр
релаксации. Наличие индекса у величины у означает, что в случае не-
обходимости параметр релаксации на основе численного эксперимен-
та может быть подобран индивидуально для каждой зоны. Параметр
релаксации после настройки по промышленному эксперименту зада-
вали следующей зависимостью:
y,=0,5-0,4U-l)/(J-l), y = l,...,J,
где J - число зон разбиения по направлению движения металла: J = 5.
Как показал вычислительный эксперимент, применение метода ре-
лаксации позволило увеличить скорость сходимости общего итераци-
онного алгоритма решения рассматриваемой задачи.
3.2.4. Идентификация сопряженной математической модели
Тестирование программного комплексного пакета, разработанно-
го на основании приведенной выше математической модели сопряжен-
ного теплообмена, выполнялось с использованием результатов экспе-
риментальных исследований, проведенных в условиях нагревательной
печи стана 320/150 БМЗ.
Расчетные данные изменения температурного поля заготовки в
характерных точках сечения приведены на рис. 3.11. Исходные данные
для расчета: производительность печи 51 т/ч; расход газа и воздуха -
соответственно 1550 и 15 500 м3/ч; температура подогрева воздуха 543 К;
температура посада заготовки 293 К; марка стали 70К; размеры заго-
товки 0,125 х 0,125 х 12 м.
Из рис. 3.11 очевидно удовлетворительное согласование расчет-
ных и экспериментальных данных изменения температур в характер-
ных точках сечения заготовки.
Таким образом, сформулированная и реализованная математиче-
ская модель сопряженного теплообмена может быть использована для
проведения численных экспериментов с целью выявления закономер-
118
Рис.3.11. Изменение температуры в контрольном сечении заготовки размерами
0,125 х 0,125 х 12 м:
--О--О--О- -расчетная кривая; ------------экспериментальная кривая
ностей нагрева заготовок в зависимости от шага их раскладки, марки
стали, размеров заготовки и др.
3.2.5. Анализ закономерностей нагрева заготовок
В ходе реализации численных экспериментов исследовали влия-
ние шага раскладки заготовок на изменение параметров теплообмена:
динамику температурного поля заготовки, удельного расхода топли-
ва, времени нагрева и др. При этом варьировали шаг раскладки, раз-
меры заготовок, марку нагреваемой стали, температуру посада заго-
товок.
С учетом зависимости производительности печи, времени нагре-
ва, удельного расхода условного топлива от межосевого расстояния
появляется возможность корректировки основных теплотехнических
параметров, что в конечном счете позволяет получать максимальную
производительность печи при минимальном расходе топлива с обеспе-
чением необходимой температуры нагрева заготовки в зависимости от
марки исследуемой стали.
Последующие расчеты нагрева заготовок выполняли при посто-
янном соотношении распределения топлива по зонам печи, характер-
ном для печей с шагающими балками рассматриваемой конструкции:
Хмет =30%, %св =60%, Хтом =Ю%. При этом рассматривались заго-
119
товки наиболее представительных групп марок сталей: средне- и низ-
коуглеродистой, низколегированной. Однако особое внимание уделе-
но расчетам нагрева кордовых сталей.
Обязательным условием было то, что в процессе нагрева заготов-
ка в любой точке не должна иметь температуру выше конечной, тре-
буемой по технологии нагрева. Рассматривали расположение загото-
вок с шагом раскладки S/D от 2,0 до 4,6 (диапазон шага раскладки оп-
ределяется с учетом возможности передвижения шагающих балок).
На основании результатов вычислений установлено, что наиболь-
шее влияние на продолжительность нагрева заготовок оказывает их
взаимное расположение. При изменении шага раскладки заготовок с
учетом конструктивных особенностей печей с шагающими балками (при
увеличении S/D от 2,0 до 4,6) время нагрева заготовок уменьшается
примерно в 2,3 раза независимо от диаметра заготовки и исходной про-
изводительности печи. При уменьшении времени нагрева возрастает
удельный расход топлива, причем это увеличение более значительно
при меньшей исходной производительности печи. Иными словами, при
значительной (Р > 100 т/ч) производительности печи целесообразно на-
гревать заготовки с большим шагом раскладки, а при низкой ( Р < 70 т/ч)
более предпочтителен нагрев с меньшим шагом раскладки.
Обобщение результатов численных экспериментов позволило раз-
работать оперативные способы расчетов (номограммы) основных ха-
рактеристик нагрева при различных значениях S/D. В качестве приме-
ра приведены номограммы для стали 70К (рис. 3.12) и низколегирован-
ной стали (рис. 3.13).
Практическое применение номограммы покажем для случая на-
грева кордовой стали (см. рис. 3.12). При заданном размере заготовки
и шаге раскладки (размер заготовки D = 0,125 м, расстояние между цен-
трами заготовок 5 = 0,3 м, S/D = 0,3/0,125 = 3,4) определяем относи-
тельное время нагрева х / ттах, где ттах соответствует времени нагрева
заготовок, лежащих вплотную друг к другу. Для этого проводим па-
раллель оси ОХ до пересечения с кривой времени (точка А) и опускаем
перпендикуляр вниз, определяя т/ттах=0,29. Продолжая параллель
относительно оси из точки А до пересечения с линией производительнос-
ти (которая является заданной величиной, принимаемой на основании
производительности стана, в нашем случае Р=70 т/ч) в точке В и про-
водя перпендикуляр на ось расхода топлива, определяем удельный рас-
О^В
ход условного топлива Ь = 42,6 кг у.т/т или по формуле b - ^qqq д ~
суммарный расход топлива на печь. После этого для производительно-
сти Р=70 т/ч проводим параллель оси ОХ до пересечения с кривой, со-
ответствующей заданному размеру (0,125 м, точка Q, и определяем
максимальное время нагрева ттах =5,0 ч. Тогда время нагрева заготов-
ки в печи т = ттах • 0,29 = 5,0 • 0,29 = 1,45 ч.
120
Рис. 3.12. Номограмма для определения характеристик нагрева мелкосортных заготовок
кордовой стали (сталь 70К) в печах с комбинированным механизированным подом
Tmex
р
Рис. 3.13. Номограмма для определения параметров нагрева мелкосортных заготовок
низколегированной стали в печах с комбинированным механизированным подом
121
Таким образом, с помощью представленной номограммы опреде-
лены все необходимые показатели процесса нагрева.
3.2.6. Математическая модель нагрева металла
в печи стана 850 БМЗ
Так как конструктивное оформление печей стана 320/150 отлично
от стана 850, отличается и построение самой математической модели
для конкретного варианта.
Поскольку нагревательная печь стана 850 характеризуется двух-
сторонним нагревом блюмов, зональная модель теплообмена должна
включать верхнюю и нижнюю части печного пространства. При раз-
биении на зоны будем стремиться к их минимальному количеству при
сохранении возможности учета всех основных особенностей теплооб-
мена в печи. Методическая зона печи неотапливаемая, поэтому в верх-
нем и нижнем строениях моделируется двумя зонами (рис. 3.14, зоны
13, 34). Для двух сварочных и томильной зон характерны различные
системы нагрева металла. В верхнем строении печи отопление сводо-
вое, поэтому она разбивается по высоте на 2 части (зоны 14...21). Снизу
нагрев осуществляется боковыми длиннофакельными горелками, по-
этому нижнее строение печи по высоте разбивается на 3 части (зоны
35...46). Разделение тракта печи на 5 расчетных участков (один - мето-
дическая зона, по два - на сварочную и томильную зоны) представля-
775
757
6J-1078
2)4381
8)-1388
9)-1443
10)4473
0-/525 (7)-435 { 0-/553 ; 1 0-/455 | 1 1 1 [Й]-Мв7 !
0-/255 ®-555 0-/4Z4 (з)4270 0-/4Z5 (4)-/355 0-/45/ (5)4435
1J i
@-427 0-552 @-552 0-/225 @4261 0-/347 @-/354 0-Z4/2 @-1426 0-/4J5
г > • 0-/475 • 1 1 ! 0-/454 i | 0-/457 { т ! 0-/445 ! i 1
0-1305 0-1315 0-/543 0-/4Z5
/454.
1409
[28)4295
29)4309
[30)-1323
[31)4392
Рис. 3 14. Зональная модель теплообмена в нагревательной печи стана 850
122
ется достаточным для учета динамики нагрева металла с приемлемой
точностью.
Итак, как видно из рис. 3.14, даже минимально допустимая дис-
кретизация поверхностей металла, кладки и печного пространства при-
водит к построению зональной модели теплообмена с 46 зонами. Дан-
ная модель используется для решения рассматриваемой задачи на пер-
вом этапе, когда последовательность заготовок металла заменяется
непрерывной плитой. На втором этапе для каждого расчетного участ-
ка по длине печи строится локальная зональная модель, с помощью
которой уточняются результаты решения на первом этапе за счет учета
переизлучения между заготовками, а также между верхней и нижней
частями печного пространства. Очевидно, что методическая, свароч-
ные и томильная зоны будут иметь 2 различных типа локальных зо-
нальных моделей, что объясняется различиями в дискретизации печно-
го пространства по высоте печи.
3.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАГРЕВА МЕТАЛЛА
В КОЛЬЦЕВЫХ ПЕЧАХ
3.3.1. Общие сведения
Вследствие значительной сложности теплообменных процессов в
кольцевой печи точное математическое описание ее тепловой работы
чрезвычайно затруднено. Исследования [21, 22] показали, что при по-
становке и решении нелинейных задач нагрева цилиндра нецелесооб-
разно рассматривать процесс теплообмена в сложной замкнутой сис-
теме селективно-серого излучения, как, например, в работе [19]. Здесь
предлагалось воспользоваться эмпирической зависимостью между по-
верхностными тепловыми потоками и межцентровым расстоянием рас-
положенных на адиабатном поду цилиндров, которая выражается сле-
дующим тригонометрическим полиномом:
222------ = 2^at coszAcp ,
Чтах. i=0
откуда находится значение приведенного коэффициента излучения
замкнутой системы среда - металл - кладка
6
<W<P) = ° ВИД max C0S,A(P •
/=0
Как указывается в работе [21], максимальное расхождение между
расчетными и экспериментальными значениями температур для харак-
терных точек сечения цилиндра при варьировании относительных зна-
чений межцентрового расстояния S/D не превышает 3...4%. Таким обра-
зом, возможно избавиться от процедуры вычислений локальных и обоб-
щенных значений угловых коэффициентов.
123
В основу моделирования положен принцип детального исследова-
ния внутреннего теплопоглощения металлом при достаточно коррект-
ном и надежном моделировании поверхностного теплового потока [18].
При этом закономерности математического моделирования выявлены
на основании результатов промышленных экспериментов, приведен-
ных в гл. 1.
3.3.2. Математическая модель процесса нагрева цилиндров
Математическая модель задачи несимметричного нагрева “корот-
кого” цилиндра запишется следующим образом:
дт г\дг дг) г~ дф^ дф J
dzV dz ) Т = Цг,ф; г, т); (3.66) (3.67)
0<г</^ 0 < ф < л; 1 0 < z < А; т > 0 J (3.68)
с начальным условием TQ = 7{г;ф;г;0) и граничными условиями: (3.69)
Х(7>|Л = ах(<р)(£-7); r=R 1(7)^] =az(Tc-T). °z ==н (3.70) (3.71)
В формулах (3.66)...(3.71) р(7), с(7), 1(7) - соответственно плот-
ность, теплоемкость, теплопроводность материала цилиндра; г, ф, z -
текущие значения соответственно радиуса, угла, продольного разме-
ра; az = ал + ак; Тс = Тс(т) - текущая температура среды (печи);
ал =авто(ф)(£ + ^)(гс + Тм); (3.72)
6
^вид(ф) = вид max COS/Дф .
i=0
Записываем уравнения теплового баланса. Для удобства выпол-
нения теплотехнических расчетов кольцевая печь представлена развер-
нутым каналом постоянного сечения и разбита на расчетные элемен-
124
тарные зоны, в том числе 35 отапливаемых и 5 неотапливаемых. Таким
образом, использовали зональный метод расчета по одноразмерной
схеме [2]. Геометрическая модель печи и схема расчетной ячейки пред-
ставлены на рис. 3.15. Предполагается, что печь работает в стационар-
ном режиме и металл загружается с равномерным или заданным на-
чальным распределением температуры.
Уравнение теплового баланса элементарного расчетного объема
запишется следующим образом:
(3.73)
56.6 м
15,5 м 110,65 м 110,85 м | 10, 65м | 874м I
5
Tk,l
TCit1 Tci Tci-i fat
Газы
Металл
Рис. 3.15. Упрощенная геометрическая
модель кольцевой печи и схема расче-
та ячейки:
a - схема и размеры рабочих зон кольце-
вой печи стана 250 (/ - неотапливаемая
зона; II... V - отапливаемые зоны); б - раз-
бивка на элементарные расчетные зоны
при движении теплоносителя, металла и
окалины; в - подача топлива в элементар-
ную расчетную зону и расположение ме-
талла; г - кладка печи (/ - шамот; 2 - ша-
мот-легковес, 3 - диатом. 4 - картон, 5 -
металл)
125
где В, - расход топлива (природного газа) в единицу времени, м3/ч; QP-
низшая теплотворная способность топлива, кДж/м3; 2ф - физическая
теплота, внесенная единицей объема воздуха, кДж/м3; Вк - расход топ-
лива в текущей зоне, м3/ч; Уа, с - соответственно объем (м3/м3) и тепло-
емкость (кДж/(м3 К)) продуктов сгорания; Дт - продолжительность пре-
бывания металла в элементарном объеме, ч (известна); 2ЭКЗ| - тепло-
вой эффект реакции окисления железа, кДж; j - потери теплоты че-
рез кладку в зоне z, кДж; 2м /_ количество теплоты, усвоенное метал-
лом в зоне z, кДж.
В соответствии с описанными результатами экспериментальных
исследований (см. гл. 1) уравнение теплопроводности (задача внутрен-
него теплообмена) несколько упрощается:
для двухмерного нагрева
с(7)р(7)^- = Х(7)
(д2Т 1ЭГ
—у*——*
I Эг2 г дг
1 эМ эхэт 2_эхэг.г, 74.
г2 Эф2) + Эг Эг + г2 Эф Эф’
Дг,(р,0) = Tq = const;
Х(Тп)^-=ах(ф)(5(ф,г)-Тп);
Эг
(3.75)
(3.76)
для осесимметричного нагрева “неограниченного” цилиндра
с(7)р(7)^=Шд(/)^} (3.77)
Эт г dr V дг )
Т(гМ>) = ^ = const; (3.78)
Х(^)^ = ах(ф)(^(т)-^). (3.79)
Здесь следует отметить, что граничные условия вида (3.70), (3.71),
(3.76), (3.79) видоизменяются в связи с учетом в левой части толщины
слоя окалины. Имеем:
трнар _тг’вн
КЛТжх) = °»1 ок| = ах(ф)(Тс - Гп);
ОокСО
у-нар _<трвн
f °*2 = а(Тс - Тя),
Oqk W
(3.80)
(3.81)
где Т0“ар, Тов“ - температуры соответственно с наружной (обращенной
к факелу) и внутренней поверхностей окалины; индексы “1” и “2” от-
носятся соответственно к боковой и торцевой поверхностям.
Теплофизические характеристики металла и окалины аппрокси-
мированы следующими зависимостями:
126
X (7) = Хо +а.| —— |-
\iooj
«2
^-Лоо-
(3.82)
Хок (7) =0,73+0,0002
( t Y
<;м(7) = со+а||у^1 +а2ехр(-аз/(/-'о));
сок(7) = 0,15+0,017[—|;
1100)
(1+а,(/-20))’
(3.83)
(3-84)
рок =4000 кг/м3,
где/= Т-273.
В результате применения аппроксимаций (3.82)...(3.84) получены
удовлетворительные результаты при математическом моделировании
высокотемпературных процессов, особенно для температурного диа-
пазона 1100... 1300 °C, что представляет значительную ценность. В на-
шем случае средняя погрешность аппроксимации при вычислении ко-
эффициента теплопроводности и истинной теплоемкости составляет
соответственно ±1,5...2,5 и ±2,2...4,9%.
3.3.3. Численная реализация задачи
Запишем векторную модель рассматриваемого короткого цилин-
дра в соответствии с рис. 3.16:
^Дг,Дф,Дз,Дт = Фдг ®Дф + ^Дз ± ®Дс ,
где
(Од, = {г* = АДг; Х = 0,1,2,...,/сг; Ьг(кг -1/2) = rj;
®ДФ = {ф/ = /дФ- / = О,1,2,...ЛЧ); Дф(хф-1) = л};
(Од, = {zw = znAz, n? = 0,1,2,-1 / 2) = ft};
йдт = {т„ =лДт, и = 0,1,2,...}.
Следуя основной идее метода Дю-Фора и Франкела, частные про-
изводные уравнений (3.66), (3.74), (3.77) заменим конечно-разностны-
ми аналогами:
127
Рис. 3.16. Сеточная модель ограниченного цилиндра (штриховыми линиями обозна-
чен исходный контур)
ЭР(х) = Р(х+Дх)-Р(х-Дх). (3 85)
Эх 2Дх
Э2Р(х) _ Р(х+Дх) -2Лх) + Лх- Дх)
----------------------------------• 0-86)
Кроме того, температура в центральном узле в момент времени п
заменяется среднеарифметической в моменты п + 1 и п - 1
Р(х) = ^Лх) + Лх)^, (3.87)
где обозначения “л”, “v” соответствуют временным слоям иДт,
(п + 1)Дт и (и - 1)Дт.
Выражения (3.85)...(3.87) подставим в уравнение (3.66), предвари-
тельно преобразовав последнее к виду
дт ЭХЭГ 1, ЭГ , Э2Т 1 эхэт
Эт or dr г dr drz г Э(р dtp
i.a2r эхэт э2т
г2 Э(р2 Эг Эг Эг2 *
После преобразований получим расчетные значения температуры
на (п + 1)-м временном слое:
128
TkJ.m ~
& “ Tk+U,m
k+\,l,m A'k-lj,™ Af
^k,l.m ~r
^k+lj,m ^k-\J,m
< ^k,l,m
^kj+l,m ~ 'h'kj-l.m
^k,l,m ,
^k,l,m+l ~^kJ,nt-\
^kj,m ,
। j Ckj,mPk,l,m
2AtX^jm
&Г
2r
। ^£,/+I./h ^kj-\.nt
!kj+l,m'
,2
Tk,l,m+l
^k,l,m+l ^k,l,m-\
^k,l,m
ck,l,mPk,l,m
1 ______1
Ar2 r2A(p2
1 1 1
Ar2 r2A(p2 Az2
1
+ ?
0<&<&,.; 0</<&ф; Oc/ncfc-.
2АтХ^im k
Аналогично записываются условия симметрии (3.68):
Т(к ,-1,/и) =
-1, w) = ЩЛф +1,^),
0<k<kr; Q<m<kz;
Т(к,1,-Х)=Т(к,1,Г),
0<к<кг; 0<1<к^.
Для определения температуры оси цилиндра (оси OZ) используем
сеточный шаблон в декартовой системе координат (рис. 3.17). Соглас-
но введенным здесь обозначениям, для определения указанной величи-
ны имеет место следующее соотношение:
Рис 3 17. Шаблон для вычисления температуры по
оси OZ
9 Зак 5040.
129
,2
'k,l,m+\
у ^k,l,m+\ ^k,l,m-\
^k,l,m+ д
•k,l,m
^k,l,m+l ^k,l,m-l
2
^k,ltmPk,l,m л
~ A Г ^к,!,т
J_________1_
Дг2 Д(р2
1 И] ^kj,nfik,l,m л
T ПА Г--------------+
1
,2
1 1
Дг2 Д(р2 Дг
В нашем случае Д(р выбрали таким образом, чтобы число разбие-
ний £(р было кратно двум. Введение фиктивных слоев позволяет опре-
делять температуру по поверхностям из следующих соотношений:
на цилиндрической
на торцевой
К» =(Tkr^ks + Tk^)l2-,
в месте сопряжения цилиндрической и торцевой поверхностей (на
грани)
Tl ~ (Tkrfl k: + Tk -X i kz + Тк -Х1к__х + Tkf / 4 ,
где 0 < I < fc(p.
Для определения температур на фиктивной поверхности (окружаю-
щей цилиндр) из условий (3.70) и (3.71) получим выражение
Т —Т ff'rVr 7ЦИЛ Ул
V у ' )
В дальнейшем используем рекомендации [24] и приходим к урав-
нению вида
х4 + ах+6 = 0, (3.88)
130
где
(wr,™)
a = ;2 + a
Дк
Z> =
Tr
100
100
a^d.Acp,^)’
ЦТ,"J?) л
—~~2Tk _,,„ + aTr
/\У *ГУ^' 1
(3.89)
(3.90)
C.na(/^<P,W)
Вычисление корней уравнения (3.88) можно вести как методом
Ньютона, так и по алгоритму [25]
- 74 - а, +727(4-л2)2+3(4+ л2)2
к>
2
1 А — А
cos - arccos — -— + 3( 4 + 4>)2
. 2 (4-4)2 1 2
(3.91)
где
2
Как показывает последующий анализ, процесс расчета темпера-
тур с использованием формул (3.88)...(3.91) сходится быстро. Так, уже
второе и третье приближения для нашего случая совпадают до четырех
значащих цифр.
Для случая несимметричного нагрева неограниченного цилиндра,
сеточная область которого представлена на рис. 3.18, а, имеем
Рис. 3.18. Расчетная схе-
ма:
а - сеточная область ци-
линдра; б-к определению
температуры на оси цилин-
дра
131
где
Т,уЛ=0,5(7)М+1 + 7,уЛ._1),
K,j,k
ciJ,kPi,j,k^r
ci J ,кР i,j ,к^Г
1 Ar2
г2 А(р2
((1 +
1 Аг2
^•2 Дф2
Для определения температуры на оси цилиндра (г = 0) рассмотрим
систему узлов, состоящую из центральной точки и четырех точек, в со-
ответствии со схемой, изображенной на рис. 3.18, б.
Имеем
7.М+1
2\,j,k
Ci,j.kPi,j.k^2
+-----, Дтх
Ci,j.kPi,j.^
X 0,5 +
ci,j,kPi.j,k^r~ ,
^i+\,j,k ^i-l.j,k
^ij,k
^ij,k
В данном случае число узлов по координате (р в интервале [0,2л] при-
нимаем кратным четырем. Значения 1, с, р соответствуют температурам в
узлах сеточной области в начале каждого расчетного интервала времени.
132
Для расчета осесимметричного радиационно-конвективного нагре-
ва массивного кругового цилиндра по явной сеточной схеме разделим
радиус R на N слоев равной ширины Дг = R/N. Заменив в уравнении
(3.77) производные отношениями конечных приращений, получим:
дт _ Tjyk+\ Т,к . дт _ У+I.A; ~ Tj-l.k . ЭХ _ Х/+1 д. -Х/|Л
Эт Дт ’ dr 2Дг ’ dr 2Дг
д2Т_ Т+и ~27i,k + 7-и
dr2 Дг2
х[(7+1Л - +
Здесь i - 1,2,3,..., /V - 1 - номера узлов, начиная от оси.
Для оси цилиндра, как известно, исходное уравнение (3.77) запи-
сывается в виде
с(7)р(Г>з£ = 2Х(7)^4>
от dr"
(3.92)
а соответствующее уравнению (3.92) сеточное уравнение - в виде
X
^+1 - Кк +4------°ЛА 2 Дт(^л “?),*)•
Граничное условие (3.79) учитывается путем введения фиктивно-
го полуслоя у поверхности цилиндра по аналогии с указанным выше
алгоритмом.
Приведем уравнение (3.66) к виду
dT
с(Т)р(7)—= Х
ОТ
d2T 1 dr
. —г + “Т"
, dr2 Г dr
ЭХЭТ
dr dr
(3.93)
Подставив значения производных в уравнение (3.93), найдем со-
отношение для схемы Дю-Фора и Франкела:
Т.*+1 = - ^)+
с/лр,лДгЦх 2г/ I 2г/
1 ^i+\,k ^i-\,k
4 Кк
(3.94)
Произведя в уравнении (3.94) замену X, к / (c/Jtp/Jt) =aj k и введя в
последнее соотношение величину П = a, kДт / Дг2, получим
7*+i = 7t + n-^-fi+—fi+—l(7+i*-T*)+
/.к + 1 i.K max дл । Jx i’K/
а1,к \ ™i.k \ /
133
k/+U ~k,-u
^i,k
1 Vr
--- I 4-1 Ic
21 / ' U
Здесь i = 1,2,3,...Л-1 = i^r).
На оси цилиндра величина 1 / г дТ/дг представляет собой неоп-
ределенность вида 0/0. Воспользовавшись правилом Лопиталя, можно
показать, что |1 / г • Э / дг|г_*0 = д2 77 dr2. Таким образом, уравнение (3.93)
для оси цилиндра можно записать в виде
ЭХдТ
с(7)р(7)— = 2Х—у + — — .
dr dr or dr
(3.95)
Соответствующее уравнению (3.95) сеточное уравнение имеет вид
Ъы = Тик+ 4П-М1 + . (3.96)
а0,к к J
С учетом уравнения (3.96) уравнение (3.93) можно записать так:
А (^л+1 ~ 7л-1) = “^(^+и “2^ + Tt_x k) +
ZugZXT (Iq
+ 7“”(k/+U “ K-i,k^Ji+i,k - + ~ 7-1,*)-
ча0 «о r
Заменив в последнем уравнении 7^ на 0,5 (^л+i + Ул-i), получим
т(Ъ,к+1 - 7л-1) “ ~(?i,k+\ + 7л-1) + -^Х
а0 ао
откуда
Т,к+\
где т= Аг2 / (2л0Дт); а0 = ах_х - const.
Граничное условие (3.79) учитывается путем введения фиктивного гра-
ничного полуслоя. В этом случае граница сечения тела помещается посере-
дине последнего (граничного) слоя сечения и принимается соотношение
134
Zi 0,5( 7y + 5фикт) •
(3.97)
Заменив в уравнении (3.77) производную ЪТ!Ъг отношением
(Тфикт ~ TN) / Дг , можно получить для температуры в фиктивном полу-
слое
h-^lr +аДгт
г А 2хг+1гг
фикг 1+аДг/(2Х)
(3.98)
Следует иметь в виду, что учет граничных условий с помощью
формулы (3.98) вполне корректен.
В нашем случае коэффициент
а =с (т;/1оо)4-(тп/1оо)\ ,
'-'вид Т — Т ’ ^вид ^вид "
Воспользовавшись формулой Ньютона и методом последователь-
ных приближений, получим
где ^фикт>^икт “ значения температур в фиктивном полуслое для при-
ближений п и п+1.
Функцию /(Тфикт) получаем, перенося в правую часть члены урав-
нения (3.77):
/(w = - £)-<*(£ - т„).
Используя замену производной отношением дТ1Ъг = ( - TN) / Дг,
а также выражение Тп = 0^5(7^^ + 7[), получаем:
/(^икг) = ^фикг-^)-
-О.ид[^ ~(1| + W4 - “(^ - ))}
V 1о )
f (^фикт)= "* 0>25<увид(Тфикт + 7\) +0,5а.
Формула для вычисления температуры Тфикт методом последова-
тельных приближений имеет вид
йг" = (ГФикг - 7?) -0».ш ( Г, + Тфиет / )-
-а(Тс-0,5(ГфИ|ст +Т, ))}ДА + 1а+1авия(7; + Гфикг)’} (3.99)
135
В качестве исходного приближения 7фИКТ можно использовать зна-
чение 7фикт, найденное по формуле (3.98) при температуре поверхности
в начале интервала т0.
Порядок вычисления температур в массивном цилиндре предусмат-
ривает в первую очередь определение температур во внутренних узлах
сетки в момент тЛ+1 по известным значениям температур во всех узлах
сетки в момент хк с применением формулы (3.94). Далее по формулам
(3.98) и (3.99) находим температуру в фиктивном полуслое у поверхно-
сти, после чего рассчитываем температуру поверхности по формуле
(3.97). После этого расчет может быть повторен для следующего интер-
вала времени.
Входящее в уравнение (3.73) количество теплоты, выделяемой при
окислении металла, находим по формуле
Q3a = Q,Ki^-2nRn,
аХ
где бо = 5000 кДж/кг - тепловой эффект реакции окисления железа;
Ki = 0,778 - коэффициент, полученный из предположения, что окалина
состоит в основном из вюстита FeO; М - масса образовавшейся окали-
ны, кг; п - число заготовок в i-й зоне.
Расчетное выражение для тепловыделения всего окислившегося
слоя металла в i-й зоне примет вид
(3.100)
где 5, - 5,_i - толщина окислившегося слоя в расчетных элементарных
зонах.
Для вычисления окалины окислившегося слоя воспользуемся пред-
ложенным Е. И. Казанцевым [26] соотношением
<й,2/Л = 0,5/^, (3.101)
где К2 - постоянная окалинообразования, найденная из уравнения
к2 =ехр(-10 125/747,25). (3.102)
С учетом формулы (3.102) уравнение (3.101) после соответствую-
щих преобразований принимает вид
б, = д/б?_1 + Дт-0,5 ехр 2 -
10125
-у—+ 7,25 .
с* Л
(3.103)
Кладка кольцевой печи схематически показана на рис. 3.15, г.
В широком диапазоне температур (до 1200... 1400 °C [26]) коэффициен-
ты теплопроводности шамота, диатома и асбестового картона имеют
136
линейную зависимость от температуры. Представляется возможным для
определения потерь через кладку и соответствующих значений темпе-
ратур на поверхности ее слоев составить следующую систему уравне-
ний:
<7о"“1 =о^((Гсв7100)4 -fa/ioo)4 )+аГ(т; -?[)- (3.104)
0КЛ(Г)М^/ЮО) (W100)*}
лш А*ср Z #1-2 “T~(Z1 ~'1У, <1 ш ^ср — 1Ш1 - Ло1 1+ЬШ 1\ +Z2\ 2 / (3.105)
ЛШ Л #2-3 =7~(*2 ~'з); Ощ.Л 1Ш.л _ лш.л Лср - Л0 1 1 Т,7Ш Л 2 1’ (3.106)
1д <73-4 =-^0: Од з “М; 1+бд h + z4 \ 2 / (3.107)
#4-5 “ о ( О карт А-М; ХТ=Х0₽Т(1+\арт-4^) (3.108)
И, ?5-6 = - 1м| • “ Ло1 1 + Z5 + Z6 \ 2 / (3.109)
#6-7 “ ^прив / у-нар \ Jooj 4 f у-нар U°°J 4> ) + ак(С’’-Тв)> (3.110)
где t-T-273.
Для составления выражений (3.104)...(3.110) использованы извест-
ные решения [4]. Здесь Х^р, Х“рЛ , Хлр, Х^1*, - среднеарифметиче-
ские значения коэффициентов теплопроводности соответственно ша-
мота, шамота-легковеса, диатома, картона и металла; /свн , /снар - темпе-
ратуры внутри и снаружи печи; /ь...,/6 - соответственно температуры в
точках соприкосновения слоев кладки, причем = /(сц) [4];
#0-1 = #1-2 = #2-3 =---=#6-7-
Расчетная формула для вычисления количества теплоты, усвоен-
ной металлом, в общем случае имеет следующий вид:
См / ~ ^м 0*м / “ zm /-1) ’
где Мм - масса нагреваемых изделий, кг; /м, - конечная и началь-
ная энтальпии металла, кДж/кг. В свою очередь /м; - /м= А/ = см (!)! ,
где / - среднемассовая температура нагреваемого металла.
10 Зак 5040.
137
При нагреве цилиндра конечных размеров неравномерным тепло-
вым потоком для нахождения среднемассовой температуры использу-
ется соотношение
। Rnz~H
= Jt(r,^,z,t)rdrd<fdz. (3.111)
Н о о г=о
При симметричном нагреве неограниченного цилиндра выраже-
ние (3.111) упростится и примет вид
2 R
!(.<)=—^jt(r,t)rdr .
лк 0
В процессе численного решения внутренней задачи и при разбие-
нии расчетной области на элементарные объемы для расчета средне-
массовой температуры целесообразно использовать выражение [24]
1 MNP
1 ~ мкр XXX
(3.112)
где М, N, Р- число разбиений по расчетным направлениям.
Для случаев нагрева неограниченного цилиндра и цилиндра ко-
нечных размеров процедура вычисления QM j базируется на следующих
выражениях:
М 1 м
। м । м
Й/=»Л4^((0—-с(-|(0-^2л,_, J;
( 1 М N Р
Qli = «К с.(ОЪЪЪ 1к.1„,-
I MNPk=M=lm^\
-с>-|(0
1 М N Р А
(3.113)
(3.114)
где М - число разбиений по радиусу г N - число разбиений по оси ци-
линдра OZ; Р - число разбиений по углу (р.
Рассмотренные математические модели несимметричного (3.66)...(3.72),
(3.74)...(3.76), (3.77)...(3.79) и симметричного нагрева в комплексе с урав-
нением теплового баланса (3.73) реализуются по следующей схеме:
1) задают закон изменения гс(т), фактический (необходимый) тем-
пературный перепад Дг = rmax - rmin и общую продолжительность на-
грева тобш;
2) вычисляют значения теплофизических свойств металла (3.82)...(3.84),
окалины, а также <5™^ и а™™ (<р);
138
3) производят расчет процесса внутреннего теплообмена при за-
дании граничных условий (3.70), (3.71) и (3.80), (3.81);
4) параллельно с расчетом температурных полей в цилиндре осу-
ществляют вычисления 6, (3.103), бэкз, (3.100), <2КЛ, (3.104)...(3.110);
5) с учетом температурного поля в металле вычисляют значения
среднемассовой температуры в неограниченном цилиндре и цилиндре
конечных размеров (3.112), а затем бм/ (3.113), (3.114);
6) при достижении тобщ или Дг осуществляют с учетом противото-
ка расчет продуктов сгорания и расхода топлива для каждой элемен-
тарной ячейки от 40-й до 5-й по формуле
i mrcicci-BkTcMccM
в _ *=40______________________________Ж_________
' (Я+Ч.-РаСЛ
Приведенные математические модели нагрева цилиндров
(3.66)...(3.72), (3.74)...(3.76), (3.77)...(3.79) адаптированы в реальных тех-
нологических условиях работы осепрокатного цеха. Результаты пара-
метрической настройки математических моделей приведены на рис.
3.19...3.21, из которых очевидно, что максимальное расхождение дан-
ных расчета и эксперимента имеет место в начале нагрева и в интерва-
ле температур металла, в котором происходят фазовые превращения.
Это дает основание использовать разработанные модели нагрева для
исследования закономерностей нагрева цилиндрических заготовок в
кольцевых печах.
т
Рис. 3 19 Сравнение расчетных (----) и экспериментальных (-а-а-) кривых тем-
ператур в цилиндре диаметром 0,23 м при нагреве на гладкой подине
139
Рис 3 20. Сравнение расчетных (---) и экспериментальных (-д-д-) кривых тем-
ператур в цилиндре диаметром 0,29 м при нагреве на гладкой подине
т
Рис 3 21. Сравнение расчетных (---) и экспериментальных (точки) кривых темпе-
ратур в цилиндре диаметром 0,27 м при нагреве па деформированной подине
140
3.3.4. Влияние расположения заготовок и кантования
на производительность печи
Использование зависимости производительности печи и времени
нагрева металла от межосевого расстояния дает возможность произво-
дить корректировку основных теплотехнических параметров, что в
конечном счете позволяет исключить передерживание металла в печи и
получить максимальную ее производительность. Следует отметить, что
подобные исследования были проведены ранее, однако без учета влия-
ния торцевого эффекта. Для нашего случая задача сформулирована
следующим образом: необходимо нагреть цилиндр диаметром 0.29 м и
длиной 0,89 м из среднеуглеродистой стали, близкой по химическому
составу к стали ОСВ, при постоянной температуре печи гпеч = 1200 °C,
причем времени окончания нагрева соответствует достижение самой
“холодной” точкой в цилиндре температуры 1200 °C. Начальная тем-
пература цилиндра принята равной 20 °C. Значения межцентрового
расстояния S/D: 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4,0.
В табл. 3.2 даны значения коэффициентов а,. На рис. 3.22 пред-
ставлены результаты решения сформулированной задачи с различной
укладкой цилиндров. Кривые на рис. 3.23 позволяют сделать вывод о
влиянии межосевого расстояния близлежащих цилиндров на продол-
жительность их нагрева и производительность печи.
Вопрос о целесообразности кантования металла в кольцевых пе-
чах не нашел должного отражения в литературе. Хотя мнение о неэф-
фективности кантования слитков в кольцевых печах высказывалось
рядом авторов, количественная оценка влияния этого фактора на про-
должительность и качество нагрева металла не проводилась. Извест-
но, что в кольцевых печах для нагрева трубных заготовок большого
диаметра предусмотрена установка машины для кантования слитков в
зоне нагрева перед выдачей.
Вопрос о влиянии кантовки на продолжительность и качество на-
грева заготовок в методических печах с наклонным подом (при сплош-
Таблица 3 2
Числовые значения коэффициентов а{ в зависимости от относительного значения
межосевого расстояния S/D
(2; Значение а, при S/D
1.0 1.5 2.0 2.5 4,0 оо
ап 0,4320 0,5370 0,6130 0,6750 0,7100 0,7380
ai 0,4220 0,3910 0,3600 0,3450 0,3300 0,3350
02 0,1640 0,0830 0,0170 -0,0350 -0,0530 -0,0810
a-i 0,0120 -0,0050 0,0170 0,0127 0.0110 0,0140
04 -О.ОЗЗО -0,0150 -0.0170 0,0005 -0,0042 -0,0082
as -0,0025 -0,0040 -0,0033 0,0020 -0,0015 0,0010
Оь 0.0053 -0.0050 0,0120 141 -0,0015 -0.0004 0,0008
Рис. 3.22. Изменение во времени максимальной и минимальной температур цилиндра
диаметром 0,29 м в зависимости от расстояния:
/ - S/D=1,0; 2 -SZD=1,5; 3 - S/D=2fi; 4 - S/D=2,5, 5 - S/D=4
ной укладке металла) рассматривался О. Г. Коровицыным. Задача ре-
шалась методом конечных разностей на ЭВМ. В постановке задачи
принято, что половина боковой поверхности цилиндрической заготов-
ки, обращенная к своду печи, нагревается излучением при постоянной
температуре источника, а остальная часть не участвует в теплообмене.
Кантовка на определенный угол осуществляется мгновенно через за-
данные промежутки времени. Несимметричность нагрева части поверх-
ности, обращенной к своду, учитывалась путем введения в граничные
условия некоторого коэффициента. В результате расчетов установле-
но, что максимальное значение средней температуры металла достига-
Рис. 3.23. Изменение относительных
значений продолжительности нагре-
ва т / тпих (2) и производительности
кольцевой печи G/Gmax (/) в зависи-
мости от расстояния S/D
ется при угле кантовки, равном 180°.
При этом продолжительность нагрева
сокращается на 10%.
В связи с использованием в настоя-
щее время на ряде заводов кольцевых
печей для нагрева слитков большого диа-
метра (500 мм и более) вопрос о рацио-
нальном размещении слитков и об эффек-
тивности кантования их в процессе на-
грева не утратил своей актуальности.
Проведены серии расчетов слит-
ков в кольцевой печи при различном
межосевом расстоянии п = S/r [ 18]. Для
расчета приняты следующие исходные
данные: длина сварочных зон печи 51 м,
высота сварочных зон 2,04 м, длина
142
методической зоны 23,4 м, ширина печи 5,2 м,
средний диаметр печи 24 м; топливо - при-
родный газ; содержание поглощающих ком-
понентов в продуктах сгорания (в %) 16 Н2О,
8 СО2; слитки из стали 20 диаметром 520 мм;
средние значения коэффициентов температуро-
проводности и теплопроводности: 0,016 м2/ч и
33,4 Вт/(м-К).
Параметры конечно-разностной сетки
(рис. 3.24): Дг =0,0347 м, Дф = 0,3927, Дт =
= 0,0167 ч, ДРо = 0,3606.
Параметры для определения локальных
оптико-геометрических характеристик тепло-
обмена излучением: т = Н/г = 7,85; п = S/r =
= 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 6,0; 8,0.
Эффективную длину лучей для расчета
среднего коэффициента поглощения опреде-
ляют по формуле
/эф = 3,6^=1,8
тп-п
л + я
Рис. 3.24. Сеточная аппрок
симация круга
На рис. 3.25 представлены температурная и тепловая диаграммы
нагрева металла для двух вариантов: при п = 2 и п = 8. Показаны кри-
вые максимальных и минимальных температур по сечению и результи-
рующих тепловых потоков на участки поверхности слитка. Как следу-
ет из рис. 3.25, а, при расположении слитков вплотную друг к другу
нагрев характеризуется значительной несимметричностью, особенно в
т
Рис 3 25 Температурная и тепловая диаграммы naipeua слитков диаметром 0.S2 м
в кольцевой печи-
а - при п = 2. б при п = 8
143
методической зоне и части сварочной. В локализованном объеме, об-
разованном сплошным рядом слитков, имеют место небольшие отри-
цательные тепловые потоки на участке поверхности вблизи точки кон-
такта с соседним слитком. Максимальный температурный перепад со-
ставил 660 °C, продолжительность нагрева 11,5 ч (13 мин/см). Как сле-
дует из рис. 3.25, б, при укладке слитков с зазором в три диаметра неко-
торая несимметричность нагрева имеется лишь в части методической
зоны, а в дальнейшем нагрев происходит практически симметрично. В
этом случае максимальный температурный перепад снижается до 420 °C,
а продолжительность сокращается до 3 ч 50 мин (4,4 мин/см).
На рис. 3.26 показана зависимость относительных величин про-
должительности нагрева и производительности печи от относительно-
го расстояния между слитками. Кривая относительной производитель-
ности имеет слабо выраженный экстремальный характер (максималь-
ная производительность превышает исходную на 5%).
Данные, полученные нами расчетным путем, хорошо согласуются
с результатами экспериментальных исследований ВНИТИ [27]. Расхо-
ждения имеются лишь при малых значениях п: максимум производи-
тельности, согласно работам [27,22], достигается при п = 2, а по нашим
данным - при п = 2,5. Как показано в работе [22], относительная про-
изводительность практически не зависит от диаметра слитков.
Пользуясь зависимостью, показанной на рис. 3.26, можно выби-
рать варианты укладки слитков исходя из фактически необходимой
производительности печи. Это позволит сократить имеющее место на
практике излишнее время пребывания металла в печи или добиться,
если это необходимо, максимальной производительности.
Для решения вопроса о целесообразности кантования металла в
кольцевых печах выполнен ряд расчетов нагрева слитков при указан-
ных выше исходных данных с их кантованием на 180° через каждые
0,5 ч в течение всего времени нагрева и отдельно в методической и сва-
рочной зонах. Расчеты проводились при различных вариантах уклад-
ки слитков на подине [18].
Математически процесс кантования осуществлялся путем соответ-
ствующей перестановки коэффициентов матрицы (табл. 3.3).
На рис. 3.27 представлены температурная и тепловая диаграммы
нагрева слитков диаметром 0,52 м из стали 20 при п = 2 и п = 4. Показа-
ны динамика изменения температур и тепловых потоков в противо-
Рис. 3 26. Зависимость относительных вели-
чин производительности и продолжительно-
сти нагрева от относительного расстояния
между слитками:
/ - по экспериментальным данным ВНИТИ: 2 -
расчетная зависимость
144
Коэффициенты матрицы
145
Рис. 3.27. Температурная и тепловая диаграммы нагрева слитков диаметром 0,52 м в
кольцевой печи:
а - с кантованием в сварочной зоне на 180° через 0,5 ч при п = 2; б - с кантованием в сварочной
зоне (штриховые линии) и без кантования (сплошные линии) при п = 4
положных точках на поверхности слитка, а также минимальная темпе-
ратура и максимальный температурный перепад по сечению.
Как показали расчеты, кантовка слитков в сварочной зоне может
привести к существенному сокращению продолжительности нагрева
только при укладке слитков с малыми зазорами. Так, при п = 2 продол-
жительность нагрева сократилась примерно на 40%, но уже при п = 4
уменьшение продолжительности нагрева составило менее 10%. Канто-
вание слитков в методической зоне, как и следовало ожидать, не при-
водит к сокращению продолжительности нагрева при любой величине
зазора. Оно может иметь смысл лишь в случае нагрева сталей, склон-
ных к трещинообразованию, так как при этом существенно уменьша-
ется температурный перепад по сечению слитка, особенно при малых
межосевых расстояниях. Например, при п = 2 максимальный темпера-
турный перепад снизился с 660 до 450 °C.
Таким образом, учитывая большие трудности при осуществлении
кантовки в кольцевых печах (сооружение кантовальных механизмов,
увеличение окалинообразования вследствие опадания окалины при
146
кантовке слитков и трудности ее удаления, уменьшение срока службы
подины из-за механического разрушения верхнего слоя) и незначитель-
ное сокращение длительности нагрева, следует признать применение
кантования нецелесообразным при л > 4.
3.3.5. Расчеты процессов нагрева заготовок
в печах с деформированной подиной
В связи с тем, что более 70% общего времени нагрев осевых заго-
товок в кольцевых печах происходит в условиях длительной эксплуа-
тации печей, проведен анализ закономерностей нагрева заготовок в
печах с деформированной подиной с учетом взаимного расположения
цилиндров на поду печи. Рассмотрены наиболее представительные мар-
ки сталей: сталь 45 и ШХ15.
Приведенный коэффициент излучения о в системе кладка-дым-
металл в зависимости от взаимного расположения заготовок S/D опре-
делялся по выражению
6
о(фЛ) = СтахЕа/с05'Ф>
/=0
где значение величины Gmax выбиралось в зависимости от температу-
ры печи из графика (рис. 3.28), полученного на основании эксперимен-
тальных исследований нагрева цилиндрических заготовок различного
диаметра в кольцевой печи. Значения коэффициентов а, для разных
значений S/D приведены в табл. 3.2. Менялись расстояния между заго-
товками на подвижном поду печи, что практически в комплексе с необ-
ходимым временем нагрева имитировало различную производитель-
ность печи. Обязательным условием нагрева при этом было то, что в
процессе нагрева металл в любой точке не должен иметь температуру
выше конечной. Это условие предопределило трехзонный режим на-
грева (конец сварочной зоны и начало томильной соответствовали
моменту достижения tn величины, равной конечной температуре /кон).
Результаты расчета времен-
ных параметров процесса приведе-
ны в табл. 3.4 и на номограмме
(рис. 3.29). Анализируя их, мож-
но отметить следующее:
1) наибольшее влияние на
общую продолжительность на-
грева круглых заготовок оказы-
вает их взаимное расположение
на поду печи; так, при увеличе-
нии S/D от 1 до 4 и более полное
Рис 3 28. Зависимость onux от температу-
ры печи
147
Таблица 3 4
Временные параметры нагрева круглых заготовок в кольцевой печи
d, м Сталь 45 Сталь 1X13
Трал, МИН Тсв, МИН Тюм, МИН Тобщ, МИН Tpa ir, МИН Тсв, МИН Тгом, МИН Тобщ, МИН
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,2 57 139 33 S/D = 229 49 115 29 193
0,23 65 159 41 265 56 130 38 224
0,25 73 171 47 291 62 140 43 245
0,27 79 184 54 317 67 15а 50 267
0,29 87 196 61 344 72 161 54 287
0,33 101 221 76 398 83 181 67 331
0,35 106 234 85 425 88 191 75 354
0,4 123 265 108 496 104 215 94 413
0,2 53 126 31 S/D=l 210 ,25 45 104 29 178
0,23 59 144 38 241 51 118 35 204
0,25 66 155 44 265 56 127 40 223
0,27 72 166 50 288 61 136 45 242
0,29 77 177 57 311 65 145 50 260
0,33 91 198 71 360 76 162 63 301
0,35 96 209 78 383 81 171 68 320
0,4 109 236 99 444 93 192 86 371
0,2 46 114 26 S/D = 1 186 1,5 39 94 25 158
0,23 55 129 32 216 45 107 29 181
0,25 60 139 38 237 49 119 32 200
0,27 64 149 44 257 55 122 40 217
0,29 70 159 49 278 59 130 45 234
0,33 79 179 62 320 68 146 54 268
0,35 85 189 67 341 72 154 60 286
0,4 99 213 85 397 84 173 75 332
0,2 41 99 21 szd=: 161 2,0 33 82 19 134
0,23 47 112 28 187 39 93 25 157
0,25 51 121 32 204 42 100 29 171
0,27 56 130 36 222 47 107 32 186
0,29 59 139 41 239 51 114 36 201
0ЛЗ 69 157 49 275 58 128 45 231
0,35 75 165 55 295 62 135 50 247
0,4 86 187 70 343 72 153 57 272
148
Окончание табл. 3 4
_! L 2 1 3 1 4 1 5 1 * 1 7 1 8 1 ’
0.2 35 Сталь 45 85 18 S/D = 138 4.0 29 Сталь 71 1X13 16 116
0.23 41 97 22 160 33 81 19 133
0.25 44 105 25 174 37 87 22 146
0.27 46 113 30 189 40 92 27 159
0,29 51 121 33 205 44 99 30 173
0,33 60 136 41 237 51 111 37 199
0,35 66 143 46 255 54 118 40 212
0,4 74 163 58 295 63 133 50 246
0.2 34 82 17 S/D = 133 28 68 16 112
0,23 39 93 22 154 33 77 20 130
0,25 42 101 25 168 35 84 21 140
0,27 46 109 28 182 38 90 25 153
0,29 49 116 33 198 41 96 28 165
0,33 59 130 41 230 48 108 34 190
0,35 61 139 44 244 51 114 38 203
0,4 73 156 57 286 58 128 50 236
время нагрева уменьшается примерно в 1,7 раза независимо от диаметра
нагреваемой заготовки;
2) зависимость продолжительности нагрева заготовки от диамет-
ра практически линейна и не зависит от взаимного расположения заго-
товок в период нагрева;
3) с увеличением диаметра заготовки увеличивается относитель-
ная длина томильной зоны и соответственно уменьшается длина сва-
рочной зоны печи.
Put 3 29. Номограмма для определения длин характерных зон кольцевой печи и пол-
ного времени нагрева круглых заготовок под прокатку (прошивку)
149
Рис. 3.30. Зависимость приведенного коэффициента излучения по поверхности заго-
товки (</=0,2 м) от температуры и взаимного расположения заготовок на поду печи:
а б в г де
S/D 1,0 1,25 1,5 2,0 4,0
На рис. 3.30 приведены эпюры изменения приведенного коэффи-
циента излучения по поверхности нагреваемых цилиндров.
3.3.6. Оценка локальных значений обобщенных
угловых коэффициентов и степени черноты*
Для анализа локальных энергетических характеристик теплового
излучения необходимо в первую очередь рассчитать локальные угло-
вые коэффициенты. Определению локальных угловых коэффициентов
в системе с диатермической средой посвящено большое количество ра-
бот. Для исследования теплообмена в системах с поглощающей и излу-
чающей средой большие возможности дает применение обобщенных
угловых коэффициентов (ОУК), введенных Ю. А. Суриновым:
= J----^2—Lexp(-K7)<ZF* ,
Р/с
♦Методика разработана канд. техн, наук М. Я. Пекарским (Государственная ме-
таллургическая академия Украины).
150
где у dFj Fj - локальный ОУ К с элемента поверхности F, на поверхность
Fk\ I - расстояние между dFt и dFk\ к - коэффициент ослабления лучей
средой; cosO,, cosO* - направляющие косинусы.
Используя свойство замыкаемости для локальны^ ОУК, можно
найти локальные значения степени черноты газовой среды относитель-
но элементарного участка любой из поверхностей системы:
dFi,Fk.
к=\
Ниже рассмотрена задача применительно к рабочему пространст-
ву кольцевых и камерных печей, причем основной упор делается на
определение оптико-геометрических характеристик в рабочем про-
странстве печи относительно элементарных участков поверхности слит-
ков.
Приняты следующие допущения: газовая среда является однород-
ной и изотермической; излучение серое и подчиняется законам Бугера
и Ламберта; поперечные сечения системы, параллельные секущей плос-
кости (рис. 3.31), тождественны.
Такую объемную задачу можно привести к двухмерной [28]. Со-
гласно рис. 3.31, x=/cosp, cos6, = cosycosp (теорема о трех перпен-
дикулярах). Произведя замену cosGkdFk /12 = da) = cosр Jpt/y, получим
~ Jecey rfy J exp^-^Jcos2 . (3.115)
Следуя рекомендации С. П. Деткова, введем специальную функ-
цию К, (г), интегральное представление которой имеет вид
Рис 3.31. Схема и обозначения к выражению (3.115)
151
Рис. 3.32. Графики функций К, (и) Рис. 3 33. Схема и обозначения к выражени-
ям (3.124), (3.125)
На рис. 3.32 показаны графики функций Kh рассчитанные путем
выражения через модифицированные функции Бесселя с использова-
нием таблиц, приведенных в работе [29].
Формула (3.115) с применением функций К, запишется так:
2 72
y</F„ f„ = - J Ki, (Kx)dsiny. (3.116)
Степень сложности вычисления интеграла (3.116) зависит от ха-
рактера связи между текущей длиной луча х и углом у. Точное интегри-
рование возможно лишь для относительно простых систем. Приведем
некоторые свойства функций Kh которые понадобятся в дальнейшем:
^(0 = -^ ,^; ^(г) = ]к;и1(ОЛ (3.117)
Г
ИЛИ
г dr К, (r) f dr
<3"”
152
При аналитическом решении интеграла (3.116) в случае сложной
зависимости между х и у в работе [30] рекомендуются следующие ап-
проксимации функций Kf.
г2 А
К, (г) = --1,116г-0,127г3 + 1 + — 0,998г1пг;
‘ 2 I 12J
2
К, (г) = 1 - — + 0,808г2 + 0,036г4 - 0,499(1+—)г2 In г;
2 2 24
f 2 А
-0,325г3-О,О8г5+0,166 1 + — г31пг;
А 40
ЕЛ z \ тс яг2
к;3(г)=--г+—
3 4 4
12
(3.119)
К. (г) = -- —+0,5г2 + 0,0916г4 +0,0015г6 -
3 4 12
-2
-0,041(1 + —)г41пг.
Погрешность приведенных формул в интервале 0< г < 1,5 состав-
ляет доли процента и уменьшается с увеличением порядка функции.
Однако их использование в некоторых случаях приводит при интегри-
ровании к очень громоздким выражениям. В. И. Примак предложил
менее точные, но более простые приближенные зависимости:
^2(г)-|я(1-2г); л;2(г) = 1-1яг+1яг2. (3.120)
С помощью выражения (3.117) получаем
ЕЛ Z X ТС 1 2 1 3
Л;(г)в__,+_г 2__г з (3121)
Это выражение можно использовать при малых значениях аргумента.
Так, для выражений (3.120) при г < 0,3 ошибка не превышает 2%. Про-
верка формулы (3.121) показала, что при г < 0,5 ошибка также не пре-
вышает 2%.
Перейдем непосредственно к определению локальных оптико-гео-
метрических характеристик излучения в кольцевой печи, схематический
разрез которой показан на рис. 3.33. Согласно этому рисунку,
siny = sin(<p - а) = sin <р cos а - cos9sina;
cos yrfy = (cos ф cos а + sin9 sina)^9.
Тогда выражение (3.116) можно представить в виде двух интегралов:
2
<Р2 Ф2
ydF Fk = ~ cosat (г)со8фЛф + 5та| JК, (г)5тфб/ф . (3.122)
Ч ф.
<₽|
153
Область теплообмена излучением элемента поверхности исследуе-
мого цилиндра с окружающими телами (см. рис. 3.33) можно разбить
на три участка: теплообмен со сводом, с соседним слитком и с подом
печи. В силу симметрии ограничимся рассмотрением элементов поверх-
ности F, с координатой 0 < а, < л .
Зависимость между оптической длиной луча г = кх и углом у для
каждого из трех участков запишется соответственно в следующем виде:
/•j = & (т - (1 - cos а,));
costp
r2 = Ar^n sincp - cos(a, - <p) - -Jl - (и cos <р - sin(a, - <p)2 >
Kr h .
r3 =-------(1 + cosa,),
coscp
(3.123)
где m=H/r; n=S/r.
Для участка I формула (3.122) с учетом выражений (3.123) будет
иметь вид
VdFoFt -
2 ф2
- sinaj^
\ Ф« '
= -^(sma,j; + cosa,/1").
ф2
—— sin (pflfcp + cos a, J
ч^Ф/ ф1
— Icoscpt/cp =
Здесь Am t = Ar(/n-(1 + cosa,)); Ц интегрируется точно путем исполь-
зования свойства (3.117), (3.118) функций К,. В нашем случае:
(г)7=
( ( 4^yf2
Z^coscp AJ. \-К —.
I \cos<pj \cos<pjl
(3.124)
Для вычисления jj’ воспользуемся аппроксимацией (3.119). После
интегрирования получим
4 = ^sin<p+4^9(0,0028+0,1664Д^ -1)+^ ln(sec<p+
( ( ( Ami 'I 1 )
+ tg<p)+ 4t'tg<P 0,0014Л< (sec<p+2) In—^---tg2<p-2 +
I I cos<p) J I
(A 11*’’
+0,1664 In——-1 -0,3249
coscp ) J
(3.125)
'«pi
154
Для участка /// /,п и определяются выражениями, аналогич-
ными (3.124) и (3.125), только Ami нужно заменить на Д = -tf(l + cosa,).
Для участка II удобнее в формуле (3.116) угол у выразить через
оптическую длину луча г.
Согласно рис. 3.33,
cos0 = ; sinO = ± —<Jr2(2q2 +2р2 -г2)-(^2 -р2)2;
2qr 2qr
• /2 \ +r2 “Р2 .
sin у = sin(o + a,)2----— ±
2?r
2qr
ccs yrfy = sin(8 + a.-) 1 №. ± COs(8 + a,-) x
|(<?2-p2)-r4|rfr
x------, - ,
2qr2-jr2(2q2 +2p2 -r2)(?2 -p2)2
где q = kd\ r = kx\ p = кг. Тогда
WdF„Fk=— sin(8 + af)J К^(г)-4-dr±
h
icosCS + ajJxjj (r)
r2
= — (sin(6 + af )/ц ± cos(5
тщ
+ a,)/;).
Значение /п найдем, воспользовавшись зависимостями (3.117) и
(3.118):
4=|(i- w)+p -р2)7“ з (г)" (г)15 •
Для определения /^используем аппроксимацию (3.121):
/il=[?K(92+p2)-1H+ir4r24(92+p2)4]x
X^((g + p)2-r2)(r2-(g-p)2) + у(q2 -p2)X
155
• (<Г +р2)г2-(я1 ”р2)2 1/2 ’ 9 Л
х arcsin—--—-----+ —(^z + р- _ nq р-) х
2qpr 2
2 о 2
xarcsin— + <? ~r—^л(?+р)((<Г +p2)£(x,g)-
2?P 3 '
-(g-P)2F(X.,g)]’,
где E(x, g), F(X> g) - эллиптические интегралы первого и второго рода;
. q + p г2 -(q-p)2
X = arcsin2—-J---——-—;
2r у qp
^=2J—
уЯ + Р .
Нужно иметь в виду, что связь между оптической длиной луча г и
углом <р на участке П неоднозначна: одному и тому же значению г соот-
ветствуют два значения ф. Поэтому при вычислении нужно разбивать
7П на два интеграла с пределами r2 - q - р и q - р - г3, причем первый из
них нужно брать со знаком “минус”.
При некотором расстоянии между осями цилиндра, зависящем от
координаты а„ г2 становится равным г3; тогда 7П = 0, а 7П будет равен
2 7П с пределами от q - р до г3.
Предельные углы:
ф1 = а,- - я / 2;
Ф2 = я - arccos
cos а,
д/n2 -2nsina, +1
+ arcsin
ф3 = я - arccos
cos а,
д/n2 -2nsina, +1
-arcsin
л/л2 -2flsina. +1
1 ] .
д/n2 -2flsinaz +1
1
Ф4 = а, + я/2.
Эти формулы справедливы, если из точки на поверхности цилиндра можг
но провести касательные к соседнему цилиндру. Для некоторых а, при
ряде значений л этого сделать нельзя. Для таких элементов поверхно-
сти отсутствует один из участков теплообмена (7 или ZZZ) и ф 2 = а, - я / 2,
ф3 =а, +я/2.
По приведенным выше формулам рассчитаны локальные обобщен-
ные угловые коэффициенты с элемента поверхности цилиндра на свод,
под и соседний цилиндр (на графиках соответственно ф2 и Уз), а
также локальные значения степени черноты газового объема относи-
тельно этого элемента. Расчеты выполнены для следующих значений
исходных параметров:
т = Н/г = 3... 15; л = S/r = 2...8; KPLr = 0,01...2,
156
где Н - высота рабочего пространства; г - радиус цилиндра; S - меж-
осевое расстояние; К - коэффициент поглощения; - суммарное пар-
циальное давление поглощающих веществ в дымовых газах.
На рис. 3.34, 3.35 представлены результаты расчетов при некото-
рых встречающихся на практике значениях вышеуказанных парамет-
ров. Для нахождения по графикам требуемых локальных характери-
стик излучения нужно определить суммарное парциальное давление
поглощающих веществ в дымовых газах, рассчитать коэффициент по-
глощения среды и параметры тип.
Коэффициент поглощения среды может быть найден по номограм-
ме или рассчитан по формуле Гурвича-Митора
0,78 + 1,6/>н2о
I №
(3.126)
Рис. 3.34. Локальные значе-
ния степени черноты газо-
вого объема относительно
элементарного участка по-
верхности цилиндра в коль-
цевой печи:
а - при К р г = 0,05, Н/г = 3,6-
при Крг = 0,05, Н/г = 10, в -
при Крг =0,1, Н/г = 3:г - при
Крг =0,15, Н/г = 3; д - при
Крг = 0.2. Н/г = 3
157
Рис. 3.35. Локальные значения обобщенных угловых коэффициентов с элементарного
а. г-на свод, соседний слиток и под (о-К р г =0,05, Н/г =3; б - К р г =0,1, Н/r =3,в-Кр г =0,15,
ж - К р г =0,1, Н/r =4;5; з - Кр г =0,15, Н/r =4;5)
158
участка поверхности слитка:
Н/г =3; г - К р г =0,2, Н/г =3; д з - на свод (д - К р г =0,05, Н/r =4;5; е - К р г =0,05, Н/г =8,10,
159
Здесь pHi0 - парциальное давление водяных паров в продуктах сгорания,
кПа; / - эффективная длина луча, м; Т- абсолютная температура, К.
Эмпирическая зависимость (3.126) справедлива в широком диапа-
зоне концентраций СО2 и Н2О в дымовых газах и температур газовой
среды.
Для уменьшения погрешности, вносимой допущением о постоянст-
ве К, при определении ОУК на соседний слиток и под печи эффектив-
ную длину луча в формуле (3.126) рассчитывали в локализованной
области, образованной подом, полуокружностями соседних цилиндров
и касательной к ним.
Как следует из приведенных графиков, локальные значения обоб-
щенных угловых коэффициентов и степени черноты газа существенно
зависят от координаты элементарного участка на боковой поверхно-
сти цилиндра и весьма ощутимо отличаются от средних значений, рас-
считываемых обычным путем [31].
С увеличением зазора между слитками степень черноты газа вна-
чале резко возрастает, но затем интенсивность роста затухает, и при
зазоре > 3D ее значения практически стабилизируются.
Аналогичная картина наблюдается и с ростом высоты рабочего
пространства. Характерно, что максимум степени черноты газа сме-
щен относительно начала координат, причем это смещение увеличива-
ется с ростом межосевого расстояния и уменьшается с увеличением
высоты рабочего пространства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Автоматизация методических печей / Л. И. Буглак, И. Б. Вольфман, С. Ю. Еф-
роймович и др.; Под ред. М. Д. Климовицкого. - М.: Металлургия, 1981.
2. Невский А. С. Лучистый теплообмен в печах и топках. - М.: Металлургия, 1971.
3. Рихтмайер Р. Д. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Изд-во
иностр, лит., 1960.
4. Расчеты нагревательных печей / С. И. Аверин, Э. М. Гольдфарб, Б. Л. Кравцов
и др.; Под ред. Н. Ю. Тайца. - Киев: Тэхшка, 1969.
5. Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энергетике / Под ред.
Б. Е. Неймарка. - М.; Л.: Энергия, 1967.
6. Тепловой и термомеханический расчет металлических изделий в многозонных
печах / В. И. Тимошпольский, Ю. А. Малевич, Н. Л. Мандель и др. // Изв. вузов. Энер-
гетика. - 1986. - № 11.
7. Саломатов В. В. Методы расчета нелинейных процессов теплового переноса. -
Томск: Изд-во Томского ун-та, 1976.
8. Новацкий В. Вопросы термоупругости. М.: Изд-во АН СССР, 1962.
9. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. - Киев: Наук, думка, 1970.
10. Численно-аналитический метод расчета температур, упругопластических де-
формаций и напряжений при радиационно-конвективном нагреве массивных пластин /
В. И. Тимошпольский, В. Е. Ротенберг, Н. Л. Мандель и др. // Науч, и прикл. пробл.
энергетики. Вып. 15. - Мн., 1988.
11. Боли Б., УзйнерДж. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1967.
12. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Маши-
ностроение, 1975.
13. Мендельсон А., Сперо С. Общее решение упругопластического температурно-
го напряженного состояния пластинки из упрочняющегося материала с произвольны-
ми свойствами // Прикл. механика. - 1962. - № 1.
160
14. Паркес Е. Напряжения в упругопластическом стержне при изменении темпе-
ратуры его поверхности И Прикл. механика. - 1961. - № 3.
15. Kristiansson J. О. Thermomechanical behavior of the solidifying stell within conti-
nious casting billet molds - a numerical approach // J. Therm. Stresses. - 1984. - Vol. 7. - № 3/4.
16. Арутюнов В А., Бухмиров В. В , Крупенников С. А. Математическое модели-
рование тепловой работы промышленных печей. - М.: Металлургия, 1990.
17. Тимошпольский В. И. Теплотехнологические основы металлургических про-
цессов и агрегатов высшего технического уровня - Мн.: Навука i тэхшка, 1995.
18. Тимошпольский В. И., Трусова И. А , Пекарский М Я. Кольцевые печи: Теория
и расчеты / Под общ. ред. В. И. Тимошпольского. - Мн.: Выш. шк., 1993.
19. Лисиенко В. Г. Интенсификация теплообмена в пламенных печах. - М.: Ме-
таллургия, 1979.
20. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - М.:
Наука, 1978.
21. Ситковский И. С., Клейнер М. К, Эммануэль Г. А. Нагрев круглых слитков в
кольцевых печах // Сталь. - 1971. - № 9.
22. Клейнер М. К, Удовиченко В. П. Применение численных методов к исследова-
нию нагрева цилиндрических слитков в кольцевых печах // Изв. вузов. Черная метал-
лургия. - 1973. - № 1.
23. Тимошпольский В. И., Сичевой А. П. Режимы нагрева и термообработки при
производстве железнодорожных осей / Сталь. - 1984. - № 12.
24. Маковский В. А., Лаврентик М. И. Алгоритм управления нагревательными
печами. - М.: Металлургия, 1977.
25. Meyer R. Drenkerdofen zur zunderarmen eruarmung von Preteilcn aus legeierten
und unlegierten stahl // Fachber Hutenprax Metall-weiterverarb. - 1977. - Vol. 15. - № 10.
26. Казанцев E. И. Промышленные печи. - M.: Металлургия, 1975.
27. Клейнер М. К, Эммануэль Г. А. Исследование несимметричного нагрева круг-
лых заготовок с помощью водоохлаждаемых секционных калориметров // Изв. вузов.
Черная металлургия. - 1971. - № 12.
28. Макк И. Р, Эпик И. П. Решение некоторых трехмерных задач лучистого теп-
лообмена приведением их к двухмерным // ИФЖ. - 1961. - Т. 4. - № 6.
29. Карамзина А. М., Читова Э. А. Таблицы функций Бесселя от мнимого аргу-
мента и интервалов от них. - М.: Изд-во АН СССР, 1958.
30. Детков С П. Пропускание средой излучения в двухмерных задачах // ИФЖ. -
1962.-Т. 10.-№2.
31. Тайц Н. Ю. Технология нагрева стали. - М.: Металлургия, 1962.
И Зак 5040
4
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ
ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
(на примерах нагрева стали в печах)
4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Совершенствование теплового и температурного режимов нагре-
ва металла оказывает существенное влияние на повышение эффектив-
ности использования топлива и получение высококачественной метал-
лопродукции в высокотемпературных агрегатах. В связи с этим боль-
шое внимание уделяется разработке таких теплотехнологий, которые
обеспечивают экстремум (максимум или минимум) определенных кри-
териев оптимальности для требуемых производительности печи и ко-
нечной температуры металла.
В общем работы по проблемам оптимизации режимов нагрева
металла можно классифицировать по трем признакам:
1) общность математической формулировки задачи теплопровод-
ности (описание динамики процесса нагрева, ограничения на управ-
ляющие воздействия, фазовые ограничения и др.);
2) выбор критерия оптимальности;
3) методика решения задачи оптимизации. Среди задач оптималь-
ного управления нагревом металла в отношении выбора критерия оп-
тимальности (качества) процесса можно выделить: задачи по миниму-
му топливопотребления, задачи быстродействия, задачи о наиточней-
шем нагреве, задачи минимизации окалинообразования и т. д.
Анализ существующего математического аппарата теории опти-
мального управления показывает, что необходимо совершенствовать
и применять индивидуальный подход при решении тех или иных теп-
лотехнологических задач нагрева и охлаждения металла.
Ниже проведено решение ряда задач оптимизации с различными
критериями качества на примере выбора оптимальных температурно-
тепловых режимов в условиях действующего промышленного обору-
дования. В качестве математического аппарата использован метод мно-
гокритериальной оптимизации и метод асимптотической магистраль-
ной оптимизации, разработанный в БГПА. При этом решения доведе-
ны до инженерных методик, с помощью которых разработаны и реа-
лизованы на практике оптимальные режимы нагрева стали в условиях
ДМК и БМЗ.
4.2. ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ
В МЕТОДИЧЕСКИХ ПЕЧАХ ТОЛКАТЕЛЬНОГО ТИПА
Выбор оптимальных режимов нагрева блюмов выполнен приме-
нительно к условиям тепловой работы методических печей, функцио-
нирующих в условиях ДМК. В качестве математического аппарата ис-
162
пользован метод нечеткой многокритериальной оптимизации, подроб-
но изложенный в работе [1].
Изменение температуры печи
^печ('С) ~ ^0 +(^тах “^0 )^р (4.1)
до достижения Ттах =Гпеч(т) с дальнейшей выдержкой при температу-
ре Ттах до тех пор, пока перепад температур по толщине заготовки не
станет меньше искомого заданного значения ДТ. В рассматриваемом
случае нагрева блюма под прокатку требовалось выполнение условия
ДТ< 30°.
В качестве математической модели процесса нагрева используют-
ся решения нелинейной нестационарной задачи нагрева пластины в
условиях радиационно-конвективного теплообмена и соответствующей
ей задачи расчета термоупругопластических напряжений и определе-
ния толщины образовавшейся окалины (§3.1).
Задача сводилась к отысканию таких значений начальной темпе-
ратуры печи То, времени переходного периода Тр и максимальной тем-
пературы печи Ттах, которые позволили бы в наибольшей степени удов-
летворить совокупности частных критериев качества, зависящих от
относительной массовой доли образовавшейся окалины S, времени
нахождения слитка в печи тн, температуры его поверхности в конце
нагрева Тп, термических напряжений а. Учитывались ограничения на
управляющие переменные То, тр, Ттах и ранжировка всех частных кри-
териев и ограничений с точки зрения их относительной важности для
оптимизации работы печи.
Для формализации критериев качества и ограничений использо-
вались функции желательности |1, позволяющие учитывать при поста-
новке задачи информацию нечеткого характера, основанную на интуи-
ции и опыте технологов [2]. Функции желательности в зависимости от
конкретной ситуации могут принимать различный вид (рис. 4.1), но во
всех случаях имеют ясный физический смысл и изменяются в пределах
0 < ц < 1. Например, функцию ц Та строили, исходя из следующих пред-
посылок: температуры слитка Тп < 1543 К и Тп < 1510 К недопустимы
(= 0); температурный интервал 1523 К < Тп < 1533 К наиболее пред-
почтителен (цг =1), на остальных участках функция предпочтитель-
ности имеет промежуточное значение 0 < <1.
Рассмотренный пример показывает, что функции желательности
можно интерпретировать как количественные характеристики степени
удовлетворения частным критериям и ограничениям или как функции
предпочтительности тех либо иных значений рассматриваемых пере-
менных. Столь же просто, как и , объясняется поведение функций
желательности » которые учитывают существую-
щие технологические ограничения и накопленный опыт эксплуатации
оборудования.
Некоторых пояснений требует функция желательности, характе-
ризующая уровень термических напряжений в слитке цДо. Поскольку
163
Рис. 4.1. Функции желательности ограничений (а) и частных критериев качества (б)
сами по себе термонапряжения мало говорят о возможном качестве
слитка, вводилась вспомогательная переменная
До(х,т) = (ор(хл)-оп(7(х,т)))/ап(7(хл)),
где <5р - расчетные растягивающие термонапряжения; ап - зависящие
от температур в слитке разрушающие напряжения, которые в рассмат-
риваемом одномерном случае соответствуют значениям ар, приводя-
щим к потере прочности материала. Ясно, что с ростом Да увеличива-
ется вероятность появления трещин.
164
Поскольку ар и ап определяются весьма приближенно, следует
сформулировать критерий качества таким образом, чтобы он описы-
вал не столько какие-либо априорные количественные ограничения,
сколько общее требование вести процесс с минимальным значением Да.
Для удобства анализа перейдем к показателям качества, не зави-
сящим от х и т:
Дам = тахДа(х,т), 0<х<2Л; 0<т<тн,
где 2h - толщина слитка. Очевидно, что каждому набору значений
управляющих переменных То, тр, Ттах будут соответствовать свои зна-
чения Да, среди которых можно выделить минимальное Aaj и макси-
мальное Да2. Последние могут быть использованы как опорные точки
для построения функций желательности (см. рис. 4.1).
Для отыскания Да! и Да2 требуется предварительное проведение
численных экспериментов в пределах допустимых диапазонов измене-
ния То, тр, Ттах.
Математическую модель процесса можно формально представить
в следующем виде:
7(х,т) = /1(?о Лр»^>ах (4.2)
cip(x,T) = f2(7(xyt),x,t); (4.3)
^) = /з(Ах>т)>'с)- (4.4)
где/1 ,/2 ,/з “ совокупность операторов (дифференциальные, интеграль-
ные, алгебраические), образующих конкретную численно-аналитиче-
скую формулировку математической модели.
Реализация модели (4.2)...(4.4) на ЭВМ требует существенных за-
трат машинного времени, что затрудняет ее прямое использование для
целей оптимизации. Поэтому предварительно проводилась редакция
модели, позволяющая непосредственно связать основные показатели
качества процесса S, т н, Тп, Да и управляющие переменные То, тр, Ттах
с помощью регрессионных полиномов.
Регрессионные зависимости строились путем обработки результа-
тов численных экспериментов, полученных на модели (4.2)...(4.4) по
методике [3], основанной на общих идеях регрессионного анализа при
произвольном плане [4].
В результате обработки данных численных экспериментов полу-
чены регрессионные зависимости вида:
5 = 1,8+7,8 IO-3-5,4-10”эх2 +1,3-10*3х3-1,8 ИГ’х^ +
+ 5,610*6х|х3 +8,ЗЮ'6х2х3; (4-5)
т н = 255+8,9 • 1 О*2 Х| + 0,16х2 + 0,04х3 +3,3 10'4х1х3-
-3,3 10-4х2х3-7,4 10'4х|; (4.6)
165
Т„ = 1255+1,06 • х, + 2,7 10’2 х3 +1,1 • 10"4 х, х, +
+ 1,8510'4Х|Х2 +2,78-10’5х2х3-1,7310~5 х2; (4.7)
До = 0,14 - 2,1 • 10-4 х3 - 7,8 • 1 О’6 Х| х3 +1,85 • 10’5 х( х, +
+ 2,9610’5Х|2 + 3.110"5х2 -6,710'7xj, (4.8)
где Xj = Zmax - 1275 °C; х2 = тр - 190 мин; х3 = tQ - 850 °C.
Квадратичные полиномы (4.5)...(4.8) обладают достаточно высо-
кой точностью аппроксимации данных численного эксперимента; учет
членов третьего и более высоких порядков практически не влияет на
погрешность.
Непрерывность пространства управляющих параметров диктует
необходимость перехода при решении задачи многокритериальной
оптимизации от совокупности частных критериев качества и ограни-
чений к некоторому глобальному критерию, который имеет вид:
^Лр,Гтах)=^П(^(Го); ЦХр (тр); (Т’тах))»
И?4 ^max))» Нтн5(Тн(Тр> ^max)j»
(?(?)Лр, ^тах ))» Лр> ^тах))•
Оценка коэффициентов относительной важности аь ..., а7 прово-
дилась по методике [2] на основе матрицы парных сравнений, постро-
енной с помощью шкалы лингвистических предпочтений. Использова-
ние этой методики позволяет свести сложную задачу одновременной
оценки коэффициентов aj...a7 к более простой процедуре их попарно-
го сравнения. Точка оптимума (То, тр, Tmax)orrr = Argmax(T0, тр, Гтах)
отыскивалась методом последовательной квадратичной аппроксима-
ции. Получили следующие значения: zo=9OO °C, тр=189 мин, гм=1280 °C.
Точка оптимума достаточно полно удовлетворяет наиболее значимым
частным критериям и ограничениям.
Предлагаемая методика допускает разнообразные расширения
постановки задачи. В частности, вместо выражения (4.1) можно исполь-
зовать любой другой закон нагрева рабочего пространства печи. Это
вызовет лишь увеличение размерности задачи, так как вместо То и тр
появятся дополнительные параметры для описания более сложной кри-
вой нагрева. В конечном итоге это приведет к росту затрат машинного
времени, ни в чем принципиально не меняя постановку задачи.
Рассмотренная методика была использована для отыскания опти-
мального режима работы нагревательных печей ТЗС ДМК. При этом
вначале решалась оптимизационная задача нагрева в первых двух зонах,
а затем определялись временные температурные характеристики третьей
зоны. В качестве исходной использовалась модель, приведенная в п. 3.1.2.
166
В результате разработан режим нагрева массивной пластины, для
которого принято следующее распределение температур по зонам: ме-
тодическая - 1080 °C; верхняя сварочная - 1280 °C; нижняя сварочная -
1270 °C; томильная - 1230 °C.
Разработанный режим нагрева слябов апробирован на методиче-
ской печи со сводово-торцевым отоплением, по результатам испыта-
ний составлен тепловой баланс, приведенный в табл. 4.1. Теплотехни-
ческие показатели: коэффициент полезного действия 24,1%; коэффици-
ент использования топлива 46,5%; удельный расход топлива 116 кг/т;
температура конца прокатки 950...980 °C.
Таблица 4.1
Тепловой баланс методической печи при разработанном режиме
Статья баланса Значение
ГДж/ч | %
Приход теплоты
От сжигания топлива 203,80 75,84
С подогретым топливом 16,85 6,27
С подогретым воздухом 36,50 13,57
При окислении металла 8,84 3,28
Физическая теплота металла 2,80 1,04
Ито го... 268,79 100
Расход теплоты
На нагрев металла 49,20 18,46
С дымовыми газами 162,80 61,12
Потери через кладку 3,05 1,14
С охлаждающей водой 15,60 5,85
С паром 19,71 7,40
С окалиной 2,48 0,93
С недожогом 13,60 5,10
Итого... 266.44 100
Проведенные расчеты свидетельствуют, что наряду с улучшением
качества нагрева заготовок имеет место повышение теплотехнических
показателей и топливоиспользования печи. Так, КПД при работе ме-
тодической печи по разработанному режиму увеличился на 2,8%, а
удельный расход топлива снизился на 7 кг у.т/т, или на 5,7%.
Аналогичные исследования выполнены для условий работы мето-
дической печи со сводовым отоплением трубозаготовочного стана.
Анализ данных показал улучшение теплотехнических показателей рабо-
ты печи: удельный расход условного топлива уменьшился на 12 кг у.т/т,
или на 9,6%, окалинообразование снизилось с 2,5 до 2,2%.
4.3. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ НАГРЕВА МЕТАЛЛА
В ПЕЧАХ С МЕХАНИЗИРОВАННЫМ ПОДОМ
4.3.1. Оптимизация нагрева крупносортных заготовок
в печах с шагающими балками
Постановка и решение задачи оптимизации выполнена примени-
тельно к нагреву крупносортных заготовок в печи стана 850 БМЗ с
167
использованием метода многокритериальной оптимизации. Данный ме-
тод апробирован при решении целого ряда задач прикладной тепло-
физики, однако применительно к промышленным теплотехнологиям
нагревательных печей он впервые введен в практику расчетов под ру-
ководством В. И. Тимошпольского [5].
При постановке задачи оптимизации учтено, что даже в форсиро-
ванном режиме нагрева в печи стана 850 термические напряжения, воз-
никающие в заготовке, не могут приводить к нарушению сплошности
металла [5]. Это обстоятельство позволяет исключить из рассмотрения
коэффицент напряженного состояния заготовки как показатель каче-
ства процесса. Тем не менее требование минимизации перепада темпе-
ратур Дг к моменту окончания нагрева остается в составе критериев,
так как связано с возможностью нарушения сплошности заготовки при
прокатке.
Таким образом, ограничим показатели качества процесса, а имен-
но: температуру поверхности заготовки /, перепад температур между
центром и поверхностью заготовки Дг, толщину окалины е и обезугле-
роженного слоя 5 в момент высадки заготовки из печи.
В качестве управляющих переменных рассмотрены температуры
Г । и /2 первой и второй сварочных зон. Поскольку в реальных условиях
заготовка может быть посажена в печь при различной исходной темпе-
ратуре Го, а время нагрева заготовки определяется производительно-
стью прокатного стана Р, решение задачи оптимизации сведено к мак-
симизации некоторого глобального критерия, построенного на основе
частных Z|, t2 в пространстве для каждой выбранной пары значений
переменных tQ и Р.
Использование для решения задачи оптимизации описанной ра-
нее исходной модели процесса нагрева с учетом окалинообразования и
обезуглероживания требует слишком больших затрат машинного вре-
мени. Поэтому применялся двухэтапный подход. На первом этапе про-
водилась редукция исходной модели с использованием методов плани-
рования экспериментов. Была выполнена серия расчетов по исходной
модели при варьировании четырех факторов r0, Р, t2 в технически
допустимых диапазонах для нагрева заготовок из стали 45. Температу-
ру в томильной зоне во всех случаях полагали равной 1230 °C, темпе-
ратуру в начале неотапливаемой зоны - 700 °C.
Использовалась матрица полнофакторного плана при варьирова-
нии на трех уровнях по каждому фактору: Г] - 1210, 1240, 1270 °C; t2-
1210,1240,1270 °C; Р - 40,60,80 т/ч; г0 - 200,400,600 °C. Распределение
температуры печи между зонами принимали линейным, рассматрива-
лась заготовка сечением 0,250 х 0,300 м.
Результаты расчетов обрабатывались с помощью методов нели-
нейного регрессионного анализа, что позволило получить регресси-
онные полиномы, связывающие входные и выходные переменные мо-
дели:
168
t = 1203- 1.107X3+2,424X4+0,18X3 +1,97-KT* X42 +
+ 5,187 • 10*4 X, X4 +1,5 • IO’3 X3X4 + 5,97 • 1 O'3 X{ X3 -
-1,11 • 1 -’2 X, X3 + 0,1547 X2 -1,546 1 O’2 X32;
Д/ = 15,46 + 0,643X3 -1,44-IO’2 X4 -0,103X( -1,15- IO'4 X42 -
- 3,045 • 1 O'4 X2 X4 - 9,286 • 10‘4 X3 X4 - 3,71 • 10*3 X( X3 +
+ 6,86 1 O'3 X2 X3 - 9,086 • 10’2 X, + 9,614 • 1 O'3 Xj;
г = 17129-l,l-10"2X3+ 1,84-10*4 X2+ 1,398-10”4X4 + (4 9)
+ 7,076-10'4 X] - 6,037 • 1 O’5 X2X3+9,032-1 O'7 X4 +
+1,94 • 1 О*6 X2 X4 -1,063 • 1 O’5 X2 +1,68 • 1 O’4 X2 +
+ 5,48-10~6X2;
8 = 1,009 -1,151 • 1 O'2 + 2,29 • 1 O'4 Xj +1,649 1 O’4 X4 +
+ 7,459 • 1 О*4 X] - 6,84 -10’5 X2 X3 + 9,6 • 1 O'7 X42 + 2,136 x
x 1 O'6 X2 X4 + 8,6 • 1 O'6 X| X3 + 2,219 • 10'4 X, - 8,4 • 1 O'6 x
xX]X2,
гдеХ| = q - 124°C;X2= t2-1239°C; X3 = P-61,33т/ч; X4= t0-393 °C.
Относительная погрешность полученной регрессионной модели
относительно исходной не превышает 5%, что говорит о ее достаточ-
ной точности.
Использование выражений (4.9) вместо исходной модели позволя-
ет сократить затраты машинного времени при решении задачи много-
критериальной оптимизации в десятки тысяч раз.
Для формализации частных критериев и ограничений использо-
вались функции желательности [6], возрастающие от 0 до 1 при измене-
нии показателя качества из области недопустимых значений в область
наиболее предпочтительных значений. Функции желательности рас-
сматриваемых частных критериев точности нагрева перепада тем-
ператур цД/, толщины окалины щ. и обезуглероженного слоя ц5 пред-
ставлены на рис. 4.2. Рассмотрены функции желательности критерия
точности нагрева pz.
Из рис. 4.2, а видно, что оптимальные температуры широкой гра-
ни заготовки находятся в области 1190 °C < t < 1210 °C. Температуры
ниже 1185 и выше 1215 °C недопустимы из технологических соображе-
ний. Промежуточные участки характеризуются убыванием функции
желательности при приближении к областям недопустимых значений
/. Линейный закон убывания принят лишь из соображений простоты
описания. При наличии какой-либо дополнительной информации о
поведении функции желательности в промежуточных областях закон
убывания может быть изменен.
12 Зак 5040 159
Рис. 4.2. Функции желательности ча-
стных критериев (ограничения) при ре-
шении задачи многокритериальной
оптимизации:
а - по температуре самой “горячей” точ-
ки (угла) заготовки; б - по температурно-
му перепаду Дг, в - по толщине обезугле-
роженного слоя; г - по толщине окислив-
шегося слоя
Как видно из рис. 4.2, б, допускаются перепады температур между
широкой гранью и центром заготовки не более 25 °C; при Д t < 20 °C
критерий полностью удовлетворяется.
Функции желательности критериев по обезуглероженному слою и
толщине окалины (рис. 4.2, в, г) строились на основе результатов числен-
ных экспериментов. Так, минимальная выходная толщина окалины, по-
лученная в расчетах, е^ = 0,96 мм, максимальная = 1,5 мм. Поэтому
полагали, что при £ < критерий удовлетворяется полностью = 1), а
при £ > Ещах он не удовлетворяется. Значения е^ < £ < характери-
зуются промежуточными значениями функции желательности крите-
рия по толщине обезуглероженного слоя (в численных эксперимен-
тах 5min = °>9 ММ, 5шах = 1 -4 ММ).
Важным моментом в постановке задач многокритериальной оп-
тимизации является оценка относительной значимости или рангов ча-
стных критериев. Иными словами, каждому критерию или ограниче-
нию, заданному своей функцией желательности, необходимо поставить
в соответствие конкретные числовые значения ранга, характеризую-
щие относительный вклад рассматриваемого частного критерия в со-
вокупную оценку качества процесса.
На практике при наличии более двух частных критериев бывает
весьма сложно сделать такие оценки априори, поскольку информация
об относительной важности критериев носит, как правило, качествен-
но нечеткий характер (задача на вербальном уровне).
Подобная ситуация является характерной для большинства мно-
гокритериальных задач. В работе [7] отмечается, что при наличии уже
двух критериев процедура ранжировки и формирования глобального
критерия неизбежно несет в себе элементы субъективизма. Поэтому,
следуя рекомендациям работы [8], для отыскания коэффициентов от-
носительной важности критериев использовали методику, основанную
на построении матрицы парных сравнений на базе шкалы лингвисти-
ческих предпочтений [9].
Основная идея методики состоит в следующем. Пусть а, > 0,i =
= /|N - ранги критериев, а Л = {а,- / аД - матрица относительных
170
рангов. Очевидно, что, умножив А справа на искомый вектор W =
= (a|,a2,...,aN), получим Л ЛГ = 7V В работе [ 10] показано, что задачу
отыскания вектора W можно свести к проблеме минимизации функ-
ционала:
N N \2
s=ZX(4a;-a«) (41°)
' j
N
при ограничении = 1.
Для задания элементов матрицы парных сравнений в работе [8]
предложено связать лингвистические оценки попарной важности кри-
териев с натуральным числовым рядом. В работе [11] описаны также
лингвистические оценки в русском языке, полученные путем обобще-
ния опыта решения задач принятия решений: строго эквивалентны - 1;
почти эквивалентны - 3; несколько препочтительны - 5; значительно
предпочтительны - 7; строго предпочтительны - 9; промежуточные
оценки важности - 2,4,6,8.
Построение матрицы парных сравнений проводится следующим
образом. Пусть имеются три критерия: У, Y и Z, причем X почти экви-
валентен У, чему соответствует число 3 в шкале лингвистических оце-
нок; У несколько предпочтительнее Z (число 5 в шкале оценок) и X
строго предпочтительнее Z (число 9). Результирующая матрица пар-
ных сравнений принимает вид
X У Z
_У 1 3 9
А~ У 1/3 1 5‘
Z 1/9 1/5 1
В рассматриваемом случае оптимизации нагрева заготовки по со-
вокупности четырех критериев получена следующая матрица парных
сравнений:
И/ Ид/ Не Нб
И/ 1 5 4 3
Л = Нд/ 1/5 1 1/3 1/3.
Не 1/4 3 1 2
Н5 1/3 3 1/2 1
Решение экстремальной задачи (4.10) дало следующие значения ран-
гов критериев: ocj = 0,45 (ц t), a2 = 0,1 (цд/), a3 = 0,33 (цД a4 = 0,2 (ps).
Успех решения задачи многокритериальной оптимизации во мно-
гом определяется правильным выбором способа формирования глобаль-
171
ного критерия на основе частных. В настоящее время наиболее часто
применяются аддитивная Z)=Xa/Hf и мультипликативная D = JJa,p/
формы свертки частных критериев в глобальный. Во многих практичес-
ки важных случаях использование такого рода сверток может привес-
ти к получению результатов, весьма далеких от точки истинного опти-
мума, и даже к абсурдным результатам. Наиболее предпочтительным
и надежным способом формирования глобального критерия является
свеотка вида
D- minyi| ,ц2-,...,|1N J.
Поэтому в рассматриваемом случае глобальней критерий качества
формировался как пересечение четырех частных критериев:
D = min(g“' (£),Hs4 (5)).
С учетом зависимости Z, Дг, е и 5 от факторов Zo, Р, tb t2 получаем:
D=min(n“'(z(z0,P,/|,r2)));
=Дг(«0,Р,/|>/2); ц“’ =£(«0,Л'|,'2);
= 5(z0, P,Z|,/2) =
В итоге для каждой выбранной пары свободных параметров 7^, Р*
решение задачи оптимизации отыскивалось в виде
Gi.'2)om = arg((maxn ,2 О(/0,,Р,,г1>/2))). (4.11)
Экстремальная задача (4.11) решалась на основе построенных
функций желательности частных критериев и редуцированной модели
процесса нагрева (4.9) методом последовательной квадратичной ап-
проксимации, обладающим свойством сглаживания незначимых ло-
кальных экстремумов.
На рис. 4.3 представлен типичный режим, полученный в результа-
те оптимизации для случая горячего посада (Zo = 600 °C) при Р = 60 т/ч.
Как видно из рисунка, существуют значительные отличия оптималь-
ного режима нагрева от базового. Сравнение результатов расчета по
оптимальному и базовому режимам, представленных в табл. 4.2, по-
зволяет сделать нижеследующие выводы.
Оптимальный режим обеспечивает снижение значений Д/, £, 5 по
сравнению с базовым режимом, однако это снижение весьма незначи-
тельно. Фактически оно достигается за счет смещения выходной тем-
пературы поверхности слитка к нижней границе допустимого диапазо-
172
Рис 4 3. Результаты расчетов и сопо-
ставления оптимального (сплошные кри-
вые) и базового (штриховые) режимов
нагрева:
1 - температура среды; 2 - температура
поверхности (угла)заготовки
Таблица 4 2
Расчетные показатели качества процесса
Режим л. °C /2. °C /. °C Д/, °C е. мм 6. мм
Базовый 1170 1220 1205 14 1.088 1,212
Оптимальный 1190 1175 1191 12 1,078 1,205
на. Как видно из рис. 4.3, оптимальный режим является также и более
экономичным с точки зрения расхода топлива на поддержание зонных
температур. В то же время на практике такой режим при существую-
щей конструкции печи неосуществим. Поэтому основным полезным
результатом решения задачи оптимизации является выявление предель-
ных теоретических возможностей печи.
Как показывают расчеты, в настоящее время резервы повышения
качества нагрева за счет изменения режимов практически исчерпаны.
Кроме того, процесс нагрева обладает значительной устойчивостью к
вариации режимных параметров и определяется главным образом ко-
личеством теплоты, поглощаемой заготовкой.
Решение оптимизированной задачи позволило сделать вывод о
весьма малой чувствительности выходных характеристик процесса к
изменению режимных параметров. В этой связи весьма актуальной ста-
новится задача исследования параметрической чувствительности про-
цесса с целью выявления наиболее эффективных управляющих воздей-
ствий, а также параметров процесса, высокая точность контроля кото-
рых нецелесообразна.
На первом этапе варьировались опорные данные температуры печи
в окрестности базового, действующего в заводских условиях, режима на-
грева. Исследовался процесс нагрева заготовки сечением 0,250 х 0,300 м из
кордовой стали при Р = 60 т/ч. Расчеты проводились по идентифициро-
ванной модели, описанной ранее, при изменении температуры томиль-
ной зоны ZTOM, температур первой и второй сварочных зон и /2 для
начальной температуры печи, равной 800 °C, и /0 = 600 °C. Опорные тем-
173
пературы варьировались в следующем диапазоне: /том = 1170 ± 40 °C.
При варьировании каждой из опорных температур остальные соответ-
ствовали базовому режиму. Результаты расчетов, представленные на
рис. 4.4 и в табл. 4.3, позволяют сделать нижеследующие выводы.
Наибольшее влияние на изменение выходных температур поверх-
ности заготовки оказывает температура томильной зоны. Так, для из-
Таблица 4.3
Чувствительность выходных температур заготовки
к изменениям режимов нагрева
Температура заготовки, °C Варьируемая температура печи, °C
/том /2 /1
t ц 1202/ 1172 1197/1177 1191/1183
t и 1212/1179 1202/ 1189 1198/1193
Чувствительность процесса к температуре
неотапливаемой зоны
Таблица 4.4
^ПСЧ» °C /п - /ц, °C tn, °C е, мм 6, мм
700 22 1171 0,628 0,837
900 18 1178 0,645 0,856
центра
174
менения температуры поверхности tn на 1 °C требуется изменение /том
на 2 °C, t2 на 6 °C, q на 12 °C. Аналогичные результаты получены и для
температуры центра заготовки /ц. Следует отметить, что во всех случа-
ях перепад температур между поверхностью и центром заготовки не
превышал 10... 12 °C.
На рис. 4.5 представлены распределения коэффициентов эффектив-
ности управления температурой печи:
/Cj — А^п^^печ» = ^ц/А^печ’
где Д/п, ДГц - соответствующие приращения температуры поверхно-
сти и центра заготовки; Azne4 - приращение температуры печи.
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что на практи-
ке для обеспечения требуемой температуры заготовки перед прокат-
кой достаточно управлять лишь температурой томильной зоны. При
этом перепады температур по толщине заготовки не будут превышать
10... 15 °C, что вполне допустимо.
Одним из наиболее трудно поддающихся измерениям и оценке
параметров процесса является температура печи в начале неотапливае-
мой зоны. В табл. 4.4 приведены результаты расчетов выходных харак-
теристик процесса в базовом режиме при варьировании этого параметра
в технологически допустимом диапазоне.
Из рис. 4.5 видно, что на начальных стадиях нагрева заготовки
перепады температур по ее толщине могут достигать 150 °C и более,
что может послужить причиной образования поверхностных и внут-
ренних трещин в заготовке.
В печи стана 850 осуществляют нагрев заготовок более 50 марок
сталей, существенно различающихся по своим теплофизическим свой-
ствам. Для выявления степени влияния марки стали на протекание теп-
лофизических процессов была проведена серия расчетов для базового
режима нагрева при варьировании температуры первой сварочной
зоны. При этом стали были разбиты на четыре основные группы.
Как видно из табл. 4.5, вариация марки стали может привести в
одном и том же режиме нагрева к изменению выходной температуры
заготовки не более чем на 20 °C, перепад температур составляет не бо-
лее 15 °C. При этом различия результатов для высокоуглеродистой,
Рис. 4.5. Динамика коэффициен-
тов эффективности управления в
технологических зонах печи
175
Таблица 4.5
Влияние марки стали на протекание теплофизических процессов
/1,°С Гп,°С Дг. °C Е, ММ 6, мм
Высокоуглеродистая сталь
изо 1170 23 0,639 0,838
1170 1174 20 0,636 0,846
1210 1178 18 0,644 0,854
Малоуглеродистая сталь
ИЗО 1172 22 0,638 0,837
1170 1176 19 0,635 0,845
1210 1183 17 0,644 0,854
Низкоуглеродистая сталь
ИЗО 1181 16 0,634 0,844
1170 1184 14 0,642 0,852
1210 1188 13 0,649 0,860
Хромоникелевая сталь
ИЗО 1189 II 0,651 0,862
1170 1192 9 0,658 0,871
1210 1195 8 0,665 0,879
малоуглеродистой и хромоникелевой сталей находятся в пределах
ошибки изменения температур заготовки. Это дает основание при раз-
работке рациональных режимов нагрева в печи стана 850 разделить
весь марочный состав прокатываемых сталей на две группы.
Результаты, представленные в табл. 4.5, позволяют сделать вывод,
что при отыскании оптимальных режимов нагрева достаточно огра-
ничиться рассмотрением одной наиболее характерной марки стали с
введением соответствующих поправок для сталей других групп.
4.3.2. Оптимизация нагрева специальных сталей в печах
с шагающими балками по минимуму окалинообразования
Для решения задачи оптимизации нагрева в печи стана 320/150 БМЗ
по минимуму окалинообразования использован метод магистральной
асимптотической оптимизации, впервые введенный в практику расче-
тов нагрева стали под руководством д-ра техн, наук, проф. В. И. Ти-
мошпольского [5,12... 14 и др.]. К преимуществам метода, которые пре-
допределяют его выбор в качестве базового для решения задач опти-
мизации режимов нагрева, следует отнести следующие.
1. При решении задачи оптимального управления данный метод в
отличие от существующих позволяет производить декомпозицию задачи
на три более простые: две задачи определения поверхности согласования
граничных условий с магистралью и задачу определения магистрали.
2. Известно, что при использовании такого метода решения задачи
оптимизации, как принцип максимума, необходимо решать задачу выбо-
ра начальных значений вектора сопряженных переменных, т. е. сложную
граничную задачу для систем с распределенными параметрами. При ис-
пользовании метода магистральной оптимизации значение сопряженных
176
переменных можно получить, учитывая, что в оптимальном процессе
выражение для магистрали известно и достигается за определенное время.
3. Конкретную задачу оптимального управления удается заменить
на определенном этапе такой же задачей, но с другим, более простым,
функционалом качества (в частности, линейным).
Следуя ранее изложенной сопряженной математической модели
нагрева заготовок в печи с механизированным подом стана 320/150 (см.
п. 3.2.1), опишем внутреннюю задачу для призмы при радиационно-
конвективном теплообмене:
0<т<ткон;
Дх,Л0)=^;
0<x<Ri; 0<^</?2;
(4.12)
(4.13)
ЭТ(Л.,лт) л л
ЧТ)----!--=а(Тпеч -T(Rt,y,t))^T^4 -Т4(Я1>?л));
дх
dT(R2,x,x)
Х(П---Й-T(R2>x’V)+°(t™ -^(Яьхд)); •
3T(0,j>,t)X0. ЭТ(х,0,т)_0,
дх ’ ду
(4.14)
где ткон - время окончания процесса нагрева заготовки; Тпеч - темпера-
тура печи.
Коэффициенты теплоотдачи конвекцией а и излучением а опреде-
ляются так же, как при решении задачи сопряженного теплообмена.
Как уже неоднократно отмечалось, главной функцией управления
в задачах, касающихся технологии нагрева, является температура печи
Тпеч. Тогда можно записать:
А1<Тпеч<А2;хе [0,ткон], (4.15)
где А!, А 2 - соответственно минимальное и максимальное значения тем-
пературы печи.
С учетом того, что в конце нагрева заготовка должна иметь рас-
пределение температуры по сечению, отвечающее условию ДТКОН < Тдоп,
необходимо ввести ограничение
max
Т(х, у, ткон
Х€[0,Я1 ]
_F€(0./?2]
кон
(4.16)
где Ткон - желаемое распределение температур в сечении садки (как из-
вестно, оно зависит от марки стали и вида последующей пластической
деформации); е - некоторая постоянная: е > 0.
177
На поверхности заготовки в процессе ее нагрева образуется слой
окалины толщиной ш(т). При этом толщина слоя окалины в рассмат-
риваемой точке может быть подсчитана так:
[г(Я1,/?гл)Я1(лЛ|Лл))Л’
где а, |3 - положительные постоянные, характеризующие динамику роста
окалины.
Задача оптимального управления нагревом заключается в выборе
температуры печи Тпеч(т) (0 < т < ткон) в классе кусочно-непрерывных
функций, которая удовлетворяет ограничению (4.15), и на решениях
температурной задачи (4.12)...(4.14), удовлетворяющих условию (4.16),
доставляет минимальное значение величине со(ткон). Используя такой
подход, можно показать, что оптимальная температура печи
при О-*-т*;
печ( при Т*<Т<ТКО11,
где момент переключения управления т* определяется.
Пусть 7[*(х,у,т) - решение задачи (4.12)...(4.14) при теРЦ] ,
х,у е[0,Д][0,Яг] при Тпеч (?) = Av
Дифференциальное уравнение (4.12) с граничными условиями (4.14)
и начальным условием (4.13)
Лх,у,т1)= TiU-Mj); Тпеч(т) = Л2 (4.17)
имеет решение 1^(х,у,т1) при Т| £ т < ткон , 0 < х£ , 0 у < Л2, удов-
летворяющее ограничению (4.16), а при большем значении Tj ограни-
чение (4.16) не выполняется. Тогда т* =
Следовательно, чтобы построить оптимальный температурный
режим нагревательной печи, нужно установить момент переключения
управления т*.
Значение т* определяется в результате численного моделирования
на ЭВМ с использованием приведенного ниже алгоритма.
1. Задаем точность вычислений е и положим, что а = 0 и b = ткон.
2. Вычисляем Tj = (а + Ь) / 2 .
3. Численно интегрируем уравнение (4.12) с начальным условием
(4.13) и находим 7j’(x,y,T1).
4. Численно интегрируем уравнение (4.12) с начальным условием
(4.17) и находим ^(х,у,ткон).
5. Если max
Л ^кон
Х€[0,Я1]
к У€(0,Я2]
) “ 7\он
7
> е, то положим b = и перей-
дем к шагу 2.
178
6. Если max
^(^»^Дкон) 5он
х 6 (0, Ял ]
У€(О, Я2]
< —8 , то положим а =
Т| и перей-
дем к шагу 2.
/
7. Если max
^(•*> ^>^кон) ^КОН
X6[O,^]
^€[0,Я2]
< е , то положим т* = Tj и закончим
вычисления.
В качестве иллюстрации рассмотрим нагрев сляба размерами
0,125 х 0,125 м из кордовой стали (нагревательная печь стана 320/150 БМЗ).
Исходные данные: tQ = 27 °C; гкон = 1200 °C; гс1 = 700 °C; tc2 = 1250 °C;
р = 7800 кг/м3; z = 0,45 м (шаг раскладки заготовок).
Результаты расчета представлены на рис. 4.6. На этом рисунке
приведены расчетные данные как базового, так и оптимального режи-
ма. Как видим, при нагреве в соответствии с оптимальным режимом
наблюдается уменьшение окалины с 3,6 (базовый) до 2,4 кг/м2 (опти-
мальный режим).
Рис. 4.6. Динамика процессов нагрева и окалинообразования заготовки размерами
0,125x0,125 м:
/ - базовый режим; 2 - оптимальный режим
179
4.4. ОПТИМИЗАЦИЯ НАГРЕВА СОРТОВОГО ПРОКАТА
В КОЛОДЦАХ КОНТРОЛИРУЕМОГО ОХЛАЖДЕНИЯ
4.4.1. Техническая характеристика объекта оптимизации
Колодцы регулируемого охлаждения (рис. 4.7), функционирующие
в условиях БМЗ, обеспечивают контролируемое охлаждение легиро-
ванных сталей после проката на стане 850 с возможностью нагрева не-
которых сталей и после охлаждения их на холодильнике.
Колодцы регулируемого охлаждения (5 шт.) расположены за рееч-
ным холодильником. Загрузка их осуществляется мостовым краном от
передаточного транспортера. Поддоны с заготовками (четыре поддо-
на на колодец) укладываются в колодец по схеме загрузок и закрыва-
ются крышкой с помощью напольной машины. Нагрев металла в ко-
лодцах осуществляется в двух зонах, охлаждение регулируется по че-
тырем зонам. Каждый колодец оснащен двумя независимыми цирку-
ляционными системами с одновременным нагревом дымовых газов,
которые всасываются с торцевых сторон циркуляционной воздуходув-
кой в канал, в котором находятся четыре горелки для нагрева.
Дымовые газы через выходные отверстия, расположенные в цен-
тре дна колодца с двухсторонним распределением, подаются циркуля-
ционной воздуходувкой в весь полезный объем колодца. Этим дости-
гается распределение теплоты вокруг заготовок.
Для охлаждения металла в верхней части колодца имеются сопла
водоохлаждения, которые предназначены для равномерного распреде-
ления воздуха в четырех регулирующих зонах. Колодцы футеруются
высококачественными волокнистыми матами, а пространство между
футеровкой и кожухом изолируется плитами или матами определен-
ной формы.
В дно колодца вмонтированы плиты скольжения из огнеупорного
бетона высокой прочности, предназначенные для приема мульд: От-
дельные поля, которые находятся между плитами скольжения, выпол-
Рис 4.7. Схема колодца контролируемого нагрева и охлаждения с внутренней рецир-
куляцией газов стана 850
180
йены из легкого бетона. Давление в колодце регулируется постоянно с
помощью управляемой заслонки, расположенной в дымоходе для от-
ходящих газов. Колодец оснащен одним вентилятором для одновре-
менной подачи воздуха на горелки и охлаждения. Управление тепло-
вым режимом осуществляется по программатору. Температура в ко-
лодце определяется по показаниям штатных зонных термопар.
В зависимости от отклонения задаваемых программой темпера-
тур и фактических температур в зонах происходит автоматическое
включение или выключение горелочных устройств. Техническая харак-
теристика колодцев приведена в табл. 4.6.
Принятая технология производства горячекатаного сортового
проката круглого сечения предусматривает несколько способов термо-
обработки металла. Это вызвано тем, что для крупносортного прока-
та из многих легированных и некоторых углеродистых сталей недопус-
тимо самопроизвольное охлаждение на воздухе без последующей тер-
мической обработки. В противном случае возможно образование тре-
щин под влиянием структурных и термических напряжений в металле,
а также из-за повышенного содержания в нем водорода.
Круглый прокат, полученный на стане 850 из конструкционной
стали, обрабатывается в колодцах регулируемого охлаждения следую-
щим образом: после охлаждения заготовок на холодильнике они загру-
жаются в колодцы, где происходит их разогрев с заданной скоростью
до необходимых температур, затем выдержка и охлаждение (с заданной
скоростью). Температуры, скорости нагрева и охлаждения, продолжи-
тельность выдержки регламентированы в зависимости от марки стали.
Таблица 4.6
Техническая характеристика колодцев контролируемого охлаждения
Параметр
Размер, мм:
длина
ширина
высота
Градиент подогрева, °С/ч
Мощность на нагрев, Вт
Градиент охлаждения, °C
Максимальная температура
рабочего пространства, °C
Количество диапазонов регулирования
Количество горелок
Способ контроля
Тип горелок
Мощность горелок, Вт
Температура топлива, °C
Теплота сгорания топлива, кДж/м* * 3 * *
Расход газа на горелку, м3/ч
Показатель горения, м3/м3
Температура воздуха горения, °C
Расход воздуха горения, м’/ч
Значение
13000
3400
2950
40...50
2,6 106
20...40
790
2
4
Ионизационный
ZI0 200/100
650 000
20
34 350
68.3
9,7
20
663
181
4.4.2. Оптимизация режимов тепловой обработки проката
в колодцах контролируемого охлаждения
Задача оптимизации по минимуму расхода газа решена с исполь-
зованием метода магистральной асимптотической оптимизации [13].
Процесс изменения температуры греющей среды и нагреваемого
металла может быть описан следующим образом:
^-=AlU-A2Tr-A)(Tr-T)-, ^=ц(Тг-Т>. (4.18)
ах ах
Начальные и граничные условия:
7^(0)=^; Д0)=^; Лчон) = Ттн. (4.19)
Здесь Тг (т), Д т) - температура соответственно греющей среды и нагре-
ваемого металла; <7(т) - расход газа в момент времени т; ткон - время
окончания нагрева; ц, А ।, А2, А3 - положительные константы, характе-
ризующие динамику процесса нагрева.
Расход газа зададим в виде
1= Jt/rfr. (4.20)
о
Предположим, что ткон > т^, А$ < и
(4.21)
где - минимальное время нагрева металла до температуры 7^он;
t7min, t/max - соответственно минимальный и максимальный расход
газа.
Задача оптимального управления заключается в выборе режима
расхода газа U(i) (0 < т < ткон) в виде кусочно-непрерывной функции,
удовлетворяющей ограничениям (4.21), которая при решениях (4.18),
(4.19) доставляет минимальное значение функционалу (4.20).
Рассмотрим задачу оптимизации:
dx
= (4.22)
dz
gl(x(0)) = 0; g2(x(x*)) = 0; (4.23)
[F(x,U,T)dx -» min. (4.24)
Jo UeV
Здесь x* - фиксированное число; / - Я" x Я™ х|о,т*] -» Я"; gz - Я" ->
—> (j = 1,2); F - Rn x К” x [о,т‘] —> К - непрерывные функции вмес-
те с частными производными Э//Эх; ЭГ/Эх; bgjbx (j = 1,2). Допусти-
182
мыми являются кусочно-непрерывные функции со значениями в ком-
пактном множестве V е Rm.
Рассмотрим уравнение (4.22) с критерием качества (4.24), кусоч-
но-непрерывное управление С7° (т) е V и соответствующую ему траек-
торию х°(х) при х > 0, которые удовлетворяют условиям:
minF(x°(x),C/,x) = Г(х°(х),С/°(х),х); (4.25)
UeV
*/ F(x0(T);t/°(T); т)А <’/ F«t); т)А (4.26)
tl Т|
для любого допустимого процесса x(t),U(t) задачи (4.22)...(4.24), лю-
бых хь х2, х*, 0 < Xj < х2 < х*. Отметим, что для х°(х) равенства (4.23)
могут и не выполняться.
Задачу непрерывной оптимизации
= g!«0)) = 0; х(<) = х°(<);
ат
min,
0 UeV
где xj не фиксировано, назовем первой задачей.
Аналогично задача вида
=f(x,u,ty, g2Wx’))=°; xfh) = *°Сч);
ат
J F(x°(T))l/0(-r),'t)rfr -> min
*2 €
представляется как вторая задача.
Пусть 0< xj < х2 < х* - произвольные моменты времени; х!(х),
х2(х) - оптимальные решения первой и второй задач; С/!(х), С72(х),
V1 (х), V2 СО ~ соответствующие им управления и сопряженные функ-
ции.
Определим функции переменной у е Я":
G,(v) = ).£М*) - ),т* ) +
+ F(x° (< ),U‘ (< ),<) - )).
183
Пусть выполнены следующие условия:
1) Я"; х2:^2»т*]“^ - регулярные экстремали соот-
ветственно первой и второй вспомогательных задач при 0 < Tj < т2 £ т ;
2) уравнения G|(y) = Рх (V) = 0» = ^(Y) = 0 имеют единст-
венные корни Р^ и Р<2) соответственно;
3) х0(т) - регулярная экстремаль для задачи dxldi = /(х,Г/,т);
x(tJ) = x°(Ti ); х(т2) = х°(Т2); /г(х,С/,т)</т-> min;
< I'eV
4) матрицы dgj/dx; dg2/d* имеют максимальные ранги кх и к2,
5) существуют производные х(т*), i = 1,2 .
Тогда траектория
х^т),
х(т) = ’
Х0(т), tx <Т<Т2»
х2(т), t2<'t<X
является регулярной экстремалью задачи (4.22)...(4.24).
На основании приведенной теоремы получим регулярную экстре-
маль для задачи (4.18)...(4.21).
Из условий (4.25) и (4.26) имеем, что х°(т) находится путем реше-
ния дифференциальных уравнений (4.18) при U = Umn. Выберем в каче-
стве х°(т) траекторию, удовлетворяющую при т = О условиям (4.19).
Очевидно, что первая задача вырождается и = 0. Найдем оптималь-
ное решение второй задачи. Построим функции у2 (и), Vz(T)»являю-
щиеся решениями сопряженной системы уравнений:
^-=hvi+(^+4)V2-
Из последних соотношений получаем, что случай у2 СО = V4 ПРИ
значениях т, принадлежащих любому отрезку, невозможен. Следо-
вательно, при т, больших х2 и близких к Tj > оптимальное управление
для второй задачи равно [/тах. Из условия 2 теоремы найдем, что
/f = у2(^2) = 1/4 • Так как для второй задачи в момент времени ткон
температура газа не фиксируется, то ^2(ткон) = ^ • Общее решение
сопряженной системы на отрезке ] будет зависеть от двух про-
извольных постоянных, найти которые можно, используя условия
^(<) = 1/4, у?(^он) = 0-
Таким образом, чтобы построить регулярную экстремаль для за-
дачи (4.18)...(4.21), необходимо вначале с помощью численной проце-
184
дуры определить т2. До момента времени т2 управление равно (/min.
Так как вектор сопряженных переменных известен на отрезке [т2,ткон],
из условия максимума функции Гамильтона определим, чему равно
(7min. Отсюда следует, что можно построить допустимый процесс для
задачи (4.18)...(4.21), удовлетворяющий необходимым условиям опти-
мальности [15]. Поскольку задача (4.18)...(4.21) линейная, необходимые
условия оптимальности являются и достаточными [15].
Для качественной оценки конкретного метода была составлена
программа для ПЭВМ. Исходные данные определялись по методикам,
предложенным в работе [16]: ц = 0,8 ч-1; А! = 1,3176 К/м3; Д2 = 0,6506 ч"1;
А3 = 3,0492 ч-1; ткон = 60 ч; То = 300 К; Ткон = 1500 К; = 1050 К; C/min =
= 450 м3/ч; Г/тах = 1850 м3/ч. Оптимальный режим нагрева приведен на
рис. 4.8.
Итак, путем использования магистральных свойств задачи опти-
мального управления с минимальным расходом топлива вычислены
начальные значения вектора сопряженных переменных, что исключает
затраты машинного времени на их нахождение. Это в свою очередь
позволяет управлять данным технологическим процессом в реальном
масштабе времени. Отметим также, что оптимальный режим нагрева
металла совпадает с предложенным в работе [16] режимом нагрева тер-
мически массивного тела.
При практической реализации предложенного алгоритма необхо-
димо в первую очередь решить задачу идентификации математической
модели (4.18). Решение заключается в подборе таких значений пара-
метров А ь А 2, А3, ц, при которых значения температур металла Тм(т) и
газа Гг(т), полученные как решения уравнений (4.18) с граничными ус-
ловиями (4.19) в каждый момент времени, не отличаются от тех же зна-
чений Тм (т), Цт), но полученных экспериментальным путем. За меру
отклонения данных параметров примем величину
G = ]((Дс) - Дт))2 + (7?(т) - Тг(т))2 >,
о
Рис. 4.8. Оптимальный режим нагрева ме-
талла в колодцах при минимальном рас-
ходе газа:
/ - поверхность пакета: 2 - центр пакета; 3 -
расход газа
(4.27)
185
где т° - время, за которое проводились измерения экспериментальных
значений (время идентификации).
Далее полагаем, что ошибка измерения экспериментальных зна-
чений Т(т) достаточно мала и ею можно пренебречь, а сами значения
Т(т), ТДт) могут быть получены в любой момент времени т е [o,T°j.
Аналогичные предположения имеют место и при определении экспе-
риментальных значений расхода газа U (т).
С целью идентификации модели (4.18) был проведен промышлен-
ный эксперимент. Значения Т(т), 7^(т), U (т), Te^O,T°j нам извест-
ны. Для определения значений А}, А2> А3, р будем считать, что мера
отклонения G (4.27) является функцией переменных А ь А2, А3, р:
G = <7(4,4’4’Н) •
Очевидно также, что действительные значения параметров А ь А2,
А3, р, могут изменяться лишь в конечных интервалах. Поэтому имеем
ограничения
4м - 4 - 4*; 4 м - 4 - 4*;
4 л/ - 4 - 4*; Нл/ - н - Нк» )
где нижние и верхние пределы ограничений определяются исходя из
эвристических соображений. Например, A j = О, А = М, где М - доста-
точно большое положительное число. Таким образом, чтобы решить
задачу идентификации, необходимо найти такие значения параметров
4 = 4’ 4 = 4’ 4 = 4 ’ М- = Й ’ которые удовлетворяют ограничени-
ям (4.28) и условию
£(4’4’4>ц) - £(4>4>4>й)
для любых допустимых значений Ah А2, А3, р, (4.28). Следовательно,
сформулирована задача условной минимизации функции четырех пе-
ременных. Для ее решения воспользуемся методом покоординатного
спуска. Получим следующие значения параметров: 4 = 6,11, А2 = 0,638,
А3 =3,45, р = 0,65и 4 =5,99, А2 =0,505, А3 =3,77, р = 0,464 соответ-
ственно для наиболее нагретой и холодной заготовок пакета.
4.4.3. Разработка рациональных режимов тепловой работы
колодцев с минимальным расходом топлива
В процессе выполнения экспериментальных исследований было
установлено, что при нагреве пакета заготовок возникает неравномер-
ное изменение температуры по пакету, что приводит к дополнитель-
ной выдержке металла в колодце. Задачи исследований заключались в
следующем:
186
1) при заданной максимальной неравномерности температуры по
пакету ДР определить минимальное время выдержки, чтобы достичь
неравномерности температуры по пакету не более ДР и при этом обес-
печить минимальный расход газа;
2) определить изменение температуры рабочего пространства ко-
лодца и расхода топлива, обеспечивающее принятое выше условие на-
грева.
Рассмотрим первую задачу. Так как, с одной стороны, при выдерж-
ке температура рабочего пространства должна быть равна температу-
ре выдержки Г а с другой - к моменту времени ткон (время оконча-
ния оптимизации) 7^(ткон) > Тйыд , то вначале необходимо снизить тем-
пературу рабочего пространства до Твыд. Из условия стойкости огне-
упоров колодца имеем
dT-
dr ' ’
где v < 0 - константа, задающая максимальную скорость снижения тем-
пературы рабочего пространства за час охлаждения. Из условий стой-
кости футеровки примем v = -30 К/ч.
Также очевидно, что если охлаждать металл с максимальной ско-
ростью
dTr _
rft V ’
(4-29)
то расход газа и время охлаждения тохл будут минимальными.
Из выражения (4.29)
7?(т) = у(т-ти) + ЦтК0Н), (4.30)
где ?;(ткон) - температура рабочего пространства в конце процесса
нагрева.
Далее имеем 7^(тохл) = 7^Ь1Д, откуда находим
(43п
*охл ^LKOH-
Расход топлива (70хл и температура металла Тохл на данном этапе
находятся из соотношений:
Л,(7 — j42(v(t — ТКон) + 7?(ТК0Н)) “ (у(Т — ^кон) Л^кон) “
» “ “ ^кон) + ^г(^кон) “ ^кон — — ^ОХЛ ’
al
где 7^(ткон). Лткон) заданы. Записываем:
Тохл(т) = (Дткон)- + v/iiy-*"-> + v(t--Ткон) +
187
^г(^кон)
^охл(т) = (v + А2Тг(т) + А3(Тт - Т))/Аь ткон < т< тохл .
Отметим, что температура рабочего пространства определяется
соотношением (4.30), а время тохл - соотношением (4.31).
В итоге мы добьемся, что температура рабочего пространства в
момент времени тохл будет равна Твыд.
Так как при выдержке температура рабочего пространства не меня-
ется, а выдержка начинается с момента времени тохл, то, учитывая урав-
нение (4.18), граничные условия (4.19) и начальные условия в момент
времени т = тохл, имеем соотношения для определения расхода топлива
£/выд(т), температуры рабочего пространства Тг вьщ и температуры ме-
талла Твьщ(т) за время выдержки:
£(О = ^ыд; 4с/(т) - 4^ыд - 4(^ыд - 7) = 0;
dT -
~Т~ = Ц(^выд — 7), тохл
ат
Л^ХЛ ) ~ Лхл (^охл ) •
Записываем:
Гвыц(г) = е-1‘(т-т«»,(Дг0ХЛ)-Твьш)+Твьш; 7^)= Твыд;
^выд(^) = “7 ^ВЫД + (^выд ~ ^выдСО)» ^ОХЛ — 1 %ьщ .
Л| л.
Оптимальный режим нагрева для наиболее нагретой заготовки
обозначим через С7(т), т е[0,ткон]. Расход газа (/(т),те[0,твьщ] зада-
дим исходя из соотношения
ВЫД ’
(7(т), 0<т<ткон;
^(0 “ ’ ^ОХЛ С0> ^КОН — — %хл >
^выд(О, ^охл — — ^выд •
Используя условия (4.19), из уравнения (4.18) определяем время
выдержки, изменяя коэффициент цЛР(твьщ) = |Лтвьщ)-^(твыд)|, где
ЛтВыд) и Т’мССаыд) - температуры металла, полученные в результате ре-
шения следующих уравнений:
^=AiU-A2T-A}(Tr-T), 0<г<гвыц;
= ^ = Ц(ТГ-Т)
188
с начальными условиями 7Д0) = 7^, ДО) = 7J, Д (0) = 7J (здесь пред-
полагается, что все заготовки пакета имеют одинаковую начальную
температуру).
Минимальное время твыд удовлетворяет условию
АР(твыд)<Р. (4.32)
Таким образом, имея уравнения (4.32) и определив его минималь-
ный корень, получим время выдержки. Решить уравнение (4.32) мож-
но, например, используя метод деления отрезка [тохл, т0] пополам. Здесь
т0 - время априори, обеспечивающее выдержку с неравномерностью по
пакету ДР (достаточно большая величина).
Далее, по технологии необходимо охладить металл с заданной не-
равномерностью по пакету ДР0 в конце технологического процесса до
температуры Тп: Т„ < Дтвь|д), Т„ < Та (твыд).
Найдем наименьшее время охлаждения пакета до температуры Тп.
Из условий устойчивости футеровки, учитывая экономию газа, как и
dTr
ранее, имеем —L = v до того момента времени т , пока соответствую-
dr
щая данному режиму охлаждения температура газа не станет равной Тп.
Находим:
< т т, 7^ - г(т-твад)+7^(твьщ),
Дт) = (Дтвьш) - + v/p)e'tl<T't““) + v(t- твыд) + Тйъш - v/ц;
{7(t) = 4z:+4(^-^))+4;
4 4 4
* _ “ ^г(^ВЫД ) —
т- v +ТВЬЩ.
Затем определяем минимальное время которое обеспечивает
температуру по пакету, равную Тп (с ошибкой не более ДР0).
Расчетные формулы на данном этапе имеют вид:
^(т)=Тп; 4Щт)-4Тп-^(Тп-7) = 0;
4 = Ц(Гп-7); ^- = Ц(Тп-Тн); т<т^т1;
ат ат
где Дт), 7^(т) заданы.
В итоге получен алгоритм расчета оптимальной технологии за-
медленного охлаждения металла в колодце, обеспечивающий выпол-
нение основных технологических требований.
189
4.4.4. Разработка рациональных режимов термообработки
сортового проката в колодцах
контролируемого охлаждения
По приведенному выше алгоритму идентификации математиче-
ской модели нагрева была составлена программа для ПЭВМ, позво-
ляющая рассчитывать наилучшие значения коэффициентов модели. Для
наиболее нагретой заготовки пакета на рис. 4.9 приведены графики из-
менения температуры рабочего пространства колодца, полученные рас-
четным и экспериментальным путем. Для этой же заготовки на рис. 4.10
приведены графики изменения температуры колодца, полученные экс-
периментальным и расчетным путем. Обращает на себя внимание тот
факт, что модель адекватна реальному процессу нагрева металла. Ана-
логичные данные приведены на рис. 4.11 и рис. 4Л 2, где в качестве рас-
четной температуры металла взята температура наименее нагретой за-
готовки. Получено, что для первой заготовки Ц = 6,65, а для второй
Ц = 0,464. Поэтому при заданной температуре рабочего пространства
колодца в процессе нагрева будет возникать неравномерность прогре-
ва всех заготовок пакета.
Далее по данным, полученным в результате идентификации моде-
ли, с помощью разработанного алгоритмического и программного
Рис. 4.9. Графики изменения температуры заготовки:
1 - эксперимент; 2 - расчет
Рис 4.10. Графики изменения температуры рабочего пространства колодца:
/ - эксперимент, 2 - расчет
190
Рис. 4 11. Графики изменения температуры наименее нагретой заготовки:
1 - эксперимент, 2 - расчет
Рис. 4.12. Графики изменения температуры рабочего пространства (наименее нагретая
заготовка):
1 - эксперимент; 2 - расчет
обеспечения проводилась оптимизация режимов нагрева металла до
контрольных температур за заданное время. На рис. 4.13...4.15 показа-
ны графики соответственно изменения температуры металла, среды и
расхода топлива для наиболее нагретой заготовки пакета.
Аналогичные данные приведены на рис. 4.16...4.18 для наименее
нагретой заготовки пакета.
Обращает на себя внимание тот факт, что время, за которое рас-
ход газа максимален, увеличивается с Т] = 4,46 ч до х2 = 6,3 ч. Следова-
тельно, в процессе оптимизации необходимо учитывать только темпе-
ратуру наиболее нагретой заготовки, определять расход газа и темпе-
ратуру рабочего пространства колодца, а затем рассчитывать измене-
ние температуры наименее нагретой заготовки в зависимости от вре-
мени. В противном случае неизбежен рост температуры заготовок па-
кета выше контрольной, что приводит к изменению регламента тепло-
вой обработки.
. В принципе минимальный расход газа в колодце равен нулю, а
максимальный определяется возможностями горелочных устройств.
Пусть это будет величина т (м3/ч). Понятно, что если положить итп = О,
(7max = га, то в этом случае перепад температур по пакету к концу про-
цесса нагрева будет наибольшим. Это в свою очередь увеличит время
191
Рис. 4.14. Расчетная температура среды (наиболее нагретая заготовка)
М3/ч
। 200
U
60
О 10.31 Ч 1477
Т —-
о ' 075 ' ~озо ' 075 ' Too
L ----*•
Рис. 4.15. Расчетный расход газа (наиболее нагретая заготовка)
выдержки, что нежелательно. Следовательно, минимальный и макси-
мальный расходы газа следует выбирать из тех соображений, чтобы
сделать этот температурный перепад как можно меньше.
На основании проведенных исследований рассчитаны оптималь-
ные режимы тепловой обработки сортового проката. На рис. 4.19...4.21
192
О 0,25 0,5,0 0,7,5 [DO
Т -------
О Ofi OfiO 0,75 fflO
L --------
Рис. 4.17. Расчетная температура среды (наименее нагретая заготовка)
м3/ч
200
I
и
60
о ЦЫ ч 14720
Т >
О 0,25 Ц50 0.75 1,00
L ----------
Рис. 4.18. Расчетный расход газа (наименее нагретая заготовка)
показаны соответственно изменения температур наиболее и наименее
нагретых заготовок, температуры рабочего пространства и оптималь-
ный расход газа.
Для проверки воспроизводимости проведен промышленный экс-
перимент, при этом на программаторе был задан следующий режим:
нагрев до температуры 680 °C - общая продолжительность нагрева 12 ч;
13 Зак. 5040.
193
выдержка при 680 °C - 8 ч; охлаждение до 400 °C со скоростью 20 °С/ч;
общая продолжительность обработки не более 36 ч.
С целью уменьшения расхода топлива в периоде снижения темпе-
ратур была отключена подача природного газа, а регламентирован-
ная скорость охлаждения достигалась за счет внутренней рециркуля-
ции, повышения давления в колодце за счет закрытия выпускной за-
слонки.
Разработанные на основе предложенной методики рациональные
режимы тепловой обработки сортового проката в колодцах контроли-
руемого нагрева и охлаждения с внутренней рециркуляцией газа внед-
рены в производство на Белорусском металлургическом заводе.
194
4.5. РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕЖИМА НАГРЕВА
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТАЛЬНЫХ ЗАГОТОВОК
В КОЛЬЦЕВЫХ ПЕЧАХ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ
НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Применим численно-аналитический метод расчета нагрева метал-
ла в задачах поиска оптимального режима по технологическим усло-
виям (т. е. по максимальному значению растягивающих температур-
ных напряжений) с целью увеличения производительности печи, сни-
жения удельного расхода топлива и окалинообразования без ухудше-
ния показателей качества готовой продукции. В качестве математиче-
ского аппарата построения расчетного алгоритма применен метод ма-
гистральной асимптотической оптимизации.
Для определения напряжений в зоне упругих деформаций восполь-
зуемся известными интегральными соотношениями между термически-
ми напряжениями и температурными полями [14]. Однако с целью уче-
та переменности термомеханических свойств предположим, что модуль
упругости Е(Т) и коэффициент линейного расширения а(Т) можно ап-
проксимировать линейными зависимостями:
Е(7) = £0+8£Т, а(7) = а0+8аТ,
где Ео, а0 - соответственно модуль упругости и коэффициент линей-
ного расширения при начальной температуре; 6£, 6а - тангенсы уг-
лов наклона прямых Е - Т и а - Т.
Для многих марок сталей в определенном интервале температур
(0...500 °C) такие зависимости с достаточной для практики точностью
отражают действительное влияние температуры на величины Е( Т} и
<х(Т) [17].
Выполним следующую подстановку:
е
t/ = f(l + ea0)d9, (4.33)
О
где еа= — Тс.
а0
Изменение предела упругости
£(0) = £О(1 + Е£е), (4.34)
6£
где £ £ = -f- Тс.
£0
Учитывая выражения (4.33), (4.34) и подставляя температурные
функции, получаем выражения для напряжений в зоне упругих и пла-
стических деформаций (решение задачи нагрева цилиндра методом
уточненного регулярного этапа подробно изложено в п. 6.3.1).
Напряжения в зоне упругих деформаций:
195
5Г = с(1+еЕ(еп - Д1 -Р2))^а ~-£а~— (pg -Р2)+
„ А, л М’-Ро)
+^-(ро-p3)]+lnpo(-D^-l+2»n)----(435)
ЪГ = c(1+£e(6„ - ^(1-р2))^£?-п-^-а—-Я(рб -Зр2)+
+^(ро+р3)-^Р^+1про(-^-1-'06п)-
М1-Ро)
--------(4.36)
2
Напряжения в зоне пластических деформаций:
а™ = lnp(—DA +1 + D6„) - Ш(12~Р \ (4.37)
с™ = 1пр(-Л4 +1 + D0n)-(1 - Den)- (4.38)
Граница пластической зоны р0 находится следующим образом:
✓Vi . ~ гл л/i (£аЛ0п 2 , 3
СП + ££(0п “Л(1-роЩ----------------------ро +—~—Ро “
' 'I 2 О
-^ро] = -0" D(°n - Л(’-Ро))} (4.39)
В выражениях (4.35)...(4.39) приняты обозначения:
_Sk(l-6i(R>))+Bi(l-en(Fo))
А~ 2(1 +еА(К>))
на регулярном этапе;
Sk + Bi(l-e0)
2(1 + ех0о) + Bi
на инерционном этапе;
а0^0^с
(1 -Ц)о? ’
196
Сформулируем задачи выбора оптимального температурного ре-
жима печи. Как уже отмечалось, главной функцией управления в зада-
чах технологии нагрева стали является температура среды. Поэтому
наложим следующее ограничение:
< Тс(т)<Тс2, 0<т<тн. (4.40)
При этом очевидно (для нашего случая), что продолжительность на-
грева является достаточно большой (7£|, Тс2 - минимально и макси-
мально допустимые температуры среды, определяемые конструктив-
ными и технологическими особенностями нагрева).
В качестве условия, соответствующего окончанию нагрева, при-
нимаем
^он(r»^)1г=о ~ ^кон “Const,
где Ткон - конечная температура оси заготовки, К.
Очевидно, что Tcl < Tc2i Ткоп > 7J; < 7^он < Тс2.
Поскольку, как известно, при нагреве наиболее опасны растяги-
вающие напряжения, запишем ограничения на термические напряже-
ния:
<*z °доП; ° г °доп; ° доп, (4.41)
где ог, - осевые, радиальные и тангенциальные напряжения по
сечению заготовки, определяемые в соответствии с выражениями
(4.35)...(4.39); оД0П - предельно допустимые растягивающие напряже-
ния, МПа.
Требуется за минимальное время перевести тело из начального
состояния TQ в конечное 7(г,т) = ^ < 7^он < 7£2 • Задача оптимального
управления формулируется следующим образом: необходимо выбрать
режим изменения температуры среды, который удовлетворяет ограни-
чениям (4.40), (4.41), причем так, чтобы функционал
xR 2
1 = Л(Лгл)-ТК0Н) <hdr (4.42)
о о
был минимальным (I = ). Здесь Дг,т) - решение задачи теплопро-
водности.
Магистраль находится в результате минимизации подынтеграль-
ного выражения функционала качества (4.42) по независимым перемен-
ным в области зависимых переменных.
В соответствии с поставленной задачей магистраль находится в
результате минимизации функционала (4.42) по независимой перемен-
ной Т при каждом фиксированном г и т и имеет вид
М(г,т>ТК0Н, 0<г<Я,
где г - текущий радиус, м; R - радиус нагреваемой заготовки, м.
197
Наилучшее распределение температуры в фиксированный (задан-
ный) момент времени т в фиксированной (любой заданной) точке по-
перечного сечения цилиндра радиусом г будет находиться в результате
решения задачи
(Дг;т;7^(т)) - 7!ОН)2-> min, (4.43)
при этом на температуру среды Тс налагаются ограничения (4.40) с уче-
том (4.41). Задача решается по методу случайного поиска.
Ниже приведен алгоритм решения задачи.
1. Задают исходные данные для расчета.
2. Определяют температуру греющей среды путем решения задачи
(4.43) с учетом ограничений (4.41), температуру поверхности цилиндра
к моменту окончания инерционного периода и его продолжительность.
3. Разбивают регулярный заданный период нагрева на интервалы
[Fo^j, FoJ и в каждый фиксированный момент времени вычисляют оп-
тимальную температуру среды Тс(т) и температуру поверхности и цен-
тра металла с учетом ограничений (4.41) и (4.40).
Описанный метод используем на конкретном примере разработки
оптимальной технологии нагрева осевой заготовки в кольцевых печах
дмк.
Исходные данные для расчета: характерный размер цилиндра 0,135 м;
материал - сталь 45; То = 20 + 273 = 293 К; Тс = 1200 + 273 = 1473 К;
овид= 3,1 10-8 Вт/(м2К4); ак = 35 Вт/(м2К); а? = 400 МПа; Ео =
= 20.4 1 04 МПа; а0 = 11,7 10“6 1/°С; ц = 0,3; 8а = 0,01-10"6; 8£ = -8,5;
8Х =-0,02042; 8^ = 3,8; 8" =-1,9.
Необходимо отметить, что в настоящее время отсутствуют реко-
мендации по выбору максимально допустимых напряжений в период
нагрева массивных заготовок с учетом предыдущего нагружения. Пре-
дел прочности среднеуглеродистой стали, не подверженной обработке
давлением, полагается равным 550 МПа. В связи с тем, что заготовка
осевой стали диаметром 0,27 м перед нагревом в кольцевой печи и по-
следующей прокаткой на стане прошла горячую обработку давлением
на блюминге (прокатка слитков) и трубозаготовочном стане (прокат-
ка блюмов), предполагаем предел прочности, т. е. предельно допусти-
мые термические напряжения, равным (0,6...0,7)опр, гдеопр = 550 МПа.
Таким образом, предельно допустимые напряжения при нагреве заго-
товки диаметром 0,27 м принимаем равными 330...340 МПа.
Минимально достижимую температуру среды принимаем равной
800 °C (по условиям тепловой работы кольцевой печи нагрева), макси-
мально достижимую - равной 1250 °C (из условия готовности осевой
заготовки к последующей прокатке или прошивке и отсутствия дефек-
тов по перегреву поверхности заготовки). Остальные исходные данные
приведены выше.
Результаты расчетов по определению оптимальной температуры
среды при нагреве локомотивной оси представлены на рис. 4.22. Здесь
же приведена динамика изменения во времени термических напряже-
198
a
Рис. 4.22. Изменение температуры (а) и напряжений (5) в характерных точках сечения
цилиндрической заготовки диаметром 0,27 м при нагреве по оптимальному режиму
ний в характерных точках нагреваемого цилиндра на поверхности (р =
= 1,0) и в центре (р = 0,0).
Для возможности реализации оптимального температурного ре-
жима в конкретных условиях, т. е. при нагреве заготовки локомотив-
ной оси диаметром 0,27 м в кольцевой печи, вычисленную температуру
печи Тс(т) аппроксимировали прямыми в соответствии с расположени-
ем технологических зон вдоль длины печи. В результате имеем следую-
щее оптимальное распределение температур по зонам кольцевой печи
стана, °C: 0 - 840; 1 - 1050... 1070; 2 - 1170; 3 - 1240; 4 - 1250.
ЛИТЕРАТУРА
1. Теплотехнология металлургических минизаводов / В. И. Тимошпольский,
Ю. В. Феоктистов, А. Б. Стеблов и др. - Мн.: Навука i тэхшка, 1992.
2. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной инфор-
мации. - М.: Наука, 1981.
З. Дилигинский Н. В., Севастьянов П. В., Туманов Н. В. Использование полиноми-
альных аппроксимаций в нелинейном оценивании параметров // Методы и средства
машинной диагностики газотурбинных двигателей. - Харьков, 1980.
4. Хартман К., Лецкий Э. К., Шефер В. Планирование эксперимента в исследова-
нии технологических процессов. - М.: Мир, 1977.
5. В. И. Тимошпольский. Теплотехнологические основы металлургических про-
цессов и агрегатов высшего технического уровня. - Мн.: Навука i тэхшка, 1995.
6. Zaden L. А. Fuzzy sets // Inf. Contr. - 1965. - Vol. 8.
7. Вентцель E. С. Исследование операций: Задачи оптимизации, принципы, ме-
тодологии. - М.: Наука, 1980.
8. Yager R. Multuple objective decision-making Hierarhical Structures //J. of Mathe-
matical Psychology. - 1977. - Vol. 15. - № 3.
9. Chu A., Kalada R., Springarn R. A comparison of Two Methods for Determing the
weights of Beloging to Fuzzy Sets // J. of optimisation theory and applications. - 1979. -
Vol. 27.-№4.
10. Saaty T A. Scaling Method for Pricrities in Heerarchical Structures //J. of Mathe-
matical Psychology. - 1977. - Vol. 15. -№ 3.
11. Борисов A. H., Корнеева Г. В. Лингвистический подход к построению моделей
принятия решений в условиях неопределенности // Методы принятия решений в усло-
виях неопределенности - Рига, 1980. - № 7.
12. Оптимальный по расходу теплоты режим нагрева металла в камерных печах /
В. Б. Ковалевский, В. И Тимошпольский, Р. Б. Вайс и др. // Изв. вузов. Энергетика. -
1992.-№ 1.
199
13. Оптимальный нагрев металла в колодцах контролируемого охлаждения с
минимальным расходом газа / Ю. В. Дьяченко, А. А. Терлеев, В. И. Тимошпольский и
др. И Изв. вузов. Энергетика. - 1993. - № 11/12.
14. Управление режимом нагрева массивного цилиндра с учетом ограничений на
упругопластические температурные напряжения / В. И. Тимошпольский, В. Б. Кова-
левский, И. А. Трусова и др. // Изв. вузов. Энергетика. - 1987. - № 9.
15. Кротов В. Ф„ Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. - М.:
Наука, 1973.
16. Трубицын Г. В., Сотников Г В. Численное решение задачи оптимального управ-
ления нагревом металла в камерных печах с минимальным расходом топлива / Йзв.
вузов. Черная металлургия. - 1983. - № 12.
17. Дюве П. Материалы для авиационных конструкций, работающих при высо-
ких температурах // Проблемы высших температур в авиационных конструкциях. -
М.: Изд-во иностр, лит. - 1961.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРИ НАГРЕВЕ И ПЛАВЛЕНИИ ТЕЛ
5.1. ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПЛАВЛЕНИЯ
ТУГОПЛАВКИХ И ЛЕГКОПЛАВКИХ МАТЕРИАЛОВ
В РАСПЛАВЕ
Рассмотрим процесс плавления твердого тела, имеющего темпера-
туру плавления txL и полностью погруженного в расплав (жидкая сталь)
с температурой Гр. В реальных условиях начальная температура тела /0
всегда меньше температуры затвердевания стали , и поэтому снача-
ла на его поверхности образуется оболочка твердой стали. Последую-
щий ход расплавления зависит от соотношения значений температур
txL, /5, /р. Материалы, погруженные в жидкий расплав, делятся на три
группы: легкоплавкие (txL < ) - температура плавления тела ниже тем-
пературы затвердевания расплава; тугоплавкие (/£ < < Гр) - темпера-
тура плавления тела совпадает или выше температуры затвердевания
расплава, но ниже температуры расплава; сверхтугоплавкие (t\ > г ) -
температура плавления тела выше температуры расплава. Классифи-
кация плавящихся тел не абсолютна, а относительна по отношению к
данному железоуглеродистому расплаву, т. е. для значений и /р. В
этой главе рассматривается плавление тугоплавких и легкоплавких тел.
Тугоплавкое тело. При погружении тела в расплав на его
поверхности намерзает оболочка твердой стали (период I, рис. 5.1).
Теплота, поступающая от расплава путем конвекции и кристаллиза-
ции стали на поверхности, расходуется на прогрев тела и плавление
оболочки расплава. Окончание периода определяется моментом пол-
ного расплавления оболочки. В течение всего периода тело находится в
оболочке стали, препятствующей прямому контакту его со сталью. Затем
твердое тело прогревается до температуры плавления txL и непосредствен-
но контактирует с жидкой сталью (период И, рис. 5.1). В дальнейшем тело
плавится, жидкая фаза тела растворяется в расплаве (период III, рис. 5.1).
Легкоплавкое тело. На поверхности тела образуется обо-
лочка стали, тело прогревается до температуры плавления (период I,
рис. 5.2). Затем тело плавится под оболочкой твердой стали за счет теп-
лоты, поступающей от расплава (период И, рис. 5.2). В зависимости от
конкретных условий (величины теплового потока, теплофизических
свойств материала) возможны два случая плавления тела под оболоч-
кой стали: период II может заканчиваться либо полным расплавлени-
ем тела и образованием жидкого ядра в оболочке твердой стали, либо
полным расплавлением твердой оболочки и погружением нерасплавив-
шейся части тела в жидкую сталь.
В зависимости от того, как заканчивается период И, период III
может иметь две разновидности.
Если под оболочкой расплава образовалось жидкое ядро (см. рис.
5.2), то происходит расплавление оболочки и жидкое ядро растворяет-
14. Зак. 5040
201
Рис. 5.2. Периоды плавления легкоплавких
тел в расплаве:
К\\\| - затвердевшая корка расплава; 1///И -
твердая фаза тела;|= z] - жидкая фаза; | | -
двухфазная зона, |-1-£| - расплав, I - нагрев
поверхности тела до температуры плавления
с учетом намерзшей оболочки расплава; II -
плавление тела при наличии намерзшей обо-
лочки расплава; Ша - плавление оболочки рас-
плава: Шб - плавление твердого остатка тела
Рис. 5.1. Периоды плавления тугоплавко-
го тела в расплаве: т-п
К\\\| - затвердевшая корка расплава; l/7/И -
твердая фаза тела; 1= - расплав; I - на-
мерзание и полное расплавление затвердев-
шей оболочки расплава; II - нагрев поверх-
ности тела до температуры плавления; III -
плавление тела
ся в расплаве. Если под оболочкой имеются жидкая и твердая фазы тела,
то после расплавления стальной оболочки и растворения жидкой фазы
в расплаве происходит непосредственный контакт твердого тела с жид-
кой сталью. В результате этого контакта на поверхности остатка снова
образуется оболочка затвердевшей стали. Дальнейший процесс плав-
ления повторяет период II и заканчивается расплавлением оболочки и
тела.
При описании процесса плавления тел используются следующие
допущения:
1) плавление закончено, когда твердый материал стал полностью
жидким и лишился оболочки;
2) расплавившаяся часть тела или оболочки расплава мгновенно
растворяется или уносится потоками металла;
3) эффект разрыва оболочки металла под воздействием внутрен-
него давления, возникающего при плавлении металла, не учитывается;
4) не учитывается движение жидкой фазы тела под оболочкой твер-
дой стали;
5) тело не изменяет свою форму в процессе плавления (для тел пра-
вильной геометрической формы).
При расчете плавления тугоплавкого тела в период III учитывает-
ся суммарный тепловой эффект QL от растворения, окисления, молиза-
ции и кипения при взаимодействии поверхности тела с расплавом. При-
нято также, что указанный тепловой эффект распределяется между пла-
вящимся телом и жидкой сталью пропорционально коэффициенту теп-
лопроводности. При расчете плавления легкоплавкого тела предусмат-
ривается возможное повторное нарастание оболочки расплава с уче-
том предварительно удаленной жидкой фазы тела.
202
5.2. ПЛАВЛЕНИЕ ТУГОПЛАВКИХ ТЕЛ
5.2.1. Математическая модель плавления чистых материалов
Математическая модель для периода I (см. рис. 5.1) представлена
трехфазной системой: твердое тело - оболочка твердой стали - расплав.
Расчетная схема на примере плавления шара в расплаве приведена на
рис. 5.3.
Уравнение теплопроводности для тела
дт ry dr V or J
0<r<z0;T>0, (5.1)
где у = 0 - для пластины; у = 1 - для цилиндра; у = 2 - для шара.
Уравнение теплопроводности для оболочки стали
= 2о^^г(т); т>0. (5.2)
дт ry dr V dr J
Условие теплообмена на границе оболочка стали - расплав:
. . Jz(t) / \ , .д/(г(т),т)
= “vp(t)~ty)"—дг--------’ '(г(Ч) = ,у’х> °’ (53)
где tv = rj ч- 0,7(Г £ - Г$) - температура нулевой жидкотекучести [1].
В центре тела имеем
Э<тв(0>2) = 0)Т>0
дг
На границе раздела твердое тело - оболочка стали
, tn (z0> т) = t (z0> т).
dr dr
(5.4)
(5.5)
Рис. 5.3. Схема к расчету плавления тугоплавкого (а) и легкоплавкого (б) тел в рас-
плаве
203
Начальные условия:
/те (^0) = ф[ (г), z (0) = z0, 0 < r< zQ . (5.6)
Окончание периода I (см. рис. 5.1) определяется условием полного
расплавления оболочки твердой стали z (Т0 = l0.
Для периода II для двухфазной системы твердое тело - расплав
записываем:
К Г <-<, > 0.
дх г7 dr \ dr J
Условие теплообмена на границе твердое тело - расплав:
>-ТВ (0-Д^0,Т)- = а(/р (т) - t„ (z0, т)) , т > t,.
В центре тела
Эгте(О,т) Л
= 0, т > Тр
дг
Начальные условия:
«ш('-Л1) = ФКО > 0 S г z0.
Конец периода II для тугоплавкого тела определяется моментом
т2 достижения на его поверхности температуры плавления
'„(WzHr
Аналогично для периода III (система двухфазное твердое тело -
расплав)
/ч 1 д( . /ч^твО'ЛЛ
Ств(')Ртв(')—— = -гч- 'гМО—, о <г < z0; т > т2.
дх г1 dr у dr J
Условие теплообмена на границе твердое тело - расплав:
ах ' ' аг
'тЛгГ'О) = /[; о < z (Т) < z0, Т >
Для центра тела запишем:
^тв(ОЛ) л
тв = 0, т > т2-
дг
Начальные условия:
'тв(г>Ь) = ФзВ('’);г(т2) = з0.
204
Окончание периода III соответствует полному расплавлению тела
(z(t3) = 0).
5.2.2. Алгоритм расчета
При разработке алгоритма использован метод Дюзимбера.
Период I (намерзание и плавление затвердевшей оболочки).
Отрезок [0, zj покрывается равномерной сеткой г, с шагом Ar =
точками г, = /Аг, где i = 0,1Л/, MQ - начальное количество расчетных
узлов, М - текущий граничный узел. Предположим, что на временном
слое п известны значения температур и значение переменной Л/, то-
гда на следующем временном слое п + 1 значения температур во внут-
ренних точках расчетной области (1 < i < Л/-1) определяются из разно-
стного аналога уравнения (5.1):
fn+\ tn n ( tn .п tn tn
Ч ~ Ч _ Z_________4-1 ~ h_____Ч ~Ч+\ t
дт дл2Р,"с," +1/к 1Д?+1Д"+)
V tn -tn
+1 (5.7)
где теплофизические параметры XJ, р?, с" определяются на предыдущем
временном слое п.
Уравнение (5.4) посредством разностной аппроксимации со вто-
рым порядком точности представляется в виде
2('.л-'о") xw
Дт Дг2р?Соп Го+Г/
Учет движения внешней границы осуществляется косвенно посред-
ством расчета “избыточной” температуры:
A ( \П Л
Сл = 'и+ „ J “М • <5-9)
Рмсм^г\ 7
Далее определяется значение S = tv-. При S > 0 происходит
намерзание расплава и через кх шагов по времени при выполнении ус-
ловия
(5.Ю)
7=1
намерзнет слой толщиной Аг. При этом количество слоев М увеличит-
ся на единицу. При S < 0 происходит процесс плавления оболочки и
по истечении к2 шагов по времени и при выполнении условия
205
-tv]>Q/c^', (5.11)
расплавляется слой толщиной Дг, т. е. М уменьшается на единицу. Пе-
риод I считается законченным, когда в процессе плавления оболочки
расплава значение М станет равным Л/о.
Период II (подогрев тела до температуры плавления). Темпера-
тура тела определяется по уравнению
Период II считается завершенным тогда, когда tn^ достигнет тем-
пературы плавления тела trL.
Период III (плавление твердой фазы тела). Значения темпера-
тур t" в точках 0 < i < М определяются из уравнений (5.7) и (5.8). Учет
движения внешней границы плавления осуществляется по уравнению
&
Последнее слагаемое в данной формуле учитывает суммарный те-
пловой эффект от взаимодействия поверхности тела с расплавом. Слой
толщиной Дг считается расплавленным, когда по истечении к3 шагов
по времени и S < О выполняется условие
к3
7=1
Расчет полного расплавления тела закончен, когда М < 2. ‘
Алгоритм расчета может быть составлен с использованием мето-
да выделения границы плавления. Разностная сетка вводится так же,
как и в методе Дюзимбера. В начальный момент выполняется условие
z (0) = z0 + а,
где а « Дг. В расчетах принимали а = Дг/10.
Период I (намерзание и плавление корки расплава). Значения
температур в точках 0 < i < М - 1 определяются из уравнений (5.7)
и (5.8). Для определения границы плавления (затвердевания) уравне-
ние (5.3) представляем в разностном виде:
_Л+1 „Л t /Л
~PmQ—^=а('₽
Если граница zn+1 расположена внутри отрезка [A/Дг, (М+1 )Дг], то
206
значение температуры в точке М определяется из уравнения неявного
вида
АТ Р МСМ(Ar +^n+l) < Ал+1
,л+1 л+1 >
_______1М ~*М-\
Дг/(2ГМ)+Дг/(2ГМ_1))’
(5-12)
где Дл+1 = zz,+1 - МДг.
Выражение (5.12) содержит две неизвестные температуры tn^ и
t . Однако поскольку tопределяется из решения уравнения (5.12),
значение tn^x определяется из уравнения (5.12) в явном виде.
При намерзании расплава (z”+1 > z”) проверяем условие
zn+x > (Л/ + 1)Дг.
При выполнении данного условия количество узловых точек (зна-
чение М) увеличивается на единицу. При этом значение температуры
во вновь образованной расчетной точке определяется из уравнения
,л+1 2и+1-(Л/+1)Дг/ +|х
М+,_ к
Если значение границы zn+1 < z”, это указывает на то, что идет про-
цесс плавления или достигнуто тепловое равновесие. При выполнении
условия zn+1 £ МДг значение М уменьшается на единицу. Расчет перио-
да I заканчивается, если М = Л/о.
Период II (подогрев тела до температуры плавления). Расчет
производится точно так же, как и в методе Дюзимбера.
Период III (плавление твердой фазы тела). Как и в предыдущих
периодах, значения температур t" во внутренних точках расчетной
области (0 < i < М) определяются из уравнений (5.7) и (5.8). Учет движе-
ния границы z (т) осуществляется в следующем виде:
При значении границы плавления zn+1 > МДг температура в точке
М определяется следующим образом:
. Л+1 .Л 1 (,т .л+1
1М ~1М ____J lL~lM
Ат Р л/сл/(Аг +Ал+1) < Ал+1
.л+1 , л+1 Л
_________1М ~1М-\______
Лг/(2к"м)+^/(2кпм^;
207
Данное уравнение получается из уравнения (5.12) путем замены
переменной гина trL. В противном случае (z"+l < Л/Дг) значение пере-
менной М уменьшается на единицу. Расчет полного расплавления тела
заканчивается при выполнении условия М<2
5.3. ПЛАВЛЕНИЕ ЛЕГКОПЛАВКИХ ТЕЛ
5.3.1. Математическая модель плавления чистых материалов
Математическая модель для периода I (см. рис. 5.2, система трех-
фазная: твердое тело - оболочка стали - жидкий расплав) полностью
совпадает с соответствующей моделью для периода I тугоплавкого тела
(5.1)...(5.6). Период I считается завершенным, когда поверхность тела
прогревается до температуры плавления тела: =
Рассмотрим период II. Система четырехфазная: твердая фаза тела -
жидкая фаза тела - оболочка стали - расплав.
Запишем уравнение теплопроводности для твердой фазы тела:
Ств (ОРтв (О Э<твд Г ,Т) = ~7 р Y (0 - , 0 < г < zTB; т > т,.
ОТ г1 иГ ОГ J
Уравнение теплопроводности для жидкой фазы тела:
/ч /х^ж(гЛ) 1 Э ( Э/ж(г,тЙ
сж(0Рж(0 .? =—— гуХж(г) \
Эт г? ЭД ж dr J’
ztb(t) <r <z0; т > тР
Уравнение теплопроводности для оболочки стали:
/ х / х 1 Э ( у., ч Э/(г,тЙ
cWlXO-V-4 = —у ^40-у2 I т > т
от ry dry dr J 1
На границе раздела твердой и жидкой фаз тела
о (АП 1 д*тв(5гвСс)Л) 1 (А 1
PtbWVtb “ ^tbv) (5.13)
На границе раздела жидкой фазы тела и оболочки стали
. /хЭС(2о,Т) . z ч Эг(2п,т)
4(0 /„(2b.T) = »(2b3).t>t1. (5.14)
На границе раздела оболочка стали - расплав
z Jz(t) г .. 1 »z . 3z(z(t),t)
- Р(02тв —у- = а'р СО - tv - >-(0 ' , т > t|. (5.15)
ат 1 и J дг 1
В центре тела
Эгтв(О,т) л
=0, т>т«.
dr
208
Начальные условия:
^в(''Л|) = фГ('‘); ^Л1) = ср2(г); ztb(t1)<z0; z(t,)>z0.
Период завершен, если расплавлено либо все тело под оболочкой
стали (ztb(t2) = 0 и z(t2) > z0), либо вся оболочка при сохранении твер-
дого ядра (ztb(t2) > 0 и z(t2) = z0).
Рассмотрим период Ша. Система трехфазная: жидкая фаза тела -
оболочка стали - расплав.
Уравнение теплопроводности для жидкой фазы тела:
Сж(')Рж(0-Ж.?’Т) = Э<ЖУ’Т)\ 0 < г < z0; t > т2.
Эт г1 дг\ dr J
Уравнение теплопроводности для оболочки стали:
Ф)р(0—< =~7S~ r \ .z0<г<z(t);т>т2.
дх гу or { dr J
На границе раздела оболочки и расплава
ах ' ' дг
На границе раздела жидкой фазы тела и оболочки стали
2 /ПЭ/Ж(2ОЛ)_ 3/(20, X)
ч(о——
Для центра
Эгж(О,т) Л
—ж - = 0 , т > т2.
дг
Начальные условия:
/(г(т),т2) = /г; /ж(г,т2) = фз(г); /(л,т3) = ф3(г),
где ф3 (г) - распределение температуры в жидкой фазе тела, °C; ф3(г) -
распределение температуры в стальной оболочке, °C.
Окончание периода Ша определяется моментом времени т3, когда
оболочка полностью расплавляется (z(t3) = z0).
Рассмотрим период Шб. Система двухфазная: твердый остаток
тела - расплав. Расчет производится аналогично расчету периодов I, II
до полного расплавления оболочки и тела.
5.3.2. Алгоритм расчета плавления чистых
легкоплавких материалов на основе метода
с явным выделением границы плавления
Алгоритм расчета периода I (образование оболочки расплава на
поверхности тела, прогрев тела до температуры плавления) совпадает
с алгоритмом периода I для тугоплавких тел.
Рассмотрим период II (плавление тела под оболочкой расплава).
Введем переменные М", М", характеризующие количество слоев по
координате жидкой фазы тела ( A/f) и затвердевшей оболочки стали
( Л/") за вРемя тл = где п ~ количество временных шагов. Анало-
гично введем переменные: zf = AffAr-Ar/lO - граница (толщина)
жидкой фазы тела; z" = М" Аг + Дг /10 - граница (толщина) затвердев-
шей оболочки стали.
Период II заканчивается при выполнении одного из двух условий:
zf = z0, zj > 0 или z" < z0, z" = 0.
Температуры во внутренних точках расчетной области, не смеж-
ных с границами zf и z? , а также в центре тела определяются по урав-
нениям (5.7) и (5.8).
Для точки i = Mq - A/f+l, находящейся в жидкой фазе тела и смеж-
ной с границей z[*+1, значение определяется из уравнения
уп
.Дг(^ + Дп+1) М
где Дл+1 =г[,+|-Л/[,Дг.
В расчетном узле с номером i = MQ + A/J+l, который находится в
оболочке расплава и является смежным с границей zj+l, значение r"+l
для случая затвердевания или плавления оболочки расплава определя-
ется следующим образом:
, ty-ti+X уп
iAr(Ar + An+i) '+7
где Дл+, = z£+l -(Л/о + Л/")Дг .
Уравнение (5.13) для определения zf*1 заменяем на разностное
уравнение вида (i = Л/о - A/f)
210
_/i+l „п tn Л
Qt t '* = Wm---------------—--------------К L ‘
ДТ ,+l (M" + 1)Дг - zf z? -M^br-
Для определения границы z" уравнение (5.15) представляем в виде
(/= Л/о + Л/2")
^.Л+1 _ 7П
z$ - М^Лг
Алгоритмы расчетов периодов Ша (плавление оболочки распла-
ва) и Шб (плавление твердого остатка) аналогичны соответственно
алгоритмам расчетов периодов I и III для тугоплавких тел.
5.3.3. Математическая модель плавления легкоплавкого тела
при наличии двухфазной зоны
Для учета теплоты фазового перехода в двухфазной зоне темпера-
тур солидуса rj и ликвидуса fL тела в уравнение теплопроводности
для материала введена функция источника теплоты [1]
?(') = 2твРтв(0
es<t<4,
dt s L
0, t^fL, t<trs,
где \g(0 = Ио - доля твердой фазы в двухфазной зоне объемом Ио;
Гте(г) “ объем твердой фазы тела в двухфазной зоне.
Для периода I (система трехфазная: твердое тело - оболочка ста-
ли - расплав) математическая модель полностью совпадает с соответ-
ствующей моделью для периода I легкоплавкого тела без двухфазной
зоны.
Рассмотрим период II. Система пятифазная: твердое тело - двух-
фазная зона - жидкая фаза тела - оболочка стали - расплав.
Уравнение теплопроводности для трех фаз тела (твердой, двухфаз-
ной, жидкой)
z Эг(г,т) 1 Э ( . ЭГ(г,тЙ
Сэф(0р(0 —=—rrk(t) а , О £ г < z0; т > Т|,
* дх ry dry dr J и 1
гДе сэфй, р(/)Д(0 - соответственно эффективная теплоемкость, плот-
ность и теплопроводность, определяемые в следующем виде [2]:
211
Рж('),
р(')=йртв(0+рж('))/2, rs<t<eL-,
Ртв('),
Ц<).
Х(/) = ](Хтв(0+Хж(0)/2, rj <»<<[;
M), t<zj.
Уравнение теплопроводности для оболочки стали:
/ ч / ч Э/(г,т) 1 Э ( . Э/(г,тЙ У / х
С Ор О-у2 = -у ryW)-у2 . z0 < Г < Z(T).
Эт гу ОГ\ or J
Условие теплообмена на границе оболочка стали - расплав:
-рие^-^м-Ч-мо5^-
dx v ' dr
На границе жидкая фаза тела - оболочка стали
1 (0Э'фЛ)=Х(<)Э£(^Т)) /ж(г()(Т) = ;(2ь>т).
дг дг
Для центра
ЭГтв(Ол) Л
—™L2_Z = 0,t>t1.
Ъг
Начальные условия:
гтв(г,О) = фГ’(г); 2o(O) = zo.
Величина dy(t)ldt называется темпом кристаллизации. В расчетах
полагаем, что линии солидуса и ликвидуса бинарного сплава выраже-
ны прямыми, параллельными друг другу, поэтому величина dy(t)ldt
запишется так:
d>¥(f) = 1
lS~^L
Период II заканчивается расплавлением либо всего тела под обо-
лочкой стали (zTB(x2) = 0 и z(t2) > -о), ли^° оболочки при сохранении
твердого ядра (z^x^ > 0 и z(x^ = z0).
Периоды Illa и Шб (см. рис. 5.2) аналогичны соответствующим
периодам для легкоплавкого тела без двухфазной зоны.
212
5.3.4. Алгоритм расчета плавления легкоплавких тел
при наличии двухфазной зоны по методу Дюзимбера
Алгоритм расчета периода I (нарастание и плавление оболочки
расплава, нагрев тела до температуры плавления) аналогичен периоду I
для тугоплавких тел и описывается уравнениями (5.7)...(5.11). Период I
заканчивается, когда поверхность тела прогреется до температуры плав-
ления, т. е. выполняется условие tnMo = tJL.
Рассмотрим период II (внутреннее проплавление).
Значения температур во внутренних точках расчетной области
(О < i < М - 1) определяются по уравнениям (5.7), (5.8), а теплофизиче-
ские параметры р” ,с " - по следующим формулам:
Рта(0, 1<>1; i^M0;
(Ртв(') + Рж('))/2, trs<l<tl, i<M0;
Рж(0, t>ts; ам0-,
cn(t), t<tTL; i<Ma\
i<MQ-
t>irs; i<MQ-
t<eL- i<M0-
(1„(/)+хж(/))/2, es<t<eL- i<M0-,
(0, *- z
Период II считается завершенным, когда расплавилось либо все
тело под оболочкой стали, т. е. t" ^tTL, либо вся оболочка при наличии
твердого ядра (М = Л/о).
Расчет периода Ша (жидкая фаза тела - оболочка расплава - рас-
плав) производится по методике периода II данного раздела. Период
II 1а завершается полным расплавлением оболочки (М = Л/о).
Расчет периода Шб (плавление твердого остатка в жидком рас-
плаве) производится по уравнениям периодов I, II до полного расплав-
ления оболочки и тела (выполнение условия М < 2).
5.4. НЕСИММЕТРИЧНОЕ ПЛАВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Плавление легкоплавкой пластины из чистого материала. Схема
плавления легкоплавкой пластины представлена на рис. 5.4. Индекс
“шл” в нижеприведенных уравнениях относится к затвердевшему
шлаку.
Уравнение теплопроводности для затвердевшей шлаковой оболоч-
ки (а - zQ < г < а):
213
/,ч d/щд (г,т) _ д . Э/щд (г, т)
сшл(ОРшл(О 1'',шл(0 дг I* (5.16)
Уравнение теплопроводности для жидкой фазы пластины (а < г <
< а + zBepx и b - гниж < г < Ь):
С*()Рж() "ЭгСж() Эг Г (5' 7)
Уравнение теплопроводности для твердой фазы пластины (а + za <
<r<b-z,):
^(орТв(оэ,тв^,т)=j-(k"(°34(r,T)>l-' (518)
Эт dr V dr J
Уравнение теплопроводности для стальной оболочки:
(5.19)
Эт dr V dr J
На границе затвердевшая шлаковая оболочка - жидкий шлак
-ршл(0ешп^^ = а„Д/шл(г)-^
ат ' *
_ 1 (f\ ^ШЛ (а ~ гшл (^)>^)
Л'ШЛ (О >
где z^Cc) - толщина шлаковой оболочки, м.
(5.20)
0
Рис. 5.4. Схема к математической
модели и алгоритму расчета несим-
метричного плавления легкоплавкой
пластины из чистого материала на
границе шлак - расплав:
- жидкий шлак; |\\\\|- оболочка
шлака: - жидкая фаза пласти-
ны’ - оболочка металла; |//Zd -
твердая фаза пластины; |-Z-EZ] - расплав
214
Условие теплообмена на верхней границе раздела твердой и жид-
кой фаз пластины:
dzn(x} dMa + z-^Cc),?)
-р™(ой™ -^=хж (/)
аХ or
л dtn(a + ZMm(x),X)
-МО— . (5.21)
or
где zTB - толщина твердой фазы пластины, м.
Соответственно для нижней границы раздела твердой и жидкой
фаз пластины
о (ПО (А ^ж(^“-ниж(Т)Л)
РтвЮбтв—Эг
(5.22)
Эг
где zBepx, гниж - толщины жидких фаз пластины соответственно со сто-
роны жидкого шлака и расплава, м.
Условие теплообмена на границе оболочка стали - расплав:
/ / ч \ л / х Э/ф + гс(т),т)
-= а 'р« - tv - W) ° , (5.23)
ах or
где zc - толщина стальной оболочки, м.
В начальный момент времени 7^(0) = z^O) = zBepx(0) = гниж(0) = 0.
Начальная температура в пластине равна tQ. Полагаем, что между по-
верхностью пластины и средой имеет место идеальный тепловой кон-
такт.
Приведенный ниже алгоритм расчета основан на методе Н. И. Никитен-
ко. На оси OR введем равномерную сетку г, с шагом Аг = (Ь - а)1(М0 -
где Mq и Nq - граничные узлы сетки, расположенные на поверхности
пластины. Пусть N и М - текущие граничные узлы, соответствующие
внешним верхней и нижней границам плавления (затвердевания) шла-
ка; К и L - количество расчетных ячеек соответственно в верхней (zBepx)
и нижней (гниж) жидких фазах пластины. Полагаем, что в начальный
момент времени z^, zBepx, 7НИЖ, zc << Аг, ^щд(О) — zc(0) — ^верх(^) —
= гНиж(0) = Д'710-
Предположим, что на временном шаге п известны значения темпе-
ратур г," и значения переменных N, М, К, L. Тогда на следующем вре-
менном шаге п + 1 значения температур Г,"+1 во внутренних узлах рас-
четной области (N <i<M) определяются из разностного аналога урав-
нений теплопроводности (5.16)...(5.19)
уЛ+1 _ fn
Лг/(2^_!)+Дг/(2К;) Дг/(2Х")+Дг/(21?+|) ’
215
Произведем расчет положения границ плавления (затвердевания)
материалов:
1) толщина затвердевшей оболочки шлака (з111Л) определяется из
разностного аналога уравнения (5.20) (рис. 5.5, л):
_/1+1 _ .шл _ fn
zuui _ ж (fr _ лил \__________lL lN___________
Дх иЦшл L ) дп+1/(2Х,-) + дп+1/(2Х%) ’
гдеДл+) =гшл- (N0-tf)br;
2) толщина zBepx жидкой фазы пластины со стороны шлака опре-
деляется из разностного аналога уравнения (5.21) (рис. 5.5,6):
_7П fn
^верх ^верх _________G-l ~ 1L_________
Дг "дл+|/(2Х"_|)+Дл+1/(2А.т£)
tl-t,
д;+1/(21т/.)+д;+1/(2х1’) ’
-ре»
где i = Nq + К + 1 - граничный узел в твердой фазе пластины;
Ал+1 — Zeepx — An+1 — (К+ 1)Дг — ^верх >
3) толщина гниж жидкой фазы пластины со стороны расплава оп-
ределяется из уравнения (5.22) (рис. 5.5, в):
л Q хниж 2ниж _____________f/+l lL_________
‘ ” Дг ’ Дл+|/(21"+|) + Дл+1/(2Хт£)
_________‘TL-tj_________
АЙ+1/(2^7) + д;+| /(2X7) '
Рис. 5 5. Схемы к расчету положе-
ния границ плавления легкоплавкой
пластины из чистого материала:
а - к расчету намерзания (плавления)
шлаковой оболочки; б-к расчету
плавления пластины со стороны шла-
ка; в - к расчету плавления пластины
со стороны расплава; г - к расчету
намерзания (плавления) оболочки рас-
плава; / - оболочка шлака; 2 - жид-
кая фаза пластины; 3 - оболочка рас-
плава
216
где i = Mq - L - 1 - граничный узел в твердой фазе пластины;
А л+1 — “ниж ~ L&r, ^л+1 = + ~ ~ниж ’
4) толщина затвердевшей оболочки расплава zc определяется из
разностного аналога уравнения (5.23) (рис. 5.5, г):
р" pi__~Z" =a(t" -t \________________________
* Дл+1/(2Гр)+Дл+1/(2Ги)’
где Дл+1 = zc - (М - М0)Дг.
Расчет температуры во внешней граничной точке N, расположен-
ной в шлаковой оболочке и смежной с границей жидкий шлак - затвер-
девшая оболочка шлака, производится в такой последовательности:
1) если граница раздела фаз (при намерзании или плавлении шла-
ковой оболочки) расположена между узлами 7V и N -1 (рис. 5.6,а), то
температура в точке N определяется из уравнения
Ч 2 "+,J ДТ ~ bnJ(2^) + bnJ(2VN)
#л+1 #л+1
Дг/(2Г„) + Дг/(2А.%+|)’
где Дл+| = z£* -(W-iV0)Ar ;
2) если граница раздела фаз (при намерзании шлаковой оболоч-
ки) оказывается за узлом N - 1
(рис. 5.6, 6), то /у1 определяется
также из уравнения (5.24), а тем-
пература -из уравнения вида
#ШЛ ,Л+1 ,ШЛ .л+1
lL ~lN-\ _lL ~lN
^л+1 Ал+1
где Дл+| = гшл -(No - (N -1))Дг ;
Д"л+| =2шл-(л^о-лг)Дг;
Рис. 5 6. Схемы к расчету температур во
внешних граничных точках при плавле-
нии легкоплавкой пластины из чистого
материала:
а, б - для граничной точки N-, в. г - для гра-
ничной точки М\ 1 - оболочка шлака, 2 -
оболочка расплава
217
3) если граница раздела твердой и жидкой фаз (при плавлении
шлаковой оболочки) осталась между узлами W и W - 1, то температуру
r^+l находим из формулы (5.24).
Расчет температуры во внешней граничной точке Л/, расположен-
ной в стальной оболочке и смежной с границей расплав - затвердевшая
оболочка стали, осуществляется в такой последовательности:
1) если граница раздела фаз расплав - затвердевшая стальная обо-
лочка расположена между узлами М и М + 1 (рис. 5.6, в), то температу-
ра г ду1 в точке М определяется из уравнения
/а \ .Л+1 t /Л+1
л п I^L.a ]1М ~1М ______________1У~1М_________
Дт ^/(2к„) + ^/(2к"м)
*п+\ .л+1
_______1М ~1М-\_______
дгЛгг^+ДгЛзх"^,)’
где Дя+| = zc - (Л/ - Л/0)Дг;
2) если граница раздела фаз расположена за узлом М + 1 (рис. 5.6, г),
то температура tn^ определяется из уравнения (5.25), а температура
za/+i ~ из Уравнения вида
t _tn+x t -tn+{
1У lM+\ _ lV
^л+1 Ал+|
где Дя+1 = zc-(М- Л/0)Дг; Дя+1 = zc-(М+1-М0)Ьг ;
3) если граница раздела фаз осталась между узлами М и М + 1, то
температура tn^ вычисляется по формуле (5.25).
Расчет температуры в граничных узлах, смежных с границей раз-
дела твердой и жидкой фаз пластины, осуществляется следующим об-
разом:
1) в граничном узле i = Nq + К, расположенном в верхней жидкой
фазе пластины (рис. 5.7,а), температура rf+l определяется из уравнения
Р| Ч 2 л+ ) Дт Дг/(2А."_|)+Дг/(2А.”)
.Л+1 .л+1
________Ч ~lL_________
^л+1 /(21”) + Д Л+1 /(2Vl) ’
где Дл+| — zBcpx ~
2) в граничном узле / = Nq + К +1, расположенном в твердой фазе
пластины (рис. 5.7, б), температура r"+l определяется из уравнения
pV-l^+д
Ь Я+1‘ Д,1+1/(Х\) + Д„+|/(2Х")
218
Рис 5 7 Схемы к расчету темпера-
тур в граничных узлах, смежных с
границей раздела твердой и жидкой
фаз легкоплавкой пластины из чис-
того материала:
а, б - для верхней границы пластины;
в, г - для нижней границы пластины,
/ - жидкая фаза пластины
________Ч ~ Ч+\_______
Дг/(2Х") + Дг/(21]+|) ’
где Дл+] — {К + 1)Дг — zBepX ,
3) для граничного узла i = Мо - L, расположенного в нижней жид-
кой фазе пластины (рис. 5.7, в), значение температуры r"+l определяет-
ся из уравнения
/ л \ ,Л+1 /Л ,Л+1 *п
О"с"|^1+Д р - 'м
Р'Ц2 n+1J Дт Дг/(Х"+1)+Дг/(2Х")
_________'Г‘ -tTL
А л+1 /(21")+Дл+|/(2Хт£) ’
где Дл+1 2НИж Lbr •>
4) для граничного узла / = Мо - L -1, расположенного в твердой фазе
тела (рис. 5.7, г), значение температуры r"+l определяется из уравнения
0"с4-+д К1"'*"-
P,'U "+1J Дт Д„+1/(Х7) + Д„+|/(2Г£)
дгДгх^+дгЛгх';.!)’
219
гдеД,/+1 (L+l)Ar -ниж’
Плавление пластины из тугоплавкого чистого материала. Уравне-
ния теплопроводности для пластины, затвердевших оболочек шлака и
стали:
Ст (')Рт (0 = у (хт (0 , а + z < г < b - гниж;
сП dr V дг )
Сшл (ОРш, (0 \(r’Т) = у 1^-л (')Э<ци?’Т) 1 а + гщ1 < Г < а;
ОТ or or J
z ч z ч Э/(г,т) Э L z ч Э/(г,т)^
с(Ор(О—ч— = 4“ МО—ч— , b <r<b + zc.
Эт Эг< дг / с
Условие теплообмена на границе затвердевшая шлаковая оболоч-
ка - жидкий шлак:
ГЛП ^шлСО _____Л /_\ .1ПЛ \ у Z х ^ШЛ + •“шл (Т),т)
Ршл(0йил ^шл^шл(^) L ) А'шл (0 дг
На границе пластина - жидкий шлак (при подогреве поверхности
пластины до температуры плавления)
Хт (0 Э<ТдД,Т'- = «шл ('шл СО - 'т (а-Т)) • (5.26)
or
Условие теплообмена на границе пластина - расплав (при подо-
греве поверхности пластины до температуры плавления):
XiW3fT^)=a(,p(T)_ZT(5>T)j (5.27)
На границе пластина - расплав (при плавлении пластины) имеем
также
-Рт (ОСт = a('p(T) - zl)- хт (0Э<тУЛ). (5.28)
ат ' ' дг
На границе пластина - жидкий шлак (при плавлении пластины)
ат ' or
Условие теплоообмена на границе затвердевшая оболочка стали -
расплав:
z х dzc (т) / z ч \ . z ч dt(b + zc (т), т)
-p(0g-^L2 = aUP(T)-/r -МО ' - <
ат х н ' дг
В начальный момент времени 2^(0) = zc(0) = 0.
Начальная температура в пластине равна Zo. Полагаем, что между по-
верхностью пластины и средой имеет место идеальный тепловой контакт.
220
Схема расчета представлена на рис. 5.8.
Значения температур t"+l в теле определяются из уравнения (5.16),
а положение внешних границ плавления (затвердевания) шлаковой и
стальной оболочек - из уравнений (5.17) и (5.21).
Положение границы жидкий шлак - твердая фаза пластины (при
плавлении) определяется из разностного аналога уравнения (5.28):
Ртв (Обтв
zn+l-z”
______с _ ~ (fn _.шл\_________[uLn__\/V_____
Дт - -V--'^-An+i/(2ru])+An+i/(2rjv)’
где Дл+1 = (N- У0)Дг - zBepx; zBepx - толщина расплавившейся части пла-
стины со стороны шлака.
Положение границы расплав - твердая фаза пластины (при плав-
лении) определяется из разностного аналога уравнения (5.28):
-Z
= а
zn+l-zn . х
- <‘>е" - 'У’ А„,/<Гр)+Л„|/(2Г«) '
где Лл+1 = (Л/ - Л/0)Дг - гниж; гниж - толщина расплавившейся части
пластины со стороны расплава.
Температура в граничной точке NQ при подогреве поверхности тела
до температуры плавления (со стороны жидкого шлака) определяется
из разностного аналога уравнения (5.26):
Температура в граничной точке Мо при подогреве поверхности
тела до температуры плавления (со стороны расплава) определяется из
разностного аналога уравнения (5.27):
zn+l tn fn tn
-n.n Ar / T \___________<4 ~'лу1
2 д* Ar/(2X^)+Ar/(2A,Vi)’
Температура в граничной точке TV, расположенной в твердой фазе
плавящейся пластины(рис. 5.9, а), определяется из уравнения
Л- /П+1 tn #Л+1
гп (— + А N N =____________4,-[N___________
Pn N 2 "+1 Дт дп+1/(2Гд) + Дл+1/(2Х^)
tn ,л+1
Дг/(2Гл,) + Дг/(2Х"„+|) ’
где Дл+, = (N- N0)Ar - z
В граничной точке м, расположенной в твердой фазе плавящейся
пластины (рис. 5.9,6), температура определяется из уравнения
221
Рис. 5.8. Схема к математической модели и ал-
горитму расчета несимметричного плавления
тугоплавкой пластины на границе шлак - рас-
плав:
h-~£r|- жидкий шлак; К\\\|- оболочка шлака;
I////I - твердая фаза пластины; оболоч-
ка расплава; |-Z-Z| - расплав
Рис. 5.9. Схемы к расчету температур в
граничных точках тугоплавкой пласти-
ны из чистого материала:
а - для граничной точки N; б -для гранич-
ной точки М
п п д ч ^Л/1 ~1М
2 Дт
^п+1/(2Х\) + ^п+1/(2Гм)
,и+1 ,п+1
1М ~1М+\
^г/(2Хпм) + ^/(2Хпм+[) ’
где Дл+1 (Л/ М§)Аг £ниж.
Плавление пластины, частично погруженной в расплав. В практи-
ке встречаются случаи плавления материалов, которые частично по-
гружены в жидкий металл или шлак. Если форма этих материалов та-
кова, что их можно рассматривать в виде пластины, то их плавление
описывается несимметричной схемой в одномерной постановке. Рас-
смотрим два возможных случая: плавление с сохранением расплава на
верхней поверхности пластины и частичным или полным удалением
расплава.
Приведем математическую модель, описывающую процесс плав-
ления легкоплавкой пластины из чистого материала с удалением или
без удаления жидкой фазы верхней поверхности пластины.
Уравнение теплопроводности для жидкой фазы (а < г < а + zBepx и
b - zHuyK < г <Ь)
НИЖ /
/X /х^ж(г,т) dL , Э/Ж(Г,ТЙ
Сж(')Рж(') "ЭгСж(0 дг
Для твердой фазы пластины (а + zBepx < г < b - гниж)
222
al dr \ dr J
Для стальной оболочки
«>р«>^. | (ад^Н
al дг дг )
Если верхняя поверхность пластины прогреется до температуры
плавления, то условие теплообмена на границе раздела твердой и жид-
кой фаз пластины запишется так:
dz К (а + zBenx (т),т)
- Ртв (ое„ (') —- -
al or
, z.^'TB^ + ZaepxCU-t)
А'тв \Ч & ’
где zTB - толщина твердой фазы пластины, м.
На нижней границе раздела твердой и жидкой фаз пластины
al дг
у / <\ ^тв + 2ниж СО Л )
“М0 дг ’
На границе оболочка стали - расплав
-р„ие^-«[.ри-.]-вдэ,№";(,)л). .
Условие теплообмена на верхней поверхности пластины:
Л /АЛ ^ТвСО _ Л /А “ ^НИЖ СОЛ)
- Ртв V ) Утв — - Лж V)------------
_Л /f\ д^ТВ ~ ^ниж (0> О
Мо Эг
В начальный момент времени значения внутренних границ плав-
ления и внешней границы намерзания расплава равны нулю. Началь-
ная температура в пластине равна /0.
5.5. МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ ПЛАВЛЕНИЯ
МАТЕРИАЛОВ В ДУГОВОЙ СТАЛЕПЛАВИЛЬНОЙ ПЕЧИ
СОВРЕМЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ
Рассмотрим нагрев и плавление шихты в современной сталепла-
вильной печи на примере плавления в 100-тонной дуговой сталепла-
вильной печи (ДСП) БМЗ.
223
Следует отметить, что объем
выплавки электростали постоянно
наращивается. Так, за последнее де-
сятилетие производство стали в
ДСП увеличивалось в три раза быст-
рее, чем общее производство стали.
Сверхмощные дуговые сталепла-
вильные печи БМЗ (рис. 5.10) пред-
назначены для производства углеро-
дистых, легированных, высоколеги-
рованных и кордовых сталей. Печи
оснащены водоохлаждаемыми сте-
нами и сводами, тремя газокисло-
родными горелками, находящимися
в стенах печи, и установкой для про-
дувки ванны печи кислородом. За-
грузка печи производится высокоем-
кими корзинами.
Управление работой печи осу-
ществляется в ручном и автомати-
ческом режимах. Для интенсифика-
ции плавления шихты используют
стеновые газокислородные горел-
ки с расходом природного газа
100...400 м3/ч, кислорода 200...800,
воздуха 150...200 м3/ч.
При эксплуатации современ-
ных дуговых сталеплавильных пе-
чей чередуются два метода выплав-
Рис. 5.10. Типы дуговых электросталепла-
вильных печей БМЗ:
а - с “чайниковым” выпуском; б - с эркерным
выпуском •
ки стали: с завалкой шихты на “сухую” (очищенную от остатков шлака
и металла) подину - одна и более плавок; с завалкой шихты на “боло-
то” (на шлак и примерно на 1/15 часть массы металла предыдущей плав-
ки) - 2... 12 плавок. Максимальное повышение производительности печи
происходит при завалке металлошихты на “болото”.
I. Физическая постановка задачи и математи-
ческая модель процесса при загрузке на “болото”.
Расчет процесса нагрева и плавления шихты рассматривается при сле-
дующих условиях:
1) в начальный момент времени задается температура “болота” /£ ;
2) после завалки в “болоте” растворяется часть шихты (чугун и
лом) и температура полученной кашицы на 15°С выше температуры
солидуса металла /£;
3) объем кашицы вычисляют, исходя из начальной массы “боло-
та” и его возможности растворить (довести до температуры /£ + 15 °C)
224
определенную часть шихты, а также массы шихты, равной по объему
проплавленным колодцам;
4) первоначальная масса завалки состоит из массы кашицы, ос-
тавшейся не растворенной массы лома и массы окатышей;
5) общая масса первоначальной завалки составляет примерно 60%
массы в конце расплавления, т. е. 40% массы в виде окатышей подвали-
вается в процессе расплавления со скоростью 90... 100 т/ч;
6) расчет производят только на период расплавления, начиная с
момента начала подвалки, т. е. после проплавления колодцев; диаметр
колодца l,3tZ (d-диаметр электрода);
7) в начальный период нагрева и плавления шихты (до 30 т “боло-
та”) в зоне дуги происходит интенсивный прогрев расплава посредст-
вом излучения от дуг. Энергия от электрических дуг, горящих между
электродами и расплавленным металлом, передается шихте излучени-
ем, конвекцией с горячими газами и теплопроводностью от наиболее
раскаленных участков металла в зоне пятна дуги. По окончании про-
плавления колодцев излучение дуг экранируется стенками колодца и
энергия, выделяемая ими, практически полностью передается шихте.
После расплавления основной массы шихты дуги, горящие в колодце,
начинают открыто излучать на стенки и свод. Это приводит к значи-
тельному росту тепловых потерь и снижению КПД печи. Для снижения
тепловых нагрузок и температуры свода и стен следует либо уменьшить
вводимую в печь мощность, либо подваливать шихту. Последнее - са-
мый эффективный способ увеличения КПД печи, поскольку время за-
крытого горения дуг увеличивается. Своевременная подвалка шихты
обеспечивает снижение тепловых нагрузок на все элементы печи;
8) подвалка окатышей начинается при наличии 30 т расплава.
Предполагается, что подваливаемые окатыши порциями попадают в
зону пятна дуги, равномерно покрывая всю площадь этой зоны; высо-
та слоя окатышей равна среднему диаметру (0,02 м) окатышей. Радиус
пятна дуги принят равным 1,05 м, насыпная плотность окатышей рав-
на 1800 кг/м3. В этом случае масса порции окатышей равна 125 кг. Слой
окатышей располагается на зеркале металла и плавится за счет тепло-
ты жидкого металла и посредством излучения дуг. Расчетная скорость
плавления окатышей при температуре дуги 2800...3000 °C составляет
20...30 кг/с, что соответствует скорости подвалки окатышей. После рас-
плавления слоя окатышей на его место поступает следующая порция;
9) после 10 мин подогрева и плавления шихты происходит допол-
нительный подогрев расплава 0ЭКЗ за счет экзотермических реакций
окисления примесей при подаче кислорода с расходом 1300 м3/ч;
10) прогрев шихты осуществляется посредством теплопроводно-
сти и конвекции отходящих печных газов.
Исходя из геометрических характеристик, в качестве расчетной
области выбирают вертикальный разрез печи относительно ее оси сим-
метрии (рис. 5.11). Геометрические параметры печи задаются размера-
ми в радиальном направлении Ядн, R2 и размерами по высоте печи
Я, НЬН2.
15. Зак. 5040.
225
Распределение температур в шихте и ее жидкой фазе описывается
уравнением теплопроводности с источниками теплоты
z ч . .dt(r,Z,X) 1 Э L . . Э/(г,2,ТЙ
Сэф (t,r, i)p(r,z) ’ = -— l(/,r,z)r —-—+
dx г dr \ дг )
+ У *•(',Г, z) —-------- + бэкз + Ск •
dz V dz )
(5.29)
Выделение теплоты фазового перехода в интервале температур
ликвидус - солидус учитывается введением эффективной теплоемкости
Ств('),
(0>
где сте, сж - удельные теплоемкости соответственно твердой и жидкой
фаз; Q - теплота фазового перехода в интервале температур ликвидуса
tL и солидуса ts.
Коэффициент теплопроводности X(f,r,z) для шихты определяется
так [3]:
X(z,r,z) = +| 1 - |(аи + 4еа08(/ + 273)4]
Ртв V Р1В J
где р - насыпная плотность лома и окатышей; ртв - плотность твердой
шихты; е - степень черноты поверхности материалов шихты; о0 - по-
Рис. 5 11. Расчетная схема к задаче плав-
ления шихты в ДСП
стоянная Стефана-Больцмана; 5-
среднее расстояние между центра-
ми кусков; cty- объемный коэф-
фициент теплоотдачи; Xj, - тепло-
проводность твердой шихты.
В остатке металла от преды-
дущей плавки (“болоте”) коэф-
фициент теплопроводности прини-
мает значение при температуре
ниже температуры ликвидуса ме-
талла и А* при температуре “боло-
та” выше температуры ликвидуса.
Плотность материалов p(r, z)
может принимать значения насып-
ной плотности лома (рлом), окаты-
шей (рок), твердой (ртв) или жид-
кой (рж) фаз “болота”.
Прогрев расплава за счет вы-
деляющейся теплоты экзотермиче-
226
ских реакций учитывается введением в уравнение теплопроводности
(5.29) источникового члена 2ЭКЗ, который принимает постоянное зна-
чение после 10-й минуты процесса подогрева и плавления шихты. До-
полнительный подогрев шихты печными газами учитывается как ис-
точниковый член в уравнении (5.29):
ft = аг(«г(г,г,т)-/(г,г,т)).
Для 100-тонной ДСП значение объемного коэффициента теплоот-
дачи аи в период расплавления равно 45 Вт/(м3 К). Температура печ-
ных газов t^r,z,T) принимается равной температуре поверхностных сло-
ев жидкой фазы шихты.
Записываем граничные условия. Вдоль оси симметрии печи тепло-
вой поток равен нулю:
9<(0,z,t)
дг
На верхней поверхности шихты, вдоль боковой стенки печи и дни-
ща теплообмен происходит в результате конвекции:
i
-Ut,r,z)= а,(<(г,г,т)-<ф),
где п, - нормаль к соответствующим поверхностям шихты; az- коэффи-
циент теплоотдачи, принимающий значения а^х (верхняя поверхность
шихты), Ост (стенка печи), ада (днище печи). Значения данных коэффици-
ентов теплоотдачи и температура футеровки печи взяты из работы [3].
Если масса жидкой фазы не превышает 30 т, то в зоне пятна дуги
на поверхности жидкого металла задан радиационный теплообмен:
-X(t,z,T)-(-У’т) = eMG0(('Wr +273)4 -«r>z,T)+273)4),
где - степень черноты поверхности металла; /дуГ - температура дуги, °C.
Начальное распределение температуры в слое окатышей и остав-
шейся после расплавления в “болоте” части лома считается равномер-
ным и равным 20 °C. Начальная температура “болота” после расплав-
ления в нем части лома принята равной + 15.
Для определения массы лома АЛ/лом, которая растворяется в “боло-
те” с первоначальной массой Mq и температурой £ при температуре
полученной “кашицы” + 15, применено уравнение баланса теплоты
дч J +15)+&-/Ц-1=
= ч(₽ж«$-4)-^15+&-сбу^1
227
где , с* - удельные теплоемкости соответственно твердой и жидкой
фаз “болота”; tbL - температура ликвидуса “болота”; 2б - теплота фа-
зового перехода в “болоте”.
II.Алгоритм расчета. Для численного решения двухмерно-
го уравнения теплопроводности с соответствующими граничными и на-
чальными условиями применена неявная разностная схема с учетом
расщепления тепловых потоков по координатам z и R [4...9]. Примене-
на локально-одномерная разностная схема. Результатом применения
данного метода являются одномерные разностные уравнения теплопро-
водности, расщепленные по осевому и радиальному направлениям.
Расчетная область покрывается равномерной сеткой с ячейками в виде
квадрата (AR = Az). Расчетные значения температур (узловые точки)
расположены в центре ячеек. При разработке алгоритма расчета при-
няты следующие обозначения: , t"*1/2 - температура в расчетном
узле с номером i, j в момент времени соответственно т = иАтит = (и +
+ 1/2)Ат; /"t1 _ температура в расчетном узле с номером /, j в момент
времени т = (и + 1)Ат.
Ш.Расчет распределения температур в осевом
направлении. Определяем температуру в зоне дуги. Если масса
расплавленной фазы шихты достигла 30 т, то подогрев и расплавление
подваливаемого слоя окатышей толщиной Ло описывается разностны-
ми уравнениями вида
сэф^оРо дт “e;iyrao((Zflyr +273)4_(z"Aj._1 + 273)4j +
где К6 - номер слоя по высоте печи, характеризующий начало жидкой
фазы шихты; Az - шаг по высоте печи; /дуг - целая часть от деления
радиуса дуги R^T на шаг по радиусу печи АЯ.
При закрытом зеркале металла (масса расплава больше 30 т) рас-
пределение температур в поверхностном слое расплава определяется
из разностных уравнений
СэфРжАг
#и+1/2 tn
Ч,Кб
Ат
______п+112 fn+U2\,
a0/2+az/2 I
(5.31)
где j =
1, т>600°С;
0, т< 600е С,
т - текущее время процесса.
При открытом зеркале металла (масса расплава меньше 30 т) распре-
деление температур определяется из следующих разностных уравнений:
228
в поверхностном слое “болота”
л+1/2 _^п
СэфРжД* 'Лб дт =едуг<Го(('дуг +273)4 +273)4)-
-£('Г4'2 ". 1 */ < (дуг; (5.32)
для внутренних слоев “болота”
t л+1/2 _fn
сэфРжЛг----—— = — (Cj-i “2z,j +tiJ+l \+j&zQ3K3,
AT AZ ' '
K6<j<M; (5-33)
для нижнего слоя “болота”
.л+1/2 _ fn -
ЛаДМ _ Л Лл+1/2 .л+1/2 \ „ Лл+1/2 1/ллк
сэфРж^ ~ ,M-l h,M J ^дуг^/,Л/ 1600J +
+jAze3IO, 1<1^1дуг. (534)
Определяем температуру вне зоны дуги. Запишем разностные урав-
нения:
для верхнего слоя шихты
.л+1/2 tn -
* Дт Azv '
+аг(^+1/2-/ц1/2), -дуг^ЛГ0; (5.35)
для внутренних слоев
f л+1/2 .п
п f J Лл+1/2 о.л+1/2 ..л+1/2 V ; *„) ,
СэфР^ дт - AzV'»/-1 +Z' J+I у + ЛД^экз +
+Лаг(о'Х/2 -</‘/2)> 'Wr " ^о; 1 <J< Мх, (5-36)
где
. _ О, У — Удуг > . О, У > Удуг ,
jt ~ |1, j > Луг и т > 600; J1 " [1, j < 7дуг;
дуг < i < NдуГ +1,
Мх = <! Мх = Мх-\, Удуг +1</ < Np\
К{, i>Np-
229
для нижнего слоя “болота’
.Л+1/Z fn - _
6 Ч.МХ i,Mx { n+i/2 _fn+U2\
СэфРж^ дт д7 V/,A/r-l Ь,МХ /
- «дуг (с42 -1600)+7Az23O , 1дуг < i < No.
(5-37)
ТУ.Расчет распределения температур в радиаль-
ном направлении. Рассчитываем температуры в жидкой фазе
шихты (“болоте”). Для расчетных слоев на оси симметрии разностные
уравнения имеют вид
л+1 .л+1/2 .
СэфРбждлiJ ~'-j —-4# -'£?). ** м- <5-38>
1лV (XZ
Для внутренних слоев
.л+1. л+1/2
о--о1)-
-'Х)> 2 </< ЛГ; Л/, (5.39)
где #=
N9, j<K;
Np, Kt<j<K2-,
У, j > ^2 •
Для расчетных слоев, контактирующих со стенкой печи,
.л+1 _ .и+1/2 «
(ЛГ-О^СэфР®A* =(ЛГ-1).
- аст Nfa} -1600), К6 <, j < М. (5.40)
Выполняем расчет температур в шихте. Для расчетных точек, со-
седних с зоной дуги, разностное уравнение примет вид
(/дуг + O^c^pAR 'J = /з/дугедууСо (('дуг +273)4 -
- (Си +273)4 ) - (’дуг +!) ^(Си - С +27 )- 1S/S 'дуг- (5-41)
. /1, JS/wr-(0,15/Az);
Л
Для внутренних расчетных точек
230
j/j+I _ fn+l/2 -
(i-0,5)сэфрДЯ(/-0,5) iJ = (i-1)(t)-
‘ayr<i<N> l</<7wr. (5-42)
Для расчетных слоев, контактирующих со стенкой печи,
.п+\ <п+\12 у
(ЛГ-О^рДД = (у_1)А(<у.._^.)_
-a„N(t^-l600), 1<;<7дуг. (5.43)
Выполним преобразование уравнений (5.30)...(5.43) к виду, удоб-
ному для получения прогоночных коэффициентов. Запишем уравнения
для осевого направления. Для верхнего слоя шихты j = 1, 1дуг < i < No , а
граничные условия имеют вид
- Cjttf12 + В/"^2 = -Fj, (5.44)
ААт аиДт
-----+--------
ЧфРо сэфРоДг
; С,-В)+1; F|-/"|.
где Bi =
Если масса расплава Mq меньше 30 т (зеркало металла открыто),
граничные условия (5.44) записываются для 1 < i < = К& и тогда
;
СафР» Л*
- 1 + В^;
В зоне дуги 1 < i < /дуг при Л/б > 30 т (зеркало металла закрыто),
граничные условия записываются для j = - 1 так:
аиДт ХДт
^-1 =^-i +—L----------((^Г +273)4 +273)4).
Сэф^оРо
Для нижнего слоя расплава 1 < i < NQ, j = Мх (Мх - переменная),
граничные уравнения имеют вид
4м. ч-i - См<t^12 = (5.45)
где
231
. _ . Г -л . 1 •
М' СэфРжДг2 **'
fMx =ч.м, +T^-7vr(''"M’
Рж^эф СэфРжД^ ' '
Записываем разностное уравнение для внутренних узлов каждой
строчки:
Л'и-i2 - 1/2 + в?"л'|2 = ~Fi.j (5-46)
Вне зоны дуги /дуг < i < Nq, 1 <j < Мх, а коэффициенты принимают
вид:
^у = Ву+у2аг; Су =1+2Ву+у2а^;
я --------7, Л -hj +---------•
сэфрДг2 сэфр
В зоне дуги 1 < i < /дуг, < j < М, и коэффициенты принимают вид:
А: = Т ; С.=1 + 2Л; В, = A; F, =/?.•+^Й-.
1 1 11 1 1 Сэфр6ж
Если Мб > 30 т (зеркало металла закрыто), в зоне дуги слой j = К6
является внутренним при расчете, поэтому запишем:
Л-----------------------V с, -
X J
= ХДт , 7бзюАт
7 Дг^эфрб ’ 7 '7 Сэфр6ж ’
Прогоночные коэффициенты вне зоны дуги вычисляются по фор-
мулам:
р2=Г1/С1, (5.47)
а в зоне дуги расчет начинается су = Кб:
(5.48)
Дальнейший расчет для всех строк выполняется по формулам:
ау+1 =
Cj - AjCLj
(5.49)
Температура в узле Мх
232
(5.50)
(5.52)
.и+1/2 _ +
‘l.M, ~~7.-----•
- ^м,амх
Температура в узлах Mx -1, Мх - 2,..., Kt
c,/2=<w#/2+₽ai- (5.5D
Выполним расчет температур в радиальном направлении. Для
жидкой фазы шихты на оси симметрии и для расчетных точек, сосед-
них с зоной дуги, граничное условие
-с^'+в^=-ъ.
Для i = 1 и Кб < j < М:
Bi=WT^’ Ci = l+B‘’ F,=V'
сэфРж
Для 1 = 1^ и 1 <7<7дуг
(1дуг-1)Мт
Д =—; С=1 + В,;
ДЛ2(7дуг+0,5)Сэфр
' /Л+1 _ 17
NlN,j ~~rN'
(5-53)
г - ,«+1/2 4. уг дуг дуг (t 4-773 V1 f/n+I/2 4.7741
F'} "tv>+273) )
Для слоев, контактирующих со стенкой печи, i = N, запи-
шем:
А /л+1
где
_ (Лг-Щт . .
*n2/v по ’ СЛГ“1 + Л*’
АА (ЛГ-0,5)сэфр
г _ л+1/2 (ХсЛАт z л+1/2 1£ЛЛ\
^-0,5)^p’('^ "1600)-
Для внутренних расчетных слоев шихты (/дуг < i < N, 1 < j < удуг) и
жидкой фазы “болота” (2 < i < N, Кб <j < М) запишем:
-Qu +B^:t'j=-Fly
ГДе f ША
4= ; С, = 1+4
(/-О^ДК'рс^
Д= , ,МТ-------; A =Q+I/2
ДЯ2(/-0Л)счр -1
(5.54)
16 Зак 5040
233
Прогоночные коэффициенты вычисляем следующим образом. Для
жидкой фазы:
а2 = Д/С1; р2 = ^/С1. (5.55)
Для 1 < j; <удуг расчет начинаем с нахождения а, +, и 0, +| по
формулам:
а, +1 = В; /С; ; р,- +1 = Fi /С( .
Дальнейший расчет произведем для столбцов:
a =—• В = A'S'+F[
1+1 С; - 4-0; ’ Р'+1 С; - 4<Х, '
Температура в узле N
(n+i _
J Cn “ лг
Температура в узлах N - 1, N-2,..., Адуг
(5.56)
(5.57)
(5.58)
(5.59)
где Адуг —
1, K^j<M-9
/дуг, 1 j /цуГ.
Таким образом, расчет по выражениям (5.44)...(5.59) позволяет
получать поле температур /"у1 по известному полю температур на пре-
дыдущем слое ti j.
По предложенному алгоритму выполнены расчеты динамики на-
грева и плавления шихты в зависимости от заданной начальной массы
остатка расплава для 100-тонной ДСП БМЗ (приведенный алгоритм
может использоваться для расчета динамики плавления шихты печи
любой производительности).
V. Последовательность расчета. 1. Вводят исходные
данные и определяют параметры расчетной области. Задают массу “бо-
лота” (т), лома Л/лом (т), окатышей Мок (т), радиус дуги Ядуг (м),
основные размеры печи, показанные на рис. 5.11. Определяют число
(/Ср К2> М, N, Np, TVq) слоев расчетной области путем деления размеров
печи на заданные шаги по координатам (ДА - по радиусу, Az - по высо-
те печи). Вводят теплофизические характеристики окатышей, лома и
жидкого металла, значения мощности дуги и массы жидкого металла
по концу расплавления.
2. Определяют массу лома, которая расплавилась в “болоте”:
^6(&+4('ж-4)-ст615-&15/^-/^))
с®(/| + 15) + 2615/(/®-/|)
234
3. Находят высоту Яб и границу слоя “болота” с учетом рас-
плавленной части лома. Начиная су = 1, с шагом 1 определяют объемы
усеченных конусов:
Кук =|’УДг(ЯдН ядн +уДг)+(Лдн + /Д?)2).
Границу “болота” определяют так: Kq = М -j +1, где j выбирают из
условия, что Ку к > Кб (Кб - объем “болота”), высота “болота” Яб = у'Дз.
4. Находят высоту Ялом и границу /Слом слоя нерасплавленной час-
ти лома. Начиная с j = 1, с шагом 1 рассчитывают объемы усеченных
конусов:
Кул = |iVAz((^H + (М- К6 + 1) Az)2 + (/^ + (М- К6 + l)Az) х
х + ( М- К6 +1 + j)bz) + (Ядн + (М- К6 +1 + j)te)2 ) .
Границу лома /Слом определяют как /Сб - у, где у выбирают из условия
* (Чом - ДА/д0М)/рЛ0М. Высота лома Н„ом =jte.
5. Рассчитывают массу шихты Л/кол, добавляемой к “болоту” при
образовании колодцев:
Чол = - DAzpo +(К6 - Кдом)Д--рЛ0М).
6. Уточняют границы “болота” и лома /Слом с учетом объема
жидкого металла в “болоте” после образования колодцев. Расчет гра-
ниц Кб и Клом выполняют по аналогии с п. 3, 4 алгоритма с увеличен-
ным объемом Kg жидкого металла в “болоте”. Граница (уровень) дуги
7дуг равна/Сб - 1.
7. Записывают начальное поле температур:
tfj = z®+15, l<z£Ar0;
z°7=z0> l^i<N0;
8. Рассчитывают температурное поле z"tl/2 в осевом направлении
по формулам (5.44)...(5.51).
9. Выполняют перенос поля температур t"j L -> t"j.
10. Рассчитывают температурное поле в радиальном направ-
лении по формулам (5.52)...(5.59).
11. Выполняют перенос поля температур z”)1 -> .
12. Рассчитывают массу расплавленной шихты на уровне распо-
ложения дуги (/дуг) по формуле
Л/=3,14(МЛ)2Дгр® .
13. Рассчитывают массу расплавившихся слоев шихты на уровне
расположения дуги (/дуг) при /''J1 > Тв:
235
M,=p/Az2Ar-6,28; M'f' = М" + Л/,; М^' = М^, + М.
14. Определяют осадку шихты.
15. Организуют цикл по i от /дуг + 1 до N. Если расплавился объем
шихты с номером i на уровне дуги (/ = удуг), то организуется внутрен-
ний цикл по у, начиная с удуг по 2 с шагом -1. Все расчетные слои с номе-
ром / опускаются на один слой, т. е. “>j1 • Температуре /,'д+| при-
сваивается значение /0.
16. Рассчитывают массу подваливаемых окатышей . Если
температура слоя окатышей ,то
= К +125; к+' = Ч" +125.
17. Если суммарная масса шихты и окатышей больше массы слоя,
т. е. > М, то выполняют расчет среднемассовой температу-
ры “болота”:
w м
l +/вьш (С+^к+|)
.6______________'-1 ___________________
ср <+l
Полученное значение t^p присваивается всем расчетным слоям
“болота”. Значение переменныхудуг и уменьшается на единицу.
18. При A/g+1 > Мж расчет считается завершенным.
При проведении расчета приняты нижеследующие исходные дан-
ные.
Геометрические размеры: Н = 1,0 м; Нх = 0,5 м; Н2 = 2,0 м; = 3,2 м;
R2 = 2,775 м; Ядн = 1,5 м; АА = Az = 0,1 м; Ядуг = 1,05 м.
Теплофизические характеристики окатышей: температура солидуса
г™ = 1490 °C; температура ликвидуса =1500 °C; удельная теплоем-
кость сок = 0,75 кДж/(кг-К); насыпная плотность слоя рок = 1800 кг/м3;
теплопроводность Хок = 1 Вт/(м-К); удельная теплота плавления 2ОК =
= 0,17106 Дж/кг; среднее расстояние между кусками окатышей в слое
6ОК = 0,002.
Теплофизические характеристики лома: температура солидуса
/£ом _ 1420 °C; температура ликвидуса /£ом = 1490 °C; удельная теплоем-
кость слом = 0,71 кДж/(кг-К); насыпная плотность слоя рлом = 800 кг/м3;
теплопроводность Хлом = 4 Вт/(м-К); удельная теплота плавления 2ЛОМ =
= 0,25-106 Дж/кг; среднее расстояние между кусками лома 6 = 0,02.
Теплофизические характеристики “болота”: температура солиду-
са /6=1380 °C; температура ликвидуса t&L = 1480 °C; удельная теплоем-
кость сбп = 0,71 кДж/(кг-К); удельная теплоемкость жидкой фазы с* =
= 0,71 кДж/(кг-К); плотность твердой фазы р®в = 7800 кг/м3; плотность
жидкой фазы р* = 7000 кг/м3; теплопроводность твердой фазы Xj.B =
236
Рис. 5.12. Динамика роста жидкой фазы
шихты в зависимости от первоначальной
массы “болота”
Рис. 5.13. Изменение среднемассовой тем-
пературы остатка расплава с течением вре-
мени в зависимости отего первоначальной
массы
Рис. 5.14. Изменение средней температу-
ры расплава с течением времени в зоне
дуги в зависимости от первоначальной
массы остатка расплава
Рис. 5.15. Изменение средней температуры
расплава с течением времени вне зоны дуги
в зависимости от начальной массы остат-
ка расплава
= 35 Вт/(м-К); теплопроводность жидкой фазы Х = 17 Вт/(м-К)коэффи-
циент теплоотдачи от стенки печи аст = 28 Вт/(л? К); коэффициент теп-
лоотдачи от днища печи ада = 15 Вт/(м2К); начальная температура ших-
ты Iq = 20°С; температура дуги /дуг = 2800°С; температура выливаемос-
ти гвыл = 1505°С; степень черноты поверхности жидкого металла или
окатышей = 0,9; теплота экзотермических реакций 2ЭКЗ = 0,5-106 Дж/кг.
Результаты расчета приведены на рис. 5.12...5.15.
5.6. ДИФФУЗИОННОЕ ПЛАВЛЕНИЕ ИЗВЕСТИ
В ШЛАКОВОМ РАСПЛАВЕ
Технологическая роль шлака в физико-химических процессах ста-
леплавильного производства исключительно велика. Качество и масса
шлака не только определяют полноту удаления из металла фосфора,
237
серы и качество стали, но и в известной мере влияют на все технико-
экономические показатели работы. В формировании шлака принима-
ют участие оксиды, удаляемые из металла различные элементы, а так-
же флюсы, руда, наварка пода и откосов, кладка рабочего пространст-
ва печи. Наиболее важную роль играют оксид кальция (СаО), кремне-
зем (SiC>2), оксид железа (FeO) и оксид марганца (МпО).
Определяющим звеном процесса шлакообразования является рас-
творение (ассимиляция) извести в шлаковом расплаве. Добавляемая в
плавку известь должна быстро образовывать реакционноспособный
шлак. Для этого необходимо создать такие условия, чтобы скорость
растворения извести в расплаве была достаточно высокой.
Переход извести в шлаковый расплав начинается после оконча-
ния пассивного периода, связанного с тем, что при внесении (попада-
нии) кусочка непрогретой извести в шлак вокруг него первоначально
намораживается корочка шлака и требуется определенное время для ее
прогрева и расплавления.
Скорость растворения твердой извести в шлаковом расплаве с уче-
том наличия тугоплавкой пленки продуктов реакции [10]
_ _______QeO^______________QeO^_______ ^0)
dx 8/Р+1/Кр+Д/Рд ’ '
где S' - поверхность контакта извести co шлаком; p - коэффициент мас-
сопереноса в шлаке; Кр - константа скорости реакции; Рд - коэффици-
ент диффузии реагента в твердой пленке; 5 - толщина пограничного
диффузионного слоя шлака у поверхности извести.
Скорость химических реакций взаимодействия поверхности твер-
дого тела с расплавом для высокотемпературных сталеплавильных
процессов значительно выше скорости массопередачи, поэтому при
растворении извести химическое взаимодействие ее с оксидами не яв-
ляется лимитирующим звеном. Кинетика растворения извести иссле-
довалась при содержании оксидов железа в шлаке более 20%, поэтому
наличие пленки продуктов реакции также не учитывалось.
Процесс простого растворения извести, не осложненного химиче-
ской реакцией, описывается уравнением
^^ = ₽((СаО)нас-(СаО))^ (5.61)
tZ(CaO)
где —~— - скорость нарастания содержания СаО в шлаке; (СаО)нас,
(СаО) - соответственно концентрация насыщения шлака известью и
фактическая концентрация СаО в данный момент времени; V - объем
шлака.
Уравнение (5.61) получено в предположении, что скорость раство-
рения СаО существенно выше скорости отвода СаО в объем жидкой
фазы. Вследствие этого на границе твердой извести и расплава нахо-
дится насыщенный раствор СаО. Таким образом, в данном случае про-
238
цесс растворения лимитируется диффузией жидкого раствора СаО в
объем шлака. Отметим, что в уравнениях (5.60) и (5.61) нет в явном
виде зависимости скорости растворения от температуры расплава твер-
дой извести.
Процесс растворения куска извести в шлаковом расплаве характе-
ризуется взаимосвязанными процессами внешнего и внутреннего теп-
ло- и массопереноса. Ниже приведено математическое описание про-
цесса.
Уравнение переноса теплоты:
д/(х,т) (d2l(x,t) 2И0+1 п . ..
\ = а ——51—+ \ , 0< х< z(t); t >0. (5.62)
дт Эх2 х Ъх )
Граничные условия:
^—^• = 0, т >0; z(z,t) = z5, т>0;
Эх
*>0.
Начальные условия:
/(х,0) = /0, 0 < х < 1; z(0) = 1.
Уравнение диффузии оксидов:
дС(х,т)_п fd2C(x,x) 2И0+1 dC(x,tf
Эт Эх2 х Эх J
0<x<z; т>0. (5.63)
Граничные условия:
ЭС(0,т) т>0; C(z,t) = z5, т<т*;
Эх
р(Сж-С3) = (С5-С0)^-Онэв ^4, т<т*.
• аТ ох
Начальные условия:
C(x,0) = Q, т >0.
В уравнении (5.62) коэффициент температуропроводности а запи-
^шл ^изв
сывается как ---- при расчете теплового периода и ---- при
Р шл сшл Р изв^изв
расчете диффузионного периода. Длительность теплового периода обо-
значена т*. Принимаем, что концентрация оксидов железа в шлаке сж
постоянна и равномерна по объему шлака. Считаем также, что в теп-
239
ловом периоде температура затвердевания расплава совпадает с тем-
пературой плавления ts, которая принимается постоянной.
Проведены исследования зависимости температуры плавления
поверхностного слоя извести от содержания в нем оксидов железа. По
мере повышения содержания оксидов железа в слое температура его
плавления значительно повышается; при дальнейшем увеличении со-
держания оксидов от 40 ДО'50% она остается постоянной.
Получена зависимость температуры плавления ts периферийного
слоя извести от содержания в нем оксидов железа Cs:
ls -
2570-80Q, С5<10;
1700-22Cs, 10<Cs<20;
1480-|(С5-20), Cs>20,
которая может быть использована при расчетах плавления извести в
шлаковом растворе.
5.7. ПЛАВЛЕНИЕ ЛОМА ПРИ КОМБИНИРОВАННОЙ
ПРОДУВКЕ КОНВЕРТЕРНОЙ ВАННЫ
5.7.1. Математическая модель процесса
Комбинированная продувка создает ряд благоприятных условий
при работе конвертера, обеспечивая большое число реакционных зон
и большую межфазную поверхность контакта кислородных струй с ме-
таллом. Это повышает скорость окисления углерода, улучшает переме-
шивание ванны, что влечет за собой уменьшение длительности процес-
са плавления. Вместе с тем в удаленных от реакционных зон участках
конвертерной ванны расплавление лома затруднено. Поскольку блюм
и пресс-пакет являются наиболее тяжелыми и крупными кусками в соста-
ве заваливаемой шихты, по длительности их расплавления можно оценить
время плавления всей шихты. В данном параграфе исследована кинетика
плавления лома, который в расчетах представлен в форме пластины,
находящейся на границе реакционной и застойной зон (рис. 5.16) в про-
цессе комбинированной продувки конвертерной ванны.
В диффузионный период плавления к математической модели те-
плового периода добавляется дифференциальное уравнение концентра-
ции углерода в пластине. Граничные условия записываются для левой
и правой сторон пластины. Для численного решения задачи применена
разностная схема с явным выделением границы плавления.
Численное исследование процесса плавления лома осуществляли
при различных скоростях обтекания куска лома расплавом и началь-
ных температурах заваленного лома. При разработке математической
модели процесса плавления лома учитывали тепловой (наморажива-
ние и плавление оболочки расплава на поверхности лома) и диффузи-
240
02
Рис. 5 16. Плавление куска лома,
находящегося на границе реакци-
онной и застойной зон:
1 - конвертер; 2 - фурма верхняя;
3 - расплав; 4 - фурмы донные; 5 -
кусок лома
Рис. 5.17. Расчетная схема к задаче плавления
лома в железоуглеродистом расплаве:
К\\\1 - оболочка расплава; |////| - пластина;
|«| - расплав
онный периоды плавления. Тепловой режим описывается нестационар-
ным одномерным уравнением теплопроводности с двумя внешними
движущимися границами (кусок лома с обеих сторон омывается раз-
личными потоками расплава различной интенсивности и температу-
ры). Полагаем, что теплофизические характеристики стального лома
зависят от температуры, а намерзшего слоя расплава и жидкого рас-
плава - не зависят. Распределение температур в трехслойной пластине
(рис. 5.17):
/ ч / Э/(х,т) Э L, чд/(х,тЙ ~ .....
р(х)с(х, /) —\ = — Х(х, /) \ , т > 0, (5.64)
от дх V дх )
где х - координата по сечению тела.
Значения плотности р(х) являются кусочно-линейной функцией
координат, а теплофизические характеристики теплоемкости с (х, /) и
теплопроводности X (х, /) - кусочно-линейными функциями координат
и температуры.
При значениях температуры лома 0...950, 950... 1300 °C его тепло-
проводность находим так:
X (/) = -2,34 10-2/ + 48,1; Х(/) = 1,23 10"2/ + 26,7.
При температурах лома 0...750,750...950 и 950... 1300 °C соответст-
венно имеем:
с(1) = 0,38 / + 450; с(/) = - 0,44 / + 670; <?(/) = 0,143 t + 628.
241
На границе раздела твердой и жидкой фаз расплава для левой (ин-
декс “лев”) и правой (индекс “пр”) сторон пластины заданы следую-
щие условия теплообмена:
- p(x)Q(x)^- = алев(/(т) - /£) (5.65)
dx ' v ' ох
- p(x)Q(x)^- = апр(/ж (т) - tL) - ХЭ<(!>пр’'С). (5.66)
ах ох
Начальные условия:
/(х,0) = t0, a<x<b; глев(0) = 0; znp(0) = 0.
(5.67)
Здесь /р(т) - температура расплава в реакционной зоне (справа от пла-
стины); /ж(т) - температура расплава в застойной зоне (слева от пла-
стины); а,Ь- координаты соответственно внутренней и внешней сто-
рон пластины относительно стенки конвертера.
Температура tL принимает значения fL при плавлении оболочки
расплава и плавлении пластины. Значение tL зависит от концентрации
углерода в расплаве и выбирается по диаграмме состояния железо -
углерод.
Значения температуры расплава в застойной зоне /ж(т) задаются в
виде линейной зависимости от времени продувки т:
/ж(т) = 1300 + 0,36т, 0 < х < 900.
В конце продувки температура расплава в застойной зоне равна 1630 °C.
Значение температуры расплава /р(т) в реакционной зоне также
задается в виде линейной зависимости от времени продувки:
Гр(т)= 1800 + т/3,0 <т < 900.
(5.68)
В конце продувки температура реакционной зоны равна 2100 °C.
При определении коэффициентов теплоотдачи а, алев, апр учиты-
ваются вынужденная и естественная конвекции потоков:
NuBbIH = 0,662Re°’5Pr1/3;
z , \1/3
Nu^O.35^- ,
\ 1 + Рг J
(5.69)
(5.70)
где индексы “вын” и “е” соответствуют вынужденной и естественной
конвекции.
Характерным размером в числах Re и Gr является высота куска
лома 7. Коэффициенты теплоотдачи вычисляются так:
VNuBUH +NUe
с* — л ж-----;------
/
(5.71)
242
В диффузионный период плавления лома к математической моде-
ли (5.64)...(5.71) добавляется уравнение концентрации углерода С в
пластине
дс _Э2С(х,т) .
— — = D---а < х < о,
Эт Эх2
где D - коэффициент диффузии.
На внешней поверхности пластины граничные условия имеют вид:
Ряе.(Св - С) = _дЭС<г«.(^)Л) . Рпр(ёв - С) = ,
ах ах
где Св - концентрация углерода в расплаве (жидкой ванне).
Начальные условия:
Св(0) = Свнач; С(х,0) = Снач, а<х<Ь.
Вычисляем коэффициент массоотдачи 0 (Ряев, (Зпр):
р = ос/(106 65).
Концентрацию углерода Сж (т) в застойной зоне задаем в виде
линейной зависимости от времени продувки:
— _ г^нач _^кон
Св(т) = Свнач—2-----2—т, 0<т<900,
BV 7 в 900
где Свнач, Свкон - концентрация углерода соответственно в начале и в
конце продувки. _
Определяем температуру плавления лома: = 1539-90 Св(т).
5.7.2. Алгоритм расчета
Для разработки алгоритма расчета процесса плавления толщина
куска лома разбивается на Nq - Mq слоев Ах = H(Nq - Л/о) (см. рис. 5.17).
Номера узлов Mq и Nq означают левую и правую границы пластины в
начальный момент времени т = 0. Номера узлов М nN характеризуют
текущее положение левой и правой поверхностей плавления пластины.
С учетом намерзания расплава на обеих сторонах пластины отрезок Н
разбивается на слои с шагом Дх с номерами узлов 1,2,..., Л/о, Mq + 1,...,
Мь*0+1.
Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности (5.64)
принимает вид
.л+1 .л ( п tn п .п >
Ч ~ 4 _ z Ч-\ ~ Ч + 4+1 ~ Ч
дт дхШЬ/^ч + 'А" iA"+1 + vM
М <i<Nt
243
где теплофизические параметры р” , с", X” принимают соответствую-
щие значения из формул, приведенных в п. 5.7.1. в зависимости от ко-
ординат и температуры на предыдущем л-м слое по времени.
Уравнения для определения границ раздела z”e+B’ и г”*1 аппрокси-
мируем:
_/1+1 _
Дт
- = апр^ж
,
^p-(/V0-/V)Ar
[О, М<Ма', [б, N< Nq; п 1ОЛЛ . м
где Ом=\ 0 Qn~\ ° *р = 1800 +лАт/3-темпера-
[ет>А/>Ч; 12т. NiN0; ₽
тура в реакционной зоне в момент времени т = «Дт; /” = 1300 + 0,36лДт -
температура в застойной зоне в момент времени т = иДт; 1^(хм)- тем-
пература плавления намерзшей корки или лома на левой поверхности
пластины; tL(xN)- температура плавления намерзшей корки или лома
на правой поверхности пластины.
Если в процессе расчета левая граница находится внутри узлов, то
температура iff определяется следующим образом:
,Л + 1 уП
1М ~1М _
Дт
Г 2 [
РмСлДд*+д»*11 д«ч
М^Мй-
где Д„+, = <
[(М0-М)Дх+г£', М<Мй.
При намерзании расплава на левой поверхности пластины^ если
граница перешла через узел с номером М - 1, температура ZJJlj опре-
деляется так:
(-ЧЧМ-1))дх+г£,
lM-\ - lLXxM-\) / , л+1 \lLXXM-\)
(М- MQ)kx+zneB
Аналогично для температур /^+1 и tn^ на правой поверхности
пластины
где
,И + 1 А«
lN ~lN
Дт
2^n_ z l(^)~
р^’Ддх+дГД д;;1
аИ+1 1П+1
lN lN+\
Дх
Д"+1 =
^пр
Znp -(^о-(Л/ + 1))Дт, N<N0-,
z£'+(/V-(No + l))A*< N>No;
244
-Z (v ) Nn^X+Z"P__L ( \ ,1 + |\
'"+' -tL{XN>-{N- N0-l)bx+ Z-1 A
Разностная аппроксимация уравнения массопереноса
q/,+,-q" ncZ‘-2c;', + q"+1 w . Kr
—------= D -1----4----—; M<i<N.
Дт Ar
На левой поверхности куска лома граничное условие (5.63) запи-
шется так:
хМ:-/лхА/))/(рА/А,е.)+
I V " РлЛев
где Cs - концентрация углерода в поверхностном слое лома, соответ-
ствующая температуре солидуса лома.
Для правой поверхности куска лома граничное условие (5.63) при-
нимает вид
хкр(/рЯ-/£М/(Р^е,)+
k Р N ^ев
Расчет по данному алгоритму считается завершенным при выпол-
нении условия W - Л/ < 2.
5.7.3. Анализ результатов расчета
По приведенному выше алгоритму выполнены расчеты кинетики
плавления стального лома в виде блюминговой обрези размерами
400x400 х 850 мм и пресс-пакетов размерами 700 х 1000 х 1800 мм.
При расчете [11] учитывали данные по вопросу скоростей обтекания
потоками расплава куска лома в различных областях конвертерной
ванны, приведенные в существующей литературе.
В нашем случае для куска лома, расположенного между реакцион-
ной и застойной зонами, скорость обтекания принята соответственно
0,8 и 2,5; 1,0 и 5,0; 1,2 и 7,5; 1,4 и 10 м/с. В связи с тем что в металлургии
часто прибегают к предварительному подогреву лома, начальная тем-
пература которого при продувке значительно влияет на тепловую ра-
боту конвертера, расчеты проведены при начальных температурах за-
валенного лома в диапазоне от 0 до 900°С, свыше которой лом нагре-
вать не рекомендуется из-за резкого увеличения длительности подогрева
и возможности появления жидкой высокоокисленной фазы металла.
245
В расчетах приняты: плотности блюма, пресс-пакета, твердого
чугуна, жидкого чугуна - соответственно 7800, 2400, 7200, 7000 кг/м3;
удельные теплоемкости твердого и жидкого чугуна - соответственно
750 и 852 Дж/(кг-К); скрытая теплота плавления лома, чугуна - соот-
ветственно 250 000 и 208 000 Дж/кг; начальная концентрация углерода
в ломе - Снач= 0,4%; начальная и конечная концентрации углерода в
расплаве - Свнач =4%, Свкон =0,1%.
В результате расчетов установлена линейная зависимость време-
ни плавления блюма, находящегося между реакционной и застойной
зонами, от его начальной температуры при различных скоростях обте-
кания потоками расплава (рис. 5.18, а). Увеличение температуры от 0 до
900 °C приводит к уменьшению длительности плавления от 207 до 122 с
при скоростях 0,8 и 2,5 м/с, со 192 до 104 при 1,0 и 5,0 м/с, со 177 до 104
при 1,2 и 7,5 м/с, со 169 до 99 с при 1,4 и 10 м/с. Более сложный характер
эта зависимость имеет в случае плавления пресс-пакетов (рис. 5.18, б\
что обусловлено в первую очередь значительным влиянием температу-
ры на теплофизические свойства спрессованного лома.
Приведенные на рис. 5.19...5.22 графические зависимости позво-
ляют сделать вывод, что плавление блюма происходит лишь со сторо-
ны реакционной зоны и в кинетическом режиме, обусловленном высо-
кими температурами и скоростями омывающих потоков. При этом ско-
рости намораживания, оплавления и остаточная величина оболочки
существенно зависят от начальной температуры лома при любых ско-
ростях обтекания. При большой начальной температуре и значитель-
ных скоростях обтекания толщина оболочки намерзшего расплава по
истечении 70...80 с стремится к нулю и определяется градиентом темпе-
ратуры между расплавом и наружной поверхностью лома.
Рис. 5.18. Зависимость времени плавления блюма (а) и пресс-пакета (б), находящего-
ся между реакционной и застойной зонами, от их начальных температур при различ-
ных скоростях обтекания потоками расплава:
1 ~ vhcb ~ °’8 м/с, vHp = 2,5 м/с, 2 - vJICB = 1,0 м/с, vnp = 5,0 м/с, 3 - vHCB = 1.2 м/с, v„p = 7,5 м/с, 4 -
глсв = 1.4 м/с, vlip = 10,0 м/с; vJICB и vlip- скорости омывания пластины расплавом соответственно
слева и справа
246
Рис. 5.19. Динамика плавления блюма, на-
ходящегося между реакционной и застой-
ной зонами (скорость потоков расплава 2,5
и 0,8 м/с соответственно) при различных
начальных температурах лома
Время процесса, с
Рис. 5.20. Динамика плавления блюма, на-
ходящегося между реакционной и застой-
ной зонами (скорость потоков расплава 5,0
и 1,0 м/с соответственно) при различных .
Время процесса, с
Рис. 5.21. Динамика плавления блюма,
находящегося между реакционной и за-
стойной зонами (скорость потоков распла-
ва 7,5 и 1,2 м/с соответственно) при раз-
личных начальных температурах лома
Рис 5.22. Динамика плавления блюма, на-
ходящегося между реакционной и застой-
ной зонами (скорость потоков расплава
10,0 и 1,4 м/с соответственно) при раз-
личных начальных температурах лома
247
В случае экранирования лома от реакционных зон, значительного
от них удаления или “прилипания” тяжеловеса к футеровке в застойных
зонах условия растворения значительно ухудшаются. На рис. 5.23, 5.24
показана динамика плавления блюма и пресс-пакета в застойных зо-
нах при различных начальных температурах лома (механическая проч-
ность пресс-пакетов в расчетах не учитывалась). В обоих случаях теп-
ловой период заканчивается на 9... 10-й минуте плавки. При этом даль-
нейшее проплавление блюма существенно зависит от его начальной
температуры, и в наихудших условиях (начальная температура 20 °C)
толщина куска к концу продувки составит 200 мм.
При анализе рис. 5.23 и 5.24 следует обратить внимание на осцил-
лирующий характер поведения общей толщины растворяемого лома.
Общепризнанно, что в начальный период на ломе намораживается обо-
лочка расплава, причем этот период может продолжаться до 1,3 мин и
скорость роста и толщина оболочки, как это хорошо видно из рис. 5.23,
определяются начальной температурой лома. Если бы в последующие
периоды плавки содержание углерода в расплаве и его температура не
менялись, справедливо было бы ожидать постепенного перехода теп-
лового режима в диффузионный и кинетический. В нашем случае со-
держание углерода, а следовательно, и температура плавления по тол-
щине намерзшей оболочки изменяются. Причем всегда у границы кон-
такта твердый лом - расплав содержание углерода в металле меньше,
чем у границы контакта лом - намерзшая оболочка.
По достижении теплового равновесия, а следовательно, и наиболь-
шей толщины намерзшей оболочки, температ]дэа расплава значитель-
но превышает температуру плавления внутренних слоев оболочки, что
вместо плавного сплавления приводит к резкому уменьшению толщи-
ны оболочки практически до нуля. Таким образом, тепловое равнове-
сие снова нарушается и происходит намораживание оболочки, хотя и
Рис. 5.23. Динамика плавления лома в за-
стойной зоне конвертера при скоростях
обтекания сторон блюма 0,8 и 0,25 м/с
Рис. 5.24. Динамика плавления пресс-па-
кета в застойной зоне конвертера при ско-
ростях обтекания его сторон 0,8 и 2,5 м/с
248
меньшей толщины, обусловленной уменьшением градиента темпера-
тур на поверхности лом - расплав. По мере прогрева лома амплитуда
пульсаций толщины лома уменьшается.
5.8. ПЛАВЛЕНИЕ КРУПНОГАБАРИТНОГО
АЛЮМИНИЕВОГО СЛИТКА ПРИ ВЫДЕРЖКЕ МЕТАЛЛА
В СТАЛЕРАЗЛИВОЧНОМ КОВШЕ
5.8.1. Исследование влияния формы слитка
на продолжительность его плавления
Одной из эффективных ресурсосберегающих технологий является
микролегирование стали крупгогабаритным алюминиевым слитком,
погружаемым под уровень металла в ковше после выпуска плавки из
конвертера. Для обеспечения минимального времени плавления алю-
миниевого слитка в жидком металле принята лепестковая форма его
поперечного сечения.
Изменение размеров лепестков для слитков одинаковой массы
влияет на площадь контакта поверхности слитка и расплава и, как след-
ствие, на время плавления слитка. С целью уточнения указанного влия-
ния выполним расчет времени полного проплавления слитков одина-
ковой массы с различной длиной лепестков. В результате решения форма
слитка выбрана таким образом, чтобы иго плавление было равномер-
ным со всех сторон (равенство толщин дна, стенки и половины лепест-
ка). Это позволяет использовать одномерную модель плавления.
Расчетная область для слитка с поперечным сечением в форме ле-
пестка представлена на рис. 5.25. У такого слитка имеются две оси сим-
метрии, поэтому целесообразно рассматривать только его четвертую
часть. Предполагаем, что температура металла в ковше не изменилась,
плавление слитка происходит без намерзания корки расплава на его
поверхность.
Математическая модель процесса плавления слитка в расплаве:
dt(x,y,t) (д2Цх,у,-с) d2t(x,y,t)\ „
ср---5---= *---71---+---71---; (5.72)
Эт ду J
Э/(х,0,т) =0. (5.73)
Эх
^(Oy,-t)=o. (574)
ду
pQ^. = a(tx-tL)-A (5.75)
ах ап
t^x) = tLl (5.76)
где z(x,y) - граница плавления.
249
Для численного решения задачи
(5.72)...(5.76) строится разностная сетка по
координатам х, = iAx, ут - т&у. Пусть
абсцисса точки, лежащей на пересе-
чении координатной прямой и границы
раздела фаз, упт - его координата, у” -
ордината точки, лежащей на пересечении
координатной прямой xi и границы разде-
ла фаз, а $ - ее абсцисса. Положение гра-
ницы раздела фаз может быть определе-
но с любой наперед заданной точностью
Рис. 5.25. Расчетная область к путем задания координат подвижных уз-
задаче плавления слитка лепест- ЛОВЫХ точек
ковой формы т ,
Изменение положения границы раз-
дела фаз определяется следующим образом. В уравнении (5.75) dz/dx -
скорость движения границы вдоль нормали, и ее целесообразно разло-
жить на две составляющие. Тепловой поток X— также проецируем на
оси ОХ и OY. Уравнения (5.75) запишутся так:
Р2^Г = а('ж -'l)cos(v,x)+X-^-;
dx дх
dz у , .
ре-^- = а(^ж -/Jcos(v,y) + X—,
ах ду
где zx, zy - проекции скорости движения границы вдоль нормали на оси
ОХ и ОУ.
Рассмотрим систему уравнений для точки 1 (рис. 5.26, а):
pQX‘+'~~ = а('ж "'l)cos(v,x) + '(5.77)
vn+l _ vn (t — t n )
<5-78>
Поскольку температура неизвестна, для ее определения при-
меним линейную аппроксимацию:
Если точка, в которой вычисляется температура z"_j, имеет в каче-
стве смежной не граничную узловую точку 7 (рис. 5.26,6), тогда форму-
ла для определения неизвестной температуры будет иметь вид
УГ -(т-1)Ду
yf-i-yf
250
Рис. 5.26. Схема к расчету температуры в граничных точках
Для точек, лежащих на пересечении координатных прямых и гра-
ницы раздела фаз, записываются аналогичные уравнения.
Решая последовательно систему уравнений (5.77), (5.78) для всех
узловых граничных точек, находим их новые координаты.
Как правило, направление нормали к границе не задано. Поэтому
значение угла в точке (х0, у0) определяют следующим образом. Через
две точки, которые находятся слева и справа от точки (х0, у0) и имеют
координаты xb yj и х2, у2, проведем прямую. Угол, образованный пер-
пендикуляром к этой прямой с осью OY, есть угол ср, на который необ-
ходимо повернуть систему координат. Поворот осей необходим для
устранения ошибки в вычислении направления нормали. В новой сис-
теме координат вычисляем координаты точек (х0, у0), (x^yj), (х2, у2):
хо = coscp + у0 sincp;
xi = Xjcoscp + yj sincp;
xi = *2 coscp + y2 sincp;
y0 =-Xq sincp + y0 coscp;
y, = -Xj sincp + yj coscp;
y2 =-Xz sincp+ y2 coscp
и направление нормали
f ♦ ♦ Y ♦ * Y *
Aq-XI В X0-X2 I X2-X1
tg(”> x)=7----—rr
i ♦ ♦ Y * *i i ♦ * Y ♦ ♦ ।
Ro-A'i xo-X2 +р2“УоРЬ"^
Разность между направлением нормали в преобразованной систе-
ме координат и углом поворота осей есть направление нормали в ис-
ходной системе координат. При Xj = Aq и % = Xq или у, = у0 и у2 = у0
направление нормали в исходной системе координат вычисляется по
формуле
tg(v,x) = ———
У1~У\
Для вычисления cos (v, х) используем формулу
l/cos2(v, х) = 1 + tg2(v,x).
251
Косинус угла нормали с осью О Y
cos( v, х) = Jl-cos2 (v, х) •
Температуры во внутренних узловых точках
ArX/„ „ \ АтХ / л \
рсДх4 х 1 рс&у х '
В узловых точках, смежных с граничными,
а А .Л+1 1
лЛХ Gui . .л+1/2
рсАх hx Ах I
(л+1 _ r \ Y______________7________
' m 1 , f 1 ! 1 '
рсАх^Лх Ах?
где hx - расстояние между граничной и узловой точками.
Если по направлению у точка с координатами i, т не имеет смеж-
ных граничных точек, то
.л+1/2 . + 6,m-l ~ 2fi,m)
реку
в противном случае
_АДт_ /дд + ^,л1-1
рсДу^л Ду
.л+1/2 _
Ч,т ~
, ХДт ( 1 1 )
1 +---- — + —
рсДу|^й AyJ
где hy - расстояние между граничной и узловой точками.
Уравнения, которые определяют значения температур в точке,
смежной с граничной узловой, движущейся вдоль осей ОХ и OY, име-
ют вид:
-/Ах
h,m и+l
4+,-(/-l)Axv
уЛ+i
Ч,т
у^'-т&у (
yf+l -("1-1)д/ L '
Для раскисления металла используется слиток, поперечное сече-
ние которого имеет форму лепестка (рис. 5.27). Это обусловлено необ-
252
Рис. 5.27. Поперечное сечение алюминиевых
слитков одинаковой массы:
1 - круг диаметром 0,6 м, 2 - лепестковая форма с
габаритным размером 0,72 м (внедрен на комби-
нате “Азовсталь”); 3 - лепестковая форма с габа-
ритным размером 1 м; 4 - лепестковая форма с га-
баритным размером 1,3 м
ходимостью иметь большую по сравнению с цилиндрической формой
площадь поверхности контакта слитка с жидкой сталью.
5.8.2. Математическая модель плавления слитка
Форма слитка выбрана таким образом, чтобы его плавление было
равномерным со всех сторон (равенство толщин дна, стенки и полови-
ны лепестка). Это позволяет применить одномерную модель плавле-
ния тела правильной геометрической формы с характерным размером
z0 (рис. 5.28). Расчетная схема представлена на рис. 5.29.
Рис. 5.29. Расчетная область к задаче плавле-
ния алюминиевого слитка в жидкой стали:
ЬЙ&З - футерованный стержень; |///Л - твердая
фаза слитка и стальной оболочки; | -Z-Z |- жидкая
фаза слитка
Рис 5 28. Схема алюминиевого слитка:
а - продольное осевое сечение слитка, б - поперечное
ссчснис слитка, 1 - футерованный стержень; 2 - сопло;
го - характерный размер слитка, мм
253
Математическая модель процесса представляет собой одномерные
уравнения теплопроводности с внутренней границей намерзания (плав-
ления) оболочки стали.
Для твердой фазы слитка
д<т.('Л) (1 dtn(r,T)y
Эх Эг2 Г dr )’
гф < г < гф + zt(t),
где ятв - коэффициент температуропроводности твердого алюминия,
м2/с.
Для жидкой фазы слитка
Э/Ж(г,т) fЭ2/Ж(г,т) 1 д1ж(г,х)' . . ч
где аж - коэффициент температуропроводности жидкого алюминия, м2/с.
Для твердой стальной оболочки
dt(r,t) (d2t(r,T) 1 дЦг^)'
dr dr2 +r dr ,
г>Гф+2о,
где a - коэффициент температуропроводности твердой стали, м2/с.
На границе раздела жидкой и твердой фаз слитка задано калори-
метрическое уравнение Стефана, а температура на этой границе при-
нята равной температуре плавления алюминия:
dzx
dx
^Гф+г^т)
Гф+2|(Т)
При г = Гф, учитывая низкую теплопроводность футеровки стерж-
Эг(Гф,т)
ня, можно принять ——— = и .
Условие теплообмена на границе твердой стальной оболочки и
жидкой стали
Лг2(т) / \
-рС Л I
4 /Г-'ф+-о+-2(т)
Коэффициент теплоотдачи от жидкой стали а* получен из зависи-
мости
Nu = JNu^+Nu^ = ,
где Н - высота слитка, м; X - коэффициент теплопроводности жидкой
стали, Вт/(м-К).
254
Число Нуссельта для условий естественной конвекции
Nue = 0,105Grl/3Prm, т = 0,3 + .
Рг1/3
В случае турбулентного движения металла использовали формулу
для вынужденной конвекции
NuBblH = 0,46 Ре0’65.
На основании изложенной модели проведено численное исследо-
вание процесса плавления алюминиевого слитка в сталеразливочном
ковше в условиях естественной и вынужденной конвекции.
Рассмотрим плавление слитка в условиях естественной конвекции.
Исследование кинетики плавления крупногабаритного алюминиевого
слитка массой 450 кг и высотой 700 мм проведено при различных тем-
пературах расплава. Расчетные зависимости длительности расплавле-
ния слитка (линия 7) и стальной корки (линия 2) от температуры рас-
плава приведены на рис. 5.30.
Для установления адекватности математической модели в опыт-
но-промышленных условиях проведены эксперименты. Алюминиевый
слиток массой 450 кг вводили в сталеразливочный ковш емкостью 350 т
со сталью СтЗкп, имеющей температуру 1600 °C. После выдержки слит-
ка в металле в течение 4,5 и 5 мин погруженную штангу вынимали из
слитка. Установлено, что полное расплавление слитка происходило
Рис 5.30. Зависимость длительно-
сти плавления слиткового алюми-
ния от температуры расплава:
1 - плавление слиткового алюми-
ния оболочкой расплава; 2 - намер-
зание и плавление оболочки рас-
плава
Рис. 5.31. Зависимость длительности расплавления
слитка от расхода аргона
255
после выдержки в расплаве в течение 5 мин. При меньшей продолжи-
тельности выдержки на поверхности штанги наблюдались остатки слит-
ка. Результаты расчетов и экспериментов практически совпадают.
Рассмотрим плавление слитка в условиях вынужденной конвекции.
Проведено численное исследование кинетики плавления алюминиево-
го слитка массой 300 кг и высотой 0,5 м в ковше емкостью 350 т с мало-
углеродистой сталью в процессе продувки металла аргоном. В осевой
части слитка расположена футерованная труба (радиус Гф), в которой
имеется отверстие радиусом d/2 для подачи инертного газа через соос-
ное цилиндрическое сопло в дне слитка.
При истечении в расплав (через отверстие в слитке) газовый по-
ток, встречая лобовое сопротивление, дробится с образованием дис-
кретных газовых конгломератов. Всплывание газовых образований во-
влекает сталь в спутное движение (эффект присоединенной массы) вдоль
поверхности слитка.
Результаты расчетов длительности плавления слитка в зависимо-
сти от расхода инертного газа и глубины погружения слитка приведе-
ны на рис. 5.31.
ЛИТЕРАТУРА
1. Самойлович Ю. А. Системный анализ кристаллизации слитка. - Киев: Наук,
думка, 1983.
2. Прикладные задачи металлургической теплофизики / В. И. Тимошпольский,
Н. М. Беляев, А. А. Рядно и др. - Мн.: Навука i тэхшка, 1991.
3. Мастрюков Б. С. Теория, конструкции и расчеты металлургических печей. -
М.: Металлургия, 1986.
4. Беляев Н. М., Минусов И. Н., Каримов И К. Применение метода элементарных
тепловых балансов к решению задач теплопроводности со сложными граничными ус-
ловиями. -Днепропетровск: ДГУ, 1985.
5. Самарский А. А. Введение в численные методы. - М.: Металлургия, 1982.
6. Жульковский О. А., Чернятевич А. Г, Павлюченков И. А. Исследование тепло-
физических особенностей работы дутьевых устройств для донного перемешивания кон-
вертерной ванны // Изв. вузов. Черн. металлургия. - 1991. - № 4.
7. Математическая модель процесса кристаллизации слитка различной геомет-
рии / А. П. Огурцов, И. С. Решетняк, Н. М. Барабаш, И. А. Павлюченков // Изв. вузов.
Черн. металлургия. - 1978. - № 11.
8. Математическая модель процесса затвердевания отливок в сложных цилин-
дрических формах / Н. П. Котешов, Н. М. Барабаш, И. А. Павлюченков и др. // Литей-
ное производство. - 1977. - № 5.
9. Котешов Н. П, Барабаш Н. М., Павлюченков И. А. Исследование влияния при-
нудительного охлаждения на процесс затвердевания цилиндрических отливок // Изв.
вузов. Черн. металлургия. - 1978. -№ 1.
10. Явойский В. И., Дорохов Г. А., Повх И. Л. Теория продувки сталеплавильной
ванны. - М.: Металлургия, 1974.
11. Математическое моделирование кинетики плавления лома при комбинирован-
ной продувке конвертерной ванны / И. А. Павлюченков, А. Г. Чернятевич, А. В. Гресс
и др.// Изв. вузов. Черн. металлургия. - 1987. -№6.
ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЗАТВЕРДЕВАНИЯ И НАГРЕВА МЕТАЛЛА
6.1. ИНЖЕНЕРНЫЙ РАСЧЕТ РЕЖИМОВ
ЗАТВЕРДЕВАНИЯ СЛИТКА (ОТЛИВКИ)
Несмотря на то что в последние годы наблюдается тенденция рас-
четно-аналитического изучения динамики затвердевания слитков с
применением методов численного интегрирования уравнения теплопро-
водности с соответствующими краевыми условиями, данный подход
сопряжен со значительными затратами времени на составление и отлад-
ку программ. Вместе с тем во многих случаях расчет процесса затверде-
вания слитков с той высокой точностью, которая может быть достигну-
та с применением ЭВМ, не всегда нужен. В связи с этим представляется
целесообразным наряду с численными методами развивать упрощен-
ные, так называемые инженерные, способы при описании процессов за-
твердевания слитков, позволяющие проектировщику или технологу с до-
статочной для практических целей степенью точности оценить скорость
продвижения фронта кристаллизации и полную длительность затвер-
девания слитков (отливок) с помощью формул, графиков или таблиц.
В качестве типичного примера приведем решение задачи затвердева-
ния слитка (отливки) методом конформных отображений.
1.Постановка задачи. Решение задачи теплопроводности
позволяет ответить на два основных вопроса: как перемещается в рас-
плаве фронт затвердевания и как распределяются температуры в сече-
нии твердой корки во времени.
Задача несколько упрощается, если учесть то обстоятельство, что
скорость перемещения фронта затвердевания сравнительно невелика,
а параметры внешней охлаждающей среды резко изменяются лишь в
исключительных случаях. Это позволяет предположить, что распреде-
ление температуры в сечении твердой корки мало отличается от ста-
ционарного и может быть найдено путем решения краевой задачи для
расчетной области [1, 2] канонического вида (рис. 6.1)
div(XgradT) = 0; (6.1)
ДгФр) = ^;
( ЭЛ
Гэ^1. =W)-U
где Гфр - граница фронта затвердевания.
Также предполагается, что изотермы фронта затвердевания сохра-
няют взаимное подобие по мере продвижения фронта в глубь распла-
ва, что позволяет использовать уравнение баланса теплоты [1...3]
17 Зак. 5040
257
Рис. 6.1. Расчетная область кано-
нического вида
Рис. 6.2. К образованию конформного ото-
бражения
О к °п Jji а~
(63)
Левая часть этого уравнения представляет собой расход теплоты с ох-
лаждаемого участка j\ длиной I, правая учитывает выделение теплоты
фазового перехода и изменение состояния твердой корки при сниже-
нии температуры от Ткр до Т(т), где Т(т) = — Jf Дх,у,т)дЬф - средне-
S
массовая температура твердой корки к моменту т; 5(т) - площадь сече-
ния твердой корки к моменту т.
Используя решение краевой задачи стационарной теплопроводнос-
ти (6.1), (6.2), с помощью уравнения теплового баланса (63) можно уста-
новить закон изменения во времени объема твердой фазы в отливке.
2.Комплексный термический потенциал.Известно,
что температура и расход теплоты являются гармоническими фуйкция-
ми и удовлетворяют уравнению Лапласа. Причем если функции Q(x,y)
и 0(х,у) являются непрерывно дифференцируемыми и удовлетворяют
условиям Коши-Римана
эе = эе. эе=_эо
Эх Ъу’ ду Эх’
то они представляют собой действительную и мнимую части некото-
рой аналитической функции комплексной переменной z:
Htz) = 6(x,j)+/e(x,j). (6.4)
Выбор функции W(z), которую называют комплексным термиче-
ским потенциалом, определяет систему изотерм 0 = const и линий тока
Q = const. Условия Коши-Римана устанавливают связь между темпе-
ратурой и расходом теплоты (температура и расход теплоты в форму-
лах (6.1), (6.2) записаны в безразмерных величинах).
258
Всякое отображение, устанавливаемое с помощью аналитической
функции со =/(z), обладает в каждой точке z, где /'(z) * 0, двумя свой-
ствами: консерватизмом углов и постоянством растяжений. Такие ото-
бражения называют конформными. Упомянутые свойства конформных
отображений используются при решении задач теплопроводности, гид-
родинамики, теории упругости, фильтрации и т. д.
Рассмотрим подробнее производную (o'(z) аналитической функ-
ции co(z) = и(х,у) + iv(x,y).
Имеем
• ч Эм ,Эу .Эм
(0(2) = — + ,-—,—= М'а,
дх ду ду
где М = .1 + — =|co (z)|; а = arg co(z). Модуль М производ-
|\Эху {дх; 1 1
ной co'(z) характеризует изменение линейных размеров при конформ-
ном отображении, аргумент а - угол поворота линейного элемента
области при переходе к его образу. Нетрудно убедиться, что бесконеч-
но малые плоские фигуры (круги, треугольники и т. п. (рис. 6.2)) при
конформном отображении преобразуются в подобные им бесконечно
малые фигуры. Отметим также, что конформное отображение сохра-
няет инвариантным оператор Лапласа и неизменным расход теплоты.
Наиболее важным и трудным этапом при решении задачи о за-
твердевании отливки является нахождение функции со =/(z), конформ-
но отображающей расчетную область твердой корки на область более
простого вида (полуплоскость, круг), для которой решение задачи зна-
чительно упрощается. Рассмотрим отображение на верхнюю полуплос-
кость. Ввиду того что отображающая функция w(z) связана с комплекс-
ным термическим потенциалом (6.4) соотношением
HV) = e+№= Aa(z) + B,
где А, В - вещественные константы, приходим к выводу, что прямые
v = const и и = const являются образами изотерм и линий тока в плоскос-
ти z. В связи с этим область канонического вида отображается на пря-
моугольник плоскости (рис. 6.3).
Стационарное поле температур в полуполосе tq < Re co<u2, Zwco >
> v2 является линейным:
T=Hv)=JJ+(?₽-Tn)-^L. (6.5)
V2-Vj
Вводим безразмерные переменные Х=х/7; Y=yjl', Z=X + iY,
где / - характерный линейный размер. Тогда площадь расчетной об-
ласти ABCD (см. рис. 6.3) в плоскости Z
S=ffc/xdy = /2fft/Xi/Y. (6.6)
259
Рис 6.3. Отображение области канонического вида
При переходе в плоскость со формула (6.6) преобразуется к виду
S = I2 j jl(u,v)dudv, (6.7)
где 1(м,у) - якобиан преобразования при переходе к новым координа-
там:
i =
Эм Эм Эу Эм
Если установление формул Х=Х(и, v), Y-Y (м, у) затруднительно, то
можно использовать соотношения V-V(X, Y), V=V(X, Y) и вычислять
определитель
I* __ Эм Эу Эм Эу _ 1
’эхэГэгэх’г
С помощью условий Коши-Римана выражения для определителей
I, Г можно записать в следующем виде:
, (ЭХ}2 (dY\2 (дХ\2 (дХ}2
1= 37 + 3“ = 3~ + 3~ ;
you J \ди) \ди J \dv)
т* - f дм V ( Y Г дм V f Эм У
VdxJ A9rJ "(dxj AW ’
Обратимся к уравнению теплового баланса (6.3). При переходе к
новым координатам м, v это уравнение можно переписать так:
(6.8)
«I v=v,
где £(т) = у2(т) - значение координаты у, отвечающей положению фрон-
та dS dS
та затвердевания. Так как — = — —-, то, учитывая формулу (6.7), за-
(h Эс, dx
пишем:
260
«I
Тогда уравнение (6.8) примет вид
Х(“2 “ “4 э7 = p(L+ с(7ч>" rfy2 л •
4 Л=у, U}
Используя выражение (6.5), получаем:
Tji — _ ^кр +
dv v2 “ vi
Положив v2 - vj = 0, uj = 0, u2 = uc, запишем уравнение теплово-
го баланса в виде
к с(^кр 5) dT_____1____
РС L 1 + Й(^-Гп)
О мс
(6.9)
Введя безразмерные комплексы
(6.Ю)
перепишем уравнение (6.9):
2 + KUn q
Интегрируя это уравнение при начальном условии £(0) = 0, получим
о2тддп о о
Уравнение (6.5) удобнее использовать в виде
Т=Лг) = Тп+(Ткр-^)-^-. (6.11)
S\ v
На практике часто вызывает большие затруднения вычисление
определителя I или Г. Эти затруднения можно обойти, применив про-
межуточное отображение расчетной области затвердевания отливки на
круг. Особенно это оказывается удобным, когда контур отливки мож-
но задать уравнениями в параметрической форме:
А'=/1(ф);Г=/2(ф). (6.12)
Тогда, введя функцию со = ф + /ф, отображение запишем в виде
261
Z=X + iY=fi (co) + z/2(cd). (6.13)
3. Процесс затвердевания расплава в цилин-
дрической круговой плоскости. Выбираем расчетную об-
ласть A BCD (рис. 6.4) (симметричная задача) и отражаем на плоскость
со = Ф + /у, где ф -• полярный угол с началом отсчета от полярной оси,
совпадающей с положительным направлением оси х.
Параметрические уравнения контура сечения отливки имеют вид:
х - R соэф; у = R sin ф .
Если ввести переменные X = xIR, Y = y/R, Z = X + iY, уравнение
этой окружности запишется в виде
Zn=Xn + iYn = cos ф + i sin ф = /Ч
Введем отображающую функцию
Z - X + i Y = cos со + i sin со = /,0).
Тогда, принимая во внимание уравнения (6.12), (6.13), найдем:
X = cos ф /"V; У = sin ф /"V.
Уравнение теплового баланса запишем в виде
Поскольку I = / "2V, то
ах ах J 2 ах
Поле температур определяется выражением (6.11), которое в на-
шем случае имеет вид
(6.14)
Рис 6 4. Расчетная область A BCD при затвердевании цилиндрической отливки
262
С учетом распределения температуры (6.14) уравнение теплового
баланса примет вид
A. ch cfT^-T,,)
рс r2 L+C-(T^-Tn)
=^/-2Ч.
Интегрируя это уравнение при начальном условии £(0) = 0, получим
^^- = 7(1-(1 + 20/'4)-
2 + Л0п 4' '
Введем в рассмотрение величину b - Ь(х) - расстояние от оси сим-
метрии до фронта затвердевания на плоскости. Так как XD - Yc-
- /-ус - /-ya = /Ч = b/R, то £ = ^(т) = /п—— и уравнение для распреде-
ления температуры запишется в виде
Дг,т)=Тп + (Ткр-Тп)
1п(/Уг)
1п(/уд(т)) *
4. Процесс затвердевания отливки квадратно-
го сечения. Рассмотрим процесс затвердевания расплава в квадрат-
ной полости размерами 2/ х 27 при симметричном охлаждении, полагая,
что температура на поверхности одинакова по периметру и равна Тп. Вы-
бираем расчетную область, учитывая симметрию задачи (рис. 6.5).
Функция, отображающая единичную окружность на квадратный
контур, может быть представлена с помощью интеграла Кристоффе-
ля-Шварца [1]:
j(l + /4)-°’5A
Z„ = X„+lYn=^------*-----, £ = /*.
j(l + f4)'°’5A
(6.15)
Рис. 6.5. Расчетная область A BCD при затвердевании отливки квадратного сечения
263
Вычисляя эти интегралы с помощью разложения в ряд и ограничива-
ясь тремя первыми слагаемыми, получаем:
Zn = 1,080^ - 0,108^2 + 0,045^*;
Хп = 1,080 coscp - 0,108 cos 5ф + 0,045 cos 9ф;
Yn = 1,080 8тф - 0,108 sin 5ф + 0,045 sin 9ф.
Введя функцию со = ф + /у, запишем отображение расчетной об-
ласти:
Z = X + i Y = 1,080 cos со — 0,108 cos 5со + 0,045 cos 9со +
+ i (1,080 sin со — 01,08 sin 5со + 0,045 sin 9со)
или
X = 1,080 cos ф/-'*' -0,108со85ф/“5'*' + 0,045 cos 9ф/-9'*';
с а (6.16)
Y = 1,080sinф/ v-0,1088ш5ф/ 5v + 0,045sin9ф/ 9v,
где X = хЛ; Y = уЛ.
Записываем уравнение баланса теплоты:
^ = /2^ /2^(1,О8О2Г^+25 О,1О82Г1о^ +
dx dx Q 2 ахv
+ 81 0,0452ГЩ).
Используя линейное распределение температуры
Ду) = Z1_(Zcp- ^п) , (6.17)
получаем
22^ =-i(l,0802(l-(l+2^)/'25)+0,1082(l-(l + 10^)r,°^) +
+0,0452(1-(1 + 18£)/'Щ)). (6.18)
Задаваясь параметром £, с помощью формулы (6.18) и соотноше-
ний (6.10) определяем время т, соответствующее данному положению
фронта затвердевания. После этого по формулам (6.16), (6.17) находим
распределение температуры в соответствующей расчетной области.
5.3 атв ерд ев ан и е отливок квадратного сечения
с закруглениями. Пусть теперь сечение отливки есть квадрат с
закруглениями (рис. 6.6). Рассмотрим симметричную задачу.
Отображающую функцию ищем в виде ряда
Zn = + + «9^ + •••
Ограничимся в этом разложении двумя слагаемыми [2]. Тогда получим:
264
I
Рис 6.6. Расчетная область A BCD при затвердевании отливки квадратного сечения с
закругленными углами
Ar = alcoscp/ v - а5 cos5(р/ 5v;
Y=a2 sincpZ-v -a5 sin5cp/'5v.
(6.19)
Уравнение теплового баланса:
A2A' 5 >
Формулу (6.18) представим в виде
М = IS- = 0- (’ + 2^)Г2Ъ +а|(1-(1 +10^)/^)). (6.20)
Распределение температуры в расчетной области будем находить
с помощью формул (6.17), (6.19), (6.20).
В работе [4] приведены значения коэффициентов ак для квадрат-
ного сечения с закруглениями. Используем таблицу этих коэффициен-
тов при к = 15,9 для некоторых отношений tq/1 (табл. 6.1), сохраняя
после запятой 3 значащие цифры.
С помощью выражений (6.19) можно установить взаимосвязь ве-
личины £ и толщины твердой корки, а с помощью выражения (6.20) -
определить время, соответствующее положению фронта затвердевания.
Однако применение этих формул не дает возможности построить еди-
ные алгоритмические соотношения по всей толщине твердой корки при
больших Поэтому, на наш взгляд, удобнее в качестве канонической
области использовать круг.
Таблица 6 1
Значения коэффициентов ад
ак го//
0 0,1 1 0-2 1 0.5 | 1
а\ 1,080 1,079 1,078 1,073 1,000
as -0,108 -0,Ю8 -0,107 -0,095 0,000
ач 0,045 0,045 0,045 0,028 0,000
18 Зак 5040 265
(6.21)
6. Решение задачи о затвердевании отливок
квадратного сечения с закруглениями при гранич-
ных условиях I рода(рис. 6.7). С помощью формул (6.15), (6.19)
конформного отображения квадратного сечения и квадратного сече-
ния с закруглениями на единичный круг упомянутая выше задача сво-
дится к виду:
э2г э2т Л
— г +—г = 0;
Эх2 Эу2
7’U=7’«p; гц=тп. (6.22)
Перейдем на плоскости XY к полярным координатам х = г coscp,
y = r sincp. Тогда уравнение (6.21) запишется в виде
Э2Т 1 ЭТ 1 Э2Т .
— г- + - — +-7 = 0 .
дг г дг г дф
Учитывая симметрию задачи, целесообразно искать решение, не
зависящее от ф. В этом случае задача (6.21), (6.22) примет вид:
Э2Т 1 эт п
дг2*г дг °;
7’U=7’«P;
Общее решение уравнения (6.23)
7\г) - Cjlnr + С2.
Произвольные постоянные и С2 находим, удовлетворяя гранич-
ные условия (6.24). Окончательно решение задачи (6.23), (6.24) для каж-
дого фиксированного значения времени запишем в виде
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
0 £ I х о b(t) 1 X
Рис. 6 7. Расчетная область A BCD при затвердевании отливки квадратного сечения с
закругленными углами
266
Из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений известно, что задача (6.23), (6.24) имеет единственное реше-
ние.
Обратимся к уравнению теплового баланса (6.8). Учитывая тот
факт, что £(т) и Ь(х) связаны соотношением £(т) = -1п/>(т), перепишем
выражение (6.20) в виде
м== 1 (a I(1 - (1 - 2 Ы>у>2) + a?(1 - (1 -101п5)510 )+
+ад (1-(1- 181n5)Z>I8+...). (6-27)
Таким образом, для каждого положения фронта затвердевания
имеем краевую задачу (6.23), (6.24) для кольца и соответствующее рас-
пределение температуры (6.26) в сечении твердой корки. Из формулы
(6.27) найдем соответствующее безразмерное время т* и время т:
?=М2 + ^п). t=P£/2?
2хеп ’ х
Моменту окончания затвердевания соответствует b - 0. Тогда из
выражения (6.27) будем иметь:
♦ 1/2 ° э \ ** Af*(2 + ЛВП) рс л ♦♦
М =-(аг + аг + а9 +...); т =-----т= — 1т .
4 1 5 9 2Х0П X
Для вычисления соответствующих значений координат х, у в плос-
кости z из (6.19) получим формулы:
х = l(axr cos<p + а5г5 cos 5ф + а9г9 cos 9ф+...);
/г
у = /(а1г8тф + я5Г58т5ф + а9г98т9ф-1-...). V ' 7
7. Решение задачи о затвердевании отливок
квадратного сечения с закруглениями пригранич-
ных условиях III род а. Предполагая, что температура расплава
в начальный момент времени (т = 0) равна температуре кристаллиза-
ции для каждого последующего фиксированного времени т, получаем
краевую задачу для кольца с условиями III рода на поверхности. В по-
лярных координатах эта задача запишется в следующем виде:
(6.29)
dr2 г dr
IS1 L=“е(г" " г|'=‘=(б-зо)
где az - так называемый суммарный коэффициент теплоотдачи, кото-
рый зависит от температуры поверхности, Вт/(м2 К).
267
Произвольные постоянные в общем решении (6.25) уравнения
(6.29) находим, удовлетворяя условиям (6.30). В результате получаем
для каждого фиксированного момента времени т единственное реше-
ние задачи (6.29), (6.30):
Дг,т) = Гкр-ВЦТп-^)1п-^-,
где Bi - безразмерный комплекс Био: Bi = а/А.
Далее с помощью уравнения (6.3) найдем
—т — = 1(й|2(1 -Ь2) + 5а, (1-610) + 9а,2 (1 -6|8)+...).
рС 2
Введем новые безразмерные комплексы:
„ ^n(t’) - тс. . _ Гкр - Тл(т )
С учетом формул для т* и Bi получим выражение, связывающее
положение фронта затвердевания и безразмерное время т*:
М(т‘) = 2/С(т )В1(1 ) =—(a2(l-Z>2) + 5aj(l-Z>l0) + 9a,(l-518)+...)-
2 + ЛВл(т ) 2
Отсюда имеем:
T=P£/V
2XBi X
Координаты х, у в сечении квадранта можно найти по формулам
(6.28).
8. Тестовые расчеты. Как указывалось выше, в формулах с
рядами достаточно взять три члена ряда.
Исходные параметры: / - длина стороны квадрата; Ткр - темпера-
тура кристаллизации; Тп - температура поверхности; Тс- температура
среды; X -коэффициент теплопроводности; р - плотность; с - удельная
теплоемкость; L - удельная теплота кристаллизации; г^1 - отношение
радиуса закругления к половине стороны квадрата; alf а5, а9 - коэффи-
циенты разложения в ряд отображающей функции (см. табл. 6.1); -
шаг изменения по времени фронта затвердевания твердой корки (Bi =
= 1 - ihb i = 1,2,..., l/A, - 1); Ао= 1 - положение фронта при т = 0 ; h2 -
шаг по толщине твердой корки для фронта =1-Х(')Л2,г0 =1,
К0* = 0,1,...,ih}/АД ф - полярный угол.
Для задачи с граничными условиями I рода может быть использо-
ван следующий алгоритм.
Для закругления tq// вычисляем М, по формуле
268
W = |(«i (1 -(1 -21п5,)^) + а52(1 -(1 - lOlni,)^10) +
+ а,(1-(1-181nZ>,)6,18).
Затем находим соответствующее безразмерное время т* и время т,:
♦ _ Л((2 + ХЭП) 5.. 0 _ . T _P£/2 *
‘mT' K ' l 9- 5,-r
Для каждого т* находим распределение температуры при задан-
ном ср:
Л^>,4'>) = тп+(ткр-гп)^-,
где
хк = 1(а\гк^ coscp + a5rk'} cos5cp + a9rjf* cos9cpj;
ук = l{axr^ sincp + asr^ sin5cp + a9ij9 sin9cpj.
(631)
Моменту окончания затвердевания соответствует Ь= 0, поэтому
запишем:
д/ _ а1 +а5 +а9 . ** = (2 + Л®п) . * _ РС /2Т**
4 ’ 2ХЭП ’ X
В случае граничных условий III рода можно вести вычисления по
приведенному ниже алгоритму.
Параметры: /, Ткр, Тс, X, р, с, L, G, rrfl, aba5,a9,hi, bQ, h2, ср.
Здесь 7^0) -начальная температура поверхности; о - приведенный ко-
эффициент излучения. Остальные параметры записаны выше.
Для вычислений принимаем
а(0 =а^ = 1,1 • 3,8(+ £), ' = 0,1,...,1/й, -1 •
Имеем
Bi(,) =а'/А, 1 = 0,1,...,1/Л,.-1.
Распределение температуры в твердой корке определяем в соот-
ветствии с выражением
н
Для 1^\ I = 1,2,..., 1/Л, -1, находим
269
Координаты .х^, вычисляем с учетом выражений (6.31). Опре-
деляем М{.
М, =|(«f(l -i2) + 5а|(1-Ь?°) + 9а,2(1 -i/8)).
Затем находим соответствующее безразмерное время т* и время т,:
т>М(2+^) ££/2.
2^Biw а.
где К - - й<0 - *
1ДС Л. —---------, ип----ттг-•
L
Ввиду того что критерий Био меняется на каждом шаге, время
будем накапливать от шага к шагу:
Ci = < + (t’+i - .
•• • « • a *(Bi') Л//(2+^i+|0n+1)
где t0 =to = O; to = to=O; <B1 * = л '^n .
ZA, + |D1
Окончанию времени затвердевания соответствуют Bi = 0 и Л/, =
= -i(a2 +5а2+ 9а2).
В качестве исходных данных для проведения тестового расчета
принимаем: = 1485 °C; tn = 1250 °C; tc = 20 °C; X = 29,8 Вт/(м К);
р = 7500 кг/м3; с = 707 Дж/(м3 К); L = 272 000 Дж/кг; 21 = 0,125 м. Тогда
££^7500-707 0,1252 1485-1250
X 29,8 4 п 1485-20
Результаты расчета сведены в табл. 6.2. Здесь
?_Л4(2+ХЭ). =ре 2.
' 2К0п ’ ' 1 ' •
Таблица 6.2
Взаимосвязь Bi и т.
Bi Л/, ъ.с
0,9 0,006746 0.014418 10,02
0.5 0,121031 0,258657 179,78
0 0.295022 0,630497 438,23
270
Момент окончания затвердевания соответствует Bi = 0 . Записы-
ваем:
_ 1 («|2+а52+а,)(2 + Л38п)
4 2KQ
=££/2
«
При /п = 1000 °C получаем т* = 265 с; если /п = 950 °C, то т*« 250 с;
при /п = 900 °C т* « 237 с.
6.2. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
НАГРЕВА СЛИТКОВ И ЗАГОТОВОК
6.2.1. Постановка задачи
При разработке режима нагрева изделий в печах заданной произ-
водительности к качеству нагрева предъявляются повышенные требо-
вания. В этом случае необходимо анализировать изменение темпера-
турного поля в металле и температуры греющей среды на отдельных
этапах нагрева или в зонах печи. Такой анализ можно осуществить,
задаваясь в качестве исходных параметров греющей среды величина-
ми Тг, а. В качестве исходного параметра можно задавать изменение
во времени температуры поверхности нагреваемой садки или погло-
щаемого поверхностью теплового потока. Решение уравнения тепло-
проводности осуществляется при обобщенных граничных условиях I
рода
Гп = Ф(г)
или II рода
X^=9(t). (6.32)
ап
Затем находят изменение во времени температуры греющей среды:
? = + • (бзз)
уюа иоо)
Формула (6.33) следует из выражения для теплового потока
9=а(Т4-Т4).
Если получено решение уравнения теплопроводности при гранич-
ных условиях второго рода (6.32), причем тепловой поток задан с по-
мощью полинома
<?(т) = fl! + 2a2Fo + 3a3Fo2+ ..., (6.34)
то можно рассчитать необходимые температуры в сечении изделия Tlt,
Гц, Т и температуру греющей среды Тг, определив коэффициенты
271
«j, Дэ,... в формуле (6.34) в зависимости от заданных (технологических)
условий нагрева. К таким условиям можно отнести: температуру на по-
верхности изделий в конце нагрева при заданной максимальной разно-
сти температур по сечению; заданное изменение во времени температу-
ры поверхности изделий или средней по массе температуры; оптималь-
ные значения температур греющей среды.
Отметим, что получить аналитическое решение уравнения тепло-
проводности для тел в форме цилиндра или призмы можно при допу-
щении постоянства теплофизических характеристик.
При нагреве слитков с горячего посада влияние химического со-
става стали на процесс нагрева несущественно. Это объясняется тем,
что при температуре выше 1073 К сталь большинства марок (углероди-
стых и среднелегированных) имеет аустенитную структуру, причем ко-
эффициенты X, с и а различаются незначительно. Последнее обстоя-
тельство является основанием для надежного использования в расче-
тах аналитических решений задач теплопроводности при постоянных
X, с и а.
Отметим, что и для холодных слитков нержавеющей стали
(1Х18Н9Т), не обладающей структурными превращениями типа аусте-
нитных, расчет нагрева изделий при постоянных усредненных коэффи-
циентах X и а является достаточно обоснованным. Однако при нагреве
холодных слитков углеродистой стали наблюдается значительное за-
паздывание прогрева осевой зоны вследствие поглощения теплоты
структурных превращений, в связи с чем расчет нагрева с постоянны-
ми усредненными коэффициентами X и а может быть использован лишь
для ориентировочной оценки продолжительности нагрева при задан-
ном температурном графике печи.
Ниже рассматривается нагрев пластины, цилиндра и параллеле-
пипеда, обладающих начальной неравномерностью температурного
поля [5]. Также приводятся примеры, иллюстрирующие предлагаемые
методики.
6.2.2. Нагрев пластины
Рассмотрим задачу о двухстороннем нагреве заготовки (листово-
го слитка), имеющей форму пластины толщиной 25. Полагая, что поле
температур изменяется лишь вдоль координаты х, сформулируем зада-
чу в виде следующей системы уравнений:
эт Э2Т ^ = 0,x = ±S; дх (6.35) (6.36)
дТ Х— = ?(т),т = 0; дх (6.37)
272
Т=Лх).
(6.38)
Решение (6.35)...(6.38) имеет вид
nX.Fo) = Ф11ач (X, Fb)+f<7</Fb+[<?</Fb+
о о
+2^Ecosjtfe-',VFO Je"VFo (-ly^o', (6.39)
л=1 0
где X=xlS; Fo = atlR2; Ф1|ач(Х,Е>) = J/(X)<Zx+2^c°smtXe""2“2R>x
О «=1
1
х J/(X)cosmcXJx.
о
Поглощаемый поверхностью тела тепловой поток представим в
виде ряда по степени критерия Фурье:
(6.40)
В результате выражение (6.39) примет вид
Т(Х,Ро) = Фнач (X,R»+£a„Fo" +
1
+Z«„2«Z(-1)” cosnXe-"2’1R’ Je"VR’’ FcT'jFo.
1 Л=1 о
В частности, для средней плоскости (X = 0)
T(0,Fo) = ®Ha4(0,Fo) + f a„,(Fo"' +
(6.41)
(6.42)
где А„ =2m£(-l)”e-":"!R,P"VR,'Fo'”lrfFo.
л=1 о
На поверхности пластины (X = 1)
ЩРо) = Ф„ач (l,Fb) + f a„,(Fom + C„,(Fo)),
где C„(Fo) = JZ’2R> Fo~“dFb .
Температура на расстоянии S/2 от поверхности пластины опреде-
ляется выражением
(6.43)
T(V2,Fo) = Ф„ач (1/2.Fo) + Z«„,(Fbm + Bm(Fo)), (6.44)
I
273
oo Fo
где Bm(Fb) = 2л«Х (-1)"е “4"2"2р° f e4"2"2^ Fo'^'c/Fo'.
Средняя по массе температура пластины
_ _ н>
T(Fo)=T(0) + J?rfFo'
О
или
8.8 1
3
о о
_ _ m
T(Fo)=nO) + £amFom.
I
(6.45)
Итак, по формулам (6.42)...(6.45) можно определить температуры
в наиболее характерных точках сечения пластины, среднюю по массе
температуру и поглощаемый тепловой поток, если режим нагрева за-
дан с помощью коэффициентов ат.
Очевидно, что чем больше взято членов рада (6.40), тем точнее
будет описан процесс теплопроводности в пластине, однако при исполь-
зовании большого числа членов рада решение достаточно громоздкое.
Как показал анализ, во многих случаях монотонного, без скачков, изме-
нения температуры нагреваемых изделий в расчетах можно ограничить-
ся двумя-тремя членами рада (6.40), используя соответственно два-три
технологических условия для определения коэффициентов а2, а3.
В табл. 6.3 приводятся значения функций Am(Fo), Bm(Fo), Cm(Fo) в
широких пределах изменения критерия Фурье при т = 1,2, 3. Зная из-
менение во времени удельного теплового потока q и температуры по-
верхности пластины, можно рассчитать изменение температуры грею-
щей среды. Так, при теплообмене излучением
£
? ? ? ? ? ? ? ? =? =? ?
•— TfrfsjmO'VOTfrTfrcncNOOQxcn
ТГ СП О ОС О — —• OO xf 00 г -«
cncNTtsOr-V-isOCNvOOx — СЧ СП
inocn»nooo — счечсчспспсп
—< ГЧ СЧ ГЧ СЧ СП СП СП СП СП СП СП СП
о о* о* о оооооооо о
I ( Т А4
Т = 10(М-4-+
Vio’o 1100 J
Рис. 6.8. Графики для опре-
деления функции выравни-
вания начальной неравно-
мерности температурного
поля в пластине
£
cn^^oxcnmxor-
О'ООЧЭ’ЛХО’О'О
§ g g_ з з з з । । । । । । । । । 1 । । 1
? ? ? ? ? ? ? ?
? Ч ? =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
°- °- °- -- -• - -• - - - -
aSPSSiSSSS!gSS88SSS88§S
О О О — — N П СП СП Tt М О (N Tf \Q М О
о о о о о о о о о о о о о о о — — — — —*
274
275
Функция Фнач учитывает влияние начальной неравномерности тем-
пературного поля в пластине. В частности, при задании начального
распределения в виде параболы
ДХ) = Тп(0)-ДТ(0)(1-Х2)
функция Фнач принимает вид
Фнач( A",Fo) (X,Fo) = Т(0) + Д^(0)$„(У,РЬ),
где Sn(y,Fb)=4£^-cosn7tXe’',!’'!Fo.
Л=1 П Я
На рис. 6.8 представлены графики функций Sn при нескольких зна-
чениях X = x/S.
6.2.3. Нагрев цилиндра
Задача определения температурного поля в неограниченном кру-
говом цилиндре радиусом R при его равномерном обогреве формули-
руется так:
(б46)
dFo Эр2 р Эр
iL = 0, р = 0;
др
р=1;
др
^ = ^нач(р)> ^ = 0,
(6.47)
где Fo = ат//?2; р = г//?; q = qRIX .
Решение (6.46), (6.47), полученное с помощью интегрального пре-
образования Ханкеля, имеет вид
ЛР.ГЪ) = 2JрТ^ф + 2fg<ZFo+2i JpWo(щр)др +
0 О л=1 -*0 ) о
+22-77ПJe gdFo’
п=\ Wn) о
где - корни уравнения /jQi,,) = 0.
Допустим, комплекс q представлен в виде полинома по степеням
критерия Фурье
9 = Е'иатр°т’' > (6.48)
1
276
а начальное распределение температур по сечению слитка задано па-
раболой второго порядка
7’нач(р)= ГП(О)-ДТ„,(О)(1-Р2)- (649)
где ДД(0)=Тп(0)-Тц(0).
После несложных преобразований с учетом формул (6.48) и (6.49)
получим
Др, Fo) = 7(0) + Д£(0)ЗД, Fo) + 2% amFom +
1
+Z Z°(g"P)' e->1"iF° f e^Fo^'jFo, (6.50)
I n=l A)(Mti) о
где функция влияния начальной неравномерности Su(p,Fo) =
_ у g-p>-Fo представлена графиком (рис. 6.9) зависимости от
Л=1рл /0(рл)
безразмерных величин р и Fo.
Из решения (6.50) находим температуру на поверхности цилиндра,
на оси симметрии цилиндра, а также среднюю по сечению температуру:
Д1,К>) = 7(0) + Д^(0)Su(l,Fo) + 2%amFom + tamNm(Fo); (6.51)
1 1
Рис. 6.9. Графики для определения функции выравнивания начальной неравномернос-
ти температурного поля в цилиндре
277
§.
ЛЗ
1.
s
n
<N ТГ
8 8
8
en
OOOOQOSOOOeOOOOOQOaOOOMOOOOQO
°!^C^59£200^'’“00\00oooooooooooooooooooooooooooo
-вЗ©ОООООСЛООспООГ'Г'Г'Г'Г'Г'Гч'Г'Г'Г'Г'Г*‘Г*‘Г>*Г**Г**
§2"““£^Ч2°0О^1^1О1^>Ои~)Ои~)Ои~)Ои~)О1^О^О^
о о о о q q - - - n n n tj tj- iq m \o > > » » о
??????????????????» 7 f ? ? ? ?
278
HO.Fo) = T(0) + Ay„(0)Su(0,Fo) + 2£aMR>” + f a„, M„,(Fo), (6.52)
1 I
T(Fo) = 2j 7jWp = T(0) + 2£a„,Fo’", (6.53)
0 I
где
«о Fo
7V„,(Fo) = f e^Fo'"'1 JFo, (6.54)
ЛМ 0
A/m(Fb) = 2mi^-^-fXF°FoBHl^o. (6.55)
л=1 A) (H,1) 0
Сравнивая формулы (6.51)...(6.55), можно сделать вывод, что функ-
ции Nm и Мп выражают отклонение температуры на поверхности и оси
цилиндра от средней по сечению.
Значения функций Nm и Мп в широких пределах изменения крите-
рия Фурье для трех значений т = 1, 2, 3 представлены в табл. 6.4.
Таким образом, задаваясь коэффициентами а^, а3 (исходя из
технологического процесса) и начальным распределением температур,
по формулам (6.51)...(6.53) можно рассчитать изменение температур
Тп, Тц и Тъ процессе нагрева, используя рис. 6.9 и табл. 6.4.
Согласно формуле (6.48), тепловой поток, поглощаемый поверх-
ностью цилиндра,
1 т
?=-Х'иатр,0'"‘1 . (6.56)
к I
Из сопоставления формул (6.53) и (6.56) следует известное балан-
совое соотношение
ZnRqdx = nl&cydT (6.57)
или = 2^(Fo).
iZFo
6.2.4. Нагрев призмы прямоугольного сечения
Задача нахождения температурного поля в призме прямоугольно-
го сечения размерами и R2 при неравномерном начальном распреде-
лении температур математически формулируется следующим образом:
эт э2т _2э2т
—— =----г- + о —г-;
9Fo ЭХ2 ЭУ2
(6.58)
279
(6.59)
(6.60)
= ъ (*=»;
^ = -а2Г = -Ч1 (*=0)
ал Л
Э7~ _ _ — zy_i\.
эу- х-9з(Г-1).
<7 = -^ = "^ (У=0):
а Г Л
Г = Гнач(Х,У) (Fo = 0)
где Fo = ах! R?; 6 = R|//?2; X = х//?; У = y/R2.
Общее решение задачи (6.58)...(6.60), полученное методом инте-
гральных преобразований, имеет вид
I I Fo
Дх, Y, Fo) = J J THa4dXdY+ J (</, +q2+ 8(?з + </4))</Fo+
00 0
oo 2 2 I I
+ 2^cosnnXe"" K FoJJ THa4cosnnXdXdY+
л=1 0 0
+ 2£cosnmK>"8WFojj Tm4cosnmYdYdX+
m=\ 0 0
oo co , , 2 , I I
+ 4££costcXcosmic K?"('r+5*w ),rFo^THa4cosnnXcosmKYdXdY+
n=lm=l 0 q
co Fo
+2^со&тсХе~п2к2р° f ел2ж2г°((—I)"#! + q2)dFo +
л=1 о
+252 ^casmKYe-&Wtb JesWFo((-l)% +?4)dR>.
zn=l 0
Далее используем следующие допущения. Начальное распределе-
ние температуры по сечению призмы симметрично относительно оси
(X = 1/2, Y = 1/2) и задано параболоидом вида
Тнач = Ту + 4ДТ(X - X2) + 4ДТ (У- У 2), (6.61)
где ДТ= Тгр| 2 - Ту; Tppj, - температуры на середине смежных гра-
ней; Ту - температура угла призмы.
Согласно формуле (6.61), максимальная разность температур по
сечению призмы в начальный момент &ТП1 = Тц - Ту = 2&Т. Комплекс
q = qi + q2 + 5(^3 + ^4) представим в виде полинома по степеням крите-
рия Фурье
280
Я = •
1
(6.62)
Кроме того, предположим, что в процессе нагрева соотношение
тепловых потоков, воспринимаемых отдельными гранями призмы, не
изменяется, т. е. q2lqx = к2 = const; q3/qx = к3 = const; q4/qx = к4 = const. С
учетом указанных допущений решение задачи после несложных преоб-
разований можно представить в виде
р
Д X, Y, Fo) = Тнач + Д7Ц,(X, Fo) + 5П(Г, Fo)) + £а „Ж +
i р oo Fo
+ у7 +k2)c№nnXe-n^Fo jenVroFo',-'dFo+
n=i о
P oo 1
+ S£ alp Y ((-l)ra k3 + k4)ax>mp ye-82-"VR>R/-ijFo
I m=l >
(6.63)
где Fo = ax I к = 1 + k2 + 6(Xc3 + k4).
Функции Sn(X, Fo) и Sn(K, Fo) определяются графиками (см. рис. 6.8)
в зависимости от безразмерных величин X, У, Fo.
Из решения (6.63) можно получить выражение для температуры в
наиболее характерных точках сечения:
посередине грани призмы (X = 1, Y = 1/2)
T(l,l/2,Fo) = Г(0) +A7'(Sn(l,Fo) + Sn(l/2,Fo))+J^Fo" +
1
Л f C/FoHM/FoRS^ + ^B/Fo)^
+Xa,|Fo' ---------r-^-k-------£--j;
на оси призмы (X = 1/2, Y = 1/2)
7U/2,l/2,Fo) = T(0)+Ar(sn(l/2,Fb) + Sn(l/2,Fo)) + XapFo'’ +
' (l + ^)Bp(Fo) + 5(^+^)Bp(Fb)
Л+ &
причем функции Ap, Cp определяются выражениями:
A. = 2р^(-1)"е-"2я2го J e'^'^Fo'”1 JFb;
n=l о
Bp =2p^(-W'<^n2*‘Fo Je4"2’?FoFd'’-'rfFb;
/1=1 0
281
©о Fo
С. = Zp^e-"2^\e"Vr°?op-'dFo.
л=1 о
Значения функций Ар, Вр, Ср представлены в табл. 6.3 в широких
пределах изменения критерия Фурье при т = 1,2,3.
Отметим некоторые особенности полученного решения.
Изменение средней по сечению призмы температуры определяется
формулой
11 - - X
F(Fo) = J J TdXdY= Т(0) + £apFo/’ . (6.65)
00 I
Результаты сопоставления формул (6.64) и (6.65) свидетельствуют
о соблюдении балансового соотношения
(?i + 41) + Д (?з + ?4) = Д (6.66)
или _
_ _ ч dT
^+^2+5(^з+^4) = -^-.
ого
Согласно формулам (6.65) и (6.66), коэффициенты ат (или др) оп-
ределяют изменение средней по сечению изделий температуры и могут
быть найдены при решении обратной задачи, если задать изменение а
в виде полинома.
Однако возможны и другие способы задания коэффициентов ат
(или ар). Например, используя формулу (6.64), можно задать изменение
в процессе нагрева температуры посередине грани и по температуре
для трех значений критерия Фурье определить коэффициенты д2» л3,
решив систему трех линейных уравнений.
Чем больше взято членов ряда (6.62), тем большему числу условий
могут удовлетворять результаты расчета.
Как показал анализ, при монотонном, без скачков, изменении тем-
пературы изделий удовлетворительное описание процесса достигается
при двух-трех членах ряда (6.62), т. е. могут быть учтены два или три
технологических условия. В соответствии с этим значения расчетных
функций даются в табл. 6.3 и 6.4 для т = 1, 2, 3.
6.2.5. Нагрев прямоугольного параллелепипеда
Температурное поле в прямоугольном параллелепипеде с разме-
рами сторон /?ь /?2, /?3 (рис. 6.10) при его нагреве тепловыми потоками
<?2’ — <7б’ изменяющимися во времени, определяется выражением
n Fo
Д У, Г, Fo) = Ф|1ач (У, У, Fo)+“ J + q2) + 8/ft + <7д) +
л о
282
Рис. 6.10. Схема распределения те-
пловых потоков на поверхности
тела, имеющего форму параллеле-
пипеда
+5,(^5+^б))^0 +2“ jtcosjntte л”’с”Бо Jел’к2ро {(-1)л^ +^2)dFo +
л=1 о
+2^й,,£со8ШсУе~5/! п Fo((-l)nq3 + q4)dFo +
Л Л=1
n - FO
+ 2 J е5?"2^0' ((-1)лд5+q6)dFoi (6.67)
Л Л=1 о
гдеХ = х/Я1; Y = y/R2; Z = zlR3; Fo = aT/flf; Ьу =Я1/Я2; 6, = RJR3.
Решение (6.67) мало пригодно для практических расчетов из-за
своей громоздкости. Однако оно значительно упрощается, если пред-
положить, что в процессе нагрева соотношение тепловых потоков, вос-
принимаемых отдельными гранями, не изменяется, т. е. q2lq3 = ^ = const;
^3/^i = к3 = const и т. д.
Если обозначить относительное (суммарное по всем граням) количест-
во теплоты, поглощенной телом в единицу времени, через Q (Fo), то
e(R>) = £*2I(Fb), (6.68)
где Yik = (l + k2)+by(k3 + kll)+b,(k5+k6).
Величину Q (Fo) можно представить с помощью ряда по степеням
критерия Фурье
6(Fo) = X"MmFo'”_| . (6.69)
I
С учетом выражений (6.68) и (6.69) температура в точке (X; У; Z)
параллелепипеда
Д X, Y, Z, Fo) = Ф11ач (X, Y, Z, Fo)+f amFom +
I
+ £аш2л/£((-1)л + к2)cos mtXe ~n n Fo |ел’ж’1Ъ x
л^к i n=i ' о
283
xFo” ' JFo +5 г£ат2га£((-1)'Чз +&4)cosw7tK? 5,л K Fo x
1 л=1
x /е5‘л K Fo Fo” }dFo+b2^atn2niX,((-{)nk5 +
0 1 л=1
Fo \
+ fcJcos™2r5-WFo Je5?/,VFo Fo'”"’
о J
(6.70)
Сравнив выражение (6.70) с решением (6.41), можно заметить, что
“наложение” температурных полей в параллелепипеде осуществляется
путем сложения соответствующих температурных критериев неограни-
ченных пластин, пересечением которых образован параллелепипед.
Из формулы (6.70) также следует, что все три слагаемых, отражаю-
щих передачу теплоты в направлениях х, у, з, совершенно идентичны
по своей структуре. Это дает возможность определить температуру в
наиболее характерных точках параллелепипеда с использованием функ-
ций Am, Вт, Ст, представленных в табл. 6.3.
6.2.6. Примеры расчетов
Пример 6.1. Рассчитать нагрев слитка квадратного сечения (А = 0,575 м) массой 4,5 т
из нержавеющей стали 1Х18Н9Т в ячейке нагревательного колодца. Средние значения
коэффициентов тепло- и температуропроводности примем следующими: X = 25,6 Вт/(м-К),
а = 0,018 м2/ч. На основании измерений температуры в слитке можно приближенно
выразить отношение тепловых потоков, воспринимаемых отдельными гранями слит-
ка: к2 = q?/q\ = 0,9; к3 - q-j/q^ = 0,9; кА = q^lq^ - 0,8, причем наибольший тепловой поток q\
воспринимается гранью слитка, обращенной к факелу.
Решение. При расчете полагаем заданным изменение температуры слитка
посередине грани, обращенной к факелу (из экспериментальных данных). При этом
определится изменение температур на оси слитка, на середине грани, обращенной к
стене колодца, средняя по массе температура и температура греющих газов.
Задать изменение во времени температуры поверхности слитка (посередине гра-
ни, обращенной к факелу) можно, используя два или три члена суммы в формуле (6.69),
по двум или трем полученным в опыте значениям температуры.
Ниже приводится сравнение результатов расчета при т = 1, 2 и т = 1, 2, 3. Для
случая т = 1, 2 используем значения температуры на грани Т ' при т = 3,5 ч (Fo = 0,2)
Тгр = 1278 К, при т = 5,3 ч (Fo = 0,3) = 1498 К.
Согласно формуле (6.64), при 8у = 5. = 1 , Тнач = 273 К, m = 1,2 получим систему
уравнений
Fo,+a2FoJ +^-(С1(Ро1) + А2/1|(Ро|) + (Аз+ A4)5,(Fol))+
Ък
+ ^^-(C2(Fb,) + A2 Л2(Ро,) + (Аз+A4)52(Fo,))= 1005;
a,Fo2 + a2Fo2 +^-(Cl(Fo,) + A,4(Fo,) + (Aj +A4)5l(Fb2)) +
2л
+-^гг(С2(Ро2) + А2Л2(РЬ2) + (Аз + А4)Д2(Ео2))= 1255.
Ък
284
Подставляя в эти уравнения значения функций В, С при Fo, равном 0,2 и 0,3, из
табл. 6.3, а также к2 = к3 = 0,9, к4 = 0,8, = 3,6, получаем систему
0,23364а ]+0,0517а2 = 1005;
0,33419а,+0,10833а, = 1255,
откуда aj = 5476, а2 = -5309.
При использовании трех членов суммы в формуле (6.69) составляем систему трех
уравнений с дополнительным условием: 7'гр = 1563 К при т = 6 ч 12 мин. В результате ре-
шения находим: а[ = 5198; а2 = -2705; aj = -5880.
В табл. 6.5 приводятся результаты
расчета температуры посередине граней
1 и 4, средней по массе температуры и тем-
ператур на оси симметрии слитка при ис-
пользовании как двух, так и трех членов
суммы (6.69). Как видно из табл. 6.5, при
использовании двух членов суммы (6.69)
температура в начальной стадии нагрева
(Fo < 0,2) получается несколько занижен-
ной. Однако отклонение не превышает
2...3%, что подтверждает возможность ис-
пользования двух членов суммы (6.69) при
монотонном, без скачков, изменении фик-
сируемой температуры (например, темпера-
туры поверхности слитка).
На рис. 6.11 показаны результаты
расчета температур на оси слитка и посе-
редине его грани, обращенной к факелу,
в сравнении с экспериментальными дан-
ными. Очевидно, что расчетные значения
температур слитка <1 греющей среды удов-
летворительно согласуются с опытными
данными.
Подсчитывали также тепловой по-
ток, поглощенный гранью 1 слитка, и тем-
Рис. 6.11. Результаты расчета нагрева слит-
ка из нержавеющей стали 1Х18Н9Т массой
4,5 т (А = 0,575 м):
------ расчет; -о-о- эксперимент
Таблица 6.5
Результаты расчета температур в характерных точках сечения слитка
Fo Trpi.K Tip4,K Г, К Та, К
m = 2 т = 3 т = 2 т = 3 т = 2 т = 3 т = 2 т = 3
0,05 658 648 589 582 534 525 328 325
0,1 907 900 814 808 768 760 576 569
0,2 1278 1279 1175 1180 1157 1157 1003 1016
0,3 1528 1528 1447 1434 1434 1432 1330 1331
Таблица 6.6
Результаты расчета температур слитка, греющей среды и
теплового потока
Fo | | Trpi. К | ф, Вт/м2 | Гоем = Тг. К
0,0 300 67 900 1281
0,05 658 61 300 1291
0,1 907 54 800 1313
0,2 1278 41 500 1445
0,3 1528 28 800 1601
285
пературу греющей среды (печи):
X dT X г- ni-i
(6.71)
(6.72)
где о = 2,3 10"8 Вт/(м2К4). Результаты расчетов приведены в табл. 6.6.
Пример 6.2. Рассчитать нагрев слитка углеродистой стали в камере нагревательного
колодца. Размер поперечного сечения слитка А = 0,6 м, коэффициенты X = 32,6 Вт/(м К),
а = 0,0225 м2/ч, о = 2,6-10"8 Вт/(м2 К4). Начальная температура слитка 273 К, соотно-
шение тепловых потоков, воспринимаемых отдельными гранями, определяется коэф-
фициентами &2 = = 0,9 и к4= 0,8.
Решение. В предыдущем примере коэффициенты аь а2 находили через задан-
ные (для двух или трех моментов времени) значения температуры поверхности слитка.
В данном примере для определения коэффициентов аь а2 используются значения тем-
пературы на оси и посередине грани слитка в момент окончания нагрева: Т1р1 (ткон) =
= 1573 К, Гц (ткон) = 1553 К. Продолжительность нагрева ткон примем равной 16 ч,
тогда
Fo=«^= 0,0225 16 =
Л1 0,62
Система уравнений для определения коэффициентов аь а2 принимает вид (с уче-
том выражения (6.64))
«I +14 +тт(С,(1)+0,84(1) +1,8В,(П)+
3,6
+ ^(Q( 1) + 0,8 4(1) +1,84(1)) = 1300;
3,6
la, + l2a2 +а,Д(1) + а2Вг(1) = 1280,
откуда
1,0347а,+ 1,0669а2 = 1300;!
0,9583а,+0,9191а2 = 1280.J
Решая последнюю систему, находим: а] = 2400, а2 = -1100.
Используя значения ah a2, определяем температуры, изменяющиеся в процессе
нагрева.
Средняя по массе температура слитка
T(Fo) = Ттч +a,Fo+a2Fo2,
температура на оси слитка (X = Y = 1/2)
Тц (Fo) = T(Fo)+a, 5, (Fo) + a2 B2 (Fo),
температура посередине грани, обращенной к факелу,
TP,(Fo) = F(Fo)+-^(C,(Fo) + 0,8/l,(Fo) + 1.8B,(Fo))+
3,6
+ ^.(Q( Fo) + 0.8 4(Fo) +1,84( Fo)).
3,6
температура угла слитка (X = Y = 1)
286
7J(Fb) = T(Fb) + -£Ч(1 + 4,)C,(Fb) + (*, + 44)4(Fb)) +
3,6
+ tM(1 + *2)Cz(Fb) + (*, + *4) 4> (Fo)).
3,0
Кроме того, подсчитывали тепловой поток (по формуле (6.71)) и температуру
греющей среды (по формуле (6.72)). Результаты расчетов приведены на рис. 6.12. Как
видно из рисунка, при ткон = 16 ч нагрев происходит при сравнительно низкой темпе-
ратуре греющей среды, не превышающей 1600 К. Максимальная температура на по-
верхности слитка достигается в момент окончания нагрева, а разность температур по
сечению (Т1т - Тц) не превышает 260 К.
Выясним возможности сокращения
режима нагрева до 8 ч Решая соответст-
вующую систему уравнений, находим
(ткон = 8 ч): eq = 5170, а2 = -5160. При
таких значениях а] и а2 рассчитаны тем-
пературы Гц, Тгр], Ту и Тг, показанные на
рис. 6.12 кривыми Б. В этом случае мак-
симальная температура греющей среды
Тг достигает 1723 К, а температура по-
верхности металла в процессе нагрева
превышает заданную конечную (1573 К).
Разность температур по сечению слитка
в начальной стадии нагрева достигает
530 К. Если указанные характеристики не
вызывают опасений за нарушение сплош-
ности металла или оплавление огнеупо-
ров кладки печи, то можно выполнить
еще один проверочный расчет, снова
уменьшив полную продолжительность
нагрева.
Рис. 6.12. Расчет нагрева слитка из угле-
родистой стали в камере колодца
Пример 6.3. Исследуем нагрев стальных слитков размером R горячего посада в
камере нагревательного колодца. Исходные данные будем выбирать применительно к
слиткам из углеродистой стали, нагреваемым до конечных температур: - 1553 К,
(7’ц)кон=1513К.
Начальное распределение температур в слитках характеризуется обратной не-
равномерностью, т. е. Тц> Трр > Ту, причем принимали: 71(0) = 1073, 1123, 1173, 1223 К
при АТ0 = 70 К. В расчетах изменяли время нагрева при FoKOH = / Я2 = 0,8, а также
значения комплекса Х/(СЯ), т. е. Х/(С7?) = 20,30,40,50,60 К3. Указанные значения комплек-
сов FoKOH и Х/(С/?) соответствуют случаям нагрева слитков размером от 600 до 1000 мм
при теплопроводности стали X = 23,3...46,5 Вт/(м-К) и коэффициенте лучеиспускания
С - 1,7...2,9 Вт/(м2 К4). В качестве технологических ограничений принято задание тем-
ператур в конце нагрева
(7'п,)КОн=1280К;1
(Ти )кон = 1240 К. J
(6.73)
Выражения для температур посередине грани и на оси слитка имеют вид:
т„ = т+ДТ(О)[ s;,(i.Fo) + I+
+ уа1^(4 +С|) ++С2)+^2
(6.74)
Ти = 7 + 2AT(0)S„(l/2, Fb) + а, Д + а2Д2.
(6.75)
287
Полагая, что распределение температур по поверхности (по грани) слитка может
быть описано параболой второй степени, находим
Г^ = Тф+(Т,-Гф)/3. (6.76)
Удельный тепловой поток, поглощаемый поверхностью слитка, рассчитывается
по формуле
q= — (a,+2a2Fb). (6.77)
R
Изменение температуры греющей среды
Условия (6.73) приводятся к следующему виду:
„ . 4(P°k«<)+C2(R>k«.) . ^l(F°K«<)Y
----------+-----~г--J +
Г с/, 2 , Л(рОкон ) + С2 (Fo «н) ^(FOkoh)^-
+ a2^FoKOH +------------------+----------J -
= 1280- Т(0) - АЦ0)(5п (1/2, Fo^) + (1, Fo^.));
ai(Fo™ + Д(Роин)) + а2(ро™ + B2(Fo™)) =
= 1240- T(0)- 2AnO)S(l/2,Fo™). (6.79)
Решив уравнение (6.79), можно найти коэффициенты а! и a2, которые затем ис-
пользуются при расчете по формулам (6.74)...(6.78) значений Т^, Тц, Тп, q и Тг при
промежуточных значениях критерия Фурье.
Результаты расчетов представлены на рис. 6.13...6.15 в виде зависимости темпе-
ратур Т^р, Тц, Т„, Тг от критерия Фурье и комплекса M(CR). Из рисунков можно сде-
лать следующие выводы:
1) температура на оси слитков вначале падает, при Fo = 0,1...0,15 достигает мини-
мума, после чего начинает возрастать; температура поверхности слитка непрерывно
возрастает;
2) температура греющей среды вначале возрастает, достигает максимума при
Fo = (0,2...0,33) FoKOH, после чего начинает убывать; стадия снижения температуры грею-
щей среды соответствует процессу выдержки слитка; температура поверхности слитка
(средняя) при этом изменяется незначительно;
3) повышение начальной температуры слитка приводит к снижению температуры
греющей среды при одинаковых значениях А/(С/?); так, например, при Fo = 0,8 и 'kf(CR) =
= 40 К3 максимум температуры греющей среды составляет: 1653 К при Т(0) = 1123 К,
1639 К при Т(0) = 1173 К, 1623 К при Т(0) = 1223 К. Аналогично при FoKOH = 0,6 и А/(С/?) =
= 40 К3 максимум температуры греющей среды составляет: 1753 К при Т(0) = 1123 К,
1723 К при Т(0) = 1173 К, 1703 К при Т(0) = 1223 К. Следует отметить, что прираще-
ния температур греющей среды пропорциональны увеличению комплекса Л/( С/?);
4) сокращение длительности нагрева слитков до необходимого уровня темпера-
тур вызывает увеличение температуры греющей среды, необходимой для обеспечения
заданного режима нагрева.
В ряде случаев температура греющей среды превышает допустимый предел по
условиям огнеупорности материалов, используемых для кладки печей. Это говорит о
том, что время нагрева слитков выбрано чрезвычайно малым. О том же свидетельству-
ет повышение температур поверхности металла сверх допустимых пределов в отноше-
нии перегрева и пережога стали.
288
Рис. 6.13. Расчет нагрева стальных слитков квадратного сечения при горячем посаде и
FoKOH = 0,8, ДТнач = 70 К, Гнач= 1123 К
/773
1073'----------------------------------------------------------------
0 0J 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8
Fo ---------
Рис. 6.14. Расчет нагрева стальных слитков квадратного сечения при горячем посаде и
FoKOH = 0,8, ДТнач = 70 К, Тнач= 1173 К
Графики, приведенные на рис. 6.13...6.15, могут быть использованы для опреде-
ления продолжительности нагрева и температурного графика печи при нагреве горя-
чих слитков, параметры которых укладываются в изученных пределах FoKOH и Х/(СЯ).
Порядок расчета: выбирают размер слитка (средний по высоте), коэффициент
теплопроводности стали (средний в интервале температур нагрева) и коэффициент из-
лучения (как функция времени или температуры газов и поверхности слитка); выбира-
19. Зак. 5040. 289
Рис. 6.15. Расчет нагрева стальных слитков квадратного сечения при горячем посаде и
FoKOH = 0,8, ДТнач = 70 К, Тнач = 1223 К
ют конечное время нагрева и подсчитывают значение FoKOH = «ткон/Я2, а также ком-
плекс M(CRY, по графикам, приведенным на рис. 6.13...6.15, при заданной средней по
сечению начальной температуре строят график изменения температур Тп, Т^, Тц, Тг.
Если значение АД СТ?) не совпадает со значениями, приведенными на рис. 6.13...6.15, то
либо округляют значение АД СТ?) до ближайшего из приведенных, либо строят темпера-
турные графики для ближайших значений полученные графики изменения тем-
ператур Т„ и Тг сопоставляют с допускаемыми как по стойкости огнеупоров, так и по
возможности горелочных устройств печи. В случае несоответствия указанных величин
расчет повторяют при новом значении FoKOH вплоть до получения нужных результатов.
Отметим, что расчет по описанному способу выполняют при переменных значе-
ниях коэффициента излучения, который в процессе расчета может корректироваться в
соответствии с температурой газов и температурой поверхности слитка. При этом пе-
ресчитывают комплекс АД С/?), а температуру греющей среды находят по другой кри-
вой, изображенной на рис. 6.13...6.15.
6.2.7. Сопоставление результатов расчета
с опытными данными
Рассмотрим нагрев слитка из стали 45 в ячейке колодца. При про-
ведении опыта в слиток массой 6,2 т в процессе остывания в изложнице
после разливки вмораживалось 3 защитных чехла из кварца и графита,
причем кварцевый (наружный) чехол был запаян снизу. Нижние закры-
тые концы чехлов в процессе заливки находились на оси слитка и вбли-
зи стенок изложницы на расстоянии примерно 50 мм. В образованные
чехлами отверстия при посадке горячего слитка в ячейку колодца вво-
дили термопары, с помощью которых измеряли температуру в процес-
се нагрева. Через 1 ч 40 мин после начала нагрева все три термопары
вышли из строя. Полное время нагрева слитка составило 4 ч, темпера-
тура поверхности слитка, обращенной к факелу, измеренная с помо-
щью оптического пирометра, была равна 1573 К.
Для определения наиболее важных температур в слитке в процессе
нагрева использовали температуры, полученные в результате экспери-
мента: Тгр = 1463 К через 1 ч 40 мин (последнее показание термопары у
290
поверхности слитка, обращенной к факелу) и = 1573 К через 4 ч (по
показаниям оптического пирометра).
По этим значениям температуры были найдены коэффициенты oq
и а2 путем решения системы уравнений:
TXOJ + oqFb! 4-a2Fo[ 4-^-(C1(Fo1)4-^24(Fo1)4-(Z:3 + МА(^1)) +
+g-(C2 (R>1) + k2 A2 (Fbt) + (k3 + k4)B2 (R>!)) = 1463 K;
Т(0)+а!ро2+а2Бэ2 +^r-(C|(Fb2)+fc24(Fb2)+(fc3 + A:4)B1(Fb2))+
+^-(Q (Fo2) + k2 A, (Fo2 )+(k3 + k. )B2 (Fo2 )) = 1573 K.
Критерий Фурье связан с временем соотношением Fo = 0,02т/0,682 =
= 0,0433т, причем за начало отсчета принят момент т = 32 мин от начала
посада, когда все 3 измеренные температуры Т(0) были одинаковы и рав-
ны 1253 К. Было принято: к2 = 0,8; к3 = к4 = 0,9; Ik = 1 + 0,8 + 2 0,9 = 3,6.
Систему двух уравнений решали при указанных значениях для
Fo| = 0,05 (т = 1 ч 09 мин) и Fo2 = 0,15 (т = 3 ч 28 мин). В результате
решения было получено: oq = 3228, а2 = -8659.
Затем рассматривались температуры в слитке:
Т = Т(0) ч-о^Роч-о^Ро2;
Тц = T+alBl(F6) + a2B2(Fo);
= T+-^(CI(Fo) + 0,8/l1(Fo) + l>8A(Fo)) +
+^(С2 (Fb) + 0,8 4 (Fo) + 1,85г (Fo));
3,6
= T+^(^1(R>) + 0,8C1(Fo) + l,8Bl(Fo)) +
3,0
+^(A2 (Fo) + 0,8Q(Fo) + 1,8Вг(РЬ)).
3,6
Результаты расчета приведены на рис. 6.16. Как видно из рисунка,
в начальной стадии нагрева Тц, ф и ст практически полностью
совпадают с опытными данными.
К моменту окончания нагрева температура посередине грани, об-
ращенной к факелу, составляла 1573 К, a &Тт = 7^ф - Тц = 75 К, что
соответствует имеющимся в литературе сведениям о степени прогрева
слитков массой 6,2...6,5 т.
На рис. 6.16 приведена также температура греющих газов при
108а = С = 2,9 Вт/(м* К4). Как следует из рисунка, рассчитанные значе-
291
Рис. 6.16. Изменение температур при нагреве слитков горячего посада массой 6,2 т:
-о-в-,---------эксперимент;----,--------расчет, Т^Топ - показания штатной и опытной
термопар соответственно
ния Тг на 30...70 К выше температуры печи, которая измерялась с помо-
щью импульсной термопары (в верхней части стены ячейки) и каран-
дашной термопары (в верхней части ячейки).
Проведенная позднее проверка показала, что температура грею-
щих газов на выходе из ячейки, измеренная с помощью отсасывающей
термопары, на 50... 100 К выше температуры, полученной с помощью
импульсной и карандашной термопар. Следовательно, рассчитанные
значения температуры греющих газов следует признать достаточно
достоверными.
В заключение отметим, что для нахождения коэффициентов ат
необходимо задать определенное время нагрева. Это ограничивает об-
ласть применения методики и вынуждает использовать способ подбо-
ра. В то же время указанная особенность предложенного здесь инте-
грального способа расчета делает его весьма удобным для таких про-
цессов, где время нагрева изделий до определенной температуры рег-
ламентировано, например при автоматическом регулировании тепло-
вой работы печей.
6.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАГРЕВА
И ОХЛАЖДЕНИЯ ЦИЛИНДРОВ В КОЛЬЦЕВЫХ ПЕЧАХ
6.3.1. Расчет нагрева по схеме теплового пограничного слоя
Постановка задачи. В настоящее время имеется много эффектив-
ных приближенных методов (итерационных, вариационных, мгновен-
ного регулярного режима, тепловой диаграммы и др.), которые нашли
применение в расчетах промышленных печей. Но особенно физически
обоснованным для развития приближенных аналитических методов
расчетов является перенос понятия пограничного слоя из гидродина-
292
мики в теорию теплопроводности. Действительно, при нагреве терми-
чески массивного холодного тела на первой стадии происходит его
прогрев по сечению, а затем (вторая стадия) тело “вступает” в регуляр-
ный режим нагрева, т. е. в конкретном случае реализуется прогрев всех
слоев тела одновременно.
Такая схема нагрева получила название схемы теплового погра-
ничного слоя. Необходимо отметить, что аналогичная картина проис-
ходит и прй охлаждении равномерно прогретого изделия. Этот подход
для нагрева термически массивных слитков был реализован в 1935 г.
проф. И. Д. Семикиным.
Запишем исходные уравнения в безразмерном виде:
1 Lt/i л\^0 I /1 &&
щ51 ‘ ’«5Г- ’W
=sk(i-e4n)+Bi(i-en);
£=I
эе
= 0;
0(£,О) = 0О = const,
(6.80)
(6.81)
(6.82)
(6.83)
где Fo = - число Фурье; Sk = __T^R- число Старка; Bi = -
7г Ло Хо
число Био; 0О = —; 0(£,Fo) = —— - значения безразмерных темпе-
ре *С
ратур; 6, = r/R - относительная координата.
Теплофизические свойства стали ОСВ аппроксимировали линей-
ным изменением в зависимости от температуры:
Х(7) = Х0-8хГ; М7)=ё“+5еГ, ех=^; гс=^Тс . (6.84)
^0 С0
Поставленная краевая задача (6.80)...(6.83) содержит два вида не-
линейностей: зависящие от температуры коэффициенты Х(7) и с(Т) (6.84)
делают нелинейным само уравнение теплопроводности (нелинейность
I рода); наличие радиационной составляющей поверхностного тепло-
вого потока, а также переменность X делают существенно нелинейным
граничное условие (6.81) (нелинейность II рода). Точного аналитичес-
кого решения подобные задачи не имеют. Приведем приближенные ана-
литические решения системы (6.80)...(6.83) с использованием метода
эквивалентных источников и метода уточненного регулярного этапа.
Решение методом эквивалентных источников (МЭИ). Выполним
последовательно решение поставленной задачи на инерционном и ре-
гулярном этапах (рис. 6.17) [6].
293
Рис. 6.17. Инженерная интерпретация про-
цесса нагрева (схема термического слоя):
/(т) - тспловозмущенная зона; р(т) - невозму-
щенная зона
Инерционный этап
(0<Fo<Fo0; 0< £ < (3(Fo)). При
рассмотрении процесса нагрева
на этом этапе вместо условия сим-
метрии (6.82) введем условие со-
пряжения невозмущенного и теп-
ловозмущенного температурных
полей на границе раздела:
e>(^Fo)=e; эе/э^=р(К>)=
= Эео/Э^ = 0. (6.85)
Следует отметить, что инер-
ционный этап нагрева обычно
весьма быстротечный (Fo0 « Foz).
В этот период 0„(Fo)« 1 для тел
умеренной массивности (Sk < 1),
поэтому граничное условие (6.81)
можно упростить, записав его в
следующем виде:
О + Ехв.)^- =Sk+Bi(l-en(Fo)).
(6.86)
В качестве разрешающего примем уравнение
1
a; J
(6.87)
где “эквивалентный источник”/л+1(Ро) определяется условием •
/»+i(Fo) =
1 г ех (Y
1-р(Ро)Д^ + еД,+11 К J
£x (de„ Y 1+eA эел
l + exe„ V J l+ex0„ dFo
(6.88)
Принимая в качестве нулевого приближения начальную функцию,
т. е. Ow=o=0о»и ограничиваясь первым приближением, решение постав-
ленной задачи получим двойной квадратурой уравнения (6.87) (при
п = 0) по £ с учетом условий (6.85) и (6.86):
e1(tFo) = e0+(eln(Fo)-e0)
^-p2(F0)+2p2(Fo)lnp(Fo)/^
l-p2(Fo) + 2p2(Fo)lnP(Fo) 4 ' ’
1~*~£евл+1 Эея+|
1 + ЕхОл+1 dFo
294
б|п(Го0) = е0 +
(Sk + Bi(l - 0O))(1 -p2 (Fo) +2p2 (Fo) InP(Fo))
+ 2(1 +exe„)(l -p2 (Fo))+ Bi(l-P2(Fb) +2p2(Fo)lnp(Fo)) ’
Используя граничное условие (6.81) и соотношение (6.89), устанав-
ливаем с^язь между оставшимися неизвестными функциями /i(Fo) и
P(Fo):
! e»(<l-P’<F<>>)+2P"<ro)lnP(Fo))
Л
х j_ L 8(Sk+Bi(l-e0))£x((l-p(R>))+2p2(R))lnp(R»
1 (1-р2 (R»)[2(l+£хОо) + Bi +
I I k 1-P (R>) J J
Учитывая малость стоящего перед радикалом второго слагаемого
по сравнению с единицей после разложения в ряд Маклорена с сохра-
нением первых двух членов, получаем более простое соотношение
/,(Fo) =---------------4<SktBi<1-e->> -----------.
2<1 + еЛ>(1 ~ Р (Fo)> + Bill - S! (Fo) W<R>»
Подстановка выражений (6.89)...(6.91) в условие (6.88) приводит к
дифференциальному уравнению, после упрощения которого приходим
к выражениям:
P(Fb) = l- Fo0 = ч
V ! + £<•% 8(1 + £хОо)
В момент окончания инерционного периода (Fo0) температура по-
верхности 01п (Fo0) (6.90) представляется выражением
oIn(Fo«) = e“=e0 +
Sk + Bi(l - е0)
2(1 + Ex0o) + Bi’
которое совпадает с ранее полученными аналогичными формулами для
частных случаев: Sk = 0, ех = 0, Bi * 0 и Sk * 0, ех * 0, Bi * 0.
Регулярный этап(т0<т<оо). Температурное поле цилиндра
описывается единой функцией 02 (£, Fo), начальное значение которой
должно »ыть определено из условия
02(^,Foo) = 01(^,Foo).
295
Примем разрешающее уравнение МЭИ в той же форме (6.87), по-
ложив в условии (6.88) Р (Fo0) = 0. Интегрируя выражение (6.87) (при п
=0) дважды по £ и используя граничное условие (6.81), имеем:
/2(Fo) = 2
sk(i-ejn(Fo))+Bi(i-e2n(Fo)).
1 + еЛп(ро)
(6.92)
02(^Fo) = 02n(Fo)-
Sk(l-e2n(Fo)) + Bi(l-e2n(Fo))
2(l + ex02n(Fo))
(6.93)
Заметим также, что вследствие ограничения первым приближением
индексы “1” и “2” указывают принадлежность к этапу, а не порядок
приближения.
Подставляя выражения (6.92) и (6.93) в условие (6.88) (при п = 0),
после ряда упрощений за счет пренебрежения аддитивными членами,
значительно меньшими единицы, приходим к дифференциальному урав-
нению
зр+еАИп (4Ske; + Bi)(i+ecen)rfen
Sk(l - 04n) + Bi(l - e„) (Sk(l - 04n) + Bi(l - o„))(i + e&)
(6.94)
с очевидным начальным условием
®2n(Fo0)=®ln(FOo)=®n-
Введем новую функцию
%(М2п) = 1 + П
Тогда
i-e2n(Fo)
i-eln(Fo)
Sk(i - е£п)+Bi(i - 02п) = Sk(i - е:п)х(п,02п) • (<?-95)
Авторы работы [7] считали функцию х(т|» ®2п) постоянной, отме-
чая, что возникающая при таком упрощении погрешность в определе-
нии температуры колеблется в пределах 2... 15%. Однако такое упроще-
ние приводит к решению задачи чисто радиационного нагрева. Поэто-
му для более точного учета влияния конвективной составляющей функ-
цию % аппроксимируем линейной зависимостью
Х(П,в2п) = 1 + П(1 -0,7502n(Fo)). (6.96)
Подставляя зависимости (6.95) и (6.96) в уравнение (6.94), имеем
I *? (1+есеп)^п 1 ’?• (4в^+п)(1+есепИп =
T)SkeJ. 1-е4 +3exneJ» (1-е4)(/>-еп)
= |(Fo-Fo0), (6.97)
296
, 4(1 + n)
где b = —----- .
Зц
Подынтегральные выражения представляют собой правильные
дробные функции, допускающие разложение на элементарные дроби,
что позволяет до конца проинтегрировать левую часть уравнения (6.97).
После соответствующих анализа и оценки входящих в уравнение (6.97)
членов его решение представляется следующим трансцендентным урав-
нением:
4 i .
Z* «,(ф,(02п)-ф,(в°п)) = 2(Sk + Bi)(Fo- Fo0). (6.98)
i=l ;
Здесь введены обозначения функций:
<р, =y(artli0,n(Fo) + arctg02n(Fo));
ф2 =y(arth0,n(Fo)-arctg02n(Fo));
1, l + 02n(Fo)
ф, = —In-----
4 l-02n(Fo)
(6.99)
ф4 =-^ln(l-02n(Fo));
а. = 1- (4elSk- Bi);
' 3(1 -el)
_ 4(e(.-ex).Sfc4-(l-e<.el)Bi
2 3(1-el)
4ex(ec-ex)Sk-(e<.-el)Bi
’ c 3(l-el)
_ 4(l-ecel)Sk-ec(l-exef)Bi
fl4 -
(6.100)
3(1-el)
Расчет температуры центра цилцндра, соответствующей найден-
ному времени Fo, вычисляют по следующей формуле:
0ц=у-(1-(1 +
еХ
+ ex02n(Fo))Jl+ex
Sk(l-01n(Fo)j+Bi(l-02n(Fo))>
l+ex0n(Fo)
(6.101)
20 Зак. 5040
297
Рис 6.18. Номограмма для определения
Ж)
Анализ и обобщение
приближенного анали-
тического решения. Полу-
ченное решение (6.98)...(6.101)
удобно для практического исполь-
зования, так как входящие в него
функции (6.99) допускают графи-
ческое представление (рис. 6.18)
или табулирование (табл. 6.7) не-
зависимо от исходных параметров
задачи.
Погрешность полученного
решения, как показал анализ, не
превышает 5...6%, если выполня-
ются условия:
|ех|<1; 0о<О,5; Sk+0,5Bi <(1+ехОо)(1-2Оо).
Для оценки точности полученного приближенного аналитическо-
го решения был проведен тест со следующими исходными данными:
Sk = 0,3, Bi = 0,05, ex = -0,49, гс = 1,33, 0О = 0,146. Параллельно решена
исходная задача (6.80)...(6.83) численным методом с применением ко-
Таблица 6.7
Значения функции ф/
ф|(02л) ф2(02п) фз(Озп) ф4(02п)
0,10 0,1000 0,0003 0,0050 0,00003
0,20 0,2001 0,0027 0,0200 0,0002
0,30 0,3005 0,0090 0,0451 0.0020
0,40 0,4021 0,0216 0,0807 0,0064
0,50 0,5065 0,0429 0,1278 0,0161
0,60 0,6168 0,0764 0,1884 0,0347
0,70 0,7390 0,1283 ' 0,2680 0,0686
0,80 0,8876 0,2120 0,3791 0,1317
0,85 0,9804 0,2759 0,4564 0,1845
0,90 1,1025 0,3697 0.5635 0,2669
0,92 1,1664 0,4226 0,6217 0,3151
0,94 1,2463 0,4918 0,6960 0,3795
0.96 1,3555 0,5905 0,7998 0,4716
0,98 1,5367 0,7614 0,9755 0,6391
0,99 1,7137 0,9333 1,1501 0,8085
0,999 2,2925 1,5076 1,7267 1,3804
298
1,0
Рис. 6.19. Изменение относительных температур поверхности 0п(т)и центра 0ц(т) в
зависимости от критерия Фурье Fo:
сплошные линии - по приближенному решению (6.98)...(6.100); штриховые - по данным чис-
ленного решения на ЭВМ
нечно-разностной неявной схемы. Реализация счета проводилась мето-
дом прогонки на ЭВМ. Шаг по координате взят = 0,05, по времени
AFo = 0,05.
На рис. 6.19 в графической форме представлено сопоставление
результатов расчета по приближенному аналитическому решению
(6.98)...(6.100) и численному. Очевидно, что максимальное расхожде-
ние
Д0= еакал-^нсл ,100о/о
max
не превышает 5% и наблюдается в интервале времени 0<т< 1,5. В даль-
нейшем сходимость быстро улучшается. Это подтверждает вывод о
возможности использования полученного приближенного аналитиче-
ского решения для анализа высокотемпературных процессов, протекаю-
щих в кольцевых печах.
Ниже приведен пример расчета нагрева заготовки в кольцевой печи
с использованием приближенного аналитического решения.
Размеры заготовки: диаметр 0,23 м, длина 2,0 м. Распределение температур по
зонам:
Зона 1234
г, °C 1150 1250 1220 1220
7, К 1423 1523 1493 1493
Определяем среднюю температуру печи:
= 1423+1523+14934-1493 = 14g3
Сталь ОСВ близка по химическому составу к стали 45 и характеризуется следую-
щими изменениями теплофизических характеристик:
X(7) = X0-SK7, (6.102)
5Х = 3,17 IO"2 Вт/(м-К2); Хо =42,4 Вт/(м К);
299
хо = Af) + 6ХТ = 42,4+3,17 10-2 300 = 51,9 Вт/(м-К);
ех = —Гс = 3,1719-- 1483 = 0,9058;
Ао 51,9
cz(T) = q?+6fT; 6С =0,941; =1282,3 Вт/(м3-К);
с} = с? -6fT= 1282,3-0,941-300 = 1000 Вт/(м3-К);
е = i тс = • 1483 = 1,3955;
1000
(6.103)
(6.104)
(6.105)
(6.106)
Коэффициент теплоотдачи ак для кольцевых печей принимаем равным 35 Вт/(м2 К).
Приведенный коэффициент степени черноты системы газ - кладка - металл е||рив =
= 0,22...0,23 [8]. В нашем случае примем еирнв = 0,225.
Критерий Био для заготовки диаметром 0,23 м
Bi = 35 0,1 = 0,07755. (6.107)
Хо 51,9
Критерий Старка
Sk = q°enp" if R = 5,6710 * 148З3 • 0,115 = 0,0922. (6.108)
Ao c 51,9
Подставляя значения ex, ef, Bi и Sk в систему (6.100), находим коэффициенты:
ai = 0,5205; а2 = -0,8769; а3 = 2/314; «4 = 0,15744.
Для сравнения с экспериментальными результатами [6] примем за начало отсче-
та время т = 35 мин. Определим соответствующий этому времени безразмерный крите-
рий:
. пот 0,0519-35
> =—=:---------------=
Л2 0,1152 - 60
(6.109)
При проведении расчета температуры поверхности заготовки в период 0 £ т £ т*
определяем относительную температуру ее поверхности в момент поступления в мето-
дическую зону:
7^ =623К; О; =623/1483 = 0,453. (6.110)
Расчет температурного поля осевой заготовки по средней температуре печи при
всех полученных выше исходных данных (6.102)...(6.110) проведем по решению
(6.98)...(6.101). Здесь расчет температур заготовки проведен в трех точках ее сечения:
на поверхности (г = R), в центре (г = 0) и на расстоянии от поверхности 5 = 0,0015 м
(г = R - 5), т. е. в центре зачеканки термопар для замера температуры у поверхности
металла.
На рис. 6.20 в графической форме представлено сопоставление
полученных аналитических результатов (см. табл. 6.7) с эксперимен-
тальными замерами полей температур по сечению осевых заготовок.
Результаты расчетов и замеров согласуются удовлетворительно. Ход
расчета по изложенной методике виден из табл. 6.8.
Метод уточненного регулярного этапа. В дальнейших исследова-
ниях процесса внутреннего теплопоглощения при нагреве цилиндров
использован метод уточненного регулярного этапа, разработанный в
БГПА.
300
Рис. 6.20. Нагрев заготовки диаметром 0,23 м в кольцевой печи при средней темпера-
туре среды:
1,3 — экспериментальные кривые изменения температур у поверхности и в центре; 2,4 - то же,
расчетные; 5,6- изменение температурного перепада (5 - экспериментальная кривая; 6 - рас-
четная)
Решение задачи теплопроводности получено для сплошных и по-
лых цилиндров, а также для условий несимметричного нагрева труб.
Нагрев сплошных цилиндров
Инерционный этап. Время протекания инерционного этапа
Fn - 1 + £г9<> ° 6(1+ехво) Температура поверхности 0° = 0 + Bi(l - Оо) n 0 2(1+ех0о) + ВГ Регулярный этап. Температура поверхности 6(Fo, - Fo,., )q,_{ (14- ex0n) + (з(1+ех0п+4Sk0„ + BiXi+есвп/_.) ’ где qt., =Sk(l-9j/_|)+Bi(l-6n/_|). (6.111) (6.112) (6.113)
Температура в любой точке сечения 0(^,Fo) = 0П/ _ (1 _^2). z(i + eKun,j (6.114)
301
Расчет температур осевой заготовки
Полученное приближенное аналитическое решение удобно для
практического применения ввиду простоты итоговых соотношений и
может предполагать использование ЭВМ для анализа и изучения про-
приведены результаты расчета нагрева цилиндра при лучи-
цессов нагрева.
Для оценки точности и области применения полученного решения
(6.111)...бб.114) были просчитаны примеры нагрева сплошного цилин-
дра в бе: размерных симплексах при различных значениях Sk и Bi. В
табл. 6.9
стом наг >еве, в табл. 6.10 - при лучисто-конвективном.
Вычисленные по (6.111)...(6.114) значения температур поверхно-
сти £ =
интегрирования исходной задачи на ЭВМ. Из сравнения результатов
расчета с педует, что при малых значениях числа Sk(0,25; 0,5) при лучис-
том и лух исто-конвективном нагреве наблюдается вполне удовлетвори-
тельное < огласование табличных данных. Максимальное расхождение
приведем ных результатов наблюдается в интервале времени 1,1 < Fo < 1,6
(доюо°/( --------
= 3,5...4,<)%) для Sk = 0,5.
,0) и центра (£ = 0,0) сопоставили с результатами численного
= 3,0...3,5%) для Sk = 0,25 и в интервале 0,3 <Fo < 0,8 (ДО-100% =
При значениях Sk > 0,75 максимальное расхождение в интервале
0,2 < Fo S 0,6 составляет 5,15 и 6% (по температуре центра) для Sk = 0,75
и Sk = 1,0 соответственно. Однако необходимо заметить, что в даль-
Таблица 6.9
Значения относительной температуры в точках сечения = 1,0; 0,0
неограниченного цилиндра при следующих исходных данных:
Sk = 0,25; 00 = 0,15; ех = ес = 0
Fo Температура поверхности (£ = 1,0) Температура центра (£ = 0,0)
(6.111)... (6.114) Числен- ное решение Абсолютная погрешность Д0-100% (6111).. (6.114) Числен- ное решение Абсолютная погрешность де-100%
0,2 0,3175 0,3114 0,61 0,1937 0,1922 0,15
0,3 0,3622 0,3621 0,01 0,2394 0,2390 0,04
0,4 0,4061 0,4111 0,50 0,2845 0,2881 0,36
0,5 0,4489 0,4588 0,99 0,3290 0,3373 0,83
0,6 0,4907 0,5053 1,46 0,3729 0,3860 1,31
0,7 0,5311 0,5502 1,91 0,4161 0,4338 1,77
0,8 0,5702 0,5932 2,30 0,4585 0,4806 2,21
0,9 0,6078 0,6341 2,63 0,4999 0,5258 2,59
1,0 0,6447 0,6726 2,99 0,5402 0,5693 2,91
1,1 0,6792 0,7086 3,08 0,5792 0,6109 3,17
1,2 0,7100 0,7418 3,18 0,6167 0,6503 3,36
1,3 0,7401 0,7723 3,22 0.6482 0,6827 3,45
1,4 0,7682 0,8000 3,18 0,6867 0,7216 4,49
1,5 0,7942 0,8249 3,07 0,7189 0,7533 3,44
1,6 0,8180 0,8473 2,93 0,7489 0,7823 3,34
1,7 0,8397 0,8672 2,75 0,7768 0,8086 3,18
1,8 0,8593 0,8847 2,54 0,8025 0,8324 2,99
1,9 0,8770 0,9002 2,32 . 0,8259 0,8536 2,77
2,0 0,8928 0,9138 2,10 0,8472 0,8726 2,56
303
302
Таблица 6 10
Значения относительной температуры в точках сечения £ = 1,0; 0,0
неограниченного цилиндра
Fo Температура поверхности (£ - 1,0) Температура центра (£ ^0,0)
(6.111).. (6 114) Числен- ное решение Абсолютная погрешность де 100% (6 111)... (6 114) Числен- ное решение Абсолютная погрешность Д1100%
1 2 3 4 5 6 , 7
Исходные данные: Sk = 0,25; Bi/Sk = 0,1; Bi = 0,025; во = 0,15; 1
Ед. = Ес = 0,2 1
0,083 0,283 — - — — ‘ —
0,1 0,292 0,262 3,0 0,159 0,157 <0,2
0,2 0,344 0,321 2,3 0,213 .0,195 1,8
0,3 0,395 0,375 2,0 0,265 0,245 I2’0
0,4 0,445 0,426 1,9 0,318 0,296 2,2
0,5 0,494 0,475 1,9 0,370 0,348 2,2
0,6 0,541 0,523 1,8 0,421 0,399 2,2
0,7 0,586 0,569 1,7 0,471 0,449 2,2
0,8 0,629 0,612 1,7 0,519 0,497 2,3
0,9 0,669 0,653 1,6 0,567 0,543 2,2
1,0 0,707 0,692 1,5 0,610 0,588 2,2
1,1 0,742 0,727 1,5 0,652 0,630 2,2
1,2 0,773 0,760 1,3 0,690 0,669 2,1
1,3 0,802 0,789 1,3 0,726 0,706 2,0
1,4 0,828 0,816 1,2 0,759 0,740 1,9
1,5 0,851 0,840 1,1 0,790 0,770 2,0
1,6 0,871 0,861 1,0 0,816 0,798 1,7
1,7 0,889 0,880 0,9 0,841 0,824 1,7
1,8 0,904 0,896 0,8 0,861 0,847 1,4
1,9 0,917 0,910 0,7 0,879 0,867 1,2
2,0 0,929 0,923 0,6 0,896 0,884 1,2
Исходные данные: Sk = 0,5; Bi/Sk = 1,0; Bi = 0,5; ©о = 0,15;
ел = £г = 0
0,083 0,4832 —
0,1 0,5032 0,4782 2,50 0,1728 0,1450 2,78
0,2 0,6167 0,6087 0,89 0,3085 0,2836 2,49
0,3 0,7108 0,7032 0,76 0,4525 0,4131 3,94
0,4 0,7843 0,7757 0,86 0,5687 0,5310 3,97
0,5 0,8512 0,8406 1,06 0,6697 0,6312 3,85
0,6 0,8828 0,8734 0,94 0,7442 0,7135 3,77
0,7 0,9052 0,8142 0,90 0,8173 0,7795 3,75
0,8 0,9373 0,9291 0,82 0,8646 0,8315 3,31
0,9 0,9542 0,9470 0,72 0,9003 0,8720 2,83
1,0 0,9666 0,9604 0,62 0,9263 0,9031 2,32
1,1 0,9757 0,9704 0,57 0,9461 0,9269 1,92
1,2 0,9823 0,9779 0,44 0,9609 0,9450 1,59
1,3 0,9871 0,9835 0,36 0,9714 0,9587 1,27
1,4 0,9905 0,9876 0,29 0,9786 0,9690 0,96
1,5 0,9931 0,9908 0,23 0,9844 0,9768 0,76
1,6 0,9950 0,9931 0,19 0,9888 0,9826 0,66
1,7 0,9964 0,9948 0,16 0,9920 0,9870 0,50
1,8 0,9974 0,9961 0,13' 0,9943 0,9903 0,40
Окончание табл. 6.10
1 2 3 4 5 6 7
1,9 6,9981 0,9971 0,10 0,9957 0,9927 0,30
2,0 0,9986 0,9978 0,08 0,9969 0,9946 0,23
Исходные данные: Sk = 0,75; Bi/Sk = Ел = Ес = 0 0,5; Bi =0,375; 0о = 0,15;
0,083 0,5884 - — — —
0,1 р,6092 0,5560 5,32 0,2124 0,1767 3,57
0,2 0,7267 0,6815 4,52 0,3574 0,3069 5,06
0,3 0,8119 0,7769 3,50 0,5055 0,4565 4,90
0,4 0,8595 0,8430 1,65 0,6286 0,5876 4,80
0,5 р,9043 0,8892 1,51 0,7358 0,6931 4,27
0,6 0,9349 0,9216 1,33 0,8137 0,7746 3,91
0,7 0,9556 0,9445 1.11 0,8743 0,8359 3,84
0,8 0,9698 0,9606 0,62 0,9170 0,8813 3,57
0,9 0,9793 0,9720 0,73 0,9454 0,9145 3,09
1,0 0,9859 0,9801 0,58 0,9628 0,9386 2,42
1,1 0,9903 0,9858 0,45 0,9740 0,9560 1,80
1,2 0,9934 0,9899 0,35 0,9827 0,9685 1,42
1,3 0,9954 0,9928 0,26 0,9863 0,9775 0,88
1,4 0,9971 0,9949 0,22 0,9923 0,9839 0,84
1,5 0,9980 0,9964 0,16 0,9946 0,9885 0,61
1,6 0,9986 0,9974 0,12 0,9963 0,9918 0,45
1,7 0,9990 0,9981 0,09 0,9974 0,9942 0,32
1.8 0,9993 0,9987 0,06 0,9981 0,9958 0,23
1,9 0,9995 0,9991 0,04 0,9987 0,9970 0,17
2,0 0,9996 0,9993 0,035 0,9991 0,9979 0,12
Исходные данные: Sk = 1,0; Bi/Sk = 0,1; Bi = 0,1; во = 0,15;
Ex = Ес = 0
0,083 0,5860 — — — — —
0,1 0,6101 0,5667 4,34 0,1782 0,1601 1,82
0,2 0,7448 0,7227 2,21 0,3629 0,3185 4,44
0,3 0,8354 0,8166 1,88 0,5397 0,4800 5,97
0,4 0,8938 0,8767 1,71 0,6745 0,6183 5,62
0,5 0,9313 0,9163 1,50 0,7788 0,7257 5,31
0,6 0,9555 0,9428 1,27 0,8486 0,8054 4,32
0,7 0,9710 0,9608 1,02 0,9041 0,8631 4,10
0,8 0,9811 0,9730 0,81 0,9436 0,9042 3,94
0,9 0,9876 0,9814 0,62 0,9620 0,9332 2,88
1,0 0,9920 0,9872 0,48 0,9766 0,9535 2,31
1,1 0,9946 0,9911 0,35 0,9838 0,9677 1,61
1,2 0,9965 0,9939 0,26 0,9893 0,9776 1,17
1,3 0,9977 0,9958 0,19 0,9930 0,9845 0,85
1,4 0,9985 0,9971 0,14 0,9954 0,9892 0,62
1,5 0,9990 0,9980 0,10 0,9970 0,9926 0,44
1,6 0,9993 0,9986 0,07 0,9980 0,9948 0,32
1,7 0,9995 0,9990 0,05 0,9985 0,9964 0,21
1,8 0,9997 0,9993 0,04 0,9990 0,9975 0,15
1.9 0,9998 0,9995 0,03 0,9994 0,9983 0,11
2,0 0,9999 0,9997 0,02 0,9996 0,9988 0,08
304
305
нейшем (при Fo > 1,0) величина абсолютной погрешности убывает и к
концу нагрева составляет Д0 100% < 1%. Наибольший температурный
перепад ДО наблюдается во всех случаях при расчете по приближенно-
му численно-аналитическому решению в начальный момент времени
(когда тепловое возмущение достигает центра тела).
Таким образом, учитывая приведенные в работе [9] соображения о
конкурентоспособности аналитических решений с численными, а также
отмеченные выше обстоятельства, полученное решение (6.111)...(6.114)
можно рекомендовать для расчетов тепловых процессов, протекающих
при нагреве массивных тел в высокотемпературных печах. При этом
число Старка ограничивается пределами 0 < Sk < 1,0.
Ниже приведен пример расчета нагрева с использованием приве-
денного решения.
Пример 6.4. Выполнить расчет нагрева цилиндрической заготовки в печи, рабо-
тающей по двухзонному температурному режиму. Диаметр заготовки 2R =0,125 м; сталь 45;
видимый коэффициент передачи теплоты излучением овид = 3,0-10“8 Вт/(м2 К4); коэф-
фициент передачи теплоты конвекцией ак = 10 Вт/(м2 К); начальная температуры печи
/с = 700 °C; температура в зоне выдержки tc = 1250 °C; начальная температура металла
= 20 °C. Нагрев металла осуществляют до температуры штамповки =1130 °C.
Температурный перепад Дг = 20...30 °C.
Решение. Задаемся графиком нагрева заготовки в соответствии с двухзонным
температурным режимом. Считаем, что подъем температуры до контрольной осуще-
ствляется в течение 0,5 ч. Выдержка происходит до заданного ограничения Дг = 30 °C.
В целом задача решается методом последовательных приближений. Для упрощения
расчетов примем = ef = 0.
Находим коэффициент теплопроводности стали 45 X = 48,3 Вт/(мК). Задаемся
AFo = 0,5.
Первый шаг по времени (инерционный этап):
Skj = = 0,0625(700+ 273)3 =0,0358;
Bi = OR = 10 0.0625
X 48,3
0п =0 f Sk + Bi(l-Q0) _ 20+273
м0 ° 2 +Bi 700+273
Л 7004273,1
2 +0,0129
Fo = aQ = —; cv = 3500 кДж/(м3К); a0 = 0,72 10'5 m2/c; Fo0 = 0,083;
Л Cy
?2)=314K; ^=41 °C; гц = 20 °C; Tc = 923 К.
Второй шаг по времени (Fo = Fo0 + AFo = 0,583):
Sk 2 = • 0,0625(797 + 273)3 = 0,0475; Bi = 0,0129;
<8к(1-(е^)‘)+в>(1-е^))дро_
-- V jjA + , .. . . . -
3+4Sk(0^)’ + Bi
_ Q б(о,0475(1 -0,324)+ 0,0129(1 -0,32))p,5
+ 3 + 4 0.0475 O,323 + 0,0129 ”°’37’
306
е:. = е:,-ух(п.е:,Х'-е:,)4 =
= 0,71Л°П129 '-^У.-ОЗ/) = 0,35;
2 V 0,0475 1-0,374 '
Г fc UQ FC Г - Ч7П К- АТ- 00 к-, т - Fo/? - °’583 °’0625 - <
ZM1 = 339 К, /М1 - 370 К, Д7 = 29 К; т =-----= ————— = 5 Мин.
а0 0,72-10 60
Третий шаг по времени (Fo = 0,583 + 0,5 = 1,083):
Sk‘ =^^“ °’0625(880 + 273)3 =0’0594’ Bi = 0,0129;
б(0,0594(1 - 0,374) + 0,0129(1 - 0,37) V),5
0'Д = 0,37 + —--------------------= 0,43;
3+4 0,0594 0,37’+0,0129
= 0,43-1Д°1-29 '-^Д.-ОЛЗ^О/Ю;
2 I 0,0594 1-0,43*7 '
£ = 498К £=461КДТ=37К ^^**9 МИН.
Четвертый шаг по времени (Fo = 1,083 + 0,5 = 1,583):
Sk4 =-^у-0,0625(963+ 273)’ =0,0732; Bi = 0,0129;
б(о,0732(1 - 0,434) + 0,0129(1 - 0,43) Ъ,5
Ом3 " °’43+ 3+4 0,0732 0,37’+ 0,0129 “ °’50;
6^ = o,5O-^fl+^±^|l-O^) = O,46;
2 t 0,0732 1-0,504/ '
7^ = 619 К; £ = 573К; ДТ=46К; т = 1»583 0>06252 = 14мин>
0,72 10 -60
Пятый шаг по времени (Fo = 1,583 + 0,5 = 2,083):
Sk5 = ^-^—-0,0625(1045 + 273)’ = 0,0898; Bi = 0,0129;
4о,3
б(о,0898(1 - 0,504) + 0,0129(1 - 0,50) )о,5
0^ = 0,50 + —------------------------------= 0,58;
3 + 4 0,0898 0,50’+0,0129
2 t 0,0898 1-0^8*7 '
£ = 764 К; Щ=708К ДТ=56К; г 2-083.9-°62.52 = 18 мин.
0,72-10"*-60
Шестой шаг по времени (Fo = 2,083 + 0,5 = 2,583):
Skb = ^4Н”0,0625(1138 + 273)1 = 0,1 °68; В* =0’0129:
6(0,1068(1 -0,584) + 0,0129(1 -0,58)Ъ,5
е”5 = 0,58 + —-----------------------------1— = 0,66;
3+4 0,1068 0,58 +0,0129
ааа 0,1068 Л 0,0129 1-0,66
2 V 0,1068 1-0,664
0,62;
307
Т“, = 931К. Т“5=868К;ДТ=63К. г = У” =23 мин.
Седьмой шаг по времени (Fo = 2,583 + 0,5) = 3,083:
Sk7=^^- 0,062X1211+ 273)’= 0,1269; Bi = 0,0129;
б(о,1269(1 -0,664) + 0,0129(1 - 0,66)10,5
0" = 0,66 + -----------<— = 0,75;
1-5 3 + 4 0,1269 0,663 + 0,0129
С = 0,75 - W 1 + °’0129- 1 - °^1(1 -0,75-1 = 0,72;
2 t 0,1269 1-0,75-/ 7
7^=1173 К; 7^= 1046 К; ДТ= 67 К; т = ^^^^- = 27 мин.
м6 м6 0,72 10'5 60
Восьмой шаг по времени (Fo = 3,083 + 0,5 = 3,583):
Sk8 =^15— • 0,0625( 1250+ 273)3 =0,1371; Bi = 0,0129;
б(0,1371(1 - 0,75*) + 0,0129(1-0,75Й0,5
е:7 = 0,75+—^-------------=--------£— = 0,83;
3 + 40,1371 0,753 + 0,0129
е«7 =о,83-^fl+^±^)(l-0,83*) = 0,79;
2 V 0,1371 1-0,834/ 1
T„", = 1260K; Т“7= 1203 К; ДТ=57 К; Т- 3Д83 = 32 мин.
U./Z-IU ои
Девятый шаг по времени (Fo = 3,583+0,5 = 4,083):
Sk9 =^^“ °’0625<1250 + 273)3 = 0’1371’ Bi = 0,0129;
б(0,1371(1-0,8У) + 0.0129(1-0,8ф
* ’ 3+4 0,1371 0,833 +0,0129 * ’
= 0,89 _ ЦЩf, + О-™? -039 V _039П .036;
2 ( 0.137141-0,89“^ ’ > ’ ’
Гм"8 = 1348 К; Т^=1307 К ДТ= 41 К; т = ^3'^°6^ = 36 мин.
Десятый шаг по времени (Fo = 4,083 + 0,5 = 4,583):
3-10-”
Sk’° =_483~ 0,0625(1250 + 273)3 = 0,1371; Bi = 0’0129;
б(0,1371(1 - 0394) + 0,0129)1 - 0,89)\),5
0^ = 0,89+-------------------z------= 0,93;
3 + 4 0,1371 0,893+ 0,0129
=0,93-^fl + ^±^Vl-0,934l = 0,91;
* 2 t 0,1371 1-0,9З4 J' ’ / ’ ’
ТЛ = 1409 К; 7?о= 1381 К; ДТ= 24 К; т =-1?^М62.5 =41 мин.
м9 м9 0,72 Ю-5 -60
308
Сим.метричный нагрев полых цилиндров
В любой момент времени регулярного этапа температурное поле
6&F0) = 6nf-Sk(1 et) + B1(1 en/)(i _^2);
2(1 + еА,)
(6.115)
температура поверхности
ii= /-!
I
; XFOi-Fo,.,)
(1 - *)((1 + eA ,-i Ml + e A ,-i)+4S A + Bi)) ’
(6.116)
где к = RtfR\ Rx, R - соответственно внутренний и внешний радиусы
цилиндра, м.
Температура поверхности тела к концу инерционного этапа и вре-
мя протекания инерционного периода Fo0 определяются в соответст-
вии с формулами (6.111), (6.112), где вместо R (при определении Bi, Sk,
Fo) следует положить /?нар - 7?вн, т. е. толщину полого цилиндра.
С использованием решения (6.115), (6.116) выполним расчет на-
грева полых заготовок, применяемых в осепрокатном производстве.
Исходные данные для расчета: полая ось из стали 45; авид = 2,8 Вт/(м2К);
ак = 30 Вт/(м2К), температура посада То = 293 К; /?вн = 0,09 м; /?нар =
= 0,213 м. Результаты расчетов представлены на рис. 6.21. Здесь же на-
несена соответствующая кривая 1 (в точке а полой оси), полученная на
основании контактных замеров термопарой типа ХА с диаметром элект-
рода 0,5 мм. Сопоставление экспериментальных замеров с расчетными
(расхождение не превышает
5%) показывает вполне удовле-
творительную точность при-
ближенного аналитического
способа и возможность исполь-
зования для оперативного ин-
женерного расчета продолжи-
тельности нагрева и выдержки
при термообработке массив-
ных металлических изделий.
Рис. 6.21. Нагрев полой оси при холод-
ном посаде в печи нормализации:
сплошная линия - расчетные данные;
штриховая - экспериментальные изме-
рения; 1,2- соответственно темпера-
туры металла и греющей среды
Т
309
Несимметричный нагрев полых цилиндров
Инерционный этап. Время протекания инерционного пе-
риода
= J_ l +
°°’3 1+е^Х'* Х
1
х------. --.< -----------------------*--------
(1+е^вГ' X1+) (1+еГрх$!'рк X1+еГС*)
’+ 2^(1 + еГрх6о'₽хХ1 + е“'Жв™Ж) + )
Температуры поверхности:
верх
НИЖ
Л НИЖ Zt НИЖ !->_ \ лниж , Я
9 ’F°o)-9° +2(1+гГ0Г)‘
Регулярный этап. Температуры внутренней и наружной
поверхностей в момент времени Fo,:
дверх —дверх______6(Fo« ~ .
п/ п'-l цВерХфВерх _|_^цверх^2^верх ’
0ниж _ дниж ______6(Fot- — Fot_j)___
П' - П/-1 ^НИЖ^ЮШ+^НИЖ^уНИЖ’
(la** 'I
где ц’чж =2-ц,"ж; ц"» =-^ Д------;
лниж „верх
зИ”6"Д).
• _вепх ’ • _ниж ’
(48к“₽’(0“Д)3 + ВГ,кХ1 + еГР'6“м)
' ~ „KVf-gWtx.
,„иж = (455к"ИЖ <е™-1)’ + Bi"“ X1 + £™Ж0-Ж ).
^ниж^ниж ’
верх = t + £^0верх . „ниж = j + £ниж0ниж .
310
= skMpx(i-(e^)4)+ Bi^d-е“Д);
=sk"“ (i - (e“*, )4)+Bi™* (i - e™*,).
Температура центра
двер! _ 1
“ сверх X
eA
SkBepx (1 - (BX )4 ) + Bisepx (1 - 0“ft )'
(1-гГЧТ.)
Приме i 6.5. Выполнить расчет несимметричного лучистого нагрева толстостен-
ной трубы. I сходные данные: толщина стенки трубы S = 0,08 м; начальное распределе-
ние температур г0 = 27 °C; материал - сталь 45; температура среды снаружи трубы
1000°C, во внутренней полости трубы 900 °C.
Решение Используя значения теплофизических свойств, изменение коэффициен-
та теплопро! одности Х(7) и объемной теплоемкости cv (Т) аппроксимируем линейными
зависимостями, для которых Ху = 48,1 Вт/(мК), \ = 2,04 Вт/(м К2), с° = 3500 кДж/(м3К),
8t. = 2,68 кДж'(м3К2).
Вычисляем:
£ниж = 2,04 10 2 .1273 = 0,522; ej4* = 2-4'------1173 = 0,481;
48,1 к 48,1
£ниж =^-1273 = 0,982; £*»* = -^ 1173 = 0,905.
г 3500 г 3500
Инерционный этап. Вычисляем:
Fo0 - 0.09; 8кииж = 0,06; SkBe₽x = 0,047.
0ни^(^нк* ,Fo0) = 0,236 +
0,06 ,
2(1 + 0,522 0,236)
= 0,262;
0К|* , Fo0) = 0,236+---------------= 0,276.
° 2(1 + 0,481 0,256)
Регулярный период. Задаемся шагом по времени AFo = 0,5 и определяем:
„ниж = j +0,522 0,262=1,137: лве₽х = 1 + 0,481 0,276 = 1,133;
дииж = 0>06 (1 - 0,2624) = 0,0577; <?веРх = 0,047 (1 - 0,2764) = 0,0467;
oW 2 0>0467 _ 0,27б1 + 0,262
ц*** =-----У 1,133----------<---------= 0,946; ц *’* = 2 - 0,946 = 1,054;
И °’0577 । QO20’0467
1,137 + 2 1,133
ииж _ XI+ 0,982 0,262) _ 3(1 + 0,905 0,276)
0,0577 0,0467
ниж = 4 0,06 0,262э (1+0,982 0,262) = 0 og.
V 1,137 0,0577 ’ ’
311
ср, = 4-0,047-0,276 я (1 + 0,905-0,276) = Q Q93.
V 1,133 0,0467 ’ ’
e
ННЖ
111
= 0,262 +-----------;---------------= 0.310;
0,947 65,37 + 0,946- 0,08
0^* =0,276 +
___________6 0,5__________
1,054- 80,29 +1,0542 0,093
= 0.311.
Аналогичные вычисления производим и в дальнейшем. Результаты расчетов пред-
ставлены в табл. 6 11.
Таблица 6 11
Результаты расчета несимметричного лучистого нагрева толстостенн ш трубы
Fo 0Г «Г еГ т, мин .НИЖ ор 'll ’ V | Ai, °C
0,09 0,262 0,276 0,256 0,33 61 51 27
0,5 0,302 0,318 0,262 1,81 111 100 61
1,0 0,323 0,335 0,279 3,62 138 120 82
1,5 0,367 0,374 0,313 5,43 195 165 126
2,0 0,412 0,422 0,359 7,25 251 222 183
2,5 0,452 0,465 0,400 9,06 302 272 236
3,0 0,493 0,510 0,449 10,88 355 325 287
3,5 0,528 0,545 0,473 12,40 395 375 335
4,0 0,559 0,583 0,509 14,49 439 410 375
5,0 0,652 0,685 0,605 18,11 557 530 407
6,0 0,709 0,748 0,663 21,74 629 604 571
7,0 0,750 0,787 0,706 25,36 675 650 626
8,0 0,812 0,864 0,777 28,98 760 740 716
9,0 0,840 0,897 0,804 32,60 797 779 751
10,0 0,910 0,974 0,890 39,85 886 867 860
6.3.2. Решение задачи охлаждения двухслойного цилиндра
Известно, что после нагрева в печах слитков, предназначенных для
дальнейшей ковки, осуществляют их подстуживание с целью увеличе-
ния деформации в центральной части слитка в процессе ковки. Суть
этого способа состоит в том, что слиток, нагретый до конечной темпе-
ратуры, охлаждают с поверхности (подстуживают) до температуры
нижнего предела ковки и в таком виде обжимают. При этом наружные
слои слитка выполняют роль относительно жесткой оболочки. Цен-
тральные слои металла, имеющие наибольшее количество нарушений
сплошности и более высокую температуру, эффективно деформируют-
ся, что приводит к необходимой проковке металла, завариванию внут-
ренних дефектов.
Охлаждение слитка после нагрева в печи происходит в большин-
стве случаев под слоем окалины, причем изолирующий эффект этого
слоя должен сказываться значительно сильнее, чем при нагреве. Это
связано с тем, что при нагреве в период воздействия на слиток боль-
ших тепловых потоков слой окалины еще не сформировался, а в за-
ключительный период нагрева тепловые потоки на металл малы и не
312
могут вызвать значительного перепада температур в слое окалины. При
охлаждении наблюдается обратная картина: в начальный период, ко-
гда тепловые потоки велики, на поверхности металла уже имеется дос-
таточный слой окалины, который должен в значительной мере замед-
лить проц :сс охлаждения слитка.
При л атематическом моделировании охлаждения слитка слой ока-
лины расе латривается как тонкая оболочка.
В инерционном периоде математическая формулировка задачи
будет име* ъ вид:
эе, а2е, ! 1 эе,
ЭБс Эр2 р Эр ’
р;-p(Fo) < р< р,;
эе2 э2е2.
3Fc “ Эр2 ’
Pl — Р —Р2*
Крае! ые условия:
0l(f,O) = e2(p,O) = l;
G'lpp(Fo) = 1; =0;
Р p=p(Fo)
^i+e2=o, р=р2.
Эр
Условия сопряжения на границе слоев:
6i(P|i,Fo) = e2(pbFo); 3ei(Pi.Fo)=/r/e2(Pi-F°).
I dp dp
Здесь 0, —— (i = 1, 2) - относительная температура tt - текущая
температ фа; tc - температура окружающей среды; г0 - начальная тем-
пература P|(Fo) - координата глубины проникновения теплового воз-
мущения отсчитываемая от начала координат; Fo = a/h2T - безразмер-
ное время; р = hr- безразмерный радиус; h = а/Х/, = Х^; = а2^а\'>
К,, а, - кдэффициенты тепло- и температуропроводности оболочки и
внутреннего слоя.
Задачу решаем методом осреднений функциональных поправок.
Инерционный этап. Продолжительность нагрева
_ 1 (р, (, 1 'I 1. (, 1
Зсо^ 2 V 4 / (О к 2 J)
(6.117)
Контактная температура
е ^2(l + p2-p,)-Kx(pl-p(Fo))^
'“>HI 2(1 + р,-р^ + АГДр,-p(Fo)) *
313
Температура поверхности
о - —
п"^
д
UKOHT
1 (Р2-Р|)£
2 1 + |(P2 "Pl)
2 7
Температуры в характерных точках в течение инерционного пе-
риода определяются с помощью трансцендентного уравнения
3<o2Fo = -
2
-In
®конт
(6.118)
и графика, приведенного на рис. 6.22.
Регулярный этап. Температура на границе слое|в
0кокт+$Чекокт(ро) + $(рОо))еХР “
2co(Fo- Foq)
li 1
Pll 1 + -С0
(6.119)
Температура поверхности
(6.120)
(6.121)
Температура центра
6ц=[1 + |<вР1Конг+|<арЛ.
314
где
(pi р1)[1 + 2(р2 ро] екоиг(Роо)-еконт(Рь‘)
Ка 0 + Р2 “ Pl) FO*-F00
(6.122)
Причф 6.6. Выполнить расчет охлаждения слитка. Исходные данные: слиток из
стали СтЗ (i = 0,026 м2/ч, X = 30 Вт/(м К)) диаметром 1 м, имеющий начальную темпе-
ратуру /0 = 1250 °C, охлаждается на воздухе с /с = 20 °C при а = 100 Вт/(м2К), размеры
слитка: R\ 0,45 м, R2 = 0,5 м.
Решение. Найдем коэффициенты, необходимые для расчета:
R = а/Х = 3,333 м-’;Ка= 1;КХ= 1;со = Кх/(1 + р2 - р,) = 0,858;
Fo : = 0,288т; (ра ~Р|)(1+0’5(Рг ~Р|» = од67 .
*.(1
Инерционный этап. Продолжительность периода определим по формуле
(6.117):
Fo0 = —!------[ 0,5 • 1,5(1 + 0,25 • 1,5 • 0,858)-!— (1 + 0,5 • 1,5 • 0,858) | = 0,161;
3’0,858 у 0,858 J
0.161
т0 — = 0,56 ч.
° 0,228
Контактная температура и температура поверхности в конце периода:
е L°>167n е у
So J " °«игОЛ
0^° = 2,Тз3211Т3(1'еюЖТо) = 0’722; '-° =907 °С;
0,1 = 0,8 5 ef0,722 + ^67^91 =
у 1 + 0,5 0,167 J
Для расчета температуры в характерных точках принимаем Fo' = 0,1 (т' = 0,34 ч).
Вычисляем в формуле (6.118) член ЗаЯ’о + 0,5 = 30,8582 + 0,5 = 0,721.
Из рис. 6.22 находим корень уравнения (6.118):
(I^Xl+e^-UOS; = =0,787;
= -0,356; = 998“С; 0'„ = 0,858^0,787 + °', 7 ] =
= 879 °C.
Определяем значение £ во второй части этапа, необходимое для расчета темпера-
тур на регулярном этапе:
=----9’167 -(0,787 -0,722) = -0,178 .
Ъ 0,161-0,1
Регулярный этап. Находим распределение температур через 0,5 ч после
начала регулярного этапа:
Т1 - т0 = 0.5 ч; FO| - Foq = 0,144.
Температура на границе слоев 0КОНТ1 (6.119), (6.122)
315
е„„, +£. = (0,722 - 0,178)ехр
2 0,858 0,144
1^1 +1 0,858 1,5
=-0,167 °’722 ^-; е^, =0,612; /_,= 773 “С;^ =-0,126.
0,144
Температура поверхности (6.120)
0,„ =О.858[о.6124°^^126о”’167] = 0,534; =677 »С.
1+0,5 0,1 о/ )
Температура в центре слитка (6.121)
0ц1 = (1 + 0,5 0,858 1,5)0,612-0,5 0,858-1,5-0,126 = 0.924;- /ц1 = 1160 °C
На рис. 6.23 представлена температурная диаграмма осаждения
слитка, рассчитанная по графикам классического решения h по при-
ближенной методике. Как следует из диаграммы, практически полное
г—-
Рис. 6.23. Температурная диаграмма
охлаждения слитка, рассчитанная по гра
фикам классического решения (сплош-
ные линии) и по приближенной методи-
ке (отдельные точки)
совпадение результатов Получено
для температур на поверхности и на
границе слоев. Для температуры в
центре цилиндра имеется расхожде-
ние с точным решением с максималь-
ной погрешностью около 5%.
Таким образом, прилагаемая
приближенная методика вполне при-
емлема для инженерных расчетов. Она
может быть использована при пере-
менных коэффициентах внешнего те-
плообмена и теплофизическйх харак-
теристик обычным путем ра • бивки на
интервалы и усреднения этих коэффи-
циентов для каждого из интервалов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вейник А. И. Теория затвердевания отливки. - М.: Машгиз, 1960.
2. Лыков А В. Теория теплопроводности. - М.: Высш, шк., 1967.
3. Тепловые процессы при непрерывном литье стали / Ю. А. Самойлович, С. А. Кру-
левецкий, В. А. Горяйнов, 3. К. Кабаков. - М.: Металлургия, 1982.
4. Фильчаков П. Ф. Приближенные методы конформных отображений. - Киев:
Наук, думка, 1964.
5. Самойлович Ю. А., Тимошпольский В И. Нагрев стали. - Мн.: Выш. шк., 1990.
6. Тимошпольский В. И., Трусова Й. А., Пекарский М Я. Кольцевые печи: Теория
и расчеты / Под общ. ред. В. И.Тимошпольского. - Мн.: Выш. шк., 1993.
7. Кавадеров А. В., Самойлович Ю. А. Закономерности нагрева цилиндра и пла-
стины одновременно излучением и конвекцией // Нагрев металла и работы нагрева-
тельных печей: Сб. науч. тр. ВНИИМТ. - Свердловск: Металлургиздат, 1960.
8. Григорьев В. Н. Кольцевые печи для нагрева металла. - М.: Металлургиздат, 1958.
9. Кавадеров А. В., Самойлович Ю А. О расчетах нагрева массивных тел излучени-
ем //Горение, теплообмен и процессы нагрева металла: Сб.науч.тр. ВНИИМТ. - Сверд-
ловск: Сред.-Урал. кн. изд-во, 1963.
3)6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Пред» слов и е......................................... 3
1. Экспериментальные исследования высокотемпературных теплотехнологий в
металлурги» и машиностроении
1.1. Оби не сведения.............................................. 5
1.2. Экс1 ериментальные исследования процессов затвердевания и охлажде-
ния глитков и заготовок............................................ 5
1.2.1. Экспериментальные исследования формирования крупных слитков.. 5
1.2.2. Экспериментальные исследования режимов затвердевания и охлажде-
на я непрерывно-литого слитка..................................... 8
1.3. Экс» ериментальные исследования процессов нагрева стальных загото-
вок j методических печах толкательного типа........................ 9
1.3.1. Экспериментальные исследования тепловой работы методических пе-
чс1 Днепровского металлургического комбината им. Дзержинского 9
1.3.2. Экспериментальные исследования тепловой работы методических пе-
чс 1 Новосибирского металлургического завода................... 14
1.4. Экс» ериментальные исследования технологии нагрева стали в печах с ша-
гаю, ними балками и шагающим подом Белорусского металлургического
завода............................................................ 18
1.4.1. Эгспериментальные исследования технологии нагрева стали в печи
с сана 320/150 Белорусского металлургического завода............. 18
1.4.2. Экспериментальные исследования технологии нагрева стали в печи
стана 850 БМЗ.................................................... 22
1.5. Экспериментальные исследования технологии нагрева стали в кольце-
вых печах......................................................... 25
Литература...................................................... 31
I
2. Высокотемпературные теплотехнологические процессы затвердевания и охлаж-
дения слитков
I
2.1. Осйовы математического моделирования процессов затвердевания и
охлаждения....................................................... 32
2.1.1. (Збщие сведения............................................... 32
2.1.2. Численные методы решения задач теплопроводности............... 34
2.2. Математическое моделирование и численный метод решения задач для
совмещенного теплотехнологического процесса подготовки слитка к
прокатке............................................................. 47
2.3. Расчет температур и напряжений в слитке......................... 52
2.3.1. Построение разностной схемы................................... 52
2.3.2. Расчет и анализ термических напряжений........................ 53
2.4. Расчет совмещенного теплотехнологического процесса на примере блю-
мингового слитка..................................................... 57
2.4.1. Теплофизический анализ совмещенного процесса.................. 57
2.4.2. Анализ номограммы для определения параметров совмещенного теп-
лотехнологического процесса.......................................... 60
2.4.3. Расчет нагрева слитков горячего посада по методу тепловой диаграм-
мы (двухступенчатый температурно-тепловой режим)..................... 61
317
2.4.4. Анализ номограммы для определения теплотехнических показателей
нагревательной ячейки регенеративного колодца.....................
2.4.5. Расчет нагрева слитков горячего посада по методу тепловой диаграм-
мы (трехступенчатый температурно-тепловой режим)...................
2.5. Исследование процессов затвердевания и охлаждения стальных слитков
при непрерывном литье.....................................
2.5.1. Физико-математическая модель теплофизических процессов при фор-
мировании непрерывно-литой заготовки на МНЛЗ..................
2.5.2. Метод контрольного объема при решении задачи затвердевани; не-
прерывно-литого слитка.........................................
2.5.3. Алгоритм расчета теплофизических процессов при затвердевани! не-
прерывно-литого слитка .......................................
2.5.4. Разработка режимов затвердевания и охлаждения непрерывно-Л1 тых
слитков ......................................................
Литература..................................................
63
64
70
70
73
76
79
81
3. Высокотемпературные теплотехнологические процессы при нагреве мета;
печах
ia в
аль-
3.1. Математическое моделирование высокотемпературных теплотехн эле-
гических процессов при нагреве металла в методических печах....
3.1.1. Анализ моделей методических печей........................
3.1.2. Математическая постановка задачи.........................
3.1.3. Численный метод решения задачи о нагреве массивной пласти1ы в
методической печи............................................
3.1.4. Расчет полей температур, напряжений и деформаций в массивной с
ной пластине при нагреве конвекцией и излучением.............
3.1.5. Анализ влияния теплофизических и физико-механических параметров
на процессы нагрева металла..................................
3.2. Моделирование сопряженного теплообмена в нагревательных печ :
3.2.1. Математическая модель нагрева металла в толкательной метод! ’
кой печи....................................................
3.2.2. Математическая модель нагрева металла в печи стана 320/150 ЁМЗ
(сопряженная постановка).....................................
3.2.3. Численная реализация задачи сопряженного теплообмена..
3.2.4. Идентификация сопряженной математической модели.......
3.2.5. Анализ закономерностей нагрева заготовок..............
3.2.6. Математическая модель нагрева металла в печи стана 850 БМЗ...
3.3. Моделирование нагрева металла в кольцевых печах.........
3.3.1. Общие сведения........................................
3.3.2. Математическая модель процесса нагрева цилиндров......
3.3.3. Численная реализация задачи...........................
3.3.4. Влияние расположения заготовок и кантования на производит
ность печи..................................................
3.3.5. Расчеты процессов нагрева заготовок в печах с деформированной
диной .......................................................
3.3.6. Оценка локальных значений обобщенных угловых коэффициентов и
степени черноты................................................
Литература....................................................
IX ...
1чес-
!ЛЬ-
по-
82
82
83
87
89
95
97
97
109
114
118
119
122
123
123
124
127
141
147
150
160
4. Оптимизация высокотемпературных теплотехнологических процессов (на при-
мерах нагрева стали в печах)
4.1. Общие сведения.............................................. 162
4.2. Оптимизация теплотехнологических режимов в методических печах тол-
кательного типа.................................................. 162
4.3. Оптимизация режимов нагрева металла в печах с механизированным
подом............................................................. 167
4.3.1. Оптимизация нагрева крупносортных заготовок в печах с шагающи-
ми балками......................................................... 167
4.3.2. Оптимизация нагрева специальных сталей в печах с шагающими балка-
ми по минимуму окалинообразования.................................. 176
318
4.4. Оптимизация нагрева сортового проката в колодцах контролируемого
охлаждения................................................... 180
4.4.1. Техническая характеристика объекта оптимизации........... 180
4.4.2. Oi-гимизация режимов тепловой обработки проката в колодцах кон-
тролируемого охлаждения......................................... 182
4.4.3. Наработка рациональных режимов тепловой работы колодцев с ми-
Н1 мальным расходом топлива..................................... 186
4.4.4. Разработка рациональных режимов термообработки сортового про-
ка а в колодцах контролируемого охлаждения...................... 190
4.5. Разр>ботка оптимального режима нагрева цилиндрических стальных заго-
товс < в кольцевых печах с учетом ограничений на температурные напря-
жен, я....................................................... 195
Литература.................................................... 199
5. Математтеское моделирование при нагреве и плавлении тел
5.1. Физ ческая постановка задачи плавления тугоплавких и легкоплавких
мате 'налов в расплаве............................................. 201
5.2. Пла ление тугоплавких тел..................................... 203
5.2.1. М тематическая модель плавления чистых материалов........... 203
5.2.2. А. оритм расчета............................................ 205
5.3. Пла ление легкоплавких тел.................................... 208
5.3.1. М; 1ематическая модель плавления чистых материалов.......... 208
5.3.2. Ал оритм расчета плавления чистых легкоплавких материалов на осно-
ве метода с явным выделением границы плавления..................... 210
5.3.3. М тематическая модель плавления легкоплавкого тела при наличии
дн хфазной зоны.................................................... 211
5.3.4. А оритм расчета плавления легкоплавких тел при наличии двухфаз-
Htii зоны по методу Дюзимбера...................................... 213
5.4. Нес1мметричное плавление материалов........................... 213
5.5. Моделирование и расчет процессов плавления материалов в дуговой ста-
легшвильной печи современной конструкции........................... 223
5.6. Диффузионное плавление извести в шлаковом расплаве............ 237
5.7. Плавление лома при комбинированной продувке конвертерной ванны 240
5.7.1. Математическая модель процесса.............................. 240
5.7.2. Алгоритм расчета............................................ 243
5.7.3. Айализ результатов расчета.................................. 245
5.8. Плавление крупногабаритного алюминиевого слитка при выдержке ме-
тал1а в сталеразливочном ковше..................................... 249
5.8.1. Последование влияния формы слитка на продолжительность его плав-
ления............................................................ 249
5.8.2. Математическая модель плавления слитка........................ 253
Ли г|е р а т у р а................................................. 256
6. Инженерное методы расчета затвердевания и нагрева металла
6.1. Инженерный расчет режимов затвердевания слитка (отливки).. 257
6.2. Инженерные методы расчета нагрева слитков и заготовок...... 271
6.2.1. Постановка задачи........................................ 271
6.2.2. Нагрев пластины.......................................... 272
6.2.3. Нагрев цилиндра.......................................... 276
6.2.4. Нагрев призмы прямоугольного сечения..................... 279
6.2.5. Нагрев прямоугольного параллелепипеда.................... 282
6.2.6. Примеры расчетов......................................... 284
6.2.7. Сопоставление результатов расчета с опытными данными..... 290
6.3. Приближенные методы расчета нагрева и охлаждения цилиндров в коль-
цевых печах...................................................... 292
6.3.1 Расчет нагрева по схеме теплового пограничного слоя....... 292
6.3.2. Решение задачи охлаждения двухслойного цилиндра.......... 312
Литература.................................................... 316
319
Учебное издание
Тимошпольский Владимир Исаакович
Трусова Ирина Александровна
Несенчук Анатолий Петрович
Бродский Сергей Сергеевич
Дубина Олег Викторович
Павлюченков Игорь Александрович
ПРОМЫШЛЕННЫЕ ТЕПЛОТЕХНОЛОГИИ
Моделирование нелинейных процессов
Редактор Е. В. Малышева
Художественный редактор Л. Г. Звонарев
Технический редактор Л. И. Счисленок
Корректоры Л. А. Еркович, Т. К. Хваль
Компьютерная верстка А. Л. Потеев
Подписано в печать с диапозитивов издательства “Вышэйшая школа” 11 ot.2000. Фор-
мат 60x90/16. Бумага офс. № 1. Гарнитура “Таймс”. Офсетная печать. Ус1. псч. л 20
Уч.-изд. л. 24,07. Тираж 1000 экз. Заказ 5040.
ГП «Издательство “Вышэйшая школа”». Лицензия ЛВ № 5 от 22.12.97. 2200-^, г. Минск,
проспект Машсрова,! 1.
Типография “Победа”. 222310, г. Молодсчно, ул. Тавлая 11
ISBN 985-06-0561-8
9789850 605610 >