Л.Н.ЛАБ30ВСКИЙ

ТЕОРИЯ АТОМА

Квантовая
электродинамика
электронных оболочек
и процессы излучения
Л.Н .ЛАБЗОВСКИИ

ТЕОРИЯ АТОМА

Квантовая электродинамика
электронных оболочек
и процессы излучения

Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования
Российской Федерации для использования в учебном процессе студентами
физических специальностей высших учебных заведений

МОСКВА
НАУКА • ФИЗМАТЛИТ
ББК 22.31

Л 12
УДК 539.18

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 96-02-30089

Рецензенты:
академик АН Украины А. И. Ахиезер,
доктор физико-математических наук Н. Ф. Шульга

Лабзовский Л. Н. Теория атома. Квантовая электродинамика электронных
оболочек и процессы излучения: Учеб, руководство. — М.: Наука. Физматлит,
1996- — 304 с. — ISBN 5-02-015016-9

Представлены как традиционные, так и все значительные новые методы и резуль-
таты теории атома. Подробно рассмотрены релятивистская теория атома водорода, в
том числе релятивистская кулоновская функция Грина. Изложение квантовой элект-
родинамики атома основано на теории возмущений для S-матрицы в картине Фарри.
Приведена теория радиационных поправок для нерелятивистских и сильно реля-
тивистских электронов. Рассмотрены процессы мультипольного излучения атомов,
фотоионизация, автоионизация, многофотонные процессы, а также квантовоэлектро-
динамическая теория естественной ширины и формы спектральной линии.

Для научных работников, занимающихся теорией атома, теоретической спектро-
скопией, теорией ядра, теорией излучения, а также_ддя=авиидантов и студентов стар-
ших курсов соответствующц* виециалвяост^й. * vr;-  < р

Табл. 12. Ил. 61. Библиотр. 186н^ЗВщ2..

|фи8ическс lK'TC 1

------------------------1------ п г 7	6------------------

Научное издание _  —  

ЛАБЗОВСКИЙ Леонтий Нахимович

ТЕОРИЯ АТОМА

Квантовая электродинамика электронных оболочек
и процессы излучения

Редакторы Г. М. Карасева, Л. П. Русакова, Д. А. Миртова

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МФТИ

Оператор верстки Л. Г. Быканова

Корректоры О. И. Холодкевич, С. А. Холодкевич

ИБ № 41632

ЛР№ 020207 от 27.11.91.

Подписано в печать 05.12.96. Формат 60X90/16. Бумага книжно-журнальная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 19. Уч.-изд. л. 20,9.

Тираж 1000 экз. Заказ 859	С-043.

Издательская фирма «Физико-математическая литература» РАН

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН

121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6

1604090000-043

053(02)—96

© Л. Н. Лабзовский, 1996

ISBN 5-02-015016-9
ОГЛАВЛЕНИЕ

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ............................................ 5

ПРЕДИСЛОВИЕ................................................................ 6

ГЛАВА 1

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА

§1.1	.	Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле .....	9

§1.2	.	Движение релятивистского электрона в центрально-симметричном поле	15

§1.3	.	Релятивистская задача об электроне в кулоновском поле ядра ...	20

§1.4	.	Релятивистская кулоновская функция Грина ........................ 27

§1.5	.	Переход к нерелятивистскому пределу ............................. 31

§	1.6.	Преобразование Фолди-Вутхайзена ................................. 36

ГЛАВА 2

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АТОМА

§2.1.	Электромагнитное поле: классическая теория ...................... 43

§ 2.2.	Разложение потенциалов на плоские волны.......................... 51

§ 2.3.	Квантование электромагнитного поля............................... 55

§24	Фотоны с определенным моментом и четностью ........................ 59

§ 2.5.	Взаимодействие электронов с фотонами............................... 65

§ 2.6.	S-матрица в картине Фарри.......................................... 70

§ 2.7.	Электронный и фотонный пропагаторы .............................. 78

ГЛАВА 3

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ

§3.1.	Классификация поправок к энергии для связанных электронов в
атомах ......................................................... 82

§ 3.2.	Взаимодействие электронов в первом порядке теории возмущений	85

§ 3.3.	Взаимодействие электронов в вырожденных состояниях................. 93

§ 3.4.	Матричные элементы гамильтониана Брейта ......................... 98

§ 3.5.	Взаимодействие электронов во втором порядке теории возмущений	104

§ 3.6.	Релятивистский метод Хартри-Фока.................................109

ГЛАВА 4

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К УРОВНЯМ ЭНЕРГИИ АТОМОВ

§4.1.	Квантовая электродинамика свободных электронов ..................116

§ 4.2.	Расходимости в 5-матрице ........................................123

§ 4.3.	Перенормировка и регуляризация...................................132

§ 4.4.	Радиационный сдвиг уровней энергии для нерелятивистских электро-
нов в атоме ....................................................147

§4.5.	Радиационный сдвиг уровней для релятивистских электронов в атоме 165
ГЛАВА 5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ

§5.1.	Излучение одного фотона	....	. .	180

§ 5.2.	Спонтанное и вынужденное излучение и поглощение света ...	189

§ 5.3.	Мультипольное излучение .......................................191

§ 5.4.	Вероятности переходов в атоме водорода и одноэлектронных ионах	202

§ 5.5.	Вероятности переходов между уровнями многоэлектронных атомов .	212

§ 5.6.	Фотоионизация..................................................222

§ 5.7	Автоионизационные состояния	....	 233

§ 5.8.	Излучение атомов в ридберговских состояниях....................240

§ 5.9.	Рентгеновские спектры атомов и ионов ...	 252

§5.10.	Многофотонные процессы в атомах ...............................255

ГЛАВА 6

ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА И ФОРМА СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

§6.1.	Радиационная ширина уровней....................................268

§ 6.2.	Форма спектральной линии: квантовомеханическая теория ....	273

§ 6.3.	Форма спектральной линии:	квантовоэлектродинамическая теория	279

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.	Лэмбовский сдвиг водородоподобных атомов ..........................289

2.	Вероятности переходов..............................................290

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.....................................................299
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ

Для обозначения операторов используется буква с крышкой, для
обозначения векторов — полужирный шрифт. Векторное произведе-
ние обозначается axb, коммутатор и антикоммутатор — как
[АВ]Т = АВ + В А. Для обозначения четырехмерных величин исполь-
зуются греческие индексы р., v, Л, принимающие значения
1, 2, 3, 4, а для обозначения трехмерных величин, — как правило,
латинские. Принята евклидова метрика в четырехмерном пространст-
ве с мнимой четвертой компонентой 4-векторов: аи = (a, ia0). Ска-
лярное произведение в 4-пространстве обозначается так:

= ab + a4b4 = ab - а0Ь0.

Наконец, в некоторых случаях используется специальное обозначе-
ние <2И7И = а (двойная крышка) для скалярного произведения про-
извольного 4-вектора и матриц Дирака уи.

В книге используются, в основном, две системы единиц: реляти-
вистская и атомная. В первой из них h = с — т = 1 ( /г — постоян-
ная Планка, с — скорость света, т — масса электрона), во второй
h — е = т= \ (е — заряд электрона). Во многих случаях, однако,
масса электрона т выписывается в формулах явно.

Связь между атомными единицами и единицами в системе СГС
и СИ приведена в первой части книги [I] (см. в предисловии), связь
между атомными и релятивистскими единицами для наиболее упот-
ребительных в теории атома величин дается приводимой таблицей.

Сравнение релятивистской и атомной систем единиц
(а = ег1Ъ.с ~ 1/137,036 — постоянная тонкой структуры)

Физическая величина	Коэффициент перевода к, 1 а. е. = к р. е.
Заряд	Va
Масса	1
Момент количества движения	1
Длина (боровский радиус ао )	1/a
Скорость	a
Импульс	a
Энергия	a2
Время	1/a2
Частота	a
ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящей книге рассматриваются все те задачи, которые требуют
для своего решения применения методов квантовой электродинами-
ки: это релятивистская теория движения и взаимодействия электро-
нов в атомах, теория радиационного сдвига уровней и, наконец, те-
ория излучения и поглощения света атомами. Последняя, как изве-
стно, в нерелятивистском случае может быть изложена на уровне
квантовой механики, как это делается во многих руководствах по
теории атомных спектров. Такое изложение, однако, всегда являет-
ся неполным и во многих случаях непригодным (например, для опи-
сания рентгеновских спектров в тяжелых атомах, в которых внут-
ренние электроны сильно релятивистские). Релятивистская теория
необходима также для описания спектров многозарядных ионов,
изучение которых в последнее время является одной из важнейших
задач атомной физики.

Таким образом, в книге теория излучения атомов излагается с
помощью квантовой электродинамики, а в тех случаях, когда ее
можно не использовать, совершается переход к нерелятивистскому
пределу и применяются методы квантовой механики. Такой подход
позволяет охватить всю совокупность процессов во внешних и внут-
ренних оболочках атомов и ионов, но требует предварительного зна-
комства с методами квантовой электродинамики. Изложение этих
методов в книге наиболее близко к широко известным руководст-
вам: Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинами-
ка. — М: Наука, 1981 и Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Пита-
евский Л. П. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1980, од-
нако не повторяет их. Отличие заключается в том, что изложение
целиком относится к излучению связанных электронов в атомах
(так называемая картина Фарри). Вместе с тем это изложение по-
следовательно проводится, как и в упомянутых руководствах начи-
ная с теории невзаимодействующих полей и кончая перенормиров-
ками и регуляризацией 5-матрицы. Это обеспечивает известную
замкнутость содержания книги, хотя, разумеется, большое число
различных конкретных вопросов столь обширной области физики,
как теория взаимодействия атомов с излучением, остается вне ра-
мок книги. Во всех таких случаях автор старался дать ссылки на по-
священные этим вопросам монографии и обзоры.

В первой главе излагается релятивистская теория атома водоро-
да, в которой, помимо традиционных вопросов, рассмотрены им-
пульсное представление для релятивистских водородных волновых
функций, преобразование Фолди—Вутхайзена, а также разработан-
ный относительно недавно аппарат релятивистских кулоновских
функций Грина.

Вторая глава, посвященная общим вопросам квантовой электро-
динамики атома, содержит в качестве вступления краткую сводку
результатов классической электродинамики, в частности классиче-
ское описание спина фотона, что приводит непосредственно к вол-
новой функции фотона, обладающего определенным моментом и
четностью. Последнее особенно важно для описания процессов излу-
чения в центрально-симметричном поле атома. В этой же главе со-
держится формулировка квантовоэлектродинамической теории воз-
мущений для связанных электронов в атомах (картина Фарри). Та-
кая теория обладает определенными особенностями по сравнению с
обычной теорией для свободных электронов.

Третья глава посвящена релятивистскому описанию взаимодей-
ствия электронов в многоэлектронном атоме. Здесь имеется большое
разнообразие методов и подходов, беглый обзор которых сделан в
предыдущей второй главе. Для конкретных расчетов в книге избран
адиабатический формализм Гелл-Манна и Доу как один из наиболее
детально разработанных и широко применяемых методов. Глава со-
держит как общие формулы для поправок к уровням энергии, так и
результаты конкретных расчетов для простых двухэлектронных си-
стем, иллюстрирующих относительную важность различных вкла-
дов в энергию взаимодействия. Завершается глава описанием реля-
тивистского метода Хартри—Фока, являющегося основой для совре-
менных расчетов тяжелых атомов.

В четвертой главе рассмотрена теория радиационных сдвигов
уровней энергии электронов в атомах. Изложение проводится от
первых принципов электродинамики и позволяет проследить всю
последовательность действий, включая регуляризацию матричных
элементов 5-матрицы, и заканчивается конкретными расчетами
лэмбовского сдвига для различных состояний атомов. Новым эле-
ментом в этой главе является описание расчетов собственной энер-
гии электрона и поляризации вакуума для релятивистских электро-
нов в кулоновском поле при произвольных значениях заряда ядра.
Эти расчеты были завершены лишь в самое недавнее время.

Пятая глава книги, наибольшая по объему, содержит описание
процессов взаимодействия атомов со светом на основе квантовой
электродинамики. Здесь наряду с традиционными вопросами, таки-
ми как вероятности переходов и фотоионизация, рассмотрен целый
ряд новых задач, решенных в последние десятилетия. К ним можно
отнести релятивистские расчеты вероятностей переходов для одно-
электронных и двухэлектронных многозарядных ионов с произволь-
ным зарядом ядра, расчеты фотоионизации многоэлектронных ато-
мов в приближении случайной фазы, теорию двукратной фотоиони-
зации, задачу об излучении атомов в ридберговских состояниях,
наконец, теорию многофотонных процессов в атомах.

Последняя, шестая глава книги посвящена проблеме, которая
обычно не выделяется специально в качестве крупного раздела в
руководствах по теории излучения, — проблеме расчета естествен-
ной ширины и формы спектральных линий. Здесь, однако, эта про-
блема рассмотрена более детально. Впервые из квантовой электро-
динамики мы получаем замкнутые выражения для радиационной и
автоионизационной ширины, не прибегая к складыванию вероятно-
стей, а также выводим в общем случае выражение для лоренцевско-
го контура. Результаты этой главы важны для приложения к теории
спектров многозарядных ионов.

Настоящая книга представляет собой вторую часть курса совре-
менной теории атома, первой частью которого является книга: Весе-
лов М. Г., Лабзовский Л. Н. Теория атома. Строение электронных
оболочек. — М.: Наука, 1986. К сожалению, вторую часть автору
пришлось готовить без непосредственного участия его учителя, про-
фессора М. Г. Веселова, скончавшегося в 1987 году. Однако автор по
мере возможности старался сохранить стиль изложения первой час-
ти. Этот стиль во многом определялся характером научного мышле-
ния М. Г. Веселова, на первое место ставившего краткость и чет-
кость формулировок.

Книга рассчитана на студентов физических специальностей уни-
верситета, изучающих теоретическую физику. Содержание книги
соответствует курсу лекций по теории излучения, читавшихся авто-
ром на протяжении десятка лет на физическом факультете Ленинг-
радского университета. Изложение материала в книге построено та-
ким образом, что для ее чтения необходимо знать лишь основы
квантовой механики (например, в объеме известного курса Л. Д.
Ландау и Е. М. Лифшица «Теоретическая физика»). Необходимые
сведения из квантовой электродинамики содержатся в тексте книги.
Основное внимание при изложении обращается на принципиальную
сторону дела, однако общие вопросы иллюстрируются, как правило,
примерами и вычисления доводятся до окончательных результатов.
Книга может представлять интерес также для физиков-теоретиков,
работающих в области теории атома и в смежных областях, а также
для физиков-экспериментаторов, желающих ознакомиться с дости-
жениями теории.

Автор предполагает написать также третью, последнюю часть
курса по теории атома, содержащую такие вопросы, как сверхтон-
кая структура атомных спектров, описание атомов во внешних по-
лях, экзотические атомы и некоторые другие вопросы.

Настоящая книга тесным образом связана с первой частью, на
которую в тексте имеются многочисленные ссылки; эти ссылки на-
чинаются с римской цифры I, за ней следует указание на параграф
или формулу.
Г лава 1

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА

§1.1. Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле

Эта глава является продолжением главы 1 части первой [I], в которой
рассматривалась нерелятивистская теория атома водорода. Как и в [I,
гл. 1 ], ядро здесь считается точечной бесконечно тяжелой бесструк-
турной частицей (учет поправок на массу и объем ядра, а также эф-
фекты, связанные с наличием у ядра магнитных и электрических мо-
ментов, см., например, в [1]). Теперь вместо уравнения Шрёдингера
[I, (1.1)] нужно решать уравнение Дирака для электрона в кулонов-
ском поле ядра. В настоящем параграфе мы рассмотрим кратко неко-
торые общие свойства уравнения Дирака для произвольного внешнего
поля [2, 3]. Напомним вначале, как выглядит уравнение Дирака для
свободного электрона (в релятивистских единицах):

.^=«r)<Hr,O.	(1-1)

А(г) = ар +0/п,	(1-2)

где а, р — матрицы Дирака

(О с)
а = I г, ,
1а 01’

(1.3)

о — матрицы Паули (см. [I, (3.4)]), р = —iV — оператор импуль-
са. Волновые функции гр(г, t) в теории Дирака являются четырех-
компонентными биспинорами:

]*₽!]

4>(г, 0 =

Й>(г. 0)
|j(r, 0)

Ч>2

Xi

14

(1.4)

где спиноры <р, у — так называемые верхняя и нижняя компоненты
биспинора. В уравнении (1.1) функция Ц>(г, /) рассматривается как
матрица-столбец.

Матрицы а, р обладают следующими свойствами:

[ага/]+ = 2б//,	[а/р]+ = 0,	₽2 = Z (< = 1,2, 3), (1.5)

где 1 — единичная четырехрядная матрица. Все матрицы а, р эр-
митовы:

< =	р+=р.	(1.6)
Часто бывает удобно использовать ковариантную запись уравне-
ний Дирака. Для этого вводится 4-вектор импульса:

Р = (Р, iPo) = (-«V, -	,

а также матрицы

TS(Y, Т4)> Y = /₽«.	?4 = ₽’	О-7)

которые удовлетворяют перестановочным соотношениям

ItiaYv]+ = 2V (и, v = 1,2, 3,4)	(1.8)

и являются эрмитовыми, как и матрицы а, (3.

Умножив обе части уравнения (1.1) на у4, можно переписать его
в виде

ОЧЛ + W)4’O) =0,	(1.9)

где х г = г, it. Эрмитово-сопряженный биспинор (матрицу-строку)
записываем в виде

ф+ = (ф1ф1х1х1)-	<110)

Вместо (1.10) удобнее, однако, использовать дираковски сопряжен-
ный биспинор

Тр = -ф+у4,	(1-11)

уравнение для которого принимает вид

“ w) = °’	(1-12)

причем подразумевается, что в (1.12) оператор действует справа
налево.

Умножая уравнение (1.9) слева на яр, а уравнение (1.12) справа
на ip и вычитая одно из другого, получаем соотношение

= о,	(1.13)

которое можно переписать в виде

= 0	(1-14)

д\

Вектор

5И(*) = 'Ф(*) ТИФ(*)	(1-15)

представляет собой плотность тока вероятности и связан с обычным
вектором тока j соотношением

Л =	(1-16)

где е — заряд электрона (по абсолютной величине). Компонента
—i/0 представляет собой плотность заряда, а компонента — is0 —
плотность вероятности р(х):

-is0(x) = р(х) = ip+(x)ip(x).

(1-17)
Таким образом, (1.14) представляет собой уравнение неразрыв-
ности.

Для стационарных состояний

%(г, О = г|>Дг)е_/£?,	(1-18)

где %(г) — решение стационарного уравнения Дирака

Л(г)грДг) = Е^грДг).	(1.19)

Индекс s нумерует различные решения (1.19).

Уравнение Дирака (1.1) имеет решения как с положительны-
ми, так и с отрицательными значениями Es. В этом проще все-
го убедиться, переписав уравнение (1.1) в импульсном представ-
лении

г ?Кр. ) _ (ар _|_ pw)ip(p, г)	(1.20)
и перейдя от (1.20) к системе уравнений для спиноров ip(p, t) и Х(р, Г) (см. (1.4)):	
(стР)х +	(1-21)
<§ = (стр)ф- тех-	(1-22)

В случае стационарных состояний (1.18) эта система уравнений ста-
новится алгебраической:

(Е-тМр) - (стр)х(р) =0,

(Е + т)х(р) - (ор)т(р) = 0.

Из условия разрешимости (1.23) следует:

Е2 — т2 — (стр) (стр) = 0.	(1-24)

Используем известные соотношения для матриц Паули

(ста)ст = а + z(crxa),

(1.25)
ст(ста) = а + i(axo),

где а — произвольный вектор. Эти соотношения доказываются с по-
мощью непосредственно проверяемого равенства

cick = b,k + ujkici к, I—I, 2, 3),	(1.26)

где t.jkl — единичный антисимметричный тензор. Из (1.26) следуют
и коммутационные соотношения для матриц о/ как компонент спи-
нового момента (см. [I, (3.1)])

[oycrJt]_ = 2zE74Zoz	(1.27)

и антикоммутационные соотношения

[оуоА]+ = 26л.	(1.28)
Из (1.25) также следует

(аа) (оЬ) = (ab) + ia(a х b),	(1.29)

(аа) (аа) = а2,	(1 -30)

где а, b — произвольные векторы.

С помощью (1.30) из (1.24) получаем

Е — ± Vp2 + т2.	(1-31)

Существование решений с отрицательными частотами (энергиями)
приводит к выводу, что в релятивистской квантовой механике не-
возможно сохранить обычную интерпретацию собственных значе-
ний оператора Гамильтона как значений энергии частицы. Кроме
того, мы должны придавать различный физический смысл состояни-
ям с положительными и отрицательными энергиями (см. ниже).

Запишем теперь уравнение Дирака во внешнем электромагнит-
ном поле, вводя 4-вектор потенциала АИ(А, г‘А0), где Ао= V — ска-
лярный потенциал. Это уравнение получается из (1.9) заменой

(^м(ри +	+ w)ip = °.	(1.32)

Сопряженное уравнение принимает вид

~ е^) ~ "О = 0;	(1.33)

потенциал А^, в отличие от ри, является вещественным. В некова-
риантной записи уравнение (1.32) после умножения на р принимает
вид (1.1) с гамильтонианом

Л(г) — а(р + <?А) — eV(r) + $т.	(1-34)

В частности, для электрона, движущегося в кулоновском поле ядра
с зарядом Z,

А = 0,	У(г)=^,	(1-35)

где г = |г| — расстояние от электрона до ядра. Плотность тока для
электрона во внешнем поле дается теми же формулами (1.15),
(1.16), что и для свободного электрона, в чем легко убедиться, по-
вторив прежние рассуждения. Прежний вид имеет и уравнение не-
разрывности.

Решения стационарного уравнения (1.20) с гамильтонианом
(1.34) могут принадлежать как дискретному, так и непрерывному
спектру. Поскольку собственные значения для свободного электрона
определяются формулой (1.31), областями непрерывного спектра
будут Е> т или Е S —т. При —т < Е < т электрон будет нахо-
диться в связанном состоянии и его движение будет финитным. Та-
ким образом, для электрона во внешнем поле, как и для свободного
электрона, можно говорить о состояниях с положительной и отрица-
тельной энергией.
В качестве условия нормировки для ф в случае связанных состо-
яний можно использовать условие

J Р(г) dr= J ф+(г)ф(г) dr= 1.	(1.36)

Состояниям с отрицательной энергией в релятивистской теории
придается смысл с помощью преобразования зарядового сопряжения
С, которое заключается, во-первых, в замене Ац на — и, во-вто-
рых, в преобразовании биспиноров ф, гр с помощью матрицы заря-
дового сопряжения С:

фс(х) = Сфт(х); фс(х) = С-1фт(х),	(1-.37)

где символ «т» означает транспонирование.

Матрицу С можно выбрать так, чтобы уравнение Дирака было
щгеариантным относительно преобразования зарядового сопряжения
С. Транспонируя уравнение (1.33), умножая его слева на С и меняя
знак у получаем

(1Су’С-1(ри + еЛи) - т)фс = 0.	(1.38)

Чтобы имела место инвариантность, нужно потребовать, чтобы

U-39)

Тогда функция фс после замены А^—»— Ли удовлетворяет тому же
уравнению (1.32), что и функция гр. Следовательно, сама по себе
функция фс удовлетворяет уравнению

('уц(р^ ~ eAJ + тУч>с = °>

т. е. уравнению (1-32) для частиц с другим знаком заряда (позитро-
нов). Нетрудно убедиться непосредственно, что условию (1.39)
удовлетворяет матрица

С=у2у4.	(1.41)

Можно убедиться также, что эта матрица удовлетворяет условиям
С+С=1,	(1-42)

С = —Ст.	(!-43)

Поскольку преобразование зарядового сопряжения (1.37) содер-
жит комплексное сопряжение, то для стационарных состояний
(1.18) при Es < 0 оно означает переход к состояниям с Es > 0. Та-
ким образом, можно считать, что функции ф^, соответствующие
функциям ф5 с Es < 0, описывают частицы с положительными энер-
гиями, но с другим знаком заряда — позитроны.

В слабом внешнем поле притяжения для электрона (потенциал
(1.35)) дискретные уровни располагаются вблизи границы «верхне-
го» континуума Е = т. В достаточно сильном внешнем поле (впро-
чем, недостижимом в реальных атомах) уровни могут перейти гра-
ницу Е = 0, т. е. из положительных сделаться отрицательными. В
еще более сильных полях электронные уровни могут погрузиться в
нижний континуум. В этом случае возникает возможность спонтан-
ного рождения электронно-позитронных пар из вакуума (подробнее
об этом см. в [4]). Следовательно, сама возможность описания дви-
жения электрона в рамках одночастичной задачи (т. е. с помощью
уравнения (1.32)) является ограниченной.

В заключение этого параграфа приведем некоторые алгебраиче-
ские соотношения для матриц Дирака. Используя (1.8) и предпола-
гая, что по одинаковым значкам производится суммирование, мож-
но получить следующие равенства:

Vh = 4’	(1-44)
VA = ~2У"	(1.45)
УрУз^Ур =	(1-46)
УЛ?Д = ~2УрУ^-	(1-47)
Введем обозначение а = аиуц, где	— произвольный  Тогда из (1.8) следует, что	4-вектор.
а Ъ + Ъ а = 2av\,	(1.48)
а а = а\	(1.49)
а с учетом (1.44)—(1.47) получаем также	
= -22,	(1.50)
V Н = 4аЛ’	(1.51)
7^2 5 суи = — 2с Ъ а.	(1.52)

Важное значение имеют формулы для вычисления следов раз-
личных матриц. Рассмотрим тензор



(1.53)

В силу инвариантности следа относительно циклических перестано-
вок матриц этот тензор инвариантен относительно циклических
перестановок значков Поскольку матрицы имеют один и тот
же вид в любой системе отсчета, то и тензор Г и должен иметь
один и тот же вид. Но таким свойством обладает единственный тен-
зор 6piv, поэтому любой тензор ,.и должен выражаться через
6 . Из тензора можно составить лишь тензоры четного ранга,
поэтому след произведения нечетного числа матриц уи всегда равен
нулю. В частности,

?; = 8рти = 0,	(1.54)
что можно увидеть и непосредственно. Далее, используя цикличе-
ские перестановки и формулу (1.8), получаем (с учетом Sp I — 4):
^v = 4v,	(1.55)

SP а Ъ = а^ЬТ^ = avbv	(1.56)

и т. д.

Помимо матриц у , в релятивистской теории употребляется так-
же матрица у5:

У5 = У1УгУзУ4-	(1-57)

Свойства этой матрицы, легко проверяемые непосредственно, таковы:
(у5)2=7,	(i-58)

175Ти]+ = 0,	(1.59)

Уз — Т5,	(1-60)

а ее явный вид

*=-(?£)•	<161)

Из (1.61) следует еще одно свойство:
Spy5 = 0.	(1.62)

Наконец, нужно упомянуть еще матрицу

£=(о2[	<1И’

которая может быть представлена также в виде
S = — ау5	(1.64)

(отметим, что матрица у5 коммутирует с матрицами а). С матрицей

S связаны полезные соотношения

а/ак = bjk + ™jki	U-65)

[ayaj_=ieyw2;/,	(1.66)

которые следуют непосредственно из (1.3), (1-27). Соотношение
(1.66) может быть переписано также в виде

(aXa) = iI.	(1.67)

§ 1.2. Движение релятивистского электрона
в центрально-симметричном поле

При движении электрона в центрально-симметричном поле интегра-
лом движения, как и в нерелятивистском случае, является полный
момент количества движения электрона

j=T+s,	(1.68)
который складывается из орбитального 1 и спинового § моментов
Моменты 1 и s в отдельности теперь не являются интегралами дви-
жения. Момент 1 определяется, как и в нерелятивистской механике,

выражением

г
(
с

(1.69)

а спиновый момент выражается через матрицу S:

1 -- г х р,

S = 1Z.	(1-70)
Операторы j2, jz в случае центрально-симметричного поля (1.35)	
коммутируют с гамильтонианом (1.34), поэтому они щей системой собственных функций:	обладают об-
h^EjM =	(1-71)
^EJM = j(j+l^EjM^	(1-72)
Jz^EjM =	(1.73)
Уравнения (1.72), (1.73) могут быть переписаны также в двухком-	
понентной форме	
G + s)24>EjM = j(j + 1)ф£ум,	(1-74)
(1 + S)2%EjM — j(j + l)Xfyftf,	(1-75)
0 + S)z'₽£'/M “	(1-76)
0 + S)zXe7M = ^У-EjM'	(1-77)
Построим явно собственные функции операторов (1 + s)2,	
(1 + s)z, зная собственные функции операторов I2, lz,	s2, sz:
Ру = l(/ + 1)у lm	х	' 1т1	(1-78)
Ту. = тУ., z lm	1т7	(1-79)
S4 = 4V	(1.80)
= ИТ1и,	(1-81)
где теперь § = ^а, У[т — сферические функции [I, (1.12)], а т]и —	
двухкомпонентные спиноры (ц = ± 1/2). По формуле лучаем	[I, (3.29)] по-  (1-82)
0 + s)2QyZM(n) = j(j + l)QyW(n),	
(1 + s)zQ>ZM(n) = MQyZM(n),	(1.83)
Q/w(n) = S с;1("ги)У/т(п)пи.	(1.84)
16	ти	
где nsr/|r|. Функции (1.84) называются шаровыми спинорами.
Они являются также собственными функциями операторов I2 и s2 с
собственными значениями

Pfi77M(n) = Z(Z+l)QyZM(n),	(1-85)

s2Qym(n)=|Qy,M(n)	(1-86)

и образуют полную систему ортонормированных функций

$ (n)Qy,M(n) JQ = ду/6,г6млГ,	(1-87)

где J <ZQ означает интегрирование по угловым переменным.

Шаровые спиноры определяют угловую зависимость функций
'f’EjlM' TLeJIM’

^EjlM ~ £ец(Г)^1м(П)'	(1.88)

tEjiM = if ец(г^цм(п)	(1-89)

(множитель i поставлен в (1.89) для удобства). Квантовое число I
в нерелятивистской теории определяет значений орбитального мо-
мента электрона и одновременно четность состояния. В нерелятиви-
стской же теории орбитальный момент не сохраняется, но понятие
четности состояния по-прежнему имеет смысл.

Рассмотрим операцию пространственной инверсии Р, которая за-
ключается в замене г—*j-r. Уравнение Дирака будет инвариантно
относительно операции Р, если инверсии сопутствует такое линей-
ное преобразование З3 компонент биспинора

гр(г, ?)-»-ф(Рг, /) = ^г|>(г, /),	(1-90)

что

Р(/Ти(Ри + еЛи)+ш)^ = 0.	(1.91)

Если потребовать, чтобы уравнение (1.91) сводилось к (1.32), мы
придем к условиям

= -&>у, у^ = ^у4,	(1.92)

которым удовлетворяет матрица

=	(1-93)

Здесь т)р — числовой множитель, по модулю равный единице. Этот
множитель определяет так называемую внутреннюю четность час-
тицы. Хотя конкретный выбор т)Р может быть различным, внутрен-
няя четность должна быть противоположной для электрона и позит-
рона.

Применим преобразование (1.90) к функции

)	(1.94)
Тогда

= Лр74^77м(-г) = Лр = (-Z/^(r) = Пдм(-п)] • I

(1-95)

Вспоминая, как преобразуются при инверсии сферические функции j
(см. [I, (3.210)1), и используя определение (1.84), получаем

Тогда, если потребовать, чтобы функция (1.94) обладала опреде-
ленной четностью, из (1.95), (1.96) следует, что число I должно от-
личаться от I на единицу. Поскольку, согласно правилам сложения
моментов, I = }± 1/2, отсюда следует, что

7=2/-/.	(1.97)

При этом

= Лр(-1)'^,м(г).	(1.98)

Как следует из (1.23), спинор Хд//м пропорционален (op)ip£ZZM.
Очевидно, то же самое можно сказать и в случае движения во внеш-
нем поле. Однако при пространственных вращениях величина (ар)
ведет себя так же, как (on). Поэтому угловая часть спинора Хд/ли
определяется произведением (on)QyZM. Таким образом, можно на-
писать

(an) QjlM = aQjfM,	(1.99)

где а — числовой множитель. Для нахождения а по формуле

а = $ Q;7M(n)(an)Qy7M(n) dQ	(1.100)

нужно записать скалярное произведение (on) в сферических ортах,
учесть выражение [I, (3.83)] для компонент (ц = 0, ±1) через
функции У1и(п) и воспользоваться формулой [I, (3.44)] для интегра-
ла от трех сферических функций. Нужно также учесть действие мат-
риц о на спиноры (см. в (1| формулы (3.133)—(3.135)) и условие

ортогональности для этих спиноров. Вычисление дает: а = — 1, т. е.

(an)Q/ZM = —(1.101)

Умножая обе части (1.99) еще раз на (an) и используя (1.30), по-
лучаем также

(cn)QyZM = — QjlM.	(1.102)

Запишем уравнение (1.32) с потенциалом (1.35) в двухкомпо-
нентной форме аналогично (1.23):

(Е + еУ-т)ф(г)-(ар)Х(г)=0,	(1.103)

(Е +еИ+m)x(r) - (ор)т(г) = 0.	(1.104)
С помощью (1.101), (1.102) можно написать

(<Ф)Х= г(ор)/ЕУ/(Н^У7М(п) =-i(op)(ar) -|/£>z(r)Qyw(n).

(1.105)

Используя (1-29), после преобразований получаем

(<Ф)Х = ~г{(рг) + zo(pxr)} 1	=

= -{div г + (rV) + а(г X р)} | fE/[(r)QjlM(п) =

= ~^Г + 7	+ 7	(1-106)

При этом мы учли равенства div г = 3, (rV) у = — у, а также (1.69).
Далее, с помощью равенства

al = 2sl = j2 — I2 — s2,	(1.107)

а также (1.85), (1.86), переписываем al в виде *)
al = -(l + xy/),

где

l при j = I — |,
11	—(Z+l) при ; = Z + |.

Формулу (1.109) можно переписать еще иначе:
. , 1 . 1
] + 2 ПРИ 1 = 1 ~ 2’

~ , 1\ . , 1

— 7 + 2 при ] = I + 2-

(1.108)

(1.109)

(1.110)

Наконец, исходя из (1.110) и (1.97), можно написать соотношение
ху/ = -х7.?.	(1.111)

Тогда вместо (1.106) можно написать
1—х.,	\

(<Ф)Х = -	fEft\&jlM.	(1.112)

Аналогичным путем с помощью (1.111) выводится соотношение
(dg~1+х.,	\

-^L + ~7JLSEj^jlM.	(1.ПЗ)

Подставляя (1.112), (1.113) в (1.103), (1.104), учитывая (1.88),

(1.89) и сокращая в правых и левых частях получившихся уравне-

*) Это равенство справедливо на функциях (1.84).
I

ний на шаровые спиноры Qy/M, приходим к уравнениям для г
радиальных функций gEjl, fE)l-.	{

dg.-1+х,

-^ + -7^^/-(£ + "Ч-еЮ/£у7 = 0,	(1.114)

+	+	+	=	(1.П5) ’

§ 1.3. Релятивистская задача об электроне
в кулоновском поле ядра

В этом параграфе мы рассмотрим решение уравнений (1.114),
(1.115) с потенциалом (1.35). Выясним вначале вид решения при
г—>0. Пренебрегая членами Е±т в правой части, опуская для
краткости индексы Еjl у функций g, / и у х и вводя новые функции
G = rg, F = rf, получаем

^- +	-G — — F = Q,	(1.116)

dr	г	г	’

^- + — F — — G = 0.	(Ы17)

dr	г	г

Здесь а = eHhc — постоянная тонкой структуры. В релятивистских
единицах а = е2.

Будем искать решения уравнений (1.116), (1.117) в виде

G = Ary, F = Br\	(1.118)

Подстановка в (1.116), (1.117) дает

Л(у + х)-BZa^O,	(1.119)

AZa + В(у — х) =0.	(1.120)

Величина у определяется из условия разрешимости уравнений
(1.119), (1.120)

у2=х2—(Za)2.	(1.121)

В релятивистской теории электрон в кулоновском поле можно рас-
сматривать только до значения Za < 1, т. е. Z< 137. При Z> 137
энергия основного состояния становится мнимой (см. ниже в этом
параграфе); в этом случае становится обязательным учет конечных
размеров ядра (см. [4]). Поскольку |x/Z| > 1 при любых значениях
jl, величина у вещественна при aZ < 1.

Рассмотрим состояния дискретного спектра (Е < т). В этом слу-
чае будем искать решения уравнений (1.114), (1.115) в виде

g = Vm + Ее-зРрУ-1^ + Q2),	(1.122)

/ = -V^£e4pp>-1(Q1-Q2))	(1.123)
где р = 2Лг, Л = Vzn2 — Е2. Такой выбор соответствует асимптотике
решений (1.114), (1.115)

= 7	<1124>

где С — константа. Подстановка (1.122), (1.123) в (1.114), (1.115)
дает

(Q1 + С2) + (V + x)(Qj + Q2) - pQ2 +

+ Za^Ef(G1-Q2)=0, (1.125)

p^(G1-Q2) + (y-x)(G1-G2) + pG2-

-Za^lf(Q1 + Q2)=0. (1.126)

Складывая и вычитая почленно эти уравнения, получаем

₽T+(''~T£)e. + (’<-^F)a-O’	<||27>

р^+(*-¥-<>)&+(»+T)a=°- (1128)

dQ2

Дифференцируя (1.127) и подставляя производную из (1.128),
а затем действуя в обратном порядке, получаем уравнения для
определения Qt, Q2:

d26i	. dQ{ / ZaE\	nn\

p —+ (2y+1-p)	h- —IQ^O,	(1.129)

P$ + (2V + 1~P)?“ (v + 1-^Q2 = 0. (1.130)

При этом нужно использовать соотношение

2	fZam\2	2 /ZaE\2	z.

x	Hr = Y	Hr ’	(1.131)

которое проверяется непосредственно с помощью (1.121).

Решения уравнений (1.106) (конечные при р—>0) выражаются
через вырожденную гипергеометрическую функцию [I, (П2.1)]:

С1 = Л/'^-^,274- 1;р^,	(1.132)

(22 = Бг(у+12у+1; pj.	(1.133)

Постоянные А и В связаны между собой соотношением

=	(1.134)
которое получается из (1.127) или (1.128), если положить там
р = 0. Рассуждая так же, как и при решении нерелятивистского ра-
диального волнового уравнения (см. [I, § 1.1]), приходим к выводу,
что ряды, с помощью которых определены гипергеометрические
функции (1.132), (1.133), должны обрываться (в противном случае
при р—» оо эти функции будут возрастать как ер, а функции g, f —
как ер/2).

Условие обрывания рядов можно представить в виде

7_2оЕ = _Пг.	(1.135)

Если nr = 1, 2, ..., то обе функции (1.132), (1.133) сводятся к по-
линомам. Если пг = 0, то обрывается только ряд (1.132). Но при
пг = 0 из (1.135) имеем y—ZaE/k, а тогда из (1.131) следует
Zaw/X = ±х. Если х < 0, то, как следует из (1.134), Б = 0 и
Q2 = 0. В этом случае конечное решение (1.132), (1.133) существу-
ет. Если же х > 0, то функция £>2 ПРИ пг= 0 расходится при
р-»оо. Таким образом, радиальное квантовое число пг в релятиви-
стской теории может принимать следующие значения:

_ JO, 1, 2, ... при х < 0,	(1.136)

п'~ 1,2,3,... при х > 0.

Из (1.136) следует выражение для уровней энергии атома водорода
в релятивистской теории (формула Зоммерфельда):

Eirjl

(Za)2

(Vx2-(Za)2 +nr)2

(1.137)

= т 1 Т

Поскольку выражение (1.137) зависит лишь от x2z, оно фактически
не зависит от /. Таким образом, уровни энергии с определенными
значениями nr, j двукратно вырождены соответственно двум воз-
можным значениям I — /±1/2.

Основному состоянию отвечают значения квантовых чисел
пг = 0, ] = 1/2. При этом возможно лишь одно значение 1 = 0, так
как величина х в этом случае должна быть отрицательной: х = — 1.

Формула (1.137) описывает уровни энергии в водородоподобных
ионах с произвольным зарядом ядра Z < 137 (см. о таких ионах в
§ 5.9). При aZ« 1 формулу (1.137) можно разложить по степеням
aZ. Ограничиваясь членами порядка (aZ)4, получаем

ЕпЛ = т-^^ Il + J-J-r-T-U» (1.138)
njl 2п2 п I 1Х)/1	4я1|

где мы ввели обозначение п = nr + | ху/1 = nr + j + 1/2. Можно
убедиться, что таким образом определенное квантовое число п сов-
падает с определением главного квантового числа в [I, § 1.1]. Тогда,
если рассматривать энергию связи электрона в атоме ЕпЛ — т, то
первый член разложения (1.138) совпадает с формулой Бальмера [I,
(1.22)], а второй дает поправку на релятивистские эффекты. С уче-
том этой поправки энергия электрона начинает зависеть не только
от п, но и от /, т. е. вырождение, имевшее место в нерелятивистском
случае, частично снимается. Как уже говорилось выше, вырождение
по квантовому числу I (т. е. фактически по четности, см. § 1.2) ос-
тается. Это вырождение снимается лишь с учетом радиационных по-
правок (лэмбовского сдвига уровней, см. § 4.4). Заметим, что обоз-
начение энергии тройкой квантовых чисел njl можно использовать
и в общем случае, в формуле (1.137).

Уровни энергии, отличающиеся только квантовыми числами у,
образуют тонкую структуру уровня с определенным значением п.
Тонкая структура обусловлена, как говорилось в [I, §3.12], спин-
орбитальным взаимодействием. Из формулы (1.138) этого непосред-
ственно не видно, однако становится ясно из полурелятивистского
уравнения Паули (см. § 1.5). Относительный порядок малости
тонкой структуры по отношению к расстоянию между уровнями с
различными значениями п, как следует из (1.138), определяется
параметром (aZ)2, т. е. при Z« 1 составляет 10~4. Для обозначения
состояний в релятивистской теории обычно используется нереляти-
вистская символика с дополнительным указанием значения j:
При этом I определяет лишь четность состояния. Тогда последова-
тельность водородных уровней с учетом тонкой структуры можно
записать так:

Isi, (2xi, 2pi), 2рз, (3x1,3pi), (Зрз, Зб/з), 3ds, ...
2	22	2	22	22	2

(в скобки взяты уровни, вырожденные по энергии).

Для радиальных функций g, f из условия нормировки (1.36)
следует:

ОО

$ (g2(r) +/2(r))r2 dr = 1.	(1.139)

о

Из условия (1.139) определяется нормировочный коэффициент А в
(1.132), коэффициент В связан с А соотношением (1.134). Вычис-
ление нормировочных интегралов производится, как и в нереляти-
вистской теории, с помощью формул интегрирования, приведенных
в fl, (П2.4)]. Приведем окончательные выражения для нормирован-
ных радиальных функций:

2(2Zr)^-1e-Xrx

g(r)l
/(0J

(2X)i

~ Г(2-у+1)

KZam

(т±Е)Г(2у + пг + Г)

—(--t'J

F(—nr, 2y 4- 1; 2Xr) + nrF{ i — nr,

(1.140)

где верхний и нижний знаки относятся к g(r) и /(г) соответственно.

Приведем отдельно выражения для радиальных функций состоя-
ний с п — 1, 2 f 1 ]:
1.	Состояние Ixi (n= 1, 2 = 0, j= 1/2):

„ / ч _ /2Zm\	1 J m + Ex

Sl|o(r) [ J ’2Г(271 + 1) r 1 e ’
/llo(r) = —^m+Ej ^l|o(r)-

2.	Состояние 2s| (n = 2, I = 0, j = 1/2):

(1.141,‘‘

ТО

(1-142)

g(
/(

S21o(r) =

(2V1 + l)(m + E2)
4r(271 + I)2V2W2+l) X

X N2

2Zm(W,+ 1) 1

2 г н.-‘е_

Zmr

(2?1 +1)#2

e ~>г,

(1.143)

ГД
че

/4o(H = -V

tn-E2 (2Y1 + l)W2 + 2)W2-2W2 + l)mZr
m + E2 (2yl + l)^-2W2 + l)mZr

g2lo('-)-

(1.144)

И1

3. Состояние 2рл (n = 2, I = 1, j'• = 1/2):

(2y. + l)(m + E,)

------i-------------- у

4r(2Y1 + l)N2(tf2+l) 24

X N2-2

2Zm(7V2-l)

Ф:
g(
/(

(2-уг +1 )Л'2

H.-ie"^, (1-145)

£

m-E2 (2v1 + !)^-2W2-l)mZr

m + E2 (2?! +1 )W2 - 2)JV2 - 2(N2 - DmZr g2i

(1.146)

4. Состояние 2рз (n = 2, 2=1, / = 3/2):

.. -I -Zmr
2Г(2?2 + 1) Г 2 e

(1-147)

m

Л(
с<

Н1

m —Е3

Здесь использованы следующие обозначения:

•у, = Vz2- (aZ)2, i = l,2
(это согласуется с общим определением (1.121)),
^ = 1, JV2 = V2(1 + 71), JV3 = 2,

(1.148)

(1.149)

(1.150)

a Ej (i = 1, 2, 3) представляют собой энергии состояний, вычисляе-
мые по формуле (1.137) (однако обозначаемые тройкой квантовых
чисел ну/):

£', =	— mVl — (ctZ)2,

(1.151)

(1.152)

24

Е3 -=	= т

(1.153)

П

«I

И
ц

ei
g

и


Перейдем к случаю непрерывного спектра. Из общих формул
(1.132)—(1.134) для функций непрерывного спектра получаются
выражения (отличие от случая дискретного спектра заключается в
том, что мы теперь не требуем обрывания рядов):

=1 fej<1:fl)V£±^e-^(2Hr)v(y- zv)-ie^x

х [е'^(у + iv)F(y — iv, 2y + 1; 2ip.r) ± ’

±e '^(y — iv)F(y + 1 — iv, 2y + 1; 2ip.r)], (1.154)

где C — нормировочная константа. В (1.154) использованы обозна-
чения

ц =s у/Е2 — т2, v = ^,	е2'^ =----(1 • 155)

и	x + imvlE

Используя соотношение (см. [I, (П2.3)])

F(a, 0; х) = ехГ(0- а, 0; -х),	(1.156)

функции (1.154) можно переписать также в виде

= ±| СУЁ±^(2Игр(у - iv)-i X

Х hn iv)e~,ilr+^^(.y + 1 + iv, 2y + 1; 2zp.r). (1.157)

Нормировочный коэффициент С определяется из сравнения асим-
птотического выражения функций (1.154) при г—»со с общей форму-
лой для нормированной сферической волны. Асимптотическая форма
сферических волн при наличии внешнего поля отличается от свобод-
ных сферических волн лишь дополнительной фазой [2, 3]:

^EjlM г VSp

VE + mizQyW(n) sin	+

-VE- mizQyZM(n) sin (pr-^ + &Ед}

(1.158)

При этом функции ^EjiM предполагаются нормированными по
«шкале энергий»

$ ^E'7'Z'Af'(r)4,£J/Af(r)	(1-159)

Используя асимптотику вырожденной гипергеометрической функ-
ции F(a, 0; х) при х—»<», из сравнения (1.157) и (1.158) при
г-* О получаем (при этом применяются те же вычислительные при-
емы, что ив [I, § 1.1)] или [3]):

^}=^даехр[? + 2(6 + «1±1)^х G

х ^j(y + iv)e~llir+l^F(y + 1 + iv, 2у + 1; 2ip.r). (1.160)

В некоторых задачах релятивистской теории атома водорода, как
и в нерелятивистском случае, удобнее использовать волновые функ-
ции электрона в импульсном представлении. Уравнение Дирака для
свободного электрона в импульсном представлении мы уже исполь-
зовали в § 1.1. Для электрона во внешнем поле, описываемого урав-
нением Дирака, переход к импульсному представлению во всем ана-
логичен соответствующему переходу в нерелятивистском случае
(см. [I, § 1.2]).

Уравнение (1.19) с гамильтонианом (1.34) (при А = 0) анало-
гично уравнению [I, (1.57)] записывается в виде

(ар + pm - £)i|>(P) — е j У'(р - р')^(р') с?р' = О, (1.161)

где гр(р) — волновая функция электрона в импульсном представле-
нии, представляющая собой четырехкомпонентный спинор. Как и в
[I, § 1.2], функция ф(р) связана с решением тр(г) уравнения (1-19)
преобразованием Фурье:

ф(0 =	$ е'ргт|»(р) dp,  (2я)' J	(1.162)
^(Р) = ТгЫ S e"'pf^(r) dr-	(1.163)
При этом из условия нормировки (1.36) следует:	
$ -Ф+(Р)^(Р) dp= 1.	(1.164)

Переходя к случаю центрального поля, воспользуемся разложе-
нием плоской волны по шаровым спинорам, которое совпадает по
виду с [I, (1.43)]:

е-^ = 4л2	2	S(-04(pr)Vx+zw(^)^zw(^p). (1-165)

х=о	и—х

Формула (1.165) проверяется непосредственно подстановкой яв-
ного выражения для шаровых спиноров (1.84) с учетом соотноше-
ния полноты для спиновых функций

(1.166)

и

и соотношения ортогональности [I, (3.32)] для коэффициентов Клеб-
ша—Гордана, в результате чего эта формула приводится к [I, (1.43)].

Подставляя в (1.163) функцию гр(г) в виде (1.94) и используя
(1.165), в результате интегрирования получаем [5]

= (UEjl(.P) Q/Zm(QP)'|  ^EjtMkP)	Q.TM(Qp)J>	(1.167)
uEji(p) =	(“O' $ ii(pr}gEjSr)r2 dr,  0	(1.168)
VEjl(P) =	(“O' j j-l(Pr)f Ejl^V2 dr-	(1.169)

о
В случае основного состояния 1 я вычисление интегралов в

(1.169) дает

(2Zm)i

m+Ex Г(?1 + 2)
2Г(271 + 1) г/з\

r, I 1 ill । 3 3

F12 71 + 1> 2 71 + 2’ 2’

P2 '

Z2m2

t’lioCp)

2\+i

m-E1 Г(71 + 3)

(2Zm)i ’2Г(271 + 1)

г ( 1	i 3 1	i n 5

pF 2 71 + 2’ 2 71 + 2> 2;

(1.170)
p2

Z2m2] ’





(1.171)

где F(a, p, y; x) — гипергеометрическая функция.

При aZ«l из (1.170) получается нерелятивистская функция
[I, (1.66)]. Функция (1.171) приобретает малый коэффициент aZ
за счет множителя у/т — Е{. В общем случае переход к нереляти-
вистскому пределу в координатном представлении будет рассмот-
рен в § 1.5.

§ 1.4. Релятивистская кулоновская функция Грина

В релятивистской теории атома водорода, как и в нерелятивистской
(см. [I, § 1.4]), существует целый ряд задач, которые могут быть ре-
шены с использованием функции Грина уравнения (1.19) — реля-
тивистской кулоновской функции Грина (РКФГ). Эта функция
Грина определяется уравнением

(h — E)GE(r; г') = 6(г — г')

(1.172)

и может быть представлена в виде спектрального разложения

б£(г; г') =2

5

<(г)ц>,(г')

Е — Е ’

(1.173)

где суммирование производится по полной системе решений уравне-
ния (1.19). Формулы (1.172), (1.173) по виду аналогичны соответ-
ствующим формулам нерелятивистской теории [I, (1.126)] и [1,
(1.127)]. Однако, как видно из (1.173), РКФГ, в отличие от нере-
лятивистской функции Грина, представляет собой матрицу 4 х 4 по
спинорным индексам.

Для явного вычисления РКФГ был разработан целый ряд мето-
дов. В частности, построены выражения для РКФГ в виде разло-
жения по параметру aZ в импульсном [6, 7] и координатном [8]
представлениях. Наиболее удобным для приложений в атомных
расчетах является, однако, парциальное разложение [9, 10], подоб-
ное [I, (1.129)]. В этом случае более удобно использовать вместо
функции Ge функцию Ge s GEfi, удовлетворяющую вмесъ зн
(1.172) уравнению	cai

0(ft-E)G£(r;r') = 6(r-r'),	(1.174)

или, в явном виде,

|p<zp —	+	+ ш|с7£(г; г') = 6(г — г'),	(1.175)

где а — постоянная тонкой структуры.	Ру

Функцию G£(r; г') удобно представить в виде

G£(r;r')= j-pap + p/'^ + ^j +т|ф£(г;г'),	(1.176); В

где функция Ф£(г; г') удовлетворяет «квадрированному» уравн( не
нию, получающемуся при подстановке (1.176) в (1.175):	U

 -А + т2 - Ё2 -	- ian ^||ф£(г; г') = 6(г - г').

Г	rz	г I

(1.1771

Здесь п = г/г. Разделяя радиальную и угловую части оператора Д;

Лапласа, перепишем (1.177) в виде	Пр

l-5^'-2^ + m2-£2-^ + 4K(r;r') = 6(r-r'). (1.178* ли
I Z (л	иг	Г	j.*- I

Оператор N, действующий на угловые переменные, равен

JV = 12— (aZ)2 — iaZan,	(1-ГИ

где 1 — оператор орбитального момента количества движения, опре
деляемый согласно (1.69). Оператор N можно переписать также 1
несколько иной форме *)

+ ^-(aZ)2 _ -laZan	ко

-iaZrn К2 + К- (aZ)2J

Ф)

где К = —(1 + al).

Введение оператора К вызвано тем обстоятельством, что шаро-
вые спиноры &jiM, QjiM являются его собственными функциями е
собственными значениями:

л	и

K-liM =	(1.181) но

на

Формулы (1.181) следуют непосредственно из (1.108) с учета
соотношения (1.111). Теперь можно показать, что собственные

*) Выражение (1.180) возникает, еслиучесть, что согласно (1.29) и перестановоч и
ным соотношениям [I, (1.110)],(al )(al) =г 4-i’a(lxl)	— (al).


значения и собственные функции оператора N могут быть запи-
саны в виде

NPfir, п') = у(у + 1)Р^(п; п'),	(1.182)

где величина у определяется согласно (1.121), а функции Р^(п; п')
имеют вид

Р/п;п') = 2

JIM

^ЛМ^П^рм(П ) 2у ^м(П)Ч/м(П')
^О/7м(п)£2*м(п') ^Q.7M(n)Qt7M(n')

(1.183)

В уравнении (1.182) в функции PY(n; п’) вектор п является аргу-
ментом, а п' играет роль параметра. Равенство (1.182) проверяется
непосредственно перемножением матриц (1.180) и (1.183) с учетом
(1.181), (1.101), (1.102) и (1.121).

Функции Р^(п; п') обладают следующим свойством:
£Pv(n;n') = 6(n-n')-	(1.184)

у

Для доказательства (1.184) заметим, что суммирование по у рас-
пространяется на два возможных значения, у = ± Vx2 — (aZ)2, от-
личающихся только знаком. Поэтому

2 Л<п; "') = 2

у	Им

0	'

^7м(п)йДм(п')?

(1.185)

0
к

Используем, далее, условие полноты для шаровых спиноров

2	2 ЧХ = 6(П - П')’

>1М	1т	и	(1.186)

которое получается из условия ортогональности преобразования
Клебша—Гордана [I, (3.32)], условия полноты для сферических
функций

S^m(n)y;m(n') = 6(n-n')	(1.187)

1т

и правила перемножения матриц: матрица-столбец т]и, будучи ум-
ножена на матрицу-строку дает квадратную матрицу. Таким
образом, в правой части (1.184), (1.186) подразумевается единич-
ная матрица 2x2. Таким же способом получается равенство

2 %(п)^(п') = 6(п - п'),	(1.188)

Им

и свойство (1.184) тем самым доказано.
Пользуясь (1.184), представим трехмерную d-функцию в виде

6(r-r')=-Ld(r-r')2^<n;n')	<1Л89:

У

и разложим ФЕ(г; г') также по функциям Pv(n; п'):

Фг(г; г') = —	ф^(г’ г')^(п; и').	(1-190

v

Тогда подстановка (1.189), (1.190) в уравнение (1.177) приводит i
следующим уравнениям для радиальных функций:

-Й + ^2_£2-^ + Л17^1Ф^(/‘;г,) = д(г_г,)’ (1191

Уравнение (1.191) совпадает с [I, (1.131)], если в последнем еде
лать замену /—Е-+Ё1— т2, Z-^lEaZ (нужно учитывать, чт,
в [I, (1.131)] под Е подразумевалась отрицательная энергия связи
а в (1.191) подразумевается положительная энергия электрона
включающая массу покоя; при этом для связанных состояни!
Е< т). Тогда можно воспользоваться результатами из [I, § 1.4] i
написать

ф^(п г')

= у Г(у+1-у) м
2EaZ Г(2у + 2)	т+у

W,

4EaZ
v

(1.192

где v = ^/2(Z^ttZgy’ а	— функции Уиттекера. Благодар

множителю Г(у+1 —-v) выражение (1.192) как функция Е об
ладает полюсами, значения которых совпадают с (1.137). Чтоб!
избавиться от аргументов можно, как ив [I, § 1.4)], применит
интегральные представления для произведения функций Уиттеке
ра.

Формулы (1.190), (1.192), однако, еще нс до конца решают по
ставленную задачу, поскольку необходимо от функции Грин
«квадрированного» уравнения (1.177) перейти к функции Грин
(1.176). Действуя оператором в (1.176) на функцию ФЕ(г; г'), по

лучасм

СЕ{г\ г') =2 \i~ P^c(rr')₽(an)P/n; п')
У I \

----~Ф Е

гг' УЕ

Р(ар)+

fi + m Р/п;п')

(1.193
Действие операторов ап, ар на Ру(п; п') определяется с помощью
формул (1.101), (1.102), (1.106), (1.108):

₽(ап)Р^(п; и') =

JIM

-^Пуш(п)П;/м(п’)

^/7м(п)^дм(п )

У2у ^/1м(П)^/1м(П )
~2у~ ^Лм(П)^Дм(П ),

(1.194)

\

₽(а₽)^(п; и') =

= 1	(-^(1 - x)Q/ZM(n)Q+M(n') -^(1 - x)QyZM(n)Q;TM(n')'

'Д'W(1 + х)Ч7м(п)^м(п') -^(1 + x)QyZM(n)Q^M(n')^ ’

(1.195)

Существует целый ряд других эквивалентных (1.193) форм за-
писи РКФГ (см. по этому поводу [И]). В некоторых задачах нужно
знать редуцированные РКФГ [см. I, § 1.4]. Явные выражения для
таких функций приведены в [11]. Наконец, в релятивистской тео-
рии атома водорода, как и в нерелятивистской, могут быть постро-
ены функции штурмовского типа [см. I, § 1.5], по которым можно
разложить РКФГ [12—14].

§1.5. Переход к нерелятивистскому пределу

Для перехода к нерелятивистскому пределу удобно исходить из
уравнений для двухкомпонентных функций (1.103), (1.104). Энер-
гию Е для положительно- и отрицательно-энергетических состояний
представим в виде Е^ = ± (т + е), где е — энергия связи. В не-
релятивистском случае, как видно из (1.138),

|е| »m(aZ)2«m.	(1.196)

Для среднего значения V также должно быть справедливо нера-
венство И«т. Тогда из (1.103), (1.104) следует:

Х(+)~Йф(+)>	<1197)

-Sx(-)-	(1.198)

Из (1.196) следует оценка для характерного значения импульса
электрона в атоме в нерелятивистском пределе:

'pp^maZ.	(1.199)

Заметим, что характерное значение скорости атомного электрона
v = ~р!т ~ aZ, и поскольку в используемых нами единицах скорость
света с равна единице, величина aZ представляет собой не что
иное, как релятивистский параметр малости vic. Из (1.199) получа
ем, что w ccZtp^+\ <р(~>~ aZy^~\ т. е. что функции х^+\ <р*
представляют собой «малые» компоненты дираковских биспиноро;
соответственно для положительно- и отрицательно-энергетически]
состояний. Подставляя (1.197), (1.198) в (1.103), (1.104) и исполь
зуя (1.29), приходим к уравнениям

^р2-еУ-£Дф<+) = 0,

(1.

(гк Р2 + eV ~ £s) X(s ’ = 0-	(L201

Таким образом, в нерелятивистском пределе полная система ди
раковских биспиноров распадается на две полные системы спи
норов, ф(+) и xi \ удовлетворяющих уравнениям Шрёдингер;
(1.200) или (1.201) и описывающих соответственно электроны ил1
позитроны.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением только электрон
ных состояний и обобщим уравнение (1.200) на случай атома, на
ходящегося во внешнем магнитном поле. Согласно (1.34) мы дол
жны при этом заменить (1.197) выражением (значки ± тепср!
опускаем)

Х~^а(р + еА)Т-	(1.202

В уравнениях (1.103), (1.104) также нужно произвести замен;
р-*р + еА.

Для вычисления выражения (а(р + еА))2, возникающего пр;
подстановке (1.202) в (1.103), используем (1.29). Нужно толью
учесть, что векторное произведение ((р + еА) х (р + еА)) не обра
щается в нуль ввиду некоммутативности операторов р и А:

((р -I- <?А) х (р + еА)) = —le((V х А) + (А х V)) = — ie rot А.

(1.203

Таким образом, получается уравнение, которое называется уравне
нием Паули:

^(р + еЛ)2-еР + -^5с9Г-^ф = 0,	О-204

где &С = rot А — напряженность магнитного поля, s = - о — спин
электрона.

Рассмотрим теперь второе приближение по параметру al
[2, 3]. Ограничимся при этом случаем, когда внешнее магнитно;
поле отсутствует. С учетом членов следующего порядка малости
из (1.104) вместо (1.197) получим

/, е + еУ\ ор	..

---О 205
Подставляя это выражение в (1.103) и используя (1.30), приходим
к уравнению

(п2	е2	I п2 \

(1.206)

Уравнение (1.206) обладает тем недостатком, что оператор в ле-
вой его части (последний член) неэрмитов. Кроме того, функцию ф
теперь нельзя нормировать на единицу, поскольку из (1.36) следует:

J (|ф(г)|2 + lx(r)|2) dr — 1.	(1.207)

С точностью до членов порядка aZ включительно, т. е. в нереляти-
вистском приближении (1.200) или в приближении Паули (1.204)
можно считать, что функция ф нормирована на единицу и условие
(1.207) выполнено, однако учет членов высшего порядка уже не по-
зволяет этого. Действительно, с точностью до членов, квадратичных
по параметру aZ,

J (1ф(г)12 + 1х(г)12) dr к- J (|<р(г)|2 + -Ц |(ор)<р(г)|2'| dr.

J	J 1	4m	I

(1.208)

Преобразуя (1.208) с помощью интегрирования по частям и ис-
пользуя вновь (1.29), получаем

j (I ф12 + IXl2) J I ф |2 dr -	J ip*(aV)2ip dr =

— t | ip |2 dr + —Ц t ф*р2ф dr. (1.209)

J	4и2 J

Из (1.209) следует, что можно ввести функцию, которая будет нор-
мирована на единицу, с помощью преобразования

(-'2 \

1+^4 ф(г)	(1.210)

8m I
или
(—2 \

1-^Ф(г).	(1.211)

8m )

Получим уравнение для ф(г). Для этого подставим (1.211) в
(1.206) и отбросим члены высших порядков малости по параметру
aZ. При этом возникает уравнение вида

йф = tip,	(1.212)

где

h = Ь - eV - ?Ч - тЧ | (°Р) Нор) -1 (р2И + Ир2) . (1.213)
&пг 4т I	z	J

Выражение в фигурных скобках преобразуется следующим образом:

(ор)И(ор) = Ир2- f(aVH)(op) = Ир2 + г’Жр-а(Жхр), (1.214)

р2И-Ир2 = -ДИ + 2гЖр,	(1.215)

2 Л. Н. Лабзовский
где $£ = —W — напряженность электрического поля. Теперь опера-
тор h принимает вид

h = f- - eV

Р4

8m3

А«(»хр)
4т

АУ.
8m2

(1.216)

Оператор (1.216) в отличие от оператора в (1.206) является эрми-
товым, в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Исполь-
зуя (1.199), можно проверить также, что три последних члена в
(1.216) являются поправками порядка (aZ)2 по отношению к двум
первым. Действительно, с учетом (1.199) первый член (1.216) имеет
порядок величины m(aZ)2 — это атомная единица энергии. Если в
качестве V взять кулоновский потенциал (1.35) и учесть, что в реля-
тивистских единицах

1
maZ

(1.217)

(это атомная единица длины), а также е2 = а, то второй член
(1.216) по порядку величины также равен m(aZ)2. Так и должно
быть, поскольку кинетическая и потенциальная энергии связанного
состояния имеют одинаковый порядок величины в силу теоремы ви-
риала (см. [I, § 4.1]). Наконец, из (1.199) и (1.217) следует теперь,
что три последних члена (1.216) имеют порядок m(aZ)4.

Первый из поправочных членов представляет собой релятивист
скую поправку к кинетической энергии электрона (зависимость
массы от скорости). Его происхождение видно из формулы (1.31),
если выражение в правой части этой формулы — энергию свободно-
го электрона — разложить по степеням р2/т2:

_2

2т 8т3

(1.218)

Первый член в (1.218) дает массу покоя электрона, второй — обыч-
ную кинетическую энергию, третий — рассматриваемую поправку.

Второй из поправочных членов в (1.216) представляет собой опе-
ратор спин-орбитального взаимодействия Hso (взаимодействия дви-
жущегося магнитного момента с электрическим полем [3]). В слу-
чае центрально-симметричного поля V = V(r)

г dr

(1.219)

и оператор спин-орбитального взаимодействия принимает вид

(см. [I, (3.322)1) _

(1.220)

где 1, s — операторы орбитального и спинового моментов электрона.
В частности, для потенциала (1.35), т. е. в случае атома водорода,

(L221)
Наконец, последний из поправочных членов в (1.216) для потенци-
ала (1.35) принимает вид

—^ДУ = ^|б(г).	(1.222)

&т2	2т2 v	’

Поправку к энергии атома водорода, учитывающую релятивист-
ские поправки aZ«:l, можно получить в первом порядке теории
возмущений, усредняя три последних члена (1.216) с нерелятивист-
скими волновыми функциями. Вычисление первой из поправок про-
изводится с помощью соотношения, следующего из уравнения Шрё-
дингера для атома водорода [I, (1.2)]:

Р2% = 2т	%,	(1 -223)

где гр0 и Ео — волновая функция и энергия электрона в нереляти-
вистском пределе. Из (1.223) следует:

\	/00

где мы использовали принятое в [I] обозначение матричных эле-
ментов. Используя формулы из [I, табл. П2.3] и выражение для
энергии £0 [I, (1.22)], получаем для поправки (1.224) выраже-

ние [1]

fn(aZ)4

1

/ + 1/2

3
4n

(1.225)

A£t =

где п — главное квантовое число, I — орбитальное.

Аналогичное вычисление для второй поправки с учетом соотно-
шения [I, (3.325)] дает

О ,1 = 0,

ЬЕ2 =

m(aZ)^ 1

2пз (2/+!)(/ + !)’

m(aZ)4 1

2n3 (2Z4-DZ ’



(1.226)

Наконец, вычисление третьей поправки приводит к формуле

Д₽=^.	(1.227)

3	2п3

Собирая результаты (1.225)—(1.227), убеждаемся, что в сумме
они при любых значениях I, j описываются выражением

А£ =	+ А£2+А£3 = --^^	(1.228)

1	х d	2n3 l*+l/Z 4n I

Как видно, это выражение совпадает с поправочным членом в
(1.138).
§ 1.6.	Преобразование Фолди-Вутхайзена

Недостатком обычной формы записи уравнения Дирака (1.1) или
(1.32), (1.34) является то, что в этой записи невозможно непосред-
ственно придать физический смысл оператору скорости:

v = r=z[Ar]_.	(1.229)

Действительно, тривиальное вычисление приводит к результату

v = a.	(1.230)

Отсюда следует, во-первых, что по модулю скорость электрона всег-
да равна скорости света с (напомним, что в используемых единицах
с= 1). Во-вторых, различные компоненты ctj оператора (1.230) не
коммутируют друг с другом, что означает невозможность одновре-
менного измерения всех компонент скорости. Оба этих вывода про-
тиворечат экспериментальным данным, что наводит на мысль о воз-
можном существовании другого представления для уравнения Дира-
ка, в котором эти недостатки отсутствуют.

В том, что такая возможность существует, убеждает также нали-
чие четырех компонент у дираковского биспинора лр, тогда как для
описания частицы с положительной энергией и двумя возможными
значениями проекции спина достаточно двухкомпонентной функ-
ции. Недостаток оператора (1.230) заключается в том, что он пере-
мешивает все четыре компоненты биспинора. Необходимо, следова-
тельно, так переопределить оператор скорости, чтобы он действовал
на двухкомпонентные функции, не перемешивая их друг с другом.
Такое преобразование было найдено Фолди и Вутхайзеном [15].

Заметим, что в нсрелятивистском пределе указанное выше тре-
бование выполняется и в обычном представлении, благодаря
(1.197), (1.198):

гр+а\р « Ч’+ох + Х+°Ф-	(1.231)

Для положительно частотных решений, например, отсюда следует,
согласно (1.197), (1.198),

Ч>+«Ч> i Ф+(а(°Р) + (°Р)°) <Р = Ф+ £ <₽•	(1 232)

Прежде чем переходить непосредственно к преобразованию Фол-
ди—Вутхайзена, произведем разбиение различных операторов на
«четно-частотные» и «нечетно-частотные» части [16]. Перейдем к
импульсному представлению и введем знаковый оператор по опре-
делению:

д  ap + ftm	(1.233)

£р ’

где ap + pm — дираковский гамильтониан (1.2) для свободной час-
тицы Ер = Vp2 + т2. Оператор А, очевидно, коммутирует с
ap + pm. Кроме того, он эрмитов и унитарен:

A = A+ = A~*.	(1.234)
I

Последние свойства легко проверяются непосредственно. Поскольку
Л2 = 1, собственные значения Л равны к = ± 1. Различные значе-
ния к соответствуют положительно-частотным (Х=1) и отрица-
тельно-частотным (Л = — 1) решениям уравнения Дирака для сво-
бодного электрона.	_

С помощью знакового оператора Л любой оператор, действующий
на волновые функции Дирака, можно разложить на четно-частотную
и нечетно-частотную части. Назовем четно-частотным оператором
такой, который положительно-частотное (отрицательно-частотное)
решение уравнения Дирака переводит вновь в положительно-частот-
ное (отрицательно-частотное). Напротив, оператор, переводящий по-
ложительно-частотную дираковскую волновую функцию в отрица-
тельно-частотную и наоборот, назовем нечетно-частотным.

Поскольку все положительно-частотные функции ортогональны
отрицательно-частотным (они принадлежат различным собственным
значениям эрмитового оператора й), среднее значение любого нечет-
но-частотного оператора в состоянии с определенным знаком к равно
нулю. Последовательная одночастичная теория должна содержать
только четно-частотные операторы, поскольку противное означало
бы, например, примесь к электронным состояниям (к = 1) позитрон-
ных состояний, связанных с состояниями к = — 1 (см. § 1.1). Такая
примесь могла бы возникнуть лишь в результате рождения электрон-
но-позитронных пар, т. е. при отказе от одночастичной картины.

Все сказанное до сих пор относилось к свободным электронам, для
которых Одночастичная картина в принципе справедлива. Однако при
взаимодействии электронов с другими частицами, друг с другом или
с внешними полями ситуация меняется. В этом случае эффекты рож-
дения виртуальных электронно-позитронных пар (радиационные по-
правки, см. гл. 4) явно сказываются на движении электронов. В слу-
чае взаимодействия при высоких энергиях (в сильном внешнем поле)
может происходить также рождение реальных электронно-позитрон-
ных пар (см. [2, 3]). В такой ситуации разделение операторов на чет-
но- и нечетно-частотные части утрачивает смысл. Оно, однако, по-
лезно в случае слабых внешних полей (при низких энергиях взаимо-
действия), пока радиационные поправки остаются малыми и не
происходит рождения пар (см. ниже в этом параграфе). _

Разобьем произвольный одночастичный оператор А на четно-

и нечетно-частотные части:

Л = Л(+) + А(_г	(1.235)

С этой целью рассмотрим следующую серию равенств:

Лф(+) = Л(+)ф(+) + Л(-)Ч’(+)>	(1 -236)

Л-фм = Л+ф(_} + Л^ф^,	(1.237)

АЛАф(+) = АЛф(+) = Л(+)ф(+) - Л(_}ф(+),	(1.238)

АЛАф(_) = -АЛфе) = Л(+)ф(_> - Л^ф^,	(1.239)
где — дираковские волновые функции, отвечающие значениям
X = ± 1. Складывая и вычитая попарно равенства (1.236) и (1.238),
а также (1.237) и (1.239), получаем

А<±) = (А ± ЛАЛ).

(1.240)

Рассмотрим некоторые примеры. Прежде всего, очевидно, опера-
тор ар + fim является четным, поскольку он коммутирует с Л. То
же самое можно сказать об операторе р. Далее, используя вид опе-
ратора Л (1.233) и формулу (1.240), можно вычислить четно-час-
тотные части операторов а, р. При этом нужно воспользоваться ан-
тикоммутационными соотношениями (1-5):

2(ар-Г(Зт)р	2р,Л

ЛагЛ = ~а/ +--------2---=	+	(1.241)

р	р

2(ар + Рт)и1 д , 2шЛ	. ....

----7г-------_Р + —•	(1.242)

В результате в импульсном представлении

а

“(+) Е ’
р

(1.243)

(1.244)

Таким образом, четно-частотная часть оператора скорости равна
v(+) = ^-	(1.245)

р

Этому выражению, в отличие от (1.230), можно придать непосред-
ственно физический смысл. Другим способом выражение (1.245)
можно получить, если записать с помощью (1.240) четно-частотную
часть оператора координаты г в импульсном представлении и затем
воспользоваться уравнением (1.229) [16]. При этом четно-частотная
часть оператора г оказывается равной



iAa

(1.246)

Ф

2Е ’

Р

где г = Vp — оператор координаты в импульсном представлении.

По сути дела, переход к четно-частотным частям операторов и,
в частности, формула (1.245) решают поставленную в начале этого
параграфа задачу. Однако при этом мы не получаем в явном виде
представления для дираковской волновой функции в двухкомпонен-
тной форме. Поэтому полезно еще раз рассмотреть ту же самую
проблему теперь уже непосредственно с помощью преобразования
Фолди—Вутхайзена, представляющего собой унитарное преобразо-

вание вида

P(gp + Pm) +Ер
^фв = V2E (Е + т) ’

р р

(1.247)
которому подвергаются волновые функции и операторы в импульс-
ном представлении. Свойство унитарности

^фв^фв — 1

(1.248)

проверяется непосредственно с учетом соотношений антикоммута-
ции (1.5). Преобразование функций и операторов производится по
формулам

Ффв = ^фв'Р’	(1.249)

А = U AU~l	(1.250)

Аг>в ^фв^^фв’	v '

гае ффв и ЛФВ — волновые функции и операторы в представлении
Фолди—Вутхайзена.

Рассмотрим вид различных операторов в ФВ-представлении.
Прежде всего заметим, что оператор импульса р (в импульсном пред-
ставлении это оператор умножения) коммутирует с £/фв, поэтому

РфВ = р.	(1.251)

Далее, оператор Гамильтона для свободного движения в ФВ-пред-
ставлении принимает совсем простой вид:

Лфй = £р₽.	(1.252)

Пусть грФВ — решение уравнения Дирака в ФВ-представлении:

ЛфвЧ’фв(р) = £Ч>фВ(Р)>	(1.253)

z \	^'Рфв(р)^

wp,=<L254)

где фФВ, Хфв — двухкомпонентные спиноры. Поскольку оператор
АФВ коммутирует с матрицей р, можно построить двухкомпонент-
ные функции

4,фв(±) = 2^ ^фв(р) 1	( 1.255)

Ч>фв(+) = (ФфВ0(Р)) >	'Рфв(-) = ^Хфв(Р)) ’	(1-256)

которые также являются решениями уравнения (1.253).

Нетрудно убедиться также, что знаковый оператор Л в ФВ-
представлении приобретает вид

ЛфВ = ₽,	(1.257)

откуда следует, что функции Ч,фв(±) соответствуют двум возможным
собственным значениям этого оператора: X = ± 1.

Приведем явный вид еще некоторых операторов в ФВ-представ-
лении:

гфв ~ ^фвг^фв = г + ^b(Vp£4b)-	(1.258)
Подставляя в (1.258) выражение (1.247) и используя определение
(1.240), а также формулы (1.257), (1.248), получаем 116]

*фв(+) = г — 2Е (Е +т)’	(1 -259)

р р

*ФВ(-) = 2Ё~ (“0 + Е	1 -260)

При выводе (1.259) использовано также соотношение (1.66).

Вычисляя четно-частотную часть оператора скорости в ФВ-пред-
ставлении и учитывая (1.252), получаем

уфв(+) ~ £[ЛФВ, гФв(+)1 - =	1 -261)

р

Второй член в (1.259) не дает вклада в (1.261) в силу равенства ну-
лю коммутатора

|Z, ₽]_ = 0.	(1.262)

Принимая во внимание (1.257), находим, что выражение (1.261)
может быть получено также непосредственно при переходе к ФВ-
представлению в (1.245).

Поскольку, как было продемонстрировано в § 1.5, в нереляти-
вистском пределе четырехкомпонентные дираковские спиноры рас-
падаются на двухкомпонентные, представление ФВ удобно исполь-
зовать также при вычислении релятивистских поправок для элек-
тронов во внешнем поле. В этом случае преобразование (1.247) не
сводит дираковские функции в точности к двухкомпонентной
форме, однако отклонения от такой формы оказываются малыми
и естественным образом представляют собой релятивистские по-
правки.

Продемонстрируем, как с помощью преобразования ФВ получить
релятивистские поправки, приведенные в (1.216). Для этого перей-
дем в уравнении Дирака (1.161) к ФВ-представлению; учетом
(1.249), (1.250), (1.252) получаем

(₽Ер - Е)%>в(р) - е $ £7(р)У'(р - рЖ(р')Ч>фв(р') dV = 0,

(1.263)
где 17(р) = 17фв(р).

Переходя от функций Ч’фВ(р) к функциям (1.255), получаем си-
стему уравнений:

(РЕр - Е)Ч’фВ(+)(Р) “ е $ (I/(p)t/+(p'))(+)V'(p - р')^ФВ(+)(р') dp'—

-е \ (Щр)С/+(р'))(_/'(р - р')-Ффв(-)(р')	= 0. <L264)

(0£р - £)4>®B(-)(P) - е $ (^(Р)*/+(Р'))(+/'(Р - Р )'Ффв(-)(Р ) dp'-

- е J (t/(p)U+(p'))(-)V'(p - Р')Ч>фВ(+)(Р') dp' « 0. (1.265)
При этом мы использовали тот факт, что оператор умножения
У'(р — р'), как и любая функция р, р', ввиду (1.251), (1.257) явля-
ется четно-частотным.

Из (1.264), (1.265) следует, что теперь уже нельзя написать не-
зависимые уравнения для двухкомпонентных функций ,Ффв(±)-
Можно показать, однако (см. ниже), что в низшем порядке по aZ,
соответствующем (1.216), перемешивающие члены (вторая строка в
(1.264) и (1.265)) учитывать не нужно и можно ограничиться ре-
шением двухкомпонентных уравнений. В этом и заключается пре-
имущество ФВ-представ ления.

Рассмотрим уравнение (1.264), отбросив перемешивающий член
во второй строке. Проделаем затем следующее преобразование, учи-
тывая условие унитарности (1.248):

фар + m+E Цар'0 + m +Е ,)

H(p)t/ (Р ) = 2VEpEp-(Ep + m)(Ep> + m)

(Рар + т+Ер)(а(р'-Р)+Ер,-Ер)

2Е (Е +m)
р г

Е, Е, + т\ 2
Р _Е___

Е Е +т '

р р /

(1.266)

Перейдем, далее, в (1.266) к нерелятивистскому пределу, оставляя
лишь поправочные члены порядка (aZ)2. При этом используем раз-
ложение для Ер:

, „2	.4

£p = '"+i£ + i£ + --	С.267)

в котором ограничимся лишь первыми двумя членами. Это дает

t/(p)tf+(p') 1 + (Pap + 2m) Га(-р'~2Р)Р + 1

4m	8тл

А(р'2-р2)-
8m

(1.268)

Согласно (1.264) мы должны теперь выделить четно-частотную
часть оператора (1.268). В силу того, что знаковый оператор совпа-
дает в ФВ-представлении с матрицей р, при вычислении четно-час-
тотной части (см. (1.240)) из выражения (1.268) следует исключить
члены, линейные по матрицам а. Тогда мы придем к выражению

(£/(р)17+(р'))(+) = 1 +	р)->- - -Ц (р'2 - р2). (1.269)

k ’	4т	8т

Учитывая (1.65), формулу (1.269) можно преобразовать к виду

(С(р)С/+(р'))(+)= 1 --4г((р'-р)хр)-^4^. (1.270)
k 7	4m	Rm

Подставим (1.270) в (1.264) и перейдем к координатному пред-
ставлению, пользуясь тем обстоятельством, что выражение
(р' ~ Р)У'(Р' ~ Р) в координатном представлении переходит в
—/УУ, а (р' — р)2У'(р' — р) переходит в —АУ (это проверяется не-
посредственно дифференцированием фурье-преобразования для по-
тснциала). Вместе с тем, импульс р просто заменяется операторог.
импульса р. Тогда, учитывая все три члена разложения (1.267) i
выражая Ц’фв(+) через двухкомпонентную функцию фФВ, мы полу
чаем для этой функции уравнение, в котором роль гамильтониане
играет оператор (1.216). Таким образом, мы действительно учли вс(
релятивистские поправки порядка (aZ)2 и доказали, что в эток
приближении волновая функция в ФВ-представлении остается двух
компонентной.
Глава 2

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АТОМА

§2.1. Электромагнитное поле: классическая теория

Описывая многоэлектронный атом на языке квантовой электродина-
мики, мы рассматриваем его как совокупность электронов, движу-
щихся во внешнем поле — кулоновском поле ядра. Ядро при этом
считается бесконечно тяжелым, точечным и бесструктурным. В ре-
зультате взаимодействия электронов атома с электромагнитным по-
лем возникает взаимодействие этих электронов друг с другом и про-
исходят различные атомные процессы — излучение, поглощение
и т. д. Поэтому прежде чем излагать квантовую электродинамику
атома, мы вначале кратко опишем теорию свободного электромаг-
нитного поля, затем перейдем к теории электронно-позитронного
поля и, наконец, к теории взаимодействующих полей [1, 2].

В этом параграфе мы приведем основные результаты классиче-
ской электродинамики, необходимые в дальнейшем. Уравнения
Максвелла для электромагнитного поля в пустоте имеют вид

rot dJ?	4orj,	(2.1)
rot ж +	= 0,  or	(2-2)
div У — 4л.р,	(2.3)
divdT = 0,	(2.4)

где У и d#* — напряженности электрического и магнитного полей,
р и j — плотности внешних зарядов и токов. При описании взаимо-
действия атомных электронов с электромагнитным полем эти плот-
ности создаются атомными электронами. Уравнения Максвелла за-
писаны здесь в релятивистских единицах. Кроме того, использована
так называемая гауссова (нерационализованная) система единиц.

Из уравнений (2.1), (2.3) следует уравнение неразрывности.
Действительно, дифференцируя (2.3) по t и используя тождество
div rot d#* 0, получаем

div j + ^ = 0.	(2.5)

сГ

Электродинамика наиболее удобно формулируется на языке
потенциалов электромагнитного поля — векторного А и скаляр-
ного V; эти потенциалы определяются следующими соотноше-

ниями:

«’ = — — — V V
dt '

= rot А.

(2-6;

(2.7;

Эти соотношения определяют потенциалы неоднозначно, с точно-
стью до градиентного (калибровочного) преобразования:

А—*А + Vx,

аг

(2.8;

(2.о

где х(г> О — произвольная функция координат и времени. Инва-
риантность выражений для У, d#* относительно калибровочной
преобразования (калибровочная инвариантность) следует из того
что rot Vx = 0.

Неоднозначность в определении потенциалов обычно устраняю
выбором некоторого дополнительного условия, или калибровки. Ча
сто употребляется калибровка Лоренца,

divA + ^ = 0,	(2.10'

преимуществом которой является ее релятивистская инвариант-
ность. Другая часто встречающаяся калибровка — кулоновская,

div А = 0,	(2.1 Г

в которой удобно описывать кулоновское взаимодействие зарядо!
(см. ниже в этом параграфе).

Подставляя выражения (2.6), (2.7) в уравнения Максвелл;
(2.1), (2.3) и используя лоренцеву калибровку, получаем уравне
ния для потенциалов

□А = - 4nj,	(2.12;

□ V=—4лр,	(2.1з;

где □ — оператор Даламбера:

я2

□ = А-Дг.	(2.14

dt2

Уравнения (2.2), (2.4) удовлетворяются при этом тождественно. Ус
ловие Лоренца (2.10) не полностью фиксирует калибровку потенци
алов. Подвергая потенциалы калибровочному преобразованию (2.8)
(2.9) и подставляя в (2.10), находим, что это равенство само инва
риантно относительно калибровочного преобразования с тако1
функцией х, которая удовлетворяет волновому уравнению

□ х = 0.	(2.И

Кулоновская калибровка приводит к другим уравнениям для по

тенциалов:	□A-V^ = -4nj,	(2Л6  ДУ = -4лр.	(2.17
Учитывая явный вид решения уравнения Пуассона (2.17)

V(D = J^,

(2.18)

видим, что в кулоновской калибровке скалярный потенциал V опре-
деляет кулоновское взаимодействие. В частности, для точечного за-
ряда ядра Z с плотностью

р(г) = Ze6(r — г0),

(2.19)

сходящегося в начале координат (г0 = 0), из (2.16) следует (1.35).
Кулоновская калибровка не обладает релятивистской инвариантно-
стью, однако в атомных задачах это несущественно, поскольку име-
ется выделенная система отсчета, связанная с атомом.

Уравнения электродинамики удобно записывать в четырехмер-
лой ковариантной форме. Потенциалы А, V образуют 4-вектор
(A, iV), который удовлетворяет уравнениям

□4 = -4зуи,	(2.20)

где j — 4-вектор тока (1.16), р.= 1,2, 3, 4. Условие Лоренца-
теперь записывается в виде

£Л = 0	(2-21)

дХ *
и

уравнение неразрывности в виде (1.14). Калибровочное преобразо-
вание (2.8), (2.9) принимает вид

(2'22)

Вместо векторов напряженностей У, dX* в 4-мерной теории удоб-
но ввести тензор электромагнитного поля

F	(2.23)

Н* дх дХ ’

Видно, что этот тензор по определению антисимметричен,
= — Fvvl. Компоненты этого тензора связаны следующими соот-
ношениями с компонентами векторов У, dJP:

=	U, к, I =1,2,3),

P4k = ^k-

Уравнения Максвелла (2.1), (2.3) записываются теперь в виде

dF^ л 	(2-24)

тогда как уравнения (2.2), (2.4) по-прежнему удовлетворяются
тождественно.
Функция Лагранжа *) для свободного электромагнитного поля
(т. е. в отсутствие внешних зарядов и токов) имеет вид



(2.2S)

или, в ковариантной записи,

1 р р
16л hv"

(2.26)

Эквивалентность выражений (2.26) и (2.25) проверяется непосред-
ственно подстановкой (2.23). Тот факт, что выражение (2.25) дей-
ствительно играет роль функции Лагранжа для электромагнитного
поля, можно установить с помощью принципа наименьшего дейст-
вия, построив функционал действия

е I дА \	.

s = SLA-«;K*	<2-эт>

и определяя компоненты 4-потенциала из условия экстремума

65 = 0.

(2.28)

При этом вариации потенциала на границах четырехмерного объема
интегрирования считаются равными нулю.

Общие уравнения Эйлера—Лагранжа для вариационной задачи
(2.28) имеют вид

J_ ( dL, \	= л	(2.29)

axv I	I дАц

Поскольку, однако, функция Лагранжа (2.26) зависит только от

0X[Jl/dxv и не зависит от уравнения (2.29) переходят в

4НН’0'	(2-30>

Непосредственное вычисление с учетом (2.23) дает

откуда следует, что уравнения (2.30) совпадают с уравнениями
Максвелла (2.24) для свободного электромагнитного поля

£^ = 0.	(2-32)

Тем самым доказана справедливость выражений (2.25), (2.26).
Нужно помнить, однако, что к функции Лагранжа (2.25), (2.26)
можно добавлять произвольные члены, имеющие вид 4-мерной ди-
вергенции. Такие члены исчезают при подстановке в 65 в силу гра-
ничных условий.

Важными характеристиками электромагнитного поля, как и вся-
кой динамической системы, являются сохраняющиеся величины

*) Здесь и повсюду ниже под этим подразумевается плотность лагранжиана.
(интегралы движения). Для их определения в самом общем случае
можно использовать теорему Нётер: всякому непрерывному преоб-
разованию координат, обращающему в нуль вариацию действия
(т. е. преобразованию, относительно которого действие инвариант-
но), соответствует некоторая сохраняющаяся величина.

Непрерывные преобразования, о которых идет речь, — преобра-
зования из собственной группы Лоренца, т. е. трансляции и поворо-
ты в 4-мерйом пространстве, включающем временную координату.
Общий вид этого преобразования (бесконечно малого) таков:

Н н н ' V'

(2.33)

где ец — бесконечно малая трансляция, еич, — матрица бесконечно
малого поворота. Из условия ортогональности преобразования сле-
дует: еиу = — eV(1. При преобразовании координат потенциал пре-
образуется, как всякий 4-вектор:

^(х') = Vх) + ehvA(x)-	(2-34>

Рассмотрим теперь вариацию действия 5, не накладывая на ва-
риации 6ЛЦ нулевых граничных условий, т. е. не закрепляя границы
четырехмерного объема интегрирования:

“ = J 1st Ч + 5И7ЙТ 6 fe) | Л + J L Ч Ч <235>
о I *	н »	\ V/ J	2

Здесь Q — объем интегрирования в четырехмерном пространстве;
X — поверхность, окружающая этот объем; dsv — элемент поверх-
ности, нормаль к которому совпадает с направлением оси xv. Интег-
рируя по частям в объемном интеграле в (2.35) и рассматривая ва-
риацию действия для реального движения, т. е. используя уравне-
ния (2.29), получаем, что объемный интеграл исчезает и вариация
65 сводится к выражению

“=$рЧ+«итетЧ}л’

2	Н v J

(2.36)

Чтобы вычислить вариацию 6ЛИ, по определению равную

= Л^(х) - ЛДх),	(2.37)

подставим в формулу (2.34) для Л^(х') выражение (2.33) для х'

+ Ч + ЕИЛ) = Vxv> + ен>А (2-38)

и произведем в левой части (2.38) разложение по малым парамет-
рам. При этом получим

дА	дА

Ч(х) = ~Ev ъг - Ы	(2.39)
Вернемся к теореме Нётер. Из условия исчезновения вариа-
ции 65 получаем

S U »«.+иго, ч} rftI- - °-	(2’40)

X	И v J

Рассмотрим вначале преобразование трансляции
Ч = Ен’	<2’41)

*4 = -^-	(2-42)

V

Тогда из (2.40) следует:
ej4vdGv = 0>	(2’43)

х
где
д/ дА.
=	(2«)

Тензор Т v называется тензором энергии-импульса электромагнит-
ного поля.

Поскольку компоненты вектора еи произвольны и независимы,
из (2.43) следует:

jTKVdav = O.	(2-45)

Пусть теперь Q — объем, не ограниченный в направлении про-
странственных координат и ограниченный в направлении времен-
ной координаты двумя пространственными (трехмерными) плоско-
стями Ej и Е2, ортогональными оси времени. Такие плоскости
представляют собой пространственные объемы, взятые в различные
моменты времени, т. е. для них с?о4 = — i dr. Тогда (2.45) запи-
шется в виде

S4vdGv + ^4vdGv = -4 s T^dr~ S 44^4 = °- (2-46)
2.	*2	l' = 'l	‘“'j

При этом мы предполагаем, что на границах пространственно-
го объема поле равно нулю; знак минус во втором интеграле
в (2.46) появляется из-за противоположной ориентации норма-
лей к плоскостям S, и Е2 (обе эти нормали должны быть внеш-
ними).

Итак, следствием (2.46) является наличие интеграла движения
P^ = —i J dr = const.	(2-47)

Вектор называется вектором энергии-импульса электромагнитно-
го поля.
Вычислим теперь тензор T^v в явном виде, используя выражение
для лагранжиана (2.26). Непосредственное вычисление дает

if 1 .	ЗА 1

у   1 J   1 X Г р   р  * I  

1	jav	4л I	4	rKv dX Г

- £ {- i WA+V-x+Fл S'}-	<2-48>

В действительности тензор T^v определяется неоднозначно, поэтому
его можно выбрать так, что последний член в (2.48) будет отсутст-
вовать. На самом деле в выражение для вариации 65 входит не сам
тензор Т , а интеграл, который с помощью теоремы Гаусса можно

привести к виду

(7;.л>.=$йЛ.л‘-

X	Q

(2.49)

Поэтому любая добавка Т' к тензору Т^, удовлетворяющая усло-

вию

~Т' =0
дХ

(2.50)

не меняет вариации 65 и всегда может быть опущена. Именно та-
ким свойством обладает последний член в (2.48):

я ( дА ) dF, дА	д2А

° р _____Н —____*___н р ______н_ :

3x1 v*- дХ*! dxv Зхх vk dxvdxk

Первый член в (2.51) обращается в нуль в силу уравнений Макс-
велла (2.32), а второй — в силу антисимметричности тензора Fv).
Таким образом, окончательное выражение для тензора энергии-им-
пульса примем в виде

| VA + VvJ- С2’52)

Теперь можно вычислить плотности энергии w = — Т 44 и импуль-
са stj — —iTj4 (j = 1, 2, 3), которые с учетом (2.24), (2.25) оказы-
ваются равными

^ = ^(*2 + ^2).	(2.53)

л = ^хГ).	(2.54)

Перейдем теперь к моменту количества движения электромаг-
нитного поля. Вновь используем теорему Нётер и рассмотрим теперь
преобразование бесконечно малого поворота. В этом случае вместо
(2.41), (2.42) имеем

Н = ЕИЛ-	(2.55)

дА

4 =	(2-56)
Условие исчезновения вариации 6S выглядит теперь так:

dtdAjdxJ

dL

’>AU
£Р>Х>.^Г
р



еи>А

где введено обозначение



М =______iLb х 4- 2______х __________е__2 dL А

2 d(dApldxJ Х* 2 didAjdx)

(2.57)

(2.58)

Учитывая определение тензора энергии-импульса (2.44), тензор
(2.58) можно преобразовать к виду

<2’5”

Поскольку в (2.57) тензор умножается на антисимметричный
тензор еиЛ, можно переопределить Af^v следующим образом:

- 2 Л. (2.60)

Далее, рассуждая так же, как и при выводе закона сохранения энер-
гии-импульса, приходим к постоянству интеграла

S м^4 dr =	( лииЛ(г) dr = const, (2.61)

где — тензор момента количества движения электромагнитного
поля, лпцХ — плотность момента количества движения. Действитель-
но, рассмотрим пространственные компоненты тензора и ограни-
чимся вначале двумя первыми членами в (2.60). Непосредственные
вычисления для этой части тензора т'^ с учетом (2.54) дают:

m’jk = l(Tk4Xj ~ Tj4Xk) =	+ (л)4(г),	(2.62)

или, в векторной записи (если ввести вектор т', эквивалентный ан-
тисимметричному тензору второго ранга т)А):

ш' = -(лхг)=^(гх(Жх<^Г)).	(2.63)

Таким образом, эта часть тензора mik отвечает орбитальному мо-
менту электромагнитного поля.

Оставшаяся часть (2.60) описывает, очевидно, спиновый момент.
Наличие спина у классического электромагнитного поля связано с
его векторным характером, т. е. с существованием внутренних
степеней свободы. Действительно, чтобы задать состояние электро-
магнитного поля, недостаточно задать его энергию и импульс — не-
обходимо еще задать поляризацию. Это и означает наличие допол-
нительных степеней свободы. Таким образом, ясно, что поляризаци-
онные и спиновые характеристики электромагнитного поля связаны
друг с другом (см. ниже).

Пространственные компоненты тензора лп"Л, соответствующего
последнему члену (2.60), с помощью (2.31) и с учетом антисиммет-
ричности тензора можно представить в виде

=	(2-64)

или, в векторной записи (см. (2.25)):

m” = s = ^ (Ух А).	(2-65)

§ 2.2. Разложение потенциалов на плоские волны

В отсутствие токов и зарядов мы получаем, согласно (2.20), для
определения потенциалов волновое уравнение

□Ли = 0.	(2.66)

Общее решение этого уравнения можно представить в виде суперпо-
зиции плоских волн с произвольными амплитудами:

Vх) = 2	(2.67)

k, л

Здесь к=(к, z<o); <o=|k| — частота, к — волновой вектор
k = ojv, v — единичный волновой вектор, определяющий направле-
ние распространения фронта волны; — 4-вектор поляризации
(X принимает значения 1,2,3,4, причем значения Х=1,2
соответствуют поперечной поляризации, X = 3 — продольной,
Х = 4 — скалярной); V — нормировочный объем; Скк — произ-
вольные коэффициенты. При этом kvxv = — сЩ + кг. Выбор норми-
ровочного множителя (4л/2У<о)1/2 обосновывается ниже в этом па-
раграфе.

Электромагнитные волны обладают поперечной поляризацией.
Это значит, что векторы У, ортогональны друг другу и вектору
V. Действительно, возьмем монохроматическую плоскую волну
(произвольное решение (2.66)), которую в трехмерных обозначени-
ях представим в виде

А(г, 0 = Aoez(kr-“‘\

Полагая скалярный потенциал V(r) = 0 и используя уравнения Макс-
велла, получаем: У = z<oA, div У = —co2(vAl = 0, d^= z<o(vx А),
откуда следует:

(viT) = 0,	(2.68)

d>T=(vxy). ,	(2.69)
Равенства (2.68), (2.69) и доказывают сделанное выше утвер-
ждение.

Таким образом, чтобы задать направление векторов У, до-
статочно задать направление одного из них (обычно У). Это направ-
ление и определяет поляризацию электромагнитной волны. Вектор
поляризации всегда может быть разложен по двум взаимно перпен-
дикулярным направлениям (осям). Соответствующие орты обозна-
чим через е<2\ Тогда

е =	+ tz2e®,	(2.70)

причем

l«il2+ U2|2 = L	<2’71)

Условие (2.71) можно учесть, переписав (2.70) в виде

е = cos а + е‘₽ sin а е(2\	(2.72)

где а, р — вещественные числа. При р = 0 получаем, что проек-
ции вектора У на оси	зависят от времени следующим обра-

зом: (Re У), = С cos a sin <x>t, (Re У)2 = С sin a sin cot. Таким обра-
зом, напряженность поля колеблется вдоль некоторого направления,
одного и того же во все моменты времени. Это случай линейной по-
ляризации. Если р = ± л/2, а = л/4, получаем две круговые поля-
ризации. Действительно, теперь = 1/V2, аг = ± Z/V2, откуда сле-
дует зависимость от времени для компонент вектора У:

(Re УД = sin cot, (Re У)2 = ± у cos cot.

Таким образом, в этом случае вектор У вращается в плоскости, пер-
пендикулярной направлению распространения волны, оставаясь не-
изменным по модулю. В самом общем случае при произвольных зна-
чениях параметров а, р имеет место эллиптическая поляризация.

В четырехмерной записи (2.67) не учтено пока условие попереч-
ности, которое должно выражаться в том, что в случае свободного
электромагнитного поля продольная и скалярная *) поляризации не
должны давать вклада ни в какие выражения, имеющие непосредст-
венный физический смысл. Покажем, что это так и будет, если по-
требовать выполнения условия Лоренца (2.21). В применении к
(2.67) это условие дает

- 2 (С„е“л - с;,е-«л) = 0.	(2.73)

Будем считать для простоты, что поляризационные орты совпадают
с ортами координатных осей, т. е.

е») = д ,.

(2.74)

*) В случае скалярной поляризации вектор поляризации в 4-пространстве направ-
лен по оси времени.
Тогда

ен’ Ч=	(2-75)

= <о,	(2-76)

еи*^и = —<0-	(2.77)

Формулы (2.75)—(2.77) получаются непосредственным вычислени-
ем скалярных произведений с учетом равенств

= e^k — е^к0 (e^ = ie^),	(2.78)

е<‘-2)к = 0,	(2-79)

е(3)к = | к | = со.	(2.80)

Тогда из (2.73) следует условие на коэффициенты разложения в
(2.67):

С^з — СЛ4.	(2.81)

Запишем теперь выражение для тензора электромагнитного поля
через плоские волны. Используя (2.23) и подставляя разложение
(2.67), получаем

=	- 44) (с„е“Л -	. (2.82)

к, Л

Вычисляя напряженность электрического поля по формуле (2.25) и
используя (2.81), получаем, что вклады в выражение для У от про-
дольной и скалярной поляризации сокращаются, как это и ожида-
лось. Остается (в трехмерных обозначениях)

Г = i Же0) (ck?e/(kr-“9 - C‘ye-^kr-“')).	(2.83)

k 7 = 1,2

Точно так же с помощью (2.24) получаем

dT = i 2 J {^(vX е0)) (ck?eJ(kr-“9 - С*уе-^кг-“^. (2.84)
к 7 = 1,2

Вычислим теперь энергию и импульс электромагнитного поля,
заключенного в объеме V. Энергия, согласно (2.53), равна

£ = iJ(SP + <SH)*.

V

(2.85)

При подстановке в (2.85) выражений (2.83), (2.84) существенно, что
интегрирование любого множителя типа elkr дает нуль при к 0. Это
просто понять, если взять объем в виде прямоугольного параллелепи-
педа со сторонами L} (j = 1, 2, 3). Тогда компоненты волнового век-
тора принимают значения kj = IwijlLj, где — целые положитель-
ные числа. При вычислении возникают интегралы вида

Li

= Jexp
о

2пп

dxj

[ехр (2ш«.) -

И-

(2.86)

5;

Нетрудно видеть, что при пу * 0 (т. е. к =/= 0) 5, = 0. Если же
к = 0, то интеграл по объему дает V. Временное множители, содер-
жащиеся в (2.83), (2.84), при этом исчезают, так как равенство
к = 0 означает также со = 0. Поэтому энергия Е оказывается не за-
висящей от времени, как и должно быть.

Учтем, далее, равенства

(е0)е0')) =

(v х e^))(v х е^’)) = (е^) х (v х e^))v =

= (e^e^^v2— (е^Ч>) (e^v) = дуу., (2.87)
в последнем из которых использовано условие поперечности. Тог-
да, возводя выражения для У и в квадрат и интегрируя, по-
лучаем

^\^dr=^ ^^C*kjCkj,	(2.88)

v	k 7 = 1,2

$ dT2 dr =	2 ^kjCkj,	(2.89)

v	k 7 = 1,2

= 2 S “^ky^ky-	(2.90)

k 7 = 1,2

Аналогично вычисляется импульс (см. (2.54)):

P = (SfxdT) dr.	(2.91)

v

С учетом равенства

eO) x (v x eO’)) = v(eO)eO')) = v6yy,	(2.92)

получаем

p = I Skc;,cw.	<2«3)

k 7 = 1,2

Теперь можно сказать, что нормировочный множитель V4n/2K<o в
(2.67) выбирался с целью придать энергии и импульсу электромаг-
нитного поля вид (2.90), (2.93).

Наконец, для спинового момента электромагнитного поля с по-
мощью (2.65) тем же способом получаем выражение*)

s = |S 2 (e°)xeO'))(Ck.C‘/-C’yCk/).	(2.94)

k 7,7 = 1, 2

*) При формальной подстановке выражений (2.83), (2.67) в (2.65) один из знач-
ков /, /' в (2.94) будет пробегать значения j — 1, 2, а другой — j - 1, 2, 3, 4. Значения
j = 3, 4 приводят к нефизическим значениям проекции спина (см. следующий пара-
граф), и их можно заранее опустить. С другой стороны, по формальным соображениям
ниже удобнее считать, что оба значка в (2.94) пробегают значения j - 1, 2, 3.
Если поляризационные орты совпадают с координатными, то век-
торное произведение в (2.94) можно записать в виде

(ew хе^), = Etjj,,	(2-95)

где — единичный полностью антисимметричный тензор. Тогда
в тензорных трехмерных обозначениях выражение для спина при-
нимает вид

^ = 11	2 ^(СуС^-С^С^).	(2.96)

к /,/'=1,2,3

§ 2.3. Квантование электромагнитного поля

Основное отличие квантовой теории электромагнитного поля от
классической заключается в том, что квантовая теория описывает
процессы рождения и уничтожения квантов электромагнитного по-
ля — фотонов. При переходе к квантовой теории удобнее всего ис-
пользовать разложение потенциалов на плоские волны (2.67). В
квантовой теории величины являются операторами. Эти опе-
раторы действуют на вектор состояния электромагнитного поля
| Ф), который определяется в пространстве чисел заполнения. Разло-
жение (2.67) при переходе к квантовой теории заменяется выраже-
нием

A W = 2	,	(2.97)

4, X

которое является теперь определением операторов А(х) в гейзен-
берговском представлении (см. [I, § 4.3]). Операторы С£?, ^кх Яв-
ствуют на вектор состояния и имеют смысл операторов рождения и
уничтожения фотонов. Эти операторы определяются с помощью пе-
рестановочных соотношений

[^Лх']- =	= 0 (X, X' = 1, 2, 3, 4),	(2.98)

[CtxC:r]_ =	(X, X' = 1, 2, 3),	(2-99)

1СмСе41- = -^кк'-	(2.Ю0)

Соотношения (2.98)—(2.100) нужно дополнить условием

С^|Фуас> = 0,	(2.101)

где |Фуас) — вакуумный вектор состояния электромагнитного поля.
Из перестановочных соотношений следует, что оператор

^кх = ^кх и=1>2>3)

(2.102)
в качестве собственных значений может иметь любые целые поло-
жительные числа, включая нуль. Это дает возможность интерпрети-
ровать его как оператор числа частиц (фотонов):

=	(2-103)

Здесь Nkk — число фотонов с заданной поляризацией и импульсом,
I — соответствующий вектор состояния. В случае X = 4 такая
интерпретация неправомерна из-за' другого знака в правой части пе-
рестановочного соотношения (2.100). Это, однако, не важно, так
как нет нужды говорить о числе скалярных фотонов: при использо-
вании кулоновской калибровки эти фотоны проявляются только в
виде кулоновского взаимодействия.

Среди матричных элементов операторов Скк, Скк по смыслу мо-
гут быть отличными от нуля только такие: (Nkk — 11 Скк | Nk)),
(^u + 11	| ЛГАХ>. Тогда из (2.102), (2.103) следует:

**А = <^АI С+кКСкк| NkJ) = {Nkk| СХЛ| Nkk - l)(Nkk - 11 Ckk|Nk]) =

= I (^a । Ctx I	“ 012 = । ("u - 11 Ckk I Nk>) |2, (2.104)

откуда

=	(2-105)

(^x+ l|CtJ^x) = VA^+T.	(2.Ю6)

Квантовая теория электромагнитного поля, как и классическая,
является градиентно-инвариантной и требует выбора калибровки
потенциалов. Например, можно попытаться задать калибровку Ло-
ренца условием, аналогичным (2.81). Однако перестановочные соот-
ношения (2.98)—(2.100) предполагают, что все операторы Скк явля-
ются независимыми. Поэтому нельзя наложить дополнительные ус-
ловия непосредственно на операторы. В квантовой теории условие
Лоренца накладывается на средние значения операторов:

(Ф|^|Ф) = 0.	(2-107)

И

При выполнении этого условия продольные и скалярные фотоны, как
и в классической теории, не дают вклада ни в какие физические вели-
чины в случае свободного электромагнитного поля. При наличии
внешних зарядов и при использовании кулоновской калибровки ска-
лярные фотоны определяют кулоновское взаимодействие (см. § 2.1).

Буквальное повторение выкладок, проделанных для классическо-
го случая, приводит к следующим выражениям для операторов
энергии и импульса электромагнитного поля:

к. А

P = iwckkcik + ctkckk).

к,Х

(2.108)

(2.109)
Переходя к средним значениям и используя условие Лоренца
(2.107), получаем (в трехмерных обозначениях)

£ = <Ф|Я|Ф> = |2 Х<о(Ф|СкуС+ +с*см|Ф), (2.110)

к 7 = 1,2

Р = (Ф|Р|Ф) = |2 £к(Ф|Ск/С+ +с+ск/ф). (2.111)

к ; = 1,2

Наконец, используя перестановочные соотношения и формулы
(2.102), (2.103), переписываем выражения для Е, Р в виде

£ = 2 2 “(^+1).	(2Л12)

к 7=1,2 '	'

к 7 = 1,2 '	'

Таким образом, энергия и импульс поля совпадают с суммой энер-
гий и импульсов гармонических осцилляторов со всевозможными ча-
стотами. Поле, следовательно, можно представить как бесконечный
набор осцилляторов. Как видно из (2.112), вакуумное состояние (т. е.
состояние, в котором отсутствуют фотоны) обладает бесконечной
энергией (суммарный импульс вакуумного состояния, в отличие от
энергии, равен нулю). Если, однако, энергию электромагнитного по-
ля отсчитывать от энергии вакуума, то мы всегда будем иметь дело с
конечными выражениями. Такое изменение начала отсчета энергии
не сказывается, как всегда, ни на каких физических результатах.

Оператор спина электромагнитного поля в квантовой теории
принимает вид (см. (2.96))

^ = <2 2 eiy/(CkyC*,- С*Ск/).	(2.114)

к 7 ,/ = 1,2,3

С учетом коммутационных соотношений для операторов рождения
и уничтожения, а также свойств антисимметричности тензора е/уу>,
(2.114) можно переписать в виде

si

1 2	2 Ei7/Ck7Ck?

k 7,/ = 1,2,3

(2.115)

Теперь можно ввести оператор спина для отдельного фотона:

j,r=t 2,3

(2.116)

Этот оператор записан в представлении вторичного квантования.
Его можно записать в другом представлении, вводя волновые функ-
ции фотона с определенной поляризацией /у. Определим действие
оператора на эти функции таким образом:



(2.117)
Тогда матричные элементы этого оператора будут равны

=	(2.118)

Нетрудно убедиться непосредственным вычислением, что точно та-
кие же матричные элементы получаются для оператора (2.116), что
и доказывает эквивалентность выражений (2.117), (2.116)^

Построим явные выражения для спиновых операторов и спи-
новых функций

	(0 0	О'	° ° Л	'0	—i O'
«1 =	0 0	—i ,	s2 =	0 0 0, s3 -	i	0 0 , (2.119)
	0 i	0	—i 0 0	0	0 0
	к	/	/	\	/
			fl)	/0)	0)	
		Л =	0 , f2= 1 , f3 =	0	(2.120)
				1 /	

Непосредственным перемножением матриц (2.119) и (2.120) убеж-
даемся, что при этом удовлетворяются равенства (2.117). Прямо
проверяются также коммутационные соотношения

[?^]_= ze^s*,	(2.121)

которые должны выполняться для операторов проекций момента ко-
личества движения (см. [I, § 3.1]).

Далее, таким же перемножением убеждаемся, что

з
s2=E^=

(о о о)
0 1 о
0 0 1

(1 0 0\

+ 000

0 0 1

\

(1 0
0 1 о
ООО

\

= 27,

(2.122)

где I — единичная трехрядная матрица.

Следовательно, функции

ft являются собственными функциями оператора s2:

s2/f = s(s + 1)/; = 2/f.	(2.123)

Отсюда следует, что спин фотона равен s= 1.

Построим теперь общие собственные функции операторов s2, s3:

Xi = — 7у(/1 + г/г)’ Х-i =	(/1 — г/г)> Хо = Л- (2-124)

Вновь проверкой убеждаемся:

82хи - Ч’
?зХц = НХ(1 (и = о, ±1).

(2.125)

(2.126)

Величина ц имеет смысл проекции спина на некоторое заданное
направление. Трехкомпонентную матрицу-столбец хи можно рас-
сматривать так же, как трехмерный вектор хи- Нетрудно проверить,
что эти векторы ортонормированы:

(ХцХ/) = Х^Х/ = Ч- •

(2.127)
Обсудим физический смысл спина фотона. В отличие от спина
электрона, его нельзя толковать как «собственный» момент количе-
ства движения фотона, т. е. как момент фотона в системе покоя, по-
скольку такой системы не существует. Поэтому разделение полного
момента количества движения фотона на орбитальный и спиновый,
вообще говоря, лишено смысла. Как мы увидим ниже (см. следую-
щий параграф), состояния с определенными значениями орбиталь-
ного и спинового моментов не удовлетворяют условиям поперечно-
сти; этим условиям удовлетворяют лишь их линейные комбинации.

Существуют, однако, ситуации, когда проекции спина фотона
могут использоваться в качестве квантовых чисел. Рассмотрим фо-
тон с определенным значением импульса р и направим ось х3 вдоль
вектора р. Тогда компонента спина s3 является интегралом движе-
ния, поскольку проекция орбитального момента Z3 равна нулю в си-
лу тождества р1 = 0 (см. (1.62)). Проекция спина частицы на на-
правление ее движения называется спиральностью. Для фотона воз-
можны два значения спиральности: ц = ±1 (см. (2.126)). Эти

значения спиральности соответствуют двум круговым поляризаци-
ям. Действительно, выпишем явно выражения для векторов хи (в

матричной форме):

' О'

—i ,
О

(0\

Хо= 0 

1

(2.128)

Сравнивая эти векторы с векторами круговой поляризации, также
записанными в виде столбцов (см. § 2.2)



(2.129)

убеждаемся в справедливости сказанного выше. Из этих же рассуж-
дений следует, что значение спиральности ц = 0 для фотона запре-
щено условием поперечности: это значение соответствует продоль-
ной поляризации.

§ 2.4. Фотоны с определенным моментом и четностью

В предыдущем параграфе состояния фотона задавались значением
его импульса (энергии) и поляризацией. При этом коэффициент
при операторе Ск} в (2.97) естественно принять за волновую функ-
цию фотона в координатном представлении:

f »(r, v = ^<x)ei(kr_“z)-	(2130)

Нужно помнить, однако, что функции (2.130) нельзя придать обыч-
ного для квантовой механики смысла амплитуды вероятности [1].
Это связано с отсутствием системы покоя для фотона и невозмож-
ностью однозначного определения его координаты. Вместе с тем
можно говорить о волновой функции фотона в импульсном пред
ставлении, поскольку импульс фотона является вполне опреде-
ленной величиной. Волновая функция фотона в импульсном пред-
ставлении получается с помощью фурье-преобразования из (2.130).
Функция (2.130) нормирована так, чтобы выражения для энергии и
импульса электромагнитного поля имели вид (2.112), (2.113). В
дальнейшем, при вычислении вероятностей различных процессов с
излучением или поглощением фотонов, можно без ограничения об-
щности положить V = 1.

Для описания состояния фотона можно использовать также дру-
гой набор квантовых чисел, а именно рассматривать состояния фо-
тона с определенным моментом количества движения и четностью.
Такой набор более удобен при описании поглощения и излучения
фотонов атомами. Полный момент фотона будем обозначать J, про-
екцию на некоторое направление — ось z — J3. Обратимся к им-
пульсному представлению и построим функции этих операторов по
обычной схеме векторного сложения моментов (см. [I, § 3.1]):

МО = 2 С»м(тИ)У/т^)хи,	(2.131)

^^(v) = /(/ + l)Yyw(v),	(2.132)

^Y?w(v)=MY7ZM(v).	(2.133)

Функции (2.131) называются векторными сферическими функция-
ми и образуют, подобно шаровым спинорам (см. § 1.2), полную си-
стему ортонормированных функций

$ YtZM(v)Y/rM.(v) cfv = 67/dzr6MM..	(2Л34)

Каждому значению j 0 соответствуют три векторные сфериче-
ские функции, отличающиеся значениями Z: Y7/M, Yy/+1 м, Yzz-i м-
Если / = 0, то имеется одна функция Yolo. Квантовое число I, как
и в случае электронов, определяет четность состояния 9°:

^Y7ZM = 9»Y.ZM,	(2.135)

где 9° — оператор инверсии. Действие 93 на векторную функцию
определяется следующим образом:

^Yyw(v) = -YyZM(-v).	(2.136)

Поэтому, если учесть (2.131) и закон преобразования сферических
функций при инверсии [I, §3.7], четность фотона оказывается
равной

ЗР=(-1)'+1.	(2.137)

Выясним теперь, удовлетворяет ли функция (2.131) условию по-
перечности. Рассмотрим вначале функцию Ч „м и покажем, что она
ортогональна v. Для этого заметим, что векторы суть сфериче-
60
ские орты (см. [I, § 3.3]). Разложение произвольного вектора А по
таким ортам дает сферические компоненты вектора А^:

А = ^(-1)Мд_и.	(2-138)

И

Таким образом, из (2.131) и (2.138) следует:

(-1)иС»м(М- И, p)ym_/v) = (¥у7М)_и,	(2.139)

где (Y//M)_^ — сферическая компонента вектора 'YjlM(y').

Запишем теперь скалярное произведение векторов v и YyyM (см.
[I, § 3.3]):

(2.Н0)

И

где (v)^ = V4ji/3 y|pi(v). Используя также формулу [I, (3.30)], мо-
жем написать

уум-и(*)У1и(*) =

= 2сгм(^-н,

7'



(2.141)

Тогда

= (-iy-*V27+T £ ci^M- и, и) X

7н

X С‘^м(М - и, р)

ООО

У/М(у). (2.142)

Используя условие ортогональности преобразования Клебша—Гор-
дана [I, (3.31)], которое в данной ситуации дает

S С/^(М- И, р)С'.'м(М- р, и) = 6у/,

(2.143)

получаем окончательно

= (-iy-W+Т J y.M(v).

Однако qqJ=O (cm. [I, (П4.3)]), поэтому

**уум(») = 0.

(2.144)

(2.145)

Итак, функция YyyM(v) является поперечной. Принято говорить,
что она описывает фотоны магнитного типа (Му-фотоны); для этой
функции используется также обозначение Y Название связано с
тем, что излучение таких фотонов определяется магнитным у-поль-
ным моментом системы зарядов (см. ниже, § 5.3). Четность Mj
фотонов, согласно (2.137), равна

За = (-1)/+1.	(2.146

Рассмотрим теперь другую поперечную векторную сферическуи
функцию Y^, ортогональную v и функции Y^:

Y^(v) = i(vxYW(v)).	(2.147

Векторное произведение в (2.147) запишем в сферических ортах <
помощью общей формулы [I, (3.112)]. При этом, однако, нужн<
учитывать, что такое определение векторного произведения отлича
ется от обычного множителем —гУ2 (это можно установить непос
редственным сравнением). Тогда

(Y^(v))o = -z<2^ £ С“(^)Y1,(v)(Y/7M)p	(2.148;

<7>

где, согласно (2.139),

(Wa= (-1)XCZUW+ X, -X)YyM+x(v). (2.149,

Вновь используя (2.141), получаем

O®(»)).-(-iy*V2(2/ + l)£p J '

X 2 (-lyclJXelJCjUM + x. -X)C'.‘M(M + ,). (2.150;

Сумма no q"k в (2.150) вычисляется с помощью [I, (3.70)]. Этс

дает

(Y^)o = (—l)/+oV6(2/+ 1) £ V27+T Р * И х

х

/" i 1
i 1 i

С^{М+о, -o)YrM+a(v).

(2.151)

Теперь можно вновь использовать (2.139), что приводит к выра-
жению

(*$)«, = <6(2/ + 1)(-1)> £ <+Т Р * И хР' '

f	\	/ I 7.

(2.152)

Заметим, что Зу-символ в (2.152) отличен от нуля только при
/' = j ± 1. Следовательно,

Y<^)(v) = a(/)Y„+1M(v) + Z>(/)Yyy_1M(v).	(2.153)
Вычисление коэффициентов а, Ъ по формулам, приведенным в (1,
(П4)], дает

а(/) = (-1)^6(2,+1)(2у + 3) (>>/ + >) {>+' > *J = -^,

(2.154)

ад = (-i)W/+4(2/-i) (jJ ’ о') j1 { }} =

(2.155)

Фотоны, описываемые функциями (2.145), называются фотона-
ми электрического типа (Бу-фотонами). Излучение таких фотонов
определяется электрическим у-польным моментом системы (см.
§5.3). Четность электрических Бу-фотонов, согласно (2.137), равна
9» = (-!)/.	(2.156)

Таким образом, при одном и том же значении j электрические и
магнитные фотоны различаются четностью. Заметим также, что для
фотонов электрического типа орбитальный момент не имеет опреде-
ленного значения.

Рассмотрим, наконец, последний тип векторных сферических
функций — продольные функции	Эти функции не удовлет-

воряют условию поперечности, однако образуют, совместно с и
у(Л\ полный набор, по которому можно производить разложение
произвольных функций. Функции Yy^, Y^P, Y^ ортонормированье

J Y<x>(v)Y^(v) rfv =	(2.157)

ще значки X, X' соответствуют Б, М, П.

Явное выражение для Y^ можно построить следующим образом:
Y$(v)=vYyM(v).	(2-158)

В сферических компонентах, с учетом (2.141), получаем
(¥™)в = #Ч('’>ЪмМ =

- (-iy-'W+T S Р ' И	(2.159)

/ \ /

Используя свойства симметрии коэффициентов Клебша—Гордана
(Зу-символов), приведенные в [I, § 3.2], переписываем (2.159) в виде
(flWHr'W + i (о i о) С^(М + И,-И)У/м+и.

(2.160)
Теперь, учитывая (2.139), находим

-S (-I/''VV+Т (' ‘ И (т//м(»))и. (2.161)
Г	X /

Отсюда, как и в случае Yj^-функций, следует:

VjS(«) = «'(/)»,,« „(V) + »’(/)¥„-,»,(»).	(2.162)

»'(/) = HWH (' J ’ + ’) =	,	(2.163)

6’(>) = (-1)№Тг(' J'71)----------^Т-	(2.164)

Если 7 = 0, то по правилу сложения моментов имеется только
одна векторная сферическая функция Y010(v). Согласно (2.139) ее
сферические компоненты равны

(*о1о(*))и= (-1)ИС“(И, -Ю5%(*) = Yllt(v). (2.165)

Эти компоненты совпадают (с точностью до знака) со сферическими
компонентами вектора vY00(v), и, таким образом, векторная функ-
ция Y010(v) является продольной. Отсюда следует, что не существу-
ет фотонов с моментом, равным нулю.

Таким образом, волновые функции фотона в состоянии с опреде-
ленным моментом и четностью в импульсном представлении могут
быть записаны в виде

А$">(к, 0 = С6(ю - |k| JY^We--',	(2-166)

где С — нормировочный множитель *). Переходя в координатное
представление с помощью преобразования Фурье

А^г, 0 - S	0	(2.167)

используя разложение плоской волны по сферическим гармоникам

e/kr = 2 i^(<or)yZffi(v)YJm(n),	(2.168)

lm

gi(“>r) = (2л)1 ^== Jz+|(cor),	(2.169)

где n s r/r, Jl+i_ — функция Бесселя, и проводя интегрирование по
dk = (a2 dia dv в (2.167), получаем волновые функции фотона в ко-

*) Нормировочна. множитель С должен быть выбран так, чтобы с учетом разло-
жения плоской волны по сферическим волнам получалась прежняя нормировка (2.130)
(см. ниже формулу (5.75)).
ординатном представлении:

АУ„(г. о =	W*”"'" €С’иМе-1"'. <21’0)

А^и(г- О VzZHzy+i ^+Aor^v//+i м(пУ

-ffi&l-W1,„(п)|е~“' -	(2.171)

При этом мы учли, что нормировочный множитель определяется по-
прежнему формулой (2.130).

g 2.5. Взаимодействие электронов с фотонами

Уравнение Дирака, по аналогии с уравнениями Максвелла, можно
рассматривать как уравнение для компонент классического элект-
ронно-позитронного поля %(*)> чра(х) (а — спинорный значок)*).
Функцию Лагранжа для электронно-позитронного поля можно запи-
сать в виде

L = | (ЧЙ-РД - (рЛОУн-Ф) - m# (2.172)
Лл	“г—	г*	г*

Действительно, построив функционал действия
d'x	<2173>

и считая при варьировании функции тр, гр независимыми, приходим
к уравнениям Эйлера—Лагранжа

д ( 9L \	а/. _ о	(2.174)

axg lao-ip/axj I ац> ’

(2.175)

Строго говоря, эти уравнения нужно писать для отдельных спинор-
ных компонент чра, чра, однако формальное вычисление производ-
ных в (2.174), (2.175) приводит к правильному результату. А имен-
но, уравнение (2.174) переходит в (1.9), а (2.175) — в (1.12).

Выражение для тензора энергии-импульса электронно-позитрон-
ного поля получается по аналогии с выражением (2.44) для элект-
ромагнитного поля:

т = /Л _	э/'	_ _g£	(2 176)

1 hv uhv dtdtyldxj дхи dldqldxj дхц'	‘	'

*) «Классическим» это поле является в том смысле, что пока мы не переходим ко
вторичному квантованию и не учитываем тем самым процессов рождения и уничтоже-
ния частиц. В настоящей же классической электродинамике электронно-позитронного
поля вообще нет, а есть лишь заряды и токи.

3 Л. Н. Лабзовскии

65
Если считать, что функции Ц>, if в (2.176) являются экстремалями,
т. е. удовлетворяют уравнению Дирака, то L = 0 (это следует непос-
редственно из (2.172)). Тогда вычисление производных в (2.176)
приводит к выражению

Т	(2-177)

HV 2 v "v дх дх Y
\ ин/

Отсюда плотность энергии электронно-позитронного поля равна

1	* - Ч>+ f)	(2.178)

или, с учетом (1.1),

и> = 1р+Лтр,	(2.179)

где оператор h определяется формулой (1.2). Плотность импульса
электронно-позитронного поля получается равной

л = |(г|>+¥гр- (Vn>+)4>).	(2.180)

Если теперь рассматривать взаимодействующие электронно-по-
зитронное и электромагнитное поля как взаимодействующие клас-
сические поля, то полный лагранжиан можно представить в виде

E-Z +£е + Е;пР	(2.181)

где Ly — лагранжиан свободного электромагнитного поля (2.26),
Le — лагранжиан свободного электронно-позитронного поля
(2.172), a _Lint — лагранжиан взаимодействия. По аналогии с клас-
сической электродинамикой можно положить

Ап. = /и(х)Ли(х),	(2.182)

где /и(х) — ток, определяемый формулами (1.15), (1.16),	— по-

тенциал электромагнитного поля.

Теперь нужно варьировать функционал

<2183>

\	V	н	у.)

где L определяется выражением (2.181). Подобно тому, как при
варьировании соответствующего действия получались уравнения
(2.32), (1.9), (1.12) для свободных полей, из (2.183) получается си-
стема уравнений:

< =	(2.184)

(^(Рц +	+ щ)-ф = 0,	(2.185)

М>(17И(Р - ел*) -ni) = Q.	(2.186)

Эти уравнения представляют собой уравнения Максвелла в присут-
ствии зарядов и токов (2.24) и уравнения Дирака во внешнем элек-
тромагнитном поле (1.32) и (1.33).
Перейдем теперь ко вторичному квантованию электронно-позит-
ронного поля и рассмотрим для этого разложение произвольного ре-
шения уравнения Дирака Ц>(х) по полной системе функций
%(г, t), являющихся решениями уравнения Дирака (1.20). Разло-
жение представим в виде

^(х) = X + 2 ЙЖХ)> (2.187)
Е >0	Е <0

S	S

\р(х) = 2 <ф,(х) + 2 М\(х).	(2.188)

Е >0	Е <0

S	S

Вторичное квантование заключается в замене чисел as, bs операто-
рами уничтожения электронов и позитронов as, bs, а чисел a*, b's —
соответственно операторами рождения Ь*. Формулы (2.187),
(2.188) заменяются на

Ф(х) = 2 25%(х) + 2 ^(х)’	(2.189)

Es > °	Es < 0

Ф+(х) = 2 Ss%(x) + 2 М\(х)-	(2.190)

Е >0	Е <0

S	1

где 'ф(х), гр+(х) — операторы электронно-позитронного поля.

Операторы рождения и уничтожения электронов и позитронов
удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

2^]+ = 0,	(2.191)

М+ = [*:.%]+ = 0,	(2.192)

[2s>2+]+=[*s,*X = ^'>	(2Л93)

[as, М+ = [^, %]+ = [а„ %]+ = [^, М+ = 0. (2-194)

Операторы as, a*, bs, b* действуют на вектор состояния электрон-
но-позитронного поля |Ф) , или волновую функцию в пространстве
чисел заполнения (в полной аналогии с ситуацией в случае элект-
ромагнитного поля, см. § 2.3). Запись (2.187), (2.188) соответствует
гейзенберговскому представлению для волновых функций и опера-
торов: зависимость от времени содержится только в операторах
<р(х), гр+(х), а вектор состояния |Ф) от времени не зависит.

Операторы

”s+) =	(2.195)

n(-) = *+*s	(2.196)
можно толковать как операторы числа электронов и позитронов со-
ответственно:

। п(±)) = п(±) । п^)).	(2.197)

Здесь | п^) — вектор состояния поля с числом электронов (позит-
ронов) в состояниях, описываемых волновыми функциями
%(%)•

Из перестановочных соотношений для операторов уничтожения
и рождения следует выполнение принципа Паули:

Л<*> = 0,1.	(2-198)

Действительно, с помощью (2.193) получаем

(Я(+>)2= a^asa^as = a^as(l — asa^).	(2.199)

Учитывая, что из (2.191) следует а2 = 0, далее имеем

(й<+))2 ~ ^as ~	(2.200)

откуда и вытекает (2.198). То же самое можно повторить для опе-
ратора п^~\

Перестановочные соотношения (2.191)—(2.194) нужно допол-
нить равенством

Wac> = Wac> = 0.	(2-201)

где |Фуас) — вакуумный вектор состояния электронно-позитронного
поля.

Во вторично квантованной теории все соотношения, приведенные
ранее в этом параграфе и содержащие функции т|>(х), ^(x), заме-
няются операторными соотношениями. В частности, из (2.178) сле-
дует выражение для оператора энергии (гамильтониана) свободного
электронно-позитронного поля:

Не=\ Ф+(Х)^(Г)ЯЧХ) dr.	(2.202)

Подставляя в (2.202) разложения (2.189), (2.190) и интегрируя,
приходим к следующему результату:

". - 2	- £ n^Es + Es.	(2.203)

Es > 0	Es < 0	Es < О

Последнее слагаемое в правой части (2.203) представляет собой бес-
конечную энергию вакуума и должно быть отброшено, как и в слу-
чае электромагнитного поля (см. § 2.3).

С целью формального устранения таких бесконечностей обычно
вводят так называемое нормальное произведение (ТУ-произведенис)
операторов, в котором операторы рождения всегда стоят слева от
операторов уничтожения (см. [I, § 4.4]). Знак нормального произве-
дения определяется числом перестановок фермионных операторов,
которые нужно совершить, чтобы расставь гь операторы в требуемом
порядке. Если число перестановок фермионных операторов нечетно,
то TV-произведение приобретает знак минус. Перестановки бозонных
операторов не оказывают влияния на знак. Если использовать /V-
произведения операторов, то бесконечная энергия вакуума не воз-
никает ни для электромагнитного, ни для электронно-позитронного
полей.

Формула (2.203), таким образом, заменяется следующей:

= (2-204)

Е >0	Е <0

S	S

Из (2.204) следует очевидное выражение для энергии системы
невзаимодействующих электронов в атоме:

N

£(0) = (ф | яе IФ) = 2} Es,	(2.205)

5=1

где N — число электронов в атоме.

Оператор плотности тока записывается с помощью /V-произведе-
ния операторов так:

7и(х) = -1еЛГ(ф+(х)ургр(х)).	(2.206)

Из (2.206) для оператора заряда

Q = i $ /0(х) dr	(2.207)

следует выражение, не содержащее бесконечного заряда вакуума:

е=-сМ+) + *2^-)-	(2-208)

Е >0	Е <0

S	S

В случае взаимодействующих полей вторично квантованная тео-
рия приводит вновь к уравнениям (2.184)—(2.186), которые, те-
перь, однако, имеют операторный характер. Поэтому единственный
практически осуществимый способ решения всего круга задач кван-
тово-электродинамической теории атома заключается в использова-
нии теории возмущений по взаимодействию полей. Такую теорию
возмущений удобно развивать в гамильтоновой формулировке, для
чего можно использовать результаты, приведенные в [I, § 4.3]. При
этом полный гамильтониан системы полей представляется в виде

^ = ^о + ^пр	(2-209)

Я = Я7 + Не,	(2.210)

где Ну — гамильтониан свободного электромагнитного поля (2.108),
который после перехода к нормальным произведениям приобретает
вид
Ht — гамильтониан свободного электронно-позитронного поля
(2.204), Hita — гамильтониан взаимодействия.

В классической теории функции Лагранжа и Гамильтона для
электромагнитного и электронно-позитронного полей связаны обыч-
ным соотношением:

Н = —I I dL	I dL дУ I d£ dip (2 212)

т dldAJdxJ dxv dtdyldxj дх^ dtdyldxj дх^' v ’	7

Поскольку, однако, Л1П1 не зависит от производных, формула
(2.212) упрощается:

^int = -Anr	(2.213)

Сохраняя во вторично квантованной теории выражение (2.182) для
Lint, но заменяя все величины операторами, получаем

^int =	3^(х)А^х) dr.	(2.214)

Таким образом, основой для дальнейших приложений квантовой
электродинамики к теории атома будет разложение оператора эво-
люции S(t, /0) в ряд инвариантной теории возмущений по взаимо-
действию HiBt (см. [I, § 4.3]):

5((,(0) = 1+^ W.Q.	(2-215)

1=1

Q = 17Г S - S dti 7'Wn.(<i)’ •••> ^in,(/,)),	(2-216)

о	0

где T — символ хронологического произведения операторов.

§ 2.6.	S-матрица в картине Фарри

Как известно (см. [1, 2]), для квантовой электродинамики несвя-
занных электронов характерна такая постановка задачи: любой про-
цесс рассматривается так, как будто частицы в начальный t = — оо и
в конечный t = о» моменты времени не взаимодействуют. Тогда, со-
гласно определению (см. [I, (4.128)]),

|Ф(оо)) = S(oo, -оо)|Ф(-оо)>,	(2.217)

где |Ф) — вектор состояния. Оператор 5(°°, — оо) называется 5-мат-
рицей и позволяет по заданному состоянию системы при ( = —оо
найти состояние при t = оо. Если взаимодействие отсутствует при
t = ±°°, то функции |Ф(±оо)) соответствуют невзаимодействую-
щим частицам. Пусть |Ф°) — набор состояний, в которых может
находиться система невзаимодействующих частиц (электронов, фо-
тонов). Можно считать, что |Ф°) — волновые функции в гейзенбер-
говском представлении, совпадающие при отсутствии взаимодейст-
вия с функциями в представлении взаимодействия. В начальный
момент времени система находится в некотором состоянии
|ф(—<»))== |Фо). Тогда

|ф(оо)> = S(oo, -оо) |ф(-оо)> = £ (Фо|5|Фо>|Фо). (2.218)
ь

При этом мы произвели разложение |Ф(°°)) по полной системе
функций |Ф°). Матричный элемент 5-матрицы (Ф°|5|Ф°) опреде-
ляет амплитуду перехода из состояния |Ф°) в состояние |Ф°). Вы-
числение таких амплитуд и соответствующих вероятностей различ-
ных процессов представляет собой традиционную задачу квантовой
электродинамики. Однако применение этой традиционной схемы к
задаче о связанных состояниях в атоме наталкивается на серьезные
трудности. В частности, трудности связаны с необходимостью вы-
числять также сдвиг уровней энергии, как за счет взаимодействия
электронов друг с другом, так и за счет взаимодействия с вакуумом.
Для преодоления этих трудностей использовались различные мето-
ды, так или иначе связанные с теорией возмущений.

Если использовать разложение по параметру малости aZ, то
можно, вообще говоря, распространить полурелятивистский подход,
описанный в § 1.5, на двухэлектронные и многоэлектронные атомы.
Поправки низшего порядка (aZ)2 к межэлектронному взаимодейст-
вию приведены в § 3.4. В общем случае многоэлектронного атома
поправки порядка (aZ)2 и (aZ)3 рассмотрены в [3—5]. В таких те-
ориях упомянутые трудности отсутствуют, поскольку исходным
приближением является обычная квантовая механика, однако при-
менимость этих теорий ограничена легкими атомами, поскольку в
следующих порядках по aZ возникают сингулярные операторы. Мо-
дификацию полурелятивистского подхода, обходящего эту трудно-
сть, см. в [6].

Другая возможность — использование релятивистского метода
Хартри—Фока, который подробно описан в § 3.5 (см. также [7]).
Этот метод является хорошим исходным приближением для расче-
тов атомов в рамках квантовой электродинамики, однако он не
представляет собой теорию, в которой последовательно учитываются
все поправки одного порядка по степеням а, без разложения по сте-
пеням aZ. То же самое можно сказать и об усовершенствованиях
такого подхода — релятивистском методе случайной фазы [8] или
релятивистском методе наложения конфигураций [9, 10], дающих,
впрочем, весьма хорошие численные результаты.

Существует также ряд методов, в которых теория строится с са-
мого начала без разложения по параметру aZ, но с использованием
теории возмущений по а. Это позволяет последовательно учитывать
все поправки по а в каждом порядке; в таком варианте теория осо-
бенно хорошо применима к сильно релятивистским электронам.
Один из распространенных методов такого сорта — адиабатиче-
ский формализм Гелл-Манна и Лоу [11], изложенный в [I, § 4.3] в
применении к задачам квантовой механики. Применение этого ме-
тода к задачам релятивистской теории атома см. в [12—14]. В даль-
нейшем в этой книге мы будем придерживаться именно такого под-
хода, поскольку, во-первых, он наиболее близок к традиционному
S-матричному формализму квантовой электродинамики и, во-вто-
рых, этим методом выполнено значительное число конкретных вы-
числений.

Вместе с тем существует целый ряд иных подходов к квантово-
электродинамическому описанию атома, также не использующих
разложения по aZ. Например, другая разновидность S-матричного
подхода, основанная на другой функции включения взаимодейст-
вия, отличной от функции Гелл-Манна и Лоу, использовалась в [15,
16]. В [17] развивался подход, основанный на методе функций
Грина и квазипотенциальных уравнениях. Модификацию такого
подхода см. также в [18]. В ряде работ предпринимались попытки
построить квантовоэлектродинамическую теорию атома по образцу
нерелятивистской теории атома с эффективными операторами взаи-
модействия [19, 20].

Практически во всех используемых методах в качестве исходного
базиса теории возмущений применяются волновые функции элект-
ронов в заданном внешнем поле (например, волновые функции в
кулоновском поле ядра, рассмотренные в гл. 1, или волновые функ-
ции в самосогласованном поле Хартри—Фока, см. ниже). Это озна-
чает, что взаимодействие электронов с полем ядра включено уже в
нулевое приближение. Такая постановка задачи называется пред-
ставлением, или картиной, Фарри [21].

Рассмотрим подробнее теорию возмущений и диаграммную тех-
нику в картине Фарри. Как и в квантовой механике (см. [I, § 4.4]),
при подстановке оператора S(l\ определяемого формулой (2.212), в
амплитуду (Ф°|5|Ф°) получаются матричные элементы от так на-
зываемых смешанных произведений операторов, т. е. Т-произведе-
ний от различных ^/-произведений. При этом выражение для S-мат-
рицы приобретает вид

S(oo, —оо) = 1 + S®(oo, —оо),	(2.219)

1=1

S^9(qo, —оо) =

= ±7Г S	П^М^х,), ...J^A^x,)). (2.220)

Переход от смешанных произведений к ^/-произведениям составляет
содержание теоремы Вика, которая формулируется так же, как в
квантовой механике: смешанные произведения представляются в
виде суммы ^/-произведений со всевозможными свертками операто-
ров. Свертка определяется, как и в [I, § 4.4]:

АВ = Т(АВ) - N(AB},	(2.221)
причем сохраняются те же знаковые правила при перестановках
ферми- и бозе-операторов. Из этой суммы, вообще говоря, необхо-
димо исключить члены со свертками операторов, уже входящих
под знак ^произведения в операторе тока в Hint. Однако в картине
Фарри нельзя на самом деле отбрасывать, как это делается в кван-
товой электродинамике без внешнего поля, вакуумное среднее от
оператора тока j , поскольку в данном случае оно содержит и ток,
создаваемый в вакууме внешним полем. Поэтому при вычислении
матричных элементов S-матрицы в картине Фарри символ ^произ-
ведения в операторе тока, входящем в 7/int, следует опустить. Сле-
дует также заметить, что операторы рождения и уничтожения от-
личных друг от друга частиц не нужно представлять в виде ^про-
изведений и, соответственно, не нужно свертывать. В частности, не
нужно свертывать операторы тр(х) и тр(х'), так как они содержат
только операторы рождения позитронов и уничтожения электронов;
то же относится и к операторам ф+(х), тр+(х'), которые содержат
только операторы рождения электронов и уничтожения позитронов.

Свертки операторов уже не являются операторами в представле-
нии вторичного квантования, а представляют собой с-числа (см. ни-
же, а также [I, § 4.4]). Они называются также пропагаторами, т. е.
функциями распространения соответствующих частиц (см. по этому
поводу [I, § 4.4]). Электронный и фотонный пропагаторы обознача-
ются следующим образом:

$(х)ф+(х') = S(x, х'),	(2.222)

Д/*)А,(х') = О^(х, х').	(2.223)

При этом пропагатор S(x, х') представляет собой матрицу по спи-
норным индексам. Операторы, не участвующие в свертках, действу-
ют на векторы состояния справа и слева в матричных элементах, в
результате чего появляются волновые функции электронов и фото-
нов в начальном и конечном состояниях.

Диаграммная графическая техника, которая используется для
наглядного описания членов ряда теории возмущений для S-матри-
цы, содержащих различные типы сверток, отличается от той, кото-
рая используется в квантовой механике (см. [I, § 4.5])*).

Сопоставим каждой координате х в (2.220) точку на графике
(вершину), электрону — сплошную линию, соединяющую верши-
ны, фотону, излучаемому (поглощаемому) электроном в атоме, —
волнистую линию, начинающуюся (оканчивающуюся) в какой-либо
вершине графика (излучение или поглощение будем отмечать
стрелкой). Тогда внешние электронные и фотонные линии (имею-
щие свободные концы) будут соответствовать электронам и фотонам

*) Впервые диаграммная техника была использована Фейнманом [22] для форму-
лировки теории возмущений в квантовой электродинамике, а затем была применена и
в задачах квантовой механики.
в начальном и конечном состояниях. Этим линиям сопоставляются
волновые функции электронов и фотонов. Электронные линии на

диаграммах располагаются, вертикально, причем начальному состо-

а	S

Рис. 2.1. Фейнмановские
графики в первом порядке
теории возмущений в кар-
тине Фарри

янию атома отвечает низ диаграммы, конеч-
ному — верх. Всего на диаграмме изобража-
ется столько электронных линий, сколько
электронов участвует в рассматриваемом
процессе. Фотонным и электронным пропа-
гаторам сопоставляются фотонные и элект-
ронные линии, соединяющие две вершины,
т. е. не имеющие свободных концов.

При наличии внешнего поля А“‘(г, t),
действующего на электроны, на графиках

появляются также вершины, соответствую-
щие взаимодействию с этим полем. Само внешнее поле мы будем
изображать штриховой линией с крестиком на конце. Каждой такой

штриховой линии сопоставляется потенциал Л®х,(г, t).

Рассмотрим несколько примеров. В первом порядке теории воз-
мущений возникает смешанное произведение вида

Т(ЛГ(ф+(х)у ф(х))Л (х)).
Г"	г*

(2.224)

С учетом сделанных выше замечаний при раскрытии этого произве-
дения должны появиться следующие члены. Во-первых, член без
всяких сверток, который изображается графиком рис. 2.1а. Этот гра-
фик описывает процесс поглощения или излучения фотона электро-
ном в атоме. Во-вторых, член,, содержащий свертку гр+(х)тр(х).
Этот член появляется только в картине Фарри благодаря тому, что
в этой картине мы не учитываем ^-произведения в (2.224). Он изо-
бражается графиком рис. 2.16 и описывает взаимодействие вакуум-
ного тока, возникающего при наличии внешнего поля, с фотоном.
Этот график не описывает никаких процессов в атоме, как и все
графики, не содержащие внешних электронных линий.

Во втором порядке теории возмущений нужно рассмотреть сме-
шанное произведение

Т(МЧ’+(Х1)уиф(Х1))Ли(Х1)^ф+(х2)у^(х2))^(х2)). (2.225)

Оно, как и (2.224), не является на самом деле смешанным, посколь-
ку в картине Фарри знаки ^/-произведений следует опустить. Тогда
при раскрытии (2.225) по теореме Вика появляются следующие
члены.

Наиболее простым является член (2.225) без сверток. Соответст-
вующий матричный элемент отличен от нуля только для таких век-
торов состояния, в которых имеется не менее двух электронов, так
как иначе один из электронных операторов уничтожения обязатель-
но действует на вакуум и матричный элемент исчезает согласно
(2.201). Позитронные операторы из (2.187), (2.188) вклада не да-
ют, поскольку в начальном и конечном состояниях нет позитронов.
Таким образом, две вершины xt и х2 могут принадлежать только
двум разным электронным линиям (рис. 2.2а). Поскольку мы усло-
вились изображать электронные линии лишь для электронов, участ-
вующих в процессе взаимодействия с электромагнитным полем,
рис. 2.2а относится к атомам с числом электронов /V > 2 и изобра-

/	их

Рис. 2.2. Фейнмановские графики во втором порядке теории возмущений в картине
Фарри

жает либо поглощение двух фотонов атомом, либо излучение двух
фотонов, либо процесс поглощения фотона одним электроном в ато-
ме и излучения другим (т. е. рассеяние фотона на атоме).

Члену (2.225) со свертками гр+(х1)з|>(х2) или 4>(х1)тр+(х2) соот-
ветствует график рис. 2.2б. Изображенный процесс есть поглощение
или излучение двух фотонов одним электроном в атоме, либо рас-
сеяние фотона электроном. Такой процесс может происходить и в
одноэлектронном атоме.

Если рассматривать следующий член (2.225) со свертками
ф+(х,)чр(х2) и ф(*1)Ф+(хг) (см- Рис- 2.2в), то соответствующий
матричный элемент не содержит электронных операторов и, как
и рис. 2.16, описывает процесс взаимодействия вакуумного тока с
Ф0тДля'члена (2.225), содержащего одну свертку Л^(х1)Лг(х2), мат-
ричный элемент отличен от нуля только в случае атома с числом
электронов N > 2. Соответствующая фейнмановская диаграмма изо-
бражена на рис. 2.2г и описывает процесс обмена фотоном между
двумя электронами.
Следующий член (2.225) содержит свертки ф(х1)гр+(х2) и
Да(х1)А,(х2) -™бо Ф+(х1)Ф(хг) и ^ц(х1)Л(хг)- Соответствующая
диаграмма (рис. 2.2S) описывает процесс испускания и поглощения
фотона одним электроном. Такие фотоны называются виртуальны-
ми, поскольку в начальном и конечном состояниях фотоны отсутст-
вуют, а сам процесс представляет собой взаимодействие электрона с
фотонным вакуумом. В картине Фарри, т. е. при наличии внешнего
поля ядра, эта диаграмма приводит к сдвигу уровней электрона в
атоме — лэмбовскому сдвигу (см. гл. 4).

Рассмотрим, наконец, член с тремя свертками ф+(х1)'ф(х2),
Ф(х1)Ф+(хг)’ 4и(х1)Лг,(х2). Его матричный элемент не содержит ни
электронных, ни фотонных операторов и изображается так называ-
емым вакуумным графиком (рис. 2.2е). Можно показать, что при
вычислении вероятностей различных процессов вклад вакуумных
графиков учитывать не нужно. Для этого достаточно заметить, что
пририсовывая к любому графику все вакуумные графики, мы при-
дем к экспоненте вида [I, (4.265)]. Показатель этой экспоненты чи-
сто мнимый, что видно, например, из формулы [I, (4.189)]. Таким
образом, учет всех вакуумных графиков эквивалентен умножению
амплитуды вероятности процесса на фазовый множитель, что не ме-
няет вероятности этого процесса.

Перечислим теперь члены (2.225), возникающие только в карти-
не Фарри. Члену со сверткой гр+(х1);ф(х1) или $+(х2)г{>(х2) соответ-
ствует диаграмма рис. 2.2ж. Эта диаграмма, как и рис. 2.16, описы-
вает взаимодействие вакуумного тока с фотоном (и, независимо от
этого, взаимодействие фотона с атомным электроном). Рассуждая
так же, как в случае вакуумных графиков, можно убедиться, что
любые диаграммы, содержащие несвязные (т. е. не связанные каки-
ми-либо линиями с остальной диаграммой) части, не имеющие
внешних электронных линий, не нужно учитывать при расчете
атомных процессов.

Сказанное относится также к члену (2.225), содержащему две
электронные свертки ф+(х1)гр(х1) и ф+(х2)гр(х2), что соответствует
опять взаимодействию фотонов с вакуумным током (рис. 2.2з).

Рассмотрим теперь член (2.225) с одной электронной и одной фо-
тонной свертками: ф+(х1)гр(х1) и Л|Л(х1)Лг,(х2), либо 4>+(х2)-ф(х2) и
I  I

Д1(х1)Д,(х2). Это единственный член во втором порядке, возникаю-
щий только в картине Фарри и дающий реальный вклад в атомные
процессы. Соответствующая диаграмма изображена на рис. 2.2и. Ее
отличие от диаграммы рис. 2.2ж заключается в том, что взаимодейст-
вие фотона с вакуумным током передается атомному электрону, т. е.
диаграмма описывает фактически взаимодействие атомного электро-
на с вакуумным током — поляризацию вакуума (см. гл. 4).
Последний член (2.225), включающий три свертки, лр+(х1)гр(х1),

Ч>+(х2)Ф(х2) и -^h(xi)^v(x2)> соответствует вакуумному графику,
возникающему в картине Фарри (рис. 2.2к). Учитывать этот график,
как и график рис. 2.2е, не нужно.

Расчет любой физической величины с помощью диаграммной
техники разбивается на три этапа: составление графиков Фейнмана,
написание матричных элементов по графикам и, наконец, вычисле-
ние этих матричных элементов. Приведем в окончательном виде
правила сопоставления матричных элементов графикам.

Каждой входящей (снизу) электронной линии на диаграмме со-
ответствует волновая функция начального состояния электрона
4>5(х) вВДа (1-19). Каждой выходящей (сверху) электронной линии
соответствует функция конечного состояния tps(x). Конкретный вид
функции ips(x) связан с выбором Но. Выбор (2.210) соответствует
исходному I риближению невзаимодействующих электронов. В ка-
честве нулевого можно использовать также любое одноэлектронное
приближение, в частности приближение Хартри—Фока (см. § 3.5).

Перейдем теперь к фотонным линиям. Каждой внешней входя-
щей фотонной линии (поглощение кванта) соответствует волновая
функция (2.130) (или функции (2.170), (2.171) при другом выбора
квантовых чисел). Каждой внешней выходящей фотонной линии
(излучение кванта) соответствует комплексносопряженная золно-
вая функция.

Вершинам диаграммы соответствуют матрицы у . Таким обра-
зом, в вершинах, связанных с излучением или поглощением фото-
нов, появляются множители уце^ = еу.

Внутренним электронным и фотонным линиям сопоставляются
электронные и фото <ные пропагаторы. Для внутренних фотонных
линий в теории атома бывает удобно использовать кулоновскую ка-
либровку и различать кулоновские (т. е. скалярные) и поперечные
фотоны. В таких случаях кулоновские фотоны, в отличие от попе-
речных, будем изображать штриховыми линиями, а для поперечных
фотонов сохраним прежнее изображение волнистыми линиями.

Если атом находится в каком-то внешнем поле, то взаимодейст-
вие с этим полем изображается на диаграмме штриховой линией с
крестиком на конце. Каждой такой линии сопоставляется 4-потен-
пиал Л“‘(х).

Нужно также учесть, что всякой диаграмме необходимо припи-
сывать множитель (—i)"e", где п — порядок диаграммы (число
вершин). Этот множитель возникает при подстановке выражения
для Hint в 5^9 с учетом (1.15), (1.16), (2.214). При этом подразу-
мевается, что интегрирование в каждой вершине проводится по
</4х = i dr dt, т. e. после интегрирования появляется еще множи-
тель (i)". Множитель (и!)-1 в сокращается с множителем п!,
который возникает при сложении вкладов от эквивалентных
вариантов диаграмм, отличающихся лишь расстановкой индексов
xf в вершинах. Однако каждой диаграмме нужно приписать еще
симметрийный множитель 1/х, учитывающий, сколько раз при за-
мене индексов в вершинах диаграмма совпадает сама с собой (см.
[I, § 4.5]).

Необходимо также учесть все обменные варианты диаграмм, раз-
личающиеся расстановкой индексов электронных состояний вверху
или внизу диаграммы (для определенности будем считать, что пере-
ставляются верхние индексы). Обменным диаграммам приписыва-
ются множители (—l)6'", где — число перестановок пар индек-
сов. Это правило является следствием антикоммутации фермионных
операторов рождения частиц в различных состояниях (2.191).

Вдоль каждой электронной линии производится суммирование по
биспинорным индексам волновых функций (4>s)a, (Ч)5)а, матриц
(7и)ар и электронных пропагаторов (5)ар. На замкнутой электрон-
ной петле последовательность индексов замыкается, т. е. петле со-
ответствует след произведения расположенных вдоль нее матриц.
Как можно убедиться, этот след всегда появляется со знаком минус.
Действительно, петле с к вершинами отвечает совокупность к свер-
ток, например такая:

(Ч>+Лтр)(тр+Ягр) :: : (гр+Лтр).

Видно, что полное число перестановок фермионных операторов
здесь нечетно. В простейшей диаграмме с одной сверткой в петле
(см. рис. 2.2й) знак не определен ввиду неопределенности Т-произ-
ведения при совпадающих временах. Этот знак можно определить,
потребовав, чтобы при разложении по степеням внешнего поля
вклад этой диаграммы давал нужный результат (см. гл. 4).

§ 2.7.	Электронный и фотонный пропагаторы

В этом параграфе приведены явные выражения для электронного и
фотонного пропагаторов. Электронный пропагатор в картине Фарри
задается выражением, которое получается точно так же, как выра-
жение [I, (4.228)] для электронного пропагатора в квантовой меха-
нике:

0 5(Х1Х2) = e(zi - z2> 2 %(xiNs(*2) ~ e(*i - h) 2 %(xi)%(x2)-
E >0	£ <0

(2.226)

Здесь тр5(х) — волновые функции (1.19). Выражение (2.226) можно
переписать в более удобной для вычислений форме [1]:

S(x,x2) = _1Д d<0	У ЛГ-.	(2-227)

' * 27 2га J	— tO)+ w’

— СО	s
где суммирование распространяется на положительно- и отрица-
тельно-частотные состояния.

Действительно, пусть Es > 0. Тогда £s(l — z0) = Es — i0. Если

— Z2 -> 0, то мы интегрируем по верхней полуплоскости, где
exp	—/2)1 ~*0 при w-^ioo. При этом вычет в полюсе дает

первую строку формулы (2.226). Если же Es <0, tA — t2 > 0, то по-
люс оказывается в нижней полуплоскости и отрицательно-частотная
часть суммы дает нулевой вклад. Аналогичным образом возникает
вторая строка формулы (2.226).

Действуя так же, как в [I, § 4.4], нетрудно убедиться, что элек-
тронный пропагатор является функцией Грина для уравнения Дира-
ка (1.32):

[%(Р1И + <?Аи(Х1)) + /n]S(X1, х2) = -zfi(X1 - х2). (2.228)

Перейдем к фотонному пропагатору. Используя определение
(2.223), явный вид операторов ЛЦ(Х) (2.97) и коммутационные со-
отношения (2.98), (2.99), получаем

Dfx.xJ = 2л -Ц ( e^r.-r^-ixlt.-zj (2.229)
1 2	(2 л)3 J х

где х s | к |. При этом мы использовали также равенство

^e^ = ^v,	(2.230)

л

выражающее условие ортогональности и нормировки векторов поля-
ризации *). Соотношение (2.229) можно переписать также в виде

^Л\х2-) =	$ ОиДЛ)е^А-^ d'k, (2.231)

где D (к) — пропагатор в импульсном представлении

(2232)

Л2=к2—со2, d^k = i dk dio. Это проверяется непосредственно ин-
тегрированием в комплексной плоскости с учетом указанного в
(2.232) правила обхода полюсов:

со, 2 = ± Vk2 — z0 = ± Vx2 — z0 ~ ± х + zO. (2.233)

Наконец, получим еще одно удобное для атомных расчетов вы-
ражение, проинтегрировав в (2.231) по dk. Направив ось z в

*)

При переходе к (2.229) произведена также замена

к

и использована гауссова система электромагнитных единиц.
к-пространствс по вектору г и вычисляя интеграл по углам, полу-
чаем

^ЛХ1Х2> =

i(2n)

exppIkG-j—r2)—tott, —Z2)]}

k2—w2—iO

(4 л) 26 T	7

1(2л)4г,2 ’	’

12 — оо	о

"‘"J",д>^«еМ,,-,Л (2M4)

x2 — <o—10

dk (1ш =

где r12s lri — r2|. После интегрирования в (2.234) по комплексной
плоскости с учетом полюсов

х12 = ± Vw2 + Ю ~ ± cu ± iO	(2.235)

находим окончательно

6	°°

^v(*i - хг) =	dv>. (2.236)

В силу калибровочной инвариантности выражение для фотонного
пропагатора определяется неоднозначно. Формулы (2.232), (2.236)
соответствуют так называемой фейнмановской калибровке. Самый
общий вид фотонного пропагатора в импульсном представлении та-
ков [2]:

= - Йб + ^(к)к*+ ^(к)к*+ п(*2)*л> (2-237)

где хи(&), 2Э(Л2) — произвольные функции. Действительно, в выра-
жениях для амплитуды произвольного процесса фотонный пропага-
тор D^k) всегда умножается справа и слева на электронные токи
/ц, jv, поскольку выражение D^(k) возникает при перестановках
двух фотонных операторов А^, /lv, соответствующих двум вершинам
(каждой вершине отвечает свой оператор электронного тока). Урав-
нение неразрывности (1.14) в импульсном представлении принима-
ет вид

Vh = 0-	(2-238)

Отсюда становится очевидным, что дополнительные члены в пропа-
гаторе (2.237) не меняют амплитуды.

Обычная для квантовой электродинамики без внешнего поля
фейнмановская калибровка отвечает выбору Хи(^) = £>(к2) = 0. Ку-
лоновской калибровке соответствует такой выбор:

-----2л<ы	(2.239)
k2(k2 —<о2)	?

2лк

=	о = 1,2,3),	(2.240)

£>(£2)=0.	(2.241)
Подстановка (2.239) в (2.237) дает
ад)=-§,	<2’242)

D4i(k)=0 (1= 1,2,3),	(2.243)

Пц(*)=	(* = 1,2,3).	(2.244)

J	k — о/ I J kz J

Выражение (2.242) с точностью до числового множителя пред-
ставляет собой фурье-образ кулоновского потенциала. Следователь-
но, кулоновский пропагатор D^v можно определить формулой

Ос (£) = - ^ 6 .6 ..	(2.245)

рлА /	^2	р.4 v4

Далее, поскольку выражение (2.244) удовлетворяет условию попе-
речности в импульсном пространстве

к^(к2) = kjD^k2) = 0,	(2.246)

пропагатор поперечных фотонов в кулоновской калибровке можно
записать так:

4-п-	( к к\

(2-247)

Получим для пропагаторов Z)^v, Z)*v выражения в координатном
представлении. Для этого подставим сначала в интеграл (2.231)
D£v(i) в виде (2.245). Проводя вычисления так же, как и в случае
1>ИЧ,(Л) (см. (2.234), (2.235)), получаем

^(х, - Х2) = - ± 6(*1 - <2)6и46¥4.	(2.248)

Для поперечного пропагатора таким же образом получаем

6 °°

Dnv(xi - хг) =	ехр [f l “I г12 - It0(zi - z2)l -

— ОО

i 7	exp (i I to I г,,) — 1 i

-V1KV2v i $ exp [io>( j - Z2)] у2------------------------rfco}( 1 - &и4)(1 - 6v4).

(2.249)
Глава 3

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ

§ 3.1.	Классификация поправок к энергии
для связанных электронов в атомах

В квантовой электродинамике взаимодействие атомных электронов
друг с другом, как об этом говорилось в предыдущей главе, описы-
вается с помощью теории возмущений. В квантовой механике такое
взаимодействие в общем случае не считается малым и описывается
оператором взаимодействия в многоэлектронном уравнении Шрё-
дингера. Квантовомеханическое описание справедливо в тех случа-
ях, когда скорости электронов не слишком велики, т. е. имеет место
нерелятивистская ситуация. Согласно результатам § 1.5 для этого
необходимо, чтобы а£эф«1, где Z3($ — эффективный заряд ядра
для данного слоя. Таким образом, нерелятивистский подход непри-
годен для описания внутренних электронов в тяжелых атомах, а
также для электронов в многозарядных ионах.

В тех случаях когда можно использовать нерелятивистскре при-
ближение, соответствие между одним и другим способами описания
взаимодействия проще всего установить так. Рассмотрим квантово-
механическую теорию возмущений по взаимодействию между элек-
тронами (см. [I, § 4.2]). Каждому порядку такой теории возмуще-
ний в квантовой электродинамике можно сопоставить обмен одним,
двумя, тремя и т. д. кулоновскими фотонами. Следовательно, соот-
ветствующие матричные элементы в нерелятивистском пределе
имеют один и тот же порядок величины по константе взаимо-
действия (константе связи) — заряду е. Это обстоятельство харак-
терно для квантовой электродинамики связанных электронов в
картине Фарри — порядок диаграммы отнюдь не определяется
просто числом ее вершин, как для свободных электронов. Вместе с
тем упомянутые диаграммы с различным числом кулоновских фо-
тонных линий различаются по степеням параметра 1/Z (если ис-
пользовать приближение невзаимодействующих электронов в каче-
стве нулевого).

Таким образом, решение уравнения Шрёдингера с кулоновским
взаимодействием между электронами эквивалентно суммированию
бесконечной последовательности диаграмм с кулоновскими фотонами
в нерелятивистском пределе. Можно показать, что при этом нужно
учитывать вклад так называемых лестничных диаграмм, на которых
82
кулоновские линии не пересекаются друг с другом. В случае первого
и второго порядков теории возмущений по взаимодействию (во вто-
ром и четвертом порядках по константе связи) это будет продемонст-
рировано ниже, в § 3.2 и 3.3.

Итак, в релятивистской теории взаимодействия электронов в
атоме необходимо учитывать влияние двух параметров: а и 1/Z.
Вместо них часто бывает удобнее использовать другую пару: а и
aZ. При этом для многозарядных ионов с небольшим числом элек-
тронов N (,W« Z) под величиной Z можно понимать непосредствен-
ный заряд ядра, а в остальных случаях — эффективный заряд, учи-
тывающий экранировку ядра другими электронами.

Для самых легких атомов (водород, гелий) решение нерелятиви-
стского уравнения Шрёдингера известно (см. [I, § 1.1, 4.1]), а уже
при вычислении релятивистских поправок можно пользоваться раз-
ложением по параметру aZ. В случае водорода такое разложение
было произведено в § 1.5, а в случае гелия будет рассмотрено в
§ 3.4. Для атомов и ионов с числом электронов больше двух и не
слишком большим значением Z главной проблемой является воз-
можно более точное решение уравнения Шрёдингера, т. е. учет
электронной корреляции (см. [I, гл. 4]). Релятивистские поправки
при этом можно по-прежнему вычислять с помощью разложения по

Рис. 3.1. График сравнительных характеристик различных поправок к энергии

aZ (см. § 1.5, 3.4). С ростом Z релятивистские эффекты становятся
сравнимыми с корреляционными эффектами и уже не могут рас-
сматриваться как поправки.
Чтобы пояснить, как меняется относительная важность тех ил1
иных поправок к энергии при изменении заряда ядра Z, рассмотри!
основное состояние двухэлектронного иона с произвольным зарядо»

в' л

Рис. 3.2. Фейнмановские гра-
фики, изображающие куло-
новское взаимодействие между
электронами в первом порядке
теории возмущений

в

А

В

А

ё

л в

а

ядра Z. Построим график (рис. 3.1) [1
2], на котором по оси абсцисс отклады
вается заряд Z, а по оси ординат — ве
личина 1g | Д£п/А£0|, где А£о — сум
марная энергия связи двух невзаимодей
ствующих электронов в атоме, Д£п -
различные поправки к энергии. Согласи»
(1.151)

Д£о = 2m(Vl - (aZ)2 - 1). (З.Г

Кривые и С2 относятся к поправ
кам первого и второго порядков по куло
невскому взаимодействию электронов
Эти поправки соответствуют обмену од-
ним и двумя кулоновскими фотонам!
и описываются лестничными диаграмма-

ми (рис. 3.2 и 3.5а). Отношения AECi/AE0 (1 = 1, 2) при всех зна-
* чсниях Z пропорциональны 1/Z1, т. е. имеют порядок единицы пр!

1 и порядок а‘ при Z

А

А

Рис. 3.3. Фейнмановские гра-
фики, изображающие брейтов-
ское взаимодействие между
электронами в первом порядке
теории возмущений

« 137. Кривая Cj построена по формуле
(3.38), а кривая С2 — по формуле
(3.104), приведенным ниже. Кривая I
относится к обмену одним поперечным
фотоном — брейтовскому взаимодейст-
вию (см. [3], а также § 3.2 и рис. 3.3).
При малых значениях Z учет брейтов-
ского взаимодействия дает релятивист-
скую поправку к энергии порядка
т (aZ)4. Поскольку энергия связи
электрона при малых значениях Z имеет
порядок величины m(aZ)2, получаем
Д£в/А£0 ~ a2Z. Следовательно, для
Z ~ 1 имеем Д£в/Д£0 » а2, что и полу-
чается при расчете по формуле (3.40).
При больших значениях Z поправки

AECi и АЕВ — величины одного порядка. Действительно, если
aZ «к 1, то в теории остается один малый параметр а (или 1/Z), так

что &.ЕВ1&.ЕО « &ЕС1/ЛЕ0

а.

Кривая ВС соответствует обмену одним кулоновским и одним
поперечным фотоном (см. рис. 3.6а—г). При этом &ЕВС можно рас-
сматривать как кулоновскую поправку к брсйтовскому взаимодейст-
вию. Тогда величина &ЕВС при всех значениях Z должна быть в
Z раз меньше самого брейтовского взаимодействия АЕВ, что и от-
ражено на рис. 3.1. Расчет при этом был выполнен по формуле
(3.105). Поскольку приведенные ниже, в § 3.5 формулы (3.104) для
АЕС2 и (3.105) для &ЕВС получены с помощью разложения по сте-
пеням aZ и непригодны при больших значениях Z, соответствую-
щие кривые ограничены областью Z < 50.

Кривая R на рис. 3.1 соответствует радиационным поправ-
кам в низшем порядке по константе связи (лэмбовский сдвиг).
Теория таких поправок изложена в гл. 4. При Z»1 величина
АЕЛ » ma(nZ)4, т. е. АЕК/АЕО a(aZ)2. При больших значениях
Z величина EER имеет тот же порядок по константе связи, что и
АЕС1, ЕЕВ, так как у соответствующих диаграмм (см. в гл. 4 рис. 4.1)
одинаковое число вершин. Таким образом, АЕВ я» та при aZ ~ 1.

Кривая А на рис. 3.1 приведена для сравнения и соответствует
одноэлектронным релятивистским поправкам (зависимость массы от
скорости, спин-орбитальное взаимодействие):

АЕа = АЕ0 - А££Р = 2т (Vl - (aZ)2 - 1 +1 (aZ)2) , (3.2)

где А/ТдР — нерелятивистская энергия связи.

Из рис. 3.1 видно, какие поправки нужно учитывать в первую оче-
редь при различных значениях заряда ядра Z. Вклады поправок
АЕС2 и АЕл сравниваются уже при Z ~ 10. Это соответствует имею-
щимся представлениям, согласно которым поправки на электронную
корреляцию в атомах становятся сравнимыми с релятивистскими по-
правками при Z3$ « 10. При Z ~ 35 поправка АЕа превосходит так-
же АЕС1. Релятивистская поправка к взаимодействию электронов
(поправка Брейта) при Z« 25 превосходит поправку А£с2, а при
Z w 60 сравнима с поправкой &ЕС1. Радиационные поправки в
низшем порядке при Z » 10 уже сравнимы с брейтовскими. Следова-
тельно, вычисляя поправки к энергии при Z > 10, необходимо учиты-
вать кулоновское взаимодействие в первом и во втором порядках те-
ории возмущений, а также брейтовское взаимодействие и лэмбовскии
сдвиг. Такой расчет, согласно рис. 3.1, должен давать относительную
погрешность не более a2 ~ Ю-4, поскольку при этом учитываются все
кривые на рис. 3.1, лежащие при Z^ 10 выше уровня 2 1g a.

§ 3.2.	Взаимодействие электронов в первом порядке
теории возмущений

Кулоновское взаимодействие электронов в первом порядке теории
возмущений по взаимодействию (во втором порядке по констан-
те связи) описывается двумя диаграммами, приведенными на
рис. 3.2a, б, из которых вторая диаграмма является обменной; А, В
относятся к одноэлектронным состояниям в атоме.
Для вычисления поправок к энергии в квантовой электродина-
мике мы будем применять формализм Гелл-Манна и Лоу (см. [I,
гл. 4]). Основной результат применения этого формализма —

формула для сдвига АЕа уровня энергии через адиабатическую

5а-матрицу:

.	^>°15а(“.-“)|Фо°)

АЕ = lim ч iae --------------т—,

а-* о 2	-“)1ф„>

(3.3)

где оператор эволюции Sa(«>, —°°) получается из (2.216), если за-
менить //int(Z) на «адиабатический» оператор возмущения Гелл-
Манна и Лоу,

tfint(Z;a) = e-“l‘ltfillt(O,	<3-4)

при этом считая a > 0. В таком виде формула (3.3) была впервые по-
лучена в [4]. Производя в (3.3) разложение по степеням е, несколько
первых членов можно записать в виде (см. [5], а также [1, гл. 4])
AEa = lim | ш(<Ф° | $01 Ф> + [2(Ф° | S<? | Ф°> - <Ф° |	| Ф£>2] е2 +

+ [3<Ф° I %3> I Ф°> - 3(Ф° | S<2> | Ф°)(Ф° I | Ф°) + (Ф° |	| ФО>3] е3 +

+ [ 4(Ф° | SW | Ф°) - 4(ФО | $3) । фоХфО । JU) (фО) +

+ 4(Ф° |	| ФЭДФ° I I Ф°)2 - 2<Ф° 1	| Ф°)2 -

-(Ф°|5«|Ф°)4]е4+ ...). (3.5)

Более простой результат можно написать для неприводимых
матричных элементов S-матрицы, т. е. таких, которые не могут
быть приведены к произведению матричных элементов с обкладка-
ми (Ф° | и | Ф°). Для диаграмм Фейнмана это означает, что при се-
чении диаграммы горизонтальной линией никакое промежуточное
состояние не совпадает с исходным. Например, диаграммы рис. 3.2
и 3.3 (в них вообще нет промежуточных состояний), а также
диаграммы рис. 3.5б и 3.6a, г, е — неприводимые, а диаграммы
рис. 3.5a, в и 3.6a, б, д — приводимые.

Для расчета вкладов неприводимых диаграмм можно использо-
вать более простые формулы (см. [I]):

Д^н) = (ф0|Р|ф0Х

(3.6)

где матричные элементы оператора эффективной потенциальной
энергии V определяются равенством

<Ф£ I 1 Ф°>« = -2ш6(£0 - £«)(ФО| ИФ°),	(3-7)

а обозначение «н» относится к вкладу неприводимых матричных
элементов.
Итак, для вычисления энергетического сдвига в первом порядке по
кулоновскому взаимодействию можно воспользоваться формулами
(3.6), (3.7). Вычислим вначале вклад диаграммы рис. 3.2а согласно
правилам соответствия, перечисленным в § 2.6. Эти правила в случае
применения адиабатических формул (3.3)—(3.5) следует дополнить
еще одним пунктом: каждой вершине дополнительно сопоставляется
адиабатический множитель exp (—at). В случае применения формул
(3.6), (3.7) в этом, однако, нет необходимости. Получим

(фО|х(2)|фо> =

= е2 S (^A-(xl)V^A(^l))(%-(^2)Vv^B(^2))nHv(XlX2)	d*x2- (3-8)

Подставляя выражение для кулоновского фотонного пропагатора
(2.248) и производя интегрирование по t2 в (3.8), получаем

(фО | 5(2) | ф0) = _2jIIe2 Ш	6(£л, + Ее _Еа_ Ев) (3 9)

\ п) А'В'АВ

При этом мы используем следующие обозначения для матричных
элементов с дираковскими волновыми функциями:

(Ла'а = $ Я>а'(г)Яг)Я>а(г) rfr>	(ЗЛ0)

(^)а'В'АВ = J Я,аЧП)’Ф.В'(|Г2)^(|Г1|Г2)'Фа(|Г1)',1’в(|Г2) ^Г1 dr2‘ (3'И)

Здесь подразумевается, что оператор F представляет собой 4-компо-
нентную матрицу по спинорным индексам, а оператор G — 16-ком-
понентную матрицу. В частном случае в формуле (3.9), когда
G = 1/г12, эта матрица является единичной по спинорным индексам.
Отсюда по формулам (3.6), (3.7) получаем выражение для операто-
ра эффективной потенциальной энергии

2

Vc = —	(3.12)

Г12
и для поправки к энергии

ЛЕС1 = ^Ш 	(ЗЛЗ)

Ыалав

Заметим, что согласно рассуждениям § 3.1 выражение (3.12) в рам-
ках нерелятивистской квантовой механики является точным опера-
тором взаимодействия двух электронов, т. е. в нерелятивистском
пределе все поправки на взаимодействие электронов должны полу-
чаться как итерации потенциала (3.12).

Если в качестве нулевого приближения выбрать приближение не-
взаимодействующих электронов, то сдвиг уровня TV-электронного ато-
ма в первом порядке по кулоновскому взаимодействию с учетом всех
занятых одноэлектронных состояний и обменных диаграмм равен
в

^cl=h2s Ш •	(зл4>

А, в = 1\ /Ав; АВ
При этом мы использовали обозначение для матричных элементов,
аналогичное [I, (2.93)] в нерелятивистской теории

(^)лв; АВ ~ (G)ABAb — (^)лввд-	(3.15)

Рассмотрим теперь обмен одним поперечным фотоном (диаграм-
ма рис. 3.3) и вычислим брейтовскую поправку к энергии АЕВ. По-
скольку диаграмма рис. 3.3 — приводимая, опять используем фор-
мулы (3.6), (3.7). Согласно правилам соответствия

(ф0|£(2)|ф0> =

= fi2 (ч1,а’(^1)'УиЧ’л(^1))(^в'(^2)7Лв(х2))£»^(х1х2) dx{ dx2. (3.16)

Подставляя выражение (2.249) для поперечного фотонного пропага-
тора и интегрируя по tlt t2, получаем

$ exp(i(EA. — Еа + ш)/1 + i(EB. — Ев — co)Z^Jfj dt2 =

= (2л)2д(ш + Еа. - £д)6(а> - Ев. + £в). (3.17)

Теперь интегрирование по со дает (см. [2], а также [3]):

(фО 15(2)| ф0) = 2ше2Ъ(ЕА + Ев- ЕА. - Ев.) X

х^е^-zh,-(V1a1)(V2a2)X£^Zl'|	. (3.18)

'	' A'B'AB

Здесь индекс i= 1, 2 матрицы a, указывает, что данная матрица
действует на функцию -ф(г,).

Воспользуемся теперь формулами (3.6), (3.7). В прямом матрич-
ном элементе нужно положить А' — А, В' = В и совершить предель-
ный переход (Ел — ЕА-) —>0. После этого зависимость от энергий
ЕА, Ев внутри обкладок пропадет. В обменном матричном элементе
(А' = В, В' = А) зависимость от Ел, Ев в выражении, стоящем
внутри обкладок, остается. Таким образом, уже отсюда видно, что
в общем случае невозможно получить явное выражение для опера-
тора брейтовского взаимодействия электронов.

При вычислении поправок к энергии необходимо учесть только
действительную часть сдвига ЕЕВ (о роли мнимой части см. § 6.1).
С учетом всех занятых одноэлектронных состояний и обменных
диаграмм окончательно находим

Г*2

г12

cos ((£д £в)г12)	(^iai)(^2a2)

*12

2 (^71а1)(^72а2)Л12

АВАВ

1 cos{(.EA-EB)rn)-V

<еа-Ев)2

ABBA

(3.19)
Формула (3.19) допускает упрощение, если воспользоваться соотно-
шением

((^71а1)(^72а2)/(Г12))л'В'АВ ~ —(1^1[^2^(Г12)1-1-)а'В'АВ ~

= ^А^В' ^А^В ~~ Еа'^В' + ^А'^в)(-^(Г 12))а'В'АВ’ (3.20)

где ht — одноэлектронный гамильтониан Дирака (1.34), f(rl2) —
произвольная функция. Из (3.20) следует:

((V1a1)(V2a2)/(r12))4B4B = 0,	(3.21)

((^1а1) (^2а2)/(Г12))АВВА — (^А	В^М(Г1г))ABBA' (3-22)

С учетом (3.21), (3.22) преобразуем (3.19) к виду

Л£в —

+1 cos((£A ^в)г1г)+
\	12

АВАВ

ABBA

(3.23)

Объединяя (3.14) и (3.23), получаем

Д.Е?С1 +	—

=Р2 |	|.(3.24)

А.В = 1(\	1 /АВАВ \ 12	! ABBA)

Наконец, в частном случае эквивалентных электронов, для ко-
торых все ЕА, Ев одинаковы, формулы (3.23), (3.24) приобретают
Совсем простой вид

n /	\

AES= VS 7Т ’	(3-25)

А, Я = А 2 / АВ; АВ

Л£С1 + А£в = ^22		(3.26)

А, В = Л / АВ; АВ

В нсрелятивистском пределе из (3.23) можно получить извест-
ное выражение для операторов взаимодействия Брейта. Для атом-
ных электронов (Еа — Ев) « m(aZ)2 (это величина порядка энер-
гии связи). Далее, характерное значение г12 в атоме равно
ri2~ (maZ)~l, где а0 — боровский радиус. Следовательно,
при aZ«l показатель экспоненты в (3.18) (эту формулу более
удобно использовать для разложения) мал: (Ел — EB)r 12^ aZ, так
что можно разложить экспоненту в ряд:

iei^-E/l'b = 7L-H|£4-JE4,| -^(еа-еа.)2г12 + ... (3.27)
12	'12
При вычислении первого слагаемого в матричном элементе (3.18)
можно ограничиться первым членом разложения (3.27), а при
вычислении второго слагаемого в (3.18) необходимо учитывать
третий член разложения (3.27), поскольку первый член (3.27)
исчезает после вычитания единицы в (3.18), а второй не дает
вклада вследствие ортогональности одноэлектронных волновых
функций.

Тогда, используя соотношение

(V,a,)(V2a,)r„=	(3.2S)

12	Г12

формулу (3.18) можно преобразовать к виду

(фО | 5(2) | фО) = _2з11<фО| уs! ф0>6(£0 _ £0)г	(3.29)

где VB — оператор Брейта [3]:

—	е2 Га. а,	(а.г17)(а7г17)"

VB= -	-^ + —L1-2---2 12 .	(3.30)

[12	г12

Подразумевается, что матричные элементы этого оператора вычис-
ляются с четырехкомпонентными волновыми функциями.

Для перехода к двухкомпонентной записи нужно прежде всего
представить «малые» компоненты дираковских биспиноров в мат-
ричных элементах в виде (1.202). При этом, поскольку сейчас мы
не рассматриваем атом во внешнем поле, можно положить А = 0.
Далее, возникающие при этом произведения и-матриц расписываем
с помощью формул (1.25)—(1.30). Одновременно с преобразованием
матричного элемента оператора (3.30) нужно учитывать также ре-
лятивистские поправки в обкладках матричного элемента оператора
кулоновского взаимодействия (3.12) — они имеют тот же самый по-
рядок малости. При этом следует учесть преобразование (1.211).
Заметим, что при вычислении матричного элемента (3.30) учиты-
вать преобразование (1.211) не нужно — это будет превышением
точности.

В процессе описанных выше преобразований при действии опе-
раторов ₽j = — zVj ир2 = — z’V2 на 1/г12 и (аг12)(Ьг12)/т|2, где а, b —
постоянные векторы, возникают различные сингулярные выраже-
ния. Простейшие из них имеют вид

Pi 7“ = Рг 7~ = “(Р1Р2) ~ = -4лд(Г12).	(3.31)

Встречается также следующее выражение:

(р1а)(р2Ь)у- = -|-

12	г12

аЬ

3(аг12)(Ьг12)

(3.32)

которое справедливо, однако, лишь в том случае, когда волновые
функции в обкладках не являются сферически-симметричными. Для
сферически-симметричных функций, как можно убедиться непос-
родственно интегрированием по углам, правая часть (3.32) обраща-
ется в нуль. Рассмотрим теперь отдельно сферически-симметричные
волновые функции. В этом случае под знаком интеграла можно про-
извести замену

(v,a)(V2b)7L= LA£ + <,A£ + »A£) -L. (3.33)

Действительно, члены, содержащие перекрестные производные типа
а2

исчезают при интегрировании в силу симметрии. Также в силу
сферической симметрии все три члена в правой части (3.33) дают
одинаковый вклад. Поэтому

(Vta)(V2b) = { (аЬ)дА.= -4= (ab)6(rJ2).	(3.34)

12	°	12	3

Окончательно, объединяя (3.32) и (3.34), получаем для произволь-
ного случая:

(Pja)(p2b) у- = Ц-
12	Г312

3(ar.2)(br12)
ab----------~——

12

+ ^(аЬ)6(г12). (3.35)

Собирая все выражения, происходящие как от потенциала
(3.12), так и от потенциала (3.30), получаем в двухкомпонентной
записи следующее выражение для оператора взаимодействия элект-
ронов в атоме [3]:	_

V = vc + VB,	(3.36)

Рв= -
« т

-лб(г]2)

1

2г12

~ я । Г12^Г12РрР2

Р1Р2 +-------------

к 12 ,

"Г [~(°1 + 2°г)(Г12ХР1) + (°2 + 2о1)(г12 ХР2)] +
4г12

'1°2	3(О!Г12)(О2Г12)

.3

12

.5

12

(а1о2)б(г12) •

(3.37)

4

з

Все члены оператора Брейта представляют собой релятивистские
поправки порядка (v/c)2; как уже отмечалось в §3.1, их относи-
тельная малость по сравнению с энергией связи равна (aZ)2. Та-
ким образом, соответствующие поправки в Z раз меньше, чем реля-
тивистские поправки в уравнении Дирака (1.216).

Принято говорить, что члены первой строки в (3.37), не зави-
сящие от спинов, описывают релятивистское взаимодействие орби-
та-орбита; члены, второй строки, линейно зависящие от спи-
нов, — взаимодействие спин—чужая орбита (в отличие от взаимо-
действия спина с орбитой для одного электрона (1.221)); наконец,
квадратичная по спинам третья строка описывает спин-спиновое
взаимодействие.

Важно отметить, что в отличие от оператора Vc оператор VB в
виде (3.37) имеет смысл использовать только в первом порядке
теории возмущений. То же самое относится и к выражению (3.30).
Причина заключается в том, что при выводе (3.30) и (3.37) мы
существенно использовали, во-первых, разложение (3.27) и, во-вто-
рых, малость «нижних» компонент дираковских биспиноров. И то и
другое справедливо лишь до тех пор, пока подразумевается, что в
обкладках матричных элементов стоят положительно-частотные од-
ноэлектронные дираковские функции. При переходе уже ко второму
порядку теории возмущений возникает суммирование по полной си-
стеме одноэлектронных состояний, включающей и отрицательно-ча-
стотные состояния.

Приведем некоторые конкретные выражения поправок на взаи-
модействие для двухэлектронных атомов и ионов. Для расчета
можно использовать формулы (3.13), (3.23), в которые нужно
подставить конкретные выражения для дираковских волновых
функций (1.88), (1.89), (1.140). Для 1/г12 следует использовать
разложение по сферическим функциям [I, (П1.4)]. После этого
интегрирование по углам производится с помощью формул, приве-
денных в [I, § 3.3], а при интегрировании по радиальным перемен-
ным следует воспользоваться формулами, приведенными в [I, при-
ложение П2.4].

В частности, результат вычисления поправки А£с1 для основной
конфигурации двухэлектронного атома (lsp2 таков [2] *):

nia2Zr(4Y1 + l)/’(l, 4^-f-l, 2YjЧ-2; j
A£rl =----------:---------------5--

^.-‘(ZYj + DiraYj + l)]2

В нерелятивистском пределе (а2<к1) выражение (3.38) дает изве-
стный нерелятивистский результат (см. [I, табл. 4.1]):

A£^ = |m(aZ)2.	<3-39)

Для той же конфигурации вычисление поправки АЕВ дает [2]:

4nia4Z3F(4Y, + 1 )И1, 4у, +1, 2у, + 3; ||

Д £ =_________________)_____________2-	(3.40)

В	24V13(y1 + 1)[Г(271 +1)]2

В нерелятивистском пределе из (3.35) следует:

Д£-»Р = 1 Wn4Z3.	(3-41)

в 4

Это совпадает, естественно, с результатом вычислений среднего зна-
чения оператора (3.37) с нерелятивистскими волновыми функция-
ми. По формулам (3.38) и (3.40) построены кривые С\ и В на
рис. 3.1.

(3.38)

*) Отметим, что вклад обменного графика в этом случае равен нулю.
§ 3.3. Взаимодействие электронов

в вырожденных состояниях

Фактически до сих пор все формулы в этом параграфе относились
к невырожденным состояниям. Рассмотрим теперь случай вырожден-
ных состояний (вновь на примере двухэлектронных систем). По-
скольку решения уравнения Дирака в кулоновс ком поле описываются
четверкой квантовых чисел njlm (см. гл. 1), в релятивистской теории
естественным образом возникает схема //-связи. При этом конфигу-
рации задаются набором квантовых чисел (ni/'j/j)ri, ..., (nsjsls)ri.

В случае невырожденных конфигураций функцию |Ф°) можно
представить в виде

..VZ/"? —	Фуас^ (3-42)

где a^jlm — оператор рождения электрона в состоянии с квантовыми
числами njlm, | Фуас) — вакуумный вектор состояния, N — число
электронов в атоме. В случае вырожденного состояния функция ну-
левого приближения (3.42) заменяется на линейную комбинацию
(см. [I, (4.271)1)

|Ф°ММ...= S С/М/,/,......т^1Фп,/1/,т1............

т,.mN

(3.43)

где J и М — полный момент и его проекция. Коэффициенты
z в первом порядке теории возмущений в принципе дол-
жны определяться при диагонализации матрицы энергии. Тем са-
мым будут определены «правильные» комбинации функций нулево-
го приближения, о которых говорилось в [I, § 4.2]. Для определения
«правильных» комбинаций в высших порядках теории возмущений
необходимо диагонализовать секулярный оператор (см. [I, §4.2]).
Построение секулярного оператора в релятивистской теории атома
рассмотрено в [2].

Как и в нерелятивистской теории атома, во многих случаях вид ко-
эффициентов СjMjxiv jможет быть установлен из соображений
симметрии, с помощью теории сложения моментов. Формулы (3.42),
(3.43), в которых волновая функция атома записана в представлении
вторичного квантования, соответствуют в координатном представле-
нии линейной комбинации слэтеровских детерминантов. Определение
коэффициентов в этих комбинациях в случае LS-связи было рассмот-
рено в [I, § 3.10] *). Аналогичный подход возможен и в случае //-свя-
зи (см. [I, § 3.13]). В тех случаях, когда волновая функция полностью

*) В [I, § 3.10] использовался, как это обычно делается, метод генеалогических
коэффициентов. Хотя при этом слэтеровские детерминанты непосредственно не фигу-
рируют в вычислениях, упомянутые коэффициенты векторного сложения получаются
С точностью до нормировки.
определяется условиями симметрии, для вычисления энергии можн
пользоваться теми же выражениями, что и в невырожденном случае
Нужно лишь отмстить, что каждому матричному элементу 5-матрв
цы, которому в отсутствие вырождения сопоставлялась определенна
диаграмма, теперь сопоставляется совокупность диаграмм, соответст
вующих различным членам линейной комбинации (3.43) и отличак
щихся проекциями моментов т в наборах квантовых чисел njlm.

Двухэлектронные конфигурации задаются наборами чисе
(n/Z, п’j'Г). Если исходить из приближения невзаимодействующи
электронов, то необходимо с самого начала учитывать кулоновско
вырождение по числу I, т. е. рассматривать смешанные конфигура
ции, которые могут быть символически записаны в виде

п-1 п-1

(nj, n'j') = X n'//')5/.y±iSi'.r+i-	(З-44

1 = 0 Г=о

При учете межэлектронного взаимодействия //-конфигурации рас
щепляются на уровни (и/, отличающиеся значениями суы
марного момента J (см. [I, § 3.13]).

Например, при п = п = 1 имеется единственная конфигураци
(1 10, 11 О)о = (Isb lsp0. При п = 1, п' = 2 возникают следующ®
конфигурации:

(11 2|) = (110, 2|0)liO + (110, 2| 1)1>0 =

= (1Ц,2Ц)1О + (1Ц,2Р1)1О, (3-45

(11, 2|) = (110, 211)Д1 = (1Ц , 2р|)г1.	(3.46

Г

При этом указаны также возможные значения суммарного мс
мента J.

Волновые функции двухэлектронного атома (иона) в случае /
связи строятся по формуле (здесь мы используем координатнс
представление, см. [I, (3.377)])

ЧР"м//Н'(Г1Г2) =

=	СУм("г"1'){Ч>Пу/т(Г1)^„'/Гт'(Г2) - %/Zm(r2)%7'/'m'(ri)}. (3-4'

тт

где N — нормировочный множитель. Для эквивалентных Электре
нов (n/Z = n'j'l') N = 1/2. Для неэквивалентных N = ЦуП.

Интересно проследить, как постепенно меняются тип связи
расположение уровней при возрастании заряда ядра Z. Для это!
необходимо рассчитать уровни по промежуточной схеме связи, в кс
торой квантовыми числами являются лишь суммарный момент ,
его проекция М и четность. Для нейтральных атомов такой перехс
был прослежен на примере конфигурации (пр)2 в [I, § 3.13] путем
параметризации электростатического и спин-орбитального взаимо-
действий. Ниже мы продемонстрируем непосредственный релятиви-
стский расчет для двухэлектронных многозарядных ионов, также
иллюстрирующий этот переход [6, 2].

Вычисляя уровни энергии при произвольных (в том числе ма-
лых) значениях Z, необходимо учитывать, что в пределе LS-связи
различные волновые функции (3.47) могут перемешиваться. По-
скольку все перемешиваемые уровни в рассматриваемом приближе-
нии имеют различную энергию, это отвечает наложению конфигу-
раций. Необходимость в таком наложении возникает потому, что
перестает быть справедливой теория возмущений по 1/Z, т. е. по
межэлектронному взаимодействию: матричные элементы взаимо-
действия становятся одного порядка с расстоянием между некоторы-
ми уровнями в схеме //-связи. Например, это относится к уровням
11	13

(1^0, 2^1)1 и (1—0, 2 *2 1)р Различие в энергии этих уровней воз-
никает только в релятивистской теории и обусловлено различием
квантовых чисел / = 1/2 и / = 3/2. Оно велико при больших значе-
ниях Z, а при малых Z имеет порядок m(aZ)2. Следовательно, при
переходе к малым Z, когда межэлектронное взаимодействие сравни-
мо с релятивистскими поправками, т. е. ^=(aZ)2 (см. рис. 3.1),
теория возмущений для указанных уровней становится несправед-
ливой. Такая ситуация должна иметь место при Z« 30, что под-
тверждается пересечением кривых Ct и А на рис. 3.1 при Z~ 35.

Таким образом, в промежуточной схеме связи волновые функ-
ции двухэлектронного иона следует строить в виде

^м(г1гг) = 2 X	^пмП-и<т1г1У (3‘48)

//' и'

где функции Ф}му/7Г определяются согласно (3.47), a aJM — коэф-
фициенты смешивания. В принципе, уровни энергии и коэффици-
енты смешивания могут быть найдены и в этом случае диагонали-
зацией матрицы энергии (секулярного оператора), однако такая
диагонализация должна проводиться в рамках адиабатического фор-
мализма до предельного перехода по параметру адиабатического
включения взаимодействия а—>0 [2]. Такая процедура является до-
статочно сложной, и мы воспользуемся здесь для той же цели более
простым приближенным методом [6].

Вместо точной матрицы энергии мы будем диагонализовать опера-
тор V=VC + VB, где Vc и VB определяются формулами (3.12) и
(3.30). Заметим, что для больших значений Z отброшенные в (3.30)
члены имеют тот же порядок малости, что и учтенные. Однако в этом
случае смешивание конфигураций малб: коэффициенты примеси про-
порциональны 1/Z. При уменьшении Z коэффициенты смешивания
становятся порядка единицы. Как было показано выше, учет смешива-
ния конфигураций существен при Z S 30. Однако отбрасываемые в
(3.30) слагаемые при малых Z имеют порядок (aZ)2 по отношению к
основному члену VB. Поскольку само брейтовское взаимодействие
имеет порядок малости (по отношению к энергии связи) — ( aZ)2, то не
учитываемые в (3.30) члены дают относительную погрешность
~ (aZ)4, что при Z « 30 составляет менее 10 4. При этом диагональ-
ные элементы матрицы энергии должны вычисляться без каких бы то
ни было упрощений, через S-матрицу, по формулам (3.6), (3.7).

Для классификации уровней, полученных в результате диа-
гонализации матрицы энергии, помимо полного момента J следует
в самом общем случае указывать также четность и термы (уровни),
в которые данный уровень переходит в предельных случаях LS- и
/у-связи, т. е. писать £/±[2i+1L,//]> гДе знаки ± указывают чет-
ность. Практически во многих случаях достаточно указать лишь со-
ответствующий терм в пределе LS-связи, не забывая, однако, что
сами числа L, S теряют смысл при больших значениях Z.

Рассмотрим в качестве примера конфигурацию п = 1, п' = 2 [2].
В этом случае имеется шесть уровней:

1. £2_[3Р];	2. £0_[3Р];	3. £0+[*5];

4. £i+[3S];	5. £1_[1Р];	6. Е,_[3Р].

Первые четыре из них не смешиваются друг с другом, так как они
обладают различными точными квантовыми числами — моментом и
четностью. Энергия этих уровней вычисляется непосредственно по
формулам (3.6), (3.7). Энергии оставшихся двух уровней опреде-
ляются как корни секулярного уравнения

£/(1М12, || 01, || 01) — Е U(1M12,	01,	01)

l L L L	JL L Z. L	_ g

6/(Ш12, ||01,||01)	4/(1ЛН2, Ц01,||01) —Е

(3.49)

где

U(JMnn', jj'xlil'i, j2j'2l2l'2} s £ 2 СУм(.т1т'1)с7м(т2т'1) x

012^2

X	n'j\l\m\; nj2l2m2, nfjyn'j (3.50)

оператор V = Vc + VB задан формулами (3.12), (3.30) и использо-
вано обозначение (3.15) для матричных элементов двухчастичных
операторов.

Результаты расчетов приведены на рис. 3.4a. По оси абсцисс от-
ложен заряд ядра Z, по оси ординат — величина E/(zna2Z). Энер-
гия отсчитана от значения + E.i, где одноэлектронные энергии
2

£ql, определены формулой (1.137). Таким образом, расстояние
по вертикали между различными кривыми на рис. 3.4 равно рас-
щеплению уровней в атомных единицах, деленному на Z. Обозна-
чения кривых соответствуют нумерации, приведенной выше. Как
видно из рис. 3.4а, схема /.S-связи нарушается уже вблизи Z ~ 30
(как это и следует из общих соображений). При Z%50 полностью

Рис. 3.4. Зависимость от Z энергии уровней конфигураций пи'= 12: а — в первом
порядке теории возмущений по межэлектронному взаимодействию; б — с учетом по-
правки второго порядка по кулоновскому взаимодействию

устанавливается схема //-связи. Отметим, что при малых значениях
Z точность расчета в первом порядке теории возмущений по меж-
электронному взаимодействию невелика. В частности, в нереляти-
вистском пределе относительное расположение термов *5 и 3Р ока-
зывается обратным истинному. Причина этого — в пренебрежении
поправками высших порядков по кулоновскому взаимодействию
электронов. На рис. 3.46 приведены уровни конфигурации (1,2) с
учетом поправки второго порядка по кулоновскому взаимодействию
Д£С2, которая учтена в нерелятивистском приближении *). Допу-
скаемая при этом относительная погрешность имеет порядок
(aZ)2 = a2 < 10~4 при всех значениях Z.

*) Методы расчета величины Д£С2 в нерелятивистской теории обсуждаются в
[1, § 4.2]. Конкретное значение &ЕС2 для конфигурации (1,2) заимствовано из [7].

4 Л. Н. Лабзовский

97
§ 3.4.	Матричные элементы гамильтониана Брейта

При вычислении релятивистских поправок к уровням энергии ней-
тральных атомов основную роль играет оператор (3.37), который
легко обобщается на случай произвольного многоэлектронного ато-
ма. Этот оператор обычно объединяют с одноэлектронными операто-
рами (1.216), учитывающими релятивистские поправки, и все вме-
сте называют гамильтонианом Брейта. Таким образом, гамильтони-
ан Брейта для произвольного многоэлектронного атома имеет вид

НВ = НО + Н1+Н2+Н3 + Н4 + Н5.	(3.51)

Здесь Но — нерелятивистский оператор Гамильтона [I, (2.3)],

(3.52)

— оператор, учитывающий релятивистский эффект зависимости
массы от скорости,

(3.53)



—	оператор взаимодействия орбита—орбита, учитывающий эффек-
ты запаздывания взаимодействия,

н3 = я; + я"=У &(r j - g f 6(Г/)	(3.54)

i=1	i>/

—	операторы контактного взаимодействия электрона с ядром (Я3)
и электронов друг с другом (Я3), эффективно учитывающие реля-
тивистские эффекты при взаимодействии,

я4 = я; + я; = ^|у	+

1=1 '	i>J‘i

(3.55)

—	операторы взаимодействия спин—орбита (Я4) и спин—чужая ор-
бита (Я4),

дг	N г

(s^)a(r0) + 4x4

i> J	i > j 4 L	4	.

(3.56)

—	операторы спин-спинового взаимодействия между электронами.
Гамильтониан Брейта используется для описания релятивистских
эффектов в атомах в тех случаях, когда эти эффекты относительно
невелики и можно ограничиться первым порядком теории возмуще-
ний по операторам Ht (z = 1,..., 5). В этом случае естественно ис-
пользовать схему LS-связи при построении волновых функций. Вы-
числение матричных элементов гамильтониана Брейта на волновых
функциях всхеме LS-связи является нашей дальнейшей задачей. Для
оператора Но (т. е. для кулоновского взаимодействия Vc) и частично
для оператора Н'4 эта задача рассматривалась в [I, § 3.11 и 3.12].

Прежде чем строить выражения для матричных элементов, необ-
ходимо представить все операторы в удобной форме, т. е. выразить
их через неприводимые тензорные операторы [8—12]. Ранее (см. [I,
§3.11]) это было сделано для оператора Vc (оператор спин-орби-
тального взаимодействия Н'4 уже приведен фактически к нужному
виду). Аналогично, хотя и несколько более сложно, можно выразить
через неприводимые тензоры и другие операторы. Мы приведем
здесь результаты, пользуясь обозначениями, принятыми в [12].

Выражение для оператора Нг через неприводимые тензоры полу-
чается непосредственно с помощью известных соотношений для опе-
ратора Лапласа (см. [I, § 1.1]):

где 1, — оператор орбитального момента.

Выражение для оператора Н2 является наиболее сложным и име-

ет вид

2	N “ I	- -1°

= X (*+1)(* + 2)|с*+1хС*+11 -
Ztn	\	L	J

i>7 *=1	0\

*4-1

+ 2z(l + Piy) IV(*+ !)(* +2) [C*+1 х7>]

х[с*--х7}]]

(3.58)

где неприводимые тензорные операторы С* определяются согласно
[1, (3.304)], коэффициенты ak — согласно [I, (П1.7)], a Р;у- представ-

4*
ляет собой оператор перестановки индексов i и j. Формула (3.58) воз-
никает в результате использования разложения [I, (3.303)], а также
известной формулы для градиента (см., например, [10]):

+	рх?]*.	(3.59)

Операторы Н'3 и Н3 можно представить в виде

(3.60)

3	8m2 " г2

i = I 1

^3 = - ^7 f i (2Л + 1) [с* х С*] °.	(3.61)

i>j ч к=1

Формулы (3.60), (3.61) получаются с помощью условия полноты
сферических функций.

Оператор Н\, как уже говорилось, имеет нужный вид (см. [I,
(3.322)])	n

Ч-52ММ-	(W)

г=1 1

а оператор Н'^ преобразуется так:

_ ie2

"Л   t— 7
vW

1

V(2A + 1)(/C'+Jt + 1)
к=1 К, K'=l

1

[pf (X) X С)

х

1

о

±(J)JK)ak} +

i

О

x(s*+2S*) (РДХ)^)^,

(3.63)

Pf(K) = 1>Пакк.

Gf(X) = a^[cfxC;]K',

(3.64)

(3.65)

акк- = rk+1~*V(2* + 1)(X' + Л + 1)(2Х+ 1)(2х' + 1) х

v (k 1 XU k 1 к

x|o о oJti K' 1

(3.66)

K=k- 1,

K=k+ 1.



(3.67)
Суммирование по К, К' в (3.63) ограничено благодаря свойствам
Зу- и б/'-символов в (3.66).

Наконец, выражения для операторов Н'5 и Н'$ таковы:

^5 = -15	[3 х $] ° £ (2* + 1) [с* х С*] °, (3.68)

i>j ч	к

I

rrii — е2 1 V V V У^ + 1)(2* + 3)(2£ —1) v

5 т2 ^5	(2А + 1)У(2А + 1)

i>j к=1 К, к'=1

X

г I °

(ДДЛЭД/Г)^).

(3.69)

Рассмотрим теперь матричные элементы операторов Ht
(i= 1,..., 5) в схеме LS-связи. Из приведенных выше выражений
следует, что операторы Н{, Н2, Н'3, Н3, Н'5 являются скалярны-
ми как в спиновом, так и в координатном пространстве. Эти
операторы не дают, таким образом, вклада в расщепление уровней
за счет спин-орбитального взаимодействия и приводят лишь к
двигу каждого из термов. Эти сдвиги даются соответствующими
диагональными матричными элементами для каждого из операто-
ров и представляют собой релятивистские поправки к положению
термов. Расчет таких поправок элементарен в случае одно-
.астичных операторов Н{, Н3, а в случае операторов Н2, Н3, Н'5
подобен расчету матричных элементов оператора электростатиче-
ского взаимодействия (см. [I, §3.11]). Здесь мы приведем резуль-
таты вычислений для конфигурации эквивалентных электронов
(nl)N [10, 12]:

(lNyLS| Ht | lNyLS) = -	{I^(nl) + 21(1 + 1)I<P(nl) +

+ 1(1 + 1) [1(1 + 1) — 6]4°)(nZ)}, (3.70)

-i 2

•	Xr

/<*)(«/) = ( — ^RnI(r) dr.
m v ' J rm rfrk HI' '

(3.71)

0

Здесь Rnl — радиальная часть одноэлектронной волновой функции
(см. [I, (2.121)], [I, (2.132)]); обозначения для матричных элемен-
тов те же, что и в [I, гл. 3]. Далее,

2

(lN yLS\H'3\lN yLS) =

8m2

(3.72)

Jr = 0
Матричный элемент оператора орбита—орбита, согласно [12],
можно представить в виде

(LNyLS\H2\lNyLS) = mk(lNyLS)Mk(nl), (3.73)
к=0

mk(lNyLS') = - 4(2Л+Л(У + 3) 1(1 + 1)(21 + 1 )<Z||С*||О X

х

/ / к+1 1 {(^VbS|[ffc+1xf*+1]°|Z*7LS)-^

=	( 7^1 Rni(r} dr J r'kR2nl(r’) dr'.

о	0

(3.74)

(3.75)

Здесь Tk — единичный неприводимый тензор Л-го ранга:

N

?*=£<?,

1=1

tk — единичный неприводимый тензор ранга к для одного электро-
на; последний определяется равенством *)

(Z||?||Z') = A(ZAZ')d/f (i = l,...,2Z).	(3.76)

Матричный элемент скалярного произведения в (3.74) можно выра-
зить через генеалогические коэффициенты точно так же, как это
было сделано с аналогичным матричным элементом в [I, § 3.11].

Матричные элементы операторов Н'^, Н'5 различаются лишь чис-
ловым множителем, поскольку сами операторы различаются лишь
благодаря наличию спиновых операторов в (3.68), приведенные
матричные элементы которых, согласно [I, (3.106)], равны:
(slls11| s) = V3/2. Соответствующие выражения имеют вид

(lNyLS | Н'з | lNyLS) = -1 (lNyLS | Н'51 lNyLS) =

£
2

21

2 (2Л +
л=о

пГ<Л1С*||/>12

(lNyLS\[TkXTk] °|lNyLS)

— (2Z + 1)7V Q(nl),

(3.77)

2
«»')=	«5, (0 dr.

о

(3.78)

В отличие от рассмотренных выше операторов, операторы Н'4, Н4,
и Н’$ не являются скалярами отдельно в спиновом и координатном
пространстве. Матричные элементы этих операторов, которые необ-
ходимо вычислять уже с функциями вида [I, (3.326)], оказываются

*) Заметим, что для единичного скаляра t° матричный элемент определяется ина-
че (см. [I, (3.109)]).
зависящими от значения полного момента электронной оболочки ато-
ма J и, таким образом, определяют тонкую структуру уровней.

Зависимость матричных элементов Н'4, Н4, и Н$ от J выделяется
в явном виде, если вновь, как ив [I, § 3.12], использовать формулу
[I, (3.120)] для скалярного произведения неприводимых тензоров. В
случае операторов Н'4, Н4 ранг этих тензоров к = 1 и матричные
элементы имеют вид

(LS/M|^4|LS/M) = (-l)^^+‘(Ao(bS)+Aoo(^)){s i f}.

(3.79)
где константа A.O(LS) связана с константой спин-орбитального вза-
имодействия, введенной в [I, § 3.12], соотношением

A(LS) = Aso(LS)[L(L + 1)(2L + 1)S(S + 1)(2S + 1)]~1/2. (3.80)
Константа в случае оболочки эквивалентных электронов может
быть представлена в виде

^„(LS) = VZ(Z + 1)(2Z + l)(ZJV7LS||y11||ZA'7LS)S(nZ). (3.81)

Здесь Vkl — двойной тензорный оператор,

(М2)

«=1

s(ni)=(3-83)

о

Приведенный матричный элемент тензорного оператора Vkl в (3.81)
можно выразить также через генеалогические коэффициенты, как
это было сделано в [I, § 3.12].

Приведем теперь выражения для константы Доо взаимодействия
спин—чужая орбита 110, 12]:

Лоо(^) = 2 m'^yLSW^nl),	(3.84)

m’k-i(lNyLS) =

SI2 f У*

X [(ZN7bS||Vkl\\lNy'L'S)(lNy'L'S\\TKIIlNyLS) +
+ 2(ZJV7LS||7fc||ZJV7'rS)(ZA'7'L'S||yA1||ZJV7LS)] -

-3p f }}(Z"7LS||y"||Z"7LS)}, (3.85)
(k + l)V(2Z4-jt + 2)(2Z-Jt), К = к 4- 1,
iV(2Z + jt + 1)(2Z-A+ 1), К = к - 1.
/О

Интегралы Mt(nZ) в (3.84) определяются согласно (3.75).	' ‘ '

а{К1) = - 1
В случае оператора Н'$ ранг образующих его тензорных операто-
ров (орбитальных и спиновых, см. (3.69)), равен двум и вместо
(3.79) имеет место формула

(Z.S/JW|5"|LSJM) = (-l)i+s+7+1Ass(^)+Aoo(LS){j [ Л,

(3.87)
где константа спин-спинового взаимодействия 7tss определяется вы-
ражением

Ass(LSy£ m'^_l(lNyLS')Mk_l(nl),	(3.88)

k

m'^_i(lNyLS) = 4V5(-1)2SV£(* + 1)(2A - 1)(2* + 1)(2£ + 3) x

X (Z||C*-1||Z)(Z||C*+1||Z)(Z||?k||Z)_1 2 

y'L'S'

1 1 2

s s S'

k-l k+12

L L L'

X (Z7VyLS||У*-1’ 1||Z"y'L'S')(Z*7'L'S'||y*+1- ‘HZ^bS). (3.89)

Как видно из формулы (3.87), взаимодействие Н'$, в отличие от
Н^, приводит к отклонениям от формулы Ланде [I, (3.331)]. Это от-
клонение, однако, существенно лишь в случае легких атомов и не-
велико для многозарядных ионов. Действительно, как упоминалось
выше,

Ак(ЛХ) j

(3.90)

Таким образом, роль спин-спинового взаимодействия должна быть
наиболее существенной в случае атома гелия.

Рассмотрим низшую триплетную конфигурацию (ls2p)3P, обла-
дающую тонкой структурой, и вычислим относительную величину
расстояния между отдельными уровнями мультиплета:

 Д£/=2-Д£7=1

(3.91)

Согласно правилу интервалов Ланде [I, (3.336)], должно иметь ме-
сто равенство т}теор = 2. Экспериментальное значение для нейтраль-
ного атома гелия д,ксп(Не) =0,08 [13].

§ 3.5.	Взаимодействие электронов во втором порядке
теории возмущений

Рассмотрим вначале кулоновское взаимодействие электронов вс
втором порядке теории возмущений по взаимодействию (в четвер-
том порядке по константе связи). В общем случае для этого необхо-
димо учесть вклады диаграмм рис. 3.5а—г. Все перечисленные диаг-
раммы, за исключением диаграммы рис. 3.56, являются приводимы-
ми и для их вычисления необходимо использовать формулу Гелл-

Рис. 3.5. Фейнмановские графики, изображающие кулоновское взаимодействие меж-
ду электронами во втором порядке теории возмущений

Манна и Лоу (3.3). В случае двухэлектронного атома достаточно
вычислить лишь вклад диаграмм рис. 3.5 а, б.

Рассмотрим вначале вклад диаграмм рис. 3.5а. Согласно прави-
лам соответствия

(фО|5<4)|Ф°) = е4 j dx{ dx2 dx3 dx4(yA (х3)у(Хз5(х3х,)у(ХгрА(х1) X

x %(*4)7и«(х4Х2)^Ч’в(х2))^1И2(х1х2)£^и (х3х4) X

хехр [—a(| Z, | + |Z2| + |Z3| + |Z4|)]. (3.92)

Подставляя выражения (2.227) и (2.248) для фотонного и электрон-
ного пропагаторов, получаем

(фО | §(4) | ф0) =	J dtl dt3 d^ du2 2

П1П2

2

X



X [£„(1 - iO) +	- i0) + “J"1 X

x exp [i(Ea 4- EB 4- co, + a>2)Z3] x

Xexp [-i(EA 4- EB 4- co, 4- <o2)Z, - 2a(|Z,| 4- |Z3|)]. (3.93)

Вычислим интеграл no Z,, входящий в (3.93):

J exp [—i(EA 4- EB 4- co, 4- co2)z, — 2a | Z, | [ dZ, =

= 4a[(£A 4- EB 4- co, 4- a>2)2 4- 4a2]-1.	(3.94)

A	Xj	1	-

Точно такой же множитель дает интеграл по Z3. Теперь нужно про-
интегрировать по со,, а>2, т. е. вычислить интеграл

1= J с?со, $ da>2 [(£, 4- Ев 4- со, 4- со2)2 4- 4a2]-2 X

X [£„(1 - /0) + со,]-1[£„2(1 - /0) + со2]-1. (3.95)
Интеграл по Mj, входящий в (3.95), вычисляем по теореме о вы-
четах:

ОО

s j [(£х 4- Ев -|- <0j + о>2) — 2ia]~2 X

— ОО

X [(£х + Ев + (О, + СО2) + 2га]-2[£п (1 - i0) + wj”1 =

= 2ш |^з	- l0) - ea - EB - “2 + 2ia]-* ±

± 7^ [En>(1 “ Z0) “ Ea - £B “ “2 + 2ia]-4. (3.96)

Верхний (нижний) знаки в (3.96) соответствуют Еп > 0 (Еп < 0).
Подставим (3.96) в (3.95) и проинтегрируем по о>2. Отметим, что
полюсы выражения (3.96) при Еп > 0 находятся в нижней полупло-
скости, а при Еп < 0 — в верхней. Поэтому если Еп > 0, а
Еп^ < 0, то полюс о)2= — Еп2(1 ~ *0) находится в нижней полупло-
скости и интеграл (3.95) равен нулю (поскольку контур интегриро-
вания можно замкнуть в верхней полуплоскости, где полюсов у под-
ынтегрального выражения нет). Такой же результат получится, ес-
ли Еп* < 0, а Еп^ > 0. В остальных случаях интеграл отличен от
нуля и равен

I = (2ш)2{	(£П1 + £„2 - Еа - Ев + 2za)~' +

+ ^(£п, + £„2-£а-^Т2ш)-2|. (3.97)

Верхние знаки в (3.97) соответствуют Еп > 0, Еп* > 0, нижние —
отвечают Еп^ < 0, Еп^ < 0. Подставляя результаты интегрирования в
(3.93), находим

(Фо । sW | Ф°) = —е4(4а)2 £ (Л<+)Л<+) - Л<->Л<->) X

П.П2

xJ+—^Ц(£„ +£„ - Е. - EK + 2ia)~l +

1	(4ia)3 ni n2 A B



2

, (3.98)

где At*) — проекторы на состояния с положительными (отрицатель-
ными) энергиями Еп.

Выделим в матричном элементе (3.98) его неприводимую часть
(см. [I, § 4.3]). Для этого в сумме по п2 выделим члены nt = А,
п2 = В и пг = А, п1 = В. Во всех остальных членах в знаменателях
полагаем а = 0. Тогда

(фО ISW! фо} = _е4 2 (Л<+>Л<+> - Л<-)Л<2->)
пл

(п1п2*ЛВ)

2

X

nfn2AB

Х { -	(£н, + Еп2 ~Еа~ £ВГ1 +	+ ЕП2 -Еа- -

Е4

2а2

АВ АВ

(3.99)

Запишем теперь поправку к энергии по формуле (3.5) (заметим,
что в нашем случае все матричные элементы нечетного порядка
не дают вклада в АЕ):

A£W = ton 1 юе4[2(Ф° || Ф°) - (Ф° | £<? | Ф°)2]. (3.100)

Ограничимся далее двухэлектронными атомами и ионами. Тогда
вклад в- матричный элемент (Ф° 11 Ф°) в (3.100) дают лишь
диаграммы рис. 3.5а, б (с учетом обменных вариантов), а в мат-
ричный элемент (Ф2|5^2)|Ф°) — диаграммы рис. 3.2. Вклад непри-
водимой диаграммы рис. 3.56 мы учтем отдельно позднее. При под-
становке (3.99) в (3.100) нужно учесть, что член с квадратичным
знаменателем в (3.99) исчезает в выражении для энергии после
предельного перехода а—>0. Слагаемые в (3.99), содержащие осо-
бенности типа 1/а2, сокращаются с вкладом (Ф° |	| Ф°). Кроме

того, под знаком суммы по гц, п2 можно произвести замену (см.
обозначение (3.15)):

ntn2AB

nxn2; АВ

2

. (3.101)

Таким образом, окончательное выражение для поправки к энер-
гии AZ?c2 (вклад диаграммы рис. 3.5а) приобретает вид [5]

— 2 S

п.п.

л(+>4+)-л(-)л«

Еа + ЕВ-ЕпГ\

2

(З.Ю2)

("Л^АВ)

АВ

Вклад неприводимой диаграммы рис. 3.56 можно вычис-
лить по формуле (3.6). После вычислений, аналогичных про-
деланным выше, и выполнения предельного перехода а-* О
получаем [5]:

Д£"2 = *4 £	- Л(->Л«) X

пЛ

Суммирование по п{, п2 в (3.102), (3.103) ведется как по поло-
жительно-частотным, так и по отрицательно-частотным состояни-м.
В нерелятивистском пределе (ciZ<k1) основной вклад в (3.102) да-
ет сумма по положительно-частотным состояниям, поскольку для
этих состояний Еа 4- Ев — Е^ + Еп^ ~^^А + гв — еП1 + £г1/ тогда как
для отрицательно-частотных состояний ЕА + Ев — Еп — Еп —> — 4 т.
Кроме того, необходимо учесть малость «верхних» компонент
дираковских биспиноров для отрицательно-частотных состояний

Рис. 3.6. Фейнмановские графики, изображающие обмен одним поперечным и одним
кулоновским фотоном (a-г) и обмен двумя поперечными фотонами (д-е)

(см. (1.198)). Положцтельно-частотная часть суммы, как нетрудно
видеть, переходит непосредственно в нерелятивистское выражение
для поправки Дс2 (см. [I, § 4.2]). Поправка Д£^2в нерелятивистском
пределе имеет дополнительную малость по параметру aZ по сравне-
нию с Д£сг» поэтому она не дает заметного вклада при расчетах кри-
вой С2 на рис. 3.1.

Из наличия проекторов в (3.102) также следует, что обычная те-
ория возмущений не пригодна для расчета поправок второго поряд-
ка даже по чисто кулоновскому взаимодействию электронов в реля-
тивистской теории. Тем более это относится к брейтрвскому взаимо-
действию. Вычисление смешанных поправок второго порядка Д£вс
по кулоновскому и брейтовскому взаимодействиям (диаграммы
рис. 3.6a—г для двухэлектронных атомов) в общем производится так
же, как и в случае поправок Д£с2, хотя получающиеся выражения
значительно сложнее (см. [14, 15, 2]). Последнее в еще большей
степени относится к поправкам &ЕВ2 второго порядка по брейтов-
скому взаимодействию (диаграммы рис. З.бд, е).
Расчет поправки Д£с2 для произвольных значений aZ по фор-
мулам (3.102), (3.103) для основного состояния произведен в [16,
17]. Имеется также результат, полученный с использованием разло-
жения по степеням aZ [18]. В случае основного состояния двух-
ллектронного атома этот результат таков:

△£с2= -ma2-0,15767[l +2,38(aZ)2].	(3.104)

Первый член этого разложения (нерелятивистский предел) мы при-
водили ранее, в [1, § 4.2].

Без разложения по степеням aZ найдены также поправки
ДЕВС и &ЕВВ для основного состояния двухэлектронного атома [16,
17]. Мы вновь приведем результат, полученный с разложением по
aZ [18]:

Д£вс = — ?na2(aZ)2 0,2568.	(3.105)

Приведенные выше вычисления, как и в первом порядке по меж-
электронному взаимодействию, могут быть обобщены на случай вы-
рожденных состояний. Если коэффициенты в линейной комбинации
волновых функций (3.43) могут быть определены непосредственно с
помощью сложения моментов, то к вычислению матричных элемен-
тов, рассмотренных в настоящем параграфе, относятся все те слова,
которые были сказаны в § 3.3 по поводу матричных элементов вза-
имодействия в первом порядке.

§ 3.6.	Релятивистский метод Хартри-Фока

Одним из наиболее распространенных методов учета релятивист-
ских эффектов в теории многоэлектронных атомов является
релятивистский метод Хартри—Фока (метод Хартри—Фока—Дира-
ка, ХФД). Преимуществом этого метода является его широкая об-
ласть применимости, в частности, он применим в той ситуации, ког-
да и релятивистские поправки, и взаимодействие электронов между
собой достаточно велики и не могут быть учтены лишь в первом по-
рядке теории возмущений. Такая ситуация имеет место для боль-
шинства электронов (кроме самых внешних и самых внутренних) в
тяжелых атомах и для многозарядных ионов с достаточно большим
числом электронов.

Впервые релятивистский метод Хартри—Фока сформулировала
Свирлс [19]. Впоследствии этот метод развивался многими авторами
(см. обзор современного состояния в [20, 21], а полный библиогра-
фический обзор — в [22]).

Задача о нахождении релятивистских функций Хартри—Фока
может быть поставлена следующим образом. Рассмотрим прибли-
женный гамильтониан для многоэлектронного атома в виде

N	N

Н = %	+ 2 Fc(r, - ry),	(3.106)
где A(r;) — одноэлектронный дираковский гамильтониан (1.34),
Vc — потенциал кулоновского взаимодействия (3.12). Иногда в это
выражение включают также оператор брейтовского взаимодействия
(3.30), однако более естественно рассматривать брейтовское взаимо-
действие, как и все остальные релятивистские поправки, по теории
возмущений, на основе нулевого приближения, определяемого га-
мильтонианом (3.106). В гамильтониане (3.106) учитываются вкла-
ды А-Ед, AEci (и частично Л.ЕС2), изображенные на рис. 3.1. Таким
образом, как следует из рисунка, этот гамильтониан с точностью до
поправок порядка а (т. е. с погрешностью до 1 %) должен быть спра-
ведлив практически во всем диапазоне значений Z.

Задача свелась к решению приближенного релятивистского урав-
нения Шрёдингера

ЯЧ> = £гр,	(3.107)

для чего можно применить все те же методы, что и в [I, гл. 2], в
частности, аппарат редуцированных матриц плотности. Различие
состоит в том, что теперь одноэлектронная волновая функция явля-
ется четырехкомпонентным биспинором, а многоэлектронная функ-
ция для системы из N частиц, в частности детерминант Слэтера,
имеет соответственно 4N компонент. Вводить отдельно спиновую
координату о, как это делалось в [I, гл. 2], теперь нет необходимо-
сти, поэтому одноэлектронные функции гр/г) мы будем рассматри-
вать непосредственно как спинорные функции пространственных
координат.

Соответственно матрицы плотности также являются многокомпо-
нентными величинами, однако операция Sp теперь включает сумми-
рование по спинорным значкам. При этом сохраняют силу все ре-
зультаты, изложенные в [I, § 2.1 и 2.2]. Мы будем использовать и
вариационный принцип [I, § 2.3], хотя его применение в релятиви-
стской теории нуждается в дополнительном обосновании (см. ниже
в этом параграфе). Тогда выражение для полной энергии атома в
случае основного невырожденного состояния сохраняет вид [I,
(2.95)], а уравнения для одноэлектронных волновых функций по-
прежнему имеют вид [I, (2.98)]:

Л(г;)Ч>„(г) + £ $ Sp (Ч>Х(г') Vc(rr') трт(г')) dr' 4>„(г) -

т = 1

N

~	$ Sp (С(«-')^с(п-')^т(г))Ч>п(г') dr' = Епуп(г). (3.108)

zn = l

Здесь Л(г) — одноэлектронный дираковский гамильтониан (1.34);
•фп — одноэлектронные функции Хартри—Фока—Дирака; Еп —
собственные значения, которые, как и в нерелятивистском случае,
представляют собой одноэлектронные энергии, но включают массу
покоя электрона. В формуле (3.108) символ следа относится уже
только к спинорным значкам.
Уравнения (3.108) можно записать также в компактной форме,
подобной [I, (2.128)]:

ЛХФ(г) Ч’п(г) = ^n%(r),	(3.109)

ЛХФ(г) = Л(г) + ?(г) - ВД,	(3.110)

7(г)/(г) = Х^р(Ч>ад)Ус(гг')Ч>т(г'))*'/(г), (3.111)
т = 1

ВДДг) = U Sp (C(«-')^c(rr')/(r')^(r)) dr'. (3.112)
т=1

Перейдем к отделению угловых переменных в уравнениях
(3.108). Волновые функции представим в виде (1.94):

%(«) - ЧпЛмЮ \ifn/l(r) n77M(Q)J- (З ИЗ)

Действие оператора А (г) на эти функции определено формулами
(1.106), (1.113). Рассмотрим теперь действие оператора /(г). Под-
ставляя функции (3.113) в (3.111), в случае заполненных оболочек
находим

/(r)A(r) = X X $	(r')Q}rM.(Q')Q/rM.(Q') +

oZm)- (ЗЛ14)

Для шаровых спиноров £1ЛМ можно получить аналог теоремы сло-
жения для сферических функций [I, (П1.3)]. Для этого используем
явный вид шаровых спиноров (1.84):

^q;zm(q')q?w(q) =

м'=-/'

= Х X X	.(Q')rZm(Q)<v (3.115)

М m'\k m[i

С учетом свойств ортогональности двухкомпонентных спиноров

=	(З.И6)

из (3.115) получаем

Xq;zm(Q')^w(q) = XX (c'U^))\u^)^m(^). (З.Н7)
M=—j	М mp
Учитывая свойства симметрии коэффициентов Клебша—Гордана,
следующие из соотношения [I, (3.50)], и свойства симметрии ЗУ-
символов, используя условие унитарности [I, (3.31)] и формулу [I,
(П1.3)], получаем

2 q;zm(Q')^zm(^)=12 (4м(нм)) 2y;m(Q')y/m(Q) =
М	М гтщ

м

Аналогично получается формула

2 Q;7m(Q')^7m(O) =^-P7(cos у).	(3.119)

м

Применяя теорему сложения для шаровых спиноров к (3.114),
приходим к выражению

ШЮ = £ z $ {(2Г + 1)^/г(г') + (2? + 1)/<т(г')| X

(3J20>

Далее, как и в нерелятивистском случае, используем разложение
кулоновского потенциала в ряд по полиномам Лежандра (формулы
[I, (П1.8)], [I, (П1.5)]). В результате получаем

/(г)%(г) = е2 X S |(2Г + 1)^/г(г') + (2Г +	х

xa0(rr')r'2dr'	я'7^(Я)]’ (ЗЛ21)

где коэффициенты а0(гг') определяются согласно [I, (П1.7)].

Существенно сложнее выглядит в релятивистской теории опреде-
ление угловых переменных в обменных членах. Мы рассмотрим
здесь лишь упрощенный вариант учета обмена в уравнениях
Хартри—Фока, предложенный Слэтером [23]. Особенно часто этот
вариант используется в релятивистской теории, где он носит
название метода Хартри—Фока—Дирака—Слэтера. Этот метод осно-
ван на выражении для обменного члена в уравнении [I, (5.173)] в
модели Томаса—Ферми—Дирака. Основываясь на этом выражении,
можно предположить, что на каждый электрон действует дополни-
тельный локальный потенциал

К(г) = - йобр^г),	(3.122)

приближенно учитывающий обмен. Для получения р(г) можно ис-
пользовать матрицу Фока—Дирака [I, (2.42)].
В релятивистской теории в случае заполненных оболочек для
плотности р(г) получим выражение

Р(0 = х X

nil M=~j	(3.123)

Вновь используя теорему сложения (3.118), (3.119), получаем

р(г) =	|(2Z + V)g2njl(r) + (27+ 1)/<,(г)|.	(3.124)

njl

Таким образом,
^(г)Ч>п(г) =
4е2
— з ао6

2 {(2Z' + 1)^/г(г) + (2Z' + l)/2yf(r)[

X

2

X



(3.125)

Собирая результаты (3.121), (3.125) совместное (1.106), (1.113)
и отделяя зависимость от угловых переменных (см. (1.114),
(1.115)), приходим к системе радиальных уравнений Хартри-
Фока—Дирака—Слэтера:

4л('') +	«.„(,) -

-<22 J ((2Г + l)sj./r(r') + (2? + 1 )/Jzrdr’ g„,,(r)+
n’j'l'

4e2

3 ao6

n'j'l'

2/' + l)^7f(/-) + (2? + 1 )f2n.j,(/•))! hnjl (0 = 0,

(3.126)

gnil(r) - (Enjl + m)fnjl(r) -	/ny,(r) +

+e2X {(2Z' + l)g27r(r') + (2? + D/2yr(r'))«0(^')r'2 dr
nfl'

X {(2Г + 1)^7т(г) + (27'+1)/^Чг))1^

(3.127)

Здесь ху/ определяется согласно (1.95),	— согласно [I, (5.174)].

В нерелятивистском пределе «малая» компонента fnj[ выражает-
ся через «большую» gnjl (см. § 1.5) с помощью соотношения

1 dsnji  |+Хдр

2т dr ‘ 2mr °njl'

(3.128)
В результате этой подстановки уравнение (3.126) переходит в нере-
лятивистскую систему уравнений Хартри—Фока [I, (2.140)] за ис-
ключением обменного члена, который в нерелятивистском случае
рассматривался точно. При этом функция gnjl перестает зависеть от
значка /: этот значок в нерелятивистском пределе определяет тон-
кую структуру уровней и принимает два значения при заданных п,
к. Таким образом появляется множитель 2 в нерелятивистском вы-
ражении [I, (2.135)] для кулоновского оператора.

При использовании приближенных методов в релятивистской
многоэлектронной задаче, вообще говоря, возникает проблема, свя-
занная с существованием состояний с отрицательной энергией, от-
сутствовавшая в нерелятивистской задаче. Спектр собственных зна-
чений одноэлектронной релятивистской задачи не ограничен снизу,
и вариационный принцип на минимум в релятивистском случае от-
сутствует. Хотя формально уравнения Хартри—Фока можно полу-
чить, не прибегая к вариационному началу, например с помощью
уравнений для редуцированных матриц плотности [I, (2.64)], [I,
(5.97)], при приближенном решении радиальных уравнений эта
проблема дает о себе знать. Приближенные решения в принципе мо-
гут содержать примесь состояний с отрицательной энергией, что
приводило бы к неправильным значениям энергии, лежащим ниже
истинного значения. При численном интегрировании радиальных
уравнений, как правило, трудностей удается избежать, фиксируя,
например, число нулей у радиальной функции, что препятствует
появлению нежелательных добавок. Однако при матричном реше-
нии уравнений устранение таких добавок оказывается более слож-
ным (см. [24]).	'

Как уже упоминалось в § 1.6, приближение Хартри—Фока мож-
но использовать в качестве нулевого приближения при построении
квантовоэлектродинамической теории возмущений. Рассмотрим,
какие изменения нужно внести при этом в диаграммную технику.

В самом общем случае приближение Хартри—Фока можно ввести,
переопределив операторы Не и НтХ (см. § 1.5) следующим образом:

Н'е = Не	+ Н',	(3.129)

=	(3-130)

где

Я' = j	4>+(х)УХФ(г)$(х)	dr.	(3-131)

Оператор РХф(г)> согласно (3.99),	определяется следующим обра-

зом:

W)/(O - х $ Sp (<(r')Fc(rr')ipm(r')) dr'f(r) -

- 2 SP (ч?Х(г')1Лс(гг')Ч’т(г'))/(г') dr',

(3.132)
где /(г) — произвольный биспинор. Волновые функции фт(г) яв*
ляются решениями уравнений (3.108), т. е. предполагается, что
процедура самосогласования уже проведена.

Согласно (3.130) (см. также § 2.6) теперь в различных порядках
теории возмущений нужно учитывать, помимо взаимодействия
электронов друг с другом, также взаимодействие с дополнительным

Рис. 3.7. Графики, описывающие взаимодействие электрона с самосогласованным
полем в первом (а) и во втором (бд) порядках теории возмущений

внешним полем с потенциалом Л“*(х) = —^хф(г)^ио- Выясним, ка-
кие диаграммы следует рассматривать при этом в различных поряд-
ках. В первом порядке по константе связи имеется одна диаграмма,
изображенная на рис. 3.7а, во втором порядке — четыре диаграммы
рис. 3.76—3. Однако нужно иметь в виду, что порядок диаграммы,
имеющей 2п вершин и т линий внешнего поля, равен е2п+2т (лиш-
ние степени е происходят от выражения (3.132) для УХФ). Поэтому
диаграмму рис. 3.7а нужно рассматривать совместно с диаграммами
рис. 3.2, а диаграммы рис. 3.76—3 — совместно с диаграммами
рис. 3.5.
Г лава 4

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
К УРОВНЯМ ЭНЕРГИИ АТОМОВ

§4.1. Квантовая электродинамика свободных электронов

Исследование радиационных сдвигов уровней атомов имеет принци-
пиальный характер, поскольку именно таким образом впервые была
доказана реальность существования вакуума и подтверждена вся со-
временная концепция строения материи. Впервые радиационный
сдвиг был измерен в атоме водорода Лэмбом и Резерфордом [1], в
связи с чем он получил название лэмбовского сдвига. Теория ради-
ационного сдвига впервые была развита Бете [2J. Изложение совре-
менной теории радиационных поправок имеется в большом числе
монографий; наше изложение наиболее близко к [3, 4].

Радиационные поправки к уровням энергии в атомах можно ус-
ловно определить как поправки, соответствующие таким графикам
Фейнмана, которые содержат фотонные линии, начинающиеся и
оканчивающиеся на одной и той же электронной линии либо опира-
ющиеся хотя бы одним концом на замкнутое электронное кольцо. В
низшем порядке по константе связи такими графиками являются
рис. 2.23, и. Как уже говорилось в § 2.6, эти графики описывают
взаимодействие электрона соответственно с фотонным вакуумом и с
вакуумным электронным током. Таким образом, радиационные по-
правки учитывают сдвиг атомных уровней в результате взаимодей-
ствия электрона с вакуумом.

Оказывается, однако, что не только энергия вакуума (см.
(2.203)), но и энергия взаимодействия электрона с вакуумом явля-
ется бесконечной. Если энергия вакуума может быть попросту от-
брошена, поскольку она несущественна при вычислении любых фи-
зических величин, то энергия взаимодействия атомных электронов
с вакуумом, как следует из квантовой электродинамики, должна
быть наблюдаемой величиной. Поэтому для устранения бесконечно-
стей в радиационных поправках приходится применять сложную
процедуру, получающую оправдание в теории перенормировок. Эта
теория создана в работах Р. Фейнмана, Ю. Швингера, Ф. Дайсона и
С. Томонага (см. [3—6], а также § 4.4).

Формально упомянутые бесконечности возникают как расходя-
щиеся интегралы при вычислении матричных элементов, соответст-
вующих диаграммам рис. 2.23, и. Регуляризация этих интегралов
определяется процедурой перенормировок. Последовательная фор-
мулировка процедуры регуляризации обязательно должна быть ко-

вариантной. По этой причине использование картины Фарри для ре-
гуляризации расходящихся графиков неудобно и более целесообраз-
но использовать картину свободных электронов. В этой главе, чтобы

различать на графиках свободные электроны и электроны во внеш-

нем поле, последним мы будем сопостав-
лять двойные сплошные линии. Тогда
рис. 2.23, и, соответствующие картине
Фарри, должны быть заменены на
рис. 4.1а, б. Таким образом, в качестве
первого подготовительного шага к вычис-

лению радиационных поправок мы рас-
смотрим в этом параграфе электродина-
мику свободных электронов. В принци-
пе, почти все формулы гл. 2 остаются в
силе и в этом частном случае (отсутст-
вие внешнего поля).

Диаграммная техника для свободных

a.	S

Рис. 4.1. Фейнмановские гра-
фики, описывающие радиаци-
онные поправки низшего по-
рядка для связанных электро-
нов в атоме

электронов наиболее удобным образом формулируется в импульс-

ном представлении [3, 4]. Основные отличия этой диаграммной тех-

ники от сформулированной в § 2.6 диаграммной техники в картине
Фарри заключаются в следующем *).

Во-первых, изменяются одноэлектронные функции, соответству-
ющие началу и концу (низу и верху) диаграммы. В случае свобод-
ных электронов в качестве таких функций естественно выбрать пло-

ские волны, т. е. состояния с определенными энергией Е и импуль-

сом р. Плоские волны имеют вид

^±)(х) = 7W ± е±*РЛ = W ± е±/(РГ (4Л)
г	у г	У г

(см. аналогичное выражение (2.130) для фотонов). Здесь V — нор-
мировочный объем, и( ± р) — постоянные биспиноры, знаки ± от-
носятся к положительно- и отрицательно-частотным состояниям. Из
уравнения (1.9) следуют уравнения для биспиноров и{ ± р):

(±ЧЛ + m)u(±P) = G-	(4-2)

В этой главе, как и в § 1.1, для сокращения записи мы будем ис-
пользовать обозначения: уири = р, причем р4 = iE, Е = Vp2 + т2. В
таких обозначениях (4.2) записывается так:

( ± ip + т)и( ± р) = 0.	(4.3)

Уравнение для сопряженного биспинора имеет вид

и{ ± р) ( ± ip + т) = 0.	(4.4)

*) Подчеркнем, что именно диаграммная техника в импульсном представлении
для свободных электронов, сформулированная впервые Фейнманом [7], послужила
основой для всех других вариантов диаграммной техники в теории возмущений.
В качестве условия нормировки для плоских волн можно исполь-
зовать условие (1.36) в объеме V:

J |^(r,0|2dr=l.	(4.5)

V

Из этого условия для биспиноров ± р) следует:

^ц+(±р)«(±р) = 1.	(4.6)

Условия нормировки биспиноров «( ± р) можно записать и в других,
более удобных формах. Рассмотрим величины ы(±р)«(±р),
й( ±p)yvii( ± р). Первая из них является 4-скаляром, вторая — 4-
вектором. Для свободной частицы существует только один 4-век-
тор — вектор энергии-импульса р. Поэтому

u{±p)yvu{±p) = apv,	(4.7)

где а — некоторая константа. В частности, при v = 4 получаем

«( ± P)v4«( ± Р) = iaE	(4.8)

и, сравнивая с (4.6), устанавливаем, что а = 2Ц. Теперь, умножив
обе части (4.7) на ipv и суммируя по v, находим с учетом (1.31)

«( ± p)ipu( ±р) = 2р2 = 2(£2 — р2) = —2т2.	(4.9)

Отсюда, используя (4.3), получаем	<

ы( ± р)«( ± р) = ± 2т.	(4.10)

Уравнения (4.2) для каждого из биспиноров и( ± р) имеют по
два *) линейно-независимых решения. Эти решения соответствуют
двум различным состояниям поляризации электрона. Состояние по-
ляризации нерелятивистского электрона можно охарактеризовать,
задав проекцию спина на некоторое произвольное направление. Эта
проекция имеет два возможных значения.

Для релятивистского электрона такой способ задания поляриза-
ции неприменим, так как оператор проекции спина на произвольное
направление не коммутирует в общем случае с гамильтонианом
(1.2). Чтобы описать поляризационные состояния релятивистского
электрона, удобно ввести матрицу iysv, где v — единичный 4-век-
тор, ортогональный 4-импульсу:

\Ри = 0, v2=l.	(4.11)

Очевидно, в системе покоя электрона (в которой р = 0) этот вектор
можно задать так:

V s (V, 0).	(4.12)

*) Число линейно-независимых решений равно числу линейно-независимых ком-
понент биспинора; последнее равно двум, поскольку нижние компоненты выражаются
через верхние или наоборот.
Используя свойства антикоммутации матрицы у5 (1.59) и условие
(4.11), нетрудно проверить, что матрица iy5v коммутирует с р. По-
этому матрицы р и iy5v имеют общую систему собственных векто-
ров, причем собственные значения iysv могут быть равны только
± 1. Действительно, вновь используя свойства антикоммутации у5,
получаем

(iy5v)2 = 1.	(4-13)

Следовательно,

iy5vi№( ± р) = ци^( ± р),	(414)

причем р. = ± 1 для каждого из двух биспиноров и£± р).

В случае покоящегося электрона y5v = ysyv, р = у4р4 = — у4т.
Подставляя эти выражения в (4.14), (4.3), комбинируя эти уравне-
ния и учитывая, что, согласно определению (1-64), Ё = iy4ysy, при-
ходим вместо уравнения (4.14) к уравнению

(Ev)z/^( ± р) = ры^>( ± р).	(4.15)

Формула (4.15) является еще одним подтверждением того, что опе-
ратор X можно считать оператором спина электрона в релятивист-
ской теории.

В дальнейшем нам понадобится еще формула для суммирования
произведений биспиноров по и( ± р) поляризациям:

Fafi = Е “а ±	± Р) = ( ± w - г'Р)а₽ = ±	~ Z(P)a₽-

и	(4.16)

Здесь для ясности указаны спинорные значки а, 0. Формулу (4.16)
проще всего доказать так. Найдем вначале след левой части (4.16).
С учетом (4.10) имеем

SpFap=±4m.	(4.17)

Далее, согласно (4.3), (4.4)

( ± ip + m)aFa(i = 0, Fa(i( ± ip + т)а = 0.	(4.18)

С другой стороны, матрица может быть сконструирована только
из матриц и (р)ар, а единственная комбинация этих матриц,
удовлетворяющая условиям (4.17), (4.18), как раз и записана в
правой части (4.16).

При подстановке волновых функций (4.1) в матричные элемен-
ты можно без ограничения общности полагать V = 1, поскольку
окончательные выражения оказываются конечными. Фактически
это означает, что мы используем нормировку на 6-функцию для
волновых функций сплошного спектра (см. [I, § 1.1]). Таким обра-
зом, окончательное выражение для волновых функций, которые фи-
гурируют в правилах соответствия, таково:

Ч£ц(*) = Ж Ы<И)( ± Р) е±'₽Л-	(4J9)
Соответственно изменяется также выражение для электронного
пропагатора, который мы будем теперь записывать в виде

S(x) = (ад4 S 5(Р)е/₽Л	(4.20)

В силу трансляционной инвариантности электронный пропагатор в
случае свободных электронов зависит только от разностей коорди-
нат: S(xjX2) = S(xj — х2). Получим выражение для S(p) непосред-
ственно из (2.227). Для этого подставим в (2.227) в качестве
функции

<^(г) = ТЯГ “(и)( ± Р) е±/рг	(4-21)

((4.21) есть не зависящая от времени часть функции (4.19)). Сум-
мирование по s в (2.227) заменяется теперь интегрированием по р
и суммированием по двум поляризациям ц. При этом возникает
также коэффициент 1/(2л)3 (см. аналогичные рассуждения при вы-
воде формулы (2.229)). Таким образом,

00

S(x) = - 1 - ( da> е‘ш1 [ dp -. x
i(2it)4	J 2Vp2 + m2

—oo

x S „«(₽)„-<->(₽)	+

+ £ ^(-P)u^>(-P)^	+	1. (4.22)

Используя (4.16) и заменяя p на —p при интегрировании второго
члена в фигурных скобках, получаем

S(x) = ——т
((2л)4

d4pe^v-—^2------,

р2—(р2 + т2)(1 — (0)

(4-23)

где р0 = а>, d*p = dp dp0. Сравнивая (4.20) и (4.23), приходим к

выражению

S(p) = z

ip — m
р2 + т2 — Ю

(4.24)

В отличие от электронных, внешние и внутренние фотонные ли-
нии описываются прежними выражениями (2.130), (2.231). То же
самое относится и к вершинам. Переход к импульсному представле-
нию заключается в том, что мы собираем все экспоненциальные
множители в выражениях для волновых функций и пропагаторов
(2.130), (2.231), (4.19), (4.23) и производим интегрирование по ко-
ординатам всех вершин d4xt. При этом возникают множители
(2л)46(£р) для каждой вершины, где символ Хр означает сумму
импульсов, подходящих к каждой вершине (с учетом знака). Это
дает возможность приписать каждой фотонной и электронной линии
(как внешней, так и внутренней) определенный импульс.
Теперь можно сформулировать в окончательном виде правила
соответствия для диаграммной техники в случае свободных электро-
нов в импульсном представлении [3]. Каждой внешней входящей
электронной линии соответствует биспинор аМ( ± р), каждой
входящей электронной линии — биспинор ^=й~М(±р). Каждой
внешней фотонной линии (входящей или выходящей) соответствует
матрица	где — 4-вектор поляризации фотона. Каждой

внутренней электронной линии соответствует матрица S(p) (4.24),
каждой внутренней фотонной линии — множитель D^(/c) (2.232).
В электродинамике свободных электронов, как правило, использу-
ется фейнмановская калибровка фотонного пропагатора. Концам
каждой внутренней фотонной линии соответствуют матрицы у и

yv. Каждой вершине диаграммы
соответствует 6-функция, содер-
жащая импульсы всех линий,
сходящихся в этой вершине.

Особая ситуация возникает,
если на диаграмме имеется замк-
нутая электронная петля. В об-
щем случае, как и в картине Фар-
ри, петле соответствует след про-
изведения расположенных вдоль
нее матриц (см. § 2.6). Однако в
случае свободных электронов это

Рис. 4.2. Фейнмановские графики, ил-
люстрирующие доказательство теоремы
Фарри

выражение обращается в нуль при нечетном числе вершин в пет-
ле (теорема Фарри). Для доказательства теоремы Фарри рассмот-
рим замкнутую электронную петлю с произвольным числом внутрен-
них электронных линий и равным ему числом вершин п (рис. 4.2а).
В петлю могут входить как излучение (поглощение) фотонов, так и
взаимодействие с внешними полями. Одновременно с этой диа-
граммой нужно, очевидно, рассматривать и такую же петлю с
обратным направлением обхода, т. е. обратной расстановкой времен
(рис. 4.2б).

Диаграммам рис. 4.2а, б соответствуют матричные элементы,

определяемые интегралами вида

Л,2s $ d*xn SP A-S(Xj — x2)A2... AnS(xn-xl), (4.25)

где Ai = et в случае взаимодействия с фотонами и At = V t в случае
взаимодействия с внешними полями. Под знаком Sp произведем над
всеми матрицами операцию зарядового сопряжения (см. § 1.1): за-
меним At на CAtC~l и S — на CSC1. Тогда, согласно определению
матрицы зарядового сопряжения С (см. (1.39)),

CAiC~1 = -А].	(4.26)
Пропагатор свободного электрона S(xj — х2) удовлетворяет урав-
нению (см. (2.228))

(zpj + m')S(xl — х2) = — z6(xj — х2).	(4.27)

Произведем операцию зарядового сопряжения над обеими частями
равенства (4.27). Это дает

(zC/^C-1 + zn)CS(xj — х2)С-1 =

= CS(xt — х2)С-1(—zp] + т) = — z6(xj — х2).	(4.28)

В силу того, что свободный электронный пропагатор зависит только
от разности аргументов, (4.28) можно переписать в виде

CS(x, — х2)С l(ipI2 + т) = — z6(xj — х2).	(4.29)
С другой стороны, транспонируя равенство (4.27) (zp2 + zn)S(x2 — Xj) = — z6(xj — x2),	(4.30)
получаем  - xi)(iP2 +	- x2).	(4.31)
Из сравнения (4.28) и (4.31) следует:  CS(xj — х2)С-1 =	— х2).	(4.32)

В целом все выражение для матричного элемента <(4.25) не дол-
жно меняться от операции зарядового сопряжения под знаком Sp,
поскольку под знаком Sp матрицы можно циклически переставить и
использовать условие C~lC = 1. У нас же получается, что все мат-
рицы становятся транспонированными, сохраняя свой порядок сле-
дования. Однако под знаком Sp для произвольных матриц
Х{, ..., Хп можно записать равенство

Sp Х{, ..., х*п = Sp Х*п, ...,Х[ = Sp (Хр ..., хпу = Sp xlt..., хп.

(4.33)
Кроме того, у всех пропагаторов S(xf — х/+1) меняются местами ар-
гументы. Это значит, что мы от петли 11 переходим к петле 12 или
наоборот. Наконец, все выражение умножается на (—1)п, где п —
число вершин в петле ввиду (4.26). Таким образом,

71 = (-1)"/2	(4.34)

и при п нечетном вклады петель рис. 4.2а и б сокращаются.

При п четном петле соответствует след всех расположенных
вдоль нее матриц со знаком минус (см. § 2.6). Таким образом, окон-
чательно числовой множитель при диаграмме в импульсном пред-
ставлении в случае свободных электронов таков:

(-1)N+Z+\| (2л)4(^),	(4.35)
где N — число вершин, I — число замкнутых петель, 6р — чет-
ность перестановки индексов в обменных диаграммах, 1/х — сим-
метрийный множитель, s — число внутренних (электронных и фо-
тонных) линий на диаграмме.

§ 4.2. Расходимости в S-матрице

Выясним теперь, как возникают расходимости при вычислении мат-
ричных элементов S-матрицы. Рассмотрим произвольную диаграм-
му, которой соответствует в общем случае многократный интеграл
по импульсам внутренних электронных и фотонных линий:

/= $ F(kv ..., ks) d*kt ... d'ks.	(4.36)

Здесь F(ki, ..., ks) — некоторая рациональная функция импульсов.
Расходимости в интегралах возникают при больших значениях им-
пульсов виртуальных частиц (т. е. при больших значениях энергий
или частот), в связи с чем эта проблема в свое время получила на-
звание «ультрафиолетовой катастрофы».

Поскольку расходимости возникают при kt—*оо, можно счи-
тать, что каждый электронный пропагатор S(kt) ведет себя, как
l/kt (см. (4.24)), а каждый фотонный пропагатор D (kt) — как

Рис. 4.3. Типы расходящихся графиков Фейнмана в низшем порядке

1/Л? (см. (2.232)). В электродинамике имеется всего несколько ти-
пов расходящихся диаграмм. Первый из них — так называемая
диаграмма собственной энергии электрона. Она определяется как
часть произвольной диаграммы, связанная с другими ее частями
только двумя электронными линиями. В низшем (втором) порядке
по константе связи эта диаграмма изображена на рис. 4.3а. Второй
тип расходящихся диаграмм — так называемая вершинная часть,
под которой подразумевается часть произвольной диаграммы, свя-
занная с другими ее частями одной фотонной и двумя электрон-
ными линиями. В низшем (третьем) порядке она изображена на
рис. 4.3б. Часть произвольной диаграммы, связанная с остальной
диаграммой лишь двумя фотонными линиями, называется фотон-
ной собственно энергетической частью. Эта диаграмма также отно-
сится к типу расходящихся и в низшем (втором) порядке изобра-
жена на рис. 4.3в. Наконец, расходящимися, в принципе, являются
также диаграммы типа «рассеяния света на свете». Так условно
называется часть произвольной диаграммы, соединенная с осталь-
ной диаграммой четырьмя фотонными линиями и изображенная в
низшем (четвертом) порядке на рис. 4.3г. Можно убедиться, что
любые расходящиеся сложные диаграммы возникают только при
включении одной из перечисленных выше диаграмм в состав слож-
ной диаграммы.

Для того чтобы явным образом выделить эти расходимости,
вводится граничный импульс L и интегрирование производится
по некоторой конечной области 4-мерного импульсного простран-
ства. После регуляризации (см. ниже) выражения, имеющие фи-
зический смысл, становятся не зависящими от £ и можно вновь
перейти к интегрированию по всему 4-импульсному пространст-
ву. Рассмотрим в общем случае интегрирование выражений вида
(4.36). В связи со сказанным выше все расходимости фактически
определяются интегралами типа (4.36) с s=l. Этим случаем
мы и ограничимся в дальнейшем. Функцию F(k) представим в
виде

G(k)	(4.37)

QjU) ... аи(Л)’

где at(k) — полином второй степени по к, G(k) — некоторый по-
лином. Вычисление интеграла (4.36) удобно проводить методом па-
раметризации Фейнмана [8]. Для этого нужно воспользоваться тож
деством

1	1	1

-а ~ —= (я —	1)!	J	$	u"~3du2...	\dun_xx

1" "	о	о	х

х [а^! ... Un_r + а2и, ... И„_2(1 - un_t) + ... + ап(1 - и,)]"”

(4.38

Тождество (4.38) доказывается методом индукции, начиная
п = 2. Это же тождество может быть переписано в другом виде:

—Ц-= (и - 1)! $ dx, $ dx2 ... j dxn_l x

1	”	0	0 о

Xlalxn-1 + a2(Xn-2-Xn-l) + ••• +а„(1~*1)ГП>	(4-39

где

*l = “p X2=UlU2^ •••> Xn-\ = UlU2-‘- Un-V (44C

При n = 2 (4.39) имеет вид

^-= J dx [atx + a2(l — x)]-2.	(4.41

1 2	0
Рассмотрим вначале вычисление нерасходящихся интегралов.
Подставив (4.49) в (4.37), записываем искомый интеграл в виде

1	Х1	Хп-2

j= (п- 1)! $ t/Xj $ dx2... $ dxn_{ /п)(хр ..., xn_j), (4.42)
0	0	о

где

/п)(х,.....x„_t)	= t GU)/* ,	(4.43)

1	J !<*-₽>2+y1

a p = ₽(xp ..., xn_j), у ss у(хр ..., xn_j). Под знаком интеграла сде-
лаем замену переменных к — р —* к. Тогда мы приходим к интегралу
^)(Х1,...,ХП_1) = [^Д,	(4.44)

1	" 1 j (Jt2 + у)"

X

где g(k) — полином с коэффициентами, зависящими от
хр ..., хп_Р В случае сходящихся интегралов, разумеется, I = J,

Рис. 4.4. Выбор контура в комплексной плоскости к0 при вычислении интегралов в
импульсном пространстве

поскольку интеграл не меняется от замены переменных интегриро-
вания. Однако для расходящихся интегралов это, вообще говоря,
уже не так (см. ниже). Представим функцию g(k~) в виде

gW = g0(*2) + £1и(*2) + ^(Л2) ^kv + ...	(4.45)

и начнем с интеграла, содержащего функцию g0(k2).
В этом случае

/(») =

Интегрирование по к0 в (4.46) производится с учетом правила об-
хода полюсов, зафиксированного в формуле (4.23). Это правило эк-
вивалентно интегрированию по контуру, изображенному на
рис. 4.4а. Но этот контур можно деформировать так, чтобы он про-

g0(*2) dAk
(к2 + у)п

(4.46)
ходил по мнимой оси, как это изображено на рис. 4.46. Другими
словами, делая замену переменных к0 —* ik'o, где к'о — вещественная
координата, мы приходим к интегрированию по четырехмерному
импульсному пространству, в котором к'2 = к'2 + к'а. Теперь, по-
скольку все а, в (4.39) представляют собой выражения типа
l/(jt'2 + т2) либо 1/к'2, можно считать, что у > 0 (см. (4.42),
(4.43)) и подынтегральное выражение не содержит особенностей;
Переходя к сферическим координатам в четырехмерном импульс-
ном пространстве, производим сразу же интегрирование по углам в
(4.46). Это дает (см. [I, § 1.3]) множитель 2л2. Вместо радиальной
координаты в ^-пространстве вводим переменную z = к'2 и оконча-
тельно получаем

Д") = in2 [ /(z)z dz.	(4.47)

J (z + y)"

Вычисление интегралов с остальными членами разложения
(4.45) сводится к (4.46). Действительно, подставляя в интеграл
§1И(Л2)ЛИ, сразу же из условий симметрии получаем

/(»)=( £144 d4 = о,	(4.48)

3 (к2 + У)п

а подстановка g^ik^k^ приводит к выражению ,

/(п) = f	d<k = 1 6 (	d<k (4.49)

J (.к2 + у)п	4 hv J +

Равенство (4.49) проверяется непосредственно: действительно, мож-
но положить gfyv(k2) = a^bvg2(k2), где аи, bv — постоянные
(не зависящие от к) векторы; тогда вместо (4.49) рассмотрим ра-
венство

g^k^k^
(к2 + у)п

k2g2(.k2)
(к2 + у)п

d4k.

(4.50)

d*k=\\A

Интеграл в левой части (4.50), содержащий функцию g2(k2),
является тензором второго ранга по значкам ц, v, и результат
интегрирования должен выражаться через единственный имею-
щийся в нашем распоряжении тензор 6иг. Числовой коэффици-
ент в (4.50) устанавливается сверткой тензоров.в правой и левой
частях.

Приведем теперь результат вычисления сходящихся интегралов
типа (4.46) по формуле (4.47) [4]:

f	_______ (4.51)

J (к2 + у)п •/-2(п-1)(п-2)
Соответственно для интегралов типа (4.43) с учетом приведенных
выше рассуждений получим

_____dAk  _____________in2________
(к2+ у — 2кд)п (7-$2)л-2(п-1)(п-2)

(4.52)

5 (к2	к d4k ц		 н  + у—2кдУ'	(v—в2)п-2(п —1)(п —2)	(и>3);	(4.53)
к к dAk  И V	__	. 7  +		
(к2 + у —2кд)п	(у-92)и-2(п-1)(п-2) /яд  _|_	н*	(п>4).	(4.54)
	2(-у - д2Г~Чп -1) (п - 2) (п - 3)		

Перейдем к вычислению расходящихся интегралов. Вначале рас-
смотрим логарифмически расходящийся интеграл

,<2,=^- «*)

Делая замену переменных к0 ik’o и вводя граничный импульс в
четырехмерном пространстве, приходим к интегралу

/(2) = /Л2 f _Ldz = /л2L	(4.56)

'	J (Z+Y)2	( У )

В последнем выражении отброшены члены порядка 1/L2, поскольку
они все равно пропадают после регуляризации, в результате пре-
дельного перехода £—»<».

Некоторые дополнительные проблемы возникают при вычисле-
нии расходящихся интегралов типа (4.43). В квантовой электроди-
намике имеется всего несколько типов расходящихся интегралов,
соответствующих упоминавшимся выше расходящимся диаграм-
мам. Эти интегралы могут расходиться логарифмически, линейно
или квадратично. Рассмотрим вначале логарифмически расходя-
щийся интеграл:

/2> = (	----г	(4.57)

J {к2 + у~2кд)2

Этот интеграл сводится к (4.55) заменой переменных к — «у—» к'.
Однако при такой замене переменных меняется и сама область ин-
тегрирования, т. е. граничный импульс (L-*L'). Учет изменения
граничного импульса может давать дополнительный конечный вклад
в интеграл. Правда, в случае интеграла (4.57) этого не происходит:
если L’ отличается от L на конечную величину, то при L—* оо по-
лучаем, что In L' отличается от In L на малую величину порядка
L l, и, следовательно, интеграл (4.47) однозначно определяется вы-
ражением

/2) = /л2 (in --- — 1) .	(4.58)

\ у~9 )

Аналогичные рассуждения могут быть применены и для вычис-
ления логарифмически расходящегося интеграла:

/3) = г к/^к	(4.59)

J (k2 + y-2qk)3

Делая замену переменных k' = к — q и используя (4.48), (4.49), по-
лучаем

<5 - v -1) + ¥	(«•«»

В случае линейно или квадратично расходящихся интегралов ти-
па (4.43) необходимо уже явно учитывать изменение области интег-
рирования при замене переменных. Продемонстрируем это на ли-
нейно расходящемся интеграле:

(k2-2qk + y)2'

Делая замену переменных к — q= к', получаем



к*dAk	г dAk

(к2 + у—д2)2	' (Л2 + -у—д2)2

(4.62)

Первый член в (4.62) расходится линейно, однако обращается в
нуль при интегрировании по углам, если не учить вать изменения
области интегрирования. Если такое изменение все же учесть, то от
этого интеграла остается конечный вклад. Продемонстрируем это
непосредственно, вычислив разность [4]

, к dAk

As	-----j

и J (к2-2дк + у)2

(k^ + qjtfk
(к2 + у—д2)2

(4.63)

Если не учитывать изменения области интегрирования, то A^sO,
так как оба члена в (4.63) отличаются друг от друга лишь заменой
переменных под интегралом. Очевидно, подынтегральное выраже-
ние в (4.63), записанное в виде разности подынтегральных выраже-
ний двух интегралов, существенно отлично от нуля лишь в области
значений к между L и L'. Отсюда следует, что в (4.63) можно счи-
тать q^-^k^. Разложим подынтегральное выражение в (4.63) в ряд
по и оставим члены первого порядка (члены нулевого попядка по
q^ взаимно уничтожаются):

Sf 4(<? к )к q ]
Г Л И _	I

[(Л2 + т)3	(к2 + у)2 J
Далее, используя (4.50) и (4.51), получаем

.	г Г к2	1	1 .1,	f d*k	in2

(Jt2 + v)3	(i2 + 7)2p" ^iU2+)3-	2^

1	J	(4.65)

Второй интеграл в (4.62) расходится только логарифмически, и, ис-
пользуя (4.56), окончательно получаем

42) = (in - 1 j + ди = in\ (in .	(4.66)

Аналогичным путем вычисляется и квадратично расходящийся
интеграл

„	к к d^k	,.

j(2) — f__________ (4.67)

И'1	' (k2-lqk + y)2'

Мы приведем здесь окончательный результат [3]:

+ '"Ч«.(|П^2-т)' <4-68>

С помощью выражений (4.58), (4.60), (4.66), (4.68) могут быть
выделены все основные расходящиеся выражения в 5-матрице. Соб-
ственная энергия свободного электрона во втором порядке по кон-
станте связи (диаграмма рис. 4.3а), согласно правилам соответст-
вия, определяется формулой

х(2)(р) = 7^ S	(469)

в которой электронный пропагатор определяется выражением (4.24) с
соответствующим правилом обхода полюсов. Фотонный пропагатор,
вообще говоря, определяется согласно (2.232), однако должен быть
модифицирован с учетом так называемой «инфракрасной катастро-
фы» в квантовой электродинамике. Эта катастрофа проявляется в
расходимости некоторых матричных элементов 5-матрицЫ, содержа-
щих интегрирование по импульсам виртуальных частиц, но уже не в
области больших, а в области малых энергий. С самого начала ясно,
что «инфракрасная катастрофа» не может иметь места для связанных
состояний электронов. Действительно, расходимость интегралов при
малых энергиях может возникать только из-за обращения в нуль зна-
менателей фотонных и электронных пропагаторов. Фотонные пропа-
гаторы при малых энергиях (к—»0) всегда дают особенности 1/к2, од-
нако одной этой особенности мало для возникновения расходимостей
при интегрировании. В случае свободных электронов электронные
пропагаторы могут иметь знаменатели типа 1/[г(р + к) + т], где
р — импульс электрона, к — импульс фотона, поглощенного этим
электроном. Если в обкладках соответствующего матричного элемен-
та стоят волновые функции свободных электронов Ч’СВОб, то
(ip + w)'H>CBo6 = 0и при k—>0 электронный пропагатор также имеет
особенность, которая может уже приводить к расходимости интеграла
по d4k. В случае связанных электронов в обкладках стоят волновые
функции трсвяз, для которых (ip + т) трсвяз * 0 и дополнительных осо-
бенностей не возникает. Таким образом, инфракрасные особенности,
которые могут появляться на промежуточных этапах при вычислени-
ях радиационных поправок для связанных электронов, должны авто-
матически исчезать или сокращаться в окончательных выражениях.
Для того чтобы удобнее прослеживать такие сокращения, можно фо-
тонный пропагатор записать в форме

D^(k}

Х2 + Х2’

(4.70)

где X2 > 0, а X имеет смысл «эффективной массы» фотона. Правила
обхода полюсов в (4.70) остаются прежними. В конце вычислений
следует устремить X к нулю.

Подставляя в (4.69) выражения для пропагаторов (4.24) и (4.70)
и используя свойства матриц у, приведенные в § 1.1 (в частности,
(1.44), (1.50)), получаем

2₽)(„) f у dP+lLm. у =

1 7	(2л)4 ' (р + к)2 + т2	Х2 + Л2

_	8 ле2 г i (p + ic)+ 2т dAk

(2л)4 ' (р+к)2 + т2 £2 + Х2’	'

Для вычисления интеграла (4.71) используем формулу (4.41) и за-
тем формулы (4.58) и (4.66). Это дает [3]:

2 1

£(2)(р) = ~ $ dx | [р( 1 - х) - 2im] х
о

X In	--------+ fl X - 1 \р + Нт]. (4.72)

р2х(1-х) + т2х + Х2(1-х)	(2	)	J	'

Наличие в выражении (4.72) граничного импульса L указывает
на ультрафиолетовую расходимость собственной энергии электро-
на. Формула (4.72) содержит также «массу фотона» X. Правда, в
(4.72) можно положить X = 0 без ущерба для сходимости всего
выражения, т. е. инфракрасная расходимость здесь отсутствует.
Эта расходимость появляется в выражении для собственной энер-
гии электрона в результате перенормировки (см. следующий па-
раграф).

Рассмотрим теперь собственную энергию фотона во втором по-
рядке (диаграмма рис. 4.3е), которая, согласно правилам соответст-
вия, определяется формулой

ftg'w=-Л sp П, 7.	«-’э)

и (2л) J и pz + mz (р — кг + т2
Вычисляя след по формулам (1.55), (1.56), приходим к выраже-
нию

4^2 г 6 Ар2 + т2 —рк) — 2р р + (р к + р к) .

n^(jt) =	——4—; v "" d4k. (4.74)

**'Л	(2л)4 3	(.р2 + т2')[(р-к)2 + т2]

Как будет видно из дальнейшего (см. следующий параграф этой
главы), физический смысл имеет лишь поперечная часть фотонной
собственной энергии. Поэтому удобнее вместо (4.74) использовать
другое выражение, удовлетворяющее условию поперечности:

(к к \

^--£чп(2)(*2),	(4-75)

где

R*2) = I	П£)(Л).	(4.76)

Проводя дальнейшие вычисления по методу параметризации
Фейнмана и используя теперь (4.68), после некоторых преобразова-
ний приводим величину П(2\Л2) к виду [3]

П<2)(*2)

+ ( dx 5 к2 — т2 — Л2х(1 — х) In 1+Дгх(1—х)
j z

о L	J L

(4.77)

Перейдем к вершинной функции в третьем порядке по констан-
те связи (диаграмма рис. 4.36). Согласно правилам соответствия
имеем

р2) = j УЛ(Р2 - ^S(Pl - к) ypD^(k) d4k, (4.78)

где фотонный пропагатор определяется формулой (4.70). После под-
становки пропагаторов вершинная часть приводится к виду

Ч3)(^1’ Рг) = 777 7v('₽2 -	- m)yvK -

- ilYv(i?2 - ™)	+ У,УОУ^Р1 - m)y^Ka -

- <4-79)

где	J

г

К = 1 ~5-----—5------?—Г"5——7-------3~7—г >	(4.80)

3 (к2 — 2р }к + р2 + т2) (к2 — 2р2к + р2 + т2) (к2 + к2)

_ С

°	3 (к2 — 2рхк + р2 + т2)(к2 — 2р2к +р^ + т2)(к2+ )?) ’

j	kji^ d4k

ах 3 (к2 — 2pvk +р2 + т2)(к2 — 2р2к + р2 + т2)(к2 + к2) ’	(4,$2)
Интегралы К, Ка, Каг вычисляются по методу параметризации
Фейнмана. Все выражение (4.79) существенно упрощается, если
считать р2 импульсами свободных электронов, удовлетворяющи-
ми соотношениям р2 = Р2 = —т2. Кроме того, в этом случае можно
считать, что при вычислении различных матричных элементов, ку-
да входит вершинная часть, она всегда умножается слева на и2, а
справа на и{, где и2,	— постоянные биспиноры, описывающие

электрон в состояниях с импульсами р2, pY (см. §4.1). Поэтому
каждую матрицу ip2, стоящую слева, и каждую матрицу ipj, сто-
ящую справа, можно заменить на — т.

Приведем окончательный результат вычисления вершинной час-
ти Л®(р!, р2) (подробности вычислений см. в [3]):

Л) = - 4 te (1” т-1) - ет К «5« -
Iх ' О

0 . Q 1	1 1 L21 . Те2 ,	~ , 20

- 2 6 - 8 - 4 1П j + 8^Г (V - <77и) 55720, (4-83)
где

Q=P2~Pv	(4.84)

sin2 е = -4.	•	<4-85>

4m2

В порядке комментария к вычислению заметим, что в ультрафиоле-
товой области (k —»оо) расходится только интеграл Ках в (4.79). На-
против, в инфракрасной области расходится только интеграл К,
поэтому в интегралах Ка, Каг можно сразу положить X — 0.
Подчеркнем, что в вершинной части инфракрасная расходимость
присутствует с самого начала, т. е. до регуляризации.

Остаются еще расходящиеся диаграммы типа рассеяния света на
свете. Эти диаграммы, однако, не понадобятся нам непосредственно
для вычисления радиационных поправок по константе связи. Поэто-
му мы не приводим здесь явных выражений для соответствующих
матричных элементов (эти выражения, в случае необходимости,
можно найти в [3]). Общие принципы устранения расходимостей в
таких диаграммах кратко упоминаются в следующем параграфе
этой главы.

§ 4.3. Перенормировка и регуляризация

Проведение программы перенормировок требует в первую очередь
изучения общей структуры диаграмм матрицы рассеяния, т. е.
выделения основных структурных блоков и принципов конструиро-
вания произвольных диаграмм из этих блоков. Такими блоками яв-
Рис. 4.5. Компактная (а) и
некомпактная (б) собствен-
но энергетические элект-
ронные части в четвертом
порядке по константе связи

г

ляются определенные в предыдущем параграфе электронная и фо-
тонная собственно энергетические части и вершинная часть.

Важную роль играет также выделение компактных (неком-
пактных), а также приводимых (неприводимых) собственно энер-
гетических и вершинных частей (диаг-
рамм) *). Компактной электронной собст-
венно энергетической частью называется
такая диаграмма, которую нельзя разбить
на части, соединенные только одной
электронной линией. Примеры компакт-
ной и некомпактной собственно энергети-
ческих электронных частей в четвертом
порядке по константе связи приведены на
рис. 4.5а, б. Компактной фотонной собст-
венно энергетической частью называется
такая диаграмма, которую нельзя разбить
на части, соединенные только одной
фотонной линией. Примеры компактной
и некомпактной фотонных собственно
энергетических частей в четвертом по-
рядке по константе связи приведены на
рис. 4.6а, б. Наконец, компактной вер-

шинной частью называется такая диаграмма, которую нельзя
разделить на части, связанные между собой только одной элек-

Рис. 4.6. Компактная (а) и некомпактная (6) собственно энергетические фотонные
части в четвертом порядке по константе связи



тронной или одной фотонной линией. Пример компактной вер-
шинной части в третьем порядке представляет собой диаграмма
рис. 4.36, примеры некоторых вершинных частей в том же по-
рядке приведены на рис. 4.7а, б.

Неприводимой диаграммой в квантовой электродинамике назы-
вается такая диаграмма, внутри которой нельзя выделить собствен-
но энергетические и вершинные части. (При этом в счет не идет вы-
деление элементарной вершины вида рис. 2.1а.) Существует только
одна неприводимая собственно энергетическая электронная диаг-
рамма и одна такая же фотонная диаграмма — это диаграммы
низшего порядка рис. 4.3а и рис. 4.Зе. Действительно, компактные

*) По установившейся терминологии определение компактной диаграммы в кван-
товой электродинамике соответствует определению неприводимой диаграммы в кван-
овой механике (см. [I, § 4.3, 4.6]), определение же неприводимой диаграммы в кван-
рвой электродинамике имеет совсем иной смысл.
диаграммы рис. 4.5а и рис. 4.6а являются приводимыми: если их
разрезать так, как указано, каждая из них распадется на две вер-
шинные части. Так же можно проверить, что и любые другие соб-
ственно энергетические диаграммы являются приводимыми. Однако

Рис. 4.7. Некомпактные вершинные час-
ти в третьем порядке по константе связи

Рис. 4.8. Неприводимая (а) и приводи-
мая (6) вершинные части в пятом поряд-
ке по константе связи

число неприводимых вершинных диаграмм бесконечно. На рис. 4.8а
для примера приведена неприводимая вершинная диаграмма в пя-
том порядке по константе связи; на рис. 4.86 для сравнения приве-
дена приводимая вершинная диаграмма в том же порядке с указа-
нием разрезов.	<

Введем теперь представление о точных пропагаторах (функциях
Грина) для электрона и фотона. Обычный электронный пропагатор
соответствует сплошной внутренней линии на диаграмме. Если в
эту сплошную линию вставить всевозможные собственно энергети-
ческие вставки, то мы получим по определению точный электрон-
ный пропагатор. Такой графической операции соответствует анали-
тическое выражение:

G«(p) = S(p) + 5(р)К<е>(р)5(р),	(4-86)

где К^е\р) — полная электронная собственно энергетическая часть,
т. е. сумма всех собственно энергетических вставок. В равенстве
(4.86) при этом опущены спинорные значки.

Точно так же можно ввести понятие точного фотонного пропага-
тора:

<$?(*) =	+ D^(k)^(k)Dxv(k),	(4.87)

где А^(Л) — полная фотонная собственно энергетическая часть,
т. е. сумма всех собственно энергетических вставок в фотонную
линию.

Наряду со вставками во внутренние линии должны также рас-
сматриваться и вставки во внешние электронные и фотонные линии;
это приводит к переопределению электронных и фотонных волно-
вых функций: вместо исходных функций тр(р) и А^(к) мы прихо-
дим к функциям

Ф(р) = ф(р) + 5(р)/^>(р)гр(р),	(4-88)

«/*) = A^k) + D^k)K^(k) Ах(к).	(4-89)

Можно, наконец, ввести полную вершинную часть — сумму всех
компактных вершинных частей Гц(р1р2Л) *). Эта величина зависит
от двух электронных (рп р2) и одного фотонного (Л) импульсов и
является матрицей по спинорным значкам. Величины G(e\p),
G^(k), К^е\р), Jty>(k), Гц(р1р2) представляют собой основные
структурные элементы S-матрицы. Особый интерес представляет
поэтому получение уравнений для этих величин или установление
общих соотношений между ними.

Рассмотрим вначале уравнения для функций G^e\ G^X Для этого
введем понятие массового оператора £(р), который отвечает сумме
всех компактных собственно энергетических электронных частей. Из
графических соображений можно сразу же установить соотношение

^)(р) = Др) + E(p)S(p)E(p) + t(p)S(p)Z(p)S(p)t(p) + ...

(4.90)
Суммируя этот ряд, получаем

х^(р) = ад[1 -5(Р)адг1.	(4.91)

Подставляя (4.91) в (4.86), получаем

G«(p) =S(p) +S(p)X(p)[l -5(р)Х(р)Г15(р).	(4-92)

Преобразуем последнее выражение:

G^(p) = {1 + 5(р)Др)[1 - S(p)X(p)]-I}S(p) =

= [1 - S(p)S(p)]-1S(p). (4.93)

Отсюда

G«(p) = S(p) + S(p)S(p)GW(p).	(4.94)

Уравнение (4.94) называется уравнением Дайсона для электронного
пропагатора. Из (4.94) также следует:

G«(p) S(p)

(4-95)

Такие же соотношения можно получить и для фотонной функ-
ции Грина G^(&), если ввести поляризационный оператор ПИЧ,(Л).
Этот оператор отвечает сумме всех компактных собственно энерге-

*) В силу сохранения в каждой вершине к - р, — р2, поэтому аргумент к в вер-
шинной функции можно не писать.
тических фотонных частей. Уравнение Дайсона для фотонной функ-
ции Грина имеет вид

<?£>(*) = ^(к) + ^x(*)nXt(*)G<№;	(4.96)

при этом получается также соотношение, аналогичное (4.95),

KW)];’ = их*)]’1 - М*)-	<4-97)

Общего соотношения, связывающего вершинную часть Г^(р1р2)
с пропагаторами G(e)(p), G$(k), не существует, однако в частном
случае, при pj = р2, такое соотношение можно получить. Оно назы-
вается тождеством Уорда и имеет следующий вид [3, 4]:

Ги(р,р)= -^-[GW(p)]4	(4.98)

Помимо вершинной части Ги(р,р2) мы будем использовать также
«укороченную» вершинную часть

ЛИ(Р1Р2) = ГИ(Р1Р2) ~ Уу	(4-99)

С помощью (4.95), учитывая определение (4.24), нетрудно убедить-
ся, что тождество (4.98) эквивалентно соотношению

Чтобы показать, как возникает соотношение (4.100), продифферен-
цируем тождество

5(р)5"*(р) = 1	(4.101)

по ри:

— 5“’ + S — = 0,	(4- Ю2)

дРу	дРу

откуда с учетом (4.24)

^ = “S'<S = SV-	<4103)

Выражение в правой части (4.103), будучи подставлено в S(p), дает
вершинную часть Лц в низшем порядке при к = 0 (т. е. соответст-
вующую излучению фотона с нулевой частотой). Это можно уви-
деть непосредственным сравнением. Таким образом, дифференциро-
вание электронной линии по ри приводит к появлению на этой
электронной линии вершины с нулевым импульсом фотона. Распро-
странение этого правила на более сложные диаграммы и приводит к
тождеству Уорда (4.100) или (4.98).

Результат всевозможных собственно энергетических вставок вс
внешние и внутренние электронные и фотонные линии можнс
описать также иным образом, с помощью перенормировочных кон-
стант. Рассмотрим вначале внешние линии. На самом деле вщ
волновых функций свободных электронов и фотонов (плоские вол-
ны) полностью определяется требованиями трансляционной сим-
метрии и релятивистской инвариантности, поэтому наличие собст-
венно энергетических вставок может приводить лишь к возникно-
вению дополнительных множителей, т. е. к изменению нормировки
функций *):

Ф(р) = 2}'2гр(р),	(4.104)

аДЛ) = Z‘%(A).	(4.105)

Отметим, что сказанное не относится к тем внешним фотонным ли-
ниям на диаграммах, которые соответствуют взаимодействию с
внешними полями. Действительно, само по себе внешнее поле счи-
тается заданным и не меняется в результате взаимодействия с ваку-
умом. Однако за счет взаимодействия с вакуумом возникают по-
правки к взаимодействию электрона с внешним полем, которые не-
обходимо учитывать (см. § 4.4).

Теперь обратимся к пропагаторам. Можно утверждать, что по-
люсный характер выражений для пропагаторов свободных электро-
нов при р2—»zn2 и фотонов при кг —>0 не должен меняться при
учете собственно энергетических вставок, поскольку этими выра-
жениями определяются свойства амплитуд реальных процессов
рассеяния частиц. Например, возможны такие процессы рассеяния,
когда в качестве промежуточных состояний возникают одноэлект-
ронные и однофотонные состояния, которым на диаграммах соот-
ветствуют пропагаторы. Амплитуда процесса в этом случае по фи-
зическим соображениям [4] должна иметь полюс при р2 = тг или
&2 = 0 (р, к — импульсы упомянутого одночастичного состояния).
Этот результат должен сохраниться и при наличии собственно
энергетических вставок в линию промежуточного состояния. Та-
ким образом, в пропагаторе при включении собственно энергети-
ческих вставок могут произойти следующие изменения: 1) полюс-
ный член может приобрести дополнительный множитель; 2) могут
добавиться неполюсные члены. При этом, поскольку вычет в по-
люсе точного пропагатора представляет собой, как можно ожидать,
произведение точных волновых функций, дополнительный множи-
тель для электронного пропагатора можно считать равным Zn а
для фотонного — Z3. Окончательно **)

G«(p) = Z1[Sr(p) + gW(p)],	(4-106)

<$?(*) =	(4-107)

*) Мы используем обозначения для констант перенормировки, принятые, напри-
мер, в [5].

**) Приведенные выше рассуждения являются на самом деле лишь наводящими.
Строгое доказательство равенств (4.106), (4.107), а также (4.104), (4.105) см. в [3-6].
где	_

ip — m.

sr(p) = i-----f,	(4.108)

p +m,

g^e)(p),	— неполюсные слагаемые, а смысл обозначения mr

разъясняется ниже.

Переход от пропагаторов S(p) и D^(k) к точным функциям
Грина G^e\p) и Gffl(k') в более общем плане есть переход от теории
невзаимодействующих полей к теории взаимодействующих полей. В
каждом конкретном процессе, помимо непосредственного взаимо-
действия реальных электронов и фотонов друг с другом, нужно учи-
тывать еще и взаимодействие реальных частиц с вакуумом. Оно
присутствует и для каждого отдельного электрона или фотона. По-
скольку это взаимодействие, таким образом, нельзя устранить ни в
каких физических экспериментах, оно и определяет величину пара-
метров, входящих в уравнения квантовой электродинамики: массу
электрона т и его заряд е. Реальные значения этих параметров (бу-
дем их обозначать в этом параграфе тг и ег) могут отличаться от
тех «затравочных» значений, которые фигурируют в квантовоэлек-
тродинамической теории возмущений.

Основная идея теории перенормировок [3—6] заключается в том,
что расходимости в квантовой электродинамике рассматриваются
как следствие неправильного выбора исходных параметров т, е. Ес-
ли переформулировать теорию так, чтобы в нее входили лишь ре-
альные параметры тг, ег, то расходимости исчезнут. Для того чтобы
увидеть, как это получается, установим прежде всего связь между
массами т и тг. Заметим, что, согласно сказанному выше о полю-
сах точного пропагатора &е\р), в формуле (4.106) должна по
смыслу фигурировать масса тг. Тогда в полюсном приближении
(т. е. опуская неполюсные слагаемые) получаем

— [G(e)(p)J-1 % ™ (р — zwr).	(4.109)

С другой стороны, согласно (4.59),

-[G(e)(p)]"1 = p-Zw + E(p).	(4.Н0)

Здесь, поскольку при выводе (4.95) мы пользовались теорией воз-
мущений, стоит затравочная масса т.

Массовый оператор £(р) можно на самом деле рассматривать
как функцию матрицы р: в низшем порядке это видно непосредст-
венно из выражения (4.72); при этом нужно учесть, что р2 = рр.
Ясно, что такой же характер зависимости сохранится и в высших
порядках. Разложим теперь Е(р) в ряд Тейлора вблизи р= imr и
оставим два первых члена разложения:

2(p) = 2(imr) + (p-imr)(^'|	+...	(4.111)

I ЭР I ~ .

\	/ p=imr
ниан свободных
вия:

Таким образом,

Подставляя (4.111) в (4.110), получаем

— [G(c)(p)]-1 = (р — imr) + [E(imr) — im + imr] +

Теперь из сравнения (4.109) и (4.112) следует:

1

zi

91(g)
др

mr = т +

p = imr

(4.Н2)

(4.113)

(4.114)

Разность масс 6(иг) = тг — т называется электромагнитной массой
электрона, поскольку она обусловлена электромагнитным взаимо-
действием.

Переформулируем теперь теорию возмущений так, чтобы в ну-
левое приближение входила масса тг. Полный гамильтониан для
системы взаимодействующих электронно-позитронного и электро-
магнитного полей представим в виде (2.209), (2.210):

Я=Я0(ш)+Яы,

(4.115)

Яо("О = Не(т) + Ну,

(4.116)

<

где явным образом от массы т зависит лишь гамильтониан свобод-

ного электронно-позитронного поля Не(т), имеющий
Учитывая эту зависимость, переопределим гамильто-

вид (2.202).

полей и гамильтониан взаимодейст-

я' = я0(тг)+я;п„

(4.U7)



#int —	$ Ч>+(*) ₽Ч>(*) dr. (4.118)

можно считать, что во всех форму-

Рис. 4.9. Гра-
фическое изо-
бражение пе-
ренормировки
массы

лах, получаемых в рамках теории возмущений, масса
т заменена на тг, если учитывается дополнительное
взаимодействие в (4.118). Это дополнительное взаи-
модействие в графической технике приводит к верши-
нам, в которых сходятся лишь две электронные линии.

Такие вер-

шины на графиках отмечаются крестиками (рис. 4.9). По правилам
соответствия этим вершинам отвечает множитель Ът. Описанная
процедура носит название перенормировки массы электрона.

Вершина с крестиком должна сопутствовать каждому набору
компактных собственно энергетических диаграмм для электрона,
т. е. каждому массовому оператору. Таким образом, можно сказать,
что величина

Ег(р) = Е(р) + ibm

(4.119)
соответствует перенормированному (по массе) массовому операто
ру. Коэффициент i перед Ът в (4.119) устанавливается сравне
нием с (4.112). Используя теперь (4.114), получаем

2Г(Р) = (Р ~ *"*,)

ЭКр)
Эр

(4.120)

p = im)

Обратимся теперь к перенормировке заряда электрона, т. е. к ус

тановлению соотношения между «затравочным» зарядом е и реаль

ным зарядом ег.

Определением реального заряда электрона

может

служить

утверждение, что две неподвижные

заряженные

частицы

на достаточно большом расстоянии друг от друга должны взаимо

действовать по закону Кулона:

(4-121)

Если при этом речь идет об электронах, коэффициент при 1/г12
в (4.121) можно определить как квадрат заряда электрона [3]. В
низшем порядке по константе связи потенциал вида (4.121) воз
никает из диаграммы рис. 4.10. При этом, в отличие от гл. 3, мы
используем здесь фейнмановскую калибровку для фотонного

пропагатора, что

всегда удобнее делать, когда речь идет о пере
нормировках. В высших порядках необходимо

учитывать, во-первых, лестничные и перекрест
ные диаграммы типа рис. 3.6, во-вторых, все
возможные собственно энергетические электрон
ные вставки во внешние линии, а также все

возможные вершинные части
заменить фотонный пропагатор

и, в

-третьих

на диаг-



рамме рис. 4.10 точным

пропагатором

Рис. 4.10. График,
определяющий куло-
новское взаимодей-
ствие электронов в
низшем порядке по
константе связи

Нетрудно увидеть, однако, что поправки пер-

вого типа при г12 —* 00 вклада не дают, посколь-
ку каждое новое взаимодействие содержит но-
вые степени l/ri2. На самом деле, буквально
то же самое получается и для любых графиков

содержащих дополнительный фотонный пропагатор. В
случае это можно явно увидеть на примере выражения

частном

(4.272)

для собственно энергетической электронной части во втором по-

рядке по константе связи.

Остаются лишь поправки третьего типа, содержащие электрон-
ные петли, и построенные на их основе графики. Эти поправки не
дают дополнительной малости, а их учет в полюсном приближе-
нии приводит, согласно (4.107), к умножению потенциала взаимо-
действия на Z3. Таким образом,

е2

(4.122)
Введем теперь основные регуляризованные структурные функ
ции в квантовой электродинамике. Регуляризованная функция Гри-
на электрона с учетом (4.106) определяется выражением

=	(4-123)

R Z} г ’

где — перенормированная по массе электронная функция Гри-
на. Последнюю можно определить как решение перенормированного
по массе уравнения Дайсона:

G<e> = Sr + SrSrG<e>.	(4.124)

Здесь следует подчеркнуть различие между перенормированными
(по массе) функциями Грина и регуляризованными функциями
Грина. Первые содержат уже зависимость от реальной массы тг, но
могут еще зависеть от затравочного заряда е и поэтому содержат
расходимости. Вторые, как будет показано ниже, зависят уже от ре-
ального заряда ег и поэтому не содержат расходимостей. Вместе с
тем употребительна и такая терминология: когда говорят просто о
перенормированной величине (без добавления «по массе»), имеют в
виду величину, перенормированную и по массе, и по заряду, т. е.
регуляризованную величину. В случае фотонной функции Грина
расходимости связаны только с затравочным зарядом, поэтому пере-
нормированная и регуляризованная функции Грина в любом случае
совпадают. Мы будем использовать обозначение (jr (к) и, с учетом
(4.107), запишем

G<?(k)=±G^.	(4-125)

Регуляризованная вершинная часть ГД(Х, в согласии с (4.98),
определяется выражением

4=V,	(4.126)

Введем также регуляризованную вершинную часть Лр (см. (4.99)):
Лки(Р1Рг) = 21(ли(Р1Р2) “ АИ(*Х> ZA))>	(4.127)

и покажем, что имеет место соотношение

Г яи(Р1Р2) = 'ф + ЛД(л(Р1Р2).	(4.128)

Действительно, подставляя (4.127) в (4.128), используя, далее,
тождество Уорда (4.98) и формулу (4.106), а также следующее из
этих соотношений равенство

ги(«шг, imr) = ± уи,	(4.129)

непосредственно приходим от (4.128) к (4.126), что и доказывает
сделанное утверждение.
Покажем теперь, что функция удовлетворяет уравнению
Дайсона вида

<%Чр) = Sr(p) + Sr(p)2R(p)t4e)(p),	(4.130)

где £Л(р) — регуляризованный массовый оператор:

'ZR(p) = Zl[Yr(p)-'Zr(imr)-(^-imr)(^-}	1.	(4.131)

I	( аР )p = imri

При этом, как следует из определения (4.120),

Zr(imr) = 0.	(4.132)

Для доказательства (4.130) подставим (4.131) в (4.130) и учтем,
что

= (—1

I др I i	I dp I 2

' ' p = im	\ / p = im

После этого, заменяя в правой и левой частях уравнения (4.130)
функцию (jr на G{re\ согласно (4.123), получим

j- &'\р) = S(p) + Sr(p)\(p)G^(p) - S (р ~ imr) M

Z>	W£=im,

(4.133)

Далее, имея в виду, что Sr(p~ itn^ = 1, а также учитывая ((4.113),
приводим уравнение (4.133) к виду

X G<e>(p) = Sr + 5r(p)2rG<e>(p) + (Х -	G^(p),	(4-134)

из которого сразу же следует (4.124). Это и доказывает уравнение
(4.130).

Проделаем теперь то же самое для фотонной функции Грина
б^(Л). Запишем уравнение Дайсона (4.96) для поперечной части
функции Грина:

= D^k>> + П^*)П1г( W(*)>	(4Л35)

где

(к к\

(4.136)

(4.137)
ik

G^4*) = cW2)(\v-^r)-	(4Л38)

При изучении перенормировок можно ограничиться поперечной ча-
стью функции Грина, поскольку продольная часть не дает на самом
деле вклада во взаимодействие электронов. Действительно, взаимо-
действие осуществляется либо путем обмена скалярными фотонами
(кулоновское взаимодействие), либо за счет обмена поперечны-
ми фотонами (брейтовское взаимодействие) — см. по этому пово-
ду гл. 3.

Обратимся теперь к уравнению (4.97). Определим обратные тен-
зоры равенствами

ЮЧ*) V=I D(k2}	,	(4.139)

(к к \

(4Л40)

Тогда из (4.97) следует:

ПЦ¥(Л)=П(Л2)^-^,	(4.141)

что и утверждалось в предыдущем параграфе (см. (4.75)). С учетом
(4.139) —(4.141) мы можем опустить в (4.97) и, соответственно, в
(4.96) поперечный множитель и дальнейшие выкладки производить,
оперируя величинами О (к2), G^\k2), П(£2).

Покажем теперь, что регуляризованная фотонная функция Гри-
на Сд\к2), определяемая равенством

(4-142)

удовлетворяет уравнению

G%\k2) = D(k2) + D(k2)nR(k2)G%Xk2),	(4.143)

где ПЛ(Л2) — регуляризованный поляризационный оператор:

1	(4.144)

dk2 Л2=о]

Для доказательства используем уравнение (4.97), из которого сле-
дует:

[(/^(fc2)]-1 = у-zfc2 — П(&2).	(4.145)

ПЛ(Л2) = Z3i П(Л2) - П(0) - к2

С другой стороны, при к2—>0 из (4.107) имеем

|С<”(*г)Г' = it2-

(4.146)

Разложив П(А2) в ряд при Л2—>0 и сравнивая (4.145) с (4.146), по-

лучаем

П(0) = 0,

4=1 + 4лл

Л/2п(&2)\
\ с/<2 /

*2 = 0

(4.147)

(4.148)
Доказательство (4.143) теперь легко выполняется подстановкой вы-
ражения (4.144) с учетом (4.147), (4.148) и последующим сведени-
ем этого уравнения к (4.135).

Суть теории перенормировок проясняется, когда мы начинаем
вычислять матричные элементы 5-матрицы, выражая их через пе-
ренормированные величины. Рассмотрим матричный элемент М^п\
соответствующий некоторой неприводимой диаграмме n-го порядка.
Мы сопоставим всем внутренним электронным и фотонным линиям
на этой диаграмме точные пропагаторы <7^> вершинам — пол-
ные вершинные части Ги, а внешним электронным и фотонным ли-
ниям — функции (4.104), (4.105). Обозначим через Fe и F числа
внутренних электронных и фотонных линий, Ne и Ny — числа
внешних электронных и фотонных линий. Тогда схематически мат-
ричный элемент М(п^ может быть представлен в виде

( (Г)',(С<е>)/?<(С^)гу(Ф)ЛГ«(й)Лгъ	(4.149)

где верхние индексы указывают, сколько раз та или иная величина
используется при построении матричного элемента.

Выражение (4.149) записано через неперенормированные вели-
чины. Производим перенормировку, пользуясь формулами (4.104),
(4.105), (4.122), (4.123), (4.125), (4.126). Это приводит к резуль-
тату

Z-» + F+I/2^Z-n/2+F+1/2^е» х

х $ (Г)п(С(е>)ге(С^))Л'у(-ф)ЛГ<(Л)Лгу. (4.150)

Но для числа электронных линий на любой диаграмме выполняется
соотношение

n = Fe + ^Ne

(4.151)

(это соотношение становится очевидным, если пройти вдоль какой-
либо электронной линии на диаграмме). Имеет место также очевид-
ное соотношение

n = 2Fy + Ny.	(4.152)

Тогда

$ (rK)n(G^))F4G'«))F>(^)/V'M)^-	(4.153)

Формула (4.153) является центральной формулой теории пере-
нормировок [5]. Она показывает, что матричные элементы 5-матри-
цы, выраженные через перенормированные (регуляризованные) ве-
личины, выглядят точно так же, как и матричные элементы, выра-
женные через неперенормированные величины. Следовательно,
проделав в формулах для вершинной части (4.127) и собственно энер-
гетических частей (4.131) и (4.144) вычитания первых членов и ис-
пользуя эти формулы в матричных элементах, мы можем заменить
повсюду т на тг и е на ег. Согласно (4.150) вычитательная процедура
сводится к мультипликативной — к умножению матричного элемен-
та на числовой коэффициент. В случае квантовой электродинамики
этот коэффициент оказывается конечным (равным единице), что и
означает перенормируемость квантовой электродинамики.

Вместе с тем эта вычитательная процедура и означает собствен-
но регуляризацию, поскольку регуляризованные выражения при
подстановке в интегралы уже не дают расходимостей. Поясним это
на конкретных примерах расходящихся выражений, приведенных в
предыдущем параграфе. Отметим, что волновых функций регуляри-
зация при этом не касается — они остаются теми же, что и в ис-
ходной теории.

Рассмотрим диаграмму собственной энергии электрона во втором
порядке по константе связи *) (выражение (4.72)). Согласно
(4.131) соответствующее регуляризованное выражение имеет вид

Х^(р) = ^(2)(р) — 2(2)(i/nr) — (р — imr}		(4.154)

\ &Р ) г

\ I p=im

Вычисления по формулам (4.72), (4.154) достаточно прямолиней-
ны, и мы приводим здесь только их результат [3]:

2 1	(  0	1	I—	-j	т2х2 + к2(1— х)  р(1 — х) — 2im In -5	5——z	Ь  L	J	p2x(l —x)+m2x + X2(l —x)  + (p-*o	(4-155)  mxl + X (1 — x)

Здесь важно подчеркнуть, что, в отличие от (4.72), выражение
(4.155) расходится логарифмически при X—*0 (это видно из пове-
дения последнего члена подынтегрального выражения при х —>0).
Таким образом, в результате регуляризации, как уже упоминалось,
в выражении для собственной энергии электрона появляется инф-
ракрасная расходимость. Эту расходимость удобно выделить в явном
виде, вычисляя (4.155) при 1—>0 [9, 10],

,,,	_2 _ р2 — т2

4(р2 + т2)
Р2

Р2 + т2 ‘

— 1П'

„2 .	2

р +т

In ---т--

т.

р2 + т2

—+

тг

'	2-	п2

— 2	+ m In—. (4.156)

, е2 .

Перейдем к собственной энергии фотона во втором порядке. Ре-
гуляризованное выражение для этой величины, согласно (4.144),
имеет вид

П^2)(Л2) = П<2>(£2) - П(0) - к2Г2-(*2)|	•	(4.157)

\	/ к2=0

*) В низшем (втором) порядке собственно энергетическая электронная часть сов-
падает с массовым оператором, что и отражено в обозначениях. То же самое можно
сказать про фотонную собственно энергетическую часть и поляризационный оператор.
Подстановка (4.77) в (4.157) после вычисления интегралов дает |3|:

2

| + (i-ectge)

4т2-2к2
Зк2

(4.158)

где

sin2 е = —

4т2

(4.159)

Нам осталось привести выражение для регуляризованной вер-
шинной части A^(p!p2) в низшем (третьем) порядке по константе
связи. Регуляризация в этом случае, согласно (4.127), сводится к
следующему:

ЛЯ^(Р1Р2) = ^(PlPl) ~	imr)- (4.160)

Подстановка в (4.160) выражения (4.83) дает [3]:

• (3), ч е2 ( ( 26 Л тг .)
Л^(Р1Р2) = -	1^26 - 1 Н In Т - 11 -

6	7	. 2

— tg 26 $ tg £	~ 2 tg + 3mnr ~ sin2e’ (4.161)

sin2 0 = —
4т;

Наконец, необходимо упомянуть о регуляризации приводимых
диаграмм. В принципе нужно доказать, что мультипликативная те-
ория перенормировок справедлива не только для неприводимого
матричного элемента 5-матрицы (4.149), но и для любого приводи-
мого матричного элемента. Это достаточно сложное доказательство,
опирающееся в основном на топологические свойства диаграмм
Фейнмана, можно найти, например, в [3—6].

В заключение этого параграфа рассмотрим вкратце, как произ-
водится регуляризация матричного элемента Qilx.)x(.k[k2k3k4), соот-
ветствующего диаграмме рассеяния света на свете (kt — импульсы
фотонов). Этот матричный элемент расходится логарифмически,
т. е. содержит члены типа In (L2/m2), причем расходящимся являет-
ся нулевой член разложения по Л,(2и^х(0000) [3]. Однако из сооб-
ражений калибровочной инвариантности получаем, что

=	(4.162)

Действительно, добавление слагаемых типа xjc (см. § 2.6) к каж-
дому из фотонных пропагаторов, присоединяющихся к электронной
петле на рис. 4.3г, не должно менять амплитуду процесса. Отсюда
сразу же следует:

Q^x(0000)=0.	(4.163)
Таким образом, благодаря условию калибровочной инвариантности,
расходимости в диаграммах типа рассеяния света на свете фактиче-
ски отсутствуют.

§ 4.4 Радиационный сдвиг уровней энергии для
нерелятивистских электронов в атоме

Вычисление радиационных поправок к уровням энергии атомов
производится существенно различными методами в зависимости от
того, являются ли рассматриваемые электроны нерелятивистскими
или, напротив, сильно релятивистскими. Согласно рассуждениям,
приведенным в §3.1, нерелятивистскими являются электроны, для
которых а2эф«1; для релятивистских электронов п2дф » 1. При-
чины, по которым расчет поправок для нерелятивистских элект-
ронов обладает особенностями и не может производиться по общей
схеме квантовоэлектродинамической теории возмущений, обсужда-
лись также в § 3.1. Эти причины сводятся к необходимости про-
изводить расчет поправок к энергии на основе точных шрёдинге-
ровских волновых функций для многоэлектронных атомов. Самый
простой путь в этом случае — построение эффективных потен-
циалов типа потенциала Брейта, усреднение которых с точными
шрёдингеровскими функциями дает непосредственно поправки к
энергии. В случае радиационных поправок, однако, как будет вид-
но ниже, не все выражения удается свести к эффективным по-
тенциалам.

Высокоэнергетическая часть. Рассмотрим вначале одноэлект-
ронную задачу, т. е. уравнение Дирака для электрона в некотором

Рис. 4.11. Радиационные поправки к диаграмме взаимодействия с внешним полем

внешнем поле Л^ех,)(х). Взаимодействие с этим внешним полем опи-
сывается в уравнении Дирака (1.32) выражением

ieU(x) = ieyflA&a)(x'),	(4.164)

которому соответствует диаграмма рис. 4.11а, где величину
eU(x') можно назвать эффективной потенциальной энергией. В ка-
честве одного из слагаемых eU(x) содержит и действительно по-
тенциальное взаимодействие с внешним скалярным потенциалом
Л^ех,)(х). Тогда в уравнение (1.19) входит взаимодействие с полем
в виде

ze0f/(x) = 1в₽уиЛ(ех,)(х).	(4.165)

Попробуем теперь выяснить, какие диаграммы, содержащие радиа-
ционные поправки, будут давать добавки к взаимодействию (4.164).
В предыдущем параграфе подчеркивалось, что волновые функции
начальных и конечных состояний в матричных элементах 5-матри-
цы не меняются в результате регуляризации. Это означает, что мы
не должны учитывать собственно энергетических вставок во внеш-
ние электронные линии. Тогда в низшем порядке имеется всего две
возможные диаграммы, приведенные на рис. 4.116, в. При этом
можно сказать, что диаграмма рис. 4.116 учитывает собственную
энергию электрона, а диаграмма рис. 4.11в — поляризацию вакуу-
ма. Действительно, диаграмма рис. 4.116 получается при разложе-
нии диаграммы собственной энергии электрона во внешнем поле
(см. рис. 4.1а) по степеням внешнего поля (см. более подробно в
конце этого параграфа). Диаграмма рис. 4.11в получается в резуль-
тате такого же разложения диаграммы рис. 4.16. Последняя же по
смыслу представляет собой поляризацию электронного вакуума
(см. § 1.6).

Введем следующие обозначения для добавки к взаимодействию
(в импульсном представлении):

&U(q) = bU^(q) + 6С<2>(?),	(4.166)

6t/(‘)(tf) =	(4.167)

6U&(q) = G^A^^q),	(4-168)

где	Si/1-2'	относятся соответственно к диаграммам	рис.	4.116, в;

q =	Р2~	Pi- Запишем вначале вклад диаграммы рис. 4.116.	Согласно

(4.161), получаем *)

bU^(q) = A^(q)A^(q),	(4.169)

2
tg 26

-1 (1Пу-11 -|tg6-

/ у Л	/ Z

e

S +sk(^-v)

0	J

26 1
sin 261 ‘

Перейдем теперь к вкладу диаграммы рис. 4.11 в:

6t/(2)(<7) = y}Dkv(q2)n^q2)A^(q).

(4.171)

*) В этом параграфе и далее возвращаемся к обозначениям т, е, под- которыми
понимаем перенормированные значения массы и заряда электрона.
Подставляя выражения (2.232) для Dkv(q2) и (4.75), (4.158) для

П^(#2), а также имея в виду, что

получаем

Si R

Av I vpi

= s

%	92 ’



| + (i-ectge)^#
’	3<?

(4.172)

(4.173)

е3
ebU(q)=-e-

Q2

Зт2

Поскольку величина переданного импульса для нерелятивистско-
го электрона в атоме мала, qlm^ aZ«l (см. (1.199)), разложим
(4.170) и (4.173) в ряд по q, оставляя члены не выше <?2 [3|:

т 3	1\

X 8

^2	+ 8^	~ 7Д)|4ех,)(^)- (4-174)

При этом член, содержащий коэффициент —1/5, происходит от диа-
граммы поляризации вакуума. Сделав в (4.174) замену q —
перейдем к координатному представлению:

eWM = 7 {i (1п ? -5 - j) +

+ яй - Й	(4-17S)

где — тензор электромагнитного поля, определяемый форму-
лой (2.23). В трехмерных обозначениях выражение (4.175) приоб-
ретает вид*)

ЫМ = £ {-L (1п = -1 -1) ip(T - аоА) -

-й*16*’ -“*)}. <4Л76)

где Й. — напряженности электрического и магнитного полей,
У = Л0.

В случае электрона, движущегося в атоме, внешнее магнитное
поле можно считать равным нулю, А =	— 0. Далее,, учитывая

й(г) = — W, запишем

ебП(х) = ебП(г) =

е3 [ 1

к [3m2



(4.177)

*) Предпоследний член в фшурных скобках в (4.175) можно устранить выбором
калибровки (2.21).
Чтобы вычислить поправку к энергии уровня, согласно (4.164) нуж-
но написать

ЛЕ'а = ie(^U)AA,

(4.178)

где в обкладках матричного элемента должны стоять дираковские
волновые функции (решения уравнения (1.20) с гамильтонианом
(1.34)). Поскольку в этом параграфе мы рассматриваем нереляти-
вистские электроны, в (4.178) необходимо перейти к нерелятивист-
скому пределу. В первом члене в фигурных скобках в (4.177) для
этого достаточно просто заменить матрицу р единицей и перейти к
шрёдингеровским волновым функциям для атома водорода.

Во втором члене в фигурных скобках в (4.177) перейдем к нере-
лятивистскому приближению, используя (1.197). Тогда, по анало-
гии с (1.232), имеем

Ap+P(aVH^~i T'((oVV')(Op) - (op)(aVK))T- (4-179)

Используя теперь (1.29), получаем

•ф+Р(а¥У)1р^ — 2^ ф+(—ЛИ + 2ia(VKx V))<p.	(4.180)

В случае сфсрически-симметричного потенциала

Vy = ££^2,	(4.181)

и, учитывая определение оператора орбитального момента I (см.
(1.69)) выражение (4.180) можно переписать так:

лр+р(аУ)У^« - ~ <р+ЛИ<р + Т+ у 4? (а0Т-	(4.182)

Теперь, собирая все члены и используя (4.178), получим для по-
правки к энергии выражение

,	г3

ле’а = -е-

л	л

1

3m2



'лл+диин*')

АА

(4.183)

Низкоэнергетическая часть. Наличие инфракрасной расходи-
мости в формуле (4.183) говорит о том, что пока не учтен вклад в
радиационный сдвиг от длинноволновых, т. е. низкоэнергетических,
виртуальных фотонов. В случае нерелятивистских электронов этот
вклад может быть получен простым квантовомеханическим расче-
том |2].

В нерелятивистской квантовой механике радиационный сдвиг
уровня А можно определить формулой

(4.184)
где 1ап — недиагональный электронный ток:



(4.185)

А — вектор-потенциал электромагнитного поля (2.130) в диполь-
ном приближении (справедливом в случае взаимодействия с нереля-
тивистскими электронами — см. по этому поводу § 5.1):

Суммирование в (4.184) производится по волновым векторам к и
поляризациям е виртуального фотона и по полной системе проме-
жуточных состояний для нерелятивистского электрона лрп. Взаимо-
действие электрона с фотоном в (4.184) записано согласно (2.214).

Суммирование по состояниям фотона с определенным импульсом
к сводится к интегрированию; при этом подынтегральная функция
должна умножаться на число состояний фотона в интервале значений
импульса от к до k + Jk. Это число, очевидно, равно с?к/(2л)3. При
этом, поскольку подынтегральная функция в интеграле по к не зави-
сит от направления импульса фотона (см. (4.186)), можно сразу про-
вести интегрирование по углам в к-пространстве. Однако до этого
удобно выполнить еще суммирование по двум направлениям поляри-
зации е. Такого рода суммирование является операцией, которую ча-
сто приходится выполнять в теории излучения (см., например, § 5.1),
поэтому рассмотрим его подробнее. В общем случае речь идет о вы-
числении суммы

F =	(e'a)(eb),	(4.187)

е

которую удобно записать в виде

(4.188)
Z -i I IK.

i.k
где

/,» = S(e-),(e)v	<4189>

e

Рассмотрим свойства матрицы fik. В силу условия поперечности
(2.75), которое в трехмерных обозначениях имеет вид

(ve)=0,	(4.190)

где v — единичный волновой вектор, должны выполняться соотно-
шения

=	(4.191)

к	i

Эти соотношения полностью определяют эрмитовскую матрицу fik.

Из условия нормировки векторов поляризации также следует:

Sp/U = 2.	(4.192)
Всем требованиям (4.191), (4.192) удовлетворяет матрица вида

Тогда

ftk = 6ik ~ vivk-

(4.193)

(ab) = (av)(bv) = (axv)(bxv), (4.194)

и в результате суммирования по поляризациям в (4.184) мы полу-
чаем

2 Iе $ 1ап(Г) </ГГ= lvx $ jAn(r) dr|2 = ^2 lVX(P)An|2- <4-195)
е

Теперь можно вычислить интеграл по углам в к-пространствс, на-
правив ось ki по вектору (р)Ап:

j dv |vx(p)Xn|2= |(р)Ап12-2л J sin3 6 d8 = ~ |(p)Anl2 (4-196)
0

Собирая все результаты, записываем (4.184) в виде

а Зя т2 J Zj еу1-е„-а>

(4.197)

о

п

Интеграл по частоте со в (4.197) расходится, поэтому интегрирова-
ние ограничено предельным значением согаах. Формула (4.197) дает,
как уже говорилось, вклад низкоэнергетических фотонов в радиаци-
онный сдвиг, что и оправдывает введение предельной частоты. В вы-
ражении (4.197) нужно произвести перенормировку массы. Для это-
го с помощью тождественных преобразований представим (4.197) в
виде

(15

у шах

о



<Р>лл у 1(Р)Ли12<ея~еа>

<о Za w(en — гл + to)

(4.198)

Напомним рассуждения, связанные с перенормировкой массы,
используя на этот раз квантовомеханическое (а не квантовополевое,
как в § 4.3) описание. Если говорить о свободном электроне, то его
экспериментально наблюдаемая масса тг состоит из ненаблюдаемой
затравочной массы т и электромагнитной массы dm, обусловленной
собственной энергией электрона *). При этом мы будем считать, что

dm«m .

(4.199)

Это неравенство не противоречит тому, что в § 4.3 мы считали ве-
личину dm бесконечно большой (см. (4.114)), поскольку в данном
случае речь идет о низкоэнергетическом вкладе в электромагнитную

*) На протяжении этого абзаца мы вновь используем обозначения тг, т, как в
§ 4.3. Что касается dm, то теперь так обозначен низкоэнергетический вклад в электро-
магнитную массу.
массу. В случае нерелятивистского свободного электрона формула
(4.115) приобретает вид

Н = ^- + Н +Н..,	(4.200)

2m V >п*’

или с учетом (4.199)

+ — _pL р + Н	(4.201)

2тг тг 2гп. у^ яшг

Оператор Hinl во втором порядке теории возмущений приводит к из-
менению энергии свободного электрона, которая дается выражением
(4.198) (записанным с волновыми функциями свободного электро-
на). В этом случае, однако, второй член в фигурных скобках про-
падает, поскольку импульс является интегралом движения и недиа-
гональные матричные элементы оператора р равны нулю. По опре-
делению энергия свободного электрона в состоянии с импульсом р
равна р2/2т, т. е. равна математическому ожиданию первого члена
(4.201) с соответствующими волновыми функциями. Таким обра-
зом, мы должны выбрать 6 т так, чтобы второй член в (4.201) унич-
тожал бы добавку, происходящую от Hint. Это дает

(4.202)

6т = е2 ( rfw — е2<о .

ЗЛ J	Зя2 max

0

Эти же рассуждения можно перенести теперь и на связанный элек-
трон, описываемый гамильтонианом

_	п2

Не = ^~^-	(4-203)

Г

В этом случае, однако, контрчлен с 6т не сокращает полностью вы-
ражение A£\. Остаток и представляет собой низкоэнергетический
вклад в радиационный сдвиг уровней.

Таким образом, перенормированное выражение для А Ад имеет
вид

а Зл т2 J	еп-ел + ы

0 п

(4.204)

Будем считать, что частота <отах достаточна велика, т. е.

Тогда интегрирование в (4.204) дает

5 21 2(е" тйд=
п

(4.205)

(4.206)
где

V* 1 /~\ \li \ 1 2'С" еД

2К S'(P^I

1п--—2=~-----------------

m(aZ)2	КР’лЛ-'т?

(4.207)

— так называемый логарифм Бете [11]. Ввиду того, что
| е„ — еЛ| « ?n(aZ)2 (см. § 1.5), величина ^A//n(aZ)2 не должна за-
висеть от Z.

Учитывая явный вид гамильтониана (4.203) и используя простые
квантовомеханические преобразования, можно написать

2 । (Р)л„|2(еп - Ед) = ([рЯ]_, р)АА = ie(VV,p)AA =
п

= e(VV, V)AA = -1 е(ДУ)АА. (4.208)
Тогда

<4'20”

Теперь необходимо низкоэнергетическую часть сдвига (4.209)
«сшить» с высокоэнергетической частью (4.183). Для этого необхо-
димо прежде всего связать эффективную массу фотона X с мини-
мальной энергией (частотой) фотонов comjn, которая еще учитывает-
ся в высокоэнергетической части А2?а. Обычно поступают следую-
щим образом. Рассматривается процесс излучения фотона
электроном, находящимся в некотором постоянном внешнем поле
(поле ядра). Поскольку речь идет об излучении длинноволновых
фотонов, электрон должен находиться в каком-то состоянии из
сплошного спектра. Тогда внешнее поле достаточно учесть по тео-
рии возмущений, в первом порядке. Фактически при этом мы при-
ходим к изучению процесса рассеяния электрона на внешнем поле
с испусканием фотона. Начальная энергия е электрона является
фиксированной, энергия испущенного фотона со считается малой по
сравнению с е, Ае«е (Ае — верхняя граница энергии фотона со).
В отношении нижней границы для величины со можно поступить
двояко *). Можно, во-первых, ограничить возможные значения со
величиной comin. Во-вторых, можно, не вводя ограничений снизу на
величину со, проводить вычисления с эффективной массой фотона
X. Сравнивая полученные выражения, можно установить искомую
связь между X и corain. Приведем здесь результат вычислений [3]:

ln 2wmin = In X +

(4.210)

*) Вероятность излучения фотона в области малых энергий обратно пропорциа-
нальна частоте: dW ~ du>!u>', полная же вероятность излучения логарифмически рас-
ходится [3]. Эта расходимость в области малых энергий есть та самая «инфракрасная
катастрофа», о которой говорилось в § 4.3.
«Сшивание» формул (4.183) и (4.209) можно осуществить, если
найдется область значений о, в которой удовлетворяются одновре-
менно условие (4.205) и условие

wmin<<w-

(4.211)

Последнее возникает в связи с тем, что формула (4.183) получена
при Х-*0. Поскольку единственным энергетическим параметром в
области высоких частот является масса электрона, фактически это
означает к«т, откуда, с учетом (4.210), и следует (4.211). Имея
в виду, что | еп — еа| я» та2 при Z » 1, можно убедиться, что суще-
ствует область значений со, в которой одновременно выполняются
условия (4.205) и (4.211):

та2«со<к/и.

(4.212)

В этой области, т. е. при со ~ та, можно положить w_,_ -- com„v, что
*	111111	lllciA ’

и приводит к «сшиванию» формул (4.183) и (4.209).

В результате «сшивания», с учетом (4.210), получаем выраже-
ние, не зависящее от comin, com •
niiii'

3 г Г

= де; + де; = - р рп -1 + г| <л пл, +

|- <4-2|3>

'	' aaJ

Теперь учтем, что V — кулоновский потенциал ядра, т. е. он имеет
вид (1.35) и удовлетворяет уравнению Пуассона [I, (5.16)]

АП = —4jteZ6(r).	(4.214)

Тогда

+	I- <4-215)

I \ А /	V / АА)

Рассмотрим теперь более конкретно различные состояния элект-
рона в атоме водорода, расшифровывая символ A=nlj. Возьмем
сначала I = 0. В этом случае последний член в (4.215) обращается
в нуль, а зависимость от j можно не учитывать. Далее, в релятиви-
стских единицах, согласно [I, (1.26)], имеем

1%о(О)12 = |(^;)3

_ (та)3
л

(4.216)

где а0 — боровский радиус. Подставляя (4.216) в (4.215), получаем
(в релятивистских единицах)



__4masZ4
Зла3

,п—ч
(aZ)2

.	 19

m(aZ)2 30

(4.217)
В случае состояний с / * 0 величину КА следует переопределить,
поскольку знаменатель в (4.207) обращается в нуль. Удобно заме-
нить знаменатель в (4.207) другим, соответствующим тому же зна-
чению п, но I = 0. Это значит фактически, что Кп1 переопределяет-
ся так:

In 2*”' г |лр"'(0)|2 1П 2К»>
m(.aZ)2	|ipn0(°)|2	m(aZ)2'

(4.218)

Вместе с тем все члены в (4.215), пропорциональные | ^А(0) |2 и не
содержащие In КА, в этом случае обращаются в нуль. Вычисляя вто-
рой член в фигурных скобках в (4.215), с учетом результатов [I,
§ 3.12], а также табл. [I, П2.3], получаем

^Enlj

зГ/(/+1)-к/+1)-|Г

_ 4m а5?4 _|п 2Кп1 + I_______________£

Зл"3	т 16(/+1 )(/+£)/

(4.219)

Формулы (4.217), (4.219) определяют лэмбовский сдвиг для
уровней нерелятивистских электронов в атомах. Этот сдвиг (в
низшем порядке по константе связи) представляет собой поправку
порядка a(aZ)2 к уровням энергии атома. Благодаря различию по-
правок при / = 0 и / *0 и явной зависимости от Z в (4.218) снима-
ется вырождение по четности, о котором говорилось в § 1.1. В част-
ности, при расчете по формулам (4.217), (4.219) получается
А£^1 = 1034 МГц,	= —17 МГц. Таким образом, полученное

расщепление составляет 1051 МГц, тогда как экспериментальное
значение приблизительно равно 1058 МГц. Более точное сравнение
с экспериментом с учетом вкладов поправок высших порядков см. в
приложении П4.1.

Значение Кп1 для некоторых состояний приведены в табл. 4.1
[11]. Как видно, зависимость от п (особенно при 7*0) довольно
слабая.

Таблица 4.1

III	10	20	30	40	со 0
2К„о m(aZ)2	19,77	1 6,64	15,93	15,64	15,16
Ш		21		41	
2Кп1 rn(aZ)2		0,97		0.96	

Вычисление логарифма Бете. Вычисление логарифма Бете мо-
жет быть произведено различными методами, как численными [12],
так и аналитическими [13, 14]. Мы опишем здесь кратко применение
метода, основанного на кулоновской функции Грина [14]. Для этого
рассмотрим выражение (4.197), в котором выделим сумму по п:

СО

2 max

i “>ха(*а - “).	(4.220)

О

= <4-221’

п

Для вычисления ХДс) можно использовать нерелятивистскую ку-
лоновскую функцию Грина. С учетом спектрального разложения
[I, (1.127)]

ХА(е) = J dr dr' ipA(r')p'GE(r'; г)ргрА(г), (4.222)

ИЛИ

ХА(е) = S dr dr' (VipA(r'))GE(r'; r)(VxpA(r)), (4.223)

где фА(г) — нерелятивистские волновые функции для электрона в
атоме водорода (см. [I, П2.3]). При этом нужно учитывать, что в
релятивистских единицах множитель Z в выражениях для волновых
функций в части I повсюду нужно заменить на ma.Z.

Функцию Грина GE(r'; г) представим в виде разложения по пар-
циальным волнам [I, (1.129)] и дальнейшие вычисления проделаем
уже непосредственно для состояния А = ls1/2. Тогда после элемен-
тарного интегрирования по углам получаем

X1s(e) = 4(maZ)5 j dr J dr' rr’ e~maZ^r+r^Gct(r'; r).	(4.224)

о 0

В результате подстановки выражения [I, (1.146)] для GE1(r'; г) про-
блема сводится к вычислению интеграла [14]

ОО

X1S(£) = 8m(maZ)s j	х

х J dr J dr' (rr')312 e-f.'ncz+kQ^r-'jj^ (2k^rr'(l2- 1)) ,	(4.225)

о 0

где в соответствии с [I, (1.146)] использованы обозначения
v = ma.Z/k, к = V—2ms. Интегралы по радиальным переменным
вычисляются разложением функции Бесселя в ряд:

/J(a, У) = J dr $ dr' e~J^r+r\rr')PIn(2yVrr7) =
0	0	oo

_ у /г+'1 Г2(р + s +1 + и/2) _
у’(п+у)!	fl2(p+J+l+n/2)

s=0

7T2(p +1 + n/2) „ I । i I n । > । n । < v2l

~ a2(p+l+„/2)r(n + 2F1	+ 1 + 2’ p + 1 + 2; n + 1 ’ ^2j •	(4.226)
Полагая п = 3, р=3/2, что соответствует интегралу в (4.225), по-
лучим
3	/	2\

у) = J Г(4)2 F. 4, 4; 4; J,	(4.227)

а используя формулу для гипергеометрической функции при совпа-
дающих индексах [15]

2F{(a, b; b; х) = (1 - х)~а,	(4-228)

приходим к выражению
□

V) = ~Уу,?.	«2»)

В результате подстановки (4.229) при а = maZ +	у = А V ij2 — 1

в (4.225) получаем

Xis(e) = 16(maZ)sk3 j dK (1 + £)1+v(£ ~ l)'“v X
i

X [(maZ)2 + к2 + 2maZkir4. (4.230)

Используя далее интегральное представление Эйлера для гипергео-
метрической функции

2Л(а, b- с; z) = r^_bj j /"“'(I - <)с-6’1(1 - tzya dt, (4.231)
о

, s — 1

которое подстановкой I = ууту сводится к виду

2Л(а>с;z) =

= "гХе-ТГ S <» - 1 )‘”<» + 1 '(> - 5 ТГ?) *• <4-232>
1 4 '

и сравнивая (4.232) с (4.230), после некоторых преобразований
приходим к выражению

Xls(e) = 128х5(1 + х)-8(2 - х)“12Г1(4, 2 - х; 3 - х; у),	(4.233)

где x = ma.Z/k, у = (1 — х)2/(1 + х)2. При подстановке Xis в
(4.220) нужно положить к - \/—2m(£ls — со) = V/n(a2Z2 + 2со).

Подстановка (4.233) в (4.220) дает следующее выражение для
сдвига уровня (при этом удобно от интегрирования по со перейти к
интегрированию по х) [14]:

ЛЕ" = - 4ma(aZ)4-96 ( dx------------2^(4, 2 - х; 3 - х; у).

ls	Зл	3	(1+х)7(2 —х) 2 1

хо	(4.234)
Здесь

х = J m(aZ)2	(4.235)

0	’n(aZ)2 + 2a>max‘

Интеграл расходится на нижнем пределе при wmax—♦ оо, т. е. х0—>0.
Эта расходимость видна из того, что при х —» 0 гипергеометрическая
функция в (4.234), с учетом известных соотношений [15]

2Fl(a, b; с; z) = (1 — z)c~a~b2Fl(c — а, с — b; с; z), (4.236)

b-	(4.237)

ведет себя следующим образом:

2F1(4, 2 — х; 3 — х; у)х-3.	(4.238)

Вычисление менее сингулярных членов требует большей аккуратно-
сти (см. [14]). Поскольку Хр-> 1/а>тах при COjnax-*°°> в выражении
для AFJ, появляются расходящиеся члены, пропорциональные
l/x^~wmax и In х0~1п штах (члены, расходящиеся как 1/х0, не дол-
жны возникать, что следует непосредственно из анализа расходимо-
стей в (4.220)).

Как следует из рассуждений, приведенных выше в настоящем
параграфе, линейно расходящиеся по сотах члены исчезают в ре-
зультате перенормировки массы, а логарифмически расходящиеся
члены — при сшивании А .Ед с высокоэнергетической частью сдвига.
В результате выражение для сдвига после некоторых дополнитель-
ных преобразований приобретает вид формулы (4.217) при п = 1, в
которой логарифм Бете равен [14]

- И „fkz-» гЛ(1. 2 - 3 - х; у). (4.239)
о

Учет высших поправок. Вскоре после появления первоначаль-
ной работы Бете [2] по теории лэмбовского сдвига в целом ряде ра-
бот [16—19] были получены релятивистские поправки порядка aZ к
формулам радиационного сдвига (4.203), (4.205), т. е. поправки к
энергии уровней порядка ma(aZ)5. Были предприняты попытки вы-
числения и поправок более высокого порядка по aZ.

Расчет этих поправок достаточно сложен и основан на разложении
пропагатора для электрона во внешнем поле ядра по степеням взаи-
модействия с ядром. В общем случае такое разложение бесполезно,
поскольку ряд не сходится (невозможно получить связанное состоя-
ние электрона и ядра, исходя из приближения невзаимодействующих
частиц), однако для вычисления необходимых поправок достаточно
выделить лишь несколько первых членов такого разложения. В слу-
чае диаграммы собственной энергии электрона это разложение изо-
бражено на рис. 4.12. Здесь выделены два первых члена разложения

Рис. 4.12. Разложение пропагатора для электрона во внешнем поле по степеням взаи-
модействия с полем в диаграмме собственной энергии электрона

(диаграммы рис. 4.12а, б); остаток ряда соответствует диаграмме
рис. 4.12в. Расходимости (ультрафиолетовые) имеются лишь в диаг-
раммах рис. 4.12а, б, остаток ряда свободен от расходимостей. Труд-
ность при таком подходе доставляет то обстоятельство, что разложе-
ние по степеням потенциала отнюдь не является разложением по сте-
пеням aZ. Более того, отдельные диаграммы рис. 4.12а— в содержат
«ложные» низкие степени aZ, которые сокращаются при сложении
всех вкладов. Далее, сложную проблему составляет выделение и со-
кращение инфракрасных расходимостей в разложении рис. 4.12.

Аналогичное разложение по степеням потенциала для диаграм-
мы поляризации вакуума изображено на рис. 4.13. Первый член
этого разложения дает нулевой вклад по теореме Фарри (см. § 4.1).
Расходящейся является только диаграмма рис. 4.13б. При дальней-

Рис. 4.13. Разложение пропагатора для электрона во внешнем поле по степеням взаи-
модействия с полем в диаграмме поляризации вакуума

шем разложении остатка (диаграмма рис. 4.14), в принципе, возни-
кает еще диаграмма типа рассеяния света на свете (рис. 4.146). Од-
нако, как говорилось в конце предыдущего параграфа, перенорми-
ровку этой диаграммы фактически производить не нужно и можно
пользоваться непосредственно разложением рис. 4.13. При этом
нужно лишь позаботиться, чтобы при вычислениях не нарушалась
градиентная инвариантность.

Приведем здесь результат вычислений релятивистских поправо»
к лэмбовскому сдвигу, записанный в виде формулы [19]:

=Г^Н1С41ln (aZ^2 + c4ol(«z)4 + C5(aZ)5 +

Зли

+ [С62 In2 (aZ)~2 + С61 In (aZ)~2 + C60](aZ)6 + ...}.	(4.24(1
В принципе, коэффициенты в (4.240) являются функциями состоя-
ний Cik = Cik(nlj), однако для многих из них эта зависимость сво-
дится лишь к множителю 6/0. Например, С41 = 6Z0, согласно

Рис. 4.14. Выделение диаграммы типа рассеяния света на свете в диаграмме поляри-
зации вакуума

(4.217), (4.219). Коэффициент C40(nlj) определяется также упомя-
нутыми формулами, а

С5 = 3л 1+^-1102 + ^ S,

(4.241)

причем последнее слагаемое в скобках происходит от диаграммы по-
ляризации вакуума.

Далее,

Ц>2 ~	4 &10’	(4.242)
С61 = 4 1п 2 - + Гз (1п + 1 + i + ... +	- А  °*	10	1 П	2	nl Z40	60п	

+ (1 -	1 6zi +-----------6~2/(/ + Р\2----(1 - &10). (4.243)

(	п2) V10	4 П (2/+3)/(/ + 1Х4/2-1)	'°

Значения C6l(nlj) для состояний с п= 1, 2 приведены в табл. 4.2.
Коэффициент С60 в общем виде пока не вычислен.

Т абли ца 4.2

nlj	Сб1
Is!  2	7 In 2 - 71/80
2sl  2	4 In 2 + 63/40
	103/240
Зр|	29/240

При современной точности эксперимента необходимо также рас-
считывать радиационные поправки четвертого порядка по константе

б Л. Н. Лабзовскии
связи, происходящие от учета двух виртуальных фотонов. Порядок
малости этих поправок к уровням энергии (в низшем по aZ прибли-
жении) ma2(aZ)4. Поправку четвертого порядка к собственной
энергии связанного электрона во внешнем поле достаточно вычис-
лять лишь с точностью до первой степени по потенциалу внешнего
поля. Это можно сделать, зная поправки четвертого порядка к
форм-факторам вершины свободного электрона.

Взаимодействие свободного электрона с электромагнитным полем
(т. е. вершинная диаграмма самого общего вида) полностью описы-
вается выражением

Ги(?) = еи(р + q) V^2) +	U(P)>

(4.244)

где F{(q2), E2(^2) — некоторые функции, называемые форм-факто-
рами, а матрица c^v определяется выражением

о = 4? (у у — у у ).	(4.245)

[xv 2lv’PL‘v ‘V ’Ц'

Это взаимодействие имеет самый общий вид, который удовлетворя-
ет условиям сохранения тока и четности. Действительно, выраже-
ние (4.244) представляет собой по смыслу электронный ток в им-
пульсном представлении. Сохранение тока отвечает равенству (см.
(2.238))

^г/<7)=0.

(4.246)

Первый и второй члены (4.244) по отдельности удовлетворяют ра-
венству (4.246), первый — потому, что из уравнения неразрывно-
сти (1.14), записанного в импульсном представлении

(Ри ~ Рц):Ф(Р')т|ЛЯ,(р) = 0,	(4.247)

с учетом (4.1) следует

и(р + ^)^и(р) = 0,	(4.248)

а второй — в силу тривиального равенства

s °-	(4.249)

Если внешнее поле — электростатическое, то вклад во взаимо-
действие дает только форм-фактор Fif который в этом случае опи-
сывает просто взаимодействие электрического заряда с внешним по-
лем. Этот же форм-фактор описывает взаимодействие дираковского
электрона, обладающего «нормальным» магнитйым моментом ц0
(где ц0 — магнетон Бора), с внешним магнитным полем. Однако во
внешнем магнитном поле вклад во взаимодействие дает и форм-
фактор F2, который учитывает так называемый аномальный маг-
нитный момент электрона, впервые полученный Швингером [20]. В
низшем порядке по константе связи, т. е. с учетом только диаграм-
мы рис. 4.116, магнитный момент электрона с учетом поправки на
аномальный момент равен [20]

(1 । «1

1 + xj-

(4.250)

В низшем порядке по а (во втором порядке по константе связи)
форм-факторы Ft и F2 даются выражением (4.170), соответствую-
щим диаграмме рис. 4.116. В следующем порядке по а (четвертом
по константе связи) необходимо учесть диаграммы, приведенные на
рис. 4.15. Расчет вкладов этих диаграмм весьма сложен; он прово-

Рис. 4.15. Радиационные поправки к вершинной части в четвертом порядке по кон-
станте связи

дился различными авторами (см. по этому поводу обзор [21]). Ре-
зультаты расчетов даются формулой

2

^Emj = S (oZ)4(c4 +	(4-251)

где

Сг = 1,41, CF = -0,328.	(4.252)

1	2

Помимо поправок к вершинной диаграмме рис. 4.116, необходи-
мо учесть также поправки к диаграмме поляризации вакуума
(рис. 4.Не), т. е. учесть поляризацию вакуума в четвертом порядке
по константе связи. Для этого нужно вычислить вклад диаграмм
рис. 4.16, что было сделано в [22]. Результат расчета таков:

2

= -55(aZ)4^6“>-	(4-253)
Вклады поправок (4.240), (4.251), (4.253) в величину лэмбовско-
го сдвига A£,(2sp — АЕ(2рр приведены в Приложении 1.1. Резуль-

Р ис. 4.16. Диаграммы поляризации вакуума в четвертом порядке по константе связи
тэты расчетов лэмбовского сдвига для различных состояний атома во-
дорода и водородоподобных ионов приведены в Приложении 1.2.

В последнее время были вычислены также радиационные по-
правки порядка ma2(aZ)5 [23, 24].

В заключение этого параграфа упомянем вкратце о вычислении
радиационных поправок для атомов с несколькими электронами. Как
видно непосредственно из вычислений в настоящем параграфе, фор-
мула (4.215) прямо обобщается на случай ^электронного атома. При
этом | 'Фл(О) |2 нужно заменить на рл(0) — одноэлектронную плот-
ность на ядре, a al заменить на у aj;. В определении логарифма Бете
i

In КА (см. (4.207)) также нужно заменить оператор р на у рг Этим,

L

однако, не исчерпываются поправки порядка та5 к уровням энергии.
Как было показано в [25], в гамильтониане Брейта (3.51) следует за-
менить собственный магнитный момент электрона на аномальный мо-
мент, что приводит к поправкам того же порядка.

Наконец, тот же порядок имеют вклады, происходящие от двух-
фотонного взаимодействия между электронами. Такое взаимодейст-
вие эффективно сводится к контактному взаимодействию, т. е. по-
тенциал в координатном представлении пропорционален 6г12 [25—
27]. Если для волновой функции атома использовать разложение по
1/Z (см. [I, §4.2]), то собственно радиационные поправки имеют
порядок zna(aZ)4, тогда как двухфотонные поправки, связанные с
дополнительным межэлектронным взаимодействием, имеют порядок
zna(aZ)4/Z = ma5Z3. Фактически эти поправки могут быть еще
меньше: среднее значение оператора 6(г]2) для основного состояния
атома Не в 17 раз меньше среднего оператора [^(п) + й(г2)] [11].
Численные значения логарифма Бете для некоторых состояний
двухэлектронных атомов приводятся в [11]. Вариационные методы
расчета логарифма Бете рассмотрены в [13, 28, 29].
§ 4.5.	Радиационный сдвиг уровней для релятивистских
электронов в атоме

Для внутренних электронов в тяжелых атомах и многозарядных
ионах методы вычисления радиационных поправок, описанные в
предыдущем параграфе, непригодны, поскольку используется разло-
жение по параметру aZ. В этом параграфе мы рассмотрим методы
вычисления радиационных поправок для полностью релятивистских
электронов в атоме, считая aZ Rs 1.

Собственная энергия электрона. Начнем с вычисления поправ-
ки к собственной энергии (см. диаграмму на рис. 4.1а). В принципе
для этого достаточно использовать «разложение», изображенное на
рис. 4.12; трудности, возникающие при этом, уже обсуждались в
предыдущем параграфе. Следует еще добавить, что само вычисле-
ние диаграмм рис. 4.126, в, является очень сложной задачей.

Способ, который впервые позволил обойти эти трудности, был
предложен в [30]. Этим способом в [31, 32] были произведены рас-
четы лэмбовского сдвига для внутреннего 1 s-электрона для ряда тя-
желых атомов. Для вычисления поправки к энергии за счет диаг-
раммы рис. 4.12 можно использовать формулы (3.6), (3.7). Таким
образом, чтобы получить поправку к энергии, нужно вычислить
матричный элемент

(Ф°|£(2)|фо> =

= ег J d4xl d4x2 ^Л’(х2)у^(х2х1)у(л фл(х1)£)цл(х1х2),	(4.254)

где пропагаторы определяются согласно формулам (2.226), (2.236).
Аналогичным образом пишутся выражения для каждого из членов
разложения рис. 4.12, при этом появляются свободные электронные
пропагаторы, которые мы будем обозначать здесь через 5°(х1х2), и
вершины, содержащие потенциал V, действующий на электрон в
атоме. Таким образом,

А£ = ЬЕа + \ЕЬ + Д£с,	(4.255)

где Ь.Еа, &ЕЬ, АЕС соответствуют диаграммам рис. 4.12а, б, в.

Рассмотрим вначале диаграмму рис. 4.12а. Вклад этой диаграм-
мы может быть получен из матричного элемента

<ф0|£(2)|ф0>св= J J4X2^(X2)Z(2)(X2X1)%(X1)>	(4.256)

где S(2\x2Xj) — собственно энергетическая электронная часть для
свободного электрона во втором порядке теории возмущений. По-
скольку величина относится к свободным электронам, она зави-
сит только от разности х2 — Xj и в импульсном представлении имеет
вид (4.69). Регуляризация выражения &Еа, согласно результатам
§4.3, должна заключаться в замене величины 252\р) на величину


42)(р). определяемую формулой (4.154). Тогда

Л£а = ЛЕ™ + АЕа1 + ЬЕа2,	(4-257)

где величины &Eai (i=l,2) соответствуют второму и третьему
членам в правой части формулы (4.154). При этом АЕа1 учитывает
перенормировку массы, а &Еа2 — перенормировку заряда. Анало-
гичным образом, с учетом (4.160), можно написать

AEfc = ДЕ^ + &ЕЬ1,	(4.258)

где &ЕЬ1 учитывает перенормировку вершинной части. При этом
вклады АЕ^\ ЛЕ^ являются конечными.

Далее, в силу тождества Уорда имеет место равенство

А£61 = -ЬЕаТ	(4.259)

Чтобы убедиться в этом, нужно записать в явном виде вклады
ДЕа и t±Eb. Подставляя в (4.256) волновые функции в виде (1.18)
и переходя к импульсному представлению, получаем по формулам
(3.6), (3.7):

ДЕС = i $ чКр)Х<2>(р, ЕА)ч|>(р) dp.	(4-260)

Аналогичным путем получается и ЬЕЬ-.

= $ ^a(P)A4(p^a; qEA)eV(p - q)%(q) dp dq. (4.261)

Отсюда:

$ %(P)(p-iwr)n>A(P) dp, (4.262)

др / й J
f p = imr

АЕы = imr) $ ^a(P)^(P - qHA(q) dp dq. (4.263)

Учитывая теперь тождество Уорда (4.100) и тот факт, что функция
Ч>А(р) представляет собой точное решение одноэлектронного урав-
нения Дирака в импульсном представлении (1.161), приходим к ра-
венству (4.259).

Основная идея работы [30] состоит в следующем. Регуляризован-
ное выражение для ДЕ, согласно (4.255), (4.257), (4.258), можно
записать так:

ДЕ(Л) = Де£л) + ДЕ<Л) + ДЕС.	(4.264)

С учетом (4.259) формулу (4.264) можно тождественно преобразо-
вать к виду

ДЕ*Л> = (ДЕ - ДЕО) + ДЕ^ + ДЕа2. (4.265)

Преимуществом этого выражения является отсутствие громоздкого
вклада &ЕС. Вместо этого приходится вычислять численно логариф-
мически расходящееся выражение &Е — &Еа и возникающую рас-
ходимость сокращать с вкладом t±Ea2. Последний вклад, так же как
и ДЕ^, вычисляется явно без труда.

При таком подходе, однако, возникает дополнительная трудно-
сть. Дело в том, что для выделения расходящегося интеграла в раз-
ности ДЕ — ДЕа удобно использовать так называемую «нековариан-
тную» схему вычислений. Это значит, что элемент объема при ин-
тегрировании в импульсном пространстве удобно представить в виде

d4k = dQkk2 d| k| dco.	(4.266)

Вначале интегрирование производится по углам Qk, связанным с
трехмерным вектором к, и затем по абсолютной величине этого век-
тора |к|. Эти интегрирования являются конечными. Расходимости
возникают лишь на последнем этапе при интегрировании по <о.

По-иному выглядит последовательность действий при «ковариан-
тном» интегрировании, которое использовалось в § 4.2 для вычисле-
ния ДЕа2 (или, в силу (4.259), ДЕМ). В этом случае расходимости
при интегрировании в k-пространстве возникают, когда мы интегри-
руем по абсолютной величине 4-вектора kv.

При компенсации расходимостей в (4.265) эти различия необхо-
димо учесть. Для этого достаточно вычислить тем и другим спосо-
бом величину ДЕМ и учесть разницу в полученных выражениях.
Обращаясь к выражению (4.279) для Л®(Р1Р2)> в котором расходи-
мости сконцентрированы в последнем члене, определяемом с по-
мощью (4.82), полагая р, = р2 = tmr и производя коммутацию мат-
риц yv, видим, что числитель подынтегрального выражения в расхо-
дящемся интеграле может содержать только конструкции типа kvk
или yvk2. Вторая из этих конструкций инвариантна относительно
способа интегрирования, «ковариантного» или «нековариантного».
Первая же в результате «ковариантного» интегрирования по углам
4-вектора к сводится ко второй:

Vv*2	(4.267)

В случае «нековариантного» интегрирования по углам трехмерного
вектора к результат будет другой:

М -* |	v = 1, 2, 3,	(4.268)

“* ?4^4> v = 4.	(4.269)

Расходимость при ковариантном и нековариантном интегрирова-
нии будет одна и та же, т. е. компенсация расходимостей в (4.265)
будет иметь место, но результаты вычислений тем и другим спосо-
бом будут отличаться на конечную величину. Таким образом, в
правую часть (4.265) нужно ввести поправку ДЕ', учитывающую
различие между ковариантным и нековариантным вычислениями
ЛЕЬ1. Эта поправка получается прямым вычислением интеграла в
(4.82) и последующей подстановкой в (4.263). Результат вычисле-
ний таков [30]:

ЛЕ'—a(eV)AA,	(4-27°)

где а — постоянная тонкой структуры. Формула (4.265) заменяется
теперь на

= (ЛЕ - ЛЕ) + ЛЕ™ + ЛЕ~ + ЛЕ'. (4.271)
X	Q Z	Q	Цд

Основную трудность при расчетах составляет вычисление разности
ЛЕ — ЛЕа. Это вычисление удобно проводить в координатном пред-
ставлении. Подставляя в (4.254) выражения для пропагаторов и ин-
тегрируя по временам и частотам, получаем с помощью (3.6), (3.7)

=	In Ar ,	(4.272)

2га -4* I г12	»••*' *2' I ’

п '	' АппА

где

exp (iVa?r12) da>

Е (1 — Z0) — Е. + а>‘

(4.273)

С учетом определения функции Грина одноэлектронного уравне-
ния Дирака через спектральное разложение (1.173) выражение
(4.272) можно переписать в виде

2	Г

2ЙГ S ^(Г1) ^ЯЛ-а>(Г1Г2) ~ <Х1^£л-<о(Г1Г2)<Х2 *

Xу- exp (iVo?r12)%(r2) drt dr2. (4.274)
' IO

Здесь через G(^\rlr2) обозначена функция Грина для уравнения
Дирака. Если использовать уравнение с кулоновским потенциа-
лом ядра V(r) = Zelr, то в таком виде выражение (4.274) пригодно
в случае водородоподобных ионов с произвольным зарядом ядра Z.
В принципе здесь можно использовать, как это было сделано в [30],
функцию Грина для уравнения Хартри—Фока—Дирака (3.108). Вы-
числение ЛЕа удобно проводить по той же формуле (4.274), пола-
гая при этом Z = 0 в выражении для функции Грина.

Функцию Грина G^ следует подставить в (4.274) в виде парци-
ального разложения (1.193), затем выполнить интегрирование по уг-
ловым переменным Q2 и, наконец, по радиальным переменным
Гр г2. После этого остается расходящийся интеграл по со. Интегриро-
вание в комплексной плоскости нужно производить по контуру, за-
фиксированному наличием мнимых добавок в знаменателе в (4.273).

Явное выражение для ЛЕа2 (более удобно использовать Л£61)
получается по формуле (4.263). Выражение в (4.271) можно
получить непосредственно по формуле

АЕ<«) = i грЛ(р)2я(р, Ед)%(р)	(4.275)

где перенормированная собственно энергетическая часть опреде-
ляется формулой (4.156). Последний член в (4.156), содержащий ин-
фракрасную расходимость, согласно тождеству Уорда, сокращается с
аналогичным членом в АЕ6 (входящим в разность АЕ — АЕа). Это
сокращение проверяется так же, как выше проверялось равенство
(4.259). Наконец, последний член в формуле (4.271) (АЕ') вычисля-
ется непосредственно по (4.270). Этим завершается, в принципе, рас-
чет величины лэмбовского сдвига для релятивистского электрона.

Описанный выше способ расчета обладает тем недостатком, что
в различные члены (4.271) при малых значениях aZ входят «лож-
ные» слагаемые более низкого порядка по aZ, чем это должно по-
лучаться в нерелятивистском пределе. Все эти слагаемые в конце
концов взаимно уничтожаются, однако точность расчетов при этом
понижается настолько, что получить правильный нерелятивистский
предел не представляется возможным.

Этот недостаток устраняется при другом подходе к расчету лэмбов-
ского сдвига, примененном в [33, 34] специально для кулоновской за-
дачи при произвольных значениях заряда ядра Z. В этих работах рас-
считывается непосредственно выражение (4.274). При этом использу-
ется другой способ регуляризации [8, 35], когда фотонный пропагатор
в импульсном пространстве (2.232) заменяется выражением

и в конце вычислений берется предел Л-» со. Такой способ позволяет
избежать трудности с «нековариантным» интегрированием. Величина
А («масса» фотона) связана с электромагнитной массой Ът (см.
(4.114)) соотношением [8]

6щ = ^(|1пЛ2 + |1	(4-277)

я 14	о j

Таким образом, перенормированное выражение для сдвига получа-
ется теперь так:

AE<R) = lim (АЕ(Л) + ДЕт(Л)),

Л-»ОО
где

AEm(A) = -Ът $ dr ^(г)0фд(г),	(4.278)

а для АЕ(Л) после подстановки (4.276) в выражение для АЕ имеем
ЛЕ(Л) =ii S Jrt Jr2 dz %(ri) [GzZ)(rir2) “ «iGlZ)(rir2)<x2] x

X [ei6r‘2 ~ ei6 Г'2] (Гг) ’ (4‘279)

6 = [(Ед — z)2—ie]1,	b'= [(£д — z)2 — A2 — ie]i.	(4.280)
При этом мы произвели в (4.274) замену переменной интегрирова-
ния: Еа — со = z. Картина полюсов и разрезов в комплексной пло-

скости z, соответствующих дискретному и сплошному спектрам соб-
ственных значений Е, приведена на рис. 4.17. На этом рисунке тол-
стые сплошные линии означают разрезы, точками обозначены
полюсы. Все полюсы лежат между значениями z = 0 и z = т на ве-
щественной оси. Мы будем считать,
что имеем дело с основным состоя-
нием г|>л, соответствующим самому

Рис. 4.17. Полюсы, разрезы и контур
интегрирования в комплексной пло-
скости переменной г—ЕА— <о при
вычислении интеграла по <о в форму-
ле для собственной энергии релятиви-
стского электрона

левому из полюсов. На рис. 4.17
указан также контур интегрирова-
ния С.

Имеются две точки ветвления,
определяемые (4.280), причем зна-
чения корней фиксируются усло-
вием

Re (b) > 0, Re (/>')> 0. (4.281)

Точка ветвления b помечена на
рис. 4.17 крестиком, точка ветвле-

ния Ь' при Л—»оо уходит в левую полуплоскость.

Контур С можно деформировать так, как это изображено на
рис. 4.18, Новый контур делится на две части. Первая часть (CL) —

Рис. 4.18. Деформация контура интегрирования в комплексной плоскости z и его
деление на низкоэнергетическую (С^) и высокоэнергетическую Си части

контур, начинающийся в точке zt на мнимой оси, огибающий точку
ветвления b и оканчивающийся в точке z2 также на мнимой оси.
Вторая часть (Сн) — интегрирование по дуге большого круга R и
по мнимой оси, за исключением отрезка zp z2. Рассмотрим вначале
контур CL. При е—»0, а также zlf z2—»0 этот контур сводится к изо-
браженному на рис. 4.19 и состоит из двух частей: СА и Св. В силу

условия Re (/>) > 0 знак перед корнем в экспоненте в (4.279) нужно
выбирать следующим образом:

—z[(Ea — z)2 + ze]r =

—i(EA — z), z G CK,
i{EA-z), z(=CA.

(4.282)

P ис. 4.19. Преобразованный вид низкоэнер-
гетической части контура CL

Некоторое неудобство заключается в том, что в пределе е—>0 точка
ветвления сливается с полюсом z = ЕА; особенно это неудобно в том
случае, когда ЕА — возбуж-
денное состояние. Для преодо-
ления этой трудности можно
сдвинуть все полюсы и разрезы
в нижнюю полуплоскость на
величину бив конце
вычислений устремить также
6 к нулю [33]. Заметим также,
что часть интеграла (4.279),
содержащая exp (ib'r^), дает
нулевой вклад при интег-
рировании по С2, поскольку
при zj, z2—»0 соответствую-

щее подынтегральное выражение является аналитической функцией
z внутри контура (нет точки ветвления) и на самом контуре.

В результате вклад от контура CL в (4.279) не зависит вообще
от Л и записывается в виде

2Е-

= Т 5 dz S dT2	~

-«1Сй)/б(г1г2)а2] sin - z)r12]^A(r2)- (4.283)

12

Ввиду того, что интегрирование по z в (4.276) ведется по ограни-
ченной области значений от 0 до ЕА, эта часть не содержит расхо-
димостей и определяет вклад области низких энергий в ЕЕ. В нере-
лятивистском пределе выражение A£L содержит «ложные» низкие
(более низкие, чем (aZ)4) степени aZ, которые сокращаются с ана-
логичным вкладом из Л£н [33]. В пределе, при е—>0, z15 z2-*-0,
Л —»оо интегрирование по контуру Сн сводится просто к интегриро-
ванию вдоль мнимой оси. При этом возникает расходимость, кото-
рая компенсируется расходимостью в ЕЕт [33]. Существенно, что
эту компенсацию можно провести аналитически.

Результаты численного расчета вклада собственной энергии
электрона в энергию уровня для различных водородоподобных
ионов могут быть представлены в виде [34, 36]

AE = ^(aZ)4£(aZ) ±
Я	пл
Значения функции F(aZ) для различных значений Z и различных
состояний ионов приведены в табл. 4.3. Как видно из таблицы, фун-
кция F в случае основного состояния монотонно убывает с ростом
Z в интервале от Z = 10 до Z = 90. Возрастание после Z = 90 свя-
зано с кулоновской особенностью; для получения правильных ре-
зультатов в этой области необходимо учитывать конечные размеры
ядра. В меньшей степени это относится к возбужденным состояни-
ем, для которых конечный размер ядра становится чувствительным
при больших значениях Z.

Таблица4.3

z	F(aZ)		
	151 2	251  2	2₽1
10	4,654	4,893	-0,1145
20	3,246	3,5063	-0,0922
30	2,5519	2,8391	-0,0641
40	2,1351	2,4550	-0,0308
50	1,8644	2,2244	0,0082
60	1.6838	2,0948	0,0549
70	1,5675	2,0435	0,1129
80	1,5032	2,065	0,1884
90	1,4880	2,169	0,2934
100	1,5317	2,387	0,453
110	1,6614	2,798	0,725

Значения лэмбовского сдвига, полученные по формуле (4.278), в
общем согласуются с результатами расчетов при малых значениях
aZ (формула (4.240) из предыдущего параграфа). По поводу не-
больших имеющихся расхождений см., например, [37].

Поляризация вакуума. Помимо собственной энергии электро-
на, в первом порядке по константе взаимодействия а нужно рас-
считать еще вклад диаграммы поляризации вакуума (см. рис.
4.16). Записывая вклад этой диаграммы, согласно правилам соот-
ветствия (см. § 1.6), получаем для матричного элемента S-матри-
цы выражение

<ф0|х(2)|ф0> = е2 $ d4xl d4x2 ^(хО^-флОч) х

х Sp (S(xj, х2)уИз)ВИ1И2(Х1Х2),	(4.285)
из которого энергетический сдвиг АЕ получается согласно (3.6),
(3.7). Сам вид этой поправки говорит о том, что ее можно предста-
вить как поправку к взаимодействию (кулоновскому) электрона с
ядром. Действительно, (4.285) можно переписать в виде

(ф0|£(2>|ф0> = j d4xt ;ФА(х,)еуоф(х1)1рА(х1),	(4.286)

где

УоФ(х1) = ~е S V,s₽ (s(x2> хг)^^ ^(х^г).	(4.287)

Согласно (2.227) выражение S(x2, х2) не зависит от t2. Подставляя
в (4.287) фотонный пропагатор в виде (2.236) и интегрируя по t2,
получаем, что функция <p(xj) не зависит от tY и равна

70Ф(г1) = ~ie $ dr2y- Sp j Gm(r2; r2) dio ,

(4.288)

где Gw — функция Грина для уравнения Дирака (1.173). Формула
(4.288) основана на равенстве

оо

S(xtx2) =	$ е-‘“('.-У7оСш(г1; г2) d<o. (4.289)

Далее, вновь вспоминая (2.227), можно заметить, что след в
(4.288) можно записать как след от произведения у0Ру^, где матри-
ца F равна:

(Па₽ = «)а(%)р	<4-29°)

(здесь мы явно выписали спинорные значки). Поскольку под знаком
следа матрицы можно коммутировать, то, используя (1.8), сразу
приходим к выводу, что след отличен от нуля только при р. = 0.
Окончательно

/„

’₽(г1) = ~	$ dr2 7^ Sp S СДГ2; гг) 7o •	(4.291)

V”

Записывая теперь выражение для сдвига энергии с помощью
(3.6), (3.7) в виде

АЕ = ie J drY ^A(r1)y0<p(r1)ipA(rI),	(4.292)

приходим к выводу, что величина <p(rj) представляет собой поправ-
ку к кулоновскому потенциалу взаимодействия электрона с яд-
ром — поляризационный потенциал. Можно также считать, что
этот добавочный потенциал возникает в результате появления поля-
ризационной добавки к электронной плотности

Ф(П) = е $

dr2

1г1~гг1 '

(4.293)
Из сравнения (4.293) и (4.291) следует:

Pvp(r2) =

- Sp J бш(г2; г2) dio у0 .

(4.294)

Выражение (4.294) (и соответственно (4.292)) расходится. В ко-

ординатном представлении эта расходимость связана с сингулярно-
стью пропагатора S(rIt; г2<) при q—*г2 (см. в [38] доказательство

для нерелятивистского случая, которое полностью относится и к ре-
лятивистскому ):

lim 5(Г1<; г2Г) -	(4.295)

Г1_*Г2

Для устранения расходимостей, как и в случае собственной энер-
гии, можно воспользоваться «разложением», изображенным на
рис. 4.13. Поскольку диаграмма рис. 4.13 а дает нулевой вклад по
теореме Фарри, перейдем сразу к обсуждению вклада диаграммы
рис. 4.136.

Сам вид этой диаграммы говорит о том, что она определяет по-
правку к кулоновскому потенциалу взаимодействия электрона с
ядром. Этот поправочный потенциал называется потенциалом
Юлинга [39, 40]. Поправка к энергии за счет вклада диаграммы
рис. 4.136 получается с помощью формул (3.6), (3.7) из матрич-
ного элемента

<Ф°|5<3)|Ф°) = -е2 j d4xt d4x2 d4x3 (q^xjy^txj) x

xSp (у^<0>(х2х3)ух5<0)(х3х2))ЛИ¥(х1х2)Лх(х3),	(4.296)

где Лх(х) = (0, 0, 0, iVc) — кулоновский потенциал взаимодейст-
вия с ядром. Переходя в импульсное представление, с учетом
определения поляризационного оператора (собственной энергии
фотона) во втором порядке теории возмущений (4.73), после
подстановки выражения для фотонного пропагатора (2.232) и
интегрирования по частям, из (4.296) получаем с помощью
(3.6), (3.7):

ДЕ = -Ц J ^А(Р)еУс(к) ± уХ2)(к2, 0)^(q) dp dq, (4-297)
OJt J	к

где k = P — q. При этом мы использовали уже регуляризованное
выражение (4.158) для поляризационного оператора. Как уже го-
ворилось в предыдущем параграфе этой главы, других расходимо-
стей при вычислении поляризации вакуума не возникает, если все
вычисления проводить градиентно-инвариантным образом.

Из (4.297) следует, что потенциал Юлинга в импульсном пред-
ставлении имеет вид

Фц(к) = Л Vc(k) ± n£>(k2, 0),	(4.298)

oTt	К
или, после подстановки (4.158),

^(k)= -^iyc(k) |+ (1 - ectg в)	,	(4.299)

где sin2 0 = —k2/4m2; Ис(к) — фурье-образ кулоновского потенциа-
ла. Переходя к координатному представлению, из (4.299) с учетом
выражения [I, (1.16)] для Кс(к), можно получить [3]

(1+^Л.	(4.300)

Асимптотическое поведение этого потенциала таково [3]:

	—	[4 + 2C + 2 In (mr) ], mr«l,  3n k3	/	(4.301)  1 p~2mr  TT	3>	WT»!,  4V3t

где С я» 0,5772 — постоянная Эйлера.

Формула (4.301) написана в релятивистских единицах, поэтому
на расстояниях порядка боровского радиуса г0 я» И та. функция
<Р(/(г) экспоненциально мала: <р1/(г)~ехр (—2шг0)~ехр (—1/а).
Потенциал Юлинга заметно отличен от нуля лишь на малых рассто-
яниях порядка аг0; на таких расстояниях он дает поправки порядка
aZ к Vc. При больших значениях Z эти поправки уже не малы.

Вклад диаграммы рис. 4.13в впервые рассчитывался в работе
[41]. Здесь были, однако, получены лишь оценки, которые указыва-
ли, что в области значений заряда ядра Z ~ 70 ч- 90 вклад диаграм-
мы рис. 4.13в составляет не более 10% вклада диаграммы рис. 4.136.
В [42] была точно рассчитана поправка к поляризационному потен-
циалу, определяемому диаграммой рис. 4.13 в, в низшем порядке
при разложении по aZ. Наконец, в [43, 44] вклад диаграммы рис.
4.1 Зе был вычислен точно без разложения по aZ.

Запишем результаты этих вычислений, следуя [44]. Исходной для
расчетов является формула (4.294), в которой удобно развернуть кон-
тур интегрирования в комплексной плоскости вдоль мнимой оси:
со

Р¥р = ^$$рОгш(г;г)у0^.	(4.302)

Для функции Gi(O используем парциальное разложение, которое за-
пишем в виде

Gr(r; г') =

Г№/1м(П№/1м(П )> lGr}z(r> Г	)

цы

lG£yz(r’ Г )^м(П)^/7м(П )’ GE/z(r’ Г )&/1м(П№/1м(П )
где коэффициенты G^]-Z(r, г') (s = 1, 2, 3, 4) определяются форму-
лами (1.192)—(1.195), и (1.183). После суммирования по М и вы-
числения шпура в (4.302) получим

оо

pvP(r) = 2 *Р*('). к = j + i	<4'304)

к=1

где

py+i(O = - i	') +	')!• <4-305>

/=/+1 -о»

Выражение (4.304) является, как и (4.302), расходящимся. Од-
нако коэффициенты парциального разложения G^}z(r, г') конечны
при г' = г, а расходится сумма по парциальным волнам в (4.304).
Регуляризацию выражения для pvp удобно проводить, вычитая из
(4.305) линейную по Z часть плотности. При этом из рк удаляется
и та часть поляризационной добавки к плотности, которая соответ-
ствует потенциалу Юлинга. Таким образом, перенормированное вы-
ражение для рк имеет вид

.	«306)

\ / z=o

Приведем окончательные выражения для поправок к энергии,
получающиеся в результате подстановки (4.304), (4.306) в (4.293) и
затем в (4.292) [44]:

Д^. = AE''Z/ + АЕ-пи.	(4-307)

Здесь A£„z, — вклад, происходящий от потенциала Юлинга (4.300),
&Ernlj — вклад всей оставшейся части потенциала (4.291) (т. е. диаг-
раммы рис. 4.1 Зе). Величина АЕ^, определяется формулами (4.301),
(4.292), а для &Ernlj в [44] получены следующие выражения:

I 6 	\

= I1 + Vl-^Z)2) ^(aZ)AE^(aZ^O),	(4-308)

где AErnlj(aZ—>0) — нерелятивистский предел выражения AE„Zy,
Fnlj(aZ') — некоторая плавная функция Z. Для АЕ^ можно напи-
сать такие формулы:

Д^.(а2^0) = 4а^г,2б/0 +

, 4a(aZ)8(n2 — 1) Г 2	( 2aZ ,	i l । 9 ь х	х

+------^5----- [йлЕ (~ln ~ + Cn~C + b4 + ^	j 6д-

ас-г (	— 128a(«Z)8(5n2 —3Z2 —3Z + 1)(2Z —3)! ,, х	х х

l^E'.AaZ—*0) =--------------т--------------(1 — о,0)(1 — о,.).

nljK ’	225itns(2l+W	10	11
Здесь С — постоянная Эйлера,

Ь2 = —Цг ( г2игЛг) dr = 0,0045105564,

2 a(aZ)3 J 0
О

(4,310)

ь4 = ——3

4 a(aZ)3

1	“	/	з\

( r4Ur0(r) dr+ ( г41Л(г)	dr =0,004252588,

J	J	I	I

°	1	'	J	(4.311)

co

Cn = $ ft Mn.3^ - 7 И rfr’	(4.312)

о \	/

Af — функция Уиттекера (см. [I, § 1.1]), Ur0(r) = —e>f>o(r),
Фо(г) — потенциал, получающийся при подстановке (4.304),
(4.306) в (4.293) в нерелятивистском пределе (aZ—>0). В частно-
сти, С2 = 0, С3 = —7/16, С4=-147/200, С5 = -77/80. Значения
функции Frnlj(aZ) приведены в табл. 4.4 для ряда значений Z при
различных nlj. При j = 1/2 выражение ^.Ernlj имеет особенность,
когда Z—>137; эта особенность выделена явно в (4.308).

Таблица 4.4

nlj	Z					
	10	20	82	100	110	130
Isi  2	0,4328	0,3896	0,3479	0,4073	0,4749	0,9135
2sl  2	0,4336	0,3931	0,4315	0,5788	0,7464	1,9541
3sl  2	0,4335	0,3929	0,4285	0,5709	0,7310	1,8360
4sl  2	0,4334	0,3925	0,4205	0,5528	0,6997	1,6737
5sl  2	0,4333	0,3921	0,4139	0,5382	0,6751	1,5585
	0,4825	0,4786	0,8359	1,2782	1,7866	5,9115
3p±	0,4822	0,4779	0,8149	1,2205	1,6745	5,0967
4pl	0,4820	0,4772	0,7936	1,1663	1,5750	4,5016
5pl	0,4819	0.4768	0,7779	1,1279	1,5064	4,1289
2p|	0,9550	0,9166	0,9081	0,9936	1,0708	1,3589
3P|	0,9554	0,9187	0,9574	1,0778	1,1835	1,5717
4p|	0,9555	0,9191	0,9682	1,0966	1,2091	1,6218
5p|	0,9554	0,9191	0,9699	1,0966	1,2133	1,6302
Таблица4.4 (продолжение)

nZy	Z					
	10	20	82	100	110	130
2	1,0942	1,3001	4,2302	5,9125	7,1949	11,319
4d|	1,1052	1,3355	4.6060	6,4957	7,9411	12,611
5dl  2	1,1096	1,3493	4,7415	6,6965	8,1904	13,014
	1,0341	1,1020	1,7385	1,9898	2,1592	2,6502
2	1,0385	1,1152	1,8570	2,1622	2,3707	2,9804
5dt	1,0402	1,1205	1,9037	2,2301	2,4542	3,1119

Приведем также выражение для A£^Zy (aZ—»0) [44]:

А£" (aZ-О) = -ateV/+4_--------------------------x

nlj	\ n )	8n(2Z+3) ((2Z + l)!]2(n —Z — 1)!

v	. (2Z + 1)(Z + 1) x	(A at q\

X 21+5 +-----•	<4-313)

Из (4.313), в частности, получается нерелятивистский вклад поля-
ризации вакуума в лэмбовский сдвиг уровней при 1 = 0, включен-
ный в (4.217).

Поправки &Ernlj невелики по сравнению с Afi^y, однако они на-
много превышают поправки Д£®д, пропорциональные а2 (см.
(4.251), (4.253)). Так, для l.si-состояния при Z=100 отношение
2

&.EV : АЕГ: Д-Е^д равно 400 : 20 : 1. Нужно заметить также, что
при расчете вклада поляризации вакуума в сдвиг уровня энергии
важен учет конечных размеров ядра; это особенно важно в случае
основного состояния, для которого чисто кулоновское выражение
(4.308) расходится при Z-»137. Для сравнения в табл. 4.5 приведе-
ны значения поправок Д£г и аналогичных поправок Д£г, рассчи-
танных в [43] с учетом конечных размеров ядра. При этом сравни-
ваются АГ, FT, связанные с А£г соотношением

Д£Г=£(^ЯГ.	(4.314)

теп3

Приведем еще результаты (табл. 4.6) сравнения значений по-
правки на поляризацию вакуума AEvp (с учетом только потенциала
Юлинга) со значениями поправки на собственную энергию электро-
на A£se для основного состояния Isi при некоторых значениях Z
[32]. В этой же таблице приведены и суммарные значения лэмбов-
ского сдвига АЕ (все величины даны в ридбергах).

Т аб л и ца 4.5					
У ровень		Z			
		54	82	92	100
1S1	нг	0,0059	0,0159	0,0224	0,0303
	Нг	0,0059	0,0150	0,0207	0,0269
ч	Нг	0,0064	0,0197	0.0298	0,0430
	Нг	0,0064	0,0185	0,0272	0,0377
2Р1	Нг	0,0004	0,0036	0,0072	0,0128
	Нг	0,0004	0,0035	0,0068	0,0118
2р|	Нг	0,0001	0,0005	0,0008	0.0010
	Нг	0,0001	0,0005	0,0007	0,0010

Т аблица4.6

Z	AEse	Afivp	АЕ
70	8,95	-1,70	7,25
75	11,53	-2,38	9,15
80	14,65	-3,29	11,36
85	18,47	-4,52	13,95
90	23,14	-6,21	16,93

В заключение этого параграфа укажем, что в самое последнее
время был рассчитан также целый ряд высших радиационных по- •
правок без разложения по степеням aZ [45—47].
Глава 5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ

Рис. 5.1. График
Фейнмана, соответ-
ствующий процессу
излучения кванта

§5.1. Излучение одного фотона

Процесс излучения фотона электроном описывается в низшем по-
рядке фейнмановской диаграммой рис. 5.1, где индексы А, А' отно-
сятся к начальному и конечному состояниям электрона, а к, е —
волновой вектор и поляризация фотона.

Покажем вначале, что свободный электрон вообще не может
излучать фотоны. Действительно, для свободного электрона
р2 = —т2, где р = (р, Е) (см. (4.9)). Для фотона
к2 = 0, где к = (к, со) (масса фотона равна ну-
лю). Пусть р1э рг — 4-импульсы электрона в на-
чальном и конечном состояниях. Тогда закон со-
хранения 4-импульса дает: р^— к = р2. Возводя
это равенство в квадрат (pf — 2ргк + к2 = р^) и
используя предыдущие соотношения, получаем
рук = 0. Пусть электрон в избранной нами систе-
ме отсчета до излучения покоился, т. е.
Pj = (0, т). Тогда р^к — -та = 0, откуда следу-
ет, что со = 0. То же самое относится и к погло-
щению. Таким образом, излучение (поглощение)
запрещено законами сохранения энергии и им-

пульса. Поскольку для связанного электрона в атоме справедлив
только закон сохранения энергии, но не импульса, такой электрон
может излучать и поглощать фотоны.

Согласно правилам соответствия (см. § 2.6), матричный элемент
5-матрицы, описывающий излучение фотона (см. также выражение
(2.130)), представляется в виде

<Ф°|5(1)(к, е)|Ф°> = р4х ^(х)^>’е-(к'-“ОтрА(х),	(5.1)

где — 4-вектор поляризации фотона. Интегрируя в (5.1) по вре-
мени

( е/(ял'+“-ял)' dt = 2л6(со -Еа + Еа,)	(5.2)
и учитывая, что = (где е — вектор поляризации), получаем
(см. также (1.1))

<Ф°|5<1>(к,е)|фО>=	((е-а)е-^)	6(а> - Ел + EJ.

(5.3)

Выясним теперь, как перейти от матричного элемента S-матри-
цы к вероятности процесса. При этом рассмотрим матричный эле-
мент общего вида Sif (i — начальное, / — конечное состояния). По
аналогии с только что проведенным вычислением можно понять, что
в общем случае матричный элемент Stj будет пропорционален
6[^	£i*]’ где Efk — энергии частиц (электронов, фото-

\ к	к >

нов) в конечном состоянии, Eik — энергии частиц в начальном со-
стоянии. Введем амплитуду процесса Ui}- по определению

Si/ =-2^,6 ^Efk-^Eik .

* *

(5-4)

Если теперь считать, что вероятность процесса wif определяется
величиной | Sif |2, то эта вероятность оказывается бесконечной. Что-
бы получить результат, имеющий физический смысл, заменим одну
из двух 6-функций, входящих в | Sif |2, интегралом

00

6(E) J tiEt dt.

—00

(5.5)

Далее, в этом интеграле интервал интегрирования по времени будем
считать конечным и равным Т, т. е. произведем замену 6(E) на

7/2

ЪТ(Е) =± j eiEt dt.	(5.6)

-7/2

Помня, что выражение 67(Е) умножается еще на 6(E), заменим
его на

6г(0) = Т/2л.	(5.7)

Таким образом, вероятность процесса оказывается пропорциональ-
ной интервалу Т, т. е. времени наблюдения, — поэтому она и
оказывается бесконечной при Т—><». Физический же смысл
можно придать вероятности, отнесенной к единице времени, т. е.
величине

wif =

±\Sif\^ = 2n\Uif\^ ^E/k-2Eik .
, к к ,

(5.8)

Если конечное состояние системы относится к непрерывному
спектру (как в нашем случае), то практический интерес пред-
ставляет знание вероятности того, что импульсы частиц в ко-
нечном состоянии находятся в заданных интервалах dpjk (ин-
декс к нумерует частицы в конечном состоянии). Такая вероят-
ность равна

dp

=	(5.9)

к

где с/ру/(2л)3 — число состояний частицы в объеме фазового
пространства dpf. В нашем случае (один фотон в конечном со-
стоянии)

dwAA.(k, е) = 2л| 1/АА,|26(<о -Еа + Еа.)	(5-10)

Подставляя выражение для амплитуды согласно (5.4), (5.3), полу-
чим

2

dwAA-(k, е) =

6(а> — Еа + ЕА-)ш da> dv,
(5-11)

где v = k/co. Интегрирование выражения (5.11) по со дает вероят-
ность излучения фотона с поляризацией е в заданном направлении
v в единицу времени:

„2

dwAA.(k, е)=^соАА,

2

dv.

(5-12)

Здесь соАА- = Еа — Еа- — частота излучения.

Если нас не интересует направление вылета фотона и его поля-
ризация, то выражение (5.12) необходимо проинтегрировать по уг-
лам и просуммировать по поляризациям. Тогда полная вероятность
перехода атома из состояния А в состояние А' с излучением одного
фотона равна

2

“>AA' = WAA> $ dV
е

(5.13)

Мы не будем теперь в общем случае выполнять суммирование по е
и интегрирование по v в (5.13) — соответствующее выражение бу-
дет получено ниже другим способом (см. § 6.1).

Совершим переход к нерелятивистскому пределу в (5.13). Рас-
смотрим вначале одноэлектронный атом. Понимая теперь под
(...)А'Д матричный элемент с нерелятивистскими (шрёдингеровски-
ми) волновыми функциями, мы должны считать, что вектор г
имеет характерную для нерелятивистского атома величину
[г| »а0 = \.1та (в релятивистских единицах). С другой стороны,
|k| =cu~ma2 — частота перехода при излучении также име-
ет характерную в нерелятивистском случае величину. Таким обра-
зом, в показателе экспоненты exp (—ikr) в (5.13) стоит малая
величина порядка та2/та — а и экспоненту можно заменить еди-
ницей *).

Далее, используя (1.197), в нерелятивистском пределе получаем
+ Хл-офд = 2^1- {о(ар) + (ар)в}фА, (5.14)
а вспоминая также соотношение (1.25), видим, что в нерелятивист-
ском пределе

i 4>i'P4>A-	(5-15)

В результате нерелятивистский предел выражения (5.13) записыва-
ется в виде

2

^АА' = ^2 “АА' 2 S dV । («₽)а'А ।	(5Л6)

е

Чтобы выполнить здесь суммирование по е, воспользуемся форму-
лами (4.187)—(4.194) из §4.4. Это дает тот же результат, что и
(4.195):

2 l(eP)A'Al2= 1(*хр)аа12-	<5Л7)

е

Интегрирование по v также выполняется подобно (4.196). Оконча-
тельно имеем	2

^ЛА' =	(P)a'aI2-	(5.18)

° т

Используя известное квантовомеханическое соотношение
®аа-(г)а'а = (1^1-) а'а = та (Р)а'а’	(5.19)

где Н — одноэлектронный гамильтониан вида [I, (1.1)], и опреде-
ление оператора дипольного электрического момента электрона
d = er,	(5.20)

вероятность перехода можно выразить через матричные элементы
оператора d:

“,аа' = ^“1а-1(3)а'а12	(5'21)

Таким образом, в нерелятивистском пределе излучение атома —
это излучение электрического диполя.

Переход от формулы (5.21) к соответствующему выражению для
многоэлектронного атома заключается в замене одноэлектронного
оператора дипольного электрического момента многоэлектронным:

N

D = 2ar	(5-22)

*) Неравенство | к 11 г | - 2л aD- / X «к 1 физически соответствует тому, что дли-
на волны излучения X много больше размеров атома ав.
Тогда

“>aa' = |“L'I(D)a'aI2>	(5.23)

причем в формулу (5.23) нужно подставлять уже многоэлектронные
волновые функции и разности энергий. Выражение (5.23) представ-
ляет собой одну из возможных форм записи вероятности ц)ДА- —
форму «длины». Другую форму — так называемую форму «скоро-
сти» — представляет собой выражение (5.18). Эти названия соот-
ветствуют размерности операторов D/e и Р/m. В случае многоэлек-
тронного атома это выражение имеет вид

2

^аа- = 1^^аа'1(Р)а-а12>	(5.24)

где

₽ =	(5.25)

i = l

— оператор суммарного импульса электронов в атоме. Формулы
(5.23) и (5.24) переходят друг в друга благодаря существованию
обобщенного на многоэлектронные атомы соотношения (5.19):

“ааЧЮа'А = ([«£]-)А'А =4 (Р)а'А’	<5-26)

где

i = l

а оператор Н теперь представляет собой гамильтониан для много-
электронного атома и определяется формулой [I, (2.3)].

Еще одна возможная форма записи выражения для вероятностей
переходов следует из соотношения

' N '

“аа-(Р)а'а = <[РЯ]-)а-а = -i 2	,	(5.27)

где V — потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром

N 2

р=2 V--	(5.28)

1=1

Формула (5.28) проверяется непосредственно, как и (5.26), с уче-
том очевидного соотношения

(5-29)
rik	rik

из которого следует, что потенциальная энергия взаимодействия
электронов друг с другом не дает вклада в коммутатор (5.27).
Помимо вероятностей переходов, в теории излучения атомов
удобно использовать так называемые силы осцилляторов, которые
определяются так *):

/аа'= -|^аа'1(»)а'а12	<5-30)

и связаны с вероятностями соотношением

WA..= - — оЛл'/лл'-	(5.31)

АА	fn АА * АА

Для сил осцилляторов можно доказать так называемую теорему о
суммах (Томаса—Рейхе—Куна [2]):

S/aa- = M	(5-32)

А'

где суммирование распространяется на все состояния атома, a N —
число электронов.

Для доказательства используем прежде всего равенство (5.26)
вначале для матричного элемента (R)A-A, а затем для матричного
элемента (R)a'a = (R)aa- В последнем случае знак в правой части
(5.26) будет противоположный, поскольку а>А А = — <оАА-. Взяв затем
полусумму этих выражений, получим

2 /аа' = - г Z {(Р)а'а(Юаа' - (P)aa'(R)a'a)-	(5.33)

А'	А'

Суммируя по полной системе функций А\ запишем

2/aa- = |([PR1-)aa-	(5’34)

А'

Вычисляя, наконец, коммутатор

[PR]_ = -3^	(5.35)

и подставляя его значение в (5.34), приходим к равенству (5.32).

Формулы (5.23), (5.24) и (5.27) эквивалентны друг другу только
при использовании точных волновых функций и энергий. При ис-
пользовании приближенных функций расхождение между ними мо-
жет оказаться значительным. По величине этого расхождения мож-
но, в принципе, судить о качестве приближения и о его пригодности
для расчетов вероятностей переходов. То же самое можно сказать
относительно теоремы о суммах сил осцилляторов — она также
справедлива лишь для точных функций и может быть использована
в качестве критерия качества приближений.

Рассмотрим теперь подробнее различные формулы для вероятно-
стей переходов и теорему о суммах в одноэлектронном приближе-

*) Согласно такому определению, сила осциллятора отрицательна для процесса
излучения и положительна для поглощения [1].
нии, в частности в приближении Хартри—Фока. Вместо (5.26) те-
перь можно написать

“аа'(г)а-а = ([гЛхф(г)]_)а,а.	(5-36)

При вычислении коммутатора в (5.36) нужно учесть, что нело-
кальный обменный оператор [I, (2.104)] не коммутирует с г. В ре-
зультате

[гЛХФи)]_/(?) = ^P/(tf) - $ (r-r')pO(<z'; q)v{q'q)f{q) dq.

(5.37)
Здесь мы использовали запись [I, (2.99)] для обменного оператора и
обозначение q = r, ст. Зависимость от спиновой переменной здесь
несущественна, и мы используем переменные q лишь для удобства
сравнения с результатами гл. 2 части I (/(<?) — произвольная
функция).

Из (5.37) следует, что из-за нелокальности обменного операто-
ра эквивалентность различных формул для вероятностей переходов
нарушается. Поскольку формула (5.26), являющаяся аналогом
(5.37), должна быть использована при доказательстве теоремы о
суммах сил осцилляторов, ясно, что эта теорема в приближе-
нии Хартри—Фока также нарушается. Однако в приближении
Хартри, как и в любом другом приближении с локальным потен-
циалом, соотношения между вероятностями выполняются, если
при этом использовать одноэлектронные энергии, являюпщеся точ-
ными собственными значениями соответствующих одноэлектрон-
ных уравнений. Для локальных одноэлектронных потенциалов вы-
полняется также теорема о суммах. В одноэлектронном приближе-
нии она выглядит так:

Х/п„'=1.	(5-38)

п

причем доказательство полностью аналогично приведенному выше
для точных функций. Суммирование по п в (5.38) распространяет-
ся на все одноэлектронные состояния, в том числе и на занятые со-
стояния в многоэлектронном атоме. Таким образом, при использо-
вании теоремы о суммах, например для валентного электрона, не-
обходимо учитывать также запрещенные принципом Паули
переходы во все состояния атомного остова.

Покажем теперь, что в приближении случайной фазы соотноше-
ния между вероятностями и теорема о суммах, в отличие от прибли-
жения Хартри—Фока, выполняются строго [3, 4]. Согласно [I,
(4.421)], матричный элемент, соответствующий амплитуде перехо-
да из состояния А в состояние А' в форме «длины», в приближении
случайной фазы имеет вид

(r)A.A = Sprp^'(^;9).	(5.39)
Рассмотрим в приближении случайной фазы также матричный эле-
мент коммутатора [гйХФ(^)]_:

([гЛХФ(<7)]_)А.А Sp {[гЛХФ(<7)]_рхх'(<7’; <?)} =

= Sp {rh**(q)ptfXq'-, q)} - Sp {ЛХФ(<7)грАА'(<7'; q}}. (5.40)

Используя эрмитовость оператора ЛХФ(<?) во втором члене в правой
части (5.40), можно заменить под знаком Sp оператор Лхф(§) на
ЛХФ(<7'):

Sp {[гЛхф(<7)]_рхх'(<7'; q)} =

= Sp {г(ЛХФ(<7) - ЛХФ(<7'))р^'(<?'; 9)}. (5.41)

В левую часть (5.41) подставим коммутатор (5.37):

Sp {[гЛХФ(<7)]-Р^'(<7'J «)} = Sp {pp^'(tf'; 9)} -

-J (г -r")v(^")p?(9"; (z)pfo («; <z") dQ d(i"- (5-42)

Для вычисления правой части (5.41) используем уравнение
[I, (4.419)]:

Sp {г(йХФ(0) - ЛХФ(^'))рАА(^'; q)} = wAA, Sp {гр^'(</; q)} -

- $ г^(од")р^А'(^; <у") р“(</'; q) dq dq" +

+J rv{qq")p^A\q"\ q)p°i(q\ q") dq dq". (5.43)

Заметим, что второй член в левой части [I, (4.419)] исчезает при
вычислении Sp и не дает вклада в (5.43). Далее, нетрудно убедить-
ся, что члены, содержащие интегралы по dq dq" в правых частях
(5.42) и (5.43), одинаковы и взаимно уничтожаются при подстанов-
ке в (5.41). Окончательно имеем

<оАА. Sp {rpAA'(?'; q)} = Sp {pp?0A'(tf'; ?)},	(5.44)

что и представляет собой доказательство справедливости соотноше-
ния типа (5.26), а следовательно, и эквивалентности формул «дли-
ны» и «скорости» для вероятностей переходов в приближении слу-
чайной фазы. Отсюда же следует и справедливость теоремы о сум-
мах сил осцилляторов в виде (5.38).

Нужно, однако, заметить, что во всех этих рассуждениях — как
в приближении Хартри—Фока, так и в приближении случайной фа-
зы — предполагалось, что исходное и конечное состояния описыва-
ются одним и тем же оператором Хартри—Фока. Само по себе такое
предположение тоже является приближением (см. § 1.2), хотя и до-
статочно часто употребляемым.

В заключение этого параграфа приведем оценки порядка величи-
ны для вероятности дипольных переходов. Запишем выражение для
вероятности (5.21) в обычных единицах, т. е. через константы h, с.
Для этого нужно, в принципе, сохранить эти константы во всех вы-
ражениях, необходимых для вывода (5.21). Мы не будем этого де-
лать и приведем сразу ответ:

(5-45)
лл j ♦ (,Л п. л. • *> ' л л

Пользуясь таблицей, приведенной в части I, подставим в (5.45) ха-
рактерные атомные значения для разностей энергий сол.л » те4/Й2
и расстояний г » а0 = h2/me2. При этом оценки будут справедливы
для оптических (валентных) электронов в атомах, для которых
1- Тогда

/ 2\3

^ = aV,	(5.46)

I tic I й4 0

где /0 — атомная единица времени. Подставляя значение /0 из упо-
мянутой таблицы, получаем

w 109 с-1.	(5.47)

Величина, обратная вероятности перехода в единицу времени, по
порядку величины определяет, очевидно, «время жизни» атома на
начальном уровне *): г » IO”9 с.

Заметим, что из соотношения Е = Йео« ht~l следует, что и в
атомных, и в релятивистских единицах (при Й — 1) энергия изме-
ряется в тех же единицах, что и Г1. В этих же единицах измеряется
w. Отсюда сразу можно увидеть масштаб малости величины w по
сравнению с характерными атомными энергиями Ео: в релятивист-
ских единицах Ео » та2, w « та5, т. е. w ~ а3Е0. Значения веро-
ятностей определяют ширину (т. е. неопределенность в значении
энергии) атомных уровней (см. следующую главу). Полученный
здесь результат ш«Е0 говорит о том, что уровни энергии в атомах,
как правило, хорошо отделены друг от друга. Это относится и к
компонентам тонкой структуры атома (см. § 1.3) ДЕу « a2E0^>w и
даже, в некоторых случаях, к лэмбовским подуровням, для которых
ЛЕ, « та5 (см. § 4.4), но неравенство ЛЕ, > w выполняется благо-
даря различию в числовых коэффициентах (как, например, для
подуровней 2si, 2pi — см. § 4.4).
2	2

Наконец, введем еще понятие интенсивности излучения /(к, е):
Улл.(к, е) dv = Йшлл, dwAA.(k, е),	(5.48)

где dw определяется формулой (5.12), а>лл- — частота излучения.
Левая часть (5.48) представляет собой энергию, излучаемую в еди-

*) При этом нужно считать, что распад уровня А определяется главным переходом
А -»А' (подробнее об этом см. в следующей главе).
ницу времени в интервал телесного угла dv (имеется в виду энергия
излучения с определенной частотой и поляризацией). Аналогично
определяется полная интенсивность излучения (проинтегрирован-
ная по углам и просуммированная по поляризациям):

JAA- = ^АА^АЛ’’	(5-49)

где wAA- определяется формулой (5.13). Все приведенные выше фор-
мулы для вероятностей в нерелятивистском пределе могут быть ис-
пользованы также для интенсивностей.

§ 5.2. Спонтанное и вынужденное излучение
и поглощение света

Выше, в §5.1, рассматривалось так называемое спонтанное излуче-
ние атома. Помимо спонтанного, существует еще вынужденное, или
индуцированное, излучение. В этом параграфе мы рассмотрим так-
же индуцированное излучение и установим некоторые общие соот-
ношения между различными радиационными процессами.

Возьмем состояние электромагнитного поля, в котором имеется
Nn фотонов данного сорта п (т. е. с определенным импульсом, поля-
ризацией или моментом и четностью). Тогда матричный элемент
одноквантового перехода, соответствующего излучению фотона, ум-
ножается, согласно формуле (2.106), на + 1. Вероятность пере-
хода, таким образом, умножается на Nn + 1.

До сих пор, производя вычисления матричных элементов с по-
мощью диаграммной техники, мы не учитывали этого множителя,
т. е. заменяли его единицей. Эта единица в сумме двух членов
Nn + 1 соответствует спонтанному излучению, а слагаемое Nn —
вынужденному излучению. Вынужденное излучение характерно
тем, что его вероятность растет с ростом Nn, т. е. наличие фотонов
в исходном состоянии стимулирует (индуцирует) дополнительное
испускание таких же фотонов. Спонтанное излучение, в отличие от
индуцированного, происходит при Nn = 0 в исходном состоянии.

Таким образом, в общем случае «?f/~An+1, где — вероят-
ность перехода с излучением кванта (i, / — начальное и конечное
состояния атома). Матричный элемент обратного перехода f-*i
пропорционален как следует из (2.105). Под обратным пере-
ходом здесь нужно понимать следующее: в системе Атом плюс поле
по-прежнему имеется Nn фотонов, но теперь атом находится в со-
стоянии /. При этом нас интересует вероятность того, что атом
перейдет в состояние i, поглотив один квант. Из сказанного выше о
зависимости матричных элементов от Nn следует соотношение
Эйнштейна:

%Г_ ^П+1

Wfi Nn
Свяжем теперь число фотонов Nn с интенсивностью падающего
на атом излучения. Энергию излучения, падающего в единицу вре-
мени на единицу площади, запишем как Jk с do dv, где Jkc — ин-
тенсивность излучения с волновым вектором к и поляризацией е.
Число состояний поля с заданной поляризацией е в интервале к,
к + dk равно (в этом параграфе мы используем обычные единицы)

к2 dk dv
(2лЙ)3 ’

Вспоминая, что <п = ск, перепишем (5.51) так:

1 со2 doi dv
с3 (2лЙ)3

(5.51)

(5.52)

Учитывая также, что е = Йо (е — энергия), запишем число состо-
яний в интервале энергий:

Й3 to2 doi dv_ 1 to2 dto dv	(c

с3 (2лЙ)3 ~ с3 (2л)3

Энергию излучения, падающего в единицу времени на единицу
площади, получим, умножив (5.53) на энергию кванта Йо, на
число квантов в данном состоянии поля Nke, а также на скорость
квантов с. Тогда возникнет равенство

М е = А е dco dv,	(5.54)

с2 (2л)3 ке ке

откуда
лт 8л3с2 г

^к, е ~ А, е'	(5.55)

Рассмотрим следующие вероятности: вероятность спонтанного
излучения фотона (е импульсом к и поляризацией е) dw^(k, е),
вероятность индуцированного излучения фотона dw^(k, е) и веро-
ятность поглощения фотона dwfi(k, е). Тогда из (5.50) следует:
dw^fk, е) = dwf.(k, е) = Л^с dw(^(k, е) =

= ^4,е<Ц?(к.е)-	(5Л6)

Если падающее излучение изотропно и неполяризовано (^к с не
зависит от v, е, т. е. Jkc = Jw), то интегрирование по v и суммиро-
вание по е в (5.56) дают соотношения между полными вероятностя-
ми радиационных переходов

где

byz/ = ^dby/z(k, в).	(5.58)
Можно ввести также полную спектральную интенсивность падаю-
щего излучения

е

которая в случае изотропного, неполяризованного излучения равна

4 =	(5.60)

Тогда

(и)	л2с2 7	(с)	(5.61)

Если состояния атома i и / вырождены, то полная вероятность
излучения или поглощения получается суммированием по всем вы-
рожденным конечным состояниям и усреднением по всем вырожден-
ным начальным состояниям. Обозначим соответствующие кратности
вырождения через gt и gj и рассмотрим для простоты такой случай,
когда переходы одинаково разрешены для всей совокупности вырож-
денных состояний. Тогда усреднение ничего не дает, а суммирова-
ние дает множители gt, gf, и мы получаем

= (5’62)

Вместо вероятностей w<$, wfi иногда употребляют коэффи-
циенты Эйнштейна

=	(5.63)

* U)	w

где величина 7ш/с есть пространственная спектральная плотность
излучения. Записанное через коэффициенты Эйнштейна соотноше-
ние (5.62) выглядит так:

2 3

§ 5.3. Мультипольное излучение

В этом параграфе мы рассмотрим вероятности излучения фотонов с
определенными моментами и четностью.

Мультипольное разложение для вероятности. Вероятность
i»AA-(j7Af) излучения фотона с моментом j, его проекцией М и чет-
ностью, определяемой значением I, мы получим непосредственно из
точной формулы (5.13). Для этого используем разложение вектора
е'ехр (—zkr) по векторным сферическим функциям (2.131)

е*е-^ = £ (-0/(e‘YHM(v))gz(MY’/M(n),	(5.65)

цм
где v s n s gi(kr') — 4nji(kr), jt(kr) — сферическая функ-
ция Бесселя (см. (2.169)).

Для доказательства (5.65) используем разложение плоской вол-
ны по сферическим функциям (2.168)

e-/kr = (—i)lgl(kr)Ylm(y)Y*lm(n).	(5.66)

1т

Спроецируем обе части равенства (5.65) на тройку базисных векто-
ров е, v, (exv). Умножая обе части (5.65) на a (a s е, v, (exv)), по-
лучаем

(ае*)е“Лг = £ (-/)z(e’Y;zM(v))(aY;zM(n))ft(M.	(5.67)

jlM

Подставляем выражения для (2.131):

(ae*)e~'kr = £ (-i)z 2 С1/М(пщ)У/т(*)(е*хи) х
jlM	тр.

х£ С'1м(т>')У;т.(п)(ах1:-)^(^)- (5.68)
т'ц'

Используя, далее, условие унитарности [I, (3.32)] для коэффициен-
тов Клебша—Гордана, преобразуем (5.68) к виду

(ае*)е_/кг = £ (~i)1 S^Y 1т(у)Г1т{п) £ (е*Хи)(аХ;).	(5.69)

1т	Н

Поскольку хи — сферические орты, по которым может быть разло-
жен любой вектор (см. (2.138)), то

2 (е*Хи)(аХн) = (е*а).	(5-70)

И

При а = е правая часть (5.70) равна единице, а при а = v, (v хе) она
равна нулю. Таким образом, равенство (5.65) выполняется в проек-
циях на все три базисных вектора и его можно считать доказанным.

Подставим теперь разложение (5.65) в формулу (5.13) для веро-
ятности:

2

^aa' = ^waa'E E(-0/+Z'x
jlM jl'Af

X [Si {b}AA'rl^Sl'(iaAA'r2) (а1^/7м(П1) ) (а2^7/’лг(п2)) 1А'ААЛ' X
х£ S dv (e-YyzM(v))(eY-,rM.(v)). (5.71)
е

Выполняя в (5.71) суммирование по е, получаем (см. опять (4.195))
х J dv {ехпм(у)){^угм.(у)) =

= j Л (vx Yyzzv/(v))(vх Y-,rw,(v)). (5.72)
Векторное произведение в (5.72) отлично от нуля, только если
функции УуШ образуют линейные комбинации, соответствующие
одной из двух поперечных векторных функций Yj^(v) или
Yj^(v). В этом случае интеграл (5.72) представляет собой интеграл
ортогональности:

j dv (V х Y<ft,(v))(v х Y$(v)) =	(5-73)

где s, s' = E, M. Окончательно выражение (5.71) после подстановки
в него (5.72), (5.73) принимает следующий вид:

^АА' = “АЛ' 2 Ь (аЦ^ + 1(“АА'Г)^ + Ш(п) -
jM

-My-l(“AA’r)Yyy„1M(n)))AA.|2 +

+ I (g/(“AA'0(aY«(n)))A.A|2j. (5.74)

С учетом определений (2.170), (2.171) формулу (5.74) можно пере-
писать так:

^ал- = е1 Е 11 (“А^(г))а,а|2 + | (аА^ (г))А,А |2), (5.75)
jM

где а£^м(г), А^^(г) — волновые функции фотонов. Выражение
(5.73) представляет собой мультипольное разложение для вероятно-
сти однофотонного перехода. Отдельные члены этого разложения
представляют собой вероятности излучения фотона с опреде-
ленными моментом и четностью.

Правила отбора при мультипольном излучении возникают непос-
редственно при интегрировании по углам и суммировании по проекци-
ям момента М в (5.75). Эти правила могут быть установлены также из
общих соображений на основе теории углового момента [I, гл. 3].

Пусть Mt и Jf, Mf — полный момент и его проекция для
электрона в атоме (фактически пока речь идет об одноэлектронном
атоме) в начальном и конечном состояниях. Тогда из закона сложе-
ния моментов следует

\Ji-Jf\^j^Jt + Jf,	(5.76)

+	(5.77)

где j, М — момент фотона и его проекция. Кроме того, существует
правило отбора по четности

pf = ptp&	(5-78)

где Pt f — четность начального (конечного) состояния электрона в
атоме, Рф — четность фотона. Формулу (5.78) можно переписать,
пользуясь тем, что все четности равны ± 1:

р* = pipf	(5-79)

7 Jl. Н. Лабзовский

193
Тогда, вспоминая результаты § 2.4, получаем для электрического
мультипольного излучения

PfPt = (-l)j,	(5-80)

а для магнитного мультипольного излучения

PfPt = (-1)'+I.	(5.81)

Следующей нашей задачей является поиск вида мультиполь-
ного разложения в нерелятивистском пределе. Эта задача, одна-
ко, проще решается в иной калибровке, нежели та, которая бы-
ла использована в § 2.4 для определения волновых функций фо-
тона. В § 2.4 для калибровки потенциалов электромагнитного
поля мы использовали условие поперечности. В принципе можно
отказаться от этого условия, вводя одновременно продольные и
скалярные фотоны и потребовав компенсации их вкладов подо-
бно тому, как это делалось в общем случае в § 2.2. Для такой
компенсации достаточно, как мы видели, выполнения условия
Лоренца.

Калибровочное преобразование (2.8), (2.9) в импульсном пред-
ставлении принимает вид

А —* А + vx(k, Z),	(5.82)

К-» V + X(k, t).	(5.83)

При этом мы будем требовать, чтобы добавка не меняла квантовых
чисел фотона, т. е. момент, его проекцию и четность. Для фотонов
электрического типа возможен следующий выбор Х(к, <):

Х(к, О = сб(ш- |k|)yyM(v)e--'.	(5.84)

Тогда, с учетом (2.158), можно написать

А^(к, 0 = <*(“ - | к| )(Y$(v) + CY<<(v))e-'“‘, (5-85)
0 = ^(ш - Ik| )CY.M(v)e-^.	(5-86)

Нетрудно убедиться непосредственно, что условие Лоренца выпол-
няется для потенциалов (5.85), (5.86).

Поскольку функции Y^, Y$\ Y^, как уже говорилось в
§ 2.4, образуют полный набор, никакой другой добавки к Y^ сде-
лать нельзя. По этой же причине к функции Yffl добавить вообще
ничего нельзя, так как добавка Yfy изменила бы ее четность.
Согласно (2.182), выражение (5.75) теперь нужно заменить следу-
ющим:

*АА- = е2 £ {| (аА^>м(г) + VwJM(r))A.A |2 + | (<%(г))А>А| г|.

JM

(5.87)
При переходе к нерелятивистскому пределу удобно использовать
калибровку (5.85), (5.86) и выбрать константу С так:

С = ^ + 1	(5.88)

Если теперь подставить (5.88) в (5.85) и перейти к координатному
представлению для потенциалов А^м и VwjM так, как это было сде-
лано в конце § 2.4, то мы получим

С„(г) =	„(п),	(5.89)

=	(5.90)

При переходе к нерелятивистскому приближению учтем прежде
всего, что кг — малая величина порядка а (см. § 5.1), и разложим
функцию gj(kr) в ряд, ограничиваясь старшими членами. Исполь-
зуя разложение функций Бесселя (см. (2.169)), получаем

Электрические мультиполи. Рассмотрим вначале электриче-
ские мультиполи. Из (5.87), а также из вида потенциалов (5.89),
(5.90) следует, что в нерелятивистском пределе главный вклад дает
член со скалярным потенциалом VwjM. При этом по-прежнему ска-
лярные (и продольные) фотоны не дают вклада в выражения для
напряженности поля.

В нерелятивистском пределе часть выражения (5.87), соответству-
ющая электрическим мультиполям, может быть представлена в виде

<5’2>

jM
где	____

0$(г)=^г%м(п)	<5-93)

— электрические мультипольные моменты атома. При этом подразу-
мевается, что матричный элемент в (5.92) вычисляется уже с нереля-
тивистскими волновыми функциями. Это дает возможность распрост-
ранить формулу (5.92) также на случай А-электронного атома.
Теперь в качестве функций грА, лрА- нужно использовать многоэлект-
ронные волновые функции, а оператор (5.93) заменить на

*	(5.94)

i=i

Нетрудно убедиться, что при у = 1 формула (5.92) дает результат,
совпадающий с (5.21). Действительно,

=	1(С!5)лХ	(5.95)

М=0. ±1
Используя теперь формулы [I, (3.114)], [I, (3.83)], убеждаемся, что
(5.95) содержит скалярное произведение (г)ЛЛ-(г)А'Л, записанное че-
рез сферические компоненты векторов, и сводится, таким образом,
к (5.21).

Правила отбора для мультипольного электрического излучения в
нерелятивистском пределе зависят от схемы связи. В случае /^-свя-
зи эти правила таковы:

\Lt-Lf \ ^j^L. + L,,

(5.96)

М=М, -М.

s-sf = o,

Ms-Ms = 0,

(5.97)

(5.98)

(5.99)

где Lt, ML, Lj, — значения суммарного орбитального момента
атома и его проекции в начальном и конечном состояниях, 5,, Ms,
Sf, Ms — значения суммарного спинового момента и его проекции.
Правила отбора (5.96), (5.97) являются естественным следствием
(5.76), (5.77), а правила (5.98), (5.99) возникают в силу независи-
мости операторов перехода (5.94) от спиновых переменных. К этим
правилам нужно добавить также правило отбора по четности (5.80).

Порядок величины вероятностей различных мультипольных
электрических переходов следует непосредственно из (5.91):

(ЕД

^) = а2>"2	(5-100)

АА

Формула (5.100) относится к переходам, разрешенным правилами
отбора (5.96)—(5.99). В принципе эти правила, в отличие от (5.76),
(5.77), не являются абсолютно строгими и нарушаются при учете
спин-орбиталыюго взаимодействия. Поэтому могут существовать
«запрещенные» мультипольные электрические переходы (например,
при St *= Sj), вероятности которых меньше, чем определяемые
по (5.100).

Магнитные мультиполи. Перейдем к магнитным мультиполям.
В нерелятивистском пределе, пользуясь (5.91), представим магнит-
ную часть (5.87) в виде

АА Zj	у[(2/ + 1)!!]2	11У)м1аа1 >

JM
где величины

G^(r) =	(5102)

можно назвать магнитными мультипольными моментами атома. Вы-
ражение (5.102) еще не преобразовано, однако, окончательно к не-
релятивистской форме, поскольку в него входят матрицы Дирака и
матричный элемент в (5.101) пока предполагается с дираковскими
волновыми функциями.

Проведем, в связи с этим, дальнейшие преобразования. Прежде
всего, можно написать:

*(О^)а'а = ~0Т^Т S 1а'а(г)^¥^(п) dr, (5.103)

где jA-A(r) — недиагональный ток (ток перехода) в релятивистской
форме (см. (1.15)). Здесь нам понадобится нерелятивистское выра-
жение для тока, которое получается из (1.15) предельным перехо-
дом с учетом (1.202), (1.29):

КО = ~ 2^	+ ^’о(сф^)} =

=	чрУлр*) - rot (ч|>*олр). (5.104)

Используем теперь иную запись для векторных сферических функ-
ций Y^M)(v). Для этого вначале покажем, что

(5.105)

где

V^sIklV^,	(5.Ю6)

— угловая часть оператора градиента Vk в импульсном про-
странстве. Для доказательства (5.105) нужно взять явное выраже-
ние для вектора Vv, который имеет в сферических координатах
всего две составляющие [5]:

V<“>= (А -!-А\	(5.107)

v I du’ sin v dtp I ’

и подействовать на YjM, пользуясь правилами дифференцирования
сферических функций. Можно проверить непосредственно, что пол-
учающийся при этом вектор записывается в виде

viQ)yyw(v) = (/VTTTY.y+1 м(?) + (j + 1)V7Y.	M(V)).

(5.108)
Сравнивая (5.108) с (2.153), получаем формулу (5.105).

Векторную сферическую функцию Yffl(у) можно теперь полу-
чить так:

^>)=ИУ>)).	(5-109)

Очевидно, аналогичное выражение можно записать и в координат-
ном представлении:

YW(n) = (nxY$(n)).	(5.110)
Учитывая (5.105) и переходя в координатное представление, где
Vn == rV, получим

^)("> = ?7йТТТ<г*7>у'>«<п)-	<5Л11)

Подставляя теперь (5.111) в (5.103), в результате интегрирова-
ния по частям получаем

«(G^)a'a = 7ТГ От S (rxjA,A(r))V(r>y.M(n)) dr. (5.112)

Используя выражение для тока (5.104), имеем

^(G^)a'a = 7ТтОт{ё S V>((rx У)фА)У(г/у.м(п)) dr—
J W*WWMn)) dr-

S (rxrot (яр;«чрА))У(г>УуЛ/(п)) drj. (5.113)
Преобразуем интегралы в (5.113) и введем обозначения

-^г/Уул/(п).	(5.114)

Величины представляют собой компоненты неприводимого тен-
зора ранга j. Тогда, используя формулу

rot а»р = а х V»p + ф rot а,	(5.115)

где а, ф — произвольные вектор и скаляр, запишем второй член
(5.113) в виде

( ^л(г х V)4pA,VG^> dr = - j ф> rot (фАг) VG^ dr +

+$ rot (ф;.гфА)УС£ dr. (5.116)

Поскольку rot rsO, то по формуле (5.115) получим

rot (фАг) = rx УфА.	(5.117)

Если учесть также, что div rot а = 0 для произвольного вектора а,
то последнее слагаемое в (5.116) сводится к поверхностному интег-
ралу и исчезает. Таким образом, второе слагаемое в (5.113) равня-
ется первому.

Рассмотрим третий член, подынтегральное выражение в котором
преобразуем с помощью тождества

(ах (bxc)) =b(ac) — c(ab),	(5.118)

где а, Ь, с — произвольные векторы. Тогда, используя для удобства
тензорные обозначения, запишем

(г X (V X F))* = x.^-Fi-xi^- Fk. (5.119)
Подставляем (5.119) в интеграл и применяем интегрирование по ча-
стям, отбрасывая внеинтегральные члены*):

д г

i dxt Fk

dT

^~х

d2G%	d2G^

+ xtFk
dx2 1 ^ax.

dr. (5.120)

Далее используем то обстоятельство, что компоненты тензора G^
представляют собой однородные гармонические полиномы, являю-
щиеся решениями уравнения Лапласа:

2

^^ = Дг>У.м(п)=0.
ах.

(5.121)

Таким образом, второй член под интегралом в правой части (5.118)
исчезает. Далее, рассмотрим оператор

%;	== rV = r(nV).	(5.122)

1 ОХ.	х '

Градиент в сферических координатах, с учетом выражения (5.107),
может быть записан также в виде [5]:

V = nA + lvR = n£_i(nxT)j	(5.123)

где 1 — орбитальный момент. Отсюда

В результате третий член под интегралом в (5.120) приводится к виду

a2G^

/7 м

' к ах;ах.

к дг ах, '

(5.125)

Представляя д/дхк с помощью (5.123), находим

*	\	/к

(5.126)

Непосредственное вычисление коммутатора в (5.126) дает

/ к

=	= ->	(5.127)

\	1 к	*

*) В этой формуле индексы i, к относятся к декартовым компонентам тензоров,
тогда как индекс М нумерует сферические компоненты.
Учитывая также, что из определения следует:

<5128)

получаем

x.Fkd^=U-l)F d-^L.	(5.129)

Собирая теперь все члены в (5.120), получим
дС№	dG^

J (rx(VxF))t-^dr=(j + l) \Fk-^-dr.	(5.130)

Теперь, возвращаясь к прежним обозначениям и используя опреде-
ление орбитального момента (1.69), выражение (5.113) перепишем
в виде

efo(MK , _____1_ J_±!_ е_

e^jM)A'A	/ + 1 12/ + 1 m

х S ^'(Т+ф°]^¥(г>У/М(п)) dr. (5.131)

При / = 1 величины У4л/ЗгУ1м представляют собой сферические
компоненты радиуса-вектора

# ^w(n) = (г)м.	(5132)

Тогда

V(r)M = ем,	(5.133)

где ем — сферические орты (М = 0, ± 1), и выражение (5.131) со-
держит сферические компоненты вектора 1 + о. Вводя магнитный
момент электрона по определению

н = - 2^ 0 + °) = - 2^ о + 2s) = -Но(» + 2s), <5-134)

где s — спиновый момент электрона, ц0 — магнетон Бора, можем
переписать (5.134) так:

<5135>

Подставив (5.135) в выражение для вероятности (см. (5.101)),
^ = ^аа’1 KQ^a'aI2.	(5.136)

М = 0, ±1

получаем, переходя от сферических компонент вектора р. к декар-
товым:

ИДдд'1) = 4ю3дд,|(|1)д.4|2.	(5.137)

А А 3 А А • 'АА>	4	'

В «обычных» единицах

3

и1т=1Э|(и)^12-	(5лз8>
Порядок величины легко установить, сравнивая выраже-
ния (5.137) и (5.21) и учитывая, что в релятивистских единицах
d ® 1/та, ц ~ \/т. Таким образом,

а2.

wty

(5.139)

Порядок величины вероятностей различных мультипольных магнит-
ных переходов, как и в случае электрических переходов, следует из
(5.91):

^=a2J-2	(5.140)

Оценки (5.139), (5.140), как и (5.46), справедливы для
оптических электронов. Как и для электрических переходов,
оценка (5.140) относится к разрешенным магнитным переходам.
Из (5.139) и (5.100) следует, что по порядку величины
если оба перехода разрешены правилами отбора.
Однако фактически Ml-переходы в нерелятивистском приближе-
нии разрешены только между компонентами одного мультиплета
(см. § 5.4, 5.5). В этой ситуации в выражении для воз-
никает дополнительная малость ввиду присутствия частоты пере-
хода (в данном случае — малой величины) в более высокой
степени. Таким образом,	для переходов внутри

одного мультиплета. Для переходов между различными мульти-
плетами, напротив,	(так как переход Ml запре-

щен).

Правила отбора для мультипольного магнитного излучения в не-
релятивистском пределе в случае £5-связи отличаются от (5.96)—
(5.99) только правилом отбора по четности: вместо (5.80) нужно те-
перь использовать (5.81).

Калибровочная инвариантность. В заключение этого парагра-
фа рассмотрим вопрос о калибровочной инвариантности выражения
(5.87) при использовании приближенных волновых функций [6—
10]. Подставив в (5.87) в качестве выражение (5.85) в коор-
динатном представлении, запишем добавку к вероятности, содержа-
щую продольные и скалярные фотоны, в виде

I S {рЛм(0 - 1ал-А^м(г)} dr|2,	(5.141)

jM

где — «продольный» потенциал электромагнитного поля,
рлл- — недиагональная плотность

pAA' = eipA-(r)%(r).	(5.142)
Величина определяется формулой (2.158). Переходя к коорди-
натному представлению, можно написать

А^м(г) = Vj.(*r)r/M(n).	(5.143)

Теперь соотношение (5.141) (учитывая также (5.86)) можно пере-
писать так:

2

= С 2 IJ ^AA-PAA Sj(kr)YJM(n) -

- 1лл'^(Лг)Уум(п))} Л-|2- (5.144)

В случае, если волновые функции в (5.144) являются точными
решениями одноэлектронного уравнения Дирака, добавка (5.144)
обращается в нуль и вероятность, таким образом, не зависит от вы-
бора калибровочной постоянной С. Чтобы это продемонстрировать,
запишем «недиагональное» уравнение неразрывности (1.14) для ста-
ционарных состояний (1-19):

(£Л. - Ед)Рда. - div jAA> = 0.	(5.145)

Отсюда сразу же получаем, интегрируя по частям в (5.144) и сводя
все выражение к поверхностному интегралу:

2

^аа' = С^£ |S div(jAA^(^)ryw(n)) rfr|2 = 0. (5.146)
jM

Калибровочная инвариантность сохраняется и в приближении Хар-
три—Фока—Дирака с локальным обменным потенциалом (3.122).
При этом подразумевается, что начальное и конечное состояния
описываются одним и тем же потенциалом УХФ.

§ 5.4. Вероятности переходов в атоме водорода и
одноэлектронных ионах

Вероятности переходов в атоме водорода, пользуясь малостью реля-
тивистского параметра а = vjc 1/137, где v0 — характерная ско-
рость электрона (см. § 1.5), можно вычислять в нерелятивистском
приближении. То же можно сказать и об одноэлектронных ионах с
не слишком большим зарядом ядра (а2<к1). Начнем поэтому с
электрического мультипольного разложения (5.92), справедливого в
нерелятивистском пределе. Значки А', А теперь расшифруем как
А = nJMj, где п — главное квантовое число; J, М} — полный мо-
мент электрона и его проекция. Как правило, в атомной физике из-
меряется полная вероятность перехода, т. е. вероятность, просумми-
рованная по значениям проекции момента в конечном состоя-
нии и усредненная по проекциям момента Mj в начальном состоя-
нии (см. § 5.2):

= 2ТТТ 2 wnJM; п-гм';	(5.147)

MjMj,

Здесь величина п'/'м} представляет собой соответствующий
член суммы по j в (5.92).

Используем теперь теорему Вигнера—Эккарта [I, (3.100)]:

(J' j'

™ м ^J'WQfWnJ). (5.148)

1 !	'	'	М. Mj М.	’

1	/

Подставляя (5.148) в (5.147) и используя для суммирования по

Mj, Mj, M'j [I, (3.31)], получаем

= ^2-2—°-+1)^;7' I <n,ni^£)||nJ>p. (5.149)

nJ. nJ	(ZZ + l)[(2j + l)!!]2	J 1	1

Для вычисления приведенного матричного элемента в (5.149) нуж-
но учесть, что в нерелятивистском пределе по отдельности сохраня-
ются орбитальный и спиновый моменты атома L, S (J = L + S, при-
чем в случае одноэлектронного атома L = 1, S = s, где 1, s — одно-
электронные моменты). При этом оператор перехода в (5.149)
действует только на пространственные переменные. Тогда можно

воспользоваться выражением для приведенного матричного элемен-
та оператора, действующего на координаты подсистемы [I, (3.121)].
Это дает

<n'Z's'J'||Q<£)||nZsJ> = dss,V(2J' + 1)(2J+ 1) х

'г'	S <n7'HGf)||nZ>,

(5.150)

причем в нашем случае s = s' = 1/2. Подстановка (5.150) в (5.149)
дает

(£y)	_	2(2T + 1)(2/+!)(/+

nJZin'J'Z'	/[(2/+1)!!]2

х

l'r J' 1/2 <n'Z'||Q<£)||n/>.
J I ] J

(5.151)

Согласно [I, (3.111)]

<n'Z'||Q<£)||nZ> = (—l)zV(2Z' + 1)(2Z + 1) P' ' 4/^knZ. (5-152)
\ v V

r«e

„z s $ M')''W dr,	(5.153)

0
a KnZ(r) — одноэлектронные радиальные волновые функции (см.
[I, (2.132)]). Таким образом, окончательно

n'J'l' ~

2(2/' +1) (2/ +1) (j +1) (21' +1) (21 +1 )<о^7

/[(2/ + 1)!!]2

X

X

/,	\	2г ,	.

I/' j i\ i' j'
о oj [j i

1/2
j

(^;n/)2- (5-154)

Формула (5.154) определяет вероятность переходов между от-
дельными компонентами тонкой структуры атома, которые нуме-
руются квантовыми числами /, J'. При этом в выражении для ча-
стоты ып1,п'1' мы пренебрегли тонкой структурой. Этого нельзя де-
лать, если вычисляются переходы между компонентами тонкой
структуры одного и того же уровня, т. е. при п = п'. В этой ситу-
ации нужно оставлять зависимость от J в выражении для частоты
conZ7.nir и пользоваться для вычисления разностей энергии фор-
мулой (1.137).

Как правило, однако, в нерелятивистском случае представляет
интерес полная вероятность перехода между двумя уровнями п.1,
п'ГТакая вероятность получается суммированием (5.154) по J' и
усреднением по J. С помощью формулы суммирования [I, (3.60)]

получаем

1

2/ + 1

2(2/' + 1)
//'

/' J' 1/2

J I i

(5.155)

1

21 +1 ’

откуда следует

nl, nl

1 v <Ej) _ о 2(2/ + 1)(/ + 1)(2Г + 1)^
2/4-12/ nJE. n'J'l'	/[(2/4-1)!!]2

2

Г 7 Ч {Rn\- т)2- (5-156)
о 0 0) nl,nl

Заметим, что свойства Зу-символа в (5.156) (см. [I, (П4.2)]) полно-
стью определяют сформулированные выше правила отбора для од-
ноэлектронных атомов. Перепишем эту формулу в атомных едини-
цах, более удобных в нерелятивистской теории (см. таблицу пере-
хода в начале книги). Формально для перехода нужно сделать
замены е2-*а, со-*и?а2со, №-*, 1 ~	что приво-

(wet)/	та2

дит к результату

= а2у+1
nl. п L

2(2/-И)(/ + 1)(2/'4-1)а>^И/' j iV(R(JX
/[(2/4-1)!!]2 [б 0 (J n'l'',nl ‘

(5.157)
Рассмотрим теперь более подробно электрические дипольные пе-
реходы. В этом случае j= 1 и из (5.157) получаем

/	\ 2

4г1к = «Ц(2Г + 1Х.пГ / 7 1 (^к,)2- (5Л58)
nt, п I	j v	' ni, п I q 0 ' n I, til'

В формуле (5.158) 3/-символ отличен от нуля при двух значениях
Г: Г — 1±1. Вычисляя 3/-символ согласно [I, (П4.2)] и подставляя
в (5.158), получаем

wnl; п' 1+1 = з a3<un/; п' 1+1 21 + 1 ^п\+1; nl)2’	(5.159)

и’пД,п' 1-1 = з a3<OnZ; п 1-1 21 + 1 ^n\-l; nl)2'	(5.160)

Для матричных элементов, входящих в (5.159), (5.160), имеют
место следующие правила сумм:

п	п

причем подразумевается, что в суммирование по п' включено и ин-
тегрирование по сплошному спектру. Для доказательства (5.161)
нужно заметить, что радиальные одноэлектронные функции Rni(r)
удовлетворяют в общем случае уравнениям [I, (2.140)]*). При фик-
сированном значении I эти уравнения можно рассматривать как
уравнения на собственные значения для некоторого эрмитовою опе-
ратора. Отсюда следует свойство полноты

S^7(r')Z?n7(r) = d(r'-r),	(5162>

п

а из (5.162) немедленно следует (5.161). В случае чисто кулонов-
ского поля, т. е. атома водорода или одноэлектронных ионов, равен-
ство (5.161) можно продолжить, используя выражение для из
таблицы [I, П2.3]:

Ч? т = Й [5«2 + 1 - 3/(/ + 1)1.	(5Л63)

Докажем теперь правила сумм для осцилляторов, соответствую-
щих переходам nl-*n' Z + 1 и nl—*п I— 1. Согласно (5.30),
(5.159), (5.160)

fnl; п 1+1 ~ ~ з ШпГ, п 1+1 21 + 1 (Rn\+1; nl)2’	(5.164)

f(nl- п' l-l = - 1 Чщ п l-l 2ITT ^l-l: nl)2-	(5.165)

*) Таким образом, приводимое доказательство относится не только к одноэлект-
ронным атомам, но и к многоэлектронным атомам в одноэлектронном приближении.
Рассмотрим сумму

^nl * = — 2 ЫпГ. п' l + i(Rn'\ + r, n/)2 = ~2 (Бп/— еп'/+1)(ЛпЧ + 1; п/)2 =

= 2 S Rn-- rf$\rY)Rnl(r) dr X

xj Rn l^rRnl{r) dr. (5.166)

Здесь — оператор, собственными функциями и собственными
значениями которого являются Rnl(r) и enZ (см. [I, (2.140)]):

P<z>(r)= -|^-^ + ^±”+У(г).	(5.167)

2	dr£ r 2г1

Мы будем считать при этом, что У (г) не зависит от Z, что, вообще
говоря, справедливо лишь в отсутствие обменного члена или при его
аппроксимации по Слэтеру (см. § 3.5). В случае чисто кулоновской
задачи У = 0. Учитывая явно различие между и можно
(5.159) переписать в виде

С1) = У S +	r]_ + ^l)*nZ(r) dr*

х $ лп'/+1(г)^п/(г) dr. (5.168)

Используя опять условие полноты (5.162) и условие нормировки
функций Rnl, получаем

5<zz+1) = (r|<(r), r]_)nZ;nZ + Z + 1.	(5-169)

Вычисляя коммутатор

[W).d-=-^	(s.ito)

и интегрируя по частям, с учетом условия нормировки функций
Z?nZ(r) находим

(НЙ?>(г),г1_)„,;„ = 1	(3.171)

Таким образом,

5<ги) - 2/ + 3,	(5.172)

и мы приходим к правилу сумм:

v Л£1)	= (Z + 1)(2Z+3)	(5.173)

ZjJnl-,nl+l 3(2/+ 1)	•

п

Аналогичным образом доказывается правило:

v ЛЕ1) _	7(2/ —1)

Jnr,n'i-i	з(2/ + 1У	(5.174)
Наконец, складывая (5.173) и (5.174), получаем общее правило
(5.32) для N= 1:

2	+«'/-!) = 1-	(5-175>

п

Перейдем к вычислению радиальных интегралов R$. n-f. Радиаль-
ные волновые функции в случае кулоновского поля имеют вид [I,
(1.26)] и выражаются через вырожденную гипергеометрическую
функцию. Для определенности рассмотрим интеграл	Он

сводится к интегралу

7^(аЛ; а'к') = lj е }ггу lF(a, y — q; kr)F(a, у — р; k'r) dr, (5.176)
о

где Х = —+ —; y = 2Z + 3; а = — и + Z + 1; а' = —п' + Г, k = 2Z/n;
п п'

к' = 2Z/n; <7=1; р = 3. Интеграл 1™(ак; а'к') приведен в формуле
[I, (П2.14)] и выражается через гипергеометрическую функцию*).
Интегралы 1^(ак; а'к') сводятся к 1^(ак; а'к') с помощью рекур-
рентных соотношений для вырожденных гипергеометрических
функций [I, (П2.4)]. Приведем окончательный результат (см. [11],
а также [2]):

ЛпД п' 1-1

__ (—J(» + Z)!(n'+ 7 — 1)! (4nn')'+1(n-n')"+"'~2'~2
4(27 — 1)! I (n —7 —1)(п' —/)! (и + п')л+п

X (-И + I + 1, -n' + I; 2Z;-------------

4	(n-n')2

2Fj -n + Z-l,-n' + Z; 21;

4nn'

<n-n')2

(5.177)

Поскольку в гипергеометрических функциях 2^i(a>	75z) B

(5.177) параметры a, p отрицательны (или равны нулю), эти функ-
ции сводятся к полиномам (см. [I, (П2.8)]). Это обстоятельство
обеспечивает и само существование интегралов.

Приведем также некоторые квадраты радиальных интегралов для

частных случаев [2]:
Is —пр: (R^.nl)2 = 2V(n-£s^	<5Л7*>  101 n1'	(n + l)2”-*-5
2s-пр: (^;J2=217n7(fn~+^-2)7\	(5-179)
2р - nd: (R% п2)2 =	(5.180)
2p~ns: (^в0)г = 21^;^-	(5.181)

*) В формуле [I, (П2.14)] имеется опечатка: следует заменить у' на у.
При п = п формула (5.177) непригодна (это видно из того, что
аргументы гипергеометрических функций в (5.177) становятся бес-
конечными). В этом случае удобнее производить интегрирование
иным способом, используя запись радиальных функций Rnl(r) через
обобщенные полиномы Лагерра (см. [I, (П2.0—(П2.12)]). Подстав-
ляя в интеграл выражение [I, (П2.11)] для одного из полиномов, а
для второго используя представление [I, (П2.12) ], путем повторного
интегрирования по частям можно получить следующее простое вы-
ражение [2]:

p(D =rW = -п\/пг—12	(5.182)

Эта формула определяет переходы между компонентами тонкой
структуры уровня.

В приложении П2.1 приведена таблица числовых значений квад-
ратов радиальных интегралов (5.177) [2] (в атомных единицах).
Далее там же приведена таблица сил осцилляторов (5.164), (5.165)
[2] (приложение П2.2) и таблица вероятностей переходов (5.159),
(5.160) [2] (приложение П2.3). В приложении П2.4 приведена и так
называемая диаграмма Гротриана, дающая наглядное представление
о расположении возбужденных состояний атомов, спектральных се-
риях и разрешенных переходах.

Перейдем к магнитному мультипольному излучению. Повторяя
все то, что было сказано в начале этого параграфа об электрическом
мультипольном излучении, можно сразу написать формулу, анало-
гичную (5.149):

<5-18з>

Теперь, однако, исходя из вида (5.131), нельзя утверждать,
что оператор перехода зависит только от координатных или только
от спиновых переменных, и вычисление в общем виде приведенного
матричного элемента становится сложным. Поэтому в дальней-
шем ограничимся вычислением вероятностей дипольных магнитных
переходов. В случае дипольных переходов для одноэлектронного
атома (5.183) принимает вид

со3	2

ЧлЬ'= I <n'l's'| ,	(5.184)

где {n'l's'J'— ||p.||nZsJ> — приведенный матричный элемент операто-
ра магнитного дипольного момента (5.134). Для вычисления этого
матричного элемента оператор (5.134) удобнее переписать в виде

(1 = —p.0(J 4-S),	(5.185)

где J — оператор полного момента атома. Ввиду того, что этот пол-
ный момент является сохраняющейся величиной (он сохраняется до
тех пор, пока мы не учитываем взаимодействие со спином ядра и
внешние поля), оператор J вообще не имеет недиагональных по
энергии матричных элементов. Поэтому

<n7's'J'|| p.||nZsJ> = — p.0(n7's'J'|| p-ll nlsJ).	(5.186)

Теперь можно вновь использовать выражение [I, (3.121)] для при-
веденного матричного элемента оператора, действующего на коорди-
наты подсистемы, на этот раз спиновой (учтем также, что s' = s):

<n7's'J'||p||nZsJ) = -|i06zr6nn-V(2J'+ 1)(2J+ 1) x

x(-l)

l + s+J'

s J' I

J s 1

(5.187)

<s||s||s>.

Таким образом, магнитные дипольные переходы возможны лишь без
изменения квантовых чисел nl, т. е. между компонентами тонкой
структуры одного и того же уровня. Подставляя (5.187) в (5.184) и
используя выражение [I, (3.106)] для приведенного матричного эле-
мента <s||s||s>, получаем (полагая s= 1/2):

wnJl\nJ'l = ^nlJ; nljVvftJ + * )

2

J'

£
2

I

2

J

(5.188)

1

Обратимся теперь к расчетам вероятностей переходов в одно-
электронных ионах с произвольным зарядом ядра Z. В этом случае
необходимо сразу воспользоваться релятивистскими формулами.
При этом мы, в отличие от того, что делалось в начале этого пара-
графа, будем вычислять непосредственно вероятность излучения фо-
тона с определенным моментом и четностью. Тогда формулу (5.10)
нужно заменить следующей:

= 2л | [/^(ш/М,) 126(ш - Еа + Еа.), (5.189)
где

(5.190)

а выражения для A^f^ даются формулами (2.170), (2.171). Вместо
(5.13) теперь имеем

(5.191)

(Е, MjM) = z д(£, М) ч
^АА ' — \ глЕА-Ел. jM.fAA'-

(5.192)

Переходя к обозначениям A = nJlMj, вместо (5.147) теперь на-
пишем

„.(£.«)	=	у (£,МШ.)

nJl;n'J'l' 2J+ 1 Zi

М,М',М.
J J у

(5.193)
Для выделения зависимости от проекций моментов и последующего
суммирования по этим проекциям вновь используем теорему Вигне-
ра—Эккарта,

пЛМ r.n J'I'M'j	'	>

М', М. М

(5.194)

и формулу [I, (3.31)]. Общие выражения для редуцированных мат-
ричных элементов в (5.194) достаточно громоздки [12]. Мы приведем
здесь в качестве примера выражения для этих матричных элементов
при переходах с нижних возбужденных уровней п Л в основное состо-
яние, т. е. при электрических дипольных переходах (2^1)—*-(1-^0),
(2 1) -» (110) и магнитном дипольном переходе (2 Л 0) —> (1 Л0):

оо

<1 | 0||v(£I)||2 11) = 2i^ J г2 dr |>o(a>r)(gi|o(r)/2Lo('') +

+ {A|o(Hg2io(H)-|g2(<or)/i|o('')£2ii('')L (5.195)

<1 |0||f(£1)l|2| 1> =	$r2dr [>о(<ог)Л±о(г)‘72|1(г) +

+ |?2(<oH(/iLo(Hg2|o(H-3gQO(r)/2|i('-))]> (5.196)

<1 iO||v<M1>||2| 1> = -2i^ j r2dr	+

+ gi.0(r)/41(r)). (5.197)

Здесь qnjl, fnil — верхняя и нижняя радиальные компоненты дира-
ковских биспиноров, функции 9z(cor) определяются согласно
(2.169), со — частота соответствующего перехода.

Раскладывая подынтегральные выражения в (5.195)—(5.197) в
ряд по степеням aZ и подставляя результат в (5.193), можно полу-
чить значения вероятностей переходов в нерелятивистском пределе
(в релятивистских единицах):

/ \ 8

= = . <5Л98)

№фи}о = <Й2«™(«*)10-	(5.199)

Результат (5.198) совпадает с получающимся по формуле (5.160)
при п = 1, п =2, 1=1 в случае подстановки в эту формулу выра-
жения (5.173) при п = 2.

Выражение (5.199) дает вероятность сильно запрещенного
Ml -перехода 2s—1s. Дополнительная (по сравнению с (5.198))
буквенная малость в (5.199) обусловлена следующими при-
чинами. Во-первых, множитель aZ в амплитуде происходит

от малости магнитного взаимодействия
трическим. В вероятности это дает
(aZ)2. Во-вторых, если не учитывать
релятивистских поправок, матричный
элемент магнитного диполя на состо-
яниях 2s и 1s обращается в нуль
из-за ортогональности нерелятивист-
ских координатных (радиальных) вол-
новых функций. Для получения не-
нулевого результата нужно учесть ре-
лятивистские поправки к волновым
функциям и к оператору взаимо-
действия, т. е. поправки порядка (aZ)2 в
амплитуде или (aZ)4 в вероятности [13].
Благодаря дополнительному множите-
лю (aZ)6, а также малости числового
коэффициента, вероятность однокванто-
вого радиационного перехода 2s— Is при
не слишком больших значениях Z ока-

зывается очень малой: время жизни
2$-состояния при учете только этого
канала распада составило бы около
двух дней (Z=l). При малых зна-
чениях Z основным каналом распада
2в-состояния является двухквантовый
переход (см. §5.10). Лишь при Z>40
одноквантовый распад 2s—1s становит-
ся более вероятным, чем двухквантовый,
за счет более резкой зависимости от Z.

по сравнению с элек-

10 30 50 70 SO

I I I I I

Рис. 5.2. Зависимость от Z

вероятностей переходов меж-
ду нижними уровнями одно-
электронного иона:

/ — <210)—(1 |о);

2-(2|1)-(1|о);

3-	(2|1)-*(1|0);

4-	(2|1)-(2|0);

5—	<2| 1) —<2 А 1).

Приведем для сведения нерелятивистские пределы для вероятно-
стей еще двух переходов:

“,ф,21о = а"г(а2)1О^>

(5.200)

w2i\).2L1 = am(aZ)12-^i.

(5.201)

Дополнительная малость в £1-переходе (5.200) происходит от ма-
лости частоты перехода: разность между подуровнями тонкой струк-
туры имеет дополнительную малость (aZ)2 по сравнению с атомной
частотой, что в вероятности дает (aZ)6. В Ml-переходе (5.201) до-
бавляется множитель (aZ)2 за счет малости магнитного взаимодей-
ствия.

На рис. 5.2 приведена зависимость от Z вероятностей перехо-
дов между нижними возбужденными состояниями одно-
электронных ионов [12]. По оси ординат отложена величина
lg (w/m). Вероятности разрешенных переходов (2 1) —*• (1 0) и
(2^1)—>(1^0) вычислены в нерелятивистском приближении. Как
видно из рисунка, значения вероятностей разрешенных переходов
(2^1)—>(1^0) и (2^1)—>(1^0), полученные в релятивистской
теории, во всей области изменения Z вплоть до Z « 100 практически
совпадают с соответствующими нерелятивистскими значениями
(максимальная погрешность 5%). В то же время для магнитодиполь-
ного запрещенного перехода (2^0)—>(1^0) снятие запретов под
влиянием релятивизма приводит к резкому возрастанию вероятности
с ростом Z.

В приложении 2.5 приведена таблица значений вероятностей пе-
реходов (2| 1)^(110), (2| 1)^(1 |0) и (2 - 0) —» (2 - 1) при
различных значениях Z<50 [14].

§5.5. Вероятности переходов между уровнями
многоэлектронных атомов

Мы переходим к вычислению вероятностей переходов между уров-
нями многоэлектронных атомов и начнем с вычисления электриче-
ских переходов. Прежде всего, формула (5.147) сохраняет свой
смысл для многоэлектронного атома, только теперь нужно считать,
что J и Mj — полный момент всей электронной оболочки атома и
соответствующая проекция. Символ п нужно понимать как набор
всех остальных квантовых чисел, характеризующих электронную
оболочку — фактически в одноэлектронном приближении это озна-
чает задание конфигурации. Точно так же сохраняются в нереляти-
вистском приближении формулы (5.148) и (5.149) (см. обсуждение
в § 5.3).

В рамках jCS-связи имеет место также формула вида (5.150) для
приведенного матричного элемента:

(n'Z'S'J'IIQ^IInbSJ) = dss>V(2J'+ 1)(2J+ 1) х

X (-nb'+s'+^+z. L J S
[J L j

Подставляя (5.202) в (5.149), получаем

2

WnJLS;n'J'L'S — e о8&	j[(2/ + I)!!]2

{nL'WQ^WnL). (5.202)

L' J' S'
J L j

X
Ограничиваясь далее дипольным приближением, заменим (5.203)
выражением (/ — 1)

4<27' + 1» A ,w3
wnJLS; nJ LS	3 uSS niS; nLS

И J' S'
J L j

2

| <н'Г||£)||п£> |2

(5.204)

где D — оператор дипольного электрического момента электронной
оболочки атома.

Приведенный матричный элемент <и'£'||£>||nL) вычисляется про-
сто лишь в случае одного электрона вне заполненных оболочек. В
этом случае квантовые числа LS совпадают с одноэлектронными
квантовыми числами Is для валентного электрона и можно вновь
воспользоваться формулой (5.145), подставляя в радиальные интег-
ралы волновые функции валентного электрона, например в прибли-
жении Хартри—Фока. В общем же случае необходимо воспользо-
ваться выражениями для волновых функций, приведенными в [I,
§3.10]. Соответствующие выкладки достаточно громоздки; резуль-
таты можно найти в [1]. Во многих случаях, однако, можно полу-
чить информацию о некоторых особенностях вероятностей перехо-
дов в атомах, не вычисляя явно приведенных матричных элементов.
Прежде всего, с помощью [I, (3.60)] можно написать (см. (5.155))

^SS(2r + l)

L' Г S

J L 1

(5.205)

1

Тогда полная вероятность излучения всех линий спектрального
мультиплета при переходе nLS—*n'L'S' равна

W^nLS', n'L'S' ~ 3 MnLS, n'L'S'^SS' 2L+T Н”	| "	(5.206)

Относительная вероятность излучения отдельной линии равна

^nJLS nj-L-s- = <1JLS^	.	(5.207)

tlj L/it । И J L, Л	J £>Л ЛЛ	'

W nLS.nl.'S'

где множитель qJLS определяет вероятность нахождения атома на
уровне с некоторым определенным значением J*). Эта вероятность
равна отношению статистического веса уровня LSJ к полному ста-
тистическому весу терма LS:

„	_ 2J + 1

(2L +1)(25 +1)’

Используя (5.208), получаем

_ х (2J + 1)(2J' + 1)

^nJLS', n'J'L'S' — USS' 2S +1

L'

J

J' S

L 1

(5.208)

(5.209)

*) Мы предполагаем, что все состояния J заселены равновероятно и пренебрегаем
зависимостью частот от /, J', т. е. тонкой структурой уровней.
Анализируя формулу (5.209) при различных значениях момен-
тов, можно установить, что среди компонент мультиплета наиболь-
шей интенсивностью обладают линии, для которых изменение J и
L при переходе одинаково. Например, если L = 0 и соответственно
7=5, правила отбора дают L' = 1, т. е. tsL = 1. Тогда, используя
для 3/-символа формулу [I, (3.66)], получаем

™nJLS; n'J'L'S' ~	3 2/ + 1 •	(5.210)

Наибольшее значение вероятность (5.210) принимает при
J' = 7 + 1, т. е. при А7 = А£ = 1. Такие линии называются главны-
ми, остальные — сателлитными.

Суммирование вероятности (5.209) по J' или по J дает (мы
вновь используем [I, (3.60)]):

2 ™nJLS', n'J'L'S1 = (2£ + l)(2S + l)’	(5.211)

J'

nJ LS< n'J'L'S'

2J' + 1

(2£ + l)(2S + l)‘

(5.212)

Таким образом, сумма относительных вероятностей для всех линий
мультиплета, имеющих один и тот же начальный (конечный) уро-
вень, пропорциональна статистическому весу этого уровня.

Переходим к магнитному излучению, ограничиваясь сразу маг-
нитными дипольными переходами. Тогда вместо (5.187) можно за-
писать

<и'1/5'7'||И||и1.57) = -H0SrtSrsSn-„V(2/ + 1)(27+ 1) х

X (__|^Z.+S+J+1

S J' L

J S 1

<5||5||5>, (5.213)

где р. — оператор магнитного момента атома, определяемый соглас-
но (5.185). Используя выражения для приведенного матричного
элемента [I, (3.106)], а также для соответствующего 6)-символа
и подставляя все в (5.184), после элементарных преобразований
получаем

з

_ 2J + 1	_ U>nLSJ;nLS.f-l ( т । с I ri1\v

WnJLS п J-l LS ~ U— 1 Wn J-l LS; nJLS ~ 3(2/ + l)

x(jL + 5— 7 + 1)( J + L - S)(J + 5 - L).	(5.214)

Частота перехода u>nLSj; „lsj-i ПРИ этом определяется формулой [I,
(3.336)]. Таким образом, для вычисления вероятностей магнитных
переходов, разрешенных в нерелятивистском приближении, нужно
знать только частоту.

Для расчета вероятностей электрических переходов необходи-
мо знать матричные элементы оператора дипольного электриче-
ского момента атома, которые в одноэлектронном приближении в
конечном счете сводятся к вычислению радиальных интегралов
типа

RnT.ni= j %7’(/')r3%z(/')

где трп'г> %z — радиальные орбитали (например, в приближении
Хартри—Фока). В приближении Хартри—Фока выполнено большин-
ство современных расчетов вероятностей переходов для атомов [1].
Однако приближение Хартри—Фока не всегда дает хорошие значе-
ния для вероятностей переходов, поскольку в этом методе волновые
функции выбираются из условия минимума энергии. Это значит
(см. [I, § 2.3]), что при среднем отклонении волновой функции от
точного решения на величину 6 ошибка в энергии будет порядка
62. Известно, что относительная ошибка при вычислении энергии
уровней в атомах составляет не менее 1 %. Это значит, что относи-
тельная ошибка для волновой функции и, следовательно, для мат-
ричных элементов различных операторов может составлять десятки
процентов.

Уточнение расчетов вероятностей переходов достигается либо
применением полуэмпирических методов расчета, либо использова-
нием методов, выходящих за рамки приближения Хартри—Фока,
т. е. учитывающих электронную корреляцию. Одним из наиболее
распространенных полуэмпирических методов’является метод кван-
тового дефекта, впервые примененный для расчета вероятностей пе-
реходов Бейтсом и Дамгаард [15].

Учет электронной корреляции, как правило, приводит к сущест-
венному улучшению согласия расчетов вероятностей переходов (сил
осцилляторов) с экспериментом. Практически все методы учета
электронной корреляции, описанные в § 1.4, были использованы не
только для получения поправок к уровням энергии, но и для уточ-
нения вероятностей переходов. Мы рассмотрим здесь лишь резуль-
таты применения методов, наиболее приспособленных именно для
расчета поправок к вероятностям переходов. Такими методами яв-
ляются, прежде всего, метод случайной фазы [I, § 4.12], а также
адиабатический метод [I, § 4.13].

Амплитуда электрического дипольного перехода между состояни-
ями и в многоэлектронном атоме, согласно [I, (2.29)], выра-
жается формулой

Аа/. = SP dpfL(</; tfh	(5.215)

где d — оператор электрического дипольного момента электрона,
pfL — матрица перехода. Используя для матрицы перехода выра-
жение [I, (4.421)], соответствующее приближению случайной фазы,
а также выражение для частоты перехода, полученное при решении
уравнений случайной фазы [I, (4.424)], получаем непосредственно
искомый результат. В таблицах П2.6—П2.8, заимствованных из [4],
приведены результаты расчетов сил осцилляторов атомов благород-
ных газов, щелочных и щелочноземельных атомов, вычисленных в
приближении Хартри—Фока в формах «длины» и «скорости» и в
приближении случайной фазы с обменом. Там же приведены
известные экспериментальные данные [16]. Сравнивая результаты
расчетов с экспериментом, можно заметить, что в целом метод слу-
чайной фазы дает лучшее согласие с экспериментом, чем метод
Хартри—Фока. Далее, теорема о сумме сил осцилляторов в виде
(5.38) даже приближенно выполняется лишь для щелочных атомов.
В случае щелочноземельных атомов и атомов благородных газов
сумма сил осцилляторов значительно отклоняется от единицы, что
объясняется большей величиной нефизических переходов в занятые
состояния (см. §5.1).

В приближении адиабатического разделения быстрых и медлен-
ных движений в атомах вычисление вероятностей переходов выгля-
дит следующим образом [17]. Амплитуда перехода из состояния К
в состояние L для атома с одним валентным электроном, согласно
[I, § 4.13], выражается формулой

akl = $ ф‘(<7; Q)Tk(G)(D + Й)Ф(9; е)фг(С) dq dQ. (5.216)

Здесь, согласно принятым в [I, § 4.13] обозначениям, q — коор-
динаты электронов остова, Q — координаты валентного электрона.
Поэтому в данной ситуации мы обозначаем через D оператор
дипольного момента внешнего электрона, а через d — оператор
дипольного момента электронов остова (ранее в этой главе
обозначения d и D соответствовали одноэлектронному и много-
электронному операторам). В тех же обозначениях (в атомных
единицах)

DsD = R; d = d = 2ri,	(5.217)

j=i

где R — радиус-вектор валентного электрона, rf — радиусы-векто-
ры электронов остова, No — их число. Заметим, что согласно [I,
(4.478)] волновая функция остова зависит параметрически от коор-
динат внешних электронов, но не зависит от состояний этих элект-
ронов.

В дальнейшем используем теорию возмущений (см. [I, (4.488)])
для волновой функции остова Ф(?; Q). Тогда после усреднения
по спиновым переменным формулу (5.216) можно преобразовать к
виду

Акг = J Tk(R)(R + P(R))Tl(R) dR, (5.218)

где

P(R) = 2 Re J Ф‘(г)ЙФ,(г; R) Зг,	(5.219)

Ф0(г) — волновая функция невозмущенного остова (нулевое при-
ближение), Ф[(г; R) — поправка первого порядка.

На больших расстояниях от остова, при R» <2 (где а — радиус
остова), пользуясь опять асимптотическим разложением [I, (4.499)]
и определением поляризуемости остова а [I, (4.500)], поправку
P(R) сводим к простому выражению

P(R) = ctR/R3.

(5.220)

Формула (5.220) может быть получена также из простых классиче-
ских соображений об остове как об изотропном поляризующемся
шаре (см. [I, § 4.13]).

Таблица П2.9 на примере атома лития дает представление об улуч-
шениях, вносимых в расчеты сил осцилляторов использованием мето-
да адиабатического разделения в атомах [18]. Из сравнения с резуль-
татами расчетов в приближении случайной фазы (табл. ГГ2.7) следует,
что метод адиабатического разделения особенно хорошо работает в
случае возбужденных состояний валентного электрона. Это неудиви-
тельно, поскольку для возбужденных состояний наилучшим образом
выполняются критерии применимости метода (см. [I, § 4.13]).

В заключение этого параграфа рассмотрим вычисление вероятно-
стей переходов в двухэлектронных ионах с произвольным зарядом
ядра Z с помощью квантовой электродинамики [12, 14, 19]. Вероят-
ность одноквантового перехода в этом случае, согласно (5.8), долж-
на определяться формулами

wab = 2л| <Ф°| Р|Ф°> |26(ш -Е° + Е°)	(5.221)

(271)

<Ф°|5|Ф°> = -2ш<Ф°| У|Ф°)д(ш - Е°а + Е°ь).	(5.222)

В качестве волновых функций начального и конечного состояний Ь,
а нужно использовать двухэлектронные волновые функции
(3.46), полученные в схеме промежуточной связи. Мы ограничимся
рассмотрением переходов с изменением только одного из одноэлек-
тронных состояний, входящих в гр7М. Вероятность перехода с излу-
чением одного фотона, просуммированная по проекциям моментов
в конечном состоянии и усредненная по проекциям моментов в на-
чальном состоянии, равна

Г) =

=	2 I 1 I 1- Е°а + *?)• (5.223)

м,м'гм.	1

J J I

Здесь матричный элемент	определяется из (5.222). Вы-

числение матричного элемента 5-матрицы, соответствующего графи-
ку рис. 5.1, с двухэлектронными волновыми функциями (3.48) дает



j J J

М; М', М

х

Х

JW2

х ^г(п1А712^2)^(,11Лп2,^2)^/у v^(A^iA^2’	(5.224)
Нормировочные множители N определены в § 3.3, там же описанс
вычисление коэффициентов смешивания а. Двухэлектронный мат-
ричный элемент сводится к одноэлектронному; мы запишем
его сразу через приведенный матричный элемент (5.194):

WJ = (-1)j+A+<[(2J+ 1)(2J' + l)]lx

j \J' J

J2 Ji Ji



(5.225)

По формулам (5.223)—(5.225) можно рассчитать вероятности
различных переходов между уровнями двухэлектронных ионов. Рас-
смотрим для примера переходы между уровнями возбужденной
пи'=1,2 и основной (пи'= 1,1) конфигураций при различных
значениях Z [12]. На рис. 5.3 схематически изображены уровни

Рис. 5.3. Схематическое изображение переходов между уровнями основной
(и, и'=1,1) и возбужденной (и, и'= 1,2) конфигураций двухэлектронных ионов.
Расположение уровней соответствует Z > 30 согласно рис. 3.46

рассматриваемых конфигураций и указаны возможные переходы.
Сплошной стрелкой показаны электрические дипольные переходы,
разрешенные в нерелятивистском пределе (aZ«l). Штриховой
стрелкой показаны переходы, запрещенные в нерелятивистском
пределе либо по орбитальному моменту и четности (т. е. все, кроме
Ei), либо по спину (интеркомбинационные).

Если обратиться к переходам между возбужденными состояниями,
то оказывается, что в используемом приближении (невзаимодейству-
ющие электроны) вероятности некоторых из них обращаются в нуль
в связи с обращением в нуль частоты перехода ыаЬ в этом приближе-
нии. Речь идет о переходах с одним и тем же набором кванто-
вых чисел J1llJ2l2. Например, это относится к переходам
А-[3Л (Ц] ^A+[3S, (||)]; Е0_[3Р, (У)] -E1+[3S, (||)] (см.
обозначения в § 3.3). В одних случаях указанная трудность
устраняется автоматически при смешивании конфигураций, описан-
ном в § 3.3. Так, к уровню Ej_(3P, (| |)] оказывается примешанным
уровень Ej-pP, [||)1, благодаря чему вероятность перехода

E(3Pi) —*E(3S1) оказывается отличной от нуля. В других случаях,

например для перехода Ео.

конфигураций отсутствует. При вычислении вероятностей таких пе-

реходов необходимо переопре-
делить нулевое приближение. В
частности, можно воспользо-
ваться приближением Хартри-
Фока, в котором снимается вы-

Рис. 5.4. Зависимость от Z вероятно-
стей переходов между уровнями воз-
бужденной (п, п' = 1,2) и основной
(и, n' = l, 1) конфигураций двухэлект-
ронных ионов. Использованы сокра-
щенные обозначения уровней согласно
нерелятивистскому пределу; (0) отно-
сится к основной конфигурации:

1 — 1Р1 —2 — -»14°);

з — 3р2—	— 3Sj -»‘sj9;

5 — 3Р2—6 — ‘Pj- '50;

7 — 1P1-»3S1;	8 — 3P2-»3Pf,

9 — 'Pi—3P0; 10 — !Pi—3Pf,
H-3P2-.3P0; 12-3P^Soi
13 — 3P!—3Sf, 14 — lPi~>3P2,
15-3Px-3Po, 16-3P2^lS0-,

, смешивание

VJ

20 40	60 80 700 Z

рождение no Z и уровни (210) и (2 | 1) расщепляются, а следова-
тельно, расщепляются и уровни Е0_(3Р, (| ] и (II)]’ ®
случае многозарядных ионов приближение Хартри—Фока достаточно
использовать лишь при определении частоты перехода, а матричные
элементы перехода можно находить по-прежнему в приближении не-
взаимодействующих электронов. Действительно, при достаточно
больших значениях Z поправки, даваемые приближением Хартри-
Фока (поправки на взаимодействие электронов), имеют порядок
Р и с. 5 5. Зависимость от Z ширины уров-
ней конфигурации и, и'= 1,2 двухэлект-
ронных ионов

1/Z. Более того, при вычислении частоты перехода вместо разности
энергий уровней в приближении Хартри—Фока также можно исполь-
зовать разность поправок первого порядка к энергии в теории возму-
щений по 1/Z.

Результаты расчета вероятностей всевозможных переходов меж-
ду уровнями основной (и, n'= 1, 1) и возбужденной (и, n' = 1, 2)
конфигураций приведены в ло-
гарифмическом масштабе на
рис. 5.4 [12]. Видно, что пове-
дение вероятностей с ростом Z
весьма различно для различ-
ных переходов. Так, вероят-
ность интеркомбинационного
перехода 3Pj—возрастает
с ростом Z гораздо более за-
метно, чем вероятность разре-
шенного перехода lPt —* 1S^>\

Суммируя вероятности пе-
реходов, можно вычислить ра-
диационные ширины возбуж-
денных уровней (см. по этому
поводу § 6.1). Эти ширины (в
логарифмическом масштабе)
приведены на рис. 5.5. Как
видно из рисунка, ширины
различных уровней по-разному
ведут себя в зависимости от Z:
при Z « 80 ширина Г (3Р0)
увеличивается всего в 100 раз

по сравнению с Z = 2, тогда как ширина Г(1Р1) увеличивается в
108 раз, a r(3Sj) — в 1О20 раз [12].

Посмотрим теперь, как учесть поправки на взаимодействие элек-
тронов. При больших значениях Z их роль относительно невелика,
но при промежуточных значениях Z может оказаться значительной.
В низшем порядке по межэлектронному взаимодействию для этого
необходимо, в дополнение к диаграмме рис. 5.1, рассчитать также
вклады диаграмм рис. 5.6. Эти диаграммы следует вычислять с
адиабатической ^„-матрицей, поскольку в них возникает особен-
ность типа 1/а, когда в сумме по промежуточным состояниям
п = А' (п = А). Эти особенности, однако, уничтожаются при вычис-
лении вероятности: расходящиеся множители собираются в экспо-
ненту вида exp (i/a) [12]. Уничтожение особенностей приводит к
тому, что в сумме по промежуточным состояниям следует опускать
члены п = А' (п = А).

Расчет вкладов диаграмм рис. 5.6a, б может быть выполнен точ-
но с помощью релятивистской кулоновской функции Грина [14].
Другой подход к учету межэлектронного взаимодействия — ис-
пользование метода Хартри—Фока—Дирака. Более того, распрост-
раняя формулу (5.215) на релятивистский случай, можно полу-
чить выражение для вероятности перехода в рамках метода реля-

Рис. 5.6. Фейнмановские графики, определяющие поправку к вероятности перехода в
первом порядке теории возмущений по межэлектронному взаимодействию. Имеются в
виду такие переходы в двухэлектронном атоме, в которых меняется состояние только
одного электрона

тивистской случайной фазы. Расчеты в приближении релятивист-
ской случайной фазы можно считать, естественно, наиболее точ-
ными в промежуточной области значений заряда ядра Z.

В таблице П2.10 приведены результаты расчетов различными
методами вероятности магнитодипольного интеркомбинационного
перехода E1+pS, j -»	j, или, в нерелятивист-
ских обозначениях,	(Is)2 'So [14]. В первом столбце

(ауо) приведены результаты расчетов по формуле (5.223) на водо-
родоподобных функциях. Во втором столбце (u?j) — результаты с
учетом поправки первого порядка на взаимодействие электронов
[20]. Различие между этими двумя расчетами при малых значени-
ях Z может быть значительным, однако при больших Z составляет
3—4%. Третий столбец (к,Хф) — расчет по методу Хартри—Фока-
Дирака [21], четвертый (юСф) — по методу релятивистской слу-
чайной фазы [22]. При больших значениях Z различие между
этими двумя методами исчезающе мало, а отличие от состав-
ляет 0,5%.

Наконец в последнем, пятом, столбце приведены для сравнения
значения вероятности по формуле, полученной из (5.223) в нереля-
тивистском пределе для рассматриваемого перехода [14]:

м,оР = TS8 nm(aZY°-	(5.226)

Оказывается, что различие с к?0 составляет 5 % при Z 30, около
15% при Z «г 50 и лишь при Z » 100 превышает 40%.
§ 5.6.	Фотоионизация

Фотоионизацией называется процесс, при котором в результате по-
глощения кванта света атомный электрон переходит из состояния
дискретного спектра в состояние сплошного спектра, т. е. покидает
атом *). Энергия вылетевшего электрона связана с частотой налета-
ющего кванта соотношением

е = <о —	(5.227)

где I — потенциал ионизации атома.

При описании фотоионизации, как и любых процессов, в кото-
рых в начальном состоянии присутствуют свободные частицы (в
данном случае — фотон), удобнее вычислять не вероятность, а се-
чение. Дело в том, что нормировочный множитель для каждой сво-
бодной частицы в начальном состоянии имеет вид 1/72еУ, где е —
энергия частицы, V — нормировочный объем (см. для фотона фор-
мулу (2.130), для электрона — (4.1)), Для частиц в конечном со-
стоянии, даже если они являются свободными (подчеркнем, что вы-
битый в процессе ионизации электрон, конечно, не является свобод-
ным, но в смысле нормировки не отличается от свободного),
ситуация иная: эти частицы адогут быть нормированы, например, на
6-функцию по энергии (см. [I, § 1.1]). Именно поэтому при вычис-
лении вероятности излучения кванта можно полагать V = 1 без ог-
раничения общности. В случае поглощения кванта, в принципе, это-
го сделать невозможно, так как нужно задать либо плотность энер-
гии электромагнитного поля (см. § 2.2), либо плотность потока
квантов, либо какую-то другую физическую характеристику состо-
яния электромагнитного поля. Переход к сечению подразумевает
именно задание плотности потока квантов и позволяет избавиться
от зависимости от объема V.

Сечение процесса do связано с вероятностью dw формулой

do = dw/j,	(5.228;

где j — плотность потока частиц, равная

j = v/V	(5.229;

(у — скорость частиц). Поскольку выражение для вероятности фо
тоионизации при нормировке (2.130) содержит множитель 1/У
сечение (5.228) не зависит от V. В случае фотонов v = c и i
релятивистской системе единиц формулы для dw и для do вообщ<
ничем не отличаются. Учитывая, что вероятность dw имеет размер
ность с"1, а поток j — размерность с-1-см-2, видим, что сечени
do имеет размерность площади (см2).

♦) При поглощении фотона, в принципе, могут покинуть атом несколько электро
нов — это явление называется многократной ионизацией и будет рассмотрено в конц
этого параграфа. Возможен и такой процесс, когда электрон покидает атом в результат
поглощения нескольких фотонов — многофотонная ионизация (см. § 5.10).
Процессом, обратным фотоионизации, является фоторекомбина-
ция (захват электрона с испусканием кванта). Сечение этого про-
цесса Ор связано однозначно с сечением процесса фотоионизации
ои принципом детального равновесия [23, 24]:

Ор = 2».^.	(5.230)

где к — импульс испускаемого фотона, р — импульс налетающего
электрона. Подробнее о фоторекомбинации см. в [1,2].

По аналогии с (5.10) для сечения фотоионизации теперь можно
написать

doAE(k, е; р, 5) = 2л ( UAt\ 2д(ш - Е - /) А (5.231)

где к, е — импульс и поляризация начального фотона, р, £ — им-
пульс и поляризация (см. § 4.1) конечного электрона, а матричный
элемент амплитуды перехода UAl. определяется, как и ранее, фор-
мулами (5.3), (5.4). Задание импульса для электрона имеет смысл
асимптотически, на большом удалении от атома, при этом
р2 = е2 — т2. Произведя в (5.231) замену

dp = р2 d|p|dv = е|р| de dv = eVe2 — т2 de. dv, (5.232)

где v = р/1р|, проинтегрировав по е и используя (2.130), получаем
сечение фотоионизации с вылетом электрона в заданный телесный
угол dv с определенной поляризацией £:

doAt(k, е; v,£)	| ((ea)e~'kr)(A|2 dv. (5.233)

В нерелятивистском пределе (см. § 5.1) формула (5.233) преоб-
разуется к виду (е« т):

duA^,	|(ep)eA|2dv = ^ iplwKerJ^pdv.

(5.234)

Проведем теперь вычисления для водородоподобного атома в основ-
ном состоянии по формуле (5.234), используя форму «скорости» для
матричного элемента. Волновую функцию основного состояния во-
дородоподобного атома запишем в виде (см. [I, § 1.1]):

(5-235)

где ао — боровский радиус *). В качестве функции ipE следует взять
волновую функцию сплошного спектра, асимптотическая форма ко-
торой содержит плоскую волну exp (ipr) и наряду с ней сфериче-

*) В этом параграфе мы оставляем для наглядности явную зависимость от а0 во
всех формулах.
скую волну exp ( ± г|р| г)!г (сходящуюся или расходящуюся — н
данном случае безразлично). Для такой функции, согласно [24],
можно написать разложение

=2jiri z'(2/+ l)e±ifi,/?|p|/(r)P/(v, n),	(5.236)

1=0

где /?|р|Дг) — радиальные функции сплошного спектра [I, (1.31)],
Pi — полиномы Лежандра, v = р/|р|, п = г/г, а фаза 6Z опреде-
ляется формулой [I, (1.34)] (вид этой фазы в данном случае несу-
ществен). В силу правил отбора по I переход из основного состояни?
с I = 0 возможен лишь в состояние сплошного спектра с Z = 1. По-
этому в (5.236) остается лишь член с I = 1. Опуская несуществен-
ный фазовый множитель и учитывая, что Р^(у, n) = (vn), получаем
гРр = 2^Г(™)Л1р|1('')-	(5-237)

Подставляем функции (5.235), (5.237) в матричный элемент:

e(p)tA = -ie $ Фр(г)VipA(r) dr.	(5.238)

Учитывая, что функция фА(г) не зависит от углов, можно написатг

(eV)4>A(r) = (еп) ~ ФА(г) = -^'(еп)%(г).	(5.239)

Тогда (вновь опускаем фазовый множитель)

е<Р)м = I	$ (en)(vn) dn J г2 e-^?|p|1(r) dr. (5-240)

Из теоремы сложения для сферических функций [I, (П1.5)] следует:
$ (en)(vn) dn = ^- (ev),	(5-241,

а радиальная функция согласно [I, (1.31)], равна *)

Л1р11(г) =

= IPI1I e-/|p|rF(2+	4; 2i|p|r), (5.242)

где F — вырожденная гипергеометрическая функция, Xs Z/a0| p|

*) Формулы [I, (1.31)] и [I, (1.38)] написаны с ошибкой. Это связано с тем, чт(
в [I, (1.27)] вместо n = —i!k нужно сделать подстановку n — -Zi!k Тогда вмест<
[I, (1.31)] получится выражение

R^r) Й e'^Fp+Z + 1,2/ + 2,2ikr} ,

а вместо [I, (1.28)] — выражение

Си = 2 exp 72ЙТ J] ll^2 + j ^h(z-n/-k)-
j=1

В этих формулах к» |Р| в обозначениях настоящего параграфа.
Интеграл в (5.240) может быть вычислен по формуле [I,
(П2.13)]; в частном случае, соответствующем (5.240), эта формула
сводится к следующей:

j e~^xxy~lF(a, у; кх) dx = Г(у)Ха“'¥(Х — к)~а.	(5.243)

о

Использование этой формулы с учетом соотношения

Х —e~2xarctgx	(5.244)

дает

(ер) = ^X3(ev>e~21tarctEX	(5.245)

(	/[рГа+х2^^'

Учитывая выражение для потенциала ионизации I = Z2/(2.afyn), со-
отношение (5.227) можно переписать в виде

“ = -^ + / = ^<1+х!)-	(3.246)

Используя (5.246), получаем окончательное выражение для сечения
фотоионизации:

do = 2wfeV^r^^(ev)2<fv. (5.247)

I Z j I СО I j _ е-2лх '	>	'	'

Угловое распределение фотоэлектронов определяется множите-
лем (ev)2. В случае неполяризованных фотонов необходимо вы-
полнить усреднение по поляризациям е, что, как ив § 5.1, дает ре-
зультат

=	(е*)2 = |('’х*ф)2’	(5.248)

е

где "Уф — единичный волновой вектор для падающих фотонов. Для
того же чтобы получить полное сечение фотоионизации, выражение
(5.247) нужно проинтегрировать по углам. Это дает [25]

ст = 2V 2 (Ч) / А 4	(5.249)

3 [zJ (coj i-e-2"»'

Видно, что величина о пропорциональна «поперечному сечению»
атома (czq/Z)2.

Вблизи порога ионизации, т. е. при со—»/ (при этом, очевидно,
Х~»со), из (5.249) получается

2 М ^0,23 §	(5.250)

з< \z)	\z)

(здесь ен — основание натуральных логарифмов), т. е. сечение
стремится к постоянному пределу. Параметр х можно переписать

х JI. Н. Лабзовскии
также в виде %= Z/VIpl, где р0 — атомная единица импульса,
или характерный импульс для электрона в атоме водорода (в основ-
ном состоянии). Поэтому значения соответствуют быстрым
фотоэлектронам, а значения — медленным. Поведение сече-
ния фотоионизации при х56”! описывается формулой (5.250). В
противоположном случае, при х<<1, из (5.249) следует

(5.251)

Таким образом, сечение фотоионизации максимально вблизи порога
и убывает, как <л~7/2, с ростом частоты налетающего фотона (при
достаточно больших значениях со).

Формула (5.251) соответствует борновскому приближению, ког-
да вылетающий быстрый электрон можно рассматривать как свобод-
ный и описывать плоской волной. Для кулоновского поля условие
применимости борцовского приближения [24] Ze2/hv<& 1 (о — ско-
рость электрона), что соответствует x<scl-

Аналогичным образом были получены точные формулы для фо-
тоионизации водородоподобных атомов с уровней и = 2, 3 [2]. Эти
формулы имеют громоздкий вид, однако для приближенных оценок
можно использовать более простые формулы Крамерса, основанные
на квазиклассическом приближении [1]:

, . з / \ 2
а = 64л 2[ЭЛ X Го
n 3V3	п5 \z) '

(5.252)

Здесь I — по-прежнему потенциал ионизации для основного состо-
яния атома водорода, а порог фотоионизации определяется условием
<я>Цп2. Условие квазиклассичности Ze2/hv»\ обратно условию
применимости борцовского приближения [24] и соответствует
X»1, т. е. области вблизи порога. Действительно, даже при п = 1
(известно, что квазиклассическое приближение лучше работает для
высоковозбужденных состояний) отношение приближенного сечения
(5.252) оприбл к точному (5.250) стточн при х« 1 равно

Я с
прибл

а
тонн

2

(5.253)

Формулы для релятивистской фотоионизации, возникающей при
поглощении атомом высокоэнергетических квантов (о>»/), приве-
дены, например, в [23, 2].

Для перехода к изучению фотоионизации многоэлектронных
атомов используем формулу (5.234) в форме «длины». Естественное
обобщение (5.234) дает

2

А'Е =	т I р I “ | (eD)А'р, А |2	(5.254)
где D — оператор дипольного электрического момента атома, А по-
прежнему обозначает исходное состояние атома, а А' — состояние
конечного иона. Перейдем в (5.254) к иному описанию вылетевшего
электрона, фиксируя не направление его вылета, а момент и его
проекцию (а также проекцию спина). Для того чтобы понять, как
это сделать, совершим вначале подобный переход в одноэлектрон-
ном атоме, непосредственно в формуле (5.234).

Функцию (5.236), используя теорему сложения для сферических
функций [I, (П 1.3)], перепишем в виде

= 2TFT Z	(5.255)

1'т‘

Подставляя ее в (5.234) и интегрируя по v, получаем

= <5И6>

1'т

Обобщением (5.256) на случай многоэлектронного атома является,
очевидно, формула

^.A-2»^S|(eD)A.|p|,.„.M|2.	(5.257)

1'т

В нерелятивистском пределе, используя схему LS-связи, видим,
что значки А, А' соответствуют наборам квантовых чисел:
А = LMlSMs, A'= L\M'lS\M's. Кроме того, необходимо ввести
полные орбитальный и спиновый моменты системы в конечном со-
стоянии L' = L\ + S' = S; + s' и от набора квантовых чисел
L'lM,LS'iM'se.rm'm's (сюда мы добавили спиновое квантовое число
для фотоэлектрона m's) перейти к набору L' M'LS' M'sL\S\ | р | Г. Далее
необходимо просуммировать по M'L, M's и усреднить по ML, Ms; на-
конец, нужно усреднить по поляризациям и по направлениям нале-
тающего кванта. Суммирование по поляризациям и интегрирование
по направлениям кванта дает, согласно результатам § 5.1 (усредне-
ние сводится к делению на 8л) [1] *):

__ 2л тш_____1_____

° А, А'е — Т	(2L + 1H2S + 1) х

х2 2 2 la^SMsIDIL'A^S'M^lplDl2. (5.258)

L'S' MLM’L MSM'S

*) Подчеркнем, что мы используем иную, чем в [1], нормировку радиальных
функций сплошного спектра, чем объясняется различие коэффициентов в формулах
для сечения.
Используя формулу [I, (3.103)], а также учитывая, что оператор

D не зависит от спинов, преобразуем (5.258) к виду

ста,а'Е=ты2лтт2 iasipnrsz.;s;ipir>i2. (5.259)

L'

Дальнейшие вычисления могут быть проведены для различных кон-
кретных случаев. Например, в случае одного валентного электрона
в незаполненной оболочке можно использовать генеалогическую
схему: набор квантовых чисел LMlSMs необходимо дополнить
квантовыми числами LXSX, характеризующими терм исходного иона
(остова), и квантовыми числами и/, характеризующими валентный
электрон. Далее, оператор D можно представить в виде

D = Do + 3	(5.260)

и считать, что Do относится к остову, ad — к валентному электро-
ну. Поскольку при фотоионизации меняются лишь состояния вален-
тного электрона, оператор Do не будет давать вклада в матричный
элемент в (5.259) *). Тогда для вычисления матричного элемента с
оператором d можно использовать формулу [I, (3.121)] для приве-
денного матричного элемента оператора, действующего на состояние
подсистемы:

<LSii51n/|| JIIL'SZ.JSjlp]/') =

= V(2Z + 1)(2/' + 1) (-l)L.+/+r+1

I LLX

L'I' 1

(5.261)

(n/||d|||p|/'>.

Оператор d представим в виде
a.=^r,„,	<5-262’

тогда, согласно формуле [I, (3.111)],

<n/||d|| |p|Г> = (—l)zV(2Z + 1)(2Г + 1) P * Я X

Лп/(')Я|р|г(г)г3 dr- <5’263)
о

В случае одного электрона вне замкнутых оболочек Lx = 0,
L = l, L]=0, L' = l’, и, учитывая выражение {I, (3.66)] для 3/-
символа, из (5.259) получаем

\ 2

GO

$ Rni(r)R\p\r(r)r3 dr 

°	/ (5.264)

(A 2
I 1 I ।
0 0 0)

*) Учитывая, что электроны неразличимы, а волновые функции антисимметрич-
ны, можно просто считать, что в матричный элемент (2.259) дает вклад лишь один член
оператора D.
В частном случае п, 1= 1, 0 из (5.264) следует выражение (5.249)
для основного состояния атома водорода.

В одноэлектронном приближении общее выражение (5.257) так-
же упрощается. Особенно простой результат получается в том слу-
чае, когда исходное состояние атома описывается одним слэтеров-
ским детерминантом. В частности, это соответствует случаю, когда
в исходном состоянии все оболочки замкнуты. Тогда конечное со-
стояние можно рассматривать как однократное возбуждение с пере-
ходом электрона в сплошной спектр. Для вычисления амплитуды
перехода вновь можно воспользоваться формулой (5.215)

/imm. = sPdPr',	<5-265)

где т =	tn' = п'Гт^т^. Учитывая, что матрица перехода

р””1', согласно [I, (2.65)], имеет вид

рГ =	(У266)

приходим вновь к выражению вида (5.256), такому же, как и для
одноэлектронного атома. По значкам wiz, ms начального состояния
необходимо произвести усреднение.

При использовании одноэлектронного приближения и формулы
(5.263) возникает вопрос, каким образом получать одноэлектрон-
ные функции, описывающие возбужденные состояния (в данном
случае состояния сплошного спектра). Формула (5.263) получена,
вообще говоря, в предположении, что функции грт и грт< принад-
лежат одному и тому же гамильтониану и, соответственно, явля-
ются ортогональными. Однако (см. обсуждение в [I, § 2.4]) функ-
ции (т > N) относятся скорее к отрицательному иону и плохо
описывают реальные одноэлектронные возбужденные состояния
(такие функции мы будем обозначать Vm+I')- Более естественным
является использование одноэлектронных функций получае-
мых в результате решения уравнений Хартри—Фока непосредст-
венно для возбужденной конфигурации, т. е. для конфигурации с
дыркой в состоянии т. Такие функции, однако, уже не будут ав-
томатически ортогональны одноэлектронным функциям основной
конфигурации.

Приведем в качестве примера результаты расчетов сечений фо-
тоионизации атомов Аг и Хе в приближении Хартри—Фока, заимст-
вованные из [4]. На рис. 5.7 приведены результаты расчетов как с
функциями	так и с функциями Видно, что последние

приводят к лучшему согласию с экспериментом. Однако и те и дру-
гие функции, как и следует ожидать, дают существенно разные ре-
зультаты в форме «длины» и «скорости».

Как и в случае вероятностей переходов, результаты расчетов
значительно улучшаются при использовании метода случайной фа-
зы [4]. При этом вновь используется формула (5.209) и выраже-
ние для матрицы перехода [I, (4.421)], соответствующее прибли-
жению случайной фазы. Результаты расчетов для атомов гелия и
аргона [4] приведены на рис. 5.8. Согласие с экспериментом хоро-

Р и с. 5.7. Сечение фотоионизации Зр6 подоболочки атома аргона (а) и 3d1 °подоболоч-
ки атома ксенона (6). Штриховая кривая — расчет с функциями штрихпунк-
тир — с функциями ; сплошная кривая — эксперимент. Сечения даны в мегабарах,
связь которых с атомными единицами такова: а^— 27,98 Мб

шее; при этом расчеты в форме «длины» и «скорости» дают совпа-
дающие результаты (см. § 5.1). Подробности расчетов сечений фо-
тоионизации в приближениях Хартри—Фока и случайной фазы, а
также с учетом различных усовершенствований метода случайной

Рис. 5.8. Сечение фотоионизации атомов гелия (основное состояние) и аргона (под-
оболочки Зр6, 3s2). Штриховая кривая — расчет по методу случайной фазы, сплош-
ная — эксперимент

фазы можно найти в [4]. Там же исследуются и угловые распре-
деления и поляризация фотоэлектронов (эффекты поляризации
возникают при учете спин-орбитального взаимодействия). Для рас-
чета фотоионизации используются также полуэмпиричсские мето-
ды, являющиеся обобщением метода квантового дефекта на состо-
яния сплошного спектра [1, 26].
Рассмотрим теперь процесс двукратной фотоионизации, т. е.
выбивание двух электронов из атома одним квантом. Такие про-
цессы (и даже процессы трех- и четырехкратной фотоионизации)
изучались в эксперименте; имеется также целый ряд теоретиче-
ских работ по двукратной фо-

тоионизации (обзор имеющих-
ся результатов можно найти в
[27], см. также [4]). Двукрат-
ная фотоионизация с теорети-
ческой точки зрения интересна
тем, что сечение ее равно ну-
лю в одноэлектронном прибли-
жении, т. е. для расчета этого
сечения с самого начала необ-
ходимо учитывать электронную
корреляцию. Мы опишем здесь
подход, основанный на прибли-
жении теории возмущений [28,
29], поскольку он естествен-
ным образом вытекает из кван-
товоэлектродинамического опи-
сания атома.

В низшем порядке по меж-
элсктронному взаимодействию

а	д

Рис. 5.9. Фейнмановские графики, опи-
сывающие двукратную фотоионизацию в
низшем порядке теории возмущений по
межэлектронному взаимодействию. Знач-
ки Hj, п2 соответствуют состояниям диск-
ретного спектра, значки v2 состояниям

сплошного спектра

двукратная ионизация описывается фейнмановскими графиками,
приведенными на рис. 5.9. К этим графикам нужно еще доба-
вить обменные графики, получающиеся заменой значков Vj v2-

Можно сказать, что график рис. 5.9а учитывает корреляцию
электронов в конечном состоянии, а график рис. 5.9б — в на-

чальном.

Согласно правилам соответствия (см. § 2.6) диаграмме рис. 5.9а

соответствует выражение

Sa = е3 j d4xt d4x2 d4x3 (^(x^y^^)) x

X (^(х2)уИ25(х2х3)уиДз(х3)%2(х3))П^2(х1х2). (5.267)

Подставляя в (5.267) выражения для электронного S(x2x3) и фотон-
ного (кулоновского) (XjX2) пропагаторов из § 2.6, интегрируя
по временам и по частоте, входящей в выражение для S(x2x3), по-
лучаем

(—)	(еа е*г)

X 6(ЕЛ + EV2 - ЕП) - ЕП1 - ш). (5.268)

Аналогичным образом получается вклад диаграммы рис. 5.9б.
Переход к нерелятивистскому пределу, согласно результатам, по-
лученным в § 1.5, 5.1, дает (переходим также к атомным единицам)

х 6(% + \ \ -%-“)> (5.269)

где матричные элементы теперь нужно понимать как матричные
элементы операторов со шрёдингеровскими волновыми функциями.

Рис. 5.10. Результаты расчета о+ + для атома гелия в формах «длины» (г) и «скоро-
сти» (V) — сплошные кривые. Результаты экспериментов: треугольники — [30];
кружки — [31]

Используя соотношение (5.19), переписываем (5.269) в таком виде,
где присутствуют матричные элементы оператора перехода в форме
«длины»:

х 6(\ + \	\ ~ еп2 ~ “)• (5.270)
Сечение двукратной фотоионизации в общем случае записывает-
ся в виде

6++(к, е; р£, р2£2) = 2л $ | U\+ е2 + /++ - со) dp, dp2,

(5-271)
где ef, pj, — энергии, импульсы и поляризации фотоэлектронов,
/++ — потенциал двукратной ионизации атома, a U — матричный

Рис. 5.11. Результаты расчета о++с для Зр6-подоболочки атома аргона в формах
«длины» (г) и «скорости» (V) — сплошные кривые. Результаты экспериментов: квад-
ратики— [33]; кружки — [31]; треугольники — [34]

элемент амплитуды перехода. При использовании теории возмуще-
ний U определяется соотношением

<v1v2|S|n1n2> = 2n<v1v2|C|n1n2>S(ev + ev — en - en — co),
'	2	'	2	(5.272)

где матричный элемент 5-матрицы задается формулой (5.269) или
(5.270). При этом I++ = —гП1 ~ Еп2-

В заключение приведем результаты расчетов сечений о++ неко-
торых атомов, выполненных в рамках теории возмущений. На
рис. 5.10 приведены результаты расчетов о++ для атома гелия [30].
Там же приведены данные экспериментов. На рис. 5.11 — то же для
атома аргона (Зр6-подоболочка) [32].

§ 5.7. Автоионизационные состояния

В этом параграфе речь пойдет об особых возбужденных состояниях
атома, способных распадаться безрадиационным образом, т. е. без
испускания квантов. Такие состояния возникают, во-первых, при
наличии дырок во внутренних оболочках атомов. Эта ситуация схе-
матически изображена на рис. 5.12. Сплошными горизонтальными
линиями изображены уровни энергии атома, заполненные в основ-
ной конфигурации. Сплошной кружок означает присутствие элект-
рона на уровне, полный кружок — его отсутствие (дырку). Штри-
ховые горизонтальные линии — дискретные уровни энергии, не за-
нятые в основном состоянии, жирная сплошная линия — граница
сплошного спектра.

Предположим, что в начальном состоянии имеется дырка во
внутренней оболочке, т. е. мы имеем дело с однократно заряженным
положительным ионом (см. рис.5.12а). Тогда электрон с верхнего

7//7/////Z//////

a.	S

Рис. 5.12. Схематическое изображение оже процесса: а — начальное состояние б—
конечное. I — потенциал ионизации, Д£ — энергия перехода. Стрелками указаны
переходы электронов

занятого уровня может заполнить эту дырку, т. е. перейти во внут-
реннюю оболочку, высвободив при этом энергию ЛЕ. Эту энергию
он может передать другому внешнему электрону, и если она больше
потенциала ионизации электрона из внешней оболочки I, то другой
электрон окажется в сплошном спектре (см. рис. 5.126). Таким об-
разом, произойдет безрадиационная ионизация атома (в конечном
состоянии имеется двукратно заряженный ион и несвязанный элек-
трон). Такой процесс называется эффектом Оже, или автоиониза-
цией, а соответствующее начальное состояние — автоионизаци-
онным.

В некоторых случаях используют более детальную классифика-
цию оже-переходов. Собственно оже-переходами при этом называ-
ют такие, когда дырки в начальном и конечном состояниях находят-
ся в разных оболочках. Если же одна или обе дырки в конечном со-
стоянии оказываются в той же оболочке (но, естественно, в другой
подоболочке), где была дырка в начальном состоянии, переход на-
зывается переходом Костера—Кронига.

Другой характерный пример автоионизационных состояний -
двукратно возбужденные состояния (рис. 5.13). В этом случае в на-
чальном состоянии имеется нейтральный атом, в котором оба внеш-
них электрона возбуждены. Один из них может перейти в основное
состояние, высвободив энергию ДЕ и передав ее второму возбуж-
денному электрону. Если (для данного конкретного примера) эта
энергия больше I, то второй электрон окажется в сплошном спек-

тре — произойдет ионизация.
Наличие автоионизационных состояний оказывает особо важ-
ное влияние на процесс фотоионизации. Действительно, рассмот-
рим однократно заряженный ион, находящийся в основном состо-
янии, на который падает квант с энергией со = ДЕ (ЛЕ —
энергия перехода на рис. 5.12). Если этот квант взаимодействует
с внешним электроном, последний переходит в сплошной спектр

Рис. 5.13. Схематическое изображение процесса автоионизации двукратно возбуж-
денного состояния атома: а — начальное состояние б — конечное. Обозначения те же,
что и на рис. 5.12

ae-(i-ae)=,*

=2ДЕ-1 Е1

и возникает ситуация, изображенная на рис. 5.126. Это есть пря-
мой процесс фотоионизации, который был рассмотрен в предыду-
щем параграфе. Может, однако, произойти другое: квант может
поглотиться внутренним электроном, поскольку частота со = ДЕ
находится в резонансе с переходом этого электрона во внешнюю
оболочку. Торда возникает автоионизационное состояние, изобра-
женное на рис. 5.12а, которое уже затем распадается безрадиаци-
онным путем, переходя опять-таки в состояние рис. 5.126. Этот
процесс является резонансным, поскольку, в отличие от прямой
фотоионизации, происходит лишь при определенном значении
частоты. Ясно, что форма зависимости сечения фотоионизации
от частоты а(со) в области автоионизационных резонансов замет-
но искажается.

То же самое относится и к двукратно возбужденным автоиониза-
ционным состояниям. В этом случае резонанс происходит при по-
глощении этого кванта электроном внешней оболочки нейтрального
атома, находящегося в основном состоянии. При этом возникает со-
стояние, изображенное на рис. 5.136. Резонансным процессом в дан-
ном случае является процесс двукратного возбуждения автоиониза-
ционного состояния, изображенного на рис. 5.13а *), и последующе-
го безрадиационного распада этого состояния.

*) Процесс двукратного возбуждения, как и процесс двукратной фотоионизации
(см. § 5.6), не может быть описан в одноэлектронном приближении и в рамках теории
возмущений требует учета тех же графиков (§ 5.6).
Получим теперь сечение резонансной фотоионизации, следуя
работе Фано [35], в которой впервые была построена последова-
тельная теория автоионизационных состояний. Говоря (выше в
этом параграфе) о том, что имеются начальные состояния дискрет-
ного спектра (см. рис. 5.12а; 5.13а) и конечные состояния сплош-
ного спектра, мы фактически использовали язык теории возмуще-
ний и нулевое приближение для волновых функций. На самом
деле те и другие состояния смешиваются межэлектронным взаимо-
действием, которое в нерелятивистской теории атома не является
малой поправкой и не может, вообще говоря, учитываться по
теории возмущений. Истинная волновая функция автоионизацион-
ного состояния является суперпозицией «затравочных» состояний
дискретного и сплошного спектра, получаемых в нулевом
приближении, а процесс фотоионизации описывается как переход
из основного состояния атома в «истинное» автоионизационное со-
стояние.

Гамильтониан атома представим в виде (см. [I, (2.31)])

H = HO + HV	(5.273)

где HQ — одноэлектронная часть, представляет собой возмуще-
ние, связанное с межэлектронным взаимодействием. Будем считать,
как и в [35], что гамильтониан Н уже диагонализован на функциях
дискретного спектра, в результате чего получена функция дискрет-
ного спектра <р, для которой *)

<Ч>|^|Ч»	(5.274)

Поскольку функция набирается из функций нулсвого приближе-
ния, т. е. из собственных функций оператора Но, с коэффициента-
ми, определяемыми путем диагонализации, то фактически диагона-
лизовать нужно лишь оператор Н\.

Точно так же мы будем считать, что гамильтониан Н диагонали-
зован на функциях сплошного спектра:

<Ф£„|Я|ФГ> = £'6(£”-Я').	<5-275)

Функции описывают как вылетевший электрон, так и атомный
остаток, и также являются, в принципе, суперпозициями собствен-
ных функций гамильтониана Но. Наконец, оставшуюся недиаголи-
зованной субматрицу матрицы оператора Н запишем в виде

<Ф£.|Я|Ф> = У£,.	(5.276)

*) Мы рассмотрим здесь только простейший случай, когда имеется один дискрет-
ный уровень на фоне сплошного спектра. В реальных ситуациях чаще бывает наоборот,
и автоионизационные уровни возникают целыми сериями (см. ридберговские состоя-
ния в § 5.8). Точно так же мы учитываем только один тип сплошного спектра, т. е. один
возможный канал распада автоионизационного состояния.
Поскольку функции ф набираются из различных собственных
функций Яо, то (5.276) можно переписать в виде

<Фе-|Я1|ф> = Уе'-	(5-277)

«Истинную» функцию, которая получается в результате полной
диагонализации Н, будем искать в виде

аРе = <*(£)<₽ + J dE' Ье.{Е)^е..	(5.278)

Коэффициенты а(Е) и Ье(Е) получаются в результате решения сис-
темы уравнений, которая следует из уравнения Шрёдингера для ф£:

E^afE) + J dE' VE.bE\E) = Еа(Е), (5.279)

VE.a(E) + Е'Ье.(Е) = ЕЬе,(Е).	(5.280)

Формальное решение уравнения (5.280) можно записать в виде

Ье.(Е)= 9° —+ лг(Е)б(Е — £') V^E),
Г. —Е

(5.281)

где символ главного значения указывает способ интегрирования
первого слагаемого в (5.281). Второе слагаемое учитывает сингуляр-
ность при Е= Е', а функция z(E) пока остается неопределенной.
Подставляя (5.281) в (5.279) и сокращая на а(Е), получаем

	Еф + Е(Е) + kz(E)\Ve\2 = E,	(5.282)
где	Е(Е) = f dE' -^7.	(5.283)  ’	Е —Е'
Отсюда	Е-Е — F(E)  г(£)~ „V 	<5-284’

Коэффициент a(E) определяется из условия нормировки

0|>е"1	= а*(£")а(£) + $ dE' Ь*е,(Е")Ье.(Е) = 6(Е” - Е).

(5.285)

Подставив (5.281) в (5.285), получаем

a*(E")a(E)J 1 + \ dE'

ivrl2

|V£I2

(£" — £') (£-£') Е"-Е

Jtz(E) +

l^'l2

Е-Е"

nz(E") + | Ve\2ji2z2(E)6(E" - E) = Ъ(Е" - E). (5.286)

Второй член в фигурных скобках в (5.286) сингулярен при
Е" = Е. Для выделения этой особенности можно представить знаме-
натель в подынтегральном выражении в виде

1	— 1	1	( 1 1 )	| +/(£', Е", Е)Ъ(Е" - Е), (5.287)
(£"-£')(£-£’) £" —£ |	[Е-Е'	Е"-Е'\	
а для функции f можно получить выражение [35]:

/(£', Е", Е) = л26	-1 (Е" + £)).	(5.288)

Далее подставляем (5.287) с учетом (5.288) в (5.286):

| а(£) 12| У£| 2л2[1 + z2(E)]&(E" — Е) +

+а*(Е")а(Е){1 +	[F(E) - F(E") + nz(£) | VE\2 -

- Jtz(E")| Уг.|2]} = 6(£"~ E). (5.289)

Замечая, что выражение в фигурных скобках в (5.289), согласно
определению (5.284), тождественно равно нулю, окончательно по-
лучаем:

1	I V I2

\а(Е)\2 = —--------------------------—----------- (5.290)

Jt2|y£|2[l+z2(£)]	[£-Ev-Л£)]2 + л2|У£|4

Имея в виду формулу (5.278) для точной волновой функции ав-
тоионизационного состояния, можно сказать, что дискретное состо-
яние на фоне сплошного спектра «размывается» в результате вза-
имодействия с состояниями сплошного спектра и приобретает шири-
ну. Эта ширина и соответствует безрадиационному распаду
автоионизационных состояний. Ниже, в гл. 6, этот же результат бу-
дет получен и из квантовой электродинамики в рамках теории воз-
мущений. Сравним (5.290) с обычной формулой Брейта—Вигнера
[24] для распада квазистационарного состояния. При Е^>Е—Е^,
т. е. на достаточном удалении от «затравочного» значения энергии
автоионизационного состояния, в выражениях VE, F(E) можно по-
ложить Е = Еу. Тогда (5.290) в точности совпадает с брейт-вигне-
ровской кривой. Величина Г(£ф) представляет собой сдвиг уровня в
результате взаимодействия со сплошным спектром, а ширина уров-
ня определяется выражением (см. § 6.4)

Г = 2л|У£|2.	(5.291)

Получим теперь формулу для сечения процесса резонансной фо-
тоионизации ор атома из исходного (основного) состояния Это
сечение удобно выразить в виде отношения к сечению прямой фо-
тоионизации оп, т. е. к переходу непосредственно в состояние
сплошного спектра. Отношение сечений, очевидно, пропорциональ-
но отношению квадратов матричных элементов:

°р _	(5.292)

°п 1<ч>£|$14>12’

где U — оператор перехода. В нерелятивистском приближении этот
оператор, вообще говоря, совпадает с оператором электрического
дипольного момента атома U = D, однако нужно помнить, что для
двукратно возбужденных состояний в нулевом приближении для
функции ф£ (т. е. в одноэлектронном приближении без учета
взаимодействия со сплошным спектром) матричный элемент
(Ф£ ID | Ф, > равен нулю.

Используя для вычисления матричного элемента в числителе
(5.292) формулы (5.278), (5.281) и (5,-290) и вводя обозначение

Q{E)

(4,11/1^ + ^ ( dE К Е
J	г, —с

(5.293)



отношение сечений (5.292)
но [35])

можно записать в виде (формула Фа-

(q(£)+z(£))2
l+z2^)

(5.294)

Числитель этой формулы обращается в нуль при некотором значе-
нии Е = £0:

= я I VEo 12<z(£0) - F(E0) - Е^	(5-295)

Для сравнения с экспериментом формулу Фано обычно параметри-

(W7

зуют, полагая q не зависящим от Е (параметр q называется профиль-
ным индексом) и рассматри-
вая зависимость сечения не-
посредственно от «приведен-
ной» энергии z. Тогда

С₽ = С"ТТ?-- (5-296)

На рис. 5.14 приведены
значения ор/ап в зависимости
от z при различных про-
фильных индексах q. Заме-
тим, что в формулах (5.292)—
(5.296) нигде не конкретизи-
ровался вид оператора U,
поэтому результаты справед-
ливы, в принципе, и для дру-
гих способов возбуждения ав-
тоионизационных состояний.
В частности, формула (5.296)

Р и с. 5.14. Зависимость сечения по формуле
Фано от приведенной энергии при различных
профильных индексах

задает также отношение
сечений резонансного и не-
резонансного процессов ио-

низации атома электронами.

При обобщении теории Фано на случай нескольких автоиониза-

ционных состояний, а также нескольких каналов распада основная
проблема заключается в построении волновой функции ф£ (т. е. в
обобщении формулы (5.278)). Это традиционная задача теории рас-
сеяния электронов на атомах, которая решается наиболее строго так
называемым методом сильной связи [36, 37], являющимся фактиче-
ски обобщением метода наложения конфигураций (см. [I, § 4.9]) на
состояния сплошного спектра.

Если интересоваться характеристиками автоионизационного со-
стояния как такового, не вникая в способ его возбуждения, то важ-
нейшей характеристикой является его ширина, определяемая фор-
мулой (5.297). Можно также сказать, что эта формула определяет
вероятность перехода из начального автоионизационного состояния
в конечное состояние сплошного спектра, хотя нужно помнить, что
возможность такого толкования ограничена применимостью теории
возмущений. Естественно, что при наличии нескольких каналов
распада ширина получается как сумма вероятностей распада по
всем каналам:

Г = 2л£ \VEj\2.

(5.297)

Отметим, что формула (5.297), в отличие от выражения для
вероятностей радиационных переходов, не содержит малых пара-
метров. Поэтому малость автоионизационной ширины по сравнению
с расстоянием между энергетическими уровнями определяется
только величиной перекрывания функций дискретного и сплош-
ного спектров в матричном элементе VE (см. (5.276)). Напри-
мер, безрадиационная ширина 2х2р-состояния атома гелия равна
r2s2₽ = 0,038 эВ [38].

§ 5.8. Излучение атомов в ридберговских состояниях

Ридберговскими состояниями в настоящее время принято называть
высоковозбужденные состояния атомов. Если речь идет об одноэлек-
тронном возбуждении, то возбужденный электрон с хорошей сте-
пенью точности находится в кулоновском поле атомного остатка и
спектр состояний этого электрона является близким к водородному
спектру. Ридберговские атомы обладают весьма характерными свой-
ствами. Прежде всего, энергия возбужденного электрона, согласно
Бальмеру [I, (1.22)], дается выражением

2и2 Е°’

(5.298)

где е0 = те4/Й2 — атомная единица энергии, п — главное кванто-
вое число. Энергии таких состояний при больших значениях п весь-
ма малы, и состояния легко разрушаются, что указывает на трудно-
сть соответствующих экспериментов. Тем не менее, в настоящее
время экспериментально можно наблюдать состояния си» 100.

Из (5.298) следует, что размеры ридберговского атома очень ве-
лики: ап — п2а0, что при п «а 100 дает ап & Ю-4 см. Хотя ридбергов-
240
ский атом весьма подвержен внешним воздействиям, его естествен-
ное время жизни достаточно велико. Это можно понять следующим
образом: зависимость от п вероятностей переходов из возбужденного
состояния с п»1 в нижележащие состояния такова: wn « м“3ад0,
где ш0 — вероятность переходов между нижними уровнями. Эта за-
висимость следует, во-первых, непосредственно из точной формулы
(5.177) (на частных примерах (5.178)—(5.181) она видна сразу) и,
во-вторых, из полуклассической теории (см. ниже в этом парагра-
фе). Хотя время жизни уровня определяется всей совокупностью
возможных переходов, характер зависимости от и и порядок вели-
чины вероятности остаются при их учете прежними. Таким обра-
зом, для времени жизни тп имеем тп «s п3т0, что ПРИ го Ю-9 с
(см. § 5.1) и п « 100 дает гп « 10“3 с. Разумеется, в лабораторных
условиях время жизни зависит от столкновительного уширения и
других внешних воздействий.

Существенно также то, что естественные ширины в сериях рид-
берговских уровней не перекрываются друг с другом. Действитель-
но, интервалы между соседними уровнями при п»1 убывают, со-
гласно (5.304),

^п = £п-£п+1«^е0>	(5.299)

как и ширины Гп. Однако ширина содержит еще малый параметр
а3 (см. (5.46)) и неравенство А£'П»ГП сохраняется при любых зна-
чениях п. Это открывает возможность селективного возбуждения
ридберговских состояний с помощью узкополосного излучения лазе-
ров (см. по этому поводу обзор [39]).

Основным теоретическим методом описания ридберговских со-
стояний является метод квантового дефекта. В рамках этого метода
возбужденный электрон описывается кулоновскими волновыми
функциями с эффективным главным квантовым числом и* и эффек-
тивным зарядом Z* = 1 (см. [I, § 2.5]). При этом п* = п + dz, где
dz — добавка, зависящая от орбитального квантового числа и назы-
ваемая квантовым дефектом. Уровни энергии в чисто кулоновском
поле описываются формулой Бальмера (5.298). Поправки к форму-
ле Бальмера можно записать в виде

^Enl= <%,|У~ Fc|%z>,	(5.300)

где 4>nZ — волновая функция возбужденного электрона, а V — Vc —
оператор возмущения, учитывающий отличие потенциала V, дейст-
вующего на возбужденный электрон, от кулоновского потенциала
Vc. Благодаря наличию некулоновского потенциала, поправки к
энергии начинают зависеть от квантового числа I.

Обратимся теперь к выражению для радиальной волновой функ-
ции Rni(r) [I, (1.26)] для возбужденного электрона. В области атом-
ного остатка, где существенно отлична от нуля разность V — Vc, ко-
ордината равна г « а0 (или, в атомных единицах, г ~ 1). Следова-
тельно, в этой области волновую функцию /?nZ(r) при можно
разложить по степеням r/п. Согласно [I, (1.26)] это дает (при Z = 1)

<5301’

Подставляя (5.301) в (5.300), получаем

ДЕп/=-4	(5.302)

п

где dz — некоторая константа [39].

В методе квантового дефекта используется обобщение формулы
Бальмера

(5.303)

из которого при разложении по dz/n следует (5.302). Квантовые де-
фекты 6Z определяются из сравнения положения серий уровней с
экспериментом. Подробности о методе квантового дефекта, а также
его обобщение на состояния сплошного спектра можно найти в об-
зоре [40].

Следует ожидать, что квантовый дефект убывает с ростом орби-
тального момента, поскольку при этом убывает вероятность нахож-
дения возбужденного электрона в области атомного остатка. Для де-
монстрации этого факта в табл. 5.1 представлены значения кванто-
вого дефекта для ридберговских серий высоковозбужденных уровней
атома гелия, заимствованные из [41].

Таблица5.1

Состояние	lsns3S	Isns's	lsnp3P	lsnslP	Isnd	Isnf
Квантовый дефект	0,30	0,14	0,07	0,01	0,003	3-10-4

Особая ситуация возникает для двукратных высоковозбужден-
ных состояний, которые также могут образовывать ридберговские
серии. Как следует из результатов предыдущего параграфа, такие
состояния являются автоионизационными. При изучении этих со-
стояний возникает дополнительная трудность, связанная с невоз-
можностью приписать ридберговской серии уровней определенную
конфигурацию. Так, например, в силу кулоновского вырождения се-
рии 2snp1P°, 2pns1PP, 2pndlP° сходятся к одному и тому же преде-
лу и в результате сильно взаимодействуют. Поэтому для классифи-
кации таких состояний необходимо использовать специальные кван-
товые числа. Одна из классификаций, предложенная Фано [42],
связана с поведением двухэлектронной волновой функции в точке
тройного столкновения и с разложением Фока в окрестности этой
точки (см. [I, § 4.1]). Более подробно об этой и других возможных
классификациях двукратных высоковозбужденных состояний можно
прочитать в обзоре [43].

Для вычисления вероятностей переходов между ридберговскими
уровнями, а также для вычисления сечений фотоионизации ридбер-
говских атомов, в принципе, можно воспользоваться точными форму-
лами, полученными для кулоновского поля (см., например, выраже-
ние (5.177)). Эти точные формулы, однако, слишком громоздки и
представляет интерес получить более простые и наглядные выраже-
ния, пользуясь полуклассическим приближением, которое, как сле-
дует из общих соображений [24], должно быть применимо именно к
состояниям с большими квантовыми числами. Этой задаче было по-
священо большое число работ, в которых использовались различные
методы (см., например, [44—48], а также обзор [39]). Мы изложим
здесь в упрощенном варианте подход, использованный в [45, 46].

Согласно (5.30), сила осциллятора для перехода между состоя-
ниями nlml и п'Гт\ водородоподобного атома равна *)

,	—	I ( \	12

J nlmr n'tЗД ^n'n I V >n'l'm'r nlmt	(5.304)

или, после усреднения no mz и суммирования по тщ

f nl, n't 21 + 1 ZSf nlmrn'l'm-	(5.305)

ml m'j

Из общей теории квазиклассического приближения в квантовой ме-
ханике следует [24], что матричные элементы (/)w некоторой
физической величины / при условии на квантовые числа

AJV = Ni - W2«A\, N2,	(5.306)

в классическом пределе переходят в компоненты Фурье fN раз-
ложения классической функции f(t) в ряд Фурье.

Рассмотрим связанный электрон в кулоновском поле. В классиче-
ской механике траектория его движения представляет собой эллипс,
лежащий в плоскости, перпендикулярной сохраняющемуся вектору
момента количества движения 1. Направим ось z системы отсчета по
вектору 1, тогда движение электрона описывается двумя декартовыми
координатами в плоскости орбиты ху. Параметры орбиты связаны с
сохраняющимися величинами Е, I (энергией и абсолютной величи-
ной момента импульса) следующими соотношениями (Е < 0):

а=-^,	(5.307)

(5.308)
mZе

где а — величина большой полуоси эллипса, е — эксцентриситет.

*) Для наглядности мы не пользуемся здесь атомными единицами и используем
обозначение т1 для азимутального квантового числа.
Для определения частоты периодического движения необходимо
перейти к переменным действие — угол Действия опреде-
ляются формулами

1i = ^i^Pid^i 0 = 1> •••>«)>	(5.309)

где pt, qt — канонически сопряженные переменные: обобщенный
импульс и обобщенная координата; s — число степеней свободы.
Интегрирование в (5.309) ведется по промежутку изменения (цик-
лу) обобщенной координаты, на котором повторяются значения
обобщенного импульса. Подразумевается, что переменные в задаче
полностью разделяются. Угловые переменные определяются соотно-
шениями

=	(5.310)

t di. ’

где W — решение уравнения Гамильтона—Якоби. Это уравнение
имеет вид

....(5311>

1*0	ч«> dq ’ dq.l

где Н — функция Гамильтона, =	^Лж(<?/А» •••> Л)-

Г = 1

В случае кулоновской задачи в полярных координатах г, ip в
плоскости орбиты вычисление действий приводит к результа-
ту [49]

(5.312)

	(5.313)

Отсюда

ГТ	 Р	 _	e*Z2m	
11	£.4			2<Л+/Ф)Г	

Частоты периодического движения определяются формулами

О =ф	(5.315)

' I dt di,'

Из (5.314), (5.315) сразу видно, что движение в кулоновском поле
является вырожденным (две частоты совпадают). Однако канониче-
ским преобразованием переменных действие — угол всегда можно
добиться такого их выбора, что все ненулевые частоты будут линей-
но независимы. Для кулоновской задачи это дает

1 = +	1' = !^	<5*316)

Н=Е=--~.	(5.317)
В результате

 W  2 J 2Е3
’ т

(5.318)

Принцип квантования Бора заключается в квантовании незави-
симых действий:

I = nh,	(5.319)

Iv = mth,	(5.320)

где п — главное квантовое число, mt — азимутальное квантовое
число. Тогда из (5.317) сразу же следует формула Бальмера
(5.298).

После этих предварительных соображений запишем разложение
координат электрона x(t) и y(t) в ряд Фурье:

x(t) = 2 xs e~is<ot,	(5.321)

S=e—СО

ОО

y(0 = 2^e-fso>t’	(5.322)

S=e— ОО

где частота со определяется формулой (5.318), а значок суммирова-
ния s имеет смысл разности квантовых чисел s = Ли = и — и' (см.
(5.306)). Зависимость координат х, у от времени удобно предста-
вить в параметрической форме, вводя так называемую эксцентриче-
скую аномалию и по определению

cot = и — е sin и.	(5.323)

При этом предполагается, что в момент t = 0 электрон находится в
перигелии. По смыслу величина cot представляет собой угловую пе-
ременную Фг, канонически сопряженную действию 1Г. Выражения
для х, у через аномалию и таковы [50]:

х = a (cos и — е),	(5.324)

у = oVl — е2 sin и.	(5.325)

Теперь можно определить коэффициенты Фурье xs, ys в (5.321),
(5.322), вычисляя интегралы

т

xs = у J x(t) eismZ dt =
о	2я

= J eis(u-f sin u)(cos u _ E)(l _ E cos	(5.326)

0
T

ys=^\y(,t) eiswt dt =
о n

= VI — e2 J	“) sin и (1 — e cos u) du, (5.327)

о
где Т — период обращения, равный

Т = 2 л/со.

Вычисление интегралов (5.326), (5.327) дает [46]

=	|s|>l,

3

*0 = -2ae>

y0 = °>

(5.328)

(5.329)

(5.330)

(5.331)

(5.332)

где Js — функция Бесселя, J' — производная от нее по аргументу.

Итак, мы приступим теперь к классической аппроксимации фор-
мулы (5.305), считая, что правила отбора для матричных элементов
(r)n7'm'; n/m, нам Уже известны. Правила эти очевидным образом
следуют из теоремы Эккарта—Вигнера (см. [I, § 3.3]) и для сфери-
ческих компонент вектора г имеют вид [2]

nlml	nlm&l, Z'±l^m(, mJ—1’

(x	nlmt ^n' nlm&l, l'±l^mr m'+l’

(z)n'l'm'; nlmt ^n' nlm^l,	mJ*

(5.333)

(5.334)

(5.335)

Прежде всего заметим, что эти правила отбора могут быть полу-
чены и непосредственно в полуклассическом подходе, для чего не-
обходимо рассмотреть движение электрона не в полярных, а в сфе-
рических координатах г, -9, <р и, помимо фурье-разложения по уг-
ловой переменной Фг — coz, использовать одновременно разложения
по другим угловым переменным, совпадающим с обычными углами
Фв= S, Фф = Ф [45]. Для наших целей, однако, проще использовать
известный квантовомеханический результат.

Далее отметим, что при нашем подходе, поскольку отсутствует
движение по оси z, отсутствуют и переходы без изменения азиму-
тального квантового числа Ат; = 0. Для наших целей это несуще-
ственно, так как мы претендуем лишь на вычисление выражения
(5.305), просуммированного по всем значениям mz, mJ. На значении
всей суммы не сказывается способ выбора осей системы отсчета в
классической задаче. Однако при желании можно получить и
классический аналог матричных элементов с Amz = 0, опять-таки
переходя к сферическим координатам и используя принцип соответ-
ствия [45].

Сделаем, наконец, еще одно существенное предположение. В
рамках классической механики естественно считать, что с увеличе-
нием длины вектора момента импульса I (ориентированного по оси
z) одновременно увеличивается (а не уменьшается) и его проекция
на ось z. Иными словами, если А/ > 0, то Amz > 0, и наоборот: при
А/ < 0 и Amz < 0. Из сравнения с (5.333), (5.334) теперь следует,
что переходы с AZ > 0 описываются матричными элементами
х + iy, а переходы с Л/ < 0 — матричными элементами х — iy.

Основной результат этих рассуждений можно теперь записать в
виде соотношения

'	2то» (	.2	(5.336)

j nl, п'1±1	2Й 'Xs — ys' ’

где мы использовали также полуклассическое соответствие
wn'n = ws R4], s = n — n'. Заметим, что суммирование по кванто-
вым числам т\ и усреднение по mt не приводит ни к каким допол-
нительным множителям, поскольку изменение Amz фиксировано, а
усреднение в нашем приближении соответствует умножению на
единицу. Подставляем (5.329) и (5.330) в (5.336) и используем для
частоты <о еще одно выражение, которое следует из определения
(5.318) и формулы Бальмера (5.298):

w = Е - mz2e"	(5.337)

Яп лз~з ’

Здесь п в принципе не совпадает ни с и, ни с п’. В выборе этого
квантового числа остается произвол, который мы, следуя [46], уст-
раним так:

~ 2пп‘
п =---------.

п + п1

(5.338)

Та же проблема возникает при определении выражения для эксцен-
триситета е в (5.329), (5.330): на самом деле в выражение (5.308)
мы должны подставить некоторое значение I, также не совпадающее
ни с /, ни с Вновь следуя [46], зафиксируем его так:

Z = шах (/, Г).	(5.339)

При этом с учетом (5.304) эксцентриситет записывается в виде

в2 = 1 — 12/п2.

Окончательный результат выглядит следующим образом:

fnl.n-l±l= -4 к(«)±У^л(«)

(5.340)

(5.341)

Эта формула, разумеется, значительно проще, чем та, которая сле-
дует из общего выражения (5.177); однако нужно помнить, что она
справедлива лишь для переходов между высоковозбужденными
уровнями.

Для оценки качества приближения приведем сравнение точных
и квазиклассических выражений для ряда переходов [45]. Сравни-
ваются выражения для квадрата дипольного матричного элемента,
которые, согласно (5.310), связаны с силой осциллятора соотноше-
нием (см. также (5.313))

Rnl\ n'l±l 2mws nl±l	~

/ \2Г	Л----

(т) [/;(«)±yi-ijs(se)

2

. (5.342)

Результаты сравнения приведены в табл. 5.2 (в атомных единицах).
Видно, что согласие весьма хорошее даже при небольших квантовых
числах. Заметим, кстати, что с учетом (5.298)

а Z ’

(5.343)

где а0 — боровский радиус.

Т аблица5.2

Переход	Квантовая механика	Квазиклассика	Погрешность, %
2s—Зр	9,393	9,270	3,48
4s—5р	72,553	73,181	0,86
6s—7 р	274,19	275,25	0,38
4p-5d	121,86	123,18	1,08
4d—5f	197,83	200,46	1,33

Используя (5.331), можно получить также выражение для ди-
польного матричного элемента перехода без изменения главного
квантового числа п. В этом случае формально частота перехода <os
равна нулю в классической теории и формулу для силы осциллятора
(5.336) использовать нельзя. Однако непосредственно из (5.331) с
учетом (5.343) следует (в этом случае п = и):

2

Rnl; nl±l = *0 = |	и2(”2 - ^)>

(5.344)

что совпадает с квантовой формулой (5.182).

Существует эмпирическое правило (см. [2]), согласно которому
вероятности переходов, для которых Ап и AZ имеют одинаковый
знак, больше вероятностей, для которых эти величины противопо-
ложны по знаку. Например, вероятности переходов 2p—*3s и
2p-»3d относятся друг к другу, как 1 : 25. Формула (5.342) объяс-
няет это правило в случае ридберговских переходов. Действительно,
можно воспользоваться известным свойством нулей функций Бессе-
ля Jv при v>0 [51]:

v < х'ь < хь,	(5.345)
где xlv — положение первого нуля функции Jv, x'lv — положение
первого нуля функции J'v. В формуле (5.342) следует считать е < 1
(эллиптическая орбита) и при s>0 (Лп>0) аргументы функций
Js(se) и J'(se) соответственно меньше xls и xjs. Поскольку при
х-»0 (s > 0) Js(x) > 0 и J's > 0, то в квадратных скобках в (5.342)
оба члена положительны. Следовательно,

R2nl-.n'l+l>Rnl-.n4-V	(5.346)

что и требовалось доказать.

Во многих случаях интерес представляет сила осциллятора для
перехода между двумя вырожденными уровнями п и п':

п-1

f ^ = ^2	пГ, п'1 + l *" пГ. п'1-l)-	(5.347)

1=1

Для вычисления /пп- можно воспользоваться приемом, предложен-
ным в [46]. При этом удобнее не проводить усреднения по mt при
каждом заданном I, как мы делали выше, но суммировать по т1 и
затем по Z и делить результат на полное число состояний в оболочке
и2. Как показано в [46], результат такого усреднения функции
F(l) можно представить в виде интеграла по е2:

12(2Ж)Г(/)-|<т	(5-348)

1=0	о

Чтобы убедиться в справедливости такой замены, достаточно вычис-
лить сумму при F(l) = 1:

п—1	п	1

\^{2l+l)^\\2ldl=\d^,	(5.349)

" 1=0	п о	о

где мы использовали выражение для эксцентриситета (5.340). Та-
ким образом,

1

fnn = $ (Jnli n.l+l + fnl. n7_1).	(5.350)

о

Делая замену переменных y=e.s, подставляя (5.341) и вычисляя
интеграл, после ряда преобразований получаем [46]

/-= "S i	(5-351)

о

Основная формула для ридберговских переходов (5.342) может
быть получена также другим методом, а именно — непосредствен-
ным вычислением радиальных интегралов

nl
Г2

Rnl;nl±l = S Rnl(r')Rn-l±l(r')r3 dr
nl

(5.352)

с квазиклассическими волновыми функциями [24]

где

г"'	\

nl

r‘

(5.353)

(5.354)

со определяется формулой (5.337), а классические точки поворота
r"z2 — условием

^/(^2)=0-	(5.355)

Именно таким образом формула (5.342) была впервые получена в
[44] (см. также [52, 53, 48]).

Рассмотрим теперь вопрос о том, какими переходами опреде-
ляется время жизни ридберговских атомов. Вероятности переходов,
согласно (5.31), получаются умножением силы осциллятора на
квадрат частоты. Это обстоятельство оказывается решающим и пе-
реходы с наибольшей частотой оказываются наиболее вероятными,
несмотря на то, что сама сила осцилляторов является наибольшей
для переходов с близкими главными квантовыми числами (это
объясняется наилучшим перекрыванием волновых функций), т. е.
когда частота является наименьшей. Например, для переходов с
уровня 4р на Is, 2s, 3s силы осцилляторов относятся друг к
другу как 1 : 3,5 : 16, тогда как вероятности переходов относятся
как 23 : 3 : 1. Таким образом, из всех возможных переходов с излу-
чением из начального состояния nl наиболее вероятен переход в со-
стояние с наименьшей энергией, совместимый с правилами отбора.
Таким переходом, очевидно, является переход в состояние п' = I,
V = I — 1 (нужно вспомнить, что при заданном /' квантовое число
и' меняется в пределах от /' + 1 до <»).

Используя (5.160), (5.177), а также формулу Бальмера для
определения частоты conZ ll_l, запишем точное выражение для веро-
ятности такого перехода (в атомных единицах):

з 16 (п + / + 1)!	(п-/)2',-2'(4п/)2'

а 3 (п-/)!(2/ + 1)!	(n —Z)2”-2'

Эту вероятность удобно сравнивать с вероятностью перехода
2р—* 1s в атоме водорода, т. е. с щ21, ю s Тогда, используя обыч-
ное для ридберговских серий неравенство  а также формулу Стирлинга, получаем [39]  З7 e"4'(4Z)2' 1				(5.357)  (5.358)  Т аблица5.3	
		24 (2/ + 1)!	п3 °’		
Орбитальный момент /	1	2	3	4	5
3 Wfj,//-1 п  Wo	6,68	1,56	0,498	0,182	0,0723

В табл. 5.3 приведены значения wnl ll_ ь вычисленные по формуле
(5.358) для некоторых значений I. Видно, что вероятность резко
убывает с ростом орбитального момента. При и = 2 во втором стол-
бце табл. 5.3 (/ = 1) стоит 6,68 вместо точного значения 8; различие
объясняется неточным выполнением неравенства (5.357), использо-
ванного при выводе (5.358), для случая 1—1, п = 2. Зависимость
//-1 от п согласуется с оценками, использованными в начале
этого параграфа.

Оценим вклад переходов на близлежащие уровни в ширину рид-
берговских уровней атомов. Для этого в формуле (5.341) положим
$ = 1 (и' = и — 1). Будем также считать, что выполняется неравен-
ство (5.357). Тогда, оставляя в (5.341) лишь главный член, получим

(5.359)

Чтобы перейти к вероятности	умножим (5.359) на

—2а3со3 (см. (5.159), (5.160)), где со определяется согласно (5.337).
Результат удобно вновь записать через оуо. Определение числовых ко-
эффициентов в (5.359) и расчет (5.178) дают возможность записать
результат в виде [39]

_ 1.81
wnl;n-i, i±i ~ ns №о-

Сравнение с (5.358) показывает, что переходы между ридберговски-
ми состояниями вносят малый вклад ( ~ 1/и2) в полное время жизни
ридберговского атома. Однако такие переходы представляют прак-
тический интерес как возможный способ получения когерентного
длинноволнового излучения (лазера) (см. по этому поводу [39]).

Формулы квазиклассической теории могут быть применены так-
же для описания переходов с ридберговских уровней в сплошной
спектр, т. е. для описания фотоионизации ридберговских состояний
[44, 48]. При дополнительном условии Дп»1 из этих формул, в
частности, следует формула Крамерса (5.252).
§ 5.9.	Рентгеновские спектры атомов и ионов

Рентгеновские спектры нейтральных атомов возникают при нали-
чии вакансий (дырок) во внутренних оболочках. Электроны из
внешних оболочек заполняют эти дырки с испусканием рентгено-
вских квантов. Энергия таких переходов имеет порядок величины
Z2e0 (где е0 — атомная единица энергии), так что при достаточ-
но больших значениях заряда ядра Z (уже при Z > 10) излуче-
ние будет находиться в области частот, которую принято относить
к рентгеновской. Для классификации рентгеновских спектров
необходимо иметь классификацию состояний атома с вакансия-
ми во внутренних оболочках — так называемых рентгеновских
термов.

Полный момент заполненной электронной оболочки равен ну-
лю. При наличии вакансии электронная оболочка приобретает
некоторый момент j, который может принимать те же значения,
что и момент одного электрона: j = 1/2, 3/2, ... Можно ввести
также квантовое число Z = j±| (см. §1.2). Таким образом, для
обозначения состояния дырки можно использовать обычные обоз-
начения одноэлектронных состояний nL: Isi, 2$i_, 2pi, 2рз и т. д.
Для рентгеновских термов приняты, однако, специальные обозна-
чения:

l$i 2si_ 2pi_ 2рз 3si 3pi Зрз ЗЛ 3ds
222222	2	2	2

АГ 2.J Гц Гщ Л^ц wiv Л/у

Уровни с и = 4, 5, 6 обозначаются аналогичным образом буквами
N, О, Р.

Термы К, L, М всегда достаточно хорошо отделены друг от дру-
га, поскольку отвечают различным значениям главного квантового
числа п. Группы уровней, соответствующие одинаковым значениям
п, но разным /, образуют так называемые дублеты. Это, например,
Г15 Ln и Lm или A/j, Мп и Мш, и т. д. Релятивистские дублеты
при aZ « 1 находятся друг от друга на таком же расстоянии, как и
термы, различающиеся главным квантовым числом. При меньших
значениях Z они сближаются и их расщепление определяется вели-
чиной спин-орбитального взаимодействия.

Расщепление же уровней с одинаковыми п, j, но различными
значениями I, связано с отклонением поля, в* котором движутся
электроны, от чисто кулоновского поля ядра, т. е. с учетом вза-
имодействия с другими электронами (экранировкой). Соответст-
вующие группы уровней называют экранировочными дублетами:
например, и Гц, Мт и Мп. Расщепление экранировочных дуб-
летов уменьшается с ростом Z и составляет величину порядка
1/Z от нормального расстояния между термами К, L, М (см.
§3.1).
На рис. 5.15 представлена схема наиболее интенсивных спект-
ральных линий, соответствующих переходам между нижними
уровнями. Наиболее коротковолновой является Х-серия, возни-
кающая при переходах электронов на Х-терм с более высоких

Рис 5 15. Схема рентгеновских переходов между нижними уровнями. На схеме ука-
заны только наиболее интенсивные £1 -переходы

уровней. Эта серия аналогична главной оптической серии
npj—»lsi (J = 1/2, 3/2).

Могут существовать также рентгеновские термы с несколь-
кими вакансиями в электронных оболочках. Поскольку спин-
орбитальное взаимодействие для электронов внутренних оболо-
чек превосходит по величине кулоновское взаимодействие элект-
ронов друг с другом, моменты дырок складываются по схеме
] /-связи.

Ширины рентгеновских термов определяются вероятностями пе-
реходов электронов с более высоких уровней с заполнением вакан-
сий. Эти вероятности могут быть вычислены по формулам § 5.4
((5.193), (5.194)), а в случае не слишком больших значений Z —
по формулам этого же параграфа с разложением по степеням aZ. В
частности, для электрических дипольных переходов вероятности
пропорциональны a(aZ)4 (см. (5.198)). Это объясняет большую
ширину рентгеновских термов.

В табл. 5.4 приведены значения полных абсолютных и относи-
тельных парциальных вероятностей для Х-серии при различных
значениях Z. Эти величины получены теоретически в приближении
Хартри—Фока—Дирака [54].
Таблица 5.4

Z	20	30	40	50	60	70	80	90
Полная ширина, эВ	0,1312	0,790	2,800	7,32	15,93	30,32	52,72	85,47
Кр/Ка	0,1315	0,1410	0,1913	0,2230	0,2504	0,2634	0,2788	0,2952
Ка2/Ка1	0,5061	0,5142	0,5225	0,5343	0,5491	0,5673	0,5899	0,6182
Xfh/Kp,	0,5043	0,5108	0,5120	0,5148	0,5167	0,5175	0,5170	0,5134

В случае меньших значений Z (т. е. для более легких атомов или
более высоких уровней, для которых эффективный заряд ядра
уменьшается благодаря экранированию) более существенную роль
начинают играть оже-процессы (см. §5.8). Соответствующая шири-
на пропорциональна а2 (в релятивистских единицах, см. § 6.4), а
отношение радиационной ширины к автоионизационной оже-шири-
не равно

^«(aZ2)2	(5.361)

Отсюда следует, что оже-процессы становятся преобладающими при
Z < 10 (при этом нужно помнить, что ширина ГА имеет также не-
параметрическую малость, связанную с перекрыванием волновых
функций — см. § 5.8). Так, например, экспериментальное значение
вероятности оже-процесса 1^г~»ММ для атома аргона (Z=18)
равно 0,16 эВ (расчет дает 0,19 эВ) [55]. Эта величина сравнима с
радиационными ширинами при тех же значениях (см. табл. 5.4).

В рентгеновской области находятся также спектры много-
зарядных ионов, таких, например, как ионы водородоподобного
и гелиеподобного железа Fe XXVI и Fe XXV, наблюдаемые
при солнечных вспышках. Например, резонансная линия Fe XXV
Is2 *50— IsSp'Pj имеет длину волны 0,1851 нм, что отвечает обла-
сти мягкого рентгеновского излучения. Наблюдение таких спектров
при солнечных вспышках объясняется высокой температурой внут-
ренних областей Солнца. Приравнивая потенциал ионизации для
внутренних электронов атома железа к средней энергии частиц в
солнечной плазме кТ, где к — постоянная Больцмана, Т — абсо-
лютная температура,

| Z2 а. е. = кТ,	(5.362)

при Z = 26 получаем оценку Т as 108 К. Эта грубая оценка указы-
вает, при какой температуре плазмы могут образовываться ионы во-
дородоподобного железа. На самом деле температура солнечных
недр ближе к Т «г 2 • 107 К.
Возможность определять температуру плазмы по спектрам мно-
гозарядных ионов обусловливает практическую важность изучения
этих спектров для диагностики плазмы в экспериментальных термо-
ядерных установках. Более подробно эти вопросы обсуждаются в об-
зорах [56—59] и монографиях [6, 60].

Важным лабораторным методом получения высокозарядных
ионов является пропускание пучка ионов через фольгу (beam-foil-
метод) [61]. Таким способом оказалось возможным получить ионы
водородоподобного и гелиеподобного урана [62], спектры которых
лежат уже в жесткой рентгеновской области.

В отличие от рентгеновских спектров нейтральных атомов,
спектры многозарядных ионов по своей структуре больше напоми-
нают оптические спектры. Действительно, те и другие возникают
при переходах внешних электронов, хотя сами переходы находятся
в разных областях длин волн. Вместе с тем существуют и важные
отличия. Во-первых, наблюдаются значительные отклонения от
схемы LS-связи, а с увеличением Z — приближение к схеме Ц-
связи. Во-вторых, с увеличением Z становятся разрешенными пе-
реходы, запрещенные в оптических спектрах, в частности интер-
комбинационные. Оба эти обстоятельства естественно объясняются
возрастающей ролью релятивизма и отсутствием малости по пара-
метру aZ (см. § 5.3).

Характерной особенностью спектров многозарядных ионов явля-
ется наличие сателлитных линий, возникающих вблизи резонанс-
ных линий данного иона и принадлежащих иону на единицу мень-
шей кратности ионизации, у которого возбуждены два электрона.
Такие сателлиты называются диэлектронными. Они связаны с пере-
ходами из автоионизационных состояний и их появление объясняет-
ся ростом вероятности соответствующих радиационных переходов с
ростом Z, в то время как вероятность автоионизации практически
не растет с ростом Z или растет значительно слабее. В качестве ил-
люстрации последнего утверждения в приложении 2.11 приведена
таблица автоионизационных ширин двухэлектронных ионов при
различных значениях Z, заимствованная из [60].

Так, например, сателлитами резонансных линий водородоподоб-
ных ионов 2/л —*1sl, 2рз—*1^ являются переходы в гелиеподобных
2	2	2	2

ионах типа 2lnl'LSJ-*\snl"L'S'J', а сателлитами резонансных ли-
ний гелиеподобных ионов ls2p1,3P1—»ls21S0 являются переходы в
литиеподобных ионах типа ls2lnl'LSJ—♦ls2nl"LSJ при всех воз-
можных значениях индексов I, L, S, J.

§ 5.10.	Многофотонные процессы в атомах

В этом, последнем, параграфе главы, посвященной описанию взаи-
модействия атомов с излучением, мы рассмотрим процессы с уча-
стием нескольких фотонов. Вообще говоря, это процессы высшего
порядка по электродинамической константе связи a = e2/hc, т. е. их
вероятности должны быть малы по сравнению с вероятностями рас-
смотренных выше процессов первого порядка. Если, однако, атом
находится в интенсивном внешнем поле, то взаимодействие его с
этим полем уже не является слабым. Фактором усиления здесь
является число квантов поля N, и, поскольку процессы с нескольки-
ми фотонами пропорциональны степеням N (см. ниже), их вероят-
ности становятся сопоставимыми с вероятностями одноквантовых

процессов.

Такой подход, однако, по-прежнему связан с применением кван-
товоэлектродинамической теории возмущений на состояниях с опре-
деленным числом квантов поля и, безусловно, становится неприме-
нимым, когда число квантов достаточно большое. Это происходит,
например, в интенсивном электромагнитном поле лазера. Описание
взаимодействия интенсивного электромагнитного поля с атомом го-
раздо удобнее проводить с помощью формализма квазиэнергии [63,
64]. В этом формализме электромагнитное поле вводится как клас-
сическое внешнее поле, взаимодействующее с атомом. Последова-
тельный переход от квантованного электромагнитного поля к клас-

сическому можно совершить, используя так называемые когерент-
ные состояния (см. по этому поводу [12]). Однако
описание взаимодействия атомов с внешними по-
лями выходит за рамки этой главы, и мы рассмот-
рим здесь только такие процессы с несколькими
-vAzv-	фотонами, для которых можно использовать тео-

рию возмущений, т. е. при не слишком высоких
л/xzv	интенсивностях.

Другая ситуация, когда изучение многофотон-
ных (в частности двухфотонных) процессов по те-
•	ории возмущений является оправданным, — на-

хп

Z

Р и с. 5.16. График
Фейнмана, соот-
ветствующий про-
цессу поглощения,
излучения или рас-
сеяния п квантов

личие переходов, запрещенных с испусканием од-
ного кванта. Примеры таких переходов будут
рассмотрены ниже.

Амплитуда взаимодействия электрона с п
фотонами. Рассмотрим матричный элемент S-
матрицы, описывающий процесс взаимодействия
атомного электрона с п фотонами. Это может
быть поглощение п фотонов, излучение или рас-
сеяние. Соответствующий график Фейнмана изо-
бражен на рис. 5.16. Согласно правилам соответ-

ствия (см. § 2.6), матричный элемент 5-матрицы
имеет вид (в этом параграфе мы используем сокращенные обозна-

чения для матричных элементов 5-матрицы)

Sa"a= (““О" S (^а4*1)Я(*1)£(*1*2)Я(х2)---

... Я(хп_1)5(х„_1х„)ч>д(х„)) d% ... d*xn, (5.363)

где Л(х) — оператор излучения. В дальнейшем будем считать, что
атом взаимодействует с полем, в котором имеется N (N^>n) оди-
наковых фотонов. Учитывая вид матричного элемента оператора
рождения фотона (см. § 5.2), видим, что в каждой вершине появля-
ется дополнительный множитель y/N + 1 «V7V (при JV»n). Тогда
можно использовать следующее выражение для оператора Л(х)
(рассмотрим для определенности случай поглощения):

Й(х) =	(5.364)

где V — нормировочный объем *).	_

Подставляя в (5.363) выражения для операторов Л(х) в виде
(5.364), а также для пропагаторов (2.227) и интегрируя по вре-
менам и частотам, входящим в выражения для пропагаторов,
получаем

л

S& = -2ш(-iey	"д(£Л + лсо - ЕА.) X

(?еЛг)Л .,.(еея'г) .

х У-------------------------------- (5.365)

5,, •--> S , Я-1	1

Г ’ л—1

где суммирование по	проводится по всему спектру урав-

нения Дирака для атомного электрона. В случае атома водорода это
уравнение (1.1) с гамильтонианом (1.34), (1.35).

Перейдем в (5.365) к нерелятивистскому пределу. Для этого
используем результаты § 1.5, 3.4. Разбирая последовательно це-
почки матричных элементов, с учетом порядка их величины по-
лучаем

<	чр<+)| е| ф^> = -1{<<р<+)|ео| Х^> + <Х^+)|ео|	=

= -1 <Ф<+)1 (ео)(°р) + (op)(os)|<р^> =

= —1<<р^+)|ар|ф^)>~О(а) а. е., (5.366)

<	Ф<-)| е| ц£~>> = | <х<_)| (op)(os) + (os)(op) | хР> =

= i<X(/)laPlX/)>~O(n) а- е., (5.367)

<	ф<-)| е| Ч>(/’> = -1{<ф<-)|еа| х^> + <Х<-)I®°1	~

« —1<хГ)|ео|<р^)>~О(1) а. е., (5.368)

(ф1+)1«1Ч>57)> = ~*{<ф(+)|ео|х17)> + <хГ)1еа1’₽5~)>}

- i < <р<+) | еа | х,7) > ~ О( 1) а. е. (5.369)

Такой анализ приводит к тому, что для «-фотонного процесса в
сумме по S,, ..., sn_j главный вклад дают члены, в которых либо все

*) В данном случае удобно использовать такую нормировку — см. ниже.

9V2 Л. Н. Лабзовский

257
Es положительны, либо положительные Es чередуются с отрица-
тельными. Действительно, с учетом порядка величины энергетиче-
ских знаменателей, получаем оценки:

(?)++4(?)++~О(1) а. е„	(5.370)

а

(е)+_(е)_+~О(1) а. е.	(5.371)

Все другие цепочки матричных элементов имеют дополнительную
малость по а.

Выпишем явные выражения для 5^ и S^A:

= -2atie2 d(eA + 2co - ea,) x

(ep)x (ep) A i

X 2 e —e —o> 2	’

*,(+) ‘‘

(5.372)

3

= — 2 ле32d(eA+2co — ea<) x

A A	I ИСО J v A	A /

(ep^ep^tep).

(Cj — eA— 2a>)(es — eA~ o>)
s,(+)s2(+) 2	1

i v %(еР\л

2 Zj e —e. —<o

. ч A A

S,(+) 1

l	Л

2 At e — e — 2o>
s2(+) 2

(5.373)

При этом мы использовали системы функций <р< > (см. § 1.5) и со-
отношение (ео)(ео) = 1, которое следует из (1.30). Если также
учесть, что знаменатель в предпоследнем члене в фигурных скобках
в (5.373) с учетом закона сохранения можно преобразовать к виду
еа. — еа — со = — 2со, то два последних члена в фигурных скобках
взаимно уничтожаются. Такая же картина, как можно проверить,
получается при всех значениях и > 2: все члены, содержащие сим-
волы Кронекера, т. е. происходящие от суммирований по отрица-
тельным энергиям, взаимно уничтожаются. При п = 2 такой член
существует лишь для А' = А, т. е. в случае упругого рассеяния фо-
тона. Итак, в нерелятивистском пределе *)

= 2ni(-e)" ^’6(еа + исо - еа.) х

(ер)х ,.... (ер) А

Х -еА—(и —1)о>]...[е, -еА—о>]' (5.374)
.... S ,п-1	1

1’	’ п--1

Для вычислений удобнее перейти от матричных элементов
импульса к матричным элементам координаты, для чего можно

*) В нерелятивистских формулах в дальнейшем значки (+) в суммах по промежу-
точным состояниям можно опускать
использовать, во-первых, соотношение (5.19), которое в данном
случае выглядит как

(ep)Vi = i(^-^_)(er)Vi,	(5.375)

и, во-вторых, соотношение

= У (Е, + Е, - 2EJ(er)s s(er)ss.	(5.376)

S

Последнее соотношение доказывается следующим образом. Предста-
вим правую часть (5.376) в виде

2 («ч + Ч - 2Es)(er)v(er)„i = ([[Я, (ег)]_, (ег)]_)^, (5.377)
S

где Н — одноэлектронный нерелятивистский гамильтониан. Вычис-
ление коммутаторов в (5.377) дает

([[Я, (er)]_, (er)]_)Vi = —i([(ep), (ег)]_),Л =	(5.378)

Покажем, как проделать переход к матричным элементам коор-
динаты для п — 2. С помощью (5.375), (5.376) представим формулу
(5.372) в виде

= —2ше2

+ 2со — ел-) х

х£ (ег)л,51(ег)

1(ea' + ea-2eSj) • (5.379)

Преобразуем члены в фигурных скобках, используя соотношение
Ед. + 2ш:

(ед + 2о> — es ) (ej — Ед)

(Ед + ID - Es )

Е —Ед—О)’
s А

(5.380)

Таким образом, окончательно

S& = ~2^	6(Ед + 2 cd - ea.) 2

\	/	з А

'	'	5]	1

(5.381)

Аналогично в принципе доказывается формула для произвольных
значений п:

S& = 2т(-еу

2nJVo>'

V~

26(ед 4- niD— Ед.) X

£ —	— О

г А

ХУ 7—

Z/ (Es

<ег>Л ,.......

__________п-1_________ 1__________

— Ед— (п— 1)о>)...(Е5 —Ед —ш)’

(5.382)

Двухквантовый распад. Рассмотрим теперь двухфотонный про-
цесс распада состояния А с переходом в состояние А' и испусканием
двух квантов с частотами id и cd'. Поскольку частоты квантов раз-


личны, нельзя сразу воспользоваться формулой (5.387), а нужно
вернуться к началу вычислений, которые, впрочем, проводятся пол-
ностью аналогично. Напомним также, что оператор (5.370) необхо-
димо заменить комплексно сопряженным в случае испускания и
вместо одной диаграммы рис. 5.16 рассмотреть две (рис. 5.17а, б),

A1

Рис. 5.17. График Фейнмана,

описы-

вающий двухквантовый распад

отличающиеся порядком испуска-
ния квантов. Это дает

= —2яге2 • 2nVcoco' х

X 6(еЛ- + со + со' — ед) х

хХ

(е*'г)^,(е*г)1Л	(е-гЦ(е-г);

. — г. . 1Л

(5.383)
При этом мы полагаем N = 1 (т. е.
рассматриваем чисто спонтанное
излучение) и V = 1 (см. § 2.4).

Далее переходим к вычисле-
нию вероятности по формулам

(5.4), (5.8), (5.9). В результате применения этих формул получаем

dw^, = 2л|	126(еЛ, 4- со 4- со' - Ед) -gL, (5.384)

где к, к' — волновые векторы испущенных фотонов, а матричный
элемент U$A связан с S$A соотношением (5.4). Просуммировав
(5.384) по поляризациям фотонов, проинтегрировав по направлени-
ям их вылета так же, как это делалось в §5.1 для одного фотона,
и, наконец, проинтегрировав по со', приходим к выражению

-----«2 X I (Uik)A.A |2 rfco,
ik

где тензор (Uik)A'A определяется так:

(5.385)

ik) Л' А ~ 2

е—е. + со с— Zj — со

(5.386)

Полная вероятность двухквантового распада с переходом с уров-
ня А на уровень Л' равна

“’ал' = $
О

(5.387)

Для оценки порядка величины wfy учтем, что, согласно (5.385),
(5.387),

^«а2со5.лай,	(5_388)
где а — характерный размер орбиты. По порядку величины в реля-
тивистских единицах l/(maZ), соЛ-А я» m(aZ)2, откуда

w "ia2(aZ)6 р. е. = (aZ)6 а. е.	(5.389)

Сравнение с величиной разрешенного одноквантового перехода (см.

(5.198)) дает

(2)

АА

a(aZ)2,

(5.390)

/!\(£1)

а сравнение с величиной запрещенного магнитного перехода (см.

(5.199)) -

w(.4(Ml)	1

(5.391)

Таким образом, при малых значениях Z двухквантовый распад пре-
валирует над запрещенным магнитным переходом и, в частности,
оказывается главным каналом распада уровня 2s нейтрального ато-
ма водорода (см. ниже).

В случае атома водорода элементы тензора (5.371) могут быть
вычислены точно с помощью кулоновской функции Грина (см. [1, §
1.4]). Для этого в (5.385) запишем скалярные произведения векто-
ров не в декартовых, а в сферических ортах (см. [I, (3.114)]). Это
дает

S 1(<Ла)ал12 = 2 (-1)9'+9К^'9)а'а12.	(5.392)

ik	qq

где

		ft
{Vqq'A'A ~ 2j  s	es-ea + “	ef—ел+<о'	

Вводя функцию Грина одноэлектронного уравнения Шрёдингера [I,
(1.127)], записываем (5.393) в виде

(^Л'А = (<>	Г^А'А +	Ge,-a/(r'; 0^ )a'A’	(5.394)

Для функции Грина используем разложение по парциальны вол-
нам [I, (1.129)]

<?/«•';г)=77 2 нпи(й')уАИ(й); (5-395>

векторы г, г' запишем в сферических компонентах [I, (3.83)]
r9s(r)9 = ^yi9(^)>	(5’396)

а волновые функции начального А и конечного А состояний пред-
ставим в обычном виде

^А(0=7^фга(^)-	(5.397)
Тогда, в результате подстановки (5.395), (5.396) и (5.397) в
(5.394), интегрирование по угловым переменным сводится к вычис-
лению интегралов от трех сферических функций, для которых мож-
но воспользоваться формулами [I, (3.110)], [I, (3.111)]. Это дает
(^д'ц^п'Гт', nlm '

= (-1)™V(2Z + 1)(2Z'+1) 2 (21 + 1) Р' о п](о 0 о) Х
\и и/ \ /

/11 Z .

—	+	„,(со )

Ip. д т\ ni.ni^ >

(5.398)
где
ео оо

^7'; „/(“) = $ $ Лп7'(г')сг„-ш. л(г';	dr dr\ (5.399)

о о

I' 1 1W1 1 I’
т' д pj (ц д' т

г 1 1
т’ д' ц

X №';„/(“)

Далее выражения (5.398), (5.399) следует подставить в (5.392),
(5.385). При этом, однако, нужно еще провести суммирование по
проекциям орбитального момента электрона т' в конечном состоя-
нии и усреднение по проекциям момента в начальном состоянии т.
Суммирование по т', т, а также по индексам д', д в (5.392) и р. в
(5.398) можно провести в явном виде, пользуясь соотношениями [I,
(3.70)]. В данной ситуации можно, например, вначале провести
суммирование по д', д, р.', р произведений четырех Зу-символов, в

результате чего зависимость от т, т оказывается сосредоточенной
в произведении двух 3/-символов (формула [I, (3.72)]). Последую-
щее суммирование по т', т выполняется с помощью [I, (3.31)].

Результатом этих вычислений является следующее выражение
(мы переходим теперь к атомным единицам):

d™% п/ = гГП X Шт = Т Хб(2/' + 1) Х
тт

ул J. П/И' J. П/Э । 1 \ 2	1	/112)^2 11 fllZ^

X > (21 + 1)(21 + 1)(la + l)z	ллл	X

loooj l°°°Hoo OHO 00

XXa	'	' '	' '	' '	'

X ([^7';п/(“)^7';п/(“) + ^77	„/(“')] X

1 1 a

I' I 1'

1 1 a

I' I 1

+ [^r;n/(“)^7';n/(“') +

+ Sn7';	)^n7'; nl

1 1 a

I I' 1'

1 1 a

I' I 1

d<£>,

(5.400)

X

где co' = con-z-; nl — co. Формула (5.400) является общей, хотя ради-
альные интегралы не могут быть вычислены в общем виде при про-
извольных значениях п'Г, nl.
Применим формулу (5.400) для вычисления вероятности двух-
квантового распада атома водорода в состоянии 2s. В этом случае
п'Г = 10, nl = 20 и из (5.400) следует

20



(5.401)

Займемся вычислением радиальных интегралов [65, 66]. Учитывая,
что радиальные Rnl атома водорода имеют вид произведения поли-
нома на экспоненту, и используя для радиальной части кулоновской
функции Грина представление [I, (1.144)], [I, (1.145)], можно за-
ключить, что нам понадобятся интегралы вида

Gk(P', 0;v) = S И dr'drdx (Hs'+?(Hs^x

ООО

х exp | — [p'r' 4- [Jr + (r + r') ch x]| x (cth /2Z+1 sh xj ,

(5.402)

где p = v/n, p' = v/n'. В частности, нужные нам интегралы из
(5.401) могут быть записаны так:

S10; 2о(“) = feo(v, i; V) -1 Q^(v, V)] ,	(5-403)

(5.404)

Аналогично записывается интеграл 5}0. 20(о>').

Удобно начинать вычисления с интеграла Q/-i, z-i(P', Р; v), а
интегралы при s', s > I — 1 получить затем дифференцированием
по Р', р. Вычисление интеграла С2/—i, z—i(P » Р; v) можно проводить,
например, в следующем порядке: разложить функцию Бесселя в
ряд, после чего интегралы по г, г' берутся элементарно, затем вы-
числить интеграл по х и свернуть остающийся ряд к выражению
для гипергеометрической функции. Приведем окончательный ре-
зультат [65]:



Х 2^1

_	221+1(21 + 1)!(у)2'+3 х

(/ + l-v) [(!+₽)(!+Р')]2,+2

21 + 2, 1+1-v; 1 + 2-v,

(₽+!)(₽' +1)] ‘

(5.405)

Полная вероятность двухквантового распада 2s-атома водорода
равна, согласно (5.387),

Ю20, 10

«ад	(5Л06)

О
Численный расчет по формулам (5.406), (5.401) дает результат
20 = 0,15 с-1, тогда как время жизни 2ж-уровня с учетом только
одноквантового распада составляло бы около двух дней [2].

Многофотонное поглощение и ионизация. Обратимся теперь к
расчетам многофотонного поглощения и многофотонной ионизации.
Используя формулы (5.4), (5.8), (5.9) для перехода от матричных
элементов 5-матрицы (5.382) к вероятности dwA-A и переходя к се-
чению процесса с помощью соотношения

dc(n)(5.407)
A A	j ’

где j — плотность потока налетающих квантов, получаем

d^\ = у (2ле2)-	" |	| \	(5.408)

(ег)л>1 ,(ег)

= 2 (Г -ел-(п-1)<1>) (е -ел-си)-	(5.409)

S..S " 1	'1

Расшифровывая символы начального состояния как A = nlm, а ко-
нечного как А' = п'Гт', полное сечение n-фотонного поглощения за-
писываем в виде *)

(5.410)

тт

В случае n-фотонной ионизации конечное состояние характеризуем
символами А = г'Гт и полное сечение фотоионизации равно

(5.411)

Г тт
где е' — энергия фотоэлектрона.

Коэффициент в формуле (5.408) удобно записать через интен-
сивность падающего излучения. Эта интенсивность, т. е. энергия,
приносимая излучением в единицу времени на единицу поверх-
ности, равна (в обычных единицах)

I = Nhac/V,	(5.412)

в наших же единицах (релятивистских)

/ = Л^/У.	(5.413)

Далее, плотность потока квантов в обычных единицах

j = Nc/V,	(5.414)

а в релятивистских

j = N/V.	(5.415)

*) Не путать обозначенные одинаковыми индексами п число квантов и главное
квантовое число для электрона в начальном состоянии.
Таким образом,

da^A = (2л)2е2(2ле2)п~11п-11	|2.	(5.416)

Из формулы (5.416) видно, что при достаточно высокой интенсив-
ности излучения малость взаимодействия е в каждом порядке тео-
рии возмущений компенсируется множителем I.

В формуле (5.416) перейдем к обычным единицам, для чего вве-
дем «атомную» единицу интенсивности излучения

Z - 1 ^=1)4.io17Bt/cm2,	(5.417)

“О

где со0, а0 — атомные единицы частоты и длины, а множитель 1/(2л)
введен для удобства. Тогда

= (2л)2[^П’1|^|2а2;	(5’418>

\ о/ 1	1

при этом подразумевается, что величина J$A вычисляется в атом-
ных единицах.

Для численных расчетов сумм /ЗД использовались различные ме-
тоды |67]. В случае атома водорода эти суммы могут быть вычислены
точно. Используя кулоновскую функцию Грина, по аналогии с
(5.394) можно написать (для удобства направим ось z по вектору е):
А"а ~ (2п^(ел+(п-1)ш)(Гп’ rn-l)zn-l> •••’ 22^(ел+ш)(Г21 Г1)21)а'А’ (5.419)

Для кулоновской функции Грина можно использовать представле-
ние [I, (1.129)], [I, (1.144)], [I, (1.145)], после чего интегрирование
по угловым переменным в (5.419) может быть произведено в общем
виде, а интегралы по радиальным переменным также факторизуют-
ся и вычисляются с помощью (5.405) [67].

Другой метод заключается в последовательном решении неодно-
родных одноэлектронных уравнений вида

(й — et) ipj = zipp	(5.420)

Решение этого уравнения эквивалентно вычислению последнего ин-
теграла в (5.419)

Vi(r2) = $ се,(г2; ri)2i	(5.421)

если положить et = еЛ + со. Точно так же вычисление следующего
(предпоследнего) интеграла в (5.419) эквивалентно решению не-
однородного уравнения _

(й - e2)v2 = 2ViV2>	(5.422)

при е2 = еА + 2со. Таким образом, решая последовательно неодно
родные уравнения, можно получить всю цепочку интегралов в
(5.419). Этот метод применялся для расчетов многофотонных про-
цессов в работах [68—70].
В табл. 5.5 приведены результаты расчетов сечений п-фотонного
поглощения для различных переходов между уровнями атома водо-
рода, заимствованные из работ [68—70]. Числа приведены для вели-
чины п1Пп~' (см. (5.410)) в единицах (Вт/см2)"-1-см2.

Таблица5.5

Переход		Число фотонов n	ой, ni/In-\  (Вт/см2)"-1 см2
nl	n'l'		
1s	2s	2	6,60-Ю-34
Is	2s	4	4.25-10-63
Is	2s	6	1,14-Ю-91
Is	3s	2	5,81-Ю-35
Is	3s	4	2,93-Ю-63
Is	2p	3	1,68-Ю-48
Is	2p	5	2,29-Ю-77

На рисунках 5.18, 5.19 приведены заимствованные из тех же работ
результаты расчетов двух- и четырехфотонной ионизации атома во-

Рис. 5.18. Сечение двухфотонной ионизации атома водорода в основном состоянии в
зависимости от длины волны падающего света. Величина сечения отложена в логариф-
мическом масштабе. Вертикальной линией указан порог двухфотонной ионизации

дорода в основном состоянии в зависимости от длины волны падаю-
щего света. Резонансы в сечении фотоионизации появляются в тех
случаях, когда частота излучения, превышающая пороговое значение
шпор, равна Шп.г п1 = ^ (епГ — еп1). Например, для водорода в случае
п = 2 имеем сопор = 1/4 а. е. и все значения частоты, соответствую-
щие переходам из возбужденных состояний в основное,

Рис. 5.19. Сечение четырехфотонной ионизации атома водорода и основном состоянии
в зависимости от длины волны падающего света. Величина сечения отложена в
логарифмическом масштабе. Вертикальной линией указан порог четырехфотонной
ионизации

о>п-1 = . 1--Ц), п — 2, 3, ..., оказываются больше шпор. То же са-

мое, естественно, справедливо и для четырехфотонной ионизации из
основного состояния, для которой сопор =1/8.

Расчетам многофотонной ионизации многоэлектронных атомов в
рамках теории возмущений посвящены многочисленные работы, об-
зор которых можно найти, например, в [67, 71].
Глава 6

ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА

И ФОРМА СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

§6.1. Радиационная ширина уровней

Ширина уровня по своему физическому смыслу определяется сум-
мой вероятностей распада этого уровня (в единицу времени) по
всем возможным каналам. Для атомных уровней такими каналами
распада являются радиационные каналы — распад с испусканием
одного или нескольких фотонов — и автоионизационные (с вылетом
одного или нескольких электронов). В этом параграфе мы рассмот-
рим радиационные каналы распада, а точнее — одноквантовый ра-
диационный распад.

Полная радиационная ширина уровня, связанная с таким распа-
дом, может быть, с одной стороны, получена суммированием веро-
ятностей, определенных по формулам предыдущей главы. С другой
стороны, эта же ширина может быть получена как мнимая часть ра-
диационного сдвига уровня энергии. Такой способ вычислений удо-
бен тем, что он прямо приводит к окончательным выражениям, в
которых просуммированы все возможные вероятности. Этим спосо-
бом мы и воспользуемся для вычислений в настоящем параграфе.

Рассмотрим вначале одноэлектронный атом. В низшем порядке
по константе связи мнимые добавки к энергетическому сдвигу про-
исходят от диаграммы собственной энергии электрона (см.
рис. 4.1а). В общем случае судить о том, какому каналу распада со-
стояния атома соответствует та или иная диаграмма Фейнмана,
можно, проводя в диаграмме поперечные разрезы между всеми вер-
шинами. Каждый разрез соответствует определенному каналу рас-
пада. Внутренние линии диаграммы, пересекаемые любым из таких
разрезов, соответствуют частицам, являющимся продуктами распа-
да в данном канале. При этом нужно считать, что горизонтальные
фотонные линии (т. е. фотонные линии, соединяющие различные
электронные линии), принадлежащие поперечным фотонам, могут
пересекаться разрезами. Действительно, поскольку взаимодействие,
соответствующее обмену поперечными фотонами, не является мгно-
венным, вершины, соединяемые поперечными фотонными линиями,
на графиках можно сдвигать относительно друг друга по вертикали.
Этого нельзя делать лишь с вершинами, соединяемыми линиями,
соответствующими мгновенному кулоновскому взаимодействию.

Проводя единственно возможный разрез в диаграмме рис. 4.1а
между двумя ее вершинами, видим, что помимо электрона в поле
268
ядра, который присутствовал и в начальном состоянии, в конечном
состоянии появляется еще фотон. Таким образом, мнимая добавка к
вкладу в энергию от диаграммы рис. 4.1а дает одноквантовую ради-
ационную ширину, связанную с испусканием одного фотона. Веще-
ственная часть вклада этой диаграммы дает лэмбовский сдвиг уров-
ня, описанный в гл. 4.

Исходным для нас при вычислении ширины является выражение
(4.272) для радиационного сдвига, полученное в гл. 4. Мы обраща-
емся вновь к вычислению интеграла

<бл>

—00

Введем обозначение 0пА = Еп — ЕА и рассмотрим вначале случай
РпА > 0. Представим 1пА таким образом:

оо	О

.	, ч ___ г e‘“riz dia . г е ,шг12 dco

JnA\r 12) — J со + 0 .-zO + ' со + р . —iO —
' rlsl	•

О	— со

_ 7 e'to.z dco , т f sin (“Г12> dw z-6

— CO	0

Нетрудно видеть, что первый из интегралов в правой части (6.2) ра-
вен нулю. Действительно, в этом интеграле контур интегрирования
в комплексной плоскости ш можно замкнуть в нижней полуплоско-
сти. При этом интеграл по дуге большого круга исчезает, поскольку
e-z(Rea>-iIm<u)r12_>Q ПрИ |	| qq	(6.3)

и весь интеграл оказывается равным нулю, так как полюсы в ниж-
ней полуплоскости отсутствуют при (ЗпЛ > 0.

Во втором интеграле в правой части (6.2) мнимую добавку мож-
но положить равной нулю, так как знаменатель нигде в нуль не об-
ращается. Тогда, используя определения функций интегрального си-
нуса и косинуса

si (х) = — $ dt, ci (х) = — J — - dt,

X	X

получаем

InA = 2i j sin ((* dx = 2l{ci (₽„Ar12) sin (₽„Ar 12) -

~ si (Р„лM cos (PnAr12)}.

Если pnA < 0, то интеграл InA можно представить иначе:

,	.7 e'“riz dco ~? sin (<ur12) do

lnA\rVl) — J ш + РпЛ±(0 J <D + PnA±-iO ’
—co	—co

(6.4)

(6.5)

(6.6)
где знак минус (плюс) относится к положительно (отрицательно)
энергетическим состояниям *): £„(+)’

При вычислении первого интеграла в правой части (6.6) интег-
рируем по контуру в верхней полуплоскости, так как теперь в этой
полуплоскости исчезает интеграл по дуге большого круга. Есть ли
полюс внутри контура — это зависит от знака Еп (полюс есть при
Еп > 0). Во втором интеграле в (6.6) мнимую добавку в знаменате-
ле можно отбросить, так как знаменатель нигде не обращается в
нуль; удобно также сделать в этом интеграле замену переменных
о)—»— ш. Тогда, вновь используя (6.4), получаем

ЛмСПг) =	(1 + j—yj e-^n - 2i{ci (| ₽пА | r12) sin (| ₽„А | г12) -

-si (I ₽„а I Пг) cos (I ₽„а I Нг)}-	(6.7)

Окончательное выражение для 1пА запишем, объединяя (6.5) и
(6-7) [1]:

ЛмСПг) = Т + Тёд) (i ~ е/|₽м1ги + 2г х

X {ci (| ₽nA I r12) Sin (I ₽nA I г12) - Si (I р„А I r12) cos (| ₽nA | г12)}. (6.8)

Напишем еще разложение 1пА(г 12) в нерелятивистском пределе,
когда Р„аг 12	(при Еп > 0). Используя известные разложе-

ния для интегрального синуса и косинуса [2]:

si(x)= -| + х + ...,	(6-9)

ci(x) = C + lnx-|x2 + ...,	(6Л°)

где С = In у — постоянная Эйлера, получаем

7пл(г1г) = 111 — 2гР„Аг 12 — к( I ₽„а1 — Рпа) Г12 +

+2i₽„Ar12 In (71 ₽пЛ I r12) - f (ftrf +1 (MJ3 +

+ i (I₽„aI - ₽„a)₽Sa'?2-J (PnA'12)3 1П Ь1₽„а1П2) + -	(6 И)

Радиационный сдвиг уровня AE получается при подстановке (6.8)
или (6.11) в (4.272). Вещественная часть АЕ при этом расходится.
Эта вещественная часть — лэмбовский сдвиг — рассматривалась под-
робно в гл. 4. Здесь мы будем рассматривать только мнимую часть
Im АЕ, которая не расходится и не нуждается в перенормировке.
Мнимая часть АЕ связана с шириной уровня Г соотношением

1шДЕ=—Г/2.	(6.12)

*) В случае > 0 знак при Ел определяется однозначно, так как Ел — положи-
тельно энергетическое состояние.
Действительно, рассмотрим волновую функцию квазистационарного
состояния в виде

ф = ф0	(6.13)

где добавка АЕ комплексна:

А £ = Re А £ + zlm А£.	(6.14)

Тогда вероятность зависит от времени следующим образом:

w= |ф|2 = |ф0|2е21гаД£/.	(6.15)

Между тем для распадного состояния должно быть

w = w0 е-17,	(6.16)

где Г — полная вероятность распада (ширина уровня). Сравнивая
(6.15) и (6.16), приходим к соотношению (6.12).

Точное выражение для радиационной одноквантовой ширины по-
лучаем, подставив (6.8) в (4.272):

глЛ) = Е f1 - то) f1 + тёт) f r12 sin (1 &пА 1 Г*2))

(6-17)
Это выражение написано в релятивистских единицах. Заметим, во-
первых, что отрицательно энергетические состояния не дают вклада
в и, во-вторых, что в сумму по п в (6.17) дают вклад лишь те
положительно частотные состояния, энергии которых меньше, чем
энергия состояния А. Это означает, как и должно быть, что ширина
складывается из вероятностей одноквантовых радиационных
переходов во все нижележащие состояния. Ширина основного состо-
яния равна нулю.

Получим из (6.17) обычное выражение для радиационной шири-
ны в нерелятивистском пределе. Подставим в (4.272) разложение
(6.11), в котором учтем только реальную часть, что соответствует
мнимой части сдвига АЕ:

Re ^12) = (! “ ifef) Sin (1М Г12> =

= -*(1₽„л1 -₽„л)г12 + |(1Р„л| -Рьа)ЙдГ?2 + ...	(6-18)

Тот член, который не содержит a-матриц в выражении для
дает нуль при учете только первого члена разложения (6.18) из-за
ортогональности волновых функций. Поэтому здесь необходимо
учитывать следующий член разложения, который дает такой
вклад в
>	2

ГТ =	(I₽пл1 -	(6.19)

П(+)
Суммирование теперь распространяется на положительно энергети-
ческие состояния, а в обкладках матричных элементов стоят шрё-
дингеровские волновые функции. Учитывая, что

= ri+r2~ 2(г1гг) >	(6.20)

переписываем (6.19) в виде

ГГ = (IPnxI -Рпа)Йл1(0Лп12,	(6-21)

п(+)

а используя соотношение (5.19), получаем вместо (6.21)

,	2

Г^ = -т£(1₽пл1-₽„л)1(Р)а„12-	(6-22)

п(+)

Теперь рассмотрим член, содержащий a-матрицы в выражении
для ГдК\ Здесь достаточно учесть только первый член разложения
(6.18). Это дает

= е2 2 (I ₽пл I - ₽nA) I (а)Лп 12	(6-23)

п(+)

или, с учетом (5.15),

Г(ЛЛ)" = е2 X (| ₽„А | - ₽пА) | (р)Ап |2	(6.24)

п(+)

Объединяя (6.22) и (6.24), имеем

гW = г W' + ГW" = | е2 2 (I I - Р„л) I (Р)л„ 12 =
»(+) А

п< А

где суммирование по и < А означает < еА. Формула (6.25) совпа-
дает с суммой вероятностей переходов в нерелятивистском пределе
(см. (5.18)).

В низшем порядке по константе связи, кроме диаграммы собст-
венной энергии, имеется еще диаграмма поляризации вакуума (см.
рис. 4.16). Однако мнимая часть вклада этой диаграммы в энергети-
ческий сдвиг, как можно убедиться, равна нулю.

Рассмотрим теперь радиационную ширину в двухэлектронных ато-
мах. В этом случае нужно еще учесть вклады диаграмм рис. 3.3а, б
обмена одним поперечным фотоном (для одноквантовой ширины).
Чтобы получить мнимую часть этих вкладов, достаточно в (3.22)
заменить косинус на синус. При этом видно, что мнимую часть
имеет только обменный матричный элемент. Соответствующая шири-
на (будем называть ее брейтовской) равна [1]:

r<«> = 2e2[^Sin(|EA-FB|r12))	.	(6-26)

\	12	/

\	/ABBA
Видно, что для основного состояния эта ширина равна нулю.

Запишем теперь полную радиационную ширину в двухэлектрон-
ном атоме:

Г<5 + Г^ = -2е2£ p^Sin(|£„-£JrI2)j	-

[^^81п(|£п-£д|г12)]	+

п(+) < В \	/ ВппВ

+ 2е2 | sin (I еа - Ев I г12)]	.	(6.27)

\	12	/ ABBA

Пусть ЕА < Ев. Тогда (6.27) можно переписать так:

+ ГW = —2е2 2	sin (| Еп - Ea | r12) j -

n(+) < A '	' AnnA

~2e22 (^psin(|En-£A|,-12)]	.	(6.28)

n(+)<B \	' BnnB

n*A

Таким образом, учет брейтовской ширины есть не что иное, как
учет принципа Паули: добавление обеспечивает отсутствие пе-
реходов в занятые состояния.

Конкретные расчеты ширины уровней, как правило, выполняют-
ся путем суммирования вероятностей (в большинстве случаев один
какой-либо канал распада является доминирующим). Численные
примеры для одноэлектронных и двухэлектронных, а также некото-
рых многоэлектронных атомов были приведены в гл. 5 и соответст-
вующих приложениях.

§ 6.2. Форма спектральной линии:
квантовомеханическая теория

В предыдущей главе на примере различных процессов шла речь о ве-
роятностях распадов в единицу времени. Это было связано с тем, что
полная вероятность оказывалась пропорциональной времени наблю-
дения. Теперь можно уточнить это утверждение. Это на самом деле
так, если время наблюдения Т много меньше времени жизни уровня
т (Т«т). В противном случае (Т>»т) уровень просто успевает вы-
светиться полностью за время наблюдения. Например, ситуация
Т»т, как правило, реализуется для 2р-уровня атома водорода, где
т » 10-9с (см. § 5.1). Ситуация 7'«т более реальна для 28-уровня
водорода, где т « 7 с (см. § 5.10). В этой главе мы рассмотрим случай
7 » т и будем интересоваться полными вероятностями.

В принципе, полная вероятность того, что атом из возбужденно-
го состояния перейдет в основное состояние спустя достаточно боль-
шой промежуток времени, стремится к единице. Однако ввиду ко-

W Л. Н. Лабзовскии
нечности ширины возбужденного уровня испущенный атомом свет
не является строго монохроматическим: частоты будут разбросаны в
интервале Лю « Г. Поэтому можно поставить вопрос о вычислении
полной вероятности как функции частоты to. Обозначим через
dW(a>) вероятность излучения кванта с частотой в интервале to,
to + eta и представим эту вероятность в виде

= /’(to) <ta.	(6.29)

Функция /’(to) и определяет форму (или контур) спектральной ли-
нии. Очевидно, из условия нормировки вероятности следует

“	(6.30)

J djy(to) = 1.
о

В этом параграфе мы рассмотрим квантовомеханическую теорию
контура линии *). Это значит, что мы будем описывать возбужден-
ное состояние атома волновой функцией вида (6.13)

лрА(/) = фА е_/(Ел“?гл)'.	(6.31)

Такие состояния в квантовой механике называются квазистацио-
нарными. Ширину уровня ГА мы считаем заданной феноменологи-
чески. Лэмбовский сдвиг Re А£а мы в данном случае не учитываем,
поскольку он мало существен в нерелятивистских задачах, а кван-
товомеханическая теория наиболее естественно приложима именно
для таких задач. Конечное состояние атома мы будем считать основ-
ным, т. е. не обладающим шириной:

%’(*) = 'Рд'	<6-32)

Далее, введем волновую функцию	системы атом + поле в

случае, когда эти системы не взаимодействуют. Начальное состоя-
ние этой системы таково, что атом находится в состоянии А, а
кванты поля отсутствуют; это состояние описывается волновой
функцией

W(A°>(/)='P<0>e-iM4f.	(6.33)

Конечное состояние описывается волновой функцией

ф?1(0 = 4^1 е-/<е/+“К	(6-34)

Функции Ф*®), 4*9 являются собственными функциями гамильтона
//°), описывающего невзаимодействующие электроны и фотоны:

^о)ф(о) = % ф(о)	(6.35)

•V	V V ’

*) Такая теория была развита Вигнером и Вайскопфом [3], Гайтлером [4] и
другими. Мы здесь следуем изложению [5].
еде — энергия системы атом + поле в отсутствие взаимодейст-
вия. В частности,

^ао=^-|га,	^=^4-0,.	(6.36)

Мы будем искать решение уравнения Шрёдингера

+	(6.37)

учитывающего взаимодействие V электронов с полем, в виде разло-
жения по волновым функциям в отсутствие взаимодействия

W) = 2 ^(0^(0 = Е <Ф)	4f>.	(6.38)

V	V

При этом V в уравнении (6.37) считается малым возмущением.
Подставляя (6.38) в (6.37), умножая на Ч^0)(0 и интегрируя, полу-
чаем следующую систему уравнений для коэффициентов йи(/):

i = 2 <Н1 И v>	(6’39)

V

В качестве начального условия к этому уравнению потребуем, что-
бы в момент t = 0 система находилась в состоянии v = АО:

ал0 = 1; av = 0 (v^AO).	(6.40)

Найденное с этим начальным условием решение уравнения (6.39)
ал'т(0 определяет вероятность к моменту времени t перехода атома
из состояния А в состояние А' с испусканием кванта в интервале ча-
стот со, со + day:

dW(ay, t) = | aA'w(t) |2 day.	(6-41)

Нас будет интересовать полная вероятность, которая получится из
(6.41) при /—*<»:

cW(co) = |йл.т(оо) |2 dco.	(6-42)

Решая уравнение (6.39) итерациями, в правую часть подставля-
ем коэффициенты (6.40). Это дает уравнение для определения
czAto(Z). Следующая итерация дает возможность определить коэффи-
циент aA0(f). При этом все другие коэффициенты будут оставаться
нулями, поскольку мы считаем отличным от нуля только матрич-
ный элемент <Л'си|У|Л0> (только такой переход мы рассматрива-
ем). Наконец, еще одна итерация дает уже поправки второго поряд-
ка по У к выражению aA-w, которые мы считаем малыми. Таким об-
разом, уравнение для аА-т имеет вид

i = <Л'со| У | АО) ехр{<[(еА, -	+ со) + i ГА]/}. (6.43)
Интегрируем это уравнение с начальным условием аЛ'т(0) = 0. По-

лучаем

аАш(0 = “ ; <Лш|к|Л0> exp{i[(eA, - еА - со) +1 Г ]$+ const.
(гх-гл-о>)+-гл

Определяем константу из начального условия

(6.44)

аЛ><о(0 = И’со|У|А0>

1 — ехр[/ l(cj—еА— ш)	TJf}

(EX-£A-“)+irA

(6.45)

и, согласно жение:	(6.42), получаем для вероятности следующее выра-  dW(^) = | <А'со| У| А0> |2	d(\ ,	(6.46)  {Ех-г_ш)2 + 1г2

Матричный элемент (А'со| У|А0) в принципе может зависеть от
со. В дальнейшем, однако, мы будем использовать обычное для тео-
рии контура линии (вообще для теории распада) резонансное при-
ближение, которое сводится в нашем случае к предположению

ГА<<еА- еА-	(6.47)

При выполнении неравенства (6.47) знаменатель в (6.46) близок к
резонансу при со = еА — еА-. Как следует из оценок, приведенных в
§5.1, неравенство (6.47) в случае радиационных переходов в нейт-
ральных атомах всегда выполняется: даже в случае электрических
дипольных переходов, обладающих наибольшей вероятностью, воз-
никающая ширина уровней имеет порядок величины Г « а3Ае.

В резонансном приближении в выражении для матричного эле-
мента V можно положить со = еА — еА- = соАА-. Тогда величина

М'со|У|АО>|ш=0)лл,= М']У|А>

(6.48)

определяет обычным образом (см. (5.8)) вероятность перехода в
единицу времени с излучением кванта с частотой со = соАА. и с опре-
деленными импульсом, поляризацией и т. д. Зависимость вероятно-
сти от этих характеристик определяется только множителем
| (А' | V\ А) |2, т. е. учет распределения фотонов по частоте не меняет
этих характеристик. Поэтому, проводя интегрирование по направле-
нию вылета фотона и суммирование по поляризациям (см. §5.1),
получаем

ч = 1	rA/da)

9 2Л

АЛ	4 А

где ГАА’ — парциальная ширина уровня А, равная вероятности пе-
рехода в единицу времени на уровень А' (формула (5.12), которую
в данном случае нужно записать в нерелятивистском пределе, по-
скольку мы пользуемся квантовомеханическим подходом). Распре-
деление вероятностей, даваемое формулой (6.49), называется ло-
ренцевским. Следует помнить, что оно справедливо в резонансном
приближении. В общей теории распадных квазистационарных состо-
яний распределение (6.49) называют также брейт-вигнеровским
(см. § 5.7). В том случае, когда канал распада А-^А' единственный,

Гдл’ — ГЛ

Проверим теперь нормировку вероятности. Вычисление интегра-
ла по со дает при Гл « солл>

(“л/-“)2+7^ Гл’

(6.50)

Этот результат проще всего получить следующим образом. При
Гл-«:солл< можно считать, что основной вклад в интеграл дает об-
ласть значений со вблизи со ~ солл>. Поэтому интегрирование по со в
(6.50) можно распространить до —<»: от этого результат не изменит-
ся. После этого можно интегрировать по комплексной плоскости со,
замыкая контур интегрирования в верхней или нижней полуплоско-
сти и вычисляя вычеты в соответствующих полюсах (в каждой по-
луплоскости будет по одному полюсу). Используя (6.50), получаем

( </1У(со)=^.

(6.51)

Величина в правой части (6.51) представляет собой относительную
полную вероятность распада по каналу А—» А'. В том случае, когда
Глл- = Гл, вероятность, как и должно быть, оказывается нормиро-
ванной на единицу:

j <71У(со) = 1.

(6.52)

Рассмотрим теперь более сложную ситуацию, когда конечное со-
стояние А' — тоже распадное (возбужденное), обладающее полной
шириной Гл-. Для коэффициента <2л-ш(/) мы вместо (6.45) теперь
получим выражение

Состояние А', обладая конечной шириной, само теперь высвечива-
ется с испусканием некоторого кванта с частотой со' и переходит в
какое-то третье состояние. Пусть это будет основное состояние А" с
энергией ел->. Энергия системы атом + поле тогда будет равна
^л"а>ш' = ел" + “ + со'. Напишем уравнение для коэффициента
^"<.><*>'(0; в правую часть общего уравнения (6.39) при этом нужно
подставить

^(0 = «А'ю(С\а'<о-	(6.54)

Тогда

f = <Л"соса'| У|А'со> ен<ел"+а>+“)_<Е/+<0>+|гх1‘ал,с)(^) =

= <А"шсо'| У| Д'о> еП(Ел"-Ех+“')+7г/1'йА.ш(/).	(6.55)

Подставляем в (6.55) выражение (6.53) для аА-ю(/); получим
г	 <A"(jjg>'| V | A’cl>> <А'со| У' | А0> *

х |еН(Ел"-Ел'+“')+?гл'1< — е/[(Ел"-Ел+“+“')+7гл14. (6.56)
Интегрируя это уравнение с начальным условием ^-^-(0) = 0, по-
лагая затем t = оо и приводя результат к общему знаменателю,
окончательно получаем

а.. ,(оо) = —______<А"ахо,|У|А'а>><А,а>|И|АО>	(6.57)

А"““'	[(«’-+| ГХ] [(со +	Шаа..) +i ГА] ‘

Полная вероятность процесса, состоящего в переходе с уровня
А на уровень А' и затем на уровень А' с испусканием фотонов со и
со', равна

dW(со, со') = | аА-(0Ш-( оо) |2 dco </со' =

1	ГАуГуday du)1

— 1__________________** АА____________________ (6 58)

(2л)2 [(<о'- со^,)2 + А г2-] [(со + со' - <о^..)2 + А Г2] ’

где ГАА , ГА'А" — парциальные ширины. Форму спектральной линии
для перехода А—* А можно получить из (6.58), проинтегрировав по
со'. В резонансном приближении можно вновь распространить об-
ласть интегрирования на всю область значений со' от — оо до оо, про-
водить интегрирование в комплексной плоскости и замкнуть контур
интегрирования, например, в верхней полуплоскости. Подынтег-
ральное выражение имеет в верхней полуплоскости два полюса:

“(1) -шА'А' +|гА;	“(2) = “аа''_<й+| ГА- (6-59)

Приравнивая интеграл к сумме вычетов, получаем

оо

сПУ(со) = $ dW(u, cd')

—оо

_______1______

га[<“^“аА+|га)2ЧГа]

2п

_______1________

га[<“-“^-|га)2+|4]

dco.

(6.60)
В результате некоторых алгебраических преобразований формула
(6.60) приводится к следующему окончательному виду:

oW(co)

1 Г^ГЛ'А"

2л ГА I>

(6.61)

Форма линии для перехода в конечное нестабильное состояние,
как мы видим, отличается от (6.49) лишь тем, что ширина линии
определяется теперь суммой ширин начального и конечного состоя-
ний. От частоты конкретного перехода А'—» А”, который мы исполь-
зовали в вычислениях, формула (6.61) не зависит. Нормировочный
интеграл теперь равен

dW(a>
о

т. е. равен полной относительной вероятности двойного перехода
А—» А'А". При Гд = Гдд-, ГА- = Гд-д„ мы возвращаемся к норми-
ровочному условию (6.52).

§ 6.3.	Форма спектральной линии:
квантовоэлектродинамическая теория

В этом параграфе мы рассмотрим теорию формы спектральных ли-
ний на основе квантовой электродинамики. Это поможет нам избе-
жать феноменологического введения ширин уровней, как это дела-
лось в предыдущем параграфе, и сделает теорию способной описы-
вать такие сугубо релятивистские системы, как многозарядные ионы
(см. § 5.9). Квантовоэлектродинамическая теория естественной ши-
рины линии для одноэлектронного атома была построена Лоу [6]. В
квантовой электродинамике, однако, в отличие от квантовой меха-
ники, переход от одноэлектронного атома к многоэлектронному не
является тривиальным, как можно было судить по результатам
гл. 3. Одним из методов решения этой проблемы является примене-
ние адиабатического формализма Гелл-Манна и Лоу (см. [1, § 4.3],
а также гл. 3). Этот метод мы используем и здесь для описания
естественной формы спектральных линий в релятивистской теории
атома [7].

Рассмотрим вначале одноэлектронный атом и переход из состоя-
ния А в состояние А' с испусканием одного кванта. Амплитуда этого
перехода в низшем порядке по константе связи определяется диаг-
раммой рис. 5.1. В том случае, когда речь идет о распаде квазиста-
ционарного состояния, естественно использовать адиабатический
оператор эволюции 5а(°°, 0), считая, что состояние было приготов-
лено в момент t — 0 и затем распадается. При этом распад не зави-
сит от способа приготовления. Такая ситуация характерна для спек-
троскопии и соответствует постановке задачи в предыдущем пара-
графе.
Амплитуда перехода вычисляется по правилам соответствия, из-
ложенным в § 2.6, и равна

<Ф?1^1)(<»,0)|Ф®> =

=SdT Sdt е i(k*f
о

(6.63)

Выполняя интегрирование по Z, получаем

<ф01 Woo, 0) I ФО) = -=-------Г-,	(6,64)

где

^А = ^((ае-)е^М)л'А.	(6‘65)

ф

Здесь мы обозначили через кф, соф импульс и частоту испущен-
ного фотона, чтобы не путать их с обозначениями для пере-
z	менных интегрирования в выражениях для пропа-

-4	гаторов.

Рассмотрим теперь диаграмму рис. 6.1 третьего
порядка по константе связи. Эта диаграмма дает
x/w'»- радиационную поправку в низшем порядке к диаг-
рамме рис. 5.1. Вклад этой диаграммы после при-
менения правил соответствия можно представить в
g виде

<Ф?1^3)(-,0)|Ф°> =

____ 00	СЮ	00

А	= (~ie)3y^ j dr, dr2dr3 J dt, J dt2 J dt3 e~atti+t2+tJ x

Рис. 6.1. Диаг-
рамма, изобра-
жающая радиа-
ционный сдвиг
начального со-
стояния при из-
лучении кванта

ООО

х (-фл<(Xj) е* е-'(кФг1_<оФ*1) х

X 5(^1^2)ти5(х2х3)у^А(х3))Рич,(х2х3).	(6.66)

Подстановка в (6.66) электронных и фотонных про-

пагаторов приводит к выражению

<Ф«| S<a3)(o°> 0) I ф0> = j dt, j dt2 j dt3 x
0	0	0

co	oo	co

X J J da>j $ da>2 exp [z(JE\- + <лф + a>j + la)/,] X

—oo	—co	—eo

x exp [(w2 — to, — <o 4- ia)t2] exp [—z(c>2 + EA 4- co — za)/3] X

-т^ехрамгц)

Х Z [£„ (1 - /О) + Wj] [ЕП (1 - iO) + W2] •

П, ГЦ	1	2

(6.67)
Проведем в (6.67) интегрирование по временам tlf t2, t3, а затем ин-
тегрирование в комплексной плоскости cOj, <о2. Результаты такого

интегрирования выглядят по-разному для положительно и отрица-

тельно-частотных членов сумм по п2 в (6.67).
В дальнейшем мы переходим к резонансному при-
ближению, чему соответствует оставление одного
члена = А в сумме по и, в (6.67). Тогда

<Ф»|х®(«.о)|Ф2>к,=	£1 х

А А ф

ехР <«lwlr12)

х ( dco У —	'' --------—

_____________________________________

Еп (1 — ГО) — Ед — “ф — со — 21 а

, е(А>

Е (1 —/0) —£ . —со —Га
п,	л

(6.68)

В формуле (6.68) можно также положить
а = 0, поскольку, как будет показано ниже, окон-

Рис. 6.2. Радиа-
ционные вставки в

нательный ответ является конечным при любом начальное состоя-
значении частоты фотона <оЛ. Полагая в нерезо- ™е’ дающие Р*530-
Ч>	г начсные вклады

нансных знаменателях в (6.68) ЕА- + Шф = ЕА и (уI

используя формулу (4.272) для радиационного сдвига АЕа, записы-

ваем (6.68) в виде

(6.69)

'‘Ел-Ев~шф>

Проводя аналогичные вычисления, можно показать, что учет ре-
зонансных членов во всех диаграммах типа рис. 6.2 приводит к сле-
дующему выражению для амплитуды перехода:

<Ф?1%3>(«>.О)|Ф2>= —е д-;-.. Ё	• <6™>

А о ф \ А В ф/
п=0 \	/

Суммируя возникающую прогрессию, получаем

<Ф?|5®(оо,0)|Ф2> =

ЕАа
ЕА~Ев~шф+^Ел

(6.71)

Таким образом, выражение (6.71) имеет конечный предел при
а -» 0 также и в точке резонанса = Ел — ЕА>, в которой каждое
из выражений (6.64), (6.69) и т. д. расходится. Формула (6.71)
представляет собой результат аналитического продолжения разло-
жения (6.70) на всю комплексную плоскость переменной Иф.
А

Рис. 6.3. Диаг-
рамма, изобра-
жающая радиа-
ционный сдвиг
конечного со-
стояния при из-
лучении кванта

член п = А' И

Учет бесконечной последовательности диаграмм типа рис. 6.2 од-
новременно уточняет положение резонанса и определяет его шири-
ну при условии, что у конечного состояния А' ширина отсутствует.
Заметим, что формула (6.71) получается непосредственно из (6.64),
если в волновой функции начального состояния заменить ЕА на
ЕА + АЕа. Именно так мы и поступали в предыдущем параграфе
при выводе формы линии из квантовомеханических соображений.

Несколько более сложным получается в адиабатической теории
учет радиационного сдвига нижнего уровня. В этом случае диаграм-
мы, которые нужно суммировать, обладают особен-
ностями по адиабатическому параметру а. Начнем с
вычисления диаграммы рис. 6.3. Вместо формулы
(6.67) теперь имеем

оо	оо	оо

<Ф°|5^(оо, О)|ф°)	dt2 J dt3x

w о	о	о

оо	оо	оо

х $ dco $ dOj J da>2 exp [z(EA- + cjj 4- co + ia)M x
—oo —co	—oo

x exp [z(co2 — coj — co + za)Z2] X

x exp [1(сОф — Ea — co2 + za)<3] X
p-^exp(i|a>|ri2)| U A
V 12	/ /л n n г

X 2 [£„ (1 -iO) + Wj] [£„ (1 -’iO) + w2] ‘	(6 72)

nin2 '

Проводя интегрирование по временам и частотам
соь со2, оставляя в сумме по п только сингулярный
полагая при этом в несингулярных и нерезонансных

множителях a = 0, получаем

<q>gISg>(~, 0) |Ф£>стг = д 'з,„ X

А А ф

- [^v^exp(i|w|r12)j UAa

X 1	€ da> у —“______________________ (6.73)

(~2ia) J а £	£n(l-i0)-£^-w

ni

Используя вновь (4.272), записываем (6.73) в виде

<Ф°|Зе>(~, 0) |ф;>ст„, = -	(6.74)

Аналогичные вычисления в высших порядках теории воз-
мущений (диаграммы рис. 6.4) с учетом только сингулярных
членов дают

” 1 / гД£Лп	и,.	г

<Ф” I Sa(°°’ °) I Ф<?синг = S Щ [	2а~I £^-£^-(0.-(2n + l)ia‘ V

(6.75)

Полагая в несингулярном множителе в (6.75) а = 0, приходим к
выражению

—ч.	U .г .	I iA.f	—х\

<Ф81«.(«.0)|Ф’>а„-г——ЙГ • (6'76>

А А ф	\	/

Однако нужно учесть то обстоятельство, что при разложении не-
сингулярного множителя в (6.75) по степеням a
возникают члены, не зависящие от а и дающие f
ненулевой вклад в (6.75). Разложим несингуляр- А
ный множитель в ряд:	7

__________1______________ <
Е — Е j — ш.—(2n + l)ia_\

А А ф	С'

00 г-	-.1

________1	(2ft + l)ia________y7)
— Е j — со._________________________Е.— Ел—со. ’	•

А Л ФЛ=о1 А А Ф1	Д-

и подставим вначале в (6.75) первый член ряда
(6.77) при к = 1 (нулевой член при к = 0 дает
(6.76)). Получим

Рис. 6.4. Радиа-
ционные вставки
в конечное со-
стояние, даю-
щие сингуляр-
ные вклады

Член ряда (6.77) при к = 2 после подстановки в
(6.75) дает

(га)2 у (_	" (2п + 1) = _	(га)2 у

(£л-£л.-Шф)3Д^ 2а ) п! (ЕА-ЕЛ-^

Продолжая эти вычисления и собирая члены, отличные от нуля при
а—»0, получаем

<Ф°| Ха(оо, 0) |Ф°>СИИГ =

- PYn ( _ V ЛБл 1к = ^еХР1~~^)

——Шф	I 2а I Zj ЕА — Ед — Ыф	ЕА—Е^—^Ев—ы^

(6.80)
Теперь можно учесть одновременно вклад резонансных членов
в диаграммах рис. 6.2 и сингулярных членов в диаграммах
рис. 6.4. Согласно (6.71) для этого достаточно в (6.80) ЕА заме-
нить на ЕА + &Еа, поскольку мы можем считать, что вычисле-
ния в (6.80) с самого начала проводятся с соответствующей вол-
новой функцией.

Запишем вероятность перехода, определяемую формулой
^(кф,е)=Ит |(фО|5а(оо,0)|Ф°>|2-^.	(6.81)

а-*0

Эта формула является аналогом квантовомеханического выражения
(6.42), только здесь явно выписана зависимость вероятности от на-
правления вылета и поляризации фотона. При подстановке (6.80) в
(6.81) нужно различать два случая. В первом случае А' — основное
состояние. Тогда ГА- = 0, величина АЕа> вещественна и

lim

сх~*О

(6.82)

Формула (6.81) дает в этом случае после интегрирования по на-
правлениям вылета фотона и суммирования по поляризациям ло-
ренцевский контур (6.49):

(6-83)

где йАА< — разность энергий уровней с учетом лэмбовского сдвига
конечного и начального состояний ♦):

<оАА. = Еа + Re АЕа — ЕА. — Re АЕа..	(6.84)

Иной результат получается, если нижнее состояние А' само об-
ладает шириной. В этой ситуации

lim exp f = lim exp ( —	= 0,	(6.85)

a~*0	\	/	a-*0	\	/

t. e. вклад всех резонансных членов обращается в нуль. Таким об-
разом, диаграммы рисунков 6.2 и 6.4 не описывают формирования
лоренцевского контура линии при ГА- * 0. Такой результат для рас-
падного состояния А' связан с тем, что мы не учитывали явно дина-

•) Можно поставить вопрос о перенормируемости теории, основанной на исполь-
зовании «половинной» 5-матрицы: в гл. 4. где шла речь о перенормировках, использо-
валась только «полная» S-матрица (см. также [8]). Видно, однако, что в резонансном
приближении никаких проблем с перенормировкой не возникает — окончательное
выражение (6 83) содержит лишь матричные элементы оператора собственной энергии
электрона, перенормировка которых описана в гл. 4.
мику его распада. На самом деле распад состояний А и А' нужно
рассматривать одновременно, так как это делалось в предыдущем
параграфе с помощью квантовомеханической теории.

Конкретизируем задачу, считая, как и в § 6.2, что нижнее состо-
яние А' может, в свою очередь, с помощью одноквантового распада
перейти в основное состояние А". Рассмотрим диаграмму рис. 6.5,
изображающую процесс перехода из состояния А в состояние А" с
испусканием двух квантов. Соответствующая амплитуда равна

(фО | $<2)(оо, 0) | Ф°> =---!------------------------.

А А ф ф	п А ф

(6.86)

В сумме по и в (6.86) нас интересует резонансный член при
п = А' (как и выше, при вычислении радиационных вставок в на-
чальное состояние, при этом можно положить а = 0):

<ф0|§(2)(оо, 0)|Ф?>	=-----------. (6.87)

(еа-ЕА'-^-^(ЕА~ЕА'-^

Учитывая полученные выше результаты, можно сказать, что сум-
мирование собственно энергетических вставок с резонансными членаЧ
ми в нижнюю электронную линию на диаграмме рис. 6.5 приведет к

Р и с. 6 5. Диаграмма, изображающая переход из состояния А в состояние А с испу-
сканием двух квантов

Р и с. 6 6. Диаграмма, изображающая собственно энергетическую вставку во внутрен-
нюю электронную линию при излучении двух квантов

Рис. 6 7 Диаграмма, изображающая поправку к вероятности перехода на межэлект-
ронное взаимодействие в начальном состоянии

замене ЕА на ЕА + АЕа в (6.87). Суммирование собственно энергети-
ческих вставок в верхнюю электронную линию на диаграмме рис. 6.5
приводит к замене ЕА„ на ЕА» + Д£А», причем величина АЕА" вещест-
венна (Д" — основное состояние). Таким образом, остается учесть
лишь собственно энергетические вставки во внутреннюю электронную
линию диаграммы рис. 6.5, т. е. радиационный сдвиг состояния А'.

Рассмотрим с этой целью диаграмму рис. 6.6. Подстановка выра-
жений для пропагаторов и интегрирование по временам и частотам
приводит после выделения резонансных членов к выражению (мы
вновь полагаем а = 0)

2

0)1^)^ = ^—.	, j

^А' “ф “ф

VA'A	ехР <' I “ I r12>)	vАл

X у---------------------—-------,	(6.88)

„ (-EA~EA'~^(En(X~* i^-EA'~^-~^(-EA~EA'~^

или, с учетом (4.272),

(Ф0|%4)(оо,0)|ф0>рез

_________VA'AVAa^EA_________

(Е А ~ ЕА'— ШФ — шф> ^ЕА ~ ЕА' ~ шф)2

(6.89)

Суммируя все собственно энергетические вставки во внутрен-
нюю электронную линию в резонансном приближении, а также
учитывая результаты суммирования таких вставок для внешних ли-
ний, получаем

<Ф°I Sa(eo, 0) |Ф°)рез =

(ЛЕ

(Еа + Д£л - Ел- - ДЕХ, - Шф - Шф) (Ел - Ел, - Л.ЕА—

ЕЕА

ЕА' + ЪЕл, -Ел-Ыф

(ЛЕ «\

-'гг)
(“^"-“ф-“ф-1 гл)(“Л<"-шф—5 ГА>

(6.90)

Переходя от амплитуды к вероятности по формуле

dk dkf
^(кф,е;к^,еЭ = Нт |<Ф«|5а(оо,0)|Ф°>|2-^-^, (6.91)
„-♦О	kZJt) <ZJt)

интегрируя по направлениям вылета фотонов и суммируя по поля-
ризациям, получим

1 = ___-_________________АЛ А4 ф ф_____________________

*’ *	(2л)2 [(SA4„-co,-w')2+ir2][(£5j4.z.-0>’)2+|r2.]‘

(6-92)

Эта формула по форме совпадает с (6.58), однако в энергии пере-
ходов включены радиационные поправки. Из (6.92) интегрировани-
ем по со', как и в квантовой механике, получаем (6.61) с заменой
“аа' на йаа-
В двухэлектронных атомах, помимо радиационных поправок к
диаграмме рис. 5.1, необходимо учитывать еще межэлектронное вза-
имодействие. Эта проблема также может быть решена с применени-
ем адиабатического формализма. Для простоты ограничимся такими
состояниями двухэлектронного атома, в которых возбужден лишь
один электрон. Рассмотрим вначале диаграммы типа рис. 6.7, кото-
рые соответствуют переходу из возбужденного состояния в ос-
новное состояние А^А^ с учетом кулоновского взаимодействия. Ис-
пользуя выражение (2.248) для кулоновского пропагатора и проводя
суммирование резонансных вкладов подобно тому, как это было сде-
лано выше в случае радиационных поправок, приходим к выраже-
нию вида

и

<Ф?|5а(°°>0)|фо>рез

(6.93)

Е. -Е^-п.-ЬЕ^'

1 А Ф '”11

Здесь	— поправка первого порядка теории возмущений по

межэлектронному взаимодействию (3.14). В эту поправку можно
включить и вклад от обменных диаграмм, которые получаются из
диаграмм рис. 6.7 заменой нижних индексов: Л^^Лр

Рассматривая диаграммы рис. 6.8, описывающие кулоновское
взаимодействие электронов в конечном состоянии, и суммируя, как
и в случае радиационных вставок, сингуляр-
ные члены, получаем, что выражение (6.93) д' А/
нужно заменить на

<Ф°|5а(оо,0)|Ф°>синг =
( -----------------------------------------------------

V j . exp -i

=_____________' J° ' ( п (6.94)	,

В (6.94) учтены одновременно вклады диаграмм
рис. 6.7 и 6.8. Из результатов вычислений с
собственно энергетическими вставками (см.
выше) ясно, что эти вставки в диаграммы ри-
сунков 6.7 и 6.8 приводят к появлению радиаци-
онных добавок в знаменателе формулы (6.94).
При этом вещественные части радиационных
сдвигов добавятся к вещественным поправкам
на кулоновское взаимодействие, а мнимая до-
бавка будет равна | ГЛ[, где Гл — полная ра-

Ag <4;

Р н с. 6.8. Диаграмма,
изображающая поправ-
ку к вероятности пере-
хода на межэлектрон-
ное взаимодействие в
конечном состоянии

диационная ширина одноэлектронного состоя-

ния Л1 в приближении невзаимодействующих электронов в атоме.

Остается еще рассмотреть вклады диаграмм типа рис. 6.7 и 6.8,
но с обменом поперечными фотонами. С учетом всех предыдущих
вычислений можно утверждать, что в резонансном приближении это
приводит к появлению в знаменателе выражения (6.94) брейтовских

поправок	определяемых формулой (3.19). Брейтов-

ское взаимодействие помимо этого дает мнимую добавку Т
определяемую формулой (6.26). Эта добавка происходит от обмен-
ной диаграммы (см. § 6.1) и сокращает тот член в выражении (6.17)
для ГЛ[, который соответствует переходу в состояние А'г (занятое в
двухэлектронном атоме).

Окончательно для вероятности перехода получаем формулу, ана-
логичную (6.83):

^(о>ф)

А_________Iх *1	_______

2" (“л1Л;^_шф)2+^гА<4>

(6.95)

где 65 А 1А>. А-А^ — энергия перехода с учетом поправок первого поряд-
ка теории возмущений по межэлектронному взаимодействию, а так-
же лэмбовских сдвигов в начальном и конечном состояниях,
rAj(A^) = ГА1 — Таким же образом, в принципе, в формуле
(6.95) можно учесть и межэлектронное взаимодействие в высших
порядках теории возмущений и другие поправки.

В заключение отметим, что возможны и другие квантовоэлект-
родинамические подходы к описанию формы спектральных линий, в
частности квазипотенциальный подход [8].
ПРИЛОЖЕНИЯ

1.	Лэмбовский сдвиг водородоподобных атомов

Таблица П1.1. Вклады различных поправок в величину лэмбовского
сдвига AE(2si)—A£(2pt) в атоме водорода

Поправка	Порядок ве- личины*)	Числовое зна- чение, МГц
Собственная энергия во втором порядке по констан- те связи (формулы (4.2171, (4.219))  Поляризация вакуума во втором порядке по кон- станте связи (формулы (4.217), (4.219))  Формулы (4.240), (4.241)  Формулы (4.240), (4.242), (4.243)  Собственная энергия в четвертом порядке по кон- станте связи (формулы (4.251), (4.252))  Поляризация вакуума в четвертом порядке по кон- станте связи (формулы (4.217), (4.219))  Поправка на отдачу**)  Поправка на конечный размер протона***)	ma(aZ)4  ma(aZ)4  ma(aZ)5 ma(aZ)6 ma2(aZ)4  ma2(aZ)4	1077,640  -27,084  7,140 -0,372 0,342  -0,239  0,359 0,125
Итого		1057,911

*) В данном случае следует полагать Z=l.

**) По поводу поправок на отдачу см. [11, 21, 22).

»•*> По поводу поправок на конечный размер протона см. [21, 22].

Таблица ГП.2. Лэмбовский сдвиг уровней в различных водородоподоб-
ных атомах [22] (в МГц)

Атом	Теория	Эксперимент
Н (п = 2)	1057,911	1057,90 * 0,06
Н (п = 3)	344,896	314,810*0,052
Н (п = 4)	133,084	133,18*0,59
D (и = 2)	1059,271	1059,28 ±0,06
Не+ (и = 2)	14044,765	14045,4 ±1,2
Не+ (п=3)	4184,42	4183,17 ±0,54
Не+ (и = 4)	1769,088	1769,4 ±1,2
Li++ (п = 2)	62763,41	63031,0 ±327,0
С5+ (и = 2)	783,678 Ю3	(744,0 ± 7,0)-103
2.	Вероятности переходов

Таблица П2.1. Квадраты радиальных интегралов (R$ п1)2

nl		1S	2s	2р		3s	Зр		3d	
п'Г		п'р	п'р	n's	n'd	п'р	n's	n'd	п'р	n'f
п'	1	-	-	1,67	-	-	0,3	-	-	-
	2	1,666	27,00	27,00	-	0,9	9,2	-	22,5	-
	3	0,267	9,18	0,88	22,52	162,0	162,0	101,2	101,2	-
	4	0,093	1,64	0,15	2,92	29,9	6,0	57,2	1,7	104,6
	5	0,044	0,60	0,052	0,95	5,1	0,9	8,8	0,23	11,0
	6	0,024	0,29	0,025	0,41	1,9	0,33	3,0	0,08	3,2
	7	0,015	0,17	0,014	0,24	0,9	0,16	1,4	0,03	1,4
	8	0,010	0,10	0,009	0,15	0,5	0,09	0,8	0,02	0,8
О'  8 Н JI  С		0,032	0,31	0,025	0,42	1,4	0,22	2,0	0,05	1,8
Дискретный спектр		2,151	39,30	29,820	27,62	202,56	179,18	174,54	125,88	122,85
Непрерыв- ный спектр		0,849	2,70	0,180	2,38	4.44	0,82	5,46	0,12	3,15
Полная сум- ма (5.163)		3,000	42,00	30,00	30,00	267,00	180,00	180,00	126,00	126,00

nl		4s	4р		4d		4/	
п'Г		п'р	n's	n'd	п'р	n'f	n'd	n'g
n'	1	-	0,09	-	-	-	-	-
	2	0,15	1,66	-	2,9	-	-	-
	3	6,0	29,8	1,7	57,0	-	104,7	-
	4	540,0	540,0	432,0	432,0	252,0	252,0	-r
	5	72,6	21,2	191,9	9,3	197,8	2,75	314,0
	6	11,9	2,9	19,3	1,3	26,9	0,32	27,6
	7	5,7	1,4	7,7	0,5	8,6	0,08	7,3
	8	2,1	0,6	3,2	0,2	3,9	0,04	3,0
о  8 W II  в ,		4,3	1,0	5,9	0,3	6,9	0,07	4,5
Дискретный спектр		642,7	598,7	591,7	503,50	496,0	359,95	356,4
Непрерывный спектр		5,3	1,3	8,3	0,50	8,0	0,05	3,6
Полная сумма  (5.163)		648,00	600,00	600,00	504,00	504,00	360,00	360,00
и/		Is	2s	2р		3s	Зр		3d	
п'Г		п'р	п'р	n's	rid	п'р	n's	n'd	п'р	n'f
ri	1	-	-	-0,139	-	-	-0,026		-	-
	2	0,4162	-	-	-	-0,041	-0,145		-0,147	-
	3	0,0791	0,4349	0,014	0,696	-	-		-	-
	4	0,0290	0,1028	0,0031	0,122	0,484	0,032	0,619	0,011	1,016
	5	0,0139	0,0419	0,0012	0,044	0,121	0,007	0,139	0,0022	0,156
	6	0,0078	0,0216	0,0006	0,022	0,052	0,003	0,056	0,0009	0,053
	7	0,0048	0,0127	0,0003	0,012	0,027	0,002	0,028	0,0004	0,025
	8	0,0032	0,0081	0,0002	0,008	0,016	0,001	0,017	0,0002	0,015
|Г м S о		0,0109	0,0268	0,0007	0,023	0,048	0,002	0,045	0,0007	0,037
Дискретный спектр		0,5650	0,6489	-0,119	0,928	0,707	-0,121	0,904	-0,402	1,302
Непрерыв- ный спектр		0,4350	0,3511	0,008	0,183	0,293	0,010	0,207	0,002	0,098
Полная сум- ма (5.173), (5.174)		1,000	1,000	-0,111	1,111	1,000	-0,111	1,111	-0,400	1,400

nl		4s	4р		4d		4/	
п'Г		п'р	n's	rid	п'р	n'f	rid	n'g
n'	1	-	-0,010	-	-	-	-	-
	2	-0,009	-0,034	-	-0,073	-	-	-
	3	-0,097	-0,161	-0,018	-0,371	-	-0,727	-
	4	-	-	-	-	-	-	-
	5	0,545	0,053	0,610	0,028	0,890	0,009	1,345
	6	0,138	0,012	0,149	0,006	0,187	0,0016	0,183
	7	0,060	0,006	0,063	0,002	0,072	0,0005	0,058
	8	0,033	0,003	0,033	0,001	0,037	0,0003	0,027
«' М 8 ю		0,082	0,006	0,075	0,002	0,081	0,0006	0,045
Дискретный спектр		0,752	-0,126	0,912	-0,406	1,267	-0,715	1,658
Непрерывный спектр		0,248	0,015	0,199	0,006	0,133	0,001	0,056
Полная сумма  (5.173), (5-174)		1,000	-0,111	1,111	-0,400	1,400	-0,714	1,714
Состояние		n'				
nl	n'l'	1	2	3	4	5
2s	n'p		“5	-	-	-
2р	n's	6,25	-	-	-	-
3s	. n'p	-	0,063		-	
Зр	n's	1,64	0,22	-		-
3d	n'p	-	0,64	-		-
4s	n'p	-	0,025	0,018	-	-
4р	n's	0,68	0,095	0,030	-	-
4р	n'd	-	-	0,003	-	-
4d	n'p	*	0,204	0,070	-	-
4/	n'd	7*	-	0,137	-	-
5s	n'p	-	0,012	0,008	0,006	-
5р	n's	0,34	0,049	0,016	0,007	r-’
5р	n'd	-	-	0,001	0,002	-
5d	n'p	-	0,094	0,034	0,014	-
5d	n'f	-!	•-	-	0,000	-
5f	n'd	-	-	0,045	0,026	-
5g	n'f	-	-		0,042	-
6s	n'p	-	0,007	0,0051	0,0035	0,0017
6p	n's	0,195	0,029	0,0096	0,0045	0,0021
6p	n'd	-	-	0.0007	0,0009	0,0010
6d	n'p	-	0,048	0,0187	0,0086	0,0040
6d	n'f	-	-	-	0,0002	0,0004
6f	n'd	-	-	0,0210	0,0129	0,0072
6f	n'g	-	-	-	-	0,0001
6g	n'f	-	-	-	0,0137	0,0110
6h	n'g	-	-	—	-	0,0164
л

П ПЗ

10,97

10,5

10,0

Л

Пашена

8,0

Серия Лаймана

1

Серия
Бальмера £

 5 —
1,21-10

Энергия,10* см

—

3,05-10^

Серия '
Пашена.

~1,ЗБ10~г

0,696

Серия
Бальмера

О

Горизонтальные линии на диаграмме указывают положение уровней энергии,
стрелки — разрешенные переходы. Цифры рядом со стрелками обозначают длины
волн в ангстремах, цифры у концов стрелок — силы осцилляторов соответствующих
переходов. Изображены три спектральных серии — Лаймана (п' = 1), Бальмера
(и'= 2), Пашена (п' = 3), причем цифры приведены лишь для двух первых.
Таблица П2.5. Зависимость вероятностей перехода от Z (в с ')

Z	2|i—ф	2-1—1|о	2^0—1|о
1	6,2650 108	6,2648 108	2,4946-Ю"6
2	1,0028 1010	1,0027 1010	2,5559-10-3
3	5,0772 Ю10	5,0764-1010	1,4744 Ю'1
4	1,6048-Ю11	1,6043 -Ю11	2,6193-10°
5	3,9181-Ю11	3,9163 -Ю11	2,4406 101
6	8,1252-1011	8,1198-Ю11	1,5121-Ю2
7	1,5054 1012	1,5041 1012	7,0694 102
8	2,5684-1012	2,5654-1012	2,6895-103
9	4,1146-1012	4,1084-1012	8,7423-103
10	6,2721 • Ю12	6,2604 Ю12	2,5100 104
11	9,1842 1012	9,1636 1012	6,5181-Ю4
12	1,3009-1013	1,2975 1013	1,5580-105
13	1,7922-Ю13	1,7865 1013	3,4739-10s
14	2,4110-1013	2,4022 Ю13	7,3003-10s
15	3,1778 Ю13	3,1645 1013	1,4578-106
16	4,1145-1013	4,0950 1013	2,7845-106
17	V448 1013	5,2166-1013	5,1153 106
18	6,5936-1013	6.5539 1013	9,0778-IO6
19	8,1874-1013	8,1324 Ю13	1,5621-IO7
20	1,0054-1014	9,9797 1013	2,6149 IO7
21	1,2224-Ю14	1,2124-1014	4,2695-107
22	1,4728-1014	1,4596-1014	6,8155 IO7
23	1,7600-Ю14	1,7426 1014	1,0658 108
24	2,0872 1014	2,0648-1014	1,6357 IO8
25	2,4582-1014	2,4296-1014	2,4673-Ю8
30	5,1061-Ю14	5,0206-1014	1,5525 109
35	9,4729-1014	9,2627 1014	7,3939 IO9
40	1,6210-Ю15	1,5725-1015	2,8747 IO10
45	2,6035-1015	2,5048 1015	9,5808 IO10
50	3,9800-Ю15	3,7935 1015	2,8303-Ю11
Таблица П2.6. Силы осцилляторов атомов благородных газов

Переходы	уХФ	/Г	усф	Эксперимент
Не ls-2p	0,260	0,229	0,252	0,276
ls-3p	0,073	0,0642	0,070	0,073
ls-4p	0,030	0,0265	0,029	0,030
Ne 2p-3s	0,156	0,144	0,163	0,174
2p-4s	0,028	0,025	0,028	
2p-3d	0,023	0,018	0,021	
Ar 3p-4s	0,296	0,266	0,298	0,315
3p-5s	0,056	0,050	0,031	0,038
3p-6s	0,020	0,0183	0,021	
3p-3d	0,162	0,098	0,167	0,199
Kr 4p-5s	0,375	0,338	0,353	
4p-6s	0,070	0,063	0,067	
4p-4d	0,267	0,153	0,263	
Xe 5p-6s	0,419	0,372	0,403	
Sp-ls	0,082	0,072	0,124	
5pSs	0,031	0,027	0,047	
5p-5d	0,484	0,253	0,385	
5p-6d	0,231	0,118	0,187	

Таблица П2.7. Силы осцилляторов щелочных атомов

Переходы	уХФ	№	усф	Эксперимент
Li 2s-2p	0,766	0,796	0,758	0,753
2s-3p	0,00339	0,00263	0,00407	0,00552
2s-4 p	0,00351	0,00304	0,00387	0,00480
ls-2p	0,344	0,321	0,342	
is-3p	0,0539	0,0498	0,053	
Na 3s-3p	0,988	0,971	0,968	0,982
3s-4p	0,0128	0,0120	0,0103	0,0142
3s-5p	0,00186	0,00167	0,00132	0,00221
К 4s-4p	1,076	1,024	1,01	1,02
4s-5p	0,0099	0,0081	0,0041	0,0091
3p-3d	0,641	0,363	0,66	
Cs 5p~5d	0,222	0,110	0,25	
Переходы	j 4		усф	Эксперимент
Be				
2s-2p	1,90	1,01	1,39	1,36
2s-3p	0,11	0,032	0,023	
2s-4p	0,016	0,0023	0,0011	
ls-2p	0,37	0,361	0,374	
ls-3p	0,036	0,034	0,035	
Mg				
3s-3p	2,10	1,16	1,66	1,81
3s-4p	0,31	0,139	0,15	0,22
3s-5p	0.087	0,036	0,035	
Ca				
4s-4p	2,52	1,23	1,81	1,75
4s-5p	0,35	0,13	0,16	0,001
4s-6p	0,095	0,031	0,035	0,043
3p-3d	2,21	1,21	2,5	
Ba				
6s-6p	2,91	1,27	2,0	
6s-7p	0,41	0,13	0,10	
6s-8p	0,11	0,030	0,016	
5p~5d	4,11	2,03	3,39	
5p-(>d	0,52	0,26	0,29	
5p-nd	0,22	0,11	0,11	

Таблица П2.9. Силы осцилляторов в атоме лития

Переходы	гХФ  J 4	у ад	Эксперимент
2s-2p	0,766	0,742	0,753
2s-3p	0,0034	0,0063	0,0055
2i-4p	0,0035	0,0050	0,0048
Таблица П2.10. Вероятности перехода IsZs3^— (ls)21S0

Z	ю0, с-1	Шр с 1	»ХФ. с 1	“’сф.С 1	^р, с’1
2	0,1704-2	0,179-2	0,1253-3	0,173-3	0,1703-2
3	0,9828-1	0,360-1	0,2037-1	0,225-1	0,9820-1
4	0,1746+1	0,4365-1	0,5638+0	0,591+0	0,1744+1
5	0,1627+2	0,2935+1	0,6731+1	0,690+1	0,1624+2
6	0,1008+3	0,3190+2	0,4887+2	0,496+2	0,1006+3
7	0,4713+3	0,1951+3	0,2551+3	0,257+3	0,4693+3
8	0,1793+4	0,8736+3	0,1052+4	0,106+4	0,1786+4
9	0,5828+4	0,3172+4	0,3640+4	0,365+4	0,5799+4
10	0,1673+5	0,9867+4	0,1098+5	0,110+5	0,1663+5
11	0,4345+5	0,2724+5	0,2966+5	0,297+5	0,4313+5
12	0,1039+6	0,6838+5	0,7327+5	0,733+5	0,1030+6
13	0,2316+6	0,1585+6	0,1680+6	0,168+6	0,2293+6
14	0,4867+6	0,3440+6	0,3614+6	0,361+6	0,4810+6
15	0,9718+6	0,7059+6	0,7365+6	0,736+6	0,9632+6
16	0,1856+7	0,1380+7	0,1932+7	0,143+7	0,1828+7
17	0,3410+7	0,2586+7	0,2672+7	0,267+7	0,3353+7
18	0,6052+7	0,4672+7	0,4808+7	0,480+7	0,5938+7
19	0,1041+8	0,8160+7	0,8377+7	0,837+7	0,1020+8
20	0,1743+8	0,1385+8	0,1418+8	0,142+8	0,1703+8
21	0,2846+8	0,2289+8	0,2338+8	0,233+8	0,2774+8
22	0,4543+8	0,3695+8	0,3767+8	0,376+8	0,4417+8
23	0,7105+8	0,5835+8	0,5939+8	0,593+8	0,6889+8
24	0,1090+9	0,9033+8	0,9183+8	0,917+8	0,1056+9
25	0,1645+9	0,1375+9	0,1395+9	0,139+9	0,1586+9
26	0,2442+9	0,2056+9	0,2084+9	0,208+9	0,2348+9
30	0,1035+10	0,8928+9	0,9023+9	0,901+9	0,9820+9
35	0,4929+10	-	-	-	0,4587+10
36	0,6561+10	-	-	-	0,6080+10
40	0,1916+11	0,1718+11	0,1729+11	0,173+11	0,1744+11
50	0,1887+12	0,1730+12	0,1737+12	0,174+12	0,1624+12
60	0,1254+13	0,1167+13	0,1171+13	0,117+13	0,1006+13
70	0,6402+13	0,6017+13	0,6032+13	0,603+13	0,4698+13
80	0,2716+14	0,2572+14	0,2577+14	0,258+14	0,1786+14
90	0,1010+15	0,9617+14	0,9639+14	0,963+14	0,5799+14
100	0,3433+15	0,3284+15	-	0,329+15	0,1663+14
Таблица П2.11. Автоионизационные ширины двухэлектронных ионов
(в электрон-вольтах)

Состояние

Z	(2s)2150	(2р)2 %	(2р)2 3Р0	(2р)2 3Р2	(2р)2 lD2
10	0,2357	0,01072	0,000149	0,000414	0,2439
20	0,2397	0,01553	0,005451	0,028153	0,2084
30	0,2378	0,02756	0,001403	0,110744	0,1242
40	0,2517	0,03961	0,002788	0,149095	0,0868
50	0,2903	0,04769	0,006809	0,155172	0,0376
60	0,3352	0,04936	0,005291	0,158546	0,0666
70	0,4267	0,04697	0,011842		
80	0,5466	0,04250	0,020253		
90	0,7554	0,03450	0,028608		
100	1,1033	0,02582	0,052826		
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Веселов М. Г., Лабзовский Л. Н. Теория атома. Строение электронных оболо-
чек. — М.: Наука, 1986.

К главе 1

1.	Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электрона-
ми / Пер. с англ. — М.: Физматгиз, 1960.

2.	Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука,
1981.

3.	Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродина-
мика. — М.: Наука, 1980.

4.	Зельдович Я. Б., Попов В. С. И Успехи физ. наук. — 1971. — Т. 105. — С. 403.

5.	Rubinowicz А. И Phys. Rev. — 1948. — V. 73. — Р. 133.

6.	Горшков В. Г. И ЖЭТФ. — 1964. — Т. 47. — С. 352.

7.	Горшков В. Г. И ЖЭТФ. — 1964. — Т. 47. — С. 1984.

8.	Hostler L. И J. Math. Phys. — 1964. — V. 5. — Р 591.

9.	Whichmann Е.; Kroll N. М. // Phys. Rev. — 1956. — V. 101. — P. 43.

10.	Martin P. C., Glauber R. J. 11 Phys. Rev. — 1958. — V. 109. — P. 1307.

11.	Запрягаев С. А., Манаков H. Л., Пальчиков В. Г. Теория многозарядных ионов
с одним и двумя электронами. — М.: Энергоатомиздат, 1985.

12.	Шерстюк А. И. И ЖЭТФ. — 1972. — Т. 62. — С. 1238.

13.	Христенко С. В. // Теор. и мат. физика. — 1975. — Т. 22. — С. 31.

14.	Манаков Н. Л., Мармо С. И., Файнштейн А. Г. // Теор. и мат. физика. —
1984. — Т. 59. — С- 49.

15.	Foldy L„ Wouthuysen S. И Phys. Rev. — 1950. — V. 78. — P. 29.

16.	Давыдов А. С. Квантовая механика. — M.: Физматгиз, 1963.

К главе 2

1.	Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука,
1981.

2.	Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродина-
мика. — М.: Наука, 1980.

3.	Araki Н. И Progr. Theor. Phys. — 1957. — V. 17. — Р. 619.

4.	Sucher J. H Phys. Rev. — 1958. — V. 109. — P. 1010.

5.	Браун M. А., Лабзовский Л. H. 11 ЖЭТФ. — 1967. — T. 53 — C. 1776.

6.	Jankowski K., Rutkowski A. 11 Phys. Scr. — 1987. — V- 36. — P. 464.

7.	Grant I. P. 11 Adv. Phys. — 1970. — V. 19. — P. 747.

8.	Johnson W. R., Lin C. D. 11 Phys. Rev. — 1976. — V. A14. — P. 565.

9.	Desclaux J. P. 11 Computer Phys. Commun. — 1975. — V. 9. — P. 31.

10.	Grant I. P. 11 Phys. Scr. — 1980. — V. 21. — P. 443.

11.	Gell-Mann M., Low F. 11 Phys. Rev. — 1951. — V. 84. — P. 350.

12.	Sucher J. 11 Phys. Rev. — 1957. — V. 107. — P 1448.

13.	Лабзовский Л. H. 11 ЖЭТФ. — 1970. — № 59. — C. 168.

14.	Дмитриев Ю. Ю., Климчицкая Г. Л., Лабзовский Л. Н. Релятивистские эф-
фекты в спектрах атомных систем. — М.: Энергоатомиздат, 1984; Labzovsky L.,
Klimchitskaya G., Dmitriev Yu. Relativistic effects in the spectra of atomic systems. —
IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1993.

15.	Васильев A. H., Китанин А. Я. // Teop. и мат. физика. — 1975. — T. 24. —
С. 219.

16	Запрягаев С. А., Манаков Н. Л., ПальчиковВ. Г. Теория многозарядных ионов
с одним и двумя электронами. — М.: Эиергоатомиздат, 1985.

17.	Браун М. А., Гурчумелия А. Д., Сафронова У. И. Релятивистская теория ато-
ма. — М.: Наука, 1984.

18.	Шабаев В. М. //Многочастичные эффекты в атомах. — М.: Наука, 1988. —
С. 65.

19.	Sucher J. И Phys. Rev. — 1980. — V. А22. — Р. 1167.

20.	Mittleman М. Н. И Phys. Rev. — 1981. — V. А24. — Р 1167.

21.	Furry W. Н. И Phys. Rev. — 1951. — V. 81. — Р. 15.

22.	Feynman R. P. 11 Phys. Rev. — 1949. — V. 76. — P 749.

К главе 3

1.	Климчицкая Г. Л., Лабзовский Л. Н. // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 60. — С. 2019.

2.	Дмитриев Ю. Ю, Климчицкая Г. Л., Лабзовский Л Н. Релятивистские эф-
фекты в спектрах атомных систем. —	М.: Эиергоатомиздат, 1984;

Labzowsky L.,Klimchitskaya G., Dmitriev Yu. Relativistic effects in the spectra of
atomic systems. — IOP Publishing, Bristol and Philadelphia , 1993.

3.	Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электрона-
ми / Пер. с англ — М Физматгиз, 1960.

4.	Sucher J И Phys. Rev. — 1957. — V. 107. — Р. 1448.

5.	Лабзовский Л. Н. И ЖЭТФ. — 1970. — Т. 59. — С. 168.

6	Климчицкая Г. Л., Лабзовский Л. Н. И Опт. и спектр. — 1973. — Т 34. —
С. 633.

7.	Vainstein L. A., Safronova U I. //At. Data Nuck. Data Tables. — 1978. — V.
21. — P. 49.

8.	Marvin H H. H Phys. Rev. — 1947. — V. 71. — P. 102

9.	Wybourne B. G. // J. Chern. Phys. — 1964. — V. 40 — P. 1457.

10.	Юцис А. П, Савукинас А. Ю. Математические основы теории атома. — Виль-
нюс: Минтис, 1973.

11.	Сафронова У. И., Лабзовский Л. Н. // Вестник ЛГУ. Сер. физ., хим. —
1969. — Вып. 4. — С. 23.

12.	Никитин А. А., Рудзикас 3. Б. Основы теории спектров атомов и ионов. —
М.: Наука, 1983.

13	Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — М.: Наука, 1977.

14.	Тимофеева Т. Е , Лабзовский Л. Н. // Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1981. —
Т 45 — С. 2390.

15.	Шабаев В. М. // Многочастичные эффекты в атомах — М., 1988. — С 65

16.	Blundell S. A., Mohr Р. J., Johnson W. R., Sapirstein J. // Phys. Rev. —
1993. — V A48 — P 2615.

17.	Lindgren I., Persson H., Salomonson S., Labzovsky L. // Phys. Rev. —
1995. — V. A51. — P. 1167

18.	Запрягаес С. А., Манаков H Л-, Пальчиков В. Г. Теория многозарядных
ионов с одним и двумя электронами. — М.: Эиергоатомиздат, 1985.

19.	Swirles В. // Proc. Roy. Soc. — 1936. — V. А157 — Р. >80

20.	Grant I. P // Adv. Phys.1970. — V. 19. — P. 747.

21.	Declaux J. P. // Relativistic effects In atoms, molecules and solids / Ed.
G.Malli. — N. Y.: Plenum Press, 1983. — P. 115.

22.	Pyykko P. Relativistic Theory of Atoms and Molecules. — Berlin: Springer-
Verlag, 1986.

23.	Slater J. C. Quantum Theory of Atomic Structure. — N. Y : McGraw-Hill, 1960.

24.	Kutzelnigg W. // Int. J. Quant. Chern. — 1984. — V. 25. — P. 107-
К главе 4

1.	Lamb W Е , Retherford R. С- // Phys Rev. — 1947 — V. 72 — P. 241.

2.	Bethe H A. // Phys. Rev. — 1947. — V. 72 — P. 339.

3.	Ахиезер А. И., Берестецкий В Б Квантовая электродинамика. — М.: Наука,
1981.

4.	Берестецкий В. Б , Лифшиц Е. М., Питаевскии. Л. П. Квантовая электродина-
мика. — М.: Наука, 1980.

5.	Бьеркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория / Пер. с англ —
М.: Наука, 1978 Т 1,2.

6.	Швебер С Введение в релятивистскую квантовую теорию поля / Пер. с англ —
М  ИЛ, 1963.

7.	Feynman R. Р И Phys. Rev. — 1949. — V. 76. — Р. 749.

8	Feynman R. Р. И Phys. Rev. — 1949. — V. 76. — Р. 769.

9.	Jauch J M , Rohrlich F Theory of Photons and Electrons. — Cambridge, Mass.,
1959.

10.	Dresden M., Tsu-Teh-Chou 11 Rev. Mod. Phys. — 1967. — V. 39. — P. 143.

11.	Бете Г, Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электро-
нами / Пер с англ. — М.: Физматгиз, 1960.

12.	Harriman J. М // Phys. Rev. — 1956. — V 101. — Р. 594.

13.	Schwartz С., Tiemann J // Ann. Phys. — 1959 — V. 56. — P. 178.

14.	Грановский Я. И. // ЖЭТФ. — 1969. — Т 56. — С. 605.

15.	Справочник по специальным функциям / Ред. М. Абрамович, И Стиган. пер
с англ. — М Наука, 1979.

16.	Karplus R , Klein A., Schwinger J. // Phys. Rev — 1952. — V. 86. — P. 288.

17.	Baranger M., Bethe H., Feynman R P. // Phys. Rev. — 1953 — V 92 — P
482.

18.	Fried H. M>, Yennie D. R. 11 Phys. Rev. — 1958. — V. 112. — P. 1391.

19.	Erickson G. W., Yennie D. R. 11 Ann. Phys. — 1965. — V. 35. — P 271.

20.	Schwinger J. 11 Phys. Rev. — 1949. — V 75. — P. 1912.

21	Lautrup В. E., Peterman A, de Rafael E 11 Phys. Rep. — 1972. — V.
3C. — P. 195.

22.	Baranger M., Dyson F. J., Salpeter E. E 11 Phys. Rev — 1952. — V 88. —
P. 680.

23	Эйдем M. И, Каршенбойм С Г., Шелюто В. A 11 ЯФ — 1994 — T. 57 —
C. 1609.

24.	Pachucki K., Leibfried D., Weitz M. et al. 11 J. Phys. — 1996. — V. 29. —
P 177.

25.	Araki H. // Progr. Theor. Phys. — 1957 — V 17. — P. 619.

26.	Sucher J. // Phys. Rev. — 1958 — V. 109. — P. 1010.

27.	Браун M. А., ЛабзовскийЛ H. // ЖЭТФ. — 1967. — T. 53. — C 1776.

28.	Schwartz C. // Phys. Rev. — 1961. — V. 123 — P. 1700.

29.	Dmitriev Yu. Yu , Labzowsky L. N. // Phys. Lett. — 1969. — V. 29A. — P. 153.

30.	Brown G. E , Langer H S., Schaefer G W. // Proc. Roy Soc — 1959. —
V.A251. — P 92.

31.	Brown G. E., Mayers D. F. // Proc. Roy. Soc. — 1959. — V.A.251. — P. 105.

32.	Desiderio A. M., Johnson W R. 11 Phys. Rev — 1971. — V.A3. — P. 1267.

33.	Mohr P. J.	11	Ann. Phys. — 1974. — V. 88. — P. 434.

34	Mohr P. J.	//	Ann. Phys. — 1974. — V 88 — P. 52.

35.	Pauli W., Villars F 4 Rev. Mod. Phy* — 1949. — V 21 — F 434

36.	Mohr P. J	11	Phys. Rev. Lett. — 1975. — V. 34. — P 1050.

37.	Sapirstein	J.	// Phys. Rev. Lett. — 1981. — V. 47. — P	1723.

38.	Базь А. И., Зельдович. Я Б., Переломов А М. Рассеяние, реакции и распады
в нерелятивистской квантовой механике. — М.: Наука, 1971.

39.	Uehling Е. А. // Phys. Rev. — 1935. — V. 48. — Р. 55

40.	Schwinger J. // Phys. Rev. — 1949. — V. 75. — P. 651.

41.	Whichmann E. H., Kroll N. M. // Phys. Rev. — 1956. — V 101. — P. 843.
42	Blomquist J. 11 Phys. Rev. — 1935. — V. 48. — P. 55.

43.	Soff G., Mohr P. J. 11 Phys. Rev. — 1988. — V. A38. — P. 5066.

44.	Манаков H. Л., Некипелов А. А., Файнштейн А. Г. // ЖЭТФ. — 1989. — T.
95. — C. 1167.

45.	Scneider S. M., Greiner W., Soff G. 11 J. Phys. — 1993. — V. B26. — P. L529.

46.	Lindgren I., Persson H., Salomonson S. et al. // J. Phys. — 1993. — V.
B26. — P. L503.

47.	Mitrushenkov A., Labzovsky L., Lindgren I. et al. // Phys. Lett. —
1995. — V. A200. — P. 51.

К главе S

1.	Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — М.: Наука, 1977.

2.	Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электрона-
ми / Пер. с англ. — М.: Физматгиз, 1960.

3.	Thouless D. J. И Nucl. Phys. — 1961. — V. 22. — Р. 78.

4.	Амусья М. Я. Атомный фотоэффект. — М.: Наука, 1987.

5.	Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углово-
го момента. — М.: Наука, 1975.

6.	Никитин А. А., Рудзикас 3. Б. Основы теории спектров атомов и ионов. — М.:
Наука, 1983.

7.	Веселов М. Г. // Вестник ЛГУ. Сер. физ., хим. — 1953. — №8. — С. 181.

8.	Chen М. Н., Craseman В. // Phys. Rev. — 1984. — V. АЗО. — Р. 170.

9.	Scofield J. Н. // Phys. Rev. — 1974. — V. А9. — Р. 1041.

10.	Листенгартен М. А., Тржасковская М. Б., Банд И. М. // Препринт ЛИЯФ
№ 1120. — Л., 1985.

11.	Gordon W. И Ann. Physik. — 1929. — Bd. 2. — S. 1031.

12.	Дмитриев Ю. Ю., Климчицкая Г. Л., Лабзовский Л. Н. Релятивистские эф-
фекты в спектрах атомных систем. — М.: Энергоатомиздат, 1984; Labzovsky L.,
Klimchitskaya G., Dmitriev Yu. Relativistic effects in the spectra of atomic systems. —
IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1993.

13.	Соколов А. А., Тернов И. M. Релятивистский электрон. М. —: Наука, 1974.

14.	Запрягаев С. А., Манаков Н. Л., Пальчиков В. Г. Теория многозарядных
ионов с одним и двумя электронами. — М.: Энергоатомиздат, 1985.

15.	Bates D. R., Damgaard А. // Phil. Trans. — 1949. — V. 242. — Р. 101.

16.	Wiese W. L., Smith M. W., Glennon В. M. Atomic Transition Probabilities. —
NSRDS — NBS 4, 1966, V. I; NSRDS — NBS 22, 1969, V. II.

17.	Веселов M. Г., Берсукер И. Б. 11 Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1958. — Т.
22. — С.62.

18.	Веселов М. Г., Штофф А В. //Опт. и спектр. — 1969. — Т. 22. — С. 641.

19.	Браун М. А., Гурчумелия А. Д, Сафронова У. И. Релятивистская теория ато-
ма. — М.: Наука, 1984.

20.	Запрягаев С. А., Манаков Н. Л., ПальчиковВ. Г. // Опт. и спектр. — 1979. —
Т. 46. — С. 214.

21.	Johnson W. R., Lin С. D. // Phys. Rev. — 1974. — V. 9А. — Р. 1486.

22.	Johnson W. R., Lin C. D. 11 Phys. Rev. — 1976. — V. 14A. — P 565.

23.	Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродина-
мика. — М.: Наука, 1980.

24.	Ландау Л- Д, Лифишц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974.

25.	Stobbe М. // Ann. Physik. — 1930, — Bd. 7. — S. 661.

26.	Burgess A., Seaton M. 11 Rev. Mod. Phys. — 1958. — V. 30. — P. 992.

27-	Amusia M. Ya. // Comments At. Mol. Phys. — 1981. — V. 10 (4). — P. 155.

28.	Дмитриев Ю. Ю., Лабзовский Л. H. // Вестник ЛГУ. Сер. физ., хим. —
1971. — № 22. — С. 5.

29	Варнавских С. М., Лабзовский Л. Н. // Опт. и спектр. — 1979 — Т. 47. — С.
45.

30.	Carter S. L., Kelly Н. Р. // Phys. Rev. — 1981. — V. А24. — Р. 170.
31.	Holland D. M. P., Codling K., West J. B. et al. // J. Phys. — 1979. — V.
В12. — P 1319.

32.	Carter S. L„ Kelly H. P // J. Phys. — 1976. — V B9. — P. L565.

33.	Carlson T. A. 11 Phys. Rev. — 1967. — V. 156. — P. 142.

34.	Samson J. A. R., Haddad G. N. 11 Phys. Rev. Lett. — 1974. — V. 33. — P. 875.

35.	Fano U. 11 Phys. Rev. — 1961. — V. 124. — P. 1866

36.	Бэрк П., Ситон M. 11 Вычислительные методы в физике атомных и молеку-
лярных столкновений / Ред. Б. Олдер и др.; Пер. с англ. — М.: Мир, 1974. — С. 9.

37.	Гайлитис М. Л. // УФН. — 1975. — Т. 116. — С. 665.

38.	Fano V., Cooper J. W. И Phys. Rev. — 1965. — V. 137А. — Р. 1364.

39.	Смрнов Б. М. // УФН. — 1980. — Т. 131 — С. 577

40.	Seaton М. J. // Rep. Progr. Phys. — 1983. — V. 46. — Р. 167.

41.	Wing W. H., Lea К. R., Lamb W. E. 11 Atomic Physics / Ed. S.J.Sraith, G. K.
Walters. — N. Y.: Plenum Press, 1973. — V. 3- — P. 119.

42.	Fano U. // Rep. Progr. Phys. — 1983. — V. 46. — P. 97.

43.	Никитин С. И., Островский В. H. 11 Физика молекул. — Киев: Наукова
думка, 1980. — Вып. 8. — С. 3.

44.	Буреева Л. А. II Астроном, журн. — 1968. — Т. 45. — С. 1215.

45.	Naccache Р. F. // J. Phys. — 1972. — V. В5. — Р. 1308.

46.	Percival I. С., Richards D. И Adv. in Atomic and Molec. Phys. I Ed.
D.R.Bates, B.Bederson. — N. Y.: Acad. Press, 1975. — V. 11. — P. 1.

47.	Бейгман И. Л., Буреева Л. А. //Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1981. — Т.

45. — С..2277.

48.	Гореславский С. П., Делоне Н. Б., Крайнов В. П. II ЖЭТФ. — 1982. — Т.

82. — С. 1789.

49.	Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Гостехиздат, 1957.

50.	Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Наука. 1973.

51.	Справочник по специальным функциям / Ред. М. Абрамович, И. Стиган;
Пер. с англ. — М.: Наука, 1979.

52.	Regemorter Н., Hoang Binh Dy., Prud'homme V. II J. Phys. — 1979. — V.
B.12. — P. 1053.

53.	Давыдкин В. А., Зон Б. A. 11 Опт. и спектр. — 1981. — T. 51. — С. 25.

54.	Scofield J. Н. // Atomic Inner Shell Processes / Ed. B.Crasemann. — N. Y.:
Acad. Press, 1975. — V. 1. — P. 265.

55.	McGuire E. J. //Atomic Inner Shell Processes / Ed. B. Crasemann. — N. Y.:
Acad. Press, 1975. — V. 1. — P. 293.

56	Пресняков Л. П. 11 УФН. — 1976. — T. 119. — C. 49.

57.	Виноградов А. В., Скобелев И. Ю., Юков Е. А. // УФН. — 1979. — Т.
129. — С. 177-

58.	Житник И. А., Кононов Э. Я., Корнев В. В. и др. // УФН. — 1979. — Т.
129. — С. 722.

59.	Jordan С. II Progress in Atomic Spectroscopy. — N. Y., 1978. — P. 1453.

60.	Аглицкий E. В., Сафронова У. И. Спектроскопия автоионизационных состоя-
ний атомных систем. — М.: Эиергоатомиздат, 1985.

61.	Andra Н. J. И Progress in Atomic Spectroscopy. — N. Y., 1978. — P. 829.

62.	Munger С. T., Gould H. 11 Phys. Rev. Lett. — 1986. — V. 57. — P. 2927.

63.	Никишов А. И., Ритус В. И. 11 ЖЭТФ. — 1964. — T. 46. — C. 776.

64.	Зельдович. Я. Б. 11 УФН. — 1973. — T. 110. — С. 139.

65.	Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. // ЖЭТФ. — 1968. -- Т. 55. — С.
924.

66.	Грановский Я. И. II ЖЭТФ. — 1969. — Т. 56. — С. 605.

67.	Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Теория многофотонных процессов
в атомах. — М.: Атомиздат, 1978.

68.	Gontier L,	Trahin	М.	И Phys.	Rev.	— 1968. — V. 172. — Р. 83.

69.	Gontier I.,	Trahin	M.	11 Phys.	Rev.	— 1971. — V. A4. — P. 1907.

70.	Gontier I.,	Trahin	M.	11 Phys.	Rev.	Lett.1971- — V. A36. — P. 463.

71.	Делоне H. Б., Федоров	M. В. И	УФН. — 1981. — T. 158. — C. 215.
К главе 6

1.	Дмитриев Ю. Ю., Климчицкая Г. Л., Лабзовский Л. Н. Релятивистские эф-
фекты в спектрах атомных систем. — М.: Энергоатомиздат, 1984; Labzovsky L.,
Klimchitskaya G., Dmitriev Yu. Relativistic effects in the spectra of atomic systems. —
IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1993.

2.	Справочник по специальным функциям / Ред. M. Абрамович, И. Стиган; Пер.
£ англ. — М.: Наука, 1979.

3.	Weisskopf V. F., Wigner Е. Р. // Z. Phys. — 1930. — Bd. 63. — S. 54.

4.	Гайтлер В. Квантовая теория излучения. — М.: ИЛ, 1956.

5.	Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродина-
мика. — М.: Наука, 1980.

6.	Low F. Е. И Phys. Rev. — 1952. — V. 88. — Р. 53.

7.	ЛабзовскийЛ. Н. И ЖЭТФ. — 1983. — Т. 85. — С. 869.

8.	Браун М. А. // ЖЭТФ. — 1988. — Т. 94. — С. 145.

9.	ЛабзовскийЛ. Н., РощиненкоА В. // Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1986. — Т.
50. — С. 1395.

10.	Аглицкий Е. В., Сафронова У. И. Спектроскопия автоионизационных состоя-
ний атомных систем. — М.: Энергоатомиздат, 1985.