Автор: Аверьянов Д.И. Звавич Л.И. Пигарев Б.П. Трушанина Т.Н.
Теги: методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика задачи по математике
ISBN: 5-09-005137-2
Год: 1994
Текст
^здания
для проведения^
письменного
"ПРОСВЕЩЕНИЕ*
здания
для проведения
письменного
экзамена
по математике
шссе
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Рекомендовано
Главным управлением развития
общего среднего образования
Министерства образования
Российской Федерации
МОСКВА
"ПРОСВЕЩЕНИЕ”
1994
ББК 74.262
3-15
Авторы:
Л. И. Звавич, Д. И. Аверьянов, Б. П. Пигарев, Т. Н. Трушанина
Рецензенты:
учитель-методист 315 школы Москвы А. М- Гольдман,
методист кабинета математики Университета педагогического
мастерства Санкт-Петербурга А. П. Карп,
учитель 114 школы Москвы Е. И. Гресь,
учитель 820 школы Москвы £. Я. Меренкова
Задания для проведения письменного экзамена по мате-
3-15 матике в 9 классе: Пособие для учителя/Л. И. Звавич,
Д. И. Аверьянов, Б. П. Пигарев, Т. Н. Трушанина.— М.:
Просвещение, 1994.— 96 с.— ISBN 5-09-005137-2.
В сборнике содержатся упражнения, тематика которых соответствует
действующей программе по математике. Книга состоит из двух разделов.
Первый раздел включает задачи, предназначенные для экзаменов в обыч-
ных общеобразовательных школах; второй раздел содержит задачи для
математических, экономических, естественнонаучных классов. Каждое за-
дание состоит из двух вариантов.
3 ДБЗ 1994/95—82 ББК 74.262
1ио)—УЧ
ISBN 5-09-005137-2 © Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Пигарев Б. П.,
Трушанина Т. Н., 1994
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник предназначен для проведения письменного экзамена
по математике в девятых классах общеобразовательных школ
Российской Федерации, в классах с углубленным изучением ма-
тематики и в профильных классах различных специальностей.
В сборник включено примерно 2000 задач и упражнений,
позволяющих проверить подготовку учащихся по основным раз-
делам курса математики 5—6 классов и алгебры 7—9 классов.
Пособие состоит из двух частей, каждая часть разбита на шесть
разделов. Уровень сложности включенных в сборник задач пол-
ностью соответствует требованиям учебной программы к знани-
ям, практическим навыкам и умениям по математике учащихся,
оканчивающих девятые классы.
Предполагается, что экзаменационная работа за курс основ-
ной школы будет включать в .себя шесть заданий, по одному
заданию из каждого раздела. При этом количество заданий из
первой и второй части может быть различным в зависимости от
специализации класса. Так, например, для классов с гуманитар-
ной специализацией все задания могут быть взяты из первой час-
ти, для классов, занимающихся по обычной программе — 4—5
заданий могут быть из первой части, а остальные — из второй,
для классов с углубленным изучением математики — одно-два
задания можно взять из первой части, а остальные — из второй.
Составлением вариантов, как и прежде, занимается Министер-
ство образования РФ. Учитывая, что для проведения экзамена
используются открытые тексты, этот сборник определенным об-
разом задает уровень математической подготовки учащихся и
может быть использован при подготовке к экзамену.
Особенностью сборника является разнообразие идей и мето-
дов, используемых при решении задач, а также разнообразные
формы заданий для традиционных по сути упражнений, что
способствует творческому осмыслению знаний, умений и навы-
ков, полученных учащимися в основной школе.
Оценка 5 ставится за правильно выполненные любые пять
заданий экзаменационной работы. При этом неважно, есть ли
ошибки в оставшемся шестом задании. Представленные в сбор-
нике задачи позволяют составителям выбрать для экзамена за-
дачи различной степени трудности.
Авторы сборника выражают благодарность членам Экспертно-
го совета Министерства образования России Г. В. Дорофееву,
И. Ф. Шарыгину, Е. С. Смирновой, В. К. Смирновой, Е. Ф. Смир-
новой, Н. П. Адамской, Е. И. Гресь, принявшим участие в об-
суждении рукописи, а также рецензентам А. М. Гольдману,
А. П. Карпу, способствовавшим улучшению рукописи.
Замечания и предложения можно направлять в адрес Ассо-
циации учителей математики: Москва, 121096, а/я 534.
ЧАСТЬ I
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Вычислите наиболее удобным способом (1.101 —1.107):
1.101. a) 4f+l 03-9-0 б) 1|-204 + 2-20.
1.102. а) 2А+(3Х-3^).1 4-; б) (2.125-1 1 £) :7,25.
1.103. а) (1 if-9,12-7,4.(-6f)):5f;
б) (-604-1,375 - 5 0О,73):(-1,73).
1.104. а) (7,42-|—(-11,48):!-0:0,35;
«(-МТнЛ+ЕбТ.А.).^-!^).
1.105. а) (0,319-( -0) — 1,781:3,50 0,048;
б) (о,014-1 у—0,286:(—0,6)0 (—0,025).
1.106. а) О,815-(-0) —0(-4,385)4-0,815--|—(-4,385)Х
x(-f);
б) (-14,09).2 0-6,31 •( -1 0) —2 06,31 +( -1 0 X
Х(-14,09).
1.107. а) 74,7-£+ (-105,3)-2 —(-105,3)0-2 0-74,7;
б) 6 02,391-0,109-1 4-1 4-2,3914-0,109-60
10 о О 10
Вычислите, используя где возможно формулы сокращенного
умножения (1.108—1.117):
1.108. а) 4,172-(7,4224-3 0О,41) ;
б) 502,8 —(6,632-3,832).
1.109. а) (17,312—12,692)—(29,812 - 0,192);
б) (7,842 -12,162)4-(25,662 - 5,662).
4
1.110. a) 0,453—1,453—0,45-1,45; б) 0.5073 + 0.4933 — 0,507-0,493.
1.Ш. a) (±.5J-±):(-J-)’+(-l)s;
6) (12 ±.2-27)
1.112. а) ^"^-З-0,26-0,46; б) °’‘^y^28-—0,12-0,28.
1.113. a) O,3-3+(-2-)"'+(-0,5)-2--|-|-(-l)~8-6;
1.114. а) -12’53+1'23-12,5г-1,22;
1«J, (
б) -|~(0,873 + 2,133)+3.0,87-2,13.
1.115. a) 7,4633+8,263—7,46-6,26;
б) Ц-^3-+2,52 + 4,42.
1.116.a)5^-((2±)--(Ill)-’);
б) 3<(2±)-’-(14.)>^.
1.117. a) 0,12: ((4 2-(з^-) ^-о.огэч-о.оогв)-2;
б) (-1 :(1,2-2 —1,5-2)+(—0,275)3-0,0275~2.
Выполните действия (1.118—1.123):
2
1.118. a) 41,5—0,5_|:0,008^: 6) 9°-5+0,0647 • 1,6-1.
1.119. a) ( —L)“2+144‘2; 6) 1967-(—jj)
1.120. a) ( —2,9) :((1 +0,36 ~2,5-0,66) ;
1.121. a) (-0,6)-(0.008P +(1 -i-) ~2) : 1
1.122.
6) 3,5-(0,027^-(1 y-) 2 4)-
a) (0,48°+(l :0,8-4)-0,81~
6) (0,49-l s:(l у-)4+0,64~^)-3-^.
5
б) (0,36“7 •( -1 -|-) 3—0,0083 ) :(—0,8)2.
He пользуясь микрокалькулятором, сравните два числа и
укажите какое-нибудь число, заключенное между ними (если
такое существует) (1.124—1.126):
.1124 al 1993 1 п 1 1994 • б) 1995 ч 2 1994
1.124. а) 1д94 1 и 1 1993 , б) 1994 и 2 1995.
, <ое ч 1 1 1 1 1 1 I 1
1-125. а) 26 27 и 27 28 ; б) Jg 17 и 17 । 16 .
1.126. а) (1-Ц)-' и 0,56; б) 0,45 и(2-|-)~'.
1.127. Сравните числа:
б) n(f)’-(f)2.
1.128. Какому из двух чисел соответствует точка координатной
прямой, менее удаленная от точки М (1):
а) 1,05 или (1,05)-*; б) или (-ЦЛ”'?
Преобразуйте в обыкновенную несократимую дробь разность
чисел тир (1.129—1.130):
1.129. а) т=0,6875; р=А; б) р = 1,4375.
1.130. а) /п=-6-А; р = —6,344; б) т= —1,776; р= — \^=.
1^0 1^0
Представьте число а в виде несократимой дроби и проверьте,
является ли неравенство верным при данном значении а (1.131—
1.133):
1.131. а) 8а-4,7>0; б) а=^, 5,2-9а<0.
.g <пг> \ 540 I « I 1 \ ___2250 I । I 1
1.132. а) а==д^5> 1° б) a 405Q, |о 1|> —.
1.133. а) Я—7848 , 2а+—<3, б) а—а+— >3.
Сравните две дроби и представьте меньшую из них в виде
десятичной, округленной до тысячных (1.134—1.135):
1.134. а) -j-и —; б) — и -jg-.
1.135. а) -1^-и -1 А; б) -2^и -2-?-.
6
Расположите алгебраические выражения а+ 6, а — b, ab и а:Ь
в порядке возрастания их числовых значений при заданных зна-
чениях а и b (1.136—1.138):
1.136. а) а=—0,8, 6=-|-; б) а=-1& 6 = 1 -J-.
1.137. а) а = 1,8, 6=-^- ; б) а = 1,7, Ь=^~ .
/ 15 7 14
1.138. а) а=-1-|-, 6=0,6; б) а=-2-±-, 6=0,7.
Расположите алгебраические выражения (а —6)2, аб, а:Ь в
порядке убывания их числовых значений при заданных значе-
ниях а и 6 (1.139—1.140):
1.139. а) а=2,75, 6 = 1 -Ь б) а = ±-, 6=0,95.
О о
1.140. а) а=-2-|-, 6 = — 1,2; б) а=— 6 = —1,2.
Расположите в порядке убывания числа (1.141—1.142):
V (ф (f)'; (1)И1)’'
1.142. а) (А)0; (-1.2)2; 1,2-’;
. б) (—0,75)-2; (А)2; (А)"*; 0,75°.
Сравните числа (1.143—1.144):
1.143. а) 1,1-2 + 1,1 и (]|) 2+]|;
б) т+(т)~2 и °.9+0>9-2-
1.144. а) — 19172 +19132 и —19992+19952;
б) 19192—19932 и 19172—19912.
Найдите два последовательных целых числа, между которыми
заключено данное число (1.145—1.146):
2 _ 2 _ 1 3
1.145. а) 0,027^—0,027 б) 0,49 ^—0,49 .
1.148. „) (|Х)г+(^р; б) 1.8-’-(lf)!-
Упростите выражение (1.147—1.160):
1.147. а) б) —2£_.
1.148. а) б) £±*:3«±3х.
7 у хг—у2 а а2
7
1.149. а) (-Йт-
1.150. a) (f±|-
х—3 \ 9х—х3 . -ч ( у—\ у +
'х2+3х/ х2+9 ' \2i;+2 2у —
х—3\ . 2х . б} ( <4-2 2 — t \
х4-3/’9—х2’ ' \4—2<”Г44-2</'
к 2а , / 3 3 3
' а4-1"Ч(а-1)2 а2 —1/’а2 —2а4*1 ’
/_2___________2 \ . 2___2Ь_
°' \62 —4 Ь2 + 4Ь + 4/ * (Ь-Ь2)2 Ь — 2‘
х <>24-86 + 16/ b , Ь \ ,_______8_.
7 b \(&+4)2"Г16-62/“Г6-4’
______________1___•_!_+£±9
\с2—9~с2—6с+9/ ‘(3—с)2~с+3 ’
_Й_+Г_!_______1_________V—2_ •
«+2 ‘\4—у2 4 — 4у + у2/ (у—2)2'
х2— 10х+25 / х________х \ 5
2х \х2—25 (х-5)2/ ' 5+х’
62 —1 36 — 1 1_. gx 4с2—1 .2с+1______[
ЗЬ2-46+Г b Ь ’ ' 2с2 + с-Г с+2 с +
•-155-
1.156. а) 6)
За-^т.//1 За \ ./1 т \\
' За — т \\ За — т/ \ За4-т//
1.151.
1.152.
1.153
1.154.
а)
б)
а)
-2/ *4—4у2 ‘
2t2— 8
У
1.158. а) (25с2_ 10с+1 1 — 25с2) *( 1 5с—1) 5с + 1 ’
-ч /16а2-24а+9 , 1 \ /о \ 1
V 9-16а2 Г4а2+За/\° а-\) а’
1.159. а) (4а2+12аг,4_9{>^ — 2а + 3б) ’(2 + 3а >
б) (5^+25W2-2^c+4c2) ‘О
1.160. а) ^1;((а+1)(а-1)-2+(а-1)(а+1)-2);
б) (3d2+ l):((d+l)2(d-1)"1 -(</-1)2(d+l)-1).
Упростите выражение и найдите все значения переменной,
при которых выражение принимает заданное значение k (1.161—
1.164):
1.161. а) «1 +а)-г- 1).£1+;А_, *=1;
б) 6 = -2.
8
М62. а) (j ft_5;
«.!«. a)
6> (4-T+V+v+<e^) :(3p+D-!. *=f.
1ЛМ-a> (^й?+га+Г)-(2-”-1)-,1 ‘=9;
6) („Х~ч.в.+Л)-<"+4>~г- ‘“°.2-
Представьте выражение в виде многочлена стандартного ви-
да и найдите его значение при заданных значениях перемен-
ных (1.165—1.168):
1.165. a) (a—26)(а+26)(а2+462) при а=^7,
б) (Зп—р)(3п+р)(9п2+р2) при n=\j2, p=-fi.
1.166. a) (2m2 + 3n) (4/n4 —6m2n+9n2)—28п3 при m=—\/3, и=6;
б) (5с —2р2) (25с2+10ср2+4р4)—126с3 при с=—22, р =
=Vn.
1.167. а) (2х—у)(2х+у)(16х4+4х2у2+у4) при х=—\[2, у=^/&;
б) (а—26) (а+26) (а4 + 4а262+1664) при а=-\/5, 6 = — Уз.
1.168. а) (За+62)(9а2 —За62 + 64)-66 при а=-УбД2, 6=23/4;
б) (х2— 2а)(х4-+2ах2 + 4а2)+8а3 при а=У0,14, х=—У10.
Разложите многочлен на множители и найдите его значение
при заданных значениях букв (1.169—1.170):
1.169. а) 2а2 + 3а—2ab — ЗЬ при а= —1,5, 6 = 4^-;
б) 2с2 — 5c + 2crf — 3d при с=2,5, d = — 8 уу.
1.170. а) 6х2 + 6ху—12х—12у при х=6^г, у—— 6,32;
б) 5а2 —5а6 +15а—156 при а=4,88, 6 = 4
Вычислите значение выражения (1.171—1.174):
1.171. а) р3+64т3 прир = 5,5, т= — 1
б) -^-а3 — т3 при а = —3,2, т = — 1
1.172. a) 8p3 + d6 при р = — Ю-~-, </=4,5;
б) Ь6—27а3 при Ь—— 3,5, а=4-~.
9
1.173. a) 9a2 — b2, если 3a + b=2-~ , a 3a— 6=2,25;
<3
6) c2—4d2, если c—2d =— 1 a c4“2</ = 1„75.
1.174. a) 0,16m2 — k2, если 0,4m— k = 4,4. а 0,4/п + £=(2,2)-1;
б) c — 0,36p2, если c4-0,6p=(0,7) , a c — 0,6p=2,B.
Разложите многочлены на множители и найдите все значе-
ния х, при которых оба многочлена принимают значение нуль
(1.175—1.176):
1.175. а) 16х—х3 и х24-7x4-12; б) 9х-х2-18 и 2Х3 —18х.
1.176. а) Зх3—27х и 24х-5х2-х3; б) 2х2-7х-|-6 и 20х-5х3.
1.177. Пусть a, b, с, d — положительные числа.
Вычислите:
а) °2 4-^ * если a + ^ = ^ + c=c+^J
б) —4—т» если ab=bc—cd.
'ad
Упростите выражение (1.178—1.184):
__________________________ _ з .1
1.178. а) (2? -'jai.Xa-l б) ” -(f) ' ’
1.179. а) .(0,5а-2)1’:W: б) •SW-’® )'*.
'•'«>-) б)
1,181. a) 6)_GVJk‘’.(l-y)4.
(a6~2)4
1.184. a) (l±^4-rf ’) *.(14-d^4-rf’
10
Упростите выражение и найдите его значение при заданном
значении переменной (1.185—1.189):
1.185. a) (1-d”7 )(d^ +d1 )(tP 4-1) при d=3;
б) (б7-!)(/>“ 4-1 4-67 ) при Ь = Т.
1.186. а) (а-|-а3 4-я3 )(1— а 3 ) при а=5;.
б) (с3 4-с3 )(с3 — 1+с 3 ) ПРИ с = 3.
1.187. a) (l— m 3 4-m 3 )(m-|-/n3 ) при m=4;
б) (p3 4-P4-P3 )(p 3 —P 3 ) при p = 6.
б)
1.189. а)
б)
1 I
(a \ +a 3 ПРИ я=2,7• 10“2.
V -17
i -J. i
a 2 ПрИ а—3-l_;
a+a2
b 2 —~,A. при b = 2-j~.
b2 —b
Докажите, что многочлен не может принимать отрицательных
значений ни при каких значениях переменной (1.190—1.191):
1.190. а) 4х24-1- 4х; б) 1 4-9х2 — 6х.
1.191. а) 25х4 — ЗОх34-9х2; б) 4х2 — 28х3 4-49х4.
Докажите, что значение выражения не зависит от значений
входящих в него букв (1.192—1.193):
1.192. a) a(a-b)(a-)-b) — (a-\-b)(a2 — ab-\-b2)-\-b3-\-ab2;
б) (c-d) (с2 + cd + d2)+d(c-d)2 - (с2 - cd) (с 4- 2d).
1.193. a) (2d + c)(2d-c)-(3c-d)2 + 2(5c+2d)(c-d) + d2;
б) 14аЬ 4- (2а 4- Ь)2 - (46 + а) (5а - 2Ь) 4- (а - 36) (а 4- 36).
1.194. а) Вычислите х'.у, если (2х):(3у) = 5:6;
б) Вычислите а:6, если (5а): (26) = 3:4.
1.195. а) Вычислите (x-]-2y — z):(2x-\-3z), если x:y:z= 1:3:5;
б) Вычислите (2y—z):(3x+y-^z), если x'.y.z = 2:3:4.
1.196. а) Вычислите * ~2xf , если х:у=3:2;
' 2ху—у2 *
б) Вычислите *> если х:р = 2:5.
11
Найдите все целые т, при которых значение данной дроби
является целым числом (1.197—1.198):
1.197. а) —L-; б) z-!—.
' 4 4-5m ' 3m 4-8
1.198. a) б) •
' 4 — rrr ' m—25
1.199. Докажите, что при всех положительных значениях пере-
менной выполняется неравенство:
_L _9
а) а 2 +4а3*д/а^4а2; б) 9Ь 2+b ^Jb^Qb3.
УРАВНЕНИЯ» НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
Решите уравнение (1.201 —1.210):
1.201. а) х 1 2—х । 3 , х 2 । 3 х4-1 I х
х —4 х4-1 *4-1 х—4 ’ ' 2х—1 х —3 х —3 2х—1
1.202. а) 4х —6 х 9 . х . х4-1 1
х+2 х+1 (х+1)(х+2)’ °' х-1 1 х+3 (х— 1)(х-ЬЗ) *
1.203. а) = 10; б) ——^±|=3.
2x4-3 х4-2 ' х х—3
1.204. а) Зх— 1 2x4-1 х 1. 2х— 1 х 3x4-1 । i
7 2 14 5 15 3 1 Ь
1.205. а) (Зх+ 1)2+(4х— 1)2=(5х —2)2;
б) (5х- 1)24-(12х+ 1)2=(13х— I)2.
1.206. а) »(2+i ,'2)=|1;
б) Х ( 1 +х_2 (х+1) (х—2)) — °'
1.207. а) 1 1__ х2 —2х+4 .
х2 + 2х+4 * х —2 х3 —8 ’
х2+Зх+9 1 2
х3 + 27 х+3 х2—Зх+9 ‘
1.208. а) 2(х2-2х+7)_ 1—7х . gх 3(х—I)2 _ 3х2-7х+3
4х2 —25 (5 —2х)(2х + 5) ’ °* (2-Зх)(Зх+2) 9х2-4 х2—4х—8 х2—Зх—7 . х2+2х—4 2х2+9х
1.209. а)
5х—х2 х(х—5) ’ х2—16 (4—х)(х+4)‘
1.210. а) х2—4 _ 1—2х . fix 4х+3_х—2х2 + 5 х3 —27 27—х3 ’ х3+8 8+х3 ‘
1.211. Найдите все неотрицательные решения уравнения:
а) I £_=у- х 6х
х4-1 1 х-3 ’ ; 2х—1 х —5 ’
1.212. Найдите все положительные решения уравнения:
. v х________1 1________х .
а' *4-1 *4-1 х2 —х —4 х2 —х —4 ’
б) ______^=——2________I___?__
' 2х — 1 2х — 1 х2 —2х —6 ’ х2 —2х—-6 ’
12
1.213. Найдите все решения уравнения, принадлежащие отрезку
[-0,5; 2]:
а) 7 I 2 = 2 I 7
' х+2тх-1 х4-1 ’ х — 2’
б) ——к—=—2х-...-1-£+1
Найдите все х, при которых значения выражений равны, и
если таких х больше одного, то укажите среди них наибольшее
по абсолютной величине (1.214—1.215):
1 л 1 л \ 2х 4* 3 4 4“ х к \ х ”1“ I Зх 4“ 1
'2 а) 3 —Гн—И 9-4' ’ б) + + 4 и 34'4.34 — 4 *
1.2, 5. а) „ («-')(»+)., б) ^=2-. и
’ x-j-20 х— 2 ’ х -|-x-f-l (x-f-2)
Решите уравнение (1.216—1.217):
1.216. а) (1 — 2х) (4х2-}-2х-|-1)=(2 —2х) (4-}-4х) (х + 2);
б) (8х—16)(х2- 1)=(4х2 —2х + 1)(2х+ 1).
1.217. а) 8х-(2+х2)(2-х2)=(х2-2х)24-4х3; ’
б) (1 + х2)2 +12х=(х2—Зх) (х2+Зх).
Решите уравнение и сравните каждый его корень с данным
числом р (1.218—1.219):
1.218. а) (2х-3)(2х+3)-(х + 6)(1— 2х) = 3х(2х-7); р = ^-;
б) (х-|-4)(Зх—2)—(Зх—1)(Зх+1)=2х(11 —Зх); р=-0,5.
1.219. а) (2 + х)=-4^; р=- 1 -L;
6) ^+(t+1)(2“r)=i4r£' ',=2т-
Решите уравнение указанным способом (1.220—1.225):
1.220. а) 4 (х2—х)2+9 (х2 —х)4-2=0, замена переменной;
б) (2х2—х+1)2 —2 (2х2—х+1)+1 =0, замена перемен-
ной.
1.221. а) — 7«^4+5 = 0, замена переменной;
б) 1—х) +2'rZ7—3=0, замена переменной.
/ х2 \ 2
1.222. а) (^^72/ —1=0, разложение на множители;
(5х 2 \ 2__5х
\ Н—2х5—=^’ Разложение на множители.
1.223. а) 4*(4^) +5*^4+1=0, замена переменной;
б) (—7—) —2>х2~2+ 1 =0, замена переменной.
13
1.224. a)
б)
6*f — 13•qXj~o4~6=0. замена переменной;
\ OX -f- Л J оХ -р Z
3-( ,х+о3 У+ 10- *+?-+3=0, замена
\ 1— Зх / ' 1— Зх 1
переменной.
1.225. а) 4-^2х—|-) 4-7*^ 2х——2 = 0, замена переменной;
б) + 14'(т“*"т) ~~® = б> замена перемен-
ной.
Решите систему уравнений (1.226—1.242):
1.226. a) |3x4-4t/=-22 t 7x —3t/=35;
1.227. a) j’x-|-4t/=l
l4x4-y=8;
1.228. a) (x-J-3i/=7 Ьх-Н/=1;
1.229. a) |x —3y 4-2=0 (2x-4y 4-1=0;
1.230. a) С 3x—2y= 12 (7x4-4i/=2;
1.231. a) / x—2y 2x+y_ . 1 3 1 6
I —x+2y 2x+y_ 2 .
6 2 3 ’
1.232. a) (x — 2y=7 I x2 4-3xy 4-9 = 0;
1.233. a) |(x-3)(i/4-2)=0 12x2—z/4-5x=0;
1.234. a) |(x4-l)(2t/—1)=0 t 4xt/—x2 — 2y2 = 1;
1.235. a) f^|=o < y— 3 I 2t/2 4-x2 — i/=40;
1.236. a) I 2x24-i/2 — 2xy= 13;
1.237. a) |3x-|-7y=l t (3x4-7i/) (x-3t/)= 11;
б) |2х —5t/=—21
t3x+4f/=3.
б) |-Зх + {/ = 2
(х—Зу=1.
б) (Зх+9у=1
(х+2у=3.
б) (х—5у4-2=0
{-2x4-1/—1=0.
б) /5х4-9у = 3
t— 4x-|-3t/=18.
rx+3y 4x—2y
' I 4 3
I x+3y 2x—y
V 6 ' 4
6
7
12 '
6) /3t/4-x-H=0
t 2x2 — xy—у = 35.
6) 1 (2x4-4) (y+5)=0
(xy+y2= — 1.
6) r(2x-5)(i/4-2)=0
\x2 + xy+y2=4.
6) ( ^=0
lx2-|-xy4-4t/2 = 10.
6) f *+-2?±з=о
' < y— i
I x2 4- 4xy 4- 5t/2 = 10.
6) |8x—3t/=l
t(x4-2i/)(8x-3y) = 12.
14
L238. a)R--f=4 6) R-H-4-
l(2x-3y)(-^+f)=f; ((6x+4y)(x+f) = -l2.
1.239. a) | (2x4-</)2—(2x —z/)2= 16 6) |4x + t/4-l=0
(3x—y=l; t(y—x)2 — (z/4-x)2=20.
1.240. a) |xy=12 6) (x+3xy+y= —19
12x4-2i/ —xy=2\ (xt/4-6=0.
1.241. a) J -Ц+^т=5
(x—3y=4;
1.242. a) (-— — = 7
J X у
1 x-2 <2y- 1 1
5 10 2 ’
6) [3x+y=-4
1 7 10—6
I x+2 у °’
6) f-5—h—=2
' I X у
I 2y+l , x+4= 4
V 6 T 2 3 •
Найдите все пары (x; у), удовлетворяющие условию (1.243—
1.244):
1.243. a) (10-2x-3z/)2+(-x+5i/-8)2=0;
б) (-3x4-4//- 15)2 + (2х-{/+5)2=0.
1.244. а) ( гЛ±.У+4у +^+3у- 1 у = 0;
б) (£±^1)2+(^5)2=о.
Решите неравенство (1.245—1.263):
1.245. а) 2(х—1-)4-^>^; б) *±1-3*=1<2 (х-1).
1.246. а) б) ±^<7^1-2х.
о о z э 1Z
1.247. а) 0,2х-^-<4-°’2-т4’ б) 0,3x-^->^-0,3—l-.-l,
1.248. а) (0,7--1-) х>(-20)"'; б) (о,3—х<(-10)-‘.
1.249. а) б)
1.250. а) (4х — 7)(хЧ-3)>(2х-5)(5-Ь2х);
б) (1 -9х)(х4-2)С(54-Зх)(5-Зх).
1.251. а) (х—3)(х4-3)>(4—i-x) (1-2х);
б) (24-х)(2-х)<(0,5x4-1)(2х-3).
1.252. а) — 2хЧ-9х4-5>0; б) Зх2-8х + 4>0.
1.253. а) 15х24-8x4- 1 >0; б) — 12х24-17х-6>0.
1.254. а) (5х—8)(5 —Зх)>0; б) (5x-f-6)(-7-6х)<0.
.,255, а) (х-Л) (,_-)«>; 6) (x+f)(x+^)<0.
15
1.256. a) (x + 2)(2-x)>(x+2)(x+4);
6) (3-x)(2x4-l)<(x+3)(3-x).
1.257. a) (4-3x)(3x+4)>(2+9x)(x+8);
6) (4x-l)(9-x)>(2x-3)(2x4-3).
1.258. a) (24-7x)2<(4-3x)2; б) (1-5x)2>(l 1 4-3x)2.
1.259. a) 12x—2x2<18; 6) 12x24- 12x4-3<0.
1.260. a) 16 — 40x4-25x2>0; 6) 28x>44-49x2.
1.261. a) (2x4-7)2—(2-f-7x)2<0; 6) (8—3x)2-(8x-3)2<0.
..262. a) 6)
1.263. a) б)
Найдите область допустимых значений функции (1.264—1.268):
1.264. а) У=^7х^ ; б) у= х -.
1.265. a) i/=V3-5x-2x2; б) у=^/2х2 —9x4-9.
1.266. a) у=— 1+* • б) у=-х-
т/2+Зх-5х2 УЗх2 + 4х+1
1.267. a) y=Vl-(2x4-3)2; V- 1 Q б) 1 - У(1-Зх)2-4
1.268. а) у=- *+3 —; ’ у V^-бх+э ’ б) у=5—у40х—25—х2
Решите неравенство (1.269—1.274):
1.269. а) 3—2х . 24-х >0; б) 7-х 4x4-6 <0.
1.270. а) 24-4х x-Q,5 <0; б) х—4,5 94-2х ->0.
1 971 7x4-3 . — X 3 5х-2
1 •£ / I • а) х-!- 3 2(х+3) ’ °) Зх—2 2(3х—2)
1.272. а) 4 + х 2х —3 5 + Зх . С 3 —2х ’ б) 3x4-7 х—2 V кэ * 1 1 X
1.273. а) 2x4-4 . 7 —5х : > 3 —2х . 5х —7 ’ б) х + 7 3 —4х 1 —X 4х—3 ‘
1.274. а) 9 . 44-2х ' >—3; б) 5 х+1 - >2.
Среди решений данного уравнения найдите те, которые удов-
летворяют данному неравенству (1.275—1.278):
1.275. а) —4--гт=2, х24-5х—6<0;
' х 1 *4-1
б) 7ТГ+т+2=0, -*2-2х4-8>0.
1.276. а) (х4-3)24-(х4-1)2=20, (3x4-1)(х-2)>0;
б) (3-х)24-(1 -х)2=20, (х-4)(5х4-1)С0.
16
1.277. a)
б)
1.278. a)
б)
3 I 1 гиХ-3 2x~1 5 X+I •
x2 —5x T 5—X — x ’ 6^2 3 ’
2 । 3 _ 2x4-9 x4-4 j 134-2x о к
x24-6x'1" x — x4-6 ’ 5 + 6
(x2—2)(x+2)=x3 + 8, x2 + 7x<0;
1 —x3=(x—1)(5 —x2), 4x2—9>0.
Решите уравнение и выясните, какому из двух неравенств
удовлетворяет корень уравнения (1.279—1.280):
1.279. а) -Ц^-=14-Ц=1, х2—3>0 или х2-3<0;
12 1о
б) 5~j~63* —- 6 Х=-^- > 2—х2<0 или 2 —х2^0.
1.280. а) 2(х4-2)--Ц^-+1=0, х34-Зх2 —4<0
или х3 + Зх2—4^0;
б) 3 = 6(х—1), х3-4х + 3>0 или х3-4х4-3<0.
Среди всех х, при которых данное выражение Р (х) обращается
в нуль, найдите такие, чтобы выполнялось неравенство
(1.281 — 1.282):
1.281. а) Р(х)=(х—4)(х—1)(2х4-3), Зх2-4х-14>0;
б) Р(х)=(х—2)(2х+1)(х4-3), 4х24-17х + 5<0.
1.282. а) Р (х)=(х4-3)(4х2- 12х+9), -6х2+х+13<0;
б) Р(х)=(2?4-Зх-2)(1-2х), 2—х—10х2>0.
Найдите все значения х, при которых выражение имеет смысл.
Найдите все значения х,
равно нулю (1.283—1.285):
1.283. а) хд/*2 + 7х-18;
при которых значение выражения
б) х^Н + Юх-х^.
VI ----- .
т/5 + 2х
б)
1.285. а) *2+2х+1 ;
-^Э —4х2
Решите двойное неравенство (1.286—1.289):
1.286. а) 1,15; б) -0,88<-^±1<-|-.
1.287. а) -1 -0,24; б) 0,15<-Ц^-< 1 -1-.
1.288. а) 1,75<4х —х2<4; б) -Н<х2+3х-1 <3.
1.289. а) 0<1-2х—Зх2<2; б) —3<2х2-х<1.
Решите систему неравенств (1.290—1.294):
1.290. а) Г(х + 2)(2-^<(х + 3)(4-х)
I 4 Н 6 ^1;
2 Заказ 1116
17
1.291. а)
6) f(x-l)(x4-5)>(x-3)2
54-2х 5х — 1 q
3 6
8х—1 7х-2 1
15 10 3
(2%+1)2<х (4х+3);
1.292. а) ( — Зх24-8х-|-3>0
I 5 2 +1;
1.293. а) (-ух2—2х>0
7,2-(1,5-х)<6;
х+4 4 —Зх 1
2 4 6
Зх24-7х—6С0;
1.294. а)
\ Г 5х — 3 । 7 — 2х < 1
б> J-12-+-8—
( х (9х—5)>(1 —Зх)2.
б) Г6х24-х-2>0
I Зх+1 5 , 1
I 4^3 2 •
б) (2 —4,5х2>0
(-^-х-!,4с4-(х4-3,2).
—2 5х + 1 , <
б) I —-----2-<-!
1,4х2— 7х — 2>0.
1.295. Найдите все значения х, при которых одновременно
выполняются оба неравенства:
а) ,2х2 —5х—3<0 и 3-|-5х—2х2<0;
б) 2 —5х —Зх2>0 и Зх2-|-5х—2>0.
Среди всех х, удовлетворяющих первому неравенству, найдите
все значения, не удовлетворяющие второму неравенству
(1 296__1.297):
1.296. а) Зх2-)- 10х4-3>0, Зх24- 10х4-3>0;
б) 5х24-4х- 1<0, 5х24-4х— 1<0.
1.297. а) 2х2—9х4-4<0, (х—4)(1—2х)>0;
б) -2х2-Зх4-9>0, (х4-3)(2х-3)<0.
Докажите утверждение (1.298—1.299):
1.298. а) Если а>Ь, а 6>2, то 10а>364-14;
б) Если а<Ь, а 6<3, то 13а<464-27.
1.299. а) При а>0 б) При 6>0 ^<^±1
СТЕПЕНИ И КОРНИ.
ПРОГРЕССИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Выполните указанные действия (1.301 — 1.309):
1.301. a) (V18-^8)24-(7 л/3)2; б) (^0-V180)2-|-(5-^)2.
1.302. а) -д/л/в—а/7*лЛ/84-л/7; б) ^-у/27 ~^2^^27
1.303. a) (-i-V6-3-^4-5-^-\S).^44-18^—12^3;
б) (-i-V32-^-^34-4 715) -7^2-4^6-24^/5.
18
1.304. a)
6) (т^+^+л/Ч-) :(-VT)+V2-(V3+V5).
1.305. a) (2^/5—л/3)2+(1+2 715)2; б) (ЗУ2-У?)2-(3У14 — I)2.
1.306. а) (УИ-З-^-)2+л/5^6+УЕб9;
б) (2 Уб —дД-)2+Уб^4+УГ2Т.
1.307. а) -\/б^04—(-\/7 —2-\/2)(-\/8+-\/7);
б) убдю— (УТТ—2УЗ)(УЙ+УГ2).
1.308. а) (2—У3)2(7+4УЗ)+3-^ 12-J-;
б) (У5-2)2(9 + 4У5)-2.^/Г^.
1.309. а) У2-У2-У2—УЙЗ; б) +V128.
Упростите выражение (1.310—1.311):
1.310. а) ( —-7--------4—=) (6-4а);
'2-yJa+->/b 2-\[a—^{b'
б) ( г 1 r+ ' -А-) (9Ь-а).
' \-Ja-3-jb З^Ь+^/а/
1-ЗП- а) ———т—4 У*;
(Va-2V*)(Va+2W)
б) ---------------------М,
(3V^+W)(3V^-W)
Определите, между какими двумя последовательными нату-
ральными числами находится данное число (1.312—1.314):
1.312. а) 4-УбЗ; б) 4-УП2.
' 3 * f 4 ’
3 / 9 3 / 7
1.313. a) 3-V/-I-; б)
у о у z
1.314. а) (7+У13)-4-; б) (10+У17)--|-.
Сравните числа, не пользуясь таблицами и микрокалькулято-
ром (1.315—1.316):
1.315. а) 2У5-1 и 6-У5; б) У7—1 и 9 —ЗУ7.
1.316. а) (з^з—и (Зт/З+д/!)’;
б) (2л/5+УУи (2Т/7-У1Г
19
1.317. Расположите числа в порядке возрастания (без использо-
вания таблиц и МК):
a) -75J; 0,3; (л/5-1)2; б) Vh7; 1,7; (3—Т7)2.
Проверьте равенство (1.318—1.319):
1.318. а) ; 6)
т/6-1 15+10V2 V54-V2 154-6 V6
1.319. а) (2 + V5)2 +V(4 VS-11)2=20;
б) (l+V7)2+V(2V7-10)2 = 18.
Докажите, что число а является корнем уравнения (1.320—
1.321):
1.320. a) х2+х-73-Н/3-1 =0, а = 1—^3;
б) х2-х-75-4-2-75=0, а=2-{—75.
1.321. а) х(6—х2)=4, а=^/3-1;
б) (х2-17)х=4, а=2—75.
1.322. Решите неравенство:
а) p—^>)x>2-2^2; б) (2 д/2-3) х<(^2-1)2.
1.323. Найдите все целые решения двойного неравенства:
а) -|-/Г8<х<15^бД27; б) 15 ^008<х<-|~712.
Докажите, что данное выражение является корнем уравнения
х2=1 и найдите значение этого выражения (1.324—1.325):
1.324. а) (2-^/5)-у^+4-75; б) (2-^-3)717+12-^.
1.325. а) ~72+Уз--72~2^. б) 2^2 -----
л/2 -7з—784-73+л/8
Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которо-
го являются следующие числа (1.326—1.327):
1.326. а) 3—75, З+л/5; б) 2+д/7, 2—77.
1.327. а) 2-ТЗ—А 2 ^[3+^/2; б) 5^2—77, 5-72+-77.
Пусть ai и ап соответственно первый и n-й члены ариф-
метической прогрессии, п — число ее членов, Sn — сумма п первых
членов, d — разность прогрессии, a bi и Ьп соответственно первый
и n-й члены геометрической прогрессии, п — число ее членов,
Sn — сумма п первых ее членов, q — знаменатель прогрессии. По
трем данным значениям прогрессии найдите значения двух ос-
тальных (1.328—1.345):
1.328. a) ai=8, ап= 104, d=3; б) а, =5, ап= —163, d=— 7.
1.329. а) ai=5, an = 509, п = 100; б) а, = 7, ап= — 385, о = 50.
1.330. а) ai=4, a„ = 100, S„ = 1716; б) а, =96, а„=4, Sh = 1200.
1.331. a) ai = 137, d=—7, га=23; б) ai = ll, d=8, n = 17.
1.332. а) ai=25, d=— 2, Sn= 168; 6) ai=5, d=2, S„ = 192.
1.333. a) ai = — 5, n=23, S„ = 1909; 6) ai=81, о=34, S„=510.
20
1.334. a) d= — 7, га =23, an= —149; 6) d=3, ra = 15, a„=50.
1.335. a) d = 2, n=50, Sn=2650; 6) d=—3, ra=40, S„=620.
1.336. a) d=3, a„ = 59, Sn=610; 6) d=—5, an = —8, Sn = 145.
1.337. a) ra=25, a„ = —12, Sn=900; 6) ra=52, q„ = 106, S„=2860.
1.338. a) 6i=0,5, 6„ = 256, 9=2; 6) 6! =80, bn = 5, 9=0,5.
1.339. a) 6i=90, b„=3-^-, n=4; 6) 6i=-y-, &rt=81, ra=6.
1.340. a) 6i=2, 6n= 1024, Sn=2046; 6) bx =512, bn = 1, S„=1023.
1.341. a) 6i=243, 9 = —n=6; 6) 6i = —9=2, ra=7.
1.342. a) 6i=3, <7=2, S„=93; 6) 6, =6, q=— 2, Sn=— 510.
1.343. a) 9=0,5, n=6, 6n = 3; 6) q = 3, n = 5, 6n=486.
1.344. a) 0 = 2, ra=ll, S„ = 1023,5; 6) 9 = 4", «=5, Sn = 121.
1.345. a) 9=0,5, 6„=3, S„=93; 6) 9 = 3, 6„=54, S„=80-|-.
О
Пусть 6i — первый член бесконечной геометрической прогрес-
сии, 9 — ее знаменатель и S — сумма членов. По двум данным
значениям прогрессии найдите значение третьего (1.346—1.348):
1.346. а) 61 = -20, 9 = 7-: б) ^ = 16> Q =
1.347. а) 9=—|-, 5 = 80; б) 9=7-’ s=42-
1.348. a) 6i = 15, S = 18; б) 61 = 18, S = 15.
Напишите формулу га-го члена и суммы п первых членов
арифметической (ап) или геометрической (6„) прогрессии, если
(1.349—1.352):
1.349. а) 02+05 = 41, 0103=144; б) 63 —62=12, 26з+6<=96.
1.350. а) 61=864, 65 = -^-; б) 02+204=27, 017=50.
1.351. а) 0205=112, —=2; б) а3О4=28, ^=13.
05 05
1.352. а) 6зб4=27, |^=9; б) 6465=2, |^=0,25.
017 015
1.353. В арифметической прогрессии вычислите:
а) а7 + 2а7а5 + а5 —(^в + «4)2; б) 4ai — 4aiad + a2l— а2?-
1.354. а) Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если
аз + яп = 20.
б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если
63 + 64=2 (64 + 65).
1.355. а) В арифметической прогрессии сумма первых пятнадцати
ее членов на 8 меньше суммы первых двенадцати ее членов.
Найдите аи и S27.
б) Сумма первого, четвертого и тринадцатого членов ариф-
метической прогрессии равна —23. Найдите и Sn.
21
1.356. а) В геометрической прогрессии 62=V26, 6з=2. Найдите
•S14
S7 '
б) В геометрической прогрессии Ь3 = 3, 64 = 70. Найдите
s9
s18-
1.357. а) Второй член геометрической прогрессии составляет 20%
от ее первого члена. Сколько процентов составляет пятый
ее член от третьего?
б) Второй член геометрической прогрессии составляет
110% от ее первого члена. Сколько процентов составляет
ее шестой член от четвертого?
1.358. а) Банк дает своим вкладчикам 25% годовых. Чему станет
равен вклад 100 000 р. через 2 года?
б) Снижение себестоимости производства товара равно
5% в год. Первоначальная себестоимость товара равна
10 000 р. Чему станет равной его себестоимость через
2 года?
1.359. а) Найдите квадрат разности девятого и седьмого членов
арифметической прогрессии, если произведение восьмого и
четвертого ее членов на 27 меньше произведения седьмого
и пятого ее членов. .
б) Второй член арифметической прогрессии в 3 раза боль-
ше девятого ее члена. Найдите сумму первых двадцати че-
тырех членов этой прогрессии.
1.360. а) В арифметической прогрессии 59, 55, 51, ... найдите
сумму всех ее положительных членов.
б) В арифметической прогрессии —63, —58, —53, ...
найдите сумму всех ее отрицательных членов.
1.361. а) В арифметической прогрессии девять членов, первый
из которых 8,5, а последний 10,9. Напишите все члены
этой прогрессии и найдите их сумму.
б) В геометрической прогрессии пять положительных чле-
нов, первый из которых 1,5, а последний 24. Напишите
все члены этой прогрессии и найдите их сумму.
1.362. а) В бесконечной геометрической прогрессии 62=0,3,
&з = —0,2. Найдите сумму этой прогрессии.
б) В арифметической прогрессии а2 = 3,1, аз =2,7. Найдите
сумму первых десяти членов этой прогрессии.
1.363. а) Найдите отношение суммы бесконечной геометрической
прогрессии к сумме квадратов ее членов, если 62=2
1
и 9 = -—.
б) Найдите отношение суммы бесконечной геометрической
прогрессии к сумме ее членов с нечетными номерами, если
.61=3 « 9—4“-
О
22
1.364. а) В арифметической прогрессии ал = 37,7 — 0,Зп. Найдите
наибольший отрицательный член этой прогрессии.
б) В арифметической прогрессии ал = 0,7п —35,1. Найди-
те наименьший положительный член этой прогрессии.
1.365. а) В арифметической прогрессии ал=51—Зи. Найдите
сумму всех положительных членов этой прогрессии.
б) В арифметической прогрессии ап = Ьп —100. Найдите
сумму всех отрицательных членов этой прогрессии.
1.366. а) Докажите, что ординаты точек графика функции
у = 0,Зх+1, имеющих абсциссами натуральные числа от
1 до 10, составляют арифметическую прогрессию, найдите
ее сумму.
б) Докажите, что ординаты точек графика функции у =
=2—0,7х, имеющих абсциссами натуральные числа от
2 до 9, составляют арифметическую прогрессию, найдите
ее сумму.
1.367. а) Градусные меры углов ап составляют арифметическую
прогрессию, у которой ai=30°, а2=35°. Найдите cosass,
б) Градусные меры углов ал составляют арифметическую
прогрессию, у которой ai = 10°, a2=15°. Найдите sin a44.
1.368. а) Найдите пятый член арифметической прогрессии, если
первый ее член равен 2-д/5— 11, а третий 2—3п/5.
б) Найдите пятый член, геометрической прогрессии, если
третий ее член равен 2 -д/2—6, а четвертый 4 — 6^.
1.369. а) Сумма первых восьмидесяти трех членов арифметичес-
кой прогрессии равна 5623. Найдите сумму первых восьми-
десяти трех членов такой прогрессии, каждый член которой
на 2 больше соответствующего члена данной прогрессии.
(Ответ обоснуйте.)
б) Сумма первых ста семи членов арифметической про-
грессии равна 4835. Найдите сумму первых ста семи
членов такой прогрессии, каждый член которой на 3 мень-
ше соответствующего члена данной прогрессии. (Ответ
обоснуйте.)
1.370. а) В арифметической прогрессии сумма первых шестидеся-
ти пяти членов равна 1223. Найдите сумму первых шести-
десяти пяти членов такой прогрессии, каждый член которой
составляет 30% соответствующего члена данной прогрес-
сии. (Ответ обоснуйте.)
б) Сумма первых восьмидесяти пяти членов геометрической
прогрессии равна 2227. Найдите сумму первых восьмидеся-
ти пяти- членов такой прогрессии, каждый член которой
составляет 40% соответствующего члена данной прогрес-
сии. (Ответ обоснуйте.)'
1.371. а) Докажите, что последовательность, заданная формулой
общего члена ал = 3п —77, является арифметической про-
грессией и найдите сумму всех ее отрицательных членов.
23
б) Докажите, что последовательность, заданная формулой
общего члена ал=83—4п, является арифметической
прогрессией и найдите сумму всех ее положительных
членов.
1.372. а) Найдите первый член арифметической прогрессии, если
ее разность равна 8, а сумма первых двадцати членов
равна сумме следующих за ними десяти членов этой
прогрессии.
б) Найдите разность арифметической прогрессии, если пер-
вый ее член равен 69, а сумма первых десяти членов равна
сумме следующих за ними двадцати членов этой прогрессии.
1.373. а) Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 7,
а сумма квадратов всех ее членов 14. Найдите Ь\ и &2.
б) Сумма бесконечной геометрической прогрессии в 1,75
раза больше суммы кубов всех ее членов. Найдите знаме-
натель прогрессии, если b\ = 1.
1.374. а) Знаменатель геометрической прогрессии равен —0,5, а
первый член 64. Найдите сумму квадратов первых восьми
членов этой прогрессии.
б) Первый член геометрической прогрессии равен
а знаменатель 2. Найдите сумму величин, обратных первым
двадцати членам этой прогрессии.
1.375. а) В арифметической прогрессии, состоящей из двадцати
членов, сумма десяти членов с четными номерами на 80
больше, чем сумма десяти членов с нечетными номерами.
Найдите разность прогрессии.
б) В геометрической прогрессии, состоящей из тридцати
членов, сумма пятнадцати членов с нечетными номерами в
3 раза меньше, чем сумма всех членов прогрессии. Найди-
те знаменатель прогрессии.
1.376. а) Длины сторон прямоугольного треугольника образуют
возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите синус
меньшего угла этого треугольника.
б) Длины сторон прямоугольного треугольника образуют
убывающую геометрическую прогрессию. Найдите косинус
большего острого угла треугольника.
1.377. а) Градусные меры углов прямоугольного треугольника
составляют арифметическую прогрессию. Найдите тангенс
меньшего острого угла треугольника.
б) Градусные меры углов треугольника составляют ариф-
метическую прогрессию. Найдите тангенс меньшего угла
треугольника, если градусная мера его большего угла
составляет 75°.
1.378. а) Первый член арифметической прогрессии равен 111, а
разность —6. Какое наименьшее число последовательных
членов этой прогрессии, начиная с первого, надо взять,
чтобы их сумма была отрицательной?
24
б) Первый член арифметической прогрессии равен —100, а
разность прогрессии 8. Какое наименьшее число последо-
вательных членов прогрессии надо взять, чтобы их сумма,
начиная с первого, была положительной?
1.379. а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных пяти,
б) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных трем.
1.380. а) При каких значениях х числа 1+х, х24-4, 2х-|-9, 9х
являются четырьмя последовательными членами арифмети-
ческой прогрессии?
б) При каких значениях х числа 2х, 5—х, 7-}-х, 20—4х
являются четырьмя последовательными членами геометри-
ческой прогрессии?
1.381. а) При каких значениях k числа 2Л —1, 2A-J-1, ЭЛ, Л4-26
являются четырьмя последовательными членами геометри-
ческой прогрессии?
б) При каких значениях k числа 2k—2, Л2 +1, 4k, 3k2 — 1
являются четырьмя последовательными членами геометри-
ческой прогрессии?
1.382. а) Второй член арифметической прогрессии составляет
88% от первого. Сколько процентов от первого члена сос-
тавляет пятый член этой прогрессии?
б) Второй член арифметической прогрессии составляет
107% от первого. Сколько процентов от первого члена
составляет десятый член этой прогрессии?
1.383. а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если
отношение суммы первых ее девяти членов к сумме сле-
дующих за ними девяти членов этой же прогрессии равно
512.
б) Найдите разность арифметической прогрессии, ес-
ли сумма первых ее ста членов на пятьдесят больше,
чем сумма следующих за ними ста членов этой же про-
грессии.
1.384. а) В арифметической прогрессии у2-=15. Найдите у-.
б) В арифметической прогрессии -^-=17. Найдите
1.385. а) В геометрической прогрессии = 13. Найдите от-
ношение суммы первых двадцати четырех ее членов к сумме
первых ее двенадцати членов.
б) В геометрической прогрессии отношение суммы первых
ее восемнадцати членов к сумме первых ее девяти членов
равно 7. Найдите •
1.386. а) Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии
в 3 раза больше ее первого члена. Найдите у-.
25
б) Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии
в 1,5 раза меньше ее первого члена. Найдите
1.387. а) Сколько надо взять последовательных натуральных чи-
сел, кратных трем, начиная с 3, чтобы их сумма была равна
165?
б) Сколько надо взять последовательных натуральных
чисел, кратных 7, начиная с 7, чтобы их сумма была
равна 252?
1.388. Последовательность (ап) задана формулой своего п-го
члена:
а) ап— Найдите as и номер члена последователь-
1 12
ности, равного 1 т=-.
<5/
б) Найдите а& и номер члена последователь-
ности, равного 3 .
О/
1.389. а) В геометрической прогрессии первый член равен д/2,
а седьмой -\/128. Найдите восьмой член прогрессии.
б) В геометрической прогрессии первый член равен -у/3,
а пятый ~\/243. Найдите шестой член, прогрессии.
1.390. а) В геометрической прогрессии первый член равен -у/3, а
третий -\^7. Найдите четвертый член прогрессии.
б) В геометрической прогрессии первый член равен -у/2,
а девятый -д/512. Найдите десятый член прогрессии.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
1.401. Определите, какие из указанных точек принадлежат графи-
ку данной функции (ответ обоснуйте):
a) t/=x+x°-5+1; Л (-4;-5), В (0; 1), С(4;7), £>(4;8);
б) у=х+х-°-5-, Л (-4; -4,5), В (0; 0), С (1; 2), в(1;-^-).
1.402. При каких значениях а график данной функции проходит
через данную точку К:
а) у = ах2 — 5х—3, К(— 1; 3);
б) у=Зх2+ах—1, К(—2; 1)?
1.403. а) Найдите если #= 2/+i'+зх'Н'Г •
б) Найдите если y=^-^+^±L.
1.404. а) Пусть f(x)=x2 —3. Найдите f (1—\/3)-|-f (1+л/3).
б) Пусть f(x)=7—х2. Найдите f (1—\/2)+f (1 4--\/2).
26
1.405. а) Пусть <p (x)=^/x2—4x4-4— x- Найдите
б) Пусть f (x)= x ~6*—9—Vx2 —8x4-16. Найдите ff-f-Y
1.406. а) Пусть a(x) = —^Ц-. Найдите a (xo+0,2)—a (x0), где
X — О
Xo = l.
б) Пусть p — . Найдите p (xo —0,1) —p (xo), где
xo=3.
Найдите все значения аргумента, при которых f (x)=f (a)
(1.407—1.409):
1.407. а) f(x)=—, a=5; 6) f(x)=^-, a=2.
1.408. a) f (х)=-^г+-^-г, a=3; 6) f (x)=^-a=-l.
1.409. a) f(x)=^±-x, a=0,4;
6) f(x)=2x-^., a=0,25.
□л -j-Z
1.410. а) Пусть ф(х)=х —34-----. Докажите, что ф(2,5) =
= <р(0,4).
б) Пусть у(х) =------2—х. Докажите, что у (0,8)=
=у(1,25).
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
(1.411—1.412):
1.411. а) у=х24—Ц- и у = 4*~ ]5 ;
’ 1 х— 4 s х — 4 ’
1.412. а) у=х2—3x4-1 и t/=x4-7; б) у=2х4-3 и у=-±~.
Найдите ординаты точек пересечения графиков функций
(1.413—1.414):
1.413. а) у=-^~ и у = 8х—2; б) у=-^-и у=Зх4-8.
1.414. а) у=х3—5x4-1 и у=х3; б) у=3х—1—х3 и у = 1—х3.
Найдите координаты общих точек графиков функций
(1.415—1.416):
1.415. а) у=х2—Зх—1 и </=2—5х2;
б) у=3х2 — 7х—2 и у=2х2—5x4-6.
1.416. а) у=^±£ и j/=2x4-1;
б) У =7=7 и У=х~ Е
Л7
1.417. Докажите, что графики данных функций не имеют общих
точек:
а) у=х2 — 7х+3 и у = — х2 — 11х —2;
б) У=3~х-
Найдите все такие а, что (1.418—1.419):
1.418. a) 2f(a)-3f(4-)=0,5, где f(x)=3x-|-^-;
б) 7f(a)4-2f(-l-)=4>5, где f(x)=2x-^-.
1.419. а) <р (а) = <р ( — а), где <р(х)=Зх4-|-х3—2х2—3x4-5;
б) у ( — а)4-у (а) = 0, где у (х) = 2х4 —5х3 —4х2-|-7х.
При каких значениях b точка графика с абсциссой хо
лежит на оси абсцисс (1.420—1.421):
1.420. а) у=&х2-3х—264-1. хо=—0,9;
б) t/=3x24-26x—x-f-й, хо = —0,7.
1.421. а) у=^-+6х, х0= —1-i-;
б) У— -----6х, Хо = 2-|-.
' 3 5х— 1 5
Найдите нули функции (1.422—1.423):
1.422. a) tpW=x + 7;|ra-; б) ^ = 2х-^.
1.423. а) 1Н = (1’-25)(7^-+^-);
б) рМ=(х'-Зх)(^.+ -44 .
Найдите область определения функции и те значения аргу-
мента, при которых f(x)=a (1.424—1.428):
1.424. a) f(x)=-V25-?, а=3; б) f (х)=-фс2-144, а = 5.
1.425. a) f(x)=^_, а=0,5; б) f(x)=^±i, а=4±
1.426. a) f (x)=x-\/3x—а=0; б) f (х)=(х-1) V*7—2, а=0.
1.427. a) f (x)=-(x~2jyX~3 , а=0;
б) а=0-
1.428. a) f(x)=^, а=0,75; б) f(x)=^-, a=f.
Найдите область значения функции (1.429—1.432):
1.429. а) у——х24-5х4-1; б) у=х2—7х—5.
1.430. а) у=(3х—5) (1-х); б) у=(5—х) (3-2х).
1.431. а) у=(х—1)24-(2х—З)2; б) у=(2х-^-(Зх-1)2.
1.432. a) i/ = x-(2x —I)2; б) у=Зх-(х-|-2)2.
28
1.433. а) Пусть q>(x)=x2 4-1. Решите уравнение ср(3/ —1) =
= <р(1—2/).
б) Пусть у(х)=х2 —2. Решите уравнение у(/ + 5) =
= у(2-4/).
1.434. а) Пусть f (х)=х-}~ —. Найдите общие точки графиков
функций y=f (*4-2) и y=f (х).
б) Пусть f (х)=2х+“- Найдите общие точки графиков
функций y=f (4х) и у=f (х).
1.435. Найдите координаты тех точек графика функции, для ко-
торых абсцисса равна ординате:
a) i/=x2+6x4-4; б) у=х2—7x4-9.
о
1.436. а) Найдите координаты точек графика функции у=х-{-—,
отстоящих от оси ординат на 1,5.
б) Найдите координаты точек графика функции у=2х——,
отстоящих от оси ординат на 2,5.
1.437. а) Найдите координаты точек графика функции у = 2x4*
-j-^Ox2 -16, отстоящих от оси ординат на -|-.
б) Найдите координаты точек графика функции у =
=-\/25 — 16х2 — 5х, отстоящих от оси ординат на 0,75.
1.438. а) Найдите координаты точек графика функции у =
—2х—7, отстоящих от оси абсцисс на 8.
б) Найдите координаты точек графика функции у =
— —х2-|-6х—7, отстоящих от оси абсцисс на 2.
1.439. а) Найдите координаты точек графика функции t/=x4-—,
отстоящих от оси абсцисс на 4.
б) Найдите координаты точек графика функции у — 4х ——,
отстоящих от оси абсцисс на 3.
Постройте график функции y=kx-\-b и укажите не менее
трех точек, лежащих на этом графике (1.440—1.443):
1.440. а) Л=3, Ь = -5; б) k = — 2, 6 = 6.
1.441. a) k = — 2 и график проходит через точку М (— 3; 8);
б) b = — 1 и график проходит через точку /С( — 1;5).
1.442. а) Прямая параллельна прямой у—2х и проходит через
К (2; 7).
б) Прямая параллельна прямой у= —Зх и проходит через
Р(1;4).
1.443. График пересекает оси координат в точках:
а) Л (0; -3), В (5; 0); б) М (0; 5), К (-2; 0).
29
Постройте график функции у=а(х —хо)24~Уо, записав анали-
тическое задание функции у (1.444—1.447):
1.444. а) а=2, х0 = — 2, у0=1; б) а= — 1, х0 = 3, уо=4.
1.445. а) а— 1 и график проходит через точки Л! (—2; 0), К(4; 0);
б) а= — 1 и график проходит через точки А (1; 0), В (5; 0).
1.446. График пересекает оси координат в точках:
а) Л(-5;0), В (5; 0), С(0;3);
б) К (-2; 0), Р(2; 0), Т (0; -4).
1.447. а) Вершиной графика является точка М (2; 4), и график
проходит через точку А (1; 5).
б) Вершиной графика является точка К (3; 5), и график
проходит через точку В (2; 4).
Постройте график функции и укажите интервалы ее знако-
постоянства (1.448— 1.451):
1.448. а) у=х2—4х—5; б) у=— х2—2х+3.
1.449. a) t/=x24-4x-f-3; б) у=—х2 + 6х — 5.
1.450. а) у=— х2+4х—4; б) у=2х2—4x4-3.
1.451. а) у=—£-х2—х; б) у=2х2-|-4х.
Постройте график функции и укажите с его помощью проме-
жутки монотонности функции (1.452—1.455):
1.452. а) у=х2—6x4-9;
1.453. а) у==~—;
1.454. а) у=-^-;
б) У=-±.
б) у=0,5х2 + 2х.
б) У ——2х2—6х.
1.455. а) у=-4-х2+х-0,5; б) у=4~*2-2x4-3.
Постройте график функции при указанных значениях х и
определите область значений этой функции при этих х (1.456—
1.458):
1.456. а) у=х2 — 2х—3, где х£(—оо; 4- оо);
б) у =—х2-|-4х, где х£(—оо; -|-оо).
1.457. а) у=-|-х2—3, где х6[—3; 6];
б) у = 2—i-x2, где хС[—4; 2].
1.458. а) у = 2х2 —4х—1, где х£[—1; 2];
б) у = 3х — 0,5х2, где х£[2; 7].
Не выполняя построения графиков функций, постройте пря-
мую, проходящую через общие точки этих графиков, и задайте
аналитически уравнение этой прямой (1.459—1.460):
1.459. а) у=х2 —2х —3 и у—— х24-2х— 1;
б) у=х24-4х4-5 и у= — х2 — 4х— 1.
1.460. а) у=х2 —2х и у=4х —х2; б) у = 2х2 —5х и у=х2 —2х.
зо
Решите графически уравнение (1.461 —1.466)
1.461. а) х2 — 3 = 5х; б) 2—х2 = 4х.
1.462. а) х2 = 2х + 4; б) х2 —2 = 3х.
1.463. a) -L=(x-1)2;
1.464. а) —=4х-х2;
1.465. а) 7*=—;
1.466. а) х3= — Зх+1;
б) (х-Н)2=-^-.
б) X2 —6х= —2-.
б) (х — 1)2 = -аД.
б) х3=-х —3.
Решите графически систему уравнений (1.467—1.472):
1.467. а) 12х+3у = 7 [ Зх —5у = 2; б) | Зх+4у = 5 (2х — Зу = 1.
1.468. а) | у=х2 б) t у=—х24-2х+1; (у=~тх2 1у = х2 —4х+1.
1.469. а) * X 1 II 4 II СП б) |х+у = 3 (xt/= — 1.
1.470. а) (х2+у2=4 ( у—х2+2=0; б) |х2+у2 = 9 12х + 3у —6 = 0.
1.471. а) (Ух = — 1 1х2+у2 = 4; б) (У=^/х (х2+у2=16.
1.472. а) / у — х3 = 0 1 х2+у2 = 25; б) г у+х3 = 0 (2х—Зу — 6 = 0.
Изобразите фигуру, ограниченную графиками функций (вы-
делите ее штриховкой). Точки границы фигуры считайте при-
надлежащими фигуре (1.473—1.475):
1.473. а) у = х2 и г/ = 2% + 3. Укажите координаты точки этой
фигуры, имеющей наибольшую ординату.
б) у = х2 и у = 6 — х. Укажите координаты точки этой фи-
гуры, имеющей наименьшую абсциссу.
1.474. а) у =—— и у = % + 4. Укажите точку этой фигуры,
имеющую наименьшую ординату.
б) у =—и у = 3—х. Укажите точку этой фигуры, имеющую
наибольшую абсциссу.
1.475. а) Фигура ограничена графиками функций у=х2—4 и
у = 2х — х2. Найдите длину отрезка оси ординат, заклю-
ченного внутри этой фигуры.
б) Фигура ограничена графиками функций у = 9 —х2
и у=х2+3х. Найдите длину отрезка оси абсцисс, заклю-
ченного внутри этой фигуры.
31
Постройте график функции и укажите на нем все точки,
координаты которых удовлетворяют указанному условию.
Найдите координаты этих точек (1.476—1.480):
1.476. а) у—х2 — 4х + 4, абсцисса равна ординате;
б) у=х2+2х-|-2, сумма абсциссы и ординаты равна нулю.
1.477. а) у=х2— 3, частное от деления абсциссы на ординату
равно 0,5;
б) у = 5 — х2, сумма абсциссы и ординаты равна 3.
1.478. а) у = 2х-|-3, ордината равна квадрату абсциссы;
б) у = 4—-Зх, абсцисса равна квадрату ординаты.
1.479. а) у=—у, сумма абсциссы и ординаты равна 1,5;
б) У=—. частное абсциссы и ординаты равно 32.
1.480. а) у=-^х, разность абсциссы и ординаты равна 0,25;
б) у=х , ордината на — больше абсциссы.
1.481. Найдите уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и
имеющей с графиком данной функции ровно одну общую
точку. Сделайте чертеж:
а) у=х2 — 6х —3; б) у==—х2+2х + 4.
На графике функции укажите все точки, равноудаленные
от осей координат. Найдите координаты этих точек (аналити-
чески или графически по вашему выбору) (1.482—1.483):
1.482. а) у——2х2Ч-4х—-1; б) у=х2 — 6х.
1.483. а) у — —4х_|; б) у = —х3.
Найдите корни квадратного трехчлена и проверьте для них
теорему Виета (проверку запишите аналитически) (1.484—1.485):
1.484. а) ±х2-^-х-1-, б) J-x2-^x+l.
I I О О
1.485. a) -J-x2+^-x+2; б) - -U2-±-x+-|-.
Il ООО
Найдите корни квадратного трехчлена и разложите его на
линейные множители (1.486—1.487):
1.486. а) Зх2— Их —34; б) 2х2+17х—26.
1.487. а) —|-х2 + х+12; б) —2х2 + 2,5х+13.
Определите, при каких из указанных значений х данный
квадратный трехчлен принимает положительные значения, отри-
цательные значения, равен нулю (1,488—1.489):
1.488. а) Зх2 + 5х —8, при Xi = 1, х2=—2-|-, Хз=—З-^-, х< = 0,9,
х5=1+л/7;
б) —2х2 + 7х4-9, при Х| = — 1; х2=4,5, Хз = 4,6, х<=3-|-;
х5= — 1 —д/З.
32
1.489. a) —9x2-}-7x, при x(=0, x2=-^-, x3 = |^-, x4 = 14-‘Jl, x5 =
У 1 о
=л/3 —5;
б) 8х2—Их, при xi = 1 х2 = 0, X3=ljy; х4=24--\/3,
х5=^-11.
Разложите квадратный трехчлен на линейные множители
с целыми коэффициентами (1.490—1.491):
1.490. а) 5х2— Их — 42; б) 7х2-2х —24.
1.491. а) - Зх2 4-6x4-24; б) -6х2 + 70х- 200.
Сократите дробь и вычислите ее значение при х = хо (1.492—
1.493) :
М92. а) .1^-7^-3-, х0=-6,2; б) х0=4,2.
— ZX -f- X -f- О оХ — OX -f- 4
1 inn \ 9№ — 6х-|-1 _ । 1 8№— 2х—1 _ 1 1
I-493- а> Хо=-1’б; б) 16?+8х+1’ х°—1Т-
1.494. Докажите, что данные два квадратных трехчлена имеют об-
щий корень, и найдите его:
а) 14х2 + 19х—3 и —14х24-37х-5;
б) —15х2 + 4х+4 и 15х2 + х —2.
1.495. При каких значениях а данный квадратный трехчлен име-
ет корень: х=хо:
а) —Зх2+х — а, хо = —б) 5х24-2х4-а, Хо=4~?
о 5
1.496. При каких значениях b данные два квадратных трехчле-
на имеют общий корень:
а) х2 —4 и х2 + 6х; б) х2 — b и х2 + 5х?
Пусть Xi и х2 — корни квадратного трехчлена. Найдите зна-
чение выражения и(хг, х2) (1.497—1.498):
1.497. а) х2 —7х—1, и (xi; x2) = xi — ;
б) х2 —5х+1, и (хи х2)=^^——х2.
1.498. а) х2 —4х—1, и (xi; x2)=x24-2xix2-|-x2;
б) х2-|-5х —3, и (хи x2) = x2x24-XiX2.
1.499. а) При каких значениях а квадратный трехчлен 2х2-|-х4-о
принимает только положительные значения?
б) При каких значениях b квадратный трехчлен —х2 4-6x4-
4-6 принимает только отрицательные значения?
3 Заказ Iif6
33
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1.501. а) Дано: sin а=-^-, 0<а<-^-. Найдите: cos а, ctg а.
б) Дано: cosa = 0,6, 0<а<-у. Найдите: sin a, tg а.
1.502. а) Дано: tga=-^-, 0<a<-2-, Найдите: sin a.
О 2
б) Дано: ctg a=у-, 0<a<-y. Найдите: cos a.
1.503. а) Дано: sin a=0,28, OCaC-y. Найдите: sin 2a.
б) Дано: cosa=-^-, 0<a<-£-. Найдите: sin 2a.
1 о 2»
1.504. а) Дано: ctga=^-, 0<a<-y. Найдите: sin a, tg 2a.
б) Дано: tg a = 2,4, 0<a<-y. Найдите: cos a, ctg 2a.
1.505. а) Дано: ctga=0,5. Найдите: tg(-2—a).
б) Дано: ctga = 3. Найдите: tg(y—a).
1.506. а) Дано: ctga=4. Найдите: tg 2a.
б) Дано: ctga=-|-. Найдите: ctg 2a.
1.507. а) Дано: cosa=0,8, 0<a<y-. Найдите: sin (-2-4-a).
б) Дано: sina=||-, 0<a<y-. Найдите: cos(y—a).
1.508. а) Дано: cosa=yy, 0°<a<;90o. Найдите: cos(90°+a).
б) Дано: sin a = 0,6, 00<a-<900. Найдите: sin (270° — a).
1.509. а) Дано: cos a=0,8, sin 0=-^-, 0<a<-£-, O<0<-£-. Най-
дите: sin (a + 0). м 2 2
б) Дано: sina=0,6, cos 0=0,28, 0<a<-£-, O<0<-£-.
Найдите: cos (a — 0). 2 2
1.510. а) Дано: tga = 3, tg(a + 0)=l. Найдите: tg 0.
б) Дано: ctga=-|-, tg(a-|-0)=3. Найдите: ctg 0.
1.511. Найдите значение выражения sin, если tga=—2.
б) Найдите значение выражения , если tga=3.
34
Докажите тождество (1.512—1.527):
1 512 a) s‘n g + cos (270° + а) 2- g) 2 (cos2 2a — sin 2 2a)
_ . a a ’ cos 4a — sin (270°—4a)
2 sin — cos —
1.513. a) sin(-|-+ a) + sin—a^=cosa;
6) cos(+ a)— cos(7—a)=—sina.
1.514. a) 2sin2 a-f-cos 2a= 1; б) 1+cos 2a=2cos2a.
1,515. a) (l+tgx)2-2tgx = c-^
6) (1+ctgx)2---y—=2ctgx.
sin X
1.516. a) (tg a + ctg a)»sin 2a=2;
6) (ctg a —tg a)’Sin 2a=2cos 2a.
1.517. a) *gg+1 =—L-; 6) ctga~' .
sin a 4-cos a cos a cos a —sin a sin a
1.518.
a)
cos4 a + sin2 a cos2 a
sin a
ctg2 a; 6)
sin4 cc 4-sin2 a cos2 a , 2
------------------“tg
cos2 a
1.519. a) 1 sin2asjn a=cos2(x 6) j .sin 2y cos.a =
’ 2 cos a 2 sin a
1.520. a)
6)
1.521. a)
1.522. a)
— 2sina;
= 2 cos a.
-L±^=tgP; 6)
l+ctgp ёР’ °)
sin 3a + sina=t g 6)
cos3a+cosa e ’ '
1 —ctg a _
1—tga
— ctg a.
cos 4a 4-cos 6a x
-т-7—A—=ctg a.
sin 6a —sin 4a ®
1.523. a) sin(a-p) + 2cosa^==t (a + p).
7 2 cos a cos 0 — cos (a — 0)
6) sin (a + P)~2 cos a sin P _ g\
’ 2 cos a cos p—cos (a+p) P7’
1.524. a) sin (a + P)+sin (a — ₽)=2 sin a cos 0;
6) sin (a + P) —sin (a —P)=2 cos a sin p.
1.525. a) l=£2L“=ctg(4-4Y 6) -^-=tg U+л).
A sin a &\2 2/ 7 1-j-cosa & \ 2 /
1.526. a) tg га»1^^ =sin 2a; 6) ctg 2a-^^=€03 2a.
35
1.527. a)
sin g , 1 + cos a_ 2
1+cosa ' sing sin r’
A\ s*n a I sin a 2
' 1 4- cos a ' 1 — cos g sin a
Упростите выражение (1. 528—1.555):
1.528. a) sin 3x4-sin x. б) cos 4x+cos 2х
sin 2x ’ cos Зх
1.529. a) sin 5x —sin x. б) cos Зх —COS X
cos 3x * sin х
1.530. a) cos g —cos3 g. б) sin g —sin3 g 9 •
sin a ’ cos g
1.531. a) 1 — cos 2g, 2cos2 g * б) 1 4-cos 2g 2 sin2 g
1.532. a) (1 — cos gX 1 4- cos g). б) (1 — sin aXl 4~sin g)
sin a ’ cos g
1.533. a) 1 — sin 2g б) 1 4~ sin 2g
sin a — cos a* cos g 4-sin a
1.534. a) 1 4~ sin (л 4-a) . /Зл , V cos(-l + a)_l
7 sin (л — a) 4-1
l-cos^+a)
1.535. a) (1 +ctg2(-f + <x))
2 cos g —sin 2g
sin2 a —sin g-j-cos2 a*
(sin x —cos x)2.
sin 2x — 1 ’
1 — cos (2 л— 2g).
1— cos2 g ’
1.536. a)
1.537. a)
1.538. a)
sin 2a; 6) (1+tg2(y-a)) cos2a
-x 2 sin g —sin 2g
6) --------?.
cos a — I
(s*n * +cos x)2
' sin 2x4-1
x-ч 1 — cos (л —2g)
' 1— sin2 g
1.539.
a)-TWr'
6)
' l-hctg2g
1—sin2 (^T~*) c°s2(4+x) —1
1.540. a) --tt—-. ' -; 6)---Л2 , '
cos2 (л—x) 7 sin2 (л 4-x)
1-541. a) d^-tg₽ctg₽; 6) ctgatga“
1.542. a) sin (л —a)4-sin (y + a)tga;
6) sin a tg (y — a) — sin (y + a).
1.543. a) tg2 a4-sin2 a—^5^; 6) ctg2 a-|-cos2 a
1.544. a)
2sin2 g
1 — cos2 2g’
wv 2cos2 g
' 1 — cos2 2g*
Зв
1.545. a) (14-tga)1 2 + (l— tg a)2; 6) (1 — ctga)2+(l+ctg a)2.
1.546. a) sin q> cos 2<p + cos q> sin 2q>;
6) cos 3<p cos <p + sin 3<p sin <p.
1.547. a) sin a sin (a + P)4~cos a cos (a + P);
6) sin (a + P) cosp —sin p cos (a + p).
1.548. a) cos 2a + sin 2a tg a; 6) cos 2a —sin 2a ctg a.
. с л л \ 2 sin a gr \ л • 2 cos a
1.549. a) —-------2cos a; 6) 2sina4-——.—.
1 —cos a ' 1+sin a
1.550. а) 1+sin (л + a) cosf a+-0 — cos2 a;
6) sin2 a —sin^y+a^ cos^n + a^ —1.
1.551. a) sin4 a-f-sin2 a cos2 a —sin2 a-f-1;
6) sin4 a — cos4 a — sin2 a + cos2a.
1 552 a) ^sin a + sin 2a . gx 2sin a —sin 2a
' 2sina — sin 2a ’ ' cos a—1+sin2 a *
1 kkq „ cos2 (180° —a) . cos2(a —90°)
1.553. a) s.na-co3g_270o;; 6) cosa-—
1.554. a) feY+(^L)2-sin2a;
' \ tg a/ \ ctg a/
6) (tg a cos a)2+(ctg a sin a)2 —cos2a.
1.555. a) .^actga • 6) cos2gtg°
sin 2a ' sin 2a
1.556. а) Определите знаки тригонометрических функций следую-
щих углов: 134°, 1048°, у-, уу.
б) Определите знаки тригонометрических функций следую-
щих углов: 201°, 1151°, -Ц2-.
1.557. а) Может ли синус некоторого угла быть равным 2,6; —0,6;
2 ’
б) Может ли косинус некоторого угла быть равным —1,4;
0.4;
Вычислите значение выражения (1.558—1.571):
1.558. a) l+cosl20°; б) 1—cos 120°.
1.559. a) cos2 67,5°-sin2 67,5°; б) sin2 75°-cos2 75°.
1.560. а) (cos2 -f--sin2 -=-)2; 6) (2 sin ^cos ’.
1.561. a) (sin 10° cos 50° +sin 50° cos 10°)2;
6) (cos 35° cos 10° — sin 35° sin 10°)2.
1 562 a) cos 15° sin 2Q°~sin I50 cos 20*. sin 26° sin 20* + cos 26° cos 20®
7 2sin 5° ’ °)— iTcoslF---------------------’
37
tgfs
1.563. a)-----—;
1—tg2 —
ё 12
1.564.
a)
.7л . л
SlnTg~Sln -g-
7л я"
C0S18 C0S-9
6)
6)
i-tg24
6 8
. n
tg8-
. 5л , . 2л
Sln-18 + Sin9~
5л , 2л
COSl8+cOS-9-
1.565. a)
sin2 26° — sin2 64° .
sin 19° cos 19 ° ’
cos2 33°— cos2 57°
sin 12° cos 12 °
1.566. a) cos590-cos»°
sin 59° — sin 1° ’
cos 89° 4- cos 10
sin 89°-f-sin 1°
1.567. a) sin |j+sin § - cos -f-; 6) cos +cos2| _COs §.
*M u *7 00 00 00
1.568. a) ---------!------—; 6) ------------!------r.
(tg 10° tg 80°)“ 2 (tg 20е tg 70е)- 3
1.569. a) ------5—6) --------------------------!------.
. л 5я ' г- . л . Зл
4cos тк cos -л; 2у2 sm -5- sm -5-
1.570. a) (sin^-.cos(-f))2; 6) (cos-sin(--2-))2.
1.571. a) sin (10° + a) cos (20° —a)+cos(10° —a) sin(20° —a);
6) cos (50° + a) cos (20°+a) 4- sin (50° 4- a) sin (20°+a).
Существует ли данное выражение при каждом из указанных
значений a (1.572—1.573);
1.572. а) -----2^-------;
' sin 4a 4- sin 2a
6) . costo
sin 6a —sin 2a
л___л
12’ 2 ’
л л л
12 ’ 4 ’ ~ *
я;
1.573. а)
б)
sin 4a .
sin 2a *
sin 6a ,
cos 3a ’
22,5°, 45°. 90°;
15°, 30°, 180°?
Расположите в порядке возрастания (1.574—1.577):
1.574. а) sin 30°, sin 60°, sin 210°; 6) cos 30°, cos 60°, cos 210°.
1.575. a) sin 40°, sin 80°, sin 200°; 6) cos 40°, cos 80°, cos 200°.
1.576. a) tg 40°, tg 80°, tg 160°; 6) ctg 49°, ctg 8o°, ctg 160°.
1.577. a) sin ^2, costg-2-; 6) cos^p-, sin л, ctg-2-.
Вычислите значение выражения при данном значении а
(1.578—1.583):
1.578. а) при а=^.; б) при а=^.
2sin£ 3 2cos-J 3
38
1.579. a) (sin a —cos a)2—1 при a = -^-;
6) (cos a 4-sin a)2 — 1 при a = -£-.
8
cos2 (a —л) —cos2f ~ + a)
L58°- ---------^-2?- 7
_________sin 2a________
sin2^-~4-a) —sin2(n4-a)
л
при a = —.
1.581. а) 1—sin a ctg a cos a при a=-^-;
□
6)
1.582. a)
1 — sin a tg a cos a при a=-2-.
1 — cos 2a + sin 2a
1 -J-cos 2a 4-sin 2a
при a = 30°;
6) l-cosa + cos2a a==60°.
sin 2a — sina
1.583. a) cos 4a cos 3a + sin 4a sin 3a при a——;
6) sin 5a cos 4a — cos 5a sin 4a при a=^7.
О
Преобразуйте выражение в произведение (1.584—1.586):
1.584. а) sin 2a +1 4-cos 2a; б) 1-cos 2a4-sin 2a.
1.585. а) 1—2cos a 4-cos 2a; б) 1 4*2 cos a 4*cos 2a.
1.586. a) cosa4*sin2a—cos 3a; 6) cos a 4* cos 2a 4-cos 3a.
Определите наибольшее и
(1.587—1.589):
наименьшее значение выражения
1.587. а) -\/2 sin a4**\/2 cos a;
1.588. a) -\/3 sin a —cos a;
1.589. a) 3+71q° - ° ;
6) V3 cosa — sin a.
б) -д/2 cosa—V2 sin a.
3 — 7 sin a
' 10
Докажите, что при допустимых значениях а значение выра-
жения не зависит от а. Какие из указанных значений а явля-
ются допустимыми (1.590—1.598)? '
1.590. а) —— ctg a; a=-£-> “ = л, а = 2л;
' sin 2a 2
6) 1-c2—a—-^-tg a; a = -^-, а = л, а = 2л.
' sin 2a 2 Б 2
1.591. a) cos2 a 4~tg2 a cos2 a; a=0°, a=45°, a = 90°;
6) sin2 a4-ctg2 a sin2 a; a=0°, a=30°, a=90®.
3fl
1.592. a) a==0, a=-^, a=-2-;
' sin 2a 4 2
6) (sina-cosa/^l + t 2a; a = () a= " a="
' cos 2a • 4 z
1.593. a) ±in^±££sa.—l_sin2a; a = 180°, a = 45°, a = 135°;
tga + ctga 2
6) -&а-~ctgg >sin 2a; a=180°, a = 45°, a=135°.
sin a —cos a
->J2 cos a—2 sin( — a j
1.594. a) ------.---------------; a = 0, a=-^-, “=V;
' sin a 4 z
sin a+2 sin(y-a) a = 0, a=" a=2L.
6) ; 4 2
' cos a
1.595. a) ^sina+2cos (45°+aX a = i35o a = 90°( a = i80°;
' cos a
6) ->/3 cos a-2 cos (30°-a) a= 135°, a = 90°, a= 180°.
' sin a
L596- а> (^-^а)(-^т+^а): a=0> a=f • a=T;
6> (iib+ctea)(iihr-a=0’ a=T’ “=!•
1.597. a) “>s2<x+sy« 0 л jj_
’ 1— sin2 a 4 ’ 2 ’
cos2 a—cos 2a. n _ л _ л
б) 1-cos2a ’ a = °’ a = T’ a=T-
1.598. a) 2sin2a+cos2a a = 0, a= " а=Л_;
' a x a 3 2
1.599. Определите, верно ли неравенство:
а) cos (149°4-x)cosx4-sin(149°4-x)sinx<0;
б) sip (287° —х) cos x+cos (287°—x) sin x<0.
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
1.601. а) Океанский лайнер отправился в рейс. Когда он отошел
от берега на 180 миль, за ним вылетел самолет с экстрен-
ной почтой. Скорость самолета в 10 раз больше скорости
лайнера. На каком расстоянии от берега самолет догонит
лайнер?
б) Велосипедист выехал из пункта А. Когда он был на рас-
стоянии 200 м от него, за ним вдогонку отправился мото-
циклист. Скорость мотоциклиста в 2 раза больше скорости
велосипедиста. На каком расстоянии от пункта А мото-
циклист догонит велосипедиста?
40
1.602. а) Скорость судна в стоячей воде 50 км/ч. На путь от А
до В по течению реки оно тратит 3 ч, а на обратный путь
4,5 ч. Какова скорость течения реки?
б) Скорость течения реки 5 км/ч. На путь от М до W
по течению реки судно тратит 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч.
Какова скорость судна в стоячей воде?
1.603. а) С туристической базы вышел пешеход, его скорость
4 км/ч. Через 4,5 ч по той же дороге выехал автомобиль со
скоростью 76 км/ч. На каком расстоянии от базы автомо-
биль догонит пешехода?
б) Спортсмен, бегущий по шоссе со скоростью 16 км/ч, ми-
новал населенный пункт на 20 мин раньше велосипедиста,
следующего в том же направлении. Через сколько времени
велосипедист догонит бегуна, если скорость бегуна на 5 км/ч
меньше скорости велосипедиста?
1.604. а) Расстояние по реке между пунктами А и В равно 84 км.
Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выш-
ли две моторные лодки, собственные скорости которых раз-
личаются в 1,8 раза. Через 3 ч они встретились. Найдите
собственные скорости лодок.
б) Расстояние по реке между двумя пунктами равно 60 км.
Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу вышли
две моторные лодки, собственные скорости которых раз-
личаются в 1,5 раза. Через 2 ч они встретились. Найдите
собственные скорости лодок.
1.605. а) Путь от города до поселка автомобиль проезжает за
2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он
проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до
поселка. Найдите это расстояние.
б) Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя
1 ч вслед за ним вышла легковая машина, скорость ко-
торой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина
обогнала автобус и через 5 ч после своего выхода на-
ходилась впереди него на 70 км. Найдите скорость авто-
буса.
1.606. а) Из порта одновременно вышли два катера, один — на
юг, другой — на север. Через 3 ч расстояние между ними
составило 96 км. Найдите скорость первого катера, если она
на 10 км/ч больше скорости второго катера.
б) Моторная лодка плыла по течению реки 3 ч, а на тот же
путь против течения реки моторная лодка затратила 5 ч.
Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость тече-
ния реки равна 10 км/ч?
1.607. а) Легковой и грузовой автомобили проезжают расстояние
между двумя сельскими пунктами соответственно за 3 ч и
5 ч. Определите их скорости, если скорость легкового ав-
томобиля на 20 км/ч больше скорости грузового.
б) Катер проходит одно и то же расстояние по течению
41
реки за 3 ч, а против течения — за 3,5 ч. Найдите скорость
течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч.
1.608. а) Каменщик должен выложить две стены из кирпича. На
первую стену уходит на 2000 кирпичей больше, чем на вто-
рую, а на обе стены уходит 6200 кирпичей. Сколько кирпи-
чей уйдет на каждую стену?
б) Две бригады изготовили 116 деталей, причем первая
бригада изготовила на 4 детали больше, чем вторая. Сколь-
ко деталей изготовила каждая бригада?
1.609. а) Трое рабочих сделали 105 тумбочек. Первый рабочий
сделал в 2 раза больше тумбочек, чем второй и третий
вместе, а второй рабочий — на 5 больше, чем третий. Сколь-
ко тумбочек сделал каждый?
б) На станции технического обслуживания трое автомеха-
ников отремонтировали 68 автомобилей. Первый починил на
10 автомобилей меньше, чем второй, а третий — на 15 боль-
ше, чем второй. Сколько автомобилей починил каждый
механик?
1.610. а) Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной
скоростью, он пройдет намеченный путь за 2,5 ч. Но, увели-
чив скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 2 ч. Найдите
длину пути.
б) Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по
расписанию за 7 ч. Через 6 ч после отправления он снизил
скорость на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт пришел
с опозданием на 10 мин. Найдите первоначальную скорость
поезда.
1.611. Один насос наполнил бассейн объемом 2000 м3, а другой
насос за это же время наполнил бассейн объемом 2100 м3.
Какова производительность каждого насоса, если один из
них накачивает на 4 м3 в час больше, чем другой?
б), Один насос за некоторое время наполнил бассейн, а дру-
гой насос за это же время наполнил бассейн объемом на
LOOl м3 больше. Определите объемы бассейнов, если один
на насосов накачивает в час 80 м3, а другой — 90 м3.
L012. Бассейн заполняется водой, поступающей через две тру-
бы* Одна труба может заполнить бассейн за 1.2 ч, а дру-
гая — за 20 ч. За сколько часов заполнится бассейн дву-
мя трубами, работающими одновременно?
б) Вода, поступающая в первую трубу, может наполнить
бассейн за 6 ч, а вода, вытекающая из второй трубы,
может его опорожнить за 15 ч. За сколько часов напол-
нится бассейн, если обе трубы будут одновременно открыты?
1.613. а) При выполнении контрольной работы по математике
12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допус-
тили ошибки, а остальные 14 человек решили задания вер-
но. Сколько всего учеников в классе?
б) На заводе были изготовлены легковые и грузовые маши-
42
ны, причем 35% всех изготовленных машин — легковые.
Определите число изготовленных машин, если грузовых
изготовлено на 240 больше, чем легковых.
1.614. а) Определите первоначальную стоимость продукта, если
после подорожания соответственно на 120%, 200% и 100%
его конечная стоимость составила 264 р.
б) Предприниматель купил акции и через год продал их
по номинальной стоимости, получив прибыль, причем полу-
ченная им сумма составила 11 500 р. Сколько акций было
куплено предпринимателем, если прибыль составляет 15%
от стоимости акции и равна 150 р.?
1.615. а) Лекарственная ромашка теряет при сушке 84% мас-
сы. Сколько килограммов ромашки нужно собрать, чтобы
получить 8 кг сухого растения?
б) При добавлении воды к раствору его объем увеличился
на 42% и стал равным 71 л. Определите первоначальный
объем раствора.
1.616. а) Первое число равно 0,6, а второе 0,2. Сколько процентов
первое число составляет от суммы этих чисел?
б) Первое число равно 3,6, а второе 9. На сколько процен-
тов второе число больше первого?
1.617. а) Ученики девятых и десятых классов посадили 176 де-
ревьев. Сколько деревьев посадили десятиклассники, если
они посадили на 20% больше деревьев, чем девятиклас-
сники?
б) Ученики седьмых и восьмых классов получили в библи-
отеке 168 учебников, причем восьмиклассники получили
на 10% книг больше, чем семиклассники. Сколько учеб-
ников получили семиклассники?
1.618. а) Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила
99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до
98%. Какова стала их масса?
б) Собрали 100 кг ягод. После сортировки 60% собранных
ягод были отправлены в магазин для продажи. В магазине
11 % поступивших ягод испортилось, поэтому они .не посту-
пили в продажу. Сколько килограммов ягод было продано?
1.619. а) В спортивном лагере в трех домах живет 149 человек.
В третьем доме на 2 человека больше, чем в первом, а в
первом и во втором вместе на 43 человека больше, чем в
третьем. Сколько человек живет в каждом доме?
б) В трех универсальных магазинах работает 168 человек.
Во втором магазине работает на 4 человека больше, чем
в третьем магазине, а в третьем магазине на 7 человек
больше, чем в первом магазине. Сколько человек работает
в каждом магазине?
1.620. а) На изготовление свитера, шапки и шарфа израсходо-
вали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше
шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф.
43
Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
б) В трех корпусах туристической базы живет 119 человек.
В первом корпусе живет на 4 человека больше, чем во вто-
ром, и на 3 человека меньше, чем в третьем. Сколько человек
живет в каждом корпусе?
1.621. а) На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе
учитель ответил: «Пятерок больше, чем двоек, на 3, троек
на 1 меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше,
чем двоек». Сколько человек получили пятерки и сколько
четверки, если в классе 32 ученика?
б) На выставке кошек были представлены кошки сибирс-
кой, ангорской, персидской и сиамской пород. Сиамских
кошек было в 2 раза больше, чем ангорских, персидских
было в 1,5 раза больше, чем сиамских, а сибирских было на
13 меньше, чем персидских. Сколько было кошек каждой
породы, если всего было представлено 77 кошек?
1.622. а) В трех поселках живут 6000 жителей. Во втором поселке
вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 500
жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во вто-
ром поселке?
б) Три цеха завода изготовили 4200 деталей. Второй цех
изготовил в 3 раза больше деталей, чем третий, а первый
столько, сколько изготовили вместе второй и третий. Сколь-
ко деталей изготовил каждый цех?
1.623. а) Один из углов треугольника в 2 раза больше второго,
а третий угол больше первого на 30°. Каковы углы тре-
угольника?
б) Один из углов треугольника в 3 раза меньше второго,
а третий угол на 20° больше первого. Каковы эти углы?
1.624. а) Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой.
Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую втрое,
то периметр нового прямоугольника станет равным 240 см.
Найдите стороны данного прямоугольника.
б) Одна из сторон прямоугольника на 25 см меньше другой.
Если большую сторону уменьшить в 4, а меньшую в 3 раза,
то периметр нового прямоугольника будет равен 30 см.
Найдите стороны данного прямоугольника.
1.625. а) Два угла равнобедренного треугольника пропорцио-
нальны числам 2 и 5. Найдите углы треугольника.
б) Две стороны равнобедренного треугольника пропорци-
ональны числам 6 и 8, а его периметр равен 440 см. Найдите
стороны треугольника.
1.626. а) У Вити было на Юр. больше, чем у Маши. Когда Витя
потратил половину своих денег, у него стало на 15 р.
меньше, чем у Маши. Сколько денег было у Маши и Вити
вместе первоначально?
б) У Толи и Гриши вместе было 100 р. После того как
каждый из них потратил половину своих денег, у Гриши
44
стало на Юр. больше, чем у Толи. Сколько денег было у
каждого первоначально?
1.627. а) Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, нахо-
дящейся на счету в начале года. Каким станет первоначаль-
ный вклад в 500 р. через 3 года?
б) Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, нахо-
дящейся на счету в начале года. Каким станет первоначаль-
ный вклад в 1200 р. через 4 года?
1.628. а) Покупатель пришел в магазин, имея с собой 500 р. На
вторую покупку он потратил денег в 2 раза больше, чем
на первую, а на третью в 4 раза больше, чем на две пре-
дыдущие вместе. После этого у него осталось 140 р. Сколь-
ко денег покупатель истратил на каждую покупку?
б) Делая в магазине покупки, мальчик за первую заплатил
в 4 раза больше, чем за вторую, а за третью — в 10 раз боль-
ше, чем за первую и вторую вместе. После этого у него
осталось 1350 р. Сколько стоила каждая покупка, если вна-
чале у него было 3000 р.?
1.629. а) Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кис-
лоты, а второй — 70% кислоты. Сколько литров первого и
второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л
50%-ного раствора соляной кислоты?
б) Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, со-
держащий 40% меди. Сколько чистого олова надо приба-
вить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содер-
жал 30% меди?
1.630. а) Из города А в город Б, расстояние между которыми
составляет 20 км, одновременно вышли 2 пешехода. Ско-
рость одного из них была на 1 км/ч больше скорости друго-
го, поэтому он затратил на весь путь на 60 мин меньше.
Какова скорость каждого пешехода?
б) Из города А в город Б выехали велосипедист и мото-
циклист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше ско-
рости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на
6 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если
расстояние между городами 120 км?
1.631. а) Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин, а за-
тем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив
скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость
поезда.
б) Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта Б.
Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше пер-
воначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Най-
дите первоначальную скорость мотоциклиста.
1.632. а) Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем
прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч.
Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость
течения реки равна 6,5 км/ч.
45
б) Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км
против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова ско-
рость течения реки, если известно, что она не превосходит
5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч?
1.633. а) Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько
обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собствен-
ную скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч.
б) Глиссер, собственная скорость которого равна 20 км/ч,
прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся об-
ратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь
глиссер затратил 6,25 ч.
1.634. а) Пешеход должен был пройти 12 км за определенный
срок, но он был задержан с выходом на 1 ч, поэтому ему
пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью
шел пешеход?
б) Велосипедист проехал с определенной скоростью путь в
10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он сни-
зил скорость на 5 км/ч. На весь путь туда и обратно было
затрачено 1 ч 10 мин. Найдите скорость, с которой велоси-
педист ехал от турбазы до города.
1.635. а) Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а про-
тив течения 3 км, затратив на весь путь 0,7^ ч. Найдите
собственную скорость лодки, если скорость течения реки
равна 2 км/ч.
б) Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а про-
тив течения 30 км. Найдите собственную скорость лодки,
если скорость течения реки 3 км/ч, а на весь путь затра-
чено 6 ч 40 мин.
1.636. а) Расстояние между двумя пристанями равно 24 км. Дви-
гаясь вниз по течению, катер проходит это расстояние
на 30 мин быстрее, чем в обратном направлении. Найдите
собственную скорость катера, если скорость течения реки
равна 2 км/ч.
о) Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь
Против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем
путь против течения. Найдите скорость яхты в стоячей воде,
если скорость течения реки равна 3 км/ч.
1.637. а) Автомобиль был задержан в пути на 0,2 ч, а затем на
расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость
на 15 км/ч. Найдите начальную скорость автомобиля,
б) В 9 ч баржа отправилась из пункта А в пункт Б, кото-
рый находится в 60 км выше по течению, чем А. Спустя 2 ч
после прибытия в Б баржа поплыла обратно и прибыла в
пункт Ав 19 ч 20 мин того же дня. Определите время,
в которое баржа прибыла в пункт Б, если скорость тече-
ния реки равна 3 км/ч.
1.638. а) Байдарка проплыла по течению реки 4 км, а против
течения 6 км, затратив на весь путь 2 ч. Найдите ско-
46
рость байдарки по течению, если скорость течения реки
равна 2 км/ч.
б) Планер, пролетев 15 км по направлению ветра, развер-
нулся и пролетел 10 км против ветра, затратив на весь
путь 1 ч. Найдите скорость планера против ветра, если ско-
рость ветра равна 5 км/ч.
1.639. а) Некто ехал на автомобиле по проселочной дороге с
постоянной скоростью. Из-за плохого состояния дороги ему
пришлось задержаться на 6 мин. Затем он увеличил ско-
рость на 4 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне в
36 км. Найдите первоначальную скорость автомобиля.
б) Экскурсионный теплоход должен был пройти 72 км за
5 ч. Так как из-за плохой погоды достопримечательности
были видны плохо, то первую половину пути он двигался
со скоростью на 3 км/ч меньшей расчетной, а вторую по-
ловину пути со скоростью на 3 км/ч больше расчетной.
На сколько минут опоздал теплоход?
1.640. а) Моторный катер, собственная скорость которого 8 км/ч,
прошел по реке расстояние, равное 15 км, вниз по тече-
нию и такое же расстояние вверх по течению. Найдите
скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь,
равно 4 ч.
б) Спортивная лодка прошла расстояние 45 км вверх по
течению реки и такое же расстояние вниз по течению,
затратив всего 14 ч. Определите собственную скорость
лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
1.641. а) Катер прошел по течению реки 5 км, а против течения
12 км, затратив на весь путь время, нужное для прохожде-
ния 18 км по озеру. Найдите собственную скорость катера,
если скорость течения реки равна 3 км/ч.
б) Моторная лодка прошла по течению реки 10 км, а про-
тив течения 15 км, затратив на весь путь 1 ч 10 мин. Най-
дите скорость лодки по течению, если скорость течения
реки равна 2 км/ч.
1.642. а) Расстояние между городами равно 200 км. Мотоциклист
проезжает это расстояние на 5 ч быстрее велосипедиста.
Найдите их скорости, если скорость велосипедиста на
20 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
б) Теплоход с туристами прошел по течению реки 10 км и
против течения 8 км, затратив на весь путь 3 ч. Найди-
те скорость теплохода по течению и против течения, если
скорость самого течения 3 км/ч.
1.643. а) Две бригады рабочих должны к некоторому сроку изго-
товить по 300 деталей. Первая бригада, изготовляя в день
на 10 деталей больше второй, затратила на выполнение за-
дания на 1 день меньше. Сколько деталей в день изготовля-
ла каждая бригада?
б) На обработку одной детали первый рабочий затрачивает
47
на 1 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обработает
каждый из них за 0,7 ч, если первый обрабатывает за
это время на одну деталь больше, чем второй.
1.644. а) Оператор ЭВМ, работая вместе с учеником, обраба-
тывает задачу за 2 ч 54 мин. Сколько времени потребо-
валось бы каждому из них на обработку задачи в от-
дельности, если ученику нужно для этого на 2 ч больше, чем
оператору.
б) Заболевшую машинистку заменили две ученицы-практи-
кантки, причем одной из них нужно на перепечатку руко-
писи в 3 раза больше времени, чем заболевшей машинист-
ке, а второй — в 2 раза. За сколько времени каждая из
трех машинисток может перепечатать рукопись, если извест-
но, что ученицы, работая вдвоем, могут выполнить эту рабо-
ту за 6 ч?
1.645. а) Один рабочий затрачивает на изготовление болта на
6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изгото-
вить каждый из них за 7 /ч, если первый обрабаты-
вает за это время на 8 болтрв больше?
б) Ученик тратит на обработку одной болванки на 12 мин
больше, чем мастер. Сколько болванок обработает каж-
дый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает за это время
на 5 болванок меньше, чем мастер?
1.646. а) Бассейн, содержащий 30 м3 воды, сначала был опорож-
нен, а затем снова наполнен до прежнего уровня, для
чего потребовалось 8 ч. Сколько времени заполнялся бас-
сейн, если вливающий воду насос перекачивает в час на 4 м3
меньше, чем выливающий?
б) Бассейн объемом 1 м3 заполняется двумя насосами
одновременно. Первый насос перекачивает за 1 ч на 1 м3
больше, чем второй. Найдите время, за которое каждый
насос в отдельности может наполнить бассейн, если пер-
вому насосу нужно для этого на 5 мин меньше, чем
второму.
1,647» в) Две бригады, работая совместно, закончили посадку
деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на
эту работу каждой бригаде в отдельности, если одна из
них может выполнить работу на 15 дней быстрее другой?
б) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить оклей-
ку комнаты обоями за 6 ч. За какое время каждый из
них может оклеить эту комнату обоями, работая в отдель-
ности, если один из них тратит на это на 5 ч меньше, чем
другой?
1.648. а) Борис и Леонид наполняли газом воздушные шарики,
причем Борису требовалось на наполнение одного шарика
на 1 мин меньше, чем Леониду. Сколько шариков может Ha-
Д' ть каждый из них за 0,5 ч, если за это время Борис на-
дувает на один шарик больше, чем Леонид?
48
б) Для того чтобы связать один ряд шарфа, Наташе
требуется на 2 мин больше, чем Оле. Сколько рядов мо-
жет связать каждая из них за час, если за это время Наташа
вяжет на 1 ряд меньше, чем Оля?
1.649. а) Двое рабочих, из которых второй начинает работать
на 1,5 дня позже первого, могут отремонтировать кварти-
ру за 7 дней. Если бы ремонт выполнял каждый в отдель-
ности, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем
второму. За сколько дней каждый из них, работая в от-
дельности, может выполнить ремонт квартиры?
б) Один цех завода должен был изготовить 810 фанерных
щитов, а второй 900 таких же щитов. Первый выполнил
всю работу, затратив на это на 3 дня больше, чем второй.
Сколько щитов в день делали в каждом цехе, если во втором
делали в день на 4 щита больше, чем в первом?
1.650. а) Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть кот-
лован за 48 ч. За какое время каждый из них может
вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нуж-
но для этого на 40 ч больше, чем второму?
б) Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за
12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет
бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов
наполняет бассейн вторая труба?
1.651. а) Бригада рабочих должна была изготовить в определен-
ный срок 272 холодильника. Через 10 дней после начала
работы бригада стала изготовлять в день на 4 холодильника
больше, чем предполагалось. За один день до срока было
изготовлено 280 холодильников. Сколько холодильников в
день должна была изготовлять бригада по плану?
б) Бригада рабочих обязалась изготовить 432 шины для ко-
лес. Однако 4 рабочих заболели и не вышли на работу.
Каждому из оставшихся пришлось изготовлять на 9 шин в
день больше, чтобы выполнить обязательство. Сколько ра-
бочих числилось в бригаде?
1.652. а) Два грузчика разгружали вагоны с продуктами. Первый
разгружал на 50 ц в день больше второго и разгрузил 300 ц,
при этом он работал на 2 дня меньше второго. Второй
грузчик разгрузил 250 ц. Сколько дней работал каждый?
б) На строительстве железной дороги работали две путевые
бригады. Первая бригада ежедневно прокладывала на 40 м
путей больше второй и проложила 270 м пути. Вторая брига-
да работала на 2 дня больше первой и проложила 250 м.
Сколько дней работала каждая бригада?
1.653. а) Два сборщика винограда, работая вместе, собрали вино-
град с определенного участка за 12 ч. Первый сборщик,
работая один, может собрать с этого участка виноград на
10 ч быстрее второго. За какое время каждый сборщик
может выполнить работу?
49
б) Два компьютера, работая совместно, могут выполнить
определенный объем работы за 3,75 ч. Работая отдельно,
один из них выполнил бы эту работу на 4 ч быстрее другого.
Сколько времени потребовалось бы каждому компьютеру
для выполнения работы?
1.654. а) Аквариум наполняется водой, поступающей в него через
две трубки, за 3 ч. За сколько часов может наполнить
аквариум первая трубка, если ей требуется для этого на
2,5 ч меньше, чем второй?
б) Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 ч.
Первому рабочему, если бы он убирал помещение один,
потребовалось бы на 3 ч больше, чем второму. За какое
время может убрать помещение первый рабочий?
1.655. а) В школьном кооперативе две бригады должны были изго-
товить по 180 книжных полок. Первая бригада в час изго-
товляла на 2 полки больше, чем вторая, и поэтому закончи-
ла работу на 3 ч раньше. За сколько часов каждая брига-
да выполнила задание?
б) На фабрике за смену в первом цехе сшили 320 костю-
мов, а во втором — 270 костюмов. В первом цехе шили в час
на 2 костюма меньше, чем во втором, и работали на 5 ч боль-
ше. Сколько костюмов в час шили в первом цехе?
1.656. а) Два портальных крана, работая вместе, разгрузили бар-
жу за 6 ч. За какое время может разгрузить баржу, рабо-
тая отдельно, каждый кран, если одному из них нужно для
этого на 9 ч меньше, чем другому?
б) Два грузовика, работая вместе, перевозили зерно в те-
чение 4 ч. За какое время перевезет то же количество
зерна каждый грузовик в отдельности, если первому
нужно для этого на 6 ч больше, чем второму?
1.657. а) Две бригада рабочих при совместной работе затратили
на асфальтирование участка дороги 4,8 ч. Сколько време-
ни потребуется на асфальтирование этого участка каждой
бригаде в отдельности, если одной на эту работу требует-
ся на 4ч больше, чем другой?
б) Две бригады работниц сельскохозяйственного коопера-
тива пропололи по 280 грядок каждая, причем первая брига-
да, пропалывая в день на 30 грядок меньше, чем вторая,
работала на 3 дня больше. Сколько дней работала на про-
полке каждая бригада?
1.658. а) Автобус, выехав из пункта А, движется на север и при-
езжает в пункт В. Затем, повернув на запад, он едет
в пункт С. Каково расстояние между А и С, если расстоя-
ние между А и В на 8 км, а расстояние между В и С на
1 км меньше расстояния между А и С?
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного
из его катетов на 6 см, а другой катет на 3 см больше пер-
вого. Найдите стороны треугольника.
50
1.659. а) Один из катетов прямоугольного треугольника меньше
гипотенузы на 2 см. Сумма величин трех сторон равна
12 см. Найдите эти стороны.
б) Сумма длин гипотенузы и одного из катетов равна 9 см,
а другой катет равен 3 см. Найдите гипотенузу и неизвест-
ный катет.
1.660. а) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см.
Найдите его катеты, если один больше другого в 2 раза,
б) В прямоугольнике одна сторона равна 9 см. Найдите
его диагональ, если она больше второй стороны прямо-
угольника в 2 раза.
1.661. а) В равнобедренной трапеции большее основание равно
8 см. Площадь трапеции равна 20 см2, меньшее основание
в 2 раза меньше высоты трапеции. Найдите ее боковую
сторону.
б) Одна из диагоналей ромба в 0,75 раз больше другой.
Площадь ромба равна 96 см2. Найдите сторону ромба.
1.662. а) Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2.
Найдите катеты треугольника, если один катет больше дру-
гого на 31 см.
б) Площадь прямоугольника равна 84 см2. Найдите стороны
прямоугольника, если одна сторона меньше другой на 5 см.
1.663. а) В прямоугольном треугольнике один из катетов на
3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипо-
тенузы. Найдите площадь этого треугольника.
б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его
гипотенуза равна 20 см, а один катет составляет 75% дру-
гого.
1.664. а) В прямоугольном треугольнике сумма гипотенузы и од-
ного из катетов равна 16 см, а другой катет равен 8 см.
Найдите гипотенузу, первый катет и площадь треугольника,
б) В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна
17 см, а длина гипотенузы 13 см. Найдите катеты и пло-
щадь этого треугольника.
1.665. а) От турбазы до озера 8 км. Дорога сначала идет в
гору, затем лесом, потом под гору. До озера туристы
шли 1 ч 27 мин, а обратно 1 ч 51 мин. Скорость их в го-
ру 4 км/ч, лесом 5 км/ч, а под гору 6 км/ч. Сколько
километров туристы шли лесом в одном направлении?
б) Из города в деревню вышел пешеход. Через 45 мин пос-
ле его выхода в том же направлении выехал велосипе-
дист. Спустя полчаса он был на расстоянии 2,5 км позади
пешехода, а еще через полчаса велосипедист был на пол-
километра от деревни дальше, чем пешеход. Какова ско-
рость пешехода и велосипедиста, если расстояние от города
до деревни 30 км?
1.666. а) Произведение двух чисел равно 10, а их сумма состав-
ляет 70% от произведения. Найдите эти числа.
51
б) Если разделить возраст старшего брата на возраст млад-
8
шего, то получится —, а сумма их возрастов равна 30.
Сколько лет каждому брату?
1.667. а) Во время соревнования по стрельбе одна из команд
поразила на 72 мишени больше другой. Определите, сколь-
ко мишеней поразила каждая команда, если отношение
количества мишеней, пораженных одной командой, к коли-
честву мишеней, пораженных другой, равно отношению сум-
мы мишеней, пораженных первой командой, и утроенного
количества мишеней, пораженных второй командой, к раз-
ности мишеней, пораженных каждой командой.
б) Одна баскетбольная команда забросила на 36 мячей
больше другой. Определите, сколько мячей забросила каж-
дая команда, если отношение суммы мячей, забитых выиг-
равшей командой, и утроенного количества мячей, забро-
шенных проигравшей командой, к количеству мячей, заби-
тых выигравшей командой, равно отношению разности
забитых мячей к количеству мячей, заброшенных проиграв-
шей командой.
1.668. а) Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы одно-
го рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в от-
дельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы ту-
риста равна 120 кг.
б) Шесть метров новой веревки имеют такую же массу,
как и пять метров старой. Найдите массу одного метра
новой и старой веревки в отдельности, если 13 м новой и 12 м
старой веревки вместе весят 5 кг 480 г.
1.669. а) Если двузначное число разделить на произведение его
цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если
же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произ-
ведение его цифр, то получится заданное число. Найдите
это число.
б) Если двузначное число разделить на произведение его
цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же
из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение
его цифр, то получится данное число. Найдите это число.
1.670. а) Площадь прямоугольника равна 60 см2, а его диагональ
равна 13 см. Найдите периметр прямоугольника.
б) Площадь прямоугольника равна 72 см2, а его периметр
равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.
1.671. а) За 5 м одной и 5 м другой ткани было заплачено 100 де-
нежных единиц. Найдите стоимость 1 м каждой ткани,
если 4 м одной стоит столько же, сколько 6 м другой,
б) За 8 кг апельсинов и 8 кг яблок было заплачено 256
денежных единиц. Найдите стоимость 1 кг продукта,
если известно, что 2 кг апельсинов стоят столько же,
сколько 6 кг яблок.
52
ЧАСТЬ II
УРАВНЕНИЯ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
2.101. а) Решите уравнение 345х2 +137х —208=0 и сравните его
больший корень с числом 0,(63).
б) Решите уравнение 132х2 — 247%+115=0 и сравните его
меньший корень с числом 0, (87).
2.102. а) Решите уравнение
2х2 4-Зх -17 = 2 (2 - у/7)2 4-3 (2 - ^/7) -17
и укажите какое-нибудь рациональное число, заключен-
ное между его корнями.
б) Решите уравнение
4х2-9х-11 =4 (у/24-а/3)2-9 (л/24-у/З)-11
и укажите все целые числа, заключенные между его кор-
нями.
Решите уравнение (2.103 — 2.107):
2.103. а) (х2 — 2х— 1)24-Зх2 — 6х— 13=0;
б) (х2 —7x4* 13)2—(х—3) (х—4)= 1.
2.104. а) (х-2)(х4-1)(х4-4)(х4-7)=63;
б) (1+т)(1+т)(*+4)(х+6>=12-
2 I OS я I __-_________—_____= 1 •
’ U ’ (х-1)(х + 3) (х-2)(х+4) *’
6) 2(х"+-!г)-3(х + Л) = |.
2.106. а) = 2х~^ ; б) = Ч^з-з..
Зх—>/5 Зхд/5 —5 х-УЗ+2 4х+-\/3
о т п \ 44 । 2х 4“ 7 3 х . х 9х -|-13 5
2.107. a) 4_x2 4* х_2 — х+2 ’ б) х-Н — X2—2х—3 —з77х-
2.108. Выясните, являются ли уравнения равносильными:
а) ^ТГ=Т77+7ГГ и 12^-Ч=3’
б) 4х24-2х+1 = 1-2х —1-8х3 И 14х + 11 =3.
Решите уравнение (2.109—2.114):
2.109. а) |14-Зх| — |х—1|=2—х;
б) | 54-^-| 4- 134-2х| +2х=0.
53
2.110. a) |x| —x-|-2= |2x—2|; 6) 2|x| — |x-J-3| +x + 3=0.
2.111. a) |7x—12| — |7x—111 = 1; 6) |16—9x| — |9x—5| = 11.
2.112. a) |x2-3x|+a:=2; 6) x24-7x+4=|3x + 2|.
2.113. a) x2 —5x—|x —6| 4-9=0; 6) |x2-|-4x-|-3|-x—3=0.
2.114. а) (^±М_)г + -^_6 = 0;
6) ( „X. )2+т=7~-8=0'
2.115. Найдите все положительные решения уравнения:
1 3 __5_
а) х15—8х5 =2^х\ б) х2^—33^-^+32х 6 =0.
Решите уравнение (2.116—2.129):
2.116. а) 2х 3</х —Зх-д/-У-=20; б) Зх-\[хг~\-2х-^ -^=5.
2.117. a) V2x+5-V^x=l; б) 2 Ух^З-ЬУЙ7! =2.
2.118. а) у/х+4+^-1=^х+5; б) Л/64-4х-х2=4 —х.
2.119. а) х24-2 Vx24-Зх-Ь 11 =4-Зх; б) х2-х4->/х2-х4-9=а
2.120. а) (х-|-1)УГ~4-4х—х2=х2— 1;
б) (х2 — 8х) — х=х,(х2—9х-|-8).
2.121.
а) -Ух24-4х-54-л/2х-|-10=л/х2+6х4-5;
б) ->/§xT3-VxTT=x4-2.
2.122. а) ——--------1--^3*~2—=3;
2-y/3x=2-3 V3X32-1
б) Л/12-^_±г±‘=А+4х±1.
'у х х-|-4 х x-j-4
2.12S. a) j£E__J=—t£+T+»=0;
2.124. а) /24-5/4~6= 15 ;
б) 2u"4-u2(u4-2)-3(u4-2)2=0.
2.125. а) (х24-2х)2—(х-|-2) (2Х2—х)=6 (2х—I)2;
2.12в. а) 2!±1+_?_Л_+2Г=0;
б> 71У»7ТТ-7ТТ+3'5=0'
2.127. а) (х2-6х-9)2=х(х2—4х—9);
х2-12х-Ц5 _ 4х
х2—6x4-15 х2 —10x4-15 ’
54
1 . 1 _ 10
к2 (*4-2)2 9'
равенства
7+18x
2Л28- 4^-48. + 7 + 4^-3,Ох + 7 =': б>
2.129. a) (—
' \ *4-2 / \ х —2 / х2—-4
/*4-1\2|/ х \2_ 2х2 + 2х
7 \х-1/ '\x4-5/ х24-4х-5 *
2.130. а) Докажите, что для выполнения
зо___________________________13 ________
х2— 1 х24-*4-1 х3 —1
необходимо, чтобы |2х —5| = 13. Является ли данное усло-
вие достаточным?
б) Докажите, что для выполнения равенства |2х —5| = 1
достаточно, чтобы —2— —|—=0. Является ли
данное условие необходимым?
Решите уравнение (2.Г31—2.141):
2.131. а) | |2х—3| — 11 =х; б) | |х+2|+х| = 1.
2.132. а) |х|х| —2| =(х—I)2; б) |(х+1)|х|-х| = 1.
9 1ЧЧ ______!____________ Iх— 1.51 12х— 11 4__л
2.133. а) | х2 _ 5х+ 61 х2 _ 5х + 6 , О) 6_х_х2 Ij^ + x-ei —
2.134. а) —+ б)
х V1 ~х х4-л/1 х2 Зх
2.135. а) ...^+2+тд_= х б) 12^.
Vx+2-V^2 2 ' У V ^*+5
2.136. а) (х-2)(х+1)-(х-2)-^±1=2;
б) 4Ь-л/Ц-3<х-1)л/Й=7-
2.137. а) б)1.
2.138. a) ^4^x+^jt+x = 3; б) ^2х^3-^2х^5 = 2.
2.139. a) V4^+8+V^-4x+4=5; б) 1 +^^x=2 Vx2—2х+ Г.
2.140. а) -Ух + 2—4Ух^2-д/х^1—2у/х^2=1;
б| Ух+З—4-Ух—1+У^4-3+2л^+2=4.
2 141 я) | __о—l/ х —2х~3‘ .
а' 2х—3- ’ Зх—2 2 V 6х2- 13x4-6 ’
4х—4 А / 5x4-2 . 5x4-2 п
б> т+г-4л/т+г+-^г=°-
Решите систему уравнений (2.142—2.165),:
2.142. а) (2у—х=8 б) (х4-у = 5
(х2-Ц-х(/4-у2 = 7; \2)Г — 3xt/ + i/2=6.
55
2.143. a) (x2—y=0,75 ly2+x=0,75; б) (х2+ху=4у 1у +ху = 4х.
2.144. a) fx-f-y —xy=l lx3 —y3=13(x—y); б) (ху(х+у) = 30 lxs+ys=35.
2.145. a) (x2+y2 = 5 б) (Зх—у=4
1лЛ/+ху3==10; 127х3 — у3=28.
2.146. a) (x2+2y2=17 б) ( Зх2 — 8ху + 4у2=0
l6x2 —xy— 12y2=0; 1х2+у2 +13 (х—у)=0.
2.147. a) (x2+xy+2y2=37 б) ( х2—4у2=9
12x2+2xy+y2=26; 1ху + 2у2 = 3.
2.148. a) б) (——|-х+1=0 J X—у
1 x+3y U
l-V=6; 1 —-—1-2 = 0.
'x + 3y V X—у 1
2.149. a) {^+e3-U2; б) Г~|<М —|сЧ II II '=л| н — | Н + +
2.150. a) 1 II м|сл б) (х+у х—у _ 5 1 х—у х+у 2
1 x у _ 3 . x у x 2 ’ 1 х2+у2=20.
2.151. a) (x4+y4=82 lxy+3=0; б) \х у—ху = —6.
2.152. a) / 1 . 2 _ 3 б^ Г 1 10 —1
1 2x — Зу * Зх —2у 4 1 х+у х —у
1 3 4 .
х 2х—Зу Зх—2у ’ 1 х + у х—у 5
2.153. a) ( Зу+х=2 б) (1-у = ^. Ч X
1 I х—-1 =2; U у 1 (|2х-3у|=7.
2.154. a) ( Зх— |х—2у| =4 \х?+ху — Зу=2; б)
2.155. a) { 2х2+у24-х—2у= 1 б) (Зх2 + 2у2 + 12х—4у+8
15х2+2,5у2+Зх—4у= =4; 12х2—у2 + 8х+2у+9=
2.156. a) |х+у=10 tVI+VlH2’5’ б) II । * .1 II L* =s>
2.157. a) fVx + 3y +1=2 1т/2х-у + 2 = 7у-6; б) |д/х —у + 5 = 3
\^х+у—-5 = 11 — 2х.
=0
0.
56
2.158. a) f л/х+у + Vx2 + xy=3 6)
\x + y + x2+xy — 5;
~^x2 — y2 —x/x — y=4
1_______1^1
yjx—у -^х‘—у2 3
2.159. а) (x2-|-xy-|-x= 10
ly2+xy-j-y = 20;
2.160. а) ' 2х~2 х—у 6х—6у х— 1 3</ _ х+у । 5х-Н У =3 ^=7;
2 Ifil Я 1 -1 4 _ _6_
Хга 1 V 1 • х—2у 1 Зх+у XI/
< 2 1 =J_.
х—2у 1 Зх+у XI/ ’
6) (x2 = 13x + 4y
I y2 = 4x +13y.
\ ( 3x— 1 _Зу 1 ___q
4 f/4-1 *+l
I 3j/4~3 I 2*4-2_।
( Зх—1 "* Зу — 1 ‘
6) (-----Ц—;------A-= 0
' I xy — x—l у —2x
I 1 I 2 — 3
I xy—x2 — 1 " y2 —-2x x—y—1'
2.162. а) ху= 12 б)
< y(x-bz)=32 x(y+z)=27;
xy __ i
x+y
x + z__2_
xz 3
У + z __ 4
yz 3
2.163. a) f-14 у=У^--\-4х 6) (x2-|-2|y| =2y —x-f-6
V2 + 2x=2|x|-y+2; ^У- \yI =У+Зх.
2.164. а) Гл/х+у—л/х + 2у=2х 6) (^J2x—y—xfy=x—y
\^х'+у+-у/х+2у=2у, [xl2x—y+^/y=x.
2.165. а) |х+у —Vx+Vy-2-/ху=2
lVx+Vy = 8;
б) [ (х2+ху+У2) л/х2+у2'= 185
((х2—ху+у2) -Vx2+y2=65.
НЕРАВЕНСТВА
Сколько целочисленных значений может принимать выраже-
ние (2.201—2.202):
2.201. а) 6а — 5Ь, если — 1-1-<а<4; —3<У<2,4;
б) 2,4п — 7т, если —3<а<—0,5; —|~<т<4?
2.202. а) 2п—— , если —4<n<0,8; -l-<w<:0,3;
б) -1—5у, если —1~<х<——0,4<у<3?
57
2.203. а) Значение выражения — целое число, делящееся
на 9. Найдите его, если l,5<Za<z2,5; 0,1<6<0,4.
б) Значение выражения ,4+а — целое число. Найдите
его, если — 1,1<а<2,2; — 4<Zb<Z — 2-^~-
Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения
(2.204—2.205):
2.204. а) Ь — 0,4а2, если —5<а< —1,5; —0,5<&<2,4;
б) т2—если —3^/п^—1,6^л^2.
2.205. a) a+4ab, если — 2^а^ —1; —0,22^&^ —0,1;
б) с—рс, если —2^с^—у-; 1,7^р^2,8.
Докажите утверждение (2.206—2.207):
2.206. а) Если — 2<а<—0,5; — 1</п<-|-; —5<р<—2-^-,
а 4
3/п-2р^ 3
б) Если —4Cm<Zl; 5-|-<«<5,5; —0,8<а<—5-, то
О ' о
2.207. а) Если х2+у2— 6х + 4у-|-4^0, то —1 =Сх—у^Н.
б) Если х2-)-у2 + 4х—6у-|-9^0, то 1^у—х^9.
2.208. Оцените значение выражения:
a) ab, если —0,(4)<а<0,6; —1,5<&<2,25;
б) m(n4~3), если —1,6<т< 1,(81); —5,2 — 1,2.
2.209. а) Пусть точка М (х; у) принадлежит прямоугольнику
ABCD-. Л(—3; 8); В(-3; -1); С (5; —1); D (5; 8). Ка-
кие значения для таких точек М может принимать выраже-
ние 2х2—Зу?
б) Пусть точка N (х; у) принадлежит прямоугольнику
EFPK: Е(2; -5); F (2; 3); К (-6; -5); Р(-6; 3). Какие
значения для таких точек N может принимать выражение
4х + у2?
Докажите неравенство и определите значения переменных,
при которых достигается равенство (2.210—2.211):
2.210. а) а2 + л^>3; б) J|L+_f8_>5.
2.211. а) 6х + -4~< —1,5 при х<0;
б) 2,5а4- 8 ^0,8 при а>0.
1 Zuct
Докажите, что при любых численных значениях букв выпол-
няется неравенство (2.212—2.216):
2.212. а) х2 + у2 —2ху + 2х—2у+1 ^0;
б) х2+4у2+4у—4х+5^0.
2.213. a) a2-j-62 —2а& (а+&)4-2а262>0;
б) m2 (n2-|-4)—4m2n-|-2znn —4m+1 ^0.
2.214. а) Зх2 + у2 + 8х+4у—2ху + 22>0;
б) х2 + 2ху + Зу2 + 2х4-6у4-3>0.
2.215. а) (а+^у>,а?+Л.+с°.;
б) a2b2 + b2c2-b-c2a2^abc (а + Ь + с).
2.216. а) х+ |х+21 + |2х-1|>3; б) |х—11 - |3х+3| <3—|х|.
2.217. Докажите, что при любых положительных значениях а, b и с
выполняется неравенство:
a) _!_+^+_!_>J_+_L+_L.;
Л & С
б) аб (а + 6)+&с (&+с)+ас (а+с)^6а6с.
2.218. а) Докажите, что если а2 + 62=8, то |а+&|^4.
б) Докажите, что если а+6^6, то а2 + 62^18.
Решите неравенство (2.219—2.230):
2.219. а)
2.220. а)
2.221. а)
2.222. а)
2.223. а)
2.224. а)
__—___8)(х 8)3 ^q. g\
(х-{-2)2(5—х) °*
(х24~2х—8) (х3—4х) n.
х2 4-7x4- ю ->и’ °>
^+4х)(3х-гхг)
(2х4-5)3 ’ 7
f^-(x-3)2>0; б)
ТТз-ТТГ^1’ б>
(х—З)(2х-Ц) (х+3)(х-1)
X X
б) 3x4
х-1 2х2-1
2х-1 2х-1 •
х4—2х3+х2
(х+7)3(3-х)^=и-
(х2-6х+8)(х2-4)
х3—8
(х+2)4(х+3)2 Q
х24-х—2
____________^0
(2х-5)(х+2)2
—----k 1 >—2—
х—5 х+1
2-225- а>
2.226. а)
2.227. а)
2.228. а)
2.229. а)
б)
2.230. а)
(х-Ц)(х+2),<1. л^+Зх—13 р
х2+7х+12 U) (ж+3)(х-2)-^ •
2< 3*?+1+8 <9; б> <3-
(2х2-5х+3)(3-х3)<0; б) (х4-6)(6-х-2х2)<0.
(х2 + 7х—8)2+(х3+2х-3)2<0;
(6—х—х2)2+(х3+х2—7х+2)2 < 0.
2 1______2_
2х2+х+3 'х— 1 2х+3
б)
4—х 1 х2
®9
2.231. Найдите сумму всех целочисленных решений неравенства
а) ,<+.2х2+7
2.232. Найдите все такие х, при которых функция f (х) принимает
отрицательные значения
a) f (х) = (х2 —2) (53х —75); б) f (х)=(17х-29) (х2-3).
2.233. Найдите все значения х, при которых
4
а) график функции у=1—лежит ниже графика
функции у = х2_45/+-4 ;
б) график функции у =--- лежит выше графика функ-
X — о
8 1
ции У= 7-б7+'9-к
2.234. Найдите все целые а, для которых выполняется неравенст-
во
a) f(a)>f(a+2), f(x)=x-^r;
б) f(a).f(a + 2)<0, /(х)=-Д^-1.
х2 — 1
Решите неравенство (2.235—2.242):
2.235. а) 1+х+|х2—х-3|<0; б) х2 —7>|Зх-7|.
2.236. а) х2 — 2х —8<7|х—4|; б) |х2 — Зх| +2х—6<0.
2.237. а) 1,5х—|х|4-|2х—4|>4; б) 2х—5 + 2|х-3| < |х+11.
2.238. а) |х—2х2| >2х2 —х; б) |х2 + 6х + 8|<-х2-6х-8.
2.239. а) |х-3| + |х+1 |<|у/5-3| +1^5+11;
б) 2|х|4-15-2д/7| >2у/74- 15-2х|.
2.240. а) |х-1-х2|<|Зх-х2-4|; б) |х3-1|<1-х.
2.241. a) |i±|| >1; б) | >2.
2.242. а) <6; б) .
2.243. Найдите все целые а, удовлетворяющие условию:
а) ‘,77|°'+1|) <0; б) >>•
' a —6a + 9 ' 4— |a— 5|
Решите систему неравенств (2.244—2.245):
2.244. а) 1 и5 to ! to W и w to О 1 * O\ (^->1 | 2x-5
x — 4 1 Зх^2__6-х>2х-7. D 2.
2.245. а) x<3 !— 6) X— 1 ' < x + 7 , 3x+l x—5 1 2
lx-1| <4; |5-x| <2.
60
2.246. Найдите все х, удовлетворяющие обоим условиям:
а) |х2 + 5х|<6и |х+1|>1;
б) |х+1|<3 и |х2-4х| >5.
2.247. а) Найдите все решения неравенства —^--^0, для кото
рых выполняется неравенство (х2—1)(3—х)^0.
б) Среди решений наравенства (х—2) (х2 — 2x-f-1)^0 най-
дите все такие, для которых выполняется неравенство
2.248. Найдите все такие значения х, при которых
а) график каждой из функций f(x)=x2 —Зх и ^(х)—
лежит выше графика функции у=х;
б) график каждой из функций f (х)=^| и q (x)=x2-f-8x
лежит ниже графика функции у =— х.
2.249. Найдите все такие значения х, при которых значение хотя
бы одной из данных функций:
a) f (x)=x2 + 5x-j-3; (x) = -|i^-больше 3;
б) f (х) = 3х2—х+2; <7 (х)=-|^у меньше 2.
Пусть max {f (х); q (х)} обозначает наибольшее из значений
функций f (х) и q (х) для данного х, a min {/ (х); q (х)} — наимень-
шее. Найдите все х, для которых выполняется соотношение
(2.250—2.252):
5х —4|^х2; б) Зх2 —2|^х.
2.250. а) тах|—
2.251. a) min {|х|; х2-(-6х}^7; б) тах{|х|; х2 — 7х)^8.
2.252. a) min{2x2—х—4; x2-f-3x+1} = 3х+12;
б) тах{х2 + х—5; — 2х2 + 7х + 4}=х—1.
Найдите область допустимых значений функции (2.253—2.254):
2.253. a) t/=V24-x2 + - ; б) у=п/х2-2х-7.д/4-х.
V* +*—20
2.254. а) у= б) t/=Vlx2-6|-х2- - 1 -6-г.
Решите неравенство (2.255—2.262):
2.255. а) (х—1)Уб+х-х2>0; б) (16—х2)л/З —х^0.
2.256. а) (х2 + 5х - 6)2 л]х* + 200 < 0;
б) (х2 -8x4-15)2 л/х5 — 300 < 0.
2.257. а) (ж+1)^/£±±<0: б) (x + aJ.Jg^O.
61
2.258. а)
б)
2.259. а)
-у/12 —х—х2 V12—х—х2
2х —7 х—5 ’
•д/8 —2х—х2 V8 —2х—х2
2x4-9 """ х-НО
-\/7—|3х—11 <2; б) 7|2х + 3| -2< 1.
2.261. a) vJLt+3a/v^T>4: б) 4^/—+3 + 5<-2iil.
7 2х — 3 ' V 2х—3 7 V * к
2.262. а) >0; б) ^Е?~2<0.
VxTi + i з
Найдите все такие х, при которых функция f (х) принимает
отрицательные значения (2.263—2.264):
2.263. a) f(x) = б) f(x)=^+]^x+-9..
2.264. a) f(x)= , *2~6x~7 . б) f(x)= -- 8*^9~£- —.
V(2—>/5)x-2V5+5 V(a/6-3)x-6+3a/6 .
Решите неравенство (2.265—2.268):
2.265. а) (х2 —Зх-|-2) (х2—9x4-20) •< 180;
б) 30х2>(х — 2) (х—3) (х2— 10x4-24).
2.266. а) б) 7^'<(к
2-267. a) ^^^lx-11; б) ^-L-^ |х-|-2|.
2.268. а) Ух2-4х4-44-(л/Зх2-5х—Г)2>1;
б) V*2 —6*4-94-(л/4*2-х-2)2>3.
2.269. Найдите все значения а, при которых:
а) ордината точки графика функции у=|х| с абсцис-
сой а не превосходит ординаты точки графика функции
2jc
у=~.—st-, имеющей такую же абсциссу.
|х—о| V
9__х2
б) ордината точки графика функции £/ = — — с абсцис-
• |х|
сой а не меньше ординаты точки графика функции
z/=|x + 3|, имеющей такую же абсциссу.
2.270. а) Л, В и С — точки с одинаковой абсциссой а, ггринад-
2х 7
лежащие графикам функций У=—у = 8—х и У~~
соответственно. Найдите все а, при которых точка С лежит
на отрезке АВ, не совпадая ни с одним иа его концов,
б) М, N, Р — точки с одинаковой абсциссой Ь, принадле-
2‘
жащие графикам функций у=|х4-1|; У=~ и
62
соответственно. Найдите все Ь, при которых
точка Р лежит вне отрезка MN, имея при этом ординату
большую, чем точка М.
2.271. Найдите все целочисленные а, для которых:
а) не выполняется неравенство 2д2-}- 2а + 3 — 0;
б) выполняется неравенство а (а+2)+-^- <6.
2.272. Найдите сумму длин интервалов, на которых выполняете;
неравенство:
а) х2 —x<Z—^—; б) 1 4~4х—х2> 20 г.
Докажите утверждение (2.273—2.275):
2.273. а) Для того чтобы выполнялось неравенство а2—За—
12
— 70 <0, достаточно, чтобы —-^>1-
fl -г 5
б) Для того чтобы выполнялось неравенство За2 —а—
— 4>0, необходимо, чтобы , 3 <2.
2.274. а) Неравенство 5х2 —х—4<0 выполняется тогда и только
9x4-9____________________1
тогда, когда t > 1 •
б) Неравенство 1 выполняется тогда и только тог-
да, когда 2х2 —х — 3>0.
2.275. а) Для того чтобы выполнялось неравенство
необходимо и достаточно, чтобы х4Ч~х3^0.
б) Для того чтобы выполнялось неравенство х4 + Зх3^0,
С
необходимо и достаточно, чтобы !•
2.276. а) Найдите все такие х, при которых выполняются ровно
два неравенства из трех:
—Ц-----Ч->1; -А->0; 2х—1<-|-х.
х—2 х—5 х—3 3
б) Найдите все такие х, при которых выполняется ровно
одно неравенство из трех:
3 |1^ 1 у । 1 л. 1 1
х-3' ^6-х-? ’ 7Л“Г1^и> (х—2Ц-1 3 •
2.277. Найдите все х, при которых
а) выполняется хотя бы одно из двух неравенств:
-Ч?Г<х; 1х-2|> |Зх+2|;
+ 3 2 / хЧ-3
б) одно из двух неравенств -4.-—-<0 и V'77~T>2
X 1 — X у 1
верно, а другое — нет.
63
12х_15
2.278. а) Найдите все решения неравенства 2л.г^_~^ 1»
не являющиеся одновременно решениями неравенства
(х-|2х-3|)(3-х)<0.
б) Найдите все х, при которых определены левые и правые
части обоих неравенств: ^9^15 и 9Г? >0’ но
ни одно из двух неравенств не выполняется.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. ДЕЛИМОСТЬ.
ИНДУКЦИЯ
2.302.
2.303.
2.304.
2.305.
2.301. Найдите число, если:
а\ 950/ его оавны (81,624:4,8 — 4,505)2+125-0,75 .
а) 20/о его равны ((0 442.088+353)2_2>752):0,52 ’
61 12 5°/ его оавны ((5.22:2,6+8,1)2-6,52):0,025
О) 12>ЬЛ его равны (60,192:2,4—1,08)2-0,24-1400 ‘
Найдите положительное число, если:
а) 45% от него составляют столько же, сколько состав-
ляют 20% от числа, ему обратного.
б) 27% от него равны 90% от его квадрата.
Вычислите без использования микрокалькулятора:
а) 16,878-16,886—16,88-16,884;
б) 127,07-127,19—127,06-127,2.
Сравните значения выражений, не пользуясь микрокаль-
кулятором:
а) 1916 и 188-189-190-192-193-194;
б) 278942+16182 и 278952+ 16172.
Вычислите ^/р, если:
а) р — среднее арифметическое чисел А и В, где
д_ 1582+158-185+ 1852 R_ 1582—158-185+1852 .
А~ 158+185 ’ 185—158
б) р — среднее гармоническое чисел А и В, где
д_ 288 + 224 . R_ 288 — 224
А— 2882 + 288-224 + 224г ’ D— 2882 -288-224+2242 '
(Средним гармоническим двух положительных чисел а и b
называется число х такое, что — =4-f——•)
х 2 \ а 1 Ь / /
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби (2.306—
2.307):
2.306. а)
б)
2.307. а)
__________10____________.
V5-VT0 + V20+V4O —V80 ’
________________________
т/3 - л/6 - л/24 - V48 + V108
1 gx 1
V25 + V5+1 ’ ’ V9 —2V3 + 4
64
Упростите (2.308—2.309):
2.308. а) л/63-3<175—0,5^/343+7112;
б) VL25+780—i7-^45-V180-
2.309. a) ^T^-i---1-----(11-5 75) (2+75);
V2+V5 2^2+1 v । v /.
б) 2 73 + 0,25(72Т-5)(77 + 3 73) + 2^^-.
__________________ 14--V7
2.310. Пусть S=^jp (p — a)(p — b)(p — c), где р=0,5 (а + 6+с).
Найдите 3, если:
а) а==75; b=2; с=^/б; б) а = 3; 6=710; с=2-^2.
2.311. Найдите а2 и а, если:
а) а=715-4 714-715 + 4 714;
б) а =722—4 730 -<22 + 4 730.
2.312. Сравните значения выражений:
а) <5 72-7 и — - -;
<3+2^2
б) 74+2Тз и <б7з+ю.
2.313. а) Докажите, что число 2—\/3 является корнем уравнения
х —5х2 + 5х— 1 =0.
б) Докажите, что число 3—Т2 не является корнем урав-
нения х3 — 7х2— 7х+1=0.
2.314. а) Пусть/(х)=Зх3 + 5х2—х — 7. Покажите, что/(2+7§)+
+/ (2—73) — целое число.
б) Пусть / (х) = 2х3 — 7х2 4- 2х — 3. Покажите, что
f (3+V2) — ИЗ—л/2)
—'' r v / 1 v—1.2--целое число.
л/2
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
(2.315—2.317):
2.315. а) ; б) .
’ ’ М5-М2
2.316. а) ---б) Г- ‘г--------------•
^2+73-3
2.317. а) --- 1 Сравните значение выражения с чис-
2+717-12^
8
ЛОМ — .
2
б) ——=---------. Сравните значение выражения с чис-
711-4^7+^63
ЛОМ .
У
65
Упростите (2.318—2.321):
2.318. a) V6+V5------ * ; б) 77-72------5
711-2 <30 -V9 + 2 <14
2.319. а) (3—->/5)2 —6-^14 —6-\/5; б) (2~73)2-4^7-47з.
2.320. a)V5V2-7-\/3 + 2^; б)
74 —2<3
2.321. а) • Сравните результат с числом 5
/---у= __5
б) . Сравните результат с числом 2 3.
2.322. Удовлетворяет ли данное число данному неравенству:
а) -734-24^-734 + 24 ^2, 7х2 + 58х+13>0;
б) 7а~4 75-79+475, Нх2 + 26х—73<0?
2.323. Докажите, что данное число является корнем данного урав-
нения:
а) ^З-^Д-. 3/3+9/-8=0;
б) 74 + 2^5, t3-12/-20=0. '
2.324. Докажите, что одно и только одно число из пары является
корнем данного уравнения:
a) V2+V4 и V2-V4. х3 —6х —6 = 0;
б) V9+W и 79—ЗД х3 + 9х —6=0.
2*325. Сравните без помощи микрокалькулятора и таблиц:
а) 1+72 и <5; б) 719-^3 и 1.
2.326. Найдите все пары рациональных (Л; с), для которых выпол-
няется равенство:
a) yi5 + *^=V6-c; б) 7^-л/с=75—
2.327. а) Найдите пару рациональных чисел (Л; т), для ко-
торых (&+/п Т§)3=45—29-\/2, и упростите выражение
л/2-729 72-45.
б) Найдите пару рациональных чисел (а; Ь), для которых
(а+ 6 73)3= 15 73 — 26 и упростите выражение
726-1573+73.
2.328. Какое из двух чисел ближе к единице:
а) 2,5-ТбТили 0,4-^5;
б) -i-A/iT или -г-Vo^?
□ V о О
66
Упростите выражение (2.329—2.335):
2.329. а) 1 4 (а-3)(а-д) 1 1 4. (3 —&)(3 —а) 1 1 (&-а)(6-3) ’
б) 1 4 (с-&)(с + 4) 1 1 4- (Ы-4)(&-с) 1 1 (с + 4)(* + 4) •
2.330. а) °2 - 1 - 1 -1 .
(а+1)(а-с) 1 (с + 1)(а+1) 1 (с—а) (с +1) ’
б) 9 Ь2 с2
(fr-3)(c-3) (b-c)(3-b) (3-c)(c-ft) •
2.331. а) / * ./ V* — -у/х— с? -\/х+-\/х—а2 \ .
V х—а2 \ -ft. — ^]х— а2 /
б) ( г ' - X -yja—yja — b 1 VH+VH+& )’(1+л/а-Ь
2.332. а) '+ь(^±^\ \ 2а -у[Ь / -1
/ о+Уад\-' \ 2ab ) +(Ч#)"
2335 а) ( ~^~2 I _______—;
2.335. а) {а + 2^а+а_2^) а+4 а —4 ’
б) ( _+ *-.!---) (х2-1)“.
2.336. а) Пусть -°-+Д=-§~. Вычислите 2? TfLЦ1
' J a—2b 3 2a2 + 5ab + 3b2
б) Пусть — *У~У. г =4-. Вычислите 2х+5у ,
х — ху+41/2 5 у—1х
2.337. Вычислите:
а) а3Ч-2а2+-^+-^-, если а+-|-= — 4;
б) 263 + ЗЬ2+-^~р-, если b —J-=3.
67
2.339.
2.340.
2.341.
2.338. Пусть
а) Вычислите (а2Ч-аг-Ь-Ч-а*)(6? + 62 + :.. + ^)—(aibi +
4“ 02^2 Ч” ••• Ч" ОпЬп)2.
б) Вычислите '-+.&2+•" ~h.^L, если для всех
yoibi 4-_уа2б2“Ь... ~{~увпЬп
l^.k^.n а.ь>0, bk>Q.
При каких натуральных п значение данного выражения явля-
ется целым числом (2.339—2.341):
\ .(!____6л_\ .
л! ^ (/»+!)! 7 \ я! (я + 1)! ) ’
Ч («4-1)1 я! 7 Л «I (« + !)!/'
п2 + 5п —8 . -ч — п2 + 2п —31
л+3 ’ ' л+3
2п2 + 5п —5 . fix 3n2 + 4n —3
«4-1 ’ °' «4-3
2.342. При каких целых п значение данного выражения явля-
ется натуральным числом?
\ 2п2 + 9п + 13 в 3п2 + 5п + 3
п + 2 ’ °' п + 2 *
2.343. Найдите все такие значения k, что уравнение имеет только
целые корни, и для каждого такого k укажите эти корни:
a) kx2-(k2+4)x + 4k=0-9
б) Л(Л+1)х2-(7Л4-3)х+12 = 0.
2.344. На графике функции найдите все точки, абсциссы и ор-
динаты которых целые числа:
а) У=^', б) у=^.
2.345. а) Докажите, что все числа вида х = 1 —5л, */=2Ч-Зл, где
n£Z, удовлетворяют уравнению ЗхЧ-5*/= 13, и найдите
среди них такие, что |хЧ-*/1 имеет наименьшее значение,
б) Докажите, что все числа вида х=2Ч-Зл, */=1-|-7л, где
n£Z, удовлетворяют уравнению 7х—Зу= 11, и найдите сре-
ди них такие, что |х—у\ имеет наименьшее значение.
2.346. а) Докажите, что все числа вида х=7— Зп, y=3-j-5n, где
n£Z, удовлетворяют уравнению 5x4-3*/= 44, и укажите сре-
ди них такие, что ху — наибольшее.
б) Докажите, что все числа вида х=8-(-5л, */=3-(-11л, где
пQZ, удовлетворяют уравнению Их—5*/ = 73, и найдите
среди них такие, что ху — наименьшее.
Найдите все такие целые числа х и у, для которых вы-
полняется условие (2.347—2.352):
2.347. а) х2—*/2=4; б) х?-}-ху=10.
2.348. а) (хЧ~*/)(*/—1)=4; б) (х—у)(х—1)=4.
2.349. а) (х-3)(х*/Ч-5)=5; б) (*/-(-1)(ху—1)=3.
68
2.350. a) x2 —3xz/ + 2y2=3;
2.351. a) x2 + 23=y2;
2.352. a) (x>y
J 2x+y<32
I x + 2y>28;
6) x2 — 2xy — 3z/2 = 5.
6) x2 —47=y2.
6) (x<y
{ 2x+3t/<42
|3x+2i/>38.
Докажите, что данное число составное (2.353—2.354):
2.353. а) 413 — 56: б) 415-216 + 1.
2.354. а) 4-1996^ + 8-1996-1997 + 3-19972;
б) 2-19952 + 9-1995-1999 + 4-19992.
2.355. а) Докажите, что число, записанное семью единицами и
четырьмя пятерками, взятыми в произвольном порядке,
является составным.
б) Докажите, что число записанное восемью семерками и
пятью пятерками, взятыми в произвольном порядке, явля-
ется составным.
2.356. Докажите, что число р — простое:
а) р = 389; б) р=401.
2.357. а) Найдите все простые числа р такие, что числа р+10
и р + 14 тоже будут простыми.
б) Найдите все простые числа р такие, что числа р+20
и р+4 тоже будут простыми.
2.358. а) Докажите, что число (п + 1)4 + 4 при всех натуральных
п составное.
б) Найдите все такие натуральные п, что число 4п4+1
простое.
2.359. а) Сложили все пятизначные числа, полученные из числа
23751 перестановками его цифр (включая и само число).
Докажите, что полученная сумма делится нацело на 11111.
б) Сложили все пятизначные числа, полученные из числа
83572 перестановками его цифр (включая и само число).
Докажите, что полученная сумма не делится нацело на 111.
2.360. а) Докажите, что сумма четырех последовательных нату-
ральных чисел не делится на 4.
б) Докажите, что произведение четырех последовательных
натуральных чисел делится на 24.
2.361. а) Произведение k подряд идущих натуральных чисел не
делится на 111. При каком наибольшем k такое возможно?
б) При каком наименьшем п произведение любых подряд
идущих п натуральных чисел делится на 242?
2.362. Найдите наибольшее натуральное число п, при котором
а) 85! делится нацело на 2";
б) 1071 делится нацело на 3”.
69
2.363. а) Сколько среди взятых подряд двухсот натуральных чи-
сел может быть таких, которые при делении на 7 дают в
остатке 5?
б) Сколько среди взятых подряд ста сорока двух натураль-
ных чисел может быть таких, которые при делении на 5
дают в остатке 3?
2.364. При каких натуральных значениях п дробь является прави-
льной и несократимой? Укажите все такие дроби.
х п2 + 16п . п2—п-1-15
а‘ 9п+60 ’ °* 7п4-3 '
2.365. а) Пусть остаток от деления натурального числа т на 7
равен 3. Найдите остаток от деления на 7 числа 3m2-f-
“I- 5/?г +1.
б) Пусть остаток от деления натурального числа п на 9
равен 5. Найдите остаток от деления на 9 числа 4/г2+7/1+2.
2.366. а) Какова будет дата (год, месяц, число и день недели)
через 1000 дней после дня решения этой задачи?
б) Какова была дата (год, месяц, число и день недели)
за 1000 дней до вашего экзамена?
2.367. а) На часах 7 ч 28 мин 5 с. Какое время было на часах за
50000 с до данного события?
б) На часах 13 ч 23 мин 8 с. Какое время будет на
часах через 100000 с?
2.368. а) Докажите, что при всех натуральных значениях п наи-
меньшее общее кратное чисел /г2 + 6/г + 9 и /г+4 равно
п3+ 10/г2+33/г+36.
б) Докажите, что при всех натуральных значениях п наи-
больший общий делитель чисел /г2 + 10/г + 21 и /г2 + 9/г +18
равен /г+3.
2.369. а) Найдите наибольший общий делитель чисел
111... 1 и 222^2
100 единиц 50 двоек
б) Найдите наименьшее общее кратное чисел
Г11...1 и 333...3
150 единиц 50 троек
2.370. а) Выписали все натуральные числа от 1 до 933.
Сколько раз записали цифру 1 ?
6) Выписали все натуральные числа от 1 до 837. Сколько
раз записали цифру 0?
Докажите утверждения, используя, где это удобно, метод
математической индукции (2.371—2.386) (п — любое натураль-
ное число, если не оговорено другое'):
2J71. а) 12 + 22+З2 +...+/г2 = "(nt.V + !>,;
б) I3 + 23 + З3 +...+л3=-n2l?±-^ .
70
2.372. a) 1.4 + 2-7 + 3.10 + ... + n(3n + l)=n(n + l)2;
б) 1 -2+2-3+3-4 + ... + n (n +1)= ”(” + 1H”+2) .
О
2-373- a> ^+A+---+(4.-3)‘(.„ + .) = 4^i-:
6) 2T"*"7Л2"-*"(5n-3)(5n+2) = 10я+4 ‘
2.374. a) ±+^-+^+„.+^=2-^;
/*\ 1 12.3. I n 3 /1 2n 4~3 \
6' 3 + 32 + 33 +-+ 3" 4 v 3"+* ) •
. na . (n+l)a
sin —«sin
2.375. a) sin a + sin 2a + ... + sin na=--------, a#=2nfe,
siny
k — целое число;
. na (n-|-l)a
sin y-cos^----
6) cos a + cos 2a + ...+cos na=-----------, а#=2лА,
sinT
k — целое число.
2.376. а) Если последовательность задана своим первым членом
а\ и рекуррентным соотношением ап+\ =аЛ+й, то ап = а\ +
+ d (и — 1). Докажите, используя метод математической ин-
дукции.
б) Если последовательность задана своим первым членом
bi и рекуррентным соотношением bn+\=bn-q, то Ьп =
= b\*qn. Докажите, используя метод математической ин-
дукции.
2.377. а) 6I + &2 + ... + &n=-^TiL, где 6n = &i.<7n-'; <7^=1. До-
кажите, используя метод математической индукции.
б) ai + а2 +...+а„ =-0| +где an = ai-j-d (n — 1). До-
кажите, используя метод математической индукции.
2.378. а) 32п—1 делится на 8; б) 52п—1 делится на 24.
2.379. а) 5'*+2-Зп — 3 кратно 8;
б) 42л+1_|_з2я+|_7 кратно 84.
2.380. а) 7л + 12п —1 кратно 18; б) 6я+20п —1 кратно 25.
2.381. а) Все члены последовательности (а„), где ап = 25я+3+
4-5” •Зп+2, делятся на 17.
б) Все члены последовательности (&„), где 6п = 2п+5-34'’ +
+ 53п+1, делятся на 37.
2.382. а) Зл>п + 1; б) 2">п.
2.383. а) при п>4 2”>п2; б) при л>3 3">п3.
2.384. а) (1,5)"> 1 +0,5п; -б) (0,7)n> 1 -0,3/г.
71
2.385. а) ^+±+...+_2=>л/^+Т_1;
V2 л/3 л/яЧ"1
б) (1+а)я^1+ап, где а> — 1.
2.386. а) В выпуклом /г-угольнике (п>3) Зп- диагоналей.
б) N различных точек на прямой определяют от-
резкое с концами в этих точках.
Для рекуррентно заданной последовательности докажите, что
ее общий член может быть задан приведенной формулой (2.387—
2.390):
2.387. a) ai=0,25, dk+\ =0,5^оа4~ ) ’ &п = 2rt+i ’
б) &i = l, bk+i =-|-(&*+2-3-*); Ъп=^-.
2.388. a) Ci=2, Q+i =2(а+2*); c„=n«2n;
б) ai=0, Oft+i =3(а*4-3*); о„=(л-1)-Зл.
2.389. a) ai=5, at+i=2a* —Л + 1; ап = 2п+1+п;
б) Ci=2, Ck+i=3Ck+2k— 1; сп = Зп — п.
2.390. a) di=2, dk+i =2(dt+(2k +1)-2*); d„=o2.2n;
1 1 7 I 2Л + 1 \ п2
5) О1 g , (Ifc-J-l g yOft”| у , On ’.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Вычислите (2.401 —2.410):
2.401. a) sin-^-, если cosa=-|-, л<а<2л;
6) cos-|-, если cosa=-£- ; л<а<2л.
2.402. a) sin 2а, если tga=3;
б) cos 2а, если ctg а=0,5.
2.403. a) sin а, если cosfa+-^) =—-^-<а+-^-<:л;
б) cos а, если sinf-^—а) = , -£-<-?—а<л.
2.404. a) sin3 a—cos3 а, если cos a —sin а=^;
-Jo
б) cos 2а tg 4а, если cos a + sin а=-^-.
2.405. a) cos-^-cos-^, если cosa=-|-;
б) sin a sin За, если cos 2а = —j-.
2.406. a) tg a tg За, если cos 2а = —0,2;
б) ctg ctg у-, если cosa=-|-.
72
2.407. a) Ocos2°+3,, если ctga=3;
7 2 sin 2a — Г & ’
5 —4 cos а « 1
7~: -a~~—если ^т=-т-
(s,n“2cosyj
tg x, если 4 cos 2x-j-5 sin 2x=2 sin2 x, x — угол III чет-
6)
2.408. a)
верти;
6) ctgx, если sin2x=3 —11 cos2x, x — угол II четверти.
2.409. a) tg 2a + 3 tg если tga=-y, n<a<-y;
6) tg2a — 5tg-y, если tga =—-y<a<n.
2 410 я cos H0° Vsin* 1Q° —cos3 80° .
sin 20° ’
_______cos 20° —0,5_____
cos 110° V0,75- sin 80° cos 70°
Докажите тождество (2.411—2.414):
2.411. а) 1 sin а —ctcrf—4-—\ а_2/ п \ 1—sin 2a cos a Ct4 4 1 2рб) lg(4 a) 1+sin2a .
2.412. а) cos 2a = 1 sin2 2a ctg a —tg a 4
б) cosa+sin«=t 2a+cos_* 2a. cos a —sin a &
2.413. а) sin a 4-cos (2ft —a) 1 4-gin 20 . cos a — sin (20 — a) cos 20 ’
б) ^(2«+P.).._2 COS (a+0)=44 sin a 4 7 sin a
2.414. а) / tg a —sin a 1 ~ „тт л :—=— ctg a при —<а<л, V tga-hsina sin a 2
б) / 1 4-sin a . / 1 — sin a 2 л . 3л V 1—sina ' "у 1 + sin a cos а П^И 2 a 2
Упростите выражение (2.415—2.418):
2.415. ч 4 cos a sin a a) ; o) cos a. x 2 a x 2 a • x a tg y—ctg у sin a—cos a tg-g-
2.416. к cos 3x4-cos 5x4-cos 7x . 4 sin 2y sin 3y * . sin 3x4-sin 5x4-sin 7x ’ sin 2i/4-sin 4r/— sin 6y
2.417. a) ctg a -f- ctg 2a + . * ; 6) —2g tg--. 7 & 1 & 1 sin 2a 7 ctg a 4-tg a
2.418. a) 2 (sin6 a-J-cos6 a)—3 (sin4 a+cos4 a); sin4 a 4-cos4 a — 1 sin6 a4-cos6 a—1
2.419. Какие целые значения может принимать выражение: а) 7 cos a — 3 sin a; б) 5 cos a-|-4 sin a?
73
2.420. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:
а) 3 cos а 4-4 sin а; б) 5 sin а —12 cos а.
2.421. Какое из чисел ближе к единице:
а) 2 sin 29° или 2 sin 31°; б) tg44° или tg 46°?
2.422. а) Пусть 2 cos 2а + 7 sin а = 0. Найдите sin а и cos 2а.
б) Пусть 13 cos а—2cos2a = 5. Найдите cosa и cos 2а.
2.423. Докажите, что для всех допустимых значений а:
2.424. Докажите, что два равенства одновременно не выполнимы
ни при каких аир:
а) cosa = 5cosp — 2 и sin a=6 cos Р + 3;
б) cosa=3sinp —2 и sin a = 5 sin p +1.
2.425. Пусть ai, аг, аз. an составляют арифметическую про-
грессию: d = a,2 — aj. Упростите выражение:
а) 1) sin ^-(sin ai-|-sin аг + ... + sin an);
2) sin ai-j-sin a2-b...-|-sin an;
6) 1) sin-|-(cos ai 4-cos a2-|-.” + cos an);
2) cos ai+cos аг + ...+cos an.
Вычислите (2.426—2.430):
2.426. a) cos a, если sin (a+-|-) = —-Ц-,аа—|—угол III чет-
верти;
6) sin а, если cos^a—а a—J—Угол I чет-
верти.
2.427. a) cos(a+^?-) , если sin^-yy—a) =^;
6) sin(y—p) , если cos(-^-+p) = -.
2.428. a) tg4 a + ctg4 a, если tga—ctg a = a;
6) д/tg3 а+д/ctg3 a> если tg a + ctg a = a2 —2, (a >2).
2.429. a) sin 50° (1—2 cos 80°);
6) sin 10° (0,5 +sin 70°).
2.430. a) 2siniQ°+sin5Q°
2 sin 80°—V3sin50°
6) cos2 70° +sin2 25°+д/2 cos 70° cos 65°.
2.431. а) Пусть л<а<^, tga=^, 0<p<-=-, tgp=^-.
Докажите, что a + p = -~.
б) Пусть 0<a<^-, tg a=4-, n<p<^-, tg P=-|-. До-
кажите, что a + p = -j\
74
Докажите тождество (2.432—2.434):
2.432. a) tg3a=tgatg(60° + a)tg(60° — a);
б) sin 3a=4 sin a sin (60°—a) sin (60°+a).
2.433. a) sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°=-^;
6) cos -уЦ-cos -y-|-cos -y=—0,5.
2.434. a) tg аД-tg 0 + tg a tg 0=1, если a + 0=-2-, a>0, 0>O.
6) cos2 a+cos2 0=0,5—-^2 cos a cos 0, если a>0, 0>O,
a + 0=v-
Пусть А, В и С — углы треугольника. Докажите тождество
(2.435—2.436):
2.435. а) ctg-y+ctgpctg-y=ctg-y-ctg-|-ctg-у-;
б) ctg A ctg B + ctg A ctg C-f-ctg В ctg C= 1.
2.436. a) sin 4Л-(-5Й1 4B + sin 4C= — 4 sin 2Л sin 2B sin 2C;
6) sin ЗД + sin 3B + sin 3C = — 4 cos cos cos .
Упростите выражение (2.437—2.438):
1—sinf 2x—
2.437. a) ---------;
(1+V3) cos x—(-75— 1) sin x
-^ctg^-2—x^ 4-sin x+cos x
« >( x . л \
2cosV+t)
2.438. a) -----^2-----r---cos(a+ -£-):
l_2sin(-=-2a) V 67
6) cos_3a-- ta/a+ л\ .
14-2cos(-y4-2a) ' '
Докажите неравенство (2.439—2.440):
2.439. a) sin3 a + cos5 a— 1; 6) .cos3 a—sin7a^l.
2.440. a) -y/cos 70°+Vcos 20°>l;
6) Vsin 10°+Vsin 80°>l.
Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения
(2.441—2.442):
2.441. a) cos 2a+3 sin a; 6) •cos-^cos -2-..
75
2.442. a)
(sin a —cos a)2 .
1 + sin a cos a ’
1~б5'п2(т)
З4-cos a
2.443. а) Решите неравенство x2—x (cos 2+cos 3)4-cos 2 cos 3<0
и укажите какое-нибудь рациональное число, ему удовлет-
воряющее.
б) Решите неравенство х2—x(sin 2-(-sin 3)4-sin 2 sin 3>0
и укажите какое-либо рациональное число, ему не удовлет-
воряющее.
2.444. Решите неравенство и укажите какое-либо число, ему удов-
летворяющее:
а) х2 — 2x-cos 6,5 cos 0,5-(-cos 6 cos 7<0;
б) x24-2x«cos 3,5 sin 0,5—sin 3 sin 4<0.
2.445. Сравните значения выражений:
a) cos (5 — 2a) cos 2a — sin (5 — 2a) sin 2a и
sin (a-(-2) cos (1 —a)4-sin (1 —a) cos (a 4-2);
6) cos (4-(-a) cos (1-(-a) 4-sin (1-(-a) sin (4 4-a) и
sin(5-f) cos(-f)-sin(-f) cos(5-f) .
Докажите утверждение (2.446—2.448):
2.446. а) Числа sin 5°; 0,5 cos 25° и sin 55° составляют арифме-
тическую прогрессию.
б) Числа cos 20° — 0,5; sin 40° и cos 20° составляют геомет-
рическую прогрессию.
2.447. а) Для того чтобы 8 cos 2a—-sin 2a = 4, достаточно,
чтобы 2 cos a 4-3 sin a=0.
б) Для того чтобы 3 sin a-f-cos a = 0, необходимо, чтобы
4 cos 2a 4- 7 sin 2a = — 1.
2.448. Два выражения А и В равны при всех допустимых зна-
чениях а. Найдите также все такие значения, принимае-
мые выражением Л, которые не принимает выражение В.
\ л г> ~ о sin 3a —sin a
а) ^=2sina, В==—;——п-----------
z 1 _*) cinz ’
б) А =2 cos а, В
cos 3a 4-cos a
2 cos2 a — 1
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
2.501. а) Не решая уравнения 2х2 — Зх —11=0, найдите -г-^—(-
4-тг—. где Xi, х2 — его корни.
1 “Г Х2
б) Не решая уравнения 9х24- 18х — 8 = 0, найдите xi-(-*2,
где Xi, х2 — его корни.
2.502. а) Найдите значение выражения ---, где хь
х2 — корни трехчлена х2 4-9x4-13.
76
б) Найдите значение выражения , где Xi,
Х2 — корни трехчлена х2— 18х +11.
2.503. а) Пусть xi, х2 — корни квадратного уравнения х2 + 13х—
— 17=0. Составьте квадратное уравнение, корнями кото-
рого являлись бы числа 2—Xi и 2—х2.
б) Пусть Xi, х2 — корни квадратного уравнения х2—7х—
—46=0. Составьте квадратное уравнение, корнями ко-
торого являлись бы числа 2xi+x2 и 2х24-хь
2.504. а) Пусть Xi, х2 — корни квадратного уравнения х2+3х—
—2=0. Составьте квадратное уравнение, единственным
х2-!-*2
корнем которого явилось бы число —* * .
б) Пусть xi, х2 — корни трехчлена х2 — 7х-|-3. Напишите
квадратный трехчлен, корнями которого являлись бы числа
2.505. а) Найдите а, если xi и х2 — корни уравнения 2х2 +
-|-(2а — 1) х + а —1=0 — удовлетворяют соотношению
3xi—4х2 = 11.
б) Найдите а, если Xi и х2— корни уравнения ах2 —
—(а+3)х-{-3=0 — удовлетворяют соотношению —=1,5.
2.506. а) Определите b, если один из корней уравнения 4Х2 —
— 15х + 6=0 является квадратом другого.
б) Определите р, если сумма кубов корней уравнения
2х2 —8х-|-р=0 равна 34.
2.507. а) Найдите наибольшее значение функции у=— х2+
+рх+<7, если ее график проходит через точки Р (— 1; —13)
и Q (3; —1).
б) Найдите наименьшее значение функции z/=2x2 + 6x+c,
если ее графику принадлежат точки А (— 1; 10) и В (2; 13).
2.508. Задайте формулой квадратичную функцию, если:
а) ее график проходит через точки А (0; —2) и В (—2; 4) и
функция принимает значение —4 в единственной точке;
б) ее значения при х= — 1 и при х=2 совпадают, ее
наибольшее значение равно 3, а график содержит точку
Р(1; 1).
2.509. а) Найдите наименьшее значение выражения х—2xz/ +
+ 8z/2, если x4“2f/=4.
б) Найдите наибольшее значение выражения — 7х2 —у2,
если Зх—у= 1.
2.510. а) Пусть 2х+3у = б. Докажите, что ху^1,5.
б) Пусть Зх —7у = 2. Докажите, что 21ху+1^0.
2.511. а) Определите длины сторон прямоугольника с диагональю
равной 10, имеющего наибольшую площадь.
б) Определите площадь прямоугольника, периметр кото-
рого равен 28, имеющего наименьшую диагональ.
77
2.512. а) Сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 2.
Найдите его корни, если координаты вершины графика
соответствующей ему квадратичной функции (4; —2,5).
б) Найдите координаты вершины графика квадратичной
функции, если сумма корней соответствующего ей квад-
ратного трехчлена равна 5, сумма квадратов корней рав-
на 13, а сумма коэффициентов трехчлена равна ( — 2).
Определите все значения, которые может принимать
выражение (2.513—2.514):
2.513. а) Зх + 4у, если х2 + у2 = 25; б) х + Зу, если ху=12.
2.514. а) х3 + ху, если х2 —Зх + у + 6 = 0; б) у —х2, если 2х2 +
+ У2 = 7.
2.515. а) Найдите коэффициенты а и b в уравнении каждой пря-
мой у = ах-^Ь, проходящей через точку Л (0; 2) и имеющей с
параболой у=1— 4х — х2 единственную общую точку.
б) Найдите коэффициент а в уравнении параболы у=х2 —
— ах + 3, имеющей единственную общую точку с прямой
у = 2х—1.
2.516. Докажите, что уравнение x2 + &x-f-c=0 имеет 2 различных
действительных корня, если:
а) 0,25 + с<0,5&; б) 2,25+1,5Ь + с<0.
2.517. а) Графики квадратичных функций у = а\х2 + &ix+ci и
у = а2х2 + &2х+с2 пересекаются в точках с абсциссами 0 и 3.
Докажите, что если ai>a2, то b\<Zb2.
б) Графики квадратичных функций y = aix2 + &ix+ci и
у = а2х2 + &2х + с2 имеют единственную общую точку, абс-
цисса которой равна 0. Докажите, что если &i&2<0, то
а\=а2.
2.518. а) Найдите координаты точки графика функции у=х+1,
сумма квадратов расстояний от которой до точки А (4; 0)
и до начала координат — наименьшая.
б) На графиках функций у=х + 3 и у=х — 4 найдите точки
с одинаковыми абсциссами (укажите их координаты), для
которых сумма квадратов расстояний от каждой из них
до точки М (1; 2) — наименьшая.
2.519. а) Определите координаты точки графика функции
у = х2 + Зх + 5, сумма расстояний от которой до осей коор-
динат — наименьшая.
б) Определите координаты точки графика функции
у=|х —3| +2, сумма квадратов расстояний от которой до
осей координат минимальна.
2.520., а) Найдите координаты точки С на прямой у=4 —2х, та-
кой, что радиус окружности, описанной около треугольни-
ка ЛВС, (Л (0; 0), В (2; 0)) — наименьший.
б) Найдите координаты точки F на прямой у = 3 — 0,5х
такой, что длина медианы КР треугольника FKM (М (0; 0);
К (2; 0)) — наименьшая.
78
2.521. а) По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направле-
нии их пересечения одновременно начинают двигаться два
автомобиля: один со скоростью 80 км/ч, другой —
60 км/ч. В начальный момент времени каждый автомо-
биль находится на расстоянии 100 км от перекрестка. Оп-
ределите время после начала движения, через которое
расстояние между автомобилями будет наименьшим? Како-
во это расстояние?
б) Две материальные точки, находящиеся в начальный мо-
мент времени в точках А (1; 3) и В (0; —2), одновременно
начинают двигаться в направлении точки С (Г, —2) с оди-
наковыми постоянными скоростями, равными 0,5 ед/с, по
прямым х=1 и у = — 2 соответственно. Через какое время
после начала движения расстояние между точками станет
наименьшим? Определите это расстояние.
Найдите все значения параметра, при которых выполняется
заданное условие (2.522—2.527):
2.522. Уравнение имеет единственный корень:
а) ах2—(2а 4-6) x-j-За 4-3 = 0;
б) ах2 + (4а+2)х+За+-|-=0.
2.523. Уравнение имеет 2 различных действительных корня:
а) (6-1)х24-2х-\/11 -f>2+1 =0;
б) Ьх2 —2хд/15-62 — 2=0.
2.524. а) Неравенство (а+ 4)х2 — 2ax-j-2a —6>0 не выполняет-
ся ни при каком действительном х.
б) Неравенство (а — 3)х2—(а+1)х-|-а-|-12>0 выполняет-
ся при всех действительных х.
2.525. а) Квадратный трехчлен 0,5х2 —2х — 5а 4- 1 имеет два раз-
личных действительных корня, сумма кубов которых мень-
ше 40.
б) Квадратный трехчлен —2х24-4х— 36+ 1 имеет два раз-
личных действительных корня, сумма кубов которых мень-
ше 20.
2.526. а) Сумма квадратов двух различных действительных кор-
ней уравнения ах2+4х — 3=0 больше 10.
б) Сумма квадратов двух различных действительных .кор-
ней уравнения ах2 — 5х 4-2=0 меньше 21.
2.527. Функция / (х) = 6х2 —6x4-3 имеет наименьшее значение, и
это значение меньше 2,5.
б) Функция f (х)=6х24-4х4-5 имеет наибольшее значение,
и это значение больше 5,5.
Для каждого значения параметра решите неравенство
(2.528—2.53 Г):
2.528. а) ах24-(2а —3)х4-а4-1С0;
б) (а4-1)х24-(2а- Г)х4-а4-2>0.
те
2.529. a) x2-(3a + 6)x + 2a2+lla + 5<0;
6) x2 — (4a + 2)x+3a2 + 8a-3>0.
2.530. a) (3a — 7)x > 5a — 3; 6) (2 —3a)x<3a —1.
2.531. a) ^^->0; 6) — >0.
7 2x4-1 ’ 7 x— a
2.532. Для каждого значения а решите систему неравенств:
а) (х2-5х+4>0 б) (х2—6х-7<0
(х2 —а2<0; (х2 —а2>0.
2.533. При каких значениях b система не имеет решения:
а) (х2—9<0 б) /16—х2>0
tlx—4|<Ь; tlx—3|>Ь?
Найдите все значения параметра, при которых выполняется
заданное условие (2.534—2.538):
2.534. а) Корни уравнения (а2 — 1)х2+(2а+1)х—3=0 лежат по
разные стороны от точки Хо=1.
б) Число (—1) заключено между корнями уравнения
(4-b2)x2 —(ЗЬ-1> + 7=0.
2.535. а) Квадратный трехчлен (а —2)х2 —2ах+2а — 3 имеет два
различных корня одного знака.
б) Корни квадратного трехчлена (a2+3a—4)х2—
—(3a-|-1)«+1 имеют разные знаки и расположены по раз-
ные стороны от числа 1.
2.536. а) Уравнение х2—(2a-f-6)x-f-4a+12=0 имеет по крайней
мере один корень, и каждый корень уравнения меньше 1.
б) Два корня уравнения х2 — 4ax-f-1 —2a+4a2 = 0 различ-
ны и каждый из них больше 1.
2.537. а) Все решения неравенства —-z- <0 удовлетворяют не-
равенству х2+(4 — а)х—4а-}-4>»0.
б) Неравенство х2—(а —2)х — 2а—4<0 выполняется при
всех х, для которых |х-}-1| <2.
2.538. а) Множество решений неравенства x2-f-3x—4>0 содер-
жит все решения неравенства ax2-f-(8a2—1)х — 8а>0.
б) Из неравенства ах2—(2 + a2)x-J-2a>0 следует неравен-
ство х < — 1.
Найдите все пары (а; Ь), для которых выполняется условие
(2.539—2.540):
2.539. Равносильны неравенства:
а) х2—х(3—а)—За^О и |х—2|^Ь;
б) х2—х(5-Н) + 56<0 и |х-7|<а.
2.540. а) Областью определения функции
у=д/ах2+(^2+46)х —a-f-76-f-10
является множество М: {х| х£(—оо; — 2](J[1; +<»)}.
б) Области определения функций f (х)=V(2—х) (х + 3) и
/ ч /ах24-(а2 — 26)х4-46 —16
q W ----- совпадают.
80
Для каждого значения параметра решите уравнение
(2.541—2.544):
2 541 al (х-4)(х+а) _Q. x2-gx-g-l _Q
а‘ x2-(2e-^x-2a+l U’ °' (х-3)(х-|-2а) U‘
2.542. а) х|х—2|—а=0; б) |х2 — 5х+4| +а=0.
2.543. а) |2х—1| —|3+х|=х+а; б) |х — 3| + |х| =ах + 3.
2.544. а) -\/х — а=х—2; б) -Тах=х-|-4.
Для каждого значения
(2.545—2.546):
2.545. а) -2->х+2;
2.546. а) х2 —a |x-f-ll >0;
параметра решите неравенство
б) ах2—2ах — 1 <0.
б) ах2+ |х| +1 >0.
2.547. Определите количество корней уравнения в зависимости
от а:
а) |х—|2х—3|| =а; б) |х-а|+2 |х—2| =4.
2.548. Найдите все значения а, при которых выполняется заданное
условие. Для найденных а решите уравнение:
а) уравнение =а имеет ровно 1 корень;
б) уравнение (х —4)« | | =а имеет ровно 2 корня.
2.549. Найдите все значения а, при которых система неравенств
имеет единственное решение:
а) ||х—3|^а б) | |х—1|^а
tlx-2а|<5; t |2х+а|<3.
2.550. При каких значениях а система неравенств имеет ровно
одно решение? Для всех таких а найдите это решение:
а) Гх4 — 7х —8<0 б) (|х+а| ^2
(|х —а|<3; 1х2+8х—9>0.
2.551. а) Найдите наименьшее целое а такое, что неравенство
2x4-1
4^-1-4х-|.'5 а выполняется для всех х.
б) Найдите наибольшее целое b такое, что неравенство
—_ >: Ь выполняется для всех х.
9х — 6x4-5
Постройте график функции y=f(x) и, используя его, укажите
(2.552—2.555):
2.552. а) Промежутки возрастания функции f (х)=(х+1) |х— 11;
б) множество значений функции f(x)=x2—|2х—2| — 1.
2.553. а) Множество значений функции f (х) = |х2—Зх—6Ц-
+ 2х — 6 и все целые значения, принимаемые функцией
4 раза;
б) промежутки убывания функции f (х) = |2|х| — х2| — 1 и
все значения, принимаемые функцией нечетное число раз.
81
2.554. а) Промежутки убывания функции f (х) = 2 |х2 — 11 —
— 3 |х+ 11 и ее наибольшее значение на отрезке [—1; 2];
б) множество значений функции f (х) = (1 — |х|) (|х —2| —2)
и ее наименьшее значение на отрезке [0; 4,5].
2.555. а) Множество значений функции f (х)= |х2 + 2х| — |х|Чг2
и значения, которые функция принимает ровно 3 раза;
б) все х, при которых значения функции f (х)=
= |х24-2х — 3| —х2 — Зх положительны, и значения, прини-
маемые функцией ровно 2 раза.
2.556. а) Постройте график функции y=f(x)> где
— при х< —2
—х—2 при —2<х<1
6х—х2 —8 при х>1,
и, используя его, решите уравнение f(x)—a при а=0,
а= —3, а= 1.
б) Постройте график функции у=[(х), где
>/—х— 1 — 1 при х^ — 1
Зх-]-2 при — 1<х<1
-5- при xj> 1,
и, используя его, определите множество значений функции,
а также решите уравнение f (х)=а при а=1, а= — 1.
2.557. Постройте график функции y=f(x\ если:
а) f (х)==-jq- ПРИ xJ>0 и f(x)— четная функция;
б) f (х)=2 -y/l—x — 2 при х<0 и f (х) — нечетная функция.
2.558. а) Пусть 2f (x)-|-f(—) =3х для всех х не равных 0. Най-
дите f (2) и f (0,5). 4
б) Пусть f (х) —3/— —“• для всех х не равных 0. Най-
дите f (3) и .
2.559. Найдите длину наибольшего отрезка, параллельного оси Оу
и лежащего внутри фигуры, ограниченной параболами:
а) у=х2 — 4х—7 и у=9 — х2;
б) у=х2 — 10 и у = 6 —4х—х2.
2.560. Изобразите на координатной плоскости множество точек,
удовлетворяющих условию:
а) 1у1^4х—х2; б) |х|4-2 \у—1|^4.
2.561. а) Пусть у=х |5—х| — 1; х принимает значения от —2 до
6 включительно. Какие значения может принимать у?
б) Пусть у=х2+2х— 12x-f-11. Какие значения может при-
нимать у, если х изменяется от —5 до 2 включительно?
82
Найдите множество значений функции (2.562—2.563):
2.562. a) fW=j?=L—; 6)f(,)=£+«.
2.563. а) fW-VJ+2-х; б) f W = -.+ |t'_3|
2.564. Пусть min (] (х)) и max(f(x)) обозначают соответственно
[а; />] [а; Ь]
минимальное и максимальное значения функции f (х) на
отрезке [a; 6J. Постройте график функции y=q(a), где:
a) <7(a)=(rnin2](x2+2ax+7); б) q(a)=max(£—х—з).
Найдите значения коэффициентов а и b и постройте график
функции (2.565—2.566):
2.565. а) у = а |х+ 11 4-6, если он проходит через точки F (2; 0) и
Л1(—2; 2);
б) у= 12х-)-6| 4-а. если корнями функции являются числа
1 и —3.
2.566. а) у=а\х—2|-f-6, если он проходит через точку
Af(l; —4), а наибольшее значение функции равно 1;
б) у=а\х—П4-Х4-6, если ему принадлежат точки
Л (4; 7) и Р(2; 1).
2.567. Постройте график функции y=f (х) и, используя его, решите
неравенство:
a) f(x)= | |х4- II —31—1, f(x)>0;
б) f (х)= |2—|2х—111 —2, / (х)<0.
2.568. Решите уравнение:
a) f (l*l)=lf (х)|, где/(х)=2 |х—П4-х;
б) f(|x|-l)=|f(x)-3|, где/(х)=2х-|-|х|.
2.569. Постройте график функции y=f (х) и для каждого а укажи-
те количество общих точек этого графика и прямой у=а:
a) f(x)=|2x-3| + |x+2|-|x|;
б) /(х)=|3-|2х+Ш+х.
2.570. а) Докажите, что для функции f(x)=x3 —Зх+1 f(a)<
<Zf (а+ 4) для любого действительного а.
б) Докажите, что для функции f (х) = |х| (х — 2) f (а)>
(а —3) для любого действительного а.
2.571. а) Постройте график функции и укажите
для нее: область определения; множество значений; значе-
ния, принимаемые функцией более, чем в одной точке.
^2_I 5
б) Постройте график функции и укажите
для нее: область определения; значения, принимаемые
функцией в двух точках; значения, принимаемые функ-
цией в трех точках.
Изобразите на координатной плоскости множество точек,
удовлетворяющих условию (2.572—2.577):
2.572. а) |х+|ы|-1|=2; б) |t/|-f-x2-4x = 0.
2.573. a) |у-?|=2-х-х2; б) |x-t/| =х-2у+1.
2.574. а) |ху—11 =х2+у2-|-ху —8;
б) |х2+у2 — 8| =4ху —х2 —у2.
2.575. а) I |ы| — |х+111 = 1; б) | |х|-у\ = |х+ i I-
2.576. а) (/-у-2)(х2-4х+у2-5)<0;
б) (ху-3)(х-2у + 5)>0.
2.577. а) (у^4 — х? б) 1 x-J-t/^O
(х>у2 — 2у — 3; | ху<х— 1.
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
ПРОГРЕССИИ
2.601. а) Докажите, что последовательность (с„), заданная форму-
. Зя—1
лои сп = 5п_|_4, монотонно возрастающая и ограниченная,
б) Докажите, что последовательность (а„), заданная форму-
лой ая= *—3” , монотонно убывающая и ограниченная.
2.602. а) Докажите, что последовательность (сл), заданная форму-
« 2
лои сп = ~3”1 * монотонно возрастающая и ограниченная.
б) Докажите, что последовательность (dn), заданная форму-
лои ап = ^-^_7 , монотонно убывающая и ограниченная.
2.603. а) Докажите, что последовательность (ал), заданная фор-
мулой ал=-^2п + 3—-\/2п, монотонно убывающая и ограни-
ченная.
б) Докажите, что последовательность (&л), заданная форму-
лой &п = ——монотонно возрастающая и ограниченная.
4-1
2.604. а) Докажите, что последовательность (&п), заданная фор-
мулой bn=\fn2 + 2n + 2—п, монотонно убывающая и огра-
ниченная.
б) Докажите, что последовательность (сл), заданная форму-
лой сп = 2п —л/4п2 + 3, монотонно возрастающая и ограни-
ченная.
2.605.
а) Докажите, что, начиная с некоторого номера, все члены
последовательности (&п), заданной формулой Ьп=
находятся в промежутке [3,5; 4].
б) Докажите, что, начиная с некоторого номера, все члены
2-9п
2п + 1
последовательности (ал), заданной формулой ап =
находятся в промежутке [—5; —4,2].
84
2.606. а) Последовательность (ая) задана рекуррентно: at = a,
ап+1 =2an — 1. При каких а последовательность (ая) являет-
ся монотонно возрастающей?
б) Последовательность (6Я) задана рекуррентно: bi=b,
bn+i=3bn — 2. При каких значениях & последовательность
(Ьп) является монотонно убывающей?
2.607. а) Найдите номер наибольшего члена последовательности
(ая), если ая = 3-}-15п—2п2.
б) Найдите номер наименьшего члена последовательности
(ря), если ря=1—23zi-f-3n2.
2.608. а) Найдите наименьший член последовательности (ся),
если с„=4 + 3л2 — 21п.
б) Найдите наибольший член последовательности (6Я),
если 6я=14п-|-5— 2п2.
2.609. а) Найдите наибольший член последовательности (ая),
пг—14
если а„=——.
б) Найдите наименьший член последовательности (6Я),
. 3"
если Ьп=-Т~,—.
гг+п
2.610. а) Последовательность (ая) задана условиями: ai=4,
ая+1=ая-}-п. Найдите а?б.
б) Последовательность (6Я) задана условиями: 61=2,
ba+i=^^-b„. Найдите 6i2«-
2.611. а) Последовательность (ая) задана условиями: ai=2,
an+i=^-^- ап. Является ли число 1980 членом этой после-
п
довательности? Если да, то определите его номер.
б) Последовательность (6Я) задана условиями: 61=0,
bn+i=bn + fi. Является ли число 2080 членом этой после-
довательности? Если да, то определите его номер.
2.612. а) В арифметической прогрессии (а„) Oi = 100; 022 — ее пер-
вый отрицательный член. Какие целые значения может при-
нимать разность прогрессии?
б) В арифметической прогрессии (ая) ai = —85, aw — ее
первый положительный член. Какие целые значения может
принимать разность прогрессии?
2.613. а) Числа ai, a2, ..., образуют арифметическую прогрес-
сию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечет-
ными номерами на 15 больше суммы членов с четными но-
мерами. Найдите Oi2, если 020 = 809.
б) Числа bi, Ь%..few образуют арифметическую прогрес-
сию. Известно, что удвоенная сумма членов этой прогрессии
с четными номерами на 10 больше суммы всех членов.
Найдите 613, если 63 = 264.
2.614. а) Сумма первых 4 членов арифметической прогрессии в 5
раз меньше суммы следующих 8 членов. Найдите отношение
85
суммы первых 8 членов прогрессии к сумме ее первых 4
членов.
б) Сумма первых 9 членов арифметической прогрессии
равна половине суммы следующих ее 9 членов. Найдите
отношение суммы первых 27 членов прогрессии к сумме
ее первых 9 членов.
2.615. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся
на 13.
б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся
на 17.
2.616. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 5,
но не делящихся на 7.
б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7,
но не делящихся на 5.
2.617. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся
на 7 и имеющих последней цифрой 3.
б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся
на 11 и имеющих последней цифрой 5.
2.618. а) Пусть Р — сумма квадратов всех четных трехзначных
чисел, a Q — сумма квадратов всех нечетных трехзначных
чисел. Вычислите P—Q.
б) Пусть А — сумма квадратов всех двузначных чисел, да-
ющих при делении на 3 остаток 2, а В — сумма квадратов
всех двузначных чисел, дающих при делении на 3 остаток 1.
Вычислите А — В.
2.619. а) (ап) — арифметическая прогрессия; он = 10, d=2. Вы-
1 . 1 , 1 . । 1
числите -л—г -I---J—г 4—2—г -г—4—!—г-
ai — l 1 al — 1 * аз—1 1 1 alo— 1
б) (ап) — арифметическая прогрессия; ai=5, d = 3. Вы-
1 . 1 . 1 , . 1
числите----------------------г— 4---------•
0102 0203 йзОА 0990100
2.620. Докажите, что для любой арифметической прогрессии (ап)
значение данного выражения постоянно (если оно опреде-
лено): 1 j
02 09
— / — +— \ -1
Д1° дз • I fl2 I
— +— \ — /
010 03 ' 0ц 02 '
2.621. а) Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии
на 1,5 больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член
прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4.
Найдите ее четвертый член, если известно, что знаменатель
прогрессии положителен.
86
б) Сумма третьего и пятого членов геометрической прогрес-
сии равна 10, а сумма ее второго и четвертого членов равна
. Найдите четвертый член прогрессии.
2Л22. а) Произведение первого и пятого членов геометрической
прогрессии равно 12. Частное от деления второго члена на
четвертый равно 3. Найдите второй член прогрессии.
б) Сумма трех первых членов геометрической прогрессии
равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите первый
член и знаменатель прогрессии.
2.628. а) Найдите четыре числа, • образующих геометрическую
прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35,
а третий больше четвертого на 560.
б) Найдите четыре числа, первые три из которых составля-
ют геометрическую прогрессию, а последние три — арифме-
тическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а
сумма средних равна 18.
2.624. а) Сумма бесконечной геометрической прогрессии (&л) рав-
на 7, а сумма квадратов всех ее членов равна 14. Найдите
bi и Ь2.
б) Сумма бесконечной геометрической прогрессии в 1,75 ра-
за больше суммы кубов всех ее членов. Найдите знамена-
тель прогрессии, если ее первый член равен 1.
2.625. а) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии,
про которую известно, что ее второй член равен 4, а отноше-
ние суммы квадратов ее членов к сумме членов равно -у-,
б) Найдите знаменатель бесконечной геометрической про-
грессии, если ее сумма равна —, а сумма кубов всех ее
64
членов равна —.
2.626. а) Докажите, что последовательность, сумма п первых
членов которой при любом п задается формулой Sn =
= 3п2 — 5п9 является арифметической прогрессией. Найдите
разность этой прогрессии.
б) Докажите, что последовательность, сумма п первых
членов которой при любом п задается формулой Sn =3rt— 1,
является геометрической прогрессией. Найдите знаменатель
этой прогрессии.
2;627. а) Две арифметические прогрессии имеют один и тот же
первый член, равный 3. Разность первой прогрессии в 2 раза
больше, чем разность второй. Найдите вторые члены этих
прогрессий, если сумма первых шестнадцати членов первой
из них равна сумме первых двенадцати членов второй
прогрессии.
б) Две арифметические прогрессии имеют один и тот же
первый член, равный 5. Разность первой в 3 раза меньше
87
разности второй. Найдите вторые члены этих прогрессий,
если сумма тридцати первых членов первой прогрессии рав-
на сумме первых двадцати членов второй.
2.628. а) Три числа составляют арифметическую прогрессию. Ес-
ли первые два оставить без изменения, а к третьему при-
бавить сумму двух первых, то полученные числа составят
геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой гео-
метрической прогрессии.
б) Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если
первые два из них оставить без изменений, а из последнего
вычесть первое, то полученные три числа составят арифме-
тическую прогрессию. Найдите разность этой арифметичес-
кой прогрессии, если второе из взятых чисел равно 6.
2.629. а) Сумма первых десяти членов арифметической прогрес-
сии равна 30; четвертый, седьмой и пятый члены этой
прогрессии в указанном порядке составляют геометричес-
кую прогрессию. Найдите разность арифметической про-
грессии, если известно, что все ее члены различны.
б) Сумма первых тринадцати членов арифметической про-
грессии равна 130. Известно, что четвертый, десятый и
седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном поряд-
ке, составляют геометрическую прогрессию. Найдите пер-
вый член арифметической прогрессии при условии, что он не
равен ее второму члену.
2.630. а) Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии
равна 62. Известно, что пятый, восьмой, одиннадцатый
члены этой прогрессии различны и являются соответственно
первым, вторым, десятым членами арифметической прогрес-
сии. Найдите первый член геометрической прогрессии.
б) Три различных числа а, &, с, сумма которых равна 124,
являются тремя последовательными членами геометричес-
кой прогрессии. Одновременно эти три числа а, b и с являют-
ся соответственно третьим, тринадцатым и пятнадцатым
членами арифметической прогрессии. Найдите числа а, 6, с.
2.631. а) Числа «i, w2, из, ^4, сумма которых равна 5, являются
первыми четырьмя членами геометрической прогрессии, а
8
числа и2, из, “д“^4 являются последовательными членами
арифметической прогрессии. Найдите первый член и знаме-
натель геометрической прогрессии.
б) Числа /1, /2, /з, ^4, ^5, сумма которых равна 62, являются
первыми пятью членами геометрической прогрессии, а числа
5
/з , —/4, h являются последовательными членами арифмети-
ческой прогрессии. Найдите первый член и знаменатель ука-
занной геометрической прогрессии.
2.632. а) Все члены геометрической прогрессии (Ьп) различны.
Между ее вторым и третьим членами можно вставить
88
число z такое, что Ь\, Ьъ, z и Ьз будут являться последова-
тельными членами арифметической прогрессии. Найдите
знаменатель геометрической прогрессии.
б) Пять различных чисел составляют арифметическую
прогрессию. Если удалить ее второй и третий члены, то три
оставшихся числа составят геометрическую прогрессию.
Найдите ее знаменатель.
2.633. а) (ал) — арифметическая прогрессия, (&л) — геометричес-
кая прогрессия. Известно, что а\ =b\, a2 = bz, аз = Ьз, а\ =/=аг.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
б) (ал) — арифметическая прогрессия, (&л) — геометричес-
кая прогрессия. Известно, что а\=Ь\, аз = Ь2, а?=Ьз,
аз=£а?. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
2.634. а) В арифметической прогрессии (ап) ди =35,8; аг = 35,5.
Найдите наибольшее значение суммы первых членов про-
грессии.
б) В арифметической прогрессии (ал) а\ = —41,3; аг =
= —39,9. Найдите наименьшее значение суммы первых чле-
нов прогрессии.
2.635. а) Три цистерны одинакового объема начинают одновре-
менно заполняться водой, причем в первую цистерну посту-
пает 100 л воды в минуту, во вторую — 60 л и в третью —
80 л. Известно, что в начальный момент времени первая
цистерна пуста, вторая и третья частично заполнены
и что все три цистерны будут заполнены одновременно.
Во сколько раз количество воды в начальный момент време-
ни во второй цистерне больше, чем в третьей?
б) Три цистерны одинакового объема начинают одновре-
менно заполняться водой, причем в первую цистерну посту-
пает 120 л воды в минуту, а во вторую — 40 л. Известно,
что в начальный момент времени первая цистерна пуста,
а объем воды в третьей цистерне в 2 раза меньше, чем
во второй, и что все три цистерны будут заполнены одно-
временно. Сколько литров воды поступает в одну минуту в
третью цистерну?
2.636. а) Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно
навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по тече-
нию относительно пункта Л, отправляется катер. Встретив
плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению.
Какую часть пути от Л до В пройдет плот к моменту возвра-
щения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде
в 4 раза больше скорости течения реки?
б) Из пункта Л по реке отправляется плот. Через час из
пункта Л вниз по течению отправляется катер. Найдите
время, требующееся катеру, чтобы догнать плот и возвра-
титься в пункт Л, если скорость катера в стоячей воде вдвое
больше скорости течения реки.
89
2.637. а) Расстояние между двумя городами скорый поезд про-
ходит на 4 ч быстрее товарного и на 1 ч быстрее пассажирс-
кого. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если
известно, что скорость товарного составляет 0,625 от скоро-
сти пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого,
б) Строительство туннеля велось в три смены с одинаковым
планом проходки на каждую смену. Скорость проходки во
вторую смену была в 1,2 раза больше, чем в первую, а в
третью смену возросла на 0,6 м/ч по сравнению со второй.
Вторая смена выполнила план проходки на 1 ч быстрее, чем
первая, а третья смена .выполнила половину плана на 3 ч
быстрее, чем вторая смена весь план. Определите скорость
проходки туннеля в первую смену.
2.638. а) Каждый из рабочих должен был изготовить 36 одинако-
вых деталей. Первый рабочий приступил к выполнению
своего задания на 4 мин позже второго, но задания они
выполнили одновременно. Полностью выполнив свое зада-
ние, первый рабочий после двухминутного перерыва снова
приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым
рабочим изготовил еще две детали. Сколько деталей в час
изготавливал каждый рабочий?
б) В водохранилище (скоростью течения можно пре-
небречь) из пункта А в пункт В отправляется теплоход.
Через 4 мин следом за ним отправляется «ракета» на под-
водных крыльях, которая догоняет теплоход на расстоянии
2 км от пункта А. Дойдя до пункта В, находящегося на
расстоянии 19,5 км от пункта А, и простояв там 15 мин, «ра-
кета» отправляется обратно и встречает теплоход в 5 км
от пункта В. Определите скорости теплохода и «ракеты».
2.639. а) Два трактора разной мощности, работая одновременно,
вспахали поле за 2 ч 40 мин. Если бы первый трактор увели-
чил скорость вспашки в 2 раза, а второй — в 1,5 раза,
то поле было бы вспахано за 1 ч 36 мин. За какое время
вспахал бы поле первый трактор, работая с первоначальной
скоростью?
б) При одновременной работе двух насосов разной мощ-
ности бассейн наполняется водой за 8 ч. После ремонта
насосов производительность первого из них увеличилась в
1,2 раза, а второго — в 1,6 раза, и при одновременной рабо-
те обоих насосов бассейн стал наполняться за 6 ч. За какое
время наполнится бассейн при работе только первого насоса
после ремонта?
2.640. а) Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполни-
ли нефтью первый танкер и треть второго танкера (другого
объема) за 11 ч. Если бы 3 насоса наполнили первый танкер,
а затем один из них наполнил четверть второго танкера, то
работа заняла бы 18 ч. За сколько часов 3 насоса могут на-
полнить второй танкер?
90
б) Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали пер-
вое поле, а затем 2 цз них убрали второе поле (другой
площади). Вся работа заняла 12 ч. Если бы 3 комбайна вы-
полнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть
сделал один из них, то работа заняла бы 20 ч. За какое
время 2 комбайна могут убрать первое поле?
2.641. а) Три каменщика (разной квалификации) выложили кир-
пичную стену, причем первый каменщик работал 6 ч, вто-
рой — 4 ч, а третий — 7 ч. Если бы первый каменщик рабо-
тал 4 ч, второй — 2 ч и третий — 5 ч, то было бы выполнено
— всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы
кладку, если бы они работали все вместе одно и то же время?
б) Три бригады вспахали два поля общей площадью 96 га.
Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три брига-
ды работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней
второй и третьей бригадами. Если бы все три бригады
проработали на втором поле 1 день, то оставшуюся часть
второго поля первая бригада могла вспахать за 8 дней.
Сколько гектаров в день вспахивает первая бригада?
2.642. а) Два туриста отправились одновременно из пунктов А и
В, расстояние между которыми 33 км, навстречу друг другу.
Через 3 ч 12 мин расстояние между ними сократилось до
1 км (они еще не встретились), а еще через 2 ч 18 мин перво-
му осталось пройти до В втрое большее расстояние, чем
второму до А. Найдите скорости туристов.
б) Из городов М и N, расстояние между которыми 70 км,
одновременно выехали навстречу друг другу автобус и вело-
сипедист и встретились через 1 ч 24 мин. Продолжая движе-
ние с той же скоростью, автобус прибыл в N и после 20-ми-
нутной стоянки отправился в обратный рейс. Найдите ско-
рости автобуса и велосипедиста, зная, что автобус обогнал
велосипедиста через 2 ч 41 мин после первой встречи.
2.643. а) Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через -j-ч из А
в В выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в
о
пункт В, пешеходу оставалось пройти -g- всего пути. Сколь-
ко времени потратил пешеход на весь путь, если известно,
что велосипедист догнал пешехода на половине пути из
пункта А в пункт В, а скорости велосипедиста и пешехода
постоянны?
б) Теплоход отплыл из порта А в порт В. Через 7,5 ч. вслед
за ним из порта А вышел катер. На половине пути от А до В
катер догнал теплоход. Когда катер прибыл в В, теплоходу
осталось плыть 0,3 всего пути. Сколько времени потребова-
лось теплоходу на весь путь от А до В, если скорости катера
и теплохода постоянны на протяжении всего плавания?
91
2.644. a) Легковой автомобиль и грузовик испытали на проселоч-
ной дороге. При этом легковой автомобиль проехал на 12 км
больше, чем грузовик, но бензин у него кончился на 0,5 ч
раньше. Какая автомашина проедет дальше и на сколько
при той же заправке бензином по асфальтовой дороге, если
скорость на асфальте у каждой из них на 16 км/ч больше,
чем на проселочной (время расхода бензина не зависит от
качества дороги)?
б) Велосипедист встретил колонну автомашин и остановил-
ся, когда поравнялся с двадцать первой автомашиной. В
этот момент из этой точки в одном направлении с колонной
поехал мотоциклист со скоростью в 2 раза большей, чем
скорость велосипедиста. Когда мотоциклист прибыл в точку,
где начинал движение велосипедист, он обогнал 4 автомоби-
ля и сравнялся с пятым. Сколько автомобилей насчитал бы
велосипедист на том же участке дороги, если бы он встретил
стоящую колонну (интервалы между автомашинами рав-
ны)?
2.645. а) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми
равно 70 км, выехал велосипедист, а через некоторое.вре-
мя — мотоциклист, двигавшийся со скоростью 50 км/ч. Мо-
тоциклист догнал велосипедиста на расстоянии 20 км от
пункта А. Прибыв в пункт В, мотоциклист через 48 мин вы-
ехал обратно в пункт А и встретился с велосипедистом спус-
тя 2 ч 40 мин после выезда велосипедиста из пункта А. Най-
дите скорость велосипедиста.
б) Два бегуна стартовали один за другим с интервалом
в 2 мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от
точки старта, а пробежав от точки старта 5 км, он повернул
обратно и встретился с первым бегуном. Эта встреча про-
изошла через 20 мин после старта первого бегуна. Найдите
скорость второго бегуна.
2.646. а) Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли,
отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр
и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-ный раствор
соли. Какова вместимость бутыли?
б) Фляга наполнена 96%-ным раствором соляной кисло-
ты. Из нее отлили 12 л кислоты и дополнили флягу водой.
Затем из фляги отлили еще 18 л и снова дополнили ее
водой, после чего концентрация кислоты во фляге соста-
вила 32%. Найдите объем фляги.
2.647. а) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми
20 км, выехал велосипедист, а через 15 мин вслед за ним со
скоростью 15 км/ч отправился другой велосипедист, кото-
рый, догнав первого, повернул назад и возвратился в А за
45 мин до прибытия первого велосипедиста в В. Найдите
скорость первого велосипедиста.
92
б) Из М в N одновременно отправились автобус и автомо-
биль. Прибыв в W, автомобиль повернул назад и встретил
автобус через 3 ч после отправления из М. Продолжая дви-
жение, автомобиль прибыл в М на 1 ч 15 мин позже, чем ав-
тобус в N. Зная, что скорость автобуса равна 48 км/ч, най-
дите расстояние MN и скорость автомобиля.
2.648. а) Из городов А и В навстречу друг другу одновременно
вышли два товарных поезда. Они двигались без остановки,
встретились через 24 ч после начала движения и продолжи-
ли свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 ч
Позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени
был в пути первый поезд?
б) Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно
выехали легковой и грузовой автомобили. Они встретились
через 4 ч после начала движения, продолжили свой путь, и
легковой автомобиль прибыл в Л на 6 ч раньше, чем грузо-
вой в В. Сколько часов в пути был грузовой автомобиль?
2.649. а) Два экскаватора должны вырыть 3 одинаковых котлова-
на. Если они будут работать вместе, то выроют их за 2 дня.
Первый экскаватор может вырыть один такой котлован на
день быстрее второго. В один из дней первый экскаватор
работал полдня, а второй работал весь день. Какая часть
всей работы была выполнена за этот день?
б) Если идти шагом по поднимающемуся эскалатору, то
можно подняться на 10 с раньше, чем стоя на нем. Если же
не идти, а бежать вверх, то можно выиграть еще 5 с. Пасса-
жир, стоя на эскалаторе, поднялся на половину высоты эс-
калатора, после чего последний остановился. Вторую поло-
вину подъема пассажир прошел шагом. Сколько времени
занял у него весь подъем, если известно, что человек бегает
в 2 раза быстрее, чем ходит?
2.650. а) Из пункта А в пункт С, находящийся на расстоянии
20 км от Л, выехал грузовик. Одновременно с ним из пункта
В, расположенного междуЛ и Сна расстоянии 15 км от Л,
в пункт С вышел пешеход, а из С навстречу им выехал авто-
бус. За какое время грузовик догнал пешехода, если извест-
но, что это произошло через полчаса после встречи грузови-
ка с автобусом, а пешеход до встречи с автобусом находился
в пути втрое меньше времени, чем грузовик до своей встречи
с автобусом?
б) Из пункта Л в пункт С, находящийся на расстоянии
80 км от Л, выехал мотоциклист. Навстречу ему и одновре-
менно с ним из пункта В, находящегося между Л и С на рас-
стоянии 5 км от С, выехал велосипедист, а из пункта С — ав-
томобиль. Через какое время встретились мотоциклист и ве-
лосипедист, если известно, что это произошло через 20 мин
после того, как автомобиль догнал велосипедиста, а мото-
циклист до встречи с автомобилем провел в пути вдвое
93
больше времени, чем велосипедист до того, как его догнал
автомобиль?
2Л>51. а) Три гонщика Л, В и С, стартовав одновременно, движут-
ся с постоянными скоростями в одном направлении по
кольцевому шоссе. В момент старта гонщик В находится пе-
ред гонщиком А на расстоянии — длины шоссе, а гонщик С
перед гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А
впервые догнал В в тот момент, когда В закончил свой пер-
вый круг, а еще через 10 мин А впервые догнал гонщика С.
Гонщик В тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гон-
щик С. Сколько времени тратит на круг гонщик Л?
б) Три гонщика стартуют одновременно из одной точки
шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направ-
лении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые
после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке,
диаметрально противоположной старту, а еще через полча-
са после этого он вторично (не считая момента старта)
обогнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые догнал
третьего через 3 ч после старта. Сколько кругов в час делает
первый гонщик, если второй гонщик проходил круг не менее
чем за 20 мин?
2.652. а) От пристани Л вниз по течению реки одновременно
отошли плот и катер (скорость течения постоянна; скорость
катера относительно воды постоянна; скорость плота отно-
сительно воды равна нулю). Катер доплыл до пристани В,
вернулся к пристани Л и снова отплыл к пристани В (без ос-
тановок). К пристани В плот и катер причалили одновре-
менно, а встретились они на расстоянии 3 км от пристани Л.
Определите скорость течения реки, если известно, что на
путь от пристани Л до пристани В катер тратил на полчаса
меньше времени, чем на путь от В до Л.
б) От пристани А к пристани В против течения реки отошел
катер, собственная скорость которого (скорость в стоячей
воде) в 7 раз больше скорости течения реки. Одновременно
навстречу ему от пристани В, расстояние от которой до Л по
реке равно 20 км, отошла лодка. На каком расстоянии от В
произошла встреча катера с лодкой, если известно, что через
полчаса после начала движения лодке оставалось проплыть
4 км до места встречи и что катер затратил на путь до встре-
чи с лодкой на 20 мин больше, чем на путь от места встречи
до пункта В?
2.653. а) Два поезда выехали одновременно в одном направлении
из городов Л и В, расположенных на расстоянии 60 км друг
от друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы
один из них увеличил скорость на 25 км/ч, а другой — на
20 км/ч, то они прибыли бы так же одновременно на стан-
цию С, но на 2 ч раньше. Найдите скорости поездов.
б) Два поезда выехали одновременно в одном направлении
94
из городов А и В, расположенных на расстоянии 120 км друг
от друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы
один из них уменьшил свою скорость на 12 км/ч, а другой —
на 9 км/ч, то они прибыли бы так же одновременно на
станцию С, но на 2 ч позже. Найдите скорости поездов.
2.654. а) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновремен-
но выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость лег-
нового автомобиля постоянна и составляет — скорости
грузовика. Через 30 мин за ними из того же пункта выехал
мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найдите скорость легко-
вого автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал
грузовик на час раньше, чем легковой автомобиль.
б) Два лыжника вышли с линии старта одновременно с по-
стоянными скоростями по одному и тому же маршруту,
7
причем скорость первого лыжника составила — скорости
второго. Вслед за ними через 20 мин отправился третий
лыжник, который, двигаясь со скоростью 18 км/ч, догнал
второго лыжника на 30 мин раньше, чем первого. Какова
скорость первого лыжника?
2.655. а) Три автоматические линии выпускают одинаковую про-
дукцию, но имеют разную производительность. Производи-
тельность всех трех одновременно работающих линий в
1,5 раза выше производительности первой и второй линий,
работающих одновременно. Сменное задание для первой ли-
нии вторая и третья линии, работая вместе, могут выполнить
на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это
же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по срав-
нению с первой линией. Найдите время выполнения первой
линией своего сменного задания.
б) Двум токарям и ученику поручили выполнение срочной
работы. Первый токарь может выполнить всю работу за вре-
мя на 3 ч большее, чем то, за которое ее выполнят второй
токарь и ученик, работая одновременно. Второй токарь,
работая один может выполнить всю работу за то же время,
за которое ее выполняют первый токарь и ученик, работая
одновременно. Время, затрачиваемое вторым токарем на
самостоятельное выполнение всей работы, на 8 ч меньше
удвоенного времени, затрачиваемого первым токарем на са-
мостоятельное выполнение всей работы. За какое время бу-
дет выполнена вся работа двумя токарями и учеником, ра-
ботающими одновременно?
2.656. а) Сплавлено 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой
пробы и получено золото 62-й пробы. Какой пробы было
золото первого и второго слитков, если при сплаве их по-
ровну получается золото 61-й пробы?
б) Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5%
05
и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов
стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля
в 30%?
2.657. а) Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова.
Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а вто-
рой — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом
и втором сплавах одинаковое. Сплавив 150 кг первого спла-
ва и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором
оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов
олова содержится в получившемся новом сплаве.
б) Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова.
Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а вто-
рой — 50% меди. Процентное содержание олова в первом
сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого
сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором
оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов
меди содержится в получившемся новом сплаве.
2.658. а) Две машинистки, работая вместе, печатают в час 44
страницы текста. Первые 25% двухсотстраничной рукописи
печатала первая машинистка, затем к ней присоединилась
вторая, а последние 20% текста печатала только вторая ма-
шинистка. Сколько страниц в час печатает каждая маши-
нистка, если на перепечатывание всей рукописи ушло
6 ч 40 мин, а первая машинистка работает быстрее второй?
б) Два экскаватора выкопали котлован объемом 2000 м3.
Сначала первый экскаватор, работая в одиночку, выполнил
20% всей работы; затем его сменил второй и выполнил еще
30% от всего объема работы. На первую половину работы
ушло на 25 ч больше, чем на вторую, когда экскаваторы
работали вместе. Какой объем грунта каждый экскаватор
выбирает за 1 ч, если вдвоем они выбирают 100 м3, а произ-
водительность первого выше, чем второго?
2.659. а) После деления некоторого двузначного числа на сумму
его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деле-
ния этого же двузначного числа на произведение его цифр в
частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузнач-
ное число.
б) Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа
на 1 больше утроенного произведения этих цифр. После
деления этого двузначного числа на сумму его цифр в
частном получается 7 и в остатке 6. Найдите это двузначное
число.
СОДЕРЖА Н И Е
Предисловие . .... 3
ЧАСТЬ I
Арифметика, алгебраические преобразования............................ 4
Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств . 12
Степени и корни. Прогрессии и последовательности ... 18
Функции и графики. Квадратный трехчлен.............................. 26
Тригонометрические преобразования................................... 34
Текстовые задачи :.................................................. 40
ЧАСТЬ II
Уравнения, системы уравнений.................... 53
Неравенства..................................... 57
Преобразование выражений. Делимость. Индукция . 64
Тригонометрические преобразования............... 72
Функции и графики. Задачи с параметрами ... 76
Текстовые задачи. Последовательности, прогрессии . 84
Учебное издание
Звавич Леонид Исаакович
Аверьянов Дмитрий Иванович
Пигарев Борис Петрович
Трушанина Татьяна Николаевна
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ
В 9 КЛАССЕ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. М. Котова
Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Н. Е. Терехина
Художник Ю. В. Самсонов
Художественный редактор Е. Р. Дашу к
Технический редактор Е. И. Зелянина
Корректор О. В. Ивашкина
ИБ 15270
Лицензия ЛР № 010001 от 10.10.91. Подписано к печати с диапозитивов 13.10.94.
Формат 60 X 90*/1б- Бумага офсетная № 2. Гарнит. Литерат. Печать высокая.
Усл. печ. л. 6,0. Усл. кр.-отт. 6,31. Уч.-изд. л. 5,46. Тираж 100 000 экз. Заказ № 1116.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета
Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышев-
ского, 59.