ISSN 0130-9358
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно-
Иоганн Кеплер — немецкий астроном, математик
и физик, один нз творцов математического
естествознания.
Родился в г. Вейль (ныне Вейль дер Шгадт, ФРГ).
Детство провел в нужде; помогал матери, работал с
9 лет, покинув школу на 2 года. Но мальчик был
малосилен, нездоров, с дефектами зрения. Это
мешало выбору ремесла. Ои хорошо учился, что
позволяло добиваться карьеры чиновника или
священника. Небольшая помошь из дому, а потом и
стипендия города Вейля позволили Иоганну Кеплеру
с 1589 г. заниматься в Тюбингенском университете,
где профессор М. Местлин частным образом
познакомил его с теорией Коперника.
В 1594 г. Кеплер стал учителем математики в
протестантской школе г. Граца (Австрия). Здесь он
написал так называемую «Тайну Вселенной» (1596),
в которой выступил в защиту идей Коперника. Автор
показал большое искусство в вычислениях, это
оцепил знаменитый астроном Тихо Браге. С 1600 г.
Браге и Кеплер стали сотрудничать в Праге, куда
Кеплер переехал с семьей из-за преследований
протестантов в Граце. После смерти Браге в 1601 г.
его должность императорского математика перешла к
Кеплеру.
Важнейшее сочинение Кеплера — «Новая
астрономия» (1609), в которой на основе данных,
собранных Браге, была разработана теория движения
Марса. Книга содержит первые два закона движения
планет («законы Кеплера»), Третий закон изложен
в «Гармонии мира» (1619). Эти законы положили
конец древнему представлению о равномерных
круговых движениях небесных тел и явились
важнейшим аргументом в пользу мнения о центральном
положении Солнца. Но ими не исчерпывается значение
Кеплера для науки. Тогда считалось, что природа
отражает волю бога и вопрос о причинах явления
казался неуместным и подозрительным. Кеплер первым,
нарушив традиции, поднял вопрос о причинах движения
планет. В то время языка физики не было, при
объяснении явлений природы прибегали к мистическим
символам. Пользовался ими и Кеплер. Так, он считал,
что души планет как-то действуют друг на друга и
поэтому происходит планетное движение, которое
замедляется из-за их лени. Законы движений он искал
в аналогии с правильными геометрическими телами, с
музыкальными созвучиями. Но под влиянием данных
наблюдений (он одним из первых придал им решающее
значение) Кеплер отверг свои умозрительные теории,
стоившие ему многих лет труда, и пришел к созданию
числовой модели планегпых систем. Вместе с тем у
него появляются термины «сила» и «инерция» вместо
слов душа и лень. Так впервые были математически
выражены законы движения планет и началась
разработка современной естественнонаучной
терминологии.
В 1611 г. в Праге произошла смена власти. Кеплеру
пришлось переехать в г. Линц (Австрия), где одной ил
его обязанностей было составление таблиц планетны*
движений. Работа требовала длительных вычислений
Около 1619 г. ученый узнал о таблицах Непера,
облегчающих труд вычислителей. Кеплер составил свои,,
более удобные таблицы логарифмов. Они издавались
вплоть до 1700 г. и способствовали внедрению
логарифмов в практику научных расчетов.
Кеплер, как обнаружено при изучении его рукописей
(они куплены русским правительством в 1774 г., ныне
хранятся в Пулковской обсерватории), имел прямо<
отношение к созданию первой в мире вычислительной
машины Шиккарда. Построенная к 162-1 г., опа был.
уничтожена пожаром.
В книге «Новая стереометрия винных бочек» (1615)
Кеплер развил оригинальные инфинитезимальные
методы, сыгравшие важную роль в процессе становления
идей интегрального исчисления. Например, вычисляя
площадь круга, он считал каждую точку окружности
основанием равнобедренного треугольника с вершиной
в центре круга и высотой, равной радиусу. Круг
тогда состоит нз бесконечного числа треугольников,
в совокупности равновеликих треугольнику с той же-
высотой, т. е. радиусом, и основанием, равным длине
окружности. Пользуясь такого рода рассуждениями,
Кеплер нашел объемы 92 тел вращения^ большинство
из них были вычислены впервые. Его приемы не были,
однако, строгими. Он сам видел это и потому
ссылался на работы Архимеда, которому удавалось
тщательно доказывать результаты, обнаруженные
сходным путем. Но для получения новых достижений
методы доказательств, разработанные в древности
и считавшиеся совершенными в течение столетий,
оказались неэффективными. Следовало применить
более легкое, хотя и менее отточенное, оружие. Этот
новаторский шаг и был сделан Кеплером. Его книга
дала математике такой импульс, после которого
вычисление площадей и объемов двинулось быстрыми
темпами вперед.
Крупнейшие достижения в математике, астрономии,-
оптике не облегчали положения ученого. Годами он
хлопотал о выплате своего жалованья. Религиозные
междоусобицы гнали его с места на место. Он постоянно
отбивался от нападок как католиков, так и
своих единоверцев-протестантов. В 1615 г. мать
Кеплера обвинили в колдовстве. Неуживчивый
характер Катерины Кеплер, ее занятия лечебными
травами, ее тетка (давно сожженная как
«колдунья»), — все компрометировало 70-летнюю
женщину. Дело длилось 6 лет. Более года Кеплер
жил вдали от семьи, защищая мать, просидевшую в
тюрьме в цепях 14 месяцев. Математик оказался
хорошим адвокатом: Катерина Кеплер была
опраздана.
Много сил ученого требовало издание книг —
существенного источника доходов. В 1627 г.,
не поладив с одним из издателей, Кеплер ушел
от него в другой город, решив печатать свой труд
в ином месте. Пройдя часть пути в непогоду и холод,
он понял, что в 56 лет уже не сможет начать все
сначала...
В одной из деловых поездок Кеплер простудился.
Он умер и похоронен в Регенсбурге. Тридцатилетия»
война быстро стерла следы его могилы.
«Ваш любимый герой?» — спросили однажды у Кзрла
Маркса. Он ответил: «Спартак, Кеплер».
Научно-методический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москза «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
МАТЕМАТИКА
@ В ШКОЛЕ
Ноябрь—декабрь
з
Нормализация учебной нагрузки школьников — важнейшее условие по-
вышения эффективности учебно-воспитательного процесса
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Преподавание геометрии
по учебному пособию
А. В. Погорепова
М. Р. Леонтьева,
Н. Н. Решетников,
Б. В. Сорокин
7
12
27
В. А. Гусев,	28
А. И Медяник
Г. И. Саранцев	29
Е. Б.	Арутюнян и др.	31
Об итогах преподавания геометрии в шестых классах в 1982/ВЗ учебном
году
К началу обучения геометрии в VII классе
Примерные планирование и контрольные работы по геометрии в
VII классе (II полугодие)
Самостоятельные работы по геометрии в VII классе
Об одном уроке геометрии
Система устных заданий для V класса (математические диктанты)
Методика решения задач
Г. В. Дорофеев
М. Е. Тимощук
34 О составлении циклов взаимосвязанных задач
39 О формировании навыков и умений учащихся при решении задач пер-
вых разделов стереометрии
Учебное оборудование
, В. С. Проценко, 42
А. В. Проценко;
Е. В. Сковин
Универсальная классная доска
Впекл тесная работа
Л. Д. Курляндчик
В. С. Коваленко
Занимательная страница
44	Восемнадцать школьных олиМпиал
47	Внеклассная работа в педагогическом училище
Н. К. Антона .им
49 Арифметические ребусы
Задачи
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ,
ЗАНИМАЮЩИМСЯ ПО
ПРОГРАММЕ
САМООБРАЗОВАНИЯ
49,
К. А. Рыбников
56 Геометрия наука и учебная дисциплина
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
Е. А. Щегольков
Н. М. Бескин
63	Николай Николаевич Лузин
64	Воспоминания о Н. Н. Лузине
© Издательства «Педагогика», «Математика в школе»,И&Зг,
Математический календарь на
1983/84 учебный год
А. И. Бородин 66 Январь, февраль
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
В. Н. Молодший
Б. В. Гнеденко
А. Я. Блох
Е. С. Петрова
Ф М. Шустеф
68	«Историко-математические иследования»
69	О книге А. Я. Халамайзера «Математика гарантирует выигрыш»
69	Полезное пособие для внеклассной работы
70	О книге Н. П. Ирошникова по'методике обучения математике в IV—
V классах сельской школы
6 Новые книги
ИЗ РЕДАКЦИОННОЙ
ПОЧТЫ
71
Почта журнала: январь — июнь 1983 г.
zХРОНИКА
Н. X. Розов	74
И. А. Лурье;	74
В. Н. Шапкина;
М. И. Немытова;
В. Ю. Гуревич
77
В секции средней школы Московского математического общества
Методические семинары в 1982/ВЗ учебном году
Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1983 г.
Редакционная коллегия]
Главный редактор Р. С. Черкасов
Зам. главного редакторе Л. И» Верченко
Члены редакционное коллегии:
Н. М. Бескин
В. Г. Болтянский
И. Ф. Власик
Г. Д. Глейзер
Б. В. Гнеденко
Г. В. Дорофеев
Н. А. Ермолаева
А. Н. Колмогоров
Ю. М. Калягин
М. Р. Леонтьева
Г. Г. Маслова
К. И. Пешков
Л. М. Пашкова
И. С. Петраков
Н, К. Розов
К. П. Сикорский
В. А. Скворцов
3. А. Скопец
П. В. Стратилатов
3. С. Сухотина
К. И- Шалимова
С. И. Шварцбурд
А» Ястребинецкий
Редакционные совет
(представители союзных республик):
А.	М. Алиев (АзССР)
X А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б Бердыев (ТССР)
В.	А. Гусев (РСФСР)
А.	С. Зибертас (ЛитССР)
Д. И. Икрамов (УзССР)
К. К. Кожаспаев (КазССР)
LU. М. Майлиев (КиргССР)
В.	Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф. Рубанов (БССР)
//. Н. Садовникова (РСФСР)
F. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепкань (УССР)
А. 3. Тельгмаа (ЭССР)
И. Ф. Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
А. М. Хоштария (ГССР)
Зав. редакцией
3. В Шепелева
Художественный редактор	„
Б. Ф. Рябов |
Технический редактор
Л. В. Розанова
Корректор
М. А. Суворова
Сдано в набор 21.J0.83. Подписано в
печать 05.12.83	Формат 84X108%.
Печать высокая Усл. печ. л. 8,40
Уч.-изд. л. 11.56- Усл кр.-отт. 9.03.
Тираж 383 460 экэ. Пена 45 коп. Зак. 347.
Издательство «Педагогика» Академии пе-
дагогических наук СССР и Государствен-
ного комитета СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства: [07847. Москва. ГСП.
Б-05, Лефортовский пер., д. 8
Адрес редакции: 129278, Москва,
ул. П. Корчагина, д 7; телефон 283-85-83
Московская типография № 13
ПО «Периодикз» ВО «Союзполиграфпром»
Государственного комитета СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной тор-
говли.
107005, Москва, Б-Б. Денисовский пер.,
д- 30.
Нормализация учебной нагругки школьников —
важнейшее условие повышения эффективности
учебно йоспитательного процесса
Июньский (1983 г.) Пленум ЦК КПСС при-
нял долговременную программу дальнейшего
подъема идеологической, воспитательной, про-
пагандистской работы на уровень больших
проблем, решаемых партией и народом в хо
де совершенствования развитого социализма.
С особой силой Пленум вновь подтвердил,
что незыблемой основой коммунистического
воспитания молодежи является формирование
у нее марксистско-ленинского мировоззрения.
В решении Пленума сказано: «Поднять
уровень воспитательной работы в школах.
Последовательно проводить ленинские прин
ципы единой, трудовой, политехнической шко-
лы, воспитывать у школьников привычку и
любовь к общественно полезному труду, рас-
ширять их идейный кругозор, формируй преж-
де всего у каждого из них высокие качества
гражданина социалистического общества, ак-
тивного строителя коммунизма».
Для выполнения этих задач необходимо
дальнейшее совершенствование всей системы
просвещения — структуры школы и управле-
ния ею, содержания и методики учебно-вос-
питательного процесса, учебно-материальной
базы и подготовки учителя.
Важнейшим условием повышения эффек-
тивности учебно воспитательного процесса
является нормализация учебной нагрузки
школьников, на необходимость которой указы-
валось в материалах XXVI съезда партии,
в постановлении ЦК КПСС и Совета Мини-
стров СССР «О дальнейшем совершенствова-
нии обучения, воспитания учащихся общеоб-
разовательных школ и подготовки их к
труду».
Учебная работа является одним из основ-
ных видов деятельности школьников и в то
же время частью их общей нагрузки В учеб-
ной работе происходит развитие умственных
и физических сил подростке,в, осуществляет-
ся их идейно-полиТическое, нравственное и
трудовое воспитание. От того, как школа ор-
ганизует учебный труд своих питомцев, как
овладевают они. навыками этого труда, учат-
ся распределять свои силы и учебное время,
1'	3
в немалой степени зависит достижение вы-
соких результатов в учении, сохранение и ук-
репление здоровья, готовность школьников
включиться в трудовую жизнь страны. Без
этого не может быть сформировано мировоз-
зрение школьников, осознание ими высокой
общественной значимости своего учения.
Задача нормализации учебной нагрузки
особо остро стоит в связи с осушествпением
всеобщего среднего образования, усилением
внимания к трудовой подготовке школьников,
их всестороннему развитию. Значительное
обновление содержания образования, прове-
денное в последние 10—15 лет, повысило
теоретический уровень курсов. Включение в
учебные программы нового материала, отра-
жающего достижения современной науки,
в ряде случаев -привело к перегрузке про-
грамм и учебников, а следовательно, и учеб-
ной деятельности учащихся.
Необходимо учитывать, что в условиях по-
стоянного роста объема информации и расши-
рения средств ее массового распространения,
характерного для современного этапа разви-
тия НТР, участия школьников в общественно
полезном труде, внешкольных занятиях их
общая нагрузка значительно увеличивается.
Поэтому регулирование нагрузки становится
серьезной социальной проблемой, обшей за-
ботой школы, семьи, педагогической общест-
венности при ведущей роли педагогических
коллективов школ. Большая занятость школь-
ников учебной и внешкольной работой, не-
правильно организованный отдых, низкая дви-
гательная активность в течение дня нередко
приводят к переутомлению детей, к серьез-
ным нарушениям состояния их здоровья. На
общую и учебную нагрузку школьников влия-
ют как организационно-управленческие фак-
торы, так и учебно-методические. Расписание
уроков, длительность перемен, органи-
зация дополнительных занятий, круж-
ков и факультативов, согласованность сроков
проведения контрольных, лабораторных и
практических работ, четкость в планировании
внеклассной работы — все это сказывается
на общей нагрузке школьников, а следова-
тельно, на успешности учебно-воспитательно-
го процесса в целом. Опыт лучших школ по-
казывает, что высокий уровень обучения и
воспитания достигается продуманной органи-
зацией всей школьной жизни. В них создан
доброжелательный психологический климат
взаимоотношений коллектива, учителей и уча-
щихся, большое внимание уделяется поста-
новке методической работы, творческому ов-
ладению передовым педагогическим опытом.
В таких школах и учителя-предметники, и ад-
министрация знают особенности каждого эта-
па обучения, учитывают, например, что в
IV классе школьники переходят от привычной
системы обучения в начальной школе к изу-
чению отдельных предметов у разных учите-
лей, в V1 классе начинается изучение не-
скольких новых учебных курсой, и в этот же
период происходят изменения в физиологиче-
ском развитии и психологии подростков. Сло-
жен и напряжен по трудности учебный ма-
териал по ряду предметов в IX классе, резко
возрастает учебная нагрузка в VIII и X клас-
сах со второй половины учебного года из-за
подготовки учащихся к выпускным экзаме-
нам. Знание всех этих особенностей школь-
ной жизни позволяет учитывать их гри орга-
низации учебно-воспитательного процесса,
концентрировать на них усилия педагогиче-
ского коллектива, ученических организаций
и родительской оошественности.
£ последние годы многое сделано для нор-
мализации учебной нагрузки школьников. Над
этой проблемой в течение ряда лет работали
научно-исследовательские институты Акаде-
мии педагогических наук СССР, ведущие ме-
тодисты, лучшие учителя, работники органов
народного образования. Главным результатрм
этой -деятельности явилась разработка по
всем учебным дисциплинам усовершенство-
ванных программ, внедрение которых начато
с 1981/82 учебного года.
Эти программы позволяют в большей мере,
чем ранее действовавшие, управлять учебной
деятельностью школьников. Они имеют чет-
кий ориентир, в них выделен обязательный
для изучения всеми учащимися материал,
обеспечивающий теоретическую и практиче-
скую подготовку школьников к продолжению
образования, к жизни, для воспитания у них
диалектико-материалистического мировоззре-
ния. Программы по математике освобождены
от чрезмерно усложненного и второстепенно-
го материала, в них устранено дублирование
вопросов для изучения, усилены внутрипред-
метные и межпредметные связи. В разделе
«Требования к математической подготовке
учащихся» раскрываются знания, умения и
навыки, которыми должен овладеть каждый
школьник к концу обучения в том или ином
классе. На достижение указанного в этом
разделе уровня' математической подготовки
учащихся должен быть ориентирован весь
учебный процесс.
Безусловно, большая роль в нормализации
учебной нагрузки школьников принадлежит
учителю. Изучение опыта преподавания по-
казывает, что учителя не всегда правильно
ориентируются на содержание учебных про-
грамм, завышая требования к результатам
обучения школьников, не расчленяют в тре-
бованиях к учащимся главного и второсте-
пенного, обязывая учащихся знать весь учеб-
ный материал на одинаковом уровне. С дру-
гой стороны, многие учителя не выполняют
всех требований программы — опускают от-
дельные вопросы теории, не проводят вклю-
ченные в программу практические работы, по-
рой придают неоправданно большое значение
отдельным элементам урока и видам деятель-
ности учащихся в ущерб другим. Так, затя-
гивается опрос, многократно без необходимо-
сти повторяются на уроке однотипные упраж-
нения, сокращается время на объяснение и
закрепление нового материала, подготовку к
выполнению домашних заданий. -Все эти на-
рушения общедидактических принципов обу-
чения свидетельствуют о недостаточной мето-
дической культуре некоторых учителей
Одной из действенных мер по нормализа-
ции нагрузки учащихся является тщательно
продуманное тематическое и поурочное пла-
нирование. Тематическое планирование дает
учителю перспективу, четкое представление о
материале всего годового курса, о правиль-
ной расстановке смысловых акцентов и пра-
вильном распределении материала по урокам,
обеспечивает ритмичность учебного процесса,
предупреждает неоправданную затрату, вре-
мени на изучение одних вопросов или даже
тем в ущерб другим. Органической частью
тематического планирования является выде-
ление времени на систематизацию и закреп-
ление знаний по всему курсу. Нельзя допу-
скать, чтобы повторение учебного материала
большого объема сосредоточилось в конце
учебного года и проводилось в ущерб изуче-
нию нового. Значительная часть материала
должна быть повторена в течение учебного
года в связи с рассмотрением нового, при
обобщении изученного по завершении опре-
деленного раздела курса. Важным является
и форма повторения. Недопустимо, напри-
мер, чтобы в порядке подготовки к экзаменам
учащиеся записывали под диктовку учителя
ответы на экзаменационные вопросы. Это не
только отвлекает учащихся от изучения ма-
териала, значительно уменьшает фактическое
учебное время, но и оказывает отрицательное
воспитательное воздействие, противоречит
4
принципам сознательности обучения, вредит
развитию самостоятельности мышления.
На основе тематического плана проводится
планирование урока, определяются его обра-
зевательные и воспитательные цели, содержа-
ние теоретического материала и упражнений,
домашнего задания, используемые наглядные
пособия, технические средства обучения.
Выбор методов и форм работы, темп уро-
ка должны соответствовать не только цели
урока, его содержанию, но и индивидуальным
особенностям учащихся. Излишне высокий
темп, быстрая смена форм и характера вы-
полняемой учащимися работы создают лишь
«внешнюю» активность школьников. Многие
из них не успевают в силу их психологиче-
ских особенностей быстро переключаться с
одного вида деятельности на другой, поду-
мать над вопросом учителя, разобраться в
материале. В результате одна группа учащих-
ся работает действительно эффективно, дру-
гая же отключается от учебной деятельности.
И для этой группы основная нагрузка по ус-
воению учебного материала переносится на
домашнюю работу, к которой к тому же они
оказываются недостаточно подготовлен-
ными.
Анализ времени выполнения домашних за-
даний, проведенный по материалам обследо-
вания больших контингентов учащихся IV—
X классов, дает основание утверждать, что
часто оценка учителем времени, необходимо-
го для выполнения предложенного домашне-
го задания, значительно отличается от факти-
чески затрачиваемого. Это может быть след-
ствием неподготовленности школьников к вы-
полнению домашнего задания, неверной оцен-
ки учителем их реальных возможностей, за-
вышения объема и трудности задания. Прак-
тически везде отмечается большой разброс
времени на выполнение одного и того же за-
дания учениками даже одного класса, обучаю-
щихся у одних и тех же учителей в течение
нескольких лет. Почти в каждом классе име-
ется довольно стабильная группа детей с раз-
ной успеваемостью, затрачивающих на подго-
товку домашних заданий по всем предметам,
не только по математике, время, значительно
превышающее нормы, определенные Уставом
общеобразовательной школы. Эти учащиеся
Систематически работают с перегрузкой.
Причины этого различны. Одна из них —
слабая сформированмость общеучебных уме-
ний и навыков, и прежде всего умения спла-
нировать свою работу, организовать рабочее
место, сконцентрировать внимание на выпол-
няемой работе.
Существенно замедляет темп работы уча-
щихся и снижает эффективность обучения
неумение работать с учебником, пользоваться
оглавлением, индексом, справочниками и т. д.
Нередко учащиеся средних, а иногда и стар-
ших классов не могут после прочтения текста
выделить в нем главную мысль, разбить текст
на смысловые части. Большие трудности у них
вызывают вопросы, требующие для ответа
определенного обобщения имеющихся зна-
ний, затрудняет и составление плана ответа
по текущему материалу.
В ряде случаев недостаточность речевого
развития учащиеся стремятся компенсировать
дословным запоминанием текста. Это особен-
но проявляется в младших и средних классах,
ио наблюдается и в старших.
В связи со сказанным при планировании
урока необходимо предусмотреть и работу по
развитию общеучебных умений на материале
изучения математики.
Необходимо усилить работу по развитию
памяти. Освоение школьного курса математи-
ки предполагает и запоминание определенно-
го материала: формулировок правил, теорем,
таблицы умножения, формул сокращенного
умножения и деЛения и т. п. Каждый ученик
должен четко знать, какие сведения он обя-
зан запомнить, выучить наизусть.
При планировании уроков необходимо
с большей тщательностью подходить к отбо-
ру наглядных пособий и технических средств
обучения. Переоценка, равно как и недооцен-
ка их роли в учебном процессе, как извест-
но, снижает эффективность урока, способст-
вуя тем самым увеличению учебной нагрузки
школьников. Излишняя опора на наглядность
может даже тормозить развитие воображе-
ния, пространственных представлений, неко-
торых важных для курса математики умений
и навыков. Так, например, решение геомет-
рических задач на готовых чертежах позво-
ляет эффективно обучать учащихся чтению
чертежей, «видеть» заданные и искомые эле-
менты, устанавливать зависимость между эле-
ментами геометрических фигур. В то же вре-
мя чрезмерное увлечение задачами на гото-
вых чертежах препятствует формированию у
учащихся навыков элементарных построений,
работы с чертежными инструментами, т. е.
весьма важных навыков практического харак-
тера.
Необходимо обеспечить правильное отно-
шение к ошибкам учащихся. Ошибки в ходе
нормальной познавательной деятельности
школьников в какой-то мере неизбежны. Они
могут быть следствием неправильного вос-
приятия учеником объяснения учителя (а
иногда и неудачного с методической точки
зрения объяснения) или текста учебника, не-
верных ассоциаций, возникающих у школь-
ника (например, при изучении действий над
степенями с одинаковыми основаниями, ло-
5
гарифмов, тригонометрических формул сло-
жения). Именно поэтому важно своезремеп-
,ное и тщательное выяснение причин ошибок,
их осознание школьниками. Этого можно до-
стичь, если в классе будет создана благоже-
лательная обстановка, при которой ученики
не боятся высказать свои, может быть, даже
неправильные соображения, задать вопрос по
изучаемому материалу. Каждая ошибка уче-
ника, допущенная им в классе, по возмож-
ности должна быть разъяснена здесь же, на
уроке.
О
Многоплановость конкретных методических
задач, которые необходимо решать для обес-
печения нормальной учебной нагрузки школь-
ников, вариативность их решения делает не-
обходимым координацию всех мер, проводи-
мых в школе, тесный контакт между учите-
лями, работающими в одном классе, система-
тическое обсуждение вопросов повышения
эффективности процесса обучения на методи-
ческих объединениях по каждому предмету.
Проблема нормализации общей и учебной
нагрузки может быть решена усилиями всего
педагогического коллектива школы, в первую
очередь правильным руководством учебной
деятельностью школьников со стороны учи-
теля. От его методической дисциплины, твор-
ческого отношения к работе зависит решение
и вопросов нормализации нагрузки, и задачи
повышения качества обучения и воспитания
школьников.
Новые книги
Ф М. Шустеф
(Минск)
/
История математики	I
Сираждинов С. X., Матвиевская Г. П. Ал-Хорезми - •
выдающийся математик и астроном средневековья,- По-
собие для учащихся.— (Люди науки). — М.. Просве-
щение, 1983. — 79 с.— 15 к. 18 000 экз.
F
Монографии.
У'-ебники и учебные пособия для вузов
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и други) матема-
тические формулы: Пер. с англ. —6-е нзд.— М.: Нау-
ка, 1983,— 172 с. —75 к. 100 000 экз.
Захаров В. К., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П.
Теория вероятностей: Учебник для вузов. — М.: Наука,
1983.— 159 с. —23 к. 84 000 экз.
Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топо-
логии: Пер. с англ. / Под ред. Е. Г. Скляренко. — М.:
Мир, 1983. —302 с.—1 р. 10 000 экз.
Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент:
Учебное пособие для вузов. — М.г Наука, 1983.—
175 с. — 30 к. 11 500 экз
Радыгин В. М., Голубева О. В. Применение функций
комплексного переменного в задачах физики и техники:
Учебное пособие для в> зов. — М.: Высшая школа,
1983.—160 с. —25 к. 14 000 экз.
Скорняков Л. А. Элементы общей ачгебры. — М.; На-
ука, 1983. — 272 с.— 1 р. 20 к. 11500 экз.
Шмелев П. А. Теория рядов в задачах и упражне-
ниях: Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая шко-
ла, 1983.— 176 с.—35 к. 25 000 экз
Научно-популярные книги *
Гнеденко Б. В. Математика и научное познание —
М,: Знание, 1983. — 64 с.— И к. 29 980 экз.
Любарский Г. Я. Математика в эксперименте. — М.:
Знание, 1983. — 62 с.— 11 к. 33 130 экз.
Коровкин П. П. Неравенства. — 5-- изд., стереотип.-—
М.: Наука, 1983. — 71 с.— 10 к. 100 000 экз.
Садовничий В. А., Любишкии В. А. Геометрия гиль-
бертова пространства н три принципа функционального
анализа. — М.: Знание, 1983. — 64 с. — 11 к. 30 050 дкз.
Учебники и учебные пособия
для средних учебных заведений
Алгебра. Геометрия: Пробные учебники для 7 класса
средней школы / Ш. А. Алимов, Л. С. Атанасян, В. Б.
Бутузов и др. — 3-е нзд., нспр. и доп. — М.: Просвеще-
ние, 1983. — 415 с. — 35 к. 850 000 экз. -
Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9—
11 классов i черней (сменной) шкочы/Под ред. Г. Д.
Глейзера. — М.: Просвещение, 1983. — 415 с. — 60 к.
636 000 экз.
Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика: Проб-
ный учебник для 4 класса средней школы. — 2-е изд.,
пдрераб. — М.: Просвещение. 1983. — 258 с. — 20 к.
45 000 экз.
Богомолов Н. В. Практические занятия по матема-
тике: Учебное пособие для техникумов. — 2-е изд., пе-
рераб.—М.: Высшая школа, 19J3. — 399 с. — 95 к.
125 000 экз.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд
С. И. Алгебра и математический анализ для 9 класса:
Учебное пособие для учащихся школ с углубленным
изучением курса математики. — М Просвещение,
1983. —319 с, — 15 к. 70 000 экз.
Лютикас В. С. Школьнику о теории вероятностей:
Учебное пособие для учащихся 8—10 классов. — 2-е
изд., доп. — М.: Просвещение, 1983.— 128 с. — 20 к.
78 500 экз.
Нестеренко 10. В., Олехиик С. Н., Потапов М. К. За-
дачи вступительных экзаменов по математике: Учебное
пособие для подготовительных отделений вузов. — 2-е
изд., доп. — М.: Наука. 1983. — 448 с.— 1 р. 20 к.
500 000 экз.
Методика преподавания математики
Алешина Т. Н., Денищева Л. О. Методика примене-
ния дидактических материалов по алгебре и началам
анализа в средних профтехучилищах: Методическое по-
собие.— М.: Высшая школа, 1983.— 112 с. — 20 к.
чОООО экз.
.Дидактические материалы для 11 класса ьечерией
(сменной) оощеобразовательной школы: Пособие д ,я
учителя/А. С. Алексеев, Л. Н. Беленовская, И. Г.
Вяльцева и др. — М.: Просвещение', 1983. — 112 с. —
15 к. 118 000 экз.
Слепкань 3. И. Психолого-педагогические о/новы об-
учения математике: Методическое пособие. — Киев Ра-
дянська школа, .1983.— 192 с.. — 45 к. 25 000 экз.
6
Щ МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
ПО УЧЕБНОМУ ПОСОБИЮ А. В. ПОГОРЕЛОВА
Об итогах преподавания геометрии
в шестых классах
в 1982/83 учебном году
М. Р. Леонтьева, Н. Н. Решетников,
Б. В. Сорокин (Москва)
В данной статье приводятся результаты
изучения хода преподавания геометрии в
1982/83 учебном году по учебному пособию
А. В. Погорелова «Геометрия 6—10». Эти ре-
зультаты послужили основой -для разработки
методического письма «О преподавании ма-
тематики в общеобразовательных школах в
1983/84 учебном году», опубликованного в № 4
журчала «Математика в школе» за 1983 г.
К учебному пособию разработано и издано
методическое пособие «Геометрия в VI клас-
се» (авторы.Н. Б. Мельникова и др.), а так-
же книга «Изучение геометрии в VI классе»
под род. И. Ф. Тесленко, (из опыта работы).
Одновременно материал первых параграфов
методического пособия публиковался в жур-
нале «Математика в школе».
На Всесоюзном совещании методистов и ин-
спекторов министерств просвещения союзных
республик, проходившем в марте 1982 г.
в Москве, рассмотрено содержание нового
курса геометрии, а также методика препода-
вания по этому учебному пособию.
Во всех союзных республиках были орга-
низованы курсы переподготовки для учителей,
работающих в 1982/83 учебном году по но-
вому учебному пособию.
Главное управление школ Министерства
просвещения СССР. НИИ содержания и ме-
тодов обучения АПН СС(2Р, комиссия по
школьному математическому образованию
Отделения математики АН СССР ведут си-
стематическое наблюдение за состоянием пре-
подавания по новому учёбному пособию
и качеством знаний учащихся. Состояние
преподавания и качество знаний учащихся
изучались: по материалу § 1 «Основные свой-
ства простейших геометрических фигур» в
Воронежской области, § 2 «Углы» в Ленин-
граде и Казахской ССР, § 3 «Признаки ра-
венства треугольников» в Томской области,
§ 4 «Сумма углов треугольника» в Донецкой
области УССР, § 5 «Геометрические построе-
ния». а также kvdcp VI класса в целом в Ви-
тебской области БССР.
В подавляющем большинстве информаций,
поступивших из союзных республик, положи-
тельно оценивается переход на новое учебное
пособие «Геометрия 6—10» автора А. В. По-
горелова. К достоинствам учебного пособия
большинство учителей относит строгость,
краткость, компактность, конкретность изло-
жения геометрического материала, традицион-
ность аппарата решения задач и доказатель-
ства теорем, наличие в учебном пособии во-
просов для повторения. Основные трудности
в работе по учебному пособию связываются
со сложностью доказательства ряда теорем
курса, неоднородностью по уровню сложно-
сти заданного материала, неразработанностью
требований к знаниям и умениям учащихся.
Во время выездов в территории посещались
уроки геометрии в шестых классах, изуча-
лось мнение учителей о работе по новому
учебному пособию, проводились контрольные
работы и устный опрос учащихся.
В октябре 1982 г. в школах Воронежской
области проводилась контрольная работа,
проверявшая усвоение учащимися основного
материала § 1 «Основные свойства простей-
ших геометрических фигур» Работу писали
2820 учащихся, справились с ней 88.8% пи-
савших, на «4» и «5» работу выполнили 49,6%
школьников.
Приводим два варианта этой работы.
1 вариант
1.	Проведите прямую а, отметьте на ней
точки А и В. Отметьте точку С так, чтобы
она лежала между точками А и В. Назовите
луч, дополнительный к лучу СА.
2.	Даны прямая а и три точки М, К, Е, не
лежащие на ней. Отрезки МК и ME пересе-
кают прямую а. Пересекает ли эту прямую
отрезок КЕ? Объясните ответ.
3.	Точка С лежит на прямой АВ между
точками А и В. Найдите длины отрезков АС
и ВС, если АВ=16 см, а отрезок АС в 3 раза
'больше отрезка ВС.
II вариант
I.	(7роведите две пересекающиеся прямые
а и Ь. Обозначьте точку их пересечения бук-
вой А. Отметьте точку Е на прямой а и точку
С на прямой Ь, а также точку К, не принад-
лежащую ни одной из прямых а и Ь.
2.	Даны прямая а и три точки Р, С, К, не
лежащие на этой прямой. Отрезок PC пере-
секает прямую а. отрезок РК не пересекает
ее. Пересекает ли прямую отрезок СК? Объ-
ясните ответ
3.	Луч с проходит между сторонами угла
(ab), равного 80°. Чему равны углы (ас) и
(Ьс), если /-(ас) на 20° больше Z-(bc)?
7
Анализ результатов выполнения контроль-
ной работы показывает, что от 92,2 до 97%
учащихся (в зависимости от варианта) пока-
зали умение изобразить на рисунке ситуацию,
связанную с взаимным расположением точек
и прямых (задание )). Около 86% шести-
классников верно определили, пересекает ли
прямую отрезок (задание 2), причем около
40% учащихся правильно и полностью обос-
новали ответ, т. е. продемонстрировали уме-
ние применять аксиому разбиения плоскости
при решении задачи.
С вычислительной задачей на применение
аксиомы измерения отрезков (углов) успеш-
но справились в I варианте 78,1%, во II —
67% учащихся, причем около 40% школьни-
ков в явном виде ссылались на соответствую-
щую аксиому, что позволяет судить о нали-
чии у этой части учащихся потребности в
обосновании решений уже после двух меся-
цев изучения курса геометрии.
Контрольная работа, основное содержание
которой составлял материал § 2 «Углы», про-
водилась в декабре 1982 г. в школах Ленин-
града и ряде районов Кокчетавской и Алма-
Атинской областей Казахской ССР. Работу
выполняли 4209 учащихся Ленинграда и
2769—Казахстана; справились с ней 88,2
и 92,9% соответственно. На «4» и «5» выпол-
нили работу 49,2% школьников Ленинграда
и 53,8% учащихся Казахской ССР.
Приводим по одному варианту этих работ.
I вариант (Казахская ССР)
1.	Постройте угол, ранный 130°. Постройте
угол, смежный с данным, найдите его градус-
ную меру. '
2.	Найдите четыре угла, которые получают-
ся при пересечении двух прямых, если сумма
двух из них равна 100°.
3.	Известно, что ЛВПЕ—ЛКМР, Z_K=
=30°, КМ—2 см. Укажите, какой угол и ка-
кую сторону треугольника BDE можно найти.
Найдите их. Объясните ответ. i
II в а"р и а н т (Ленинград)
1. Постройте угол АВС, равный 60°. По-
стройте угол, вертикальный с углом АВС,
найдите его градусную меру.
2.. Найдите четыре угла, которые получа-
ются при пересечении двух прямых, если один
из них в 5 раз больше другого.
3. Известно, что £\ВКС=ДМРА, МА =
—4 см, Z_B=100°. Найдите соответствую-
щие элементы равных треугольников.
Выполненные (работы свидетельствуют
о том, что верно построили смежные углы,
т. е. показали владение этим понятием на
конструктивном уровне, 91—92% учащихся,
с заданием на построение вертикальных уг-
лов справились 86—88% шестиклассников.
Вторую часть первого задания, где требова-
лось найти градусные меры построенных уг-
лов, верно выполнили 80—94% учащихся.
Основные трудности возникли во II вариан-
те, так как в результате построения верти
кальных углов на рисунке получились четы-
ре угла и часть школьников вычисляли вели-
чину не того угла.
Со ьторым заданием, которое было наибо-
лее сложным в работе, так как рациональный
способ его решения содержит 4 шага, успеш-
но справились 68—76% учащихся, полное
обоснование при решении этой задачи дали
около 40% школьников.
Третье задание проверяло усвоение учащи-
мися определения равенства треугольников,
относящегося к § 1, но важного для изучения
следующего параграфа —.«Признаки равен-
ства треугольников». С этим заданием спра-
вились в школах Ленинграда 78% учащихся
в I варианте и 69% — во II, в школах Ка-
захской ССР с аналогичным заданием спра-
вились 70,4% учащихся.
В феврале 1983 г. в школах Томской обла-
сти проводилась контрольная работа, прове-
рявшая усвоение материала одного из самых
важных параграфов курса геометрии — «При-
знаки равенства треугольников». Работу вы-
полняли 862 ученика. С работой справились
46,7% учащихся, на «4» и «5» работу выпол-
нили 19,8% писавших.
1.	вариант1
1 В треугольниках ABD
и CDB /LABD = Z-CDB, й_—--------------
Z_ADB = /LCBD, АВ = 5 см,	\
AD = 7 см. BD — 10 см. Най- \
л* 	 ТУ
дите стороны треугольника
СНВ.
2.	Периметр равнобедренного треугольника
равен 21 см, боковая сторона в 3 раза даль-
ше основания. Найдите основание треуголь-
ника.
3.	В''равнобедренном треугольнике АВС на
основании АС взрты точки D и Е так, что
AD=CE. Докажите, что треугольник DBE
равнобедренный.
С первым заданием работы, где требова-
лось доказать равенство треугольников и сде-
лать правильный вывод о равенстве соответ-
ствующих элемен гов, справились 40% уча-
щихся. Треть учащихся показала .непонимание
способа решения подобных задач.
1 Здесь и в дальнейшем, где приводится один ва-
риант контрольной работы, задания другого вариаша
а аалогичиы.
8
Вычислительную задачу, опиравшуюся на
определение равнобедренного треугольника и
понятие периметра треугольника, решили
65% шестиклассников.
Третье задание выполнили 187о учащихся.
Из всех контрольных работ, которые про-
водились в прошедшем учебном году, по этой
работе получены наиболее низкие результа-
ты., Причин этому несколько.
Во-пгрвых, контрольная работа оказалась
перегруженной по объему. Для многих шести-
классников было непосильным выполнение за
45 минут работы, содержащей три задачи,
две из которых — задачи на доказательство.
В этих условиях даже с наиболее простой
вычислительной задачей справились только
65% учащихся.
Во-вторых, признаки равенства ^pf уголь-
ников являются в курсе важнейшим аппара-
том решения задач и доказательства теорем.
Формирование умения применять признаки
равенства треугольников, как и вообще уме-
ния решать задачи на доказательство, не за-
канчивается после изучения параграфа «При-
знаки равенства треугольников», а продол-
жается в курсе геометрии и дальше; третье
же задание контрольной работы предполага-
ло довольно высокий уровень владения уме-
нием решать задачи па доказательство с при-
менением признаков равенства треугольни-
ков.
В-третьих, на результатах выполнения ра-
боты сказались определенные просчеты в ме-
тодике преподавания курса геометрии, о ко-
торых будет сказано дальше.
В школах Донецкой области в апреле
!983 г. проводилась контрольная работа, про-
верявшая усвоение основных вопросов § 4
«Сумма углов треугольника». Работу выпол-
няли 1580 учащихся, справились с работой
93,9% писавших.
II вариант
1. Угол при основании равнобедренного тре-
угольника равен 30°. Найдите угол между бо-
ковыми сторонами.
2. Медиана А-D треугольника АВС продол-
жена за точку D на отрезок DK, равный AD.
Докажите, что прямые ВК и АС параллельны^
С первой задачей, проверявшей усвоение
учащимися свойства равнобедренного тре-
угольника и теоремы о сумме углов тре-
угольника, справились 94.6% учеников.
Вторая задача была более сложной. Слож-
ность ее обусловлена как необходимостью
использовать при решении кроме признака
параллельности прямых признаки равенства
треугольников, так и большим числом 15) ло
гических шагов доказательства. Безошибочно
эту задачу выполнили 51,1% шестиклассни-
ков
В Оршанском районе" Витебской области
в мае 1983 г. проводились две контрольные
работы по всему курсу геометрии VI класса
Работы выполняли 1228 учащихся (754 — пер-
вую и 474 — вторую). С первой и второй ра-
ботой справились соответственно 89,6 и 90,3%
писавших.
Контрольная работа № 1
I вариант
1. В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием АС внешний угол при вершине А
равен 110°. Найдите угол АС В.
2. На сторонах угла А отложены равные
отрезки АВ и АС. Луч AM — биссектриса уг-
ла А. Докажите, что £.ВМА — /_СМА.
Контрольная работа № 2
I вариант
1. Один из острых углов прямоугольного
треугольника равен 47е. Найдите другой ост-
рый угол.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием АС от вершины В на боковых
сторонах отложены равные ортезки ВК и ВМ.
BD — медиана треугольника. Докажите ра- v
венство треугольников KBD и MBD.
II вариант
1. В окружности с центром О проведена
хорда АВ, угол АО В ровен 70°. Найдите углы
ОАВ и ОВА.
2. Отрезки МК и CD параллельны, отрезок
MD пересекает отрезок КС в точке О так, что
M0 = 0D. Докажите равенство треугольников
МОК и DOC.
С задачами вычислительного характера,
требующими умения применять свойства рав-
нобедренного треугольника, теорему о сумме
углов треугольника, а также свойства радиу-
сов одной окружности, справились от 90,4 до
95,3% учащихся. При их решении более 70%
шестиклассников дали достаточно подробные
обоснования.
Вторые задания контрольных работ прове-
ряли умение решать задачи на доказатель-
ство в три и более логических шага. Реше-
ние их требовало от учащихся умения при-
менять признаки равенства треугольников,
признаки параллельности прямых, а также
свойства равнобедренного треугольника, бис-
сектрисы угла, медианы треугольника и т. д.
С этими задачами справились от 64,8 до
83,5% учеников.
Наряду с контрольными работами в тех же
территориях проводился и устный опрос уча-
щихся, для чего по материалам каждого па-
9
раграфа 'были подготовлены специальные
билеты.
При устном опросе проверялись: конструк-
тивные умения (изображать на рисунке ситуа-
цию, предлагаемую в условии задачи, рабо-
тать с чертеж'ными инструментами, решать
задачи на построение), умение распознавать
объекты на рисунке, знание формулировок
определений и теорем, умение решать геомет-
рические задачи по изучаемому материалу и
обосновывать их решения.
Приведем примеры нескольких билетов по
материалу разных параграфов курса.
* Ь и л е т 1
1.	Начертите треугольник BCD и произ-
вольный луч а. (95%) 2
а)	Измерьте угол DBC. (92%)
б)	От луча а отложите угол (аб)', равный
угли I/ВС. (87%)
в)	Постройте прямой угол (ас). (89%)
г)	Постройте развернутый угол (аа{).
(89%)
2.	Что такое полупрямая или луч? (66%)
Какие полупрямые называются дополнитель-
ными? (47%)
3.	Точки А, В. С лежат на одной прямой.
Принадлежит ли точка А отрезку ВС, если
АВ—7,5 см, ВС=6 см? (Ответ — 84%, обос-
нование — 66%.)
Билет 2
1.	Постройте угол (аЪ), равный 110°. (90%)
а) Проведите луч с, являющийся биссект-
рисой этого угла. (80%)
б) Чему равны градусные меры углов (ас)
и (Ьс)? (90%)
2.	Какие углы называются смежными?
(83%)
3.	Один из углов, которые получаются при
пересечении двух прямых, равен 70°. Чему
равны остальные углы? (Ответ — 92%, обос-
нование — 83 %.)
Билет 3
1.	В равнобедренном треугольнике прове-
дите высоту к боковой стороне. (45%)
2.	Сформулируйте второй признак равенст-
ва треугольников. (51%)
3.	На сторонах угла В взя-
ты точки А и С так, что АВ=' Z________-~
—ВС, BD — биссектриса угла .
АВС. Докажите, что AD=DC.
(17%),	С
Билет 4
1.	Сформулируйте первый признак равен-
ства треугольников. (82%)
3 Здесь и далее в скобках указан процент учащихся,
верно выполнивших задание.
2.	На рисунке изображены м	м
&.МНР и £\CDE, в которых	7
Z_M — Z_D, MH=DE, МР= / NSy
— CD. Докажите, что Z_E=
= Z-/f. (74%).
3.	Докажите, что у равнобедренного тре-
угольника медианы, проведенные из вершин
при основании, равны. (34%)
Билет 5
I.	Постройте биссектрису данного игла.
(92%)
2.	Разделите данный отрезок на 4 равные
части. (85%)
3.	На прямой а найдите точку, равноуда-
ленную от данных точек В и С. (56%)
Анализ результатов устного опроса свиде-
тельствует о том, что конструктивными уме-
ниями по большинству заданий владеют от
81 до 100% учащихся. Наиболее сложным
оказалось для них задание провести биссект-
рису и высоту равнобедренного треугольника
из вершины при основании.
Учащиеся уверенно, выполнили основные
геометрические построения, т.' е. деление от-
резка пополам, построение биссектрисы угла
(92,3%), решили, задачи на их непосредствен-
ное применение (94,6%). С задачами, где
нужно было использовать метод геометриче-
ских мест, справились 55,8% шестиклассни-
ков.
В основном учащиеся успешно справились
с распознаванием изученных геометрических
объектов па рисунке (от 80 до 100%), затруд-
нения вызвало распознавание на рисунке до-
полнительных лучей (57—68%) и вертикаль-
ных углов (68—79%).
Вопросы теоретического характера в биле-
тах для устного опроса были сформулирова-
ны так же, как и вопросы для повторения
в учебном пособии: от учащихся требовалось
воспроизвести формулировку изученного оп-
ределения или теоремы. Большинство прове-
рявшихся теоретических вопросов усвоили до
80% учащихся, ниже процент правильных от-
ветов на вопросы, связанные с понятиями луч
(66%), дополнительные лучи (47—55%), раз-
вернутый угол (71%), полупрямая, проходя-
щая между сторонами угла (49%), перпенди-
куляр к прямой (0—32%), с признаками па-
раллельности прямых (59%). Вместе с тем,
затрудняясь дать определение, 89% учащихся
правильно изображали полупрямую, проходя-
щую между сторонами угла на рисунке; фор-
мулировки признаков равенства треугольни-
ков — наиболее важных теорем первых трех
параграфов курса — воспроизводили от 54 до
89% учащихся Такой разброс в количестве
правильных ответов связан не столько с тем,
10
какой признак должен был сформулировать
ученик, а в большей степени с тем, на’ каком
месте в билетах стоял этот вопрос. Так,
в Томской области при опросу по билетам,
где этот вопрос стоял на втором месте после
оказавшегося трудным задания на построе-
ние медианы, биссектрисы и высоты треуголь-
ника, верно сформулировали признак 54%
учащихся. В гой же территории при опросе
по билетам, где этот вопрос был на первом
месте, процент верных ответов возрос до 82.
Этот факт свидетельствует о том, чго необхо-
димо осторожно подходить к оценке качест-
ва знаний учащихся по результатам одно-
кратно проведенного устного опроса или конт-
рольной работы.
В билетах для устного опроса учащимся
предлагались задачи, в большинстве случаев
аналогичные задачам учебного пособия. Их
можно разделить на три группы: вычисли-
тельного характера; задачи, требующие кон-
кретного нечислового ответа; задачи на дока-
зательство (при решении задач из первых
двух групп учащиеся также должны были
обосновать ответы). С решением вычисли-
тельных или требующих конкретного ответа
задач в большинстве случаев справились от
71 до 100% учащихся. Трудности возникали
при решении не имеющей аналога в учеоном
пособии задачи, опирающейся иа аксиому -
откладывания углов (66%) и трех задач по
материалу § 2 «Углы» (58—67%), 1де основ-
ные сложности вызвали формулировки задач;
По большинству задач более половины (57—
86%) учащихся не только дали правильный
ответ, но и верно его обосновали.
Задачи на доказательство в большинстве
случаев проверяли умение использовать при-
знаки равенства треугольников или признаки
параллельности прямых. С ними справились
от 17 до 74% учащихся, что связано с раз-
ным уровнем сложности задач. С задачей в
два логических шага (непосредственное при-
менение признака равенства треугольников и
вывод о равенстве соответствующих элемен-
тов) справились в Томской и Витебской об-
ластях 70—74% учащихся. Задачу, где уча-
щимся нужно было самостоятельно выделить
две из трех пар равных элементов и сделать
правильный вывод о равенстве треугольни-
ков, в Ленинграде решили 67% школьников,
там же 60% учащихся правильно доказали
равенство двух пар треугольников, предвари-
тельно найдя их ьа рисунке. Задачи в три
и более логических шага, где для доказатель-
ства равенства соответствующих элементов
треугольников необходимо было привлечь ра
нее изученный материал, выполнили от 17 до
34°/о учащихся Томской области К концу
года в Витебской области процент учащихся,
выполнявших задачи такого типа, возрос
до 47.	1
В истекшем учебном году членами бригад
Л)инистерства просвещения СССР было посе-
щено около 140 уроков геометрии в шестых
классах, практически по всему материалу
курса.
Анализ посещенных уроков свидетельствует
о том, что в большинстве своем учителя ос-
воили содержание нового курса геометрии,
обладают необходимыми профессиональны-
ми навыками и способны обеспечить качест-
венное преподавание по новому учебному
пособию. На уроках широко используются
средства наглядности. В некоторых террито-
риях намечается овладение эффективной ме-
тодикой работы по новому учебному посо-
бию, позволяющей им добиваться хороших
оезультатов обучения, что подтверждается и
итогами контрольных работ в этих школах.
Однако следует заметить, что во многих слу-
чаях подавляющая часть времени урока ухо-
дит на объяснение теоретического материала;
решению задач и самостоятельной работе
учащихся отводится недопустимо мало вре-
мени. Такое распределение учебного времени
не соответствует возрастным возможностям
шестиклассников, а главное — известной по-
зиции автора учебного пособия, что теория
должна усваиваться в процессе решения за-
дач.
На таких уроках преобладает фронтальный
опрос; объяснение учителем теоретического
материала, как правило, сопровождается во-
просами к учащимся, в результате значитель-
но удлиняются объяснения, в то же время у
учеников не создаются четкие представления
ни об основной идее доказательства, ни, тем
более, об отдельных деталях рассуждений.
Значительны потери учебного времени из-за
излишнего увлечения пропедевтикой, задача-
ми на подведение под понятия, часто имею-
щими весьма' искусственный характер. На
многих посещенных уроках отсутствовала це-
ленаправленная работа по формированию
простейших геометрических навыков, отсутст-
вовала работа с учебником, не формирова-
лись умения делать чертеж по условию за-
дачи.
Изучение состояния преподавания и каче-
ства знаний учащихся позволяет сделать вы-
вод, что учащиеся в основном удовлетвори-
тельно усваивают курс геометрии VI класса,
проявляют интерес к изучению геометрии,
у значительной части школьников выработа-
на потребность в обосновании высказывае-
мых утверждений. Успешно усвоена учащи-
мися большая часть как теоретического, так
и залачного материала § 1 «Основные свой-
ства простейших геометрических фигур» и §2
11
«Углы». При изучении § 3 «Признаки равен-
ства треугольников» учащиеся усвоили фор-
мулировки признаков и научились решать за-
дачи на непосредственное их применение;
формирование умения использовать призна-
ки равенства треугольников в более сложных
случаях продолжалось до конца учебного го-
да. Не вызывают серьезных • затруднений у
шестиклассников задачи на свойства равно-
бедренного треугольника, теорему о сумме
углов треугольника. Уверенно владеют они
основными геометрическими построениями.
В заключение отметим, что причины труд-
ностей, возникавших в первый год работы по
новому учебному пособию, пути преодоления
этих трудностей, вопросы совершенствования
методики преподавания курса геометрии осве-
щены в уже упомянутом методическом пись-
ме Главного управления школ МП СССР
и НИИ содержания и методов обучения АПН
СССР.
К началу обучения геометрии
в VII классе1
§ 7. Теорема Пифагора (продолжение)
Основные тригонометрические тождества (1ч)
Комментарий для учителя
1°. В пункте рассматриваются три тождества:
sin2 a-)-cos2 a==l,
. , . 2 _	1	. , __1	__I
Т k a COS2 a ’	lg2a • Sin2a‘
При доказательстве двух последних тождеств
используется формула tga= - (она была
получена как промежуточный результат при
доказательстве теорёмы о зависимости сину
са и тангенса острого угла только от величи-
ны угла. Фактически это тоже одно из основ-
ных тригонометрических тождеств).
Значение записанных тождеств, как сказа-
но в учебном пособии, заключается в том,.что
они позволяют по рдной из величин sin a,
cos а или tg a найти две другие. Заметим,
что на данном этапе цели формирования у
учащихся навыков выполнения тождественных
преобразований тригонометрических выраже-
ний не преследуются.
2°. В названии пункта появляется новое
для учащихся слово «тригонометрические»
(тождества). Учитель может пояснить, что
слово «тригонометрические» греческого проис-
хождения (от слов треугольник и измеряю).
Указанные тождества выражают связь между
величинами косинуса, синуса и тангенса, ко-
торые определяются через соотношения сто-
рон прямоугольного треугольника.
3°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать рассматриваемые тригоно-
метрические тождества; уметь воспроизво-
дить их доказательства в ходе изучения те-
кущего материала, выполнять несложные вы-
числения с их использованием.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Доказательства основных тождеств, дан-
ных в учебном пособии, достаточно просты и
не требуют специальных разъяснений. Следу-
ет иметь в виду, что запоминание и усвоение
этих тождеств происходят в ходе решения за-
дач, в частности задачи 46.
Примерное планирование изучения материала
Материал пункта рассчитан на один урок.
Рекомендуется в классе разобрать дока-
зательст во основных тригонометрических тож-
деств, решить задачи 46 (2, 3, 5), 47 (1),
48 (1); дома — вопрос для повторения 11,
х задачи 46 (1, 4), 47 (3), 48 (2).
Указания к решению задач
46 (9).	=-4- (1 _tg2a + tg< a)=
'	cos2 a.	cos2 a ®	°
= (1 +tg2a)(l— tg2a + tg4 “) = 1 +tg6a.
Примечание. Решение этой задачи опирается на
формулу суммы кубов, которая будет изучена в
VIII классе. Учащиеся могут перемножить две скобки
и выполнить приведение подобных членов.
47 и 48. Решаются по образцу задачч
47 (1), решение которой разобрано в тексте
учебного пособия.'
Эти задачи могут быть решены и без использования
тригонометрических тождеств. Приведем такое реше-
ние, например, задачи 47(1).
5
Построим угол, косинус которого равен -jy (см. за-
дачу 1, § 7). По теореме Пифагора, ВС — K^IS2—52 —
ВС 12	ВС
— 12. По определению, sin a —	— -jy , tg a —
1'2
1 Продолжение. Начало см. в № 3, 4 и 5 журнала
«Математика в школе» за 1983 г.
12
Дополнительные задачи
1.	Упростите выражения:
a)	cos2 а—1;
б)	(sin а+cosa) 2-f- (sin a—cos a)2;
в)	cos a-tg a+sin a;
r) cos2 a—cos4 a-|-sin4 a;
. cos* a .	. sin’a
1—sin a ’ e I -(-COS a ’
2.	Вычислите значения sin a и cosa, если
. . s	кх .	13	. х 12
a)tga = —; 6)tga = -g?; в) tg a = -^.
9
Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов
(2 ч)
Комментарий для учителя
Г. В пункте доказывается теорема о соот-
ношении между синусом и косинусом углов,
составляющих в сумме 90° (теорема 7.3); она,
в частности, объясняет, почему для вычисле-
ния синусов и косинусов острых углов мы
пользуемся одной таблицей.
2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать формулы sin (90°—a) —
= cosa, cos (90°—a) =sin a, значения сину-
са, косинуса и тангенса углов 30°, 45° и 60’;
уметь решать задачи на вычисление с ис-
пользованием полученных значений, воспро-
изводить доказательство теоремы 7.3 в ходе
изучения текущего материала.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Доказательство теоремы 7.3 достаточ-
но просто и может быть проведено учащими-
ся самостоятельно, например в виде ответов
на ряд поставленных учителем вопросов:
1	В прямоугольном треугольнике АВС
Z_C=90°, Z_/li=a. Чему равен угол В?
2.	Запишите, чему равен sm а и cos (90°—a).
Сделайте вывод.
3.	Запишите, чему равен cos a u sin (90°—a).
Сделайте вывод.
2°. При выводе формул для функций угла
30° появляется промежуточный результат
BD = — Это известный геометрический
факт: катет, лежащий против угла в 30°, ра-
вен половине гипотенузы. С ним учащиеся
уже встречались при решении задачи 35 из
§ 4. Учитель может еще раз обратить на не-
го их внимание.
Примерное планирование изучения материала
На изучение пункта отводится два урока.
На первом уроке рекомендуется в к л а с се
изучить теорему 7.3, вывести значения сину-
са, косинуса и тангенса углов 30°, 45° и 60°,
решить задачу 53; дома — вопросы для пов-
торения 12, 13, задачу 50.
На втором уроке в классе решить зада-
чи 51, 40, из дополнительных — задачи 5, 8;
дома — задачи 54, 55. '
Указания к решению задач
51.. Центр вписанной окружности1—точка
пересечения биссектрис треугольника, а центр
описанной окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам тре-
угольника; для равностороннего треугольни-
ка они совпадают. Эту точку — точку пересе-
чения биссектрис (медиан, высот) треуголь-
ника — называют центром треугольника.
I способ. Пусть в равностороннем тре-
угольнике АВС (рис. 12) точка О —его
центр, тогда ОВ —ОД —Я — радпус описан-
ной окружности, а OD=r — радиус вписан-
ной окружности.
В B,AOD AD = ~, £OAD^2D°,
г = 0О = A£Mg30° = -J-	1 /з"	а 2/з ’
,,	AD	а	/Т	а
к—Ad cos30o	2 •	2	/з 
д г 3
II способ. BD АВ  sin 60° = jj •
Точка пересечения медиан делит каждую из них
в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому ОВ <=»
II способ можно рассмотреть с учащимися только
в том случае, если в классе решалась задача 67 (2)
53. В АДВС АВ=\ м, Z_A = 45°, А.В=30°.
Найти АС и ВС (рис. 13).
Решение. Опустим из вершины С пер
пендикуляр CD на сторону АВ2. Обозначим
длину отрезка AD через х, тогда BD=\—х
Из АДВС CD=AD-tg 45°—х, а из S3.CDB
CD = BD- tg 30° -
2 Точка D лежит между точками А к В, так как '
углы А и В острые (см. задачу 28 из § 4). Это объяс-
нение не следует требовать от учащихся.
I -X
Получаем уравнение ' х =	 откуда
х =	Далее, ВС и АС на-
У 3 + 1	2
ходим из треугольников CDB и ADC соответ-
ственно.
54. I способ. По условию, .в прямо-
угольном треугольнике CAD AC=2CD
(рис. 14). Тогда sin CAD = ~ т. е.
АС/1О=30°.
ДДОА) — равнобедренный, так как диаго-
нали прямоугольника равны и, пересекаясь,
делятся пополам, поэтому zLOAD=/_ODA =
= 30°. Так как сумма углов треугольника
OAD равна 180°, то z_AOD= 180°—30°—30°=
= 120°, zLCOZ? == 180°— ДДOD=60°.
II способ. Так как ОС = -^-АС, то
OC=OD—CD и c\OCD — равносторонний.
Отсюда Z_CO£)=60Q, Z_AOD—\20°.
Дополнительные задачи
1.	Диагональ ромба равна его стороне и
равна 10 см, вычислите вторую диагональ
и углы ромба.
2.	Радиус окружности, описанной около
равностороннего треугольника, равен 7 см.
Определите сторону треугольника.
3.	Радиус окружности, вписанной в равно-
сторонний треугольник, равен 3 см. Опреде-
лите сторону треугольника.
4.	Радиус окружности, описанной около
квадрата, равен 4 см. Определите сторону
квадрата.
5.	Углы при основании трапеции равны
45° и 30°, а высота трапеции равна 6 см. Най-
duie боковые стороны трапеции.
6.	Угол при основании равнобокой тра-
пеции равен 60°, а боковая сторона равна
меньшему основанию и равна 10 см. Чему
равна средняя линия трапеции?
7.	Сторона ромба равна а, а один из его
углов равен 120°. .Чему равны диагонали
ромба?
8.	Диагональ параллелограмма равна а и
перпендикулярна его стороне. Чему равны
стороны параллелограмма, если его угол ра-
вен: а) 30°; б) 45°: 1) 60°?
9.	Одно из оснований трапеции в 2 раза
больше другого, а углы при основании равны
90° и 45°. Чему равны боковые стороны тра-
пеции, если меньшее основание равно 12 см?
10.	Нижнее основание трапеции равно
16 см, а углы, прилежащие к нему, равны
' 90° и 30°. Диагональ трапеции перпендику-
лярна боковой стороне. Чему равна средняя
линия трапеции?
Изменение sin a, cos а и' tg а при возрастании угла а
(2 ч)
Комментарий для учителя
1°. Содержание пункта составляет теорема
о возрастании sin а и tg а и убывании cos а
при возрастании острого угла а. Она позволя-
ет обосновать устройство таблиц, в частности
объяснить действия с поправками.
2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать формулировку теоремы 7.4;
уметь воспроизводить ее доказательство в
ходе изучения текущего материала, применять
при решении конкретных задач.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Следует обратить внимание учащихся,
что теорема 7.4 состоит из трех отдельных
утверждений.
1)	При возрастании острого угла a cos а
убывает (рис. 121 учебного пособия). Дока-
жем это утверждение.
От полупрямой АВ откладываются в одну
полуплоскость углы а и 0(а<р), а затем про-
водится прямая, перпендикулярная АВ. Она
пересекает стороны углов в точках В, С, D.
В учебном пособии говорится. <Так как а<0, то
точка С лежит между точками В и £>». Сделаем более
подробные пояснения для учителя. Так как а<0, го
по теореме 2.4 луч АС (сторона угла а) проходит
между сторонами угла DAB, равного 0. Но тогда он
пересекает отрезок BD с концами на сторонах угла
DAB. Напомним, что результат, полученный после ре-
шения задачи 23(2) из § 2, позволяет сформулировать
свойство луча, проходящего между сторонами угла;
луч, проходящий между сторонами угла, пересекает
любой отрезок (в данном случае BD) с концами
на сторонах угла Поэтому точка С лежит между точ-
ками В и D. Проводить эти обоснования на уроке
не нужно.
Таким образом, к прямой BD проведены
из точки А перпендикуляр АВ и две наклон-
ные АС и АЭ, ВС и BD — проекции этих на-
клонных на прямую BD, причем BD>BC,
следовательно, AD>AC. Имеем
cos а =
АВ
АС ’
о АВ
cos₽=xn
Числители записанных дробей равны, а пото-
му больше та из них, у которой знаменатель
АВ
АВ_
AD ’
меньше, т. е.^
а тогда cos a>cos 0.
2)	При возрастании острого угла a sin a
возрастает.
Доказательство этого утверждения, приве-
денное в учебном пособии, не требует допол-
нительных разъяснений.
3)	При возрастании острого угла a tg a
возрастает.
Можно дать другое доказательство этой теоремы,
опирающееся на непосредственное определение тан-
14
генса: tgo = j£.	= K°BC.e^BD, значит,
ВС BD
AB<AB’’T- e- ‘8“<‘₽₽-
2°. При решении конкретных задач, данных
в учебном пособии, учащиеся фактически
сталкиваются не с изменением острого угла
(его возрастанием или убыванием), а с дву-
мя углами, заданными своими градусными
мерами, поэтому после доказательства теоре»
мы представляется полезным разъяснить уче-
никам ее смысл: «Из двух острых углов
большему соответствует больший синус и
больший тангенс, большему острому углу со-
ответствует меньший косинус».
3°. Проверить правильность усвоения тео-
ремы можно с помощью устных вопросов
типа:
1. Дано; а=24°, 0=45°. Сравните синусы,
косинусы и тангенсы данных углов.
2. Известно, что a) sin a>sin 0; б) cos а>
>cosp; в) tga>tg0. Что можно сказать об
углах а и 0 в каждом случае?
Примерное планирование изучения материала
На изучение пункта отводится два урока.
На первом уроке рекомендуется в клас-
се изучить теорему 7.4, решить задачи 57, 52;
дома — вопрос для повторения 14, задачи
37. 56 (1, 4).
На втором уроке в классе решить задачу
58, провести самостоятельную работу; до-
ма— задачи 38, 56 (2, 5).
Указания к решению задач
52. В ДДВС Z_A>xLB, Д_А=4У, CD —
высота (рис. 13). АВ делится точкой D на
части 20 и 21 см. Прежде всего надо выяс-
нить, какой из отрезков AD и DB имеет дли-
ну 20 см, а какой — 21 см.
CD	CD
Имеем tg Д = —тус-, tgВ =-г,—, но так как
° Ди	DB
ГДА~>Д_В по условию, то tgД>tg£ (теоре-
_ ..	CD . CD
ма 7.4), т. е. -	> -д/?- , откуда следует
AD<DB и ДР—20 см, РВ=21 см. Но AD —
проекция наклонной AC, DB — проекция на-
клонной ВС, поэтому ВО АС, т. е. ВС —
большая боковая сторона треугольника АВС,
значит, именно ее и надо начти.
Итак, краткое условие задачи имеет вид:
Дано: Д ДВС, Z^ = 45°,
CD — высота, AD = 20 см,
DB = 21 см.
Найти ВС.
Из ЛДСО CD=AD-tg 45°= 20 (см).
ВДВОС BC=ZC02+OB2=/202+212 =
= 29 (см).
57 и 58. Для решения этих задач надо срав-
нить синусы или косинусы углов Д и В.
Дополнительные задачи
1.	Из точки А к прямой а проведены две
наклонные АВ и АС, образующие с ней углы
35° и 70° соответственно. Дакая из наклонных
имеет большую длину?
2.	Из точки А проведены к прямой а две
наклонные: АВ= 10 см и ДО=15 см. Какая
из наклонных образует с прямой а меньший
острый угол?
3.	Докажите, что в остроугольном треуголь-
нике против большего угла лежит большая
сторона.
Самостоятельная работа
I вариант
1. Найдите катет и острые углы прямо-
угольного треугольника, еслр другой катет и
гипотенуза соответственно равны 20 и 29 см.
2. В прямоугольном треугольнике с острым
углом 60° и прилежащим к нему катетом, рав-
ным 10 см, вычислите высоту, опущенную из
вершины прямого угла.
II вариант
1. Найдите гипотенузу и острые углы пря-
моугольного треугольника, если его катеты
5 и 7 см.
2. В равнобедренном прямоугольном тре-
угольнике с катетом, равным 8У2 см, найдите
высоту, опущенную из вершины прямого
угла.
Неравенство треугольника (4 ч)
Комментарий для учителя
1°. В пункте рассматривается понятйе рас-
стояния между точками, которое в случае
дгух совпадающих точек полагается равным
нулю. Доказывается теорема, выражающая
неравенство треугольника.
Доказательство теоремы состоит из пере1
бора всех возможных ситуаций расположе-
ния трех точек плоскости: а) все три точки
совпадают; б) две из трех точек совпадают;
в) три различные точки лежат на одной пря-
мой; г) три различные точки не лежат на
одной прямой. В первых трех случаях точки
располагаются на одной прямой и доказывае-
мое для них неравенство треугольника, вооб-
ще говоря нестрогое, используется затем для
точек, не лежащих на одной прямой. В этом
наиболее общем случае нераве’нство тре-
угольника всегда является строгим.
15
Чтобы доказать, например, неравенство
АВ<.АС-^-БС, из точки С опускается перпен-
дикуляр CD на прямую АВ. Тогда для точек
А, В и D, лежащих па одной прямой (незави:
симо от того, как они на ней расположены,
различные они или какие-нибудь из них сов-
падают), уже доказано, что AB^.AD-\-BD,
а так как AD<Z.AC и BD<BC, то верно не-
равенство АВ-^АС-уВС.
Рис. 122 учебного пособия отражает лишь
тот вариант расположения точек А, В и D,
когда D лежит между А и В. Проведенное
же доказательство не опирается на рисунок
и полностью охватывает все варианты.
В учебном пособии случаю расположения
трех точек в вершинах треугольника уделяет-
ся большое внимание в связи с тем, что он
широко применяется при решении задач. Этот
факт нашел отражение и в вопросах для
повторения. Наряду с вопросом 15: «Дока-
жите неравенство треугольника», ответ на
который предполагает доказательство утверж-
дения теоремы для всех случаев расположе-
ния трех точек, содержится вопрос 16: «До-
кажите, что в треугольнике каждая сторона
меньше суммы двух других сторон». Учитель
при разъяснении домашнего задания должен
сказать учащимся, что доказательство стро-
гого неравенства для сторон треугольника
(вопрос 16) содержится в доказательстве
теоремы 7.5 и в вопросе 15. Это обстоятель-
ство следует учитывать также и при опросе
учащихся.
2°. В результате изучения пункта учащие-
ся долукны знать определение расстояния
между произвольными точками плоскости,
неравенство треугольника; уметь воспроиз-
водить доказательство теоремы 7.5 в ходе
изучения текущего материала, применять
неравенство треугольника при решении задач.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Из курса VI класса учащиеся знакомы
с понятием, расстояния между двумя (раз-
личными) точками, как длины отрезка, соеди-
няющего эти точки; по аксиоме III, оно по-
ложительно. Теперь понятие расстояния рас-
пространяется и на случай, когда точки сов-
падают. По определению, расстояние между
совпадающими точками равно нулю
2°. Как уже упоминалось, доказательство
теоремы 7.5 (неравенство треугольника) пред-
ставляет перебор всех возможных случаев
взаимного расположения трех точек на плос-
кости: а) все три точки совпадают, б) из
.рех точек совпадают две, в) точки различны
и лежат на одной прямой, г) точки различны
и лежат в вершинах треугольника.
Доказательство теоремы для первых двух
случаев (а и б) опущено. Воспроизведение
его на уроке не является целесообразным. Од
нако если соответствующий вопрос возникнет
у учащихся, то учитель может объяснить, что
если три точки совпадают, то все три рас-
стояния равны нулю (АВ = ВС=АС=0), ёс-
ли две точки совпадают, то одно из расстоя-
ний равно нулю, д два других равны между
собой. Таким образом, в обоих случаях каж-
дое расстояние не больше суммы двух других
в) Три точки А, В, С различны и лежат на
одной прямой. Одна , из них, пусть точка В,
лежит между двумя другими, и верно равен-
стве АС=АВ-{-ВС. Так как оба слагаемых
АВ и ВС положительны, то каждое из них
меньше АС. Тем более AB<Z.AC-\-BC и
ВС<.АС-{-АВ. Таким образом, каждое из
трех расстояний не больше суммы двух дру-
гих.
г) Докажем, что если А, В и С не лежат
на одной прямой, то каждое расстояние мень-
ше суммы двух других. Например, докажем,
что АВ <_ АС-}-ВС (рис. 13). Опустим из точ-
ки С перпендикуляр CD на прямую АВ.
Три точки А, В ъ D лежат на одной прямой,
и для них была доказана справедливость
неравенства АД^А£)-]-В£).
В прямоугольных треугольниках CAD и
CBD катет меньше гипотенузы, т. е. AD<zAC,
BD<.BC, а тогда AB<z.AC-\-BC. Что и тре-
бовалось доказать.
2°. Для закрепления теоремы можно пред-
ложить учащимся зацачи следующего типа:
1.	Даны три* точки М, N, К. . лпишите для
них неравенство треугольника.
2.	Три точки М, N, К являются вершинами
среугольника. Запишите для них неравенство
треугольника.
3.	Существует ли треугольник со сторона-
ми; а) 13 см, 4 см, 8 см, б) 10 см, 7 см. 3 см?
4.	Стороны равнобедренного треугольника
равны 10 см и 4 см. Дакая из них является
Основанием?	\
Примерное планирование изучения материала
На изучение материала пункта отводится
четыре урока.
На первом уроке рекомендуется в к л а с-
с е разобрать доказательство неравенства тре-
угольника, решить задачи 61 (Ij, 63; до-
ма— вопросы для повторения 15, 16, задачу
61 (2).
На втором уроке в классе решить зада-
чи 64, 69, 70; дома — задачи 59, 68.
На третьем уроке в классе решить зада-
чи 45 (2г), 65, 71, 73, 74; дома — 62, 76.
-На четвёртом уроке в классе решить за-
дачи 45 (Зг), 75, из дополнительных (к пунк-
16
ту «Теорема Пифагора») задачи 2, 10; до-
ма — задачи 45 (4 г), 76.
После изучения материала пункта рекомен-
дуется провести контрольную работу № 4.
Указания к решению задач
59.	Предположим, что основание 7 м, а бо-
ковая сторона 3 м. Тогда по неравенству тре-
угольника должно быть 7<34~3, что невер*-
но, а значит, неверно наше предположение.
Следовательно, основание треугольника рав-
но 3 м, а боковая сторона — 7 м.
60.	Докажем сначала, что отрезок, соеди-
няющий вершину треугольника с точкой, взя-
той на противолежащей стороне, меньше од-
ной из его сторон, прилежащих к этой вер-
шине.
Пусть D € АВ (рис. 15). Докажем, что или
CD<CB, или CD<AC. Проведем СКЕАВ.
Точка К принадлежит либо лучу DA, либо
лучу DB. Пусть К € DA (оис. 15,а). Тогда
точка D лежит между точками К и В, и по-
тому KB>KD, а значит, наклонная СВ боль-
ше наклонной CD, что и требовалось дока-
зать.
Аналогично доказывается, что если К € DB
(рис. 15,6), то CD<zAC.
Если точка D совпадает с основанием пер-
пендикуляра — точкой К, то получаем
CD<zAC и CD<zCB (перпендикуляр короче
наклонной).
Докажем теперь, что отрезок, соединяющий
любые две точки, взятые на сторонах тре-
угольника. меньше одной из его сторон.
Пусть D^AB, Е£СВ (рис. 16). Соединим
точки D и С. В &CDB, по доказанному, от- 1
резок DE либо меньше CD. либо меньше DB.
Если DE<zDB, то и подавно DE<AB. Ес-
ли DE<z.CD, а по доказанному CD меньше АС
или СВ, то и DE<zAC или DE<.CB. Что
и требовалось доказать. ,
61.	Все три точки различны,' так как ни
одно расстояние не равно нулю. Предполо-
жим, что точки не лежат на одной прямой
Тогда они являются вершинами некоторого
треугольника АВС. По доказанному, каждая
сторона треугольника меньше суммы двух
других сторон. Но, исходя йз условия задачи:
]) АС—АВ-\-ВС, так как 12 м = 5 м4-7 м;
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
2) ВС=ЛВ+ДС, так как 17,1 = 10,74-6,4.
В обоих случаях получили противоречие, зна-
чит, точки А, В, С лежат на одной прямой.
62.	Две стороны и диагональ параллело-
грамма образуют треугольник, значит, каж-
дая сторона должна быть меньше суммы
двух других сторон. Но неравенство 7<44-2
неверно, значит, диагональ не может быть
равной 2 см.
63.	По неравенству треугольника,
(АС<ВС+АВ, | а< 1,9 4-0,7, а <2,6
( ВС< АС + АВ-, |1,9<а4-0,7; |а>1,2.
Так как длина стороны равна по условию
целому числу метров, то а=2 м.
64.	AD — медиана в треугольнике АВС
(рис. 17). Надо доказать, что
ad<ab+ac-.
Соединим точку D с точкой Е — серединой
стороны АВ, тогда DE — средняя линия
ДДВС и, значит,
BE = -1- АС-
Но в &ADE AD<zAE-\-DE. Так как
АЕ 4- DE 4- АВ 4-4- АС
л АВ 4- АС
то АВ <----~--
. что и требовалось доказать.
65	3. Пусть а, Ь, с — стороны треугольника,
й,, Ь«, А3 — его высоты. По теореме о сравни-
тельной длине перпендикуляра и наклонных
h^<.a, hz<Zb, hi<.c. Отсюда Л1 4-Л24-Аз<<?4-
4-&4-с« что и требовалось доказать.
66.	Рассмотрим рис. 18.
1) В ДДВО BD<AB+AD,
в &BCD BD<BC+CD,
в ЛАВС АС<АВ+ВС,
в &ACD ACcAD+CD.
Складывая записанные неравенства, полу-
чим 2(AC+BD)<2(AB+BC+CD+AD), т. е.
AC-j- BD<Z.Pa bcd-
2) В ЛОВА АВсАО+ВО,
в двое ВСсВО+СО,
в ЛСОВ CDcCO+DO,
в ДДОО AD<AO-\-DO.
’ При решении .задач 65—67, 69, 71, 72 используют-
ся действия с числовыми неравенствами. Эти задачи
можно решить при повторении материала в конце года.
17
Складывая эти неравенства, • найдем,
что ЛВ4-ВС+СО4-/1О<2(ДО-]-С()+ВО4-
+DO), или Pabcd<Z2(AC-[-BD). Отсюда
AC + BD>-LpabCd.
67. Пусть АВ и CD пересекаются в точке О
(рис. 19). Если М — искомая точка, то МА,
MB, МС, MD — ее расстояния от данных то-
чек. Для трех точек М, А и В МА-^-МВ^АВ;
для точек М, С, D MC-\-MD^CD. Отсюда
MA-{-MB-\-MC^-MD^AB-{-CD. Значит, наи-
меньшее значение которое может принимать
сумма расстояний МА, МВ, МС и' MD, равно
AB-[-CD. Но этому условию удовлетворяет
точка О (0Л4-Сш-|-0С-|-0£)=ДВ-|-С'£)).
Итак, искомая точка — точка пересечения от-
резков АВ и CD
69. I способ. Пусть стороны треугольни- '
ка равны а, Ь, с. Тогда по неравенстзу тре-
угольника a<Zb-\-c. Прибавив к обеим частям
неравенства по а, получим 2а<а-|-Ь-|-с, т. е.
а <-----, что и требовалось доказать.
II способ. Нам надо доказать, что
.г “F “1 f	—
а <.----g----. Умножив обе части этого нера-
венства на 2, получим 2a<Za-f-b-f-c, откуда
a<Zb-j-c. Последнее неравенство есть неравен-
ство треугольника, и потому оно верно, а зна-
чит, верно и исходное неравенство.
71. Дака окружность с центром О (рис. 20).
Пусть точка А такая, что OA=d, М — произ-
вольная точка окружности и OM=R. Точки
М, А, О могут лежать на одной прямой. Для
трех точек М, А, О верны неравенства AMs^
^ОМ+ОА и АМ^ОМ—ОА, т. е. AM^R+d
и AM^R—d. Следовательно, R--d^AM^.
s^R-\-d. Значит, наименьшее расстояние до
точек окружности равно ’ R—d, а наиболь-
шее — Я-f-d. Можно указать на окружности
точки, для которых расстояния будут именно
такими,— это концы диаметра М[М2, прохо-
дящего через данную точку А.
73. Пусть 01 и О2 — центры данных окруж-
ностей и О1О2==20 см. Предположим, что
окружности пересекаются и А — их общая
точка. Тогда для трех точек О[, О2 и А долж-
но выполняться неравенств^ OiO2^OH-j-O2/I.
Но О[Д=8 см, О2Л = 11 см. Неравенство
20^;8-|-11 неверно, значит, окружности пере-
секаться не могут.
75. 1) Дано О[ и О2 — центры окружностей,
О|О2=20 см, R\= 8 см, /?2=11 см. Дока-
жем, что окружности находятся одна вне
другой.
В задаче 73 мы доказали, что окружности
не имеют общих точек, значит, они могут
занимать положение, изображенное на
рис. 21 или 22.
Предположим, что одна из окружностей
(меньшего радиуса) находится внутри дру-
гой окружности (большего радиуса).—
рис 21. Пусть М — произвольная точка пеп-
вой окружности, тогда для трех точек О|, О2
и М верно неравенство OiO2^O!/H4-O2M.
Так как М — точка внутри второй окружно-
сти, то O2M<zR2, т. е. O?M<Z 11 см. Но нера-
венство 20<8+П неверно, следовательно,
неверно наше предположение. Значит, на са-
мом деле окружности находятся, одна вне
другой (рис. 22) .
2) Чтобы ответить на второй вопрос зада-
чи, следует провести рассуждения, аналогич-
ные приведенным выше.
§ 8. Декартозы координаты
на плоскости (17 ч)
В данном параграфе после введения коор-
динат на плоскости рассматриваются такие
задачи, как вычисление длины отрезка и ко-
ординат его середины, если заданы коорди-
наты его концов, выводятся уравнения ок-
ружности и прямой и исследуются случаи их
взаимного расположения. Кроме того, в па-
раграфе с помощью координат вводятся оп-
ределения синуса, косинуса, тангенса для
любого угла от 0° до 180°. На конкретных
примерах учащиеся знакомятся с простейши-
ми случаями применения координатного мето-
да, играющего важную роль не только в гео-
метрии, но и в других областях математики
и ее приложениях. Координатный метод кро-
ме применения в данном параграфе использу-
ется при изучении тем «Преобразования фи-
гур» и «Векторы на плоскости».
Введение координат иа плоскости (2 ч)
Комментарий для учителя
Основная цель изучения данного пункта —
повторить с учащимися известные им г: про-
сы, связанные с координатной плоскостью.
В результате изучения пункта учащиеся
должны уметь строить точки по коо'рдипатам
и определять координаты любой точки коор-
динатой плоскости,
Г
18
Методические рекомендации
к  изучению  материала
Поскольку материал пункта в основном зна-
ком учащимся, представляется целесообраз-
ным изложение материала провести таким
образом, чтобы определенные фрагменты тео-
ретического текста являлись как бы подведе-
нием итога выполнения соответствующих уп-
ражнений. Приведем возможный вариант ор-
ганизации такой работы.
1°. Сначала воспроизводится текст об осях
абсцисс и ординат, об их положительных и
отрицательных полуосях; на доске и в тетра-
дях строятся оси координат, выбирается еди-
ница длины. После этого учащимся предла-
гается выполнить упражнение 2 (точки луч-
ше выбрать в разных четвертях). При опре-
делении абсциссы и оодинаты каждой точки
рассматривается в соответствии с текстом
учебного пособия правило, по которому точ-
ке сопоставляется пара чисел - ее коорди-
наты; записываются координаты выбранных
точек.
Необходимо вспомнить с учащимися, какие
координаты имеют точки, лежащие на осях.
Для этого можно предложить им записать
обе координаты точек, которые высекаются
на осях при выполнении упражнения 2, а так-
же записать координаты точки О — начала
координат.
2. При выполнении упражнения 1 одновре-
менно с построением точек внимание учащих-
ся обращается и на то, что у первой точки
абсцисса и ордината положительны — она
лежит в I цетверти, у второй абсцисса отри-
цательна, ордината положительна — она ле-
жит во II четверти и т. д.
3°. Вопросом для повторения 2 (с. 105 учеб-
ного пособия) предусматривается умение уча-
щихся отвечать на следующие вопросы: ка-
кой знак имеют абсцисса и ордината точки А,
лежащей а) в 1 четверти, б) во II четверти,
в) в III четверти, г) в IV четверти? Здесь
важно, чтобы ученик не механически запом-
нил распределение знаков координат по чет-
вертям, а, отвечая на поставленные вопросы,
мог, произвольно выбрав точку в соответст-
вующей четверти, представить (с помощью
рисунка),. какую полуось — положительную
или отрицательную — пересечет прямая, про-
веденная через эту точку параллельно дру-
гой оси.
4°. Задача 9, разобранная в тексте учебно-
го пособия, в основном служит закреплению
знаний учащихся о знаках координат точек,
лежащих в полуплоскостях, на которые каж-
дая из осей координат разбивает координат-
ную  плоскость. В этом смысле промежуточ-
ные результаты проводимых рассуждений
\
(точки А и В лежат в разных полуплоско-
стях относительно оси у и в одной полуплос-
кости относительно оси х) более важны, чем
окончательные (отрезок АВ пересекает ось у
и не пересекает ось х).,
5°. При изучении следующих двух пунктов
«Координаты середины отрезка» и «Расстоя-
ние между точками» потребуется использова-
ние формулы для расстояния между двумя
точками координатной оси. Вывести эту фор-
мулу можно в процессе решения задачи 24,
где предлагается доказать, что расстояние
между точками (хь 0) и (х2, 0) оси х при лю-
бых Xi и х2 определяется по формуле d=
= |х2—Xi|. Этот результат можно сформули-
ровать и для расстояния между точками
оси у.
Примерное планирование изучения материала
На изучение материала пункта отводится
2 урока.
На первом уроке рекомендуется в клас-
с е рассмотреть весь теоретический материал,
решить задачи 1—4, 7, 8; дома — вопросы
1—3, задачи 5, 6, 23.
На втором уроке в классе решить Зада-
чи 9, 10, 24, 13, 15; дома — задачи 11, 12.
Указания к решению задач
7. Используя знания по курсу ачгебры, уча-
щиеся могут сделать предположение, что гео-
метрическим местом точек, у которых абсцис-
са равна 3, является прямая .а, параллельная
оси у и приходящая через точку (3, 0). Надо
вспомнить с учащимися, что для обоснования
этого следует доказать два утверждения:
1) любая точка, лежащая на прямой а, име-
ет абсциссу, равную 3; 2) любая точка с абс-
циссой 3 л^жит на прямой а.
Примечание. Все обоснования при ре-
шении задачи можно проьести устно, выпол-
нив рисунок и записав лишь следующее:
Прямая а : а\\Оу, (3, 0) € а-
I. Пусть у точки А х=3, тогда A Q а.
II. Пусть В € а, тогда у точки В х=3.
Прямая а — искомое геометрическое место
точек.
8. (Все рассуждения можно провести уст-
но.) Сначала нужно вспомнить определение
модуля числа и, используя его, высказать
гипотезу о том, что искомым геометрическим
местом точек является пара прямых, парал-
лельных оси у, одна из которых (й) прохо-
дит через точку (3, 0), другая (Ь) — через
точку (—3, 0). Для'того чтобы это обосно-
вать, нужно доказать два утверждения:
I) если точка имеет абсциссу, модуль кото-
рой равен 3, то она лежит на одной из пря-
19
мых а или Ь; 2) если точка лежит иа одной
из прямых а или Ь, то модуль ее абсциссы \
равен 3.
13, 14. Задачу 13 целесообразно решить не-
посредственно перед решением задачи-15, так
как она содержит часть обоснований, необхо-
димых для решения задачи 15. Аналогично
задачу 14 лучше решить перед решением за-
дачи 16.
15. После решения задачи 13 учащихся лег-
ко подвести к выводу, что для точек, лежа-
щих на биссектрисе первой четверти, верно
равенство х=у (причем обе координаты по-
ложительны). Этим же свойством обладают
точки, лежащие на биссектрисе третьей чет-
верти (но обе координаты отрицательны),
и начало .координат (обе координаты равны
0). Таким образом, приходим к предположе-
нию, что искомым геометрическим местом то-
чек является прямая, содержащая биссект-
рисы I и III координатных углов. Затем это
предположение следует доказать можно
устно).
22. Для решения задачи можно, построив
данный четырехугольник, использовать, на-
пример, следующую цепочку рассуждений.
Вершины данного четырехугольника лежат
на осях координат и одинаково .удалены от
начала координат, поэтому его диагонали
а) пересекаются в начале координат и точкой
пересечения делятся пополам (значит, это па-
раллелограмм— теорема 6.1), б) равны (т. е.
этот параллелограмм является прямоуголь-
ником— задача 22 из § 6), в) перпендику-
лярны (т. е. это ромб — задача 28 из § 6).
Таким образом, данный четырехугольник яв-
ляется прямоугольником со всеми равными
сторонами, значит, это квадрат.
24. Надо доказать, что расстояние d между
точками (хь 0) и (х21 0) вычисляется по фор-
муле
I Ха — *!, если х2>хь ,
а = х,—Xj = I
I Xi —х2, если х1>х2,
т. е. чтп расстояние d равно разности между
большей координатой (координатой правой
точки) и меньшей координатой (координатой
левой точки).
Обозначив через а меньшую из координат
X] и х2, а через Ь — большую из них. дока-
жем, что d=b—а. Это доказательство прово-
дится отдельно для трех возможных вариан-
тов расположения точек'А (а, 0), В (Ь, 0)
относительно начала координат (см. рис. 1;
он может быть заранее заготовлен на доске
или плакате).
Дополнительные задачи
1.	Даны точки А (—8, 0) и В (0, 6) Найди-
те расстояние между точками А и В,
АВ=ОВ-ОА
0В=6
0А=а
АВ=Ь-а
АВ=0А~СВ
ОА=—а
ОВ = -Ь
АВ=-а-(-Ь)=Ь-а
АВ=0А+0В
ОА =-а
OB=i
AB=b-t(-a)-b-a
Рис. 1
2.	Из точек А (—2, —4) и В (5, —4) опу-
щены перпендикуляры AAL и ВВ\ на ось х.
а) Определите вид четырехугольника AAtBtB.
б) Определите его стороны.
3.	Отметьте на координатной плоскости
точки А (3, 4), В (3, —1) и С (6, —1). До-
кажите. что &АВС — прямоугольный.
4.	Отметьте на координатной плоскости
точки А (—5, 0), В (5, 0) и С (0, 6). Дока-
жите, что /\АВС — равнобедренный.
5.	Определите координаты точек пересече-
ния с осями окружности с центром в начале
координат и радиусом 5.
6.	Отметьте точки А (0, 2), В (5, 0), С (О,
—2) и D (—5, 0). Докажите, что ABCD—
ромб.
Координаты середины отрезка (1 ч)
Комментарий для учителя
В результате изучения материала пункта
учащиеся должны знать формулы коорди-
нат середины отрезка; уметь выводить эти
формулы и применять их при решении за-
дач.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Вывод формул координат середины от-
резка, приведенный в учебном пособии, прост
и не требует особых комментариев. Отметим
только, что можно напомнить учащимся: ес-
ли |х—Х|| = |х—х2|, то числа х—хг и х—х2
(числа с одинаковыми модулями) либо рав-
ны, либо противоположны. Отсюда и получа-
ются два равенства: х— хх=х—х2 и х—xt =
=—(х- х2).
Случай, когда отрезок АВ расположен па-
раллельно оси у. полезно проиллюстрировать
рисунком (см. рис. 2) и показать, что и в этом
случае формула- верна:
После этого учитель может сделать замеча-
ние о том, что ордината точки С находится
аналогично, и показать, какие для этого де-
лаю гея построения (рис. 3).

2°. Для закрепления выведенных формул
можно использовать упражнения.
1.	Найдите координаты середины отрезка
АВ, если: а) Д(—6, 2), В (4,4); б) Д(—5,—4);
Bi-1, 3).
2.	Определите координаты центра окруж-
ности, диаметром которой является отрезок
АВ, если А (4, —-2) иВ(1, 3).
3.	Проверьте, является ли точка М (4, 2) се-
рединой отрезка АВ, если: а) А(3, —1),
8(5, 5); б) Д(3, 6), В(—5, — 2)
4.	Определите координаты точки D, если
даны точки В(], —3) и С(5, —2), причем С —
середина отрезка BD.
чении тем «Преобразования фигур» и «Век-
торы на плоскости»,— поэтому на ее закреп
ление нужно обратить особое внимание. Для
того чтобы обеспечить ее прочное усвоение,
полезно предлагать учащимся упражнения на
непосредственное применение этой формулы и
после изучения данного пункта (при опросе,
в качестве дополнительных упражнений и при
подготовке к контрольной работе).
2°. Вывод формулы опирается на теорему
Пифагора и на то, что расстояние между
двумя точками оси координат (а значит,
и между точками прямой, параллельной оси)
находится по формулам:
d=|x2—X] I для точек (хь 0) и (х2, 0) оси х,
d —1//2—У1| для точек (0, yi) и (0, у2) оси у.
3°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать формулу расбтояния между
двумя точками координатной плоскости;
уметь выводить ее и вычислять расстояние
между точками с заданными координатами.
Методические рекомендации
к изучению материала
Примерное планирование изучения материала
На изучение материала пункта отводится
1 урок. Рекомендуется в классе вывести
формулы для координат середины отрезка,
решить задачи 17, 18: дома — вопрос 4, за-
дачи 19, 20.
Дополнительные задачи
1.	В треугольнике О АВ проведена медиана
ОС. Определите координаты точки С, если
точки А и В имеют координаты: а) А (—5, 0),
8(0, —3); б) А(0, —4), В(5, —2); в) Д(—1,
3), В (5, 4).
2.	Точка С(1, —2) является серединой от-
резка АВ. Определите координаты точки А,
если известны координаты точку В: а) В(0,
-5); б) В(3, 0); в) В(—3, 4); г) В(—2, —1).
3.	Дан треугольник АВС с вершинами А (7,
—4), В (—4, 3) и С(5,0). Определите коорди-
наты концов средней линии треугольника, па-
раллельной стороне АВ.
4.	АВ — диаметр окружности, С — ее центр.
Определите: а) координаты точки С, если
Д(—6, —1), В(1, 4); б) координаты точки А,
если С(0, 3), В(3, 0).
Расстояние между точками (2 ч)
Комментарий для учителя
Г. Формула расстояния между двумя точ-
ками находит широкое применение в даль-
нейшем изучении курса геометрии: щя выво-
да уравнений окружности и прямой, 1фй Мзу-
<•£
1°. Вывод формулы расстояния между точ
ками Д1 и Д2 начинается с рассмотрения слу-
чая, когда отрезок Д]Д2 не параллелен ни
одной из осей координат (т. е. Xi=/=x2, у^Уъ)-
Квадрат расстояния AtA2 вычисляется по тео-
реме Пифагора (рис. 128 учебного пособия).
Пояснить учащимся переход от равенства
AAi=lyt—y2f и ДЛ2=|Х[—х2| к равенствам
А А2 = (у! — у2)2 и АА2 = (хг—х2)2	можно
'следующим образом: х1—х2 и |х1—х2|—это
либо одно и то же число, либо противополож-
ные числа; поэтому и в том. и в другом слу-
чае |Xj —Х2|2 = (Xj—Х2)2.
После того как получена формула для квадрата рас-
стояния между двумя точками, можно записать фор-
мулу	_________________
d = Z U, —
которой удобно пользоваться прн решении задач на
непосредственное вычисление расстояния между точ-
ками
Когда Формула выведена в основном слу-
чае, проверяется ее справедливость для слу-
чаев, когда отрезок Д1Д2 параллелен одной
из осей координат и когда точки А[ и А2 сов-
падают. Например, если отрезок Д]Д2 парал-
лелен оси у (Х]=х2, у\=^у2), то известно, что
расстояние ДЙ2 равно |«/|—Уч\- С другой
стороны, при Х|—х2 получаем
V (Хг—Х2)2 + (у, — у2)2 = V (У1 — у J2 =
= I У1—У2 I •
Таким образом, выведенная формула спра-
ведлива и в этом случае.
2° Для закрепления выведенной формулы
можно использовать упражнения типа;
21
1. Найдите расстояние между точками Д1
и А2, если: а) ДД7, 4), А2(3, 1); б) ДДЗ, —5),
Л2(—1, 1).
2. Докажите, что треугольник CDE с вер-
шинами в точках С(3, 4), D(6, 8), £(10, 5)
является равнобедренным.
3°. При решении задачи 27, разобранной в
тексте учебного пособия, прежде чем присту-
пить к вычислениям, отмечаем данные точки
/1(1, 2) и В (2, 3) и на глаз — точку С(х, 0)
так, чтобы АС=ВС. При этом учитель может
обратить внимание учащихся на то, что ис-
комая точка является точкой пересечения оси
х и серединного перпендикуляра к отрезку
АВ (см. задачу 39 из § 5).
После того как задача решена, полезно заметить, что
точки Л и В — вто -точки одной окружности с центром
в точке С и радиусом R=AC=BC.
Примерное планирование изучения материала
На изучение материала пункта отводится
2 урока.
На первом уроке рекомендуется в клас-
се вывести формулу расстояния между точ-
ками, решить дополнительную задачу 2; д о-
м а — вопрос 5, задачи 25, 26.
На втором уроке в классе решить задачи-
21, 27, дополнительную задачу 3; дома —
дополнительную задачу 1 (а, б).
Указания к решению задач
21. Для того чтобы облегчить учащимся по-
иск пути решения задачи, можно им предло-
жить сначала а) построить в координатной
плоскости четырехугольник ABCD, б) найти
координаты середин его диагоналей, в) • найти
длины всех его сторон и диагоналей. Даль-
нейший ход решения задачи следующий:
1)	ABCD — параллелограмм, так как его
диагонали АС и BD делятся пополам одной
и той же точкой (-у,	;
2)	. параллелограмм ABCD является прямо-
угольником, так как ДС—ДО=У5б;
3)	прямоугольник ABCD является квадра-
том, так как AB=EC=CD=DA = 5.
Дополнительные задачи
1. .Определите длину отрезка и координаты
его середины, если концы отрезка имеют ко-
ординаты: а) А (2, 4) и В (5, Р); б) С(—2 1)
и D(4, 9); в) Л4'3, —5) и К (—6, 7); г) В(—9,
—10) и£(3, —6).
2. >4(10, 6) —точка окружности с центром
С(1, •—6). Чему равен радиус этой окруж-
ности? .	1
3. Даны точки А (0, —3), В (2, 3) и С(6,
— 1). а) Докажите, что треугольник АВС рав-
нобедренный с основанием ВС. б) Определи-
те длину медианы ВМ. в) Определите длину
биссектрисы А К.
4. Докажите, что &KMN с вершинами в
точках К(3, —1), Л4(9. 5), N (2, 6) является
равнобедренным. Найдите координаты сере-
дин его боковых сторон.
Уравнение окружности (2 ч)
Комментарий для учителя
1°. Основное внимание при изучении мате-
риала пункта следует уделить формированию
практических умений учащихся, связанных с
уравнением окружности. С этой целью боль-
шая часть учебного времени должна быть
уделена решению задач, и в первую очередь
задач на составление уравнения окружности,
если заданы ее центр и радиус.
2”. Решение задачи 33 о взаимном распо-
ложении двух окружностей, приведенное в
учебном пособии, связано с применением ко-
ординатного метода. Можно (как один из воз-
можных вариантов планирования изучения
материала) решение этой задачи рассмотреть
при изучении пункта «Пересечение прямой с
окружностью», так как задачи о пересечении
прямой с окружностью и о пересечении двух
окружностей решаются одним методом, но ал-
гебраические выкладки в решении первой за-
дачи проще (комментарии к решению зада-
чи 33 будут приведены в пункте «Пересече-
ние прямой с окружностью»).
3°. Б результате изучения пункта учащиеся
должны знать уравнение окружности;
уметь ею выводить и применять при реше-
нии задач.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Из курса алгебры учащиеся знакомы
с понятием уравнения с двумя переменными.
Используя это, можно провести следующее
рассуждение: «Пусть дано некоторое уравне-
ние с двумя переменными х и у. Если на ко-
ординатной плоскости отметить все точки,
координаты х и у которых удовлетворяют
данному уравнению, то они составят некото-
рую фигуру. Таким образом, любая точка по-
лученной фигуры имеет координаты, удовле-
творяющие данному уравнению, и обратно,
любая точка, координаты которой удовлетво-
ряют данному уравнению, является точкой
этой фигуры. Данное уравнение называется
уравнением этой фигуры».
2°. Полезно вспомнить с учащимися, что ок-
ружность — это фигура, состоящая из всех
22
точек плоскости, удаленных от центра окруж-
ности на расстояние, равное радиусу. Если
Ло(а. Ь)-- центр окружности, 4(х, у) —ее
произвольная точка, то по формуле расстоя-
ния между двумя точками
ААо = (х — а)2 + (у— ЬУ2
и по определению окружности АА0—R, или
Д-12)=/?2. Значит, координаты точки А удов-
летворяют уравнению
(х-’в)Ч- (y—b)2=R2.
Для того чтобы доказать, что полученное
уравнение является уравнением данной ок-
ружности, нужно еще убедиться, что любая
точка, координаты которой удовлетворяют
этому уравнению, принадлежит окружности.
Пусть координаты точки 41(х1, j/J удовлетво-
ряют уравнению (Х]—а)2+ (fft—b)2=R2. Это
значит, что точка А\ находится на расстоянии
R от точки До. т. е. принадлежит окружности
с центром До и радиусом R.
После этого можно записать уравнение ок-
ружности с центром в начале координат как
частный случай выведенного уравнения.
3°. Для закрепления изученного материала
можно использовать задания:
1)	Составьте уравнение окружности с цент-
ром. А и радиусом R, если а) А (7, 11),	=5;
б) Д (9,4), /?=7; в) 4 (- 2, 3), /?=1;
г) А (—3, —4),/?=2.
2)	Составьте уравнение окружности с цент-
ром в начале координат и радиусом R = 7.
3)	Определите координаты центра и радиус
окружности, заданной уравнением а) (х—
-2)2+(у-5)2=72; б) (х-7)2+(у+2)2==25;
в) (»Н)2+(^-5)2=3; г) (х-4)2+«/2=1.
Примерное планирование изучения материала
На изучение материала пункта отводится
2 урока.
На первом уроке рекомендуется в классе
провести самостоятельную работу4, рассмот-
реть весь теоретический материал, решить за-
дачу 30(1); дома — вопросы 6, 7, задачи 29,
30(2).
На втором уроке в классе решить зада-
чи 31, 36, 37, дополнительные задачи 2, 36, 4;
дома — задачу 40, дополнительную зада-
чу 5.
Указания к решению задач
31. Решение задачи лучше начать с вычис-
ления координат центра 'окружности, а затем
вычислить квадрат радиуса.
' Эту самостоятельную работу по материалу преды-
дущих пунктов предлагается провести в начале.урока
до изложения нового материала.
36. Так как центр окружности (До) лежит
на оси х и радиус окружности равен 5, то
уравнение окружности имеет вид (х—а)2А-
(У—0)2=52, или (х—а)2-]-у2=25, где а —
абсцисса точки До.
Так как точка (1, 4) принадлежит этой ок-
ружности, то ее координаты удовлетворяют
уравнению окружности: (1—а)2-|-42 = 25. Ре-
шая уравнение, получаем 01 =—2, а2=4.
Ответ: (—2, 0) и (4,0).
37. Поскольку искомые точки лежат на ок-
ружности и на оси х, то их координаты удов-
летворяют уравнению окружности и имеют
ординаты, равные 0. Таким образом, абсцис-
сы искомых точек находим, решая уравнение
х2- -8х-|-7=0.
Ответ: (1, 0) и (7, 0).
Примечание. В задачах 37, 38, 41, 42 окружно-
сти заданы уравнениями, записанными не в виде
(х—а)3+(у—b)2=R2, а как бы после раскрытия ско-
бок. Для аналитического решения задач (дающего бо-
лее быстрый результат по сравнению с геометрическими
рассуждениями) неважно, в каком виде записано урав-
нение окружности. Однако полезно показать учащимся
(например, после решения задачи 37), что выделением
полного квадрата можно преобразовать данное урав-
нение к привычному для нил виду, (х2—8х-|-16)+
+ (У2-8</+16)-—32-|-7=0, (х-4) =+ (!/-4)2=55.
40. R2=AO2=52 (рис. 4). Уравнение ок-
ружности имеет вид (х+З) 2+ (У—4)2=52.
Самостоятельная работа
I вариант
1. Определите длину отрезка АВ и коорди-
наты его середины, если 4(2, 5), В (8, —3).
2. Даны точки Л4(2, 7), Л/(6, 9) и К (8, 5).
Докажите, пто &MNK равнобедренный с ос-
нованием мк.
II вариант
1. Определите длину отрезка МК и коорди-
наты его середины, если Л4(1, —2) и К(7, 6).
2. Даны точки С (4,7), 0(2, 3) и £(8, 5).
Докажите, что ЛСОД равнобедренный с ос-
нованием DE.
Дополнительные задачи
1.	С — центр окружности, А — точка на ок-
ружности. Составьте уравнение окружности,
если известны координаты точек А и С
а) С(—1, 0), Л(—5, 0); б) 4(—1, 0), С(0,
—2); в) С(5, 0), 4(5, 3); г) 4(1, 0), С(5, 3).
2.	Укажите координаты центра и радиус
окружности:
а) (х+1)2+у2=9, б) (х-2)4-(у+5)2=3.
3.	Определите координаты центров и ра-
диусы окружностей, изображенных на рис. 5,
и составьте их уравнения. .
4.	Составьте уравнения окружностей, изоб-
раженных на рис. 6. Чему равно расстояние
между центрами окружностей?
23
5.	Укажите координаты центров и радиусы
окружностей, заданных уравнениями х2-{-уг—
= 16 и х2+ (у+7)2—25, и постройте их в ко-
ординатной плоскости.
6.	На оси х даны точки А (6, 0) и В (10, 0).
Запишите уравнения окружностей, для кото-
рых отрезок АВ является радиусов (рассмот-
реть два случая).
7.	Дана окружность радиуса 3 с иентром
в точке (8, 0). Запишите уравнение а) дан-
ной окружности, б) окружности с тем же
центром и радиусом, в 2 раза большим, чем
у данной.
8.	Две окружности имеют общий центр в
точке (—2, —5) и радиусы, равные 2 и 5. За-
пишите уравнения окружностей, изобразите их
на координатной плоскости.
9.	Запишите по рис. 7 уравнение окружно-
сти в каждом из случаев расположения си-
стемы координат.
Уравнение прямой (1ч)
Комментарий для учителя
1°. В данном пункте дается доказательство
того, что уравнением прямой является урав-
нение вида ах-± by-j-c—O. Оно основано на
свойстве точек серединного перпендикуляра
к отрезку. Как и при выводе уравнения ок-
ружности, здесь используется формула рас-
стояния между двумя точками координатной
плоскости. Приведенное в учебном пособии
доказательство содержит действия с парамет-
рами, что может представлять определенные
трудности для учащихся, поэтому полезно
t
предварительно решить конкретную задачу с
числовыми данными (например, задачу +3).
2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать уравнение прямой; уметь
выводить его в ходе изучения текущего ма-
териала и использовать при решении задач.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. При решении задачи 43 сначала обозна-
чаем через М(х, у) произвольную точку иско-
мого геометрического места точек. Так как’
она равноудалена от точек (0, 1) и (1, 2), то
ее координаты удовлетворяют уравнению х2-)-
+ (.£/-1)2= (х—1)2+(«/—-2)2. Верно и обрат-
ное: если координаты точки удовлетворяют
записанному уравнению, то она равноудалена
от точек (0, 1) и (1, 2), так как в правой ча-
сти уравнения — квадрат расстояния до пер-
вой данной точки, а в левой — квадрат рас-
стояния до второй данной точки,
Если в полученном уравнении раскрыть
скобки, перенести все члены в левую часть и
привести подобные члены, то оно примет вид:
х+у—2=0. Таким образом, уравнение х-\-у—
—2=0 является уравнением геометрического
места точек, равноудаленных от точек А(0, 1)
и В(1, 2). Другими словами, это - уравнение
является уравнением прямой, перпендикуляр-
ной к отрезку АВ и проходящей через его се-
редину. .
2°. По аналогии с решением задачи 43 про-
водится доказательство тот, что любая пря-
мая h имеет уравнение ах+&у+с=0.
Примечание. После тою как проведены преоб-
разования и получено уравнение 2 (а,— at) х 4-
+ 2 (Ь,— 6,) у 4- (а2 + б2— а2 — />1) = нужно сде-
лать замечание о том, что коэффициенты прн хну
и свободный член — это числа, которые мы обозна-
чаем а, b и с. Отсюда и получается уравнение прямой
ах + by -|- с = 0.
Примерное планирование изучения материала
На изучение материала пункта отводится
1 урок.
'Рекомендуется в классе вывести уравне-
ние прямой в декартовых координатах, ре-
шить задачи 43, 44(1), 45, 46(1), дополнитель-
ную задачу 4; дома — вопрос 8, задачи
44(2), 46(2).
Указания к решению задач
44. 45 При решении этих задач полезно
подчеркнуть следующее: 1) если некоторая
точка принадлежит прямой, то ее координа-
ты должны удовлетворять уравнению прямой,
поэтому, подставив известную координату
i
этой точки в уравнение прямой можно най-
ти другую ее координату; 2) для того чтобы
построить прямую в координатной плоскости,
достаточно знать координаты любых двух ее
точек. Например, можно найти координаты
точек пересечения прямой с осями коорди-
нат (задача 44) или, взяв произвольное зна-
чение одной из координат, определить другую
координату точки (задача 45).
Можно дополнить эти задачи требованж м
построить в координатной плоскости задан-
ные прямые.
Дополнительные задачи
1.	Какие из точек Д(0. —2), В (4, 2), С(—4,
—5) принадлежат пряной k, заданной урав-
нением Зх—4у- -8=0, а какие не принадле-
жат ей?
2.	Является ли точкой пересечения прямых
Зх—4у—8=0 и Зх-|-4г/—16=0 точка а) С(0,
—2); б) £)(4, 1)?
3.	Найдите точки пересечения с осями ко-
ординат прямой, заданной уравнением, а) х-|-
+у-7=0; б) х—у+4 — 0, в) x-j-y—с=0.
4.	Найдите точки пересечения с осями ко-
ординат прямой, заданной уравнением 2х—
—Зу=6, и постройте эту прямую на коорди-
натной плоскости.
5.	Запишите координаты каких-нибудь двух
ючек прямой и постройте ее в координатной
плоскости, если ее уравнение: а) 2х—Зу=6;
б) х+3^=9.
6.	Чему равно расстояние от начала коор-
динат до прямой: а) х-\-у—6=0; б) х—t/-f-
.+8=0?
Расположение прямой относительно системы
координат (2 ч)
Комментарий для учителя
1°. Материал пункта не нов для учащихся:
в курсе алгебры при изучении темы «Линей-
ное уравнение с двумя переменными» уча-
щиеся уже строили графики линейных урав-
нений вида ах-{-Ьу—с при различных значе-
ниях коэффициентов. •
Заметим, что в предыдущем пункте уравнение пря-
мой выводилось как уравнение серединного перпенди-
куляра к некоторому отрезку. Поэтому в уравнении
2 (а, — а,) х 4- 2 (*, — Ьг) у + (а, + b] — а\ — й|)-0
коэффициенты при х и у не могут быть одновременно
равны нулю (т. е. уравнение прямой ах-{-Ьу+с=0
всегда является уравнением первой степени).
2°. Уравнение вида y—kx-j-q наиболее зна-
комо учащимся: как правило, графики имен-
но таких уравнений учащиеся строили при
изучении как линейной функции, так и при
изучении линейных уравнений с переменны-
ми х и у.
Учащимся из алгебры зникомо также тс-
нятие узлового коэффициента прямой
i
что прямые y-kx-j-q при данном k парал-
лельны прямой y—kx, т. е. все они одинако-
во наклонены к оси х. В пункте учебного по-
собия по геометрии показывается,. что коэф-
фициент k с точностью до знака равен тан-
генсу острого угла, образуемого при пересе-
чении прямой с осью х (такой угол существу-
ет, когда прямая пересекает ось х, т. е. когда
fr=#=0; именно этот наиболее типичный случай
и рассматривается здесь).
3°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать частные случаи расположе-
ния прямой ax-^-by-j-c—0 относительно осей
координат, когда 1) а=0, 2) Ь — 0, 3) с=0;
геометрический смысл коэффициента k в урав-
нении y=kx-\-q.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. При рассмотрении каждого частного
случая уравнения ах-|-Ь«/4-с=0 следует за-
писать этот частный случай в исходном виде
и преобразовать его. Например, в случае н=
= 0, fo=#=0 имеем 0x-|-bs/-|-c=0, Ьу=—с,
у =-----у-. Сделав вывод о том, что по-
скольку все точки прямой в этом случае име-
ют одну и ту же ординату, то прямая парал-
лельна оси х, можно предложить учащимся
построить прямые а) 2#-|-8=0, б) 2^=0.
Для закрепления случаев 2) и 3) учащимся
можно предложить построить прямые: в) 4х—
—10=0, г) 4х=0, д) 2х-|-5у=0.
Затем можно предложить учащимся и об-
ратные задачи:
1.	Составьте уравнения прямых, изображен-
ных на рис. 8.
2.	Какие уравнения имеет ось абсцисс, ось
ординат?
3.	Составьте уравнение прямой, если она
а) проходит через точку (0, 5) параллельно
оси х, б) параллельна оси у и проходит через
точку (4, 0)
При выполнении этих заданий важно обра-
тить внимание учащихся на то, что все точки
прямой, параллельной оси х, имеют одина-
ковые ординаты, а все точки прямой, парал-
лельной оси у, имеют одинаковые .абсцис сы.
Именно это рассуждение помогает быстро оп-
Рнс 8
б)	в) г)
ределять положение прямой относительно
осей координат в тех случаях, когда ее урав-
нение не содержит либо переменной х, либо
переменной у.
2°. При выяснении геометрического смысла
коэффициента k в уравнении y=kx-\-q на
прямой выбираются произвольно две точки
Д(Х|, i/i) и В(х2, у2). У одной из них, пусть
это будет А(хь yi), абсцисса Xi меньше, чем
абсцисса х2 другой точки — точки В. После
получения формулы k =	следует об
этом напомнить учащимся еще раз. Что каса-
ется ординат точек А и В, то имеются две
возможности: либо У\<У2, либо Уй>у2
(рис. 135 учебного пособия). В первом слу-
чае (рис. 135,а) для острого угла а прямо-
угольного треугольника имеем
т. е. k=tga-, во втором (рис. 135,6) имеем
tgtt=	т- е. k——tga.
Следует подчеркнуть, что в обоих случаях
угол а прямоугольного треугольника равен
острому углу, который получается при пере-
сечении данной прямой с осью х. Таким об-
разом, коэффициент k с точностно до знака
равен тангенсу острого угла, который обра-
зует прямая с осью х (тангенс острого угла
всегда положителен, а коэффициент k может
быть ему либо равен, либо противоположен).
Для закрепления изученного материала
можно предложить учащимся следующую за-
дачу: Чему равен угловой коэффициент пря-
мой, чему равен тангенс острого угла, кото-
рый образует прямая с осью х, если уравне-
ние прямой: a) у=3x4-5; б) у=—2x4-3-
в) 2х-(-Зу4-7=0?
Примерное планирование изучения материала
На изучение материала пункта отводится
2 урока.
На первом уроке рекомендуется в классе
рассмотреть весь теоретический Материал, ре-
шить задачу 55, д-ома—вопросы 9, 10е, за-
дачи 53, 54
На втором уроке в классе решить зада-
чу 48 (1, 2), дополнительную задачу 1, про-
вести самостоятельную работу; дома — за-
дачи 50 52
Указания к решению задач
Решение задач 47—Б0 связано с нахождением зна-
чений параметров а, b и с в уравнении прямой по тем
или иным условиям. Подобные задачи, где параметры
Вопросом 10 воспроизведение обоснования геомет-
рического смысла коэффициента k Не предусматри-
вается.	г
выступают в роли неизвестных величин, представляют
традиционно трудный для учащихся материал., Задачи
50 и 49 несколько проще, чем задача 47, разобранная
в тексте учебного пособия (в последней находятся вы-
ражения двух параметров через третий и после под-
становки их в уравнение прямой левая и правая части
уравнения делятся на этот третий параметр, а в зада-
чах 50 и 49 находятся непосредственные значения па-
раметров) Поэтому более целесообразн i либо решать
эти задачи в следующем порядке: 50, 49, 47, 48, либо
более простую задачу 50 задать на дом. Задачи 47
н 48 решаются несколько проще с использованием урав-
нения прямой y=kx-\-q.
48(1). Прямая, проходящая через точки (2,
3) и (3, 2), не параллельна оси у, значит, ее
уравнение можно записать в виде y=kx-\-q.
Так как координаты (2, 3) и (3, 2) удовле-
творяют этому уравнению, то k и q можно
найти, решив систему
3 = 2А 4“ а,
‘i^ZkA-q-
Подставив в уравнение y=kx-^q k=—1
и <7—5, получим у=—х+5, или х-]-у—5=0.
.54. Все точки прямой, параллельной оси х,
имеют одну и ту же ординату, а так как пря-
мая проходит через точку с ординатой 3, то
уравнением прямой является уравнение у—3.
55. Прямая, проходящая через начало ко-
ординат, имеет уравнение ах-]-Ьу=0, или у—
=kx. Подставим координаты точки (2, 3)
з
в это уравнение: 3=&-2, k = Уравнение
з
прямой: у=-^-х или Зх—2у=0.
Само 'тоятельная работа
I вариант
1.	Найдите точки пересечения с осью х
прямой, заданной уравнением Зх—5у4-15=0.
2.	Составьте уравнение окружности с цент-
ром в точке (4, —1) и радиусом, равным 7.
3.	Составьте уравнение окружности с цент-
ром /1(3, 2), проходящей через точку Ь(0, 1).
II вариант
1. Найдите точки пересечения с осью упря-
мой, заданной уравнением 7х—2у-|-14=0.
3. Составьте уравнение окружности с цент-
ром в точке (—2, 7) и радиусом, равным 4.
3. Составьте уравнение окружности, если
С(2, 4) —ее центр, а £)(3, 0) —точка окруж-
ности.
Дополнительные задачи
1.	Определите координаты точек пересече-
ния прямой с осями координат и постройте ее
в координатной плоскости, если ее уравнени-
ем является а) у=2х-|-7; б) у = —3x4-6.
26
2.	Определите, чему равен коэффициент q
в уравнении прямой :y=kx-\-q, если она про-
ходит через точку А (0, 2).
3.	Запишите уравнение прямой y=kx-}-q,
если она. пересекает оси координат в точках
(О, 4) и (8, О).
4.	Известно, что если точки А (хь у\) и
В. (х2, у?) лежат на прямой y=kx-\-q, то ко-
эффициент k вычисляется по формуле
(см. с. 103 учебного пособия). Пользуясь этой
формулой, запишите уравнение прямой, про-
ходящей через точки А (0, 2) и В (2, 6).
5.	Прямая y=kx-{-q образует при пересе-
чении с осью х угол 45° и проходит через
точку А (0, 2). Запишите уравнение этой пря-
мой, если известно, что коэффициент k а) по-
ложителен, б) отрицателен.
Примерные планирование
и контрольные работы по геометрии
в VII классе (II полугодие) 1
Планирование
§ 7.	Теорема Пифагора (продолжение) (11 ч) ’
Основные тригонометрические тождества	1 ч
Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых
угдов	2 ч
Изменение sin a, cos а и tg а при возрастании
угла а	2 ч
Неравенство треугольника	4 ч
Контрольная работа № 4	1 ’
§ 8.	Декартовы координаты на плоскости (17 ч) 2
Введение координат на плоскости	2 ч
Координаты середины отрезка	1 ч
Расстояние между точками	2 ч
Уравнение окружности	2 ч
Уравнение прямой	1 я
Расположение прямой относительно системы коор
дннат	2 ч
Пересечение прямой с окружностью	2 ч
Определение синуса, косинуса и тангенса для лю-
бого угла от 0° до 180°	3 ч
Контрольная работа № 5	1ч
§ 9.	Преобразования фигур (16 ч) 2
Примеры преобразований фигур	1 ч
Движение	ч	2 ч
Свойства движения	2 ч
Равенство фигур	1 ч
Преобразование подобия и его	свойства	2 ч
Подобие фигур	6 ч
Контрольная работа № 6	1ч
Повторение — 7 ч
1 Материал подготовили: И. Б Мельникова, Т. М. Ми-
щенко. Л. Ю. Чернышева.
2 1 ч — резервный.	1	«
Контрольные работы
№ 4
I вариант
1. В прямоугольном треугольнике АВС
/-С—90°, zLA = 34°i8', АВ=17 см. Найдите
катет ВС.
2. В Д.АВС высота AD делит основание ВС
на отрезки BD —2f3 см и DC=8 см, Z~ABC=
— 60°. Найдите длину боковой стороны АС.
Дополнительная задача3. Из одной точки
проведены к данной прямой перпендикуляр и
две наклонные. Определите длину перпенди-
куляра, если наклонные равны 41 см и 50 см,
а их проекции на данную прямую относятся,
как 3*10.
II вариант
Is В прямоугольном треугольнике АВС
2LC=90°, 2Д4 = 30°36', ДС=37 см. Вычисли-
те длину катета ВС.
2. В БхАВС боковая сторона ВС образует
с основанием АС угол, равный 30°, а высота,
опущенная из вершины В, делит основание
на отрезки /W=12 см, £)С=5УЗ см. Найди-
те длину боковой стороны АВ.
Дополнительная задача. Определите сторо-
ны равнобедренного треугольника, если его
высота равна 35 см, а основание относится к
боковой стороне, как 48 : 25.
№ 5
I вариант
1. Определите координаты точек пересече-
ния прямой 4х—Зу+6=0 с осями координат.
2. Дана окружность (х—4)*+ («/-(-2)2=25.
а)	Чему равны радиус и координаты цент-
ра окружности?
б)	Докажите, что течки А(0, 1) и 8(1, 2)
лежат на окружности.
в)	. Вычислите длину хорды АВ.
3. Пользуясь таблицами, вычислите
cos lei^s7.
Дополнительная задача. Докажите, что ок-
ружность x2-f-y2=18 касается прямой х—у-^
+6=0.
II вариант
1. Определите координаты точек пересече-
ния прямой 5х—4у—10=0 с осями * коорди-
нат.
2. Дана окружность (х—3)2+(t/+5)2=25.
а)	Чему эавны радиус и координаты цент-
ра окружности?
а Дополнительная задача оценивается отдельно.
27
б)	Докажите, что точки В (7, —2) и С(0,
— 1) лежат иа окружности.
в)	Вычислите длину хорды ВС.
3. Пользуясь таблицами, вычислите
tg 125°44'.
Дополнительная задача. Докажите, что ок-
ружность х2+#2=8 касается прямой х-^у—
—4=0.
№ 6
I вариант
1. Стороны треугольника равны 2,5 м, 1,5 м,
3 м. Найдите стороны подобного ему тре-
угольника, если его меньшая сторона равна
0,6 м.
2. ABCD — данная трапеция (ВС||ДВ),
О — точка пересечения диагоналей, АО=
= 8 см, ОС— 10 см и BD=27 см. Определи-
те ОВ и OD. 
Дополнительная задача. В параллелограм-
ме ABCD сторона АВ=42 см. На стороне ВС
взята точка Е так, что BE : ЕС=5 : 7, и про-
ведена прямая DE, пересекающая продолже-
ние стороны АВ в точке F. Определите дли-
ну отрезка BF.
II вариант
1. Стороны треугольника относятся, как
2:3:4. Найдите стороны подобного ему тре-
угольника, если его большая сторона равна
6 см.
2. В трапеции ABCD основания ВС= 10 см,
AD—15 см, диагональ ДС=20 см. На какие
части делится эта диагональ точкой пересе-
чения диагоналей?
Дополнительная задача. На стороне ВС па-
раллелограмма ABCD отмечена точка Е так,
что отрезок DE пересекает диагональ АС в
точке F и AF : FC=7 : 3. Сторона ДВ=28см.
Определите отрезки BE и ЕС.
Самостоятельные работы
по геометрии в VII классе
В. А. Гусев (Москва),
А. И. Медягик (Харьков)
Предлагаемые самостоятельные работы по
курсу геометрии V11 класса составлены в со-
ответствии с § 8 «Декартовы координаты на
плоскости» учебного пособия А. В. Погорело-
ва «Геометрия 6—10».
С-10. Введение координат на плоскости.
Координаты середины отрезка
Вариант 1
1. Проведите оси координат, выберите еди-
ницу длины на них и постройте точки А (3,—1),
В(- 2, 4), С(1, 1), D(—3, —2).
2. Найдите координаты середины отрезка с
концами в точках (3, —1) и (—2, —2).
Вариант 2
1. Найдите расстояние от точки А(—5, —2)
до оси х.
2. Найдите координаты центра окружно-
сти, если концами ее диаметра являются точ-
ки (—1, 1) и (5, —5).
Вариант 3
1. Найдите расстояние от точки В(—2, 1)
до оси у.
2. Найдите координаты конца диаметра, ес-
ли другим его концом является'точка (5, —2),
а центром окружности — точка (2, 0).
Вариант 4
1. Даны точки А (2, 4) и В(3, —1). Дока-
жите, что отрезок АВ пересекает ось х. но не
пересекает ось у.
2. Даны три вершины параллелограмма
ABCD-. А(— 1, 2), В(3, 1), О(—2, —3). Най
дИте координаты вершины С.
С-11. Расстояние между точками
Уравнения окружности и прямой
Вариант 1
1. Найдите длину диаметра окружности, ес-
ли его концами являются точки (3, 4) и
(2, -1).
2. Найдите координаты точек пересечения
окружности (х—4)24-у2=25 с осью у
Вариант 2
1. Составьте’уравнение окружности с цент-
ром на прямой у=4, касающейся оси х в точ-
ке (—1, 0).
2. Найдите точку пересечения прямых, за-
данных уравнениями 4х—2у—3=0 и Зх-|-
+2у-9—0.
Вариант 3
1„ Составьте уравнение окружности с цент-
ром на прямой х=—3, касающейся оси у в
точке (0, 2).
2. Найдите точку пересечения прямых, за-
данных уравнениями Зх-|-4«/-|-7=0 й Зх—у—
—5=0.
Вариант 4
I. Составьте уравнение окружности, про-
ходящей через точки (0, 2), (4, 0) и (4, 2).
28
2. Составьте уравнение прямой, проходя-
щей через точки (—3, 1) и (2, —2)..
С-12, Расположение прямой
относительно системы координат.
Пересечение прямой с окружностью
Вариант 1
1, Запишите уравнение прямой, проходя-
щей через точку (—1, 2) и параллельной
оси у.
2. Расстояние от центра окружности, за-
данной уравнением (х—1)2+(у-|-2)2=36, до
прямой а равно 6. Что Можно сказать о вза-
имном расположении прямой а и данной ок-
ружности?
Вариант 2
1. Запишите уравнение прямой, проходя-
щей через точку (2, —3) и параллельной
ОСИ X.
2. Окружность с центром в точке (2, 1) ка-
сается оси х. Пересекает ли эта окружность
ось у? Ответ объясните.
Вариант 3
1. Составьте уравнение прямой, проходя-
щей через начало координат в точку (4, —2).
2. Окружность с центром в точке (2, 3) ка-
сается оси у. Пересекает ли эта окружность
ось х? Ответ объясните.
Вариант 4
1. Какие углы образует прямая, заданная
/равнением 2x-j-2y-f-3—0, с осью х?
2. Докажите, что любая прямая, проходя-
щая через середину радиуса окружности, пе-
ресекает ее в двух точках.
С-13. Определение синуса, косинуса
и тангенса для любого угла от 0° до 180е
Вариант 1
1. Пользуясь таблицами, найдите значения
синуса, косинуса и тангенса углов: 145°,
99°4О'.
2. Найдите cos а, если sin а=0,8 и 90°<
<а<180°.
Вариант 2
1. Пользуясь таблицами, найдите значения
синуса, косинуса и тангенса углов: 133°,
105° 10'.
g
2. Найдите sin а, если cos а =-^и 90° <
<а<180°.
Вариант 3
1. Пользуясь таблицами, найдите значе-
ния синуса, косинуса и тангенса’ углов: 127°,
100° 15'.
1
к t ЧЩЧНЦОК
29
2 Найдите
90°<сс<180°.
tg а, если
5
COS а =------—- и
Вариант 4
1. Пользуясь таблицами, найдите значения
синуса, косинуса и тангенса углов: 92°40',
152° 17'.
2. Найдите cps а и tg а, если sin а = —
и 90°<а<180°.
Об одном уроке геометрии
Г. И. Саранцев
(г. Саранск]
В данной заметке освещаются методические
приемы организации учебной деятельности
школьников на уроке по изучению теоремы
о сумме углов треугольника. При подготовке
к уроку учитель должен подумать о том, как
привлечь учащихся к открытию закономерно-
сти, отображенной в теореме, как организо-
вать работу школьников по доказательству
и закреплению теоремы, каковы возможности
этого материала для развития творческой
деятельности школьников, для формирования
умения работать с книгой и т. д.
Прежде всего следует позаботиться о том,
как привлечь школьников к установлению за-
висимости, утверждаемой теоремой. В IV
классе, учащиеся узнают о том, что сумма
углов треугольника равна 180°, однако, как
следует из наблюдений за школьниками, мно-
гие из них к VI классу забывают об этом
факте. Поэтому, давая задание на дом на
предыдущем уроке, целесообразно предло-
жить учащимся измерить углы треугольника
и найти их сумму. Данные измерений обсуж-
даются на уроке, и в результате формулиру-
ется гипотеза о том, что сумма углов тре-
угольника равна 180°.
Доказательство этого утверждения гро-
моздко, оно опирается на многие факты:
свойство вертикальных углов; 2) признак ра-
венства треугольников по двум сторонам и
углу между ними; 3) признак параллельности
прямых; 4) теорему о сумме внутренних од-
носторонних углов, образуемых двумя парал-
лельными прямыми и секущей; 5) свойство
измерения углов: градусная мера угла равна
сумме градусных мер углов, на которые он
'разбивается любым лучом, проходящим меж-
ду его сторонами. К тому же учащиеся долж-
ны уметь вычленять внутренние накрест ле-
жащие углы и внутренние односторонние уг-
лы. Указанные Факты можно «освежить-»
в памяти шестиклассников путем выполнения
следующих упражнений:
1)	Указать на рис. 1 несколько пар внут-
ренних накрест лежащих углов. Ответ обос-
новать.
2)	Указать па том же рисунке внутренние
односторонние углы. Отв :т обосновать.
3)	Известно, что Z_BdC=60°, /1ЛСВ = 70о,
AO—OD, ВО^ОС (рис. 2). Найти Л.АВС.
Все рисунки должны быть под! отовлены
учителем «арьтее.
После ъчггвчлнения упражнений можно при-
ступать к доказательству теоремы, которое
теперь проь'-дмтел при активном участии
школьников В частности, все дополнительные
построения у Ж* не будут казаться учащимся
«неким подобием фокуса, демонстрируемого
учителем». Как показывает опыт, доказатель-
ство теоремы после такой подготовки осуще-
ствляется учащимися почти самостоятельно.
Лишь в отдельные моменты учитель направ-
ляет их действия по нужному пути. Напри-
мер, он может задать такие вопросы: «Какие
дополнительные построения необходимы для
доказательства теоремы?», «Почему углы
АСВ и DBC (рис. 1) внутренние накрест ле-
жащие?» и т. д. В случаях затруднений це-
лесообразно отсылать учащихся к соответст-
вующему месту учебника, предложив им про-
читать необходимый материал и вновь отве-
тить на вопросы.
Если на уроке использовался рисунок, иден-
тичный рисунку учебного пособия, то в ка-
честве домашнего задания следует предло-
жить ученикам доказать теорему с использо-
ванием других построений (рис. 3). Возмо-
жен и другой путь: на уроке рассмотреть кон-
фигурацию, отличную от той, что дана в учеб-
нике, а дома предложить учащимся восстано-
вить доказательство теоремы по учебному
пособию. Важно, чтобы домашняя работа не
сводилась к простому воспроизведению
классной. Она должна требовать переосмыс-
лений изученного на уроке, формировать уме-
ние использовать знания в новых ситуациях.
Как показывает опыт, доказательство тео-
ремы с опорой на новый рисунок вызывает
трудности у многих шестиклассников. Для
преодоления их мы используем специальные
карточки. На карточке изображается табли-
ца, состоящая из двух колонок. Одна колон-
ка содержит утверждения, другая — их обос-
нования, причем в колонках имеются пустые
места, которые должен заполнить ученик. За-
пишем в виде таблицы (без пропусков) дока-
зательство теоремы по рис. 3.
Один из вариантов карточки можно соста-
вить на основе данной таблипы, если сделать
в ней некоторые пропуски. Например, можно
Теорема о сумме углов треугольника
I Утверждения	TI Обоснования
1. О — середина отрез- ка АС	По построению
2. OD-OB	По построению
3. ^AOD- ‘^СОВ	Свойство вертикальных углов
4. ДООЛ=-ДВОС	Первый признак равен- ства треугольников
5. ^-.DAO=-^BCO, или ^ОАС-^ВСА	Утверждение 4
6. Точки В и D лежат в разных полуплос- костях относитель- но прямой АС	По построению: отрезок BD пересекает прямую ylC
7. Углы DAO и ВСО— внутренние накрест лежащие для пря- мых DA, ЕС и се- кущей АС	Утверждение 6
8. DAIEC	Признак параллельности прямых
9. Точки С и D лежат в одной полуплос- кости относительно прямой .W	По построению: точки С и D лежат в той же полуплоскости относи- тельно прямой АВ, что и точка О
10. Углы DAB и АВС— внутренние односто- ронние для прямых DA, ВС и секущей АВ	Утверждение 9
11. ^DAB+clABC- 180°	Утверждения 8 и 10
12. ^DAB=^DAC + \-^САВ	Луч АС пересекает от- резок BD
13. ^всаа-^.сав + + ^ABC=^.D АС+ +^САВ+^АВС~ =-^DAB+^ABC-= — 180°	Утверждение 5, утверждения 12 и 11
оставить пустыми клетки: II, 1; I, 2; II, 3—6;
1,7- 8; II, 9; 1, 10—11. (Римская цифра озна-
чает номер столбца в таблице, а следующие
за ней арабские цифры — номер строки в дан-
ном столбце.)
Подобные карточки эффективны при само-
стоятельной работе учащихся на уроке и при
выполнений домашнего задания. Их можно
видоизменять с учетом индивидуальных воз-
можностей учащихся. Количество пустых
мест в карточке зависит от того, как ученик
ориентируется в материале. Если хорошо, то
пустых мест в его карточке больше, если
хуже — меньше. (Некоторые учащиеся дока-
зывают теорему без карточек.)
Изучение теоремы сопровождается выпол-
нением упражнений на ее применение. Таких
упражнений в учебнике «Геометрия 6—10»
А. В. Погорелова достаточно. Для закрепле-
ния на уроке можно использовать упражне
ния 14, 15. Задачу 16 целесообразно предло-
жить в качестве домашнего задания. Обсуж-
дение на следующем уроке ответов учащихся
на вопросы задачи 16 даст возможность са-
мим учащимся сформулировать следствие:
«У любого треугольника хотя бы два угла
острые».	•
В данной заметке мы старались показать
на конкретном материале возможность акти-
визации деятельности школьников на уроке.
Учащиеся не только изучают теорему, но и
привлекаются к ее «открытию», поиску дока-
зательства. При этом у них формируются
умения работать с книгой, читать чертеж.
Таким образом школьники овладевают навы-
ками творческой деятельности.
Система устных заданий
для V класса
(математические диктанты)
Е. Б. Арутюнян, М. Б. Волович,
Ю. Д. Глазков, Г. Г. Левитас (Москва)
Эта статья является продолжением статьи
с тем же названием, опубликованной в № 4
журнала за 1983 г. Приводимые тексты ма-
тематических диктантов используются во II
полугодии V класса. Номера и названия за-
даний совпадают с пунктами учебника «Ма-
тематика 5» издания 1980 и 1981 гг. Полно-
стью приводятся тексты только первого вари-
анта математических диктантов. Разночтения
во втором варианте указаны в квадратных
скобках. Задания, отмеченные одной звездоч-
кой, предназначены для проверки знаний, не-
обходимых при изучении следующего пункта
учебника. Двумя звездочками отмечены во-
просы, требующие вынесения надписей (фор-
мул, уравнений и т. п.) на доску.
34.	Сокращение дробей
1.	Запишите, множество общих делителей
чисел 12 и 15 [10 и 14].
2.	Найдите наибольший общий делитель чи-
сел: а) 10 и 14, б) 4 и 9 [а) 12 и 25, б) 12
и 15] *.
1 Задания а), б), в) и т. д. лучше диктовать под от-
дельными номерами.
3.	Запишите дроби V12. I0/i4, Vs. Подчерк-
ните ту из них, которая является несократи-
мой. [Закончите предложение: «Числа, не
имеющие других общих делителей, кроме 1,
называются...».]
4.	Сократите дроби: а) 4/6, б) 75/юо [a) V12,
б) 24/о6]
5.	Закончите предложение: «Числа, не
имеющие других общих делителей, кроме 1,
называются...». [Запишите дроби |4/ю, l2/«s,
|2/15. Подчеркните ту из них, которая являет
ся несократимой.]
6.	Выполните действие и сократите резуль-
тат:
а) "2Г ~ 2Г ’	1 * Т + 3 Т [а) 24 + “24 ’
б)4-|----
35.	Простые и составные числа
I Сколько делителей у простого [состав-
ного] числа?
। 2. Выпишите все делители числа 3 [4].
Простое это число или составное?
3.	Сколько делителей у составного [про-
стого] числа?
4.	Выпишите все делители числа 6 [1].
Простое это число или составное?
5.	Выпишите все делители числа 1 [5].
Простое это число или составное?
6.	Двузначное число оканчивается на 5 [7].
Может ли это число быть простым?
7.	Двузначное число оканчивается на 3 [2].
Может ли это число быть простым?
31
36.	Разложение на простые множители
1.	Разложите на простые множители чис-
ла: а) 12, б) 200, в) 70, г) 16 [а) 14, б) 30,
в) 300, г) 27].
2.	Сократите дробь 15/ю5 [14Утп] -
3*. Начертите треугольник ABC [BCD]. По-
стройте треугольник, симметричный данному
относительно поямой ЕС.
37.	Фигуры, имеющие ось симметрии
1.	Сколько осей симметрии имеет равно-
сторонний [равнобедренный неравносторон-
ний] треугольник?
2.	Сколько осей симметрии имеет окруж-
ность [квадрат]?
3*. Запишите первые три числа, кратные
числу 6 [7].
4*. Запишите дроби ь/6 и 712 [8/э и ВЛ8].
Приведите их к одному знаменателю.
5*. Разложите на простые множители чис-
ло 70 130].
6.	Сколько осей симметрии имеет прямо-
угольник, не являющийся квадратом [круг]?
7.	Постройте квадрат ABCD и проведите
через точку А ось симметрии этого квадрата.
[Постройте круг радиусом в 2 см и прове-
дите три оси симметрии этого круга.]
38.	Наименьшее общее кратное
1	. Напишите три общих кратных чисел 2 и
5[3и5].
2	Найдите наименьшее общее кратное чи-
сел 8 и 6 [4 и 6].
3*. Сравните дроби
_7	13	[47	_7_1
8 И 32	[ 36 И 9 J’
4*; Найдите разность [сумму]
_7_____Н	Г 3	13 3
8	16 [ 9 + 18 ]•
5** Зная, что 36 равно 2-2-3-3 и 120 [126]
равно 2-2-2-3-5 [2-3-3-7], найдите наимень-
шее общее кратное чисел 36 и 120 [36 и 126].
6. Найдите «аименьшее общее кратное чи-
сел 16 и 18 [fib и 50], разложив их на про-
стые множители.
7. Запишите дроби 3/25 и 7/ю [п/12 и 5/э].
Приведите их к наименьшему общему знаме-
нателю.
39. Сравнение, сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями
1. Что больше: часа или -%- часа
О	4
ИЛИ КМ I?
км
_ „	г 6	7 Г 4	5 1
2. Сравните дроби -у- и ~д- 1“ и “ .
3*. Представьте число 1 в виде дроби со
знаменателем 7 [11].
4*. Найдите значение разности
Р.-4]
й 3	30 Г 3	151
5.	Сравните дроби — и |-g- и -^].
6.	Найдите сумму [разность] + -у ----
7.	Решите уравнение х +	£ у —у- «
-Я-
8. Найдите значение ыражения
9. Вычислите — 2 -----1-3	+
40. Дополнение дроби до единицы
1. Представьте единицу в виде дроби со
знаменателем 23 [31].
2*. Запишите с помощью переменных а и b
[х, у. г] формулу, выражающую перемести-
тельный [сочетательный] закон сложения.
3*. Запишите с помощью переменных а, Ь,
с [х и у] формулу, выражающую сочетатель-
ный [переместительный] закон сложения.
4.	Найдите дополнение до единицы дроби
5Лз Г/н].
5.	Найдите значение выражения
1 _ 21 Г. _ 35 1
1	31 I 1	48 ]•
6.	Найдите сумму чисел:
а) —1 и —б) и — 1 [а) — 1 и -д-:
Тз и — 1J-
7.	Запишите дроби 3/13 и 13/3 [717 и ‘7?]-
Подчеркните ту из них, которая дополняет до
единицы дробь 10/1з [10/i7] •
41. Применение переместительного
и сочетательного законов сложения
1. Для каких чисел верен переместительный
[сочетательный] закон сложения?
2. Найдите значение разности
8-п- [?-4]-
3*. Найдите значение выражения 3.2-0.03
[4,1-0,02].
4* Представьте число 3 [5] в виде дроби
со знаменателем 1.
5. Вычислите 2+ 1-jt- Гз— l-jrl.
о L 9 J
6. Найдите значение выражения
7. Найдите разность
8. Выполните действие
42. Умножение дробей
1. Выполните умножение дробей
2. Найдите произведение дробей
4	3 Г 7	2 1
9H5[8H9J-
3. Вычислите
4*. С помощью переменных а, Ь, с [х, у, г]
напишите формулу, выражающую распреде-
лительный закон умножения относительно
сложения [вычитания].
5*. Запишите выражение 3—2х4-3х—7
[2х—34-7—Зх]. Приведите подобные слагае-
мые.
6.	Найдите площадь прямоугольника со сторо-
8	9	г з	гi
нами -г- дм и -пг дм -с- см и -г-см .
У	Io	L ь	о	J
7.	Чему равны от 0,16 м [-|- от 0,15 км^?
8.	Найачте значение выражения
3	7 Г 2	9 1
К а при а=-д- l-g-Л при	.
43. Применение
распределительного закона умножения
1. Запишете выражение
а) 5-1--3; б) 2 4-8 [а) 2~7; б) 5у-б].
Найдите значение этого выражения.
2* Решите уравнение Зх = 1 [7у = 1].
3. Сумму чисел 2 и 3 Г 3 и 2 4-]
умножьте на 6.[10].
4. К произведению чисел 3 у- и 5	£ 7
5 1	7
и 2 -jy I прибавьте произведение чисел 3 -у и
5-li
° 17
44. Взаимно-обратные числа
1. Закончите предложение: «Взаимно-об-
ратными числами называются два числа, про-
изведение которых равно...». [«Для дроби
«с, деленное на d» обратной является
дробь...».]
2. Напишите число, обратное числу:
а)	~6; в) ~ЗГ [а> ~7; б)4“’
3*. Найдите
10
27
произведение
3 Г 3
и -5“Н й
дробен
141
15 J'
4. Закончите предложение: «Для дроби
«а, деленное на Ъ» обратной является
дробь...». [«Взаимно-обратными числами на-
зываются два числа, произведение которых
равно...»].
5. Напишите число, обратное числу
14 [2-Н
6 Найдите произведение числа 7/]3 [13Д]
к числа, обратного ему.
45.	Деление дробей
1.	Закончите предложение: «Чтобы разде-
лить одно число на другое, надо делимое
умножить на число...». [Замените произведе-
нием частное: а, деленное на дробь 2/3.]
2.	Замечите произведением частное: Ь, де-
ленное на дробь 3/4. [Закончите предложение:
«Чтобы разделить одно число на другое,
надо делимое умножить на число...».]
3.	Замените произведением частное:
у, деленное на 2-^-|\х, деленное на 1-у-].
4*. Начертите с помощью транспортира
угол в 60° [40°] и постройте его биссектрису.
5.	Найдите частное:
7	4 г 3	8 1
-у раз делить на -у-1 у разделить на - - .
6.	Выполните деление: 17 разделить на 17Дэ
[13 разделить на I3/i?]-
47.	Пропорции
1.	Закончите предложение: «Равенство двух
отношений называют...». [«Если пропорция
верна, то произведение ее крайних членов
равно произведению...»].
2.	Запишите пропорцию: отношение 7 к 21
[3 к 4] равно отношению 1 к 3 [9 к 12]. Под-
черкните ее средние [крайние] члепы.
3.	Закончите предложение: «Если пропор-
ция верна, то произведение ее средних чле-
нов равно произведению...». [«Равенство двух
отношений называют...»].
•Математика ? школе* № 6
33
4* Чему равна площадь квадрата со сто-
роной а см [Ь дм]?
5.	Решите уравнение х : 3—7 : 6 [8 : у—
=?=24 :5|, пользуясь свойством пропорции.
6.	Запишите равенство xy=ab иа=лр].
Считая, что произведение х на у [с на d] не
равно 0, составьте пропорцию из чисел х, у,
а и b [с, d, k и р].
7.	Верна ли пропорция: отношение 3 к 9 [7
к 28] равно отношению 5 к 14 [1 к 4].
8.	Составьте пропорцию из чисел 1, 2, 8 и 4
[1, 3, 6 и 2].
48.	Степень
1.	Запишите степень с основанием 3 [6]
и показателем 2 [4].
2.	Запишите в виде степени произведение,
состоящее из четырех [пяти] множителей,
каждый из которых равен а [Ь].
3.	Запишите выражение: 10 в пятой степе-
ни [3 в десятой степени].
4.	Найдите значение: а) четвертой [треть-
ей] степени числа —2 [—3], б) пятой
[восьмой] степени числа —1 [0]; в) в шестой
[восьмой] степени числа 1 [—1]; г) седьмой
степени числа 0 [1].
5.	Запишите в виде произведения степень
с основанием х [у] и показателем 3 [4].
49.	Длина окружности .
1.	Напишите формулу, по которой вычис-
ляется длина окружности, если известна дли-
на ее радиуса [диаметра].
2.	Вычислите длину окружности, длина
диаметра [радиуса] которой равна 10 м
[5 дм], округлив число л до сотых
3* Вычислите площадь квадрата со сторо-
ной 7 см [9 мм].
4.	Конечной или бесконечной десятичной
дробью выражается число л? [Длина окруж-
ности раьна 6,28 см Найдите радиус этой
окружности, округлив число л до сотых.]
5.	Длина окружности равна 9,42 дм. Округ-
лив число л до сотых, найдите диаметр этой
окружности. [Конечной или бесконечной де-
сятичной дробью выражается число л?]
бё. Площадь круга
? Напишите формулу, по которой вычис-
ляется площадь круга, если известна длина
его радиуса. [Округлите число л до десятых
и запишите результат.]
2. Округлите число л до целых и запишите
результат. [Напишите формулу, по которой
вычисляется площадь круга, если известна
длина его радиуса ]
3. Вычислите площадь круга, длина радиу-
са которого равна 3 дм [10 м], округлив
число л до сотых.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
О составлении циклов
взаимосвязанных задач
Г. В. Дорэфеев
(Москва)
Каждая задача, рассматриваемая сама по се-
бе, обычно представляет некоторое изолиро-
ванное утверждение или требование и пред-
полагает выполнение определенных действий
для ее решения. Между тем учитель, ставя-
щий задачу перед учащимися (так же, как
преподаватель вуза перед студентами), пре-
следует, как правило, более общие цели, для
него конкретная задача является лишь одной
из многих, лишь узчочастным средством для
достижения более общих целей — формиро-
вания или закрепления нового понятия, полу-
чения новых или активизации старых знаний,
демонстрации определенного метода рассуж-
дений, активизации методов доказательства
теорем, изложенных в курсе, и т. п.
В связи с этим и возникает проблема соз-
дания циклов взаимосвязанных задач, раз-
личных по формулировке, по сюжету, но
имеющих общее дидактическое назначение,
служащих достижению поставленной цели.
В теоретическом плане составление таких
циклов само по себе не является чем-то прин-
ципиально новым: именно таким циклом за-
дач, связанных между собой методически и
математически, и является всякая система
упражнений, направленная на пропедевтику,
формирование или закрепление того или ино-
го понятия, утверждения или метода рассуж-
дений.
Поэтому теоретический аспект проблемы
состоит в описании методов конструирования
таких циклов, в обобщении многочисленных
отдельных приемов, используемых для их со-
ставления. Каждая конкретная задача имеет
определенный набор связанных с ней задач,
определенную окрестность — по содержанию,
методам рассуждений, кругу используемых
понятий. Более того, каждая задача входит
в некоторый букет окрестностей, связанных с
той или иной ее особенностью, а выбор одной
из многих окрестностей задачи для построе-
ния цикла определяется конкретной ситуаци-
ей преподавания. Разнообразие букета окрест-
ностей задачи предопределяет широту ее ис-
пользования и является, по нашему мнению,
важным критерием ее дидактической ценно-
сти.
В "Ю же время описание даже одной окрест-
ности задачи, ситуационно полной в методи-
3-1
ческом отношении, представляет собой слож-
ную проблему, решение которой проводится
на чисто интуитивном уровне и существенно
зависит от опыта учителя, от уровня его ма-
тематического образования и методической
подготовки.
Невозможно, очевидно, сформулировать ка-
кие-либо достаточно определенные «алгорит-
мы» построения окрестности конкретной за-
дачи, и поэтому важной представляется си-
стематизация разнообразных приемов варь-
ирования задач, достаточно общая в теорети-
ческом плаче и в то же время эффективная
в плане практическом. Такая систематизация
является, по нашему мнению, необходимым
средством обучения учителей (как настоящих,
так и будущих) умению видеть взаимосвязи
отдельных внешне разрозненных задач, са-
мостоятельно составлять циклы задач, объ-
единенных общими идеями.
Разумеется, описание системы приемов
варьирования задач представляет собой ис-
ключительно сложную проблему прежде все-
го в силу ее оптимизационного характера;
требуется найти наилучшее в дидактическом
смысле сочетание минимизирующего и мак-
симизирующего факторов: теоретической
обобщенности приемов, с одной стороны,
и возможности практической конкретизации,
обеспечения действенности этих приемов,
с другой стороны.
Несколько приемов варьирования задач
рассмотрены в статье П. М. Эрдниева и др.
«О постановке в университетах спецкурса по
содержанию школьных учебников» (Матема-
тика в школе, 1981, № 5); они сформулиро-
ваны следующим образом: «рассмотрение
взаимно-обратных задач», «обобщение вопро-
са задачи», «рассмотрение стереометрических
аналогов», «изменение точки зрения на тре-
бование задания».
Первый из этих приемов хорошо известен
и является эффективным средством анализа
задачи, проясняющим ее математическую сущ-
ность. Известно также, насколько важным в
дидактическом отношении является рассмот-
рение возможности доказательства обратных
утверждений для теорем, изучаемых в школь-
ном курсе или содержащихся в задачах. Бо-
лее того, полноценный анализ той или иной
теоремы непременно должен включать ис-
следование не только обратного утверждения,
т. е. необходимости условия теоремы для ее
заключения, но и выяснение существенности
тех или иных ограничений, указанных в усло-
вии теоремы.
Таким образом, первый из названных прие-
мов с учетом указанных дополнительных ва-
риаций представляет собой один из самых
простых примеров оптимального сочетания
теоретической обобщенности и практической
эффективности. В этом плане менее удачен
также хорошо известный прием рассмотрения
стереометрических аналогов — он является,
по-видимому, частным проявлением некоторо-
го более общего приема в применении к кон-
кретным классам задач.
Другими словами, в теоретическом плане
этот прием недостаточно обобщен, хотя с
практической точки зрения он является эф-
фективным средством варьирования задач.
Отметим, что очевидное обобщение этого
приема — «поиск аналогии» — характеризу-
ется противоположным образом: в теоретиче-
ском плане эта формулировка вполне соот-
ветствует существу дела, однако для практи-
ческого применения является недостаточно
конкретной.
Прием «обобщение вопроса задачи» ил-
люстрируется авторами статьи, к сожалению,
несколько упрощенно: в задаче на нахожде-
ние минимума ставится дополнительный во-
прос о нахождении максимума. Между тем
в действительности речь здесь идет, как ука-
зывают авторы в комментариях, о «понима-
нии ситуации в целом»; конкретно говоря,
в рассматриваемой задаче «Через точку внут-
ри окружности провести хорду наименьшей
длины»" учитель (или студент) должен уви-
деть общую ситуацию — через точку внутри
окружности можно провести бесконечное мно-
жество хорд, что приводит к целому спектру
различных вопросов, касающихся отдельных
сторон этой ситуации.
Самые естественные из вопросов — отыска-
ние хорд наибольшей и наименьшей длины,
однако можно поставить и другие, например
о минимизации и максимизации произведе-
ния отрезков хорды, опредеччемых данной
точкой, или площади отсекаемого хордой сег-
мента. При ответе на эти дополнительные во-
просы обнаружится интересный математиче-
ский факт — постоянство произведений отрез-
ков хорд, и тогда проявится несколько неожи-
данная, а следовательно, эмоционально на-
сыщенная взаимосвязь исходной задачи с
«классической» задачей минимизации суммы
двух слагаемых, произведение которых посто-
янно. Интересно подчеркнуть, кроме того, что
в последней задаче максимизировать рас-
сматриваемую сумму невозможно, тогда как
в задаче о длине хорды максимум достига-
ется. Это связано с тем, что в геометрической
задаче слагаемые ограничены снизу расстоя-
нием от данной точки до окружности. Поста-
новка таких дополнительных вопросов позво-
ляет создать для исходной задачи фрагмент
окрестности, связанной с методами решения,
поскольку речь идет уже о нахождении экст-
35
рсмальных значений функции вида у=
на некотором промежутке.
Таким образом, в теоретическом плане для
варьирования задачи применяется не столько
«обобщение вопроса задачи», сколько анализ
се условия и исследование всего комплекса
вопросов, возникающих в ситуации, описывае-
мой условием. Имея такой набор вопросов,
учитель может использовать отдельные из них
в соответствии с конкретной методической
ситуацией, создавая циклы задач специаль-
ного назначения. Частью этого комплекса яв-
ляется н поиск стереометрических аналогов;
в рассматриваемой задаче естественно, в част-
ности, поставить вопрос о проведении через
данную точку сечений шара, имеющих мак-
симальную и минимальную площадь.
Можно сказать, что существенной стороной
обсуждаемого методического приема варьиро-
вания задач является «отвлечение» от кон-
кретного вопроса и анализ «ситуации в це-
лом». Рассмотрение обратной задачи также
является, впрочем, частным случаем проясне-
ния «ситуации в целом», и специфика этого
приема в том, что обращение задачи обыч-
но почти однозначно определяется именно
конкретным вопросом исходной задачи; сле-
довательно, этот прием применим многократ-
но при различных конкретизациях вопросов,
возникающих в связи с данной ситуацией.
Четвертый прием, указанный авторами,—
«изменение точки зрения на требование зада-
ния» — не лре вставляется удачным ни с тео-
ретической, ни с практической точки зрения.
1Чсясен прежде всего смысл самой фориули-
р вки — что вообще значит изменить точку
зрения на требование задачи? В иллюстри-
рующем примере авторы указывают, что этот
прием «родствен постановке обратной зада-
чи», однако в действительности здесь ставит-
ся именно обратная задача: в исходной за-
даче требуется установить некоторое свойство
точки пересечения медиан треугольника, а в
новой надо выяснить, только ли эта точка
обладает заданным свойством. Поэтому ав-
торское понимание приема остается неясным.
Помимо рассмотрения некоторых общих
приемов варьирования авторы приводят не-
который цикл задач, объединенных методом
решения, однако какой-либо теоретической
формулировки для использованного приема,
идеи, на которой основано развитие исход-
ной задачи, они не приводят.
Исходная задача заключается здесь в до-
казательстве тождества
Та- + Тб" ’ 6-7 + • • • + (п + з) („ + 4) ~
п
~ 4 (л -j- 4) •
При развитии этой задачи авторы прежде
всего отказываются от ее точной постановки
в учебном пособии «Алгебра и начала анали-
за 9—10», откуда она заимствована и где
указано, что доказательство требуется про-
зести методом математической индукции.
В дальнейшем рассматривается задача о сум-
мировании слагаемых такой же структуры,
как в левой части приведенного тождества.
В то же время внутреннюю структуру за-
дачи авторы не вскрывают, и поэтому оста-
ется неясным, в чем же в действительности
состоит «метод решения приведенной серии
задач», о котором они пишут в конце своего
анализа. Напротив, остается впечатление, что
решение подобных задач требует придумыва-
ния специальных тождеств, возникающих, гру-
бо говоря, «неведомо откуда». И если до пер-
вого из них — тождества
J_______1________1_
п	п + 1	п (П + 1)
догадаться довольно легко и не слишком
трудно выписать аналогичное тождество для
суммирования выражения
J_ . 1 . 1 .
2-7 • 7-12 -г 12-17 *'•••
(сумма, разумеется, конечна), то для сум-
мирования выражений
2X4 + з74Т + 4Л^6 + *" ’
и
+_____!___ . ____1—4-
3-5-7-9	5-7-9-11	7-9-11-13	"
требуются тождества
________’	= J_rJ____L_ . _ L_\n
х (X + 1) (JC + 2)___________2 \ jr x+1 Tx + 2/UJ
И
1
+ 1) (x +2) ix 4- 3) ~~
найти которые уже весьма затруднительно.
Между тем в действительности эффектив-
ность рассмотренного приема решения этой
серии задач связана с тем, что знаменатели
дробей-слагаемых представляют собой произ-
ведения некоторого числа последовательных
членов арифметической прогрессии, т. е. дро-
би имеют вид
х(х + (х + 2d)...(x 4- nd} '	''
Поэтому для получения требуемых тождеств
фактически следует разложить дроби вида
(3) на отдельные слагаемые, которые в ма-
тематическом анализе и в алгебре называют-
ся простейшими дробями.
36
Тем самым «вычислительная» задача сум-
мирования неожиданным образом связывает-
ся с интегральным исчислением, где разло-
жение дроби на простейшие используется для
интегрирования рациональных дробей. В част-
ности, в школьной практике появляется воз-
можность использовать тождества (1) и (2),
визь икающие в задаче суммирования, для
нахождения первообразных или для подсчета
площадей соответствующих трапеций.
Что же касается математической стороны
задачи, то в рассматриваемой ситуации воз-
никают вопросы и значительно более инте-
ресные. Естественно прежде всего выяснить
внутренние причины эффективности исследуе-
мого приема: почему требуемое тождество
всегда существует, почему, несмотря на то
что коэффициенты разложения оказываются
довольно сложными, промежуточные слагае-
мые взаимно уничтожаются, почему получен-
ное тождество приводит к нужному резуль-
тату? Исследование первого вопроса прове-
дено в курсе математического анализа, где
доказана соответствующая теорема сущест-
вования: однако в данном случае ссылка на
нее еще не дает ответа на второй вопрос, так
что для решения задачи следует эффективным
образом описать разложение дроби вида у
на простейшие.
Итак, поскольку многочлен f=x(x-|-d)...
... (x-^-nd) имеет различные действительные
корни, то на основании упомянутой теоремы
из математического анализа имеет место ра-
венство
__J__ __ _£1_ I I ch । I сл+1
fix) х~ о, "Г  ' ' "Г X— ак "* • • '	X — ап+1 ’
(4)
где си, 02, —, On+i — корни многочлена f,
а С], с2, ..., сп+1 — некоторые действительные
п	1
числа. Докажем, чтось = ——г- для любого
1 \ак>
fe=l, 2, ...» пЧ-1.
Действительно, поскольку
f(x) = (x—сц) (х—аг) ... (х—Оп+1),
то, умножив обе части равенства (4) на f(x),
заметим, что при х-+а* все слагаемые в пра-
вой части, за исключением слагаемого с но-
мером k, стремятся к 0 (знаменатель имеет
предел, отличный от 0, а в числителе есть
множитель х—аь), а слагаемое с номером k
можно представить в виде
Ckf(x) _с f (x) — f(ak)
X — ak к	х — ак
так что его предел равен cAf'(aft). Поскольку
предел левой части также равен 1, то
<W'(afc) —!. и равенство (4) принимает вид
п+1
/(х)	f' (ak) (X — ak) •
4=1
Отмстим, что при доказательстве формулы
(5) мы не пользовались конкретным виде.:.:
корчей многочлена f и опирались только га
тот факт, что все его корни различны. При
дальнейшем решении задачи специфику кор-
ней, естественно, придется использовать. Для
вычисления значений f' от корней многочле-
на f нет необходимости явно выписывать фор-
мулу для производной, достаточно заметить,
что f' представляет собой сумму слагаемых,
каждое из которых является произведением
всех двучленов, входящих в разложение мно-
гочлена f, кроме одного. Следовательно, при
подстановке в f' значения ал все слагаемые,
кроме одного, обратятся в 0, и мы будем
иметь:
Г (ай) = (а4 — ai) (а4 — а2) • • • (aft — «'.-1)	—
— afc+i). . . (aft — a„+i) = (k — 1) d (k — 2)d...
...d(—d) (—2d)...(— (n + 1 —A))d =
= (— 1 )»-*+> (/г — 1)! (л + 1 — Л)1 dn =
cn-l
Равенство (5) принимает вид
_L_ = _!_ Y	сГ1
fix) n\dn 2-i x + (k—1) d *
4=1
и теперь понятно, что при суммировании
«диагональные» слагаемые взаимно уничто-
жаются благодаря известному утверждению,
что знакопеременная сумма биномиальных
коэффициентов равна 0.
Решение этих задач само по себе пред-
ставляет, на наш взгляд, значительный инте-
рес для математического развития и для вос-
питания у учителей методического умения
проникать при решении конкретной задачи в
ее математическую сущность. Кроме того, ре-
шение задач такого рода важно и с воспита-
тельной точки зрения — они показывают, что
абстрактные математические курсы, читае-
мые в педагогических институтах и универ-
ситетах, имеют самое непосредственное от-
ношение к обычным школьным задачам, и не
только в общетеоретическом, но и в чисто
практическом плане.
Прием, использованный при варьировании
исходной задачи в данном случае, может
быть назван «анализом математической ге-
неалогии задачи», поиском закономерности,
частным проявлением которой является ис-
ходная задача. Этот прием можно рассмат-
ривать, конечно, как частный случай обобще-
ния, однако обобщение само по себе являет-
ся весьма абстрактной категорией, и далеко
не всегда ясно, в каком направлении следует
37
обобщать утверждение задачи. В данном слу-
чае термин «генеалогия» представляется нам
более точным указанием на специфику про-
водимого обобщения.
Помимо теоретических трудностей, возни-
кающих при попытках систематизации прие-
мов варьирования задач, составление конкрет-
ных циклов сталкивается с большими труд-
ностями чисто практического характера, свя-
занными, в частности, с тем, что весь постро-
енный цикл должен работать в основном на
одну идею и все задачи цикла должны быть
(как и всякие задачи) абсолютно корректны-
ми с математической точки зрения.
К сожалению, подбор иллюстрирующих
примеров в статье с этой точки зрения не яв-
ляется удачным. В примере 2 исходная зада-
ча «построить параллелограмм, равновеликий
данному треугольнику» развивается до зада-
чи «построить треугольник, равновеликий дан-
ному многоугольнику» и ее стереометрическо-
го аналога. Между тем анализ исходной за-
дачи начинается авторами с алгебраического
подхода и делается вывод, что она имеет бес-
конечное множество решений. Это позволяет
предположить, что авторы интересуются толь-
ко существованием требуемого в задаче па-
раллелограмма, не учитывая конструктивного
оттенка термина «построить» в условии зада-
чи (надо сказать, что условие действительно
может привести к разночтению). Но в этом
случае все дальнейшие обобщения становятся
тривиальными, поскольку существование тре-
угольника, равновеликого данному много-
угольнику, и существование тетраэдра (если
именно тетраэдр считать стереометрическим
аналогом треугольника), равновеликого дан-
ному многограннику, абсолютно очевидно и
вытекает из того, что каждый многоугольник
имеет площадь, а каждый многогранник име-
ет объем. Поэтому совершенно необъяснимы
ссылки авторов на теорему Бойяи—Гервина и
тем более на теорему Дена, в которой общая
постановка задачи приводит к отрицательно-
му ответу. Возможно, они имеют в виду рав-
носоставленность соответствующих фигур.
В примере 3 дано решение обратной зада-
чи, исходя из только что проведенного реше
ния исходной. Между тем более естественно
и более просто в данном случае воспользо-
ваться не методом решения, а именно утверж-
дением исходной задачи: если уже доказано,
что точка О пересечения медиан треугольни-
ка АВС обладает свойством ОЛ4-ОВ4-ОС=0,
то для любой точки Л плоскости (или прост-
ранства, что важно подчеркнуть в контексте
статьи), такой, что
КЛ+Х54-^С=0.
имеем
бк+КА+ок+кв-\гдк-\-к^ :=збк=ъ,
откуда К=О, так что О — единственная точ-
ка, обладающая рассматриваемым свойством.
Трудно согласиться с утверждением авто-
ров, что в решении исходной задачи, сфор-
мулированной без использования векторов,
самым простым и естественным является вос-
становление векторной структуры — не менее
просто и более естественно другое решение,
основанное на теореме о точке пересечения
медиан: через данную точку плоскости следу-
ет провести отрезки, конгруэнтные сторонам
данного треугольника, так чтобы в этой точке
они делились в отношении 2:1.
Наконец, совершенно неудачным является
«обобщение» рассматриваемой задачи на че-
тырехугольники в следующем виде:
«Дан произвольный четырехугольник и точ-
ка О. Построить четырехугольник, у которого
отрезки, соединяющие О с его вершинами,
конгруэнтны сторонам данного».
Эта задача значительно проще, чем обратная
для исходной задачи, и, кроме того, вовсе не
является ее обобщением; если «снизить» ее на
треугольники, то в условии не появится глав-
ное ограничение: точка О является точкой пе-
ресечения медиан. Кроме того, отметим, что,
судя по приведенному авторами рисунку для
случая четырехугольника, они решают «более
сложную» задачу, в которой дополнительно
требуется, чтобы рассматриваемые в условии
отрезки были параллельны сторонам данного
четырехугольника.
Несколько неожиданным является заключе-
ние анализа примера 5 (пункт Д); последняя
задача не связана с общей идеей методом
решения предыдущих задач: она основана
лишь, по выражению авторов, на «общей идее
сокращения одинаковых выражений» и про-
ще всех предыдущих задач. Для ее решения
достаточно заметить, что знаменатель каж-
дого множителя является квадратом, а чис-
литель на 1 меньше; после чего числитель
«сам собой» раскладывается на множители,
а выписывание первых множителей момен-
тально показывает возможность сокращения
равных выражений. Не удивительно поэтому,
что для решения первой задачи требуется око-
ло 20 мин, а для решения последней только
2—3 мин, но это объясняется скорее ее объ-
ективной простотой, а не предварительной
работой другими методами с другими выра-
жениями. Обшей в этих задачах является, по-
жалуй, только параллель «взаимное уничто-
жение — сокращение» равных выражений, су-
щество же совсем различно. В то же время
наличие пусть даже и слабой аналогии по-
зволяет сделать анализ этого примера ие-
38
сколько более приемлемым, если начать имен-
но с последней задачи.
Таким образом, проблема систематизации
приемов варьирования задач, создания цик-
лов задач различного назначения является
весьма актуальной для совершенствования
процесса обучения будущих учителей, но ис-
ключительно сложна как в теоретическом, так
и в практическом плане.
О формировании
навыков и умений учащихся
при решении задач
пеовых разделов стереометрии
М Е. Тимощук
(г. Курск)
Одним из важных моментов в обучении
школьников решению задач является форми-
рование у них навыков и умений.
Теоретические положения, разработанные
в психолого-педагогической литературе, а так-
же практика обучения в школе убеждают
в том, что формирование навыков и умений
не только позволяет учащимся глубоко овла-
девать школьными предметами, но развивает
их, способствует подготовке к жизни, к само-
стоятельному пополнению знаний, к творче-
ству.
Психологи отмечают, что развитию школь-
ников способствуют не умения сами по себе,
а их динамика, их формирование и перевод
на новый, более высокий уровень, подготовка
к переносу умений, использованию их в новой
ситуации. Главным средством и показателем
развития учащихся является уровень обоб-
щенности и переноса приобретенных ими уме-
ний в новые ситуации и условия деятельно-
сти.
В психолого-педагогической, методической
литературе понятие об умениях дается вме-
сте с понятием о навыках. Можно выделить
два основных подхода к определению навы-
ков и умений, к анализу процесса их форми-
рования. Согласно первому из них созна-
тельное владение приемом деятельности на-
зывается умением, а умение, доведенное до
реально возможного автоматизма, характе-
ризуется как навык; умение постепенно пере-
растает в навык.
Однако в исследованиях последних лет все
большее отражение находит иная точка зре-
ния, согласно которой умение наполняется
другим содержанием. Под умениями понима-
ются творческие действия, в их структуру
включаются знания и навыки; умением назы-
вают использование имеющихся знаний и на-
выков для выбора и осуществления приемов
действия в соответствии с поставленной
целью, тогда как навыки — это компоненты
сложного умения, они могут в известной сте-
пени автоматизироваться, а умения, будучи
творческими действиями, автоматизироваться
не могут.
Напомним, что подобной точки зрения, не
приводя психологического обоснования, при-
держивайся Д Пойа. Он писал- «Умение —
это мастерство, это способность использовать
имеющиеся у вас сведения для достижения
своих целей; умение можно еще охарактери-
зовать как совокупность определенных на-
выков».
Различия в трактовках навыков и умений
в сущности сводятся к различиям в опреде-
лении некоторого конечного этапа освоения
деятельности: является этим этапом навык
или умение Рассматривая вопрос о форми-
ровании навыков и умений учащихся по ре-
шению задач при изучении первых разделов
систематического курса стереометрии, мы
считаем целесообразным такой подход, при
котором на конечном этапе освоения дея-
тельности оказывается возможным творческое
использование знаний, т. е. на конечном эта-
пе освоения деятельности формируется уме-
ние.
Основными моментами, которые необходи-
мо иметь в виду при формировании умений
решать задачи, являются: а) отбор задач,
б) использование обучающих воздействий, ко-
торые повышают познавател! ную активность
учащихся, обеспечивают возможность пере-
носа умений.
Подбирая систему задач в ходе изучения
первых разделов стереометрии, следует учи-
тывать то положение, что умения и навыки,
приобретаемые в ходе решения задач, слу-
жат базой для формирования общеучебных
умений и навыков, основными из которых яв-
ляются умения выделять существенное, пла-
нировать, осуществлять самоконтроль в уче-
нии. Одним из важных моментов в отборе
задач является учет их объективной и субъек-
тивной сложности, соответствие уровню раз-
вития учащихся.
Уровень объективной сложности задачи су-
щественно влияет не только на деятельность
учащихся по ее решению, но и на деятель-
ность учителя по оказанию им необходимой
помощи в поиске решения. В разграничении
уровней объективной сложности задачи бу-
дем использовать следующие понятия:
!) элементарные простые задачи — решае-
мые в один-два шага на основании известных
теорем, аксиом, определений;
39
2)	элементарные составные задачи — отно-
сительно простые по своей фабуле, они явля-
ются составляющими сложных задач;
3)	сложные задачи первого уровня, кото-
рые в результате переформулирования исход-
ного требования сравнительно легко сводят-
ся к цепочке элементарных задач;
4)	сложные задачи второго уровня — про-
цесс сведения их к элементарным подзадачам
обычно вызывает затруднения.
Примером простой элементарной задачи
является следующая: Прямые а и Ь парал-
лельны. Через прямую а проходит плоскость
а. Каково взаимное положение прямой b и
плоскости а?
Приведем пример элементарной составной
задачи: Через точку одной из двух парал-
лельных плоскостей проведена прямая, па-
раллельная другой плоскости. Докажите, что
прямая лежит в первой плоскости. Она отно-
сится к классу задач на доказательство, свя-
занных со взаимным положением прямых и
плоскостей, удовлетворяющих определенным
условиям. Один из методов ее решения осно-
ван на использовании известных приемов:
применение метода от противного и проведе-
ние вспомогательной плоскости, пересекаю-
щей данные. Рассматриваются линии пересе-
чения данных и вспомогательной плоскостей,
исходная задача сводится к цепочке простых
задач, последовательное решение которых
приводит к противоречию (в данном случае
с аксиомой параллельных).
В наибольшей степени формированию гиб-
ких умений способствует решение сравни-
тельно сложных задач. В данной статье рас-
смотрим некоторые подходы к формированию
умений учащихся по решению таких задач.
Их решение в конечном счете сводится к ре-
шению элементарных задач. Узловым момен-
том в процессе сведения сложной задачи к
элементарным, на наш взгляд, является выде-
ление «ключевой» подзадачи.
Формированию умения выделять нужную
подзадачу способствует как самостоятельное
составление задачи учащимися, так и обсуж-
дение уже найденного ими решения (при этом
внимание акцентируется на основных трудно-
стях и методах их преодоления в ходе поиска
решения данной задачи).
На начальных этапах обучения выделению
подзадач учитель может предложить одну
из элементарных задач в качестве самостоя-
тельной. После того как эта задача учащи-
мися будет решена, им можно дать такую
сложную задачу, в составе которой содер-
жится уже решенная задача. Хотя ее реше-
ние будет известно учащимся, но усмотрение,
выделение нужной подзадачи является про-
дуктивным моментом в процессе поиска ре-
шения исходной задачи. Приведем пример.
Задача 1. Точка М принадлежит ребру
ВС куба АВОЛАД^СДД. Доказать, что су-
ществует прямая, проходящая через точку М
и пересекающая прямые АА} и
Учитель может предварительно предложить
для решения учащимся следующую задачу:
Через точку М провести прямую, пересекаю-
щую две данные скрещивающиеся прямые а и
Ь. В этом случае прямая точно не строится,
доказывается только ее существование. Уча-
щиеся сводят предложенную задачу к подза-
даче о проведении линии пересечения с двух
плоскостей аир, где а — плоскость, прохо-
дящая через прямую а и точку М, р — плос-
кость, проходящая через прямую b и точку М
(рис. 1). Устанавливается, что если с||а или
c||fe, задача не имеет решений.
Теперь можно перейти к решению задачи 1,
которое подготовлено решением предыдущей
задачи. После анализа условий и требования
задачи 1 она сводится к следующей подзада-
че: Построить линию пересечения плоскостей
AAtM и СД){М (рис. 2). Отличие ее решения
от предыдущей состоит в том, что теперь ис-
комую прямую надо построить на проекцион-
ном чертеже. Ход решения этой задачи ясен
учащимся: одна общая точка плоскостей
.471 iTM и	известна, значит, достаточно
построить еще одну их общую точку, напри-
мер, найти точку пересечения прямых CiDt
и Д]/С. Построив точку X пересечения прямых
C[DX и Д]К, найдем искомую прямую ХА4.
На бочее высоком уровне трудности нуж-
ные подзадачи выделяются учащимися само-
стоятельно на основании выдвижения гипотез,
использования эвристических приемов При
этом точных правил, которые помогли бы каж-
дому из учеников в любом случае найти эти
подзадачи, полностью сняли бы неопределен-
ность данной задачи, указать, очевидно, не-
возможно. Но это вовсе не означает, что
учить решению задач нельзя.
Чтобы показать некоторые пути формиро-
вания умений по решению сложных задач с
использованием эвристических приемов, рас-
смотрим следующую задачу.
40
3 а д а ч a 2. Скрещивающиеся прямые а и Ь
пересекают плоскость у в точках А и В. До-
казать, что на этих прямых существуют точки
М £ а и П £ b такие, что расстояние | A1W ]
равно заданному расстоянию d и прямая MN
параллельна плоскости у?
В ходе поиска решения задачи можно
использовать метод аналогии. Чтобы найти
способ решения исходной задачи, учащиеся
могут выделить аналогичную задачу из пла-
ниметрии, например, такую: Построить отре-
зок, равный и параллельный данному, так,
чтобы его концы принадлежали данным пе-
ресекаюшимся прямым.
Для решения сформулированной задачи до-
статочно указать способ построения одной из
точек А или В (рис. 3). где | А В | = | МП |,
[ЛВ] || [A47V], [Л1М]—данный отрезок. Точка
А может быть получена как точка пересече-
ния прямых а и Ь', где Ь' — образ прямой b
при параллельном переносе, заданном направ-
ленным отрезком МП. Решение этой задачи
наталкивает учащихся на мысль использовать
для решения задачи 2 параллельный пере-
нос.
При отыскании способа решения задач на
построение в планиметрии учащиеся начина-
ют обычно с анализа; считая искомую фигу-
ру построенной, они устанавливают зависимо-
сти между данными и искомыми и находят
путь решения данной задачи.
По аналогии они могут начать и решение
задачи 2: «Пусть точки М € а и П € b най-
дены так, что |ЛВУ|=6? и (МП) ||у (рис. 4).
При параллельном переносе, заданном на-
правленным отрезком МП, прямая а перейдет
в прямую а', проходящую через точку П £ b
Плоскость а, в которой лежат параллельные,
прямые а и а', пересечет плоскость у по пря-
мой с, параллельной прямой МП (элементар-
ная задача на доказательство)».
Рассмотрение вспомогательной плоскости
а и линии пересечения ее с данной плоско-
стью у — прием, известный из опыта реше-
ния задач на доказательство в стереометрии.
Точка А перейдет в точку А', принадлежа-
щую линии пересечения с плоскостей а и у.
Теперь встает вопрос: что дает использование
параллельного переноса для отыскания ре-
Рис. 3.	Рис. 4.
шсния исходной задачи? В результате анали-
за возникшей проблемной ситуации учащиеся
приходят к формулировке нужной подзада-
чи: Указать способ нахождения точки А'. Ес-
ли удастся доказать существование точки А',
то дальнейшее решение задачи очевидно:
можно указать способ получения точки П
как пересечения прямой b и прямой а', па-
раллельной а и проходящей через точку А'
(это элементарная задача). Точка М может
быть получена как точка пересечения прямой
а и прямой МП, параллельной прямой с.
Итак, исходная задача сводится к доказатель-
ству существования точки А'. Эта задача яв-
ляется сложной. Для ее решения нужно,
в свою очередь, найти подзадачу, уже эле-
ментарную. Известно расстояние (АА'}, т. е.
точка А' находится на данном расстоянии от
точки А. Этот факт может подсказать уча-
щимся новую аналогию: использовать метод
пересечения фигур для указания способа на-
хождения точки А'. Так как каждая из точек
А и А' принадлежит плоскости у, учащиеся
указывают одну из фигур, которой принад-
лежит точка А' — окружность, проведенная
на плоскости у с центром в точке А и радиу-
сом d. Второй фигурой, которой принадлежит
точка А', является прямая ВА'. Формулиру-
ется очередная подзадача о нахождении спо-
соба проведения прямой ВА'. В ходе дальней-
шего анализа выясняется, что прямая ВА'
может быть получена как линия пересечения
плоскостей у и р, где 0 — плоскость, прохо-
дящая через прямые b и а', а следовательно,
параллельная прямой а. Подзадача о прове-
дении плоскости р через данную прямую b
параллельно данной прямой а является эле-
ментарной составной. На этом поиск плана
решения исходной задачи заканчивается.
Из решения задачи 2 учащиеся могут из-
влечь опыт для решения других задач. Он со-
стоит в анализе условий задачи с целью вы-
бора подходящей аналогии. Характерным в
решении задачи является сочетание известных
способов решения геометрических задач из
разных разделов. Выбор сочетания различ-
ных методов, знаний с целью конструирова-
ния нового способа решения предложенной
задачи и является признаком формирования
гибких умений по решению задач. После
отыскания решения этой задачи на основа-
нии применения общих эвристических прие-
мов анализа, аналогии учащиеся могут сфор-
мулировать частный эвристический прием, ко-
торый используется в решении других задач:
при решении стереометрических задач для
отыскания способа решения возможно при-
менение сочетания известных методов, в том
числе и методов решения планиметрических
задач.
41
УЧЕБНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ
Универсальная классная доска
Универсальная классная доска представляет собой
шкаф, лицевая часть которого используется как рабо-
чая поверхность доски.
Конструкция шкафа собирается из 6 рам. Каждая
рама (рис. 1,а) состоит из вертикальных брусов 1 и 2
размером 70X40X2220 мм, соединенных поперечными
брусами 3, 4 и 5, размеры которых 40X340X70 ым. По
длине внутренних поверхностей брусов прорезается паз
для фанерных стенок. Кроме того, в вертикальных бру-
сах прорезаются отверстия для крепежных болтов 6, 7
и 8 и гнезда для цланок 9, которые служат опорами
для внутренних полок шкафа.
Рамы соединяются между собой горизонтальными
брусами 10, 11 и 12 (рис. 1,6) размером 70Х5520Х
Х40 мм каждый с помощью крепежных болтов диа-
метром 6—8 мм и длиной 520 мм. Этими же болтами
крепятся к рамам прижимные планки для обшивки фа-
нерой тыльной стороны шкафа, а к среднему горизон-
тали чому брусу по всей его длине — желобкообразная
полочка 13 (рис. 2), размеры которой 60X5520X40 мм.
Внутри полученных таким образом отсеков на крепеж-
ные болты (или поперечные брусы) укладываются пол-
ки, которые закрывают шкаф сверху и снизу я раз-
деляют его иа две части.
В верхней части с лицевой стороны шкафа между
верхним и средним горизонтальными брусами уста-
навливаются 6 подвижных рабочих досок 15 и 16
(рис. 1,6 и 2), расположенных в два ряда по 3 доски
в каждом. Доски изготовляются из фанеры размером
12ХЮ90Х1400 мм Их внешняя поверхность должна
быть соответствующим образом подготовлена для ра-
боты с мелом. К нижним торцам рабочих досок мон-
тируются ролики '33 и 34 (рис. 2), которыми обеспечи-
вается их подвижность по металлическим направляю-
щим 31 и 32, вмонтированным в средний горизонталь-
ный брус 11 по всей его длине. Верхние части досок
скользят в пазах между рейками, прикрепленными к
верхнему горизонтальному брусу. Для удобства рабо-
ты с досками в их нижией части можно прикрепить
желобкообразные полочки 17 и 18 и ручки 19 (рис. 2),
Рис I
а в верхней части — приспособления 22 (рис. 1,6) для
вывешьвания различных плакатов.
На внутренней поверхности каждой из рабочих до-
сок первого ряда монтируются вспомогательные вы-
движиые доски, изготовленные из фанеры толщиной
4 мм. На рис. 3 показаны различные варианты таких
досок 24- 30 и способ 1 х крепления 20, 21.
Нижняя часть шкафа также закрывается подвиж-
ными досками 37 и 38 (рис. 1,6), расположенными
в два ряда по 5 в каждом. Их размеры 12Х545Х
Х5Ь0 мм Доски скользят в пазах между рейками 35
и 36 (рис. 2), прикрепленными к среднему и ннжнему
горизонтальным брусам. На этих досках можно изо-
бразить различные формулы, графики некоторых функ-
ций, чертежи геометрических фигур и т. п.
В заключение отметим, что описанная конструкция
универсальной классной доски была изготовлена по
проекту авторов учащимися VIII—X классов школы
№ 3 г. Хвалынска Саратовской области.
В. С. Проценко, А. В. Проценко
(г. Хвалынск Саратовской обл.)
Описываемая в заметке классная доска имеет боль-
шую рабочую поверхность, что значительно облегчает
работу учителя с несколькими классами и дает воз-
можность вести всю работу на уроке на высоком
уровне.
Классная доска имеет неподвижное рабочее поле 1,
которое сверху и снизу ограничено рабочими полями 2,
выполненными в виде секций 3, разделенных в верти-
кальной плоскости направляющими 4, имеющими па-
зы 5. В пазах установлены носители информации на
подвижных досках 6; секции имеют основание 7, кото-
рым доска крепится к стенке, при этом неподвижное
рабочее поле 1 снизу ограничено карнизом для мела 8,
шарнирно поворачивающимся на осн 9 и в горизон-
тальной плоскости являющимся крышкой для секций 3
п подвижных досок 6 рабочих полей 2. Удержание
подвижных досок 6 в вертикальной плоскости и в па-
зах 5 выполняют фиксатором, который закреплен пер-
пендикулярно пазам на направляющей 4 и выполнен
в виде Г-образного рычага на оси 11. Одно плечо этого
рычзга контактирует с упором 12, а другое удержи-
вает подвижные доски 6.
Подвижные рабочие поля 2 секций 3 закрыты обли-
цовкой 13 из декоративного материала.
Описанная конструкция поясняется рисунками: на
рис. I изображен общий внд классной доски, на рис. 2—
направляющая с пазами секций, на рис. 3 — разрез
классной доски по секциям в вертикальной плоскости,
На рис. 4 — подвижные доски рабочих полей с фикса-
тором, на рис. 5—шарнирное крепление карниза для
мела.
Неподвижное рабочее поле аналогично устройству
обычной классной доски, размеры которой 6000Х
X'000 мм.
Назначение подвижных досок различно: одни доски
секций 3 изготавливаются из фанеры, окрашенной
в гемно-зеленый цвет, и служат для подачи письмен-
ной и графической информации, выполненной мелом
(желательно желтого цвета), другие — коричневого
цвета — служат для подачи информации контрольного
характера. Есть магнитные доски, они окрашены
в белый цвет и могут служить экраном для демон-
страции диафильмов и диапозитивов, главное же на-
значение их — хранилище для букв, цифр, знаков, комп-
лектов кривых, служащих графиками функций, н гео-
метрических фигур. Некоторые из подвижных досок
изготавливаются из оргстекла, что позволяет вносить
изменения в рисунок, чертеж, схему. Есть, наконец,
и доски-таблицы, служащие для записи ответов при
проведении контрольных работ, математических дик-
тантов и т. д.
В зависимости от вида урока учитель находит в сек-
циях 3 нужный материал, расположенный на подвиж-
ных досках 6, на которых размещен дидактический
материал, и поворотом фиксатора 10 или карниза 8
перемещает их в зону неподвижного рабочего поля 1.
Освобождение неподвижного рабочего поля от по-
движных досок производится в обратном порядке.
Опытная проверка описанной классной доски пока-
зала, чго при сохранении той же работоспособности
учащихся учитель имеет возможность увеличить число
опрошенных примерно в 2 раза.
Е. В. Скобин (г. Тула)
43
□^КЛАССНАЯ РАБО IА
Восемнадцать школьных олимпиад
Л. Д. Курляндмик
(Ленинград)
В статье рассказывается о традиционных математиче-
ских олимпиадах и других формах внеклассной рабо-
ты по математике, проводимых в Физико-математиче-
ской школе-интернате при Ленинградском университе-
те.
Начиная с 1965 г. каждый год в один из будних дней
во второй половине ноября в школе проводится I тур
школьной математической олимпиады (ШМО). В этот
день отменяются уроки и во всех классах с 9 до 15 ч
школьники решают задачи. На I туре всегда предла-
гается восемь задач. Почему так много? Дело в том, что
тематика шести из восьми задач традиционна. Среди
них — задача о числовых множествах и функциях, по
одной задаче на тождественные преобразования, иа
отыскание геометрического места точек, на делимость,
геометрическая задача, для решения которой удобно
применить аппарат векторной алгебры, и задача по
комбинаторике. Эти задачи по своему духу близки к
тем, которые решаются на уроках, так что успешное
выступление на I туре требует прежде всего хороше-
го владения материалом, изучаемым на уроках мате-
матики.
Правильное решение каждой задачи I тура оценива-
ется в 2 очка, если оно содержит легко исправимые
недочеты, то — в 1,5 очка, при наличии верной идеи,
но серьезного недочета, — в 1 очко. В некоторых слу-
чаях, когда проверяющий считает, что в решении со-
держатся разумные соображения, хотя оно и не до-
ведено до конца, он оценивает его в 0,5 очка.
Еше задолго до подведения итогов I тура школьни-
ки разных классов азартно обсуждают шансы каждого
класса на олимпиаде. Ведь иа I туре проводится не
только личное соревнование, но и командное. Результат
каждого класса получают, суммируя 25 лучших резуль-
татов учащихся этого класса.
Для составления задач, проверки работ и подведения
итогов олимпиады собирается жюри, состоящее из пр₽
подавателей школы-интерната и студентов математике
механического факультета ЛГУ, в прошлом учеников
школы интерната.
Приведем несколько задач I тура, предложенных в
различные годы.
1.	f — отображение множества точек плоскости в се-
бя. Докажите, что если прообраз каждой окружности
при отображении f есть окружность, то образ каждой
прямой содержится в какой-либо прямой.
2.	Все подмножества данного 100-элементного мно-
жества расположены в некоторой последовательности.
Возможно ли, чтобы для любых двух соседних подмно-
жеств А и В выпал/, ялось условие: множество (A U В) \
\(А(]В) состоит из двух элементов.
3.	Что больше: 1g 8 или 1g2 9?
4.	В пространстве даны прямые Ц, /2, 1з, пересекаю-
щиеся в точке А. Обозначим через Pi, Р2, Р2 операции
проектирования на прямые Ц, 12, ls соответственно. До-
кажите, что для любой точки В пространства прямая,
проходящая через точки Р](Р2(Р?(В))), Рз(Рг(Р,(В))),
перпендикулярна прямой АВ.
5.	а,, а2, .... а„ — натуральные числа, причем
  - ^ап. Докажите, что если
11 тур олимпиады, коюрый проводили в первое вос-
кресенье после зимних каникул, в отличие от письмен-
ного I тура, — устный. Разумеется, никого не заставля-
ют решать задачи устно, однако окончательное, чисто-
вое решение задачи не записывается участником, а рас-
сказывается двум экзаменаторам. Если в решении об-
наружена ошибка, то участник, возвратившись на место,
может попытаться ее исправить. Как правило, более
трех попыток исправить решение одной задачи не до-
пускается.
Устная форма проведения олимпиады имеет опреде-
ленные преимущества. Ведь часто случается, что школь-
нику ошибочно показалось, будто ои решил задачу, и,
записав неверное решение, он больше к ней не возвра-
щается. На «устной» олимпиаде участник имеет воз-
можность исправить неверное решение, так что в итоге
оказывается больше правильно решенных задач. Кроме
того, «устная» олимпиада компактна — ее итоги под-
водятся через час-полтора после завершения тура.
Вот несколько задач II тура разных лет.
6.	Докажите, что из чисел 0, 1, 4 9, 16,_, 576 нель-
зя составить магический квадрат, т. е нельзя рас-
положить эти числа в таблице 5X5 так, чтобы все сум-
мы по строкам и по столбцам были равны.
7.	Имеются магнитофон, 25 ;сссет с магнитофонной
лентой и одна пустая кассета. Можно ли добиться то-
го, чтобы каждая лента оказалась на той же кассете,
но перемотанная?
8.	Разложите на два множителя число 2352-|-9722.
9.	Докажите, что 1 можно представить в виде суммы
нескольких различных чисел, обратных натуральным и
меныиих 0,000001.
В интернате школьники обучаются на двух потоках —
трехгодичном н двухгодичном. Каждый год набира-
ются два восьмых и три девятых класса. Вновь посту-
пившие школьники, естественно, с большим трудом мо-
гут конкурировать на олимпиаде со «старичками». Для
большинства из них необычна и сама форма «устной»
олимпиады. Поэтому специально для учащихся новых
классов проводится в конце сентября — начале октяб-
ря отдельная олимпиада, которая так и называется
«Олимпиада новичков»: предлагается шесть задач на
4 ч. Чтобы можно было судить об уровне этой олим-
пиады, приведем несколько задач разных лет.
10.	Может ли число 123456789 ___ 987654321 (много-
точие обозначает любой набор цифр) быть квадратом
целого числа?
11.	Пусть А, В, С, D — целые числа, Л#=0, В и С не
делятся на А. Докажите, что уравнен/’ Axy-j-Bx-j-
+Су+О = 0 имеет конечное число решений в целых
числах
12.	Что больше:
|^2 + К 3 + / 2 + или
Кз + V 2 + /3+"~
(в каждом из выражений по п цифр)?
13.	Решить систему уравнений
= уз —2у2 + 2у,
1 х* + у* = 2.
14.	.Докажите, что число 385,М0+18'980 не есть точ-
ный квадрат.
Другой излюбленной формой математических сорев-
нований в нашей школе являются математические бои.
Обычно в бое участвуют команды двух классов. Ос-
новное отличие математического боя от олимпиады со-
стоит в том, что задачи здесь решаются коллективно.
С утра обе команды получают один и тот же комплект
задач и в двух разных помещениях начинают их ре-
шать. После четырех-пяти часов, отводимых на реше-
ние задач, начинается вторая часть математического
боя, в которой команды защищают свои решения и
44
ищут ошибки в решениях соперников. Эта часть сорев-
нования приходит при зрителях в большом зале в при-
сутствии жюри, состоящего из преподавателей и вы-
пускников школы, и представляет собой последова-
тельность вызовов, каждый из которых состоит в том,
что одна из команд предлагает другой рассказать ре-
шение какой-либо из предложенных командам задач.
При этом установлены следующие правила:
1)	если команда /1 вызвала команду В, то послед-
няя может либо принять вызов, и в этом случае пред-
ставитель команды В рассказывает решение задачи, а
представитель команды А ему оппонирует, либо не при-
нять вызов, и тогда рассказывает решение представи-
тель команды А, оппонирует представитель команды В.
2)	по каждой задаче обе команды получают в сум-
ме не более шести баллов, причем оппонирование, если
оно состояло только в указании ошибок, но не в их
исправлении, оценивается не более чем в три балла
(оценка в три балла для оппонента означает в этом
случае, что без вмешательства жюри удалось выяснить,
что задача не решена);
3)	вызов считается некорректным, если команда А
вызвала команду В, последняя вызов не приняла, а
представитель команды А не сумел рассказать решение
задачи;
4)	если команда Л вызвала команду В корректно, то
следующий вызов производит команда В, если же вы-
зов был некорректен, то снова вызывает команда Д:
5)	команда, делающая первый вызов, определяется
либо жребием, либо небольшим предварительным сорев-
нованием капитанов команд;
6)	по каждой задаче делается не более одного вы-
зова;
7)	если команда, которой предстоит делать очередной
вызов, не имеет больше решенных задач, то она име-
ет право объявить об этом, после чего ее представите-
ли участвуют в бое только как оппоненты; другой
команде предоставляется право рассказать решения ос-
тавшихся задач:
8)	одна из задач с самого начала боя объявляется
резервной, по этой задаче вызовы не производятся;
если после обсуждения остальных задач выяснилось,
что команда А сделала больше корректных вызовов,
чем команда В, то команде А предоставляется право
рассказать решение резервной задачи:
9)	каждый участник боя может представлять свою
команду не более двух раз (если число задач не пре-
восходит числа участников команды).
Вот несколько задач различных математических боев.
15	S— п-элементное множество, Мх, М2, Afn+i
непустые подмножества S. Покажите, что существуют
такие различные числа ih is, .., ir, ji, /2, ..., jt, что
Mi! U Mi2 U  •  U м,г = Ид и Мд и  • • U MJt,
16.	k— натуральное число. Докажите, что существу-
ет такое нецелое число г, большее 1, что для всех на-
туральных п число k делит [гп].
17.	Функция f задана на отрезке Гп, -g-J и диффе-
ренцируема на нем. Известно, что /(0) =0, /	I.
Докажите, что
R
т
| /1 ч- соьг А + (/' х )2 >2,113.
о
18.	п — натуральное число, п~> 1. Может ли число,
состоящее из 2"—2 троек и 2 единиц, быть простым?
19.	а,, п2, .... а„ — различные положительные числа.
п (п + 1)
Докажите, что существует по крайней мере------------
различных чисел вида	... +епОп, гое каж-
дое из чисел в, равно 1 или —1.
В течение всего учебного года для наиболее способ-
ных учащихся школы проводится заочный конкурс по
решению задач; его победители составляют сборную
школы по математике. Эги школьники защищают честь
школы на математических боях, а также на различных
олимпиадах. Как правило, все они становились призе-
рами и победителями Всесоюзной олимпиады, 2G раз
получали диплом I степени. 20 раз школьники интер-
ната были участниками международных олимпиад по
математике; пятеро из них — Виктор Турчанинов, Ми-
хаил Блюдзе, Сергей Финашин, Никита Нецветаев,
Илья Захаревич стали лауреатами I премии.
Каждую неделю участники конку рса получают оче-
редное задание из пяти задач. Решения этих задач
Представляются через неделю в письменном виде. Вмес-
те с формулировкой очередного задания объявляются
баллы и проводится разбор задач, данных две недели
назад.
Приведем несколько задач, предлагавшихся на таких
конкурсах.
20.	Автомобилист собирается пересечь пустыню. Его
машина тратит 1 л бензина на 10 км пути. Автомоби-
лист имеет 450 л бензина, но может взять с собой не
более 150 л. Он, однако, может преодолеть более
1500 км, оставляя по пути следования часть бензина и
возвращаясь обратно для пополнения бензобака. Пус-
тыню какой наибольшей ширины может пересечь авто-
мобилист?
21.	Решить в комплексных числах систему уравнений
х> + х, 4- - •• + х„ =- п,
х,	+	+ ••• + *2, п<
х" 4- х2 4- - - • 4~ х’ = п.
22 Решите в положительных числах систему урав-
нений
23. Сумма нескольких неотрицательных чисет рав-
на 3, а сумма квадратов зтих чисел больше 1. Докажи-
те, что из зтих чисел можно выбрать три чиста, еумла
которых больше 1.
24. оо, Щ, а?, ..., ап — вещественные числа, такие,
что а„хп 4- an_tx"—' 4- • • - 4- а,х 4- л0
при всяком целом х являет^ г п-й степенью целого чис-
ла. Докажите, что существуют целые числа а и Ь, та-
кие, что
а„хп 4- ап—iXn—1 4- •  • 4- а,х }«<,=- (ах 4- Ь)а. .
Указания и краткие решения задач
Задачи первых туров
1. Пусть точки А, В, С лежат па одной прямой, а
точки f(A), f(B), f(C) не лежат на одной прямой. Про-
ведите через точки f(A), f(B), f(C) окружность и рас-
смптрите ее прообраз.
2. В рассматриваемом случае количество элементов
в множествах А н В имеет одинаковую четность.
3 1g2 9= (14 lg 0.9)2>14-21g 0.9 = lg 8,1 >lg 8.
4 Обозначим через вь e2, e3 единичные векторы, co-
направ.т<.!1ные с прямыми /2, Z3 соответственно;
45
АВ—а. Пусть B| — проекция точки В на Ц, В2—про-
екция В, на Z2, Bj — проекция В2 па 1%. Пусть С3 —
проекция В на Z& С2 — проекция С3 на Z2, Ci — проек-
ция С2 на Zi- Тогда
АВ, = (а-ё^-е,, АВ. (ABt-'e,)-e„
АВ, = (АВ,-е3)-е,.
Значит,
АВ, = (a-e5-(ei-e2)-(ea-e^j-es.
Аналогично
АС, = (а-е3)-(е,-е,)-(ё^-е,)-е,.
Теперь легко видеть, что а-(АВ3 — АС,) = 0.
5.	Предположим, что an^2nl. Докажем индукцией
«вниз», что при А=1, 2, ..., п ak^2h'. Пусть для k—
=п, п—1, ..., т+1 утверждение доказано, тогда
Осталось заметить, что при любом натуральном /г
1 1 1
2й + 221 + " + 2*1 <Е
Задачи вторых туров
6.	Среди данных чисел девять делятся на 3, шест-
надцать дают при делении на 3 остаток 1. Сумма чи-
сел в каждой строке должна делиться на 3, поэтому в
каждой строке должно быть не менее двух чисел, де-
лящихся на 3.
7.	Занумеруем ленты числами от 1 до 25. Введем в
рассмотрение еще одну «пустую» (воображаемую) лен-
ту и присвоим ей номер 26. Кассеты также занумеру-
ем числами от 1 до 26, соответствующими номеру лен-
ты, находящейся на кассете вначале. После каждой пе-
ремотки будем получать перестановку чисел от 1 до
26, но за нечетное число раз поменяется четность пере-
становки.
8.	2352-; 972"= 1 0U0009=10002+32.
Пусть N=a2A-b2—c2+<P, а, Ь, с, d — натуральные
Л	а — с d + b гп
числа, причем а>с. Обозначим -п--г = —— =-------
а — о а + с п ’
где (т, п) = 1, тогда
т2 + п2 п2 — т2
а = 2тп d + 2тп Ь'
Отсюда имеем
В нашем случае щ = 7, п=58, поэтому 2352+9722=
—- 29' _> * 3413.
9.	Выберем натуральное число k такое, что
1
Т<О.ООООП1.
2я
Сначала 1 представим в виде
:	1 _ _	3___	5__	2ft+1 — 1
1-2* + 3-2* * &-2* + h (2*+»—1)-2* ’
Числитель каждой из дробей разложим в сейму раз-
личных степеней двойки и почленно поделим, тогда I
2'
разобьезся в сумму чисел вида	—1)2*" ‘ ®т0 И естъ
нужное представление.
Задачи «олимпиад новичков»
10.	1111111110111111111 2.
Су + D
II.	Так как А</+&=/=0, то х = —-д -f В ' Значит
A(Cy-)-D)—C(Ay+B)=AD—ВС делится на Ау+В Но
Д£>-ВС=/=0, иначе х— не целое, поэтому Ау-(-В явля-
ется делителем числа, отличного от нуля.
12.	У 2 + / 3 + - - - < У 3 + < 2-J----ФФ-
п	п
<=>У 3 + / 2-|--< 1 + У 2 + / 3 ч----Ф
п~ 1	Л—I
2 + 1' 3 + • " < з 4- / 2-1-+
п—2	п—2
4-21^2-1-/3+ •••
Л—I
<= 2 + У 3~1--< 3 + У 2+~«
п— 2	п—2
13.	х2-1=(у-1)(у2-у-|-1).
у>1=>х2>1=>х4 + у4>2,
у < I => х2 < 1 =>х4 + у4<2,
у < 0 => х2 = у’ — 2у2 + 2у < 0.
14.	Это число при делении на 13 дает остаток 2.
Задачи математических боев
15	Пусть 5={а[, а2...а,,}. Каждому из множеств
М, поставим в соответствие вектор е, из нулей и еди-
ниц по следующему правилу: если элемент ап принад-
лежит множеству М,, то на fc-м месте в векторе е,
ставим 1, в противном случае — 0. Мы получим п+1
вектор в пространстве Rn. Эти векторы линейно за-
ВИСИМЫ. Пусть Cti Cl +	+  • • + Ол + 1 ^я + 1 = 0 •
причем
«it, «ь....«zr > °; «А, а/2’  • • •«// < °-
В гаком случае
Mh U U-.-U Mir =Mh и Mh и...U м}1.
16.	Рассмотрим последовательность (и„), заданную
рекуррентным образом по правилу ип+, = (2k + I) X
X «п+1 — kun. Поэтому ип = c,x’i -J- CjXj, ГДе Х1,’ =
2k + 1 + /4 й2 + 1	„
= ---------2-------. Пусть «о и Ki такие, что
Cj = с9 = 1, т. е. и0 = 2, ul = 2k + 1. Так как 0<х9<1,
то [xf] = и„— 1.
Докажем по индукции, что ип—1 делится на k.
Действительно и, — 1 =2k, и, — 1 — х^ 4- х| — 1 =
= (х, + X,)2 — 2х,х, — 1 = (2k + I)2 — 2k— 1=4Л2+2Д?.
Остается заметить, что если ип — 1 и ап+> — 1 де-
лятся на k. то ип+,— 1 тоже делится на k.
17.	Рассмотрим путь в трехмерном пространстве, па-
раметрически заданный следующим образом (Z, sin Z,
[л 1
О, ~2 • Его длина равна данному интегралу;
она не меньше длины отрезка, соединяющего концы
этого пути (0, 0, 0) и , ЫJ. Длина отрезка
У 2 + -^>2,113.
18.	Если между единицами четное число цифр, то
данное число делится на 11.
Далее докажите два утверждения.
а)	число 11... 1 делится на 100...01;
2,s+1	23 —1
б)	число 100__01 делится иа 100...01
2'	2s-1
(г — нечетно).
19.	Пусть а|<а2<.. .<ап. Обозначим —а,——
—а„ через s, тогда
s < s + 2qi < s + 2a2 < ... <s + 2ап < s + 2dn +
+ 2af s + 2&n + 2u2 < ...	"1“ 2<in + So»—j
< ... < s + 2fln + 2cn—t + . -. + 2d].
Задачи конкурсов
20.	Рассмотрим произвольный путь автомобилиста. От-
мерив от конца 1500 км, заметим, что в этой точке у
автомобилиста было не менее 150 л бензина. До этого
места, значит, каждую точку он проехал не менее трех
раз, ибо за один раз 150 л не привезти, а любое место
проезжается нечетное число раз. Отложим от этого
места еще 500 км назад и увидим, что здесь у .втомо-
билиста должно было быть не менее чем 150+3-50=
=300 (л) бензина. 300 л за два раза не привезти, по-
этому любую предыдущую точку он проехал не менее
5 раз. Отложим теперь назад 300 км. На эти 300 км
потрачено не менее 30-5=150 (л). Таким о( разом, ав-
томобилист не мог проехать более 2300 км. Но 2300 км
он проехать может: взял 150 л и проехал 300 км. Ос-
тавил 90 л и вернулся назад. Снова взял 150 л; про-
ехал 300 км и оставил 90 л и еще раз повторил эту
процедуру. Тем самым на отметке в 300 км имеем
300 л бензина. Наполнил бак и проехал 500 км. Вер-
нулся к бензину и забрал его весь. Таким образом, на
отметке 800 км у него есть 150 л.
21.	Рассмотрим многочлен P(t) = (t—xt) (t—x?) ...
... (1—xn), корнями которого являются числа jq, х2.
х„. Пусть P(t) —tn+altn~l+ ... +an. Умножим первое
уравнение системы на второе— на а„-2, .... по-
следнее — на 1 н сложим их. Добавив к обеим частям
полученного равенства пап, получим 0 = /J(xi) +
+Р(х2) + ... +Р(хп) =n(ai+a2+ ... +a„+l). Значит,
Р(1) =0.
22.	Пусть х,— наибольшее из чисел, тогда х, и хп —
наименьшие, хг и х„—i — наибольшие и т. д. Отсюда
х, = х, — ••• — xn-t, х, = х4 = ••• = хп, значит I —
—	1—х| = х,. Следовательно, х, —Xi =
= Xj — X]. Если Xi =^= х,, то X) + X, х, + х% = 1 - Но
Это значит, что jq = l, х2=0. Итак, либо все числа
равны между собой, либо они через один равны 1
и 0. Осталось решить уравнение х3+х—1=0, где
0<х<1.
Положим, х °——/=( у——Получаем у3 —
у 3 х У '
/ 27 + у 31
V 2
— ЗуР 3 • Значит, у —
23.	Положим, что xi > х, > • • • > хп. Предполо-
жим, что Xi + Xj + x,^!, тогда xt + х, + х> —
— (xi — xs) (1 — Х1) — (х, — х,) (1 — х2)	1. Отсюда
получаем, что xj + х^ + хэ (3 — Xi — xs) 1 => xf +
~РХ2 + Х3 (Хв+Х4+“ • + Хп) 1 => Х| +Х2 + — + Х| -^1.
I
24.	Пусть / (х) = (а„ х" + Xя-3 +  - - + а0) “ .
I
тогда iim (/(х + 1)—/ (х)) = а ,1п . Но при целых х
Х->оо
f (х + 1)—/ (х) — целое число. Значит, существует
такое целое число k, что как только целое x^-k, то
।
f (х + 1) — f (х) = а" . Значит, при натуральном т
1 1
/ (л + т) = / (k) + та " = (k + т) апп + р, где р —
1
целое число. Положим а = а " . Как мы видим, а —
целое число. Осталось заметить, что многочлен fn(x)—
— (ах + р)п имеет бесконечно много корней.
Мы привели здесь так. много задач не длн того, что-
бы проиллюстрировать рассказ о ФМШ. Надеемся, что
вы сможете их использовать при подготовке школьников
к олимпиадам, а также на самих олимпиадах, для ор-
ганизации конкурсов по математике, математических
боев между школами.
Задачи 20, 24 могут стать темой для самостоятель-
ных исследований школьников.
В заключение напомним, что приемные экзамены в
восьмые и девятые классы Физико-математической шко-
лы-нптерната при Ленинградском университете прово-
дятся в июне в областных и республиканских центрах
для школьников, проживающих в Архангельской, Во-
логодской, Калининградской, Кировской, Ленинград-
ской, Мурманской, Новгородской, Псковской областях,
Карельской и Коми АССР, Латвийской, Литовской и
Эстонской ССР.
О точных сроках экзаменов вы можете узнать в об-
ластном отделе народного образования или в Минис-
терстве просвещения республики.
Внеклассная работа
в педагогическом училище
В. С. Коваленко
(г. Гудермес Чечено-Ингушской АССР)
В нашем училище за последние 10—12 лет сложился
определенный опыт внеклассной работы по математике,
с которым мы хотим познакомить читателей журнала.
Преподаватели используют разнообразные формы ра-
боты: кружки, олимпиады, математические недели, вы-
пуск математических газет и математического календа-
ря, вечера.
Ежегодно в училище работают четыре математических
кружка — по одному на каждом курсе. Занятия прово-
дятся 2 раза в месяц.
Задача математического кружка 1 курса — расши-
рить знания учащихся о числах. Названия кружков
бывают разные: «В мире чисел», «Квант», «Символ»,
«Дважды два», «Альфа» и др. На заседаниях кружка
рассматриваются такие вопросы:
1.	История развития понятия числа.
2.	Происхождение нумерации.
47
3.	Пифагоровы числа.
4.	Как люди научились считать.
5.	Числа и цифры.
6.	Числа количественные н порядковые. Четные и не-
четные.
7.	Натуральные числа.
8.	Простые числа. Что мы знаем и чего не знаем о
них.
9.	Происхождение некоторых арифметичесг их тер-
минов.
10.	Меры времени.
11.	Числовые великаны.
12.	Числовые лилипуты.
13.	В лабиринте чисел.
На каждом заседании кроме сообщения на одну из
перечисленных тем решаются задачи-шутки, голэволом-
ки, софизмы с числами, числовые ребусы, числовые
фокусы, проводятся игры «Веселый счет», «Быстрый
счет», «Угадывание задуманного числа», «Угадывание
возраста» п т. д. Руководители кружка I курса уделяют
большое внимание занимательным задачам, стараясь
привлечь к занятиям многие учащихся, чтобы посте-
пенно привить им интерес к математике.
На II курсе работа кружка строится несколько ина-
че. Цель его — углубление знаний учащихся, развитие
логического мышления, смекалки, привитие вкуса к
чтению математической литературы. Приведем при-
меры вопросов, которые рассматриваются на занятиях:
1.	Решение задач с помощью векторов.
2.	Построение графиков тригонометрических функций.
3.	Доказательства тригонометрических тождеств.
4.	Решение тригонометрических уравнений.
5.	Вычисление интегралов.
6.	Показательная функция и ее производная.
7.	Логарифмическая функция и ее производная.
8.	Математика и музы. а.
9.	Системы уравнений.
10.	Системы неравенств.
Кружковцы изучают биографии математиков, внесших
большой вклад в развитие тех вопросов, о которых го-
ворится на занятиях. Кроме того, решаются задачи на
сообразительность, развитие логического мышления, за-
нимательные задачи.
На III курсе работа кружка имеет профессиональную
направленность — подготовка будущих учителей к вне-
классной работе по математике. Для подготовки к док-
ладам учащиеся используют книгу В. П. Труднева «Вне-
кл 1сспая работа по математике в начальной школе»
(М.: Просвещенп :, 1975). Члены кружка разрабатывают
уроки внеклассной математики, математические утрен-
ники для школьников I—III классов, затем проводят
их на уроках методики математики в своей группе.
Во время математической недели проходит открытое
занятие кружка для всех учащихся III курса.
Задача математического кружка на IV курсе —по-
мощь в подготовке к вступительным экзаменам тем,
кто будет продолжать учебу в вузах. Рассматриваются
вопросы, углубляющие программный материал, решают-
ся задачи вступительных экзаменов в педагогические
институты, а также занимательные задачи.
Члены кр) жков выпускают стенные математические
газеты, альбомы, в которых отражается работа круж-
ка. Ежегодно в училище проводится олимпиада по ма-
тематике в 2 тура.
В течение нескольких лет каждый учебный год пре-
подаватели математики проводят математическую не-
делю. Готовятся к этому заранее. В июне на заседании
предметной комиссии намечается план проведения и
распределяются обязанности между всеми преподава-
телями. И уже с начала следующего учебного года на-
чинается подютевка.
План математической недели красочно оформляется
и вывешивается в вестибюле училища. Математическая
неделя начинается проведением в каждой группе уро-
ков «занимательной математики». На больших переме-
нах по радио передаются интересные исторические све-
дения, звучат стихи математического содержания, за-
нимательные задачи и др.
В первые 2—3 дня недели проходит конкурс мате-
матических газет. Обязательным мероприятием недели
является выставка наглядных пособий, изготовленных
учащимися.
Заключительный день недели самый интересный и
торжественный. В этот день проводится математиче-
ский вечер. Первое отделение вечера — театрализован-
ное представление па одну из тем: «Как люди научи-
лись считать», «От Евклида до наших дней», «Матема-
тика вокруг нас», «В мире чисел», «Лобачевский и его
геометрия» и др.; второе отделение — математический
КВН.
Зал оформляется согласно тематике вечера, вывеши-
ваются портреты математиков, математические выска-
зывания, интересные задачи, вопросы, шарады и др.
Например, интересно прошел вечер на тему «Время
и его измерение». Он состоялся в дни, когда страна
впервые переходила на новое летнее время. Перед
зрителями «ожила» история . развития календаря от
древности до наших дней, было интересно рассказано
о современном поясном и декретном времени, в заклю-
чение говорилось о сезонном изменении времени в на-
шей стране.
Во втором отделении разгорелся бой между команда-
ми КВН «Интеграл» и «Логарифм».
Команды для КВН обычно формируются из учащихся
II курса, в основном из членов кружка. Много терпе-
ния, выдумки, творческой фантазии проявляют препо-
даватели, готовящие команды к соревнованиям, и сами
учащиеся.
КВН проходит обычно по такому плану:
1.	Выход, приветствие команд.
2.	Разминка (команды отвечают на вопросы веду-
щего КВН).
3.	Домашнее задание.
4	Конкурс капитанов.
5.	Математические конкурсы.
6.	Конкурс болельщиков.
7.	Номера художественной самодеятельности от каж-
дой команды.
8.	Под"едение итогов.
В жюри назначаются учащиеся IV курса и один из
преподавателей.
Математический вечер заканчивается выступлением
руководителя предметной комиссии, который сообщает
о результатах конкурса математических газет, викто-
рины, олимпиады. Наиболее активные участники мате-
матической недели награждаются грамотами, призами,
иногда путевкой на интересную экскурсию. Всем зри-
телям, принявшим участие в разгадывании шарад, голо-
воломок и др., объявляется благодарность.
Математическая педеля завершается открытым засе-
данием предметной комиссии, на котором подводятся
итоги недели, вносятся предложения об улучшении
проведения того или иного мероприятия в следующем
учебном году и т. д.
Четверокурсники, находясь на педагогической прак-
тике, используют опыт нашей работы. Они проводят
уроки «занимательной математики», математические ут-
ренники, КВН, олимпиады, а также математические не-
дели, если на практике в одной школе находятся 5—G
наших студентов.
Мы убедились на многолетнем опыте в том. что вне-
классная работа, проводимая в педучилище, приносит
большую пользу будущим учителям.
4S
Занимательная страница
ЗАДАЧИ
Арифметические ребусы
В предлагаемых	ребусах	восстановите	цифры,	заме-
ненные буквами.	Одинаковые цифры заменены едина-			
ковыми буквами,	разным	цифрам соответствуют		раз-
ные буквы.				
1) , У	ран	2) кос	а ч	
+ У	ран	кос 4- 'кос	а ч а ч	
н г	i у к а			
		кос	а ч	
		с а ч	о к	
3)’	п	4) со	сна	
4-	п а пар	+ с О с о	сна сна	
п	а р и	к о	н у с	
п а	р и к			
6 0	3 5 5			
5)	ту	3 И К	7) с в и	сток	
+ ту	3 и к	В и	сток	
		и	стек	
кар	туз	J-		
			сток	
6) К р о	с с		ток	
4- 1 к р о	с с		о к	
< п о	р т		к	
		а а а	а а а а	
8) спорт	9) р	е б у с Ю)	р е б	У С
+ с п о р т	X	е	X	Р
кросс	3	3 3 3 3 3	с с с с	с с
Ответы
1) уран — 6321; 2) косач — 23 958: 3) парик —
54 321; 4) сосна — 20 284 : 5) тузик — 54 271; 6) кросс —
35 977; 7) свисток — 7 927 164; 8) спорт — 43 972;
9) ребус —47 619; 10) ребус — 79 365.
Н. К. Аитоиович (г. Новосибирск)
1 При решении полезно записать числа в виде сумм
разрядных слагаемых.
Решения задач этого номера должны быть отправлены
в редакцию не позднее 1 марта 1984 г. О правилах
оформления решения задач см. в № I журнала «Ма-
тематика в школе» за 1983 г. на с. 72.
Задачи для IV—VIII классов
2661.	Можно ли с помощью шести двоек и двух еди-
ниц составить число, начинающееся с 1 и делящееся
на 7?
2662.	Haiti и наименьшее натуральное число, делящее-
ся на 63. у которого сумма цифр равна 63.
Математический кружок 173-й шк. Киева
рук. Р. П. Ушаков
2663.	В бригаде три токаря. Первый и второй рабо-
чий за день могут изготовить в 3 раза больше дета-
лей. чем третий, а третий яа один день может изгото-
вить не больше деталей, чем второй за два дня. Срав-
нить производительность труда членов бригады.
Э. А Я с и н о в ы й (г. Куйбышев)
2664.	Решить уравнение
—5 х13—3jr  gg
Ц. И. Хизанишвили (Тбилиси)
2665 Доказать, что »сли числа а, Ь, с положитель-
ны, то хотя бы одно из чисел (a-j-b-j-c)2—8ас.
(а^-ЬЦ-с)'2—8bc, (а-\-Ь-\-с)2—8аЬ положительно.
Э. А. Ясииовый
2666.	Следует ли из системы неравенств а2<Ьс,
Ьг<.ас (а, Ь, с>0) неравенство a-pb<z2c?
2667.	Пусть а, Ь, с — стороны треугольника АВС,
г — радиус enucai юй окружности, R — радиус описан-
ной окружности. Доказать, что
I / 1	1	1	1111
2Rr < 3 I а + Ь + с / о» + Ь* + с2 4г-
Л. Д. Курляндчик (Ленинград)
2668.	Пусть а, Ь, с — стороны треугольника ABC, R
иг — соответственно радиусы описанной и вписанной
окружностей. Доказать, что
I) “be— (a-f-&—с) (fe-f-c—а)(с+а—Ь)^0;
2) /?^2г (следствие из предыдущего неравенства).
С Р. Сефибексв (Дагестанская АССР.
Хивский р-н)
g ^Математика ь школе* № б
49
Задачи для IX—X классов
2669. Для каких чисел k из системы неравенств
а‘<Ьс Ь2<ас (а Ь, с>0) следует, что a-f-b<zkc?
2670 Имеет ли решение система неравенств XiX24-
+ У1А/2<0. Х|Х3+У1«/з<0, x,x4+y,r/4<0. XgXs-H/2i/3<:0,
x?x4+f/2f/4<0 x3x.-|-j/3t/4<0?
Математический кружок 173-й шк. Киева
2G7 I Решить систему уравнений
I 4хг + 4у3 4- 4г2 4- 17 — 8зс 4- 4у 4- 16г
I Зл - I у 4- 12г - 12.
В. X. Габибов (АзССР, г. Агджабеди)
2672. Имеет ли центр симметрии график функции
1 .
Ф. Д. Б е з в о с и к о в (г. Сыктывкар)
2673. Доказать, что если А, В, С — углы тупоуголь-
ного треугольника, то tg Л-f-tg fl-f-tg С <0.
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
2674. А, В, С — углы треугольники АВС. Известно,
что
sin Л 4 sin В 4 sin С
cos А 4 cos В+ cos С
Доказать, что по крайний мере один из углов треуголь-
ника равен 60°.
Л. Д. Курляндчнк
26/5. Нийти минимальную площадь пятиугольника,
имеющего форму ^конверта*, вписанного в круг ра-
диуса R (с Конверт* - по фигура, образованная пря-
моугольником и равнобедренным треугольником, осно-
вание которого совпадай! со стороной прямоугольника.)
С. И. М а й з у с
2676. Внутри остроугольного треугольника АВС дана
то tKa О; х, у, г- - расстояния от точки О до сторон
треугольника. Радиус окружности, описанной около
треугольника АВС, равен R. Доказать неравенство
Л. Д. Курляндчнк
Векторы
2677. Решить систему уравнений
х24у’“ — у(х4 *).
х» -Ь х + у----iyz,
Зх’ф 8у’ф- 8ху 4 £>уг — 2хД- 4г 4- 2.
В. X. Г а б и б о в
Производная
2678. На графике функции у—1/х (х£ [1; 9}) найти
точку М, для которой имеет наибольшую площадь тре-
угольник АМВ, где А и В — точки графика с абсцисса-
ми 1 и 9 соответственно.
С, Т. Берколайко (Белгородская обл.,
с. Котоно)
Правильная пирамида
2679. Около правильной пирамиды SABC описана
сфера с центром в точке О. Доказать, что углы ф=
—dos и ф=АО^ связаны неравенством
2
cos f 4- совф>. —-g-.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Прямая Симеона
2680. В окружность ш вписань два центрально-сим-
метричных треугольника АВС и А^В^. Доказать, что
прямые Симеона произвольной точки Р £ <и относитель-
но треугольников ЛВС и A^Ci перпендикулярны.
Ф. Д. Без но си ков
Решения задач,
помещенных в № 1 за 1983 г.
368972	368975 .,
2531. Чип ' больше	или ~764ge4?
Решение. Обозначив через а число 368 972 а че-
рез Ь число 764 797, рвсс»отрнм развость
а «4-3	7а — 36
Ь ~ 4 4 ? НИ
По
7 а > 7 - 360 000=252-10 000, 36 <3 - 770 000=231 • 10 000,
и, следовательно, первая дробь больше.
2562.	Найти точный квадрат xyztu, если ху=и2 и
уи является точным квадратом.
Решение. Цифра у является по условию первой
и последней цифрой точных квадратов однозначных чи-
сел, и, следовательно,
у£ {1.	3, 4, 6, 8}Г|{1, 4, 5, 6, 9}={1, 4, 6}.
Тогда уи£ {16, 49, 64}, и £ {6, 9, 4}, ху £ {36, 81, 161;
но из последних полученных трех чисел только 16
оканчивается на соответствующее значение у=6, и, та-
ким образом, х=1, j<=6, и=4.
Остается найти число т\ находящееся между 16 004
и 16 994, причем число т должно оканчиваться либо
на 2, либо на 8. Кроме того, очевидно, т> 125, по-
скольку 1252>15 625, и ш<132, поскольку 1322>
> 130242-130>» 17 000. Проверка показывает, что
1282=16 384, поэтому число 16 384 и является иско-
мым.
2563.	Пятая степень натурального числа состоит из
цифр 1, 2, 3, 3, 7, 9. Найти это ’-исло.
Решение. Поскольку пятая степень искомого чис-
ла а—шестизначное число, то 10<а<20; сумма цифр
числа а равна 25, так что при делении на 3 о8 дает
и остатке 1, а следовательно, и само число а при де-
лении на 3 дает остаток 1, т. е. а £{13, 16, 19}. Одна-
ко 16s оканчивается на 6, так что а есть либо 13,
либо 19.
Но при делении ва 9 число 19s дает остаток 1, а
сумма цифр искомого числа дает остаток 7, так что
л#: 19, и, следовательно, я=13.
2564.	Извлечь кубический корень
^2 4-/5.
Решение. Будем искать рацновальные числа а в
6, такие, что
1/24/5 — а -}- b
Возводя записаиное_ равенство в куб и приравнивая ко-
эффициенты при У5 и рациональные слагаемые в обеих
частях, получим систему
За2Ь 4-56» — 1,
а* 4- 15а6’ - 2.
Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на
2, получим, что
а’—6а264 15о62—1О6’=О.
а
Поскольку, очевидно, Ъч7= 0, то число у является кор-
нем уравнения х3—6х24-15х—10=0. Легко видеть, что
одним вз корней этого уравнения является 1, а других
корней оно не имеет, так как
х3—6х2+ 15х—10 = (х— 1) (х2—5x4-10).
Таким образом, а=Ь, н из написанной выше систе-
мы получаем, что а=6=1/2, так что
2565.	Решить уравнение
Гх* 4- 8х2— 9х 4- 271 х
[	162 J“ 3 *
Решение. Поскольку —g*— целое число, то х=3й,
где й £ Z, и после подстановки уравнение принимает
вид
ГЗй» 4- 8й’ — Зй 4- 3
L 1S
58
По определению целой части полученное уравнение
равносильно двойному неравенству
18fe^3fe4-8fe2—3fe+3<18fe+18,
или
0^3fe34-8fe2—21Л4-3< 18.
Если k^3, то
3fe3+8fe2—21 £+3=3fe (#—7) 4-8Л2+ 3 > 18.
Если k*gZ—5, то
Зй3 (-8Л2- -2lk+3--^2&(k+4)+&(&*—21)+3<0.
Итак, остается рассмотреть только целые числа
A f |—4, 2] Проверка показывает, что решениями не-
равенства являются числа fei = 0 и k2~2. Поэтому ре-
шениями исходного уравнения будут числа Х[ = 0 и
х2=6.
256... Два игрока поочередно заменяют коэффициен-
ты многочлена
ао+а,хфа2^2+- • -+fl юосЛ1000
qezw.-nii числами (в произвольном порядке). Начинаю-
щий игрок стремится к тому, чтобы все значения мно-
гочлен! пилученно, о в конце игры, при целых зна
чепи.чх переменного давали одинаковые остатки при
делении на 6 Всегда ш он комет этого добиться?
Решение. Заметим сначала, что числа 43—k и
k*—«2 при любом kt 1 делятся иа 6, и поэтому для
делимости многочлена
ax+ix2+cx3+rfx’	(1)
на 6 при чюбом х£ Z достаточно, чтобы выполнялись
равенства
аф с = 0, 4>+с/=0.	(2)
Объединяя в дал ом многочлене слагаемые с 1-го по
4-е, с 5-1 с по 8-е и г. д., мы представим его в виге
суммы до и слагаемых вида	(k — 0, .... 249),
в которых fh(x) имеет вид (1).
Поэтому начинающий игрок может придерживаться
следующей стратегии положить о0 равным желаемо-
му остатку, и затем из любом шагу, если его партнер
выбирает коаффиппент, входящий в состав f»(x), то
он выбирает свой коэффициент гак, чтобы выполнялось
соответствующее равенство (2). Тогда многочлен с
числовыми коэффициентамн, получающийся на каждом
шагу, будет отличаться от По на слагаемое, делящееся
яа G, поэтому при любом xf Z результирующий много-
го и при телепни па 6 будет давать остаток По-
2567. Диаметр АВ окружности со(0, R) разделен точ-
ками М и N на три равных отрезка Доказать, что для
каждой точки PC со сумма | РМ| ’+1PH|2 одна и та же.
Решение. По свойству медианы треугольника
PA1/V (рис. 1) имеем:
| ОР | 2 - R1 -
| РМ | »+- | PN | 2	У?2
2	g откуда
2	20Рг
|PM|2+|PNP = ?^+-g-/?2= —g—.
2568. Выразить через стороны треугольника АВС от-
ношение
sin (в + -у-} :
sin
Решение. По теореме синусов из треугольника
4ВС, где D - основание биссектрисы CD (рис. 2),
имеем:
sin ADt
С
: sin -у — sin
(в+4)!И,4
) AD]
где \AD\=bc: (аф-б). Отсюда
sin (В Е “5"^ " sin —r — b :
Ьс а А- Ь
а ф- Ь “ с
2569 Число п представлено в виде суммы ческоль
них попарно различных натуральных слагаемых Най-
ш наибольшее возможное число слагаемых в таком
представлении
Решение. Пусть п = я, 4- a, -J- ... -|- ak, Причем
Qi <	<  • - < Тотда п,>1, а,> 2,...,а*>Л,
k(k ф- I)
н по том1, п >---j----• Отсюда ks ф- k — 2л-<0и,
/8<1 +1 — 1
следов.тсль о, ----------g------• так что искомое
Г /8л l । - I ]
число ie оол пи-. чем -------у-----
С'другой стороны, представление числа л в виде
I у 8/т -f- I — 11
CyM„u I-------------— попарно различных слагаемых
возможно для этого надо найти наибольшее значение k,
k tk + !;
для ко: ipoio ----~ п < затем если неравенство
будет строгим об' единить последнее сла'аемое k о
остатком
k(k ф- I)
л -	~---
2570 Найти целые решения уравнения
lop <2х 4 I) Ф1оць -4х +-1)+1сц, ((>хф!)=3х
Решение. Отрицательные целые числа не входят
в область определения данного уравнения, числа 0 и 1
являются -»го решениями. Если же х>1, то в силу
неравенства Бернулли
3J = (l ф2)х>1 Ч-2х, 5’>1ф4х, 7*>1+6х
и, следова । ельно. левая часть данною уравнения мень-
ше правой.
Таким образом урав; ение имеет решения *1 = 0,
х2= I
2571. Найти многочлен наименьшей степени, для ко-
торого точки х=2 и х=3 являются точками максиму-
ма и пики му на соответственно, а значения в этих точ-
ках равны 29 и 28.
Решение Производная Р(х) искомого многочлена
обращается, по условию, в О в точках 2 и 3, гак что
должна быть многочленом не меньше второй степени
(нулевым многочленом она быть ие может — в против-
ном случае .многочлен )(х) был бы постоянным и не
мог бы принимать значения 28 и 29). Поэтому будем
искать многочлен /(х) третьей степени.
Поскольку	[' (х) =6а(х—2) (х—3) =6ах2—ЗОах ф 36а
(a R) го
f(x) =2ах3— 15ax2+36ax+b (b ' R).
Из условия /(2) =29 и /(3)=28 имеем равенства
28a +b=29. 27а+*=28.
Отсюда a=l 6=1. так что f(x)=2x3—15х2+36х+1.
Поскольку производная Г(х) в точках 2 и 3 меняет
знак с плюса иа минус и с минуса на плюс, то f(x)
удовлетворяв! условию задачи.
2572 Найти многочлен наименьшей степени, для ко-
торого точки х=0 и х— I являются тои,сами мини лума
и максимума соответственно, а значения в этих точках
равны I и 0.
51
Решение. Эскиз графика многочлена f(x), удо-
влетворяющего условию задачи, подсказывает, чти иа
интервале ]0; 1[ производная f'(x) имеет еще хотя бы
два корня, т. е. число корней Г(х) ие меньше четы-
рех, так что степень многочлена f(x) должна быть
не меньше S Будем искать многочлен f(x) вида
f(x) =axb+bx,+cxi-}-dx2+ex+k.
Тогда f'(x) =5ax4+4bx3-f-3cx2-f-2dx-f-e, и по условию
выполняются равенства
й=1, п-Н+с+^+-+^=0,
е—0, 5a+4b-)-3c-l-2d-)-e=0,
откуда
с=—Зя—26+2, d—2a-j-b—3,
f'(x) =5ax4+4bx3— (9а+66—6)х’+ (4а-)-2Ь—6)х==
=ах(5х3—9х+4)+26х(2х2—Зх+ 1)4-6х(х—1) =
—ах(х—I) (5х’+5х—4)+26х(х—1) (2х—1)+6х(х—1) =
==х(х—1) (5ах’+ (5а+46)х—4а—26+6) = х(х—l)g(x)
Точки 0 и I являются точками минимума и максиму-
ма, если f'(x) меняет в них знак с минуса на плюс
и с плюса на минус соответственно; но х(х—1) в этих
точках меняет знак с плюса на минус и с минуса на
плюс, и поэтому достаточно, чтобы g(x) в этих точках
был отрицателен:
—4а—26+6<0, 6а + 26+6<0.
Записанные неравенства выполняются, например, при
а =—8, 6=20, и многочлен
f (х) =— 8хь+20хЛ— 14х’+№+1
является решением задачи.
2573. Прямая, проходящая через центр окружности,
вписанной в треугольник АВС, пересекает его стороны
СА и СВ и удалена от вершин на расстояния dA, dB,
dc. Доказать равенство dd^-f-bdB—cdc (а, 6, с-* дли-
ны сторон треугольника).
Решение. Введем обозначения: I — секущая пря-
мая, ИА1,	(СС,|—перпендикуляры к прямой
I, проведенные из вершин треугольника; А=[СА]П/,
t=(CB]f]Z, г — длина радиуса окружности, вписанной
в треугольник (рис. 3).
Выразим двояко площади ipeyi ельников АВС и K.LC:
I - I
8Д ABC ~2~ab sin *- ”= “2~ (° + 6 + О г
SlxKLC “4'lCX|’|C/..|sinC -4* (|CX| + |Ct|jr.
(а + 6 + с) abdj.	л bdc	adc .
'•dA + dc) (dg + dc) a \4?д+4?с	d/j-)-dc)'
после упрощений находим
(a+6+c)dc= (d^ + dc)a+(dB+dc)6,
или
adA+bdB=cdc.
2574. В прямоугольном треугольнике ABC (С=90°)
проведена медиана АА>, пересекающая высота CD
треугольника в точке №.. Найти отношения \D№. ]: JA4C|
и |АЛ1| : |Л4А|. если А —а. (Применить векторы, коор-
динаты, метрические соотношения в треугольнике.)
Решение. 1) Применим теорему Менелая к тре-
угольнику BDC и секущей AAt (рис. 4). Имеем:
I БА | jCM|	|ДИ|
I AtC) ’ IMD) ’ ) АВ I “1-Отсюда
I Б».I .
I АС |
I ДА|
| ЛВ|
= 6 cos А
6
cos А
— с os’А,
I DM | : | МС | = cos’Л — cos’ a.
2) Аналогично, применив теорему Менелая к тре-
угольнику АВА( и секущей CD, получим
| AM |	2 | AD |
|MAI “ i-DBI
2 b Cos A
a cos В
Отсюда
(а+6+с) |СК\ |Ct| =а6(|СК| + |CL|).	(1)
Из подобия треугольников AKAi и CKCt, BLBt в
CLCt следует, что
|СК| -
bdc
dA +dc
I Ct |
adc
dp + dp
соответственно. Подставив эти значения для |СК| 
|CL| в равенство (1), получим
2cosA
Cos В
sin В	~
----Z" — 2 etg’ A — 2 etg’ a.
sin A
2575. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь; от-
резок АВ — их общий перпендикуляр (А £ а, В£ Ь).
Найти множество середин отрезков ХУ, если X £ а,
У£6 и |AX) = |By|.
—>	—►
Решение. Пусть а0 и 60 — единичные векторы, па-
раллельные прямым а и 6, точка О — середина отрез-
ка АВ. Точка 1 является искомой точкой тогда и
только тогда, когда
OZ - (СХ -t- ОУ) - 4*	+ ох + ов + ОУ -
4“ (АХ + ВУ).
Гак как Х£а, У £ b и | АХ | « I ВУ | , то АХ =
— аа„, BY В6.. где | aa, | — | 06, | , Т. е. a - + f.
Поэтому OZ — -у (а, + 6в)
Если векторы а0 и Ьи отложены от точки О, то точка
Z принадлежит двум перпендикулярным прямым, про-
ходящим через точку О и являющимся осями симмет-
рии данных прямых а и 6.
2576. Три сонаправленных отрезка ААЬ BBt, СС,
не лежат в одной плоскости. Доказать, что точки пересе-
чения М и N троек плоскостей ABCt. BCAt, CABt и
BtCiA. А,В,С, C AtB принадлежат прямой I, парал-
лельной прямой ААь Л Отдаться в том, что прямая Mb
проходит через точки пересечения медиан треугольни-
ков АВС и AtBiCt.
Решение. В условии задачи есть пропуск — дая-
ние отрезки AAi, BBt, CCt являются не только сона-
правлеиными, но и равными по длине. Пусть G точка
пересечения медиан треугольника АВС, а Gt — тре-
угольника ААСь (—(G|G) (рис. 5). Если точка А2—
середина [BtC\], то прямые АА2 и GG, пересекаются
в точке Л/, такой, что j/4A/j • |/УА2|=2: 1, т. е. N —
центроид треугольника AB|Ci. Аналогично (ВВг) я
52
(СС2) пересекают (GG() в той же точке Д' (В2 и С2—
середины [СД] и [Д(В|]). Значит, плоскости AtBtC,
B,CtA, CiAtB пересекаются в точке N. Аналогичным
образом получаем точку М в которой пересекаются
плоскости AtBC, В,СА, CtAB, а прямая /=(60,) =
= (MN) пересекает треугольники АВС и А|В|С, в их
центроидах G и Gi
2577. Представить число 1983 в виде суммы попар-
но различных а четных и Ь нечетных слагаемых таким
образом, чтобы сумма s(a, b)~a+2b была наиболь-
шей.
Решение. Если фиксировать число k нечетных ела
гаемых в разложении числа 1983, то s(a, k) принима-
ет наибольшее значение в том случае, когда дополне-
ние этих слагаемых до 1983 имеет наибольшее число
слагаемых в разложении на четные слагаемые. Поэтому
в качестве нечетных слагаемых в искомом разложении
следует брать возможно меньшие числа, т. е. 1, 3, ....
2k—1, где 6^43 и нечетно.
Сумма этих слагаемых равна, как известно, k2, а
число 1983 — k2 может быть представлено в виде сум-
мы попарно различных четных слагаемых так же, как
его половина в виде суммы произвольных, также по-
парно различных слагаемых. Учитывая результат зада-
чи 2569, получаем что при фиксированном k наиболь-
шее значение рассматриваемой суммы равно
Неравенство	равносильно неравенству
Г	г 7933 — 46=	— 1]	Г	/7933^4 (k	+ 2)2 — 1 1
I 2	)	[	2 I	4-
В силу возрастания функции у— |х] знак целон части
в этом неравенстве можно «снять», и после соответ-
ствующих преобразований полученное неравенство при-
водится к виду
562+226—7908 <0.
Последнее неравенство выполняется прн 6^37, н
поэтому
• -^537^539, 5зд^Д4(^$43.
Следовательно, наибольшее значение s(a, b) прини-
мается при разложении числа 1983 в сумму
(1 + 3+.. .+77) + (2+4 + .. .+42)
и равно 99.
2578 На множестве двумерных векторов определим
операции Ах и V:
(X, Г/)Д(2, /)=(Х2, yt),
п	(X, y)V(Z, t) = (xt, yz).
Пусть задана последовательность ab a2, .., a„. ...
векторов, координаты которых положительны, не пре-
восходят некоторого числа С, и произведение коорди-
нат каждого вектора а( не превосходит фиксирован-
ного числи a’Cl. Доказать, что для всякого вектора
«с с положительными координатами можно так подо-
брать последовательность операций В и V, чтобы пос-
ледовательность
^i —H2=;^iA2ci2i ...,	=£n-[hnCin, -..,
где h, С {Д, V}, стремилась к нулевому вектору при
П —ь со.
Решение. Рассмотрев несколько конкретных при"
черов. нетрудно высказать предположение: последо-
ватель! ость операций должна быть такой, чтобы при
переходе от вектора ЕП“(Е^, Е,2) к вектору Se+,
большее (меньшее) из чисел , g® умножалось на
меиьшее (большее) из чисел а^+Р о^+2, ГДС (ал+Р
ап+1 ) - оп+. (если - S; или а^+1 - о®+1, то на
этом шаге можно взять любую из операций V и Д).
Другими словами, компонентами вектора S»+l будут
числа
тах(е’п , е^)- min(ai+1, a®+1)
И
mln(6i . ft  шах (a’+1. а^+1).
Докажем, что для произвольного вектора прн ука-
занном выборе последовательности операций
|£я| ->0 при П-+ОО.
Если воспользоваться очевидным соотношением
min(x, у)-тах(х, у)=ху, то по индукции легко прове-
ряется, ЧТО	'
Отсюда следует неравенство
(mIn(Si,ei)]»<|S. | * • aM, п>1.
По индукции теперь можно установить оценку
|Е2|<| £ol - а2"-2 С2(л + 1).
Для л=1 эта оценка очевидна; проведем проверку
перехода от п к п+1:
I en+i 12 “ lmas (^’ ei)]2-|min (а^+1, <^+1)]2 +
+ [minUi, £2)Г ' (та* («1+1> «п+1)12 <
< I Еп I *а« + | Е. I 2П2ЯС!< I е. I 2агпС* (п + 2).
Здесь использовано, что каждая компонента вектора
не превосходит его длины» и очевидное неравенство
min (а/ , а|)< а < 1, (> 1.
Для завершения доказательства остается привлечь из-
вестный факт: если 0<а<1, то (л+1)а2и~г->0 при
П -> оо.
2579. Дан квадрат ABCD. На сторонах ВС и CD взя-
ты точки М и N так. что MAN=45°. Пользуясь одной
линейкой, провести перпендикуляр к прямой MN.
Решение. Построим диагональ BD и точку L=
= (BD)P(AjW) (рис. 6). Поскольку LAN—NDL=4,°,
го четырехугольник ALND вписан в окружность и
ALNт. е. (AL).L(LN). Аналогично доказывает-
ся, что четырехугольник АВМК вписан в окружность
(A'BAl = L+k=45t’), поэтому (MK)-L(AN).
Таким образом, в треугольнике AMN проведены две
высоты |А2 ЛI и \NL], поэтому [АН] —третья высота
и (AH)_L[MN) (точка Н—ортоцентр треугольника).
2580 В пространстве заданы два треугольника АВС
и А,В£{ такие что | ВС J =» | В(С(
|АВ| = 14(5,1. Осевая симметрия Sm отображает на-
правленную прямую ВС на направленную прямую CtBt;
аналогично осевые симметрии Sn и Sp отображают со-
ответственно направленные прямые СА и АВ на на-
правленные прямые Д[С| и В[Д|. Доказать, что прямые
т, п, р имеют дфщий пересекающий их перпендикуляр.
Решение. Данные треугольники АВС и Л1В1С1
конгруэнтны по трем сторонам, поэтому существует
единственное винтовое перемещение с осью /, отобра-
жающее один из данных треугольников на другой.
Винтовое перемещение есть композиция ие более двух
>севых симметрий Sm и Sm’ , таких, что m_Ll и гп'А_1.
В нашем случае это оси m и т'. Аналогичным образом
находим еще две пары осей: п и л', р и р'. Прямая
I перпендикулярна ко всем шести осям, а значит, и
к прямым т, л, р, пересекая их.
Замечания к решениям задач
Задача 2561 не вызвала, конечно, затруднений у чита-
телей, однако некоторые из них решали ее прямым вы-
числением — перемножением шестизначных чисел. Меж-
ду тем основное назначение этой задачи при решении
ее с учащимися показать, какие преимущества может
дать использование буквенных обозначений, т. е. под-
готовить их к алгебраическим преобразованиям. Разу-
меется, большинство читателей использовали в решении
буквенные обозначения, однако на последнем этапе
многие прибегали к точным вычислениям, тогда как
использование неравенств здесь более экономно и бо-
лее ценно для общего математического развития уча-
щихся.
В приведенном решении задачи 2563 мы воспользо-
вались очень грубой оценкой, что искомое число мень-
ше 20; это позволило избежать дополнительных вычис-
лений,-однако заставило рассматривать отдельно значе-
ние 19. Если заметить, что 165= 1 048 576— семизнач-
ное число, то ясно, что искомое число не превосходит
15. Это соображение сделало бы решение несколько
более коротким, но мы предпочли лишний раз порабо-
тать с остатками, поскольку этог способ рассуждений
весьма полезен при решении различных задач.
Отметим одну логическую тонкость: проверка того,
что число 13s действительно состоит из указанных в
условии цифр, ие является логически обязательной.
В самом деле, в условии дано, что пятая степень неко-
торого числа состоит из указанных цифр, и мы показа-
ли, что никакое число, кроме 13, этим свойством обла-
дать ие может. Если бы условие было сформулировано
несколько иначе, например: «Можно ли из цифр 1, 2,
3, 3, 7, 9 составить пятую степень натуоального чис-
ла?», тс проверка числа 13 была бы, конечно, логиче-
ски необходимой — при такой формулировке не утверж-
дается существование числа, удовлетворяющего усло-
вию задачи.
В связи с задачей 2564 отметим любопытный резуль-
тат: у исходного числа 24-}'5 «рациональная часть» 2
и «коэффициент при иррациональной части» 1 — целые
числа, а у кубического корня из этого числа соответ-
ствующие части являются дробными. Этот факт полез-
но сопоставить с тем, что кубический корень из целого
числа является либо целым, либо иррациональным.
Отметим еще, что формулировка этой задачи, строго
говоря, некорректна, однако подавляющее большинство
читателей поняли ее правильно: требовалось предста-
вить заданное число в виде a-]-by5, где а и Ь—рацио-
нальные числа. Мы сочли возможным использовать
приведенную формулировку, поскольку в обучении та-
кие «вольности речи» практически неизбежны — напри-
мер, столь же некорректной со строго логической точки
зрения является формулировка «упростить выражение»,
однако она общеупотребительна н общепонятна.
Основным недостатком ь решений задачи 2565 было
отсутствие убедительного доказательства того факта,
что вне отрезка [—4; 2| рассматриваемое неравен-
ство не имеет решений. Это доказательство является
существенной частью решения, и поэтому без него чи-
тательские решения не засчитывались. Ряд логически
неполных решений был прислан и к задаче 2569: в них
в основном недостаточно обосновывалось, что представ-
ление числа п в виде суммы
Г/8п+ 1—1
L 2
попарно различных слагаемых всегда возможно.
Существенным недостатком в решении задачи 2570
мы считали отсутствие доказательства неравенства
2x-f-l <3Х и аналогичных неравенств при х>1; разу-
меется, оно достаточно очевидно, однако на школьном
уровне такие утверждении следует обосновывать. Отме-
тим, что графическая иллюстрация в данном случае
не представляется убедительной: графики функций
{/=2х-|-1 и у—3х пересекаются в двух точках, ио
ничто не мешает им иметь и другие точки пересече-
ния — во всяком случае здесь требуется более тщатель-
ное исследование.
Большое число ошибок было допущено в решении
задачи 2572, и зачастую вследствие недостаточной вни-
мательности многие не учли требования, что точка
х=0 должна быть именно точкой минимума, а точка
х=1—точкой максимума, а не наоборот, и привели
пример квадратного трехчлена, явно не удовлетворяю-
щего условию. Кроме того, в ряде решений не обосно-
ван тот факт, что многочлен степени, меньшей 5,
ие может удовлетворять условию задачи. Отметим, что
в приведенном решении мы ограничились лишь графи-
ческой очевидностью утверждения, что многочлен f(x)
имеет на интервале ]С; 1[ еще две точки экстремума.
Формальное доказательство этого утверждения не
слишком сложно, но достаточно кропотливо; приведем
его.
Так как точка х= 1 является точкой максимума, то
в некоторой ее левой полуокрестности функция f(x)
принимает отрицательные значения, и поскольку f(0) =
= 1>0, то на интервале )0; 1[ /(х) обращается в 0
по крайней мере в одной точке х=а. Так как f (а) =
=/(1), то по теореме Лагранжа (или по ее частному
случаю — теореме Ролля) производная Г(х) имеет ко-
рень на интервале )а; 1 [.
Далее, так как точка х=0 является точкой миниму-
ма, то в некоторой ее правой полуокрес гности функция
)(х) принимает значения, большие 1, и если /(b) >1,
то по теореме о промежуточном значении непрерывной
функции f(x) принимает на интервале ]Ь; а| значе-
ние 1 в некоторой точке х=с. Но тогда по теореме
Лагранжа на интервале ]0; с[ по крайней мере в од-
ной точке f(x) обращается в 0. Таким образом, про-
изводная f'(x) имеет на интервале ]0; 1( по крайней
мере два корня.
Очень трудной, как мы и ожидали, оказалась зада-
ча 2578. Было прислана всего несколько решений,
и в большинстве из них достаточно серьезные погреш-
ности. Учитывая сложность задачи, мы зачли ее всем
тем читателям, у кото; ых правильна основная идея ре-
шения. Полностью правильное решение прислал
В. А. Юдаков из с. Ермаки Иркутской области.
Задачу 2567 решили практически все читатели, но
многие решения оказались громоздкими. На самом де-
ле решение требует применения одной теоремы коси-
нусов.
Многие решения задачи 2568 рациональны, опирают-
ся на прьмененне одной теоремы синусов, однако допу-
щены вычислительные ошибки в применении тригоно-
метрии
Значительные трудности вызвала задача 2573. Ее
решали градационным путем, векторным методом и ме-
54
годом координат, но и большинстве решений не при-
нимались во внимание частные случаи.
Разнообразные решения прислали к задаче 2574. Хо-
тя идея решения у многих правильная, однако были
допущены вычислительные ошибки. Общий недоста-
ток — проверчу решения большинство читателей не про-
водят. Умение проверить собственное решение это боль-
шое искусство, которым учитель должен владеть сам
и стараться передать своим ученикам.
С задачей 2575 справились немногие читатели. Век-
торный метод в данном случае наиболее рационален.
Ряд читателей обнаружили дефект и условии зада-
чи 2576. Некоторые из них поняли, что задача имеет
смысл лишь тогда, когда данные отрезки не только со-
иаправлены, ио и равны. Решения этой задачи полу-
чаются более экономными, если применить гомотетию.
Задача 2579 вызвала большие затруднения своей
необычностью. При ее решении использование орто-
центра треугольника приводит быстрее всего к цели.
Другие приемы вызывают осложнения.
Последний задача — трудная. Правильного решения
не прислал ни один из читателей. При решении этой
задачи надо использовать свойства винтового переме-
щения.
Г. В. Дорсфеьг (Москва),
3. А. Скопец (Ярославль)
Сводка решении задач,
помещенных в № 1 за 1983 г.
В номерах задач опущены первые две цифры (25).
Абдуллаев Н. М. (АзССР, г. Тауз)—61—68, 71,
Аветисян А. М. (АрмССР)—61, 63 -65, 67—71, 74.
Алейдаров В. С. (г. Махачкала) — 62—65, 67, 68, 70,
72, 74, 75 Алирзаев А. А. (АзССР)—61—63, 67, 68, 71,
73, 74, 79. Аляив А. В. (Пензенская обл.)—61—68, 71,
74, 75. Андриевский С. А. (г. Омск)—61—64, 67, 68,
74. Апшаев X. М. (Кабардино-Балкарская АССР) —61,
62, 67, 68, 71. Арстамян К. М. (АрмССР, г. Кафан) —
61—64, 67--69, 71. Ахмедов М. Я. (г. Чимкент)—61—
63, 65, 68, 70, 71, Ахиетов Ж- (Каракалпакская АССР,
г. Ходжейли)—61—64, 67, 68, 71. Ашурбеков К. Д.
(г. Махачкала) — 69—75, 77, 79. Багдасарян А. М.
(АзССР, г. Кировабад) — 61—63, 65—72, 75, 77. Багда-
сарян С. С. (АзССР) -62, 63 67, 68, 71. Баимбетов С.
(Каракалпакская АССР, г. Тахиаташ)—61—63, 68,
70- 72. Байжанов А. (Хорезмская обл.)—61—63, 67,
68, 71. Балицкий В. С. (Алтайский край, г. Алейск) —
71—73, 75—77, /9. Барышникова Т. Л. (Ошская обл.)—
61—65, 67, 68, 71. Блъсков И. (Болгария, г. Габрово)—
61—75, Бортная М. И. (Киевская обл., г. Тетиев) —
61—64, 67, 68, 71, 72, 74. Буваматов Ф. Т. (Андижан-
ская обл.) —61—64, 67, 68, 74. Буц В. В. (Полта >ская
обл., г. Лохвнца)—61—71, 73—75. Всприк В. К-
(г. Омск) —61—64, 67—69, 71, 74. Веребейчик И. Я.
(Ленинград) --ч1—80. Воронович Л. М. (Львовская
обл.)—61—63, 68. Габдуллин X. Г. (Гурьевская обл.)—
61, 62, 64, 67. 68, 71. Гаджиев М. М. (АзССР)—61 —
64, 68, 71. Гаджиев С. С. (Дагестанская АССР) —
61—64,67,68 71. Гахраманов М. И. (АзССР)—61, 64,
70, 71. Гейдаров Б. X. (АзССР)—61, 63, 68, 71. Гель-
руд Б. С. (г. Нижний Тагил) —61—71, 74, 75, 77. Глас-
ное П. Т. (Болгария, г. Ямбол)—61—65, 67—74, 79.
Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—61—71, 73—77,
79. Гончар Г. В. (г. Кутаиси) —61—69, 71, 73—75.
Григорян I. С. (АрмССР, г. Раздан)—61—75, 78—80.
Гулуа И. Л. (Тбилиси)—61—65, 67, 68. Гусейнов М. Б.
(АзССР, г. Саатлы)—61—63. 67, 70, 71 Давлятов А
(Кулябская опл ) — G1—64, 67, 68, 71, 79 Дание-
лян Г. Г. (АзССР, г. Степанакерт) —61—64, бо—68, 71.
Джаббаров М. Б. (АзССР, г. Саатлы)—61—68, 71.
Джапаров С. (г. Ош)—64, 67, 68, 73, 74 Джур-
ляк Д. А. (Винницкая обл.)—61, 63, 67, 68, 71. Дос-
булаев Я. Г. (Гурьевская обл.)—61—64, 67—69, 71.
Егоров П. В. (г. Рязань) — 61—63, 67, 68, 71. Емелю-
шин И. С. (г. Барнаул)—61—63, 65, 67, 68, 70, 71.
Журавлев В. В. (г. Ярославль)—61—65, 67, 79. Зака-
ряев Б. Ш. (АзССР) — 61—65, 67, 68, 71, 74. Зассе-
ев И. С. (ГССР, г. Цхинвали;—61—64, 67, 68, 71.
Зискинд Л. Е. (г. Винница)—61—73, 75. ЗубилинН. И.
(Орловская обл.)—61—63, 67, 68, 71. Ибадов Э. Б.
(АзССР) — 61, 63, 67, 68, 71. Иванов Н. Г. (Удмурт-
ская АССР) —61, 63, 67, 68. Игнатьев П., Ахметова 3.
(г. Казань) — 61—64, 66—68, 71. Исмаилов Т. Ш.
(АрмССР) —61—63, 67, 68, 71, 74. Каденов С. Ж. (Вос-
точно-Казахстанская обл.)—61—64, 67, 68, 70, 71, 74.-
Казанцев Э. Ф. (ЛитССР, г. Зарасай) —61—64, 66, 68,
71. Кайралапин А. Е. (Актюбинская обл.) — 61—63, 67.
Кассиров В. А. (Павлодарская обл.) —61—65, 67, 68,
71, 73, 74. Кванталиави Д. Д. (ГССР, г. Самтредиа) —
61, 64, 68, 71. Кислицын Л. Н. (Псковская об ь, г. Се-
беж) — 61—64, 67, 68. Константинов А. Н. (Одесская
обл.)—61—63, 67—69, 71. Курбанов К. Р. (Сырдарь-
ииская обл.) —61—63, 67, 68, 71. Курганов Т. К. (Таш-
кентская обл, г. Чирчик)—61—64, 67, 68, 70- 72.
Кушнер Б. С. (Куйбышевская обл, г. Жнгулевск) —
61—68, 71, 75. Лихота Е. А. (г. Анапа)—61, 67, 68,
71, 72. Любенов Л. Т. (Болгария г. Павел-Баня)—61,
62, 64, 67, 68, 71, 74. Маевская Н. К. (г. Сухуми) —
61—64, 66—68, 71. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) —
61—64. 67, 68, 70, 7, Маматкулов А. (Андижанская
обл.) — 61—64, 67, 68, 71. Мамедов Т. И. (АзССР,
г. Саатлы)—62—64, 67, 68, 70, 71. Мамедова Р. И.
(АзССР, г. Касум) — 62, 63, 67, 68, 71, 74. Мехма-
нов М. Ш. (АзССР)—61—71. Мехралыев Ф. Б.
(АзсСР)—61—64, 67—69. 71. Мирзоев А. Д.
(АзССР) — 61—64, 68. Мун В. К. (Ташкентская обл.,
г. Чиназ)—61—65, 67—69, 71, 74, 75, 77. Мусаев Г. К-
(АзССР)—61—68. 70, 71, 73—75, 79. Наврузов Т. Г.
(АзССР)—61—64, 67, 68, 71. Нерсесян П. Н.
(АзССР)—61—63, 67, 68, 71, 75. Норов М. (Бухар-
ская обл.)—61, 63, 65, 67, 68, 70, 71. Облокулов X.
(Ленинабадская обл., г. Пенджикент) — 61—63, 67, 68,
71, 74. Орынбасаров И. (Каракалпакская АССР) —61,
62, 67, 68. Осыпчук М. М. (Ивани-Франкова ая обл.,
г. Яремча)—69, 71, 72, 74, 76. Пац А. Н. (Гроднен-
ская обл.) —61—63, 65, 67, 68, 71, 74, 75. Повел |йВ. И.
(Ровенская обл.)—61, 63, 65, 67, 68, 73, 74. Руч-
кнн Д. Д. (Марийская АССР)—61—64, 67, 68, 71, 74,
75. Рытов Н. Н. (Тамбовская обл.)—61—64, 67, 68,
70, 71, 75. Сабанчеев И. Я. (Пензенская обл )—61—
64, 67, 68. Салнмжанов Р. М. (г. Петропавловск) —
61—75. Сеидов К. Р. (АзССР, г. Саатлы)—61, 64, 67,
68, 71. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге)—61—68,
70—79. Стопис Ю. В. (Вильнюс)—61—65, 67, 68, 71,
74, 75, 77. Сулейманов Д. 3. (АзССР, г. Саатлы) —61—
64, 67, 68, 71. Суховой М. Т. (г. Новосибирск)—61—
68, 70, 71, 73—76, 78, 80. Сисуев Г. Я. (Хабаровский
край, с. Князе-Волконка)—61—64, 67, 68, 79. Таймас-
ханов У. Д. (Дагестанская АССР)—61—72, 74, 75, 79.
Терехов И. А. (Рязанская обл., г. Скопин) — 62, 63, 67,
68, 70, 71, 74, 79. Тожнев X (На воинская обл.)—61,
64, 67, 71. Трикиди 3. Е. (Тбилиси)—61—64, 67—72.
Турдиев Л. (г. Андижан)—61. 63, 67, 68, 71. Ула-
ев X. А. (Курган-Тюбинская обл.)—61, 63, 64, 71.
Фридлии Г. М. (г. Бердичев) —61—64, 67, 68, 70—72.
Хагабаиов X. Т. (Кабардино-Балкарская АССР)—61—
64, 67, 68, 71. Халмирзаев А. (г. Андижан) — 61, 63,
64, 67, 68, 70—72. Хамраев 3. П. (Кашкадарьинская
обл.)—61—63, 71. Хизанишвили Ц. И. (Тбилиси) —
61—65. 67, 68, 70, 71, /3, 74, 77. Цакоев Б. М. (Ря-
занская обл.)—61—68 71 74, 75, 77. Пхай Т. Т
(г. Андижан) — £1 — 71, 73, 77, 79, 80. Чемортан И. В.
(МССР)—61—64 67. 68. Чепкасив Г. С. (г Красно-
дар)— 61 —64 67, 68, 71, 74, 75, 77. Шад".удииов X. X.
55
(Дагестанская АССР) —61, 63, 67—69, 71. Шамурь
дов Г. (Чарджоуская обл.)—61, 62, 64, 67. ЭихболлЦ.
(Монголия, г. Баруч-Урта) — 61—63, 67, 68, 71, 74
Юдаков В. А. (Иркутская обл.)—61—65, 67—75, 77,
78. Юсупов С. (Хорезмская обл.)—61—63, 66, 68, 71,
72. Юшин Ю. Д. (г. Гагарин)—61—64, 67, 68, 70, 71,
74. Ягодов В. Н. (Марийская АССР)—61, 62, 67,
68, 7
Математические кружки: Лежбадинской ср. шк. Мар-
неульского р-на ГССР (рук. С. М. Айдамиров) — 61—
63, 68, 71; ср. шк. № 5 г. Горис АрмССР (рук. Г. О. Ай-
рапетян)— 61—64, 66—68, 71; Еннкендской восьмн-
летней шк. Шау мяновскэго сельск. р-на АзССР (рук.
Г. А. Акопян)—61—64, 67; Индустриально-технологи-
ческого техникума г. Иджевана АрмССР (рук. 3. А. Ала-
вердян) — 62 64, 67, 68, 71; Пенсарской ср. шк. Аста-
ринского р-на АзССР (рук. А Ю. Алиев)—61—64, 67,
70, 71; 46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) —
61—68, 71; Лагичской ср. шк. Исмаиллинского р-на
АзССР (рук. X. А. Ахвердиев)—61, 64, 67, 68, 71;
. Нефтечалинской ср. шк. № 2 АзССР (рук. В. А. Ахун-
дов) — 61—63, 68, 71; «Агат» ср. шк. № 6 г. Цхинвали
ГССР (рук. Э. А. Бекоев) — 61—65, 67, 68, 70, 71;
шк. № 7 Еревана (рук. Г. Г. Бояхчян) —61—64, 67, 68;
Караджаллинской восьмилетней шк. к. Хачмас АзССР
(рук. Н. В. Велибеков)—61—64, 67, 68, 71, 74; Вели-
ханлинской восьмилетней шк. Ярдымлинского р-на
АзССР (рук. М. М. Гаджиев)—61—64, 68, 71; Ново-
Фригской ср. шк Хивского р-на Дагестанской АССР
(рук. С. К. Гаджимагомедов)—61—63, 67, 68, 71, 72,
79; Червомайской ср.шк. Касум-Измаиловского р-иа
АзССР (рук. А. 3. Гейдаров)—61, 62, 71; пятых и
VIII А классов 94-й шк. Киева (рук. Е. Я. Грищенко)—
61—64. 67, 68; 1-й ср. шк. г. Гардабани ГССР (рук.
3. А. Гусейнов)—61—64, 67, 68; Карачинарской ср.
шк. Шаумяновского сельск. р-на АзССР (рук. В Д. Да-
видян)—61—64, 67, 68, 71; ср. шк. с. Лякит р-на Ка-
хи АзССР (рук. Б. Д. Джавадов) —61—64, 67, 68, 70,
71, 74; Карыкышлакской шк. Лачннского р-на АзССР
(рук. Э. X. Казымов) — 61—64, 67, 68, 70—72; Марзи-
линской восьмилетней шк. Агдамского р-на АзССР
(рук. Ф. А. Касумов) — 61—64; Набакевской ср. шк.
Самтредского р-на ГССР (рук. М. Д. Кашкя)—61—
68, 70, 71, 74, 75; 93-й ср. шк. Киева (рук. М. Л. Ко-
бозев) — 61—64, 67, 68, 70, 71, 79; 206-й шк. Киева
(рук. И А. Кушнир)—61—63, 67, 68, 71, 73, 74; Чо-
бансихнагской ср шк. Таузского р-на АзССР (рук.
Г. А. Кязимов)—61—64, 67, 68, 71; Калининской
азербайджанской ср. шк. № 1 Гардабанского р-на
ГССР (рук. И М. Мамедов)—61—64, 68, 71; ср. шк.
№ 6 г. Давлеканово Башкирской АССР (рук. А. В. Мин-
ниахметов)—61—63, 68, 71; ср. шк. пос. Герматук
Ленкоранского р-на АзССР (рук. М. И. Музаффаров) —
61—64, 67, 68, 70. 71, 75; г. Рогачева Гомельской обл.
(рук. С. Л. Нахамчик) — 61—64, 66—69, 71—74, 76—
78; Нанайской ср. шк. Бостанлыкского р-на Ташкент-
ской обл. (рук. М. Ж. Норметов) —61—63, 68, 71; Зар-
навинской сельск. ср. шк. Исмаиллинского р иа АзССР
(рук. А. Р. Рустамов)—63, 64, 67; ср. шк. № 2
г. Мархамат Аптижаиской обл. (рук. О. Сатторов) —
61—64 67, 68, 71; Атъемазлинской ср. шк. Агдамского
р-на АзССР (рук LU. X. Сафаров) —61—63, 68, 70, 71;
Быстричской ср. шк. Березновского р-иа Ровенской обл.
(рук. Ф. Г. Стахнюк) —61, 63, 65, 67, 71; Башской ср.
шк. Самтредского р-на ГССР (рук. Л. Е. Твалавадзе) —
61—64. 67, 68, 71, 73, 74; 173-й ср. шк. Киева (рук.
Р. И. Ушаков)—61—77, 79; Ханлыкской сельск. ср.
шк. Кубатлииского р-на АзССР (рук. Ф. С. Фагали-
ев)—61—64, 66—72; Самурской поселковой ср. шк.
Кусарского р-на АзССР (рук. С. А. Халидов) —61—64,
67, 68; ср. шк. № 32 Минска (рук. А. Н. Щиряков) —
61—63, 67, 68; девятых классе" 132-й шк. г. Куйбыше-
ва (рук. Э. А. Ясиновый)—61—64, 67, 68, 71, 74.
В ПОМОЩЬ УЧИтЕЛвМ,
gj ЗАНИМАЮЩИМСЯ ПО ПРОГРАММЕ
САМООБРАЗОВАНИЯ
Геометрия:
наука и учебная дисциплина
К. А. Рыбников
(Москва)
Постановка вопроса. Преподавание геометрии, равно
как и все школьное математическое образование, под-
вергается в последнее время критическому пересмотру
со стороны широких слоев нашего общества. Диапазон
(или, как принято иногда говорить, разброс) критиче-
ских замечаний и высказываний весьма широк. Рефор-
мы же вводятся в жизнь с гораздо большей степенью
осторожности (что полностью оправдано), но с таким
же большим разбросом мнений и действий (что вызы-
вает настороженность и сомнения).
Насколько оказывается возможным судить, содержа-
ние школьного курса геометрии значительных измене-
ний не претерпевает. Оно оказывается традиционно
устойчивым. Столь же устойчивым остается место гео-
метрии в учебных планах. Вплоть до VI класса гео-
метрические сведения включаются в программах в об-
щую, неразделенную систему математического образо-
вания. Они служат целям обеспечения большей нагляд-
ности, привитию навыков измерений и вычерчиваний,
образуют пропедевтические основы для изучения в даль-
нейшем систематического курса геометрии. Этот же
курс, который преподают в VI—X классах, имеет своей
целью как развитие пространственного воображения,
так и формирование у учащихся культуры логических
суждений в их аксиоматически дедуктивной форме.
Таким образом, перед школьным курсом геометрии
ставят не одну, а две цели, что придает задаче его
преподавания дополнительные сложности. И естествен-
но, что «критические страсти» вокруг преподавания гео-
метрии в школе своей остроты не потеряли. Концен-
трируются они теперь вокруг проблемы качества учеб-
ников геометрии. Критерии качества предусматривают,
в частности, требование, чтобы содержание учеоника
соответствовало основам современной геометрической
науки и одновременно было доступно для усвоения так
называемым средним учеником. Удовлетворить таким
требованиям — задача весьма грудная. Более того, это
громадная совокупность чрезвычайно сложных проб-
лем, среди них такие: что представляет собою современ-
ная геомегрическая наука, с какой ее частью следует
соотносить содержание школьного курса геометрии,
а также множество методических проблем наглядности,
доступности, выработки навыков и т. п.
Оптимальное решение пока еше не найдено. Быть
может, оно и не единственно. На это указывает нали-
чие нескольких основных, а также экспериментальных
и иных учебников и учебных пособий, написанных
с разных научных и педагогических позиций и приме-
няемых в практике раооты школы. Намечающийся сей-
час выбор одного из существующих учебников в каче-
стве единственного не представляется автору достаточ-
но обоснованным.
Впрочем, поиски оптимального соответствия — задача
«вечная». Наука развивается, совершенствуются методы
обучения, изменяйся и будет изменяться постановка
и содержание затронутых нами проблем. Однако при
их решении неизменным останется требование изучать
и учитывать опыт предшественников как в конкретных,
так и в общеисторических аспектах. Что же касается
современного положения дел, то многое указывает на
66
то, что его нельзя назвать благополучным. Историче-
ская предопределенность структуры учебников геомет-
рии, особенности и закономерности геометрической
науки, приведшие к ее современному состоянию, а так-
же историческая обусловленность целей обучения гео-
метрии в школе, I. е. то чго необходимо знать и учи-
тывать для обеспечения высокою научного и методиче-
ского уровня преподавания, находится, к сожалению,
еще вне внимания большинства составителей учебников
и преподавателей.
В настоящей статье мы предлагаем вниманию чита-
телей очерк некоторых особенностей исторического раз-
вития научного состава геометрии и ее преподавания,
которые, по нашему мнению, следовало бы принимать
во внимание при составлении учебников и вообще при
обучении геометрии в школе.
Как люди приобрети ги геометрические знания. Обще-
известно и вряд ли кем оспаривается, что геометри-
ческие сведения люди начали приобретать на ранних
этапах накопления научных знаний в ходе своей прак-
тической деятельности. По мере закрепления миллионы
раз повторяемых измерительных операций, построений
и наблюдений происходило обогащение получаемых гео-
метрических сведений и выделение из них элементов
суждений теоретического характера. Последние склады-
вались в системы высказываний, утверждений, распола-
гаемых так, чтобы была соблюдена их логическая
преемственность. Естественно, гто на этом пути в осно-
ве получаемых систем утверждений оказывались груп-
пы логически первоначальных, не доказываемых и не
подлежащих доказательствам высказываний (определе-
ний, аксиом, постулатов) Как результат этого процес-
са стали складываться математические научные теории;
некоторые из них составили содержание «Начал»
Евклида Последние приобрели на определенный исто-
рический период значение основ научного математиче-
ского знания. В таком качестве они перешли в область
обучения и на многие века закрепились в школах.
Школьники, изучающие геометрию ныне, в этой час-
ти своего математического образования как бы повто-
ряют исторический опыт человечества, приобретенный
на ранних этапах развития математических знаний. Од-
нако в этом следует разобраться подробнее. Иначе мо-
жет случиться, что в результате ознакомления с пра-
вильной в основном общей схемой у читателя сложит-
ся обедненное, схематическое, неверное представление
о реально происходящих процессах развития науки
и образования.
Исторические источники убедительно свидетельству-
ют о наличии у человека геометрических знаний на
всех этапах его разумной деятельности. Однако в те-
чение длительного периода истории человеческого обще-
ства, охватывающего доклассовые общественно-эконо-
мические формации, эти знания были примитивными.
В них входили простейшие первичные измерительные
операции, схематические изображения. Возникавшие
при этом понятия находились еше в неразрывной связи
с материальными источниками своего происхождения
н с областью их применений.
Характер геометрических знаний меняется вместе
с образованием государств с присущим им классовым
расслоением общества. Мы имеем в виду исторически
самые ранние цивилизации Китая, Индии, Египта.
Ближнего Востока, Средней Азии и Закавказья, где че-
ловеческие поселения располагались на наиболее при-
годных для проживания территориях.
Геометрические знания, наряду с начатками счета,
в этих новых условиях постепенно развились под непо-
средственным воздействием экономических и других об-
щественных потребностей в системы элементарно-мате-
матических знаний. Значительный круг лиц уже полу-
чал образование, в том числе математическое. Это бы-
ли: землемеры, строители, сборщики налогов, писцы,
люди жреческих сословий, а также торговцы и ремес-
ленники. Как показывают сохранившиеся источники.
в особенности древнекитайские и индийские, знания,ко-
торыми эти люди владели, состояли из набора правил
для решения частных классов задач применительно
к требованиям профессии (измеречие участков зе! тли,
обмеры строений, плотни и т. п.). Такие сочинения бы-
ли написаны как руководства для специалистов опре-
деленного профиля. Необходимые сведения были рас-
пределены по отдельным сочинениям или частям сочи-
нений и изложены по возможности систематично. Их
содержание пополнялось и изменялось медленно;
Причиной этой замедленности и застоя был характер
общеисторического развития. Хотя политических и го-
сударственных изменении в древнем мире было предо-
статочно, в калейдоскопе исторических событий неиз-
менной, или почти неизменной, оставалась экономиче-
ская основа общества: примитивное сельское хозяйство
и рабский труд. Одним из следствий такого положения
оказывалось отсутствие стимулов для совершенствова-
ния научных знаний и, в частности, для обучения ма-
тематике в школах.
Начало теоретического развития геометрии было озна-
меновано появлением теорем. Достоверно известно, что
первые теоремы возникли в Древней Греции. Самые
ранние из них исторические источники относят к до-
стижениям ученого и филоюфа Фалеса. Речь идет о
следующих теоремах: 1) диаметр делит круг пополам;
2) углы при основании равнобедренного треугольника
равны; 3) центральные углы, опирающиеся на равные
дуги, равны; 4) если сторона и прилегающие к пей
углы одного треугольника соответственно равны сто-
роне и прилс ающим к ней углам тугого треугольника,
то такие треугольники равны; 5) углы, вписанные
в окружность и опирающиеся на диаметр, прямые.
Доказательства этих теорем до нас не дошли. Одна-
ко очевидно, что все они не могут быть сведены к
простейшим приемам (например, складывание чертежа
пополам).
Так, по-вилимому, было положено начало развит ню
геометрии, понимаемой как совокупности теорем. За
последующие ?—4 столетия эта совокупность весьма
активно пополнялась. В научном обиходе оказалось
значительное число самых разнообразных теорем. Их
содержание по существу превосходило объем извест-
ных современным школьникам и даже студентам тео-
рем элементарной геометрии. Все острее вставала проб-
лема классификации, упорядочения и построения их
систем.
Столь радикальное изменение геометрии являлось
частью более общего процесса формирования матема-
тической науки, происходившего в древнегреческих го-
сударствах В течение долгого времени накапливаю-
щиеся магматические знания не были выделены в от-
дельную область научных знаний. Важные и интерес-
ные астрономические, технические и другие открытия,
наблюдения над явлениями природы, новые методы
вычислений, геометрических построений, теоремы воз-
никали во многих местах становились издестными
в среде образованных людей, сливаясь в единую, по-
началу слабо объединенную область всеобщего научно-
го знания. Называлась эта область матема (что озна-
чает наука, знание). Факты сплачивающейся области
научных знаний приобретали название научных, мате-
матических.
По мере обогащения содержания науки происходил
процесс ее дифференциации. Одними из первых были
осознаны в своем своеобразии и обособлены матема-
тические науки В свою очередь, внутри математики
сведения и навыки практического характера выделялись
в отдельную область: логистику Заняшя логистикой
не считались подлинно научными. Теоретическими же
и вообще более сложными исследованиями занимались
главным образом люди, которые стояли выше на со-
циальной лестнице, были подготовлены в школах
и нередко входили в учебно научные объединения (шко-
лы Пифагора, Платона, Аристотеля и др.).
57
Примерно к III в. до н. э. сложились две разновид-
ности геометрических знаний, а) богатая совокупность
практических приемов измерений, построений схем, чер-
тежей и пр.; б) быстро разрастающаяся область тео-
рем и вообще теоретических высказываний.
Особое значение геометрии придавало то обстоятель-
ство, что подавляющее большинство математических
результатов облекались в геометрическую форму. Это
происходило потому, что ученые стремились достичь
максимально возможной общности получаемых резуль-
татов. Такую общность обеспечивала именно геомет-
рия. Дело в том, что множество объектов геометрии
(например, множество отрезков прямой линии) оказа-
лось богаче, нежели множество рациональных чисел,
которыми, собственно, и ограничивались знания ученых
того времени. В силу этого обстоятельства люди, ра-
ботавшие в математике и сведущие в ней, стали назы-
ваться ие математиками, а геометрами. Эта традиция
существовала вплоть до XX в.
О происхождении систематических курсов геометрии.
Тот систематический курс геометрии, который препо-
дают сейчас в школе, состоит в основном нз последо-
вательности теорем, вывод каждой из которых обосно-
вывается правильностью предшествующих теорем. Все
цепочки теорем опираются в конечном счете на сово-
купность основных высказываний — аксиом. Кроме это-
го, в программу включены- начала исчисления векто-
ров; элементы тоигонометрии; первичные представления
о методе координат. В основной своей части курс гео-
метрии вследствие наличия аксиоматической основы
и требования логической последовательности теорем яв-
ляется дедуктивно-аксиоматической системой. Свое
происхождение такие системы ведут издавна.
Уже в IV в. до н. э. ярко обозначилось стремление
ученых Древней Греции привести в систему все нако-
пившиеся научные сведения. Убедительным примером
этого может служить научное творчество Аристотеля
(384—322 г. до н. э). Подобные устремления и соот-
ветствующая деятельность распространились и иа ма-
тематику.
Абстрактность предмета математики и установившие-
ся приемы логических суждений и доказательств были
основными причинами того, что математическую
науку сгали трактовать как дедуктивную, представ-
ляющую собою логически строгую последовательность
теорем и задач на построение, отправляющуюся от ми-
нимального числа исходных высказываний. В силу со-
циальных традиций, отстраняющих трудящихся и угне-
тенных людей от образования в науки, в научные си-
стемы не включали практические сведения и численные
приемы решения задач.
Известно, что вначале существовало несколько попы-
ток систематического построения теоретических основ
геометрии. Однако все они до нас не дошли, за исклю-
чением «Начал» Евклида. «Начала» приобрели всеоб-
щее устойчивое признание как система математических
знаний, логическая строгость которой оставалась не-
превзойденной в течение свыше 20 веков. Все это вре-
мя по Евклиду изучали математику, а позднее — только
геометрию. Его «Начала» лежат в основе подавляю-
щего большинства школьных учебников геометрии.
Научные исследования в очень большой степени опи-
раются на систему Евклида, на ее аксиоматнчески-де-
дуктивный строй.
Евклид, автор «Начал», жил около 300 г. до н. э.
в Александрии, столице государства, образовавшегося
в Египте после распада огромной державы Александра
Македонского. В Александрии, крупном торговом цент-
ре и экономически процветавшей столице сильного
государства Птолемеев, был учрежден единственный
в своем роде научный и учебный центр — Музейон (что
означает прибежище, обиталище муз). Научную работу
в Музейоне. на условиях государственного обеспечения,
постоянно или временно вели многие крупнейшие уче-
ные античности: Евклид, Архимед, Аполлоний, Эра-
тосфен и другие. Библиотека Музейоиа насчитывала
до 500 тыс. рукописей. Благоприятное влияние Муэейо-
на на развитие науки длилось около 6 веков. В начале
нашей эры под губительным воздействием завоеватель-
ных войн римлян его значение стало падать. Позднее
Музейон был уничтожен, а ученые разогнаны или даже
физически уничтожены по наущению реакционного
христианского духовенства.
Научное и педагогическое значение «Начал», прояв-
лявшееся в ходе развития математики, было исключи-
тельно большим. Поэтому рассмотрим их содержание
подробно. Состоят они из 13 книг (частей). Содержа-
ние каждой из книг представляет собою последова-
тельность теорем. Первой книге предпосланы определе-
ния, аксиомы и постулаты; определения появляются
и в некоторых других книгах (2—7, 10, И), аксиом
и постулатов в них нет.
Определения — это пояснения вводимых понятий, на-
пример: точка есть то, что не имеет частей; куб есть
телесная фигура, заключенная между шестью равны-
ми квадратами, и т. п. Они очевидным образом отражают
наличие и разнообразие исторически сложившихся ко
времени жизни Евклида абстракций.
Аксиомы — предложения, вводящие отношения равен-
ства или неравенства величин. Их в «Началах» пять:
1.	Равные одному и тому же равны «ежду собою.
2.	Если к равным прибавляются равные, то и целые
будут равны.
3.	Если от равных отнять равные, то и остатки бу-
дут равны.
4.	Совмещающиеся (при наложении) равны.
5.	Целое больше части.
Возможность геометрических построений н операций
обосновывается введением постулатов. Их также пять:
1.	Через две точки можно провести прямую.
2.	Отрезок прямой можно продолжать неограни-
ченно.
3.	Из всякой точки любым расстоянием можно опи-
сать окружность.
4.	Все прямые углы равны.
5.	Если две прямые, лежащие в одной плоскости,
пересечены третьей и если сумма внутренних односто-
ронних углов меньше двух прямых, то прямые пересе-
кутся с той стороны, где это имеет место.
Переписчики и комментаторы, а затем многочислен-
ные издатели и исследователи пробовали критиковать
и видоизменять систему основных высказываний «На-
чал». В подавляющем большинстве случаен попытки
были неудачными Тем не менее с течением времени
постепенно вскрывались логические несовершенства
евклидовой системы: логическая перегруженность опре-
делений, необеспеченность возможности наложения фи-
гур, отсутствие критерия пересечений окружности и
прямых и др. Реальные же продвижения в усовершен-
ствовании аксиоматических основ геометрии были до-
стигнуты гораздо позже, только во второй полови-
не XIX в.
Метод построения системы «Начал» и форма изло-
жения имели следующие особенности:
а)	Метод был синтетическим. Для доказательства
какой-либо теоремы Евклид исходит из заведомо спра-
ведливого утверждения. Из него он развивает последо-
вательность следствий, приводящие к искомому утверж-
дению. Обратный ход рассуждений, называемый анали-
зом, в «Началах» не встречается.
б)	Доказательства строились по единой схеме: фор-
мулировка задачи или теоремы; построение чертежа;
объяснение задачи на чертеже; построение вспомога-
тельных линий; доказательство; объяснение того, что
доказано; утверждение, что доказанное решает задачу
или адекватно теореме. В несколько упрощенной форме
эта схема стала традиционной. Она дошла до наших
дней как классический образец математического рас-
суждения, которому в основном следуют и сейчас.
в)	В «Началах» никогда ие идет речь об нзмере-
58
ниях, а лишь об отношениях длин отрезков, площадей
фигур и объемов тел соответственно.
Перейдем к обзору содержания всех 13 книг «Начал».
Книги 1—6 — планиметрические, из них книги 1- -4 со-
держат ту часть планиметрии, в которой еше не при-
меняется теория пропорций. В 1-й книге вводятся ос-
новные построения, действия над отрезками и углами,
свойства треугольников, прямоугольников и паралле-
лограммов. Завершает книгу теорема Пифагора и об-
ратная ей. Во 2-й книге рассматриваются соотношения
между площадями прямоугольников и квадратов, по-
добранные тьки« образом, что они образуют геомет-
рическую интерпретацию алгебраических тождеств и ре-
шений задач, сводящихся к квадратным уравнениям.
Этот материал извегген среди исследователей под
названием «геометрическая алгебра древних». 3-ю кни-
гу составляют теоремы о свойствах круга и окружно-
сти, хорд и касательных, углов центральных и вписан-
ных 4-я книга посвящена свойствам правильных мно-
гоугольников, как вписанных, так и описанных, а так-
же способам построения правильных 3-, 4-, 5-, 6- и
15-угольников.
В 5-й и 6-й книгах развивается общая теория отно-
шений, являющаяся прообразом теории действитель-
ного числа р ф^рме, развитие которой привело гораз-
до позднее, е XLX в., к дедекиндовым сечениям. Вна-
чале вводятся отношения, их равенства, неравенства,
описываются свойства. Затем речь идет о теории про-
порций, в том числе производных (образованных допу-
стимыми преобразованиями членов пропорций) и слож-
ных (образованных из нескольких заданных пропор-’
ций). Этот общетеоретический материал применяется
в 6-й книге к геометрии. Доказаны, например, теоремы
об отношениях площадей прямоугольников и паралле-
лограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональ-
ности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой
параллельных прямых, о подобии фнгур и об отноше-
нии площадей подобных фигур. Сюда же включена
группа теорем, в которых обобщаются теоремы 2-й кни-
ги. Обобщение состоит в том, что помимо прямоуголь-
ников рассматриваются и параллелограммы. В близкой
нам алгебраической интерпретации это трактуется как
метод решения задач, приводящихся к полным квадрат-
ным уравнениям.
Сл< пуюшая группа книг (7—9) содержит античный
эквивалент теории рациональных чисел, за ними за-
крепилось название арифметических. Казалось бы ло-
гичным. чтобы автор «Начал» не отвлекался, а изло-
жил бы в этих книгах стереометрию, т. е. систему про-
странственных представлений, однако непоследователь-
ность здесь ,олько кажущаяся. Дело в том, что в конце
своего сочинения Евклид исследует правильные мно-
гогранники и определяет отношения их ребер к диа-
метру описанного шара. Эти отношения выражаются,
как известно, квадратичными и биквадратичиыми ирра-
циональностями, поэтому Евклиду и пришлось рассмот-
реть построение и классификацию таких иррациональ-
ностей. Чтобы выполнить эту задачу, он опирался на
ряд предложений из теории рациональных чисел
(у Евклида — соизмеримых отрезков). Рациональные
числа, в свою очередь, Евклид представляет как отно-
шения пе^ых чисел.
Историки наукн отмечают, что арифметические кни-
ги «Начал» содержат учение о целых числах и их от-
ношениях, почерпнутое в основном из пифагорейской
математики. Сохранение принципиально различного
смысла понятий числа и общей величины послужило
причиной повторения в арифметических книгах многих
фактов теоретико-числового характера, уже полученных
в 5-й книге «Начал».
10-я книга выделяется в первую очередь громоздкой
классификацией всех 25 возможных видов биквадра-
тичных иррациональностей. Ей предпосланы различные,
сами по себе важные, предложения, играющие роль
лемм. Среди них, например, находится основная лемма
метода исчерпывания: если от заданной величины от-
нять часть, большую, нежели ее половина, с остатком
повторить то же и т. п., то при достаточно большом
числе операций можно получить величину, меньшую лю-
бой заданной. Кроме того, в 10-й книге находятся
способ отыскания неограниченного числа пифагоровых
троек целых чисел, кр1терий соизмеримости двух ве-
личин, основанный на алгоритме попеременного вычи-
тания, отыскание общей наибольшей меры соизмери-
мых величии н др.
Последние три книги «Начал» (11—13)—стереомет-
рические. Первая нз них открывается большим числом
определений, что вполне есте< гвенно, так как в пре-
дыдущих книгах вопросы стереометрии не рассматри-
вались. Затем следует ряд теорем о взаимных распо-
ложениях прямых и плоскостей в пространстве и теоре-
мы о многогранных углах. Последнюю треть этой
книги составляет рассмотрение отношений объемов па-
раллелепипедов и призм.
Вычисление объемов других элементарных тел (пи-
рамид, цилиндров, конусов и шаров) требует обяза-
тельного выполнения предельных по существу перехо-
дов. В 12-й книге отношения объемов исех упомянутых
тел найдены с помощью метода, получ! вшего впо-
следствии (с XVII в.) название метода исчерпывания.
Идея этого метода, являющегося своеобразной антич-
ной формой метода пределов, состоит в следующем:
Евклид устанавливает, что плошали подобных правиль-
ных многоугольников, вписанных в круги, отиосятси как
квадраты диаметров. Затем круги «исчерпываются»
последовательностями площадей правильных вписанных
2"-угольников (л=2, 3, 4, ...). Отношения последних
при увеличении числа сторон остаются неизменными.
После неявного перехода к пределу доказывается мето-
дом от противного, что и площади кругов относятся
каг квадраты их диаметров.
Последняя, 13-я книга содержит построения пяти
правильных многогранников: тетраэдра (4-граиника),
гексаэдра (6-гранннка), октаэдра (8-гранннка), доде-
каэдра (12-гранника) и икосаэдпа (20-граиника)
В заключение доказывается, что других правильных
многогранников не существует. В той же книге опре-
деляются отношения объемов шаров.
Теперь, после подробного обзора содержания «На-
чал», можно более определенно и обоснованно судить
о значении этого сочинения как в научном, так и учеб-
ном смысле, о причинах его многовековой актуальности
и, наконец, об отношении его к современным учебникам
по геометрии.
Что касается рассматриваемой здесь проблемы, то
следует сразу же замети’ь, чтз «Начала» не могут
быть охарактеризованы ни как г-учиый трактат по
геометрии, ни как учебная книга. В самом деле, томи-
мо элементарно-геометрического материала в эту кни-
гу были включены: основы теории рациональных чи-
сел; общая теория отношений величин; опирающаяся
на нее теория пропорций; теория квадратичных и би-
квадратичных иорациональностей; элементы алгебры;
метод исчерпывания. Геометрической были лишь форма
изложения; как мы указывали выше, она обеспечива-
ла наивысшую для того уровня математических знаний
общность.
Более того, в «Началах» не содержится даже попыт-
ки охватить широкий круг геометрических сведений.
В них нет информации о конических сечениях, об уже
известных математикам древности классах алгебраи-
ческих и трансцендентных кривы!. Нет в этом сочинении
и геометрических суждений инфинитезимального харак-
тера (за исключением метода исчерпывания), с таким
блеском развитых в сочинениях многих математиков
античности, в особенности в работах Архимеда. Нако-
нец, нет в «Началах» даже элементов методического
характера, которые свидетельствовали бы об их учеб-
ном предназначении или использовании.
Чем же являются «Начала»? Это — исторически сло-
59
жнвшаяся, первая из известных нам попытка построе-
нил системы основ математики. По-вндимому, главной
заботой автора было обеспечение максимально возмож-
ного высокого уровня того, гго мы ныне называем
математической строгостью. Логическая структура это-
го сочинения отражает исторический путь ранних эта-
пов формирования математических теорий от сравни-
тельно несложных типа геометрической алгебры до бо-
лее общих и сложных. Вероятво, важную роль при
этом играла нацеленность на решение задачи о пра-
вильных многогранниках. Некоторые специалисты по
истории науки, например Ван дер Вардеи, отмечают
компилятивный характер содержания и структуры
«Начал».
Таким образом, вопрос о происхождении системати-
ческого курса геометрии, входящего ныне в школьные
учебные планы, оказывается непростым. Дело в том,
что формирование геометрии как математической нау-
ки не происходило по чисто геометрическим путям и
не приводило к выделению чисто геометрических тео-
рий. Они появилпСо на ci ет с включениями в них негео-
метрических элементов. Само геометрическое содержа-
ние оказывалось разъединенным на теоретическую
н практическую части, почти не связанные и не взаи-
модействующие. Геометрии, чтобы приобрести вид,
близкий к современному ее состоянию, предстоял еще
долгий путь, вэоб..лующий преобразованиями принци-
пиального злаченнд.
Какими путями шло развитие геометрии С тех пор
как в геометрии (наряду с практическими знаниями
и навыками- а также с теоретическими исследования-
ми геометрическою содержания) появилась первая де-
дуктнвно-аксиовса1Ическая система «Начал», обогаще-
ние геометрических званий происходило по следующим
и гпрагтенк м:
1. Все больше осознавалась плодотворность связей
геометрии с д] угими частями математики и использо-
вания в ней новых элементов, позаимствованных из
этих частей, что не только шло на пользу измеритель-
ной и вычислительной практике математического тру-
да, но и изменяло структуру самой геометрии, выводя
ее из рамок, предписанных заданной дедуктивно-аксио-
матической системой.
2. Осознание ограниченности объекте! i и средств ис-
следования, определенных системой -Начал», вызыва-
ло стремление к ее усовершенствованию, затем — к ее
пересмотру и, наконец, к построению новых систем.
На этом пути появились: а) геометрии, где в качестве
их основы выделялся тот или иной аспект простран-
ственных представлений (например, изучение свойств,
инвариантных относительно проектирования, привело
к проективной геометрии); б) геомзтрии, построенные
иа базе изменений, вносимых в аксиоматическую осно-
ву (например, неевклидовы геометрии).
Течение этих процессов заняло ллительпый историче-
ский период.
Факты истории науки со всей очевидностью пока-
зывают, что значительные успехи геометрии, после дол-
гих столетий замедленного раз: ihthh, были достигнуты
на первом из указанных путей развития. Мы имеем
в виду соединение геометрических методов с алгебраи-
ческими, которое происходило начиная с XVI в.
К концу этого столетия структура математики была
еще несложной. Она состояла из арифметики, алгебры,
геометрии (естественно, евклидовой) н тригонометрии.
Идеи функциональной зависимости, непрерывности, пре-
дельных переходов, зародившихся в математике Древ-
ней Греции и с тех пор не покидавшие поля научного
зрения математиков, должного развития еще ие полу-
чили. Что касается геометрических знаний, которые мы
рассматриваем в настоящей работе, то в научном пла-
не они мало изменились по сравнению с достижениями
античных математиков В преподавании же дело огра-
ничивалось. как правило изучением немногих первых
киш «Начал»
Однако изменения назревали. Техническая и научная
революция, сопровождающая становление нового капи-
талистического общественно-экономического строя об-
щества, была уже на пороге. С нею пришли в мате-
матику актуальные задачи, настоятельно требующие
решения. Это были зада“и мореплавания, картографии,
кораблестроения, артиллерии, оптики, конструирования
механизмов (например, часов) и др. Перестройка и обо-
гащение всей системы научных знаний того времени
не миновали и математику, рассматривавшуюся как ее
основа. Новые задачи требовали: производить быстро
числовые выкладки, применять алгебраические форму-
лы, решать алгебраические уравнения, производить из-
мерения и строить чертежи. Быстро менялся характер
математических знаний. Менялась и геометрия. Измене-
ние это ярко отра щлось в научном творчестве Р. Де-
карта (1596—1650), впервые построившего в 1637 г.
аналитическую геометрию.
Рене Декарт, как н подавляющее большинство его
современников-ученых, не был математиком, тем бо-
лее «чистым». Целью его естественнонаучных и фило-
софских знаний, весьма разнообразных по тематике, яв-
лялась разработка общего метода изучения и решения
всех (или возможно большего числа) естественнонауч-
ных и прочих проблем. Этот метод должен опираться
на математику, чтобы обладать достаточной логической
строгостью. Но какова должна быть сама математика,
чтобы оказаться пригодной для подобной роли?
Природой материи, по Декарту, является ее трехмер-
ная объемность; важнейшими свойствами ее — дели-
мость и подвижность. Эти же особенности материи
должны найти отражение в самой математике. Она
не может быть ни числовой, ни геометрической, а еди-
ной и универсальной. Чтобы этого состояния она могла
достичь, Декарт сделал, кратко говоря, следующее.
1.	Он установил изоморфизм поля вещественных чи-
сел и пиля отрезков прямых. Для этого ему пришлось
по-новому определить операции над отрезками. Сложе-
ние и вычитание отрезков за пределы поля не выво-
дили. Затруднения с умножением и делением отрезков,
могущих вывести за пределы поля, он преодолел путем
введения единичного отрезка и построения четвертого
пропорционального, известного иыне каждому школь-
нику старших классов.
2.	Декарт изобрел прямолинейные (декартовы) коор
динаты. Вначале они появились в его сочинениях в не-
развитой форме. Проводилась лишь одна ось (абсцисс),
из точек которой восстанавливались по мере необходи-
мости ординаты. Поведение кривых рассматривалось,
как правило, лишь в одном квадранте. Однако эти
недостатки быстро были преодолены.
3.	В крут развиваемых им представлений он ввел пе-
ременную величину. Следуя генеральной идее единства
и универсальности математики, переменной величине
была придана двоякая форма: в виде текущей коор-
динаты точки, движущейся по кривой, и в виде пере-
менного элемента множества чисел, соответствующих
точкам данного координатного отрезка.
4.	В качестве универсального средства математиче-
ского исследования Декарт избрал составление и реше-
ние алгебраических уравнений Чтобы решить задачу,
писал он, нужно сначала посчитать ее как бы решен-
ной; обозначить буквами все отрезки, как заданные,
так и искомые; заметить затем зависимости между ни-
ми таким образом, чтобы получить два выражения для
одной и той же величины. Это приведет к уравнению,
которое можно решать средствами алгебры.
Так начала свое существование аналитическая гео-
метрия. Декарт решил ее методами много трудных за-
дач С 1679 г. в печати стали появляться работы
П. Ферма (1601—1665), развивавшего одновременно с
Декартом аналогичные идеи н методы. Аналитической
геометрией стало интересоваться все большее число уче-
ных.
Однако содержание аналитической геометрии в пер-
60
вые десятилетия ее существования обогащалось срав-
нительно медленно и происходило в обстановке споров
и сомнений в том, что касалось правомерности, воз-
можностей, научных преимуществ и методических
удобств ее методов. Как это нередко бывает, давала
себя знать инерция сложившейся системы образования
и научного мышления. Лишь к 1658 г. было выведено
уравнение полукубической параболы, а затем и других
кривых. Способ вывода уравнения поверхности был
иайдеи не ранее 1679 г. (Ф. Лагир), но лишь к 1700 г.
в научный обиход вошло уравнение сферической поверх-
ности и касательной к ней плоскости.
Облик, близкий к современному, был придан анали-
тической геометрии в трудах Л. Эйлера. Ее описанию
Эйлер посвятил 2-й том своего «Введения в анализ бес-
конечных» (1748). Термин же «аналитическая геоме!
рия», употребляемый в привычном для нас понимании,
был введен в самые последние годы XVIИ столетия я
учебниках французских математиков, в первую оче-
редь С. Ф. Лакруа.
Практика соединения или комплексного рассмотре-
ния геометрии с другими частями математики прино-
сила и приносит большую пользу. Так, аналитическая
геометрия послужила основой для разработки методов
математического естествознания, в том числе аналити-
ческих методов механики Когда был изобретен анализ
бесконечно малых, в его составе органически возникла
дифференциальная геометрия. Опа объединила прило-
жения методов нового анализа к геометрическим за-
дачам и геометрические методы, делающие аналитиче-
ский материал более доступным для анализа.
В последующие времена постепенно сформировались
геометрические части многих областей математики. Мы
имеем в виду геометрические теории дифференциаль-
ных уравнений, функций комплексного переменного,
функционального анализа и др. Будучи распро-
страненной на дискретные объекты математического ис-
следования, такая практика породила геометрию чисел,
конечные геометрии, геометрические трактовки алгебра-
ических теорий и т. д.
Как было сказано ранее, другие пути развития гео-
метрии состояли в анализе и видоизменениях сущест-
вующих дедуктивно-аксиоматических систем (начиная
с евклидовых «Начал») и в построениях новых систем
того же рода. Работа, ведшаяся в этих направлениях,
долгое время заключалась только в критике отдельных
частей «Начал», имеющей целью добиться более высо-
кого уровня математической строгости изложения. За-
тем, в первой половине XVII в. почти одновременно с
аналитической геометрией полу < -а блестящее начало
проективная геометрия в сои шях Ж- Дезарга
(1591—1661) и Б. Паскаля (1623—1662). Однако замет-
ного продолжения, несмотря на значительность первых
результатов, она не получила н была почти забыта
математиками вплоть до середины прошлого века.
В прошлом же веке Н. И. Лобачевский и некоторые
его современники начали принципиально новую работу
по пересмотру аксиоматической основы геометрии. Ис-
следованию подверглась прежде всего аксиома о парал-
лельности (у Евклида — постулат о параллельных).
Как известно, эта деятельность привела к созданию
новых, неевклидовых, геометрий. Странно и даже не-
приемлемо для понимания выглядели теоремы в этих
 еометриях, велико было предубеждение к ним. Оно
стало рассеиваться лишь в 70-х гг. XIX в., когда бы-
ла доказана непротиворечивость неевклидовой геомет-
рии, найдены ее интерпретации. К концу XIX в. аксио-
матический метод построения математических теорий
сделался одним из основных методов математики. Гео-
метрия оказалась едва ли не самой удобной частью
математики для внедрения аксиоматического метода.
В настоящей статье мы ограничимся лишь этими крат-
кими замечаниями. Мы так поступим по двум причи-
нам: во первых, неевклидовы геометрии и примыкающие
к ним теории составляют огромную часть современной
математики и о них следует писать отдельно; во-вто-
рых, на содержание школьного курса геометрии ука-
занные области геометрической науки существенного
влияния еще не оказали. Общие же особенности разви-
тия геометрии, иа которые мы просим читателей обра
тнть особое внимание, таковы:
1.	С самого начала существования геометрии в ней
сложилась и в ее состав вошла аксиоматическая де-
дуктивная система евклидовых «Начал».
2.	Геометрические знания получали существенное раз-
витие и находили практическое применение тогда, когда
они не ограничивались содержанием «Начал», а вклю-
чали в свой состав элементы других наук: арифмети-
ки, алгебры, тригонометрии, математического анализа,
зекторного исчисления и др.
3.	Выделение аксиоматически-дедуктивных систем ти-
па «Начал», в том числе построение новых подобных
систем, происходило по иной, отдельной линии разви-
тия, преследующей другие задачи. До определенного
времени они существовали только в геометрической ин-
терпретации. Сейчас оии выделены и входят в состав
математической логики и сопредельных дисциплин ма-
тематики.
О преподавании геометрии в школе. Насколько фак-
ты истории математических знаний позволяют судить,
геометрические сведении в учебных заведениях древнего
мира не были выделяемы в отдельную учебную дисцип-
лину. Их содержание для массы учащихся состояло из
набора практически применяемых приемов измерений,
построений, вычерчиваний. Лишь немногие ученики ак-
тивно работающих ученых усваивали геометрические
сведения теоретического характера. Тот же стиль об-
учения господствовал и в средние века.
Когда и странах Европы начинался сложный исторь
ческий период, известный под названием эпохи Возрож-
дения, в преподавании и в пауке еше господствовали
традиции, согласно которым как учащимся, так и уче-
ным полагалось усваивать только те сведения, которые
содержались в сочинениях признанных авторитетов, как
средневековых, так и античных. Верхом образованности
у средневековых схоластов, а затем даже у многих
гуманистов эпохи Возрождения, являлось умение ци-
тировать (преимущественно на латинском языке) чу-
жие тексты и комментировать их. В геометрии и вооб
ще в математике это нашло отражение в требованиях
изучать «Начала» Евклида как вершину учености. Од-
нако в школьной системе преподавания геометрия за-
нимала скромное место вспомогательной дисциплины,
необходимой для лучшего понимания астрономии. Ее
изложение не выходило, как правило, за рамки первых
книг «Начал», в подавляющем большинстве случаев не
далее 6-й книги.
Начиная с XVI в. развитие науки в Европе пошло по
иному пути. Экономические и культурные преобразо-
вания эпохи Возрождения повлекли существенные из-
менения во всех областях научного мировоззрения
Весь опыт развития математики стал рассматриваться
с позиций возможности их применения к решению акту-
альных для того времени задач математического естест-
вознания. Закладывались основы новой математики,
позволившие в следующем, XVII столетии создать ана-
литическую геометрию и анализ бесконечно малых. Эго
сказалось и иа содержании школьной математики, и на
методах ее преподавания.
Уже в середине XVI в. были опубликованы книги по
практ тческой арифметике и геометрии, и притом не иа
латинском, а на французском и других европейских
языках Оии играли роль учебников элементарной ма-
тематики для купцов и ремесленников. Что же касается
математических сочинений теоретического характера, тс
наблюдается резкое увеличение числа изданий, разъяс-
няющих содержание «Начал» в интересах лучшего их
усвоения в школах.
Последующее быстрое развитие математической нау-
ки, в том числе геометрии, требовании приложений, не-

обходимость увеличить число математически подготов-
ленных людей, делало все более заметным и даже не-
терпимым отставание в части ее преподавания. К сере-
дине XVIII в. это отставание стало сказываться на-
столько сильно, что привлекло внимание широких сло-
ев общества. Главным предметом критических обсуж-
дений сделался вопрос о пригодности «Начал» в каче-
стве школьного курса геометрии. В Англии и частично
в германских государствах эти дискуссии привели к
созданию учебников, сохраняющих дух и структуру
«Начал» и лишь более или менее упрощающих изло-
жение. Ви Франции, наоборот, преподавание матема-
тики подверглось решительной реорганизации. В том,
что касается школьного курса элементарной геометрии,
исходные установки определялись общими воззрениями
французских энциклопедистов, в особенности Ж. Да-
ламбера. В концентрированном виде последний изло-
жил свои взгляды в статье «Геометрия» в знаменитой
«Энциклопедии», издаваемой им совместно с Д. Дидро.
По мнению Даламбера, преподавание геометрии не
должно следовать за Евклидом. Оно должно быть раз-
личным как по содержанию, так и по методам, в зави-
симости от целей обучения: начального, полного обще-
образовательного или специального математического.
Даламбер выступает против «химерической» точности
и полагает, что совсем не обязательно курс начинать
с аксиом. Логически строгие истины он рекомендует за-
менять утверждениями, доступными для понимания, по
возможности очевидными, не смущаясь тем, удалось ли
свести их число к минимальному. Даламбер считает не-
обходимым заботиться прежде всего об измерениях
геометрических объектов, что выдвигает на первое мес-
то метрические аспекты геометрии.
Кории «антиевклидова» построения геометрии восхо-
дят к давним временам. С особенной силой они прояв-
лялись, например, в творчестве П. Рамуса (1515—
1572). Были у Датамбера и активно действующие еди-
номышленники. В 1741 г. вышли в свет «Начала гео-
метрии» А. Клеро (1713—1765). где частично были осу-
ществлены идеи Лаламбера. Позднее появился ряд
учебников самого Даламбера, Безу, Лежандра, Лакруа
для начальной, средней и высшей школы. С большей
или меньшей степенью решимости эти авторы отрыва-
ли преподавание геометрии от евклидовой схемы и от
его стиля.
Влияние педагогической деятельности французских
математиков XVIII в. было значительным. Они по су-
ществу создали современный нам тип школьного учеб-
ника геометрии. То, что теперь кажется привычным и
очевидным в построении основ школьных учебников
геометрии, является овторением или развитием достиг-
нутого ими к ксицу XVIII столетие.
Что же конкретно было сделано? Во-первых, в осно-
вы излагаемого материала были введены метрика и
движение, которых столь тщательно избегал Евклид.
Во-вторых, была произведена широкая арифметизация,
в том числе арифметизация теории отношений и про-
порций, в результате чего отпала ьеобходимость в 5-й
книге «Начал», ^ведение алгебраической символики и
элементов алгебры вообще сняло необходимость во 2-й
книге. Употребление радикалов упразднило в курсе гео-
метрии сложную классификацию иррациональностей,
развитую в 10 й книге «Начал».
Таким образом, евклидовы «Начала» были перерабо-
таны в курс элементарной геометрии, более живое из-
ложение которого сделало его доступным для широких
кругов учащейся молодежи и для решения практиче-
ских задач-
О чем же говорят те особенности развития геометрии
и ее преподавания, на которые мы сочли необходимым
обратить внимание читателей?
Геометрические знания людей складывались в не-
разрывном переплетении с количественными характе-
ристиками, возникающими при измерениях, сравнениях,
построениях. Такая структура геометрического знания
никогда не теряла значения, как массовая, необходимая
для жизни и труда людей.
Более того, главные результаты, обогащающие со-
держание геометрии, связывающие ее с практикой, по-
рождающие новые области наюси, получались за счет
привлечения в ее состав понятий и методов, заимство-
ванных извне. Мы имеем здесь в виду привлечение эле-
ментов численного и аналитического характера: ариф-
метики, алгебры, векторного исчисления и других, вклю-
чая те, что приходят в геометрию из математического
анализа.
Дедуктивно-аксиоматические системы геогетряи и во-
обще математики есть плод более высокого научно-тео-
ретического развития. Они имеют своим назначением
развитие средств логического доказательства и являют-
ся формой существования и развития теоретической ма-
тематики, в том числе геометрии. И воспринимаются
они с достаточной степенью сознательности, как прави-
ло, не в школе, а на более высоких уровнях математи-
ческой образованности.
Исторический опыт развития геометрической науки и
преподавания геометрии, рассматриваемый в свете об-
щих задач советской трудовой политехнической школы,
позволяет, на наш взгляд, сформулировать следующие
рекомендации для улучшения преподавания геометрии:
1.	Теснее связывать гео.летрический материал с ариф-
метическими и алгебраическими средствами матема-
тики.
2.	Оживлять курс геометрии за счет привлечения в
него навыков черчения.
3.	Сведения об аксиомах геометрии и логических при-
емах доказательств теорем вводить постепенно, не
столь энергично, не стремясь к полноте и изощренной
формализации суждений и записей. Смелее переносить
такой материал иа факультативные занятия н в мате-
матические кружки. Там он будет более уместен — как
для дополнительного развития навыков теоретического
мышления, так и в тех случаях, когда будут изучаться
начала программирования и обращения с компьютер-
ной техникой.
К СВЕДЕНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ
Минский книжный магазин № 13 «Научно-техническая книга» высы-
лает наложенным сл.атежом (без пгедв*зрительной оплаты) книгу:
«-7ЭЛЯР А А. КАК МАТЕМАТИКА УМ В ПОРГ.'/"ОК ПРИВОДИТ,—Минск:
Вышэйшая школа, 1С82.— 205 с.— 25 к.
Книга предназначена для широкого круга читателей, интересующих-
ся математикой.
Адрес магазина: 220005, Минск, Ленинский прч 48, мага-
зин 1<° 13 Н1Л
62
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
Николай Николаевич
Лузин
(К 100-летию со дня
рождения)
9 декабря 1983 г. исполнилось 100 лет
со дня рождения классика советской
математики академика Николая Ни-
колаевача Лузина — выдающегося
ученого и педагога, создателя и
главы всемирно известной советской
школы теории функций, положившей
начало бурному развитию математи-
ки в Советском Союзе.
Н. Н. Лузин родился в городе Том-
ске. По окончании гимназии в 1901 г.
поступил на математическое отделе-
ние физико-математического факуль-
тета Московского университета.
В Московском университете Н Н. Лу-
зин с увлечением слушал лекции из-
вестных математиков и прекрасных
лекторов Б. К. Млодзеевского,
И. И. Жегалкина, Д. Ф. Егорова,
Н. В. Бугаева.
Как одаренный студент он обратил
на себя внимание профессоров. Осо-
бое расположение к нему проявил
Дмитрий Федорович Егоров (1869—
1931), который фактически стал его
научным руководителем в студенче-
ские годы н оставался им уже офи-
циально, когда Н. Н. Лузин прохо-
дил магистратуру.
Д. Ф. Егоров руководил семина-
ром по анализу, куда уже проника-
ли идеи теории функций действи-
тельного переменного. Н. Н. Лузив
был активным его участником.
При содействии Д. Ф. Егорова
Н. Н. Лузин в течение полугода
с декабря 1905 г. до июня 1906 г.
продел в Парнасе. Здесь, в универси-
тете он слушал знаменитых Э. Боре-
ля и А. Пуанкаре. По словам
Н. Н. Лузина, лекции Пуанкаре
произвели на него потрясающее впе-
чатление своей творческой направ-
ленностью, которая проявлялась пря-
мо на лекции.
В коллеж де Франс слушал Ада-
мара. Бывал на лекциях Дарбу.
Много времени Н. Н. Лузин уде-
лял чтению книг в университетской
и национальной библиотеках, глав-
ным образом по теории функций и
анализу. Жги он в это время очень
скромно. Много занимался, питался
в студенческой столовой. В часы от-
дыха посещал музеи, картинные га-
лереи Лувра.
В конце 1906 г. Н. Н. Лузин сдал
государственные экзамены и был
оставлен под руководством профес-
сора Егорова «для приготовления
к профессорскому званию». После
сдачн магистерских экзаменов он
был оставлен для работы в универ-
ситете.
В сентябре 1910 г. физико-матема-
тический факультет университета
командирует Н. Н. Лузина за гра-
ницу для научных занятий. С 1910
по 1914 г. Н. Н. Лузин находился
сначала в Геттингене, а затем в Па-
риже. Теперь уже в новом качестве,
не ученика, а ученого, он участвует
в семинаре Адамара, общается и
сотрудничает с Борелем, Лебегом,
Данжуа и другими математиками.
Сам интенсивно работает по теории
интегрирования, тригонометрическим
рядам, другим вопросам теории
функций.
За это время Н. Н. Лузин опубли-
ковал 10 научных работ в централь-
ных журналах, русских и загранич-
ных. Посетил заседания двух конгрес-
сов в Париже: математико-педагоги-
ческого и математико-философского.
Осенью 1914 г. Н. Н. Лузин вер-
нулся к преподавательской работе
в Московском университете в долж-
ности приват-доцента.
В 1915 г опубликовал диссерта-
цию «Интеграл и тригонометрический
ряд» на соискание ученой степени
магистра чистой математики. В 1916 г.
состоялась защита диссертации на
ученом совете физико-математическо-
го факультета. Официальными оппо-
нентами выступили профессора
Д. Ф. Егоров и Л. К. Лахтин.
Зашита прошла блестяще. Совет
единогласно постановил присудить
Н. Н. Лузину степень доктора чистой
математики (минуястепень магистра).
В мае 1916 г. совет университета
утвердил это решение, отметив, что
представленная Н. Н. Лузиным дис-
сертация отличается особенными на-
учными достоинствами.
Великая Октябрьская социалисти-
ческая революция 1917 г. положила
начало подлинному расцвету науки
в нашей стране. Она предоставила
ученым самые широкие возможности
для развития научных исследований.
Бурное развитие математики за го-
ды Советской власти является пре-
красным тому подтверждением.
Николай Николаевич Лузин стоял
у истоков этого развития, был актив-
нейшим деятелем и созидателем.
Становление советской математики
совпало с периодом расцвета науч-
ной и педагогической деятельности
Н. Н. Лузина. Помимо обязатель-
ных курсов он из года в год читал
в университете факультативный курс
по теории функций действительного
переменного и вел исследовательский
семипар по той же тематике. Они
объединили вокруг Н. Н. Лузина
большую группу талантливой, твор-
чески настроенной молодежи. По
общему мнению, лекции Н. Н. Лузи-
на пользовались исключительным
успехом. Они были увлекательны,
заряжены на творчество, открывали
перед слушателями чудесный мир
науки. Благодаря тому что Н. Н. Лу-
зин ие только сам интенсивно рабо-
тал в это время, но н направил боль-
шой коллектив молодых ученых —
своих учеников — на решение наибо-
лее актуальных и трудных задач тео-
рии функций, целый ряд из них был
решен в течение сравнительно корот-
кого времени. Его учениками явля-
ются Д. Е. Меньшов, В. С. Федоров,
М. Я Суслин, В. Н. Вениаминов,
П. С. Александров, В. И. Гливенко,
П. С. Урысои, Л. А Люстерннк,
М. А. Лаврентьев, Н. К. Бари,
П. С. Новиков, А. Н. Колмогоров,
Л. В. Келдыш, Л. Г. Шнирельман.
В 1927 г. Н. Н. Лузин избирается
членом-корреспондентом, а в 1929 г.—
действительным членом Академии
наук СССР. В академическом ин-
ституте им В. А. Стеклова он заве-
довал отделом теории функций дей-
ствительного переменного.
Н. Н. Лузин принимал активное
участие в работе Всероссийского ма-
тематического съезда в Москве
(1927) и Всесоюзного съезда в Ле-
нинграде (1934), выступая на них
с основными докладами. В августе
1928 г. на международном конгрессе
математиков в Болонье Н Н. Лузин
выступил на пленарном заседании
с докладом о современных пробле-
мах теории функций. Участники кон-
гресса встретили его как одного из
ведущих математиков мира.
Н Н. Лузину принадлежат рабо-
ты по теории функций действитель-
ного переменного, теории аналитиче-
ских функций, математическому ана-
лизу, дифференциальным уравнениям,
дифференциальной геометрии, а так-
же по прикладным вопросам мате-
матики.
Первый период научной деятель-
ности Н. Н. Лузина посвящен мет-
рической теории функций. Он полу-
чил важные результаты по измери-
мым функциям, тригонометрическим
рядам и теории интегрирования.
Установленная нм теорема о том, что
всякая измеримая функция вепре-
рывиа, если пренебречь множеством
сколь угодно малой меры, является
одной из центральных в метрической
теории функций. В ней проявилась
отличительная черта творчества Лу-
зина — умение в наглядной форме
иайти основное в «-сложной» ситуа-
ции и показать его родство с хоро-
шо известными и «простыми» всша-
ми. В данном случае он показал
родство сложного понятия измери-
мой функции с привычным понятием
непрерывной функции. Другим при-
мером такого рода является теорема
о том, что неопределенный интеграл
Лебега среди всех примитивных от
данной функции ха{ актсризуется тем,
что он имеет наименьшее полное
изменение.
Нельзя не упомянуть блестящее
решение задачи об отыскании при-
митивной функции. Н. Н. Лузин на-
зь вает примитивной такую непрерыв-
ную функцию, которая имеет данную
функцию своей производной почти
всюду (за исключением множества,
мера которого равна нулю). Он до-
казывает, что всякая измеримая
функция, конечная почти всюду,
имеет примитивную.
Эта счастливая отличительная осо-
бенность творчества Н. Н. Лузина —
глубина, наглядность, яркость, про-
стота — характерна для всех его ра-
бот по теории функций.
В 1951 г, опубликована фунда-
ментальная монография Н. Н. Лузи-
на «Интеграл и тригонометрический
ряд» под редакцией и с обстоятель-
ными комментариями Н. К- Бари и
Д. Е. Меньшова. В нее вошли все
основные результаты Н. Н. Лузина
по метрической теории функций дей
ствительного переменного.
Дескриптивная теория функций
начиналась в работах французских
математиков Бореля, Бэра и Лебега
с изучения множеств, имеющих боль
шое значение для анализа и назван-
ных борелевскими, или В-миожества-
ми. Эти точечные множества получа-
ются исходя из отрезков повторным
применением операций счетного объ-
единения и счетного пересечения.
Работы Я Н. Лузина и его школы
в короткий срок совершенно преоб-
разили эту область. На своем семи
варе в Московском университете он
поставил задачу дальнейшего изуче-
ния В-множеств. В частности, надо
было выяснить вопрос об их мощно-
сти, а также об эффективном по-
£ "роении множеств, не являющихся
В-мн. жествами. Оба эти вопроса
вскоре были решены его учениками.
П. С. Александров доказал, что вся-
кое несчетное В-множество содержит
совершенное подмножество и, следо-
вательно, имеет мощность континуума.
При этом была построена новая
операция над множествами, получив-
шая название А операции.
М. Я- Суслин, используя А-опера-
ц ~э, построил множества, которые
е являются В-множествамн. Таким
образом был открыт более обширный
класс А-множеств
Сам Н. Н. Лузин дал новые опре-
деления A-множеств, замечательные
по своей простоте и обозримости, по-
зволившие ему и его ученикам успеш-
но решить целый ряд важных и
трудных вопросов этой теории. Глу-
бокие и основополагающие результа-
ты по дескриптивной теории мно-
жеств были получены одним из его
учеников П. С. Новиковым.
Н. Н. Лузину принадлежит откры-
тие проективных множеств — более
широкого класса з<| фективно опре-
делимых множеств Установив основ-
ные свойства проективных множеств,
он выявил трудности теоретико-позна-
вательного характера, которые возни-
кают при дальнейшем исследовании
этих множеств. Он высказал мнение,
что ряд вопросов, относящихся
к проективным множествам (проб-
лемы мощности, измеримости, отде-
лимости н др.), не могут быть ре-
шены в классическом смысле. Для
этой цели необходимы другие сред-
ства Н. Н. Лузин имел в виду ра-
боты Д. Гильберта по основаниям
математики и математической логи-
ке. В работе «О некоторых новых
результатах дескриптивной теории
функций» (1935) Н. Н. Лузин писал:
«Мне думается, что со временем
прогресс теории Hilbert’a будет на-
столько значительным, что позволит
с успехом атаковать доказательство
непротиворечивости и этой второй
гипотезы континуума». Здесь Н. Н. Лу-
зин имел в виду гипотезу о суще-
ствовании промежуточной мощности
между счетной и континуумом.
В ходе дальнейшего развития мате-
матической логики и оснований ма-
тематики, особенно в работах К. Гё-
деля, П. С. Новикова, П. Коэна
и других, эта точка зрения Н. Н. Лу-
зина полностью подтвердилась Сред-
ствами аксиоматической теории мно-
жеств установлена неразрешимость
целого ряда проблем, на невозмож-
ность решения которых в классиче-
ском смысле указывал Н. Н. Лузин
Большое значение имела педагоги-
ческая деятельность Н. Н. Лузина.
Она заключалась в его многогранной
и плодотворной преподавательской
работе в Московском университете,
в публичных выступлениях с лекция-
ми и докладами, в создании учеб-
ников.
Н Н. Лузин является автором
учебников по дифференциальному и
интегральному исчислениям для выс-
ших учебных заведений, выдержав-
ших много изданий. Первоначально
Николай Николаевич редактировал
перевод учебника Грэнвиля. Но от
издания к изданию он его постепен-
но перерабатывал и усовершенство-
вал: с одной стороны, приближал
его к запросам нашей высшей шко-
лы, с другой — повышал общий тео-
ретический уровень учебника. Резуль-
татом этой работы явились самостоя-
тельно составленные учебники.
Н. Н. Лузин является также авто-
ром учебного пособия для пединсти-
тутов по теории функций действи-
тельного переменного, изданного
Учпедгизом в 1940 и 1948 гг.
В предисловии Н. Н. Лузин пишет:
«Автор предлагаемой книги ставит
целью разрешение лишь педагогиче-
ской проблемы, состоящей в том,
чтобы, не увеличивая объема науч-
ного материала, представить его
в возможно более живой форме,
делающей его доступным и привле-
кательным для лиц, приступающих
к углубленному изучению математи-
ческого анализа».
И действительно, этот учебник
Н. Н. Лузина помог педагогическим
институтам в доступной форме при-
общить будущих учителей математи-
ки к глубоким идеям математическо-
го анализа и теории функций.
Наконец, уникальная наставниче-
ская деятельность Н. Н. Лузина
по воспитанию молодых ученых —
одна из замечательных сторон его
педагогической дегуельности. Едва ли
можно в истории русской математи-
ки указать человека, из учеников ко-
торого вышло столько выдающихся
ученых, как у Н. Н. Лузина.
28 февраля 1950 г. в возрасте
66 лет Н. Н. Лузин умер в резуль-
тате острого сердечного приступа.
Памя'п о нем отмечена Академией
наук СССР изданием полного собра-
ния его трудов. Глубокие по содер-
жанию, блестящие по форме изло-
жения, они являются ценнейшим
вкладом в сокровищницу советской
математики.
Е. А. Щегольков (Москва)
Воспоминания
о Н. Н. «Пузине
Я не ученик Лузина и именно по-
тому взялся написать о нем. Его
учениками были десятки, а слуша-
телями — тысячи человек. Ученики
описывают его как научного руко-
водителя. Уже существ! ет большая
литература таких воспоминаний. Но
еще никто из слушателей, подвергав-
шихся его излучению издали, не опи-
сал этого. А роль Лузина как уни-
верситетского преподавателя огром-
на. Одни ученики не могут воссоз-
дать его полный портрет.
Публикуемые здесь впечатления
о Лузине-преподавателе не только
мои личные. Я поступил на матема-
тическое отделение Московского уни-
верситета в 1921 г. в числе десятков
молодых людей, увлекавшихся мате-
матикой и глубоко в ней неопытных.
64
Мои впечатления не оригинальны и
не отличаются от впечатлений боль-
шинства. Лузин оказал  на нас глу-
бокое влияние. Это влияние можно
охарактеризовать словами великого
австрийского физика Людвига Больц-
мана *: «Если бы не было Шиллера,
то ие было бы и меня. То есть был
бы человек с такой же бородой и
формой носа, но это был бы не я».
Лучше не скажешь! То, что мы полу-
чили от Лузина, есть важная часть
личности многих из нас. Все мы,
студенты, увлекались математикой.
Но математика ие вещественна,
а Лузин был для нас ее живым во-
площением. Как надо быть всесто-
ронне талантливым, чтобы внушать
такие чувства!
Прежде чем рассказывать о лек-
циях Лузина, хочу напомнить при-
маты того далекого времени. Универ-
ситет, как и вся Москва, до 1921 г.
не отапливался. Зимой 1920/21 учеб-
ного года Лузин читал лекции в ва-
ленках, в шубе с поднятым воротни-
ком и меховой шапке, (В следующем
учебном году шуба уже была не
нужна.) Стипендии были лишь еди-
ничные, поэтому почти все студенты
где-нибудь работали и посещали
только те лекции, которые их инте-
ресовали Они не имели иных сти-
мулов к учению, кроме интереса
к математике. Математика как про-
фессия казалась бесперспективной
(в отличие от инженерных специаль-
ностей). Диплом был не нужен.
Презрение к документам было столь
велико, что студенты, оканчивающие
университет, не находили нужным
зайти в канцелярию и получить по-
лагающийся им диплом. (Это поло-
жение стало меняться с 1924 г.) Раз-
реженная атмосфера, свободная от
всяких материальных соблазнов, и
научный идеализм явились подходя-
щей почвой для такого руководите-
ля, как Лузин.
Чем измеряется влияние лекций
Лузина? Тем, что они запоминались
на всю жизнь. Лучше сказать, не
«запоминались», а входили в созна-
ние слушателя как элементы его ма-
тематической культуры и математи-
ческой методологии. А в этом и за-
ключается высшая цель лектора.
Будучи студентом второго курса,
я посещал лекции (необязательные)
по теории функций действительного
переменного. Я не записывал лекций,
а только внимательно слушал. Экза-
мена по этому курсу не было,
и специально я теорией функций
действительного переменного не зани-
мался. Она впервые понадобилась
мне через несколько лет после окон-
чания университета Я попытался,
не обращаясь к литературе, восста-
новить по памяти курс Лузина.
Изо дня в день я сидел над листом
' Bcdt-mann L. Populare Scbnften.
Zweite Auflage.— Leipzig, 1925, S. V.
бумаги и вспоминал. Мне удалось
все восстановить В доказательствах
теорем основная идея всегда легко
вспоминалась, а подробности прихо-
дилось достраивать самостоятельно.
Тогда я впервые оценил лекции Лу-
зина и пытался анализировать его
педагогическую систему. Ниже я опи-
сываю лекторскую манеру Лузина
в своем теперешнем понимании.
Когда Лузин читал обязательные
курсы, большинство его лекций не
имело прямого отношения к про-
грамме. Это был свободный разговор,
большей частью экспромтом, на ма-
тематические темы. В 1921/22 учеб-
ном году он читал на первом курсе
высшую алгебру. Я хорошо помню
рассказы о математическом творче-
стве, об аксиоме Цеомело, об осно-
ваниях математики. Он разбирал не-
давно вышедшее английское издание
книги Б. Рассела «Введение в фило
Софию математики». В результате
программа выполнялась лишь в ма-
лой степени. Первый семестр посвя-
щался теории определителей. Лузин
изложил не более трети программно-
го материала. Остальные две трети
предстояло самостоятельно изучить
(для сдачи экзамена) по книге
Е. Нетто «Начала теории определи-
телей». Однако никто не выражал
недовольства по этому поводу Все,
что говорил Лузин, было захваты-
вающе интересно. Этого мы не могли
прочесть нн в какой книге Выдаю-
щийся ученый делился с нами раз-
мышлениями о нашей общей науке.
Это было гораздо полезнее для на-
шего математического формирования,
чем пересказывание книги Нетто.
Теперь я понимаю педагогическое
кредо Лузина так: он преподавал
в первую очередь математику и лишь
во вторую — какой-нибудь ее раздел.
Он был математик, а мы — будущие
математики. Оп вводил пас в натку,
передавал свой подход к проблемам
математики. Разумеется, нельзя за-
бывать, что Лузин преподавал про-
филирующий предмет взрослым лю-
дям. Школьный учитель не может
пренебрежительно относиться к вы-
полнению программы, рассчитывая на
то, что ученики все доделают сами.
Однако учитель должен вести себя
как представитель математики. Он
должен не только заставить школь-
ников запомнить формулу для ре-
шения квадратных уравнений, но и
пользоваться каждым поводом, что-
бы поднимать их математическую
культуру, разъяснять им методоло-
гию математики, знакомить с исто-
рией ее развития и т. д.
Роль Лузина как старшего това-
рища выражалась и в его обраще-
нии со студентами. Оно было очень
уважительным. В его общении с лю-
бым первокурсником не было ни ма-
лейшего неравенства. Он охотно вхо-
дил в контакт, рекомендовал темы
для самостоятельных занятий, давал
студентам книги из личной библио-
теки.
Вначале нас удивляло, что Лузин
не готовился к лекциям. Доказывая
теорему, он часто натыкался на пре-
пятствие и пробовал другой путь.
Он видел свою задачу не в предъяв-
лении готового доказательства, а в
том, чтобы показать, как мыслит
математик, как он ищет истину и
преодолевает препятствия. В боль-
шинстве случаев он действительно
решал вопрос, стой у доски. Однако
бывали случаи, когда он ошибался
нарочно. Зачем?
В одной статье, опубликованной
в журнале «Фронт науки и техни-
ки» в 1934 г., Лузин выдвинул прин-
цип «расчленения трудностей» как
один из основных принципов педаго-
гики. Если в каком-нибудь вопросе
встречается несколько различных
трудностей, то надо, чтобы они не
наваливались на учащегося сразу.
Их надо расчленить и преодолевать
последовательно. Этот принцип Лу-
зин приписывал известному народо-
вольцу бывшему узнику Шлиссель-
бургской крепости Н. А. Морозо-
ву 2. Я приведу один пример из лек-
ций Лузина, иллюстрирующий этот
принцип.
Доказывалась теорема: множество
точек открытого квадрата и множе-
ство точек его стороны равномощиы
Ранее было установлено взаимно
однозначное соответствие между дей-
ствительными числами и бесконечны-
ми десятичными дробями с условием,
что исключаются десятичные дроби,
имеющие десятку в периоде. По-
скольку 0,5000... и 0,4999... выражают
одно и то же число, надо для сохра-
нения взаимной однозначности узако-
нить одно из этих двух представле-
ний и запретить другое.
Рассмотрим внутренность квадрата
0<х<1, 0<(/<1 и его сторону
0<7<1. Пусть дана точка М(х,у)-.
х=0,а1а2аз--, г/=О,р1р2Рз... .
Ставим ей в соответствие точку
(=0,CtlPlCt2P2..- -
Обратно, пусть дана точка N(t)
Z=0,yiY2Ys- 
Ставим ей в соответствие точку
М(х, у):
x = 0,YiY3Y5--, l/ = 0,Y2Y4Y6~ •
— Это очень просто,— говорил
Лузин.— Мы разбираем десятичные
знаки, как будто сдаем колоду карт:
одну карту —одному партнеру, дру-
гую — другому. Вот и все доказа-
тельство.
2 Николай Александрович Морозов
(1854—1946)—выдающийся револю-
ционный деятель, член исполкома
«Народной воли». Был приговорен
к бессрочной каторге, замененной за-
ключением в крепости. Прове." в за-
ключении 21 год и написал много
трудов по химии (физике, математи-
ке, астрономии и истории.
65
Действительно, как просто! Такая
простая идея сразу запоминается на-
всегда. Забыть это доказательство
невозможно. А ведь теорема нетри-
виальная: кто бы поверил (раньше),
что внутренность квадрата содержит
«столько же» точек, что и его сто-
рона?
Изложив это доказательство, Лу-
аин вдруг принял очень озабоченный
вид и сказал:
— Прошу прощения, я ошибся. Это
доказательство неверно. Ведь в де-
сятичной записи t=0,YiY2Ys— может
оказаться, что, начиная с некоторого
места, все цифры через одну (поло-
жим для определенности — все циф-
ры с нечетными индексами)—девят-
ки. В таком случае для х получится
запрещенная запись с девяткой в пе-
риоде.
Он задумался, а мы все очень
огорчились. Почему? Потому что
было досадно, что такое хорошее
доказательство приходится забрако-
вать из-за ничтожного, непринципи-
ального, но все же несомненного де-
фекта. Возникли разные предложе-
ния, как его устранить. Все предло-
жения Лузин внимательно выслуши-
вал и обстоятельно критиковал.
Очень скоро мы добрались до сим-
волов Кенига (Лузин даже сообщил
название). Символ Кенига — это ко-
нечная последовательность десятич-
ных знаков, последний и только по-
следний элемент которой — не де-
вятка. Например, в нижеследующей
записи символы Кенига разделены
пробелами:
f=0, 1 5 94 2 9996...
В изложенном выше доказательстве
следует разбивать десятичную запись t
(а также х и у) не на отдельные
цифры, а иа символы Кенига, и тогда
все будет в порядке.
Во многих доказательствах идея
проста, но она непосредственно не
проходит. Преодоление же препят-
ствий бывает иногда гораздо слож-
нее, чем основная идея. При изложе-
нии доказательства в готовом виде
эти подробности заслоняют идею,
и доказательство плохо усваивается.
а значит, и непрочно сохраняется
в памяти. Лузин расчленял зги мо-
менты. Простая идея запоминается
навсегда, а подробности пусть забу-
дутся. Они н не должны сохранять
ся в памяти неприкосновенно, а в
случае надобности восстанавливаться
самостоятельным усилием мысли.
Аналогичное явление имеет место
и в технике. Идея паровой машины
или радиопередачи очень проста, но
эта идея без многих дополнений не-
достаточна, чтобы паровоз двигался,
а радиоприемник воспроизводил
звуки.
Лекциям Лузина была свойственна
образность, которая в высокой сте-
пени содействовала их пониманию.
Например, в лекции по теории функ-
ций комплексного переменного для
аспирантов технического вуза ои го-
ворил об аналитическом продол-
жении:
— Задание аналитической функции
в ограниченной области (£>)—все
равно что масляное пятно иа бумаге.
Это пятно обязательно будет рас-
плываться, пока ие встретит препят-
ствия.
Какой точный образ!
В докладе на первом Всероссий-
ском съезде математиков (Москва,
1927) по теории функций действи-
тельного переменного Лузин следую-
щим образом говорил об интеграле
Лебега:
— У некоторого коммерсанта в
кармане лежат деньги, и он должен
их сосчитать. Если он неопытен —
ои будет последовательно вынимать
по одной монете и суммировать их;
если же опытен, то высыпет все
деньги, разложит монеты по достоин-
ству и сосчитает, сколько пятаков,
сколько гривенников и т. д. В этом
и заключается различие между ин-
тегралом Римана и интегралом Ле-
бега.
Однако, как ни хороши были лек-
ции Лузина, главная их притягатель-
ная сила заключалась в беседах
о математике.
Юмор Лузина был сложен, и пер-
вокурсники иногда его не понимали,
тем более, что ои шутил всегда
с серьезным видом. Однажды после
лекции, на которой он рассказывал
о книге Б. Рассела, несколько сту-
дентов окружили его, стремясь про-
должить захвативший их разговор.
Ои говорил.
— Основы математики колеблются.
В математике сейчас нет ничего до-
стоверного.
Ои испуганно огляделся кругом (не
подслушивают ли?) и, понижая го-
лос почти до шепота, очень конспи-
ративно сказал:
— Я не хотел говорить этого пуб-
лично, но я не понимаю, как паро-
возы ходят без крушений: ведь они
рассчитаны по правилам матема-
тики!
Мы были польщены доверием, ко-
торое оказывал иам такой замеча-
тельный ученый Только ко второму
курсу мы усвоили манеру Лузина и
стали понимать, что к чему.
Я рассказал о Лузнне-лекторе и
о его магнетическом влиянии на слу-
шателей. Его ученики не раз писали
о нем как о создателе московской
математической школы. Эта его роль
колоссальна. Ведь он строил почти
на пустом месте До Лузина в Моск-
ве не существовало сильной матема-
тической школы, хотя и были отдель-
ные крупные математики. Например,
в Москве работал один из учителей
Лузина — Дмитрий Федорович Его-
ров, но он был одинок (напомню,
что Лузин считал своими учителями
Д. Ф. Егорова, Ивана Ивановича
Жегалкина и Жюля Таннери).
Лузин внес огромный вклад в раз-
витие математической науки в нашей
стране ие только своими личными
достижениями, но и как Учитель и
Основатель школы. За это он до-
стоин уважения и благодарности.
Лузин умер в 1950 г. Сейчас оста-
лось мало людей, помнящих его,
а его учеников и еще меньше (ве-
роятно, не более двух человек).
Я рад, что успел написать эту
статью.
Н. М. Бескин (Москва)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
НА 1983/84 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
5 января —100 лет со дня рождения
французского математика Арно Д а н-
жуа (1884—1974) — одного из соз-
дателей качественной теории диф-
ференциальных уравнений. Известны
его работы в теории функций дей-
ствительного переменного (теорема
Данжуа — Лузина об абсолютно схо-
дящихся рядах) и теории множеств.
Член Парижской АН, иностранный
член АН СССР, лауреат многих пре-
мий Парижской АН. В 1970 г. Пре-
зидиум АН СССР присудил ему Зо-
лотую медаль им. М. В. Ломоносо-
ва (см.: Математика в школе, 1968,
№ 6; 1973, № 6).
5 января — 75 лет со дня рождения
американского математика Стевина
Коуэла Клини. Его основные тру-
ды посвящены теории алгоритмов
и рекурсивных функций, а также
проблемам интуиционистской логики
и математики. Автор ряда известных
монографий. На русский язык пере-
ведены «Введение в метаматематику»
(М., 1957), «Математическая логика»
(М., 1973) (см.: Бородин А. И., Бу-
гай А. С. Биографический словарь
деятелей в области математики —
К., 1979).
9 января — 120 лет со дня рождения
советского математика, организато-
ра науки Владимира Андреевича
Стеклова (1864—1926). Родился
в Нижнем Новгороде, закончил Харь-
ковский университет. С 1912 г,—
66
академик Петербургской АН. Работал
в Харьковском, а затем в Петербург-
ском университете. Сразу после Ве-
ликой Октябрьской революции стал
на сторону Советской власти. Создал
большую советскую школу математи-
ческой физики (см.: БСЭ, 2-е и
3-е изд.; Владимиров В. С., Мар-
куш И. И. Владимир Андреевич Стек-
лов — ученый и организатор науки.—
М., 1981; Математика в школе, 1969,
№ 1, 2; 1981, № 2, обложка).
14 января — 80 лет со дня рождения
советского математика Льва Абрамо-
вича Тумаркина (1904—1974).
Родился в г. Гадяче (ныне Полтав-
ской обл.). Окончил Московский
университет (1925), где и работал.
Доктор физико-математических наук,
профессор (1937). Основные труды
относятся к топологии (см.: Успехи
математических наук, 1975, 30, № 3;
Математика в школе, 1973, № 6).
17 января — 70 лет со дня рождения
советского математика, заслуженного
деятеля науки Грузинской ССР Фи-
липпа Илларионовича X а р ш и л а-
д з е. Родился в с. Дуреви (ныне
Грузинской ССР), окончил Ленин-
градский университет (1938), доктор
физико-матемьтических наук, про-
фессор (1965). С 1950 г.— сотрудник
Тбилисского университета. Осно .ные
труды относятся к теории функций
действительного переменного (см:
Математика в школе, 1973, № 6).
27 января — 140 лет со дня рожде-
ния русского математика-педагога
Евгения Михайловича Пржеваль-
ского (1844—1925). Родился в по-
местье отца на Смоленшине. Млад-
ший брат выдающегося путешествен-
ника и географа Н. М. Пржевальско-
го. Окончил кадетский корпус, а по-
том Московский университет. Много
лет преподавал математику в Алек-
сандровском военном училище. Автор
учебников и пособий для средней
школы, которые пользовались боль-
шой популярностью (см.: Математи-
ка в школе, 1968, № 6).
31 января—70 лет со дня рождения
советского математика Льва Аркадье-
вича Калужн ина. Родился в
Москве, окончил Парижский универ-
ситет (1948). Доктор физико-матема-
тических наук, профессор (1957).
В 1946—1951 гг. работал в Нацио-
нальном центре научных исследова-
ний в Париже, в 1951—1955 гт.—
в берлинском университете (ГДР);
с 1955 г.— в Киевском университете.
Основные труды относятся к алгебре
и математической логике (см.: Мате-
матика в школе, 1973, № 6).
Февраль
2 февраля — 280 лет со дня смерти
французского математика, члена Па-
рижской АН Гийома Франсуа де
Лопиталя (1661—1704) — автора
первого печатного учебника по диф-
ференциальному исчислению «Ана-
лиз бесконечно малых» (1696). Кро-
ме того, он создал курс аналитиче-
ской геометрии, решил ряд труд-
ных задач по геометрии и механике
(см.: БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Фрей-
мам Л. С. Творцы высшей математи-
ки.— М., 1968; Математика в школе,
1964, № 1).
14 февраля — 60 лет со дня рожде-
ния советского математика Льва Ана-
тольевича Скорнякова. Родился
в Москве. Окончил Московский уни-
верситет (1947), доктор физико-ма-
тематических наук, профессор (1960).
Участник Великой Отечественной
вэйны. В 1950—1952 гг. работал в
Кгре ло-Финском университете, в
1952—1954 гг.—в МВТУ, с 1954 г.—
в Московском университете. Основ-
ные труды относятся к алгебре.
В последние годы вышли из печати
его книги «Элементы общей алгеб^*
ры» (М., 1983) и «Элемент теории
структур» (2-е изд., М., 1982) (см.:
История отечественной математики,
т. 3—4).
15 февраля — 420 лет со дня рожде-
ния ьеликсго итальянского физика,
механика, астронома и математика
Г алилео Галилея (1564—1643) —
одного из основателей точного есте-
ствознания, поэта, филолога и кри-
тика (см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Гали-
лео Галилей (1564—1642): Сб., посвя-
щенный 300-летней годовщине со
дня смерти.— М.; Л. 1943; Выгод-
ский М. Я. Галилей и инквизиция.—
М.; Л., 1934; Кузнецов Б. Г. Гали-
лей.— М., 1964; Штекли А. Галилей.—
М., 1972; Математика в школе, 1962,
№ 1; 1983, № 2, обложка).
22 февраля — 75 лет со дня рожде-
ния советского математика Дж-.ма-
ла Худайбердиевича Каримова.
Родился в г. Скобелеве (ныне г. Фер-
гана), окончил Узбекский универси-
тет (1935), кандидат физико-матема-
тических наук, профессор (1962).
С 1950 г.— преподаватель ферган-
ского педагогического института.
Осно тные труды относятся к диффе-
ренциальным уравнениям (см.: Исто-
рия отечественной математики, т. 4).
24 февраля — 70 лет со дня рожде-
ния советского математика Ивана
Семеновича Аржаных (1914—
1980). Родился в с. Брусилове (ныне
Житомирской обл.), окончил Ленин-
градский университет (1935), доктор
физико-математических наук, про-
фессор (1957). С 1936 г. работал в
Ташкенте сначала в университете,
а с 1960 г.— в Институте математики
АН УзССР. Член-корреспондент АН
УзССР. Заслуженный деятель науки
и техники УзССР, участник Великой
Отечественной войны. Основные
труды относятся к теории диффе-
ренциальных уравнений, приближен-
ным и численным методам, прило-
жениям математики к механике и
теоретической физике. Награжден
67
орденом Отечественной войны, орде-
ном «Знак Почета» и медалями (см.:
Математика в школе, 1973, № 6).
24 февраля — 70 лет со дня рожде-
ния советского ученого в области
механики, академика АН СССР Юрия
Николаевича Работнова. Родился
в Нижнем Новгороде. Окончил Мо-
сковский университет (1935), доктор
физико-математических наук, про-
фессор (1946). Работал в Московском
энергетическом институте, с 1947 г.—
в Московском университете. Основ-
ные труды D i носятся к прикладной
математике и теории пластичности.
Награжден орденами: Октябрьской
революции. Трудового Красного
Знамени, «Знак Почета» и медаля-
ми (см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Исто-
рия отечественной математики, т. 4).
28 февраля — 125 лет со дня рожде-
ния американского историка мате-
матики Флориана Кэджори (1859—
1930). Широкой известностью поль-
зуется его книга «История элемен-
тарной математики» — 2-е изд., Одес-
са, 1917 (см. Математика в школе,
19S8, № 6).
А. И. Б< родин (г Донецк)
Уточняем «Математический
календарь»
ь № 4 нашего журнала за этот год
в «Математическом календаре» при-
ведены сведения об Андрее Анд-
реевиче Маркове (22 сентября
1903 г.— 11 октября 1979 г.). Их сле-
дует уточнить.
А. А. Марков с 1928 по 1935 г.
был научным сотрудником Астро-
номического института в Ленин-
граде, в 1935—1953 гг. заведовал
кафедрой геометрии ЛГУ. С 1940
по 1972 г. работал в Математиче-
ском институте АН СССР, в тече-
ние ряда лет являлся заместите-
лем директора МИАН по Ленин-
градскому отделению. А. А. Мар-
ков заведовал кафедрой матема-
тической логики МГУ с момента
ее основания в 1959 г. до своей
смерти. Начиная с 1964 г. он ру-
ководил лабораторией математи-
ческой логики и структуры машин
в СЦ АН СССР. Основные науч-
ные труды А. А. Маркова отно-
сятся к динамн* еским системам,
свободным топологическим груп-
пам, теории алгоритмов и мате-
матической логике. А. А Марков
создал крупную советскую школу
в области оснований математики.
Редакция благодарит Н. М. Нагооно-
го и А. Л. Семенова за предостав-
ленные сведения.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
« Историко-математические
исследования»
«Историко-математиче< ки : исследования» издаются от-
дельными выпусками. В № 3 нашего журнала за 1978 г.
был помещен обзор содержания XII—XXII выпусков
«ИМИ» (1959—1977) С тех пор появились еще четыре
выпуска: XXIII — в 1978 г., XXIV-—в 1979, XXV в
1980 и XXVI —в 1982 г. В этой заметке мы кратко
расскажем об этих последних выпусках.
В 1983 г. исполнилось 165 лет со дня рождения и
100 лет со дня смерти основоположника научного ком-
мунизма Карла Марксе К этой дате была приурочена
публикация двух статей в XXVI выпуске «ИМИ»:
Молодший В. И. Математические рукописи К. Марк-
са и развитие истории математики в СССР.
Кеннеди X. К. (Провиденс, США). К. Маркс и осно-
вания дифференциального исчисления.
В первой статье анализируется влияние «Математи-
ческих рукописей» Маркса на разработку советскими
учеными вопросов о природе математических абстрак-
ций, о сущности и роли оперативных математических
символов и др. Эти вопросы рассматриваются во взаи-
мосвязи с подходом Маркса к выявлению закономер-
ностей развития дифференциального исчисления в кон-
це XVII — начале XIX в.
Автор второй статьи описывает значение «Математи-
ческих рукописей» К- Маркса для математики, опираясь
в основном на работы советских авторов. Он утвержда-
ет: «...даиное Марксом оперативное определение диффе-
ренциала предвосхитило некоторые идеи математики
XX столетия» — и доказывает это, сопоставив опреде-
ления дифференциала у Маркса, Пуанкаре и Пеано
(с. 33—38). Статья содержит ряд фактов, свидетельст-
вующих о значительном интересе, который вызвали
идеи Маркса об основаниях математического анализа
в ряде стран Западной Европы и а США (преимущест-
венно за последние годы).
Списки литературы к первой и второй статьям со-
держат 62 наименования.
XXIV выпуск «ИМИ» открывается статьей А. П. Юш-
кевича «Советские исследования по истории математи-
ки за шестьдесят лет (1917—1977)». Этот обзор основ-
ных направлений и результатов исследований советских
ученых по истории математики поможет выбрать из
них полезное для практики преподавания.
В «Историко-математических исследованиях» уделя-
ется большое внимание вопросам истории математики
XVII—XX вв., особенно математического анализа. Пре-
подавателей математики старших классов могут заин-
тересовать следующие статьи (в скобках указан номер
выпуска)-:
Кноблох Э. (Зап. Берлин). Рукописи Лейбница
1672—1676 гг. (XXIV)
Маркушевич А. И. Некоторые вопросы истории тео-
рии аналитических функций в XIX в₽ке (ХХ\)
Молодший В. И. О. Коши и революция в математи-
ческом анализе первой четверти XIX века (XXIII).
Ожигова Е. П. Об истоках символических и комби-
наторных методов в конце XVIII —начале XIX вв.
(XXIV).
Петрова С. С., Ро.чановска П. А. (Варшава). К ис-
тории открытия ряда Тейлора (XXV).
Юшкевич А. П. Концепции исчисления бесконечно ма-
лых Ньютона и Лейбница (XXIII).
История теоретике-множественной математики (ко-
нец XIX — первая половина XX в.) представлена статья-
ми о роли аксиомы Цермело (аксиома выбора) в ма-
тематическом анализе и ' канторовой теории дей-
ствительных чисел.
Становлению и развитию московской теоретико-мно-
жественной математической школы посвящены публи-
кации писем Д. Ф. Егорова к Н. Н. Лузину IXXV),
В. Серпинского к Н. Н. Лузину (XXIV), Н. Н. Лузина
к А. Данжуя (XXIII) н статей: Мельников И. Г. «Вац-
лав Серпинский» (XXIV), Юшкевич А. П. «Письма
А. Данжуа к Н. Н. Лузину» (XXV), Арболеда Л. К.
(Париж) «Рождение советской топологической школы.
Замечания о письмах П. С. Александрова и П. С. Уры-
сона Морису Фреше»'(XXV).
В XXVI выпуске опубликованы отзывы академиков
В. Я. Буняковского, И. И. Сомова, П. Л. Чебышева и
В. А. Стеклова на работы некоторых выдающихся не-
мецких математиков, избранных иностранными члена-
ми нашей академии наук (К. Вейерштрасса, Э. Кумме-
ра, Л. Кронекера, Дж. Сильвестра, Д. Гильберта,
А. Кнезера и Э. Ландау).
Три статьи посвящены истории вычислительной тех-
ничи-
Г утер Р. С„ Полуянов Ю. Л. Двоичная арифметика
в инструментальном счете у Джона Непера (XXIII).
Петренко А. К-, Петренко О. Л. Машина Беббиджа
и возникновение программирования (XXIV).
Петросян Г. Б. Об алфавитных системах счисления
(XXIII).
В 1978 г. исполнилось 250 лет со дня рождения вы-
дающегося математика, логика и философа Иоганна
Генриха Ламберта (1728-1777). В XXV выпуске
«ИМИ» опубликованы четыре статьи о жизни и дея-
тельности И. Г. Ламберта:
Лаптев Б. Л. Ламберт — геометр.
Григорьян А. Т., Невская Н. И. И. Г. Ламберт и Пе-
тербургская академия наук.
Кузичева 3. А. Символическая логика в сочинениях
И. Г. Ламберта.
Юшкевич А. П. И. Г. Ламберт и Л. Эйлер.
Названные работы, особенно статьи Б. Л. Лаптева и
А. П. Юшкевича, содержат интересные факты, которые
преподаватели математики могут использовать на заня-
тиях математических кружков. Например, учащимся
старших классов можно рассказать о том, что И. Г.
Ламберт разработал первое доказательство иррацио-
нальности числа л. Этот его пезультат явился крупным
шагом к доказательству трансцендентности числа л
и, тем самым, к доказательству неразрешимости зада-
чи о квадратуре круга с помощью циркуля и линей-
ки. Ламберту (и Саккерн) принадлежат и первые
серьезные результаты в разработке содержания неевк-
лидовой (гиперболической) геометрии.
Истории античной и средневековой математики посвя-
щено 16 статей (XXIII, XXV, XXVI). Большинство из
них обращено преимущественно к специалистам-исто-
рикам. Для более широкого круга читателей, в том чис-
ле и для преподавателей математики старших классов,
может представить интерес статья В. С. Широкова
«Инфинитезимальная концепция Ж. Буридана» (XXIII).
В «Историко-математических исследованиях» растет
число статей, посвященных современности или прибли-
жающихся к современности. Эго надо приветствовать.
История новых концепций и новых направлений в раз-
витии теорий классической математики (примерно вто-
рая половина XX в.) небесполезны для разработки ме-
тодики математики нашей школы. Особо необходимы
данные истории вычислительной математики и вычи-
слительной техники.
К сожалению, авторы некоторых исследований по ис-
тории математики, особенно математики второй поло-
вины XIX — первой половины XX в., недостаточно ра-
ботают над тем, чтобы сделать своп статьи доступны-
ми широкому кругу читателей. Это мешает расшире-
нию круга читателей «ИМИ», в который должны вхо-
дить не только ученые математики, историки, филосо-
фы, но и преподаватели школ и вузов.
В. Н. Молодший (Москва)
68
О книге А. Я- Халаяийзера
«Математика гарантирует
выигрыш»1
Б. В. Гнеденко
(Москва)
Математические знания в наши дни необходимы для
самых разнообразных направлений деятельности — на-
учной, производственной, экономической. Об этом пи-
шут в газетах, журналах; преподаватели сообщают на
занятиях о практической важности математических зна-
ний. Однако, кроме общих слов и хорошо известных
классических примеров, преподавателю нечего расска-
зать учащимся о практическом применении математики,
поскольку существующая методическая литература на
эту сторону дела практически не обращает внимания
Для того же. чтобы вызвать интерес к предмету, не-
обходимо показывать учащимся возможности матема
тики в решении задач повседневной практики. Школь-
ники должны видеть, как «работают» понятия и ре-
зультаты, с которыми их знакомят, в разнообразных
жизненных ситуациях. Иллюстративные примеры долж-
ны быть яркими, убедительными, пробуждать в уча-
щихся дух творчества. Сказанное выдвигает проблему
создания книг по вопросам связи математики с жизнью
как для преподавателей, так и для школьников.
С этих позиций значительный интерес представляет
научно-популярная книжка А. Я. Халамайзера «Мате-
матика гарантирует выигрыш». В ней в увлекательной
форме рассказано о задачах, практическая значимость
которых нн у кого не вызывает сомнений; некоторые
из них новы и неожиданны по своим постановкам; дру
гие встречались и ранее, но в другой формулировке.
Автор умеет облекать серьезные постановки вопро
сов современной науки в шуточную форму. Такие фор
мулировки он находит для элементарных задач теории
множеств, комбинаторики, информационно-поисковых
систем, математической статистики. Все это способству-
ет усвоению метода, а также развитию заинтересован
поста в процессе познания.
Названия рассматриваемых в книге задач настолько
нестандартны, что, прочитав их, хочетси узнать содер-
жание, а далее и решение. Возбуждение же любопыт-
ства является первым и очень важным шагом пробуж-
дения интереса к самостоятельному познанию. Вот не-
которые из названий маленьких разделов, каждый из
которых содержит одну задачу: «Наташа хочет поса-
дить клубнику», «Хромов планирует перевозки», «На-
ташины гости», «Милости просим», «В правлении
ЖСК», «Затруднение мистера Смита», «Статистика и
лингвистика», «Хромов ремонтирует аккумуляторы»,
«Где построить станцию?» Каждый раздел начинается
с четко сформулированной практической или шуточ-
ной задачи, которая всесторонне обсуждается и реша-
ется с помощью «правдоподобных рассуждений». За-
тем формулируется, — разумеется, без строгого доказа-
тельства — нужное свойство, правило нли формула.
В конце приводятся аналогичные задачи практического
содержания, которые вновь как бы освещают то, ради
чего был проделан предшествующий путь.
Вот, для примера, раздел «Выборочный контроль на
предприятиях» в главе «Статистика». Познакомившись
с ним. читатель получает общее представление о ста-
тистических методах контроля качества и в заключение
узнает, что «статистический контроль не является са-
моцелью, он служит не только для определения каче-
ства изделий или фиксации брака, ио и для предупреж-
дения брака и — в более широком понимании — для уп-
1 Халамайзер А. Я. Математика гарантирует выиг-
рыш.— М.: Московский рабочий, 1981.
равлеаия качеством, улучшения качества массовой про-
дукции». Еще пример. В главе «Интеграл» имеется раз-
дел «Работа». В нем рассматривается задача о вычис-
лении работы, которая была затрачена иа строитель-
ство пирамиды Хеопса, без учета затрат труда иа добы-
чу и перевозку каменных блоков (с. 225—226). Оказа-
лось, что искомая работа равна 1,63-10" кгм. Автор
не ограничивается тем, что им найден этот впечатляю-
щий результат. Он хочет сделать его еще более нагляд-
ным и добавляет: «Такая работа эквивалентна подъему
(вручную) груза весом в лолтонны на Луну (если ие
учитывать ослабления силы притяжения Земли)».
В книжке затрагиваются вопросы теории множеств,
теории вероятностей и математической статистики, ли-
нейного программирования и некоторых других ветвей
математической науки.
Хотя в аннотации сказано, что книга рассчитана на
лиц, занятых в производстве, ее с интересом и пользой
прочтут и учителя, и школьники, причем прочтут с ув-
лечением. с желанием разобраться в каждой ситуации.
Отметим, что тираж книжки очень мал. Возможно,
ее следует переиздать большим тиражом.
Полезное пособие
для внеклассной работы1
А. Я. Блох
(Москва)
Название этой книги связано с теми конкретными ус-
ловиями, в которых она создавалась, — основной состав
задач был использован при проведении различных за-
очных олимпиад. Назначение книги, — не отраженное в
названии, но объясненное во введении, — состоит в
том, чтобы предоставить учителю занимательный в ма-
тематическом плайе, поучительный материал для круж-
ковой работы, а также и для использования некоторых
задач непосредственно на уроках. Сборники такого ро-
да задач хорошо известны учителям и пользуются по-
пулярностью и у них, и у учащихся, увлеченных мате-
матикой.
В чем же специфика собрания задач, которые пред-
ставлены в рецензируемой книге? Таких особенностей
две. Первая относится к отбору задач. Выбранные за-
дачи изящны, зачастую неожиданны и в целом воспи-
тывают качество, с трудом поддающееся четкому опи
санию, но, по существу, необходимое для успешного
изучения математики — хороший вкус. Вот пример
(задача 2-6):
Пусть на миллиметровой бумаге нарисован прямо-
угольник 272x204 мм (его стороны идут по линиям
сетки). Проведем его диагональ и отметим все узлы
сетки, которые на ней лежат. На сколько частей узлы
делят диагональ?
В процессе решения задачи устанавливается неожи-
данная взаимосвязь геометрии и арифметики.
Приведем еще одну задачу; методическая цель ее —
разорвать естественно формирующееся в обучении пред-
ставление о прямой связи величины высоты треуголь-
ника и его площади (задача 1-6а):
Может ли так быть, что длины всех высот треуголь-
ника меньше 1 см, а его площадь больше 100 см1?
Второй особенностью изложения является форма при
веденных ответов к задачам. Они разделены на две
1 Васильев И. Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж М..
Тоом А Л. Заочные математические олимпиады. — М.:
Наука, 1981.
69
части. Первая адресована непосредственно ученику и
содержит полное решение. Вторая рассчитана иа чита-
теля, более искушенного в математике; здесь отмеча-
ются моменты, характеризующие связь данной задачи
с серьезными математическими теориями, обобщениями,
аналогичными задачами. Для руководителя кружка это
очень нужный материал, так как его можно использо-
вать для индивидуальных заданий тем учащимся, ко-
торые заинтересовались конкретной задачей. Отметим,
что, как правило, авторы указывают легко доступную
литературу, которую можно рекомендовать ученику.
По содержанию книги видно, что авторы ориентиро-
вались н< те раздели математики и те математические
идеи, которые связаны с активно развивающимися об-
ластями науки. В особенности это относится к двум
последним параграфам книги. Здесь собраны задачи
качественного характера, в решении которых необходи-
мо оценить некоторую величину (§ 4. Неравенс гва и
оценки), и задачи алгоритмического характера, в ре-
шении которых особое место занимают однотипные по-
вторяющиеся процедуры (§ 5. Итерации).
Отмеченные особенности книги делают ее ценным по-
собием в руках руководителя математического кружка;
просмотреть же книгу с целью подбора задач для уро-
ков мы советовали бы каждому учителю.
О книге Н. П. Ирошникова
по методике обучения математике
в IV—V классах сельской школы1
Е. С. Петрова
(г. Саратов)
Первое издание книги было хорошо встречено учите
лями математики средних школ и студентами физико-
математических факультетов педвузов. Во втором из-
дании автор широко вспользовал материалы XXVI съез-
да КПСС, «Основных направлений экономического и со-
циального развития СССР на 1981 — 1985 годы н иа
период до 1990 года», статистических ежегодников ЦСУ
«Народное хозяйт гво СССР...». На примерах решения
конкретных задач он показывает, как на уроках мате-
матики можно дать учащимся информацию об основах
сельскохозяйственного производства, о планах всей
страны и отдельных колхозов и совхозов, о возможнос-
тях отечественных сельскохозяйственных машин. В кни-
ге проводится мысль о бережном, хозяйском отношении
к социалистической собственности.
Автор учитывает постепенный переход школы на но-
вые программы и учебники по математике. В связи е
этим во втором издании исключены некоторые темы,
переработаны пункты «Переменная» и «Геометрическая
фигура», появились говые вопросы. Например: «Процен-
ты», таблица из «Спраьочника агронома Нечернозем-
ной зоны», модель «Разрядная сетка». Впервые вклю-
чен в книгу и пункт «Принцип самостоятельности уча-
щихся в обучении*.
Основное внимание Н. П. Ирошникова обращено на
работы обучающего характера, когда школьник в про-
цессе выполнения упражнений самостоятельно знако-
мится с новым теоретическим материалом. В пособии
приводятся образцы различных видов таких заданий
1 Ирошников Н. П. Организация обучения математи-
ке в 4—5 классах сельской школы.-2-е изд. — Мл
Просвещение, 1982.
(задания, содержащие новую информацию; с объясни-
тельным текстом; подготовительного характера и т. п.).
Автор показывает разнообразие способов, которые по-
могают учащимся высказывать свои суждения в про-
цессе выполнения самостоятельной работы.
Из данной книги учитель может брать готовые ма-
териалы для проведения самостоятельных работ. Кро-
ме того, руководствуясь указаниями пособия, ои будет
в состоянии разнообразить самостоятельные работы
учащихся как по содержанию, так и по формам орга-
низации и использования различных методов и средств
обучения.
Методические рекомендации, даваемые автором посо-
бия, конкретны и четко разграничены по вопросам, ко-
торые чаще всего волнуют учителей Среди них укажем
следующие- составление задачи с сельскохозяйственной
тематикой, использование справочной литературы (с. 21);
упражнения, развивающие у учащихся умение выбирать
правильное решение в данной ситуации (с. 24); исполь-
зование обучающей работы в начале изучения нового
материала (с. 99); советы школьникам о работе с мате-
матической литературой (с. 105); особенности методи-
ки обучения математике в IV—V классах (с. 110).
Укажем недостатки пособия.
1.	Непонятно дублирование многих вопросов. Напри-
мер: «Сложение дробей с разными знаменателями»
(с. 35 и 146 снова), «Вычитание дробей с разными зна-
менателями» (с. 38, 148), «Умножение обыкновенных
дробей» (с. 41, 149), «Деление обыкновенных дробей»
(с. 43, 150), «Вычитание десятичных дробей» (с. 50,
153), «Умножение десятичных дробей» (с. 52, 154),
«Деление десятичной дроби иа число» (с. 55, 156). То
же самое наблюдается и в самостоятельных работах:
задания 1,а—8,а (с. 116—130) дублируются задания-
ми 8,6—15,6 (с. 157—170). Вероятно, будет лучше ли-
бо два варианта заданий иа одну тему расположить
один за другим, либо оставить один вариант самостоя-
тельных работ, а взамен изъятого материала дать об-
разцы заданий по другим темам программы V класса.
(Последнее было бы полезнее учителю.)
2.	В главе VI очень мало задач, отражающих специ-
фику сельской школы, меньше ощущается политехниче-
ская направленность пособия.
3.	Заголовки некоторых пунктов не вполне соответст-
вуют их содержанию. Так, в пункте «Принцип подбора
упражнений» (с. 98) рассматриваются, кроме этого, ос-
новные этапы самостоятельного овладения учащимися
новым материалом и приводится пример заключитель-
ной беседы. Так же назван и пункт на с. 103, в котором
рассматриваются вопросы организации обучающих са-
мостоятельных работ (индивидуальные консультации
учителя, «взаимоконсультации» учащихся; работа уча-
щихся с математической литературой). Глава III име-
нуется «Краткий обзор понятий, изучаемых в курсе ма-
тематики IV и V классов. Методика введения поня-
тий», но на самом деле в ней описывается методика
изучения правил действий с обыкновенными и десятич-
ными дробями. К заголовку главы VI («Обучающие
самостоятельные работы») следовало добавить: «для
V класса», что было в первом издании пособия.
4.	Перечисляя диафильмы и диапозитивы, рекомен-
дуемые для демонстрации в IV и V классах, автор посо-
бия забыл исключить «Точечиь'е множества и опера-
ции над ними». Эта тема уже не входит ь ныне дейст-
вующие программы. Кроме того, диафильмы «Цент-
ральная симметрия, ее свойства и применение», «Осевая
симметрия» и серию диапозитивов «Геометрический ма-
териал в IV классе» теперь нецелесообразно показывать
полностью, следует ограничиваться отдельными фраг-
ментами. Полезно было бы отметить, какими именно.
5.	Работу с книгой несколько затрудняет отсутствие
нумерации параграфов и пунктов каждой главы.
Однако вазвачиые недостатки ие умаляют достоинст-
ва пособия в целом
70
КЗ РЕДАКЦИОННОЙ ПОЧТЫ
Почта журнала:
январь — июнь 1983 г.
В редакционной почте журнала возросло число статей,
заметок и писем на темы, волнующие наших читате-
лей — учителей общеобразовательных школ; препода-
вателей математики ПТУ, техникумов, высшнх учеб-
ных заведений.
Как в статьях, принятых к печати, так и в материа-
лах, которые не представилось возможным опублико-
вать, основное внимание авторов сосредоточено на проб-
лемах совершенствования учебно-воспитательного про-
цесса в свете решений XXVI съезда КПСС, освоения
усовершенствованных школьных программ, новых и
переработанных учебных пособий.
Многие учителя в своих письмах просят дать ответ
на вопросы о предъявляемых к ним руководством
школ требованиях. Как правило, редакция направляет
такие письма на рассмотрение местных органов народ-
ного образования. Приведем здесь примеры двух пи-
сем, содержание которых типично и для многих других.
Л. А. Лушникова (Новосибирская обл., с. Чемское)
пишет о том, что предъявляемые к учителям услож-
ненные требования по оформлению тематических пла-
нов существенно затрудняют работу, отвлекают их от
основной деятельности по обучению и воспитанию уча-
щихся.
Л. И. Малинине, (г. Казань) сообщает о больших
трудностях, с которыми встречается учитель при обору-
довании математического кабинета, н о формальном
подходе со стороны проверяющих комиссий к оценке
общих результатов учебной работы преподавателя на
основе сделанных подсчетов (в процентах) оснащенно-
сти кабинета типовым оборудованием.
Большое число таких писем говорит о том, что орга-
нам народного образования, руководителям школ пред-
стоит еще многое сделать для преодоления формализма
в руководстве работой учителя математики.
Письма, в которых затрагиваются вопросы оформле-
ния и оценивания контрольных и, особенно, экзамена-
ционных работ, составляют значительную часть почты
журнала.
«Убедительно прошу прислать рекомендации по
оформлению экзаменационных работ по алгебре и на-
чалам анализа на золотую медаль. Если можно, то об-
разец оформления одного из вариантов прошлых лет»
(С. Д. Заборов, Татарская АССР, р/п Алексеевское).
«Убедительно прошу дать подробное разъяснение, как
оценивать контрольные работы по математике»
(О. И. Марьянник, Новгородская обл., пос. Новосель-
ский).
«Я и мои коллеги не знали и до сих пор не соглас-
ны с тем, что излишнее объяснение является недочетом
экзаменационной работы» (В. И, Тылец, Кировоград
Свердловской обл.).
«Меня беспокоит утверждение работ медалистов. Мо-
жет быть, будет лучше, если эти работы станут про-
верять непосредственно комиссии. А так получается:
мы ребятам говорим, что поставили за работу «5», а
затем оценка изменяется и вся работа учителя зачер-
кивается» (3. Ш. Нугумашова, г. Уфа).
Жепанче иметь образец оформления экзаменацион-
ной работы во многих письмах объясняется тем, что
работы учащихся, претендующих иа золотую медаль,
проверяются не только в школе, ио и комиссиями в
районных и областных отделах народного образования.
Вот здесь и дозпикзют разногласия по поводу пра-
вильности выполнения учеником работы. Причем не-
редко споры идут не по поводу правильнее, и решения
той или иной задачи, а об о ф о р м л е н и и ее ре-
шения.
Единственным критерием верного решения (письмен
ного или устного) математической задачи является
достаточная полнота и отсутствие в нем ошибок.
Письменное оформление решения — вещь сугубо инди-
видуальная. Главное гребование к нему — возможность
понять способ н ход решения. Поэтому всякое сни-
жение оценки за письменную работу из-за негоотвв!
ствия ее оформления кем-то рекомендованному образ-
цу неправомерно. Это относится ко всем контр -льным
работам, в том числе и экзаменационным.
Часто при оценке решения задачи поднимается во
прос о полноте приводимых обоснований. Напомним,
что все эти вопросы достаточно подробно рассмотре-
ны в опубликованных в журнале статьях Г. В. Доро-
феева «О правильности рассуждений и подробности из-
ложения в решении задач», Н. Н. Садовниковой и
А,- Н. Чудовского «Рекомендации по оформлению ре-
шения задач» (1982, Ns 1).
«Я являюсь подписчиком журнала «Математика в
школе», нахожу там много нужного материала и по са-
мообразованию, и по методике предмета, и дидактиче-
ских разработок. Но, к сожалению, о преподавании в
школах (классах) с углубленным изучением математи-
ки пишут мало» (Г. Н. Нехаева, г. Тамбов).
В настоящее время в Министерстве просвещения
СССР закончена разработка новой программы для
школ (классов) с углубленным изучением математики,
которая будет издана в 1984 г. По сравнению с преж-
ней программой в ней несколько пересмотрено содер-
жание курсов геометрии, алгебры н математического
анализа.
К 1983/84 учебному году издательство «Просвете
ние» выпустило учебные пособия «Алгебра и матема-
тический анализ» Н. Я. Виленкина и других для IX—
X классов и «Геометрия 9-10» А. Д. Александрова и
других, рекомендованные Министерством просвещения
СССР для школ и классов с углубленным изучением
математики.
На страницах журнала «Математика в школе» бу-
дут публиковаться материалы в помощь учителю по
вопросам углубленного изучения математики.
«В последние годы широко распространился такой
метод подготовки к экзаменам: учитель диктует уче-
никам ответы на вопросы всех билетов, а ученики го-
товятся к экзаменам по приготовленным записям. Це-
лесообразен ли такой метод подготовки?» (А. П. Тихо-
мирова, Калининская обл., д Молдино).
Из самого вопроса видно отношение автора письма
к такому «методу» подготовки к экзаменам. Основны-
ми причинами распространения подобного явления сле-
дует признать то, что некоторые учителя недооцени-
вают значение и возможности заключительного повто-
рения математического курса, а в методике препода-
вания математики проблема организации повторения
недостаточно разработана.
Перед заключительным повторением стоят две наи-
более важные задачи: обобщение и систематизация зна-
ний, полученных школьниками при изучении курса, и
подготовка к экзаменам. К сожалению, в некоторых
случаях вторую задачу пытаются решить с помощью
надиктовываиия учащимся ответов иа вопросы биле-
тов. Естественно, что знания учащихся в этом случае
не получают должного обобщения и систематизации,
они обрывочны, беспорядочны, непрочны, их хватает
только для получения положительной оленяя на экза-
менах.
Готовность учащегося к сдаче экзаменов должна быть
следствием упорядоченности и полноты его знаний.
Этого можно достичь в процессе правильпо организо-
ванного повторения. Повторение не должно превра-
щаться выучнзание теоретических вопросов только
потому, что они вошли в экзаменационные билеты, в
решение задач или предлагались в экзаменационных
работах прошлых лет.
Новая структура программы по математике позволя-
ет достаточно легко отобрать основной материал кур-
са, т. е. именно тот. который должен быть повторен на
заключительном этапе. Этот материал собран в раз-
деле «Содержание обучения». Распределение в этом
разделе основного материала курса по содержательно-
методическим линиям указывает на взаимосвязь изучав-
шихся вопросов, определяет место каждого вопроса в
курсе Организация повторения по содержательно-ме-
тодическим линиям способствует систематизации зна-
ний учащихся.
Раздел программы «Требования к математической
подготовке учащихся» определяет знания и умения, ко-
торыми должны овладеть учащиеся к концу изучения
кур< а Их восстановлению и закреплению и должно
быть уделено основное время на уроках заключитель-
ного повторения
Конкретные рекомендации по организации заключи-
тельного повторения в VIII и X классах неоднократно
публиковались в журнале «Математика в школе» '. Ес-
тественно, что, используя эти рекомендации, учитель
должен учитывать специфику конкретного класса, уро-
вень его математической подготовки.
Большой поток читательской почты вызвала публи-
кация статьи А. С. Мищенко и Л. С. Понтрягина
«О некоторых принципах преподавания математики в
школе» (см № 2 за 1982 г.). Ro всех корреспонденциях
встретила поддержку проявленная А. С. Мищенко и
Л. С. Понтрягиным инициатива по широкому обсуж-
дению проблем коренного изменения преподавания ма-
тематики в школе. В своих откликах читатели журна-
ла соглашаются или полемизируют с авторами указан-
ной статьи, высказывают свои точки зрения на содер-
жание математического образования и принципы его
изложения, на подбор авторских коллективов для соз-
дания учебника, на систему его экспериментальной про-
верки и отбора.
П. М. Олоничев (г. Винница) в статье «Тревоги и
сомнения» пишет: «В своей статье А. С. Мищенко и
Л. С. Понтрягин в общих чертах подводят итог ре-
форме школьного математического образования, нача-
той в нашей стране в 1967 г., и обосновывают необхо-
димость новой модернизации, осуществляемой в на-
стоящее время и касающейся главным образом геомет-
рии. При реализации поставленной задачи авторы вы-
сказывают общие принципы того, какой должна быть
школьная математика, каким требованиям должна удов-
летворять система ее понятий, и в этом с ними трудно
не согласиться Также убедительна мысль авторов о
недопустимости изложения школьной математики по
канонам строгости „взрослой математики”. Авторы
также правильно отмечают снижение вычислительных
навыков у школьников, не умеющих, в частности, из-
влечь корень из числа в десятичной записи или разде-
лить много (лен на многочлен.
Но вот резко отрицательное отношение к роли и мес-
ту теоретико-множественного подхода в школьном кур-
се, математики нас глубоко встревожило. Далеко не
всё здесь так прслто и однозначно, как может показать-
ся после прочтения статьи. Усложнил ли теоретико-
множественный подход школьную математику, и в
частности ее систему математических понятий?’ Мы
убеждены, что нет. При этом, конечно, имеется в виду
естественное и разумное использование языка теории
множеств без излишней скрупулезности н допущенных
здесь перегибов... Обучение математике должно быть
хорошо взвешенным: нельзя шарахаться ни в сторону
1 См., например: Математика в школе, 1976 № 5-
1977, Ns 1; 1980, Ns 6; 1982, Ns 2; 1983, Ns 1.	’
ее огрубления и упрощенчества, ни в сторону над
школьного абстрагирования п формализма. Мы не
скрываем своей глубокой убежденности в том, что на-
мечающийся в нашей единой общеобразовательной
школе отказ от множеств был бы тяжелой ошибкой».
Н. М. Бескин в своей статье «Что делать дальше'*»
пишет: «Почти шестьдесят лет я стою у доски и знаю,
что старая система преподавания, хорошая в свое вре-
мя, слишком разошлась с наукой и нуждалась в об-
новлении. Верно, что проведение реформы не обошлось
без упущений, но о возврате к старому (к чему призы-
вали некоторые выступления) не может быть н речи.
Хорошо, что принятие базисной программы по матема-
тике по существу положила конец этим бесполезным
призывам.
Я не согласен с тем, что проведенная реформа цели-
ком неудачна. Ее недостатки проистекают от несоблю-
дения разумной меры, допущенных крайностей. В су-
ществующих учебниках много ценного. Что бы ни бы-
ло дальше — они окажут влияние на преподавание ма-
тематики в будущем. Они во многом правильно опре-
делили направление реформы Элементы теории мно-
жеств, математической логики, векторной алгебры и
математического анализа должны занять надлежащее
место в школе (надо лишь уточнить, что такое
„элементы"). Но как избежать дальнейших ошибок?
Главная причина недостатков, накопившихся в препода-
вании математики, — неправильный порядок издания
учебников. Чтобы получить хороший школьный учеб-
ник, надо издавать небольшими тиражами возможно
больше новых учебников. Эти учебники не идут в шко-
лу, предназначаются только для учителей. Когда по-
надобится новый школьный учебник—будет богатый
выбор Конкурсная комиссия будет состоять из тысяч
учителей. Вокруг учебника уже создастся устойчивое
общественное мнение.
Кроме того, учебники, не проникшие в школу, тоже
могут принести пользу. Они могут быть использованы
авторами других учебников или взяты иа вооружение
отдельными учителями. Никакого другого способа по-
лучить хороший учебник не существует, потому что
нельзя заранее предвидеть, кому удастся его написать...
Могут возразить, что учебники не сразу поступают в
школу, а проходят экспериментальную проверку в от-
дельных школах или лаже во в^ех школах некоторых
городов или областей. Эксперименты такого рода,
уместные в естественных науках, при проверке учеб-
ников бесполезны и слишком дорого обходятся. Дей-
ствия отдельных учителей не независимы, влияние
побочных факторов не может быть исключено, резуль-
таты всегда положительны. Было бы гораздо проще
и надежнее распространять учебник между учителями.
Опытный учитель, читая учебник, может вполне точно
представить себе, что получится при использовании его
в школе».
О соблюдении большей осторожности и объективно-
сти в вопросах оценки результатов реформы, теоретико-
множественных подходов в школьном курсе математи-
ки, необходимости сохранения этого подхода там, где
он себя оправдал, пишут в своих статьях профессор
пединститута А. А. Столяр (г. Могилев), директора
средних школ — учителя математики Г Е. Ривлич
(г. Щелково Московской обл.), В. И Кошкин (Волго-
град), учителя-методисты Ф. М. Барчунова и П. Б.
Ройтман (Москва), А. В. Корнилов и Э. Г. Якуба
(г. Ростов-на-Дону) и другие. В ряде полученных ре-
дакцией писем учителя просят скорее добиться в
школьном преподавании математики должной стабиль-
ности. Ф. М. Барчунова и П. Б. Ройтман заканчивают
свою статью следующими словами: «Учителя устали от
бесконечных изменений учебников. В этом году боль-
шинство из них будут работать в разных параллелях
по учебникам разных авторских коллективов с раз-
личными трактовками понятий, что не дает им воз-
72
можиоети творчески подходить к своей работе, а ведь
в гом залог успеха».
Поступают в редакцию и материалы, в которых идет
речь вообще о проблеме учебника, т. е. о том, каким
должен быть школьный учебник, безотносительно к кон-
кретным учебникам. Речь идет о том, должен ли учеб-
ник быть конспективным и предназначенным для чте-
ния только после объяснения учителя, нли же он дол
жен быть пригоден для самообразования. Некоторые
корреспонденты журнала полемизируют с авторами
статьи «О школьном учебнике математики» (Математи-
ка в школе, 1982, № 2) К. И. Пешковым, Л. В. Кузне-
цовой, Ю. Н. Макарычевым, Н. Г. Миндюк, С. Б. Су-
воровой.
II. М. Эрдниев и Б. П. Эрдниев (г. Элиста) выража-
ют свое несогласие с высказанным в статье К- И. Пеш-
кова и других положением о том, что пособие новой
формации не должно содержать для учителя «методи-
ческой канвы». Они формулируют противоположную
точку зрения, согласно которой учебник должен пред-
ставлять собой единство содержания и методов.
В. К. Совайленко (г. Новочеркасск) также обсужда-
ет общие вопросы о характере учебника: «Серьезные
замечания вызывает и нынешняя практика членения
учебников на параграфы, где нередко бывает, что па-
раграф содержит или 10—15 страниц, или всего не-
сколько строк. То же наблюдается и с главами, кото-
рые бывают или очень маленькими, или не в меру
большими, т. е. разбивку учебника иа главы авторы
подчиняют не дидактическим целям, а личному удоб-
ству при изложении учебного материала. Основной фор-
мой учебной работы в школе является урок, и учителя
давно добиваются, чтобы учебный материал был расчле-
нен на логически завершенные дидактические единицы
и каждый параграф соответствовал одному уроку. Эта
мера важна ие только в организационно-педагогиче-
ском плане, но и как средство, ограждающее учащих-
ся от перегрузки, так как объем материала иа один
урок можно определить с более высокой степенью точ-
ности, чем на несколько уроков...»
По вопросу об издании школьных учебников В. К
Совайленко высказывает следующие мысли, аналогич-
ные выраженным в упомянутой ранее статье Н. М. Бес-
кина: «...представляется полезным первичным считать
не экспериментальный учебник, как ныне, а учебное
пособие, издаваемое после надлежащего рецензирова-
ния в серии „Библиотека учителя” как материал для
ознакомления. Таких полезных для учителей пособий
(типа учебника) может быть несколько, и только после
ознакомления с ними педагогической общественности
можно определить, какое из них кон курен, неспособно
действующему учебнику... Самыми квалифицированны-
ми экспертами всегда были учителя, и в конечном сче-
те судьба всех школьных учебников математики опре-
делялась практическими результатами».
Вопрос о характере учебника очень важен. Разные
точки зрения по этому вопросу учителям хорошо из-
вестны. Вряд ли он будет решен единогласно.
В полученных откликах на опубликованные статьи
нередко содержится подробный анализ различных ва-
риантов школьного изложения тех или иных разделов
курса математики. К рассмотрению этих вопросов це-
лесообразно вернуться на основе накопленного школой
опыта в соответствующих обзорах, посвященных част-
ной методике преподавания математики
В связи с введением в школу с 1982/83 учебного года
нового учебника по геометрии А. В. Погорелова в ре-
дакцию пощупают статьи и письма читателей, в кото-
рых высказываются как общие взгляды авторов на но-
вый учебник, так н конкретные предложения и пожела-
ния по внесению в текст пособия ряда исправлений,
уточнений и упрощений.
В первом полугодии свои статьи прислали: И. Ф. Тес-
ленко (Киев), Н. К. Рузин (г. Йошкар-Ола), С. X. Го-
ловешко (г. Глазов), К. А. Лабуркин (г. Славянск),
С. Мамаджанов (Душанбе), А.Н. Макоха и Л.Т. Маль-
ке (г. Ставрополь), М. П. Козлов (г. Муром), Е. М.
Больсен (г. Ананьев), А. Г. Нудельман (г. Омск),
А. А. Столяр и В. А. Сорокин (г. Могилев), А. И. Цу-
канов (г. Чугуев Харьковской обл.)
Содержание всех этих статей доведено до сведения
автора учебника и авторов методических разработок
для принятия возможных оперативных мер по учету
сделанных предложений в последующих изданиях.
От преподавателей педагогических институтов в ре-
дакцию поступило большое число статей, посвященных
вопросам совершенствования профессиональной подго-
товки будушего учителя математики.
Та часть статей, в которых ставятся общеметодиче-
ские вопросы подготовки учителя и вопросы преподава-
ния дисциплин методического цикла, организации пе-
дагогической практики, будет в возможной мере опуб-
ликована полностью или в обзоре в ближайших номе-
рах журнала.
Редакция благодарит авторов статей, писем и заме-
ток за присланные материалы н высказанные пожела-
ния, направленные иа совершенствование работы ре-
дакции и редколлегии, на дальнейшее укрепление свя-
зей журнала со своими читателями.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в августе — сентябре 1983 г. вышли сле-
дующие книги:
Бодалев А. А. Личность и общение: Избранные труды.— (Труды
д. чл. и чл -кор. АПН СССР).—272 с.—1 р. 20 к. 30 000 экз.
Кошурникова Р. В. Космонавтом быть хочу!—144 с., ил.— 1 р. 70 к.
100 000 экз.
Лиханов А. А. Драматическая педагогика: Очерки конфликтных си-
туаций.— 320 с.— 85 к. 100 000 экз.
Лихачев Б. Т. Простые истины воспитания.—192 с.— 35 к. 100 000 экз.
Макаренко А. С. Педагогические сочинения: В 8-ми т. Т. 2/Сост.
М. Д. Виноградова, А. А. Фролов.— 512 с.— 2 р. 50 000 экз. Подписное.
Народное образование в ГДР: Пер. с нем.—184 с.— 1 р. 30 к.
7000 экз.
Новые исследования в психологии, № 2 (29)/ Сост. М. Э. Боцмано-
ва — 64 с.— 75 к. 1 750 экз. Подписное.
73
Д ХРОНИКА
В секции средней школы
Московского математического
общества
(Год 35-й)
В 1982/83 учебном году состоялось шесть заседаний
секции средней школы Московского математического
общества Как всегда, они проходили на механико-ма-
тематическом факультете Московского университета в
третий четверг каждого месяца (с октября по апрель
включительно). Кроме того, продолжая установившуюся
традицию, бюро секции провело четыре заседания сов-
местно с секцией м нематики Московского Дома уче-
ных и секцией втузов Московского математического об-
щества.
21 октября 1982 г. с докладом «О подходе к
определениям в школьном курсе математики» выступил
Г. В. Дорофеев. Он показал место определений в по-
строении математической теории и в развитии логи-
ческого мышления j чащихся, подробно рассмотрел тре-
бования, предъявляемые к вводимым определениям с
учетом различных аспектов — научных, логических, пе-
д логических и психологических.
Заседание 18 ноября 1982 г. было посвящено
вступительным экзаменам по математике в Москов-
ском государственном университете летом 1982 г. Вы-
ступивший с сообщением по этому вопросу И. И. Мель-
ников познакомил собравшихся с образцами вариантов
экзаменационных работ, проанализировал характерные
ошибки абитуриентов, рассказал о порядке проведения
и уровне требований на письменных и устных прием-
ных экзаменах по математике, в первую очередь — на
механико-математическом факультете (см.: Математи-
ка в школе, 1983, № 2; Квант, 1983. № 4).
25 ноября 1982 г. секция математики Московско-
го Дома ученых, секции втузов и средней школы Мос-
ковского математического общества провели совместное
заседание, посвященное славному юбилею нашей Ро-
дины— 60-летию со дня образования Союза Советских
Социалистических Республик. Перед собравшимися вы-
ступил Б. В. Гнеденко с докладом «Математика на
Украине, в Литве и в Узбекистане за 60 лет сущест-
вования СССР», в котором были приведены убеди-
тельные и яркие свидетельства развития математики
в национальных республиках.
Совместное заседание сехцни математики Московско-
го Дома ученых, секций втузов н средней школы Мос-
ковского математического общества состоялось и
15 декабря 1982 г. Оно было посвящено 125-летию
со дня рождения К. Э. Циолковского (1857—1935).
А. А. Космодемьянский и И. А. Маркелов рассказали
о жизни и творчестве выдающегося ученого н изобрета-
теля, о влиянии его работ иа становление и развитие
современной космонавтики.
16 декабря 1982 г. состоялся доклад Т. А. Ко-
решковой «Эволюция понятия интеграла и пути изло-
жения элементов интегрального исчисления школьни-
кам» В нем рассматривались различные способы вве-
дения понятия интеграла, построения основ интеграль-
ного исчисления, обсуждалась возможность и целесо-
образность ознакомления школьников с этими материа-
лами на факультативных занятиях
«Что такое математическая модель?» — такой доклад
сделал А. Д. Мышкис 20 января 1983 г. па объеди-
ненном заседании секции математик^ Московского До-
ма ученых, секций втузов и средней школы Москов-
ского математического общества. Докладчик подробно
рассказал о перспективах, проблемах и трудностях по-
строения математических моделей, их исследования, пра-
вильной интерпретации полученных на их основе ре-
зультатов и выводов.
На заседании 17 февраля 1983 г. с сообщением
на тему «Задачи графического содержания в обучении
алгебре и началам анализа» выступил П. Г. Сатьянов.
На конкретных примерах ои показал большие возмож-
ности дальнейшего усиления элемента наглядности в
преподавании школьного курса математики путем св-
стематического использования графической интерпрета-
ции при рассмотрении самых разных вопросов теории
и при решении задач по алгебре и началам анализа
17 марта 1983 г. члены секции заслушали доклад
А. С. Мищенко «О влиянии идей Н. Бурбаки иа пре-
подавание математики в школе». В нем подробно ана-
лизировалось содержание той перестройки математиче-
ской науки, которую осуществляла группа французских
математиков, работавшая под псевдонимом Н. Бурба-
ки, а также влияние этой перестройки па школьные кур-
сы математики. Докладчик особо остановился иа по-
зитивных и негативных результатах перестройки школь-
ного курса математики, на конструктивных подходах
к преодолению имеющихся недостатков и трудностей в
преподавании математики в школе.
На совместном заседании секции математики Москов-
ского Дома ученых, секций втузов и средней школы
Московского математического общества 24 марта
1983 г. состоялся доклад Ю. И. Манина «Простота и
сложность». Слушатели познакомились с некоторыми
перспективами развития теоретической кибернетики, с
теми новыми принципиальными проблемами, которые
возникают перед математикой в связи с совершенст-
вованием вычислительной техники.
Продолжая традиционный специальный цикл заседа-
ний «Пробные учебники», бюро секции организовало
21 апреля 1983 г. встречу с авторским коллективом
пробных учебников «Геометрия 6-8» и «Геометрия 9-10»
(в него входят Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев, Э. Г. Позияк) Авторы познакомили собрав-
шихся с содержанием и структурой своих книг, рас-
сказали о методических концепциях, положен ых в их
основу.
И. X. Розов
Методические семинары
в 1982/83 учебном году
«Актуальные проблемы совершенствования
обучеидя математике в школе»
С ноября 1982 г. при НИИ содержания и методов об-
учения АПН СССР начал работу Всесоюзный семинар
«Актуальные проблемы совершенствования обучения
математике в школе». Он призван объединить передо-
вую математическую и педагогическую общественность
нашей страны для широкого обсуждения и решения
важнейших проблем школьного математического обра-
зования.
Для руководства семинаром создано бюро, в которое
входят видные ученые в области преподавания мате-
матики в средней школе. Возглавляет его директор
НИИ СнМО АПН СССР, член-корреспоидент АПН
СССР, доктор педагогических наук, профессор В. М.
Монахов.
В 1982/83 учебном году состоялось шесть заседаний
семинара. В большинстве случаев перед заседанием
74
тексты докладов рассылались организациям-участникам,
что позволило развернуть широкое обсуждение ставя-
щихся проблем.
Первое заседание состоялось 3 ноября 1982 г.
На нем обсуждались основные направления совершен-
ствования школьного математического обравовапня.
В докладе В. В. Фирсова были вскрыты резервы повы-
шения качества обучения математике и проиллюстри-
рованы как собственно математические, так и педагоги-
ческие пути совершенствования обучения, связанные с
устранением формализма и усилением прикладной и
практической направленности курса. Данная тема при-
влекла большую аудиторию.
Второе заседание состоялось 1 декабря 1982 г.
На нем выступили В. М. Монахов, Г. В. Дорофеев,
Р. С. Черкасов и В. В. Фирсов. Они рассказали собрав-
шимся об итогах Второго советско-английского семина-
ра по проблемам преподавания математики, вскрылн
общность и различия в отношении к этим проблемам
со стороны советской и английской школ, показали
выявившуюся в процессе работы семинара перспектив-
ность советских подходов к их решению.
5 января 1983 г. собравшиеся рассмотрели воз-
можность реализации программного комплекса по мате-
матике, разрабатываемого в лаборатории обучения ма-
тематике НИИ СиМО АПН СССР. Этот комплекс пред-
полагает разделение программы на две части. Первая
часть предназначается в основном для авторов школь-
ных пособий. В ней отражаются общие требования к
математической подготовке учащихся, содержание об-
разования, планируемые результаты обучения, програм-
ма развития. Вторая — для учителей. Она содержит те-
матическое планирование и методический комментарий
для работы по этому планированию. Первая часть пред-
полагается в достаточной мере инвариантной, допускаю-
щей различные методически- реализации в учебных по-
собиях, вторая же «привязана» к тому учебно-методи-
ческому обеспечению, по которому школа работает в
данный момент. Доклад об этом программном комплек-
се, сделанный А. М. Абрамовы*, и В. В. Фирсовым, вы-
звал широкое и плодотворное обсуждение.
На заседании 2 февраля 1983 г. был заслушан
доклад Г. В. Дорофеева. В нем отмечалось, что одним
из путей устранения излишнего формализма в обучении
математике является сочетание содержательного введе-
ния основных математических понятий с достижением
необходимого логического уровня иа заключительном
этапе обучения. Доклад вызвал широкую дискуссию о
соотношении содержательного и формального в школь-
ной математике.
Проблеме планирования результатов обучения было
посвящено заседание 2 марта 1983 г. На нем
Л. В. Кузнецова рассказала о разрабатываемой в лабо-
ратории обучения математике НИИ СиМО АПН СССР
концепции минимально необходимого уровня математи-
ческой подготовки учащихся. В докладе была показана
возможность влияния планируемых результатов обуче-
ния На весь процесс преподавания математики. Широ-
кая дискуссия позволила уточнить ряд вопросов и выя-
вить необходимость решения данной проблемы.
6 апреля 1983 г. Б. В. Сорокин в своем докладе
раскрыл основные проблемы, связанные с {ведением
учебника А. В. Погорелова «Геометрия 6—10» в прак-
тику массового преподавания. Докладчик и остальные
выступавшие указали пути решения этих проблем и от-
метили положительные результаты работы школ по но-
вому учебнику.
На последнем заседании 4 мая 1983 г. рассматри-
валась система средств обучения, разработанная груп-
пой сотрудников НИИ ШОТСО АПН СССР. Г. Г. Лг-
витас раскрыл роль печатных и звуковых средств об
учения (в основном это тетради с печатной основой и
пластинки с математическими диктантами) в достаточ-
но успешном осущ< ствлеиин всеобуча. Он указал также
методические особенности работы с различными техни-
ческими средствами обучения. В ходе обсуждения были
выявлены вопросы, которые требуют уточнения и даль-
нейшего решения.
В 1983/84 учебном году семинар продолжает свою
работу. Заседания проходят в первую среду каждого
месяца в помещении НИИ содержания и методов об-
учения АПН СССР,
И. А. Лурье
«Передовые идеи преподавания математики
в СССР и за рубежом»
Научно-методический семинар под руководством док-
тора физико-математических наук,  лена-корреспонден-
та АПН СССР, профессора И. Я. Верченко и доктора
физико-математических наук, профессора О. В. Манту-
рова успешно продолжал свою работу при МОПИ им.
Н. К. Крупской.
Было проведено 9 заседаний.
На вервом, 9 сентября 1982 г., Н Б. Шапош-
никова (г. Тула) сделала сообщение «О самостоятель-
ной работе студентов — будущих преподавателей мате-
матики — за рубежом». Докладчик использовала дан-
ные достаточно широкого спектра стран: Болгария,
Венгрия, Польша, Италия, Франция. Она остановилась
на наиболее интересных и приемлемых для нас формах
самосто: тельной работы: использование конспектов лек-
ций с печатной основой; организация тематических выс-
тавок совместно с учащимися (Италия); просеминары,
иа которых студентов учат читать математическую ли-
тературу (Болгария, Венгрия); так называемая «систе-
ма модуля» (Франция) — вид самостоятельной работы,
углубляющей знания студентов по какой-либо опреде-
ленной геме. Сообщение собрало многочисленную ауди-
торию н вызвало большой интерес.
14 октября Н. В. Ахвледиани (Тбилиси) доложи-
ла «О наглядно учебной модели числовой оси, исполь-
зуемой при формировании понятия о целых числах и
действий над ними». Л1одель, скоиструироваиная по
принципу русских счетов, наглядна и дает возможность
манипулировать с косточками, что упрощает учащимся
осмысление правил действий над целыми числами.
На трех последующих заседаниях 11 ноября,
9 декабря 1982 г. и 6 января 1983 г. широко
обсуждались новые пособия по геометрии: введенная в
массовую школу с 1982 г. «Геометрия 6-10» А. В. По-
горелова, а также экспериментальные учебники «Начала
стереометрии 9-10» А Д. Александрова, и других,
«Геометрия 6-8» Л. С. Атанасяна и других. В своем
докладе В. В. Пикан (Москва) дала обстоятельный ана-
лиз учебников, осветив теоретический уровень изложе-
ния материала, его доступность н соответствие задачам
всеобуча. Она доложила о результатах эксперимен-
тальной проверки учебников в массовых школах. С со-
общениями также выступили заведующий кафедрой
геометрии в МГПИ им. В. И. Ленина профессор
Л. С. Атанасян н заведующий кафедрой геометрии
МОПИ им. Н. К. Крупской профессор О. В. Мантуров.
В обсуждении приняли участие преподаватели школ,
методисты и слушатели ФПК.
В процессе обсуждения самих пособии и результатов
их экспериментальной проверки выявились сильные и
слабые стороны рассматриваемых изданий.
В учебном пособии А. В. Погорелова собравшиеся
отметили академическую строгость и краткость изло-
жения, но указали на недостаточную методическую и
педагогическую обеспеченность.
Связь с жизнью и достаточная логическая строгость
без какого-либо усложнения курса — валяная особен-
ность экспериментального учебника А. Д. Александрова
и других, в котором, однако, еще не вполне отработана
система задач.
Практическая направленность курса, но не везде оди-
наково выдержанная строгость изложения (излишняя
теоретнзация на первом этапе изучения геометрии в
75
VI классе, перегрузка в VIII классе) отмечались в
пробном учебнике Л. С. Атанасяна и других.
Было высказано общее пожелание дальнейшего со-
вершенствования обсуждаемых учебников.
На заседании 10 февраля доктор К. Фрейтаг
(г. Галле, ГДР) выступил с докладом «Требования к
доказательствам и пропедевтика доказательств при об-
учении математике в школах ГДР». Коллега нз ГДР
сформулировал основные требования к способностям уча-
щихся проводить доказательства, обратив особое вни-
мание на мотивацию, т. е. ощущение учеником необ-
ходимости доказательства. Наметив основные методи-
ческие шаги в комплексной деятельности учителя н уча-
щихся при доказательстве, докладчик остановился на
«предматематическом» доказательстве, существенным
моментом которого является конкретизация.
19 марта Л1. В. Ткачева (Москва) рассказала о
своих исследованиях по формированию умений исполь-
зовать функциональные понятия в курсе алгебры 8-лет-
неп школы. Докладчик определила основные функцио-
нальные понятия, изучаемые в 8-летней школе, на ба-
зе которых должны формироваться умения и навыки
функционального мышления учащихся. Слушатели вы-
сказали пожелание: дополнить убедительную психоло-
го-дидактическую разработку темы списком основных
опорных понятий-терминов.
«Задачи графического содержания в курсе алгебры
и начал анализа средней школы» — с таким докладом
14 апреля выступил П. Г. Сатъянов. Он убедитель-
но проиллюстрировал преимущество наглядного графи-
ческого языка как геометрического истолкования мате-
матических положений, дал достаточно полную класси-
фикацию задач, положив в основу классификации по-
следовательность использования учащимися языков:
словесного, аналитического и графического—в процес-
се решения задачи Для каждого типа задач были вы-
явлены методические возможности и особенности их ис-
пользования.
На заключительном заседании 12 мая М. С. Са-
буров (Москва) в докладе «О некоторых проблемах
преподавания математического анализа в средней шко-
ле» предложил несколько иной методический подход к
понятию предела, чем общепринятый: через понятие
предела функции в точке. По мнению автора, это поз-
воляет вводить понятие наглядно, с широким привле-
чением графического изображения. Опора на нагляд-
ность, как показал автор, облегчает усвоение, позволя-
ет создать единый стереотип определения всех случаев
предела функции, давая тем самым экономию во вре-
мени. Доклад вызвал широкую дискуссию н получил
одобрение.
В 1983/84 учебном году семинар поодолжает работу,
вступив в свое 25-летие. В июне 1984 г. исполняется
90 лет со дня рождения организатора семинара, бес-
сменно руководившего им до конца св >ей жизни, про-
фессора Ивана Козьмича Андронова (1894—1975), за-
служенного деятеля науки РСФСР, члена-корреспонден-
та АПН РСФСР. Этому знаменательному событию се-
минар посвятит специальное заседание.
В. Н. Шапкина
«Воспитание логической культуры
при обучении в школе»
Семинар, работающий при НИИ СиМО АПН СССР
под рут оводством кандидата педагогических наук
И. Л. Никольской, продолжал занятия по теме «Раз-
витие мышления и речи учащихся в процессе препода-
вания математики». На заседаниях были заслушаны и
обсуждены шесть докладов.
23 декабря 1982 г с докладом «О методологиче-
ских аспектах развития мышления при обучении нача-
лам анализа в школе» выступил аспирант лаборатории
обучения математике НИИ СиМО АПН СССР
Е. П. Жирков. Основная часть его сообщения была по-
священа вопросу об оптимальном соотношении логики
и интуиции в учебном процессе.
На заседании, состоявшемся 25 января 1983 г.,
доцент Криворожского института В. С. Нодельман
рассказал о сконструированном им приборе «Учебное
пособие для изучения логических структур», который
представляет собой усовершенствованный вариант вы-
пускаемых промышленностью приборов аналогичного
назначения. С помощью нового прибора можно иллюст-
рировать любые бескванторные логические структуры
двухзначной нли трехзиачной логики.
На следующем заседании 17 февраля преподава-
тель Омского пединститута Л. И. Александрова расска-
зала о разрабатываемой ею методике обучения дока-
зательствам, основу которой составляет отработка на
простых задачах однотипных схем умозаключений.
24 февраля доцент Витебского пединститута
Г. А Гуткович сделала доклад «К вопросу о структуре
обратных теорем в связи с понятиями необходимости
и достаточности» (подготовленный совместно с М. Е.
Драпкиной). Оживленную дискуссию вызвало предло-
жение авторов включить в требования к знаниям уча-
щихся умение по свернутой формулировке теоремы вос-
становить ее полный текст с отчетливым выявлением
смысла кванторов.
22 марта на семинаре обсуждался доклад учите
ля средней школы № 4 г. Харькова С. Ю. Курганова
«Развитие диалектического мышления учащихся на уро-
ках математики», в котором автор поделился опытом
формирования элементов диалектического мышления с
помощью диалогического (сократовского) метода.
На последнем заседании 6 июня доцент Витебско-
го пединститута Е. Е. Семенов в своем докладе «Раз-
витие мышления в системе общеобразовательных и вос-
питательных задач обучения математике» рассказал об
опыте использования комплексных математических за-
дач в целях усиления нх общеобразовательной и воспи-
тательной функций.
В 1983,84 учебном году работа семинара продолжа-
ется.
М. И. Немытова
«Актуальные проблемы
преподавания математики в средней школе»
Научно-практический семинар «Актуальные проблемы
преподавания математики в средней школе» работает в
Минске при НИИ педагогики Министерства просвеще-
ния БССР. В 1982/83 учебном году было заслушано
семь докладов.
Учительница школы № 2 г. Молодсчно М. К Тятюш-
кина поделилась опытом преподавания геометрии в
VI классе по учебному пособию А В. Погорелова. Она
познакомила слушателей с разработанными ею систе-
мами задач и упражнений, подготавливающих школьни-
ков к осознанному изучению материала, и с набором
наглядных пособий, делающим преподавание более до-
ступным. «Новый учебник, — отметила учительница, —
с первых страниц учит думать, рассуждать, доказы-
вать... Повысился интерес учащихся к геометрии». Од-
нако при обучении приемам доказательств возникает
много методических трудностей. По мнению докладчи-
ка, ие столько трудны задачи, сколько обоснования к
ним. В заключение были даны рекомендации по усовер-
шенствованию пособия.
С докладом «О некоторых спорных вопросах препо-
давания математики» выступил доктор педагогических
наук, профессор А. А. Столяр. Проанализировав много-
численные статьи (опубликованные с 1978 г.) по проб-
леме содержания школьного математического образо-
вания, ои выявил противоречивость основных положе-
ний этих статей несмотоя на убедительную аогумента-
76
цию их авторов По мнению докладчике, причиной та-
кого положения является то, что разные авторы видят
математику через свой личный опыт, а проблема содер-
жания школьного курса математики в гораздо оольшей
мере педагогическая, чем математическая. Например,
последовательная реализация в школьном курсе мате-
матики теоретико-множественной концепции столь же
неприемлема, сколь и полное игнорирование простейших
теоретико-множественных и логических понятий. По-
строение геометрии по Вейлю, являясь с точки зрения
математики гораздо более рациональным, чем по Евкли-
ду, тоже неприемлемо для школы, так как приводит
к утрате геометрией ее собственно геометрического лица.
Поэтому при разработке содержания школьного курса
математики нельзя чрезмерно строго реализовывать
какую-либо одну нз диаметрально противоположных
концепций.
Необходимо найти такие пути построения школьно-
го курса математики, которые, гарантируя выполнение
всех программных требований, обеспечили бы доступ-
ное и рациональное обучение математике. В дискуссии
участники семинара поддержали основные положения
до .лада, привели новые аргументы в их пользу.
На семинаре дважды выступал старший научный
сотрудник Института математики АН БССР, кандидат
физико-математнческнх наук В. И. Берник. В своем
первом докладе «Черты современной математики» он
говорил о различных аспектах влияния ЭВМ на твор-
ческую деятельность математиков, о значении приложе-
ний для возникновения и развития новых математиче-
ских методов и теорий, о скачкообразном развитии ма-
тг”,атики. Во втором докладе В. И. Берник рассказал
об опыте работы ученых АН БССР с учащимися.
«Особенности преобразования тригонометрических вы
ражений в IX—X классах» — с таким сообщением вы-
ступил доцент Могилевского пединститута А. А. Маза-
нии. Он рассмотрел вопрос о наиболее приемлемом для
школы определении понятия «тождество» с точки зре-
ния имеющихся в школьном курсе математики сведе-
ний о равносильности уравнений и об области опреде-
ления функций, показал методы решения тригонометри-
ческих уравнений и неравенств, заведомо не привод я
щне к потере корней или приобретению посторонних
корней.
Старший преподаватель Минского суворовского учи
лища И. И. Киш в докладе «Знаковое моделирование
как средство обучения математике» привел результаты
анализа знаковой системы школьного курса ’сометрии.
показал разработанные им модели определений и тео-
рем, помогающие активизировать познавательную дея-
тельность учащихся.
С докладом «Выявление, систематизация и практи
ческая реализация межпредметных связей в преподава
нии алгебры» выступил заведующий кабинетом матема-
тики Витебского областного ИУУ Д. Е. Перлин. Ou
рассказал об использовании ленточных графиков для
выявления межпредметных связей и план-карт для оп
ределения путей н форм их реализации. Все свои ос
новные положения Д. Е. Перлин проиллюстрировал
примерами из опыта учителей Витебской области.
В. Ю. Гуревич
Тематический указатель статей,
опубликованных в журнале
в 1983 г.
ПЕРЕДОВЫЕ
Важнейший фактор успеха — № 3, с. 3.
Вперед по ленинскому пути — № 1, с. 3.
Гнеденко Б. Р О Продовольственной программе и
математике —№ 2, с. 4.
Лауреаты высоких премий 1982 г. — We 1, с. 5.
На уровень требований времени — We 4, с. 3.
Нормализация учебной нагрузки школьников — важ-
нейшее условие повышения зффективности учебно-вос-
питательного процесса — We 6, с. 3.
Постановление коллегии Министерства про< в ешения
СССР, коллегии Государственного комитета СССР по
профессионально-техническому образованию, президиума
Академии педагогических наук СССР и президиума ЦК
профсоюза работников просвещения, высшей школы и
научных учреждений «О проведении VII Всесоюзных
П1 дагогических чтений» — We 2, с. 3.
Рыбников К. А. Карл Маркс (К 165-летию со дня
рождения и 100-летию со дня смерти)—We 3, с. 6.
Уму и сердцу каждого школьника — № 5, с. 3.
К 60-летию образования СССР
Белоусов В. Д., Нягу Я. И., Турлакова 3. И. Раз-
витие математического образования в Молдавской
ССР —We 1, с. 41.
Гайбуллаев Н. Р., Дырченко И. И. О развитии
школьного математического образования в Узбекиста-
не — We 1, с. 39
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Арутюнян Е. Б., Волович М. Б., Глазков Ю. А., Ле-
витас Г. Г Система устных заданий для V класса
(математические диктанты) —We 4, а 24. № 6 с. 31.
Бартенев Ф. А. Экспериментирование при обучении
геометрии в VI—VII классах — We 3, с. 30
Барчунова Ф. М. По поводу изучения материала
§ 7 «Теорема Пифагора» — We 5, с. 13.
Гусев В. А., Медяник А. И. Самостоятельные работы
по геометрии в VII классе — We 4, с. 21; We 6, с. 28.
Дорофеев Г. В. О составлении циклов взаимосвязан-
ных задач — We 6, с. 34.
К началу обучения геомегрис в VII классе по новому
учебному пособию — № 3; с. 11; We 4, с. 11; № 5, с. 6;
We 6, с. 12.
Леонтьева М. Р., Решетников Н. Н., Сорокин Б. В.
Об итогах преподавания геометрии в шестых классах
в 1982/83 учебном году — № 6, а. 7.
Лихота Е. А. Варьирование условий задач на вне-
классных занятиях — We 6, обложка.
Малова И. Е. Доказательство равенства фигур с ис-
пользованием осевой симметрии — № 3, с. 32.
Монахов В. М. Методические проблемы осуществле-
ния всеобщего среднего образования — We 2, с. 10.
Олоничев П. М. О доказательствах третьего признака
равенства треугольников н теоремы о сумме углов тре-
угольника— We 5, с. 14.
О преподавании математики в общеобразовательных
школах в 1983/84 учебном году. Мет< дичесьое письмо —
We 4, с. 6.
Примерные планирование и контрольные работы
(IX класс — алгебра и начала анализа — W» 3, с. 17.
X класс — геометрия — We 3, с. 19; VII класс — гео-
метрия—We 4, а 20, We 6, с. 27, VII класс — алгебра—
We 4, с. 21).
77
Саранцев Г. Я, Оо одной урФ* г.ом^грии —Ц,
с. 29.
Тимощук М. Е. О формировании навыков и умении
учащихся при решении задач первых разделе® стерео-
метрии — № 6, с. 39.
У имаева А. Т, Два решения одной векторной зада-
чи — № 3, с. -35
Из опыта работы по профс рие л-ации
и практической направленности обучения
Абаляев Р. Н. Учащимся IV- -V классов о Продо-
вольственной программе СССР — № 5, с. 23.
Жак Я- Е. Производственные задачи в школьном кур-
се математики — Ns 5, с. 15.
Лоповок Л. М. — Задачи по материалам Продоволь-
ственной программы СССР — Ns 2, с. 20.
Магомеддибирова 3. А. Из опыта составления задач
с профессиональной ориентацией — Ns 5, с. 21.
Минаева С. С. О повышении уровня вычислительных
умений учащихся старших классов — Ns 5, с. 19.
Петров В. А., Сурина Н. Н. Геометрия в практиче-
ской деятельности — Ns 2, с. 23.
Файзуллаев А. Из опыта трудового воспитания уча
щихся на уроках геометрии — Ns 2, с. 22.
Xeiuii Л. С. Несколько задач практического харак-
тера — № 2, с. 26.
Совершенствование урока и школьных учебников
Далингер В. А. Методические рекомендации к прове
дению обобщающего повторения — Ns 1, с. 10.
Денищева Л. О. Приемы учебной работы как средст-
во формирования частных умений при обучении нача-
лам математического анализа — Ns 1, с. 14.
Драган 3. П. К методике решения задач в IV клас
се — Ns 1, с. 24.
Колмогоров А. Н. Об учебном пособии «Геометрия
6—10» А. В. Погорелова — № 2, с. 45.
Курдюмова Н. А. О методических подходах к записи
учебного материала — Ns 3, с. 25.
Левитас Г. Г О дидактических требованиях к уроку
математики — Ns 3, с. 21.
Медяник А. И. Научно-методические достоинства
учебного пособия по геометрии А. В. Погорелова — № 2,
Мищенко А. С., Понтрягин Л. С. О пробном учебнике
«Геометрия 6—8» — Ns 2, с. 46.
Нудельман А. Г. Фронтальная и групповая формы ра-
боты на уроках математики — Ns 1, с. 19.
Пикан В. В. О практической направленности пробно-
го учебника ^Геометрия 6—8» — № 2, с. 51.
Радкевич Л. А. Обобщающие уроки по алгебре в
VIII классе — № 1, с. 8.
Саврасова С. М. Из опыта работы по геометрии в
VI классе по учебному пособию А. В. Погорелова —
Ns 1, с. 20.
Читатели вносят предложения
^лавердчн 3. А. Задачи, связанные с площадью кри-
волинейной трапеции — Ns 5, с. 48.
Заболотная В. А. Замечания к решению некоторых
задач — Ns 4, с. 42.
Ивашев Мусатов О. С. О графике функции и~
=f(tx+b) - Ns 1, с. 34.
Икрамов Д. И.. Анчукова Л. П. Необходимы допол-
нительные учебные пособия к школьному курсу матема-
тики—№ 1, с. 33.
Коневцев В. П., Иванайский А. В. Организация рабо
ты по учету знаний у чащихся — Ns 5, с. 45.
Кубраченко В. А. Применение теоремы Виета к ре-
шению квадратных уравнений общего вида — Ns 1,
Кутнай Л. А. Взаимное рецензирование самостоятель-
ных работ — Ns 5, с. 48.
Меражов 3. Ш. Об использовании измерительных на-
выков при обучении геометрии — Ns 5, с. 46.
Михайлов И И Замечания к решению некоторых за-
дач — № 4, с. 42.
Солтан Г. Н. Об щном способе доказательства не-
равенств — Ns 5, с. 47.
Стратилатов П. В. Всемерно развивать познаватель-
ный интерес и трудовую активность учащихся—Ns 5,
с. 43.
В помощь пре тидавателям профтехучилищ
Беденко Н. К., Лурье И. А. Заключительное повто-
рение го геометрии на II курсе средних проф|еххчн-
лищ № I, с. 27
Кадемия М. Е. Ипкрскалькуляторы как средство ин-
тенсификации учебного труда учашихся средних проф-
техучилищ -№ I, с. 30.
О встуг итсльных ткза. еиах в вузы в 1932 г.
Величко 77. .И. Пулясв В. Донецкий roejдарствен-
ный университет - № 3, с. 38
Галушкина 10 И., Тимохина 4 О. Мо кепгкчй тех-
нологический институт пинен й пром- н нпосги —
№ 2, с. 37.
Далчнгер В. А. Омский гос,дарствсг :ый педзгы ич*-
ский институт -Ns ?, с. 39.
Каракадько В. К. , Неделин -1. 4., Тарасов В. Н. Пуш-
кинское высшее военное инженерное строчтел'гос учи-
лище — № 3. с. 13
Мельников И. И Сергеев И. Н Москов пй государ-
ственный университет № 2, с. 27
Мельников Н Н Ташкентский государственный уни-
верситет № 3. с. 36.
Пчелинцев С. В., Силаев Е. В. Московский государст-
венный педагогический институт им В И Лепина —
Ns 2, с. 33
Семенова И. Н„ ЮДича И Б Ко," мепскнй педаго-
гический ннсгигут — № 3, с. 41
Чебыкин Л. С., Верников Л-1. Б, Максим tea И П.
Свердловский инжеперн о-педагсгнчсскнй институт —
Ns 2, с. 36.
Вопросы подготовим учителя математики
Келдибасв Б. К. Типовой школ1 ный кабпг"т матема-
тики в университете - - Ns 1, с. Г1
Мацкин М. С., Мсщкина Р. Ю. Больше внимания
спецкурсам по подготовке студентов к проведению фа-
культативных занятий — Ns 1, с. 50.
Рекомендации Всесоюзной конференции «Совершен-
ствование методической подготовки учителя математи-
ки в педагогических институтах» — № 1, с. 49.
Консультация
Дорофеев Г. В. О задачах с параметрами, предлагае-
мых на вступительных экзаменах в вузы- Ns 4, с. 36.
Об использовании учебных пособий в 1983/84 учебнем
году — Ns 4, с. 41.
В помощь учителям вечерних 'сменных)
и заочных школ
Глейзер Г Д., Простосердов В. П., Белоновская Л. Н.
О преподавании математики в вечерней (сменной)
школе - № 4, с. 29.
Мацкин В. М. Карточ- и-информзторы по теме «При
мепенне производной» Ns 5, с. 40
Микрокалькуляторы в учебной и внеклассной работе
Бачк М. Б., Полухин 4. А О некоторых особеннос-
тях решения уравнений с помощью микрокалькулято-
ра —- Ns 5, с. 35.
78
Болтянский 0 Г., Григорян Э. В. Микрокалькуля1ор
в младших классах — Ms 5, с. 24.
Ионов Г. И. Электронный помощник учителя — № 5,
с. 31.
Оксман В. М. Микрокалькулятор в системе профес-
сионально-технического образования — № 5, с. 30.
VI Всесоюзные педагогичесиие чтения
Каждому уроку — высокую эффективность — № 2,
с. 13.
Ковычева Т. Г. Методика использования учебно-мето-
дических комплексов по математике — Ms 1, с. 6.
В помощь учителям,
занимающимся по программе самообразования
Рыбников К. А. Геометрия: наука и учебная дисцип-
лина — Ms 6, с. 56.
Учебное оборудование
Аппазов С. А., Урманов Б. Математическая площад-
ка иа школьном дворе — Ms 3, обложка.
Арутюнян Е. Б. Новые сюжетные диафильмы по ма-
тематике — Ms 5, обложка.
Баркан С. Я.. Швачко В. В. Усовершенствованное
приспособление для крепления логарифмической ли-
нейки— Ms 2, обложка.
Проценко В. С., Проценко А. В. Универсальная класс-
ная доска — № 6, с. 42.
Сг.овин Е. В. Универсальная классная доска — № 6,
с. 43.
Файкерман П. М., Ковалев В. П. Кадрирующая рамка
для кодопознтнвов — Ms 2, обложка.
Эксперимент
Алимов Ш. А., Калягин Ю. М, Сидоров Ю. В., Ша-
бунин М. И. О пробном учебнике по алгебре и началам
анализа для IX—X классов — Ms 3, с. 43.
Бондаренко Т. Е. Об использовании тождественных
преобразований в вычислениях — Ms 4, с. 45.
Воров Ю. Г., Одинцов П. К., Первин Ю. А. О тчоо
ческом сотрудничестве Вычислительного центра Сибир-
ского отделения АН СССР и Барнаульского пединсти-
тута — № 4, с. 43.
Гуськов В. А. Об изучении понятия зависимости меж-
ду значениями переменных в IV—V классах — № 1,
с. 35.
Лисс Б. Л., Первин Ю. А., Юнерман Н. А. Язык Пас-
каль на уроках программирования — Ms 2, с. 40.
Лудина Г. Б. К изучению перемещений иа коорди-
натной плоскости — Ms 2, с. 43.
Петерсон Л. Г. Изучение координат в III—IV клас-
сах — № 4, с 46.
Очерки по гсгории развития математических знаний
и методике преподавания
Абаляев Р. Н. Первая в России печатная таблица
умножения — М° 3, с 19.
Лебединцев К- Ф- Основные положения методики уче-
ния о функция и элементах анализа в школах II сту-
пени — № 4, с. 60
Розенфельд Б. А. Мухаммад ибн Муса аль-Хорез-
ми — Ms 3, с. 46.
Рыбников К. А. О формировании начальных мате-
матических представлений — Ms 1, с. 44.
Внеилассная раба га
Габович И. Г. О поиске планов решений геометри-
ческих задач — Ms 1, с. 53.
Гальвас Э. Я. Тема «Простые числа иа занятиях ма-
тематического кружка» — № 2, с. 57.
Гатман Э. Г, Скопец 3. А. Теорема Морлея —Ms 1,
с. 55.
Гутенмахер В. Л. Юбилейный прием в ВЗМШ — М“ 4.
с. 80.
XXIII Международная математическая олимпиада
школьников — Ms 3, с. 50.
Изаак Д. Ф. Обобщения задач по геометрии — Ms 2,
с. 55.
Коваленко В. С. Внеклассная работа в педантиче-
ском училище — Ms 6, с. 47.
Кузнецова Г. Б., Шарова О. П. Некоторые рекомен-
дации для внеклассной работы по математике в IV—
V классах — Ms 2, с. 52
Kyi-цов. Л. П„ Резниченко С. В., Яковлев Г. Н. IX
Всероссийская олимпиада школьников по математи-
ке — Ms 5, с. 49.
Курляндчик Л. Д. Восемнадцать школьных олимпи-
ад— № 6, с. 44.
Ломакин Ю В., Козырева Н. А., Лебедева М. Б. Лет-
няя математическая школа для учащихся ПТУ Воло-
годской области — Ms 4, с. 49.
Мостовой А. И. Применять различные способы реше-
ния задач на построение — № 5, с. 56.
Петрова Е. С. Метод двух проекций при решении сте-
реометрических задач — № 4, обложка.
Рожде(твенский В. В. О специальном курсе «Про-
граммирование» в физико-математической школе-интер-
нате Ms 18 при МГУ •—Мв 4, с. 48.
Скопец 3. А. О построении касательной к окружно-
сти— № 5, с. 59.
Задачи
№ 1, с. 58, Ms 2, с. 61; № 3, с. 52; Ms 4, с. 50; Ms 5,
с. 63; № 6, с. 49.
Дорофеев Г. В., Скопец 3. А. Замечания к решениям
задач — Ms 1, с. 63, 68; Ms 3, с. 57, 64; № 5, с. 68;
Ms 6, а 54.
Итоги конкурса, посвященного 60-летню образования
СССР —№ 3, с. 51.
В помощь решающим задачи
Губа С. Г. Произведение двух последовательных на-
туральных чисел — № 4, с. 51.
Губа С. Г. Простые и составные числа — № 2, с. 60.
Ломакин Ю. В., Капустина Л. В. Доказательство не-
равенств с помощью производных — № 1, с. 71.
Занимательная страница
Антонович Н. К. Арифметические ребусы— Ms 6,
с. 49.
Героновы триады — прогрессии — Ms 3, с. 67.
Кордемский Б. А. Гармония героиовых триад — № 3,
с. 69.
Кордемский Б. А. Четыре приема формирования пи-
фагоровых триад — Ms 1, с. 57.
Рекстин Э. Э. Числовые ребусы — № 5, с. 62.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Бескин Н М. Воспоминания о Н. Н. Лузине — № 6,
с. 64.
Блез Паскаль — Ms 3, обложка.
Галилео Галилей — Ms 2, обложка
Жан Лерон Д’Аламбер — №5, обложка.
Иоганн Кеплер — Ms 6, обложка
Исаак Ньютон—Ms 1, обложка
Крапивин 3. И. Памяти Н. Ф. Четверухина — № 1,
с. 73.
Лебединцева Е. К. Константин Феофанович Л< бедин-
цев — № 4, с. 57.
79
Маслова Г. Г. Николай Федорович Четверухии —
№ 1, с. 73.
Сенников Г. П. Виктор Васильевич Репьев — № 1,
с. 75.
Щегольков Е. А. Николай Николаевич Лузин — № 6,
с. 63
Эванджелиста Торричелли — № 4, обложка.
Юшкевич А. П. Леонард Эйлер и математическое
просвещение в России — № 5, с. 71.
Математический капенртрь
На 1982/83 учебный год: март — апрель — № 1, об-
ложка; май — июнь — № 2, с. 79.
На 1983/84 учебный год: июль—август—№ 3 с. 77;
сентябрь—октябрь — № 4, с. 55; ноябрь.— декабрь —
№ 5, с. 69; январь — февраль — № 6, с. 66.
Поздравляем юбиляров
Агаев Б. А., Калягин Ю. М., Ибрагимов А. Ю., Га-
мидов С. С. Садыг Иаджафали оглы Садыгов — № 4,
с. 54.
Атанасян Л. С., Тимошенко В. В. Макс Айзикович
Акивис-—№ 2, с. 79.
Барчуново Ф. М., Богданова Г. 3., Завьялова Г. И.
и др. Ефим Григорьевич Крейдлин — № 1, с. 80.
Бурда М. И., Гнеденко Б. В.. Чернигов Р. С. Иван
Федорович Тесленко — Ns 2, с. 78.
Бухштаб А. А., Нечаев В. И. Кирилл Андреевич Ро-
досский — № 4, с. 54.
Гнеденко Б. В. Андрей Николаевич Колмогоров —
№ 2, с. 76.
Майлиев Ш., Джапаров Ш. Александр Иванович Ти-
мофеев — № 4, с. 55.
Мищенко А. С. Выдающийся мате латик современнос-
ти (К 75-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина) —
№ 4, с. 52.
Сенько Е Е., Петровский Г. Н. Алексей Архипович
Мазаиик — № 3, с. 76.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Белов Ю. А.. Кузнецова В. А. Два задачника «Кван-
та» — № 5, с. 77.
Блох А. Я. Полезное пособие для внеклассной ра-
боты — № 6, с. 69.
Гиндикин С. Г. Занимательная книга о серьезных во-
просах логики — № 4, с. 74.
Гнеденко Б. В. О книге А. Я. Халамайзера «Матема-
тика гарантирует выигрыш» - - № 6. с. 69.
Денис'-вг М. И. О книге Я. П. П шарика и 3. А. Ско-
пеца «Перемещения и подобия плоскости» — № 4, с. 76.
Жак Я. Е., Кошкин В И О книге Л. С. Понтрягина
«Математический анализ для школьников» — № 2,
с. 64.
Калинин А. Т. Хорошая книга по занимательной ма-
тематике— № 5, с. 78.
Клечковская С. И., Лукьяненко Н. А.— О книге
И. С. Петракова «Математические олимпиады школь-
ников»— № 4, с. 77.
Ли В. А. О книге И. С. Петракова «Математические
олимпиады школьников» — № 4, с. 77.
Молодший В, Н. «Историко-математические исследо-
вания» — № 6. с. 68.
Молодший В. Н. К выводу в свет III тома «Матема-
тической энциклопедии» — № 4, с. 73.
Петрова Е. С. О книге Н. П. Ирошникова по мето-
дике обучения мат| матике в IV—V классах сельской
школы - № 6, с. 70.
План изданий издательства «Педагогика» иа 1984 г.—
№ 3, с. 71.
Пузырсва Г. И. Новая книга о С. В. Ковалевской —
N 2, с. 69.
Саакян С. М. О пособии -Оптимизация педагогиче-
ского процесса (в вопросах и ответах)» — № 2, с. 66.
Хабиб Р. А. План изданий издательства «Просвеще-
ние* иа 1984 г. — № 3, с. 73.
Чуб А. Т. О пособии для факультативных занятий по
кибернетике № 1, с. 76.
Шустеф Ф. М. Новые книги— №1, с. 76; № 2, с. 70,
№ 3, с. 70; № 4, с 56, № 5, с. 5; № 6, с. 6.
Шушанский Н. И. План изданий Главной редакции
физико-математической литературы издательства «Нау-
ка* на 1984 г. — Ns 3, с. 74.
Яглом И. М. — Что такое геометрия — № 2, с. 68.
Яшин Б. Л. О книге Б. В. Гнеденко «Формирование
мировоззрения учащихся в процессе обучения матема-
тике» - № 5, с. 75.
ИЗ РЕДАКЦИОННОЙ ПОЧТЫ
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Поз-
няк Э. Г. По поводу статьи А. С. Мищенко и Л. С.
Понтрягина «О пробном учебнике «Геометрия 6—8» —
№ 4, с. 78.
Почта журнала: январь — июнь 1983 г. — № 6,
с. 71.
ЗА РУБЕЖОМ
Петраков И. С. Математические олимпиады школьни-
ков Г ДР — № 4, с. 68.
Халамайзер А Я- Экзамены по математике в школах
ГДР —№ 4, с. 71.
Чада Б. Развивать алгоритмическую культуру уча-
щихся — № 2, с. 62.
ХРОНИКА
Всесоюзное совещание по вопросам преподавания иа-
тематики — № 3, с. 10.
Гуревич В. Ю.; Лурье И. А.; Немытова М. И.; Шап-
кина В. Н. Методические семинары в 1982/83 учебной
году — № 6, с. 74.
Гурезич В. Ю. Семинар по проблемам преподавания
математики в школе — № 1, с. 79.
Гусев В. А. Всесоюзная конференция по совершенст-
вованию методической подготовки учителей математи-
ки— № 1, с. 77.
Ефремов А. В. Научно-практическая конференция по
проблеме укрупнения дидактических единиц — Ns 1,
с. 78.
Кузнецова Л. В., Монахов В. М.. Фирсов В. В., Чер-
касов Р. С. Советско-английский семинар по математи-
ческому образованию — Ns 2, с. 71.
Литвиненко Г. Н. Республиканский семинар иа Укра-
ине— № 1, с. 78.
Международная премия советскому ученому — № 1,
с. 38
На Всероссийской научно-практической конферен-
ции — № 5, с. 7S
Присуждение Ломоносовской премии — № 1, с. 56.
Розов Н. X. В се щии средней школы Московского
математического общества — № 6, с. 74.
Турлакова 3. И. Республиканский межвузовский ме-
тодический семинар — № 4, с. 80.
Некрологи
Бакурадзе Ш. Р„ Овнанян Р. О. Элизбар Семенович
Цитлаиадзе — Ns 2, с. 63.
Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Павел Сергеевич
Александров — Ns 1, с. 47.
Нечаев В И. Иван Матвеевич Виноградов—№ 3,
с. 79
Федор Александрович Бартенев — № 3, с. 80.
Поправка
В № 5 журнала за 1983 г. огторамн статьи «Два задач-
ника ..Кван ia”» (с. 77—78) являются Юрий Анатольевич
Белов и Валентина Анатольевна Кузнецова.
80
ВАРЬИРОВАНИЕ УСЛОВИИ ЗАДАЧ НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ
В данной заметке приведена система геометрических
задач, решаемых путем использования свойств пово-
рота, симметрии и гомотегии, которые изучаются в
\ 11 классе. Сначала рассмотрим простую задачу, а за-
тем постепенно будем ее видоизменять, переходя к но-
вым, все более трудным. В решении последующих за-
дач используются утверждения предыдущих.
Учителю математики целесообразно рассматривать
такие наборы задач на внеклассных занятиях. Разобрав
с учащимися решение одной или нескольких задач,
можно предложить им самим составить их видоизме-
нения. Ты им образом иа занятии будет создана проб-
лемная ситуация. Для ее разрешения участникам ма-
тематического кружка придется мобилизовать все свои
знания и изобретательность, чтобы ие просто ответить
па готовый вопрос, а задать вопрос самим себе. Под-
черкнем: умение задавать себе вопрос — одна из важ
пых сторон математического творчества.
Задача 1. Даны два одинаково ориентированных
равнобедренных треугольника АВС и АД^С, у кото-
рых углы при вершине С прямые. Доказать: отрезки
AAi и ВВ{ равны и перпендикулярны (рис. 1).
Доказательство. При повороте на 90' вокруг
точки С точки А и At переходят в точки В и Bt соот
ветственно. Отсюда, учитывая, что при повороте от-
резок переходит в равный ему отрезок и угол между
прямыми АА, и BBf равен углу поворота, заклю-
чаем: утверждение задачи верно.
Задача 2. П ротивоположно ориентированные рав-
нобедренные треугольники АВС и АВ С, имеют прямые
углы при вершинах С и С,. Доказать, что если О — се-
редина отрезка ВВ{, то треугольник COCi равнобед-
ренный и прямоугольный.
Доказательство. Построим точку Л/(Л'), сим-
метричную точке В (SJ относительно точки С (С,).
Получим два одинаково ориентированных равнобед-
ренных треугольника МВД и BtNA с прямыми углами
при вершине Л (рис. 2). Эти треугольники удовлетво-
ряют условию задачи 1, и поэтому отрезки MBY и BN
равны и перпендикулярны. Тогда отрезки СО и С^О
тоже равны и перпенди мляриы как средине линии
треугольников MBBt и NBBt.
Задача 3. Одинаково ориентированные равнобед-
ренные треугольники АВС и AtCB, имеют прямые углы
с вершинами С и В,. Точки О и D — середины отрез-
ков ДД| и АД соответственно. Доказать: а) ОВ, ± Д,В
и OB}=A\D-, б) DB, J_ ОС и йВ^ — ОС.
Доказательство. Легко видеть, что треуголь-
ники ODE, CBtE и Bj/jE, где В— середина отрезка
ГДь одинаково ориентированные, равнобедренные и
прямоугольные (рнс. 3). Они удовлетворяют условию
задачи 1. Тогда заключение а) данной задачи сразу
следует из треугольников ODE и В}АД. Из треуголь-
ников ODE и СВД следует второе заключение.
Задача 4. Даны три одинаково ориентированных
равнобедренных треугольника ABC, DAE. ECF с пря-
мыми углами в вершинах С, Е, F соответственно. До-
казать, что прямые AF и BD перпендику гярны и дли-
на отрезка AF вдвое меньше длины отрезка BD.
Доказательство. Пусть О — середина отрез-
ка BD. Треугольники ВС А и ADE удовлетворяют усло-
вию задачи 2. Тогда отрезки СО и ОЕ перпендику
ляриы и равны (рис. 4). Следовательно, четырехуголь-
ни| COEF — квадрат, а треугольник FOC — равно-
бедренный и прямоугольный. Рассмотрим треугольни-
ки АВС и FOC. По доказанному в задаче 1, AF=BO
н AF 1 ВО. Аналогично устанавливаем, что AF Д OD
и AF = OD. Отсюда следует утверждение задачи.
Цена 45 коп.	70557
Задача 5. Три одинаково ориентированных рае
нобедренных треугольника ABC, DAF, BDE имеют пря-
мые углы с вершинами в точках С, F, Е. Доказать,
что отрезки АЕ и CF равны и перпендикулярны.
Доказательство. Построим точки Bt, £,, Di —
середины отрезков АВ, АЕ и AD соответственно. При
гомотетии с центром А и коэффициентом 0,5 треуголь-
ник BED перейдет в треугольник BifiOj (рис. 5)
Треугольники ДСВЬ FAD} и DfBtEj удовлетворяют ус-
ловию задачи 4. Поэтому мы можем заключить, что
отрезки и CF перпендикулярны и длина отрез-
ка AEt вдвое меньше длины отрезка CF. Но Е} — се-
редина отрезка АЕ, поэтому AE=CF и АЕ ± CF.
Задача 6. Два противоположно ориентированных
равнобедренных треугольника АВС и ABiC, имеют
прямые углы при вершинах С и С,. Точки О. О, и Q —
середины отрезков ВСЬ ВХС и СС, соответственно. До-
казать: отрезки OOi и AQ равны и перпендикулярны.
Доказательство. Построим точку D, симметрич-
ную точке С относительно прямой АВ, и точку Оь симмет-
ричную точке С[ относительно прямой АВ{ (рис 6)
Треугольники DCA и C[D,A одинаково ориентирован
иые, равнобедренные и прямоугольные. Значит,
DCi JL CD-, и DCt = DiC (задача 1). Воспользовавшись
свойством средней линии треугольника, замечаем, что
EQ=EQt и EQ _L EQi. Таким образом, треугольник
QiQE равнобедренный и прямоугольный. Таков же вид
треугольника DAE. Теперь на основании задачи 1 за-
ключаем: AQ=OQ1 и AQ 1 DQt.
Заметим, что полупрямые AD, СВ и QO одинаково
направлены, к тому же длина отрезка QO вдвое мень-
ше длины отрезка ВС. Отсюда видно, что QO IIAD
и AD :QO=2. Аналогично устанавливаем: QOt || АТ),
и ADi:QO!=2. Теперь можно показать, что OOt || DDt
и ОО1:О01==2, т. е. 00, = DQf. Тогда ОО, ± AQ и
OOt=AQ, чго и требовалось доказать.
Замечание. Эту задачу целесообразно рассмат-
ривать после изучения тем «Подобие фигур» и «Па-
раллельный перенос».
Е. А. Лихота
(г. Анапа Краснодарского края)
Математика в школе, 1983, № 6, 1—80