Физика плазмы. Том 2 - Галеев А.А., Судан Р.

Автор: Галеев А.А. Судан Р.

Теги: физика естественные науки физика плазмы магнитное поле прикладная физика

Год: 1984

Похожие

Физика лазерной плазмы

Вопросы теории плазмы. Сборник статей. Выпуск 7

Вопросы теории плазмы: Сборник статей. Выпуск 14

Коллективные явления в плазме

Текст

ФИЗИКА
ПЛАЗМЫ
Под общей редакцией
академика Р. 3. САГДЕЕВА
и профессора М. Н. РОЗЕНБЛЮТА
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1984

основы
ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
в двух томах
Том 2
Под редакцией
профессора А. А. ГАЛЕЕВА
и профессора Р.. СУДАНА
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1984

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Ввиду задержки ряда статей иностранных авторов, первона-
первоначально запланированных к изданию во втором томе, издательство
выпустит дополнение ко второму тому, в которое войдут эти статьи
и статья советских авторов А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева «Токо-
«Токовая неустойчивость и аномальное сопротивление плазмы».
По поводу оформления заказов на дополнение ко второму тому
следует обращаться в магазины, в которых производилась под-
подписка.

V. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
И ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ
В. Н. ОРАЕВСКИЙ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕУСТОЙЧИВОСТЯХ
ВОЛН В ПЛАЗМЕ
Параметрические неустойчивости волн в плазме ведут свою ро-
родословную от распадной неустойчивости, обнаруженной в 1962 г.
[1]. Эти неустойчивости обычно имеют пороги по амплитудам волн
накачки и основаны на резонансном взаимодействии волн. В про-
простейшем случае соответствующий резонанс есть пространственно-
временной резонанс собственных мод с основной или высшими гар-
гармониками волны накачки, его условия можно записать в виде [2]
nko=ki+k2, я = 1, 2, 3 ..., A)
где coo, ко — частота и волновой вектор волны накачки; соь ki; oJ*
к2 — соответствующие величины для волн, возбуждаемых при не-
неустойчивости.
Условия A) напоминают законы сохранения энергии и импуль-
импульса, выполняющиеся при распадах квазичастиц, поэтому, начиная
с работы [1], соответствующие неустойчивости получили название
распадных. Практический интерес для волн накачки не слишком
большой амплитуды представляют распадные неустойчивости пер-
первого порядка и в случае, когда они отсутствуют,—второго [3]. Это
связано с тем, что, во-первых, инкремент неустойчивости n-го по-
порядка пропорционален n-й степени амплитуды, во-вторых, порог
неустойчивости увеличивается с ростом п.
Хотя первой обнаруженной распадной неустойчивостью была
неустойчивость электростатической волны * в изотропной плазме
Для &о=0 электростатическая волна вырождается в дипольное колебание,,
которое описывает также и электромагнитные волны вблизи точек отражения
этих волн, поэтому инкременты параметрических неустойчивостей этих волн
совпадают при k0—>0.

[1], на первом этапе A962—1964 гг.) изучались в основном пара-
параметрические неустойчивости магнитоактивной плазмы [4—8], и
это неудивительно. Магнитоактивная плазма представляет собой
уникальную волновую среду — в ней легко возбуждается и сла-
слабо затухает множество волн различных поляризаций и простран-
пространственно-временных масштабов. А ведь чем больше типов колеба-
колебаний, тем легче удовлетворить резонансным условиям типа условий
A) и, таким образом, параметрически возбудить, «раскачать» но-
новые колебания исходной волной, поэтому в магнитоактивной плаз-
плазме могут возникать все известные разновидности параметрических
неустойчивостей: распадная [1], модуляционная [9], неустойчи-
неустойчивость модифицированного распада [10, 11], взрывная [12, 13], те-
тепловая [14] и ряд других [15, 16].
Уместно отметить, что практически одновременно с началом
изучения параметрических неустойчивостей в плазме в нелинейной
оптике в том же 1962 г. были обнаружены явления вынужденного
комбинационного рассеяния волн [17, 18]. Хотя деление на спон-
спонтанные и вынужденные (индуцированные) волновые процессы бы-
было проведено еще Энштейном, вопрос о том, как протекают про-
процессы вынужденного рассеяния, оставался до 1962 г. неисследо-
неисследованным. Между тем при распадной параметрической неустойчи-
неустойчивости, описывающей вынужденное комбинационное рассеяние
волн, проявляются такие особенности этих процессов, как экспо-
экспоненциальное (а не линейное!) нарастание амплитуд не только рас-
рассеянной, но и падающей волны! Это является прямым следствием
возникновения положительной обратной связи рассеянной и пада-
падающей волн, распространяющихся на фоне волны накачки. Уравне-
Уравнения, описывающие такую связь, можно интерпретировать как про-
пространственно-временное обобщение уравнений Хилла (в простей-
простейшем случае — Матье). Естественно, соответствующие неустойчиво-
неустойчивости были отнесены к разряду параметрических.
Однако не всегда параметрические неустойчивости могут опи-
описываться простыми математическими моделями типа обобщенных
уравнений Хилла — Матье. Характерный тому пример — неустой-
неустойчивости альвеновских волн произвольной (в частности, большой)
амплитуды с пилообразным профилем магнитных силовых линий
(рис. 1) [19]. Подход к изучению дисперсионных свойств системы
плазма — альвеновская волна был аналогичен излагаемому юбыч-
но в учебниках по квантовой механике, когда дисперсионные \:вой-
ства электронов, находящихся в периодическом поле кристалличе-
кристаллической решетки, изучаются в модели периодически повторяющихся
прямоугольных потенциальных ям и барьеров. Условия периодич-
периодичности и непрерывности на соответствующих скачках позволяют
определить дисперсионные свойства системы и соответствующие
инкременты. Отличие от схемы квантовомеханических вычислений
состоит в том, что необходимо учитывать малые смещения между
областями с постоянным магнитным полем. На этом примере
можно проследить, как параметрические неустойчивости высоких
порядков возникают наравне с неустоичивостями низких порядков.

Решенная задача была первым исследованием неустойчивости
плазмы в поле волны накачки большой амплитуды. Вместе с дру-
другой весьма важной модельной задачей — исследованием устойчи-
устойчивости в поле электрического колебания большой амплитуды с ча-
частотой, близкой к плазменной [10, 11] (подробно об этом см.
[20]), — эта задача позволила ос- г
ветить основные особенности пара- --"
метрических неустойчивостей волн
накачки большой амплитуды.
Следует подчеркнуть, что рас-
падные параметрические неустойчи-
неустойчивости (РПН) имеют пороги ПО ам- Риа L Альвеновская волна с пи-
/\ А -/V*
V V\
() ^^Г^^ силовых
плитуде волн накачки: неустойчиво- линий маГнитного поля
сти возникают, если амплитуда пре-
превышает определенное значение. В приближении однородной плаз-
плазмы эти пороги определяются декрементами дублета волн, возбуж-
возбуждаемых при РПН [21]. В неоднородной плазме при определении
порогов РПН существенную роль играет вынос волн из зоны резо-
резонансного взаимодействия, где выполняются условия A) [22—25].
Это связано с тем, что РПН, как правило, относятся к классу кон-'
вективных, а не абсолютных неустойчивостей.
Рассматривая влияние поглощения волн на РПН, подчеркнем,
что порог неустойчивости определяется произведением декремен-
декрементов возбуждаемого дублета волн. Когда одна из волн практически
не затухает, а вторая обладает сильным затуханием, существует
возможность возникновения параметрической неустойчивости,
сходной с РПН. Так, в изотермической плазме (где звук сильно
затухает) возможна неустойчивость волны (с частотой w0 ^ сор)
по отношению к «распаду» на плазмон (coi, ki) и низкочастотный
отклик, свойства которого определяются частицами, резонансными
с биением (соо—©ь ко—к^ [11].
К весьма интересным результатам приводит учет нелинейности
в диссипативных слагаемых. Если эти нелинейности преобладают
над стрикционными, то соответствующие параметрические неус-
неустойчивости имеют весьма низкие пороги. Так, в низкотемператур-
низкотемпературной плазме нелинейность в слагаемом, описывающем увеличение
температуры за счет джоулева нагрева плазмы, может быть от-
ответственной за возникновение РПН и неустойчивости модифициро-
модифицированного распада. Неустойчивость такого типа получила название
тепловой параметрической неустойчивости [14], она играет важ-
важную роль в параметрическом нагреве нижней ионосферы и связан-
связанном с ним расслоении плазмы [26, 27].
Своеобразно протекают параметрические неустойчивости
с участием волн с отрицательной энергией *. Если волна накачки
есть волна с отрицательной энергией, то одновременно нарастают
амплитуды всех трех участвующих в распадном взаимодействии
* Волны с отрицательной энергией могут возникать в неравновесной плаз-
плазме, см. § 5.

мод [12]. Причем в приближении, соответствующем распадному,
решение уравнений носит взрывной характер — амплитуды трипле-
триплета волн стремятся к бесконечности за конечное время — время
«взрыва» [13]. В реальных условиях бесконечный рост амплитуды
могут останавливать как нарушение временного синхронизма, воз-
возникающее за счет нелинейного сдвига частот взаимодействующего
триплета волн [30], так и нарушение пространственного синхро-
синхронизма, связанное с конвективным выносом мод из зоны взаимо-
взаимодействия [31].
До сих пор мы говорили о параметрических неустойчивостях
в безграничной плазме. Такое приближение, строго говоря, спра-
справедливо лишь для коротковолновых (в сравнении с размерами си-
системы) мод. Поэтому количественное сравнение с эксперименталь-
экспериментальными данными результатов, полученных в приближении безгра-
безграничной плазмы, зачастую весьма затруднительно. Влияние грани-
границы на распадные взаимодействия и РПН рассмотрено вначале на
примере взаимодействия объемных и поверхностных волн в плос-
плоском слое с размытой границей [28]. Затем была разработана об-
общая методика расчета трехволновых взаимодействий с участием
объемных и поверхностных волн в цилиндрических системах с уче-
учетом возможных колебаний границы [29]. Методика применялась
для исследования РПН магнитогидродинамических волн в плаз-
плазменном цилиндре, удерживаемом магнитным полем. Основные осо-
особенности РПН в ограниченных системах определяются: 1) отсут-
отсутствием трансляционной инвариантности (в направлении границ);
2) существованием широкого класса волн (поверхностных), не-
неучитываемых в приближении безграничной плазмы; 3) нелинейно-
нелинейностью граничных условий. Все это увеличивает возможности пара-
параметрического возбуждения флуктуационных мод.
Теория параметрических неустойчивостей тесно переплетается
с теорией турбулентности плазмы [2], и это неудивительно. В тур-
турбулентных процессах параметрические неустойчивости «вступают
в игру» естественным путем, и часто их роль в развитии этих про-
процессов является определяющей. Причем речь идет не только о тех
^случаях, когда главенствующее значение параметрических неус-
неустойчивостей практически очевидно (как в бесстолкновительном
нагреве различных видов плазмы с помощью электромагнитных
волн накачки разных частот [20]), но и о таких, например^ как
бесстолкновительный нагрев плазмы электронными пучками, об-
образование бесстолкновительных ударных волн с турбулентной
структурой и т. п.

2. РАСПАДНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В СРЕДЕ С ВОЛНОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ
(ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТНОЙ РАССТРОЙКИ, ЗОНЫ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ, ПОРОГИ)
2.1. Волновой аналог уравнения Матье. Изложение теории па-
параметрических неустойчивостей волн накачки естественно начать
с рассмотрения РПН. При этом удобно выбрать модель, близкую
к реальности и обладающую достаточной простотой, чтобы про-
проследить на этой модели основные качественные закономерности,
которым подчиняются распадные параметрические неустойчиво-
неустойчивости. Нетрудно выбрать саму модель. Если в колебательных систе-
системах изложение параметрических неустойчивостей начинается
с анализа решений уравнения Матье, то в нашем случае для вол-
волновой среды, такой как плазма, удобно обратиться к следующему-
уравнению (см. [54]):
д*и/дР— V\ [ 1 +е cos (aot—kox) ] д2и/дх2+а (и) =0, B}
где а(и)—линейный по и оператор, описывающий небольшое от-
отклонение закона дисперсии от линейного (о=&Уф.
Очевидно, что B) можно рассматривать как одно из простей-
простейших обобщений уравнения Матье на волновые среды. В отсутствие
слагаемого, пропорционального е, такие уравнения в линейном
приближении описывают многие хорошо известные волны: акусти-
акустические, магнитозвуковые, альвеновские и т. п. Так, для линейных
акустических волн в однородной плазме из уравнений:
J
podufdt = -dp/dx; p/pt = const, / ' '
где р, и, р — соответственно плотность, массовая скорость и давле-
давление; у — показатель адиабаты; индексом нуль отмечены невозму-
невозмущенные величины, следует уравнение
=0f D)
где V2(p=S2^ypofpo (S — скорость звука).
Предположим, что нас интересуют альвеновские волны малой
амплитуды. Обозначив h магнитное поле волны, распространяю-
распространяющейся в постоянном магнитном поле Но, из уравнений
получим
d*u/dt*-V*id*u/dx*=O; V\=V2A^H%/4np*. F)
Здесь ось х направлена вдоль Н, а и обозначена любая из ком-
компонент массовой скорости, перпендикулярная Но. Если в уравне-
11

ниях движения учесть, например, эффекты конечности ларморов-
ского радиуса ионов [32], то F) дополнится малой добавкой, ко-
которую можно представить в виде ш.
Пусть плотность ро промодулирована синусоидальной волной
накачки небольшой амплитуды, тогда
Формальная подстановка этих значений в C) и F) приводит
к уравнениям типа B). При строгом выводе уравнений, описы-
описывающих распространение звуковых или альвеновских волн в среде
с волновой модуляцией плотности, возникнут дополнительные гар-
гармонические слагаемые, связанные с другими нелинейными слагае-
слагаемыми (такими, например, как слагаемое обязанное переносной ско-
скорости). Указанное обстоятельство заметно осложняет уравнения,
но не меняет характера параметрической связи, поэтому для ка-
качественного анализа достаточно ограничиться выбором модельного
уравнения B). Можно сказать, что B) описывает волновую среду,
в которой влияние волны накачки сводится к модуляции фазовых
скоростей волн.
2.2. РПН, зоны неустойчивости. Рассмотрим, как возникает па-
параметрическая связь дублета волн (coi, ki; ©2, k2), описываемых
B). Нетрудно видеть, что в отсутствие волны накачки (е=0) урав-
уравнение B) описывает независимые пространственно-временные гар-
гармоники с законом дисперсии <o(k)=kV(p-{-a(k), где а(&)—вклад
в частоту слагаемых, объединенных в B), в а (и).
Чтобы исследовать связь волн, удобно в B) перейти к фурье-
компонентам по пространственным переменным Vk=
— J и{х) ехр (ikx)dx и перенести слагаемое, учитывающее влияние
волн накачки, в правую часть уравнения. Тогда
(TVb/dt* + со2 (kx) Vkl = - (в/2) {К - КГ VlK-h ехр (- i %t) -
- (е/2) (К + КГ V\0VMl ехр (- i mjt). G)
Мы получили систему уравнений для связанных осцилляторов
Vki> VkQ±ki и т- А- ^ТУ систему можно укоротить, пользуясь мало-
малостью е. Прежде всего отметим, что в нулевом по е приближении
все Vk осциллируют с собственными частотами со(&). Малая связь
не меняет существенно частоты осциллятора. Однако в том слу-
случае, когда стоящая в правой части G) вынуждающая сила по-
попадает в резонанс с собственной частотой, осциллятор может воз-
возбуждаться. Условие резонанса для первого слагаемого в правой
части G) имеет вид: соо—<о(кц—&i)=cd(&i), для второго: (Oo+co(^i+
+feo)=co(*i). Пусть выполнено первое условие, тогда второе сла-
слагаемое является нерезонансным и им можно пренебречь *. В свою
* В магнитоактивной плазме иногда имеет место вырождение, когда одно-
одновременно могут быть выполнены оба условия. Такие случаи рассмотрены в ра-
работах [33—35].
12

очередь, фурье-компонента V^o_^, входящая в резонансную часть
уравнения G), описывается уравнением
= -(./2) tfVl exp (i »,*)V», -
- (./2) BA, - k,y Vl, exp (- i V) Узднь. (8)
В этом уравнении резонансным является также лишь первое
слагаемое. Следовательно, учитывая лишь резонансное взаимодей-
взаимодействие осцилляторов, получаем следующую укороченную систему:
(PVkJdt* + со2 (К) Vkl = - (е/2) klVl exp (- i %t) Vl; )
jot; iii') i 2 //_ \ \7 /_ /O\ 1.2 т/2 . - /! j\ T7 1 '
где введено обозначение &2=^о—&ь Учитывая резонансные условия
по частотам, можно сказать, что параметрически связанными яв-
являются волны, частоты и волновые векторы которых удовлетворя-
удовлетворяют условиям со©—<о (k2) =а> (к\), &о—kx=k2i или
<O0=C»i(i^i) +'G>2(&2), ^0=^1+^2, (Ю)
т. е. распадным условиям, или, как принято говорить в нелинейной
оптике, условиям пространственно-временного синхронизма.
В соответствии со сказанным выше решение (9) будем искать
в виде Vk. = a>i {t) exp [— i a>z (kt) t], где щ — медленно меняю-
меняющиеся во времени амплитуды связанных волн. Тогда
- 2i ^dajdt^-(г/2) к1У10а1ехр(-1Ш); )
— 2i ю2да*2 >dt = — (е/2) k\ V\ ax exp (i АЫ), А со = ш0 — <о1 — ш2. J
Легко видеть, что решением A1) являются:
^^ехрГ-i — ^ + vA; a%^exp A—^+
где
Это решение описывает распадную параметрическую неустой-
неустойчивость первого порядка. Из A3) следует, что при нулевой частот-
частотной расстройке, т. е. при Д©=0 [это означает строгое выполнение
распадных условий A0)], амплитуды волн п\ и а2 экспоненциаль-
экспоненциально нарастают с инкрементом y=»?D. При этом необходимо выпол-
выполнение соотношения cdiGJ>0, что вместе с распадными условиями
дает ©о><оь <о2.
Иными словами, при распадной неустойчивости возбуждаются
волны с частотами, меньшими частоты волны накачки (красные
сателлиты) *. Следует отметить, что в пренебрежении диссипацией
Однако при наличии вырождения, когда возможно одновременное выпол-
выполнение условий <о0—<о 1=1@2 и соо+со 1=ю)з, РПН приводит к возбуждению также и
фиолетовых сателлитов {33—35].
13

инкремент распадной неустойчивости пропорционален первой сте-
степени амплитуды волны накачки: yD^~'8.
Соотношение A3) определяет ширину зоны неустойчивости
первого порядка /z=l. При расстройке |Aco/2|>yd неустойчивость
исчезает. Это означает, что ширина первой зоны РПН пропорцио-
пропорциональна первой степени амплитуды волны накачки.
Зная теорию параметрического резонанса в колебательных си-
системах (см., например, [36, 37]), этот вывод можно было сделать
сразу после сведения задачи к решению укороченных уравнений
(9), которые описывают систему
двух параметрически связанных ос-
осцилляторов.
Подчеркнем, что система укоро-
укороченных уравнений получена с помо-
помощью условий не только временного
(coio=(D 1+0J), но и пространственно-
пространственного (ko=ki+k2) резонанса.
Аналогия B) с уравнением
Матье, а также метод получения си-
систем укороченных уравнений (осно-
(основанный на пространственно-времен-
пространственно-временном резонансе мод) позволяют сде-
сделать качественные выводы относи-
относительно РПН более высокого поряд-
порядка и соответствующих зон неустой-
неустойчивости.
Очевидно, для волн относитель-
относительно малой амплитуды (в нашем
примере &р<Сро) инкремент РПН п-то порядка уп^гп. Это озна-
означает, что выполнены условия A). Соответствующим образом су-
сужается зона неустойчивости с ростом п, так как |Д@п|/2=уЛ, где
До)п=/го)о—©1—0J. На рис. 2 представлены зоны РПН п-то поряд-
порядка [2]. В связи с уменьшением инкрементов и сужением зон не-
неустойчивости с ростом п практически важны неустойчивости пер-
первого и второго порядков. РПН второго порядка проявляются в тех
случаях, когда РПН первого порядка не возникают в связи с не-
невозможностью выполнения условий A0). Как показано в [3] (на
примере звуковых волн), в системах, где отсутствуют РПН пер-
первого порядка, обычно выполняются условия для возникновения
РПН второго порядка.
2.3. Пороги РПН. Как уже отмечалось, РПН имеют пороги по
амплитуде волн накачки: неустойчивости возникают, когда ампли-
амплитуды превышают определенные значения. В приближении однород-
однородной плазмы эти пороги определяются декрементами возбуждаемо-
возбуждаемого дублета волн [21], что можно показать, введя в уравнение (9)
слагаемые, учитывающие диссипацию. Это нетрудно сделать, если
ввести малые мнимые добавки к собственным частотам со, по схе-
схеме а?—ног+гуг, где ^г — декременты соответствующих волн. Пола-
Полагая А(о=0 и проделывая простые выкладки, получаем следую-
Рис. 2.
Зоны неустойчивости
(матье-зоны)
14

щее выражение для инкремента РПН vd с учетом диссипации:
vo = - (Т, + Та)/2 + ^ + (Т.-Ш4. A4)
что дает выражение для порога неустойчивости в общем виде:
У2плор=У\У2 A5)
или для модельной задачи B):
Из A5) следует, что при стремлении к нулю хотя бы одного из
декрементов возбуждаемого дублета волн порог исчезает.
В неоднородной плазме пороги РПН определяются конвектив-
конвективным выносом колебаний из зоны резонансного взаимодействия
[22—25]. Как известно, при распространении линейных волн в не-
неоднородной плазме неизменна частота, а закон изменения волно-
волнового вектора определяется из уравнения Wi(x, ^)=const. Это
означает, что временной резонанс сохраняется, но происходит по-
постепенное нарушение пространственного резонанса. Здесь мы име-
имеем дело уже не с временной, а с пространственной задачей о пара-
параметрически связанных осцилляторах. Нетрудно понять, как полу-
получить укороченную систему уравнений в рассматриваемом случае.
Для этого нужно в A1) произвести замену dai/dt—*Vidai/dx9 где
Vi=d(ui/dk—соответствующие групповые скорости, а —iAxot—AAkx.
Такая замена приводит к тому, что пространственный инкремент
распадной неустойчивости %d определяется формулой
A7)
Видно, что вместо A3) можно записать следующее выражение
для пространственного инкремента х, учитывающее пространствен-
пространственную расстройку Ak\
хг=Ки!>-(ДЛO4. A8)
Теперь нетрудно решить вопрос об усилении волн в области взаи-
взаимодействия, которое определяется выражением ехр Г=
f kd (x) dx\. ;Как видно, для этого необходимо определить
длину зоны взаимодействия Дхо. Ее можно найти из условия пре-
прекращения раскачки волн, когда хг>=Л&/2, где Ak=(d/dx) (&0—k\—
—k2)Axq — расстройка пространственного резонанса за счет неод-
неоднородности. Проделав простые выкладки, получим
или, используя A7) и A9):
15

3. ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЛН
В § 2 качественно описаны процессы, возникающие при РПН.
Здесь же на примере магнитной гидродинамики излагается общая
схема построения количественной теории РПН, а затем анализи-
анализируются основные выводы этой теории.
Напомним, что уравнения магнитной гидродинамики могут при-
применяться для описания не только столкновительной плазмы, но и
плазмы бесстолкновительной [32, 38, 39].
3.1. Вывод уравнений для взаимодействующих МГД-волн. РПН
альвеновских волн. Итак, запишем уравнения идеальной магнит-
магнитной гидродинамики для состояний, не очень далеких от равновес-
равновесных. Представим массовую плотность р, гидродинамическую ско-
скорость V, давление р и магнитное поле h в виде
Р=Ро-Ьбр; V=8V; р=ро-Ь6р; H=H0+6h, B1)
где ро, ро, Но — постоянные величины, характеризующие равновес-
равновесное состояние однородной неподвижной магнитоактивной плазмы.
Будем считать, что отклонения бр, 6V, бр, 6h от равновесных зна-
значений не велики, и удержим в уравнениях слагаемые, квадратич-
квадратичные по отклонениям, пренебрегая слагаемыми третьего и более
высоких порядков. Тогда система уравнений гидродинамики легко
преобразуется в следующую:
д (bp)/dt + р0 div (8V) = - div (8p 8 V); B2)
_-L. [rot (8h) Но] = - (8Vv) SV - S2 (T ~ 2)
+ S [rot (8h) Но] = (8Vv) SV S (T 2) ^ +
+ -J- [rot (8 h) 8h] - -!- ^ [rot (8h) HJ ; B3)
_ rot [8VHe] = rot [8VSh], B4)
dt
где S2=Ypo/po; v — показатель адиабаты.
Изучая динамику волн в однородной плазме, удобно в уравне-
уравнениях B2) — B4) перейти к переменным pft, V*, h&, являющимся
фурье-компонентами по пространственным переменным от величин
бр, 6V, 6h. Тогда B2) —B4) можно записать в виде
? PkikVk2; B5)
kx+k2=k

1
4теРоПк.\]\]+-
!r-+lMVkHJ]=-
B6)
B7)
к,+к2=к
Уравнения B5) —B7) можно переписать в матричной форме:
B8)
[4VkhkJ].
Здесь компоненты вектора-столбца г|)а есть соответственно массо-
массовая плотность, проекции скорости и магнитного поля, так что
¦i = p*; Ф....4 = ^.г; ф^^а*,^. B9>
Матрица оператора Я^ в системе координат, в которой ось z
направлена вдоль постоянного магнитного поля Но, имеет вид:
>@)
Ро
О
о
о
ky?o
О
О
о
о —.
о о
- kzHQ О
у/. о
0
0
0
0
0
0
C0)
где Ул = #0/}/47i;p0 — альвеновская скорость. Нетрудно видеть,
что собственные векторы матрицы НЦ$ описывают линейные
МГД-волны. В самом деле, в линейном приближении Ua^ следует
положить равными нулю, тогда уравнение B8) приобретает вид*:
1дф./Л-Я^фэ=0. . C1)
Его решение можно искать в виде фурье-разложения по време-
времени. Очевидно, что для фурье-компонент по времени уравнение C1)
преобразуется следующим образом:
акр« — ОД)фр = °- C2)
Условие разрешимости C2) дает хорошо известное дисперсион-
дисперсионное уравнение для частот МГД-волн, являющихся, как видно
C2), собственными числами оператора #<°
(с
, vA) к - ш2&2 (v2A+s2)+v& vte)=о.
C3)
* Уравнение C1) по форме сходно с уравнением Дирака. Эта аналогия бу-
будет полезна в дальнейшем при понимании вывода уравнений для связанных
мод.
2—3283
17

Для плазмы низкого давления ( C =—?-?¦— <^; 1 ) решения C3), ка
известно, приобретают простую форму:
toa=±kzVA; (om=±kVA; (os=±kzS. C4
В соответствии с C2) и C3) нетрудно записать векторы, описы
вающие собственные колебания плазмы и соответствующие аль
веновским, быстрым и медленным магнитозвуковым волнам:
# = сае1 ехр (-1 «>/); ^'s = cm>s e^s exp (- i <*J); C5
Po
kxk2H0
У Po
wA
kxwA
k±a>m
kLkVA
Ho
У Го
ksS
kxkzSH0
C6)
Векторы еа, em, es не являются ортогональными при стандартном
определении скалярного произведения, когда <С7, У}==У1и1Уа-
a=l
Однако их можно ортогонализовать обычными приемами, опреде-
определяя скалярное произведение следующим образом *:
7
(х, у) и 2 ^Л C7)
[в дальнейшем, как обычно, знак суммы в выражениях типа C7)
будем опускать]. Матрица у^ есть матрица, переводящая собст-
собственные векторы е° оператора Я@) в собственные векторы ё° сопря-
сопряженного оператора #(°>*. Иными словами:
* Аналогичное определение скалярного произведения дается в релятивист-
релятивистской квантовой механике для уравнения Дирака.
18

C8)
V =
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
Ро,
2
0
0
О
О
О
О
О
Ро
2
О
О
О
О
О
О
О
1
8тг
О
О
О
О
О
О
О
1
О
О
О
О
О
О
О
1
~8те
C9)
Нетрудно проверить, что
(е°, еь) = е1ч*$е\ = ЬаЬ | <о°1*, D0)
где 8°6 — символ Кронекера.
Следует указать, что матрица уа$ определяется, как известно,
с точностью до общего постоянного множителя. В C9) этот мно-
множитель выбран так, что |<ф(У|2== |са|2|(оа| =еа, где е — энергия со-
соответствующей МГД-волны. Это позволяет интерпретировать
\со\2 — квадрат модуля амплитуды соответствующей МГД-моды —
как число квазичастиц (МГД-волн) № в состоянии а, так как
Для получения уравнений, описывающих изменение во време-
времени амплитуд МГД-волн са вследствие нелинейного взаимодействия
волн, необходимо вернуться к уравнению B8). Из уравнений
B5) — B7) нетрудно определить Ua(l):
[[k,hAlj:
г/...
D2)
Теперь, используя B8), D2), можно получить уравнения для
амплитуд са. С этой целью представим полный вектор *ф(й, t)r
* Выражения для векторов е° в C6) определены с точностью до величин
порядка if. Естественно, для векторов C6) равенство D0) выполняется с ука-
указанной точностью.
2* , 19

описывающий состояние плазмы в МГД-приближении, в виде раз-
разложения по собственным векторам линейной задачи ipai C5)*
Ф (k, t) = 2 с° е*Р (- i »"*) е'. D3)
а
Подставляя D3) в B8), умножая затем скалярно [в соответ-
соответствии с B8) и B9)] полученную систему на собственный вектор
еа и используя C2), D0), получаем следующую систему уравне-
уравнений для амплитуд взаимодействующих волн:
— i((Da—(Dai—inni)t]t D4)
где
V*..*-.*... = (e* ft), U1 {e^ ft), e«> ft)))/ | ша (ft) |. D5)
В D4) быстроосциллирующими слагаемыми можно пренеб-
пренебречь. Иными словами, в правой части D4) остаются лишь резо-
резонансные слагаемые, связанные с амплитудой волны са условиями:
k* = кГ' + к?2; ша =^ +со2а2 D6)
(в дальнейшем индексы а, характеризующие тип и поляризацию
волны, будем, как правило, опускать). Эти условия в физике плаз-
плазмы принято называть распадными [1], в нелинейной оптике —
условиями пространственно-временного синхронизма [17]. Отме-
Отметим, кроме того, что уравнения D4) иногда называют уравнения-
уравнениями для связанных мод;!^,^,^ называют обычно коэффициентами
связи между модами или матричными элементами, описывающими
взаимодействия трех волн.
Подчеркнем, чтс Vkx*^обладают определенными свойствами
симметрии, впервые отмеченными в работе [6]:
Первое из условий довольно очевидно — оно отражает симмет-
симметрию по отношению к перестановке волн c(k\) и c(k2). Второе
условие, как нетрудно показать, следует из действительности плот-
плотности, массовой скорости, напряженности магнитного поля, опи-
описывающих МГД-волны. Наконец, третье условие справедливо для
тех триплетов волн, для которых выполняются распадные условия
D6). Это условие можно рассматривать как следствие закона
сохранения энергии и импульса при трехволновых взаимодейст-
* Если система собственных функций линейной задачи не полна, то в пра-
правую часть D3) следует ввести ty — добавку, ортогональную собственным век-
векторам \J)a.
20

виях. В самом деле, из D4) при условии D6) можно получить:
\<»k2\+Nk2 |<dJ) =
= 2sin6VNkUklNk2 [Vk,kl,*,sgn(©АюЛ - VklЛ_*2sgn(a^)©fti -
jcoJ, D8)
где t = ?k-?kl-9b* **
Левая часть D8) обращается в нуль (сохранение энергии при
трехволновых взаимодействиях). Следовательно, в нуль должна
обращаться и правая часть D8), причем независимо от относи-
относительной фазы взаимодействующих волн 0. Если подставим в D8)
Wi(ki) из D6), то получим третье свойство симметрии коэффи-
коэффициентов связи мод в D7).
Хотя рассмотрение проводилось для МГД-волн, можно понять,
что уравнения, описывающие взаимодействие волн других типов
в плазме, будут подобны уравнениям D4), а соответствующие
коэффициенты связи будут обладать свойствами симметрии D7).
В самом деле, в пренебрежении затуханием волн мы фактически
имеем дело с эрмитовыми операторами, описывающими линейные
колебания плазмы. Это приводит к уравнениям типа D4) незави-
независимо от вида нелинейности.
Уравнения D4) позволяют довольно просто описать распадную
параметрическую неустойчивость.
Пусть мы имеем синусоидальную волну малой (но конечной)
амплитуды. Малость амплитуды позволяет, с одной стороны, в
первом приближении не учитывать эффекты самовоздействия вол-
волны, а с другой стороны, воспользоваться системой уравнений D4)
для исследования устойчивости волны. При исследовании устойчи-
устойчивости обычно считают исходное состояние системы плазма — сину-
синусоидальная волна заданным и рассматривают, как на этом фоне
развиваются малые возмущения. Это означает иначе, что ампли-
амплитуду исходной синусоидальной волны следует считать постоянной
(как уже говорилось, такую волну называют волной накачки).
Тогда, учитывая в D4) лишь резонансные слагаемые, нетрудно
получить систему двух уравнений для амплитуд флуктуационных
волн (малых возмущений) С\((о\, k\, i) и ?2@02, &2, 0> связанных с
постоянной амплитудой исходной волны распадными условия-
условиями D6)
(-«„ -kv t)ldt = V-ki.-b.klc,(-°. -*)'iK. К t) J ( }
Эта система имеет простое решение. Учитывая, что Ct(—со/,
ki)=c*i((di, ki) (условие действительности амплитуд), а также,
21

что V_*,. _*„,*, = V*I,*b._»1, получаем:
с, (ю„ &,, ^) = с-(ш1, А,, 0)ехр(-у
(-mt. -*i> 0 = <?Г(-»1' -Af °)exP(-TDO-f E0)
+ с+(-ю|. -А„ O)exp(YDO-
где т!,= 1У*1л.-*.
Итак, показано, что исходная волна конечной амплитуды не-
неустойчива — флуктуации экспоненциально нарастают. Это проис-
происходит тогда, когда в плазме имеются флуктуации, частоты и вол-
волновые векторы которых связаны с частотой и волновым вектором
исходной волны распадными условиями D6).
Отметим, что резонансное взаимодействие возникает и для ко-
колебаний, связанных с исходной волной условиями
ш0 = со2 — (Oj; k0 = k2 — kx.
Однако такая связь между флуктуационными волнами ведет лишь
к сдвигу их частот, а не к неустойчивости [6]. В самом деле, в
этом случае YD = — Vklkfiki \с012<0. Таким образом, задача об
устойчивости волн сводится к нахождению тех триплетов, для ко-
которых выполняются распадные условия, и последующему вычисле-
вычислению коэффициентов связи или матричных элементов, описываю-
описывающих взаимодействия этих триплетов.
В качестве конкретного примера рассмотрим исследование
устойчивости синусоидальной альвеновской волны не слишком
большой амплитуды [5]. Известно, что в магнитной гидродинами-
гидродинамике жидкостей и плазмы альвеновские синусоидальные волны яв-
являются точным решением нелинейных уравнений (эффекты укру-
чения и ангармонизма для таких волн отсутствуют из-за их поля-
поляризации и несжимаемости их движения). В связи с этим длитель-
длительное время считалось, что альвеновские волны могут бесконечно
долго распространяться без искажения своей формы в МГД-среде
без поглощения. Покажем, что альвеновские волны неустойчивы
по отношению к возмущениям, содержащим не только альвенов-
альвеновские, но и магнитозвуковые волны. Путем простых алгебраических
вычислений нетрудно проверить, что распадные условия D6) вы-
выполняются для следующих триплетов с участием исходной альве-
альвеновской волны: A-+Ai-\-S2\ A-+M\-\-S2\ А-*А\-\-М2, где Л, S, М
обозначают соответственно альвеновские, медленные и быстрые
магнитозвуковые волны. Причем максимальные инкременты рас-
падной параметрической неустойчивости альвеновских волн в плаз-
плазме малого давления (p<Cl) относятся к неустойчивости с возбуж-
возбуждением дублета альвеновской и медленной магнитозвуковой волн.
Вычисляя в соответствии с изложенной методикой Ул^д,, —s2> не-
22

трудно найти выражение для инкремента неустойчивости [5]:
где 6 и у — углы между плоскостями ко, Но и кь Но, а также кь
Но и к2, Но соответственно; ось у выбрана перпендикулярно Но в
ллоскости к2, Но. Этот инкремент имеет порядок (^Va/]^8VaS) «>о .
Так же, как для других типов распадных неустойчивостей, в пре-
пренебрежении диссипацией инкремент пропорционален амплитуде
исходной волны.
Если в возмущение вместо альвеновской волны входит быстрая
магнитозвуковая волна, то, как нетрудно показать, инкремент
неустойчивости несколько меньше, хотя и того же порядка, что и
определяемый E2). Инкременты для возмущений других типов
много меньше E2).
3.2. Неустойчивость альвеновских волн большой амплитуды.
Можно ожидать, что параметрическая связь волн, вызывающая
РПН, приводит к неустойчивости волн не только малой, но и
большой амплитуды. Для волн большой амплитуды задача ослож-
осложняется тем, что нельзя применить изложенную ранее теорию воз-
возмущений, поскольку невозможно рассматривать однородную плаз-
плазму как фон, на котором развиваются все остальные события —
распространяется волна малой амплитуды, параметрически воз-
возбуждающая затем новые дублеты волн. Очевидно, что волны не
малой амплитуды существенно меняют дисперсионные свойства
среды. Нахождение этих свойств для волн произвольной амплиту-
амплитуды и формы, допускаемых уравнениями, — задача настолько труд-
трудная, что в настоящее время не видно путей ее решения в общем
виде. Поэтому исследования были направлены на поиск задач, с
одной стороны, поддающихся решению, с другой стороны, пред-
представляющих общефизический интерес.
Вначале была решена задача об устойчивости альвеновских
волн произвольной амплитуды с пилообразным профилем силовых
линий магнитного поля (см. рис. 1 [19]). (Как уже говорилось в
§ 1, альвеновские волны рассматриваемого профиля являются
точным решением уравнений идеальной магнитной гидродинамики
при произвольной амплитуде.) Задача сводится к нахождению
частот и инкрементов собственных колебаний рассматриваемой
МГД-среды. С этой целью удобно перейти в систему координат,
связанную с исходной волной.
В такой системе координат в областях, где магнитное поле
постоянно, решение ищут в виде суперпозиции собственных коле-
колебаний среды (альвеновская, магнитозвуковые и энтропийная вол-
волны). Кроме того, необходимо учитывать малое смещение границы
между областями с постоянным магнитным полем. Условия непре-
непрерывности потоков массы, энергии, импульса, нормальной к разры-
23

ву составляющей магнюного поля и тангенциальной составляю-
составляющей электрического поля, позволяют найти со и, следовательно,
решить задачу об устойчивости. Используя пространственную пе-
периодичность коэффициентов в уравнениях магнитной гидродина-
гидродинамики для малых возмущений, можно представить возмущения ско-
скорости V, магнитного поля h и плотности pi в виде
^=т (г) ехр (—ico^+ipr), E3)
где индекс i относится, как и ранее, к компонентам вектора ty9
описывающим pi, V, h; ui(r) —периодические (с периодом исход-
исходной волны) решения уравнений; со —частота соответствующего'
возмущения.
Линеаризуем относительно малых возмущений условия непре-
непрерывности. Тогда, выбрав ось х вдоль невозмущенного магнитного
поля Но, а ось у вдоль направления колебаний гидродинамической
скорости 6V исходной альвеновской волны, можно записать;
{hybHy -f hxH0} = 0; {Vy + ky (8V» bD} = 0,
где 8D — возмущение скорости границы между областями с по-
постоянным магнитным полем; 6Н = — DnpoI/26V — магнитное поле
альвеновской волны; посредством фигурных скобок обозначена
разность значений возмущенных величин с обеих сторон поверх-
поверхности разрыва. При получении E4) рассматривались лишь адиа-
адиабатические возмущения. Кроме того, использована связь между
возмущениями скорости границы с ее смещением g:
8D=—icog(i/, z)\ l(y, z)<^>exp (ikyy + ikzz). E5)
Для простоты ограничимся случаем, когда скорость и магнит-
магнитное поле возмущений лежат в плоскости хОу (см. рис. 1). Тогда
решения в областях с постоянным магнитным полем можно пред-
представить в виде суперпозиции медленной и быстрой магнитозвуко-
вых волн. (Естественно, связь величин pi, V, h находится из
МГД-уравнений.)
Пусть —Ь<х<0, тогда решение
+с4ехр (i?~2*) ] ехр (—Ш+ikyy), E6)
где k\,2 — составляющие волновых векторов вдоль оси х для мед-
медленной и быстрой магнитозвуковых волн соответственно; кж к —
линейно независимые решения для данной частоты со.
В интервале 0<х<а аналогично имеем
Ф= [csexp (iA+i*) +й>ехр (iS+i^) +c7exp (ik+2x) +
+с8ехр (ik+2x) ] ехр (—Ш+ikyy). E7)
24

Индексы г у if) и коэффициентов с здесь и в дальнейшем опущены.
Решение в области а<х<а-\-Ь получаем из условия периодич-
периодичности:
ij)= {ciexp [i&-"i (x—a—b) ] -f^exp \\k~i (х—а—- Ь) ] +
+?зехр [\kr2 {x—a—b) ] +c4exp [i?~2 (х—а—Ь) ]} X
Хехр [-ш+ikyy+ip (а+Ь) ]. E8)
Подставив E6) — E8) в граничные условия E4) и учтя связь
между компонентами вектора ф/, даваемую уравнениями магнит-
магнитной гидродинамики, получим систему линейных уравнений для
восьми коэффициентов си ..., св. Из условия разрешимости этой
системы получаем дисперсионное уравнение для со = со(р, ky).
В общем случае оно имеет весьма громоздкий вид, поэтому при-
приведем его для наиболее интересного случая волны большой ампли-
амплитуды FVa^>Ho/y4icp0^Va), распространяющейся в среде мало
го давления (S<C^а<Сб1/а, 5 — скорость звука):
sin irlrsin v^r Icos \p (a+W -cos {k*b)cos
?L CL п п \
(^ + \)sin (M)sin (^+^) 1 =
n OVa . (USD I (Поп и- /*+ \ •
= 6 — Sin { COS [k2 COS (fea) Sin
, _ [e>+kvWa 1 , ,
sin (л? л) cos (fe b)\ — cos jf— а — р(аАгЪ)\Щ sin (fea) —
L ^a J
/to + ky dVy \ _ _ }
— cos ( —у a) k2 sin(fe b)) "•
\ о / '
Va$Va
0
sin {kta) cos (ЛГ&)] cos -^- - fe+ sin (&2+a) cos
V$V \ a J
] j E9)
где
^±2=t= (co/6Fa) A±2MWI/2. F0)
Уравнение E9) в пренебрежении правой частью имеет действи-
действительные корни, которые можно классифицировать следующим обра-
образом. Корни, соответствующие первым двум сомножителям, отно-
относится к медленной магнйтозвуковой волне и имеют вид, соответст-
соответствующий квантованию волновых чисел в резонаторе ((uS/Va&Va—
= nn/ay tt=0, ±1, ±2, ...). Третий сомножитель относится к быст-
быстрой волне и по форме совпадает с уравнением для. уровней элект-
электрона в периодическом поле решетки. Учет правой части дает
поправку к частотам в нулевом приближении. Если в нулевом
25

приближении два корня, соответствующие быстрой и медленной
МГД-волнам, совпадают, то квадрат поправки к этой частоте
отрицателен, что означает появление неустойчивого решения, ха-
характеризуемого инкрементом
v^Va/a. F1)
Эта неустойчивость напоминает РПН альвеновской волны ма-
малой амплитуды, в результате которой возбуждаются быстрая и
медленная магнитозвуковые волны. Однако если при РПН осу-
осуществляется резонанс первого порядка, то здесь в игру равно-
равноправно вступают кратные гармоники.
4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ГЕЛИКОНОВ
(РПН, МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
МОДИФИЦИРОВАННОГО РАСПАДА)
Электромагнитные волны с частотами в интервале
(сояь сояе —ионная и электронная гирочастоты) хорошо из-
известны в физике ионосферы (свисты) и в физике твердого тела
(геликоны). Их групповые скорости возрастают с частотой, так
что принимаемый сигнал имеет понижающийся тон, отсюда и на-
название —свисты. Основы линейной теории этих волн заложены
в работах [40, 41]. Здесь изложим теорию параметрических не-
устойчивостей волн накачки геликонного типа. Результаты этой
теории имеют несомненную ценность для многих прикладных за-
задач, но не только это побудило автора обратиться к параметриче-
параметрическим неустойчивостям геликонов. На этом примере удобно пока-
показать взаимную связь параметрических неустойчивостей различных
типов [2].
Прежде всего получим уравнение, описывающее параметриче-
параметрическую связь геликонов с низкочастотными возмущениями. Ограни-
Ограничимся возмущениями, содержащими колебания звукового типа.
Как и ранее, задачу будем решать методом теории возмущений.
В данном случае невозмущенная система состоит из однородной
плазмы [плотность Л/о, давление р0 (S2=ypo/po)] и волны накачки
геликонного типа, распространяющейся вдоль однородного маг-
магнитного поля Но (ось z вдоль Но). Итак, гидродинамические вели-
величины, описывающие возмущенное состояние плазмы, можно пред-
представить в виде
Н = Но + 8Н± (z, t) + h± (z, t), F2)
E = 8E1(z, t)+e±(z, t); F3)
V - 8V± (z, t) + V± (г, t) + V „ (z, t); F4)
N=N0+n(z, t).
Величины 8H_l, 8Е±, 8Vj_ характеризуют геликон накачки. Напом-
Напомним, что это циркулярно поляризованная волна, так что от х и у —
26

поперечных компонент — можно перейти к величинам б У:
8Vx—i8Vy=6Vexp(—i(i>ot+ik<jz)+K. с.
Аналогичную процедуру можно проделать для электрического и
магнитного полей. При этом связь 8V с ЬЖ и бе определяется ли-
линейными уравнениями движения электронной жидкости и уравне-
уравнениями Максвелла:
—i (соо+сон) бV= — (е/т) бе; кф36= — DneN0/c) бF—i (cdo/c) бе;
где частота геликона накачки ©о определяется хорошо известным
соотношением
Нетрудно составить систему уравнений, описывающих возмуще-
возмущения первого порядка относительно фона (система плазма — гели-
геликон накачки):
dV „ /dt + (S2/N0jdn/dz = - (д/дг) (h16H1)/47tp0; F5)
NodV{lldz = O; F6)
± + (IIc) [VjH.]}-
8Vj_-(^)[V,,8Hj; F7)
rot h± - A/c) de±ldt + 4nNoe VJc = - 4«^8V±/c; F8)
h±/* = 0. F9)
Очевидно, уравнения F5), F6) описывают возмущения звуко-
звукового типа, а F7) —F9) — геликонного. В отсутствие волны накач-
накачки эти волны распространяются независимо. Волна накачки
связывает их, что отражается в слагаемых, записанных нами в
правых частях уравнений F5) —F9).
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим плазму малого
давления ($ = S2/V2A<ti 1). Тогда уравнения можно упростить. По-
Поскольку рассматривается геликон малой амплитуды FЯ/ЯО<^1),
можно считать, что величины п, V\\, а также hj_ и Vj_ связаны
между собой почти линейными соотношениями. Поэтому из трех
слагаемых в уравнениях F7), F8), описывающих связь геликона
с низкочастотным возмущением звукового типа, главным является
слагаемое АъепЬУ\jc в F8). Это соображение позволяет упро-
упростить систему F5) —F9). Переходя к фурье-компонентам по про-
пространственной переменной, а также представляя величины, описы-
описывающие геликоны, в виде произведения медленно меняющейся
части и быстроосциллирующего сомножителя, пропорционального
ехр (—icor, t), получаем следующую систему уравнений:
= № - KY Ь^^ ехр (- i »J + i V); G0)
27

L # rc j ^v0
kr = k0 + k5. G2)
Заметим, что при выводе G0) не использовалось условие бли-
близости низкой частоты к частоте звуковой волны. Уравнения G0),
G1) позволяют исследовать параметрически связанные волны.
Как и прежде, параметрически связанными оказываются две вол-
волны. Рассмотрение такой связи удобно начать с резонансного слу-
случая rik (t) ~ exp (i Qt), Q я^ ш5.
4.1. Распадная неустойчивость геликонов. При резонансном
взаимодействии геликонов с звуковыми волнами (cor==(Oo+cos)
уравнения G0), G1) можно переписать в матричной форме:
Решение системы G3) ищем по теории возмущений: Q =
Тогда
-О, G4)
и условие разрешимости G4) дает следующее выражение для по-
поправки к частоте 6Q:
6Q2= — (k2ak0VglS(Qs) \ЬЩ2/2яр0, G5)
где Vg=d(Or/dk — групповая скорость. Нетрудно видеть, что не-
неустойчивость развивается FQ2<0) при kr^—kOy ks^2k0, cos<0,
т. е. нарастают «красные» сателлиты исходного геликона. Это и
есть РПН геликонов.
4.2. Модуляционная неустойчивость геликонов. Модуляцион-
Модуляционную неустойчивость геликонов можно описать аналогично резо-
резонансному взаимодействию геликонов со звуковой волной. Отличие
состоит, во-первых, в том, что здесь необходимо рассматривать
возмущения с частотами, близкими не к звуковым, а к частотам
несобственных колебаний электронной плотности (Q^kd(or/dk)*
При этом возмущения геликонного типа состоят из пары волн,
амплитуды магнитных полей которых h± соответствуют волновым
векторам k±=k0±k. Поэтому в правую часть G0) следует ввести
слагаемое, соответствующее к_, а также добавить к системе G3)
уравнение для h_, аналогичное G1). После указанных дополнений
28

система уравнений выглядит следующим образом:
0
XI Л+ 1 = 0. G6>
Чтобы получить дисперсионное уравнение, следующее, как обычно,,
из условия разрешимости G6), необходимо линейные дисперсион-
дисперсионные выражения для геликонов: k±—[(со±?2J/&±с2]е(со±Й) разло-
разложить по малой разности й—?да)о/<3&о и учесть следующие в таком
разложении поправки, пропорциональные k2d2(uO/dk2o. Тогда по-
получим
B -
Возмущения, описывающие модуляционную неустойчивость, нара-
нарастают с инкрементом
где а=^о(^со0/^о)/4ро[52—(дщ/дкоJ]. В рассматриваемом пре-
пределе (p<Cl)a^—k/po(d(uo/dko)<O. Нетрудно показать, что условие1
неустойчивости есть д2аH/дк20>0 и оно выполняется для частот
||
(/)||
Заметим, что а — коэффициент пропорциональности, связы-
связывающий нелинейный сдвиг частоты геликона с квадратом ампли-
амплитуды волны накачки. Как мы видели для неустойчивости, произ-
произведение ш?2соо/<5&2о должно быть отрицательным. Это является от-
отражением общего критерия модуляционной неустойчивости,,
полученного Лайтхиллом [42]. В самом деле, для волн малой амп-
амплитуды а нелинейная добавка к частоте со пропорциональна квад-
квадрату амплитуды, так что
© (А, а)=о)о(?)+аа2. G9)
Покажем теперь, что не только при отрицательных, но и при:
положительных а (но в этом случае при отрицательных d2a)/dk2o)
возникает модуляционная неустойчивость. Для этого рассмотрим
уравнение переноса энергии [43], которое в общем виде можно»
записать следующим образом:
da2/dt+ (д/дх) (Vga2) = 0. (80)
Уравнение (80) следует дополнить уравнением, связывающим^
изменение во времени волнового вектора (определяемого как.
2»

Рис. З. Развитие модуляционной
неустойчивости
<)у/дх, где ф —- фаза волны) с изменением частоты (определяемой
как —dq/dt). Нетрудно видеть, что это уравнение есть
dk/dt= —д<д/дх= — Vgdk/dx—ada2/dx. (81)
Пусть на монохроматическую волну с волновым числом ko и
амплитудой #о наложена малая модуляция:
&=&о+^/ехР (—iQt-\-inx); а=ао+б#ехР (—iQ^+ix*),
так что ?2<Ссоо, х<С&о. Тогда, линеаризуя (80) и (81), легко полу-
получить дисперсионное уравнение:
Q = Vg% нь у a (dVgldk) ш\, (82)
Очевидно, неустойчивость имеет место при adVg/dk<0. Нетрудно
лонять смысл неустойчивости. Пусть а>0. Тогда в областях мак-
максимальных амплитуд (точки А и
А') фазовая скорость больше, чем в
областях минимальных амплитуд
(точка В) (рис. 3). Это означает
рост числа узлов с приближением к
области минимальных амплитуд и
падение его при удалении от нее,
так что если групповая скорость
будет иметь отрицательную произ-
производную по ky то колебания в обла-
области а отстают, а в области Ь убега-
убегают вперед, тем самым увеличивая
рост амплитуды и углубляя ее ми-
минимум. Это и есть модуляционная неустойчивость.
4.3. Неустойчивость модифицированного распада. Рассматри-
Рассматривая выражение G5) для инкремента распадной неустойчивости и
сравнивая его с частотой звуковых колебаний, можно заметить,
что при
| ЬЖ21 /4яро>4521 (us/hVg | (83)
формально инкремент распадной неустойчивости превышает ча-
частоту звуковых колебаний cos. Это означает, что теория возмуще-
возмущений для звуковой волны неприменима. Тем не менее, как нетруд-
нетрудно видеть, система уравнений G0), G1) справедлива и для таких
амплитуд, лишь бы отношение 6<9^/#0 было малым. Это означает,
что в G3) для рассматриваемого случая относительно больших
амплитуд величиной k2sS2 можно пренебречь в сравнении с Q2.
Тогда из условия разрешимости G3) получаем следующее вы-
выражение:
Q = [A ± i VS)/2] (kok/Vq I ЬЖ |78*РоI/3. (84)
Как видно из (84), неустойчивость носит почти апериодический
характер, поэтому ее иногда называют апериодической парамет-
параметрической неустойчивостью. Она относится к той же зоне, что и
распадная, но возникает при больших амплитудах, вследствие че-
чего ее обычно называют неустойчивостью модифицированного рас-
распада.
-30

5. ВЗРЫВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЦИКЛОТРОННЫХ ВОЛН
С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ И ЕЕ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЗА СЧЕТ
НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕОДНОРОДНОСТИ
Волны с отрицательной энергией получили такое название в.
связи с тем, что рост их амплитуды (при постоянстве энергии
среды) приводит к уменьшению полной энергии системы среда —
волна. Б. Б. Кадомцев, А. Б. Михайловский и А. В. Тимофеев [44]
впервые обратили внимание на возможность появления в плазме
волн с отрицательной энергией. Когда же такие волны возникают?
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к известному выра-
выражению для энергии электромагнитной волны W в среде с диспер-
дисперсией:
W=(l/8n)[(d/dG>) (coe)<?2>+(d/dco) (|ш)<№>]. (85)
Здесь е и \х — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды:
угловые скобки означают усреднение по осцилляциям. Пусть для.
простоты мы имеем дело с электростатическими волнами, тогда
из (85) следует, что энергия волн определяется знаком de/rfco.
В термодинамически равновесной среде в соответствии с соотно-
соотношениями Крамерса — Кронига знак ds/Ao определен — он поло-
положителен. Это означает, что волны с отрицательной энергией могут
возникать лишь в термодинамически неравновесной плазме. Мож-
Можно показать, что в изотропной плазме, пронизываемой моноэнер-
моноэнергетическим пучком, плазменные волны с фазовыми скоростями,,
близкими к скорости пучка, являются волнами с отрицательной
энергией. В магнитоактивной плазме волны с отрицательной энер-
энергией возникают при большой анизотропии температур (Т\\/Т±-^0).
Волны с отрицательной энергией обладают рядом особенностей.
Так, учет диссипации приводит не к затуханию, а к самовозбуж-
самовозбуждению этих волн. В самом деле, диссипация должна вызывать уве-
увеличение энергии среды, но ведь полная энергия системы среда—
волна остается постоянной. Следовательно, увеличение энергии
среды должно быть компенсировано ростом отрицательной энергии
волны, а это, в свою очередь, означает рост амплитуды волны.
Математически такая ситуация описывается следующим образом..
Используя методику вывода уравнений для взаимодействующих
волн, изложенную в § 2, нетрудно показать, что обобщением урав-
уравнений для связанных мод на случай произвольного знака энергии
в системах с диссипацией энергии являются уравнения
Sjctldt = - wt + i Е V4kCjck, (86)
где Si =
В линейном слагаемом, описывающем диссипацию энергии, yt
положительно. Легко видеть, что в этом случае, когда второй член
в правой части (86) отсутствует, решение уравнения есть ci=
= c*@)exp(—y^/S/), т. е. в диссипативных средах волны с поло-

.жительной энергией затухают, а с отрицательной — растут. Мат-
Матричный элемент нелинейного взаимодействия вычисляют по пра-
правилам, изложенным в предыдущих параграфах. Описанную выше
неустойчивость можно рассматривать как неустойчивость, связан-
лую с отводом энергии из волны с отрицательной энергией в дру-
другие части общей системы. Если общая система, помимо среды и
волны с отрицательной энергией, содержит другие волны, то, как
мы знаем, параметрическая связь дает перекачку энергии из вол-
волны накачки в волны, связанные с ней распадными условиями A).
Рассуждения, аналогичные приведенным выше для линейного при-
приближения, показывают, что при параметрической передаче энер-
энергии от волны накачки к возбуждаемым волнам амплитуда волны
накачки с отрицательной энергией сама должна нарастать! Такая
неустойчивость получила название взрывной. Впервые одновремен-
одновременный рост амплитуд трех волн был описан с помощью кинетиче-
кинетического уравнения, корректно учитывающего взаимодействия волн
€0 случайными фазами и разными знаками энергии [12].
Затем А. В. Тимофеев [45], анализируя вспышки циклотрон-
циклотронного излучения в экспериментах по удержанию плазмы в зеркаль-
зеркальных ловушках, связал это излучение с циклотронными волнами
отрицательной энергии и обратил внимание на взрывной характер
неустойчивости, оценив при этом время «взрыва». Однако после-
последовательная теория взрывной неустойчивости, в которой показано,
что амплитуда всех трех волн в трехволновом приближении стре-
стремится к бесконечности за конечное время (время взрыва), была
построена в работах [13, 46].
5.1. Взрывная неустойчивость циклотронных волн. В качестве
примера рассмотрим магнитоактивную плазму с анизотропным
распределением ионов по скоростям. При этом анизотропию будем
-считать достаточно сильной (Тц/Г^—^О)..Диэлектрическая прони-
даемость для волн с частотами, близкими к ионной циклотронной,
определяется следующим образом:
to k
8_ i ___^? LJj
LJ
k* (СО —
где Тп = In (b±) exp (— b±) (b± = k^T/MQ2^ In — модифицированная
^функция Бесселя п-то порядка). Нетрудно видеть, что ионно-цикло-
тронные волны действительно есть волны с отрицательной энергией -
Рассмотрим распадное взаимодействие е^лны накачки с отри-
отрицательной энергией с волнами, имеющими положительную энер-
энергию. Здесь уже нельзя ограничиться двумя уравнениями лишь для
новых волн, а необходимо рассматривать динамику всех трех
золн — ведь амплитуда волны накачки также должна расти. Тогда
мз (86) получим:
dck[dt= — iSkVktkltk2ck, ck%\
) J) =-i yk,kl,-k2ckck\; \ (87)
dckjdt — — i S*2V*a,fei, -kckc*kX\
32

Считая волну амплитуды ck волной с отрицательной энергией и
вводя вместо Ckt новые переменные по схеме снь = Щ exp(i^), из
(87) найдем, что
dujdt = + Vutui cos Ф;
dujdt = Vmi cos Ф; 8g
дФ/dt = - V {uxutlu. + u.uju, + и^/и.) sinФ, '
1 где V — f Уь t t I* ф —• ф — ф — <p —1— it/2.
Система (88) имеет очевидные интегралы движения:
mi = u2o—u2\ = const; m2=u2o—u22=const;
m0 = w2i~-w22=const, (89)
которые являются не чем иным, как известными соотношениями
Мэнли — Роу для рассматриваемой системы. Учитывая, что при
использовании первых трех уравнений системы (88) последнее
уравнение можно свести к виду
дф/dt^tg Ф (Ь/dt) In (и0щи2), (90)
а также используя (89), первое уравнение можно переписать сле-
следующим образом:
WiJt 7-—2 _d^° ц2 _т (91)
Полагая w22>/ni>m2 и переходя к переменной y(t)=mil/2/u, мож-
можно преобразовать интеграл (91) в эллиптический:
y(t)
=- Г лГ У (92)
@)
где 7i^(mtjm^2. Отсюда следует, что
ис (t) = m\l2l\m\l2lv @) - sn (V Vmjp)]. (93)
Поскольку волна с амплитудой и0 была волной накачки, т. е.
и0 — наибольшая из амплитуд, то ио>т{/2. Это означает, что при
стремлении к некоторому te амплитуда Uqt+oo по закону (t—te)~xy
а вместе с ней в соответствии с (89) по такому же закону стре-
стремятся к бесконечности амплитуды волн щ и и2. Следовательно,
неустойчивость носит взрывной характер.
5.2. Стабилизация взрывной неустойчивости вследствие нару-
нарушения пространственно-временного синхронизма. Взрывная не-
неустойчивость в различных условиях стабилизируется либо за счет
нелинейных эффектов, либо за счет выноса волн из зоны взаимо-
взаимодействия в неоднородной плазме. Простейшим нелинейным эффек-
эффектом, приводящим к стабилизации, является рост нелинейного сдви-
сдвига частот взаимодействующих волн при развитии взрывной
3-3283 33

неустойчивости [30]. Нелинейный сдвиг частот возникает в. сле-
следующем порядке в разложении по амплитуде взаимодействующих
волн, вследствие чего этот эффект проявляется раньше других
нелинейных эффектов. Можно показать, что учет нелинейного
сдвига частот изменяет уравнения (87) следующим образом:
dckldt+ick[a. | CJ2+«, I ск1\г + аг | cJ] = -iSkVckCki;
% КI ej' + «', I * J'+a', | сы П = - i Sjc^ (94)
где в системах без диссипации энергии щ и V — действительные
числа. Используя введенные ранее переменные щ, нетрудно пока-
показать, что первые уравнения для амплитуд щ системы (88) не изме-
изменяются, поэтому и соотношения (89) Мэнли — Роу остаются неиз-
неизменными. Четвертое уравнение из (88) надо заменить следующим:
дФ/д/+б(о(иО= — V[u\U2luo+UQU2lti\+UQti\lu2\sm(b, (95)
где
8ш(и,) = ? №\; pt. = a,~a^^a;'. (96)
/=0,i,2
Для простоты рассмотрим случай Afi=M2. Тогда из первых
трех уравнений (88) и уравнения (95) получим систему двух урав-
уравнений:
dnldt = 2V/z3/2cos Ф;
s Ф,
где у=2Р;; n^u20 — число квазичастид, соответствующих волне, с
отрицательной энергией. Из этих уравнений нетрудно найти еще
один интеграл движения:
nV2sm<&=-y/4Vn2+T, (98)
где Г —константа. Характер решения для n(t) не зависит от вы-
выбора Г [30], поэтому можно в простейшем случае считать Г=(Х
Тогда (97) приводится к уравнению
dn/dt=±2V(-r)nA+n3)V2, n=v2/16V, (99)
которое можно записать в форме, часто используемой в теории
солитонов (см. статью А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в дополни-
дополнительном томе):
A/2) (dn/dtJ+U(n)=0, A00)
где U(n) =2V2(ritt4—/г3). Его трактуют как закон сохранения энер-
энергии при движении частицы-аналога в потенциальном поле U (х)
(п=х — координата частицы-аналога). При этом удобно исполь-
использовать график потенциала U(x) (рис. 4,а). Тогда при цфО реше-
решение, соответствующее нулевой полной энергии частицы-аналога,
имеет фазовую траекторию (рис. 4,6), описывающую финитное
движение частицы-аналога. Это означает, что рост п ограничен
некоторым предельным значением (рис. 5). Иными словами, вве-
34

дение нелинейной частотной расстройки вызвало автостабилиза-
автостабилизацию взрывной неустойчивости. Заметим, что уравнение (99) имеет
простое решение
n(t) = [i\+V*(tu-t)*]-\ A01)
где
tie=V-l[n@)]-W[l-r\n@)]1'*, A02)
а максимальное значение п достигается при t=t\e\
/гМакс=я(/1,)=г]-1=16У2/т2. (ЮЗ)
Из A01) —A03) видно, что при т]->0 мы имеем взрывную не-
неустойчивость с характерным временем te=V~l[n@)]~l/2.
Рис. 4. Функция U (п) (а)
и фазовая плоскость (б)
tj t
Рис. 5. Развитие взрывной
неустойчивости при учете
нелинейного сдвига часто-
частоты
В неоднородной плазме необходимо учитывать вынос колеба-
колебаний из зоны неустойчивости. Пространственная задача о стабили-
стабилизации взрывной неустойчивости за счет указанной расстройки про-
пространственного синхронизма была решена методом, подобным
изложенному [31]. Было показано, что, как и при расстройке
временного синхронизма, в указанном случае возможна стабили-
стабилизация взрывной неустойчивости.
6. ТЕОРИЯ РПН ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ МГД-ВОЛН
В ПЛАЗМЕННОМ ЦИЛИНДРЕ, УДЕРЖИВАЕМОМ МАГНИТНЫМ
ПОЛЕМ (СИСТЕМА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ)
Рассмотренные выше РПН хорошо описываются полученными ранее форму-
формулами до тех пор, пока справедливо приближение безграничной плазмы. В таком
приближении, естественно, не учитывается изменение дисперсионных характери-
характеристик волн из-за наличия границ, влияние нелинейности граничных условий на
3* 35

взаимодействие волн и отбрасывается широкий класс волн — так называемые
поверхностные волны, Это затрудняет сравнение экспериментальных результатов
с выводами теории, а иногда делает такое сравнение невозможным.
Изложим общие принципы построения теории взаимодействия волн в огра-
ограниченных системах [29] на примере взаимодействия волн в магнитогидродина-
мическом плазменном столбе с резкой подвижной границей, а также проанали-
проанализируем общие результаты теории, относящейся к РПН. При рассмотрении про-
проведем последовательный учет нелинейности граничных условий. Покажем, что
такая нелинейность играет особенно существенную роль в трехволновых процес-
процессах, когда хотя бы одна из взаимодействующих волн является поверхностной.
Внутри плазменного цилиндра справедливы уравнения B2) — B4), в кото-
которых все величины снабдим дополнительным индексом и Л
Вне плазменного цилиндра необходимо использовать уравнения Максвелла
для электрического Е(е) и магнитного Н(е> полей:
A04)
, A05)
а также граничные условия, которые для плазмы, удерживаемой магнитным по-
полем, сводятся к равенству сил давления плазмы и магнитного поля:
r==a i i
и непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля
+ | A07)
на подвижной границе, т. е. в точке г=а-|-|, где а — радиус плазменного ци-
цилиндра; ?— малое смещение границы, возникающее при исследуемых волновых
процессах.
Для получения уравнений, описывающих МГД-моды плазменного цилиндра,
необходимо вначале решить линейную задачу и построить соответствующую орто-
ортогональную [в смысле C7)] систему собственных векторов. Затем, разложив
полный вектор системы по этим векторам и учтя возможное появление ортого-
ортогональной добавки к этим собственным векторам *, необходимо спроектировать
квадратичные по амплитудам уравнения на соответствующее «направление» —
собственный вектор в линейной задаче.
Дальнейшее изложение построим следующим образом. Вначале приведем
общие результаты теории взаимодействия МГД-мод в плазменном цилиндре при-
применительно к РПН, проанализируем эти результаты и лишь после этого дадим
строгий вывод приведенных формул. Это, по нашему мнению, позволит читателю
увидеть в целом физические явления за сложными7 математическими выкладка-
выкладками, а тот, кто не интересуется строгими выкладками, может отбросить при чте-
чтении заключительную часть параграфа.
Как следует из линейной теории, для волн внутри цилиндрических систем
все величины (возмущение плотности, массовая скорость, давление и напряжен-
напряженность магнитного поля) пропорциональны некоторым функциям
im9-ikzz) Ч A08)
* Появление добавки, как будет показано далее, связано с изменением
состояния границы под влиянием волн.
36

и их производным, где /т — функция Бесселя; г —радиус цилиндра; ф —азиму-
—азимутальный угол; ось г направлена вдоль оси цилиндра. Величины
^zy2A52] A09)
определяются с помощью сложных трансцендентных уравнений, полученных из
граничных условий A06) и A07). Если &2г>0, то волны являются объемными.
При &2г<0 Уж пропорциональны функциям Бесселя от мнимого аргумента,
а соответствующие волны являются поверхностными. Снаружи и объемные и по-
поверхностные волны описываются произведением модифицированных функций Бес-
Бесселя (дающих экспоненциальное затухание с увеличением радиуса) на
exp (—и
МГД-волны плазменного цилиндра поддаются довольно простой классифика-
классификации в предельных случаях kra<^\ и &га>1. Так, в плазме малого давления
(Р<1) альвеновские волны имеют такую же дисперсию, как в безграничной
плазме [см. C4)]:
©A=feVA. (ПО)
Они распространяются, не возмущая плазмы. Частоты магнитозвуковых волн
имеют следующую дисперсию:
©з =5r kzS, | kr | а ^> 1, т — произвольное;
<о4 =i;Vk2r + k2zVA , \kr\a^>1, m — произвольное.
Здесь coi — частота поверхностной волны, остальные частоты — объемных волн.
Дисперсия частот медленных магнитозвуковых волн со3 такая же, как и для без-
безграничной плазмы. Отличие дисперсии частот быстрых магнитозвуковых волн он
от дисперсии частот в безграничной плазме состоит в том, что k2r дискретно:
Для всех этих линейных мод строится система ортогональных собственных
векторов, что, как известно, означает независимость соответствующих состояний-
мод. Затем по процедуре, указанной выше, учитывается нелинейная связь мод.
В результате этого система уравнений для амплитуд параметрически связанных
МГД-волн плазменного цилиндра имеет вид:
i dc\Jdt = S (Vka> k,a,9 k,,a,, + Sk(Xt k,n,t k,,a,f) ck,a,ck,,an exp [ — i (co^a —
где, как и ранее, cko,—амплитуда волны, квадрат модуля которой равен числу
квазичастиц Л^а, т. е. cka - ]/Л^" exp (i ^а), где ^хаеь/| ь>ы \ (е^-энергия
волны); <fkoL — фаза волны.
В A12) матричные элементы Vka, k'a', k"a" описывают объемное взаимодей-
взаимодействие рассматриваемого триплета мод, они выражаются через интегралы вида
faa'a" (r) *т**т>*>*т»*»*г*
37

где faot,a,/ (r) — рациональная функция г; величины гтл линейно выражаются че-
через \mt \m±i, характеризующие объемные или поверхностные волны.
Матричные элементы Skak,a,t k,f(t,, описывают поверхностное взаимодействие
мод. Эти величины могут быть выражены через слагаемые типа
zm"a"\r=a-
Поверхностное взаимодействие мод возникает из-за нелинейных граничных усло-
условий. Для линейных граничных условий Ska к,л,>^/а// = 0-
Ниже будет показано* что полный матричный элемент ^a>^a/f^/a^. опреде-
определяемый как
^ka, k'a', *"a" s Vk*t k'a'.k"*» + Ska, k'a.', Jfe"a">
обладает теми же свойствами симметрии, что и матричные элементы в безгра-
безграничной плазме. Значит, общие выводы относительно РПН, сделанные ранее,
справедливы и для ограниченной плазмы.
Следует отметить весьма существенное отличие ограниченной плазмы от без-
безграничной, которое связано с изменением условий пространственного синхрониз-
синхронизма. В рассматриваемой здесь цилиндрической геометрии распадные условия, со-
соответствующие сохранению квазиимпульса, изменяются. Лишь по оси z условия
остаются неизменными:
hz^k{z+k2z. A16)
Синхронизм по углу ф приводит к равенству
то=т1-{-т2. A17)
Матричные элементы^а^/а/^,/а//обладают резонансными по радиусу свой-
свойствами лишь при &гЯ>1. Они максимальны при
Это означает, что если ^a fe,a/> kt,an ^ Skat#a/t k"a." (T- e- объемное взаимо-
взаимодействие является основным), та с учетом A17) можно сказать, что приближен-
приближенно выполняется также закон сохранения квазиимпульса в плоскости, перпендику-
перпендикулярной оси z. Однако, когда хотя бы одна из волн триплета имеет к-ьа ^ 1, ре-
резонансные свойства у Vka к,л, knan по г отсутствуют и, кроме того, поверхно-
поверхностнее взаимодействие становится сравнимым с объемным, т. е. ^ьаЛ'а'Л"*" ~
~ sk«,k'*', ft"a"- В СЕ0Ю очеРеДь> ?k*,k'a'.k"ai" в этом слУчае также не обла-
обладает резонансными свойствами. В результате A18) не выполняется даже при-
приближенно. То, что хотя бы для одной из компонент отпадает требование прост-
пространственного синхронизма, ведет, как нетрудно понять, к заметному увеличению
возможностей осуществления параметрической связи между волнами. (При этом
в спектре частот РПН наряду с красными сателлитами появляются и фиолето-
фиолетовые.)
В таблице, приведенной в конце статьи, суммируются результаты расчета
инкрементов РПН в магнитогидродинамическом плазменном столбе для процес-
процессов с участием поверхностных волн.
В турбулентном режиме, когда фазы волн ^а становятся случайными, урав-
уравнения типа A12) с учетом симметрии W^ &&',&'<*" веДУт к известным кинети-
38

че'ским уравнениям для числа квазичастиц (см. статью А. А. Галеева и
Р. 3. Сагдеева в т. 3).
Перейдем теперь к изложению строгого вывода динамических уравнений для
амплитуд МГД-волн A12). С этой целью представим исходные уравнения в виде,
аналогичном B8):
|>, 40=0. A19)
Как и ранее, здесь прежде всего необходимо решить линейную задачу:
* = O, A20)
т. е. определить собственные векторы оператора Йо. В силу цилиндрической сим-
симметрии зависимость собственных векторов от продольной и азимутальной коор-
координат можно выбрать в виде exp (\kiZ-\-\mqi). Тогда оператор Во можно запи-
записать следующим образом:
для внутренней области
д
дг
#:
8
0
~52т-
-kzs*
0
0
0 ~
i д
0
0
0
kz
0
д
m
г
0
0
0
0
kz
m
~ r
-kz
0
0
0
0
0
0
0
kzv\
0 k
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
m
г
0
0
0
0
A21)
компоненты КЭТ-вектора ф(*') связаны с МГД-величинами следующим образом:
Ф}° = *р/р.; Ф|.,. * = vr,9>,; Ф^е,т
для внешней области
0
0
0
0
kzc
me
г
0
0
0
— k
0
ic
~~ r
д
дг
0
0
0
тс
г
д
iclF
г 0
0
-кгс
тс
г
0
0
0
kzc
0
ic д
г дг Т
0
0
0
тс
~~ г
— ic
0
0
0
0
д
дг
A23)
компоненты вектора ф(*) связаны с электрическим и магнитным полями:
^1,2, 3 ~ Hf, <f>> zlH§ > 4, 5, 6 ~ ^r, «p, z/Hq •
A24)
39

Уравнения A21)—A23) задают оператор Йо совместно с граничными усло-
условиями A06), A07), которые во введенных переменных записываются следую-
следующим образом:
; ф('>=сФ<е>; Ф6И =0.
A25)
В A25) все величины следует выбирать, вообще говоря, на смещенной границе
/¦=а-|-?. Однако в рассматриваемой линейной задаче величины берутся при г=а
(тем не менее колебания границы плазмы учитываются, поскольку Угф0 в точ-
точке г—а).
Как и в случае безграничной плазмы, МГД-волны делятся на два типа: маг-
нитозвуковые и альвеновские (для них -фОО^О). Для магнитозвуковых волн
компоненты собственного вектора, или вектора состояния определяются следую-
следующими соотношениями:
A26)
A27)
где /т и /т — обычная и модифицированная функция Бесселя, описывающие
соответственно объемную и поверхностную волны;
Во внешней области компоненты вектора состояния такие:
ф^) = с ^ Кт ( I х I г) ехР ( — i «^ J- \Ъ.-9 Л- i гпиЛ • }
A28)
где /Ст(|х|г) —функция Макдональда; x2s^2z—co2/c2.
Сшивая с помощью граничных условий A25) внутреннее решение A26),
A27) с внешним решением A28), получаем уравнение
I'
1 К I *) _ (
И
A29)
Jm(\h\a) \к,\*У^Кт{\*\а)
которое вместе с A09) полностью определяет дисперсию МГД-волн в плазменном
цилиндре с подвижной границей. В A29) штрих означает дифференцирование по
аргументу функции.
Можно сказать, что приведенные в A11) выражения для частот магнитозву-
кавых волн в предельных случаях длинных и коротких волн (&Г#<С1
удовлетворяют уравнениям A11) и A29).
40

Для того чтобы собственные векторы, определяемые A26) —A29) и A09),
образовывали ортогональную систему, необходимо/ как и ранее, ввести опера-
оператор Yo перехода от решений A26) и (I28) прямой задачи к решениям сопряжен-
сопряженной задачи. Нетрудно показать, что Yo для внешней и внутренней областей опи-
описывается матрицами
о о
О 772-0
о
о
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
A30)
Определяя скалярное произведение векторов состояния с помощью C7), где
под Yo понимаются матрицы A30), можно показать, что собственные векторы
магнитозвуковых волн образуют ортонормированный набор векторов. Они орто-
ортогональны' Лекторам состояния альвеновских волн. Для альвеновских волн, не
возмущающих плотность плазмы, \|)<e)i = 0, а собственные функции во внутренней
области для аксиально-симметричной моды (т = 0) такие:
ф<<'> =, f (г) ехр ( — i at + i kzz); Ф W = — (kz/«>) ^,
а для т ф 0:
= (r — л) g (r) exp (— i Ы + 1 ^Z2 + i /w<p);
i ^ • k • • k
A31)
A32),
где f(r) и ^(r)—произвольные ограниченные функции г. Значит, что для аль-
альвеновских волн существует вырождение, поэтому для них необходимо произвести
дополнительное разложение по некоему ортонормированному набору.
Для цилиндрических систем удобно при построении ортонормированного базиса
альвеновских векторов взять за основу функции Бесселя. В приложении показано,
как можно построить такой базис. Теперь с учетом ортонормировки собственных
векторов #о можно искать решение нелинейных уравнений A19) с учетом A21)
и A25) в форме
ф = ЩЛ(Г) (<ры + VH) ехр ( - ib>kJ + i kzz + i щ), A33)
где ^'&<х —ортогональная к исходным векторам добавка, которая возникает
вследствие нелинейного взаимодействия волн, связанного с нелинейностью гра-
граничных условий.
Подставляя A33) в A19) и проецируя вновь полученное уравнение на век-
вектор выбранного состояния, находим, используя самосопряженность оператора filQ:
а,са„<Фа, /?ЛФа, Фа„)>)ехр[-1(соа,+
]
A34)
41

Здесь G= (к, а). Вычисление второго слагаемого в фигурных скобках правой
части A34) хотя и громоздко, но вполне аналогично вычислению матричных эле-
элементов для безграничной плазмы, поэтому не будем на нем останавливаться. Ве-
Величина Ра имеет вид:
р.=г** №Х <*¦#'+*i!V) + »ег+¦i.'V)
Как нетрудно видеть, если предположить, что ортогональная добавка Ф'а
удовлетворяет тем же уравнениям, которым удовлетворяют собственные векторы
линейной задачи фа, то Р9 обратится в нуль.,- Это означает, что для определен-
яия вклада ортогональной добавки в A34) и A35) следует в граничных усло-
условиях учесть нелинейные — квадратичные по амплитудам волн — слагаемые. Тогда
получим:
tL' ' —— PiL \ ' I fc //¦) Iftr\ (pih' ' — (Ь' ' \ I di'^'dj'/ tL^'d)^'*
то — *5 «~ *» V / / \ *5 *9 / i^ • 4 м ^~^ *^9 *3 '
j- фО' == и /2) (//^/^^JBФ^' 4- ф^^2+ ф^^*+ ' A36)
-d/2) (Ф|г)* + Ф^Ч Ф^»1) - C/2) (Y - 1) Ф,@\ J
откуда после длинных, но простых алгебраических выкладок найдем
где
я»,.» = 2яа {ф];>/ [(Ф<р 2/»') @/*-) (ф<';»,, 2 - сф<?>;5) + i ф?>, ,ф<{| 4
-1 ¦#. 7*ii| 2] + <\* шт (Ф^> ,ф„<й. , + ф# 2ф<й, 2
- ¦# 6+^. 5 - +й 6*$А - +,(?. 7*.(Я. 7) + (Ф# 2/»') «СИГ) (ф^,§ 7
~ Ф^/. 3)] - i *5#(<Ш.2 - +i''! ЗФ^'. I» I Г=а-
В A38) опущены слагаемые, связанные с малостью р. До сих пор амплиту-
амплитуды са были нормированы не на число квазичастиц:
\Г A39)
Чтобы перейти к общепринятому формализму, нужно нормировать | с9 |2 =
= еа./|®а.|. Не меняя обозначений для амплитуд мод, нетрудно получить урав-
уравнение A12) для амплитуд са#, нормированных на число квазичастиц. При этом
%„ ¦„,»; (НО)
/
42

A П <¦., ¦.,>
A41)
В выражениях A40) и A41) под Д подразумевается произведение величин с
индексами а, с', а". Выражение для матричного элемента <Фв, //* * {Фо/, Фам}>
в общем виде довольно громоздко, поэтому не будем его приводить*. Лишь рля
ряда конкретных случаев дадим значения вычисленных матричных элементов.
В соответствии с A26) и A27) для магнитозвуковых волн получаем сравни-
сравнительно простое выражение для нормы <Фд, Ф„>:
A42)
Приложение также позволяет вычислить норму для альвеновских ортонормиро-
ванных мод:
для объемных:
(ИЗ)
для поверхностных:
В заключение приведем несколько примеров РПН, которые отсутствуют в при-
приближении безграничной плазмы.
Взаимодействие поверхностных магнитозвуковых волн, описываемых диспер-
дисперсией о)^ yr2kzVA ПРИ тФ®> естественно, отсутствует в приближении безгранич*
ной плазмы. Для простоты рассмотрим случай /По=2, тогда mi=m2=l. Матрич-
Матричные элементы после громоздких вычислений можно привести к простому видуг
р -
4
A45)
A46)
A47)
Как видно из сравнения A45) и A46), слагаемое, возникающее из-за нели-
нелинейности граничных условий, внесло в матричный элемент такой же вклад, как
и слагаемое, обусловленное нелинейностью уравнений. Только учет обоих сла-
Как следует из- уравнений B2) — B4) и A04), A05):
= 0;
iSp(VV)V + i5P dV
IS» fr - 1) «PVP + IVA [8hV8h]

3
Y
3е
~ 7 ° v/
Ч II II V
ll ll II Q
3* i? ?
\/~
C3
3
ll
10
CM -« —«
II II 11
^ ©j
S S 6
3 ^
\
il
f \
h
*
CM
7
^°
csa.
•i
00
CM
-
iff
¦ex.
1
с
I
V -
d
7"y | A
3

CD
II "I 11^ Q со
a.
a"
ll
3
э
3"
1
3 3
\
/ ^
CM
feT
ll A
si
1 /
3
1
«9
CO
0
3
3
V
csi
1
3 3
\
3
л
i
00
CM
~ A A Q?
0 «о to >—'
i? *** jJ^ °°
0
V":
3
[ 1—
sT
3°
(
г
CM
г
^°°
i
1
CO
4
44

гаемых привел к тому, что матричный элемент W — обладает свойствами
симметрии, полученными ранее для безграничной плазмы:
W - =W— . A48)
Это означает, что для инкремента РПН справедливо уже известное выражение
Подставив A47) в A49), получим, что РПН поверхностной магнитозвуко-
вой волны накачки, приводящая к возбуждению таких же поверхностных волн,
описывается инкрементом
Не выписывая выкладок для РПН с участием поверхностных волн, приведем
лишь результаты расчетов в табличном виде (см. табл. на с. 44 и [29]).
Обозначения: |№|2 = у2/^а— вероятность процесса; v — инкремент распад,
ной неустойчивости; Ыы — число квазичастиц в исходной волне; a*0 =i: V2kz VA;
WM ^ vk2r + k2z VA; <о5=^?25; индекс AS относится к поверхностной альвенов"
ской волне, индекс AV—к объемной.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках настоящего обзора автор ставил цель изложить основные идеи и
методы теории параметрических нёустойчивостей. Однако вне рамок обзора
остался некоторый круг теоретических работ и работ, связанных с прикладными
задачами. Для ознакомления с этими работами можно рекомендовать читателю
обзоры и монографии [2, 43, 46—54].
Автор благодарен Р. 3. Сагдееву за обсуждение вопросов, рассмотренных
в обзоре.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО БАЗИСА СОБСТВЕННЫХ
ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДЛЯ АЛЬВЕНОВСКИХ ВОЛН
Разложим в ряд линейную комбинацию компонент скорости Vr и V :
1=1
a a
J drr (Vr + i VJ h (k r) f drr (Vr + i VJ (krr)l
о 1 о
VA$drr[Jt(krr)]* VA\drr(krQr)n
о 1 о
где kr=^i/a\ kfQ~ l/л; /—любое цедое положительное отличное от нуля число
(если / = 0, то и с0 = 0); vf- — корни уравнения
xJ'i(x)/Ji(x)=l. A53)
45

Покажем, что такое разложение обеспечивает ортогональность собственных
ректоров, т. е.
где индексом / обозначены компоненты вектора
ный профиль волны.
В самом деле, нетрудно убедиться в справедливости равенства
A54)
; kr характеризует радиаль-
радиальA5Б)
В силу граничного условия Fr(a)=0 последнее слагаемое этого равенства
обращается в нуль. Если теперь в A55) взять в качестве Vrk
(У8
k +ф
= 1,2) два любых слагаемых разложения A51), то получим равенство A54).
Явные выражения для компонент вектора состояния альвеновских волн по-
получим из A52):
=1
О
ч
о
VrK.
iVt
rk^
A56)
где
-*(!—krr)\ сi и с0 опреде-
определены выражениями A53). В случае аксиально-симметричных (т~ 0) волн следует
р
в A56) положить Vrk = Vrk = 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. — Журн. техг. физ., 1962, т. XXXII,
с. 1291.
2. Sagdeev R. Z.» Galeev A. A. Nonlinear Plasma Theory. — N. Y.; Amster-
Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1969.
3. Захаров В. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1107.
4. Ораевский В. Н. — Прикл.. мех. и техн. физ., 1962, № 5, с. 39.
5. Галеев А. А., Ораевский В. Н. — Докл. АН ССОР, т. 147, с. 71.
46

6. Галеев А. А., Карпман В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963,
т. 44, с. 592.
7. Oraevsky V. N. — Nucl. Fusion, 1964, vol. 4, p, 263.
8. Ораевский В. H. —Атомная энергия, 1963, т. 16, с. 441.
9. Веденов А. А., Рудаков Л. И. —Докл. АН СССР, 1964, т. 159, с, 767.
10. Силин В. П. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 48, с. 1669.
11. Du Bois D., Goldman M. W. — Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14, p. 544.
12. Дикасов В. М., Рудаков Л. И., Рютов Д. Д. —Журн. эксперим. и тео-
теорет. физ., 1965, т. 48, с. 913.
13. Coppi В., Rosenbluth M. N., Sudan R. —Ann. Phys., 1969, vol. 55,
p. 207.
14. Миронов В. А. —Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1969, т. 12, с. 1765.
15. Андреев Н. Е., Кирий А. Ю., Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1969, т. 57, с. 1024.
16. Karpliuk К. S., Oraevsky V. N., Pavlenko V. P.—-Plasma Phys., 1973,
vol. 15, p. 113.
17. Kroll N. —Phys. Rev., 1962, vol. 127, p. 1207.
18. Woodbary E. J., Ng W. K. —Proc. IRE, 1962, vol. 50, p. 2367.
19. Галеев А. А., Ораевский В. Н. —Докл. АН СССР, 1964, т. 154, с. 1069.
20. Силин В. П. Параметрическое воздействие излучения большой мощно-
мощности на плазму. — М.: Наука, 1973.
21. Nishikawa K.--J. Phys. Soc. Jap., 1968, vol. 24, p. 916, 1152.
22. Rosenbluth M. N. —Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 565.
23. Piliya A. D. — In: Phenomena in Ionized Gases. (Proc. 11th Intern.
Conf. in Oxford), 1971, p. 287.
24. Галеев А. А., Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. —Письма в ЖЭТФ, 1972,
т. 16, с. 194.
25. Perkins F. M., Flick J. —Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 2012.
26. Грач С. М., Трахтенгерц В. Ю.-— Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1975,
т. 18, с. 1288.
27. Литвак А." Г., Миронов В. А. —Там же, с. 828.
28. Sudan R. N., Cavaliere A., Rosenbluth M. N. —Phys. Rev., 1967, vol. 158,
N 2, p. 387.
29. Karpliuk K. S., Kolesnichenko Ja. I., Oraevsky V. N. —Nucl. Fusion, 1970,
vol. 10, p. 3.
30. Oraevsky V. N., Pavlenko V. P., Wilhelmsson H., Kogan E. Ya. —Phys.
Rev. Lett., 1973, vol. 30, p. 49.
31. Давыдова Т. А., Ораевский В. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1974, т. 66, с. 1613.
32. Oraevsky V. N., Chodura R., Feneberg W. —Plasma Phys., 1968, vol. 10,
p. 819.
33. Карплюк К. С, Ораевский В. Н. —Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 5, с. 451.
34. Ораевский В. Н., Цытович В. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1967,
т. 53, с. 1116.
35. Ораевский В. H.t Павленко В. П. —Журн. техн. физ., 1969, т. XXXIX,
с. 1799.
36^ Minorsky N. Nonlinear Oscillations. — N. Y.: D. Van Nostrand, 1962.
37. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео-
теории нелинейных колебаний. — М.: Физматгиз, 1963.
38. Chew G., Goldberger M., Low F.— Proc. Roy. Soc, 1956, vol. 236,
p. 112.
39. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. — В кн.: Физика плазмы и проблема
управляемых термоядерных реакций. Т. 3. —Mj Наука, 1958, с. 268.
40. Storey L. R. О. — Philos. Trans. Roy. Soc, 1953, vol. 246, p. 113.
41. Aigrain R. — In: Proc Intern. Conf. on Semiconductor Physics, Prague,
1960, p. 427.
42. Lighthill M. J. —J. Inst. Appl. Math., 1965, vol. 1, p. 269.
*3. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И.— Успехи физ. наук, 1971, т. 103, с. 193.
44. Кадомцев Б. Б., Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. — Журн. эксперим.
и теорет. физ., 1964, т. 47, с 2266.
45. Тимофеев А. В.— Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4, с. 48.
47

46. Вопросы теории плазмы: Сб. статей/ Под ред. М. А. Леонтовича. Т. 4—7,
10.—М.: Атомиздат, 1964—1978.
47. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976,
с. 238.
48. Ситенко А. Г. Флуктуации и нелинейное взаимодействие волн в плаз-
плазме.— Киев: Наукова думка, 1977.
49. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971.
50. Weiland J., Wilhelmsson Н. Coherent Nonlinear Interaction of Waves in
Plasmas. — Oxford: Pergamon Press, 1976.
51. Заславский Г. M., Мейтлис В. П., Филоненко Н. Н. Взаимодействие волн
в неоднородных средах. — Новосибирск: Наука, 1982.
52. Galeev A. A., Sagdeev R. Z.— Nucl. Fusion, 1973, vol. 13, p. 603.
53. Porkolab M. — Physica, 1976, vol. 82C, p. 83.
54. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. — М.:
Атомиздат, 1979.
КОЛМОГОРОВСКИЕ СПЕКТРЫ В ЗАДАЧАХ
СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В. Е. ЗАХАРОВ
ВВЕДЕНИЕ
Понятие турбулентности, возникшее в гидродинамике, давно
уже приобрело общефизический смысл. Под турбулентностью по-
понимают неупорядоченное, хаотическое движение любой непрерыв-
непрерывной среды (или вообще системы с большим числом степеней сво-
свободы), требующее статистического описания. Подобная же задача
возникает и в статистической физике, однако между теорией тур-
турбулентности и статистической физикой имеется принципиальное
различие. Именно статистическая физика и примыкающая к ней
неравновесная статистическая механика изучают системы, находя*
щиеся в состоянии термодинамического равновесия или вблизи
него. В отличие от них в теории турбулентности рассматривают
системы, предельно далекие от термодинамического равновесия.
Основной физический процесс, происходящий в турбулентной сре-
среде— необратимая передача энергии из степеней свободы, в которых
происходит возбуждение, в степени ^свободы, где происходит зату-
затухание. Можно сказать, что теория турбулентности так же отно-
относится к статистической физике, как теория, описывающая водо-
водопад, — к гидростатике. Неравновесной статистической механике в
рамках этой аналогии будет соответствовать теория малых коле-
колебаний вблизи равновесия.
Турбулентность надо описывать в совершенно других терминах,
чем те, которыми оперируют статистическая физика. К турбулент-
турбулентному состоянию абсолютно неприменимо, например, понятие тем-
температуры (которое можно сравнить с уровнем жидкости в гидро-
гидростатике). Вместо него фундаментальную роль приобретает понятие
потока энергии по спектру (для водопада это будет расход жид-
48

кости). Как мы увидим ниже, спектры турбулентности вполне
адекватно описываются в терминах потоков энергии, числа квази-
квазичастиц и других сохраняющихся величин.
Одним из примеров спектров данного типа является выражение,
найденное А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым [1, 2], для рас-
распределения энергии по волновым числам развитой турбулентности,
несжимаемой жидкости
где а —абсолютная константа; Р —поток энергии по спектру в
область больших k. Выражение A) называют колмогоровским
спектром; будем называть колмогоровским любой спектр, пол-
полностью определяемый потоками одной или нескольких сохраняю-
сохраняющихся величин.
Формула A) хорошо подтверждается экспериментально, однако-
ее нельзя полностью обосновать теоретически. При ее выводе
использована гипотеза о локальности турбулентности, т. е. о том»
что существенно между собой взаимодействуют только величины
одного порядка. Эта гипотеза до сих пор строго не доказана. При-
Причина этого состоит в том, что турбулентность в несжимаемой жид-
жидкости относится к числу наиболее трудных с точки зрения описания
типов турбулентности, поскольку в ней отсутствует какой-либо
малый параметр. Такого рода турбулентность будем называть
сильной.
Существуют, однако, физические среды, турбулентность в кото-
которых значительно более доступна для описания. Это среды, динами-
динамику которых можно представить себе как распространение и взаи-
взаимодействие волн, обладающих дисперсией. Если амплитуды этих
волн малы, так что взаимодействие этих волн достаточно слабое,
то для описания турбулентности можно применять кинетические
уравнения для квазичастиц, подобные используемым в теории кон-
конденсированных сред.
В этом случае турбулентность называется слабой. В рамках
слабой турбулентности построение колмогоровских спектров сво-
сводится к решению кинетических уравнений. Вопрос о локальности
здесь можно проверить непосредственно.
Слаботурбулентные колмогоровские спектры впервые были по-
построены в [3—6]. Эти спектры играют важную роль во многих
задачах плазменной турбулентности. Особенно интересно и важно
применение теории слаботурбулентных колмогоровских спектров к
задаче о турбулентности поверхностных волн, в частности — к тео-
теории морского волнения. Колмогоровские спектры естественно появ-
появляются и в некоторых задачах физики плазмы.
1. СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СРЕДАХ С РАСПАДНЫМ
ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ
Для того, чтобы описывать явления в различных средах с
единой точки зрения, будем использовать аппарат гамильтонов-
ского формализма. Пусть в среде существует единственный тип
4—3283 49

золн с законом дисперсии сок. Волны можно описывать при помо-
помощи комплексной амплитуды #*»(/), подчиняющейся уравнению
idak/dt=8H/8a*ky B)
тде Н — гамильтониан среды; #=#0+#int — гамильтониан линеа-
линеаризованной задачи
$ C)
-//int — гамильтониан взаимодействия, разлагающийся в ряд по сте-
степеням ak, (fk. Запишем первые члены разложения
"„,1=0/2) J (VflXs
+ A/3) J
J
1dkjk%. D)
Характер взаимодействия волн и свойства турбулентности зависят
прежде всего от вида функции со/?. Рассмотрим уравнение
Пусть И — число пространственных измерений рассматриваемой
«среды. Тогда к — вектор в Л^-мерном пространстве. Ниже всюду
рассмотрен случай iV>l (т. е. N=2, 3). Уравнение A) задает ги-
гиперповерхность размерности 2N—1 в 2М-мерном пространстве.
Если эта поверхность действительно существует (вещественна),
закон дисперсии со* будем называть распадным. Если E) не имеет
вещественных решений, закон дисперсии будем называть нерас-
падным. Если о* —функция только от |к| (среда изотропна) и
со@)=0, то можно сформулировать критерий распадности закона
дисперсии: закон дисперсии распаден, если со"*>0, и нераспаден,
если оO/^<0.
Существует еще промежуточный случай со//*=О. При этом рас-
распады возможны, однако только при условии k2||ki. Это же верно
для более общего закона диспепсии, зависящего от углов шк:=
=/(п)|к|, где п —единичный радиус-вектор в ^-пространстве.
Этот случай — вырожденный, и его надо рассматривать отдельно.
При статистическом описании волновое поле a,k(t) описывают
набором корреляционных функций, первая из которых имеет в
однородной среде вид:
Величину nk несколько условно называют числом квазичастиц с
данным волновым вектором к (эта терминология заимствована
из квантовой механики — в системе единиц, где постоянная План-
Планка А=1, величина rik действительно имеет смысл плотности числа
ВО

квазичастиц со спектром со^ в фазовом пространстве). Для стати-
статистически однородного поля гамильтониан Яо бесконечен. Однако
плотность гамильтониана Щ в единице объема & конечна и имеет
вид $=f Wudk, №fe=@feMfe. Таким образом, rik = Wkl(Ok имеет
смысл плотности адиабатического инварианта волн в фазовом про-
пространстве.
Строго говоря, rtk входят вместе с высшими корреляционными
функциями в бесконечную систему уравнений. Однако при опреде-
определенных условиях эту бесконечную систему можно редуцировать
до одного уравнения на величину пи. Это уравнение называют ки-
кинетическим. Необходимое условие применимости этого уравне-
уравнения— малость взаимодействия #int<C#o- Вывод кинетического*
уравнения и достаточных условий его применимости выходит за
рамки настоящей статьи. Приведем только ответ. В случае распад-
ного закона дисперсии кинетические уравнения
st(пк. пк) = { (/?ЛЛ-Rkikk-Rk%kki)dk.dk,, > F>
Достаточные условия применимости уравнений F) зависят от вида
функции ял. Если tik «широкая» функция, т. е. единственным ха-
характерным масштабом в ^-пространстве является kOi то достаточно
П/ 12
W G>
Если же Uk представляет собой спектральный пик с максималь-
максимальной шириной Ak, сосредоточенной вблизи k=ko, то условие G)
модифицируется к виду
Rq
(8)
Если tik сосредоточена вблизи линии или поверхности в &-прост-
ранстве, условия применимости можно изучить специально [25].
2. КОЛМОГОРОВСКИЕ СПЕКТРЫ В СРЕДАХ С РАСПАДНЫМ
ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ (ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ)
Рассмотрим решения уравнения
st(n*, пк)=0. (9)
Это уравнение имеет тривиальное решение Па; = Г/о)&, соответст-
соответствующее термодинамически равновесному распределению Рэлея —
Джинса (Г—-произвольная константа). Решение Рэлея —Джинса
обращает в нуль не только столкновительный член st^, nk), но
4* 51

и по отдельности каждое из слагаемых в F). Например, при ilk—
Покажем, что уравнение F) имеет и другие решения, для которых
условие (9) уже не выполняется.
Пусть рассматриваемая среда, кроме однородности, обладает
еще свойством изотропии. Тогда матричный элемент V kkxk^ инва-
инвариантен относительно поворотов в ^-пространстве и, следователь-
следовательно, может считаться функцией только модулей волновых векторов
k , |ki|, |k2|. Закон дисперсии со^ также есть функция только от
к . В такой среде уравнение (9) имеет изотропное решение п —
=n(|k|). Воспользовавшись формулой
(?, k-k.-k,)]^, A1)
где /г = 2, 3 —- размерность среды, усредним выражения б (к—ki
к2) по углам в пространствах k\9 k2. Имеем в двумерном случае
К - кг)> = 2* j &fcy. (Щ Cft (k?) <^0 (*# = -J-, A2)
О
где площадь треугольника, образованного векторами к, кь к2,
д2 = A/2) V2 {k2k\ + k2k\ + k\k\) -k*- k\ - k\.
В трехмерном случае
- к, - к2)> _
00
- 8 Г
j а\ =__=_.
6
Функции An(k, k\y ^2) не зависят от знаков слагаемых в аргу-
аргументе б-функции, инвариантны относительно перестановок своих
аргументов. Функции An(k> k\, k2) отличны от нуля, если из векто-
векторов с длинами ky ku &2 можно образовать треугольник.
От переменных k, ku k2 целесообразно перейти к переменным
<о, о>1, со2. Уравнение F) примет ешд:
оо оо
о о
A4)
J
о о
•„ Ю2 = и„, ... J (« - »i) 9 (» - »>2) S (ш _ ш,
«Л, - л.л.,1;
Умножим обе части уравнения A3) на да. Величина
~— пш = S^ представляет собой усредненную по углам плотность
КО

энергии турбулентности по частотам. Очевидно, $= f Qjl™ пред-
ставляет собой пространственную плотность турбулентной энергии.
Уравнение A3) представим в виде
d&«>/dt+dP/d<x>=Of A5)
где для трехмерной среды
<о 00 00
Р = — А% [ a>'da>' f f <Wa>2 (R — # _ # ) A6)
j 111 2 V xa)'a>iu>2 (Охсо'соа coato'»!' ^ '
0 0 0
(для двумерной среды нужно заменить 4я на 2я). Проводя пере-
перестановки во втором и третьем слагаемом в A6) (di^-^g/ и сог^-^со7,
получаем
P = J<D'd«/ J l^K, св1)(лв,лв1-лв#лв/+Ш1-явлв+в1)йс01. A7)
О ш—с»'
Если Яш не имеет сингулярности при со=0, то Р@)=0. Интегри-
Интегрируя A5) в пределах @, (о), приходим к выводу, что Р(со) —поток
энергии волн из области частот @, со).
В рассматриваемом сферически-симметричном случае стацио-
стационарное уравнение (9) сводится к уравнению
Р(со)=Ро, A8)
где Ро — произвольная константа.
Термодинамически равновесное решение Рэлея — Джинса в на-
наших переменных имеет вид ^=7/@, для которого, как следует из
A7), Р0=0 (что физически вполне очевидно).
Однако A8) при подходящих условиях может иметь решение и
при Я0=^0. Пусть среда, кроме свойств однородности и изотропии,
обладает некоторой масштабностной инвариантностью, именно пусть
закон дисперсии и матричный элемент Vkk k — однородные функции
своих аргументов а>й = &а, V,*,,*,,,*> = 8%^. Тогда №ШиЩ— тоже
однородная функция:
где f(l) —некоторая структурная функция, характеризующая
взаимодействие волн.
Уравнение A8) имеет точное решение
A9)
Подставляя A9) в A8) и меняя в A7) порядок интегрирования,
выполним одно из интегрирований. Получим
-r-ii*. B0)
53

Функция f(l) существенно положительна. Если v>l, то выраже-
выражение в квадратных скобках в B0) также существенно положитель-
положительно. Поэтому при v>l уравнение A8) имеет степенное решение
A9) при положительных Ро. Аналогично при v<l P® должно быть
отрицательно. Ниже будем рассматривать только случай v>l как
физически наиболее интересный.
Решение A9) имеет смысл, если а конечно. Условие конечно-
конечности а есть условие сходимости интеграла B0) при l~+0, oo.
Пусть f(l) при g-И) имеет асимптотику /(g)-^. Функция
Щсо, со') симметрична: №(со, со') = №(со/, со).
С учетом требования ее однородности имеем
/(Б) =6*^/A/6). B1)
Поэтому при ?->о /()
Используя B1), убеждаемся, что условие
v<p+3 B2)
является одновременно условием сходимости интегралов в B0)
при ?->0, оо и, следовательно, условием физической реализуемо-
реализуемости решения A9).
Распределение Рэлея — Джинса может иметь физический смысл
тогда, когда интегралы в A3) сходятся при п=Т/ы. Пользуясь
B1), найдем условие этой сходимости
v<2+p/2. B3)
Это условие является более жестким, чем B2), и во многих слу-
случаях не выполняется.
Пусть, однако, оно выполнено. Тогда уравнение (9) имеет два
изотропных степенных решения п = Г/со, n = aPlJ2/®>\ Ясно, что
общее сферически-симметричное решение уравнения (9) должно
зависеть от констант Т и Ро. Из соображений размерности оно
имеет вид:
. B4)
Здесь g(x)—некоторая положительная функция. При Ро=О ре-,
шение B4) должно переходить в распределение Рэлея — Джинса.
Отсюда g@) = l. При Г->0 решение должно перейти в распреде-
распределение A9), откуда g(x)->-axl/2 при х->оо. Разлагая функцию g(x)
в ряд до членов первого порядка, при Х-+-0 получаем g—1 +
+gox+...,
n=T/®+goPo/Ta*>-*+... B5)
Разложим g(x) при x->oo в асимптотический ряд g(#)^a*1/2(l +
+c/ax+...), получим при Г->0
n=(aPo1/2/o)v) + (cr/Po)cov-1+... , B6)
Существует другой способ, чтобы убедиться в том, что A9)
есть точное решение уравнения (9). Подставим в A3) n^^l/co5.
При этом /?(со, соь со2) становится с учетом б-функции однород-
54

ной функцией степени q=2v—2s— 1. Проведем замену переменных
во втором слагаемом уравнения A3);
0I = @2/@/Г, (D2=CD/2G)/co'l. B7)
Якобиан этого преобразования д((оь <О2)/д(со'ь со^г) = — (co/coriK,
причем также меняются пределы интегрирования по соь Заметим,
что o)=0/i(i)/(o/i, таким образом, можно аналогично преобразовать
третий член. Окончательно получим
.. . С . Г , Г , /со \2«-2s-l / (о \ 2v-25-l
st(/* /г) J rf ]Ж[1 [) (J
. . С . Г , Г , /со \2«-2s-l / (о \
(/*f /г) = J rfco, ]Ж>,[1~ [—) -(—J
о о
a>\2v-2*-l / СО \2v-2s-I
=0. B8)
Подынтегральное выражение в B8) в согласии с предыдущим
обращается в нуль лишь при s=l и s=v и знакопостоянно при
всех остальных s. Это доказательство того, что найденные здесь
решения являются единственными степенными решениями уравне-
уравнения (9).
Можно показать, что если подставить в A3) /г© в виде
и линеаризовать A3) по малости g, с, то окажется, что единствен-
единственно возможными значениями для у, z являются y=2v—1, 2=1—v
в полном соответствии с B5), B6).
3. КОЛМОГОРОВСКИЕ СПЕКТРЫ В СРЕДАХ С РАСПАДНЫМ
ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ (ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ)
Перейдем к интерпретации полученных результатов. Она цели-
целиком основана на аналогии с турбулентностью в несжимаемой жид-
жидкости. Начнем с общего решения B4). При со~^оо оно переходит в
распределение Рэлея — Джинса с температурой 7, что предпола-
предполагает существование теплового резервуара этой температуры. При
о->-оо имеется особенность AZ(o^^aPo1/2/o)v.
Существование этой особенности означает, что в точке со = 0
расположен источник энергии волн с интенсивностью Ро, и эта
энергия непрерывно поступает в тепловой резервуар. Поскольку
теплоемкость классического вырожденного бозе-газа бесконечна,
спектр турбулентности остается стационарным.
В теории турбулентности несжимаемой жидкости обычно де-
делают предположение о локальности, обеспечивающее поэтапную
перекачку энергии по спектру турбулентности. В нашем случае это
предположение эквивалентно условию сходимости интеграла в
55

уравнении B0). Если неравенство B2) выполняется, то в рассмат-
рассматриваемом случае гарантируется локальность турбулентности.
В реальной среде, в которой может развиваться турбулент-
турбулентность, в области больших частот обычно имеется сильное затуха-
затухание. Оно делает невозможным существование теплового резервуа-
резервуара. В соответствии с идеологией Колмогорова вид этого затухания
не входит в выражение для спектра, однако в присутствии затуха-
затухания необходимо положить 7=0.
Итак, в задачах о турбулентности единственное решение изо-
изотропного уравнения (9), имеющее физический смысл, — решение
A9). Его можно назвать колмогоровским спектром.
В других физических ситуациях, например в твердом теле при
температуре выше дебаевской, может иметь смысл и точное реше-
решение B4).
В реальных случаях турбулентность возбуждается за счет раз-
развития неустойчивости, которая характеризуется инкрементом y(k);
с учетом неустойчивости уравнение A5) приобретает вид:
g = Y (»)&.. B9)
Величина y(co)<2?(o представляет собой распределение выделенной
энергии по частотам. При достаточно больших со значение у (со)
отрицательно и растет, поскольку в области высокой частоты во
всех физически разумных случаях происходит затухание волн.
Стационарный спектр в присутствии у (со) задается уравнением
=y(co)S>(d. C0)
Это уравнение можно решить, если принять, что при всех о>
осуществляется колмогоровский спектр с переменным потоком Р:
Уравнение C1) имеет решение P=R2((o)/49 при котором
Тогда
Уравнение C1) имеет решение P=/R2(co)/4, при котором
/Z(u=a^(co)/2cov, ffa=bR((o)/(o8. C2)
Обычно область положительности инкремента у ограничена
областью малых волновых чисел со<соо- В точке со = соо поток Р
достигает максимума. В этой точке у = 0. Область со<со0 можно
считать областью возбуждения. В области больший волновых чи-
чисел существенно затухание. Наиболее сильное затухание происхо-
происходит в области со—xDi, где /?(coi)=0. Формула C2j справедлива,
если coi»co0. В этом случае область (oi>co>o)o можно считать
инерционным интервалом, поток в ней — медленно меняющаяся
функция со, а при y(g>)=0 он постоянен.
56

В большинстве рассмотренных случаев s>l. Это классическая
колмогоровская ситуация. В этом случае область со^соо является
энергосодержащей. Однако в принципе может иметь место и слу-
случай s<l, когда энергосодержащая область не совпадает с областью
возбуждения, и основная энергия сосредоточена в области о—'соь
Знак величины 5—1 существенным образом определяет так же
и характер установления стационарных спектров. Уравнение A5)
имеет автомодельное решение
C3)
причем
x=l+yBv—l+6), 6 = n/a. C4)
Функция По(|) при l=cot~y подчиняется уравнению
ЪЧхпо+у&п/дЪ) +дР/д%=0. C5)
Подставим в уравнение C5) пЦ)—l/gv. Видно, что при s=v—-
б>1 член дР/д% превалирует в области больших |, тогда как при
s<l он является главным при g-Ч). Это означает, что при s<l
автомодельное решение может иметь колмогоровскую асимптотику
только в области малых волновых чисел, что, в свою очередь, воз-
возможно, если при k=0 расположен источник волновой энергии. Ес-
Если этот источник имеет постоянную интенсивность, то энергия в
системе растет линейно со временем. Тогда из условия
найдем #=F+1)у—1, откуда с учетом C4)
y=l/(l-s),*=v/(l-s). C6)
При со—М) это решение стремится к независимому от времени
пределу П&—aP1/2/o)v. Оно представляет собой сферически-симмет-
сферически-симметричную «тепловую волну», распространяющуюся в ^-пространстве
в область больших волновых чисел. При этом энергосодержащая
область расширяется со временем по закону ю<г-^1/A~5).
При s—1 скорость расширения этой зоны катастрофически уве-
увеличивается и при 5=1 обращается в бесконечность. Это означает,
что при s>l скорость передачи энергии по спектру настолько ве-
велика, что энергия уходит в бесконечность за конечное время. Авто-
Автомодельное решение с индексами C6) при этом теряет смысл.
При s>l уравнение A5) также имеет автомодельное решение,
но с другим физическим смыслом. Это решение описывает асимп-
асимптотическую стадию эволюции произвольного начального условия
в среде без подкачки энергии и затухания. В соответствии со ска-
сказанным выше это решение при со-^сю имеет колмогоровскую асимп-
асимптотику п—aP1/2/cov. Однако Р меняется со временем, убывая как
неизвестная степень t. Чтобы определить эту степень (найти ин-
индексы х, у) у необходимо решить нелинейную задачу на собствен-
собственные значения C5) при дополнительном условии положительности
функции пA) при 0<?<оо.
57

Поскольку при (о-^оо Па—аР1/2До\ поток энергии при со=оо
отличен от нуля, полная энергия в системе волн не сохраняется,
а уменьшается. Отсюда можно сделать оценку значения индекса у.
Из условия
о
находим соотношение
Таким образом, при 5>1, у<0 и в процессе эволюции автомодель-
автомодельного решения энергосодержащая область смещается в сторону ма-
малой частоты.
При s<]l асимптотическое поведение начального условия так-
также описывается автомодельным решением. Однако теперь энергия
сохраняется, поэтому индекс у определяется однозначно; у=
= 1/2A-5).
По-прежнему энергосодержащая область увеличивается с ро-
ростом ty причем это происходит тем быстрее, чем ближе 5 к едини-
единице. Такое решение нигде не имеет колмогоровской асимптотики,
поскольку при со-^0 и о-^оо поток энергии равен нулю.
Рассмотрим установление стационарного решения типа C2)
при условии, что область накачки со—юо и область затухания
со—coi сильно разнесены. При этом в области (Do<Cg)<Ccdi должен
устанавливаться колмогоровский спектр с некоторым постоянным
потоком Р. Однако характер этого установления зависит от знака
величины s—1. Если 5<1, то установление происходит при распро-
распространении рассмотренной выше Автомодельной «тепловой волны»,
распространяющейся по области прозрачности соо<(о<соь Если же
5>1, то установление носит не автомодельный характер. При
включении накачки по мере нарастания спектра в энергосодержа-
щей области происходит и нарастание его сразу во всем интервале
прозрачности в виде колмогоровского спектра с некоторым пото-
потоком Р. Пусть N — характерное значение п^ в области накачки
со—'(оо.Догда поток энергии в среду за счет накачки имеет порядок
Я^уш +1Л/Г. Поток энергии в область большой частоты Опреде-
Определяют из условий сшивки N>—^aP1/2/coov, т. е. он имеет порядок Р^
-—(N2/a2)(do; когда N достигает значения^ a27coo6+1~2v, оба потока
выравниваются, и дальнейший рост N прекращается.
Изложенные выше представления о характере установления
спектров были частично проверены в численном эксперименте,
описанном в [26]. В этом эксперименте решали систему диффе-
дифференциальных уравнений
58

где
, = 2rf/B
при
% rii nt
Функцию Wni ^ = #22
предполагали однородной второй
степени: ГЯ1>в1=?/Я1+Я1>Я1((Ц. где f (x) = x* A -х)\ Величина Тй
имеет вид:„
что соответствует включению неустойчиво-
неустойчивости в области п—щ и бесконечно большо-
большому затуханию для п>М.
В конкретных экспериментах выбирали
10 М100
Рассматриваемая задача моделирует
уравнение A3) при условии ш=&, 6=1, у=
=2. Согласно A9) оно должно иметь кол-
могоровское решение Nn—Р{/2/п5/2> осущест-
осуществляющееся в области По<п<М. Асимптоти-
Асимптотическое при /—ноо и независящее, как пока-
показывает эксперимент, от t решение уравне-
уравнения C8) приведено на рис. 1. Видно, что в
области По<п<М действительно устанавли-
устанавливается колмогоровский спектр, причем пе-
переходная зона между областью его реали-
ации и энергосодержащей областью удиви-
удивительно мала.
Характер установления этого ^спектра
также согласуется с тем, который был опи-
сан выше.
[26] численным решени-
ем уравнений C8), C9)
4. РАЗМЕРНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ
Рассмотрим теперь более общий случай однородной, но не обя-
обязательно изотропной среды, в которой закон дисперсии и матрич-
матричный элемент взаимодействия являются однородными функциями
волновых векторов
со(8?)=еасо(/г), V(ek,
=eW(k, ku k2).
C9)
При а>1 закон дисперсии распадный, и турбулентность описы-
описывается кинетическим уравнением F).
Предположим, что в области малых волновых чисел имеется
источник энергии и что спектр турбулентности описывается един-

ственной константой — потоком энергии Р. Из соображений раз-
размерности имеем
kxf D0)
где т — величина, имеющая размерность времени.
Гамильтониан D) дает возможность построить при данном
две величины размерности времени: п—1 /со^ и Т2, где
\V\2k"nk/m. D1)
Очевидно, Т2 — характерное время изменения спектра, определяе-
определяемое из кинетического уравнения. Из соображений размерности
имеем
1/t~-A/t2)"A(ti/t2), С42)
где /i(g) —некоторая неизвестная функция. Тем самым для среды,
описываемой гамильтонианом D), невозможно в отличие от слу-
случая гидродинамики несжимаемой жидкости определить спектр тур-
турбулентности, задав поток энергии Р.
Однако при малой нелинейности из применимости кинетическо-
кинетического уравнения следует, что нужно подставить т—rt2. Это позволяет
определить спектр. Имеем
> D3)
где г (п) —некоторая функция от направлений. Для ее определения
соображений размерности недостаточно и нужно решать точно
уравнение st(ny я)=0. В рассмотренном выше изотропном случае
r(n)=const=a.
Решение D3) имеет смысл, если только выполнено условие
локальности, аналогичное условию сходимости интегралов B0).
Физический смысл решения D3) — колмогоровский спектр,
осуществляющийся в области прозрачности, между накачкой и за-
затуханием. Очень существенно отношение констант аир. При а>|5
энергосодержащей областью является область больших волновых
чисел, в которой сосредоточено затухание волн. При <х<р энерго-
энергосодержащей является область малых волновых чисел — область
накачки. В этом случае осуществляется подлинно колмогоровская
ситуация, аналогичная ситуации в турбулентности несжимаемой
жидкости. При этом (что соответствует рассмотренному выше слу-
случаю s>l) кинетическое уравнение хотя и имеет формально вид
закона сохранения энергии и импульса
D4)
Р = J knkdk, D5)
но на самом деле энергия при этом не сохраняется, так как при
&->оо устанавливается конечный поток энергии. Можно сказать,
что эта энергия затухает в области бесконечно больших волновых
чисел в результате механизма, детали которого не оказывают
воздействия на процессы, происходящие при конечных волновых
числах.
60

Наряду с потоком энергии Р можно ввести поток импульса R—
количество импульса, диссипируемого в единицу времени в едини-
единице объема среды. Имеем
R=knkkn/x.
Можно представить спектр, целиком определяемый потоком им-
импульса R. Пользуясь размерностным соотношением R/k^->P/(Ok, для
такого спектра находим
где W — некоторая функция направлений R и к. В изотропной
среде W—W(Rk/Rk)—общее колмогоровское распределение чис-
числа квазичастиц по волновым векторам должно определяться по-
потоками Р и R. В изотропной среде спектр, определяемый однимг
потоком Р, является изотропным. Из-за малого потока импульса
происходит анизотропия. Из потоков R и Р можно в изотропной
среде составить единственную безразмерную, линейную по R ком-
комбинацию (Rk)o)fe/P^2. Поэтому слабоанизотропный спектр имеет
вид:
1 я W»k , ..
Можно показать [10, 11], что выражение D7) с точностью до
членов порядка X2 удовлетворяет уравнению st(n, я)—0. Распре-
Распределения типа D7) называют дрейфовыми колмогоровскими рас-
распределениями.
5. КАПИЛЛЯРНАЯ И АКУСТИЧЕСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Характерный пример»фаспадной слабой турбулентности колмо-
горовского типа — турбулентность капиллярных волн на поверхно-
поверхности жидкости [5]. Закон дисперсии этих волн сой = У (о/р) k3 ,
где а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а р—
плотность (положим их равными единице), удовлетворяет распад-
ным условиям и изотропен. Глубина жидкости считается бесконеч-
бесконечной.
Течение жидкости считаем потенциальным ю=УФ. Его удобно*
описывать, задавая форму свободной поверхности z=Y](r, t) и
потенциал на поверхности У?—Ф\г=т\. После задания этих пере-
переменных Ф во всем объеме определяется из решения первой крае-
краевой задачи для уравнения Лапласа при дополнительном условии
дФ/дг-+-0 при г~>—оо.
Переменные г], W [27] канонические — уравнения движения для
них имеют вид:
dr\/dt=6Hl8*P; &?ldt=—6H/Ai\, D8>
где полная энергия жидкости
И = "Г fdr j №fdz +J (^(V4J+l - 1] dr.
—oo
6Г

Переход к нормальным переменным ak осуществляется по фор-
формуле
± l^ak-a*.k), D9)
где i]k = -j- Г т] exp (inr) dk и Wk — фурье-образы канонических пе-
переменных. Для матричного элемента взаимодействия волн имеем
v
E0)
Vk,ki,k2 — однородная функция степени 9/4. Итак, а=3/2, р=9/4.
В соответствии с изложенным выше кинетическое уравнение для
,nk (nk6fe_fe'=<afeaV> должно иметь точное решение nk —
=pi/2/^7A v==i7/4.
Соответствующее распределение энергии по частотам, опреде-
определяющееся соотношением
имеет вид S>(u—/P1/2/aO/6y s=7/6. Поскольку s>l, энергосодержа-
щая область расположена в малых частотах, и степенный спектр
является колмогоровским в строгом смысле. Условие его локаль-
локальности, как легко проверить, выполняется с большим запасом.
Следующий важный пример—это акустическая турбулентность.
Рассмотрим нелинейную среду, в которой могут распространяться
-звуковые волны. Если эти волны имеют малую амплитуду и среда
изотропна, то можно воспользоваться стандартным уравнением
d2uldt2—{A—eA2)u=Au2, E1)
где член еА2и описывает дисперсию звука — зависимость его ско-
скорости от волнового числа. Скорость длинных звуковых волн поло-
положена равной 1.
Закон дисперсии звука
+ в*4 E2)
является распадны^, если е>0, и нераспадным, если е<0. При
8=0 закон дисперсии -— чисто линейный. При выводе E1) предпо-
предполагается 8!&2<С1.
К каноническим переменным переходят по формуле
.Для матричного элемента взаимодействия получаем
у 1 &&J&2
*»•*• ~~ 4kVT (ceAa>ft»fe) '/2- E3)
••62

Распадное кинетическое уравнение применимо только, если
и 1/т<Се&3, где т — характерное время изменения спектра, следую-
следующее из кинетического уравнения. Поэтому при 8=0 кинетическое
уравнение области применимости не имеет. Однако если условие-
применимости кинетического уравнения выполнено (уровень нели-
нелинейности достаточно мал), то в первом приближении надо поло-
положить 8=0. При этом G)fe=& — однородная функция первой степе-
степени и
) E4)|
— однородная функция степени 3/2. Итак, а=1, 0 = 3/2 и кине-
кинетическое уравнение должно иметь решение
Как следует из A7) и E3), №(g>, coi)=^co2oJi((o+(OiJ и соответ-
соответственно уравнение B0) имеет вид:
^(Г+о^E5>
о
Интеграл в E5) сходится при ?=0 и при ?=оо, так что турбу-
турбулентность является локальной. При вычислении интеграла E5)
находим а = 0,46.
Рассматриваемая акустическая турбулентность имеет одну осо-
особенность. Резонансное условие ©ft=a>? -{-ю^^ при 8&2<С1 описы-
описывает тонкую веретенообразную поверхность, которой является век-
вектор к. Характерный поперечный размер поверхности порядка ek3
и при е-^0 стремится к нулю. Таким образом, при е=0 взаимодей-
взаимодействуют только акустические волны, волновые векторы которых
строго параллельны. При этом волны, у которых разные направлет
ния, не взаимодействуют. В результате при 8=0 кинетическое
уравнение имеет более общее точное решение, именно, можно по-
положить, что поток энергии в область больших волновых чисел Рм
является произвольной функцией направления волнового векто-
вектора п:
nh=apw{n)l№2, n=k/k. E6)
При конечном, но малом ък2 кинетическое уравнение F) описыва-
описывает два различных по времени процесса — быстрое установление-
спектра по модулю волнового вектора |к| и медленную диффузию
по направлениям. Характерное время диффузии в (гк2J раз боль-
больше времени установления спектра по модулю.
В акустической турбулентности есть еще одна область
&/г3<1/т<?, E7)*
в которой нелинейность еще мала, так что уравнение E1) приме-
применимо, но эффекты дисперсии звука несущественны (еД2и<СДи2).
В этой области кинетическое уравнение неприменимо, и спектр
турбулентности надо определять из других соображений. В [7]
63*

было высказано предположение, что и в этой области спектр опре-
определяется потоком энергии Р. В сжимаемой среде с плотностью р
из-за наличия величины с размерностью скорости — скорости зву-
звука соображений размерности недостаточно для однозначного опре-
определения спектра через поток энергии. Можно утверждать только,
что распределение энергии по волновым числам имеет вид:
E8)
тде f(l) — некоторая неизвестная функция, В случае слаботурбу-
слаботурбулентной плазмы имеем из кинетического уравнения ^V^p1/2, что
дает распределение E4). Аналогичный результат можно получить
и в области нелинейностей E7), где кинетическое уравнение не-
неприменимо. Рассмотрим уравнение E1) при 8=0 в канонических
переменных ak. Имеем
dajdt + i | k |ak = - i J Vkkiki(akakbk_ki_h
+ «W*+*1+^M^ E9)
"Ядро Vkkk задают формулой E4). В низшем порядке теории
возмущений звуковые волны взаимодействуют, подчиняясь усло-
условиям резонанса о> ==со 4~шь » k = ki+k2, которые в случаелиней-
закона дисперсии выполнены лишь для коллинеарных векто-
векторов. Поэтому можно считать, что с волной, имеющей волновой век-
вектор ко, взаимодействуют только волны, лежащие в весьма узком
конусе с осью к0. Для оценки ширины этого конуса перейдем в
систему отсчета, движущуюся в направлении к0 со скоростью зву-
ука, и разложим jk| вблизи к0. Линейная часть E9) примет вид:
Далее заменой переменных ak = akexp(—ibk[}t) устраним член
ibk]{ak. Теперь определим ширину конуса взаимодействия Ыг , срав-
сравнивая по порядку величины линейный и квадратичный члены в E9)
откуда bk2. ^Vak^o. Далее, в E9) при оценке характерного време-
времени нелинейного взаимодействия следует ограничиться только инте-
интегрированием по резонансному конусу. Имеем
1/t ~ Vakobk2± ъ {V2/k0) a2k\. F0)
'Оценка F0) совпадает по порядку величины с оценкой D1), по-
получаемой из кинетического уравнения. Это и приводит в области
E7) к спектру E4), хотя константа а здесь может быть совер-
совершенно другой.

Приведенный вывод подвергся критике в [8], где указано что
за счет образования ударных волн должно происходить дополни-
дополнительное поглощение энергии звуковых волн, благодаря чему спектр
оказывается спадающим более быстро: п^—'1/&5; еь—\/k2. Эти
рассуждения правомерны лишь тогда, когда эффекты вязкости пре-
превышают эффекты дисперсии. В чисто консервативной среде усло-
условия E7) быстро нарушаются, так как в результате укручения
фронтов за счет нелинейности будут образовываться солитоны,
для которых эффекты нелинейности и дисперсии имеют один по-
порядок. Возникающая при эюм солитонная турбулентность совер-
совершенно не изучена.
6. СУЩЕСТВЕННО АНИЗОТРОПНЫЕ СПЕКТРЫ
СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Существует случай, когда в анизотропной среде колмогоров-
ские спектры можно явно вычислить [9, 17]. Пусть среда обладает
аксиальной симметрией вокруг выделенного направления п. Выра-
Выразим компоненту волнового вектора, параллельную я, через р, пер-
перпендикулярную— через q и предположим, что закон дисперсии
имеет вид:
со(р, q)=paq\ F1)
а матричный элемент взаимодействия однороден по переменным
pi и q<:
Vr(ep, epi, ep2, [xq, |lUJi, №) =
= e"^F(p, pi, p2, q, qi, q2). F2)
Проведем усреднение по углам вокруг оси п. Получим
9 п дПр'q ' № —R —
У дГ~ ) Р'Р1*Р*'Я>Я1>9* xpi,P>P*. qi,q> q*
где
д
7>. Pi. Рь q. qi. q* p, Pu pi, q, qu qi^pi, qJ1 Pi, q%
)ь (p - a - a) s (paqb - p\p\
- пр. япР>, * )ь (p - a - a) s (paqb - p\p\ - />V2)- F3)
He ограничивая общности, можно считать, что U зависит только
Bгс)э 1 V |2
от модулей q/. Тогда U= д^ qqiq2 — функция, однородная
по pi степени мипо qi степени v. Кроме того, С/=0, если из q, qu
q2 нельзя составить треугольник. Таким образом, интегрирование
в плоскости qi, q2 идет по области, изображенной на рис. 2.
Будем искать стационарное решение уравнения F2) в виде
степенных функций
n=no/pxqy. F4)
—3283 65

А
А
А
А
У
У
о
Рис. 2. Область инте-
ГрИ(Р68Г(зашТВрихоавВаН„еа)ИИ
XL
J
U
P
Преобразуем второй член F2) — перейдем
к новым переменным
р\=Р2/р'и p2=(p/p/i)p/2; F5)
qi=q*/q'h q2={q/q\)q'2. F6)
Кроме того, очевидно, что
p=(plp'l)p\, q=(q/q\)q'l. F7)
Можно проверить, что F6) преобразует об-
область интегрирования по qu #2 в себя. При
этом второй член в F2) с точностью до
множителя преобразуется в первый. Совер-
Совершая аналогичное преобразование и с треть-
третьим членом, получаем уравнение
b{p«qb-p\q\-p\q\)X
!
1 f
i
F8)
е xl=2(l+u-x)-a; yi==2B+v-y)-b.
Уравнение F8) имеет четыре решения. Два из них, ni — /
n2=c2jpaqb, являются предельными случаями более общего термо-
термодинамически равновесного решения
п=Т/[(д(р, q)+sp].
Два других решения имеют индексы
Если сравнивать с результатом § 4, следует, что решение F9)
АРМ*
соответствует постоянному потоку энергии Р, а решение G0)
BR1'2
ПР,Ч—
F9)
G0)
G1)
G2)
постоянному потоку импульса R. Оба потока распространяются
вдоль оси п\ Л, В — некоторые константы.
Локальность распределения эквивалентна сходимости интегра-
интегралов в выражении F8) во всех особенностях подынтегрального вы-
выражения и должна проверяться непосредственно.
66

Для примера можно рассмотреть [9] ионно-звуковые волны в
плазме, помещенной в сильное магнитное поле. Групповая ско-
скорость таких волн направлена вдоль магнитного ноля (пусть оно
параллельно оси г). При этом волны, бегущие в противоположных
направлениях, взаимодействуют слабо, поэтому можно ограни-
ограничиться рассмотрением волн, бегущих в одну сторону. Их описыва-
описывают уравнением
G3)
где Cs — скорость звука ионов; гНу A,d— ларморовский и дебаевский
радиусы плазмы ионов; vz — продольная скорость ионов.
Пусть irH^hn. Тогда для волн, фазовые скорости которых обра-
образуют с магнитным полем не слишком малый угол (Ф^Яя/гя-),
можно пренебречь членомX2D -^f- • Переходя в систему отсчета,
движущуюся со скоростью cs, и к безразмерным переменным
и = — vz/c,s, получа ем
да д / * , 1
Уравнению G4) соответствует закон дисперсии со(р, q)=pq2. При
этом предполагается, что существуют только волны с положитель-
положительными значениями р.
Введя канонические переменные по формуле
ы = /?/2(ар + а%), G5)
убедимся, что G4) есть гамильтонова система с гамильтонианом
D), где 1Р=0, ?/я=0:
(/?ААI/2 6 {р) 8 iPl) 6 (А)> G6)
Закон дисперсии и матричный элемент G6) являются однородны-
однородными функциями от pi и Ц{. При этом а=1,6==2,и==3/2, 0 = 0. Таким
образом, кинетическое уравнение F2), соответствующее матрично-
матричному элементу G6) и закону дисперсии со=р^2, имеет два степен-
степенных решения: колмогоровский спектр по энергии
?2 G7)
и колмогоровский спектр по импульсу
n=BRl/2/pV2q. G8)
При исследовании интеграла F8) на решениях G7), G8) видно,
что он сходится при pi, ^r-Я), оо. Таким образом, оба распределе-
оба распределения являются локальными и могут быть реализованы в физической
ситуации.
5* 67

7. СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СРЕДАХ С НЕРАСПАДНЫМ
ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ
Пусть закон дисперсии со^ таков, что уравнение E) не имеет
вещественных решений. Тогда, когда (о& зависит только от модуля
(среда изотропна), это имеет, например, место, если о/Х), ю//<0.
Такой закон дисперсии можно назвать нераспадным. Таким зако-
законом дисперсии обладают ленгмюровские волны в плазме G)/t =
! " / 1 л
1 +~7г(^^J1 »гДе (^*)J^1> а также гравитационные вол-
волны на поверхности жидкости (uk=g}ktb.kh.
В консервативной среде с нераспадным законом дисперсии ос-
основной механизм взаимодействия волн — их рассеяние друг на дру-
друге. Это рассеяние описывается уравнениями
О), -4-0)- = (О. -I- (О. ]
к^ к, ка^ к8 I G9)
Консервативная нелинейная среда с нераспадным законом дис-
дисперсии описывается следующим гамильтонианом:
=JwV*+4 JWa
Соответствующие уравнения движения B) имеют вид:
Ч0 +
Если в исходном гамильтониане среды D) есть кубические члены
Vkkik^0, Ukkik^0, (82)
они должны быть исключены преобразованием
Г Уьь k
CLfi —* CLy — I ~~ &и &и $и dfljuko —
J b кг k%
С У
— 2 I — cl*u &u ^u dktdk0 —
I iQjt, ¦ Q)t СО* Rl fa К-{-к\—Къ * ^
_ Г }^_ # # 6 dk.dk.. (83)
С точностью до старших членов преобразование (83) является ка-
каноническим. Для ядра Т^ьь имеем
у.
ккЬЬ
4-
68

*
kzk,
«A, «4,-ft» + «A, - °>*2 ' **'*»*>•
Поскольку уравнение D) не имеет решений, знаменатели в (84)
нигде не обращаются в нуль. Ядро ТkkM^ удовлетворяет очевид-
очевидным условиям симметрии
Очень важная черта гамильтониана (80), отличающая его от ис-
исходного гамильтониана D), — существование дополнительного ин-
интеграла движения. Из (80) можно убедиться, что он сохраняет
величину
^ak\2dk- (86)
Эта величина имеет смысл «числа квантов» поля, сохраняющегося
в процессах типа A). Она имеет размерность действия, поэтому ее
можно назвать интегралом волнового действия.
При переходе к статистическому описанию введем величину
n<k inifik-k' == <а*а^»' подчиняющуюся кинетическому уравнению
Ч ~ Л*^Ч " Л*Л*1Л^) rfM*A- (87)
Уравнение (87), кроме интегралов энергии и импульса, имеет еще
интеграл
J (88)
= J
имеющий смысл пространственной плотности N. Интеграл / также
назовем волновым действием.
Проведем в уравнении (87) усреднение по углам. Получим
ОООО 00
>.<4*>,. (89)
Здесь f/#ei <02<1)з — результат усреднения по углам функции
выраженный через переменные <»?. = а>А>,
есть плотность волнового действия по частотам.
сравнение (81) допускает подстановку ajr-KZ*exp(i<Dof)> поэто-
поэтому ©ft определено в (87) [но не в (84)] с точностью до прибавле-
прибавления произвольной постоянной. Будем полагать ©@)=0.
69

-О)
i
|§|||
Рис. 3. Область интегрирования в
уравнениях (89), (94) (заштрихо-
(заштрихована)
Усредненное по углам уравнение (89) имеет два интеграла дви-
движения
/ = ?/>. <g = ?./>= Г ?>. (90)
t) J J
0 0 0
Существование двух законов сохранения позволяет сделать важ-
важные выводы относительно кинетики слабой турбулентности рас-
рассматриваемого типа. Кинетическое уравнение должно описывать
приближение к состоянию термодинамического равновесия, каким
для классического волнового поля
является равнораспределение по
степеням свободы. Поэтому в про-
процессе эволюции спектра должны по-
появляться волны, имеющее сколь
угодно большую частоту.
Однако средняя частота волны
<G)>=(gy/ в процессе эволюции
сохраняется. Это значит, что в си-
системе должны накапливаться вол-
волны, имеющие малую частоту. Появ-
Появление одного кванта у которого ча-
частота в N раз превышает среднюю,
сопровождается полной потерей
энергии у N квантов, имеющих сред-
среднюю частоту. Такие кванты перехо-
переходят в соответствии с нулевой частотой, которое можно назвать кон-
конденсатом. Итак, эволюция спектра должна описывать два процес-
процесса — появление малого количества волн в состояниях с большими
частотами и конденсации остальных в состоянии с со=0. Асимпто-
Асимптотически при Ь—*оо значение интеграла I сосредоточено в точке
{0=0, все значение интеграла Н — в бесконечно малом числе ча-
частиц С @=00.
Рассмотрим колмогоровские решения стационарного уравнения
{87). Их можно вычислить в изотропной среде, если закон диспер-
дисперсии и ядро Tkkitk^ — однородные функции своих аргументов да —
— Ь*>ТЬЬ , ъ—^ТЪЬъь' Тогда из соображений размерности,
аналогичным изложенным в § 4, легко установить, что они должны
иметь вид!
3 ; (91)
(92)
где Q — поток волнового действия; Р — поток энергии. В соответ-
соответствии со сказанным выше поток Q направлен в область малых,
а поток Р — в область больших частот. Рассмотрим еще термо-
термодинамически равновесное решение уравнения (87)
/?& = ТI (|А-|-СО&) , (93)
70
п +

где Т— температура; \х — химический потенциал. При всех Г, jx
полная энергия для распределения (93) расходится в области боль-
больших k.
Покажем, что распределения (91), (93) являются решениями
стационарного кинетического уравнения. Последнее можно запи-
записать в виде
J
со, о)ч+со8-(о, <о2,
(94)
Интегрирование ведется по области Q, изображенной на рис. 3.
Эта область разбивается на четыре подобласти (рис. 3).
Будем искать решение уравнения (94) в виде п=1/(дх. Про-
Проведем замену переменных в подобласти 2
а в областях 3, 4
ДJ О) , О) , (О2
)_>—— (о,—>—т—со,;
2 С0'2 ' 3 0)А2 3'
(й' ; со.—)-—г- (УЬ1
при этих преобразованиях подобласти 2, 3, 4 переходят в подоб-
подобласть 1.
Функция U подчиняется тем же условиям симметрии (85),
что и функция Vkkik^. Кроме того, ?/в(Опа)аЮ§ однородная функция:
^8<о, ^. ^ е.8 = «Т^1§ .2соз; Т - 1Bр + Зл)/а] - 4.
Уравнение (94) после замены переменных (95), (96) преобразу-
преобразуется к виду
(О COo-f-flOft—СО (Оа СОа Г
- ш*. - •*J
Зл:-3-Т / щ \3jf-3-T
(j
Р1нтегрирование в (97) ведется по подобласти /.
Подынтегральное выражение в (97), обращается в нуль в че-
четырех точках
х=0; х=\; Зх—3—7 = 0; Зх—3—у=1
и вследствие положительности функции U знакопостоянно при
остальных х. Поэтому уравнение (94) имеет четыре степенных ре-
решения:
(98)
(99)
71

Решения (98)—термодинамически равновесные. Они являются
предельными случаями решений (93) (при ja=O и при Г=с2,
jx-^oo). Решения (99) —колмогоровские, после пересчета степеней
они совпадают с (91) и (92).
Решения (91) и (92) имеют смысл, если интегралы в (97) схо-
сходятся, т. е. турбулентность локальна.
Представим уравнение (89) в виде
2, A00)
где
(«)= J
A01)
Интегрирование в A01) ведется по области coi>0, co2>0, о>3>0
Из A00) следует, что поток волнового действия в область ма-
малых частот Q = CS/(9(o. Из (91) следует
д д т д /с dS
Итак, для потока энергии в область больших частот Р имеем
P=S—co(95/(9(o = S—coQ. A02)
Общее стационарное решение A01)
S = P+q)Q. (ЮЗ)
Физический смысл этого реш.ения состоит в том, что при со=О
имеется источник энергии интенсивностью Р, а при со = оо источник
волнового действия интенсивностью Q. Если интенсивность одного
из этих источников равна нулю, A03) имеет степенное решение,
совпадающее с решениями (91), (92). Из A03) можно получить
и явные выражения для констант а и 6, из-за их громоздкости они
не приведены. Из анализа этих выражений видно, что обе констан-
константы положительны, что согласуется с изложенными выше представ-
представлениями о знаках потоков.
Если выполнено условие
2р/3>а, A04)
то интеграл энергия на распределении (92) расходится в область
малых волновых чисел. В этом случае турбулентность будет колмо-
горовской по энергии, а интеграл энергии фиктивный и не сохра-
сохраняется, так как осуществляется поток энергии в область больших
волновых чисел.
Если выполнено условие
а>2р, A05)
то интеграл волнового действия вычисленный по распределению
(91) расходится в области больших волновых чисел. В этом случае
72

турбулентность будет колмогоровской по волновому действию.
Интеграл волнового действия становится фиктивным из-за конеч-
конечного потока действия в область малых волновых чисел, где про-
происходит диссипация энергии (так происходит с ленгмюровскими
волнами, механизмом диссипации для которых является ленгмю-
ровский коллапс), или в консервативной среде—накопление энер-
энергии в состоянии с волновым вектором, равным нулю, — бозе-кон-
денсация. При этом интеграл волнового действия переходит в бо-
зе-конденсат.
В промежуточной области
2р/3<-а<2р, A06)
оба интеграла — энергии и волнового действия являются сохра-
сохраняющими.
Уравнение (87) допускает автомодельную подстановку
n=(l/t*)n(kltv), *=A/2)+у(.р+л^а/2). A07)
Неизвестную константу можно найти в зависимости от способа
интерпретации решения A07).
Пусть решение A07) описывает асимптотическую стадию эво-
эволюции начального возмущения в среде без источников. В колмо-
колмогоровской энергии A04) ситуации сохраняется интеграл волново-
волнового действия, откуда следует
х=(п+а)у\ у=1/Cа—2р). A08)
Максимум энергетического распределения перемещается со вре-
временем в область малых волновых чисел.
В колмогоровской по волновому действию A05) ситуации со-
сохраняющимся является интеграл энергии. Отсюда х=(п-{-а)у>
0=1/(За—20), *=(л+а)/Cа—2р). A09)
Максимум энергетического распределения перемещается в область
больших волновых чисел.
В промежуточной области A06) должны сохраняться оба
интеграла, но для автомодельного решения это невозможно, по-
поэтому эволюция носит неавтомодельный характер.
Пусть теперь в среде имеется неустойчивость, описываемая до-
добавлением з правую часть уравнения (87) члена y(k)nk. Пусть
у (к)—изотропная функция с максимумом при k—-k0. В области
k^ko за конечное время порядка 1/у устанавливается стационар-
стационарный спектр. Однако характер установления спектра при k<^k0 и
при k^$>k0 зависит от соотношения и и р.
В колмогоровской по энергии области A04) при ?>й0 быстро
устанавливается спектр (92). В области k<.k0 автомодельное ре-
решение типа «тепловой волны» распространяется в область ма-
малых к. Все волновые действия, рождающиеся в области к—-ко, ухо-
уходят в область малых к, где волновое действие возрастает пропор-
пропорционально t.
Итак, х=пу— 1, откуда
у=-3/Bр-а). (ПО)
73

В колмогоровской по волновому действию A05) ситуации картина
обратная. В области малых волновых чисел устанавливается ста-
стационарный спектр (91), тогда как в область больших k распро-
распространяется тепловая волна. В эту волну попадает вся произведен-
произведенная в области неустойчивости энергия. Таким образом,
x=(n+a)y—l, y=3/Ca-2p). (Ill)
В промежуточной области A06) картина комбинированная — в об-
область малых k распространяется автомодельное решение (ПО),
в область больших k — решение A11).
В средах с нераспадным законом дисперсии в отличие от случая
распадного закона при условии стационарной накачки осуществля-
осуществляется альтернатива — либо энергосодержащая область расположена
б области затухания (в зависимости от ситуации в коротких или
длинных волнах) либо спектр турбулентности — существенно не-
нестационарный. В реальной задаче эта нестационарность может
ограничиваться конечными размерами рассматриваемой физиче-
физической системы.
8. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ
ЖИДКОСТИ
Наиболее важный физический пример слабой турбулентности
в средах с нераспадным законом дисперсии — турбулентность гра-
гравитационных волн на поверхности глубокой жидкости [4, 10, 11].
Если движение жидкости в этих волнах потенциально, то их опи-
описывают уравнениями D8), где
^g^dr, A12)
Тде g — ускорение силы тяжести, гамильтониан A12) описывает
.гравитационные волны с законом дисперсии &k==y~gk. Ниже пола-
хаем g=l, <*) = yrk . Итак, а =1/2.
После перехода к нормальным переменным по формулам
Г2 (ИЗ)
получим гамильтониан D), где V kktk2 = U „.k, kx, kz' причем (см. [27])
74

Г (kkfaktI12 1
- klk*
Ядро кинетического уравнения выражается через A14), A15) при
помощи (83). Явный вид ядра не выписан из-за его громоздкости.
Оно обладает теми же свойствами однородности, что и W№l>Wb.
Итак, р=3, и кинетическое уравнение имеет степенные решения
. A17)
Спектр A17) соответствует постоянному потоку энергии в область
больших частот, тогда как спектр A16)—постоянному потоку
волнового действия в малые частоты. Из анализа видно, что оба
спектра — локальные. Поскольку а<2р/3, энергия расходится в
области малых со, так что осуществляется колмогоровская по энер-
энергии ситуация. Поэтому для волн на воде интеграл энергии факти-
фактически не сохраняется. Это же относится и к интегралу импульса.
Лишь интеграл волнового действия является действительно сохра-
сохраняющейся величиной.
Согласно результатам § 7 затухание гравитационных волн
должно осуществляться по автомодельному закону A08), причем
у=—2/11. Отсюда для энергетического распределения находим,
решение (с учетом &=о>2)
Sm = S.(*tmh A18)
при изотропном распределении средняя частота затухающего сво-
свободного волнения (зыби) должна убывать как t~l/il.
Накачка гравитационных волн осуществляется ветром, при этом
наиболее эффективно растут волны, фазовая скорость которых су-
существенно меньше скорости ветра. В область длинных волн рас-
распространяется автомодельное решение типа «тепловой волны»
#«=ЙГО(®*9/И). A19)
Характерная частота соо, на которой сосредоточено это решение,
убывает как t~3/n. При (о>о)о устанавливается колмогоровский
спектр A16). Эти выводы удовлетворительно согласуются с экспе-
экспериментом.
Характеристика нелинейности гравитационных волн — отноше-
отношение высоты и длины волны. Это отношение не может быть больше
предельного, при котором угол в вершине волны составляет 120°.
При больших углах происходят опрокидывание волны и диссипа-
диссипация ее энергии. Именно этот эффект и отвечает в конечном итоге
75

за несохранение в системе гравитационных волн энергии и им-
лульса. Он является главным механизмом диссипации энергии
волн. Эта диссипация (образование «барашков») происходит в
области больших волновых чисел, где нелинейность велика, и ки-
кинетическое уравнение неприменимо. В этой области устанавлива-
устанавливается спектр, не зависящий от потока энергии
известный как спектр Филлипса [14]. В инерционной же области,
непосредственно прилегающей к энергонесущей, осуществляются
более медленно убывающие спектры A16) или A17).
9. СТЕПЕННЫЕ СПЕКТРЫ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
ПЛАЗМЫ
Интересный, хотя и несколько искусственный, пример ^нераспад-
ной слабой турбулентности — турбулентность ленгмюровских волн
в плазме с бесконечной массой ионов [6]. Такая плазма описы-
описывается гидродинамическими уравнениями для электронов
-%-+(vv) v- - з.»я - -?¦ w;
?
A20)
Потенциальные движения, описываемые уравнениями A20), суть
ленгмюровские волны с законом дисперсии
Переход к нормальным переменным осуществляется по формулам
Переменные ак подчиняются гамильтоновским уравнениям B)—D),
причем (kXD<^ 1) —^
v ^у = 1_ /«,, у/2 г (кжк,)& _^_ (kkjfe, _j_ (kk,)fe,
a uw \ »/g / L
Поскольку закон дисперсии — нераспадный, можно перейти к урав-
уравнению (81) при кХв<аи в значениях выражения (83) можно пре-
пренебречь членами порядка (kkDJ- Для Т^,^ п°лучим
_ JL. Г 91/ V — V —
т/ 9V V 9V V
— v -k*-kt, кгк3 Ly ккг, к-къ кг,к къ-кх *у ккъ к-къ v к
ки кг, кх-к. ~~ ^kt kz, Ь-Ь Ь

Выражение A24) удовлетворяет свойствам симметрии (85) и
является однородной функцией степени 2. Для закона дисперсии
после вычитания константы имеем
^k~C/2)(x>pi(kXDJ. A25)
В гидродинамическом приближении турбулентности ленгмюровских
волн описываются нераспадным кинетическим уравнением (87),
из которого следует, что характерное время эволюции спектра
A26)
где W/nT — отношение энергии ленгмюровских колебаний к тепло-
тепловой энергии плазмы. В плазме еще имеет место процесс индуци-
индуцированного рассеяния ленгмюровских волн на электронах с харак-
характерным временем
1 /Тинд-^ор/ (k%D) *W/ nT. A27)
Поэтому четырхплазменное кинетическое уравнение справедливо в
области
W/nT>ikXD. A28)
Фактически это уравнение справедливо лишь при еще больших
амплитудах. В плазме с конечной массой ионов в области A28)
выполнены условия существования коллапса ленгмюровских волн.
Коллапс развивается за время тКол, где
%ол Pl \Щ ПТ )
Поэтому необходимо, чтобы выполнялось неравенство т<тКол, что
дает
Ъ (
Ограничение на W/nT сверху следует из условий применимости
«укороченного» уравнения (81).
Итак, четырехплазменное кинетическое уравнение, учитываю-
учитывающее только электронные нелинейности, применимо в не слишком
реалистической области A30). В этой области оно, однако, имеет
колмогоровские решения. Как следует из A24), A25), а=2, р = 4,
так что а<2/3р, и имеет место колмогоровская по энергии ситуа-
ситуация. Кинетическое уравнение (87) имеет колмогоровские степен-
степенные решения
первое из которых соответствует постоянному потоку Р энергии
в область больших &, второе — постоянному потоку Q волнового
действия в область малых k. Оба спектра являются локальными
[ядро A24) обращается в нуль для чисто одномерной задачи, ког-
когда все векторы к, параллельны]. Временная кинетика спектров
77

имеет качественно тот же характер, что и для волн на глубокой
воде. Рассмотрим противоположный предельный случай, когда вы-
выполняется неравенство (плазма предполагается изотермической)
?¦ <133>
В этой области параметров электронными нелинейностями, а так-
также индуцированным рассеянием на ионах можно пренебречь. Глав-
Главный нелинейный процесс взаимодействия плазмонов — обмен вир-
виртуальными ионно-звуковыми колебаниями. Гамильтониан, соответ-
соответствующий этому процессу [15], имеет вид (80), где
) («О].
В этом случае Р = 0, а=2. Ситуация является колмогоровской
по волновому действию. В области малых волновых чисел уста-
устанавливается спектр
Пи пП1 /2 /?7/3 И Я4^
соответствующий постоянному потоку волнового действия в об-
область малых k. В этой области происходит поглощение ленгмюров-
ских волн в результате коллапса. Границу области затухания ks
можно оценить из условия
AkU2, A35)
пТ
откуда °
Q
Спектр A34) является единственным локальным колмогоровским
решением кинетического уравнения. Второе решение пк—ЬРх1ъ/№
не осуществляется из-за логарифмической расходимости интегра-
интегралов в столкновительном члене.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенные примеры не исчерпывают возможных областей
применения концепции колмогоровских спектров к задачам слабой
турбулентности в плазме и других средах с дисперсией. Можно
отметить задачу о турбулентности в системе взаимодействующих
высокочастотных и низкочастотных волн (например, ленгмюров-
ских. и ионно-звуковых [13]), альвеновскую и магнитозвуковую
турбулентность [16, 17]. Соображения о слабой турбулентности,
в первую очередь рациональные преобразования в пространстве
частот, позволяющие вычислять спектры, применялись к задаче
о турбулентности в несжимаемой жидкости [18—21].
Распределения колмогоровского типа были найдены и для ча-
частиц (электронов) как дополнительные точные решения кинетиче-
кинетического уравнения Ландау [21—23]. Колмогоровскис распределения
будут встречаться еще во многих плазменных задачах.
78

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А. Н. —Докл. АН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 299.
2. Обухов А. М. —Изв. АН СССР. Сер. Географ, и геофиз., 1941, т. 5,
№ 4, 5, с. 453.
3. Захаров В. Е. — Прикл. мех. и техн. физ., 1965, № 4, с. 35.
4. Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. —Докл. АН СССР, 1966, т. 170, № 6,
с. 1292.
5. Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. —Прикл. мех. и техн. физ., 1967, № 5,
с. 62.
6. Захаров В. Е. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, № 3,
с. 688.
7. Захаров В. Е., Сагдеев Р. 3. —Докл. АН СССР, 1970, т. 192, с. 297.
8. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. —Докл. АН СССР, 1973, т. 20,
№ 4, с. 794.
9. Кузнецов Е. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 584.
10. Кац А. В., Конторович В. М. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973,
т. 64, с. 153.
11. Кац А. В., Конторович В. М. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973,
т. 65, № 1G), с. 206.
12. Захаров В. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1745.
13. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973,
т. 65, с. 904.
14. О. М. Phillips. —Fluid Mech., 1960, 9, p. 193.
15. Захаров В. Е. Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн. Наст.
сборник, с. 79.
16. "Ирошников Р. С. — Астрономический журнал, 1963, т. XI, № 4, с. 742.
17. Кузнецов Е. А. Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат.
наук/ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1973.
18. Kuznetsov E. A., Lvov V. S. On Kolmogorov turbulent spectrum in direct
interaction model. Preprint IAE. S. B. A. S. Novosibirsk, 1977.—Phys. Lett.
64A.157.
19. Захаров В. Е., Львов В. С. Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1975, т 28,
№ Ю, с. 1470.
20. Львов В. С. К теории развитой гидродинамической турбулентности.
Препринт ИАиЭ СО АН № 53. Новосибирск, 1977.
21. Кузнецов Е. А., Носков Н. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1978,
т. 75, № 4, с. 1309.
22. Кац А. В. и др. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 71, с. 177.
23. Карась В. И., Моисеев С. С, Новиков В. Е. — Журн. эксперим. и теорет.
физ., т. 71, с. 1421.
24. Кац А. В,, Конторович В. М. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1973.
т. 20, с. 1112.
25. Львов В. С, Рубенчик А. Н. — Журн. эксперим. и теорет физ 1977,
т. 72, № 1, с. 1271. - ''
26. Захаров В. Е., Мушер С. Л. —Докл. АН СССР, 1973, т. 209, с. 1063.
27. Захаров В. Е. — Прикл. мех. и техн. физ., 1968, № 2, с. 89.
КОЛЛАПС И САМОФОКУСИРОВКА
ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН
В. Е. ЗАХАРОВ
ВВЕДЕНИЕ
При нагреве плазмы импульсными методами — лазерным излу-
излучением, пучком электронов — энергия первоначально передается
ленгмюровским колебаниям. При этом возникает состояние с высо-
высоким уровнем возбуждения ленгмюровских волн — ленгмюровская
79

турбулентность плазмы. Турбулентность в сплошных средах де-
делится на слабую и сильную. Слабую турбулентность описывают
кинетическим уравнением для квазичастиц (в данном случае для
ленгмюровских плазмонов), вид этого уравнения определяется ме-
механизмом взаимодействия квазичастиц. При этом турбулентность
представляет собой суперпозицию монохроматических пло-
плоских волн с различными волновыми векторами, фазы этих волн,
с точностью до малых членов, случайны и статистически незави-
независимы. Сильная турбулентность положительного определения не
имеет — сильной является любая турбулентность, не являющаяся
слабой.
В любой среде при достаточно высоком уровне нелинейности
корреляция фаз между волнами с различными волновыми векто-
векторами становится настолько большой, что турбулентность нельзя
считать слабой. Однако встречаются ситуации, когда даже при ма-
малом уровне нелинейности условия применимости слабой турбу-
турбулентности нарушаются. Это связано с возникновением в среде спе-
специфических пространственно-временных структур, в которых про-
происходит интенсивная диссипация энергии. Примерами таких струк-
структур являются ударные волны в газовой динамике или барашки на
поверхности жидкости. Эти структуры локализованные, поэтому
их удобно изучать в координатном пространстве.
Для ленгмюровской турбулентности эффектом, нарушающим
слаботурбулентную картину, является эффект образования обла-
областей локализации сильных электрических ВЧ-полей. Из этих обла-
областей-каверн или кавитонов плазма выталкивается ВЧ-давлением,
так что плотность плазмы в них понижена.
В результате ВЧ-поле оказывается «запертым» в областях по-
пониженной плотности. Уровень энергии ВЧ-поля в этих областях
может на несколько порядков превосходить средний по объему.
Области локализации ВЧ-колебаний наблюдали в эксперимен-
экспериментах [1—3] и они были интерпретированы как плоские стационар-
стационарные образования — солитоны. Впоследствии солитоны в многочис-
многочисленных работах использовали для построения теории сильной ленг-
ленгмюровской турбулентности, в том числе для описания нелинейной
стадии различных плазменных неустойчивостей [4, 5]. Эти по-
построения имеют, однако, один существенный недостаток. Как вид-
видно из результатов вычислений, в плазме без магнитного поля, где
затухание ленгмюровских волн достаточно мало, плоские солито-
солитоны должны быть неустойчивы относительно нарастания поперечных
модуляций JJ&], и поэтому не могут осуществляться.
Естественно было бы предположить, что ВЧ-поле в этих случа-
случаях локализуется в кавернах, ограниченных во всех трех направле-
направлениях. Однако можно показать, что стационарные трехмерные со-
солитоны еще более неустойчивы, чем плоские, и имеют тенденцию
к неограниченному схлопыванию. Таким образом, локализацию
ВЧ-полей и в плазме следует представлять себе как существенно
нестационарный процесс. ВЧ-поле локализуется в кавернах, перво-
первоначальный масштаб которых имеет порядок длины,ленгмюровстй
80

волны. Затем каверны неудержимо сжимаются, достигая размера
нескольких дебаевских радиусов, после чего из-за сильного зату-
затухания Ландау поглощается заключенная в них ВЧ-энергия.
Это явление можно назвать коллапсом ленгмюрозских волн
[7]. Коллапс очень существен в кинетике ленгмюровской турбу-
летности, являясь главным механизмом поглощения энергии ленг-
мюровских колебаний.
В физике нелинейных волн универсальный эффект — это само-
самофокусировка волн [8, 9]. При самофокусировке происходит само-
самопроизвольный захват энергии волн в ограниченные области про-
пространства, сопровождающийся образованием особенностей их
интенсивности (фокусов). Можно установить аналогию между само-
самофокусировкой и коллапсом. Самофокусировке подвержены и ленг-
мюровские волны — при этом в областях концентрации волн плот-
плотность плазмы также понижена, так что и эти области тоже можно
назвать кавернами. Однако размер каверн при самофокусировке
значительно превышает длину волны (самофокусировку иногда
называют «коллапсом огибающих»). По мере развития самофо-
самофокусировки и повышения плотности энергии ВЧ-волн внутри зоны
самофокусировки возникают многочисленные каверны с размером
порядка длины волны — «коллапс огибающих» переходит в обыч-
обычный коллапс. В настоящей работе коллапс и самофокусировку
ленгмюровских волн рассматривают с единой точки зрения. Это
оказывается возможным, если воспользоваться приближенным ди-
динамическим описанием плазмы, усреднив по периоду ленгмюров-
ленгмюровских колебаний, что рассмотрено в § 1.
В § 2 объяснена недостаточность слаботурбулентного подхода—
показано, что в рамках теории слабой турбулентности возникает
трудноразрешимый парадокс «ленгмюровского конденсата». В § 3
дано решение важной динамической задачи о неустойчивости ленг-
ленгмюровской волны конечной амплитуды. Самофокусировку и кол-
коллапс можно рассматривать как нелинейную стадию развития этой
неустойчивости. Изложению теории самофокусировки и коллапса,
а также задачи о неустойчивости солитона посвящены § 4—6.
В § 7 показана качественная картина сильной турбулентности с
участием коллапса ленгмюровских волн как основного механизма
диссипации энергии ленгмюровских колебаний. Характер проис-
происходящего при этом нагрева плазмы рассмотрен в § 8.
На этом следует остановиться особо. Принципиальная харак-
характерная черта коллапса как механизма затухания ленгмюровских
волн — это то, что при коллапсе энергия передается небольшому
числу горячих электронов, из-за чего появляются ускоренные «хво-
«хвосты» на функции распределения. Поэтому с точки зрения пробле-
проблемы УТС коллапс — нежелательное явление, которого следует избе-
избегать. Несмотря на обилие косвенных подтверждающих данных,
прямое экспериментальное доказательство существования явления
коллапса пока отсутствует. Тем не менее концепция коллапса под-
подтверждается большим количеством численных экспериментов, не-
некоторые из которых обсуждены в заключении к настоящей работе.
6-3283 . 81

1. УСРЕДНЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
Для описания сильной турбулентности плазмы недостаточно
пользоваться кинетическим уравнением для ленгмюровских волн.
Необходимо исходить непосредственно из динамических уравнений -
ллазмы. Однако эти уравнения — система уравнений Власова для
частиц и Максвелла для полей — являются слишком сложными и
должны быть упрощены [7]. Возможность упрощения основана на
том, что процессы, происходящие в плазме, можно разделить на
быстрые и медленные. Если плазма достаточно однородна (длина
неоднородности L существенно превышает характерную дисперси-
дисперсионную длину с /(dpi), магнитное поле мало (электронная ларморова
частота Й/ много меньше ленгмюровской частоты сор/), уровень
нелинейности не слишком велик (достаточно, хотя и не необходи-
необходимо, чтобы осцилляционная скорость электронов была меньше теп-
тепловой) и интенсивные высокочастотные поперечные электромаг-
электромагнитные волны отсутствуют, то самым быстрым процессом в плазме
окажутся ленгмюровские колебания с периодом i^l/(Dpz.
В однородной плазме без магнитного поля следующим времен-
временным масштабом оказывается период ионно-звуковых колебаний,
минимальное значение которого в Ymilme раз больше т (тг —
масса иона, те — масса электрона). Упрощение динамических урав-
уравнений представляет собой усреднение по быстрому времени т.
В дальнейшем будем рассматривать только длинноволновые коле-
колебания, фазовые скорости которых значительно превышают тепло-
тепловые, и не будем учитывать квазилинейные эффекты. Поэтому мож-
можно использовать гидродинамические уравнения для электронов.
Пренебрежем взаимодействием ВЧ-колебаний между собой, это
позволит нам для их описания воспользоваться линеаризованными
гидрода&а^мичеекими уравнениями
+ 3'f?
и уравнениями Максвелла
Предположим, что в A) и B) плотность электронов имеет вид:
п=По-\-дп+6пе, бп, 6яе</г0,
где 8п — заданная низкочастотная (квазинейтральная) неоднород-
неоднородность плазмы; Ьпе — вариация плотности, связанная с ленгмюров-
скими колебаниями. В A) коэффициент 3v2Te перед членом v —
выбран таким, чтобы получить правильное выражение для линей-
линейного закона дисперсии ленгмюровских волн
82

Подставляя A) в B), используя условие квазинейтральности НЧ-
движений и пренебрегая малыми членами порядка ~^Itt по-
п с2
лучаем
)^ + «%,-?е = 0. C)
При 8п=0 уравнение C), кроме ленгмюровских, описывает элек-
тромагнитные вшщы с законом дисперхсии ©4= V**pi"\-k%c%.
Здесь рассмотрены только колебания с частотой, близкой к
плазменной. (Для электромагнитных волн это означает ?2с2/со2р/<С
<С1). Поэтому можно представить напряженность электрического
поля в виде
E=(l/2)[gexp(-iV) +t#exp(i«p/*)j, D)
где Е — медленно меняющийся вектор (dE/dt<^topiE). Подставляя
D) в C ) и пренебрегая второй производной d2E/dt2, получаем
окончательно [10]
- 2i-^f ж + rot rot E - 3-^ у divE + ю1,, — Е = 0. E)
При учете нелинейных членов в E) произошла бы генерация ко-
колебаний на удвоенной плазменной и нулевой частотах, из-за чего
lD А | Е \*Е
в E) появились бы члены типа ш2 . --= , пренебрежимо ма-
у Щ* е
лые, если характерное время процессов, описываемых E), удов-
удовлетворяет весьма мягкому условию
где Уф — характерная фазовая скорость ленгмюровских колебаний.
Для замыкания уравнения E) необходимо связать Ьп и Ё. Не-
Несмотря на квазинейтральность, НЧ-колебания создают некоторый
электростатический потенциал <ре*, влияющий на усреднение дви-
движение электронов. Кроме того, на электроны действует ВЧ-сила
с потенциалом Ф~4шсо2 l^l'» выталкивающая их из областей
с повышенной интенсивностью колебаний. Можно считать, что
электроны распределены по Больцману в суммарном поле этих
сил
П = nQ ехр е-~ ; — := ^ <^ 1.
I в \ о в
Ионная функция распределения ft подчиняется уравнению Власова
в потенциале wei
83

Условие квазинейтральности имеет вид:
8л, =
Она замыкает систему уравнений E), F). В нерелятивистской
плазме величина {vTe/cJ является малым параметром, позволяю-
позволяющим разделить потенциальные и непотенциальные колебания. По-
Полагая E^V^F и беря дивергенцию от обоих частей уравнения E),
получаем
p \? р/ div $L у*. G)
Уравнение G) имеет интеграл движения No:
r (8)
с точностью до множителя, совпадающий с числом ленгмюров-
ских квантов или с полным адиабатическим инвариантом плазмы.
Уравнение E) сохраняет аналогичный интеграл N0 = f\E\24r. Он
имеет смысл полного числа ленгмюровских и электромагнитных
плазмонов.
Уравнение F) учитывает нелинейное взаимодействие ВЧ-полей
между собой, которым в большинстве случаев можно пренебречь,
осуществляя линеаризацию уравнения F). После линеаризации
можно выразить вариацию плотности 8п через ВЧ-потенциал. Эту
•связь удобно записать, совершив преобразование Фурье
Ч. g = 7TTW f ехР 1[ (*г) ~ iQ'l Ьп (г* J)drdt
Она имеет вид:
где <Dk,q — фурье-образ ВЧ-потенциала. Функцию Gx,fi можно на-
назвать НЧ-функцией Грина плазмы. Функция Грина выражается
через диэлектрическую проницаемость GX|Q==(ee/e)—1, где ге —
электронный вклад вей непосредственно через функцию распре-
распределения ионов
а г. к. L \Щ"
Функция Грина обладает очевидным свойством симметрии
Она допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплос-
полуплоскость Q и меет там полюс
соответствующий ионно-звуковым волнам. Если плазма устойчива
относительно раскачки ионного звука, то Im Gx,q>0. Соотношение
84

(9) после совершения обратного преобразования Фурье представ-
представляет собой в общем случае интегральное соотношение между Ьп
и Ф. В двух простых случаях эту связь можно сделать локальной.
Пусть характерные времена нелинейных процессов настолько ве-
велики (irl<^kvT ), что ионы успевают распределяться по Больцма-
ну в низкочастотном электрическом поле
Из D) и G) получим
Ьп еФ \В
В потенциальном .случае уравнение (8) в рамках приведенного
«статического» приближения имеет вид:
A (iV, +4 -,«*Vb* )+16м.?.'+7-<) diV kvT для НЧ-движения
справедливо гидродинамическое приближение
/ 5 .1/2
T. + s-ТЛ
Здесь cs = I — I — скорость ионного звука, a ys- его
затухание. При этом
GKtQ=K2c2s/ (Q2—K2c2s+2iysQ), A3)
В изотермической плазме A2) применимо при достаточно боль-
щих амплитудах (W/nTe>kXD Vmelmit если k2%2D>melmit
W/nTe>mejmi, если &2A,2D<me/m<). При этом можно пренебре-
пренебрегать инерционным членом и затуханием (d/di^>ys, d2jdt2^>c2stS).
В изотермичной плазме G\-<Гв) критерий применимости A2)
альтернативен критерию применимости статического приближения.
При Ti<t:Teyk2X2D<me/mi и (Ti/Te)melmi<W/nT<me/mi из A2)
следует статическая формула
Таким образом, фактически в области g—^г-<— при любом соот-
соотношении температуры справедливо уравнение A1).
85

2. СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Полученные в § 1 усредненные динамические уравнения можно
использовать для получения кинетических уравнений, описываю-
описывающих слабую ленгмюровскую турбулентность плазмы. Определим
число заполнения квантов ленгмюровских плазмонов в й-простран-
стве rik через корреляционную функцию ВЧ-лотенциала по фор-
формуле
^ A4)
Приведем без вывода кинетическое уравнение для изотермической
плазмы, когда можно учитывать ионно-звуковые волны как само-
самостоятельные степени свободы. Она имеет вид [16]:
- К) s К+<\ - <\ - <\) ла/w* (^^^?)
A5)
Здесь
»«pt [(kk2)(k,k.) G , ,
A7)
удовлетворяет условию антисимметрии
Г/t — декремент затухания ленгмюровских волн. Первый член ки-
кинетического уравнения описывает затухание ленгмюровских волн
и их индуцированное рассеяние на ионах. Этот член является
главным в области {k%DJ>meltni. Второй член описывает четы-
рехплазменное рассеяние. Он доминирует в области малых волно-
волновых чисел (kXDJ<^melrrii, особенно при Ti<^Te. В этом случае для
функции Грина можно пользоваться статическим приближением.
Кинетическое уравнение A5) применимо, если следующее из
него характерное время изменения спектра ленгмюровских волн %
удовлетворяет очевидным критериям
1/т<C/2)соРг(ад2 A9)
(в противном случае нет смысла говорить о ленгмюровских плаз-
монах как о слабовзаимодействующих частицах), а также
тг1<у8, B0)
где 7s — затухание звука ионов. В противном случае необходимо
включать ионно-звуковые волны как независимые степени свободы,
86

при этом получаем условия
kXDy при (k%DJ<me/m{; B1)
w
Пусть Гб=0. Тогда кинетическое уравнение имеет интеграл дви-
движения
N = J nkdkt B3)
' совпадающий с определенным ранее интегралом числа ленгмюров-
ленгмюровских квантов. Кроме того, есть неравенство
B4)
Величину <о можно несколько условно назвать свободной энергией
системы плазмонов. Полная энергия системы плазмонов
W=&+(opiN, B5)
при (kKDJ<^\ первый член в B5) много меньше второго.
При индуцированном рассеянии на ионах и электронах теряет-
теряется энергия ленгмюровских „волн и уменьшается значение величи-
величины &. При четырехплазменном рассеянии сохраняется значение «§Г,
но появляются некоторые плазмоны с большими волновыми числа-
числами. При этом свободная энергия в любой конечной области &-про-
странства стремится к нулю.
Это означает, что среднее значение волнового числа ko в про-
процессе эволюции в рамках кинетического уравнения A5) стремит-
стремится к нулю. Это явление можно назвать бозе-конденсацией (или
просто конденсацией) ленгмюровских волн. При конденсации энер-
энергия ленгмюровских волн почти не меняется (уменьшается только
свободная энергия <§Г). Поэтому критерии применимости кинетиче-
кинетического уравнения B1) неизбежно нарушаются, что и означает прин-
принципиальную недостаточность теории слабой турбулентности.
Для детального изучения процесса конденсация необходимо по-
построение решений кинетических уравнений, причем кинетика кон-
конденсации может сильно варьировать в зависимости от условий
возбуждения ленгмюровских волн. Отметим только одну характер-
характерную особенность. Если возбуждаются достаточно короткие волны
гак что кинетическое уравнение имеет вид:
B6)
и если область возбуждения волн (в которой Г^<0) достаточно
мала (так, например, обстоит дело при параметрическом возбуж-
возбуждении волн), то стационарное решение B6) имеет вид системы
дискретных пиков, расположенных в ^-пространстве на прямой,
проходящей через начало координат и область возбуждения [16].
Характерное расстояние между пиками порядка At!d Yme\m'o xa"
87

рактерная амплитуда — пика Wn — согласно B2) должна удовлет-
удовлетворять условию
WJnT < knlD УШф[{ ig/Qs. B7)
Кинетическое уравнение применимо, если пики достаточно широки,
6kn — ширина /2-го пика — должна удовлетворять условию
{6knXDJ>Wn/nT. B8)
Кинетическое уравнение B8) описывает [16, 17] сужение пиков
F&п-^0), которое можно рассматривать как прямой аналог бозе-
конденсации.
3. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН [7, 18, 40]
Согласно теории слабой турбулентности следствием эволюции
спектра турбулентности должна была быть конденсация, приводя-
приводящая к появлению в плазме монохроматических волн или «ленгмю-
ровского конденсата» областей однородного электрического поля,
осциллирующего на плазменной частоте. Ленгмюровский конден-
конденсат можно рассматривать как монохроматическую волну с нулевым
волновым вектором. В действительности этого не происходит. Ни
в лабораториях, ни в численных экспериментах монохроматические
ленгмюровские волны как результат развития турбулентности не
наблюдаются. Причиной этого служит неустойчивость монохрома-
монохроматических волн. Поэтому задача об этой неустойчивости имеет для
построения теории ленгмюровской турбулентности первостепенное
значение. Монохроматическая волна есть решение уравнения G)
вида
W = ЧГ. = (A/k,) exp [i (kor) - i«^l, B9)
о
где ш^= — (ор/й20я2/)— частота ленгмюровской волны. Подставим W
в виде Ф = Тв + 8ФFФ<ЧГв) в уравнения G), (9). Представим SW
в виде bW ^ exp [i (х, r)-f-i?#]. На х и Q получим дисперсионное
уравнение
nJe «• '
, (к„ k.-x)
?2 I lr ,
л 0 I **ft *
«. ж
= 0, C0)
где W=\A\2l8x.
Уравнение C0) описывает различные типы неустойчивости в
зависимости от WjnTei kof x и от свойств плазмы, влияющих на вид
Gx>q. Неустойчивости можно классифицировать по соотношению к
и k. При х<С^о будем говорить о модуляционной неустойчивости,
при уг~*къ о распадной или модифицированной распадной неустой-
неустойчивости, при x»jfeo о неустойчивости конденсата. Неустойчивость
конденсата во многом подобна модуляционной.

Начнем со случая х^&о. Рассмотрим сначала изотермическую
плазму. В этом случае функция Грина имеет при всех % большую
положительную мнимую часть. В дисперсионном уравнении основ-
основной — это второй член в квадратных скобках, а в аргументе функ-
функции Грина можно заменить й->(о& —(Оь0_х. Уравнение 30 примет
вид:
Это уравнение описывает неустойчивость с инкрементом
««/ (ke, k0 —x)s IP I ыь—щ \
1 4 ?2в|к0 — х|2 tlje V х / v '
Видно, что инкремент совпадает с матричным элементом индуци-
индуцированного рассеяния на ионах, введенным в предыдущем разделе:
Это совпадение — не случайно индуцированное рассеяние и есть,
в сущности, вполне динамический процесс.
В неизотермичной плазме можно использовать для функции
Грина гидродинамическое приближение A3)
(к0,

I 1 Q
Пусть волны являются короткими kXD^>]/rmelmi. По-прежнему при
умеренных амплитудах основным является второй член в квадрат-
квадратных скобках. Уравнение C2) имеет вид:
(Q2 - к*с\) (Q + «о^ - соJ + ^Т" ^ **с\ cos2 & = 0; C3)
(ко к0 4-х)
Если W/nT<kXDYlnJrnit то возможно дальнейшее упрощение C3)
(Q - х^5) (Q + со,о_х - •„) + ^L Z. ^- cos8» = 0, C4)
уравнение C4) описывает неустойчивость, инкремент которой
положителен в слое вблизи резонансной поверхности
\=-ки + *-|к|- C5)
На поверхности C5) он равен
pics*W у/а
C6)
89

Это — распадная неустойчивость ленгмюровской волны на ленг-
мюровскую и ионно-звуковую. Ее инкремент максимален для рас-
распада назад, когда х-^2к0.
Уравнение C4) справедливо, пока y<^%cs. При W/nT^
^k%D y^mjrrii это условие нарушается при всех к. При больших
значениях амплитуды надо использовать уравнение C3), прене-
пренебрегая в нем членом %2с25. Вблизи поверхности <о^о_х = ^0 имеем
неустойчивость с инкрементом
Уз (<*pi w 2 2 2QV/3 /qv\
Y = — [—W*c*cos *J C7>
Это — модифицированная распадная неустойчивость. Она имеет
место и при малых амплитудах W/nT<.kXD Vfne/mi есуш х/&
достаточно мало, то csK<C(Opi(WlnT)cos2Ф. Поскольку c2s = T/miy
инкремент модифицированной распадной неустойчивости не зави-
зависит от температуры электронов. Не зависит он и от температуры
ионов — эта неустойчивость одинаково развивается в изотермич-
изотермичной плазме. Модифицированная неустойчивость имеет место
вплоть до амплитуд порядка
W/nT~(mi/me) {k%D)K C8)
При больших амплитудах модифицированная распадная неустой-
неустойчивость переходит в неустойчивость однородного осциллирующего
поля (ленгмюровский конденсат), которую рассмотрим ниже.
Возьмем в C0) &о->О. Получим
- а2 + 4 <"%/ Kd
К/ S s2 &
где Ф—-угол между волновым вектором х и направлением элек-
электрического поля к0. Неустойчивость имеет место для всех волно-
волновых векторов х, удовлетворяющих условию
K2K2D< (W/nT)cos2®. D0)
Для волн малой амплитуды W/nT<.melmi можно пренеречь Q2
по сравнению с c2sk2. Тогда
Y = •„ |/"C/4) (kXd)* (W/nT) cos2 & - (9/4) (*XD)\ D1)
Максимальный инкремент y=(ll4)(upi(W/nT) достигается при
(xtaJ=(l/6) (WlnT)cos2ft. При больших амплитудах W/nT>
~>me\mi и малых kKd имеем
7^*>pixAd>[(9/4) (W/nT) (тв/т{)cos2Q]U\ D2)
при kXd'—\(гпе\т{) (WlnT)cos2d]1/4 инкремент достигает значения
7~соРг[ (W/nT) cos2 О]1/2, D3)
90

которое практически не меняется до границы устойчивости
(xKdJ—(W/nT)cos2Ф, вблизи которой инкремент резко падает
до нуля.
Неустойчивость описанного типа может иметь место не только
для однородного поля ленгмюровских волн, но и для произволь-
произвольного неоднородного (в частности для монохроматической волны),
если интенсивность его достаточно ве-
велика.
Пусть характерный обратный раз-
размер неоднородности — k0. Характер-
Характерное обратное время постоянства фазы
внутри области с размером l/k0 есть
р
(kokD)
2;
если
х~1<у, где х и у — волновое число и
инкремент неустойчивости однородно-
однородного поля, то внутри области с размером
1/&о развивается неустойчивость типа
неустойчивости конденсата. Можно
проверить, что для короткой монохро-
монохроматической волны это происходит при
me/mi
Рис. 1. Области различных ти-
типов неустойчивостей монохро-
монохроматической ленгмюровской
Рассмотрим теперь неустойчивость, , волны:
о ^, / т> « * — распадной: // — модифициро-
ПрИ КОТОРОЙ Х<&0. Такая НеуСТОИЧИ- ванной; ///-однородного осцил-
вость представляет собой катастрофи- ™р^™); no7v-ЛмодуХио^й
ческое нарастание модуляции исход-
исходной волны и поэтому называется модуляционной. Дисперсионное
уравнение для модуляционной неустойчивости имеет вид:
Г о 9 лооо 3 о W
D4)
Рассмотрим вначале случай длинных волн малой амплитуды
WT(kJ/
В этом случае Q2<Cx2c2s и инкремент имеет вид:
«р/ (W/nT) {nlDf - (9/4) «Jр/ {%lD)\ D5)
весьма напоминающий D1). Действительно, при WjnT—(kXDJ
эта модуляционная неустойчивость переходит в неустойчивость
конденсата.
Для коротких волн {kXDJ>me/mi с модуляционной неустой-
неустойчивостью конкурирует распадная (или индуцированное рассеяние
на> ионах). Для одиночной волны распадная неустойчивость силь-
сильнее модуляционной, однако для стационарного спектра (системы
спектральных пиков) распадные неустойчивости скомпенсированы,
и модуляционная неустойчивость становится снова важна. Она раз-
развивается преимущественно в поперечном направлении (хко)=О,
дисперсионное уравнение
- к«с%) = C/4) шгр; (W/пТ) (>aD)V>\ D6)
91

исследуется так же, как уравнение C9). Максимальный инкре-
инкремент ум&кс^A14)(ЩпТ)(йР1 при W/nT<.me/mi и 7макс^соргХ
Y^\W \nT)me\m^i2 при W/nT>me/mi. Этот инкремент меньше
инкремента модифицированного распада; при W/пТ'^>(т{/те)Х
X(&ta>L инкременты сравниваются и неустойчивость переходит в
неустойчивость конденсата. На рис. 1 показано расположение раз-
различных типов неустойчивости монохроматической волны на плоско-
плоскости.
4, ЛЕНГМЮРОВСКИЕ СОЛИТОНЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
В настоящем параграфе рассмотрен только случай неизотер-
неизотермичной плазмы, когда ленгмюровские колебания описываются
уравнениями G) —A2) при Vs=0.
Введем в этих уравнениях безразмерные переменные (для про-
простоты обозначим их теми же буквами, что и исходные)
, 4 те , Ъ Ъп mi
4 *| / пге т t цр _3 уФ f47\
3 \ ~щ \D " ^ 8 ' «. \i/2 ' v*1/
Уравнение G) запишем в виде
=div n VW, D8)
а уравнение A2) —в виде
^-An==A|VWj2, D9)
уравнение D9) можно переписать в виде системы
п,+Дф=0; CD*+/z+|W|2 = 0, ' E0)
где Ф — потенциал НЧ-скоростей.
Уравнения D8), D9) сильно упрощаются в одномерном случае
\Et+Exy=nE; пи—пхх=(\Е\2)хх. E1)
Уравнения E1) имеют важное частное решение — ленгмюровский
солитон
E=Eo(x-st)exp[{is/2)x+i(X2—s2/4)t]. E2)
Ленгмюровский солитон представляет собой пример тех каверн, о
которых говорилось во введении. Для него вариация плотности
имеет вид:
п=—2К21 [ch2 (x—sl—xo) ]. E3)
Солитон представляет собой движущуюся одномерную яму плот-
плотности плазмы, в которой «заперты» ленгмюровские колебания. Ско-
Скорость движения солитона не превышает скорости ионов.
Затухание звука ионов оказывает на солйтон тормозящее дей-
действие [19]. Однако «стоячие» солитоны могут существовать в плаз-
плазме со сколь угодно сильным затуханием звука, в частности в изо-
изотермической плазме. Поэтому их изучение представляет особый
интерес.
-.92

Солитоны неоднократно использовали при построении моделей
сильной ленгмюровской турбулентности [4]. Поэтому очень инте-
интересна задача об устойчивости солитона [6, 20—23]. Ограничимся
случаем стоячего солитона малой амплитуды (W/nT<^melmi), для
которого можно взять статическое приближение n= — \?W\2 и
свести системы D8), D9) к одному уравнению
0. E4)
Стационарному солитону соответствует решение
W = Wo = V2 ехр (\ХЧ) arcsin th Хх, E5)
где хо=О.
Будем искать решение E4) в виде
где возьмем
8T^,exp[i(-a + (kr±))]T(^); rx = (y, х).
Линеаризуя уравнение E4) и полагая &2->0, получаем следующую
задачу на собственные значения
E6)
описывающую развитие возмущений с поперечным размером, на-
намного превышающим толщину солитона, здесь L\, Lo, M — опе-
операторы:
8в) \bEdx. E7)
о oJ
В E7)
Ео = dWJdx = К2Я/сЬ Хх; ЬЕ = -% (W
Причем Lo, L\ — самосопряженные операторы. Они удовлетворяют
очевидным соотношениям
Lo?o=O; LldEQ/d%=2'kEQ, E8)
откуда следует
LoLxdEo/dX^A. E9)
Будем искать решение E6) в виде
для Ei получим [с учетом E8)]
L? ?0: F0)

Умножая обе части F0) на дЕ0/д% и интегрируя по х в пределах
(—оо, оо), получим
^\LXM\E%)
?
, (Ы)
где / — константа:
—оо О
t'-0,00
Рис. 2. Развитие неустойчивости плоского ленгмюровского
солитона (дозвуковое приближение). Показаны линии уровня
li7-!2. Геометрия двумерная

При вычислении на ЭВМ получаем / = 3,6. Поскольку константа
/>0, солитон неустойчив. Неустойчивость плоского стоячего со-
солитона изучали на численном эксперименте [23, 41] путем реше-
решения плоских (х, у, I) нестационарных уравнений E4) (рис. 2) и
полной системы D8) (рис. 3), Была рассмотрена задача с перио-
периодическими граничными условиями по у; начальное условие выби-
выбирали в виде
*=?¦
A +0,1 si
F2>
где / — период, превышающий характерный размер солитона в не-
несколько раз.
На рис. 2, 3 показаны линии уровня величины jV^F]2. Началь-
Начальное условие (рис. 3) выбирали таким, что осуществлялся фактиче-
фактически обратный предельный случай к пределу малых амплитуд (см.
рис. 2).
макс | ? |2
Рис. З. Развитие неустойчивости плоского солитона с учетом
инерции ионов. Геометрия двумерная

Видно, что между ними нет качественного различия. Начальная
модуляция возрастает, приводя к собиранию всего отрезка соли-
тона в малую область. Это — характерный пример явления коллап-
коллапса ленгмюровских волн, описанного ниже.
Из соображений размерности ясно, что максимальный инкре-
инкремент осуществляется для возмущений, размер которых совпадает
по порядку величины с поперечным размером солитона.
5. САМОФОКУСИРОВКА ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН [7, 24]
Перейдем к аналитическому изучению нелинейной стадии не-
неустойчивости монохроматической волны. Рассмотрим только два
случая — модуляционную неустойчивость и неустойчивость одно-
однородного поля.
Изучение модуляционной неустойчивости начнем с упрощения
уравнений D8), D9). Пусть
Y= A jk) ф (*, t) exp [i (kx—®kt] F3)
(в рамках рассматриваемых уравнений шь=&2). Здесь ф — мед-
медленно меняющаяся (по сравнению с k и со) функция координат и
времени, имеющая размерность напряженности электрического
поля.
Подставляя F3) в D8), D9), получаем, учитывая главные чле-
члены по k2,
При &<С1 |ф|2<^1, что в физических переменных соответствует
условиям (kXDJ<:me/mi; W/nT<.{k'kDJ. Система F4) преобра-
преобразуется к одному уравнению, которое можно непосредственно полу-
получить из E4):
1(ф,+2(^У)ф)+ДФ+|ф|2ф=0. F5)
Переходя в движущуюся со скоростью 2k систему отсчета, полу-
получаем
1ф*+Дф+|ф|2Ф = 0. F6)
Уравнение F6) — нелинейное уравнение Шредингера — получено
здесь для случая, когда Д — трехмерный лапласиан. Однако если
k^>\, kkD^> Vrnjnii, то в системе F4) основными будут почти
двумерные решения с (&У)ф=0. Тогда при |ф!2<С1, W/nT<g.
<^Lmejmi из F4) следует уравнение F6), но с двумерным лапла-
лапласианом. Поэтому рассмотрим F6) для произвольной пространст-
пространственной размерности я.
Прежде всего установим, что F6) имеет интегралы движения
N=[\<?\4r, F7)
P = i j

Этим исчерпываются все интегралы уравнения F6) при я>1, тог-
тогда как при п=1 существует дополнительно бесконечный набор
интегралов, содержащих высшие производные от ф (см. [55]).
Уравнение F6) имеет точное решение
? = и (г - v/) exp f i fx* - ?) ' + W2) (vr) ] • <69>
аналогичное решению E2). Функция в F9) удовлетворяет урав-
уравнению
—Х2и+Аи-\-и*=0. G0)
Убывающие во всех направлениях решения уравнения F9) будем
по аналогии с одномерным случаем называть солитонами (двумер-
(двумерными или трехмерными). В противоположность одномерному слу-
случаю двумерные и трехмерные солитоны могут иметь различную
форму [54]. Солитоны максимальной симметрии (цилиндрические
или сферические) описываются уравнением
с граничным условием
иг\г=0
оо.
Это уравнение имеет счетный набор решения с последовательно
возрастающими значениями интеграла N. Л-е решение имеет на
оси г равно k нулей. Уравнение G0) имеет также антисимметрич-
антисимметричные решения и решения вида w^-'exp(imp). Наименьшее значение
интеграла N осуществляется при отсутствии нулей. Двумерный
солитон такого типа называют стационарным волноводом.
Изучение двумерных и трехмерных солитонов представляет
принципиально меньший интерес, чем изучение одномерных со-
солитонов, поскольку они еще более катастрофически неустойчивы,
чем одномерный солитон. Действительно, одномерный солитон
устойчив относительно плоских возмущений, сохраняющих его
симметрию [уь-^О при &-Я) в F1)]. В отличие от этого двумерный
и трехмерный солитоны неустойчивы даже относительно возму-
возмущений, сохраняющих их симметрию [25, 28]. Не будем рассматри-
рассматривать этот вопрос, покажем только, что двумерный и трехмерный
солитоны не могут быть асимптотическими состояниями для ши-
широкого класса начальных условий.
Умножая G0) на и и интегрируя по всему пространству, полу-
получим
0, G1)
здесь, как и прежде,
N = J иЧг; Т = ^ (щ)Чг; U = J иЧг.
Заметим, что Н=Т— A/2) f/.
7—32 83 97

Умножим теперь G0) на (rVw) и проинтегрируем-по объему,
затем получим
(п12)№+[(п/2)-1]Т-(пЦ)и=0. G2)
Из G1) и G2) следует
H=k2[(n-2)/D-n)]N. G3)
Итак, в одномерном случае Я=—(K2/3)N, в двумерном Я=г=0, в
трехмерном Я=АЛ/У>0. Интеграл Я не является положительна
•определенным. Если L — характерное значение масштаба его изме-
изменения, то при ф^ 1/L интеграл Я является отрицательным.
Возникает вопрос о том, как должно вести себя начальное
условие с отрицательным Я. Ясно, что оно не может* хпРийти к
одному или системе стационарных солитонов. С другой ^ороны, х
оно не может излучиться в бесконечность, так как для малых q>
при сохранении L интеграл Я является положительным. Невозмо-
Невозможен и колебательный режим —- при нем происходило бы излуче-
излучение, приводящее к дальнейшему уменьшению и без того отрица-
отрицательного Я. Единственный выход состоит в предположении, что
эволюция такого начального условия окончится с возникновением
особенности. В рамках уравнения F6) это можно доказать строго
[29, 30].
Рассмотрим величину A=jr2\y?\2dr и вычислим ее вторую
производную по времени. После некоторых выкладок получим
(d2/dt2) А = 2пН - 2 (п - 2) j | yW |2 dr. G4)
Таким образом, при п^2
G5)
G6)
где А — положительная величина; ci, C2 — константы; Я — интеграл
движения. Если Я<0, то неравенство G6) должно нарушиться
при некотором конечном /. Это означает, что в решении появится
особенность. При п==2 в G5) имеет место равенство, и условие
Н=0 дает разумную границу начальных условий, эволюция кото-
которых приводит к особенности. При я=3 условие Я<0 является
слишком сильным; фактически особенность образуется уже при
H<.rK2N, где % — характерный обратный размер начального усло-
условия. Перейдем теперь к изучению характера возникающей осо-
особенности. Из соображений симметрии особенность можно считать
сферически-симметричной. Уравнение B9) допускает следующее
автомодельное решение [7]:
У(Ь) G7)
где функция V удовлетворяет уравнению
[-a+(i/2)]V+(i/2)gV6+AV+|V|»V=0: G8)
Среди решений уравнения G8) наибольший интерес представляет
решение, для которого \V\ —монотонно убывающая функция при
98

- При ?->*оо, оставляя только главные члены, получаем:
отсюда V=cltl+2ia. При этом ф-^с/г1*21.*, |ф|2-Чс12Л2> где с —
некая константа.
Таким образом, в асимптотической области электрическое поле
и плотность при t-^to стремятся к постоянному пределу. При этом
все пространство становится асимптотической областью. Эволюцию
решения G7) можно представить себе как возникновение в плазме
особенности — ямы плотности Ы-> *-^-, Эта особенность п-ри
г->0 является интегрируемой только в трехмерном случае, когда
решение G7) только и может иметь смысл. Расходимость интегра-
интеграла от вариации плотности при больших г не имеет значения, так
как решение G7) применимо лишь в ограниченной области г.
Предположение о том, что в трехмерном случае особенность
в рамках уравнения B9) описывается решением G7), подтверж-
подтверждается многочисленными экспериментами на ЭВМ [26, 31].
Итак, развитие модуляционной неустойчивости длинной &Xd<
<3/Гте1т1 монохроматической волны малой амплитуды (W/nT<.
<Lme/mi) можно представить себе следующим образом.
Первоначальная волна разбивается на области размером L,
такие, что (XnlLJ'^'WlnT. Внутри каждой из этих областей обра-
образуется яма плотности плазмы, причем эта яма катастрофически
углубляется в центре. При этом от центра плотность распределена
по закону 6п/п0——L2/r2. Рост плотности в центре происходит до
тех пор, пока значение 6п/п0 не сравнивается с (kkDJ. Таким обра-
образом, минимальный размер каверны г—L(kXD). По достижении этого
размера условия применимости уравнения F5) перестают вы-
выполняться. После этого в центре каверны развивается неустойчи-
неустойчивость однородного осциллирующего поля. Нелинейная стадия мо-
модуляционной неустойчивости коротких (kkD> V^e\mi) волн но-
носит несколько другой характер. Развиваются возмущения, сильно
вытянутые вдоль направления распространения волны. Возникаю-
Возникающие каверны имеют цилиндрическую форму, так что развитие осо-
особенности носит квазидвумерный характер. Пока интенсивность вол-
волны в каверне достаточно мала (W/nT<me/mi)y можно использо-
использовать уравнение F5), в котором производные берут по поперечным
координатам. При больших амплитудах необходимо использовать
полную систему D8), D9). При достижении внутри каверны пре-
предельной амплитуды W/nT'—(k%DJ начинается развитие неустойчи-
неустойчивости однородного поля с размером, меньшим длины волны.
6. КОЛЛАПС ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН
Рассмотрим основной вопрос настоящей статьи — задачу о раз-
развитии неустойчивости однородного осциллирующего поля. По-
Поскольку это развитие носит локальный характер, можно ограни-
ограничиться задачей об эволюции локализованного пакета ленгмюров-
7* 9?

ских волн, имеющего большую интенсивность. Будем рассматри-
рассматривать ее в рамках системы уравнений D8), D9) или (для малой
амплитуды) в рамках уравнения D8).
Анализ этих уравнений во многом аналогичен анализу, проде-
проделанному в § 5 для самофокусировки. Уравнения, кроме N—
/|V4f|2fr, сохраняют интеграл движения'Я, где
= J (|
J ( 4 ) G9)
для уравнения E4) и
44) (80)
для системы D8), D9). В обоих случаях интеграл Я не является
положительно определенным (из-за возможной отрицательно-
отрицательности п).
В обоих случаях уравнения имеют стационарные решения вида
?=exp<iA,20<p/(r), (81)
в случае D8), D9) ф*=0; /г== — | Уф |2. Для функции ф(г) имеем
уравнение
Д(-Я2ф+Дф)+сНу|Уф|2Уф = 0. (82)
Теперь Я дается формулой G9) с заменой W на ф.
Умножая (82) на (гУф*), складывая с комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженным и интегрируя по всему объему, получаем формулу
H=[(n-2)lD-n)]X>N,
совпадающую с G3).
Итак, для стационарных решений в двумерном случае Я=0„
в трехмерном H=X2N. Поэтому аргументы, совпадающие с изло-
изложением в § 5, приводят к выводу о том, что эволюция возмущения»
обладающего в начальный момент времени отрицательным, инте-
интегралом Я, должна закончиться особенностью. Если Я отрицатель-
отрицательна, то J—fn\ VW\2dr тем более отрицательна: |/|>Я. Отсюда по
теореме о среднем имеем
тттах|я|>|Я|/#. (83)
Здесь максимум берется по координатам, а минимум — по време-
времени. Из (83) ясно, что при Я<0 раз возникшая яма плотности не
может исчезнуть в результате эволюции ленгмюровского волнового
пакета.
Перейдем к систематическому описанию ленгмюровского кол-
коллапса. Прежде всего заметим, что сферически-симметричные моде-
модели коллапса не реалистичны. В сферически-симметричном случае
потенциал имеет экстремум в начале координат, так что электри-
электрическое поле там равно нулю и ВЧ-давление минимально. Поэтому
из начала координат плазма не только не будет выталкиваться,
плотность там будет возрастать. Сферически-симметричный кол-
коллапс возможен только в виде «коллапса сферического слоя», имею-
имеющего локальную структуру плоского солитона [23]. Такой коллапс,
100

однако, неустойчив относительно возмущений, нарушающих сфери-
сферическую симметрию.
Реалистическая модель коллапса имеет аксиальную симметрию
относительно оси х, направленной вдоль направления исходного
электрического поля [32—35]. При этом будем предполагать, что
электрический потенциал антисимметричен относительно начала
координат:
W (г, -*) = -? (г, х); г = VTT^2- (84)
При этом предположении электрическое поле и вместе с ним ВЧ-
давление максимальны в начале координат, поэтому плазма долж-
должна выталкиваться оттуда, образуя необходимую для коллапса яму
плотности.
Рассмотрим случай W/nT<.melnii, соответствующий условиям
применимости уравнения E4). Подобно уравнению B9) уравнение
E4) имеет автомодельное решение:
W = ехр [- Ц2 In (t. - *)] 9 (г/ VU -1).'. (85)
Функция ф (|) удовлетворяет при этом уравнению
А[-Д,2<р+ (i/2)|Уф+Аф] +div | У ф |2 Уф=0, (86)
при больших |(|^>1Д) уравнение (86) упрощается до вида
0/2)AУ)ф=Л2Ф. (87)
Это уравнение Эйлера однородных функций степени — 2\Х2. Та-
Таким образом, при |?|->оо
где фо (—п) = — ф0 (п) — некоторая антисимметричная функция
углов. Как и в случае самофокусировки, потенциал ф в любой
фиксированной точке г вблизи особенности при l-*to имеет вид
W->r фо(л). Распределение плотности при этом имеет вид:
бя= —A/г2){4Я2|Фо(/г)
Как и прежде, интегрируемая особенность плотности имеет место-
только в физически наиболее интересном случае п=3. Заметим
еще, что из автомодельной подстановки (85) следует, что для рас-
рассматриваемого решения
причем интеграл для Н сходится при больших г, т. е. конечен. Из
сохранения Н следует #=0. Отрицательность интеграла Н «на-
«набирается» за счет отклонения реального решения от автомодель-
автомодельного.
Уравнения E4) в аксиально-симметричной геометрии решалось
численно [35, 36J. Результаты численного эксперимента подтверж-
подтверждают гипотезу об антисимметричности потенциала внутри каверны
и об ее автомодельном характере. Типичные картины эволюции
каверны изображены на рис. 4.
101

Применимость уравнения E4) нарушается, когда интенсивность
поля в центре W/nT достигает me\mi. После этого коллапс про-
продолжается, но соотношение Sri/n^W/nT перестает соблюдаться.
При W/nT^me/nii системы D8), D9) можно упростить другим
способом. Именно, форма ямы плотности будет определяться инер-
инерцией ионов. Поэтому можно пренебречь членом An по сравнению
с пц, а в уравнении D8) перейти к «адиабатичному приближе-
приближению», положив Ч^ехр[—iX2(t)](p, где ф подчиняется уравнению
А (—Я2 (/) ф+Аф) =div nУф. (88)
f-0,0
t-OJO
t'-0950
t-0,80
Рис. 4. Развитие коллапса аксиально-асимметричного пакета ленгмюров-
ских колебаний (дозвуковое приближение)
Функция времени !K2(t) определится как наименьшее собственное
число спектральной задачи (88). Уравнение D9) упрощается до
вида
(89)
Полученная система допускает автомодельное решение
. _ «2/3 -
Функция V, R удовлетворяют уравнениям
20R+AR) =div VVR,
при |||->оо уравнение (90 )имеет вид:
G+2.|V)B+|V)F=0.
(90)
(91)
(92)
102

Ему удовлетворяет решение
не зависящее при t-+to от времени. Здесь f(n) —некоторая функ-
функция углов. Из (90) следует
fVd%=0. (93)
Будем искать решение (91) в виде ряда
здесь 1х направлена вдоль оси х: p2 = l2y-{-l2z- При подстановке в
(90) получаем
При осуществлении автомодельного решения (89) скорость
уменьшения размера каверны превышает скорость звука и стре-
стремится при t->t0 к бесконечности. Поэтому такой коллапс можно
назвать сверхзвуковым, хотя скорость плазмы при нем меньше
скорости звука.
При g->oo решение R уравнения (91) убывает как 1Д2. Это
означает, что при любом фиксированном | Е-Я) при t-^to. Таким
образом, при сверхзвуковом коллапсе вся энергия электрического
поля, заключенного в каверне, стягивается в точку. Если сверхзву-
сверхзвуковой коллапс начинается из дозвукового (из W\nT<lme\mi), то
характерное значение этой энергии S*
Если же начальная амплитуда волнового пакета настолько велика
(W/nT> Vffii/nie), что сразу начинается сверхзвуковой коллапс,
то количество энергии, попавшей в каверну, зависит от ее началь-
начального размера и варьирует в пределах
n,TXlD (n.TIWI/2 < Ag < n.TX\ (W./nTL* (mjmf4. (95)
При звуковом коллапсе рост вариации плотности плазмы от-
отстает от роста плотности ВЧ-энергии. Поэтому, когда плотность
ВЧ-энергии становится порядка тепловой (WjnT^l), вариация
плотности еще мала (бп/п—(me/mi)]/3) (для первоначально дозву-
дозвукового коллапса). Размер каверны имеет порядок r^/Xn(^ii/me)l/ey
т. е. составляет несколько дебаевских размеров.
По мере сжатия каверны возрастает роль затухания Ландау.
Каверна сжимается до тех пор, пока не достигнет минимального
размера, при котором характерный темп сжатия l/t^op/X
X У — (^макс — максимальная плотность ВЧ-энергии в
каверне) не сравняется с затуханием Ландау. После этого ленгмю-
ровские колебания в каверне быстро поглощаются и ВЧ-давление
на плазму исчезает. Эта энергия излучается в виде ускоренных
103

электронов и составляет почти всю энергию, заключенную первона-
первоначально в ленгмюровских волнах. Часть энергии передается ионам,
ускоренным при выталкивании плазмы из каверн. Из сохранения
интеграла Н можно получить, что эта энергия
Д<Г--Д<Г(Ы>'минJ, (96)
все еще довольно значительна. В момент затухания ленгмюров-
ленгмюровских волн она сосредоточена главным образом в виде кинети-
кинетической энергии плазмы, разлетающейся из каверны. Поскольку
в сверхзвуковом режиме давление плазмы при образовании
каверны несущественно и образованию каверны препятствует
только инерция ионов, разлет ионов продолжается и после погло-
поглощения ленгмюровских волн. Каверна продолжает углубляться, и
максимальная вариация плотности для первоначально звукового
коллапса составляет дп^Пс(те/ rriiI/6. Таю*м образом, основное
углубление каверны происходит уже после поглощения ленгмюров-
ленгмюровских волн. Поэтому низкие дополнительные механизмы (электрон-
(электронная и ионная нелинейность, затухание звука ионов и т. д.), не
учтенные здесь, не могут остановить коллапс.
7. КОЛЛАПС И ТУРБУЛЕНТНЫЕ СПЕКТРЫ
Явление коллапса имеет очень большое значение для кинетики
ленгмюровской турбулентности. Если учитывать только линейные
механизмы затухания (затухание Ландау и столкновительное), то
окажется, что при k%D<, 1 во многих реальных ситуациях это зату-
затухание очень мало.
Единственный нелинейный механизм, приводящий к поглоще-
поглощению ленгмюровских волн, — слияние двух или нескольких ленгмю-
ленгмюровских волн в электромагнитную волну. Однако обратная величи-
величина времени этого процесса и^еет малость~vT/c, и фазовый объем
для него мал. Кроме того, он невозможен, если размер системы,
в которой происходит взаимодействие, сравним с длиной электро-
электромагнитной волны. В остальных нелинейных процессах сохраняется
число ленгмюровских волн и происходит их монохроматизация или
перекачка в область малых волновых чисел. С другой стороны, су-
существуют линейные процессы, такие как пучковая или параметри-
параметрическая неустойчивость, которые быстро накапливают ленгмюров-
ские волны. Возникает вопрос, носящий характер парадокса, — ка-
каков механизм затухания ленгмюрских волн?
Явление коллапса дает принципиальный ответ на этот вопрос.
Коллапс вносит сильное затухание в систему ленгмюровских волн.
Пусть имеется ленгмюровская турбулентность, характеризующаяся
волновым числом k и интенсивностью W/nT. Если W/nT>(krkDJ
и если (kXDJ<me/m*h то такую турбулентность можно считать
совокупностью волновых пакетов, внутри каждого из которых бу-
будет развиваться ленгмюровский коллапс. Он будет приводить к по-
поглощению энергии турбулентности. Проще всего оценить коэффи-
* Или WlnT>meImi(k'kD)A при (k%DJ>melmi.
104

цйёнт поглощения, если амплитуда волн достаточно велика:
W/nT>m€/mi. В этом случае внутри каждого волнового пакета
развивается сверхзвуковой коллапс, приводящий к поглощению всей
энергии, попавшей в каверну. Поэтому характерное обратное вре-
время затухания турбулентности совпадает по порядку значения
с инкрементом неустойчивости однородного поля
\/%~(*Pi[(W/nT) (me/m011/2. (97)
При W/riT~l это время имеет порядок периода ленгмюровских
колебаний ионов. Если W/nT<me/niiy то развивается дозвуковой
коллапс. При этом нельзя оценивать декремент затухания по
инкременту неустойчивости, так как при развитии особенности по-
поглощается лишь часть энергии. Из каверны с начальным размером
L, где {XD/LJ^W/nTf за время т (l/x~(OpiW/nT) поглощается
з/
энергия А&^пТХг) у щ\те- Эт0 Аает Для декремента затухания
7эФ ~ сор/ (W/nT) *'2 {mi/me) x'\ (98)
Если спектр турбулентности представляет собой в ^-пространстве
совокупность узких пиков с характерной шириной 6k, если
FktkDJ<W/nT<c(kXDJ, то развитию коллапса предшествует раз-
развитие модуляционной неустойчивости, приводящей к самофокуси-
самофокусировке волн. При самофокусировки развиваются большие каверны,
содержащие много длин волн. Однако впоследствии, когда интен-
интенсивность монохроматической волны в центре большой каверны до-
достигает критического значения, внутри большой каверны развива-
развивается неустойчивость однородного осциллирующего поля, приводя-
дящая к появлению множества каверн размером порядка длины
волны. Поскольку инкременты модуляционной неустойчивости
имеют тот же порядок, что и инкременты неустойчивости однород-
однородного поля, и автомодельные законы в обоих случаях совпадают,
для поглощения за счет комбинированного эффекта самофокуси-
самофокусировки и коллапса справедливы оценки (97) и (98).
Из-за развивающихся при коллапсе каверн уменьшаются про-
пространственные масштабы ленгмюровской турбулентности, т. е.
эффективно уширяется спектр в ^-пространстве. При самофокуси-
самофокусировке увеличивается ширина спектральных пиков.
При слаботурбулентных механизмах происходят обратные
эффекты. Пусть спектр турбулентности вначале широкий, такой,
что W/nT<^(ktkDJ9 и не имеет явно выраженных спектральных
пиков. Эволюция этого спектра под действием индуцированного
рассеяния на ионах, а также четырехплазмонного рассеяния при-
приводит к уменьшению среднего волнового числа к. Число ленгмю-
ленгмюровских волн при этом сохраняется, поэтому даже при стягивании
всех плазмонов в точку &=0 потеряется (перейдет в тепло, рас-
рассеется в большие волновые числа) лишь малая часть энергии,
составляющая (kXDJ полной энергии.
Этот процесс (процесс ленгмюровской конденсации) будет,
однако, остановлен коллапсом. Когда волновое число уменьшится
настолько, что будет выполнено условие W/nT~ (кХв)*, в плазме
, 105

возникнут коллапсирующие каверны. В них произойдет затухание
части ленгмюровских волн, а также уширение спектрй. Таким
образом, все время будет выполняться условие
W/nT~(k\DJ. (99)
Характерное обратное время изменение спектра (l/W) (dW/dt)
при этом должно иметь порядок затухания, вносимого коллапсом,
dW/dt уэф№.
Значение ?эф задается в зависимости от W/nT формулой (97)
или (98). При W/nT>me/mi решение этого уравнения дается
формулой
при W/nT<-^ имеем W/nT^WJnT (—^—V J-
mt - \-t-\-t0 J t0
mt \i/2
Таким образом, даже для плавных спектров, не имеющих резких
«спектральных пиков, эволюцию турбулетности нельзя описать без
участия коллапса.
Еще большее значение имеет коллапс при эволюции спектров,
имеющих в ^-пространстве резкие пики. При этом из-за слаботур-
слаботурбулентных эффектов пики неудержимо обостряются. Когда пики
сузятся настолько, что ширина 8kn и интенсивность Wn пика ока-
окажутся связанными соотношением (8knkDJ~Wn/nT, начнется мо-
модуляционная неустойчивость волн, составляющих спектральный
пик. Она перейдет в самофокусировку, затем в центре самофокуси-
ровочной каверны разовьется неустойчивость однородного поля,
переходящая в коллапс, приводящий к поглощению волн. Из-за
самофокусировки и коллапса произойдет уширение спектрального
пика.
Таким образом, при наличии спектральных пиков эффекты
сильного поглощения ленгмюровских волн скажутся задолго до
выполнения условия (99). Рассмотрим вопрос о стационарных
спектрах ленгмюровской турбулентности, генерируемой за счет
неустойчивости (пучковой, параметрической и т. д.), создающей
в плазме ленгмюровские волны. Пусть такая неустойчивость опи-
описывается инкрементом у (к), который имеет максимальное, значе-
чение Умакс в области k~ko. Если умакс достаточно велико, то
коллапс может оказаться основным механизмом, определяющим
уровень турбулентности плазмы. Развитие турбулентности можно
представить себе следующим образом. В результате неустойчиво-
неустойчивости нарастают волны с характерным волновым числом k~k0.
Пусть инкремент ^макс настолько велик, что волны нарастают до
уровня*, на котором начинается неустойчивость однородного поля.
Тогда В; плазме возникают многочисленные коллапсирующие ка-
106

верны, в которых происходит поглощение энергии леЯгмюровских
волн. Это поглощение и останавливает неустойчивость. Произведем
грубые оценки этого процесса.
Пусть (kokDJ<:me/mi. Здесь коллапс, останавливающий не-
неустойчивость, может быть дозвуковым. Приравнивая инкремент
неустойчивости и декремент затухания за счет коллапса, получим
откуда для характерной интенсивности волн имеем
W/nT ~ (умакс/Юр*) 2/3 (те/ПН) 1/3.
Эта интенсивность должна быть достаточно велика, чтобы выпол-
выполнялось условие коллапса W/nT> (&ota>J. Отсюда имеем условие
на инкремент неустойчивости
Это довольно небольшой уровень неустойчвиости.
При А,МаксЛор/~ 10-5-*-10-3 коллапс становится сверхзвуковым.
Если 7макс/(Орь—те/ти то коллапс, ограничивающий неустой-
неустойчивость, с самого начала является сверхзвуковым. Приравнивая
Тма*с
получаем
W/nT~ (умакс/(оPi) 2mi/me.
Условие W/nT> {kotkD)Ami/ma теперь дает
В зависимости от k0XD это значение меняется в пределах 1(Н—10~3.
Описанная картина соответствует в чистом виде сильной турбу-
турбулентности плазмы. При более слабой неустойчивости эффекты ком-
комбинируются со слаботурбулентными эффектами. Последние могут
либо уменьшить путем нескольких последовательных перекачек по
спектру характерное волновое число турбулентности, облегчая
условия возникновения неустойчивости однородного поля, либо, что
более типично, привести к сужению спектров в ^-пространстве.
В этом случае на узких пиках развивается модуляционная не-
неустойчивость, приводящая к самофокусировке, которая затем пере-
переходит в коллапс. Лишь весьма слабую неустойчивость, при кото-
которой максимальный инкремент всего в несколько раз превышает
декремент столкновительного затухания ленгмюровских волн, мож-
можно последовательно описать в рамках слабой турбулентности без
привлечения эффектов коллапса и самофокусировки.
Полная теория слабой турбулентности с учетом коллапса его
далека от своего завершения.
Ленгмюровскую турбулентность удобно описывать при помощи
величины Р — потока энергии или нагрева единицы объема плаз-
:107

мы. Если поглощение энергии осуществляется за счет коллап-
коллапса, то
P/v,-i A<g, A00)
где т — время развития коллапса; п — число каверн в единицах
объема; А<§Г — энергия, поглощаемая в одной каверне. Значение Р
:во всех реальных ситуациях непосредственно известно из экспери-
эксперимента.
Поскольку коллапс*—самоубыстряющийся процесс, можно по-
положить 1/т~7эФ- Величина п зависит от того, насколько сильной
является турбулентность. При предельно сильной турбулентности,
-соответствующей случаю A00), можно считать, что коллапсирую-
лцая каверна развивается в каждом объеме порядка куба длины
волны. Тогда n~ks. Для дозвукового коллапса, подставляя в (98)
,A00), имеем
Из требования W/nT<Cme/mi имеем уравнение применимости до-
дозвукового коллапса
При больших потоках осуществляется сверхзвуковой коллапс.
Лолагая l/x^(dPi[(W/пТ)те/тг]112, получаем
W/nT~ (Р/щтТу1Цпц/те) */3. A02)
Формулы A01), A02) дают непосредственную оценку интенсивно-
интенсивности сильной турбулентности через энерговклад в плазму.
Для применимости A01), A02) необходимо, чтобы волновое
число &о> на котором осуществляется максимальное выделение
энергии, удовлетворяло условию {ko%i)J<W/nT, где W/nT берет-
берется из A01), A02). S
Спектр сильной турбулентности, определяющийся коллапсом,
может быть найден в асимптотической области &>&о, где k0 — ха-
характерный энергонесущий масштаб турбулентности. Этот спектр
определяется единственным параметром — потоком энергии Р.
Определим спектральную функцию h нормировкой JIkdk=W.
Тогда из соображений размерности P~Ikk/%9 где т — характерное
время переноса по спектру энергии с обратным масштабом.
В асимптотической области коллапс является сверхзвуковым.
'Из автомодельной подстановки (89) следует %2/%2o~kzo/k*y где т0
и kQ—начальное время развития и обратный размер каверны.
Пусть коллапс начинается из дозвукового состояния W/nT<.
<Сте/пи. Тогда в момент перехода в сверхзвуковой режим
I/to~(upitne/mr, kvXD — (me/miI/2.
И для спектра имеем
h~(nn/me)ll4P/(*pi) [(V(*M6/21 • (ЮЗ)
108

Если же коллапс начинается из состояния с Wo/nT>me/tm> то
l2 . A04)
При полностью развитой сильной турбулентности имеем из A03)
h ~ (Р/(дРтТ) w (mi/me) 7'l2XDnT/ (kXDM/2. A05)
8. КОЛЛАПС И НАГРЕВ ПЛАЗМЫ [38, 48, 49]
Как было уже сказано, энергия ленгмюровских волн, попадаю-
попадающая в коллапсирующие каверны, диссипирует благодаря затуха-
затуханию Ландау. Введем величину va=P/nT. Очевидно, она имеет
смысл «эффективной частоты столкновений» — характерного
обратного времени нагрева плазмы при помощи коллапса.- Если
vH>VKyn, где Мкул — кулоновская частота столкновений, то нагрев
плазмы осуществляется главным образом за счет коллапса. Рас-
Рассмотрим, как происходит этот нагрев. Пусть h — спектр энергии
ленгмюровских волн. Поведение электронов можно описывать
усредненной функцией «распределения f(v, t). Она удовлетворяет
кинетическому уравнению
j=vD(v)J + (st)Kyil, A06)
где
E01кул^ст(УтД03/; A07)
vT — тепловая скорость электронов; vCT — частота столкновений.
Уравнение A06) учитывает квазилинейную диффузию электро-
электронов за счет ленгмюровских волн:
Функцию распределения f(v t) для упрощения считают сфери-
сферически-симметричной. Поскольку здесь* рассматривается ленгмю-
ровская турбулентность, для которой k%D<l, функция D(v) имеет
максимум в области очень больших скоростей, сильно превышаю-
превышающих тепловые. Поэтому для квазилинейной диффузии наиболее
важно знать функцию D(v) в асимптотической области и-Ю, соот-
соответствующей пределу &->оо. В этой области спектр турбулентности
определяется автомодельно коллапсирующими кавернами и зада-
задается в зависимости от потока Р формулами A04) или A05). Коэф-
Коэффициент диффузии при этом имеет вид:'
A08)
где
а — (пи/те) 1/4vhi>t1/2 при vH/©pz< (me/miJ; A09)
a~(dPi{vn/(dpiO/6(mi/meO/l2VTl/2 при vH/a>Pz> (т€/пцJ. (ПО)
109

Формула A07) справедлива, если v>vMm, где Умин—минималь-
Умин—минимальная скорость частиц, участвующих в поглощении энергии, попав-
попавшей в каверну. Величина иМин ~ rMim<upi поставляет несколько теп-
тепловых скоростей. Если /?(уМин)> ООкул, то Для всех электронов,
участвующих в поглощении ленгмюровских волн, кулоновскими
столкновениями можно пренебречь. Для первоначального дозвуко-
дозвукового коллапса это дает из сравнения A07) и A08)
VH> Vct [Ше/mi) X'A (Ут/Омин) 7/2« A11)
Из A11) следует вывод, что даже если время нагрева плазмы на
два порядка превышает время кулоновских столкновений, коллапс
остается основным фактором, определяющим форму электронной
функции распределения. При невыполнении условия A11) квазили-
квазилинейные эффекты могут быть тем не менее важны для электронов,
имеющих достаточно большие скорости, хотя число таких электро-
электронов в этом случае мало.
Рассмотрим вопрос о характере кинетики электронов за счет
коллапса. Эта кинетика описывается уравнением
df/dt= {a/v) (d/dv) v7i2df/dv, A12))
которое должно решаться при дополнительном условии
00
— (V/(tO<&=—, (ИЗ)
о
где P — поток энергии в плазму.
Уравнение A12) имеет автомодельное решение
f=(l/t)*F(v/P), (H4)
удовлетворяющее условию A13).
Функция F(l) (l=v/t2) удовлетворяет уравнению
имеющему в области g-И) асимптотическое решение
F-+c/lW=c/v*f2y A16)
при t-^oo |-Ч), и таким образом при всех v df/dv-^-O. Это означа-
означает, что эволюция функции распределения при ?->-оо сводится
к появлению «хвоста» энергичных электронов, забирающих всю
поступающую в плазму энергию. При иОмин D(v)=0, поэтому
решение A13) нужно при v~vMim сшить с неподвижной максвел-
ловской функцией распределения.
Появление «хвостов» у функции распределения приводит к по-
появлению затухания Ландау. Имеем
При &-И) это затухание весьма мало и существенно не влияет на
эволюцию каверны, которая сжимается до размера порядка гмин.
НО

Появление ускоренных электронов можно представить себе сле-
следующим образом. Каждая ленгмюровская каверна представляет
собой сжимающийся квазиплоский резонатор, поле которого,
осциллируя на частоте соРг, имеет дипольный характер. Плазма
с этими кавернами представляет собой аналог стохастического ли-
линейного ускорителя для электронов. Электроны, скорость которых
такова, что за время их пролета через каверну электрическое поле
в ней не меняет знак, в среднем ускоряются: — после прохода N-&
каверны их энергия возрастает в У N раз. При пролете через
большие каверны, у которых r>v/(oPu электроны в среднем сохра-
сохраняют свою скорость, поскольку за время пролета каверны электри-
электрическое поле там несколько раз меняет знак. По мере ускорения
электроны взаимодействуют со все более крупными кавернами,
находящимися на более ранних стадиях своего развития. В конеч-
конечном итоге вс*х энергия коллапса передается небольшой группе силь-
сильноускоренных электронов. Это неприятное с точки зрения нагрева
плазмы явление нередко наблюдается в экспериментах по лазерно-
лазерному нагреву (хотя механизм появления ускоренных электронов
в этом случае окончательно не расшифрован). С точки зрения
теории коллапса, есть два пути для его избежания. Один из них
состоит в том, чтобы производить нагрев плазмы достаточно мед-
медленно, так, чтобы электроны успевали в процессе этого нагрева
максвеллизоваться за счет столкновений. Для этого время нагрева
должно в сотни раз превышать время кулоновских столкновений.
Другая возможность состоит в использовании магнитного поля.
Как было показано в [50], если в плазме присутствует магнитное
поле, то максимальная энергия, до которой ускоряются электроны,
имеет порядок емакс ~ T(oPi/Qe.
Таким образом, при Qe—'&pi ускорения электронных хвостов
происходит.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Коллапсирующая каверна развивается за время порядка не-
нескольких сотен или даже десятков ленгмюровских колебаний. По-
Поэтому обнаружение коллапса в достаточно плотной, полностью
ионизованной и незамагниченной плазме — трудная эксперимен-
экспериментальная задача. В незамагниченной плазме низкой температуры
наблюдалась [1, 2] локализация высокочастотных электрических
полей в виде плоских солитонов. Эти эксперименты не противоре-
противоречат концепции, поскольку в условиях достаточно сильного затухания
ленгмюровских волн, осуществляющихся в этих экспериментах,
солитоны могут быть и устойчивыми. Тем не менее концепция ленг-
мюровского коллапса не имеет пока прямого экспериментального
подтверждения.
Эта концепция, однако, прекрасно подтверждается численными
экспериментами. Некоторые из этих экспериментов подтвердились
непосредственно методом частиц в ячейках [39, 46, 47], однако
наиболее четкое подтверждение концепции коллапса получено
ill

в экспериментах по численному решению усредненных уравнений
E) —A2) [32, 36], а также уравнений E4) и системы D8) —E0)
[32—-34, 36, 41—45, 48, 51]. Приведем результаты некоторых из
этих расчетов. На рис. 2 приведена взятая из [23] эволюция реше-
решения уравнения E4) с начальным условием F2). В ^начальный мо-
момент времени Е20= 13,40. На рис. 2 представлены линии уровня
величины Е2=(р2х+у2у в последовательные моменты времени.
Геометрия является двумерной.
Рис. 5. Поперечные и продольные
распределения квадрата полного
поля в коллапсирующей каверне
На рис. 3 приведена эволюции Того же начального условия
в рамках системы D8) —E0). При этом считали, что в начальный
момент времени /г==— | V^Fj2, Ф=0. В процессе эволюции быстро
осуществляется ситуация, когда условия статического приближе-
приближения нарушаются, так что /г< | Y|2
Рис. 6. Развитие коллапса аксиально-симметричного пакета ленгмюровских волн
дозвукового приближения (ро= 13,0, №=37,89, #=— 369,03)
На рис. 2, 3 показано развитие неустойчивости солитона. Ана-
Аналогичные результаты были получены в [41].
На рис. 4 видна эволюция аксиально-симметричного изолиро-
изолированного пакета ленгмюровских колебаний в рамках уравнения
E4) [34, 36, 48]. Начальное условие имело дипольный характера
так что электростатический потенциал в течение всего расчета
удовлетворял условию (84).
112

Начальное условие имело вид:
Р =
р —
poj/aysin— При йУ>0;
при
о>=1
где ро — константа, значение которой в экспериментах менялось.
При достаточно малых ро начальное условие расплывается, и:
коллапсирующей каверны не образуется. Изображенный на рис. 4
случай ро=6,О соответствует приблизительно границе коллапса.
Интегралы N и Я имеют значение N= 16,84, #=4,3, так что кол-
Рис. 7. Поперечные и
продольные распределе-
ния квадрата напряжен-
ности полного поля в
коллапсирующей каверне
(ро=13,О, N = 37,89, Н =
= —369,03)
лапе начинается еще при положительных значениях Я. На рис. 4
приведена картина линий уровня функции Е2=х?йх+Х?2у в разные
моменты вршмени. Поперечное и продольное распределения вели-
величины Е2 при /=0,50 изображены на рис. 5. Рисунки 6, 7 относятся
t=0,20
t = 0,3 ОТ
Рис 8 Развитие коллапса аксиально-симметричной каверны с учетом инерции*
ионов (ро=9,0, N = 37,8, Н=— 38,5)
к той же задаче, но при ро=13,О (N=37,89, #=—369,03). Видно,,
что при увеличении р0 рост коллапса увеличивается, а каверна
становится более плоской.
На рис. 8 изображено развитие коллапса в рамках полной си-
системы уравнений D8) —E0), при том же распределении (ро=9,О,
8—3283 ИЗ-

JV=37,8, H=—38,5) потенциала и дополнительном условии п=
——IVM^I2, Ф=0. На рис. 9 показаны профили функции \Е\2 и п.
Видно, что условие п=—| УФ|2 с течением времени перестает вы-
лолняться — в согласии с результатом § 6 в сверхзвуковом кол-
коллапсе рост вариации плотности отстает от pocfa плотности энер-
хии ВЧ-поля.
Рис. 9. Поперечные и
продольные профили
квадрата полного по-
поля и плотности при
коллапсе аксиально-
симметричной кавер-
каверны с учетом ро=9,О,
.У=37,8, #=— 38,5
\п\
\Е\г
1500
7000
500
}E\ZA)J
\Е\Ч2)Л
-чо I
т
А
Л/1
/I
1/1 1
I /
1 1
(„jB)
1 /I<7)
у i, ш
О 0,2 0,* t0 0,6 0,8 7,0 t
Рис. 10. Влияние учета затухания /ленгмюровских волн на коллапс
114

1Z - г
Рис. 11. Множественное появление коллапсирующих каверн в результате развития параметрической неустойчивости осцил-.
лирующего электрического поля. Частота накачки равна плазменной. Верхний рису.нря линии урсшня (?|2, нижний —
линии уровня вариации плотности

\Е\2
/Л
J Ч 5 6
Рис. 12. То же при частоте накачки,
На рис. 10 [51] показано, как влияет на коллапс затухание
ленгмюровских волн. Последнее учтено при замене в уравне-
уравнении D8)
На рис. 10 приведены графики зависимости Е2 и п от времени
е центре каверну, а также N(t) при разных значениях у2. Харак-
Характерно, что n(t) достигает максимума существенно позже, чем
E2(t), что согласуется с представлением об инерционном углубле-
углублении каверны. Начальное условие — то же, что на рис. 8, 9.
В [51] изучено возникновение коллапса в результате параме-
параметрической неустойчивости в плазме. Для этого уравнения D8) —
<E0) заменили на систему
—QW+АУР) =div (п V?) + (Ео Vn);
nu+ynt—An=b\
+ (VxP,E*o)+f(rfx,t)9
хде Ео—амплитуда внешнего электрического поля, частота этого
лоля со=—Q-\-(upi; 7 — затухание звука; f(r, x, t) —малый случай-
случайный внешний шум. Задача решалась в цилиндрической геометрии.
Рисунок 11 соответствует нулевой расстройке внешней частоты
относительно плазменной Q=0; y—bQ\ .?12о==9,0. На нем изобра-
изображены линии уровня Е2 при ^=4,3.
Рисунок 12 соответствует положительной расстройке, Q=50
(Y=50; |?0|2=9,0), изображен момент времени /=3,3. Видно, что
в обоих случаях результатом развития неустойчивости является по-
появление множества коллапсирующих каверн, что и подтверждает
важную роль коллапса в нелинейной стадии развития параметри-
116

превышающей плазменную
ческой неустойчивости в плазме, соответствующие оценки продела-
проделаны в [52, 53]. Роль коллапса как фактора, определяющего нели-
нелинейную стадию плазменных неустойчивостей, нуждается в дальней-
дальнейшем изучении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Stenzel R., Wong A. Y., Kim H. С —Phys. Rev. Lett. 1974, vol. 32,
p. 654.
2. Kim H. C, Stenzel R., Wong A. Y. — Phys. Rev. Lett. 1974, vol. 33, p. 886.
3. Антипов С. В. и др. —Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 23, вып. 11, с. 613.
4. Thornhill S. G., Ter-Haar D. Phys. Reports, 1972, vol. 43C, p. 43.
5. Альтеркоп Б. А., Волокитой А. С, Тараканов В. П. — Журн. эксперим.
и теорет. физ., 1976, т. 71, с. 547.
6. Захаров В. Е., Рубенчик А. М. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973,
т. 64, с. 997.
7. Захаров В. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1945.
8. Аскарьян Г. А. —Успехи физ. наук, 1973, т. III, с. 249.
9. Луговой В. Н., Прохоров А. М. —Успехи физ. наук, 1973, т. III, с. 203.
10. Кузнецов Е. А. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1974, т. 66, с. 2037.
11. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. — Ядерный синтез, 1961,
№ 1, с. 82.
12. Кадомцев Б. Б. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 4. — М.: Атом-
издат, 1964.
13. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Наука, 1971.
14. Valeo E., Oberman С, Perkins E. W. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28,
p. 340.
15. Брейзман Б. Н., Захаров В. Е., Мушер С. Л. — Журн. эксперим. и
теорет. физ., 1973, т. 64, с. 1297.
16. Захаров В. Е., Мушер С. Л., бубенчик А. М. — Журн. эксперим. и тео-
теорет. физ., 1975, т. 69, с. 155.
17. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. —В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 7.—
М.: Атомиздат, 1973.
18. Ichikawa Y. H., Suzuki Т., Taniuti Т. —Journ. Phys. Soc. Jap., 1973,
vol. 34, p. 1089.
19. Рудаков Л. И. —Докл. АН СССР, 1972, т. 207, с. 821.
20. Yajima N. Prog. — Theor. Phys. 1974, v. 52, p. 1066.
117

21. Laedke E. W., Spatchek R H. —Phys. Rev. Lett. 1978, vol. 41, p. 1798.
22. Schmitt G. — Phys. Rev. Lett. 1975, v. 34, p. 724.
23. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И. — Журн. эксперте, и
теорет. физ., 1975, т. 68, с. 115.
24. Ichikawa Y. HL, Imamura Т., Taniuti Т. — Journ. Phys. Soc. Jap., v. 33,
p. 189.
25. Захаров В. E.t Соболев В. В., Сынах ВЛС. — Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1971, т. 60, с. 136.
26. Захаров В. Е., Соболев В. В., Сынах В. С. — Прикл. мех. и техн. физ.,.
1972, вып. 1, с. 92.
27. Derrick G. H. —Jorn. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 1952.
28. Колоколов A. A. — Прикл. математ. и механика, 1974, т. 38, с. 970.
29. Власов В. Н., Петрищев В. А., Таланов В. Н. — Изв. вузов. Сер. Ра-
Радиофизика, 1970.
30. Жибер А. А. Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук/
М.: МИЭМ, 1975.
31. Буднева О. Б., Захаров В. Е., Сынах В. С. — Физика плазмы, 1975, т. 1У
вып. 4, с. 606.
32. Захаров В. Е., Мастрюков А. Ф., Сынах В. С —Письма в ЖЭТФ, 1974.
т. 20, с. 7.
33. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. —Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, с. 365.
34. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. —Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с 9.
35. Захаров В. Е., Мастрюков А. Ф., Сынах В. С. — Физика плазмы, 1975^
т. 1, вып. 4, с. 614.
36. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И.— Физика плазмы, 1976„
т. 2^__вып^ 3, с. 438.
37. Колокдлов А. А., Вахитов Н. Г. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1973*
т. 16, вып. 7, с. 1020.
38. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Сигов Ю. С. и др.—.Физика плазмы, 1975*
т. 1, с. 10.
39. Полюдов А. Н., Сигов Ю. С. — Proc. 12th Intern. Conference on Pheno-
meno in Monized Gases Eindhoven 1975, p. 392.
40. Веденов А. А., Рудаков Л. И, —Докл. АН СССР, 1964, т. 159, с. 767
41. Pereira N. R., Sudan R. N., Denavit G. —Phys. Fluids. 1977, v. 20,
p. 936.
42. Nicholson D. R., Goldman M. V. —Phys. of Fluids 1978, v. 21, p. 1766.
43. Goldman M. V., Nicholson D. R, —Phys. Rev. Lett. 1978, v. 41, p. 406..
44. Nicholson D. R., Goldman M. V., Hoyng R. — Astrophysical Journal, 1978*.
V. 223, p. 605.
45. Goldman M. V., Ryndal K., Hafizi В. —Phys. of Fluids, 1980, v. 23,
p. 388.
46. Полюдов А. Н-, Селяндин Б. Д., Сигов Ю. С—-Докл. АН CCGP, 1978,.
т. 246, № 1, с^
47. Захаров В. Е., Сигов Ю. С —Proc. of the Int. Cont. on Phenomena Ioni-
Ionized Gases, Grenoble, 1979, p. 703.
48. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. — Препринт ИПМ АН СССР, 1974,
№ 106.
49. Горев В. В., Кингсен А. С, Яньков В. В.— Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1976, т. 70, с. 3.
50. Захаров В. Е., —Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 479.
51. Горбушина Т. А., Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Равинская В. Н.—
Препринт ИМП АН СССР, 1975, № 128.
52. Захаров В. Е., Львов В. С, Рубенчик А. М. —Письма в ЖЭТФ, 1977„
т. 25, с. 11.
53. Львов В. С, Рубенчик А. М. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1977,.
т. 72, вып. 1, с. 127.
54. Янкаускас Э. К. —Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1966, т. 9, с. 412.
55. Захаров В. Е., Шабат А. Б. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 197U
т. 61, с. 118.

СИЛЬНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В. Д. ШАПИРО, В. Я. ШЕВЧЕНКО
ВВЕДЕНИЕ
Проблема турбулентности, т. е. описание стохастического взаи-
взаимодействия большого числа волновых движений различных масш-
масштабов, является центральной для многих разделов физики — газо-
газодинамики, теории жидкости, плазмы.
На характер турбулентности существенно влияет дисперсия
образующих ее волн, т. е. зависимость фазовой скорости от длины
волны.
В отсутствие дисперсии, например, для звуковых волн основной
тип нелинейных движений — это простые волны, или волны Рима-
на, в которых нелинейность проявляется в укручении и опрокиды-
опрокидывании фронта волны. Еще один пример недиспергирующей сре-
среды — несжимаемая жидкость. Турбулентность в такой среде можно
представить как наложение вихрей различных масштабов. Нели-
Нелинейные взаимодействия приводят к непрерывному дроблению
масштабов вихрей, происходящему до тех пор, пока при малых
масштабах диссипация, обусловленная вязкостью, не останавлива-
останавливает этот процесс.
В средах с дисперсией (плазма, волны на воде) по мере роста
крутизны волнового фронта важную роль начинают играть дис-
дисперсионные эффекты. Дисперсия останавливает укручение, так как
высшие гармоники, образующиеся за счет нелинейности, движутся
со скоростью, отличной от скорости движения основной волны.
Турбулентность в таких средах можно рассматривать как резуль-
результат суперпозиции и взаимодействия установившихся волновых дви-
движений, вообще говоря, нелинейных.
Изложение теории нелинейных волн в диспергирующих средах
можно найти, например, в обзорных статьях [1, 2].
Еще одна важная особенность волн в плазме связана с тем, что
в динамике таких волн существенную роль играет взаимодействие
с резонансными частицами — излучение, поглощение, рассеяние на
частицах. Такое взаимодействие в равновесной плазме является
причиной бесстолкновительного затухания волн (затухания
Ландау).(
Если амплитуда волн в плазме достаточно мала, то произволь-
произвольные волновые движения можно представить в виде суперпозиции
волновых мод линейной теории. Амплитуда этих волн медленно
меняется со временем в результате взаимодействия между ними —
рассеяния волн на волнах и на частицах. Такой подход принято
называть слабой турбулентностью. В настоящее время теорию сла-
слабой турбулентности можно считать завершенной. Обзор современ-
современного состояния теории дан в статье А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева
(см. т. 1 настоящего издания).

Ллазноны
Плазма
07?
Теория слабой турбулентности, однако, не является замкнутой.
Это проще всего пояснить на примере турбулентности ленгмюров-
ских волн — высокочастотных колебаний плотности заряда в плаз-
плазме, которым и посвящен данный обзор. В теории слабой ленгмюров-
ской турбулентности имеется известный парадокс — образование
конденсата плазменных колебаний. Его суть состоит в следующем.
В отличие от гидродинамической турбулентности, в которой не-
нелинейное взаимодействие приводит к непрерывному дроблению
масштабов, в слабой турбулентности
ленгмюровских волн основные нели-
нелинейные процессы вызывают появление
потока энергии в область длинных
масштабов, т. е. больших фазовых ско-
скоростей. В этой области в бесстолкно-
вительной плазме отсутствуют меха-
механизмы поглощения волновой энергии.
Непрерывный приток энергии в длин-
длинноволновую плазменную турбулент-
турбулентность, например из-за неустойчивости
пучка в плазме или в результате пара-
параметрической неустойчивости мощной
Рис. 1. Образование потенци- электромагнитной волны, и отсутствие
альной ямы для плазмонов эффективных механизмов стока обус-
при модуляционной неустой- „ловливают накопление длинноволно-
чивости вых плазмонов-квантов плазменных
колебаний и образование их конденса-
конденсата в области малых волновых чисел &^0.
Рассматривались различные схемы решения этого парадокса
в рамках слабой турбулентности, например, в результате нелиней-
нелинейной трансформации длинноволновых плазмонов в электромагнит-
электромагнитное излучение, однако все эти схемы ке обладают достаточной,
универсальностью.
Модуляционная неустойчивость. Реальный путь решения пара-
парадокса был предложен в работе [3]. Он основан на использовании
модуляционной неустойчивости интенсивных плазменных колеба-
колебаний и обусловленном такой неустойчивостью механизме диссипа-
диссипации плазмонов.
Еще в 1964 г. А. А. Веденов и Л. И. Рудаков [4] показали, что
достаточно интенсивный газ плазмонов неустойчив относительно'
вариаций плотности газа. Механизм возникновения неустойчивости
весьма прост (рис. 1). В местах скопления плазмонов плазма вы-
выталкивается под действием силы высокочастотного давления.
Образующиеся при этом вариации плотности плазмы квазиней-
тральны и изменяются со временем, определяемым инерцией
ионов, т. е. достаточно медленно.
Уравнения движения плазмонов на фоне таких вариаций плот-
плотности можно записать в гамильтоновой форме:
dr/dt=d®k/dk; dk/dt=—du>p/dr.
A)
120

В этих уравнениях со^=сор[1 + C/2)^2г2р] —частота плазмонов
lrD= (Tj4ne2no)lJ2 — дебаевский радиус]; сор(г) = Dяе2я(г)/тI/2—
локальная ленгмюровская частота. Из A) следует, что в местах
провала плотности плазмы — кавернах — образуются потенциаль-
потенциальные ямы для плазмонов. В результате в кавернах происходят
дальнейшее нарастание плотности плазмонов, углубление ям плот-
плотности. Таким образом развивается .неустойчивость автомодуляции
распределения плазмонов.
Следуя [5], можно провести качественный анализ неустойчи-
неустойчивости, не прибегая к громоздким решениям дисперсионных урав-
уравнений. Действительно, рассмотрим равновесный газ плазмонов. По
аналогии с максвелловским распределением частиц по скоростям
/(у)=по(т/2яГK/2ехр (—mv2/2T)
запишем следующий закон распределения плазмонов по волно-
волновым числам:
exp (-k2/<k2>), B)
где No— равновесная плотность плазмонов; У <Ck2y>—дисперсия
волновых чисел. Пусть в плазме, в которой возбуждены ленгмю-
ровские колебания, возникло возмущение плотности 8n(t, r). Если
такое возмущение изменяется со временем достаточно медленно,
то плазмоны на его фоне приобретают квазистатическое распре-
распределение
которое является аналогом распределения Больцмана частиц в си-
силовом поле v (г):
/(у)=/го(т/2яГK/2ехр [— A/Г) {mv2/2+V)].
Эта аналогия станет очевидной, если учесть, что при наличии
вариации плотности б/г(/, г) энергия отдельного плазмона
cok=copo[l + C/2)A2r2jD+F/z/2no)], D)
где соро — ленгмюровская частота, соответствующая невозмущен-
невозмущенной плотности плазмы, т. е. постоянный уровень, от которого отсчи-
тывается энергия плазмона. Два следующих слагаемых в этой
формуле имеют смысл кинетической и потенциальной энергии
плазмона.
Из формулы C) следует, что в местах провала плотности плаз-
плазмы бп<0 нарастает плотность плазмонов, а следовательно, и вы-
высокочастотное давление
Зп0
— равновесное значение высокочастотного давления. Как
уже отмечалось, это и есть причина неустойчивости.
121

Суммарное давление в плазме складывается из газокинетиче-
газокинетического и высокочастотного, поэтому
ВЧ 2
№ = Ьп[(Т-&. /3no(k2)rD). E)
В том случае, когда при увеличении концентрации плазмы
суммарное давление растет (б^/бя>0), возмущения плотности
имеют характер звуковых волн, распространяющихся со ско-
скоростью <o/k =УA/М)(Ъ&> /Ьп). Если же б^/бп<0, то звуковые
колебания переходят в апериодическую неустойчивость, приводя-
приводящую к растущей со временем модуляции плотности плазмы и
пространственного распределения плазмонов. Условие возникно-
возникновения неустойчивости имеет вид:
9>Tln.T>3(V)r2D. F)
При значительном превышении порога неустойчивости инкре-
инкремент неустойчивости
т
Наконец, для применимости использованного в проведенном рас-
рассмотрении квазистатического распределения плазмонов C) необ-
необходимо, чтобы скорость роста возмущений y/k оставалась сущест-
существенно меньше скорости плазмонов ЗАг2и(ор. Комбинируя формулы
F) и G), нетрудно показать, что это условие выполняется для до-
достаточно интенсивного газа плазмонов:
ВЧ
> /Т^[М , : (8)
Основные уравнения и законы сохранения. Простая и в доста-
достаточной степени универсальная система уравнений, описывающих
модуляционную неустойчивость, была получена В. Е. Захаровым
[6] путем усреднения гидродинамических уравнений плазмы по
быстрому времени масштаба периода плазменных колебаний 1/сор.
В данной статье рассмотрены в основном колебания плотности за-
заряда в изотропной плазме. В этом случае, вводя в рассмотрение
комплексную амплитуду Е(/, г) электрического поля ленгмюров-
ских колебаний Ер:
Ep = -i-E(*. r)exp(-iV)+K-c- (9)
можно записать для E(f, r) следующее уравнение:
В этом уравнении второе и третье слагаемые учитывают сме-
смещение частоты плазмонов из-за пространственной дисперсии ленг-
мюровских колебаний и медленных вариаций плотности [см. D)].
Квазинейтральные вариации плотности плазмы 6n(t, r) описы-
122

ваются уравнением ионно-звуковых колебаний с вынуждающей си-
силой, обусловленной давлением плазмонов:
R4
где |Е|2/16я= 9\ —давление газа плазмонов. Более подроб-
подробный вывод системы уравнений A0) и A1), являющейся основной
при исследовании сильной ленгмюровской турбулентности, можно
найти в статье В. Е. Захарова «Коллапс и самофокусировка ленг-
мюровских волн», включенной в настоящий сборник.
В отсутствие поля накачки (задача о динамике начального рас-
распределения плазмонов) уравнения A0) и A1) имеют интегралы,
соответствующие законам сохранения полного числа ленгмюров-
ских квантов, импульса и энергии взаимодействующих колебаний,
отсчитанной от уровня соро/о:
-JI-dr; A3)
(И)
где \ — вектор смещения частиц в низкочастотных колебаниях;
дп/по = —div|.
Постоянно действующую длинноволновую накачку, инициирую-
инициирующую плазменную турбулентность, естественно ввести с помощью
условия '
< Е> = Ео exp (—iAcoO, A5)
i
где угловые скобки соответствуют усреднению по объему плазмы;
Ео — постоянная во времени амплитуда накачки; Лео —со—соро —
расстройка между частотой волны накачки и плазменной. Приве-
Приведенное условие означает, что в стационарной плазме диссипация
энергии длинноволновой накачки в турбулентность компенсируется
источником поступающей энергии, например энергии непрерывно
падающей на плазму электромагнитной волны. Возможность вве-
введения накачки с помощью условия A5) основана на естественном
разделении пространственных масштабов в задаче о плазменной
турбулентности, инициируемой электромагнитной волной — макро-
макроскопического масштаба порядка длины электромагнитной волны
2яс/со и микроскопического масштаба плазменной турбулентности
rD=vT/(up. Более подробно этот вопрос обсуждается в § 4.
При наложении условия A5) сохраняются только интегралы
/i, /2, а вместо интеграла /0 получим уравнение, определяющее
изменение числа ленгмюровских квантов под действием накачки:
-^- j | Е |2 dx = i ^ Ео exp (i Ш) J Ьп Ыт + к.с. A6)
123

В квазистационарной турбулентности приток энергии в турбу-
турбулентность компенсируется затуханием ленгмюровских и звуковых
колебаний на частицах. Такое затухание описывается добавлением
в левые части уравнений A0) и A1) слагаемых—(l/i)FE,
y(dbnjdt). Вид декрементов — сложных функционалов функций
распределения резонансных с колебаниями частиц — зависит от
механизма затухания и рассматривается в § 2, 3.
Система уравнений A0) и A1) описывает, в частности, пара-
параметрическое взаимодействие высокочастотных и низкочастотных ко-
колебаний, приводящее к исследованному впервые В. Н. Ораевским
и Р. 3. Сагдеевым [7] распаду ленгмюровской волны на ленгмю-
ровскую и звуковую. При таком распаде часть энергии исходных
ленгмюровских колебаний уносится ионно-звуковой волной, и рас-
распад, как обычно в слабой турбулентности, приводит к перекачке
ленгмюровской энергии в длинноволновую часть спектра.
Для достаточно большой интенсивности плазменных волн су-
существен другой эффект, также описываемый уравнениями A0) и
A1), а именно рефракция на неоднородностях плотности, создан-
созданных низкочастотными движениями плазмы. При глубокой модуля-
модуляции плотности
дп/по ^ 3k2r2D A7)
плазмоны оказываются запертыми в областях пониженной плотно-
плотности (кавернах), и дальнейшее вытеснение плазмы из каверны со-
сопровождается коротковолновой перекачкой запертых плазмонов.
Оценивая глубину модуляции плотности в образующихся кавернах
из баланса давлений 8п^(\/Т)8 3"ВЧ, получаем из A7) условие
возникновения модуляционной неустойчивости F).
При исследовании модуляционной неустойчивости весьма по-
полезной оказалась аналогия с явлением самофокусировки волновых
пакетов [см. A1) и A2)] [8, 9].
Самофокусировка возникает при распространении мощного лу-
луча лазера в оптически прозрачной среде и связана с нелинейным
изменением показателя преломления. В тех случаях, когда показа-
показатель преломления N увеличивается с ростом амплитуды, скорость
движения волнового фронта c/N в его центральной части меньше,
чем на краях. Волна становится сходящейся, и энергия волны фо-
фокусируется к центру. Примером среды, в которой возможна само-
самофокусировка, может служить изотропная плазма с показателем
преломления N(a)) — У"\—со9*р/со2. Нелинейное изменение такого
показателя преломления обусловлено вытеснением частиц плазмы
силой высокочастотного давления. Легко видеть, что показатель
преломления увеличивается с ростом амплитуды волны.
Аналогия с модуляционной неустойчивостью очевидна с той
лишь разницей, что в модуляционной неустойчивости вследствие
отсутствия выделенной системы отсчета каверны зарождаются во
всем объеме плазмы, в то время как при самофокусировке затяги-
124

вание волн происходит только в центральной части волнового
фронта.
, Коллапс ленгмюровских волн. Основной нелинейный эффект
при модуляционной неустойчивости — захват плазмонов в кавер-
каверны— нельзя описать в рамках слабой турбулентности, т. е. в при-
приближении слабой связи мод. Отсюда происхождение самого терми-
термина —¦ сильная плазменная турбулентность. Последовательную тео-
теорию сильной турбулентности удалось сформулировать в [10, 11]
на основе идеи В. Е. Захарова о коллапсе ленгмюровских волн.
В. Е, Захаров построил решение, описывающее динамику каверньр
с запертыми в ней плазмонами, причем локализация электрическо-
электрического поля в каверне и вытеснение из нее плазмы сопровождается
уменьшением характерного размера каверны одновременно с дли-
длиной волны запертых плазмонов:
1 1 / ft 1 /Т /" I & 1» I /1 ft V
и как следствие еще большей локализацией ленгмюровской энер-
энергии. Тогда рост амплитуды поля в каверне и углубление ямы плот-
плотности носят характер взрыва, и в математическом решении за ко-
конечное время достигается особенность |б/г|->оо, /=0. Это означа-
означает, что i схлопывание — коллапс каверны — продолжается до тех.
пор, пока длины волн запертых в ней плазмонов не достигают
малых значений, при которых становится существенной диссипация
энергии ленгмюровских волн.
Можно привести высказанные Р. 3. Сагдеевым простые сообра-
соображения, которые иллюстрируют возможность коллапса при различ-
различной геометрии каверн. Эти соображения основаны на соотношении
A8), и инварианте /о, примененном к изолированной каверне (посто-
(постоянство числа запертых в ней плазмонов).
Из последнего условия следует, что при коллапсе высокочастот- -
ное давление в центре каверны возраствает обратно пропорцио-
пропорционально ее объему: l^l2^-Л/Is E=1, 2, 3 — размерность каверны).
В то же время для коллапса необходимо преодолеть давление вы-
вытесняемой из каверны плазмы ЬпТ [как и в формуле E), высокоча-
высокочастотное давление плазмонов приводит к модуляционной неустойчи-
неустойчивости и к углублению ям плотности, в то время как газокинетиче-
газокинетическое давление играет стабилизирующую роль]. Газокинетпческое*
давление при коллапсе изменяется, как 1/12, поэтому в одномер-
одномерном случае при некотором / обязательно установится баланс дав-
давлений, и коллапс прекратится. В этих условиях модуляционная не-
неустойчивость приводит к образованию солитонов — статических ям
плотности с ленгмюровским наполнением [12]. При 5 = 2 возмож-
возможность коллапса зависит от начальных условий: если вначале высо-
высокочастотное давление превышало газокинетическое, то в дальней-
дальнейшем процесс коллапса остановить нельзя. Наконец, в трехмерном,
случае коллапс представляется неизбежным — каверны с плазмо-
плазмонами схлопываются со все возрастающей скоростью вплоть до до-
достижения малых размеров, при которых становится существенной:
диссипация энергии ленгмюровских волн.
12&*

ЗРис. 2. Рассеяние плазмонов
флуктуациях плотности
на
Сильная ленгмюровская тур-*
булентность. В интенсивном газе
плазмонов из-за модуляционной
неустойчивости рождается боль-
большое число случайным образом
ориентированных каверн, находя-
находящихся на различной стадии кол-
коллапса. Теория сильной ленгмю-
ровской турбулентности, описьь
вающая соответствующее состоя-
состояние плазмы, включает в себя три
основных элемента: возбуждение
плазменных колебаний накачкой в длинноволновой области источ-
источника, простирающейся до масштабов, соответствующих порогу мо-
модуляционной неустойчивости F): ko^(ljrD) V~ W/3rioT (W=
= | Е12/8я —- энергия плазменных колебаний), перекачку возник-
возникших плазмонов к еще более малым масштабам и их последующее
поглощение.
Диссипация энергии накачки в длинноволновой области источ-
источника в значительной степени аналогична стохастическому нагреву
fl3] и связана с изменением фазы длинноволновых плазмонов,
рождающихся из волны накачки, при рассеянии на флуктуациях
.плотности в кавернах (рис. 2). Эффективная частота рассеяния
gp — групповая скорость плазмонов /о^1/&о) определя-
определяет скорость диссипации. Коротковолновая перекачка плазменных
колебаний осуществляется в результате коллапса каверн с запер-
запертыми в них плазмонами. Вместе с тем в неизотермической плазме
(Te^>Ti) коллапсирующие каверны, в которых энергия плазмонов
поглощается при достижении достаточно малых масштабов, явля-
являются источником интенсивной слабозатухающей ионно-звуковой
турбулентности. Наряду с коллапсом конверсия плазмонов на ко-
коротковолновых звуковых колебаниях также обеспечивает перекач-
перекачку ленгмюровской энергии в области поглощения [И, 14]. Послед-
Последний механизм доминирует при достаточно высоком уровне энергии
плазменных колебаний.
Наконец, при очень большой энергии ленгмюровских волн (W^^
-^пТ) вообще отпадает необходимость в механизмах коротковол-
коротковолновой перекачки, поскольку в этом случае плазмоны, рождающие-
рождающиеся за счет модуляционной неусточивости из накачки, сразу же по-
попадают в область поглощения — сверхсильная плазменная турбу-
турбулентность [15].
Возможные механизмы диссипации энергии плазмонов в корот-
коротковолновой области — пересечение электронных траекторий в ре-
результате собственной нелинейности легмюровских волн и резонанс-
резонансное поглощение таких волн быстрыми электронами плазмы — за-
затухание Ландау. Для реальных параметров ленгмюровской турбу-
турбулентности основным является затухание Ландау плазменных коле-
126

баний, приводящее к образованию хвостов на электронной функции:
распределения. Впервые это обстоятельство было отмечено в рабо-
работе [4].
Баланс между накачкой энергии при больших масштабах плаз-
плазменной турбулентности и ее поглощением при малых масштабах
в конечном счете приводит к установлению квазистационарного
турбулентного состояния. Исследованию основных характеристик:
такой квазистационарной плазменной турбулентности и посвящен.
настоящий обзор.
1. ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МОДУЛЯЦИОННОЙ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Настоящий параграф посвящен линейной теории модуляционной
неустойчивости и исследованию динамики отдельной каверны, об-
образующейся на ее нелинейной стадии. Детальное изложение линей-
линейной теории можно найти в обзорных статьях К. Мимы, К. Нишика-
вы и В. Н. Ораевского, включенных в настоящее издание. Мы же-
ограничимся тем, что приведем краткую сводку основных резуль-
результатов в той формулировке, которая понадобится нам в дальнейшем
при построении теории турбулентности.
1.1. Дисперсионное уравнение модуляционной неустойчивости-
Распад ленгмюровской волны. Рассмотрим устойчивость монохро-
монохроматической ленгмюровской волны с комплексной амплитудой элек-
электрического поля
Е(^, r)=Eoexp(iqr—i6q0, 6q= C/2)q2r2D(oP A9)
относительно возбуждения связанной системы высокочастотных w
низкочастотных возмущений
Е = ехр (— 18q7) {E+ exp [i (k + q) г — i
Ьп = A/2) 8пк ехр [i (кг - Ы)] +к.с.
B0),
Линеаризуя исходные уравнения A0) и A1) по амплитуде воз-
возмущений, можно с помощью стандартной процедуры получить дис-
дисперсионное уравнение модуляционной неустойчивости:
ш*-к2 — =— e2?2°k2 ( cos2e+ + cos2S-\ B\\
М 8тМ<ор \ д+ — (о "^ д- + со / ^
Здесь cos0±=q(q±k)/<7|q±k|—углы между направлением рас-
распространения сателлитов и направлением основной волны; ё±=
= C/2)(ОрГ2?>[(к±яJ—q2] —расстройка частоты сателлитов отно-
относительно частоты основной волны, T=Te+Ti.
Как уже отмечалось во введении, дисперсионное уравнение B1)
должно описывать обычный распад ленгмюровской волны на ленг-
мюровскую и звуковую. Как известно, при распаде должны вы-
выполняться следующие условия:
k±—q = ±k B2)
12Т

{(os= kyT/M—-частота ионно-лвуковой волны), соответствующие
законам сохранения энергии и импульса участвующих в распаде
квантов волн.
Без ограничения общности можно считать, что в распаде участвует только
Юдин из ленгмюровских сателлитов. Введение второго сателлита, для которого
также должны выполняться распадные условия B2), существенно ограничивает
•фазовый объем участвующих в распаде волн и поэтому не представляет интереса
<(в одномерном случае распад с одновременным рождением двух сателлитов во-
•обще невозможен, в двумерном он возможен лишь в точке на плоскости волно-
волновых векторов к и .т. д.).
Анализ дисперсионного уравнения B1) показывает, что распад
ленгмюровскои волны происходит только с рождением длинновол-
длинноволнового сателлита со_<оH, инкремент распадной неустойчивости
Т ^ V*p% (?2о/64т^о7) cos2 в-, B3)
1.2. Модифицированный распад. При превышении некоторого
порогового значения амплитуды волны накачки
Е\[Шп0Т > Ym[MkrD B4)
инкремент распадной неустойчивости B3) оказывается больше
частоты звуковой волны. При этом волна накачки полностью опре-
определяет дисперсию низкочастотной вет-
Z \ ^—s^ ви. Распад в этих условиях получил
I название модифицированного. Как бу-
f дет ясно из дальнейшего анализа, та-
I кой распад вполне эквивалентен моду-
J ляционной неустойчивости ленгмюров-
Ю ' Hjcos'o ских волн, механизм которой описан
во введении.
Рис. 3. Зависимость инкремен- Одну из особенностей модифициро-
та модуляционной неустоичи- , J м ^ ^ ^
вости от волнового числа в до- ванного распада можно указать сра-
звуковом пределе *зу. При модифицированном распаде
первое из распадных условий B2) уже
ше является обязательным (уширение резонанса в результате не-
неустойчивости превышает частоту звуковой волны). Вследствие это-
то введение второго сателлита вообще не ограничивает фазовый
-объем волн, участвующих в распаде, и возможно одновременное
рождение коротковолновой и длинноволновой ленгмюровских
фолн к±.
Обычно при исследовании линейной и нелинейной стадий не-
устойчивостей, возникающих при модифицированном распаде, вы-
выделяют два предельных случая: дозвуковой (характерная фазовая
-скорость низкочастотных возмущений существенно меньше скоро-
скорости звука,' (ul\k<g.YTIM) и сверхзвуковой.
В дозвуковом пределе решение дисперсионного уравнения B1) не представ-
представляет труда, неустойчивость является апериодической (рис. 3).
128

Для простоты считаем? .'Чте-гг&сэд,- когда 6+==td_r-8.f==i6~. -.Максимум инкре-
инкремента
Умакс =>(йр (Е*ъ/12лпоТ) cos2 О B5)
достигается при krD^sV^(Ei0/4Snn0T) cos2 в. Таким образом, дозвуковой распад
происходит только при достаточно малых амплитудах волны накачки
?V8nnor</n./Af. B6)
В обратном предельном случае модифицированный распад ста-
становится сверхзвуковым (|<о| /Л» УТ/М). Именно при этом при-
применим качественный анализ модуляционной неустойчивости, прове-
проведенный во введении. Точное же решение дисперсионного уравнения
оказывается весьма громоздким, поэтому ограничимся исследова-
исследованием предельных случаев — коротковолновой и длинноволновой
накачки.
Если длина ленгмюровской волны существенно меньше, чем у
звукового возмущения (&<^lq), то инкремент модифицированной
распадной неустойчивости линейно растет с k:
Т = C/2) mpkqrl {УЩ1 q*/q2 - 1), B7)
где k<q<q; q=(\jrD) [(m/M) (Е>/)у
Эта формула была получена в [4] при исследовании модуля-
модуляционной неустойчивости газа плазмонов с длиной волны, сущест-
существенно меньшей, чем у возмущений плотности. В этой работе впер-
впервые был введен термин модуляционная неустойчивость и выяснена
физика этой неустойчивости.
Для нас существенно больший интерес представляет длинно-
длинноволновая накачка (q<^k)y когда модифицированный распад описы-
описывается получаемым из B1) биквадратным уравнением для со, ре-
решение которого имеет вид:
График y(k) для этого случая приведен на рис. 4.
При малых k (k<iq) так же, как в формуле B7), имеет место
линейный рост инкремента с волновым числом. При k>q имеем
следующую асимптотическую формулу для инкремента:
1 р [ 24mJ М М 81 k*rA \ *>™т М) J
Максимум инкремента достигается при волновых числах, опреде-
определяемых соотношением
Зй2тг21)^B/3)(/п/МI/зC?2о/8я/гоГJ/з, B9)
максимальное значение инкремента
l5fL
9—3283

Поскольку два последних слагаемых в
уравнении B8а) малы, за точкой ма-
максимума инкремент выходит примерно
на плато, значение инкремента в обла-
области плато меньше максимального на
малую величину порядка [(т/М)Х
Х8лл077?2о]1/3. Пренебрегая ей, полу-
Рис. 4. Зависимость инкремен- чаем инкремент в области платеж
та модуляционной неустойчи- <у20^С02Р (т/М) (Е20/24лП0Т). C0)
вости от волнового числа в
сверхзвуковом пределе Верхняя граница по волновым чис-
числам этой области фактически совпада-
совпадает с порогом возникновения неустой-
неустойчивости, определяемым из B8а):
3khr2D^(E2o/8nnoT) cos2 в. C0а)
Отметим, что в области плато инкремент ^о и порог неустойчиво-
неустойчивости согласуются с точностью до множителя порядка единицы с со-
соответствующими величинами, полученными при качественном ана-
анализе модуляционной неустойчивости [ср. с F) и G), для моно-
ВЧ 2
хроматической волны 9\ =?0/1б7г].
Хотя максимум инкремента приходится на относительно длин-
длинноволновые колебания k^km [см. B9)], основная доля фазового
объема возбуждаемых при модуляционной неустойчивости колеба-
колебаний в реальном, трехмерном, случае соответствует области плато.
Инкремент этих колебаний близок к максимальному, и именно эти
колебания, длины волн которых определяются соотношением C0а),
а инкременты — соотношением C0), играют главную роль в дина-
динамике трехмерной плазменной турбулентности.
В заключение подчеркнем следующее. В литературе для не-
неустойчивой ветви колебаний, описываемой дисперсионным уравне-
уравнением B8) и впервые рассмотренной В. П. Силиным [16], исполь-
используют различные термины: апериодическая неустойчивость, осцил-
осциллирующая двухпотоковая неустойчивость. Однако, как^ следует из
проведенного здесь рассмотрения, фактически каждый раз речь
идет о модификации все той же модуляционной неустойчивости
[4] в пределе длинноволновой накачки.
1.3. Параметрическая неустойчивость электромагнитной накачки. Для даль-
дальнейшего весьма существенным окажется еще один тип параметрической неустой-
неустойчивости, описываемой уравнением B1), а именно неустойчивость длинноволно-
длинноволновой электромагнитной накачки, которая приводит к рождению ленгмюровских
сателлитов.
В этом случае меняется смысл отдельных обозначений в дисперсионном
уравнении B1), а именно расстройка б±= C/2) (k+qJ/%oP— сУ/2соР; в± —
углы между векторами электрического поля сателлитов в электромагнитной на-
накачке. По сравнению с распадом ленгмюровских волн распад электромагнитной
волны с частотой, сильно отличающейся от плазменной, может приводить к рож-
рождению существенно более коротковолновых плазменных колебаний, для которых
k2r2D
130

Теория такого распада детально изложена в статьях К. Мимы, К. Нишика-
вы и В. Н. Ораевского из настоящего тома, мы же ограничимся приведением
основных результатов.
При малых амплитудах накачки E20/8nn0T<V m/MkrD рождение плазменных
колебаний связано с обычным распадом электромагнитной волны. Возбуждается
ленгмюровский сателлит с частотой, меньшей, чем у накачки. Абсолютное значе-
значение расстройки весьма мало: | б_ | /соp~krDr пг/М, так что длина волны воз-
возбуждаемых при неустойчивости плазменных колебаний определяется соотно-
соотношением
2 o>ft — (on
где со0 — частота накачки. Инкремент неустойчивости
1?2
При больших амплитудах накачки Е20/&лп0Т ^>V m/M krD имеет место мо-
модифицированный распад с одновременным возбуждением двух ленгмюровских
сателлитов с волновыми числами k±. Поскольку накачка длинноволновая
расстройки б± для обоих сателлитов оказываются примерно равными
При ^<0 распад связан с так называемой периодической неустойчивостью.
Неустойчивость возникает в интервале значений б:
y\p. C3)
Максимальный инкремент в этом интервале имеег вид:
Тмакс = 21/3*1. C3а)
Если «6>0, то развивается уже упоминавшаяся выше апериодическая не-
неустойчивость. Максимальное значение инкремента для этой ветви
I макс "
.,B) #ч I " JL9..9 ~ О I ' __»1«:»«:_
Тмакс — WP I /U R r D ЬА-кп.Т ~ o5/3 \6*)
соответствует значению расстройки Ь — 22Щ\. Однако наибольший фазовый объем
неустойчивых колебаний приходится на относительно большие значения расстрой-
расстройки 5/©р^?о/8япоГ. Характерное значение инкремента для этих колебаний
Y =5= о)р V m/MkrD,
Зависимость инкремента модифицированного распада электромагнитной волны
от расстройки показана на рис. 5.
9* 131

Рис. 5. Инкремент модифицирован-
модифицированного распада электромагнитной вол-
волны
1.4. Ленгмюровский коллапс.
Автомодельные решения. Вернем-
Вернемся к рассмотрению модуляцион-
модуляционной неустойчивости. На нелиней-
нелинейной стадии модуляция электриче-
электрического поля накачки в результате
неустойчивости приводит к обра-
образованию каверн — областей ло-
локализации электрического поля с
вытесненной из них плазмой. Ис-
Исследование модуляционной неус-
неустойчивости существенно продви-
продвинулось в 1972 г., когда, используя уже отмечавшуюся во введении
аналогию модуляционной неустойчивости с явлением самофокуси-
самофокусировки света, В. Е. Захаров дал строгое доказательство существова-
существования коллапса каверн с плазмонами. Это доказательство было по-
получено для дозвукового режима, когда вариация электрического
поля и амплитуда электрического поля в каверне связаны усло-
условием баланса давлений:
6/г=-|?|2/16яГ C5)
(доказательство см. в статье В. Е. Захарова «Коллапс и самофоку-
самофокусировка ленгмюровских волн», приведенной в этом томе). Сформу-
Сформулируем окончательный результат. Рассматривая сферически-сим-
сферически-симметричные каверны, можно показать, что решение задачи Кошидля
возмущений с /2<0 существует только конечное время и при не-
некотором t=t0 приводит к образованию особенности электрического
поля. Существенно, что условие коллапса /2<0 [см. A4)] по по-
порядку совпадает с условием возникновения модуляционной не-
неустойчивости [соотношение C0а) при 0 = 0].
Динамика коллапса описывается автомодельным решением,
впервые полученным в [6]:
Е (t, r)
exp
[iX2 J
to-t )'
C6)
Асимптотика электрического поля при больших p = r/j/Ve — t имеет
вид $^p~l~2il2, так что при больших р поле в каверне, определя-
определяемое по формуле C6), не зависит от автомодельного времени:
Из C5) и C6) следует, что вариация плотности в каверне име-
имеет следующее качественное поведение: в каждой точке г вариация
плотности 8п вначале растет со временем, а потом стремится к ко-
конечному пределу, тем большему, чем ближе точка г к центру:
6/7—1/Г2.
В трехмерной каверне интеграл /о, определяющий число плазмонов, изме-
изменяется со временем как V tQ — t . Такая каверна непрерывно теряет плазмоны
132

при коллапсе (каверна не изолирована, интеграл /0 расходится при r-^оо). Фор-
Формально это означает, что к моменту коллапса энергия ленгмюровских колеба-
колебаний, захваченных в каверну, обратится в нуль. Однако следует учесть, что дозву-
дозвуковой коллапс происходит с нарастающей скоростью, определяемой получаемым
из B5) и C6) соотношением
J
При выполнении условия
C7)
скорость коллапса сравнивается со звуковой — коллапс переходит в звуковой
режим. К этому времени амплитуда электрического поля в каверне определяется
из соотношения
tof(t —t)~(m/M) (SnnoT/E2o)
SnnJ ~ SnnJT t. — t ^ М '
Интересно, что то же условие перехода в сверхзвуковой режим было получено
выше при рассмотрении линейной теории модуляционной неустойчивости [ср.
с. B6)].
Динамика сверхзвукового коллапса каверны описывается сле-
следующим автомодельным решением:
C9)
(для общности это решение записано в случае ts-мерной каверны).
Основные характеристики приведенного решения легко устано-
установить по виду исходных уравнений A0) и A1). Как уже отмечалось
выше, при коллапсе каверны с плазмонами ее характерный размер
изменяется как l/]/]8#|. Тогда из уравнения A1) имеем, что
амплитуда электрического поля в каверне при сверхзвуковом кол-
коллапсе нарастает по закону Е—1/(<о—t).
Закон изменения 8n(t) следует из условия постоянства числа
плазмонов в каверне |?|2 Zs=const. При наличии накачки изме-
изменение числа плазмонов в отдельной каверне определяется интегра-
интегралом A6). Подставляя в правую часть этого интеграла автомодель-
автомодельное решение C9), получаем, что в трехмерной каверне E = 3) чис-
число плазмонов f\E\2dr постоянно с точностью до слагаемых поряд-
порядка (to—02/3.
Таким образом, по мере выхода каверны в автомодельный ре-
режим накачка как бы отключается от каверны, и в интересующем
нас трехмерном случае решение C9) описывает также автомодель-
автомодельный коллапс каверны при наличии накачки.
Асимптотика электрического поля при больших р, получаемая
из уравнения A0): S'^/exp(—|А,|р), действительно соответствует
отдельной каверне. Асимптотика плотности при р->-оо также без
труда получается из уравнения A1):
е. 6/f()/, /
133

Такая положительная вариация плотности образуется в результа-
результате вытеснения из каверны плазмы (хвост каверны).
Решение C9) описывает динамику коллапса во времени, про-
пространственная структура каверн при этом остается неопределенной,
за исключением некоторых общих пространственных асимптотик,
приведенных выше. Для нахождения пространственной структуры
необходимо решить систему уравнений для ^(р), т](р), следующую
из A0), A1). Эта задача осложняется тем, что в сверхзвуковом
режиме отсутствуют физически разумные решения такой системы
уравнений, обладающие достаточно высокой степенью симметрии,
например сферически-симметричные [17].
Можно показать, что наиболее простая геометрия коллапсирую-
щих каверны — двумерная \<S, T)=f(x, у)] или трехмерная акси-
аксиально-симметричная [&, r\—f(r±>z)]. Однако уже в такой геоме-
геометрии аналитическое решение задачи об автомодельном коллапсе
наталкивается на значительные математические трудности и до сих
пор не получено,
В этой связи важное значение приобрели численные решения,
описывающие динамику сверхзвукового коллапса [18, 19]. В них
показано, что начальные распределения электрического поля и
плотности, для которых /г<0, „приводят к формированию коллап-
сирующей каверны. Рассмотрены дипольные каверны, для которых
так называемый высокочастотный заряд p=(l/4n)divE имеет
форму диполя. Для таких каверн в сверхзвуковом режиме
(Е2/8ппТ'>т/М) исследована динамика перехода к автомодель-
автомодельному решению и установлено, что на конечной стадии коллапса
автомодельное решение C9) выполняется с большой степенью точ-
точности, так что в настоящее время существование сверхзвукового
коллапса является бесспорным.
2. ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
2.1. Область источника, эффективная частота столкновений.
Рассмотренная в конце предыдущего параграфа каверна с запер-
запертыми в HejS плазмонами является как бы элементарной ячейкой
плазменной турбулентности, осуществляющей коротковолновую пе-
перекачку ленгмюровских волн. В плазме с развитой турбулентно-
турбулентностью модуляционная неустойчивость приводит к рождению боль-
большого числа таких каверн, случайным образом ориентированных в
пространстве и находящихся на различных стадиях коллапса.
Аналитическое исследование процесса возникновения турбу-
турбулентности— крайне сложная задача, и здесь полезным оказалось
обращение к численному моделированию, которое пока удалось
провести только для одномерной задачи. На рис. 6—8, полученных
при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбу-
турбулентности [20], показана динамика возникновения турбулентного
состояния под действием длинноволновой накачки с постоянной во
времени амплитудой.
На начальной стадии (см. рис. 6) из накачки возникает перио-
периодическая решетка каверн-солитонов; период такой решетки совпа-
134

2-10
О 2,5 5,0 7,5 10. х/гл3]/м/т'
Рис, 6. Начальная стадия модуляционной неустойчивости в численном моде-
моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности, образование перио-
периодической решетки солитонов
fn/n
5,0
Ю x/rjjj/м/гп
Рис. 7/Турбулизация пространственной структуры электрического поля и вари-
вариации плотности при развитии модуляционной неустойчивости
&n/nt
2,5
Рис. 8. Характерное распределение электрического поля и вариации плотности
в состоянии развитой турбулентности
135

дает с длиной волны наиболее неустойчивой моды. В дальнейшем
коротковолновая перекачка локализованной в солитонах ленгмю-
ровской энергии, обусловленная коллапсом солитонов под действи-
действием накачки и их взаимодействия между собой (подробнее см.
[20]), и включение затухания Ландау приводят к разрушению
решетки. С течением времени картина становится все более тур-
турбулентной (см. рис. 7 и 8), в конечном счете ленгмюровская энер-
энергия оказывается локализованной в большом числе случайно рас-
расположенных солитонов различной амплитуды; наряду с солитона-
ми на графиках \Ьп(х) присутствует коротковолновая модуляция,
соответствующая звуковым волнам, излученным из коллапсирую-
щих каверн-солитонов.
При анализе развитой турбулентности удобно от координатных
представлений (рис. 8) перейти к спектральным, определяющим
распределение энергии ленгмюровской и низкочастотной турбу-
турбулентности по масштабам:
= —|fE(f. r)exp(ikr)dr
8п I J
D0)
В плазме без магнитного поля турбулентность в достаточно ма-
малых масштабах изотропна: W\a, Ws^=f(k), изотропия обеспечивает-
обеспечивается случайной ориентацией каверн.
Следуя общим представлениям,* изложенным з уже упоминав-
упоминавшейся статье В. Е. Захарова, в спектре ленгмюровской турбулент-
турбулентности выделим три области (рис. 9):
/ — длинноволновая область, в ко-
которой производится накачка энер-
энергии в турбулентность (область ис-
источника) ; каверны с плазмонами
'первоначально возникают в области
источника; // — инерционный ин-
интервал, разделяющий область ис-
источника и коротковолновую область
поглощения; перекачка ленгмюров-
ленгмюровской энергии через инерционный ин-
интервал осуществляется за счет кол-
коллапса каверн; /// — коротковолно-
коротковолновая область, в которой становится
существенной диссипация энергии
плазменных волн. Ниже спектры
турбулентности определяются во всех трех интервалах.
Так же, как и в гидродинамической турбулентности, описание
области источника оказывается наиболее сложным. В этом пункте
изложены модельные представления о плазменной турбулентности
в области источника, развитые первоначально в работе [11]. Ос-
Основным для излагаемой модели является предположение о том, что
136
Рис. 9. Спектр плазменных волн
и функция распределения резо-
резонансных частиц для сильной лен-
ленгмюровской турбулентности

длинноволновые плазменные колебания, рождающиеся из волны
накачки, стохастически изменяют свою фазу при рассеянии на
флуктуациях плотности, созданных случайным образом располо-
расположенными кавернами. Для электрического поля и вариаций плотно-
плотности в длинноволновой области источника можно использовать сле-
следующие фурье-разложения:
Е (t, г) = Ео + 2 Ек @ exp [i (kr - bkt) - i Фк (/)];
к \ D1)
Здесь и далее, за исключением § 4, рассматривается случай,
когда частота накачки совпадает с плазменной Q=0; 8k=C/2)X
*Ak2r2D(up — дисперсионная добавка к частоте плазмона;Фк (t) —•
случайная фаза, которая в соответствии со сделанным выше заме-
замечанием удовлетворяет корреляционным условиям:
exp (i Фк) = 0; exp [i Фк (t) - Фк, (*')] - 8Кк, exp (- vKOp \t-t'\) D2)
(черта соответствует усреднению по ансамблю случайных значений
фазы). Характерное время размешивания фаз в формуле D2)
определяется частотой рассеяния длинноволновых плазмонов на
флуктуациях плотности, созданных кавернами. Таким образом,
Vkop^—Vglk, где vg—uorVop — групповая скорость плазмона (k0 —
характерное значение волнового числа в области источника); /0—
расстояние между рассеивающими кавернами. Очевидно, что /0^
—'1/&о (см. рис. 2), и окончательно имеем для vKop приближенную
формулу
VKop^CDp&W D3)
Коэффициенты фурье-разложения электрического поля опреде-
определяются из исходного уравнения A0):
\ t
Ek @ = - "Г" J dV i^k Eo exp[i Фк (f) + i ikt']+
—00
+ S \,Ek_k, exp [i (8k - 5k_k,) V + i Фк (f) - i Фк_к, (Г)]}. D4)
к'
Наша основная цель состоит в нахождении эффективной ча-
частоты столкновений v34), определяющей скорость роста энергии в
ленгмюровской турбулентности под действием волны накачки. Для
энергии ленгмюровских колебаний имеем интеграл A6). Подстав-
Подставляя в правую часть этого интеграла фурье-разложения для элек-
электрического поля D1) с амплитудами D4) и проводя усреднение
137

по случайным фазам плазмонов, приходим к следующему урав-
уравнению:
D5)
Физическая причина возникновения диссипации — стохастиче-
стохастическое размешивание фаз длинноволновых плазмонов. Ее механизм
аналогичен стохастическому нагреву частиц ВЧ-полем [13].
Уравнение для фурье-амплитуд вариаций плотности можно получить из
исходного уравнения A1). Перейдем в этом уравнении к ^-представлению,
используем фурье-разложения для электрического поля и процедуру усреднения
по случайным фазам плазмонов. Предположив, что характерное время изменения
фурье-амплитуд 7}^, Е^ велико по сравнению с корреляционным временем
1/vkop, получим следующее простое уравнение для щ:
cos2 ф
где Ф,о — угол между векторами к и Ео; Ф — угол между к' и к—к'.
В пренебрежении последним слагаемым в правой части урав-
уравнение D6) переходит в дисперсионное уравнение модуляционной
неустойчивости длинноволновой (<7-Я)) накачки, модифицирован-
модифицированное с учетом стохастического изменения фаз плазмонов [ср. с B1)].
Последнее слагаемое в D6) соответствует тому очевидному обстоя-
обстоятельству, что вся длинноволновая часть спектра плазменных коле-
колебаний может выполнять роль накачки, амплитуда которой модули-
модулируется в результате неустойчивости. Ниже показано, что основной
вклад в энергию плазменной турбулентности связан с длинновол-
длинноволновой областью источника, причем энергия турбулентности W су-
существенно превышает энергию волны накачки ?20/8л. Тогда в
уравнении D6) можно пренебречь слагаемым, пропорциональным
амплитуде накачки Ео. Определяемые из этого уравнения харак-
характерные значения длины волны неустойчивых колебаний и инкре-
инкремента амплитуды возмущений соответствуют формулам линейной
теории C0) и C0а) с очевидной заменой E20/8n-^W:
kt^(l/rD)VWWT; 4^<»pV{mlM)WlnJ. D7)
В квазистационарном состоянии турбулентности уравнение D6) можно так-
также использовать для нахождения спектра ленгмюровских волн в области
источника.
Предположим, что выполняется условие vKOp/6<l, это существенно упро-
упрощает математические выкладки, качественно не изменяя физической картины. По
138

той же причине ограничимся рассмотрением одномерной модели. Тогда инте-
интегральное уравнение для определения ленгмюровского спектра \Eh\2y получаемое
из D6) при di\n/dt=O, приобретает вид:
^макс | Ек, |2
D8)
гаке
С помощью подстановки
^макс
это уравнение сводится к известному уравнению профиля крыла самолета [21]:
1
jrf^ D9>
где использованы безразмерные переменные k'/kuAno=y\ &/2&макс=# (здесь
?макс— верхняя граница спектра ленгмюровских колебаний). Решая уравнение
D9) с очевидным граничным условием ф(*=1/2)=0, получаем следующую фор-
формулу для спектральной плотности энергии ленгмюровских колебаний в длинно-
длинноволновой области:
|?А|2=96Л0Г^максГ22)'ф^/2^макс), E0)
где
1
; & \ —интеграл в смысле главного значения!.
Фактически формула E0) становится неприменимой уже при меньших k ^
^?&о> когда существенна коротковолновая перекачка ленгмюровских волн, обу-
обусловленная коллапсом, т. е. эффект, выходящий за рамки уравнения D6). Зна-
Значения k^ k0 соответствуют инерционному интервалу, спектр при таких k рас-
рассматривается в следующем параграфе.
Остановимся на интегральных характеристиках квазистацио-
квазистационарной ленгмюровской турбулентности. Амплитуду длинноволно-
длинноволновых флуктуации плотности можно оценить из условия захвата
плазмонов в потенциальные ямы:
)/n0 ~ klr2D ъ W/n0T. E1)
Уравнение D5) для энергии плазменных колебаний с помощью
соотношений D3) и E1) записывается в следующей форме:
dWldi=VsbE\j&n, E2)
где введена эффективная частота столкновений
Vэф^a(Dp№//гoГ. E3)
Числовой коэффициент а нельзя определить, используя изложен-
изложенные здесь качественные соображения. Моделирование ленгмюров-
ленгмюровской турбулентности на ЭВМ [23] подтверждает справедливость
139

Рис. 10. Зависимость энергии
плазменных колебаний от ампли-
амплитуды электрического поля на-
накачки
уравнений E2) и E3), при этом па-
параметр а оказывается медленно
меняющейся функцией W и изменя-
изменяется от a^l при W/nT^m/M до
а^0,5 при WfnT**A,l.
Знание эффективной частоты
столкновений позволяет определить
энергию плазменных колебаний как
функцию амплитуды волны накач-
накачки. При этом исходим из условия
энергетического баланса; вся энер-
энергия, поглощаемая из волны накач-
накачки, локализуется в кавернах и пере-
передается коллапсирующими каверна-
кавернами волнам с малой длиной, для ко-
которых существенна диссипация.
Характерное время возникнове-
возникновения каверн в длинноволновой области определяется инкрементом
неустойчивости D7), поток энергии, переносимый коллапсирующи-
коллапсирующими кавернами, равен y^W, а условие энергетического баланса
имеет вид:
vQ<s>E%l8n=YoW. E4)
Отсюда получаем искомое соотношение:
WjnoT^{M/m) a2 (Е2018лщТJ. E5)
График зависимости W(E20) приведен на рис. 10. Зависимость
IF^o), следующая из E5), имеет место только при W^n0T, за-
зависимость W(E2) при больших амплитудах накачки рассматри-
рассматривается в следующем параграфе.
2.2. Инерционный интервал и область поглощения, сверхсиль-
сверхсильная турбулентность. Из зависимости E5) следует, что при не
слишком больших амплитудах волны накачки
энергия плазменных колебаний остается намного меньше тепловой:
W^T В этом случае между областью источника &о^A/Г#)Х
l/rD находится инерци-
инерций
y^Y(jbT) и областью поглощения к
онный интервал. Коротковолновая перекачка ленгмюровской энер-
энергии в пределах инерционного интервала осуществляется в резуль-
результате коллапса каверн с запертыми в них плазмонами. Спектр плаз-
плазменной турбулентности в этой промежуточной области, как обычно,
находится с помощью гипотезы Колмогорова о постоянстве потока
энергии:
N(k)dk/dt(k)= const. E6)
Здесь N{k)dk — число каверн с характерными обратными масшта-
масштабами (k, k-\-dk)t а зависимость времени перекачки энергии от боль-
больших масштабов по спектру турбулентности к меньшим t{k) опре-
определяется временем коллапса каверн в указанном интервале. Для
140

определения времени коллапса можно воспользоваться автомо-
автомодельным решением, которое, как показано в § 1, остается асимпто-
асимптотически точным и в том случае, когда коллапс трехмерной каверны
происходит на фоне постоянно действующей длинноволновой на-
накачки. Из этого решения имеем
dt/to^-d[(ko/k)*'*]. E7)
Поскольку в квазистационарной турбулентности все каверны
в области источника образуются примерно с одним и тем же со-
содержанием энергии, которая сохраняется в процессе коллапса,
спектральная плотность энергии ленгмюровских колебаний пропор-
пропорциональна числу каверн в данном интервале масштабов турбулент-
турбулентности, что и позволяет определить ленгмюровский спектр в преде-
пределах инерционной области:
Whdk^Nkdk^dk/№2. E8)
Обратимся теперь к вопросу о механизмах диссипации энергии
ленгмюровских колебаний в коротковолновой области. Диссипация
может быть связана или с резонансным поглощением на электро-
электронах плазмы (затухание Ландау), или с собственной нелинейно-
нелинейностью ленгмюровских колебаний, приводящей к пересечению элек-
электронных траекторий. Так как при коллапсе перекачка плазмонов
происходит от длинноволновых колебаний к коротковолновым, ре-
резонансное поглощение в первую очередь должно включаться для
так называемых хвостовых электронов со скоростями, заметно
превышающими тепловую. В результате в области поглощения па-
параметр krD^vT/vo остается малым, что позволило авторам работы
[3] уже на начальной стадии исследования сильной ленгмюров-
ской турбулентности считать затухание Ландау основным меха-
механизмом диссипации энергии коротковолновых плазмонов. В даль-
дальнейшем детальный анализ, основанный на автомодельном решении
C9), в целом подтвердил эту точку зрения.
Остановимся подробнее на возможной роли различных меха-
механизмов диссипации. Собственная нелинейность ленгмюровских ко-
колебаний характеризуется возникновением нелинейной поправки
к частоте
Дсо^о)р/г2г2я E9)
(rE—eEfni(d2p — амплитуда высокочастотного смещения электро-
электронов). Нелинейность существенна, если нелинейная поправка пре-
превышает дисперсионную:
г2е^г2в, т. е. ?2/8шг7>1. F0)
Следует также иметь в виду, что формула E9) приведена для
изотропных плазменных колебаний, когда нелинейность особенно
существенна. В обратном предельном случае одномерного спектра
нелинейная поправка к частоте плазмона E9) вообще отсутствует
и роль собственной нелинейности пренебрежимо мала.
Как показало численное моделирование ленгмюровского кол-
коллапса [19], образующаяся в процессе коллапса дипольная кавер-
141

на сильно анизотропна (в2—k2x/k2z—0,1, г — ось диполя). Спектр
плазмонов в такой каверне близок к одномерному, за счет чего
в формуле для нелинейной поправки к частоте появляется малый
множитель, пропорциональный в4, а порог возникновения элек-
электронной нелинейности существенно возрастает:
F0а)
В то же время характерное значение волнового числа, при ко-
котором становится существенным резонансное поглощение плазмо-
плазмонов частицами, можно найти из условия энергетического баланса
в коротковолновой области: поток энергии по спектру, определяе-
определяемый условием E4), при малых длинах волн должен компенсиро-
компенсироваться затуханием Ландау:
YoW=rfc.lF. F1)
В этом уравнении 1\* — декремент затухания Ландау; W'^&
^Л1М&о/&*K/2 — энергия коротковолновых {k^> й*) плазменных
колебаний, определенная с помощью спектрального распределения
E8). Из F1) имеем:
IV « «>р (т/Муг2 (nj/wyi* (k*rD)W . * F2)
Поглощение плазмонов частицами приводит к ускорению резо-
резонансных частиц и смещению области поглощения к малым k. Если
даже пренебречь этим эффектом и считать функцию распределе-
распределения резонансных электронов максвелловской, что соответствует
<6S>
то и в этом случае характерное значение параметра k*rD в обла-
области поглощения окажется достаточно малым:
т. е. к*Ув^ 1/10-5-1/12.
Связь между амплитудой электрического поля в коллапсирую-
щей каверне и характерным волновым числом запертого в ней
плазмона определяется автомодельным решением C9). В трех-
трехмерной каверне коллапс является сверхзвуковым, так что корот-
коротковолновая перекачка плазмонов происходит медленнее, чем рост
поля:
W /fi.M,N»3 (б4)
n0T\t0-~t) nj
При достижении порога F0), соответствующего возникновению
электронной нелинейности, параметр k2r2D^y(W/n<)T)l/3y а с учетом
анизотропии спектра в коллапсирующей каверне
142

При W/noT>m/M это значение k2r2D заведомо лежит выше грани-
границы области поглощения k*2r2Df определяемой соотношением F3а).
В этих условиях резонансное взаимодействие плазменных колеба-
колебаний с электронами является доминирующим механизмом диссипа-
диссипации энергии ленгмюровских колебаний в коротковолновой обла-
области.
Спектр плазменных колебаний в этой области следует находить совместно
со спектром резонансных частиц. Соответствующая система уравнений состоит
из квазилинейного уравнения для электронной функции распределения и уравне-
уравнения для спектральной плотности энергии ленгмюровских волн, в котором учтены
спектральный перенос энергии, обусловленный коллапсом, и резонансное погло-
поглощение колебаний электронами. В предположении об изотропии спектров волн и
частиц эти уравнения приобретают следующий вид:
2 2 d I J k3 k d
dt m2 v2 dv I v J k3 k dv
V
F5)
dWk[dt+{d/dk) (Wkdk/dt) =— 2TkWh9 F6)
где Th— Djt3AJp/m&3)/(cop/&)—декремент резонансного поглощения. Приведен-
Приведенная система уравнений имеет решение с постоянным потоком резонансных частиц
в область больших скоростей. Из F5) следует, что поток частиц определяется
интегралом
i TT Wk-jr-. F7)
] kA R ov v '
V
В рассматриваемом решении df/dt=O, d&/dv = 0 в интервале скоростей v^.
^макс@» гДе ^макс(О—верхняя граница хвоста спектра скоростей резонанс-
резонансных частиц (см. рис. 9). Спектр плазмонов также стационарен, dWk/dt=0.
Тогда из уравнения F6) в предположении, что и в области поглощения кол-
коллапс каверн остается автомодельным, получаем
что соответствует функции распределения резонансных электронов
/(t>)~l/D*t(l/tr). F8)
Спектр плазмонов, определяемый из условия дУ /dv—О, имеет вид:
k). F9)
В первоначальном варианте теории сильной ленгмюровской
турбулентности [10, 11] использовалось предположение о том,
что закон коллапса каверн в коротковолновой области поглоще-
поглощения остается таким же, как и внутри инерционного интервала.
Недавно Пеллейтеру [23] удалось более корректно рассмотреть
этот вопрос. Ниже изложены результаты его работы.
Напомним, что закон роста электрического поля в центре кол-
лапсирующей со сверхзвуковой скоростью каверны получается из
143

уравнения A1) для медленных вариаций плотности и поэтому
остается неизменным при включении поглощения ленгмюровских
колебаний:
[ср. с C9)].
В то же время электрическое поле в центре каверны можно
представить следующим образом:
h / ЧТУТ v 1 I f\
G0)
где S'k — энергия в каверне с характерным размером l^A/k. Оче-
Очевидно, что Wk=iNk&h9 Nk — плотность каверн в ^-пространстве.
По-видимому, и в области поглощения должна быть верна гипо-
гипотеза о постоянстве потока каверн по спектру, хотя каждая кавер-
каверна при коллапсе в этой области теряет энергию за счет затухания
Ландау плазменных колебаний. Поэтому
[ср. с E6)], и из G0) следует, что
Сравнив этот результат с соотношением F9), получим закон кол-
коллапса каверны в области поглощения:
а также следующие спектральные распределения для плазменных
волн и резонансных электронов в этой области:
G1)
Интересные особенности имеет плазменная турбулентность при
больших значениях параметра WJn^T, когда колебания, возника-
возникающие в области источника из-за модуляционной неустойчивости,
имеют длины волн, для которых существенно поглощение и отпа-
отпадает необходимость в коротковолновой перекачке колебаний, обу-
обусловленной коллапсом. Турбулентность в этих условиях естествен-
естественно назвать сверхсильной [15]. В этом случае плазменные коле-
колебания, возникающие в области источника с характерными длина-
длинами волн, которые определяются соотношением D7), с ростом па-
параметра W/n0T смещаются к еще меньшим значениям длин волн,
что приводит к быстрому увеличению числа резонансных частиц.
Именно этим объясняется существенное возрастание числа уско-
ускоренных электронов в экспериментах с плазменной мишенью при
переходе от неодимового лазера к лазеру на СОг, т. е. при умень-
уменьшении на два порядка критической плотности я0 [24].
В спектральном распределении сверхсильной плазменной тур-
турбулентности отсутствует характерный участок степенного спектра,
соответствующего инерционному интервалу, а спектральный закон
E0), полученный для области источника, простирается до верх-
верхней границы волновых чисел &Макс- Из уравнения энергетического
144

баланса
G2)
следует, что условие применимости спектрального распределения
E0)Гк<6к, v9<$) выполняется при всех №>?20/8л;. Уравнение G2)
можно использовать для нахождения зависимости W(E20) при
больших накачках. Будем считать, что при больших накачках об-
область локализации плазменных колебаний настолько узкая, что
резонансные частицы успевают покинуть ее раньше, чем произой-
произойдет существенная деформация их функции распределения. Соот-
Соответствующее условие имеет вид:
где Аг — толщина турбулентного слоя; v^C^-4)vT— характерная
скорость резонансных частиц. При выполнении этого условия
функция распределения резонансных частиц остается максвеллов-
ской, а декремент 1\ определяется уравнением F3). Подставляя
в G2) W^ из E0) и проводя интегрирование по ife, получаем за-
зависимость W(E2o) в сверхсильной турбулентности для одномерной
модели:
0,34 VW/nJexp ( - nj/1 AW) = аЕ\/8ъп0Т, G3)
соответствующую насыщению зависимости энергии плазменных
колебаний от амплитуды накачки при №МаксМO^0,3.
В заключение отметим, что все проанализированные в обзоре особенности
ленгмюровского спектра наблюдались и в численном моделировании одномерной
ленгмюровской турбулентности [20].
25
50
15 100 n = 6i M/m кгм '
Рис. 11. Спектр плазменных колебаний, полученных при численном моделирова-
моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности для относительно небольших
амплитуд накачки, когда ™7'~/г—1-
10—3283
л —номер гармоники
145

На рис. 11 показан полученный при численном моделировании ленгмюров-
«ский спектр. В спектре четко прослеживаются три участка — область источника
<с приблизительно равномерным распределением энергии по гармоникам, инер-
дионный интервал со степенным спектром и, наконец, коротковолновая область,
где спектральная плотность убывает по экспоненте. В одномерной модели анали-
аналитический спектр в инерционном интервале имеет вид Wh~l/k42y эту зависимость
легко получить из условия Колмогорова E6) и закона автомодельного коллапса
C9) с s=l. Соответствующая аналитическая зависимость показана на рис. 11
пунктиром, она близка по форме к зависимости, наблюдавшейся в численном
эксперименте.
Экспоненциальный характер спектра в области поглощения объясняется тем,
что численное моделирование проводилось при заданной (максвелловской) функ-
функции распределения резонансных электронов. В этом случае вследствие быстрого
с:
?
200
100
I
-
LI I
т
(Opt =8,6'103
i i i ^^—i rf^r
О
25
50
15
Рис. 12. Спектр плазменных колебаний при больших амплитудах накачки, когда
№/^1, в спектре исчезает инерционный интервал со степенной зависимостью
Wk от к
роста декремента 1\ с волновым числом все каверны-солитоны, достигшие обла-
области поглощения, имеют примерно один и тот же размер. Ленгмюровский спектр,
возникающий в результате спектрального разложения таких одномерных соли-
тонов, при k>k* действительно оказывается экспоненциальным: Wh^
^exp (—k/k*) [12].
В численном моделировании удалось также проследить эволюцию ленгмю-
ровского спектра при переходе к большим накачкам. Типичный спектр ленгмю-
ровской турбулентности, полученный при больших уровнях W, показан на
рис. 12.
В спектральном распределении исчезает инерционный интервал, спектр харак-
характерен для ^же описанной выше сверхсильной турбулентности, когда область
источника, соответствующая равномерному распределению энергии по гармони-^
кам, доходит до длин волн, при которых становится существенным поглощение
плазменных колебаний.
146

3. НАКОПЛЕНИЕ КОРОТКОВОЛНОВОГО ЗВУКА И ЕГО ВЛИЯНИЕ
НА ПЛАЗМЕННУЮ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Выше мы пренебрегли одной важной особенностью коллапса
ленгмюровских волн. При достижении каверной с запертыми в ней
плазмонами достаточно малых размеров, при которых начинается
поглощение плазменных волн, происходит нарушение равновесия
между высокочастотным и газокинетическим давлениями. Высо-
Высокочастотное давление резко падает, и избыточная вариация плот-
плотности «сбрасывается» в виде излучаемых из каверн звуковых
волн. В изотермической плазме (Ге=7\) коротковолновые звуко-
звуковые колебания быстро затухают в результате взаимодействия
с резонансными ионами, и эффект излучения звуковых волн не
Рис. 13. Спектр звуковых колебаний, полученный при численном моделировании
одномерной ленгмюровской турбулентности в неизотермической плазме с мед-
медленным затуханием звуковых волн:
спектр имеет максимум при волновых числах, соответствующих интервалу поглощения
существен. В неизотермической плазме (Ге>7\), когда возможно
только медленное затухание звуковых волн на электронах, непре-
непрерывное рождение звуковых пульсаций в коллапсирующих кавер-
кавернах приводит к накоплению коротковолновой звуковой турбулент-
турбулентности—накачка энергии в такую турбулентность происходит с ха-
характерным инкрементом модуляционной неустойчивости, а зату-
затухание на резонансных электронах существенно более медленно.
Накопление коротковолнового звука иллюстрируется рис. 13.
Спектр, приведенный на рис. 13, получен для той же амплитуды
накачки, что и ленгмюровский спектр, показанный на рис. 12.
Видно, что спектр звуковых колебаний имеет максимум при ма-
малых длинах волн, для которых существенно поглощение плазмен-
плазменных волн электронами.
Обратимся теперь к количественной стороне явления [И].
В отдельной коллапсирующей каверне доля энергии плазменных
Ю* 147

волн, которая трансформируется в низкочастотное движение (ки-
(кинетическую энергию колебаний ионов), мала в отношении к*2г2т>\
dt ) J я, dt*
G4)
"[Мы воспользовались соотношением бя/Ло =—div| и уравнением
A1) для fi/i, где учли, что коллапс каверны происходит в сверх-
сверхзвуковом режиме.]
Учитывая G4), имеем, что поток энергии в коротковолновую
звуковую турбулентность, создаваемый коллапсом каверны, равен
y0W\k*2r2D. Этот поток должен компенсироваться в результате за-
затухания коротковолновых звуковых колебаний на электронах; со-
соответствующее условие баланса имеет вид:
8. G5)
Здесь ys^(ds ~Vm/M=xup(m/M)k*rD — декремент поглощения зву-
ковых волн электронами; W =— \ энергия этих волн.
2 LJ п20
к
Определяемый из уравнения G5) уровень коротковолновых звуко-
звуковых пульсаций весьма высок:
к
Наличие интенсивных коротковолновых звуковых колебаний
приводит к стабилизации коллапса. Этот эффект связан с возник-
возникновением дополнительного канала коротковолновой перекачки
плазмонов в результате их прямой конверсии на звуковых пуль-
пульсациях.
Если звуковая турбулентность является изотропной и слабой
в общепринятом смысле:
к
то характерный инкремент, определяющий скорость конверсии,
77Г. G7)
18
Ч
к
1D
гдеГк —декремент резонансного поглощения коротковолновых
плазмонов, характерное его значение определяется из соотноше-
соотношения F2).
Анализ динамики ленгмюровского коллапса при учете конвер-
конверсии плазмонов, проведенный в [11], показывает, что стабилизация
148

коллапса происходит тогда, когда инкремент коротковолновой пе-
перекачки плазмонов, обусловленной конверсией, превышает инкре-
инкремент модуляционной неустойчивости. Действительно, при учете
конверсии энергия длинноволновых плазмонов затухает по закону
\Е\2—ехр (—2ykohbO- Тогда с помощью уравнения A0) нетрудно
показать, что яма плотности, создаваемая высокочастотным дав-
давлением, при условии Ykohb^Yo оказывается недостаточно глубокой
для захвата плазмонов и создания коллапсирующей каверны:
Поэтому в неизотермической плазме с Te^>Ti проведенный вы-
выше анализ ленгмюровской турбулентности (в пренебрежении эф-
эффектом конверсии) применим при относительно небольших уров-
уровнях энергии ленгмюровских волн W, когда определяемая из со-
соотношения G6) интенсивность коротковолновых звуковых пуль-
пульсаций соответствует условию 7о>7конв- Условие для W имеет вид:
W^Wnov^n0T (81 mJMJ/*k*2r2D G8)
и выполняется при амплитудах накачки, удовлетворяющих нера-
неравенству
ЕУ8(Т/а) Fm/M)*'*k*rD. G8а)
При больших накачках коротковолновые звуковые колебания
существенно влияют на динамику ленгмюровской турбулентности.
Полная стабилизация коллапса при этом произойти не может, так
как именно в коллапсирующих кавернах рождаются коротковол-
коротковолновые звуковые колебания. В результате устанавливается режим,
в котором энергия звуковых пульсаций поддерживается на уров-
уровне, определяемом из порогового условия
S Т)щ *• VV G9)
k
Условие слабости коротковолновой звуковой турбулентности
к
совпадает с условием существования инерционного интервала
При №>№пор конверсия на коротковолновых звуковых колебаниях является
основным механизмом перекачки плазмонов из области источника к<*~къ
в область поглощения k^k*. Энергия коротковолновых плазменных колебаний,
создаваемых конверсией
.А. У ,Е ,,_JL
к
при учете G9) оказывается той же, что и в режиме малых W (режим кол-
коллапса):
&*)?* (80)
149

с той лишь разницей, что в результате конверсии колебания попадают в корот-
коротковолновую область непосредственно из области источника, минуя инерционный
интервал* Сам же коллапс как механизм коротковолновой перекачки плазмонов
через инерционный интервал разрешен только в той степени, какая необходима
для поддержания энергии звуковых пульсаций на уровне, задаваемом соотноше-
соотношением G9). В этих условиях уравнение баланса G5) определяет ту часть потока
плазмонов в коротковолновую область, которая переносится коллапсирующими
кавернами:
Поскольку скорость коллапса отдельной каверны в длинноволновых масшта-
масштабах по-прежнему определяется инкрементом модуляционной неустойчивости уОу
этот поток можно представить в виде уо^кав, где №кав — энергия длинноволно-
длинноволновых плазмонов, запертых в коллапсирующих кавернах. Из уравнения (81)
тогда имеем
W ^W*/4U^3/4n n (82)
т. е. в режиме развитой конверсии W^>WUoj> только малая часть плазмонов за-
захватывается в кавернах.
Накопление коротковолновых звуковых колебаний и конверсия на них плаз-
плазменных колебаний приводят также к изменению эффективной частоты столкно-
столкновений v9. Такое изменение связано с двумя различными механизмами. Прежде
всего согласно изложенной в § 2 модели значение v8(j> определяется уровнем
длинноволновых флуктуации плотности, и, следовательно, в формулу E3) вхо-
входит только та часть энергии плазмонов, которая заперта в кавернах и приводит
к модуляции плотности, т. е. №кав. Кроме того, конверсия накачки на коротко-
коротковолновых звуковых колебаниях создает новый канал диссипации энергии, и вл?Эф
появляется новое слагаемое, равное Ykohb. Таким образом, окончательно полу-
получим следующую приближенную формулу для гЭф в режиме развитой конверсии:
пор
njr
W \1/2
(83)
Рис. 14. Эффективная частота столкновений как функция амплитуды накачки-
при Те=Тг (а) и при Ге>Гг, когда существенна конверсия (б)
150

Здесь мы рассматриваем не слишком большие значения W: W/n0T<k*2r*D,
когда существует инерционный интервал. В этом случае последнее слагаемое
в формуле для va<j> мало, и им можно пренебречь. Тогда, используя условие ба-
баланса E4), которое при этом означает, что диссипация энергии волны накачки
компенсируется коротковолновой перекачкой плазмонов, обусловленной конвер-
конверсией, придем к окончательным формулам, определяющим зависимость от ампли-
амплитуды накачки энергии плазменных колебаний и эффективной частоты столкнове-
столкновений в неизотермической плазме с конверсией:
W/nJ *= [9а (k*rDK'2 B\l 8nnJ}4'5 ; |
1/5 Г (84)
J
На рис. 14 показана зависимость эффективной частоты столкновений от
амплитуды накачки. Видно, что конверсия существенно уменьшает эффективную
частоту столкновений, величина которой в этом случае не превышает ионную
плазменную частоту.
4. ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ, ИНИЦИИРУЕМАЯ ВОЛНОЙ
НАКАЧКИ С ЧАСТОТОЙ, ОТЛИЧНОЙ ОТ ПЛАЗМЕННОЙ.
ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ОКРЕСТНОСТИ РЕЗОНАНСА
До сих пор мы исследовали случай резонанса, когда частота
накачки, создающей турбулентность, совпадает с плазменной Я=
=0. Для многих приложений, в первую очередь для лазерного
термоядерного синтеза, необходимо рассматривать динамику
плазменной турбулентности при 'Q^O.
В этом случае параметрическая неустойчивость электромаг-
электромагнитной накачки (см. § 1) приводит к возникновению коротковол-
коротковолновых плазменных колебаний krD я^ |/^B/3) Q (напомним, что Q—
= (<о—сор)/о)р — безразмерная расстройка частоты волны накачки
относительно плазменной).
При анализе нелинейной динамики этих колебаний, так же как
в линейной теории (см. § 1), следует особо рассмотреть предель-
предельные случаи больших и малых расстроек. При Q<(M/m)a2X
Х(Е%/8тцТJ возбуждение плазменных колебаний накачкой свя-
связано с модифицированным распадом. Из соотношения E5) для
энергии колебаний следует, что плазменные колебания в резонанс-
резонансной с накачкой области волновых чисел модуляционно неустойчи-
неустойчивы. Динамика турбулентности в этом случае качественно та же,
что и при Q=0: плазменные колебания накапливаются в резонанс-
резонансной области до подключения модуляционной неустойчивости,
в дальнейшем образование каверн и их коллапс приводят к пере-
перекачке колебаний в область еще меньших длин волн и в конечном
счете к их поглощению частицами.
Более сложен для анализа обратный случай больших расстро-
расстроек, ?i>(M/m)a2 (Е2ъ1%тицТJ, когда ллазменные колебания в резо-
резонансной области возбуждаются или в результате обычного распа-
151

да, или вследствие индуцированного
рассеяния на ионах. Спектр этих ко-
колебаний модуляционно устойчив, так
что становится существенной спек-
спектральная перекачка в область малых
волновых чисел в рамках слабой тур-
турбулентности.
Начнем с рассмотрения изотерми-
изотермической плазмы (Те—Тг). В такой плаз-
Рис. 15. Спектр плазменных ме звуковые колебания сильно зату-
колебаний, ^возбуждаемых хают, и рождение плазменных колеба-
электромагнитной волной с нид накачкой связано С индуцирован-
OTw^Lio^aSHo^TJe" ным рассеянием. Характерный инкре-
зонанса: мент этого процесса (см. статью
скобкой показана область модуля- К- МИМЫ, К- НиШИКаВЫ ИЗ ЭТОГО ТОМа)
ционной неустойчивости; здесь и
на рис. 16 A==Q yi=(i)pE2i)/&4utl{)T.
Как обычно, в слабой турбулентности накопление плазменных ко-
колебаний в резонансной с накачкой области происходит до тех пор,
пока энергия колебаний не сравняется с энергией накачки:
\ dkW и = ~-'
J 8те
/ m \
—г-г- I
\ М }
1/2
Последующее рассеяние плазменных колебаний на ионах при-
приводит к спектральной перекачке в область малых k. Из условия
рассеяния <ok—соы=|к—М^г* следует, что при krD^> УМ/m
в каждом акте рассеяния участвуют только колебания в узком
сферическом слое толщиной bk (в одномерном случае—распро-
случае—распространяющиеся навстречу друг другу колебания | k+ki | з^ 6Л).
Энергия плазменных колебаний в слое bk имеет порядок Е20/8п7
так что индуцированное рассеяние приводит к возникновению ха-
характерного для слабой турбулентности сателлитного спектра ленг-
мюровских колебаний с примерно равномерным распределением
энергии плазмонов по спектру и спектральной плотностью
(рис. 15)
(85)
Если полная ширина спектра велика по сравнению с bk, то его
эволюция с достаточной степенью точности описывается уравне-
уравнением дифференциальной перекачки:
16
dWk
dt
n0Mv
Te
dk
(86)
С учетом соотношения (85) поток энергии плазмонов в область
малых волновых чисел, описываемый уравнением (86), оказыва-
оказывается равным примерно 2yiE2J8n. Этот поток достигает длинновол-
152

новой области, где существенна модуляционная неустойчивость,
и там захватывается коллапсирующими кавернами. Очевидно, что
эффективная частота столкновений, определяющая скорость дис-
диссипации энергии накачки, в этих условиях становится равной 2ус
Характерные значения волновых чисел для длинноволновой
области спектра, в которой возникает модуляционная неустойчи-
неустойчивость, определяются из условия неустойчивости D7):
~ п ТЪ2 г2 (RR\
т. е. k0rD^(M/m)ll2E\/8T:n0T. Энергия этих колебаний W. я*
^(М/т) (Е2о18лпоТJпоТу однако полная энергия в спектре плаз-
плазменных волн значительно больше:
W
8ъ) VM/mkrD.
(89)
Из-за большого значения инкремента модуляционной неустой-
неустойчивости колебания в длинноволновой части спектра остаются все
время на пороге неустойчивости.
Энергию плазмонов, переносимую в
область малых длин волн коллап-
коллапсирующими кавернами, можно оце-
оценить из следующего условия балан-
баланса:
Малость отношения Wk3lJWq объяс«
няет скачок при переходе из режи-
режима малых расстроек в режим боль-
больших (рис. 16). В последнем случае
перекачка плазменных волн стано-
становится как бы двухступенчатой:
длинноволновая эстафетная пере-
перекачка в область модуляционной не-
неустойчивости с последующей пере-
перекачкой плазменных волн коллапси-
коллапсирующими кавернами в коротковолновую зону поглощения. Малая
скорость первого из этих процессов и приводит к уменьшению Vэф.
Скачок Vэф при переходе к большим расстройкам равен
» 1.
Ц18жп0Т
Рис. 16. Зависимость эффектив-
эффективной частоты столкновений от ам-
амплитуды электромагнитной волны
при больших расстройках ее час-
частоты относительно плазменной
В неизотермической плазме с холодными ионами Те*>Тг существен распад
волны накачки на плазменную и звуковую. Последующая эволюция спектра про-
происходит примерно так же, как в рассмотренном выше случае изотермической
плазмы, с той лишь разницей, что теперь величина v3(j) при больших расстрой-
расстройках совпадает с инкрементом соответствующего распадного процесса (см. § 1):
/72
\64тм0Г
1/2
(90)
153

Интересно, что все основные черты динамики ленгмюровской турбулентно-
турбулентности при больших Q наблюдались в численном моделировании [20]. Как отмеча-
отмечалось выше, в этой работе рассматривалась неизотермическая плазма (Ге>Гг)
с малым затуханием звуковых волн. Исследовался распад электромагнитной вол-
волны с расстройкой Q^0,037. В этом случае распад электромагнитной волны на-
накачки приводит к возбуждению монохроматических ленгмюровской и звуковой
волн с номером гармоники яо=38 (рис. 17). Последующая перекачка по спектру
реализуется в результате распада ленгмюровских волн на ленгмюровские и зву-
звуковые. Из распадных условий B2) следует, что шаг эстафетной перекачки для
плазменных волн 6k=B/3)(l/rD)yrn/M или (в используемых в [20] безраз-
безразмерных единицах n=krD[§VМ/т) Ая=4. В одномерном случае, который иссле-
к
30
20
10
п
-
-
-
i i
чооо
2000
-
-
А ,
COpt=2,1-W
20
50
Л *k
WO
15Q
50
100 15Р
щ
г
7
-
-
50
100 150
WO
15а
50
л *к
15[J
Рис. 17. Динамика спектров плазменных и звуковых колебаний, возбуждаемых
электромагнитной волной с большой расстройкой частоты от плазменной:
спектры получены при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулент-
турбулентности
154

довался в работе [20], взаимодействуют между собой распространяющиеся на-
навстречу друг другу плазменные волны, и в результате эстафетной перекачки
последовательно возбуждаются ленгмюровские (^=34, я2=30) и звуковые (n$i =
=П1+По=2по—4=72, ns2=/*2+/*i=2Aii,—4=64) сателлиты. При больших временах
в ленгмюровском спектре уже может быть выделено большое число сателлитов,
а к концу этапа эстафетной перекачки вся длинноволновая часть спектра рав-
равномерно заполнена колебаниями с амплитудами ?*^-— A,3-^—1,5) ?, при этом спек-
спектральное распределение звуковых колебаний сосредоточено в области rts>38.
В дальнейшем становится существенной модуляционная неустойчивость длинно-
длинноволновых ленгмюровских колебаний, приводящая к образованию каверн-солито-
нов и как следствие к «заполнению» спектра звуковых возмущений в длинно-
длинноволновой области rzs<38.
Предшествующее рассмотрение относилось к окрестности ре-
резонанса со^сор. Максимальная расстройка, при которой возможно
возбуждение плазменной турбулентности за счет этого резонанса,
определяется из условия стабилизации соответствующей парамет-
параметрической неустойчивости t—*/-|-s (или индуцированного рассея-
рассеяния t—>\l-\-i) с помощью затухания Ландау. Это условие имеет
вид (подробнее см. статью В. Н. Ораевского из этого тома):
г
Q » C/2) ft» V
2
D'
При еще большем увеличении расстройки возможен резонанс
другого типа: со^2сор, когда плазменная турбулентность возбуж-
возбуждается в результате распада электромагнитной волны накачки на
два плазменных колебания (t—>-2l). Система уравнений, описы-
описывающая плазменную турбулентность, в этом случае состоит из
уравнения для вариации плотности в низкочастотных колебаниях,
которое по-прежнему совпадает с A1), и уравнения для комплекс-
комплексной амплитуды электрического поля ленгмюровских колебаний,
которое по сравнению с A0) модифицируется следующим обра-
образом:
2 е л х: \
-^-^VdivE +
E.] =
] = 0. (92)
Последнее слагаемое в этом уравнении — источник плазменной
турбулентности, возникающей при распаде длинноволнового кван-
кванта электромагнитной накачки на два летящих в противоположные
стороны (к, —к) плазмона, волновые числа которых kr-o^ VQ'/S.
В уравнении (92) расстройка ?У=(со—2(ор)/о)р; Ео — комплексная
амплитуда электромагнитной волны накачки, считающаяся посто-
постоянной во времени, что, как уже отмечалось выше, моделирует си-
ситуацию, возникающую при непрерывном падении электромагнит-
электромагнитной волны на плазменную мишень.
155

Как следует из (92), инкремент распада /—*2/ максимален
при угле 0=45° между волновыми векторами накачки к0 и плаз-
мона к, максимальное значение инкремента
'. (93)
Накопление энергии в плазменных колебаниях в результате рас-
распада электромагнитной волны накачки в конечном счете должно
приводить к возникновению модуляционной неустойчивости. По-
Последующая динамика ленгмюровской турбулентности та же, что
и в окрестности резонанса со=<ор: коротковолновая перекачка
W/noT,WS/noT
1
Рис. 18. Зависимость W (сплош-
(сплошная линия> и Ws (пунктир) от
времени при возбуждении плаз-
плазменной турбулентности электро-
электромагнитной волной в окрестности
удвоенного плазменного резонан-
резонанса
плазмонов коллапсирующими кавернами и включение затухания
Ландау. В состоянии развитой турбулентности плазмоны испыты-
испытывают случайные скачки фазы при рассеянии на длинноволновых
флуктуациях плотности (см. § 2). Характерное время «расцепле-
«расцепления» фазовых корреляций
кор эф р
Скачки фаз плазмонов приводят к тому, что инкремент распада
i—*2/, определяющий скорость накачки энергии в плазменную
турбулентность, уменьшается до значения yWvkop- Мощность, по-
поглощаемую турбулентностью из электромагнитной волны, в этом
случае можно представить в виде
BrWvKop)
2) ?20/8я,
(94)
что соответствует следующей эффективной частоте столкновений
при о)=2@р (см. также [25]):
у'дФ^(йрТ/тс2. (94а)
Из условия энергетического баланса в длинноволновой области
у'эфЕ2о/8п^уморУР, неоднократно использовавшегося выше, имеем
простое соотношение, связывающее энергию плазменных колеба-
колебаний с амплитудой накачки:
{Nil т) !/3 (TJmc*J/3 (E20J8nnJ) 2/%7\
(95)
Динамика турбулентности показана на рис. 18, который получен в резуль-
результате численного моделирования процессов, происходящих при о)=2соР [26]. На
начальной стадии энергия плазменных колебаний, возбуждаемых за счет распа-
156

да *->2/, при постоянной амплитуде накачки
экспоненциально растет со временем. Рост
продолжается до возникновения модуляцион-
модуляционной неустойчивости и связанного с ней эффек- Oj1
тивного механизма диссипации энергии плаз-
плазменных колебаний. В конечном счете устанав-
ливается квазистационарное турбулентное со-
состояние, в котором накачка и диссипация
энергии компенсируют друг друга. Как пока-
показало численное моделирование, это квазиста-
квазистационарное состояние не зависит от начальной
стадии возникновения турбулентности, основ-
основные характеристики квазистационарной тур-
турбулентности W и v^ с вполне удовлетвори-
удовлетворительной точностью укладываются в простой
аналитический скейлинг, определяемый соотно-
соотношениями (94а) и (95) (рис. 19).
Динамика спектров турбулентности пока-
показана на рис. 20, также взятом из работы [26].
На начальной стадии электромагнитная накачка с частотой <о=2соР приводит
к возбуждению длинноволновых плазменных колебаний с krDz&ulJs. В даль-
дальнейшем в результате модуляционной неустойчивости происходит коротковолно-
коротковолновая перекачка плазмонов, и в квазистационарном состоянии в спектре ленгмю-
ровской турбулентности, кроме длинноволновой области источника, четко про-
прослеживаются инерционный интервал со степенным спектром и коротковолновая
область, в которой существенно резонансное поглощение плазмонов.
Рис. 19. Зависимость
(сплошная кривая) и уЭф
(пунктир) в стационарном со-
состоянии от амплитуды накач-
накачки:
линии — аналитические зависимо-
зависимости, определяемые формулам»
(94а) и (95); кружки и треугольни-
треугольники — результаты численного экспе-
эксперимента
/2 -
0 10 20 п 0
50
Рис. 20. Спектры ленгмю-
ровской турбулентности,,
возбуждаемые в окрестно-
окрестности резонанса яс/4:
а — распад электромагнитной
волны накачки; б — спектр ква-
квазистационарной турбулентности
Хотя приведенное выше рассмотрение относилось к случаю
строгого резонанса (о = 2<%, в действительности описанная здесь
картина турбулентности имеет место при всех со—2сор^уЭф. При
больших расстройках, так же как и в случае резонанса о)=о)р,
имеет место эстафетная перекачка по каналам слабой турбулент-
турбулентности (/—>ir-\-s или /•—>[l'-\-i) в длинноволновую область, где
включается модуляционная неустойчивость.
' 157

Частота vKOp> определяющая скорость размешивания фаз плаз-
монов, в слабой турбулентности определяется соотношением
K°P 3k2r2
и к *~*
Здесь Ws=((us/(i)p) W — энергия звуковых колебаний (W — энергия
ленгмюровских колебаний). Подставляя W из (88), получаем, что
Чкоц^(йрЕ20/8ппоТ. При хэтом эффективная частота столкновений
v'9(j)^yV1Vkop с точностью до числового множителя совпадает
с оценкой (94а). Максимальные значения расстройки со—2о)р, при
которых возможно возбуждение плазменной турбулентности элек-
электромагнитной накачкой на удвоенной плазменной частоте, опре-
определяются из условия стабилизации распада затуханием Ландау
ллазменных колебаний:
Г^ ^ v'^; 3k* 2r2D — (ш — 2(op)/(D (96)
5. ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ МОЩНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
Для иллюстрации возможного применения изложенной в пре-
предыдущих параграфах теории сильной ленгмюровской турбулентно-
турбулентности рассмотрим механизм бесстолкновительного поглощения мощ-
мощной электромагнитной волны в неоднородной плазме. Этот вопрос
в последние годы приобрел важное значение в связи с исследова-
исследованием импульсных термоядерных реакций, инициируемых лазер-
лазерным лучом в плазменной дейтерий-тритиевой мишени. Поглощение
электромагнитной волны и нагрев плазмы в основном локализо-
локализованы в окрестности так называемой критической точки, в которой
частота падающего на плазму электромагнитного излучения со-
совпадает с плазменной частотой (яс=тоJ/4яе2).
В этой области механизм диссипации энергии электромагнит-
электромагнитного излучения в плазме связан с плазменной турбулентностью,
инициируемой электромагнитной волной. Наличие в рассматри-
рассматриваемой задаче двух сильно различающихся пространственных мас-
масштабов— микроскопического масштаба плазменной турбулентно-
турбулентности 1{ порядка дебаевской длины rD и макроскопического масшта-
масштаба /2 порядка длины электромагнитной волны 2яс/со позволяет
разбить задачу на две части.
Первая часть — теория плазменной турбулентности, создавае-
создаваемой однородной в масштабе турбулентности электромагнитной
накачкой. Изложению этой теории посвящен настоящий обзор.
Вторая часть — распространение электромагнитной волны в среде
с эффективной диэлектрической проницаемостью, модифицирован-
модифицированной с учетом турбулентности, — относится уже к проблеме лазер-
лазерного термоядерного синтеза. Уравнения для макроскопического
электромагнитного поля надо решать совместно с гидродинамиче-
гидродинамическими уравнениями, описывающими разлет плазменной мишени.
158

Подход, основанный на численном интегрировании точных
уравнений для плазменной турбулентности и электромагнитного
поля, оказался весьма сложным, и до настоящего времени он реа-
реализован только в одномерной постановке для весьма узкого ин-
интервала параметров плазменной мишени и электромагнитной вол-
волны [27]. Использование концепции эффективной диэлектрической,
постоянной существенно упрощает задачу о поглощении электро-
электромагнитного излучения в турбулентной плазме, впервые эта кон-
концепция была применена в работе [28]. Покажем, как путем после-
последовательного разделения в уравнениях Максвелла двух описанных
выше масштабов можно получить исходные уравнения для макро-
макроскопического электромагнитного поля.
Вблизи критической точки параметр Q=(co—а)р)/со мал, и мож-
можно следующим образом выделить «быструю зависимость» от вре-
времени в электрической и магнитной компонентах поля:
E=(l/2)E(f, г)ехр(—Ы)+к.с; Н=A/2)Н(*, г) ехр (—Ы)+к.с.
[по сравнению с (9) здесь удобно сразу ввести частоту электро-
электромагнитного излучения со в фазовый множитель для поля].
Проводя усреднение в уравнениях Максвелла по расстояниям,,
удовлетворяющим неравенству Zi<C/<C/2, получаем следующую
систему уравнений для усредненных амплитуд поля:
rot<E> = (ico/c)<H>; rot<H>=(l/c)<(a/dO'eE>. (97)
Оператор диэлектрической проницаемости с точностью до членов
первого порядка по Q имеет вид:
top Шр dt * DV n0 X }
Здесь 6n(t9 г), как обычно, — медленные квазинейтральные вариа-
вариации плотности, создаваемые плазменной турбулентностью. Опу-
Опуская во втором из уравнений Максвелла (97) квадратичные по»
Q слагаемые, можно записать эти уравнения в виде
rot Ео= (ico/c) Ho; rot Ho=—i (со/с) еЭфЕ0, (99>
где Ео(/, г) и Но(/, г) —усредненные амплитуды электромагнитно-
электромагнитного поля и введена эффективная диэлектрическая постоянная еЭф>.
причем
= (*L + *Nl)Eo- A00>
Последнее слагаемое в правой части приведенной формулы —
вклад плазменной турбулентности в поляризуемость среды.
Мнимую часть введенной таким образом диэлектрической
постоянной можно выразить через уже известную эффективную*
частоту столкновений с помощью обычного соотношения
Im 8a(b=V9.
Величина Vэф определяет скорость диссипации энергии в турбу-
турбулентность dW/dt—1т 8эфСОр?2о/8я, и, таким образом, из соотноше-
159

ния A00) действительно следует уравнение A6) для изменения
со временем энергии плазменных колебаний в турбулентности.
Что же касается вещественной части нелинейной диэлектри-
диэлектрической постоянной, то, как показывают численные расчеты [29],
она существенно меньше мнимой. Поэтому основной вклад тур-
турбулентности в вещественную диэлектрическую постоянную связан
с деформацией макроскопической плотности плазмы под действи-
действием силы высокочастотного давления, создаваемой турбулентными
колебаниями и пропорциональной VW, т. е. с изменением первого
слагаемого в правой части уравнения A00).
Уравнения (99) и A00) являются исходными при нахождении
амплитуд электромагнитного поля, меняющихся на характерных
расстояниях масштаба ^ Они получены в предположении, что
непрерывное действие электромагнитного поля на критическую
точку и диссипация энергии, обусловленная плазменной турбу-
турбулентностью, приводят к стационарному распределению макроско-
макроскопических амплитуд электромагнитного поля Е0(г), Н,0(г) в Ъкре-
стности критической точки, как это, впрочем, имело место и в ли-
линейной теории трансформации [30].
Систему уравнений (99), A00) следует дополнить уравнениями
для плазменной турбулентности. Поскольку на расстояниях мас-
масштаба 1\ поле колебаний можно считать чисто продольным, систе-
система уравнений для плазменной турбулентности совпадает с урав-
уравнениями A0) и A1) с дополнительным условием
<Е(/, г)>=Е0(г).
Именно эти уравнения были приняты за исходные при построении
теории сильной ленгмюровской турбулентности в настоящей
статье. Знание интегральных характеристик этой турбулентности
позволяет восстановить еэф как функцию Е®.
Решением нелинейной системы уравнений (99) с известной еЭф
можно найти распределение усредненных амплитуд электромаг-
электромагнитного поля вблизи критической точки.
Как уже отмечалось выше, систему уравнений (99) и A00)
надо решать совместно с гидродинамическими уравнениями для
разлетающейся плазменной мишени. Детальный анализ этих урав-
уравнений выходит за рамки настоящего обзора. Все же с иллюстра-
иллюстративной целью рассмотрим решение простейшей задачи о нормаль-
нормальном падении электромагнитной волны на мишень. Пусть на сфе-
сферическую мишень /2,o=fto(г) падает электромагнитная волна, кото-
которая распространяется по радиусу: ?0=?0(г), Д0=#о(г).
В линейной теории электромагнитная волна при нормальном падении пол-
полностью отражается от критической точки, какая-либо диссипация в пренебреже-
пренебрежении парными столкновениями отсутствует. В нелинейной теории диссипация свя-
связана с возбуждением плазменной турбулентности.
Уравнение для амплитуды макроскопического электрического поля ?0= ?ф
имеет вид:
e^Eo = 0. A01)
160

Гидродинамическая система уравнений для плазменной мишени состоит из урав-
уравнения непрерывности
/=tt0ur2=const A02)
и уравнения движения, которое с учетом A02) записывается следующим
образом:
dv
А.
dr
2Т
г
A03)
Первые два слагаемых в правой части уравнения A03) соответствуют учету, вы-
высокочастотного давления электромагнитной волны и плазменной турбулентности,
последнее слагаемое связано со сферической геометрией мишени.
Эффективная диэлектрическая постоянная определяется соотношением A00).
В соответствии со сделанным выше замечанием будем учитывать только мнимую
часть нелинейного вклада в диэлектрическую постоянную, т. е. v3<j>.
Рассмотрим изотермическую плазму Те=*Т{. При малых расстройках Q=
= (ш—<iDp)i/сор^Уэф/сор зависимость W и va$ от амплитуды накачки EQ опреде-
определяется формулами E3) и E5). При больших расстройках реализуется режим
слабой турбулентности, и для W и vЭф имеем соответственно формулы
(89) и (87) или (90). Наконец, предельные значения расстойки, при которых вы-
выключается механизм возбуждения турбулентности и №=va<j>=:0, определяются
формулой (91).
Система A01)—A03) с известной еЭф полностью определяет распростране-
распространение и поглощение электромагнитной волны при нормальном ее падении. Остано-
Остановимся на результатах решения этой системы уравнений. В пренебрежении дисси-
диссипацией, обусловленной турбулентностью, эта система уравнений исследовалась
в [31]. Учет диссипации проведен .в {29]
Уравнение A03) легко интегрируется:
Mv* T v1 Mv\ 1
1^
Результаты трафияеекого решения этого уравнения показаны на рис. 21. На
нем приведена зависимость левой части уравнения A03а) от скорости плазмы
vt минимум соответствует движению плазмы со звуковой скоростью 0 = КГ/7Й.
Уравнение A03а) имеет два решения. Если пренебречь высокочастотным давле-
давлением, то в первом из этих решений движение плазмы остается все время дозву-
дозвуковым, и плазменный поток тормозится на пе-
периферии, во втором движение все время сверх-
сверхзвуковое с ускорением на периферии. Физиче-
Физический смысл имеет решение, в котором движение
на периферии плазменной мишени происходит
со сверхзвуковой скоростью (волна разреже-
разрежения).
При учете высокочастотного давления
становится возможным переход от дозвукового
движения плазмы к сверхзвуковому. Условие
такого перехода:
+4 In (и/го)—11+ПсМи\
A04)
Н—3283
Рис. 21: Графическое решение
уравнения A03а);
стрелка показывает изменение пра-
правой части уравнения A03а) при
росте г
161

где гс — критический радиус мишени; п(гс)=пс. При больших амплитудах элек-
электромагнитной волны возникают скачки в распределении плотности (аналог удар-
ударных волн при движении газа в сопле Лаваля).
В том случае, когда мощность в электромагнитной волне меньше определяе-
определяемой условием A04), движение плазмы остается все время сверхзвуковым. Учет
высокочастотного давления приводит к торможению плазмы в окрестности кри-
критической точки и как следствие к более пологому распределению плотности по
сравнению со случаем, когда высокочастотным давлением можно пренебречь. Тем
самым создаются наиболее благоприятные условия для развития плазменной тур-
турбулентности.
7
OJ -
0,1 -
п/пс
1,0
0,8 -
/
I
.!
f ,
1 I 1
W 15 16
II 13
15
Г/Л
72 /5
Рис. 22. Распределение амплитуды поля и плотности в плазменной мишени,
облучаемой неодимовым лазером, при гс — ЮХ:
а —малые мощности лазерного излучения, когда в падающей волне ?О2/16ЛЛОГ=1О-3; б—
Ео2/1&ЛПоТ—З* Ю~2
Конечно, при этом должен быть превзойден порог модуляционной неустой-
неустойчивости F)! Используя для оценок решение уравнения A01) в ВКБ-прибли-
жении
(Ео — амплитуда электрического поля в падающей волне; Ar-^l/k — размер обла-
области плазменного резонанса), получаем, что порог модуляционной неустойчивости
в окрестности критической точки весьма низок:
(ЪТ/тпс2) с/юге.
A05)
На рис. 22 и 23 показаны самосогласованные распределения поля и плотно-
плотности плазменной мишени, полученные численным интегрированием уравнений
A01) — A03) с известными W и v»<j>. Мощности излучения в падающей волне
^выбирались существенно превосходящими порог A05):
2 • 1О-3<?2о/8шгоГ <6 * 10,
162

0,6 -
G,5 -
0,6
¦¦).
!,
36
38 40
Г/А
0,6 -
42 г/А
Рис. 23. To же, что и на рис. 22 для
что для неодимового лазера и температуры плазмы Г=1 кэВ соответствует
мощности лазерного луча, изменяющейся в следующем интервале:
6-Ю12 Вт/см2<Р<2-1014 Вт/см2.
Рис. 22 соответствует случаю более крутого, рис. 23 — более пологого (гс=
=30А,) распределения плотности.
Учет силы давления плазменных колебаний приводит к более пологому
распределению плотности плазмы и к расширению области плазменного резонан-
резонанса. Область резонанса, где происходит возбуждение плазменной турбулентности
(уЭф=5^0), выделена на рис. 22 и 23 пунктирными линиями. Размер этой области
B—6)Я, или для рассматриваемых параметров плазменной мишени D00—
1200) Гю, так что плазменную турбулентность действительно можно считать ква-
квазиоднородной. Турбулентность создает эффективный механизм диссипации энер-
энергии электромагнитной волны в окрестности критической точки. Коэффициент по-
поглощения достаточно слабо зависит от мощности и изменяется в пределах
80—90 %. Следует также иметь в виду, что в плазменной мишени возможна еще
одна область эффективной диссипации — окрестность точки лс/4, где частота
электромагнитной волны со близка к удвоенной плазменной частоте 2сор и воз-
возбуждение плазменной турбулентности связано с распадом кванта электромагнит-
электромагнитной накачки на два плазмона. Эффективная частота столкновений для этого
механизма и размер соответствующей резонансной области были вычислены
в конце предыдущего параграфа. Используя полученные там результаты, не-
нетрудно оценить коэффициент поглощения электромагнитной волны в окрестности
резонанса ео^2сор:
х ^ (<орге/с) k*2 r2DT/mc*, A06)
причем k* определяется из уравнения Tk*zzzcopT/mc2.
В определенных условиях (плавные градиенты, нагретая плазма) поглоще-
поглощение в области со^2<йр также может стать существенным.
П* 163

const
6. КОЛЛАПС И ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
6.1. Ленгмюровские колебания. Построение теории сильной
плазменной турбулентности в магнитном поле—задача значитель-
значительно более сложная, чем для изотропной плазмы. Прежде всего
плазменная турбулентность в магнитном по-
поле существенно анизотропна. Кроме того,
магнитное поле, изменяя дисперсию коле-
колебаний, приводит к появлению большого чис-
числа новых ветвей колебаний, и далеко не
всегда можно рассматривать турбулент-
турбулентность какой-либо изолированной ветви.
Не будем рассматривать здесь общую
теорию плазменной турбулентности в маг-
. ^ ,. нитном поле и ограничимся решением суще-
"V у ственно более простой задачи. Исследуем
KJyl две наиболее важные ветви колебаний
плазмы в магнитном поле — электронные
плазменные колебания и колебания на ча-
частотах, близких к так называемому нижне-,
гибридному резонансу. Для каждой изэтих:
ветвей имеет место коллапс, аналогичный
описанному выше ленгмюровскому коллап-
коллапсу в изотропной плазме. Ниже изложены
теория коллапса для обеих ветвей и осно-
основанная на этом явлении качественная кар-
картина турбулентности.
Начнем с рассмотрения ленгмюровских колебаний. Закон дис-
дисперсии этих колебаний имеет вид:
Рис. 24. Форма ленгмю-
ровской каверны, обра-
образующейся в результате
развития модуляционной
неустойчивости в доста-
достаточно сильном магнит-
магнитном поле
где к. —составляющая волнового вектора в плоскости, перпен-
перпендикулярной магнитному полю; <он=еН/тс — циклотронная часто-
частота электронов. Приведенный закон дисперсии соответствует росту
обеих компонент волнового вектора (fe||f k^) в областях пони-
пониженной плотности плазмы и, следовательно, образованию в этих
областях потенциальных ям, в которых локализуются плазмоны.
Влияние магнитного поля на модуляционную неустойчивость,
описывающую процесс локализации, становится существенным при
выполнении условия
<о2н/<о2
A07)
т. е. в уже достаточно слабых полях. Так же как и в изотропном
случае, модуляционная неустойчивость приводит к образованию
каверн. В магнитном поле, напряженность которого существенно
превышает напряженность, определяемую условием A07), кавер-
каверны имеют форму «блинов», сплюснутых в направлении поля (рис.
164-

24). Продольный размер каверн не зависит от напряженности
магнитного поля:
в то время как поперечный размер пропорционален напряженно-
напряженности поля:
1\Ьп\. A09)
Из AQ9) следует, что в процессе коллапсирования„ и роста
|6л| восстанавливается симметричная форма каверны, и как толь-
только амплитуда вариации плотности возрастает до величины
\Ьп\1щ^чо2н/со2Р, магнитное поле перестает влиять на коллапс.
При построении количественной теории будем, следуя J22],
исходить из следующей системы уравнений для комплексной ам-
амплитуды потенциала электрического поля ср(Е=—Уф) и вариации
плотности 6п:
4 ) -5т v=¦?•div
д'Ьп/dt2 - (TJM) Д6/г = A/16тгМ) A |v<p|2.
Так же как уравнение изотропной ленгмюровской турбулентности,
система уравнений (ПО) имеет интегралы /о, /г, соответствующие
сохранению числа плазмонов и энергии волн, отсчитанной от
уровня /0.
В рассматриваемом случае сор^сон интеграл /о остается таким
же, как в изотропной плазме, интеграл h отличается, добавлением
положительного слагаемого (<о2н/2(о2р) |VjJ>|2> возникающего
в результате изменения дисперсии ленгмюровских волн в магнит-
магнитном поле.
Дисперсионное уравнение модуляционной неустойчивости мо-
монохроматической ленгмюровской волны, получаемое из системы
уравнений A10), отличается от соответствующего „уравнения в от-
отсутствие магнитного поля B1) лишь тем, что в расстройках Ь±
появляются новые слагаемые, связанные с изменением закона
дисперсии плазменных волн в магнитном поле:
Характерные значения инкремента неустойчивости и продольного
волнового числа возбуждаемых плазмонов те же, что и в отсутст-
отсутствие поля:
однако магнитное поле приводит к тому,, что неустойчивость раз-
развивается в достаточно узком интервале углов относительно на-
направления волны накачки;
Да ^ (<op/<V) V\Q
165

С последним обстоятельством фактически связана блинообразная
форма каверн, образующихся в результате модуляционной неус-
неустойчивости волны накачки, параллельной магнитному полю.
Строгого доказательства коллапса как нелинейной стадии мо-
модуляционной неустойчивости в магнитном поле не существует. Од-
Однако численными методами в [32] показано, что начальная лока-
локализация электрического поля, для которой выполнено условие
h<0, с течением времени превращается в каверну, коллапсирую-
щую со сверхзвуковой скоростью (рис. 25). Заключительная ста-
Рис. 25. Линии уровней электрического поля в дипольной ка-
каверне при оJяе/(й2ре=1/60 в различные моменты времени.
дия коллапса описывается полученным в [22] автомодельным ре-
решением уравнений A10):
1
¦»
ч
A11)
Решение A11) соответствует каверне, непрерывно теряющей
плаамоны при коллапсе: ,/о^ YU—t. Начальные размеры кавер-
каверны, возникающей на фоне ленгмюровской турбулентности с уров-
уровнем энергии W, определяются формулами A08) и A09) с 8п/п0^
—W/fioT; в дальнейшем при коллапсе поперечный размер умень-
уменьшается быстрее продольного и к моменту времени t0—///0<—-
— (ЩпоТ)(й2р/(д2н восстанавливается симметричная форма кавер-
каверны. Последующие стадии коллапса описываются автомодельным
решением C9), полученным в отсутствие магнитного поля и соот-
соответствующим коллапсу с постоянным числом плазмонов. Доля
плазмонов, остающихся в каверне к этому времени, порядка
Следует иметь в виду, что исходная система уравнений A10) в дозвуковом
режиме, когда применима формула C5) для 6я, имеет также решение в виде
трехмерных стационарных солитонов, впервые полученных в [33]. Так же как и
в отсутствие магнитного поля, дозвуковой режим dz/dt<V Те/М соответствует
166

достаточно малым значениям W/n0T<mfM. Автомодельное решение A11) реа-
реализуется в обратном случае W/nQT^m/M, когда начальная скорость коллапса
больше скорости звука либо сравнима с ней. Коллапсируя в дальнейшем с на-
растающей скоростью dzfdt^l/V to-t.каверна уже никогда не сможет перей-
перейти в стационарный солитон, и коллапс будет продолжаться вплоть до достиже-
достижения каверной размеров, сравнимых с масштабами области поглощения.
Ниже,, основываясь на изложенных результатах, проведен ка-
качественный анализ .сильной ленгмюровской турбулентности в диа-
диапазоне магнитных полей
представляющем интерес для ряда приложений, например для ис-
исследований ионосферной плазмы. В области источника спектр
плазмонов существенно анизотропен: ?^A/гя)]/1#7/г0Т, &^~
^(lAi)) (сор/сол) ^//гоГ. Скорость диссипации энергии накачки
в длинноволновой области источника определяется^ как в изотроп-
изотропном случае, частотой рассеяния плазмонов на длинноволновых
флуктуациях плотности
[ср. с D3)]. Подставляя l^^ l/kl{, fj^l/^x и ИСПОЛЬЗУЯ соотно-
соотношения D5) и E1), получаем для vЭф:пpeжний результат E3).
Зарождение каверн в длинноволновой области происходит
с характерным инкрементом модуляционной неустойчивости D7).
Последующая коротковолновая перекачка плазмонов, как обычно,
обусловлена коллапсом каверн, описываемым автомодельным ре-
решением A11). Возможность применения этого решения, получен-
полученного в отсутствие накачки, связана с тем, что волна накачки «от-
«отключается» от каверны в процессе коллапса.
Действительно, изменение числа плазмонов в каверне за счет
накачки по-прежнему определяется формулой A6). С помощью
этой формулы и решения A11) можно показать, что изменение
числа плазмонов в каверне под действием накачки имеет порядок
\ dt \ Ьп Edrr^fa—/K/2, т. е. пренебрежимо мало к моменту кол-
коллапса t^&t0.
При коллапсе по закону A11) каверна теряет плазмоны, одна-
однако, как следует из решения A11), плотность энергии электриче-
электрического поля в плазмонах, покинувших каверну, оказывается выше
пороговой:
E2/24nnT>k\r2D.
В результате сброшенные плазмоны образуют новую каверну
с меньшими масштабами заключенных в ней высокочастотных
пульсаций, коллапсирующую по тому же закону. Это дает осно-
основание ввести, как и в изотропном случае, инерционный интервал
в спектральном распределении плазмонов с постоянным потоком
энергии плазменных колебаний.
167

Соответствующее уравнение непрерывности для плотности
длазмонов N(k±, kz) запишется в виде
(d/dk2) (NVJkJ + (l/k±) 0ldkx) (Nk\) = О, A12)
где подставлены скорости спектральной перекачки dkjdt, dk./dt
из A11); km—"(I/td)сон/op — волновое число, при котором скоро-
скорости перекачки по обоим.измерениям сравниваются. Решение урав-
уравнения A12) определяет спектр плазмонов в инерционном интер-
интервале:
kz)dkLdkz
dkLdkz
(ИЗ)
где ?=B&22—k^k^jtfzk^, конкретный вид функции определяется
сшивкой решения A13) с областью источника. Характеристики
уравнения A12) ?=const приведены на рис. 26. В длинноволновой
области источника спектр плазмонов существенно анизотропен,
€ ростом k происходит разворот спектра по k. и, наконец, при
kz^km спектр становится изотропным, а магнитное поле перестает
влиять на турбулентность.
Рис. 26. Характеристики урав-
уравнения непрерывности плотно-
плотности плазмонов g=const
Рис. 27. Примерные линии
уровня электрического поля в
каверне, образующейся в ре-
результате модуляционной не-
неустойчивости нижнегибридных
колебаний
6.2. Колебания и волны в окрестности нижнегибридного резо-
резонанса. Рассмотрим прежде всего электростатические колебания
плазмы на частоте так называемого нижнегибридного резонанса.
Эти колебания происходят под углом в==5^/2 к магнитному полю
(k± *>kz), их закон дисперсии имеет вид:
со=соы1 [l+№2+(M/m)k*Jk*]. A14)
В этой формуле vLH = a>PilV~l +<0%e/(DVe ~~ нижнегибридная часто-
частота; R — параметр длины, определяющий дисперсию колебаний:
У Зу-
r^,
сильное поле,
Уз
гНе,
плотная плазма,
168

где Гве=*>те1@ре\ гНе=®Те1(*>не — соответственно дебаевский и лар-
моровский радиусы электронов.
Так же как и в случае ленгмюровских колебаний в магнитном
поле, для рассматриваемой ветви колебаний имеют место явления
модуляционной неустойчивости и коллапса. В местах, где высоко-
высокочастотное поле приводит к вытеснению плазмы, растут компонен-
компоненты волнового вектора и образуется потенциальная яма для ллаз-
монгов, в конечном счете приводящая к образованию коллапсиру-
ющей каверны. При этом в отличие от ленгмюровских колебаний
в магнитном поле каверны сильно вытянуты вдоль поля {kz<k2± X
X RVmfAL рис. 27).
Модуляционная неустойчивость и коллапс на частоте нижне-
нижнегибридного резонанса описываются следующей системой уравне-
уравнений для комплексной амплитуды потенциала и амплитуды медлен-
медленных вариаций плотности [34, 35]:
Уравнение для высокочастотного поля получается по аналогии
с линейной теорией нижнегибридной моды, однако при его выво-
выводе учитывается нелинейность, связанная с медленной модуляцией
плотности. При наличии такой модуляции дрейф замагниченных
электронов со скоростью Vd=c [ЕН]/#2, удовлетворяющей усло-
условию diWxF^O, приводит к возмущению электронной плотности
дпе-/д1—vDVn, что и учтено в правой части уравнения A15).
Уравнение для медленных модуляций плотности A16) полу-
получено в предположении о том, что характерный инкремент модуля-
модуляции y<^kzvTe- Для электронов в этих условиях устанавливается
баланс сил, действующих вдоль магнитного поля. Нелинейность
связана с силой — m< (veV)i^2>, где угловые скобки, как обычно,
соответствуют усреднению по быстрому времени и так же, как
в A15), существен дрейф электронов.
Случай колебаний, одномерных в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю, является вырожденным* так4 как при' этом не-
нелинейность возникает только при учете дрейфа электронов в на-
направлении электрического поля, т. е. в следующем порядке по па-
параметру о)/соне, и соответственно этому нелинейность в каждом из
уравнений (Н5) и A16) оказывается в VЩт раз меньше.
Детальный анализ модуляционной неустойчивости нижнегиб-
нижнегибридных колебаний проведен в [34, 35]. Приведем основные ре-
результаты этого анализа. Условие возникновения неустойчивости
имеет вид:
У[ He№pe, A17)
169

где WLH — энергия нижнегибридных колебаний; k — характерное
значение их волнового числа. По сравнению со случаем ленгмю-
ровских колебаний существенно наличие малого параметра т/М
в правой части условия A17). Характерное значение инкремента
неустойчивости
уьн^соьн (М/т) (WLH/n0T) со 2Р0/со2н*. A18)
Эффективная частота столкновений хЭфУ определяющая ско-
скорость диссипации энергии в турбулентность, вычисляется по той
же схеме, что и для ленгмюровских колебаний [см. вывод D5) и
E3)]. В результате получим, что для нижнегибридных колебаний
Увф=у ьн [см. A18)], а из условия баланса E4) имеем в этом
случае WLH^E20/8n.
Модуляционная неустойчивость приводит к локализации энер-
пщ колебаний в кавернах с размерами
LH
Последующий коллапс каверн описывается автомодельным реше-
решением, найденным в [35]:
=
Коллапс происходит с потерей нижнегибридных плазмонов от-
отдельной каверной по закону f|?|2<ir—10—t, однако поскольку
сброшенные плазмоны, как легко видеть, удовлетворяют условию
модуляционной неустойчивости, они локализуются в новых кавер-
кавернах и перекачиваются в процессе коллапса каверн до размеров
порядка масштабов области поглощения.
Вследствие замагниченности электронов условие резонансного
поглощения на электронах (о^аЛгите (а^З-*-4—числовой коэффи-
коэффициент, появление которого связано с тем, что поглощение обуслов-
обусловлено «хвостовыми» электронами) может оказаться более жестким
по сравнению с условием резонансного поглощения ионами со^
н. Действительно, из автомодельного решения A20) имеем
и поскольку параметр kR<\ по крайней мере в плазме с горячими
ионами (Т{>Те), поглощение нижнегибридных колебаний проис-
происходит в основном на иоаах и приводит к образованию хвоста на
ионной функции распределения.
С проблемой коллапса нижнегибридных колебаний тесно свя-
связан вопрос о механизмах диссипации энергии магнитозвуковых
волн. Частота этих волн несколько меньше нижнегибридной, за-
закон дисперсии определяется из уравнения
170
2 (M/m) k\c* [k*c*/ (k*c* + toy) ]
LH k42+ (M/m) u*pe («•1Я/а>«л)

Особенность этого закона дисперсии связана с тем, что хотя
частота квантов поля растет в местах их локализации и поэтому
возможно развитие модуляционной неустойчивости, однако макси-
максимальная вариация плотности и соответственно максимальная ам-
амплитуда поля при коллапсе (к—*<*>) области локализации огра-
ограничены условием
18п | < (соьн—co/t) /даьн/дп.
Коллапс в этом случае невозможен, а коротковолновая перекачка
энергии магнитозвуковых волн связана только с модуляционной
неустойчивостью. Колебания перекачиваются в область малых
длин волн лг
tekiJRV2* A23)
где рассматриваемая ветвь магнитозвуковых волн сшивается
с ветвью нижнегибридных колебаний (рис. 28) и становится су-
существенной диссипация, обуслов-
обусловленная коллапсом этих колеба-
колебаний. Именно такая схема турбу-
турбулентности магнитозвуковых волн
была предложена и исследована
в [36]. Изложим основные ре-
результаты этой работы.
При получении исходной си-
системы уравнений можно считать,
что ДЛЯ магнитозвуковых ВОЛН Рис. 28. Дисперсионная кривая маг-
выполнено условие fe»(ope. Tor- нитозвуковых волн в окрестности
да ЭТИ ВОЛНЫ близки К электро- нижнегибридного резонанса
статическим (вихревая компонен-
компонента электрического поля пренебрежимо мала), и для поперечных
компонент электрического поля в волне можно ввести потенциал
— у, ф. Система уравнений, описывающих магнитозвуковую тур-
турбулентность, отличается в этом приближении от A15) и A16)
только тем, что в левой части уравнения для ф появляется новое
слагаемое:
— (М/т) (аJрв/оJяе) (<о2ья/с2)ф,
аписывающее дисперсию магнитозвуковых волн (в©'-' — кг2).
Как уже отмечалось выше, коротковолновая перекачка энер-
энергии, поглощаемой от волны накачки с частотой, меньшей нижне-
нижнегибридного резонанса, осуществляется только за счет модуляци-
модуляционной неустойчивости. Дисперсионное уравнение, описывающее
модуляционную неустойчивость накачки с частотой a>q, волновым
вектором q и амплитудой EQ> получается по стандартной схеме
линейной теории и имеет вид:
?20 [kq]22 1/1 1
(уравнение для возмущений с ifez=0 в области Волковых чисел
kk).
171

Рассмотрим случай, когда амплитуды накачки удовлетворяют
условиям
A25)
Первое из этих условий соответствует применимости приближе-
приближения сильной турбулентности к рассматриваемой задаче, второе
означает, что за счет модуляционной неустойчивости в первую
очередь должна происходить изотропизация спектра в плоскости,
перпендикулярной магнитному полю, а перекачка энергии по мо-
модулю волнового числа должна иметь место в достаточно узком
интервале частот вблизи частоты накачки Д0=|«>к , — со I. В этом
случае область нижнегибридного резонанса может достигаться
только в результате многоступенчатой эстафетной перекачки.
Так же как для ленгмюровской турбулентности [см. вывод
уравнения D6)], уравнение для эстафетной перекачки в магнито-
звуковой турбулентности получается в предположении о случай-
случайных фазах волн, причем механизм размешивания фаз по-прежне-
по-прежнему состоит в рассеянии на, флуктуациях, созданных медленными
движениями плазмы. Стационарный спектр магнитозвуковых волн,
устанавливающийся в результате эстафетной перекачки, опреде-
определяется в этом случае из интегрального уравнения
Как и в дисперсионном уравнении A24), здесь рассматриваются
возмущения с k<kbH, kz—0 и область частот, отстоящая доста-
достаточно далеко от накачки, когда вкладом последней в уравнение
A26) можно пренебречь; Ф — угол между векторами к и к7.
В предположении об изотропии спектра в плоскости, перпендику-
ляр.ной магнитному полю, решение уравнения A26) имеет вид:
l^kjjl4™*7 ** 7^- ln~x (k±cl*>Pe) A27)
и соответствует приблизительно (с логарифмической точностью)
равномерному распределению энергии магнитозвуковых волн по
частотам, когда на интервал частот До (шаг эстафетной перекач-
перекачки) приходится энергия ?20/8я. Полная энергия магнитозвуковых
волн в таком спектре
kLH
W
= Г dkk 1Ч1-ъ±-п.Т2г а*™ - A28)
Приведенное решение соответствует постоянному потоку энер-
ши в сторону больших волновых чисел /==умод?2о/8я (умод — ин-
инкремент эстафетной перекачки за счет модуляционной неустойчи-
172

вости). Такой поток соответствует эффективной частоте столкно-
столкновений
гЭф^умод^оСв. A29)
Поток энергии достигает области нижнегибридного резонанса, где
диссипируется в результате коллапса. Энергию колебаний в этой
области можно оценить из условия постоянства потока энергии по
спектру I=v^WL^9 где тэф^уы* — эффективная частота столкног
вений в области нижнегибридного резонанса [см. A18)]. Итак,
имеем:
WiH^ftoT (т/М) @) W(D2pe) <2e(Ds/0)LH) 1/2. A30)
Из сравнения этой формулы со A28) следует, что основной энер-
госодержащей областью является длинноволновая область магни-
тозвуковой турбулентности.
Одно из возможных применений изложенных здесь результа-
результатов— теория бесстолкновительных .ударных волн, распространя-
распространяющихся поперек магнитного поля [1]. Коротковолновая перекдч-
ка по спектру, обусловленная модуляционной неустойчивостью, й
последующее поглощение на частицах создают эффективный ме-
механизм диссипации энергии нелинейной магнитозвуковой волны:
Порог возникновения этого механизма существенно ниже, чем для
токовых неустойчивостей на фронте волны. Структура образую-
образующейся лри этом ударной волны определяется соответствующими
формулами, приведенными в статье Р. 3. Сагдеева (см. [1]),
с заменой частоты парных столкновений v величиной гЭф [см.
A29)].
В заключение отметим, что экспериментальное наблюдение
ленгмюровского коллапса стало возможным только благодаря
существованию макроскопических следствий этого явления.
Мы качественно рассмотрели одно из возможных следствий
коллапса — возникновение „бесстолкновительной диссипации мощ-
мощной электромагнитной волны в неоднородной плазме. Не менее
ва&ны и другие его макроскопические следствия — влияние моду-
модуляционной неустойчивости и созданного ею механизма диссипации
на релаксацию сильноточных электронных пучков в плазме и на
генерацию электромагнитного излучения такими пучками (солнеч^
ные вспышки третьего рода).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сагдеев Р. 3. — В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонто-
вича. Вып. 4. —М.: Атомиздат, 1964, с. 20.
2. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. —Успехи физ. наук, 1971, т. 103, с. 193.
3. Галеев А. А., Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. —Письма в ЖЭТФ, 1972,
т. 16, с. 194.
4. Веденов А. А., Рудаков Л.. И. —Докл. АН СССР, 1964, т. 159, с, 767.
5. Sagdeev R. Z. — Rev. Mod. Phys., 1979, vol. 51, № 1, p. 1.
6. Захаров В. E.~ Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1745.
7. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. —Журн, техн. физ., 1962, т. 32, с. -1219.
8. Аскарьян Г. А. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1962, т. 42, с, 1567.
9. Луговой В. Н., Прохоров А- М. —Успехи физ. наук, 1973, т. 111, с. 203.
173

10. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Сигов Ю. С, Шапиро В. Д., Шевчен-
Шевченко В. И. — Физика плазмы, 1975, т. 1, с. 10.
И. Галеев А. А., Сагдеев ОР. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Журн.
эксперим. и теорет. физ., 1977, т. 73, с. 1352.
12. Рудаков Л. И. —Докл. АН СССР, 1972, т. 207, с. 821.
13. Басе Ф. Т., Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д. — Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1965, т. 49, с. 329.
14 Галеев А А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Письма
в ЖЭТФ, 1976, т.* 24, с. 25.
15. Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Физика плазмы, 1980,
'l6. Силин В. П. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 48, с. 1679.
17. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И. —Там же, 1975, с. 68,
с. 115.
18. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. —Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 9.
19. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И. —Физика плазмы, 1976,
т. 2, с. 438.
20. Дегтярев Л. М., Сагдеев Р. 3., Соловьев Г. И.? Шапиро В. Д., Шев-
Шевченко В. И. —Там же, 1980, т. 6, с. 485.
21. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Гостехтеориздат, 1959.
22 Красносельских В. В., Сотников В. И. — Физика плазмы, 1977, т. 3,
с. 872.
23. Pelleiter G. — Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 49, p. 782.
24. Kindel J. M., Bezzerides В., Forslund W. e. a.— In: Proc. 10th European
Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics. Contribut. papers. Vol. 1. — M.,
1981, p. F 12.
25. Рубенчик А. М. Препринт № 125 Ин-та автоматики и телеметрии СО
АН СССР. Новосибирск, 1980.
26. Соловьев Г. И., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И., Юсу-
Юсупов И. У. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1982, т. 82, с. 125.
27. Андреев Н. Е., Силин В. П. —Физика плазмы, 1978, т. 4, с. 908.
28. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Успехи
физ. наук, 1975, т. 116, с. 546.
29. Дегтярев Л. М., Сагдеев ,Р. 3., Соловьев Г. И., Шапиро В. Д., Шев-
Шевченко В. И. Препринт ИКИ Пр-768. М., 1983.
30. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме.—
М.: Физматгиз, 1960.
31. Mulser P., Van Kessel С —Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 902.
32. Липатов А. С.— Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 26, с. 516.
33. Петвиашвили В. И. — Физика плазмы, 1976, т. 2, с. 450.
34. Мушер С. Л., Стурман Б. И. —Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 537.
35. Сотников В. И., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. —Физика плазмы, 1978„
т. 4, с. 450.
36. Сагдеев Р. 3., Сотников В. И., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Письма
в ЖЭТФ, 1977, с. 26, с. 747.
ПЕРЕНОРМИРОВКИ В ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ*
ДЖОН А. КРОММЕС
ВВЕДЕНИЕ
При подготовке данного обзора по применению перенормиро-
перенормировок в физике плазмы я столкнулся с двумя довольно неприятными
фактами. Хотя общая теория перенормировок, видимо, достаточно
* Пер. с англ. А. С. Волокитина.

обоснована (несмотря на то, что не решены отдельные важные и
трудные вопросы), случаи успешного (т. е. получившие призна-
признание) применения общего формализма на практике удивительно
редки, если вообще есть. Конечно, начиная с первых дней квази-
квазилинейной теории, многократно производились вычисления, вклю-
включающие некоторые аспекты перенормировок и имеющие приклад-
прикладную направленность. Каждое из этих вычислений добавляло к
нашему пониманию стохастичности и турбулентности в плазме.
Но, к сожалению, пока обоснованность большинства первых рас-
расчетов была неясна или сомнительна, у научной общественности в
делом возникло предубеждение к любым статистическим вычисле-
вычислениям, которые пытаются выйти за рамки регулярной теории воз-
возмущений. В некоторых случаях скептицизм поднимался до догмы:
«Теория перенормировок в плазменной турбулентности не может
ничего предложить практику относительно законов подобия и про-
процессов переноса в реальных устройствах».
Прежде чем попытаться исправить это впечатление, позвольте
мне упомянуть второй неприятный момент, который не связан с
первым. Внимательное изучение основных работ по перенормиров-
перенормировке и турбулентности в физике плазмы показывает их недостаточ-
недостаточный контакт (замечательный в историческом плане) с идеями и
методами других областей, особенно динамики жидкости. (Я не
собираюсь утверждать, что одни только специалисты по физике
плазмы несут ответственность за этот недостаток.) Есть, конечно,
некоторое оправдание: до тех пор, пока плазма рассматривается
как система слабовзаимодействующих волн и частиц, а простая
жидкость Навье — Стокса как система сильновзаимодействующих
быстро распадающихся вихрей, математический и физический ана-
анализ этих двух систем будет представляться совершенно различ-
различным. Однако перенормировка в физике плазмы требуется главным
образом для описания неволновых явлений: низкочастотных гид-
гидродинамических возбуждений (конвективных ячеек), грануляции
в фазовом пространстве (образование кластеров) и т. д. Для этих
явлений различие физической природы и математического анали-
анализа между плазмой и жидкостью в значительной мере стирается.
Тем не менее взаимный обмен идеями между этими областями
был слабее, чем следует. Так, возможно, одним из наиболее важ-
важных приближений в классической нелинейной физике является
приближение прямого взаимодействия (ППВ). Впервые оно бы-
было введено для жидкостей в 1958 г., для общих систем с квадра-
квадратичной нелинейностью — в 1961 г. и специально для бесстолкнови-
тельной плазмы —в 1967 г. Несмотря на это, оно, по-видимому,
почти иолностью игнорировалось большинством теоретиков плаз-
плазмы до тех пор, пока совсем недавно, в 1976 г. автор, так же как
и другие, не оценили возникающую благодаря ППВ эффективную
унификацию и общность многих разнообразных теорий. По-види-
По-видимому, только сейчас к ППВ обращено наконец-то должное вни-
внимание, Другие стандартные методы динамики жидкости, критиче-
критически* явлений и других областей современной физики также сле-
175

дует проверить относительно возможности их применения в физи-
физике плазмы. Можно надеяться, что тенденция к унификации сохра-
сохранится и в дальнейшем. Любой другой путь был бы плачевным в
научном плане и в итоге, вероятно, вредным для нормального,
развития исследований по управляемому термоядерному синтезу^
астрофизики и других дисциплин, в которых важны основы физи-"
ки плазмы. '*
Позвольте мне вернуться к проблеме достоверности теорий.
По моему мнению, хотя многое из раннего скептицизма было-
оправдано, в последние годы резко усилились наша способность
делать разумные приближения, а также наше понимание общей
структуры и смысла перенормированных теорий. Например, ППВ
или другие, родственные ему, дают обоснованную точку отсчета
для многих практических приложений. Правда, ППВ и подобные
процедуры, замыкания достаточно сложны, и могут потребоваться
дальнейшие приближения. Однако они дают по крайней мере
подходящую основу. Смогут или нет простые эвристические и раз-
мерностные рассуждения дать соответствующие законы подобия
в частных прикладных задачах, наше новое понимание структуры
теории в итоге явится (я утверждаю). тем, что убедит нас в пра-
правильности этих законов. В любом случае только последователыт
выведенные уравнения дают возможность получать точные числа.
Этот момент нельзя игнорировать, учитывая очень значительные
усилия, которые были сделаны для точного определения порогов,
линейной устойчивости.
Позвольте мне привести здесь несколько слов о самой статье.
Вследствие жесткого ограничения объема статьи я не пытался
развивать какой-либо вопрос со всей полнотой. История вопроса
дается вкратце, представлены- как методы, так и попытки практи-
практических вычислений. Тем не менее историческое развитие было су-
существенно для настоящего состояния теории; я прошу понимания
и лрощения у тех многих авторов, кто не- был мною упомянут.
Статья содержит мало нового материала и предназначена для
неспециалиста. По замыслу уровень трудности колеблется значив
тельно (хотя, надеюсь, не чрезмерно). В статье подчеркиваются
скорее основы методов и их идеи* чем приложения. Здесь специаль-
специально не выявляется связь между описываемыми методами и проб-
проблемами термоядерных исследований — области, которая, с точки
зрения турбулентности, разработана слабо и недостаточно. Далее,
несмотря на их важность, я существенно или полностью опустил
несколько широких тем, включая приближенные методы для силь-
невзаимодействующей плазмы, ленгмюровскую турбулентность,
насыщение параметрических неустойчивостей, большинство аспек-
аспектов гидродинамического равновесия и дискретность частиц. Одна--
ко ссылки на литературу по этим вопросам приведены, и если
техншса, обсуждаемая в этой статье, усвоена, то эти работы ока-
окажутся доступны.
Наконец, я хочу поблагодарить всех тех, кто содействовал или
моему пониманию физики, или подготовке данной рукописи. За
Г76

последнее я особенно благодарен Бобу Кливе, Майку Котшенрей-
теру, Герри Майнику и Филиппу Симилону, которые тщательно
прочли первый вариант рукописи и предложили много значитель-
значительных усовершенствований. Специального упоминания заслуживает
Карл Оберман* который был сначала консультантом, а затем стал
соавтором и другом; он пробудил во мне интерес к данной области
и указал на необходимость и важность твердых основ теории. Он
был для меня постоянным источником вдохновения, терпения и
настойчивости, за что я всегда буду благодарен ему.
1. ПЕРЕНОРМИРОВКА И ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
Рассмотрим задачу измерения свойств классической плазмы..
В идеальном эксперименте можно ввести точечные зонды, совер-
совершенно не возмущающие плазму. Это позволит измерить распреде-
распределение некоторой величины Q, например локального электромаг-
электромагнитного поля, плотности частиц или температуры, как функции
времени. Конечно, из-за неизбежных флуктуации, имеющихся во
всех системах, зондовые записи, вероятно, будут крайне нерегу-
нерегулярными, с мелкой или неразличимой когерентной структурой.
Пусть теперь эксперимент повторится много раз. Если экспери-
эксперимент определяется небольшим числом макроскопических парамет-
параметров (например, полным давлением, температурой стенки, током
омического нагрева и т. д.) и если зонд измеряет микроскопические4
величины, то зондовые записи каждой реализации будут совер-
совершенно различны в деталях. Тем не менее средние по ансамблю
реализаций "значения будут давать гладкую информацию, вос-
воспроизводимую, если проводится другой ансамбль идентичных мак-
макроскопических экспериментов. Может оказаться, что среднее зна-
значение <Q> равно нулю, а двухвременная корреляция C(t, /') =
=XSQ(t)SQ(t')} (где 6Q = Q—<Q>) — функция только разности
времен x=t—t' (статистическая стационарность). Очень часто
С(т) спадает до нуля с ростом т. Структура С(т) и, в частности,
скорость распада корреляций будут связаны с линейными и внут-
внутренними нелинейными свойствами плазмы и, таким образом, ве-
вероятно, окажутся полезны для диагностики. С более общей точки
зрения будем называть средние по ансамблю, подобные С, «на-
«наблюдаемыми». Эта терминология квантовой механики; здесь мы
намереваемся предложить усреднение,, с помощью .которого исклю-
исключается нежелательная в общем случае микроструктура системы и
возникает несколько производных («наблюдаемых») чисел, подоб-
подобных скорости распада корреляций или коэффициентам переноса.
Теперь можно сказать, что -теория перенормировок-*-это наука
правильного вычисления наблюдаемых. Как мы увидим, простей-
простейшая теория возмущений неудовлетворительна в этом отношений,
предсказывая наличие нефизических особенностей. Таким образом,
перенормировка как" метод оказывается действенней теории воз-
возмущений.
В последующих параграфах перенормировка используется в
ряде сложных, но: важных приложений:-сильнотурбулентная бес-
12-^3283 17?

столкновительная плазма, сильнотурбулентная жидкость типа
Навье — Стокса, стохастические магнитные поля и т. д. Здесь по-
полезно рассмотреть несколько простых примеров, в которых физи-
физические и математические проблемы, возникающие в перенорми-
перенормированной теории, могут быть разрешены точно при минимуме
сложности. Рассмотрим сначала слабозатухающий осциллятор
x±2vsgntx+(o20x=0, *@) = 1, *@)=0, A)
где v/coo<Cl (близкий, хотя и более сложный пример обсуждается
Мартином и др. [1, примечание 22]). Смещение х может физиче-
физически представлять собой амплитуду электрического поля некоторой
плазменной волны. Для решения уравнения A) удобно ввести
односторонние переменные
x+(t)=H(t)x(t); X-(t)=H(-t)x(t) B)
{где H(t) —функция Хевисайда], так что
x(t)=x+{t)+x-(t). C)
Тогда х+ удовлетворяет уравнению
D)
а его решение, которое легко получается фурье-преобразованием,
есть
х+ (t) = Н @ exp (-vO [cos (Qj) + -^ sin (Q,*)] ; E)
Q0^«-vy/2. F)
Из уравнений A) и B) следует
x-(t)=x+(-t), G)
так что находим
-v|f|)[cos(Q00 + -^-sinQe|^l]; - (8)
4v<o2o у

2 — (о20) +4v2co2 — Qo
Итак, 4сспектр» состоит из двух линий равной высоты п и ширины
v, смещенных от частоты незатухающего осциллятора на величину
v2/o)V A0)
(Обычно спектр определяется в терминах статистического средне-
среднего от интенсивности осциллятора. Это техническое различие несу-
несущественно для вводного примера.) Ширину и сдвиг линии вычис-
вычислить в регулярной теории возмущений при малых х нелегко. Дей-
Действительно, в теории возмущений первого порядка
178

появляется резонанс на невозмущенной частоте со0, так что х±
имеет особенность, хотя в первом порядке
*~A—v|f|)cos(coo*)- A2)
В общем случае в п-и порядке теории возмущений в результате
получаются первые /г+1 членов разложения Тейлора решением
(8) около v=0. Это никак не приводит к сдвигу линии и указы-
указывает на верное значение ширины только через масштаб, на кото-
котором образуется особенность. Мы говорим, что результат (8), не
имеющий особенность, перенормирован вследствие затухания v.
Если попытаться получить ответ с помощью регулярной теории,
возмущений, то, чтобы получить перенормированный результат
без особенности, придется суммировать бесконечные ряды, каж-
каждое слагаемое которых расходится. В физических задачах коэффи-
коэффициент трения v часто появляется вследствие статистических эф-
эффектов нелинейного взаимодействия с ансамблем других осцил-
осцилляторов, например нормальных мод плазмы. Главная цель этой
статьи — показать, как, обходясь без громоздкого суммирования
рядов, обращаться с этими нелинейными и в особенности случай-
случайными взаимодействиями и получать физически разумный, пере-
перенормированный результат, аналогичный (8).
Рассмотрим теперь более реальный эксперимент, в котором
зонды возмущают плазму. Например, вокруг зонда могут образо-
образовываться слои, которые физически перенормируют размер, форму
и характеристики зонда. Чтобы в этом случае интерпретировать,
показания зонда, придется понять линейные и нелинейные процес-
процессы, ведущие к перенормировке, и затем «обратить» результат.
В качестве простого примера таких процессов рассмотрим стати-
статическое дебаевское экранирование. В линейной теории распределе-
распределение потенциала вокруг статического пробного заряда
гДя)/г A3)
может быть записано в терминах «перенормированного заряда»
Q(r):
<?(r)=Q(r)/r; A4)
Q(r)=Qexp(-r/XD). A5)
В эксперименте измеряется ср(г). Определить величину Q голого
пробного заряда можно только при условии, что известны его по-
положение и соответствующий закон дебаевского экранирования.
Далее, хотя в линейном случае дебаевское экранирование хорошо
известно, оно модифицируется, если включить нелинейные эффек-
эффекты. При этом более удобно работать в фурье-пространстве. Пол-
Полный потенциал в первом порядке по величине пробного заряда
Ф*=4я$*/?2; Q* = Q/e(k, 0), A6)
где е (k, cd) — диэлектрическая проницаемость плазмы. Перенор-
Перенормированный закон для пробных зарядов получается тогда из
(перенормированной) теории низкочастотной диэлектрической
проницаемости. Мы покажем, как находить е при наличии турбу-
12*^ 179

лентности и как извлекать из этого пользу. Можно заметить так-
также, что при конечной частоте е дает главную часть нелинейного
описания нормальной волны в плазме и, таким образом, видна
связь с предыдущим примером.
Другой случай перенормировки возникает в теории низкоча-
низкочастотных, длинноволновых «гидродинамических» колебаний плаз-
плазмы, которые адекватно описываются уравнениями жидкости. При
наличии неустойчивостеи колебания легко могут дорасти до уров-
уровня, при котором энергия флуктуации контролируется нелинейными
процессами. Тогда для описания наблюдаемых и средней скорости
обмена энергией между различными масштабами турбулентности
требуется понимание того, как отдельный элемент жидкости сжи-
сжимается и растягивается всеми другими. Поскольку деформации
нелинейные и случайные и в общем случае их временные масшта-
масштабы более коротки по сравнению с временами линейной вязкости
или омической диссипации, перенормировка оказывается важной^
Турбулентные деформации жидких элементов аналогичны хао-
хаотическому движению элементов фазового пространства, описы-
описываемого полным уравнением Власова. Фундаментальным процес-
процессом здесь является стохастическая неустойчивость, ответственная
за случайные блуждания отдельных траекторий и их экспонен-
экспоненциально быстрое расхождение. Для описания этих по своей сути
нелинейных и статистических явлений существенна перенорми-
перенормировка.
Далее статья организована следующим образом. В § 2 описана
точно решаемая модель — стохастический осциллятор, на примере
которого со всеми деталями могут быть продемонстрированы мно-
многие проблемы и методы перенормировки в статической теории.
В § 3 и 4 в простых терминах обсуждается использование пере-
перенормировки в нескольких представляющих физический интерес
приложениях: диффузия, пробных частиц — в § 3, несколько гид-
гидродинамических примеров — в § 4. В § 5, следуя оригинальным ра-
работам, выводят приближение прямого взаимодействия (ППВ),
которое в некотором смысле есть самое главное приближение всех
перенормировок. Далее по всей статье, ППВ образует центральный
момент изложения. В § 6, наиболее трудном с технической точки
зрения, обсуждаются некоторые аспекты последовательных мето-
методов, развитых для построения и оправдания различных перенор-
перенормировок, включая ППВ. В § 7 рассматриваются более детально
некоторые задачи гидродинамики плазмы, включая качественное
и количественное описание каскадной перекачки энергии в инер-
инерционном интервале. В § 8 показано, как вычислять перенормиро-
ванную диэлектрическую проницаемость, затем, кратко описаны
главные особенности нескольких прикладных задач. В § 9 дано
детальное описание уравнений самосогласованных флуктуации в
турбулентной бесстолкновительной плазме, а также их насыщение.
Кроме того, здесь обсуждается концепция грануляции, в фазовом
пространстве. В § 10.коротко упоминаются различные приложения
и методы, включая задачу описания стохастических магнитных по-
180

лей. В § И содержится несколько заключительных комментариев.
В приложении А обзор теории кумулянтов, которые широко
используются по всей статье. В приложении В собраны обозначе-
обозначения фурье-преобразования и связанные с ним формулы.
2. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
2.1. Введение. В этом разделе с разумной полнотой обсуж-
обсуждается уравнение-прототип, которое включает многие особенности
и трудности любой статистической задачи, требующей перенорми-
перенормировки, но которое точно решается. Точное решение служит точкой
отсчета, с которой можно сравнивать приближенные теории. Дан-
Данная модель — один из вариантов уравнения, впервые обсуждавше-
обсуждавшегося Крейчнаном [2] и Кубо [3] (см. имеющиеся там ссылки):
0. A7)
Здесь со — стационарный центрированный гауссов стохастический
процесс, йе зависящий функционально от %р. Ансамбль начальных
условий мы задаем так, что -ф является стационарным процессом
с нулевым средним, имеющим одновременные гауссовы моменты —
в частности, <|г|)@) |2>=и20. (Таким образом, настоящая форму-
формулировка слегка, но не существенно отличается, от даваемой перво-
первоначально, в которой требовалось а|)@)=1. Наш выбор ближе к
задачам, описываемым уравнениями Власова и сходными с ними.)
Цель —найти статистическое решение уравнения A7). В общем
случае это подразумевает определение всех многовременных мо-
моментов г|з. Однако мы сосредоточимся на определении двухточеч-
двухточечной корреляционной функции C(t, t')=8ty(t)8ty*(t')=C(t—t') и
определенной ниже функции Грина R(t; ?). Важно заметить, что,
поскольку случайный коэффициент со входит в уравнение A7)
мультипликативно, статистика г|э в общем случае не является
гауссовой, а скорее нелинейно зависит от статистики со. Мы гово-
говорим, что уравнение A/) статистически нелинейно, отличая его
таким образом от задач с динамической нелинейностью, в которых
случайный коэффициент сам зависит функционально от г|). Прак-
Практическими примерами динамически нелинейных уравнений являют-
являются уравнения Навье — Стокса (см. § 4 и 7) и Власова (§ 8 и 9),
в то время как практической задачей, содержащей стохастиче-
стохастическую нелинейность, является описание переноса частиц в стоха-
стохастических магнитных полях, создаваемых заданными внешними
возмущениями (см. п. 10.1).
В п. 2.2 уравнение A7) решено точно. Однако в практических
задачах функции ш заменяется сложным интегродифференциаль-
ным оператором, и обычно общее решение невозможно получить
в обозримом виде. Вместо точного решения первым очевидным
приближением будет усреднение уравнения A7) по независимым
распределениям со и г|)@):
<ф> + 1<«Ф> 0. A8)
181

(То, что здесь <г|)> равно нулю тождественно, не уменьшает общ-
общности последующих рассуждений; подобные процедуры возможны
и с корреляционными функциями.) Мы можем разложить оба про-
процесса со и г|) на среднюю и флуктуирующую составляющие
со = <со>+б(о, г|)=<г|>>+6г|), A9)
так что
4г <*> + * <@> <*> +i <ш*> = °- B°)
По предположению <со> = 0. Однако уравнение B0) не является
замкнутым для <г|)>; наоборот, появилась неизвестная смешанная
двухточечная корреляция <6co6\|)>. Уравнение B0) фактически яв-
является первым в иерархии уравнений подобной известной цепочки
ББГКИ в физике многих тел (см. статью С. Р. Обермана,
Е. А. Вильямса в т. 1), в которой n-точечные корреляции опреде-
определяются (/г+1)-точечными. Это хорошо известная проблема замы-
замыкания. Чтобы продвинуться далее, ищут приближенное выраже-
выражение некоторой я-точечной функции через функции низшего порядка,
получая таким образом замкнутую систему связанных уравнений
для этих функций. Большинство теорий перенормировки связано с
эффективным и аккуратным использованием этой процедуры.
В дальнейшем мы будем часто использовать так называемые кумулянтные
функции (возможно, лучше известные специалистам по кинетической теории мно-
многих тел как «кластерные функции» или «непреводимые части»). Они определены
и обсуждаются в приложении А. Читателя, незнакомого с кумулянтами, отсы-
отсылаем к приложению А.
2.2. Стохастический осциллятор. Точное решение. Поскольку
обратимость во времени подразумевает, что С(—т)=С(т), то до-
достаточно вычислить С(т) для т>0. Поэтому определим односто-
одностороннюю функцию
С+(т)-Я(т)С(т). B1)
Используя уравнение A7), находим
4- С+ (,) + i <а» (х) Ц (,) Ц* @)> = 8 (*) С @). B2)
Точные начальные условия несущественны в структуре уравнения
B1). Мы избавимся от них, если определим R — стохастическую
«функцикготклика» на малые возмущения согласно
B3)
[здесь ц (t) — неслучайный источник, введенный в правую часть
уравнения A7)] и среднюю функцию отклика R
R(t; t')^(R(t; *')>• B4)
Величина Л удовлетворяет уравнению
+()()=b(*) , /35ч
и, таким образом, является функцией Грина- уравнения A7), так
182

что эволюция tp(/) от ее начального значения при ?=0 дается
согласно
¦ (*)=*(*; 0)г|)@). B6)
Тогда вследствие предположенной независимости о) от г?>@)
находим
С(т)=<?(т; 0)><ф@)ф*@)>=Я(т)С@) (т>0). B7)
Это соотношение вытекает также непосредственно из уравнения
B2), если заметить, что R — функция Грина этого уравнения.
Точное решение уравнения B5) есть [3]
5 / \ ijr / \ I ___ Г л г: (j.r\ I @$Л
L. о А
Определим ковариантную матрицу
F(ty 0=<6ю@6ю@> = ^(*--0- B9)
Тогда кумулянтное разложение (см. приложение А) или прямое
усреднение по предполагаемому для со -распределению Гаусса при-
приводит к
/?(*) = //(*) exp
= tf(t)exp
^ о о J
L n J
C0)
Примем для определенности, что
где р = <'6(о2о>1/2 и Тас (время автокорреляции) являются задан-
заданными числами. Тогда динамическое поведение задается безраз-
безразмерным параметром-—так называемым числом Кубо — /(=|
Если мы нормируем время на хас
то получаем
= H (*) exp [—Л'2 (% — 1
)].
C2)
C3)
Таблица 1. Пределы функции отклика стохастического осциллятора
с гауссовым коэффициентом
Область определения
1<lfr<4e)
^> 1 ("с •> ^ас)
Функция отклика
безразмерная
ехр( — 1/2/С2ТJ
ехр( — КЦ
размерная
ехр (— l/2pV)
exp ( — 32хаст)
183

В табл. 1 даны предельные значения этого выражения при боль-
больших и малых временах. Можно записать по-другому:
R (,) = Н (%) ехр - J dx'v (V) , C4)
где
v(^^(l-e-r). C5)
Рассмотрим поведение R, а следовательно, и С при, временах*
больших времени автокорреляции (т>1). В этом пределе v(t)-^
-+К2Фconst и R затухает экспоненциально:
R~ ехр (-#4). C6)
Теперь теорема Дуба (см. [4]) позволяет нам считать, что в этом
пределе if» приближенно гауссовский процесс. Дело в том, что
быстрые флуктуации в ансамбле приводят к декорреляции за вре-
времена хае Таким образом, если мы огрубим систему, разделив вре-
временную ось на интервалы Ат, удовлетворяющие Тас^САт^Р, та
состояние системы в момент т не будет зависеть от детального хода
процесса на предшествующем интервале времени, и в дискретном
времени система будет гауссовой (см. [4]). Все это подразумевает
возможность моделирования нелинейного слагаемого включением
гладкого трения v(oo) =v(v=_v/Tac) и источника белого шума /(/)
-§-+*}=!«) (t>0). C7)
Интенсивность / задается требованием, чтобы вынужденные коле-
колебания <|*U)I2) согласовались с предполагаемой интенсивностью
С@)
</Т)Г@)> = 2и>8(х). C8)
В § 5 и 10 обсуждается, как приближенно найти представление
типа Ланжевена для формулы C8), не имея полного знания точ-
точного решения.
Из уравнения C4) видно, что для всех времен можно записать
^rR^) + v{z)R(z) = i(zy C9)
Уравнения в форме C9), в которых R(x) зависит только от R, в
тот же момент времени т часто называются марковскими. Сущест-
Существует формальная техника [5], позволяющая найти марковское
представление для любого данного уравнения общего вида A7)-
В общем случае, однако, это не так. Уравнение C9) не является
«огрубленным» по времени и описывает точную динамику, вклю-
включая влияние событий в прошлом на настоящее; уравнение C7)
записано в «грубом» времени и не содержит никаких нелокальных
эффектов,
1*84

При бесконечном времени автокорреляции или бесконечно
большом числе, Кубо, R—ехр(—1/2р2/2), в этом пределе статисти-
статистика -ф оказывается сильно не гауссовой. Как видно из дальнейшего,
этот предел представляет особенно трудный тест для приближен-
приближенных теорий. Дело в том, что при /С-^оо в уравнении A7) домини-
доминирует нелинейный член, и стандартная теория возмущений совер-
совершенно несостоятельна. Этот предел является прототипом турбу-
турбулентности Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса.. Мы
будем иметь возможность изучить в плазме оба предельных слу-
случая малого и большого времени автокорреляции. Системы с малым
Гас содержат волноподобные флуктуации с широким* спектром
(см. § 3), в то время как большие %ас возникают в теории гидро-
гидродинамических возбуждений (см. § 4 и 7).
2.3. Приближенные теории для стохастического осциллятора.
В пределе малых К, можно попытаться решить уравнение A7) с
помощью регулярной теории возмущений. Таким образом, как
легко видеть, получается разложение Тейлора точного решения
[2]. Поскольку любое обрезание конечного порядка этого разло-
разложения содержит сингулярности, эта процедура не приводит к успе-
успеху при вычислениях для физически интересных времен до тех пор,
пока мы не научились суммировать ряды возмущений вб всех по-
порядках—это в общем случае трудная задача. Суть проблемы
можно показать решением в марковском пределе t>%ac. В теории
возмущений часто удобно работать в фурье-пространстве, поэтому
рассмотрим фурье-преобразование уравнения C6):
/?«-^[—iCo+iv)]. D0)
Если считать v малым_и раскладывать R = [-1(<о + ЮЛ-'. D2)
После обратного фурье-преобразования уравнение D2) приводит к
T'-I'X=l-v, + .... D3)
тейлоровскому разложению выражения C6). Конечно, трудность
этого подхода заключается в том, что выражение D0) есть резо-
резонансная функция
/?o=:(i(D+v)/(GJ+V2). D4)
Частоты около резонанса co<v невелики по сравнению с v. По-
Поскольку из принципа неопределенности следует, что низкие часто-
частоты определяют характерное поведение при больших временах, мы
ожидаем, что долговременное поведение плохо описывается конеч-
конечным порядком высокочастотного разложения D1). Этот вывод на-
находится в соответствии с точным результатом.
185

Более полезным приближением является построение статисти-
статистического анзаца. Построим интегральную форму точного уравнения
A7) и подставим результат в уравнение B1)
Z
-Atf(x) + jrfx'<«>(x)co(x')/?(x')>==8(x). D5)
о
Тройная корреляция имеет следующее кумулянтное разложение
(приложение А, [2]):
<<о (х) со (*') /? (х')> = <а> (х)> <со (t')> </f(*
(X) 8@ (х')> </? (х')> + <8Ш (х
+ <ш (x)><8i> (х
W со (х') ^ (х')> = F (х - х') R (г')
Если предположить, что совместная статистика со и ф прибли-
приближенно гауссова, так, что тройной кумулянт можно не учитывать,
то приходим к так называемому приближению Буре [6, 7]
р-х-) = 6(х). D7)
О
С помощью теоремы о свертке уравнение D7) можно решить^
используя фурье-преобразование
где, как обычно, /ч (т) = Я (т) i7 (т). В специальном случае C1)
находим
j ch (I (o01 x) + — (| aH| zac)-1 sh (|шо| x)
^ (cosKxj+^K^-^inKx) (K<l/2), D96)
где
E0)
-2 Л /2
aC
При Д"<с1/2 |со0|^ — х * A — 2К2) и нетрудно проверить, что
в пределе больших времен равенство D9а) согласуется с истин-
истинным ответом [см. уравнение C6) и табл. 1]. Однако равенство
D96) оказывается совершенно неверно в случае /С^>1/2, когда
Р — самый короткий масштаб времени. Здесь, при рт <С 1 пра-
правильный ответ есть /?^ехр ( Y^^r вместо которого в D96)
186

вследствие гипотезы о гауссовой статистике неверно получаются
колебания с частотой со0'—'Э- В пределе К-^оо приближенное ре-
решение R'—'cospt и совершенно не затухает. Видно, однако, что ку-
мулянтное разложение правильно дает первые два члена точного
результата, i?-—'1 — 1/2р2т2.
Чтобы эвристически получить улучшенные уравнения для R
в пределе больших КУ введем функцию Грина нулевого порядка
Д@)(т)=#(т) E1)
[ср. уравнение D2)] и перепишем уравнение D5) в виде
)>=8(.). E2)
Теперь кумулянтное разложение уравнения D6) будет
<ш (х) ДО (т - т') со (xf) R (т')> =
— ДС*) (% — z') F(x— iT) R (хг) 4- <сосо#». E3)
Мы знаем, что при больших /С нельзя пренебрегать третьим куму-
кумулянтом, так как статистика не гауссова. Однако появление в урав-
уравнении E3) в режиме сильной нелинейности невозмущенного про-
пагатора Д@) есть что-то незаконное. Эвристически- можно утверж-
утверждать, что одно из следствий содержащейся в <^сосоЯ^> нелинейно-
нелинейности состоит в перенормировке функции отклика согласно RW-+R,
так что уравнение E3) можно переписать по-другому:
<со (х) /?<•> (х - %') ш (¦*')?(*')> = R (х - %') F (т - х') R (zr) + C\, E4)
определяя, таким образом, некоторый остаточный кумулянт CV
Если опустить С'г без дальнейшего обоснования, то придем к не-
нелинейному уравнению
RW+(d*R{x)F(*)R(*-*) = &(%). E5)
d
dz
б
Проведенная выше важная процедура замыкания называется
приближением прямого взаимодействия (ППВ), которое было вы-
выведено впервые при рассмотрении стохастического осциллятора
Крейчнаном [2]. Можно дать более глубокий и последовательный
вывод ППВ (см. § 5 и 6). Здесь следует подчеркнуть, что для
задач, содержащих динамическую нелинейность, ППВ оказывает-
оказывается более сложным. Более детально это обсуждается далее.
Ясно, что ППВ сводится к приближению Буре, если R(x) спа-
спадает медленнее, чем ^(т), т. е. при /С<1. Однако в противополож-
противоположном пределе они различаются значительно. Крейчнан рассмотрел
экстремальный случай /С=оо, в котором /7(т)==^2, и уравнение
E5) решается точно с помощью фурье-преобразования:
E6)
187

В работе [2] приведен график формулы E6) совместно с точным
решением. В отличие от приближения Буре в ППВ R(x) спадает за
истинное характерное время (З, хотя и осциллируя, причем оги-
огибающая спадает скорее алгебраически, чем экспоненциально.
Однако площадь под кривой
р(—g-p^W'/S/'V E7)
о
очень хорошо с погрешностью до 20% аппроксимируется ППВ:
E8)
Данное согласие имеет важное значение. Во многих приложе-
приложениях коэффициенты переноса определяются временными интегра-
интегралами от функции отклика или корреляционной функции и более
чувствительны к глобальным свойствам, подобным площади под
кривой, чем к детальной структуре.
Крейчнан показал [2], как получить ППВ для стохастического осциллятора,
суммируя определенные последовательности рядов теории возмущений. Он исполь-
использовал также эту технику для проведения различных перенормировок высших
порядков. Одна из» них оказалась очень удачной и дала превосходное согласие
с точным решением; другие расходились очень сильно, хотя, на первый взгляд,
казались так же хорошо мотивированными, как и первая. К этому вопросу мы
вернемся в § б, где будем строить последовательную теорию перенормировок.
Там же мы обсудим успешную перенормировку высокого порядка и попробуем
привести ' некоторые интуитивные соображения, объясняющие, почему другие
аппроксимации оказались неудачными. Однако в следующих двух разделах мы
сначала обсудим различные физические приложения эвристической перенорми-
перенормировки.
Дополнительная литература по материалу этого раздела приведена в статьях
Лесли [8], Фриша и Буре [9] и Кука [10].
3. ДИФФУЗИЯ ПРОБНОЙ ЧАСТИЦЫ В ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ
3.1. Введение. Элементарные сведения о диффузии пробных частиц в слабо-
слаботурбулентной плазме были известны в форме квазилинейной теории (КЛТ)
[11,\12] почти с самого начала теоретических исследований по физике плазмы.
Однако только в последние годы полностью были поняты закладываемые как
физические, так и математические фундаментальные предположения; фактически
здесь до сих пор остаются отдельные вопросы. В этом разделе делается введение
в эту проблему (см. также [13J). Лежащим в основе КЛТ физическим процес-
процессом является стохастическая неустойчивость, ее фундаментальное математическое
обоснование включает перенормировку.
Предположим, что в одномерной плазме длиной L сущест-
существуют электромагнитные волны, имеющие однородный стационар-
стационарный дискретный спектр флуктуации, описываемый :
<6?6?>*,tt=2n<8?2>*6[w-G)(&)]. E9)
188

Основная гипотеза КЛТ состоит в том, что резонансные частицы
диффундируют в пространстве скоростей в соответствии с коэф-
коэффициентом диффузии
D(v) = tc (qjmf S < S?2>*8 [<* (*) ~ Щ {Щ
k
или в пределе непрерывного спектра L->oo (относительно обозна-
обозначений см. приложение Б)
D{v) = * (д/т)ш Г ^ <ЬЕ «> (к) 6 [со (к) -ко]. F1)
Формулы F0) и F1) далеко не эквивалентны, даже в пределе,,
когда L->oo. Формула F0) описывает очень сингулярную функ-
функцию скорости, конечную при резонансе волна — частица и равную
нулю вне его. Однако коэффициент диффузии F1) есть гладкая
функция скорости. Как будет объяснено ниже, фактически эта
формула правильна даже для дискретного спектра. Далее будет
показано, что диффузионное описание справедливо только в слу-
случае, когда перекрываются острова в пространстве скоростей. При
этом нелинейное перемешивание стохастически неустойчивых
траекторий дает уширение резонанса, которое перенормирует про-
пагатор линейной теории и сглаживает имеющиеся в F0) сингу-
сингулярности, так, что интегральное выражение F1) является хоро-
хорошим приближением даже в случае дискретного спектра.
3.2. Стохастическая неустойчивость и диффузия пробных частиц.
Природа стохастической неустойчивости детально рассматривает-
рассматривается в ряде работ ([14, гл. 3.5, 15-—17] и см. имеющиеся там ссыл-
ссылки). Здесь мы суммируем фундаментальные результаты, которые
далее нам понадобятся. Движение пробной частицы в дискретном
спектре колебаний описывается гамильтонианом:
Н(х, р; t) = p*l2m-\-q%<fkexpi[kx — »(k)t]. F2)
Утобы выявить .структуру траекторий в фазовом пространстве^
выделим члены, соответствующие одному резонансу волна — ча-
частица:
Hk=p2/2m+2qq>kcos [kx—со (k) t]. F3)
Поскольку Hk не сохраняется, удобно перейти в систему отсчета
волны, используя производящую функцию [18]
S(x,~ P) = (P+mv(p){x—v4)t)i F4)
где v<p=(u/k. Если переопределить нуль энергии так, чтобы вклю-
включить б него кинетическую энергию 1/2т^2ф преобразования Гали-
Галилея, то преобразованный гамильтониан примет вид:
K(Q, P) = H'k + ^ + ±w\ = -^ + 2mcos(kQ). F5)
где
Q = x—Vyty P = mV, V=v—v<p. F6)
189

"Поскольку К не зависит от времени, то
V=±B/m)W[K—2qcpkcos (&Q)]1'2. F7)
.Мы видим, что одиночный резонанс делит фазовое пространство
на две области, пролетную и захватную, причем сепаратриса опре-
определяется условием K=2qyk или
V = 2Bq?k/mf2sin (±-щ}. F8)
Отсюда ширина острова, или области захвата,
Д V=4 Bqyk/m) l'2=4vtn F9)
где vtr — скорость захвата, связанная с частотой колебаний atr
около эллиптической точки покоя соотношением vtr=(otr/k.
Вернемся теперь к первоначальному гамильтониану со множе-
множеством резонансов. Как хорошо известно [16, 17, 19, 20], стохастич-
ность возникает, если соседние острова перекрываются по порядку
величины или если параметр стохастичности
Здесь б У — расстояние в пространстве скоростей между соседними
резонансами, которое дается соотношением
8V = 8 (со/А) * S^ (пв - пф)/Л; j
оф = «>(*)'*. J
Численное исследование (см. [17] и имеющиеся там ссылки)
уверенно подтверждает, что в стохастическом пределе появляется
диффузия в пространстве скоростей. Определим коэффициент диф-
диффузии по скоростям как
D = lim<[v(t)-vo]2>[2t, G2)
где среднее берется по фазам волн и ансамблю частиц, которые
имеют одинаковую начальную скорость v0, но однородно распре-
распределены в пространстве. Тогда
J), G3)
о
где С(т)—корреляция лагранжевых (взятых вдоль траектории)
ускорений:
С (t) = {qlmf <ЬЕ (х (*), *) ЬЕ (х @), 0)> =
bEk> (°) ехР{ I* «(х) + k'x
Обычно в КЛТ предполагается, что частицы движутся по невозмущенным
траекториям: х(%)=х@)-\-их. Тогда усреднение по начальным условиям и по
190

фазам волн производится раздельно и дает
2Ь — <о(?)]т. G5>
Интегрирование уравнения G5) по времени приводит к ответу F0), содержа-
содержащему сингулярности. Физическое значение этих сингулярностей заключается
в том, что они возникают вследствие квазипериодичности в формуле G5). Учи-
Учитывая это, удобно рассматривать формулу G5) как описывающую взаимодей-
взаимодействие волнового пакета, движущегося с групповой скоростью vg с частицей»
имеющей скорость u=i; , резонансную с некоторой типичной фазовой скоро-
скоростью. Если Ak— ширина волнового пакета в ^-пространстве, то корреляция ча-
частицы с пакетом нарушится за время автокорреляции
G6)
Однако вследствие периодических граничных условий в случае дискретного
спектра в системе отсчета, где групповая скорость равна нулю, пакет восста-
восстановится, пройдя расстояние /,=2я/??=2яЛ/уд&, где N— число волн в пакете..
Таким образом, если пренебречь возможностью соударения частиц со стенками
потенциальной ямы, то они будут испытывать последовательно толчки через;
каждый период
Xr^NXac G7)
и для резонансных частиц интеграл от С(х) по времени не существует.
Для более конкретной количественной оценки рассмотрим волны с законом;
дисперсии, подобным встречающемуся в ленгмюровской турбулентности
<о=соо+аА!2, G8)
где (Do и а — константы. Пусть частица находится в резонансе с некоторой ти-
типичной волной, имеющей волновое число k0: v=^o/k0-\-ako. Тогда если 6k~
= k—&о, то показатель экспоненты в формуле G5) становится равным
6k[v—vg(ko)— a.8%. G9)
Если v—Vg=<Dolko—ю&о достаточно велико, то можно пренебречь слагаемым-
<х6& в выражении G9). Если предположить, что в некотором интервале А&*
спектр практически плоский, то появится сумма
An/ 2
где N=An-\-l. При Т'^тГас и Af>l выражение (80) можно приближенно пред-
представить как
*J (V-W)- " (81).
Это выражение описывает начальную расфазировку частицы и пакета за время-
автокорреляции. Однако согласно нашей эвристической аргументации через вре-
время восстановления корреляций G7) функция (80) повторяется.
Данный эффект восстановления корреляции связан как с дис-
дискретностью спектра, так и с предположением о невозмущенных.
траекториях. Как только совершается переход к континууму при:
191

L->oo, время восстановления также стремится к оо и получается
формула F1). Однако в случае дискретного спектра, интересном
с точки зрения эксперимента, предотвратить восстановление кор-
корреляции можно только включением нелинейных эффектов. Дейст-
Действительно, из теории стохастической неустойчивости мы знаем [16],
что экспоненциально, быстрая расходимость близких.траекторий и
их последующее перемешивание в фазовом пространстве дают не-
нелинейный необратимый распад корреляций за время тк порядка
обратной величины- колмогоровской энтропии. В § 9 мы оцениваем
скорость расходимости траекторий и находим
rK~(kW)-V*9 (82)
где D — коэффициент квазилинейной диффузии F1). Теперь фор-
формулу G5) можно модифицировать следующим образом:
С (х) = (qlm)%2i<*E*>k exp {i [kv ~ *>(k}]z}r (т/*ас). (83)
к
где г(т)—функция, описывающая нелинейные эффекты, которая
спадает экспоненциально и удовлетворяет условию г @)=1. При-
Примем для оценки
rW-e"\ (84)
Время нелинейного распада сравним с временем восстановле-
восстановления корреляции. Если воспользоваться оценкой
D^{qfmy<8E2>raCi (85)
которая вытекает из формулы F1) и также равенств G6) и F9) —
G1), то отсюда следует просто
xJtk~Sa/z. (86)
Так как рассматривается, по предположению, стохастический пре-
предел 5^>1, то нелинейное перемешивание всегда препятствует вос-
восстановлению, корреляции, и коэффициент диффузии оказывается
хорошо определен. При S<Cl /(-энтропия исчезает, и ничто не пре-
препятствует восстановлению корреляции. Наличие сингулярностей
в формуле F0) в этом случае сигнализирует о существовании за-
захвата частиц, который должным образом не включен в квазили-
квазилинейное описание.
Поскольку дискретная природа спектра проявляется только за
время восстановления корреляции, наличие нелинейного переме-
перемешивания означает, что суммирование по волновым векторам мож-
<но заменить интегрированием. Такую процедуру можно оправдать
формально, если результат суммирования по k мало изменится
при добавлении одного члена к сумме. При этом в показателе в
линейной теории появляется величина 6(kv—(о)т=6?ат, которую
следует сравнить с нелинейным затуханием т/тх:
в*Ди/ {№D) i/3=rK/tr < 1, (87)
так, что интегрирование оказывается законным. Вследствие того,
что из:за перемешивания фаз С(х) распадается за время тае, то до
192

тех пор,, пока Тас<тх, можно пренебрегать нелинейным слагае-
слагаемым. Это дает верхнюю границу уровня турбулентности или па-
параметра стохастичности, ниже которой справедлива квазилиней-
квазилинейная теория
/iV<^ (88)
Тк»Тас—Tr/iV^rr/TK<^. ()
Таким образом, КЛТ справедлива в области 1<S<N3/4. Тогда
, (89)
и согласно уравнению (83) интегрирование по времени приводит
к формуле F1).
3.3. Квазилинейная теория и перенормировка. Выполним перенормировку,
введя /(-энтропию для описания перемешивания и распада корреляций. Дей-
Действительно, интегрируя уравнения (83) по времени, можно написать:
D = {q/m)* 2 < № >kg\ • {k) . (S0)
к
Здесь введен перенормированный пропагатор частицы:
^.el-ittt-te + i^1)]-1 . (91)
Чтобы оправдать континуальное представление F1), с тем же успехом можно
исходить из выражения (91). Вывод формулы (90) совместно .с (91) из первых
принципов чрезвычайно труден сейчас. Мы придерживаемся мнения, что до сих
пор он не был выполнен удовлетворительно; в § 9 мы „опишем возможный под-
подход к этому после того, как будет развита более мощная техника вычисления.
Для полноты картины приведем здесь два последних соображения, хотя и не
строгих, но способствующих пониманию физики.
Чириков оценил /С-энтропию [16], используя свою концепцию
перенормированных резонансов. Он утверждал, что, когда голые
резонансы сильно перекрываются, то они накладываются друг на
друга таким образом, что образуются новые, «макро» или «пере-
«перенормированные» резонансы шириной (Ло)J, едва касающиеся друг
друга. Затем для оценки /(-энтропии он взял обратное время за-
захвата Q2 в типичном перенормированном резонансе.
Детальный закон суперпозиции голых резонансов зависит от
фазовых соотношений их амплитуд. Мы пишем, что
ТО"„ (92)
где йф — это частота захвата в типичном голом резонансе; А —
интервал по частоте между голыми резонансами, а п должно быть
определено; (ДсоJ/Д— число голых резонансов, содержащихся в
одном перенормированном. Поскольку Йф пропорционально корню
квадратному из возмущения, то я=4 для случайно сфазированных
амплитуд. Ширина острова (АюJ подчиняется зависимости, по-
подобной равенству (92):
(Л«)\ = ^Г(А»Л. (93)
13-Э283 193

Здесь (Асо)ф — ширина острова голого резонанса. Комбинируя ра-
равенства (92) и (93), находим
Для движения пробной частицы в поле стохастических волн
с точностью до числового множителя можно принять йф'—'(Дсо)ф—'
—wtr. Также оказывается A=8k(vg—v4) = (N%OLc)~~x. Замечая, что
коэффициент диффузии пропорционален D—(qlmJNE2h%ac и ацг—
¦—s[(Q/m)kEk]l/29 а также полагая п=4, из уравнения (94) можно
найти
Qs—(JWDI/3 (95)
в качестве полученной Чириковым оценки /(-энтропии для спектра
со случайными фазами. С формулой (95) согласуются другие ме-
методы, которые будут развиты позже, в том числе и прямая оценка
скорости расходимости соседних траекторий.
В последнее время наиболее популярный в литературе прибли-
приближенный подход к перенормировке резонанса волна — частица ос-
основывается на работе Дюяри о диффузии траекторий [21, 22].
Если вернуться к уравнению G4) и принять гипотезу независи-
независимости, т. е. предположение слабой корреляции движения частиц
с Фурье-амплитудами волн, то находим
С (и) = (q\mf 2 <*?*>* exp {i [kv - © (k) z} exp \\kbx (т)], (96)
k
где 8x(x)—отклонение положения частицы от невозмущенного
значения. До тех пор, пока т>тас, частица диффундирует в про-
пространстве скоростей и в предположении гауссовой статистики ку-
мулянтное разложение дает
<ехр [ikbx (тЯ> = ехр (--1 k*DW )"'/3 (х > v). (97)
Это соображение вводит диффузионное время
m, (98)
которое, как видно, порядка тк. Если принять х#—чк и пренебречь
сильной кубической зависимостью распада от времени, то осталь-
остальное доказательство континуального представления производится,
как и прежде.
Трудность, которую следует преодолеть в этом выводе, заключается в ги-
гипотезе независимости; уравнение (96) оказывается неверно. Как следует из
физических соображений, определяемая в терминах скорости расходимости пар
траекторий /(-энтропия т~1к [23] не может возникнуть законным образом
в статистической теории траекторий одной частицы, а именно это вводит при-
приближение (96). Действительный вывод формулы G4) не тривиален. Соответ-
Соответствующий формализм будет введен в § 6 и 9, хотя решение там не получено.
В настоящее время есть уверенность, что приближенные формулы (96) и (97)
верны для времен, больших т<*, тогда как детальная временная зависимость
194

выражения G4) неизвестна для времен, меньших т<ь Поскольку важно только
поведение на нелинейном масштабе времени, то эти детали имеют малое прак-
практическое значение, особенно если время автокорреляции мало. Однако любые
результаты, чувствительные к зависимости т3, следует рассматривать с осто-
осторожностью.
Некоторые утверждали, что поправки к простому результату КЛТ, которые
дают перенормированные теории коэффициента диффузии, подобные теории
Дюпри, пренебрежимо малы (см. [23]). Следует заметить, что эти авторы ис-
используют интегральное представление в ^-пространстве (и в этом случае их
комментарии верны при Тос<Тк); они не учитывают, однако, важной роли, ко-
которую играет перенормировка в теории дискретного спектра.
Множество ссылок, относящихся к приближению Дюпри, можно найти
в § 8.
4. ГИДРОДИНАМИКА I
4.1. Введение. В квазилинейной теории эффективное число Кубо Тас/тк<1.
Хотя для необратимости существенна неисчезающая /(-энтропия, хк никогда не
входило в окончательное выражение для коэффициента диффузии и перенор-
перенормировка была более или менее удачна. В противоположность изложенному
выше в этом разделе мы введем в рассмотрение задачи, в которых велика не-
нелинейность и перенормировка становится существенной. Эти примеры взяты
из гидродинамики плазмы и являются сильно идеализированными. Они, однако,
очень полезны, поскольку при минимуме усилий демонстрируют определенные
физические особенности и математическую технику.
Рассмотрим вначале сильнозамагниченную плазму без шира,
частицы которой движутся поперек поля вследствие ЕхВ дрейфа
[24]. Предполагая, что он существует, оценим коэффициент по-
поперечной диффузии. Можно воспользоваться оценкой теории слу-
случайных блужданий
D~Ax2/At, (99)
если сумеем определить фундаментальные шаги Ал: и At. Пред-
Предположим для этого, что возникают некоторые флуктуации плот-
плотности заряда бр, однородные вдоль магнитного поля и имеющие
характерный размер Ах поперек. С наличием dp связаны два типа
перпендикулярной скорости — возможная скорость переноса флук-
флуктуации как целого, которая нас не интересует, и внутренняя ско-
скорость деформации Av. Флуктуация стремится разорвать себя на
части, т. е. распределить свою энергию по различным пространст-
пространственным масштабам за время
At^AxJAv. A00)
Так как в этой модели частицы движутся совместно с жидко-
жидкостью, то согласно (99) и A00) коэффициент диффузии частиц
вследствие флуктуации масштаба Ах оказывается порядка
D^AxAv. A01)
Поскольку Av есть скорость поперек неоднородности, то ее
можно определить через локальный градиент электрического поля
Av~(с/В) V6<p— (c/B)8<plAx, A02)
13* 195

где бф — характерная флуктуация потенциала поперек структуры.
Любопытно, .что неизвестный масштаб Ах выпадает из A01) и
остается
» ?}*•. (ЮЗ)
Этот результат имеет скейлинг Бома по В, как можно ожидать,
исходя из анализа размерностей [24]. Выше предполагалось, что
уровень флуктуации известен либо из эксперимента, либо из до-
дополнительных теоретических соображений.
В данной простой оценке содержится множество физических представлений.
Прежде всего важно подчеркнуть предположение о двумерности флуктуации.
Если возникают флуктуации со структурой вдоль поля, что было бы при раз-
развитии неустойчивостей с конечным к ц, то течение параллельно магнитному
полю будет служить дополнительным механизмом быстрого разрушения корре-
корреляций и, вероятно, оценка A00) будет неверна. Она не дает также понимания
механики деформаций, и мы не знаем величин At и D. Более того, заметим,
что можно представить время корреляции как At^Ax2/Df так что At— это вре-
время поперечной диффузии жидкого элемента на Ах. Данное описание хотя и
стандартно, но в настоящем контексте бедно и приводит к заблуждениям.
В обычной картине Ланжевена диффузия устанавливается только за вре-
время, много большее корреляционного. Здесь, однако, нет нужного разделения
масштабов времени. Скорость и детали деформаций жидкого элемента, приво-
приводящих к возникновению переноса, определяются самим переносом самосогла-
самосогласованным образом. Процесс сильно нелинеен, и можно ожидать, что свойства
деформации и разрушение корреляции описываются операторами, нелокальны-
нелокальными во времени и пространстве. Более того, мы должны допускать возможность
того, что величина Д которая входит в определение А/, может отличаться от
действительного коэффициента диффузии жидкого элемента.
4.2. Сильнозамагниченная плазма. В п. 4.1 разбирался метод, пригодный для
последовательного рассмотрения намеченных выше задач. Однако здесь мы
поступим проще и последуем эвристической процедуре, разработанной Тейлором
и Макнамарой 1[24] и др. (см. [25]). Как обычно, можно записать
j A04)
о
О(х)в(с/Я)» < [»E(x)Xnj [«Е(О)ХЗ > = (с/В)* <»Е±(х) •8Е±@)> =
= (с/Ву 2 <SE|k(x).8E(k,@)expi[k-x(x)+k'-x@)]>. A05)
k k' X ^
Часто используемым приближением является гипотеза независимости [26]
С(т)^(С/ВJ2<§Е1(х)дЕ1@)>к<ехр[1к5х(х)]>. A06)
к
Вследствие тесного взаимодействия, существующего между частицами жидко-
жидкости в модели ведущих центров [27], оправдать это приближение здесь гораздо
труднее, чем в квазилинейном случае. Наиболее заметный недостаток описы-

ваемого подхода состоит в том, что он мало что дает для понимания природы
и величины опускаемых членов. В § б мы глубже проникнем в суть приближе-
приближения, когда обсудим последовательные способы перенормировки; проблема, од-
однако, чрезвычайно сложна и пока удовлетворительно не разрешена. Возможно,
что лучшее априорное утверждение, которое можно сделать относительно ги-
гипотезы независимости, состоит в том, что она, очевидно, не нелепа.
Предположим, что спектр статических флуктуации поля
<6?2>к задан. Разумно также предположить, что турбулентное
движение жидкости вызывает распад корреляций поля, так что
можно положить
<5Е± (т) 8Е± @)>k ^ <6?2±>k exp (—*V | т |), ' A07)
где «турбулентную вязкость» \х следует еще определить. В окрест-
окрестности т=0 формула A07) не верна, так как показывает зависи-
зависимость с изломом, но это не очень важно. Кроме того, для пробных
частиц мы принимаем гауссову гипотезу
< exp ik6x (т) >=ехр {—^k2D | т |). A08)
Тогда
™dz (с/ВJ 2 <8?1Л ехр I"*'{l" + DH* A09)
'о к
В отсутствие лучшей информации мы положим jxt^D.
Тейлор и Макнамара точно рассмотрели случай термического
равновесия, в котором
1/2Г mm
D -I
'5
Если выполнить интегрирование по времени в формуле A09)
и преобразовать, то для D получаем точное выражение
(Ill)
Введем двумерный плазменный параметр
ер=в(пХ2в)-1=4леУТ A12)
(п — это поверхностная плотность частиц в плоскости, перпенди-
перпендикулярной В) и возьмем интеграл в выражении A11) по азиму-
азимутальному углу, тогда
/оо "I 1/2
D-) ст\ \*P\w Г dklk
и ( \ (
При больших длинах волн интеграл в A13) логарифмически рас-
расходится. Это указывает на нарушение предположения Ланжевена
о разделении масштабов; перенос оказывается слишком нелокаль-
нелокальным, а распад корреляций слишком медленным, чтобы существо-
существовал не зависящий от волнового числа коэффициент диффузтш. Ес-
197

ли ввести искусственное длинноволновое обрезание при
то
Большинство-авторов избавлялось от расходимости квантова-
квантованием в «ящике» размером L [24, 25, 28] (хотя несколько несогла-
несогласованно придерживаясь интегрального представления), считая при
этом, что й< будет наименьшим разрешенным волновым числом:
k< ^ 2iz/L. Однако это ведет к иллюзорному впечатлению, что су-
существует постоянный коэффициент диффузии, связанный с мар-
марковским описанием переноса. Как объясняется в § 7, это утверж-
утверждение оказывается неверным. Лучший подход заключается в том,
чтобы полностью избежать марковского описания. Это можно ар-
аргументировать тем, что заданный масштаб k~l диффундирует толь-
только из-за более коротких масштабов, и считать k<~k. В итоге по-
получается коэффициент D(k), который зависит от волнового числа
и определяет нелокальный закон переноса:
[00 00
ф(х). A15)
Здесь мы не будем пытаться сделать формулу для D{k) более
точной (см., однако, § 7). Закон переноса в общем случае нелока-
нелокален во времени, так же как и в пространстве, и для того чтобы
удовлетворительно определить вид D(kf со), требуется осущест-
осуществить детальное приближенное замыкание.
4.3. Конвективные ячейки. Термин «конвективные ячейки» плазменно-физи-
ческой общественностью использовался во множестве случаев вплоть до пол-
полного исчезновения его обозначающей функции. Подразумеваются по крайней
мере три объекта:!) когерентные гидродинамические движения плазмы, кото-
которые вызываются амбиполярным потенциалом или блуждающими статическими
полями, связанными, к примеру, с внешними удерживающими мультипольными
устройствами; 2) специфические низкочастотные моды двумерных уравнений
жидкости; 3) любые низкочастотные, преимущественно поперечные, движения
замагниченной плазмы. В литературе в настоящее время доминирует третье
значение, особенно при интерполяции моделирования на ЭВМ; широкая спект-
спектральная активность около <о = 0 обычно признается как свидетельство наличия
конвективных ячеек [29, 30]. К сожалению, литература, связанная с этим
обобщенным определением, слишком обширна для ее должного обсуждения
в данной статье. Вместо этого кратко рассмотрим исследования специальных
конвективных ячеек, относящихся ко второму моменту.
В убедительных численных моделях Даусона и Окуды на ком-
компьютере [28', 31] была подчеркнута потребность в перенормиро-
перенормированной теории переноса в плазме. Они рассматривали диффузию
пробных частиц в двумерной замагниченной плазме без шира при
различных значениях магнитного поля. Ясно наблюдались три ре-
198

жима* 1) классический режим для очень малых В, в котором D
-пропорционально 1/В2; 2) режим плато при больших В, в котором
нет зависимостей D от В; 3) режим подобный бомовской диффузии
при очень больших В, в котором D пропорционально 1/В, как и
в додели ведущих центров. Даусон и Окуда выдвинули простые
соображения о характере случайных блужданий, подобные дан-
данным в пп. 4.1 и 4.2, которые позволили объяснить наиболее важные
аспекты их наблюдений, включая зависимость от магнитного по-
поля. Однако они не пытались обсуждать строгий подходов котором
нарушается классическая теория. Кроммес и Оберман [32] рас-
рассмотрели этот вопрос с точки зрения .флуктуационной теории (см.
статью С. Р. Обермана и Е. А. Вильямса в т. 1) и смогли^ полу-
получить кинетическое уравнение, решение которого, по крайней мере
в принципе, дает гладкий переход между классическим 1-м и ано-
аномальными 2-м, 3-м режимами. Хотя методы, используемые этими
авторами, были достаточно примитивны, для того времени они су-
существенно продвинулись в. развитии теоретической технологии,
имеющейся в наличии специалистов по физике плазмы.
Кратко, основные моменты их аргументации следующие. Как
хорошо известно, классический перенос получается из решения
Чепмена — Экскога кинетических уравнений Балеску — Ленарда.
(Обзор литературы можно найти в [33].) Возникающий при этом
интеграл по волновым числам обрывается при k<^kD\ в противо-
противоположном пределе линейная диэлектрическая проницаемость е^,
приводящая к экранированию голых кулоновских сил, становится
большой, если пренебречь возможностью вклада нормальных мод
в этом режиме. Однако если магнитное поле увеличивается так,
что сос><Ор, простые оценки, основанные на флуктуационно-дисси-
пативной теореме [28], показывают, что энергия флуктуации сме-
смещается к низкочастотным длинноволновым модам. В частности,
диэлектрическая проницаемость, получающаяся из анализа клас-
классических линеаризованных 2—D жидкостных уравнений, предска-
предсказывает существование шировой моды, отсутствующей в линеари-
линеаризованной теории, дисперсионное соотношение для которой есть
(см. [28,32, 34]) .
<o=-iMV(l+<>«%). О'6)
Здесь \ic — классическая столкновительная вязкость сдвига, отно-
относящаяся к двум измерениям [33].
Кроммес и Оберман заметили, что линейная диэлектрическая
проницаемость появляется вследствие использования теории воз-
возмущений, которая в гидродинамическом режиме в действительно-
действительности нарушается, т. е. в обычной иерархии приближений пренебре-
гается тройным кумулянтом (см. статью С. Р. Обермана и
Е. А. Вильямса в т. 1). Получающееся в результате решение для
парной корреляции вводит диэлектрическую проницаемость и, бу-
будучи введено в уравнение для одночастичной функции распреде-
распределения, приводит к появлению оператора Балеску — Ленарда. По-
Получающееся самосогласованное уравнение для пропагатора —на-
199

зываемое приближением самосогласованного поля Кроммеса —
Обермана — было фактически ППВ в рассматриваемом специаль-
специальном случае термического равновесия.
Перенормированное кинетическое уравнение правильно описы-
описывает классический перенос в режиме слабого магнитного поля.
В режиме сильного поля Кроммес и Оберман воспользовались ме-
методом проекционного оператора (см. п. 10.2) и разложением по
собственным функциям, чтобы вывести нелинейное уравнение для
вязкости в виде
где
г—A+0У<о*р)-1; A176)
Dp=(v2t/2nnI'2 A17в)
и М(8У q)—определенная безразмерная функция от своих аргу-
аргументов.
Уравнения в форме A17) можно получить также посредством
детальной процедуры замыкания, подобной ППВ, прикладывае-
прикладываемой непосредственно к нелинейным уравнениям жидкости. Реше-
Решение уравнения A17) для \i показывает гладкий переход между
режимами плато и ведущего центра и является слабо нелокаль-
нелокальным по обоим k и со; оно, по-видимому, хорошо согласуется с экс-
экспериментальными данными.
После того, как в § 5 и 6 вычислительный аппарат будет раз-
разработан глубже, в § 7 мы обсудим другие задачи гидродинамики.
5. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРЯМОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
5.1. Введение. В § 2 мы ввели приближение прямого взаимодействия путем
нестрогих эвристических рассуждений. Обоснование приближения, однако, го-
гораздо более необходимо, чем можно было предполагать из вводного обсужде-
обсуждения. Поэтому следующий параграф посвящен наиболее глубокому пониманию
основ теории, достигнутому сейчас. Здесь мы кратко рассмотрим некоторые
первоначальные положения, выдвинутые гидродинамиками. Каждое из них
определяет различные аспекты ППВ.
Для простоты и точности в последующем обсуждении мы рассмотрим мо-
модельную динамическую систему, служащую прототипом обоих видов уравнений,
Навье — Стокса и Власова, но которая позволяет опустить часть не относя-
относящихся к делу детален этих систем. Эта модель (см. {34]) — нелинейная си-
система N действительных переменных ua(t) с квадратичным взаимодействием,
которая эволюционирует согласно
(dt
Под индексами можно понимать обобщенные волновые числа; они также
могут представлять векторные индексы, скорости и т. д. Действительные по-
постоянные va представляют вязкое затухание, неустойчивость или в общем слу-
200

чае линейную динамику. Функции /«(/) позволяют ввести внешние силы по-
подобно тому, как это делается для течения по трубе; для консервативной си-
системы (v=0) все /а равны нулю. Можно предполагать, что коэффициенты
взаимодействия мод МаРТ симметричны по двум последним индексам MapT=
=_MaTp. дополнительные допущения, предполагаемые для достижения соответ-
соответствия с реальными течениями, следующие: М=0, если равны между собой
любые два его аргумента или равен нулю какой-либо один, а также если
М«„+А'и? + Мт = °- (П9)
И, наконец, мы предположим, что «энергия»
е 11,2 2**. A20>
a
конечна. Учитывая равенство A19), можно легко проверить, что нелинейное
взаимодействие сохраняет е.
5.2. Теория Крейчнана. Как обычно, нас интересует статисти-
статистическое решение уравнения A18), в котором статистика может вхо-
входить либо через начальные условия ua@), либо через внешнюю
силу f. Так как статистика иа@) или / может быть произвольно
сложной, то и статистическое решение уравнения A18) будет
чрезвычайно сложным, и про него.мало что можно сказать в об-
общем случае. Однако Крейчнан в своих пионерских работах о ППВ
[35, 36] ввел два фундаментальных предположения о «максималь-
«максимальной случайности» и «слабой зависимости», которые достаточно
ограничивают класс решений, таким образом, что может быть
проведен полезный анализ. Максимальная случайность предпола-
предполагает, что «...статистическая зависимость среди [иа] полностью ин-
индуцируется нелинейным членом в уравнении A18), а вовсе не на-
начальными условиями или возможно действующими внешними си-
силами... Существенное качественное содержание принципа слабой
зависимости заключается в том, что эффективное динамическое
взаимодействие и статистическая взаимосвязь между любыми не-
несколькими индивидуальными амплитудами, соответствующими
различным [юь], очень слабы, если [N] очень велико». Здесь не
делается попыток охватить всю широту очень полного и вырази-
выразительного первоначального обсуждения Крейчнана; мы убедитель-
убедительно предлагаем серьезным читателям обратиться к первоисточнику
[36].
Наводящими являются два примера слабой зависимости, в ко-
которых мы следуем Крейчнану [36]. Пусть a, р и у различны.
В этом случае слабая зависимость устанавливает, что
A21а)
>Оо)
Э (о). A216)
Предельные выражения' отвечают гауссовому распределению
«а. Однако следует отличать пределы от равенств. Легко пока-
показать, что истинное равенство для всех а в. уравнениях A21) про-
противоречит уравнению A18). (С точки зрения физика .можно ска-
201:

зать, что если уравнения A18) были бы уравнениями Навье —
Стокса, то идентичное исчезновение тройных корреляций приводи-
приводило бы к невозможности нелинейной перекачки энергии, что было
бы странно.) Тем не менее можно совместить правую часть A216)
со стремлением левой части A21а) как некоторой отрицательной
степени N. Давайте рассмотрим для примера «физическую» (сум-
(суммированную по всем модам) величину
5= 2 <и.ирит>'
которая при соответствующей нормировке описывает так называе-
называемый фактор асимметрии и. Если заметить, что (поскольку е огра-
ограничено) <и?а>—'N~l [см. A19)], то нетрудно определить, что s
остается конечным, если правая часть предела A21а) мала так
же, как N~l/2.
Обозначим ua(t)=ua, ua(t')—u'a и т. д. и рассмотрим эволю-
эволюционное уравнение ковариации Ua(t, t/)==<ua,u/a>:
«'„>. A22)
Согласно гипотезам максимальной случайности и слабой зави-
зависимости в пределе N—*ое вклад любого конечного числа мод
в сумму в уравнении A22) становится бесконечно малым. (Одна-
(Однако пренебречь им нельзя.) Крейчнан показал, что очень слабая
остаточная корреляция фаз между модами а, р и у возникает
вследствие прямого взаимодействия между иа, щ и иУу т. е. из-за
слагаемого Ма$ущиу и его циклических перестановок. Чтобы ко-
количественно определить эффекты прямого взаимодействия, после-
последуем Крейчнану и введем Аиа как разность между точным реше-
решением уравнения A18) и величиной йа, которую это решение при-
приняло бы, если в правой части уравнениия A22) опустить вклад
прямого взаимодействия Ма$ущиУу т. е. решением уравнения
M«nVV - м™ vv A23)
P. т
(Более точно здесь следовало бы писать что-то подобное Аиа.
Однако из контекста будет ясно, какая именно триада рассматри-
рассматривается.) В соответствии с принципом слабой зависимости Киа ин-
финитезимально. Записывая йа=г/а—Аиа и используя уравнение
A18), в низшем порядке находим
Р.Т
Уравнение A24) можно решить с помощью точной инфинитези-
мальной функции отклика Ла(/; f), которая описывает изменение
202

It) в результате импульсного возмущения моды а в момент вре-
времени f и удовлетворяет уравнению
Из уравнения A24) тогда получаем
Этот результат можно подставить в уравнение A22), замечая при
этом, что вклад прямого взаимодействия в тройную корреляцию
в низшем порядке есть
Выполняя усреднение по ансамблю, можно воспользоваться прин-
принципом слабой зависимости, чтобы, например записать
>c*Rfi(t; t")Uy(t; *")?/«(*", f),
A27)
где R=<R>—средняя функция отклика. Слагаемое, содержа-
содержащее fa в уравнении, можно вычислить аналогично. Таким образом,
получаем окончательное уравнение ковариации
Т
V
П. A28)
где мы воспользовались симметрией М при комбинировании двух
слагаемых и где
Fa(f; П-<М*)/Ж7)>. A29)
Вследствие равенства A19) нелинейные члены в уравнении A28)
сохраняют полную энергию Ua(t, t)—это очевидное условие со-
согласованности, которому должна удовлетворять любая разумная
процедура замыкания.
Чтобы найти независимое уравнение для пока еще неизвестной
средней функции отклика, обратимся к точному уравнению для
отклика oaa на бесконечно малое возмущение
^~п'A30)
203

Так как возмущается мода а, то слабая зависимость подразу-
подразумевает, что 6и$ и ёщ должны быть бесконечно малы по сравне-
сравнению с биа. Правильное в первом порядке по 6г^ уравнение для 8иу
принимает вид:
) Ч=
где штрих указывает, что здесь выделяются два определенных
последних члена; вследствие слабой зависимости вклад от них
в 8иу может быть опущен. В очевидных обозначениях решение
уравнения A31) имеет вид:
8ат = J Л"?'т (t; t") M^ u"fu"am A32)
Мы снова используем слабую зависимость, чтобы факторизовать
усреднение по ансамблю, которое необходимо в уравнении A30).
Поступая так, можно заменить <Л'> на R, поскольку в пределе
N>—мх> пренебрегается вкладом членов, исключенных из суммы
в уравнении A31). Окончательное уравнение для Ra(t; /') =
/ принимает вид:
1"**{tr)X
). . A33)
Уравнения A28) и A33) образуют связанную и полную систему,
хотя и сложную, которая определяет R и U.
Полезно спросить теперь, почему ППВ не совершенно точно, несмотря на
то, что при выводе пренебрегалось только лишь членами высокого порядка по
бесконечно малым амплитудам. Дело в том, что таких членов очень много и
их сумма при N—>-оо может дать конечный вклад, хотя каждый из них в от-
отдельности мал. Размер этого вклада можно вычислить в терминах параметра
асимметрии, введенного в § 6. В данном контексте, однако, ППВ должно быть
оправдано на другом основании. В самом деле, даже качественное поведение
решений для R и U не ясно из рассмотрения уравнений A28) и A33). Напри-
Например, не видно, окажется ли Ua(t, t), как должно, положительным. Подобные
требования называются ограничениями по возможности реализации. Оказы-
Оказывается, что выполнение этих ограничений очень трудно подтвердить непосред-
непосредственно из статистических уравнений. Крейчнан, однако, заметил [2, 37], что
«если можно найти модельную динамическую систему, которую ППВ описывает
точно, то многие из ограничений удовлетворяются просто по необходимости,
поскольку модельная система должна иметь статистическое решение. Несколь-
Несколько таких «стохастических моделей» было открыто. Их мы опишем в следую-
следующих двух пунктах.
204

5.3. Обобщенное представление Ланжевена. Чтобы мотивиро-
мотивировать наше обсуждение, запишем уравнения A33) и A28) в форме
*ла. t")RJt"; f) = b(t-f): A34)
Dr+v-)
_ :*¦ п\. . A35)
—00
где
2e(M") = —S Мар М Я (^ *")^Р» '"); A36)
Ясно, что член с 2а в уравнении A34) описывает нелинейную
релаксацию отклика в моде а при ее взаимодействии со всеми
другими модами. Такой же член появляется в уравнении A35) и
описывает нелинейную утечку энергии в моде а. Этот эффект при
наличии fa компенсируется подводом (подкачкой) энергии и опи-
описывается- /v в той же мере, как и источником Fa', который опре-
определяет потери энергии из-за взаимодействия мод.
Мы будем искать обобщенное, уравнение Ланжевена, которое
содержит физические характеристики, описываемые уравнениями
A34) — A37), Обобщенное уравнение Ланжевена является линей-
линейным динамическим уравнением вида [33, 38]
') = /+(/), A38)
где 8а и /+ выбираются так, чтобы надлежащим образом предста-
представить нелинейное воздействие всех мод на моду а, а также чтобы
статистическое решение было согласовано с точной или прибли-
приближенной статистикой начальной системы. Ясно, что для согласия
с левой частью уравнения A35) мы должны выбрать [34, 39]
ea(f, f)z=Ea(t, f). ' A39)
-Завершим представление Ланжевена, приняв
f+*(t)=fa(t)+fa(t)9 (НО)
где
205

Случайные поля | и ?+ выбираются статистически независимыми
друг от друга, от поля начальных скоростей иа@) и от /а, и име-
имеют ту же ковариацию, что и истинные скорости [39]:
Легко проверить, что
ХШ> = К(*> п (ИЗ)
и решение уравнения A38) согласуется с уравнениями A34) и
A35).
5.4. Модели случайного взаимодействия. Исторически первым модельным
представлением ППВ была так называемая модель случайного спаривания.
В своей первоначальной формулировке Крейчнан '[37] модифицировал уравне-
уравнение A18) так:
) J V'VV'KW+MO- A44)
Появившийся здесь множитель Фарт полностью симметричен по а, р и у
и инвариантен к преобразованию а—>—а и т. д. Кроме того, предполагается,
что он принимает значение +1 случайно для каждой тройки (а, Р, у). Итак,
в этой модели фундаментальное тройное взаимодействие случайно сфазировано
в отличие от исходной системы, которая сфазирована когерентно. Когда форми-
формируются ряды возмущений для ковариации и функций отклика, можно показать,
что дополнительная случайность приводит к тому, что все слагаемые, кроме
членов ППВ, исчезают при N>—>-oo. В работе [2] Крейчнан показал, что влия-
влияние Фарт можно понять в терминах фиктивных случайно сфазированных взаи-
взаимодействий между бесконечным числом копий истинной системы A18).
Поскольку взаимодействия триад случайно сфазированы, из этого следует,
что в ППВ нельзя учесть индивидуальные потоки или пространственно-фазовые
структуры, подобные солитонам (которые, по определению, описываются толь-
только с привлечением когерентного взаимодействия мод). По этой же причине
ППВ не описывает правильно захват в фазовом пространстве или перенос мел-
мелкомасштабных флуктуации крупномасштабными (см. [35, 37]; п. 7.3). ППВ
получает поддержку со стороны представления случайных взаимодействий как
«наиболее гауссовое приближение, согласующееся с нелинейностью».
Применение теории Крейчнана к бесстолкновительной плазме можно най-
найти в [40].
5.5.чОбращение рядов. В работе [41] обсуждался еще один
способ вывода уравнений ППВ, а также другие, более изощренные
приближения. Его идея основана на хорошо известном методе об-
обращения рядов, который применяется здесь к рядам функций, а не
чисел. Этот подход пояснен на примере функции отклика, для ко-
которой он состоит в разложении невозмущенной (линейной) функ-
функции отклика /?^0) (t; f) по степеням перенормированной функции
R*{t-t').
206

Начнем с точного уравнения для стохастической функции от-
отклика Да [см. уравнение A30)]:
№)-%& n-^M^u^R^t; t') = b(t-f). A45)
з. т
Если обращаться с нелинейным членом формально как с ма-
малым и предположить на время, что иа задана, то можно разложить
Ла в ряд как функционал от /?а<°) и иа:
*Л П=я!} С; П+ J d7R?> (t; 7J м^и9щ\я\0) {F,t>) +
+ №f (T; 7) S А1тр/Гир, (t)Rf(t; П+Л A46)
Усредняя уравнение A46) и полагая <а>=0, находим для R
представление в виде функционального ряда от /?(°) и ковариа-
ции U:
К (*; О = /?10) «; V) + J dfR™ (t; t) 2 7Wa3T Мь _э> „ X
X J<#fcTw (T; F)?/pG, 7) /?i0) 5; O + - A47)
i'
Этот ряд можно обратить, чтобы выразить R^} через /?а:
/?f (^; f) = Ra (t; t') = J J RMMRUR + ... A48)
В итоге мы подставляем A48) в каждое слагаемое уравнения
A46), собираем члены с одинаковыми степенями М, подставляем
результат в уравнение A45) и усредняем. Эта процедура триви-
тривиальна в низшем порядке и приводит точно к уравнениям ППВ
A34). Так же, хотя и сложнее, проводится обращение рядов для
ковариации, и в низшем порядке получается уравнение A35).
Как было показано здесь, метод обращения рядов есть нечто большее,
чем эффективный алгоритм вывода ППВ и, возможно, приближений более вы-
высокого порядка. Последние могут плохо сходиться, если не сделана дальней-
дальнейшая перенормировка. Поэтому следует искать дополнительное физическое осно-
основание для обрезания обращенных рядов. (Относящуюся к этому разделу до-
дополнительную информацию смотри в следующем пункте.) Наибольшее дости-
достижение метода обращенных рядов состоит, возможно, в том, что был дан си-
систематический алгоритм создания так называемых лагранжевых схем, пред-
предложенных впервые Крейчнаном [42], на основе более или менее эвристической
модификации ППВ. Опишем основной метод только в главных чертах, так
как лагранжевы схемы мало использовались в плазме.
Одна из трудностей приложения ППВ к жидкости Навье —
Стокса состоит в том, что оно не инвариантно к случайным пре-
207

образованиям Галилея. Это приводит к неверному энергетическому
спектру в инерционном интервале (см. п. 7.3). Крейчнан свел эту
проблему к использованию эйлеровых функций в стохастическом
описании и предложил, что улучшенная трактовка получается при
рассмотрении расширенной функции u(x, t\s) —скорости в момент
измерения s жидкого элемента, который прошел точку х в задан-
заданное время /. Величина u(x, t\t) —это обычная эйлерова скорость,
в то время как u(x, 0|s)—общепринятая лагранжева скорость.
С и связана обобщенная функция отклика i?(x, t\s\ х', t'\s').
Крейчнан недавно заметил [41], что обобщенная функция откли-
отклика нулевого порядка на самом деле не зависит от времени измере-
измерения:
, t\s; x7, t/\s/)=R^(xi t\t; x', t'\f).
Это означает, что можно произвольно изменить времена изме-
измерения в каждом /?(°), входящем в соответствующее уравнению
A46) разложение R(x, t\s; x'9 ^'l-s')» не меняя при этом величину
всего ряда. Однако процедура обращения ряда с последующим
обрезанием его в конечном порядке чувствительна к изменению
времени измерения, т. е. форма обращенных рядов не является
единственной. Крейчнан использовал эту свободу, чтобы показать,
каким образом две разумные модификации времен измерения да-
дают так называемые лагранжево ППВ и сокращенное лагранжево
ППВ в качестве первых членов определенных систематических
разложений, инвариантных с случайным преобразованием Галилея
во всех порядках. Это значительно улучшило эйлерову перенор-
перенормировку. (Более подробное обсуждение приведено в [41].)
В приложении лагранжевых замыканий к плазме фактически ничего не
было сделано. Мы считаем, что это плодотворная область дальнейших иссле-
исследований, но предупреждаем, что, видимо, инвариантность к случайным пре-
преобразованиям Галилея вызывает меньше беспокойства при исследовании ти-
типичных видов плазменной турбулентности в лаборатории, чем для сильнотур-
сильнотурбулентных течений Навье — Стокса.
6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОРМИРОВОК
В предыдущих параграфах мы познакомились со следующими методами
перенормировки:
1 суммирование теории возмущений во всех порядках;
2) кумулянтное разложение и обрезание рядов;
3) обращение рядов возмущений;
4) эквивалентные лагранжевые представления;
5) модели случайного взаимодействия.
Методы 1—3 в принципе могут дать точное представление решения (если
оно аналитическое; смотри контрпример i[43]); на практике, однако, разложе-
разложения достаточно сложны и необозримы, так что возможно выделить только пе-
перенормировку низкого порядка, подобную ППВ. Четвертый и пятый методы
имеют еще один недостаток: непосредственно не видно никакого способа улуч-
улучшить результат низшего порядка. (Однако в этом направлении Крейчнан вы-
выполнил некоторую работу [39].) Таким образом, природа перенормированных
208

приближений остается несколько таинственной. В самом деле, какие физические-
процессы не учитываются, например, в ППВ? Фактически необходимо только»
получить полезное представление точного ответа, например, обобщенное ин-
интегральное представление, из которого последовательно методами теории воз-
возмущений или другим путем строятся полезные приближения. Следует подчерк-
подчеркнуть сразу, что пока еще не было предложено полностью удовлетворительного*
формализма. Тем не менее уже что-то достигнуто. В этом параграфе описана
важная работа Мартина и др. [1], в которой сделан заметный шаг вперед,
в понимании основ теории. (Так как процедура (см. ниже) распространяет хо-
хорошо известные методы квантовой теории поля [44] на классическую область,
то можно было бы сказать, что в этой работе сделан квантовый скачок
назад.)
Вследствие ограниченного объема статьи мы не можем полностью обос-
обосновать ни идеи, ни математические методы, лежащие в основе [1]. Поэтому
мы предлагаем серьезному читателю изучить оригинальные работы [1, 45],
а также [46, 47], которые очень глубоки и содержат богатую информацию.
В нашем изложении мы следуем этим работам, но используем и другие.
Рассмотрим случайную функцию ф, зависящую от набора координат в фа-
фазовом пространстве, которые все вместе обозначаются символом «1». Набор «1»
может включать как непрерывные величины, подобные времени tu положению
xi и скорости Vi, так и дискретные индексы, подобные указателю типа частиц,
компонент вектора и т. п. Будем придерживаться обычного соглашения об ин-
интегрировании (суммировании) по повторяющимся аргументам. Пусть \р подчи-
подчиняется уравнению вида
dtlHl)=U(l) + U(l, 2)фB)+-у?7A, 2, 3)ФB)фC), A49)
где коэффициенты взаимодействия, или «голые вершины» Un==U(l, 2,..., п) —
известные неслучайные функции, локальные во времени [так, U A, 2, 3)~
~6(tfi—/2N(^1—/3)]. Предполагается, что при t=to заданы гауссовы начальные
условия, и надо определить статистическое поведение г|э для t>tQ. Важным при-
примером уравнения A49) является система Власова — Пуассона
df = O*; A50)
Е= — v?; y2<? = 4n^nq \d^f* A506)
для которой можно конкретно указать, что
= 0; U=
2); Л
?7A, 2, 3)=[ЕA, 2)^A-3) +B <-->3)]; [
Развиваемый ниже подход можно обобщить таким образом, что его мож-
можно применить в следующих практически важных ситуациях: для случайных U
(включая случайную внешнюю силу U\) [46, 48, 49]; для полиноминальных не-
линейностей произвольного порядка {50] и для негауссовых начальных усло-
условий [49, 51].
* д — означает градиент в пространстве скорости, т. е. д = dv .
14—3283 209

Наметим кратко задачи, возникающие при построении статистической тео-
теории уравнения A49), и проследим схему методов перенормировки, которой
мы будем придерживаться, изучая эти задачи. (Здесь мы несколько выйдем
за рамки работы Мартина и др. [1].) Разложим г|з на среднюю и флуктуирую-
флуктуирующую части и используем кумулянтные обозначения, приведенные в приложении
А. Предположим для анализа разномерностей, что при /=/0 <i|J> = l,
<^г|?3>=0 в соответствии с начальным гауссовым состоянием. Тогда можно
схематично записать при t^to первые несколько членов кумулянтного разло-
разложения уравнения A49):
[dt —иш + \/2Пг <Ф>]<Ф>- —^3<Ф2>-<Ф@)> + ^1; A52а)
(dt - Up) < Ф2 > - -j- U3 < ф3 > = 1; A526)
(dt — UBl) X Ф3 > - Z73 < ф2 >2 - -y < Ф* > = 0, A52в)
где введен линеаризованный оператор среднего поля
U«J^U2+U3<y>>. A53)
Теперь при условии, что система исе время остается гауссовой, тройные ку-
кумулянты исчезают, а флуктуации <Сф2> = <8'ф2> развиваются квазилинейно
в среднем поле, что не представляет большого интереса. Однако так как
«Сг|J^>2 определяет <Сф3>>, то с течением времени всегда должны появиться
негауссовы тройные корреляции. Учитывая это, можно испытать «квазинор-
«квазинормальную гипотезу, согласно которой четвертый кумулянт равен нулю, как и
в гауссовом случае; в соответствии с A52в) этим определяется неисчезающий
тройной кумулянт
?y»qn. A54)
Если <:i|53>gn мало, то в низшем порядке по <г|K> получаем
^ь A55)
т. е. квазилинейное приближение. Иттерируя A526) совместно с A54) и A55),
получаем уравнение
(dt-U^)<^V^>^\+-~U\/{dt-U^y, A56)
которое определяет <Сф2^> в терминах безразмерного параметра U2^l(dt—UW2K
и дает разумное приближение, если этот параметр мал. Данный подход в обыч-
обычном приближении «случайных фаз» приводит к слабой плазменной турбулент-
турбулентности A3]. Параметр разложения, однако, не мал в нескольких важных си-
ситуациях. Во-первых, если нелинейное взаимодействие существенно велико,
U2JU32^>h например в уравнениях Навье — Стокса при достаточно большой
еакачке и малой вязкости. Во-вторых, если нелинейное взаимодействие остается
малым, но есть резонансы, такие, что dt—Up -*> 0. Это может происходить
.либо при наличии линейных резонансов dt—U2=0, либо из-за подпитки нор-
нормальной моды полным средним полем, возникающим из-за слагаемого {7з<г|?>.
210

В качестве примера можно привести линейную функцию отклика плазмы [52]
*к,»<У; v') = Jdvgk(D(v; v)[«(v-v') + Dirik/*»).df(v)X
X {гЩ-ЦЫ)^ (nq^dvg^ m (v; v')]; A57a)
(v; v')-[-l(»-kv + »)]-'a(v-v'); A576)
w(
dfC)
— J <*vrfvgk; a(v. v) k -=-. A 57b)
S
где 6 — положительная бесконечно малая величина. Особенности в /?(°) воз-
возникают либо из-за невозмущенного пропагатора g(°), который описывает резо-
резонансные частицы, либо из-за e(i) — линейной диэлектрической проницаемости,
которая (при действительных со) почти равна нулю при частотах нормаль-
нормальных мод.
Сингулярности, имеющиеся в линейной теории, в значительной степени
сглаживаются нелинейно благодаря наличию двух эффектов. Во-первых, в тур-
турбулентном, или стохастическом, состоянии корреляция и функции отклика за-
затухают из-за нелинейного перемешивания; это затухание проявляется в (обоб-
(обобщенном) уширении резонанса, которое снимает упомянутые выше особенности
(dt—иЩ)*1. Во-вторых, правильной безразмерной мерой степени негауссовости
является скорее не <"ф3>2/<С'ф2>3, а параметр асимметрии
' A58)
который измеряется с учетом «истинных» (полностью нелинейных, взаимодей-
взаимодействующих) флуктуации. В определенных ситуациях параметр асимметрии и
другие наблюдаемые могут быть малы, даже если наивная теория возмущений
оказывается несостоятельной. Перенормируемая теория, которая здесь будет
рассматриваться, использует параметр асимметрии и другие определенные
статистические функции высших порядков в качестве определяемых самосогла-
самосогласованно малых параметров разложения.
Развивая любую перенормируемую теорию, следует помнить один очень
важный технический момент:
Если какая-либо функция проявляет резонансное поведение, то следует
делать аппроксимацию функции, обратной этой. A59)
Итак, в перенормированной теории эффекты уширения резонанса следует
рассматривать, имея дело не с функцией <г|J>, а с обратной ей; тогда урав-
уравнение A526) запишем в виде
<Фа>-1 — @*—^/)MзД<Фа'»-1ез2!. A60)
Тем самым внимание переносится к определяемому здесь так называемому
«массовому» оператору
A61)
который представляет отклонение «С^Э* от ее значения в отсутствие взаи-
взаимодействия. Теперь при конечных 2 величина <-ф2> хорошо определена. Про-
14* 211

стейшая оценка 2 приводит к квазинормальному (называемому также квази-
квазилинейным) ответу
'следующему из уравнения A54). Отсюда находим перенормированный массо-
массовый оператор
2~ —?7з<Ся|J>?7а, A63)
который получается, если вместо оператора (dt—UW2)~l в уравнении A54)
эвристически подставить его перенормированное значение (dt—L^V-f-S):
<г|K> ~?73<V>3- A64)
Уравнения A60) и A63) дают возможность полностью самосогласованно опре-
определить *<я|?2» и являются не чем иным, как ППВ. (В нашем несколько схе-
схематичном изложении мы не различаем адекватно функции отклика и корреля-
корреляции.) Ниже мы покажем, что эвристическая процедура, использованная для
получения ППВ, может быть формализована.
ППВ можно представлять в определенном смысле как гауссово приближе-
приближение, согласованное с нелинейностью, т. е. рассматривая уравнения A52в) и
A64), мы видим, что четвертый кумулянт приводит к двум эффектам: ушире-
яию резонанса (оператора, действующего на <Сф3>»), которое обеспечивает
согласно уравнению A526) полную самосогласованность флуктуации «Ci|32^>,
и проявлению «врожденных негауссовых» свойств, которые представляют собой
все остальное. Уточним это утверждение, вводя новую функцию /С, такую, что
A65)
A66)
Сравнивая уравнения A65), A64) и A526), можно записать
K=<i|?2>2+<^4>ng^<^2>2+A/C. A67)
Теперь перенормировка сводится к определению негауссовой части А/С от
К. (Можно было бы ожидать, что Д/С===/(—<г|?2>2 будет содержать при
<i|J> множитель 3, а не 1. Но этого не происходит, в частности потому, что
при переходе от моментов к иерархии кумулянтов уходит один множитель
<Ся|J> и частично из-за способа, которым нормировано и ^симметризировано /С.
Это, однако, не снимает интерпретации Л/С как негауссовой поправки.)
В соответствии с правилом A59) фактически мы должны аппроксимиро-
аппроксимировать /С. Для этого проведем обезразмеривание, определяя
G зз « ф2 >; ^ s G3/2 ff8, К'^ G~2K. A68)
Тогда из уравнений A64) и A65) получаем
7^ Г/С-1; H^(TK-lT)G-1, A69)
где естественным образом появляется обратное. Можно записать
#-1_1==д (^-1){Т>, A70)
так что основной проблемой является определение функциональной формы
негауссовой поправки.
212

Уравнение A70) называется уравнением Бете—Солпитера (УБС) (см. [53]).
УБС является самосогласованным уравнением для /С, так как из уравнения A69)
следует, что Г и К связаны согласно соотношению /С==Г/^. Имея точную функ-
функциональную форму А (К'1), можно надеяться получить самосогласованное урав-
уравнение для К, раскладывая ее в ряд степеням Г = К Y или аппроксимируя другим
способом. Тогда УБС определяет вид /C{y}, который мы запишем, возвращаясь
к размерным переменным и для дальнейшего удобства заменяя U3 на у*
S= - \ К {G, f} = - 4" GG
Этим завершается определение массового оператора, включая негауссовы по-
поправки к уширению резонанса. Нет необходимости повторять, что решение
окончательного уравнения для G представляет очень трудную задачу.
6.2. Перенормированные уравнения Мартина, Сиггиа и Роуза. Здесь будут
рассмотрены более подробно обсуждавшиеся выше перенормированные урав-
уравнения. Мы просим читателя принимать здесь на веру определенные технические
утвердждения, благодаря чему мы сможем, насколько это возможно, не от-
отклоняться от схемы изложения. К техническому обоснованию подхода мы
вернемся в следующем разделе. Следует подчеркнуть вначале один важный
момент, который, видимо, впервые был выяснен Крейчнаном [35—37]: для
эффективного замыкания статистических уравнений необходимо рассматривать
не только функции флуктуации, т. е. Сн= <6\|?(l)?i|)B)>, но также и функции
отклика, т. е. средний отклик на бесконечно малое внешнее возмущение. Оба
типа величин фактически уже рассматривались в п. 6.1—например, (dt—U^2)~l
есть линейная функция отклика, хотя мы сознательно там не выделяли разли-
различия. Дело в том, что любые мгновенные флуктуации можно рассматривать как
источник, на который откликается среда. В некотором смысле вероятность
флуктуации (излучения) описывается с помощью С, а отклик (поглощение)
с помощью \R. Так как отклик среды должен быть самосогласованным и по-
поскольку R описывает отклик на бесконечно малое возмущение, а флуктуации
конечны, то соотношение между С и R не получается непосредственно; мы
найдем нелинейно связанные уравнения для С и R.
Отклик на бесконечно малый источник, добавленный к~ уравнению A49),
определяется так:
к A72)
4=0
-g-*7(l, 2, 3)[фB)?C; V)
и подчиняется уравнению
*0-1') A73)
(хотя оба члена в скобках одинаковы, данная форма записи выбрана для даль-
дальнейшего удобства). Определение A72) оказывается неудобным, так как не оче-
очевидно, что средний отклик #==<?> сопряжен (или симметричен) С==
гзг<&ффф>. Рассмотрим, однако, оператор $, который не коммутирует с \|?
[см. A)] и образует комбинацию
213

где [А, В]=АВ—В А. Уравнение движения для г есть
dt7(\; l') = #(f-/')jf/(l, 2)[фB),
+-^-U(l, 2, 3)[ФB)фC), ?A')]|+8(<-Г)»A, 0. ?A'. *)• С74)
Вспоминая, что ?/ локальны по времени, и замечая, что [АВ, С}=А[В, С}-\-
+[Л, С]В тождественно, получаем
dt7(\, \') = U(\, 2OB; \')+-jU{\, 2, 3)[ФBOC; 1') +
+ 7B; 1')фC)]+«(<-*') [ФA, 0. ?(!'. 01- A75)
Итак, если выбрать if так, что удовлетворяется каноническое коммутационное
соотношение при равных временах
/, t), ?(У, t)] = d(l — l')9 A76)
то уравнение A75) формально идентично уравнению A73). Это позволяет де-
делать очень интересные предположения, однако мы не можем заключить, что
r=R. Функция R есть с-число и коммутирует с \|г, с другой стороны, г есть
оператор, который в общем случае не коммутирует с \|?. Тем не менее можно
показать [45], что при подходящем определении а|э и операции .-усреднения
<...>- средние г и $ согласуются:
<гA; 1')>=<ДA; l/)>s/?(l; I'). A77)
Мы сможем также показать, что среднее от любого произведения i|? операторов
\|) и -ф', в котором слева стоит if, исчезает:
<$...> =0, A78)
так что
<7A; \')>==H(t-t')<l>(lrf(V)>==:H(t-t')<^i>(\)$(V)^. A79)
Последнее равенство вытекает из <-ф>=0. Удобно ввести операцию упорядо-
упорядочения по времени Т:
+H(r-t)B(t')A(t). A80)
Используя уравнение A78), уравнение A79) можно записать компактно сле-
следующим образом:
ДA; 1') = «Ч>A)?A')>+- A81)
Далее, поскольку (i|?(/), i|?(^)]^0, упорядочение по времени относится только
к функциям от ф, и мы получаем
СA, 1/)^<б-фA)б1()A0>=<'ФA)\|)A/)>+. A82)
Из сравнения уравнений A81) и A82) становится ясной связь между С и R.
Можно провести дальнейшую,симметризацию, собирая i|) и \|) в двухкомпанент-
214

ный векторный оператор
-0)
/¦AI f в+ОП
и определяя матрицу G флуктуации и функций отклика:
>+«»{J((J;11')) ^ И)[. A85)
?G_,_ = 0, так как <<фA)<фA/)>=0 согласно уравнению A78)]. Мы расширим
обозначения для функций, подобных G A, 1'), так что «1» включает «спиновые»
индексы «-}-» или «—». При этом соглашении G полностью симметрично,
0A, l')=G(l', 1).
Как оказывается (см. п. 6.3), 9 подчиняется векторному уравнению, похо-
похожему по виду на уравнение A49):
_ia^8(l) = T(l, 2)9B) + -тртО. 2> 3NBNC), A86)
где
и матрицы у могут быть взяты полностью симметричными, с неисчезающими
компонентами, которые включают только один «—» спиновой индекс. Поскольку
6 не коммутирует, симметризация не совсем тривиальна. Теперь наша цель —
найти удобный способ обращения с моментами уравнения A86). С помощью
очевидного расширения рассмотренных в приложении А функционалов, гене-
генерирующих кумулянты для функций флуктуации, определим функционал
A88а)
и обобщенный производящий функционал кумулянтов
^{л}=1п<5>+. A886)
Величина т]=(т]+, т]_) является с-числом. Теперь основные наблюдаемые по-
получаются так:
со, if) = «l^/^+(i)^+(if)i4=o; A89)
и в общем случае
...Щп) =8G^(\, ... ,п— \)/Щп). A90)
Уравнение движения для <^ В ^ есть
>+, A91)
215

в котором явное выражение через г\ возникает при дифференцировании по
времени функции Хевисайда, появляющейся при операции упорядочения по
времени. Например, посредством двух слагаемых
S=*M-6GI) (Т)
, 8A)] 4A). A92)
Для д$ мы используем правую часть уравнения A86). Замечая, что (ia)-1—
=—icr и
<8A)8B)S>+ S |<
= 01A, 2)+<8A)>1<8B)>1, A93)
получаем фундаментальное уравнение движения в виде
2, 3)[<вB)>1^вC)>Ч + ОЧB, 3)]. A94)
Последовательное функциональное дифференцирование уравнения A94) по
ц производит иерархию кумулянтов в 0-пространстве, например,
2, 3)<9B)»WC, 1') + 1/2^A, 2, 3)G4B, 3, 1'). A95)
Если следовать прямо в этом направлении, то можно было бы достичь
только симметричного представления иерархии уравнений, которые с помощью
стандартных методов получаются непосредственно из уравнений A49) и A75).
Однакр хотелось бы эффективно замкнуть цепочку уравнений, выражая G3 че-
через G2 (здесь индекс указывает на число аргументов). Для этого поступили
с корреляционными функциями при /г>2 как с функционалами не от tj, а ско-
скорее от <СбО **. Это позволяет полностью исключить т] из теории. Дело в том,
что к] служит в качестве зонда системы. (В п. 6.3 мы узнаем, что производя-
производящая функция W может быть формально интерпретирована как системный
функционал распределения в представлении взаимодействия, причем 0A)г]A')
представляет возмущающий гамильтониан.) Когда Ч) изменяется, все моменты
изменяются совместно. Так, приращение д^б^1*1"
( ^ ^ связано с приращениями 6Gn ^ 2. При этом
подразумевается, что уравнения в функциональных производных существуют
среди наблюдаемых. Поскольку г) не появляется явно в этих уравнениях, мож-
можно безнаказанно положить его равным нулю.
Формально переход от переменной т] к <Ф» выполняется с помощью
преобразования Лежандра [48]. Представим его так:
A96)
216

Определим перенормированную вершинную часть Г через производные от L
по <0>:
A97)
A98а)
( ) ^\ ^>_wi оч. A986)
Так как из GG~l=l вытекает 6G-!=—G-lSGG~l и_ поскольку б/б<9>=
=G-16/6t], мц также имеем
ГA, 2, 3)=G~1A> T)G-!B, 2)G-iC, 3)G(l7 27 3). A99)
Матрица G3/2r&=r3 обобщает введенный ранее параметр асимметрии.
Подставляя A99) в A95), находим уравнение Дайсона
[-iodt$( 1-2) —yA, 2)-yA, 2, 3)<9C)>+2A, 2)]GB, Г) =
=-6A, 1'), B00)
где
Г 1, 2, 3)GB, 2)GC, 3)Г(зУ 2, Г). B01)
Согласно A59) уравнение Дайсона следует рассматривать как уравнение для
Г2=—С. Независимое уравнение для Г3 получается дифференцированием
уравнения Дайсона:
fiG-41, 2) dS(l, 2)
r.d. 2, з)=- ^ 2 3>
В общем случае это уравнение в функциональных производных, которое опре-
определяет Г. Подробное рассмотрение [45, 49] показывает, что, когда начальные
условия являются гауссовыми, 2 зависит от <в>> только не явно вследствие
зависимости от G2. В этом случае
8G \ (_
/ [*G
B03)
Итак, мы вывели для гауссовых начальных условий точную систему уравнений
r=Y—F2/6G) GGT; B04а)
B046)
B04в)
0= {G(o)}-1 <9> — 1/2Y <6>2 — ~2 TG» B04r)
где
41, 2)^-ior^(l, 2)—yA, 2). B05)
217

Если последний член в B02) был бы в некотором смысле мал, то
ГA, 2, 3)~уA, 2, 3). B06)
Это есть фактически ППВ в матричной форме
?nnB^(-l/2)TGGY. B07)
Для большей определенности распишем матричные компоненты. Уравнение для
/?=G+,_ следует из (—, —) компоненты уравнения B00):
dtd(\, 2)-/УA, 2) —?7A, 2, 3)< ФC)> -Ь S- + (i; 2)] RB, l') = d(l-l');
{208)
S_ + (l, T)== —?7A, 2, 3)tfB, 2)CC, 1)UB, 3", Г). B09)
Здесь мы воспользовались тем, что G-,_=0 и у симметричны и содержат точно
один «—». Подробно этому С получается из (—, -|-) компоненты:
[0,6A, 2)—[7A, 2)-?7A, 2, 3)<г|)C)>+
+2-+A, 2)]СB, 10+
4-2--A, 2,)Д'B, 10=0, B10)
где
R*(\, 2)=ЯB, 1) B11)
Я--A, 7)== —1/2GA, 2, 3)СB, 2)СC, ЩСГ(Г, 2, 3). B12)
В § 8 и 9 рассмотрены следствия ППВ для плазмы более конкретно.
Если нелинейность слабая, наиболее очевидный способ улучшить уравнение
B06) — это разложить уравнение B04а) по степеням у:
T=yJryGyGGy^-... B13)
Однако при сильной нелинейности оказывается (см. пп. 6.4 и 6.5), что такая
теория возмущений плохо мотивирована и имеет плохое поведение.
Согласно Мартину и др. i[l] лучше раскладывать уравнение B04а) по сте-
степеням Г, т. е. голую (ненаблюдаемую) вершинную часть разложить по степе-
степеням (наблюдаемой) перенормированной вершиной части
Y=r—TGTGGT-^... B14)
Эту процедуру мы обсудим более детально позднее. Она удовлетворительна до
третьего порядка по Г3, но не далее. В п. 6.5 рассмотрим еще более изощрен-
изощренную процедуру замыкания, которая обобщает уравнение B14).
6.3. Оператор i|) и некоторые другие подробности функционального прибли-
приближения. Каноническому коммутационному соотношению A76) удовлетворяет
(в некоторый произвольный момент времени /=0) следующая реализация One-
Oneратора -ф [45, 46]:
фA, fc=0)=—Я/б*A, /=0). B15)
Так как ty(t) эволюционирует определенным образом от г|?(/=0), то действие
i|)(/=0) на любую (дифференцируемую) функцию от \|э(/) хорошо определено.
Определим временную зависимость а|? так, чтобы одновременные коммутацион-
коммутационные соотношения удовлетворялись для всех времен. Затем можно написать
218

уравнение движения в гамильтоновой форме, близкой к квантовой механике:
1, 0; Я@1 B16)
где
НЩш$A, t) [Ut(f9 t)+U2(Tt t;
+1/2ЁГз(Т, t; 2, 3)\|)B)o|)C)J (нет суммирования по t). B17)
Тогда искомое уравнение движения для д*1|э есть
?1, 0 = [?A, 0, Я@]. B18)
что можно проверить, если заметить, что
01. Я] = «(У-2)[1, Я]-=0. B19)
Итак, * '
)=|[8A, /), #(/)]. B20)
Фактически такой же закон справедлив для любой функции от 0, которую
можно разложить в ряд Тейлора.
Чтобы разрешить B20) формально в терминах начальных условий, введем
функции
U-4Lt Ms
- f dt'H[t') ; B21a)
р \dt'H(V) ,
B216)
где Т* — обратный оператор временного упорядочения. Эти функции подчиня-
подчиняются уравнениям
U(th h)U(b, h)=U(tu /s); B22)
dtU(t9 to)=U(t, to)H(t); B23a)
dtU-l(t, to)=—H(t)U-*(t, U) B236)
и взаимообратны, как следует из
dt[U(t, to)U~l{t, to)] = {UH)U-l—U(HU-l)=O. B24)
Теперь решение уравнения B20) есть
(^, O)Q{O)U(t, 0), B25)
что можно проверить, замечая, что оно удовлетворяет одновременно начальным
условиям и уравнениям движения:
-.[H(t)U-l(tt O)]Q(O)U(t, 0)+
->(*, O)Q(O)U(tt 0)Я@=[в@, Я@]. B26)
219

Из рассмотрения изменения в .0 вследствие изменения гамильтониана 6H(Hs=s
==Я0+6Я) вытекает полезная форма для функций отклика системы. Опреде-
Определим решение в отсутствие возмущения 0О(О вместе с соответствующей ему
функцией U0(t, to)t так что
dtGo(t)=№o(t), Ho{Qo}l B27)
(Заменим, что «О» функции описывают полную нелинейную динамику невоз-
невозмущенной системы.) Чтобы найти решение 0 в присутствии возмущения, удобно
перейти к представлению взаимодействия, т. е. ввести
U(t, to) = U(t, to)U'(t, t0), B28)
и изучить U'. Если заметить, что для любой функции А{0} выполняется
/-1(/, 0) Л {0@) }?/(*, 0) =
-*o(tt 0)A{Q@)}UQ(t, O)]U'(t, 0) =
= (?/')-i(*, O)A{Qo{t)}U'(t, 0), B29)
то уравнение движения для V можно определить следующим образом:
dtU=UoHo{Qo} U'-\-UodtU'=
=UH {0}=U о V (Яо{0}+ЪНЩ. B30)
Отсюда, используя уравнение B29), получаем
'l (V) -1 (Яо{0о}+
[[dt'§H(tf) . B31)
Из B29) тогда находим
( Г г I) I Гг 11
ф(А = {Т* ехр — \ dt'bHAt') } Фот { Т exp I dt'dHM') \, B32)
I L о J/ 1 |oJ J/
и функции отклика получаются разложением Тейлора этой формулы до тре-
требуемого порядка. Во втором порядке, например, имеем
, *H{t')], W(t")] + , B33)
где индекс «0» опущен. Наиболее интересный случай включает возмущения
т]_ A) и г|_ + A, 2) к Я. Для таких возмущений
R(l; 1')= ЗфA)/Зт)_A') = Я(< -OI+0). ?0')] + ; B35)
2-20,

R(\; 1', 1'')
ti ? ? B36)*
] + . B37),
В я-м порядке функции отклика являются функциями от ty(t) и -ф @ и
таким образом функционалами от г|)(/=0) и а|)(?=0). Для любой функции*
), 'Ф(О) введем следующее определение усреднения:
<л {Ф, ?} > a J л(/ =* 0)л
где Р{ф}— распределение начальных значений, и каждый оператор ty(t) дол-
должен быть записан в терминах <vjT(/=O)=—б/#ф(/=О), которые затем действуют
на величины, находящиеся справа от них. Это определение имеет следующие-
важные свойства [45]:
1) когда А является функцией только от <ф, этот способ сводится к обыч-
обычному определению усреднения;
2) временная зависимость <Л;> совместна с уравнениями движения;
3) для разумных Р среднее от <-ф(/)Л{\|5, *ф}> равно нулю тождественно.
В момент /=0 последнее свойство следует прямо из уравнения
0- B39>
В следующие моменты времени оно получается по индукции, если заме-
заметить, что tf(f)=f/-1\|?@)/7 и H(t) действует слева на of.
Итак,
R(t; i')=*H{t — t')<mt)t ф(*')]> = <ф(О, ?(*')>+; B40а),
R(tl *', П==<Ф@?(<'ЖП>+ * 12406),
и т. д. Так же
<6iI>(/)/6ti- +С, П>=<*@*(О+(И>+. B41).
Смысл этой функции отклика можно понять, если заметить, что в уравнении-
Власова внешнее, бесконечно малое возмущающее электрическое поле Ее
приводит к возникновению дополнительного взаимодействия вида
т|-+A, 2)=-Е.A)д1 6A-2). B42).
Таким образом, формула B41) описывает бесконечно малый отклик систе-
системы на внешнюю силу, если -ф — функция распределения. Эта интерпретация бу-
будет полезной в § 8, где вычисляется перенормированная диэлектрическая про-
проницаемость плазмы.
Итак, осталось доказать использованную в A86) симметризацию. В общемт
случае
H(t)=*4(l)u(\) + -2-i(l, 2)8AHB) +
+-щ- yA, 2, 3)9A)9B)9C) (нет суммирования ио /), B43)*
221:-

где у eu*e не обладают специальной симметрией, кроме единственно вытекаю-
вытекающей из уравнения B17). Уравнение для <0>7J имеет вид:
е>,<8>Ч=-1<п) + <[8, Я]5>+/<5>+. B44)
Теперь [0#] состоит из суммы произведений 0 в равные времена. Давайте
условимся, что временной аргумент любой функции ty(t) должен интерпрети-
интерпретироваться как ?+8, где е—*0+. Тогда легко убедиться, что в <[0, H]S> +
можно коммутировать 0 произвольно, оставляя результат неизменным. На-
Например,
<Ф(Л *)?(*, t + e)S>+ = <*B, t + e)*(l, t)S>+. B45)
Это означает, что только симметричные части у дают вклад в упорядоченные
по времени ожидания, в терминах которых развивается теория, и тем самым
процедура п. 6.2 оправдана.
6.4. Новый подход к стохастическому осциллятору. Используем задачу
о стохастическом осцилляторе, описанную в § 2 для иллюстрации перенорми-
перенормированных уравнений, которые мы обсудили выше. Представленный далеко раз-
развитый формализм в действительности неприложим к стохастическому осцил-
осциллятору, поскольку функциональные уравнения описывают скорее динамическую,
чем стохастическую нелинейность. Возможно, однако, так расширить функцио-
функциональную технику, чтобы включить последний, асимметричный случай. Мы толь-
только наметим это расширение, поскольку расширенная процедура [48] близка
к процедуре для динамической нелинейности.
Уравнение-прототип для стохастической нелинейности имеет вид:
)=U'(\, 2, 3)соB)соC), B46)
где предполагается, что со — гауссово распределенная случайная величина. Спи-
норные обозначения надо расширить, чтобы включить индекс «О», отмечающий
случайный коэффициент со. Расширенный вектор состояния 0 будет 0=(t|), \f>,
(й), и ковариантная матрица
|СA, 2) /?A; 2) <дфA)§о>B) > Л
0A, 2)=,UB; О О О I B47)
| 0 j
Функциональные уравнения выводятся из производящего функционала вида,
идентичного A88). (Теперь 0 и к\ имеют три компоненты каждая.) Уравнения
подобны уравнению B04), за исключением того, что матричное уравнение Дай-
сона больше не является квадратным. (Поскольку статистика со задана, то не
может быть независимого эволюционного уравнения для со.) Так как определен-
определенные трехточечные кумулянты тождественно равны нулю, определенные вершин-
вершинные части та-кже исчезают. Используя A99), можно показать, что
Сз (- -, -) ¦¦ 0-^Г (+, +, +) -¦ 0; B48а)
Оз(—, —, 0)аз0-*-Г(+, +, 0)^0; B486)
С3(—, 0, 0)=0-*Г(+, 0, 0)з=0. B48в)
Если ограничить наше внимание стохастическим осциллятором с бесконечным
числом Кубо, соотношения упрощаются далее, особенно для функции отказа R.
222

Можно показать, что уравнение Дайсона для R определено, как только Г_о+
известна, и уравнение вершинной части для Г_о+ замкнуто в терминах Г_о+, R
и известной величины <6<о2> = р2. Более того, поскольку о не зависит от вре^
мени, то сюда входит только редуцированная величина
оо
Г (*„ tt) = Г (f, - /,) = J dt Г-о+ (f,, U, tt)
—OD
и удобно произвести фурье-преобразование по переменной разности времен.
В ППВ получаем
так что
поскольку — f^RJ'T^ =s RJ2, то
K^^f (ППВ). B506>
Легко проверить, что вместе с уравнением B506) уравнение Дайсона
i-l* + 2m)Rm=l B51)
согласуется с фурье-преобразованием уравнения E5).
Чтобы выйти за рамки ППВ, мы должны понять, каким образом аппрокси-
аппроксимировать уравнение B04а). Это обсуждается в некоторой общности в следую-
следующем разделе; здесь мы проиллюстрируем вершинное разложение, описанное
в конце п. 6.2. Давайте нормируем время к р-1. Разложение голого взаимодей-
взаимодействия у [ср. с уравнением B13)] дает
1Гв=1-/?«+... B52)
Поскольку | y«> I = 1» можно ожидать, что такая процедура не обоснована. Более
точно безразмерным параметром разложения выше является R^^. Для больших
о имеем #ш ^ 17 со <^ 1, и в этом пределе уравнение B52) может быть адекват-
адекватно. Однако большие частоты соответствуют коротким временам, что в общем-то
неинтересно. Для малых со в точном выражении Fw^$ 1 и в ППВ /?„^ 1, так что
в этом режиме (соответствующем длительным временам) разложение B52) не
корректно. Это особенно заметно в специальном случае w = 0, для которого си-
система B52) и B50а) предсказывает наличие комплексных корней для Р, что
сильно нарушает известное ограничение реализуемости, которое требует [36]
чтобы Rw=q было действительно и положительно.
Как видно из п. 6.1, подходящим безразмерным параметром для уравнения
B04а) является обобщенная асимметричность, которую мы определяем здесь
с помощью
*^1ЯЛ. B53)
Полезность х вытекает из ее поведения при со = 0. Записывая уравнение B51)
в форме
—iaR+xR=l, B54)
еидно, что хв:=0= 1//?<0=_о- Поскольку в точном решении i?(o=0> 1, то x^q будет
меньше единицы и, таким образом, становится возможным (хотя и не слишком
223

удовлетворительным) параметром разложения, Иттерируя уравнение B04а) по х
«формально, раскладывая известную функцию уф по степеням неизвестной Еели-
чины Гш, так же как в уравнении B14), находим разложение
Яш = * + *« + ..., B55)
жоторое дает лучшую аппроксимацию, чем уравнение B52); так как *<1. Если
исключить х, выражая ее через R и используя уравнение B54), то придем
тс уравнению, полученному впервые Крейчнаном [36]:
^to-i(o(l-@*)/?3a) + C(o2-l)^2to-3ia)/?(O-l = 0. B56)
-Легко проверить из уравнения B56), что ^=0 = {A +Vb )/2]1/2 с-1,27. Это
число следует сравнить с (tt/2)V2^l,25 для точного решения и с 1 для ППВ.
Таким образом, в настоящем приближении |х№_0| = [(К5—1)/2]!/2^0,79<1
(со—0 — наихудший случай). Решение уравнения B56) сравнивается с точным
решением и с ППВ в работе Крейчнана [36]. Видимо, эта вторая перенормиров-
.ка дает существенное усовершенствование ППВ и должна рассматриваться как
успешная.
Хотя разложения уравнения B04а) по степеням истинной асимметрии до
«О (Г3), по-видимому, успешны, оказывается, что их обрезание на О (Г3) и в более
высоких порядках не корректно. Корректное обобщение последовательности пе-
перенормированных приближений является более изощренным. Эти вопросы обсуж-
обсуждаются в следующем разделе.
6.5. Уравнение Бете — Солпитера и перенормировки высшего порядка. Гео-
Геометрия и интуитивное содержание перенормированной теории подчеркиваются
тем, что действия производятся не с Г, а с определенной четырехточечной функ-
функцией /С, иногда называемой двухчартичной матрицей рассеяния [53]. Чтобы было
¦удобней обсуждать двухчастичные функции, введем производящий функционал
W fti, -Ъ} ^ In ^ехр [б A) ^ A) + 4" 9 0>
ЯЗудем полагать F=GU G^G2. «Подходящим» двухчастичным обобщением одно-
¦•частичной функции G тогда будет
dG A, 2)
^0.2; ^2')-^^. B58)
-Аналогию можно увидеть более ясно, если ввести преобразование Лежанд-
ра [53]
1, 2) B59)
ж построить перенормированные вершинные части согласно
В частности, мы имеем
ri(l)=—rii(l); B61a)
Г2A, 2)=—^12A, 2); B616)
^i 0)
Т (] 9\ П-1(] 9\' (9f\9*\

Г,A. 2; 1', 2') = -ЩТГЙЬ^ -**1' 2: »'• 2')=
fiG-Ml.2)
Г, A,2, 3)= -- df(j)|g ; BоЗа)
Г,A, 2; 1', У, 1", 2")= - **G(A".22")V2 } • B63б)
Уравнение для /С возникает после дифференцирования уравнения Дайсона B046)
\l 53]
/ГA, 2; И, 2')+ 0A, 1HB,2OA, 2; Г, 2')К(\, 2; И, 2') =
= [0A, l')GB, 2')]sza\/2 [0A, l'HB, 2') + A'<—2')]- B64)
Здесь
д? A 2}
/A,2; V, 2') -80U; 2,/|f, B65)
и мы использовали правило цепи <62/6т]2= F2/60) F0/бг\2). Уравнение B63)
или его альтернативная форма
K-i=(G-lG~l)s-{-I B66)
называется уравнением Бете — Солпитера (УБС) [53]. Ядро взаимодействия /,
которое описывает «врожденные» двухчастичные корреляции, уже было введено
при изучении Г. Действительно, сравнивая уравнения B64) и B04а) и исполь-
используя B65), видно, что
К{\, 2; П 2) Y (Г 2^3) = 0A, 1) О B, 2) Г (Т, % 3), B67)
и, следовательно, имеем симметричное представление
2A, Г)= — — yA, 2, 3)/СB, 3; 3, 2) y (I, 2", Т). B68)
Если в уравнении B65) полностью пренебречь /, то отсюда получается ППВ.
Решение получающегося в результате «неперенормированного» УБС
K~(GG)S B69)
аналогично в определенном смысле приближению G^^G^°\ выведенному из урав-
уравнения Дайсона при пренебрежении 2. Лучшая перенормировка получается, если
оставить /, но аппроксимировать его форму, т. е. аппроксимировать функцию,
обратную К. В частности, мы пишем
1 B7о)
что следует сравнить с уравнением B68). Уравние для Гг получается дифферен-
дифференцированием уравнения B66):
Г2= _-l(G-iG-iG-i)s_a//$G. B71),
Если пренебречь перенормировкой двухчастичной вершинной части и оста-
и оставить только первый член в уравнении B70), то придем к уравнению
/A,2; Г|2/)«-ГA,3,2)ОC|3)Г(ГД2/). B72)
15—3283 225

Сложность результирующего самосогласованного уравнения B66) для К по-
подобна в пространстве двухчастичных функций сложности ППВ, которое опи-
описывает одночастичные функции.
Мы можем найти точки соприкосновения с предыдущими выводами в п. 6.2,
если умножим уравнение B64) слева на G~lG~[ и на у справа, и затем исполь-
используем уравнения B72) и B67). Таким образом,
T-FGTGGT^y, B73)
что как раз есть результат, полученный при обрезании разложения B14)
в третьем порядке. Однако, если проигнорировать очевидный резонанс в уравне-
уравнении B66), то можно записать
K=(l-\-GGI)-l(GG)s^(GGK—GGIGG. B74)
Подходящее выражение для / в этом приближении получится, если продиффе-
продифференцировать уравнение B66) и использовать уравнение B74)
I^yGy. B75)
Получаем в результате разложение, которое с помощью уравнения B67) можно
записать в форме
T^y+yGyGGy, B76)
что точно соответствует обрезанию разложения B13) в третьем порядке. По-
Поскольку оно нарушает фундаментальное правило A59), неудивительно, что это
плохое приближение.
Следующее состоятельное приближение включает предположительно трехчас-
тичные функции и верщиндые части, причем перенормировка трехчастичных вер-
вершин не проводится. Насколько нам известно, это приближение никогда не иссле-
исследовалось ввиду его очевидной сложности, по-видимому, практическая ценность
этого приближения нулевая. Однако здесь имеется некоторый академический
интерес. Важно, что прямое разложение любого столкновительного оператора
2, / ... раскладывает резонанс в некотором пространстве /г-тел и приводит
к - уравнениям, содержащим расходимости. Последовательность приближений, ко-
которую мы развиваем, есть один из способов представления продолженных частей
статистики, как это можно видеть из записи точной системы Дайсона — Бете —
Солпитера в символической форме:
Объем статьи не позволяет рассмотреть другие аспекты формализма работы
[1], включая использование представлений функциональных интегралов, прило-
приложения группы перенормировок, и трактовку негауссовых начальных условий.
Относительно последних мы отсылаем читателя к работе Роуза [51], которая
появилась недавно и не обсуждается здесь должным образом. Заметим, однако,,
что Роуз показал, как правильно обращаться с дискретностью частиц, которая
приводит вследствие эффектов самокорреляции к сильной негауссовости стати-
статистики.
В заключение мы предупреждаем, что формализм Мартина и др. [1] не спа-
спасает от всех бед. Важным препятствием для некоторых приложений является
226

то, что он основан на эйлеровых уравнениях, в то время как с определенными
статистическими корреляциями удобно обращаться к лагранжевой системе (см.
§ 5 и п. 7.3). Сейчас представляется, что этот формализм наиболее системати-
систематический из всех приводящих к рабочим процедурам замыкания. Остается посмот-
посмотреть, будет ли этот подход адекватен практическим приложениям, которые встре-
встречаются в лабораторной и космической плазме. Несколько результатов в этом
направлении рассмотрены в § 7—10.
7. ГИДРОДИНАМИКА II
7.1. Введение. В этом разделе мы исследуем приложения техники перенор-
перенормировок к практическим задачам, включающим жидкостную динамику плазмы.
В частности, обсудим некоторые особенности уравнений Хасегавы — Мимы [54],
которые, как предполагалось, охватывают определенные существенные элементы
нелинейной динамики дрейфовых волн. Обсуждение физической состоятельности
этих уравнений выходит за рамки данной статьи. Заметим только, что в этой
модели не учтен ряд интересных физических явлений (что признают авторы).
Однако это упущение затеняется для настоящих целей простотой результирую-
результирующей модели.
Наше исследование не будет полным как вследствие ограниченного объема,
так и из-за того, что много работы пока еще не сделано. Выделим режим силь-
сильной турбулентности в рассматриваемой модели и проведем параллель с тради-
традиционным анализом уравнений Навье — Стокса обычных жидкостей. Здесь же
обсудим возможность каскадной перекачки почти сохраняющихся величин и воз-
возможное образование спектра в инерционном интервале. В этом контексте мы
узнаем, что у ППВ есть один потенциально серьезный недостаток: оно не инва-
инвариантно относительно случайных преобразований Галилея (которые определяются
в п. 7.3) и, следовательно, не способно правильно описать спектр в инерционном
интервале. Этим мотивировано краткое обсуждение некоторых предлагавшихся
приближений, близких к ППВ.
В безразмерной форме уравнения Хасегавы—Мимы имеют вид:
-r J] Afk|p>q9p@9q@. B78)
k=p+q
где
Mk|p,q = Mk|q>p- B79)
Здесь время и пространственные координаты нормированы
к соеГ1 >{(dci^eB/miC) и ps= (Ге/тгI/3/соСг соответственно, фк =
= едк/Те, где 6к — электростатический потенциал, и со*(к) =
= [kycTe/eBLn(dci A + k2) ], Ln — характерный масштаб изменения
плотности. Возможно наличие вязкости или затухание Ландау,
а также действие внешней силы, но они явно не выписаны в урав-
уравнении B78). Предположим, что М=0у если только сумма их двух
15* 227

последних аргументов не равна первому. Далее замечаем, что
= 0; B80а)
_q|k р=а
B806)
Уравнение B78) имеет два квадратичных интеграла движения
B81а)
r B816)
Здесь пространственное интегрирование производится по двумер-
двумерной ячейке со стороной L. Единица в члене 1+&2 возникает вслед-
вследствие сжимаемости параллельного движения электронов [54] и,
таким образом, представляет важное физическое различие между
уравнением B78) и двумерным уравнением Навье — Стокса. Все
же между ними много сходства. Так, если пренебрегать сжимае-
сжимаемостью в уравнениях B81), то W и U сводятся соответственно
к энергии и энстрофии *, Е и Q — интегралам уравнения Навье —
Стокса без вязкости.
7.2. Точные следствия уравнений Хасегавы—Мимы и родствен-
родственных им уравнений. Здесь обсудим точные результаты и физиче-
физические явления, связанные с уравнением B78). Хотя эти моменты
не имеют непосредственного отношения к перенормировке, важно
разобрать их для того, чтобы оценить, какие величины следует
вычислять в перенормированных теориях. Обсудим сначала рав-
равновесное состояние, описываемое уравнением B78).
Важность квадратичных интегралов состоит в том, что они со-
сохраняются при любом обрезании уравнения B78), которое убира-
убирает все члены, включающие любой волновой вектор, значение ко-
которого превышает некоторое произвольное значение верхнего век-
вектора отсечки &> или меньше, чем произвольный вектор нижней
отсечки. Это свойство можно использовать в сочетании с теорией
равновесной статистической механики (см. [55] и другие цитиро-
цитированные там работы), чтобы предсказать свойства равновесного ан-
ансамбля для уравнения B78). Действительно, если рассматривать
в усеченной системе действительную и мнимую части <р« как неза-
независимые (или эквивалентно 9^ и ?\)' то равновесное распреде-
распределение есть [54]
Р {9k}=N exp {-aW-fiU}, B82)
где N — нормировочный множитель. Обратные «температуры» а и
* Энстрофия —Q = И rot v \2dx — сохраняющийся интеграл уравнений Эйлера.
228

Р должны быть ограниченными, так что N конечно. Отсюда сле-
следует равновесный спектр
-1. - B83)
Соотношение между аир для заданных сохраняющихся вели-
величин W и U получается с помощью прямых алгебраических выкла-
выкладок, если использовать уравнения B81). Сюда можно перенести
непосредственно результаты Крейчнана [55, 56], который рассма-
рассматривал аналогичное двумерное уравнение Навье — Стокса. В ча-
частности, если положить U=k2iW и выбрать k\ близким к низшей
моде системы, то спектр в длинноволновой области имеет резкий
пик. Отсюда вытекают некоторые следствия для неравновесной
динамики, которые будут обсуждаться далее.
Неравновесное состояние, описываемое уравнением B78), мо-
может возникнуть вследствие способа, с помощью которого система
приготавливается, или вследствие баланса накачки и диссипации.
Хасегава и Мима постулировали существование длинноволновой
моды большой амплитуды, которая входит в уравнение B78) бла-
благодаря взаимодействию мод М. . . Рассмотрим более общий
случай и не будем уточнять вид накачки, а единственно предпо-
предположим, что W и U постоянно впрыскиваются при некотором вол-
волновом числе ku при этом мы сохраним порядковое соотношение
U.—k2\W. Мы также предположим, что в уравнения добавлены
диссипативные члены, которые становятся важными при малых
длинах волн. Здесь возникает общий вопрос: достигается ли асимп-
асимптотически равновесное состояние, в котором устанавливается ба-
баланс диссипации и накачки, и, если так, какова будет в результате
зависимость <| <р- |2> от волнового числа.
Обсуждение этого вопроса полезно начать с рассмотрения зна-
знаменитой гипотезы Колмогорова о спектре энергии в инерционном
интервале [57] (см. также [58] и указанную там литературу).
Для того чтобы получить классическую задачу Навье — Стокса,
пренебрегаем временно сжимаемостью в уравнениях B78), так что
W—>•?, U—иЯ, и также пренебрегаем коллективными колебания-
колебаниями с со* (которые могут оказаться важными при больших длинах
волн). Запишем
= ldkE(k). B84)
Давайте временно пренебрежем сохранением U и предположим,
что энергия Е инжектируется со скоростью е. Если /^-пространство
разбито на октавы, kn=2nK<, то плотность энергии Еп в л-й зоне
пропорциональна Еп^и2п, где Un^'kn 9* (ЕХВ — скорость в без-
размерных переменных) и под ип понимается разность скоростей
в точках, разделенных характерным пространственным масшта-
масштабом kn~l. Предположим, что инерционный интервал существует,
22D

т. е. есть область волновых чисел, в которой нет ни прямой под-
подкачки, ни заметной диссипации. Предположим далее, что перекач-
перекачка энергии между зонами локальна, т. е. прямое взаимодействие
существует только между соседними зонами.- При этом, как только
значительная энергия попадает в инерционный интервал, скорость
перекачки энергии между соседними зонами должна быть посто-
постоянной и равна 8, которая может быть оценена как е^Еп/тп, где
«время оборота вихря» хп—\knun)~l есть время, за которое сдвиг
скоростей на масштабе kn~l поворачивает вихрь этого масштаба
1 раз. Тогда unr^(>e/k)l/3f и поскольку локальность подразумевает,
что энергия в л-й зоне порядка kE(k), то
E(k)^e2/3k-^. B85)
Мы получили знаменитый колмогоровский спектр энергии. Заме-
Заметим, что о размерности пространства не делалось никаких предпо-
предположений. Было сделано два существенных предположения: о су-
существовании единственного интеграла движения и о локальности
каскадной перекачки. (В той мере, как энергия в я-й зоне появ-
появляется через конечное число этапов перекачки, локальность не мо-
может быть строгой. Это приводит к интересному вопросу о дискрет-
дискретности. Дальнейшие детали — см. [58] и указанную там литера-
литературу.)
Направление потока энергии при колмогоровском подходе не
определяется. В классических моделях энергия подводится
к длинным волнам и предполагается, что она поглощается с той
же скоростью в коротких волнах, создавая асимптотически по
времени стационарное состояние. Этот результат, «прямая» пере-
перекачка к коротким волнам, согласуется с видом абсолютно равно-
равновесного ансамбля для этого случая, которым является равносте-
равностепенной спектр Е (k)fk=const. Таким образом, согласно уравнению
B85) коротковолновые моды находятся гораздо ниже равновесно-
равновесного уровня, что предполагает перекачку подводимой энергии к этим
модам.
Эти рассуждения не оправдываются, если допускается второй
квадратичный интеграл Ю или Q [56]. Простая перекачка энергии
к коротким волнам будет сопровождаться перекачкой энстрофии;
однако это несовместимо с постоянством Q, вклад коротких волн
в которую наибольший. (Это проще рассматривать в контексте на-
начальной задачи, когда вся энергия и энстрофия сосредоточены
около волнового числа накачки, а не в контексте асимптотически
стационарного состояния.) Если сохранить некоторое предположе-
предположение о локальности, то единственный возможный вывод такой:
энергия перекачивается вниз от k\ с колмогоровским спектром,
в то время как энстрофия перекачивается вверх со спектром
B86)
Здесь ц есть темп перекачки (или подвода) энстрофии, и зависи-
зависимость B86) вытекает из анализа размерностей, подобного при-
230

веденным выше рассуждениям Колмогорова. Снова можно думать,
что существование каскадной перекачки есть результат безуспеш-
безуспешного стремления системы достичь абсолютного статистического
равновесия. В частности, признаком нисходящей перекачки энер-
энергии в двумерном пространстве является резкое обострение рав-
равновесного спектра в окрестности малых волновых чисел накач-
накачки k\.
Введенное только что свойство двойной направленности кас-
каскадной перекачки качественно не меняется при включении сжи-
сжимаемости. «Обратная» перекачка энергии имеет, таким образом,
важные следствия для теории насыщенной, стационарной дрейфо-
дрейфовой турбулентности. Хотя коротковолновая диссипация будет ус-
успешно отводить энстрофию, в настоящей модели нет механизма
поглощения энергии в длинных волнах. Следствием этого является
то, что турбулентность не насыщается (это составляет предмет
важной проблемы о существовании асимптотического каскада, ко-
которую мы обсуждаем в следующем разделе). Подходящим меха-
механизмом затухания длинных волн является магнитный шир, обсуж-
обсуждение этого, однако, выходит за рамки данной статьи.
Фактически простая форма B86) каскада энстрофии не совсем
корректна. Если мы утверждаем, что среднеквадратичная раз-
разность скоростей на масштабе kn пропорциональна krT2 раз энстро-
энстрофии йп в этом масштабе, которую можно оценить, используя
уравнение B86), как
то мы видим, что каждая октава ниже kn дает равный вклад в Qn
и, таким образом, каскадная перекачка энстрофии не является ло-
локальной. Логическая самосогласованность и некоторая степень
локальности могут быть восстановлены модификацией уравнения
B86) с помощью логарифмического фактора [56]. Однако низкая,
степень локальности каскада энстрофии подразумевает, что долж-
должно быть много октав в /^-пространстве, прежде чем асимптотиче-
асимптотический спектр проявит себя. Для дрейфовой турбулентности это мо-
может оказаться нереальным. В коротких волнах нелинейное взаи-
взаимодействие значительно ослаблено влиянием конечного гироради-
уса ионов; в длинных волнах становятся важными осцилляторные
и дисперсионные свойства колебаний и подходящее описание дает
теория слабой турбулентности. Тем не менее важно понять, каким
образом сформулирс^вать количественно описание каскадной пере-
перекачки, так как это даст полезный подход к статистическим свой-
свойствам уравнения B78) в динамике и статике. В конце концов при-
приходится обратиться к приближенной процедуре замыкания, подоб-
подобной ППВ, которая обсуждается в следующем разделе. Удобно,
однако, начать с указания определенных точных следствий урав-
уравнения B78).
231

Перейдем к пределу непрерывного изотропного ^-спектра и
запишем уравнение B81а) в виде
где
B87а)
B876)
(Изотропия не может быть полной при достаточно больших дли-
длинах волн.)
Уравнение баланса для W(k) следует из B78), так что имеем
X Мк j _р __q Re<cp (p) cp (q) 9 (k)>I = « \dpdqT {k\p, q), B88)
где
-k I p, q
- B89)
[Поскольку мы опустили источники и стоки, уравнение B88) вер-
верно только в инерционном интервале.] Область интегрирования оп-
/ ;
Ч
Рис. 1. Область интегрирова-
интегрирования в пространстве абсолют-
абсолютных значений волновых век-
векторов
я
Рис. 2. Геометрия фун-
фундаментальной тройки
волновых векторов
ределена на рис. 1 и ограничивает р я q так, что k, p и q образуют
треугольник. При получении окончательной формулы B89) вос-
воспользуемся геометрией, указанной на рис. 2, предполагая, что
тройные корреляции ф изотропны, и заметим, что Мк . можно
полностью выразить в терминах волновых векторов через теорему
232

косинусов, а затем использовать результат
I dpdqb (k-|- p -|~q) F (k, p, q) =
oo 2w
= \ pdpqdqF f flfpdyS (k — p cos Y —- <7 cos 8) 8 (/? sin Y — q sin 6) =
о о
B90)
справедливый для любой функции F> зависящей только от величи-
величины волновых векторов. Используя уравнения B80), можно про-
проверить, что '
T(k\p, q)+T(p\q, k)+T(q\k, p)=0; B91a)
k*T(k\p, q)+p4(p\qf k)+q*T(q\k, p)=0. B916)
Эти соотношения являются выражениями детального — по трой-
тройкам — сохранения W и U соответственно. Они непосредственно
приводят к уравнениям B81), а также могут быть выведены из
последних.
При обсуждении каскадной перекачки полезно определить ско-
скорости, с которыми W и U перекачиваются через заданную поверх-
поверхность в /^-пространстве. Так,
k _
-. . \ (Л гС I / ' < > I ~ S . I Zj \J Zj I
dt J \uwf U(*) f V ;
Выкладки с использованием уравнений B91) показывают, что
k 0
k oo
- J d~k I.i J j dpdqT (k \p,q). B93)
0 k
Фактор сжимаемости «1» осложняет анализ каскада. В даль-
дальнейшем обсуждении интервалов подобия мы будем игнорировать
эту единицу как в целях простоты иллюстрации, так и потому,
что мы ожидаем, что истинный ответ окажется качественно подо-
подобен. В этом случае анализ сводится к уже проделанному Крейч-
наном [56] для перекачки энергии и энстрофии в двумерных урав-
уравнениях Навье — Стокса. Мы постулируем самоподобное решение
для перекачки энергии
E(ak)/E(k)=arn, B94)
где
?(?)?2FJХ B95)
233

Анализ размерностей показывает, что
T(ak\ap, aq)/T{k\p, q) =a~A+3'»/2. B96)
Тогда можно показать, что для того, чтобы обеспечить равенство
П(&) и е независимо от k, необходимо выбрать п = —5/3, и в этом
случае
1 00
e=[dv[dw>\ (v, w; 5/3;T(l\v, w), B97)
0 k
где
— C»1 — 1) { Д } In (o- *) ^ 0. B98)
Соответствующее выражение для A(k) оказывается равным нулю.
Аналогично для перекачки энстрофии ^-независимость Л(&)=г]
лриводит к п=3 и к
k 00
т] = Г dv [ dw»2 (у, w\ 3) Г A1 v, w). BG9)
? i
В этом случае равен нулю ассоциированный поток энергии ()
Интегралы по v и w в уравнениях B97) и B99) выражают вклад
в перекачку соответствующей величины в терминах всех возмож-
возможных видов треугольников векторов, в то время как фактор со воз-
возникает при интегрировании по размерам треугольников. Деталь-
Детальный вид T(l\v, w) должен определяться при приближенном замы-
замыкании.
7.3. Процедуры приближенного замыкания и инвариантность
относительно случайных преобразований Галилея. Рассмотрим
сначала ППВ для уравнения B78), которое может быть немедлен-
немедленно выписано, если использовать формулы, данные в § 5 и 6. Урав-
Уравнение баланса энергии приводит к формуле
t
—оо
-h\P. Д ('• Ъ С* С '7 Яр С; t)~bk{ p, fk (t> О Cp (t, T) Rq (t; T)\, C00)
1; C0ia)
где
ад ?)^A+&2)<<р2>*. C02)
234

Заметим соотношения
*;; C03a)
ip., ,i*.,. C036)
В стационарном состоянии можно строго написать, что
Cp(t, T)=Cpcp(t-i) C04)
при некоторых ср(х) и Ср=Ср@), так что уравнение C00) сво-
сводится к
Т <* IР' Я) = ^ Re [2ak, р> ,в4. p, ~CpCq -bk{p: ,0,.,. *СД -
C06)
В принципе временная зависимость с(х) и /?(т) в ППВ получается
прямым решением связанных двухвременных уравнений для С и
R (которые мы здесь не выписываем детально). В качестве менее
детальной процедуры можно предположить простую функциональ-
функциональную форму для С и R, включающую несколько неизвестных коэф-
коэффициентов, и попробовать определить эти коэффициенты. Обычный
выбор, точный в абсолютном равновесии, состоит в том, что пред-
предполагается ck(r)—Rk(\x\). В качестве функции отклика можно
выбрать
/?л(т) =ехр{[—ico*(&)— OkhY C07)
В инерционном интервале можно предполагать, что <3k доминирует
над ©*(?), и в этом случае
вм,«= (Ok+op+oq)-1. C08)
Если гипотеза Колмогорова верна, то нелинейная частота а&
должна иметь масштаб порядка обратного времени оборота вихря:
е1/3 ?2/3 (энергетический каскад);
(каскад энстрофии).
Уравнение для <3и следует из интегрирования по времени уравнения для R.
Это уравнение совместно с формулой C04) и уравнениями B92) и C05) дает
пару связанных уравнений для подразумевающихся безразмерных констант
в C09), B85) и B86), если законы подобия в инерционном интервале, которые
мы предположили, согласуются с динамикой ППВ. Однако если, подставить фор-
формулу B85) в нелинейный член уравнения для функции отклика, то интеграл по
волновым числам расходится в длинных волнах. Источник этой расходимости,
который сейчас хорошо понят (см. [8, 59, 60] и имеющиеся там ссылки), пред-
представляет существенный физический недостаток ППВ.
235

В целях иллюстрации рассмотрим в качестве прототипа нели-
нелинейной задачи уравнение ведущего центра (см. п. 8.4)
JH-veVP = O, C10)
где v —скорость ЕХВ дрейфа. Рассмотрим теперь эффект добав-
добавления к каждому члену статистического ансамбля постоянного во
времени и пространстве поля скоростей vA» Если поле va постоян-
постоянно по величине и направлению по ансамблю, то его можно исклю-
исключить одновременно для всех членов ансамбля с помощью преобра-
преобразования Галилея, которое подразумевает, что статистическая ди-
динамика ансамбля остается полностью неизменной. Однако вместо
этого предположим [60], что Va имеет гауссово распределение по
величине и направлению. Предположим также, что первоначаль-
первоначальный поток скорости vE очень слаб по сравнению с Уд, так что
лриближенно
—=—ikvj-. C11)
Поскольку уравнение C11) есть просто стохастический осцил-
осциллятор (ср. § 2), ясно, что двухвременные статистические функции
будут подвергаться влиянию случайных галилеевских преобразо-
преобразований va и размешиваться по фазе со скоростью, пропорциональ-
пропорциональной k(v2}l/2. Рассмотрим таким же образом тройные корреляции
S(k, /; p, t'\ q, *")в<р(к. t)?(P> OApfo. П>> C12)
где S также подчиняется уравнению C.11). 5 является одной из
форм, встречающихся в уравнении баланса энергии для действи-
действительной турбулентности, в модели C11) ее временная зависимость
имеет вид:
S ъ exp (-ik-W - ip-vf - iq-W") = exp/—~ <V> | kf+
C13)
Для времен, неравных между собой, S распадается вследствие
конвективной расфазировки. Однако тройная корреляция при оди-
одинаковых временах S(t, t, t) инвариантна к случайной конвекции,
если мы потребуем выполнения ограничения треугольника к+р+
-|-q=0. Такое поведение является простейшей математической
идеализацией физического утверждения, что мелкомасштабные
структуры потока будут просто сноситься крупномасштабными
флуктуациями, без какого-либо внутреннего разрушения (или же
/только с передачей энергии к другим малым масштабам). Это
предположение, одна из форм свойства локальности в ^-простран-
^-пространстве, подразумевалось в нашем выводе закона Колмогорова и
является значительно более общим, чем в приведенном выше при-
примере. Однако оно нарушается ППВ. В ППВ перекачка энергии П
236

или Л выражается в виде интеграла от двухвременных функций.
Поскольку на последние влияет (правильно) конвективный пере-
перенос мелкомасштабных структур крупномасштабными, то П и Л
также испытывают влияние (неправильно). В итоге из-за неспособ-
неспособности ППВ правильно отразить стохастическую галилеевскую ин-
инвариантность возникает расходимость в уравнении для R при
со* = 0. Интеграл в уравнении энергии сходится. Заметим также,
что расходимость возникает в пределе нулевой дисперсии. Это
приближение в задаче о дрейфовых волнах не выполняется (равно-
(равномерно по k), хотя, по-видимому, должно быть адекватным в неко-
некоторых других задачах (см. [61]).
Имеется несколько способов «подправить» ППВ, чтобы сделать его инва-
инвариантным к стохастическим преобразованиям Галилея. Простейшее, но наиболее
произвольное приближение заключается в ограничении расходящегося интеграла
по р до p>ak, где а=0A) [59, 60]. Похожее приближение мы использовали
в нашем обсуждении сильнозамагниченной плазмы в п. 4.2, утверждая на основе
идей о броуновском движении, что только более короткие, чем k~\ масштабы
будут давать вклад в ослабление корреляций. Крейчнан [62] развил модель
пробных полей, которая дает физически мотивированный, но квазисистематиче-
квазисистематический способ вычисления ста, который эффективно сохраняет вид уравнения откли-
отклика, но модифицирует форму bhtV,q так, что только среднеквадратичный сдвиг,
а не полная энергия в длинноволновых флуктуациях влияет на передачу энергии
в инерционном интервале. Если ППВ производится по лагранжевым траекто-
траекториям, как было кратко описано в п. 5.5, проблема со стохастической инвариант-
инвариантностью к преобразованиям Галилея исключается по построению; по-видимому,
в определенных приложениях это приближение будет совершенно точным [63].
Корреляции, которые сохраняют стохастическую инвариантность к преобра-
преобразованиям Галилея, описываются в основном перенормировкой вершинных частей,
описанной в § 6. Крейчнан рассмотрел применение первой перенормировки вер-
вершин B73) к идеализированным уравнениям конвекции C11) [60]. Он пришел
к выводу, что перенормировка вершинных частей значительно уменьшает по-
погрешность в двухвременных функциях и уменьшает, но не исключает вызываю-
вызывающую большие беспокойства погрешность в одновременных функциях. Он указал,
что из-за неизбежного влияния между двух- и одновременными функциями га-
лилеева инвариантность будет проблематична в любом порядке эйлеровой пере-
перенормировки, и, настаивая на лагранжевом описании, Дюпри показал [27], что
если подходящим образом сделать марковскими уравнения Бете — Солпитера, то
это приводит к галилеевски инвариантному результату; однако, так как переход
к описанию с помощью марковского процесса был произвольным (так же как и
несколько нефизическим), то, по-видимому, это не дает количественного улучше-
улучшения по сравнению с простым обрезанием интеграла по волновым числам или
с моделью пробных полей. Вайнсток предложил [64] очень детальную и слож-
сложную процедуру замыкания, основанную на трехточечных функциях, которая, по-
видимому, пока еще не обратила на себя большого внимания.
Возможное отсутствие стохастической галилеевой инвариантности является
серьезной проблемой только в случае существования хорошо развитого инер-
инерционного интервала. Таким образом, она доставляет меньше беспокойства в тео-
теориях, где он мал, скажем в дрейфовой турбулентности, чем в теории течений
237

Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса. Когда масщтабы турбулентно-
турбулентности сравнимы (как это более или менее выполняется для дрейфовой турбулент-
турбулентности), конвекции 0ез деформации нет, и можно утрерждать, что ППВ будет
количественно достаточно точно. Это еще один пример общеизвестного мнениям
что ППВ более подходит для плазмы, чем для обычных жидкостей.
8. Диэлектрический отклик в бёсстолкновительной
плазме
8.1. Введение. Роль диэлектрической функций е(к, со) в описа-
описании поляризационных эффектов и коллективных осцилляции хоро-
хорошо известна как в общей теории диэлектрической среды [14], так
и в линейной теории плазмы [65]. В этом разделе мы разовьем
перенормированную теорию 8 и опишем некоторые ее свойства и
следствия. Приложения, в которых использовалась правильная фор-
форма перенормированной диэлектрической проницаемости, довольна
редки; в значительной степени это область активных исследова-
исследований. Однако мы кратко обсудим две модельные задачи — сильно-
замагниченную плазму и определенную модель дрейфовых волн,,
которые служат как информативные прототипы дальнейших вы-
вычислений в сильной и слабой турбулентности соответственна.
Исторически первые попытки получить перенормированную ди-
диэлектрическую проницаемость основывались на развитой н линей-
линейной теории интуиции. В электростатическом приближении линей-
линейная диэлектрическая проницаемость есть (при В=0)
Часто фактор причинности i6 интерпретируют как следствие ма-
малой доли турбулентных столкновений. В ранних перенормирован-
перенормированных теориях [21, 22, 66] заключалось, что этот член следует заме-
заменить конечной шириной линии 6у, связанной с турбулентной диф-
диффузией. Функция /@), появляющаяся в линейной теории, остается
также и в нелинейной, но интерпретируется в смысле среднего
распределения </>. Таким образом, утверждалось, что нелинейная
диэлектрическая проницаемость может быть получена из линейной
согласно правилу
е (к, со; {</>} =е«> (к, co+iSv к; {<f>}), C15)
где в двух хорошо известных пределах 8у. есть
2Z)I/3 (незамагниченная диффузия в пространстве
скоростей); C16)
b\D (сильнозамагниченная диффузия в х-прост-
ранстве).
238

Если корни линейного дисперсионного соотношения е(/)(к, о))=О
есть
то уравнение C15) приводит к следующему нелинейному диспер-
дисперсионному соотношению:
C18)
В этом приближении турбулентность дает нелинейное затухание
бу/е во всех модах, так что система полностью стабилизируется,
когда уровень турбулентности станет таким, что
8Tk>Yi') (все к). C19)
Если доминирует диффузия поперек поля в реальном пространст-
пространстве, как в случае ЕХВ турбулентности, то уравнения C19) и C166)
приводят к следующему критерию насыщения:
D^^lk\. C20)
Иногда это выражение можно использовать, чтобы найти спектр
турбулентности в насыщении, если известна формула для D в
терминах <ф2>.
Формула C20) устанавливает, что система приходит в насы-
насыщение, когда частицы диффундируют на одну длину волны за
время усиления поля в е раз. Аргументы этого типа использова-
использовались в оценках времен удержания и законов подобия для устано*
вок с удержанием плазмы [67]. Однако, хотя такие оценки могут
быть полезны в некоторых целях, необходимо подчеркнуть, что
представленные выше предписания имеют несколько значительных
физических недостатков. Наиболее важно, что в «теории резонанс-
резонансного уширения» в общем случае не сохраняется энергия [68—70],
т. е. нелинейный отток энергии от всех мод (связанный с 8yk) не
проявляется в виде нагрева резонансных частиц и не может быть
отнесен еще к чему-нибудь; это противоречит факту изолированно-
изолированности системы. Эта трудность возникает, потому что уширение про-
пагатора, который приводит к уравнению C15), описывает воздей-
воздействие турбулентной среды на частицы и не описывает обратную
реакцию этих частиц на среду. Эта обратная реакция, необходи-
необходимая для сохранения энергии, должна быть отнесена к перенорми-
перенормировке функции распределения частиц, которая не рассматривает-
рассматривается примитивной теорией, замещающей /@) линейной теории на </>.
Мы кратко выведем точное выражение для перенормированного
распределения.
Отсутствие отклика среды в теории резонансного уширения
отвечает также и за другую проблему: детальный вид резонанс-
резонансного уширения C16) не верен. Уравнение C16) описывает диф-
диффузию голых частиц, однако точно так же, как и в теории слабой
турбулентности, поляризационные поля, связанные с диэлектриче-
диэлектрическим экранированием этих частиц, уменьшают чистый диффузион-

ный эффект турбулентности. В п. 3.4 при исследовании сильноза-
магниченной плазмы мы приведем точный, хотя и несколько искус-
искусственный, пример.
Другим недостатком теории резонансного уширения является
то, что, если принять буквально предложенный механизм ушире-
уширения, то из него вытекает, что на пороге устойчивости останется
только линейно неустойчивая мода, а остальные затухнут. Такое
одномодовое состояние в общем несовместимо с предположением
стохастичности или турбулентностью. В конечном итоге из теории
стохастической неустойчивости ясно, что описание в терминах диф-
диффузионных коэффициентов подходит только для стохастической ча-
части фазового пространства. Формулы, такие как уравнение C15) ^
не учитывающие зависимость фазового пространства от бу, яв-
являются, таким образом, в лучшем случае приближениями, которые
следует оправдывать. Приходится признать, что трудно построить
аналитическую теорию, которая правильно описывает обе, адиаба-
адиабатическую и стохастическую, области, так же как и переходную
зону между ними; однако этой проблемой нельзя пренебрегать, г
Не следует заключать, что ранние теории перенормировок содержали только1
правдоподобные аргументы. Наоборот, математически они были столь детальны,
что природа пренебрегаемых членов была несколько неясна (так же, как в ран-
ранних выводах ППВ), В своем изучении самосогласованной турбулентности бес-
бесстолкновительной плазмы Дюпри [21] разложил спектр на множество «фоновых»
'Волн плюс малое число «пробных» волн. (Разложение было несколько произволь-
произвольным; в частности, пробные и фоновые волны были физически неразличимы.)
Затем он формально проинтегрировал точное уравнение Власова, рассматривая
пробные волны как источник. Окончательно он усреднил результат и воспользо-
воспользовался определенной процедурой замыкания. В целом его построение не было не-
непохоже на первоначальный вывод ППВ Крейчнаном. Было, однако, одно очень
важное различие: в подходе Дюпри поля и пробные волны предполагались за-
заданными до самого конца вычислений, в котором вступало в действие уравнение
Пуассона. Это означает, что самосогласованность трактовалась некорректно (чта
легко проверить, замечая, что не получается правильный предел слабой турбу-
турбулентности); фактически процедура была более подходящей к задаче стохастиче-
стохастического ускорения. Хотя мы не станем задерживаться на этом, однако отметим,
что дело в том, что инфинитезимальная функция отклика R и точный оператор
интегрирования по траекториям U не в точности одно и то же; статистические
корреляции, которые можно интегрировать в низшем порядке теории для R, могут;
оказаться важны в теории такой же сложности для . Вайнсток сформули-
сформулировал задачу о турбулентности бесстолкновительной плазмы в терминах опреде-
определенных проекционных операторов [71, 72] (см. п. 10.2), которые осуществляют
статистическое усреднение. Обрезание его разложений в низком порядке также
нарушает самосогласованность (хотя, в принципе, вся физика включена в его
формальное представление решения). Л. И. Рудаков, В. Н. Цытович вычислили.
[73] массовый оператор, добавляя неизвестный «оператор эффективных соуда-
соударений» v к обеим сторонам флуктуационного уравнения Власова и затем выбирая
v так, чтобы исключить наличие особенностей до определенного порядка. Хотя
их процедура является определенным улучшением, такие методы (см. также
?74]) сталкиваются с трудностью, состоящей в том, что в перенормированной.
?40

теории трудно определить понятие «порядок», действительно, они не получил**-
всех членов данного порядка в обобщенной асимметричности.
Функциональная техника, развитая нами, идеально подходит, однако, длят
того, чтобы иметь дело с проблемами самосогласованности, так же как и с дру-
другими недостатками теории резонансного уширения. Действительно, вариация
уравнения Власова относительно внешнего источника дает вклад E-d&f + dE-df*
оба слагаемых которого возникают из-за симметризации, которую мы наложили^
на U. Только первый член остается в обычных приближениях теории резонансно-
резонансного уширения, делая ясной ее ;связь с задачей стохастического ускорения.
8.2. Перенормированная диэлектрическая проницаемость. Что-
Чтобы определить диэлектрическую проницаемость, представим зон-
зондирование турбулентной бесстолкновительной плазмы внешним
неслучайным полем Е<?. В результате возникнет индуцированное
поле Е/:
0}). C21),
Выразим возмущение полного среднего поля плазмы в виде функ-
функционального ряда по степеням Ее:
. C22))
Значок «1» обозначает состояние «1» с исключенной скоростью vb
Мы может теперь определить функцию диэлектрического от-
отклика е как коэффициент пропорциональности между внешние
полем и откликом первого порядка:
. Г)- (^.у C23>
Эта наблюдаемая содержит эффекты всех порядков в фоновой
турбулентности.
Мы можем вычислить -б//бЕе, используя формализм функций
отклика § 6. Из формул B41) и B42)
8<f(l)>=-<f(l)TB)fC)>+E#B).dieB-3); C24а)
8 < f A) >/8Е. B) = - J dv2 < f A)?B) dj C) >+ j3=2. C246).
Записывая тройной момент в терминах тройного кумулянта и
вспоминая, что <f>E=O, получаем
16—3283 24 H

1 A; 2) = 8A- 2) -A_, T) Jrfv2 j>(T; 2)d,<f B) >
2> 1}
> — > -hi 13=2
Это выражение можно переписать в терминах перенормированных
вершинных частей, используя уравнение A99). Применяя очевид-
очевидные операторные обозначения, находим
г~1=1-Е/? •<?/, ' C27)
где
T C28а)
dbf(Г, 2)^Jdvt[dtCB, 2)Г {^ |
C, 2I. C286)
При получении C286) мы заметили, что слагаемое
C(l, 3)d,RC;T;r J^-2, 3^|/?B; 2)|3=2 C29)
тождественно равно нулю вследствие причинности. Поскольку
; 3), C30)
1 }R(> ){1;
получаем
(CRT){1, 2) = g{3; 2' 3Ч /?-гC'; 3)СC, 1) = 0, C31)
\ +» —' —"I 13=2
вспоминая соглашение упорядочения времени, которое мы приняли
в п. 6.3.
Можно упростить уравнение C27) далее, заменяя функцию
отклика на другую функцию, так называемый пропагатор частицы
g. Заметим, что так как
2A, T) = S(T, 1)= — 1/2ГA, 2, 3)GB, 2)GC,)yC, % f), C32)
мы имеем
; +,+}cB, 2) +
+ Г j ^ ^ 3 J /? B7 2) 1 /?C, 3) 0 C, 2, Т). C33)
Используем далее форму С7, данную в уравнении A51), и опреде-
определим 2' как ту часть 2, которая не содержит Е оператор, дейст-
действующий направо:
[ / l 2 3 ]еC, 2)СB, 2) +
I
242
1.! !i 3 J>EC, 2)/?B; 2I/?C; 3)-дг8C-Т). C34)

Теперь пропагатор частицы определяется так, что он удовлетво-
удовлетворяет J
[I^+JIj^I. C35)
Теперь уравнение функции отклика может быть записано в терми-
терминах §:
Из уравнения C36) следует
^ / ER=(\ + Eg-df)-iEg> , C37X,
так что можно переписать уравнение C27) так:
B-* = l-(l + Eg-dJ)-lEg.dJ да,;
или
e=l + Eg-df, C38 V
откуда
ER=&~lEg; C39).
R=g(l-dJ-e-lEg). C40).
Формулы C38) — C40) имеют структуру, идентичную соответ-
соответствующим результатам линейной теории. Сравним уравнение C40)
с A57а). Мы видим фактически, что правильная процедура, кото-
которая преобразует линейную диэлектрическую проницаемость в пе--
ренормированную, состоит в замене
g{0)-+g\ C41а)
i6-HZ'; C416)
/<°>->f- C41 в)
8.3. Диэлектрическая проницаемость и пропагатор в прибли-
приближении прямого взаимодействия и редукция к теории слабой тур-
турбулентности. В ППВ мы имеем Т=у. По построению единственные
неисчезающие у содержат точно только один «—» индекс, так чта>
в ППВ
;
Г(-, ~, +)=0. C426)/
Затем, если определить корреляцию полей
(g(l>2) = <8E(l)8EB)> = E(bT)EBr 2)C(T, 2),
то согласно [75] находим
3> l) + E/?(I,3)<8EC)8f(l)>]X
Т); C43>
d8f(l, 2) = Jdvi[di<8/B)eE(l)>.d1J?j(Ti.2) +
+ д,д CB,~1)-E/?(I; 2)]:. C44)^
16* 243^

Возвращаясь к уравнениям C39) и C40), мы распознаем два
типа членов в уравнениях C43) и C44): содержащие точный мно-
множитель е и не имеющие такого множителя. По причинам, кото-
которые вскоре станут ясны, мы называем эти последние члены «диф-
«диффузионными» и обозначаем их индексом d, мы называем первый
тип «поляризационными» членами и помечаем их р. Таким обра-
образом, запишем [761
2'=2«0+2<р>; C45)
Sf = Sf<d> -f- S/(P). C46)
где
A Л) = - a, • [a A, 2) S B. Щ • 028 B - T); C47a)
'Eg) A. 2) $ B. ±I -dt« B - T); C476)
2) = - J dv2 [d, <5/ B) 8E (I) >] • dig (Г, 2); C48a>
(T, 2)=-Jrfvt{[d1dfCB, Т)]-(в-%)(Г, 2)-
-d1<8fB)8E(T)>].[d1(^d7t-I-Eg)('I, 2)]. C486)
Чтобы увидеть, что 2(d) заслуживает своего названия, рассмотрим
действие 2(d) на
J
J J v; v)g(p-jT, т-Г, v; v').
—oo —oo
C49)
Если S(d) имеет пик по р и т относительно g и если g в 2(rf) берет-
берется примерно пропорциональным 6(v2—vr), мы может свести урав-
уравнение C49) к марковскому согласно
x, у; v'); C50)
rv2?(p, *, v; v2)(g(p, x) =
б —00 —00
00 00
= Jd* J dv2 2 gk_q (*. v; v.) q/^q. C51)
о —oo q
Предел выражения C51) при к-Я) есть коэффициент диффузии,
используемый в теории резонансного уширения. 2(rf) является
единственным членом, сохраняющимся в задаче стохастического
ускорения, где Е задается стохастически. Однако для самосогласо-
самосогласованной задачи члены 2(р), 6f(rf) и 6р> одинаково важны.
Чтобы продемонстрировать связь формул C38) и C45) —C48)
с обычной теорией слабой турбулентности, разложим уравнение
C38) по степеням интенсивности флуктуации [53, 75, 76]. Из урав-
244

нения C35) находим
g=[{gW}-*+Z']-*=gV>-gM2'gW+.. ., C52)
здесь разложение законно вне резонанса волна — частица. Урав-
Уравнение C38) преобразуется тогда в
e=l + E?(°>-d</>+Eg<°>. (d6f-2'ff<°«</»+-.., C53)
где 6/ и 2' должны быть вычислены до низшего нетривиального
порядка по <б?2>. В этом месте мы используем линейную версию
уравнения для <б/б/>,
№0)}~1С+дф- ЕС~0, C54)
чтобы найти
Г)8ЕA')>; C55а)
>(l\ 2)X
X д- < f >< 8Е (Т) 8Е B) >. C556)
Подставляя эти результаты в уравнения C47) и C48), т. е. в
C53), и симметризируя окончательно, мы приходим к выражению
для диэлектрической проницаемости, верному до порядка Е2. Если
это выражение подвергнуть фурье-преобразованию, то получается
обычный результат теории слабой турбулентности
е=в<'>+в<я>, C56)
где
(/)J> C57)
— линейная диэлектрическая проницаемость и
ч
X(k-q\-q. k)\Iq C58)
— нелинейная диэлектрическая проницаемость с точностью до
О(Е*)
2)[k.difirJ>B; 3)ka-d3<fC)> +
C59)
; 3)X
X lK-dbg™C; 4)k,.d4<f D)>+ (kt~kt)\. C60)
To, что связь с теорией слабой турбулентности может быть уста-
установлена так просто, есть важное достоинство настоящего форма-
формализма.
В уравнениях C58) —C60) 2(d) приводит к появлению первого
члена в еC), в то время как 6?(d) ответственно за правильную сим-
24S

метризацию еC). Поляризационные члены 2^ и 6/^ вместе ответ-
ответственны за слагаемые в еB)* Конечно, хорошо известно [77, 78],
что в теории слабой турбулентности слагаемое в еC\ описывающее
комптоновское рассеяние (на голых частицах), в длинных волнах
частично компенсируется слагаемым в еB), описывающим нелиней-
нелинейное рассеяние (на экранирующем облаке). В следующем разделе
мы покажем, что подобная компенсация может появиться и в
перенормированной теории.
8.4. Диэлектрическая проницаемость сильнозамагниченной плаз-
мы. В общем случае выражения C47) и C48) чрезвычайна
сложны вследствие их нелокальной зависимости от скорости. Что-
Чтобы проиллюстрировать важность введенных для самосогласован-
самосогласованности дополнительных членов 2(р), 8/(rf) и бр> для перенормиро-
перенормированных теорий, рассмотрим нетривиальный пример, в котором за-
зависимость от скорости отсутствует. Этим примером является урав-
уравнение Лиувилля для флуктуирующей плотности заряда р плазмы
ведущих центров (сильнозамагниченной плазмы)
C61а)
C616)
C61в>
Если установить соответствия
/->р; C62а)
<р*->4л;/А!2; C626)
д-> (с/В) пХ V = (с/В) nX (ik), C62в>
то уравнения C47) и C48) могут быть прямо перенесены на
этот случай. Подробности представлены в работе [79], где пока-
показано, что 2(cf) и 2(р) сочетаются таким образом, что порядок 2' по-
повышается на (kKoJ по сравнению с порядком 2(d). Подобным обра-
образом комбинируются и 6f(d) и 6f{p\ В специальном, но интересном
случае термического равновесия результат может быть записан в.
форме
•=1 + Ш(Ч- пЬ 1. C63>
где Dk — медленно меняющаяся функция от k, которая имеет ту
же пропорциональную зависимость, что и подобный бомовскому
результат A03). Дисперсионное соотношение, ассоциируемое с
уравнением C63), есть
ц)————1/С Uky ^OVJttf
что вполне разумно указывает на диффузионное затухание возму-
возмущений. Если не учитывалось 6f, то остался бы только вакуумный
член «1». Формула C63) согласуется по виду с результатом Тейло-
Тейлора [80], который использовал совершенно другую технику. При
246

приложении теории резонансного уширения к вычислению неадиаба-
неадиабатической части распределения [81] множитель k2X2D/(k2K2D+l)
заменится единицей. Соответствующее дисперсионное соотношение
будет
0|*=o' C65)
где со стремится к постоянной величине при &->0 в противоречии
как с численным экспериментом, так и с интуитивными сообра-
соображениями о диффузии вихрей.
8.5. Некоторые свойства диэлектрической проницаемости для
дрейфовых волн. Методы перенормировок в основном в виде тео-
теории резонансного уширения прикладывались в течение многих лет
к важной задаче нелинейной теории дрейфовых волн. Поскольку,
как можно оценить [22], трехволновое взаимодействие в качестве
механизма насыщения относительно неважно, внимание фокусиро-
фокусировалось на диэлектрическом отклике. Мы опишем несколько харак-
характерных черт этих вычислений. Детальным вычислениям предшест-
предшествует рассмотрение существующих в литературе дискуссий о пра-
правильной формулировке перенормированной теории дрейфовых
волн.
Дюпри заметил [22], что в модели с однородным градиентом
магнитного поля без шира волны в линейной теории удерживают-
удерживаются в интервале фазовых скоростей vu^(o/k<^vtey чтобы избежать
сильно стабилизирующего эффекта взаимодействий волна — части-
частица. Однако при наличии турбулентности спектр фазовых скоростей
может расшириться, достигая ионной функции распределения, и в
этот момент существенная ионная стохастичность и диффузия
ослабят рост амплитуд волн и, возможно, окончательно насытят
его. Требуемое уширение оказывается порядка Sv^Vd—vti^Vd, где
Vd= (cT/eBLn) — скорость диамагнитного дрейфа. И так как флук-
флуктуации скорости возникают из-за ЕХВ дрейфа, то можно полу-
получить, что
<(e?ITer>U2^(k±Lnrl C66)
есть верхняя оценка уровня флуктуации в насыщении, которая
соответствует также флуктуациям градиента плотности порядка
основного.
Дюпри попытался оценить коэффициент диффузии ионов, свя-
связанный с уравнением C66). В марковской теории, которая пре-
пренебрегает поляризационными слагаемыми, он нашел [82]
?2~I)j(jR2^1); C67)
О (Я<1)
где R — эффективное число Рейнольдса, по сути отношение линей-
линейного времени когерентности к нелинейному времени: R пропор-
пропорционально ?&2, <<p2'>1/2/W?. Тогда при у(/)<^со аргументы, осно-
основанные на формуле 4 = 4^ — k*±D, приводят к /?~^1, что соот-
соответствует C76) и очень малому D. Однако для
247

(/)((ple)y — результат, близкий результату, который
был получен Бомом или получается в теории сильной турбулентно-
турбулентности. Переход осуществляется при Я—2.
При y@^® мы будем иметь в насыщении KR^2. Потен-
Потенциальная проблема, связанная с изложенными выше оценками,
состоит в том, что система может оказаться слишком замкнутой
для осуществления перехода к турбулентности и, следовательно,
для того, чтобы эта простая статистическая теория оказалась вер-
верной. Мы здесь не может углубляться в эту проблему, которая для
плазмы практически не исследована.
Кроммее попытался еп&Фтт полученные результаты [83], доказывая, что для
R<\ резонзнеы индуцированного рассеяния на биениях дают необходимую
стохастичность в ионном распределении, но вопрос, по-видимому, пока еще
не ясен.
В теориях Дюпри [22, Е2] энергия не сохранялась. К этому вопросу впервые
обратился Галеев [68], который показал, что в правильной теории необходимо
учитывать 6f. Дюпри и Тетролт [70] повторили этот вывод для задачи дрейфо-
дрейфовых волн и вычислили эффективно 67<d>. Они пришли к заключению, что нелиней-
нелинейное затухание в каждой моде ослабляется в (?ца*гДоJ раз относительно про-
простой k2jj) оценки. Кроммес пересмотрел этот вопрос [83], включив более
аккуратно зависимость 2<d) от волнового числа, и пришел к выводу, что затуха-
затухание отдельной моды не такое, как предсказывали Дюпри и Тетролт. Действитель-
Действительно, для того чтобы выполнялось сохранение энергии, некоторые Ya п0 необходи-
необходимости должны быть положительными, в то время как другие отрицательны.
Однако результирующий обмен энергии волна — частица, пропорциональный
—2Aпте)^2<|ф/г|>2/4я> в соответствии с предсказанием Дюпри и Тетролта
уменьшался в F ц vtif<&J раз, где k^ —типичное продольное волновое число. Вы-
Вычисления Кроммеса также указали на тенденцию к перекачке энергии в длинные
волны, ставя тем самым вопрос о способности системы достичь насыщения.
Однако Кроммес, так же как и Дюпри и Тетролт, пренебрегал поляризационны-
поляризационными слагаемыми, шумом или взаимодействием волн в F (см. § 9) и динамикой
электронов.
Хиршман и Молвиг рассмотрели универсальную неустойчивость в неоднород-
неоднородной плазме с широм [84] в случае, про который в линейной теории известно,
что он устойчив. Они следовали работе Катто [85] (и, по сути, Галееву [68] )>
применяя теорию уширения резонансов к неадиабатической части электронной
функции распределения. Они пришли к выводу, что малая величина турбулент-
турбулентности будет дестабилизировать колебания, а большая величина стабилизирует
их. Подобная теория [86], будучи приложена к дрейфовым волнам с конечным
р, оказалась в хорошем согласии с рядом характерных черт нескольких экспе-
экспериментов по удержанию плазмы.
Здесь не обсуждается детальное соответствие между перенормированными
уравнениями и описанием резонансного уширения только неадиабатных распре-
распределений. Однако на примере плазмы ведущих центров легко видеть, что послед-
последнее вытекает из первого, если включить только б/. Сейчас можно показать, что
Хиршман и Молвиг включили только часть 6/<d>; они полностью опустили поля-
поляризационные слагаемые. Во время написания статьи все еще остается задача
доказать в деталях их стимулирующие предсказания.
248

9. САМОСОГЛАСОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИИ И УРАВНЕНИЕ
БАЛАНСА
9.1. Некогерентный шум и уравнение баланса. Диэлектрический
отклик, который обсуждался в последнем разделе, был определен
в терминах приложенного источника бесконечно малого электриче-
электрического поля. Однако, как было подчеркнуто в § 6, внутренние флук-
флуктуации также могут играть роль источника, на который отклика-
откликается среда. Этот отклик будет самосогласованный и нелинейный
одновременно. Уравнение, описывающее результирующие флук-
флуктуации, иногда называют уравнением баланса. В этом разделе
мы выведем уравнение баланса и дадим его физическую интерпре-
интерпретацию. К сожалению, нельзя сделать это исчерпывающим образом,
поскольку это уравнение для плазмы понятно пока еще совсем не-
недостаточно; большинство из интересных приложений еще предсто-
предстоит выполнить.
Очень полезно обсудить самосогласованные флуктуации в по-
понятиях, известных из теории отклика пробных частиц и суперпо-
суперпозиции (см. статью С. Р. Обермана и Е. А. Вильямса в т. 1). Бу-
Будем считать флуктуации 6/ состоящими из двух частей, «когерент-
«когерентной части» 5/<с) и «некогерентного шума» б/ (см. [53, 75, 87]):
6/=6/(с>+'6/. C68)
Когерентные флуктуации описываются индуцированным откликом
на внутреннюю флуктуацию 6Е и определяются соотношением
[87]
t>f(c)=—gdf-6E. C69)
(Дюпри фактически использовал </> вместо /.) Некогерент-
Некогерентные флуктуации будут представляться как голый жидкий элемент,
который ассоциируется с некогерентным полем 6Е, связанным с
полным полем плазмы посредством диэлектрического экранирова-
экранирования, т. е. в соответствии с уравнением C68) полное поле
6Е=Е6/(С>+6Ё C70)
Вспоминая определение C38) диэлектрической проницаемости, на-
находим
6Е=6Е7е. C71)
Далее мы постулируем, что флуктуация 6f распространяется
согласно одночастичному пропагатору g (естественное обобщение
потока пробных частиц в простейших линейных теориях), так что
g~l8f представляет «начальное» некогерентное возмущение. Мы
можем совместно с этой интерпретацией использовать уравнения
C69) и C70), чтобы найти
й/=^(йГ1«/)э C72)
т. е. плазменный отклик на некогерентное возмущение развива-
развивается согласно с полной функцией отклика R. Конечно, мы должны
еще дать точную формулу для б/.
24$

Надо подчеркнуть, что данные выше формулы являются в не-
некотором смысле лишенными смысла, поскольку мы смешали на-
наблюдаемые величины g, /?, е со случайными переменными. Одна-
Однако эти соотношения приобретают точное значение, когда строятся
корреляционные функции. Так, например, уравнение C71) приво-
приводит к уравнению
&^<ЪЕЪЕ> = <a|E?^2E>, C73)
которое утверждает, что истинный (измеримый) спектр экрани-
экранируется некогерентным спектром. Основная корреляционная функ-
функция в этом приближении есть С^<б/б/>. Среда откликается на
С согласно уравнению C72), давая спектр полных флуктуации в
виде
}<]Я'. C74)
Мы можем определить точную формулу для С, сравнивая уравне-
уравнение C74) с формальным решением уравнения Дайсона, которое
выведено ранее. Действительно, уравнение B10) может быть за-
записано так:
C^RFRt, C75)
где F~=—2__. [Сравни уравнение C75) с A35)]. Затем, сравни-
сравнивая уравнения C74) и C75), мы определяем
C=gFg*. C76)
Такое соотношение впервые было получено Кроммесом [53].
Так как для определения вида F имеется в наличии вся функцио-
функциональная техника, соотношение C76) вместе с уравнениями C75)
и C73) образует формально точное (не по теории возмущений)
утверждение первоначальных эвристических идей о когерентном
и некогерентном отклике, которые были впервые развиты Дюпри.
Чтобы подчеркнуть согласованность наших определений, давай-
давайте построим смешанную корреляцию <6/бЕ>:
C77)
Это выражение совместимо с уравнением C68). Второй член так-
также может быть записан в виде
> ==8-1E<Sf6/c>. C78)
Основываясь на своей интерпретации 6/ как чрезвычайно случай-
случайной функции, Дюпри утверждал [87], что <6/6/<с)> должно рав-
равняться нулю. Этот аргумент оказывается некорректен [53, 88] вви-
ввиду самосогласованности: поскольку когерентный отклик связан с
экранированным некогерентным
6fV)=—gdf-e-lE6f, C79)
250

то <С5/б/(с)> пропорционально <6f6/>^=0. Отсюда вытекают
важные следствия для определенных «кластерных» теорий.
Корреляция некогерентного шума С может быть определена
только через точное решение связанных уравнений Дайсона для
С и R. Однако, рассматривая различные приближения к F, можно
проникнуть в суть дела далее. В ППВ имеем
F=g: ддС+д- <б/6Е> d<6E6/>. C80)
Подставляя C75) в формулу
C=r.<8/(c)8f(c)> + <8f(c)8f> + <5T8[(C)> + S, C81)
получаем [75]
F = S : дд < 8/O8f(c) > -f д < 8f <<>8E > d < 8E8f (с) > +
7 д < 8E8f> +
C82)
Если пренебречь возможностью того, что производные по скорости
могут изменить номинальный порядок членов, то когерентные ча-
части уравнения C81) доминируют, так как F^<o2y C^&2. Оставляя
только когерентные части, находим
L 2)]X
г, 2)] [5A Л) в B, 2)+ <g(l, 2) CB. Г)]. C83)
Смысл этого выражения наиболее просто распознать с помощью
построения ассоциированного некогерентного поля, предполагая ста-
стационарную турбулентность, так что можно строго выполнять
фурье-преобразование. Вводя очевидную симметризацию, находим
= 2 2 I *<!> (* I *, > К) Г Vv C84)
что в случае, когда h аппроксимируется как 2я/к б [со—со(к)],
легко сводится к обычному трехволновому распадному члену сла-
слабой турбулентности. Соответствующее кинетическое уравнение
волн, подходящее для слабо неоднородной во времени и простран-
пространстве среды, введено в [76].
9.2. Грануляция в фазовом пространстве. Рассмотренное в по-
последнем разделе приближение взаимодействия волн не содержит
никаких намеков на стохастическую неустойчивость траекторий
частиц, т. е. в уравнениях C83) или C84) не видно экспоненци-
экспоненциальной расходимости соседних элементов фазового пространства.
Как указал Дюпри [87] (в другой интерпретации), эта информа-
информация содержится в тех членах F [уравнение C82)], которые явно
251

включают некогерентные флуктуации. Давайте запишем F=Fm-\-
-\-F' и рассмотрим уравнение для С в форме
g-*6-'F'gt = Fmg*. C85)
В целях размерностного анализа аппроксимируем
Р'~&\ддС. C86)
(Другие слагаемые F' в 6f2 равно важны; члены в <6/6/(с)> пред-
представляют поляризационные эффекты, которые также могут быть
важны, особенно в длинных волнах.) Для стационарной турбулент-
турбулентности Дюпри в марковском приближении получил
(x, v, т; v)^ — d-D(x, v)xl
X<JC(x,v,t;v); C87)
D(x, v) B 2 exP ({Ч-х) ? W C88>
Если восстановить слабую зависимость от среднего времени Т
и рассмотреть эволюцию <?(т=0|Г), то получим уравнение вида
g^(T)^@\T) = (Fagi)(T), C89)
где g2 — двухчастичный пропагатор, приближенно получаемый
здесь с помощью
= 1 /2 [8 (У — /') 6 B - 2') + § (J ~ 2') 8 B - /')] 6 (Г - Т), C90)
где Д,; = Д(х/—х;-).
Удобно для понимания физики, содержащейся в g, ввести отно-
относительные и центральные координаты в обоих пространствах ско-
скоростей и положений:
v.^v, — v2; X..EEEX, — х2;
Тогда уравнение C90) становится
= 1/2\Ъ(Х_ -Х'„) + Ъ(Х--\-Х'_)]Ь(Х+- X'+)b(T -T'), C92)
где Is{x, v} и
D- —Ai + A
= l/2}Dlt-l
fSl/4(Pu4
82 — (A2+A1)'
-D,t + DtI+D11).
C93a)
C936)
C93b)
252

Из-за зависимости Di2 от х_ коэффициенты диффузии ведут себя
различно в пределах больших и малых х_. Если пренебречь зави-
зависимостью коэффициентов диффузии от скорости и если k0 — типич-
типичное волновое число турбулентности, то находим предельные формы
Д, —0; C94?>
D_->2D; C946)
D+->
А,-
D_-
D+-
D+-
-1/2D
* D\
> Ui
0;
(йох_ <з
0;
КО
C94b).
C94r).
C95a>.
C956)-
C95b).
C95r).
Вследствие свойства C94а) в пределе большого относительного
удаления решение уравнения C92) распадается на произведение
одночастичных пропагаторов, что означает независимую диффузик>
двух элементов фазового пространства:
gt(l, 2, Т; V. 2')^±-{U+(l, Т; l')U+B, Т; 2') + A ~2)]Н(Т).
C96),
где Ь\ определяется через
?}1> Г; ;/)=0; C97а>
Г). C976)
Однако при малых х- физика более интересна и описывает скор-
релированную диффузию.
При uo^-^l мы можем пренебречь D+- и D_+ в уравнении.
C92). Решение результирующего уравнения есть
g2 = U+(X+t Г; X'+)U-(X-9 Т; Х'-)Н(Т), C98V
где относительный пропагатор 6L подчиняется уравнениям
[b(X A'f)+8(^+^)]- C99б>
Пропагатор U+ описывает обычную турбулентную диффузию в.
центральных координатах. Заметим, что, если два жидких элемен-
элемента первоначально совпадают (JT_=O), они остаются совпадающи-
совпадающими бесконечно долго, поскольку их начальное относительное дви-
25&

жение отсутствует (v_=0), и они испытывают действие одной и
той же силы (х_=0)—математически
_, Г;
_)8(v_+v'_)] (D_=0); D00)
*/_(*_, Т; X'-) =б(х_) Fv_) (v_=x_=0).
гЧгббы понять движение в случае, когда два элемента чуть-чуть
отделены друг от друга, мы аппроксимируем Z)_ первым неисче-
.зающим членом в его разложении в ряд Тейлора около х-=0
D-(x-)&(k0X-)*D", k\D" = d*D-ldx%\ =0 D01)
vl рассмотрим первый и второй моменты результирующего уравне-
уравнения для U-. Для этого определим операцию усреднения с помощью
О(х_, v_, T)>= [rfx_dv_a(x_, v_)?/_(x-. v_, Г; Г_, v'_).
D02)
Тогда находим из уравнений C99а) и D01), что ,<1> = 1, т. е.
вероятность должным образом сохраняется, и что <х_> =
-=<v_>=0. Ограничиваясь для простоты одним измерением, на-
.ходим также, что
_v_> = 0; D03а)
^г <х_ v_ > — < v2_ > == 0; D036)
— <v2. > — 2&20D"<x2_ > = 0, D03в)
откуда w '' '
где
D")-1/3. D05)
Уравнение D04) впервые было получено Дюпри [87]. Характер-
Характерный инкремент при <x2_>^exp(sT) для уравнения D04) есть
5 = 2т{1, -1/2A ±\УЪ)\ D06)
Мы идентифицируем растущее решение <.х2->—^ехрB7/тк) с
экспоненциальной расходимостью траекторий, которую мы ожида-
ожидаем, и, таким образом, отождествляем %~1К с /(-энтропией. Точное
решение уравнения D04) получается непосредственно, но неинте-
неинтересно. Асимптотически [87]
+2 (i/-) Н2к] ехр BТ/хк). D07)
L254

Это решение верно при &20<x2-><Cl. Последуем Дюпри [87] и:
определим «время жизни кластера» хс\ как время, за которое две
первоначально раздельные траектории разойдутся на одну длину
волны, &20<*2->^-i. Тогда
D08)»
Уравнения D03) имеют простой физический вывод (см. [89],
где детально выполнены аналогичные вычисления для задачи сто-
стохастических магнитных полей). Рассмотрим точные уравнения для
бесконечно малых расхождений Ах, Аи между двумя соседними
траекториями
4т Д* = Дг>; D09а).
jc. D096),
Вторые моменты уравнений D09) подчиняются уравнениям
-jL<bx*> = 2<'bxbv>; D10а>.
ctt
— < Да2 > = 2 < (<7//и) E'kxbx) >; D10в)-.
где ?'@^5?[х(^), /]/(9х(^). Если At; в уравнении DШв) выра-
выражено в терминах Е'Ах с помощью интегрирования уравнения
D096) и если делается квазинормальное приближение, то получа-
получаются уравнения D03) при пренебрежении <С.Е'Ах27> (которое ма-
мало в отношении Хас/тк) при
дЕ[х(%), т] } (дЕ[х@), 0]
Итак, мы можем суммировать наши исследования двухчастич-
двухчастичного пропагатора следующим образом. Элементы фазового про-
пространства, разделенные более чем на характерную длину волны,
движутся независимо, каждый подвергается турбулентной диффу-
диффузии от траектории свободного потока. Элементы фазового прост-
пространства, расположенные ближе, чем на длину волны, расходятся
с экспоненциальной скоростью вследствие стохастической неустой-
неустойчивости за характерное время ха^Тк-
Здесь мы не станем обсуждать попытки практических вычислений, основанные -
на уравнении C85), в частности из-за некоторой видимой несогласованности:
между точками зрения, представленными нами [75, 90] и Дюпри [87], относи-
255-

"тельно лучшего способа вычисления некогерентного шума. Дюпри проверил роль
кластеров в ионно-акустической [91] и дрейфовой турбулентности [92]. Числен-
Численное моделирование поддерживает ряд физических утверждений о кластерах и
грануляции [93, 94].
10. РАЗНОЕ
10.1. Перенормировка и стохастические магнитные поля. Здесь
кратко прокомментируем следующее приложение, которое, очевид-
очевидно, важно как" для термоядерного синтеза, так и для астрофизиче-
астрофизических исследований: это перенос частиц в стохастических магнитных
полях (см. [88, 89] и имеющиеся там ссылки). 'Предполагается,
что в некоторой области существует равновесное и стабильное маг-
магнитное поле с широм. В простейшей задаче это равновесие наруша-
нарушается очень малым продольным возмущением, не самосогласован-
самосогласованным с равновесием, которое находится в резонансе с многими со-
соседними поверхностями. Если амплитуда возмущения достаточно
велика, то резонансы будут перекрываться и, как хорошо известно,
ноля станут стохастическими. Представляет интерес определить
-скорость диффузии полей так же, как и пробных частиц, помещен-
помещенных в данную конфигурацию полей.
В более сложных ситуациях диффузия частиц должна быть
самосогласована с магнитными возмущениями. К таким задачам
можно подходить, используя статистические методы, уже развитые
нами. Однако, поскольку в этом направлении работы не проводи-
проводилось, здесь не обсуждаются такие приложения. (См. некоторые
предварительные вычисления в [95, 96].)
Часто используется квазилинейное описание силовых линий
[97]. Обоснование этого подхода подобно данному для задачи диф-
диффузии частиц в стохастических волновых полях, обсуждавшейся в
§ 3. Магнитное поле описывается гамильтонианом, каноническими
уравнениями которого являются dxXB=0. Возмущающий гамиль-
гамильтониан выражается в терминах суммирования по продольным вол-
яовым числам &ц =к'В/В. Находится ширина области захвата око-
около каждой рациональной поверхности [&|,,(*)=0] и определяется
критерий стохастичности. /(-энтропия полей определяется с помощью
техники, подобной описанной в § 9, а именно: находятся уравнения
для расхождений между двумя бесконечно близкими линиями, и
статически анализируется поведение второго момента расхождения
как функция вдоль пути по невозмущенной линии. Различие между
пробной частицей и задачей а силовых линиях проявляется в вы-
вычислении линейного распада корреляций. В обоих случаях это
определяется шириной Ak спектра волновых чисел. Однако в слу-
случае электростатических волн Ak определяется в итоге дисперсион-
дисперсионными свойствами волн, которые ограничивают спектр в й-простран-
стве. В случае силовых линий, однако, Ak определяется степенью
пространственной локализации фурье-компонент около k{{ = 0
через соотношение неопределенности между расстояниями попе-
J256

рек и вдоль силовых линий. Теория квазилинейной диффузии ли-
линий тогда будет справедлива, если длина корреляции 2тс/Ak)( мень-
меньше длины экспоненциального роста. Мы пишем </\x2>=2Dm\z\.
Теперь добавим пробные частицы к, стохастической конфигура-
конфигурации поля и перейдем к приближению ведущих центров, при кото-
котором частицы в отсутствие столкновений движутся строго по сило-
силовым линиям.
Если частицы совсем не сталкиваются, то время и продольное
расстояние связаны согласно z = v{[t, и коэффициент диффузии
пробных частиц D<^>Dm\v{l | [98]. Однако если столкновения важны,
так что z2^j2D t, примитивная оценка приводит к Ax2/t^>Dm(D{l!t)ll2>
таким образом, не существует никакого асимптотического коэффи-
коэффициента диффузии. Частицы могут также, однако, из-за диффузии
поперек поля потерять связь с данной силовой линией. Если это
принять во внимание, то' можно определить коэффициент диффу-
диффузии [99]. Все же время декорреляции хс не просто %±===(k2^D±)-\
потому что вследствие стохастической неустойчивости экспоненци-
экспоненциальная расходимость преобладает, и тс того же порядка, что и хКу
будучи чувствительно к ъ. только логарифмически [89, 90].
ППВ будет не верно предсказывать тс^т^, потому что в его основе лежит
гауссова факторизация /С. Теория, которая дает tc^Tx, должна сохранить не-
неизбежные двухчастичные корреляции для ^ того, чтобы описать корреляцию части-
частицы с отдельной линией (которая стохастически неустойчива). В более общем
случае любая задача, природа которой основана на конечной /(-энтропии, долж-
должна сохранить присущие двухчастичные эффекты, потому что /(-энтропия являет-
является двухчастичной величиной. Требуется нетривиальное замыкание на уровне
уравнений Бете — Солпитера. Основные принципы описаны Кроммесом и др.
[89]; подробные количественные разработки продолжаются (Котшенрейтер и
Кроммес, не опубликовано).
10.2. Метод проекционного оператора. В этом и следующем раз-
разделах упоминаются некоторые из альтернативных способов, кото-
которые использовались для эффективной перенормировки плазменной
динамики. Мы не надеемся обосновать здесь технические детали
этих подходов; наша основная цель состоит в том, чтобы привести
литературные источники.
Рассмотрим сначала динамическое уравнение вида
dtf(t)=i<(t)№> D12)
где «оператор эволюции» L линейный и ф может быть вектором, за-
зависящим, к примеру, от координат, скорости и индексов типа ча-
частиц. Уравнения A50) и B20) имеют вид D12) с LF=[F, H] для
произвольного F. Разделим ty на две части, искомую «наблюдае-
«наблюдаемую» часть Рг|) и не представляющую интереса или «скрытую»
часть Qif:
t|) = Pi|)+Qi|). D13)
17—3283 257

Мы предположим, что Р и Q ортогональные проекционные опера-
операторы, удовлетворяющие
P+Q=U D14)
D15)
Двумя важными реализациями Р являются операторы:
PF(t) = <F(t)>, D16)
который, будучи применен к \f>, дает ее среднее, и
PF(t)^(O)<$(O)q(O)>-i<$(O)F(t)>y D17)
который дает ковариацию $(t). Легко проверить, что оба опреде-
определения устанавливают линейный проекционный оператор Р, не за-
зависящий от времени ([dt, Р]=0).
Будем искать уравнение для наблюдаемой Р\р. Для этого при-
применим оба Р и Q последовательно к уравнению D12), получая
таким образом уравнения
D18)
D19)
где мы воспользовались тождеством D14). Уравнение D19) мож-
можно формально разрешить для скрытой части Q-ф:
Q4> = U* {U 0) <2ф @) + J dt'U* (t, t') QL (") Рф (*'), D20)
где
* h\ D21)
Подставляя уравнение D20) в уравнение D18), находим
<?,Рф (t) = - iQ (t) Рф @ + J dt'<k (t, f)Рф (V) + PL @1/* (*, 0) Оф @)f
D22)
где операторы fi и Ф определяются с помощью
D23а)
t, f)QL(t')P. D236)
Часто система может быть приготовлена так, что Q^()
[Это автоматически удовлетворяется при построении D17).] В этом
случае уравнение D23) формально замкнуто для наблюдаемой Pip.
Чтобы лучше понять содержание уравнения D23), определим
f*(O-QL(O*(O) D24)
258

и воспользуемся определением D17). Простые преобразования
уравнений D17) и D20) тогда приводят к
[dt + i. (t)\ ф (t) + J dt'v (t, f) ф (*') - Г (*)¦ D25)
6
где
-1; D26а)
-1. D266)
Уравнение D25) называют обобщенным уравнением Ланже-
вена [38], так как оно является по форме простым обобщением
уравнения, встречающегося в элементарной теории броуновского
движения. Хороший обзор сделан Кубо [100]. Другие выглядя-
выглядящие знакомыми соотношения есть
-0, D27)
которое следует из уравнения D24), и
[д, + i« (*)] < Ф (t) ф @) > + J Л'v (*, *') < ф (*') ф @) > = 0, D28)
0
вытекающее из уравнений D25) и D27). Уравнение D266)—это
обобщенное соотношение Эйнштейна.
Уравнения D28), D22) или D25) имеют недостаток, заключающийся в том;
что они чрезвычайно формальны. Действие модифицированного оператора эволю-
эволюции очень трудно вычислить точно из-за наличия ортогонального проектора Q.
Однако можно построить разложение в формальный степенной ряд [101]. Мори
[102] развил интересное представление решения в виде непрерывной дроби.
Обобщенное уравнение Ланжевена успешно использовалось для построения ди-
динамических моделей в теории многих тел (см. обзор Берне [103J). Используя
определение D16), Вайнсток [71, 72] дал описание турбулентности бесстолкно-
вительной плазмы в терминах проекционных операторов.
Исследователи Брюссельской школы развили технику проекционных опера-
операторов существенно дальше, чем описано выше. Так как их подход детально опи-
описан (см. [104]), мы здесь не станем углубляться далее. Мисквиг написал ряд
очень детальных статей, описывающих их приложения к плазменной турбулент-
турбулентности [5, 105—108].
10.3. Канонические преобразования. Новый и очень стимулирующий подход
к статистическим теориям был предложен Деваром [109]. Идея состоит в том,
чтобы ввести гамильтониан, соответствующий рассматриваемой (консервативной)
системе, и затем искать канонические преобразования к новым переменным, та-
таким, что статистическая теория трансформированной системы будет проще и,
возможно, лучше сходиться. (Мы имеем в виду обычный гамильтониан, функ-
функцию канонических переменных, а не операторную гамильтоновскую функцию
расширенных полей в процедуре [1].) Например, можно попытаться исключить
колебательное движение нерезонансных частиц. Девар утверждал, что этот под-
подход может быть особенно полезен для задач с частичным захватом. Он пришел
к ряду интересных заключений, но много работы предстоит еще выполнить. Одна
17* 259

трудность метода состоит в том, что некоторая информация «скрыта» в произво-
производящей функции канонического преобразования и должна быть извлечена, если
желательно представление результатов в лабораторных координатах. Другая —
в том, что способ выбора «лучшего» канонического преобразования еще адекват-
адекватно не систематизирован. Тем не менее теория перенормированных канонических
преобразований, по-видимому, — плодотворная область для дальнейших исследо-
исследований.
10.4. Дополнительная литература. Перечислим здесь несколько дополнитель-
дополнительных источников по затронутым вопросам, не отмеченным должным образом в тек-
тексте. Хороший обзор по теории турбулентности жидкости дан Крейчнаном [ПО].
Обзор многих аспектов теории резонансного уширения проведен Пеллетиером
[111]. Ишимару [112] и Кук [ИЗ] обсуждают приложения перенормировок
к плазме высокой плотности и жидкостям. Использование теории резонансного
уширения для описания определенных неустойчивостей в токамаках обсуждается
Эсто'м [114].
11. ПОСЛЕСЛОВИЕ
Сейчас ясно со всеми ожиданиями, что перенормировка важна
в ряде интересных и практически важных задач физики плазмы.
Однако, хотя мы указали общие рамки, в которых могут трак-
трактоваться эти проблемы, мы преуспели в достижении определенного
решения только в относительно малом числе случаев. Так, мы не
можем сказать, что понимаем количественно турбулентность дрей-
дрейфовых волн при числе Рейнольдса порядка единицы. Также только
частично понята количественно, и даже менее, чем количественно,
детальная динамика в фазовом пространстве, связанная со стоха-
стохастически нестабильными системами. Дальнейшие исследования
этих вопросов будут как стимулирующими, так и волнующими.
Эти вопросы важны по своему значению и для самой науки как
проблемы нелинейной статистической физики. С более практиче-
практической точки зрения, перенормированные теории плазменной турбу-
турбулентности нужны для успешного детального компьютерного моде-
моделирования лабораторных разрядов и, в итоге, для создания рабо-
работающего термоядерного реактора. Возможно, что ни в одном дру-
другом случае симбиоз между фундаментальными и практическими
исследованиями не является столь необходимым и таким близким.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
кумулянты
Рассмотрим одномерное распределение вероятности Р(х) случайной перемен-
переменной х. Моменты Р определяются как
00
<x">se fdxx"P(A). - (АЛ)
—00
260

Предположим, что Р имеет фурье-преобразование Pk'
00
Pk = j rfxexp ( - i kx) P (x) = <ixp (-1 kx)> =
Перестановка интегрирования и суммирования, которую мы произвели, обыч-
обычно оправдана на практике. Из уравнения (А.2) вытекает, что Pk есть «произво-
«производящая функция моментов» для Р:
<*п> = d(—lk)n рь\к = 0 (Л-3>
Вообще, даже физически простые распределения содержат моменты всех поряд-
порядков. Например, гауссово распределение
Р (х) = BяЛ2) -V2 ехр [— (*—хо) 2/2А2]
имеет все четные центрированные моменты
<(х—хъJп> = Bп— 1)!!А2п (гауссиан). (А.4)
Более того, в безразмерных единицах эти моменты в общем случае быстро рас-
растут с номером и, таким образом, бесполезны в качестве параметров разложения.
Этим мотивировано альтернативное описание распределения в терминах пара-
параметров, которые часто могут быть малы.
Давайте определим «производящую функцию кумулянтов» Why значение ко-
которой вскоре будет ясно с помощью
IP*-In Р*. (А.5)
где Wh имеет свое собственное формальное разложение в ряд Тейлора, 1-й ко-
коэффициент которого мы называем /-м кумулянтом и обозначаем
(А*6)
W lP (A-7>
Воспользуемся уравнениями (А.2), (А.5) и (А.6) и запишем
2 [
так что кумулянтное разложение предлагает способ — очень полезный на практи-
практике— для перестановки усреднения и вычисления экспонент. Более того, так как
фурье-преобразование гауссиана есть снова гауссиан:
Рь = ехр (—i&Xo— 1/2?2Д2) (гауссиан), (А.9)
261

мы видим, что
<a:>=xo;
'А2 (гауссиан); (АЛО)
Если распределение почти гауссово, результат, часто гарантируемый централь-
центральной предельной теоремой, — третий. Более высокие кумулянты будут малы и,
таким образом, становятся потенциально полезными параметрами разложения.
Общие законы, связывающие моменты и кумулянты, вытекают из разложе-
разложения уравнения (А.8) в его формальный ряд Тейлора и сравнения разложения
с результатом (А.2). Ясно, что 1-й кумулянт определяется моментами не выше,
чем /, и наоборот. Общее правило устанавливает, что /г-й момент определяется
всеми возможными суммами произведений кумулянтов порядка п и ниже, таких,
что полное число х-в в произведении есть п> и каждое слагаемое входит с ком-
комбинаторным множителем, который дает число различных комбинаций х в произ-
произведении:
где цт — это число одинаковых / в наборе {1\, ..., 1т).
Так, до четвертого порядка
<*>=<*>; (А.12а)
(А.126)
(А.12в)
. (А.12г)
Из уравнения (А.126) видим важный результат: второй кумулянт есть ковариа-
ция флуктуации
(А. 14)
Заметим также, что точное разложение центрированного гауссиана
согласуется с (А.4).
Кумулянтное разложение можно очевидным образом обобщить на распреде-
распределении я-переменных
<ехр( —
(А. 15)
Для различных х разложение по моментам в терминах кумулянтов особенно на-
наглядно, потому что все комбинаторные множители становятся равными единице
262

тождественно. Например, четвертый момент центрированного процесса становится
(А. 16)
Окончательно мы можем описать случайную функцию вA) от непрерывного
параметра «Ь, заменяя дискретные суммы в уравнении (А. 15) на интегралы
обычным способом. Мы можем, таким образом, определить производящий функ-
функционал с помощью
W &} ш In (exp J d\i\ A) G A)) (А.17)
(общепринято опускать множитель „—i"), в терминах которого
Здесь о76г] обозначает функциональную производную [бт]A)/бт]B)=бA—2)],
известную из вариационного исчисления и прекрасно описанную Бераном [115].
Формулы (А. 16) и (А.17) широко используются в § 6.
Полезное обсуждение кумулянтов можно найти у Кубо [116].
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, ОБОЗНАЧЕНИЯ
Основное соглашение о записи фурье-преобразовании состоит в
Мы записываем амплитуды для дискретного спектра как Ek> для непрерывно-
непрерывного— как E(k). Для одномерного дискретного спектра с интервалом между мо-
модами 6&s=2jt/L выполняются в дополнение к (В.1) следующие соотношения:
L
dx
(i*)?()
J
о
<EkEk,> = dk+k, <EE>k; < | ?*2|>
Обозначение <ЕЕ>и обозначает преобразование стационарной корреляции
<Е(х-\-р)Е(х)> относительно р. Также
L
S k
Переход к непрерывному одномерному спектру выполняется с помощью
2-J
k
263

В этом случае выполняются следующие соотношения:
00
0
С dk
оо
¦—00
<E(k)E(k') >=2я<6 (&+&') <EE> (k);
<\E(k)\2>=L<EE>{k);
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Martin P. C, Siggia E. D., Rose H. A. — Phys. Rev., 1973, vol. A8, p. 423.
2. Kraichnan R. H. —J. Math. Phys., 1961, vol. 2, p. 124.
3. Kubo R. —Ibid., 1963, vol. 4, p. 174.
4. Wang M. C, Uhlenbeck G. E. —Rev. Mod. Phys., 1945, vol. 17, p. 323.
5. Misguich J. H., Balescu R. —Physica, 1975, vol. 79C, p. 373.
6. Bourret R. C —Nuovo cimento, 1962, vol. 26, p. 1.
7. Van Kampen N. G.— Phys. Rep., 1976, vol. 24, p. 171.
8. Leslie D. C. Developments in the Theory of Turbulence. Oxford, Clarendon
Press, 1973.
9. Frisch U., Bourret R. —J. Math. Phys., 1970, vol. 11, p. 364.
10. Cook I. —Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 349.
11. Vedenov A. A., Velikhov E. P., Sagdeev R. Z. —Nucl. Fusion, 1961,
vol. 1, p. 82.
12. Drummond W. E., Pines D. —Nucl. Fusion Suppl., 1962, pt 3,
p. 1049.
13. Галеев А. А., Сагдеев P. 3. — В кн.: Вопросы теорий плазмы. Вып. 7/
Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973.
14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.:
Гостехиздат, 1957.
15. Заславский Г. М., Чириков Б. В. —Успехи физ. наук, 1971, т. 105,
р. 31.
16. Чириков Б. В. Исследования по теории нелинейного резонанса и сто-
хастичности. Препринт 267, ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1969.
17. Chirikov В. V. —Phys. Rept, 1979, vol. 52, p. 263.
18. Goldstein H. Classical Mechanics. Massachusetts, Addison — Wesley, Rea-
Reading, 1950.
19. Заславский Г. М., -Филоненко Н. Н. Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1968, т. 54, с. 1590.
20. Greene J. — J. Math. Phys., 1979, vol. 20, p. 1183.
21. Dupree Т. Н. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1773.
22. Dupree Т. Н. — Ibid., 1967, vol. 10, p. 1049.
23. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. — Phys. Rev., 1976, vol. A14,
p. 2338.
24. Taylor J. В., McNamara В. —Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 1492.
25. Montgomery D., Liu C.-S., Vahala G. — Ibid., 1972, vol. 15, p. 815.
26. Weinstock J. — Ibid., 1976, vol. 19, p. 1702.
27. Dupree Т. Н. — Ibid., 1974, vol. 17, p. 100.
28. Okuda H., Dawson J. M. — Ibid., 1973, vol. 16, p. 408.
264

29 Cheng С. Z., Okuda H. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 708.
30 Cheng С Z., Okuda H. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 587.
31. Dawson J. M., Okuda H., Carlile R. N. —Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 27,
p. 491.
32. Krommes J. A., Oberman C.— J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 229.
33. Krommes J. A. On Renormalized Theories of Transport Due to Hydro-
dynamic Fluctuations in Strongly Magnetized Plasma. Ph. D. Thesis. Princeton
University, 1975, unpublished.
34. Krommes J. А., ОЬегтяп С. — J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 193.
35. Kraichnan R. H. — Phys. Rev., 1958, vol. 108, p. 1407.
36. Kraichnan R. H. — J. Fluid Mech., 1959, vol. 5, p. 497.
37. Kraichnan R. H. A Theory of Turbulence Dynamics. — In: Second Sym-
Symposium on Naval Hydrodynamics. Office on Naval Research Report ACR-38,
1958, p. 29.
38. Mori H. —Prog. Theor. Phys., 1965, vol. 33, p. 423.
39. Kraichnan R. H. — J. Fluid Mech., 1970, vol. 41, p. 189.
40. Orszag S. A., Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1720.
41. Kraichnan R. H. — J. Fluid Mech., 1978, vol. 83, p. 349.
42. Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 575.
43. Kraichnan R. H. Invariance Principles and Approximation in Turbulence
Dynamics. — In: Dynamics of Fluids and Plasmas. Ed. by S. I. Pai. Lond., Aca-
Academic Press, 1966, p. 239.
44. DeDominicis C, Martin P. С — J. Math. Phys., 1964, vol. 5, p. 14.
45. Rose H. A. Aspects of the Statistical Dynamics of Classical Systems.
Ph. D. Thesis, Harvard University, 1977, unpublished.
46. Phythian R. — J. Phys., 1975, vol. A8, p. 1423.
47. Phythian R. — Ibid., 1976, vol. A9, p. 269.
48. Deker U., Haake F. — Pbvs. Rev., 1975, vol. All, p. 2043.
49. Deker U. — Ibid., 1979, vol. A19, p. 846.
50. Deker U., Haake F. — Ibid., 1975, vol. A12, p. 1629.
51. Rose H. A. —J. Stat. Phys., 1979, vol. 20, p. 415
52. Ichimaru S. Basic Principles of Plasma Physics — A Statistical Approach.
Massachusetts, Benjamin, Reading, 1973. , .
53. Kvommes J. A. Turbulence, Clumps, and the Bethe — Salpeter Equation.—
In: Theoretical and Computational Plasma Physics. Vienna, International Atomic
Energy Agency, 1978, p. 405.
54. Hasegawa A., Mima K. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 87.
55. Kraichnan R. H. — J. Fluid Mech., 1975, vol. 67, p. 155.
56. Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1417.
57. Колмогоров A. H. —Докл. АН СССР, 1941, т. 30, с. 301.
58 Rose H. A., Sulem P. L. — J. Phys. (France), 1978, vol. 39, p. 441.
59 Kadomtsev B. B. Plasma Turbulence. Ed. by M. G. Rusbridge. Massa-
Massachusetts, Academic Press, Reading, 1965.
60. Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1964, vol. 7, p. 1723.
61. Sudan R. N., Keskinen M. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 966.
62. Kraichnan R. H. —J. Fluid Mech., 1971, vol. 47, p. 513.
63. Kraichnan R. H. —Ibid., 1970, vol. 47, p. 525.
64. Weinstock J. —Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 1631.
65. Krall N. A., Trivelpiece A. W. Principles of Plasma Physics. N. Y.,
McGraw-Hill, 1973.
66. Sleeper A. M., Weinstock J. —Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 1507.
67. Dean S. O., Callen J. D., Furth H. P. e. a. Status and Objectives of To-
kamak Systems for Fusion Research. USAEC Report WASH-1295. Washington,
U. S. Government Printing Office, 1974.
68. Galeev A. A. —Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1041.
69. Галеев А. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ,, 1969, т. 57, с, 136L
70. Dupree Т. Н., Tetreault D. J. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 425.
71. Weinstock J. —Ibid., 1969, vol. 12, p. 1045.
72. Weinstock J. — Ibid., 1970, vol. 13, p. 2308.
73. Rudakov L. I., Tsytovich V. N. — Plasma Phys., 1971, vol. 13, p. 213.
265

74. Horton W., Choi D.-L — Phys. Rept, 1979, vol. 49, p. 273.
75. DuBois D., Espedal M. —Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 1209.
76. Krommes J. A., Kleva R. G. Aspects of a Renormalized Weak Plasma
Turbulence Theory. — Phys. Fluids. (November), 1979.
77. Цытович В. Н. — Успехи физ. наук, 1972, т. 108, с. 143.
78. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971.
79. Krommes J. A., Similon P. Dielectric Function of Guiding Center Plasma.
Princeton Plasma Physics Laboratory Report, 1979.
80. Taylor J. В. —Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 32, p. 199.
81. Lee Y. C, Liu C. S. — Ibid., 1973, vol. 30, p. 361.
82. Dupree Т. Н. —Phys. Fluids, 1968, vol. 11, p. 2680.
83. Krommes J. A. Renormalized Compton Scattering and Nonlinear Damping
of Collisionless Drift Waves, Princeton Plasma Physics Laboratory Report 1543,
1979.
84. Hirshman S. P., Molvig K.— Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 648.
85. Catto P. J. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 147.
86. Molvig K-, Hirshman S. P., Whitson J. C — Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43,
p, 582.
87. Dupree Т. H. —Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 334.
88. Krommes J. A. —Suppl. Progr. Theor. Phys., 1978, vol. 64, p. 137.
89. Krommes J. A., Kleva R. G., Oberman С Plasma Transport in Stochastic
Magnetic Fields I: General Considerations and Test Particle Transport. Princeton
Plasma Physics Laboratory Report 1389, 1978, to be published.
90. Krommes J. A. Incoherent Noise and Self — Consistency in Stochastically
Unstable Plasmas. Princeton Plasma Physics Laboratory Report, 1979.
91. Dupree Т. H.— Phys. Rev. Lett., 1970, vol. 25, p. 789.
92. Dupree Т. Н. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 783.
93. Hui В. Н., Dupree Т. Н. —Phys. Fluids, 1975, vol. 18, p. 235.
94. Dupree T. H., Wagner С E., Manheimer W. M. —Ibid., 1975, vol. 18,.
p. 1167.
95. Kleva R. G., 1979.
96. Kleva R. G., Krommes J. A., Oberman С Turbulent Evolution of the Col-
Collisionless Tearing Mode in the Presence of Stochastic Magnetic Fields. Princeton
Plasma Physics Laboratory Report 1574, 1979.
97. Rosenbluth M. N., Sagdeev R. Z., Taylor J. В., Zaslavskii G. M. — NucL
Fusion, 1966, vol. 6, p. 297.
98. Jokipii J. R., Parker E. N. — Astrophys., 1969, vol. 155, p. 777.
99. Rechester А. В., Rosenbluth M. N. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40, p. 38.
100. Kubo R. Response, Relaxation and Fluctuation. — In: Lecture Notes in
Physics: vol. 31, Transport Phenomena. Ed. by J. Ehlers e. a. Berlin, Springer
Verlag, 1974, p. 74.
101. Birmingham T. J., Bornatici M. — Phys. Fluids, 1974, vol. 14, p. 2239.
102. Mori H. —Progr. Theor. Phys., 1965, vol. 34, p. 399.
103. Berne B. J. Time — Dependent Properties of Condensed Media. — In:
Physical Chemistry. Vol. 8B. Ed. by D. Henderson. N. Y., Academic Press, 1971,
p. 539.
104. Balescu R. Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics. N. Y.,
Wiley — Interscience, 1975, chaps, 14—21.
105. Misguich J. H., Balescu R. — J. Plasma Phys., 1975, vol. 13, p. 385.
106. Misguich J. H., Balescu R. —J. Plasma Phys., 1977, vol. 19, p. 611.
107. Misguich J. H., Balescu R. — J. Plasma Phys., 1978, vol. 19, p. 147,
108. Misguich J. H., Balescu R. — Ibid., vol. 20, p. 781.
109. Dewar R. L. —J. Phys. 1976, vol. A9, p. 2043.
110. Kraichnan R. H. — Advances in Math., 1975, vol. 16, p. 305.
111. Pelletier G. — J. Plasma Phys., 1977, vol. 18, p. 49.
¦— - A15, p. 7
113. Cook I. —Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 73.
112. Ichimaru S. — Phys. Rev, 1977, vol. A15
114. Ehst D. A. —Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 2076.
115. Beran M. J. Statistical Continuum Theories. N. Y, Interscience Pub-
Publishers, 1968
116. Kubo R. —J. Phys. Soc. Japan, 1962, vol. 17, p. 1100.
566

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ
АБСОЛЮТНЫХ И КОНВЕКТИВНЫХ
ПЛАЗМЕННЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ*
А Берс
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важнейших характеристик линейных неустойчивостей
в плазме является тип эволюции малого начального возмущения
от заданного равновесного состояния. Линеаризованные динамиче-
динамические модели плазмы, описывающие неустойчивость, неприменимы,
когда амплитуда возмущений возрастает настолько, что становятся
существенными нелинейные эффекты, не учитываемые в начальной
модели. Для того чтобы понять, каким образом линейные неустой-
неустойчивости изменяют заданное равновесие на нелинейной стадии, не-
необходимо разобраться в динамике их развития в пространстве и во
времени. Такие исследования линейных неустойчивостей в непре-
непрерывных средах проводились в конце 40-х — начале 50-х годов в
связи с исследованиями в различных областях физики и техники,
а именно: разработкой усилителей и генераторов в микроволновом
диапазоне, основанных на взаимодействии электронных пучков с
волной; попытками понять механизм генерации шумов в радиодиа-
радиодиапазоне на Солнце; работами по классической гидродинамической
турбулентности; изучением плазменных неустойчивостей, связан-
связанных с исследованиями по термоядерному синтезу и астрофизике.
Твисс [1] и Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц [2] впервые замети-
заметили, что в неустойчивой среде локализованное возмущение может
развиваться двумя способами:
а) импульс может нарастать и при этом удаляться от места
возникновения так, что в конечном счете в любой фиксированной
точке пространства возмущение затухает во времени — конвектив-
конвективная неустойчивость;
б) нарастающий импульс охватывает все большую и большую
часть пространства, так что через достаточно большой промежуток
времени в каждой точке пространства возмущение нарастает со
временем — так называемая абсолютная неустойчивость.
Рисунок 1 иллюстрирует динамику развития импульсов в пере-
перечисленных двух случаях в одномерной задаче. Оригинальные ре-
результаты Старрока [3], формализовавшего эти идеи, переоткрыва-
переоткрываются заново различными и независимыми способами примерно
каждые 10 лет [4—19]. В некоторых из этих работ рассматрива-
рассматриваются специфические частные случаи или конкретные плазменные
неустойчивости, в других разрабатываются общие критерии разде-
разделения неустойчивостей на абсолютные и конвективные. По этим
последним работам выпущен ряд обзоров [20—22].
Пер. с англ. В. В. Красносельских.
267

Эта статья основана на предыдущих обзорах автора [21, 22]
и дополнена конкретными примерами, иллюстрирующими способы
применения общей теории к анализу пространственно-временной
эволюции плазменных цеустойчивостей. Кроме того, в нее вклю-
включены результаты исследований по теории устойчивости в неодно-
неоднородной плазме, выполненных за последние 10 лет, в частности
обобщены результаты исследований по неустойчивостям взаимо-
взаимодействующих мод.
Начнем с -изложения схемы общего анализа устойчивости в ли-
линейном приближении, следуя работам [8, 17], в которых разрешен
ряд трудностей, возникших в теории, и развит новый, более общий
подход к анализу устойчивости. Как видно из рис. 1, для решения
вопроса о типе неустойчивости, абсолютная она или конвективная,
б)
б)
Рис. 1. Изменение
функции Грина плаз-
плазмы в пространстве и
во времени:
а — абсолютная неус-
неустойчивость; б — конвек-
конвективная неустойчивость;
в — устойчивость
необходимо рассмотреть отклик непрерывной среды на локализо-
локализованный импульс. Для неустойчивых возмущений (когерентных и
щумовых), имеющих в начальный момент времени малую ампли-
амплитуду, достаточно определить пространственно-временной отклик
среды, т, е. функцию Грина для данной системы уравнений. Это
в общем случае справедливо как для однородных, так и для не-
неоднородных сред. Для однородных сред можно развить достаточно
общую и в то же время детальную аналитическую теорию, не
конкретизируя модель плазмы и тип неустойчивости. Этим мы и
займембя в первую очередь.
Динамика возмущений малой амплитуды в бесконечной однород-
однородной плазме в линейном приближении полностью описывается тен-
тензором проводимости, задающим связь между фурье-компонентами
плотности тока и электрического поля:
J(k, ш)=сг(к, ©)Е(к, ш).
A)
Точный вид матрицы с (к, о) зависит от выбора модели плаз-
плазмы и здесь нас интересовать не будет. Уравнение A) совместно
с уравнениями Максвелла, куда включены внешние источники, да-
.268

ет соотношение
D(k, co)E(k, co)=Sext(k, со), B)
где (в системе МКС)
D=(c2/co2)(kk—k4) +
, o>)/o)8o); C)
Sext(k, со)—фурье-компонента вектора источника (с — скорость
света; ео—проницаемость вакуума). Решив это уравнение, найдем
вектор напряженности электрического поля
E(r. ^j^exp(-W
L
где
D(k, w)=det[D(k, со)]. E)
Здесь Dadj — матрица, элементами которой являются алгебраиче-
алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матри-
матрицы D; Z)(k, со) —дисперсионное соотношение; уравнение Z)(k, co) =
= 0 дает неявную зависимость частоты от волнового вектора.
Из уравнения D) видно, что удобно ввести функцию Грина для
плазмы
G (r, t) = J % ехр (- Ы) J gJL exp (ikr) -j^L^, F)
L F
которая, можно сказать, описывает отклик плазмы на внешнее воз-
возмущение, поэтому ее поведение определяется корнями дисперсион-
дисперсионного уравнения ?)(к, со) =0.
Для простоты рассмотрим сначала одномерную задачу. Уравне-
Уравнение F) приобретает вид:
О (г, *) = р?е*р(-Ы)J* expafc)-^^, G)
где D(k, co)=0 — соответствующее дисперсионное соотношение.
Интегрирование в G) следует выполнять по контурам, расположен-
расположенным в областях, где интеграл абсолютно сходится в комплексных
плоскостях со и k. Контуры можно выбрать следующим образом.
Так как отклик может быть отличен от нуля как в области z>0,
так и в области z<0, в комплексной ^-плоскости интеграл абсо-
абсолютно сходится в полосе, изображенной на рис. 2. Полоса .должна
включать действительную ось k, так как в любой конечный момент
времени физический отклик имеет конечное значение в любой точ-
точке пространства и, естественно, не имеет особенностей. Кроме того,
необходимо выполнение принципа причинности G{z, *<0)=0„для
любой точки г; в комплексной со-плоскости в качестве области аб-
абсолютной сходимости можно взять полуплоскость. Если выбрать
в качестве нее часть верхней полуплоскости комплексной плоско-1
269

сти со, как показано на рис. 2,6, то в эту область попадут как устой-
устойчивые отклики, так и неустойчивые, которые могут нарастать с
инкрементом, меньшим или равным инкременту на нижней грани-
границе области. Контуры внутри этих областей абсолютной сходимости
в общем случае нельзя выбрать независимо, так как функция
D(k, со) почти никогда не бывает произведением функции от со на
функцию от k. Предположим, что мы выбрали контур F в уравне-
Рис. 2. Области абсолютной сходимости функции Грина в комплексных плоско-
плоскостях к (а) и со (б)
/нии^G) вдоль действительной оси ky как показано на рис. 3,а.
Чтобы понять, как выбирается контур L в плоскости со, рассмот-
рассмотрим функцию
|^^г-Я(^0. (8)
Особые точки подынтегрального выражения неявно определя-
определяются уравнением
Z)(*r> co)=0 (9)
или (эквивалентно) в явном виде ветвями
©(ftr)=(or(Ar)+i©<(*r)f A0)
которые изображены на рис. 3,6. Это позволяет выбрать контур
L так, чтобы выполнялся принцип причинности: контур должен
Рис. 3. Контур интегрирования при преобразовании Лапласа в комплексной
плоскости к (сплошная линия) и возможные замыкания контура \F при преоб-
преобразовании Фурье (пунктирные полуокружности), когда |&|->оо при z>0 и z<0
(а), а также отображение действительной оси к на комплексную плоскость со
(сплошные линии), выбор контура L при преобразовании Лапласа и его замы-
замыкание по полуокружностям (пунктирные линии) при |<о|-^оо, когда /<0 и
/>0 (б)
270

располагаться выше самой верхней из ветвей со(?г) (рис. 3,6).
Для выбранного таким образом контура L его отображение на
комплексную плоскость ky заданное уравнением
D{k, юь)=0, A1)
т. е.
?(cDb)='&r(cDLr, ®ы)+№{((дЬг, соьО, A2)
не может иметь каких-либо ветвей, пересекающих действительную
ось плоскости k. Поэтому интегрирование по k в G)
приводит к разделению на моды, возбуждаемые при z>0 и 2<сО.
После этого интеграл G) определен однозначно, и в принципе
можно говорить о том, что функция G( 2, t) задана для любых
гиг. Практически же D( k, со) редко бывает достаточно простой
функцией, чтобы интегрирование можно было выполнить до конца
аналитически. Но для решения вопроса об устойчивости или не-
неустойчивости того или иного отклика не требуется знать детальный
вид функции G( 2, t). Необходимо знать лишь асимптотику функ-
функции G(zy t) при /-voo для всех г. Прежде всего из рис. 2,6 видно,
что если )все ветви со (kr) имеют отрицательную мнимую часть (для
любых kr), то контур L можно поместить ниже оси сог, поэтому
limG(z, t)-*0 A4)
f-t-00
для любых z. Это соответствует устойчивому равновесию плазмы
по отношению к малым возмущениям.
В обратном случае, если какая-либо из ветвей со(&г) имеет мни-
мнимую часть о>*(Лг)>0 для некоторых значений ifer, равновесие плаз-
плазмы неустойчиво по отношению к малым возмущениям. Заметим,
что заданное kr подразумевает пространственно-периодическое воз-
возмущение для всех z(—оо^2^+°°)> и поэтому этот критерий не
является достаточным для описания пространственно-временной
эволюции неустойчивости, такой как изображенная на рис. 1. При
неустойчивом равновесии возмущения могут развиваться как абсо-
абсолютные или как конвективные. Чтобы определить тип эволюции
возмущений, полезно рассмотреть асимптотику функции Грина при
/->оо в двух случаях: для покоящегося наблюдателя (в некоторой
фиксированной точке г) и для наблюдателя, движущегося со ско-
скоростью нарастающего импульса [его координату обозначим zv(t)].
Неустойчивость будет абсолютной, если
limG(z, t)-»oo A5)
t-+co
для любого z как в покоящейся, так и в движущейся системах.
Неустойчивость будет конвективной, если
limG(z, t)-»0 A6a)
/->во
271

для любого конечного фиксированного г, но
v, t)-*oo. A66)
Строгое определение zv(t) мы дадим позже, при подробном рас-
рассмотрении этих вопросов. Следует заметить, что для устойчивых
возмущений и при z=zv(t) справедливо уравнение A4), а не
A66). Значительное место в данном обзоре будет отведено тому,
как, зная конкретный вид дисперсионного соотношения, опреде-
определить свойства временных асимптотик функции Грина.
Важность разделения неустойчивостей на абсолютные и кон-
конвективные станет очевидной, если посмотреть на рис. 1. Так как
эти неустойчивости линейны, такое разделение важно в первую
очередь для перехода к нелинейному режиму, который сильно от-
отличается для конвективных и абсолютных неустойчивостей, по-
поскольку в последнем случае в каждой точке пространства возму-
возмущения нарастают до больших амплитуд. Как будет видно из даль-
дальнейшего, абсолютная неустойчивость является неустойчивой нор-
нормальной модой и в этом смысле представляет собой раскачиваю-
раскачивающийся осциллятор, в то время как конвективная неустойчивость
может служить усилителем сигналов и шумов. Кроме того, так
как интересующие нас системы имеют конечные размеры, очень
важно знать, каким образом локализованные возмущения дости-
достигают границ. Дело в том, что при наличии точек отражения кон-
конвективная неустойчивость (усилитель) может стать абсолютной
(осциллятором). И наоборот, абсолютная неустойчивость в огра-
ограниченной системе может оказаться стабилизированной и будет
возможен лишь конвективный рост возмущений. Поэтому в не-
неустойчивой среде необходимо знать, в каком направлении рас-
распространяются волны; далее будет показано, что способы, обычно
используемые для определений этого направления в устойчивой
среде (с помощью знака групповой скорости), неприменимы для
неустойчивой среды.
Существенное влияние на динамику развития неустойчивостей
в пространстве и во времени могут оказать неоднородность плаз-
плазмы и ограниченность рассматриваемой системы, особенно если эти
факторы действуют совместно.
В § 1 показано, что абсолютные неустойчивости являются соб-
собственными модами линейно неустойчивой среды, и указано, как
определить, будет ли неустойчивость в однородной бесконечной
плазме абсолютной, в пп. 1.1 — 1.4 приведены для иллюстрации раз-
различные примеры.
В § 2 описаны и приводятся примеры (пп. 2.1, 2.2) конвектив-
конвективных неустойчивостей и распространения сигналов в конвективно
неустойчивой среде. В § 3 показано (на примерах), как определить
асимптотический вид функции Грина для неустойчивых возмуще-
возмущений., В § 4 рассмотрено влияние неоднородности и ограниченности
системы на динамику развития неустойчивостей, эти эффекты
проиллюстрированы на примере (линейных и параметрических)
272

неустойчивостей взаимодействующих мод колебаний. Динамика^
неустойчивостей в ограниченной неоднородной плазме (неустойчи-
(неустойчивые дрейфовые волны, МГД-моды) в этом обзоре не рассмотрена.
1. АБСОЛЮТНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ —НЕУСТОЙЧИВЫЕ
СОБСТВЕННЫЕ МОДЫ
Чтобы показать, что абсолютные неустойчивости существуют,
рассмотрим особенности в подынтегральном выражении G). Пусть
G(z, t) = B%)-r fdcoexp(— ШI(г, «>), A7)
где
1
D(k, со)
Изменение во времени асимптотического вида функции G(z, t)
(нарастание) определяется полюсами подынтегрального выраже-
выражения в плоскости со, расположенными между контуром L и действи-
действительной осью cor (рис. 3,6). Именно эти особые точки могут вос-
воспрепятствовать расширению области абсолютной сходимости ин-
интеграла на нижнюю полуплоскость со. При аналитическом продол-
продолжении функции l(z, <й) вниз от исходного контура L мы доходим
до ветвей со(?г), пересекать которые нельзя (не нарушая принци-
принципа причинности) и которые поэтому образуют линии разрыва
функции I(z, со). Однако эти линии разрыва можно деформиро-
деформировать, пользуясь тем, что контур F не обязательно должен лежать
на действительной оси, а должен ли1щ> находиться в области
абсолютной сходимости (см. рис. 2,а). Поэтому особые точки бу-
будут давать вклад в интеграл лишь при тех значениях со, для кото-
которых контур F (при соответствующих k) не удается деформировать,,
с тем чтобы сместить контур ниже. Для наглядности вычислим
интеграл в уравнении A8) в явном виде для простейшего случая.
Предположим, что: a) D— однозначная функция, имеющая толь-
только простые полюсы; б) limlM-H), по крайней мере, как k~l или
быстрее. Тогда для со из области абсолютной сходимости интегри-
интегрирование в уравнении A8) можно выполнить, замкнув контур при
|&|->оо в верхней полуплоскости k при г>0 и в нижней полупло-
полуплоскости при г<0 и воспользовавшись теоремой о вычетах. В ре-
результате получим
I (г, со) _ щ (г) \ (dD/dk)k - ш
(dD/dk)k - ш I" z) 2j (dD/dk)k '
ki l
где и(z) — ступенчатая функция: w(z)=l, г>0; u(z)=0, z<0.
В выражении A9) вычеты берутся в предположении, что все по-
полюсы в плоскости k первого порядка, если со принадлежит к обла-
области абсолютной сходимости интеграла (см. рис. 2,6). Например^
18—3283 275

при (o = o)l эти значения k задаются уравнением A2); обозначим
их символами ku> если &;(col)>0, и ku если &*(col)<0 (рис. З,а).
Для других со, принадлежащих к области абсолютной сходимости,
особенности в плоскости k могут, разумеется, оказаться полюсами
более высокого порядка, их вычеты можно вычислить, совершая
предельный переход, когда две точки, принадлежащие к различ-
различным ветвям k (со) [^гг(со) и &/(со)], сливаются друг с другом.
Из рис. 3,а видно, что каждый член в выражении A9) пред-
представляет собой убывающую функцию \z\ как при z>0, так и при
2<0. Если попытаться расширить область абсолютной сходимости
в плоскости со ниже верхней из кривых со(&г), то при этом, разу-
разумеется, обнаружатся нарушение принципа причинности и, кроме
того, скачкообразное изменение числа мод при г>0 и г<0. Избе-
Избежать этого можно заменой контура F контуром F так, что кривая
F
0
h
ku{u)L)
"X,
0
\ У =*
\
кu (ш?)
k W-
CO
-=•
1 1
/
/.
0
/ //./ /A/
в) akf
Рис. 4. Деформация контура F (а) в F (б) и F (в) при преобразовании Фурье
и соответствующее смещение контура L в L и L при преобразовании Лапласа,
где отображение L на комплексную плоскость k имеет особую точку типа точки
ветвления при k=ko (контур F), соответствующая fo0 точка на плоскости со = соо
<!)(&/•), в которую перейдет ю(&г), окажется в плоскости со ниже
контура L. Иллюстрацией этому служат рис. 4,а, б. Такую дефор-
деформацию контура не удастся выполнить, когда при некотором со=соо
контур F оказывается «зажатым» между двумя (или более) кон-
контурами L при k=k0, как показано на рис. 4,в [23]. Именно в этом
случае функция I(z> со) будет иметь особенность при со=соо, так
как для того, чтобы при k=ko был кратный корень, требуется
одновременное выполнение равенств D = 0 и (dD/dk)=0. Следует
особо отметить, что точка со, в которой (dD/dk)=0, является осо-
274

бой точкой функции I(z, со) лишь в том случае, если при соответ-
соответствующем значении k контур F зажат между кривыми ки (<о_) и
?/(°О'Т. е. эта точка является и точкой ветвления функции &(со).
В дальнейшем мы будем называть такие точки особыми точками,
типа точки ветвления*. Слияние двух корней ku или ku хотя при
этом также выполняются соотношения D = 0 и (dD/dk) =0, не
приводит к образованию особенности функции /(г, со). Таким
образом, среди всех кратных корней k дисперсионного уравнения,
которые существуют при со, расположенных ниже кривой col, и
для которых одновременно выполняются соотношения D = 0 и
(dD/dk) =0, особыми точками функции /(г, со) будут лишь такие,
где деформированный контур F касается одновременно
кривых &и(со) и &/(со). Чтобы получить более точные оценки, рас-
рассмотрим аналитически поведение функции /(г, со) в окрестности
такой особой точки. Пусть такой точкой будет со=соо, k=kOi тогда
(dDldk)ko>a>o = 0; B0)
D(ko, coo)=O. B1)
В этом простейшем случае в окрестности особой точки со и k
ведут себя таким образом, что при приближении со (сверху) к соо
два корня k, расположенные по разные стороны от кривой F,
сближаются друг с другом и при k=ko сливаются (рис. 5); заме-
заметим, что ko — седловая точка функции со(&) при со = соо, а соответ-
соответствующая ей точка соо — точка ветвления функции &(со). Вблизи
кратного корня k при некотором со = соо ряд Тейлора функции D
(как по к, так и по со) приводит в низшем порядке к следующему
дисперсионному соотношению:
(Jfe-ftoJ=C2(©-©o), B2)
где С2 — —2(dD/d(u)o/(d2D/dk2)—комплексное число, при этом
использованы равенства B0) и B1). В предположении, что крат-
кратный корень при k=k0 образуется при слиянии одного из значений
ku с одним из значений ki, функцию D (k, со) вблизи точки (&о, со0)
можно записать в виде
D(k,a>) = [k—ku (со) ] [k-ki (со) ] R (k, со), B3)
где
^= k0 +C (а - шоI/2; kt = k.-C(*- шоI/2, B4)
а функция R(k, со) регулярна вблизи точки (ko, coo). Подставив
B4) в A9), найдем
) |_ iu(-z)exp(iklz) , f , ,
* В математике изучение особых точек началось с работы Адамара [23],
Они играют большую роль в исследованиях по квантовой теории поля. В тео-
теории плазмы они были открыты независимо в |[8].
18* 275

где Ir — вклады от остальных полюсов ku и ki, причем соответст-
соответствующие ku и ki не близки к k0. Так как u(—z) = l—u(z)9 в преде-
пределе о-коо, ku-*ko и kt-+-k0 уравнение B5) принимает следующий
вид:
B6)
где функции 7?о=/?о(&о, соо) и IR
в окрестности точки соо. Первый
723
(z, ©о) по определению регулярны
член определен при всех (как по-
положительных, так и отрицатель-
отрицательных) z и имеет корневую особен-
особенность при (о=бH. Второй член
является полюсом второго по-
порядка по к при k=ko и регуля-
регулярен по переменной со, так же как
и последний член.
Из приведенного рассмотре-
рассмотрения видно, что при слиянии двух
корней ku или двух корней ki
особенности в уравнении B6) не
возникнет, так как оба корня
имеют сомножителем либо м(г),
либо и{—г). Таким образом, ре-
решение уравнений B0) и B1) в
точке ©о является особой точкой
функции I(zy со) только в том
случае, если соответствующий
кратный корень к находится в
точке касания деформированного
контура F с кривыми ки и к\.
Продолжая деформировать кон-
контур, можно обнаружить все осо-
особые точки такого типа функции
I{z, со). Предполагая, что они
найдены, вычислим функцию
G(z, t), взяв интеграл вдоль кон-
контура L, изображенного на рис. 6:
B7)
Асимптотика функции Грина при *->-оо определяется контур-
контурным интегралом вокруг особой точки со0, имеющей максимальную
мнимую часть. Предполагая, что это та точка, для которой спра-
справедливо выражение B6), получаем для любых значений (как
276
Рис. 5. Отображение контуров ин-
интегрирования на плоскости о) в
контуры на плоскости k в окрест-
окрестности простой особой точки типа
точки ветвления k0 и соответству-
соответствующей ей точки юо

положительных, так и отрицательных) z:
, B8)
где контурный интеграл берется вокруг линии разреза и точки
ветвления при со = ооо (рис. 6). Если точка соо находится в верхней
полуплоскости со, то анализ асимптотического вида функции Гри-
Грина B8) показывает, что она нарастает во времени в каждой точке
пространства, т. е. неустойчивость абсолютная.
Чтобы понять, как возникает абсолютная неустойчивость, рас-
рассмотрим переход к асимптотике B8). Для этого изобразим путь
полюсов в плоскости k от их начальных положений, когда со ле-
лежит на кривой L, к точке их слияния на кривой F, когда со при-
надлежит к L, как показано на рис. 4, где последовательные поло-
положения этих точек обозначены О, О и О. Рассмотрим точки со, на
кривой L, соответствующие" точечному источнику возбуждения
среды, локализованному при z =
=0. Тогда, если со находится в
точке О на кривой L, функция
отклика определяется точками
Ои и Ои обе они дают убываю-
убывающие функции, одна при z>0,
другая при ?<0, так как они на-
находятся по разные стороны от
кривой F (см. рис. 3,а). Убыва-
Убывание функций обусловливается
принципом причинности. Требуя
его выполнения, мы и располо-
расположили L выше верхней из кривых
(?)
cot1
0
С
г '
\
Л
г /
L
F)
Таким образом, хотя в среде
и могут быть нарастающие во
Рис. 6. Деформация контура при
преобразовании Лапласа для
времени (неустойчивые) отклики, оценки асимптотики функции Гри-
возбуждение их локализованным на при ^°°
источником, даже если его интен-
интенсивность достаточно быстро на-
нарастает во времени, дает лишь убывающий в пространстве отклик
(рис. 7). Кроме того, заметим, что при г=0 производная от функ-
функции отклика претерпевает разрыв, так как вклады в интеграл от
точек Ои и О/ спадают в разных направлениях и k в этих точках
имеют различные действительные части (рис. 8). Причиной разры-
разрыва при z=0 является наличие источника. При деформации конту-
контура F в F и L в L (см. рис. 4) временной инкремент интенсивности
источника может уменьшиться от значения в точке О до значения
в О без нарушения принципа причинности; тогда функция отклика
будет определяться точками би и E/ при г>0 и г<0 соответствен-
соответственно. При этом функция при г>0 нарастает в пространстве, так как
277

хотя точка Ои и лежит выше кривой F% но ее мнимая часть отри-
отрицательна. Возникновение нарастающего в пространстве отклика
можно также увидеть на рис. 4 и 7; так как временной инкремент
интенсивности источника в точке О меньше, чем наибольший ин-
инкремент верхней из ветвей to(kF), отклик от точки Ои в этом слу-
случае возрастает с г при г>0. Вклад от точки О/ при z<0, так как
в этом случае не пересекается действительная ось k, является
по-прежнему убывающим, и по-прежнему при z=0 производная
функции отклика имеет разрыв (рис. 8). При выполнении послед-
^ Л) »
ней деформации f в F и ? в L на кривой Е возникает точка ежа*
тия О, или особая точка типа точки ветвления, и функция отклика
становится гладкой при z=0 [см. также B8)]. С приближением
Oi и Ои к О скорость убывания последней сравнивается со ско-
Амплитуда k
Рис. 7. Схематическое изображение из*
Источник со0 менения амплитуды в пространстве-вре-
Х^Lмени:
показано, что вклад точки со, лежащей на
кривой L (О на рис. 4), и соответствующей
ей Ои в плоскости k убывает в пространсг-
ве, а вклад точки <о, лежащей на L (О на
I
\ | рис. 4), и соответствующей ей О4 возрастает
-Ч в пространстве
ростью нарастания первой, и их пространственные осцилляции
совпадают (рис. 8). Так как разрыв производной при г=0 исче-
исчезает, нет необходимости считать, что в начале координат есть
источник, поэтому точка О отвечает собственной моде среды.
Собственная мода с наибольшей мнимой частью частоты опре-
определяет асимптотическое поведение функции отклика при t-*oo.
Если мнимая часть этой частоты больше нуля, то собственная мо-
мода является возрастающей функцией времени для всех точек про-
пространства, что мы и называем абсолютной неустойчивостью. Тот
факт, что абсолютно неустойчивые моды есть собственные моды,
означает, что они представляют собой «распад на осцилляции»
неустойчивой системы, т. е. раскачивающийся осциллятор; ясно,
что, начав с теплового шума или какого-либо начального возбуж-
возбуждения, мы достигнем конечного состояния, возможно равновесного,
которое будет определяться нелинейными эффектами. Совершая
описанные преобразования контура в комплексных плоскостях k
и со, можно найти все собственные моды, отвечающие таким точ-
точкам. Их число должно быть равно числу независимых начальных
данных, которые необходимо задать, и их суперпозиция представ-
представляет собой линейный отклик среды в общем случае независимо от
того, устойчива она или нет.
1.1. Примеры абсолютных неустойчивостей. Рассмотрим для
иллюстрации ряд примеров абсолютных неустойчивостей для кон-
конкретных дисперсионных соотношений. В частности, опишем неко-
некоторые технические приемы нахождения особых точек типа точек
278

ветвления и покажем, чем отличаются решения уравнений B0)
и B1) для особых и неособых точек.
Абсолютная неустойчивость связанных мод. Выпишем и
проанализируем общее дисперсионное уравнение для взаимодействия двух ветвей
колебаний. Простейшее дисперсионное уравнение, описывающее абсолютную не-
неустойчивость, выглядит следующим образом:
D(k9 со)=&2—<o2-fY2=0, B9)
тде y2 — действительное положительное число. Уравнение B9) является также
дисперсионным уравнением для свободных тахионов (частиц с мнимой массой
Рис. 8. Три пространственных отклика, соответствующих паре ^-корней диспер-
дисперсионного уравнения, когда со перемещается из точки О на контуре L в О на L
и О на L (см. рис. 4)
в модели Клейна — Гордона [24]). В первую очередь заметим, что если у2 дей-
действительное и отрицательное, то неустойчивости не будет, так как со(?г) дей-
действительна для всех действительных k=kr. При действительном и положитель-
положительном у2 есть диапазон действительных значений k, k2r<y2, для которых сог(&г)>
>0; при таких kr возникает неустойчивость. Временной инкремент максимален
При &=0 И C0im=Y-
Следующий шаг — нахождение решений системы уравнений B0), B1) при
использовании в качестве D выражения B9), т. е. определение положения крат-
кратных корней в плоскости k [седловых точек функции со(&)] и соответствующих
им со [точек ветвления функции k (<o)]. Точки найти легко:
} = 0, (О02== — 1Y. |
C0)
Является ли точка ?Оь co0i особой точкой типа точки ветвления? Чтобы
ответить на этот вопрос, заметим, что, когда со выше, чем согт, т. е. со лежит
в области абсолютной сходимости, корни уравнения C0) в плоскости k находят-
279

ся по разные стороны от действительной оси. Так как каждому значению оо
соответствуют лишь два значения к, точка co0i является особой точкой типа
точки ветвления, поэтому 'co,oi=iY — временной инкремент абсолютной неустой-
чивости.
В приведенном простом примере особая точка находится на действительной
оси к (контур F неизменен) и временной инкремент абсолютной неустойчивости
равен максимальному временному инкременту при действительных значениях к.
Это связано со специальным симметричным как по со, так и по к видом диспер-
дисперсионного соотношения. В общем случае временной инкремент абсолютной не-
неустойчивости равен временному инкременту при действительных значениях к или
меньше его. Дисперсионное соотношение C0) настолько простое, что можно
определить аналитически функцию Грина для всех г и t. В результате интегри-
интегрирования уравнения B3) получим
G (z, t) = A/2) /0 (Y KF^T2) a{t-z)u(t + г), C1)
где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода; u(z)—ступенчатая
функция. В пределе /->оо уравнение C1) имеет ту же асимптотику, которая
получается при решении задачи методом перевала.
Встречные пучки. Дисперсионное уравнение для электростатических
возмущений двух одинаковых встречных электронных пучков на фоне неподвиж-
неподвижных ионов дается в одномерном случае В0 = °о в модели холодной плазмы вы-
выражением
(О2„ СО2,
D (k, со) = 1 -- I - t , C2)
V ' } 2 (со — kv0J 2((o + ^0J ' V '
где (OP/V2 — плазменная частота; v0 — направленная скорость, одинаковая для
каждого из пучков. (Это дисперсионное уравнение также симметрично по со и k>
но-симметрия здесь четвертого порядка по каждой из переменных.) Легко по-
показать, что в области действительных &, &2r<(cop/i>oJ два корня уравнения C2)
дают чисто мнимые значения частоты со разного знака, поэтому одно из них
лежит в верхней полуплоскости со и отвечает неустойчивости. Максимальный вре-
временной инкремент для действительных значений к легко находится и равен
ю/m = К/^8") при kr = ± C/6I/2 (сор/уо) •
Для определения типа неустойчивости рассмотрим решения уравнений B0)
и B1), используя в качестве D выражение C2), и найдем, что в верхней полу-
полуплоскости со находятся лишь два решения этой системы уравнений:
k0 - ±C/8) (Vo); *>о = i оу/Г. C3)
Чтобы определить, являются ли эти точки особыми точками типа точек
ветвления, учтем, что при co->-j-ioo (эта точка, разумеется, расположена в обла-
области абсолютной сходимости) два решения уравнения C2) находятся выше дей-
действительной оси к, а два ниже. Точка k=k0 будет особой точкой типа точки
ветвления при условии, что кратный корень при k = kQ возникает при слиянии
двух корней, приближающихся к действительной оси к с разных сторон при дви-
движении точки со-коо сверху (из области абсолютной сходимости). Полагая
co = coo-j-i6, где ©о дается выражением C3), легко показать [из решения уравне-
уравнения C2) относительно k], что в пределе &-Ю одна пара корней сходится к дей-
действительной оси при &=&о, а вторая пара при k=—ko. В этом примере опять
временной инкремент абсолютной неустойчивости совпадает с максимумом вре-
280

менного инкремента для действительных значений &, т. е. особые точки находят-
находятся на действительной оси к.
Кратный корень в плоскости к (седловая точка), кото-
который не является особой точкой типа точки ветвления. Рас-
Рассмотрим следующее чисто математическое дисперсионное уравнение
D(k, G))=i?3-f-3ifc—ico—1=0, C4)
для которого будем искать асимптотику функции Грина. Ясно, что для действи-
действительных к точки со находятся в верхней полуплоскости и о)г = + 1, поэтому не-
неустойчивость есть. Решая уравнения B0) и B1) совместно с C4), находим одно
решение в верхней полуплоскости
&oi = i; <ooi = 3i. C5)
Однако эта точка не является особой точкой ветвления, так как она находится
выше самой верхней (в данном случае единственной) ветви со(?г). Столь же
легко показать, что седловая точка при ktf=i образована при слиянии двух кор-
корней дисперсионного уравнения, которые при C0i = +ioo находятся в верхней по-
полуплоскости к. Поэтому седловая точка функции при &oi = i и соответствующая
ей точка ветвления функции &(со) при co0i=3i не являются особыми точками
типа точек ветвления подынтегрального выражения A7). Таким образом, асим-
асимптотика функции G(z, t) выглядит не так, как в случае абсолютной неустой-
неустойчивости.
Существует другое решение уравнений B0), B1) и C4), которое находится
в нижней полуплоскости со:
&02=—i; <Оо2 = —i- C6)
Это особая точка типа точки ветвления (седло при kD2 образовано одним корнем
ku и одним ki), однако ее вклад устойчив — он имеет затухающую асимптотику
функции Грина для фиксированной точки z. Из B4) мы уже видели, что не-
неустойчивость есть, Tj. e. сог(&г)>0, по характеру она является конвективной. Как
будет показано, функция Грина уравнения C9) удовлетворяет уравнениям
A6а), A66).
Пучок и диссипативная среда, движущиеся навстречу
друг другу. Примером физической системы, в которой есть седловые точки,
соответствующие как особой типа точки ветвления, так и неособым, у которых
мнимая часть частоты со* больше нуля и которые расположены ниже кривой
<о(?г), может служить система, описываемая следующим дисперсионным урав-
уравнением:
D (к, со) = 1 - «о2р/(со - kv0J + i coa/(co + kva) = 0, C7)
где <оа=ог0/е0 — частота релаксации в диссипативной среде; va—скорость дви-
движения этой среды. Дисперсионное уравнение C7) в зависимости от соотношения
параметров соа /(ор=С и иа/а0=№ описывает различные типы неустойчивостей.
При действительных значениях к одна из ветвей со(?г) находится в верхней
полуплоскости со, т. е. при любых конечных С к W в системе есть неустойчи-
неустойчивость. Из вида решений уравнений B0), B1) и C7) следует, что в общем слу-
случае есть две пары кратных корней к. При W<C/2 один из них находится,
в верхней полуплоскости со и частота чисто мнимая, однако эта точка не явля-
является особой, вот почему в данном случае абсолютная неустойчивость отсутствует.
281

При C/2<W<3 V ЗС/8 частоты, соответствующие кратным корням, находятся
в верхней полуплоскости со (обе они чисто мнимые) и они заключены в петле,
образованной кривой со(?г) в верхней полуплоскости ю. При этом одна из таких
точек (имеющая большую мнимую часть) не относится к особым типа точки
ветвления, а другая относится. Таким образом, при С/2<W<3V~~3C/8 неустой-
неустойчивость является абсолютной и чисто апериодической, а ее инкремент равен
мнимой части частоты о0г нижней из точек ветвления. Ситуация в некотором
смысле аналогична предыдущему математическому примеру, в котором седловая
точка, соответствующая большому значению 1©ог, образуется двумя ku, в то
время как седловая точка, соответствующая меньшему значению со,0г, образуется
точками, принадлежащими к ветвям ku и ku и представляет собой поэтому
точку типа точки ветвления. В отличие от предыдущего математического при-
примера здесь оба значения со0г положительны, и неустойчивость может быть абсо-
абсолютной.
При W>3r ЗС/8 обе седловые точки в плоскости k являются особыми,
соответствующие им частоты со имеют одинаковую положительную мнимую
часть, действительные части частот равны по модулю и имеют разные знаки —
это пример абсолютной неустойчивости, когда действительная часть частоты не
равна нулю. Таким образом, видно, что седловые точки в зависимости от пара-
параметров плазмы могут взаимодействовать друг с другом, в результате чего осо-
особые точки могут возникать или исчезать. Ниже мы еще встретимся с этим
эффектом.
1.2. Особые точки типа точки ветвления и типа бесконечно уда-
удаленной точки — существенно особые точки. Итак, мы рассмотрели
особые точки типа точки ветвления, через которые контур F прохо-
проходит при конечных значениях k. Для этого необходимо, чтобы два
(или более) корня, совпадающих в точке, принадлежали к кривым,
расположенным по разные стороны от действительной оси k, когда
точка со находится на контуре L. Особая точка типа точки ветвле-
ветвления может оказаться и в бесконечно удаленной точке плоскости k.
При этом существуют два возможных варианта. Если точкам kr=
= ±оо соответствуют конечные значения со, т. е. это особые точки
на концах интервала, и сливаются точки, принадлежащие к раз-
различным ветвям ku и ku то они будут приближаться к бесконечно
удаленной точке ветвления с разных сторон действительной оси k.
Другая возможность состоит в том, что при &->оо частота со рас-
располагается ниже верхней из кривых со(&). В этом случае особая
точка типа точки ветвления возникает при слиянии двух (или
более) корней, расположенных по одну сторону от действительной
оси k для точек со, которые принадлежат к кривой L. При этом
точка ветвления на бесконечности появляется за счет того, что
один из корней k предварительно пересекает действительную ось
вместе с деформированным контуром F, в то время как второй
контур приходит в бесконечно удаленную точку в своей полупло-
полуплоскости, не пересекая действительную ось k. Чтобы наглядно пред-
представить себе, как возникает такая точка ветвления, нужно рассмот-
рассмотреть кривые на комплексной сфере k, где хорошо видно поведение
кривых в окрестностях бесконечно удаленной точки. Возвратив-
282

шись к уравнению A9) и к одномерной задаче, заметим, что осо-
особые точки последнего типа будут существовать, когда по крайней
мере два значения ku((o) или ki(co) становятся бесконечными, а
частота со конечна. Эти точки называют существенно особыми точ-
точками функции /(г, со).
Хотя наличие существенно особых точек указывает на необхо-
необходимость уточнения модели, описывающей плазму, часто бывает
полезно сначала рассмотреть неустойчивость в рамках этой моде-
модели. Ниже приведены два примера хорошо известных плазменных
неустойчивостей, описываемых довольно простыми дисперсионны-
дисперсионными уравнениями, в которых возникают существенно особые точки.
Пучковое распределение поперек магнитного поля Во
[26]. Известно, что электромагнитные волны в плазме с анизотропным рас-
распределением по скоростям неустойчивы. Простой пример представляет собой
плазма в постоянном магнитном поле Во с невозмущенной функцией распреде-
распределения электронов по скорости
C8)
Используя релятивистские уравнения Власова и уравнения Максвелла,
можно показать, что электромагнитные правополяризованные волны с круговой
поляризацией, распространяющиеся вдоль Во, описываются дисперсионным урав-
уравнением
где со2р = (п0е2/е0теч .) — плазменная частота электронов; §^z=
= еВ0/теу> — циклотронная частота электронов [у , = A — C,2) ^2 ], поэтому
ионной динамикой в области высоких частот ((o^-Q), которыми мл интересуемся,
можно пренебречь. Приведем краткую сводку результатов полного исследова-
исследования вопроса об устойчивости этого дисперсионного уравнения [27].
При <op/Q< V2 (Заесть одна неустойчивая ветвь со (kr) при \kr\<(Q/c)X
X A—(Dp/2C1 у 2) с действительной частью частоты <ог, строго большей Q, и
с максимумом инкремента со* при &=0. Так как физический механизм этой
неустойчивости связан с изменением массы электрона (именно поэтому и тре-
требуется релятивистское уравнение Власова), назовем эту ветвь релятивистской,
или мазерной, неустойчивостью. Есть также другая неустойчивая ветвь при
[kr\>(Qlc)(l—cop/2pj_ V 2) 9 для которой действительная часть частоты суще-
существенно меньше Й, инкремент при <0r=?2 достигает максимума, равного 0)г=
«-0ppj_r 2, и неустойчивость существует при kr=±oo — пример особой точки
на бесконечности. Эта неустойчивая ветвь является нерелятивистской (ее мож-
можно получить и в рамках нерелятивистского уравнения Власова). Так как фи-
физический механизм ее возбуждения связан с магнитным полем волны, назовем
ее магнитной ветвью неустойчивости. Решение уравнений B0) и B1) с D(k, <o)
C9) показывает, что каждая из ветвей имеет неустойчивую особую точку типа
точки ветвления (для со из области абсолютной сходимости корни ku и ki от-
относятся к разным ветвям) при кГу соответствующем максимуму мнимой части
283

частоты: релитивистская ветвь при
а магнитная при
V toer = Q. D1)
Последняя, бесконечно удаленная особая точка, как легко увидеть, является
существенно особой точкой, и особенность в точке слияния образована точками
&, принадлежащими к различным Еетвям ku и k\. Особенность при &г—оо ис-
исчезнет, если добавить в модель кснечную температуру вдоль поля Вс, т. е. если
заменить $(оц) в уравнении C8) максЕеллоЕским распределением Bлг/^ц)"~'2Х
X ехр (—v2 и /2v2T и), где v2T ц = kT ц /met то увидим, что магнитная неустойчивость
полностью стабилизируется при t>r u/4)_L =^ З^2 (cop/QV^2"I/2 , а релятивистская
неустойчивость, на которой температура вдоль поля не сказывается, тогда ста-
становится определяющей [есши о>р/2<К2 (^ и максимум абсолютной неустойчи-
неустойчивости дается выражением D0)].
Пучково-плазменная неустойчивость. Рассмотрим хорошо
известное дисперсионное уравнение, описывающее одномерное электростатиче-
электростатическое взаимодействие пучка с плазмой в диапазоне высоких частот, когда дви-
движением ионов, можно пренебречь; простейшая модель «холодной плазмы» при-
приводит к дисперсионному соотношению
D(k, со)=1—со2р/со2—cdV(co—Ь0J=0, D2)
где сор—электронная плазменная частота покоящейся плазмы; <оь — плазмен-
плазменная частота электронов пучка; v0 — скорость относительного движения элек-
электронов пучка. Даже не решая уравнений, легко увидеть, что, когда кривая L
проходит намного выше действительной оси в плоскости со, оба корня k((DL)
находятся в верхней полуплоскости комплексной плоскости &, поэтому функ-
функция /(г, со) не может иметь особых точек типа точки ветвления при конечных
значениях k. Однако если деформировать контур F в F таким образом, что
контур L будет проходить ниже L вблизи действительной оси со, то когда
со—кОр сверху от действительной оси со, k—y±il/2<x>, поэтому со = ±сор — су-
существенно особые точки функции /(г, со). Так как оба корня k принадлежат
к одной ветви kUy при слиянии точек контур F оказывается зажатым между
ними, но k при этом стремится к бесконечности, один из корней приходит
в бесконечно удаленную точку в верхней полуплоскости, а другой сначала пе-
пересекает действительную ось ky а затем вместе с деформированным контуром
F приходит в бесконечно удаленную точку в нижней полуплоскости плоскости
k. Функцию Грина для пучково-плазменного взаимодействия можно найти из
уравнений A7), A8) и D2). Выполнив интегрирование по k, получим при
z<;0 нуль, а при г>0 выражение [28]
G (Z, Т) = ^ <ор J 2^- f (fi) exp (i Q7*) {e*p [i p (Q) Z]~exV[~\p (Q) Z]},
D3)
284

где Г='(Ор (t—z/vo); p(Q)='Q/(Q2—II/2; Z=(ubZ/v0 и введено обозначение
G)/(Op = Q.
Отсюда видно, что отклик равен нулю и при z—О и при t<z/v0, т. е. яо
прихода фронта импульса в какую-либо точку 2>0. Подынтегральное выра-
выражение в D3) имеет существенно особые точки, так как показатель экспоненты
содержит функцию /?(Q), которая стремится к бесконечности при Q2=l. Асимп-
Асимптотический вид функции G при t—>-оо можно получить, взяв интеграл в седло-
вых точках методом перевала. Например, точки перевала функции QT—p(Q)Z
в верхней полуплоскости Q находятся при T>Z в точке Q=±l-j-(Z/7J/3X
XexpBjti/3)/2, и можно выбрать контур L так, чтобы он прошел через эти-
точки в направлении наискорейшего спуска. Поскольку отношение Z/T не мало,,
вкладами от особых точек функции p3(Q) можно пренебречь и тогда получим
D4)
Это выражение сильно отличается от вклада точек ветвления при конечных
значениях k. Здесь функция в каждой точке при z<0 остается невозмущеннойг
в то время как в каждой точке при 2>0, куда успел дойти импульс, она рас-
растет неограниченно во времени. Кроме того, скорость нарастания изменяется во
времени от точки к точке, она максимальна сразу за фронтом импульса и па-
падает на его хвосте.
Заметим, что существенно особая точка находится на действительной оси
о и ее вклад является нарастающей функцией времени. Поэтому можно ожи-
ожидать, что учет влияния редких соударений в плазме или конечной температуры,
которые устранят существенно особую точку с действительной оси со, не поме-
помешает развитию неустойчивости до значительных амплитуд. Чтобы показать это„
введем феноменологически малую частоту соударений между электронами
плазмы, тогда можно найти максимум асимптотического выражения функции
Грина, он равен
\G{Z, T)\ ^expCK3~r1/3Z2/3/4 —vr/2cop) D5)
и имеет наибольшее значение exp[l//*3('COp/vI/2Z/23/2] при Т=У 3<Op/2vZ, после
чего убывает во времени. Таким образом, при v<coP, хотя неустойчивость и
не является больше абсолютной при 2>0, нарастание во времени сохраняется
в течение длительного промежутка и амплитуда отклика может стать очень
большой почти во всех точках z>0 пространства.
1.3. Обобщенные точки ветвления: совпадение более чем двух
корней k в трехмерной задаче и при распространении волн в вол-
волноводах. В разложении Тейлора функции /)(&, со) по двум пере-
переменным вблизи точки ветвления могут оказаться равными нулю-
помимо производной dD/dk и другие частные производные по о>
и k. Таким образом, аналитическая зависимость для собственных
мод в окрестности точки ветвления в более общем, чем B2), слу-
случае может иметь вид:
(со-ю0)*М?--&о)р+2, D6)
где /г=1, 2, ...; р=1, 2, ... Это соответствует слиянию нескольких
(двух или более) корней й, когда cd = cdl-^cdo, и точке ветвленияг
если по крайней мере два из этих корней приближаются к точке
ko с разных сторон деформированного контура при ©->©0 по кон-
285-

туру L. Аналогично тому, как из B2) были получены B3) —
B8), из уравнения D6) можно показать, что функция /(г, со)
имеет особенность вида (со—co0)~v, где v=n(p+l)/(p+2), т. е.
.либо простую точку ветвления, либо простой полюс, либо точку
ветвления более высокого порядка, либо полюс более высокого
порядка, в зависимости от соотношения пир. Асимптотика функ-
функции Грина определяется в этом случае контурным интегралом вок-
вокруг соо с наибольшей мнимой частью (см. рис. 6), в результате чего
зависимость асимптотики функции G от времени имеет вид
1
В качестве примера вернемся к дисперсионному уравнению C7)
и вспомним, что при W=3 У ЗС/8 две седлоЬые точки сливаются
и образуют седловую точку второго порядка, в которой Z) = 0,
*dD/dk = 0 и d2D/dk2=0. Можно показать [29], что эта седловая
точка второго по k порядка, очевидно, является особой точкой ти-
типа точки ветвления (см. обсуждение в п. 1.1). Координаты этой
точки на плоскости k и соответствующей точки ветвления вида
(со—(Оо)~2/3 на плоскости со определяются выражениями
_ . юр 1+B/3) IP
— T/ q 1 -4- W
? 3 + D7)
Так как в рассматриваемом случае п=\ и р = 1, находим, что
динамика этой абсолютной неустойчивости в пределе t-*~oo описы-
описывается выражением G(z, t)—/~1/3ехр (i/j0^—ico0^), где k0 и сэо дают-
даются формулой D7). Собственные моды, связанные с точками вет-
ветвления, можно обобщить на более общий случай трехмерной
функции Грина, описывающей отклик на точечный источник [30].
При этом простейшая особенность функции /(г, о), соответст-
соответствующая точке ветвления и возникающая в интеграле по трехмер-
трехмерному пространству в уравнении B2), находится при (о = соо и к=
= к0, удовлетворяющих уравнениям
к§|в# = О; D8)
?>(к0> <оо)=0, D9)
В этом случае деформацию контура следует одновременно про-
проводить в четырех комплексных плоскостях со, kXf ky и kz> начав
соответственно с контуров L, Fx, Fy, Fz. Теперь эта процедура ста-
становится значительно более сложной, так как дисперсионное урав-
уравнение D(k, со)=0 дает отображение плоскости сэ лишь на одну из
плоскостей k при фиксированных значениях двух других компо-
компонент вектора к. Выбирая контур L выше верхней из ветвей со (&/?),
чтобы выполнялся принцип причинности, можно узнать, какие из
решений уравнений D8), D9) соответствуют особым точкам типа
286

точки ветвления. Предположим, что четырехмерная точка O(k0, coo)
является простой точкой ветвления; тогда, выбрав любые две из
трех компонент вектора к действительными (скажем, kx и ky)y
получим отображение контура L на плоскость третьей компонен-
компоненты вектора к (например, kz), которое должно состоять из двух
ветвей, находящихся по обе стороны от действительной оси; далее
деформацией контура L в ?, расположенный ниже, получим при
пересечении точки соо, что часть кривой, соответствующей одной из
ветвей, в комплексной плоскости третьей компоненты вектора
k(kz) пересекает действительную ось kz\ после этого, перейдя к
пределу по двум оставшимся компонентам вектора k(kx и ky),
которые мы считали действительными, устремляя их к соответст-
соответствующим точкам слияния kox и koy, мы должны получить, что две
ветви, отображающие кривую L на плоскость kz, в точке kOz
4
с
Рис. 9. Появление осо-
особой точки типа точк1г
ветвления в подынте-
подынтегральном выражении^
функции Грина в трех-
трехмерной задаче
zr
сольются. На рис. 9 приведены соответствующие этому схемы. Для
простоты показано перемещение лишь одной точки кривой L (точ-
(точка 1) в точку О по кривой А (путь ее показан в плоскости kz при
фиксированных действительных kx и ky и т. д.). Такие картинки
нужно получить для каждой из плоскостей, соответствующих ком-
компонентам вектора к. Если в какой-либо одной из этих плоскостей
слияния ветвей, отображающих контур L в кривые, расположен-
расположенные по разные стороны от действительной оси, не произойдет, то-
точка соо, определяемая из D8), D9), не будет особой точкой
функции /(г, о)). Для простейшего случая особой точки типа точ-
точки ветвления, полагая, что она имеет наибольшую мнимую часть
частоты, можно найти асимптотику функции Грина:
,3/2
limG (г, t) <v, exp (ik,r) exp (i
E0)
Несколько иная ситуация складывается для волновода. Пусть
в направлении распространения z плазма однородна и поперечные
287

волновые числа определяются граничными условиями
kx = Bx(kz,G>)\ E1)
ky = By(k2i со), E2)
где функции Вх и Ву зависят от со и kz. Положение особой точки
типа ветвления находим из уравнений
^w=0; E3)
o «>0) = 0 E4)
с граничными условиями E1), E2). В простейшей постановке
этой задачи, когда система в направлении, перпендикулярном г,
однородна и имеет резкие границы, kx и ky представляют собой
^фиксированные собственные числа задачи на собственные значе-
значения в этих направлениях и определяются граничными условиями
(в случае заполненного плазмой волновода с идеально проводя-
проводящими стенками). В этой ситуации'анализ устойчивости для каж-
каждого фиксированного поперечного собственного вектора аналогичен
анализу в одномерной задаче.
В более общей постановке задач такого типа функции Вх и Ву
трансцендентны, поэтому дисперсионная функция D(kz, со) с уче-
учетом граничных условий E1), E2) неоднозначна. Тогда, прежде
^ем выполнять интегрирование в уравнении A8), следует предва-
предварительно построить приближенные кривые разрезов от точек ветв-
ветвления в комплексной ^-плоскости. Результат (на соответствующем
листе римановой поверхности) вновь будет иметь вид уравнения
A8), но будет содержать дополнительные члены, связанные с
интегралами вокруг линий разреза. Поэтому особенности функции
/(г, со) могут возникать как от точек ветвления, определяемых
уравнениями E3) и E4), на соответствующем листе римановой
поверхности, так и от обхода точек ветвления, связанных с гра-
граничными условиями. Неустойчивые точки ветвления могут возни-
возникать, когда плазма неоднородна в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном z [31]. Этот непрерывный спектр неустойчивых мод характе-
характерен для поперечных резонансов в неоднородной плазме; к этому
вопросу мы еще вернемся в § 4.
1.4. Неаналитические дисперсионные уравнения: модель плаз-
плазмы, описываемая уравнением Власова. До сих пор мы рассмат-
рассматривали дисперсионные уравнения, которые были аналитическими
функциями к и со. Во многих случаях это не так и следует прини-
принимать во внимание разрывы и линии разреза, возникающие в
комплексных плоскостях k и со в таких ситуациях. Проиллюстри-
Проиллюстрируем это на достаточно общем для плазмы примере, а именно,
разрывы в дисперсионном уравнении типа уравнения Ландау, и
покажем, как с ними работать при определении типа неустойчи-
неустойчивости [5, 10, 16].
Из решения Ландау задачи о линейных плазменных волнах,
тсак известно, следует, что дисперсионное уравнение, возникающее
при решении уравнений Власова — Пуассона, не является анали-
88

тическим при &=&г—Q. В данном случае мы имеем два диспер-
дисперсионных соотношения, одно из которых верно при kr>0, а другое
при &г<0. Это связано с особенностью интеграла в дисперсионном
уравнении Власова, который для плазмы с магнитным полем имеет
в общем случае вид:
+ 00
— Г FW
где п — любое положительное или отрицательное целое число или
нуль; Q = qB0/m — циклотронная частота; под k и v понимаются
компоненты, параллельные Во.
Разрыв возникает при аналитическом продолжении / из обла-
области G);>0 в область G)/<0 при k=kr>0 и k=kr<0. В итоге полу-
получаем при kr>0 Is=ISp, а при kr<0 /s = /s^ и соответственно два
дисперсионных уравнения — одно для kr>0: Dp(kr, co)=0, а дру-
другое для kr<0: DN(kr, G))=0. В действительности при всех kr можно
записать единое дисперсионное уравнение: D(\kr\, a>)=0, где
функция D не является аналитической в точке &г=0. Такая осо-
особенность всегда возникает в дисперсионном уравнении для плаз-
плазмы, динамика которой описывается уравнением Власова. Чтобы
просто решить вопрос о том, устойчивы или нет данные возмуще-
возмущения относительно заданного равновесного состояния плазмы, тре-
требуется найти из дисперсионного уравнения комплексную частоту
© как функцию действительного kr. Для этого достаточно рассмот-
рассмотреть решения двух уравнений в разных областях при действитель-
действительных kr. Однако при определении типа неустойчивости (является
она абсолютной или конвективной) необходимо дисперсионное
уравнение, верное во всей комплексной плоскости k. В частности,
как мы видели, полезно иметь возможность следить за перемеще-
перемещением комплексных корней k при изменении мнимой части частоты
со/ от ее значений на контуре L до значений на действительной
ОСИ G)r.
Чтобы перейти к рассмотрению дисперсионных соотношений,
справедливых во всей комплексной плоскости &, заметим, что раз-
разрыв в интеграле E5), когда интеграл берется по действительной
оси, связан с изменением знака выражения
lm[(u>-nQ)/k] = [(i>ikr-(<>>r-nQ)ki]/\k\2. E6)
Поэтому в комплексной плоскости k дисперсионное уравнение ти-
типа уравнения Власова будет иметь разрыв на линии
&/=(о*?г/((Ог—nQ)f E7)
как показано на рис. 10,а и б, так что найдем два дисперсионных
уравнения: при
, DP{k, co)=0 E8)
и при
I[(Q)/6]<0, DN(k, ©)=0. E9)
19—3283 289

Линия разрыва в комплексной плоскости k, определяемая фор-
формулой E7), в действительности является линией ветвления. Это
легко показать. Для любой физической функции распределения
[F(v) в уравнении E5)] в действительности не может быть ча-
частиц со скоростями, превышающими скорость света, поэтому ин-
интеграл в E5) следует обрезать при v=ztc Это приведет к появ-
появлению членов вида
которые имеют точки ветвления и линии разрыва в комплексной
плоскости к (рис. 11). Вследствие этого вычисление интегралов в
>0
>0
ж
I i
0
L
сог
сог
Рис. 10. Линия разреза
в комплексной плоско-
плоскости \k для плазмы, опи-
описываемой уравнением
Власова (а и б), и пово-
поворот линий разреза с из-
изменением частоты, когда
со смещается с кривой L
на действительную ось
(в и г)
N
Ь) г)
A8) выполняется, как и раньше, но помимо тех членов, которые
содержатся в выражении A9), будут дополнительные вклады от
интегралов вдоль линии разреза. В пределе с->-оо точки ветвления
стремятся к началу координат и разрезы переходят в линии раз-
разрыва, задаваемые уравнением E7) и изображенные на рис. 10,в, г.
Теперь при перемещении контуров L и F с целью нахождения
точек слияния необходимо, очевидно, также перемещать и линию
разреза в комплексной плоскости k. В качестве примера, когда об-
облежит в верхней полуплоскости со, перемещение линии разреза
показано на рис. 10,в, г. Поэтому при рассмотрении перемещений
корней k с изменением со от &(col) к &(сог) надо учитывать, какие
из &u(gu) и &/(ои) удовлетворяют уравнению Dp((x)l, А) =0, а ка-
какие уравнению DN((oL, k)—0. Тогда с приближением точек кривой
L к действительной оси со следует деформировать не только кон-
290

тур F, как раньше, но и линии раз-
разреза так, чтобы корни k остава-
оставались с той же стороны разреза (Р
или N), что и вначале. Рисунок 12
иллюстрирует часть возможных си-
ситуаций для трех типов простых кор-
корней kpy т. е. решений уравнения
Z)p(o)b, k)=0, один из которых на-
находится в верхней полуплоскости ky
когда о)=о>ь, а два других в ниж-
нижней при (о=(Оь. В предположении,
что соотношение cor—n>Q>0 остает-
остается справедливым при уменьшении
<0г от значения соьг до нуля, на
нижних рисунках показано, как вы-
выполнять некоторые возможные пе-
перемещения контуров. Смещение
линии разреза соответствует изменению
ния в плоскости ю
2>0
z<0
Рис. И. Смещение линий раз-
разреза при обрезании функции
распределения при V=ztc
пути интегрирова-
[в E5)]. Если F(v)—целая .функция,
то это всегда можно сделать, в противном случае необходимо
соответствующим образом учесть вклад особых точек в плоско-
плоскости v — они также дают вклад в функцию Грина, что следует
из более общего анализа особых точек, возникающих в уравне-
уравнениях типа Ландау [32]; эти особые случаи здесь не рассматри-
рассматриваются.
Встречные пучки в плазме. Дисперсионное уравнение в этом при-
примере вычислим, полагая невозмущенные функции распределения лоренцевыми:
для частиц плазмы с плотностью п0Ру где <хр характеризует ширину распре-
распределения в пространстве скоростей, и -;
F1)
для частиц пучков, каждый из которых имеет плотность Яоь, дрейфовую ско-
скорость Vo и тепловое уширение вокруг v0 порядка аъ. Для электростатических
колебаний, у которых k||v0, линеаризованные уравнения Пуассона — Власова
дают два дисперсионных соотношения
DD
= 1-
(w±
¦ — ©*6
1
1
(со — kv0 ±
((о + kv0 ± i
¦]¦
F2)
где DP(k, <o) со знаком плюс при величинах а соответствует случаю 1т(со/&)>
>0, а DN(k, со) со знаком минус — случаю 1т(<о/^)<0. Из соображений сим-
симметрии следует вывод о том, что уравнения Dp = 0 при kr>0 и DN = 0 при
?г<С0 определяют одно решение <о(&г). Поэтому анализ устойчивости можно
проводить на основе какого-либо одного из дисперсионных соотношений; напри-
например, пользуясь уравнением DP=0, можно найти особые точки типа точки вет-
19* ' 291

вления при перемещениях контура F в области &г>0, когда совпадают корни
ku и ku один из которых пересекает действительную ось при kr>0.
Полный анализ устойчивости системы, описываемой уравнением F2), удает-
удается выполнить численно ;[10, 33]. Приведем основные результаты. Отметим, что
дисперсионное уравнение F2) может описывать различные физические системы
в зависимости от того, что понимается под со2р = (?2/г0Р/трео), (й2ь = е2поъ/ть8ъ,
а именно: встречные электронные пучки на фоне неподвижных ионов; встречные
электронные пучки, проходящие сквозь неподвижную электронную компоненту;
встречные пучки ионов на фоне покоящихся электронов. Каждый из этих слу-
случаев характеризуется своим отношением g)p/cd& и своим значением а.
Когда ар=аь=0 (холодная плазма и холодные пучки), уравнение F2)
справедливо при всех k и <о. В этом случае его можно решить относительно
k2 и найти две возможные особые точки типа точки ветвления, обе они могут
описывать неустойчивость: одна при со=о)р является существенно особой точ-
точкой, и совпадение корней происходит в бесконечно удаленной точке плоскости
k\ в другой при co = icoP A/4—со^/со2*,I/2 совпадение корней происходит при
конечных значениях k, в этой точке 1тсо>0 лишь при шр/о)ь<1/2. При
-<Ор/хоь>1/2 асимптотическое поведение функции G определяется существенно
особой точкой, при о)р/а)ь<0,2 поведение асимптотически обусловливается осо-
N
F
N
'<?№
11)
в)
Рис. 12. Перемещение линии ветвления и контура, когда корень имеет кратность
р при изменении <о от ©ь до сог (см. рис. 10,в, г):
в случаях айв перемещаются как контур F, так и линии ветвления, в случае б необхо*-
димо переместить лишь контур F
бой точкой типа точки ветвления (можно заметить, что при сор=0 имеем слу-
случай встречных пучков), а при 0,2<*оРАоь<0,5 две точки взаимодействуют и
асимптотика функции Грина определяется комбинацией вкладов от этих двух
особых точек. К этому вопросу мы вернемся позднее.
Конечные уширения в пространстве скоростей ар и а& приводят к весьма
различным эффектам для разных особых точек. При <оР=0 (встречные пучки)
нарастание аь приводит к уменьшению инкремента неустойчивости при конечных
значениях k до тех пор, пока при <Хь=и0 неустойчивость не исчезает, что со-
совпадает с критерием устойчивости Пенроуза, поэтому на пороге устойчивости
(когда аь чуть меньше, чем Vo) неустойчивость по-прежнему абсолютная. При
292

о)р/о)ь<1/2 увеличение ab быстро ослабляет абсолютную неустойчивость при
конечных к, но медленнее, чем в первом случае, поэтому временное нарастание
связано с существенно, особой точкой; увеличение аР дает - противоположный
эффект, оно может даже увеличить инкремент абсолютной неустойчивости при
конечных значениях к. При соР/'(оь>1/2 увеличение <аь уменьшает инкремент
неустойчивости в бесконечно удаленной точке, однако неустойчивость остается
абсолютной; конечное значение ар делает неустойчивость конвективной. Под-
Подробнее это будет показано в п. 3.3.
2. КОНВЕКТИВНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ, ПРОСТРАНСТВЕННОЕ
УСИЛЕНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИГНАЛОВ
Обратимся теперь к анализу тех случаев, когда для некоторого
kr уравнения (9) и A0) дают значения со;(?г)>0, но все особые
точки функции /(г, со) расположены в нижней полуплоскости со.
При этом контур F можно деформировать в F, такой, что все вет-
ветви (u(kF) находятся в нижней полуплоскости со. Это означает, что
kit
^u((*Z) у
РисЛЗ. Допустимые деформации контура при отсутствии абсолютной
неустойчивости:
а-контуры F и I, как на рис. 3;J>-b результате деформации F в F появляется воз-
возможность переместить контур L в L, расположенный ниже действительной оси со и тог-
тогда часть кривой *„<««) оказывается в нижней полуплоскости к, в результате чего по-
являются нарастающие в пространстве моды при г>0
область абсолютной сходимости плоскости со можно расширить
по крайней мере^хотя бы немного ниже оси сог (рис. 13), а контур
L сместить до Г, который полностью находится в нижней полу-
полуплоскости 0. При интегрировании по этому контуру получим
HraG(z, t) = lim
F3)
откуда следует, что в каждой (конечной) точке пространства в
асимптотике устанавливается невозмущенное начальное состоя-
293

ние, а это свидетельствует об отсутствии абсолютной неустойчи-
неустойчивости. Однако из рис. 13 следует, что так как часть кривой со(&)
лежит в верхней полуплоскости со, одна из кривых k (a>^) Пересе-
чет ось k при замене L->?; это означает нарастание волн в прост-
пространстве. В примере, приведенном на рис. 13, часть кривой ku{u>r)
находится ниже действительной оси &, что приводит к нарастанию
моды колебаний при z>0. [Аналогично нарастанию моды при
2<0 соответствует положительная мнимая часть &/(сог).]
В том, что в этом случае есть конвективная неустойчивость,
можно убедиться, рассмотрев функцию Грина в лагранжевых ко-
координатах, т. е. в системе наблюдателя, движущегося со скоростью
У. В нашем примере (рис. 13) рассмотрим функцию Грина при
z=Vt>0. Взяв в качестве контура L действительную ось со,
получим
(W, ,) = J %% ^L- ехр [_ Ч - Wku К) {[. F4)
и
—ао и
при этом отсутствие абсолютных неустойчивостей обеспечивает
аналитичность подынтегрального выражения на действительной
оси cor. Оценку асимптотики выражения F4) можно получить ме-
методом перевала. Полагая ku=kUr-\-ikuh определяем положение
точки перевала из уравнения
1 - Vdkur/da>r—i Vdkui/dar=О, F5)
из которого, полагая
F6)
находим o)r=o)s (рис. 14), откуда имеем
m_Vs. F7)
Предположив, что д^/доЛ-^О, получим асимптотическое выра-
выражение
limG (/) — A/fi/2) ехр [-kui (со,) Vst], F8)
где kUi((ds)—наибольшее отрицательное значение kui при дейст-
действительных значениях со.
Таким образом, несмотря на то, что для любой фиксирован-
фиксированной точки z отклик обращается в нуль при t-^oo [см. F3)], т. е.
абсолютная неустойчивость отсутствует, для наблюдателя, дви-
движущегося со скоростью VSy z=Vsty асимптотика функции отклика
неустойчива при t-^oo [см. F8)], если kUi((a) пересекает действи-
действительную ось при стремлении частоты co=col к со=сог. Это и есть
конвективная неустойчивость, изображенная на рис. 1. Заметим,
что уравнением F4) можно пользоваться для описания динамики
шумового спектра, когда равновесие плазмы (при z>0) конвек-
294

к\
тивно устойчиво. Из уравнения F8)
видно, что максимальное простран-
пространственное усиление можно ожидать
для колебаний с частотами о)^(о«, а
пространственный инкремент равен
максимальному kui для действи-
действительных значений частоты. Анало-
Аналогичный анализ можно провести для
конвективно-неустойчивых возму-
возмущений при 2<0, при этом следует
найти максимальное положительное
значение кц при действительных
значениях со. ~ ,. т,
г? ^ Рис. 14. Интегрирование по «о
ЕСЛИ плазма абсолютно уСТОИЧИ- в точке перевала, позволяю-
ва, ТО МОЖНО рассмотреть задачу щее определить отклик в дви-
0 ее возбуждении стационарным жущейся системе отсчета, в
локализованным внешним ИСТОЧНИ- которой максимален прострал-
ком, действующим на частоте (~1„^Т7Л<" ^'
сое (частота действительная),
т. е. SextB, t)'—^б(г)ехр(—ioe/). Задача о нахождении отклика в
этом случае решается с помощью уравнения D), где в качестве
Sext(&, <«>) подставляем (со—сое)"*1. В одномерной задаче отклик
записывается в виде
1
a—(de)D(k, ©)"
F9)
Если функция Грина имеет нулевые асимптотики, как в урав-
уравнении F3), то асимптотическое выражение функции отклика бу-
будет также иметь частоту сое при соответствующей деформации кон-
контуров L и F (рис. 15) аналогично тому, как это показано на
рис. 13. В результате получим
п/ j.\ С dk
exp(ikz — i
= У]
iu(z)
z -
G0)
Отсюда видно, что возбуждаемые волны с kui{(oe)<0 нара-
нарастают в пространстве при г>0, а &/*((Ое>0 — при z<0. Их можно
назвать усиливающимися волнами, так как внешние стационар-
стационарные сигналы могут быть усилены, если их возбуждать в одной
точке,- а наблюдать (суперпозицию) в другой, где их амплитуда
больше.
Подводя итоги, отметим, что когда контур F деформируется в
F, такой, что все ветви со{&~) находятся в нижней полуплоскости
со, и контур L можно сместить таким образом, что L будет нахо-
находиться полностью в нижней полуплоскости со, при отображении
295

действительной оси со на комплексную плоскость k получим все
возможные типы пространственно усиливающихся волн: при
2>0 — имеющих kUi((Or)<0 и расположенных выше контура f,
при г< 0 — имеющих &/,(сог)>0 и расположенных ниже F. Поэто-
Поэтому, если равновесие плазмы неустойчиво, но абсолютные неустой-
неустойчивости отсутствуют, то найти конвективно-неустойчивые моды
можно, решая дисперсионное уравнение D(k, o))=0 в следующей
последовательности: 1) отыскать ветви &(col) и выяснить, есть ли
волны &ш(с«)/.)>0 или ku((uL)<0; 2) провести преобразование col
в сог, т. е. сместить каждый из контуров L до совпадения с дейст-
действительной осью со. В результате выполнения 2 получим, что ветви
k() являются пространственно усиливающимися волнами при
если .&ш(сог)<0, - а ветви ki((or) — пространственно усили-
Рис. 15. Пространственно нарастающие отклики — вклады от точек ки{(йе) при
z>0 и ki(toe) при z<0 на частоте <ое внешнего источника и деформированные
контуры в комплексной плоскости со (а) и плоскости k (б), по которым прово-
проводится интегрирование при оценке асимптотики функции Грина
вающимися при z<0, если &//(сог)>0. Очевидно, что если при за-
заданном равновесии плазмы есть конвективно-неустойчивые моды
как при z>0, так и при z<0 в одном и том же диапазоне частот,
то эволюция этого равновесия будет аналогична эволюции абсо-
абсолютно-неустойчивого равновесия.
Во всех рассмотренных задачах предполагалось, что среда
бесконечно протяженная и однородная. Граничные эффекты могут
вызвать частичное отражение усиленного сигнала и возбуждение
волн, несущих энергию в направлении, противоположном направ-
направлению усиливающихся волн. Это может привести к дополнительной
подпитке исходной волны, которая, если она будет достаточно ин-
интенсивной и иметь соответствующую фазу, может сделать конвек-
конвективно-неустойчивую моду абсолютно-неустойчивой. К этому воп-
вопросу мы еще вернемся в § 4, когда будем рассматривать влияние
конечных размеров системы на развитие конвективных и абсолют-
абсолютных неустойчивостей. Кроме того, заметим, что пространственное
усиление существенно ограничивается включением нелинейных
эффектов, которыми мы до сих пор пренебрегали. Эти эффекты
могут также привести к возбуждению других мод, которые, в
свою очередь, будут дополнительной подпиткой, в результате чего
характер неустойчивости может измениться, из конвективной она
станет абсолютной [21]. Ниже будет приведено несколько приме-
примеров конвективных неустойчивостей в неограниченной плазме.
296

2.1. Примеры конвективных неустойчивостей. Некоторые из рассмотренных
в § 2 задач могут быть примерами как абсолютных, так и конвективных не-
неустойчивостей (в зависимости от параметров плазмы), другим присуще свой-
свойство быть либо устойчивыми, либо абсолютно-неустойчивыми; наконец, в спе-
специальном примере из п. 1.1 в отсутствие зависимости от параметров среды
описана лишь конвективная неустойчивость. В первую очередь рассмотрим по-
последний пример.
В п. 1.1 было показано, что дисперсионное соотношение C4) имеет един-
единственную точку совпадения корней, ее координаты C6). Подставив значения
0) и k в выражение B8), получим,, как и следовало ожидать, асимптотику
функции Грина для любых фиксированных z:
G(z, t—^oo)^exp z exp (—*) /Я/2—^0. G1)
Столь же просто получить непосредственно из C4), что одна из трех ветвей
k ((Or), а именно Лм(соь), находится в нижней полуплоскости k и поэтому
является ветвью усиливающихся волн при 2>0; максимальный пространствен-
пространственный инкремент равен &*=0,3473 при (ог=О. Кроме того, в этом случае легко
найти асимптотику функции Грина при различных фиксированных значениях
отношения zlt=V. Выполним сначала интегрирование по о) методом перевала,
затем оценим интеграл по k, в результате чего получим:
при У<3
г tv < \ ехр [1 — 2A — у//3K/2] 1
6(V' '-*°°)% 2 [3.A
при У>3
cos [2 (W3 — 1K/2J f+пЦ
G {V, t-со) =*expt ^/31L]'* • G3>
Из этих выражений видно, что при F^F_ = 3[1—A/2K/2]^1,11 временная
асимптотика функции Грина G(V^:V_, /—>-оо)—*0; в то же время G(V>V-y
t—>»оо)—>-оо с максимальным временным инкрементом при У^З и максималь-
максимальным пространственным инкрементом при V^2,64^Ve.
Примеры систем, которые являются либо абсолютно-неустоичцвыми, либо
устойчивыми, приведены в п. 1.1 (абсолютная неустойчивость при взаимодей-
взаимодействии между модами колебаний и встречные пучки). В обоих случаях дис-
дисперсионное уравнение имеет симметричную форму. В первом случае, если изме-
изменять константу связи y2 от отрицательных значений до положительных, система
соответственно перейдет от устойчивого равновесного состояния к абсолютно
неустойчивому. Во втором примере, если считать, что пучки одинаковы, то при
добавлении одинакового конечного теплового уширения в дисперсионный вклад
от каждого пучка уменьшится инкремент, но неустойчивость останется абсо-
абсолютной (см. обсуждение в п. 1.4, когда покоящаяся плазма не учитывается)»
Таким образом, даже на пороге неустойчивость остается абсолютной.
Остальные примеры § 1 касаются систем, в которых неустойчивость яв-
является либо абсолютной, либо конвективной в зависимости от параметров
плазмы.
В примере, где рассматривались пучок и диссипативная среда, движущиеся
навстречу друг другу (см. ш 1.1), неустойчивость конвективна при достаточно
малых скоростях диссипативной среды (W<C/2). В пределе аа—€ уравнение
297

C7) сводится к хорошо известному уравнению, описывающему «усиление в сре-
среде с диссипацией» [34], в котором неустойчивость является чисто конвектив-
конвективной [21].
В случае распределения пучкового типа поперек магнитного поля Во абсо-
абсолютные неустойчивости, описанные в п. 1.2, становятся конвективными, если
частицы имеют компоненту скорости вдоль поля Во, сравнимую с v0^ или
большую ее, т. е. если невозмущенная функция распределения несколько отли-
отличается от C8) и имеет вид fo(v)=no8 @j_ — vOj) д (у(| — vO{l)/2nvOj_ [27].
Неустойчивость системы холодная плазма — холодный пучок, описываемая
уравнением D2), в которой получена абсолютная неустойчивость при г>0,
станет конвективной, если учесть столкновения покоящейся плазмы, как это
было сделано в D5). Однако при v<cop снос импульса будет слабым, и не-
неустойчивость останется абсолютной при г>0. Более существенный снос возни-
возникает при учете конечной температуры плазмы или при наличии у плазмы дрей-
дрейфовой скорости в том же направлении, в котором движется пучок (последний
случай сводится к хорошо известному «двухпотоковому усилителю» [35]).
Наконец, как уже отмечалось в п. 1.4, неустойчивость встречных пучков
в плазме при соР/соь>1/2 перейдет из разряда абсолютных в конвективную
с увеличением температуры покоящейся плазмы. Разумеется, в силу присущей
системе симметрии встречных пучков в ней произойдет конвективное усиление
шумов как в направлении z>0, так и в направлении z<0. Таким образом, не-
несмотря на то, что в плазменной системе может уже больше не быть собствен-
собственной неустойчивой моды, т. е. абсолютной неустойчивости, симметричная кон-
конвективная неустойчивость будет асимптотически во времени охватывать все
пространство так же, как абсолютная.
Конвективная неустойчивость при наличии связи
между ветвями колебаний. Рассмотрим простую физическую систе-
систему, в которой неустойчивость в отличие от системы, описанной в п. 1.1, яв-
является конвективной. Пусть дисперсионное уравнение имеет вид:
D(k, со) = {со—26) (со—?)-fY2:=0, G4)
где у2 — действительное положительное число, задающее связь между двумя
ветвями, одна из которых имеет групповую скорость, равную 2, а другая 1.
Из уравнения G4) легко получить, что при действительных к в диапазоне
|&г]<2у/г б существуют ветвь с <Ог(&г)>0 и соответственно неустойчивость.
При 6)i—>-ioo оба корня k лежат в верхней полуплоскости k, так что две сед-
ловые течки при конечных значениях k и, кроме того, бесконечно удаленные
точки не являются особыми. Поэтому в неустойчивой системе, описываемой
этим дисперсионным уравнением, абсолютная неустойчивость отсутствует и не-
неустойчивость конвективна. Пространственный инкремент будет максимален при
<о)=сог=0 и равен ki=—\ylv2 при х>0, так как кривая, соответствующая не-
неустойчивой ветви k, при смещении контура L на <ат пересекает действительную
ось k, и часть ее из верхней полуплоскости k переходит в нижнюю. Диапазон
действительных частот, в котором есть усиливающиеся волны, определяется
соотношением |cor|<Yr 8 [заметим, что эта полоса уже, чем полоса, в которой
<сог(&г)>0], и в общем случае нельзя определить границы конвективных не-
устойчивостей, пользуясь лишь соотношением С0г(&г)>0. Дисперсионное урав-
уравнение G4) является достаточно простым, и интегрирование в G) можно вы-
19В

G(z, 0 =
G5)
полнить до конца при любых значениях z и t. Результат имеет вид:
О, z — любые другие значения,
где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода. Из G4) можно
сразу установить, что асимптотически максимум конвективного импульса дви-
движется со скоростью Уо=3/2 и нарастает во времени с инкрементом у, а мак-
максимальный коэффициент пространственного усиления (у1'\/И) будет в системе
наблюдателя, движущегося со скоростью У8=4/3 в соответствии с результата-
результатами, которые получаются из асимптотических оценок F7) и F8).
2.2. Распространяющиеся волны в неустойчивой среде. Свойства распро-
распространяющихся волн (решений дисперсионного уравнения, для которых со и k
действительны) в неустойчивой плазме могут сильно отличаться от свойств
распространяющихся волн в устойчивой среде. В абсолютно-неустойчивой среде
бессмысленно говорить о возбуждении распространяющихся волн или даже
усиливающихся волн, так как наличие шумовых колебаний (или случайных
Рис. 16. Распространяющаяся волна, у которой направления групповой скоро-
скорости и потока энергии совпадают, 2>0 (а) и противоположны (б)
колебаний в момент включения источника) всегда приведет плазму к ее
асимптотическому состоянию «осциллятора», характеризуемого особой точкой
в плоскости со, с частотой, имеющей наибольшую мнимую часть (и соответ-
соответствующей точкой ветвления в плоскости k), как показано в § 1. Мы, разу-
разумеется, исключаем из рассмотрения случай, когда механизм возбуждения столь
мощный, что свойства плазмы изменяются и абсолютная неустойчивость ис-
исчезает.
В то же время в конвективно-неустойчивой плазме можем рассматривать
возбуждение как усиливающихся, так и распространяющихся волн. Первые
обсуждались в предыдущих параграфах, направление их распространения и
усиления определялось отображением действительной оси сог на комплексную
плоскость &, аналог деформированного контура F; то же можно сказать
о распространяющихся волнах. Для того чтобы такие волны существовали,
часть действительной оси icor должна отображаться на действительную ось &,
и наоборот. Однако перемещение части контура L на действительную ось сог
можно провести двумя различными способами в зависимости от существования
других ветвей <u(kF) между ним и кривой <о (?*•), которая частично отобра-
отображается на действительную ось <ог. Эти два способа показаны на рис. 16, где
точка 2 соответствует возможной распространяющейся волне, т. е. такой волне,
у которой действительному значению k соответствует действительная частота
299

«со. Перемещение контура L на действительную ось со, в частности в точку 2У
удобно изучать, проследив путь О 12 на комплексной плоскости k (рис. 16,а, б).
В случае, изображенном на рис. 16,а, при прохождении через точку / дей-
действительная ось к пересекается не той ветвью, к которой принадлежит точка
О, в то время как на рис. 16,6 происходит пересечение действительной оси k
в точке 1 той ветвью, к которой принадлежит точка О. Как в том, так и
в другом случае из-за того, что точка О, лежащая на кривой L в плоскости со,
находится в верхней полуплоскости плоскости &, возбуждение распространяю-
распространяющейся волны в точке 2 возможно лишь в направлении z>0. Предположим,
что, не проводя такого анализа, мы будем следить за знаком групповой скоро-
скорости для этих распространяющихся волн: (d(d/dkJ- Так как со и k действитель-
действительны в точке 2, можно было бы ожидать, что знак групповой скорости даст
направление распространения волны. Тогда, разложив k вблизи точки сог в ряд:
k(<d2+i<di) =k2+i(di(d®/dk)-l+ ..., G6)
найдем, что в случае, изображенном на рис. 16,а, групповая скорость положи-
положительна и дает правильное представление об области возбуждения, а в случае,
изображенном на рис. 16,6, групповая скорость отрицательна и видно, что
волна возбуждается в области z<0. Таким образом, в среде, где есть конвек-
конвективная неустойчивость, область возбуждения сигнала даже для распространяю-
распространяющихся волн не всегда задается направлением групповой скорости этих волн.
Для того чтобы понять, почему в этом случае нельзя пользоваться группо-
групповой скоростью для нахождения области возбуждения волны, необходимо тща-
тщательно пересмотреть классические представления, согласно которым Скорость
распространения импульса равна групповой скорости. Это связано с традици-
традиционным предположением, что асимптотическая форма импульса полностью опре-
определяется точкой стационарной фазы на действительной оси k. Такое предполо-
предположение верно лишь для устойчивых сред, где, по-видимому, все асимптотические
отклики от точек, лежащих вне действительной оси k, являются убывающими
(исчезающе малыми). В неустойчивой среде это не так, так как деформирован-
деформированный контур F может привести к большим вкладам от точек k вне действитель-
действительной оси, которые будут нарастать, т. е. эти вклады будут основными. Точка
•стационарной фазы на действительной оси будет давать вклад в асимптотику,
лишь если через нее можно провести контур F, это удается сделать в случае,
изображенном на рис. 16,6.
Простейший пример, иллюстрирующий рассмотренные выше случаи, пред-
предоставляет собой дисперсионное уравнение, описывающее связь между 7ветвями
•колебаний, когда есть конвективная неустойчивость, т. е. уравнение G4). За-
Заметим, что на границе области связи в плоскостях ?, со, т. е. там, где проис-
происходит переход и действительным значениям k соответствуют мнимые ко, а дей-
действительным со. мнимые &, можно найти решения с действительными to, k и
отрицательной быстро изменяющейся групповой скоростью. Ясно, что эти ре-
решения относятся к рис. 16,6, и в этом случае групповая скорость не соот-
соответствует области возбуждения сигнала: например, возбуждение происходит
в области z>0 даже тогда, когда d(u/dk<0. С другой стороны, действительные
•со и k вне области связи, являющиеся решениями, относятся к рис. 16,а, и
групповая скорость характеризует направление их распространения.
Другой пример можно найти .в задаче о пучково-ллазменном взаимодей-
взаимодействии (см. п. 1.2), в которой получается конвективная неустойчивость, если
300

учесть либо малую температуру плазмы, либо редкие соударения (в- покоящей-
покоящейся плазме). Для частот, немного превышающих Юр, и действительных &, чуть
больших, чем те, для которых частота <о комплексна,- можно получить решения,
отвечающие распространяющимся волнам с d(u/dk<Q, в то время как известно,
что, когда со лежит на кривой L (это легко увидеть, перейдя к пределу <о—>¦
—Яоо), все корни k дисперсионного уравнения находятся в верхней полуплос-
полуплоскости k; это указывает, что все моды возбуждаются при z>0. Снова получаем
распространяющиеся волны типа изображенных на рис. 16,5, для которых ве-
величиной da/dk нельзя пользоваться в классическом понимании групповой ско-
скорости в устойчивой свободной от потерь среде. Для частот со^хсор получим
распространяющиеся волны типа изображенных на рис. 16,а, для которых
d(o/dk имеет смысл классической групповой скорости.
3. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМА ИМПУЛЬСА ПРИ РАЗВИТИИ
НЕУСТОЙЧИВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Для детального сравнения функций отклика при развитии аб-
абсолютных и конвективных неустойчивостей необходимо исследо-
исследовать для них асимптотический вид функций Грина. Из рис. 1 вид-
видно, что в случае абсолютной неустойчивости функция отклика
окружает область, где он возник, а передняя и задняя границы
движутся, в случае же конвективной неустойчивости импульс при
/->оо движется от области, где он возник, а передняя и задняя
границы движутся в одном направлении.
Для нахождения асимптотической формы импульса вновь рас-
рассмотрим функцию Грина в лагранжевых координатах [17]. (Здесь
мы приведем лишь нерелятивистский анализ; обобщение на реля-
релятивистский случай достаточно просто.) Подставляя z=Vt-{-z'y
получаем из G)
о-J?«p<- wo f#?g$j. G7)
где
cd'=cd—kV; G8)
Dv(k, ®')=D(k, ®'+kV). G9)
Как показано в § 1, в тех же предположениях о функции Dv, что
мы делали о D, найдем, что асимптотический вид функции отклика
определяется верхней особой точкой о/ типа точки, где совпадают
полюсы функции Dv, для которой теперь
Dv=0 (80)
dDv/dk=0'. ^ (81)
Пусть особая точка находится при *©'o(^)=©pr(V)+icooj(V),
тогда, положив г' = 0, т.'е! z=Vl=Zy%Г получим [см. вывод B8)]
\G(zv, t+oo)\~(l/tH*)exp[®'oi(V)t] (82)
301

и, следовательно,
lg\G(zv, t-+oo)\~-®'0i(V)L (83)
Таким образом, кривая co'o*(F), нормированная на время t (в
вертикальном и горизонтальном направлениях), представляет со-
собой одновременно график логарифма амплитуды асимптотическо-
асимптотического выражения функции Грина как-функции расстояния, т. е. задает
асимптотическую форму импульса при развитии неустойчивости.
При У=0 имеем (o7o(F=0) = соо, т. е. особую точку типа точки
ветвления с наибольшей мнимой частью частоты со'о* (в лабора-
лабораторной системе координат), значит, получаем решение уравнений
D(k, (о)=0 и dD/dk=Oy как в § 1. Итак, особенность типа точки
ветвления a/o,-(V=0)>0 соответствует абсолютной неустойчивости,
а oo/ox(V=0)<0 — конвективной; как в том, так и в другом случае
УЛ О
О V_t Vst Vot V+i \'t
Рис. 17. Асимптотическая форма импульса абсолютной (а) и конвективной (б)
неустойчивостей, полученная с использованием зависимости максимума шОг от V:
<*>0i — временной инкремент абсолютной неустойчивости в лабораторной системе отсчета
при 1/=0; kim — максимальный пространственный инкремент (см. рис. 14)
наибольший инкремент со/о;(У=0) определяет асимптотическое
поведение функции Грина в лабораторной системе координат.
Границы асимптотического импульса имеют скорости У±, для
которых мнимая часть частоты в особой точке равна нулю. Таким
образом, можно различить два случая, показанных на рис. 17:
а) границы импульса движутся в противоположных направлениях,
что характерно для импульсов абсолютной неустойчивости; б) гра-
границы импульса движутся в одном направлении— для асимптоти-
асимптотической формы импульсов конвективной неустойчивости. Скорости
V± границ импульса можно определить из принципа причинности,
если его применить к уравнению A7):
О(г. f) = J?
Ш) I (z, a>),
(84)
где функция /(г, со) задана уравнением A.3). Полагая, что для
разных ветвей (dD/dk)k k не имеет существенно особых беско-
бесконечно удаленных точек, можно замкнуть контур L в верхней полу-
полуплоскости со полуокружностью бесконечного радиуса С+, если при
со-*-С+ есть уверенность, что exp|W—&ш(со)-г]->О при г>0 и
302

mt—ku((o)z]->-0 при г<0. Значит, так как верхняя полу-
полуплоскость со, охваченная контурами L и С+, является областью
абсолютной сходимости, условия, выписанные выше, дают
G(z9 0=0, V+<z/t<V-t (85)
где следует различать три случая [напомним, что для частот о
из области абсолютной сходимости &ш(со)>О и ku((o)<0]:
a) D(k, со->С+)=0 выполняется как при k=kUy так и при k=
= ki, тогда
V^jtaK/^HU; \ * (86)
б) D(ky co->C+)=0 имеет решение лишь для k=ku, тогда
,/+ 7С+, V, ,макс'! (87^
в) Z)(^, o)->C+)=0 имеет решение лишь для k—ku в этом
случае
= lim [ot
(88)
Для неустойчивых импульсов случай «а» отвечает абсолютной
неустойчивости, «б» — конвективной неустойчивости при г>0 и
«в» — конвективной неустойчивости при г<0. Уравнения G7) —
(88) часто позволяют простейшим и наиболее эффективным спо-
способом установить тип неустойчивости: абсолютная она или кон-
конвективная.
Возвращаясь к асимптотической форме импульса, которая опре-
определяется решениями уравнений B0), B1) в особых точках типа
точек ветвления ko(V), соо(К), и рассматривая V как независимую
переменную, легко показать, что
d®'o(V)/dV=—ko(V) (89)
dk0 (V)/dV=- (dDy/da) о/ {d2Dv/dk2) 0. (90)
Уравнения (89) и (90) очень полезны для вычисления a>'o{V)
и ko(V), так как они содержат известные для любых значений V
функции. Кроме того, уравнение (89) задает прямую связь между
величинами ©'o(V), ko(V) и решениями уравнений (80) и (81),
благодаря этому нам нужно лишь определить g/o(V), поскольку
тогда ко находится из (89), и, используя G8), можно найти часто-
частоту в лабораторной системе: coq(V) =о/о(Ю — (da'o/dV) V. Заметим,
что для каждого значения скорости V решения уравнений (80) и
303

(81), дающие особую точку типа точки ветвления, будут седловы-
ми точками функции u>'o(k) в точке kOy удовлетворяющими равен-
равенству d(d'o/dko=Oi поэтому в лабораторной системе из G8) имеем
d(do/dko=V. В конвективно-неустойчивой среде особый интерес
представляют две движущиеся системы отсчета, в одной из кото-
которых максимален временной инкремент, во второй — пространст-
пространственный.
Из (89) следует, что максимальный инкремент G>m(d<u'(H/dV\ vo =
=0=&ог(К))) окажется в особой точке типа точки ветвления на
действительной оси k. Из уравнений (80) и (81) вытекает, что
Ч
т
ш0т
со;
cm
"
or
а)
в)
-J^pv,
г)
Рис. 18. Временной инкремент особой точки типа точки ветвления cotm с мак-
максимальной мнимой частью со при действительных к в системе отсчета, движу-
движущейся со скоростью V:
приведены дисперсионные кривые оо(?г), анализ которых дает значения <й/0т = (о0г +
(d(u'/dk)=0; используя это свойство в уравнении G8) при дей-
действительных V=Vo и k=k0, находим
d(urjdk \h — Vo -f- idiDt/dk \ko = 0. (91)
Поэтому
(92)
b (93>
Уравнение (92) определяет ko, используя которое вместе с
(80), получаем co'om=<Orm+icD/w. Уравнение (93) определяет ско-
скорость распространения пика асимптотического импульса. Рисун-
Рисунки 18,й, б иллюстрируют расположение особых точек в комплекс-
комплексной" плоскости, а рис. 18,0, г показывают, как найти соответствую-
соответствующие величины непосредственно из решения дисперсионного
уравнения для ю(&г),если считать, что имеется лишь одна ветвь
со(&г), часть которой лежит (при k=kr) в верхней полуплоско-
полуплоскости со. . , -
304

Для абсолютной неустойчивости (см. рис. 17,а) co0i(V=0) яв-
является инкрементом для покоящегося наблюдателя и поэтому
совпадает с инкрементом, найденным в § 1 из уравнений B0) к
B1). Для конвективной неустойчивости (см. рис. 17,6) асимпто-
асимптотическая форма импульса, определяемая зависимостью cooi(V),.
также задает значения максимального пространственного инкре-
инкремента, он равен наклону прямой, проведенной из начала коорди-
координат так, чтобы она касалась кривой
«.//V. = d%i/dV \Vs = - koi (Vs), (94)
где первое равенство задает Vs, а второе следует из уравнения
(89). Сравнивая ответ с результатами § 2, видим, что koi(Vs) =
— kui((Os) из уравнения F8), т. е. максимальное отрицательное
значение kUi для действительных со, которое на рис. 14 обозначено»
kimf дается выражением F7). Из сказанного выше (см. также
рис. 17) можно установить неравенства:
\Vs\<\VoU (95)
OWI V0 | < | kim | < CD/™/1 Vs |, (96)
которые, очевидно, являются следствием того, что o)im=co/o*(Vro) —k
это максимум функции coo/(F). Кроме того, если |&tm|-^°o (су-
(существенно особая точка на действительной оси со, см. п. 1.2), то
форма импульса такова, что 1/_=0 (абсолютная неустойчивость
в полупространстве) и d(u'oi/dV\v_=o =оо.
Как уже отмечалось, после того как положение особой точки
найдено для какого-либо одного значения F, уравнения (89) и (90)
позволяют проследить за положением особой точки в зависимости
от V. Однако в общем случае асимптотическая форма импульса
может определяться более чем одной особой точкой — решением
уравнений (80) и (81) в зависимости от V; различные ветви соо*
будут превалировать при нахождении асимптотической формы
импульса в системах отсчета, имеющих разные скорости V
(см. п. 3.3).
Динамику асимптотического импульса в трехмерном простран-
пространстве и во времени можно получить тривиальным обобщением
уравнений G7) —(81); подставляя r=r/+V/, co7 = co—kV в F),
получаем
G(r' + V*. t) = Jf ехр(-Ь>7) fJgLexpCikr') % (L, „') ' <97>
L р
где Dv(k, w') = D{k, ш' + kV). (98)
Корни уравнений
Dv(k, «,') = 0 (99)
dDyldk = 0, A00),
20—3283 305

т. е. ko(V) и a/o(V), определяю^ асимптотический вид функции
Грина в системе наблюдателя, движущегося с (нерелятивистской)
•скоростью V, a coo/(V) задает трехмерную форму импульса при
i->~oo. Трехмерный аналог уравнений (89) и (90) имеет вид:
d©/o(V)/dV=-ko(V); A01)
_ dDv
dV да
,/
окок
(Ю2)
где использована матрично-операторная символика. Обобщение
изложенного выше на релятивистский случай очевидно и здесь не
приводится.
Далее найдем асимптотическую форму импульса для ряда
конкретных дисперсионных соотношений, в которых есть неустой-
неустойчивости.
3.1. Неустойчивость связанных мод. Многие плазменные не-
неустойчивости в пределе имеют вид неустойчивости связанных мод
[21]. В случае линейной связи неустойчивость возникает при
взаимодействии между волнами с положительной и отрицатель-
отрицательной энергиями [36]. Нелинейная связь между волнами второго
порядка параметрического типа неустойчива, если волна накачки
имеет наибольшую частоту, а две волны, с которыми она связана,
имеют энергию одного знака или если накачкой является волна
с меньшей частотой, а две другие волны имеют энергии разных
знаков. В обоих случаях динамические уравнения для комплекс-
комплексных медленно меняющихся амплитуд приводят к дисперсионному
уравнению
D(k, со) = (со—kVx+ivi) ((D--kV2+iY2)+Y2, (ЮЗ)
где со и к характеризуют медленные изменения амплитуд во вре-
времени и в пространстве; Vi и V2 — групповые скорости; у\ и у2—
декременты волн без учета связи; у2 определяется механизмом
связи. Будем рассматривать только консервативную неустойчи-
неустойчивую связь, для которой у2 — действительное положительное число.
В одномерной задаче, в том числе и для связанных волновод-
ных мод, можно считать^ что kVi>2=&Fi,2. Будем различать два
случая: а) У\У2<0у связь между волнами, имеющими противопо-
противоположно направленные групповые скорости; б) У\У2>09 схорости
Vi, V2 направлены в одну сторону. Сначала в отсутствие затуха-
затухания (yi=Y2=0) найдем, что дисперсионное уравнение A03) имеет
неустойчивые решения ю«(Аг)>0 при \kr\<2у/| Vi—V21. При
V\V2<Q уравнения имеют особую точку (где корень кратный,
D=--0, 0D/dk=0), отвечающую абсолютной неустойчивости с вре-
временным инкрементом
2\)9 A04)
а при V\V2>0 неустойчивость конвективная с максимальным про-
пространственным инкрементом
kim=±y/(ViV2)l/29 A05)
306

где верхний знак отвечает конвективной неустойчивости при г<0,
а нижний — конвективной неустойчивости при z>0. Дисперсион-
Дисперсионные кривые при Yi=Y2=0 как для абсолютной, так и для конвек-
конвективной неустойчивости изображены на рис. 19.
Когда декременты невозмущенных волн не равны нулю, можно
найти пороги неустойчивостей. Порог неустойчивости определяется
соотношением
Если V\V2<0, то есть еще порог существования абсолютной
неустойчивости, который дается соотношением
+ ЫJ=т2а, A07)
где ai=Yi/|Vi| и а2==72/| У2 | — пространственные декременты
для невозмущенных волн. При ус<у<уа неустойчивость конвек-
конвективная.
Форму неустойчивого импульса можно найти, используя функ-
0) >[
Рис. 19. Дисперсионные кривые, отвечающие абсолютной (а) и конвективной
(б) неустойчивостям при взаимодействии между модами в одномерной задаче
цию Dv=D(k, <d'-\-kV) и отыскивая особые точки, где Dv=0 и
dDv/dk=0. При Vx>V2>0 получим
а при V2<0<l/i
ll/2
v»n + ii(Vi-v) /l09v
Отсюда, построив график зависимости щ4 от Vt, найдем асимп-
асимптотический вид импульса. При yi=Y2=0 очевидно, что скорости
границ импульса равны V±=V\ и У_=У2; это также можно най-
найти из уравнений (86) и (87). В обоих случаях максимальный вре-
временной инкремент равен ©/т=у, он получается при Уо= (^1+У2)/2.
20* 307

Для импульса конвективной неустойчивости [см. A08)] макси-
максимальный пространственный инкремент дается уравнением A05)
и достигается при 1/= J/5=2FiK2/(V1 + V2); для импульса абсо-
абсолютной неустойчивости [см. A09)], со/ш(У=0) =со0/, выражением
A04). Когда затухание невозмущенных волн отлично от нуля, из
A08) и A09) легко определить, как изменится форма импульса.
Для трехмерного взаимодействия, описываемого дисперсион-
дисперсионным уравнением A03), из (97) —A00) получим
Dv = D(k, •f + kV) = («'-kvl+iTl)K-kvI + iTl)Ti. (ПО)
где vi=Vi—V; v2==V2—V. Условие, определяющее седловую точку
dDv/dk=0, накладывает требование коллинеарности векторов vi
и V2, т. е. направление скорости неустойчивого импульса совпа-
совпадает с линией, соединяющей концы векторов Vi и V2 (рис. 20).
Тогда можно разложить к по двум направлениям: к |{ -\-к±, вы"
брав за направление, обозначенное символом ||, vi или v2 (скажем
Vi), тогда получим эквивалентный одномерный набор уравнений
для кратных корней
= 0
A11)
A12)
из которых можно найти coot(V).
Таким образом, мы свели трехмерную задачу к эквивалентной
одномерной, которая имеет известное решение [уравнения A07) —
A09) ]. Форма трехмерного
импульса (рис. 20) получает-
получается в результате решения экви-
эквивалентной одномерной задачи
[уравнения A11) и A12)] для
всевозможных пространствен-
пространственных ориентации [37]. В об-
общем случае анизотропной ди-
диспергирующей среды несвязан-
несвязанные волны имеют различные
свойства, зависящие от на-
направления распространения,
поэтому и групповые скорости
Vb V2, и коэффициенты зату-
затухания 7ь 72, и константа свя-
связи 72 могут различаться для
разных ориентации взаимо-
Рис. 20. Нахождение асимптотической
формы импульса неустойчивости при
взаимодействии между модами в дву-
двумерной и трехмерной задачах
308
действия.
Дисперсионное уравне-
Дисперсионное уравнение, описывающее простей-
описывающее простейшее взаимодействие волн в

трехмерном случае, уравнение (НО), приводит к эффектив-
эффективной одномерной динамике асимптотического импульса, кото-
который локализован на линии, соединяющей концы векторов V\t
и V2t (рис. 20). Поэтому асимптотическая оценка функции Грина
имеет вид:
t)
ттг* О13)
+t;)]1/4 ' V '
где
S2 (Vjt) — двумерная 8-функция, аргументом которой является дву-
двумерная скорость, перпендикулярная vi или V2.
Сингулярность, связанная с V,, легко устранима, если ввести
поправки, учитывающие кривизну дисперсионных кривых невзаи-
невзаимодействующих мод в направлении к±[37]. Дисперсионное урав-
уравнение A11) в этом случае имеет вид:
t (k. «.') = («' -*,,Ot -C1*-J_ + iYi)K + *,,f,-hC.*tj.4-iT,)+Yt=0.
A15)
где С\ и Сг — коэффициенты, характеризующие поправки к зако-
закону дисперсии, связанные с кривизной, в полных дисперсионных
уравнениях резонансно взаимодействующих волн. Используя урав-
уравнение A15), получаем асимптотическую оценку функции Грина
UmGlVt t)— -Hvi+v*)m ехР
i-,00 ' (8т:K/2 [(v.-V^C.-iV^^ ^
A16)
где cd'o(V) определяется выражением A14). Это выражение не
является сингулярным поУ^и имеет ожидаемую зависимость от
времени ехр(—i©V)/f3/2, характерную для трехмерной динамики
[см. E0)].
3.2. Форма импульса в граничных точках и при совпадении
полюсов в бесконечно удаленной существенно особой точке ?->-оо.
Как было показано в п. 1.2, дисперсионные уравнения с точками
ветвления корней при &-*оо и конечных значениях со, что отвечает
существенно особым точкам функции /(г, со) [уравнение A8)],
имеют при фиксированных z гораздо более сложные асимптоти-
асимптотические функции отклика, чем в случае особой точки типа точки
ветвления при конечных значениях k. Однако в системе отсчета,
движущейся со скоростью V> исследовать вид неустойчивого им-
импульса значительно проще, и в то же время анализ является до-
достаточно Полным, при этом не нужно вычислять точные значения
асимптотических интегралов (как это было сделано в п. 1.2).
С одной стороны, вводя движущегося наблюдателя, мы «устра-
«устраняем» существенно особую точку; если частота, соответствующая
309

этой точке, действительна [при этом пространственный инкремент
бесконечен; см., например, D2)], то ее вклад выражается в том,
что асимптотическая функция отклика заостряется к началу коор-
координат и имеет в этой точке бесконечный наклон, т. е. неустойчи-
неустойчивость фактически является абсолютной (по крайней мере, в полу-
полупространстве). С другой стороны, что касается функции
lg'IG^-^oo) |, то нахождение формы импульса эквивалентно вы-
вычислению интегралов, определяющих асимптотический вид функ-
функции Грина. Проиллюстрируем это двумя примерами.
Существенно особая точка на конце интервала. Рас-
Рассмотрим следующее простое «математическое» дисперсионное уравнение (при-
(пример Б. Р. Куссе [38]):
D(ky со) =<о/^—iico—2=0. A17)
Очевидно, что для любого конечного k=kr имеем <0г(?г)>0, поэтому урав-
уравнение описывает неустойчивую систему. Так как оно первого порядка по ky
ясно, что нет особых точек типа точки ветвления. В действительности легко
показать, что все значения ч ^(о)ь)=^« лежат в верхней полуплоскости k, и
если сместить L так, что коьг—мо|=0 для любой точки действительной оси
8
16
Vt
9,02
Рис. 21. Асимптотическая форма
импульса для дисперсионного
уравнения A17):
наличие существенно особой точки
приводит к бесконечному наклону
кривых (O0i(V) при F=0
0,8 y/v0
Рис. 22. Зависимость асимптотиче-
асимптотического значения временного инкремен-
инкремента <o'oi от скорости системы отсчета
для плазменно-пучковой неустойчи-
неустойчивости (пучок и плазма холодные)
cor, то корень ku пересечет действительную ось k дважды и вернется в верх-
верхнюю полуплоскость к при со*—>-0, и в обычном смысле (см. § 2) это не будет
отвечать даже пространственно усиливающимся волнам. Проблема, конечно же,
в том, что контур L нельзя переместить на действительную ось <ог, так как
при @=0 функция /(z, -co) имеет существенно особую точку, которая соответ-
соответствует скорее граничной точке интервала, &Г=+оо, чем точке ветвления в пло-
плоскости к. Легко найти явный вид функции Грина для дисперсионного соотно-
соотношения A17):
С? (z,0 = exp(— z)I9Byr2zl)a(z)u(t),
откуда видно, что неустойчивость является абсолютной в
z>0.
A18)
полупространстве
310

В системе, движущейся со скоростью V, это дисперсионное уравнение при-
примет вид:
Dv(kt <x)') = {«)'+kV)k—i(:<x>'+kV)—2=O; A19)
из него видно, что неустойчивая точка типа точки ветвления [решение уравне-
уравнений (80) и (81)] будет при
— i<o'o = 2VW—V A20)
(соответствующая этому асимптотическая форма импульса изображена на
рис. 21). Теперь можно сравнить его с асимптотикой точного решения. Под-
Подставив V=z/t в уравнение A20), получим
ехр ( — icoy) = ехр B Vzt — z) A21)
и из уравнения A18) найдем
G (z, t-+ a ) =*г ехр B V~2et — z)/2 Vn BztI14, A22)
откуда видно, что G(t—>-оо) с хорошей точностью совпадает с со'ог (УК-
Асимптотический вид импульса для пучко в о -пл аз-
менной неустойчивости. В п. 1.2 было показано, что эта неустой-
неустойчивость характеризуется бесконечно удаленной существенно особой точкой
k—>~оо типа точки ветвления. Асимптотика функции Грина была вычислена
методом перевала, в результате чего было получено выражение D4). Асимпто-
Асимптотический вид импульса находится намного проще из дисперсионного уравнения,
записанного в системе отсчета, движущейся со скоростью V:
Dv(k, o)/) = l— (d2Pl(d)'+kVJ—сЛ/fco'—k(V0— V)]2. A23)
Подставляя это выражение для Dv в уравнения (80) и (81), найдем не-
неустойчивую частоту особой точки типа точки ветвления
2/3 I3/2
J , A24)
где Vb—V/V0; m=\ или 2 в зависимости от знака перед правой частью A24);
N=tiblnp. При N73<1 хорошим приближением для большей части неустойчи-
неустойчивой области (?>'oi>O импульса будет соотношение
<e'0/«V^l -Vb- C/4) yV1'3 Vg/3A—V6I/3 + i (ЗКГ/4) Nll3V2bls(l—Vb)m .
A25)
Точное (сплошная кривая) и приближенное (точки) выражения для о/ог(У)
при ЛЛМ0~3 графически представлены на рис. 22. Используя уравнение A25)
с заменой V—^zjt, легко показать, что ехр(—icoV) совпадает с выражением
D4), найденным методом перевала.
Можно упомянуть о некоторых интересных особенностях динамики этой
неустойчивости: асимптотический вид импульса таков, что задняя граница
является заостренной при z=0, наклон (пространственный инкремент) здесь
бесконечен, но временной инкремент равен нулю, передняя граница движется
со скоростью пучка Vo, как и следовало ожидать, при Л№<С1 в окрестности
передней границы импульс нарастает намного быстрее, чем в окрестности зад-
задней границы, из уравнения A25) видно, что инкремент максимален при Уь=
=2/3 и равен наибольшей из величин (о<н(&г) при Nlf3<^\. Все эти особенности
изображены на рис. 23. Кроме того, заметим, что инкремент в лабораторной
311

системе положителен во всех точках 2>0 за фронтом импульса, действитель-
действительная часть частоты в лабораторной системе почти всюду равна плазменной
частоте, в движущейся системе отсчета она равна плазменной частоте с доп-
леровским сдвигом вниз, тем большим, чем больше скорость системы отсчета,
характерные волновые числа определяются непосредственно из уравнений (89)
и вида функции <о'о(У).
3.3. Форма импульса при взаимодействии особых точек. Мы
уже видели (см. п. 1.1), что в зависимости от параметров плазмы
седловые точки могут взаимодействовать, в результате чего могут
возникать или исчезать особые точки типа точки ветвления. Ана-
Аналогично, когда асимптотическая форма импульса в зависимости от
скорости наблюдателя может определяться соседними седловыми
B/3)yot M0t
.z=Vt
Рис. 23. График пространственно-временной эволюции асимптотической формы
импульса при развитии пучково-плазменной неустойчивости (плазма и пучок
холодные) в приближении малой плотности пучка
(особыми) точками, они могут взаимодействовать. Асимптотиче-
Асимптотический вид импульса может в общем случае зависеть от соответст-
соответствующей комбинации (u'oi(V) в этих точках. Покажем это на двух
примерах.
Форма импульса для встречных пучков в плазме. Мы
видели (см. п. 1.4), что для холодных пучков и холодной плазмы из диспер-ч
сионного уравнения F2) можно найти две особые точки типа точки ветвления
при (Хр=1аь=0. На рис. 24 приведены зависимости <д/огAО для этих двух то-
точек. Если они не взаимодействуют, то форма импульса определяется той из
них, у которой больше <Ooi(V) при всех значениях V; это будет при О^У^
^0,56и0. При этих значениях V начинается их взаимодействие, так что при
У^0,56о0 точка i(Oo2(V) перестает быть точкой ветвления. Поэтому при V=
=0,66^0 форма импульса определяется зависимостью g/oi(V) [17].
Для пучков с конечным тепловым разбросом (аьфО) и холодной плазмы
(аР=0) форма импульса при различных значениях 'a.p/v0 изображена на рис. 25
[33]. Неустойчивость исчезает при аь/уо^1,26.
Взаимодействие ионно-звуков ой и осцилляторной
двухпучковой параметрической (модуляционной) неус-
тойчивостей. Особенно интересный случай взаимодействующих точек вет-
ветвления возникает при взаимодействии лазерного излучения с плазмой, где
обычно анализируют по отдельности различные параметрические плазменные
неустойчивости, которые могут возбуждаться электромагнитной волной накач-
312

ки. Когда частота волны близка к плазменной, возникают неустойчивости двух
типов: распад волны накачки на плазменную и звуковую и взаимодействие
двух плазменных волн через виртуальную низкочастотную. Последнюю неустой-
неустойчивость иногда называют осцилляторной двухпучковой. Обе неустойчивости
имеют максимальный инкремент, когда параметрически возбуждаемые элек-
электростатические волны распространяются в направлении электрического поля
накачки. Поэтому ограничимся обсуждением только этого случая и для про-
простоты пренебрежем затуханием волн.
ш'ос/и)о
0,3
0,2
о
vho
0,325
о
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 24. Асимптотическая форма им-
импульса при взаимодействии особых
точек типа точек ветвления в задаче
о взаимодействии холодных встреч-
встречных пучков с холодной плазмой [17]:
форма импульса определяется более тол-
толстой сплошной линией, рисунок симмет-
симметричен относительно прямой v=0
Рис. 25. То же, что и на рис. 24,
только пучки имеют тепловое ушире-
ние (лоренцево), описываемое вели-
величиной аь [см. F2)] [33]
При малой мощности накачки указанные неустойчивости ведут себя по-
разному. Распадная неустойчивость приближенно описывается дисперсионным
уравнением типа уравнения связанных мод
(со—kvA) {
где
A26)
A27)
[v0=eEolm>(x)o — скорость движения электронов в поле волны накачки Ео]\ ин-
индексами А и Р отмечены групповые скорости и частоты соответственно звуко-
звуковой и электронной плазменной волн. Аналогично осцилляторная двухпучковая
неустойчивость приближенно описывается уравнением
(со—k'vPl) (со—k'vP2)-^y2o=O, A28)
где Vpi^vP2=Vp; k'—k—(Yo/^p); индекс V отвечает виртуальной волне;
). A29)
Асимптотическая форма импульса для каждого из этих взаимодействий имеет
такой же вид, как в случае неустойчивости при взаимодействии между модами
(см. начало этого пункта). При распадной неустойчивости границы импульса
движутся со скоростями \4:vp\<vre1 a va=:±:Cs, где vre — тепловая скорость
электронов, cs — скорость ионно-звуковых волн. Так как cs<^vTe, а инкремент
абсолютной неустойчивости довольно мал, много меньше уп, конечное затуха-
313-

ние ионно-звуковых волн может изменить как форму импульса, так и характер
неустойчивости, сделав ее конвективной. В то же время осцилляторная двух-
пучковая неустойчивость имеет импульс симметричного вида, скорости границ
равны Vpi и — vP2 (значения их почти одинаковы и vP<vTe), инкремент абсо-
абсолютной неустойчивости равен у0, конечное затухание плазменных волн не изме-
изменяет тип неустойчивости.
При больших мощностях накачки, когда инкремент осцилляторной двух-
пучковой неустойчивости становится сравнимым с частотой ионно-звуковых
волн, неустойчивости взаимодействуют между собой и их нельзя рассматривать
как независимые, это видно из выражения A29). Более полная теория [39]
Рис. 26. Взаимодействие особых то-
точек при слиянии ионно-звуковой и
осцилляторной двухпучковой пара-
параметрической неустойчивостей [39]:
1 — чистая осцилляторная двухпотоковая
неустойчивость; 2 — чистая распадная не-
неустойчивость; 3 — реальная асимптотиче-
асимптотическая форма импульса; 4 — расположение
седловых точек; максимум — при 6-10-4Х
XcoL; сор, coL=0,85
1
1
I 1
30
-25
20
15
\
1 \
\
\
\
\
че
Че
показывает, что соответственно преобразованное общее дисперсионное уравне-
уравнение, описывающее взаимодействие двух плазменных и одной ионно-звуковой
волн, имеет следующий приближенный вид:
- «») [со2 - (k - kvY v*P] = -
- kv) v
A30)
На рис. 26 показана асимптотическая форма импульса неустойчивости,
соответствующего этому дисперсионному уравнению (сплошная линия) для не-
некоторого набора параметров, отвечающих экспериментам по лазерному син-
синтезу. Пунктирные линии показывают ряд импульсов, полученных из уравнений
A26) и A28). Импульс сильно отличается по форме от импульса распадной
неустойчивости и схож с импульсом в случае двухпучковой осцилляторной
неустойчивости, хотя ее максимальный инкремент (абсолютной неустойчивости)
заметно меньше инкремента осцилляторной неустойчивости [см. A29)], если
ее рассматривать независимо.
4. ЭФФЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С КОНЕЧНЫМ РАЗМЕРОМ
СИСТЕМЫ И НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ПЛАЗМЫ
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ МЕЖДУ МОДАМИ
Итак, мы рассмотрели пространственно-временную эволюцию
неустойчивостей в бесконечной плазме, которая в невозмущенном
состоянии была однородной. В зависимости от рассматриваемых
пространственно-временных масштабов сделанные выше предполо-
предположения часто оправданы при линейном описании динамики опреде-
314

ленных неустоичивостеи. Ситуация резко осложняется, когда эти
предположения несправедливы. Для того чтобы рассмотреть воз-
возникающие при этом эффекты с единой точки зрения, сосредоточим
внимание на неустойчивостях, приближенно описываемых диспер-
дисперсионным уравнением при наличии взаимодействия между модами.
Это описание справедливо как для многих линейных неустоичиво-
неустоичивостеи, в основе которых лежит связь между волнами положитель-
положительной и отрицательной энергии, так и для начальной стадии эволю-
эволюции нелинейных параметрических неустоичивостеи [21].
Описание динамики развития неустоичивостеи в системе конеч-
конечных размеров должно, разумеется, включать в себя граничные
условия. В плазме эти граничные условия часто бывает трудно
моделировать как простые разрывы, кроме того, обычно система
в равновесии не является однородной. Однако в принципе анализ
устойчивости ограниченной однородной плазмы достаточно прост:
если границы резкие, то волновые векторы имеют определенные
значения и вопрос об устойчивости сводится к задаче на собствен-
собственные значения для комплексной частоты: если есть частоты с поло*
жительной мнимой частью, то они отвечают неустойчивым собст-
собственным модам, в противном случае в системе может быть лишь
пространственное усиление шумов или сигналов от одного конца
системы к другому.
Наложение граничных условий на однородную плазму может
принципиально изменить характер неустоичивостеи в ней по срав-
сравнению с бесконечно протяженной системой. Так, неустойчивость,
бывшая конвективной в безграничной плазме, может стать не-
неустойчивой собственной модой в ограниченной системе, если вве-
ввести отражение от границы волны с соответствующей фазой, —
это станет очевидным, если воспользоваться идеями, использован-
использованными в теории усилителя и (или) осциллятора с обратной связью.
В противоположность этому абсолютно-неустойчивая мода беско-
бесконечной плазмы может распасться на ряд неустойчивых собствен-
собственных мод в ограниченной системе; для того чтобы какая-либо'мода
была неустойчивой, необходимо, чтобы размер системы был до-
достаточно велик, если же размер системы меньше некоторого мини-
минимального, то все собственные моды становятся устойчивыми и в
системе снова может быть лишь пространственное усиление шу-
шумов или сигналов от одного конца плазмы к другому. Ниже все
сказанное будет проиллюстрировано на простых примерах [21].
4.1. Конвективная неустойчивость в ограниченной однородной
плазме. Простейшим примером, иллюстрирующим влияние огра-
ограниченности системы, является неустойчивое взаимодействие двух
волн. Рассмотрим линейное консервативное взаимодействие волн
положительной и отрицательной энергий (аналогичный анализ
применим и к нелинейному параметрическому взаимодействию
двух волн). Дифференциальные уравнения для медленно изменяю-
изменяющихся амплитуд волн со слабой связью имеют вид [21]:
{d/dt+vid/dz+yjaxiz, t)=ya2(z9 t)\ A31)
(d/dt+v2d/dz+y2)a2(z, t)=y*ai(z, t), A32)
315

где v\, v2 — групповые скорости; уь V2 — собственные декременты;
у — комплексная константа связи. Амплитуды нормированы так,
что |ai2|2=|tt>i2|, гДе a;if2 — средние по времени плотности энер-
энергии волн. Воспользовавшись результатами предыдущего парагра-
параграфа, можно установить, что при v{v2>0 и |y2|>Yi72 неустойчивость
будет конвективной.
Для конвективно-неустойчивого взаимодействия можно не сле-
следить за изменением амплитуд во времени, а рассматривать лишь
их максимальное пространственное усиление на ограниченном от-
отрезке, скажем от z=0 до z=L. Для простоты пусть Yi=Y2=0;
предположим, что t>i>0, v2>0 и ai,2(ai,2I/2=&i,2, тогда из уравне-
уравнений A31) и A32) при d/dt=Q получим
dbi/dz=ab2\ A33)
db2/dz=a*bu A34)
где сх= |vl/(^1^2I/2 [ср. с A05)] — максимальный пространствен-
пространственный инкремент. Так как обе групповые скорости положительны,
оба граничных условия задаются при г=0. Полагая 6i @) = 1 и
*2@)=0, находим
6i(z)=ch(a2); A35)
62(z)=sh(<xz). A36)
Как следует из дисперсионного уравнения, при aL>l эти ре-
решения вблизи z^.L представляют собой нарастающие в прост-
пространстве волны.
Однако в более общем случае разрыв во взаимодействии при
2=0 и z=L приводит к возбуждению других волн в плазме,
помимо тех двух, которые мы рассматриваем. Выбрав другие гра-
граничные условия на концах области взаимодействия, можно в
общем случае рассмотреть большее, чем две, число волн. Если од-
одна из этих волн распространяется в обратном направлении (от
L=z к г=0), то можно получить обратную связь, которая приве-
приведет к возникновению неустойчивой нарастающей во времени собст-
собственной моды в плазме конечного размера. Так, предположим, что
при z—L часть (комплексная) RL усиленной волны с амплитудой
Ь\ идет на возбуждение волны, распространяющейся от z=L к
z=0. Для простоты предположим, что эта волна не затухает и на
указанном промежутке на ее распространении не сказывается при-
присутствие волн с амплитудами Ь\ и Ъ2 (она не связана с ними в
однородной области между границами). Предположим, что, когда
эта волна достигнет точки г=0, часть (комплексная) Ro ее ампли-
амплитуды будет возбуждать волну с амплитудой 6Ь которая, в свою
очередь, будет усилена в промежутке между z==0 и z=L (за счет
связи с Ь2) и т. д. Условие существования осцилляции (нарастаю-
(нарастающей во времени собственной моды) в случае обратной связи имеет
вид:
R0RLch(aL) = L A37)
316

Это условие восстановления амплитуды и фазы конвективно-не-
конвективно-неустойчивой волны посредством противоположно направленной не-
незатухающей волны.
В общем случае, как установлено в § 1 (см. рис. 3,а), для ©<
из области абсолютной сходимости можно легко определить, какие-
комплексные &(со) относятся к области г>0, а какие к области
2<0, мы называли их ku((u) и &/(со) соответственно. Считая, что
отсутствие абсолютной неустойчивости установлено, получаем ус-
условие существования неустойчивой собственной моды в конечной
длинной (протяженностью L) плазменной системе:
/?o(o)/?L(co)exp{[-*«i(©)+*/i(©)]L} = l, A38)
где i?o— (комплексный) коэффициент возбуждения ы-волны /-вол-
/-волной при z=0; RL — (комплексный) коэффициент возбуждения:
/-волны u-волной при 2=L; &"/((o) =min[Im?u((o)], klt=-
=max[Im&/((o)]. В принципе уравнение A38) можно использо-
использовать для определения частоты неустойчивой собственной моды в
неустойчивой плазме конечной протяженности. На-практике вычис-
вычислить /?о(со) и /?l(o) для* реальных грзничных условий довольно-
трудно. В заключение заметим, что в пределе L-^oo соотношение^
A38) можно выполнить при
—#¦*(<©)+#*(©)=<)+• A39)
Это условие удовлетворяется на кривой (или кривых) в комп- „;
лексной плоскости ш. Когда части* этих кривых находится в верх-
верхней полуплоскости ш, то говорят о «глобальной» неустойчивости
[20, 40]. Для^существования неустойчивой собственной моды это-
этого недостаточно; необходимо, чтобы выполнялись условия
^o(co)/?l((o)=t^D и arg[/?0(o))/?L(co)]=2jtn, /г—0, 1,2... при=тех же-
L и комплексных частотах/для которых со7>Фт* справедливо соот-
соотношение A39).
4.2. Абсолютная «еустойчивость^в однородной плазме конечных
размеров. Рассмотрим нелинейное параметрическое взаимодейст-
взаимодействие двух волн положи^ель^ж энергии,"М'меющ^х* противоположно^
направленные групповые скорости и связанных друг-с'другом че-
через волну накачки, частота которой больше частот обеих волн.
Аналогичный анализ применим также к линейно связанной паре*
волн, одна из которых имеет положительную, - а другая отрица-
отрицательную энергию и групповые скорости которых противоположно-
направлены [15]. Дифференциальные уравнения, описывающие
эти волны, имеют вид [21]:
(d/dt+vxd/dz+vMz, t)=ya*2(z9 t); A40)
(d/dt+v2d/dz+y2)a2(z, t)=ya*i(z9 t), A41)
где сохранены обозначения, принятые в A31) и A32). Из резуль-
результатов п. 3.1 видно, что неустойчивость развивается как абсолют-
абсолютная с инкрементом A09) при У=0.
Рассмотрим ограниченную систему протяженностью от 2=0*
до z=L>0, в которой взаимодействие описывается уравнениями
31Г

A40) и A41). Пусть групповые скорости волн V\>0 и v2<0. Тогда
граничные условия на а\ задаются в точке г=0, а на а2 — в точке
z=L. В частности, пусть ai@)=0 и a2(L)=0. Считая, что реше-
решения имеют вид сц-—exp (pt-\-\kz), а аг — комплексно-сопряженное
си выражение, получаем уравнение, определяющее k:
v2\
IyI2
Vl\vt\
Ч2
Vl
'. A42)
которое представляет собой дисперсионное соотношение. Прини-
Принимая во внимание граничные условия, находим уравнение на собст-
собственные значения р:
A43)
2. A44)
где
P=PlPo+Va/y; а=
Г|
Здесь /?о — инкремент абсолютной неустойчивости в отсутствие
затухания, yi=Y2:=0 [см. A04)]; уа — пороговый инкремент аб-
абсолютной неустойчивости [см. A07)]. При Р=0 уравнение A43)
имеет дискретный набор решений, определяемый условиями aL=
= (/г+1/2)я, я=0, 1, 2, /.., для каждого п с ростом aL растет Р,
при aL-*oo для всех п ветвей Р=\. График зависимости р/ро от
aL изображен на рис. 27. Отметим, что существует минимальная
длина, ниже которой нет не-
\a2(z-L)--o устойчивых (нарастающих во
времени) собственных мод; в от-
отсутствие затухания (^1=^2=0)
этот минимум, или критическая
длина Lc=n/2a, с ростом затуха-
затухания растет, как показано на
рис. 27. При <xL->oo инкремент
каждой из собственных мод стре-
стремится к инкременту абсолютной
неустойчивости в бесконечно про-
протяженной плазме.
Поэтому влияние ограничен-
ограниченности системы на развитие абсо-
абсолютной неустойчивости сводится
в первую очередь к разбиению
Рис. 27. Неустойчивость при взаимо-
взаимодействии мод в ограниченной систе-
системе, когда групповые скорости проти-
противоположно направлены
спектра на ряд неустойчивых собственных мод, инкремент кото-
которых уменьшается с уменьшением размера системы до тех пор, по-
пока все они не стабилизируются, когда L станет меньше Lc. При
L<LC в системе все еще может быть пространственное усиление
¦сигнала между концами системы (возможно, не экспоненциаль-
экспоненциальное). В отсутствие затухания (yi=72=0) легко показать, что при
L<.LC усредненные по времени интенсивности второй волны на
концах системы связаны соотношением [21]
52@)=s2(L)/cos2(aL). A45)
318

Заметим, что появлению нормальной неустойчивой собственной
моды при L = Lc=n/2a здесь отвечает бесконечное усиление на
конечном отрезке, равном размеру системы.
4.3. Неустойчивости связанных мод в безграничной неодно-
неоднородной плазме. Уравнения, описывающие взаимодействие свя-
связанных мод, с учетом эффекта слабой неоднородности легко полу-
получить в ВКБ-приближении [21]. Рассмотрим одномерную задачу,,
отвечающую параметрической неустойчивости:
г
[д/dt + v, (г) д/dz + Т. (г)] a, (z, t) = Т (г) а\ (г, t) exp j i k {z') dz';
A46)
[dldt + vt (z) д,дг -f Y2 {z)\ аг (z, t)= T B) a\(z, t) exp J i k B') dz', A47)
гд? k(z)=ko(z)— &i(z)— k2(z) характеризует изменение сдвига фаз.
при быстрых изменениях электрического поля в пространстве
(^о —волновое число волны накачки), а все остальные величины
определены в уравнениях, приведенных в пп. 4.1, 4.2. Часто рас-
расстройка является самым важным эффектом, связанным с неодно-
неоднородностью. Рассмотрим случай линейной расстройки, k(z) =
= (dk/dz)oZ=k'z; эффект станет существенным на расстоянии
Ld, когда k'Ud^n и в показателях экспонент уравнений A46) и
A47) увеличится сдвиг фаз примерно до я. Условие применимости
ВКБ-приближения заключается в том, чтобы наименьшее из &о,1Д
было много больше 1/L/, где I/ — характерный масштаб неодно-
неоднородности, т. е. изменения величин v\& 71,2» 7 и *• Поэтому Ld/Li^n
(/&LI/2l и уравнения A46), A47) сводятся к следующим:
axiz, t)=ya*2(z, /)ехрA*'г2/2); A48)
[d/dt+v2d/dz+y2]a2(z> t)=ya*i(z9 t)exp{ik'z*/2). A49)
Решение этих уравнений показывает, что влияние фазовой рас-
расстройки, связанной с неоднородностью, приводит к насыщению-
амплитуды неустойчивого взаимодействия. К этому результату
можно прийти различными способами [41], наиболее полное ре-
решение задачи получается, если найти функцию Грина [42]. Приве-
Приведем здесь решение Чамберса {37].
Взяв в качестве источника возбуждения б-функцию [скажем, в
A49)] при z=0 и t—О с амплитудой а/(/О1/2> выполним преобра-
преобразование Лапласа в уравнениях A48) и A49) и проведем соответ-
соответствующую замену переменных. В результате получим уравнение
параболического цилиндра с тем же источником в правой части,
после этого выполним обратное преобразование Лапласа и мето-
методом перевала найдем решения при малых и больших временах.
Приведем основные результаты в двух интересующих нас слу-
случаях: 1) v\>0 и в уравнении A49) произведена замена v2-*—v2v
тогда в отсутствие изменения сдвига фаз (й7=0) неустойчивость
319-

будет абсолютной; 5)- u2>0i>O, тогда при &'=0 неустойчивость бу-
будет конвективной. Критическим параметром, который определяет
масштабы времени, будет
Q=(v±lJX/v(vT±Z)(±T+Z), A50)
где верхние знаки относятся к случаю 1, а нижние —к 2;
— параметр, характеризующий изменение сдвига фазы взаимодей-
взаимодействия; v=v2/v\; Z=(k')l/2z; T— (k')l/2V\t. При Я>1 найдем, что,
когда Q-*oo (малые времена), получим для случая 1 такой же
тип эволюции, как при абсолютной неустойчивости [см. A09)], а
для случая 2—такой же тип эволюции, как в случае конвектив-
конвективной неустойчивости [см. A08)]. В то же время при А,>1 и Q->0
(большие времена) амплитуда как для случая 1, так и для случая
И может (когда <yi = Y2=0) достичь лишь некоторого постоянного
уровня насыщения; максимальная амплитуда будет равна
i/~K^l1/2 Г
-V * к2±^| expL
±T+Z
A52)
ж импульс простирается от —v2t до v\t в случае 1 (верхние знаки)
и от v\t до v%t в случае 2 (нижние знаки); а — эффективный шу-
"мовой уровень возбуждения вблизи z=0 при t—О. Характерный
параметр, по которому разделяются малые и большие времена,
-соответствует Q=l/4. Для случая 1, полагая z=0, отсюда полу-
получим Tcr=2'Kl/2(l+v)/v, или ?Сг=4Я/юо/> где соо; — временной инкре-
инкремент абсолютной неустойчивости в отсутствие затухания [см.
A04)]. Из уравнения A52) при 2=0 и /jjb tcr получаем
^ /Z Li^lexp Ux (l - 4^I. A53)
где уа — пороговый инкремент абсолютной неустойчивости
[см. A07)]. Для того чтобы в результате развития абсолютной
неустойчивости амплитуда в точке z — 0 достигла большого зна-
значения, необходимо выполнение условий у^>2уа/пу яА,»1.
В случае 2 рассмотрим область вблизи максимума амплитуды,
«•следя за динамикой развития конвективной неустойчивости: z=
= Zo=t(vx+v2)/2 при Z=Z0=T(v+l)/2; при Q = l/4 получим
rcr=4(A,/i01/2 или fcr=4A,/|vl- Вследствие этого при t^> tcr вточке
го из уравнения A52) находим
fril^)l A54)
Поэтому для того чтобы амплитуда достигла большого значе-
-ния, в рассматриваемом случае необходимо выполнение неравенств
M»2(vi+Y2)/n и Х»1
.320

Отсюда можно сделать вывод, что если затухание волн несу-
несущественно, то эволюция одномерной системы, в которой моды ко-
колебаний взаимодействуют между собой и фаза взаимодействия
медленно изменяется за счет неоднородности, происходит следую-
следующим образом. Сначала неустойчивый импульс нарастает и расши-
расширяется так же, как и в однородной плазме; на этой стадии систему
можно описывать уравнениями с k' = 0 [A08) и A09)] как одно-
однородную до тех пор, пока амплитуда не достигнет уровня (если
принять за начальный уровень шумовой) порядка ехр(яЯ), Я=
= \y2\/k'\viv2\. После этого амплитуда поддерживается постоян-
Рис. 28. Динамика неустойчивости при взаимодействии между модами в беско-
бесконечной системе при линейном изменении сдвига фаз за счет неоднородности:
л —результаты аналитического расчета [41]; б — результаты численного интегриро-
интегрирования [43]
ной, а импульс продолжает расширяться в пространстве со скоро-
скоростями, равными групповым скоростям двух мод. Эти результаты
иллюстрируются рис. 28,а, б.
Изложенные выше результаты были обобщены на случай эво-
эволюции неустойчивости связанных мод при линейном изменении
фазы взаимодействия за счет неоднородности в двумерном прост-
пространстве, когда плазма неоднородна лишь в одном направле-
направлении [37]:
A55)
A56)
(d/dt+yld/dr+yl)ai=ya*2(z9
(d/dt+v2d/dr+y2) a2=ya*iexp {\k'z2/2),
где изменение фазы взаимодействия за счет неоднородности про-
происходит в направлении z. Так же как и в задаче о взаимодействии
мод в однородной трехмерной плазме [?'=0, см. (ПО)-—A16)],
21—3283 321

решение этих уравнений получается сведением системы к набору
соответствующих одномерных уравнений вида A48), A49). Приве-
Приведем сводку результатов, полученных Чамберсом [37]. Считая, что
групповые скорости Vi и v2 лежат в плоскости х, z, и выбирая дви-
движущуюся со скоростью v=xVx систему отсчета так, как показано
на рис. 29, замечаем, что изменение формы импульса происходит
вдоль линии, соединяющей концы векторов vj и \2, т. е. вдоль
антипараллельных векторов V!=Vi—xVx и V2=v2—xVx (рис. 29).
Повернув систему координат, перейдем от переменных х, z к
r±' rir ПРИ этом УРавнения A55) и A56) примут следующий вид:
Л'(rH cos6J/2]; A57)
fc/(r|| cos 6O2], A58)
угол 0 показан на рис. 29. Эти уравнения имеют такой же вид,
как A48) и A49), решения которых известны [см. A50) —A54)].
Рис. 29. Системы координат в двумерной задаче о развитии неустойчивости при
взаимодействии между хмодами, если есть линейный сдвиг фаз за счет неодно-
неоднородности по оси z [37]
Параметром, характеризующим изменение фазы взаимодействия
в двумерном пространстве, по аналогии с уравнением A51) будет
Х= | у 12/k' V\ V2 cos20= I у21 /kf I v \zV2z I. A59)
Изменение формы импульса от начального уровня до уровня
насыщения в двумерной задаче дано на рис. 30. Заметим, что
если групповая скорость одной из волн строго перпендикулярна на-
направлению неоднородности, то А,=оо и взаимодействие происходит
так же, как и в случае, когда изменения фазы нет, остальные
эффекты, связанные с неоднородностью, необходимо учитывать.
В заключение отметим, что вследствие выбора направления ско-
скорости движения системы отсчета V^xV* перпендикулярно направ-
направлению неоднородности изменение фазы взаимодействия в эквива-
эквивалентных рассматриваемым одномерных уравнениях A57) и A58)
не зависело от времени. В общем случае при произвольном направ-
направлении скорости системы отсчета в плоскости х, z этого не будет.
Если линия, соединяющая концы векторов групповой скорости
322

взаимодействующих волн, не параллельна оси х, в направлении ко-
которой плазма однородна, т. е. вектор скорости системы отсчета
составляет с осью х некоторый угол, то при переходе от уравне-
уравнений A55) и A56) к одномерным уравнениям, описывающим дина-
динамику в направлении этой оси, в уравнениях появится сомножитель,
характеризующий сдвиг фаз, который зависит от координаты и
времени. Зависимость от времени сомножителя, описывающего
сдвиг фаз, можно исключить, пе-
перейдя к другому набору ампли- V*
туд, соответствующим образом
изменяющихся в пространстве и
во времени [44]. Это приведет к
одномерным уравнениям вида
A58) и A59), и тогда параметр,
характеризующий сдвиг фаз в
двумерной задаче, окажется та-
таким же, как в A59).
4.4. Неустойчивости взаимо-
взаимодействующих мод колебаний в не-
неоднородной ограниченной систе-
системе. Перейдем к рассмотрению за-
задачи в неоднородной ограничен-
ограниченной вдоль направления взаимо-
взаимодействия системе. Для этого вер-
вернемся к уравнениям, описываю-
описывающим взаимодействие между мо-
модами A46) и A47). Рассмотрим
систему, в которой сдвиг фаз отсутствует (^=0), а интересующие
нас эффекты обусловлены медленным изменением константы связи
у на конечном интервале z, вне которого она равна нулю. Группо-
Групповые скорости и декременты волн можно считать также медленно
меняющимися функциями:
Рис. 30. Эволюция формы им-
импульса в двумерной задаче о не-
неустойчивости при взаимодействии
между модами, если есть линей-
линейный сдвиг фаз за счет неоднород-
неоднородности по оси z [37]
, t) =
A60)
=y(z)a*2(z, t);
[d/dt+v2(z)d/dz+y2(z)]a2(z, t) =
=y(z)a*i(z,t). . A61)
В ВКБ-приближении будем искать решение для ах в виде
[2 1
— i Ы +i f k (zr) dz! и комплексно-сопряженное выражение для
а2 соответственно. Это приведет к локальному дисперсионному
уравнению
D[k(z)9n] =
= (ю—toi+iYi) (®-kv2+iy2) + \y\2=0 A62)
с решениями вида A42) с той разницей, что вместо р будет напи-
написано —ico и все величины не будут зависеть от г. При i>ii>2>0 соб-
21* 323

ственных мод нет, и неустойчивое взаимодействие приводит к мак-
максимальному усилению от начального уровня, пропорциональному
ехр | j (u(z)dz\9 где а=|т1 {ъ^2)х12 при 71=72=0. При vxv <0 мо-
могут существовать решения, соответствующие неустойчивым соб-
собственным модам, они удовлетворяют условиям квантования, т. е.
условиям на уровни энергии в ВКБ-приближении:
\ ^(*+_*„)<&=(л+4-Iв'
где ZtU2 —точки поворота (где подынтегральное выражение обра-
обращается в нуль), которые в общем случае могут быть и комплекс-
комплексными; /г=0, 1, ... — решения уравнения A62) [такие же, как ре-
решения уравнения A42), с той лишь разницей, что у, vh v2, уи 72
являются функциями г]. Порог для существования неустойчивых
собственных мод можно найти, положив &{=р=0 в уравнении
A63). В результате получим
A64)
где a= I7l/l^i^l1/2; a>i=y\lv\\ a2=Y2/|^21 —соответственно макси-
максимальный пространственный инкремент и пространственные декре-
декременты волн 1 и 2. Условие a2> (ai+la2|J/4 между точками пово-
поворота совпадает с локальным условием существования абсолютной
неустойчивости [см. (97)]. Уравнение A64) по смыслу — условие
на площадь под кривой, представляющей собой зависимость мак-
максимального пространственного инкремента от координаты. Им осо-
особенно удобно пользоваться, когда эта зависимость является про-
простой монотонной на интересующем нас конечном интервале, вне ко-
которого она быстро убывает.
Например, если подынтегральное выражение равно константе
на длине системы L и точки поворота находятся на границах, то
условие существования нормальных мод приобретает такой же
вид, как в п. 4.2:
a2>[(a1+|a2|)/2]2+[(n+l/2)n/L]2. A65)
В отсутствие затухания существует, как и раньше, минимальная
критическая длина Lc=n/2a0, где а0 — постоянный инкремент
внутри системы. Другой пример, когда инкремент имеет вид а=
= аоехр (—4z2/L2). Тогда в отсутствие затухания из условия A64)
найдем значение Lc=]Ai;/<z0, которое мало отличается от полу-
полученного в первом примере, так как площади под кривой в этих
двух случаях почти одинаковы.
Теперь рассмотрим изменение сдвига фаз за счет неоднородно-
неоднородности в ограниченной системе. Будем считать, что сдвиг фаз меняет-
меняется линейно в направлении взаимодействия и уравнения, описываю-
324

щие взаимодействие между модами, имеют вид A48) и A49). На
рис. 31 изображен тот случай, когда можно получить точное реше-
решение. Его изучали различными методами. Например, пытались по-
получить решение методом ВКБ [45] (однако корректно такой ана-
анализ был проведен сравнительно недавно [46]). Вычислить функ-
функцию Грина в этом слу-
случае удается лишь чис-
ленно [43]. Приведем
результаты авторов,
которые изучали соб-
собственные моды систе-
системы [37, 47]. Подставив
в A48) и A49) реше-
решения в виде exp (pt),
получим обыкновен-
обыкновенное дифференциальное
уравнение относитель-
относительно переменной 2, ре-
решения которого выра-
выражаются через функ-
функции параболического
цилиндра. Используя граничные условия, изображенные на
рис. 31, можно найти собственные значения р. При vx=v,
П2=—vy yi=Y2=0 зависимость нормированных комплексных соб-
собственных чисел р/\у\ от параметра (k'yi2L при заданном значе-
значении л=|а|2/&'=2 показана на 1рис. 32; для сравнения пунктиром
показаны собственные значения для однородной системы (&'=0)
в зависимости от параметра <zL/]/*2, который изменяется вдоль
той же горизонтальной оси (ср. с рис. 27).
Когда длина системы L мала, неустойчивая собственная мода
аналогична по структуре собственной моде в однородной плазме,
и в этом случае также есть порог по L, равный /,с=я/2|а|. С уве-
увеличением L неоднородность системы становится существенной,
инкремент по сравнению с инкрементом для однородной системы
падает и начинает зависеть от инкремента следующей собственной
Рис. 31. Взаимодействие между модами в
ограниченной системе при наличии линей-
линейного сдвига фаз за счет неоднородности
-2
8 k"/2L
Рис. 32. Зависимость мнимой и действительной частей частоты от размера си-
системы в том же случае, что и на рис. 31, при |t>i| = |p2| [37, 47]
325

моды. Кроме того, возникает новый тип неустойчивых собственных
мод [в приведенном примере (VI/2L=3,7], когдадве моды слива-
сливаются. Этой неустойчивой собственной моде отвечает комплексное
собственное значение р, и они существуют в сколь угодно длинной
ограниченной системе.
Таким образом, в отличие от бесконечной неоднородной систе-
системы, описанной в предыдущем параграфе, где локализованное воз-
возмущение дорастало лишь до некоторого конечного уровня, в огра-
ограниченной системе, хотя и сколь угодно длинной, могут существо-
существовать неустойчивые собственные моды. Чтобы проанализировать
эти два случая, нужно рассмотреть функцию Грина, полученную
численно [43]. Анализ показывает, что в ограниченной системе
локализованное возмущение (вдали от границ) сначала эволюцио-
AoL
3 г>
шшшш
ШШШ.
ШШШШ;
1 1
/
0
11
Z
To
г
^' ¦
¦ ' >-* dO , ,1/2
i,—^_^-^—
i
!
i i i
1
dn
Рис. 33. Пороги существования неустойчивых собственных мод при наличии ли-
линейного сдвига фаз, когда зависимость константы связи от координаты имеет
форму распределения Гаусса [44] или ступеньки [48] для случая взаимодей-
взаимодействия между модами:
когда Y имеет вид ступеньки, граница устойчивой области осциллирует около вертикаль-
вертикальной сплошной линии и приближается к ней при ао?—>-ось штриховкой показана область
неустойчивости
нирует, как в бесконечной системе, и достигает некоторого уровня
насыщения (см. предыдущий параграф). Однако по прошествии
некоторого времени, когда возмущение достигает границ, возника-
возникают новые неустойчивые собственные моды, соответствующие ком-
комплексным значениям р, и их вклад в функцию Грина доминирует.
Как отметил Чамберс, если длина системы велика, то неустойчи-
неустойчивые собственные моды локализованы вблизи границ. Это связано
с двумя обстоятельствами: а) при линейной расстройке для лю-
любого заданного расстояния мы всегда можем подобрать такой ча-
326

стотный сдвиг, т. е. Im /?, что моды снова окажутся в фазе;
б) вблизи границы нет волны, распространяющейся в противофазе
с волной, идущей со стороны границы, которая подавляет развитие
неустойчивости, как в случае бесконечно протяженной среды.
Кривые, соответствующие пороговым значениям амплитуд соб-
собственных мод, в задаче с линейно меняющимся сдвигом фаз
взаимодействующих мод построены для двух случаев (рис. 33).
Вычисления, выполненные для незатухающих волн (yi=72=0), по-
показали, как взаимодействуют фазовые сдвиги двух типов: связан-
связанные с неоднородностью плазмы и с ограниченностью системы;
для сравнения они показаны на рис. 33. Предельный минимальный
размер системы для существования неустойчивой собственной мо-
моды определяется выражением A64) (при ai=a2=0 в этом слу-
случае), которое справедливо при k'=0. Верхний предел длины и его
изменение в зависимости от сдвига фаз связаны с возможностью
развития неустойчивых собственных мод вблизи границы; интуи-
интуитивно понятно, что существование таких мод зависит от того, на-
насколько (резкими являются границы. Аналогичные аргументы
можно привлечь, чтобы понять различие верхних пределов фазовых
сдвигов [1Д«3,9, когда y постоянна, и 1/Я«1,8, когда зависи-
зависимость у (г) имеет форму распределения Гаусса], при которых нет
собственных мод для системы произвольных размеров. Следует
также отметить, что те же пороговые кривые описывают условия
существования решений в задаче о нелинейном взаимодействии
трех волновых пакетов [49].
Интересно, что если при рассмотрении сдвига фаз при взаимо-
взаимодействии между модами в бесконечной системе неустойчивых соб-
собственных мод нет, ^о в ограниченной системе при тех же условиях
они могут возникнуть. В этой связи возник интерес к эффектам,
связанным с немонотонной неоднородностью, скажем турбулентной
или когерентной, в неограниченной среде [43, 50]. Никольсон
в этих работах на основе уравнений A46) и A47), описывающих
взаимодействие между модами, для случая противоположно на-
направленных групповых скоростей волн в отсутствие затухания чис-
численно нашел решения, считая, что, кроме линейного сдвига фаз
k(x)=k'x, есть либо турбулентный длинноволновый сдвиг 8k
с амплитудой А и длиной корреляции Lt, либо синусоидальный
8k с амплитудой km и периодом 2яЬт. Основной результат в обо-
обоих случаях состоит в том, что вместо неустойчивости с насыщени-
насыщением, которая есть при линейном изменении сдвига фаз, наблюдается
абсолютная неустойчивость, когда LT или Lm близки к обратному
максимальному пространственному инкременту схО"~1== | ^it^21 /1Yo |
и амплитуда модуляции А или km относительно мала, примерно на
порядок меньше той, при которой могут возникать точки, где
dk/dx=O. Инкременты абсолютных неустойчивостей очень чувст-
чувствительны к LT и Lm, они быстро падают до нуля, если длины не
удовлетворяют условию аЬт,тЖ 1.
4.5. Неустойчивости в ограниченной неоднородной плазме. За-
Закончим параграф краткими замечаниями, относящимися к влиянию'
327

неоднородности на развитие неустойчивостей в ограниченной плаз-
плазме. Неоднородность среды может привести к появлению новых ти-
типов эволюции неустойчивых возмущений, например, когда есть
как дискретный, так и непрерывный спектр неустойчивых собствен-
собственных мод. Это происходит, когда в ограниченной среде существуют
потоки или анизотропия с выделенным направлением, в котором
плазма однородна, например z, и которое совпадаете направлением
магнитного поля (однако плазма неоднородна в перпендикуляр-
перпендикулярном, скажем гт, направлении). Хотя можно сделать преобразова-
преобразование Фурье — Лапласа по координатам z и /, т. е. записать возму-
возмущения в виде exp (\kz—cot), полное решение задачи включает
в себя решение дифференциального уравнения, зависящего от Гг
(при соответствующих граничных условиях), причем коэффициен-
коэффициенты этого уравнения являются функциями продольной компоненты
диэлектрической проницаемости 8ь(гт, &, со) в магнитном поле.
Тогда можно найти, что в дополнение к дискретному набору не-
неустойчивых мод, удовлетворяющих уравнению eL(TTf k, со) =0,
может существовать и непрерывный спектр неустойчивых мод,
удовлетворяющий уравнению D(k, <o)=0, т. е. соответствующий
так называемым (внутренним) плазменным резонансам в направ-
направлении, перпендикулярном тому, в котором плазма однородна [31].
Непрерывный спектр неустойчивых мод приводит к появлению ли-
линий разрезов в верхней полуплоскости со. Непрерывный спектр
устойчивых мод хорошо известен в МГД-теории, но этого вопроса
мы касаться не будем. Не будем также рассматривать интересные
результаты (отчасти спорные), полученные в последние годы
в теории дрейфовых волн и МГД-неустойчивостей, особенно
в сложной геометрии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Twiss R. Q.—-Proc. Phys. Soc. (Lond.), 1951, vol. B64, p. 654; Phys. Rev.,
1951, vol. 84, p. 448; Ibid., 1952, vol. 88, p. 1392.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.:
Гостехиздат, 1953, с. 141.
3. Sturrock P. A. —Phys. Rev., 1958, vol. 112, p. 1488.
4. Buneman О— In: Plasma Physics/ Ed. by J. E. Drummond. — N. Y.:
McGraw-Hill Book Co., 1961.
5. Defler H. — In: Proc. 5th Intern. Conf. on Ionization Phenomena in Gases.
Vol. 2. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1961, p. 1423.
6. Файнберг Я. Б., Курилко В. И., Шапиро В. Д. — Журн. техн. физ., 1961,
т. 31, с. 633.
7. Половин Р. В. —Там же, 1961, т. 31, с. 1220.
8. Briggs R. J. Ph. D. Thesis, 1964, Dept. of EH, MIT, Cambridge, Mass.;
Electron-Stream Interaction with Plasmas. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 1964,
ch. 2; Bers A., Briggs R. J. Quarterly Progress Report № 71. Cambridge, Mass,:
MIT Press, Research Lab. of Electronics, 1963, p. 122; Bull. Amer. Phys. Soc,
1964, vol. 9, p. 304.
9. Feix M. —Nuovo cimento, 1963, vol. 27, № 5, p. ИЗО.
328

10 Kusse В. R. S. M. Thesis, 1964, Dept. of ЕЕ, MIT, Cambridge, Mass.
11. Convert G. — Ann. Radioelectricite, 1964, vol. 19, p. 300.
12* Sudan R. N. — Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 1899.
13. Rolland P. —Phys. Rev., 1965, vol. 140, p. 767.
14. Dysthe К. В. —Nucl. Fusion, 1966, vol. 6, p. 215.
15. Bobroff D. L., Haus H. A. —J. Appl. Phys., 1967, vol. 38, p. 120.
16. Defler H. —Phys. Lett., 1967, vol. 24A, p. 763.
17. Hall L. S., Heckrotte W. —Phys. Rev., 1968, vol 166, p. 120.
18. Hall L. S.— Phys. Rev. D, 1970, vol. 1, p. 404.
19. Defler H. —Phys. Rev. A, 1970, vol. 1, p. 1467.
20. Ахиезер А. И., Половин Р. В. —Успехи физ. наук, 1971, т. 104, с. 185.
21. Bers A. —In: Plasma Physics — Les Houches 1972/ Ed. by C. DeWitt
and J. Reyraud. — N. Y.: Gordon and Breach, 1975, p. 113.
22. Bers A. — In: Survey Lectures — Intern. Congr. on Waves and Instabi-
Instabilities in Plasmas/ Ed. by G. Awer and F. Cap. Innsbruck: Inst. for Theor. Phys.,
1973, p. Bl. __/ !
23. Hadamard J. — Acta Math.v1898, vol. 22, p. 55.
24. Bers A., Fox R., Kuper C. G. — In: Relativity and Gravitation/ Ed. by
C. G. Kuper and A. Peres. — N. Y.: Gordon and Breach, 1971, p. 41.
25. Goddard G. W., Briggs R. J. QPR, № 87, 1967, RLE, MIT, Cambridge,
Mass., p. 100; Ibid., № 91, 1968, p. 169.
26. Weibel E. S.— Phys. Rev. Lett., 1959, vol. 2, p. 83; Железняков В. В.—
Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1959, т. 2, с. 14.
27. Robertson E. A. S, M. Thesis, 1965, Dept. of ЕЕ, MIT, Cambridge, Mass.;
Bers A., Hoag J. K-, Robertson E. A. QPR, № 77, 1965, RLE, MIT, Cambridge,
Mass., p. 149; Robertson E. A., Bers A. Ibid., № 78, p. 105; № 79, p. 107.
28. Buneman O.— Phys. Rev., 1959, vol. 115, p. 503; Briggs R. J. QPR,
№ 85, 1967, RLE, MIT, Cambridge, Mass., p. 183; Davis J. A. Ph. D. Thesis,
1968, Dept. of ЕЕ, Cambridge, Mass.; Davis J. A., Bers A.— In: Proc. of the
Symp. on Turbulence of Fluids and Plasmas. — Brooklyn: Polytechnik Press,
1969, p. 87.
29. Chou S. L., Bers A. MIT, 1968 (unpubl.).
30. Sorbello R. S. S. M. Thesis, 1965, Dept. of ЕЕ, MIT, Cambridge, Mass.
31. Briggs R. J. — In: Advances in Plasma Physics/ Ed. by A. Simon,
W. B. Thompson. —N. Y.: John Wiley and Sons Inc., 1971, p. 183.
32. Weitzner H. —Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 933; Feix M. —Phys. Lett.,
1964, vol. 9, p. 123; Gould R. W. —Phys. Rev., 1964, vol. 136, p. A991.
33. Arapostathis A. S. B. Thesis, 1976, Dept. of ЕЕ, MIT, Cambridge, Mass.
34. Birdsall С. К., Brewer G. R., Haeff A. V. —Proc. IRE, 1953, vol. 41,
p. 865; Birdsall С. К., Whinnery J. R. — J. Appl. Phys., 1953, vol. 24, p. 314.
35. Haeff A. V. —Proc. IRE, 1949, vol. 37, p. 1.
36. Bers A., Gurber S. —Appl. Phys. Lett., 1965, vol. 6, p. 27; Кадомцев Б. Б.,
Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965,
т. 47, с. 2266.
37. Chambers F. W. Ph. D. Thesis, 1975, Dept. of Phys., MIT, Cambridge,
Mass.
38. Kusse B. R. Private communication, 1967, MIT, Cambridge, Mass.
39. Watson D. С Ph. D. Thesis, 1975, Dept. of ЕЕ, MIT, Cambridge, Mass.;
Watson D. C, Bers A. QPR, № 113, 1974, RLE, MIT, Cambridge, Mass, p. 59.
329 .

40. Куликовский А. Г. —Прикл. мат. и механика, 1966, т. 30, с. 148.
41. Piliya A. D. — In: Proc. 10th Intern. Conf. on Phenomena in Ionized
Gases. — Oxford, 1971, p. 320; Rosenbluth M. N,— Phys. Rev. Lett., 1972, vol.29,
p. Б6Б; Laval G., Pellat R., Pesme D.—Phys. Lett., 1973, vol. 464, p. 281.
42. Rosenbluth M. N., White R. В., Lin C. S. —Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31,
p. 1190.
43. Nicholson D. R. Ph. D. Thesis, 1975, Dept. of Phys., Univ. of California,
Berkeley, Calif.
44. Reiman A. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1000.
45. Du Bois D. F., Forslund D. W., Williams E. W. — Phys. Rev. Lett., 1974,
vol. 33, p. 1013.
46. Fuchs V. —Phys. Fluids, 1979, vol. 20, p. 1104.
47. Chambers F. W., Bers A. —Ibid., 1977, vol. 20, p. 466.
- 48. Fuchs V., Beaudry G. —Ibid., 1978, vol. 21, p. 280.
49. Каир D. J., Reiman A., Bers A. —Rev. Mod. Phys., 1979, vol. 51, p. 275;
Reiman A. —Ibid., p. 311; Reiman A., Bers А., Каир D. J. — Phys. Rev. Lett.,
1977, vol. 39, p. 245; 850; Bers А., Каир D. J., Reiman A. —Ibid., 1976, vol. 37,
p. 182.
50. Nicholson D. R., Kaufman A. N. —Ibid., 1974, vol. 33, p. 1207.
51. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 2.—М:
Атомиздат, 1980; Tang W. M. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1089.
52. Wesson J. A.— Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 878; Freidberg J. P.—
Rev. Mod. Phys., 1982, № 3.

VI. КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИССИПАЦИЯ
И АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ПЕРЕНОСА
СПОНТАННОЕ ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ МАГНИТНЫХ
СИЛОВЫХ ЛИНИЙ
В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОИ ПЛАЗМЕ
А А. ГАЛЕЕВ
ВВЕДЕНИЕ
Под процессом пересоединения силовых линий магнитного по-
поля обычно понимают течение плазмы, сопровождающееся измене-
изменением топологии пронизывающего ее магнитного поля. Если такое
движение происходит под действием внешних сил, то пересоедине-
пересоединение называют вынужденным. Простейшим примером вынужденно-
вынужденного пересоединения может служить пересоединение силовых линий
магнитного поля, создаваемого двумя линейными параллельными
токами. Картина течения плазмы в окрестности проводников
вместе с пронизывающими ее магнитными силовыми линиями схе-
схематически показана на рис. 1 для случая, когда электрическое
поле в плазме направлено по току в проводниках. Такая ситуация
возникает, например, когда выключаются внешние источники тока
и индуцированное в плазме электрическое поле стремится поддер-
поддержать ток в плазме в том же направлении. В результате ослабле-
ослабления токов в проводниках происходит уменьшение магнитного поля
вдали от них за счет течения плазмы, обеспечивающего переход
магнитных силовых линий из области 3 в области 1 и 2. Осущест-
Осуществление такого перехода связано с нарушением закона вморожен-
ности магнитных силовых линий по крайней мере в той области,
где силовые линии, подходящие снизу и сверху из области 5, раз-
разрываются, соединяются по-новому, а затем, попав в области / и 2,
продолжают свое движение к проводникам. Топология магнитных
силовых линий в области пересоединения зависит от магнитного
числа Рейнольдса и от граничных условий. При не очень больших
331

магнитных числах Рейнольдса нарушение вмороженности обу-
обусловлено конечным сопротивлением плазмы и описывается как
диффузия плазмы поперек магнитных силовых линий. Простейшим
примером является конфигурация магнитного поля, изображенная
на рис. 2. Области с противоположно направленными силовыми
линиями магнитного поля здесь разделяются так называемым ней-
нейтральным слоем, в котором магнитное поле обращается в нуль.
Противоположное направление магнитных силовых линий сверху
и снизу от этого слбя обеспечивается током, текущим по нему.
Диссипация тока вследствие конечного сопротивления приводит
«У i~
) В
L
С *
Рис. 1. Схематическая картина пересоединения магнитных силовых линий около
двух проводников с током:
жения плазмы в случае электрического поля, направленного по току
Рис. 2. Конфигурация магнитного поля и модели пересоединения Паркера —
Свита
и
Свита
к уменьшению энергии магнитного поля. Темп этого процесса опре-
определяется известной скоростью диффузии магнитного поля к ней-
нейтральному слою:
где а —проводимость плазмы; б —ширина токового слоя. В отсут-
отсутствие движения плазмы вдоль слоя процесс диффузии является
нестационарным, характерная скорость диффузии равна
r B)
где Rew = 47tGt;AL/?2—магнитное число Рейнольдса; 1>А=
альвеновская скорость (Во — напряженность магнитного поля вне
слоя; р — массовая плотность плазмы).
Процесс диссипации энергии магнитного поля можно ускорить,
если допустить вытекание плазмы, поступающей в слой вследствие
диффузии, вдоль магнитных силовых линий [1—3]. Такое вытека-
вытекание пщшсходит под действием избытка давления, возникающего
из-за джоулевой диссипации, и под действием силы натяжения пе-
пересоединившихся силовых линий магнитного поля. Для нахожде-
нахождения скорости растекания можно воспользоваться, например, балан-
332

сом давления плазмы вне и внутри слоя
C)
где р — давление плазмы; v — скорость ее растекания вдоль слоя.
В центре нейтрального слоя v=0 и все давление магнитного поля
уравновешивается кинетическим давлением плазмы. На краю же
его можно положить р=0. Тогда получаем, что скорость растека-
растекания по порядку величины равна альвеновской: vz&va. Скорость
стационарного пересоединения находим, дополнив уравнения A)и
C) уравнением непрерывности течения плазмы:
uL=v6. # D)
В результате имеем скорость пересоединения и стационарную
ширину нейтрального слоя:
^ ^. E)
Заметим, что в описанной модели пересоединение магнитных
силовых линий сопровождается диссипацией значительной доли
энергии магнитного поля (около половины!), и поэтому здесь
иногда говорят не просто о пересоединении силовых линий магнит-
магнитного поля, а об их «слиянии» или «аннигиляции». Обобщение мо-
модели на бесстолкновительную плазму обычно сводится к вычисле-
вычислению аномального сопротивления аа~1, которое зависит от токовой
скорости, а следовательно, и от толщины слоя (см. статью
А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в дополнительном томе). Однако
токовые неустойчивости, ответственные за аномальное сопротивле-
сопротивление плазмы, имеют, как правило, довольно высокие пороги по
значению тока, поэтому сама диссипация может происходить лишь
в узком слое с шириной, определяемой из условия порога
nevc. F) ¦
Как следствие этого даже при максимально быстром вытекании
плазмы из слоя (т. е. с альвеновской скоростью) скорость пере-
пересоединения оказывается очень малой [4]:
u=vA(8/L). G)
Оценка G) справедлива, если аномальное сопротивление настоль-
настолько велико сразу за порогом F), что скорость диффузии плазмы
A) превышает скорость пересоединения согласно этой оценке.
Именно в этом случае оправдано предположение, что состояние
плазмы соответствует порогу неустойчивости.
Характерные длины б, соответствующие порогу неустойчивости,
обычно намного меньше размеров системы L, и пересоединение
в описанной модели является слишком медленным. Так, для ионно-
звуковой неустойчивости критическая скорость равна скорости
ионного звука: vc=cs= УТе1Щ-
Из баланса давления C) и условия порога F) находим, что
толщина токового слоя равна ионной инерционной длине 6=
333

=c/(oPi, которая в лабораторной и в космической плазмах оказы-
оказывается на много порядков величины меньше размеров интересую-
интересующей нас системы. Поэтому скорость пересоединения магнитного
поля в плоской конфигурации Паркера—Свита является слишком
малой величиной, чтобы объяснить такие наблюдаемые «взрыв-
«взрывные» процессы, как вспышки на звездах и магнитосферные суббури.
Именно для этих процессов Петчек [5] предложил модель пе-
пересоединения с совершенно другой конфигурацией магнитного поля
(рис. 3). Суть этой модели заключа-
заключается в том, что пересоединение про-
происходит в области пространства 3,
размер L которой настолько мал, что
скорость пересоединения имеет поря-
Jf док альвеновской [см. G)]. Магнито-
гидродинамическое течение плазмы
вместе с вмороженным в него магнит-
магнитным полем обеспечивает быстрый при-
Рис. 3. Модель пересоедине- ток магнитных силовых линий из
ния в конфигурации со стоячи- внешних областей к области пере-
соединения. При этом оказывается,
цтп nfinPlCTV, с B\
41U ииласли l
ми волнами:
область пересоединения, в которой
нарушается вмороженность маг- р \)
нитных силовых линий в плазму, и непересоединенными (/) магнитны-
заштрихована
ми силовыми линиями разделены сто-
стоячими альвеновскими ударными вол-
волнами, на которых происходит резкий поворот магнитных силовых
линий. В области 1 вне стоячих волн и области пересоединения 3
можно считать возмущение исходного течения слабым и вслед-
вследствие этого пренебречь токами в плазме. Тогда магнитное поле
удовлетворяет уравнению Лапласа
ДВ=0. (8)
Скорость втекания плазмы внутрь области 2 через слабую альве-
новскую волну равна скорости волны
u*=BJ}/4^. (9)
При однородном течении во внешней области магнитное поле
в области 2, входящее в это выражение, должно быть постоянным.
В результате условие сшивки решений в областях 1 и 2 требует
постоянства компоненты Вг в области / на стоячей волне. Реше-
Решение уравнения (8), удовлетворяющее этому условию, есть
Bxtt— A In (L/r); BZ=AQ9 A0)
где г, 0 — полярные координаты в плоскости 2, х.
Поскольку мы предполагали возмущение течения во внешней
области 1 слабым, потребуем, чтобы возмущение магнитного поля
даже вблизи области пересоединения 3 было небольшим, т. е.
Вх=А\п (L/z«)<B0/2,
где 2* — характерная толщина области пересоединения.
334
(И)

При пересоединении благодаря нарушению вмороженности
из-за классического сопротивления скорость пересоединения вели-
велика, если 4noz*VA/c2& 1, т. е. 2*^L/Rem. Комбинируя уравнения
(9) — A1), находим, что максимально возможная скорость пере-
пересоединения в этом случае равна
u=vA(n/4\nRem). A2)
Таким образом, при подходящих граничных условиях можно
добиться довольно больших скоростей вынужденного пересоедине-
пересоединения, когда справедливо магнитогидродинамическое описание (см.
обзор Уайта в т. 1). Однако в ряде прикладных задач (плазма
в магнитных ловушках типа токамак, солнечные вспышки «и маг-
нитосферные суббурй) не' только нарушается МГД-описание плаз-
плазмы, но и сама постановка задачи о пересоединении магнитных си-
силовых линий меняется в корне. Дело в том, что в этих задачах
плазма и магнитные поля могут длительное время находиться
в равновесном состоянии, в котором нет никаких внешних воздей-
воздействий, вызывающих пересоединение.
Поэтому только внутренние неустойчивости равновесия могут
приводить к процессам пересоединения, нарушающим равновесие
и вызывающим существенную перестройку конфигурации плазмы.
К неустойчивостям такого рода прежде всего относится тиринг-
неустойчивость, развивающаяся вблизи нейтральных слоев.
Характер развития ее существенно зависит от вида равновес-
равновесной конфигурации плазмы и магнитного поля. Поэтому сначала
рассмотрим равновесие плазмы в простейшей плоской конфигура-
конфигурации магнитного поля с нейтральным слоем (§ 1) и исследуем ее
линейную устойчивость в рамках кинетической теории (§ 2). За-
Затем перейдем к раздельному рассмотрению реальных конфигураций
с широм магнитного поля, моделирующих плазму в магнитных
ловушках и плазменных петлях в солнечной короне, и двумерных
равновесных конфигураций, характерных для хвоста магнитосфер
космических объектов и 0-пинчей.
1. РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО НЕЙТРАЛЬНОГО
СЛОЯ
1.1. Модель "равновесия Харриса [6]. Строгое изложение тео-
теории спонтанного пересоединения магнитных силовых линий начнем
с простейшего случая плоского нейтрального слоя, изображенного
на рис. 4,а. Здесь магнитное поле направлено по оси 2, а все вели-
величины зависят лишь от одной х. Поэтому магнитное поле задается
с помощью одной компоненты векторного потенциала Ау(х). Ре-
Решение задачи о равновесии плазмы заключается в нахождении
равновесной функции распределения частиц и профиля магнитного
поля.
Равновесная функция распределения частиц в бесстолкнови-
тельной плазме может зависеть лишь от интегралов движения,
в случае изучаемой конфигурации поля их два: 1) энергия &=
335

=mv2/2; 2) у-компонента обобщенного импульеа Py=mvy+
+ (е/с)Ау(х). Если, кроме того, выбрать распределение частиц по
скоростям близким к максвелловскому, то в случае плазмы с током
по оси у, поддерживающим существование нейтрального слоя,
естественно представить его в виде
3/2 mjV uP m и
(^^} A3)
где п0, Щ, Tj — некоторые константы. Это распределение .нетрудно
представить в форме сдвинутого по оси vy максвелловского рас-
распределения:
п (х) = п„ expllejUjAy {x)jcTs]. A5)
Видно, что константы щ и Г,- играют роль токовой скорости и тем-
температуры частиц сорта /. Для сохранения квазинейтральности
в
B = Both(x/L)ez
Рис. 4. Конфигурация магнитного поля в невозмущенном нейтральном слое (а)
и при наличии возмущения типа тиринг-моды (б)
плазмы .необходимо предположить следующую связь между этими
параметрами:
uJ=—2cT!/e!B^L. A6)
При таком выборе численного множителя константы Во, L харак-
характеризуют напряженность магнитного поля вдали от слоя и толщи-
толщину слоя соответственно.
Профиль .напряженности магнитного поля, а вместе с ним и
плотности определяем из уравнения Максвелла для векторного по-
потенциала
d*Ay 4
Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее гранич-
граничным условкям
336

Подставляя плотность п из уравнения A5) в уравнение A7), по-
получаем:
^ S^-2^Wl; d = Ay\B.L. A9}
Решение этого уравнения при граничных условиях A8) имеет про-
стой вид
B Bth(/L) 1 20
Между параметрами п0, Г/, Во имеется простое соотношение, выте-
вытекающее из условия выполнения баланса давлений
по(Ге+Г0=Ву8я. B1)
1.2. Тиринг-неустойчивость плоского нейтрального слоя [7].
Описанная выше конфигурация магнитного поля создается пло*
ским токовым слоем, который можно представить в виде набора
элементарных токовых нитей с одинаковым направлением токз
в них. Вследствие взаимного притяжения нитей распределенный
токовый слой оказывается неустойчивым по отношению к их попар-
попарному слипанию (см. рис. 4,а).
Возмущение плазмы, соответствующее такому пинчеванию рас*
пределенного тока, называют тиринг-модой. При ее развитии кон-
фигурация магнитного поля меняет свою топологию: вблизи ней*
трального слоя около спинчеванных токовых нитей образуются
области замкнутых магнитных силовых линий — магнитные
островки.
Энергию тиринг-моды при этом можно представить в виде сум-
суммы энергии магнитного поля и энергии притяжения элементарных
токовых нитей. Нетрудно видеть, что в случае формирования про*
тяженных сгущений токовых нитей с размером по оси г, значив
тельно превышающим толщину токового слоя L, выигрыш энергии
от слипания токов с избытком компенсирует затраты энергии на
создание возмущенного магнитного поля. При этом суммарная
энергия плазмы при наличии в ней тиринг-моды меньше энергии
невозмущенной плазмы и невозмущенного магнитного поля. Ины-
Иными словами, энергия тиринг-моды оказывается отрицательной, и
поэтому любая диссипация энергии такой моды должна приводить
к увеличению ее амплитуды, т. е. к неустойчивости. В бесстолкно-
вительной плазме диссипация энергии происходит вследствие
черенковского взаимодействия частиц с волновым возмущением
при выполнении условия разонанса a>=k-v. Такое взаимодействие
имеет место лишь в узкой окрестности плоскости х=0, где магнит-
магнитное поле обращается в нуль и поэтому не влияет на движение ча*
стиц. Ширину этого слоя находим из условия ее малости по срав-
сравнению с локальным ларморовским радиусом. В магнитном поле
22—3283 337

с профилем, описываемым уравнением B0), это условие принима-
принимает вид:
= Vp^L, B2)
где $j = vTjl<x)cj — ларморовский радиус частиц сорта / (vTI== VWJfnij
и Юс/==в/ДоЛя/с — их тепловая скорость и циклотронная частота
•соответственно).
Таким образом, при решении задачи об устойчивости надо
учесть оба эффекта: адиабатную перестройку конфигурации маг-
магнитного поля при слипании токовых нитей и резонансное черен-
ковское взаимодействие. Поскольку конфигурация магнитного по-
поля остается двумерной, ее по-прежнему можно описывать с по-
помощью одной компоненты векторного потенциала. Наличие расту-
Рис. 5. Эффективный потенци-
потенциал уравнения типа уравнения
Шредингера для возмущения
векторного потенциала тиринг-
моды Ai(x) и форма решения
во внешней области:
решение во внутренней области
показано штриховой линией
щего возмущения при этом приводит к появлению поправки к век-
векторному потенциалу, зависящей от координат %, г и от времени t:
Aiv(x, z, t)=Ai{x) exp (—Ш+ikz). B3)
Задача об устойчивости плазмы сводится к определению собст-
собственных решений уравнения для векторного потенциала
- k*Aly = - D*/*) (?
B4)
.erf
где /^ — адиабатное возмущение тока из-за медленного слипания
элементарных токовых нитей; f*8 определяется черенковским вза-
взаимодействием частиц с волновым возмущением.
Адиабатное возмущение функции распределения по-прежнему
описывается уравнением A8), если в обобщенный импульс вклю-
включен полный векторный потенциал. В результате адиабатную
поправку к невозмущенной функции распределения можно полу-
получить, воспользовавшись малостью возмущения векторного потен-
338

циала и разложив соответствующую экспоненту по этому малому
возмущению:
M*-v)A*(*.z'O. B5>
Вычислив ff с помощью этого выражения и перенеся соответ-
соответствующий член в уравнении B4) в левую часть, перепишем послед-
последнее в виде
1b/+ [ ~ *2 + L2 ch2 (x/L) J А*у=~~~ ;Т*
В случае слабого резонансного взаимодействия между частицам»
и тиринг-модой можно пренебречь в этом уравнении правой
частью. Тогда получим уравнение, решение которого известно из
квантовой механики, поскольку само уравнение совпадает с урав-
уравнением^ Шредингера, описывающим движение частицы в потен-
потенциальной яме Теллера (рис. 5). В этой яме имеется лишь одни
уровень энергии:
—k2=—l/L2,
которому соответствует спадающая на бесконечности собственная?
функция [8]
AAx) = Ale(O)[l+th(\x\lL)!kL]exp(-k\x\). B7>
Поправку к току вследствие черенкового взаимодействия нахо-
находим, решая кинетическое уравнение для функции распределения
частиц в узком слое \x\<dxj, где можно пренебречь влиянием не-
возмущенкого магнитного поля на движение частиц:
Решение его записываем в виде интеграла вдоль невозмущен-
невозмущенной траектории частиц
Основной вклад в интеграл по скоростям при вычислении тока7
здесь дает полувычет от интегрирования полюса подынтегрального'
выражения в точке черенковского резонанса ((u=kvz):
Ч- С= S 4# л> J *^'{т%ь (ш - *°«>- C0>
Здесь мы воспользовались также тем обстоятельством, что функ-
функция Л\(х) почти постоянна в слое x<CdXh поэтому вынесли ее за
знак интеграла по траекториям частиц.
С учетом вклада в ток резонансного взаимодействия волна —
частица уравнение B6) принимает форму уравнения Шредингера
22* 339

со сложным потенциалом:
d*Ax (x)ldx2- \k* + V. (х) + 2^i/ (¦*¦ k>
где
1; I o, \x\>dxr
Видно, что для апериодически нарастающих возмущений
(—ico=Y>0) вклад в эффективный потенциал в уравнении Шре-
дингера C1) эффектов резонансного взаимодействия с частицами
имеет форму высокого потенциального барьера в центре ямы
Теллера. Удобно искать решение этого уравнения отдельно во
внешней и во внутренней областях. Решение во внешней области
уже найдено [см. B7)]. Решение во внутренней области удается
получить лишь в определенных предположениях относительно фор-
формы потенциала в ней. Например, если считать форму потенциаль-
потенциального горба прямоугольной [9], то в пренебрежении малым вкла-
вкладом ионов такое решение имеет простой вид
Ъг(х)=71и<Р)сЬ(У7^х). \x\<xo = d^ C2)
Дисперсионное уравнение для тиринг-моды получаем из условия
сшивки логарифмических производных найденных решений
A' (dxe) = VTie th (V\TedXe). C3)
где
— скачок логарифмической производной внешнего решения на
границах внутренней области. В пределе не очень длинных волн
(kL2*>dXe) отсюда находим хорошо известное выражение для
инкремента
?=Я1/2(VTe/L) (pe/L)V2(l + Ti/Te) (l-k*L*) . C4)
Для «прозрачных» невысоких барьеров (при Fi<C^o) условие
сшивки решений во внешней и внутренней областях можно запи-
записать в общем виде, не пользуясь предположениями о форме потен-
потенциала во внутренней области:
Хо ^ +00
4 ^-^^-—т [VAx,k,W)dx. C5)
—#0 —00
Для иллюстрации физического механизма неустойчивости полез-
полезно формальное условие сшивки решений во внешней и внутренней
областях переписать в виде уравнения баланса энергии. Для это-
340

то домножим уравнение C1) на А*\у и проинтегрируем по л: в бес-
бесконечных пределах:
+00
+ 00
К" И^ +"ЛГ-т^ггН №*" C6)
—00
где мы воспользовались явным выражением для V0(x) и учли, что
Ак}™ lc = — VxAiy. Первые два члена в левой части здесь пред-
представляют собой энергию магнитного поля тиринг-моды, в третий —
энергию взаимодействия токов. Правая часть равна работе частиц
в электрическом поле волны. Черенковское взаимодействие частиц
с волной обусловливает диссипацию энергии моды, поэтому рост
моды возможен лишь тогда, когда ее энергия отрицательна. Иными
-словами, нарастают лишь длинноволновые возмущения, в которых
выигрыш энергии благодаря линчеванию токов превышает ее за-
затраты- на создание магнитного поля моды. Для количественных
оценок полезно вычислить энергию моды в яв.ном виде. Для этого
воспользуемся уже известным решением B7) во внешней области
и перепишем уравнение C6) в виде, аналогичном уравнению
сшивки C5):
+ 00
Д' (*.) | \ (jc,)|2= 4" \
—00
Так как потенциал А\(х) во внутренней области приближенно по-
постоянен, уравнения C5) и C5а) совпадают. При этом член в пра-
правой части представляет собой затраты энергии на возмущение
плазмы во внутренней области.
2. ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ В ПЛОСКИХ СЛОЯХ С ШИРОМ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
2.1. Дрейфово-тиринговые эффекты и критерий стабилизации.
Рассмотрим случай, когда в плоском токовом слое вместо измене-
изменения направления поля на противоположное (и, следовательно,
обращения поля в нуль в центре токового слоя) происходит лишь
поворот на конечный угол, меньший 180°. Такая конфигурация
магнитного поля характерна для тороидальных ловушек, предна-
предназначенных для удержания термоядерной плазмы, и часто реализу-
реализуется на границе раздела солнечного ветра и магнитосферы Земли.
Равновесие плазмы и магнитных полей в этом случае по-прежнему
описывается моделью Харриса, в которой следует учесть наличие
постоянной компоненты магнитного поля, направленной вдоль рав-
равновесного тока, т. е. по оси у:
B=Bz(x)ez+Byey> C7)
где ez, ey — единичные векторы вдоль осей г и у. Нетрудно видеть,
что введение этой компоненты никакие сказывается на сохранении
341

обобщенного импульса по оси у и полной энергии частицы, так что
невозмущенная функция распределения частиц по-прежнему опи->
сывается соотношением A3), а профили магнитного поля и плот-
плотности плазмы определяются из уравнения B0).
Формулировка задачи об устойчивости такого равновесия пре-
претерпевает существенные изменения. Дело в том, что в случае до*
статочно сильного поля By^$>B0XVpjlL для описания движения
частиц можно пользоваться дрейфовым приближением во всем
объеме плазмы, включая нейтральный токовый слой. Переход
к дрейфовому описанию достаточно прост [10], и его можно осу-
осуществить прямо в уравнении Максвелла B4) для векторного по-
потенциала. При этом следует учесть, что в замагниченной плазме
тиринг-мода может эффективно обмениваться энергией с частица-
частицами плазмы только в тех областях, где выполняется условие черен-
ковского резонанса с продольным тепловым движением частиц
(o=k{] (x)v]r Так как частота тиринг-моды очень мала, это усло-
условие фактически сводится к условию обращения продольной компо-
компоненты волнового вектора в нуль на некоторой магнитной поверх-
поверхности, в дальнейшем называемой резонансной:
Ли (х) = \kuBe + kJBz (x)]/B = 0. C8)
Это условие легко понять. В замагниченной плазме равновесный
и возмущенный токи текут в основном вдоль магнитных силовых
линий. Поэтому пинчевание токовых нитей наиболее эффективно
происходит в плоскости одной и той же магнитной поверхности,
где эти токи параллельны, и соответствует возмущениям тиринг-
моды желобкового типа, т. е. с &|( (х) — 0. Естественно при этом
вместо уравнения B4) использовать проекцию этого уравнения
Максвелла на направление магнитных силовых линий. Ситуация
значительно упрощается в пределе слабого шира, т. е. Bz<^By,
когда направление силовой линии почти совпадает с осью у, по-
поэтому левая часть уравнения B6) остается приближенно правиль-
правильной. При вычислении вклада в это уравнение черенковского взаи-
взаимодействия мы воспользуемся уравнением B9) с учетом следую-
следующих обстоятельств:
а) траекторию частицы будем описывать приближенным урав-
уравнением r=v]ltBfB;
б) в силу необходимости выполнения условия резонанса C8)
возмущение в общем случае должно быть двумерным и включать
в себя возмущение электростатического потенциала, которым мы
пренебрегали ранее для конфигурации с нейтральным слоем; в со-
соответствии с этим электрическое поле принимает вид:
Ei= (ioo/c) Ai—ikqv,
в) наконец, в общем случае !гуф0 следует учесть доплеровский
сдвиг частоты со-хо—кущ в уравнении B9), соответствующий ло-
342

ренцеву преобразованию полей при переходе к системе координат,
движущейся вместе с данной компонентой плазмы.
В результате функция распределения частиц приобретет вид
Icp.c B5) и B9)]:
f 1/ = rr /о/ (AyU}lc - ъ) + i [(© - Vy)H (шЛ1 и /* -
О \
-kil?i)viihI J*exp[-i(co-ft||o||)x]l C9)
где fo/(^> уц) —- равновесная максвелловская функция распределения
по продольным' компонентам скоростей с плотностью п(х) =
=no/ch2(x/L), сдвинутая по v п на величину, равную компоненте
скорости дрейфа вдоль магнитного поля ujBy/B.
Вычисляя возмущение электрического тока вдоль магнитного
поля с помощью C9) и подставляя его в уравнение Максвелла
для продольной компоненты векторного потенциала, находим
ilw''(^J'» D0)
где се. =ш ~ kи (х) Bytij/B.
Вследствие доплеровского сдвига частот на величину, пропор-
пропорциональную k^Uj, выражение для дрейфовой частоты совпадает
с ее обычным определением
•Функция W определяется известным интегралом
В приближении By^>Bz скорость вдоль силовых линий не зависит
от х, и можно перейти в систему координат, движущуюся с иона-
ионами, оперируя лишь частотой 0 и опуская у -нее индекс /. Обычно
в теории дрейфовых волн в неоднородной плазме с широм магнит-
магнитного поля пренебрегают также доплеровской добавкой к частоте
из-за движения электронов вдоль магнитных силовых линий. Так
как вблизи резонансной поверхности эта добавка действительно
мала, в дальнейшем воспользуемся этим упрощением, хотя, строго
говоря, ее надо учитывать. Уравнение D0) для векторного потен-
потенциала следует дополнить уравнением квазинейтральности плазмы,
343

служащим для определения профиля скалярного потенциала ср.
Однако при вычислении возмущения плотности заряда плазмы
с помощью уравнения C9) необходимо учесть эффекты конечного
ларморовского радиуса ионов. Соответствующее уравнение было
выведено (см. обзор А. Б. Михайловского в т. 1) для чисто элек-
электростатических возмущений:
Здесь учтено, что векторный потенциал Ах,. почти постоянен в
области взаимодействия, тогда как электростатический потенциал
резко увеличивается при удалении от резонансной поверхности
Рис. 6. Профиль продольного электрического поля Е ц (х) в области черенков-
ского резонанса
C8) и обепечивает обращение в нуль продольной компоненты
электрического поля ?„ на некотором расстоянии бф от нее
(рис. 6). Покажем, что в области существенного изменения потен-
потенциала фазовая скорость тиринг-моды находится в интервале
°п <*/*„(•*)<*!•.• D3>
Воспользовавшись известными асимптотическими выражениями
для WW в этом пределе, сведем уравнение D2) к виду
где Q2s=Te/mi. Решение этого уравнения в пренебрежении малым
вкладом электронов, т. е. членом (со—о)*е) /со, хорошо известно
ПИ:
к/2
D5)
где
344
k'n=dkn(x)ldx; 8« = -8V, (jj;
II VTi

В случае слабонастраивающих мод (lmaxCco) это решение осцил-
осциллирует вдоль действительной оси ху поэтому корректная сшивка
решения во внутренней и внешней областях оказывается" нетри-
нетривиальной. Условие сшивки решений сводится к приравниванию
скачка логарифмических производных во внешней области [см.
B7)] к скачку производных во внутренней области, вычисленному
с помощью уравнения D0):
—00
При вычислении этого интеграла воспользуемся упорядочением
характерных масштабов
**« ^181^8 — to*g C47>
R {[VTe R цОг/
справедливым для умеренного шира (Л' Jk2dlnnjdx ^>me\tn{). Вклад
электронов здесь выражается хорошо известным дисперсионным
интегралом
Вычисление вклада ионов требует более детального рассмотре-
рассмотрения, так как он представляет собой интеграл от осциллирующей
функции. Однако его можно свести к вычисленному в работе [11]
интегралу от спадающей экспоненциально функции поворотом ли-
линии интегрирования. Следует заметить, что нарастающим во вре-
времени модам с Imco>0 при Reco>0 соответствует спадающее по
действительной оси х решение D5), если выбран следующий ко-
корень уравнения для б:
8 = ехр(-1«/4)8ф| 89=Vr8^7(l+iImco/2a,). D9)
Асимптотическое при х2->-оо поведение этого решения указывает
на наличие потока энергии на бесконечность [12, 13]
sign* -j^iiLexp (-^)Jexp(-imH-ife). E0)
Действительно, воспользовавшись выражением для б2ф, нетрудно
убедиться, что групповая скорость направлена наружу, так как
Scd/<3 Fф-2) <0. Сильное поглощение энергии моды в области че-
ренковского резонанса с ионами (х~6/) обеспечит финитность
решения для Ц\(х). Поворотом линии интегрирования на угол
345

<х=—jr/4+arg6(p (рис. 7) ионный интеграл сводится к ранее вы-
вычисленному в [11]
A',= ((oV*2) A+7,/ВДбфехр (-in/4), E1)
где /1=2я;ГC/4)ГA/4)«0,75. Подставляя D8) и E1) в уравне-
уравнение D6), получаем дисперсионное уравнение в окончательном
виде:
. 1/2 со-со^ cW (те\ д / . 7*/ \ , / 1ти\
__1%112 =—— —LJL ( 1-Х- у ехр -г • @2)
Видно, что наличие потока энергии тиринг-моды наружу от резо-
резонансной поверхности, где происходит ее взаимодействие с частица-
частицами, приводит к стабилизации тиринг-неустойчивости при условии
VT*A'l»*pB. E3)
Физически стабилизация связана с эффектом оттока энергии ти-
тиринг-моды из области резонанса с электронами.
При выводе уравнений D0) и D2) для тиринг-мод использо-
использована конкретная модель равновесия плазмы в магнитном поле,
когда давление плазмы уравновешивается давлением лишь той
компоненты магнитного поля, которая создается током в плазме.
Однако эти уравнения остаются справедливыми и в более общем
случае равновесия, когда часть давления плазмы уравновешивает-
уравновешивается давлением компоненты магнитного поля, создаваемой внешни-
внешними источниками. При этом профиль плотности плазмы уже не
связан жестко с профилем компоненты Bz(x), и его следует опи-
описывать характерным масштабом неоднородности Ln~l=^
= \d\nn(x)/dx\. Вводя обычное определение длины шира
|й'„ \ = kJLs, получаем выражения для характерных длин через
эти параметры:
В результате критерий стабилизации E3) принимает вид [13]:
p/i (Ls/2Ln) 1/2> BTe/Ti) WptH'. E5)
В случае размытого токового слоя (L»p*) бесстолкновитель-
ная тиринг-неустойчивость оказывается стабилизированной. Это
позволяет надеяться, что дисруптивные неустойчивости плазмы
в магнитных ловушках типа токамак, обсуждаемые в обзоре
Р. Уайта (см. т. 1), исчезнут при достижении достаточно высоких
температур.
В критерий стабилизации E3) входит величина А7, зависящая
от длины волны. Для частного случая равновесия Харриса А'
определяется уравнением C3). Она растет с увеличением длины
волны и достигает своего предельного значения при ^L=бф/Lt
Учитывая этот факт и пользуясь явными выражениями для про-
профиля плотности и магнитного поля, критерий стабилизации мод
34G

с произвольной длиной волны записываем в виде
tg F/2) sh {2x1 L) > 2 уТ/Д » 3,76, E6)
где Э — угол поворота вектора магнитного поля в токовом слое
[tg(Q/2)=B0z/By]. Нарушение устойчивости в центре токового
слоя (х=0) связано с обращением в нуль градиента плотности
плазмы и исчезновением вследствие этого дрейфовых эффектов.
В отсутствие градиента температуры такой максимум плотности
должен достигаться в области минимума jmx
поля (Bz=0) для сохранения баланса i
давлений.
При наличии градиента температуры
возможен монотонный профиль плотно-
плотности плазмы, когда баланс давлений под-
поддерживается за счет увеличения темпе-
температуры в токовом слое. Однако тогда
имеется участок плазмы, в котором гра-
градиенты плотности и температуры проти-
противоположны друг другу. Анализ [13] по-
показывает, что в этом случае опять воз-
возможно развитие тиринг-моды.
2.2. Стохастичность магнитных сило-
силовых линий и диффузия плазмы. Рассмот-
Рассмотрим, какое влияние оказывают тиринг-
моды конечной амплитуды на поведение
магнитных силовых линий и движение
частиц в плазме. Для простоты сначала
пренебрежем электростатической ком-
компонентой. Тогда влияние тиринг-мод в первом приближении
сводится к изменению топологии магнитного поля, которую
удобно характеризовать с помощью понятия о магнитных
поверхностях. Магнитной поверхностью называют поверхность,
плотно покрываемую магнитными силовыми линиями, никогда не
покидающими ее и принадлежащими только одной этой поверхно-
поверхности. В частности, магнитные поверхности невозмущенного магнит-
магнитного поля с широм, описываемого уравнением C5), являются бес-
бесконечными плоскостями, перпендикулярными оси х. Силовые ли-
линии здесь представляют собой прямые, идущие под углом
arctg (Bz/By) к оси у. Наложим теперь на это невозмущенное маг-
магнитное поле малые, но конечные статические возмущения, х-ком-
понента которых в тиринг-моде является основной:
yy). E7)
Rex
Рис. 7. Путь интегрирова-
интегрирования ионного интеграла в
комплексной плоскости х
(сплошная прямая t). Гра-
Границы секторов Стокса для
решения уравнения D4) по-
показаны пунктирными пря-
прямыми
Возмущенные магнитные поверхности проще всего рассматривать
в сечении некоторой плоскостью. При By^>Bz, Bx в качестве такой
плоскости удобно выбрать плоскость х, z. Сечение магнитной по-
поверхности является геометрическим местом точек пересечения этой
плоскости магнитными силовыми линиями, навивающимися на
347

данную магнитную поверхность. При этом, если рассмотреть ряд
последовательных сечений, данная силовая линия попадает на этих
сечениях в различные точки контура магнитной поверхности, по*
скольку она навивается на магнитную поверхность. Однако контур
сечения магнитной поверхности можно получить, рассматривая се-
сечения данной силовой линии на различных расстояниях вдоль нее.
Уравнение магнитной силовой линии для одной моды имеет вид:
ds_ dx dz _dy
В =Вхк cos (k2z + kyy) ~BZ (х) -Ву >
где 5 — координата вдоль силовой линии. Поскольку наиболее су-
существенное изменение топологии магнитных поверхностей проис-
происходит вблизи резонансной невозмущенной поверхности х=хо, где
k{] (*0)=0, при вычислении фазы тиринг-моды воспользуемся ее
разложением около этой поверхности
kzz + kyy = k' н (х.) J (x - *§) ds, E9)
где кц (x)=(k/iz-\-kljdy)lds=(kJBz(x)-\-k9By)IB. В результате урав-
уравнение для магнитной силовой линии принимает вид:
37-ТГ cos {*' и j Iх & - ^ol Л) ¦ F0)
Это уравнение имеет простое решение
] } F1)
В зависимости от константы интегрирования х2 это выражение
описывает замкнутые (х2^1) или разомкнутые (х2>1) магнит-
магнитные поверхности. Сечение магнитных поверхностей плоскостью у=
=0 имеет вид магнитных островков, вкрапленных внутрь слабовоз-
слабовозмущенных почти плоских магнитных поверхностей. Поскольку
положение резонансной поверхности зависит от соотношения ком*
понент волновых векторов моды, для различных мод островки
возникают в окрестности различных невозмущенных поверхностей.
При достаточно большом числе мод появляются возможность пе-
перекрытия различных мод и как следствие стохастическое блужда-
блуждание магнитных силовых линий с одной поверхности на другую.
Условие перекрытия двух соседних мод с волновыми векторами
ki и к2 имеет вид:
O'i + «'.>Ki-*ea|. F2)
где wi = 2 лГв .]k!. { (xQi) В — максимальная полуширина сечения
замкнутой магнитной поверхности в окрестности плоскости x=x0i9
являющейся резонансной для тиринг-моды с Волковым вектором kf.,
k() Q
т. е.
348

Рассмотрим поведение в пространстве некоторой силовой ли-
линии, накручивающейся на центральную силовую линию, располо-
расположенную внутри магнитной поверхности, к которой принадлежит
исследуемая силовая линия и которая образуется при возбужде-
возбуждении одной тиринг-моды. Если в токовом слое возбуждена вторая"
тиринг-мода, которая создает цепочку замкнутых магнитных по-
поверхностей, пересекающихся с таковыми для первой тиринг-моды
(рис. 8), то нельзя уже однозначно предсказать, сколь долго»
исследуемая здесь силовая линия будет по-прежнему навиваться
на одну и ту же центральную магнитную силовую линию. Можно*
лишь говорить о вероятности перескока ее на некотором расстоя-
расстоянии от исходной точки на некоторую соседнюю магнитную поверх-
поверхность, двигаясь по которой она будет навиваться на другую цен-
центральную силовую линию. Если в токовом слое возбуждено мно~
Рис. 8. Расщепление и перекрытие магнитных поверхностей в случае двух ти-
ринг-мод с конечной амплитудой и близкими волновыми векторами
жество тиринг-мод, приводящих к перекрытию.магнитных поверх-
поверхностей во всей ширине этого слоя, то за счет случайных переско-
перескоков с одной магнитной поверхности на другую магнитная силовая'
линия, начинающаяся по одну сторону от токового слоя, может
в конце концов продиффундировать на другой его край. В этом
смысле можно говорить о пересоединении магнитных силовых
линий.
Строгое математическое описание этого процесса получена
в работе [14]. Здесь же для простоты воспользуемся аналогией"
между уравнением F0) для силовой линии и уравнением движе*
ния электрона со скоростью v в поле монохроматической электро*
статической волны с амплитудой Е9 частотой о и волновым векто-
вектором к:
dvfdt= (eE/m) cos ]k Г [v - (•/*)] di\. F3>
Правила соответствия величин в уравнениях F0) и F3) оче<
видны [15]:
x*~»v, s+~+t, В JB+~*eEjm, kr,.^k. F4),

По аналогии с квазилинейным приближением для электронов пе-
перекрытие соседних магнитных островков приводит к стохастиче-
стохастическому поведению магнитных силовых линий. Квазилинейное урав-
уравнение, описывающее это поведение, легко написать, воспользовав-
воспользовавшись правилами перехода F4) в известном квазилинейном урав-
уравнении электронов, движущихся в поле ленгмюровских волн со слу-
случайными фазами [14]:
*fs
df
B
U \-kuBv
F5)
где 1в(х, s)—соответствующая функция вероятности для магнит-
магнитных силовых линий. Продолжая аналогию, можно написать выра-
выражение для коэффициента квазилинейной диффузии с учетом эффек-
эффекта нелинейного уширения резонанса Дюпри [16]:
D= S 4^J«PM*i (*) s-(ll3)k'\Ds*]ds. F6)
v
Физическая интерпретация мнимой части полюса в выражении для
коэффициента диффузии F5) менее тривиальна, чем в аналогич-
аналогичном выражении для частиц, так как мы больше уже не можем
«апеллировать к соударениям как эффекту, обеспечивающему необ-
необратимость.
Отсылая читателя для подробного обсуждения этого вопроса
к обзору А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в т. 1, рассмотрим диффу-
диффузию плазмы под действием тиринг-турбулентности.
Соответствующее квазилинейное уравнение получаем с по-
помощью уравнения C9) путем обычной процедуры усреднения сле-
следующих нелинейных членов в дрейфовом кинетическом уравне-
уравнении [16]:
* dfki\ /Y(v B*xk 1 c[E*fcB]*Vf
17 уч ы
В результате имеем
1df *% VI/ ± ^ JL\ X
Jl_ Г—У \а \Л и d±L+ е%>
dt Ш&т1\дШ*Г1пкЧи1д;:1-*?7??1укдОй тв{ дх
X
A ,_.
цк
д
Здесь первый член описывает эффект адиабатической перестройки
распределения частиц по скоростям, а второй — квазилинейную
диффузию.
.350

В пренебрежении электростатической компонентой поля коэф-
коэффициенты диффузии магнитных силовых линий DF и частиц Dp-
связаны соотношением Dp=\v_::\DFi отражающим тот факт, чта
диффузия частиц происходит в результате их движения вдоль сто-
стохастических магнитных силовых линий [17]. Однако, как это хо-
хорошо известно, для дрейфовых волн [18] вблизи резонансных по-
поверхностей обе компоненты поля — электромагнитная и электро-
электростатическая— тесно взаимосвязаны. Причем для электростатиче-
электростатических дрейфовых волн примесь магнитной компоненты уменьшаег
диффузию плазмы [18, 19]. Точно так же примесь электростати-
электростатической компоненты в тиринг-моде уменьшает диффузию по .срав-
.сравнению с ее оценкой на основании уравнения F5).
Рассмотрим сначала диффузию электронов. В области резо-
резонансного взаимодействия тиринг-моды с электронами, в результа-
результате чего происходит диффузия, электростатическая компонента по-
поля является малой. Уравнение диффузии электронной компоненты,
плазмы находим, интегрируя F7) по скоростям:
дЛ1=— (-?1*А У |B*k|2 ^ (b ( )\ fy^L^A] „ /68V
dt дх \ VZ~ 1 LA B2 ^ \ \\ \')) \ k T: ' dx I e- \ P
\ / к \ J /
Как следует из дисперсионного уравнения E2), частота моды,,
имеющей резонанс в точке х, близка к локальной дрейфовой час-
частоте в этом месте. В результате коэффициент диффузии электро-
электронов оказывается значительно меньше, чем vTeDF и даже vTiDF\
Последнее связано с тем, что коэффициент диффузии ионов,
в силу сильной экранировки продольной компоненты электриче-
электрического поля тиринг-моды /?ц в области резонанса моды с ионами.
меньше значения VtiDf в отсутствие такой экранировки. Разуме-
Разумеется, что как и в случае дрейфовых мод, диффузия на тиринг-мо-
дах является амбиполярной. Чтобы убедиться в этом, вместо
асимптотического решения E0) в области прозрачности FФ^
^х<Сбг) следует использовать решение, учитывающее экспонен-
экспоненциальное затухание мод при их подходе к области ионного зату-
затухания Ландау:
1 —
G0»
Таким образом, под действием тиринг-мод диффундируют лишь
хвостовые ионы со скоростями v{] ~ю/^ц ^^п- ^Ри этом их Рас~-
пределение по скоростям может сильно меняться (тенденция к об-
образованию немаксвелловского хвоста), модифицируя это взаимо-
взаимодействие.
351

2.3. Нелинейное насыщение тиринг-неустойчивости,, Вычисление зависимости
коэффициента диффузии от параметров плазмы связано с определением уровня
насыщения тиринг-мод. При этом следует различать режимы отдельных непе-
неперекрывающихся мод и тиринг-турбулентности. В первом случае нелинейная
стадия наступает в момент, когда ширина магнитных островков становится
^больше ширины области черенкового резонанса с тепловыми электронами:
Внутри образующихся магнитных островков электроны, двигаясь вдоль дан-
данной магнитной силовой линии, совершают круговое движение вокруг магнитной
оси. Поскольку характерная частота такого движения много больше частоты
моды, в кинетическом уравнении для электронов можно провести соответствую-
соответствующее усреднение. Так как при таком усреднении <fc ц [*(*)] >=0, эффекты
теплового движения электронов становятся пренебрежимо малыми и вместо
<48) получаем [20]
/<0]ш. G2)
Здесь мы пренебрегли черенковским взаимодействием с медленными электрона-
гми (v ц =s со/ | W л / w<^vt e). В модели равновесия Харриса моды, развиваю-
развивающиеся в центре нейтрального слоя, являются апериодически растущими, так/как
•б)*е=0. Поэтому вклад электронов, движущихся внутри магнитного островка,
-стабилизирует неустойчивость. Стабилизация наступает при очень малых ампли-
амплитудах [21]
®V G3)
Бее другие моды продолжают расти до тех пор, пока не скажутся квазили-
квазилинейные эффекты. Поскольку нас интересует вопрос о пересоединении магнитных
-силовых линий, в дальнейшем ограничимся случаем перекрытия резонансов
большого числа тиринг-мод (особенности дискретных систем см. в [20]). Основ-
Основным стабилизирующим эффектом здесь служит квазилинейная релаксация ани-
анизотропии плазмы по скоростям [16], описываемая первым слагаемым в квази-
квазилинейном соударительном члене F7). Пренебрегая медленной диффузией плаз-
плазмы по координате по сравнению с быстрой релаксацией по скоростям, полу-
получаем
т\ V12 ( miv2\\ , u
G4)
Ф частном случае равновесия Харриса с помощью этого выражения можно
.записать условие стабилизации в виде
A'^l—hj (t)~k2L2]fkL2<0. G5)
'Отсюда находим уровень насыщения длинноволновых мод:
:352

До сих пор мы не касались следующего фундаментального вопроса: озна-
означает ли стохастическое блуждание магнитной силовой линии в пространстве
также и то, что диффузия магнитного поля сопровождается диссипацией энер-
энергии магнитного поля. Для силовых линий в вакууме ответ на него отрицатель-
отрицательный. Однако в плазме с i|3=l путем прямого вычисления силы трения электро-
электронов - о флуктуирующие поля тиринг-мод [22] можно показать, что скорость
дрейфа плазмы под действием этой силы совпадает со скоростью диффузии
плазмы вследствие движения ее частиц вдоль разрушенных магнитных поверх-
поверхностей. Поэтому можно считать, что взаимная диффузия плазмы и магнитного
поля действительно происходит и сопровождается диссипацией энергии магнит-
магнитного поля (вернее только той же составляющей Bz(x), которая создается то-
током в плазме). Это оправдывает использование таких понятий, как пересоеди-
пересоединение силовых линий магнитного поля в плоском слое, и позволяет вычислить,
например* в модели Паркера — Свита скорость этого процесса {16]. Если
в уравнение непрерывности потока плазмы подставить вместо- и± диффузион-
диффузионную скорость плазмы из F9), а в качестве скорости вытекания альвеновскую
скорость в полег Вг (так как диссипируется только эта компонента), то оно
примет вид:
(D±/L)Z = vA2L. G7 у
Отсюда с помощью F9) оценим стационарную ширину L токового слоя с за-
заданной длиной & и скорость пересоединения:
i6. G8)
3. ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ В ДВУМЕРНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
3.1. Равновесие и устойчивость двумерных конфигураций (ка-
(качественное рассмотрение).. Рассмотрим теперь качественно процесс
пёресоединения магнитных силовых линий в конфигурациях маг-
магнитного поля типа изображенной на рис. 9, Такая конфигурация
ч«сто возникает в естественных условиях за счет вытягивания маг-
магнитных силовых линий при неоднородном течении плазмы, в кото-
которую они вморожены. В случае, протяженных систем магнитное
поле почти параллельно токовому слою и меняет знак при пере-'
сечении последнего. Ясно, что равновесие плазмы здесь описыва-
описывается выражениями, получающимися в результате простого обоб-
обобщения равновесия Харриса [ср. с B0)];
п (х, z) = п. (z)/ch2 (xjL). ]
Отклонения от равновесия Харриса малы при Вп<С#о, так как
сила натяжения магнитных силовых линий BxdBz/dx в этом случае
тоже малаги поэтому ее можно уравновесить слабым градиентом
давления (T€-\-Ti)dn/dz [23]. В дальнейшем для простоты зави-
зависимостью По (г) мы будем пренебрегать. Однако при этом очень
важно учесть то, что наличие конечной х-компоненты магнитного.
23-3283 35а

поля меняет характер движения частиц, вследствие чего сущест-
существенно меняется диэлектрический отклик плазмы на возмущение
типа тиринг-моды, и она становится более устойчивой [24, 25].
Для простоты ограничимся здесь случаем, когда магнитное поле
вблизи нейтрального слоя вморожено в электронную компоненту
плазмы (другие предельные случаи рассмотрены в [24, 25]). Это
имеет место при условии, что ларморовский радиус электрона
значительно меньше характерного масштаба изменения магнитно-
магнитного поля:
Bn/B0>VJJL. (80)
Если рассматривать тиринг-неустойчивость в терминах слипа-
слипания токовых нитей, то, кроме энергии магнитного поля и энергии
взаимодействия токовых нитей, в баланс энергии теперь следует
Разрежение
Рис. 9. Двумерная конфигурация невозмущенного магнитного поля (сплошные
линии):
пунктиром показаны силовые линии при наличии синусоидального магнитного поля Blx(z)
тиринг-моды
включить затраты энергии на сжатие плазмы в области сгущения
магнитных силовых линий (рис. 9).
Для оценки возмущения плотности плазмы воспользуемся
уравнением непрерывности электронов
—m<nle>+ik<vlt>nii'f(d/dx)k:vlxn(x)>=0. (81)
Поскольку в окрестности нейтрального слоя большинство элек-
электронов заперты и совершают колебания вдоль магнитных силовых
линий между магнитными пробками с частотой, значительно пре-
превышающей обратное время изменения амплитуды тиринг-моды,
мы провели усреднение уравнения (81) по этим быстрым колеба-
колебаниям. Уравнение движения электронов по оси у в пренебрежении
их инерцией после аналогичного усреднения выглядит следующим
образом:
Q=<Elv>+<vlz>Bn/c—<vlxBt(x)>Jc.
(82)
354

В результате усреднения эти уравнения описывают движение
дрейфовых орбит с учетом ларморовского вращения и колебаний
между пробками, аналогично тому как в привычном нам дрейфо-
дрейфовом приближении мы имеем дело с движением ларморовских
кружков при усреднении только по ларморовскому вращению. На-
Наличие мощных магнитных пробок не разрешает дрейфовым орби-
орбитам движение поперек нейтрального слоя в я-направлении. Это
соответствует тому, что последние члены в уравнениях (81)» (82)
исчезают при усреднении ввиду знакопеременности скорости V\x
как функции времени. В результате из уравнения (82) находим
скорость дрейфа орбит электронов:
i<vlz>=—c<Ely>JBny (83)
которая значительно превышает обычную дрейфовую скорость ча-
частиц вне нейтрального слоя, пропорциональную cExyBnjB2. Под-
Подставляя (83) в уравнение непрерывности (81), получаем возму-
возмущение плотности электронов [25, 26]
<nle>fn0=—ik<Aiy>/Bn. (84)
Снова из-за усреднения это соотношение выглядит так же, как
обычное условие вмороженности плазмы в магнитное поле в слу-
случае, когда имеется лишь одна ^-компонента.
Протяженность возмущения плотности в лс-направлении огра-
ограничена, так как изменение фазы векторного потенциала вдоль
магнитных силовых линий обусловливает уменьшение возмуще-
возмущения плотности при усреднении по протяженным орбитам, на дли-
длине которых фаза меняется больше, чем на я. Чтобы найти эту про-
протяженность, рассмотрим вариации фазы возмущений вдоль маг-
магнитных силовых линий. Вблизи нейтрального слоя уравнения для
магнитной силовой линии
dx/Bn=dz/B<)(x/L) (85)
имеют простое решение, соответствующее параболической форме
силовых линий в плоскости х, г:
z (х) = (BofBn) (x*I2L) +* @), (86)
где z@) —положение данной силовой линии в нейтральном слое.
В соответствии с этим вариация фазы вдоль магнитной силовой
линии представляется в виде
kz(x)=q(b*-l)+kz(O). (87)
Здесь <7=(&LBn/2B0)<Cl; 62=B2(jt)/?2n. Теперь уже усреднение
фазового множителя в выражении1 для возмущения плотности
можно представить в явной форме: ;(|
<nie> = - ^ <АХ (х') exp {I q [б2 (*') - 1]}> ехр {- i Ы +
U) —1JK (88)
23* 355

где.координата х' под знаком ^усреднения пробегает все значения
между х-координатами точек отражения)от —хт до г\тХт- Вклад
в плотность плазмы в точке л;>0,дают частицы с точками отра-
отражения хт>х. Вычисление ее требует суммирования по всем этим
частицам и является довольно .громоздким [26]. Однако оценку
протяженности возмущения плотности по оси х нетрудно получить
из условия, что вариация фазы под знаком усреднения в (88) не
превышает я/2:
\\<(ЬВ№В)*'2. (89)
Энергия, затрачиваемая на сжатие плазмы в процессе пинче-
вания тока, вычисляется как работа электрического поля тиринг-
моды над током, величина которого находится из баланса сил по
оси х:
(Te+Ti)ik<nle>=—jlvBn/c. (90)
В результате получаем [см. C6)]:
(91)
Стабилизация тиринг-неустойчивости происходит тогда, когда
вычисленные здесь затраты энергии на сжатие плазмы превышают
энергию, высвобождаемую в результате линчевания токов в ней-
нейтральном слое. Воспользовавшись оценкой C5а) высвобождаемой
энергии, запишем условие стабилизации в виде
I )
В работах [24, 25], в которых впервые указано на эффект ста-
стабилизации, протяженность возмущений плотности считалась рав-
равной размеру области, где Вп *^>Bz(x), т. е. x^^^LBJB^ В дальней-
дальнейшем Ламбердж в 1976 г. получил более правильную оценку х$,
а окончательные расчеты ^ыли выполнены в [26].
3, реальных конфигурациях с конечной длиной 3? нормальная
к нейтральному слою компонента магнитного поля определяется
из условия, что на этой длине практически весь поток магнитных
силовых линий перезамыкается через нейтральный слой, т. е. Вп^
^BoLfg\ Так как максимальная длина волны ограничена услови-
условием k3?<%, согласно уравнению (92) равновесный нейтральный
слой с замагниченными электронами'может оказаться устойчивым
относительно развития тиринг-моды [26] г Следует также отметить,
что условие стабилизации (92) для наиболее неустойчивых длин-
длинноволновых мод (xq ^kL2) справедливо лишь по порядку вели-
величины. Это связано с тем, что оно было получено в предположении
о постоянстве функции Л\(х) во внутренней области, что имеет
место только для «прозрачной» внутренней области. В терминах
эффективного потенциала условие прозрачности записывается
в виде
Ухх*ошт Dтс/с) (dfJdA 1У)х20< 1. (93)
356

Таким образом, при нарушении условия прозрачности (93) эф-
эффективная потенциальная яма (см. рис. 5) перегораживается по-
посередине непрозрачным барьером. Так как в половине ямы Телле-
ра не умещается ни одна собственная мода, тиринг-мода не толь-
только невыгодна энергетически, но она попросту и не существует.
3.2. Дестабилизирующий эффект рассеяния по питч-углу и нелинейная не-
неустойчивость. При рассмотрении устойчивости двумерной конфигурации маг-
магнитного поля с нейтральным слоем мы до сих пор пренебрегали эффектами
рассеяния частиц, которые, как показано в [26], существенно меняют картину
устойчивости. Эффект стабилизации моды в таких конфигурациях обусловлен
тем, что при развитии тиринг-моды плотность электронов, запертых в нейтраль-
нейтральном слое между магнитными пробками, менялась пропорционально возмущению
магнитного поля (рис. 9), причем затраты энергии на сжатие запертых элек-
электронов превышали выигрыш энергии от пинчевания токов. Если же "кулонов-
ские соударения в плазме не редки или имеются флуктуации электромагнитного
поля, рассеивающие электроны, то поджатие электронной компоненты плазмы
в нейтральном слое будет меньшим из-за рассеяния частиц в конус потерь
с последующим рассасыванием возмущения плотности запертых электронов
вдоль магнитной силовой линии. Эффект можно оценить количественно, вклю-
включив в уравнение непрерывности запертых электронов (81) член, описывающий
переход запертых частиц в пролетные в результате рассеяния по питч-углу:
—ico</zle>—ikc<Eiy>no/Bnz=— v3<f><flie>, (94)
где в случае кулоновских соударений Уэф^УегЬ. Здесь фактор b по порядку
величины равен пробочному отношению и учитывает дифференциальный харак-
характер интеграла соударений Ландау. Отсюда возмущение плотности равно
со ik<Aiy>n0
<>
<"»>:*-«+1ч» вп— >
Видно, что уже очень редких соударений (кулоновских или эффективных) до-
достаточно, для того чтобы существенно уменьшить возмущение плотности. Более
того, теперь энергия тратится не на обратимое сжатие плазмы, а диссипируется
в плазме необратимым образом. Скорость диссипации энергии определяется как
работа электрического поля моды [ср. с (91)]:
Т,) п, Г а
г J ^
' f "¦ir. + T.U.
Скорость роста тиринг-моды при этом определяется из уравнения баланса
энергии («36), в правую часть которого входит сумма вклада электронов (96)
и незамагниченных ионов [см. C0)]:
\А%
2*J 1^
ху
При достаточно частых соударениях диосипация энергии тиринг-моды про-
происходит в основном в результате черенковского взаимодействия с ионами.
В этом случае можно говорить 6 так называемой ионной тиринг-моде [27]
357

с инкрементом, определяемым из баланса энергии C6) с учетом уравне-
уравнения (97):
(98)
Интересно, что флуктуации электрических и магнитных полей, ответствен-
ответственных за рассеяние электронов по питч-углу, могут генерироваться в процессе
развития тиринг-моды конечной амплитуды [26]. Это связано с тем, что в об-
областях сгущения (разрежения) магнитных силовых линий увеличивается
{уменьшается) не только плотность плазмы, но и поперечная составляющая
температуры электронов:
Tl±/Te^-ikAiy/Bn. ¦ (99)
В отличие от возмущений плотности возмущение поперечной составляющей
температуры локализовано в малой области \х\ <iLBn/B, где доминирует
^-компонента магнитного поля. Продольная составляющая температуры при
этом остается неизменной, так как длина пути электронов м^ежду магнитными
пробками не меняется. В результате в областях разрежения возможно развитие
шланговой неустойчивости даже при достаточно малой -амплитуде тиринг-моды
п* Гн -TL)^kAwnJe/Bn>B\>^. A00)
В областях сгущения при аналогичном условии развиваются зеркальные /не-
/неустойчивости (подробнее см. обзор Р. Дэвидсона в т. 1). Нарастание соответ-
соответствующих неустойчивых мод приведет к сильному питч-угловому рассеянию
запертых электронов и тем самым понизит анизотропию температур и сжатие
(разрежение) в отдельных участках плазмы. Если считать, что в результате
этого состояние плазмы вернется на порог неустойчивости, то затраты энергии
на сжатие (разрежение) плазмы будут ограничены условием устойчивости A00),
поэтому возмущения типа тиринг-моды с амплитудой, превышающей пороговое
значение A00), становятся нарастающими. Иными словами, мы можем говорить
о нелинейной тиринг-неустойчивости двумерных конфигураций под действием
возмущений конечной амплитуды.
3.3 Взрывной рост тиринг-моды на нелинейной стадии. Существенная осо-
особенность тиринг-неустойчивости равновесия Харриса в плоском нейтральном
слое заключается в том, что хотя линчевание токового листа ведет к глобаль-
глобальной перестройке конфигурации магнитного поля и благодаря этому к эффек-
эффективному высвобождению запасенной в виде магнитного поля энергии, однако
диссипация этой энергии может проиеходит-ь лишь в у-зкой окрестности ней-
нейтрального слоя, где выполняются условия резонанса Черенкова. В этих усло-
условиях стационарное пересоединение магнитных силовых линий предполагает
непрерывный приток новых порций магнитных силовых линий к нейтральному
слою с последующей диссипацией энергии магнитного поля в узкой окрестности
нейтрального слоя. Однако слабое черенковское взаимодействие неспособно
обеспечить полную диссипацию энергии магнитного поля (аннигиляцию магнит-
магнитных силовых линий), а приводит лишь к пересоединению этих силовых линий
в окрестности периодически расположенных нейтральных Х-линий.
Пересоединившиеся магнитные силовые линии образуют замкнутые поверх-
поверхности, вдоль которых выравнивается давление плазмы и, таким образом, уста-
устанавливается новое квазистационарное состояние. Приток все новых порций
магнитных силовых линий приводит к дальнейшему раздуванию магнитных
островов. Развитие неустойчивости описывается линейной теорией до тех пор,
358

пока ширина -магнитных островов не станет больше ширины области диссипации
около нейтрального слоя.
Уравнение -магнитной поверхности при наличии в плазме тиринг-моды име-
имеет вид:
АоУ(х, z)-)-Aiv(x, z)=const, A01)
где AOv(x, z) —B(yL In ch(x/L)—Bnz — невозмущенный векторный потенциал; воз-
возмущение его Aiv(x, z) дается уравнением B7). Полуширина магнитного острова
w определяется как расстояние от нейтральной 0-линии до сепаратрисы, про-
проходящей через соседние Х-линии (здесь и в дальнейшем" для простоты будем
считать 5п=0). Когда ширина острова меньше ширины токового слоя, из
уравнения A01) находим
wlL=bxl (Щ 2-И&У (Щ ЦАЫЩЧ2, A02)
где bi=kAl@)/Bo>BnIB0.
Поскольку в реальных условиях электроны обычно замагничены даже
в нейтральном слое, где магнитное поле минимально, нас будет интересовать
ионная тиринг-мода. Для нее нелинейный режим начинается при условии
КйГ. (ЮЗ)
Теперь движение частиц в различных областях по оси х (вблизи Х- и 0-ли-
ний и между ними) оказывается существенно различным. Поэтому энергетиче-
энергетический принцип C6), который используется здесь для получения оценки инкре-
инкремента, перепишем в форме, учитывающей неоднородность плазмы поперек ней-
нейтрального слоя и вдоль него [28]:
()]Jj'V A01)
Следуя работе [29], ограничимся рассмотрением диффузного нейтрального
слоя и не очень больших длин волн: (рч/?)У2<??<С1. Основной вклад в ин-
интеграл в левой части уравнения A04) дает внешняя область, где решение опи-
описывается уравнением B7). Оценивая этот интеграл, переписываем энергетиче-
энергетический принцип в виде
A05>
Интеграл в правой части уравнения A05) оценим отдельно в окрестности
нейтральной Х-линии и в области магнитного острова.
Вклад в интеграл от окрестности X • л и н и и. Магнитное
поле в окрестности Х-линии образует остроконечную ловушку для частиц с маг-
магнитными пробками — «каст», в которой ионы могут удерживаться конечное
время (рис. 10). Полувысота и полуширина области каспа определяются из
условия незамагниченности ионов:
/2, (ЮЗ)
В направлении оси х ионы удерживаются невозмущенным магнитным полем
Bz(x)y а в направлении оси z — благодаря компоненте B\x(z) магнитного поля
тиринг-моды. Поскольку касп имеет четыре конуса потерь, ионы проводят
в нем конечное время т. Время удержания по порядку величины равно не-
нескольким временам пролета через касп [30]
X-dzi/vTL A07)
359

- ; -Вследствие конечности времени жизни ионов в ловушке взаимодействие
между ионами и тиринг-модой носит необратимый характер. Энергия, набран-
набранная ионами в электрическом поле моды за время удержания в каспе, теряется,
когда ионы покидают касп. Энергия, расходуемая на нагрев ионов, описывает-
описывается интегралом в уравнении A05)". Плотность электрического тока в каспе мож-
можно записать в виде
/ly=/t??Jly, A08)
где viy—eyxAiylniiC — скорость ионов, набираемая в электрическом поле моды
за время -жизни т. Вклад ионов, удерживаемых в каспе, в интеграл в уравне-
уравнении A05) в этом случае равен
4гс С С 4о>2„/
A09)
оказывается
— dxdzjwA*
Соответствующий вклад электронов в этот интеграл
в (triiTi/meTeI!2 раз меньше.
Явление диссипации энергии тиринг-моды вследствие ее взаимодействия
с ионами, удерживаемыми в каспе конечное время, аналогично поглощению
электромагнитной волны в аномальном скин-слое, возникающем в результате
конечности времени жизни электронов в скин-слбе.
Вклад в интеграл от области магнитного острова. Рас-
яет вклада ионов, движущихся внутри магнитного острова, является сложной
и существенно нелинейной проблемой. Раз-
Разделим эти ионы на запертые в области ми-
минимума поля и свободно циркулирующие
вдоль замкнутых силовых линий. Если
электрическое поле, тиринг-моды проникает
внутрь острова, то электрический дрейф
частиц приводит к увеличению ллотности
частиц и давления в тех частях острова,
где магнитные силовые линии становятся
гуще.
Сгущение силовых линий — следствие
их притока в результате генерации ново-
нового потока на 0-линии и добавления пере-
пересоединившегося в окрестности J-линий по-
гока. Однако в отсутствие связи си-
новых линий с внешней , плазмой
низкое давление магнитного поля не в состоянии сдержать избыток давления,
возникающий в предположении о проникновении электрического поля внутрь
острова (напомним, что здесь J3>>1). Следовательно, можно ожидать, что дав-
давление плазмы <подстроится> под локальное давление магнитного поля за время
распространения звуковых волн поперек острова. Фактически это означает
усреднение плотности тока по площади острова. Простые оценки показывают,
что вклад ионов, удерживаемых внутри магнитного острова, меньше, чем де-
дестабилизирующий эффект пинчевания токов.
Взрывной рост тиринг-моды. Таким образом, на нелинейной
стадии развития тиринг-мбды - баланс энергии достигается благодаря необра-
необратимой диссипации энергии, высвобождаемой при пинчевании токов, в окрест-
окрестности нейтральных Х-линий. С помощью уравнений A05) и A09) мы получаем
360
Рис. 10. Конфигурация магнит-
магнитных силовых линий в окрестности
нейтральной Х-линии

уравнение для нарастания- нелинейной тиринг-моды:
dbJdt^inuTi/^ey^d+Te/T^d—k^^i/kL A10)
Амплитуда моды возрастает. во времени взрывным образом до .закону
bi(t)=bi(O)t[l-t/TRl A11)
где bi@)—амплитуда моды в начале нелинейной стадии, т. e. ?i@)
[см. (ЮЗ)]; тд — характерное время взрывного роста: x~*R*=.{ntixiJ4L)~X
Возрастание нелинейного инкремента с амплитудой, соответствующее взрыв-
взрывному росту тиринг-моды, объясняется уменьшением области диссипации, вблизи
Х-линий по мере роста амплитуды. Последнее приводит к увеличению электри-
электрического поля, необходимого для диссипации определенного количества энергии,
высвобождаемой в результате* пинчевания тока. Взрывной рост должен за-
замедлиться или прекратиться, когда ширина острова станет порядка размера
токового слоя L, так как к этому моменту будет израсходована большая часть
свободной энергии. Используя уравнение (Ю2) для грубой оценки, получаем
амплитуду насыщения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Parker E. N. — J. Geophys. Res., 1957, vol. 62, p. 509.
2. Parker E. N. — Astrophys. J. Suppl. Ser., 1963, vol. 8, p. 177.
3. Sweet P. A. — In: Proc. of the IAU Symp, on Electromagnetic Phenomena
in Cosmical Physics, № 6/ Ed. B. Lehnert. — N. Y.: Cambridge Univ. Press, 1958,
p. 123.
4. Haerendel G.— J. of Atmos. Terr. Phys., 1978, vol. 40, p. 343.
5. Петчек X. E. — В кн.: Солнечный ветер: Пер, с англ. —тМ.: Мир, 1968,
с. 255.
6. Harris E. G. — Nuovo cimento, 1962, vol. 23r p. 115.
7. Laval G., Pellat R., Yullemin M. — In: Plasma Physics and Controlled
Nuclear Fusion Research. Vol. '2.— Vienna: IAEA, 1966, p. 259.
8. White R. В., Montieello D. A., Rosenbluth M. N.t Waddell B. V. — Phys.
Fluids, 1977, vol. 20, p. 800.
9. Dobrowolny M. — Nuovo cimento, 1968, vol. 55B, p. 427.
10. Galeev A. A., Zeleny L. M. — In: Theoretical and Computational Plasma
Physics. IAEA—SMR—31/100, —Vienna: IAEA, 1978, p. 93.
11. Furth H. P., KiHen M. N., Rosenbluth M. N. — Phys. Fluids, 1963, vol 6,
p. 459.
12. Bussac M. N., Edery D., Pellat R., Soule J. L. —Phys. Rev. Lett., 1978,
vol. 40, p. 1500.
13. Coppi В., Mark J. W.-K., Sugiyama L., Bertirr G. — Ibid., t979, vol 42
p. 1058. ' '
14. Rosenbluth M. N., Sagdeev R. Z., Taylor J. В., Zaslavsky G. JVL, —Nucl.
Fusion, 1966, vol, 6, p. 297.
15. Арцимовиц Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. —М.:
Атомиздат, 1979, с. 207.
16. Galeev A. A.— Phys. Fluids, 1&78, vol. 21, p. 1353.
17. Rechester А. В., Rosenbluth M. N.— Phys. Revt Lett., 1978, vol. 40, p, 38,
18. Галеев А. А., Сагдеев Р. З., Моисеев С С —Атомная энергия, 1963,
т. 15, с. 451.
19. Irioue S., Itoh К., Tange Т., Nishikawa К., Yoshikawa S. Preprmi of Inst
lor Fusion Theory of Hiroshima Univ., HIFT-5, 1978.
20. Галеев А. А., Зеленый Л. At.—Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, с 407
21. Drake J. F., Lee Y. С.— Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 453
22. Ichimaru S. — Astrophys. J., 1975, vol. 2Q2r p. 528.
361

23. Kan J. R.— J. Geophys. Res., 1973, vol. 78, p. 3773.
24. Галеев А. А., Зеленый Л. М. —Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 357.
25. Галеев А. А., Зеленый Л. М.—~ Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976,
т. 70, с. 2133.
26. Coroniti F. V. —J. Geophys. Res., 1980, vol. 85, p. 6719.
27. Schindler K. — Ibid., 1974, vol. 79, p. 2803.
28. Schindler K. — In: Proc. of 7th Intern. Conf. on Phenomena in Ionized
Gases. Vol. 2. — Belgrad: Gradevinska Knigga, 1966, p. 736.
29. Galeev A. A., Coroniti F. V., Ashour-Abdalla M. — Geophys. Res Lett.,
1978, vol. 5, p. 707.
30. Biskamp D., Schindler K. — Plasma Phys., 1971, vol. 13, p. 1013.
ДРЕЙФОВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
И АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС*
В. Хортон
1. ВВЕДЕНИЕ
Плотность и температура плазмы, находящейся в магнитном
поле, как правило, оказываются неоднородны вЧгространстве. На-
Наличие пространственных градиентов поперек магнитного поля при-
приводит к возникновению в плазме так называемых диамагнитных
дрейфовых токов. Частицы, поддерживающие эти токи, движутся
в направлении, взаимно перпендикулярном направлению среднего
магнитного поля и градиенту плазмы. Коллективные движения
плазмы, возникающие в такой неоднородной замагниченной куло-
новской системе благодаря наличию диамагнитных токов, хорошо
известны под названием дрейфовых волн; Неустойчивости дрейфо-
дрейфовых волн вызывают в плазме движение заряженных частиц по-
поперек магнитного поля. Смещения частиц поперек поля имеют
компоненту вдоль направления градиента плазмы и могут во мно-
много раз превышать их гирорадиус. В результате участия частиц
плазмы в коллективных колебаниях системы возникает эффект
переноса плазмы вдоль направления макроскопического градиен-
градиента. В зависимости от параметров плазмы и магнитного поля и ха-
характера основных коллективных мод в ллазме существует целый
ряд механизмов переноса, обсуждающихся в этой главе. В самом
общем смысле можно сказать, что в макроскопическом масштабе
проявление плазменных эффектов связано с возникновением кол-
коллективной диссипации в форме аномальной диффузии частиц (те-
(тепловой энергии) вдоль градиента плотности плазмы (градиента
температуры). Коллективный перенос .не зависит от парных соуда-
соударений и по величине может превышать столкновительный на много
порядков. По этой причине коллективный перенос называется ано-
аномальным, хотя по сути дела в высокотемпературной плазме он
представляет собой основной механизм переноса. Подробно во-
* Пер. с англ. Л. М. Зеленого. -
$62

прос о дрейфовых неустойчивостях в неоднородной замагниченной
плазме и их связи с макроскопическими неоднородностями в плаз-
плазме рассмотрен в статье А. Б. Михайловского (см. т. 1). Дрейфо-
Дрейфовые колебания представляют собой низкочастотные коллективные
осцилляции, электрическое поле которых возникает при дальних
нерелятивистских взаимодействиях заряженных частиц, имеет су-
существенную перпендикулярную компоненту и малую продольную.
Частота осцилляции оказывается мала по сравнению с ионной ги-
рочастотой, если масштаб плазменных градиентов мал по отноше-
отношению к ионному гирорадиусу. Перпендикулярное электрическое по-
поле создает ЕХВ дрейф ведущих центров заряженных частиц по-
поперек магнитного поля, что дает один из главных механизмов ано-
аномального переноса. Малая компонента электрического поля вдоль
внешнего магнитного поля поддерживает осциллирующий плаз-
плазменный ток, который, в свою очередь, создает малую компоненту
магнитного поля, осциллирующую поперек внешнего поля. Движе-
Движение частиц вдоль микроскопически флуктуирующих магнитных по-
полей создает второй механизм аномального переноса. Явления пе-
переноса возникают также в случае, когда какие-либо внешние ис-
источники возбуждают в плазме электрические или магнитные поля,,
по свойствам близкие к коллективным. Многие из формул, полу-
полученных ниже в § 2 и 4, могут быть непосредственно использованы,,
если подставить в них значения электромагнитного поля в плазме,,
созданного, например, радиочастотным нагревом или другими
внешними возмущениями.
При достаточно малых давлениях аномальный перенос в основ-
основном определяется механизмом, связанным с коллективными элек-
электрическими полями. Эти низкочастотные электрические поля
можно считать электростатическими (т. е. потенциальными), что
сразу существенно упрощает проблему. Аномальный перенос в ре-
режиме с малым давлением плазмы рассмотрим в § 2 и 3. Для слу-
случая с низким давлением имеется ряд лабораторных эксперимен-
экспериментов, которые хорошо иллюстрируют различные особенности теории
аномального переноса. Для электростатических коллективных мод
существуют нелинейные теории и возможна самосогласованная по-
постановка проблемы. Нелинейные теории, рассмотренные в § 3, по-
позволяют определить амплитуду и спектральные характеристики
коллективных полей. Очевидно, что аномальный перенос зависит
как от амплитуды, так и от дисперсионных характеристик моды
(зависимости «частота — волновое число»). Результирующий пере-
перенос определяется как сумма по всем частицам, но значительность
вклада от данной частицы определяется тем, насколько сильна ее
корреляция с каждой из спектральных компонент поля. Слабоне-
Слабонеустойчивые системы в соответствии с предложенной Ландау кар-
картиной гидродинамической турбулентности могут быть, как принято
считать, описаны несколькими когерентно взаимодействующими
модами колебаний. Далеко за порогом неустойчивости в системе
развивается широкий спектр слабокоррелирующих осцилляции, и
можно считать, что в ней возникает плазменная турбулентность.
362

До сих пор не делалось попыток описать переходный режим.
В п. 2.6 рассматриваются дрейфовые солитоны — когерентные со-
состояния с возмущениями большой амплитуды. Как раз в настоя-
настоящее время дрейфовая турбулентность стала предметом широких
исследований, и в § 3 рассмотрены вопросы нелинейной теории и
флуктуационных измерений, связанные с этой проблемой.
В плазме, где тепловое давление составляет заметную долю
давления внешнего магнитного поля, коллективные дрейфовые ко-
колебания имеют флуктуирующую компоненту магнитного поля, соз-
создаваемую осциллирующим плазменным током и по направлению
ортогональную внешнему магнитному полю. Явления аномального
переноса^ связанные с этой компонентой, обсуждаются в § 4. Пе-
Перенос вновь зависит от корреляции движения частиц с флуктуа-
цйямй поля. Механизм переноса, связанный с магнитными флук-
туациями, оказывается важен в основном для электронов. В п. 4.6
обсуждается основанное на этом механизме явление аномальной
электронной теплопроводности. Развитие малых флуктуации маг-
магнитного поля, ответственных за аномальный магнитный перенос,
может быть связано с дрейфовой неустойчивостью или коротко-
коротковолновой дрейфовой тиринг-модой. Перенос плазмы конечного
давления за счет развития этих мод до настоящего времени экс-
экспериментально не измерялся. Теоретически проблема аномального
переноса, связанного с электромагнитными флуктуациями, обсуж-
обсуждается в §-4. Следует сказать в заключение, что точной математи-
математической теории аномального переноса построить не удается. Это
связано с нелинейным и самосогласованным характером явления.
В основе нашего понимания процессов аномального переноса ле-
лежат вместо этого различные приближенные физические теории,
каждая из которых объясняет определенные черты наблюдаемого
поведения плазмы.
2. АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ЗА СЧЕТ ДРЕЙФОВЫХ МОД
ПРИ НИЗКОМ ДАВЛЕНИИ ПЛАЗМЫ
Развитие дрейфовой, неустойчивости связано с модами коллек-
коллективных колебаний плазмы, удерживаемой в магнитном поле. Ли-
Линейная теория дрейфовой неустойчивости рассмотрена А. Б. Ми-
Михайловским (см. т. ,1). За развитие дрейфовых неустойчивостей от-
ответственны радиальные градиенты плотности и температуры ис-
исходного равновесного распределения плазмы. Неустойчивые моды
оказываются сильно вытянутыми вдоль магнитного поля. Попереч-
Поперечная длина волны 2тс/й^может быть как больше, так и меньше ион-
ионного гирорадиуса pi=c(ftiiTi)l/2eiB, но всегда мала по сравнению
с характерными масштабами неоднородности плотности гп и тем-
температуры гт плазмы
тп п dr rT— T dr' K '
Параллельная длина водны 2ти/&и измеряется в масштабах гп
364

или гт и в типичных случаях оказывается в 50—100 раз короче
этих размеров. Если размеры гп и гт велики по сравнению с ион-
ионным гирорадиусом, дрейфовые колебания имеют частоты cofe много
ниже ионной гирочастоты <dCi=eiB/miC. Частота осцилляции харак-
характеризуется диамагнитной дрейфовой частотой co*j, которая опре-
определяется выражением
Диамагнитная дрейфовая частота возникает из-за движения час-
частиц плазмы с диамагнитной дрейфовой скоростью
возникающей в неоднородной плазме при наличии градиента плот-
плотности частиц сорта / (см. статью М. С. Рабиновича в т. 1).
Наибольший интерес из этих волн представляет электронная
дрейфовая волна, которая имеет в длинноволновом пределе час-
частоту co=coft, где
Слагаемое в знаменателе C), содержащее p=c(miTe)l/2/eiBy соот-
соответствует дисперсии, связанной с ионной инерцией. В низкочастот-
низкочастотном случае учет инерции ионов ведет к появлению в плазме поля-
поляризационного тока
}p=(c*nimi/B*)(dE1fdt)
(см. статью М. С. Рабиновича в т. 1). В электронной дрейфовой
волне, описываемой уравнением C), электроны адиабатически
осциллируют в медленном электрическом поле волны подобно то-
тому, как это происходит в ионно-звуковых колебаниях. Благодаря
диамагнитному дрейфу дрейфовая мода колебаний, распространя-
распространяющаяся почти перпендикулярно магнитному полю (так что
&i|?s<a>?<&i,0e), расщепляется с ионно-звуковой. При конечных
$=8пр/В2 дрейфовые колебания распространяются в таком интер-
интервале продольных фазовых скоростей cs< <*>*/? „ <vA [где vA=
=B/Dntiimi){/2 и cs=(Te/mi)^2 соответственно альвеновская и ион-
но-звуковая скорости], что происходит их расщепление и с альвег
новской модой колебаний. Для $=$лр/В2>11\0—1/5 область нег
устойчивости исчезает вообще, за исключением специальных слу-
случаев, когда отношение градиентов температуры и плотности при-
принимает некоторые особые значения [1].
Так как частоты рассматриваемых колебаний малы по срав-
сравнению с ионной циклотронной частотой, основное движение элек-
электронов и ионов поперек магнитного поля происходит в направле-
направлении дрейфа ведущих центров частиц в скрещенных полях
365

с поправками порядка соь/соСг за счет поляризационного дрейфа ио-
ионов. С осцилляциями скорости частиц за счет дрейфа D) оказы-
оказываются связаны и локальные флуктуации потока частиц п^е, где
пз(х> О» РЛХ> 0— плотность и давление частиц [моменты функ-
функций распределения fj(xv/)]. В первом приближении по амплитуде
колебаний усредненный поток от флуктуации прЕ равен нулю.
Однако во втором порядке по амплитуде дрейфовых колебаний
в общем случае уже появляются потоки частиц Т, и тепловые по-
потоки Qj.
В силу того, что эти потоки часто на несколько порядков пре-
превышают потоки, связанные с кулоновскими столкновениями час-
частиц (см. статью Хинтона в т. 1), они получили название аномаль-
аномальных. Результирующий поток частиц находится усреднением осцил-
осциллирующего потока по соответствующему пространственно-времен-
пространственно-временному объему. -»
Флуктуирующие термодинамические величины fij(xt)y Pj(xt),
электрическое поле Е(х^), электростатический потенциал <р(х/)
в турбулентной плазме наиболее удобно задавать с помощью
фурье-разложений
rtj (x t) — 2#/ (fy exp (i k • х — i arf); E)
k
Pi (x t) = S Pi (k) e*P (ik • x ~ Ы); F)
к
?№) =S?(*) exP (ik-x - Ы), G)
к
где fij(k), pj(k), <p(k)—фурье-компоненты соответствующих вели-
величин (для краткости обозначено &=ксо). Аналогично E) — G) по
фурье-гармоникам раскладываются и остальные величины
Е(х^), !бВ(х^) и Vje(x^). Так как все физические величины действи-
действительны, должно быть выполнено условие п^{—k)=n*j(k)> и под
+ 00
2 понимается f rfa>/27u . Хотя в теории аномального переноса су-
<0 —00
ществует много корреляционных функций, для нас в особенности
важен kco-спектр двухточечной корреляционной функции для по-
потенциала ф(х^). Для спектра флуктуации потенциала обычно вво-
вводится обозначение /(ко), или сокращенно /а,
<<р(R, Т)<р(R+г. Т +.*)> = J] / (kco)exp(ik-r —iarf) =
+ 00
S je-7kWexp(ik.r-i«/), (8)
k —00
что эквивалентно условию
366

Пространственно-временное усреднение в уравнениях (8) и (9)
легко удается выполнить, так как введенные выше пространствен-
пространственно-временные масштабы для дрейфовых волн сильно отличаются
от макроскопических пространственных масштабов гп и гт и ха-
характерного времени аномальной диффузии td—r2n/A где D=
= (р/гп) (сТ/еВ) —максимальный коэффициент аномальной диф-
диффузии. Корреляционная функция, определяемая усреднением по
промежуточному пространственно-временному объему, сохраняет
параметрическую зависимость /&(R7) от макроскопических про-
пространственно-временных масштабов R7.
2.1. Случай электростатических дрейфовых колебаний. Диффу-
Диффузионный и тепловой потоки. Общее соотношение, связывающее
аномальные потоки со спектрами флуктуации полей и частиц,
можно получить, выделяя среднее в локальных выражениях для
потоков.
Вычислив средние по пространству времени от потока частиц
rijVE и теплового потока C/2)pjVE, найдем выражения для ано-
аномальных потоков
(сТЛ Г\и т И* (*
Ъ
где амплитуда флуктуирующих полей соответствующим образом
нормализована. Коэффициент DB=cTe/eB в 16 раз превышает так
называемый бомовский коэффициент диффузии. В ранних рабо-
работах по удержанию плазмы бомовский коэффициент диффузии
A/16) (сТе1еВ) использовался как характерный масштаб скорости
диффузии плазмы, хотя сейчас в это выражение не вкладывают
особого теоретического или экспериментального смысла.
В уравнениях B), A0), A1) использована стандартная систе-
система координат, применяемая при исследованиях дрейфовых волн.
Направление z выбрано вдоль локального магнитного поля, х бе-
берется в направлении градиента плотности Vn(r) или температуры
V7(r), а ось у направлена взаимно перпендикулярно В и Vn(r),
т. е. y=zXX дополняет систему координат до правой. Под Г; и Qj
в уравнениях A0) и A1) имеется в виду х-компонента этих век-
векторов. Позднее мы покажем, что в общем случае х-компонента
оказывается единственной, не обращающейся в нуль. Выражения
для потока частиц Tj и теплового потока Qj показывают, что
в окончательное выражение для потока дает вклад только та. со-
составляющая флуктуации давления или плотности, которая нахо-
находится не в фазе с колебаниями потенциала. На рис. 1 показано,
как возникает эта зависимость от разности фаз. В данный момент
времени t0 и в данной точке 20 на силовой линии магнитного поля
изолинии потенциала [ср(#, у, 20, /o)=const] являются линиями
367

для дрейфа ведущих центров частиц поперек магнитного поля
[уравнение D)]. При осцилляциях поля с , частотой со ведущие
центры колеблются вдоль своей линии, тока с. амплитудой
vW(—ico). При достаточно больших амплитудах электрического
поля к-у#—<о ведущий центр проходит за один период осцилляции
всю длину волны колебаний электрического поля. Более типично,
однако, что нелинейное насыщение дрейфовой неустойчивости про-
произойдет до того, как будет достигнут этот высокий предел по ам-
амплитуде. Так, как поток несжимаем V-v.e=0, начальные неоднород-
неоднородности плотности rij(r) и давления pj(r) переносятся,за счет ЕхВ-
осцилляций вдоль линий тока. Когда вариации 6fij(xt) и 6pj(xt)
В фазе Г=0
Рис. 1. Структура возмущений в дрейфовой волне: -
а — вариации электрического потенциала поперек магнитного поля в опре-
определенный момент временя. В плоскости перпендикулярной Bz> контуры ф=const"
представляют собой линии ЕхВ дрейфа частиц плазмы; б — вариаций плотносш
в дрейфовой волне. Колебания скоррелированы с вариациями ф, но сдвинуты от-
относительно них по фазе; в — вид сверху на линии уровня колебаний потенциал.)
{а), плотности (б) в дрейфовой волне. Изображен случай, когда колебания Ьп
и <р происходят в фазе; г — колебания Ьп и ф сдвинуты по фазе на"фЖ<р
находятся в фазе с колебаниями ф(х^), что показано на рис. 1,6?
концентрическими линиями уровня ф и dtij, поток наружу в точно-
точности компенсируется потоком внутрь. Напротив, если максимум ко-
колебаний плотности сдвинут по фазе на г{>бп,ф по отношению к ма-
максимуму колебаний потенциала (рис. 1,г), потоки уже не балан-
балансируют друг друга, так как плотность потока плазмы, текущего
в одном направлении, больше плотности потока, текущего в дру-
другом направлении. Например, электронная дрейфовая волнаг кото-
которая в соответствии с уравнением C) распространяется в направ-
направлении Vde=-(cTe/eBrn)y, будет иметь избыточный поток частиц в на-
направлении [—Vne(r)]y если колебания плотности опережают коле-
колебания потенциала по фазе. Дрейфовая волна, связанная с гради-
градиентом температуры ионов, распространяется в направлении vdi—
=n—^{cTijeBrT)y и имеет избыточный тепловой поток в направле-
направлении [—V,P/(r)], если осцилляция потенциала опережает по-фазе
осцилляции давления ионов. . : ...
Вычисление разности фаз .в ,состоянии, нелинейного насыщения
представляет собой сложную задачу. В действительности, однако*
насыщение ^линейного ростанеустойчивости обычно бывает связано
368-

С нелинейной динамикой какого-либо одного сорта частиц. Фазо-Г
вые соотношения для поля определяются при этом частицами1
другого сорта — фоном, изменения которого хорошо описываются
квазилинейными уравнениями. Для электронной дрейфовой волны
обычно бывает, что ионная динамика становится нелинейной, а фа-
фазовые соотношения определяются квазилинейным электронным от-
откликом. Это связано с тем, что характерное время корреляции
движения электронов с волной l/Ak{lve оказывается мало по срав-
сравнению с временем корреляции для движения ионов 1/Дю*. Поэтому
взаимодействие с ионами первым подвергается сильным измене-
изменениям при увеличении а'мплитуды электрического поля. Таким об-
образом, если установлено, что отклик частиц сорта / можно считать
квазилинейным, флуктуирующие термодинамические величины
tij(k), pj(k) вычисляются непосредственно из низкочастотной
<CcoCj) флуктуирующей добавки к функции распределения 8fj(
определяющейся выражением
. <*¦ '>=?[%+(•%+??
где fj(x, e, ^—фоновая функция распределения с характерным:
масштабом изменения в пространстве и времени соответственно гп.
и rWD и где e=v2/2 — кинетическая энергия на единицу; массы..
В уравнении A2) gjk(v)—интеграл от флуктуирующего электри-
электрического поля по траектории частицы. В простейшее случае бес-
столкновительной неоднородной плазмы gjk(y) = (а>— k{{v{l -f-io)" V
Однако для конкретных задач функция gjk(v) имеет много раз-
различных представлений. В дальнейшем нам понадобятся два основ-
основных свойства этой функции (называемой пропагатором), вытекаю-
вытекающие из условий действительности и причинности для электриче-
электрического поля:
g_k(y)=-g*k(v) A3),
—lmgk(v)>0. A4)-
Условиям A3) и A4) пропагаторы удовлетворяют также и в кон-
конфигурациях с более сложной геометрией и при наличии турбулент-
турбулентного или столкновительного уширения.
Если известна флуктуационная добавка ?/,•(?, v), то, используя
условие A2), можно рассчитать флуктуации термодинамических:
величин fij(k), pj(k) и аномальные потоки Tj и Qj.
При этом, например, входящее в A0) произведение принимает
вид:
" - A5)
Рассмотрим теперь фазовый сдвиг, электродного отклика
() б
р р
Оценим сначала условия, при которых можно, пренебречь
24—3283 369'

нелинейным уширением пропагатора gek(v)> вдодящего в состав
выражений для ne(k) и pe{k)>
Перенормированная квазилинейная теория дает для дрейфо-
дрейфовых волн следующие оценки времени нелинейной декорреляции:
J^jjDjj^u)]1^— за счет продольной диффузии и k2±D — за счет по.
перечной диффузии. При каких условиях нелинейная декорреляция
мала по сравнению со скоростью линейной декорреляции k]{ve? Пер-
Первое условие имеет вид:
тогда как второе приводит к соотношению
для e^olTe<llk±rn. Здесь <х>0 = <<j>2(xt)>V2t jfej|f J±, а>г—средние
волновые числа и частоты в спектре флуктуации. Применимость
квазилинейного приближения для электронов, таким образом,
¦оказывается хорошо оправданной, так как максимальная ампли-
амплитуда рассматриваемых колебаний будет ограничена условием
&ц>п/Те^1/к.гп. Теория турбулентности с учетом перенормировок
рассмотрена в [2].
Фазовый сдвиг в электронном отклике на дрейфовые флуктуа-
флуктуации для двух важных предельных случаев выражается в явном
виде. Поскольку время прохождения электроном длины волны
в параллельном направлении 2n/k^v{l мало по сравнению с перио-
периодом колебаний, выражение для флуктуации плотности можно
представить в виде
где первая поправка к синфазному отклику имеет порядок
i^/k,,veJ<^L Аналогичное уравнение справедливой для флуктуации
давления pe{k). Если мы знаем квазилинейную зависимость
ne(k)—ф(Л), то аномальный поток может быть представлен в виде
л (Ь\ 2
1 = fl —7J"
A7)
Аналогичная процедура позволяет получить подобную же формулу
для Qe. Общие выражения будут получены ниже.
Функция 8e(k)> входящая в выражения A6) и A7), определя-
определяется диссипативной частью электронного пропагатора lmgeh(v).
Если длина свободного пробега электронов Xmfv—Vehe велика по
сравнению с параллельной длиной волны, резонансная часть элек-
электронного пропагатора имеет вид:
370

Если же длина свободного пробега короче параллельной длиньг
волны 2п/ k^ , то электроны уже не движутся свободно вдоль маг-
магнитного поля, а диффундируют в пространстве с коэффициентом
D(v) =vek2mfp = v2jve. Электронная диссипация определяется те-
теперь членом
Im^% = In[1(cD-*||»||+iCe)-1,
где \Се — кулоновский столкновительный оператор. Если использо-
использовать лоренцево приближение для \Се, то
в случае ve^>k^,ve и
im </*> = */B V)
для ve<k}lve.
Здесь <g"ek(v)> — усредненная по углам функция электронно-
электронного отклика и
In
Кох и Хортон [3], используя лоренцев столкновительный опера-
оператор, нашли общее выражение для электронного отклика.
Хортон [4] и Тэнг [5] показали, что дрейфы ведущих центров
частиц (градиентного и за счет кривизны) и захват частиц между
магнитными пробками необходимо учитывать при вычислении
lmgek(v) в задачах о магнитном удержании плазмы.
Вычислим теперь скорость электронов
В дх т, с
через которую выражается и функция 6e(k). Для найденных выше
значений Im <gek> функция 8e(k) имеет предельные представлен
ния
1/2 ГD ) 1
/1 Я knve>ve; A8)
Здесь имеется в виду, что электроны описываются локальным
распределением Максвелла — Больцмана
/,(*, 8)=FMe[8, Пе(х), Те(Х)]
и г\е обозначает отношение градиентов плотности и температуры:
1 dTe I I I dn,\ , /gn.
1[г*'гг B0)
24* 371

В заключение укажем, что фазовый сдвиг, показанный на
рис. 1, связан c8€(k) соотношением
и формула C) для дрейфовой частоты легко может быть понята
следующим образом. Осциллирующая часть ионного уравнения не-
непрерывности дает
iiotii (k) = wE • ytii (r) -f- v (flivp)— * ni (ш*<? ~~ ^21 P2(D) (e(? (fylTe),
тде vp = (Entile fi1) {dE±/dt)\ комплексная частота оэ = o>k -j- i Yk =
=ьш^/[1-|-/e2. o2 — i 8e] может быть найдена теперь из условия ква-
квазинейтральности m(k)—ne(k), где для ne(k) использовано выра-
выражение A6), а величины ре, со*е и 6е были определены выше в этом
разделе. Отсюда ясно, что плотность энергии дрейфовых волн со-
состоит из электростатической потенциальной энергии электронов
{l/2)nee2<$2k/Te и кинетической энергии A/2)я/т,и2я(&) поперечно-
то ЕхВ движения ионов. В сумме эти два вклада дают оконча-
окончательное выражение для Wh в долях тепловой энергии пТе:
ey{k)
Этот результат используется и в квазилинейном и в нелинейном
^анализе.
Полная энергия флуктуации
W= ^ W(k) =^
при этом должна быть мала по сравнению с плотностью тепловой
энергии.
2.2. Термодинамика аномального переноса. В работах [6, 7] показано, что
*с аномальным переносом частиц и энергии за счет дрейфовых флуктуации свя-
связан некий положительно определенный функционал, соответствующий скорости
роста внутренней энтропии. Этот функционал важен для понимания термоди-
термодинамики и устойчивости переноса в системе. В термодинамической теории устой-
устойчивости [8] положительно определенный функционал производства энтропии
служит функцией Ляпунова, определяющей устойчивость .стационарного со-
состояния системы к тепловым отклонениям.
В общем случае потоки частиц и теплоты возникают в конфигурациях
плазмы, где имеются сложные комбинации градиентов плотности и температу-
температуры, особенно при наличии сильных градиентов температуры ионов. В работе
[9] приведен интересный пример, как в геометрии токамака поток частиц мо-
может оказаться направленным внутрь (т. е. по градиенту плотности), в то время
«ак тепловой поток идет наружу j(t. e. против градиента температуры). В бес-
бесконечном плазменном слое с противоположно направленными градиентами
плотности и температуры, возникающем, например, при нагреве на фазе ски-
372

нирования тока, возникает сложная ?3ртина противоположно направленны*
потоков частиц и теплоты ?[10]. В таких ситуациях необходимо убедиться
в том, что потоки частиц и теплоты удовлетворяют второму закону термоди-
термодинамики и не возникает никаких физических противоречий. Физической основой
аномального увеличения энтропии служат дальние взаимодействия частиц плаз-
плазмы за счет коллективного электрического поля.
Уравнения переноса для макроскопической системы можно получить, усред-
усредняя микроскопические уравнения по пространству и времени. Аномальный по-
поток частиц Tj и аномальный тепловой поток q, представляются в виде векторов
с ненулевой компонентой в направлении макроскопических градиентов. Атом-
Атомные реакции дают источники заряженных частиц Sj(r, /), а тепловые источники,
получаемые за счет атомных реакций, вспомогательного нагрева и радиационно-
радиационного охлаждения, обозначаются Pj(r, t).
Макроскопические транспортные уравнения после этого имеют вид:
5y(r, t) B2)
h^Pj-W,, B3)
где макроскопические потоки определяются выражениями
ry = <^EXB/i52>; B4)
Q/ D
= D" nlTJcE X B/?2)=-T TiTi + Ч/ B5>
B6)
3
Здесь qj — тепловой поток относительно конвективного потока энергии -^-TjVj.
Поток энергии между флуктуирующим полем и тепловой энергией /-й компо-
компоненты плазмы определяется величиной Wj. Рассматривается электростатическое
коллективное поле Е=—Vl(P(r> 0- Электромагнитные флуктуации рассмотрены
в п. 4.1.
Для дрейфовых колебаяий квазинейтральность сохраняется с точностью
до кг^к2Ог как на линейной, так и на нелинейной фазах. Из условия квази-
квазинейтральности
следует, что поток частиц является амбиполярным и суммарный поток мощности
обращается в нуль:
2'/г/=°* 2г/=°- B7)
/ /
Для того чтобы термодинамические величины я;(г, i), Т;(г, /) могли обеспечить
хорошее и экономное описание плазмы, нам придется ограничиться случаем до-
достаточно частых кулоновских столкновений,' способных поддерживать в плазме
373-

локальное распределение Максвелла — Больцмана FMj(v2) в течение процесса
аномального переноса. Определим этот режим условием ve>v*, где v* — кри-
критическая частота столкновений, которую мы найдем в п. 2.7, анализируя эво-
эволюцию исходной функции распределения. Эта критическая частота столкнове-
столкновений зависит от уровня флуктуации. Так как мы считаем, что распределение
Максвелла — Больцмана продолжает описывать рассматриваемую нами кон-
конфигурацию, характерная микроскопическая частота диамагнитного дрейфа име-
имеет вид: у- \
сТ} _ Г / mjv1 3 \]
••/ И " IJE- k>
Будем считать, что Xi,- и Х*ц параллельны, и определим их отношение как
Микроскопическая флуктуационная добавка к функции распределения мо-
может быть найдена из кинетического уравнения. В общем случае амплитуда
флуктуации оказывается уже настолько велика, что, как показано в [2], для
описания взаимодействия частиц с флуктуациями при вычислении компоненты
&fjk(v) необходимо учитывать секулярные вклады высших порядков. Если
в общем случае ввести для частиц пропагатор ^^(v), то флуктуирующая часть
распределения может быть представлена Ъ виде
fJk (v) = - !i^l (t *_ fo - со, j (,*) ] glk (v)} f (k). C0)i
Перенормированный пройагатор в плоской геометрии, например, выражается:
соотношением
Яо (k±v±/<»cj)
gJk(v)= »-*I|uff-VD/+iv* *
где Щ^= (mjcv^j /2ejB)(d In B/dx) — скорость дрейфа ведущего центра и ivk —
частота резонансного уширения. В работе [И] при рассмотрении явлений пе-
переноса использовались пропагатор gik, вычисленный для случая тороидальной
геометрии, и лоренцев столкновительный оператор для расчета резонансного-
уширения. Общие свойства gjfc(v), следующие из условий действительности и
причинности gik(y)=—?j*fc(v) и — ImgifeX), приведены нами выше [уравнения!
A3) и 04)].
Из формул A0), A1) и B4)—C0) можно найти выражения для потока-
частиц и теплового потока
- -nAdkX
374

и потока передачи энергии
Wj» njTj J dk J <fv/7 № F7M (*•) « [© - o>#/ (t;2)] Im g^ (v). C3)
Нормализованная спектральная функция распределения Ij(k), входящая в урав-
нения A3) —A5), определяется условием
Из уравнений C1) — C3) следует, что все аномальные потоки представляются
в виде суммы вкладов от всех частиц и всех флуктуации, которые входят
с весом —Im ?у*ь<л (v)' соответствующим интенсивности взаимодействия ча-
частиц и флуктуации.
Возникновение аномальных потоков Г^, qj и Wj связано с тремя «движущи-
«движущими силами»
Xij=Vln«j, Х2з=у\пТ5 и ХЪ=Т-^—T~lw,
где Тю — эффективная температура плотности энергии флуктуации W=nwTw и
nw — число мод флуктуации на единицу объема. Во всех представляющих ин-
интерес случаях Tw*>Tj, так что движущая сила T~lj—T~lw сводится к Xz—l/Tj.
Каждая компонента изменения энтропии, например создаваемая потоком^
частиц вдоль градиента плотности, может быть как положительной, так и от-
отрицательной. Шлное производство энтропии о = —2j Je-^a, однако всегда
a
оказывается положительным. Складывая производство энтропии за счет потока
частиц *vn= —TXlf за счет теплопроводности ауГ =—q-X2/r и за счет
энергопередачи Ow——Т^Л——^Л> легко показать, что полная скорость уве-
увеличения внутренней энтропии определяется выражением
+ Х, \-2-х*--т)\( >°- <34>
Если теперь обратить внимание на то, что для «замороженного» спектра флук-
флуктуации I(k) функционал производства энтропии Oj(X2) играет роль потенциала,
можно прийти к принципу минимума производства энтропии. Из уравнения A7)
следует, что
1 д* \
C5)
*- ~ 2 дХ9 }
Потоки в уравнениях C5) приведены к канонической форме /«=
=— -j- д*/дХ% f и отсюда следует, что в состоянии, соответствующем абсолют-
абсолютному минимуму о(Ха), все макроскопические потоки равны нулю.
375

Уравнения переноса B2) и B3) можно выразить через обобщенные по-
потоки /а .
дТк
— п1
C6)
C7)
В термодинамической теории устойчивости Гленсдорфа и Пригожина [8]
устойчивость транспортных систем исследуется с помощью функционала Ля-
Ляпунова, который удается жайти^ используя положительную определенность
функции 0 — производства энтропии
1 П
C8)
Из уравнений C6) и C7) можно получить теперь скорость изменения P(t) бла-
благодаря возмущениям стационарного состояния
dP
дТ
dP
где
Так как
ражение,
ние C2)
¦5-10"-
функционал P{t) представляет собой лоложительно определенное вы-
выусловием асимптотической- устойчивости служит dP(t)/dt<Q. Уравне-
Уравнегласит, что тепловая неустойчивость может возникнуть только за счет
наличия в системе источников и сто-
стоков. Уравнение C9) дает достаточ-
достаточные условия тепловой устойчивости в
виде параметрической зависимости от
функций S(n, T)—источника частиц
и Р(п, Т) — источника теплоты.
2.3. Экспериментальное исследо-
исследование процессов аномального пере-
переноса. Как показывают общие экспе-
экспериментальные исследования, в спо-
спокойно^ стационарной плазме всегда
имеются осцилляции дрейфового ти-
типа. Осцилляции идентифицируются
как дрейфовые при изучении пара-
100 -
' г . , , 1 , 1
/а-
Г 1 Г X ,
г 6\
Рис. 2.. Результаты эксперименталь-
экспериментального исследования столкновительных:
, дрейфовых волн [11, 12]:
а —профиль плотности плазмы пе(г)\
б — амплитуды волны плотности и волны-
потенциала; в — фазовый сдвиг между
волной потенциала и опережающей ее
- волной плотности. Ф§ ^
376

метрической зависимости частоты
л длины волны от физических
параметров, входящих в линейное
дисперсионное уравнение. С точ-
точки зрения аномального переноса
особый интерес представляют экс-
эксперименты Хендела и др. [П, 12]
по столкновительным дрейфовым
волнам и эксцерименты Брасье и
др. [13, 14] по бесстолкновитель-
ным дрейфовым колебаниям. В
обоих экспериментальных иссле-
исследованиях измеренные фазовые
сдвиги между колебаниями плот-
плотности и потенциала хорошо со-
согласуются со значениями, най-
найденными по квазилинейной теории
для электронов.
Эксперименты - по столкнови-
столкновительным дрейфовым волнам вы-
выполнялись в Q-машинах, в кото-
которых V)e = d In Tefd In Пе^О.
Диссипация электронной дрей-
дрейфовой моды при этом-определяет-
этом-определяется конечной проводимостью а плазмы, и электронной теплопроводностью вдоль
магнитного поля. Диссипация определяется уравнением A9) с точностью до
константы, которая зависит от коэффициентов, входящих в формулы для теп-
тепло- и электропроводности плазмы.
На рис. 2,а показан средний профиль плотности в устойчивом состояний
nOs(r) и при наличии дрейфовых волн TiQw(r\., Амплитуда колебаний плотности
тг потенциала изображена на рис. 2,6, и, наконец, на рис. 2,в показан фазовый
угол 4>5„^, на который волна плотности опережает волну потенциала.
На рис. 3 показан поток частиц Г(/')=/7%=<л^Рл>, вычисленный исходя
из значений амплитуды и фазы, приведенных на рис. 2. Поток частиц Г (г) ока-
оказывается на порядок величины больше, чем столкновительный поток Fe~u также
изображенный на рис. 3. Здесь величины Fe-i,s и Fe-i,'w означают столкнови-
тельные потоки, вычисленные соответственно для профилей плотности Поа(г) и
now(г), изображенных на рис. 2,а. Аномальный поток частиц, показанный на
рис. 3,а, и аномальный коэффициент диффузии D(r), представленный на
рис. 3,6, связаны простым соотношением
Рис. 3. Результаты экспериментального ис-
исследования столкновительных дрейфовых
волн [И, 12]:
a — поперечные потоки частиц Т(г): F^—cbi-
занные с дрейфовой турбулентностью, Fe_i(r)^
связанные с кулоновскими соударениями; б —
коэффициенты аномальной диффузии D(r):' D^ —
за счет взаимодействия с дрейфовой турбулент-
турбулентностью, De_i — за счет столкновительных про-
процессов
В экспериментах [13, 14] по бесстолкновительным. дрейфовым волнам в ста-
стационарной, спокойной водородной плазме удалось установить природу ано-
аномального переноса частиц и теплоты в бесстолкновительном режиме.
В этих экспериментах профиль электронной температуры ТеХг) варьируется
так, что параметр T)e=d hi Те/сИп я* изменяется в диапазоне от 0,2 до 1. Воз-
Возникающие изменения в фазовом сдвиге между колебаниями плотности „и лотен-
377

циала, которые приближенно можно определить с помощью уравнения A8),
приводят к уменьшению инкремента неустойчивости и переноса частиц при
увеличении параметра х\е. Амплитуда волны и фазовый сдвиг, измеренные
в эксперименте, уменьшаются с увеличением т)е, как и предсказывает теория.
Измерения осцилляции плотности и электронной температуры показаны на
рис. 4. Фазовые сдвиги ФЬл> ф и ф5г> Ьпг полученные в этом эксперименте,
изображены на рис. 5. Колебания плотности и электронной температуры опе-
опережают колебания потенциала соответственно на 30 и 50°. Вычисление линей-
линейного электронного отклика с самосогласованным значением со/& ц ve объясняет
эти измерения фазовых сдвигов.
Аномальный поток в этих экспериментах превышает обычный столкнови-
тельный поток на три порядка. Общий массоэнергобаланс эксперимента объяс-
объясняется при учете аномальных теплового потока и потока частиц, рассчитывае-
4ij •/ fltf
°A
(tfi
ofi-
Рис. 4. Результаты, экспериментов [14J
с бесстолкновительными дрейфовыми вол-
волнами. Показаны равновесная плотность
плазмы и амплитуды колебаний плотности,
электронной температуры и потенциала
г, мм
-02 РиС# 5* ФазоЕые сдеиги tybn ф —между ко-
' •¦ ПА ^СЛЛМаГЛЛМ ПГЛТиРЛТН ГХ ПГ.ТООПТЮ ТТО Ti nil
ле баниями плотности и потенциала и
bn ьт
между колебаниями плотности и темпера
туры, полученные в экспериментах с бес-
бесстолкновительными дрейфовыми волнами
[14] (см. также рис. 4)
мых по измеренным амплитудам и фазам дрейфовых осцилляции. Времена
удержания по энергии и частицам хЕу тР определяются по скорости распада
профилей Те и пе после выключения источников плазмы и теплоты. Скорости
распада, наблюдаемые в эксперименте, согласуются со скоростями, вычислен-
вычисленными по аномальным потоку частиц Г и тепловому потоку qe.
2.4. Дрейфовые волны конечной амплитуды в слабонеустойчи-
слабонеустойчивых системах. Для систем, параметры которых находятся не слиш-
слишком далеко за порогом устойчивости, имеется разработанный ал-
алгоритм определения амплитуды насыщения роста неустойчивых
колебаний. В основе этого метода лежит картина перехода к тур-
турбулентности, предложенная Ландау, в которой для случая неболь-
небольшой надпороговости системы учитывается развитие только не-
нескольких взаимодействующих друг с другом мод колебаний. Не-
Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных
378

для полей <p(xf), &fij(xt) и bTj(xt) решаются в этом пределе с по-
помощью разложения по малому параметру А, который соответствует
степени надпороговости системы. Разложив по степеням А1/2 как
поля
так и нелинейные операторы
о =о@)+доB),
ос а * а
можно получить систему уравнений, которая во втором порядке
малости описывает возникновение гармоник и изменение исходной
функции распределения, а в третьем порядке дает нелинейное дис-
дисперсионное соотношение
Условие исчезновения комплексности в нелинейном дисперсионном
соотношении * определяет нелинейную амплитуду осцилляции
]^(i)|2 = ^^) и нелинейный сдвиг частоты колебаний 8(uknl = g(A)>
Такие расчеты были выполнены для ряда проблем, связанных
с развитием дрейфовых волн, и, в частности, легко позволили объ-
объяснить насыщение роста столкновительной дрейфовой неустойчи-
неустойчивости, развитие которой наблюдалось в экспериментах Хендела
и др. [11, 12].
2.5. Предел роста амплитуды столкновительных дрейфовых ко-
колебаний. Критическим параметром, изменения которого приводили
к дестабилизации системы, в экспериментах [11, 12] служило
магнитное поле А=(В—Вс)/Вс. Порог неустойчивости определялся
из условия баланса инкремента
связанного с поперечной инерцией ионов, и декремента
(где |Lxo=0,3), связанного с ионной вязкостью. Градиент электрон-
электронной температуры в экспериментах на Q-машине можно считать
пренебрежимо малым, т^с^О. Для В±> В >ВС раскачка превы-
превышает затухание для единственной азимутальной моды низкого по-
порядка т0, ©о. Гармоника 2пц, 2соо возникает во втором порядке
теории возмущений и, как следует из дисперсионного соотноше-
соотношения, не является собственной модой. За счет нелинейной связи эта
гармоника поглощает энергию основной моды и испытывает сильное
вязкое затухание на 2гщ. Кроме того, как показано на рис. 1,а,
в эксперименте возникает небольшое изменение в профиле плот-
плотности плазмы, но это изменение менее существенно, чем затухание
гармоники 2пц. Подробно эти громоздкие вычисления выполнены
в [15, 16]. В результате получаются довольно простые выражения
для амплитуды ак и частоты ©?' трехмерной дрейфовой моды
Пе/Пе=ак Sin (kxx) Sin (kzZ) COS (kyij—(Oknlt).
379

Как частоты, так и амплитуды, найденные в этих расчетах, хорошо
согласуются со значениями, полученными в эксперименте. Более
простая одномерная теория взаимодействующих мод рассматрива-
рассматривалась ранее Стиксом [17]. В [17] были найдены предельные циклы
для дрейфовых волн вида
nejne=F (kyy-{-kzz—<ot).
Амплитуды насыщения, найденные в [17], оказались, однако, чрез-
чрезвычайно большими и в отличие от трехмерных расчетов не согла-
согласуются с экспериментом,
2.6. Дрейфовые салитоньг. Существует ряд простых бездиссипативных моде-
моделей как для локализованных дрейфовых солитонов, так и для когерентных, пе-
периодических дрейфовых волн большой амплитуды. Явления переноса отсут-
отсутствуют в этих моделях, так как они учитывают лишь адиабатический электрон-
электронный отклик
ne=Noexp (eq>/Te).
Как показано в [18], одномерные уравнения для дрейфовых волн содержат член
цеЦ>д(р/ду типа члена, ответственного за укручение фронта волны и гидродина-
гидродинамике. При учете конечной инерции ионов дрейфовая волна приобретает дис-
дисперсию
что позволяет построить для нее, как это было сделано В. Н. Ораевским и др.
[19], решение в форме солитона. Одномерный дрейфовый солитон, найденный
В. И. Петвиашвили [20], может быть представлен выражением
—>]•
где А — действительная константа, связанная с азимутальной скоростью и:
A2=(u2—uvde—k2cis)/u2 и f(ri) = l/ch2(ri).
Дрейфовый солитон D0) является решением модельных уравнений
<?Ф <?Ф дФ dv»
0 - eVx) -ог+чг-лг- W* Tjr + -&Г e 0;
ot s dz *
В. И. Петвиашвили показал, что одномерный дрейфовый солитон неустой-
неустойчив относительно распада на возмущения с конечными kx. Двумерные солитоны
и их взаимодействие друг с другом позднее исследовались в [21, 22].
2.7. Квазилинейный предел величины аномального потока. Ано-
Аномальный поток определяется видом функции распределения час-
частиц плазмы и спектром флуктуации. Для достаточно низкого уров-
уровня дрейфовой турбулентности столкновения (даже если их частота
мала по сравнению с дрейфовой) оказываются способны поддер-
поддерживать в плазме локальное распределение Максвелла — Больцма-
на по скоростям. Критическую частоту столкновений ve=v*, выше
которой их влияние на распределение частиц по скоростям стано-
380

вится доминирующим, можно оценить, сравнивая аномальную»
диффузию по параллельным скоростям за счет дрейфовых флук-
флуктуации
„ „ vVii
k
q диффузией за счет столкновения \е-= 2fKfiee*Z9(i>lnAjm2evie. Пр*с
анализе диффузии по v{] следует помнить, что резонансные элек^
троны, которые определяют развитие неустойчивости, имеют v±<^
<^ve = BTelmeI12 и \v\^<vc = max.((oklkl{)<ye. Рассеяние резонан-
резонансных электронов по питч-углам из этого сектора в пространстве
скоростей идет со скоростью ^=Ve(ve/vcJ.
Как впервые показано А. А. Галеевым и Л. И. Рудаковым [23],,
при квазилинейном анализе дрейфовой турбулентности критиче-
критическая частота столкновений v*, определяющаяся конкуренцией ква-
квазилинейной диффузии и столкновительного восстановления распре-
распределения Максвелла — Больцмана, дается соотношением
где W/nTe — относительный уровень турбулентности, определяю-
определяющийся уравнением B1), a vc—максимальная параллельная ско-
скорость.
В режиме ve>v* инкремент неустойчивости и явления переноса
определяются исходя из локального распределения Максвелла —
Больцмана, как это делалось нами выше в пп. 2.1 и 2.2. В случае
более слабых столкновений ve<v* под влиянием дрейфовой турбу-
турбулентности происходит изменение электронной .функции распреде-
распределения fe(x, v±, v{l, t). В работах А. А. Галеева и Л. И. Рудакова
[23], Р. 3. Сагдеева и А. А. Галеева [24] получено уравнение, опи-
описывающее изменение исходной функции распределения частиц сор-
сорта / под действием флуктуации,
д V
i?kl
где —Jt—=2Т^I^^l2 и h = h{kAv±/<*>Cj)' Дисперсионное уравне-
уравнение в интервале резонансных скоростей
cs
позволяет найти выражение для инкремента в неустойчивой частит
спектра флуктуации
*»
те | к„ К {^ J
38 h

тде
Fe (x, vrt) = JrfvS\vl{ - <*>klkl{)fe(x, v±9 v{[, 0. D5)
Здесь сок = ш^Г0/[1+хA-Гв)Ь где Г# = <Л> = /§F)ехр(-&);
l
Следует заметить, что квазилинейные уравнения D3) — D5)
могут применяться лишь в случае достаточно широкого спектра
флуктуации, когда ширина интервала параллельных фазовых ско-
скоростей A («k/A,,)* vc велика по сравнению со средней скоростью
захваченных частиц vtT=ve(W/nTeI/4. Это условие удовлетворяет-
удовлетворяется, если W/nTe<g:(vc/ve)\
Значение максимальной параллельной фазовой скорости в спек-
спектре флуктуации зависит от конкретных особенностей системы.
В бесконечной плоской геометрии, в случае когда отсутствует шир
магнитного поля,
$ для
c^ve/2 для $<
Если, напротив, магнитное поле в системе обладает широм, то, как
показано в [25],
vc=cs(Lg/rn)l/2 для fi<rn/L8;
Для системы без шира, но с конечной длиной Lq
vc = max (©k) Lo = cs (LJrn) < ve.
С ростом уровня турбулентности происходит диффузия элек-
электронов, причем по параллельным скоростям она идет более быст-
быстро, чем в пространстве. В результате функция распределения эво-
эволюционирует к состоянию с «плато»:
Для ®к = ®^ и dTe[dx=0 распределение f*\ соответствующее
границе устойчивости, совпадает с распределением Максвелла —
Больцмана F*^(v). Для <»к <<*>*<? функция распределения, удовлет-
удовлетворяющая D6), имеет более крутую зависимость от v^, что свя-
связано с уменьшением параллельной кинетической энергии электро-
электронов при излучении волн. Этот интересный эффект «охлаждения»
электронного распределения по v [{ отчетливо наблюдался в чис-
численных экспериментах [26].
Отклонение распределения по продольным скоростям от макс-
велловской функции F^{v^) быстро растет с увеличением
382

у рассматриваемых колебаний. Анализ нелинейной трансформации
спектра колебаний, к которому мы обратимся ниже в § 3, показы-
показывает, что энергия, заключенная в коротковолновом участке спектра
k1pi — (m$lme)l/2 > 1, эффективно перекачивается в длинноволно-
длинноволновую область & р; <^1. Здесь соответственао мы ограничимся рас-
рассмотрением спектров |9Ь|2, имеющих максимум на таких k., что
k±pi < 1. Для подобных спектров квазилинейное плато D6) имеет-
вид:
Щ\ "
2пТе ) У- 2Те We
X
ДЛЯ |О„ |<DC И /f =^(О) ДЛЯ |0„ |>Ое.
В процессе квазилинейной эволюции по параллельным скоро-
скоростям от /"ме к fepl высвобождается кинетическая энергия
где nr=ne(vc/v€) —плотность резонансных электронов с параллель-
параллельной кинетической энергией — mev2c. В состоянии с плато плот-
плотность энергии турбулентных колебаний составляет
Процесс диффузии к состоянию с плато идет с сохранением вели-
величины ?=#—ку Р2н/2а>се<0_, что, как показано в [23], ограничивает
смещение резонансного электрона величиной
D9>
В той степени, в какой система достигает состояния с плато, в бес-
столкновительной плазме прекращается и процесс аномальной.
диффузии.
Теперь, очевидно, необходимо учесть, что столкновения разру-
разрушающе действуют на процесс образования плато. Так как резо-
резонансные электроны лежат в ограниченном секторе пространства
скоростей| vи | <vc и v^^Ve* столкновения преимущественно ведут
к питч-угловому рассеянию электронов. Этот процесс можно опи-
описать, используя лоренцевский столкновительный оператор
Cfe=Ve(v)dk(l—X2)dbfe, E0>
где X = v^vz= cose, ve(v) = vev(v/ve)
— частота столкновений с учетом зависимости от энергии. Введем*
38а

величину. /е — квазилинейный поток-в фазовом пространстве:
Квазилинейный или турбулентный столкновительный вператор
я флуктуации, имеющих спектр с ? рг^1, может быть пред-
представлен в форме
S- ' E2)
л полное кинетическое уравнение имеет вид:
^b E3)
В операторе E2) расходимость по v.. оказывается в (vefvcJ раз
.важнее расходимости по х> так что функция fe быстро эволюцио-
лирует к состоянию, в котором осуществляется баланс
-^-=-ve(v)dx(l -X')dtfe^ -v\(v) ^ [fe-F*(v)]. E4)
Радиальная диффузия определяется оставшимися малыми члена-
членами в кинетическом уравнении E3). Вычисляя моменты функции
распределения, вновь придем к уравнениям переноса B2) и B3).
Макроскопические потоки Ге и Qe, входящие в эти уравнения, мож-
можно выразить через Je:
f); - E5)
«(f.)
<*ceVde
i(W- E6)
Темп передачи энерии от электронов к дрейфовым колебаниям,
как показано в [25], в этих обозначениях может быть представлен
в виде
^M- ' ' E7)
Относительная роль обоцх механизмов в определении окончатель-
окончательного вида функции fe в уравнении E4) соответствует отношению
л?* к ve. Для v^>^* распределение fe оказывается почти максвел-
ловским с поправками порядка v*/ve. Для v*>ve искомое распре-
распределение можно представить в виде суммы
f —4l A)
Те— 1
где . .
Ш = 1С = - *Ч (v) ?- [ff -F?(p)]. [ E8)
-384

В работе [27] уравнение E8) проинтегрировано по v±. Ис-
Используя уравнение D6), можно затем показать
Учитывая теперь соотношения D4), D5), вновь обращаясь к урав-
уравнению E8), можно найти связь между инкрементами Y-(/e) и
у~ (^M) = Yk- ^ точностью до множителей порядка единицы это со"
отношение имеет вид:
Y k '
Хотя с помощью уравнения E8) нельзя по отдельности определить
величины /^!) и | <f. |2> можно найти значение их комбинации ]е, что
достаточно для вычисления аномальных потоков. В первом порядке
разложения из уравнений D7) и E8) получаем выражение для УA).
Если |0И \<vc,
№ Ш fo (f4)] <59>
Во всем остальном фазовом пространстве /е=0.
Используя уравнения E5) — E7) и найденное выше выражение
E9) для потока j(l) , рассчитаем величины аномальных потоков
С(\РJ-С,,е]; F0)
(б2)
где qe=Qe ~ ТеГе — тепловой электронный поток и
Для Z^^>\ частота столкновений обратно пропорциональна кубу
скорости v(u)^lju3 и интегралы Сп легко можно рассчитать:
С0=С1=1, С2=2/3.
На границе области сильных столкновений ve=v* формулы
F0) — F2) плавно сшиваются с соответствующими выражениями,
полученными в пп. 2.1 и 2.2 для ve>v*. Выражение для аномаль-
аномального потока Те при Ve=Vi,f например, приобретает вид:
Те ~ riecs (W/nTe) (k~9) Ьг , где 8_^ (vjve) [(^рJ - т\е\.
25—3283 385

Выразим аномальные потоки через эффективные коэффициенты
переноса
Ге=-Д^-; fc=_X.^-; We=V^Ta, F4)
где
D = D«\Cjk±?T-C^e\- F5)
X^nfi^C.-CAkjfhel F6)
a Do определяется выражением
Интегралы Со и С2 положительно определены, знак Ci произволен.
В случае, когда градиенты плотности и температуры направле-
направлены противоположно (т]е<0), частицы движутся против градиента
плотности, а поток тепловой энергии направлен против градиента
температуры. Суммарный поток энергии Qe — -у^Л-^ за счет
компенсирующих друг друга вкладов при этом почти полностью
исчезает [10].
Рис. 6. Коэффициент аномальной диффу-
диффузии в бесстолкновительной плазме с дрей-
дрейфовой турбулентностью в зависимости от
частоты столкновений. Если ve<v*, квази-
квазилинейная релаксация электронной функции
распределения ограничивает значение ано-
аномального потока
Турбулентная диффузия, таким образом, характеризуется дву-
двумя режимами. В случае ve<v* аномальный поток ограничен зна-
значением, определяющимся эффективностью столкновительного раз-
разрушения плато.
Расстояние Ьху на которое резонансный электрон диффундиру-
диффундирует между столкновениями, определяется соотношением D9). Резо-
Резонансные электроны, имеющие плотность nr—ne(vc/ve), рассеивают-
рассеиваются столкновениями со скоростью ve(VelvcJ. Темп диффузии в этом
режиме, как показано в [27], следовательно, составляет:
I±Y(bxJ = ver2
В случае ve>v* столкновения поддерживают у электронной функ-
функции распределения максвелловский наклон в резонансной области.
Здесь диффузия резонансных электронов осуществляется при их
386

движении с турбулентной скоростью <v2E> с корреляционным
временем у^/002-» так что коэффициент диффузии имеет вид:
пе) <V e>*c- гп(еВ) ve Wf >
где Wf — максимальная плотность энергии турбулентных флуктуа-
флуктуации, которую мы оценим в следующем разделе, рассматривая не-
нелинейное насыщение неустойчивости:
Wf=neTe(p/rnJ.
На рис. 6 показаны оба режима диффузии. Для нелинейного на-
насыщения в режиме сильной дрейфовой турбулентности, где W=
=zWf—nTe{p/rnJ, общее выражение для аномального коэффициен-
коэффициента диффузии имеет вид:
Напомним, что ряд значений, которые принимает пара'метр vc/ve
в зависимости от давления плазмы i|3 и шира магнитного поля
S=rn/LSi был приведен нами выше [после уравнения D5)].
3. СПЕКТРЫ ДРЕЙФОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Скорость, с которой осуществляется процесс аномального пере-
переноса, непосредственно зависит от амплитуды и спектрального рас-
распределения флуктуации электрического потенциала /(коз). Фор-
Формирование спектра флуктуации в плазме определяется целым ря-
рядом сложных процессов, и, за исключением некоторых особых слу-
случаев, точный вид его найти не удается. Ряд свойств флуктуации,
однако, удается понять, обращаясь к исследованию общей дина-
динамики спектра. Рассмотрим здесь физические процессы, ответствен-
ответственные за формирование спектра потенциальных флуктуации элек-
электрического поля. Если параметры системы оказываются лежащими
за порогом устойчивости, то с помощью дисперсионного уравне-
уравнения для дрейфовых колебаний можно найти инкремент возникаю-
возникающей неустойчивости y(ky> &,, &„), отличный от нуля в широком
диапазоне волновых чисел.
Скорость квазилинейной декорреляции для электронных взаимо-
взаимодействий составляет Дб^, а для ионных Д<»к, где Дк и Д«>к соот-
соответствуют ширинам неустойчивого спектра по волновым числам и
частотам. Корреляционные времена обычно таковы, что Ak.Vg^
. Для конфигураций, макроскопические градиенты в ко-
которых малы на расстояниях порядка ионного гирорадиуса, плот-
плотность энергии, связанная с диамагнитными токами, которая ответ-
25* 387

ственна за развитие дрейфовой неустойчивости, доставляет всего
малую долю плотности тепловой энергии
Как показал Фаулер [28], максимальная энергия Wf, доступ-
доступная в качестве источника для возбуждения низкочастотных кол-
коллективных флуктуации с плотностью энергии W, ограничена тер-
термодинамической свободной энергией системы
W/nTe^Wf/nTe^(Ax/rnJ [или (Ах/гтJ для гт<гп].
Здесь <Ax2>^<&2x>~1 — средний пространственный масштаб
флуктуации.
Рис. 7. Неустойчивые области (заштри-
(заштрихованы) в пространстве волновых чи-
чисел. Диаграмма иллюстрирует нелиней-
нелинейную взаимосвязь неустойчивых обла-
областей с областями затухания дрейфовых
колебаний [33]:
/ — область неустойчивости; // — затухание
на ионах; /// — затухание на электронах
Общим методом исследования нелинейных дрейфовых волн
должна, таким образом, стать статистическая теория плазменной
турбулентности, которая учитывает наличие в системе большого
количества флуктуации, слабо взаимодействующих друг с другом.
Общая теория турбулентности состоит в разложении нелинейных
уравнений по степеням W/nT. Обрезанное разложение, соответст-
соответствующее приближению слабой турбулентности, становится непри-
неприменимым в состоянии, когда дрейфовая турбулентность достигает
уровня, при котором темп нелинейной декорреляции < (к-УяJ>1/2
за счет ЕхВ перемешивающего движения плазмы сравним со ско-
скоростью квазилинейной декорреляции.
Если турбулентность достигает уровня, соответствующего упо-
упомянутому выше пределу по свободной энергии системы W^Wf,
случайный доплеровский сдвиг за счет ЕхВ движений оказывает-
оказывается сравним с со**. В результате для полностью развитой дрейфовой
турбулентности при вычислении пропагаторов необходимо выбо-
выборочно суммировать секулярные вклады высоких порядков. Подоб-
Подобные перенормированные теории дрейфовой турбулентности рассма-
рассматривались в [2, 29—32]. В перенормированных пропагаторах учи-
учитывается декорреляция бесстолкновительного резонанса co^k-v за
счет стохастических ЕхВ дрейфов, возникающих в турбулентном
коллективном электрическом поле.
388

3.1. Качественная картина дрейфовой турбулентности. Перед
тем, как перейти к систематической нелинейной теории дрейфовой
неустойчивости, рассмотрим работу В. Н. Ораевского и Р. 3. Саг-
деева [33], которая посвящена качественному анализу картины
дрейфовой турбулентности и аномального переноса, впервые ис-
исследованных на основе приближения слабой турбулентности.
Как показано на рис. 7, линейно неустойчивая зона в ^-про-
^-пространстве оказывается ограничена областью /. В зоне больших
kx]rn (область // на рис. 7) становится существенно сильным бес-
столкновительное затухание на ионах. В зоне малых k^rn (об-
(область ///) основную роль приобретает бесстолкновительное зату-
затухание на электронах. Если амплитуда дрейфовых колебаний пре-
превышает некоторое критическое значение, возникает сильная нели-
нелинейная перекачка из активных областей ^-пространства в области,
где происходит затухание колебаний. Эта перекачка балансирует
энергию 2у. W* , подводимую в дрейфовые колебания при разви-
развитии неустойчивости.
Основной подвод энергии происходит при &±р, ^ 1 и с,<
<oyklki\ ОА» где
Инкремент неустойчивости у. оказывается пропорционален квад-
квадрату градиента плотности и достигает максимума 4k^csfrn ПРИ
Л„гя ^— Ф/2I/2 и k±pi'^(m^/me)l/2. Нетрудно получить элемен-
элементарную оценку критической амплитуды, при которой линейный
рост у. балансируется в уравнении для ионов нелинейным взаимо-
взаимодействием мод
Это выполняется, если ср(?) становится порядка
где E±(k) = -ik±<f(k).
Из выражения для фазового сдвига Ье{к)^ча*е1к^ье—^(^р)Х
X (me/w$I/2, приближенного спектра G0) и формулы A7) для
аномального потока, учитывая, что в интегралах по спектру зави-
зависимость от k^ сокращается, нетрудно найти окончательную оценку
коэффициента диффузии
°- гп[еВ) (mfie) [П)
389

для $е>гпе[т{ и простоD = (-?-) (~ж I Для ^<те/тг. Более точ-
\ гп / \ eD I
ные оценки спектра и диффузии, выполненные в п. 3.4, показыва-
показывают, что формула G1) переоценивает коэффициент диффузии на
множитель (тф/теI/2.
3.2. Теория дрейфовой турбулентности. Строгое количественное
исследование нелинейной динамики дрейфовых волн необходимо
начать с разложения уравнения Власова в ряд по малой амплиту-
амплитуде электрического поля и вычисления нелинейной плотности за-
заряда. Эта процедура, подробно рассмотренная в [24], позволяет
найти нелинейное уравнение для амплитуды
У
S
-=0- G2)
где обозначение k заменяет для сокращения записи ко. Пренебре-
Пренебрежем анизотропией исходной функции распределения частиц
fj{e, X) в пространстве скоростей; f, является функцией перемен-
переменных e = — v\ X=x-\-wyfQ.
Линейная и нелинейная диэлектрические проницаемости пред-
представляются соответственно в виде
1 д* (dcj dx j
Г " п (kJJLL
B)
1/(??Гх) irfvx
G3)
х-
<о — knvn +iv
x
>c/
X
сое;- dx
to

<oc;- dx
' — ft'и о Ц +iv
G4)
X
w de (aCj dx
ta' — k' ,d, +iv
G5)
390

В бесстолкновительном слаботурбулентном режиме слагаемое
iv, входящее в пропагатор, представляет собой положительную
бесконечно малую величину, соответствующую предположению
о медленном включении взаимодействия при /=—оо. Учет iv га-
гарантирует соблюдение принципа причинности и аналитичность
функций диэлектрического отклика. Когда турбулентность дости-
достигает такого уровня, что <(kvEJ>^ а>2к,существенной становится
нелинейная декорреляция черенковского резонанса. В пропагаторе
при этом необходимо учесть немарковский турбулентный столкно-
вительный оператор iv—bivko)> который возникает при перенорми-
перенормировке теории турбулентности. Выражение для ivk найдено 'в [2]
выборочным суммированием секулярных вкладов высокого поряд-
порядка при вычислении пропагатора для свободных частиц
В области, где значения kco малы по сравнению с максималь-
максимальными значениями ~kw, в спектре флуктуации турбулентный столкно"
вительный оператор iv. сводится к k-2)(v)-k, где 25 (р) —марковский
турбулентный коэффициент диффузии:
вычисленный Дюпри [31]. В работе [29] оператор турбулентного
уширения вводится в другой форме iv. —*т] (v ) (см. п. 3.4).
К со Ко) II
В работе [29] указывается, что перенормировка пропагатора за-
заметным образом не изменяет значения скорости нелинейной пере-
перекачки в уравнениях, описывающих взаимодействие мод. Роль пе-
перенормировки скорее заключается в том, чтобы учесть конечность
времени корреляции l/vk (v), которое ограничивает длительность
нахождения частицы, имеющей скорость v, в резонансе с флуктуа-
флуктуацией kco. Укорочение времени взаимодействия при увеличении ам-
амплитуды поля, даже если плотность энергии турбулентности W
еще весьма мала по сравнению с тепловой, оказывается важным
нелинейным эффектом в бесстолкновительной дрейфовой турбу-
турбулентности.
Как мы обсуждали выше, в теориях дрейфовой турбулентности
предполагается, что нелинейное взаимодействие обеспечивает до-
достаточное перемешивание мод, так что для полей <Рь возможно
применить статистическое описание. Степень случайности полей
считается достаточно высокой, так что корреляциями четвертого и
более высокого порядков можно пренебречь. Корреляции третьего
391

порядка <<?*! <Р*а ?*з > вычисляются по теории возмущений. Урав-
Уравнение для спектрального распределения Ik— двухточечной корре-
корреляционной функции потенциальных флуктуации — можно найти,
переходя к статистическому описанию в уравнении G2) для нели-
нелинейного взаимодействия мод
V4 2 I e<2> I2
?*;
G8)
Это уравнение хорошо известно и получено, например, в работах
Б. Б. Кадомцева [30] и Р. 3. Сагдеева, А. А. Галеева [24]. Обсу-
Обсудим теперь основные результаты, которые следуют для дрейфовой
турбулентности из уравнений G2) — G8). Поскольку не существует
общего решения этой нелинейной системы, мы приведем здесь
лишь результаты, соответствующие различным предельным слу-
случаям.
Рассмотрим сначала две общие предельные формы уравнения
G8). В теории слабой турбулентности, в низшем порядке разло-
разложения по малой амплитуде, уравнение G8) имеет решение
где зависимость /(к, /) от времени описывает медленное изменение
амплитуды за счет нелинейного взаимодействия. Уравнение G8)
сводится при этом к уравнению баланса для спектра в к-простран-
стве. Мнимая часть уравнения G8), позволяющая определить
dl(ky t)/dt, включает в себя вклады от двух основных физических
процессов: трехволнового распадного взаимодействия (А. А. Гале-
ев и Р. 3. Сагдеев. Взаимодействие волна — волна в т. 1) и нели-
нелинейного бесстолкновительного затухания (см. т. 1, ту же статью).
Существует еще один подход к уравнению G8), впервые рас-
рассматривавшийся в [29, 30]. Вернемся к проблеме обрезания кор-
корреляций высокого порядка, которое мы провели, переходя от урав-
уравнения G2) к уравнению G8). С этой точки зрения можно считать,
что уравнение G8) содержит главные члены разложения системы
уравнений для г**1 и h в ряд по малому параметру W/nT. Здесь
Sknl — перенормированный пропагатор для флуктуации, Ik— спек-
спектральное распределение. Б. Б. Кадомцев [30] указал, что такой
подход эквивалентен приближению прямого взаимодействия, пред-
предложенному Крейчнаном [34] для гидродинамической турбулентно-
турбулентности. Ниже, в п. 3.3, рассматривая жидкостный предел уравнений
дрейфовой турбулентности, мы убедимся к плодотворности такого
подхода.
Следуя работам [30, 35], запишем таким образом систему
уравнений для спектрального распределения Ik и перенормирован-
392

ной функции отклика e&nZ:
nl г 2
Sr4eB) eB) П
/ *''*-*; -*»* - 2е о) . (80)
ы \ k~k' A
к' *- -*
В случае турбулентности Навье — Стокса, когда е^2 къ =0, второе
уравнение обычно записывается в виде
— 4E?i^b b,Rb y,h,^\, ъЛ Ru=l. ' (8П
*' J
Здесь Rk=l/eknl. Легко видеть, что уравнение G8) представляет
собой просто первую итерацию уравнения (80), при которой при-
приближенно считается, что в интеграле взаимодействия Rk,,^\hkf
3.3. Гидродинамический предел описания дрейфовой турбулент-
турбулентности. Ряд частных результатов по динамике нелинейного перено-
переноса и форму турбулентных спектров можно получить, рассматривая
дрейфовые колебания в гидродинамическом пределе. *
К гидродинамическому приближению для дрейфовой турбулент-
турбулентности легко можно перейти, рассматривая полученную из уравне-
уравнения Власова функцию нелинейного отклика в пределе k , р; «С 1
kftVi^v^k^Vg. В то же время в качестве исходной может быть
взята система гидродинамических уравнений, полученная в дрей-
дрейфовом приближении, как это сделано в [15, 16]. Гидродинамиче-
Гидродинамическая формулировка проблемы особенно уместна в случае,^когда
столкновения становятся настолько сильны, что для вычисления
потоков вдоль магнитного поля можно использовать уравнения
столкновительного переноса, например, tij^z=E^ +Viift/^e Для
потока продольного импульса электронов. Гидродинамическое при-
приближение оказывается полезным для описания нелинейного взаи-
взаимодействия и в бесстолкновительном случае. При этом электрон-
электронные резонансы, которые определяют фазовый сдвиг и инкремент не-
неустойчивости должны вычисляться по-прежнему с помощью кине-
кинетической теории. Переходя к гидродинамическому пределу, несколь-
несколько переобозначим нелинейные диэлектрические проницаемости
G3) —G5): k2K2DeEknl—>Vknl. Поскольку в рассматриваемом длин-
длинноволновом случае k2X2<^lt когда заведомо выполнено условие ква-
квазинейтральности, зависимость от дебаевского радиуса удобно ис-
исключить.
Диэлектрические функции G3), G4) в гидродинамическом
приближении приобретают с учетом этого следующий вид:
- ?) ¦ <82>
B) i cTe k'Xk"-z (Г <*>*(k") <о„,(?'
k',k" ~ еВ со' + (о" ^1 <о" со'
393

Т Г?ц?"и k b\\kr\\ к'Л to -(k\ т
~ ОТ/ ^ СОО)" "Г ^2 — COO)" fj0A2 Js— ю" m. A
ОТ/ ^ СОО)
[k2 k brf h" 2 1 CO • (&^ I~?2 h br h'2
CO2 "" COCO" * CO Jc ' CO' [ CO2 "Г" COCO' «" CO'2
CO'2 Jc
Индексы Л, В, С в уравнении (83) соответствуют различным ти-
типам нелинейностей в гидродинамических уравнениях. В дрейфо-
дрейфовых флуктуациях гидродинамической является только ионная ди-
динамика. Нелинейный член, обозначенный Л, связан с нелинейным
поляризационным дрейфом и ЕХВ конвективной нелинейностью.
Член, обозначенный В, возникает из-за ЕхВ конвекции продоль-
продольной ионной скорости, а член С обязан своим происхождением ЕхВ
конвекции ионного давления. Первый член Л, пропорциональный
(¦(о//*/со//—g/*/g/), обычно оказывается основным для электронных
дрейфовых волн, возбуждаемых за счет х\е и (Ь±р{J. Этот член
возникает благодаря ЕхВ конвективной нелинейности
и из-за нелинейности поляризационного дрейфа
где в обоих членах вклады с k2. связаны с поляризационным дрей-
дрейфом. Эти вклады сокращаются при вычислении члена Л. Диэлек-
Диэлектрическую функцию еC)(&ь &2, &з) легко можно найти в пределе
fe^-Cl, AjjUf/axg; 1 уравнения G5).
Простейшую модель дрейфовой турбулентности можно постро-
построить, учитывая в гидродинамических уравнениях только нелинейно-
нелинейности, связанные с ЕХВ и поляризационным дрейфами. В этой мо-
модели существует поучительная аналогия между дрейфовыми вол-
волнами и двумерной гидродинамической турбулентностью. Упростим
уравнения (82) и (83) в пределе, когда можно опустить члены
i8%, kz н^Уш2, со*рг/со, и вернемся к уравнению G2), преобразо-
преобразованному из со-пространства в /-пространство. В результате возни-
возникает квадратичное уравнение для взаимодействия мод
=7! V + ш k,
где со^ = со^/A -\-кг, р2). Авторы работы [36], в которой получено
уравнение (84), исходили из уравнений ионной гидродинамики без
давления и использовали упрощающее предположение об адиаба-
тичности электронного отклика. Взаимодействие мод, описываемое
(84), быстро увеличивается с ростом k± p и исчезает, если векторы
A'j и к" не направлены в различных направлениях. Двумерные
уравнения Навье — Стокса для функции тока if, где vx=—
394

/, совпадают с уравнением (84) с тем отличием, что
icofe—*vk2± и член k2±p2 предполагается большим единицы. По*
следнее выполняется, кстати, и для рассматриваемых в п. 3.6 кон-
конвективных ячеек [уравнение A05)]. Более того, как показал Ха-
сегава [37], это соответствие становится еще ближе для уравне-
уравнений, описывающих двумерные потоки в атмосфере вращающейся
планеты. В аналоге уравнения (84) кориолисова сила играет роль
магнитного поля, дрейфовая частота заменяется
где / — переменный в пространстве коэффициент в силе Кориолиса
и z — направление оси вращения. Двумерная скорость v — это ско-
скорость атмосферных движений в горизонтальной плоскости, кото-
которая описывается обычным уравнением движения
где h — перемещение поверхности атмосферы в вертикальном на-
направлении и g — ускорение силы тяжести. Масштаб дисперсии
здесь определяется радиусом Россби pg= (g#oI/2//- Существует
ряд экспериментальных и теоретических исследований волн Россби
(например, [38]), в которых исследуются их амплитуды и спек-
спектральное распределение энергии. В отличие от плазменных задач
для волн Россби уравнение (84) остается справедливым и при
k2±p2?»l, если диссипацией можно пренебречь вплоть до масшта-
масштабов вязкого затухания 2п/ k..
Нелинейная связь мод в уравнении (84) является консерватив-
консервативной и имеет форму, известную в теории критических флуктуации,
где это уравнение записывается в х-, у-пространстве с помощью
скобок Пуассона. Нелинейная взаимосвязь имеет в уравнении (84)
форму [<р, v2_l<pL где [/, ?]=VfXVg-z. В таком представлении
ясно, что
J dx<? [cp, v2±cp] = J dx (V2^) fo, V2±?] = 0,
и, следовательно, нормализованная плотность энергии [(см. урав-
уравнение B1)]
и потенциальная энстрофия
являются в нелинейной теории сохраняющимися величинами.
Если в системе присутствует большое количество взаимодей-
взаимодействующих мод, в фазовом пространстве ук (t) возникает сильное
См. сноску на с. 228.
395

перемешивание. В работе [39] эта гипотеза была проверена для
двумерной невязкой начальной задачи. Численное интегрирование
уравнения для <pk (t) в примере с обрезанным изотропным спектром
по k^ с 1<?,р <15 дало результаты, согласующиеся с равно-
равновесной статистической теорией, которая требует, чтобы наблюдае-
наблюдаемый спектр являлся в фазовом пространстве наиболее вероятным
распределением, сохраняющим интегралы движения. Для большо-
большого числа взаимодействующих мод наиболее вероятное распределе-
распределение в фазовом пространстве из удовлетворяющих условию сохра-
сохранения энергии W и энстрофии U — это распределение типа больц-
мановского '—'ехр (—aW—$U)y где
IT = 4-?A + *2±)Ы2 и U =
k
Таким образом, распределение |<р&| в статистическом равнове-
равновесии для невязкой системы с обрезанным спектром имеет вид:
|2>
± ±
с константами а и §, определяющимися значениями W и U [39].
Распределение (85) расходится при &Макс—*°°
1п(&) и и<ъ —/г2макс
и неприменимо для описания физически наблюдаемых неравновес-
неравновесных спектров.
Форма турбулентных спектров, наблюдаемых в экспериментах,
более близка к
Wk^k~A или <|<рл|\>« l/k\ для k±9>L
Такое распределение можно понять [40] как максимально широ-
широкий спектр, совместимый с логарифмической сходимостью энстро-
энстрофии в пределе &Макс—*оо. Эта же форма спектра I/k]_ найдена
простым способом в [37], где рассмотрены распады, описываемые
уравнением (84).
Во время распадного процесса мода с промежуточным волно-
волновым числом k2(k\<}k2<kz) распадается, отдавая моде kx долю
энергии, равную (k2z—&22)/(&2з—&20, и оставшуюся долю
(k22—k2i)/(k2z—k2i) передавая моде k^. Моделирование этого рас-
распадного процесса методом Монте-Карло показывает, что спектр
становится анизотропным в длинноволновой области k2^ p2<Cl, где
при малых k, энергия преимущественно идет в ky<^kx. Эта ани-
анизотропия согласуется с сохранением плотности действия в длин-
длинноволновой области.
Возникновение анизотропии у спектров в ^-пространстве под-
подтверждается экспериментальными наблюдениями волн Россби и
их численным моделированием [38]. Оказывается, что основная
часть энергии волн Россби заключена в наиболее длинноволновых
колебаниях, возможных в данной системе, причем преимуществен-
396

но в модах с конечным kx и ky^0. Такое распределение энергии
ведет к возникновению крупных зональных потоков, направленных
вдоль оси у и периодически изменяющихся вдоль оси х. Развитие
таких потоков подтверждается и гидродинамическим моделирова-
моделированием.
При выводе модельных уравнений, описывающих взаимодейст-
взаимодействие мод, становится заметно, что сущр\,вует ряд важных момен-
моментов, отличающих проблему дрейфов' \ турбулентности от атмо-
атмосферных и гидродинамических задач. Существенное отличие свя-
связано с тем, что для дрейфовых волн за счет их резонансного об-
обмена энергией с частицами диссипация существенна в широкой
области ксо-пространства. Наиболее важным является резонансное
взаимодействие колебаний с электронами^* которое ведет к воз-
возбуждению неустойчивости и фазо юму сдвигу между осцилляциями
п и <р, определяющему скорость аномального переноса. Впервые
модельные уравнения для нелинейного взаимодействия дрейфовых
мод, основанные на ионной гидродинамике с учетом диссипативно-
го фазового сдвига, были получены Хортоном [3, 4]. В длинновол-
длинноволновой части спектра (?^рJ<М^) ПРИ наличии фазового сдвига
нелинейность, связанная с ЕХВ дрейфом, играет в уравнении (84)
более важную роль, чем нелинейность за счет конечной инерции
ионов.
Нелинейное взаимодействие определяется теперь фактором
[п, 9] ~ik'Xk"-zF?/, — 8*/)?k'^k" и по-прежнему идет с сохране-
сохранением энергии колебаний W = — \ [?2 + (v_l?)s]^x. Энергия колеба-
колебаний за счет нелинейного взаимодействия может передаваться из
областей неустойчивости yk/a>k^^€k>0 в области, где доминирует
бесстолкновительное затухание. Как показал Хортон [3, 4], иссле-
исследовавший динамику спектра флуктуации dl(kt)jdt, форма спектра
определяется из условия баланса подвода энергии к колебаниям
%W и ее нелинейной перекачки в область поглощения
(86)
Здесь предполагается, что 8e(k^)> 0 и &2^р2<1. Спектр (86) воз-
возникает, как указывалось выше, при перекачке энергии из области
коротковолновых колебаний в область длинноволновых, где она при
ro^^fe vt ^vJL поглощается за счет ионного затухания Ландау
(L — эффективная продольная длина системы). Если (&±рJ <С U?> по-
поглощение энергии колебаний связано уже с затуханием Ландау на
электронах.
Передача энергии в длинноволновую часть спектра приводит
к сдвигу спектрального максимума. Из положения, соответствую-
соответствующего наиболее быстрому росту амплитуды колебаний [максимум
?(&], он согласно (86) перемещается в точку максимума отно-
397

шения 6e(k)Jky. Более детальный анализ этой модели показывает,
что спектральный максимум должен находиться около длинновол-
длинноволновой границы устойчивости Im e, (со ) ^0. Перенормированная
теория турбулентности, которая использовалась при получении
спектра (86), предсказывает уширение спектральных линий на ча-
частоте со. за счет
\> (kyp) I {kyp) ,
(87)
где при выводе (86), (87) предп.,
Более подробно эти вопросы
аагалось vt
k
I" ЩШ~Ж В +280 +Ш +8й
соУ2я, кГц
Рис. 8. Частотный спектр дрейфовой
турбулентности, полученный в АТС экс-
экспериментах [42] методом микроволно-
микроволнового рассеяния в сантиметровом диапа-
диапазоне, ?_^рг-^0,6. Направления магнитно-
магнитного поля на рис. а и б противоположны.
Соответственно от а к б меняется на-
направление вращения дрейфовых флук-
флуктуации. Пик спектра соответствует ^-(Оь,
а его ширина — частоте доплеровского
уширения Vk
398
k^5 k*
обсуждаются в работе Тэнга
[5]. &_l и о — спектры дрей-
дрейфовых флуктуации, возникаю-
возникающих в плазме, удерживаемой
магнитным полем, были полу-
получены в экспериментах Маццу-
като и др. [41, 42] методом
микроволнового рассеяния.
Эти эксперименты были про-
проанализированы Хортоном [3,
4], который использовал спект-
спектральную формулу (86), осно-
основанную на учете гидродинами-
гидродинамической нелинейности для
ионов и линейного кинетиче-
кинетического отклика для электронов.
Переменный угол рассеяния
позволяет определить значе-
значение k± для флуктуации элек-
электронной плотности, ответствен-
ответственных за рассеяние микроволно-
микроволнового сигнала. На рис. 8 пока-
показан частотный спектр флуктуа-
флуктуации с &j_ p—0,6. Максимум
спектра вращается с электрон-
электронной диамагнитной скоростью
или даже несколько быстрее
за счет удерживающего ионы
радиального электрического
поля. Из рис. 8 видно, что на-
направление вращения меняется
при замене Bz-*—Bz. Ширина
спектра флуктуации оказыва-
оказывается сравнима с соь, что и сле-
следовало ожидать при имеющем-
имеющемся уровне турбулентности. На
рис. 9 показаны проинтегри-
проинтегрированные по частоте спектры
по &jl, полученные на различ-

ных углах рассеяния. Кроме того, на рисунке показан спектр (86).
построенный для параметров, соответствующих экспериментальным.
Аномальный перенос, определяющийся уравнением A7), оказыва-
оказывается для подобного спектра весьма значителен. Это связано с тем,
что амплитуды флуктуации еще достаточно велики в той области,
где существен фазовый сдвиг. Анализ электронной теплопровод-
Рис. 9. Спектр дрейфовых флук-
флуктуации по &jl, полученный в АТС
экспериментах [41] с помощью
микроволнового рассеяния на
шести различных углах. Сплош-
Сплошная кривая рассчитана по форму-
формуле Хортона [3, 4] [см. уравнение
(86)]
ности как в этом, так и в других экспериментах с микроволновым
рассеянием указывает на сильную взаимосвязь дрейфовой турбу-
турбулентности и аномальных электронных тепловых потерь [7].
3.4. Спектр дрейфовых волн, возбуждаемых градиентом ионной
температуры. Если в плазме имеется резкий градиент ионной тем-
температуры
то, как следует из дисперсионного уравнения (82), возникает свя-
связанная с этим градиентом дрейфовая неустойчивость. Частота и
инкремент неустойчивых колебаний имеют в этом случае вид:
°\=
(88)
ч2/3
Наиболее быстро растущая мода с k2±p2^ 1/A -\-\) и k{{rn
-f- yii)m имеет инкремент умакс ^ csj{rnrTL2. Исследование
конвективных нелинейностей в уравнении (83) показывает, что
основным нелинейным процессом является конвективное переме-
перемешивание градиента ионного давления. Механизм нелинейной пере-
перекачки связан теперь с уравнением для давления ионов и, если вве-
ввести скобки Пуассона, может быть представлен в форме [<р, pi].
Такой механизм, по-прежнему являясь консервативным, обеспечи-
обеспечивает передачу энергии колебаний из областей нарастания в обла-
области затухания. Рассмотрим спектр флуктуации, оставляя, как ука-
указано выше, лишь член, отмеченный С в уравнении (83). Баланс
699

нелинейной перекачки и линейного подвода энергии достигается,
если спектр флуктуации имеет вид:
где fx — величина порядка единицы. При этом мы допускаем, что
темп поглощения рассеянных флуктуации достаточно велик, чтобы
компенсировать всю подводимую мощность 2у?И?к.
Для дрейфовой неустойчивости, обусловленной градиентом ион-
ионной температуры, разность фаз б/г—<р оказывается пренебрежимо
мала и аномальный поток частиц отсутствует. Фазовый сдвиг р,-—q>
в линейной области составляет
Pi(b) 1-
В нелинейной области, если отсутствует точный расчет, нелиней-
нелинейный фазовый сдвиг можно оценить исходя из линейного выраже-
выражения (90), взятого в точке спектрального максимума. В этом при-
приближении аномальный ионный тепловой поток, определяемый урав-
уравнением A1), составляет
i — q-t — rT\eB ) dx
и ионная теплопроводность с точностью до числового коэффициен-
коэффициента соответственно равна
Аномальный перенос такого рода становится особенно важен, если
имеется вспомогательный нагрев ионов, так что Г, ^ Те.
3.5. Кинетическая теория дрейфовой турбулентности. Гидроди-
Гидродинамические уравнения не способны в общем случае дать адекват-
адекватное описание динамики частиц и флуктуации при развитии дрей-
дрейфовой турбулентности. В частности, мы не можем учесть в гидро-
гидродинамических уравнениях важную роль, которую играют в нели-
нелинейных процессах флуктуации с k^t ~1 и iu^k^i • Влияние этих
кинетических процессов на развитие дрейфовой турбулентности
изучалось в работах Б. Б. Кадомцева [29], А. А. Галеева и
Л. И. Рудакова [23], Р. 3. Сагдеева и А. А. Галеева [24]. Во всех
этих исследованиях предполагалось, что турбулентные поля явля-
являются настолько хаотичными и слабо взаимодействующими, что ие-
иерархия корреляционных функций может быть замкнута простым
отбрасыванием корреляций четвертого и более высокого порядков.
В работах [23, 24] частотный спектр был затем аппроксимирован
простым выражением
400

и методами теории слабой турбулентности уравнение G8) было
сведено непосредственно к уравнению для спектральной функции
d/Jdt. В работе Б. Б. Кадомцева [29], напротив, была введена
перенормировка проинтегрированного по v. кинетического урав-
уравнения и найдено выражение для частотного спектра флуктуации.
Оба исследования привели, однако, к близким результатам — было
установлено, что ионы играют определяющую роль в уравнениях
нелинейного взаимодействия и что это взаимодействие ведет
к трансформации спектра по k. из области малых поперечных
длин волн kjfi ^(тф/теI/2 в длинноволновую область, где
^jlP/^1* В этом разделе мы обсудим основные результаты этих
работ.
Основной физический механизм формирования слаботурбулент-
слаботурбулентных спектров связан с индуцированным рассеянием колебаний на
ионах [24]. Скорость индуцированного рассеяния определяется
мнимой частью ядра нелинейного взаимодействия в уравнении
G8). Учитывая одновременно G3) — G5), получаем:
п{сТе/еВ)'< Ж1 /Ьч/1г, ^2 * Mih у \ к.
(Te/Ti) A __ 2
где M(k±f k'j) — положительно определенная симметричная мат-
матрица:
(93)
где к"=к—W. Полное уравнение баланса представляется в виде
-^-=[2Y' (к) + 2f (к)] | ?ki2. (94)
Для k±pt >• 1 дрейфовая частота
е\Т{ A - е"*/.)] s (cs/rn)/2 V2T
почти перестает зависеть от k,, так что трехволновые распадные
процессы становятся строго запрещены. Одновременно для больших
k±pi матрица M(k±, k'±)^ ll(k±p)(kr±p) и индуцированное рассея-
26—3283 401

ние для k" .pi ~o 1 становится сильным процессом. В частности
скорость нелинейного рассеяния
Г1 (*) ~ - I *Jk) 121 еЪ'Р* I2 кУп!\ *> I
превышает максимальный линейный темп нарастания уМакс
&(с81гп)(тв1тфI'*9 когда W/nTe&(melm#y/*l<k*xr2n>. Таким
образом, как и в гидродинамическом приближении, учет кинетиче-
кинетической ионной нелинейности сдвигает спектр в область меньших
k^t. В случае k'^^k pi<\ индуцированное рассеяние на ионах
становится, однако, очень мало. Это объясняется тем, что
эффекты от рассеяния волны на самом ионе и окружающей его
поляризационной электронной шубе компенсируют друг друга.
Эта компенсация проявляется в уменьшении M(k., &',) =
~(^jPJ (?'ipJ- Отсюда, не получая точной формулы для \9и\г>
Р. 3. Сагдеев и А. А. Галеев [24] делают вывод, что спектр имеет
максимум при k^p^l. Уравнение (94) накладывает ограничение
на интеграл от спектра по к
где 8о)? = со, — ю^е (k) и величина у_/6(о_ оценена в максимуме
спектра.
Используя соотношение (95) и оценивая линейную пе—ф раз-
разность фаз с помощью формулы A8) [откуда 8е(к)^(те/тфI/2],
можно вычислить аномальный поток
Г —~ Ше р д?\? dne ,gg.
т$ rn eB dx ' ^ '
который оказывается в 8е раз меньше ранее приведенной оценки
G1), полученной В. Н. Ораевским и Р. 3. Сагдеевым [33].
Как показано в работе [23], выражение (96) для аномального
потока применимо лишь в случае достаточно сильных столкнове-
столкновений
способных поддержать в резонансной области наклон функции
распределения, близкий к максвелловскому. Для более слабых
столкновений ve<v* при вычислении инкремента yk (fe) необходи-
необходимо использовать квазилинейное, выположенное распределение,
найденное в п. 2.7. Отсюда ясно, что окончательное выражение
для коэффициента диффузии в этом случае можно по-прежнему
получить из уравнения (96), предварительно разделив его на мно-
множитель l+v*/ve. В работе [29] найдено другое уравнение для не-
402

линейной перекачки. Здесь учтена перенормировка черенковского
резонанса
которая вводится исходя из проинтегрированного по v^ нелиней-
нелинейного кинетического уравнения.
Поскольку «х^Й; и \ряп1п\<^.1, зависимость флуктуирующей
части нелинейного распределения от v выражается через функ-
функции Бесселя J0(k±v±/Q). Турбулентный столкновительный оператор»
полученный Б. Б. Кадомцевым, имеет вид:
к'
ktV
y №*VVo[^)h(^)Jo{^)) Ak,I{k)
I (k\v\ \\l fk" \v\ \\ '
rnek'tL=\k1--k'±\,k"^=kll---k'ir ш"=о) — а/ и Ak — электро-
электромагнитный поляризационный фактор, значение которого приведено
в [29]. Если &»<ск'о)', оператор т] (v ) сводится к оператору
ivk^, усредненному по v . Физически оператор X описывает де-
корреляцию в резонансном взаимодействии частицы (имеющей про-
продольную скорость v ) с флуктуацией ко), вносимую нелинейным
сдвигом kvE,
В операторе (97) учтено также, что за счет быстрого цикло-
циклотронного вращения на орбите частицы происходит усреднение по-
поперечных фазовых вариаций, связанных с флуктуациями
k.y k' у kn .. Кроме того, в [29] учтена электромагнитная поля-
поляризация волны, которая приводит к уменьшению как продольного
электрического поля, так и инкремента неустойчивости в случае,
когда альфвеновская частота становится сравнимой с дрейфовой
со*е. Эффект электромагнитной поляризации возникает уже в ли-
линейном дисперсионном соотношении, и его основное значение свя-
связано с тем, что он определяет параллельную длину волны, соответ-
соответствующую максимуму спектра. В случае me/nii<$< (me/mtI/3 спек-
спектральный максимум по &„ достигается при
vn^4-pI/2- (98)
Сложные спектральные уравнения, полученные Б. Б. Кадомцевым,
которые мы для экономии места не приводим здесь, имеют ту же
форму, что и система уравнений G9), (80). В физике плазмы эта
система уравнений для функции нелинейного отклика гъ711 и спек-
спектрального распределения Ik является аналогом приближения пря-
26* 403

мого взаимодействия для проблемы гидродинамической турбулент-
турбулентности.
В работе [43] эта система уравнений использовалась для объ-
объяснения экспериментов и результатов численного моделирования
по динамике дрейфовых волн в слабоионизованной плазме.
Анализируя уравнения спектральной перекачки, предваритель-
предварительно проинтегрировав их по частоте, можно сделать вывод [29], что
квазилинейный спектр достигает максимума при^р/^1. По-
Поскольку в этой области матричные элементы, содержащие функции
Бесселя, имеют сложную форму, точный вид спектрального рас-
распределения в работе [29] также не приведен. Вместо этого из
уравнений спектрального баланса можно найти некое интегральное
соотношение:
где для оценки можно считать А—1/10. Более того, в [29] утверж-
утверждается что в максимуме спектра фазовый сдвиг 6пе—<р остается
таким же, как в случае линейного электронного отклика. Это свя-
связано с тем, что насыщение неустойчивости определяется ионными
нелинейностями. Линейный фазовый сдвиг 6е (&) ^ (я/2) 1/2G)*e/|&|( \ve
принимает в спектральном пике значение 6е(?) = (яге/т,рI/2. От-
Отсюда, используя уравнение A7), находим аномальный поток час-
частиц
Г Ате р сТе dn
1 1К~Т~Т~1
Выражение A00) с точностью до коэффициента совпадает с фор-
формулой Сагдеева — Галеева. Для р> (me/mfI/3 в линейной теории
становится существен резонанс, связанный с VB — магнитным
дрейфом ионов
и уравнение A00) оказывается уже не применимо для вычисления
аномального потока.
Если известно приближенное выражение для спектра по к,
спектр по со можно найти с помощью уравнения G9). Уравнение
eknl=0 включает в себя процессы распада флуктуации ко) в тур-
турбулентной плазме, а правая часть уравнения G9) описывает гене-
генерацию флуктуации toco за счет нелинейного слияния. Если уровень
турбулентности не превышает величины (99), то по оценке [29]
нелинейный сдвиг от естественной частоты флуктуации а>к оказы-
оказывается достаточно мал и спектральная линия имеет лоренцеву
форму с шириной
После того как найден к — спектр флуктуации, можно перейти
к анализу уравнения для корреляционной функции /*, как это сде-
сделано в работе В. Н. Цытовича [35, § 2.7, 2.8]. В области k^p^ 1,
404

где первичный спектр дрейфовых волн наиболее интенсивен, они
имеют нераспадное дисперсионное соотношение. Корреляционное
уравнение G9) поэтому дает в этой области сильную генерацию
низкочастотных длинноволновых флуктуации 7^. Никакого опре-
определенного соотношения, связывающего к и ico, для этих низкоча-
низкочастотных флуктуации не существует. Низкочастотный спектр опре-
определяется выражением
к@ \г11\
'A01)
Если уровень турбулентности достигает величины (86) или (99),
то уравнение A01) предсказывает широкополосное заполнение
низкочастотной части спектра флуктуации. По-видимому, это об-
обстоятельство может оказаться важным для объяснения широких
частотных спектров, наблюдавшихся в экспериментах [42] (см.
рис. 8).
3.6. Аномальный перенос при образовании конвективных ячеек. Коллектив-
Коллективные моды с нулевой частотой и k j_=^=0, известные под названием конвективных
ячеек, дают важный механизм аномального переноса поперек магнитного поля.
Это было показано в теоретических расчетах и работах по численному модели-
моделированию, выполненных группой Даусона. Скорость диффузии частиц D и время
жизни конвективных ячеек Г^ , найденные в численных экспериментах [44, 45],
сравнивались там с теоретическими результатами, вывод которых мы обсудим
ниже в этом параграфе. Было показано, что для аномальной диффузии, связан-
связанной со слабозатухающими двумерными конвективными ячейками, результаты тео-
теории и численного моделирования хорошо согласуются друг с другом. В длинно-
длинноволновом пределе ? ipt-<^ 1 конвективные ячейки возникают как медленная ветвь
дисперсионного уравнения для косых альфвеновских волн в неоднородной плазме
±±}>.)(<u-«>mpi) -?V2a1 = °- A02)
Если &ц иА/со*рг-И), имеются две моды плазменных колебаний: ионная желоб-
ковая мода
и конвективная ячейка
где (u*Pi=(kyC[eiiiiB) (dpi/dx).
В длинноволновом режиме коллективная мода с конечным k^ и соса=
= GJ(fc_L> ^ц) =0 представляет собой крупномасштабный гидродинамический
(Е ц =0) вихрь, затухание которого определяется ионной столкновительной вяз-
вязкостью |i=0,3vtp2t. Поперечные ЕХВ потоки, вызванные этой модой в системе
координат, где Ег=0, отличаются от потоков, связанных с дрейфовыми волнами.
Мода нулевой частоты вызывает стационарное и замкнутое конвективное дви-
движение (ср. с риа 1). Для дрейфовых волн конвективный поток каждый раз ме-
меняет знак, пройдя расстояние v^/co. Гидродинамические моды существуют на
уровне тепловых флуктуации (значение которых определяется слабым затуха-
405

нием) до тех пор, пока какой-либо механизм не позволит им вырасти до конеч-
конечной амплитуды.
В работе [46] показано, что существует естественный механизм генерации
конвективных ячеек, связанный с параметрическим распадом дрейфовых волн.
Теория [46] основана на трехмерном численном моделировании дрейфовых волн,
выполненном Чэнгом и Окудой [47, 48]. Результаты моделирования показывают,
что на первой стадии насыщения в спектре колебаний доминируют дрейфовые
моды c^nOg^w. , но на более поздних стадиях существенная доля энергии
флуктуации заключена в моде с k ц =0 и малым k^,
Поскольку частота дрейфовых колебаний (о^=а>(/г2., k,A имеет широкий
максимум для k , р/ <Г 1, то, как отмечено в [46], существует много неустойчи-
неустойчивых дрейфовых мод, биения которых могут дать флуктуации с нулевой частотой
и нулевым k и.
Используя известные методы, применявшиеся при исследованиях взаимодей-
взаимодействия ленгмюровских и ионно-звуковых волн, можно получить уравнения, опи-
описывающие взаимодействие дрейфовых волн 6nde(xt)/ne=eyd(xt)/Те и конвек-
конвективных ячеек dnce(xt)/rie^ \еус/Те\:
[Ьпй-дпС}; A04)
сТ2
где <.. .> — означает усреднение нелинейного члена по координатам z и t.
Такое усреднение выделяет в нелинейных дрейфовых колебаниях k (( =0, ю = 0
компоненту взаимодействия. Уравнения A04) и A05) определяют устойчивость
дрейфовой волны с большой амплитудой дя^о exp (iko-x— 1а>а^) относительно
параметрического распада на дрейфовую волну малой амплитуды
и конвективную ячейку
a/i%i(*)exp(ik1.x),
где ^0 = ^1+^2» ?цо = ^ц1 и co^o==G>difer ^сли ^2о>^21> распад осуществляет-
осуществляется со скоростью
lkXk4 ?1
Коэффициент аномальной диффузии D^, связанный с двумерными конвектив-
конвективными ячейками, найден в работах группы Даусона как предел коэффициента
диффузии Дюпри [31] при @-^0. Мы можем получить это выражение, переходя
в формуле G7) к пределу &ц =0, k^yi = 0:
где
rk=k*±D±. A08)
406

Если k2, D,
, выражение A07) сводится к
A09)
В работе [46] предполагалось, что система достигает квазистационарного турбу-
турбулентного состояния, в котором энергия, черпаемая из неоднородного электрон-
электронного распределения, с темпом 2ydhWdk подводится к дрейфовым волнам и ба-
балансируется при их распаде на конвективные ячейки. Баланс энергии в самих
конвективных ячейках достигается в случае, когда их декремент затухания
yck =—^2jl^j_ компенсирует перекачку энергии из дрейфовой турбулентности
где Ахс — средняя пространственная толщина конвективной ячейки. Условие
баланса энергии определяет уровень дрейфовой турбулентности
dnd
Ax,
где k"t corf_ — средняя частота и волновое число в спектре дрейфовых волн. Если
магнитное поле не имеет шира, то размер ячейки Длгс=
с широм
в случае
Энергобаланс по всему спектру флуктуации достигается при
A12)
где
(?j_P/J \йпс (kjj/ne\2, откуда амплитуда конвективных ячеек
(ИЗ)
Аномальная диффузия, связанная с конвективными ячейками, достигшими ампли-
амплитуды A13), обладает коэффициентом
A14)
A15)
A16)
Вторичная диффузия A16) за счет конвективных ячеек, возникающих при рас-
распаде дрейфовых волн, может превышать диффузию (96) или A00), непосред-
непосредственно связанную с дрейфовой турбулентностью.
407
Для Yrf— /corf--S (me/mi$I^2 выражение A15) сводится к
D= (p,/rn) (cTe/eB) ( l

В системе с широм магнитного поля, обладающей двойной периодичностью
kyr=m и kzR = l (где т, I — целые числа), для того, чтобы возбуждать конвек-
конвективные ячейки, дрейфовые моды должны сильно перекрываться. В работе Бакая
[49], где указано на это обстоятельство, исследована возможность образования
конвективных ячеек и найдено, что спектр флуктуации по к± имеет гауссовскую
форму.
4. АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ЗА СЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ФЛУКТУАЦИИ
Электростатическая дрейфовая турбулентность, рассмотренная
в § 2 и 3, является основным механизмом аномального переноса
в плазме, где тепловое давление р достаточно мало по сравнению
с магнитным р = 8яр/В2<с1. В то же время в плазме конечного и
высокого давления самосогласованные коллективные моды, как
правило, имеют сильную магнитную компоненту, и для описания
процесса аномального переноса необходим учет электромагнитного
характера флуктуации. При увеличении давления плазмы возни-
возникает большое количество новых низкочастотных неустойчивостей,
связанных с пространственной неоднородностью плазмы, которые
могут существенно повлиять на транспортные характеристики
плазмы. В частности, неустойчивости, связанные с распадом тока
на тонкие волокна: тиринг-мода, развивающаяся за счет градиента
температуры, — ведут к возникновению в плазме электромагнитной
турбулентности и соответствующего аномального переноса. При
увеличении р непосредственный ЕхВ перенос, связанный с элек-
электронными дрейфовыми флуктуациями, становится менее важен,
чем перенос электромагнитный. Роль различных неустойчивостей
в поддержании механизмов аномального переноса при конечных и
высоких значениях р активно исследуется в настоящее время. Ни-
Ниже мы обсудим ряд имеющихся принципиальных результатов, не
вдаваясь в подробное обсуждение их относительной важности.
При высоком давлении плазмы характеристики аномального
переноса рассчитываются исходя из полного спектра электромаг-
электромагнитных флуктуации. Если раньше нам было достаточно знать толь-
только одну корреляционную функцию электростатических колебаний
<<р(г7')ф(rt)> и ее спектральное распределение /(ко) [см. урав-
уравнение (8)], то теперь спектр определяется шестью корреляционны-
корреляционными функциями <Ea(r't')E$(rt)>. Для представления электромаг-
электромагнитных флуктуации используются два основных метода. В первом
из них сохраняется электростатический потенциал ф(г^) вместе
с соответствующей ему корреляционной функцией и дополнительно
вводятся две компоненты векторного потенциала Aj} (rt) и a (rt).
Параллельная компонента векторного потенциала A (rt) описы-
описывает электромагнитные возмущения, в которых поперечная компо-
компонента электрического поля остается безвихревой vXE± = 0 и,
следовательно, отсутствует сжатие магнитного поля ЬВ^ =0.
Флуктуации A (rt)t таким образом, приводят к возникновению по.
408

перечных флуктуации магнитного поля 8В, = vXH,,z) = АЛ (| Xz и
индукционного продольного электрического поля Ет = — dA/cdt.
Вторая компонента векторного потенциала a (rt) перпендикулярна
к В9 и создает вращательное электрическое поле E± = zXVj_# и
продольную компоненту 8/? , ведущую к сжатиям—разрежениям
магнитного поля 8?„ = (ic/n) V2j_^- Симметричная матрица двух-
двухточечных корреляций
описывает полный набор корреляций, возникающих в такой зада-
задаче. В подобной формулировке проблема дрейфовой турбулентности
рассматривалась в [50, 51]. Общее представление низкочастотного
тензора проводимости для системы с большим р и распределением
плазмы вида /j(e, х) получено в [51].
Второе представление, также широко используемое при расче-
расчетах, связанных с электромагнитными флуктуациями, состоит в вы-
выборе
Ey{vt), Bx{vt) и ЬВ н (rt)
в качестве независимых компонент поля. Остальные три компо-
компоненты электромагнитного поля Ех, Е\\ и Ву легко найти с помощью
однородных уравнений Максвелла.
В ко) пространстве эти соотношения имеют вид<
Г? /1L\ &Х Г? / 1_\ ® ^D / t\ .
A17)
/v/7 •' *^fj
Вся совокупность корреляций определяется теперь симметричной
матрицей двухточечных корреляций
<{Ey(rrtr), Bx(r'tf), 8ДП (r'f))®{Ey(rt), Bx(rt), bB%(rt))>.
В таком представлении электромагнитная дрейфовая турбулент-
турбулентность изучалась в [52, 53].
4.1. Перенос частиц и теплоты при развитии электромагнитной
турбулентности. Аномальный перенос частиц, импульса и тепловой
энергии определяется парными корреляциями между флуктуирую-
флуктуирующими термодинамическими переменными и компонентами электро-
электромагнитного поля флуктуации, например <%?^>. To обстоятель-
обстоятельство, что парных корреляций оказывается достаточно для расчета
аномальных транспортных процессов, связано с тем, что в урав-
уравнении Власова член (E+vXB) -dfjdv, характеризующий взаимо-
взаимодействие, являясь по форме квадратичным, в то же время остается
линейным по переменным, описывающим как поля, так и частицы.
409

Такая билинейность члена, описывающего взаимодействие, при-
приводит к тому, что общие выражения для аномальных потоков в пер-
первом порядке по корреляционным функциям удается получить уже
из соотношений линейной теории, связывающих флуктуации элек-
электромагнитных полей и термодинамических величин. Флуктуации
термодинамических параметров рассчитываются при этом исходя
из флуктуационных добавок 8f.k(vLK функциям распределения
частиц f j.
Если исходные функции распределения могут быть представ-
представлены в виде /j(e, X), где z=v2/2 — энергия на единицу массы и
X—x-\-(vy—vDj)f(dcj — координата ведущего центра частицы в не-
неоднородной плазме, эти флуктуирующие добавки ^/-k(v) могут
быть найдены интегрированием возмущающей силы
вдоль траекторий движения частиц. Эти траекторные интегралы,
вычисленные в [51, 52] с учетом VS-дрейфа ведущих центров час-
частиц, имеют вид:
°ljk \У) — m.ky де ~Г V mjky de ~r В дх J^
X g'h (v„, v±) exp (ikXv • ?K7) [l?y (*) + Ц- Jfix (*) -
J^JJB^k)], A18)
где пропагаторы gih, введенные в п. 3.2, приобретают форму
Функции Бесселя Jo и Jl имеют аргументы k.v./mcjt где wC]. =
=^ejBfnijC. Скорость дрейфа ведущего центра частиц определяется
из соотношения v = ojD/y + »||z, где vD. = —(v2 /(x>cj)(dlnB/dx).
В электростатическом пределе уравнение A18) сводится к форму-
формуле A2) для 6/jfc(v) (см. § 2 и 3). Все, что говорилось там относи-
относительно роли, которую играет в пропагаторе член ivk (см. пп. 2.1 и
3.2), сохраняет свой смысл и здесь, однако выражения G6) и (97)
[или их марковский предел G7)], полученные ранее для ivkw,
должны быть обобщены теперь на электромагнитный случай.
Используя уравнение A18), легко вычислить флуктуации плот-
плотности частиц, токов:
njk = { dvbfjk (v), Tjk = J dvwbfJh (v) A20)
и плотности тепловой энергии
3 . 7р v
2 ' '
410

В частности, флуктуации термодинамических параметров, исполь-
использующиеся в теории аномального переноса, определяются соотно-
соотношениями:
. A23)
Г (k)-{dv(^-^L-U C dfi)ai (v)v J (*&-}& (k v v )
srtw
A24)
где Fiy — «/-компонента силы Лоренца, усредненная по ларморов-
ской орбите
Выражение для флуктуации плотности тепловой энергии имеет
вид:
3 Г-^,
He содержащие пропагаторов слагаемые в A22) — A24) вычисля-
вычисляются согласно соотношению
J'
что для максвелловского распределения дает —fij/Ti. Аналогично
вычисляется и первое слагаемое в уравнении A26).
Предположим, что частицы описываются максвелловской функ-
функцией распределения с неоднородной плотностью rij(x)y температу-
температурой Tj(x) и параллельной дрейфовой скоростью и (х). Интегралы
по скоростям, входящие в уравнения A22) — A26), удается тогда
выразить с помощью модифицированных функций Бесселя
/п(Ь)ехр(—-6), где &==?1,71y//ra/Q2j, и плазменной дисперсионной
функции
Z[(°-Vii)/I*ii>/]' где оу=///
Эти результаты можно найти в работе Танге и др. [53].
В общем случае электромагнитных флуктуации система урав-
уравнений аномального переноса оказывается настолько громоздка, что
не имеет смысла приводить ее здесь. Общие выражения имеются
411

в упомянутой выше работе [53]. Все формулы выведены в тех же
самых предположениях, что обсуждались выше в § 2. Напомним,
что мы предполагали:
1) поперечный перенос возникает за счет градиентов макроско-
макроскопических параметров плазмы;
2) макроскопические неоднородности слабы в масштабах сред-
среднего гирорадиуса частиц pjV/z/n<cI, pjVT/7-Cl;
3) пространственно-временные масштабы процессов переноса
d\ntij/dt, V -Tj/rij существенно отличаются от пространственнр-вре-
менных масштабов флуктуации 1/Лсо и 1/Д&.
Как только это последнее условие удовлетворено, средние вели-
величины, например <rtjEy>y возможно естественным образом опреде-
определить как взятые в пространственно-временных масштабах, малых
по сравнению с масштабами макроскопических вариаций, но суще-
существенно превышающих соответствующие масштабы для флуктуа-
флуктуации электромагнитного поля.
Основные выражения для аномального потока частиц удается
получить, усредняя уравнения баланса для переноса импульса в на-
направлении, взаимно перпендикулярном направлениям внешнего
магнитного поля и макроскопических градиентов. Можно показать,
что у-компонента силы Лоренца играет в уравнении баланса для
импульса более важную роль, чем усредненные инерционные члены
и дивергенция тензора напряжений. Отсюда имеем для частиц сор-
сорта /
__L txJB = - -jr ) vyCj (f, f) dv. A27)
Интеграл ml j vyCjdv, стоящий в правой части, учитывает изме-
изменение импульса за счет кулоновских столкновений. Эти вклады за
счет столкновений частиц друг с другом хорошо известны (см. об-
обзор Ф. Хинтона в т. 1) и сохранены здесь, чтобы легче было пред-
представить, в какой именно момент турбулентный перенос начинает
доминировать. Согласно уравнению A27) каждый сорт частиц те-
теряет суммарный импульс в у-направлении за счет кулоновских
столкновений частица — частица и эффективных турбулентных
столкновений частица — волна. Эта потеря импульса балансирует-
балансируется стационарным переносом Г^ частиц этого сорта поперек внеш-
внешнего магнитного поля. Электроны, например, теряют благодаря
электрон-ионным соударениям импульс
те ] vyCeidv^ — те (vye — vyl)/*et
где равновесный диамагнитный дрейф vye—vyi=—(с]/еВПе)Х
X(dp/dx) и Те-1=Че=4BлI/2пее4гэф\пА/Зте1/2Те*/2. Темп переноса
за счет столкновений составляет в этом случае
ТП tftgC ,/-p | гр \ UtX / I QO\
СТ С ^2^2 \ 6 \ I/ Их, *
Вплоть до конца этой главы мы будем предполагать, что амплиту-
амплитуда турбулентных флуктуации высока настолько, что переносом за
412

счет обычных кулоновских столкновений можно пренебречь по»
сравнению с аномальным (не связанным со столкновениями) пере-
переносом.
Аномальный поток частиц в направлении макроскопического'
градиента
где флуктуации плотности щ и токов Г*, Гц связаны с флуктуа-
флуктуациями полей посредством уравнений A22) — A24). Пространствен-
Пространственно-временное усреднение соответствует здесь отбрасыванию всех,
слабых корреляций между модами с различными ксо. Окойчатель-
но аномальный поток частиц, возникающий при развитии элек-
электромагнитной турбулентности, имеет вид:
ijky дг i В
Vi
--±llbByi (k)
A29),
В уравнении теплового баланса основные процессы связаны
с обобщенным сЕхВ/В2 конвективным переносом, продольным
движением частиц вдоль искривленных силовых линий магнитного*
поля В+бВ^ и <j-E>—обменом энергией между частицами и
флуктуациями. Уравнение A29) можно рассматривать как проин-
проинтегрированную по энергетическому спектру суйму ряда независи-
независимых процессов поперечного переноса, каждый из которых имеет
свою собственную интенсивность, соответственно значениям
/ke, F,(e, X), lmgik(v).
С этой точки зрения ясно, что в зависимости от того, какова
энергия частиц, дающих основной вклад в Гу: больше она тепловой
или меньше, результирующий энергетический поток Qj будет соот-
3 Я
ветственно выше или ниже -^-ТуГу, где -=- Гу — средняя тепловая
энергия частиц ("j-^/^/. Полный поток энергии
?+*?)(-*¦-»•¦ )х
V\\
2
J.Ey(k)+-j!-].Bx(k)-^-J1bBn(k) ¦ A30>
Поток Qj состоит из двух частей: конвективного переноса -у ГуГу
и части, связанной с теплопроводностью, qj = Qj ^-ТуГу.
Наконец, найдем теперь величину резонансного обмена энерги-
энергией между частицами и флуктуациями
413

X Im gjk (v)
4s
J0Ey (k) + 4s- ^A (*) - ^
A31)
Сами уравнения баланса для частиц и теплоты остаются такими
же, как полученные нами в п. 2.2 уравнения B2) и B3).
Как видно из общей структуры формул A29) —A31), аномаль-
аномальные потоки пропорциональны произведению спектральной интен-
интенсивности флуктуации на ко и величины градиента функции рас-
распределения частиц в точке (х, v)y причем произведение берется
с весом Im^ft(v), соответствующим силе взаимодействия частиц
'С флуктуациями. Функции Бесселя нулевого порядка /0 (k±v±f(ec})
возникают при усреднении значений Еу(т') и Вх(т') вдоль лармо-
ровской траектории частицы, тогда как функции первого порядка
Л (^ Iv I l®cj) появляются при вычислении средних по площади лар-
моровского кружка или, что то же самое, при вычислении контурных
г»
интегралов по орбите <у Е± (r)-dl. Для квазинейтральных флук-
флуктуации поток заряда
Se/Г, - [<7„ Вх> - <Й8&П
»как нетрудно убедиться из уравнения A29), в общем случае обра-
обращается в нуль.
Для максбелловского распределения /,0=77MJF, x) с неоднород-
неоднородной плотностью и неоднородной температурой характерная частота
о
Т., q] Y^Fi и / Удается упростить:
•определяет эффект неоднородности. В этом случае выражения для
% v±, 0||)|2; A32)
— (О *(б 1 1
A33)
A34)
•Условия, при которых основное распределение имеет форму, близ-
близкую к распределению Максвелла — Больцмана, найдены нами
б п. 2.7.
Рассмотрим теперь введенный в п. 2.2 функционал изменения
энтропии Gj в случае плазмы высокого давления. Для максвеллов-
<ского распределения частиц плазмы плотность энтропии равна
414

Sj(rt)=—rijln (rij/TjK/2 и локальная скорость ее изменения вычис-
вычисляется с помощью транспортных уравнений B2) и B3). Помимо»
внешних источников тепла и частиц, введенных в п. 2.2, скорость
изменения энтропии составляет
Используя формулы A32) — A34), получаем окончательное выра-
выражение для
Рассмотрим теперь проблему переноса в случае, когда в основном,
существенна магнитная компонента флуктуации.
4.2. Поляризационные соотношения для низкочастотных элек-
электромагнитных флуктуации. При конечном, но умеренном давлений
плазмы р<1 низкочастотные флуктуации (дрейфовые колебания,,
тиринг-мода) обладают рядом общих поляризационных особенно-
особенностей, учет которых упрощает анализ процессов переноса. В случае
р^>1, наоборот, все три компоненты электрического поля слож-
сложным образом связаны между собой, однако дрейфовые колебания*
в такой плазме оказываются неустойчивы только при весьма спе-
специальных условиях, например в случае ц=й In T/d In n=—1/2, рас-
рассмотренном А. Б. Михайловским и А. М. Фридманом [1].
В плазме с не слишком высоким давлением р<1 флуктуации,
типа дрейфовых волн или тиринг-осцилляций, обладающие силь-
сильной вытянутостью k^^>kllf расцепляются с быстрыми движения-
движениями звукового типа с со2<k2v2A. -Поляризация медленных конвектив-
конвективных мод определяется полным балансом давлений поперек маг-
магнитного поля
ВЬВ
который поддерживается в масштабах кг1 в ходе медленных ос-
осцилляции. Из этого соотношения и формулы для ЬрЛк) можно*
найти сжатие магнитного поля
В 2 Р[ kyT \- — ^[~Т^\'
Выражение A36) справедливо для мод с вращением как в сторону
электронного, так и ионного диамагнитного дрейфов.
Изменение напряженности магнитного поля ЬВ,, (k) гарантирует
отсутствие сжатия плазмы V-Ve=0 в процессе конвекции плазмы
поперек распределения с конечным р
51 (г)+ 8^@ = const.
Вдобавок к диамагнитным дрейфам частиц, которые были введены
нами в § 2, в плазме с конечным ф необходимо дополнительно учи-
учитывать и дрейфы ведущих центров
vDJ = (mj-cv^fajB) (d lnBfdx)^y,
415-

что также влияет на процессы переноса. Если магнитное поле не
слишком сильно искривлено, то
<vdj> = (cP±i[ejB2) (dBfdx) = ~ 4" hvdi (l + Ч/)-
Поперечное магнитное возмущение ЬВ. (k) значительно превы-
превышает 85п (к) и обладает амплитудой и фазой как раз такими, чтобы
закоротить продольное электрическое поле
Еп (k) = - ik{{ <p (v) - i (cd/^ A ft (к) ^ 0.
Интересная ситуация возникает в случае, когда индукционная
часть продольного электрического поля не способны компенсиро-
компенсировать потенциальную. Это происходит, если продольная проводи-
проводимость o}j (к, со) оказывается для рассматриваемых флуктуации ксо
аномально низка. Из уравнения A24) для электронного тока
Гн (k) найдем
A37)
Отсюда ясно, что продольная проводимость будет мада для флук-
флуктуации с ю'Х/ю^ и i о^ю, Из уравнения vX8B± =4я8/ /с можно
найти, что поперечные флуктуации магнитного поля в этой области
составляют
где приближенно считалось Ey(k)g*—\kvq(k).
При исследовании дрейфовой тиринг-моды в плазме с конечным
Р<1 необходимо иметэ в виду, что изгиб силовых линий за счет
ЪВ, (К) связывает параллельный перенос с радиальным движени-
движением частиц.
Рассмотрим следующий пример. Пусть искривление силовых
линий сначала отсутствует. Из уравнения теплового баланса с
сравнивая параллельную диффузию и конвекцию, найдем для слу-
случая ve>kl{ve флуктуации электронной температуры
Если теперь силовые линии имеют изгиб, то при тепловом перено-
переносе вдоль магнитного поля возникают флуктуации
*Te{k) -I Bx(k) I dTe<nre(k)l п4()
Те -1Л|| В Те dx^[-TTLY' [ }
Для Вх (k)/B->u k{{rn [e<? (k)/Te] флуктуации температуры за счет
параллельного переноса начинают превышать флуктуации, связан-
416

ные с конвекцией. В этот момент амплитуда флуктуации ЬВ± (k) =
=ikyA\\ (k) такова, что
Противоположная четность A. (k) и у (Л) по k^ —общее свойство
низкочастотных флуктуации.
Использование поляризационных соотношений для низкочас-
низкочастотных флуктуации, связанных с дрейфовыми и тиринг-неустойчи-
востями в плазме с р<1, позволяет упростить выражения для ано-
аномальных потоков частиц и энергии.
Рассмотрим сначала вклад ЬВ{] (к) в силу Лоренца Fiy(k, v^,v{l)
в уравнении A25). Используя уравнение A36) для связи Ey(k) и
ЬВA (к), найдем, что в случае C/< 1 для произвольных k.pf
Fl9 * Еу (k) [J. + '%JJ(k±9})] * Ey (k) h (k±vj»e!).
Определим теперь вклад в Fiy от поперечных флуктуации
8уД (,&), величина которых найдена выше [уравнение A38)]:
Для плазмы с -р<1 альвеновская скорость лежит между ионной
и электронной тепловыми скоростями, так что магнитная часть си-
силы мала для ионов F^^JoEy и является основной составляющей
для электронов Fey& (v (| fc) Bx (k).
Учитывая эти упрощения, получаем:
<142)
Выражения для потока энергии Qj легко получить из A41), A42),
включив под интеграл по скоростям кинетическую энергию частиц
trijV2/2. Для флуктуации с достаточно низкими частотами
аномальный поток возникает непосредственно за счет dfj/dx.
4.3. Качественная картина аномального переноса при наличии
магнитных флуктуации. Низкочастотные флуктуации создают про-
продольное электрическое поле Е „ = — дА /cdt и поперечное маг-
магнитное поле 8B± = v^||Xz вблизи рациональных поверхностей
спирального магнитного поля, используемого для удержания плаз-
плазмы [55]. Аналогичная ситуация реализуется и вблизи нейтраль-
27—3283 417

ных слоев магнитного поля (например, в хвосте магнитосферы
Земли [54]). Развитие магнитных флуктуации 8В. ведет к ано-
аномальному переносу частиц плазмы. Согласно квазилинейной фор-
формуле A42) электронный перенос пропорционален <\8Bx(k)\2> и
силе взаимодействия Imgek(v). Для флуктуации магнитного поля,
зависящих от времени, Каллен [55] описывает этот процесс как
перенос за счет «магнитного флаттера». Даже в случае статиче-
статических магнитных возмущений
добавочный перенос возникает за счет движения частиц вдоль си-
силовых линий. Аномальный перенос, связанный со статическими
возмущениями магнитного поля, описан Стиксом [56] как перенос
Рис. 10. Цепочки магнитных островов, возникающие при развитии двух резо-
резонансных возмущений kiB = 0 и k2B=0 по соседству друг с другом. Магнитное
поле обладает широм. Амплитуды 6В^ (к) еще настолько малы, что перекры-
перекрытия островов не происходит, s ^ 1 [54]
благодаря «магнитному заплетанию». Магнитные возмущения
8ВD(х), резонансные со спиральным магнитным полем, создают
цепочку магнитных островов ширины Д&. Острова возникают во-
вокруг резонансных поверхностей, на которых В- V = i^иS =^-0.
Представим локальное магнитное поле в виде B=By(x)y-{-B<)z.
Величина шира магнитного поля Ls~l=dByJBdx. Толщина островов
в таких обозначениях составляет
Если в системе возникает несколько (больше 2) магнитных це-
цепочек (рис. 10), то магнитное поле становится эргодичным, снача-
сначала вдоль сепаратрисы, а затем, с ростом амплитуды магцитных
возмущений, во всей области между магнитными островами. Элек-
Электроны благодаря высокой скорости своего движения следуют вдоль
запутанных силовых линий, что ведет к их переносу поперек внеш-
418

него спирального поля. Магнитные возмущения могут быть обяза-
обязаны своим происхождением целому ряду причин: распаду токов на
волокна при омическом нагреве плазмы, электромагнитным коле-
колебаниям, возникающим при нагреве вспомогательными методами, и,
наконец, возбуждению в плазме различных коллективных неустой-
чивостей.
Низкочастотные дрейфовые колебания и тиринг-моды, связан-
связанные с неоднородностями плазмы и магнитного поля, ведут к воз-
возникновению в системе мелкомасштабных магнитных возмущений.
Например, дрейфовые флуктуации, измерявшиеся в эксперимен-
экспериментах Маццукато [41] могут, по оценке Каллена [55], дать сущест-
существенный теплоперенос поперек магнитного поля.
В случае плазмы конечного давления, который рассматривался
в [55], bBx(k) в дрейфовых колебаниях исчезает на резонансной
поверхности, достигает максимума уВхА при k^v^w^e и спадает,
как ЪВхА(хА1х)> для &„0А ><»**. Здесь хА — это расстояние от ре-
резонансной поверхности й =0 до области, где k{vA = kyvAxAILs —
=со*е, откуда Ха=р$1/2(Ь81гп). Толщина магнитного острова, най-
найденная Калленом [55], составляет
Расстояние Lk вдоль магнитного поля, требующееся силовой ли-
линии, чтобы обойти по периметру весь остров, при этом равно
Так как длина Lk превышает Ls, частота дрейфовой моды ш резо-
резонирует с частотой электронного транзитного движения вокруг
острова (dk=ve/Lh. Каллен [55] учел возникновение амбиполярного
потенциала Ф(х), выравнивающего скорости переноса для элек-
электронов и ионов, оценил его величину и нашел скорость электрон-
электронной диффузии
dx \ "юГГ/ dx dx
Отсюда ясно, что для электронов существенно в основном электро-
электростатическое удержание.
Электронный перенос теплоты Q€=—%edTe/dx осуществляется
при этом с коэффициентом теплопроводности
27* 419

где ve — частота электронных столкновений и 1/уъ. — корреляцион-
корреляционное время (или время жизни) магнитного острова А&. Уравнение
A45), по сути дела, представляет собой нелинейное обобщение
квазилинейной формулы, в которой толщина острова
дВхА у/з
I для дрейфовых волн;
A46)
ДЛЯ ТИрИНГ-МОДЫ
\ В )
заменяет линейное радиальное смещение частицы
v„ Вх {k)jBL (со - к • v) - \ВХ (k)/B] * „ V
которое входит в уравнения квазилинейной теории [см. уравнение
A42)].
Скорость аномального переноса за счет «магнитного запутыва-
запутывания», помимо очевидной зависимости от амплитуды флуктуации,
очень чувствительна ко времени корреляции магнитного воамуще-
ния &в^ и движения электрона.
В работе Розенблюта и Речестера [57], чтобы описать конеч-
конечность этого корреляционного времени тс (или длины Lc вдоль си-
силовой линии), рассмотрен специальный метод стохастических тра-
траекторий.
Прежде всего установим статистические свойства магнитного
поля при наличии ансамбля стохастических возмущений
к
Удобно ввести параметр стохастичности
± / Къ-rjl, A47)
который сравнивает суммарную толщину двух магнитных островов
с расстоянием между ними как это показано на рис. 10. Если зна-
значение s превышает единицу, то в области между цепочками остро-
островов магнитные поверхности оказываются разрушенными.
В той области, где происходит эргодическое блуждание сило-
силовых линий, маленький кружок радиуса /о проектируется вдоль си-
силовых линий в сложную вытянутую фигуру, которая, однако, име-
имеет ту же площадь, что начальный кружок, поскольку V • В=0. Про-
Проектирование кружка /0 по магнитному полю изображено на рис. 11.
Одна из сторон проектируемой площади при этом вытягивается до
z/Lc), A48)
где Lc=TvRJ\n (ns/2). Это явление получило название стохастиче-
стохастической неустойчивости траекторий. Для того чтобы площадь проек-
проекции сохранялась ее, толщина б (г) должна соответственно падать:
б(г)=/,оехр {—z/Lc),
как это показано на рис. 11,6.
420

Когда вытягивание l(z) превысит поперечную корреляционную
длину б, различные области, разделенные расстоянием б, начнут
развиваться независимо друг от друга. Этот процесс показан на
рис. 11,б. Это условие l(z) =6=1/Д^х и определяет корреляцион-
корреляционную длину для данной площади
o^U In F//o). A49)
Если L^>Lc0, то магнитное проектирование эквивалентно случай-
случайному блужданию со среднеквадратичным смещением
<Ar2>=2DFL, A50)
где
Вх(к)
в
»(*„)
(I51)
— коэффициент диффузии силовых линий магнитного поля.
Рис. 11. Стохастический режим сильного перекрытия островов 5^1. Маленький
кружок (а) проектируется вдоль магнитного поля в вытянутое волокно (б).
Это явление называется стохастической неустойчивостью траекторий. Дальней-
Дальнейшее проектирование после того, как длина волокна на рис. 8,6 превысит попе-
поперечное корреляционное расстояние б, показано на рис. в [57]
Рассмотрим теперь движение небольшого сгустка электронов,
ведущие центры которых следуют вдоль магнитных силовых ли-
линий. Сгусток электронов с малым радиусом ге движется вдоль по-
поля, проектируясь в сложные тонкие волоконца толщиной
геехр (—z/Lc), до тех пор, пока в среднем на расстоянии г=Хе=
= ve/ve электроны не начнут испытывать столкновений. При усло-
условии, что A,>Lco, к моменту начала столкновений среднеквадратич-
среднеквадратичный поперечный разброс начального сгустка <&r2>=2DFX. После
столкновения тонкие волокна расширяются до размера ге, и цикл
для них последовательно повторяется снова. Такой процесс ведет
к диффузии тепловой энергии
Xe = ±-(Ar*)ve = veDF. A52)
421

Напомним, что при выводе A52) считалось ke^Lc^l/kk. Мы го-
говорим здесь о переносе электронной тепловой энергии, а не самих
электронов, так как перенос частиц нельзя рассматривать без уче-
учета возникновения амбиполярного потенциала.
В столкновительном режиме X<^LC электроны успевают много
раз изменить направление движения вдоль поля, прежде чем до-
достигнут области с некоррелированным магнитным полем.
В ходе продольной диффузии kz2=l\\et сгусток электронов за
счет столкновений расширяется поперек поля со скоростью (%j_etI12,
тогда как проектирование вдоль поля сжимает era до толщины
ехр (—z/Lc). Оба процесса компенсируют друг друга, если толщи-
толщина сгустка становится порядка ^с(^1е1% и e)lf2- Малая область с та-
таким радиусом перестает быть полностью коррелированной в мо-
момент, когда
Хц.I/2 ехр(- z/Lc)
Это условие позволяет найти столкновйтельную корреляционную
длину
Lcb = Lcln^-j-{1^\ J. A53)
Характерное время параллельной диффузии отсюда соответственно
равно tb=^L2cblY<\\e-tb можно представить себе как промежуток вре-
времени, в течение которого частица вращается вокруг данной сило-
силовой линии магнитного поля, перед тем как, испытав столкновение,
перескочит на новую некоррелированную силовую линию. Слу-
Случайное блуждание электронов идет в столкновительном пределе
с временным шагом ^ и средним пространственным шагом
<Ar2>=DFLc6. Теплоперенос в этом случае можно оценить как
%\\е N
Легко заметить, что бесстолкновительный перенос A52) в LJX раз
превышает столкновительный результат A54). С точностью до ло-
логарифмического множителя столкновительная теплопроводность %е
имеет простой вид:
к которому мы независимо придем в следующем разделе, рассма-
рассматривая перенос за счет магнитной турбулентности в гидродинами-
гидродинамическом приближении.
Дрейфовые волны и тиринг-моды с масштабами k „ Я*>Л, k± p^^—-1
имеют в современных экспериментах по удержанию плазмы до-
достаточно высокие амплитуды, чтобы по оценкам [57] попасть в ре-
режим сильной стохастичности, где диффузия поля DF^R<§B2X>IB2,
а %е определяется одним из выражений A52), A54).
4.4. Электронная теплопроводность в плазме с магнитной тур-
турбулентностью. Гидродинамическое приближение. Проблема ано-
422

мального электронного теплопереноса за счет стохастических маг-
магнитных возмущений была рассмотрена Б. Б. Кадомцевым и
О. П. Погуце [58] в приближении магнитной гидродинамики. В ка-
качестве исходного было взято уравнение
V.q=0, A55)
в котором локальный тепловой поток q определялся столкнови-
тельным выражением
(I56)
где продольная теплопроводности хн превышает поперечную х±
на несколько порядков величины. Столкновительньте значения этих
величин определяются приближенными выражениями
Xи = д^/вд, Х± = nTevelme<»\e и XJX„ = (v>J = f.
Значения у предполагаются здесь очень малыми. Вектор h вдоль
магнитного поля можно представить в виде суммы
h=?+b A57)
постоянного вектора в направлении внешнего магнитного поля и
малой стохастической векторной добавки b = 8Bj_//?. Из уравнения
A56) нетрудно заметить, что для F2)Х„ ^%± вклад в поток q за
счет параллельного переноса становится сравним с вкладом от по-
поперечной теплопроводности.
Поскольку Во = const, стоуастическое магнитное поле Ь(г_|_-г)
должно быть бездивергентно у, •Ь=0. Стохастическая компонента
характеризуется:
1) &о=<&2>1/2 — малым среднеквадратичным значением;
2) изотропностью в плоскости, перпендикулярной внешнему
магнитному полю;
3) расстоянием б — корреляционной длиной в поперечном на-
направлении;
4) продольной корреляционной длиной Lc.
Для простоты мы будем опускать ниже логарифмические мно-
множители, которые отличают LC) Lc0 и Lc6.
Уравнение для поперечной координаты г точки, следующей
вдоль силовой линии, имеет вид:
z
>-j.(z)=JbIr(z'), z'\dz'. A58)
О
В пределе малых fe0 квазилинейное приближение при больших зна-
значениях z дает для (г2± (г))
(г2_)=4?^г, A59)
где
+ 00
DF = ~ ^ (b@. г)Ь(О, O))dz. A60)
4
—00
423

Продольную корреляционную длину Lc можно ввести, исходя из
соотношения
DF = ±b\Le. A61)
Отсюда процесс квазилинейной диффузии магнитного поля
можно представить в простом виде
{r*) = b\Lez для г > Le.
В квазилинейном приближении мы пренебрегли зависимостью
от г (г) в уравнении A60). Это справедливо, только если
где б — корреляционная длина в поперечном направлении. Таким
образом, если ввести амплитудный параметр
#=&0Lc/6, A62)
то применимость квазилинейного описания определяется условием
Я<1
Для расчета диффузии поля DF в режиме /?>1 Кадомцев и
Погуце [58] использовали статистическую теорию турбулентности,
развитую в работах Дюпри [31]. Обозначим N (г, z) сохраняющую-
сохраняющуюся величину — плотность магнитных силовых линий. Условие со-
сохранения дает уравнение для магнитного переноса
^L + b-VN(rrz) = 0. A63)
Расщепляя плотность N на среднее значение N и флуктуирующую
часть А/7, придем к известной системе уравнений для описания тур-
турбулентности
6'(к) dk, A64)
Отсюда уже нетрудно получить
где множитель 1/2 возникает при угловом усреднении изотропного
спектра;
= -^-fdr(b@)b(r))exp(-ik-r)
— фурье-спектр изотропной корреляционной функции магнитных
флуктуации.
Если &kz> kj_DF, уравнение A64) сводится к квазилинейному
выражению A61), где
424

Для больших амплитуд /?>1 основную роль играет поперечная де-
-корреляция k2±iDF>Akz и уравнение A64) дает:
k^.V. A65)
k I
Таким образом, коэффициент диффузии магнитного поля DF в за-
зависимости от R выражается приближенными соотношениями:
b\Lc для*=Ш«<1;
г = бл/*>1 A66)
Обратимся теперь к решению уравнений_A55), A56). Разделяя
электронную температуру Те на среднюю Те и флуктуирующую Т'е
части, после линеаризации получаем для T'e(k)
(k\ + fk±) 77 (k) = i k2bx (k) -^. A67)
Среднее значение поперечной компоненты теплового потока при
этом составляет
A68)
Если ограничиться рассмотрением не слишком малых амплитуд
60>'Yz=ve/'@ce и считать, что R<1, то для эффективного переноса
в случае Д&2>у&х из уравнения A68) можно получить результат
Х.= (ХВХ±) ^_j = J—Д—j, A69)
соответствующий квазилинейному приближению. Здесь
(XaXj)W=DB = cT.leB A70)
и предел применимости квазилинейных выражений достигается при
Ыс^б. A71);
В случае 5Cj_—>0 формула A69), при выводе которой пренебре-
галось членами более высокого порядка по Ь, становится неприме-
неприменима. В работе [58] рассмотрен и этот нелинейный режим b$>yJR.
Значение аномальной теплопроводности здесь составляет
для Я =
В обеих рассмотренных областях по параметру Хц/Xj^ аномаль-
аномальная теплопроводность выражается через диффузию магнитного
поля
%e=DFv A73)
и некоторую среднюю скорость и = ЗСц/?*, где ^ — характерная
длина переноса возмущений температуры. В бесстолкновительном
425

случае v=ve. С точностью до логарифмических множителей поряд-
порядка единицы формула A73) с DF=b\Lc согласуется в этом случае
с выражениями A52) и A54) и позволяет экстраполировать ре-
результаты для %е за пределы применимости квазилинейного ре-
режима.
Поскольку плазма обладает высокой электропроводностью,
естественно считать, что §В± связано со смещениями плазмы g^
—'б, которые искривляют магнитное поле 6B^B^6/LC [58]. Магнит-
Магнитная турбулентность, вызванная такими смещениями, достигает
уровня /?^1. В этом режиме %е относительно слабо зависит от у=
(^/^)V2 и, как следует из уравнений A70) — A73),
для Xe<Lc;
K>L A74)
Для низкочастотных флуктуации дрейфового типа естественным
масштабом разрушения и пересоединения магнитных силовых ли-
линий служит толщина бесстолкновительного скин-слоя 6 = с/соре.
Это связано с тем, что при достаточно низких частотах магнитные
поверхности на этом масштабе вморожены в электронную компо-
компоненту. В работе [58] предполагается, что толщина с с/\(оре может
служить мерой корреляционной длины в поперечном направлении.
После этого формула A7?) для аномальной электронной теплопро-
теплопроводности принимает вид:
Х' = -7--Г- M*v,<v.lLe. A75)
?де корреляционная длина в продольном направлении Lc пред-
представляет теперь просто эффективную длину системы. В тороидаль-
тороидальных установках с главным радиусом тора R и параметром запаса
по винтовой устойчивости q (q носит также название обратного
вращательного преобразования) эффективная длина Lc=qR.
В .этом.случае выражение A75) согласуется с эмпирической фор-
формулой, которая предлагалась Окавой для объяснения зависимости
ЗСе'от параметров плазмы, наблюдавшейся в экспериментах по то-
тороидальному удержанию.
4.5. Уровни насыщения тиринг-мод и дрейфовых неустойчивостей в плазме
с конечным р. Градиент электронной температуры дестабилизирует коротковол-
коротковолновые тиринг-возмущения, называемые также микротиринг-модами-. В результате
развития этих неустойчивостей в окрестности резонансных поверхностей к-В=0
возникают заметные поперечные флуктуации магнитного поля #BJL(?). Выше,
в п. 4.1—4.4, мы показали, как эти флуктуации связаны с процессами аномаль-
аномального переноса частиц и тепла.
Обычная длинноволновая тиринг-мода имеет источник своего развития в ре-
резервуаре магнитной энергии, созданной бессиловыми плазменными токами j||B
(см. статью Р. Байта в т. 1). Несмотря на то, что перенос, вызванный развитием
магнитных возмущений, играет важную роль в динамике подобных систем, этот
круг задач лежит несколько в стороне от рассматриваемой нами проблемы ано-
аномального переноса за счет макроскопических градиентов параметров плазмы.
426

Микротиринг-мода, связанная с градиентом электронной температуры, в столк-
новительном пределе рассматривалась в [59], где был проанализирован квази-
квазилинейный режим, обсуждавшийся в п. 4.2. Турбулентная диффузия уГе через
данный магнитный остров приводит к насыщению неустойчивости, когда магнит-
магнитная турбулентность достигает уровня
>1/2 ' •> v 1/2
A76)
где ре — гирорадиус электронов и гт — характерный масштаб неоднородности
электронной температуры.
Нелинейный анализ механизма стабилизации микротиринг-моды в' полу-
столкновительном случае (dte^Ve, выполненный в [60], показал, что нелинейная
перекачка энергии в другие моды за счет члена &jцВх компенсирует линейную
раскачку с инкрементом
если амплитуда флуктуации достигает величины
A77)
/ Lsb0 \ 1/2
В режиме развитой турбулентности, когда толщина острова Д& == —т— пре-
\ Ry I
вышает расстояние между резонансными поверхностями,- аномальную электрон-
электронную теплопроводность можно оценить как
Хе= ver2r = гт еВ гт
Эти результаты обсуждаются в работе [60] в связи с современными экспери-
экспериментальными исследованиями магнитной турбулентности. В работе А. А. Галеевз
[54] рассмотрена перенормировка резонансного взаимодействия электронов с ко-
коротковолновыми бесстолкновительными тиринг-модами. Характерная поперечная
длина волны магнитных возмущений, с которыми связана перенормировка, ока-
оказывается порядка толщины бесстолкновительного скин-слоя с/соре. Уровень тур-
турбулентности, при котором достигается стабилизация, имеет по оценке А. Д. Га-
леева [54] величину
в
A79)
где fey — среднее параллельное волновое число, определяющееся геометрией си-
системы и широм магнитного поля. Интересно, что в обозначениях п. 4.4 уровень
насыщения A79) соответствует переходной точке Я = Ь0Ьс/$^1, где считается,
что д^с/(йре и Lc=l/?|| . Тиринг-неустойчивость, стабилизирующаяся на уровне
A79), как раз дает пример задачи, в которой аномальная электронная тепло-
теплопроводность описывается формулой A75), полученной в конце предыдущего
раздела.
427

Уровень насыщения дрейфовой неустойчивости в плазме с конечным § иссле-
исследовался в работе [61], в которой использовался перенормированный электрон-
электронный пропагатор и было учтено стабилизирующее влияние шира магнитного поля.
Аномальная теплопроводность, найденная в [61], имеет величину
cTi Г L
[
s
V
J •
п 1 Г
Хе = (М та, гп еВ [ гп(\+Т(/Тс)
в (L8/rnJ раз превышающую перенос, описываемый уравнением A00). Отчасти
это связано с более высоким уровнем флуктуации. Ионные нелинейности, рас-
рассматривавшиеся нами в § 3, не учитывались в [61].
4.6. Кинетическая теория переноса при наличии магнитных
флуктуации. Связь процесса аномального теплового переноса
с магнитной турбулентностью удается понять более полно, если
для описания плазмы использовать кинетическую теорию. Рассма-
Рассматривая перенос за счет развития тиринг-неустойчивостей, А. А. Га-
леев показал [54], что потоки как частиц, так и теплоты поперек
внешнего магнитного поля должны определяться с учетом хаоти-
зации (или стохастизации) фазы взаимодействия электронов
с флуктуациями. Поперечная диффузия электронов <Дд;2>=%еТ,
например в магнитном поле с широм, приводит к расстройке фазы
взаимодействия при параллельном движении электронов. Сбой
фазы, возникающий за время т, определяется выражением
(exp
где k\\ = dk „ fdx = ky/Ls.
Чтобы описать как турбулентную стохастизацию фазы, так и
столкновительную диффузию за счет электрон-ионных \ei и элек-
электрон-электронных \ее столкновений, А. А. Галеев и Л. М. Зеленый
[62, 63] в качестве исходного взяли перенормированное кинетиче-
кинетическое уравнение с интегралом столкновений в форме Батнагара —
Гросса — Крука, сохраняющим число частиц и параллельный им-
импульс. Используя это уравнение, авторы [62, 63] вычислили флук-
флуктуирующую часть продольного электронного тока /н (k) и затем
с помощью уравнения A29) рассчитали поперечный перенос за
счет <\8Bx{k) |2>. В квазистатическом перенормированном ква-
квазилинейном режиме
A80)
общая формула для аномальной теплопроводности приобретает
вид:
\2/Эф, „ • 081)
В
к
где
^ ^2 /у' \2 /у I у \ /1 ООч

причем 5С||в = u%vei. и %±е — pzevei обозначают здесь обычные клас-
классические электронные теплопроводности вдоль и поперек внешнего
магнитного поля; Xe=v€/yei — средняя длина свободного пробега
электронов; pe=ve/(dCe — электронный гирорадиус.
Как следует из уравнения A81), ширина Д?ц корреляционной
функции составляет Дйц = (v9(j)/%||eI'2. Отсюда [легко оценить ха-
характерную длину стохастизации фазы электронов в поле магнит-
магнитных флуктуации
()m . A83)
Если ширина спектра 8Bx(k) превышает ширину корреляционной
функции Д&ц, формулу для аномальной теплопроводности можно
привести к виду
Xe = ve^-DF, A84)
где коэффициент диффузии магнитного поля DF найден нами вы-
выше [см. уравнение A51)].
В бесстолкновительном пределе ГегОэф, когда длина свободно-
свободного пробега превышает длину стохастизации фазы, электроны, как
это обсуждалось в п. 4.3, диффундируют с той же самой скоро-
скоростью, что магнитные силовые линии:
A85)
Хотя аномальный перенос и уменьшается за счет множителя
XefL*e в случае he<L*e, непосредственного перехода в столкнови-
тельный режим A54) при этом не происходит. Как показали
А. А. Галеев и Л. М. Зеленый [62, 63], между столкновительным
A54) и бесстолкновительным A85) режимами существует полу-
столкновительная область, внутри которой длина свободного про-
пробега велика по сравнению с шировой длиной Ls—'Lo, но мала по
сравнению с длиной стохастизации фазы L*e. Согласно уравнени-
уравнениям A82), A83) в области амплитуд, таких, что %е>Х±е^ Длина ?*<?
обратно пропорционально зависит от %е1/2. Выражая L*e через %е и
решая уравнение A81), найдем аномальную теплопроводность %е
на полустолкновительном участке:
Хв = Х„е6о^Ав» A86)
где bo введена нами в п. 4.4 и kv — среднее волновое число в спек-
спектре флуктуации.
Полустолкновительная формула A86) получена нами в предпо-
предположениях 3C<>>2Ci«, v^<v,,;, или, что то же самое, L*e>Xg. От-
Отсюда определяем область применимости режима A86)
429

Для амплитуды b0, меньшей, чем нижняя граница неравенства
A87), теплопроводность %е определяется классическим значением
Xj_e плюс малая добавка за счет магнитной турбулентности. Если
уровень флуктуации превышает верхнюю границу условия A87),
длина фазовой стохастизации становится меньше длины свобод-
свободного пробега электронов и теплопроводность %е должна описывать-
описываться бесстолкновительным режимом A85). При еще более высоких
амплитудах bo>6/L8 для %е должна использоваться формула %е=
=veb($x. Эти четыре области показаны в левой части рис. 12.
о
Рис. 12. Диаграмма Галеева — Зеленого [63] для различных режимов аномаль-
аномальной электронной теплопроводности за счет квазистатической магнитной турбу-
турбулентности. Диаграмма содержит результаты работ Речестера и Розенблюта [57],
Кадомцева и Погуце [58], Галеева и Зеленого [62]
Существенное влияние на аномальный тепловой поток оказы-
оказывает также конечность корреляционной длины магнитных флуктуа-
флуктуации в поперечном направлении. Введем величину 6Х=1/А>Х как по-
поперечный масштаб, на котором флуктуации магнитного поля еще
можно считать коррелированными. Имеются два основных эффек-
эффекта, связанных с конечностью 6Х. Прежде всего за счет поперечной
диффузии на расстояние 6Х дополнительно растет сбой фазы вза-
взаимодействия vэф—нУэф+*2*Хв. Кроме того, добавочная декорреля-
ция возникает при продольном движении электронов вдоль слегка
деформированных за счет 6ВХ силовых линий. Этот эффект описы-
описывается нелинейной проекцией k-B= k\\oB -\-^kx&Bx. Что касается
первого эффекта, то, сравнив k2x%€ с гЭф в уравнении A82), най-
найдем, что поперечная декорреляция становится важнее, если
— > — = kybx. A88)
Для оценки второго эффекта необходимо принять во внимание,
430

что среднее значение стохастического k ц определяется соотноше-
соотношением
{k\) = k\+k\bl A89)
откуда ясно, что нелинейное уширение k\\ играет доминирующую
роль при
bo> kx " ;=f> A90)
Оба эти эффекта можно включить в уравнение A81) для аномаль-
аномальной теплопроводности в поле квазистатических магнитных флук-
флуктуации
В
A91)
Приближенная замена k\ на его среднее нелинейное значение (k\)
позволяет, как показано в [63], получить все основные результаты
нелинейной теории, обсуждавшиеся в п. 4.4.
Прежде всего, как видно из уравнения A91), в квазилинейном
режиме Ь^<\6Х/Ь8 при выполнении условия A88) длина стохасти-
зации электронной фазы укорачивается по сравнению со A83)
Отсюда в случае ke<L*e легко найти соответствующую формулу
для %е:
Выражение A92) совпадает с формулой A70), полученной
Б. Б. Кадомцевым и О. П. Погуце [58], и при Ls/Xe=ky^x плавно
сшивается с выражением A86), найденным в работе А. А. Галеева
и Л. М. Зеленого [62]. Область применимости формулы A92) при
учете всех указанных ограничений показана на рис. 12. Для того
чтобы аномальная теплопроводность %€ превышала классическое
значение %^«, необходимо, чтобы
В нелинейном режиме bo>6x/L8 стохастизация фазы продоль-
продольного движения согласно уравнению A91) уже не играет сущест-
существенной роли. Очевидно, что в нелинейном режиме Ь0>дх/Ь8 в за-
зависимости от нелинейного уширения k2xb20X\{e существуют две
подобласти. В той из них, что лежит при меньших значениях 60,
уравнение A91) сводится к простой формуле
Х, = Х||#6\. A93)
Границы подобласти A93) определяются условиями (рис. 12)
¦?•<*•<¦?-¦
431

Если нелинейная продольная декорреляция играет основную роль,
то единственно возможное решение A91) существует лишь при
k2xb20%l]e ^, k2xXe, откуда вновь Хе^Х]]еЬ20. Этот результат остается
справедливым, пока длина свободного пробега %е мала по сравне-
сравнению с продольной корреляционной длиной L%. В нелинейном ре-
режиме продольная корреляционная длина L% определяется усло-
условием
Таким образом, известное и в некотором смысле „автомодельное*
выражение для аномальной теплопроводности Хе^Х11еЬ20 применимо
пока Ь0<ЦЬх/Ле. В противоположном случае Ьо^>——, —— аномаль-
ный теплоперенос определяется диффузией магнитного поля и мо-
может считаться бесстолкновительным:
A94)
Эта область показана в верхней левой части рис. 12.
В заключение заметим, что результат %е=Х11е <\6В2Х>/В2 был
выше назван автомодельным в том смысле, что он универсален,
т. е. реализуется как в случае сильных столкновений, так и для
высокого уровня магнитной турбулентности. В пределе сильных
столкновений формула Хе=Хце620 была получена Речестером и
Розенблютом [57] и обсуждалась нами выше [уравнение A54)].
Однако, как показывает выполненный в этом разделе кинетиче-
кинетический анализ, между бесстолкновительным и универсальным режи-
режимами возникает целый ряд практически важных промежуточных
областей, показанных на рис. 12, в каждой из которых имеется свое
выражение для аномальной теплопроводности.
В заключение стоит подчеркнуть, что для различных парамет-
параметров плазмы эффективными оказываются разные механизмы ано-
аномального переноса. Пока, к сожалению, нет общих правил, чтобы
определить, какая именно из приведенных в этом обзоре формул
описывает аномальный перенос в конкретной имеющейся плазме.
Однако можно сказать, что для плазмы с низким давлением долж-
должны применяться формулы F0) — F8) (это подтверждается и экс-
экспериментами, обсуждавшимися в п. 2.3). Выражения (86), (87)
для формы спектров флуктуации по к и ширины линии vk под-
подтверждаются экспериментами по микроволновому рассеянию. Вы-
Выражение (91) для ионной теплопроводности хорошо согласуется
с результатами численного моделирования. Для конечных $>me/mi
формулы (96) и A00) соответствуют эмпирическому скейлингу
(закону подобия), найденному для плазмы, удерживаемой в тока-
маке. В этом пределе выражения A74), A75), описывающие пере-
перенос за счет магнитной турбулентности, дают результаты, близкие
к (96), и также могут дать разумное приближение к эмпириче-
эмпирическим законам подобия для теплопереноса в токамаке с малым $.
Важное значение может иметь и аномальный перенос, связанный
с развитием конвективных ячеек [выражения A15) и A16)].
432

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Михайловский А. Б., Фридман А. М. — Журн. техн. физ., 1967, т. 37,
с. 1782.
2. Horton W., Choi D. —Phys. Rept, 1979, vol. 49, p. 273.
3. Horton W. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. 1269.
4. Horton W. — Phys. Lett., 1976, vol. 67A, p. 129.
5. Tang W. M. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1089.
6. Horton W. — Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 711.
7. Horton W., Estes R. D. —Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 203.
8. Гленсдорф П., Пригожий И. Термодинамические структуры, равновесие,
устойчивость: Пер. с англ. — М.: Мир, 1973.
9. Coppi В., Spight С —Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 551.
10. Liu С S., Rosenbluth M. N., Horton С W. — Phys. Rev. Lett., 1972,
vol. 29, p. 1489.
11. Hendel H. W., Chu T. I., Politzer P. A. —Phys. Fluids, 1968, vol. 11,
p. 2426.
12. Hendel H. W., Coppi В., Perkins F., Politzer P. A. —Phys. Rev. Lett.,
1967, vol. 18, p. 439.
13. Boissier P., Deschamps P., Graview R., Pellat R., Renand G.— Ibid., 1973,
vol. 31, p. 79.
14. Boissier P. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 867.
15. Hinton F. L., Horton С W. —Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 116.
IS. Monticello D. A., Simon A. —Ibid., 1974, vol. 17, p. 791.
17. Stix Т. Н. —Ibid., 1969, vol. 12, p. 627.
18. Tasso H. —Phys. Lett., 1967, vol. 24A, p. 618.
19. Oraevskii V. N., Tasso H., Wobig H. — In: Proc. 3th Intern. Conf. on
Plasma Phys. and Control. Nuclear Fusion Res., Novosibirsk, USSR (International
Atomic Energy Agency, Vienna), 1969, vol. 1, p. 671.
20. Петвиашвили В. И. — Физика плазмы, 1977, т. 3, с. 270.
21. Manakov S. V., Zakharnov V. Е., Bordag L. A., Its A. R., Matveev V. В.—
Phys. Lett., 1977, vol. 63A, p. 205.
22. Петвиашвили В. И., Цвелодуб О. Ю. —Докл. АН СССР, 1978, т. 238,
с. 1321.
23. Галеев А. А., Рудаков Л. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963,
т. 45, р. 647.
24. Sagdeev R. Z., Galeev A. A. Nonlinear Plasma Theory. N. Y., W. A. Ben-
Benjamin, 1969, ch. 3.
25. Gladd N. Т., Horton W.— Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 879.
26. Lee W. W., Kuo Y. Y., Okuda H. — Ibid., 1978, vol. 21, p. 617.
27. Галеев А. А., Сагдеев P. 3. Нелинейная теория плазмы. — В кн.: Воп-
Вопросы теории плазмы. Вып. 7/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат,
1973, с. 3.
28. Fowler Т. К- — In Advanc. in Plasma Physics. Vol. 1/ Eds A. Simon,
W. B. Thompson, N. Y., Wiley, 1968, p. 201—225.
29. Кадомцев Б. Б. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 45, с. 1231.
30. Kadomtsev В. В. Plasma Turbulence. Lond., Academic Press, 1965.
31. Dupree Т. Н. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1773; 1967, vol. 10, p. 1049;
1968, vol. 11, p. 2680.
32. Galeev A. A. —Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1041.
33. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. —Докл. АН СССР, 1963, т. 150, с. 775.
34. Kraichnan R. Н. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1417.
35. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971,
гл. 2.
36. Hasegawa A., Mima К. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 205; 1978,
vol. 21, p. 87.
37. Hasegawa A., Maclennan С G., Kodama Y. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22,
p. 2122.
38. Williams G. P. —J. Atmos. Sci., 1978, vol. 35, p. 1399.
39. Fyfe D., Montgomery D. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 246.
40. Rose H. A., Sulem P. L. — J. Phys. (Paris), 1978, vol. 39, p. 441.
41. Mazzucato E. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1063.
28—3283 433

42. Goldston R. J., Mazzucato E., Slusher R. E., Surko C. M. — In: Plaspa
Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (International Atomic Energy
Agency, Vienna), 1977, vol. 1, p. 37L
43. Sudan R. N., Keskinen M. —Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 966.
44. Okuda H., Chu C, Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1975, vol. 18, p. 243.
45. Chu C, Dawson J. M., Okuda H. —Ibid., p. 1762.
46. Сагдеев Р. З., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.— Физика плазмы, 1978,
т 3 с 551
'47. Cheng С. Z., Okuda H. —Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 708.
48. Cheng С Z., Okuda H. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 587.
49. Бакай А. Г. —Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, с. 746.
50. Rosenbluth M. N., Sloan M. S. — Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 1725.
51. Berk H. L., Dominguez R. R. —Plasma Phys., 1977, vot. 18, p. 31.
52. Catto P. J., El Nadi A. M., Liu C. S., Rosenbluth M. N. — Nucl. Fusion,
1974, vol. 14, p. 405.
53. Tange T. S., Inoue S., Itoh K., Nishikawa K. —J. Phys. Soc. Japan, 1979,
vol. 46, p. 266.
54. Galeev A. A. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1353.
55. Callen J. D. —Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 1540.
56. Stix Т. Н. — Ibid., 1973, vol. 30, p. 833.
57. Rechester А. В., Rosenbluth M. N. — Ibid., 1978, vol. 40, p. 38.
58. Kadomtsev В. В., Pogutse O. P. 1978.— In: Proc. 7th Intern. Conf. on
Plasma Phys. and Control. Nuclear Fusion Res. (International Atomic Energy
Agency, Vienna), 1978, vol. 1, p. 649.
59. Hazeltine R. D., Strauss H. R. —Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. 102.
60. Drake J. F. e. a. —Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 78—87.
61. Molvig K., Hirshman S. P., Whitson J. С — Phys. Rev. Lett., 1979,
vol. 43, p. 582.
62. Галеев А. А., Зеленый Л. М. — Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, с. 669.
63. Galeev A. A., Zeeleny L. М. — Physica, 1981, vol. 2D, p. 90, Space Re-
Research Institute Report PR-501 (Academy of Sciences, USSR, Moscow, 1979).
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
И ДИССИПАЦИЯ ВОЛН В ПЛАЗМЕ*
К. МИМА, К. НИШИКАВА
ВВЕДЕНИЕ
Плазма реагирует на внешнее и (или) внутреннее электромаг-
электромагнитное поле как активная диэлектрическая среда. Если амплитуда
поля достаточно мала, то с помощью линейной теории отклика
можно корректно описывать процессы диссипации энергии и им-
импульса поля. Нелинейности отклика плазмы играют важную роль
в случае конечной амплитуды поля. В частности, возбужденное вне
плазмы электромагнитное поле нелинейно связано с собственными
модами плазмы, вследствие чего внешняя энергия преобразуется
во внутреннюю энергию плазмы.
Одним из таких процессов связи является процесс, аналогич-
аналогичный известному параметрическому резонансу, описываемому урав-
уравнением Матье [1]. Рассмотрим волну конечной амплитуды, воз-
* Пер. с англ. В. И. Шевченко.
434

бужденную в плазме. Эта волна, называемая волной накачки, мо-
может приводить к периодической модуляции параметров, характе-
характеризующих собственную моду плазмы. Если амплитуда накачки
превышает определенное пороговое значение, то собственная мода
начинает расти с теплового уровня, поглощая энергию волны на-
накачки. Неустойчивости такого типа называют параметрическими
Простейший тип параметрических неустойчивостей в плазме —
распадная неустойчивость [3—5] *, при которой волна накачки
распадается на две собственные моды плазмы. Если частоты <dj и
волновые векторы кг (/=0, 1, 2) волны накачки (/=0) и собствен-
собственных мод (/=1, 2) удовлетворяют распадным условиям o)o=<oi+uJ
и ko=ki-)-k2, то неустойчивость возбуждается резонансно даже при
очень низких амплитудах накачки. Эти распадные условия могут
не выполняться для единственной ветви собственных колебаний
плазмы, например для электронной плазменной волны, в то же
время они легко удовлетворяются для комбинации различных соб-
собственных мод. К примеру, рассмотрим незамагниченную плазму
с большим отношением электронной и ионной температур, Те/Т^
^>1. В такой плазме есть три различные ветви собственных коле-
колебаний: электромагнитная, состоящая из фотонов, электронная плаз-
плазменная, состоящая из плазмонов, и ионно-акустическая, состоящая
из фотонов. Используя их, можно сконструировать следующий на-
набор триплетов собственных мод, удовлетворяющих распадным ус-
условиям резонансной распадной неустойчивости:
1) фотон—*фотон-{-плазмон;
2) фотон—н|ютон-|-фонон;
3) фотон—кшазмон+плазмон;
4) фотон—шлазмон+фонон;
5) плазмон—^фотон+фонон;
6) плазмою—кшазмон+фонон.
Из этих шести различных комбинаций 1, 2 и 6-ю можно рас-
рассматривать как вынужденное рассеяние волны накачки другой
ветвью собственных колебаний. В частности, по аналогии с терми-
терминологией, используемой в нелинейной оптике, процессы 1 и 2 на-
называют соответственно вынужденным комбинационным рассеяни-
рассеянием и вынужденным рассеянием Мандельштама — Бриллюэна.
Процессы 3 и 4 представляются существенными для преобразо-
преобразования внешней энергии во внутреннюю энергию плазмы, в то вре-
время как процесс 5 дает вклад в радиационные потери энергии плаз-
плазмы. Отметим, что в неоднородной плазме для более точной оценки
диссипативных и радиационных эффектов следует также учиты-
учитывать процессы линейной конверсии мод.
В магнитоактивной плазме имеется большое разнообразие нор-
нормальных мод с вытекающим отсюда большим выбором при со-
составлении резонансных триплетов собственных мод. Некоторые из
* Распадные неустойчивости волн в плазме были обнаружены в работе
В. Н. Ораевского, Р. 3. Сагдеева (Журн. техн. физ., 1962, т. XXXII, с. 1291).—
Прим. перев.
28* 435

этих процессов существенны для нагрева плазмы в термоядерных
ловушках, в то время как другие вредны с точки зрения оптимиза-
оптимизации нагрева.
При больших амплитудах накачки параметрическая неустойчи-
неустойчивость может приводить к возникновению нерезонансной моды
(в том смысле, что один из продуктов распада в параметрической
распадной неустойчивости является волной, которая не существует
в плазме в отсутствие накачки). Модуляционная неустойчивость
в более широком смысле представляет собой типичную нерезонанс-
нерезонансную параметрическую неустойчивость. Другим примером может
служить ситуация, когда одна из волн, возникающих в результате
распада, сильно затухает за счет взаимодействия с частицами (не-
(нелинейное взаимодействие волна — частица). При индуцированном
рассеянии волны накачки сильно затухающей модой этот процесс
соответствует нелинейному затуханию Ландау волны накачки.
В другом случае имеет место индуцированная конверсия волны на-
накачки. Эти процессы можно исследовать только с помощью кине-
кинетического подхода, в то время как обычная параметрическая рас-
падная и модуляционная неустойчивости могут быть изучены в ги-
гидродинамическом приближении.
При теоретическом исследовании параметрических неустойчи-
востей возникают в основном проблемы трех типов. Первая заклю-
заключается в исследовании общих характеристик параметрических не-
устойчивостей (таких как порог неустойчивости, сдвиг частоты, ин-
инкремент неустойчивости выше порога, геометрические эффекты
и т. д.) в терминах линейных дисперсионных характеристик коле-
колебаний и коэффициентов нелинейной связи в предположении, что
они известны. Эта задача обсуждается в § 1. Вторая проблема —
вычисление коэффициентов нелинейной связи для каждого пара-
параметрического процесса. Хотя эта задача требует внимательного
анализа, который зависит от специфики рассматриваемого процес-
процесса, в § 2 дан некоторый общий анализ, полезный для получения
необходимой информации. В самом деле, нелинейное взаимодей-
взаимодействие волна — частица можно должным образом исследовать,
только осуществляя такой анализ. Третьей, наиболее трудной,-
проблемой является нахождение нелинейного механизма насыще-
насыщения параметрической неустойчивости. Краткое описание этой за-
задачи дано в § 3. В § 4 приведены примеры, которые важны при
изучении взаимодействия лазерного излучения с плазмой.
1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Здесь постулирован набор уравнений, которые описывают па-
параметрическую связь возбуждаемых волн, и исследованы основ-
основные свойства параметрических неустойчивостей. Рассуждения, при-
приведенные здесь, применимы к большой группе наиболее важных
параметрических неустойчивостей: единственным существенным
исключением является случай, когда один из продуктов распада
436

сильно затухает из-за взаимодействия волна — частица. Тогда не-
необходим более точный кинетический подход (см. ниже).
В п. 1.1 рассмотрена модель уравнения Матье и указаны три
важных свойства резонансных и нерезонансных распадных неус-
тойчивостей: резонансное усло-
условие, наличие порога и синхрони-
синхронизации частот для резонансной и
нерезонансной распадных неус-
тойчивостей. В п. 1.2 анализ рас-
расширен на случай связи различ-
различных собственных мод. Пункт 1.3
посвящен некоторым свойствам
резонансных распадных неустой-
чивостей, а также исследованию
конвективной и абсолютной при-
природы неустойчивости. В п. 1.4 об-
обсуждается влияние простран-
пространственной неоднородности среды и
конечности пространственных
размеров накачки на резонанс-
резонансную распадную неустойчивость.
Наконец, в п. 1.5 рассматривает-
рассматривается роль немонохроматичности Рис. 1. Устойчивые и неустойчивые
ВОЛНЫ накачки И фоновых флук- области для различных значений па-
раметров BЙо/о)ОJ и еBЙ0/оHJ.
1
Заштрихованные области соответст-
соответствуют неустойчивости
туаций.
1.1. Предварительный анализ
с помощью модели уравнения
Матье [5]. Рассмотрим сначала уравнение Матье, записанное
в виде
d2X(t)Jdt2Jr&2o [I—2ecos (о**)] X(t)=0. A)
При 8=0 это уравнение сводится к уравнению простого гармони-
гармонического осциллятора, характеризуемого частотой Qq. При е=7^=0при-
е=7^=0приведенное выше уравнение описывает периодическую модуляцию Qo
частотой tcoo. Общие периодические решения выражаются через
сеп(со0г/2, eiQ20/8) (n=0, 1, 2, ...) и sen(co0//2, &Q?0/8) (n=l, 2, ...),
где cen (xf q) и sen (#, q) — функции Матье п-то порядка с моду-
модулем q. Если (Оо/йо попадает в заштрихованную область на рис. 1,
то имеет место неустойчивость с возбуждением колебаний X(t)
[6]. При малой глубине модуляции, т. е. при е>1, неустойчивые
решения ограничены областями
л = 1, 2, ..., B)
которые соответствуют распадным или резонансным условиям.
Например, если одно из этих условий выполняется, то благодаря
модуляции возникает сильная связь между двумя собственными
колебаниями X—ехр (—vSiot) и X—exp (iQoO» приводящая к уси-
усилению собственных колебаний за счет энергии модулятора, кото-
который играет роль волны накачки. Отметим, что резонансное усло-
условие B) аналогично условиям брэгговского отражения электронов
437

в периодическом потенциале в твердом теле [7]. Не проводя об-
общего анализа уравнения A), ограничимся рассмотрением слабой
модуляции, т. е. г<С1, и исследуем решение методом возмущений.
Используя преобразование Лапласа
X
перепишем уравнение A) в виде
D (со) X («>) = - eQ2e [X (ш - a>e) + X (cd + ю,)], D)
(t)= J exp(-i«rf)A»-g-, 8>0, C)
—oo+i5
где
?)(о))=оJ—QV E)
Левая часть уравнения D) представляет собой линейный вклад,
и соотношение Ь(со)=0 дает линейное дисперсионное уравнение.
Правая часть уравнения D) описывает связь между модами, ко-
которая обусловлена модуляцией частоты собственных колебаний.
Заменяя в уравнении D) со суммой ш+жоо (/г=0, ±1, ±2, ...),
получаем следующую рекуррентную формулу:
D (со -|- Па\) X (го -|- flw0) =
= - &\ {X [со + (П - 1) «.] + X [со + {П + 1К]}. F)
Из уравнения F) следует, что для получения точного дисперсион-
дисперсионного соотношения для связанных мод необходимо решить беско-
бесконечный набор уравнений. Точное дисперсионное соотношение дает
собственные значения уравнения Матье. Однако в предположении
слабой связи мод можно удержать только несколько основных
мод, чтобы выяснить физические процессы, описываемые взаимо-
взаимодействием волна — волна.
А. Рассмотрим сначала случай Q0^W2, который соответствует
я=1 в уравнении B). При этом сильная связь возникает при вы-
выполнении соотношения co^dQo, а отклики Х((о) и Х(ю>—щ) нахо-
находятся в резонансе с собственными колебаниями. Таким образом,
ограничиваясь только этими двумя модами, получаем дисперси-
дисперсионное уравнение
D (<o) D (<о— <оо) =8^Q40. ' G)
Далее, учитывая тот факт, что co^Qo и <о—<о)о=—?2о, можно вос-
воспользоваться резонансным приближением, которое означает сле-
следующую аппроксимацию:
?>((о)=2йо(со—по); ?>(со—со0) =— 2Qo((o—Qo—A), (8)
где А=соо—2iQo- Величину А называют сдвигом частоты. Подстав*
ляя (8) в G), получаем
- •iQ\). (9)
Две связанные моды X(w^Q0) и Х(&—со@^—Qo) становятся
неустойчивыми при выполнении условия
82>Д2/й2о. A0)
438

Линии A/iQ0=±e дают границу неустойчивости, которая представ-
представлена заштрихованной областью а на рис. 1> Для данного сдвига
частоты А величина |A/Qo1. представляет собой пороговую глубину
модуляции. Реальная частота нарастающих решений
A1)
не зависит от собственной частоты. Это явление называют синхро-
синхронизацией частот.
Инкремент выше порога определяется соотношением
у= A/2) (e2Q2o-A2I/2<(e/2)Qo. . A2)
Максимальное значение инкремента 7макс=«юо/2 достигается при
отсутствии сдвига Д=0. Этот процесс соответствует распаду волны
накачки на две собственные моды с частотами ±соо/2^=НЙо и,
следовательно, является частным случаем параметрической распад-
ной неустойчивости.
Б. В качестве следующего примера рассмотрим случай Й0^о>о,
который соответствует п=2 в уравнении B). При этом отклики
^(icodh'oao) могут находиться в резонансе с собственной модой при
малых со (о)^0). В общем случае можно положить (о=/соо, чтобы
осуществить связь двух резонансных колебаний X [со—(/±1)соо],
/=0, ±1, ±2 ... Так как коэффициент связи порядка s|/l+1, в са-
самом низком порядке связь возникает через моду с /=0. Отметим,
что мода Х(ю^О) —нерезонансная; таким образом, в отличие от
случая А, когда два резонансных колебания были непосредственно
связаны между собой, здесь они связаны только через нерезонанс-
нерезонансную моду. Строго говоря, параметрическая связь в низшем порядке
возникает и через моды J(o)zb2o)o). Однако эффект самого низкого
порядка, возникающий через моды Х(ко±2о)О), состоит просто в по-
появлении самовоздействия каждой резонансной моды Х(ю)-}~<»>о) или
Х(со—coo) и не дает вклада в связь этих двух резонансных мод.
Поэтому для простоты пренебрежем влиянием Х(со±2соо) и учтем
только влияние моды Х(а>).
В этом приближении, полагая в уравнении F) л=0, /г=±1,
можно получить следующее дисперсионное соотношение:
A3)
Как и ранее, рассмотрение ведется в резонансном приближении
D (<о±<оо) ^±2Q0 (o)dz б), A4)
где б=соо—&о — сдвиг частоты. Представляя приближенно D(co)
Ь виде D@)=—й20, получаем уравнение
<o2=6(e2Qo-b6), A5)
имеющее нарастающее решение при условии, что сдвиг частоты
находится в области
A6)
439

которая представлена на рис. 1 заштрихованной областью Ь. Важ-
Важное значение этого результата состоит в том, что неустойчивость
возникает только тогда, когда частота модуляции со© немного
меньше собственной частоты Qo» Пороговое значение глубины мо-
модуляции дается соотношением е=(—6/Q0I/2> которое обращается
в нуль при 6=0. Инкремент при этом также равен нулю. Для за-
заданного е максимальный инкремент
Тмакс=е2Йо/2 A7)
достигается при F=—e2Qo; 7макс, определяемое A7), в в раз меньше
7макс для п=0. Это обусловлено тем, что для возникновения пара-
параметрической неустойчивости необходима связь двух резонансных
мод через нерезонансную.
Отметим, что нерезонансная нарастающая мода имеет нулевую
вещественную часть частоты (gv=0), вследствие чего неустойчи-
неустойчивость называют апериодической. Ее можно также рассматривать
как частный случай модуляционной неустойчивости, которая явля-
является неустойчивостью высокочастотных колебаний, обусловленной
медленной (сог=0) модуляцией их амплитуд и фаз. Вещественные
части частот обеих резонансных мод Х(*о±щ)9 которые возбуж-
возбуждаются при этом, в точности равны Чпюо. Все три моды Х(ы) и
Х((о=Ьсоо) растут одновременно с одним и тем же инкрементом, но
их амплитуды различаются:
В заключение обсудим влияние затухания собственных колеба-
колебаний. Этот эффект можно описать уравнением A), представленным
следующим образом:
d2X/dt2+2TdXJdt-\- (Q20+r2) [ 1 —2-е cos («юО ] *=0. A8)
При е=0 это уравнение описывает собственную моду в виде Хг^
^exp [zfciQo^—Г/]. Уравнение A8) можно свести к A) с помощью
преобразования X(t)=X(t) exp (Г/). Поэтому для X(t) возможен
тот же анализ, что и в отсутствие затухания. Учет затухания тогда
просто приведет к уменьшению инкремента от у до у—Г.
Таким образом, ненулевой порог имеет место даже в условиях
оптимальной частоты накачки, а именно:
82QV4>r2 для случая А; A9а)
e2Q0/4>r для случая Б. A96)
Отсюда следует, что минимальный порог для случая А ниже (в от-
отношении Г/Qo), чем порог для случ&я Б.
1.2. Анализ с помощью уравнений связанных мод. В рассмот-
рассмотренном выше примере предполагалось, что возбуждена только одна
собственная мода с частотами ±йо- Однако в реальной плазме мо-
могут быть связанными друг с другом различные собственные моды,
имеющие разные характерные частоты. Частота собственной моды
440

зависит как от волнового вектора, так и от ветви колебаний, к ко-
которой принадлежит мода. Хотя в общем случае механизм связи
мод сложен, элементарный процесс их связи часто может быть
описан простым обобщением уравнения Матье.
Рассмотрим две ветви собственных колебаний, например низко-
низкочастотную, или L-моду, и высокочастотную, или Я-моду, собствен-
собственные частоты которых соответственно равны соь(к) и <он(к) (о>ь<
<сон), где к — волновой вектор. Пусть XL (k, t), Хн(к, /) — фурье-
компоненты откликов L- и Я-мод.
Представляя волну накачки в виде
Z(r, /)=2Z0cos (k
запишем уравнения связанных мод в следующей форме:
X exp (- i fojt) + A^XH (k - k0, /) exp (i ш,*)}; B0)
t) =
B1)
где, как и в случае Б, учтена связь двух высокочастотных мод
^н(к±ко, t) через низкочастотную моду XL(ky t). В левых частях
уравнений B0), B1) учтены линейные декременты Гь и Ги. Вели-
Величина связи определяется произведением ампл.итуды накачки Zo и
коэффициентов связи Х± и \i±.
Если связанные уравнения B0), B1) записать в представлении
преобразования Лапласа, то, как и в уравнении Матье, связыва-
связывается друг с другом бесконечное число компонент Фурье — Лапласа
L- и Я-мод Xb(k+/zko, <o+auoo) и Хя(к+тк0, со+т<оо) (п> т=0,
±1, ±2, ...). По аналогии с уравнением Матье в пределе слабой
связи удержим только моды XL(ky <o) и Aja^k+ko, (o±jo)o)' В этом
пределе дисперсионное соотношение для высокочастотной моды
приближенно записывается в виде
^0. B2)
Линейная дисперсионная функция для низкочастотной моды
не обязательно близка к нулю, как это было в случае Б для урав-
уравнения Матье. Связанные уравнения тогда можно представить сле-
следующим образом:
DL(k, (о)Хь(к, со)=г0|>+Хн(к+ко, ©+©<,)+Л^Хл(к—к0, ю—©о)];
B3)
, <о±щ)Хн(к±к0у <о±соо)=?о|^*ь(к, со), B4)
441

где коэффициенты Л±, [i± предполагаются постоянными. Уравнения
B3) и B4) дают дисперсионное соотношение
1 _ Z\ f Ъ+Р+ I
D(k«) ^/)(к + к« + ©) ~

?>я(к-к0, ю-ю.
которое аналогично уравнению A3). В рассматриваемом случае
слабой связи, когда Z^oltaH*! <1, уравнение B5) может иметь не-
неустойчивые корни только тогда, когда по крайней мере два корня
линейных дисперсионных уравнений DL и DH совпадают друг
с другом. Возможны две ситуации:
a) jDb(k, со)^0 и DH(k+k0, со+со0)^0 или DH(k—k0, со
б) /?н(к+к0, (о+соо)^0 и DH(k—ко, <о—с
Случай «а» относят к резонансной связи типа распада или резо-
резонансной трехмодовой связи, случай «б» соответствует связи нере-
нерезонансного типа.
Для упрощения предположим, что Гь=Гн=0 и (дь^^н—<&о-
В резонансном приближении представим высокочастотную диспер-
дисперсионную функцию в виде
-- a z±=5), B6)
где 0н(к±ко)=(о±н и введены параметры
а=(со+н-(о-я)/2; B7)
-л)/2. B8)
Довольно часто коэффициенты связи Я+^-ь и Я-И- вещественны
и одинаковы, поэтому в дальнейшем ограничимся случаем
22оЯ+[л+/со+нсоь=:^2оЯ-И'~/(о~нсоь = 820)о0)ь, B9)
где е — безразмерный малый параметр, который характеризует
силу связи.
Дисперсионное уравнение тогда сводится к следующему просто-
простому виду:
(со2—со2ь) [ (со—аJ—62]=—82со0со2ьб. C0)
Легко показать, что уравнение C0), как упоминалось выше, имеет
комплексные корни двух различных типов. При низкой мощности
накачки один из них появляется при со^+оI^а±.6, т. е. при
соо^соь(к)+сон(к±ко). C1)
Это соотношение называют условием резонансного распада или
условием согласования частот для резонансного распада. Другой
неустойчивый корень при слабой мощности накачки возникает, ее-
442

ли |6|<<dl. Это соответствует модуляционной неустойчивости
(рис.2).
При учете слабого затухания @<Гь<<оь, 0<Гн<сон) диспер-
дисперсионное соотношение C0) принимает вид:
[ (o)+irbJ-<iJL] [(со+1Гн-аJ-^] =—i
т. е. в уравнении C0) можно просто заменить со величиной
или co+iFir.
Резонансные распадные
неустойчивости. Без потери об-
общности можно ограничиться случаем
о)^соь>>0. При выполнении условия
резонансного распада можно исполь-
использовать резонансное приближение
\2 гл2г^>~9,т
C2)
C3а)
(ю+1Гя—aJ—i^
C36)
Дисперсионное уравнение C2) тогда Рис- 2- Кривые, изображаю-
сводится к следующему; ^^1
b—(dL) (со+1Гн—а—б)=
C4)
МУМ левой части находится
между e^cooco2L|6| и — е2со0Х
2|б|
Решим уравнение C4), подставляя в него <o=<or+iY и разделяя
уравнение на вещественную и мнимую части. Прямые вычисления
показывают, что максимальный инкремент уМака получается при
точном выполнении распадного условия
соь=а+б=«о—<он (к—ко)
и определяется из уравнения
(Тмакс+Гь) (^макс+Гн) =82О)О0ь/4.
При Гь=Гн=0 из C6) следует
7макс = Т0= (82С000)ь/4) 1/2.
Полагая в C6) ?макс=0, находим порог неустойчивости
C5)
C6)
C7)
C8)
[ср. с соотношением A9а)].
В частном случае, когда одновременно выполняются условия
1*1 <©ь и соь=а+6^а, резонансное приближение C36) не может
быть использовано. При этом групповая скорость высокочастотной
моды близка к фазовой скорости низкочастотной моды. Такую
443

связь иногда называют индуцированной модуляционной неустойчи-
неустойчивостью [8]. Максимальный инкремент и соответствующая частота
в этом случае определяются соотношением
com=(l/2)[(e2/2)<oo(Ob|i6.|]1/3(=Fl+i/3), C9)
где знак минус (плюс) соответствует б>0 (б<0).
Неустойчивости нерезонансного типа. Рассмотрим
сначала случай |<б| < |<о|^|а|. При этом уравнение C2) сводится
к виду
(а2—о)\) [ (co+ilV-аJ—б2] =—б2а)Осо2ьб, D0)
где мы пренебрегли величиной TL. Отметим аналогию этого урав-
уравнения с уравнением A5). Если а2<<д2ь, то нарастающее решение
существует при <б<0 с вещественной частью частоты o)r=ia, не за-
зависящей от б и <оь (синхронизация частот). Максимальный инкре-
инкремент
Тмакс=_Гн+ A/2) eW2L/(GJL—a2) D1)
достигается при
6=— (82/2)o)Oo)V(co2l—a2). D2)
Пороговая интенсивность определяется из уравнения D1):
. D3)
Если а2>о2ь, то нарастающее решение существует при условии
6>0.
Нерезонансные неустойчивости, описанные выше, иногда назы-
называют модуляционными в широком смысле этого слова. В более
узком смысле термин «модуляционная неустойчивость» применяют
для случая | к | < | к01, <оо=<он (ко).
Поясним физический механизм модуляционной неустойчивости
в узком смысле. Для достаточно малых |к| можно аппроксимиро-
аппроксимировать |<х| и б соответственно выражениями |к&он(к0)fdk01 и
— (к(?/^коJ<он(ко)/2, где мы положили <оо=ю)н(ко). Для большей
ясности ограничимся случаем |а|'<оэь, когда модуляционная не-
неустойчивость появляется при б<0, т. е. при <Э2'Ю#(к0)/дк2о>0. Пре-
Пренебрегая Гн, имеем из уравнения D0)
(со—а) 2=б2+е2^со2ь'б/ (со2ь—а2). D4)
Левая часть этого уравнения есть квадрат частоты модуляции
в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью волны на-
накачки. Из уравнения D4) тогда следует, что частота модуляции
уменьшается с ростом амплитуды накачки. Именно, если высоко-
высокочастотная волна накачки промодулирована, как указано на рис.
3,а, то модуляция волны распространяется медленнее (в системе,
движущейся с групповой скоростью) в областях с большей интен-
интенсивностью, что приводит к «уплощению» модуляции. Такое упло-
444

щение вызывает изменение групповой скорости или линейной ско-
скорости распространения модуляции. Так как д2сон/д?20>0, позади
гребня модуляция возмущения распространяется быстрее, чем
впереди него (рис. 3,6). В результате модуляция усиливается.
Интересен также случай |а|«с|8|. Пренебрегая а в уравнении
C0), получаем квадратное уравнение для со2, которое можно легко-
решить относительно со2. Можно ожидать появления комплексных
(со2—комплексное число) и апериодически нарастающих (со2<0)
решений. Подробное исследование показывает, что комплексное
Рис. 3. Физический механизм
неустойчивости при а ^сог^0
и d2(dH/dk02>0:
а — начальная модуляция; б —
уплощение, обусловленное движе-
движением биений; в — усиление моду*
ляции, обусловленное эффектом
групповой дисперсии
решение имеет место при 6>0, в то время как апериодическая не-
неустойчивость возникает при /&<0. Комплексное решение ири малых
амплитудах накачки соответствует резонансной распадной неус-
неустойчивости, уже обсуждавшейся выше, а апериодически нарастаю-
нарастающее решение при &<0 — случаю Б (см. п. 1.1), оно возникает при
82>—(б/@о
с максимальным инкрементом
7макс=85СОо/2 При 6=—7макс-
D5>
D6)
В плазме такая неустойчивость имеет место, когда а исчезает при
специальном выборе k и ?0 или когда длина волны накачки бес-
бесконечна (дипольная накачка). Первый случай называют неустой-
неустойчивостью филаментации [9, 10], последний — осциллирующей
двухпотоковои неустойчивостью [5].
При достаточно больших амплитудах накачки могут возникать
неустойчивые моды с большим сдвигом частоты по сравнению с ча-
частотой, определяемой из линейного дисперсионного соотношения.
В частности, при |<о2|><оJь, а2 и Т2Н уравнение C2) сводится
к следующему:
со2 (о>2—б2) =—e2co0GJiA D7)
которое имеет неустойчивые решения двух типов: <iy=iy (аперио-
(апериодически нарастающее) при >6<0 и <со=1сог-Ну (<огФ0) при б>0. Ма-
445

ксимальные инкременты и значения б, при которых они достига-
достигаются, определяются соотношениями
@ =
D8)
Эти неустойчивости называют неустойчивостями квазиреактивной
моды [3, 11].
Классифицируем различные параметрические неустойчивости,
обсуждавшиеся в этом параграфе. На рис. 4 приведена диаграмма,
pph *7
^ОДПН ила НФ
V/////////////////
///////////> //////
8>О
КГ.,
ИМ
'//////
///////
У//////Л
РРН
н
(к
////////
РРН
Рис. 4. Классификация различных парамет-
параметрических неустойчивостей:
РРН — резонансная распадная неустойчивость;
МН — модуляционная неустойчивость; ИМН —
индуцированная модуляционная неустойчивость:
ОДПН — осциллирующая двухпотоковая неустой-
неустойчивость; НФ — неустойчивость филаментации
описывающая соотношение между сог и а при малых е. Отметим,
•что а — параметр, характеризующий волновое число высокочастот-
высокочастотной моды, при ko<^k он равен групповой скорости d(OH(k)/dk, ум-
умноженной на ko.
1.3. Резонансная распадная неустойчивость. В этом пункте бу-
будут исследованы некоторые детали резонансной распадной неус-
неустойчивости. Сначала получим законы сохранения, называемые со-
соотношениями Мэнли — Роу, а затем обсудим абсолютную и кон-
конвективную природу неустойчивости в однородной среде с однород-
однородной накачкой.
Соотношения Мэнли — Роу [12]. Исходим из уравнений
B0) и B1), а также уравнения для волны накачки:
' (k0, /) =v+XL (-к, t) XH (ко+к, t) +
b(k, t)XH{ko—K t), D9)
где Х0(к0, t)=ZQ(t) exp (—io^), причем Z(r, t)=XQexp (ik<>r)+K.c.
Для простоты возьмем набор трех мод Х0(ко, t), Хя(к0—к, t) и
446

XL(k, t), которые резонансно связаны друг с другом. Резонансное
условие записывается в форме
юо=@н (ко—к) +соь (к).
Пренебрегая затуханием, получаем:
E0)>
где опущены аргументы; отметим, что ^*н=^н(к—ко, t) и #т. д..
Как и в п. 1.2, предполагаем, что Х-\х~ — вещественная положи-
положительная величина. Из соображений симметрии можно допустить,,
что %-v- тоже вещественная положительная величина, откуда сле-
следует, что jn*_v_>0, т. е.
E2)
v-4i_>0; A,-v_>0; ji*_v_>0. E2)
Учитывая резонансное условие E0), записываем Xq, Хн и Xl в виде
Хн =
exp (i
E3),
и предполагаем, что огибающие ао, ан и аь медленно меняются со»
временем. В пренебрежении второй производной от огибающих
получаем:
dajdt = (i A/2a>.) c%aL;
daHldt = - (i Л/2шя) a*QaL; E4),
где Л = J/A_[a1v_. Из E4) следуют законы сохранения
соо | #о 12+соь | aL 12=const; со01 cto \2+оя | ан\ 2=const.
E5).
Уравнения E1) аналогичны уравнениям нелинейно связанных гар-
гармонических осцилляторов, в которых Хо, XLy Хн являются смеще-
смещениями. Поэтому можно энергии осцилляторов определить соотно-
соотношениями
а законы сохранения E5) переписать в виде
447

Здесь еоМо, еи/в>я и гь/<оь — действия, относящиеся к соответствую-
соответствующим модам. Таким образом, E6) описывает сохранение действия.
Этот закон сохранения представляет собой частный случай соот-
соотношений Мэнли — Роу, которые хорошо известны в теории нели-
нелинейных электрических цепей. На языке квантовой механики вели-
величина eo/fr Фо=М0 соответствует числу квантов и уравнение E6)
означает сохранение числа квазичастиц, т. е.
jV,0+NH=const; #o+^i==const. E7)
По этой причине процесс резонансного распада описывается обра-
образованием и аннигиляцией квазичастиц, как показано на рис. 5.
Важным следствием соотношений
Мэнли — Роу является определение
доли энергии волны накачки, идущей
в обе возбуждаемые моды. А именно,
уравнение E6) означает, что энергия
накачки поглощается двумя возбуж-
даемыми модами в соотношении
¦и)н ^8н/^еь=сон/соь. Таким образом,
большая часть энергии идет в высо-
Рис. 5. Процессы образования кочастотную моду,
и аннигиляции квазичастиц Абсолютная и конвектив-
конвективная неустойчивости. Если па-
параметрическая связь ограничена локальной областью про-
пространства и (или) продукты распада пространственно локализова-
локализованы, то необходимо исследовать, является неустойчивость абсолют-
абсолютной или конвективной. Рассмотрим случай, когда продукты рас-
распада пространственно локализованы в однородной плазме с одно-
однородной накачкой. Если волновые пакеты, описывающие продукты
распада, нарастают со временем в областях, где пакеты иницииро-
инициировались, то неустойчивость называют абсолютной, если же усиление
в первоначальной области прекращается, как только продукты
распада уходят из этой области, то неустойчивость называют кон-
конвективной. В последнем случае имеет место только пространствен-
пространственное усиление.
Так как дисперсионное соотношение для резонансной распад-
ной неустойчивости дается уравнением C4), пространственно-вре-
пространственно-временную эволюцию продукта распада XL можно описать соотноше-
соотношением
oo+i5
XL{x,t)=\dk ' rfco^P^-1^ E8)
—оо —oo + i5
где D (k, со) = (со -f i TL — mL) (a) 4- i Гя — 8 — a) -)- e2ay»/4; мы огра-
ограничились случаем одномерного распространения. Функция ^опре-
^определяется начальным профилем пакета. Предполагая, что точный
резонанс появляется при k=k и что решение дисперсионного урав-
аения D(k, co)=0 есть со=*о = со(?), можно записать уравнение E8)
448

в следующем виде:
00
х ?- ? j exp [i kx — i W],
где мы положили k—k-\-6k.
Необходимое и достаточное условия нарастания XL(x, t) в точ-
точке х=0 при произвольной форме h(x) даются соотношениями, [13]
-? (*/*gagj) = 0. ima>>0. E9)
Подставив о>ь^»соь(^L-в^^ь и +o(){^
=cdl(?)+6?Vh, где Уь=д(оь(к)/дк и VH=—d(dH{k0—k)/dkf полу-
получим
со - «>L (?) = [- i (THVL - TLVH) ± /s\a,L (k) VLVH]I(VL - VH). F0)
Следовательно, условиями абсолютной неустойчивости являются
VLVH<Q и е2>8аь= (rHVL-TLVHJh^L(k) | Уь^я|. F1)
Первое условие означает, что абсолютная неустойчивость может
появиться только тогда, когда групповые скорости двух продуктов
распада имеют разные знаки. Физически это можно объяснить сле-
следующим образом: если VlVh>0, to обе возбуждаемые моды пере-
переносят энергию в одном и том же направлении и, следовательно,
нет способа возвращения энергии в начальную область, в то время
как при VlVh<0 энергия уносится одним из продуктов распада и
возвращается в начальную область другой модой, что может при-
привести к усилению в начальной области. Из второго условия F1)
следует, что порог абсолютной неустойчивости всегда больше, чем
г2ш, определяемое соотношением C8) (или равен ему), т. е. г2аъ^
^e2th. Таким образом, при VlVh<0 мы обычно имеем два порога:
один для конвективной неустойчивости (е2>е2*л) и второй для аб-
абсолютной неустойчивости (е2>е2оь).
Различие между абсолютной и конвективной неустойчивостями
становится существенным в случае плазмы конечных размеров или
в условиях неоднородной плазмы. В то время как усиление за счет
конвективной неустойчивости может быть ограничено размером
системы или характерной длиной неоднородности, усиление при
абсолютной неустойчивости происходит даже в сильно неоднород-
неоднородной плазме и продолжается до тех пор, пока не станут существен-
существенными нелинейные эффекты.
1.4. Резонансная распадная неустойчивость: геометрические эф-
эффекты. Если плазма пространственно неоднородна (из-за градиен-
29—3283 44»

та плотности, температуры, скорости потока и т. д.), то частоты
собственных мод зависят от их положения в пространстве. Если
потребовать, чтобы распадное условие по частотам выполнялось во
всех точках пространства, то волновые числа точно согласуются
только в некоторых точках пространства. При удалении волны от
точки согласования появляется расстройка волновых чисел, и на
некотором расстоянии прекращается резонансная распадная связь.
Здесь рассмотрено влияние характерного пространственного мас-
масштаба плазмы на коэффициент усиления и характер (конвективная
или абсолютная) неустойчивости. Как и в п. 1.3, рассмотрим одно-
одномерное распространение.
Предположим, что масштаб длины неоднородности много боль-
больше характерных длин волн продуктов распада. В таком случае
вблизи резонансной точки можно получить набор уравнений, по-
подобных уравнениям E4). При их получении производится замена
ы2н(&—&о) и &2ь(к) операторами, которые действуют на медлен-
медленно меняющиеся части Хн и XL:
где cDl0=G)H-fcDi,; ko(x)9 &я(*) и kL(x) определяются локальными
дисперсионными соотношениями; <оо (&о (•*))= ©о; ®н(Ьн(х)) =<он;
(йь(кь(х))=1(х)ь. Точное условие согласования предполагается вы-
выполненным в точке #=0:
@). F3)
Представим Хо, Хн и XL в форме
Хо (К х, t) = У^1а0 ехрГ- i w.t + i fax'k0 (x')\;
Хн (kHt х, t) = У??_ ан ехр — i К — ш) t + i j dx'fe (л:') ; [ F4)
XL (kL, x, t) = УН aL exp - i orf + i f rfjc'AL (x;)
и подставим уравнения F2) и F4) в уравнения E1). Используя
резонансное приближение, получаем следующий набор уравнений;
F5)
450

где Р=ю—©l=w—(<»о—юн); н(х)—расстройка волновых чисел:
%(x)=kH(x)+kL(x)—k0(x), x@)=0, F6)
Ун=да>н(кн@))/дкн@); VL=da>L(kL(O))/dkL(O).
При выводе уравнений F5) использованы также соотношения
iUx'kH,L(x')] =
о J
Здесь знак плюс используется для Я-моды, а знак минус — для
L-моды. Введем -фн.ь с помощью соотношений
„ =ан ехр Г - у jх^) d*'l ; *l = *l ехР ["у f %{x">dx'
L 0 J L 0
j
0
и перепишем уравнения F5) в виде
F7)
Исследуем сначала асимптотическое поведение фя>/., полагая
4to,?'x'exP I ] ? (х') ^' » чт0 Аает
и 1]-Т2о» F8)
где 72о==э|А|1|ао|2/4й>н<01,. Решая F8) относительно q> находим
и ImP>0 эти два корня дают решения для г|э,
расходящиеся при х—*оо и при х—и—<х>. Следовательно, не суще-
существует ограниченных решений, что означает отсутствие абсолют-
абсолютной неустойчивости в этом случае. В то же время при VlVh<0
один из этих корней дает ограниченное решение для if при х—мх>,
а другой — при х—ь—оо. Поэтому, если эти два решения могут
29* 451

быть гладко сшиты в центре, получается нарастающее во времени
решение, и, значит, имеет место абсолютная неустойчивость.
Детальный анализ, проведенный Розенблютом и др. [14], пока-
показывает, что при линейной неоднородности, т. е. когда x(x) =
= х'@)л; [к'@)=?0], эти два решения не могут быть гладко сшиты
в точке лг=О для ImP>0, и неустойчивость всегда является кон-
конвективной до тех пор, пока накачка имеет бесконечный простран-
пространственный размер.
Однако при х/@)=0 или для конечного пространственного раз-
размера накачки [15] возникает абсолютная неустойчивость при ус-
условии, что VlVh<0. Продемонстрируем это на примере волны на-
накачки следующего вида:
= 0, |*|>Ip/2.
Вне области накачки, т. е. для \x\>Lp/2> решения определяются
соотношениями F9). Если сшить эти решения с решением в обла-
области накачки при \x\=Lp/2, то получим следующее уравнение:
-
1
(я=0, 1, 2, ...). Из этого соотношения следует, что ImP может
стать положительным при
y2v>(nm)(\VL\fLP)\VH\/LP. G0)
Соотношение G0) можно сравнить с условием у2о>ГьТн, кото-
которое получено из уравнений C7) и C8). Отметим, что \Vl,h\/Lp
является эффективным декрементом затухания, обусловленным пе-
перекачкой энергии волны из области накачки.
Оценим коэффициент пространственного усиления для конвек-
конвективной неустойчивости, пренебрегая нелинейными эффектами. При
VlVh>0 и х/@)=5^0 его легко оценить из соотношения F9), пола-
полагая Р=0. Коэффициент усиления тогда находим в виде
где хт=2уъ/\к'\ {VLVH)l/2 — полуширина области взаимодействия,
т. е. локальный инкремент нарастания положителен в области
с \х\ <хт. Волновой пакет, инициированный при х=0, усиливает-
усиливается в Л раз, прежде чем покинет эту область взаимодействия. Бо-
Более простое выражение для А имеет вид:
A=zxv[n<fol\K'VLVH\X G2)
452

откуда находим, что заметное усиление имеет место при
КУгУяНО/я) (VL/L)VH/Lt G3)
где Lf-ч, l/J/^x' | —масштабная длина расстройки волнового числа
[ср. с G0)].
При VLVH<0 анализ более сложен, но результаты те же, что
и для VlVh>0. Детальное рассмотрение этого вопроса можно
найти в оригинальных работах [14, 16].
1.5. Влияние немонохроматичности волны накачки и флуктуа-
флуктуации фоновой плотности на резонансную распадную неустойчи-
неустойчивость*. Выше рассматривался случай чисто монохроматической
волны накачки и гладкого профиля плотности плазмы. Однако
в реальных ситуациях генератор, возбуждающий волну накачки,
имеет конечную ширину полосы, а в окружающей плазме всегда
есть флуктуации плотности.
Влияние немонохроматичности волны накачки.
Хотя ширина полосы волны накачки Лш обычно много меньше ча-
частоты ее центральной линии соо, влияние конечной ширины полось»
...тановится важным, когда Дш сравнима с резонансной шириной
параметрической неустойчивости или больше ее. На линейной ста-
стадии резонансная ширина параметрической неустойчивости опре-
определяется линейным инкрементом у$. Следовательно, важным па-
параметром должно быть отношение Aco/vo, которое зависит от ам-
амплитуды накачки. Если этот параметр больше единицы, то значи-
значительная часть волны накачки выходит из резонанса с возбужден-
возбужденной собственной модой. В таком случае пороговая амплитуда и
инкремент неустойчивости могут зависеть от ширины полосы.
Рассмотрим уравнения связанных мод, аналогичные B0) и
B1), с дипольной волной накачки в виде
Z(t)=2Zoa(t) cos [ф@—®@1» G4)
где a(t) и ф@ имеют стохастические слагаемые с постоянными
<а> и <ф>. Отметим, что, вообще говоря, волна накачки с ко-
конечной шириной полосы имеет случайные значения амплитуды
<х(/) и фазы ф(/)-
Поскольку |Д(о/оI,|<1 и |Асо/о)н|<1, для анализа уравнений
связанных мод, описывающих резонансную распадную неустойчи-
неустойчивость, можно применить резонансное приближение. Вводя медлен-
медленно меняющиеся огибающие с помощью соотношений E3), полу-
получаем:
daH/dt + Тнаи = - (i Л/2шя) аоа (t) exp (- i <p) aL\ \
dajdt + TLaL = (i A*/2o>L) aoa (t) exp (i 9) aw ] ( ^
* Впервые вопрос о параметрической неустойчивости волны со случайной
фазой рассматривался в работе В. Е. Захарова и Г. М. Заславского. (Журн.
техн. физ., 1964, т. XXXIV, с. 212). — Прим. перев.
453

где учтены слагаемые с линейным затуханием. При решении G5)
для простоты положим Гн=Гь=Г. С помощью преобразований
aH=(Aa0/2i(oH)l/29{t) ехр (—Ь|)—П);
aL==(iA*Oo/2<Ob)l/2p@ ехр (iy—Tt)
уравнения G5) можно свести к одному уравнению
dp/dt—ipdq/dt=yva (/) р ехр [—i (Ф—Щ ], G6)
где 7о — максимальный инкремент для монохроматической волны
накачки. Такое преобразование возможно только тогда, когда на-
начальные значения ан и aL связаны соотношением \aL@)JaH@) \ =
= | (Л*©н/Ла>г,I/2|. Уравнение G6) хорошо описывает влияние эф-
эффекта конечности ширины полосы на порог неустойчивости и ин-
инкремент. Разделив G6) на вещественную и мнимую части, полу-
получим:
dp/dt=у$а{1) cos (<p—2t?)p; G7)
d^/dt=yoa (t) sin (<p—Щ. G8)
Остановимся подробно на двух важных случаях.
1. Пусть а(/) имеет гауссово распределение и iqp(^)=const. При
постоянном ф можно найти точное решение уравнений G7) и G8)
в виде
Если первоначально ф#2а|), то фазовый сдвиг ф—2\|э асимптотиче-
асимптотически исчезает. В этом смысле соотношение G9) рассматривается
как асимптотическое решение уравнений G7) и G8) при больших
значениях /. Если а(^) —гауссова переменная, то получим
= Ро ехр F/-L IТо j>a (t')\ \\ =
f0 */И. t > Дш-1, (80)
где ширина полосы А<о определяется соотношением
Дш~' = 7 (а (/) a (t + x)> dx. (81)
о
Таким образом, усредненные амплитуды <\ан\> и <|аь|> про-
пропорциональны коэффициенту ехр [ (тУДю—Г) t]. Отсюда находим
пороговую интенсивность накачки у2о=А(дТ и инкремент нараста-
нарастания при существенном превышении порога тУДю. Таким образом,
пороговая интенсивность возрастает в Дсо/Г раз, а инкремент
уменьшается в отношении уоМ<»- Данные результаты были впер-
впервые получены Томсоном и др. [17, 18]. Строгое решение задачи
454

для случая Гь=7^Гн можно найти в [13]. Согласно результатам
[13] пороговая интенсивность определяется соотношением
72о/А<о=^тах (Гь, Гн). (82)
Сравнивая этот результат с результатом для монохроматической
волны у2о=ГьГн, находим, что пороговая интенсивность увеличи-
увеличивается в Aco/min (Гь, Гн) раз.
2. Рассмотрим теперь случай, когда а—1 и имеют место скачки
фаз. Если <p=const, флуктуации фазы -ф в конечном итоге релак-
сируют к ф/2 со временем релаксации порядка 1/yo- Если фаза ф
меняется быстрее, чем время релаксации 1/yo, to -ф не может ре-
лаксировать к ф/2. В результате инкремент может уменьшиться.
Следуя работе [22], положим ф—2-ф = р. Тогда уравнение G8)
записывается в форме
t=d^/dx—2y0 sin <р, (83)
Решение (83) можно приближенно найти в виде
jT.[
О
Если диффузионное время А/ фазы ф существенно меньше 7<Г!, то
p==p0-j-{p-f~O (yoAO . В этом случае р подчиняется тому же вероят-
вероятностному закону, что и переменная ф. Как и в работах [17, 19],
предположим, что р и ф имеют гауссово распределение:
—jc2/2A(o/), x=p, <p. (84)
Используя это распределение, найдем среднее от
(Р) = Р« exp j/j^'To cosp (t')\ +-~ /ГJ*'T. cos p (oj \\ =
(85)
Это тот же результат, что и для флуктуации амплитуды. Согласно
[17] можно обобщить эти результаты на случай Гя^Гь и полу-
получить, что пороговое значение амплитуды опять определяется соот-
соотношением (82).
Влияние случайных флуктуации плотности.
Стохастический сдвиг фаз трех связанных волн появляется даже
при когерентной накачке и наличии фоновых флуктуации плотно-
плотности плазмы. Для простоты предположим, что флуктуации плотно-
455

сти статические и хаотически распределены в пространстве вдоль
оси х. Для анализа используем 'модельные уравнения, аналогичные
G5),
[d/dt+VHd/дх+Гн] aH=7oS (х) aL; (86)
[d/dt+VLd/dx+TL] aL=-7oS* (x) aHy
ГДП
S (х) = ехр - i J dx'Lk (xr) = exp [- i ?
(87)
Ak(x) —кн(х)-}-кь(х)—ko(x)—сдвиг волновых чисел, обусловлен-
обусловленный флуктуациями плотности.
Введем медленно меняющиеся спектральные плотности с по-
помощью соотношений
NhA^ t\ К, Q)=Nh,l(x, /, KN[Q—KVh,l] =
=<\ан,ь(ху t\ /С, Q)|2>, (88)
где ан,ь(х, t)=aH,L(x, t; K> Q) exp (iKx—\Ш); скобки означают
усреднение по ансамблю флуктуации плотности. Используя обыч-
обычную теорию слабой турбулентности, получаем из (86) уравнения
для спектральных интенсивностей
{(S(K')aL(K-K', Q')ah(K. Q'))+k.c.}; (89)
=-. - -^- \du' UK' {(S*(K')aH (K + Kr, Q')al(K, Й')>+к.с.}. (90)
Отметим, что пространственно-временные производные в приве-
приведенных выше уравнениях малы по сравнению с К и Q, которые
характеризуют производные в уравнениях (86). Пренебрегая Тн и
Tl, находим приближенное решение этих уравнений для 6—+0:
\dK'S(K')aL(K-K',Q)
- 2я _i(U_AvH)+e
с -
(91)
Подстановка этих выражений в (89) и (90) приводит к следующей
форме средних:
456

для которых в приближении случайных фаз имеем
(S (К') S* (К")) {^(К -К' + К", О'К (*• Q')> = ь
= 2« < 1S (IQ |2> (К (/С, О') |2} 8 [К' - /С]. (92)
Хотя 5, <гя и aL не являются статистически независимыми из-за
их связи друг с другом через правые части уравнений (86), можно
считать их приближенно независимыми, поскольку связь слабая.
После вычислений получим
[ + L(K-K% (95)
ir+Vl i;+2Fl) ^l (/()=fo fd/(r (|s (K')|2) 8lK ^H-v^+zcvuix
XI^l(K) + ^(K + /C0]. (94)
Те же уравнения получены в [16]. - ,
Прежде чем проанализировать эти уравнения, рассмотрим слу-
случайные функции S(x) и <|S(/C)|2>. В случае, когда dxp(x)/dx и
(или) &k(x) являются гауссовыми случайными величинами, соот-
соотношение
(S (х) 5* (л*')) = ( ехр - i J dx"d<f (x")[dx" П
можно записать в виде
-XX
(S (х) 5* (х1)) = ехр l- J dxx j dx2 (Aft (Xl) uk (хг)) «
~exp[--jtc(bk*)\x-jc'\]9 (95)
где корреляционная длина /с определяется соотношением
00
lc=\dx (bk (x) Ak @))l(?k2) (96)
о
и предполагается, что \x—xf\>l€. Тогда имеем
00 00
(S (К) S* (К')) = J dx J d*' (exp {i [? (x') — v(jc)] —
—00 —00
457

или, по определению,
(98)
Решая связанные уравнения (93), (94) для NH(K) и
Nl(VhKJVl) с помощью фурье-преобразования //я,г/^ехр [xqx—
—ivt], получаем следующее дисперсионное соотношение:
' (v - qVH -f 2i Гн) (v + qVL + 2i Г?) =
,C '+ ,тя1
где /to= (Vh+^x,)^/^. Так как <|5(/СоJ| > имеет максимум при
i(o=0, наиболее неустойчивая мода появляется при /С=0. Уравне-
Уравнение (99) тогда приводит к следующему порогу для конвективной
неустойчивости:
TTr^r • <100)
Этот результат справедлив при условии lc<A\k2>^8k, где hk —
резонансная ширина при монохроматической накачке, определяе-
определяемая соотношением
Гя/|Уя|, YlI\Vl\}.
Далеко от порога инкремент равен
ПОП
— - (-1— 4 -i-
Можно также получить порог абсолютной неустойчивости при
VV0
Более подробно влияние случайных фоновых флуктуации об-
обсуждается в [20, 21]. В частности, в [21] приведены точное ре-
решение задачи на собственные значения и распределение по волно-
волновым числам нарастающих мод.
2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
В § 1 было сделано предположение об основной форме пара-
параметрической связи, включая также и коэффициенты связи Х± и \х±.
В этом параграфе выведены точные выражения для этих ко-
коэффициентов связи в трех простых случаях.
Сначала (п. 2.1) рассматривается дипольная накачка (ко=О),
действующая на незамагнйченную плазму. Дипольное приближе-
458

ние применимо для электромагнитной накачки с частотой, близкой
к электронной плазменной. В этом случае можно получить нели-
нелинейное дисперсионное соотношение, правильное во всех порядках
по амплитуде накачки, при условии, что можно пренебречь ионным
откликом на высоких частотах (со^соре, -соо).
Затем (п. 2.2) рассматривается слабоинтенсивная накачка
с конечной длиной волны, что позволяет провести вычисления по
теории возмущений. Для незамагниченной плазмы получены вы-
выражения для коэффициентов связи. С помощью дисперсионного
уравнения, выведенного здесь, можно изучать различные процессы
индуцированного рассеяния.
Наконец, в п. 2.3 рассмотрена замагниченная плазма с диполь-
ной накачкой и выводится дисперсионное уравнение, справедливое
в случае слабой накачки,
2.1. Дипольная накачка в незамагниченной плазме. Рассмотрим
пространственно-однородную незамагниченную плазму при нали-
наличии внешней накачки с однородным полем, определяемым соотно-
соотношением
Eex=2E0cos((Do/). (ЮЗ)
Ограничиваясь электростатическим откликом на внешнее поле,
можно записать уравнение Власова в виде
if+v ~t+ir l2E°cos Ы)+Е(г> 01 ~t)fs (r> Vi t]=0> A04)
{if
где s=e (электрон) или i (ион); E(r, t)—внутреннее электриче-
электрическое поле, удовлетворяющее уравнению Пуассона
'vf.fv. г' *)¦ A05>
Осциллирующее движение частицы сорта s, обусловленное внеш-
внешним полем A03), описывается соотношениями
vM = if?l-sin («./); rt,(Q =
Тогда, вводя преобразования
v=v-vo.(/);^=r-ro.@, A07)
которые дают переход в осциллирующую систему отсчета, можно
исключить внешнее лоле из уравнения Власова:
Здесь функция с тильдой выражается через функцию без тильды
соотношением
Я (г, v, t)=A(v, v, 0. A09)
459

В осциллирующей системе отсчета можно использовать стандарт-
стандартный метод для исследования линейного отклика (линейного по от-
отношению к внутреннему полю Е).
Разделяя f8 на невозмущенную F8(v) и возмущенную f's(y,
г, t) части и используя представление Фурье — Лапласа, получаем
Mk. «>K(k. «О-«A (к, ®КЛк' «>)=?>, «>). (ПО)
где я'фэ;
лЛк, «) = Jd8v^(v, к, о) A11)
представляет собой возмущение плотности в осциллирующей си-
системе отсчета частиц сорта s\ %s(ky со) и es(k, со) —линейные вос-
восприимчивость и диэлектрическая проницаемость частиц сорта s:
%s(k, ш) = -?! 11 f^v U^k4f5(v); A12)
ms k* J to —kv dv sV ' '
8s(k, ©)=eo[l+Xe(k, со)]; (IIS)
JJs(k, <o) —вклад, связанный с начальными условиями:
v—^-рЛк. v, / = 0). A14)
Для ясности рассмотрим случай, когда внешняя частота со©
велика по сравнению с ионной плазменной частотой copi, так что
ионный отклик на внешнее поле пренебрежимо мал. Тогда для
ионов можно пренебречь отличием между осциллирующей системой
отсчета и лабораторной или покоящейся системой. Уравнение (ПО)
может быть записано более точно следующим образом:
*Лк. ю)лЛк, (o)-e0X,(k, ю)лЛк, со) = ^(к, ш); A15)
ег(к, со)^(к, ©)—еох/(к, <о)/ге(к, ©)=ч/?<(к, <о), A16)
где тильда теперь используется для обозначения величин в осцил-
осциллирующей системе отсчета для электронов. В этой системе отсче-
отсчета возмущение плотности ионов является быстроосциллирующим,
в то время как в лабораторной системе это медленно (по сравне-
сравнению с (о0) меняющаяся величина.
Исследуем теперь соотношение между фурье-компонентами
в двух системах отсчета. По определению имеем
2 (к. ш) = Jdf ехр(-Ы) Jd3rexp(ikr)I(f, t) =
= [dt exp [(— i erf) + i kr0, (t)\ J d% r exp (i kr) A(r,t) =
= f iX(p)J^exp[-i(«) + ^0)/]^(k, t) =
= 2 iaJn(?)A(k, ш+ «».), A17)
460

где
p=Be/m,)kEo/oJo. A18)
Величину 2еЕъ[т(й20 часто называют длиной отклонения.
Аналогично получим
Л(к, «) = ? inJn(-9)X(b.» + nm.). (П9)
Запишем уравнения A17) и A19) в операторной форме:
А = А (к) А; Л = Л (к) А = А (— к) К. A20)
»
Применив этот оператор к уравнениям A15) и A16), получим
П, (к, т) = ' [8оХ, (к, ш) Д (- к) ~Пе
е/(К, @)
Л (к. ») А (- к) — ЬЛЬ (к) я,
» е)
е/(к, (с) ев
где /?(к, со) — сумма вкладов Re и Ri.
Чтобы продвинуться дальше, учтем соотношение A13) и пред-
представим 8,oXs/es в виде A—eo/es). Первое слагаемое в правой части
уравнения A21) можно тогда записать следующим образом:
A—eo/ei(k, со)) [Пг(К со)— А (—к) Ыйе)А(к)т]. A22)
Отметим, что nt может иметь только низкочастотные возмуще-
возмущения, т. е. можно пренебречь я*(к, со+люо) с пфЪ при со^=^0. Учиты-
Учитывая эти соотношения, можем приближенно представить A22)
в виде
л=1
A23)
Подставляя это выражение в уравнение A21), окончательно полу-
получаем следующее общее дисперсионное уравнение:
t (о)
е(к, (о)
/1=1
где
е(к, с
461

Сделаем два замечания. Во-первых, дисперсионное соотношение
A24) справедливо для произвольного поля накачки при условии,
что возмущения ионной плотности при частотах ncoo (ri^l) пре-
пренебрежимо малы и что колебаниями ионов, обусловленными полем
накачки, можно пренебречь. Кстати, последние можно учесть про-
простой заменой р в дисперсионном уравнении A24) величиной
р=Bе/а>2о) (l/m.+1/mOkEo. A26)
Во-вторых, правая часть уравнения A24) исчезает в пределе
бесконечной массы ионов, так как в этом случае %i—Ю. Другими
словами, без ионного отклика нет параметрической неустойчиво-
неустойчивости, обусловленной дипольной накачкой.
Предположим теперь, что амплитуда накачки мала, т. е. p2<Cl.
Дисперсионное соотношение A24) сводится в этом случае к урав-
уравнению
1== ««(к, с»)а/(к, со) р2 Г 1 | 1__1 A2?)
которое аналогично уравнению B5). кроме того, что теперь член,
соответствующий Х-ц~, является функцией со.
В дальнейшем это дисперсионное уравнение будет исследовано
для трех случаев: I. UD<1, Гв>7У, II. АЯс<1, 7>Л\-; III. k^
>1 r7V
I. Пусть &Ях><с1, Te^Tt. В этом случае электронная плазменная
и ионно-звуковая волны слабо затухают, поэтому можно использо-
использовать гидродинамическое приближение для восприимчивостей:
A28)
X*(kf <d)^-<dVcd2; A29)
t,(k. (o±a>0) ^ ee [(coztco.J - Jk]f»\9 A30)
где o)ft=(Dpe [l~\rC/2)k2X2D]—частота ленгмюровских колебаний.
Дисперсионное уравнение A27) можно тогда записать в виде
joVoW г 1 + __J 1, A31)
1 <о2 — &\ 4 I (со + швJ — to2k (со — a>tJ — co2& J v 7
где й^ = <ор?]/е0/ее(к, 0) — ионно-звуковая частота. Это дисперси-
дисперсионное уравнение имеет ту же форму, что и уравнение B5) с
о V/4, A32)
так что можно применить все результаты, полученные в § 1. Не-
Некоторые из важных результатов приведены в таблице.
II. Рассмотрим случай &Xz><Cl, Те^^Т{. Вследствие затухания
Ландау на ионах низкочастотные волны являются сйльнозатухаю-
щими, поэтому необходимо для %i(k, со) использовать кинетическое
выражение. Для электронной восприимчивости, однако, можно
воспользоваться гидродинамической теорией.
462

Тип неустойчивости
Слабая накачка, резонансный рас-
распад
т» Асо
— > — > о
щ щ
Aw те
Нерезон
ансн
Aco
ый распад
1 (v.y
< S \ve)
Сильная накачка, неустойчивость
квазиреактивной моды
«о < <*k'-
/Aco у 1 me /?о\2
^Vj ^12 тг \ve)
\io0) >\2 m-t \ve )
to0 > (ok:
Aco ^ / me \l/2 y0
Наиболее неустойчивая Мода
^макс^
tmi Aco \l/2
~ \me co0 j
/ 2 Aco \l/2
1 Г.
2K3 ye
/ Ц\8/4 /Щ,\ 1/4/0. V/8
/ 2 Д<й \l/2
/ 2 Д» \l/2
"(,3 o>J
Максимальный инкремент Тма^/^о
1 u0 /Aco \l/2
4 ue \^co0 J
1 ^0 /^ y/4 /2Aco y/4
4 ^ ^m, j [ 3co0 j
«СУ
1 me v0
2Уът1 ve
Г 1 Aco / v0 Vme 11/3
[12 co0 \uey mi J
T~ \ 3 co0 V ve ) mi)
Примечание
Порог
Условие слабой накачки
(Ю<» (^)(?)"!
Условие неустойчивости
/о.у 8ГЯ
—
Примечание.
«о <о0
1/2

Для простоты внутри скобок в уравнении A27) оставим телько
одно из слагаемых ee(k, coicoo) и перепишем уравнение следую-
следующим образом:
/1 \ Р2 /1 П\ е0Х/ (к, со)
ве (к, ш -ь <оо) = —— er (к, 0) ° 1К —'- ¦
Выделив мнимые составляющие от обеих частей этого уравнения,
получим:
1ш..(к. «±«О = --5- ^^•.ImXJ(k. •). A33)
Представим приближенно ее(к, (о±юо) в виде
ее(к, ffl=tm,)*«t,[l -шу^гЬоЧ
Ь A34)
где частота со представляется в виде ы=(ог-\-гу и Г& — линейный*
декремент затухания Ландау. Подставляя A34) в A33), получаем
следующий инкремент:
юг). A35)
•(к, со)
Так как для максвелловской плазмы Im%i(k, o)r)>0 при сог>0,
можно получить из A35), что неустойчивость имеет место только
в том случае, когда накачка возбуждает электронную плазменную
волну с частотой, меньшей юо-
Физически эта параметрическая неустойчивость представляет
собой вынужденную конверсию электромагнитной волны накачки
в электронную плазменную волну при рассеянии на ионах [22, 23].
Так как lm %i имеет максимум при cor—kvi, инкремент максимален
При Юо—idh^kVi.
III. Пусть, наконец, kXD ^l, Te^Tit В этом случае ионные аку--
стические волны являются слабозатухающими до значений &<^
^кт^кве, где kDs — дебаевское волновое число для частиц сорта
s. В то же время ее(к, <о±<оо) не обращается в нуль для электрон-
электронной плазменной волны. Таким образом, волна накачки может воз-
возбуждать слабозатухающие ионно-звуковые волны с относительно
небольшой длиной волны (kDi>k>kDe) из-за связи с сильнозату-
сильнозатухающей электронной плазменной волной или, другими словами,
из-за рассеяния на электронах. Заменяя ее{к, о) величиной ее(&, 0)„
перепишем уравнение A27) в форме
е (k, со) = — •_ (к, О)'ввХ, (к, ш) -?. I" 1 -{ ! 1 A36)
V ^ #V ^ ° tV } 4 U(k,« + ©e) ee(k,co-coo)J V ^
и выделив мнимые части в обеих частях A36). В правой части
главный вклад дает Iinee^» codz^o), в то время как м:нимое сла-
слагаемое в левой части уравнения может быть вычислено таким же
образом, как и в A34):
Ime(k, (o)^2ee(k> 0)
464

где TLk — линейный декремент затухания Ландау ионно-звуковых:
волн. В итоге получим инкремент
1га [ 0) + еДк, СО-со0) У
где произведена замена х*(к, co)rrr-H—(o^/QV Для максвелловской.
плазмы
1те,е~1{к, со—o0)>0>lmee~1(k> со+со0),
так что слагаемые в скобках в уравнении A37) взаимно уничто-
уничтожают друг друга. Заменяя <о величиной й^(>0), можно заметить,
что
Im e^1 (k, Qk—m) > | Im ee~l (к, Qa+g>o) |,
так как имеется больше резонансных частиц для частоты о>0—Qh*>
чем для частоты <оо+'Йа. Следовательно, уравнение A37) может
дать неустойчивость, которую называют кинетической [24]. Физи-
Физически это — вынужденная конверсия электромагнитной волны на-
накачки в ионную плазменную волну из-за рассеяния на электронах..
2.2. Слабая накачка с конечной длиной волны в незамагничен-
ной плазме. Рассмотрим ситуацию, когда высокочастотная слабая;
волна накачки с электрическим полем
Е0(х, 0=2EoCOS (kox—сооО A38)<
возбуждает высокочастотную волну с частотой, близкой к а>0, hi
низкочастотную волну с частотой, много меньшей <оо. Предполага-
Предполагается, что высокочастотная волна слабо затухает* низкочастотная:
же может быть слабо- или сильнозатухающей за счет затухания
Ландау на ионах. Типичной ситуацией является индуцированное-
рассеяние волны накачки, в качестве которой может выступать,
электромагнитная или электронная плазменная волна.
Даже в низшем порядке необходимо рассмотреть несколько
различных нелинейных процессов, если мы хотим получить общее-
дисперсионное уравнение. Однако в большинстве интересных слу-
случаев доминирует довольно простой физический эффект [25]. Он,
состоит в том, что поле высокочастотной волны, складываясь с по-
полем волны накачки, приводит к медленной модуляции интенсивно-
интенсивности поля; эта медленная модуляция приводит к возникновению пан-
деромоторной силы, действующей на электроны и приводящей
к появлению низкочастотного возмущения плотности,, которое»,
в свою очередь, модулирует накачку, вызывая возбуждение высо-
высокочастотной волны. Дисперсионное уравнение в этом пункте вы-
выводится с учетом этого физического механизма. Здесь не обоснована
применимость этой физической модели, отметим только, что она
оправдана при двух условиях: 1) все волновые числа одина-
одинаковы по порядку величины; 2) соо^соре или #&d<C1 и ш<С(орь где
k и <о — соответственно волновое число и частота низкочастотной
моды. При выполнении этих условий низкочастотную, моду можно»
считать электростатической.
30—3283 # 465,

Будем характеризовать низкочастотную моду возмущением
^плотности
8п€ exp [i (kx—со/) ] +к. с, A39)
# высокочастотную моду — электрическим полем
Е±(х; O=E±exp[i(k±x-o)±/)]+K.c, A40)
где k±=k±k0 и (о±=(о=Ью)о.
Пондеромоторная сила. Запишем уравнение движения
заряженных частиц при наличии осциллирующих полей
mdv(t)/dt=q[E(x(t)9 /)+v@xB(x@, t)]. A41)
Разделим осциллирующие переменные на высокочастотную часть,
отмеченную тильдой, и низкочастотную часть, отмеченную чертой:
, Л = В(х, t). I
Здесь Хо и v0 — координата и скорость частицы на невозмущенной
орбите; предположено также, что низкочастотное возмущение яв-
является электростатическим. Воспользуемся линейным приближе-
приближением для высокочастотной части
mdv/dt = q[E (х. (I), t) + v0\B (x0 (t), t)] ** qE (x. (t), t). A43)
Это выражение получено в пренебрежении силой v0XB, так как
юна релятивистски мала. В низкочастотной части удержим квад-
квадратичные слагаемые по высокочастотным возмущениям:
+ v.t. t) +x(t) VE(xe (t), t) + w(t)X^(x0 (t), t)\.
. A44)
Здесь мы разложили Ё~(х(?), t) по х(/). Последние два слагае-
слагаемых в скобках представляют собой пондеромоторную силу. Обо-
Обозначая ее Fp и пренебрегая слабой зависимостью от времени, обу-
обусловленной xo(t) и dA/dt, по сравнению с быстрым изменением из-
за dh\dt (A — любая переменная), можно записать:
A45)
С помощью векторных соотношений можно первое слагаемое спра-
справа записать в виде
= - v ((ю/2) I v\2) + mv X (V Xv), A46)
второй член переписать следующим образом:
A47)
466

Подставив A46) и A47) в A45), получим в итоге следующее вы-
выражение для пондеромоторной силы в незамагниченной плазме:
p A48)
При наличии трех высокочастотных мод можно записать:
v=vo exp [ikox—ico<^]+K. c.+v+ exp [ik+x—ico+f]+K. c.+
+v_ exp [ik_x—io-/] +к. с, A49)
откуда в линейном приближении по v± получим соотношение
. с,
где последнее слагаемое не дает вклада в уравнение A48). Таким
образом, получим
Fp=—ik (v*ov++vov_) exp [i (kx—at) ] —к. с. A50}
Уравнениедля низкочастотных колебаний. Отме-
Отметим сначала, что пондеромоторная сила действует только на элек-
электроны, так как она возникает при быстром осцилляторном движе-
движении, вызванном высокочастотным полем. Пренебрегая действием;
высокочастотного поля на ионы, получаем соотношение, совпадаю-
совпадающее с (ПО). Обозначив я* (к, со) как Ьпи найдем
6m=eoX*(k> <о)Ме/е/(к, со). " A51}
Для электронов в низкочастотном уравнении необходимо добавить,
к электрическому полю пондеромоторную силу. Заменив Е(к, со)
величиной Е(к, со) — (m/e)Fp(k, со) в низкочастотной части линеа-
линеаризованного уравнения Власова, получим следующее соотношение:
6/ге=(е0/е)хе(к, co)ik[E(k, ©) —(m/e)Fp(k, со)]. A62)
Исключая E(k, со) с помощью уравнения Пуассона, имеем
ге(К и>)Ьпе—ео%е(ку <о)б/г,= — (те20/е2) %е (К co)ikFp(k, <o)
A53)
[ср. с A10)].
Наконец, подставляя A51) в A49) и используя A50), нахо-
находим
= _ .,(к, сук, «) j». ikF (kf ш) =
е е(к &) е2 р \ * /
= _ ef(k, <o)soXe(k, со) т^ w ( . + }
е(к, (д) г?2 \ о -t- i о /
В отличие от случая дипольной накачки эта величина не исче-
исчезает в пределе бесконечно большой массы ионов. Другими слова-
словами, это выражение справедливо только при ко=^О.
30* ' 467

Уравнение для высокочастотных колебаний. Бу-
Будем исходить из уравнений Максвелла для Е±у которые после ис-
исключения магнитного поля записываются в форме
&о{(оJ±-62±с2) l+c%±k±}E±=-ico±j±. A55)
Следует иметь в виду, что нелинейность появляется в возмущении
плотности toe, что приводит к отличию плотности тока j± от ее ви-
вида в линейной теории. Обозначая линейный отклик а±Е± и учиты-
учитывая, что нелинейный отклик можно записать как ТябЯеУо, где мы
воспользовались соотношением v*0=—v0, получаем
0, A56)
где
D±= 8о [ (<о2±—#±с2) 1 +c2k±k±+i (<o±/eo) g±] . A57)
Решая уравнение A56), имеем
E±=±i<D±e6/ieD±-lv0. A58)
Подставляя соотношение A54) в уравнение A58) и используя ли-
ад-ейное соотношение
—епо\±=—i
где %е±=%е(к±коУ *d±g>o), находим уравнение для связи v+ и v_:
v±==F[e,(k, (o)eoXe(k, co)/e(k, со)] &2 (v*ov++VoV_) D^Vo.
A59)
Дисперсионное соотношение. Для вывода дисперси-
дисперсионного уравнения в случае параметрической связи умножим ска-
лярно уравнение A59) на v*0. Используя соотношение v*0=—v0,
получаем линейное уравнение, связывающее vo*v+ и VoV_. Детер-
Детерминант матрицы коэффициентов должен при этом обратиться
в нуль, и в итоге будем иметь
D-
где использовано соотношение ef(eiEo%e)=erl-\-(eo%e)~l-
Для изотропной плазмы можем разделить D± на продольную
и поперечную компоненты следующим образом:
D±=A±1+ (<*2±e±-Dt±)k±k±/k*±i A61)
тде Dt± — поперечные компоненты, которые в пренебрежении теп-
тепловым движением можно записать в виде
Dt±=eo(<d2±-k*±c>). A62)
Нулевые значения Dt± и г± дают линейные дисперсионные
уравнения соответственно для электромагнитных и продольных
468

волн. Величину, обратную D±, можно записать таким образом:
Дисперсионное соотношение A60) тогда сводится к следующему:
1 . 1 *_2/ Ik+Xvj* I . |k-Xvo|2 1 ;
, (о)
D
t-i-
k
D
t—
|k+v,l2 1 ,1 k.v.l* \
A64)
Если возбуждаемые высокочастотные волны являются попереч-
поперечными, как в случаях индуцированных комбинационного рассеяния
и рассеяния Мандельштама — Бриллюэна, то необходимо учиты-
учитывать только первые два слагаемых в скобках в правой части урав-
уравнения A64). В этом случае самая сильная связь получается, когда
k±J_E0. Если возбуждаемые волны являются продольными, та
в правой части нужно удержать только два последних слагаемых
в скобках, и самая сильная связь возникает при к±||Е0.
Применения этого дисперсионного уравнения к различным па-
параметрическим неустойчивостям можно найти в работах [25—27].
2.3. Дисперсионное уравнение для замагниченной плазмы. Рас-
Рассмотрим дипольную накачку, действующую на однородную замаг-
ниченную плазму. Выбирая ось z в направлении магнитного поля,
в общем случае можем записать поле накачки в виде
Ео= (Ёо
z) cos
A65)
где х и z — единичные векторы в х- и г- направлениях.
Для простоты предположим, что возбужденные волны являют-
являются электростатическими и что невозмущенные функции распреде-
распределения F^e и FOi — максвелловские, с тепловой скоростью ve и Vi.
Как и в п. 2.1, введем осциллирующую систему отсчета с помощью
соотношения A07) с vOs(O и Tos(i)t определяемыми следующим
образом:
ms
¦ sin
\
_-???• -5-^__ COS Ш)
A66)
\
m
ко
где (Acs (s = e, i) —циклотронная частота для частиц сорта s.
A67)
469

Используя эту систему отсчета, можно исключить электриче-
электрическое поле накачки из уравнения Власова. Применив преобразова-
преобразование Фурье — Лапласа, получим в линейном по возмущениям при-
приближении
Я,(к, <о)=— [еохЛк, <о)/<| ikE(k, <o), A68)
где тильда используется для обозначения компонент в осциллирую-
осциллирующей системе отсчета для частиц сорта 5. Линейная восприимчи-
восприимчивость определяется соотношением
%s (k. .) = -^ {1 + -yf^ 2 Z (U Ат (k'±9\) |, A69)
где Z(?) —дисперсионная функция плазмы:
= exp(-p)/w(p);
Im — модифицированная функция Бесселя m-го порядка, другие
обозначения стандартны. Соотношение между компонентами Фу-
Фурье— Лапласа в лабораторной и осциллирующей системах опреде-
определяется следующим образом:
оо+Ь' оо
А (к, «) = J ^ ^dtA (к, »') ехр [- ikros @ + i (ш - »') ^], A70)
—оо+Ь' О
где Im (со—©/)>0; g'>0. Используя A67), имеем
os) cos
-\-{kvHos sin ((dOt) =as sin (<oo^+6s), A71)
где a2s=(kxxCs-\-kzz()sJ+k2yy2os; es=arctg (kxXos+kzzOs)JkyyOs\ x08f y08f
Zqs — компоненты амплитуды осцилляции, определяемые соотноше-
соотношением A67). Используя разложение функций Бесселя и проводя
интегрирование в A70), получаем
А (к, со) = 2 ехр (- хтЛ8) lm (as) Л (к, со - тт.) » Д;1 (к) А (к, со),
т
A72)
где Jm — функция Бесселя m-го порядка. Обратное соотношение
имеет вид:
А (к. со) = 2 ехр (i«|,) lm (as) А (к, « + я*».) « Д, (к) Л (к, ю). A73)
т
470

Из этих формул можно получить связь между возмущением плот-
плотности и продольным электрическим полем
esns (k, ю) = - 2 2 ехр (i
т ш1
- да'ш.) ikE (к, ш + да»,) = - е.Д (к) х, (к, •) Д, (k)ikE (к, «). A74)
Тогда уравнение Пуассона дает следующее дисперсионное урав-
уравнение:
(к)х,(к. «»)As(k)lkE(k, «,) = 0. A75)
или более подробно
кЕ (к, «) +2 S S ехр {
кЕ (к' <» + т«>о) = 0- A76)
р {^ **(kl ш ~
Как и в случае плазмы без магнитного поля, это дисперсионное.
уравнение не дает параметрической связи, если электронный или
ионный отклик на поле накачки равен нулю.
Дисперсионное уравнение A75) можно переписать следующим
\ образом. Комбинируя уравнение Пуассона в осциллирующей си-
системе отсчета электронов
eoAe(k)ikE(k, со)=е<Де(к)/г;(к, со)— епе(к, <о)
и соотношение A65) для s=ey имеем
ikE (к, .) = Д;'(к) еЛ1 + ^(к>и)] Де (к) щ (к, •). A77)
С другой стороны, уравнение A74) дает при s=>i
ikE (к, «)=-А7!(к) ?оХД, а» АПк)яЛк, «>). A78)
Исключая электрическое поле и используя осциллирующую систе-
систему отсчета ионов, получаем в конце концов дисперсионное уравне-
уравнение в следующей форме:
= Д, (к) д;1 (к) ^'^ Де (к) Д7' (к) %t (к, а,). A79)
Это дисперсионное уравнение впервые получил Ко [28]. Оно упро-
упрощается, когда частота накачки достаточно велика, так что ион-
ионным откликом на частоте накачки можно пренебречь. Рассматри-
471

вая малые со и полагая щ(к9 <tf+tfto<>)==0 при тфО и А/=1, а так-
же используя определение Ae, находим:
В пределе слабой связи, т. е. ае<1, можно сделать дальнейшие
упрощения уравнения A77) и привести его к виду
1 __ **oa*e%i(b, со) %е(к, со) Г хе(кг & + щ) » %е(к, а>~б>0)
Х— 4s(к„ со) [ее(к, со + со0) ^ е^к, о>-соо)
где предположеног что foe (К ^)h Ix«(k» ©) |^1. Это дисперсионное
соотношение по существу амеет тот же вид, что и уравнение A27).
Нулевые значения ее(к, со±о)о) дают дисперсионное уравнение вы-
высокочастотной продольной волны, при обращении в нуль е(к, со)
получается дисперсионное уравнение для низкочастотной волны.
Если частота накачки со© достаточно низка, чтобы вызвать дви-
движение ионов, то необходимо использовать A29), тогда точное дис-
дисперсионное уравнение получается приравниванием нулю детерми-
детерминанта бесконечной матрицы. Используя тождество
'2 ехр (\тЩ ]р+т{a) Jm (Ь) = exp (iff) Jp G*),
т
где
р=. (a2+b2—2ab cos 9I'2; ф=arctg [b sin в/(a—b cos 9) ],
после некоторых вычислений можно переписать уравнение A79)
в следующей форме:
Р Я
ks^+) A82)
где
li2=aM-a2i—2u€aiCOS (8/—ве);
sin @t—Qe)l[a€—аг cos (Qi—Qe)]};
В пределе слабой связиг т. е. при ji<C!, удерживаем только Яг (к,
codzcoo) и Hi (к, <о). В случае со-С^о можно предположить, что
|Хе(к, о>)|, \%i(K co)|>ly так что дисперсионное уравнение при-
приобретает вид:
со) ^ %i(kf со)
где e±=l+3fet+x«±- Очевидно, что это дисперсионное уравнение
сводится к A81) при [х*±1«!зь±[-
472

Полученные выше дисперсионные соотношения по существу
имеют ту же форму, что и для плазмы без магнитного поля, они
различаются главным образом линейными восприимчивостями.
Дисперсионное соотношение для слабой накачки конечной ам-
амплитуды можно получить так же, как и для плазмы без магнитногЪ
поля, и опять единственное важное различие связано с линейными
восприимчивостями.
3. НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССАХ
Существует большой набор нелинейных эффектов, связанных
с параметрическими неустойчивостями. Наиболее часто наблюдае-
наблюдаемыми из них являются модификация профиля, обусловленная пон-
деромоторной силой, и взаимодействие волна — частица, связанное
с нелинейностью. Модификация профиля, т. е. изменение плотно-
плотности плазмы, температуры, потоковой скорости, электромагнитного
поля и т. д., приводит к изменению дисперсионных характеристик
волны накачки и, таким образом, подавляет неустойчивость. В то
же время обусловленное нелинейностью взаимодействие волна —
частица увеличивает темп затухания возбуждаемых волн и, следо-
следовательно, повышает порог неустойчивости.
Остановимся на некоторых нелинейных эффектах, для чего рас-
рассмотрим ленгмюровские колебания в незамагниченнои плазме. Сна-
Сначала (п. 3.1) рассмотрим вынужденную конверсию ленгмюровской
волны, обусловленную рассеянием на ионах, и последующее рас-
рассеяние возбуждаемых ленгмюровских волн на ионах, что приводит
к перекачке энергии волны в длинноволновую область [22, 23, 29,
30].
Если скорость передачи энергии от внешней накачки в ленгмю-
ровскую волну достаточно мала, она балансируется затуханием
при эстафетной перекачке, однако при большой скорости накачки
затухание не успевает ее сбалансировать, и волновая энергия на-
начинает накапливаться в длинноволновой области. Эта конденсация
плазмонов приводит к возникновению модуляционной или осцил-
осциллирующей двухпотоковой неустойчивости. В п. 3.2 обсуждается не-
нелинейная эволюция этой неустойчивости при одномерном распро-
распространении, приводящая к солитонному решению, которое представ-
представляет собой локализованное решение, получаемое при стационар-
стационарном балансе между нелинейностью и линейным дифракционным
эффектом (дисперсией). Однако в случае неодномерного рас-
распространения нелинейный эффект локализации непрерывно про-
продолжается (коллапс) до тех пор, пока не становится существен-
существенным взаимодействие волна — частица- Эта проблема обсуждается
в п. 3.3. Отметим, что многие из особенностей, обсуждаемых в этом
параграфе, могут иметь отношение не только к ленгмюровским
волнам в незамагниченнои плазме, но и к другим волнам.
3.1. Эстафетная перекачка энергии ленгмюровских волн при
индуцированном рассеянии на ионах ?30]. Рассмотрим нелинейное
47а

насыщение параметрической неустойчивости ленгмюровской волны
в незамагниченной плазме с внешней дипольной накачкой. Пред-
Предположим, что частота накачки немного выше электронной плаз-
плазменной частоты и отношение электронной и ионной температур
Te/Ti'—'1. Соответствующим параметрическим процессом является
в этом случае индуцированная конверсия электромагнитной волны
в ленгмюровскую при рассеянии на ионах. Обозначим частоту и
волновой вектор возбуждаемой ленгмюровской волны соответст-
соответственно coi и ki. Пренебрегая линейным затуханием, можно следую-
следующим образом оценить инкремент 71:
2, A84)
где использованы оценки |ee(ki, O)/e(kb <oi) |2—1 и Im%i(kb coi)^/
fm^(<opt/k\ViJ-—'(^l^jDe)". Частота наиболее быстро нарастающей
моды определяется соотношением <oi/w©o—*k\Vi. Так как разброс по
частоте порядка 7ь расстройка этой моды относительно частоты
накачки достаточно велика при y\<k\Vi. Предположим, что выпол-
выполняется неравенство
(<Оо—(Оре) >kiVi~kiXj)etope ("Witt*) !/2, A85)
при этом условие yi<fc\Vi можно записать в виде
)() A86)
Наиболее быстро растущая мода имеет волновое число, опре-
определяемое соотношением
*, <х, VW[К - «>Ре)ЫЧ%1 У A87)
с разбросом
8*1 ~ЪК<(J/3)У^ФН^ве . A88)
где vgi—3kiX2De®pe — групповая скорость. При выполнении условия
A85) 6ifei<*i.
. По мере того как происходит усиление, спектр по частотам или
волновым числам приобретает резкий пик, который начинает дей-
действовать как накачка% для вторичной параметрической неустойчи-
неустойчивости с возбуждением* ленгмюровской волны более низкой частоты.
Обозначим вторично возбужденную моду (к2, сог), тогда вследствие
неравенства A85) резонансное условие ©i—со2= (ki—k2)v можно
приближенно записать в виде <di^cd2> откуда имеем
(ki—k2) =Akl2<kl^k2. A89)
Так как самая сильная связь возникает, как это видно из A59),
при наибольшем |ki—кг|2, получаем, что максимальный инкремент
имеет место при обратном рассеянии, когда
к2^—кь A90)
'474

Используя это соотношение, находим из резонансного условия:
coi—(D2^2?i^, или &ki2^2vikiJvgi. Величина Ak\2 много больше
разброса по волновым числам вторично возбуждаемой волны:
Д&12>>6'&2. Далее, по мере нарастания амплитуды этой волны она
действует как накачка для возбуждения третьей волны, которая^
опять рассеивается назад со
сдвигом
волнового
числа
В результате получается
эстафетная перекачка энергии
ленгмюровских волн в длинно-
длинноволновую область с дискрет-
дискретным спектром (рис. 6) [29,
31]. Аналогичная эстафетная
перекачка волновой энергии
возникает в случае промежу-
промежуточных интенсивностей на-
накачки:
*»
ш
— tope те
со.
Рис. 6. Спектральная интенсивность
/а электронных плазменных волн в
стационарном состоянии при слабой
накачке
A91)
хотя в этом случае волновой
спектр не дискретен.
Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее эстафетную
перекачку. Используем то же приближение, что и в п. 2.2, однако
учтем наличие многих мод. Так как ленгмюровские волны являют-
являются продольными, получим аналогично A57)
t(k, ю)?(к, ®) = i^j-
A92)
где к" = к—к'; со// = о)—о/; |со"|<Ссо; о/~соре. Низкочастотное воз-
возмущение плотности 8пе(к", ш") можно вычислить так же, как
A53):
ta.<k". O=-2LflE^^ т)*р9 ^ A93)
Подставляя A93) в A92) и учитывая линейное соотношение
щу(К <д)^(е/т)Е(к, <о), получаем уравнение
X
Xv*(к', a/)v(k, ю) v(k', со').
A94)
Умножая A94) скалярно на. у* (А, <а) и учитывая, что вектор v —
продольный, можно вывести интегральное уравнение для функции
/ft=|v(k, «0
A95)
475

Добавим к мнимой части полученного уравнения слагаемое,
описывающее связь с внешней накачкой. В итоге получим:
, = 0. A96)
Здесь у. —инкремент, обусловленный связью с внешней накачкой;
\е — линейный декремент:
Ve=colme(k, <o)/2, A97)
который в случае длинноволновых колебаний обусловлен в основ-
основном электрон-ионными столкновениями;
M(k, k^^^^^J'hn^-^, A98)
где для %е(к"у со") использовано приближение A28).
Для максвелловского распределения ионов величина М(к, к')
положительна при <о"<0 и отрицательна при ©">0, что означает
наличие потока энергии в низкочастотную или длинноволновую
область. Так как наибольший инкремент нарастания имеет место
для обратного рассеяния, спектр насыщения является почти одно-
мерным. Более внимательный анализ решения уравнения A96)
дает сингулярный спектр /&=/(;&, в), где в — угол между к и Ео
(Ео — электрическое поле накачки). В реальной ситуации такая
сингулярность замазывается из-за различных эффектов, например
эффекта спонтанного излучения, который резко усиливается при
наличии накачки, нестационарности спектра и т. д. -
Уровень насыщения первого сателлита Ik\=I\ можно легко
оценить, если пренебречь линейным затуханием ve. В самом деле,
учитывая, что М(к, к')'—'(о/2, а также соотношение A84), нахо-
находим
h~>(vo[veJ=h, A99)
где /о — нормированная интенсивность накачки.
Аналогичные соотношения можно получить и для сателлитов
более высокого порядка, т. е. /п—1п~\ (п=2, 3, ...), однако с рос-
ростом п амплитуда постепенно убывает из-за линейного затухания
Окончательный энергетический баланс можно тогда получить
приравниванием скорости внешней подкачки и скорости диссипа-
диссипации
2y.8V.~2v. 2/яг*„, B00)
где использовано то обстоятельство, что In$kn 'пропорционально
волновой энергии я-го сателлита.
476

Оценим правую часть уравнения B00) следующим образом:
где km— минимальное волновое число сателлитов.
Используя A84) и A88), получаем из B01) соотношение
kx - kmъ A /6) Я K/ve) Vme\m{ /0, B02>
имеющее смысл, только если нормированная интенсивность накач-
накачки /о меньше критического значения
при получении которого использовано A87). При /о>/с линейное
(столкновительное) затухание не может диссипировать энергию-
волны, до того как она будет перенесена в область самых длинных
волн, k=0. В этом случае энергия начинает накапливаться в обла-
области нулевых волновых чисел. Это явление соответствует бозе-кон-
денсации плазмонов. При увеличении плотности конденсата он на-
начинает играть роль накачки для осциллирующей двухпотоковой:
неустойчивости, которая приводит к возбуждению более коротко-
коротковолновых мод и возмущений плотности. В результате конденсат
разбивается на части в обычном пространстве и образуются ка-
каверны плотности плазмы.
Если вышеупомянутая эстафетная перекачка может быть опи-
описана в рамках теории слабой турбулентности, то задача о конден-
конденсате требует новой теории. Эта проблема рассмотрена в п. 3.2.
3.2. Одномерное распространение нелинейной ленгмюровской
волны. Нелинейное уравнение Шредингера и солитоны огибающей..
В качестве простейшего примера эволюции конденсата плазмонов
рассмотрим одномерное распространение ленгмюровских волн. Так
как плазмоны конденсата имеют очень большую длину волны,
можно пренебречь их затуханием Ландау. Можно также пренебречь
индуцированным рассеянием на ионах, так как конденсат является
конечным состоянием, достигаемым благодаря этому процессу. По-
Поэтому можно рассматривать задачу в рамках гидродинамической,
теории. Для простоты пренебрежем также столкновительным зату-
затуханием.
Основные уравнения. Выведем сначала уравнения для:
высокочастотного отклика, который будем обозначать тильдой. И»
уравнения движения электронов имеем
дие . ~ д ~ е ъ ЗЛ д ~ /ол,,
-1^+ие-Вие = --Е--^^пв. B04>
Вторым слагаемым в левой части уравнения можно пренебречь,,
так как оно нелинейно и содержит пространственную производную^.
477

которая очень мала при больших длинах волн. Градиент давления
берется в линейном приближении, так как он также содержит про-
пространственную производную. Дифференцируя B04) по времени,
используя закон Ампера с Л=0 и линеаризованное уравнение не-
непрерывности, получаем
ив=о,
где 8пе — низкочастотное возмущение плотности, которое дает
нелинейный ток, как в п. 2.2. Представим йе(х, t) в виде
йе(х, t)/ve=w(x, t)ехр[—\<dpet] +к. с. B05)
и пренебрежем второй производной по времени от медленно ме-
меняющейся амплитуды w. В итоге получим
Это уравнение имеет форму уравнения Шредингера с потенциа-
потенциалом, пропорциональным 8пе/по.
Уравнение для 8пе/п0 можно получить из низкочастотной ча-
части уравнения движения электронов. Пренебрегая электронным
инерционным членом, но удерживая пондеромоторную силу, на-
находим
... ^ i _.. 12 д I ev \ д
где ф — низкочастотный электростатический потенциал. Предпола-
Предполагая, что cp=8/v=0, в отсутствие высокочастотной волны (когда
я>=0) имеем
| ш |2. B08)
Исключим ф из линеаризованного уравнения движения ионов
д е ду Т{ д *
dt l mi дх min0 дх 1
и условия квазинейтральности 8ne=8rii. Справедливость линейно-
линейного приближения для ионов обсуждается ниже. Исключая щ из ли-
линеаризованного уравнения непрерывности для ионов и комбинируя
результат с B08), получаем следующее уравнение:
^-тйтг'".-^-!1- B10>
где cs-=V{Te-\-Ti)lmi — скорость звука. Это уравнение описы-
описывает возбуждение ионно-звуковых волн пондеромоторной силой
высокочастотной волны.
478

Связанные уравнения B06) и B10) являются основными для!
рассматриваемой проблемы. Здесь рассматривается та же физи-
физическая картина, что и при получении A92) и A93), за исключе-1
нием того, что здесь использовано гидродинамическое описание,,
однако система уравнений B06), B10) более полезна при изуче-
изучении временной эволюции.
Квазистатический ионный отклик. Рассмотрим ква-
квазистатический ионный отклик на пондеромоторную силу. Пренеб-
Пренебрегая производной по времени в уравнении B10), получаем
8ne/no=-Te\w\2j(Te+Ti).
Подстановка B11) в B06) дает уравнение
)^0- B12>
Уравнение в этой форме называется нелинейным уравнением:
Шредингера [32—34], общие свойства которого будут обсуждены?
позже.
Отметим сначала, что уравнение B12) имеет решение в виде
плоской волны конечной амплитуды
w(x, t)=Aex\>(ikx—ivt), ^=const, B13))
которая удовлетворяет дисперсионному уравнению
v=o)P, [ C/2) k2X2De-A2Te/2 (Te+Ti) J. B14>
Первое слагаемое внутри скобок описывает обычную линейную*
дисперсию, а второе дает нелинейный сдвиг частоты. Однако это*
решение в виде плоской волны является модуляционно неустойчи-
неустойчивым, так как нелинейный сдвиг частоты отрицателен, а дисперсия:
групповой скорости d2(Ok/dk2 положительна (см. п. 1.2).
Доказательство существования этой неустойчивости на основе-
общего нелинейного уравнения Шредингера будет проведено поз-
позже, отметим только, что это доказательство справедливо для более
широкого класса модуляционных неустоичивостеи, включая осцил-
осциллирующую двухпотоковую неустойчивость. Именно эта неустойчи-
неустойчивость приводит к прекращению образования конденсата, обуслов-
обусловленного каскадным процессом, описанным в п. 3.1.
Пусть К — волновое число модуляции; тогда из B14) имеем:
0<K2X2De<B/3)A2Te/(Te+Tt). B15>
Максимальный инкремент определяется соотношением
Умакс= («>ре/2)А2Те/(Te+Ti), B16)
которое достигается при
у
-T(Te + Ti)AXto ' (
479*

Модуляция движется с групповой скоростью
Vg = 3KKDeVe. B18)
Применимость приведенных выше результатов ограничена усло-
условием квазистатического ионного отклика, т. е. ^макс, Kvg<Kcs, от-
жуда следует условие
Л < B/1/3) \{Те + ТгIТ€\ УЛф?19 B19)
•справедливое при очень малых амплитудах; соответствующее воз-
возмущение плотности также мало:
\8пе/п0\ < B/3) [Te/(Te+Ti)]melmi. B20)
С ростом модуляции ленгмюровская волна имеет тенденцию
локализоваться в области пониженной плотности. Локализация
увеличивает компоненты с большим волновым числом и, следова-
следовательно, линейное дисперсионное слагаемое в уравнении B12). Это
слагаемое описывает дифракцию волны, стремящуюся расширить
волновой пакет в противовес эффекту локализации, обусловлен-
обусловленному нелинейным членом. В конечном счете достигается баланс
между эффектом дифракции и эффектом локализации. Эта конеч-
конечная стадия описывается солитоном огибающей, который имеет
форму
w(x, /) = .
L r
i и
B21)
згде Т' — Те/ (Te-\-Ti) \ ^—х/Хйе'* x=(uPet. Это решение описывает ло-
локализованное образование с пространственной шириной, обратно
пропорциональной амплитуде Л, движущееся со скоростью U
(нормированной на ve) и колеблющееся с частотой (Т'Л2/4—
U2/6)®pe. Решение содержит четыре независимых параметра: амп-
амплитуду Л, скорость распространения (/, начальное положение go и
начальную фазу Go. В пределе малой амплитуды U переходит в
нормированную групповую скорость линейной ленгмюровскои вол-
волны с волновым числом и/ЗХпе и частотой (Ope[l + U2/&\. При конеч-
лой амплитуде частота уменьшается на величину Г'Л2(оРб>/4 из-за
лонижения плотности 8neJn0 = — |со|2Г', которое приводит к захва-
захвату ленгмюровскои волны в область с пространственными размера-
размерами, пропорциональными А~К Эту зависимость пространственной
ширины от амплитуды можно легко понять, рассматривая условие
баланса линейного дисперсионного и нелинейного слагаемых. От-
Отметим, что справедливость приведенного выше решения основана
на условии статического ионного отклика, которое выполняется,
^если справедливо соотношение B19).
Нелинейное уравнение Шредингера. Предшест-
Предшествующий анализ можно применить и к случаю нелинейного распро-
480

странеиия произвольной волны с большой дисперсией [33, 35].
Пусть
D{ky а), сы, aa...)w = 0 B22)
является дисперсионным уравнением, описывающим линейное рас-
распространение волны, обозначенной w, где аь аг • •. — параметры,
характеризующие диэлектрическую среду. Предположим, что нели-
нелинейный эффект, обусловленный конечной амплитудой волны, про-
проявляется в изменении этих параметров от значений {а/} до {а/+
+Aaj}, а также что Aa,j пропорционально \w\2. Так как \w\2 мо-
может медленно зависеть от координаты и времени, уравнение B22)
примет вид:
ai+Дсц, a2+Aa2 ...)w(x9 /)=0. 'B23)
Воспользуемся системой координат, движущейся с групповой
скоростью da/dk; тогда в этой системе отсчета сШ(&, со, ai ...)/
/dk=O. Разлагая уравнение B23) по малым величинам д/дх,
d/dt и {Да/} и удерживая только ненулевые слагаемые самого
низкого порядка, получаем следующее уравнение:
(id/dt+pd2/dx2+q\w\2)w=0, * B24)
2 dk* I да ~ 2 dk* '
-±L-^Id?. B26)
Уравнение B24) является нелинейным уравнением Шредингера.
Оно имеет решение в виде плоской волны конечной амплитуды
w(x9 /)=Лехр(—Ы)э B27)
где
v=-q\A]2 B28)
(волновое число включено в линейное волновое число k). Это ре-
решение устойчиво при pq<0 и неустойчиво при pq>0. Чтобы пока-
показать это, обозначим решение B27) ш0 и наложим на него возму-
возмущение
= (X+iY) exp (-ivO, B29)
где X и У — вещественные величины. Подставляя w = Wo-{'Aw в
B24) и линеаризуя уравнение относительно До;, получаем
dX/dt+pd2Yldx2+2qA2Y=0) B30)
-а Y/dt+pd2X/dx2=0, B31)
где без потери общности считаем А действительным. Полагая
X^cos(Kx—Qt) и Y~sm(Kx—Qt) и решая систему уравнений
B30) и B31), получаем дисперсионное соотношение
Q2=pK2(pK2_2qA2), B32)
I - 3283 481

Которое дает неустойчивое решение <Й^0) при р<7>0 и " '
А. B33)

Максимальный инкремент достигается при K=Vq/pA:
B34)
Рассмотренная неустойчивость является модуляционной. По ме-
мере усиления модуляция начинает описываться солитоном огибаю-
огибающей:
и характеризуется опять четырьмя независимыми параметрами: v
[или амплитудой (-— 2v/q)l/2]t U, g0 и 60. В общем случае можно
показать, что любое локализованное решение нелинейного уравне-
уравнения Шредингера B24) представимо в виде совокупности солито-
нов огибающей (М-солитонное решение) и что при столкновении
этих солитонов друг с другом сохраняются их начальные амплиту-
амплитуды и скорости (со сдвигом по 1о и 6о). Эти результаты получаются
путем точного решения B24) с использованием метода обратной
задачи теории рассеяния.
Звуковые солитоны. Как упоминалось выше, приближение
квазистатического ионного отклика справедливо только для очень
малой амплитуды волн. При большей амплитуде следует рассмат-
рассматривать динамический отклик ионов. Если ограничиться стационар-
стационарными решениями, т. е. теми решениями, амплитуда которых ста-
стационарна в системе отсчета, движущейся с определенной постоян-
постоянной скоростью V, то можно получить решения системы уравнений
B06) и B10) в виде солитона огибающей. Полагая в уравнении
B10) l=(x—Vt)%-lDe и (d/dt)x = — VX-lDed/dl и накладывая ус-
условие, что 6пе=0 при |ш|2=0, получаем
8ne/no=[T'c2s/(V2-c2s)] И2, B36)
Подставляя B36) в B06) и полагая w = v(l)exp [—М], нахо-
находим уравнение
/ . V д , 3 д* i v Г c2s |отц\г, п
которое имеет солитонные решения
ф [ ^4+ °]л sch[/ 6(?V) A ft -
где
482

Решение показывает, что для данного ленгмюровского солитона
амплитуда Л, возмущение плотности и величина, обратная прост-
пространственной ширине, увеличиваются с приближением скоррсти
распространения V к ионно-звуковой скорости cs. Однако с при-
ближением V к cs становится несправедливым уравнение для низ-
низкочастотного возмущения плотности. При Te^Ti солитон связы-
связывается с тепловым движением ионов, и необходимо учитывать
кинетические эффекты. При Г*»7\ резонансно возбуждаются
жшно-звуковые волны, и следует учитывать нелинейность в урав-
уравнении движения ионов. Нелинейное распространение ионно-зву-
ковых волн описывается уравнением Кортевега — де-Вриза. Учи-
Учитывая влияние пондеромоторной силы, получаем в этом случае
уравнение стационарного состояния [36]
- [2(V-c8) /cs] 8N+8N*+1 w 12=0, B40)
где 6N=8ne/n. Первое слагаемое возникает из-за разделения за-
зарядов, обусловленного нелинейным эффектом укручения. Вместе
€ уравнением B15) данное уравнение имеет решение типа соли-
тона:
6tf=12Asch[(—гД/ЗI'^], B41)
где Д=(юо—(Оре)/(Оре; l=(x—Vt—Xo)/XDe] V=cs(l+20k/3). Ха-
Характерным свойством этого решения является то, что возмущение
плотности линейно по амплитуде высокочастотного поля в отличие
от случая B36), где 8N пропорционально квадрату амплитуды
поля. Поэтому существенная каверна плотности образуется отно-
относительно слабой ленгмюровской волной.
Влияние внешней накачки. До сих пор мы пренебрега-
пренебрегали накачкой ленгмюровских волн, косвенно предполагая, что на-
накачка точно балансирует затухание за счет электрон-ионных со-
соударений. В действительности накачка может непрерывно подпи-
подпитывать энергию в ленгмюровскую волну до тех пор, пока не станет
существенной диссипация, обусловленная, например, затуханием
Ландау.
Влияние внешней накачки на динамику солитона, описываемое
нелинейным уравнением Шредингера, исследовали Моралес и Ли
[37, 38]. Предполагая, что амплитуда пространственно однород-
однородной части осциллирующего электрического поля поддерживается
на постоянном уровне внешним контуром, эти авторы численно ис-
исследовали временную эволюцию осциллирующей двухпотоковой
неустойчивости. Согласно их результатам, приведенным на рис. 7,
линейно неустойчивая мода сначала нарастает экспоненциально с
известным из линейной теории инкрементом. Однако, когда энер-
энергия возбуждаемой волны становится сравнимой с энергией внеш-
внешней накачки, включается самомодуляция возбуждаемой волны, и
инкремент начинает увеличиваться. В момент времени В (рис. 7)
пространственный профиль огибающей искажается, и с момента С
34* 483

энергия волны увеличивается взрывным образом, что сопровож-
сопровождается сильной локализацией волнового пакета (коллапс)*. Одно-
Одновременно появляется сильная диссипация энергии, обусловленная
взаимодействием волна — частица, и энергия накачки переходит в
тепловую энергию плазмы.
rt
о
Рис. 7. Временная эволюция полной энергии колебаний и соответствующая про-
пространственная зависимость электрического поля при постоянной амплитуде
накачки
3.3. Неодномерные нелинейные ленгмюровские волны — коллапс и его по-
последствия для взаимодействия волна — частица. Как указывалось в предыдущем
пункте, нелинейные эффекты, связанные с длинноволновыми плазмонами, харак-
характеризуются локализацией энергии плазмонов вследствие образования каверн
плотности, в которых заперты плазмоны. В одномерном случае эффект локали-
локализации уравновешивается линейным эффектом дифракции при относительно низком
уровне флуктуации (|ш|2<1), и как окончательная стадия нелинейной эволю-
эволюции образуется стабильный солитон огибающей.
* Более детальное исследование этого вопроса, проведенное в работах
И. П. Панченко, М. Г. Любарского, В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко. (Письма
в ЖТФ, 1976, т. 2, с. 390) и Т. А. Горбушиной, Л. М. Дегтярева, Р. 3. Саг-
деева, В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко. (Одномерная турбулентность ленгмю-
ровских волн. Препринт Ин-та прикл. мат. АН СССР, 1978, № 17), показало,
что неограниченного возрастания амплитуды электрического поля и схлопывания
каверны, как в обычном коллапсе, не происходит. Амплитуда электрического
поля в солитоне нарастает до величины
М \ 1/4] Е\ М_
М
Наряду с этим ограничен процесс уменьшения длины волны плазменных коле-
колебаний, так что диссипация энергии колебаний резонансными частицами имеет
место не всегда. В литературе рассматриваемое явление получило название
вынужденный коллапс. — Прим. пере в.
484

В неодномерных случаях такой баланс устанавливается при высоком уровне
флуктуации (|ш|2^1) и, следовательно, необходим учет нелинейностей различ-
различных типов. Рассмотрим сначала один солитон, описываемый нелинейным урав-
уравнением Шредингера, и продемонстрируем отсутствие стабильного баланса между
нелинейным эффектом локализации и линейным эффектом дифракции, что озна-
означает возможность коллапса плазмонов [34]. Затем исследуем совокупность мно-
многих локализованных солитонов, которые при статистическом подходе можно счи-
считать находящимися в стационарном состоянии, и обсудим их влияние на пере-
перенос энергии плазмонов в длинноволновую область. Наконец, коснемся влияния
сильной внешней накачки ленгмюровских волн, которая может приводить к силь-
сильному нагреву плазмы за счет увеличения взаимодействия волна — частица.
Модель нелинейного уравнения Шредингера и коллапс.
Рассмотрим слабую накачку и предположим, что ионы дают квазистатический
отклик на пондеромоторную силу. Это приводит к нелинейному уравнению Шре-
Шредингера, обобщенному на неодномерный случай:
(id/dt+py2+q\w\2)w=07 B42)
где p=3v2e/2<dPe', <7=0)ре7\>/2(Ге-{-7\). Локализованное решение этого уравнения
удовлетворяет закону сохранения
[ dr \w\* =
= const, B43)
соответствующему сохранению числа плазмонов. Пусть локализованное решение
уравнения B42) характеризуется амплитудой А и шириной L Тогда этот закон
сохранения дает соотношение
A2Ld =const, - B44)
где d — размерность локализации. Предположим, что образуется единственный
солитон. Линейный дифракционный член имеет скейлинг AL~2, в то время как
скейлинг нелинейного члена — А3. С учетом B43) находим, что их отношение
AL-2/A5=Ld~2. B45)
Для одномерного решения, т. е. при d=l, отношение B45) растет (убывает) при
уменьшении (увеличении) L. Это означает, что линейный эффект дифракции ста-
становится больше (меньше) нелинейного эффекта локализации при значительном
уменьшении (увеличении) L. Следовательно, можно получить стабильный баланс
при определенном критическом значении L, которое пропорционально А~2. Этот
скейлинг согласуется с полученным в этом параграфе решением в виде солитона
огибающей.
При d>2 приведенное выше соотношение дает противоположный ре-
результат, а именно, с уменьшением размеров локализации L нелинейный
эффект локализации становится еще более существенным по сравнению с линей-
линейным эффектом дифракции, что приводит к еще большей локализации энергии
плазмонов. В рамках модели нелинейного уравнения Шредингера плазмоны
в конце концов коллапсируют в точку, что можно рассматривать как нелинейную
неустойчивость [34, 39]. В этом смысле двумерный случай является предельным,
однако тот факт, что любое смещение из положения равновесия приводит к но-
новому балансу между нелинейным и дифракционным слагаемыми, можно рассмат-
рассматривать как отсутствие устойчивого равновесия.
485

В действительности при появлении коллапса локальная интенсивность плаз-
монов увеличивается и нарушается предположение о квазистатичности отклика
ионов. Более того, в первоначальном уравнении B06) нелинейный член пропор-
пропорционален возмущению плотности 6пе, которое никогда не может стать бесконеч-
бесконечным, поэтому коллапсирование в точку никогда не имеет места. Решение, вклю-
включающее более высокую нелинейность, в рамках квазистатического ионного откли-
отклика численно получено в [40], в которой показана возможность стационарного
локализованного решения, однако поскольку его пространственные размеры по-
порядка дебаевского радиуса, в этом случае необходимо учитывать взаимодействие
волна — частица.
Отметим, наконец, что при коллапсировании центральной части уединенной
волны ее хвост простирается до бесконечности из-за дифракционных эффектов.
В этом смысле коллапс имеет смысл только при рассмотрении единственной
уединенной волны. При наличии нескольких уединенных волн перекрытие их хво-
хвостов может сильно модифицировать приведенный выше результат.
Влияние каверн плотности на перенос энергии. Приве-
Приведенные выше аргументы применимы к единственному солитону. В действитель-
действительности одновременно образуется большое количество солитонов, взаимодействую-
взаимодействующих друг с другом. В такой ситуации можно рассмотреть их стационарное со-
состояние. Из трехмерного обобщения уравнения B15) можно получить, что
характерная глубина и размер каверн плотности, сопровождаемых появлением
ленгмюровских солитонов, изменяются следующим образом:
\bnefri0\^(XDe/LJ^\w\2. B46)
Образование таких каверн плотности может изменить процесс переноса ленг-
ленгмюровских волн вне области конденсата. Как уже обсуждалось в п. 3.1, эстафет-
эстафетная перекачка появляется из-за индуцированного обратного рассеяния ленгмю-
ленгмюровских волн на ионах. В результате плазмоны выстраиваются в квазиодномер-
квазиодномерную цепочку в пространстве волновых чисел.
Образование каверн плотности при формировании солитонов также приводит
к рассеянию и преломлению на них ленгмюровских волн (вне области конденса-
конденсата) В результате эти волны приобретают угловой разброс в пространстве вол-
волновых чисел, и вследствие этого скорость потока энергии плазмонов в направ-
направлении области конденсата меняется. Это означает изменение скорости накачки
солитонов и связанных с ними каверн плотности.
Так как характерное волновое число каверн плотности L~l мало по сравне-
сравнению с волновым числом ленгмюровских волн вне области конденсата, их углы
рассеяния малы и, следовательно, процесс может быть описан как диффузия
волнового пакета по углам. Обозначая коэффициент диффузии DQ) можно сле-
следующим образом модифицировать уравнение A96):
Оценим DQ с помощью стандартной формулы D0 = (db/dtJtz, где
486
^0
dk
ИГ
д дпе
!к"~пГ

2De®ve — время прохождения волнового пакета поперек каверны.
Используя эти соотношения, получаем
B48)
где использовано соотношение B46). Эффект диффузии по углам становится су-
существенным при
?>е ^ Л'Л - «pt/i или; !»•;¦ ^ (Ма..I Л. B49)
где 1\ — безразмерная амплитуда флуктуации в области накачки. Предположим,
что в области эстафетной перекачки столкновительным затуханием ve можно
пренебречь и поток энергии в область конденсата балансируется столкновитель-
столкновительным затуханием плазмонов конденсата. Тогда
^Velw^, ' B50)
откуда следует соотношение
/Ve)/2!. B51)
Сравнивая B51) с B49), находим условие, при котором становится существен-
существенной диффузия по углам:
Используя соотношение A99), можно получить порог для амплитуды накачки
(vo/veJ. Приведенная выше оценка справедлива при условии &iL>l. С по-
помощью B46) можно записать это условие в виде
B53)
Используя B51) и A99), перепишем это условие в виде
Условия B52) и B54) согласуются друг с другом при
((Do—<dpe)f(Ope>VeMpe, B55)
что легко выполняется для типичных параметров плазмы.
Более детальный анализ влияния конденсата плазмонов на эстафетную пе-
перекачку проделан в [41] для накачки ленгмюровских волн релятивистским элек-
электронным пучком. В этом случае даже малое угловое уширение спектра в обла-
области накачки сильно уменьшает скорость накачки и, следовательно, приводит
к стационарному балансу между внешней накачкой и столкновительным затуха-
затуханием при условии k\L^>\.
Усиление взаимодействия волна — частица, обуслов-
обусловленное сильной накачкой. Если накачка столь велика, что нарушается
неравенство B53), она непосредственно приводит к модуляционной или осцил-
осциллирующей двухпотоковой неустойчивости мод с высокими волновыми числами.
А именно, образование каверн плотности и коллапс ленгмюровских солитонов
имеют место даже на начальной стадии неустойчивости. Если при развитии кол-
коллапса характерный пространственный размер каверн плотности имеет порядок
487

нескольких дебаевских длин,- то становятся существенными два важных типа
взаимодействия волна — частица. Во-первых, включается прямое взаимодействие
волна — частица, обусловленное резонансом Ландау. Электроны, проходящие
через солитон, ускоряются" в постоянном-электрическом поле, так как время их
прохождения становится порядка или меньше периода колебаний ленгмюровской
волны. Этот процесс селективно ускоряет только электроны с высокой энергией,
так как время прохождения их через солитон меньше, чем для электронов с ма-
малой энергией. Поэтому на функции распределения электронов по скоростям
образуется высокоэнергетичный хвост.
Результаты численного моделирования показывают, что сильное затухание
появляется' довольно неожиданно, когда ширина уединенной волны становится
порядка 10—15 дебаевских длин [42]. После затухания ленгмюровских колеба-
колебаний каверна плотности продолжает существовать и коллапсировать благодаря
инерции ионов, но в конце концов, когда скорость коллапса становится сверх-
сверхзвуковой, каверна начинает расширяться, излучая звуковые волны.
Другим важным видом взаимодействия волна — частица является связь
длинноволновой ленгмюровской волны с коротковолновыми (&Я©е^1) возмуще-
возмущениями ионной плотности, осуществляемая через посредство тепловых электронов.
Этот процесс становится существенным, когда такие ионные возмущения произ-
производятся коллапсом ленгмюровских колебаний. Он соответствует индуцированной
конверсии ленгмюровской волны в ионную акустическую из-за рассеяния на
электронах. Согласно соотношениям Мэнли — Роу энергия ленгмюровской волны
в основном переходит в тепловую энергию электронов.
По этим проблемам были проведены обширные теоретические исследования
и численное моделирование, с результатами которых можно детально ознако-
ознакомиться в [38, 42J.
4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ-
Мы рассмотрели общие свойства параметрических неустойчивостей и соот-
соответствующих нелинейных процессов. Продемонстрируем теперь некоторые из этих
явлений, рассмотрев распространение электромагнитной волны большой амплиту-
амплитуды в незамагниченной плазме. Эта задача связана со взаимодействием лазерного
излучения с плазмой при инерционном удержании в проблеме термоядерного
синтеза. Как известно, исследование взаимодействия лазерного излучения с плаз-
плазмой привело к необходимости изучения параметрических процессов в плазме.
В самом деле, нам известны большое число параметрических неустойчивостей и
связанное с ними аномальное поглощение при взаимодействии лазер — плазма,
например параметрическая распадная неустойчивость вблизи критической плотно-
плотности, неустойчивость филаментации, процессы ^ вынужденных комбинационного
рассеяния и рассеяния Мандельштама — Бриллюэна, двухплазмонная распадная
неустойчивость, модификация профиля плотности и т. д. Не будет преувеличе-
преувеличением сказать, что исследования взаимодействия лазер — плазма управляли раз-
зитием физики параметрических процессов в плазме.
В п. 4.1 получена основная система уравнений, описывающих связь электро-
электромагнитной волны и низкочастотного возмущения плотности в слабо неоднородной
незамагниченной плазме. В п. 4.2 обсуждаются неустойчивость филаментации и
самофокусировка электромагнитной волны в области малой плотности. В п. 4.3
488

рассмотрены явления на критической поверхности, в частности образование гоф-
гофров. Наконец, в п. 4.4 мы обсудим вынужденное рассеяние Мандельштама -—
Бриллюэна и Комптона. ^ ,
4.1. Связанные уравнения для электромагнитной волны и медленного возму-
возмущения плотности. Рассмотрим низкочастотные электростатические неустойчиво-
неустойчивости, вызванные мощным лазерным излучением. Ограничимся случаями, когда
для возбуждаемых электростатических мод можно полностью пренебречь инер-
инерцией электронов. В такой ситуации нелинейность в уравнениях для электромаг-.
нитной волны возникает только благодаря возмущению плотности, как это
обсуждалось в п. 2.2. Учитывая столкновительное затухание Гн, можем следую-
следующим образом записать нелинейное уравнение для электромагнитной волны:
Тн д
B56)'
со вспомогательным условием
V [d\'dt2 + со% A + *Ъ/п0)] Ь = 0. ' B57) -
Зде/ь о , = V е2п0 me*0 — локальная электронная плазменная частота, которая
слабо зависит от координаты из-за пространственной неоднородности плазмы.
Возмущение плотности бпе вызывается пондеромоторной силой электромаг-
электромагнитной волны. В предположении, что электронная температура однородна и
Te>7\, можно использовать гидродинамическое приближение как для электро-
электронов, так и для ионов. Основными уравнениями являются электронное уравнение
баланса статических сил
тпг V К 172 = V (*?) - Те V In (n0 + Ьпе), B58)
уравнение движения холодных ионов
пц (д/д!)щ= -v(Z*f) B59).
и уравнение непрерывности ионов
drillЫ + V (щщ) = 0. B60)'
Отметим, что если пренебречь ионной динамикой, т. е. положить dUi/dt=0, то
V И) =0н
dnelnQ = exp (mefiel*/2Te) - 1.
Для электромагнитной волны можно записать "
\ B62)
где пс = тего(хJо/е2 — критическая плотность плазмы. Уравнение B61) тогда при-
принимает вид:
дпе/п0 = ехр (е0 \Е\*/2псТе) — 1. B63)"
Подстановка B63) в B56) и B57) дает уравнение для самосогласованного опре-
определения профиля электромагнитного поля.
489

Если динамика ионов существенна, то мы уже не можем получить выраже-
выражение для Ьпе, справедливое при больших амплитудах. Однако при малых ампли-
амплитудах, т. е. при
\Ьпг/п0\ ~ е0 \Zf, 2ncTe <^ 1, B64)
можно линеаризовать уравнения B58) и B60) относительно Ьпе. Предполагая
квазинейтральность bne = Zbtii, с учетом столкновительного затухания TL полу-
получим следующее уравнение:
d 5v Uo
где cs — VfJ/YmJ. Когда 7\^Z7e, необходимо учитывать кинетический ионный
отклик. Этот случай будет обсуждаться в п. 4.4.
4 2. Неустойчивость филаментации и самофокусировка [9, 10]. Рассмотрим
разреженную плазму (соРе<о)о) и исследуем устойчивость линейно поляризован-
поляризованной плоской волны относительно поперечной модуляции амплитуды. Предполо-
Предположим, что электрическое поле накачки имеет вид:
e/e0 Ao (z) jTcos [koz — 'VJ Bo6)
и возмущения характеризуются электрическим полем
~ l/i
{а+ (г, 0 exp fi (kz - ©00] + a- (z, t) exp [ - 1 (koz -
— юоО ]} exp [i (kxx + kyy) ] + к. с., B67)
Где к — единичный вектор в направлении оси х, которое совпадает с направле-
направлением поляризации электрического поля волны накачки; амплитуды Л (z) и
а± (г, t) — медленно меняющиеся функции z и ty и предполагается, что возму-
возмущения распространяются в плоскости ху.
Предположим для простоты, что возмущение плотности является квазиста-
квазистатическим, так что можно использовать выражение B63). В приведенных обо-
обозначениях получим
6яеДг0=ехр (—Л2о)—1— AQ{a+x-+a-x) exp \\(kxx-^kyy)], B68)
где произведена линеаризация относительно возмущения. Подставляя B68)
в B56) и пренебрегая затуханием Гн, находим следующую систему связанных
уравнения для х-компоненты возмущения f±x = a+x+a-x\
D k2tc2
, "I
D k2,
U0 lX WQ \ Kq
ft -i -77-^2o 1 —ьг- /t = 0, B70)
где k2=k2x-\-k2y\ D/Dt=d/dt-\-'(koC2f(uQ)d/dz (производная по времени в системе
отсчета, движущейся с групповой скоростью волны накачки). Кроме л:-компо-
ненты, возбуждаются также у- и ^-компоненты поля возмущения (см. [10]), но
нам не нужно рассматривать их в настоящем анализе.
490

Для модели бесконечной плазмы рассмотрим задачу с начальными условия-
ми и положим D/Dt=—iQ. Тогда получим следующее дисперсионное соотно-
соотношение: ^
tf - (*>*ре/(*\) k\c* (I -k\/k\)A\. B71)
Неустойчивость возникает при
/4tfpe(k\-k*x). B72)
Максимальный инкремент имеет место при
йх = 0 и k2y — 2A20(xi2pe/c2 t B73)
и равен
(Im Q) макс= (со2ре/со0) Л20. B74)
Для справедливости квазистатического приближения необходимо выполнение
условия AтЙ)Макс<?уС8, т. е.
/с) о)о/(оре, B75)
которое является довольно жестким.
Для более реалистического подхода рассмотрим ограниченную плазму с не-
непрерывной инжекцией лазерного излучения на границе Предполагая накачку
однородной, исследуем пространственное усиление возмущения в стационарном
состоянии, В этом случае справедливо квазистатическое приближение и про-
пространственный инкремент определяется из B71) заменой Q2-+(koC2kz/(uoJ- Тогда
максимальный коэффициент усиления
Условие применимости полученного результата: \kz\^ky или |/2^ос/со^^> Ло.
Исследуем теперь нелинейную стадию упомянутой выше неустойчивости фи-
филаментации. Так как самое быстрое опрокидывание лазерного пучка происходит
в направлении оси у, ограничимся рассмотрением одномерной филаментации.
В стационарном состоянии из B56) и B63) имеем
1 д2 ^ ь>2ре \
где Г2=(?20с2—co2o-f<iJpe)/2^oc2. При |Л2|<1 равновесная нить задается реше-
решением нелинейного уравнения Шредингера в виде солитона огибающей:
Л=Л0 sch (Ky), B78)
где К=(йре\Ао\/'У'2с, и собственное волновое число определяется соотношением
П1 А* I 2/91 /070\
Ширина равновесной нити или самофокусированного пучка обратно- пропорцио-
пропорциональна амплитуде |Л0|, которая представляет собой корень квадратный из отно-
отношения радиационного давления к газокинегическому давлению плазмы. '
Если |Л|2 становится порядка единицы или ^больше, то аналитическое реше-
решение B77) нельзя получить даже в стационарном состоянии. Дли этого случая
491

было проведено численное решение*. Ширину равновесной нити тогда можно оце-
оценить, если сделать предположение о гауссовом профиле нити [43, 44]:
Л - А о ехр [- (у—у 0) 2/а2]. B80)
Подставляя B80) в B77) и рассматривая область (у—г/,0J<а2, получаем
a = V2(c/u>pJ) ехр (|А|2/2) |Л0|, B81)
причем &V2=co2o—со2ре ехр (—|Ао|2)—2с2/а2. При малых амплитудах накачки
(|Л0|-*0) а приближается к /С, что согласуется с приведенным выше резуль-
результатом [44]. Легко заметить, что а уменьшается с ростом \А0\ до тех пор, пока
|Л0| не достигает единицы, а затем нарастает с увеличением \А0\. Минимальная
ширина нити имеет место при |Л0| = 1: Ящщ^ V2ec/u>pe.
4.3. Гофрировка критической поверхности. Вблизи критической поверхности,
на которой соре^Оо, необходим учет отраженной волны в докритической области
и затухающей волны в закритической области. Если пренебречь поглощением
волны при плотности вблизи критической, то плоская волна, распространяющая-
распространяющаяся в направлении градиента, образует стоячую волну. Однако такая плоская
стоячая волна неустойчива относительно поперечных возмущений [45, 46]. Эта
задача и будет здесь исследована.
Направим ось х вдоль градиента плотности и ось z вдоль электрического
поля электромагнитной волны. Предположим, что имеется модуляция амплитуды
в плоскости х, у. Будем характеризовать невозмущенную стоячую волну элек-
электрическим полем [ср. с B66)]
е/е* Л (xJcos (oV). B82)
С помощью вычислений, аналогичных проведенным в предыдущем пункте, мож-
можно получить уравнение для А(х) в виде \
LoA={d2/dx*+(G>*Pe/c2) [I—No ехр (-Л2)]}Л=0, B83)
где Л/о=Ло/яс — плотность, нормированная на критическую плотность. Поля воз-
возмущения представляем в виде
$Е = V2ncTe/zQ {а+ (х) ехр ( - ia>§*) + Д- (х) ехр (mj)} ехр (iky - iQt)?. B84)
Подставляя эти соотношения в B56) и линеаризуя его относительно а±, полу-
получаем связанную систему уравнений для f± = a.}-+a_:
B85)
Отметим, что А не является быстро меняющейся по сравнению с а± функцией
- координат, так как вблизи критической точки длина волны становится очень
большой.
Определим bnejnc в уравнении B85) в предположении, что kL<\ и с2в/12<
2, где L — характерный масштаб неоднородности плотности в отсутст-
492

вие поперечного возмущения. Условие c28/L2<Q2 означает, что первое слагаемое
в скобках в левой части B65) больше третьего, справедливость этого условия
будет проверена ниже.
Пренебрегая затуханием, получаем из B65) следующее соотношение:
*»>
где по/пс = No ехр (—А2).
Умножим уравнение B85) на Л и проинтегрируем результат по х от —оо
до -j-oo. В результате найдем
_*«) -2 (сус') («S/Q») X2] F+ + 2 (Q/c2) соо*- - 0; \
1
где
00
Р± = J Л (х) f* (х) rfx; B88)
0
XV* - ^ Jrfxf + (*) Л* (x) [4- ^|L _?_ A {x) ] . B89)
.•oo
Предположив Я2 заданным, получим решение B87) в виде
?¦/% I (^/L
'оJ]. B90)
В действительности К2 зависит от вида собственной функции f+, так что собст-
собственная частота п должна определяться самосогласованно с уравнением B87).
Представляет интерес найти максимальный инкремент, т. в. решение, мини-
минимизирующее Q2<0. Так как Q2 монотонно убывает с ростом А,2, выберем в каче-
качестве собственной функции f+ такую, которая максимизирует К2. Такая собствен-
собственная функция будет приближенно пропорциональна Л, что приведет к следующе-
следующему соотношению для А,2:
00 I 00
Х2=4 J^^r-^-/ \^А\ B91)
—оо / —оо
Максимальный инкремент нарастания имеет место при
kcf^o— BсД/сооI/3 B92)
и равен
Условие Q2 > c2s/L2 удовлетворяется при Л^> V^2 (cs/LJ/(d20.
Из полученного выше результата следует, что одномерный нитевидный про-
профиль вблизи критической поверхности является сильно неустойчивым, и критиче-
критическая поверхность будет разбиваться на гофры и (или) каверны. Нелинейная
эволюция этой неустойчивости была исследована численно [45, 46].
49а

4.4. Вынужденные рассеяние Мандельштама — Бриллюэна и комптоновское
рассеяние. Неустойчивость относительно разбиения на нити и гофрировка кри-
критической поверхности соответствуют рассеянию вперед электромагнитной волны,
В этом пункте исследовано обратное рассеяние на ионно-звуковых волнах [47];
Предположим, что Ti<.ZTe, и используем связанные уравнения B56) и
B65). Из-за инерции ионов пространственный и временной инкременты % и у
много меньше соответственно волнового числа и частоты волны накачки k§ и @о<
Тогда уравнения B56) и B65) сводятся к следующей системе уравнений для
медленно изменяющихся амплитуд падающей волны Оо, рассеянной волны а^
и возмущения плотности ионов б/г:
(d/di + сд/дх) а0 = i<x (tn/n0) as\ \
(d/dt — сд/дх) as = ioc (дп/п0) do\ > B94)
(д/dt + TL + с^д/дх) $/г//?0 =* hosa*sa0. ]
Здесь использована та же нормировка Для э^ктромагнрг ног о поля, что и
в B66), B67); б/г — фурье-компонента возмущения платности с волновым чис-
числом к и с частотой cos<=&cs; a=GJpe/20O. -J
Линейный инкремент рассеянной волны для однородной накачки (a0=const)
определяется соотношением
B95)
Так как характерное время нарастания y-1o A пс для интенсивности падающей
волны 1014 Вт/см2) намного меньше характерной длительности лазерного импуль-
импульса, можно предположить существование стационарного состояния с пространств
венным усилением рассеянной волны. Система уравнений B94) сводится тогда
к следующей:
dao/d% = i (a/(o0) (§n/nQ) as; das/dt— —i {a/wc) (dn*/n ) a0; ]
^ B961
[iyсо, + A/2) d/(%] dn/n0 = ia*sa0, j ;
где l=kox. Из B96) имеем закон сохранения (соотношение Мэнли — Роу):
|ао|2—|ae|2=const^ (T—е)|ао(О)|2, который соответствует сохранению числа
фотонов. Здесь Т — коэффициент передачи; е — относительный уровень тепловых
шумов.
Положим Ть равным нулю и рассмотрим однородную ограниченную плазму
размером L; тогда решение уравнения B96) может быть записано в виде
К (х)|2= 1 —е sn2 (x/Lg/ VR)/cn (L/Lg, V~R), B97)
где Lg — длина нарастания (L8=rccs/^); sn и en — эллиптические функции
Якоби; R — коэффициент отражения:
/?== esn2 (L/Lg.9 Vh)/Q^ (L/Lg> VR). B98)
При е<1 для заметного отражения необходимо выполнение условия
cn2(L/Lg,]/lj)<l, поэтому пороговое значение, необходимое для обратного
рассеяния, оценивается следующим образом:
L^(n/2)Lg. B99)
494

Рассмотрим случай сильного затухания низкочастотных флуктуации плотно-
плотности, т. е. ч
со0. C00)
Тогда можно пренебречь конвекционным слагаемым d($n/no)/dl в уравнении
B96). Предположив, что Г^ = const, получим из B96) соотношение
решая которое имеем:
(/о-Г+е)/[/0A-Г)]=ехр [-Dy>/(*QTL)Tz]y ' C01)
где /о— |яо(Ю |2/1ао(О) |2. При ^—k0L получим из уравнения C01) точное соот-
соотношение для коэффициента передачи
7A— Г)=8ехр (QT),
C02)
где Q= D&oZ/y2/g)oG)s) ((ds/TL). Из C02) следует, что Т и R=l—Т зависят от
?И Q.
Сравнивая соотношения B98) и C02) при заданном значении коэффициен-
коэффициента отражения, находим существенное различие между ними. Для самосогласо-
самосогласованной оценки коэффициента отражения необходимо обратиться к кинетической
теории ионной волны для точного учета декремента. Можно предложить
несколько механизмов нелинейного увеличения декремента TL. В частности,
в режиме сильной накачки представляется важным усиление затухания Ландау
на ионах, обусловленное нагревом ионов ионно-звуковой "турбулентностью.
Нагрев ионов в распадающейся плазме можно оценить из баланса между
конвективными потерями из-за выхода ионов и нагревом ионно-звуковыми вол-
волнами [48]:
- (V/c.) (d/d?) ц = 2Гь 1Ьп[щ 12, C03)
где г] = Гг/«гГе; V — скорость потока ионов. Из B96) и C03) находим г\:
C04)
Следовательно, при |ao|2^GJpeF/a)Vs отношение температур становится по-
порядка единицы и ионная волна является сильнозатухающей (квазимода).
В этом случае вынужденное рассеяние Мандельштама — Бриллюэна переходит
в вынужденное комптоновское рассеяние. В выражении для Q (ds/TL следует
заменить величиной
T/[(l+P2ReFJ+T2], C05>
где
X
F (х) = 1 — 2хехр (—х2) ^ exp (t2) dt + i Ктех exp ( — х2);
0 -
А(о Г 1 / Д<о
C06>
495

В таком режиме интенсивной накачки и сильного затухания одновременно раа-
виваются неустойчивости филаментации и гофрировки критической поверхности
приблизительно с одним и тем же инкрементом, поэтому для последовательного
анализа распространения интенсивного лазерного излучения необходим одновре-
одновременный учет всех этих неустойчивостей.
Рис. 8. Параметрические процессы в
лазерной плазме:
/ и /// — вынужденное рассеяние Ман-
Мандельштама — Бриллюэна; lull — вынуж-
вынужденное комбинационное рассеяние; // —
двухплазмонный распад; /, //, /// — не-
неустойчивость филаментации; IV — пара-
параметрическая распадная неустойчивость;
V — осциллирующая двухпотоковая не-
неустойчивость и гофрировка критической
поверхности
Рис. 9. Коэффициент отра-
отражения, обусловленный вы-
вынужденным рассеянием.
Мандельштама — Бриллюэ-
Бриллюэна в режиме сильнозатуха-
сильнозатухающей ионной волны
Параметрические процессы в лазерной плазме, а также коэффициент отра-
отражения, обусловленный вынужденным рассеянием Мандельштама — Бршшоэна»
представлены на рис. 8, 9.
списёк литературы
1. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. — N. Y.: D. Van Nostrand, 1962,
ch. 20.
2. Galeev A. A., Sagdeev R. Z. — Nucl. Fusion, 1973, vol. 13, p. 603; Nfshi-
kawa K., Liu C. S. — In: Advances in Plasma Physics/ Eds. A. Simon, W. B. Thom-
Thomson. Vol. 6. —N. Y., Lond, Sydney, Toronto: Wiley, 1976, p. 29.
3. Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 48, с. 1676
4. DuBois D. F., Goldman M. V. — Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14, p. 544.
5. Nishikawa K-— J. Phys. Soc. Jap., 1968, vol. 24, p. 916; In: Theoretical
and Computational Plasma Physics. IAEA—SMR—31/27—A, 1978.
6. Abramovitz JVL, Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. — N. Y.r
Dover Publications Inc., p. 724.
7. Kittel С Introduction to Solid State Physics. 5th Edn. — N. Y., Lond.,
Sydney, Toronto: Wiley, 1976, ch. 7.
8. Hasegawa A. —Phys. Rev., 1970, vol. AI, p. 1746.
9. Литвак А. Г. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 57, с. 629;
Аскарьян Г. А.— Там же, 1962, т. 42, с. 1967; Таланов В. И.— Изв. вузов. Сер.
Радиофизика, 1966, т. 7, с. 564; Palmer A. J.— Phys. Fluids, I97I, vol. 14,
p. 2714.
10. Kaw P. K,, Schmidt G., Wilcox Т. —Phys. Fluids 1973, vol. 16, p. 1522.
11. Nishikawa K. — J. Phys. Soc. Jap., 1968, vol. 24, p. 1152.
12. Manley J. JVL, Rowe H. E. — Proc. of the IRE, 1956, vol. 44, p. 904.
13. Sturrock P. A. —Phys. Rev., 1959, vol. 112, p. 1488; Ахиезер А. И., По-
496

ловйн Р. В. —Успехи физ. наук, 1971, т. 104, с. 185; Cassidy E. S., Evans С. R.—
J. Appl. Phys., 1972, vol. 43, p. 4452; Kroll N. M. — J. Appl. Phys., 1965, vol\ 36^
p. 34.
14. Rosenbluth M. N. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 565.
15. Van. Dam J., Lee Y. C, Liu С S. — Bull. Amer. Phys. Soc. 1973:,
White R. e. a. — Nud. Fusion, 1974, vol. 14, p. 45.
16. Pesme D., Laval G., Pellat R. — Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 203;*
Harker K. J., Crawford F. W. — J. Geophys. Res., 1970, vol. 75, p. 5459; Pi-
liya A. D. — In: Proc. of 10th Conf. on Phenomena in Ionized Gases. — Oxfordr.
Univ., 1971, p. 320.
17. Thomson J. J., Karush J. I. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 1608. ,
18. Thomson J. J. e. a. — Ibid., p. 849.
19. Valeo E. J., Oberman C. R. — Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 30, p. \035.
20. Laval G. e. a. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 2049.
21. Williams E. A., Albritton J. R., Rosenbluth M. N. — Ibid., 1979, vol. 22,
p. 139.
22. Valeo E., Oberman C, Perkins F. W. —Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28„,
p. 340.
23. Dubois D. F.. Goldman M. V. —Ibid., p. 218.
24. Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1842.
25. Drake J., Kaw Р. К., Lee Y. С, Schmidt G., Liu С S., Rosenbluth M. N.—
Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 778.
26. Advances in Plasma Physics/ Eds by A. Simon and W. B. Thompson...
Vol. 6. —N. Y., Lond., Sydney, Toronto: Wiley, 1976, p. 83.
27. Liu С S., Rosenbluth M. N., White R. B. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17,,
p. 1221.
28. Kaw P. K. —In: [26], p. 179.
29. Kruer W. L., Valeo E. J. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 675.
30. Sagdeev R. Z., Galeev A. A.— Nonlinear Plasma Theory. — N. Y.: Ben-
Benjamin, 1969, p. 92; Kadomtsev В. В. — Plasma Turbulence. Academic Press, 1965.
31. Stentzel R., Wong A. —Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 274; Carl-
Carlson H. C, Gordon W., Shower R. L. —J. Geophys. Res, 1972, vol. 77, p. 1242.
32. Карпман В. И., Крушкаль Е. М. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968»
т. 55, с. 530.
33. Benny D. J. —J. Math, and Phys., 1967, vol. 46, p. 115; Taniuti Т., Yaji-
ma N. —Ibid., 1969, vol. 10, p. 1369; Карпман В. И.— Письма в ЖЭТФ, 1967,
т. 6, с. 277; Taniuti Т., Washimi Н. — Phys. Rev. Lett., 1968, vol. 21, p. 209;.
Вильхельмссон Х., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн
в плазме. — М.: Энергоиздат, 1981.
34. Захаров В. Е.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1745.
35. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. —Успехи физ. наук, 1971, т. 104, с. 193;
Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — Новосибирск:
Новосибирский ун-т, 1968.
36. Nishikawa К., Hojo H., Mima К., Ikezi H. — Phys. Rev. Lett., 1974,
vol. 33, p. 148.
37. Morales G. J., Lee Y. C, White R. B. — Ibid., vol. 32, p. 457.
38. Галеев А. А., Сагдеев P. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Журн.
эксперим. и теорет. физ., 1977, т. 73, с. 1352; Силин В. П., Стародуб А. Н.—
Там же, с. 188; Tsytovich В. N. — In: Theoretical and Computational Plasma
Physics. IAEA—SMR, 1978.
39. Yajima N. — Progr. Theor. Phys., 1974, vol. 52, p. 1066; Дегтярев Л. М., л
Захаров В. Е., Рудаков Л. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1975, т. 41,
с 57; Schmidt G. — Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 34, p. 724.
40. Kaw P. D., Nishikawa K., Yoshida Y., Hasegawa A. — Phys. Rev. Lett., ,
1975, vol. 35, p. 88.
41. Nishikawa K-, Ryutov D. D. —J. Phys. Soc, 1976, vol. 41, p. 1757.
42. Morales G. J., Lee Y. C —Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 690; vol. 20,
p. 1135; Bezzerides В., Dubois D. F. — Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 34, p. 1381;
Forslund D. W., Kindel J. M., Lee K., Lindman E. L., Morse R. L. — Phys. Rev.
A, 1975, vol. 11, p. 679; Valeo E. J., Kruer W. L. —Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 33,
p. 750; Estabrook K. G., Valeo E. J., Kruer W. L. — Phys. Fluids, 1975, vol. 18,.
32—3283 497.

p. 1151; 1979, vol. 22, p. 1111; Thomson J. J., Faehl R. J., Kruer W. L.— Phys.
Kev. Lett., 1973, vol. 31, p. 918; Nicholson D. R., Goldman M. V. — Phys. Fluids,
1978, vol. 21, p. 1766.
43. Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В. — Успехи физ. наук, 1967,
т 93, с. 19.
44. Мах С. Е. —Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 74.
45. Valeo E. J., Estabrook K. G. — Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 34, p. 1008.
46. Bezzerides В., Dubois D. F., Forslund D. W., Kindel J. M., Lee K-, Lind-
чтап E, L, — In: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. Vol. 1.—
Vienna: IAEA, p. 123; Mima K., Lee Y, C. — In: Ann. Progr. Rep. ILE (Osaka
uUniv.), 1977, p. 113.
47. Forslund D. W., Kindel J. M., Lindeman E. L. —Phys. Fluids, 1975, vol. 18,
-p. 1002.
48. Kruer W. L. — Phys. Fluids (to be publ); Kruer W. L. —Comments Plas-
.ma Physics and Controlled Fusion, 1978, vol. 4, p. 13; Thomson J. J., Mima K.—
.In: Ann. Progr. Rep. ILE (Osaka Univ.), 1978, p. 113.
РЕЛАКСАЦИЯ ПЛАЗМЫ С АНИЗОТРОПНЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО СКОРОСТЯМ
В. Ю. ТРАХТЕНГЕРЦ
1. КАЧЕСТВЕННАЯ КАРТИНА РЕЛАКСАЦИИ ПЛАЗМЫ
С АНИЗОТРОПНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО СКОРОСТЯМ
Анизотропное распределение частиц по скоростям характерно
;для высокотемпературной бесстолкновительной плазмы и встре-
встречается во многих задачах, начиная от магнитного удержания го-
горячей плазмы в целях управляемого термоядерного синтеза и
мазеров на циклотронном резонансе и кончая ударными волнами
и радиационными поясами в космосе.
Плазма с анизотропным распределением по скоростям неустой-
неустойчива. В ней возбуждаются электромагнитные волны различных
типов, которые оказывают обратное воздействие на частицы, след-
следствием чего являются уменьшение анизотропии и релаксация
плазмы к равновесному состоянию.
В настоящее время достаточно полно разработана теория ре-
релаксации слаботурбулентных состояний плазмы, когда интенсив-
интенсивность возбуждаемых волн сравнительно не велика, и их можно
.представить в виде набора слабо взаимодействующих между собой
синусоидальных колебаний, амплитуды которых медленно меняют-
меняются в пространстве и во времени (см. разд. V настоящего тома).
В реальных условиях такой случай часто бывает более интерес-
интересным. Дело в том, что сильнонеравновесные состояния плазмы очень
быстро релаксируют к квазиравновесным, в которых и пребывают
•основное время.
В квазистационарном состоянии характеристики горячей плаз-
плазмы определяются балансом совместного действия источника ча«
*стиц, турбулентности и стока частиц и волн.
498

Основу теории релаксации слаботурбулёнтных состояний
мы составляет в настоящее время квазилинейная теория, опираю-
щаяся на^ усредненное в масштабе длины волны неустойчивых
колебаний описание эволюции функции распределения частиц и
волн в приближении случайных фаз. В однородной плазме релак-
релаксация неустойчивого состояния частиц описывается диффузионным*
уравнением в пространстве скоростей с коэффициентом диффузий,
зависящим от спектральной плотности энергии волн. Здесь релак-
релаксация анизотропных распределений частиц во многом аналогична
процессу релаксации пучков в плазме (см. статью А. А. Галеева
и Р. 3. Сагдеева. «Взаимодействие волна —- частица» в т. 1). В слу-
случае достаточно узкого по частоте или углу пакета волн (одномер-
(одномерная диффузия) функция распределения частиц по импульсам
релаксирует к состоянию с плато, в котором инкремент неустойчи-
неустойчивости (декремент затухания) обращается в нуль. Уровень турбу-
турбулентности в конечном состоянии легко определяется из законоа
сохранения энергии и числа частиц. Более сложным для анализа
является общий случай неодномерной диффузии. Часто, однако,,
неодномерную диффузию можно рассматривать как быстрый пе-
переход в состояние с плато с последующей более медленной эволю-
эволюцией этого состояния (неустойчивость плато).
В реальных условиях добавляется много факторов, существен-
существенно влияющих на процесс релаксации анизотропной плазмы. Это в
первую очередь неоднородность магнитного поля вдоль оси ловуш-
ловушки. Вследствие этого частица е Заданной скоростью взаимодейст-
взаимодействует с разными спектральными составляющими в спектре возбуж-
возбуждаемых волн, что в отличие от оДнорЬДйбгО случая приводит к
интегральной зависимости коэффициента диффузии от плотности
энергии волн. Это обстоятельство в Некоторых случаях существен-,
но упрощает расчеты.
В реальных магнитных ловушках, как правило, действуют раз-
различные источники частиц. И, наконец, конечная длина ловушки*
и наличие у нее торцов приводят к появлению стока частиц и;
волн. Потери энергии последних связаны с объемным зату&адаем:
и не полным отражением волн от торцов ловушки.
Совокупность указанных выше факторов делает магнитную ло-
ловушку очень похожей на мазерные системы с их необходимыми
атрибутами: активным веществом, стимулированным излучением
и резонатором. Это сходство прослеживается достаточно глубоко^
вплоть до многих особенностей в динамике мазеров к магнитных
ловушек. В частности, одним из основных режимов, описывающих
релаксацию плазмы в магнитных ловушках, является режим ре-
релаксационных колебаний, очень сходный с аналогичным режимом
в мазерных системах [42]. Его можно понять на основа простых,
качественных соображений. Действительно, пусть в начальный
момент включился источник /, который начал заполнять, ловушку;
горячей плазмой. Плазма из-за наличия конуса потерь будет не^
равновесной. Однако неустойчивость, сопровождаемая экспонен-
экспоненциальным ростом интенсивности волн, включится лишь тогда, ког-
32* 499*/

да инкремент наростания волн превысит потери в системе. Это
могут быть потери, связанные с объемным затуханием волн в фо-
фоновой плазме, и потери из-за ухода волн через торцы ловушки.
.Моменту включения неустойчивости будет соответствовать некото-
некоторая критическая плотность захваченных частиц. Далее из-за
инерционности накопление частиц будет продолжаться некоторое
время, пока интенсивность волн не станет достаточно большой.
С ростом плотности энергии волн растут потери частиц через маг-
Битные пробки, которые с некоторого момента времени начинают
превосходить число частиц, поставляемых источником. Наступает
<})аза быстрого опустошения ловушки, и происходит возврат к пер-
первоначальному состоянию. Нетрудно оценить время одного цикла,
т. е. период релаксационных колебаний TR==xn~\-y~\ где хп— ха-
характерное время накопления частиц до порога неустойчивости
(длительность паузы), у~1 — обратный инкремент неустойчивости,
характеризующий длительность пичка. Строгие расчеты, которые
приведены ниже, обнаруживают затухание этих колебаний,
а также зависимость периода TR от начального состояния плаз-
плазмы в магнитной ловушке. Но качественная картина сохра-
сохраняется.
Как мы увидим, с режимом релаксационных колебаний связа-
связаны особенности релаксации плазмы в магнитных ловушках.
Важную роль в процессе релаксации анизотропной плазмы
играет длина ловушки. Выше речь шла о релаксации плазмы в
коротких ловушках, когда характерное время диффузии частиц xd
в конус потерь превышает время свободного пролета ловушки,
т. е. XD^Xnp^l/v, / — длина ловушки, v — характерная скорость
частиц. Частица, попавшая в конус потерь в процессе диффузии,
теряется из ловушки. Качественно иная ситуация в случае обрат-
обратного неравенства, когда TD<CTnp. При этом частица за время про-
пролета ловушки многократно меняет направление своего движения,
т. е. движение частицы вдоль оси ловушки приобретает диффу-
зионнкй характер. Появляется связанная с турбулентностью ано-
аномальная вязкость, замедляющая разлет плазмы на торцы. При
этом время жизни частиц в ловушке в зависимости от амплитуды
источника может носить немонотонный характер. Возникает свое-
своеобразный эффект «запирания» частиц на собственной турбулент-
турбулентности.
Перечисленные выше качественные особенности релаксации
анизотропной плазмы в магнитных ловушках более строго рас-
рассмотрены в § 2—6.
В § 2 дан краткий обзор наиболее важных типов неустойчиво-
неустойчивостей анизотропной плазмы. Обсуждается влияние неоднородности
магнитного поля и плотности плазмы на развитие неустойчивостей.
В § 3—5 изложено основное содержание статьи. Здесь на примере
электромагнитной циклотронной неустойчивости группы захвачен-
захваченных в магнитную ловушку энергичных частиц в присутствии фоно-
фоновой холодной плазмы построена строгая теория релаксации плаз-
плазмы с анизотропным распределением по скоростям. При монохро-
500

матическом излучении релаксация происходит несколько иначе,
чем в случае широкого по частоте пакета волн со случайным набо-
набором фаз. Некоторые особенности такой релаксации рассмотрены в
§ 6. В § 7 приведен справочный материал относительно теории
релаксации при развитии других типов анизотропных неустойчиво-
стей в плазме.
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ И ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ
(ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА)
Детальный анализ неустойчивостей анизотропной плазмы в
линейном приближении содержится в монографии [33] и в ча-
части II данного сборника. Цель настоящего параграфа — кратко
суммировать результаты линейной теории и выявить условия,
благоприятные для развития тех или иных неустойчивостей. С этой
точки зрения нас будут интересовать пороги и инкременты не-
неустойчивостей.
Следует иметь в виду, что в квазистационарных условиях состояние системы
характеризуется балансом усиления и потерь волн в плазме: y^zv, где у — инкре-
инкремент неустойчивости, v — эффективный декремент затухания волн, обусловлен-
обусловленный объемным поглощением из-за столкновений и потерями на границах системы.
Поэтому анализ выражения для инкремента позволяет в грубом приближении
определить характерные частоты в спектре турбулентности, анизотропию захва-
захваченных в ловушку частиц. Это, в свою очередь, позволяет выбрать наиболее
удобное приближение при решении более сложной нелинейной задачи о релак-
релаксации анизотропной плазмы.
Ряд особенностей возникает в неоднородной среде, где неустойчивые волны
в процессе нарастания выносятся из-за группового распространения в область
затухания. При этом могут существенно измениться условия реализации тех или
иных неустойчивостей, а также характеристики неустойчивых волн.
Тип неустойчивости и характеристики турбулентности зависят
в основном от трех параметров:
1) внешнего магнитного поля (точнее, соотношения между
плазменной и гирочастотой частиц);
2) энергии частиц;
3) наличия фоновой (холодной) компоненты плазмы.
Остановимся сначала на электронных неустойчивостях. В пре-
пределе малой плотности плазмы (или большого магнитного поля)
основную роль играют электромагнитные неустойчивости на цик-
циклотронных резонансах. При этом определяющими являются реля-
релятивистские эффекты — зависимость гирочастоты от энергии части-
частицы [17, 47]. Как показал еще А. В. Гапонов [17], электронный
газ неравновесных по поперечным скоростям осцилляторов в маг-
магнитном поле в пределе малой нлотности (o)p/Qe)-^0 неустойчив по
отношению к электромагнитным волнам. Максимальный инкремент
501

неустойчивости fapa млом разбросе по скоростям)
где v^b — поперечная составляющая скорости осцилляторов; <х>р и
Qe — ленгмюровс&ая частота и гирочастота электронов. Дальней-
Дальнейшие исследования [23] показали, что с ростом плотности плазмы,
когда параметр ^о=<о2р/?22е становится больше нескольких v2,b/c2r
основную роль начинают играть плазменные волны на гармониках
гирочастоты, распространяющиеся перпендикулярно к магнитно-
магнитному полю. Их характерный инкремент близок к значению A) и не-
несколько растет с ростом плотности плазмы.
Резко меняется характер неустойчивости в плотной плазме. Сен
[38], а затем и Харис [43) обнаружили сильную неустойчивость
газа возбужденных осцилляторов в плотной (<»p/Qe>l) плазме без
учета релятивистских эффектов С инкрементом порядка частоты
излучения. Дальнейшие исследования [4, 25, 32] позволили просле-
проследить за изменением характера неустойчивости в зависимости от
длины волны, степени анизотропии и угла между волновым векто-
вектором и магнитным полем. Было показано, что в плотной анизотроп-
анизотропной плазме ®2p>Q2e возможно возбуждение большого числа линий
с частотой sQe<co< (s-\-\)Qe, s=l, 2... и инкрементом, состав-
составляющим заметшую долю от частоты: -у^—-A0—1-^-10~2) со.
Важную роль играет присутствие в системе двух компонент
плазмы: холодной (Те->0), равновесной плазмы и горячей анизот-
анизотропной компоненты. Двухкомпонентность плазмы часто встречает-
встречается в реальных условиях.
г Наиболее простым является случай, когда плотность холодной-
фоновой плазмы п% значительно превышает концентрацию горяче-
горячего неравновесного добавка nv, т. е. яг/ях<1. Детальные исследова-
исследования этого случай [22] наказывают, что наиболее благоприятные
условия для неустойчивости на электростатической моде реали-
реализуются при выполнении двойного резонанса для волн, распростра-
распространяющихся перпендикулярно к магнитному полю:
где (D#~~ частом верхнегибридного резонанса в фоновой плазме;
Qe — релятивистская гирочастота (Q«=»Q^1—t>2o/c2I/2)% При этом:
инкременты достигают значений:
у=&(пг/пх)(д9 C)
где 6=0,1. При нарушении условия B) инкремент резко падает и
^определяется выражением C), но с 6'
502

Эксперименты по измерению электростатических шумов в магнитосфер ной
плазме [29] обнаружили излучение на полуцелых гармониках электронной гиро-
частаты: co=(s-}-l/2)Qe. Такие частоты трудно объяснить в рамках линейной
теории возбуждения волн в однородной плазме. В работе [4] высказано со-
соображение, что здесь важную роль играет неоднородность среды. Это следует
и из соотношения C). В неоднородной среде условие двойного резонанса быст-
быстро нарушается, и усиление резко падает. Указанные задачи в настоящее время
далеки от своего решения и требуют дальнейшей разработки,
В достаточно плотной фоновой плазме снова подключается
электромагнитная циклотронная неустойчивость в диапазоне сви-
свистящих атмосфериков ((o<Q*) [36, 40, 48].
Ниже на примере этой неустойчивости рассмотрены основные особенности
релаксации плазмы с анизотропным распределением по скоростям, поэтому оста-
остановимся на ней несколько подробнее.
Общее выражение для инкремента неустойчивости -свистовых волн можно
записать в виде
00
4тЛ J К, S
S-—-00
д4 sQe d _. kz д
s ~~ таи . dv . ¦" mco dvz '
где / — функция распределения частиц по скоростям; и^, vz — компоненты ско-
скорости, перпендикулярной к магнитному полю й вдоль него; kz — продольная
(II В) компонента волнового вектора к свистов; дисперсионное соотношение для
свистов имеет следующий вид:
со2 B2cos \ I2
Is "~ <oapQ^2 J 7|«J + v±J'l*i J
где Vg = dco/dk — групповая скорость; Js ($) —функция Бесселя s-ro порядка
действительного аргумента (• = kjV±/2s; J'^ — dJ^/d^. В дипольном прибли-
приближении, когда аргумент функций Бесселч (k^y^/Q,) <^.sf, основной вклад в D)
дают лишь нулевая и первые гармоники, t. e. y = Yi + Y-i + Yo« ПРИ этом
2k) (^ ± cos-J J<pJ v2 * ; "^
Gu q = [e2v)*Vg | соз <p [ tg2 y/inkitfp (Qg cos <p — со)]. J
Из G) следует, что при достаточно малых углах tp (ф<С1) вкладом от че-
ренковского резонанса (s=0) и резонанса на аномальном эффекте Доплера
503

E=_1) можно пренебречь. ГТр# (f^f же три слагаемых в у Дают сравнимые
вклады.
Рассмотрим более подобно случай продольного распространения ф=0. В ре-
реальных условиях этот случай' часто бывает наиболее важным. При ф = 0 инкре-
инкремент нарастания запишем в следующем виде; j
Y - сЧ J о-±« (со - kzvz - Qe) Atf dv*±duz. (8)
Вычислим у(&) для функции распределения вида
/=САИ^ехр{—v*jv\}% (9)
которая часто используется при. оценках устойчивости анизотропных распреде-
распределений. В (9) |i—v2 j^/2B — адиабатический инвариант; v2=v2z-\-2yiB; CA—
=nL2ABA L /л3/2Г (A-{-\)vo2J&+$— нормирюв^ршая константа; Г(Л-|-1) —гамма-
функция, индекс L — характеризует значения величин в центральном сечении
ловушки. Подстановка (9) в (8) дает следующее выражение для у:
-[• (Ю)
В слабо неоднородной среде основные свойства линейной стадии неустойчи-
неустойчивости характеризуются усилением- Г электромагнитного сигнала при его одно-
однократном прохождении магнитной ловушки
//2
Г (<о) = \ vidz; ц = чдк/д<о, A1)
где / — длина ловушки; г\—коэффициент усиления.
В дальнейших расчетах, где это необходимо, мы используем параболическую
аппроксимацию' магнитного- поля:
B=BL (l-\-a~2z2}9 A2)
где а — характерный масштаб изменения магнитного поля. Усиление Г (о) не-
нетрудно вычислить в двух предельных случаях, когда р*>1 и Р«<1;
В случае |3*»1 максимум усиления Гт реализуется на частоте
и равен:
В случае $*<А частота максимального усиления близка к максимальной частоте
в спектре усиливаемых волн
Сйг<?От==(А/Л-И)ЙеЬ, A6)
504

AB \
7g^== I dz/vg I имеем выражение
-m J
Ут^б«,(пь/^ь)йеь, A8)
где коэффициент 8w<^-<\ зависит от степени анизотропии Л.
На основе соотношений A0), A3)—(ГВ) можно сделать несколько важных
качественных выводов:
1) циклотронная неустойчивость (ЦН) на вистлерах реализуется лишь при
наличии достаточно плотной фоновой плазмы, когда Р*^1;
2) согласно A0) ЦН является беспороговой по степени анизотропии и имеет
место по всей длине ловушки; #
3) при косом распространении свистовых волн (ф-^0) включается затухание
на черенковском резонансе и на аномальном эффекте Доплера, последнее
сравнивается с циклотронным взаимодействием при <р^1;
4) в случае Р*>1 основную роль в релаксации играют волны с частотами
со<^еь, низкие частоты возбуждаются и при слабой анизотропии Л<1 (при
этом р* произвольно).
Указанные свойства ЦН используются при построении нелинейной теории
релаксации анизотропной плазмы.
Заметим, что при анизотропном распределении ионной компо-
компоненты плазмы характер неустойчивостей во многом сходен с опи-
описанными выше электронными неустойчивостями. Аналогия здесь
не только качественная, но, и количественная с точностью до пере-
пересчета масс частиц. Разница состоит лишь в том, что в диапазоне
?2j<C(o<^Qe необходимо учитывать движение алектронов, которые
в известной мере играют роль фоновой плазмы. Это приводит к
некоторому видоизменению критериев и инкрементов ионных не-
неустойчивостей в указанном диапазоне частот (более подробно см.
[33], а также разд. II в т. 1).
3. РЕЛАКСАЦИЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
В СЛУЧАЕ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
Линейная теория не учитывает обратное воздействие возбуж-
возбуждаемых волн на частицы плазмы, которое становится существен-
существенным по мере роста уровня турбулентности. Как известно, это влия-
влияние можно учесть в рамках квазилинейной теории плазмы. Эта
теория была впервые сформулирована в [12, 20] и затем исполь-
использована в некоторых работах для анализа релаксации анизотроп-
анизотропных распределений [2, 3, 13, 15, 27, 28]. Квазилинейные уравнения
для функций распределения частиц по скоростям и спектральной
плотности энергии электромагнитных волн W^ в замагниченной
бесстолкновительной плазме в пренебрежении спонтанными про-
процессами имеют следующий вид:
-SJ-
dt
505

, «>.. * = 0±1. ±2...;
-jJL = J 2J j Л> B*y G^ aS (• - < J Л'а> , f J Wlk - vWlk, B0)
где Г W d*k — энергия электромагнитного поля в единице объема,
а оператор Л'в 5, как и прежде, равен:
tdv,
dvz '
GfajS6((o—<аЧа)^ определяет мощность, излученную в i-ю нор-
нормальную волну частицей сорта а на s-й гармонике гирочастоты
йа; v(vz> vj) —скорость частиц. В правые части A9) и B0)
включены источник частиц / и затухание волн v.
В отсутствие внешних источников и стока частиц и волн (/=
=v=0) уравнения A9)г B0) имеют три интеграла, соответствую-
соответствующие закону сохранения числа частиц
dt
импульса
Ud'v = O, B2a)
rf / f9 {* tr \
ЧГ \j ' * J "«Г к у v ;
и энергии
^ ^5°Lfrf4, +jV,^*) =0. B2b)
В реальных условиях типична ситуация, когда основную роль в
развитии неустойчивости играет одна гармоника. Рассмотрим, в
частности, случай плазмы с поперечной анизотропией, когда основ-
основную роль играет резонанс на нормальном эффекте Доплера s = l.
Полагая для простоты излучение частиц дипольным:
Gs=11 ъ=*и2 Gj (v2, к), пресбразуем уравнение A9) к виду (y = v = O)
^L = — — iv2 |"А-^4-5-^-1^+— iv2 \B df 1 D df ]\
"B3)
B5)
где gi=Bn)AGiif\kz\; Q —телесный угол.
506

I В новых переменных
B6)
(vZq — нижняя граница неустойчивости) уравнение B3) преобразует-
преобразуется к каноническому виду:
dvz {**P
x F
dt ~ dt dq + dq 1 J- dq
где F=(AD-B2)/D.
Для важного случая одномерного пакета волк, когда максимум
интенсивности реализуется вдоль некоторой кривой на плоскости
(со, ф):
коэффициент F обращается в нуль, и диффузия {21) становится
одномерной (djjdt = 0):
dt dv2
2
J moa
. B8)
из B8) следует, что при t-^-oo функция распределения релакси-
рует к состоянию с плато: df/dvz=O, т. е. в области неустойчиво-
неустойчивости формируется функция распределения*
(<?)
= J dv'zf0(v'z,q)\
B9)
Система B8) имеет интеграл движения:
dk
dt
v2nm
1—vz
dk
dco
= 0; oi = («-
C0)
* Предполагается, что в процессе релаксации граница неустойчивости vz9
не смещается.
507

который позволяет по известной f определить спектр возбуждае-
возбуждаемых колебаний. При t-*~oo имеем
•г
C1)
где /o(i>z, 9) —начальная функция распределения, a f» определяет-
определяется выражением B9), W(u=k2Wk(dk/d(o).
Состояние с (/«>, Woo) будет конечным состоянием плазмы, если
плато устойчиво. Устойчивость плато можно определить, находя
инкременты волн в состоянии с плато, когда f==foo(q). Для проб-
пробной волны, распространяющейся под углом <р к магнитному полю,
имеем:
dt
L J- dq
О
oo
z . "г
где ^0 = - J (BjD)dx/9=- J -|-^'г> I *zm- v» Кo
уг0 «^
Следовательно, волны, у которых
C3)
неустойчивы на плато, образованном исходной волной. Зависи-
Зависимость kz(vz) дается соотношением
(co-Qe)fc-1 = %> C4)
где со (к) —решение дисперсионного уравнения. Таким образом,
образовавшееся на начальной стадии плато будет со временем
эволюционировать к состоянию с максимальным значением
kz{vz, ф).
В приближении одномерной диффузии легко записываются ста-
стационарные решения A9), B0) при наличии источников и стока
волн и частиц (/?=0, v^O). В частности, используя граничное усло-
условие при vz=vZq : Ddf/dvz=O, находим:
vz
vl (vg, q) D (vz) JL- = _ J /(*'„ q)dv'z;
ты •*- dvz
508

При наличии конуса потерь, характеризуемого границей иг,*=
= vk(q), функция распределения f(vZtk = vk) = 0 (в режиме слабой
диффузии, см. ниже). Используя это условие, можно записать
окончательные выражения для плотности энергии волн и функции
распределения:
D (vz) = JjjjjL- J dqv]_ j / (v'9, q) dv'z; C5>
4. РЕЖИМЫ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ
Рассмотренное выше приближение однородной среды является:
довольно грубой идеализацией реальных систем. В реальных маг-
магнитных ловушках конечной длины с неоднородными концентрацией
и магнитным полем возникает целый ряд особенностей. В частно-
частности, волна с заданной частотой взаимодействует в разных точках
ловушки с разными частицами, т. е. взаимодействие уже носит
интегральный характер. В некоторых случаях, особенно в лабора-
лабораторной плазме, на спектр возбуждаемых волн существенно влияют
геометрические размеры ловушки. Ниже мы в основном будем
иметь дело с большими ловушками, когда длина волны значитель-
значительно меньше характерного размера плазмы (Х<^1), т. е. выполняется
геометрико-оптическое приближение. При этом можно показать*
что для достаточно широких по частоте пакетов волн и гладких
функций распределения частиц можно взять за основу обычные
квазилинейные уравнения магнитоактивной плазмы. При наруше-
нарушении указанных критериев следует использовать квазилинейные
уравнения в несколько ином виде (см., например, [9]).
В дальнейшем динамику анизотропных неустойчивостей опишем^
на уже упоминавшемся выше примере электромагнитной циклот-
циклотронной неустойчивости в двухкомпонентной плазме (плотная фо-
фоновая плазма+горячие электроны). В этом случае система квази-
квазилинейных уравнений с учетом слабой неоднородности среды вы-
выглядит следующим образом:
df . df А дВ df ,
1 1 *l ' -*- ______ _____1__. ¦ -t ••
dt * г dz 2Б dz dvz
^L 4. *L ^L _ *L ^L = {Y ~ v) Wk, C8),
dt дк дг дг дк
50»

мулой F), а у — формулой D).
4.1. Предел редких столкновений. Усреднение по периоду ос-
осцилляции частиц между зеркальными точками. Естественно, в об-
общем виде систему квазилинейных уравнений C7), C8) решать
практически невозможно. Однако можно добиться существенных
.упрощений, если использовать следующие обстоятельства. Во-пер-
Во-первых, во многих задачах, представляющих практический интерес,
гважную роль играет случай продольного (к||В) распространения
)ЦН-волн, когда в сумме по s можно оставить только один член
5=1, соответствующий циклотронному резонансу. Во-вторых, ис-
источники быстрых частиц, а следовательно, и уровень свистовой
-турбулентности в ловушке, как правило, слабые, поэтому скорость
-частицы на одном баунс-периоде из-за диффузии на волнах меня-
меняется мало. Вследствие этого в задаче появляется малый параметр
tb/td<C1, где %d — характерное время диффузии, хв — период ба-
унс-осцилляций.
С учетом вышесказанного в уравнениях C7), C8) удобно пе-
перейти к новым переменным: М= (BJB) sin20 и v, которые явля-
являются интегралами движения в отсутствие диффузии на ЦН-волнах.
В этих переменных систему C7), C8) можно записать следующим
образом [7] (ф=0):
dz
O7t J
= m2 J
v2 dv о2
м4-—\
BL dM\
XG*.J
[ v dv
со
dM
d'k
df
dz
d&
~dT
dk
X
C9)
D0)
J kl [ v dv ^ v*
М
D1)
GkA определяется формулой G); vz=±v(l—MB/BL)^2; Mk=
= o~1; tf — пробочное отношение. Отметим, что в формуле C9),
как и в C7), надо сначала проинтегрировать по k, а уже затем
дифференцировать. Правая часть D1) пропорциональна малому
.510

параметру tb/td. Таким образом, частицы совершают быстрые' пе-
периодические движения, на которые накладывается слабое воздей-
воздействие со стороны ЦН-волн. Аналогично пакет ЦН-волн многократ-
многократно переотражается от торцов ловушки, при этом его амплитуда1
медленно меняется из-за циклотронного взаимодействия. Описан-
Описанный характер движения позволяет применить к решению задачи
метод усреднения. Более подробно процедура усреднения уравне-
уравнений C9) — D1) описана в [9]. Фактически она сводится к дейст-
действию на обе части уравнения C9) оператора 1в~1§ dzfvz в пред-
предположении, что f не зависит от z. Аналогично нужно подействовать
оператором т/^ dz/vg на обе части уравнения D0),
При относительно слабой анизотропии А<\ или в достаточна-
плотной плазме (ф*^>1), когда о-С^ь, преобладающей является
диффузия по питч-углам М, а диффузия по энергиям ослаблена
в {пеьЫJ раз (см. § 2). В этом случае усредненная система C9) —
D1) записывается наиболее просто:
*L = ±-*~ (МИ JL.) +J-bF; D2>
dt Ъ дМ \ дМ I ' v A
k-*bWkdk; ^ D3>
nxLmc2vs
dWk _ 2nsakm
* dt "" zqB\
j I
9el/k 0
dF
дМ
v*dv
D4>
где (F, /, Wk) = %~l§(ft j, W^)dz/V2; F — нормирована на полное-
число частиц в силовой трубке сечением 1 см2 у основания: iV^
00 1
— ™ [ [t^v^dvdM-, безразмерные функции ^(М, v) и ty2(M, v) в-
общем случае имеют довольно сложный вид (см. [9]), при оценках
их можно считать равными единице. При выводе D2) — D4) ис-
использовалось приближение параболической ловушки A2), %в=
=2na/vM1/2, tg=ikl/(i). Последний член в уравнении D2) описывает
потери, обусловленные попаданием частиц в конус потерь:
.0,
где Mk^=o-1 — граница с конусом потерь.
При произвольном соотношении частот ш ^пеь существенных упрощений-
можно добиться в приближении узкого спектра свистовых волн. При этом
в уравнении C9) после усреднения можно перейти к переменным одномерной,
диффузии с помощью следующей замены:
)Mv2t D6)«
511

где wo — средняя частота в спектре волн. Подстановка D6) в систему C9) —D1)
с учетом узости спектра приводит квазилинейные уравнения к виду, близкому
ж D2)-D4).
4.2. Предел частых столкновений. Выше был рассмотрен наи-
наиболее типичный для космической плазмы случай относительно сла-
слабой диффузии по питч-углам, когда
tb<Td. D7)
Однако в условиях, когда в ловушке действуют интенсивные ис-
источники быстрых частиц, может реализоваться и противоположный
случай, когда выполняется обратное неравенство:
td<tb. D8)
Лри этом частица испытывает много столкновений с волнами на
одном пролете между магнитными пробками. Естественно, что
в таком режиме сильной диффузии функция распределения оста-
остается почти изотропной, так как малейшие отклонения от изотропии
-быстро ликвидируются диффузией на турбулентных пульсациях.
При слабой анизотропии частоты вистлеров со<^Йеь, и преоблада-
преобладает диффузия по питч-углам. Все указанные выше факторы позво-
позволяют существенно продвинуться в решении квазилинейных урав-
уравнений и в предельном случае {48) [8]. При этом система квазили-
квазилинейных уравнений имеет вид:
<!L_l:vx*L _ р(!'-*а> il if
dt ~J dz 2В dz dx
dW. dW
k 1/2^
vx*L _ р(!-*а> il if. = J-d А. 4- /.
dt J dz 2В dz dx dx х дх ~ h
dt
2p
D9)
4nxmc> {1XJ jJ
0—1
E0)
'/8
0 —1
Qe dv vx дх J V }
где x=vz/v=cosQ, y=kz/k=cosy. Уравнения D9) — E1) нетрудно
получить из общей системы C7) — C8), если перейти к перемен-
переменным (v, x), пренебречь диффузией по v, а в сумме по s оставить
-только член 5=1.
Критерий D8) соответствует переходу к режиму турбулентного
разлета, когда частица, сталкиваясь с возбуждаемыми волнами,
^совершает случайные блуждания вдоль магнитного поля. Чтобы
лтерейти от уравнения D9) к диффузионному уравнению в коорди-
<512

натном пространстве, выделим из функции распределения малую
анизотропную добавку в явном виде:
E2)
где f =(/) =— \fdx, &f<gif. Усредняя уравнение D9) по х, по-
2 J
лучаем:
E3)
I
1 С*
где /0 =— I ]dx. Если теперь вычесть E3) из исходного уравне-
уравнения и оставить лишь главные члены, то получим
Проинтегрируем E4) по х и учтем граничное условие D(dAf/dx) =
=0 при х=±1. Получим:
Подставляя E5) в усредненное уравнение E3), после интегриро-
интегрирования по частям находим
±\{vV]M E6)
д* 8 длг I В I J D^ I dz
—i
Выражение для инкремента E1) с учетом E5) запишем в следую-
следующем виде:
1/2 °° 1
_+ Зу2) Р Г ел» /1 v2\ R (СЬ _L_ A.-, v-y/^ V/
E7)
I
О —1
При развитии ЦН в магнитной ловушке возможны три режима
питч-угловой диффузии.
а) Режим слабой диффузии:
тд>1ото. E8)
При этом в процессе диффузии конус потерь не успевает запол-
заполняться, и его можно считать пустым.
б) Режим умеренной диффузии:
E9)
33—3283 513

Здесь заполнение конуса потерь существенно, и происходит
значительная изотропизация распределения частиц по питч-углам.
в) Режим сильной диффузии, определяемый неравенством E2):
зуется
l
w
к виду
dW 2
dt ~ zg
dF 1
dt ~~ *з
n3akom 1
д (i
дМ V
1 <ш J
1 7
I
^ Л 7
! дМ
W | o4<fo
4.3. Режимы слабой и умеренной диффузии. Для простоты ог-
ограничимся анализом случая, когда преобладающую роль играет
диффузия по питч-углам, а частоты волн со много меньше гироча-
стоты электронов Qe. Исходная система квазилинейных уравнений,
описывающих эволюцию функции распределения F частиц по питч-
углам и спектральной плотности W^ свистовой турбулентности,
в этом случае определяется выражениями D2) — D4). Воспользу-
Воспользуемся приближением узкого спектра свистовых волн, которые до-
довольно хорошо описывают общие свойства рассматриваемого про-
процесса. При этом W^ =Wb{k—&о), и система D2) — D4)-преобра-
F0)
-v, F1)
где Hi=(ttaQeL(u2pL'tydnxLmc2vs\k2o)W; i^ и о|J—безразмерные функ-
функции, в общем случае имеющие довольно сложный вид; нам пона-
понадобится значение я|?1 при малых М<^1 (см. [9]):
Уравнение F0) следует решать при следующих граничных усло-
условиях:
HldF/dM=0 при М=Мт и MHidF/dM=0 при М=0 F3)
и условиях сшивки решений:
F=F, dF/dM=dF/dM при M=Mki F4)
где Мш — максимальное значение М у частиц, поставляемых ис-
источником; F — функция распределения при M<Mk, a F — при М^
Рассмотрим стационарное состояние ловушки (d/dt=O), когда
потери частиц полностью скомпенсированы поступлением новых
частиц от источника. При Мк<^\ в области М<Мк можно прене-
пренебречь источником. Учитывая F2), запишем уравнение для F
в виде
(д/дМ) (MdF/dM)—AF=0; A=xb(O)/H1xo=XdIxo. F5)
В F5) учтено, что в случае низких точек отражения %в(М=0)^
a&l/v. Ограниченное решение F5) в области M<Mk имеет вид:
F = C1I9{2Vr?M), F6)
где /0—функция Бесселя мнимого аргумента; С\—константа, кото*
рая определяется из граничных условий F4).
514

Запишем решение F0) в области
= J
м„
dM'
= F, + С,.
F7)
Используя условия сшивки F4), нетрудно найти константы С\
и С2. В итоге имеем:
f
F8)
В пределе слабой диффузии (пустой конус потерь), когда
2(AMk)l/2=2(xD/cfXo)U2>l, что соответствует неравенству E8), по-
получаем:
FF(M)+F(M)F F(MH. F9)
В пределе умеренной диффузии 2(ДМ^I/2<1 функция распреде-
распределения по питч-углам почти изотропна:
G0)
ми
Найдем время жизни частиц те в ловушке гари указанных режи-
режимах диффузии:
-L JOL - , G1)
N dt j=o
где А/"— число энергичных частиц в магнитной силовой трубке
с единичным сечением у торца; dN/dt— скорость изменения N при
выключенном источнике. Эти величины нетрудно найти, используя
выражения F0) и F8) —G0). Интегрируя уравнение F0) по фа-
фазовому пространству и объему силовой трубки при 7=0, имеем:
dN
dt
v •/**
0 \0
4v*dv.
G2)
С учетом G0) — G2) время жизни в пределе умеренной диффу-
диффузии равно:
Tea=ото. G3)
В пределе слабой диффузии из F9) и G2) с точностью до коэф-
коэффициента, равного примерно единице, получаем:
Tel =
33*
G4)
515

где 7S — интегральный (по фазовому пространству) источник быст-
@0 1 \
/Е = чгоГ Г %BJ(M, v)v*dvdM I.
4.4. Эффекты запирания частиц в ловушке при сильной диффу-
диффузии. Совместно решить уравнения D0), E6) и E7) в произволь-
произвольном случае довольно трудно. Рассмотрим задачу в приближении
узкого спектра, когда W можно представить в виде
При этом коэффициент диффузии Dx E0) равен
Л (У.). G5)
где /о=^2^оA+3^/2оI/2/2|уо|, выражение для инкремента E7)
можно записать следующим образом:
т=-
00
Г f(l «-Л Г 2пхт _Jo_ _|_
. G6)
Согласно G6) максимальный инкремент растет с уменьшением
у0. Однако при этом важную роль начинает играть затухание на
эффекте Черенкова и аномальном эффекте Доплера. Из выраже-
выражения G) следует, что циклотронное усиление начинает сравнивать-
сравниваться с затуханием при у0 —0,5. Подставляя это значение в G6), за-
запишем уравнение D0) в следующем виде (d/dt=O):
dz
J V ' V 32Q3eW0 dz ' 4nxv dv j V ;
где u=Q2e{k2y2o^4Q2e/k2\ в G7) для простоты взято приближение
Соласно E6) при d/dt=O имеем:
G8)
dz
Источником неустойчивости в G7) служит первый член в фи-
фигурных скобках, поэтому возбуждаются волны с волновыми векто-
516

рами, направленными против пространственного градиента функ-
функции распределения, т. е. в каждой половине ловушки к ближайше-
ближайшему ее торцу. В связи с этим принципиальную роль играют допол-
дополнительные резонансы на аномальном эффекте Доплера и на эф-
эффекте Черенкова, приводящие к турбулентной диффузии частиц,
движущихся в направлении возбуждения волн и не взаимодейст-
взаимодействующих с ними на основном циклотронном резонансе. Поскольку
наиболее благоприятные условия для возбуждения волн реализуют-
реализуются при значениях уо—0,5, когда взаимодействие на всех резонансах
сравнимо по величине, то выражение для коэффициента диффузии
Dx G5) можно использовать для всех частиц. Благодаря» этому
уравнение G8) описывает функцию распределения для частиц,
движущихся как в zo, так и —Zo направлениях.
В дальнейшем ограничимся анализом источников с малым раз-
разбросом по энергиям:
/о (z, v) = Dnv20) -i/s (г) 8 (v—v0). (80)
При этом согласно E6) функция распределения также им^ет уз-
узкий энергетический спектр:
fo(z, v) = Dnv%)-*n(z)8(v-v0). (81)
Используя (80), (81) и интегрируя второй член в правой части
G7) по частям, преобразуем систему G7) и G8) к виду
г
dn/dz =dfi J (jJ-B) dz'; (82a)
о
(v\ -u)-^-9-^W0. (826)
Второе уравнение системы (82) напоминает уравнение переноса
энергии в поглощающей среде. В оптически толстой среде, когда
р= (9jt2Qe/2t;0) (п/пхI>1 (источник /0 достаточно интенсивный, I—
продольный размер ловушки), dWofdz^O, и из (826) имеем:
Составляя с помощью (83) выражение для d в соответствии с G9),
находим:
т
где % = 4mxmv\IB; N = B0 f {n\B)dz.
517

Множитель [ln(v2oJuMWi)]~l в (84) обусловлен логарифмической
особенностью при малых значениях и. Появление особенности свя-
связано с нарушением критерия применимости уравнений E6) и E7)
в области малых углов х-+0 (м-И)), где анизотропия функции
распределения уже не мала, иМтт — параметр обрезания. Посколь-
Поскольку поток высыпающихся на торцы
частиц по-прежнему равен G2),
с помощью формулы G1) находим:
Если учесть что для выполнения
исходных предположений (низкие
частоты co<Qe, взаимодействие на
циклотронном резонансе ue^-kvxy)
необходимо выполнение неравен-
неравенства р*^>1, то придем к выводу о
значительном увеличении времени
жизни в режиме сильной диффузии,
когда р*>сг. Аналогично можно
рассмотреть случай «оптически тон-
тонкой» среды р<\ (см. [9]). В ре-
результате получим следующую зависимость времени жизни элек-
электронов от интенсивности источника (рис. 1). На рис. 1
Рис. 1 Зависимость времени жиз-
жизни Те частиц в магнитной ловуш-
ловушке от амплитуды источника- /2
2.
/е2 = '
(86)
Рассмотренные режимы имеют смысл при таких плотностях горячей плазмы,
когда газокинетическое давление еще существенно меньше магнитного Р<1.
В рассмотренном случае величину $==4ктпьУ2о/В2ь нетрудно оценить с помо-
помощью соотношений (85) и (86). Критерий, соответствующий неравенству р<1,
представим в следующем виде:
&.(ч&еь)-1<1, (87)
где Р*^4ят/гхЬУ2о/52ь>1.
Например, в геомагнитной ловушке при р* = 102 fc^lO5 км и та20/2^40 кэВ,
с, Qejb^2-104 с-1 и Р(^I1021
5. ДИНАМИКА АНИЗОТРОПНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЧАСТИЦ
ПРИ РАЗВИТИИ ЦИКЛОТРОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ЦН)
5.1. Общие уравнения. Обратимся теперь к анализу динамики
ЦН в магнитной ловушке. Как уже отмечалось (см. § 1), как по
физическим процессам, так и по математическому описанию дина-
динамика ЦН во многом аналогична динамике оптических квантовых
генераторов (ОКГ). Как известно, в динамике ОКГ важную роль
играют так называемые релаксационные колебания интенсивности
излучения лазера.
518

Аналогичные режимы, к описанию которых мы сейчас перехо-
переходим, важны и для релаксации плазмы. В качестве исходной ис-
используем систему уравнений D2) — D4). Считая для простоты раз-
разброс по энергиям небольшим и обозначая М1/2=%9 имеем:
Д Т17 и f-2 I />\ Ul I 7 /fe Jt\ /QQ\
(89)
h
Исследуем решение (88) и (89) в так называемом двухуровневом •
приближении, когда источник имеет вид Jx(h t)=Jz(t)Z(l). Здесь
Z(l)—положительное решение соответствующей уравнению (88)
задачи Штурма — Лиувилля: _
f] ™ (90)
Ц m = O, (91)
где р — собственные числа.
Используя нормировку Dmlv0) \Z(E)d?=l, запишем решение
г*
(88) в следующем виде:
F(t, t)=N(t)Z(t), (92)
где N—полное число частиц в силовой трубке с единичным сече-
сечением у торцов. В результате для определения iV(^) и W{t) имеем
систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
dN/dt=—6WN+Jj.; dWIdt—hWiN—vW, (93)
где коэффициенты б и h зависят от вида Z и с точностью до ко-
коэффициента ^1 равны:
6=^Д21>о/4яа; h=p2Ai. (94)
5.2. Эволюция ЦН с начальными условиями. Рассмотрим сна-
сначала эволюцию ЦН с начальными условиями без источника. При
этом система (93) принимает вид:
dN/dt=—dWN; dW/dt=hWiN—vW (95)
519

с начальными условиями
t=0, N=N>vJh, W=W.
Система (95) имеет интеграл движения:
(96)
(97)
Фазовые траектории, соответствующие (97), изображены на рис.2
(кривая 1). Стрелками на фазовых траекториях показано движе-
W
J
2
1
/
/ ^"-^
- /Г"
- j
-1
1
-J
г
1 Щ
\
\
\\
XV
\\
\ \ \
) \ \
^ J
^ 1 1
Рис. 2. Траектории на фазовой плоскости (W,
N), изображающие релаксационные колебания
энергии волн W и плотности электронов N
в РП:
/ — в отсутствие источника УЕ = 0; 2 — при наличии ис-
источника 7j постоянной амплитуды
0
\
ние системы во времени. Зависимость N(t) определяется следую-
следующими соотношениями:
t =
(N(N)
vx' + у A - exp {x'})\ ~Чх',
(98)
где y=hN — начальный инкремент неустойчивости. Плотность
энергии W ЦН-волн как функция времени имеет максимум
с=ТГ+б-1 [y^-v-v In (y/v) ], (99)
а характерное время процесса определяется выражением
Тн= (у—v) -1 In (WM&KC/W).
A00)
Плотность электронов в центре ловушки монотонно уменьшает-
уменьшается, а поток высыпающихся частиц повторяет временную зависи-
зависимость полной энергии свистовых волн. Существенно, что в конечном
состоянии, когда W—Я), плотность захваченных частиц может
быть значительно меньше пороговой плотности NUy соответствую-
соответствующей границе неустойчивости НЫп=у, особенно если в начальный
момент концентрация частиц существенно превышала Nn=V\/h.
5.3. Релаксационные колебания параметров магнитной ловуш-
ловушки. Пусть в магнитной ловушке действует постоянный во времени
520

источник /2. При этом система (93) имеет состояние равновесия,
которое характеризуется следующими параметрами:
N0=v/h; W0=hh/8v. A01)
Исследуем динамику ЦН вблизи состояния равновесия A01). Для
этого линеаризуем систему (93) около состояния равновесия, пред-
представив все величины в виде а=Оо+а_ехр {М}. Характеристиче-
Характеристическое уравнение в этом случае имеет следующий вид:
=0, , A02)
где введены обозначения:
Q*j=vhJN0; 2vj=2/s/#0; A03)
Af0 — число энергичных электронов в силовой трубке единичного
сечения (у торца). Если представить источник в виде J^=N0^ ,
то для Qj получим формулу: Qj=(vf^^)l/2. Слабозатухающие коле-
колебания интенсивности электромагнитного излучения и потоков вы-
высыпающихся частиц имеют место, если выполняется неравенство
2Q/<v. A04)
Некоторые выводы можно сделать о поведении системы (93) вдали от со-
состояния равновесия,. Если мы не будем предполагать, что отклонения N и W
от состояния равновесия малы, то получим квазипериодические режимы ЦН
в виде отдельных пичков, которые описываются нелинейным уравнением
Ж + Ъ> "Ж" ехР <?> + U*J <ехР (?> - !) = °- О05)
где W=Woexp {?}; Wo — как и прежде, интенсивность циклотронных волн в со-
состоянии равновесия.
Форма пичка при слабозатухающих колебаниях определяется соотношением
-to)= ± J (exp{?m}-?m-exp{^} + ?')~1/2^/. (Ю6)
С (*=*0)
Выражение A06) нетрудно исследовать в сильнонелинейном пределе
Частота следования пичков и их длительность при этом равны соответственно:
<107)
A08)
Фазовая плоскость, соответствующая релаксационным колебаниям, изображена
на рис. 2, кривая 2. Интересно, что в случае пичков закон затухания макси-
максимальной амплитуды Wm остается экспоненциальным вблизи и вдали от состоя-
состояния равновесия.
521

Исследованные выше релаксационные колебания особенно важ-
важны при воздействии на ловушку периодических возмущений, моду-
модулирующих или магнитное поле и плотность плазмы, или доброт-
добротность резонатора (т. е. v). Примером таких возмущений могут
служить низкочастотные МГД и дрейфовые волны, типичные
в условиях космической плазмы. Присутствие таких колебаний, мо-
модулирующих плотность и степень анизотропии захваченных частиц,
фактически приводит к появлению осциллирующей части в источ-
источнике /ц.
Например, в случае быстрой магнитно-звуковой волны малой амплитуды
Ь с k JL В ее воздействие ^ можно описать эффективным источником
где при достаточно малом отно-
отношении b/В в правую часть можно подставить Fo, соответствующую состоянию
равновесия A01).
При наличии таких возмущений в правой части уравнения A05) появится
внешняя сила, равная AQ2/ cos Ш с A=max(/^/S//E). При совпадении частоты
внешней силы с частотой релаксационных колебаний, т. е. при Q^Q/, возни-
возникает резонанс, при котором слабое возмущение может привести к глубокой мо-
модуляции интенсивности электромагнитного излучения и потоков быстрых ча-
частиц. Ограничиваясь для простоты линейных приближением относительно со-
состояния равновесия, легко найти степень модуляции интересующих нас величин:
где Qj=QjI2vj — добротность релаксационных колебаний; 5 — плотность пото-
потока высыпающихся частиц; Д = тах (^^/^е). Из A09) следует, что при высокой
добротности Q/>1 степень модуляции интенсивности циклотронных волн и по-
потоков высыпающихся электронов намного превышает модуляцию плотности за-
захваченных частиц.
Аналогичные эффекты наблюдаются и при модуляции декремента зату-
затухания V.
Полученные выше результаты касались частного вида источни-
источника. Однако, как показано в работе [7], релаксационные колебания
параметров излучения и плазмы существуют для широкого класса
источников, а также при произвольном разбросе по энергиям. По-
видимому, релаксационные колебания являются общим свойством
процесса релаксации анизотропной плазмы.
В некоторых случаях рассмотренный выше пичковый режим ре-
релаксации анизотропной плазмы может возникнуть самопроизволь-
самопроизвольно из-за различных нелинейных связей в системе. В частности, в ре-
результате высыпаний энергичных частиц может измениться коэффи-
коэффициент отражения ЦН-волн от торцов ловушки, определяющий ве-
величину v и тем самым порог неустойчивости. Добротность системы
может измениться из-за модуляции объемного затухания волн, на-
например вследствие нагрева электромагнитным излучением фоновой
плазмы (аналогично эффектам просветления в ОКГ [42]). В ре-
результате это может привести к возбуждению так называемого ре-
режима гигантских импульсов, когда малое превышение над поро-
522

гом приведет к взрывному развитию неустойчивости и сбросу почти
всей горячей компоненты на торцы ловушки. Несколько таких слу-
случаев рассмотрено в приложении к космической плазме (см. [9]).
В частности, был исследован автомодуляционный режим развития
ЦН, обусловленный связью через эффекты диамагнетизма пульса-
пульсаций магнитной силовой трубки в целом с высыпаниями энергичных
частиц на торцы ловушки.
Рассмотренные выше эффекты могут служить основой для объ-
объяснения многих экспериментально наблюдаемых явлений релакса-
Рис. 3. Зависимость функции распределе-
распределения F электронов в геомагнитной ловушке
от питч-угла 0 при наличии источника
F, отн. ед.
частиц и сййстовой турбулентности I М =
В7
-sin2 9
О Мк
1М
ции горячей плазмы в магнитных ловушках в лабораторных и кос-
космических условиях. т
5.4. Динамика спектра циклотронных волн. Выше ЦН изучалась в основном
для источников горячей плазмы сравнительно частного вида, близких к клас-
классу собственных функций оператора диффузии по питч-углам. При этом пре-
пренебрегалось изменением частотного спектра возбуждаемых волн.
Очевидно, указанный случай реализуется только в приближении слабой1
диффузии и при условии, что все частицы, поставляемые источником, взаимо-
взаимодействуют с циклотронными волнами. При умеренной диффузии анизотропия
в процессе эволюции ЦН меняется, и рассмотренное выше двухуровневое при-
приближение неприменимо. Кроме того, при произвольном источнике частиц не
все электроны, поставляемые источником, будут одновременно взаимодейство-
взаимодействовать с возбуждаемыми колебаниями. Действительно, предположим, что источ-
источник поставляет энергичные электроны при всех значениях O^M^l с некоторой
средней анизотропией А. В этом случае при превышении порога неустойчивости
будут возбуждаться колебания с максимальной частотой в спектре <йт=(А/А-\-
+1)Йеь (Ю). А это означает, что в области больших значений \>М^Мт==?
= 1—(Qeb—(umJ!k2mv2o будут накапливаться" электроны, и возникнет функция
распределения в виде ступеньки (рис. 3). Очевидно, с ростом амплитуды сту-
ступеньки будет расти анизотропия, * а- следоват-ельно, увеличиваться частота цик-
циклотронных волн.
Описанную выше качественную картину динамики спектра волн подтверж-
подтверждают и количественные расчеты. В работе |[9}^ показано, что при указанных
условиях возбуждается пичковый режим генерации с быстрым ростом средней
частоты излучения. ..';'.;'"
Отмеченные выше особенности релаксации ЦН обнаружены эксперимен-
экспериментально в динамике радиационных поясов Земли [37, 44].
523

6. РЕЛАКСАЦИЯ В ПОЛЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ
СВИСТОВОЙ ВОЛНЫ
В некоторых случаях, когда разброс функции распределения
частиц по импульсам мал либо размеры ловушки порядка длины
электромагнитной волны, возбуждается монохроматическое излу-
излучение. Для описания релаксации плазмы в поле монохроматиче-
монохроматической волны квазилинейная теория в виде D2) — D4) уже не приме-
применима. Рамки применимости D2) — D4) ограничены неравенством
Aco>Q3, (ПО)
где Дсо— частотная ширина пакета волн; Q3 — так называемая
ширина области захвата, определяемая амплитудой волны (см. ни-
ниже). При нарушении неравенства (ПО) случайное блуждание ча-
частиц в поле многих волн сменяется регулярным движением в поле
одной волны. Для исследования эволюции функции распределения
в этом случае удобно воспользоваться методом интегрирования
вдоль фазовых траекторий [49]. Зная траекторию движения от-
отдельной частицы r=r(vo, г0, t) и v=v(v0, r0, t) и функцию распре-
распределения в начальный момент времени f (^=0)=/0(r0, v0), находим
функцию распределения в произвольный момент времени:
/(г, v, /)=/o[ro(r, v, 0, vo(r, v, /)]. (П1)
Таким образом, в первую очередь нужно решить уравнения дви-
движения отдельной частицы. Такая задача для вистлеров впервые
рассмотрена в [21]. Наиболее полное исследование этого вопроса
содержится в [11, 24, 50].
Как и ранее, рассмотрим случай взаимодействия частиц с цир-
кулярно поляризованной электромагнитной волной типа вистлеров,
распространяющейся вдоль однородного магнитного поля Во@, 0,
Во). Электрическое и магнитное поля волны запишем в следую-
следующем виде:
=В cos {Kz - «.О; Е, = - (mjkoc) Bx.j ( >
Уравнение движения частиц имеет вид:
Переходя в систему координат, движущуюся вместе с волной,
и используя цилиндрическую систему координат в пространстве
скоростей:
vx — v, соэФ; vy = v. sin<J>; v^^v^,
524

имеем:
dvjdt = Qev H cos (koz + Ф);
v d$\dt = Qev — Qev h sin (koz
_L _L il
cfo H /d/ = — Qov. h cos (kQz -f- Ф),
где h=B/Bc.
A14)
Система A14) имеет интеграл кинетической энергии
A15)
Эффективный обмен энергией частицы с волной происходит при
условии ^ог+Ф —0. Учитывая, что в нулевом приближении z~
^v^t и Q)=Qet, имеем условие циклотронного резонанса (в систе-
системе, связанной с волной, со=0): ко зц =—Qe. Поэтому удобно перей-
перейти к новым переменным: —
A16)
Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой фор-
форме:
daldt=d3H8ldu\ du/dt=—d3%/du A17)
с гамильтонианом
^-(u--%-y. A18)
являющимся также интегралом движения. Предполагая параметр
8 = (hQ3e/k\v3.)lf2 малым и разлагая Ж в ряд:
31 * "Т"+ Q>±
приводим уравнения движения к виду
2 хх3
где а = 25+ 3/2 s 2/
-Xе Sin?, A20)
A21)
525

Уравнение A20) аналогично хоро-
хорошо изученному случаю резонансно-
резонансного взаимодействия частиц с элек-
электростатической волной (см., напри-
например, [16]). Параметр х (констан-
(константа движения) характеризует два
типа траекторий на фазовой плос-
плоскости (g, |) (рис. 4). Значениям
х>1 соответствуют захваченные
частицы, область х<1 отвечает
пролетным электронам. Величина
т3 A21) характеризует размер об-
области захвата и входит в критерий
(ПО).
Решение уравнения A20) имеет вид:
F(g, уЛ F(go, х)=//хтз A22)
где go — начальное значение g, a F(g, x) —эллиптический интеграл
первого рода:
Рис. 4. Фазовые траектории элек-
тронов на плоскости (|т3, |), за-
хваченных и незахваченных по-
тенциалом волны
$
F(S, *) =
l —х2 sin<
Предположим, что функция распределения в начальный момент
времени зависит только от продольной vz и поперечной v± со-
составляющих скоростей:
= и.
A23)
(vz — продольная скорость в системе координат, где плазма поко-
покоится; щ — начальное значение и). В резонансной области можно
разложить функцию распределения в ряд по степеням щ, ограни-
ограничиваясь членами первого порядка по щ\
f(v,,vz) = f v
1
'Ю-
df
kov±o
dv
10
.A24)
Для того чтобы воспользоваться соотношением A11), найдем
используя A21) и A22):
A25)
(w, х)—эллиптическая функция Якоби с модулем к. Следова-
Следовательно, функция распределения резонансных частиц
xt3
У:У
526"
dv
10
A26)

При t—мэо f стремится к так называемой эргодической функции
распределения fE, которая получается из A26) усреднением по
времени:
df ...i. ®e df
dv±o J *z={<**-*e)IK 1, I x I < 1, A27)
0 | к j > 1
где K(x) —полный эллиптический интеграл 1-го рода:
Таким образом, в области захвата |х|>1 формируется плато,
аналогичное квазилинейному плато в случае пакета волн.
Обратимся теперь к вычислению декремента затухания (ин-
(инкремента нарастания) волн. Его удобно вычислить, исходя из за-
закона сохранения энергии:
dW/dt=—]E=yW, A28)
где j = — e f v fd5v — плотность тока, обусловленного волной; энер-
энергия свистовой волны
Г=-|- . A29)
Отсылая за подробностями к работе [11], приведем окончательное
выражение:
!L -1. __в2__\ V
X \ dxdF dnlF , х . A30)
JJ X3 \ XXj /
G
Интегрирование по и, F проводят по области G (рис. 5).
Как и следовало ожидать, при (*/т8)<1 из A30) получается
выражение линейной теории. С ростом отношения t/x3 у, осцилли-
осциллируя, стремится к нулю.
Выше мы предполагали амплитуду волны заданной. Очевидно,
это справедливо, пока 7<УТз<С1, Уо — линейный декремент. Для ана-
анализа релаксации плазмы в процессе развития неустойчивости та-
такие расчеты неприменимы. Однако можно проанализировать ко-
конечное состояние, в которое релаксирует плазма, исходя из сле-
следующих соображений [16]. В конечном состоянии амплитуда вол-
527

ны достигает максимального значения йт, и устанавливается пла-
плато [/ (G±f vz) = f(v 0, (со©—Qe)fko] в резонансной области шириной
&г=B/&оТз). При этом часть кинетической энергии частиц
00 Ло
AT = Ttm\v1dv± \
,±, t,2) -f.
A31)
перейдет в энергию волны W A29). Учитывая разложение A24) и
соотношения A23), преобразуем A30) к виду
ДТ=
A32)
Используя далее закон сохранения энергии ДТ=№, получаем
следующее соотношение, определяющее амплитуду электромагнит-
электромагнитной волны в конечном состоянии:
?от3=Cя/32),
A33)
где у© — линейный инкремент нарастания неустойчивости [см. D)у
A0)]; *a = (hQekoVj)~~112 — средняя частота осцилляции захваченных
частиц в поле волны. Выражение A33) совпадает с оценкой для
электростатической волны, получен-
полученной в [16] и подтвержденной числен-
численным решением на ЭВМ [41, 51].
Видим, что релаксация в поле мо-
монохроматической волны во многом на-
напоминает процесс релаксации анизо-
анизотропных распределений под действи-
действием широкого пакета волн, описывае-
описываемый в рамках квазилинейной теории.
Интересно, что плато, образованное
монохроматической волной, также не-
неустойчиво [11], как и в случае па-
пакета волн. Однако характер неустой-
неустойчивости здесь несколько иной, что обу-
обусловлено важной ролью пролетных
частиц. (В случае пакета волн число
пролетных частиц, дающих вклад в ре-
резонансное взаимодействие, в AQ
Рис. 5. Область интегрирова-
интегрирования G в плоскости (и, F) (вну-
(внутренняя область), К — полный
эллиптический интеграл
]»1 раз меньше, чем при монохроматической волне.)
В неоднородном магнитном поле характер релаксации при вза-
взаимодействии с монохроматической волной существенно меняется.
Наиболее полно этот вопрос рассмотрен в [26]. Основным эффек-
эффектом неоднородной среды является изменение резонансного условия
528

со—Qe=kzvz вдоль траектории частицы. Это приводит к связанно-
связанному с прохождением резонанса эффективному уширению спектра
исходной волны. Уширение определяется скоростью изменения
свойств среды в системе координат, связанной с волной, и соглас-
согласно [26] равно:
^^ ]1/2, A34)
где vr = [со — Qe (z)]fk (z); p. = v2±/2B = const.
Таким образом, при выполнении неравенства A>Q3' [ср. с
(ПО)] эффектами захвата частиц в поле волны можно пренебречь
и анализировать взаимодействие волны с частицами в рамках ква-
квазилинейной теории [31]. Некоторые новые особенности возникают
при учете баунс-осцилляций частиц между магнитными пробками
[39]. При этом частица многократно проходит область резонанса
и синхронизируется с волной. Задача оказывается сходной с дви-
движением нелинейного осциллятора под действием импульсной силы.
Указанные вопросы тесно примыкают к проблеме циклотронно-
циклотронного нагрева частиц в магнитных ловушках и более подробно анали-
анализируются в т. 2 настоящего издания.
Как и в квазилинейной теории, в теории взаимодействия с мо-
монохроматической волной возникают интересные вопросы при учете
источника и стока частиц, а также конечной добротности резона-
резонатора (см., например, [34]). Однако какая-либо законченная тео-
теория здесь отсутствует.
7. ДРУГИЕ ТИПЫ АНИЗОТРОПНЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Выше на примере ЦН вистлеров рассмотрены основные законо-
закономерности релаксации анизотропной бесстолкновительной плазмы
в магнитном поле. Разумеется, этот случай не исчерпывает боль-
большое многообразие анизотропных неустойчивостей в горячей плаз-
плазме, но, на наш взгляд, отражает многие качественные особенности
релаксации плазмы в магнитном поле. Продемонстрируем это на
некоторых наиболее важных примерах.
7.1. Конусная электростатическая неустойчивость является од-
одной из наиболее опасных в магнитных ловушках. В случае горячих
ионов неустойчивыми оказываются электростатические колебания
на гармониках ионной гирочастоты sQi вплоть до частоты нижне-
нижнего гибридного резонанса (o^(Qe^ii)l/2 с преимущественным на-
направлением волновых векторов поперек магнитного поля [35].
В случае горячих электронов возбуждаются электростатические
колебания в области электронных циклотронных гармоник и верх-
верхнего гибридного резонанса. Квазилинейная релаксация при этом
происходит с преимущественным изменением магнитного момента
частицы \i= v2j_ /2B. В этих переменных квазилинейное уравнение,
описывающее конусную неустойчивость, становится одномерным
34—3283 529

115], и процесс релаксации во многом аналогичен релаксации ЦН,
рассмотренной в § 3—6. Эта аналогия особенно прослеживается
в достаточно плотной плазме (co2p>Q2e), когда возбуждение волн
происходит преимущественно на частотах верхнего (электроны)
или нижнего (ионы) гибридного резонанса. В частности, для ко-
конусной неустойчивости в коэффициент диффузии входит полная
интенсивность волн, проинтегрированная по всем частотам, что
связано не только с неоднородностью В, но и с участием во взаи-
взаимодействии большого числа циклотронных гармоник. В динамике
конусной неустойчивости в реальных условиях важную роль игра-
играют источники и сток частиц и волн [5]. При этом, как и в случае
ЦН, имеют место пульсирующие режимы неустойчивостей, объяс-
объясняющие наблюдаемую картину релаксации плазмы в лаборатор-
лабораторных магнитных ловушках [6], а также возможны эффекты запи-
запирания частиц на турбулентных пульсациях в достаточно длинных
системах. Картина развития конусной неустойчивости существенно
усложняется при возбуждении волн на низких номерах гирочасто-
гирочастоты, в частности на полуцелых гармониках (см. § 2). Здесь в про-
процессе релаксации меняются существенно дисперсионные свойства
плазмы, а также спектр возбуждаемых волн. Некоторые числен-
численные результаты получены в [19], однако достаточно полная тео-
теория релаксации в этом случае пока отсутствует.
7.2. Циклотронная неустойчивость в разреженной плазме (син-
хротронная неустойчивость). Важный с прикладной точки зрения
класс анизотропных неустойчивостей реализуется в разреженной
слаборелятивистской плазме, когда выполняется неравенство A):
<d2Vb!Q2e<v2b/c2, индекс Ь характеризует параметры слабореляти-
слаборелятивистского (иь/с<с1) винтового пучка электронов (fe<^6 (v. —vb.)X
X$(vz—vZb)). В этом случае на частотах co^sQe возбуждаются
электромагнитные волны, причем важную роль в механизме неус-
неустойчивости играет релятивистская зависимость гирочастоты от ско-
скорости частицы (неизохронность осцилляторов [17]). Линейная и
нелинейная теории таких неустойчивостей активно развивались
в связи с их использованием в электронных приборах — мазерах
на циклотронном резонансе [10, 18, 46]. В последние годы неус-
неустойчивости указанного типа широко используются для объяснения
радиоизлучения Юпитера [14, 30].
Приведем основные результаты, относящиеся к важному случаю
бинтового электронного пучка. При этом взаимодействие происхо-
происходит с квазимонохроматическим излучением, и ряд существенных
характеристик неустойчивости можно получить аналогично слу-
случаю, рассмотренному в § 6.
В частности, важную информацию несут такие величины, как
инкремент у и частота захвата электронов Q3 в поле неустойчивой
волны. Установившуюся плотность энергии волн W=b2/4n можно
оценить из соотношения ^з^!.
Ниже значения этих параметров приведены для неустойчивости
на волнах необыкновенной (случай I) и обыкновенной (II) поля*
530

ризации. Частота волны co^Qe.
т г8 w
7.3. Шланговая неустойчивость. Выше мы имели дело с резо-
резонансным взаимодействием частиц и волн. Однако в некоторых
случаях оказывается важным более слабое адиабатическое, взаи-
взаимодействие с волнами, в котором участвуют все частицы. Соответ-
Соответствующее квазилинейное уравнение для функции распределения fr
описывающее адиабатическое взаимодействие, можно записать
в виде [16]
#'(р)г . <135>
где, как и раньше, ^Wk — плотность энергии волн в единице
k
объема, среда предполагается однородной. По сравнению с резо-
резонансным адиабатическое взаимодействие согласно A35) ослаблено
в cd/y>1 раз (у — инкремент неустойчивости).
Релаксация к равновесному состоянию здесь происходит через
изменение средних характеристик плазмы. Рассмотрим для приме-
примера релаксацию шланговой (центробежной) неустойчивости, кото-
которая возникает в анизотропной плазме со слабым магнитным полем
(Р4Р/В21) и определяется инкрементом:
. A36)
В слабонадпороговом случае (АТ/ТП <с 1) квазилинейное уравнение
A35) можно переписать в следующем виде [45]:
df AT (»y2-0'g
где /м — максвелловская функция распределения; vT — тепловая
скорость; Ьи — неустойчивые магнитные пульсации. Решение име-
имеет вид:.
2 2 \ 1 (U,2 I /^ УУ г С1 Ь2Ь . /1ОО\
v\ *¦)+—=4г—lJ-f- ¦ (l38)
Здесь /р —начальная функция распределения с анизотропией тем-
температур. Подставив A38) в выражение для инкремента A36).
531

Учитывая соотношение для максимально усиливаемого масштаба
находим:
A39)
Таким образом, в процессе релаксации уменьшается анизотропия
температур, и в установившемся состоянии
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андронов А. А., Железняков В. В., Петелин М. И. — Изв. вузов. Радио-
Радиофизика, 1964, т. 7, с. 251.
2. Андронов А. А., Трахтенгерц В. Ю. — Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1963, т. 45, с. 1009.
3. Андронов А. А., Трахтенгерц В. Ю. — Геомагн. и аэроном., 1964, т. 4,
с. 181.
4. Ашор-Абделла М., Кеннел Ч. Ф. Phys. of the hot plasma in the magne-
tosphere/ Ed. by B. Hulgvist and L. Stenflo. N. Y., Plenum Press, 1975, p. 201.
5. Балдвин Д. Е., Берк X. Л., Перлстейн Л. Д.— Phys. Rev. Lett., 1976,
vol. 36, p. 1051.
6. Берк X. Л., Ронлиен Т. Д., Стюарт И. И. — Comments on Plasma Physics
and Controlled Fusion, 1977, vol. 3, d. 95.
7. Беспалов П. А., Трахтенгерц В. Ю. — Физика плазмы, 1976, т. 2, с. 396.
8. Беспалов П. А., Трахтенгерц В. Ю. — Там же, 1979, т. 5, с. 156.
9. Беспалов П. А., Трахтенгерц В. Ю. — В кн.: Вопросы теории плазмы.
Вып. 10/ Под ред. М. А. Леонтовича. — М.: Атомиздат, 1980, с. 88.
10. Братман В. Л. — Электроника СВЧ, 1974, т. 7, с. 92.
11. Будько Н. И., Карпман В. И., Похотелов О. А. — Cosmic Electrodyna-
Electrodynamics, 1972, vol. 3, p. 195.
12. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. — Ядерный синтез, 1961,
т. 1, с. 82.
13. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3-—Там же. Дополнение,
1962, т. 2, с. 423.
14. Галеев А. А., Красносельских В. В.— Письма в АЖ, 1979, т. 5, с. 478.
15. Галеев А. А. — J. Plasma Phys., 1967, vol. 1, p. 105.
16. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 7/
Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973, с. 3.
17. Талонов А. В. — Изв. вузов. Радиофизика, 1959, т. 2, с. 450.
18. Гапонов А. В., Петелин М. И., Юлпатов В. К. —Изв. вузов. Радиофи-
Радиофизика, 1967, т. 10, с. 1414.
19. Гитомер С. Дж., Форслунд Д. В., Рудзински Л. — Phys. Fluids, 1972,
vol. 15, p. 1520.
20. Драммоид У., Пайнс Д. —Nucl. Fusion, Suppl., 1962, vol. 3, p. 1049.
21. Данжи Д. —J. Fluid Mech., 1963, vol. 15, p. 74.
22. Железняков В. В., Злотннк Е. Я- — Solar Physics, 1975, vol. 33, p. 487.
23. Злотник Е. Я.— Изв. вузов. Радиофизика, 1974, т. 17, с. 17.
24. Карпман В. И. —Space Sci. Rev., 1974, vol. 16, p. 361.
25. Карпман В. И., Алехин И. К«, Борисов Н. Д., Рябова Н. A.— Plasma
*>hys., 1975, vol. 17, p. 361.
26. Карпман В. И., Шкляр Д. P. —Planet. Space Sci., 1977, vol. 25, p. 395.
532

27. Кеннел Ч. Ф., Петчек X. Е. —J. Geophys. Res., 1966, vol. 71, p. 1.
28. Кеннел Ч. Ф., Энгельман Ф. Е.— Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 2377.
29. Кеннел Ч. Ф., Скарф Ф. Л., Мактич Дж.'Х^ Коронити В. Ф. —J. Geo-
Geophys. Res., 1970, vol. 75, p. 6136.
30. Ковамура К-, Суцзуки И. — Astrophys. Lett., 1976, vol. 18, p. 19.
31. Котик Д. С, Митяков М. А., Рапопорт В. О. и др.— В кн.: Исследо-
Исследования ионосферы и магнитосферы методами активного воздействия. Апатиты.
Изд-во Кольского филиала АН СССР, 1977, с. 35.
32. Крауфорд Ф. Ю., Татаронис И. А. — J. Plasma Phys., 1970, vol. 4,
p. 231.
33. Михайловский А. Б. — Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1.
Изд. 2.—М.: Атомиздат, 1977.
34. Михайловский А. В., Пятак А. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1977, т. 73, с. 1970.
35. Пост Р. Ф., Розенблют М. Н. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 730.
36. Сагдеев Р. 3., Шафранов В. Д. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960,
т. 39, с. 181.
37. Сато Н., Хаяши К., Кокубун С. и др. — J. Atmos. and Terr. Phys., 1974,
vol. 36, p. 1515.
38. Сен H. K. — Phys. Rev., 1952, vol. 88, p. 816.
39. Тимофеев А. В. — Физика плазмы, 1975, т. 1, с. 88.
40. Трахтенгерц В. Ю. — Геомагн. и аэрон., 1963, т. 3, с. 442.
41. Фрид Б. С, Минц Р., Сагдеев P. —Bull. Amer. Phys. Soc, 1970, vol. 15,
p. 142.
42. Ханин Я. И. — Динамика квантовых генераторов. — М.: Сов. радио,
1975.
43. Харис Е. Ж. —Phys. Rev. Lett., 1959, vol. 2, p. 34.
44. Хелливелл Р. А. — Whistlers and Related Lonosph. Phenomena, Stanford
University Press, 1965.
45. Шапиро В. Д., Шевченко В. И.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968,
т. 45, с. 1612.
46. Юлпатов В. К. — Вопросы радиоэлектроники. Электроника, 1965, № 12,
с. 15.
47. Бекефи Дж. Радиационные процессы в -плазме; Пер. с англ., М.: Мир,
1971, с. 369.
48. Sudan R. N. — Phys. Fluids, 1963, v. 6, p. 57.
49. O'Neil Т. М. — Phys. Fluids, 1965, v. 8, p. 2255.
50. Lutomirski R. F., Sudan R. N. —Phys. Rev., 1966, v. 147, p. 156.
51. Sudan R. N., Ott E.— J. Geophys., 1971, v. 76, p. 4463.

VII. ДИАГНОСТИКА ПЛАЗМЫ
МЕТОДЫ ДИАГНОСТИКИ, ОСНОВАННЫЕ
НА ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ С ПЛАЗМОЙ
В. Е. ГОЛАНТ
ВВЕДЕНИЕ
Проблема создания методов экспериментального исследования
является одной из основных в экспериментальной физике плазмы.
Трудность ее решения обусловлена рядом особенностей плазмы
как объекта исследования. Прежде всего следует отметить много-
многокомпонентный состав плазмы, включающей электроны, ионы и ней-
нейтральные частицы различных сортов, которые сложным образом
взаимодействуют друг с другом. Это приводит к необходимости
независимого определения характеристик различных компонент и
существенно увеличивает число определяемых параметров. Лабо-
Лабораторная плазма в большинстве экспериментов неравновесна. Не-
Неравновесность проявляется не только в распределении компонент
ч плазмы по состояниям и в различии их температур, но и в отличии
' функций распределения заряженных частиц от максвелловской.
Для лабораторной плазмы характерна значительная пространст-
пространственная неоднородность ее характеристик. Она приводит к необхо-
необходимости создания локальных методов, позволяющих определить
пространственное распределение параметров плазмы. К одной из
основных особенностей плазмы относится существенное влияние на
ее поведение неустойчивостей и колебаний. Поэтому важная зада-
задача плазменного эксперимента состоит в определении характеристик
колебаний и создании методик, обладающих достаточным времен-
временным разрешением. Наконец, необходимо отметить задачу предот-
предотвращения возмущений плазмы при исследовании. Трудность ее ре-
решения наиболее значительна для высокотемпературной плазмы
в магнитном поле.
Развитие экспериментальной физики плазмы, особенно за по-
последние 20—30 лет, привело к созданию целого комплекса специ-
специфических экспериментальных методов, получивших название ме-
534

тодов диагностики плазмы (см. обзоры [1—8]). В настоящей
статье дан обзор методов диагностики лабораторной плазмы, свя-
связанных со взаимодействием электромагнитных волн с плазмой,
в том числе методов, основанных на излучении плазмы, рассеянии
волн плазмой, интерферометрических методов. Рассматриваются
принципы этих диагностических методов, условия их применения
в низко- и высокотемпературной плазме, приводятся некоторые
примеры применения методов. Экспериментальная техника и аппа-
аппаратура подробно не описываются. Ссылки на оригинальные рабо-
работы делались лишь цри рассмотрении методов, не отраженных в об-
обзорной литературе, или в связи с конкретными примерами приме-
применения диагностических методов.
1. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ИЗЛУЧЕНИИ ПЛАЗМЫ
1.1. Виды излучения. Плазма излучает в широком диапазоне
частот, охватывающем сверхвысокочастотную, инфракрасную, ви-
видимую, ультрафиолетовую и рентгеновскую области спектра. По-
Поскольку характеристики излучения связаны с параметрами плаз-
*мы, его можно использовать для диагностики. Применение диагно-
диагностики, основанной <на использовании излучения (ее называют пас-
пассивной), весьма привлекательно, так как не сопровождается введе-
введением в плазму каких бы то ни было возмущений. Такая диагно-
диагностика является главным источником информации о космической
плазме. Ее широко применяют и для изучения лабораторной плаз-
плазмы, начиная с самых первых экспериментов. Главная трудность
при использовании такой диагностики связана с интерпретацией
результатов измерений характеристик излучения.
Перечислим основные процессы излучения, используемые для
диагностики лабораторной плазмы. Все они связаны с электрон-
электронными переходами (см. статью Г. Грима из т. 1 данного издания).
1. Излучение атомов и ионов, возникающее при переходах свя-
связанных электронов из одного состояния в другое (так называемые
связанно-связанные переходы). Такое излучение дает линейчатый
спектр, его частота определяется разностью энергетических уров-
уровней атомных частиц.
2. Излучение, сопровождающее электрон-ионную рекомбина-
рекомбинацию (свободно-связанные переходы). Рекомбинационное излуче-
излучение характеризуется сплошным спектром с нижней границей, соот-
соответствующей энергии ионизации образующегося атома.
3. Излучение, сопровождающее упругие столкновения свобод-
свободных электронов с атомами и ионами (свободно-свободные перехо-
переходы). Такое излучение, называемое тормозным, характеризуется
сплошным спектром (континуумом).
4. Излучение, обусловленное вращательным движением элек-
электронов в сильном магнитном поле. Спектр этого излучения сосре-
сосредоточен в окрестности циклотронной частоты и ее гармоник.
Далее мы остановимся на использовании этих четырех видов
излучения для диагностики плазмы.
535

1.2. Методы, основанные на излучении атомов и ионов. Изме-
Измерения интенсивности спектральных линий [6—12].
Излучение, сопровождающее атомные переходы, можно характери-
характеризовать мощностью излучения из единицы объема плазмы. Она
определяется очевидным соотношением (см. п. 1.1 статьи Г. Грима
из т. 1)
y /)ft(OW, A>
где phi — удельная мощность излучения, сопровождающего пере-
переход из состояния k в состояние 1\ паи — объемная плотность ато-
атомов в состоянии k\ w(k, I) —вероятность такого перехода в едини-
единицу времени; U(dhi=Ei—Ей — квант излучаемой энергии. Вероят-
Вероятность перехода в оптике обычно связывают с так называемой си-
силой осциллятора с помощью соотношения
в котором gk и gi — статические веса состояний; fu— сила осцил-
осциллятора (для разрешенных переходов ее значение лежит обычна
в пределах 0,1—1). Связь определяемой в эксперименте интенсив-
интенсивности излучения с удельной мощностью излучения зависит от ха-
характеристик распространения и поглощения излучения в объеме
плазмы (см. п. 1.2 статьи Г. Грима из т. 1). При условиях, когда
самопоглощение и рефракция излучения несущественны, интенсив-
интенсивность излучения с поверхности плазмы определяется простым
интегрированием удельной мощности излучения вдоль направле-
направления наблюдения
//2
-Т/2
где / — интенсивность излучения с единицы поверхности в едини-
единицу телесного угла; / — толщина плазмы в направлении наблюде-
наблюдения. Для получения данных об объемном распределении излучения
обычно используют измерения интенсивности излучения в разных
точках поверхности при различных направлениях наблюдения и за-
затем решают получающиеся интегральные уравнения. Для цилин-
цилиндрически-симметричной плазмы, в частности, интеграл C) прини-
принимает вид:
/a2—q*
4 I
где а — радиус плазмы; q — «прицельное» расстояние от линии на-
наблюдения до оси (рис. 1). Если в результате измерения интенсив-
интенсивности излучения по различным хордам определена зависимость
536

I(q), то с помощью интегрального преобразования Абеля можно
найти пространственное распределение интенсивности
Предложено много приемов практического осуществления пре-
преобразования Абеля (см., например, [4]). Не останавливаясь на
них, отметим лишь, что точность этого интегрального преобразова-
преобразования ограничена даже при наличии детальных сведений о функции
I(q). С его помощью трудно опреде-
определить детали профиля р (г), особенно в
области резких неоднородностей, так
как они сглаживаются при интегри-
интегрировании. Поэтому к данным, получен-
полученным с помощью преобразования Абе-
Абеля, следует относиться с осторожно-
осторожностью.
Измерения интенсивности и конту-
*ров спектральных линий в видимой и
близкой ультрафиолетовой областях Рис- L Схема приема излуче-
ния
осуществляются хорошо известными
спектроскопическими методами. Для
этих областей существуют большой набор спектроскопических при-
приборов с разрешением до 10~2 нм и хорошо отлаженные методы аб-
абсолютной градуировки. В последнее время в связи с термоядерными
экспериментами стали активно использовать для диагностики плаз-
плазмы также спектроскопическую аппаратуру для областей вакуумно-
вакуумного ультрафиолета и длинноволнового рентгеновского излучения.
В этих областях имеются значительные трудности с абсолютной
градуировкой. Во многих случаях их удается обойти, используя
для градуировки пары лшшй, соответствующих переходам с одно-
одного и того же верхнего уровня, одна из которых лежит в исследуе-
исследуемом диапазоне, а другая — в видимой области.
Измерения интенсивности спектральных линий позволяют ре-
решить два класса задач — определение состава плазмы, его влия-
влияния на излучаемую мощность и получение данных об электронной
температуре. Уже общее наблюдение интегрального спектра излу-
излучения плазмы позволяет осуществить качественный анализ ее со-
состава. Идентификация спектральных линий дает сведения о хими-
химическом составе атомов плазмы, о зарядовых состояниях присутст-
присутствующих в ней ио,нов. Необходимые для такой идентификации таб-
таблицы спектров в последние годы распространены на спектры ионов
с высоким зарядом, образующихся в горячей плазме. Для количе-
количественного анализа состава необходимы абсолютные измерения
интенсивности спектральных линий. Такие измерения позволяют
определить плотность атомов или ионов в возбужденном состоя-
состоянии [см. A)]. По этим сведениям, используя подходящую модель
537

распределения заселенности возбужденных состояний, можно най-
найти полную плотность атомов и ионов, если известна электронная
температура.
Следует, однако, иметь в виду, что результаты такого расчета
существенно зависят от выбранной модели, а при Eki>Te очень
сильно зависят и от температуры. Поэтому они нуждаются в пере-
перекрестной проверке, основанной на измерениях по различным излу-
излучающим линиям. Более надежны в этом смысле измерения в вы-
Г, СМ
Рйс. 2. Радиальные профили интенсивности свечения ионов кислорода на тока-
маке TFR [13]
сокотемпературной плазме, так как при электронных температу-
температурах, много больших энергии ионизации, заселенность различных
уровней слабо зависит от температуры. Ё этом случае главная
трудность связана с необходимостью пространственного разреше-
разрешения излучения, так как нейтральные атомы и ионы различной
зарядности локализованы в разных местах. В качестве примера на
рис. 2 представлены данные о радиальном распределении ионов
кислорода различной зарядности в плазме токамака TFR, полу-
полученные из данных о хордовом распределении интенсивности излу-
излучения с помощью преобразования Абеля [13]. В условиях этого
эксперимента ионы с различными Z локализованы вблизи обла-
областей с электронной температурой, соответствующей их потенциалу
ионизации Те~0,35Ети (соотношение Те/Еиок в областях локали-
локализации сильно зависит от параметров плазмы и должно каждый раз
тщательно анализироваться).
Остановимся теперь на способах определения электронной тем-
температуры. В опытах с низкотемпературной плазмой довольно ши-
широкое распространение получил метод, основанный на измерениях
относительной интенсивности спектральных линий. Обычно для
сравнения используют линии одних и тех же элементов с различ-
538

ным потенциалом возбуждения. Если при этом потенциал возбужде-
возбуждения больше электронной температуры, то отношение интенсивно-
стей линий очень чувствительно к температуре. Зависимость от
температуры определяется распределением заселенности возбуж-
возбужденных состояний (см. п. 1.1 статьи Г. Грима из т. 1). Например,
для случая, когда применима корональная модель и определяющую
роль играют процессы возбуждения при электрон-атомных столк-
столкновениях, отношение интенсивностей спектральных линий пропор-
пропорционально отношению сечений возбуждения: h\h—'<s^ue>l
l<s\ve>. При максвелловском распределении скоростей электро-
электронов с температурами, меньшими энергий возбуждения, это отно-
отношение пропорционально ехр (—Е\2/Те). Аналогичная зависимость
h/h от Те получается и для распределения заселенности, соответ-
соответствующего модели локального термодинамического равновесия. Та-
Таким образом, если для выбранных линий известны атомные кон-
константы и определена модель, адекватно описывающая распределе-
распределение заселенности возбужденных состояний плазмы, то измерения
. отношения интенсивностей позволяют найти электронную темпера-
температуру. Особенно часто использовались для определения Те в диапа-
диапазоне 5—50 эВ измерения отношения интенсивностей синглетной и
триплетной линий гелия. Отметим, что при использовании метода
относительных интенсивностей основная трудность связана
с интерпретацией результатов измерений, в частности с определе-
определением адекватной плазменной модели, с учетом возможности засе-
заселения уровней при переходах через состояние с более высокой
энергией и влияния пространственной неоднородности электронной
температуры.
В высокотемпературной плазме для применения метода относи-
относительных интенсивностей можно использовать линии, соответст-
соответствующие различным зарядовым состояниям одного и того же иона.
При этом, однако, возникает существенная трудность, вызванная
сильной пространственной неоднородностью свечения ионов различ-
различной зарядности. В длительно существующей плазме для грубого
определения профиля электронной температуры можно воспользо-
воспользоваться уже отмечавшейся локализацией свечения ионов различной
зарядности. Хордовые измерения интенсивности свечения после их
преобразования с помощью уравнений Абеля дают возможность
определить положение максимумов свечения линий и сопоставить
их с электронной температурой порядка потенциала ионизации;
соотношение между ними можно найти, исходя из* анализа дина-
динамики процессов ионизации, рекомбинации и переноса.
Наконец, следует упомянуть еще один способ нахождения элек-
электронной температуры, основанный на определении скорости иони-
ионизации атомов или ионов. Он основан на измерении зависимости
интенсивности свечения линий атомов или ионов от времени. При
ЕИОн>Те зависимость скорости ионизации от Те очень сильная, и
по скорости «выгорания» соответствующей линии с использованием
известных атомных констант можно оценить электронную темпе-
температуру. Резкое увеличение скорости выгорания с ростом Те приво-
539

дит к тому, что определяемое таким образом значение дает макси-
максимальную температуру вдоль линии наблюдения. Этот способ
успешно применялся в экспериментах с низкотемпературной и вы-
высокотемпературной плазмой. Однако условия его применения огра-
ограничены— в каждом случае необходим тщательный анализ всех
возможных процессов ионизации.
Анализ контуров спектральных линий [6—12, 14]»
Основные факторы, влияющие на форму контуров спектральных
линий, связаны с тепловым движением излучающих частиц
(эффект Доплера), с электрическим полем, возникающим при
взаимодействии заряженных частиц (эффект Штарка), со столкно-
столкновениями. Влияние этих факторов рассмотрено в п. 1.2 статьи
Г. Грима из т. 1. В широком диапазоне параметров плазмы (при
не слишком больших концентрациях заряженных и нейтральных
частиц) определяющее влияние на форму контуров спектральных
линий оказывает тепловое движение атомов и ионов. При макс-
велловском распределении их скоростей доплеровскии сдвиг часто-
частоты приводит к гауссову контуру линий. Спектральная плотность
излучения при этом описывается выражением
. <6>
где ширина линии бсо связана с температурой излучающих частиц:
бсо/со=BГ0/тас2I/2. G)
Измерения доплеровского смещения и уширения контуров спек-
спектральных линий позволяют находить температуру излучающих
атомов или ионов (по уширению) и скорость их направленного
движения (по смещению центра линии). Связь температуры с ши-
шириной линии при определяющем влиянии эффекта Доплера дается
формулой G), которая может быть записана в виде
Та= A /2) mac2 (б©/©J« 4,7 -1О8^FУЯJ, (8)
где Та — температура атомов, эВ; зФ — атомная масса.
Выше уже отмечалось, что для анализа контуров спектральных
линий в видимом и ультрафиолетовом диапазонах применяется
аппаратура с разрешением до 10~2 нм. При этом возможно скани-
сканирование контуров за время порядка 10—100 мкс. В посленее время
•разработана аппаратура и для анализа контуров в диапазоне
длинноволнового рентгеновского излучения на основе кристалли-
кристаллических спектрометров. Следует отметить, что определение допле-
доплеровского уширения не требует абсолютных измерений интенсив-
интенсивности излучения и поэтому обладает более высокой надежностью
по сравнению с методами, рассмотренными в предыдущем под-
подпункте.
Измерения доплеровского уширения успешно использовались
для нахождения температуры атомов и ионов во многих экспери-
540

ментах с низкотемпературной плазмой. Основная трудность прге
интерпретации результатов измерений связана с усреднением реги-
регистрируемой интенсивности излучения вдоль направления наблю-
наблюдения. При условиях, когда измеряемая температура существенна
неоднородна, необходимо это учитывать. В цилиндрически-симме-
цилиндрически-симметричной плазме для изучения радиального распределения контуров*
спектральных линий приходится использовать хордовые измере-
измерения* Необходимое в этом случае преобразование Абеля приводит
к снижению точности определения температуры. Другое ограниче-
ограничение, обнаруженное в некоторых экспериментах с сильноточными?
Рис. 3. Контуры спектральных
линий О VII и С IV, полученные
на токамаке АТС (доплеравское
уширение) [15]:
пунктир — гауссов профиль; А\п —
ширина инструментального контура
от
•б'о
ч°
Xs
- Г'
V
V
АЛ'1П 0,0Ш10м
I I I i I ' ' ' ' I ' L_J I \ \ I I-
ZW
-10
0,05021011 о
турбулентными разрядами, обусловлено ускорительными процес-
сами. Они приводили к анизотропии измеряемой эффективной тем-
температуры и ее зависимости от заряда иона.
Отмеченная выше локализация свечения ионов различной за-
рядности в областях с различной электронной температурой (Те~
~Еион) была использована в экспериментах на токамаках для~
измерения профиля ионной температуры. Точки этого профиля"
определялись по доплеровскому уширению ионов с различным за-
зарядом. В качестве примера на рис. 3 приведены результаты одного^
из таких измерений.
При больших концентрациях электронов (в типичных условиях
лабораторной плазмы при яе>1015-^1017 см~3) штарковское уши-
уширение преобладает над доплеровским. В таких условиях измерения-
ширины контуров можно использовать для определения концен-
концентрации электронов, поскольку она определяет штарковское ушире-
уширение, обусловленное электрическими полями, которые возникают-
при взаимодействии заряженных частиц (см. п. 1.2 статьи Г. Гри-
Грима). Удобнее всего использовать для нахождения концентрации-
линии водорода или гелия, для которых существуют детальные-
расчеты уширения. Наибольшее уширение наблюдается для водо-
водорода, в котором эффект линейный. Это уширение можно оценить-
по формуле
6<0fc/ « (П/ШеС) (N2k—N2i) Пе2/\
541

где Nk и Ni — главные квантовые числа состояний k и /. Для ли-
линии Яр, например, уширение связано с концентрацией следующим
образом:
6Я^4-10-10яе2/3 A0)
'{в эту формулу 8Х входит в ангстремах (Ю-10 м), пе — в обратных
кубических сантиметрах). Определение концентрации по штарков-
<жому уширению было осуществлено в ряле экспериментов с плот-
плотной плазмой, в частности в исследованиях дуговых разрядов высо-
высокого давления, мощных импульсных зарядов, Z- и 8-пинчей. На
Рис. 4. Контур спектральной
линии Н^ в дуговом разряде
(штаркозское уширение) [6]:
линия — эксперимент; точки —
расчет; пунктир — уровень фо-
то то Ч8Ю то чзбо то х,ю'п на сплошного спектРа
рис. 4 в качестве примера представлена уширенная линия Яр, по-
полученная в эксперименте с дуговым разрядом. Если уширения,
обусловленные эффектами Штарка и Доплера, сравнимы, эти
эффекты можно разделить, измеряя форму контура и сопоставляя
«ее с расчетной. Более надежный способ разделения эффектов мо-
может быть основан на измерениях ширины контуров линий с раз-
различным штарковским уширением.
Определенный интерес представляют измерения электрических
полей в плазме по штарковскому расщеплению и сдвигу линий.
Значение сдвига максимально для водородных линий, для кото-
которых зависимость сдвига от поля линейная (см. п. 1.2 статьи Г. Гри-
Грима из т. 1). Эффект сдвига линии можно использовать для измерения
электрических полей при достаточно больших напряженностях,
при которых сдвиг больше уширения, обусловленного тепло-
тепловым движением и взаимодействием заряженных частиц, или срав-
сравним с ним. По штарковскому уширению в ряде работ с турбулент-
турбулентной плазмой удалось определить средние квадратические значения
напряженности турбулентных полей, изменяющихся во времени и
пространстве. Разумеется, это можно сделать лишь при больших
напряженностях, когда турбулентное уширение превосходит
эффект, обусловленный полями взаимодействующих заряженных
частиц. В описанных экспериментах с пучковой плазмой, плазмой
пинчей и в условиях бесстолкновительных ударных волн и турбу-
турбулентного нагрева напряженность турбулентных полей превосходи-
превосходила 3 кВ/см. Иллюстрацией результатов такого эксперимента мо-
может служить рис. 5. В ряде работ наблюдался эффект появления
сателлитов запрещенных линий гелия, смещенных на частоту по-
порядка плазменной. По их интенсивности также удавалось получить
оценку амплитуды турбулентных полей.
-542

Для определения напряженности магнитного поля в плазме
можно использовать эффект Зеемана. В некоторых случаях, когда
внешнее магнитное поле возмущено плазменным током, задача
бесконтактного измерения распределения магнитного поля в объе-
объеме плазмы представляет большой интерес. Диагностика, основан-
основанная на эффекте Зеемана, предложена для определения полоидаль-
ного магнитного'поля в установках токамак [17]. С этой целью
предполагается вводить в плазму лучок атомов лития и, сопостав-
сопоставляя поляризацию зеемановских компонент излучения атомов лития,
определять направление поля в области локализации пучка. Под-
Рис. 5. Штарковсксе уширеыие линии Н^ в
чударной волне, обусловленное турбулентыми
полями [16]:
1 А Л,10%
а — осциллограмма линии (длительность развертки 5 мкс); б — профиль линии перед
ударной волной (/), на фронте B) и позади фронта волны C)
бирая геометрию, можно по этим измерениям получать сведения
о радиальном распределении полоидального магнитного поля.
1.3. Методы, основанные на тормозном и рекомбинационном
излучении. Измерения континуума в оптических
и рентгеновском диапазонах частот [6—9, 18]. Не-
Непрерывный спектр излучения плазмы в оптических диапазонах ча-
частот обусловлен в основном тормозным излучением, связанным са
столкновениями электронов (см. п. 2.1 статьи Г. Грима из т. 1).
Излучение континуума обычно характеризуют спектральной плот-
плотностью, представляющей собой мощность излучения из единицы
объема, приходящейся на единичный интервал частот и на единич-
единичный телесный угол (p=d2p/dco dQ). При энергии испускаемого
кванта, много меньшей средней энергии электронов (это условие-
выполняется для оптических диапазонов), спектральная плотность
тормозного излучения определяется формулой
(id
где ve — суммарная частота столкновений электронов с атомами и:
ионами, усредненная по распределению скоростей; предполагается*
что ve<Cco и распределение скоростей электронов максвелловское.
Для сильноионизованной плазмы, в которой частота электрон-
54а

ионных столкновений много больше частоты
столкновений, формула A1) принимает вид:
электрон-атомных
г.—1/2
A2)
ггде Л — кулоновский логарифм, слабо зависящий от параметров
плазмы. В оптических диапазонах самопоглощение излучения и
эффекты, связанные с рефракцией, обычно малы. При этом интен-
интенсивность излучения определяется интегрированием A1) или A2)
20
Рис. 6. Спектр излучения плазмы, полу-
полученный на тороидальной установке
Zeta [19]:
/ — результаты измерения интенсивности из-
излучения; 2 — радиационная температура, рас-
рассчитанная по интенсивности излучения
0,2 0^.0,6 1 fJO* ГГи,
вдоль линии наблюдения. Соответственно данные о спектральной
плотности излучения могут быть получены из результатов измере-
измерений интенсивности излучения с помощью интегрального преобра-
преобразования (для цилиндрически-симметричной плазмы с помощью
преобразования Абеля).
Формулы A1), A2) показывают комбинации параметров плаз-
плазмы, которые можно найти по измеренной интенсивности тормоз-
тормозного континуума. Для слабоионизованной_плазмы это neTevea- Для
«сильноионизованной плазмы это п2е/'\/гТв—зависимость интен-
интенсивности от пе оказывается значительно более сильной, чем от 7V
^Следует отметить, что регистрация тормозного излучения возмож-
:на лишь в плазме с достаточно высокой концентрацией электро-
электронов. Для видимой области нижняя граница концентрации состав-
составляет около 1016 см~3. Чтобы определить меньшие концентрации по
интенсивности тормозного излучения, надо проводить измерения
в инфракрасной области спектра. При этом, однако, большую
-роль может играть самопоглощение. В качестве примера на рис. 6
представлены данные о спектре тормозного излучения плазмы
мощного тороидального разряда в далекой инфракрасной области
спектра. Виден переход от области со слабым самопоглощением,
описываемой формулой A2), к области с сильным самопоглоще-
самопоглощением, в которой излучение определяется формулой Рэлея — Джин-
Джинса [см. A7)]. По интенсивности излучения в первой области мож-
можно найти усредненную по направлению наблюдения концентрацию
электронов, во второй — электронную температуру.
•544

При измерениях тормозного континуума в ультрафиолетовой
и рентгеновской областях частот энергия кванта излучения срав-
сравнима с электронной температурой или больше ее. При таких ча-
частотах интенсивность тормозного излучения, обусловленного
столкновениями электронов с тяжелыми частицами, уменьшается.
Это уменьшение с точностью до числового коэффициента по-
порядка единицы определяется экспоненциальным множителем
ехр(—%(д/Те). В частности, формула для спектральной плотности
тормозного излучения при электрон-ионных столкновениях прини-
принимает вид:
где числовой коэффициент введен в фактор G-
При высоких частотах может оказаться существенным также
излучение, сопровождающее электрон-ионную рекомбинацию (сво-
(свободно-связанные переходы). Для каждого вида рекомбинации
(характеризующегося конечным состоянием атома или иона) из-
излучение имеет сплошной спектр с нижней границей, определяю-
определяющейся энергией ионизации образующейся частицы (Йсо>?1ИОн).
Спектральную плотность рекомбинационного излучения можно
найти по формуле A3), если принять в ней множитель G в виде
где bk — коэффициент порядка единицы; Nk — главное квантовое
число состояния атома, на которое происходит рекомбинация;
Рион — энергия ионизации из этого состояния. Суммирование
в формуле распространено на все состояния, на которые может
происходить рекомбинация при заданной частоте кванта
(?ион<йО)).
Как видно из формул A3) и A4), измерения интенсивности
континуума в ультрафиолетовой и рентгеновской областях спектра
могут дать сведения об электронной температуре. Для этого удоб-
удобно использовать зависимость интенсивности континуума от часто-
частоты при Псо>Те. Вдали от линий поглощения эта зависимость
имеет вид р~ехр(—Лю/Ге). При этом интенсивность излучения
определяется точкой с самой высокой температурой в направлении
наблюдения, так как зависимость от параметров плазмы предэкс-
поненциального множителя в A3) и A4) значительно слабее за-
зависимости экспоненты от Те. Поэтому наклон кривой /(со) позво-
позволяет определить максимальную электронную температуру в на-
направлении наблюдения. При (регистрации спектра тормозного
континуума по нескольким направлениям удается таким образом
определить пространственное распределение электронной темпе-
температуры.
Описанный метод использовался в ряде опытов с низкотемпера-
низкотемпературной плазмой. В последние годы он получил большое развитие
в экспериментах с горячей плазмой. Для такой плазмы область
35—3283 545

частот Йсо>Ге соответствует длинноволновому рентгеновскому
излучению. В связи с этим были разработаны способы определения
его спектра — с помощью тонких фольг или детекторов с сигналом^,
пропорциональным энергии. В качестве примера измерений
спектра на рис. 7 приведены результаты, полученные на токамаке
Т-10. Видно, что кривая интенсивности экспоненциально падает
с увеличением частоты. Пики на кривой соответствуют резонансно-
резонансному . поглощению для линий примесей и могут использоваться для
градуировки по частоте. Наклон кривых (в полулогарифмическом
10
8
?,кэВ
Рис. 7. Спектр рентгеновского излу-
чения плазмы, полученный на тока-
маке Т-10 [20]
Рис. 8. Осциллограммы пилообразных
колебаний длинноволнового рентгенов-
рентгеновского излучения плазмы на токамаке
TFR [21]:
h — расстояние хорды от средней плоскости
масштабе) дает, как отмечалось, максимальную электронную тем-
температуру в направлении наблюдения. Поскольку интенсивность
рентгеновского излучения характеризуется максимальным значе-
значением Те в направлении наблюдения, по колебаниям интенсивности
удается зарегистрировать колебания электронной температуры,'
область их локализации и характеристики. Пример пилообразных
колебаний Те на токамаке TFR, обусловленных неустойчивостью
внутреннего срыва, приведен на рис. 8.
Измерения тормозного излучения в сверхвы-
сокрчастотном диапазоне [18, 22—24]. Как уже отмеча-
отмечалось,, при переходе от видимой области спектра к более длинновол-
вдвьщ инфракрасному и сверхвысокочастотному диапазонам стано-
становится существенным самопоглощение тормозного излучения (см.
п. 1.3 статьи Г. Грима из т. 1). Коэффициент поглощения излуче-
излучения в плазме при частотах, много больших электронной цикло-
циклотронной частоты и частоты столкновений электронов (o)>Qe, ve),
можно выразить формулой
546'

где N=(l—Пе/псI/2 — показатель преломления; озре — плазменная
частота; пс — критическая концентрация, при которой (о=соре. Фор-
Формула справедлива при пе<.пс> соре<со; с приближением пе к п0
становится существенной рефракция излучения. Влияние самодо-
глощения определяется оптической толщиной плазмы
Г(/)= ^zds, A6)
где интеграл берется вдоль лучевой траектории. При большой оп-
оптической толщине Г>1 плазма излучает, как черное тело. Интен-
Интенсивность черного излучения плазмы при максвелловском распре-
распределении скоростей электронов находится по формуле Рэлея —
Джинса:
8n3c2, A7)
где Те — электронная температура, усредненная по длине поглоще-
поглощения, на которой Г (s) ж 1 (эту длину надо отсчитывать от излучаю-
излучающей поверхности вдоль лучевой траектории). В СВЧ-диапазоне
при использовании волноводного приемника, работающего на низ-
низшей моде, формула A7) приводит к простому соотношению
Р=ГеД/^1,6-10-18ВД A8)
где Р — мощность принимаемого излучения, Вт; Те — усредненная
по области излучения электронная температура, эВ; А/ — полоса
частот приемника, Гц. Если плазма излучает не как черное тело,
то в формулу A8) следует ввести поглощательную способность Л,
равную доле энергии излучения, поглощаемой плазмой:
P=Aтe^f. A9)
Формулы A8), A9) показывают, что измерения мощности
СВЧ-излучения можно использовать для определения электронной
температуры. Такие измерения получили довольно широкое рас-
распространение при изучении газоразрядных и плазменных
устройств. Для приборов небольших размеров удобно осущест-
осуществлять связь плазмы с приемником с помощью резонатора или вол-
волновода (рис. 9). При такой связи для плазмы с не очень низкой
частотой столкновений можно реализовать условия, при которых
поглощательная способность плазмы для излучения близка к еди-
единице. При вводе диэлектрического баллона с плазмой в волновод
(рис. 9,а—в), например, согласование достигается выбором гео-
геометрии— угол наклона баллона выбирают достаточно малым, что-
чтобы уменьшить отражение волн в области ввода, а длину части
баллона, помещенной в волновод, выбирают такой, чтобы оптиче-
оптическая толщина плазмы была больше единицы. Согласование резо-
резонатора с внешним трактом (рис. 9,г) осуществляется выбором
оптимальной добротности, определяющей число «проходов» на-
35* 547

капливающегося в резонаторе излучения через баллон с плазмой.
Если поглощательная способность меньше единицы, но не очень
мала, ее можно измерить при использовании волноводной или ре-
зонаторной связи.
На рис. 10 приведена одна из схем измерения электронной тем-
температуры. Метод измерения основан на сравнении излучения плаз-
Рис. 9. Способы ввода
плазмы в волновод и резо-
резонатор:
/ — баллон с плазмой; 2 — вол-
волновод; 3 — резонатор
г)
мы с излучением стандартного шумового генератора, для которого
известна температура излучения. При этом можно одновременно
измерять долю отраженной и поглощенной мощности и таким
образом по мощности излучения находить электронную темпера-
температуру, усредненную по объему введенной в волновод плазмы. При-
Рис. 10. Схема измерения мощности теплового излучения плазмы [25]:
/ — согласованный поглотитель; 2 — исследуемая плазма; 3 — аттенюатор; 4 — стандарт-
стандартный генератор шумов; 5 — волноводный переключатель; 6 — детекторная головка; 7 —
двойной тройник; 8 — гетеродинный генератор; 9 — приемник излучения
мер измерения мощности СВЧ-излучения приведен на рис. И. На
кривых виден переход от режима с малой поглощательндй способ-
способностью (Л<1) при низких концентрациях плазмы к условиям
черного излучения, определяемого электронной температурой.
Применение волноводного и резонаторного способов связи из-
излучения с приемником возможно лишь в плазме с поперечными
размерами, меньшими длины волны излучения. Если же размер
плазмы велик, то можно использовать волноводные направленные
548

антенны, располагая их вблизи исследуемой плазмы. В этом слу-
случае прямые измерения поглощательной способности и ее расчет
затрудняются, что связано, в частности, с необходимостью учета
рефракции и рассеяния волн, особенно существенных при концен-
концентрациях, близких к критической. Поэтому надежное определение
электронной температуры с помощью формул A8), A9) возможно
лишь при условиях, когда погло-
щательная способность плазмы ---
близка к единице. Таких условий °
легче достичь для плазмы, поме-
помещенной в металлическую камеру,
которая образует вместе с плазмой
«искусственное» черное тело [26].
Излучение при этом накапливается
в объеме плазмы в результате мно-
многократных отражений от стенок ка-
камеры. Если среднее поглощение при
отражении от стенки много меньше
поглощения при одном проходе из-
излучения через плазму, то по мощ-
мощности принимаемого излучения
можно найти усредненную элек-
электронную температуру. Этот метод
с использованием волн миллиметр
рового диапазона применялся для
определения электронной темпера-
температуры в некоторых термоядерных
установках.
1.4. Методы, основанные на ЦИК- излучения плазмы положительно-
лотронном излучении Г 7 18 221 го столба разряда от концентра-
Циклотронное излучение плазмы в ции электР°нов №
r J ыотхл. а точки — эксперимент; кривые — расчет
ОКреСТНОСТИ ЭЛеКТрОННОГО ЦИКЛО- для различных давлений гелия
тронного резонанса и его пер-
первых гармоник попадает обычно
в СВЧ-диапазон (f=Qe/2n=2,8-106 В, где / — частота, Гц; В —
магнитная индукция, Гс). Для низкотемпературной плазмы цикло-
циклотронное излучение можно зарегистрировать в окрестности цикло-
циклотронной частоты лишь в направлении, параллельном магнитному
полю (см. п. 3.1 статьи Г. Грима из т. 1). В этом случае излуча-
излучается и поглощается мода с вращающейся поляризацией, направ-
направление вращения которой совпадает с направлением вращения
электронов. Коэффициент поглощения излучения в резонансе при
(d=Qe дается формулой
W* W3 70 10 /7, cn°
Рис. И. Зависимость мощности
r со пе @ <° ре
B0)
справедливой при 1 ^>ve/iD^>}/Te/mec2 . Контур поглощения оказы-
оказывается лоренцевым, ширина области поглощения определяется ча-
549

стотой столкновений: 6(D~ve. Оптическая толщина области цикло-
циклотронного резонанса в слабонеоднородной плазме равна
Г = п{(йЩс)Пе/Пс, B1)
где R=B/\gradB\ —характерный размер неоднородности магнит-
магнитного поля. При Г>1 можно считать плазму черным телом и по
мощности излучения в соответствии с A8) находить электронную
температуру. Тогда для неоднородного поля определяется локаль-
локальное значение температуры в окрестности циклотронного резонан-
резонанса. Для плазмы с низкой плотностью, в которой Г<С 1 измерения
мощности циклотронного излучения позволяют узнать электронное
давление (произведение пеТе). При этом поглощательная способ-
способность плазмы А — \—ехр (—Г)»Г, и с помощью формул A9) и
B1) получим
Р « Г7;Д/=я (©#/<?) (пе/пс) TeAf. B2)
Для высокотемпературной плазмы циклотронное излучение
можно наблюдать как в окрестности электронного циклотронного
резонанса, так и вблизи егосгармоник со«$?2е (см. п. 3.1 статьи
Г. Грима из т. 1). Форма контура поглощения в этом случае опре-
определяется эффектом Доплера. Для излучения, распространяющегося
под углом дфл/2 к магнитному полю, при максвелловском рас-
распределении скоростей электронов контур оказывается гауссовым.
Его ширина, полученная по точкам половинной мощности, равна
1]{твс\ B3)
где N» —k..c/(x>. При перпендикулярном магнитному полю распро-
распространении излучения форма и ширина контура определяются реля-
релятивистским эффектом Доплера, связанным с зависимостью цикло-
циклотронной частоты от скорости электронов. При этом
боI/2/0«4,2Ге/тес2. B4)
Оптическая толщина области циклотронного излучения зависит от
номера гармоники и поляризации. Для обыкновенной моды при
основном циклотронном резонансе (со^йе) и необыкновенной
моды на второй гармонике (ыж2&е) оптическая толщина
где я|) — множитель порядка единицы, зависящий от концентрации,
направления распространения излучения и моды. Для более высо-
высоких гармоник оптическая толщина уменьшается: она пропорцио-
пропорциональна (Te/mec2)s-1 для необыкновенной и (Te/mec2)s для обыкно-
обыкновенной моды, где 5 — номер гармоники.
В последнее время диагностика, основанная на циклотронном
излучении, успешно применялась для изучения высокотемператур-
высокотемпературной плазмы на установках токамак. В этих экспериментах чаще
550

Рис. 12. Схема приема циклотронного излучения
плазмы в токамаке:
/ — зона поглощения циклотронного излучения; 2 — об-
область диаграммы направленности антенны; 3 — область,
из которой принимается излучение
всего используют излучение, перпенди-
перпендикулярное магнитному полю, в окрестно-
окрестности второй гармоники электронной цик-
циклотронной частоты. Прием излучения
осуществляют в направлении градиента
магнитного поля (рис. 12). При пара-
параметрах токамака для необыкновенной
моды в окрестности второй гармоники
обычно выполняется условие [см. B5)]
Г^З,7-10-14КГе/5)/?г|)>1 B6)
(в эту формулу пе входит в обратных кубических сантиметрах,
Те— в электронвольтах, В — в гауссах, R— в сантиметрах). Соот-
Соответственно плазма излучает, как черное тело, причем излучающая
область локализована в окрестности поля, при котором co^2Qe;
ширина этой области
lO~6TeR
B7)
[см. B4)] значительно меньше радиуса плазмы. Поэтому прини-
принимаемое излучение на заданной частоте определяется локальным
значением электронной температуры в фиксированной области
плазмы (при со^2Йе). Таким об-
образом, измеряя спектр излучения
плазмы в диапазоне частот, со-
соответствующем перемещению об-
области co=2Qe от внутренней гра-
границы тороидального плазменного
шнура до наружной, можно опре-
определить радиальный профиль
электронной температуры. При-
Пример такого измерения в токама-
токамаке представлен на рис. 13 — на
нем сопоставлены спектр мощно-
мощности излучения и соответствую-
соответствующий профиль электронной темпе-
температуры. Измерения мощности
циклотронного излучения позво-
позволяют также исследовать локаль-
локальные колебания электронной тем-
температуры во времени. С этой
целью использовалось не только
1 -
10 г, см
Рис. 13. Радиальные профили мощ-
мощности излучения при co = 2Qe и элек-
электронной температуры иа токамаке
TFR [27]:
треугольники - результаты измерения излучение на ВТОрОЙ ГарМОНИКе,
мощности излучения при co=2Qe; круж- *^*1у ^пг^ X1" r r >
ки — результаты измерения Те по томсо-
новскому рассеянию
но и излучение в окрестно-
окрестности третьей гармоники цикло-
551

тронной частоты, которое при Г<С1 характеризуется более резкой
зависимостью от электронной температуры: РжГТе~Т3е.
Следует отметить, что в некоторых режимах работы термоядер-
термоядерных установок имеется значительное количество быстрых электро-
электронов. Их излучение может маскировать излучение основной массы
частиц. В токамаках, например, средняя энергия группы быстрых
электронов составляет 0,1—2 МэВ. Излучение этой группы при
относительно низкой плотности плазмы пе<1013 см~3 делает не-
невозможной регистрацию излучения основной плазмы на электрон-
электронной циклотронной частоте и ее гармониках. В таких режимах излу-
излучение на гармониках циклотронной частоты можно использовать
для диагностики группы быстрых электронов. Наличие быстрых
электронов приводит также к возбуждению коллективных колеба-
колебаний плазмы и увеличению интенсивности излучения в области ре-
зонансов на плазменной и верхней гибридной частотах. Иногда
это излучение используют как качественный признак возникнове-
возникновения группы быстрых электронов.
2. ИНТЕРФЕРОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
2.1. Характеристики распространения волн в плазме [22, 23, 28,
29]. Интерферометрические методы используют для определения
параметров плазмы, влияющих на распространение электромаг-
электромагнитных волн. В СВЧ-диапазоне и в длинноволновой части оптиче-
оптического диапазона к этим параметрам относятся концентрация элек-
электронов и в некоторых случаях частота их столкновений с тяже-
тяжелыми частицами, а в коротковолновой части оптического диапазо-
диапазона— также и концентрация нейтральных атомов.
Распространение волн можно описать с помощью электрической
проницаемости плазмы. Для СВЧ-диапазона и длинноволновой ча-
части оптического диапазона она определяется электронной компо-
компонентой. В отсутствие магнитного поля при частоте столкновений,
много меньшей частоты поля, комплексная электрическая прони-
проницаемость дается формулой
B8)
где плазменная частота
2; B9)
критическая концентрация
tic=me®2/4ne2. C0)
При ve<Co) действительная часть электрической проницае-
проницаемости
8/=1—@2ре/@2=1—Пе/Пс C1)
определяет фазовую скорость ир и показатель преломления волн
в плазме N—c/up= "}/V, мнимая часть электрической проницае-
проницаемости
е" =—i (Ve/O)) СО2ре/а>2=—ivette/@ftc C2)
552

или проводимость о=те"/4л определяет коэффициент затухания
волн
a=(ve/c)(l—Ле/ЛсI'2. C3)
Поправки к формулам B8) и C1), связанные с тепловым движе-
движением, для поперечных волн в нерелятивистской плазме несущест-
несущественны. Формулы можно использовать и для плазмы в магнитном
поле, если электронная циклотронная частота много меньше ча-
частоты поля (?2е<Сш), или для волн, у которых электрическое поле
поляризовано параллельно магнитному полю в плазме. Как видно
из формул B8), C1), электрическая проницаемость е' положи-
положительна при частотах, больших плазменной:
СО>О)ре, Пе<.Пс. C4)
Эти неравенства являются условиями распространения волн
в плазме. При меньших частотах происходит отражение. В не-
неоднородной плазме условия отражения зависят от направления
распространения волн. Волны, распространяющиеся в направлении
градиента концентрации, отражаются от областей плазмы с пе=
=пс\ волны, распространяющиеся под углом 0 к градиенту, отра-
отражаются от областей с пе=пс cos20. При меньших концентрациях
лучевые траектории искажаются под влиянием рефракции. Для
того чтобы избежать эффектов, связанных с отражением и реф-
рефракционным искажением лучевых траекторий, интерферометриче-
ские измерения проводят обычно при концентрациях, существенно
меньших критической, когда электрическая проницаемость близка
к единице.
Интерферометрические методы основаны на измерениях фазы
волны, прошедшей через плазму. Ее связь с параметрами неодно-
неоднородной плазмы легко можно определить в приближении геометри-
геометрической оптики, применимом, когда длина волны много меньше ха-
характерного размера неоднородности плазмы:
Я=2яс/со<?. ' C5)
В этом приближении фазовый набег волны, прошедшей через
плазму:
где интегрирование ведется по всему пути волны в плазме. Раз-
Разность фаз волн, прошедшей через плазму и миновавшей ее:
И ПрИ
АФ/2я^-A/2) (пе/псI1К C8)
где ne = (l/t) \ nedx — средняя по пути зондирования ^концентрация
электронов; / — длина пути зондирования.
553

Таким образом, измерения фазового сдвига волны, прошедшей
через плазму, позволяют определить среднюю по пути зондирова-
зондирования концентрацию • плазмы. Диапазон частот, который можно
использовать для осуществления интерферометрических измерений
концентрации электронов, ограничен, с одной стороны, условием
распространения волн C4), а с другой — минимальным фазовым
сдвигом, который может быть измерен C8):
СОре < 0)< @ 2ре//2сЛфмин, C9)
ИЛИ
(здесь f — в герцах; пе — в обратных кубических сантиметрах;
/ — в сантиметрах). Для большинства видов лабораторной плазмы
эта область частот попадает в СВЧ- или инфракрасный диапазоны.
Для плотной плазмы (пе>1016-±-1017 см~3) может использоваться
область видимого спектра.
Оптическая интерферометрия может использоваться также
для определения концентрации атомов. Вклад атомных компонент
плазмы в электрическую проницаемость определяется соотноше-
соотношением*
где еа — добавка к электрической проницаемости, обусловленная
частицами сорта юг, nai — концентрация этих частиц на 1-м уровне;
fik — сила осциллятора, соответствующая переходу с (/-го на ^-уро-
^-уровень; (uth=Ek—Ei/П —частота этого перехода. Для большинства
атомов частоты переходов из основного состояния попадают
в ультрафиолетовую область спектра. Поэтому для видимой обла-
области сексом, и при условии, когда большая часть атомов находится
в основном состоянии,
где т]а — поляризуемость атома. Обычно поляризуемость составля-
составляет 10~~25—10~24 см3. Сопоставляя для этих значений вклад атомов
и электронов на одну частицу, найдем, что га/па для видимой
области спектра на один-два порядка меньше Se/fte~ 1//ге; с уве-
увеличением частоты влияние электронов уменьшается, так как
ее~1/со2. При степенях ионизации, при которых вклад электронов
в е не существен, фазовый сдвиг волны в плазме определяется
концентрацией атомов. При еа<С1
При сравнимом влиянии электронов и атомов фазовый сдвиг пред-
представляет собой сумму C8) и D2).
554

При более высоких частотах приближение D1) становится не*
применимым и надо пользоваться формулой D0). Вблизи резо-
резонанса co^cDzk резко выделяется слагаемое, соответствующее резо-
резонансному переходу. При малом отклонении от резонанса следует
пользоваться соотношением, учитывающим ширину линии пере-
перехода:
где yik=\/xik — ширина линии; хт — время жизни уровня. Для
уровней, соответствующих разрешенным переходам, т=10~8-^
10~10 с, для переходов из метастабильных состояний т=10~4-^
10~6 с. В этой области электрическая проницаемость испытывает
аномальную дисперсию. Максимальное значение еа оказывается
больше 8а вдали от резонанса в сот раз (на 6—10 порядков). По-
Поэтому удается намного повысить чувствительность определения
концентрации nai вблизи резонанса.
Остановимся теперь на ограничениях, связанных с условиями
отсутствия существенных нелинейных эффектов и возмущений
плазмы при зондировании. Обычно основную роль играют эффек-
эффекты, вызываемые воздействием зондирующей волны на электронную
компоненту. Условие малости нелинейных эффектов взаимодейст-
взаимодействия зондирующей волны с плазмой сводится чаще всего к требова-
требованию, чтобы колебательная скорость электронов в поле волны была
много меньше тепловой. Это условие можно представить в виде
Т ~~> fiOPT (А4Л
где S — плотность потока энергии зондирующей волны в плазме,
Вт/см2; f—в гигагерцах; Те— в электронвольтах. Возмущение
плазмы полем волны определяется мощностью, вводимой в элек*
тронную компоненту: Р=A/2)оЕ2 [см. C2)]. Условие малого на-
нагрева электронов под действием этой мощности ДГе<сГе можно
привести к виду
SS*/ D5)
где Sc определяется равенством D4); хе— энергетическое время
жизни. При импульсном зондировании, когда длительность им-
импульса т<тя, в формуле D5) следует, очевидно, заменить Хе ве-
величиной т. Обычно v</tE>l и условие D5) оказывается более же-
жестким, чем D4). С помощью формул D4) и D5) нетрудно убе-
убедиться, что даже для наиболее длинноволнового СВЧ-диапазона,
используемого при интерферометрических измерениях, значения
Sc достаточно велики (во всех случаях Sc>0,l Вт/см2) и условие
малых возмущений легко выполняется.
Ниже рассмотрены способы осуществления интерферометричё-
ских измерений в различных, частотных диапазонах.
2.2. Сверхвысокочастотное зондирование плазмы [7, 22, 23].
Для зондирования плазмы направленными волнами необходимо^
555

чтобы длина волны излучения была много меньше размеров плаз-
плазмы. Это требование обычно совпадает с условием применимости
геометрической оптики C5). Оно совместимо с условием распро-
распространения волн C4), если выполняется неравенство
Ь>2ъс/ир = (ътвсЧе*пвI/2 ^3-106/г~1/2, D6)
где L — в сантиметрах; пе — в обратных кубических сантиметрах.
Диапазон концентраций электронов при использовании СВЧ-
интерферометрии ограничен сверху условиями распространения
волн C4) и отсутствия сильных рефракционных искажений траек-
траектории. Обычно ее используют при
яе<0,2/гс=2,5-109/2. D7)
В то же время концентрация ограничивается минимальным значе-
значением фазового сдвига, который может быть измерен. В соответст-
соответствии с C8) и C9)
(здесь / — в гигагерцах).
Зондирование плазмы направленными СВЧ-волнами с исполь-
использованием миллиметровых и субмиллиметровых волн получило ши-
широкое распространение в экспериментах с плазмой больших разме-
размеров. В квазистационарных термоядерных установках, в которых
с большим запасом выполняется неравенство D6), интерфероме-
трическая СВЧ-диагностика стала основным методом определения
концентрации электронов. В качестве генераторов в этих экспери-
экспериментах главным образом использовались электронные генерато-
генераторы— клистроны и лампы обратной волны, в качестве приемни-
приемников — кристаллические и полупроводниковые детекторы. Канали-
Канализация волн в миллиметровой области осуществлялась с помощью
волноводов, излучение — с помощью волноводных антенн. В суб-
субмиллиметровой области использовалась так называемая квазиопти-
квазиоптическая техника канализации с линзами и зеркалами, размеры ко-
которых всего на порядок больше длины волны. Наряду с электрон-
электронными генераторами в этой области применялись HCN-лазеры (Х=
=339 мкм).
Рассмотрим работу простейшего СВЧ-интерферометра
(рис. 14). Сигнал от генератора в этой схеме разветвляется на два
канала — плечо, в которое включена плазма, и плечо сравнения.
Интерференционный сигнал получается в результате суперпозиции
волны, прошедшей через плазму, и опорной волны. Изменение во
времени продетектированного интерференционного сигнала опре-
определяется изменением фазы волны, прошедшей через плазму. На
рис. 15 приведена типичная осциллограмма продетектированного
сигнала, полученная при зондировании плазмы импульсного раз-
разряда. В период разряда и в начальной стадии распада плазмы
концентрация электронов больше критической, и сигнал не прохо-
проходит через плазму. После-прекращения «отсечки» сигнала наблю-
556

дается интерференционная кривая, соответствующая плавному
уменьшению концентрации при распаде плазмы. Переход от макси-
максимума к минимуму соответствует изменению фазы на я. По этим
данным можно построить изменение концентрации во времени.
В таком простейшем интерферометре диапазон изменения фа-
фазового сдвига невелик. Погрешность его определения обычно не
Рис. 14. Схема простейшего СВЧ-интерферометра для зондирования плазмы:
/ — клистронный генератор; 2 — аттенюатор; 3 — двойной тройник; 4 — согласованный по-
поглотитель; 5 — фазовращатель; 6 — рупорная антенна; 7 — исследуемая плазма; 8 — детек-
детекторная головка; 9 — осциллограф
менее 20—30°. Максимальный сдвиг ограничен сложностью «под-
«подсчета» максимумов и минимумов. Трудно определить и знак изме-
изменения фазы. К настоящему времени предложено большое число со-
совершенных фазометрических схем (см., например, [23, 31]).
В* частности, при усовершенствовании регистрирующего устройст-
устройства были достигнуты минимальные значения измеряемых фаз
Рис. 15. Осциллограмма интерференционного сигнала, полученная при зондиро-
зондировании плазмы импульсного разряда [30] (/«36 ГГц, метки через 100 мкс)
Аф«1°. Однако диапазон изменения фазы оставался при этом
малым.
Наибольшее (распространение получили схемы, позволяющие
непосредственно регистрировать изменение фазы во времени. Оста-
Остановимся кратко лишь ца первой такой схеме, предложенной Уорто-
ном [23] и широко применяющейся до сих пор. В этой схеме при-
применена периодическая модуляция фазы опорной волны, которая
557

достигается путем превращения малой модуляции частоты в моду-
модуляцию фазы в длинной волноводной линии. Модуляция частоты
осуществляется пилообразным изменением напряжения на отража-
отражателе клистронного генератора с периодом изменения, меньшим ха-
характерного времени изменения параметров плазмы. То же напря-
напряжение подается на вертикальные пластины электронно-лучевой
трубки осциллографа. Электронный луч в трубке обычно заперт и
отпирается короткими импульсами в момент минимума интерфе-
Рис. 16. Результаты измерения концентрации с помощью интерферометра Уор-
тона на токамаке «Туман-2А» [32]:
f»130 ГГц; /==16 см; расстояние между линиями соответствует изменению концентрации
7*1012 см-3; время развертки 10 мс
ренционного сигнала. Таким образом, вертикальное положение то-
точек определяет фазу в соответствующие моменты. Совокупность
точек дает кривые изменения фазы, отстоящие друг от друга* на
2я. Типичная осциллограмма изменения фазы, по которой можно
найти изменение концентрации, приведена на рис. 16.
Применение интерферометрической методики позволяет опре-
определить среднюю по пути зондирования концентрацию электронов
C8). Для того чтобы получить данные о радиальном профиле
концентрации в цилиндрическом плазменном шнуре, можно исполь-
использовать зондирование по нескольким хордам [4]. Фазовый сдвиг
волны, прошедшей по хорде через цилиндрически-симметричную
плазму, связан с радиальным профилем концентрации соотноше-
соотношением
= -?¦ J ne(V^T?~)dx, D8)
о
где q — прицельное расстояние (см. рис. 1). По результатам изме-
измерений Аф(^) с помощью интегрального преобразования Абеля
можно найти пе(г):
„•(r\— nQ
¦ МО— n2
5S8

Следует, правда, заметить, что точность определения профиля при
этом невелика и существенно зависит от числа точек q^ и от фор-
формы профиля [4]. Интегральный характер исходных данных D8)
приводит, как уже отмечалось, к «замазыванию» резких неодно-
родностей на профиле, если они есть.
Полезным дополнением к интерферометрической методике опре-
определения пе с помощью проходящих через плазму волн может слу-
служить фазовая локация плазмы [22, 33]. Этот метод основан на
том, что волны в плазме отражаются от области с известной кон-
концентрацией — при зондировании в направлении градиента кон-
концентрации от области с пе=пс, а под углом к градиенту от обла-
области С ne=ncCOS2Q. ПОЭТОМУ, ЗОНДИруЯ ПЛаЗМу ПрИ @<@ремакс, МрЖНО
определить положение области с заданной концентрацией. Для
этого достаточно измерить фазовый сдвиг между падающей и отра-
отраженной волнами. Этот сдвиг при зондировании в направлении гра-
градиента концентрации равен
с
Он состоит из сдвига при распространении волны до отражающей
области (от 0 до 1С) и обратно и фазового сдвига при отражении
(как показывает решение волнового уравнения, этот сдвиг равен
—я/2). Определяя изменение Аф, можно изучать движение отра-
отражающей границы плазмы. Для определения профиля пе можно
провести измерения Аф при различных частотах, соответствующих
разным значениям. яс и 1С. По этим измерениям нетрудно восста-
восстановить пе(г), если число точек по частоте достаточно.
Данные о концентрации электронов и ее профиле можно полу-
получить также по рефракционному отклонению волн при зондирова-
зондировании цилиндрической плазмы по хорде [34]. Метод, учитывающий
дифракционные эффекты, был развит для определения профиля
концентрации электронов при длине волны, сравнимой с радиусом
плазмы [35].
-Наконец, следует упомянуть простейший метод оценки концент-
концентрации электронов по «отсечке» сигнала, проходящего через плаз-
плазму. Он основан на том, что волна перестает проходить через плаз-
плазму и отражается, когда максимальная концентрация достигает
пс. Однако во многих случаях реальная отсечка происходит при
Пе<пс из-за рефракционного рассеяния волны. Поэтому метод
отсечки применяют лишь для грубой оценки максимальной кон-
концентрации электронов.
Как уже отмечалось, для интерференционных измерений кон-
концентрации электронов с помощью СВЧ-волн можно применять мил-
миллиметровые и субмиллиметровые волны. Для частот в диапазоне
30—1000 ГГц область измеряемых концентраций находится в пре-
пределах 1011 —1015 см~3 [22, 23]. Расширение этой области требует
использования волн других диапазонов частот и применения дру-
других методов.
559

2.3. Резонаторный и волноводный методы [22, 36]. Выше отме-
отмечалось, чго зондирование плазмы направленными СВЧ-волнами
применимо при исследовании плазмы больших размеров и при
достаточно больших концентрациях электронов [см. D6)]. В экс-
экспериментах с лабораторной плазмой относительно малых размеров
применяют резонаторный или волноводный СВЧ-методы, которые
можно считать разновидностью интерферометрических. При этом
поперечные размеры плазмы ограничены размерами резонатора
или волновода, внутрь которого помещается баллон с плазмой,
и обычно L<A,. Соответственно условие применимости резонатор-
ного и волноводного методов противоположно D6).
Большое распространение получил резонаторный метод. Он ос-
основан на измерении характеристик резонанса, заполненного плаз-
плазмой. Введение плазмы в резонатор, настроенный в резонанс на
одну из собственных частот, приводит к изменению резонансной
частоты и добротности. Изменение определяется электрической
проницаемостью плазмы и связанными с нею концентрацией и
частотой столкновений электронов. Наиболее просто эта связь
выражается в первом приближении теории возмущений, которая
обычно применима [22]. В отсутствие магнитного поля при v<Cco
она приводит к соотношениям
где До> — сдвиг резонансной частоты; Vp — объем плазмы в резо-
резонаторе; Ус —объем резонатора; A(l/Q) —изменение обратной до-
добротности резонатора при введении плазмы; величины пе и ve
усреднены по объему резонатора; Су и By — коэффициенты формы,
определяющиеся невозмущенным распределением пЪля в резона-
резонаторе и распределением пе и ve по объему плазмы:
ne\E\ndV
bdVS^|2rfV E1)
| Е | W
Таким образом, сдвиг частоты резонатора пропорционален сред-
средней по области взаимодействия концентрации электронов. Мини-
Минимальное значение концентрации, которое может быть измерено по
сдвигу частоты, определяется добротностью резонатора; поскольку
то
где Ьа>=0,1-ч-0,3 зависит от способа измерения; добротность
обычно находится в пределах 100—1000. Максимальная концент-
560

рация определяется областью применимости теории возмущений.
Для типов колебаний, при которых E_Lgradtt, она ограничена
условием Ag)<Ccd и составляет A —Щпс, для других типов колеба-
колебаний она равна обычно @,1—0,3)пс.
Наиболее часто применяющийся способ ввода цилиндрического
баллона с плазмой в цилиндрический резонатор представлен на
рис. 17,а. Обычно в резонаторе возбуждается мода ?Ою, при этом
электрическое поле параллельно оси резонатора и практически
однородно, поэтому коэффициент Су^Л. Плазма вводится через
Рис. 17. Способы ввода плаз-
мы в резонатор (а) и в волно-
вод (б)
1 — плазма; 2 — резонатор; 3, 4 —
волновод
отверстие в торцах и может перемещаться вдоль оси. При этом
оказывается возможным измерение продольного распределения
плотности. Резонаторный метод использовался в диапазоне длин
волн 3—30 см, диапазон измеряемых концентраций составлял
К)?—1012 см-3.
В некоторых экспериментах для диагностики плазмы были
использованы открытые цилиндрические и бочкообразные резона-
резонаторы [37, 38]. Они имеют ряд преимуществ по сравнению с «закры-
«закрытыми» резонаторами. Во-первых, существенно облегчается «при-
«приспособление» резонатора к плазме — его можно просто надеть на
диэлектрический баллон с плазмой. Во-вторых, в связи с разре-
разреженностью спектра собственных частот открытого резонатора его
размеры могут быть больше длины волны; соответственно расши-
расширяется область применения метода. В-третьих, возможно одновре-
одновременное возбуждение колебаний нескольких типов с существенно
различным распределением поля. Сопоставление соответствующих
сдвигов частоты дает информацию о радиальном профиле кон-
концентрации электронов.
При исследовании плазмы в длинных цилиндрических балло-
баллонах может оказаться полезным волноводный метод. Баллон с
плазмой помещают в волновод так, чтобы их оси почти совпадали
(рис. 17,6). При этом фазовый сдвиг волны, прошедшей через вол-
волновод с плазмой, определяется средней концентрацией электронов,
а ее затухание — частотой столкновений. Связь фазового сдвига
с концентрацией при Ve<co дается соотношением, аналогичным
C8):
36—3283
561

где Cf — коэффициент формы порядка единицы; Xg — длина волны
в волноводе; пе — концентрация электронов, усредненная по объе-
объему плазмы в волноводе; 1Р — длина волновода с плазмой; Fp — пло-
площадь сечения плазмы; /^ — площадь сечения волновода.
Волноводный метод приводит к усреднению концентрации не
только по сечению, но и по длине баллона. Это обстоятельство,
так же как и трудность введения баллона с плазмой в волновод,
привело к меньшему распространению волноводного метода по
сравнению с резонаторным.
2.4. Оптическая интерферометрия [28, 29]. Оптическая интер-
интерферометрия позволяет определить концентрацию электронов и
атомов в плотной плазме. В соответствии с C8) и D2) вдали от
резонансных линий фазовый сдвиг волны, прошедшей через плаз-
плазму, определяется формулой
Д<р/2* = — {е212птес2Iге1Х-{-2щагГа11х, E3)
где пе, па — усредненные по пути зондирования концентрации;
г]а=10~25-^10~24 см3 — поляризуемость атомов. Для видимой обла-
области (А,=0,5 мкм) минимальные концентрации электронов и атомов,
которые могут быть измерены, равны соответственно
—-g—^ —
Аумин_ !()"-¦- 10
2^ — -2^-~ J ^Г
(/г —в обратных кубических сантиметрах; / и X — в сантиметрах).
При обычных схемах интерферометров ДфМин/2я^0,1; (/ге/)Мин^
^5-1017 см~2; (/га/)мин=1019-^-1020 см~2. При этом с уменьшением
длины волны растет вклад атомной компоненты в фазовый сдвиг,
вызываемый плазмой.
Оптическую интерферометрию используют для исследования
электрических разрядов высокого давления, лазерных разрядов, в
экспериментах по лазерному термоядерному синтезу, в опытах с
пинч-разрядами. Применялись многие из разработанных схем
оптических интерферометров: Майкельсона, Маха — Цендера,
Рождественского и др. Источниками излучения в большинстве
опытов служили рубиновые или неодимовые лазеры с модулиро-
модулированной добротностью или стационарные гелий-неоновые лазеры.
Использовались два способа регистрации интерференционного сиг-
сигнала — фотографический и фотоэлектрический.
На рис. 18 представлена одна из схем интерферометрических
измерений — схема интерферометра Маха — Цендера. Интерферо-
Интерферометр позволяет получить интерференционную картину сигнала,
прошедшего через плазму. Типичная интерферограмма плазменно-
плазменного образования приведена на рис. 19. Это зафиксированная фото-
фотографически интерференционная картина, соответствующая момен-
562

ту включения лазера. С ее помощью находят распределение
фазового сдвига луча, прошедшего через плазму, в плоскости,
перпендикулярной направлению просвечивания. Поскольку фазо-
фазовый сдвиг пропорционален концентрации электронов, усредненной
по направлению луча, интерферограмма позволяет получить сведе-
сведения о пространственном распределении концентрации электронов.
:
Рис. 18. Схема интерферометра Маха — Цендера:
/ — источник излучения; 2 — полупрозрачная пластина; 3 — зеркало; 4 — приемник
излучения
При цилиндрической симметрии оно определяется с помощью пре-
преобразования Абеля.
При фотоэлектрической регистрации на выходе интерферомет-
интерферометра помещают диафрагму, выделяющую часть интерференционной
полосы, и за ней фотоэлектрический приемник. В этом случае при
Рис. 19. Интерферограммы лазерной искры в воздухе [39] при Я=0,6943 мкм
(а) и ^=0,3471 мкм (б)
длительно работающем источнике излучения (лазер, работающий
в непрерывном или импульсном режиме) можно следить за изме-
изменением во времени фазового сдвига и соответственно концентра-
концентрации. Для получения сведений о пространственном распределении
концентрации при этом следует, очевидно, перемещать зондирую-
зондирующий луч или использовать несколько лучей.
Поскольку при использовании оптической интерферометрии ми-
минимальная концентрация электронов E4) довольно велика, су-
существенной методической задачей является повышение чувстви-
чувствительности измерений фазового сдвига. Предложены различные
36* 563

способы повышения чувствительности. Один из них основан на
многократном прохождении луча через плазму, что приводит к
соответствующему увеличению длины пути луча в плазме. Этого
можно достичь, помещая плазму между полупрозрачными зеркала-
зеркалами. При наклонном падении луча удается выделить на выходе све-
световые пучки, прошедшие через плазму несколько раз. В другом
варианте плазму помещают между строго параллельными зерка-
зеркалами. При этом плазма оказывается в резонаторе Фабри — Перо.
Точность отсчета сдвига фаз возрастает пропорционально его
добротности.
-Z/
-г—/7
Рис. 20. Схемы трехзеркальных лазерных интерферометров [40]:
фотоприемник; 2, 4, 6 — зеркала; 3 — гелий-неоновый лазер; 5 — исследуемая плазма
Интересная схема трехзеркального интерферометра представ-
представлена на рис. 20,а. В ней к резонатору гелий-неонового лазера,
образованному сферическим и плоским зеркалами, добавлен еще
один резонатор с помощью третьего зеркала. В этот дополнитель-
дополнительный резонатор помещают исследуемую плазму. При условиях резо-
резонанса в нем коэффициент отражения резко падает, соответственно
уменьшается и интенсивность излучения лазера. Минимумы интен-
интенсивности наблюдаются при определенной оптической длине резо-
резонатора с плазмой. При изменении концентрации плазмы измене-
изменение фазового набега в плазме между * соседними минимумами
составляет я. Плазму можно поместить и непосредственно в резо-
резонатор гелий-неонового лазера (рис. 20,6). Во всех упомянутых ва-
вариантах удается получить существенное увеличение чувствительно-
чувствительности измерений фазового сдвига (ДфМин^Зч-5°).
Другой способ увеличения чувствительности измерения кон-
концентрации электронов состоит в увеличении длины волны зонди-
зондирующего излучения — в соответствии с E3) вклад электронной
компоненты в Дф пропорционален Я. При использовании СО2-лазе-
ра (Я=10,6 мкм) чувствительность возрастает более чем на поря-
порядок. Этот переход сопряжен с трудностями создания нужных оп-
оптических материалов и регистрирующих сред, которые в последнее
время успешно преодолеваются. Одна из возможностей связана с
использованием инфракрасного излучения гелий-неонового лазера
с я=3,39 мкм в схеме, показанной на рис. 20,а [40]. Поскольку
модуляция интенсивности такого излучения сопровождается моду-
564

ляцией интенсивности излучения видимого диапазона, можно сле-
следить за интенсивностью лазерного излучения в видимой области.
В тех случаях, когда вклады электронной и атомной компонент
в суммарный фазовый сдвиг E3) сравнимы, для их разделения
можно использовать двухдлинноволновую интерферометрию. Раз-
Различная зависимость электронного и атомного вкладов в Аф от X
E3) позволяет по данным измерений на двух существенно различ-
различных частотах определить пе и па. Для таких измерений использо-
использовалось излучение лазера на основной частоте и второй гармонике
(см. рис. 19).
Для определения концентрации одной из атомных компонент
применяют так называемую резонансную интерферометрию при
частоте, близкой к частоте поглощения атомов. Как отмечалось,
вблизи резонанса электрическая проницаемость плазмы резко воз-
возрастает. Соответственно увеличивается чувствительность регистра-
регистрации атомов по фазовому сдвигу — максимальный фазовый сдвиг
вблизи резонансной линии, соответствующей переходу атомов сор-
сорта а из состояния k в состояние /, равен в соответствии с D3)
(АФ/2я) res= (e2fikrik/2cme) nakl, E6)
где fik — сила осциллятора; %ik — время жизни. Он получается при
смещении длины волны относительно резонансной, меньшем
ЯДот/fe. Для разрешенных переходов при т=10~8-^-10~9 с чувстви-
чувствительность определения концентрации с помощью резонансной ин-
интерферометрии
_о 1П2 1 ДУмин _ Ю^-г-Ю11 Аумин /г7ч
Разумеется, чтобы получить предельную чувствительность, надо
зондировать плазму излучением с шириной линии, меньшей АХ.
В методе резонансной интерферометрии удобно использовать пере-
перестраиваемые лазеры на красителях, которые позволяют плавно
изменять частоту генерации и имеют узкую линию. Поскольку та-
такие лазеры созданы пока только для видимой области, их удается
использовать для определения концентрации атомов с переходами,
лежащими в этой области. В основном состоянии это легкоиони-
зуемые атомы цезия, калия, лития. Соответственно резонансная
интерферометрия с лазерными источниками использовалась для
определения концентрации этих атомов, а также возбужденных
атомов водорода, гелия, неона.
Для определения концентрации атомов можно использовать на-
наряду с резонансной интерферометрией метод, основанный на по-
поглощении резонансного излучения плазмой (его обычно относят
к абсорбционной спектроскопии). Поглощение в окрестности резо-
резонансной линии определяется следующей формулой для оптиче-
оптической толщины
c=(e2flkbk!cme)Hakl, E8)
565

где а — коэффициент поглощения. Из этой формулы видно, что
чувствительность абсорбционного метода в резонансе близка к
чувствительности резонансной интерферометрии. В ряде опытов
метод применялся для определения концентрации атомов водоро-
водорода, гелия, аргона и других элементов. Однако поскольку абсорб-
абсорбционный метод требует измерения интенсивности зондирующего
излучения, он оказывается менее точным и имеет меньший дина-
динамический диапазон, чем интерферометрические измерения.
2.5. Голографические методы [28, 41]. Возможности оптической
интерферометрии существенно возрастают при использовании го-
Рис. 21. Схема получения
голограммы (а) и восста-
восстановления ее волнового
фронта (б)
лографических методов регистрации интерферограмм. Обычная
схема получения голограмм представлена на рис. 21,а: луч v соот-
соответствует волне, прошедшей через исследуемый объект (ее назы-
называют предметной); луч и, проходящий мимо объекта, соответст-
соответствует гак называемой опорной волне. На фотопластинке регистри-
регистрируются результаты интерференции этих лучей — голограмма (Г).
Пропускание ее после проявления однозначно (обычно линейно)
связано с экспозицией, т. е. с интерференционной структурой. При
восстановлении голограммы она снова освещается опорной волной,
источник которой располагается так же, как и при записи
(рис. 21,6). Нетрудно показать, что при линейной зависимости
пропускания от экспозиции восстановление приводит к появлению
по другую сторону от источника трех волн. Первая распростра-
распространяется в направлении опорной волны (волна нулевого порядка).
Вторая (волна первого порядка, w+\) эквивалентна исходной пред-
предметной волне, т. е. дает то же амплитудно-фазовое распределение;
эта волна образует мнимое изображение предмета в том месте, где
он находился при записи голограммы. Наконец, третья волна (по-
(порядка—1, ш-i) также определяется предметной, но распростра-
распространяется по другую сторону от волны нулевого порядка и образует
действительное изображение предмета, имеющее обратный (вывер-
(вывернутый) рельеф. При нелинейности, связанной с зависимостью све-
566

точувствительности материала от экспозиции, возникают и волны
более высоких порядков.
Поскольку голограмма дает информацию о фазе исходной пред-
предметной волны, ее можно использовать для интерференционных
измерений вместо самого объекта. Это открывает интересные воз^
можности для голографическои интерферометрии, в частности для
голографическои интерферометрии^ плазмы [42, 43]. Назовем не-
некоторые из них. Очевидная возможность состоит в замене интер-
ферометрических измерений импульсного плазменного объекта
интерферометрическими измерениями волны, прошедшей через
голограмму. Поэтому, получив голограмму или серию голограмм
плазмы для разных моментов времени, можно затем выбрать оп-
оптимальные условия интерференционных измерений и реализовать
их. В принципе, с помощью одной голограммы можно восстановить
световые волны, прошедшие через плазму под разными углами в
пределах телесного угла, в котором проводилось облучение при
получении голограммы. Для того чтобы увеличить телесный угол
при получении голограммы, используют рассеиватели или дифрак-
дифракционные решетки. Интерференционные измерения под разными
углами позволяют получить более полную информацию о прост-
пространственном распределении концентрации, в частности с помощью
численного решения интегральных уравнений найти пространствен-
пространственное распределение концентрации электронов в неосесимметричной
плазме.
Наиболее широкое применение в голографическои интерферо-
интерферометрии плазмы получил метод двух экспозиций. При его реализа-
реализации на одну и ту же фотопластинку записывают две голограммы,
соответствующие двум состояниям объекта, обычно двум момен-
моментам времени, чаще всего моменту до появления плазмы и задан-
заданному моменту плазменного эксперимента. Одновременно восста-
восстанавливаясь, голограммы дают интерференционный сигнал двух
волн, распространяющихся через исследуемый объект в разные
моменты времени. Он определяется, очевидно, лишь изменениями,
происшедшими за выделенный промежуток времени. При этом
исключаются помехи и искажения, остающиеся постоянными, в
результате существенно снижаются требования к качеству опти-
оптических деталей, оказывается возможным изучение плазмы в бал-
баллонах с оптически несовершенными окнами и исследование плаз-
плазменных объектов больших размеров (при которых трудно добиться
хорошей оптической юстировки). Эти преимущества существенно
расширяют область применения голографическои интерферометрии
по сравнению с обычной оптической интерферометрией.
Методами двухэкспозиционной голографии исследовались раз-
различные виды плотной плазмы: 0- и Z-пинчи, импульсные дуговые
разряды, лазерные разряды и т. д. Голограмма позволяет в соот-
соответствии с E3) определять концентрации электронов и атомов и
получать сведения об их пространственном распределении для
фиксированного момента времени. Чтобы найти временную зависи-
зависимость концентрации, необходимо иметь серию сдвинутых по вре-
567

мени голограмм. Их получают, используя несколько просвечиваю-
просвечивающих плазму лазеров или изменяя момент включения лазера в
повторяющихся разрядах. При малых длительностях импульса
(при исследовании лазерной искры, например) используют оптиче-
оптические линии задержки.
1
7 Ю
Рис. 22. Схема установки для получе
ния киноголограмм лазерной искры
[44] (а — вид сверху; б — вид сбоку):
/ — голограмма; 2 — стеклянный фильтр; 3 —
стеклянный клин; 4 — линзы; 5 — лазерная
искра; 6 — частично алюминированный клип;
7 — оптические клинья; 8, 10 — полупрозрач-
полупрозрачные зеркала; 9 — рубиновый лазер
развития [44]
Рис. 23. Голографические
Чувствительность измерений - ^H
концентрации, как и в обычной
интерферометрии, определяется
соотношениями E4), E5), в кото-
которых Афмин имеет тот же порядок величины. Для увеличения чувст-
чувствительности можно использовать многократное прохождение излу-
излучения через плазму аналогично тому, как это делается в обычной
интерферометрии. Предложены и специфические методы увеличе-
увеличения чувствительности, основанные на использовании волн высоких
568

порядков при нелинейной записи. Для увеличения чувствительно-
чувствительности голограмм к концентрации электронов выгодно переходить к
более длинным волнам [см. E3)]. В связи с этим исследуется
возможность осуществления голографической регистрации в инфра-
инфракрасном диапазоне с помощью СО2-лазера. Главная трудность в
этой области связана с разработкой регистрирующего материала.
В тех случаях, когда вклады электронной и атомной компонент
в интерференционный сигнал сравнимы, используются, как и в
обычной интерферометрии, двухдлинноволновые схемы. Двухдлин-
новолновую голограмму можно записывать, просвечивая плазму
одновременно двумя волнами: излучением основной частоты и вто-
второй гармоникой излучения лазера. Нетрудно убедиться, что, вос-
восстанавливая такие голограммы с помощью одной опорной волны,
можно получить разделенные в пространстве изображения, соот-
соответствующие двум длинам волн. Подобные схемы успешно приме-
применяли для изучения лазерной искры, лазерного факела, взрываю-
взрывающихся проволочек и других объектов. Для выделения концентра-
концентрации нейтральных атомов с малым потенциалом возбуждения мож-
можно применять резонансную голографию, используя просвечивание
плазмы излучением перестраиваемого лазера при частоте, близкой
к частоте линии поглощения атомов. Такая методика была исполь-
использована для определения концентрации атомов цезия.
В качестве примера остановимся на одном из экспериментов
по голографической интерферометрии лазерной искры (рис. 22).
Лазерная искра образуется при фокусировании излучения импульс-
импульсного рубинового лазера с модулированной добротностью. Часть
мощности лазерного излучения, прошедшего через область фокуса
до возникновения лазерной искры, используется для получения
голограмм. Световой пучок направляют на исследуемую область
с помощью системы из двух зеркал. Выходящие из полупрозрач-
полупрозрачного зеркала пучки задержаны друг относительно друга на т—
= 2//с=42 не. Каждый из лучей разделяется клином на два луча,
сходящихся на голограмме под углом 1,5°. Голографические ин-
терферограммы получались методом двух экспозиций (одна — в
отсутствие разряда). На рис. 23 приведены восстановленные интер-
ферограммы для пяти последовательных моментов развития ла-
лазерной искры. Они позволяют проанализировать процесс форми-
формирования искры, сопровождающийся ионизацией и образованием
ударной волны.
3. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА РАССЕЯНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ
3.1. Некоторые характеристики рассеяния волн {23, 29, 45]. Под действием
поля электромагнитной волны электроны плазмы колеблются и излучают во
всех направлениях. Это излучение и создает эффект рассеяния. Рассеяние на
отдельных электронах при условиях, когда энергия кванта много меньше энер-
энергии покоя электрона, получило название томсоновского. Классическая теория
томсоновского рассеяния приводит к следующим формулам для дифференциаль-
569

ного gt и полного st сечений рассеяния плоскополяризованной волны:
GT=r2o(l—sm2 Ф cos2)ф); E9)
С 8
sT= <нйЭ=-д-«г»0, F0)
где г20=е2/тес2 — классический радиус электрона; Ф — угол рассеяния; кр — угол,
определяющий поляризацию волны (рис. 24).
Изменение частоты излучения при рассеянии определяется эффектом Доп-
Доплера
F1)
где уе — вектор скорости электрона; Ak==ks—к* — изменение волнового вектора
при рассеянии:
A? = 2/esin (#/2) =2 (-со/с) sin @/2). F2)
Характер рассеяния электромагнитной волны в плазме определяется пара-
параметром
1 1_
as==Ak\D ~2k\D
F3)
При as<l плазменные эффекты несущественны, и интенсивность рассеяния на
отдельных электронах просто суммируется (некогерентное рассеяние). В этом
рассеибающий объем V
Рис. 24. Ориентация волновых векторов при рассеянии
случае мощность излучения, рассеянного в телесный угол dQ, dPs связана
с мощностью падающего излучения Pi соотношением
dPs=PineloTdQ, F4)
где / — длина рассеивающей области. Соответственно полная мощность рассеян-
рассеянного излучения определяется интегрированием F4) по Q:
Р р п /о /ПС\
rs—rxneibT. (Obj
Частотный спектр рассеянного излучения зависит от распределения скоро-
скоростей электронов; при максвелловском распределении он оказывается гауссовым:
daT
1/2
ехр
— (о0J
(о0J
F6)
570

Ширина спектра рассеянного излучения определяется при этом температурой
электронов: o\d=2?K 2Te/me sin(^/2). Формула F6) справедлива при не очень
больших электронных температурах Ге^0,5 кэВ. При более высоких темпера-
температурах учет релятивистских эффектов приводит к асимметричному изменению
формы спектра. В сильном магнитном поле частотный спектр рассеянного из-
излучения модулирован частотой Qe; глубина модуляции увеличивается с умень-
уменьшением Ak и vTe и становится значительной при Ak ц vTe<Qe(Ak ц—проекция
вектора Ak на направление магнитного поля В).
Ре
0,8
0,*
\
1
\
л
V
¦—^
i —
^\
л
д
0,5
1
Рис. 25. Электронная часть
спектра рассеяния излучения
плазмой (<5о>? = Ak V2Te/me)
О
Рис. 26. Ионная часть спект-
спектра рассеяния излучения
ПЛаЗМОЙ При ^ 1 (д
Когда as>\ [см. F3)], необходимо учитывать влияние на рассеяние волны
каждым электроном других заряженных частиц, находящихся в дебаевской
сфере (коллективное, или когерентное, рассеяние). В этом случае спектральная
плотность рассеяния определяется как электронами, так и ионами, и формула
для нее достаточно сложна. Не приводя ее здесь, отметим характерные осо-
особенности спектра когерентного рассеяния. Его можно представить как сумму
электронной (рис. 25) и ионной (рис. 26) компонент. С ростом as форма элек-
электронной части спектра изменяется от гауссовой, характеризующей некогерентное
рассеяние (при as=0), к двугорбой (максимумы смещены на частоту, равную
плазменной <дре, при as^>l). Форма ионной части спектра изменяется от гаус-
гауссовой при Te<Ti к двугорбой кривой при Те^>Тг\ в этом случае сдвиг между
максимумами определяется частотой ионно-звуковых колебаний. Отметим, что
полное сечение коллективного рассеяния отличается от томсоновского лишь чис-
числовым множителем порядка единицы.
Если в плазме под воздействием неустойчивостей возникают колебания,
уровень которых превышает уровень тепловых флуктуации, то эти колебания
и обусловливают когерентное рассеяние при fas>l. При таких условиях спект-
спектральная функция, входящая в выражение для сечения рассеяния, определяется
спектром флуктуации концентрации электронов:
&, Дю) = (<зт/2ппе) lim
ДГ-кю, У
kt A<o)n*e(Ak, Aco)>, F7)
571

где #е(Л&, До)—фурье-компонента ne(f, t). Поэтому форма спектра рассеяния
определяется спектром колебаний в плазме, а интегральная амплитуда рас-
рассеяния — средней квадратической флуктуацией плотности. Для гауссова спектра
флуктуации, например, можно получить
<STAn4L3 Г W2?2 $ (Д(ОJ12
ехР|sins--—j F8)
где т и L — время и длина корреляции флуктуации плотности. Видно, что при
L>X рассеяние в основном происходит на малые углы Ь<\К/пЬ, при L<A,
эффект рассеяния убывает пропорционально L3. Рассеяние наиболее эффективно
при L^k.
Приведенные выражения характеризуют рассеяние излучения при частотах,
много больших характерных плазменных частот, когда показатель преломления
близок к единице. Вблизи плазменных частот характеристики рассеяния суще-
существенно изменяются. Эффективность рассеяния сильно возрастает в области
так называемых резонансов, в которой резко увеличивается показатель прелом-
преломления и растет амплитуда поля волны. Как показал теоретический анализ [46],
сечение рассеяния в области гибридных резонансов увеличивается для типич-
типичных условий на несколько порядков. Одновременно расширяется спектр рас-
рассеянного излучения вследствие замедления волны в области рассеяния (для
ионной части, например, Дсо^/г^тО-
3.2. Диагностика, основанная на рассеянии света электронами [7, 28, 29, 45].
Опыты по рассеянию излучения на электронах и тепловых флуктуациях плазмы
позволяют в принципе получить локальную информацию о параметрах плазмы
в области рассеяния. В частности, некогерентное рассеяние на электронах дает
метод локального определения температуры и концентрации электронов. Тем-
Температуру можно узнать по ширине спектра рассеяния. В соответствии с F6)
при не очень высоких температурах Ге<500 эВ ширина спектра, определенная
по уровню половинной мощности, равна
/81п2.ГЛ1/2 ь ь
) sin —^3,3-io-3^sin_ F9)
(Те — в электронвольтах). Концентрация в соответствии с F5) зависит от от-
отношения регистрируемой мощности рассеянного излучения к мощности падаю-
падающего излучения:
/
0-26пеШ G0)
(пе — в обратных кубических сантиметрах; / — в сантиметрах; AQ — телесный
угол, охватываемый приемным устройством).
Осуществление экспериментов по рассеянию сопряжено с необходимостью
фокусировки излучения в малой области плазмы, регистрации слабого рас-
рассеянного сигнала, разрешения частотного спектра рассеяния. Остановимся на
основных критериях применения методов, основанных на использовании рас-
рассеяния. Малое значение сечения рассеяния приводит к существенным ограни-
ограничениям возможности регистрации рассеянного сигнала. Отношение мощности
рассеянного излучения к мощности падающего излучения в не очень плотной
плазме весьма мало (при яе—1012ч-1014 см~3, например, Р5/Рг=10-13ч-10-п).
С помощью формулы G0) нетрудно оценить минимальную концентрацию элек-
572

тронов, для которой спектр рассеянного излучения может быть зарегистрирован
с приемлемой точностью. Для видимой области спектра (X^OJ мкм) при обыч-
обычных характеристиках схемы регистрации и спектральной аппаратуры
G1}
где Ъх — числовой коэффициент порядка единицы, зависящий от характеристик
схемы регистрации; d — диаметр области рассеяния, см; W — энергия излучения
источника, Дж; Те — в электронвольтах; X — в сантиметрах.
Рис. 27. Диапазон концентраций элект-
электронов, в пределах которого применим-
метод рассеяния с использованием ру-
рубинового лазера:
/ — минимальная концентрация (W=5 Дж)г
2—максимальная концентрация (Р=106 Вт) г
3—линия ао-=1
W
Другое ограничение связано с собственным излучением плазмы в диапазоне
частот, в котором наблюдается рассеяние. Поскольку интенсивность тормозного
и рекомбинационного излучения растет пропорционально квадрату концентрации
электронов, а интенсивность рассеянного излучения увеличивается с концент-
концентрацией линейно, это ограничение определяет максимальную концентрацию, при
которой может быть зарегистрировано рассеяние. Сопоставление формулы F5)
с выражением для интенсивности тормозного излучения приводит к определе-
определению максимальной концентрации электронов. Для видимой области спектра
Пг макс ^ Ю116а {Ъ2 ]ГГе/(И'дЬ) Pt ^ \^Ь2Рг/й1\ G2)
где Pi — мощность источника излучения, Вт; V — глубина области излучения
плазмы, регистрируемой приемником (А,, I и /' — в сантиметрах); Ь? — коэффи-
коэффициент порядка единицы. Формула справедлива при Ге^>^<о, при более низких
температурах в формулу следует ввести множитель ехр (fbod/Te). Равенство G2)
определяет минимальную мощность источника излучения в опытах по рассеянию.
Ограничение мощности сверху обусловлено необходимостью предотвращения
нелинейных эффектов взаимодействия плазмы с излучением. При малых дли-
длительностях импульса излучения оно сводится к неравенству D4), которое мож-
можно представить в виде
Ге, G3)
где d — поперечный размер области фокусировки (d и X — в сантиметрах);
Pi — в ваттах; Те — в электронвольтах. Для видимой области спектра это не-
неравенство выполняется с большим запасом.
Ограничения, следующие из равенств G1), G2), иллюстрирует для Х=
=0,7 мкм рис. 27. Эти ограничения показывают, что регистрация рассеянного
излучения в разумном диапазоне параметров плазмы возможна лишь при до-
достаточно больших энергиях и мощностях источника излучения. Еще одним не-
необходимым требованием к источнику является высокая монохроматичность из-
излучения — ширина линии источника должна быть значительно меньше допле-
573

ровского уширения, сопровождающего рассеяние F9). Монохроматичность
должна, кроме того, обеспечить фокусировку излучения в экспериментах по
рассеянию. Очевидно, что названным требованиям удовлетворяют лишь лазер-
лазерные источники. Для работы при не очень больших концентрациях электронов
(яе=1012-4-1015 см-3) наиболее подходящим оказывается импульсный рубиновый
лазер с модулированной добротностью (Л=0,6943 мкм, (ДЯ^ЛО мкм, т=20-ч-
Рис. 28. Схема эксперимента по лазер-
лазерному рассеянию на токамаке Т-3 [47]:
1 — рубиновый лазер; 2 —плазма; 3 — рас-
рассеивающий объем; 4 — поглотитель рас-
рассеянного излучения; 5 — поглотитель лазер-
лазерного излучения; 6—система сканирования;
7 — спектрометр Эберта; 8 — 10-канальный*
волоконный световод; 9 — фотоумножитель;
10 — осциллограф
1234567
Номер канала
О 78 156 312 Ш
Рис. 29. Спектр рассеяния, по-
полученный в эксперименте на
токамаке Т-3 [47]:
экспериментальные точки получе-
получены при различных токах разряда
D0, 60, 85 кА); кривые — гауссов
профиль при указанных значе-
значениях Т'
50 не, №=3-f-10 Дж). Этот лазер использовался в большинстве опытов по
рассеянию.
Возможности определения параметров плазмы, связанные с основанной на
рассеянии диагностикой плазмы, зависят от параметра когерентности F3):
V Те
(>, — в сантиметрах, пе — в обратных кубических сантиметрах, Те — в электрон-
вольтах). Линия, соответствующая as=l, для Х=0,7 мкм и ф=90° приведена
на рис. 27, Режим некогерентного рассеяния получается при as<L Как видно
из рис. 27, для видимого диапазона рассеяние в области концентраций элек-
электронов, меньших 1015 см~3, оказывается некогерентным. Такой режим рассеяния
наиболее удобен для определения основных характеристик электронной ком-
компоненты— температуры по ширине спектра рассеяния F9) и концентрации по
мощности рассеяния G0).
Метод локального определения характеристик электронной компоненты
плазмы по рассеянию лазерного излучения получил за последнее время широ-
широкое распространение в исследованиях высокотемпературной плазмы. Он стал
основным методом определения профиля электронной температуры в различных
системах: токамаках, стеллараторах, пинч-разрядах. Этот метод нашел при-
574

менение и в мощных импульсных разрядах, плазменных струях, дуговых раз-
разрядах и т. п.
Типичная схема эксперимента по рассеянию в токамаке приведена на
рис. 28. В качестве источника использовался рубиновый лазер с энергией излу-
излучения 5 Дж и длительностью импульса 25 не. Сигнал, рассеянный под углом
90°, принимался из области плазмы
объемом 0,1 см3. Оптическая система из
линз и призм направляла сигнал на
спектрометр. С помощью волоконной
оптики мощность рассеянного излучения
для 10 частотных диапазонов направля-
направлялась к фотоумножителям. Таким обра-
образом, в течение импульса лазерного из-
излучения регистрировался спектр рас-
рассеянного сигнала. Пример спектра пред-
представлен на рис. 29*. Видно, что он бли-
близок к гауссову. По ширине спектра
определяли электронную температуру с
помощью формулы F9). Данные о ра-
радиальном распределении температуры
получали из измерений спектрального
профиля рассеянного сигнала при пере-
перемещении точки рассеяния по радиусу.
Для абсолютных измерений концентра-
концентрации по мощности рассеяния G0) необ-
необходима градуировка регистрирующей
аппаратуры. Ее обычно проводят по
интенсивности рэлеевского рассеяния на
атомах газа, специально напускаемого
в камеру перед экспериментом по том-
соновскому рассеянию.
В обычно используемых схемах мно-
многоканальной регистрации некогерентного
50'
Рис. 30. Результаты измерений про-
профилей электронной температуры и
рассеяния света импульсной плазмой за концентрации на токамаке PLT с по-
помощью многоканального анализато-
анализатора рассеяния [48];
один импульс удается получить спект-
спектральный профиль рассеяния, который
определяет температуру и концентрацию
электронов в заданной точке пространства в фиксированный момент вре-
времени, задаваемый моментом включения лазера. При этом для получения про-
пространственного распределения и временной зависимости параметров плазмы
приходится использовать большое число импульсов и рассчитывать на повто-
повторяемость экспериментальных условий. В связи с этим предпринимают большие
усилия для усовершенствования техники регистрации. Наиболее совершенная
схема была недавно реализована на токамаке PLT [48]. Она позволила осуще-
осуществлять регистрацию контура рассеяния одновременно по 56 пространственным
каналам. Пример профилей пе и Те, полученный на этой установке за один*
импульс, приведен на рис. 30. Для определения временной зависимости пара-
* Центральную часть контура нельзя было наблюдать из-за паразитного*
рассеяния на элементах конструкции.
57S

метров плазмы за один разряд было бы весьма желательным использовать ла-
лазер, работающий в непрерывном режиме, однако его мощность недостаточна
для регистрации спектра рассеяния в импульсной плазме. В качестве палиатив-
ного варианта в ряде опытов были применены рубиновые лазеры, позволяющие
получить несколько импульсов и дающие, таким образом, несколько временных
точек [7].
Выше говорилось об определении доп-
леровского уширения контура рассеяния,
связанного с тепловым движением электронов.
При наличии направленного движения элек-
электронов, скорость которого сравнима с тепло-
тепловой, на уширение накладывается смещение
центра доплеровского контура. По этому сме-
смещению можно локально найти скорость на-
направленного движения электронов и соответ-
соответственно плотность электронного тока, в част-
частности, таким способом можно определить про-
профиль тока в плазме.
Наряду с измерениями параметров элек-
электронной компоненты некогерентное рассеяние
может дать способ бесконтактного локального
определения магнитного поля в плазме. Для
этой цели можно использовать отмечавшуюся
в п. 3.1 модуляцию спектра рассеяния цикло-
циклотронной частотой и ее гармониками (Асо =
==s^e)- Такая модуляция становится сущест-
существенной при Ak и <Qe/i>re<'Co/?, т. е. когда с
большой точностью Ak_LB. Поэтому обнару-
обнаружение модуляции позволяет точно определить
направление магнитного поля в области рас-
рассеяния, а ее частота — напряженность поля.
Метод этот может быть использован для
установления профиля полоидального магнит-
магнитного поля в токамаке [49].
3.3. Диагностика, основанная на коллективном рассеянии [7, 22, 23, 28, 45].
Для осуществления коллективного рассеяния на тепловых флуктуациях плазмы
надо, чтобы параметр G4) был больше единицы и соответственно
Wl
л
1
•A
к
i I
. 1
6)
-100
о
+ WOAAJQM
Рис. 31. Микрофотограмма
•спектра коллективного рассея-
рассеяния лазерной искры, получен-
полученная с помощью электронно-ол-
тического преобразователя
[50]:
кривые а, б, в соответствуют раз-
различным стадиям развития искры
ne>5-10Tesin2 @/2) А2
G5)
(пе — в обратных кубических сантиметрах, Те — в электронвольтах, X — в сан-
сантиметрах). Поэтому при использовании лазерных источников излучения види-
видимого диапазона такое рассеяние' может иметь место лишь в плазме с доста-
достаточно высокой плотностью электронов (яе>1016-г-1019 см~3 при Ге=10-г-
1000 эВ, см. рис. 27). Эксперименты по коллективному рассеянию были прове
дены в ряде работ, посвященных исследованиям плотной плазмы лазерной
искры, лазерного факела, ударных волн, пинч-разрядов и некоторых других
систем.
В качестве примера на рис. 31 приведен спектр коллективного рассеяния,
полученный в эксперименте с лазерной искрой (пе^1019 см~3, as>l). На фо-
576

тографии видны центральный ионный контур и электронные сателлиты. Изме-
Измеряя смещение сателлитов, можно определить концентрацию электронов, по-
поскольку это смещение пропорционально cope^K/v По отношению амплитуд
основного максимума и сателлитов можно определить параметр а3 и соответ-
соответственно Те.
При исследовании менее плотной плазмы удается наблюдать переход от
некогерентного рассеяния на электронах к когерентному рассеянию при умень-
уменьшении угла рассеяния. Пример такого перехода показан на рис. 32 для плазмы
0-пинча [51]. По форме ионного пика при а5^1, сопоставляя ее с расчетной,
можно в принципе определить ионную и электронную температуру (рис. 32).
3
2
1
л*-
a)
\Tt
\
Хк. 1 1
гЮ
00
-10
200 AAJO М
-0,8 -0,4 0 Ofi Д\,10М -400
Рис. 32. Спектры излучения, рассеянного плазмой 9-пинча под углами 5° (а) и
90° (б) [51]:
точки— эксперимент; кривые — расчет для 7\=300 эВ и 7^=60-7-80 эВ; пунктир — инстру-
инструментальный контур
Выполнение условия G5) при меньшей плотности плазмы (пе<1016 ,см~3)
в видимой области спектра затруднительно, так как требует перехода к^очень
малым углам рассеяния. Поэтому наблюдение коллективного рассеяния в такой
плазме возможно лишь при переходе к меньшим частотам — в инфракрасную
или сверхвысокочастотную области. Однако наблюдение рассеяния на тепловых
флуктуациях импульсной плазмы с пе<1016 см~3 в инфракрасной области до
сих пор не удалось осуществить из-за меньшей энергии импульсных лазерных
источников и меньшей эффективности приемников излучения этого диапазона
по сравнению с источниками и приемниками видимой области спектра.
Еще более трудной задачей представляется обнаружение, рассеяния на
тепловых флуктуациях в СВЧ-диапазоне. Трудности в этом случае обусловлены
не только малой эффективностью рассеяния, но и недостаточной монохроматич-
монохроматичностью имеющихся генераторов, меньшей локальностью фокусировки излучения,
необходимостью учета рефракционных эффектов. Однако в ~'СВЧ-диапазоне
можно использовать эффекты, связанные с плазменными резонансами в магнит-
магнитном поле — с верхним гибридным резонансом при перпендикулярном полю рас-
распространению волны или с аналогичными резонансами при косом распростра-
распространении. Как отмечалось в п. 3.1, резкое увеличение показателя' преломления и
рост амплитуды поля в окрестности резонанса приводят к двум эффектам —
значительному возрастанию эффективности рассеяния (в слабостолкновительной
плазме оно достигает нескольких порядков величины) и существенному расши-
расширению спектра рассеянного сигнала. Поэтому регистрация спектра рассеянного
излучения облегчается. Увеличивается и локальность измерений, так как более
3 7-3283 577,

интенсивное рассеяние при заданной частоте источника наблюдается в окрест-
окрестности фиксированной поверхности, на которой выполняется условие резонанса.
Первое экспериментальное наблюдение «усиленного» рассеяния в линейном
СВЧ-разряде дало результаты, хорошо согласующиеся с предсказанием теории
[52]. Это доказывает большие диагностические возможности использования
усиленного рассеяния в окрестности плазменных резонансов.
Одной из задач экспериментов по коллективному рассеянию волн является
исследование надтепловых колебаний, обусловленных неустойчивостями плазмы.
Рис. 33. Результаты эксперимента
по рассеянию излучения, на коле-
колебаниях дугового разряда \54]:
а, б — осциллограммы колебаний при
<0-=5 и 12 мрад соответственно; в —
дисперсионная кривая колебаний, по-
полученная по угловой зависимости час-
частотных характеристик
150
100
SO
p
T
I
8)
50 100 150 kj,сгГ
Если уровень флуктуации концентрации существенно превышает тепловой, то
обнаружить рассеяние на них можно и в инфракрасной и в СВЧ-областях
спектра. При этом по характеристикам рассеяния можно определить характе-
характеристики колебаний плазмы, поскольку изменение частоты при рассеянии опре-
определяется частотой колебаний со/, а изменение волнового вектора — волновым:
вектором колебаний к/:
A(o=cos—G)i=co/; Ak=ke—к*=к/. G6)
Для опытов по рассеянию в инфракрасной области используется СОг-лазер
(Я=1О,б мкм), так как он обладает наибольшей мощностью и для соответ-
соответствующего диапазона имеются более чувствительные детекторы, чем для более
длинных волн. Поскольку характерные длины волн плазменных колебаний
много больше длины волны зондирующего излучения (А/»Я,- и &/<?*), взаи-
взаимодействие характеризуется малым углом рассеяния b^kjlki [см. G6)]. Это
существенно уменьшает локальность индикации колебаний по рассеянию и уве-
увеличивает необходимые размеры регистрирующего устройства. Эксперименты по
рассеянию излучения СО2-лазера на колебаниях плазмы были проведены в не-
нескольких работах по исследованию импульсных разрядов и на токамаках
(см., например, [53, 54]). Пример полученных результатов приведен на рис. 33.
Рассеяние на большие углы может наблюдаться при длинах волн флук-
флуктуации, сравнимых с длиной волны зондирующетб излучения. Обычно длины
волн развитых колебаний плазмы сштветсгвуйт СЙЧ- или далекой инфракрас-
578

ной области. СВЧ-рассеяние исследовали во многих экспериментах, в которых
получены данные о спектре колебаний плазмы в различных системах: в тлею-
тлеющем, дуговом разрядах, в пучковой плазме, в термоядерных установках. Сле-
Следует отметить, что локальность опытов по рассеянию в СВЧ-диапазоне обычно
невелика. Лишь в крупных термоядерных установках при использовании милли-
миллиметровых волн удается получить рассеяние из области с размерами, заметно
меньшими размеров плазмы (см., например, [55]).
В некоторых экспериментах с сильнотурбулентной плазмой был осуществлен
режим многократного рассеяния, когда информацию о рассеянии дает спектр
сигнала, прошедшего через плазму |[56]. Способы ее обработки были анало-
аналогичны применявшимся при исследовании рассеяния на флуктуациях в ионосфе-
ионосфере. Они позволили связать расширение спектра зондирующей волны с харак-
характерным диапазоном частот турбулентных колебаний, усредненным по области
взаимодействия.
3.4. Резонансная флуоресценция [28, 57]. Процесс резонансной флуоресцен-
флуоресценции состоит в излучении атомов или ионов, резонансно-возбужденных под дей-
действием внешнего источника излучения. Этот процесс можно рассматривать как
рассеяние излучения атомами или ионами при частоте, близкой к резонансной
частоте одного из атомных переходов. С приближением частоты к резонансной
сечение рассеяния излучения атомами резко возрастает. В окрестности резонан-
резонанса формула для сечения имеет вид:
( '
Эта формула относится к переходу между состояниями k и /; fhi — сила осцил-
осциллятора; yhi=\frhi определяет естественную ширину линии. Вблизи резонанса,
при со^соы, сечение оказывается много больше томсоновского F0), их отно-
отношение
Skilsr^hi (idxkiJ G8)
достигает 10м—1016. Соответственно увеличивается и интенсивность рассеянного
сигнала при малой мощности зондирующего излучения. С увеличением мощно-
мощности источника зондирующего излучения при условиях, когда интенсивность
вынужденного излучения больше интенсивности спонтанного, должно наступать
насыщение эффекта флуоресценции. Устанавливается динамическое равновесие
прямых и обратных индуцированных переходов, которое характеризуется отно-
отношением заселенностей, равным отношению статистических весов состояний. При
этом эффект резонансной флуоресценции связан с изменением концентрации
атомов в возбужденном состоянии. Как можно показать, такое изменение опре-
определяется соотношением
gk "ак I )
ek ! gl аГ\ш\ G9)
41 -
где flak, nai — концентрации атомов в состояниях k и /; gh, gi — статистические
веса состояний; т'а, i'i— времена жизни относительно возможных переходов
(исключая переход из состояния к в состояние /). Динамическое равновесие,
характерное для насыщения, достигается при спектральной плотности излуче-
излучения, превышающей величину
Jo=% со3/4я3с2. (80)
37* 579

Для видимой области частот она соответствует интенсивности порядка сотен
ватт на квадратный сантиметр и ЛЯ=10-10 м. При большей интенсивности сиг-
сигнал флуоресценции перестает от нее зависеть и определяется величиной Кпаи
Соответствующая мощность излучения
рр = Bке*<**/тес3)
При известных атомных константах она зависит, как видно, от концентрации
атомов на нижнем уровне пак- Форма контура излучения обычно определяется
эффектом Доплера, ширина контура при этом зависит от температуры атомов:
дю,/2/ю = д} ,/2Д ^ 2,35 VTa/mac*. (82)
Схема эксперимента по резонансной флуоресценции аналогична схемам
других экспериментов по рассеянию. Для зондирования используют излучение
с частотой, близкой к частоте выбранного атомного перехода. Сигнал флуорес-
флуоресценции наблюдается под углом к направлению зондирования. В результате
он принимается из небольшого объема, находящегося на пересечении направ-
направлений зондирования и наблюдения. При интенсивности излучения, превышаю-
превышающей (80), достигается насыщение сигнала, и по его величине можно определить
концентрацию атомов в нижнем состоянии выбранного перехода, если известны
атомные константы, входящие в G9), (81). В принципе измерение ширины кон-
контура излучения позволяет найти температуру излучающих атомов (82). Мини-
Минимальная концентрация атомов, которую можно определить, зависит от уровня
собственного излучения плазмы на рассматриваемой'частоте.
Метод резонансной флуоресценции уже давно известен в спектроскопии.
В последние годы его стали применять для целей диагностики плазмы. Воз-
Возможности метода особенно возросли после появления перестраиваемых лазеров
на красителях — мощных источников, допускающих настройку на резонансную
частоту. До сих пор метод использовали главным образом для определения
концентрации нейтральных атомов. Такие эксперименты были осуществлены
в газоразрядной плазме различных типов; при этом получали концентрацию
атомов щелочных металлов, возбужденных атомов водорода и инертных газов.
Диапазон измеряемых концентраций составлял 105—1012 см~3.
В последнее время обсуждаются возможности применения резонансной
флуоресценции для определения пространственного распределения нейтральных
атомов водорода и атомов примесей в высокотемпературной плазме. Первый
такой эксперимент был проведен на токамаке ФТ-1 [58]. В этом эксперименте
лазер на красителе был настроен на частоту линии Яа. По сигналу флуорес-
флуоресценции, принимавшемуся под углом 90° к направлению зондирования, находили
концентрацию водорода в первом возбужденном состоянии и по ней — полную
концентрацию атомов водорода в окрестности точки наблюдения. Следует от-
отметить, что такой пересчет в высокотемпературной плазме слабо зависит от
ее параметров, поэтому точность его достаточно велика. Чувствительность из-
измерений соответствовала минимальной концентрации возбужденных атомов
105 см-3 и минимальной полной концентрации атомов 108 см~3. Эти значения
намного меньше концентрации заряженных частиц, достигавшей 1013 см~3. Ме-
Метод резонансной флуоресценции позволил впервые получить радиальный про-
профиль концентрации нейтральных атомов в сильноионизованной плазме.
580

На токамаке ISX-B метод резонансной флуоресценции был недавно при-
применен для измерения концентрации примесных атомов Fe, Ni, Ti в пристеночной
области [59]. Диапазон измеряемых концентраций находился в пределах
106—109 см~3. Была исследована динамика поведения примесных атомов в раз-
разряде.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Диагностика плазмы/ Под ред. Р. Хаддлстоуна и С. И. Леонарда: Пер.
с англ. — М.: Мир, 1967.
2. Методы исследования плазмы/ Под ред. В. Лохте-Хольтгревена: Пер.
с англ. — М.: Мир, 1971.
3. Русанов В. Д. Современные методы исследования плазмы. — М.:* Атом-
издат, 1962.
4. Кузнецов Э. И., Щеглов Д. А. Методы диагностики высокотемпературной
плазмы. — М.: Атомиздат, 1980.
5. Диагностика плазмы. Вып. 1—3/Под ред. С. Ю. Лукьянова. — М.: Атом-
Атомиздат, 1963, 1968, 1973. Вып. 4/Под ред. М. И. Пергамента. — М.: Энергоиздат,
1981.
6. Лукьянов С. Ю. Горячая плазма и управляемый ядерный синтез. —
М.: Наука, 1975.
7. Equipe TFR. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 647.
8. Diagnostics for Fusion Experiments/ Ed. by E. Sindoni and C. Wharton. —
Oxford: Pergamon Press, 1979.
9. Грим Г. Спектроскопия плазмы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.
10. Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1978.
11. Макуиртер Р. — В кн.: Диагностика плазмы/ Под ред. (Р. Хаддлстоуна
и С. И. Леонарда: Пер. с англ. — М.: Мир, 1967, с. 165.
12. Зайдель А. Н., Шрейдер Е. Я. Вакуумная спектроскопия и ее приме-
применение. — М.: Наука, 1976.
13. TFR group. — Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 207.
14. Визе В. — В кн.: Диагностика плазмы/ Под ред. Р. Хаддлстоуна и
С. И. Леонарда: Пер. с англ. —М.: Мир, 1967, с. 218.
15. Suckewer S., Hinnov E. — Nucl. Fusion, 1977, vol. 17, p. 945.
16. Загородников С. П., Смолкин Г. Е., Стриганова Г. А., Шолин Г. Е.—
Письма ЖЭТФ, 1970, т. 11, с. 475.
17. Fujita F., McCormic К. — In: Proc. 6th European Conf. on Controlled
Fusion and Plasma Physics. Vol. 1.—M., 1973, p. 191.
18. Бекефи Д. Радиационные процессы в плазме: Пер. с англ. — М.: Мир,
1971.
19. Harding G. N.f Roberts V. —Nucl. Fusion Suppl., 1962, pt 3, p. 888.
20. Есипчук Ю. В., Виноградова Н. Д., Ковров П. Е., Луп Л., Лядикс Е. С,
Март Д., Разумова К. А. — Физика плазмы, 1981, т. 7, с. 5.
21. Equipe TFR.— In: Proc. 7th European Conf on Controlled Fusion and
Plasma Physics. Vol. 2. — Lausanna, 1975, p. 1.
22. Голант В. Е. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы. —
М.: Наука, 1968.
23. Хилд М., Уортон С. Микроволновая диагностика плазмы: Пер. с англ.—
М.: Атомиздат, 1968.
24. СВЧ-излучение низкотемпературной плазмы/ Под ред. А. Е. Башарижь
ва. — М.: Советское радио, 1974.
25. Bekefi G., Hirshfield J. L., Brown S. C — Phys. Rev., 1959, vol. 116,
p. 1051.
26. Ларионов M. M. — Журн. техн. физ., 1964, т. 34, с. 1845.
27. Equipe TFR. — In: Proc. 7th European Conf. on Controlled Fusion and
Plasma Physics. Vol. 1. —Lausanna, 1975, p. 14b.
28. Зайдель А. Н., Островская Г. В. Лазерные методы исследования плаз-
плазмы.—Л.: Наука, 1977.
38—3283 581

29. Пятницкий Л. Н. Лазерная диагностика плазмы. —М.: Атомиздат, 1976.
30. Анисимов А. И., Виноградов Н. И. — Журн. техн. физ., 1962, т. 32,
с. 308.
31. Душин Л. А. СВЧ-интерферометры для измерения плотности плазмы.—
М.: Атомиздат, 1973. _,
32. Berezovskij E. L., Vil'djunas M. I., Gladushchak V. I. e. a. —In: Plasma
Physics and Controlled Nuclear. Fusion Research 1978. Vol. 1. — Vienna: IAEA,
1979, p. 342.
33. Анисимов А. И., Виноградов Н. И., Голант В. Е., Константинов Б. П. —
Журн. техн. физ., 1962, т. 30, с. 1009.
34. Душин Л. А., Кононенко В. И., Сизоненко В. Л., Скибенко А. И., Сте-
Степанов К. Н. — Там же, 1966, т. 36, с. 304.
35. Тищенко 3. А., Зацепин В. Г. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1975,
т 68, с. 547.
36. Brown S. С, Rose D. J., Gould L. —J. Appl. Phys., 1952, vol. 23, p. 711,
1028; 1953, vol. 24, p. 1053.
37. Анисимов А. И., Будников В. Н., Виноградов Н. И., Голант В. Е.—
Журн. техн. физ., 1965, т. 35, с. 2042. _ ?•
38. Москалев И. М., Петров В. П., Стефановский А. М. — Там же, 1970,
т. 40, с. 1692; 1972, т. 42, с. 2311.
39. Alcock A. J., Rarasden S. A.— Appl. Phys. Lett., 1966, vol. 8, p. 187.
40. Ashby D. E., Jephcott D. F. —Ibid., 1963, vol. 3, p. 13.
41. Островский Ю. И., Бутусов М. М., Островская Г. В. Голографическая
интерферометрия. — М.: Наука, 1977.
42. Островская Г. В., Островский Ю. И. —Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4,
с. 121.
43. Jahoda F. С, Jaffries R. A., Sawyer G. A.— Appl. Optics, 1967, vol. 6,
p. 1407.
44. Комиссарова И. И., Островская Г. В., Шапиро Л. Л.— Журн. техн.
физ., 1968, т. 38, с. 1369.
45. Шеффилд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в плазме: Пер.
с англ. — М.: Атомиздат, 1976.
46. Пилия А. Д. —Журн. техн. физ., 1966, т. 36, с. 2195.
47. Peacock N. J., Robinson D. С, Forrest M. J., Wilcock P. IX, Sarini-
kov V. V. —Nature, 1969, vol. 224, p. 488.
48. Bretz N., Dimock D., Foote V., Johnson D., Long D., Tolnas E. — AppL
Optics, 1978, vol. 17, p. 192.
49. Carolan P. G. —Plasma Phys., 1977, vol. 19, p. 757.
50. Бурунов Е. А., Малышев Г. М., Раздобарин Г. Т. — Журн. техн. физ.,
1974, т. 44, с. ИЗ.
51. John Р. К. —Phys. Rev., 1972, vol. A6, p. 756.
52. Будников В. Н., Варфоломеев В. И., Новик К. М., Пилия А. Д., Рож-
Рождественский В. В. —Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 28, с. 68.
53. Goldston R. J., Mazzucato E., Slusher R., Surko С. — In: Plasma Physics
and Controlled Nuclear Fusion Research 1976. Vol. 1. —Vienna: IAEA, 1977,
p. 371.
54. Буланин В. В., Жилинский А. П., Петров А. М., Ушаков С. М. — Журн.
техн. физ., 1979, т. 49, с. 1910.
55. Mazzucato Е. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1535.
56. Ларионов М. М. — В кн.: Проблемы современной науки. — Л.: Наука,
1974, с. 120.
57. Раздобарин Г. Т., Фоломкин И. П. —Журн. техн. физ., 1979, т. 49,
с. 1353.
58. Razdobarin G. Т., Semenov V. V., Sokolova L. V. е. a. — Nucl. Fusion,,
1979, vol. 19, p. 1439.
59. Muller С. Н., Burrell К. Н. —Phys. Rev. Lett., 1981, vol. 47, p. 330

ДИАГНОСТИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ*
р. дж. голдстон
1. МАГНИТНЫЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Высокотемпературную плазму в магнитной ловушке исследуют
обычно с помощью довольно мощных электрофизических устано-
установок. Как следствие этого для обеспечения правильной работы
аппаратуры необходимо проводить большое число измерений тока
Рис. 1. Схема современного токамака кругового сечения:
для омического нагрева используется трансформатор с воздушным сердечником; плазмен-
плазменный шнур поддерживается в равновесном положении вертикальным магнитным полем,
управляемым системой с обратной связью; / — вакуумная камера из нержавеющей стали;
2— катушки тороидального поля; 3 — плазма; 4 —> тороидальное магнитное поле Bt;
5 — магнитный поток трансформатора; 6 — первичная обмотка трансформатора омического
нагрева; 7 — полоидальное магнитное поле Вр; 8 — магнитная силовая линия; 9 — угол
вращательного преобразования; 10 — внешнее поле равновесия; 11 — обмотка поля равно-
равновесия; 12 — полное полоидальное поле; 13 — плазменный ток 1р
и напряжения. Помимо того, электрические и магнитные поля,
возникающие при разряде, воздействуют на детекторы, снабжая
таким образом исследователя диагностической информацией.
Использование электрических и магнитных измерений для
диагностики плазмы удобно проследить на примере токамака
(рис. 1). Мощный трансформатор для омического нагрева, распо-
расположенный в центре тора, индуцирует в плазме тороидальный ток
* Пер. с англ. Г. П. Скребцова.
38"
583

от десятков до тысяч килоампер. Сопротивление плазмы этому
току ^является мерой электронной температуры и содержания при-
примесей в плазме. Кроме того, напряженность вертикального магнит-
магнитного поля, необходимого для поддержания равновесного положе-
положения плазмы по радиусу, можно связать с комбинацией магнитной
и тепловой энергии, заключенной в плазме. Наконец, в то время
как обмотки тороидального поля возбуждают основное удержи-
удерживающее поле, диа- или парамагнетизм плазмы вызывает умень-
уменьшение (увеличение,) тороидального поля в
самом разряде, что можно использовать
для определения тепловой энергии плазмы.
Для оценки омической мощности, вво-
вводимой в плазму токамака (произведение
или, что то же самое, радиальный поток
Пойнтинга ?фВе), необходимо измерить
полный ток в плазме и напряженность то-
тороидального электрического поля на ее по-
поверхности. Плазменный ток измеряют с
помощью пояса Роговского, охватывающе-
охватывающего вакуумную камеру (рис. 2), причем на-
напряжение на выходе пропорционально ве-
величине J Bdl. При использовании активной
интегрирующей схемы определяется непо-
непосредственно Ip(t), что следует из закона
Ампера. Из этой величины необходимо вы-
вычесть суммарный тороидальный ток, про-
протекающий по стенкам камеры. Пояс Рогов-
Роговского со значительным аспектным отношением (большого
радиуса к малому), намотанный таким образом, чтобы его
витки были локально перпендикулярны направлению обмотки»
позволяет непосредственно определить линейный интеграл от В,
а отсюда и истинный охваченный поясом ток, поскольку результат
измерения при этом будет нечувствителен к наличию локальных
вихревых токов и недостаточно хорошей юстировке.
Измерение тороидального электрического поля является более
сложной задачей. В установках с изолирующими полоидальными
зазорами в вакуумной камере, предотвращающими протекание то-
тороидального тока, обычно измеряют напряжение на таком зазоре.
В токамаках с резистивными камерами, не имеющими изолирую-
изолирующих зазоров, на близком расстоянии от разрядной камеры уста-
устанавливается электростатически экранированный тороидальный ви-
виток, напряжение на нем представляет собой так называемое на-
напряжение обхода Vi. Однако ни в одном из этих случаев, как
видно, измеряющее устройство не располагается непосредственно
на поверхности плазмы, в результате чего изменения в значении и
расположении плазменного тока приведут к соответствующим
изменениям магнитного потока в области между плазмой и изме-
измерительным витком. По этой причине напряжение на поверхности
плазмы отличается от измеренного значения W Влияние движе-
584
Рис. 2. Пояс Роговского:
при нагрузке с высоким
импедансом (/?>L/t) на-
напряжение на выходе пояса
пропорционально производ-
производной по времени от силы
тока, охваченного им

ния плазмы можно свести к минимуму, усредняя показания не-
нескольких витков, установленных в разных точках вдоль обхода
камеры. Кроме того, можно оценить скорость изменения потока
сцепления, что позволяет более точно определить напряжение на
поверхности плазмы.
Измерение омической мощности, вводимой в плазму токамака,
наталкивается на дополнительные трудности. Во-первых, исполь-
использование для питания первичной обмотки трансформатора в уста-
установках с длинным импульсом фазово-управляемых выпрямителей
вместо конденсаторных батарей приводит к появлению в измеряе-
измеряемом напряжении обхода значительных шумов от переключений.
Аналоговое или цифровое сглаживание, применяемое для нахож-
нахождения среднего сигнала, усложняет анализ переходных яйлений
тем, что либо вводит отставание по фазе, либо вызывает опережаю-
опережающие помеховые эффекты. Это затрудняет определение напряжения
обхода, например, в экспериментах по дополнительному нагреву,
если используются относительно короткие импульсы. Во-вторых,
более фундаментальная проблема возникает в связи с тем, что
можно измерить лишь полный поток Пойнтинга через поверхность
плазмы. Однако часть этого потока мощности может идти на воз-
возрастание энергии полоидального поля /Б2рй3г/8я, или, наоборот,
энергия полоидального поля может преобразовываться в теплоту
при резистивном нагреве плазмы. Поэтому если есть основания
подозревать наличие значительных колебаний полоидального пото-
потока, которые могут иметь место, например, при начальном росте
или при выключении тока, то активную компоненту произведения
IV становится трудно определить. Если целью измерений является
оценка времени удержания тепловой энергии в разряде, то необ-
необходимо знание именно этой активной компоненты. Уравнение пол-
полного баланса энергии для омически нагреваемой плазмы можно
записать в виде
IV = и/хЕ+ A/2) (d/dt) LiPP+ (d/dt) U,
где U — полная запасенная тепловая энергия в плазме; %е — время
удерживания энергии; Ц — внутренняя индуктивность плазмы,
определяемая выражением
Lt =
(r)*B\ (a) J dV.
Для того чтобы, по крайней мере частично, учесть индуктивные
эффекты, принято вычитать Lidlp/dt из напряжения на обходе.
Для оценки Li необходимо знать профиль тока; его находят по
измеренному профилю электронной температуры в приближении
классического (или неоклассического) поведения удельного сопро-
сопротивления плазмы, причем эффективный заряд Z3$ принимают не
зависящим от радиуса. Такая методика позволяет компенсировать
эффект медленных изменений накопленной энергии полоидального
поля, в результате чего удается определить мощность, идущую на
омический нагрев в квазистационарной фазе типичного разряда в
585

токамаке, с погрешностью ±10%. Однако при включении и выклю-
выключении, а также в переходных режимах неопределенность в значе-
значении A/2) d(LiI2p)/dt, а также шумы выпрямителя могут в 2 раза
увеличить суммарную неопределенность.
Как уже упоминалось выше, знание плазменного тока и актив-
активной компоненты напряжения на поверхности позволяет найти мощ-
мощность, вводимую в плазму токамака, а также удельное сопротив-
сопротивление плазмы. Удельное электрическое сопротивление плазмы при
небольшом электрическом поле, параллельном магнитному, выра-
выражается формулой [1]
71 = 5,22.10-3lnAY(Z54))/7f, A)
где г] — в ом-сантиметрах; Те — в электронвольтах;
(поправки к уравнению A), обусловленные тороидальными эффек-
эффектами, рассматриваются, например, в [2]). Сопротивление плазмы
можно использовать для определения «средней» электронной тем-
температуры, если известен состав плазмы. В отсутствие другой диаг-
диагностической информации сопротивление столба разряда можно
использовать для оценки «качества» плазмы, поскольку в экспери-
эксперименте желательно иметь как высокую электронную температуру,
так и малый эффективный заряд. При непосредственном измере-
измерении профиля электронной температуры можно вычислить ожидае-
ожидаемое удельное сопротивление чистой водородной плазмы. Отношение
измеренного сопротивления к его теоретическому значению позво-
позволяет определить среднее значение Ъъ$ для плазмы с относительно
малым количеством надтепловых электронов.
На рис. 1 показано расположение обмоток полоидального поля,
создающих вертикальное магнитное поле, нужное для равновесия
в токамаках. Необходимость в этом поле обусловлена тем, что
индуктивность плазмы и накопленная в ней тепловая энергия вы-
вызывают появление направленной радиально наружу силы, стремя-
стремящейся увеличить большой радиус плазменного столба. В первых
гокамаках для компенсации этой силы плазменный столб окружа-
окружали толстым медным тороидальным кожухом. При движении плаз-
плазмы в кожухе наводились токи изображения, отталкивающие плаз-
плазму и тем самым противодействующие радиальным силам в масш-
масштабе времени, меньшем, чем отношение L/R для проводящего
кожуха. В современных установках, где необходимо поддерживать
равновесие в течение 5—10 с, оно обеспечивается внешним полем,
управляемым усилителем с обратной связью. Напряженность этого
вертикального поля (поля равновесия) дается выражением [3]
4[()]
586

где
16л f d'rU»
й _ J U
г
8тг rfV[/,
Таким образом, поле равновесия, автоматически вырабатывае-
вырабатываемое усилителем с обратной связью, позволяет найти комбинацию
индуктивности плазмы (как внешней, так и внутренней) и накоп-
накопленной тепловой энергии. Это связано с некоторыми неудобствами,
поскольку часто желательно знать указанные две величины по
отдельности. Тепловую энергию можно найти из диамагнитных
измерений, и, таким образом, внутренняя индуктивность может
быть определена по полю равновесия, хотя и с невысокой точ-
точностью. В начале разряда давление плазмы обычно бывает неве-
невелико, поэтому поле равновесия может быть непосредственно свя-
связано с внутренней индуктивностью. Последняя отражает степень
«сжатия» токового канала, что важно для снижения взаимодейст-
взаимодействия с диафрагмой и установления стабильного разряда с надеж-
надежным удержанием [4].
Диа- или парамагнитные характеристики токонесущего плаз-
плазменного столба можно использовать для определения его среднего
давления. Для поддержания магнитогидродинамического равнове-
равновесия в осесимметричной системе с магнитными поверхностями не-
необходимо, чтобы выполнялось равенство
(l/c)jXB=Vp. C)
В пределе больших аспектных отношений R/a и кругового попе-
поперечного сечения это уравнение сводится к следующему:
A/с) (/е5Ф-/ФВе) =dp/dr. D)
Интегрируя по поперечному сечению плазмы и принимая 6ВФ<СВФ,
получаем изменение тороидального потока, обусловленное нали-
наличием плазмы:
A-Рр1). E)
Заметим, что при таком равновесии можно допустить неравен-
неравенство р |( и р t причем конечный результат зависит лишь от р^
Для изотропной плазмы сумма р н +A/2)^, которая входит в вы-
выражение для вертикального поля равновесия, равна величине C^
измеряемой по диа- или парамагнитному эффекту. Интересно, что
в описываемых здесь расчетах, сделанных для большого аспект-
ного отношения, профиль тока и внутренняя индуктивность не
587

оказывают влияния на измеренный диамагнитный эффект. Вычис-
Вычисления с учетом тороидальных эффектов [5] показывают, что пере-
переход к конечному аспектному отношению не изменяет существенна
полученный результат, так что вносимая неопределенность неве-
невелика.
Диа- или парамагнетизм плазмы обычно измеряют на практике
путем намотки нескольких витков электростатически экранирован-
экранированного провода в полоидальном направлении вокруг плазменного
столба. Наводимое в этом датчике напряжение характеризует из-
изменяющийся тороидальный поток, если эти витки лежат точно в
полоидальной плоскости. Поскольку измеряемый эффект обычно
крайне мал, часто оказывается полезным крепить диамагнитную
петлю независимо от вакуумной камеры, для того чтобы свести к
минимуму механические вибрации, которые могут вызвать сущест-
существенные изменения потока йФ/dt в датчике. Вообще компенсация
полей рассеяния от полоидальных обмоток и от вихревых токов в
вакуумной камере и в элементах конструкции машины является
очень кропотливым и трудным делом. Однако до внедрения в
эксперименты на токамаках более сложных диагностических мето-
методик применение диамагнитной методики с успехом служило для
первичного измерения энергосодержания плазмы и в ряде случаев
давало вполне надежные результаты. В недавних экспериментах
по нагреву плазмы нейтральным пучком [6, 7] комбинация изме-
измерений с помощью диамагнитной петли и данных о вертикальном
поле была использована для определения анизотропии в распреде*
лении циркулирующих энергичных ионов, создаваемых при инжек-
ции нейтрального пучка. В таких случаях, когда изменение давле-
давления плазмы происходит достаточно быстро и не сопровождается
существенным изменением плазменного тока, основная погреш-
погрешность измерения может быть обусловлена связью изменяющегося
поля равновесия с диамагнитной петлей либо непосредственно,
либо через вихревые токи. Однако если для анизотропной плазмы
диамагнитная петля и поле равновесия используются для опреде-
определения как $pj_, так и ррП, то для измерения U{t) необходимо вы-
выбрать независимую методику.
Кроме пояса Роговского, датчиков для измерения напряжения
и диамагнитной петли, используется еще один набор магнитных
датчиков для измерения положения плазменного столба в вакуум-
вакуумной камере. Эти датчики завершают цепь обратной связи, управ-
управляющей вертикальным уравновешивающим полем. Кроме того, они
дают информацию о вертикальном положении плазмы. Магнитные
датчики для определения положения плазмы могут быть несколь-
нескольких типов. Классический способ, применяемый на токамаках с
медными кожухами, заключается в установке четырех регистри-
регистрирующих датчиков Бе сверху, снизу, с внутренней и с внешней сто-
стороны кожуха, причем ориентируются они таким образом, чтобы
измерять полоидальное поле непосредственно под проводящим
кожухом. Можно также использовать два непрерывных пояса Ро-
Роговского, в одном из которых плотность витков пропорциональна
588

cos0, а в другом sinG. С помощью этих датчиков получается инфор-
информация о дипольных компонентах полоидального поля в непосред-
непосредственной близости к кожуху. Поскольку при быстрых процессах в.
этом эксперименте поверхность постоянного потока должна совпа-
совпадать с проводящим кожухом, такая информация достаточна для
построения вакуумных магнитных поверхностей между плазмой и
датчиками.
В современных токамаках, не имеющих проводящих кожухов,,
требуется больший объем информации. Обычно используют оба
датчика потока (они идентичны датчикам напряжения, за тем;
исключением, что здесь сигнал интегрируется для получения пол-
полного потока, проходящего сквозь виток) и локальные петли, выход,
которых интегрируется и дает, таким образом, локальные значения
компонент полоидального поля. Измеренные значения потока и их,
пространственных производных можно использовать для нахож-
нахождения путем экстраполяции вакуумных магнитных полей внутри:
камеры [3, 5]. Наибольшая магнитная поверхность, которую мож-
можно определить этим методом и которая не пересекает конструк-
конструкционные детали, в частности диафрагму, это внешняя поверхность
плазмы. Существенно, что если датчики расположены достаточно
близко от интересующей нас поверхности потока, то уже из ра-
равенства сигналов в различных датчиках можно сделать вывод, чта-
плазма находится в правильном положении. После этого остается:
только внести поправки на небольшие отклонения в положении
датчиков от этой поверхности, а также на эффект тороидальное™,,
вызывающий смещение внутренних поверхностей потока наружу
по большому радиусу относительно положения поверхностей, изме-
измеренного датчиками потока.
Как правило, абсолютные измерения положения плазмы на
стационарной спокойной фазе разряда могут быть сделаны с по-
погрешностью ±1 см, а относительные измерения — в пределах:
±2 мм. Однако при включении и выключении тока вихревые токи,,
протекающие по вакуумной камере и датчикам поля, могут приве-
привести к значительным локальным возмущениям полоидальных полей,»
в результате чего в этих условиях о положении плазмы можно
иногда сделать лишь чисто качественные выводы.
Датчики для нахождения локальных значений Бе, которые
обычно используются при измерениях положения плазмы, могут
быть также с успехом применены для измерения флуктуации по-
полоидального магнитного поля, известных под названием колебаний
Мирнова [8]. Для этой цели используют полоидальные сборки, как
правило, из 12 таких датчиков, причем две или три такие сборюг
располагаются тороидально вокруг камеры. Можно также приме-
применить набор поясов Роговского с плотностью витков, пропорцио-
пропорциональной cos(m0), и непосредственно получить фурье-спектр. Ча-
Частотный диапазон колебаний Мирнова обычно находится в области
высоких звуковых частот E—20 кГц), и они имеют фазовую ско-
скорость вращения в направлении диамагнитного дрейфа электронов*,
сравнимую со скоростью этого дрейфа. Похоже, однако, что
589-.

эти моды слабо связаны с движением плазмы, потому что даже
сравнительно небольшие отклонения магнитной геометрии от осе-
асимметричности или наличие локальной диафрагмы могут подавить
~их вращение [9, 10]. В то же время тороидальное вращение плаз-
плазмы в токамаке, обусловленное инжекцией нейтрального пучка, при-
приводит, по всей видимости, к переносу флуктуации вместе с плаз-
плазмой, что вызывает значительный фазовый и частотный сдвиг. Если
инжекция производится параллельно плазменному току, то коле-
колебания Мирнова имеют фазовую скорость в направлении ионного
диамагнитного дрейфа [11].
Изучение корреляции колебаний Мирнова с флуктуациями по-
потока длинноволнового рентгеновского излучения, испускаемого из
внутренних областей плазменного столба как при наличии, так и
в отсутствие инжекции нейтрального пучка, позволило провести
подробное сравнение резистивной МГД-теории с данными экспери-
эксперимента. С помощью теории пока нельзя объяснить всю сложность
наблюдаемой картины колебаний и удивительное многообразие
мод, которые могут привести к срывам юка [12]. Тем не менее
модели, основанные на анализе движения жидкости, все-таки
объясняют некоторые экспериментально обнаруженные зависимо-
зависимости [13], и эта область физики явлений, происходящих в токама-
ках, привлекает все большее внимание исследователей.
Недавно с помощью зондов, измеряющих Бе, удалось обнару-
обнаружить очень высокочастотные колебания на токамаке TFR [14] (их
^частота v^300 кГц). Поскольку этот частотный диапазон соот-
соответствует дрейфовым волнам, наличие флуктуации магнитного
поля заставляет предположить существование электромагнитных
(или с конечным значением р) дрейфовых волн в плазме. Анало-
Аналогичные результаты были получены на токамаке Macrotor [15] при
введении электростатически экранированных датчиков Йе, поме-
помещенных в- стеклянные кацсулы, непосредственно в плазму относи-
относительно низкой температуры и плотности.
Для определения полоидального магнитного поля и потока вне
плазменного столба в тороидальных установках с некруговым
поперечным сечением используют наборы петель, пояса Роговского
и датчики потока большой площади [16]. С помощью этих датчи-
датчиков можно найти форму поперечного сечения плазменной поверх-
поверхности. Кроме того, применяя довольно сложный анализ, основан-
основанный на численных расчетах МГД-равновесия, можно также полу-
получить информацию о профиле плазменного тока подобно тому, как
из вертикального поля равновесия в установках с круговым сече-
сечением можно найти /,-. В случае плазмы с поперечным сечением,
сильно отличающимся от кругового, этот метод позволяет раздель-
раздельно определить (Зр и U.
Многие из электрических и магнитных методов измерений, опи-
описанных здесь применительно к токамакам, могут быть использова-
использованы с некоторыми изменениями и на других тороидальных уста-
установках, например в тороидальных Z-пинчах, пинчах с обращенным
полем, стеллараторах и торсатронах. Электрические и магнитные
590

измерения в открытых магнитных ловушках сопряжены с рядом
трудностей. Эксперименты по инжекции нейтрального пучка в
пробкотронах с минимумом В [17] продемонстрировали возмож-
возможность достижения больших значений р; исследователи прибли-
приближаются уже к режиму, в котором токи, протекающие по плазме,
приводят к обращению удерживающего поля, что вызывает обра-
образование замкнутой конфигурации ловушки с обращенным полем.
Было бы очень интересно исследовать процесс обращения поля
или приближение к нему. Диамагнитные датчики трудно использо-
использовать для этой цели, поскольку из-за конечной длины захваченной
в ловушку плазмы внешний замыкающий поток проходит снаружи
плазменного столба. Однако в эксперименте 2X1 IB для измерения
нолей, вызываемых токами в плазме, применяли большую диамаг-
диамагнитную петлю и набор датчиков [18]. Представляя плазменный
ток в виде тонкой осесимметричной цилиндрической оболочки ко-
конечной длины, удалось оценить степень уменьшения поля в центре
плазмы. Длину и радиус цилиндрической токовой оболочки полу-
получили из измерений осевого и радиального профилей плотности
плазмы. Как показали измерения, при большой мощности пучка
и слабом магнитном поле суммарное поле на оси практически
исчезает, однако обращения поля не достигается. Эти результаты
были подкреплены расчетами диамагнитного тока, который следует
ожидать на основании измеренных профилей плотности ионов и
средней энергии. Тем не менее получаемые результаты зависят все
же от выбора модели, так что для определения \В\ в эксперимен-
экспериментах в ловушках с обращением поля требуется разработка методи-
методики локальных измерений.
В качестве примера магнитных измерений опишем еще метод
картографирования силовых линий с помощью пучка электронов
малых энергий. В таких неосесимметричных тороидальных уста-
установках, как стеллараторы и торсатроны, конфигурация вакуумного
магнитного поля выбрана такой, чтобы обеспечить замкнутые од-
носвязные поверхности постоянного потока. При этом крайне важ-
важно экспериментально убедиться в том, что желаемая конфигурация
достигнута. Для этого в магнитную ловушку вводят электронную
пушку, состоящую из катода с косвенным накалом, который поме-
помещен в небольшой заземленный металлический цилиндр. В цилиндре
имеется отверстие, через которое вылетают электроны при пода-
подаче на катод отрицательного смещения 30—100 В. Выбор таких
низких энергий обусловлен стремлением свести к минимуму дрейф,
связанный с градиентом |В| и кривизной магнитных силовых ли-
линий. В магнитное поле коротким импульсом вводится сгусток
электронов путем подачи на катод, обычно находящийся под поло-
положительным потенциалом, отрицательного смещения на время,
меньшее времени пролета электронов вокруг тора. После соверше-
совершения нескольких витков вокруг тора электроны улавливаются
небольшим датчиком, что позволяет осуществлять подробное кар-
картографирование магнитных поверхностей. Подавая переменное
электрическое поле на зазор в вакуумной камере, экспериментатор
591

Апертура див ер тора
Рис. 3. Вакуумные магнитные поверхности в стеллараторе С, полученные с по-
помощью пучка электронов малой энергии:
а — внешнее корректирующее поле отсутствует, ?^/?0=0,00028; б — приложено корректиру-
корректирующее поле, Bv/B0=0,0Q0002
может поддерживать начальную скорость сгустка электронов на
протяжении нескольких сотен оборотов [19]. Таким методом мож-
можно подробно исследовать довольно сложные магнитные конфигу-
конфигурации (рис. 3).
2. ДИАГНОСТИКА, ОСНОВАННАЯ НА ПЕРЕЗАРЯДКЕ
2.1. Профиль плотности нейтральных атомов. Даже так назы-
называемая полностью ионизованная высокотемпературная плазма со-
содержит нейтральные атомы водорода низкой (фоновой) плотности.
Это объясняется тем, что практически во всем диапазоне энергий,
представляющих интерес, скорость реакции перезарядки между
атомами и ионами водорода Н°+Н+-^Н++Н° много больше скоро-
скорости реакции ионизации электронным ударом (ш) е~ + Н°~>2е~ +
+Н+ или ионным ударом (ш) Н++Н°-^2Н++е~ (рис. 4). На по-
поверхности плазмы происходит рождение сравнительно медленных
нейтральных атомов либо при диссоциации напускаемого газа и
газа, десорбирующегося со стенок камеры водорода, в результате
чего получаются нейтральные атомы с энергией около 3 эВ, либо
при отражении вылетающих из плазмы ионов от поверхности
диафрагмы, что приводит к образованию нейтральных атомов с
энергиями, соответствующими температуре ионов на границе
плазмы. Эти нейтральные частицы характеризуются сравнительно
небольшой длиной свободного пробега по отношению к ионизации
электронным ударом. В результате перезарядки на более энергич-
энергичных ионах в плазме они дают начало образования более горячих
нейтральных атомов, способных проникнуть довольно глубоко в
объем разряда [21]. Процесс перезарядки не связан со сколько-
нибудь существенной передачей энергии, так что удерживаемый
магнитным полем горячий ион обменивается с более холодным
нейтральным атомом электроном, но не энергией. В целом это
приводит к потере энергии ионами, заключенными в объеме ловуш-
592

ки. Для плазмы с низкой интегральной плотностью электронов и
большой плотностью нейтральных атомов на границе этот процесс
может оказаться весьма существенным каналом потерь энергии.
В плазме, нагреваемой нейтральным пучком, потеря циркулирую-
циркулирующих ионов пучка при перезарядке с нейтральными частицами теп-
тепловых энергий иногда бывает значительной [17, 22].
В настоящее время известно много численных решений полного
уравнения Больцмана, описывающих перенос нейтральных атомов
10
w11
-г
- <cfv / I
1 \
\ оу6
Перезарядка^^^=^^^
Электронная ^-^^^ /у
ионизация ^^у?*С
/ /
/ /
и / i
//
1 I 6Ш
ПрОЛПОННп' L
n^ ионизация
\
\
7
10
10°
Рис. 4. Константы скорости процессов столкновений атомов водорода с ионами
водорода и электронами, в результате которых происходит изменение
заряда [20]:
пунктирной линией — показаны зависимости Cv(E), сплошной линией — зависимости
<GV>(T), усредненные по максвелловскому распределению скоростей
в локально максвелловской плазме и различающихся по степени
приближения и необходимому для расчетов на ЭВМ времени
[23—25]. Однако можно сделать грубую оценку профиля плотно-
плотности нейтральных атомов, ожидаемого в плазме большого объема и
высокой плотности, рассматривая эти частицы в МГД-приближе-
нии [26]. Будем исходить из условия a*>Xmfpcx, где а —радиус
плазмы; Xmfpcx=(v}/ni(Gv}cx. Это позволяет рассматривать пере-
перенос нейтральных атомов как диффузионный процесс и, кроме того,
дает основания считать локальную температуру нейтральных ато-
атомов близкой к локальной температуре ионов. Помимо этого, мы
полагаем %mfpcx<.Xmfpn=(v)/(пе<аа>в«-+п/<а0>ш), что достаточно
хорошо удовлетворяется в интересующем нас диапазоне энергий.
Это позволяет предположить, что изотропизация газа нейтральных
атомов в ходе перезарядки происходит быстрее, чем ее исчезнове-
исчезновение при ударной ионизации.
Уравнение, описывающее диффузионное проникновение нейт-
нейтральных атомов в поглощающую среду плазмы, имеет вид:
dno/dt=
F)
593

Тдё D =- коэффициент диффузии; По —плотность нейтральных ато*
мов; %ц —- характерное время ударной ионизации; So — источник
нейтральных атомов. Для стационарного решения, которое мы
ищем, dno/dt—0 и 50=0 везде, за исключением границы плазмы.
Для D используем приближенное выражение [27] ]
* 5 ' G)
/
к для %ц имеем
Xii=KmfpcxKv), (8)
Предположив, что параметры плазмы, определяющие та, D и <и>,
меняются много медленнее с координатой, чем п0» можно перепи-
переписать F) в виде
(Kmfpcx/S) V2no—no/%mfpii = Q. (9)
Если принять, что геометрия пластины проста и п0 изменяется
по экспоненциальному закону, no=exp(r/L), то мы придем к вы-
выводу, что характерная длина изменения плотности нейтральных
атомов может быть представлена приближенно как среднее гео-
геометрическое средних длин свободного пробега для перезарядки и
ударной ионизации, деленное на]/~3:
lf X../V3. A0)
Подставляя сюда параметры, типичные для термоядерного
реактора с магнитным удержанием, т. е. пе, я/^ЫО14 см~3; Те,
Ti^To^lS кэВ, получаем для L значение порядка 10 см, что много
меньше характерного для реактора размера а ^ 100 см. В проти-
противоположность этому условия современного эксперимента изме-
изменяются от полной прозрачности плазмы для нейтральных частиц
до ее практически полной непрозрачности. В установке ЕВТ, на-
например, Яе^ЫО12 см~3, откуда L/a^lO, а для установки RFP
имеем пе^\ • 1014 см~3, что дает L/a^l/10.
При высоких плотностях и низких ионных температурах про-
проникновение нейтральных частиц в плазму извне может быть очень
незначительным, даже если принять во внимание многократный
процесс перезарядки. Как следствие этого плотность нейтральных
атомов может быть в основном обусловлена излучательной реком-
рекомбинацией электронов и ионов с образованием нейтральных атомов
[28]. Поскольку характерная длина диффузии для рекомбиниро-
вавших нейтральных атомов в большинстве тех случаев, когда ре-
рекомбинация существенна, мала, можно представить их локальную
равновесную плотность следующим выражением:
р ) t A1)
<от>рек=1,27.10-^/B+0,59) A2)
(<(Т1>>рек — в кубических сантиметрах в секунду; Z=13,6/Те\ Те —
в электронвольтах).
594

Обусловленный этим процессом минимальный уровень плотно-
плотности нейтральных атомов в плазменном столбе составляет при-
приблизительно 1СН электронной шю-гности ПРЙ энергии 1 кэВ и па-
падает до \0-ьпе при энергии 20 кэВ. При таких низких плотностях
нейтральных атомов переносом энергии и частиц, связанным с ре-
рекомбинацией, можно полностью пренебречь, тем не менее диагно-
диагностические измерения, основанные на анализе нейтральных атомов,
иногда возможны.
Описанные выше простые процессы, знакомые нам из атомной
физики, определяют абсолютное значение плотности образованных
в результате рекомбинации нейтральных частиц и форму радиаль-
радиального профиля десорбировавшихся со стенок нейтральных атомов,
но не абсолютное значение плотности последних. Это объясняется
тем, что скорость напуска нейтральных атомов, необходимых для
подпитки плазмы, задается желаемым значением равновесной
Плотности плазмы и временем удержания частиц ш разряде. В плаз=
ме токамака время удержания частиц обычно Сравнимо с време-
временем удержания энергии, причем для плотйбсти нейтральных ато-
атомов на границе обычно получаются значения от 5-Ю9 см~3 для
плазмы малой плотности (пе—Ю13 см~3) до 5-1011 см~3 для очень,
плотной плазмы (/г6^1015 см~3). При максимально достижимых
плотностях полное время удержания частиц становится заметно*
меньше те, поскольку даже при многократной перезарядке подпит-
подпитка ионизацией происходит только на самой границе плазмы.
2.2. Измерение температуры ионов. Нейтральные атомы, при-
присутствие которых в ионизованной плазме обусловливает появле-
появление канала потерь энергии, могут быть в то же время с успехом
использованы для измерения энергетического распределения за-
захваченных в ловушку ионов. Даже в условиях, когда средняя дли-
длина свободного пробега нейтральных атомов в центральной обла-
области плазмы мала по сравнению с радиусом плазмы,, часть ней-
нейтральных частиц, образующихся в процессе перезарядки в горячей
центральной области, может все же вылететь из плазмы. Суммар-
Суммарная средняя длина свободного пробега для перезарядки и ударной
ионизации возрастает приблизительно пропорционально энергии
нейтральных атомов. В результате этого при очень больших инте-
интегральных плотностях электронов атомы, получающиеся в реультате
перезарядки на высокоэнергичных ионах в центральной области,
имеют наибольшую вероятность вылета из плазмы. Вылетающие
частицы детектируются анализатором нейтральных частиц (АНЧ),
состоящим из газовой камеры обдирки для преобразования ней-
нейтральных атомов в ионы, электростатического (а иногда и маг-
магнитного) спектрометра ионов для анализа ионов по энергии (а
в некоторых случаях и по массе) и детекторов частиц, основанных
на принципе электронного умножения. Энергетическое распределе-
распределение нейтральных атомов, вылетающих из плазмы, можно исполь-
использовать для расчета распределения захваченных в ловушку ионов.
В случае максвелловского распределения по энергии отсюда мож-
можно получить ионную температуру, а при значительных отклонениях.
59S.

распределения от максвелловского, как это имеет место, например,
,при инжекции пучка в магнитную ловушку, можно сделать заклю-
заключение о средней энергии удерживаемых в ловушке ионов.
На рис. 5 приведена схема современного анализатора масс
нейтральных частиц [30]. Быстрые нейтральные атомы входят в
.камеру обдирки вверху слева, и часть из них там превращается
в процессе столкновений в ионы. В анализаторах ранних моделей
Рис. 5. Комбинированный анализатор нейтральных частиц с применением маг-
магнитного и электростатического полей, позволяющий производить одновременный
анализ потока нейтральных атомов по массе и по энергии [30]:
/ — железная коробка ярма магнита; 2 — дефлектор заряженных частиц; 3 — нейлоновая
•опора; 4 — газовая ячейка; 5 — катушка; 6 — торец железного полюса; 7 — апертура кана-
каналов для частиц с разными импульсами; 8—локальный холловский датчик; 9—фильтр по
энергиям; 10 —- каналотронные детекторы
"камера заполнялась азотом, поскольку этот газ обладает высокой
эффективностью обдирки и сравнительно легко откачивается [31].
В настоящее время в большинстве анализаторов используют водо-
водород или гелий для уменьшения загрязнения плазмы. Водородные
камеры, очевидно, являются наиболее ^чистыми» в отношении их
возможного влияния на состав плазмы (в некоторых экспериментах
камеру обдирки заполняют даже тем же изотопом водорода,
который присутствует в плазме), но гелий характеризуется значи-
значительно брльшей эффективностью обдирки. В любом случае камеру
следует заполнять до давления 10~4—10~3 мм рт. ст. @,013—
Ю,13 Па), причем между ячейкой и анализатором необходимо под-
поддерживать перепад давлений 100: 1. Это достигается обычно ис-
использованием достаточно маленьких апертур на входе в камеру,
а иногда — трубчатых коллиматоров для увеличения сопротивле-
596

ния выходу газа, что не ограничивает приемный угол для быстрых
нейтральных атомов, . - .
Для обеспечения необходимого перепада давления обычно при-
применяют турбомолекулярные насосы, обладающие высокой произ-
производительностью (около 500 л/с). При этом низкое давление долж-
должно поддерживаться не только в АНЧ (для предотвращения пере-
перезарядки образовавшихся быстрых ионов), но и в пролетной трубке,
соединяющей установку с анализатором (чтобы избежать потерь
нейтральных атомов на входе). При высоких энергиях (более
10 кэВ) можно заменить газовую камеру тонкой (около 10~2 мкм)
углеродной фольгой для обдирки нейтральных атомов в пучке на
входе. При этом значительно снижаются требования к системе от-
откачки, правда за счет ухудшения энергетического разрешения^ свя-
связанного с появляющейся у прошедших через фольгу ионов диспер-
дисперсией по энергии [32]. При очень низких энергиях (до 500 эВ) об-
обдирка нейтральных атомов водорода при столкновениях в газовой
камере становится крайне неэффективным процессом; более при- -
влекательной альтернативой является образование отрицательных
ионов в результате прилипания электронов. В приборах такого ти-
типа быстрые нейтральные атомы пропускаются через печь, обычно
наполненную парами цезия, а затем анализируются по энергии
как отрицательные ионы [33].
После преобразования нейтральных атомов в ионы они затем
анализируются по энергии, а иногда и по массе. Анализ по массе
проводится по крайне примитивной схеме, поскольку в большинст-
большинстве случаев достаточно бывает обеспечить надежное разрешение
изотопов водорода, хотя иногда бывает желательно достаточно вы--
сокое разрешение A000:1). Такое высокое разрешение требуется
в экспериментах по инжекции пучков нейтральных атомов, в кото-
которых значительное количество одного изотопа водорода- инжекти-
инжектируется в фоновую плазму, состоящую из другого изотопа. Часто
необходимо измерять спектр перезарядки фонового изотопа в ши-
широком диапазоне энергий, причем на верхнем краю диапазона энер-
энергичные инжектированные частицы могут оказаться преобладающей
компонентой потока нейтральных атомов.
В установках без-анализа по массе анализ по энергии проще
всего осуществить с помощью чисто электростатической системы.
Наиболее., часто используют 45-градусный плоский анализатор
[31], на выходе которого можно поставить набор детекторов для
одновременного анализа частиц разных энергий, а также !127-гра-
дусный цилиндрический анализатор [34], который легко перестраи-
перестраивается по энергии и допускает «просматривание» плазмы под раз-
разными углами [35]. Показанный на рис. 5 прибор представляет со-
собой комбинированную магнитную и электростатическую систему.
После анализа-HQHOB по импульсу с помощью магнита с поворотом
на 180° производится их грубый анализ по энергии небольшими
цилиндрическими анализаторами. Последнее эквивалентно анализу
по массе, поскольку энергия частицы с заданным импульсом об-
обратно пропорциональна ее массе. Детектирование частиц произво-
597

дится каналотронами, дающими обычно 107 электронов на один
протон на входе. Специальная электронная схема дискриминирует
выходные импульсы по амплитуде, пересчитывает их и направляет
в память ЭВМ.
В спектрометрах такого типа, в которых используются дискрет-
дискретные электронные умножители для детектирования проанализиро-
проанализированных по массе и энергии частиц, большинство ионов, рождаю-
рождающихся в камере обдирки, отбрасывается, в результате чего теряет-
теряется большой объем информации. Эту ситуацию можно сравнить с
подобной же, хотя еще более серьезной проблемой спектроскопии
125
о
«о
О
о о о
/-—-\
о / о о
130
Рис. 6. Микроканальный детектор частиц большой площади:
пространственное разрешение обеспечивается применением набора индивидуальных анодов
с задней стороны детектора
плазмы, где монохроматоры, используемые для детектирования фо-
фотонов в видимом и ультрафиолетовом участках спектра, могут
одновременно быть настроены лишь на одну эмиссионную линию.
В результате этого задача определения содержания примесей в
плазме может оказаться не только крайне трудоемкой, но еще и
ненадежной по причине невоспроизводимое™ условий разряда.
Устранить эти трудности как в спектроскопии, так и в анализе ней-
нейтральных частиц можно, если использовать позиционно-чувстви-
тельные детекторы большой площади, собирающие значительную
долю попадающих в спектрометр фотонов или ионов.
На рис. 6 показана система детекторов с использованием ми-
микроканальных пластин [36], которая будет установлена в анализа-
анализаторах нейтральных атомов, разрабатываемых для установки
TFTR. Частицы, попадающие на переднюю сторону детектора,
вызывают появление на выходе порядка 106 электронов, которые
детектируются анодом с обратной стороны, как раз напротив точ-
точки влета частицы. Спектрометр с полем Е||В [37, 38], применяе-
применяемый в комбинации с этой детекторной сборкой, анализирует по
импульсу протоны, дейтроны и тритоны с помощью 180-градусной
магнитной системы (см. рис. 5). Однако если на магнитное поле
в магнитном анализаторе наложить параллельное ему электриче-
электрическое поле, то этот спектрометр будет анализировать частицы по
массе в направлении вдоль поля, т. е. перпендикулярно направле-
направлению, в котором они анализируются по импульсу. На выходе такого
598

спектрометра получается двумерная картина с разверткой ионов
по импульсу в одном измерении, а по массе — в другом. Микрока-
Микроканальная пластина в комбинации с прямоугольной решеткой отдель-
отдельных анодов, работающая по такой схеме, позволяет детектировать
практически все частицы, вылетающие в виде ионов из камеры
обдирки.
Анализаторы нейтральных частиц градуируют по эффективно-
эффективности на разных энергиях с помощью слаботочных моноэнергетиче-
моноэнергетических нейтральных пучков. При энергии выше 5 кэВ эта градуиров-
градуировка фактически отражает эффективность генерации ионов в камере
обдирки, а также эффективность счета детекторов частиц, которая
медленно меняется с энергией. При энергии ниже 5 кэВ рассеяние
в камере обдирки может оказать влияние на эффективность; это
единственный процесс, характеристики которого существенно зави-
зависят от геометрии анализатора и тем самым делают необходимой
индивидуальную градуировку каждого прибора. Проведя градуи-
градуировку и зная угол падения потока, можно перевести измеренные
скорости счета в плотность потока на входной апертуре.
Для того чтобы вернуться к распределению ионов по энергии,
надо разделить поток на входе в анализатор на зависящую от
энергии скорость перезарядки gcxv и на корень квадратный из
энергии частиц. Величину, которую обычно представляют на гра-
графиках как «спектр перезарядки», можно записать в виде
S=(dnldE)loexvVE9 A3)
где dn — скорость счета в канале с энергетической шириной dE.
Считая распределение ионов максвелловским и пренебрегая поте-
потерями вылетающих из плазмы нейтральных атомов, получаем для
спектра простую зависимость 5оэ ехр(—E/Tt). Строя спектр в по-
полулогарифмическом масштабе, мы должны получить прямую ли-
линию, наклон которой соответствует ионной температуре. Однако
в большинстве случаев плазма характеризуется не одной ионной
температурой, а профилем температуры, который имеет максимум
в центре плазмы и спадает до малого значения на границе. Эта
проблема еще более усложняется тем, что плотность нейтральных
атомов, а следовательно, и скорость перезарядки проходят, как
это уже упоминалось, через резкий максимум около поверхности
плазмы. В результате спектр перезарядки, измеряемый такой «пас-
«пассивной» методикой, спадает при низких энергиях, но становится
прямой линией в полулогарифмическом масштабе при ?>
> B-^-3) 7\@) (рис. 7,а). Это объясняется тем, 4fo вклад в спектр,
обусловленный холодной, периферической областью плазмы, ста-
становится пренебрежимо малым при высоких энергиях, так что ана-
анализатор нейтральных атомов измеряет в сущности функцию рас-
распределения в центре.
Если энергетическое распределение ионов в центре является
максвелловским вплоть до самых высоких энергий, то температуру
ионов в плазме средней плотности можно определить, представляя:
спектр экспонентой в пределах от 37\ до 10Г/. В целом оказывает-

ся, что несколько заниженная оценка 7\-@), которая обусловлена
учетом вклада в поток перезарядки от областей, лежащих далеко
от центра плазмы, частично компенсируется завышенной оценкой
7\%@) для центральных областей, связанной с тем, что нейтральные
атомы малой энергии не могут вылететь из центральных областей
плазмы и достичь АНЧ. В результате при средних значениях
пе1/Тг<-^1015 см^-кэВ-1 оценка 7^@), получаемая из наклона при
высоких энергиях, поразительно точна. Однако в случае плазмы
Рис. 7. Энергетический спектр частиц перезарядки при инжекции пучка ней-
нейтральных' атомов в токамаке PDX, измеренный по схеме пассивной (а) и актив-
активной (б) диагностики [39]
очень высокой плотности прямолинейный участок спектра наблю-
наблюдается лишь при крайне больших значениях E/Ti, когда скорость
счета неприемлемо мала. При таких условиях для оценки ионной
температуры в центре плазмы необходимо моделирование процес-
процесса, ответственного за формирование спектра.
Если есть уверенность в максвелловском характере распреде-
распределения ионов по энергии и в правильности расчета профиля плотно-
плотности нейтральных атомов>то из энергетического спектра продуктов
перезарядки можно извлечь очень ценную информацию. В прин-
принципе получаемая информация достаточна для восстановления пол-
полного профиля ионной температуры. Однако на практике часто поль-
пользуются следующим выражением:
после чего Г«@) и а определяют из формы спектра атомов переза-
перезарядки [30]. Для этого требуетая провести моделирование процес-
процессов переноса нейтральных атомов в плазме, а также к АНЧ с по-
последующей обработкой измеренного спектра по методу наимень-
наименьших .квадратов и варьированием 7\@) и а. Профиль плотности
нейтральных атомов можно также вычислить по измеренной ин-
интенсивности их потока. Эта методика, основанная на объединении
измерений- продуктов -перезарядки с численным моделированием,
обладает тем преимуществом, что в ней максимально используется
-имеющаяся информация. К недостаткам ее следует отнести то, что
надежнесть методики очень сильно зависит от правильности, ис-
600- -

ходных предположений относительно ввда.по(г) и fi(E). Отметим
также трудность учета полоидальной и тороидальной асимметрий
я Отклонений функции распределения ионов от максвелловского
вида.
Другим возможным подходом является прямое измерение ло-
локального энергетического распределения ионов по методу пере-
перезарядки [40]. При этом производится инжекция модулированного
so времени диагностического пучка нейтральных атомов. Такая
йнжекция вызывает модуляцию потока атомов на входе в анали-
анализатор как следствие возрастания интенсивности перезарядки в той
точке в плазме, где ось детектора пересекается с траекторией пуч-
пучка. После соответствующей нормировки можно получить локаль-
локальную функцию распределения ионов по энергии из измерений моду-
модуляции потока нейтральных атомов. Если интенсивность пучка ней-
нейтральных атомов известна с хорошей точностью, то абсолютное
значение модуляции можно использовать для определения входно-
входного телесного угла АНЧ, что позволит повысить надежность измере-
измерения По в немодулированном потоке. При этом особенно важно
учесть наличие фона нейтральных атомов тепловых энергий, со-
создаваемого при перезарядке в самом диагностическом пучке. Этот
вклад в некоторых случаях преобладает при перезарядке на моду-
модулированной мишени [41]. Пучки нейтральных атомов, предна-
предназначаемые для таких диагностических целей, должны быть до-
довольно мощными. В качестве примера можно привести токамак
PLT, в котором используется диагностический пучок с энергией
частиц 20 кэВ и током 10 А [42], того же типа, что применяется
в экспериментах по нагреву плазмы на установках меньшего раз-
размера.
При использовании мощного вспомогательного нагрева методи-
методика модулированного диагностического пучка может оказаться по-
полезной для оценки близости энергетического распределения ионов
к максвелловскому [43] и для проведения локальных измерений
7V На рис. 7,6 показано измерение ft на установке PDX с по-
помощью диагностического пучка на стадии мощного нагрева пуч-
пучком нейтральных частиц; видно, что распределение ионов по энер-
энергии имеет максвелловский характер в широком диапазоне энергий
от 1/ЗГг до 57\-. Исходя только из обычных интегральных измере-
измерений, можно было бы предположить, что истинная температура в
центре гораздо ниже, чем это следует из формы высокоэнергетич-
ной части спектра перезарядки, из-за возможного искажения рас-
распределения ионов по энергии. Локальные измерения функции рас-
распределения в центре подтверждают применимость для этого случая
обычной интерпретации кривизны спектра, которая связывает ее
с профилем ионной температуры.
Был предпринят ряд попыток измерения профиля Тг(г) в тока-
маках путем анализа нейтральных атомов перезарядки. Эта задача
оказалась крайне сложной. Сканирование плазмы анализатором
по вертикали перпендикулярно ее оси, проведенное на нескольких
токамаках [44, 45], показало, что потоки нейтральных атомов
39-3283 601

асимметричны в вертикальном направлении. Выяснилось, что про-
профили ионной температуры имеют правильную форму на той сто-
стороне тора, которая противоположна направлению дрейфа, связан-
связанного с VS, в то время как в направлении дрейфа они почти пло-
плоские. Этот эффект можно объяснить существованием некомпенси-
некомпенсированного вертикального движения частиц, захваченных в локаль-
локальные магнитные ямы, которые формируются дискретными обмотка-
обмотками тороидального поля. Правильность такого объяснения была
подтверждена на токамаке TFR путем сканирования плазмы ана-
анализатором в направлении, слегка отличающемся от перпендику-
перпендикулярного, при котором АНЧ уже не чувствителен к локально захва-
захваченным частицам [46]. Измеренные радиальные профили как
вверху, так и внизу были симметричными. Дальнейшим подтверж-
подтверждением этого может служить следующий факт: в токамаке PLT,
где обмотки тороидального поля расположены так, что локальный
захват не может иметь места, асимметрия верх — низ не наблю-
наблюдалась даже при точно перпендикулярной установке АНЧ [47].
Даже в том случае, когда нет вертикального дрейфа захвачен-
захваченных частиц, использование анализа нейтральных атомов для опре-
определения Ti(r) наталкивается на трудности. Поскольку эта методи-
методика в отсутствие диагностического пучка основывается на предпо-
предположении о максвелловском характере функции распределения ионов
до энергий порядка 107\-, она оказывается очень чувствитель-
чувствительной к присутствию даже небольшого количества частиц надтепло-
вых энергий. В центральной области плазмы такие частицы возни-
возникать не могут (разве только как следствие инжекции пучка ней-
нейтральных атомов, искажений, связанных с неустойчивостями, или
радиочастотного нагрева); однако для периферических областей
центральная область плазмы сама по себе является возможным
источником нетермализованных энергичных ионов. Если радиаль-
радиальная диффузия этих ионов происходит быстрее, чем их термализа-
ция, то можно ожидать образования немаксвелловского хвоста;
этот эффект вероятен даже в результате переноса в процессе пере-
перезарядки. Дополнительную трудность может создать отражение не-
некоторых нейтральных атомов, испускаемых центральной областью
плазмы, от стенок вакуумной камеры; при этом в распределении
ионов, измеренном не по центру, может появиться хвост. Этого
эффекта можно избежать, используя локальный диагностический
пучок или специально сконструированную входную диафрагму.
Вклад отраженных нейтральных атомов в сигнал можно оценить,
ориентируя прибор таким образом, чтобы в него могли попасть
частицы от дальней стенки камеры, но не из плазмы. В токамаках
АТС и PDX этот отраженный поток оказался пренебрежимо малым
[48], в то время как на установке Pulsator он мог при некоторых
условиях быть довольно значительным [49].
Возможность искажения локальной функции распределения
ионов эффектом радиального переноса является более трудной
проблемой, однако позволяет разобраться в процессах переноса,
ответственных за искажения. В эксперименте, проведенном на то-
602

камаке АТС [50], многоапертурный АНЧ был ориентирован тан-
тангенциально относительно плазменного шнура, так что просматри-
просматривалась плазма в стороне от магнитной оси. Оказалось, что темпе-
температурный профиль ионов, движущихся антипараллельно плазмен-
плазменному току, имеет максимум, как и ожидалось, при г=0, в то время
как кажущийся температурный профиль ионов, распространяющих-
распространяющихся в направлении тока, является плоским от центра плазмы вплоть
до областей, расположенных в нескольких сантиметрах от ее по-
поверхности. Этот эффект" был приписан большой ширине так назы-
называемых бананов для энергичных ионов в установке АТС, в резуль-
результате чего частицы с высокой энергией, движущиеся анти-
антипараллельно в центральной области, могут «подпитьдвать»
немаксвелловский хвост распределения частиц, движущихся вдоль
тока во внешней области плазменного столба. Дальнейшие экспе-
экспериментальные и теоретические исследования асимметрий различ-
различных распределений, наблюдаемых в плазме магнитных ловушек,
позволят углубить наше понимание механизмов, ответственных за
перенос частиц.
2.3. Диагностика быстрых ионов. В плазме, где время ион-ион-
ион-ионных столкновений сравнимо с временем удержания энергии ионов,
следует ожидать значительных отклонений функции распределения
от максвелловской. В самом деле, в любой плазме, в которой идет
интенсивный нагрев ионов, например при инжекции нейтральных
частиц или радиочастотным методом, часть энергетического рас-
распределения ионов будет иметь заведомо немаксвелловский харак-
характер. Чтобы определить, идет ли процесс термализации в соответст-
соответствии с классической теорией, необходимо измерить функцию распре-
распределения, это можно сделать с помощью методики перезарядки.
В тех случаях, когда торможение быстрых ионов и рассеяние хо-
хорошо объясняются кулоновскими столкновениями и не являются
следствием коллективных процессов, подробные измерения терма-
термализации тоже могут быть с успехом использованы для целей диаг-
диагностики. Иногда даже можно получить радиально разрешенную
информацию по параметрам фоновой плазмы. Если при торможе-
торможении преобладают коллективные процессы, то искажения формы
функции распределения, обусловленные взаимодействием волна —
частица, можно использовать для получения информации о при-
присутствующих в плазме неустойчивостях.
В эксперименте 2X1 IB с инжекцией пучка нейтральных атомов
в магнитную ловушку для измерения функции распределения бы-
быстрых ионов использовался 10-канальный АНЧ с разрешением по
массе. При этом инжектированные энергичные частицы давали ос-
основной вклад в ионную компоненту плазмы, и их время жизни
определялось в значительной степени скоростью перезарядки меж-
между циркулирующими быстрыми ионами и инжектированными бы-
быстрыми нейтральными атомами. Таким образом, инжектированные
пучки частиц, с одной стороны, являлись мишенью для перезаряд-
перезарядки, приводящей к появлению сигнала в АНЧ, а с другой — обеспе-
обеспечивали основной механизм потерь для энергичных ионов, вылетаю-
39* 603

щих из плазмы. В результате этого потери энергии инжектирован-
инжектированных ионов до их вылета из области разряда составляли лишь ма-
малую долю их начальной энергии, так что средняя энергия ионов
в плазме была близка к средней энергии инжектируемых ионов.
В плазме пробкотронов распределение быстрых частиц по питч-
углу, т. е. по углу между вектором их скорости и направлением
магнитного поля, в средней плоско*
сти отражает аксиальное распреде-
распределение частиц с »и /cfjl =0. Таким
образом, для измерения углового
распределения надо перемещать
АНЧ по оси установки вдоль маг-
магнитного поля, сохраняя в то же
время перпендикулярную ориента-
ориентацию прибора. Радиальное распреде-
распределение снимают, наклоняя анализа-
анализатор таким образом, чтобы он реги-
регистрировал излучение из областей
плазмы, лежащих в стороне от
центральной линии. Типичные сиг-
сигналы от быстрых нейтральных ато-
атомов, полученные на установке
2ХНВ, показаны на рис. 8 [18].
Анализ этих сигналов показывает,
что они не соответствуют процессу
торможения, определяемому куло-
новскими столкновениями. В част-
частности, присутствие большого числа
частиц с энергиями, превышающи-
превышающими энергию при инжекции A5—20
кэВ), обусловлено, по-видимому,
взаимодействием с дрейфово-цикло-
тронными конусными модами. Амп-
Амплитуда ионов высокой энергии из хвоста распределения коррели-
коррелирует с электромагнитными шумами на ионно-циклотронной часто-
частоте, генерируемыми в плазме.
Энергетическое распределение горячих ионов, измеренное на
установке 2X1 IB с помощью этой методики, имеет явно немаксвел-
ловский характер. В самом деле, плотность ионов с небольшой
энергией, возникающих из потока газа, обычно мала по сравнению
с плотностью горячих ионов. Поскольку при таких условиях ион-
ионную температуру трудно определить, вместо нее вычисляют сред-
среднюю энергию ионов как функцию радиуса и положения на оси,
и эти величины используют затем для расчета значения р или для
сравнения с теорией.
В противоположность этому в плазме токамака и стелларатора
плотность инжектированных ионов при нагреве пучком нейтраль-
нейтральных частиц составляет обычно лишь 5—30% фоновой плотности
ионов, в результате чего процессы торможения и рассеяния на
604
зо Е9т
Рис. 8. Сравнение эксперимен-
экспериментального спектра быстрых нейт-
нейтральных частиц, полученного на
установке 2X1 IB, с теоретическим,
который построен с учетом диф-
диффузии в пространстве скоростей,
обусловленной дрейфово-цикло-
тронными конусными модами
\

питч-угол протекают, как правило, в хорошем согласии с классиче-
классической теорией парных столкновений. Функцию распределения бы-
быстрых ионов измеряют в большинстве случаев АНЧ, просматри-
просматривающими плазму в перпендикулярном или тангенциальном направ-
направлении. Иногда один горизонтально сканирующий анализатор
используется для перекрытия большого диапазона углов, от
параллельной по отношению к границе плазмы ориентации АНЧ
до перпендикулярной, и вертикально сканирующий анализатор
с близкой к перпендикулярной ориентацией — для измерения рас-
распределения быстрых ионов в функции от радиуса. С помощью изу-
изучения эволюции динамики потока нейтральных атомов с хорошим
разрешением по углу и энергии удалось исследовать процессе тер-
мализации быстрых ионов, причем было показано, что он развива-
развивается в хорошем согласии с классической теорией [51—53].
Были проведены предварительные эксперименты, направленные
на использование классического характера процесса термализации
ионов пучка, для целей диагностики плазмы. Спектр перезарядки,
наблюдаемый в экспериментах по нагреву плазмы пучком ней-
нейтральных частиц в токамаках, чувствителен к полному содержанию
примесей в плазме Z^y определяющих скорость рассеяния на питч-
угол, и к плотности нейтральных атомов п0, характеризующей по-
потери ионов пучка при перезарядке. Увеличение кЭф приводит к уве-
увеличению сигнала при углах, отличных от угла инжекции, в то вре-
время как рост плотности нейтральных атомов имеет следствием
относительное снижение сигнала при малых энергиях. Пользуясь
коллимированным пучком, инжектируемым в тангенциальном на-
направлении, можно сконцентрировать быстрые ионы в кольце, лока-
локализованном вблизи выбранного значения малого радиуса в токама-
ке. Изучение скорости рассеяния на питч-угол и скорости потерь
этих быстрых ионов при перезарядке позволяет локально опреде-
определить ZB$ и По [54].
Использование коллимированного пучка нейтральных атомов
позволяет также измерить радиальный профиль коэффициента за-
запаса устойчивости q [55]. Орбиты быстрых ионов смещаются по
отношению к поверхностям постоянного магнитного потока в плаз-
плазме на величину
A = qvlQci=qcmv/eB. A5)
Пользуясь горизонтально сканирующим АНЧ для определения по-
положения орбит, можно измерить этот сдвиг в функции от импульса
иона. Из отношения сдвига орбиты к импульсу иона можно найти
величину q, а экстраполяция к нулевому импульсу дает положение
поверхности постоянного потока. Диагностические эксперименты
такого типа на современных токамаках требуют применения дей-
териевого пучка нейтральных частиц с энергией 30—80 кэВ, с по-
помощью которого можно ввести ток порядка нескольких сотен мил-
миллиампер в мишень шириной 1—2 см. Кроме того, для локализации
орбит быстрых ионов с погрешностью около 0,5 см АНЧ должен
быть хорошо коллимирован.
605

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПУЧКОВ ЧАСТИЦ ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ
. 3.1. Измерения ослабления пучка. Одним из самых ранних при-
применений корпускулярных пучков для диагностики плазмы в ма-
магнитных ловушках было измерение ослабления пучка нейтральных
атомов при его прохождении через столб плазмы [56]. Если изве-
известны состав плазмы и соответствующие поперечные сечения, то
эту методику можно использовать для измерения интегрированной
по направлению зондирования плотности плазмы:
/г/=—A/аПолнIп(///о) A6)
где стполн — полное эффективное сечение ионизации пучка нейтраль-
нейтральных частиц в процессах перезарядки и ионизации ионным и элек-
электронным ударом:
ЛОпош» = 2 л/ «cV>cx + <W>Hl) + Пв <W>9ii\ A7)
/ — ток пучка, измеряемый во время разряда; /о — ток, детекти-
детектируемый в отсутствие ослабления плазмой; суммирование произво-
производится по всем видам частиц в плазме. В литературе имеются сведе-
сведения о сечении столкновения водородоподобных нейтральных атомов
с водородоподобными ионами и электронами [20]. Выведены и точ-
точные соотношения для расчета полного сечения ионизации для не-
водородоподобных ионов-мишеней [57]. Для такого эксперимента
достаточен пучок атомов водорода, обеспечивающий ток всего
несколько десятков миллиампер, однако при этом необходимо тща-
тщательно проверять отсутствие других источников ослабления пучка,
кроме плазмы. Для детектирования пучка часто применяют АНЧ,
подобные тем, что используются при измерении ионной темпера-
температуры.
Способ определения плотности плазмы по ослаблению пучка
в настоящее время вытеснен микроволновым и лазерно-интерферо-
метрическим методами, в которых неопределенность в знании со-
состава Плазмы и сечений атомных процессов не играет существен-
существенной роли. Однако только относительно спокойная плазма может
дать четкую интерферограмму. Кроме того, интерферометрическое
измерение плотности в любой данный момент времени требует зна-
знания полной эволюции интерференционной картины до этого мо-
момента [58]. На измерения же ослабления пучка шум плазмы не
оказывает никакого влияния. На установке 2XIIB плотность плаз-
плазмы определяли по ослаблению пучка нейтральных дейтронов энер-
энергии 20 кэВ подобно тем, которые применяются для основного на-
нагрева и подпитки [18]. Благодаря высокой плотности тока удалось
ограничиться набором простых детекторов вторичной эмиссии для
измерения всех осевых и радиальных профилей плотности. Однако
для того, чтобы учесть энергетическое распределение ионов в плаз-
плазме и влияние трех энергетических групп ионов, генерируемых ней-
нейтральным пучком, необходимо было провести энергетическую раз-
развертку сигнала.
606

Измерения ослабления пучка не получили широкого распро-
распространения при изучении спокойной плазмы из-за чувствительности
к ее ионному составу, однако этот их недостаток может быть об-
обращен на пользу, если измерение ослабления проводить парал-
параллельно с независимым измерением плотности электронов. Такую
методику можно применить для определения содержания примесей
в плазме, особенно если спектроскопическим или каким-либо дру-
другим путем удастся выявить преобладающий вид примесного иона
[59].
3.2. Рекомбинация при перезарядке. Одна из наиболее серьез-
серьезных трудностей на пути применения спектроскопических методов
для оценки содержания примесей в горячей плазме заключается
в том, что полностью ионизованные примеси не излучают спек-
спектральных линий, и их трудно обнаружить. Полностью ободранные
ионы могут излучать в результате свободно-связанных (рекомби-
национное излучение) и свободно-свободных (тормозное излуче-
излучение) переходов. Разрывы в длинноволновом рентгеновском кон-
континууме при ?=13,6Z2 эВ обусловлены границами, соответствую-
соответствующими излучательной рекомбинации электронов нулевой энергии.
В принципе эти разрывы можно использовать для определения
профиля плотности различных видов полностью ионизованных
примесей. Однако на практике границы рекомбинации таких типич-
типичных легких примесей, как углерод и кислород, лежат в неудобной
очень длинноволновой области спектра рентгеновского излучения,
что крайне затрудняет точные измерения. Тормозной континуум,
особенно в видимой области спектра, где рекомбинация несущест-
несущественна, был недавно использован для измерения 2эф(/*, t) [60], но
эти измерения не позволяют разделить различные примеси, кото-
которые вносят вклад в Z3$.
Пучок атомов водорода, проходящий сквозь содержащую при-
примеси плазму, претерпевает перезарядку на примесях [62] и на
ионах водорода, а также ионизацию при соударениях с ионами,
электронами и примесями [20, 51]. В частности, реакция
может оказаться особенно полезной для целей диагностики плаз-
плазмы, когда п равно атомиому номеру Z примеси X. В ходе этой
реакции полностью ионизованные примеси превращаются в водо-
родоподобные ионы в возбужденном состоянии. Процесс переза-
перезарядки на типичном пучке атомов водорода с энергией 25—100 кэВ
приводит к преимущественному заселению состояний с главными
квантовыми числами, близкими к n = Z3/4 [62, 63]. Времена жизни
этих состояний лежат в наносекундной области, так что водородо-
подобные ионы успевают возвратиться в свои основные состояния
до того, как они отойдут далеко от места столкновения. Таким об-
образом, наблюдая мгновенное ультрафиолетовое излучение, испус-
испускаемое в плазме вдоль траектории пучка нейтральных атомов,
можно локально определить плотность полностью ионизо-
ионизованных примесей [64, 65]. В [62, 63] приводятся расчеты соответ-
607

ствующих сечений рекомбинации для энергий выше 25 кэВ с учё-
учётом заселенности состояний пи/, возбуждаемых в этих реакциях.
Для водородоподобных ионов легко рассчитать длины волн и ве-
вероятности переходов, что открывает путь к учету каскадного про-
процесса высвечивания, а это, в свою очередь, важно для оценки
интенсивностей линий, отвечающих переходам с малыми значения-
значениями квантового числа п. При использовании стандартных спектро-
спектрометров, работающих в области вакуумного ультрафиолета, с ма-
малым углом падения луча можно ограничиться диагностическими
пучками атомов водорода средней интенсивности (с током всего
порядка ОДА) при условии, что пучок модулируется во времени
и применяется фазочувствительное детектирование. Перемещая
точку пересечения пучка с оптической осью спектрометра по плаз-
плазме, можно получить радиальные профили плотности полностью
ободранных примесей [66]. Поскольку время рекомбинации обыч-
обычно сравнимо с временем переноса полностью ободранных примесей
с малым Z, для этих зарядовых состояний можно ожидать боль-
больших отклонений от коронального равновесия [67].
3.3. Зондирование пучком тяжелых частиц. Для зондирования
плазмы в магнитных ловушках часто используют слаботочные пуч-
пучки нейтральных или однократно заряженных атомов тяжелых ще-
щелочных элементов большой энергии [68]. Подбирая энергию ча-
частиц таким образом, чтобы ларморовский радиус одно- или дву-
двукратно заряженного иона был сравним с размером системы или
был больше его, можно преодолеть основные трудности, сопряжен-
сопряженные с использованием пучка заряженных частиц для зондирования
плазмы в магнитном поле. Для современных экспериментов доста-
достаточны энергии пучка 10—200 кэВ, а для крупномасштабных уста-
установок будущего с сильными магнитными полями потребуются уже
энергии порядка мегаэлектронвольт.
На рис. 9 показана экспериментальная установка для формиро-
формирования зондирующего пучка тяжелых ионов. Термоэлектронный
эмиттер щелочных ионов служит источником однократно ионизо-
ионизованных атомов рубидия, которые затем ускоряются электростати-
электростатически до энергии 100 кэВ при токе пучка 10—1000 мкА. Траекто-
Траектория ионов задается отклоняющими пластинами таким образом, что-
чтобы пучок после пересечения полей рассеяния вокруг плазмы вошел
в нужную точку объема разряда.
Попав в плазму, однократно ионизованные атомы рубидия иони-
ионизуются электронным ударом, так что вдоль всей траектории пер-
первичного пучка происходит образование ионов Rb++. Ларморовские
радиусы этих вторичных ионов вдвое меньше, чем у ионов Rb+,
поэтому их орбиты отклоняются от траектории первичного пучка.
После выхода из плазмы вторичные ионы обычно детектируются
электростатическим анализатором, причем в качестве коллектора
тока используются простые проводящие пластины. Из-за высокой
плотности нейтрального газа около плазмы, где происходит детек-
детектирование этих частиц, применение электронных умножителей с вы-
высоким усилением нецелесообразно.
60S

Геометрическое расположение входящего первичного пучка и
апертуры детектора полностью определяют область взаимодейст-
взаимодействия, где происходит образование и последующее детектирование
вторичных ионов. Объем этой области взаимодействия задает про-
пространственное разрешение прибора, которое в современных экспе-
экспериментах составляет 0,1 —1,0 см3. Область взаимодействия можно
сканировать в двух измерениях по сечению плазмы, варьируя со-
соответствующим образом угол инжекции и энергию первичного
пучка. На рис. 10 показано влияние этого варьирования на геоме-
геометрию детектирования в эксперименте, проводившемся в централь-
Рис. 9. Схема зондирования плазмы пучком тяжелых ионов:
— ионная пушка; 2 — отклоняющие пластины; 3 — цилиндр Фарадея; 4 — разделяющие
ластины; 5 — плазма; ? —детектор первичного пучка; 7 —детектор вторичного пучка;
8 — экран; 9 — фокусирующая ячейка; 10 — апертура
609

-15
-30-
ной ячейке установки ТМХ. Возможности этой методики при за-
заданной геометрии плазмы сильно ограничиваются патрубками, ко-
которые можно использовать для инжекции и детектирования, а так-
также магнитными полями и обмотками, окружающими плазму. Од-
Однако эта методика с успехом применялась на токамаках, пробко-
тронах и установках типа Bumpy Torus.
Вторичные ионы, поступающие в электростатический анализа-
анализатор, несут важную информацию о свойствах плазмы в области
взаимодействия, где они образо-
образовались. Грубо говоря, интенсив-
интенсивность пучка отражает скорость
ионизации электронным ударом
в области взаимодействия. Одна-
Однако поскольку скорость ионизации
зависит не только от пе, но и от
Те, можно измерить лишь произ-
произведение neF(Te). Необходимо так-
также учесть ослабление первичного
пучка на его пути к области вза-
взаимодействия. По причине этих
ограничений, а также благодаря
наличию других, более прямых
диагностических методик, зонди-
зондирование с помощью пучка тяже-
тяжелых ионов, как правило, не при-
применяют для изучения стационар-
стационарных профилей пе или Те в высоко-
температурной плазме. Однако
можно без труда получить время
разрешения по вторичному току
порядка микросекунд, и были вы-
выполнены интересные измерения
уровней флуктуации величины neF(Te) с хорошим пространствен-
пространственным разрешением. На токамаке ST эта методика была применена
для диагностики радиальной локализации МГД-тиринг-моды т =
=2, близкой к поверхности со значением запаса устойчивости q =
=2 [69].
Наиболее замечательной особенностью диагностики, в которой
используется пучок тяжелых частиц, является обеспечиваемая ей
возможность получения двумерных профилей объемного потенциа-
потенциала плазмы. Входящий первичный пучок замедляется (ускоряется)
положительным (отрицательным) объемным потенциалом в плаз-
плазме. Кинетическая энергия частиц пучка в области взаимодействия
становится равной Ео—еФ, где ?0 — начальная энергия; Ф —ло-
—локальный электрический потенциал. Когда первичный ион претер-
претерпевает соударение и становится двукратно ионизованным, его ки-
кинетическая энергия не изменяется сколько-нибудь существенно,
iftliiQCJie выхода из Плазмы электрический потенциал будет дейст-
действовать уже на вдвое больший электрический заряд. В результате
ei'O
-30
Рис. 10. Геометрия эксперимента по
зондированию плазмы в установке
ТМХ с помощью пучка ионов калия:
пунктирные линии соединяют области
взаимодействия для различных энергий
пучка при заданном угле инжекции, а
сплошные — области, которые можно ис-
следозать при заданной энергии пучка,
варьируя угол инжекции; радиус плазмы
30 см, Я=0,5 кГс, ?= 12,4-М 8,4 кэВ, ази-
азимутальный угол 121—137°, полярный
угол 90°

вылетающая двукратно ионизованная частица приобретет кинети-
кинетическую энергию Ео+еФ. Таким образом, она будет нести инфор-
информацию о локальном потенциале в области взаимодействия.
Коллектор частиц, входящий в состав электростатического ана-
анализатора, состоит из пары плоских пластин, расположенных таким
образом, что одна из них принимает пучок вторичных ионов при
низком потенциале на анализаторе, в то время как на вторую
пучок попадает тогда, когда потенциал высок. Потенциал анали-
анализатора регулируется схемой обратной связи так, чтобы на пласти-
пластины поступал одинаковый ток, что обеспечивает точное определение
энергии пучка. Обычно при энергии частиц в пучке 10—100 кэВ
измеряют объемные потенциалы не более нескольких сот вольт,
так что необходимо очень хорошее разрешение по энергии; Ъ этом
смысле термоэлектронный источник, обладающий малым энергети-
энергетическим разбросом, имеет преимущества перед другими источника-
источниками. Получаемые здесь вторичные токи 10—100 мА оказываются до-
достаточными для работы с быстрыми схемами обратной связи с ча-
частотой до 100 кГц.
Для проведения абсолютных измерений потенциала необходи-
необходимо обеспечить прецизионную энергетическую градуировку электро-
электростатического анализатора относительно энергии пучка. Это дости-
достигается путем регулировки энергии пучка и магнитных полей таким
образом, чтобы первичный пучок попал в анализатор. Детектор
обычно располагают относительно далеко от плазмы, с тем чтобы
входной угол для градуирующего первичного пучка и входные углы
для вторичных ионов, рождающихся во всех доступных для детек-
детектирования точках, были примерно равны. Тем не менее даже у фо-
фокусирующего плоского электростатического анализатора разреше-
разрешение по энергии зависит, хоть и слабо, от входного угла, и этот эф-
эффект необходимо учитывать.
На рис. 11 показана карта распределения объемного потенциа-
потенциала в установке Elmo Bumpy Torus, снятая с помощью пучка тяже-
тяжелых ионов. Никакая другая методика не позволила бы получить
такую информацию о высокотемпературной плазме в магнитной
ловушке. В установке ЕВТ, так же как в перезарядном пробкотро-
не, объемный потенциал играет решающую роль в удержании плаз-
плазмы, что и объясняет интенсивное применение пучков тяжелых
ионов в этих установках. Кроме того, установки ТМХ и EBT-S
уступают по напряженности магнитного поля и радиальным разме-
размерам современным токамакам, поэтому в них приходится ограни-
ограничиваться сравнительно небольшими энергиями пучка. Поскольку
энергия пучка пропорциональна B2,L2, применение описанной ме-
методики в токамаке PLT потребовало бы использования ионов тал-
таллия (массовое число 204) с энергией несколько мегаэлектронвольт.
Однако знание объемного потенциала, безусловно, углубило бы
наше понимание механизма вращения плазмы в токамаках, осо-
особенно когда для создания тороидального углового момента исполь-
используется несбалансированная тангенциальная инжекция пучка ней-
нейтральных частиц..
611

В дальнейшем развитии этого метода следует ожидать перехода
к более высоким энергиям пучка, дающим возможность частицам
проходить через протяженные области сильных магнитных полей
и проникать в плотную плазму на большие расстояния. Можно
также использовать частичную нейтрализацию пучка тяжелых
ионов в водородных камерах, что позволит инжектировать тяжелые
нейтральные атомы. В этом случае в плазме происходит превраще-
До центральной оси
тора 153 см
25 ¦
20
15
10
5
О
-5
-10
-15
-20
J-25
'25 -20 -15 -10 -5
5 10 15 20 25 х,СИ
Рис. 11. Карта изопотенциальных поверхностей в установке ЕВТ, определенная
с помощью пучка тяжелых частиц:
в центральной области плазмы заключены односвязные поверхности отрицательного по-
потенциала (относительно земли); область, прилегающая к кольцам горячих электронов,
заряжена положительно. Условия эксперимента: давление порядка 10-3 Па; мощность на
частоте 18 ГГц — 50 кВт, на частоте 10,6 ГГц — 3 кВт, Iv = l2 А, /я = 7 А; / — стенка ка-
камеры; 2 — крайняя замкнутая дрейфовая поверхность; 3 — кольца горячих электронов
ние нейтральных атомов в однократно ионизованные ионы, а не
в одно- и двукратно ионизованные, как раньше. Благодаря этому
можно в 4 раза уменьшить энергию пучка, правда, за счет сущест-
существенного снижения его интенсивности. При этом теряется также воз-
возможность электрического управления сканированием пучка. По-
Поскольку зондирование пучком тяжелых частиц позволяет опреде-
определить свойства магнитных полей в плазме, проинтегрированные по
линии наблюдения, было предложено использовать такие пучки
для измерения возникающих в плазме полей в экспериментах с вы-
высоким р. На токамаке SI изучали также влияние внутреннего по-
лоидального поля на траектории ионов, однако слишком низкая
чувствительность данной методики к форме профиля не позволила
измерить профиль плазменного тока этим способом.
612

3.4. Измерение поляризации пучка атомов лития. Одной из наи-
наиболее актуальных проблем диагностики является измерение маг-
магнитных полей в горячей плотной плазме. Был разработан ряд ме-
методик для определения полоидального поля в плазме токамака,
включающих циклотронную модуляцию рассеянного лазерного из-
излучения [59], использование пучков быстрых ионов [59] и изме-
измерение поляризации пучка атомов лития [70]. Однако ни одна из
Рис. 12. Схема поляризационного эксперимента с литиевым пучком для опре-
определения полоидального поля на токамаке Pulsator:
плазма сканируется перемещением вертикально направленного пучка в горизонтальной
плоскости; детектирующая система измеряет поляризацию Л-компоненты зеемановского
триплета (Я=0,6708 мкм); аппаратура регистрирует пучок при пересечении им горизонталь-
горизонтальной средней плоскости; /—пучок нейтральных частиц; 2—плазменный ток; 3—поглотитель
лучка; 4 — линза; 5 — фильтр Фабри — Перо; 6 — усилитель; 7 — дифференциальный уси-
усилитель; 8 — осциллограф; 9 — фотоумножитель; 10 — призма Волластона; 11 — фарадеев-
ский вращатель поляризации
этих методик не была доведена до стадии широкого использова-
использования по причине связанных с этим значительных технических труд-
трудностей.
В последнем методе пучок атомов лития током несколько ми-
микроампер и энергией несколько килоэлектронвольт инжектируется
вертикально в плазму токамака (рис. 12). Возбуждаемая в стол-
столкновениях резонансная линия на длине волны 0,6708 мкм, соответ-
соответствующая переходу 2р—2s, расщепляется магнитным полем на зе-
емановский триплет и выводится для наблюдения в горизонталь-
горизонтальном направлении. Смещенные по длине волны а-компоненты
исключаются фильтром Фабри — Перо. Несмещенная я-компонен-
та поляризована параллельно направлению локального магнитно-
магнитного поля в точке, где произошло излучение; эта поляризация изме-
измеряется поляриметром, состоящим из фарадеевского вращателя
поляризации и призмы Волластона. Призма расщепляет свет, посту-
поступающий от вращателя, на две компоненты, детектируемые соот-

ветственно двумя ФЭУ. Схема обратной связи управляет током,
питающим фарадеевский вращатель, таким образом, чтобы ампли-
амплитуды сигналов в обоих каналах оставались равными. Сигнал об-
обратной связи пропорционален нужному значению угла вращения
плоскости поляризации изучаемого излучения. Изменяя положе-
положение пучка атомов лития в плазме от импульса к импульсу, можно
определить «наклон» полного магнитного поля в горизонтальной
средней плоскости токамака как функцию малого радиуса. По-
Поскольку напряженность тороидального магнитного поля хорошо
известна, по углу наклона можно определить полоидальное поле.
До настоящего времени эта методика не позволяет еще опре-
определять полоидальное поле с такой точностью, чтобы эти результа-
результаты можно было сравнить с данными, основанными на измерении
профиля электронной температуры. Можно попытаться улучшить
эту методику, перейдя к пучкам атомов лития большей энергии
и большей плотности тока, а также применив более мощный лазер
для увеличения интенсивности резонансной линии [71, 72]. Однако
даже при таких усовершенствованиях перспектива использования
этой методики на больших установках представляется проблема-
проблематичной из-за ограниченного проникновения пучка в плазму.
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОДУКТОВ ТЕРМОЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
4.1. Методика обнаружения нейтронов. Тот факт, что изучение продуктов
термоядерных реакций, в частности нейтронов, получило широкое развитие
в диагностике плазмы, следует рассматривать как свидетельство значительных
успехов в исследованиях термоядерного синтеза. Прогресс в диагностической
технике и быстрый рост выхода в реакциях синтеза сделали изучение продук-
продуктов термоядерных реакций надежным орудием изучения плазмы. Удалось вы-
выявить, исследовать и свести к минимуму побочные механизмы генерации ней-
нейтронов и источники фоновых сигналов. В то же время скорость термоядерных
реакций, особенно в пробкотронах с нагревом нейтральным пучков и в тока-
маках со вспомогательным нагревом, возросла до такого уровня, когда пара-
паразитные механизмы не могут уже играть существенной роли. Острая необходи-
необходимость в создании методов измерения скорости термоядерных реакций в про-
проектируемых крупномасштабных установках с большим термоядерным выходом
смеси, особенно при использовании D — Т-смеси, является залогом интенсивно-
интенсивного развития этой области исследований в ближаищем будущем.
В экспериментах по физике высокотемпературной плазмы в магнитных ло-
ловушках наиболее широко используется детектор тепловых нейтронов на BF3,
или, как его называют, борный счетчик [73]. Он представляет собой цилинд-
цилиндрический счетчик, заполненный газом BF3 и окруженный со всех сторон за-
замедлителем нейтронов, например парафином или полиэтиленом. Тепловые ней-
нейтроны имеют большое сечение взаимодействия с 10В в пропорциональном счет-
счетчике:
кэВ; 7U*—**U+yD80 кэВ).
Поскольку тепловые нейтроны привносят небольшую энергию в общий энер-
энергетический баланс реакции, полная ионизация, обусловленная энергичными иона-
ионами 7Li* и 4Не, одинакова для каждого зарегистрированного нейтрона; по этой
614

причине заряд, собираемый в пропорциональном счетчике на каждый нейтрон,
является практически константой при условии, что нейтрон захватывается не
слишком близко к стенке цилиндра и скорость счета не настолько велика, что-
чтобы вызвать снижение смещения на детекторе. Таким образом, пропуская через
дискриминаторы импульсы, характеризующиеся узким интервалом амплитуд,
и работая при относительно низких скоростях счета (не более 2-Ю4 с-1), мож-
можно сделать борный счетчик практически нечувствительным к помеховым иони-
ионизирующим событиям, обусловленным попаданием в него не нейтронов, а, на-
например, Y"KBaHT0B или коротковолнового рентгеновского излучения.
Ограничения по скорости счета, налагаемые на детекторы с наполнением
BF3 или подобные пропорциональные счетчики, заполненные 3Не, устанавлива-
устанавливают минимальный интервал счета, обеспечивающий допустимую статистику при-
примерно за 5 мс. Для измерения скорости генерации нейтронов в широком диа-
диапазоне ее изменения требуется установить набор таких детекторов разной чув-
чувствительности [74] или же удалить детектор на соответствующее расстояние
от установки при увеличении потока нейтронов. Другой путь заключается в по-
помещении тонких кадмиевых экранов, поглощающих тепловые нейтроны, между
замедлителем и детектором. Кроме того, можно варьировать давление заполне-
заполнения и состав смеси изотопов, используемой в детекторах. Для сведения к ми-
минимуму числа помеховых отсчетов целесообразно окружить всю сборку, т. е.
детектор вместе с замедлителем, свинцовым экраном; для уменьшения помех
от нейтронов, термализующихся вне замедлителя и возникающих, возможно,
в плазме в более ранний момент времени, замедлитель часто окружают снару-
снаружи дополнительным экраном из кадмия.
Для улучшения временных характеристик системы можно объединять вме-
вместе несколько детекторов одинаковой эффективности, размещая их в одном
большом блоке замедлителя t[75]. Вместо этого можно использовать сцинтилля-
ционные детекторы в токовом режиме, не опасаясь насыщения. В таком случае
следует избегать разрядов, при которых рождается большое количество энер-
энергичных квантов рентгеновского излучения '[76], так как практически все сцин-
тилляторы характеризуются довольно большой чувствительностью к ним. Опи-
Описанные выше способы позволяют проводить надежную регистрацию нейтронов
с временным разрушением порядка десятков микросекунд.
4.2. Нейтроны, не связанные с реакциями синтеза. Применение описанных
выше методов существенно увеличивает уверенность в том, что зарегистриро-
зарегистрированные нейтронным счетчиком события не обусловлены излучением других ви-
видов, всегда присутствующим вблизи термоядерных установок. Остается убедить-
убедиться в том, что зарегистрированные нейтроны действительно родились в термо-
термоядерных реакциях внутри плазмы. В плазме токамака можно выделить два
основных источника нетермоядерных нейтронов. Один из них заключается
в электрорасщеплении ионов дейтерия в объеме плазмы убегающими электро-
электронами, захваченными в столбе разряда. Эта реакция эндотермическая, и для ее
протекания необходимо наличие электронов с энергией выше 2,2 МэВ. Другой
механизм связан с фотоядерной генерацией нейтронов на материале диафрагмы
под действием тормозного излучения, обусловленного электронами плазмы, ко-
которые попадают на диафрагму. Генерацию нейтронов на диафрагме можно
отличить от их генерации в объеме (в ходе термоядерной или какой-либо дру-
другой реакции), помещая идентичные детекторы нейтронов симметрично относи-
относительно плазмы, но таким образом, чтобы один находился вблизи диафрагмы,

а другой — в противоположной стороне тора под углом 180* к первому [?
В измерениях такого типа, выполненных на разрядах в водороде с большими:
потоками убегающих электронов, отношения скоростей счета детекторов дости-
достигало 140. Измерения уровня активации диафрагм с высоким Z, проведенные^
после их извлечения из токамаков [78, 79], также свидетельствуют об имев-
имевших там место интенсивных фотоядерных реакциях.
Чтобы отличить нейтроны, рождающиеся при электрорасщеплении дейтерия
в плазме, от нейтронов термоядерного происхождения, необходимо измерить,
Рис. 13. Спектр нейтронов на токамаке PLT, который измерен с помощью спек-
спектрометра с наполнением 3Не, расположенного в массивном коллиматоре на
расстоянии 5 м от плазмы. Показано также сечение реакции In (/г, п') в изото-
изотопе 1151п, используемой для градуировки счетчика
их энергетический спектр. Для этого можно воспользоваться спектрометром
протонов отдачи или спектрометром, заполненным 3Не. В спектрометрах прото-
протонов отдачи, в которых могут использоваться либо сцинтилляторы, либо газовые
пропорциональные счетчики, нейтроны упруго рассеиваются на протонах
в сцинтилляторе или газовой мишени, и детектируются или свет, или ионизация,
вызванные протоном отдачи. Поскольку при данной энергии нейтрона энергия
протона отдачи может принимать несколько различные значения, для восста-
восстановления энергетического спектра нейтронов приходится производить разложе-
разложение амплитудного спектра импульсов с помощью ЭВМ. Измерение непрерывных
спектров нейтронов с помощью этой методики наталкивается еще на трудности,,
связанные с появлением сцинтилляций от у- и рентгеновского излучений. Более
прямой способ снятия нейтронных спектров основан на применении иониза-
ионизационной камеры, заполненной 3Не, однако он пригоден лишь при высоких ней-
тронных потоках. Здесь используется реакция 3He~f-/z->-/?+T + 784 кэВ, причем
по энергии протона и тритона судят об энергии первичного нейтрона. На
рис. 13 показан нейтронный спектр, полученный на установке PLT с помощью
спектрометра, заполненного 3Не [80]. В токамаках последних моделей диафраг-
диафрагмы делают обычно из материала с низким Z, например из графита или нержа-
нержавеющей стали, чтобы уменьшить загрязнение плазмы примесями с высоким Z,
Как следствие этого интенсивность фотоядерной генерации нейтронов резко
упала. Кроме того, удалось снизить концентрацию примесей с низким Z
616

в плазме, в результате чего значительно^ уменьшились потоки убегающих
тронов и соответственно уменьшилась генерация нейтронов в рёайцйи электро'-
расщепления.
4.3. Нетермоядерные нейтроны. Подробный анализ энергетического спектра14
нейтронов вблизи от D—D-пика может дать ценную информацию о механизме
генерации нейтронов, образовавшихся в реакциях синтеза. В частности, пред-
представляет интерес выяснить, рождаются ли регистрируемые нейтроны в истинных
термоядерных реакциях с термализованными дейтронами или за основной вклад*
в измеренный поток ответствен слабый высокоэнергетичный хвост функции рас-
распределения ионов. Подробные исследования нейтронного спектра, выполненные
на установке Zeta [81], показали, что измеренная генерация нейтронов была*
в самом деле в значительной мере обусловлена существованием небольшой груп- -
пы надтепловых дейтронов. В этом эксперименте использовалась камера Виль-
Вильсона высокого давления, которую помещали в массивном полиэтиленовом кол-
коллиматоре с широкой апертур©Й. Однака коллиматор ориентировали таким об-
образом, чТобы Принимать лишь нейтроны, испускаемые из камеры в одном
направлении. Было обнаружено, что когда плазменный ток был направлен
в сторону нейтронного детектора^ В—D-пик* Соответствующий энергии 2,45 МэВ^
смещался вверх по шкале энергий до 2N6+0,02 МэВ, в то время как при про-
противоположном направлении тока пик смещался в сторону меньших энергий,,
до 2,33+0,02 МэВ.
Исходя из кинематики термоядерной реакции, легко рассчитать энергию-
нейтрона, испущенного под данным углом при столкновении двух частиц с из-
известными скоростями [82]:
2МпМа 11/2
Здесь Мп — масса нейтрона; V — скорость центра масс; Ма. — масса заряжен-
заряженной частицы, рождающейся в термоядерной реакции (для нейтронной ветви ре-
реакции D—D это 3Не); Q — энергетический выход термоядерной реакции; К —
кинетическая энергия соударяющихся частиц в системе центра масс; ц — коси-
косинус угла между скоростью центра масс V и скоростью нейтроаа. в системе цент-
центра масс Un.
Для коллинеарной D—D-реакции, при которой соударение налетающего^
дейтрона пучка с неподвижным дейтроном-мишенью приводит к испусканикг-
нейтрона либо точно вперед, либо точно назад, уравнение (IS)'1 упрощается:
где Л=2,45 МэВ; Еъ — энергия налетающего дейтрона. Второй член в этом
уравнении, как правило, пренебрежимо мал, третий член приводит к сдвигу
нейтронного пика вверх или вниз на величину, обычно значительно большую,,
чем Еъ. Таким образом, из значения сдвига нейтронного пика на установке
Zeta, равного ±0,165 МэВ, который, по всей видимости, обусловлен взаимодей-
взаимодействием пучка энергичных дейтронов с более холодной стационарной плазмой-
мишенью, можно получить для энергии пучка значение окошо 20 кэВ. Посколь-
Поскольку скорость реакции для таких энергичных частиц очень велика, для обеспече-
40—3283 617"

ния измеренного выхода нейтронов достаточно, чтобы только 10~8 потока ионов
в торе ускорилось до такой энергии.
Подобные же измерения были выполнены на токамаке PLT при инжекции
в дейтериевую плазму как дейтерия, так и водорода [83]. Коллимированный
спектрометр нейтронов, заполненный 3Не, был ориентирован тангенциально
к границе плазмы, как и на установке Zeta. Основной источник нейтронов на
установке PLT при инжекции дейтериевого пучка как по току, так и против
него был отождествлен с взаимодействием пучка с мишенью, причем измерен-
измеренные сдвиги пика по энергии соответствовали ожидаемым. При инжекции во-
водородного пучка не наблюдалось ни сдвига, ни аномально широкого распреде-
распределения. Это послужило подтверждением предположения, что наблюдаемую ге-
генерацию нейтронов нельзя объяснить ни загрязнением пучка нейтрального водо-
водорода дейтерием, ни образованием высокоэнергетичных дейтронов в лобовых
столкновениях с ионами пучка.
Последним из возможных источников генерации нетермоядерных нейтронов
является бомбардировка вылетающими из плазмы энергичными дейтронами дей-
дейтронов, адсорбированных на стенках или диафрагмах установки. Это очень
слабый механизм, потому что вероятность термоядерной реакции гораздо выше
для энергичного иона, удерживаемого в горячей плазме магнитной ловушки,
чем для иона, налетающего на материальное тело, независимо от того, как
много в нем адсорбировано дейтерия. Однако если время удержания частиц
много меньше, чем время термализации быстрых ионов, то термоядерные реак-
реакции на поверхности могут явиться существенным источником нейтронов.
Чтобы исключить реакции на поверхности, необходимо измерить радиаль-
радиальные профили генерации нейтронов. Это можно сделать с помощью массивных
коллиматоров из водородсодержащих материалов, таких, например, как вода
или парафин (для замедления нейтронов), или материала, поглощающего ней-
нейтроны, например бора или лития, для захвата термализованных нейтронов.
Оставляют открытой небольшую апертуру, через которую пропускается иссле-
исследуемый поток нейтронов. Эта методика была использована на установке Zeta
для доказательства того, что регистрировавшиеся нейтроны рождались в объ-
объеме плазмы, а не на поверхности вакуумной камеры, однако из полученного
плоского пространственного профиля следовало, что генерация нейтронов обус-
обусловлена не истинными термоядерными реакциями, а присутствием надтепловых
ионов в плазме. С помощью массивного водяного нейтронного коллиматора,
установленного на токамаке Alcator А, было достигнуто очень высокое про-
пространственное разрешение 0,8 см [84]. С этой системой удалось показать, что
возрастание генерации нейтронов, наблюдающееся при нагреве на нижней гиб-
гибридной частоте, связано с реакциями, протекающими в центре плазмы. Изуче-
Изучение треков протонов отдачи в ядерной эмульсии тоже помогло получить про-
пространственные профили испускания нейтронов при инжекции нейтральных пуч-
пучков водорода и дейтерия на установке PLT ([85], хотя эта методика и не дает
картины, разрешенной во времени. Кроме того, на PLT были проведены изме-
измерения генерации нейтронов при инжекции пучка нейтрального дейтерия в кало-
калориметры, .насыщенные дейтронами в отсутствие плазмы. Как показали эти экспе-
эксперименты, выход поверхностных реакций не превышает 10~2—10~3 выхода реак-
реакций" пучок— мишень в плазме [86].
4.4. Градуировка. Установив с достаточной надежностью, что зарегистри-
зарегистрированные сигналы обусловлены нейтронами термоядерного происхождения,
618

экспериментатор сталкивается с проблемой проведения абсолютной градуировки-
системы, измеряющей нейтроны. Из-за сложности условий, в которых эти из-
измерения выполняются, численный расчет эффективности регистрации нейтронов,
был бы и крайне трудоемким, и недостаточно надежным. На практике градуи-
градуировку обычно проводят, помещая стандартный источник нейтронов известной
интенсивности в вакуумную камеру. При тороидальной геометрии плазмы осо-
особенно важно перемещать градуируемый источник по окружности тора, чтобы
учесть тот факт, что плазма представляет собой существенно протяженный ге-
генератор нейтронов. В качестве источников для градуировки используют, как
правило, РоВе, PuBe, AmBe и Cf. Ни один из них не дает, к сожалению, спект-
спектра с пиком при ?=2,45 МэВ. Однако это затруднение можно обойти, проведя
градуировку с несколькими такими источниками, что позволит определить чув-
чувствительность системы по отношению к энергии источника нейтронов [87].
Наиболее эффективным способом градуировки измерительной системы яв-
является, по-видимому, одновременное измерение активации. Индиевые фольги
[88] особенно хорошо подходят для этой цели, поскольку реакция 1151п(/г,
n'I15mIn имеет порог чуть ниже 2,5 МзВ. Однако из-за того, что возбужденное
состояние 115mIn может образоваться также под действием у~излУчения высокой
энергии, приходится размещать фольги в токамаках далеко от диафрагмы и
внимательно контролировать потоки убегающих электронов. Установив фольги
в нескольких точках вокруг плазмы, можно добиться хороших результатов
в абсолютных измерениях потока, что позволит провести градуировку измери-
измерительной системы с погрешностью не хуже +25%. Основные ограничения этой
методики градуировки связаны с появлением нейтронов, рассеивающихся от
конструкционных деталей с минимальной потерей энергии. Хотя этот рассеянный
поток нейтронов можно вычислить, а затем провести сравнение результатов
расчета и эксперимента [89J, остающаяся неопределенность все же велика.
4.5. Определение температуры ионов. Из-за трудности проведения точной
абсолютной градуировки системы регистрации нейтронов представляется очень
удачным, что основная величина, получаемая из скорости генерации нейтро-
нейтронов,— ионная температура плазмы — относительно нечувствительна к погреш-
погрешностям измерения этой характеристики. В области температур около 1 кэВ
скорость D—D-реакции изменяется примерно как 74г, так что 25%-ная неопре-
неопределенность скорости генерации нейтронов приводит лишь к 6%-ной неопреде-
неопределенности Гг. Хайвли и др. [90] представили усредненные по максвелловскому
распределению константы всех наиболее существенных термоядерных реакций
в виде простых аналитических функций. Однако при Г^Ю кэВ основные се-
сечения реакций в большинстве случаев измерены не были, и поэтому их при-
пришлось экстраполировать с помощью графиков Гамова. Эта процедура вносит
в расчет усредненных констант реакций неопределенность, которая может до-
достичь коэффициента 2 при низких температурах. Ионную температуру опреде-
определяют из скорости генерации нейтронов, которая вычисляется в функции от Г*
для плазмы с измеренным профилем электронной плотности. Однако при этом
все равно приходится задаваться формой профиля ионной температуры. Наи-
Наиболее часто выбирают соотношения 7\(г)оо1—г2/а2, Т%(г) спп3(г) и (при вы-
высоких плотностях плазмы) 7\(г)со Те(г). Вычисленная таким образом ионная
температура в центре оказывается относительно нечувствительной к выбранной
форме профиля опять-таки из-за резкой зависимости скорости термоядерной
реакции от температуры. Неопределенность температуры в центре обусловлена
40* 619

главным образом отсутствием прямых измерений плотности ионов дейтерия
в горячей центральной области плазмы. При концентрациях кислорода, типич-
типичных для токамаков середины 70-х годов BЭф^^4, Пох1пе^5%), плотность дей-
дейтерия могла составлять 50% плотности электронов. Поскольку скорость гене-
генерации нейтронов пропорциональна корню квадратному из плотности дейтронов,
неопределенность ионной температуры при энергиях около 1 кэВ составляет
примерно 1/2 погрешности измерения плотности дейтерия в центре. В современ-
современных токамаках с Za<j)^2 этот фактор уже не приводит к сколько-нибудь суще-
vCTBeHHoft погрешности.
Для инжекции пучка атомов водорода в дейтериевую плазму скорость обра-
гзования водорода в центре плазмы довольно хорошо известна, в то время как
время удержания термализованных частиц пучка остается весьма неопределен-
неопределенным, а скорость поступления холодного водорода из системы инжекции, как и
характеристики рециклинга (обмена со стенками), обычно не-определена. Это
• существенно увеличивает неопределенность ионной температуры. При радио-
радиочастотном нагреве ситуация значительно упрощается, однако в некоторых слу-
случаях приходится вводить в плазму определенное количество примесей, таких,
:как, например, Н или 3Не, так что некоторые трудности все же остаются.
За генерацию термоядерных нейтронов ответственны в основном ионы хво-
хвоста энергетического распределения. Таким образом, наличие механизмов, при-
гводящих к отклонению функции распределения от максвелловского вида, авто-
автоматически исключает возможность использования скорости генерации нейтронов
для определения ионной температуры. Конечно, в открытых магнитных ловуш-
ловушках с мощным нагревом принимают специальные меры для того, чтобы сделать
^функцию распределения немаксвелловской, поэтому там трудно рассчитывать,
вычисляют из скорости генерации нейтронов не истинную ионную температуру:
«определяется лишь некоторая эффективная средняя энергия. Однако и в то-
тороидальных установках с мощным вспомогательным нагревом или сильными
параллельными электрическими полями остается возможность возрастания
Бысокоэнергетичной части энергетического распределения ионов. Это возрастание
может быть связано с радиочастотными |[84, 91] или постоянными электриче-
электрическими полями [92], со столкновениями ионов высокоэнергетичного хвоста рас-
распределения с каким-либо другим ионом, сопровождающимися рассеянием на
малые {43] или большие (при лобовых столкновениях) углы [93, 94]. Наличие
значительной несимметричности в тороидальной установке может привести и
.к противоположному эффекту — пропаданию бесстолкновительного высокоэнер-
высокоэнергетичного хвоста в результате «захватов в гофрах» магнитного поля [95] или
диффузии, обусловленной дрейфом бананов '[96, 97], следствием чего будет
-снижение скорости термоядерных реакций [98, 99].
Несмотря на все технические трудности, сопряженные с нейтронными изме-
измерениями, и неясности в физической интерпретации, нейтронная диагностика
оказалась надежным методом, с помощью которого удалось определить ионную
температуру в ряде случаев. На рис. 14 сравниваются значения ионной темпе-
температуры в центре плазменного столба на токамаке PLT, полученные с помощью
инжекции пучка атомов водорода в плазму D+, нейтронных измерений, анализа
по методу перезарядки и измерения доплеровского уширения в диапазонах ва-
вакуумного ультрафиолетового и рентгеновского излучений. Наблюдаемое согла-
гсие как по значению температуры, так и по временной ее эволюции подкреп-
подкрепляет правильность каждого метода измерения.
620

4.6. Диагностика быстрых ионов. Как уже отмечалось, обнаружение генера-
генерации нейтронов при взаимодействии типа пучок — мишень в установке Zeta
оказалось неожиданным результатом. В то же время в магнитных ловушках
некоторых типов искусственно формируются немаксвелловские распределения
с помощью радиочастотного нагрева или при инжекции нейтрального пучка для
Рис. 14. Эволюция во времени температуры ионов в центральной области разря-
разряда на токамаке PLT при инжекции пучка нейтральных атомов водорода в дей-
териевую плазму, измеренная различными диагностическими методами:
светлые кружки — по нейтронам; треугольники — по спектру атомов перезарядки; темные
кружки—по доплеровскому уширению линии FeXX, 0,2665 мкм; квадратики—по доплеровско-
му уширению линии Fe XXV, Ка
нагрева плазмы. Измерение временной эволюции генерации нейтронов при ин-
инжекции пучка дейтронов в дейтериевую плазму было использовано для под-
подробного сравнения процесса термализации ионов пучка с теоретическими пред-
предсказаниями [100]. Простую оценку скорости генерации нейтронов в 1 см3 при
взаимодействии пучок — мишень можно получить из выражения
\ц.
B0)
где «d —плотность дейтерия-мишени; пь — скорость генерации частиц пучка
с энергией тъ\ тп —время, требующееся ионам пучка для замедления до энеп-
621

гии Wny при которой скорость термоядерных реакций уменьшается в е раз:
<°v>\w =(l/e)<oo>L ; B1)
П О
B2>
(здесь Ts — время торможения на электронах по Спитцеру [1]; wc — энергия,
при которой скорость торможения на ионах становится равной скорости тормо-
торможения на электронах [101, 102]).
Полный расчет временной эволюции скорости генерации нейтронов требует
дополнительного рассмотрения ряда классических явлений, в том числе энерге-
энергетической диффузии ионов, потерь в ходе перезарядки, эффекта конечных орбит
и влияния электрического поля на движение ионов. Кроме того, при инжекции
интенсивных пучков нейтральных атомов кулоновские столкновения между
ионами пучка могут привести к увеличению диффузии по энергии [103],
а ядерные столкновения в пучке могут внести существенный вклад в полную
скорость реакций синтеза. Исследования генерации нейтронов при инжекции
пучка нейтрального дейтерия обнаружили хорошее согласие с теоретическими
предсказаниями как по абсолютной величине (в пределах весьма значительных
неопределенностей), так и по характеру зависимости от времени.
4.7. Перспективы развития диагностики. Нейтроны. Совершенно очевид-
очевидно, что одним из главных направлений использования нейтронов в диагностике
будет разработка эффективной методики абсолютной градуировки нейтронов
с энергией 14 МэВ. В этой области энергий как коллимация, так и спектроско-
спектроскопия нейтронов представляют большие трудности. В то же время в реакторной
дейтерий-тритиевой плазме можно ожидать гораздо более интенсивных потоков
нейтронов. При очень высоких нейтронных потоках было предложено исполь-
использовать метод нейтронной калориметрии, основанный на измерении нагрева
углеводородного масла при захвате в нем нейтронов [104]. Перспективно также
улучшать временные характеристики системы и сужать коллимацию, чтобы ге-
генерацию нейтронов можно было применить для изучения влияния турбулент-
турбулентности плазмы на ионную составляющую, подобно тому, как рентгеновское из-
излучение дает информацию о влиянии турбулентности на поведение электронов.
Было также предложено использовать нейтронную спектроскопию высокого
разрешения для прямого определения 7\, что исключило бы необходимость как
абсолютной градуировки по потоку, так и независимых измерений реагирующих
термоядерных компонент в плазме. Энергетический спектр нейтронов, искускае-
мых из плазмы при температуре 7\-, уширяется тепловым движением реагирую-
реагирующих частиц и превращается в распределение гауссовой формы с полушириной
jHa уровне 1/е, определяемой из выражения [82]
Д?„= [AMJi < ?„>/(А*. + М*I1'2. B3)
где <Еп> — средняя энергия нейтронов [смещенная в сторону увеличения от
значения энергии, соответствующего нулевой скорости реагирующих компонент,
на величину порядка Т\)\ остальные величины определены для уравнения A8).
Подобно тому, что мы видели для сдвига линии из уравнения A9), это ушире-
ние оказывается значительно большим, чем тепловая энергия плазмы или даже
типичная энергия реагирующей частицы. Для дейтерий-тритиевой плазмы с тем-
622

пературой порядка 10 кэВ полуширина нейтронного пика, соответствующего
энергии 14 МэВ на уровне 1/е, составляет около 350 кэВ. При высоких нейтрон-
нейтронных потоках, ожидаемых в реакторных экспериментах после достижения за-
зажигания в дейтерий-тритиевой плазме, может оказаться удобным измерять ши-
ширину линий такого порядка методами нейтронной спектроскопии с высоким
временным разрешением.
Заряженные частицы. В открытых магнитных ловушках заряжен-
заряженные частицы с мегаэлектронвольтными энергиями могут легко выйти из плазмы,
распространяясь по силовым линиям, при условии, что их питч-углы достаточно
Рис. 15. Эксперименталь-
Экспериментальный амплитудный спектр
на выходе детектора
продуктов термоядерных
реакций на установке
2ХНВ:
наблюдаются все три иона,
получающиеся в реакции
синтеза; стрелки указывают
расчетное положение пиков
10 20 30 40 50 60 70 80
Номер канала
90 100
малы. Эти частицы можно детектировать с помощью стандартных поверхностно-
барьерных кремниевых детекторов [105]. Существуют достаточно хорошо раз-
разработанные методы определения энергии из амплитудного спектра на выходе
такого детектора. На рис. 15 показан спектр высокоэнергетичных частиц, выле-
вылетающих из установки 2XIIB при мощных разрядах в дейтериевой плазме. Для
диагностики плазмы заряженные продукты термоядерных реакций имеют то
преимущество перед нейтронами, что их сравнительно легко коллимировать и
детектировать. Абсолютная градуировка детекторов заряженных частиц не
представляет трудностей. Используя имеющиеся или внешние магнитные поля,
можно вывести заряженные частицы энергий порядка мегаэлектронвольт на
пологие траектории и благодаря этому удалить детекторы от плазмы, уменьшив
фоновый сигнал. Правильность отображения детектором поля излучения на
установке 2X1 IB проверялась с помощью расчета на ЭВМ траекторий частиц,
вылетающих из плазмы. Измеряя скорости счета частиц детектором, работаю-
работающим в геометрии камеры-обскуры, удалось получить двумерный профиль ско-
скоростей термоядерных реакций.
В осесимметричных тороидальных установках применение детекторов заря-
заряженных частиц наталкивается на некоторые трудности, поскольку в крупно-
крупномасштабных экспериментах должно обеспечиваться хорошее удержание про-
продуктов D—D-реакций. Конечно, это предположение следует проверить при
расположении детекторов по периферии плазмы; измерения такого рода были
выполнены на токамаке PLT. Однако если дейтериевая плазма содержит 3Не,
623

fe можно вооюльзов&тъся протонами энергии 15 МэВ, получающимися в ре-
реакции
D-f*He—*рA4,67 МэВ)-рНе C,67 МэВ).
Такие протоны обычно плохо удерживаются даже в плазме больших токамаков,
так что их можно использовать в качестве индикатора условий в центральных
областях плазменного столба. Эта методика была уже опробована на PLT, где
для нагрева 3Не был применен ионно-циклотронный метод, а группа энергичных
дейтронов в плазме с аНе создавалась инжекцией пучка нейтральных ато-
атомов [106].
Конечно, было бы желательно изучать удерживаемые в плазме энергичные
продукты термоядерных реакций. В р—Т-ветви D—D-реакции,, протекающей
в дейтериевой плазме, рождается тритон с энергией 1 МэВ, который имеет су-
существенную вероятность вступить в термоядерную реакцию лишь в том случае;
•если он будет удерживаться в плазме практически на протяжении всего про-
процесса термализации, поскольку максимум сечения D—Т-реакции лежит около*
100 кэВ. Сравнивая потоки нейтронов с энергиями 15 и 2,45 МэВ, можно опре-
определить степень удержания энергичных тритонов. Для определения степени
удержания тритонов с энергией 1 МэВ в PLT были проделаны детальные рас-
расчеты по методу Монте-Карло в предположении справедливости неоклассической
теории [107] и выполнены некоторые предварительные измерения [108, 109].
Значительная доля энергии, поддерживающей горение дейтерий-тритиевой
плазмыг должна поступать от а-часгац, образующихся в D—Т-реакции. Особую
важность измерение функции распределения захваченных а-частиц приобретает
с приближением к зажиганию, поскольку таким образом можн-о убедиться, что
процесс нагрева идет в соответствии с теорией. Эксперименты такого рода еще
не проводились, однако разработан подробный проект соответствующей диагно-
диагностической методики [110]. По этой методике предусматривается инжекция в го-
горячую плазму пучка нейтральных атомов аНе с энергией 0,5—2 МэВ и током
около 50 мА. Резонансные реакции двойной перезарядки между атомами 3Не и
захваченными et-частицами приводят к образованию атома 4Не:
3Не<Ч-*Не++—-HHe+^-pHe0.
Атож 4Не, образующийся в этом процессе, свободно покидает плазму и
может быть зарегистрирован специальным анализатором высокоэнергетичных
нейтральных частиц. ГТосколъку сечение реакции резонансной перезарядки резка
спадает при энергиях относительного движения выше 100 кэВ, эти измерения
следует проводить в геометрии рассеяния «вперед». Так как доступ к камере на
установках с горячей дейтерий-тритиевой плазмой затруднен,, такое условие
может наложить серьезные ограничения на диапазон исследуемых питч-углов.
Однако никакой другой альтернативный метод измерения распределения захва-
захваченных et-частиц пока не предложен. Как следует из некоторых расчетов, в про-
процессе торможения а-частиц можно ожидать появления аномальных эффектов,,
связанных с тем, что характерные скорости а-частиц превышают альвеновскую-
скорость в плазме [111J.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1965.
2. Hirschman S. P., ttawryhik R. J.f Rirge &.— Nucl. Fusion, 1977, vol. 17,
p. 61Ь.
3. Muklmvatav V.. &„ Sbafranav V. D.—IbiU, 1971, voL 11, p. 605.
€24

: 4. Hawryluk R. J., Bol K., Bretz N. с a.—Ibid., 1979, vol. 19, p. 1307.
5. Greene J. M., Johnson J. L., Weimar 1С- ?. —Phys. Fluids, 1971, vol. 14,
p. r671.
6. Vlasenkov V. S., Leonov V. M., Lohr J. e. a. — In: Plasma Physics and
Controlled Nuclear Fusion Research, 1978, vol. 1. —Vienna, IAEA, 1979, p. 211.
7. Axon К. В., Clark W. H. M., Cordey J. G. e. a. —In: Plasma Physics and
Controlled Nuclear Fusion Research, 1980, vol. L — Vienna: IAEA, 1981, p. 413.
8. Mirnov S. V. —Nucl. Fusion, 1969, vol. 9, p. 57.
9. Bol K., Cecchi J. L., Daughney С. С. е. a.— In: Plasma Physics and Con-
Controlled Nuclear Fusion Research, 1974, vol. I. —Vienna: IAEA, 1975, p. 8.
10. Hutchinson 1. H., Overskei D. O. —In: Proc. IAEA Symp. on Current
Disruption in Toroidal Devices/ Eds K. Lackner and H. P. Fehrfeld. Max Planck
Institut fur Plasmaphysik, IPP3-51, 1979, paper Сб.
11. Eubank H., Goldston R. J., Arunasalam V. e. a.— In: Plasma Physics
and Controlled Nuclear Fusion Research, 1978, vol. L —Vienna: IAEA*, 1979,
p. 167.
12. Sauthoff N. R., von Goeler S., Stodiek W. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18,
p. 1445.
13. Waddell B. V., Rosenbluth M. N., Monticelto D. A., White R. B. — Ibid.,
1976, vol. 16, p. 528.
14. Equipe TFR. — In: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Re-
Research, 1978, vol. I. —Vienna: IAEA, 1979, p. 135.
15. Zweben S. J., Manyuk C. R., Taylor R. J. —Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42,
p. 1270.
16. Miller R. L. —Nucl. Fusion, 1980, vol. 20, p. 133.
17. Coensgen F. H., Cummins W. F., Logan B. G. e. a. — Phys. Rev. Lett.,
1975, vol. 35, p. 1501.
18. Turner W. C, Clauser J. F., Coensgen F. H. e. a.— Nucl. Fusion, 1979,
vol. 19, p. 1011.
19. Hosea J. C, Sheffield G. V., Sinclair R. M., Tamano Т. —Plasma Phys.,
1971, vol. 13, p. 365.
20. Freeman R. L., Jones E. M. Atomic Collision Processes in Plasma Phy-
Physics Experiments. U. K., Abingdon, Culham Laboratory, CLM-R, 137, 1974.
21. Duchs D. F., Post D. E., Rutherford P. H. —Nucl. Fusion, 1977, vol. 17,
p. 565.
22. Bol K., Cecchi J. L., Daughney С. С. е- a. —Phys. Rev. Lett., 1974,
*ol. 32, p. 661.
23. Hughes M. H., Post D. E. —J. Comput. Phys., 1978, vol. 28, p. 43.
24. McCune D. C, Towner H. H. —Bull. Amen Phys. Soc, 1980, vol. 25,
p. 966.
25. Towner H. H., Goldston R. J., McCune D. C —Ibid., 1981, vol. 26,
p. 857.
26. Podesta G., Engelmann F. — In: Proc. 3rd Intern. Symp. on Toroidal
Plasma Confinement. — Garching, FRG, 1973.
27. Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — N. Y.:
McGraw-Hill, 1965.
28. Gaudreau M. P. J., Kislyakov A. L, Sokolov Yu. A.—Nucl. Fusion, 1978,
vol. 18, p. 1725.
29. Гордеев Ю. С, Зиновьев А. Н., Петров М. П. —Письма в ЖЭТФ, 1977,
т. 25, с. 223.
30. Neilson G. H. Charge Exchange Measurements on ISX-A. Oak Ridge,
Tennessee: Oak Ridge National Laboratory, 1979, ORNL/TM-6823.
31. Barnett С F., Ray J. A. —Nucl. Fusion, 1972, vol. 12, p. 65.
32. Cott Yu. V., Motlich A. G. — NucL Instrtim. and Methods, 1978, vol. 155,
p. 443.
33. Brisson D., Baity F. W., Quon B. H., Ray J. A^ Barnett С F. — Rev. Sci.
Instrum, 1980, vol. 51, p. 511.
34. Hughes A. L., Rojansky V. — Phys. Rev., 1929, vol. 34, p. 284.
35. Kaifa R., Goldston R. J., Meyerhofer D-, Eridon J. —Rev. Sci. Instrum.,
1981, vol. 52, p. 1795.
36. Wtea J. L. —Nucl. Instrum. and Methods, 1979, vol. 162, p. 587.
625

37. Hahn S. F., van Hulsteyn D. В., Becker M. F. — Rev. Sci. Instrum., 1978,
vol. 49, p. 473.
38. Kaifa R., Medley S. S. A Study of the Mass and Energy Resolution of
the E|| В Charge Exchange Analyzer for TFTR Princeton Univ. PPPL-1582, Prin-
Princeton, 1979.
39. Mueller D., Davis S. L., Keane C. (to be publ.)
40. Афросимов В. В... Петров М. П., Садовников В. А. — Письма в ЖЭТФ,
1973, т. 18, с. 300; Кудрявцев А. М., Сорокин А. Ф. —Письма в ЖЭТФ, 1973,
т. 18, с. 286; Eubank Н. Р. — In: Course on Plasma Diagnostics and Data Acqui-
Acquisition/ Eds H. Eubank, E. Sindoni. — С N. R. Euratom, 1975, p. 152.
41. Medley S. S., Goldston R. J., Towner H. H. Performance Study of the
TFTR Diagnostic Neutral Beam For Active Charge Exchange Measurements. Prin-
Princeton Univ. PPPL-1673, Princeton, 1980.
42. Cooper W. S. e. a. — Nucl. Fusion, 1972, vol. 12, p. 263.
43. Bittoni E., Cordey J. G., Cox M. — Nucl. Fusion, 1980, vol. 20, p. 931;
Stodiek W., Goldston R. J., Sauthoff N. e. a. — In: Plasma Physics and Controlled
Nuclear Fusion Research. Vol. 1. —Vienna: IAEA, 1981, p. 9.
44. Petrov M. P. — In: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Re-
Research, 1974, vol. 1. —Vienna: IAEA, 1975, p. 43.
45. Equipe TFR. — In: Proc. 7th Europ. Conf. on Controlled Fusion and
Plasma Physics. Vol. I. — Lausanne, 1975, p. 2.
46. Equipe TFR. — Ibid. Vol. 2.— Lausanne, 1975, p. 269.
47. Davis S. L., Private communication, 1977.
48. Coldston R. J. Unpublished data.
49. Wagner F., Mayer H. M. — In: Proc. 8th Europ. Conf. on Controlled Fu-
Fusion and Plasma Physics. Vol. 1. — Prague, 1977, p. 24.
50. Goldston R. J. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1611.
51. Cordey J. G., Gorbunov E. P., Hugiil J. e. a. — Ibid., 1975, vol. 15, p. 441.
52. Goldston R. J. — Ibid., p. 651.
53. Equipe TFR. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1271.
54. Goldston R. J. Fast Ion Diagnostic Experiments on АТС. Ph. D. Disser-
Dissertation. Princeton Univ., 1977.
55. Goldston R. J. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 2346.
56. Eubank H., Noll P., Tappert F. — Nucl. Fusion, 1965, vol. 5, p. 68.
57. Olson R. E., Berkner K. H., Graham W. G. e. a. —Phys. Rev. Lett., 1978,
vol. 41, p. 163. * " *
58. Хилд М., Уортон С. Микроволновая диагностика плазмы: Пер. с англ. —
М.: Атомиздат, 1968.
59. Equipe TFR. — Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 1261.
60. Marmar E. S., Terry J. L., Wolfe S. M., Foord M. — Bull. Amer. Phys.
Soc, 1980, vol. 25, p. 951.
61. Olson R. E., Salop A. — Phys. Rev. A, 1977, vol. 16, p. 531.
62. Ryufuku H., Watanabe T. — Ibid., 1979, vol. 20, p. 1828.
63. Olson R. E. —Ibid., 1981, vol. 24, p. 1726.
64. Афросимов В. В., Гордеев Ю. С, Зиновьев А. Н., Короткое А. А.—
Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 28, с. 500.
65. Isler R. С, Murray L. E., Kasai S. — In: Proc. 12th Intern. Conf. on
the Physics of Electronic and Atomic Collisions. — Gatlinburg, 1981.
66. Fonck R. Private communication.
,S7. Hawryluk R. J. — Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 607.
68. Hickok R. L. Heavy Ion Beam Probing, Rensselaer Polytechnik Insi
RPDL Report 80—14, Troy, 1980.
69. Hosea J. C, Jobes F. C, Hickok R. L., Dellis A. N. — Phys. Rev. Lett.,
1973, vol. 30, p. 839.
70. McCormick K-, Kick M., Olivain J. — In: Proc. 8th Europ. Conf. on Cont-
Controlled Fusion and Plasma Physics. Vol. 1. —Prague, 1977, p. 140.
71. Baur J. F., West W. P., Ensberg E. S. — In: Proc. 3rd APS Topical Conf.
on High Temperature Plasmas. UCLA PPG-460, 1980, p. 32.
72. Forman P. R. — Ibid., p. 33.
73. Marion J. В., Fowler J. L. Fast Neutron Physics. Part 1. —N. Y.: Intersci
Publ., 1960, p. 361.
626

74. Strachan J. D. The PLT Neutron Flux Measurement System. Princeton
Univ. PPPL-TM-303, Princeton, 1977.
75. Gondelekhar A., Granetz R., Gwinn D. e. a. — In: Plasma Physics and
Controlled Nuclear Fusion Research, 1978, vol. 1. —Vienna: IAEA, 1979, p. 199.
76. Chrien R. E., Strachan J. D. — Rev. Sci. Instrum., 1980, vol. 51, p. 1638.
77. Equipe TFR. — Nucl. Fusion, 1976, vol. 16, p. 279.
78. Strachan J. D., Meservey E. В., Stodiek W., Naumann R. S., Girshick В.—
Ibid., 1977, vol. 17, p. 140.
79. Equipe TFR. — Phys. Lett., 1977, vol. 60, p. 219.
80. Zankl G., Strachan J. D., Lewis R. e. a. — Nucl. Instrum. and Methods,
1981, vol. 185, p. 321.
81. Rose В., Taylor A. E., Wood E. — Nature, 1958, vol. 181, p. 1630.
82. Brysk H.-- Plasma Phys., 1973, vol. 15, p. 611.
83. Strachan J. D., Colestock P., Eubank H. e. a. — Nature, 1979, vol. 279,
p. 626.
84. Schoss J. J., Porkolab M., Takase Y. e. a. — Nucl. Fusion, 1981, vol. 21,
p. 427.
85. Strachan J. D., Bhattacharjee A., Jassby D. L., Towner H. H. —Phys.
Lett., 1978, vol. 66A, p. 295.
86. Strachan J. D. Private communication, 1978.
87. Pappas D. Private communication, 1980.
88. Zankl G., Strachan J. D., Lewis R. e. a. — Nucl. Instrum. and Methods,
1981, vol. 185, p. 321.
89. Strachan J. D., Zankl G. Improvements to the PLT Neutron Calibration.
Princeton Univ. PPPL-TM-353, Princeton, 1981.
90. Hively L. M. — Nucl. Fusion, 1977, vol. 17, p. 873.
91. Stix Т. Н. —Ibid., 1975, vol. 15, p. 737.
92. Furth H. P., Rutherford P. H. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 545.
93. Kulsrud R. Private communication, 1978.
94. Scott S. D. Ph. D. Dissertation, 1982.
95. Connor J. W., Hashe R. J. — Nucl. Fusion, 1973, vol. 13, p. 221.
96. Boozer A. H. — Phys. Fluids,1980, vol. 22, p. 2188; Linsker R., Bo-
Boozer A. H. Banana Drift Transport in Tokamaks with Ripple. Princeton Univ.,
PPPL-1784, Princeton, 1981.
97. Goldston R. J., Towner H. H. — J. Plasma Phys., 1981, vol. 26, p. 283.
98. Jassby D. L., Towner H. H., Goldston R. J. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18,
p. 825.
99. Linsker R., Boozer A. H. Ripple Transport and the Depletion of Energetic
Particles in Tokamaks. Princeton Univ., PPPL-1818, Princeton, 1981.
100. Strachan J. D., Colestock P. L., Davis S. L. e. a.— Nucl. Fusion, 1981,
vol. 21, p. 67.
101. Stix Т. Н. —Plasma Phys., 1972, vol. 14, p. 367.
102. Callen J. D., Colchin R. J., Fowler R. J., McAlees D. C, Rome J. A.—
In: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1974. — Vienna: IAEA,
1975, p 645.
103. Cordey J. G., Core W/G. F. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 1626.
104. Jassby D. L., Imel G. R. — In: Proc. 4th Topical Meeting on the Tech-
Technology of Controlled Nuclear Fusion. Princeton Univ., Pennsylvania, 1981; also
Princeton Univ, PPPL-1791, Princeton, 1981.
105. Foote J. H. — Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 1215.
106. Chrien R. E., Colestock P. L., Eubank H. P. e. a. —Phys. Rev. Lett.,
1981, vol. 46, p. 535.
107. Ulnckson M. Triton Confinement and 14 MeV Neutron Production in
PLT. Princeton Univ., TM-291, Princeton, 1976.
108. Colestock P., Strachan J. D., Ulrickson M* e. a. — Phys. Rev. Lett., 1979,
vol. 43, p. 768.
109. Chrien R. E. Ph. D. Dissertation. Princeton Univ., 1981.
110. Post D. E., Mikkelsen D. R., Hulse R. A. e. a. —J. Fusion Energy, 1981,
vol. 1, p. 129.
111. Kolesnichenko Ya. I. — Nucl. Fusion, 1980, vol. 20, p. 727.
627

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
V. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Параметрические неустойчивости магнитоактивной плазмы.
В. Н. Ораевский
1. Общие сведения о параметрических неустойчивостях волн в плазме
2. Распадные параметрические неустойчивости в среде с волновой моду-
модуляцией фазовой скорости (влияние частотной расстройки, зоны не-
неустойчивости, пороги) *
3. Теория параметрических неустойчивостей магнитогидродинамических
волн
4. Параметрические неустойчивости геликонов (РПН, модуляционная не-
неустойчивость, неустойчивость модифицированного распада) ....
5. Взрывная неустойчивость циклотронных волн с отрицательной энер-
энергией и ее стабилизация за счет нелинейности и неоднородности .
6. Теория РПН объемных и поверхностных МГД-волн в плазменном ци-
цилиндре, удерживаемом магнитным полем (система со свободной гра-
границей)
Заключение
Приложение
Список литературы ._
Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности.
В. Е. Захаров * ,
Введение
1. Слабая турбулентность в средах с распадным законом дисперсии .
2. Колмогоровские спектры в средах с распадным законом дисперсии
(точные решения)
3. Колмогоровские спектры в средах с распадным законом дисперсии
(интерпретация точных решений)
4. Размерностные оценки
5. Капиллярная и акустическая турбулентность
6. Существенно анизотропные спектры слабой турбулентности
7. Слабая турбулентность в средах с нераспадным законом дисперсии
8. Турбулентность гравитационных волн на поверхности жидкости
9. Степенные спектры ленгмюровской турбулентности плазмы ....
Заключение , »
Список литературы » *
628

Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн. В. Е. За-
Захаров
Введение ^
1. Усредненное описание плазмы °^
2. Слабая турбулентность °?
3. Неустойчивость монохроматических волн ??
4. Ленгмюровские солитоны и их устойчивость ^
5. Самофокусировка ленгмюровских волн у*^
6. Коллапс ленгмюровских волн 9^
7. Коллапс и турбулентные спектры 1^4
8. Коллапс и нагрев плазмы |у^'
Заключение ||*
Список литературы • • *1'
Сильная турбулентность плазменных колебаний. В. Д. Ш а-
пиро, В. И. Шевченко 119?
Введение И^*
1. Динамическая теория модуляционной неустойчивости 127
2. Плазменная турбулентность 134
3. Накопление коротковолнового звука и его влияние на плазменную
турбулентность 147
4. Плазменная турбулентность, инициируемая волной накачки с часто-
частотой, отличной от плазменной. Плазменная турбулентность в окрестно-
окрестности резонанса со«2сор 151
5. Диссипация энергии мощной электромагнитной волны в неоднородной
плазме 15&
6. Коллапс и плазменная турбулентность в магнитном поле .... 16?
Список литературы 173>
Перенормировки в физике плазмы. Джон А. Кроммес 174-
Введение 174
1. Перенормировка и физика плазмы 177
2. Стохастический осциллятор 181
3. Диффузия пробной частицы в дискретном спектре 188
4. Гидродинамика I 195
5. Приближение прямого взаимодействия 2CD
6. Основы теории перенормировок 208
7. Гидродинамика II 227
8. Диэлектрический отклик в бесстолкновительной плазме 238
9. Самосогласованные флуктуации и уравнение баланса 2'49
10. Разное 255
11. Послесловие 2601
Приложение А. Кумулянты 260
Приложение В. Фурье-преобразование, обозначения 263-
Список литературы 264
Пространственно-временная эволюция абсолютных и конвек-
конвективных плазменных неустойчивостей. А. Б е р с . . . . 267
Введение 267
1. Абсолютные неустойчивости — неустойчивые собственные моды . . . 273>
2. Конвективные неустойчивости. Пространственное усиление и распростра-
распространение сигналов * 293'
3. Асимптотическая форма импульса при развитии неустойчивых возму-
возмущений 301
4. Эффекты, связанные с конечным размером системы и неоднородностью
плазмы при взаимодействии между модами 314
Список литературы 32а
629*

VI. КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИССИПАЦИЯ И АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ПЕРЕНОСА
Спонтанное пересоединение магнитных силовых линий в бес-
столкновительной плазме. А. А. Га л ее в 331
Введелие 331
1. Равновесие и устойчивость плоского нейтрального слоя обо
2. Пересоединение в плоских слоях с широм магнитного поля . . . 341
3. Пересоединение в двумерных конфигурациях магнитного поля . . . 353
Список литературы 361
Дрейфовая турбулентность и аномальный перенос. В. Хор-
тон . зб2
1. Введение 362
2. Аномальный перенос за счет дрейфовых мод при низком давлении
плазмы 364
3. Спектры дрейфовой турбулентности . . . 387
4. Аномальный перенос за счет электромагнитных флуктуации . . . 408
-Список литературы 433
Параметрические неустойчивости и диссипация волн в плаз-
плазме. К. Ми м а, К. Нишикав а 434
Введение 434
1. Феноменологическое описание параметрических неустойчивостей . . 436
2. Кинетическая теория параметрических неустойчивостей 458
-3. Некоторые нелинейные эффекты при параметрических процессах . . 473
4. Некоторые примеры распространения нелинейной электромагнитной
волны 488
«Список литературы 496
Релаксация плазмы с анизотропным распределением по ско-
скоростям. В. Ю. Тр ахтенгерц 498
1. Качественная картина релаксации плазмы с анизотропным распреде-
распределением по скоростям . ...».„ , ш з э % % % 498
2. Электромагнитные и электростатические неустойчивости анизотропной
плазмы (общая характеристика) 501
3. Релаксация анизотропных распределений в случае однородной среды 505
4. Режимы турбулентной диффузии заряженных частиц в магнитных ло-
ловушках 509
5. Динамика анизотропных распределений частиц при развитии цикло-
циклотронной неустойчивости (ЦН) 518
'6. Релаксация в поле монохроматической свистовой волны .... 524
*7. Другие типы анизотропных неустойчивостей 529
Список литературы « « ж « 532
VII. ДИАГНОСТИКА ПЛАЗМЫ
Методы диагностики, основанные на взаимодействии элект-
электромагнитного излучения с плазмой. В. Е. Гол ант . . 534
Введение ' 534
1. Методы, основанные на излучении плазмы . 535
2. Интерферометрические методы 552
€30

3. Методы, основанные на рассеянии электромагнитных волн в плазме 569
Список литературы 581
Диагностика высокотемпературной плазмы в магнитных ло-
ловушках. Р. Дж. Голдстон 583
1. Магнитные и электрические измерения 583
2. Диагностика, основанная на перезарядке 592
3. Использование пучков частиц для диагностики „ 606
4. Исследование продуктов термоядерных реакций 614
Список литературы 624

АБРАХАМ БЕРС
АЛЬБЕРТ АБУБАКИРОВИЧ ГАЛЕЕВ
ВИКТОР ЕВГЕНЬЕВИЧ ГОЛАНТ И ДР.
ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
Том 2
Редакторы Е. В. Сатарова, В. Н. Безрукова, Т. Е. Бузаева
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника В. Я. Батищева
Технический редактор О. Д. Кузнецова
Корректор 3. Б. Драновская
ИБ № 597
Сдано в наэор 21.10.83 Подписано в печать 30.01.81 Т-04171
-Формат 60X907x6 Бумага типографская № 1 Гарнитура литературная
Лечать высокая Усл. печ л 59,5 Уел кр.- тт. 39,5 Уч.-изд. л. 47,12
Тираж 1853 экз. Заказ 3283 Цена 7 р. 40 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна-
Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзпо-
лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам изда-
издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, М-54, Вало-
Валовая, 28