Текст
Д. ХОЛИДЕЙ, Р. РЕЗНИК
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
Пособие для студентов педагогических институтов
Перевод с английского С. Н. НЕМИРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» МОСКВА-1969
53
X71
Холидей Д. и Резник Р.
X 71 Вопросы и задачи по физике. Пособие для
студентов пед. ин-тов. Пер. с англ. С. Н. Не-
ыирова. М., «Просвещение», 1969.
239 с.
Пособие представляет собой сборник оригинальных,
качественных и вычислительных задач по общему курсу
физики для студентов педагогических институтов. Каче-
Качественные задачи снабжены подробным.-! ответами.
2-3-1 53
17-69
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Представленный к русскому изданию материал является пе-
переводом и обработкой части курса физики, написанного про-
профессорами Дэвидом Холидеем и Робертом Резником. Книга эта,
выпущенная в США первым изданием в 1960 г. и вторым из-
изданием в 1962 г., названа «Физика для студентов физических и
инженерных специальностей» *.
Работа упомянутых авторов обладает двумя особенностями,
которые могли быть использованы в русском издании незави-
независимо от курса в целом и послужили мотивами к их переводу и
появлению в печати на русском языке.
Первой особенностью курса является весьма большое коли-
количество вопросов, причем ответы, получаемые непосредственной
ссылкой на текст курса, охватывают, как утверждают сами ав-
авторы, лишь небольшую часть вопросов. Большая же часть из
них рассчитана на усилие мысли самого студента, иногда на
весьма значительное. Поэтому в целом вопросник этот является
отнюдь не повторительным разделом, а скорее собранием каче-
качественных задач по общему курсу физики. За последние годы
такие вопросники уже начали издаваться в СССР для средней
школы, но для высшей школы такого собрания качественных
задач у нас нет ни одного, если не считать сравнительно не-
небольшого числа вопросов, разбросанных в имеющихся у нас за-
задачниках.
При переводе на русский язык вопросника, включавшего
660 вопросов, и, вообще говоря, крайне неоднородного по сте-
степени трудности, около одной четверти вопросов было исключено
в основном по причине их элементарности или, наоборот, как
выходящих за пределы принятой у нас программы общего кур-
курса физики. В подлиннике ответов на вопросы не имеется, в рус-
русском же издании ответы на включенные в перевод вопросы
даны в достаточно аргументированном виде.
) Halliday David and Resniek Robert. Physics for students of Science
and Engineering. New York. London, John Willey a sons, Inc.
Имеющийся в подлиннике материал по расчетным задачам,
видимо, задуман как полный комплект задач по курсу общей
физики (числом около 1100) для высших технических училищ
и университетов США. Однако значительная часть из них сов-
совпадает или весьма близка по содержанию к задачам, состав-
составленным в СССР, и потому была выпущена при переводе. Неко-
Некоторое число задач пришлось исключить ввиду крайней легкости
их решения. Часть задач, правда весьма немногочисленная,
решаемых простой подстановкой в формулу, была сохранена
как весьма полезные упражнения. Были также исключены зада-
задачи, выходящие по своему содержанию за пределы программ,
принятых у нас общих курсов физики. Поэтому предлагаемый
перевод из задачника на английском языке может рассматри-
рассматриваться скорее как дополнение к материалу, собранному в сле-
следующих изданиях:
1) Два тома задачника МГУ: а) Сборник задач по общему
курсу физики, под ред. проф. С. Э. Хайкина, изд. 2, ч. 1. М.,
Физматгиз, 1960; б) то же, под ред. Д. В. Сивухина, изд. 2, ч. 2.
М., Физматгиз, 1960.
2) Сахаров Д. И. Сборник задач по физике, изд. 10. М.,
Учпедгиз, 1963.
3) Волыкенштейн В. С. Сборник задач по общему кур-
курсу физики, изд. 3. М.—Л-, Физматгиз, 1962.
Следует отметить, что деление материала на качественные
и расчетные задачи выдержано авторами не до конца. Поэтому
в расчетных задачах можно встретить пункты, требующие лишь
качественного ответа. Ответов по таким пунктам расчетных
задач в русском издании не дано: они предоставлены на усмот-
усмотрение читателя. Кроме того, при переводе из текста некоторых
задач исключены «подсказки», чрезмерно облегчающие их ре-
решение.
Ответы, выраженные в подлиннике в британской системе еди-
единиц, т. е. в дюймах, футах, фунтах и т. д., пересчитаны в рус-
русском издании на единицы системы СИ и на прочие единицы, до-
допущенные в 1964 г. к пользованию в СССР.
В результате большой работы по выборке материала для
издания на русском языке пришлось отказаться от принятой в
подлиннике нумерации глав и самих задач как качественных,
так и расчетных. Нумерация эта заменена сквозной, проходя-
проходящей от начала до конца всей книги. В частности, полностью
исключены главы, посвященные вопросам и задачам по вектор-
векторной алгебре.
Перевод материала по 1-й части курса, включающей в себя
механику и молекулярную физику, был выполнен по нью-йорк-
нью-йоркскому изданию 1960 г., а перевод материала по 2-й части курса
(электричество, оптика, атомная физика)—по изданию 1962 г.
Перевод всего предлагаемого материала, равно как составле-
ние ответов к вопроснику, и работа по решению двухсот расчет-
расчетных задач выполнены одним и тем же лицом.
В заключение переводчик считает своим долгом выразить
свою благодарность доценту Московского университета
Г. Я- Мякишеву и старшему преподавателю Московского универ-
университета Б. Б. Буховцеву, а также старшему преподавателю Мос-
Московского энергетического института Е. М. Новодворской за ука-
указания недостатков в том варианте работы, который был пред-
представлен на их рецензии. Благодарность эта равным образом отно-
относится и к тем читателям, которые возьмут на себя труд послать
свои критические замечания по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41, издательство «Просвещение», редакция фи-
физики.
ВОПРОСЫ
МЕХАНИКА
ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
1. Какие характеристики, кроме доступности и постоянства,
эталона физической величины должны быть приняты во внима-
внимание?
2. Если бы кто-нибудь сказал вам, что за ночь размеры всех
тел укоротились вдвое против их прежней величины, то как вы
могли бы разбить это утверждение?
3. Как вы могли бы опровергнуть такое утверждение: однаж-
однажды вами был выбран физический эталон, который в точном
смысле этого слова оказался неизменным?
4. Почему нужно указывать температуру, при которой про-
проводится сравнение длины отрезка с эталоном метра? Может
ли быть названа длина основной величиной, если другую физи-
физическую величину, например температуру, приходится оговари-
оговаривать при выборе эталона?
5. Является ли принятый в настоящее время эталон массы
доступным, неизменным и воспроизводимым? Достаточно ли
он прост для сравнения с другими экземплярами эталона? Пре-
Превосходит ли его в каком-либо отношении атомный эталон?
6. Можете ли вы указать способ измерения: радиуса Земли,
расстояния между Землей и Солнцем, размера Солнца?
7. Поясните, каким образом эталон времени может быть вы-
выведен из эталона частоты.
8. Каким требованиям должны удовлетворять хорошие часы?
9. Назовите несколько явлений, повторяющихся в природе,
которые было бы рационально выбрать в качестве эталона вре-
времени.
10. Если заглянуть вперед, в дни космических путешествий,
когда человек не будет больше прикован к Земле, а будет на-
населять и другие планеты, то какие недостатки обнаружатся в со-
современных нам эталонах длины и времени? Какие недостатки
выявятся также в атомных эталонах?
11. Можете ли вы придумать способ, как охарактеризовать
эталон длины в терминах времени или наоборот? Если это для
вас осуществимо, то могут ли длина и время, вместе взятые,
служить основными единицами измерения физических величин?
ДВИЖЕНИЕ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
12. За каждую секунду кролик перемещается на половину
расстояния, остающегося между его носом и пучком салата. До-
Достигнет ли он когда-нибудь этого пучка? Каково предельное
значение его средней скорости? Дайте графики, изображающие
его скорость и местоположение в зависимости от времени.
13. Средняя скорость может означать величину вектора сред-
средней скорости. Другой смысл, который можно придать средней
скорости на данном участке пути, таков, что она измеряется от-
отношением длины этого участка ко времени, затраченному на его
прохождение. Различны ли между собой оба определения? Если
да, то приведите пример.
14. Равна ли средняя скорость точки полусумме начальной
и конечной скоростей, если ускорение ее непостоянно? Аргумен-
Аргументируйте ответ с подгощью графиков.
15. а) Может ли тело иметь вектор скорости, равный нулю,
и в то же время двигаться ускоренно? б) Может ли тело иметь
скорость, постоянную по величине, при изменяющемся векторе
скорости? в) Может ли тело обладать постоянным вектором
скорости при изменяющейся его численной величине?
16. Может ли направление вектора скорости меняться, в то
время как его ускорение по величине остается постоянным?
17. Рассмотрите движение шара, брошенного вертикально
вверх. Если принять во внимание сопротивление воздуха, то
можно ли ожидать, что время, затраченное на поднятие шара
вверх, будет больше или меньше времени его падения?
18. Человек, стоящий на некоторой высоте над уровнем зем-
земли, бросает первый шар так, что он обладает некоторой началь-
начальной скоростью, направленной вертикально вверх. Затем он бро-
бросает другой шар так, что он обладает такой же начальной ско-
скоростью, но направленной вниз. Какой из шаров будет обладать
большей вертикальной скоростью в момент удара о землю или
они будут одинаковы? Сопротивлением воздуха пренебречь.
ДВИЖЕНИЕ ПА ПЛОСКОСТИ
19. Может ли быть случай, когда движение снаряда в отсут-
отсутствие сопротивления воздуха должно рассматриваться в трех,
а не в двух измерениях?
20. Играет ли роль при прыжках в длину, насколько высоко
вы прыгаете? Какие факторы определяют дальность прыжка?
21. Как могли бы вы определить высоту холма, на вершине
которого стоите, имея в руках только часы и камень?
22. Дайте качественное описание ускорения, испытываемого
шариком, когда он движется с постоянной скоростью по спира-
спирали внутрь последней.
23. Летчик, выходя из пикирования, описывает дугу окруж-
окружности и испытывает при этом перегрузку 3 g. Разъясните, что оз-
означает это утверждение
ДИНАМИКА ТОЧКИ
24. Оцените критически часто встречающееся определение
массы тела как меры количества вещества в нем.
25. Три человека тянут за левый конец веревки и три чело-
человека за правый с одинаковой силой. Если теперь к середине
веревки подвесить гирю, то смогут ли эти шестеро человек при-
придать веревке горизонтальное положение? Если нет, объясните
почему, а если да, то определите величину сил, приложенных к
концам веревки для получения ее горизонтальности.
26. При каких условиях вес вашего тела Р будет равен ну-
нулю? Зависит ли ваш ответ от выбора системы отсчета?
27. Веревка пренебрегаемо малой массы перекинута через
блок, вращающийся без трения. За веревку держится обезьяна,
к другому же концу веревки прикреплено зеркало того же веса,
чт)о и обезьяна. Может ли обезьяна сместиться относительно
своего изображения в зеркале, если она будет: 1) взбираться по
веревке вверх, 2) опускаться по веревке вниз и 3) отпустит ве-
веревку совсем?
28. Известно, что существует предел, за которым дальней-
дальнейшая полировка поверхностей скорее увеличивает, чем уменьша-
уменьшает трение. Можете ли вы дать правдоподобное объяснение это-
этому факту?
29. Поясните, лучше ли делать короткие шаги или длинные,
когда вы идете по льду.
30. Каким способом может человек, стоящий на абсолютно
гладком льду, покрывающем поверхность пруда, достигнуть бе-
берега? Может ли он достичь этого, делая шаги или перекатываясь
с боку на бок, или размахивая руками, или подбрасывая ноги?
И вообще, как мог человек оказаться на абсолютно гладком
льду в состоянии покоя?
31. На диск проигрывателя кладется монета и затем вклю-
включается мотор, ню еще до достижения предельной скорости вра-
вращения мотора монета соскальзывает с диска- Поясните причину
этого.
32. Как влияет вращение Земли на вес тела у экватора?
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
33. При перетягивании каната одна команда слегка отсту-
отступает перед усилиями другой. Какая работа и какой из команд
здесь совершается?
8
34. Человек в лодке, гребущий против течения, покоится от-
относительно берега. Совершает ли он какую-нибудь работу? А
если он перестает грести совсем и движется вниз по реке вместе
с течением, совершается ли какая-нибудь работа в этом случае?
35. Работа результирующей силы связана с изменением ки-
кинетической энергии. Может ли случиться, что работа одной из со-
составляющих силы окажется больше изменения кинетической
энергии? Если это возможно, приведите пример.
36. Зависит ли работа по подъему ящика на платформу от
скорости подъема?
37. Когда двое детей играют в м-яч, находясь в поезде, то
зависит ли кинетическая энергия мяча от скорости поезда? По-
Повлияет ли на ваш ответ координатная система, выбранная вами
в качестве системы отсчета? А если повлияет, то будете ли вы
называть кинетическую энергию скаляром?
СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
38. Что происходит с потенциальной энергией лифта, когда
он опускается с верхнего этажа здания и останавливается на
нижнем?
39. Допустим, что груз математического маятника освобож-
освобождается в точке а и специальный штифт задерживает нить маят-
маятника в точке b (рис. 1). Замечено, что неза-
независимо от положения штифта груз всегда
поднимается до уровня точки а. Объясните
почему.
40. Пользуясь понятиями работы и энер-
энергии, поясните, каким образом ребенок на
качелях может раскачать их до больших
амплитуд из начального положения покоя.
41. Некоторый предмет, брошенный вниз,
отскакивает от земли обратно до высоты
в полтора раза большей, чем начальная.
Какое заключение вы можете сделать из Рис- 1-
этого наблюдения?
СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
42. Птица находится в проволочной клетке, подвешенной к
пружинным весам. Изменится ли показание весов, когда си-
сидевшая в клетке птица начнет летать внутри нее?
43. Может ли парусная лодка приводиться в движение стру-
струей воздуха от воздуходувки, находящейся в самой лодке? Дайте
пояснение.
44. Справедливо ли следующее утверждение: ракета не мо-
может двигаться в космическом пространстве под действием" внут-
внутренних сил, так как там нет воздуха, который при выпуске тол-
толкал бы ракету в обратную сторону.
45. Конечная скорость последней ступени многоступенчатой
ракеты намного превышает конечную скорость одноступенчатой
ракеты того же веса и при том же запасе горючего. Объясните
этот факт.
46. Пользуясь законом сохранения количества движения,
объясните, почему движется вперед самолет или лодка с про-
пропеллерной тягой.
47. Как приложить закон сохранения количества движения
к объяснению плавания парусной лодки против ветра?
КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
48. Колесо вращается вокруг оси, проходящей через его
центр тяжести.
а) Если оно вращается с постоянной угловой скоростью, то
обладает ли любая выбранная точка на ободе нормальным ус-
ускорением? Обладает ли эта точка тангенциальным ускорением?
б) Если колесо вращается с постоянным угловым ускорением,
то обладает ли точка на ободе нормальным ускорением? Танген-
Тангенциальным ускорением? Меняются ли модули векторов этих ус-
ускорений?
49. Как определить общую длину пути, проходимую иглой
рекордера за время проигрывания пластинки диаметром 30,5 см
при скорости 33,3 об/мин. Какие данные для этого потребуют-
потребуются? Какие допущения придется сделать, чтобы получить ответ?
50. Может ли масса тела рассматриваться как сосредоточен-
сосредоточенная в его центре масса, если требуется рассчитать момент инер-
инерции тела?
51. Два диска одинакового веса и толщины сделаны из ме-
металлов различных плотностей. Какой из них обладает большим
моментом инерции?
52. Требуется определить момент инерции тела сложней гео-
геометрической формы. Математический расчет в таком случае
становится крайне трудным. Укажите способ, с помощью кото-
которого момент инерции такого тела мог бы быть определен экспе-
экспериментально.
53. Деревянный шар скатывается вниз без скольжения по-
поочередно по наклонным плоскостям одинаковой высоты, но раз-
разного наклона. Будет ли время скатывания в одном случае боль-
больше, чем в другом, и почему? Будут ли скорости шара у основа-
оснований наклонных плоскостей одинаковы?
54. Два тяжелых диска соединены коротким цилиндрическим
стержнем много меньшего радиуса. Система эта помещена на
узкую наклонную доску, укрепленную на столе. Диски свешива-
свешиваются по бокам. Объясните, почему скорость поступательного дви-
движения системы заметно увеличивается в момент касания дисков
поверхности стола.
10
55. Поясните, почему когда дровосек начинает рубить дере-
дерево, то он предварительно делает на нем зарубку на стороне,
указывающей направление, в котором ему желательно, чтобы
дерево упало. Будет ли вполне безопасным стоять прямо поза-
позади дерева на стороне, противоположной ожидаемому падению,
даже если знать наверное, что дерево упадет в нужную
сторону?
56. Игрушка «ой-йо» (рис. 2) с намотанной на стержень а
нитью может катиться по столу. В какую сторону она будет
откатываться, если нить натягива-
натягивается горизонтально силой F{? Что
случится, если к нити приложена си-
сила jF2, направленная так, что про-
продолжение линии действия силы про-
проходит через точки соприкосновения
«ой-йо» со столом? Что произойдет,
если натяжение нити силой F3 на-
направлено по вертикали вверх?
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ
'///////////////////////////////¦
Рис. 2.
57. Поясните, почему таяние ша-
шапок полярных снегов рассматрива-
рассматривается как возможная причина вариаций в периоде вращения
Земли вокруг оси.
58. Многие большие реки текут в направлении к экватору.
Какое влияние на вращение Земли могут оказать отложения,
которые эти реки несут с собой в моря?
59. Из средины отверстия вертикальной глубокой шахты
уронили камень. Будет ли он продолжать падение вдоль сред-
средней линии шахты? Если нет, то в какую сторону он отклонится?
Сопротивлением воздуха пренебречь, но вращение Земли учи-
учитывать.
60. Человек вращается на скамье с угловой скоростью ш и
держиг на вытянутых руках две гири одинаковых масс. Не ме-
меняя положения рук, он выпускает из них гири. Наступит ли ка-
какое-нибудь изменение в угловой скорости скамьи? Будет ли
иметь место сохранение момента количества движения?
61. Прецессионное движение волчка часто рассматривается
как угловой эквивалент равномерного движения по окружности,
так как меняется лишь направление вектора угловой скорости,
а не его величина. Рассмотрите эту аналогию.
62. Если бы волчок не вращался, он бы опрокинулся
(рис. 3). Если момент количества движения велик по сравне-
сравнению с изменением, которое вносится вращающим моментом, то
волчок будет прецессировать. Что будет иметь место в проме-
промежуточном случае, когда скорость вращения невелика?
11
63. Для того чтобы одномоторный само-
самолет мог лететь по горизонтали, он должен
быть определенным образом сбалансиро-
сбалансирован. Баланс этот заключается в поднятии
одного элерона и в опускании другого. По-
Почему это необходимо? Сохраняется ли эта
необходимость для двухмоторного самолета
при нормальных условиях?
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
64. Приведите несколько примеров дви-
движущихся тел, сохраняющих равновесие.
Найдется ли координатная система, отно-
относительно которой такое тело покоилось бы? Будет ли тело в та-
такой системе находиться в равновесии?
65. Приведите несколько примеров тела, не находящегося в
равновесии, даже если бы результирующая всех сил, действую-
действующих на него, равнялась нулю.
66. Какой гамак скорее выйдет из употребления: туго натя-
натянутый между деревьями или слегка провисающий? Дайте ар-
аргументированный ответ.
67. Лестница, опирающаяся верхним концом о стену, а ниж-
нижним о землю, находится в равновесии. В каком случае она легче
соскользнет на землю: когда человек станет на ее нижний или
на ее верхний край?
68. Как можно пользоваться пружинными весами для взве-
взвешивания грузов, вес которых далеко выходит за пределы шка-
шкалы?
69. Будут ли совпадать в одной точке центр массы и центр
тяжести здания? При каких условиях расхождение в местопо-
местоположении указанных центров становится значительным?
70. Пусть абсолютно твердое тело брошено в воздух без
вращения. Тогда при отсутствии сопротивления воздуха враще-
вращение тела в полете и не возникнет. Как связан этот результат
с положением центра тяжести?
КОЛЕБАНИЯ
71. К пружине с жесткостью k подвешено тело массой т.
Затем пружина перерезается пополам, и к одной из ее половин
подвешивается то же тело. Будет ли частота колебаний пружины
одинакова до и после перерезания ее на части. Если нет, то
как будут относиться друг к другу обе частоты?
72. Пружина обладает массой т'. Если эту массу принять
во внимание, то поясните качественно, как это изменит выраже-
выражение периода колебаний.
12
73. Пусть мы имеем груз неизвестной массы и пружину не-
неизвестной жесткости. Как можно предсказать период колебаний
системы из пружины и груза путем простого удлинения пружи-
пружины в результате присоединения к ней груза?
74. Поясните, как можно сравнить между собой массы тел,
измеряя частоты колебаний при присоединении этих масс к пру-
пружине.
75. Каково назначение балансира в карманных часах или
маятника в стенных часах?
76. Можем ли мы точно построить математический маятник?
77. Галилеем была предложена и
решена такая задача: «Внутри высокой
й б
р
и темной башни подвешена проволока
так, что верхний ее конец не виден, а
нижний различим вполне. Как опреде-
определить длину такой проволоки?»
78- На рисунке 4 изображен график
зависимости периода Т колебаний маят-
маятника от амплитуды <р:
т-~С
Г = 2„С y'ZEI ; С _ 1 + о SO" A' *
При каких значениях амплитуды можно точно или приближен-
приближенно считать колебания гармоническими?
79. Почему демпфирующие устройства входят во многие ма-
машиностроительные конструкции? Приведите примеры.
ТЯГОТЕНИЕ
80. Если сила тяготения пропорциональна массе тела, то по-
почему тяжелое тело не падает быстрее легкого?
81. Как меняется вес тела на пути от Земли до Луны? Ме-
Меняется ли его масса?
82. Приводит ли изменение плотности Земли вблизи ее цент-
центра к иному изменению ускорения свободного падения с высо-
высотой по сравнению с однородной сферой? Как именно протекает
это изменение?
83. Благодаря большей выпуклости Земли вблизи экватора
исток реки Миссисипи расположен хотя и выше устья, но все
же ближе к центру Земли. Как может в таком случае река течь
«в гору»?
84. Работа одних часов связана с упругими колебаниями
пружины, работа других —с колебаниями маятника. Допустим,
что и те и другие часы оказались на Марсе. Будут ли они по-
показывать там то же самое время, что и на Земле? Будут ли они
13
синхронны друг с другом? Учтите, что масса Марса в 10 раз
меньше массы Земли, а радиус Марса вдвое меньше.
85. Какие измерения должен проделать астроном для опре-
определения массы другой планеты, например Сатурна?
86. При каких условиях второй закон Кеплера теряет силу?
87. Притяжение Луны и Солнца производят на Земле при-
приливы, причем приливное действие Солнца в два раза слабее, чем
Луны. При каких условиях их совместный эффект будет макси-
максимальным1 и при каких минимальным?
88. Притяжение Земли Солнцем в 175 раз больше, чем Лу-
Луной. Почему же Луна вызывает более сильные приливы?
89. В результате действия припйвных сил трения вращение
Земли вокруг оси замедляется, а вместе с тем уменьшается и
момент количества движения Земли. Как отразится на движении
Луны действие закона сохранения момента количества движе-
движения? Будут ли играть здесь какую-нибудь роль приливы, вызы-
вызываемые Солнцем?
90. Можно ли ожидать, что полная энергия и полный момент
количества движения солнечной системы остаются постоянными?
Аргументируйте ваш ответ.
91. Действительно ли начальная скорость ракеты должна
равняться по меньшей мере 11,2 км/сек, чтобы она могла поки-
покинуть Землю?
92. Можно ли вывести спутник на орбиту выстрелом из ги-
гигантской пушки с земной поверхности? Поясните это.
93. Искусственный спутник Земли отделяет от себя бомбу.
Ударится ли когда-нибудь эта бомба о Землю, если считать со-
сопротивление воздуха пренебрегаемо малым?
94. После вывода на орбиту первого спутника ожидалось,
что он не вернется на Землю, а сгорит при снижении. Как это
возможно, если учесть тот факт, что он не сгорел при подъеме
с земли?
95. Покажите, что скорость искусственного спутника Земли
может оказаться уменьшенной. Другими словами, если силы со-
сопротивления воздуха заставят спутник потерять часть его полной
энергии, то он перейдет на орбиту, более близкую к Земле, от-
отчего его кинетическая энергия может увеличиться.
96. Популярные брошюры об искусственных спутниках при-
приписывают им свободу от действия земного притяжения. Верно
ли это? Дайте пояснение.
97. С какими затруднениями встретились бы вы, находясь в
кабине космического корабля при ходьбе или когда вы захотите
пить?
98. Если бы какая-нибудь планета увеличилась в размерах,
но плотность ее сохранила прежнее значение, то сила притяже-
притяжения планетой тела на ее поверхности увеличилась бы в резуль-
результате увеличения массы планеты; с другой стороны, она умень-
14
шилась бы вследствие увеличения расстояния тела от центра
тяжести планеты. Какой из этих эффектов будет преобладать?
ГИДРОСТАТИКА
99. Выполняется ли закон Архимеда при свободном падении
сосуда или в спутнике, который движется по круговой орбите?
100. Круглый пробковый поплавок плавает в кружке с чаем,
покоящейся на земной поверхности, причем в чай погружена
его fe-тая часть. Будет ли он плавать или пойдет ко дну, нахо-
находясь на борту космического корабля, движущегося по инерции
в безвоздушном пространстве? Что произойдет, если поплавок в
кружке с чаем находится на поверхности Марса?
101. Шар плавает на поверхности воды в сосуде, выставлен-
выставленном на воздух- Как изменится погружение шара, если: а) со-
сосуд закрыт, а воздух в нем удален; б) сосуд закрыт, а воздух
в нем сжат?
102. Почему надутый газом баллон, раз начавши поднимать-
подниматься, поднимется лишь до определенной высоты. В то же время
подводная лодка, раз начавши опускаться, всегда опустится до
самого дна моря, если в ней не произойдет никаких изменений.
Каким образом лодка все же сможет удерживаться на опреде-
определенной глубине под уровнем воды?
103. Открытое ведро с водой находится на гладкой плоской
поверхности, наклоненной к горизонту под углом ао. Обозначив
через v скорость ведра и через а его ускорение, определите угол
наклона а к горизонту свободной поверхности воды при сле-
следующих условиях: а) ведро покоится на поверхности; б) ведру
предоставлена возможность скользить вниз с постоянной ско-
скоростью; в) ведро скользит вниз без трения; г) что произойдет,
если поверхность, по которой движется ведро, имеет переменную
кривизну?
104. Баржа, груженая железным ломом, находится в шлюзе
канала. Если железо будет выброшено за борт, то что прои-
произойдет с уровнем воды в шлюзе?
105. Ведерко с водой подвешено к пружинным весам. Изме-
Изменятся ли показания весов, если в воду будет погружен кусок же-
железа, подвешенный к шнуру сверху? Тот же вопрос, если в воду
будет положена пробка?
106. Сплошной цилиндр установлен в сосуде так, что осно-
основание цилиндра плотно примыкает к дну сосуда. Когда в сосуд
налита вода, то она никак не попадает под дно цилиндра, и кон-
контакт между ним и дном сосуда остается плотным. Действует
ли на цилиндр выталкивающая сила?
107. Одна из трубок открытого манометра вдвое больше по
диаметру, чем другая. Поясните, как будет влиять это условие
на работу манометра. Имеет ли значение, какой конец трубки
соединен с сосудом, давление в котором измеряется?
15
ГИДРОДИНАМИКА
108. Можете ли вы приписать какой-либо коэффициент ста-
статического трения двум поверхностям, из которых одна есть по-
поверхность жидкости?
109. Опишите силы, действующие на элементарные объемы
жидкости, протекающей через трубу переменного поперечного
сечения.
ПО. Высота жидкости в манометрических трубках (рис. 5)
показывает, что давление падает вдоль трубопровода, даже ес-
если его сечение постоянно, а текущая жидкость несжимаема.
Дайте пояснение.
111. Жидкость протекает по горизонтальной трубе, имеющей
в одном месте сужение (рис. 6). К широким частям трубы,
Рис 5.
Рис. 6.
а также к ее узкой части присоединены манометрические труб-
трубки. Если закрыть стопорный кран на выпускном конце трубы, то
как изменится уровень жидкости в манометрических трубках?
Дайте пояснение.
112. Две весельные лодки или две автомашины, идущие па-
параллельным курсом в одном направлении, притягиваются друг
к другу. Объясните это явление, пользуясь уравнением Бернулли.
113. Объясните, почему вода, стекающая вниз по вертикаль-
вертикальной трубе, течет сплошным потоком, падая же свободно, струя
разбивается на отдельные капли.
114. Объясните, почему скорость тела, падающего с большой
высоты, не превышает определенного установившегося значения?
115. Зависит ли разность давлений на нижнюю и верхнюю
поверхность крыла самолета от высоты его поднятия?
116. Два твердых тела имеют одинаковые размеры и форму,
но различны по плотности, сопротивление же воздуха действует
на них одинаково. Покажите, что если, находясь на одинаковой
высоте, они освободятся от связей одновременно, то более тя-
тяжелое тело достигнет земли первым.
ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
117. Как вы можете доказать экспериментально, что волны
несут с собой энергию?
16
118. Можно ли возбудить такое волновое движение, в кото-
котором частицы среды колеблются гармонически? Если можно, то
объясните, как именно, и опишите саму волну.
119. Являются ли крутильные волны поперечными или про-
продольными? Можно ли их рассматривать как суперпозицию двух
волн, поперечной и продольной?
120. Как можно возбудить плоские и сферические волны?
121. Рассмотрите следующие функции, где А—константа:
у о А(х — vt); у = А{х+ vtf ;
у = АУ x — vt ; у = Aln(x,+vt) .
Объясните, возможно ли эти функции употреблять при опи-
описании волновых движений.
122. Как меняется амплитуда и интенсивность поверхностных
волн в воде с изменением расстояния от источника?
123. Объясните, почему закон обратных квадратов неприме-
неприменим в точности к уменьшению интенсивности звука с расстоя-
расстоянием.
124. Если две волны интерферируют друг с другом, то изме-
изменяет ли одна волна распространение другой?
125. Имеет ли место потеря энергии при интерференции волн?
126. Если две волны, различающиеся только амплитудами»
распространяются в противоположных направлениях в упругой
среде, то образуют ли они стоячие волны? Имеет ли здесь ме-
место перенос энергии и наличие узлов?
127. Учитывая, что стоячие волны в струнах есть результат
суперпозиции бегущих волн, объясните отсутствие резко выра-
выраженных узлов в струне, играющей роль резонатора, даже у ее
закрепленного конца.
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
128. Какой опыт делает очевидным допущение, что скорость
звука одинакова для всех длин волн?
129. Звонок в школе звонил в течение короткого времени,
после чего его звук скоро стал неслышным. Проследите звуко-
звуковые волны и переносимую ими энергию от момента их образо-
образования до того момента, когда звук становился неслышным.
130. Каким образом мы могли бы экспериментально опреде-
определить местоположение узлов и пучностей: а) в колеблющейся
струне; б) в столбе воздуха и в) на колеблющейся поверхности?
131. Поясните, как настраивается струнный инструмент.
132. Будет ли возбужденная щипком скрипичная струна ко-
колебаться большее или меньшее время, если у скрипки нет деки?
133. Два находящихся в гавани судна даюг одновременна
свистки одинаковой высоты. Будете ли вы ожидать здесь интер-
2 Заказ 170 G
ференционного эффекта с областями максимальной к минималь-
минимальной интенсивности звука?
134. Будет ли иметь место эффект Допплера для звука,
когда наблюдатель движется под прямым углом к линии, со-
соединяющей его с источником звука?
Как мы сможем определить эффект Допплера, если движе-
движение наблюдателя имеет компоненту скорости, перпендикулярную
к линии, соединяющей источник с наблюдателем?
135. Какое влияние оказывает скорость ветра на звуковой
эффект Допплера?
136. Два одинаковых камертона издают звуки одинаковой
частоты. Какими средствами вы молол бы осуществить улавли-
улавливаемые ухом биения между ними?
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ТЕМПЕРАТУРА
137. Является ли температура понятием микро- или макро-
макроскопическим?
138. Связано ли наше ощущение температуры с определен-
определенным ощущением направления? Другими словами, обязательно
ли «более горячий» означает более высокую температуру тела
или здесь имеет место чисто условное соглашение? Между про-
прочим, Цельсий первоначально принял точку кипения воды за нуль
градусов, а точку таяния льда за сто градусов.
139. Как бы вы поступали, чтобы измерить температуру:
д) Солнца; б) верхних слоев атмосферы; в) крошечного насе-
насекомого; г) Луны; д) дна океана?
140. Является ли один газ предпочтительнее другого для це-
целей создания эталонного газового термометра? Какими свойст-
свойствами должен обладать выбранный для этого газ?
141. Приведите возражения против пользования водяным
термометром. Является ли ртутный термометр усовершенство-
усовершенствованием?
142. Почему, если ртутный термометр поместить в пламя,
ртутный столбик сперва опустится и уж потом начнет подни-
подниматься?
143. Как измерить коэффициент линейного расширения? За-
Зависит ли его значение от выбранной единицы длины? Изменится
ли численное значение коэффициента, если вместо шкалы Цель-
Цельсия мы будем пользоваться, например, шкалой Фаренгейта? Ес-
Если оно изменится, то в какую сторону?
144. Можете ли вы привести правдоподобное объяснение то-
тому факту, что некоторые вещества с повышением температуры
сжимаются?
18
145. Объясните, как можно при изменении температуры со-
сохранить постоянство периода качания маятниковых часов, при-
присоединяя для этого к нижней части маятника трубки со ртутью.
КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ И ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
146. Приведите примеры, отчетливо проводящие разницу ме-
между количеством теплоты и температурой.
147. Может ли теплота рассматриваться как форма запасен-
запасенной энергии? Будет ли такая интерпретация противоречить
представлению о теплоте как об энергии в процессе ее передачи
в результате разности температур?
148. Можно ли передать некоторое количество теплоты ве-
веществу, не вызывая этим повышения его температуры?
149. В зимний день температура внутренней поверхности
стены много ниже температуры помещения, а температура на-
наружной поверхности стены много выше температуры наружного-
воздуха. Объясните это.
150. Является ли механический эквивалент теплоты физиче-
физической величиной или это просто множитель для перевода тепло-
тепловых единиц энергии в механические и обратно?
151. Рассмотрите процесс замерзания воды с точки зрения
первого начала термодинамики. Вспомните, что лед обладает
большим объемом, чем равное ему по массе количество воды.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
152. Как определяется идеальный газ через макро- и микро-
микроскопические величины?
153. Допустим, что стенки сосуда упруги при соударениях
с молекулами. В действительности же они могут быть и неупру-
гилги. Покажите, что практически это не имеет значения (в отно-
отношении передачи тепла), пока температура стенок сосуда оаа-
ется равной температуре газа.
154. При неупругих соударениях, осуществляемых в больших
масштабах, механическая энергия благодаря внутреннему тре-
трению превращается в энергию движения молекул, что проявляет-
проявляется в повышении температуры. Имеет ли место переход механи-
механической энергии во внутреннюю при неупругом соударении между
молекулами?
155. Чем обосновать пренебрежение изменениями потенци-
потенциальной энергии газовых молекул, находящихся в гравитацион-
гравитационном поле?
156. Как оправдать допущение, что сила воздействия моле-
молекул на стенки сосуда может быть постоянна во времени?
157. Средняя скорость молекул газа должна равняться нулю,
если газ в целом и сосуд, в котором он содержится, не нахо-
2' 19
дятся в поступательном движении. Как может случиться, что
средняя скорость не равна нулю?
158. Если сосуд с газом движется относительно некоторой ко-
координатной системы, то средняя скорость молекул газа относи-
относительно этой системы больше, чем в случае сосуда, покоящегося
относительно этой системы. Будет ли иметь место по этой при-
причине повышение температуры газа?
159. Температура воздуха в верхних слоях атмосферы, свя-
связанная с кинетикой движения его молекул, порядка 1000°К.
Вместе с тем наверху очень холодно. Чем может быть оправдан
этот парадокс?
160. Почему время, потребное для диффузного разделения
тазовых частиц, должно быть сравнительно коротким?
161. Опишите устройство центрифуги для разделения газов.
Имеет ли она преимущество перед камерой для диффузного раз-
разделения газовой смеси?
162. Если молекулы не обладают сферической формой, то ка-
какой смысл можно придать величине d в формуле средней длины
свободного пробега молекул:
Поведение молекул каких газов ближе всего подходит к по-
поведению твердых шаров?
163. Допустим, что мы оставили гипотезу упругих соударений
.в кинетической теории газов и стали рассматривать молекулы
как центры приложения сил, действующих на расстоянии. Со-
Сохранится ли при этом условии какой-либо смысл за понятием
.средней дл(Ины свободного пробега молекул?
164. Сила взаимодействия между молекулами зависит от
расстояния между ними и способна вызвать отклонение в поло-
положении молекул, даже если они далеки от «контакта» друг с дру-
другом. Это отклонение будет зависеть от длительности воздейст-
воздействия сил и от относительной скорости молекул.
а) Вправе ли вы ожидать, что средняя длина свободного про-
пробега окажется зависящей от температуры, даже если плотность
газа остается постоянной?
б) Если это так, то можно ли ожидать, что / будет увеличи-
увеличиваться или уменьшаться с температурой?
в) Каким образом эта зависимость войдет в равенство:
7-' >
165. Аргументируйте утверждение, что в смеси молекул раз-
различных сортов, находящейся в равновесии, каждый сорт моле-
молекул подчиняется тому же максвеллову распределению по ско-
скоростям, какое он имел бы, если бы прочие сорта отсутствовали.
¦30
166. Щелевое устройство в опыте Штерна выделяет лишь те
молекулы, которые движутся в направлении +х. Нарушает ли
это ценность эксперимента, рассчитанного на измерение скорос-
скоростей молекул, движущихся по всем направлениям?
167. Следуя варианту опыта Штер-
Штерна, изображенному на рисунке 7, по-
поясните, как можно вычислить распре-
распределение скоростей молекул, вылетаю-
вылетающих из объема печи, исходя из рас-
распределения их скоростей в молеку-
молекулярном пучке. Различны ли эти рас-
распределения? Рис. 7.
168. Что означает верхний предел
давления, допустимый в опыте Штерна?
169. Приведите примеры броуновского движения среди физи-
физических явлений.
ЭНТРОПИЯ И ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
170. Может ли заданное количество механической энергии це-
целиком превратиться во внутреннюю? Если это возможно, приве-
приведите пример.
171. Некоторое тело возвращается в свое первоначальное со-
состояние после превращения его механической энергии во внут-
внутреннюю в результате трения. Будет ли этот процесс обратимым с
термодинамической точки зрения?
172. Приведите несколько примеров необратимых процессов
в природе?
173. Можем ли мы с равным правом определять к. п. д. теп-
теплового двигателя: 1) как отношение работы к количеству теп-
теплоты, полученному им от нагревателя, и 2) как отношение рабо-
работы к количеству теплоты, отданному холодильнику?
174. Какие факторы уменьшают к. п. д. теплового двигателя
по отношению к его предельному значению?
175. Чтобы наиболее эффективно увеличить к. п. д. теплово-
теплового двигателя, работающего по циклу Карно, будете ли вы увели-
увеличивать температуру нагревателя Ти оставляя температуру холо-
холодильника Т2 постоянной, или поступите наоборот?
176. Поясните, можно ли охладить воздух в кухне, оставив
дверцу холодильника открытой.
177. Имеет ли место изменение энтропии в чисто механиче-
механических процессах?
178. Два объема газа, находившиеся первоначально при од-
одной и той же температуре и давлении, сжимаются от значения
V до '/гУ— один изотермически, а другой адиабатически. В ка-
каком случае конечная температура будет больше? Будет ли иметь
место изменение энтропии при обоих процессах?
21
179. Предположим, что мы предпочли выразить состояние
системы через энтропию S и абсолютную температуру Т вместо
давления и объема. Как будет выглядеть изображение цикла
Карно на диаграмме TS?
180. Покажите, что в результате превращения механической
энергии во внутреннюю при наличии трения скольжения между
двумя поверхностями энтропия системы тел увеличивается. По-
Поясните увеличение энтропии при тепловом движении.
181. Разъясните такое утверждение: тепловой двигатель пре-
превращает беспорядочное механическое движение в упорядоченное
механическое.
182. Поясните утверждение: космические лучи беспрестанно
уменьшают энтропию Земли, на которую они падают. Противо-
Противоречит ли это второму началу термодинамики?
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
183. Два металлических шара установлены на передвижных
опорах. Как сообщить этим шарам равные и противоположные
по знаку заряды? Вы можете пользоваться стеклянной палочкой,
натертой шелком, но не вправе прикасаться ею к шарам. Потре-
Потребуется ли в ходе ваших действий соблюдение условия одинако-
одинаковости размера шаров?
184. Объясните результаты опыта: заряженная палочка при-
притягивает кусочки сухой измельченной пробки, которые после
прикосновения к палочке отталкиваются от нее.
185. Если заряженную стеклянную палочку держать вблизи
конца изолированного металлического стержня, то электроны со-
соберутся у одного из его концов. Почему движение электронов
прекращается, хотя в металлическом стержне их имеется почти
неисчерпаемый запас?
186. Человек, стоя на изолированной подставке, прикасается
к заряженному изолированному проводнику. Разрядится ли при
этом проводник полностью? Объясните.
187. а) Положительно заряженная стеклянная палочка при-
притягивает подвешенное на нити тело. Можно ли заключить отсю-
отсюда, что тело заряжено отрицательно?
б) Положительно заряженная стеклянная палочка отталкива-
отталкивает подвешенное на нити тело. Следует ли отсюда, что тело заря-
заряжено положительно.
188. Величина элементарного электрического заряда, или
квант заряда, равен 1,60-10~19 к. Существует ли соответствую-
соответствующий ему квант массы?
22
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
189. а) Рассматривая взаимное гравитационное притяжение
Земли и камня, можем ли мы сказать, что Земля находится в
поле тяготения камня?
б) Как относится гравитационное поле, порожденное камнем1,
к полю, порожденному Землей? в) Те же вопросы для кулонова
поля Земли и любого заряда q<?.q3.
190. Примем во внимание квантуемость электрического заря-
заряда, причем элементарный заряд дается электроном. Тогда, как
возможно оправдать математическую операцию перехода к пре-
пределу:
? = lim-L ?
q,>u Чо
191. Объясните, почему касательные к линиям напряженности
электрического поля (рис. 8), продолженные в направлении, об-
обратном линиям напряжен-
напряженности, будут казаться выхо-
выходящими из центра фигуры.
192. Два точечных заря-
заряда, неизвестных по величи-
величине и знаку, находятся друг
от друга на расстоянии d.
На прямой, соединяющей
эти заряды, имеется точка,
где напряженность электри-
электрического поля нуль. Какое
заключение о характере за-
зарядов можно отсюда еде- Рпс 8
лать?
193. Подметьте закон изменения напряженности электриче-
электрическою поля с расстоянием, если обобщить выражения напряжен-
напряженности поля точечного заряда, диполя и квадруполя.
194. Если точечный заряд q с массой т вывести из состояния
покоя в неоднородном электростатическом поле, то будет ли он
двигаться по линии напряженности?
195. Покоящийся электрический диполь помещен в однород-
однородное электрическое поле и предоставлен самому себе. Рассмотри-
Рассмотрите характер его движения.
196. Электрический диполь помещен в неоднородное электри-
электрическое поле. Будет ли действующая на него результирующая си-
сила отлична от нуля?
—>
197. Момент диполя р совпадает по направлению с внешним
>
однородным электрическим полем Е. а) Будет ли равновесие ди-
диполя устойчивым или неустойчивым? б) Рассмотрите характер
равновесия, если векторы р и Е направлены в противоположные
стороны.
23
ТЕОРЕМА ГАУССА
198. Точечный заряд находится в центре сферической гауссо-
гауссовой поверхности (поверхности, пронизываемой искомым потоком
вектора напряженности ? электростатического поля). Изменится
ли этот поток, если а) поверхность заменить кубом того же объ-
объема, что и сфера; б) заряд сместить из центра сферы, оставив
его внутри сферы; в) заряд вынести за пределы сферы; г) выне-
вынесенный заряд оставить вблизи первоначальной сферы, а вне ее
поместить второй заряд; д) второй заряд поместить внутри той
же гауссовой поверхности.
199. По аналогии с вектором напряженности электростатиче-
электростатического поля, как вы определите поток вектора напряженности
гравитационного поля? Чему будет равен этот последний поток
через замкнутую поверхность, внутри которой вещества нет?
—* . -> —>
200. Покажите, что уравнение <PV= ф vdS = 0, где v — скорость
потока, иллюстрирует то, что может быть названо теоремой Га-
Гаусса для несжимаемой жидкости.
201. Электрический диполь помещен внутрь замкнутой по-
поверхности. Что можно сказать относительно потока Фе через эту
поверхность?
202. Соблюдалась ли бы теорелга Гаусса, если показатель
степени в законе Кулона не равнялся бы в точности двум?
203. Требует ли теорема Гаусса, чтобы все электроны прово-
проводимости в изолированном проводнике находились на его поверх-
поверхности?
204. В электростатике доказывается, что внутри проводника
напряженность Е всюду равна нулю. Однако внутри любого про-
проводника, несомненно, имеются обширные электростатические по-
поля в точках, близких к атомным электронам или к ядрам. Ли-
Лишает ли это силы теорему Гаусса?
205. Иногда говорят, что избыточный заряд должен целиком
располагаться на внешней поверхности проводника по той при-
причине, что одноименные заряды отталкиваются и стремятся распо-
расположиться возможно дальше друг от друга. Рассмотрите правдо-
правдоподобность этого аргумента.
206. Применима ли теорема Гаусса к расчету поля, созданно-
созданного равными зарядами, расположенными в углах равностороннего
треугольника. Дайте пояснение.
207. Применение линейной, поверхностной и объемной элект-
электрической плотности к расчету заряда, содержащегося в элементе
тела, предполагает непрерывность в распределении заряда, тог-
тогда как фактически в микромасштабе электрический заряд пре-
прерывен. Как оправдать указанную процедуру расчета?
208. По мере проникновения в равномерно заряженную сферу
напряженность Е должна убывать, так как внутри сферы, прове-
24
денной через точку наблюдения, находится меньший заряд.
С другой стороны, Е должно возрастать, так как наблюдатель
ближе к центру заряда. Какой из этих факторов будет преобла-
преобладать и почему?
209. При сферически симметричном распределении заряда
неравномерной плотности обязателен ли максимум напряжен-
напряженности на поверхности. Разберите различные возможности изме-
изменения Е.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
210. Можно ли произвольно приписать Земле потенциал в
-Н00 в вместо нуля? Как это отзовется на измерениях значений
потенйцалов и разностей потенциалов?
211. Что случится с человеком, стоящим на изолированной
подставке, если его потенциал увеличится до 104 а?
212. Будут ли электроны стремиться перейти в область с вы-
высоким потенциалом или с низким?
213. Предположите, что полный заряд Земли не равен нулю.
Можно ли тогда принимать Землю за систему отсчета потенци-
потенциала, приписывая ей потенциал, равный нулю?
214. Если напряженность Е в данной точке равна нулю, то
должен ли в ней равняться нулю и потенциал? Приведите не-
несколько примеров, подтверждающих вашу точку зрения.
215. Если вам известно значение Е в данной точке, то можете
ли вы вычислить потенциал в этой точке? Если нет, то какая
дополнительная информация вам для этого потребуется?
216. Как вы можете убедиться в том, что электрический по-
потенциал в заданной части пространства сохраняет постоянное
значение?
217. Незаряженный металлический шарик, подвешенный на
шелковой нити, помещен в однородное электрическое поле Е.
Какова величина поля для точек внутри шарика? Изменится ли
ответ в случае заряженного шарика?
218. Заряд расположен на изолированном проводнике, имею-
имеющем форму куба и находящемся в вакууме. Как распределится
заряд на поверхности куба? Что произойдет с зарядом, если
куб будет находиться в воздухе?
КОНДЕНСАТОРЫ И ДИЭЛЕКТРИКИ
219. Параллельно к батарее элементов присоединен конден-
конденсатор, а) Почему каждая из его обкладок получает в точности
одинаковый заряд? б) Останется ли это в силе даже в том слу-
случае, если размеры обкладок различны?
220. Может ли иметь место разность потенциалов между
двумя соприкасающимися проводниками, несущими одинако-
одинаковый положительный заряд?
25
221. Если а — поверхностная плотность заряда, a R — радиус
кривизны заряженной поверхности в данной точке, то соотношение
а к- показывает, что заряд, распределенный на изолирован-
изолированном проводнике, концентрируется на остриях и избегает плос-
плоских поверхностей, где R-^oo. Как это со-
• гласовать со случаем, изображенным на
рисунке 9, где отрицательный заряд рас-
распределен на плоской поверхности каждой
пластины?
: 222. Алюминиевый листок пренебрегае-
мо малой толщины помещен между об-
Рис 9 кладками конденсатора. Какое влияние
окажет этот листок на емкость конденса-
конденсатора, если: а) он электрически изолирован от обкладок и
б) соединен с верхней обкладкой?
223. Рассмотрите емкость системы, если между обкладками
шоского конденсатора вдвинута в одном случае пластинка из
диэлектрика, а в другом — пластинка из проводника. Толщина
каждой пластинки равна половине расстояния между обклад-
обкладками.
224. Залитый маслом плоский конденсатор был рассчитан на
определенную емкость С и на надежность работы ниже верхне-
верхнего предела разности потенциалов UM&KC. Однако работа конст-
конструктора оказалась не на высоте, и конденсатор иногда искрил.
Как можно переделать конденсатор, сохраняя С и t/MailC неиз-
неизменными и не меняя также материала диэлектрика?
225. Есть ли основания ожидать, чтобы диэлектрическая про-
проницаемость веществ, содержащих жесткие молекулярные дипо-
диполи, менялась с температурой?
226. Изолированному проводящему шару сообщен положи-
положительный заряд. Изменится ли при этом его масса?
227. Заряженный плоский конденсатор с горизонтально рас-
расположенными обкладками разъединяется с батареей элементов.
В конденсатор вставляется край пластинки из диэлектрика, ко-
которая затем предоставляется самой себе. Что произойдет далее,
если трение пренебрегаемо мало?
228. Покажите, что диэлектрическая проницаемость провод-
проводника может считаться бесконечно большой.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК И СОПРОТИВЛЕНИЕ
229. Назовите физические величины, которые подобно эле-
электрическому току являются скалярами, изображаемыми стрел-
стрелкой на диаграммах.
230. Какие заключения можно сделать из уравнения i=lJdS>
отнесенного к замкнутой поверхности, через которую проходит
26
в произвольных направлениях некоторое число проводов, несу-
несущих различные по величине постоянные токи?
231. Рассмотрите затруднения при проверке того, подчиняется
ли сопротивление нити электрической лампочки закону Ома.
232. Применимо ли соотношение U = iR к неомическим сопро-
сопротивлениям?
233. Температурный коэффициент сопротивления термистора
отрицателен и сильно меняется с температурой. Поясните каче-
качественно форму изображенной на ри-
рисунке 10 кривой зависимости ?/(/) .,
для термистора.
234. Разность потенциалов 11 при-
приложена к концам медного провода
диаметром d и длиной /. Как изменит-
изменится скорость передвижения электро-
электронов в проводнике, если: а) удвоить U,
б) удвоить / и в) удвоить d.
235. Если передвижение электро-
электронов по проводнику при обычных усло-
условиях крайне медленное (порядка Рис 10
10~2 см/сек), то почему лампочки в
помещении немедленно вспыхивают после включения тока?
236. Электрический ток i входит в верхнюю точку медного
шара радиуса R и выходит из диаметрально противоположной
точки. Равноправны ли все части шара в отношении рассеяния
джоулева тепла?
237. Какими специальными характеристиками должны обла-
обладать: а) провод спирали нагревательного прибора и б) провод в
плавком предохранителе?
238. Выражение мощности тока P = i2R, по-видимому, указы-
указывает на то, что выделение джоулева тепла уменьшается с умень-
уменьшением сопротивления. Равенство же Р = -тт указывает на об-
обратное. Как примирить эти явно противоречивые выводы?
ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА И ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
239. Рассмотрите подробно утверждение полной эквивалент-
эквивалентности закона сохранения энергии и второго закона Кирхгофа в
решении задач об электрических цепях.
240. Вполне возможно получить разность потенциалов в
104 в, прочесывая шерсть карманным гребнем. Почему же такое
высокое напряжение не опасно для человека, в то время как
гораздо более низкое напряжение в обыкновенной электриче-
электрической цепи может быть весьма опасно?
241. Две лампочки мощностью 25 и 500 вт, обе рассчитанные
на напряжение 110 в, приключены последовательно к батарее
27
элементов. Почему лампочка в 500 вт будет гореть более сла-
слабым накалом?
242. а) В чем заключается различие между э. д. с. и раз-
разностью потенциалов?
б) При каких условиях напряжение на зажимах батареи вы-
выше ее э. д. с?
243. Какие аналогии можно провести между законами Кирх-
Кирхгофа и закономерностями в потоке несжимаемой жидкости?
244. Опишите метод измерения весьма больших сопротивле-
сопротивлений с помощью контура RC.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
245. Если электрон, пролетая через некоторую область про-
пространства, не отклоняется в сторону, то можем ли мы быть уве-
уверены, что в этой области магнитное поле отсутствует?
246. Если движущийся электрон, пролетая через определен-
определенную область пространства, отклоняется в сторону, то можем ли
мы быть уверены, что в этой области магнитное поле есть?
247. Пучок протонов отклоняется в сторону. Может ли это
отклонение быть вызвано электрическим или магнитным полем?
Если отклонение вызвано одним из этих полей, то каким
именно?
248. Проводник даже при наличии в нем тока имеет полный
заряд, равный нулю. Почему в таком случае магнитное поле вы-
вызывает силу, действующую на проводник?
249. В уравнении М = РмхВ величина Рм означает дипольный
магнитный момент, М — вращающий момент, действующий на
контур с током, В — внешнее магнитное поле. Уравнение пока-
показывает, что момент М = 0, если угол между нормалью к контуру
и магнитным полем равен 0 или 180°. Установите характер рав-
равновесного положения контура с током (устойчивого, неустойчи-
неустойчивого или безразличного) для обоих значений угла.
250. Зависит ли работа, необходимая для поворота контура
с током во внешнем магнитном поле на 180°, от первоначальной
ориентации контура?
251. Прямоугольная рамка с током произвольно ориентиро-
ориентирована во внешнем магнитном поле. Требуется ли какая-нибудь
работа, чтобы повернуть рамку вокруг оси, перпендикулярной к
ее плоскости?
252. Почему при измерении разности потенциалов Холла
между двумя точками необходимо тщательно следить за тем,
чтобы эти точки приходились в точности одна против другой?
Если один из контактов подвижен, то как мы должны регулиро-
регулировать его положение, чтобы быть уверенными в том, что точки
расположены правильно?
28
253. Однородное магнитное поле заполняет некоторую об-
область пространства кубической формы. Может ли электрон быть
направлен извне в эту область так, чтобы внутри куба он опи-
описал замкнутую круговую траекторию?
254. Почему на фотопластинке, полученной при работе с пу-
пузырьковой камерой, треки электронов малой энергии представ-
представляют собой спирали? Другими словами, почему радиус кривиз-
кривизны траектории электрона меняется в постоянном магнитном по-
поле, в котором помещена камера?
255. В чем заключаются первичные функции электрического
и магнитного поля в циклотроне?
256. Имеет ли существенное значение в опыте Томсона по
определению удельного заряда электрона постоянство его
скорости?
ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА'
257. Может ли путь интегрирования при применении закона
полного тока ф Bdl = ^oi проходить через проводник?
258. Сохраняет ли магнитная индукция постоянное значение
в точках, лежащих на заданной линии индукции?
259. Ток течет по длинной медной трубе. Существует ли маг-
магнитное поле внутри трубы и вне ее?
260. Уравнение 5=яг* показывает, что сильное магнитное по-
поле существует в точках, близких к длинному прямому проводу с
током. Так как здесь присутствует и ток и магнитное поле В, то
почему отсутствует сила, действующая на провод в соответствии
с равенством F = i[tB]7
261. Циклотрон дает пучок протонов с энергией в 20 Мэв.
Существует ли магнитное поле, связанное с этими частицами?
262. Ток замыкается на вертикальную пружину, нижний ко-
конец которой на незначительную глубину погружен в ртуть
(рис. 11). Опишите дальнейшее состояние пружины и электри-
электрической цепи.
263. Сохранит ли силу соотношение B = \ioin для соленоида с
поперечным сечением в форме квадрата?
264. Каково направление в точках а, Ъ, с магнитного поля,
созданного изображенным на рисунке 12 элементом тока idl?
265. Однородно ли магнитное поле во всех точках внутри
кругового контура с током?
266. Рассмотрите черты сходства и различия между законом
Био—Савара для магнитной индукции В и выражением напря-
напряженности электрического поля Е, вытекающим из закона Куло-
Кулона, написанными в векторной форме.
29
I
i
Рис. И.
Рис. 12.
267. Каким способом можно было бы измерить магнитный
момент диполя, осуществленного в виде стрелки компаса?
268. Каково основание для утверждения, что виток с током
люжет рассматриваться как магнитный диполь?
ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ФАРАДЕЯ
269. Северный полюс магнита удаляется от изображенного
на рисунке 13 металлического ьольца. Определите направление
индукционного тока.
270. Медный лист помещен в магнитное поле.
i i Если мы попытаемся вытолкнуть лист нз поля
или, наоборот, вдвинуть его туда еще больше,
то возникнет сила сопротив-
р ления. Объясните ее проис-
происхождение.
I 271. Пусть лист бесконечно
N 4 больших размеров из прово-
дящбго материала лежит в
плоскости, перпендикулярной
магнитному полю В, как пока-
Рис 13. Рис 14. зано на рисунке 14.
а) Если магнитное поле
внезапно изменится, то его полное изменение не будет мгновенно
обнаружено в области Р. Как вы это объясните?
б) Объясните, почему, если удельное сопротивление листа
нуль, изменение магнитного поля не будет вообще обнаружено
в области Р.
в) Если магнитное поле изменяется периодически с высокой
частотой, а проводящий лист сделан из материала малого удель-
удельного сопротивления, то область вблизи точки Р окажется почти
полностью экранированной от изменений магнитного потока.
Объясните, почему это так.
30
г) Будет ли такой проводник полезен в роли экрана от ста-
статических магнитных полей?
272. Медная полоска может качаться вокруг оси (рис. 15).
При этом она пересекает магнитное поле, нормальное к плоскос-
плоскости чертежа. Если полоска снабжена прорезями, как показано
на рисунке, то она качается, свободно пересекая магнитное поле
Если же прорези в полоске отсутствуют, то ее колебательное
движение сильно затухает. Объясните это явление.
273. Два изображенных па рисунке 16 проводящих контура
находятся друг от друга на расстоянии d. Наблюдатель смотрит
й
Рис. 15. PlIC 16
вдоль общей оси контуров. Если в большом контуре внезапно
возникнет электрический ток, текущий по часовой стрелке, то-
а) каково будет направление тока, индуцированного в меньшем
контуре, и б) каково направление силы (если таковая возник-
возникнет), действующей на меньший контур?
274. Каково направление индукционного тока, который поте-
потечет по сопротивлению (рис. 17): а) немедленно после замыка-
чия ключа К; б) несколько времени спустя после замыкания
ключа К; в) немедленно после размыкания ключа; г) когда
ключ остается замкнутым, то какой конец катушки является ее
северным полюсом?
275. Соленоид с током приближают к проводящему контуру
(рис. 18). Каково будет направ-
направление индукционного тока в кон-
контуре, если глаз наблюдателя смо-
смотрит в направлении, указанном
на рисунке?
276. Если сопротивление R в
Рис 17.
Рис. 18.
31
левом контуре рисунка 19 увеличивается, то каково будет на-
направление тока, индуцированного в правом контуре?
277. Изображенный на рисунке 20 подвижный провод ab пе-
перемещают в магнитном поле вправо, что приводит к возникнове-
А
а
Рис 19.
Рис 20.
N
—.—
—U-
—*-
—*~
S
Рис. 21.
нию в проводе индукционного тока. Каково направление магнит-
магнитного поля В в области А?
278. Изображенный на рисунке 21 контур выталкивают вер-
вертикально вверх из междуполюсного пространства магнита.
а) Каково направление инду-
1 -». цированного в контуре тока?
| W б) Требуется ли действие силы
для удаления контура из по-
— ля? в) Зависит ли полное ко-
количество джоулева тепла, вы-
выделяемого при перемещении
контура, от времени этого пе-
ремещения?
279. Магнит падает вниз по
длинной медной трубе. Пока-
Покажите, что даже в случае от-
отсутствия сопротивления воздуха магнит приобретает установив-
установившуюся скорость падения.
280. Магнит падает с потолка вдоль оси медного кольца,
лежащего на полу. Пусть падающий магнит фотографируется.
Тогда какое различие (если такое будет) следует отметить в
снимках, если: а) кольцо находится при комнатной температуре
и б) если оно уложено в сухой лед?
281. Медное и деревянное кольца расположены так, что оба
они пронизываются одинаковым магнитным потоком. Как срав-
сравнить между собой индуцированные в каждом кольце электриче-
электрические поля?
282. Пусть в бетатроне электроны вращаются против часо-
часовой стрелки. Как будет направлено магнитное поле и как оно
должно меняться со временем, в течение которого электрон ис-
испытывает ускорение?
283. Почему бетатрон может работать как ускоритель лишь
в течение одной четверти цикла?
32
284. Циклотрон является резонансным устройством,
ли от явления резонанса работа бетатрона?
Зависит
ИНДУКТИВНОСТЬ
285. Две катушки соединены последовательно. Зависит ли
эквивалентная индуктивность от их взаимного расположения?
286. Оказывается ли индуктивность, приходящаяся на едини-
единицу длины соленоида вблизи его середины, больше, меньше или в
точности равной индуктивности на единицу длины у концов со-
соленоида ?
287. Два соленоида А и В имеют одинаковый диаметр, оди-
одинаковую длину и содержат лишь по одному слою витков, вплот-
вплотную примыкающих друг к другу, так как толщина изоляции пре-
небрегаемо мала. На соланоид А навито большое число витков
тонкой проволоки, а на соленоид В меньшее число витков более
толстой проволоки. Какой из соленоидов имеет большую ин-
индуктивность? Большую постоянную времени релаксации?
288. Если магнитный поток, пронизывающий каждый виток
проволоки, один и тот же, то самоиндукция катушки рассчиты-
рассчитывается по формуле/, = . Каким способом можно рассчитать
самоиндукцию катушки, витки которой пронизываются различ-
различными потоками?
289. Если направление постоянного тока генератора (рис.
22, а) совпадает с направлением э.д.с. аккумулятора, то энергия
последнего убывает. Если же эти величины противоположны по
направлению друг другу, как это имеет место при зарядке акку-
аккумулятора, то энергия последнего возрастает. Сохранят ли эти
утверждения силу, если аккумулятор (рис. 22, б) заменить ка-
катушкой самоиндукции, аккумулирующей в себе магнитную энер-
энергию, а генератор снабдить реостатом для изменения силы тока.
290. Витки проволоки числом N соединены последовательно.
Как они должны быть расположены, чтобы самоиндукция ока-
оказалась наибольшей?
Г
Рис 22.
3 Заказ 170
33
291. Зависит ли от приложенной э.д.с. время, потребное для
того, чтобы ток в цепи LR достиг заданной доли равновесного
значения?
292. а) Постоянный ток течет по катушке с весьма большой
постоянной времени релаксации. При размыкании тока у ножей
рубильника вспыхивает сильная дуга, которая в цепях с боль-
большой индуктивностью может быть опасной. Объясните это явле-
явление.
б) Может ли в цепи, содержащей LR, э.д.с. самоиндукции в
какой-либо момент оказаться больше э.д.с. батареи?
293. Всегда ли в цепи LR, изображен-
изображенной на рисунке 23, ток в омическом сопро-
сопротивлении 'будет равен току в катушке
индуктивности?
294. Приведите доводы в пользу
утверждения, что энергия может быть
запасена в магнитном поле.
295. Где в тороиде плотность энергии
Рис. 23. больше: ближе к внутреннему радиусу
или к внешнему?
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
296. Как можно перемагнитить стрелку компаса?
297. Известно, что космические лучи малой энергии, т. е. за-
заряженные частицы, летящие в нашу атмосферу из какого-то
внешнего источника, концентрируются у магнитных полюсов
Земли в большей мере, чем у магнитного экватора. Объясните
причину этого явления.
298. Как может быть измерен магнитный дипольный момент
Земли?
299. Нейтрон не имеет электрического заряда, но имеет маг-
магнитный дипольный момент. Возможно ли это с точки зрения
классического магнетизма или уже одно это является очевидным
указанием «а несостоятельность классического электромагне-
электромагнетизма?
300. Сильно ли отличается намагничивание до насыщения па-
парамагнетика от намагничивания до того же предела у феррома-
ферромагнетика?
301. Почему магнит притягивает ненамагниченный желез-
железный предмет, например железный гвоздь?
302. Будет ли действовать какая-либо результирующая сила
или вращающий момент на иенамагниченный железный стер-
стержень, на постоянный полосовой магнит, если оба они помещены
в однородное магнитное поле?
303. На гладкой поверхности стола вблизи сильного магнита
лежит привязанный к нити гвоздь. Будучи освобожден от связи,
34
гвоздь притягивается к магниту. В чем заложен источник кине-
кинетической энергии, которой обладает гвоздь перед ударом о
магнит?
304. Намагниченность, сообщенная шару из диамагнетика с
помощью внешнего магнитного поля, не меняется с температу-
температурой, что стоит в резком контрасте с парамагнетиком. Объясни-
Объясните это явление.
305. Сравните кривые намагничивания парамагнетика
рис. 24, а) и ферромагнетика (рис. 24, б). Как будет выглядеть
подобная кривая для диамагнетика? Не кажется ли вам, что
±_
max
В
->тах
Рис. 24
намагничивание диамагнетика будет обнаруживать эффект на-
насыщения только в сильных полях порядка 10 вб/м2? Дайте аргу-
аргументированный ответ.
306. Установите черты сходства и различия между парами
векторов напряженности электрического поля Е и магнитной ин-
-> —> >
дукции В, смещения D и напряженности магнитного поля Н, по-
-> ->
ляризации Р и намагничения / в своей связи: 1) с зарядами
(любыми, только свободными или только поляризованными) с
одной стороны и с токами (любыми, только внешними или толь-
только молекулярными); 2) с граничными условиями, когда непре-
непрерывна тангенциальная компонента вектора или нормальная его
компонента или когда вектор в вакууме пропадает совсем.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
307. Почему в контуре LC колебания не прекращаются в тот
момент, как конденсатор разряжается полностью?
308. Как возможно возбудить колебания в контуре LC
при начальных условиях, изображенных на рисунке 25? Приду-
Придумайте для этого схему включения.
309. Дан колебательный контур LC, в котором омическое
сопротивление пренебрегаемо мало. Что определяет в нем час-
частоту и амплитуду колебания?
35
r,<rz<r3
со
Рис 26
310. Величина тока при резонансе в контуре LC оценивается
с помощью резонансных кривых (рис. 26) или с помощью фор-
формулы
" макс
Резонанс наступает тогда, когда частота «'возмущающей си-
силы становится в точности равной собственной частоте контура LC.
В механических же системах, состоящих из пружины и колеблю-
колеблющейся массы, резонанс наступает, когда частота возмущающей
силы только приближается к собственной частоте системы, но
не равна ей в точности. Не имеет ли здесь место нарушение
принципа соответствия?
311. Допустим, что, пользуясь катодным осциллографом, мы
можем воспроизвести для некоторого низкочастотного контура
LCR пропорциональную зависимость между разностью потенци-
потенциалов и температурой специально сконструированного реоста-
реостата. При этом температура реостата изменяется со временем в
соответствии с нагревательным действием синусоидального тока.
Какова будет связь между частотой этой температурно-времен-
ной зависимости и колебаниями тока, измеренного с помощью
разности потенциалов на реостате?
312. Считая резонатор Гельмгольца аналогом контура Том-
сона, проследите в нем течение потока энергии от точки к точке.
313. Может ли какой-нибудь элемент контура, например ем-
емкость, вести себя при одних условиях как сосредоточенный па-
параметр, а при других условиях как распределенный?
314. Назовите известные вам механические колебательные
системы с сосредоточенными и распределенными параметрами.
315. С какими конструктивными затруднениями вы встрети-
встретитесь, если захотите построить контур LC, рассчитанный на час-
частоту колебаний в 0,01 гц или на 1010 гц.
36
316. Объясните, почему острота настройки медного электро-
электромагнитного резонатора может быть значительно повышена, если
погрузить его в жидкий воздух.
317. С какой целью электромагнитные резонаторы часто по-
покрываются изнутри серебром?
йФр
318. Почему выражение г0 -^— может относиться к току
смещения?
319. Для поддержания непрерывного тока в контуре необхо-
необходимо существование тока смещения. Но как он может возникать
при отсутствии зарядов па обкладках конденсатора?
320. Установите симметрию в выражениях первого и второго
уравнений Максвелла.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
321. Каково будет направление тока проводимости: а) во
внутреннем проводе коаксиального кабеля и б) в его внешнем
проводе непосредственно после того, как рубильник перекинут
в положение а (рис. 27, а).
Рис. 27
322. Как относятся друг к другу длина волны в свободном
пространстве к длине волны в коаксиальном кабеле?
йФЕ
323. Обьясните, почему член ?0 —п- а уравнении Максвелла
<§>Bdl = е0 Е¦ -\- \ioi нужен для понимания распростране-
распространения электромагнитной волны.
324. Допустима ли мысль, что электромагнитная теория ко-
когда-нибудь сможет предсказать значение величины с = 3-108м/сек,
выразив ее не через ц0 и ео, а непосредственно в числах, не
обращаясь к измерениям?
325. Как переносится энергия в коаксиальном кабеле: по
проводникам через посредство токов или в пространстве между
проводниками через посредство электрического и магнитного
поля^
37
ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА
ПРИРОДА СВЕТА И ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ
326. Как может быть снята кривая чувствительности глаза
(кривая видности)?
327. Почему сигналы опасности подаются красным светом, в
то время как глаз наиболее чувствителен в желто-зеленому
свету?
328. Прожектор посылает параллельный пучок лучей. Испы-
Испытывает ли он при этом действие какой-нибудь силы, связанной
с излучением света?
329. Как мог Галилей в своей попытке измерить скорость све-
света экспериментально убедиться в том, что засечки моментов
времени были источником огромных ошибок?
330. Постулат Эйнштейна гласит, что на скорость света не
влияет равномерное движение источника или наблюдателя. Кое-
кто утверждает, что этот постулат должен быть отброшен, как
противоречащий здравому смыслу. Что ответили бы вы?
331. Зависит ли скорость света в вакууме от длины -волны,
от частоты, от интенсивности, от скорости источника или наблю-
наблюдателя?
332. Может ли скорость удаления галактики от нас равняться
скорости света? Если это возможно, то как мы можем видеть
эту галактику? Другими словами, как может свет от нее когда-
либо достичь нас?
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
333 Применим ли принцип Гюйгенса к звуковым волнам в
воздухе?
334. Если принцип Гюйгенса предсказывает справедливость
законов отражения и преломления, то почему оказывается необ-
необходимым или желательным рассматривать свет как электромаг-
электромагнитную волну со всей сложностью, присущей этой концепции^
335. Можно ли ожидать, что звуковые волны будут подчи-
подчиняться законам отражения и преломления, если им подчиняются
световые волны?
336. Если смотреть на отражение уличного фонаря от слоя
воды, покрытого рябью, то оно покажется весьма вытянутым,
Объясните это явление.
337. Можно ли для определения длины световой волны ис-
использовать явление отражения или преломления света?
338. Каким образом измерение скорости света в воде соглас-
согласно опыту Фуко разрешило вопрос о выборе между волновой и
корпускулярной теориями света?
339. Почему бриллиант блестит больше, чем его имитация из
стекла при той же форме?
38
340. Правдоподобно ли утверждение, что длина световой вол-
волны меняется при входе ее из воздуха в стекло, в то время как
частота света остается неизменной?
341. Как определить в стеклянном кубе скорость света, полу-
полученного с помощью натриевой ламшы?
342. Может ли когда-нибудь оптическая длина пути между
двумя точками быть меньше геометрической длины пути между
ними?
343. Можно ли сфотографировать мнимое изображение?
344. Какие приближенные допущения кладутся в основу вы-
вывода уравнения сферического зеркала?
345. Придумайте простой опыт или способ наблюдения для
доказательства того, что при условиях, когда преобладающее
значение имеет геометрическая оптика, закон отражения один
и тот же для всех длин волн.
346. Несимметричная тонкая линза дает изображение точеч-
точечного объекта на своей главной оси. Изменится ли местоположе-
местоположение изображения, если линзу перевернуть (т. е. ее преломляю-
преломляющие поверхности поменять местами)?
347. Почему у линзы два фокуса, а у зеркала только один?
348. Какие приближенные допущения кладутся в основу
вывода уравнения тонкой линзы?
349. Как можно сравнить главное фокусное расстояние сте-
стеклянной линзы для голубых лучей с главным фокусным рас-
расстоянием для красных лучей, если линза в одном случае соби-
собирающая, а в другом — рассеивающая?
350. Зависит ли главное фокусное расстояние линзы от сре-
среды, в которую погружена линза? Можно ли данную линзу при-
применять в одной среде как раюсеивающую, а в другой — как со-
собирающую?
351. При каком -условии поперечное увеличение линз и зер-
зеркал становится бесконечно большим? Имеет ли искомое условие
какое-либо практическое значение?
352. Разъясните утверждение,
что световые лучи обратимы отно-
относительно предметов и изображений
в выпуклых и вогнутых зеркалах и
линзах, если все лучи поменять
своими направлениями.
353. Какой физический смысл
может быть придан началу коорди-
координат и величинам, отложенным по
оси обсцисс, на приведенной на ри-
рисунке 28 диаграмме тонкой линзы,
где по оси ординат отложены значе-
значения поперечного увеличения линзы;
первый квадрант относится к рас- рнс 28.
39
сеивающей линзе и к действительным обратным изображениям;
второй квадрант относится к рассеивающей линзе и к прямым
мнимым изображениям; четвертый квадрант относится к соби-
собирающей линзе и к прямым мнимым изображениям.
354. Все лучи, исходящие из точек одного и того же волно-
волнового фронта падающей волны, имеют одну и ту же оптическую
длину пути до точки изображения. Поясните это утверждение,
связав ого с принципом Ферма.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
355. Встречаются ли интерференционные эффекты при рас-
рассмотрении звуковых волн? Вспомните, что звуковая волна в воз-
воздухе продольна, а световая — поперечна.
356. Для какой цели в интерференционном опыте Юнга с
двумя щелями и источником монохроматического света служит
экран А (рис. 29)? Что будет происходить, если постепенно рас-
расширять щель в этом экране?
357. Опишите распределение
интенсивности света на экране С
(рис. 29), если одна из щелей в
экране В прикрыта красным
светофильтром, а другая — си-
синим. Падающий на систему свет
белый.
358. Играет ли роль когерент-
когерентность в явлениях отражения и
преломления?
359. Как изменится интерфе-
интерференционная картина (см. рис. 29),
если всю систему погрузить з
воду?
360. Почему для получения
интерференционной картины в
пленках они должны быть тон-
тонкими?
361. Почему линза, покрытая просветляющей пленкой, ка-
кажется фиолетовой при рассматривании ее в отраженном свете?
362. Чтобы сделать очковые стекла чистыми, их прежде все-
всего увлажняют. Пока влага не испарилась вся, можно заметить,
что на это короткое время отражение света на стеклах заметно
уменьшается. Почему?
363. Для уменьшения отражения света линзы покрываются
особой пленкой. Что происходит с энергией, которая раньше
отражалась? Поглощается ли она пленкой?
364. Малые изменения в угле падения света не меняют силь-
сильно интерференционной картины в тонких пленках, но в толстых
пленках эти изменения значительны. Почему?
40
Рис. 29.
365. Человек, находящийся в темной комнате, смотрит через
маленькое окно и видит другого человека, стоящего снаружи на
ярком солнечном свете. Человек, находящийся снаружи, не мо-
может видеть первого. Не нарушает ли это принципа обратимости
световых лучей? Поглощением света можно пренебречь.
366. Почему интерферометр в опыте Майкелысона — Морли
нужно поворачивать?
367. Как объясняется отрицательный результат опыта Май-
кельсона — Морли теорией относительности Эйнштейна?
368. Есл-и интерференция световых волн различных частот
возможна, то можно было бы наблюдать световые биения так
же, как наблюдают звуковые биения от двух источников со
слегка разнящимися частотами. Как можно было бы осущест-
осуществить наблюдение биений для световых волн на опыте?
369. Предположите, что в опыте Юнга экран А (рис. 29) со-
содержит вместо одной две очень узкие параллельные щели. По-
Покажите, что если промежуток между этими щелями выбрать
надлежащим образом, то интерференционные полосы можно
уничтожить.
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
370. Почему дифракция звуковых волн более очевидна в по-
повседневном опыте, чем дифракция световых волн, и почему ра-
радиоволны огибают здания, а световые волны нет?
371. Рупорный громкоговоритель имеет выходное прямоуголь-
прямоугольное отверстие размерами 1,2 ж в высоту и 0,3 м в ширину. Бу-
Будет ли направленный пучок звуковых лучей в горизонтальной
плоскости шире, чем в вертикальной?
372. Антенна радиолокационной станции (радара) рассчита-
рассчитана на точные измерения высоты самолета и лишь на приемлемые
по качеству измерения направления его полета в горизонтальной
плоскости. Должно ли отношение высоты к ширине радарного
отражателя быть меньше единицы, больше единицы или равным
единице?
373. Наблюдатель держит перед зрачком своего глаза экран
с одиночной узкой вертикальной щелью, через которую он рас-
рассматривает источник света в виде длинной раскаленной нити.
Будет ли наблюдаемая им картина дифракцией Френеля или
дифракцией Фраунгофера?
374. Как влияет на дифракцию Фраунгофера от одной щели
увеличение дл|ины волны и ширины щели?
375. Солнечный свет падает на одиночную щель шириной
о
104А. Дайте качественное описание получающейся при этом диф-
дифракционной картины.
376. На рисунке 30 лучи г, и г3 находятся в фазе так же, как
г2 и г4. Почему в таком случае в точке Р будет ожидаться ско-
скорее дифракционный минимум, чем максимум?
41
377. Сказываются ли дифракционные
явления на изображениях, даваемых плос-
плоскими и сферическими зеркалами?
378. Если (бы нам пришлось обобщить
анализ свойств линз, оставаясь в области
геометрической оптики, но не ограничива-
ограничиваясь параксиальными лучами и тонкими
линзами, то столкнулись бы мы здесь с яв-
явлениями дифракции? Дайте аргументиро-
аргументированный ответ.
379. Установите тщательное различие
Рис. 30. между явлениями интерференции и диф-
дифракции в опыте Юнга с двумя щелями. В
чем сходны оба явления и в чем они разнятся между со-
собой?
ДИФРАНЦИОННАЯ РЕШЕТКА И СПЕКТРЫ
380. Дана фотография спектра, на которой отмечены длины
волн спектральных линий Я; и их угловые расстояния 0j. Мо-
Можете ли вы указать, получена эта фотография с помощью диф-
дифракционной решетки или с помощью призмы? Какую информа-
информацию о призме или о решетке вы могли бы собрать после изу-
изучения фотографии?
381. Примите границы видимого спектра равными 4300 А и
о
6800 А. Возможно ли рассчитать такую дифракционную решет-
решетку, где при нормальном падении света спектр 2-го порядка уже
немного перекрывал бы спектр 1-го порядка?
382. Почему штрихи на дифракционной решетке должны
быть тесно расположены друг к другу? Почему их должно быть
большое число?
383. Соотношение R — kN наводит на мысль, что разрешаю-
разрешающая способность может быть сделана сколь угодно большой пу-
путем выбора произвольно бо/лыпого порядка спектра k. Рассмот-
Рассмотрите это соображение.
384. Покажите, что при заданной длине волны и заданном
угле дифракции разрешающая способность решетки зависит
только от ее ширины.
385. Согласно соотношению ДвА = ^rfcose главные дифракци-
дифракционные максимумы становятся тем шире, чем выше порядковый
номер сдекпра k, т. е. чем больше вь. Согласно же равенству
R = kN разрешающая способность тем больше, чем выше порядок
спектра k. Объясните этот явный парадокс.
386. Может ли длина волны рентгеновых лучей, падающих
на заданное семейство плоскостей в кристалле, быть слишком
42
большой или слишком малой для образования дифрагирован-
дифрагированного пучка лучей?
387. Если предоставить параллельному пучку рентгеновых
лучей длины волны X падать на произвольно ориентированный
кристалл какого-либо вещества, то, вообще говоря, интенсивных
дифрагированных пучков лучей не возникнет. Такие пучки по-
появятся: 1) если пучок рентгеновых лучей состоит предпочти-
предпочтительно из непрерывно распределенных по длинам волн, а не
представляет одиночную длину волны; 2) если образец пред-
представляет собой не целый кристалл, а порошок из мелких кри-
кристалликов. Дайте пояснения.
388. Как вы стали бы измерять дисперсию D и разрешающую
способность R призм или дифракционной решетки спектро-
спектрографа?
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
389. Почему защитные стекла, сделанные из поляризующих
материалов, имеют явные преимущества по сравнению со стек-
стеклами, действие которых зависит просто от поглощения света?
390. Естественный свет падает на две поляризационные плас-
пластинки, ориентированные так, что свет не пропускается совсем.
Если между этими пластинками поместить третью пластинку
также из поляризующего материала, то будет ли свет пропус-
пропускаться?
391. Будет ли иметь место поляризация света при отраже-
отражении, если свет падает на границу раздела двух сред со сторо-
стороны среды с большим показателем преломления, например при
переходе из стекла в воздух?
392. а) Является ли оптическая ось двояжопреломляющего
кристалла определенной линией или это только направление
в пространстве?
б) Обладает ли оптическая ось направленностью наподобие
стрелы?
в) Что можно сказать о характеристическом направлении
поляризационной пластинки?
393. Укажите способ, как распознать направление поля-
поляризации в листе поляроида.
394. Относительно льда в таблицах можно найти следующие
данные:
rt0 =1,309; пе= 1,313; пе—п0= +0,004.
Но если лед есть вещество двоякопреломляющее, то поче-
почему мы не видим двойного изображения предметов при визиро-
визировании их через ледяной куб?
43
395. Можно ли усмотреть из приведенной таблицы
Вещество
Кварц SiO2 ...
Известковый шпат СаСО3 ....
Показатель преломления
п0 \ пе \ пе—п0
1,544
1,658
1,553
1,486
-1 0,009
—0,172
что пластинка в четверть волны, изготовленная из известкового
шпата, будет толще такой же пластинки из кварца?
396. Будет ли скорость распространения необыкновенного лу-
луча в двоякопреломляющем кристалле всегда определяться от-
отношением ?
397. На рисунке 31 изображены фронты волны при нормаль-
нормальном падении луча (i = 0) на двоякопреломляющий кристалл
при различных направлениях главной оси / кристалла. Дайте
качественное описание того, что произойдет с лучами one, если
световой луч падает на кристалл под углом гфЬ. Предположите,
что в любом из разбираемых случаев падающий луч остается
в плоскости чертежа.
398. Укажите способ определения направления оптической
оси для пластинки в четверть волны.
399. Пусть плоско-поляризованный свет падает на пластинку
в четверть волны так, что плоскость световых колебаний сос-
составляет с пластинкой углы: а) а = 0°; б) а = 90°; в) 0°<а<90°.
Опишите характер прошедшего через пластинку света.
400. Каково будет действие пластинки в полволны: а) на
линейно-поляризованный свет, плоскость поляризации которого
составляет угол 45° с оптической осью пластинки; б) на свет,
поляризованный по кругу; в) на естественный свет?
401. Пусть дан диск, который может быть: а) сделан из обык-
обыкновенного стекла; б) поляризационной пластинкой; в) плас-
пластинкой в четверть волны и, наконец, г) пластинкой в полволны.
Как можно распознать перечисленные свойства диска?
44
402. Может ли плоско-поляризованный луч быть представлен
как сумма двух лучей, поляризованных по кругу в противопо-
противоположных направлениях? Как повлияет изменение фазы одной из
компонент, поляризованной по кругу, на результирующий луч?
403. Могут ли быть поляризованными по кругу: а) луч ра-
радара; б) звуковая волна в воздухе?
404. Параллельный пучок света поглощается телом, постав-
поставленным на его пути. При каких условиях этому телу могут быть
переданы лучом количество движения и момент количества дви-
движения?
405. Если смотреть через поляризационную пластинку на
ясное небо, то при поворачивании пластинки интенсивность про-
пропущенного пластинкой света изменяется вдвое. Если же через
пластинку рассматривать облако, то указанное явление не на-
наблюдается. Чем это объяснить?
СВЕТ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
406. Кратер в угольной дуге светится ярче, чем сами угли.
Будет ли температура кратера заметно выше температуры вы-
выпуклой поверхности раскаленного угля?
407. Соотношение /? = аГ4 выполняется в точности для всех
температур абсолютно черного тела. Почему же мы не можем
применять это соотношение в качестве основы для определения
температуры, скажем, в 100°С?
408. Подчиняются ли все раскаленные твердые тела закону
4-й степени температуры вида:
где множитель k зависит и от материала тела, и от его темпе-
температуры?
409. Утверждают, что если смотреть внутрь полости, темпе-
температура стенок которой поддерживается постоянной, то внутри
нельзя рассмотреть никаких деталей. Приемлимо ли это утвер-
утверждение?
410. Как может энергия фотона выражаться формулой
W = hv, когда самое присутствие в ней частоты v показывает, что
свет —это волна?
411. Почему в явлении фотоэффекта существование порого-
пороговой частоты говорит в пользу фотонной теории и против волно-
волновой?
412. Почему фотоэлектрические измерения столь чустви-
тельны к природе поверхности фотокатода?
413. Действительно ли теория фотоэффекта Эйнштейна, где
свет понимается как фотоны, лишает силы интерференционное
толкование опыта Юита?
414. Перечислите и тщательно разберите допущения, сделан-
сделанные Планком в связи с проблемой излучения абсолютно чер-
45
кого тела, Эйнштейном в связи с фотоэлектрическим эффек-
эффектом и Бором в связм с проблемой водородного атома.
415. Если стать на точку зрения теории водородного атома
Бора, то в чем заключается значение того факта, что потенци-
потенциальная энергия атома отрицательна и по абсолютной величине
больше кинетической энергии?
416. Может ли водородный атом поглотить фотон, энергия
которого превосходит энергию овязи атома?
417. Почему вычисление радиуса ядра атома золота дает
только приближенный результат?
418. Можно ли принципиально или практически определить
поперечное сечение столкновения, если имеется только одна
налетающая частица и только одна частица в качестве ми-
мишени?
419. Проверьте тот факт, что схемы распада элементарных
частиц требуют выполнения закона сохранения заряда.
420. Ядро 92U238 разделяется на две равные части. Будут ли
получившиеся таким путем ядра устойчивы или они будут радио-
радиоактивны?
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
421. Как могли Дэвиссон и Джермер удостовериться в том,
что пик в точке Wo = 55 эв (рис. 32) был первым дифракцион-
дифракционным пиком (?=1) в уравнении kk = 2ds'mQ?
422. При повторении опыта
W -кинетическая
энергия, эв
Томсона по измерению удель-
удельного заряда электрона пучок
электронов с энергией 104 эв
I - ток в коллек- приобретал параллельность
торе
при прохождении через щель
шириной 0,5 мм. Почему этот
характер движения электро-
электронов не уничтожался благода-
благодаря дифракции волны каждого
Рис 32. электрона на этой щели?
423. Почему волновая при-
природа материи не выявляется в нашем повседневном опыте?
424. Примените принцип соответствия к задаче о частице,
заключенной между жесткими стенками.
425. Если главное квантовое число п для частицы, заклю-
заключенной между жесткими стенками, равно единице, то какова
вероятность того, что частица будет находиться в малом эле-
элементе объема у самой поверхности той или иной стенки?
426. Стоячая волна может рассматриваться как результат
суперпозиции двух бегущих волн. Приложите эту точку зрения
к задаче о частице, заключенной между жесткими стенками, да-
•16
интерпретацию в терминах, соответствующих движению
электрона.
427. Почему концепция боровских орбит несовместима с
принципом неопределенности?
428. Как могут предсказания волновой механики оправды-
оправдываться столь точно, если единственная информация о местона-
местонахождении электронов носит статистический характер?
429. Приведите несколько числовых примеров, иллюстриру-
иллюстрирующих трудность обнаружения принципа неопределенности в
опытах с телами, масса которых порядка одного грамма.
430. Принцип неопределенности может быть выражен при-
применительно к угловым величинам, например
где AL есть неопределенность момента количества движения, а
Дф—неопределенность в угловой координате. Для атомных эле-
электронов момент количества движения имеет квантованные зна-
значения без какой-либо неопределенности. Что мы можем заклю-
заключить по поводу неопределенности угловой координаты и закон-
законности концепции атомных орбит?
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКА
ДВИЖЕНИЕ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
431. Теннисный мяч упал «а землю с высоты 1,2 м и отско-
отскочил до высоты 0,91 м. Если мяч находился в соприкосновении с
?емлей в течение 0,010 сек, то каково было его среднее ускоре-
ускорение за время соприкосновения?
432. График на рисунке 33 дает зависимость координаты х
точки от времени в ее прямолинейном движении. Установите для
каждого из участков ОА, АВ, ВС, CD знаки скорости точки v
и ее ускорения а. Можно
ли, изучая кривую, устано-
установить отрезок пути, для ко-
которого ускорение точки яв-
явно непостоянно? Поведени-
Поведением точки в конце каждого
интервала можно пренеб-
пренебречь
433. Допустим, вас при-
пригласили на консультацию к
юристу по вопросу, связан-
связанному с физикой, с которым
юрист столкнулся в одном из своих дел. Вопрос заключался в
следующем. Был ли превышен дозволенный максимум скорос-
скорости в 60 км/ч водителем автомашины перед тем, как он экстрен-
экстренно остановил ее, включив тормоза и вызвав этим скольжение
колес. Следы скольжения были видны на дороге на протяже-
протяжении 5,85 м. Инспектор ОРУДа сделал вероятное предположе-
предположение, что самое большое замедление а автомашины не превысит
по абсолютной величине ускорения g свободно падающего те-
тела, и наказал водителя за превышение скорости. Было ли оно
на самом деле? Приведите свои соображения.
434. В тот момент, как светофор дал зеленый свет, легковой
автомобиль тронулся с места с ускорением 1,83 м/сек2. В тог
же момент его обогнал грузовик, шедший со скоростью 9,1 м/сек.
На каком расстоянии от светофора легковая машина обгонит
грузовик и с какой скоростью она будет идти в момент обгона?
48
Полезно для каждой машины вычертить примерные графики
зависимости пути от времени.
435. Машинист, ведущий поезд со скоростью уь увидел перед
собой на расстоянии d товарный поезд, который шел по тому
же пути и в том же направлении, но с меньшей скоростью v2.
Машинист включил тормоза и сообщил своему поезду постоян-
постоянное замедление а. Покажите, что при d>A, где А = Vl2a ,
столкновения не будет, а при d<A оно произойдет. Полезно
для каждого поезда сдедать график зависимости x(t).
436. Парашютист, выбросившись из самолета, первые 50 м
падает, не испытывая сопротивления воздуха. Затем он раскры-
раскрывает парашют и падает с замедлением в 2 м/сек2. Земли он до-
достигает при скорости 3 м/сек Сколько времени парашютист
пробыл в воздухе? С какой высоты он выбросился?
437. Лифт поднимается с ускорением 1,2 м/сек2- В тот момент,
когда его скорость достигла 2,4 м/сек, с потолка лифта падает
болт. Расстояние от пола до потолка лифта было равным 2,74 м.
Вычислите время падения болта и расстояние, пройденное бол-
болтом, если оно отнесено к шахте лифта.
ДВИЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ
438. Шар скатывается с верхушки лестницы, имея горизон-
горизонтальную начальную скорость, равную 1,5 м/сек. Высота и ши-
ширина каждой ступени равны по 20,3 см. О какую по счету сту-
ступень шар ударится впервые?
439. Вычислите минимальную скорость, которую мотоцик-
мотоциклист должен иметь в точке А (рис. 34), чтобы благополучно пе-
перелететь через канаву?
440. Игрок посылает ре-
решающий мяч с высоты 1,2 м
над землей так, что угол
бросания равен 45°, а даль-
дальность полета по горизонта-
горизонтали 107 м. Мяч упал прямо
на поле, на линии которого
на расстоянии 97,5 м от
места бросания расположе-
расположена сегка высотой 7,3 м. Пе-
Перескочит ли мяч сетку, не
задев ее?
441. Футбольный мяч посылается с начальной скоростью
19,5 м/сек при угле бросания в 45°. В тот же момент игрок, на-
находившийся в 55 м от места посылки мяча, бросается вперед,
чтобы встретить мяч. С какой скоростью он должен бежать для
того, чтобы успеть схватить мяч, прежде чем он ударится о зем-
землю?
Рис 34
4 3jku 170
49
442. Покажите, что если ускорение силы тяжести меняется иа
величину dg, например при переходе единого места на другое,
то дальность полета снаряда с заданной начальной скоростью
«о, направленной под углом во к горизонту, изменится на dR,
причем —5— = ^— .
В 1936 г. Джесси Оуенс (США) на Олимпийских играх <в
Берлине установил мировой рекорд по прыжкам в длину на
8,09 м. Насколько должен был бы измениться этот рекорд, если
бы вместо Берлина, где g = 9,8128 м/сек2, Оуенс соревновался бы
в 1956 г. в Мельбурне, где g = 9,7999 м/сек2.
443. Снаряд находится в верхней точке своей траектории.
а) Какова его скорость в этой точке, если выразить ее через
начальную скорость v0, которая составляет угол во с горизонтом?
б) Каково его ускорение а в этой точке?
в) Каково направление его ускорения, отнесенного к направ-
направлению его скорости?
г) Для короткого отрезка пути дуга окружности хорошо ап-
аппроксимирует дугу параболы при ее вершине. Чему будет равен
в таком случае радиус дуги окружности, аппроксимирующей
траекторию снаряда вблизи высшей точки его пути?
444. Чему должна равняться величина земных суток, если
потребовалось бы центростремительное ускорение, равное g, что-
чтобы удержать на Земле тело, находящееся на экваторе. В насто-
настоящее время находящееся на экваторе тело испытывает центро-
центростремительное ускорение, равное всего лишь около 3,0 см/сек2.
445. Человек может плыть в стоячей воде на весельной лод-
лодке со скоростью 6,4 км/ч.
а) Если он пересекает реку, где скорость течения 3,2 км/ч,
то какое направление он должен выбрать для лодки, если желает
достигнуть точки, прямо противоположной той, откуда он
отплыл?
б) Если ширина реки 6,4 км, то сколько времени потребуется,
чтобы пересечь эту реку?
в) Сколько времени потребуется, чтобы проплыть на лодке
3,2 км вниз по реке и затем обратно до точки отплытия?
г) Сколько времени потребуется, чтобы проплыть 3,2 км
вверх по реке и затем обратно до точки отплытия?
д) В каком направлении должна двигаться лодка, чтобы пе-
пересечь реку в кратчайшее время?
446. Пилот предполагал пролететь прямо на восток от точ-
точки А до точки В и затем вернуться в точку А, держа курс прямо
на запад. Скорость самолета относительно воздуха постоянна и
равна v, а скорость воздуха относительно земли и. Расстояние
между точками А и В равно /.
50
а) Покажите, что при безветрии (« = 0) время полного полета
б) Пусть ветер западный (или восточный). Покажите, что в
этом случае полное время полета
-(-У
\ V /
в) Пусть скорость ветра направлена на север (или на юг).
Покажите, что время полного полета будет равно
t - — '
V -(¦*)' '
ДИНАМИКА ТОЧКИ
447. Электрон с массой 9,Ы0~31 кг вылетает из электронной
пушки по горизонтали со скоростью 1,2-107 м/сек и попадает в
электрическое поле, где на него действует вертикальная сила,
равная 4,5-10~15 м. Определите расстояние по вертикали, прохо-
проходимое электроном. Время отклонения электрона от горизонтали
соответствует 3 см его пути в горизонтальном направлении.
448. Два бруска лежат на гладком столе, соприкасаясь друг
с другом. К одному из брусков приложена сила F так, как по-
показано на рисунке 35. Определите силу, прижимающую бруски
друг к другу, если масса одного т^ — Ч кг, масса другого
т2—\ кг и сила F = 3 н.
449. Три тела, соединенные между собой так, как показано на
рисунке 36, тянут вправо силой 7 = 60 н. Найдите натяжения
Тх и Т2, если массы тел mi = 10 кг, т2 = 20 кг и т3 = 30 кг.
Рис. 35.
Рис. 36.
450. Рассчитайте начальное направленное вверх ускорение
ракеты массой в 1,3-104 кг, если начальная величина тяги, сооб-
сообщаемая ей двигателем, равна 2,6-Ю5 н. Можно ли при расчете
пренебречь весом ракеты как силой, оттягивающей ее к Земле?
451. Как возможно спустить с крыши предмет весом в 45,4 кГ
с помощью веревки, сопротивление на разрыв которой 39,5 кГ,
так, чтобы веревка не оборвалась?
452. Тело скользит вниз по гладкой наклонной плоскости,
образующей угол в с полом лифта. Найдите ускорение тела от-
4' 51
носительно наклонной плоскости в следующих случаях: а) лифт
опускается с постоянной скоростью и; б) лифт поднимается с по-
постоянной скоростью V; в) лифт опускается с ускорением а;
г) трос лифта обрывается.
453. В опускающемся лифте свешивается сверху лампа на
шнуре. Замедление лифта перед остановкой равно 2,4 м/сек2.
а) Какова масса лампы, если натяжение шнура равно 9,1 кГ.
б) Чему будет равно натяжение шнура, если лифт поднима-
поднимается с ускорением 2,4 м/сек2}
454. Однородная гибкая цепь длиной / с погонным весом
X кГ/м перекинута через лишенный трения блок, массой кото-
которого можно пренебречь. Блок освобождается из состояния
покоя, когда с одного его конца свешивается кусок цепи дли-
длиной х-
а) При каких условиях цепь приобретает ускорение?
б) Найдя эти условия, определите ускорение а в функции
длины х.
455. Главным фактором, обусловливающим скольжение лыж,
является выделение тепла от их движения. Вначале лцлжи зае-
заедают, но в дальнейшем снег под ними начинает таять. Покрытие
лыж воском делает их непроницаемыми для воды, а наличие во-
водяной пленки уменьшает трение. В одном журнале говорится,
что новый тип лыж из пластика еще в большей мере непроница-
непроницаем для воды, так что на слабом уклоне длиной 213 м в Альпах
лыжник мог сократить время пробега с 61 до 42 сек.
а) Определите среднее ускорение для каждой пары лыж,
пластических и обыкновенных.
б) Принимая величину уклона равной 3°, вычислите в каж-
каждом из двух случаев коэффициент кинематического трения.
456. Студент захотел определить коэффициент статического
и кинематического трения между ящиком и доской. Для этого
он поставил ящик на доску и начал постепенно приподнимать
край доски. Когда угол ее наклона с горизонталью достиг 30°,
ящик начал скользить. При этом длину доски в 4,0 м он прошел
ровно за 4,0 сек. Покажите, как можно определить коэффициен-
коэффициенты трения из этих наблюдений.
457. Стальная болванка весом 4,5 кГ лежит на горизон-
горизонтальной поверхности стола. Коэффициент статического тре-
трения между ней и столом равен 0,50.
а) Чему равна горизонтально направленная сил|а, которая
только начинает приводить болванку в движение?
б) Чему равна сила, начинающая приводить болванку в дви-
движение, если направление ее действия снизу вверх составляет
угол в 60° с горизонталью?
в) Каково предельное значение силы, еще не вызывающей
движения болванки, если сила направлена вниз под углом 60°
с горизонталью?
52
458. Куском льда было затрачено на скольжение вниз по
плоскости с наклоном в 45° к горизонту вдвое больше времени
по сравнению с тем, которое потребовалось бы для того же
скольжения, но в отсутствие трения. Чему равен коэффициент
кинематического трения между льдом и поверхностью наклон-
наклонной плоскости?
459. Горизонтальная сила F = 5,4 кГ прижимает брусок весом
в 2,3 кГ к вертикальной стенке. Коэффициент статического тре-
трения между стенкой и бруском равен 0,6, а коэффициент кинема-
кинематического трения 0,4. Допустите, что в начальный момент бру-
брусок был неподвижен.
а) Придет ли брусок в движение?
б) Чему равна сила, действующая на брусок со стороны
стенки?
460. Тело В весит 72,6 кГ, а коэффициент статического
трения между телом и столом 0,25. Чему равен максимальный
вес груза А, при котором система еще будет находиться в рав-
равновесии (рис. 37) ?
461. Четьирехжилограммовый груз положен иа брусок, веся-
весящий 5 кГ. Для того чтобы груз начал скользить по поверхности
бруска, к грузу должна быть приложена горизонтальная сила
в 12 «. Приняв поверхность стола за абсолютно гладкую, най-
Рис. 37.
'///////////7777/74
Рис. 38.
дите: а) максимальную горизонтальную силу F, которая может
быть приложена к бруску так, чтобы оба тела двигались как од-
одно целое; б) каково будет ускорение обоих тел?
462. Вес тела Л (рис. 38) равен 4,54 кГ. а тела В 2,27 кГ.
а) Определите минимальный вес груза С, который, будучи
положен на тело А, удержит Л от скольжения, если коэффици-
коэффициент статического трения между телом А и столом равен 0,20.
б) Груз С внезапно снимается с тела А. Каково будет уско-
ускорение тела А, если коэффициент кинематического трения между
телом Л и столом будет также равен 0,20?
463. Палка, насаженная на половую швабру лтассы т, накло-
наклонена под углом в к вертикали. Пусть &Ст и &кин— соответст-
53
венно коэффициенты статического и кинематического трения
между шваброй и полом. Пренебрегая массой палки: а) найди-
найдите величину силы F, направленной вдоль палки, которая требу-
требуется, чтобы швабра скользила по полу с постоянной скоростью;
б) покажите, что если угол в меньше определенного значения
угла во, то швабру нельзя заставить скользить по полу, 'незави-
'независимо от того, какая сила действует вдоль палки; в) найдите,
чему равен угол 60?
464. Тело скользит вниз по плоскости, наклоненной к горизон-
горизонтали под углом ф, с постоянной скоростью. Затем оно получает
толчок вверх вдоль той же плоскости при начальной скорости
v0. На какое расстояние s тело продвинется кверху перед тем,
как остановиться? Начнет ли оно скользить обратно вниз?
465. Допустим, что эталонный килограмм весил бы в точнос-
точности 9,8 н на уровне моря и на широте экватора, если бы Земля
не вращалась вокруг оси. При решении же задачи примите во
внимание условие, что Земля вращается вокруг оси и масса
эталона движется по кругу радиусом 6,40-Ю6 м с постоянной
скоростью 465 м/сек.
а) Определите центростремительную силу, которая требу-
требуется, чтобы удержать эталон на его орбите.
б) Определите силу действия эталонного килограмма на пру-
пружинные весы, к которым он подвешен, находясь на экваторе,
т. е. определите его вес.
466. Трамвай огибает закругление рельсового пути радиусом
9,1 м без крена при скорости в 16,1 км/ч. Какой угол с верти-
вертикалью образуют свободно висящие ремни, служащие вместо по-
поручней. Действует ли на эти ремни какая-нибудь сила? Если
действует, то будет ли это центростремительная или центро-
центробежная сила? Зависят ли ваши ответы от выбора системы от-
отсчета?
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
467. Человек толкает вперед груз в 27 кГ по горизонтальной
поверхности на протяжении 9,1 м с постоянной скоростью и с
силой, натравленной под углом 45° вниз от горизонтали. Если
коэффициент кинематического трения равен 0,20, то какую ра-
работу совершит человек над грузам?
468. Груз массой в 227 кг подвешен к концу веревки длиной
12 м и оттянут в сторону от вертикали на 1,2 м.
а) Какова сила, необходимая для удержания груза в этом
положении?
б) Требуется ли для удержания груза какая-нибудь работа?
в) Совершается ли какая-нибудь работа для перемещения
груза в сторону? Если да, то какая именно?
г) Совершает ли натяжение веревки какую-нибудь работу
над грузом?
54
469. а) Оцените величину работы силы при перемещении те-
тела на расстояние от х=1 до х = 3 (рис. 39). Уточните ваш метод,
чтобы видеть, околь близко вы можете подойти к точному ответу
в 6 дж.
б) Аналитическая кри- рн
вая задается уравнением
а 10-
F = —2-, где а=9 н-м2.
Покажите, как получить .
величину работы с по-
помощью интегрирования. 4-
470. Результирующая 2 -
сила в 5,0 н действует на
тело массой 15 кг, в на- " т. г Г хм
чальный момент находив-
находившееся в покое. Вычисли- Рис 39.
те работу, совершаемую
за первую, вторую и третью секунды, а также мгновенную
мощность, выделяемую в конце 1ретьей секунды.
471. Исходя из соотношения между работой и кинетической
энергией, покажите, что минимальное расстояние sMHII, требуе-
требуемое для остановки автомобиля массы гп, движущегося со ско-
скоростью v по горизонтальной дороге, выражается формулой
л2
5ЧИН = ——г-— , где ист — коэффициент статического трения
между шинами и поверхностью дороги.
472. Грузовик может ехать по дороге с уклоном вверх в 0,3 м
на каждые 15 м пути с постоянной скоростью 24 км/ч. Сила
трения равна 0,04 веса грузовика. С какой скоростью будет
двигаться грузовик по дороге вниз при той же мощности рабо-
работающего мотора?
СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
473. Покажите, что при одной и той же начальной скорости
у0 скорость v снаряда будет одной и той же во всех точках, на-
находящихся на одинаковой высоте независимо от угла бросания.
474. а) К концу легкого стержня длиной / прикреплен груз с
массой т, так что получается математический маятник. Его по-
поворачивают грузом кверху и отпускают. Какова будет линейная
скорость груза v в нижней точке пути и каково соответствующее
натяжение Т в точке подвеса стержня?
б) Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпус-
отпускают. При каком угле с вертикалью натяжение в точке подвеса
будет равно по величине весу маятника?
475. Докажите следующее утверждение, содержащееся в ра-
работе Гюйгенса «Horologium oscillatorium». Если математический
55
маятник колеблется с наибольшей амплитудой, т. е. при опуска-
опускании до нижней точки он описывает полиую четверть окружности,
то натяжение нити будет равно утроенному весу маятника.
476. Прикрепленный к вертикальной пружине груз медленно
опускают до положения равновесия, причем пружина растягива-
растягивается на длину d. На какую величину удлинится пружина, если
предоставить тому же прикрепленному к пружине грузу опус-
опускаться свободно'
477. Небольшое тело массы т скользит без трения по жело-
желобу с петлей, изображенному на рисунке 40.
а) Если движение тела нач-
начнется в точке Р, то какова бу-
будет результирующая сила, дей-
действующая на тело в точке Q?
б) С какой высоты должно
начать свое скольжение тело,
чтобы сила его давления на
желоб в верхней точке петли
сравнялась с весом тела?
478. Тело массы т нахо-
дится на гладкой плоскости,
наклоненной к горизонту под
углом G. Тело прикреплено к
Рпс 40 нижнему концу пружины с
коэффициентом жесткости k,
верхний же конец пружины закреплен неподвижно
а) Определите механическую энергию тела, когда оно оття-
оттянуто на расстояние Х\ от первоначального положения пружины.
б) Покажите, что если начальная механическая энергия
равна Wu то скорость тела на расстоянии х от неудлиненного
положения пружины определяется уравнениями:
479. На тело, движущееся вдоль оси х, действует сила F = kx,
отталкивающая тело от его начального положения.
а) Определите потенциальную энергию тела U как функцию
его движения, воспользовавшись законом сохранения энергии.
б) Опишите движение тела и покажите, что это то движе-
движение, которое мы можем ожидать вблизи точки неустойчивого
равновесия.
480. Пусть сила взаимодействия двух частиц с массами т{ и
т2 задана уравнением г =к——, где к — положительная посто-
постоянная, а х — расстояние между частицами. Найдите а) потен-
потенциальною энергию системы в функции х; б) работу, необходи-
необходимую для увеличения расстояния от значения ху до d
56
481. Сила притяжения между положительно заряженным
ядром и отрицательно заряженным электроном в атоме водоро-
водорода задается уравнением.F=A — , где е — заряд электрона, /г —
постоянная и г — расстояние между ядром и электроном. До-
Допустим, что ядро неподвижно, электрон же, первоначально дви-
двигавшийся по окружности радиуса R\ вокруг ядра, внезапно пе-
перескакивает на круговую орбиту радиуса Ri-
а) Пользуясь вторым законом Ньютона, вычислите измене-
изменение кинетической энергии электрона.
б) Используя соотношение между силой и потенциальной
энергией, вычислите уменьшение потенциальной энергии атома.
в) Покажите, насколько уменьшилась полная энергия атома
при указанном процессе (энергия выделяется здесь в форме из-
излучения) .
482. Покажите, что если трение является единственной при-
причиной неконсервативности механической системы, то скорость
рассеяния механической энергии W+U равна произведению силы
трения на мгновенную скорость системы или
483. Тело массы т начинает скользить вниз по наклонной
плоскости длины I, образующей угол 9 с горизонталью.
а) Примите коэффициент трения равным k и определите ско-
скорость тела у нижнего конца плоскости.
б) Какое расстояние s пройдет тело, продолжая скользить
по горизонтальной плоскости с тем же коэффициентом трения,
после того как оно достигнет нижнего края наклонной плос-
плоскости.
Решите задачу 1) пользуясь энергетическими методами и
2) применив непосредственно законы Ньютона.
484. Тело весом 1,0 кГ сталкивается с горизонтальной пру-
пружиной, жесткость которой равна 2,0 н/м и весом которой можно
пренебречь. Тело сжимает пружину на 4,0 м, считая от ее неде-
формированного положения. Принимая коэффициент кинемати-
кинематического трения между телом и горизонтальной поверхностью, по
которой оно движется, равным 0,25, найдите скорость тела в мо-
момент соударения.
485. Горизонтальная сила F толкает тело весом в 16 кГ вверх
по гладкой иаклонной плоскости длиной 3,1 л и с наклоном в
30° к горизонту.
а) Если скорость тела у основания наклонной плоскости бы-
была 0,6 м/сек, а у ее верхнего края 3,1 м/сек, то чему была равна
работа, произведенная силой F?
б) Допустим теперь, что наклониая плоскость шероховата и
коэффициент трения между нею и движущимся телом &к,ш = 0,10.
57
Чему будет равна теперь работа той же силы и какова будет
кинетическая энергия тела в верхней точке наклонной плос-
плоскости?
486. На гладком столе лежит цепь, свешиваясь у его края на
Vs своей длины. Если длина цепи /, а ее масса т, то какая ра-
работа А требуется, чтобы втянуть свешивающуюся часть цепи
на стол?
487. Эскалатор соединяет одну площадку с другой, располо-
расположенной на 7,6 м выше первой. Длина эскалатора 12,2 м, а ско-
скорость его движения 0,6 м/сек.
а) Какую мощность должен развивать мотор эскалатора, ес-
если требуется поднимать максимум 100 человек в минуту со
средним весом по 73 кГ?
б) Человек весом в 73 кГ поднимается пешком до самого вер-
верха по эскалатору в течение 10 сек. Чему равна требуемая для
этого работа мотора?
в) Если тот же человек повернется на середине экскалатора в
обратную сторону и пойдет вниз, фактически оставаясь на том
же уровне, то будет ли для этого требоваться работа мотора?
Если да, то какова требуемая мощность?
г) Есть ли какое-нибудь другое средство, чтобы человек мог
идти по эскалатору, не потребляя при этом мощности мотора?
488. Электрон, масса покоя которого 9,Ы0~31 кг, движется
со скоростью, равной 0,99 с.
а) Какова его полная энергия?
>б) Найдите отношение кинетической энергии по Ньютону к
релятивистской кинетической энергии в данном случае?
489. Масса покоя некоторого тела равна 0,01 кг. Какова бу-
будет его масса при движении со скоростью 3,0-107 м/сек относи-
относительно наблюдателя? Тот же вопрос для скорости 2,7-108 м/сек.
490. По данным Британского ежегодника, в 1956 г. США
израсходовали 5,63-Ю11 квт-ч электроэнергии. Сколько килограм-
килограммов вещества должно быть полностью разрушено, чтобы добыть
такую энергию?
СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
491. Масса Луны приблизительно равна 0,013 массы Земли,
а расстояние между их центрами около 60 земных радиусов.
Как далеко от Земли находится центр масс системы Луна—
Земля? Радиус Земли примите равным 6400 км.
492. В молекуле аммиака NH3 три атома водорода образуют
равносторонний треугольник, причем расстояние между центра-
центрами атомов равно l,628-10~10 м, так что центр треугольника нахо-
находится в 9,39'Ю-11 м от каждого атома водорода. Атом азота на-
находится в вершине пирамиды, основанием которой служат 3 ато-
58
ма водорода. Расстояние между атомом азота и каждым из
атомов водорода равно 1,014-10~10 м. Где находится центр масс
системы, рассчитанный относительно атома азота?
493. Две материальные точки Р и Q в начальный момент на-
находятся на расстоянии 1,0 м друг от друга. Масса Р равна
mi = 0,10 кг, масса Q равна тг = 0,30 кг. Обе части притягива-
притягиваются друг к другу с постоянной силой /7 = 0,01 н, причем ника-
никакие внешние силы на систему не действуют.
а) Опишите движение центра масс системы.
б) На каком расстоянии х от начального положения Р мате-
материальные точки столкнутся?
494. Два тела, каждое из которых составлено из нескольких
частей, соединены легким шнуром, пропущенным через легкий
вращающийся без прения блок диаметром в 5,0 см. Оба тела
находятся на одной и той же высоте, причем вначале масса
каждого тела 500 г.
а) Олределите положение центра масс системы.
б) Двадцать граммов, снятые с одного из тел, переносятся
на другое, но оба тела закреплены на месте. Определите поло-
положение центра масс.
в) Оба тела, описанные в пункте (б), освобождаются. Опре-
Определите движение центра масс и его ускорение.
495. Железнодорожный вагон-платформа весом Р может ка-
катиться без трения по прямому горизонтальному рельсовому пу-
пути. В начальный момент человек весом Р\ стоит на платформе,
которая движется яправо со скоростью у0. Как изменится ско-
скорость платформы, если человек побежит влево по платформе,
так что его скорость относительно платформы будет и как раз в
тот момент, когда человек спрыгивает с ее левого края?
496. Допустим, что платформа, о которой шла речь в задаче
495, в начальный момент была неподвижна. На платформе сто-
стоят п человек, каждый весом <в Р. Если каждый из 'них последо-
последовательно пробежит по платформе с относительной скоростью и
и опрыгнет на землю, то будет ли сообщена платформе большая
скорость, чем в том случае, когда все п челрвек одновременно
пробегут по платформе и одновременно спрыгнут с нее? Дайте
аргументированный ответ.
497. Радиоактивное ядро, находившееся в состоянии покоя,
распадается, выбрасывая электрон и нейтрино под прямым уг-
углом друг к другу. Количество движения электрона 1,2-10~22, а
нейтрино 6,4-10~23 кг-м/сек.
а) Найдите величину и направление количества движения
остаточного ядра, испытавшего отдачу.
б) Масса остаточного ядра 5,8-10~26 кг. Чему равна кинети-
кинетическая энергия отдачи?
498. Ракета весом в 6 Т установлена для запуска по верти-
вертикали. Если скорость выхлопа 1000 м/сек, то какое количество
59
газа должно быть выброшено за 1 сек, чтобы обеспечить тягу,
достаточную: а) чтобы преодолеть вес ракеты и б) чтобы сооб-
сообщить ракете начальное ускорение вверх, равное 19,6 м/сек2.
499. Покажите, что скорость ракеты равна скорости выхлоп-
выхлопных газов, когда отношение—^- =е^2?8, где Мо и М — соот-
соответственно стартовая масса ракеты и ее масса к моменту оче-
очередного выхлопа. Установите точно координатную систему, к
которой относится этот результат. Покажите также, что ско-
скорость ракеты будет равна удвоенной скорости выхлопа, если
м -е ~/,у .
500. Реактивный самолет летит со скоростью 183 м/сек. Дви-
Двигатель забирает каждую секунду по 68 мг воздуха массой в
70 кг. Этот воздух нужен для сжигания 2,9 кг горючего в каж-
каждую секунду. Энергия расходуется для сжатия продуктов сгора-
сгорания и для дальнейшего выбрасывания их из сопла самолета со
скоростью 488 м/сек. Определите тягу, развиваемую двигателем,
и отдаваемую им мощность.
501. Ударяемый молотком крокетный шар массой 0,50 кг
приобретает импульс, определяемый по графику рисунка 41.
Чему равна скорость ша-
шара, немедленно после об-
обращения приложенной к
нему силы в нуль?
502. Пуля весом в
4,5 Г, летевшая горизон-
1000 -I / \ тально, попадает в поко-
2000
1500 -
500-
О
ившиися на горизонталь-
горизонтальной поверхности дере-
-^. вянный брусок весом в
7 2 3 t,nceK 1,8 кГ. Коэффициент ки-
Рис 41. рематического трения
между бруском и по-
поверхностью 0,20. Пуля застряла в бруске, а брусок пришел в
движение и двигался на протяжении 1,8 м. Определите скорость
пули.
503. Стальной шар весом в 0,45 кГ прикрепляется к шнуру
длиной 69 см и отпускается, когда шнур расположен горизон-
горизонтально. В нижней точке пути шар упруго ударяет в стальной
брусок весом в 2,27 кГ, лежащий на горизонтальной поверхнос-
поверхности. Найдите скорости шара и бруска тотчас после их соударе-
соударения.
504- Товарный вагон, весящий 32 Т и имеющий скорость
1,5 м/сек, нагоняет другой вагон, весящий 24 Т и движущийся
в том же направлении со скоростью 0,9 м/сек.
60
а) Определите скорости вагонов после столкновения и поте-
потерю кинетической энергии за время удара, если вагоны при этом
начинают двигаться как одно целое.
б) Если удар был упругим, то вагоны не движутся как одно
целое, но отделяются друг от друга после удара. Каковы будут
их скорости?
505. Лифт поднимается со скоростью 1,8 м/сек. В тот момент,
когда он находился на расстоянии 18 м от верха шахты, да
крышу лифта с самого верха шахты упал мяч, упруго отскочив-
отскочивший обратно. До какой высоты, считая от верха шахты, он мог
подняться?
Решите ту же задачу, принимая, что лифт движется вниз
с той же скоростью 1,8 м/сек.
506. Ящик положен на весы, которые отрегулированы так,
что под действием веса порожнего ящика они показывают нуль.
Затем с высоты h, считая от дна ящика, в него начинают сы-
сыпать гальку со скоростью п штук в секунду при массе т каждой
гальки. Считая, что соударения гальки с ящиком абсолютно не-
}пруги, определите показания весов через t секунд после начала
падения гальки в ящик. Дайте также численный ответ, положив
н=100 се/с-1, h= 7,6 м, mg = 4,5-10-3 кГ и /=10 сек.
507. Электрон упруго соударяется с атомом водорода, нахо-
находившимся в момент удара в покое. Все движения обеих частиц
происходят на одной прямой. Какая доля кинетической энер-
энергии электрона передалась атому водорода, масса которого в
1840 раз больше массы электрона?
508. Бильярдный шар, катившийся со скоростью 2,2 м/сек,
ударяет в такой же неподвижный шар. Удар был скользящим и
после соударения один из шаров приобрел скорость 1,1 м/сек в
направлении, составляющем 60° с линией первоначального дви-
движения. Найдите вектор скорости другого шара.
509. Два шара Л и В с различными неизвестными массами
сталкиваются между собой. Шар А до соударения находился в
покое, а шар В двигался со скоростью v. После соударения шар
В приобрел скорость 0,5 v и покатился под прямым углом к на-
направлению своего первоначального движения. Определите на-
направление движения шара А после столкновения. Можете ли вы
определить скорость шара А из заданных условий?
510. Два автомобиля А и В, двигавшиеся соответственно на
запад и на юг, достигают одновременно одного ,и того же пере-
перекрестка, где они сталкиваются между собой. Автомобиль А об-
общим весом в 408 кГ двигался со скоростью 64 км/ч, а В общим
весом в 544 кГ двигался со скоростью 97 км/ч. Найдите величи-
величину и направление скорости автомашин, которые с момента
столкновения представляли собой одно целое.
511. В 1932 г. в Англии Чздвик продемонстрировал сущест-
существование и свойства нейтрона, одной из фундаментальных час-
61
тиц, образующих атом. Схема его установки показана на рисун-
рисунке 42, где Ро — полоний, Be — бериллий, СН2 — парафин, ИК —
ионизационная камера.
В эвакуированную камеру помещено некоторое количество
радиоактивного полония, испускающего при распаде альфа-час-
альфа-частицы, т. о. ядра гелия. Яд-
ИК ра эти ударяются в пла-
Ро Be CH
стинку из бериллия, в ре-
2 зультате чего эмитируются
нейтроны. Реакция такова:
Киси/ш- ^е и Ве образуют радиоак-
гпелю тивный углерод, который
раападается на стабильный
углерод и нейтроны. Пос-
Р"с- 42. ледние, ударяясь в парафи-
парафиновую пленку, освобожда-
освобождают ядра водорода, обнаруживаемые в ионизационной камере.
Другими словами, здесь имеет место упругое соударение, при
котором количество движения нейтрона частично передается
ядру водорода.
а) Найдите выражение для максимальной скорости иц, кото-
которую может приобрести водородное ядро массы шц. Пусть всту-
вступающий в реакцию нейтрон имеет массу тп и скорость vn- Учти-
Учтите при этом, будет ли большее количество энергии переноситься
при лобовом или при скользящем ударе.
б) Одной из целей, которую преследовал Чэдвик, было опре-
определить массу новой частицы тп. Рассмотрение выражения, по-
полученного в пункте (а) и содержащего параметр тп, показыва-
показывает, что здесь имеются два неизвестных: vn и тп. Величина же
ин известна, так как она может быть измерена с помощью
ионизационной камеры.
Для исключения неизвестного vn Чэдвик заменил парафино-
парафиновую пластинку циановой (CN). Тогда нейтроны будут подвер-
подвергаться упругому соударению с ядрами азота вместо ядер водо-
водорода; выражение же, полученное в пункте (а), остается в силе,
если в нем вместо vh писать vN и mN вместо тц. Поэтому если
vn и Vjq измерены в особом эксперименте, то скорость vn может
быть исключена с помощью двух уравнений для Н и N. откуда
определяется тп. Значения, полученные Чэдвиком, таковы:
Уц = 3,3-109 см/сек и yN = 0,47-109 см/сек. Чему в таком случае
равна т„? Что даст сравнение ее с установленным значением
тп = 1,0089 а. е. м. Примите тн=1,0 а. е. м. и тк = 14 а. е. м.
62
КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
512. Тяжелый вращающийся на валу маховик замедляет свое
движение благодаря трению в подшипниках. В конце первой ми-
минуты его угловая скорость равнялась 0,9 coo (coo — угловая ско-
скорость в начальный момент отсчета). Полагая силу трения посто-
постоянной, найдите угловую скорость маховика в конце второй ми-
минуты движения.
513. Тело движется в плоскости Оху так, что его координаты
x = Rcosat и y = R sm&t, где t — время, а У? и to — постоянные.
а) Исключив время из заданных уравнений, найдите уравне-
уравнение траектории движения. Что это за кривая? Каков омы ел по-
постоянной (О?
б) Продифференцировав заданные уравнения по времени,
найдите компоненты скорости vx и vy. Найдите также с их по-
помощью величину и направление вектора и. Опишите движение
тела.
в) Путем дифференцирования vx и vy по времени найдите
величину и направление вектора ускорения.
514. Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается со ско-
скоростью 2000 об/мин, причем посадочная скорость самолета от-
относительно земли равна 161 км/ч. Какова скорость точки на
конце пропеллера? Каков характер пути, описываемый этой
точкой?
515. Находившееся в покое тело начинает вращаться вокруг
неподвижной оси с постоянным угловым ускорением.
а) Выразите радиальное а, и тангенциальное at ускорения
точки, принадлежащей этому телу, через его угловое ускорение
е, если точка находится от оси на расстоянии г.
б) Если полное ускорение точки в некоторый момент време-
времени составляет угол в 60° с тангенциальным ускорением, то на
какой угол повернулось тело к этому моменту, считая от начала
движения?
516. Один из методов измерения скорости света включает в
себя использование вращающегося колеса. Световой луч вхо-
входит через прорезь между зубцами с наружной стороны колеса,
достигает удаленного .на значительное расстояние зеркала и воз-
возвращается обратно к колесу как раз к тому моменту, когда он
может пройти через следующую прорезь. Одно из таких колес
имело радиус 5,0 см и 500 зубцов по краю. Измерения, произве-
произведенные при расстоянии от колеса до зеркала в 500 м, дали чис-
численное значение скорости света в 3,0-105 км/сек.
а) Какова была установившаяся угловая скорость колеса?
б) Какова была линейная скорость точки на краю колеса?
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
517. Масса молекулы кислорода раина 5,30-Ю6 кг, причем
ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр
масс молекулы и перпендикулярной к линии, соединяющей
атомы, равен 1,94-10~46 кг-м2. Допустите, что такая газовая мо-
молекула обладает средней скоростью 500 м/сек, а ее кинетиче-
кинетическая энергия вращения равна двум третям от кинетической
энергии ее поступательного движения. Найдите среднюю угло-
угловую скорость молекулы.
518. Тонкий стержень длиной / и массой m свободно подве-
подвешен за его конец. Стержень отводят в сторону, и затем он начи-
начинает колебаться вокруг горизонтальной оси, проходя через авос
нижнее положение с угловой скоростью со Насколько будет под-
подниматься центр массы стержня, считая от его наинизшего по-
положения? Трением и сопротивлением воздуха можно пренеб-
пренебречь.
519. Колесо массы М и радиуса инерции R вращается вокруг
неподвижной горизонтальной оси, проходящей через ступицу
колеса. Ступица трется об ось, радиус которой г, причем коэф-
коэффициент трения равен k. Колесу сообщается начальная угловая
скорость соо. Определите время вращения и число оборотов до
полной остановки колеса.
520. Масса одного груза на машине Атвуда 500 г, а масса
другого 460 г. Радиус блока, смонтированного на подшипниках
без трения, равен 5,0 см. Будучи оовобожден для движения, бо-
более тяжелый груз за 5 сек переместился на 75 см. Как опреде-
определить из этих данных момент инерции блока?
521 Тело весом 2,7 кГ положено на плоскость, наклоненную
к горизонту под углом 30°, и соединено шнуром, проходящим
через блок, с грузом, весящим 8,2 кГ. Вес блока 0,91 кГ, его ра-
радиус ОД м. Коэффициент кине-
кинематического трения между телом
и плоскостью 0,1. Найдите уско-
ускорение груза и натяжение шнура
с каждой стороны блока (рис.43).
522. Ящик высотой 1,8 м, ши-
шириной 1,2 и глубиной 0,9 м со-
содержит внутри себя холодильник
и установлен вертикально в пе-
V////////////Z/7////Z7//////// редней части грузовика Холо-
Холодильник вместе с ящиком весит
Рис 43 136 кГ, причем можно считать,
что вес этот распределен по все-
всему объему ящика равномерно. Под действием ускорения грузо-
грузовика ящик опрокинулся. Чему равна минимальная величина
требуемого ускорения?
64
523. Положим, вы стоите в движущемся поезде лицом в
сторону движения и расстояние между вашими ступнями 0,61 м.
Поезд начинает двигаться по закруглению радиусом 457 м про-
против часовой стрелки, если смотреть по движению поезда, причем
скорость его 72 км/ч. Какой процент от веса вашего тела придет-
придется тогда на вашу левую ногу, если центр тяжести тела находится
на высоте 1,2 ж от пола.
524. Покажите, что цилиндр будет скользить по плоскости,
наклоненной к горизонтали под углом в, если коэффициент ста-
статического трения между плоскостью и цилиндром меньше
Vte
525. Шар катится вверх по наклонной плоскости с углом на-
наклона 30°. В нижней точке плоскости центр массы шара обла-
обладал поступательной скоростью 4,9 м/сек. а) Насколько продви-
продвинется шар вверх по плоскости? б) Сколько времени займет его
продвижение вниз по плоскости?
526. Маланький шарик катится без скольжения по внутрен-
внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее
верхнего края шарик покоился.
а) Какова кинетическая энергия шарика в нижней точке
полусферы? Какая доля кинетической энергии приходится на
вращательное движение шарика и какая на поступательное?
б) Чему равна нормальная сила, прижимающая шарик к
нижней точке полусферы? Примите массу шарика равной т, его
радиус равным г, а радиус полусферы равным R.
527. На цилиндр радиуса R и массы М намотана нить. Затем
цилиндр отпускают, а нить оттягивается кверху так, чтобы пре-
препятствовать центру массы цилиндра опускаться при разматыва-
разматывании нити.
а) Чему равно натяжение нити?
б) Какая работа будет совершена над цилиндром к момен-
моменту, когда его угловая скорость достигнет значения и?
в) Какова длина нити, размотанной к этому моменту?
528. Трехметровая лестница прислонена к стене, образуя
угол в 60° с полом. Где будет находиться мгновенная ось вра-
вращения, если лестница начнет скользить?
529. Высокая фабричная труба треснула и обвалилась. Вы-
Выразите линейное ускорение верхней точки трубы в функции угла
между трубой и вертикалью. Может ли это ускорение превы-
превысить величину g}
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
530. Колесо вращается с угловой скоростью 500 об/мин во-
вокруг вала, момент инерции которого пренебрегаем о мал. Второе
колесо, одинаковое с первым, вначале находится в покое, а за-
затем мгновенно насаживается на тот же вал. Какова будет угло-
угловая скорость получившейся комбинации из вала и двух колес?
5 Заказ 176 65
531. На сколько должен сжаться диаметр земного шара,
чтобы его вращение вокруг оси ускорилось на 1 секунду в
сут-ки?
532. На опортивной площадке устроена маленькая карусель
диаметром 2,4 м и массой 163 кг. Ее радиус инерции 0,91 м.
Ребенок весом в 41 кГ бежит со скоростью 3 м/сек по окраине
карусели, когда та неподвижна, и затем вскакивает на нее. Пре-
Пренебрегая трением, определите угловую скорость карусели с ре-
ребенком.
533. Небольшой шарик бросают по горизонтали вдоль
внутренней поверхности гладкой полусферической чаши радиу-
радиуса г, находящейся в покое (рис. 44). Требуется найти началь-
начальную скорость v0, необходимую для того,
чтобы шарик только достиг верхнего края
чаши. Выразить v0 как функцию угла в,
определяющего начальное угловое положе-
положение шарика.
534. Однородный диск массы М и ради-
радиуса R вращается вокруг горизонтальной оси,
проходящей через его центр, с угловой ско-
скоростью (Во-
Рис. 44. а) Каковы его кинетическая энергия и
момент количества движения?
б) От края диска оторвался кусок массы т как раз в такой
момент, что он полетел вертикально вверх. До какой высоты
поднимется он, прежде чем начнет падать
в) Каковы будут установившаяся угловая скорость остатка
диска, его момент количества движения и кинетическая энергия?
535. На горизонталыном, гладком и круглом желобэ лежат
два маленьких тела с массами т\ и т2, могущие скользить
вдоль желоба. Между массами находится сжатая нитью пружи-
пружина, не скрепленная с массами.
а) В момент пережигания нити сжатая пружина (пренебре-
гаемо малой массы) расталкивает оба тела в противоположные
стороны, сама же остается на месте. Когда оба тела встретятся,
они столкнутся друг с другом. Спрашивается, в каком месте
желоба столкновение будет иметь место? Ответ может быть
выражен и в угловых единицах.
б) Если запасенную в пружине потенциальную энергию счи-
считать равной С/о, то через сколько времени после обрыва нити
наступит столиновение тел?
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
536. Метровая линейка с сантиметровыми деланиями балан-
балансирует на острие ножа, положенного против пятидесятого деле-
деления линейки. Если две пятикопеечные монеты положены одна
66
на другую против двенадцатого деления, то нагруженная линей-
линейка будет сбалансирована, когда острие ножа будет находиться
между сорок пятым и сорок шестым делениями. Каждая монета
весит 5,0 Г. Определите, сколько весит линейка, и проверьте при
случае ваш ответ экспериментально.
537. Однородный шар весом Р и радиусом г скользит по по-
полу под действием постоянной горизонтальной силы F, приложен-
приложенной к нити, как показано на рисунке 45. Покажите, что если
коэффициент трения между шаром и по-
полом равен k, то высота h точки приложе-
приложения силы дается равенством:
*=,(.-*.?).
Рнс 45- 538. Тонкая дощечка АВ длины I и
пренебрегаемо малого веса удерживает-
удерживается в горизонтальном положении штырьком, входящим в стену
у точки А, и тонкой проволокой ВС, образующей с горизонталью
угол 0. Вдоль А В может перемещаться груз Р, причем положе-
положение его определяется расстоянием х, отсчитываемым от стены
(рис. 46).
а) Найдите растягивающее уси-
усилие Т в проволоке как функцию х.
б) Найдите горизонтальную и
вертикальную составляющие силы,
действующей на дощечку со сторо-
стороны штырька.
539. Автомобиль весам 1,35 Т
имеет колесную базу длиной 3,05 м. А уд ' I ' ' " -> g
Центр тяжести расположен в 1,78 л*
позади передней оси. Определите
силу, действующую на каждое из
передних колес и на каж-
каждое из задних колес со сторо-
стороны горизонтальной поверхности
земли.
540. Весы сделаны из твердого стержня, могущего поворачи-
поворачиваться вокруг точки, не совпадающей с его центром тяжести.
На концах стержня подвешены чашки неравного веса. Если тело
неизвестной массы m положить на левую чашку, то оно уравно-
уравновесится массой mu положенной на правую чашку. Аналогично,
если масса m положена на правую чашку, то она уравновесится
массой т2, положенной на левую чашку. Докажите, что
m = ^mim2, и сформулируйте допущения, которые придется сде-
сделать в ходе вашего доказательства.
541. Длина АС = С'Е лестницы-стремянки 2,4 м, а длина
стяжки BD на половине ее длины равна 0,76 м (рис. 47). Чело-
СУ
1
i
1
л
Г
~|
F р
ч.
\
1
Рис. 46.
67
Риг. 47.
век весом 87 кГ взбирается по лестнице
до 1,8 м ее длины. Принимая, что пол
весьма гладкий, и пренебрегая весом
самой лестницы, найдите натяжение Т в
стяжке и силы NА и NE, действующие
со стороны пола на лестницу.
542- Чан похож на часть полой сферы
радиуса г. Крутизна верхней части
стенки чана такова, что насекомое едва
может выползти из него. Если коэффи-
коэффициент статического трения между по-
поверхностью чана и ножками насекомого
равен '/з, то какова глубина чана?
543. Тело подвешено к геометрическому центру куба с по-
помощью трех нитей. Две из них идут от центра к смежным углам
верхней грани куба, а третья к середине противоположного реб-
ребра той же грани. Сила натяжения нити, идущей к одному из
углов, ра.вна 10 н.
а) Чему равен вес подвешенного тела?
б) Каково будет начальное ускорение тела, если нить, веду-
ведущую к середине ребра куба, перерезать?
544. Длина первой пружины в недеформированиом состоянии
0,5 м, а второй — 1,0 м. Коэффициенты жесткости пружин соот-
соответственно равны &i=25 н/м и /г2 =10 н\м. Пружины соединены
одними концами вместе, а другими — прикреплены к стенкам,
расстояние L между которыми 2,0 м. Каковы длины 1\ и 12 каж-
каждой из пружин в деформированном состоянии?
545. Два одинаковых гладких шара, каждый весом
.Р = 45,4 кГ, положены, как показано на рисунке 48. Полагая по-
поверхности опорных стенок абсолютно гладкими, найдите реак-
реакции в точках А, В, С, D, если прямая, соединяющая центры ша-
шаров, образует с горизонталью угол в 30°.
546. Покажите, что положение однородной линейки, изобра-
Рис. 48.
Рис. 49
68
женной на чертеже, неустойчиво. Линейка весом Р и длиной /
поддерживается у ее концов двумя гладкими наклонными плос-
плоскостями так, как показано на рисунке 49.
КОЛЕБАНИЯ
547. К. пружине подвешено тело массой 2 кг. Если к нему
присоединить тело массой 300 г, то пружина растянется еще на
2 см. Если же трехсотграммовый довесок снять и предоставить
телу массой 2 кг колебаться, то каков будет период колебаний?
548. На поршень положен груз. Поршень совершает колеба-
колебательное движение в вертикальном направлении с периодом в
1 сек.
а) При какой амплитуде колебаний груз и поршень отделят-
отделятся друг от друга?
б) Если амплитуда колебаний поршня 5 см, то при какой
максимальной частоте груз и поршень будут находиться в не-
непрерывном контакте?
549. Две пружины соединены между собой и с телом массы
т так, как показано на рисунке 50. Движение тела массы т по
опорной плоскости лишено трения. Покажите, что если коэф-
коэффициенты жесткости каждой из пружин равны k\ и /г2, то часто-
частота колебаний тела v = -ссЛ/ —,. ' 2h ч . Электрическим ана-
логом этой системы служат два параллельно соединенных
конденсатора.
550. Две пружины соединены с телом массы тис опорами
так, как показано на рисунке 51. Покажите, что в этом случае
'///////////////////////////
Рис. 50. Рис 51.
частота колебаний v =^-1/ -- . Электрическим аналогом
этой системы служат два конденсатора, соединенные последо-
последовательно.
551. Частота колебаний атомов в твердом теле при нормаль-
нормальной температуре порядка 1013 сект1. Вообразите, что атомы со-
соединены друг с другом пружинками. Допустите также, что один
атом серебра колеблется с указанной выше частотой, а осталь-
остальные атомы находятся в покое. Вычислите коэффициент жесткос-
жесткости отдельной пружинки, полагая, что масса 1 моля серебра, рав-
равная 108 г, содержит 6,02-1023 атомов.
69
552. В отношении вертикальных колебаний автомобиля мож-
можно считать, что он монтирован на пружинах. Допустим, что для
какого-либо автомобиля выбраны такие пружины, что колебания
его происходят с частотой 3 сект1. Чему равен коэффициент
жесткости такой пружинм, если вес автомобиля 1,45 7"? Какова
будет частота колебаний, если в автомобиле едут 5 пассажиров
со средним весом в 73 кГ каждый?
553. Шкала пружинных весов, рассчитанная на 14,5 кГ, име-
имеет длину 10,2 см. Замечено, что при некоторой нагрузке весы ко-
колеблются с частотой 2,0 сек-1. Сколько весит груз?
554. а) Докажите, что при гармоническом колебательном
движении точки средняя потенциальная энергия равна средней
кинетической энергии, когда среднее значение берется относи-
относительно времени за 1 период колебаний и что каждое среднее
равно xUkA2.
б) Докажите, что когда среднее берется относительно поло-
положения точки за 1 цикл, то средняя потенциальная энергия равна
ll&kA2, а средняя кинетическая энергия l/zkA2.
в) Объясните физически, что означает различие в результа-
результатах, полученных в пунктах а и б.
555. а) Покажите, что общее выражение периода или часто-
частоты гармонического колебательного движения точки в линейных
величинах имеет вид:
= 2тг Л/ — ¦ v= —V—
Га' 2л У х '
где х и а — соответственно линейное смещение и ускорение
точки.
б) Покажите, что общее выражение периода или частоты
того же движения в угловых величинах имеет вид:
где G — угловое смещение и а — угловое ускорение.
556. а) Полагая амплитуду малой, определите частоту коле-
колебаний математического маятника длиной 2 м, если он колеблет-
колеблется в лифте, поднимающимся с ускорением 2,0 м/сек2.
б) Чему равна частота колебаний маятника при свободном
падении лифта?
557. Каков период колебаний метровой линейки с сантимет-
сантиметровыми делениями, если она может качаться относительно го-
горизонтальной оси, проходящей: а) через ее верхний конец;
б) через деление в 75 см; в) через деление в 60 см?
558. Однородный стержень длины / колеблется относитель-
относительно горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и находя-
находящейся на расстоянии d от его центра масс. Покажите, что пе-
период колебаний будет минимальным, если d=——=. .
70
559. Когда человек стоит на свободном конце горизонтальной
доски, закрепленной у другого конца, то свободный конец
при равновесии понижается на глубину h. Пренебрегая массой
доски по сравнению с массой человека, покажите, что при
колебаниях нагруженной доски частота колебаний будет равна
частоте колебаний математического маятника длимы h.
560. Кольцо радиусом 0,61 м и весом 3,6 кГ подвешено на
горизонтальном гвозде.
а) Какова будет частота колебаний кольца при его малых
отклонениях от положения равновесия?
б) Какова длина эквивалентного математического маятника?
561. Если массой пружины тх с жесткостью k нельзя пре-
пренебречь по сравнению с массой т подвешенного к ней груза,
то период колебаний:
k
Получите этот результат. Обратите при этом внимание, что
различные части пружины принимают различное участие в дви-
движении. Однако результат будет такой же, как если бы к грузу
была прибавлена лишь одна треть массы пружины, масса же
самой пружины считалась пренебрегаемо малой.
ТЯГОТЕНИЕ
562. Различие между массой и весом привлекло к себе вни-
внимание ученых, когда в 1672 г. Жан Рише захватил свои маят-
маятниковые часы для астрономических наблюдений из Парижа в
Кайенну во Французской Гвиане. Там он нашел, что его часы
отставали на 2,5 мин в сутки. Такое явление уже было извест-
известно из работы Гюйгенса, в которой говорится, что период ко-
колебаний маятника данной длины пропорционален ¦ . Если
У g
для Парижа g = 980,9 см/сек2, то чему будет равно значение
g в Кайенне?
563. На судне, плывущем вдоль экватора со скоростью v, к
пружинным весам подвесили тело. Покажите, что отсчет по
шкале должен быть весьма близким к вычисленному по фор-
формуле
v \
-)
g
где со—угловая скорость Земли, а Л> отсчет по шкале в момент,
когда судно покоится. Поясните также физический смысл зна-
знаков плюс и минус.
71
564. С какой скоростью будет пролетать почтовый мешок че-
через центр Земли, будучи сброшен с ее поверхности в просвер-
просверленный в ней канал?
Примечание. Покажите сперва, что движение тела будет гармони-
гармоническим колебанием, если пренебречь сопротивлением воздуха и принять за
плотность Земли ее среднее значение.
565. а) Покажите, что в тоннеле, прорытом в земном шаре
вдоль любой хорды, равно как и совпадающей с диаметром,
движение тела будет гармоническим колебанием.
б) Найдите период этого колебательного движения.
в) Приобретет ли тело, двигаясь вдоль хорды, ту же ско-
скорость, которую оно приобрело бы, двигаясь по каналу вдоль
диаметра Земли?
566. Пусть частица, обладающая некоторой массой, находит-
находится в какой-либо точке Р внутри сферической вещественной обо-
оболочки, имеющей всюду одинаковую толщину и плотность. По-
Постройте узкий двойной конус (рис. 52) с общей вершиной в
точке Р, вырезающий на поверх-
поверхности оболочки площадки Si и S2.
а) Покажите, что результирую-
результирующая сила гравитации, действующая
на частицу в точке Р со стороны
вырезанных конусом частей сфери-
сферической оболочки, равна нулю.
б) Покажите, что результирую-
результирующая сила гравитации со стороны
всей сферической оболочки, дейст-
действующая на находящуюся в любом
месте внутри нее материальную
частицу, равна нулю.
Рис. 52. 567. а) При какой горизонталь-
горизонтальной скорости должен быть выпущен
спутник с высоты 161 км над уровнем моря, чтобы он вышел на
круговую орбиту вокруг Земли? Средний радиус земного шара
примите равным 6,4-Ю3 км.
б) Каков будет период обращения спутника вокруг Земли?
568. Приведите качественные аргументы для объяснения то-
того, почему равны между собой следующие периоды: а) обра-
обращения спутника у поверхности Земли; б) колебаний тела в
тоннеле, просверленном сквозь земной шар; в) колебаний мате-
математического маятника длиной, равной земному радиусу, если ма-
маятник находится в однородном гравитационном поле напряжен-
напряженностью 9,8 н/кг; г) бесконечно длинного математического маят-
маятника в реальном гравитационном поле Земли.
569. Снаряд выпущен с земной поверхности вертикально
вверх с начальной скоростью 10 км/сек. До какой высоты под-
72
нимается снаряд, если пренебречь тормозящим действием атмос-
атмосферы? Радиус Земли 6400 км.
570. а) На что потребуется большая затрата энергии, чтобы
поднять спутник на высоту 3200 км или заставить его двигаться
по круговой орбите на той же высоте.
б) Тот же вопрос для высот в 6400 км и 9700 км. Радиус Зем-
Земли принять равным 6400 км.
571. Два спутника Земли А и В, каждый с массой т, должны
быть запущены на приближенно круговые орбиты вокруг Земли.
Спутник А должен обращаться по орбите на высоте 6400 км, а
опутник В—на высоте 19,3-Ю3 км.
а) Каково отношение потенциальных и кинетических энер-
энергий спутников А и В на их орбитах? Для первого отношения ре-
результат выразите в терминах работы, необходимой для удале-
удаления каждого спутника с его орбиты .в бесконечность.
б) Какой из спутников обладает большей и на сколько боль-
большей полной энергией, если масса каждого равна 14,6 кг.
572. Среднее расстояние Марса от Солнца в 1,524 раза боль-
больше среднего расстояния Земли от Солнца. Найдите число зем-
земных лет, необходимое для совершения Марсом одного полного
оборота вокруг Солнца.
573. Определите массу Земли, зная период обращения Луны
вокруг Земли (Т = 27,3 сут) и ее расстояние до Земли
(г = 3,85-105/ш).
574. а) Покажите, что скорость ускользания молекулы за
пределы атмосферы планеты должна удовлетворять условию
о 2GM
2>
где г — расстояние молекулы от центра планеты; М — масса
планеты; G — гравитационная постоянная.
б) Определите скорость ускользания с Земли частицы возду-
воздуха, находящейся в 1000 км от земной поверхности.
в) Тот же вопрос для частицы воздуха на Луне и на Солнце.
575. Средний диаметр Марса 6760 км, а диаметр Земли
12 700 км. Масса Марса равна 0,107 массы Земли.
а) Какова средняя плотность Марса по сравнению с плот-
плотностью Земли?
б) Каково ускорение свободного падения тела на Марсе?
в) Какова на Марсе скорость ускользания атмосферных час-
частиц?
576. Две звезды, образующие двойную звезду, с массой
3-Ю33 кг каждая, вращаются вокруг общего центра масс на
расстоянии 1,0-Ю17 м от него.
а) Какова их общая угловая скорость?
б) Пусть через общий центр масс обеих звезд пролетает ме-
метеорит под прямым углом к линии, соединяющей обе звезды.
73
Какова должна быть скорость метеорита, чтобы он мог выйти
за пределы тяготения двойной звезды?
577. Два тела с массами т,\ = 800 кг и т2 = 600 кг находятся
на расстоянии 0,40 м друг от друга.
а) Какова напряженность гравитационного поля, созданного
этими телами в точке, отстоящей на 0,32 м от Ш\ и на 0,24 м
от т2?
б) Чему равен гравитационный потенциал в этих точках?
578. Две массы mi = 200 г и т2 = 800 г находятся на рассто-
расстоянии 12 см друг от друга.
а) Опредажте силу тяготения, которая действует на единич-
единичную массу, находящуюся на линии, соединяющей т.\ и т2, в
4 см от Ш\.
б) Определите потенциальную энергию единичной массы в
указанной точке.
в) Какая работа требуется, чтобы переместить единичную
массу в точку, находящуюся в 4 см от т2 на линии центров
масс.
579. Тело сферической формы радиусом R имеет концентри-
концентрическую полость радиуса г, как это показано на рисунке 53.
а) Выразите порожденную сферой
силу гравитации, действующую на час-
частицу массы т, находящуюся на расстоя-
расстоянии а от центра сферы, как функцию а
в пределах О^а^оо. В особенности рас-
рассмотрите точки а = 0; a = R; а-^оо.
б) Начертите кривую, изображаю-
изображающую потенциальную энергию системы.
в) Как можно из начерченного гра-
графика получить графики напряженности
гравитационного поля и его потенциала,
порожденных сферой?
580. Картина изменения величины g
внутри Земли дана в приложенной ниже
таблице. Радиус Земли принят равным 6400 км. Внутри ядра
Земли, т. е. на глубине ниже 2900 км, значения g убывают мо-
монотонно (но не линейно) от значения 10,37 м/сек2 до нуля. Дей-
Действительная вариация величины g на глубине, большей 4000 км,
достоверно ге известна.
а) Подразумевая под г расстояние, отсчитываемое от
центра Земли, начертите примерную зависимость g(r) в преде-
пределах от 0 до 6400 км.
б) Дайте объяснение тому, как должна изменяться плот-
плотность Земли, если идти от ее поверхности к центру.
в) Примите плотность Земли у ее поверхности за единицу
(ро = 1 г/см3), в то время как среднее значение рср = 3,0 г/см3, и
74
т
Рис. 53.
обрисуйте качественный характер графика р(г). Примите, что
на всей протяжении графики р п g сферически симметричны.
Гл\бин,|,
AMI
0
33
100
200
300
е,
9,82
9,85
9,89
9,92
9,95
ГлNпна,
км
413
600
800
1000
1200
е.
м/сек1
9,98
10,01
9,99
9,95
9,91
Глубина,
км
1400
1600
1800
2000
2200
е,
м/сек2
9,88
9,86
9,85
9,86
9.90
Глуби-
Глубина, км
2400
2600
2800
2900
4000
g.
м1свкг
9,98
10,09
10,26
10,37
8,00
ГИДРОСТАТИКА
581. В 1654 г. Отто Герике, бургомистр города Магдебурга
и изобретатель воздушного насоса, продемонстрировал публич-
публичный опыт, в котором две упряжки по 8 лошадей не могли разъ-
разъединить два бронзовых полушария, из которых был выкачан
воздух.
а) Полагая наружный радиус полушария равным 0,30 м и
давление изнутри 0,1 атм, определите, какое усилие требуется
от упряжки лошадей, чтобы разъединить полушария.
б) Почему здесь применялись две упряжки? Не могла бы
разве одна упряжка дать тот же самый эффект?
582. Высота Н, на которой атмосферное давление равно в
1
точности —давления на уровне моря, называется приведенной
высотой (scale heigt) атмосферы.
а) Покажите, что эта высота Н является также высотой та-
такой атмосферы, которая имеет одинаковую плотность в любом
месте, и что такая атмосфера будет оказывать на уровне моря
такое же давление, как и реальиая атмосфера бесконечной вы-
высоты.
б) Покажите, что высота Н = 8,6 км.
583. За вертикальной стенкой плоти-
плотины (рис. 54), обращенной в сторону про-
против потока, вода доходит до глубины h.
а) Принимая ширину плотины рав-
равной а, найдите действующую на нее ре-
результирующую силу давления воды, а
также момент этой силы на глубине h.
б) Определите линию действия экви-
эквивалентной результирующей силы.
584- Поверхность двух соприкасаю-
соприкасающихся жидкостей, покоящихся и не сме- Рис. 54.
75
шивающихся, но различных плотностей, горизонтальна. Дока-
Докажите это общее положение, исходя из следующих фактов:
а) потенциальная энергия системы, находящейся в устойчи-
устойчивом равновесии, должна быть минимальна;
б) для любых двух точек на горизонтальной поверхности той
или иной жидкости давления одинаковы.
585. а) Сосуд с жидкостью подвергается направленному по
вертикали вверх ускорению а. Покажите, что изменение давле-
давления с глубиной будет выражаться равенством p = ph(g + a),
где h — глубина слоя жидкости и р — ее плотность.
б) Чему будет равно изменение давления, если сосуд с жид-
жидкостью опускается по вертикали с ускорением а.
в) Чему будет равно давление на слой жидкости в случае
свободного падения сосуда?
586. а) Допустим, что некоторая масса жидкости в открытом
сосуде испытывает горизонтальное ускорение а, благодаря чему
в передней части сосуда уровень жидкости понизится, а в зад-
задней повысится. Пскажите, что угол наклона 0 поверхности жид-
жидкости определяется соотношением tg9 = — .
б) Как изменяется в этом случае давление с глубиной?
ГИДРОДИНАМИКА
587. Модели торпед иногда испытываются в трубах с про-
проточной водой так же, как модели самолетов испытьиваются в
аэродинамических трубах. Представьте себе трубу круглого се-
сечения с внутренним диаметром 25,4 см я модель торпеды, распо-
расположенную вдоль оси трубы в той ее части, где диаметр сечения
равен 5,1 см. Торпеда испытывается потоком воды, текущей со
скоростью 2,4 м/сек.
а) С какой скоростью должна 1ечь вода в широкой части
трубы?
б) Какова будет разность давле-
давлений между широкой и узкой частя-
частями трубы?
588. Применяя уравнение Бер-
нулли и уравнение неразрывности
струи к точкам 1 и 2, на рисунке
55 покажите, что скорость течения
у входного отверстия в трубу рав-
равна
v =
где S и Si — соответственно площа-
площади широкого и узкого сечений тру-
76
Рис 55.
бы; р'и р — плотности жидкостей в манометре и в трубе; h —
разность уровней в коленах манометра.
589. Диаметр манометрической трубки Вентури (рис. 55)
25,4 см, а ее горловины 12,7 см. Определите скорость (водяного
потока, если давление в трубке 0,56 кГ/см2, а в горловине
0,42 кГ/см2.
590. Рассмотрите трубку Вентури на рисунке 55 без маномет-
манометра. Пусть площадь сечения S в 5 раз больше, чем Si, причем
давление в S равно 2,0 атм. Вычислите ежесекундный расход
жидкости в потоке, если диаметр сечения S равен 5,0 см.
Явление падения плотности потока в суженной части труб-
трубки почти до нуля называется кавитацией или разрежением. Яв-
Явление это представляет большой теоретический и практический
интерес.
59!. В горизонтальном нефтепроводе постоянного поперечно-
поперечного сечения давление между двумя точками на расстоянии 305 м
друг от друга понижается на 0,35 кГ/см2. Какова потеря энергии,
приходящаяся на единицу объема нефти на единице расстояния?
592. Один из гейзеров в йеллоустонском парке выбрасывает
воду на высоту 76 м. Каково должно быть минимальное давле-
давление у основания гейзера?
593. В боковой стенке широкого бака с водой проделано от-
отверстие на глубине h, считая от верхнего уровня воды.
а) Применяя уравнение Бернулли к линии тока между дву-
двумя различными точками, покажите, что скорость истечения
жидкости v=y2gh, что известно под названием закона Торри-
челли.
б) Если отверстие в изогнутой выпускной трубке направлено
прямо вверх, то на какую высоту будет бить струя жидкости?
594. а) Пользуясь уравнением Бернулли, рассчитайте ско-
скорость истечения жидкости из отверстия в боковой стенке бака
Уо, принимая во внимание скорость v понижения уровня жид-
жидкости в баке. Покажите, что
1— _
1 2
V.
б) Далее, рассматривая всю струю как одну широкую труб-
7'
ку тока, получите такое выражение —у- из уравнения неразрыв-
неразрывности струи, чтобы
1
где S — сечение трубки на верхнем уровне жидкости и So — ее
сечение в выпускном отверстии.
77
в) Покажите, что если выпускное отверстие мало по сравне-
сравнению с площадью поверхности жидкости, то
595. Трубка Пито монтируется на крыле самолета для опре-
определения его скорости относительно воздуха. Допустим, что раз-
разность уровней спирта, находящегося в трубке, равна 12,4 см.
Какова будет скорость самолета относительно воздуха?
596. Воздух движется горизонтально позади самоутетного
крыла, площадь которого 3,3 м2 и вес 245 кГ. Скорость воздуш-
воздушного потока поверх крыла 61,0 м/сек, а под крылом 45,7 м/сек.
Какова подъемная сила крыла? Какова
результирующая сила, действующая на
крыло?
597. К концу полой вертикальной
трубки прикреплен диск DD (рис. 56).
Когда через трубку продувается воздух,
О то картонная полоска СС притягивается
к диску. Пусть площадь полоски S и
средняя скорость воздуха между СС и
DD равна у- Вычислите результирую-
результирующую силу, направленную вверх и прило-
Рис 56.
щенную к СС. Весом полоски пренебречь.
ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
598. а) Покажите, что интенсивность есть произведение энер-
энергии, приходящейся на едишщу объема, умноженной на скорость
эаопространения волнового возмущения.
б) Радиоволны распространяются в воздухе со скоростью
3-108 м/сек. Определите плотность энергии в радиоволне на рас-
расстоянии 483 км от источника мощ-
мощностью в 50 кет, предполагая, что
волны сферические.
599. Источник высокочастотных
колебаний S и приемник D нахо-
находятся на поверхности Земли на рас-
расстоянии d друг от друга. Прямая
волна, исходящая из S, придя в
точку D, оказывается в фазе с вол-
волной, излученной S, но отраженной
от горизонтального слоя, находяще-
находящегося на высоте Н (рис. 57). Когда
этот слой поднимается еще на высо-
Рис. 57. ту h, то в точке D не будет воспри-
нятно никакого сигнала. Пренебрегая поглощением в атмосфе-
атмосфере, найдите соотношение между величинами d, h, H и длиной К
излучаемой волны.
600. Три складывающиеся синусоидальные волны одного на-
направления имеют одинаковые периоды, но их амплитуды отно-
относятся как 1:112:Чз, а фазовые углы соответственно как 0:л/2:л.
Вычертите форму результирующей вол,ны и прокомментируйте
ее.
601. Струна колеблется по закону y = 5sin-y cos40n?, где х и
у выражены в сантиметрах, a t — в секундах.
а) Каковы амплитуды и скорость складывающихся волн, су-
суперпозиция которых может привести к колебанию указанной
формы?
б) Чему равно расстояние между узлами?
в) Какова скорость частицы струны в момент ?=9,8 сек, ко-
координата которой х=1,5 см?
602. Две поперечные синусоидальные волны бегут вдоль стру-
струны в противоположных направлениях. Амплитуда каждой волны
3,0 см, а длина волны 6,0 см. Скорость поперечной волны в стру-
струне 0,5 см/сек. Вычертите форму струны для каждого из следую-
следующих четырех моментов: t = 0; 3; 6; 9 сек.
603. В одном лабораторном опыте со стоячими волнами стру-
струна длиной в 0,91 м была присоединена одним концом к ножке
электрического камертона, колеблющейся с частотой 60 сек-1
перпендикулярно длине струны. Вес струны 0,044 кГ.
а) Каково должно быть натяжение струны, если к другому
концу была присоединена нагрузка, под действием которой при
колебаниях струны возникали 4 пучности?
б) Что произойдет, если камертон будет повернут так, что
колебания окажутся параллельными длине струны?
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
604. Покажите, что интенсивность звуковой волны /, выра-
выраженная через амплитуду давления р0, равна:
/= К
2Роо
где v — скорость распространения волны и р0 — нормальная
плотность воздуха. Та же интенсивность, выраженная через
амплитуду смещения г/Макс. равна:
где / — частота колебаний.
605. а) Если две звуковые волны, из которых одна распро-
распространяется в воздухе, а другая в воде, равны по интенсивности,
79
то каково отношение амплитуды давления волны в воде к
амплитуде давления волны в воздухе?
б) Если две упомянутых волны равны по амплитуде давле-
давления, то каково отношение их интенсивностей?
606- На рисунке 58
изображен акустический
интерферометр Квинке,
применяемый для демон-
демонстрации интерференции
звуковых волн. Здесь 5 —
диафрагма, колеблюща-
q | | \ яся под действием элект-
электромагнита, a D — звуко-
Рис. 58. вой детектор (человечес-
(человеческое ухо или микрофон).
Путь воздушной волны SBD может изменяться, путь же SAD
фиксирован.
Найдено, что интенсивность звука принимает минимальное
значение в 100 единиц при одном положении подвижного коле-
колена В и непрерывно повышается до максимума в 900 единиц при
другом положении колена, отстоящем на 1,65 см от первого по-
положения.
а) Определите частоту звука, испускаемого источником, и
отношение амплитуд двух волн, приходящих к детектору.
б) Как может случиться, что эти волны имеют различные
амплитуды, хотя произошли они из одного источника?
607. Каждый из двух репродукторов Si и S2 испускает звук
частотой 200 сек-1 равномерно по всем направлениям. Выходная
акустическая мощность Si равна l,2-10~3 вт, a S2—1,8-10~3 вт.
Колебания обоих репродукторов синфазны. Рассмотрению под-
подлежит точка Р, находящаяся в 4 м от Si и в 3 м от S2.
а) В каких фазах приходят волны в точку Р?
б) Какова будет интенсивность звука в точке Р, если работа-
работают оба источника и если S2 включен, a Si выключен? То же,
если включен S), a S2 выключен?
608. Труба длиной в 1 л у одного конца закрыта. У открыто-
открытого конца трубы расположена натянутая проволока длиной
0,30 м и массой 0,010 кг. Струна зажата у обоих концов и дает
колебания основной частоты. Тогда в результате резонанса на-
начинает колебаться с основной частотой и столб воздуха в трубе.
Найдите частоту колебаний воздушного столба и натяжение
струны.
609. Основная частота звука, издаваемого открытой органной
трубой, равна 300 сек~{. Первый обертон закрытой органной
трубы имеет ту же частоту, что и первый обертон открытой тру-
трубы. Какова длина каждой трубы?
610. Виолончельные струны имеют длину L. На какую дли-
80
ну / они должны быть сокращены нажатием пальцами, чтобы
высота звука изменилась в отношении частот г? Определите /
при L = 0,80 м и r=6/5, 5U, 4/з и 3/2.
611. Основная частота двух идентичных фортепианных струн
600 се/с-1, если они вытянуты в одинаковой степени. На сколько
должно быть увеличено натяжение одной струны, чтобы полу-
получилось 6 биений в секунду, когда обе струны звучат одновре-
одновременно?
612. Свисток, издающий звук, частота которого 540 сек-1,
вращается по кругу радиуса 0,61 м с угловой скоростью
15 рад/сек. Какова будет самая низкая и самая высокая часто-
частота звука, услышанного наблюдателем, находящимся на большом
расстоянии, неизменном относительно центра круга.
613. Сирена, издающая звук частотой 1000 сек~\ удаляется
от вас по направлению к отвесной скале со скоростью 10 м/сек.
Какова будет частота слышимого вами звука: а) приходящего к
вам непосредственно от сирены; б) отраженного от скалы?
Какова будет частота слышимых вами биений? Скорость звука
в воздухе примите равной 330 м/сек.
614. Источник звуковых волн частотой 1080 сек~1 движется
вправо со скоростью 33 м/сек (относительно Земли). Там распо-
расположена отражающая поверхность, движущаяся влево со ско-
скоростью 66 м/сек (также относительно Земли). Приняв скорость
звука в воздухе равной 330 м/сек, найдите: а) длину звуковой
волны, излучаемой в воздух источником; б) число волн в секунду,
приходящих к отражающей поверхности; в) скорость отражен-
отраженных волн; г) длину отраженной волны.
615. Пуля летит со скоростью 671 м/сек. Определите угол,
образованный ударной волной с линией движения пули.
616. Скорость света в воде равна приблизительно 3Д скорос-
скорости свега с в вакууме. Пучок электронов, вылетающих с большой
скоростью ил бетатрона, дает в воде излучение Черепкова, при-
причем фронт волны образует конус с углом раствора в 60°. Опре-
Определите скорость v электронов в воде.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ТЕМПЕРАТУРА
617. Если температура идеального газа (Н2О) в точке паро-
парообразования 373,15°К, то каково предельное значение отношения
давления газа в этой точке к давлению в тройной точке для во-
воды, если объем газа постоянен?
618. Стальную масштабную линейку требуется отградуиро-
отградуировать так, чтобы миллиметровые интервалы при определенной
температуре гарантировали измерение с точностью до 0,001 мм.
Определите максимальную температуру, допустимую при гра-
градуировке.
6 З^каз 170 81
619. К нижней части железного стержня маятника длиной
в 1 м прикреплена стеклянная трубка, почти доверху наполнен-
наполненная ртутью. Как высоко должен стоять в трубке столбик ртути,
чтобы положение центра массы маятника не менялось с темпе-
температурой?
620. а) Толщина биметаллической полоски, составленной из
одинаковых полосок стали и цинка, равна 0,1 см. Определите
радиус кривизны г полоски при повышении температуры на
11 град, считая от той температуры, при которой г-*-оо. Коэф-
Коэффициент линейного расширения цинка ai = 25-10~6 град~1, а ста-
стали а2 = 1Ы0-6 град-1.
б) Если длина полоски 10 см, то чему равна величина ее из-
изгиба?
621. Покажите, что если коэффициент линейного расширения
есть величина переменная, зависящая от температуры, то длина
стержня
1
.4.
где Lo — длина стержня при температуре То.
622. Незаштрихованная площадь изображенной на рисун-
рисунке 59 пластинки S = ab. Коэффициент линейного расширения
пластинки равен а. При повышении
температуры на AT сторона а удли-
удлинилась на Да, сторона Ь на АЬ. По-
Покажите, что если пренебречь малой
площадью Аа-Ab, заштрихованной
на рисунке крест на крест, то
AS = 2aab-At.
623. Плотность тела р есть его
масса, отнесенная к единице объе-
объема, и если объем тела зависит от
температуры, то зависит от нее и плотность. Покажите, что из-
изменение плотности тела с температурой может быть представ-
представлено в виде Ар =—|ЗрАГ, где р — объемный коэффициент расши-
расширения. Каково физическое значение минуса в выражении для AfP
624. Допустим, что площадь поперечного сечения капилляра
в ртутном термометре равна 50 при 0°С и не меняется с темпе-
температурой. Пусть также Vo — объем шарика внизу термометра,
где помещается вся ртуть при 0°С. Покажите, что длина столби-
столбика ртути в капилляре при,/°С равна:
Рис 59
где а — коэффициент линеинопо расширения стекла, а
фициент объемного расширения ртути.
— коэф-
коэф82
625. а) Докажите, что изменение момента инерции / твердо-
твердого тела с температурой выражается равенством AI = 2aIAT, где
а — коэффициент линейного расширения тела.
б) Докажите, что изменение периода t физического маятника
с температурой равно: At=1/2&tAT.
626. Покажите, что когда температура жидкости в барометре
меняется на AT, а давление постоянно, то высота столбика жид-
жидкости h изменится на величину Ah = $hAT, где р — коэффициент
объемного расширения.
КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ И ПЕРВОЕ НАЧАЛО
ТЕРМОДИНАМИКИ
627. В опыте Джоуля груз с массой в 6,00 кг падает с высо-
высоты 50,0 м и приводит во вращение колесо, лопасти которого пе-
перемешивают 0,600 кг воды. На сколько повысится температура
воды, если ее начальная температура равнялась 15°С?
628. Примите среднее значение удельной теплоемкости меди
равным 0,090 кал/г-град в температурном интервале от 0 до
1000°С. Если 1 кг меди нагреть от 0 до 1000°С, то на сколько уве-
увеличится ее масса?
629. Для измерения удельной теплоемкости жидкостей при-
применяется особый «поточный» калориметр. Определенное коли-
количество теплоты сообщается потоку жидкости, протекающей с из-
известной скоростью через калориметр. Измерение разности темпе-
температур в точках впуска и выпуска жидкости и позволяет рассчи-
рассчитать ее удельную теплоемкость.
Пусть жидкость плотностью 0,85 г/смг протекает через кало-
калориметр со скоростью 8,0 см3/сек. Приток тепла обеспечивается
электрической нагревательной спиралью на 250 вт. Между мес-
местами впуска и выпуска жидкости устанавливается разность тем-
температур в 15 град. Определите удельную теплоемкость жид-
жидкости.
630. Стержень / с длиной L = 25 см и площадью поперечного
сечения S=l,0 см2 заключен в теплоизолирующую оболочку 2
(рис. 60). Концы стержня упираются в термостаты 3 с постоян-
постоянными температурами Т\ и Т2.
Если Г,=0°С и Г2=125°С, а устано-
установившийся режим переноса достигнут, то:
а) каков температурный градиент, б) ка-
какова скорость переноса тепла, в) какова
температура в точке стержня, отстоящей
на 10 см от более нагретого края?
631- Покажите, что в пластине, со-
составленной из частей различного мате-
материала, температурный градиент в каж-
каждой части обратно пропорционален теп-
лопроводности.
3
2
1
2
[^ L_ J
Рис 60.
1,
J
83
632. Покажите, что распространяющийся в радиальных на-
направлениях поток тепла в веществе между двумя концентричны-
концентричными сферическими поверхностями определяется соотношением
где Г\ — радиус внутренней сферы, температура которой 7\, г2 —
радиус наружной сферы, температура которой Т2, k — постоян-
постоянная величина, Q — количество прошедшего тепла, t — время про-
прохождения теплового потока.
633. Тепло, генерируемое радиоактивными процессами внутри
Земли, проникает наружу через океаны. Для приближенного
расчета этого процесса примите средний температурный гради-
градиент внутри твердой толщи Земли под океаном равным
0,07 град/м, а ее среднюю теплопроводность равной
2-10~4 ккал/м-сек-град.
а) Какова будет скорость переноса тепла через каждый
квадратный метр поверхности?
б) Обобщив найденную величину скорости приближенно на
всю поверхность земного шара, определите, сколько тепла пере-
переносится через поверхность Земли за каждые сутки.
634. Покажите, что радиальный поток тепла в веществе меж-
между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями зада-
задается уравнением:
гр гр Q 1 ^2
11 ~ 2 = ~~2^Ш~ п 7Г '
где Г\—радиус внутреннего цилиндра, имеющего температуру
Т\, а г2 и Т2 — те же величины для внешнего цилиндра; L — дли-
длина каждого цилиндра; k — постоянная; t — время прохождения
потока тепла.
635. Пусть AQ — количество теплоты, переданное системе,
AU — приращение ее внутренней энергии и hw — совершенная
системой работа. Найдено, что если система переводится из со-
состояния i в состояние f по пути iaf (рис. 61), то AQ = 50 кал и
' = 20 кал; если же путь, проходимый системой, ibf, то
' = 36 кал.
о,
Рис. 61.
Рис. 62.
84
а) Ч^му равна работа вдоль ibf?
б) Если AW=13 кал—работа по криволинейному пути от
точки / до точки /, то чему равно AQ для этого пути?
в) Пусть в точке i t/^ = 10 кал. Чему равна (//?
г) Если ?Д = 22 кал, то чему равно AQ для перехода системы
вдоль пути ib и вдоль пути bf?
636. Пусть левый сосуд, изображенный на рисунке 62 систе-
системы, содержит газ при температуре Т\ и давлении р\\ правый со-
сосуд содержит такой же газ при температуре Т2 и давлении р2.
Что может произойти в системе с точки зрения первого начала
термодинамики при открытом стопорном кране, если
1) Рг>Р\ и Т2>Т\ и 2) р2>Р\ и Т2<Т1?
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
637. Пузырек воздуха объемом в 20 см3 находится на дне
озера глубиной 40 м, где температура +4°С. Пузырек поднима-
поднимается на поверхность, где температура в поверхностном слое,
как и в воздухе, равна +20°С. Определите объем воздушного
пузырька у самой поверхности воды.
638. Масса молекулы Н2 равна 3,32-10-24 г. Если 1023 моле-
молекул Н2, движущихся со скоростью 105 см/сек, ударяют в тече-
течение 1 сек о стенку площадью в 2,0 см2 под углом 45° к нормали
стенки, то какое давление будет испытывать стенка?
639. а) Допустим, что молекулы идеального газа при 273СК
и давлении в 1 атм равномерно расположены в центрах одина-
одинаковых кубов. Используя число Авогадро и принимая диаметр
молекулы равным 3,0-10~8 см, Определите длину такого куба и
сравните ее с диаметром молекулы.
б) Теперь возьмите 1 г-молъ воды, занимающий объем
18 см3. Снова вообразите, что молекулы расположены равномер-
равномерно в центрах одинаковых кубов. Определите длину такого куба
и сравните ее с диаметром молекулы.
640. Масса газовой молекулы может быть вычислена из зна-
значения удельной теплоемкости при постоянном объеме cY. При-
Примите для аргона cv = 0,075 ккал/кг-град и вычислите массу ато-
атома аргона и его атомный вес.
641. Приняв массу атома гелия равной 6,6-10~27 кг, вычисли-
вычислите удельную теплоемкость гелия при постоянном объеме.
642. Как вы объясните физически наблюдаемое значение
Cv = 7,50 кал/моль-град для углекислого газа при 15°С и давле-
давлении в 1 атм?
643. Покажите, что скорость звука в воздухе увеличивается
приблизительно на 0,61 м)сек при повышении температуры на
1 град.
644. Воздух при 0°С и 1 атм имеет плотность 1,293-Ю-3 г/см3,
а скорость распространения звука в нем равна 332 м/сек. Вы-
85
числите из этих данных отношение удельных тешю^мкостей
воздуха.
645. Атомный вес йода равен 127. Стоячая волна 'в газооб-
газообразном йоде при 400°К имеет узлы на расстоянии 6,77 см друг
от друга, если частота колебаний 1000 сек~1. Является ли йод
одноатомным или двухатомным газом?
646. Идеальный газ адиабатически расширяется от началь-
начальной температуры Тх до конечной Т2- Докажите, что произведен-
произведенная им работа A = cv{T\—Т2).
647. В космотроне Национальной лаборатории в Брукхавене
протоны проходят круговой путь диаметром в 22,9 м в камере,
эвакуированной до давления 10~6 мм рт. ст. Оцените число газо-
газовых молекул, остающихся в 1 см3 при этом давлении.
648. При какой частоте колебаний длина звуковой волны
будет того же порядка, что и средняя длина свободного пробега
молекулы кислорода при нормальных условиях? Диаметр моле-
молекулы примите равным 3,0-10 8 см, а скорость звука 332 м/сек.
649. Частицы каждая массой 6,2-10~14 г взвешены в жидкос-
жидкости, температура которой 27°С, причем их средняя квадратич-
квадратичная скорость оказалась при измерениях равной 1,4 см/сек. По-
Получите число Авогадро из этих данных и из условия равномерно-
равномерного распределения энергии.
650. Вычислите работу, производимую одним молем реально-
реального газа при его изотермическом расширении от объема V\ до V2.
651. а) Постоянная b в уравнении Ван-дер-Ваальса для СО2
равна 43 см3/г-моль, а постоянная а = 0,37 н-м4/моль2. Вычислите
давление при 0°С для удельного объема 0,55 л/г-молъ, считая
уравнение Ван-дер-Ваальса точным.
б) Каким будет давление при тех же условиях, но считая
что СО2 ведет себя, как идеальный газ.
652. Постоянная b в уравнении Ван-дер-Ваальса для кисло-
кислорода равна 32 см3/г-моль. Примите, что Ь равно учетверенному
объему одного моля молекул О2, аналогичных «бильярдным ша-
шарам», и вычислите диаметр одной молекулы О2.
ЭНТРОПИЯ И ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
653. Двухтактным тепловым двигателем в течение 1-го такта
при температуре 7\ поглощается количество теплоты Qb произ-
производится работа W\ и отдается холодильнику количество тепло-
теплоты Q2 при температуре Т2. За 2-й такт поглощается тепло, отдан-
отданное в 1-м такте, производится работа №2 и удаляется количество
теплоты при темлературе холодильника 73. Докажите, что
к. п. д. двухтактного двигателя тд = —'-у—- .
654. Комбинированная ртутно-ларовая турбина забирает на-
насыщенные ртутные пары из котла при 470°С и отдает их для
86
нагревания парового котла при 238°С. Паровая турбина полу-
получает пар при этой последней температуре и отдает его конденса-
конденсатору при 38°С. Каков максимальный к. п. д. комбинированной
системы?
655. В цикле Карно изотермическое расширение газа проис-
происходит при 400°К и изотермическое сжатие при 300°К- При
расширении газу передается 500 кал тепла. Определите: а)
работу газа во время изотермического расширения; б) тепло,
отнимаемое у газа за время изотермического сжатия; в) ра-
работу, совершаемую над газом за время изотермического
сжатия-
656. В механических холодильниках змеевики имеют наиниз-
наинизшую температуру— 13°С, а сжатый газ в конденсаторе +27°С.
Каков теоретический к. п. д. холодильника?
657. Каков к. п. д. тепловой машины, отнесенный к к. п. д. хо-
холодильной машины, которая получается из первой путем совер-
совершения обратного цикла, причем циклы в обоих случаях обра-
обратимы?
658. В иасосе для перекачки тепла количество тепла Q2 из-
извлекается из атмосферы при температуре Т2 и большее количе-
количество тепла Qi передается внутрь дома при температуре Тх путем
совершения работы W.
а) Начертите схематически диаграмму работы насоса.
б) Чем отличается этот насос от холодильной машины с
принципиальной стороны и с точки зрения практического при-
применения?
в) Как относятся в данном случае друг к другу величины
Qi, Q2 и W?
г) Может ли такой насос работать обратным циклом для при-
применения его летом?
д) Какие преимущества дает насос по сравнению с другими
нагревательными аппаратами?
659. Насос для перекачки тепла переносит тепло извне, где
температура—5°С, в комнату, где температура +17°С, причем
требуемая для переноса энергия доставляется электромото-
электромотором. Сколько джоулей тепла в идеальном случае перено-
переносится в комнату на каждый джоуль затраченной электроэнер-
электроэнергии?
660. Покажите, что в случае обратимого процесса характер
перехода между двумя состояниями не играет роли и разность
энтропии сохраняет одно и то же значение.
661. Покажите, что если имеет место обратимый, но не цик-
циклический процесс, то в целом энтропия остается неизменной.
Для этого нужно вспомнить критерий обратимости процесса и
рассматривать здесь не только самую систему, но и окружаю-
окружающую среду.
87
662. а) Покажите, что если тело массой т, имеющее постоян-
постоянную удельную теплоемкость с, нагревается от температуры Т]
до Т2, то изменение э«тропии 52 — Sj = mcln-~- .
б) Убывает ли энтропия при охлаждении тела? Если да, то
убывает ли при таком процессе полная энтропия?
663. Тепло может быть отнято у воды при 0°С и при атмос-
атмосферном давлении, не вызывая замерзания воды, если только
предохранять ее от всяких механических воздействий. Пусть до
начала образования льда вода была охлаждена до —5,0°С. Ка-
Каково изменение энтропии, рассчитанное на единицу массы, кото-
которое происходит при внезапном замерзании воды по достижении
указанной температуры?
664. Один конец латунного стержня находится в термическом
контакте с калориметром при 127°С, а другой конец — с кало-
калориметром при 27°С. Подсчитайте полное изменение энтропии
при переносе 1200 кал тепла через стержень. Изменится ли
энтропия самого стержня при этом процессе?
665. Один моль одноатомного идеального газа переходит от
начального состояния, характеризуемого давлением р и объе-
объемом V, к конечному состоянию при давлении 2р и объеме 2V.
Переход осуществляется двумя различными способами: 1) газ
расширяется изотермически до удвоения объема и затем его
давление при неизменном объеме увеличивается до указанного
конечного состояния;
2) газ сжимается изотермически до удвоения давления, и за-
затем его объем при неизменном давлении увеличивается до ука-
указанного конечного состояния.
Покажите на диаграмме pV путь, проходимый при каждом
процессе. Для каждого из процессов вычислите количество теп-
теплоты AQ, поглощенное или выделенное газом в каждой ста-
стадии процесса; работу W, совершаемую газом (или над га-
газом) в каждой стадии; изменение внутренней энтропии AS
газа.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД И ВЕЩЕСТВО
666. Протоны, имеющиеся в составе космических лучей, вле-
влетают в верхние слои атмосферы в количестве 0,15 протонов на
1 см2/сек, если брать число их усредненное по всей поверхности
Земли. Выразите в амперах полный поток протонов, получаемый
Землей за 1 сек.
667. Два одинаковых шарика, массой m каждый, подвешены
на шелковых нитях длины / и несут на себе одинаковые заря-
88
ды q. Пусть угол в (рис. 63) будет достаточно мал для того,
чтобы tg0»sin6.
а) Покажите, что
х =
( ^ \
\ 2*comg )
т=\0 г и
б) Приняв /=120 см,
х = 5,0 см, вычислите q.
в) Пусть каждый шарик теряет
свой заряд со скоростью 10~9 к/сек.
С какой относительной скоростью
будут сближаться оба шарика?
668. Три маленьких шарика, каж-
каждый массой т=\0 г, подвешены на Рис 63
шелковых нитях длиной по 1 м, сходящихся наверху в одном уз-
узле. Шарики одинаково заряжены и висят в углах, образующих
равносторонний треугольник со стороной 0,1 м. Каков заряд каж-
каждого шарика?
669. В каждом из двух противоположных углов квадрата по-
помещено по заряду Q. В двух других противоположных углах то-
того же квадрата помещено по заряду q.
а) Если результирующая сила, действующая на заряд Q,
равна нулю, то чему равен заряд Q, выраженный через q.
б) Может ли заряд q быть выбран так, что результирующая
сила, действующая на каждый заряд, равна нулю?
670. Как далеко друг от друга должны быть расположены
два протона, если отталкивательная электрическая сила, дейст-
действующая на один из них, равна весу протона?
671. а) Какой величины равные положительные заряды
должны быть помещены на Луне и на земном шаре для того,
чтобы они нейтрализовали действие гравитационного притя-
притяжения?
б) Требуется ли вам для решения задачи знать расстояние
между Землей и Луной?
в) Сколько тонн водорода пришлось бы взять, чтобы полу-
получить заряд, вычисленный в пункте а?
672. Некоторый заряд требуется разделить на две части:
Q—q и q. Каково будет отношение между Q и q, если эти заря-
заряды, расположенные на заданном расстоянии друг от друга,
должны испытывать максимальное кулоновское отталкивание?
673. Каждый из двух маленьких шариков положительно
заряжен так, что их общий заряд равен 5,0-10~5 к. Как
распределен этот заряд между ними, если они, находясь
на расстоянии 2,0 м друг от друга, отталкиваются с силой в
1 н?
674. Радиус ядра атома меди около 1,9-10~13 см. Вычислите
плотность материала ядра. Покажется ли полученный вамп
89
ответ приемлемым? Атомный вес меди 64 г/молъ. Массой элек-
электронов в атоме по сравнению с массой ядра можно прене-
пренебречь.
675. При радиоактивном распаде ядра U238-^Th234 + He*
центр вылетающей альфа-частицы в некоторый момент времени
отстоит на 9-10~15 м от центра остаточного ядра Th234. Какова
для этого момента сила, действующая на альфа-частицу, каково-
ускорение этой частицы? .
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
676. Нарисуйте картину линий напряженности двух равных
одноименных зарядов и рассмотрите две любые линии, исходя-
исходящие из одного заряда. Если угол между касательными к двум
точкам этих линий вблизи заряда равен в, то на больших рас-
расстояниях от заряда он уменьшается до '/г®. Проверьте это ут-
утверждение и аргументируйте его.
677. Два точечных заряда расположены на расстоянии d
друг от друга (рис. 64). Вычертите график зависимости Е(х),
положив х = 0 в точке располо-
<7, 9г р жения левого заряда. Учитывай-
Q— _ ^-0 о те значения как +х, так и —х.
Т_ х I При этом пусть в точках, лежа-
"~" щих вправо от х = 0, будет ?>0.
Р»с 64. а в точках левее х = 0 будет
Е<0. Заряды 9i== +1,0-10-6 к и
9г= +3,0-10—6 к, расстояние d= 10 см.
678. Заряды +Q, —Q и + q расположены в углах правильно-
правильного треугольника со стороной а. Каково направление силы, дейст-
действующей на заряд + q?
679. Каков вектор напряженности поля в центре изображен-
изображенного на рисунке 65 квадрата со стороной а? Положите
<7=1,0-10-8к и а = 5,0 см.
680. Тонкий непроводящий
стержень конечной длины / несет
на себе заряд q, равномерно рас-
распределенный вдоль стержня. Пока-
Покажите, что поле в точке Р биссектри-
биссектрисы, перпендикулярной к стержню
(рис. 66), дается выражением:
Р,к\ 65.
90
виду
Покажите также, что при I—>-оо выражение A) стремится к
Е = J
где у — линейная плотность заряда.
681. На рисунке 67 изображен типичный электрический
квадруполь, состоящий из двух диполей, действия которых на
внешние точки не уничтожают друг друга. Покажите, что зна-
Р
Рис. 66.
чение Е на оси квадруполя для точек, отстоящих на расстоянии
от его центра, дается уравнением
с- 3Q
где Q = 2qa2 называется квадрупольным моментом распределе-
распределения заряда.
682. Электрон с зарядом е и массой т ограничен движени-
движением вдоль оси кольца, равномерно заряженного зарядом q
(рис. 68). Покажите, что электрон м.ожет совершать колебания
¦с частотой ш = 1/ -г^-—j-. Формула эта пригодна только для
малых колебаний, т. е. для х<Ся, где а — радиус кольца. Пока-
Покажите, что колебания здесь гармонические.
683. Покажите, что максимальное значение поля, равномерно
распределенного по кольцу заряда, будет иметь место в точке
а
X —
¦, если радиус кольца равен а.
V'2
684. Покажите, что компоненты поля Ех и Еу диполя
(рис. 69) для удаленных точек пространства задаются уравне-
уравнениями:
91
Рис. 68
Рис. 69.
Е. =
Зрху
Е — ¦
где х и у — координаты точки.
685. На частицу с зарядом —2,0-10~э к, находящуюся в одно-
однородном электрическом поле, действует направленная вниз элект-
электрическая сила 3-10~6 н.
а) Какова напряженность поля?
б) Каковы величина и направление электрической силы, дей-
действующей на протон, помещенный в это поле?
в) Какова сила гравитации, действующая на протон?
г) Каково отношение электрической силы к гравитационной
в этом случае?
686. Электрон, двигавшийся со скоростью 5,0-108 см/сек, вле-
влетает в антипараллельное его движению электрическое поле на-
напряженностью 1,0-103 н/к, которое, таким образом, тормозит дви-
движение электрона.
а) Какое расстояние пройдет электрон в этом поле до момен-
момента остановки и сколько времени ему для этого потребуется?
б) Если электрическое поле обрывается на расстоянии 0,8 см
пути электрона, то какую долю своей первоначальной энергии
потеряет электрон, двигаясь в этом поле?
dE
687. а) Получите выражение
dz
для любой точки, находя-
находящейся на равных расстояниях от двух равных положительных
зарядов q, где z — расстояние от одного из зарядов, намеряемое
вдоль линии длиной /, соединяющей их.
б) Будет ли действовать какая-нибудь сила на малый ди-
диполь, помещенный в этой точке, если ось диполя совпадает с
осью 2?
92
ТЕОРЕМА ГАУССА
688. Вычислите поток вектора напряженности электростати-
электростатического поля через полусферу радиуса R. Поле Е однородно и
параллельно оси полусферы.
689. Точечный заряд в 1,0-10~6 к помещен в центре куба с
ребром 0,5 м. Чему равен поток Фе через эту поверхность?
690. Теорема Гаусса для гравитации имеет аналитическую
форму:
1
1
4r.G
<*>,=¦
$gdS=tn,
где т — масса тела и G — гравитационная постоянная. Получи-
Получите из этого выражения закон всемирного тяготения Ньютона.
691. На рисунке 70 изображен точечный заряд <7=1,0-10~7 к в
центре сферической полости радиуса 3,0 см, заключенной внут-
внутри куска металла. Пользуясь теоремой Гаусса, найдите электри-
электрическое поле в точке а, находящейся посредине между центром
и периферией полости, а также в точке Ъ.
692. Точечный заряд q находится в
центре незаряженной тонкой сфериче-
сферической оболочки радиуса R из металла.
Найдите, пользуясь теоремой Гаусса,
выражение электрического поля заряда
для точек внутри оболочки и вне обо-
оболочки. Оказывает ли оболочка какое-ни-
какое-нибудь влияние на поле заряда? Влияет ли
присутствие заряда q на оболочку? Если
вне оболочки помещен второй точечный Рис. 70.
заряд, то будет ли он испытывать на се-
себе действие внутреннего заряда? Будет ли испытывать на себе
действие силы внутренний заряд? Есть ли здесь противоречив
с третьим законом Ньютона?
693. Два больших листа из непроводящего мате-
материала, заряженные положительно, обращены друг
к другу так, ка>к показано на рис. 71. Каково поле
в точке слева от обоих листов, между листами и
справа от листов? Поверхностная плотность заря-
заряда о для каждого листа одинакова. Рассмотрению
подлежат только точки, достаточно далекие от кра-
краев каждого листа. В рассматриваемых точках рас-
расстояние их до каждого листа мало сравнительно с
размерами последнего. +-
694. Электрон, обладающий энергией 100 эв, ле-
летит прямо по направлению к большой металличес- ¦+-
кой пластине, поверхностная плотность заряда ко-
которой —2,0-10~6 KJM2. Каково должно быть на- Рис 71.
93
чальное расстояние электрона от пластины, если он только
дошел до нее, не испытав столкновения.
695. Заряд равномерно распределен по всей толще бесконеч-
бесконечно длинного цилиндра радиуса R.
а) Покажите, что поле Е на расстоянии r<R от оси ципинд-
ра определяется равенством Е = ~— где р — объемная плот-
плотно
ность заряда.
б) Какой результат получится при г>/??
696. На рисунке 72 изображена непроводящая оболочка сфе-
сферической формы с однородной плотностью заряда р. Изобрази-
Рис. 72.
Рис. 73.
см, если
те на графике зависимость Е(г), где
р=1,0-10-6 к/м3, а=10 см и й = 20 см.
697. На рисунке 73 изображено поперечное сечение длинной
тонкостенной металлической трубы радиуса R, несущей на себе
заряд с линейной плотностью у. Получите выражение Е(г), где
г — переменное расстояние от оси трубы, причем г</? и r^R.
Изобразите график зависимости Е(г) в пределах 0^г^5 см
при у = 2,0-10-8 к/м и Я = 3,0 см.
698. На рисунке 74 изображены се-
сечения двух длинных концентрических
цилиндров с радиусами г и R. Ци-
Цилиндры несут на себе равные и проти-
противоположные по знаку заряды с линей-
линейной плотностью Y- Пользуясь теоремой
Паусса, докажите, что при a>R и
a<ir напряженность ? = 0, а между
цилиндрами
?=¦
Рис. 74.
699. В условиях задачи 698 элект-
электрон обращается по круговой орбите
радиуса Г\, расположенной между ци-
линдрами и концентричной с ними. Какова должна быть кине-
кинетическая энергия электрона, если y = 3,0-10~8 k/m.
700. Длинный проводящий цилиндр, полный заряд которого
+ q, окружен проводящей цилиндрической оболочкой, полный
заряд которой —2q.
Пользуясь теоремой Гаусса, найдите напряженность поля в
точках вне проводящей оболочки, распределение заряда на обо-
оболочке, напряженность поля в области между цилиндрами. Пере-
Перечислите допущения, сделанные вами при получении ответа.
701. Уравнение Е= —определяет однородное электрическое
поле между двумя параллельными заряженными проводящими
плоскостями. Покажите, что это уравнение приводит к сходному
результату, будучи применено к проводящей сфере радиуса г,
несущей заряд q.
702. Альфа-частица, приближающаяся к поверхности ядра
атома золота, находится в некоторый момент на расстоянии,
равном радиусу ядра F,9-10~~15 м) от этой поверхности. Какова
сила, действующая на альфа-частицу и каково ее ускорение в
этой точке? Масса частицы, которую здесь можно рассматри-
рассматривать как материальную точку, равна 6,7-10~27 кг.
703. Компоненты напряженности электрического поля равны
j_
Ex=bx'1 , Ev = Ez = 0, где 6 = 800 hjk-mx'2. Вычислите поток Фц
через поверхность куба (рис. 75) и заряд внутри куба, сторо-
сторона которого а=10 см.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
1
1
1
---)
/
/„
а
/
704. Поверхностная плотность
заряда пластины бесконечно
больших размеров равна
1,0* 10~7 к/м2. На каком расстоянии
; друг от друга находятся эквипо-
эквипотенциальные поверхности, если
потенциалы их отличаются на
5,0 в?
705. Заряд q равномерно рас-
распределен по объему сферы радиуса R из непроводящего мате-
материала.
а) Покажите, что потенциал точки на расстоянии от центра
сферы при r<R дается уравнением:
,r q-3(R2 — /-2) ,,.
V = s ™ • ( 1 )
Рис. 75
б) Приемлемо ли заключение, что согласно равенству A)
потенциал V не равен нулю в центре сферы?
95
706. На прямой, соединяющей два заряда +q п —3q, нахо-
находящиеся на расстоянии d=l,0 м друг от друга, найдите точки,
для которых напряженность Е = 0 и потенциал V = 0.
707. Пользуясь обозначениями на рисунке 76, выведите вы-
выражение для разности потенциалов Va—VB. Даст ли ваш ре-
результат ожидаемый ответ для случаев d — О или <7 = 0?
708. Точечный заряд <7= + l,0-10~6 к создает поле. Пусть точ-
точка А находится на расстоянии rj = 2,0 м, а точка В на расстоя-
расстоянии г2=1,0 м от заряда. Чему равна
А В разность потенциалов VA—VB, если
точки А и В расположены в диамет-
диаметрально противоположных направлени-
направлениях? Чему равна эта разность потенци-
Рис 76 алов, если отрезки qA и qB взаимно
перпендикулярны?
709. Вычислите дипольный момент молекулы воды в предпо-
предположении, что все 10 электронов молекулы вращаются симмет-
симметрично вокруг атома кислорода, расстояние атомов водорода от
атомов кислорода равно 0,96-10~8 см, а угловое расстояние меж-
между атомами водорода составляет 104° (рис. 77). Сравните, ваш
результат с табличным значением 0,6Ы0~29 кг-м.
+q
Рис. 77.
Рис. 78.
710. Учитывая изображенную на рисунке 78 конфигурацию
зарядов, покажите, что потенциал V(r) для точек вдоль верти-
вертикальной оси системы зарядов при условии г^>а дается выра-
выражением:
1
V=-J— М-+ -2?
711. Обычно при вспышках молнии разность потенциалов
между точками разряда порядка 109 в, а величина переносимого
заряда около 30 к. Сколько льда при 0°С может быть раоплавле-
96
но, если вся освобожденная электрическая энергия пойдет на
расплавление?
712. Если бы плотность электрического заряда Земли была
эквивалентна 1 электр1м2, то чему равнялся бы потенциал Зем-
Земли? Каково было бы по величине и направлению электрическое
поле у поверхности Земли?
713. На рисунке 79 изображена идеализи-
рованная схема ядра 92U238 в самом начале
своего деления. Вычислите отталкивающую
силу, действующую на осколок ядра, и взаим- гза
ную электрическую потенциальную энергию -
обоих осколков. Предположите, что эти оскол- Рис. 79.
ки равны по величине и заряду, обладают
сферической формой и почти соприкасаются друг с другом. Ра-
Радиус первоначального сферического ядра U238 равен 8,О10~~15 м.
Допустите также, что вещество ядра обладает постоянной плот-
плотностью.
714. Исходя из выражения потенциала точки поля диполя
V—— • —^—, определите величину радиальной составляю-
щей напряженности поля. При каких значениях угла 9 состав-
составляющая ?г = 0?
715. Может ли проводящий шар радиусом 10 см удержать
заряд 4-10~6 к от пробоя в воздухе? Электрическая прочность
воздуха при нормальном атмосферном давлении равна 3-Ю6 в/м.
716. Счетчик Гейгера представляет собой полый металличе-
металлический цилиндр диаметром 2 см, вдоль оси которого протянута
проволока толщиной 0,013 см. Если к цилиндру и к проволоке
приложена разность потенциалов 850 в, то какова напряжен-
напряженность поля у поверхности проволоки и цилиндра?
717. Расположите три точечных заряда на конечных расстоя-
расстояниях друг от друга так, чтобы электрическая потенциальная
энергия системы равнялась нулю.
718. а) Какую разность потенциалов должен был бы пройти
электрон, чтобы согласно ньютоновской механике он приобрел
скорость v, равную скорости света с?
б) Механика Ньютона отказывается служить, когда и-^с.
Поэтому, пользуясь правильным релятивистским выражением
кинетической энергии
1
вместо ньютонова равенства W =— mv2 , определите действи-
действительную скорость, приобретенную им при прохождении разности
потенциалов, вычисленной в пункте а. Выразите эту скорость
в долях скорости света.
7 Заказ 710 97
719. Две изолированные концентрические сферические обо-
оболочки из проводящего материала с радиусами R\ и /?2 несут на
себе заряды, соответственно равные <7i и q2. Выведите аналити-
аналитическое выражение для напряженности Е(г) и потенциала V(r),
где г — расстояние от общего центра сфер. Приведите график
зависимости Е(г) и V(r) в пределах 0^л=^4,0 м, если
7?, = 0,50 м, /?2=1,0 м, <?i = +2,0-10-6 к и q2 = + 1,0-10~6 к.
720. а) Какой величины заряд требуется, чтобы сообщить
изолированному металлическому шару радиусом 1,0 м потенци-
потенциал 1,0-106 в? Повторите тот же расчет для шара радиусом 0,1 см.
б) Почему для электростатического генератора применен
шар больших размеров, тогда как тот же потенциал может быть
сообщен с помощью меньшего заряда меньшему шару?
КОНДЕНСАТОРЫ И ДИЭЛЕКТРИКИ
721. Конденсатор емкостью 100 пф заряжается до разности
потенциалов 50 в. После этого зарядная батарея отключается,
а заряженный конденсатор присоединяется параллельно к дру-
другому конденсатору. Если измеренная ранее разность потенциа-
потенциалов падает после присоединения до 35 в, то какова емкость вто-„
рого конденсатора?
722. Если разрешить написанную в системе МКСА формулу
емкости плоского конденсатора С =
tas
относительно диэлект-
диэлектрической проницаемости вакуума ео, то единицей ее измерения
окажется ф/м. С другой стороны, в курсах электричества дока-
доказывается, что единицей емкости в той же системе может быть
k2jh-m2. Докажите эквивалентность обеих единиц емкости.
723. На рисунке 80 изображены два конденсатора, соединен-
соединенные последовательно, причем жесткая средняя часть системы
длиной о может перемещаться по вертикали. Покажите, что ем-
Рис 80
Рлс 81.
98
кость С системы последовательно соединенных конденсаторов не
зависит от положения средней части и выражается равенством
_ о
Ь— а '
724. На рисунке 81 изображен конденсатор того же типа,
который применяется при настройке радиоприемников. Обкладки
одного знака соединены в одну группу и неподвижны, обкладки
другого знака соединены в другую ipynny и могут вращаться.
Рассмотрите стопу из п обкладок с поочередной сменой поляр-
полярности, причем площадь каждой обкладки равна S, а расстояние
между смежными обкладками d. Покажите, что максимальная
„ (п — l)sns
емкость такого конденсатора равна С= ——-р-2— .
725. Определите емкость системы конденсаторов, изображен-
изображенной на рисунке 82, положив C*i = 10 мкф, С2 = 5 мкф, С3 = 4 мкф,
и ДУ=100 в.
726. В конденсаторе С3 (рис. 82) произошел пробой. Что из-
изменится в конденсаторе Сх в отношении его заряда и разности
потенциалов на его обкладках?
727. Найдите общую ем-
емкость системы конденсаторов,
изображенной на рисунке 83,
между точками х и у. Положи-
ПоложиРис. 82.
Рис. 83.
те С2= 10 мкф, емкость же каждого из остальных конденсаторов
одинакова и равна 4,0 мкф.
728. Пусть в вашем распоряжении имеется несколько конден-
конденсаторов с одинаковыми емкостями по 2 мкф, причем каждый из
них может выдержать 200 в напряжения без пробоя. Как соеди-
соединить их о систему с общей емкостью 0,40 мкф? 1,2 мкф? В обо-
обоих случаях система должна выдерживать без пробоя напряжение
в 1000 в?
729. Плоский конденсатор заполнен двумя диэлектриками,
как показано на рисунке 84. Покажите, что его емкость равна
С =-~г- -Ц—2- Проверьте эту формулу для всех предельных слу-
случаев, какие можете себе представить. Нельзя ли рассматривать
эту систему как два параллельно соединенных конденсатора?
7* 99
730. Плоский конденсатор заполнен двумя диэлектриками,
как показано на рисунке 85. Покажите, что емкость конденсато-
ра равна С = ~°d ¦ ¦ ' 2?—. Проверьте эту формулу для всех
предельных случаев, какие можете себе представить. Нельзя
Рис 84
Рис. 85.
ли рассматривать эту систему как два конденсатора, соединен-
соединенных последовательно.
731. Пластина из диэлектрика толщиной Ь вдвинута между
обкладками плоского конденсатора с расстоянием между ними,
равным d. Покажите, что емкость такого конденсатора
ed— fe(e— 1) '
Дает ли эта формула приемлемые результаты в частных слу-
случаях, когда Ь — 0, е=1 и b = d?
732. Чтобы изготовить конденсатор, в ваше распоряжение
даны две медные пластинки, листок слюды толщиной 0,10 мм и
диэлектрической проницаемостью 8i = 6, стеклянная пластинка
толщиной в 2,0 мм с ег = 7 и пластинка парафина толщиной в
1,0 см и ез = 2. Какие пластинки выберете вы для получения наи-
наибольшей емкости?
733. Диэлектрическая проницаемость жесткой резины 2,8, а
ее электрическая прочность 18-Ю6 в/м. Если употребить ее в ка-
качестве материала для диэлектрика в плоском конденсаторе, то
какова должна быть минимальная площадь обкладок, чтобы ем-
емкость равнялась 7,0-10~2 мкф и чтобы сам конденсатор выдержи-
выдерживал без пробоя разность потенциалов в 4000 в?
734. Радиусы оболочек цилиндрического конденсатора рав-
равны г и ^>г. Покажите, что половина запасенной электрической
энергии заключается внутри цилиндра, радиус которо-
которого д,=угя7
735. Изолированный металлический шар диаметром 10 см
заряжен до потенциала 8000 в. Какова плотность энергии у по-
поверхности шара?
736. Плоский конденсатор заряжается от батареи, которая
затем отключается, и между обкладками вдвигается пластинка
100
из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е. Дайте ка-
качественное описание тех изменений, которые произойдут с заря-
зарядом q конденсатора, с его емкостью С, разностью потенциалов
U на обкладках, напряженностью электрического поля Е в ди-
диэлектрике и с запасенной энергией W.
737. Шастинка из диэлектрика вдвигается между обкладка-
обкладками конденсатора, пока он еще присоединен к батарее. Дайте ка-
качественное описание того, что произойдет при этом с зарядом
конденсатора, с его емкостью, разностью потенциалов, напря-
напряженностью электрического поля и с запасенной энергией. Тре-
Требуется ли для вдвигания пластинки совершение работы?
738. Два одинаковых конденсатора соединены последователь-
последовательно и подключены к батарее элементов. Между обкладками одно-
одного из конденсаторов вдвигается пластинка из диэлектрика.
Дайте качественное описание того, что произойдет с зарядом,
емкостью, разностью потенциалов и с запасенной энергией у
каждого конденсатора в отдельности.
739. Покажите, что обкладки плоского конденсатора притя-
притягиваются друг к другу с силой F = v,9 . Получите этот ре-
зультат путем вычисления работы, потребной для увеличения
расстояния между обкладками от х до x+dx.
740. Пусть в конденсаторе площадь каждой обкладки
S== 100 см2, расстояние между ними d=l,0 см, толщина пластин-
пластинки диэлектрика 6=0,50 см и ее проницаемость е = 7,0. Напря-
Напряжение между обкладками 100 в. Какой процент энергии запа-
запасается в воздушном зазоре и в пластинке диэлектрика?
741. Заряд q распределен равномерно по поверхности перво-
первоначально незаряженного мыльного пузыря радиусом Ro. Благо-
Благодаря взаимному отталкиванию частей заряженной поверхности
ее радиус увеличился до несколько большей величины R. Пока-
Покажите, что
q = [-®- *hopRoR (R* + R0R
2
j
где р — атмосферное давление. Вычислите q для /7=1,00 атм,
#0 = 2,00 еж и # = 2,10 см.
Указание Согласно закону сохранения энергии работа, производимая
мыльным пузырем при его противодавлении на атмосферу, должна равняться
уменьшению энергии, запасенной в электрическом поле, что сопровождается
расширением объема пузыря.
ПОСТОЯННЫЙ ТОК И СОПРОТИВЛЕНИЕ
742. Ток входит в один угол квадратного листа меди и выхо-
выходит из противоположного. Нарисуйте приблизительную картину
линий тока внутри квадрата, чтобы они могли дать представле-
101
ние об относительных значениях плотности тока. Пользуйтесь
больше интуитивными догадками, чем детальным математиче-
математическим анализом.
743. Транспортная лента электростатического генератора
шириной 50 см, движущаяся со скоростью 30 м/сек, переносит
заряд на шар со скоростью Ю-4 а/сек. Вычислите поверхност-
поверхностную плотность заряда на ленте.
744. Требуется сделать длинный цилиндрический проводник,
для удельного сопротивления р которого температурный коэф-
коэффициент а при 20°С был бы близок к нулю. Пусть такой провод-
проводник составляется из последовательно следующих друг за другом
железных и угольных дисков. Каким должно быть отношение
между толщиной дисков в предположении, что температура обо-
обоих дисков остается по существу одной и той же?
Каково отношение между скоростями рассеяния джоулева
тепла угольным и железным дисками? Примите для 0°С
PFe = 8,7-10"8 ом-м, рс = 4-10-5 ом-м; oc-Fe = 6-10-3 град~\ <хс =
= —0,8-10 град-К
745. При нагревании металлического стержня меняется не
только его электрическое сопротивление, но также дгаина и пло-
площадь поперечного сечения. Соотношение /? = р-=- показывает, что,
измеряя удельное сопротивление при различных температурах,
нужно принимать во внимание все 3 фактора. Каково изменение в
процентном отношении величин при нагревании на 1 град медно-
медного проводника? Какое заключение можете вы сделать отсюда?
Коэффициент линейного расширения меди 1,7-10~5 град"'1.
746. Малый, но все же измеримый ток 10~10 а протекает по
медной проволоке диаметром 2,5 мм. Вычислите скорость посту-
поступательного движения электронов в проводнике. (Число свобод-
свободных электронов в 1 см3 проводника можно принять по порядку
равным 1023).
747. Для электрических проводов различных размеров и
типов утверждены определенные нормы безопасности нагрузки.
Так, для медного провода диаметром 2,5 мм с резиновой изоля-
изоляцией максимально допустимый ток равен 25 а. Найдите его
плотность, напряженность электрического поля, разность потен-
потенциалов на концах провода длиной 305 м и величину джоулева
тепла, рассеиваемого таким проводом в единицу времени.
748. Нагревательный прибор мощностью 500 вт рассчитан на
работу при напряжении 115 в.
а) На сколько процентов упадет отдача тепла прибором, ес-
если напряжение на линии понизится до ПО в? Допустите, что
изменений в сопротивлении при этом не происходит.
б) Если изменение сопротивления с температурой принимать
во внимание, то окажется ли падение отдачи тепла прибором
больше или меньше величины, вычисленной в пункте а?
102
749. Покажите, что мощность Р, приходящаяся на единицу
объема и превращающаяся в джоулево тепло на сопротивлении,
может быть выражена равенствами Р =у'2р = . Здесь j —
плотность тока, р — удельное сопротивление и Е — напряжен-
напряженность электрического поля.
750. Дейтронный луч, выходящий из циклотрона с энергией
16 Мэв, падает на медный брусок. Луч этот эквивалентен току
в 15-10~б а. С какой скоростью ударяют в брусок дейтроны?
С какой скоростью нагревается брусок?
ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
751. Пусть э. д. с. изображенного на рисунке 86 источника
тока равна 2,0 в и его внутреннее сопротивление г= 100 ом.
Изобразите на одном графике кривые зависимости тока i и на-
напряжения U на сопротивление R как функ-
функции R в приделах от 0 до 500 ом. Получи-
Получите кривую зависимости произведения Ш
от R. Каков физический смысл последней
кривой?
752. Пользуясь рисунком 86, покажите,
что мощность Р, выделяемая на сопроти-
сопротивлении R в форме джоулева тепла, макси-
максимальна, когда R = r. Покажите, что Рмак<; =
= _—, где <§ — э. д. с. источника.
753. В проводнике с сопротивлением 0,10 ом, который под-
подключен к источнику с э. д. с. 1,5 в, должно выделяться ежесе-
ежесекундно 10 вт джоулева тепла. Каково внутреннее сопротивление
источника? Какова разность потенциалов на концах проводника?
754. Вычислите разность потенциалов между точками end
в схеме, изображенной на рисунке 87, используя для этого все
возможные способы. Примите <§i=4,0 в, <§2=1,0 в, Ri = R2 =
= 10 ом, /?з = 5,0 ом.
755. Каково эквивалентное сопротивление сложной цепи,
изображенной на рисунке 88. Какие токи текут по каждому со-
— \А Ь
Рис. 86.
•' f
Рис. 87.
Рис. 88.
103
противлению? Положите Ri — 100 ом, #2 = -/?з = 50 ом, /?4 = 75 ом
и 6=6,0 в.
756. В схеме на рисунке 89 амперметр установлен в контуре,
содержащем сопротивление R^. Что покажет амперметр, если
б =5,0 в, Ri = 2,0 ом, R2 = A,0 ом, R3 = 6,0 ом? Пусть амперметр
и источник э.д.с. поменяли местами. Покажите, что показание
амперметра iA останется прежним. Такая взаимность в соотно-
соотношении между iA и g сохраняется в любой цепи, содержащей
только один источник з.д.с.
757. Два источника тока с одинаковыми э.д.с. Q и внутрен-
внутренними сопротивлениями г соединены параллельно с внешним со-
сопротивлением R (рис. 90). а) При каком значении R (в долях г)
выделяемая на нем мощность Р максимальна? Чему будет рав-
равна эта мощность?
758. Два проводника с сопротивлениями Ri и R2, соединяе-
соединяемые то последовательно, то параллельно, подключаются к ис-
Рис. 89.
Рис. 90.
точнику тока с э.д.с. <§, внутреннее сопротивление которого лре-
небрегаемо мало. Требуется, чтобы количество джоулева тепла
при параллельном соединении R\ и R2 было в 5 раз больше, чем
при последовательном. Если /?i = 100 ом, то чему должно рав-
равняться #2?
759. Четыре нагревательные катушки, рассчитанные на 100 вт
каждая, могут соединяться различными способами и включать-
включаться под напряжением 100 в. Какие количества рассеиваемого
ежесекундно тепла могут быть получены?
760. Найдите токи, текущие по каждому сопротивлению
(рис. 91), а также напряжение между
точками а и Ь. Положите <g i = 6,0 в,
<§2=5,0 в, <§3 = 4,0 в, #i = 100 ом, #2 =
= 50 ом.
761. Даны два источника тока с оди-
одинаковыми э.д.с. (§ и внутренними сопро-
сопротивлениями г. Они могут быть соедине-
соединены последовательно с сопротивлением R
или включены параллельно ему, как по
Рис. 91. казано на рисунке 90. Выведите выра-
404
жения для тока, текущего по этому сопротивлению при обоих
способах соединения. Какое из них даст больший ток если-
a) R>r и б) Я<г?
762. Для управления током в цепи применяются два реоста-
реостата с подвижным контактом, соединенные параллельно, причем
полное сопротивление реостата i?i = 20 R2 (рис. 92). Какие ма-
манипуляции надо проделать, чтобы отрегулировать ток требуемой
Рис. 92.
Рис. 93.
величины? Почему параллельное соединение двух таких реоста-
реостатов лучше, чем применение одного?
763. Допустите, что в схеме на рисунке 93 <§=5,0 в, г =
= 2,0 ом, /?i = 5,0 ом, 7?2 = 4,0 ом. Если сопротивление ампермет-
амперметра /?а = 0,10 ом, то какая ошибка в процентах получится при
измерении тока, считая сопротивление вольтметра очень боль-
большим?
764. В схеме (рис. 93) примите, что <§=5,0 в, г =2,0 ом,
R{ — 50 ом, /?2 = 40 ом. Если сопротивление вольтметра
?Jv=1000 ом, то какая ошибка делается в отсчете разности по-
потенциалов на концах сопротивления Ri? Сопротивлением ампер-
амперметра пренебречь.
765. Сколько времени должно протечь, пока заряд конден-
конденсатора в контуре RC не станет отличаться на 1% от заряда, со-
соответствующего равновесному состоянию контура?
766. На схеме (рис. 94) токи i\, i2, i3 текут соответственно по
R R R U U U
(
сопротивлениям R
R 2, Rz; кроме того, [/,, U2, U3 — разности
потенциалов на концах сопротивлений
с теми же индексами и Uc — напря-
напряжение на обкладках конденсатора С.
а) Изобразите на графике качест-
качественную картину изменения во време-
времени токов и напряжений с момента за-
замыкания ключа К.
б) Допустим, что по прошествии
достаточно большого времени ключ К
снова размыкается. Изобразите на
графике качественную картину изменения во времени токов и
напряжений с момента размыкания ключа.
Рис. 94.
105
767. Реостат на 3,0-106 ом и конденсатор на 1,0 мкф соеди-
соединены в одном простом контуре с э.д.с. <§ =4,0 в. Каковы будут
через одну секунду после замыкания цепи заряд на обкладках
конденсатора, запасенная в конденсаторе энергия, джоулево те-
тепло, рассеянное на сопротивлении
энергия, доставляемая э.д.с. источ-
источника?
768. Докажите, что когда ключ К
на схеме (рис. 95) перекидывается
из точки а в точку Ъ, то вся энер-
энергия, запасенная в конденсаторе,
Рис. 95. превращается в джоулево тепло,
выделяющееся на сопротивлении R.
Допустите, что до момента перекидывания ключа конденсатор
был заряжен полностью.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
769. Электроны, летящие в телевизионной трубке, обладают
энергией 12 кэв. Трубка ориентирована так, что электроны дви-
движутся горизонтально с юга на север. Вертикальный компонент
земного магнитного поля направлен вниз, и его индукция В =
= 5,5- Ю-5 вб/м2.
В каком направлении будет отклоняться электронный луч?
Каково ускорение каждого электрона? На сколько отклонится
луч, пролетев 20 см внутри телевизионной трубки?
770. В одном из ядерных экспериментов протон с энергией
1,0 Мэв движется в однородном магнитном поле по круговой
траектории. Какой энергией должны обладать альфа-частица и
дейтрон, чтобы они могли двигаться по той же круговой орбите?
771. Проволока АВ длиной 60 см и массой 10 г подвешена к
паре гибких проводов и находится в магнитном поле с индукци-
индукцией 0,4 вб/м2 (рис. 96). Какова вели-
величина и направление тока, необходи-
необходимого для уничтожения натяжения
в поддерживающих гибких прово-
проводах?
772. Выразите магнитную про-
проницаемость, магнитную индукцию
и магнитный поток через основные
величины, т. е. через массу М, дли-
длину L, время Т и заряд Q.
773. Металлический стержень
массы m скользит без трения по
двум рельсам, расположенным на
Рис. 96. расстоянии d друг от друга
106
У///////////////////////////////////
X
X
X
ХА
X
X
X
X
X
X
X
X
X
х С
X Г
X ^
X
X
X
X
X X X X X
60 см
(рис. 97). Горизонтальная рельсовая колея лежит в вертикаль-
вертикальном однородном магнитном поле с индукцией В. Постоянный
ток / от генератора течет сперва по одному рельсу, потом по
металлическому стержню и возвращается по другому рельсу.
Найдите вектор скорости стержня в функции времени, полагая,
что в момент / = 0 стержень покоился.
774. Провод П-образной формы, массы т и длиной / погру-
погружен своими концами в ртуть (рис. 98) и находится в однород-
однородном магнитном поле с индукцией В. Если через провод прохо-
проходит импульс тока или заряд q=jidt, то провод подпрыгивает
кверху. Зная высоту h, которой достигает провод, вычислите ве-
величину заряда (или импульса тока), полагая, что время проте-
Рис 97.
Рис. 98.
кания импульса весьма мало по сравнению с временем движе-
движения провода. Используйте тот факт, что импульс силы \ Fdt =
= Amv. Попытайтесь связать между собой j idt и\ Fdt. Заряд q
вычислите по данным: ? = 0,1 вб/м2, т=10 г, / = 20 см, Л = 3 см.
11Ъ. По медному стержню весом 0,14 кГ, лежащему поперек
двух рельсов, расположенных в 0,3 м друг от друга, проходит
ток 50 а от одного рельса к другому. Коэффициент трения
скольжения стержня по рельсам 0,60. Какова минимальная ве-
величина магнитного поля, которое может вызвать скольжение
стержня, и каково направление поля?
776. На рисунке 99 изображена произвольной формы прово-
проволока с током, текущим между точками а и Ь. Проволока лежит
в плоскости, перпендикулярной к однородному магнитному полю
с индукцией В. Докажите, что сила, действующая на такую про-
проволоку, будет та же, что и на прямую проволоку при том же
токе, текущем от а к Ь.
Указание. Замените произвольной формы проволоку другой, состо-
состоящей из ряда ступенек параллельных и перпендикулярных к прямой, со-
соединяющей точки а и Ъ.
777. Дана проволока с 20 витками в форме прямоугольников
со сторонами 10x5 см2 (рис. 100). С одного конца проволока
закреплена. Каковы величина и направление момента силы,
действующего на витки с током 0,10 а, если плоскость каждого
107
X
X
Рис. 99.
Рис. 100.
витка наклонена под углом 30° к однородному магнитному полю
с индукцией 0,50 вб/м2?
778. Пусть проволока длиной L, по которой течет ток i, свер-
свернута в катушку. Покажите, что при заданном внешнем магнит-
магнитном поле вращающий момент будет максимален, когда катушка
имеет лишь один виток, и выражение этого момента будет иметь
вид: х = —т— L^iB .
779. На рисунке 101 изображен деревянный цилиндр массой
т = 0,25 кг, радиусом R и длиной / = 0,1 м. Вдоль цилиндра на-
навито N=10 витков проволоки так, что плоскость каждого витка
проходит через ось цилиндра. Какой наименьший ток через вит-
витки проволоки сможет воспрепятствовать тому, чтобы цилиндр
скатывался вниз по плоскости, наклоненной к горизонтали под
углом 0, если магнитное поле с индукцией 0,5 вб/м2 направлено
по вертикали, а плоскость обмотки параллельна наклонной плос-
плоскости.
780. На рисунке 102 изображена медная полоска высотой h
и шириной а. Направление тока в полоске показано крестиками
(т. е. ток течет вдоль полоски от наблюдателя). Однородное ма-
магнитное поле с индукцией В направлено под прямым углом к
полюске.
X
X
X
X
а
X
X
X
X
-с
Рис. 101.
Рис. 102.
1*8
а) Вычислите скорость поступательного движения электронов
в проводнике.
б) Каковы величина и направление магнитной силы F,
действующей на электроны?
в) Каковы должны быть величина и направление однород-
однородного электрического поля Е, чтобы оно уравновесило действие
магнитного поля?
г) Какова разность потенциалов, которую нужно приложить
к двум сторонам проводника, чтобы создать поле Е? К каким
именно сторонам проводника должна быть приложена эта раз-
разность потенциалов?
д) Если никакого постороннего поля к проводнику не прило-
приложено, то электроны будут несколько отталкиваться в одну сто-
сторону и, таким образом, будут увеличивать однородное электри-
электрическое поле Ей направленное поперек проводника, до тех пор,
пока силы этого электрического поля не уравновесят действия
магнитных сил F. Каковы величина и направление поля ?]?
Примите, что число электронов проводимости в единице объ-
объема проводника «=1,Ы029 м~3, высота полоски /г = 0,02 м, ее
ширина а = 0,1 см, ток t = 50 а, магнитная индукция 5 = 2 вб/м2.
781. Покажите, что отношение электрического пол<я Холла
?н к полю Е, соответствующего текущему по проводнику току,
равно:
Дн _ В
Е пе? '
(Здесь р — удельное сопротивление проводника, остальные обо-
обозначения расшифрованы в предыдущей задаче.) Каков угол
.между полями Ев. и ??
782. Протон, дейтрон и альфа-частица, ускоренные прохож-
прохождением некоторой разности потенциалов, влетают в область од-
однородного магнитного по|Л|Я с вектором магнитной индукции В,
перпендикулярным движению частиц.
Сравните между собой кинетические энергии протона Wv,
дейтрона WD и альфа-частицы №а • Если радиус круговой тра-
траектории протона Rp = \0 см, то каковы радиусы траекторий дейт-
дейтрона и альфа-частицы?
783. Альфа-частица движется по круговому пути радиуса
0,45 м в магнитном поле с индукцией 6 = 1,2 вб/м2. Вычислите
скорость частицы, период ее обращения по окружности, ее кине-
кинетическую энергию, разность потенциалов, которая должна уско-
ускорить частицу до этого значения энергии.
784. Из отрицательно заряженной пластины конденсатора,
освещаемой светом определенной длины волны, вылетают с нич-
ничтожно малюй скоростью и в различных направлениях электроны
(фотоэлектрический эффект). Расстояние между пластинами
конденсатора d, разность потенциалов между ними U. Покажите,
109
что ни один из электронов не достигнет положительной пласти-
пластины, если под прямым углом к электрическому полю конденсато-
конденсатора расположено магнитное поле с индукцией
2Um \—
В>
ей*
где т и е — соответственно масса и заряд электрона.
785. Покажите, что радиус кривизны траектории заряженной
частицы, движущейся нормально к направлению магнитного по-
поля, пропорционален ее количеству движения.
786. Каковы должны быть величина и направление минималь-
минимального магнитного поля у экватора, чтобы протон, двигавшийся
со скоростью 1,0-107 м/сек, мог описывать круговую траекторию
вокруг Земли?
787. Позитрон с энергией в 2 кэв влетает в однородное маг-
магнитное поле с индукцией В = 10 вб/м2, причем вектор его ско-
скорости составляет угол 89° с вектором В. Убедитесь, что траекто-
траекторией позитрона будет винтовая линия с осью, совпадающей по>
направлению с В. Найдите период Т, шаг винта s и радиус вин-
винта г.
788. Гаудсмит разработал метод точного измерения масс тя-
тяжелых ионов, измеряя период их обращения по кругу в извест-
известном магнитном поле. Однократно ионизированный атом йода де-
делает 7 оборотов в магнитном поле с индукцией 4,5-10~2 вб/м2'
приблизительно за" 1,29-10~3 сек. Какова его масса? В действи-
действительности измерения массы ионов производятся с гораздо боль-
большей точностью, чем ее дают приведенные данные.
789. На рисунке 103 изображено
устройство, применявшееся Дэмсте-
ром для измерения массы ионов. Ион
массы М с зарядом +q получается
обычно в состоянии покоя в камере S»
где происходит газовый разряд. Затем
этот ион ускоряется разностью потен-
потенциалов U и пропускается в область
магнитного поля с индукцией В.
рис юз В этом поле ион описывает полуок-
полуокружность и ударяется о фотопластин-
фотопластинку на расстоянии х от входной щели, где это соударение и фик-
фиксах2
сируется. Покажите, что М — —^у—' •
790. Согласно теории водородного атома Бора электрон дви-
движется вокруг протона по круговой орбите радиуса г. Пусть та-
такой атом помещен в магнитное поле, причем плоскость элект-
электронной орбиты перпендикулярна вектору В. Если наблюдатель
смотрит в направлении В и электрон представляется ему вра-
110
щающимся по часовой стреаке, то будет ли угловая частота
электрона увеличена или уменьшена? Как изменится частота
для электрона, вращающегося против часовой стрелки? Предпо-
Предположите, что радиус орбиты не меняется.
Указание. Центростремительная сила обязана своим происхождением
частью электрическому полю, а частью магнитному.
791. Покажите, что в условиях задачи 790 изменение часто-
частоты вращения электрона Д/, вызванное магнитным полем, при-
приблизительно равно:
\f i Ве
Такое смещение частот в действительности наблюдалось Зеема-
ном в 1896 г.
Указание. Имейте в виду, что влияние магнитного поля весьма мало
и что некоторые, но не все величины, определяющие В, могут быть с не-
небольшой погрешностью приравнены нулю.
792. Каково доджно быть отношение частот в начале цикла
ускорения и в конце его для синхроциклотрона, сообщающего
протону энергию в 400 Мэв. Такой протон приобретает скорость,
равную 0,70 скорости света.
793. Электрон с энергией 10 кэв, двигающийся по горизонта-
горизонтали, влетает в пространство, где имеется направленное верти-
вертикально вниз электрическое поле напряженностью 100 в/см. Ка-
Какой должна быть индукция магнитного поля, чтобы электрон мог
продолжать двигаться по горизонтали? Весьма малыми, грави-
гравитационными садами можно пренебречь.
ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА
794. Медный провод диаметром 2,5 мм без изоляции может
выдержать без перегрева ток 50 а. Какова магнитная индукция
В у поверхности провода при таком токе?
795. Топограф пользовался компасом в б ж под линией эле-
электропередачи, по которой идет постоянный ток 100 а. Сильно
ли отразится это на показаниях компаса? Горизонтальная сос-
составляющая земного магнитного поля Яо около 0,2 гс.
796. По длинному прямому проводу течет ток 50 а. Электрон,
летевший со скоростью 107 м/сек, в некоторый момент времени
находился в 5 см от провода. Какая сила действует на электрон,
если его скорость направлена к проводу, параллельно проводу,
под прямым углом к предыдущим направлениям?
797. Проводник состоит из бесчисленного множества примы-
примыкающих друг к другу изолированных и бесконечно длинных про-
проводов, по каждому из которых течет ток г". Покажите, что линии
магнитной индукции будут идти так, как изображено на рисунке
111
104 и во всех точках перед слоем, обра-
образованным токами, индукция В будет
выражаться равенством:
Рис. 104. 2
где п — число проводов на единице
длины проводника. Ответьте на оба вопроса, прибегая непосред-
непосредственно к закону полного тока и рассматривая задачу как пре-
предельный случай соотношения/? = "^"' где ^ — расстояние тока
до исследуемой точки магнитного поля.
798. На рисунке 105 изображен полый
цилиндрический проводник с радиусами по-
поперечного сечения R и г. Текущий по про-
проводу ток i равномерно распределен по его
поперечному сечению.
а) Покажите, что магнитное поле В для
точек, лежащих в толще проводника, опре-
определяется равенством:
Рис 105.
5 =
где Г\ —расстояние от оси цилиндра до ис-
исследуемой точки. Проверьте эту формулу для предельного
случая г = 0.
б) Постройте приближенный график зависимости В(г\) в
пределах О^п^оо.
799. По длинному медному проводу течет ток 10 а. Вычисли-
Вычислите магнитный поток, приходящийся на 1 м длины провода, через
плоскую поверхность внутри провода,
как показано на рисунке 106.
800. В двух длинных параллель-
параллельных проводниках, диаметр каждого из
которых 2,5 мм, токи по 10 а направле-
направлены противоположно.
а) Вычислите магнитный поток на
1 м длины провода в пространстве
между осями проводов, отстоящими
друг от друга на 2,0 см.
б) Какая доля потока приходится
на пространство внутри проводов?
в) Повторите вычисления для токов одного направления.
801. По длинному тонкому проводу, погруженному в одно-
однородное внешнее магнитное поле с индукцией 50 гс, течет ток
100 а. Найдите точки, в которых результирующее поле В = 0,
Рис. 106.
112
если провод расположен под прямым углом к внешнему магнит-
магнитному полю.
802. Два длинных проводника с равными и антипараллель-
антипараллельными токами i расположены на расстоянии d друг от друга
(рис. 107). Покажите, что магнитная индукция В в точке Р,
разноудаленной от проводов, равна:
В = 2{X°id
803. Четыре медных провода, диаметром 2,5 мм каждый, идут
параллельно друг другу, причем их поперечные сечения обра-
образуют квадрат со стороной 20 см (рис. 108). По каждому прово-
1-0
Рис. 107.
ду течет ток 20 а в направлении, показанном на рисунке. Ка-
Каковы будут величина и направление вектора В в центре ква-
квадрата?
804. На рисунке 109 изображен длинный
провод с током в 30 а, а по прямоугольной рам-
рамке течет ток 20 а. Вычислите результирующую
силу, действующую на рамку, если а= 1,0 еж
6 = 8,0 см и / = 30 см.
805. По квадратной проволочной рамке со
стороной а течет ток i.
а) Покажите, что магнитная индукция В
на оси рамки в точке, отстоящей на расстоя-
расстоянии х от центра, равна:
о
l. Ь
Рис. 109.
г>
-f- а2
A)
б) Каково будет равенство A) для точки в центре рамки?
в) Будет ли квадратная рамка вести себя как диполь для
точек х»а? Если да, то чему равен момент диполя?
806. По отрезку прямой проволоки длины / течет ток i. Пока-
Покажите, что магнитная индукция В на перпендикуляре, восстав-
8 Заказ 170 ЦЗ
я
ленном из середины отрезка, в точке, от-
отстоящей от негона расстоянии Я (рис.110),
выражается равенством:
(/a + 4/?*) 2
i ' Даст ли это выражение ожидаемый резуль-
результат при /->-оо?
Рис. ПО. 807. Проволока в форме правильного
многоугольника с п сторонами окружена
примыкающей к нему окружностью радиуса г. Если ток, теку-
текущий по проволоке, равен i, то покажите, что магнитная индук-
индукция в центре окружности
Покажите также, что при п->-оо полученное равенство переходит
в выражение В для кругового тока.
808. Две катушки с одинаковым радиусом поперечного сече-
сечения R, по 300 витков каждая, находятся друг от друга на рас-
расстоянии, равном R. Начертите график зависимости В(х), где
х — расстояние, отсчитываемое по общей оси катушек. Пусть
jc = O в точке Р (рис. Ill), R = 5,0 см, i = 50 а и пределы для
Рис. 112,
х=±5 см. Такие катушки дают поле, особенно близкое к одно-
однородному вблизи точки Р.
809. Пусть в задаче 808 расстояние между катушками — ве-
величина переменная, равная z. Покажите, что при z = R не только
dB Л d^B sx f~\ гг г-% *>
-г- --U, но и -т-j- =0. это говорит об однородности поля В вбли-
вблизи точки Р при z=R.
810. Вычислите магнитную индукцию В в точке Р (рис. 112)
при токе /=10 а и стороне квадратной рамки а = 8,0 см.
811. Диск радиуса R из пластического материала имеет за-
заряд q, равномерно распределенный по его поверхности. Если
диск вращается с угловой частотой © вокруг своей оси, то дока-
114
жите, что магнитная индукция в центре диска а — „r '> а маг*
ал ">qR2
нитныи дипольныи момент диска М = —-. .
812. В ваше распоряжение предоставлен провод длины /, па
которому может идти ток i. Проводу можно придать форму ок-
окружности или квадрата. Какая из эгих форм даст наибольшее
значение магнитной индукции В в центре фигуры?
813. По медному витку в форме окружности радиусом 10 см
течет ток 15 а. С центром витка совпадает центр катушки ради-
радиуса 1,0 еж с 50 витками и с током 1а.
Какую магнитную индукцию создаст большой виток в своем
центре? Какой вращающий момент действует на катушку?
Допустите, что плоскости витка и катушки составляют друг
с другом прямой угол и что индукцию, созданную витком, можно
считать однородной во всем объеме, занимаемом катушкой.
ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ФАРАДЕЯ
814. Нормаль к круглому витку проволоки с диаметром 10 см
образует угол 30° с направлением однородного магнитного поля
5000 гс. Виток движется так, что его нормаль вращается вокруг
направления магнитного поля с постоянной скоростью
100 об/мин, причем угол1 в 30° остается неизменным. Чему равна
э. д. с, возникающая в витке?
815. Однородное магнитное поле с индукцией В перпендику-
перпендикулярно к плоскости медного кольца, имеющего диаметр 10 см и
толщину 2,6 мм. С какой скоростью должна изменяться во вре-
времени магнитная индукция В, чтобы индукционный ток в кольце
равнялся 10 а?
816. Однородное магнитное поле с индукцией В меняется по-
величине с постоянной скоростью —тг-. В вашем распоряжении-
имеется кусок меди массы т, из которого можно вытянуть про-
проволоку диаметром 2г, а из нее сделать кольцо радиуса R. Пока-
Покажите, что индуцированный в кольце ток не зависит от размеров.
проволоки или кольца и равен:
. _ т dB
1 47-.pt, " at '
где р — удельное сопротивление меди, б — плотность меди, а ли-
линии магнитной индукции перпендикулярны к плоскости кольца.
817. Медная проволока диаметром 1 мм и длиной 50 см со-
согнута в замкнутое кольцо, плоскость которого перпендикулярна
к однородному магнитному полю, возрастающему с постоянной
скоростью 100 гс/сек. С какой скоростью генерируется в кольце
джоулево тепло?
*" 115
818. Жесткий провод согнут в форме полуокружности радиу-
радиуса R и вращается с частотой / в однородном магнитном поле с
индукцией В (рис. 113). Какова амплитуда и частота индуциро-
индуцированного в проводе напряжения и тока, если внутреннее сопро-
сопротивление измерительного прибора М равно Rm, а сопротивление
прочей цепи пренебрегаемо мало?
819. На рисунке 114 изображен медный стержень, движущий-
движущийся со скоростью v параллельно длинному прямому проводу с
током i. Вычислите индуцированную в стержне э. д. с, положив
о = 5,0 м/сек, г =100 а, а = 1,0 см, 1 = 20 см.
820. На рисунке 115 изображен магнитный поток Ф через кон-
контур, перпендикулярный потоку. Поток направлен от наблюдате-
о
/ 1
-
1
Рис 114
Рис. 115
ля и изменяется по закону Ф = Ы2 + И+\, где Ф измеряется в
милливеберах, a t ъ секундах. Какова э. д. с. индукции в конту-
контуре через 2 сек? Каково направление индукционного тока в со-
сопротивлении R?
821. На рисунке 116 проводящий стержень АВ замыкает кон-
контакт между рельсами AD и ВС, отстоящими друг от друга на
50 см. Однородное магнитное поле с
индукцией 1,0 вб/м2 направлено
перпендикулярно плоскости черте-
чертежа. Полное и постоянное сопроти-
сопротивление цепи ABCD равно 0,4 ом.
а) Какова величина и направле-
направление э. д. с. индукции в стержне, ес-
если он движется влево со скоростью
8 м/сек?
б) Какой величины сила требу-
требуется для того, чтобы сохранить дви-
движение стержня?
в) Сравните величину механической работы А, произведен-
произведенной силой F с ростом количества теплоты Q рассеиваемого
в цепи.
С)
"а
X
X
X
А
X
X
X
в
X
X
X
X
X
X
X
5
X
X
X
X
X
(
0
с
Рис 116
116
822. Стержень квадратного сечения
длины I и массы т, обладающий элект-
электрическим сопротивлением R, скользит
без трения вниз по рельсам с пренебре-
гаемо малым сопротивлением (рис. 117).
Внизу рельсы соединены поперечным
металлическим бруском, лишенным со-
сопротивления. Плоскость рельсов соста-
составляет угол в с горизонталью, магнитное
поле с индукцией В направлено верти-
вертикально вверх.
а) Покажите, что стержень приобретает установившуюся
скорость
Рис 117
законом сохранении
_
V
Докажите, что такой результат совместим
энергии.
б) Какое изменение скорости произойдет (если только оно
произойдет) при условии, что В будет направлено вниз, а не
вверх?
823. Пусть поток магнитной индукции через изображенную
на рисунке 118 катушку с N витками
меняется от значения Ф\ до Ф2. Дока-
Докажите, что тогда заряд q, проходящий по
цепи с полным сопротивлением R, бу-
будет равен
N@2 — Ф\)
Рис. 118
824. На рисунке 119 изображено однородное поле с индукци-
индукцией В, ограниченное цилиндрическим объемом радиуса R. Индук-
Индукция В уменьшается по величине с постоянной скоростью
100 гс/сек. Какова величина и направление мгновенного ускоре-
ускорения, испытываемого электроном, помещенным в точках а, Ъ, с.
Рис 119
Рис 120.
117
(Принять У? = 5,0 см, расстояние точки а от центра окружности
равным 0,4/?, точки с — 0,5R, а точки b равным нулю.)
825. Однородное магнитное поле с индукцией В заполняет
объем цилиндра с радиусом R. Металлический стержень дли-
длиной / положен так, как показано на рисунке 120. Если индукция
В меняется со скоростью ,t ¦, то покажите, что э. д. с, порож-
порожденная изменением магнитного поля и действующая между кон-
концами стержня, равна
ч
\/т2
у R
826. Измерения максимальной магнитной индукции как функ-
функции радиуса одного из бетатронов дали следующие результаты:
г, см
0,0
10,2
63,2
73,2
75,2
77,3
В, гс
4000
9500
9500
5280
4510
4280
Г, СЧ
81,2
83,7
88,9
91,4
93,5
95,5
В, гс
4090
4000
3810
3720
3600
3400
Постройте график и покажите, что соотношение В = 2ВГ удов-
удовлетворяется при радиусе орбиты, равном г=84 см.
Указание. Примите во внимание равенство
и вычислите интеграл графически.
ИНДУКТИВНОСТЬ
827. Две катушки с коэффициентами индукции L\ и L2 соеди-
соединены последовательно и удалены друг от друга на большое рас-
расстояние. Покажите, что эквивалентная индуктивность L = L\ + L2.
Почему здесь существенна большая взаимная удаленность кату-
катушек?
828. Две катушки с индуктивностями L удалены на большое
расстояние друг от друга. Покажите, что при их параллельном
соединении эквивалентная индуктивность равна — .
829. По двум параллельным проводам, отстоящим друг от
друга на расстоянии d, текут равные, противоположно направ-
направленные токи. Покажите, что если пренебречь магнитным пото-
потоком внутри самих проводов, то индуктивность пары таких прово-
пь
дов длиной / равна L =-^-In-^, где г —радиус сечения про-
провода.
830. Длинный тонкий соленоид согнут в кольцевой тороид.
Покажите, что при достаточной длине и малом поперечном сече-
сечении соленоида формула индуктивности тороида переходит в
формулу для соленоида L — \ion2lS.
831. Ток в контуре LR достиг за 5,0 сек одной трети своего
установившегося значения. Чему равна постоянная времени?
832. Через сколько времени ток в контуре LR достигнет вели-
величины на 0,1 % меньшей своего установившегося значения?
833. Ключ К па схеме рисунка 121
перекидывается из положения Ъ в по-
ложение а. Покажите, что по прошест-
L
вии времени х —-к- вся энергия, пере-
перешедшая в джоулево тепло на сопроти-
сопротивлении, равна Q,\№W[W =^~), a
Рис. 121. энергия, запасенная в магнитном по-
поле,— 0.200U7. Покажите также, что
энергия равновесного состояния цепи, запасенная в магнитном
поле, равна 0,500W.
834. Покажите, что постоянная времени х может быть опре-
определена как время, требуемое для того, чтобы ток в контуре LR
достиг своей равновесной величины, ецли бы он продолжал рас-
расти со своей начальной скоростью. (Постоянная времени
L
-я- = -с — это время, в течение которого ток в цепи достигает
значения, равного—, т. е. около 37% своей конечной установив-
установившейся величины.)
835. К катушке с индуктивностью L = 50 мгн и с омическим
сопротивлением 180 ом мгновенно приложена разность потен-
потенциалов 50 в. Какова будет скорость возрастания тока через
0,001 сек?
836. Катушка с индуктивностью 2,0 гн и омическим сопротив-
сопротивлением 10 ом мгновенно присоединяется к батарее с э.д. с. 100 s
и пренебрегаемо малым внутренним сопротивлением. С какой
скоростью будет запасаться энергия в магнитном поле; какова
будет скорость рассеяния джоулева тепла и какова энергия, до-
доставляемая батареей через 0,1 сек после присоединения?
837. Ключ К на схеме рисунка 121 перекинут из точки а в
точку Ъ. Докажите, что с этого момента энергия, запасенная в
катушке индуктивности, проявляется в форме джоулева тепла,
рассеиваемого на сопротивлении.
838. По круглому витку провода радиусом 5,0 см течет ток
100 а. Какова плотность энергии в центре витка?
119
839. В модели водородного атома Бора электрон вращается
вокруг ядра по окружности радиуса 5,Ы0~п м с частотой
/=6,8-1015 об/сек. Чему равны индукция В магнитного поля в
центре орбиты, эквивалентный магнитный дипольный момент и
плотность магнитной энергии в центре орбиты вращающегося
электрона?
840. По длинному проводу течет ток i постоянной объемной
плотности. Покажите, что магнитная энергия, запасенная на еди-
единице длины провода, равна W'— '^- ¦ Заметьте, что от толщины
провода величина W не зависит.
841. У изображенного на рисунке 122 коаксиального кабеля
радиусы проводников Г] = 1,0 мм, г2 = 4,0 мм и г3 = 5,0 мм. По
внутреннему проводнику течет ток 10 а, а
по наружному течет ток той же величины,
но обратного направления. Вычислите и
сравните между собой магнитлые энергии,
приходящиеся на 1 м длины кабеля внутри
центрального проводника, в пространстве
между проводниками и внутри наружного
проводника.
842. Какова должна быть напряженность
Рис 122 однородного электрического поля, чтобы оно
обладало той же плотностью энергии, кото-
которую дает магнитное поле в 5000 гс?
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
843. Магнитный дипольный момент Земли равен 6,4-Ю21 а-м2.
а) Какой ток надо пропустить в витке провода, опоясываю-
опоясывающего Землю по магнитному экватору, чтобы осуществить такой
диполь?
б) Можно ли было бы использовать такое устройство, чтобы
уничтожить земной магнетизм в точках пространства, располо-
расположенных довольно высоко над земной поверхностью? А на поверх-
поверхности Земли?
844. Вычислите напряженность электрического псцля и маг-
о
нитную индукцию в точке, отстоящей на 1,0 А от протона вдоль
оси его спина. Магнитный момент протона равен 1,4-10~26 а-м2.
845. Кольцо Роулэнда, т. е. образец железа в форме торои-
тороида, сделано из ферромагнитного металла (|д, = 400). Кольцо это
круглого сечения, внутренний радиус кольца 5,0 см, а наружный
6,0 см, и на него навито 400 витков проволоки.
а) Какой ток должен установиться в витке, чтобы магнитная
индукция Во в центре тороида равнялась бы 2-10~4 вб/м2.
б) Вторичная обмотка вокруг тороида имеет 50 витков и со-
сопротивление 8,0 ом. Если для значения Во мы имеем для вторич-
120
яой обмотки В = 800В0, то какой величины заряд протечет через
вторичную обмотку, когда ток в витках тороида сменит свое на-
направление на обратное?
846. Дипольный момент атома железа равен 1,8-КН3 а-м2.
Пусть длина железной полоски 5 см, площадь поперечного сече-
сечения 1 см2 и дипольные моменты всех атомов установлены в од-
одном направлении.
а) Чему равен дипольный момент железной полоски?
б) Какой величины вращающий момент должен действо-
действовать на намагниченную полоску железа, чтобы удерживать ее
под прямым углом к внешнему магнитному полю в 15 000 гс?
847. Объясните явление диамагнетизма, основываясь на за-
законе индукции Фарадея. Например, какие индукционные эффек-
эффекты можно ожидать, когда магнитное поле (рис. 123) возрастает
от нуля до конечной величины В?
848. Допустим, что ядра (протоны) в 1 г воды могли бы быть
ориентированы параллельно одной прямой. Какой величины до-
Рис 123
стигща бы магнитная индукция в 5,0 см от образца вдоль оси
выравнивания ядер?
849. Величину удельного заряда электрона — можно изме-
измерить частотой обращения электронов fe в циклотроне при задан-
заданном магнитном поле и частотой прецессии fp протонов при том
же поле. Покажите справедливость соотношения:
IPLS m
Так как спиновый магнитный момент Ms и спиновый момент
количества движения Ls для протона нам известен весьма точ-
точно, то эксперимент доставляет в наше распоряжение наиболее
точное на сегодняшний день значение —— .
121
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
850. Катушка индуктивности соединена с конденсатором пе-
переменной емкости. Требуется, чтобы частота электромагнитных
колебаний в контуре LC была в линейной зависимости от угла
поворота а головки конденсатора в пределах от 0 до 180°, при-
причем частота должна меняться от 2-Ю5 до 4-Ю5 гц. Начертите гра-
график зависимости емкости С(а) при L=l,0 мгн.
851. Покажите, что колебательный контур с затуханием теря-
теряет половину своей энергии на джоулево тепло за время, соответ-
соответствующее 0,69т, где т — индуктивная постоянная времени.
852. Емкость колебательного контура С=1,0 мкф, а индук-
индуктивность L=10 мгн. Какое омическое сопротивление нужно
включить в цепь, чтобы уменьшить резонансную частоту неза-
незатухающих колебаний на 0,01%?
853. Амплитуда колебаний <?макс заряда в контуре LRC па-
падает до половины своего начального значения через п периодов.
Покажите, что относительное уменьшение резонансной частоты,
вызванное присутствием омического сопротивления в цепи, мо-
может с хорошим приближением выразиться равенством ™—— =
= ' 2 , не зависящим от параметров L, С, R. При решении за-
задачи воспользуйтесь декрементнои кривой (рис. 124).
854. Покажите, что доля
энергии
т
теряемой за
1 период колебаний в контуре
с затуханием, с хорошим при-
приближением задается равенст-
равенством:
АИ? __ 2kR _ 2к
W ~ <*L ~ Q '
где Q = —ъ— — добротность
контура.
855. В колебательном кон-
контуре L=l,0 гн, С = 20 мкф и
Рис. 124 У? = 20 ом. При какой частоте
приложенной э. д. с. будет
достигнут максимум резонанса? При каких частотах амплиту-
амплитуда колебаний будет равна половине резонансного значения?
856. Покажите, что полушарина резонансной кривой с хоро-
хорошим приближением выражается равенством
122
где со — резонансная частота и Да» — ширина резонансного пика
при / =-rj-г'макс- Из равенства следует, что контур с высокой доб-
добротностью Q = -^о—обладает острым резонансным пиком, т. е.
малым .
со
857. Покажите, что плотность тока смещения jD может быть
г dE
выражена равенством ]о = е0 ~1п~ '
858. Докажите, что ток смещения в плоском конденсаторе
может быть выражен равенством
С
dU
dt
859. Имеется конденсатор емкостью 1,0 мкф. Как можно по-
получить мгновенный ток смещения, равный 1,0 а, в пространстве
между обкладками конденсатора?
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
860. Пользуясь теоремой Гаусса, изобразите мгновенные зна-
значения зарядов, появляющихся на проводниках коаксиального ка-
кабеля, и покажите, что картина распределения этих зарядов со-
соответствует токам проводимости, изображенным горизонтальны-
горизонтальными стрелками на рисунке 125.
861. Докажите, что для любой точки электромагнитной волны
плотность энергии, запасенной в магнитном поле, равна плот-
плотности энергии, запасенной в электрическом поле.
862. Если коаксиальный кабель обладает омическим оопро-
Рис 125
\ '
1
4
/N, i
\
\
Рис. 126.
тивлением, то энергия для выделения джоулева тепла из полей
должна перетекать внутрь проводящих поверхностей. Как долж-
должны меняться при этом линии напряженности электрического по-
поля, изображенные на рисунке 126.
Указание. Вектор Пойнтинга вблизи проводящей поверхности должен
иметь составляющую, направленную к этой поверхности.
123
863. На рисунке 127 изображены 3 момента излучения дипо-
диполя. Добавьте к ним еще 5 рисунков для изображения последую-
последующих моментов. В эти рисунки нужно включить и линии магнит-
магнитной индукции.
Рис. 127
864. На рисунке 128 изображена длинная, свободная от оми-
омического сопротивления линия, передающая мощность от батареи
к активной нагрузке потребителя. На-
Направление постоянного тока указано
на схеме.
а) Изобразите качественную карти-
картину расположения электрических и
магнитных полей вокруг линии пере-
Рис, 128. дата.
б) Покажите, что, согласно воз-
воззрениям Пойнтинга, энергия передается от батареи к потребите-
потребителю через пространство, окружающее линию, а не через саму
линию.
Указание. Каждый проводник на линии является эквипотенциаль-
эквипотенциальной поверхностью, так как линия по предположению свободна от омического
сопротивления.
865. Дан куб со стороной а. Ребра куба параллельны осям
Ох и Оу прямоугольной системы координат. Электрическое по-
поле Е паралпельно оси Оу, а однородное магнитное поле парал-
параллельно оси Ох.
а) Каково значение потока энергии, при котором, согласно
точке зрения Пойнтинга, про нее можно сказать, что она прохо-
проходит через каждую грань куба?
б) Каково значение потока энергии, при котором энергия, за-
запасенная в кубе, меняется?
866. По медному проводу диаметром 2,5 мм с сопротивлени-
сопротивлением 1 ом на каждые 305 м течет ток 25 а. Вычислите векторы Е
и В, а также вектор 5 для точки на поверхности провода.
867. Солнечный свет падает на верхние слои земной атмо-
атмосферы с интенсивностью 2,0 кал/см2-мин. Вычислите для солнеч-
солнечного света амплитудные значения ?маКс Вмакс в предположе-
124
нии, что свет — это электромагнитная волна и векторы Е и В
перпендикулярны друг другу.
868. Амплитуда плоской радиоволны ?маКс=10~4 в/м. Вычис-
Вычислите амплитуду Вмакс 'И интенсивность волны, измеряемую век-
вектором S.
869. На рисунке 129 изображен проводник
цилиндрической формы длиной /, радиусом г.
с удельным сопротивлением р и током i.
а) Покажите, что вектор Пойнтинга S в
любой точке у поверхности проводника на- ^
правлен нормально к ней, как показано на ;~—-
рисунке.
б) Покажите, что значение Р, при котором
энергия втекает внутрь проводника через
его цилиндрическую 'Поверхность, вычисленное
путем интегрирования вектора
поверхность, равно скорости
джоулева тепла, т. е.
5 через эту
образования
Рис 120.
где dQ — элемент площади цилиндрической поверхности.
870. На рисунке 130 изображен заряженный плоский конден-
конденсатор.
а) Покажите, что вектор Пойнтинга направлен всюду ради-
ально внутрь цилиндрического объема конденсатора.
б) Покажите, что значение Р,
при котором энергия втекает в этот
объем, вычисленное путем интегри-
интегрирования вектора Пойнтинга по ци-
цилиндрической границе этого объема,
равно той величине, при которой
запасенная электростатическая
энергия увеличивается, т. е.
Рис 130
где
1
Gh — объем конденсатора, а
^ — плотность энергии во всех
точках внутри этого объема.
Указание. Чтобы найти вектор S, надо найти магнитное поле В,
возникшее благодаря току смещения в течение процесса зарядки конденсато-
конденсатора. Искажением электрического поля у краев конденсатора можно пренебречь.
125
ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА
ПРИРОДА СВЕТА И ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ
871. Как средство передвижения космического корабля в пре-
пределах солнечной системы было предложено использовать свето-
световое давление, для чего потребовался бы большой парус из алю-
алюминиевой фольги. Каковы должны быть размеры паруса для то-
того, чтобы отталкивательная сила световой радиации сравнялась
с силой солнечного притяжения. Допустим, что общая масса ко-
корабля и паруса /п=1460 кг, что поверхность паруса идеально
отражает лучи и ориентирована под прямым углом к солнечным
лучам. Масса Солнца М=1,97-1030 кг.
872. Докажите, что для плоской волны при ее нормальном
падении на плоскую поверхность световое давление равно плот-
плотности энергии, заключенной в световом пучке вне поверхности.
Докажите также, что это соотношение сохраняет силу вне зави-
зависимости от того, какая доля падающей энергии отражается от„
поверхности.
873. Докажите, что для потока пуль, ударяющих под прямым
углом в плоскую поверхность, «давление» равно удвоенной плот-
плотности кинетической энергии, заключенной в потоке. Допустите
при этом, что пули полностью «поглощаются» поверхностью, и
сравните результат с поведением света (см. задачу 872).
874. Допустим, что небольших размеров космический ко-
корабль, масса которою вместе с экипажем равна 1460 кг, зано-
заносится в пространство, где гравитационное поле отсутствует. Ес-
Если в пространство начинает испускаться прожекторный луч, из-
излучающий в пространство 104 вт, то какую скорость приобретет
корабль в течение первых суток в результате действия аилы ре-
реакции, связанной с импульсом, уносимым вместе со световым
лучом?
875. Чему равно световое давление на расстоянии 1 м от го-
горящей 500-ваттной электрической лампочки? Поверхность, на ко-
которую оказывает давление свет, обращена к электрической лам-
лампочке и полностью поглощает свет. Излучение света происходит
равномерно по всем направлениям.
876. Погрешность в определении расстояния от Земли до Лу-
Луны путем отражения от нее волн, посылаемых радаром, около
0,8 км. Принимая, что погрешность эта связана исключительно
с измерением протекшего времени, подсчитайте ошибку в изме-
измерении последнего.
877. Способ Ремера для измерения скорости света состоял в
наблюдении за кажущимся временем обращения одного из спут-
спутников Юпитера, в то время как истинный период обращения был
равен 42,5 ч.
126
а) Если принять во внимание конечность скорости распрост-
распространения света, то как изменилось бы кажущееся время обраще-
обращения спутника в результате прохождения Землей четверти своей
орбиты?
б) Какие наблюдения должны были быть выполнены, чтобы
вычислить скорость света? Орбитальным движением Юпитера
можно пренебречь.
878. Для определения скорости автомашин на шоссе была ис-
использована разность между длинами сантиметровых волн, посы-
посылаемых передатчиком и отраженных от приближающейся или
удаляющейся автомашины.
а) Покажите, что если о — скорость автомашины, af — час-
частота падающей на нее электромагнитной волны, то изменение
л .t2vf
частоты приближенно равно Д/ = , где с — скорость элект-
электромагнитного излучения.
б) Каково изменение частоты на 1 км/ч скорости автомаши-
автомашины для микроволн частоты 2450 Мгц}
879. Покажите, что для малых скоростей смещение Допплера
* * ДХ f
может быть приближенно выражено равенством -у- = —-— ,
где Д>, — изменение длины волны.
880. Период вращения Солнца вокруг оси, наблюдаемый по
солнечному экватору, равен 24,7 земных суток. Радиус Солнца
равен 7,0-108 м. Какой величины допплеровское смещение мож-
можно ожидать для характеристических длин волн в соседстве с
о
волной в 5000 А, испускаемой с края солнечного диска?
881. Искусственный спутник Земли, передающий радиосигна-
радиосигналы на частоте 40 Мгц, проходит прямо над приемной станцией,
будучи на высоте 400 км и двигаясь со скоростью 29 000 км/ч.
Начертите график зависимости от времени для частоты, относи-
относимой к эффекту Допплера, причем ^=0 есть момент, когда спут-
спутник находился прямо над приемной станцией.
Указание Скорость и. в формуле Допплера изображает не действи-
действительную скорость спутника, а лишь ее компоненту в направлении приемной
станции. Пользоваться надо нерелятивистской формулон, кривизной же по-
поверхности Земли и кривизной орбиты спутника можно пренебречь.
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
882. Концом палки проводят по воде со скоростью v, боль-
большей, чем скорость и распространения водяных волн. Применяя
построение Гюйгенса, покажите, что волновой фронт будет
иметь форму конуса, половинный угол раствора которого опре-
определяется из равенства sin -5-= —г • Такую же форму фронта да-
127
ет волна морского судна или ударная волна тела, движущегося
в воздухе со скоростью, превышающей скорость звука.
883. Изобразите на чертеже точный ход луча через призму
для случая его наименьшего отклонения. Пользуясь транспор-
транспортиром, покажите, что как при увеличении угли падения, так и
при его уменьшении угол отклонения возрастает.
884. Птолемей, живший в Александрии в конце I в. нашей
эры, дал следующие измеренные им значения угла падения 6i
и угла преломления 02 светового луча, входящего в воду из
воздуха:
01
10°
20°
30°
40°
е2
7°45'
15°30'
22°30'
29°0'
в!
50°
60°
70°
80°
в2
35°0'
40°30'
45°30'
50°0'
Совместимы ли приведенные данные с законом преломления
Снеллиуса? Если это так, то чему будет равен показатель пре-
преломления? Данные эти интересны как древнейшая запись физи-
физических измерений.
885. Докажите, что световой луч, падающий на поверхность
плоскопараллельной стеклянной пластинки толщиной d, выхо-
выходит с ее противоположной стороны, оставаясь параллельным
своему первоначальному направлению и только смещаясь в сто-
сторону. Покажите, что при малых углах падения в, измеренных
в радианах, смещение х определяется формулой:
,Qn— 1
х = dQ
п '
где п — показатель преломления вещества пластинки.
886. Точечный источник света расположен на глубине h под
поверхностью большого и глубокого озера.
а) Покажите, что доля световой энергии, непосредственно
ускользающей с водной поверхности, не зависит от величины h
и определяется равенством
где п — показатель преломления воды.
Указание. Можно пренебречь поглощением света в толще воды и
отражением от ее поверхности, за исключением полного внутреннего отра-
отражения.
б) Вычислите / для п=1,33.
128
887. На рисунке 131 изображена призма постоянного откло-
отклонения. Хотя призма сделана из одного куска стекла, все же она
эквивалентна сочетанию двух призм с углами 30, 60 и 90° и од-
одной призмы с углами 45, 45 и 90°. Покажите, что, если sin9i —-^ ,
то 62 = 81, и лучи, i и г, т. е. входящий в призму луч и выходя-
выходящий из нее, будут взаимно перпендикулярны. Это относится к
световому лучу любой дайны волны.
888. Капля жидкости помещена на плоской стороне полукруг-
полукруглой стеклянной пластинки (рис. 132). Покажите, как можно
определить показатель преломления жидкости п2 из наблюдений
полного внутреннего отражения. Показатель преломления стекла
Рис. 131.
Рис 132
«1 неизвестен и также подлежит определению. Будут ли в ка-
каком-либо смысле ограничены пределы значений показателей пре-
преломления, измеряемых в данных условиях?
889. Световой луч падает на стеклянную пластинку квадрат-
квадратного сечения, как показано на рисунке 133. Каков должен быть
показатель преломления стекла, если пол-
полное внутреннее отражение происходит у
вертикальной грани?
890. В центре стеклянного кубика имеет-
имеется маленькое пятнышко. Какие части гра-
граней кубика должны быть прикрыты для
того, чтобы изображение пятнышка не бы-
было видно независимо от направления луча
зрения. Пусть ребро кубика равно 1 см, а
показатель преломления стекла 1,50. Даль-
Дальнейшее поведение светового луча после
полного внутреннего отражения можно не
рассматривать. Какая доля поверхности
кубика будет прикрыта?
9
Рис 133.
Заказ !70
129
891. Докажите, что длины оптических путей при явлениях
отражения и преломления света оказываются кратчайшими, если
их сравнить с другими соседними путями, соединяющими те же
начальные и конечные точки.
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН
ПЛОСКИМИ И СФЕРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
892. Воспроизведите рисунок, изображающий параллельные
лучи, падающие на сферическое зеркадо, на большом листе бу-
бумаги и, пользуясь законом отражения, вычертите тщательно
отраженные лучи. Получите ли вы точечный фокус? Дайте по-
пояснение.
893. Заполните таблицу 1, каждый столбец которой относит-
относится к какому-либо типу сферического зеркала. Результаты про-
проверяйте графически. При отсутствии знаков плюс или минус
проставьте их, где требуется. Приняты обозначения: f — фокус-
фокусное расстояние, г — радиус кривизны, S' — расстояние до изо-
изображения, 5 — расстояние до предмета, т — поперечное увели-
увеличение.
894. Короткий предмет длиной / лежит на оси сферического
зеркала на расстоянии S от него.
а) Покажите, что изображение будет длиной /', причем
\2
б) Покажите, что продольное увеличение «г' = — = mz, где
т — поперечное увеличение.
в) Существует ли какое-нибудь условие, при котором изоб-
изображение, например, куба малых размеров останется кубом, если
дефектами сферического зеркала можно пренебречь.
895. На поверхности слоя четыреххлористого углерода
(п = 1,46) толщиной 4,0 см плавает слой воды (д2=1,33) толщи-
толщиной 2,0 см. На какой кажущейся глубине будет находиться дно
сосуда при нормальном падении луча зрения?
896. Заполните таблицу 2, каждый столбец которой относит-
относится к сферической поверхности, отделяющей друг от друга две
среды с различными показателями преломления (п\ и п2). (Обо-
(Обозначения те же, что и в задаче 893.)
897. Заполните таблицу 3, каждый столбец которой относится
к какому-либо типу тонких линз. При отсутствии знаков плюс
или минус поставьте их, где требуется.
130
Тип зеркала
f, см
г, см
S', см
S, см
т
Характер
изображения
а
Вогнутое
20
+10
6
-L20
+30
Т а
В
—40
— 10
блица 1
г
Выпуклое
+ 40
+4
S, см
S', см
г, см
Характер
изображения
а
1,0
1,5
+ 10
+30
б
1,0
. 1,5
-G00
+30
Та
в
1,5
1,0
10
-6
блица 2
1
1,5
1,0
4-70
+30
131
Тип линзы
/. см
гъ см
Г2, СМ
S', см
S, см
п
т
Характер изображения
Собира-
Собирающая
10
+ 20
Та
6
10
+5
>1
5 л и ц а 3
в
-гЗО
-зо
10
1,5
898. Определите положения обоих фокусов сферической пре-
преломляющей поверхности, разделяющей две среды с показателя-
показателями преломления «1 и п2.
899. Светящийся предмет и экран находятся друг от друга
на расстоянии D-
а) Покажите, что тонкая собирательная линза с фокусным
расстоянием / даст действительное изображение на экране при
двух положениях линзы, отстоящих друг от друга на расстоя-
расстоянии d ~VD{D —4/)
б) Покажите, что отношение размеров двух указанных выше
, „ , /D - d f
изображении равно к — \jf~~j) •
900. Формула тонкой линзы в гауссовой форме имеет вил/
_L , J L
у + s - / ¦
Другой вид формулы, принадлежащий Ньютону, получается при
рассмотрении расстояния х от объекта до первой фокальной точ-
132
ки и расстояния х' от второй фокальной точки до изображения.
Покажите, что
хх' = //' .
901. Вытянутой формы предмет расположен перед собира-
собирательной линзой на удвоенном фокусном расстоянии 2/ь С дру-
другой стороны линзы установлено собирательное сферическое зер-
зеркало с фокусным расстоянием /г, отстоящее от линзы на рас-
расстоянии 2(/i+/2).
Определите положение, характер и относительные размеры
изображения в системе. Вычертите соответствующую диаграмму
лучей.
902. Предмет расположен в центре кривизны двояковогнутой
линзы, оба радиуса кривизны которой Ri и R2 по абсолютной
величине одинаковы. Каковы знаки этих радиусов? Найдите по-
положение изображения Sr, выразив его через радиус кривизны и
показатель преломления п стекла. Определите характер изобра-
изображения. Подтвердите ваши результаты диаграммой лучей.
903. Предмет находится в 20 см слева от линзы с фокусным
расстоянием +10 см. Вторая линза с фокусным расстоянием
+ 12,5 см расположена в 30 см справа от первой.
Рассматривая изображение, даваемое первой линзой как
предмет для второй, найдите положение и относительные раз-
размеры изображения, даваемого системой линз. Проверьте ваши
заключения, вычертив в некотором масштабе систему линз и ди-
диаграмму лучей. Опишите изображение, даваемое системой линз.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
904. Рассчитайте устройство с двумя ща-цями, которое давало
бы на удаленном экране интерференционные полосы на рассто-
расстоянии Г друг от друга. Свет натриевый, монохроматический
(^=5890 А).
905. Монохроматический свет натрия с длиной волны 5890 А
падает на две щели, отстоящие друг от друга на расстоянии
d=2,0 мм. Расстояние D от щелей до экрана равно 4 см. Какова
будет относительная ошибка по сравнению с результатами рас-
расчета местоположения h десятой светлой полосы на экране, ког-
когда не делают допущения, что D^>d?
906. На рисунке 134 Si и S2 изобража-
ют два точечных источника излучения эле-
электромагнитных волн, возбуждаемых одним у*'-
и тем же осциллятором. Источники эти ко- ^
герентны и синфазны. Расположенные
4 м один от другого, они излучают равные ' ^ '
количества энергии в форме электромагнит-
электромагнитных ВОЛН ДЛИНОЙ 1 М рис 134
133
а) Найдите местоположения первого (т. е. ближайшего к ис-
источникам), второго и третьего максимумов воспринимаемых де-
детектором сигналов, если детектор движется по направлению Ох.
б) Будет ли интенсивность сигнала в
месте его ближайшего минимума рав-
равняться нулю? Дайте аргументированный
ответ.
907. Покажите, что полушарина Ав
интерференционного максимума (см.
стрелки на рис. 135), получаемого от
двущелевого устройства, определяется
равенством Ав — -я-т- , если в достаточ-
достаточно мало, чтобы считать sin0~6.
908. Сложите графически с применением векторного метода
колебания, задаваемые уравнениями:
t/i = lOsiiW ,
ул= 5sin(urf—45°) .
909. Ширина полосы частот у стандартного телевизионного
канала равна 4-Ю6 гц. Допустим, что оказалось возможным пе-
передавать телевизионные сигналы в видимой части электромаг-
электромагнитного спектра, использовав, например, лазерную технику. То-
Тогда, сколько таких стандартных каналов разместится в видимой
части спектра, если его границы положить равными 7000 и
4000 А?
910. Белый свет, падающий нормально на мыльную пленку
(«=1,33) и отраженный от нее, дает в видимом спектре интер-
ференционный максимум па волне длиной 6300 А и соседний
минимум на волне 4500 А. Какова толщина пленки, если считать
ее постоянной?
911. Плоская верна монохроматического света падает нор-
нормально на тонкую пленку масла постоянной толщины, покрыва-
покрывающую стеклянную пластинку. Длина волны источника может ме-
меняться непрерывно. Полное отсутствие отраженного света на-
О
блюдается только на волнах 5000 и 7000 А. Какова толщина
масляной пленки, если показатель преломления масла 1,30, а
стекла 1,50?
912. В одно из плеч интерферометра Майкельсона была вста-
вставлена тонкая пленка из вещества с показателем преломления
п = 1,40 и освещена монохроматическим светом длины волны
о
5890 А. Какова толщина пленки, если она вызвала смещение
семи интерференционных полос?
134
913. В качестве источника света для интерферометра Май-
кельсона применяется разрядная трубка, содержащая натрий.
Желтая линия натрия состоит из двух компонентов: 5890 и
о
5896 А. При перемещении зеркала, установленного против глаза
наблюдателя, 'имело место периодическое исчезновение и появ-
появление вновь интерференционной картины.
Объясните это явление. Вычислите изменение разности хода
лучей между двумя последовательными появлениями интерфе-
интерференционной картины.
ДИФРАКЦИЯ
914. Единичная щель освещается светом, содержащим две
такие длины волны, что первый дифракционный минимум ка со-
совпадает со вторым минимумом для кь. Какое соотношение су-
существует между величинами этих длин волн? Совпадают ли ми-
минимумы других порядковых номеров т для ка и Яь?
915. а) Покажите, что значения углов, при которых получа-
получаются максимумы / интенсивности света, дифрагированного на
одной щели, можно определить, дифференцируя уравнение
til Sim \2 rj.
/е = /макс i ) по а и приравнивая производную нулю. 1огда
получится tga~a.
б) Найдите графически значения а, удовлетворяющие най-
найденному соотношению, вычертив кривую r/ = tga и найдя точки
ее пересечения с прямой у = а.
в) Найдите дробные значения величины т, соответствую-
соответствующие последовательным максимумам в картине дифракции света
от одной щели. Заметьте, что вторичные максимумы не лежат
в точности посредине между минимумами.
916. Для обнаружения подводных лодок пользуются установ-
установленным под водой источником ультразвука в виде круглой диа-
диафрагмы 0,60 м в диаметре, колеблющейся с частотой 25 000 гц.
Вдалеке от источника распределение интенсивности звуковых
еолн дает картину дифракции Фраунгофера от круглого отвер-
отверстия, диаметр которого равен диаметру диафрагмы. Приняв ско-
скорость звука в воде равной 1450 м/сек, найдите угол между нор-
нормалью к диафрагме и направлением на первый дифракционный
минимум.
Повторите вычисления для источника звука слышимой час-
частоты в 1000 гц.
917. Две фары приближающегося автомобиля расположены
на расстоянии 1,2 м друг от друга. На каком расстоянии глаз
наблюдателя сможет воспринять их по отдельности? Примите
диаметр зрачка равным 5,0 мм и длину волны, равной 5500 А.
Допустите также, что это расстояние определяется только диф-
дифракционными эффектами на круглой апертуре зрачка.
135
918. а) Сколь мало может быть угловое расстояние между
двумя звездами, если их изображения едва разрешаются реф- "
рактором обсерватории в Питсбурге? Диаметр объектива реф-
рефрактора 76 см, а фокусное расстояние 14 м. Длину световой вол-
О
ны примите равной 5000 А.
б) Определите расстояние между этими разрешимыми на
пределе звездами, если каждая из них удалена от Земли на 10
световых лет.
в) В отношении изображения отдельной звезды, видимой в
телескоп, найдите диаметр первого темного дифракционного
кольца. Допустите, что структура изображения связана исклю-
исключительно с дифракцией на апертуре объектива, а не с его малы-
малыми аберрациями.
919. Постройте, ограничиваясь качественной стороной, век-
векторную диаграмму интенсивностей, подобную диаграмме для
двущелевого интерференционного устройства.
rt Для простоты положите период решетки d
равным удвоенной ширине щели (d = 2a)
(рис. 136). Можете ли вы объяснить таким
путем главные черты распределения интенсив-
интенсивностей света в дифракционной картине?
920. Если на рисунке 136 положить d = a,
то две щели срастутся в одну шириной 2а.
Рис. 136. Покажите, что в этом случае уравнение /е =
"= ^MaKc(cos?J( S'"a ) приведет к картине диф-
дифракции от одной щели шириной 2а.
921. Рассчитайте двущелевую систему, где четвертая дифрак-
дифракционная полоса пропадает и не входит в центральный максимум.
Какие еще полосы, если таковые найдутся, также пропадут?
922. Сколько интерференционных полос уложится в централь-
центральной дифракционной огибающей при d=2a (рис. 136).
ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ И СПЕКТРЫ
923. Дана дифракционная решетка с 4000 штрихов на 1 см.
Сколько полных (не перекрывающихся даже частично) спектров
может дать такая решетка, если границами длин вода падаю-
О
щего света будут 4000 и 7000 А?
924. Получите приведенное ниже выражение для распределе-
распределения интенсивностей дифракционных полос у решетки с 3 щеля-
щелями:
7« = -д- А ак-с И + 4cos-f + 4cos2cp),
где ? = i^!°e .
136
925. а) Покажите, что полуширина полос в картине дифрак-
дифракции от трех щелей приближенно равна А 6^ 3 2. , где угол ди-
дифракции 9 достаточно мал, чтобы считать sine~0, a d означает
период решетки.
б) Сравните полученное в предыдущем пункте равенство с
соответствующим выражением для дифракции от 2 щелей (см.
задачу 907).
в) Подтверждают ли полученные результаты заключение, что
при фиксированной ширине решетки интерференционные макси-
максимумы становятся тем острее, чем больше число щелей.
926. Пользуясь решением задачи 924, покажите что «решет-
«решетка» с 3 щелями имеет только один вторичный максимум. Найдите
его положение и относительную интенсивность.
927. Решетка, рассчитанная на применение ее в инфракрас-
инфракрасной области электромагнитного спектра, характерна тем, что
вся интенсивность дифракционных подо с концентрируется здесь
о
в спектре 1-го порядка (т=1) на длине волны 80 000 А. Если
О
же такую решетку освещать видимым светом D000—7000 А), п-
какой внешний вид будут иметь дифрагированные пучки (т. е.
где будут концентрироваться наиболее интенсивные пучки раз-
различной цветности).
928. Дифракционная решетка имеет л = 2000 штрихов/сж, при-
причем полоса большой интенсивности наблюдается под углом
6 = 30°. Какими длинами волн может обладать падающий на
решетку свет? Как узнать действительную длину волны?
929. Допустим, что пределами видимого спектра произвольно
выбраны длины волн 4300 и 6800 А. Рассчитайте решетку, для
которой угловые размеры спектра 1-го порядка равны 20°.
930. Решетка, имеющая 3200 штрихов/сж, освещается нор-
нормально падающим белым светом. Спектр получается на экране,
отстоящем на 30 см от решетки. В экране вырезано квадратное
отверстие со стороной 1,0 см, причем внутренний край квадрата
отстоит на 5,0 см от центрального максимума. Каков диапазон
длин волн, проходящих через отверстие в экране?
931. Пусть свет падает на дифракцион-
дифракционную решетку под углом if», как это видно на
рисунке 137. Покажите, что условием глаз-
глазных дифракционных максимумов будет ра-
равенство (sini|]—s'm®)d = m'K, где 6 — угол
дифракции.
932. Покажите, что если щели одинако-
одинаковой ширины у решетки сделаны поочередно
пропускающими и не пропускающими свет,
то все спектры четных порядков (за исклю-
чением нулевого, т = 0), отсутствуют. Рис. 137.
137
933. Решетка с прозрачными щелями (не отражательная) и
с периодом d=l,5O10-4 см освещается монохроматическим све-
о
том длины волны А, = 6000 А при различных углах падения.
Представьте на графике угловые расстояния главного дифрак-
дифракционного максимума 1-го порядка как функцию угла падения
света в пределах от 0 до 90°.
934. Выведите выражение Двт = yvdcose— гдеА®т— угло-
угловое расстояние между главным максимумом вт порядка т и
смежным минимумом, d — период решетки к N — число штрихов.
935. Расстояние между смежными щелями трехщелевой «ре-
«решетки» равно d. Станет ли полуширина максимума интенсив-
интенсивности больше или меньше, если среднюю щель закрыть?
936. Решетка имеет 40 000 штрихов на ее полной ширине в
7,6 см. Какова будет ожидаемая дисперсия D для натриевого
о
света (X = 5890 А) в спектрах первых трех порядков? Какова
разрешающая способность решетки в этих порядках?
937. Покажите, что дисперсия решетки может быть выражена
равенством:
D= tge
l
где в — угол дифракции.
938. Решетка шириной 6,0 см содержит 6000 штрихов/сж. Ка-
Каков минимальный интервал между длинами волн, который мо-
о
жет быть разрешен в 3-м порядке, если длина волны 5000 А. Мо-
Может ли быть улучшена разрешающая способность решетки для
данной длины волны? Если да, то каким образом?
939. Свет длины волны 6000 А падает нормально на дифрак-
дифракционную решетку. Два смежных главных максимума имеют ме-
место при sin6 = 0,2 и sinG = 0,3. Спектр 4-го порядка отсутствует.
а) Чему равно расстояние между смежными щелями?
б) Какова наименьшая из возможных ширина отдельной щели?
в) Перечислите все порядки линий, фактически присутствую-
присутствующих на экране при значениях, найденных в пунктах а и б.
940. Допустим, что падающий на кристалл пучок рентгенов-
рентгеновских лучей (рис. 138) не монохроматичен, но содержит длины
волн в диапазоне от 0,95 до 1,30 А. Возникнут ли дифрагирован-
дифрагированные пучки, связанные с изображенными на
чертеже плоскостями? Расстояние между
атомными плоскостями примите равными
ао = 2,75 А.
941. Монохроматические рентгеновы лу-
о
чи длины волны Я=1,20 А падают на кри-
кристалл хлористого натрия, образуя сколь-
138
Рис.
#
138.
а
зящий угол в 45°. На какие углы нужно повернуть кристалл,
чтобы образовался дифрагированный пучок лучей, связанный с
плоскостями, показанными на рисунке 138? Пусть кристалл по-
повертывается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости черте
жа. Возможностью, что интенсивность некоторых из этих пуч-
пучков будет равна нулю, можно пренебречь.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
942. Естественный свет падает на две положенные одна на
другую поляризационные пластинки. Каков должен быть угол
между характеристическими направлениями пластинок, если ин-
интенсивность пропущенного света равна 7з максимальной интен-
интенсивности падающего света? Допустите, что поляризационная
пластинка идеальна, т. е. она уменьшает интенсивность естест-
естественного света ровно на 50%.
943. Пучок лучей естественного света падает на стопу из п
поляризационных пластинок так, что характеристическое направ-
направление каждой из них повернуто на 30° по часовой стрелке отно-
относительно направления предыдущей пластинки. Какая доля ин-
интенсивности падающего света пройдет через пластинки?
944. Опишите состояние поляризации, описанное системой
следующих уравнений:
Ех = Esin{kz — i»t), Ey = Ecos(kz — wt); (а)
Ex = Ecos(kz — iot), Ey = Ecos(kz — wt -f -^-) ; F)
-«)/) . (в)
945. Узкий пучок естественного света падает на кристалл ис-
исландского шпага, вырезанного паралрельно оптической оси С,
как показано на рисунке 139.
а) Вычислите расстояние между двумя выходящими из крис-
кристалла лучами х и у, если толщина
кристалла 1 см, а угол падения „
луча в = 45°. ч/>
б) Какой из лучей будет обык-
обыкновенным о и какой необыкновен-
необыкновенным е?
в) Как направлены плоскости
колебаний каждого выходящего из
кристалла луча?
г) Что произойдет, если поля-
поляризатор повернуть вокруг норма-
нормали, определяющей угол падения
луча? рнс 139.
139
946. Из исландского шпата вырезана призма так, что опти-
оптическая ось параллельна нижней грани призмы. Как применить
эту призму для измерения показателей преломления известкового
шпата?
947. Покажите, что для параллельного пучка лучей света,
поляризованного по кругу, момент количества движения L, от-
отнесенный к единице объема, удовлетворяет равенству L =-^г .
где Р — мощность, приходящаяся на единицу площади сечения
пучка.
948. Пусть параллельный пучок лучей света поляризованно-
поляризованного по кругу, с мощностью 100 вт был поглощен телом. С какой
скоростью момент количества движения передавался телу? Если
последнее представляет собой диск диаметром 5 мм и массой
10~2 г, то через сколько времени его угловая скорость достигнет
1 об/сек в предположении, что диск может вращаться вокруг
своей оси. Длину волны примите равной 5000 А.
СВЕТ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
949. Температура в полости излучателя равна 6000°К. В стон-
ке излучателя просверлено круглое отверстие диаметром
0,10 мм. Сколько фотонов в границах длин волн от 5500 до
о
5510 А смогут проникнуть через это отверстие за 1 сек?
950. В полости, стенки которой сохраняют температуру
4000°К, сделано круглое отверстие диаметром 5 мм. С какой
скоростью будет улетучиваться через это отверстие энергия ви-
видимого спектра, т. е. энергия в границах длин волн от 0,40
до 0,70 мкм} Какую долю полной радиации составит эта ве-
величина? Решение найдите аналитическим или графическим
путем.
951. Падению скольких фотонов за 1 мин на 1 см2 поверхнос-
поверхности соответствует солнечная постоянная, равная 1,9 кал/см2-мин.
О
Среднюю длину волны принять равной 5500 А.
952. Работа выхода электрона с чистой поверхности лития
равна 2,3 эв. Сделайте примерный график зависимости задер-
задерживающего потенциала как функции частоты света, падающего
на поверхность лития.
953. Предположите, что мишенью служит единичный атом
О
радиуса 1,0 А, а мощность источника 10~5 вт. Если энергия свя-
связи с атомом для наиболее слабосвязанного электрона равна
20 эв, то сколько времени потребуется для осуществления фото-
фотоэффекта с точки зрения волновой теории света, если расстояние
от его источника до атома 5 м.
954. 100-ваттная лампочка, наполненная парами натрия, из-
излучает свет равномерно по всем направлениям. Какова средняя
140
плотность фотонов на расстоянии 2 м от лампочки, если излуча-
О
емый свет монохроматический с длиной волны 5890 А? На каком
расстоянии от лампочки средняя плотность фотонов рав-
равна 10 см~г.
955. Пользуясь релятивистской механикой, покажите путем
анализа столкновения фотона со свободным электроном, что фо-
фотон не может передать электрону всю свою энергию. Другими
словами, для вполне свободных электронов фотоэффект не мо-
может иметь места — электроны должны быть связаны с твердым
телом или с атомом.
956. Вычислите в процентах изменение энергии фотона в яв-
явлении Комптона при угле рассеяния 90° в области микроволн
о
(л = 3,0 см); в видимой области (^ = 5000 А); в области рентге-
о
новых лучей (Я=1,00А); в области \-лучей, когда энергия
¦у-фотонов равна 1,0 Мэв. Каковы будут ваши заключения о важ-
важности эффекта Комптона в этих областях электромагнитного
спектра, если пользоваться единственным критерием потери энер-
энергии при единичном комптоновском столкновении.
957. Пользуясь представлениями Бора о невозбужденном со-
состоянии атома водорода, определите: квантовое число, радиус
орбиты, момент количества движения электрона, его количество
движения, упдовую скорость, линейную скорость, силу, действу-
действующую на электрон, ускорение электрона, его кинетическую, по-
потенциальную и полную энергии.
958. Атом водорода, находившийся в состоянии, характери-
характеризуемом значением энергии связи 0,85 эв, переходит в состояние,
характеризуемое энергией возбуждения 10,2 эв.
Определите энергию излученного фотона. Покажите переход
на диаграмме энергетических уровней, назвав соответствующие
квантовые числа.
959. Покажите на диаграмме энергетических уровней атома
водорода квантовые числа, соответствующие переходу, при кото-
о
ром излучается волна длиной 1216 А.
960 Приложите теорию Бора к мюонному атому, состоящему
из ядра с зарядом Ze, вокруг которого вращается отрицательно
заряженный мюон. Это частица с элементарным зарядом, рав-
равным —е и с массой т, в 207 раз бцл|ьшей массы электрона. Вы-
Вычислите: радиус 1-й боровокой орбиты, энергию ионизации и
длину волны фотона максимальной энергии, который может
быть испущен. Примите, что мюон вращается вокруг водород-
водородного ядра (Z= 1).
961. Если считать, что момент количества движения L Земли
вокруг Солнца квантован по теории Бора, то чему будет здесь
равняться квантовое число я? Можно ли обнаружить такую
квантуемость, если бы она существовала?
141
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
962. Пуля массой 40 г летит со скоростью 1000 м/сек. Како-
Какова длина волны де Бройля? Почему волновая природа пули не
проявляется в дифракционных явлениях?
963. Какую длину волны де Бройля надо сопоставить пучку
нейтронов с энергией 0,025 эв?
964. Электронный ускоритель на 50 Бэв, строящийся в Стэн-
форде, даст пучок электронов столь малой длины волны, что
она окажется пригодной для зондирования тонких деталей ядер-
ядерной структуры при опытах с рассеянием электронов. Какова
длина этой волны и как она относится к средним размерам
ядра?
Указание При таких энергиях необходимо пользоваться уже точ-
точным, релятивистским соотношением между импульсом и энергией. Аналоги i-
ное соотношение применяется и для света; оно оправдывается во всех слу-
случаях, когда кинетическая энергия частицы много больше ее энергии покоя,
как это имеет место и в рассматриваемом случае
965. а) При каких углах в в опыте Дэвнссона и Джермера
могут наблюдаться дифрагированные пучки 2-го и 3-го поряд-
порядков, соответствующие точному максимуму, изображенному на
рисунке 32?
б) При каком угле наблюдается дифрагированный пучок
1-го порядка, если ускоряющий потенциал меняется от 54
до 60 в?
966. Начертите графики зависимости длины волны де Бройпя
от кинетической энергии для электронов и протонов. Определи-
Определите область тех значений энергии, для которых законы классиче-
классической механики выполняются достаточно хорошо. Удобным кри-
критерием здесь может служить то, что максимум кинетической
энергии на каждом графике составляет около 5% от энергии по-
покоя для каждой отдельной частицы. (Принять постоянную атом-
атомной решетки, равной 3 А.)
967. Дано, что неопределенность местонахождения электрона
о
оценивается в 0,5 А, что равно радиусу 1-й боровской орбиты
в атоме водорода. Какова неопределенность импульса элект-
электрона?
968. Покажите, что если неопределенность в месте нахо-
нахождения частицы равна длине соответствующей волны де Бро-
Бройля, то неопределенность в скорости частицы равна самой ско-
скорости.
969. Верхний предел разрешающей способности микроскопа
ограничивается лишь длиной падающей волны. Это означает,
что наименьшая различимая деталь приблизительно равна дли-
142
не этой волны. Предположим, что кто-нибудь пожелал бы про-
о
никнуть взором внутрь атома. Пусть диаметр последнего 1,0 А
О
и требуется разрешить деталь длиной около ОД А. Какова долж-
должна быть минимальная энергия электронов, если применяется
электронный микроскоп?
970. Для определения местоположения электрона в атоме в
о
пределах 0,1 А применен фотонный микроскоп. Какова будет не-
неопределенность в импульсе электрона, координаты которого
фиксируются указанным образом?
ОТВЕТЫ
1. Третья характеристика эталона — это его воспроизводимость. Таким
качеством обладают, в сущности, только природные эталоны длины и времени.
Что касается масс элементарных частиц, то прямых методов их измерения не
существует, поэтому не приходится говорить и об их эталонах.
2. Для этого достаточно посмотреть на часы. Примем для простоты часо-
/ l/~ GM \
вой маятник за математический I Т = 2п I/ —-; g = —т™— I • Тогда если
радиус земного шара R вместе с маятником длины / укоротился вдвое, то
новый период качания уменьшится в 2}'2 раз. Будут спешить также и все пру-
пружинные часы. По несоответствию между видимым движением Солнца и пока-
показаниями часов можно сразу судить о несообразности высказанного утверж-
утверждения.
3. Самым неизменным из трех основных эталонов — длины, массы и вре-
времени — является атомный эталон времени. Однако даже кадмиевые часы, ко-
которые в работе, казалось бы, должны быть абсолютно неизменными, подвер-
подвержены действию гравитационных полей н испытывают на себе влияние их из-
изменений. Правда, изменения частоты микрочасов находятся далеко за
пределами всякой регистрируемой нами погрешности, но все-таки теоретически
она существует, и говорить об абсолютно постоянном эталоне не приходится.
4. При изменении длины отрезка масштабной линейкой приходится указы-
указывать температуру, при которой производятся измерения, потому что этого
требует закон линейного расширения тел при нагревании. На выборе длины в
качестве основной величины при построении системы измерения такая функци-
функциональная зависимость не отразится, как не отражается на построении системы
МКГСС выбор силы как основной величины, несмотря на то, что при наибо-
наиболее удобном (весовом) методе ее измерения сила является функцией коорди-
координат местности.
5. По своим размерам и средствам измерения международный эталон ки-
килограмма можно считать достаточно доступным. Неизменность этого эталона
обеспечивается полной гарантией против коррозии, так как он изготовлен из
сплава платины и иридия, а его сохранность от механических повреждений
предусмотрена полностью.
Воспроизводимость эталона практически обеспечена достаточно точным
знанием разности между массой международного эталона килограмма и мас-
массой 1 дм* дистиллированной воды при 4°С.
Цилиндрическая форма эталона массы, по которому воспроизводятся его
повторные экземпляры, достаточно проста, чтобы получить дубликат, отлича-
отличающийся от прототипа всего лишь на 0,03—0,04 мг при точности измерений до
±0,002 мг.
144
Атомный эталон массы, т. е. масса электрона, протона или нейтрона, пре-
превосходит международный эталон массы в отношении неизменности и точности
его воспроизводимости.
6. 1) Радиус земного шара может быть определен по результатам триан-
триангуляционного измерения дуги меридиана.
2) Расстояние до Солнца L может быть измерено по его параллаксу ц> и
радиусу земного шара г, причем L = • ' .
Если известны средний радиус Земли г, угловой радиус Солнца р и сол-
солнечный параллакс (т. е. разница между направлением на центр Солнца из
точки земной поверхности и из центра Земли) я, то истинный радиус Солнца
7. Если под эталоном времени Т подразумевать период, потребный для
выполнения некоторого числа v равномерно повторяющихся событий, то обе
величины будут связаны соотношением Г——, где v — число событий, повто-
повторяющихся за единицу времени, т. е. принятая за эталонную частота. Например,
если число v оборотов Земли вокруг оси за эталонное время обращения во-
вокруг Солнца, т. е Г=1 год, составляет 365,25 сут, то эталонная частота обо-
1 1 _1 , 1
рогов v = -у = —ggg 25 ' сУт > т- е- за * сУт протекает 365 25*"" час| ь
года.
8. Основное требование, предъявляемое к хорошим часам, — это постоян-
постоянство их хода. В этом отношении пружинные часы уступают маятниковым.
В хороших часах потери энергии на трение малы, благодаря чему колебания
маятника почти не отличаются от гармонических, а частота их почти в точ-
точности совпадает с частотой собственных колебаний маятника. Этим и обеспе-
обеспечивается постоянство хода часов. Для достижения максимальной равномер-
равномерности хода астрономические часы помещают в условия, предохраняющие и\
от малейших механических сотрясений, а также от изменения температуры и
влажности. Самое же главное — это изучение вариаций хода часов путем ре-
регулярной сверки их показаний с результатами более точных астрономических
наблюдений Чем меньше вариации хода, тем лучше часы. Рекордно точными
являются атомные (или молекулярные) часы.
9. Три регулярно повторяющихся астрономических явления были приняты
за эталон времени. Это — суточное вращение Земли вокруг оси, месячный
оборот Луны вокруг Земли и годичное обращение Земли вокруг Солнца. Кро-
Кроме того, существует еще атомный эталон времени Что касается рациональ-
рациональности выбора одного из этих движений в качестве эталона времени, то
здесь в основу приходится класть одну из двух трудно совместных оценок
выбора: практическое удобство и точность.
Среди макроскопических эталонов времени наименее удобным для состав-
составления календаря оказался лунный эталон. К пользованию в общественной и
государственной жизни приняты два других астрономических эталона време-
времени как наиболее рациональные.
10. Допустим, что секундный маятник перенесен с Земли на спутник Си-
Сириуса, т. е. на белый карлик, где напряженность силы тяжести в 30 тысяч раз
больше земной. Тогда маятник делал бы там за 1 секунду 140 колебаний
вместо одного Кроме того, часы, перенесшие транспортировку, потребуют син-
синхронизации, что может быть весьма затруднительным. Неполадки с часами от-
отразятся на измерении скоростей и расстояний в новых условиях, даже если
бы на макроскопических эталонах длины эти условия непосредственно и не
отразились.
На ходе пружинных часов изменение напряженности поля силы тяжести
не отразится Сохранит в этих условиях постоянство и эталон длины. Поэто-
10 Заказ ПО 145
му измерение скоростей, ускорений и т. д. в условиях Сириуса при примене-
применении в качестве эталона времени пружинных часов приведет к тем же резуль-
результатам, что и на Земле.
Частота атомного эталона в виде, например, частоты колебаний спект-
спектральной линии молекул аммиака изменилась бы на спутнике Сириуса меньше
чем на 0,01%. Соответственно изменится и длина волны линии аммиака или
другой линии, принятой за эталонную.
11. Связать частоту периодического процесса с длиной детали, определя-
определяющей эту частоту, можно с помощью обыкновенного математического маят-
-/?¦
ника, для которого Т =
маятника с длинами его нити
Сопоставляя различные периоды качаний
/2
-p/I
н приняв одну из
за эталонную единицу длины, можно выразить любую длину маятника в тер-
терминах эталона времени. Однако таким способом длина вводится не как неза-
независимая, а как производная единица от времени, и быть одновременно основ-
основными единицами измерения длина и время в данном случае не могут.
12. Согласно условию задачи средняя скорость тела за п-ю секунду опре-
определится из соотношения:
где sn — расстояние, проходимое телом за n-ю секунду; s0 — расстояние тела
до цели от начальной точки движения; t — время, равное 1 сек.
Из A) видно, что предельное значение средней скорости уп^0=0, т. е. при
заданном условии изменение средней скорости тело никогда не достигнет
цели.
Длина пути, пройденного за п сек: sn=sn~i + vncv{tn—tn-i).
t
0
0
1
1
2 s°
2
/ 1 1\
3
/1 1 1 \
s°\ 2 "r2^23/
• • •
n
/11 1 \
5°\~2 ' 2S^" "' 2")~
°0
Скорость тела в зависимости or времегш: vncp =~2"Г (рис. 140).
t
1
¦So
2
2
So
O2
3
*O
23
. . .
n
So
2"
Ar As я
13. По первому определению VCp1 = дf , по второму — уср2=~д7 -Из-за
различия в длинах дуги Д5 и перемещения в виде секущей Дг (рис. 141) при
одном и том же затраченном времени At численные значения vCvx и иСр2 не"
146
Рис. 140.
Рис. 141.
сколько различны. При нахождении мгновенной скорости, т. е. при переходе
к пределу (Л<-*-0), разница эта убывает до нуля. Очевидно, что при движе-
движении точки в одном измерении, когда кривая обращается в прямую, второе
определение средней скорости оказывается тождественным с первым.
14. Если функция v(t) нелинейна, т. е. ускорение a=^=const, то по теореме
о среднем значении интеграла
s - j v(t)dt = v(eW ,
где и (в) есть также среднее значение и от аргумента ti<Q<t2, но описыва-
емое выражением более сложным, чем vCp= о > когда a = const,
и зачастую даже трудно определимым. Непосредственное рассмотрение гра-
графиков (рис. 142), иллюстрирующих оба случая, приводит к выводу, что от-
ответ на вопрос должен быть отрицательным.
Рис 142.
15. а) Может. Если в момент t vi=Q — va-\-at, то a=0, если в начальный
момент v0 не равнялось нулю.
б) Л1ожет в случае равномерного движения по окружности.
в) Не может.
J6. При движении тела по окружности (R = const) величина нормального
ускорения ап = ~5~ будет сохранять постоянное значение независимо от нап-
направления линейной скорости с в ту пли др\1ую сторону, когда модуль [v\
принимает прежнее значение.
147
17. Для небольших скоростей силу сопротивления воздуха можно принять
прямо пропорциональной первой степени скорости. Как при подъеме, так »
при падении шара сила эта направлена против движения, но в первом случае
ее действие будет складываться с действием силы тяжести, а во втором вы-
вычитаться. Замедление под действием обеих сил при подъеме окажется (по
абсолютной величине) больше ускорения при падении, длина же пути шара
вверх и вниз одинакова. Поэтому время, затраченное на подъем, будет меньше
времени, затраченного на спуск. В отсутствие сопротивления воздуха время
падения будет равно времени подъема.
18. В условиях задачи скорость v шара, брошенного па высоте h вверх,
к моменту падения на той же высоте h будет равняться начальной скорости
к о, но направленной вниз. Следовательно, условия дальнейшего падения пер-
первого и второго шаров совпадут, и обе вертикальные составляющие конечной
скорости шаров будут равны друг другу.
19. Такой случай может представиться, например, при учете отклонения
падающих тел к востоку.
20. Аналитическое решение задачи приводит к соотношениям:
• A)
«чакс = 2ст
где х — дальность прыжка (или полета снаряда), с»о — начальная скорость,
cf — >гот наклона вектора начальной скорости к горизонту, /(макс — макси-
максимальная высота прыжка, g — ускорение свободного падения.
Из уравнения A) видно, что дальность прыжка при заданном v0 зависит
только от угла ср и достигает максимума при ср = 45°. Наибольшая высота
прыжка согласно равенству B) будет иметь место при ср = 90°, но тогда со-
согласно A) дальность прыжка обратится в нуль. Следовательно, оба постав-
поставленных условия x,,ai,c и Лмакс несовместимы.
21. Законы движения камня, брошенного горизонтально: x = v§t в горизон-
gt2
татьном направлении и у =—тг-—в вертикальном. Поскольку время для про-
прохождения расстояний х и у одно и то же, можно определить высоту холма у,
засекая только моменты начала бросания камня и его удара о землю у под-
подножия холма (рис. 143). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
22. Воспользовавшись формулой нормального ускорения ап = — получим
из условия v=const гиперболическую зависимость an(R), которая показана
на рисунке 144, где принято v — \ м/сек.
23. Уравнение 2-го закона динамики для момента, когда летчик находится
в нижней точке окружности, будет иметь вид:
N — P=man , A)
где Р — сила тяжести летчика, N — действующая на летчика и направленная
вверх сила нормальной реакции опоры, т. е. сиденья самолета. Разность N—P
будет центростремительной силой, удерживающей летчика на дуге окружнос-
окружности в ее нижней точке; поэтому находящаяся в правой части равенства A)
величина ап есть центростремительное ускорение.
Из A) имеем N = mg—тап, причем по условию g + an=3g. Таким обра-
образом, физический смысл ответа на вопрос таков: утроенное ускорение является
следствием того, что при выходе из пике летчик прижимается к сиденью с
силой, втрое большей его силы тяжести.
24. Определение массы тела как меры количества вещества в нем при-
принадлежит Ньютону. Однако, не говоря уже о том, что ньютоновская трактов-
трактовка массы не дает приемлемого способа ее измерения, постоянство вещества
148
6 -
2-
0,25
Рис. 143.
0,5
Рис. 144.
в данном теле никак i»e вяжется с релятивистской зависимостью величины мас-
массы от скорости тела.
25. Благодаря собственному весу веревки она неизбежно будет провисать
Уменьшить стрелу прогиба можно, увеличивая натяжение концов веревки,
однако для уменьшения стрелы прогиба до нуля потребовалось бы возраста-
возрастание силы натяжения до бесконечности, в то время как реальный предел ему
ставится прочностью самой веревки и теми усилиями, на которые способны
люди, тянущие за веревку. Ответ будет носить тот же характер, если к весу
веревки присоединить вес гири или если считать веревку невесомой, а всю
тяжесть сосредоточенной в гире.
26. Невесомость не есть отсутствие действии силы тяжести на тело. Такой
случай мог бы быть отнесен только к телу, находящемуся на бесконечно боль-
большом расстоянии от какой бы то ни было тяготеющей массы. В реальных же
условиях тело будет обладать невесомостью, если на него не действуют ника-
никакие силы, кроме силы тяжести, проявляющейся только динамически. Приме-
Примерами невесомости при условии отсутствия сил сопротивления могут служить:
а) тело в лифю, свободно падающее вместе с последним;
б) камень, брошенный вертикально вверх или под углом к горизонту, а
также человек во время прыжка или в самолете, движущемся по параболе,
в) тело в космическом корабле, движущемся в пустом пространстве при
выключенном двигателе.
В вопросе рассматривается некоторая величина, физически характеризую-
характеризующая собой силу и потому являющаяся вектором. Утверждения же, справед-
справедливые относительно вектора (например, Р — 0), не зависят от случайного вы-
выбора тон или иной системы координат.
27. Равнодействующая сил тяжести обезьяны и зеркала уравновешена ре-
реакцией опоры со стороны блока, так что их относительное перемещение может
осуществляться точько за счет действия какой-нибудь внутренней силы. Та-
Таковой является здесь мускульная сила обезьяны, перебирающей руками ве-
веревку и приводящей таким способом к поднятию или опусканию и зеркала
и самой себя. Поскольку блок жестко связан с Землей, за изолированную
можно принимать здесь только систему, состоящую из невесомой веревки, а
также зеркала и обезьяны с массами т.\ и тг, движущимися относительно
общего центра масс со скоростями v\ и vi. Тогда по закону сохранения ко-
ту Si
Kt, что дает = —— i де
m2 Si
личества движения
m2
Si и Si — расстояния, проходимые каждым из тел за одно и то же время
149
Так как по условию шх — тг, то для любого момента времени Si=S2, т. е обезь-
обезьяна при своем движении вверх или вниз не сможет сместиться относительно
своего изображения. В третьем же случае смещения также не будет, так как
и обезьяна и зеркало будут падать с одним и тем же ускорением свободного
падения.
28. Если полировка уменьшает расстояние между поверхностными моле-
молекулами двух трущихся тел до размеров радиуса молекулярного сцепления,
то дальнейшая полировка уже введет в игру эти молекулярные силы. В опти-
оптике, например, две отполированные таким путем плоскопараллельные пластинки
ставят, как говорят, на «оптический контакт», так что отделить их друг от др>-
га руками в направлении нормали к плоскости их соприкосновения совершен-
совершенно невозможно.
29. Для того чтобы сделать шаг вперед, нужно внутренними, мускульны-
мускульными усилиями переместить центр тяжести тела вперед, вынося для этого впе-
вперед одну ногу. Но если лед абсолютно гладкий, то другая нога, опирающаяся
на лед, соскользнет назад, и центр тяжести тела окажется не перемещенным
Другими словами, одна внутренняя сила полностью компенсирует действие
второй, и количества движения, сообщаемые каждой из ног, оказываются
равными и противоположно направленными. Однако хотя незначительное тре-
трение между подошвой и льдом всегда существует и если невелика величина
шага s, пропорциональная количеству движения выносимой вперед ноги
(mv ~ mvAt = ms), то трение сможет уравновесить внутреннюю силу, дейст-
действующую на ногу, соскальзывающую назад, и таким образом сможет дать пе-
перевес другой ноге для совершения шага. Можно заметить, чго правильный
прием в этом случае подсказывается просто инстинктом, и люди, идущие по
обледенелой дороге, всегда стараются идти мелкими шажками.
30. Если допустить, что трение подошв о лед и сопротивление воздуха от-
отсутствуют полностью, то единственный способ переместить внутренними си-
силами центр тяжести тела — это бросить в противоположную сторону какой-
нибудь находящийся в р)ках предмет или часть одежды. Таким путем на
абсолютно гладком льду может быть достигнуто движение частей системы
без нарушения покоя центра массы системы в целом. Вернуть себя к состоя-
состоянию покоя, оставаясь на абсолютно гладком льду, можно тем же приемом,
хотя и затруднительно точно рассчитать массу и скорость отбрасываемого
вперед предмета, чтобы получить в итоге полный покой.
31. Трение покоя, находящееся на пределе начала скольжения, имеет в
любых данных условиях величину, определяемую материалом двух тру-
трущихся тел. В то же время сила трения покоя в условиях, описанных в тексте
вопроса, играет роль центростремительной силы, удерживающей монету на
заданном расстоянии от центра вращения. Очевидно, с переходом за предел
скорости вращения диска, когда трение покоя сменится трением скольжения,
монета соскользнет с прежней точки окружнос-
окружности и удалится по касательной.
Q , 32. Если отнести движение тела к системе
неподвижных звезд, то на тело, покоящееся
относительно Земли на широте 0<ер<90° (рис.
145), но вращающееся вместе с Землей вокруг
ее полярной оси, будут действовать сила тяжес-
тяжести F и реакция опоры Q. Благодаря вращению
Земли геометрическая сумма этих сил не равна
нулю, F + Q = Fu сфО, но выполняет роль цент-
»- ростремительной силы Fa c, удерживающей тело
Q в данной точке поверхности Земли. По 3-му за-
закону Ньютона на опору будет действовать сила
Р=—Q=F—Ft, с, что и будет весом тела Итак,,
на широте <р вес тела равен геометрической
разности сил тяжести и центростремитель-
Рис. 145. ной
150
На полюсе центростремительная сила, пропорциональная радиусу R круга
широты, обращается в нуль, так что Q=—F. Тогда приложенный к опоре вес
Р — —Q = F, т. е. на полюсе вес тела численно равен силе тяжести и направлен
о ту же сторону, что и последняя.
На экваторе центростремительная сила численно будет равна разности
Г—Q=FH.r, а вес Р = —Q = F4.C—F, т. е. на экваторе вес равен разности
центростремительной силы и силы тяжести.
33. Направленное усилие, под действием которого происходит некоторое
перемещение тел, приложено здесь к каждой из команд. Но в одном случае
направление перемещения совпадает с направлением силы, а в другом — эти
направления противоположны друг другу, т. е. в первом случае работа поло-
положительна, а в другом — отрицательна.
34. Со1ласно соотношению между изменением кинетической энергии и ра-
работой —к \v г— v j = (fi—fi)s, где /i и /2—силы гребца и течения, направлен-
направленные в противоположные стороны. По условию, в обоих случаях скорости лодки
относительно земли в начале и в конце пути равны, но в 1-м случае (\ФО,
а потому не равна нулю и работа гребца. Во 2-м случае усилие гребца fi=0 и
по-прежнему Vi = v2, тогда должна быть равна нулю и работа течения воды.
35. Рассмотрим движение автомобиля на горизонтальном пути. Результи-
Результирующая работа сил, определяющая изменение кинетической энергии автомо-
автомобиля, может быть представлена как алгебраическая сумма работ Ау и Аг,
приводящих соответственно к увеличению и к уменьшению кинетической энер-
энергии AWK автомобиля.
Первое слагаемое А\ представляет работу самого двигателя и работу
сил сцепления ведущих колес с грунтом.
Второе слагаемое Аг — это работа сил сопротивления движению (пробук-
(пробуксовка из-за недостаточного сцепления колес с почвой, тормозящее действие
1рунта из-за большой его вязкости).
Итак, изменение кинетической энергии может быть представлено в виде
ДЦ7К=Л,-|Л2|, или Л, = Д№К_|Л2|.
Так как работа А\ больше нуля, то последнее равенство выполнимо лишь
при условии, что A2>&WK.
36. Если при подъеме груза на высоту h скорость изменяется, то работа
будет затрачиваться не только на увеличение потенциальной энергии груза,
но и на сообщение ему положительного или отрицательного ускорения а:
А = mgh + mah ,
dv
где а= —т^—. Следовательно, если подъем груза неравномерен, то работа бу-
будет зависеть от изменения скорости подъема.
37. Здесь будет рассмотрен только случай, когда поезд как некоторая под-
подвижная система координат К! движется с постоянной по величине и направ-
направлению скоростью v относительно Земли, которую в условиях вопроса можно
принять за неподвижную (инерциальную) систему отсчета К. Тогда скорость
мяча и относительно системы К будет равна векторной сумме
и= и' + V' , (О
где и—скорость мяча, измеренная относительно системы К'. Из A) видно,
, т{и')*
что кинетическая энергия, измеренная в поезде, будет равна <§ =—г,—>а из'
m /- -Л»
меренная наблюдателем на земле ? =~2\и' ~г v ) •
Итак, значение кинетической энергии мяча будет различной в зависи-
зависимости от того, измерена ли она в неподвижной системе К или в системе К',
движущейся относительно К прямолинейно и равномерно;
в первом случае кинетическая энергия будет зависеть от скорости поезда,
а во втором случае нет;
151
выбор системы не отразится на скалярности кинетической энергии, так
как (u'+v'J = v2 + 2u'v+ (и'J, т. е. квадрат суммы векторов равен сумме
квадратов скалярных произведений тех же векторов и потому остается ска-
скаляром.
38. Согласно закону сохранения и превращения энергии вся механическая
энергия лифта при торможении его превращается в теплоту.
39. Кинетическая энергия, приобретенная маятником в отсутствие сопро-
сопротивления среды, должна полностью превратиться в потенциальную, равную
начальной энергии, когда груз при скорости и = 0 находился в точке а. Потен-
Потенциальная же энергия поднятого тела зависит только от высоты подъема, а
не от длины маятника, которая с момента начала задерживающего действия
штифта сокращается от / до К.
40. Раскачивание качелей принадлежит к числу простейших явлений,
объясняемых теорией параметрического резонанса. Качели могут рассматри-
рассматриваться как физический маятник с массой т и приведенной длиной 10 =~^ >
где / — момент инерции маятника относительно оси качаний, a d—расстоя-
d—расстояние от этой оси до центра тяжести системы. Приседая или выпрямляясь, ре-
ребенок на качелях изменяет высоту центра тяжести. При приседаниях в наи-
наивысших точках качаний производится работа А{ в основном, за счет внешней
гравитационной силы, и потому А\<§. Опускание центра тяжести системы
связано с отнятием у нее части потенциальной энергии.
Выпрямляясь в наинизшей точке, ребенок совершает работу полностью
за счет внутренней, мускульной силы против действия силы гравитации. Здесь
совершается положительная работа Л2>0, сообщающая системе добавок к
ее потенциальной энергии, причем Лг>Л|. Тогда с каждым размахом прирост
потенциальной энергии возрастает, а следовательно, возрастает и амплитуда
колебаний.
Поскольку моменты изменения параметра системы приурочены к опреде-
определенным значениям фазы колебаний, явление названо параметрическим резо-
резонансом. Единственным условием его выполнимости является начальное по-
положение качелей, которое должно хоть немного отличаться от математически
точного среднего (наиннзшего) положения.
41. Исключая время из уравнений пути и скорости равноускоренного дви-
движения брошенного вниз предмета, получим:
2gh = v*-vl, A)
где h и v0 — высота и начальная скорость бросания, a v — конечная скорость
предмета в момент соударения его с землей.
Далее исключаем время из уравнения пути и скорости последующего
равнозамедленного движения предмета вверх при начальной скорости v, вхо-
входящей в уравнение A), и при конечной скорости и'=0 на высоте /г'. Так
как по условию к' — %1ф. = к, то в результате получим:
2gA' = Ь* B)
и окончательно
V -- Vo
т. е. предмет был брошен с такой высоты, что начальная скорость, сообщен-
сообщенная ему при бросании, и концу его движения возросли в 13 раза
42. Если птица снялась с жердочки и летает на том же уровне, то чув-
чувствительные весы не покажут добавочного отклонения в ту или другую сто-
сторону. В данном случае сила давления крыльев на воздух, передаваемое дну
клетки, равна весу птицы, зарегистрированному весами при ее неподвижном
положении.
J52
Если птица при полете поднимается, что благодаря ускоренному движению
вызовет большее давление ее крыльев, то весы покажут увеличенное отклоне-
отклонение стрелки. При опускании птицы эффект на шкале весов будет обратным.
43. Струя воздуха из воздуходувки, ударяющая в находящийся впереди
парус, сообщает лодке импульс вперед, но равная ей сила реакции отталкива-
отталкивает воздуходувку вместе с лодкой назад. Следовательно, такой способ исполь-
использования силы реакции не приводит к цели.
44. Движение космического корабля осуществляется лишь за счет реак-
реактивного давления газовой струи, получаемой из запаса жидкого топлива, ко-
которое корабль несет вместе с собой. В данном случае наружный воздух скорее
тормозил бы реактивный корабль, чем способствовал его движению.
45. Полный запас горючего и устройство для его эксплуатации вызывает
конструктивную потребность в большой массе ракеты. По мере выгорания
топлива часть этой массы все больше становится балластом, лишь уменьшаю-
уменьшающим реактивную скорость полезной части движущейся системы. Осуществляе-
Осуществляемая в наше время идея К. Э. Циолковского предусматривает создание много-
многоступенчатой ракеты, отработанные части которой постепенно отделяются от
головной, где помещаются космонавты с аппаратурой управления и связи.
Такой принцип позволяет достигнуть второй космической скорости.
46. Вращение поставленных наискось лопастей пропеллера создает отбра-
отбрасываемый назад поток воздуха. Количество движения, сообщаемое этому по-
потоку в единицу времени и уносимое вместе с ним к задней части самолета,
равно силе реакции, с которой пропеллер действует в обратном направлении
иа соединенный с ним корпус самолета.
Таким образом, причиной движения са-
самолета с пропеллерной тягой является
сила реакции со стороны отталкиваемого
пропеллером назад воздушного потока.
47. Пусть Q на чертеже (рис.
146) — сила ветра, К—К' — направле-
направление киля лодки от кормы к носу и
П—П — след плоскости установленного
паруса. Тогда составляющая силы ветра
Р, перпендикулярная плоскости П—П,
даст силу давления ветра на парус, при-
причем
Р= Qcosf90° — C) = Qsin3 . A)
Составляющая R силы Р будет урав-
уравновешена сопротивлением воды, действу-
действующим на глубокий киль лодки, сила же
F, направленная под острым углом к на-
направлению ветра, будет движущей силой,
причем
F = Pcos(90° — я) = Psina . B)
Подстановка A) во B) даст F=QsinPsina или, если считать угол
Y = a + P (y — угол между направлением движения и направлением ветра) за-
заданным, то f = Qsinasin(Y—a).
Отыскивая по правилам анализа максимум функции F(a), найдем, что
сила F будет максимальной, если установить плоскость паруса по биссектрисе
у
угла у. т. е. должно быть a=rj-. Тогда
F = sinsnjr , C)
и уравнение динамики поступательного движения лодки приобретает вид:
F - f(v) = т-~ , D)
Рис. 146.
153
где т — масса лодки и f(v) —сила сопротивления воды, возникающая вслед-
вследствие ее вязкости и при таких небольших скоростях, как скорость лодки v,
пропорциональная этой скорости:
/ = kv . E)
Тогда по подстановке C) и E) в D) получим:
т dv
Qsin2-?r — kv = m—jj- . F)
Как видно из F), с возрастанием скорости лодки под действием силы
ветра левая часть равенства стремится к нулю. А тогда по достижении этого
предела вступает в силу закон сохранения количества движения
mvy = const , G)
где vy — установившаяся скорость лодки.
Искомую величину vy можно определить, приравняв левую часть равенст-
равенства F) нулю, тогда
Q f
vy = -^-sinz-rp . (8)
Если сила ветра Q определена анемометром, а значение коэффициента к
пзято из таблиц и угол требуемого направления лодки относительно ветра за-
задан, то установившаяся скорость лодки, идущей под острым углом к ветру,
с помощью закона сохранения количества движения оказывается определенной.
48. а) По условию o) = const. Тогда нормальное ускорение ап=ы2гф0;
1 =\ Al7 1=0 , так как ^ = 0 .
I at \ dt
тангенциальное ускорение
-¦-
б) По условию —j = const, тогда ап = ы2гФ0, ат = I _?^ ^- | Ф 0 .
Модули |«n|=const, \ct'. | =const.
49. Примем, что траекторией иглы рекордера будет спираль Архимеда,
описываемая в полярных координатах уравнением
г = а<р , A)
где г — радиус-вектор, вращающийся вокруг
начала О; tp — полярный угол и о — постоян-
постоянная для данной спирали полярная поднормаль
для всех точек кривой (рис. 147).
Если ширину 6 канавки на пластинке счи-
считать известной, то из заданной длины наиболь-
наибольшего радиуса спирали г2 = Ьп2 найдем наиболь-
наибольшее число оборотов п2 и отсюда угол поворота
радиус-вектора
п-= 2тш2 = —g-*- . B)
Рис 147
-Наименьший радиус-вектор п, соответству-
соответствующий другому концу канавки, находится прос-
простым измерением на пластинке, и потому, считая его известным, подобно пре-
предыдущему находим:
2
<Pi = —I •
Кроме того, из A) и B) для параметра о получим:
154
Тогда искомая длина пути, проходимая иглой, будет равна:
s=Iv dr2+r4<?2=a j]/ i+ *•*? =
1
Y
E)
где пределы интегрирования и параметр а выражены через величины г1 и г2,
полученные в результате измерений.
50. Момент инерции тела / относительно заданной оси вращения числен-
численно равен интегральной сумме произведений масс dm всех его точек на квад-
квадраты их расстояний г до оси вращения: l—\ r2dm. Отсюда следует, что мо-
момент инерции зависит не только от массы всего тела в целом, но и от ее
пространственного распределения относительно выбранной оси вращения.
Следовательно, при расчете момента инерции нельзя считать массу сосредото-
сосредоточенной в центре масс тела, даже если плотность в элементарных объемах
тела постоянна и не является функцией координат.
Когда величина момента инерции тела /о относительно оси, проходящей
через центр масс тела, определена, то при его перерасчете относительно оси,
параллельной первой, масса тела уже может считаться сосредоточенной в
центре масс, отстоящем от оси вращения на расстоянии й:
/ = /о + md*.
51. Момент инерции / диска радиуса г и плотности р относительно оси,
перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр, равен:
/ = 4-«'-2- (о
При m=const и d=const т =
Р,г =
B)
Тогда будем иметь: —г~
П Pi
i. е. если плотность 2-го диска больше, чем 1-го, то при введенных условиях
относительно mud момент инерции 2-го диска будет меньше, чем 1-го.
52. Заставим тело произвольной формы качаться вокруг оси, не проходя-
проходящей через его центр тяжести, т. е. создадим физический маятник, период ка-
качаний которого определяется из соотношения:
Т = 2п
mgd
где mg — вес тела, d — расстояние от оси качаний до
центра тяжести, / — момент инерции тела относительно
оси качаний (рис. 148).
Если центр тяжести определен методом подвешива-
подвешивания тела за различные его точки или каким-либо другим
способом, то вес тела и расстояние d определяется про-
простыми измерениями. Определив период Т качаний тела с
небольшой амплитудой, можно найти по формуле A) мо-
момент инерции тела относительно оси качаний и затем,
воспользовавшись теоремой Штейнера, пересчитать его
для оси, проходящей через центр тяжести.
53. Введем обозначения: от — масса шара с радиу-
радиусом R\ I — его момент инерции относительно оси, про-
A)
Рис. 148.
155
2
ходящей через центр массы, причем / — -g-m/?2 ; у, ш — линейная и угловая
скорости скатывающегося шара; / — длина пути шара вдоль наклонной нло-
скости; /i = const, a—высота и угол наклона плоскости.
Из условия
С = <оЯ, A)
вводимого в выражение закона сохранения энергии
следует, что качение шара лишено всяких следов проскальзывания, почему
коэффициент трения k, являющийся причиной качения, явно в A) и B) не
входит.
Более подробное аналитическое решение задачи, которое здесь не приво-
приводится, дает соотношение, связывающее k и область значений уклона плоскос-
ч от 0 до а, при которых еще возможно качение без скольжения
\ - —-,— J или, в частности, для шара
tga < 3,5ft . C)
Так как /e = /sina, то из уравнений A) и B) для шара получим:
V = V l,4g/siru - У l,4gfi , D)
т. е. в границах значений а, определяемых условием C), скорость шара у
основания наклонной плоскости не зависит от «, так как по условию
/sina = /i = const и, следовательно, v — const.
Далее, на шар действует только постоянная в условиях задачи сила тя-
тяжести, поэтому исключение ускорения из уравнений пути и скорости равноус-
h vt
коренного поступательного движения дает —j—— = —5— . откуда
t_
т. е. при условии C), когда y = const, время скатывания обратно пропорцио-
пропорционально синусу угла наклона плоскости.
54. Потенциальная энергия системы дисков в верхней части наклонной
доски перейдет к моменту схождения системы с нижней части доски в сумму
кинетических энергий поступательного и вращательного движения дискоз.
Предположим, что все рассматриваемое движение дисков в целом является
их чистым качением без всяких следов проскальзывания. Тогда работа силы
трения дисков о горизонтальною поверхность, предполагаемую шероховатой,
приведет к уменьшению скорости вращения системы. С другой стороны, запа-
запасенная к рассматриваемому моменту общая кинетическая энергия системы
согласно закону сохранения приведет к соответственному и резкому увеличе-
увеличению скорости поступательного движения в горизонтальной плоскости
55. Если бы сила трения fTp о повер-аиость пня со стороны срубленною
основания ствола была достаточной за все время его падения, то эго движе-
движение можно было бы определить как поворот ствола в вертикальной плоскос-
плоскости вокруг неподвижной точки О (рис. 149, а). В этом случае дровосеку, стоя-
стоящему позади падающего ствола на стороне, противоположной падению, не
грозила бы никакая опасность. В действительности же может случиться, что
сила ftp окажется недостаточной, и возникшее скольжение нижней части
ствола приведет к тому, что она к концу падения окажется значительно сме-
смещенной относительно пня (рис. 149,6). Такой случай уже не безопасен дтя
дровосека, стоящего вблизи, хотя бы и со стороны, противоположной падению,
дерева.
156
т
Q
рис
56. Продолжим направление векто-
векторов F2 и F3 до пересечения с опорой.
Действие момента силы F\ относительно
мгновенной оси, проходящей через точ-
к\ соприкосновения катушки со столом,
приведет к вращению катушки по часо-
вон стРелке' и ома покатится направо.
Вращающий момент силы F2 относи-
. тельно мгновенной оси равен нулю, так
как плечо силы равно нулю, и нить бу-
дет сматываться, оставтяя катушку h.i
месте, хотя такое состояние и не будет
устойчивым. Момент силы Fs относитель-
относительно мгновенной оси приведет к вращению
против часовой стрелки, и катушка покатится влево.
57. В отношении сезонного таяния огромной массы льдов попеременно в
северной и южной полярной области Землю можно считать за изолированную
систему, так как влияние Солнца на состояние льдов носит характер теплово-
теплового, а не механического воздействия.
Перераспределение масс, связанное с таянием льдов и с частичным испа-
испарением образующихся водных масс, приводит к изменению момента инерции
земного шара. А тогда согласно закону сохранения момента количества дви-
движения будет изменяться угловая скорость и, следовательно, период суточноге
вращения Земли. Численно эффект неравномерности вращения Земли ничто-
ничтожен, но все же благодаря кварцевым часам он оказался измеримым и заста-
заставил отказаться от уточного движения Земли как от эталона времени.
58. Оставляя без рассмотрения количественную сторону эффекта, можно
отметить, что перенос масс в экваториальные области, более далекие от цент-
центра тяжести Земли, чем полярные, должен приводить к постепенному увеличе-
увеличению момента инерции Земли относительно полярной оси вращения. Тогда со-
согласно закону сохранения момента количества движения должна уменьшать-
уменьшаться угловая скорость вращения Земли и, следовательно, увеличиваться про-
продолжительность суток.
59. Одним из движений, обязанных своим происхождением суточному
вращению Земли, является отклонение падающих тел к востоку под действи-
действием силы Кориолиса, что и скажется на движении камня.
60. В тот момент, когда человек выпустил из рук гири, единая движущая-
движущаяся система превратилась в две независимые одна от другой. Движение гирь,
бывшее вращательным, превратится в поступательное в виде падения по пара-
параболе. Система же из человека и скамьи сохранит свое вращательное движение.
Однако масса ее станет меньше на величину общей массы пары гирь и потому
ее момент инерции уменьшится. Но, оставаясь замкнутой, эта система будет
подчиняться закону сохранения момента количества движения и ее угловая
скврость соответственно увеличится.
61. Равномерное движение тела по окружности может быть осуществле-
осуществлено в двух случаях.
1) Под действием постоянной центростремительной силы, если направле-
направление начальной скорости тела перпендикулярно этой силе. При этом вращение
самого тела вокрх г оси 00', проходящей через его центр массы, отсутствует
(<й2=0) или пренебрегаемо мало (рис. 150, а).
2) Любая точка оси 00' симметрии тела (рис. 150, б), описывая ко-
конус, будет равномерно обращаться по окружности с вертикальной осью, про-
проходящей через его центр, если на тело будет действовать постоянный мо-
момент внешней силы. При этом само тело должно обладать угловой ско-
скоростью Юг около собственной оси 00', много большей угловой скорости
oil этой оси относительно вертикальной оси 00, проходящей через точку опо-
опоры тела. Это последнее обращение по окружностям точек оси 00' тела, опи-
157
V7777/////////////
Рис. 150.
сывающий конус, и будет анало-
аналогом равномерному движению по
окружности, упомянутому в первом
случае.
Однако при дальнейшем ана-
1изе внешне сходные оба движе-
движения по окружности немедленно по-
потеряют свою аналогичность благо-
благодаря различию в своем происхож-
происхождении.
Если в первом случае связь,
удерживающая тело на окружнос-
окружности, исчезнет, то движение тела не
прекратится, а только изменит свой
характер: из равномерного движе-
движения по окружности оно превратит-
превратится в прямолинейное равномерное движение по касательной к окружности.
Во втором случае, если исчезнет вектор угловой скорости оJ, то немед-
немедленно полностью исчезнет и вектор а>ь определявший вращение тела вокруг
вертикальной оси. Причина этому та, что действующие здесь силы определя-
определяют скорость вращения оси 00', а не ее ускорение. В этом последнем случае
инерционность движения не скажется ни в какой мере.
62. Допустим, что опора гироскопа лежит ниже его центра тяжести, как
у обыкновенного волчка. Для того чтобы прецессия была устойчивой, необхо-
необходимо, чтобы спин гироскопа, т. е. его собственный момент количества движе-
движения, был больше некоторой критической величины. В это .> случае ось гиро-
гироскопа будет равномерно описывать конус, ось которого проходит через точку
опоры гироскопа и направлена по вертикали. При внезапном прекращении
вращения гироскопа вокруг своей оси вместо прецессии наступил бы поворот
этой оси в вертикальной плоскости около точки опоры, что привело бы к па-
падению гироскопа. В промежуточном случае, о котором говорится в вопросе,
движение оси гироскопа примет беспорядочный характер, в котором все же
легко будет распознать элементы обоих упомянутых выше движений оси.
63. В отношении вращательного движения вокруг продольной оси сис-
систему из одномоторного самолета и пропеллера можно принять за изолиро-
изолированную. Поэтому в силу закона сохранения момента количества движения
как пропеллер, так и самолет должны были бы одновременно вращаться во-
вокруг продольной оси в противоположные стороны. Если благодаря огромной
разнице в массах вращение корпуса самолета и было бы крайне медленным,
то все же тенденцию к этому вращению необходимо устранить полностью.
Для этого с помощью элеронов устанавливается для каждого крыла не-
несколько различный угол крена, что нивелирует действие реактивного момен-
момента. С чисто физической стороны очевидно, что если моторов два и пропелле-
пропеллеры вращаются в противоположные стороны, то надобность в элеронах отпа-
отпадает. Вопрос о технической необходимости элеронов в последнем случае здесь
не рассматривается.
64. 1-й пример: велосипедист, движущийся равномерно по закругле-
закруглению. В данном случае велосипедист находится в состоянии динамического
равновесия. Если отнести это движение к квЬрдинатной системе с началом в
центре закругления, вращающейся с той же угловой скоростью, что и вело-
велосипедист, то для такой (неинерциальной) системы велосипедист будет поко-
покоиться, т. е. находиться в состоянии статического равновесия. Для объяснения
этого состояния покоя нужно согласно принципу Деламбера к результирую-
результирующей силе, действующей на велосипедиста, каковой является центростреми-
центростремительная сила, прибавить равную ей и направленную в противоположную
сторону центробежную силу инерции.
2-й пример: маятник Любимова, освобожденный от связи в момент
наибольшего отклонения от вертикали.
158
С точки зрения неподвижного наблюдателя движущийся вниз вместе с
рамкой маятник находится в равновесии относительно рамки. Если же наблю-
наблюдатель будет относить движение к рамке, то относительно нее маятник будет
не только находиться е равновесии, но и покоиться. Здесь, как и в предыду-
предыдущем случае, сила тяжести, действующая на маятник, компенсируется силон
инерции.
65. 1-й пример: диск, могущий повернуться вокруг неподвижной оси
под действием вращающего момента силы тяжести груза.
Условием равновесия служит не только равенство нулю проекций всех
сил, приложенных к телу, на выбранные координатные оси, но и равенство
нулю моментов этих сил относительно тех же осей. Последний пункт условия
в приведенном примере как раз и не выполняется.
2-й пример: тело, движущееся без вращения по инерции по абсолютно
гладкой горизонтальной плоскости. Здесь выполнены оба условия равновесия,
но начальная скорость тела иоф0. Поэтому в итоге получается не состояние
покоя, а равномерное прямолинейное движение.
66. Для простоты заменим га-
гамак, привязанный за оба конца,
веревкой с гр\зом посредине (рис
151). Находя проекции на верти-
вертикаль силы тяжести груза Р, а так-
также двух натяжений веревки Т и
приравнивая в качестве условия
равновесия сумму проекций нулю,
получим Р—27"sina = 0, откуда
т =
Если угол провисания веревки велик, например а = 30°, то натяжение ра-
равно лишь весу груза. Если же веревка натянута сильно и угол а мал, то на-
натяжение Т может принять размеры, опасные для ее целости.
67. Введем обозначения: Р—равнодействующая веса лестницы и чело-
человека; / — длина лестницы; kl — расстояние от точки О до точки приложения
силы Р, выраженное в долях l(O^k^L\)\ R\, R2 — реакции опор со стороны
земли и стены; «— угол наклона лестницы к горизонту; / — коэффициент
трения; FTp = f#i — сила трения, находящаяся на пределе начала скольжения
(рис. 152).
Уравнения проекций сил и моментов будут иметь вид:
/?2 — Frp = 0; Ri —Р =0; /?2'sina—kPcOSz = 0.
Решая их, получим:
k = /tga .
Физически это означает: чем выше будет взбираться человек по лестнице,
т. е. чем больше будет k, тем больше должен быть угол а, т. е. тем круче
должна быть поставлена лестница для сохранения ее равновесия. Если же
а — const, то, чем выше взбирается человек, тем легче может соскользнуть
лестница.
68. Как видно из рисунка 153, при использовании рычага, крепящегося к
стене через шарнир К, нагрузка [ на пружинные весы будет во столько раз
меньше веса Р взвешиваемого тела, во сколько раз плечо г меньше плеча R.
69. Несовпадение координат центра масс и центра тяжести зависит от
неоднородности земного гравитационного поля. Несовпадение это может стать
заметным только для очень большой площади, занимаемой массой, для ко-
которой ищется ее центр. Можно думать, что в отношении здания даже самых
больших размеров расхождение между центрами массы и тяжести пренебре-
пренебрегаем^ мало.
70. Для возникновения вращательного движения тела необходимо, чтобы
—>¦ —> >
вращающий момент M = [rF]=jt=0. В данном случае из условия (.Л 1 = 0,
159
вытекает, что плечо г=0, т. е. сила была приложена к центру тяжести тела
или, во всяком случае, через него проходило направление ее действия.
71. Период Т колебаний тела массы от, подвешенного к пружине с жест-
жесткостью k при отсутствии затухания, определяется только этими величинами:
¦-*/
A)
Если возвращающую силу обозначить через f, а вызываемое ею сме-
смещение через А/, то
4
Кроме того, в границах применимости закона Гука
SE
B)
C)
где / — длина пружины, 5 — поперечное сечение проволоки, Е — модуль Юнга
Тогда из B) и C) будем иметь: k —— Изменив же длину пружины I на
' 2~ '.из A) получим для измененного периода ее колебаний:
¦ ~Т
V
I
У -i- = 0,7 Т ,
D)
т. е. период колебаний уменьшится приблизительно в 0,7 раза.
72. Если масса колеблющейся системы сосредоточена в грузе и масса пр\ -
жины не учитывается, то период колебаний
¦=2*|/~_
m
A)
где k — жесткость пружины. Если же учесть массу т' пружины, распределен-
распределенную по ее длине, то решение задачи усложнится. Однако, судя по виду фор-
формулы A), можно заключить, что общая масса М>т по соображениям раз-
размерности должна занять в формуле место т, и потому период колебаний
системы должен увеличиться.
73. Пусть А/ — статическое удлинение пружины при навешивании на ее
конец груза весом P = mg, тогда жесткость пружины определится из равенст-
равенства Р = Ш Период же колебании Т = 2-i/ HL=1t. л/ mtu - 2я|/~?L ,
г k V mg \ g
что и требовалось доказать.
160
74. Из выражения периода колебаний Г = 2я-|/ т получим: k =
1 ту v'
= const = 4л2/п'.2, где v =—^r есть частота колебаний. Тогда '
1
m2 v
i
т. е. массы тел, колеблющихся на пружине, обратно пропорциональны квадра-
квадратам частот колебаний.
75. Колебательная система, амплитуда колебаний которой устанавлива-
устанавливается не начальными условиями, а соотношением между потерями энергии на
затухание и периодической подкачкой ее из ресурсов самой системы, назы-
называется автоколебательной. В такой типично автоколебательной системе, как
часы, устройством, управляющим колебательным движением, служит маятник
или пружина (баланс) с анкерным ходом.
76. Точно построить математический маятник нельзя, но можно прибли-
приблизиться к нему, как к некоторому пределу, оценив допускаемую при этом
ошибку.
Реальным, осуществимым на деле прибором является физический маятник,
период колебаний которого
S
где его приведенная длина L —ZTT зависит от массы маятника т, его момен-
момента инерции относительно оси вращения / и от расстояния d между этой осью
и центром тяжести маятника.
Физический маятник будет вести себя, как математический, если:
1) Масса его сосредоточена в материальной точке с моментом инерции
относительно оси вращения I = md2. Другими словами, груз с массой т
должен быть подвешен на нити, масса которой пренебрегаемо мала, длина
же ее достаточно велика, чтобы размеры, занимаемые массой, оказались по
сравнению с ней пренебрегаемо малыми.
2) Амплитуда колебаний, измеряемая углом отклонения от вертикали ф,
должна быть достаточно малой для того, чтобы синус угла можно было за-
заменить самим углом.
Разность между значениями периодов колебаний, рассчитываемых по фор-
формулам математического и физического маятника, может служить мерой ошиб-
ошибки, допускаемой при рассмотрении построенного маятника как математиче-
математического.
77. Длину проволоки I можно определить, прикрепив к ее концу груз и
заставив его качаться с небольшой амплитудой. Измерив период качании
Т = 2к"|/ , найдем искомую длину
™ g
78. Точно при бесконечно малой амплитуде качаний, приближенно при
конечных, но малых ее значениях.
79. Резонансные явления в технике могут быть желательны, но могут
приобретать и губительный для конструкции характер. В таких случаях пре-
предусматривается такая конструкция машины, которая исключала бы ее попа-
попадание в опасный режим, или предусматривается применение демпфирующих
приспособлений. Примерами вредных колебаний могут служить: качка мор-
морских судов, вибрация судов и самолетов при определенном режиме работы
моторов, колебания мостов, металлорежущих станков и пр.
80. Сопоставив выражения сил из второго закона динамики и закона тя-
тяготения, получим:
т„М
mg = о —л.— ,
11 Заказ 170 |Qj
где G, M, R — соответственно универсальная гравитационная постоянная,
масса Земли и расстояние от центра тяжести Земли до местонахождения па-
падающего тела. Все эти величины не зависят от массы падающего тела. Вели-
Величины же т, и тй являются характеристиками самого исследуемого тела:
т, есть мера инертности тела, входящая в выражение закона динамики и на-
называемая инертной массой; mg — тяжелая или гравитационная масса, это та
величина, на которую действует сила тяготения и которая входит в выраже-
выражение закона всемирного тяготения.
Ускорение g падающих в пустоте тел будет одинаковым и не зависящим1
от массы, тела, если пц и mg тождественны или по крайней мере пропорци-
пропорциональны друг другу. Непосредственно ни то ни другое не очевидно. Физиче-
Физическая тождественность этих величин была установлена теорией относительнос-
относительности лишь в первой четверти XX в. До этого времени численное равенство
обеих масс многократно подтверждалось на опыте с огромной точностью. По-
Поэтому независимость ускорения свободного падения от массы нужно считать
установленной совершенно точно.
81. Ввиду отсутствия полного единства в терминологии, связанной с явле-
явлениями гравитации, условимся в следующем. Силы гравитации Fr, тяготения,,
тяжести, действующие на все тела согласно закону Ньютона, — синонимы.
Эти силы проявляются: 1) статически в виде давления тела на опору /¦",-,
т. е. в виде веса тела, и 2) динамически Fd в виде ускоренного под их дейст-
действием движения (падения) (рис. 154). Если падение свободное, то статическая
составляющая силы тяжести, т. е. вес тела, исчезает
полностью и наступает состояние динамической невг-
сомости. Статическая невесомость может иметь месте»
на бесконечном удалении от всех тяготеющих тел.
После этих замечаний дадим расширенный ответ
на вопрос, рассмотрев по отдельности, как меняется
тяжесть и вес тела на его пути от Земли до Луньь
Тяжесть тела будет меняться по закону f = m[g'(R')—
—g(R)\ где g к g' — ускорения, сообщаемые телу
соответственно Землей и Луной и меняющиеся в за-
висимости от расстояния тела до Земли R и до Лу-
Рис. 154. нь1 /^' Значение g'—g=0 относится к точке, лежа-
лежащей между Лупой и Землей, где притяжения обоих:
небесных тел уравновешиваются.
Далее допустим, что прекращение работы двигателей, осуществлявших;
полет тела, произошло на такой высоте, где сопротивление земной атмосферь*
практически уже равнялось нулю. Тогда с этого момента на тело уже дейст-
действовали одни только силы гравитации, сообщавшие телу ускорение g'—g,
независимое от его массы. Таким образом, полет тела вплоть до момента еп>
прилунения происходил в условиях полной динамической невесомости.
Что касается массы тела, то технически достижимые скорости, сообщае-
сообщаемые в настоящее время макротелам, настолько далеки от скорости света,
что релятивистским приращением массы можно пренебречь.
82. О ходе изменения ускорения свободного падения, совпадающего с по-
понятием напряженности гравитационного поля, удобАо судить по изменению
потенциала поля:
F
g = —?- ---
Теория потенциала тяготения приводит к следующим выводам. Если плот-
плотность земного шара считать однородной, то вне его g убывает обратно про-
пропорционально квадрату расстояния от центра тяжести Земли до исследуемой
материальной точки, внутри же земного шара она убывает по линейному за-
закону (рис. 155, сплошная линия).
В действительности плотность наиболее глубоких слоев Земли больше,
чем наружных, поэтому уменьшение расстояния до центра Земли, считая от
ее поверхности, приведет сперва к увеличению значения g и лишь в дальней-
162
шем к его уменьшению до нуля в
центре тяжести Земли (рис. 155,
пунктирная линия). На ходе изме-
изменения g вне Земли непостоянство
ее плотности не скажется, так как
это поле дает такой же эффект,
как если бы вся масса земного ша-
шара была сосредоточена в его
центре.
83. Для того чтобы жидкость,
находясь на некотором уровне, са-
сама собой перетекла на другой р
уровень, существенно не то, чтобы
этот второй уровень оказался
ближе к центру тяжести Земли. Важно, чтобы он находился на
эквипотенциальной поверхности с потенциалом большим, чем для первой
поверхности; в силу же неоднородности земного гравитационного поля неиз-
неизменность расстояния до центра тяжести Земли не вполне совпадает с неиз-
неизменностью потенциала поля. На поверхности Земли такой эквипотенциальной
поверхностью является уровень всех океанов, и для того чтобы река потекла
в oheaij, необходимо и достаточно, чтобы исток реки оказался выше уровня
мирового океана.
84. На ходе пружинных часов перенос их с Земли на Марс ие отразится,
так как действующей силой является здесь сила упругости, не связанная по
своей природе с гравитацией. Что касается маятниковых часов, то, принимая
для простоты их маятник за математический, легко показать, что на Марсе
часы будут отставать и период их качений Т' =
85. Если масса, период обращения вокруг Солнца и длина большой полу-
полуоси орбиты для Земли известны, то для определения массы планеты достаточ-
достаточно получить из наблюдений значения ее периода обращения вокруг Солнца
и длину большой полуоси орбиты.
86. Второй закон Кеплера теряет силу, если движение планет относить не
к центру Солнца, а к центру масс всей солнечной системы. Этот последний
\ дален от центра Солнца на расстояние, равное 2,15 солнечных радиусов.
87. Максимальный приливный эффект наблюдается во время новолуния и
полнолуния, когда одновременные приливные действия Луны и Солнца скла-
складываются. Когда же Луна находится в первой и четвертой четверти, то вре-
время лунного прилива совпадает с солнечным отливом и их действия одно из
другого вычитаются.
88. В курсах астрономии доказывается, что разность ускорений, сообща-
сообщаемых небесным телом водной массе и массе твердой толщи Земли, равна:
A)
-=2* лГ-L
где G — универсальная гравитационная постоянная, R — радиус Земли, т„
г, — соответственно масса и расстояние небесного тела (Луны или Солнца)
до центра земного шара.
Пусть отношение массы Луны к массе Земли ~~М> а Для Солнца и
Земли —— -- 3,3-105 ; расстояния же до Земли от Солнца гс и от Луны
гл связаны соотношением гс=390 г д. Тогда, написав равенство A) дважды,
один раз для Луны, а другой раз для Солнца, и затем поделив одно на дру-
другое, получим:
11 163
= 2,2.
89. Следствием закона сохранения момента количества движения системы
Луна — Земля должно быть, помимо замедления угловой скорости вращения
Земли, еще увеличение секториальной скорости обращения Луны вокруг Зем-
Земли. Секториальная скорость зависит только от радиуса круга, описываемо-
описываемого Луной, а тогда по третьему закону Кеплера должен удлиниться и лунный
месяц. Влияние приливного действия Солнца, хотя оно в 2 с лишним раза
слабее, все же будет весьма заметно.
90. Законы сохранения полной энергии и полного момента количества дви-
движения, равно как и импульса, выполняются для любых изолированных сис-
систем, каковой, в частности, можно считать и нашу солнечную систему.
91. Приведенное значение второй космической скорости получено при ус-
условии запуска ракеты с земной поверхности в отсутствии атмосферы. В реаль-
реальных условиях, т. е. при учете последнего фактора, эта скорость будет несколь-
несколько больше.
92. Для того чтобы сообщить снаряду необходимую начальную скорость,
потребуется взрывчатое вещество такой силы, которое в первую очередь раз-
разрушит саму пушку, разбросав энергию взрыва в разные стороны. Правда,
время действия взрыва можно удлинить, а силу его уменьшить, но тогда при-
придется придать пушке такую длину, которая сразу сделает все предприятие
даже не технически трудным, а просто нереальным.
93. Систему из спутника и бомбы можно считать замкнутой. Таковой она
останется и по отделении бомбы от спутника, так как отделение это происхо-
происходит под действием внутренних сил. Следовательно, центр массы системы бу-
будет продолжать двигаться по той же траектории, что и раньше. Если к тому
же при отделении бомбы ей не было сообщено никакой начальной скорости
v0 в направлении к Земле, то взаимного удаления обоих элементов системы,
сопровождаемого приближением бомбы к Земле, не произойдет, и бомба ни-
никогда не ударится о Землю. В противном случае, когда направленная к
Земле скорость v0i^=0, бомба рано или поздно ударится о Землю. Общее ре-
решение вопроса потребовало бы знания дополнительных условий, касающихся
параметров системы.
94. Нарастание скорости при подъеме регулировалось последовательными
включениями секций многоступенчатой ракеты. Возвращение же спутника в
плотные слои атмосферы без искусственной регулировки его скорости, несом-
несомненно, привело бы к его сильному разогреву и, возможно, к гибели. Поэтому
здесь применяются специальные тормозные устройства с включением двига-
двигателя или переход на режим планирующего спуска, так что сгорать успевает
лишь специально сконструированная наружная защитная оболочка.
95. К ответу на вопрос можно подойти, использовав закон сохранения
энергии. Систему из Земли, спутника и атмосферы можно вполне считать за
изолированную. Тогда силы тяготения и сопротивления воздуха будут внут-
внутренними силами системы, и закон сохранения и превращения энергии для
двух высот hi и кг<к\ может быть написан в виде:
(§полн= COnst= ?/(/!,) + ,§ Kl = U(h2) + § ,<2 + б ш.утр , A)
где U (h) —потенциальная энергия спутника, зависящая от высоты h; ?к—
кинетическая энергия движения спутника по орбите; <§ВНутр — внутренняя
энергия спутника и окружающего слоя воздуха, в которую переходит работа
сил трения о воздух и которая выражается в нагреве.
Если полная энергия спутника уменьшится на величину <§ввутр, то
С/(й,) - ЩИг) - <§ виутр = <§К2 - <§к1 . B)
Здесь U(hi)—U(I12) =Ас/>0, и если потери на нагревание не слишком велики,
то KU—<§внутр>0, а тогда <§к2> <5к„, т. е. кинетическая энергия спутника на
164
более близкой к Земле орбите может оказаться большей, чем на более уда-
удаленной.
96. Сила земного тяготения обращается в нуль на бесконечности, на спут-
спутниках же имеет место только свобода от статического действия силы тяжес-
тяжести, т. е. невесомость.
97. Когда никакие силы, кроме тяготения, на тело не действуют, наступа-
наступает невесомость. Если говорить о человеке в кабине космического корабля, вы-
выведенного на замкнутую орбиту, то невесомость наступит при исчезновении
сопротивления воздуха и при выключенной тяге двигателей. Единственно же
действующая сила — тяготение — будет выполнять роль центростремительной
силы, удерживающей корабль на орбите. Характерным для силы тяготения
будет также то, что всем телам, находящимся в кабине, она будет сообщать
одно и то же ускорение. Но такое же ускорение будет сообщаться и самой
кабине, поэтому все тела в ней будут вести себя так, как если бы для них
не существовала даже сила тяготения.
Например, ходьба по полу согласно земному обычаю станет невозможной,
и для продвижения вдоль кабины придется воспользоваться законом сохране-
сохранения количества движения, т. е. передвигаться можно будет, отталкиваясь от
стены.
Наполнить стакан водой и наклонить его ко рту, чтобы напиться, станет
невозможным. Вода соберется в одну большую каплю, и направлять ее час-
частями в рот можно будет, только втягивая воду через трубочку.
98. Если масса М планеты при сохранении ею сферической формы и плог-
4
ности р возрастет до величины M'=-q-np(R'K, то объем планеты возрастет
пропорционально кубу ее нового радиуса R'. Тогда сила притяжения этой
планеты, пропорциональная сообщаемому ею ускорению у ее поверхности, бу-
будет выражаться формулой:
8~ (R'f ~ (Я'J ~R ¦
Тачим образом, влияние увеличения массы пересилит обратное влияние
увеличения геометрических размеров, и сила притяжения возрастет.
99. Как известно, выталкивающая сила Архимеда является следствием
различного давления на верхнюю и нижнюю части тела, погруженного в
жидкость. При свободном падении сосуда с жидкостью, а также на спутнике
в условиях невесомости, давления на тело исчезают, и действие закона Архи-
Архимеда прекращается.
100. Введем обозначения: Р, рт, V — соответственно вес, плотность и
объем тела; F, рж, Vi — соответственно архимедова сила, плотность жидкости
и часть объема тела, погруженная в воду.
По условию V\= -у, условием же плавания тела будет Р = Г или pTgV =
, откуда
* = ¦ Рт
Рж
Таким образом, при РфО и F Ф§ глубина погружения тела зависит толь-
только от плотностей тела и жидкости, так что на поверхности Земли и Марса
при прочих равных условиях глубина погружения будет одинаковой. В усло-
условиях же невесомости соотношение ~f~ = ~п~ обращается в неопределенносго,
и здесь положение тела в жидкости предсказать нельзя.
101. Шар будет плавать, будучи частично погруженным в воду, при усло-
условии равенства веса шара Р действующей на него архимедовой силе F, т. е.
при условии:
Р — F = 0 A)
165
Введем обозначения уь Yi Уз — удельные веса соответственно воздуха,
воды и материала шара; V\, V2, Vs— соответственно часть объема шара, на-
находящаяся в воздухе, в воде, и его полный объем Va=Vi+V2- Тогда
¦P=Y3V3, F = ylVi + ysV2 = y1V3+ (у,—у2) Vj и при условии A):
B)
Заключения: а) Если принять Yi =0. т- е. если воздух удалить, то
часть объема шара У'\ над поверхностью воды будет меньше Vi, шар по-
погрузится глубже; б) если же принять Yi'>Yi< T- е- если воздух сжать, то
будет V"\~>V\, шар несколько всплывет.
102. Погруженное в жидкость или в газ тело будет опускаться вниз, пока
плотность тела рт больше плотности среды рс, и тело будет подниматься
вверх, пока рт<рс
В свободной атмосфере ее плотность довольно быстро убывает с высо-
высотой, поэтому на некоторой высоте уже будет иметь место равенство рт = рс
и подъем прекратится.
В воде подводная лодка будет тонуть до тех пор, пока рт>Рс. Но мож-
можно подсчитать, что для уплотнения воды всего в два раза потребуется глу-
глубина больше 100 км, а для того, чтобы в воде плавал сплющенный давлением
железный корпус подводной лодки, потребовалась бы глубина больше 400 км.
Поскольку наибольшая глубина океана порядка 10—11 км, подводная лодка,
начавши погружаться, будет продолжать погружение до самого дна океана.
Удерживать же ее на определенной глубине можно лишь с помощью специ-
специальные цистерн, наполняемых водой или опоражниваемых в зависимости от
требуемого предела погружения лодки. Поскольку, однако, точная регулиров-
регулировка лих операций невозможна, лодка удерживается на заданной глубине до-
дополнительным балансированием рулями.
103. а) а=0; б) а=0; в) а=а0; г) вода в ведре будет плескаться.
104. Если бы грузом баржи был водяной балласт, то вытесняемый им объем
в точности равнялся бы объему воды, вылитой за борт баржи, _и уровень ее
в шлюзе не изменился бы. В случае же различия в плотностях воды и бал-
балласта этого не случится, и уровень воды в шлюзе изменится. Количественный
расчет показывает, что уровень воды в шлюзе уменьшится.
105. На погруженный в воду кусок железа будет действовать снизу вверх
сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости в объеме куска железа.
К жидкости же будет приложена равная ей противодействующая сила. Она
передастся на дно ведра, и весы покажут больший вес. Качественно тот же
результат получится и в случае положенной в воду пробки.
106. Нет.
107. Изменение силы давления AF газа в закрытом сосуде измеряется из-
изменением высоты Д/г столбика жидкости в измерительном колене открытою
манометра. При этом AF=pgAV, где р — плотность манометрической жид-
жидкости, a AV—-тот ее объем, который переходит при измерении из одного колена
в другой. Очевидно, что при AF=const будет AV=const=pgrSiA/zi=ogS2A/i2,
т. е. изменение высот жидкости в коленях обратно пропор!?ионально площадям
их поперечных сечений Si и S2. Поэтому если за измерительное колено вы-
выбрать вдвое меньшее по диаметру, то изменение высоты жидкости в ней б>дет
вчетверо большим. Предел же точности прибора определяется длиной того на-
наименьшего деления шкалы, которая еще* может быть надежно зарегистриро-
зарегистрирована наблюдателем. Поэтому при указанном выше выборе колен точность из-
измерения будет вчетверо большей, а погрешность вчетверо меньшей. При об-
обратном выбвре колен точность и погрешность соответственно изменятся в об-
обратную сторону.
108. Статическое трение или трение покоя уравновешивает внешнюю силу
до тех пор, пока под действием этой силы не начнется относитечьное переме-
перемещение обоих тел.
Пусть на горизонтальной стеклянной пластинке лежит капля жидкости.
166
Если жидкость такова, что она абсолютно не смачивает стекла, то при сколь
угодно малом наклоне пластинки уже начнется движение капли, и можно
сказать, что статическое трение здесь отсутствует. Во всех прочих случаях
угол наклона, при котором капля еще сохранит свою неподвижность отно-
относительно пластинки, будет конечен. Следовательно, статическое трение за счет
действия сил молекулярного сцепления при любом не равном нулю смачива-
смачивании будет существовать.
109. Для случая идеальной, т. е. безвязкостной и несжимаемой жидкости
силами, действующими на ее элементарные объемы, будут силы давления и
тяжести. Тогда при сужении потока за счет уменьшения поперечного сечения
трубы давление в ней уменьшается, а скорость потока увеличивается.
Если жидкость не идеальна, то учитывается еще работа сил внутреннего
трения, приводящая к частичному рассеянию энергии на нагревание.
ПО. Уравнение Бернулли для неидеалыюй жидкости, протекающей по
двум смежным участкам трубы, имеет вид:
) =Л = const , A)
где р — плотность жидкости и /l = const=7^0 — работа сил внутреннего трения,
отнесенная к единице объема за 1 сек.
Если труба горизонтальна, то разность высот ее участков h\—ft2=0, a
если скорость течения постоянна, то v\ = v2. Тогда выражение A) упростится,
и оно может быть написано в виде:
Р2=Р\-А . B)
Таким образом, давление жидкости во всяком последующем участке тру-
труби меньше, чем в предыдущем, на величину удельной ежесекундной работы
сил внутреннего трения. Этим и объясняется понижение уровня жидкости в
манометрических трубках.
111. Уравнение Бернулли для горизонтальной трубы при отсутствии внут-
внутреннего трения принимает вид:
I 2 1 3
~2~ pvt + Pi = ~Y PW3 + Рг ¦ A)
Кроме того, согласно уравнению неразрывности струи для несжимаемой
жидкости:
Sm = S2t>2 • B)
По исключении v2 из (!) и B) получим:
^tf О)
Отсюда следует, что при установившемся потоке жидкости в горизон-
горизонтальной трубе с различными сечениями рг>р\, если S2>S\, т. е. большее
давление будет в местах с более широким сечением. Это скажется на соот-
соответственной высоте уровней жидкости в манометрических трубках.
Если стопорный кран в конце трубопровода быстро закрыть, то по нему
в обратном направлении побежит волна повышенного давления, что скажется
на соответственном повышении уровней воды в манометрических трубках.
По достижении резервуара в начале трубопровода давление жидкости упадет,
и к концу трубопровода снова побежит волна, но уже пониженного давления,
что скажется на соответственном понижении уровней жидкости в манометри-
манометрических трубках. Если кран остается закрытым, то затухание колебаний дав-
давления вернет жидкость к ее одинаковым уровням во всех манометрических
трубках согласно закону сообщающихся сосудов. Теория явления, напивае-
напиваемого гидравлическим ударом, была разработана Н. Е. Жуковским.
167
if,
112. Пользуясь понятием относительности движения, можно заменить две
лодки, движущиеся относительно берега на параллельных курсах, теми же
двумя лодками, покоящимися относительно берега, но обтекаемыми потоком
роды. Поперечное сечение Si потока между лодками (рис. 156) меньше сече-
сечения S2 потока с наружных сторон лодок. Поэтому на основании уравнения
неразрывности струи S\V[=S2V2, скорость пото-
потока i>i между лодками будет больше скорости
v2 с их наружных сторон. Но тогда из уравне-
уравнения Бернулли следует, что давление воды на
наружные бока лодок рг будет больше давле-
давления /?i части потока между лодками, которое
будут испытывать смежные бока лодок. В ито-
итоге лодки будут притягиваться друг к другу.
Та же картина взаимного притяжения будет
иметь место и в случае двух автомашин, иду-
идущих на параллельных курсах. Если же направ-
направления движения будут антипараллельны, то
эффект будет обратный, и притяжение сменит-
сменится отталкиванием.
113. Упрощенное объяснение явления мо-
может быть сформулировано следующим образом.
Вертикальная струя, вытекающая из отвер-
отверстия трубы, сохранила бы при своем падении
цилиндрическую форму, если бы скорости
ее частиц были тождественны н по величине и по направлению. Тогда при от-
отсутствии всяких возмущений силы поверхностного натяжения могли бы сохра-
сохранить цилиндрическую поверхность струи как наименьшую в данных условиях.
Однако даже при ламинарном характере течения воды в прямой трубе линии
тока могут быть прихотливо изогнуты, даже не переходя к турболептности. По-
Поэтому когда частицы жидкости освободятся от сдерживающего действия сте-
стенок, то струя немедленно разобьется на множество отдельных капель.
114. Для тела, падающего в вязкой среде, например в воздухе, выраже-
выражение второго закона динамики примет вид:
Рис. 156.
Р— FA —Fc=--m-
dv
Ж
где Р — сила тяжести тела, остающаяся почти постоянной; Fa — сила Архи-
Архимеда, величиной которой здесь можно пренебречь; Fc~v — сила сопротивле-
сопротивления воздуха, которая при не слишком больших скоростях пропорциональна
по закону Стокса первой степени скорости.
С увеличением скорости левая часть равенства обратится в нуль, тогда
dv
ускорение—-jr~ =0 и скорость t' = const. По достижении этого предела тело
будет продолжать падение с постоянной скоростью, называемой установив-
установившейся.
115. Разность давлений на нижнюю и верхнюю поверхности крыла само-
самолета определяет собой величину его подъемной силы Fa. Опыт и теория по-
показывает также, что
где v — относительная скорость набегающего воздушного потока, 5 — пло-
площадь несущей поверхности крыла и р — плотность воздуха.
Отсюда следует, что благодаря уменьшению плотности атмосферы с
высотой подъемная сила самолета падает.
116. Для того чтобы к решению задачи можно было применить закон
Стокса, ограничимся случаем сферической формы обоих тел.
Введем обозначения- P=pgV и FA=p'gV, где Р — вес шара, V — его объ-
объем, /-'а — выталкивающая сила Архимеда, р — плотность вещества шара и
168
p' — плотность сред;1. Далее Ft=6.Tti]/'f, где г — радиус шара, v — скорость,
его падения в среде с коэффициентом вязкости т).
Эти три силы, действующие на опускающийся шар, по второму закону Нью-
Ньютона дадут: Р—Fa—Fс = та. Поскольку сила Fc растет со скоростью падения,
а Р и Fa постоянны, то в пределе будем иметь: Р—Fa—Fc = 0. Так как в
этом случае ускорение а=0, то скорость принимает установившееся значение:
vv ~ (Р - р') • 0>
Из A) видно, что скорость vy будет больше у тела, обладающего боль-
большей плотностью, а при одинаковых объемах у более тяжелого тела, почему
при достаточной высоте падения оно и достигнет земли первым.
117. Нужно предоставить волне при ее встрече с препятствием совершить
какую-нибудь работу, полезную или разрушительную. Достаточно даже прос-
просто понаблюдать возникновение колебательного движения плавающего тела,
когда до него дойдет фронт волны, порожденной находящимся на некотором
расстоянии источником.
118. Волны в сплошных средах с пренебрегаемо малым затуханием буд\т
носить устойчивый гармонический характер, если линейная колебательная сис-
система подвергнута действию гармонического осциллятора.
Такие волны при их распространении будут оставаться гармоническими,
так как частота будет неизменной и амплитуда не будет меняться ни в зави-
зависимости от времени (при отсутствии затухания), ни с расстоянием (если вол-
волна плоская). Чтобы получить плоскую поверхностную волну на опыте, надо-
периодически касаться поверхности спокойной воды ребром достаточно длин-
длинного прямого стержня.
119. Деформация кручения может быть сведена к поперечной деформа-
деформации неоднородного сдвига, сопровождаемого продольными деформациями рас-
растяжения и сжатия. Распространение же крутильных колебаний в твердых те-
телах может быть сведено к суперпозиции двух указанных типов волн, так как
решение линейного дифференциального уравнения движения удовлетворяет ре-
результатам опыта, если, конечно, линейна сама среда, в которой распространя-
распространяются волны.
120. Плоская волна может быть получена с помощью линейки, которая,
периодически опускается сверху на поверхность воды. Если же в трехмерной
воздушной среде возбуждать колебания электромагнитным камертоном или
каким-либо другим вибратором небольших размеров, то волны, особенно на-
достаточном удалении от источника, могут считаться шаровыми.
121. Эти функции не отражают самой главной особенности волнового дви-
движения — периодичности, поэтому ими нельзя описать волновое движение.
12$. Интенсивность волны
/ =--wc ,
P<i>2 A
где объемная плотность энергии w—~—^—!-, с — скорость распространений
волны, р — плотность среды, со — круговая частота и А1 — — амплитуда
смещения, изменяющаяся с расстоянием соответственно типу волны: для пло-
плоской волны а = 0, для круговой или цилиндрической а= "о", для сферическоГ?
а=\. На поверхности воды возникают только плоские и круговые волны.
123. В реальных случаях всегда имеет место некоторое затухание, т. е.
превращение волновой энергии в теплоту. Этим и объясняется, почему интен-
интенсивность сферических волн убывает быстрее, чем этого требует закон обрат-
обратных квадратов.
124. Если колебательная система или среда, где распространяется волно-
волновое поле, описываются линейными уравнениями, то для них выполняется
принцип суперпозиции, в силу которого фронты волн, проникающих одна в
другую, взаимно не деформируются.
169
125. Имеет место только пространственное перераспределение энергии, не
нарушающее закона ее сохранения.
126. Пусть отраженная волна имеет амплитуду Л2, меньшую амплитуды
Л, падающей волны. Разобьем эту последнюю на две волны: одну с ампли-
амплитудой А2, а другую с амплитудой А\—Л2. Тогда две встречные волны с оди-
одинаковыми амплитудами Аг дадут стоячие волны с четко выраженными узла-
узлами, где результирующая амплитуда в точности равна нулю. На стоячую волну
будет накладываться бегущая с амплитудой А\—Лг, в результате чего коле-
колебательное движение в узлах уже не будет отсутствовать полностью, а бу-
будет лишь ослаблено. Будет иметь место также и ослабленный перенос энерпы.
127. Затухание приводит к неравенству амплитуд прямой и отраженной
волн на струне, играющей роль резонатора. Отсюда согласно сказанному в
ответе на предыдущий вопрос и вытекает отсутствие резко выраженных узлов
на резонирующей струне.
128. Если бы скорости звуковых воли разной длины были различны в од-
одной и той же среде, мы не могли бы воспринимать музыкальных произведений.
Одновременность звучания тонов различной высоты, на которую они были
рассчитаны, была бы для человеческого слуха невозможной.
129. Судьба звуковых волн, порожденных каким-нибудь источником в за-
закрытом помещении, резко отличается от условий распространения звука на
открытом воздухе. Волна, возникающая внутри помещения и достигающая
его стен, пола, потолка и других предметов, частично поглощается, частично
пропускается наружу, но частично и отражается, оставаясь внутри помещения.
Образуется сложная система стоячих волн, и звуковая энергия, созданная
источником за время его действия, в результате многократных отражений
звука наполняет все помещение и частично аккумулируется в нем. Поэтому
с момента прекращения действия источника звук в помещении исчезает не
¦сразу, а постепенно, затухая иногда в течение двух и даже трех секунд. Это
время, называемое временем реверберации, обусловливает степень гулкости
помещения.
130. а) Один конец струны прикрепляют к молоточку электрического звон-
звонка, а другой конец, перекинутый через блок, нагружают чашкой весов с гру-
грузами. При определенных натяжениях струны в ней возникают стоячие волны
с ясно выраженными на глаз местами узлов и пучностей.
б) Узлы стоячих волн, возбуждаемых в столбе воздуха внутри стеклян-
1 ой трубки, становятся видимыми с помощью пыльных фигур в известном
опыте Кундта.
в) Узловые линии на пластинках, посыпанных мелким песком, получают-
получаются с помощью смычка, которым проводят по тому месту пластинки, где же-
желают получить пучность, и с помощью пальца руки, который прижимают к
тому месту пластинки, где желают получить узел. Получающиеся таким обра-
образом линии узлов известны под названием хладниевых фигур.
131. Изменяя натяжение струны настраиваемого инструмента, добиваются
того, чтобы стали слышны биения, создаваемые струной и той нотой на рояле
или на другом инструменте, на которую производится настройка. При даль-
дальнейшем сближении звуков по высоте период биений удлиняется и, наконец,
пропадает для слуха совсем, после чего настройка может^счнтаться закоп-
закопченной.
132. Колебания скрипичной деки, возбуждаемые в результате резонанса,
приводят к обратному воздействию этих колебаний на струну, так что дли-
длительность последних в присутствии деки несколько увеличится, а в отсутствии
ее уменьшится.
133. В воздухе, как и в других газах, возможны только продольные
волны. В условиях вопроса их можно считать сферическими. Две системы
продольных сферических волн будут между собой интерферировать, если эти
волны одинаковы по частоте, распространяются в одном направлении и источ-
источники их когерентны, т. е. сохраняют одну и ту же разность фаз колебаний.
В заданных условиях интерференцию воли ожидать следует.
134. В упругих средах поперечный эффект Допплера отсутствует. В слу-
170
чае наличия поперечной компоненты скорости наблюдателя на эффект Доп-
плера будет влиять лишь продольная составляющая скорости.
135. При выводе общей формулы эффекта Допплера в упругой среде, на-
например в воздухе, среда, к которой относились движения источника и наблю-
наблюдателя, предполагалась неподвижной. При наличии же ветра, приводящего в
движение среду, нужно учитывать ту составляющую его скорости, которая
совпадает с направлением относительной скорости источника и наблюдателя
136. Если один из одинаковых камертонов некоторое время подержать в
руке, то в результате нагревания ножки его несколько удлинятся, и создав-
создавшаяся небольшая разница в частотах обоих камертонов приведет к ощути-
ощутимым на слух биениям.
137. Температуру можно понимать с точки зрения молекулярно-кинетиче-
¦ской как меру средней кинетической энергии молекул, и тогда температу-
температура будет понятием микроскопическим. Но ее можно понимать и с точки зре-
зрения термодинамической, просто как меру нагретости тела, регистрируемую
¦приборами (термометром, пирометром и пр.), и тогда температура будет поня-
понятием макроскопическим.
138. Понятия теплого и холодного условны. Обычно, когда мы моем руки
водой комнатной температуры, она кажется нам холодной, а если той
же водой мыть руки после того, как мы побудем на морозе без перчаток, то
вода покажется нам теплой.
Значит, наше суждение о том, что вода холодна или тепла, вытекает из
сравнения ее с теплотой наших рук. Иначе говор1!, ощущение теплоты и хо-
холода связано с разностью температур, а не с их абсолютными значениями. Та-
Таким образом, наше субъективное определение предмета, как более горячего,
не обязательно связано с его более высокой температурой как с объективной
мерой его теплового состояния.
139. В указанных случаях можно воспользоваться' а) данными спектраль-
спектрального анализа и болометром; б) выше примерно 30 км акустическими и оптиче-
оптическими методами, ниже — термографом, который поднят шаром-зондом;
в) термоэлементом; г) методом Росса, который собирал лунный свет в фокусе
гигантского рефлектора и прибегал к помощи болометра; д) опущенным на
дно ртутным термографом, заключенным в защитную оболочку от механичес-
iviix воздействий и в первую очередь от давления воды.
140. Желательно, чтобы газ был близок к идеальному, так как выбор
термометрического вещества будет тогда безразличен, а шкала совпадет с'
термодинамической. В настоящее время того же добиваются с помощью ре-
реальных газов (водорода, гелия или азота), но вводятся поправки на неиде-
неидеальность.
141. Температурные границы жидкого состояния воды узки @— 100°С
при нормальном давлении) и исключают возможность пользоваться ею как
термометрическим телом в смежных, но практически важных областях.
В этом отношении границы, предоставляемые ртутью, много шире (—39—
+ 600°С).
Коэффициент объемного расширения воды меняется с температурой гораз-
гораздо сильнее, чем ртути, так что равномерность ртутной шкалы много больше, чем
у воды. Таким образом, по сравнению с водяным термометром Галилея pry гний
термометр Гюйгенса является весьма большим усовершенствованием, не по-
потерявшим своего значения и до настоящего времени.
142. Сперва несколько расширяются стеклянные стенки термометра и уже
потом начнет расширяться ртуть.
143. Наиболее точно коэффициент линейного расширения измеряется с
помощью компаратора и микрометрического винта. Расчетной является фор-
формула:
М
Поскольку в формулу входит лишь отношение удлинения Д/ к первона-
первоначальной длине образца /о, то от выбранной единицы длины результат m\ic-
171
рения зависеть не будет. Что касается температурной шкалы, то, если выра-
выражать температуру в градусах Фаренгейта, численно результат будет в 1,8
раза меньше по сравнению с измерениями в градусах Цельсия.
144. Аномальное уменьшение объема, т. е. увеличение плотности с нагре-
нагреванием, встречается лишь у немногих жидкостей и то в небольшом темпера-
температурном интервале. У воды это происходит в границах от 0 до +4°С, когда
коэффициент теплового расширения становится отрицательным.
Одно из объяснений аномалии плотности воды заключается в том, что
ей приписывается тенденция к ассоциации ее молекул, которые образуют
различные группы [Н2О, (Н2О)г, (Н2ОK], удельный объем которых различен
При разных температурах различны и концентрации этих групп, следователь-
следовательно, различен и их общий удельный объем. Сущность гипотезы заключается в
том, что минимум удельного объема воды, т. е. максимум ее плотности, при-
приходится на температуру +4°С.
Однако объяснение это не единственное. Другая гипотеза ставит во гла-
главу угла рыхлость (ажурность) молекулярной структуры воды, благодаря чему
в некоторых, правда узких, пределах усиление тепловогс движения молекул
воды может приводить к уплотнению ее молекулярной структуры, т. е. к
аномальной плотности.
145. Будем рассматривать маятник часов как физический и воспользу-
воспользуемся формулой его периода:
g
где приведенная длина L= , т — масса маятника, /—его момент
md
инерции относительно оси качания и d— расстояние от этой оси до центра тя-
тяжести маятника. Пусть в нижнюю часть трубчатого маятника налита ртуть,
коэффициент линейного расширения которой мало меняется с температурой.
Г. повышением ее и с удлинением столбика ртути центр тяжести маятника не-
несколько повысится, а тогда расстояние d и момент инерции / уменьшатся, так
что частное их не изменится или изменится мало. Этим будет достигнуто при-
бтиженное постоянство L и независимость периода качаний маятника от тем-
температуры.
146. Различие между количеством теплоты и температурой можно ясно
усмотреть из следующих примеров: а) при таянии льда ему сообщается те-
теплота, а температура остается неизменной, б) при смене состояния системы в
виде адиабатного расширения система не получает и не отдает теплоты,
температура же в системе падает.
147. Условимся различать две формы передачи энергии. Если осуществ-
осуществляется передача энергии упорядоченного движения, т. е. энергии кинетической
пли потенциальной, то такая форма передачи будет называться работой, Пе-
Передача энергии неупорядоченного движения, т. е. передача внутренней энер-
энергии, будет называться теплотой. В зависимости от указанных выше форм ме-
мерой передачи энергии может быть количество работы или количество теплоты.
В рассматриваемом вопросе речь идет о последнем. ^.
Если исходить из какого-нибудь теплового состояния тела и переводить
его в другое различными способами (изотермически, изобарически и пр.,), то
окажется, что потребное для этого количество теплоты будет различным, оно
будет зависеть не только от начального и конечного состояний, но и от пути.
Отсюда следует, что не имеет смысла говорить о запасе теплоты, как мы го-
говорим о запасенной в теле энергии, зависящей только от состояния тела.
148. В ответе на вопрос 146 уже приводился пример с таянием льда,
когда прирост тепла не вызывает в теле прироста температуры. Если имеет-
имеется кусок льда при 0°С и соприкасающееся с ним тело при более высокой
температуре, то возникнет и потечет сам собой процесс выравнивания темпера-
температур, процесс передачи энергии хаотического движения молекул, т. е. тепловой
процесс. Процесс этот не противоречит упоминавшейся выше концепции
тепла как энергии в процессе передачи.
172
149. внутри помещения воздуху от источника непрерывно передается не-
некоторое количество теплоты. Этим между внутренней и внешней поверх-
поверхностями стен поддерживается некоторый температурный градиент. Температура
внутренней поверхности стены оказывается ниже температуры комнатного
воздуха, а температура внешней поверхности выше температуры наружного
воздуха. Если прекратится действие источника тепла внутри помещения, то
температурный градиент постепенно станет равным нулю, и температуры вну-
внутренней и внешней поверхностей стен станут одинаковыми и буд\т равны тем-
температуре наружного воздуха.
150. Разница между теплотой и работой только в том, что в первом слу-
случае работа связана не с упорядоченным движением макротел, а эту работу со-
совершают в своем хаотическом движении микрочастицы. Поэтому, строго гово-
говоря, количество теплоты и работа должны выражаться в одних и тех же едини-
единицах (например, в джоулях). Механический же эквивалент теплоты, играющий
только роль переводного множителя, появился в результате исторических при-
причин, когда совершенно произвольно была введена в качестве единицы коли-
количества теплоты калория.
151. Выражение первого начала термодинамики имеет вид:
. A)
Здесь AU — изменение внутренней энергии системы, ДЛ — работа, совер-
совершенная системой (ДА>0) или над ней (ДЛ<0), AQ — положительное илч
отрицательное приращение тепла, т. е. его приток в систему или уход из нее.
Если рассматриваемой системой служит некоторая масса воды, то приме-
применительно к процессу фазового перехода (к замерзанию воды) равенство A)
может быть истолковано следующим образом.
При соприкосновении с наружным воздухом, температура которого ниже
нуля, а давление, допустим, нормальное, кинетическая энергия молекул воды
убывает, почему убывает и част!, внутренней энергии системы (AU'<0).
Убывание скорости движения молекул вводит в игру молекулярные силы сце-
сцепления, работа которых приводит к кристаллизации, как к наиболее устойчи-
устойчивому состоянию системы. При этом с уменьшением межмолекулярных рас-
расстояний потенциальная энергия системы AU", входящая в состав внутрен-
внутренней, также убывает {AU"<0). Итак, в целом внутренняя энергия системы
AU здесь убывает:
AU=AU' + AU" < 0 . B)
Что касается работы, затрачиваемой на образование кристаллов, то
АА = p(V2 — V'i) > 0 , C)
так как ебъем образовавшегося льда V2 больше соответственного объема во-
воды Vi. Положительный знак работы приходится относить за счет аномалии
плотности воды.
По окончании работы, затраченной на кристаллизацию, в правой части
равенства A) остается только Д?/<0, и потому в итоге процесс замерзания
приводит к выделению теплоты из системы (AQ<0).
152. С точки зрения макроскопической идеальным может считаться газ,
подчиняющийся законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака в такой мере, что
отклонениями от этих законов можно пренебречь; этим условиям отвечает
газ при высокой температуре и низком давлении.
С точки зрения микроскопической скорости молекул идеального газа столь
велики и время их сближения столь мало, что потенциальной энергией при-
притяжения молекул можно пренебречь; сами молекулы идеального газа могут
быть приняты за материальные точки, так что собственным объемом молекул
можно пренебречь.
153. Если температура стенок сосуда поддерживается равной температуре
газа внутри сосуда, то теплообмен AQ через теплопроводность будет невоз-
невозможен вне зависимости от степени упругости или неупругости соударений ме-
173
жду молекулами газа и стенками. Действительно, если температурный гра-
А7" " \Т
диент -д-— = 0, то согласно уравнению Фурье AQ ~ . =0 .
154. Представим себе кусок сырой глины, падающей с высоты на землю.
Движение частиц этою тела во время падения будет складываться из хао-
хаотического (теплового) движения молекул, соответствующего температуре тела
при падении, из направленного движения тела в целом, т. е направленного-
движения всех его частиц, взятых вместе или по отдельности. При абсолютно-
неупругом ударе о землю вся механическая энергия тела, т. е. энергия его
упорядоченного движения целиком, идет на увеличение теплового движения
его частиц.
155. Выведенная на основе статистики Больцмана барометрическая фор-
формула имеет вид:
f(h,T) = Pc,e~ kT .
где р—давление атмосферы на высоте h. В этой формуле принято считать
g = const и зависимостью g(li) пренебрегать. Зависимость эта учтена в более
точной формуле Лапласа, однако практика показала, что на точность изме-
измерений изменение высоты и широты места влияет в гораздо меньшей степени,
чем, например, температура Т. На этом факте и основано пренебрежение зави-
зависимостью g(h) в потенциальной энергии mgh газовых молекул, находящихся
в гравитационном поле.
156. Поскольку движение газовых молекул в сосуде хаотично, к их ско-
скоростям применимо распределение Максаелла. Доказывается, что при Г = const
распределение это равновесно, т. е. постоянно во времени. Следовательно,
постоянно во времени и среднее количество движения, сообщаемое
газом стенкам сосуда. Отсюда вытекает и постоянство силы давления газа на
стенки сосуда.
157. Необходимо строго различать направленное, упорядоченное движе-
движение от хаотического. В условиях вопроса в точности равна нулю как скорость
поступательного движения сосуда, так и скорость упорядоченного движения
газовых молекул, единого для всех них. Хаотические же тепловые скорости
молекул, движущихся в неподвижном сосуде, в сумме не равны нулю и в
целом определяют давление газа на стенки сосуда.
Так, согласно основному уравнению кинетической теории газов
v — -д- попгиг ,
т. е давление р идеального газа на стенки сосуда определяется числом мо-
молекул п0 в единице объема, массой молекулы m и среднеарифметическим
значением квадрата их скоростей и2.
158. Поступательное (или вращательное) движение сосуда в целом доба-
добавляет к средней скорости v\ молекул газа составляющую в форме упорядо-
упорядоченной поступательной скорости иг. Эта составляющая, сообщая молекулам
газа энергию поступательного движения—тр . даст при некоторых условиях
возможность газу совершить дополнительную работу, но не повысит его
температуру, так как она определяется только хаотическим (тепловым) дви-
движением частиц.
159. Применение в тексте вопроса термина «температура в 1000°К» не-
неправомерно. Термин этот означает здесь только, что средняя квадратичная
скорость молекул, которые могут проникнуть в верхние слои атмосферы,
должна быть весьма велика. Она равна и— л/ или для отдельной
молекулы массы т « =
174
Однако, согласно распределению Максвелла, абсолютное количество та-
таких быстрых молекул в верхних слоях атмосферы весьма мало и потому со-
совокупное действие их общей кинетической энергии, приходящейся на единицу
площади термометра и изменяющей внутреннюю энергию термометрического-
тела, также весьма мало. Отсюда и низкое показание термометра, реагирую-
реагирующего на суммарное тепловое воздействие среды, непосредственно окружаю-
окружающей поверхность термометра.
160. Разделение на компоненты, или, как говорят, на фракции, газовой
смеси молекулярно-кинетическими методами часто производится путем диф-
диффузии через пористую перегородку в вакуум или в пространство, наполненное
более легким компонентом газа при пониженном давлении. Поскольку частых
столкновений между молекулами, замедляющих диффузию, здесь не происхо-
происходит и диффузия в основном определяется большими тепловыми скоростями
молекул, то время, потребное для разделения газовой смеси, оказывается сра-
сравнительно коротким.
161. В полом цилиндре, вращающемся с огромной скоростью, устанавли-
устанавливается равновесное распределение тяжелых и легких частиц газа. Вся масса
газовой смеси благодаря передающемуся ей трению о вращающиеся стенк»
цилиндра приходит во вращение. Более легкая компонента газа концентриру-
концентрируется в аксиальной области цилиндра, а более тяжелая отбрасывается к стен-
стенкам. Для использования первичного результата разделения периферийной
части газа ей сообщается скорость, направленная вниз, что способствует гра-
гравитационному воздействию на более тяжелую компоненту в нелях удаления
ее из центрифуги. Второй противоток направлен вверх вдоль аксиальной об-
области центрифуги.
Преимущества центрифугирования проявляются при разделении на ком-
компоненты тяжелых газов, так как коэффициент разделения зависит здесь не
от корня квадратного из отношения масс компонентов, как при диффузии, а от
их разности. Производительность процесса центрифугирования оказывается
здесь большей, чем при пользовании диффузионным методом.
162. Представление о молекулах как об упругих шариках не соответству-
соответствует действительности, так как взаимодействие молекул на малых расстояниях
носит в основном электрический характер. Поэтому величине d2, входящей в
форм\лу средней длины свободного пробега молекул и называемой эффектив-
эффективным сечением молекулы, придается вероятностный смысл. Если d2 сравнительно
велико, то это не значит, что велики размеры молекулы, а означает лишь,,
что велика вероятность ее столкновения с другими молекулами. Такое толко-
толкование не противоречит тому, что эффективное сечение молекулы измеряется в
единицах площади, хотя постоянство геометрической площади сечения данной
молекулы теряет смысл. Можно сказать также, что подразумевается диаметр
той области, окружающей молекулу, на границе которой уже становятся за-
заметными электрические отталкивательные силы, действующие между сбли-
сближенными молекулами. Практически, однако, иногда оказывается возможным
рассчитывать взаимодействие между молекулами как соударение упругих:
шаров микроскопических размеров. Сюда относятся, например, молекулы во-
водорода и гелия.
163. Отказ от представления о непосредственном контакте молекул при
их столкновении еще не означает невозможности смены направления скорос-
скоростей молекул на больший или меньший угол при их сближении. Последнее мо-
может произойти в результате взаимодействия силовых (электрических) полей,,
связанных с каждой молекулой. Поэтому за термином «средняя длина сво-
свободного пробега молекулы» может вполне сохраниться определенный смысл —
это путь, проходимый молекулой между двумя изменениями ее вектора ско-
скорости в результате взаимодействия полей данной молекулы и встречной.
164(а, б, в). Чем больше скорость молекулы, тем на большую глубину-
взаимно проникнут силовые поля данной молекулы и встречной с ней. Тем са-
самым величина эффективного поперечного сечения молекулы d2 с увеличением-
175
•ее скорости уменьшается, а средняя длина свободного пробега ( / ~"Ж~ I Уве"
личивается. Но, чем больше скорость газовых молекул, тем выше температура
газа, следовательно, и длина свободного пробега молекул будет тем большей,
чем выше температура газа.
/ С"
Математический расчет Сэзерлэнда дает: d = do\/ \-\-—, где C = const.
Тогда по подстановке в формулу средней длины свободного пробега получит-
получится: I — 1а -7Т- , где 1а — _ г — , a d0 относится к бесконечно
, + 4т- '-\ 2nd0
высокой температуре.
165. Электрически нейтральные атомы любого газа характеризуются своей
массой. Закон же максвеллова распределения скоростей газовых молекул мо-
может быть приведен к виду, не содержащему явно масс однородного газа:
dn .... 4
V
¦-?(*); ?{-*)= ,7=- е ' хЫх , A)
где
wf- B)
dn
Здесь —-— определяет ту долю dn от числа молекул я, скорости которых
лежат между и и u+du. Масса моля ц, характеризующая тот или иной сорт
молекул, не входит явно в выражение A), дающее зависимость п(х). Перехо-
Переходя же к зависимости числа молекул от их скорости и, можно выразить эту за-
зависимость (аналитически или графически) по отдельности для каждого значе-
значения |х, т. е. для каждого сорта атомов.
166. В отношении плотности потока молекул и их скорости все радиальные
направления х равноправны. В опыте же благодаря вращению обоих цилинд-
цилиндров поочередно участвуют все радиальные направления х, лежащие в плоскос-
плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Таким образом, равноправность в смене
одних молекулярных пучков другими не должна отрицательно отражаться на
совпадении данных эксперимента с результатами теоретического подсчета, ко-
которое фактически оказывалось весьма удовлетворительным.
167. Этот вариант с постоянным молекулярным пучком отличен от того
опыта Штерна с двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами, где в це-
целом изучается распределение молекул по скоростям в объеме самого газа.
Здесь за тот краткий промежуток времени, пока щель находится против пучка
молекул, испаряющихся из печи, во вращающийся цилиндр чаще успевают про-
проникнуть лишь более быстрые молекулы. Расчет показывает, что в этом послсд-
Ап'
нем случае распределение молекул по скоростям —-— отлично от распреде.ге-
ния Максвелла —г~ и связано с ним равенством
An' An VJ^ n
где
An _ 4 ~ч
ли
и —число молекул, отнесенное к их общему числу л, причем скорости
этих An молекул лежат в интервале между и и и+Аи. Измеряя фотометриче-
176
ски плотность слоев молекул, осевших на стенке цилиндра, находят экспери-
экспериментально закон распределения молекул по скоростям.
168. Давление в эвакуированном цилиндре не должно подниматься выше
того предела, при котором средняя длина свободного пробега молекул
l=R—r, где R— радиус наружного цилиндра, а г — внутреннего, так как в
опыте необходим высокий вакуум.
169. Примеры учета броуновского движения в физике:
а) Подсчет числа частиц гуммигута, взвешенных в жидкости на различ-
различной высоте в опытах Перрена по определению числа Авогадро.
б) Коагуляция растворов, основанная на броуновском движении.
в) Обязанное броуновскому движению ограничение точности работы де-
деталей измерительных приборов, например, таких, как зеркальце или стрелка
гальванометра.
170. Примером необратимого процесса без компенсации может служить
торможение движущегося тела до полной остановки. Здесь кинетическая энер-
энергия тела целиком расходуется на увеличение внутренней энергии его самого и
окружающей среды, что проявляется в их нагревании.
171. Ответ должен быть отрицательным на основании второго начала тер-
термодинамики, например в формулировке Планка: «невозможен процесс, един-
единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от
нагревателя, в эквивалентную ей работу». Пусть, например, стоящий в депо
паровоз нагреванием котла приводится в рабочее состояние. Затем, совершив
рейс, т. е. накопив определенную кинетическую энергию, он снова приводится к
состоянию покоя путем торможения. Допустим ли обратный процесс, когда
теплота от разогретых при торможении колес самопроизвольно привела бы ма-
машину в движение, т. е. допустим ли переход теплоты в работу как обратимый
процесс? Термодинамика отвечает на этот вопрос отрицательно.
172. Необратимы а) все процессы, совершающиеся с трением; б) процес-
процессы выравнивания температуры; в) поглощение и рассеяние света; г) все про-
процессы, совершающиеся с конечной скоростью, что удаляет систему от состоя-
состояния теплового равновесия. Короче говоря, необратимы все природные молеку-
молекулярные процессы.
Что касается чисто механических процессов, характеризуемых строго упо-
упорядоченным движением и отсутствием трения, то такие процессы обратимы.
Примерами могут служить обращение планет по орбитам и движение элек-
электронов в проводниках в условиях сверхпроводимости.
173. Алгебраические преобразования равенства
вытекающего из определения к. п д. г|, могут привести к соотношению
А г.
i' = -qT-t±t. B)
где у]' — к. п. д. по новому определению функционально связан с к. п. д. т|
по старому определению.
Равенство A) отвечает на вопрос, какую долю взятого от нагревателя ко-
количества тепла Qi составляет полезная работа А. Равенство же B) отвечает
на вопрос, какую долю отданного холодильнику тепла Qi составляет полез-
полезная работа А. И та и другая величины г| и ц' могут служить характеристика-
характеристиками выгодности термодинамического процесса, и пользование г\' не было бы
неверным; но оно просто неудобно, так как если теоретически т) может ме-
меняться внутри полузамкнутого интервала 0^т)<1, то п/ может меняться
внутри полузамкнутого интервала 0^т)'<оо. В обоих случаях значение п,= 1
и т]' = оо при Qi—О противоречат принципу недостижимости абсолютного нуля
или третьему началу термодинамики.
174. К. п. д. T|2 = T}iTl реальных тепловых машин составляет некоторую до-
7*2
лю г|, от к. п. д. идеального цикла Карно tj == 1— -^— .
12 Заказ 170 [77
Величина г\ устанавливает теоретический предел к. п. д., который умень-
уменьшается с увеличением абсолютной температуры холодильника и с уменьшением
температуры нагревателя, причем от конструктивной стороны машины величи-
величина т) не зависит.
Величина сомножителя -r|t определяется уже конструктивными достоинст-
достоинствами и недостатками тепловой машины, так что неустранение последних умень
шает T)i. Итоговый к. п. д. является результатом учета как термодинамической
(физической), так и технической стороны вопроса.
175. Полагая в уравнении к. п. д.
г, = 1 - "ур A)
Т2=const и меняя Tit можно видеть, что в границах 0^ii<l к. п. д. будет ме-
меняться по гиперболе от значения Г|=Г2 до 7"i-»-oo. Если же положить в A)
Theorist, то г\ будет меняться в тех же границах по прямой, причем аргумент
Т2 будет меняться в конечном интервале от T2 = Ti до Г2=0°К. Таким обра-
образом, оставляя в стороне технические затруднения с получением наиболее вы-
выгодных низких температур холодильника, можно видеть, что второй вариант
повышения к. п. д. более эффективен.
176. При закрытых дверцах холодильника охлаждение его внутренней по-
полости производится за счет работы отсасывания испаряющегося вещества
(фреона) электрическим компрессором, причем затраченная электроэнергия в
конечном счете превращается во внутреннюю энергию воздуха и рассеивается
в комнате. Если же дверцу холодильника открыть, то поступающая внутрь
него из комнаты теплота будет чаще приводить к повторной работе компрессо-
компрессора, автоматически включающегося при возрастании температуры внутри холо-
холодильника до определенного уровня. Тогда количество джоулева тепла, рассеи-
рассеиваемое в комнате, увеличится и температура в ней повысится, а не понизится.
177. Если под чисто механическим процессом подразумевать некую абст-
абстракцию в виде процесса, даже частично не связанного с рассеянием тепла, то
энтропия изолированной системы, осуществляющей такой процесс, останется
неизменной.
178. При изотермическом сжатии температура 7\ = 7=const. При адиаба-
тическом сжатии согласно уравнению Пуассона VrTi = V^T^ , от-
откуда при V\=2V2 ~y~ = 2 , но так как'(= -—— > 1 , то у~1>0 и
2 >1, и, следовательно, T2>Ti. Итак, при изотермическом сжатии темпера-
тура не изменится, а при адиабатическом она увеличится в 2 раз.
Обращаясь к оценке энтропии, будем рассматривать процесс сжатия, счи-
считая его обратимым. Тогда для адиабатического процесса (dQ = 0):
S2-S,= №=0; S2 = S! . A)
•J I
1
При изотермическом сжатии dU = mcvdT=0, а работа dA над газом при
его сжатии отрицательна. Тогда dQ=—\dA\ и St<.S\.
Итак, для обратимых процессов при адиабатическом сжатии энтропия не
меняется, а при изотермическом она убывает.
179. Процессы цикла Карно предполагаются обратимыми. Тогда (см. ответ
к предыдущему вопросу) изотермы изобразшся на диаграмме TS вертикальны-
вертикальными отрезками, адиабаты — горизонтальными, а весь цикл Карно — прямоуголь-
прямоугольником.
178
180. Изменение энтропии при необратимом процессе
2
S2-5,> f-|? ; dQ = dU + aA. A)
Для простоты допустим, что вся работа сил трения, например при тормо-
торможении, уходит на нагрев трущихся частей системы с массой т, т. е. на увели-
увеличение ее внутренней энергии dU = mcvdT. Тогда, если теплоемкость системы
CF=const, то
г?
S2-S1>mcv[JL- = mcv\n-I^->Q, B)
*, Г Г1
так как Т2>Т\.
Физически нагревание тел сводится к увеличению кинетической энергии
беспорядочно движущихся молекул. Например, в случае твердого тела это бу-
будет только увеличение беспорядочных колебательных движений молекул.
И тогда, как видно из B), энтропия системы увеличится (S2>Si).
181. В любой тепловой двигатель энергия поступает от нагревателя в фор-
форме кинетической энергии хаотического движения молекул пара или газа. Ци-
Цилиндр и поршень придают беспорядочному тепловому движению молекул на-
направленное, упорядоченное движение, благодаря чему уже совершается меха-
механическая работа. В этом и состоит назначение теплового двигателя.
182. Согласно Больцману, энтропия системы носит вероятностный характер.
Систему земной шар — Солнце в энергетическом отношении можно считать за
изолированную.
Тогда в результате ежесекундного уменьшения количества теплоты, получа-
получаемого Землей от крайне медленно остывающего Солнца, и вследствие обратно-
обратного длинноволнового лучеиспускания Землей в пространство энтропия Земли
возрастает. Что касается поступления на Землю энергии космических лучей, то,
хотя процесс этот происходит непрерывно, эффективность его слишком мала
для того, чтобы вероятность возрастания энтропии Земли, требуемая вторым
началом термодинамики для изолированной системы, могла смениться вероят-
вероятностью ее убывания. В последнем случае система Земля—Солнце просто не
могла бы быть названа изолированной.
183. Сдвинув систему из двух шаров вплотную, приближают, не прикасаясь
к ним, положительно наэлектризованную палочку. Тогда образовавшиеся через
влияние отрицательные (элементарные) заряды сконцентрируются у конца сис-
системы, ближайшего к палочке, а положительные заряды у дальнего. Если теперь
раздвинуть шары, а затем убрать палочку, то на них останутся разноимен-
разноименные заряды. В случае одинакового радиуса шаров заряды на них будут оди-
одинаковы по величине.
184. Пробка является изолятором, поэтому кусочки ее, попадая в поле за-
заряженной палочки, испытают сперва поляризацию через влияние, что приве-
приведет к притяжению их к палочке. После соприкосновения наступает частичная
нейтрализация поляризационных зарядов, после чего оставшиеся одноименные
заряды обусловят отталкивание частиц пробки от палочки.
185. Если палочка заряжена положительно, то электроны, несущие отрица-
отрицательный заряд, начнут собираться около конца стержня, ближайшего к палоч-
палочке. Движение это прекратится как только сила притяжения со стороны па-
палочки уравновесится силой взаимного отталкивания электронов.
186. Заряды будут перетекать с проводника на тело человека лишь до пол-
Я\ Я2
ного уравнивания их потенциалов. Соотношение U— const = q = „ , от-
куда = ~тт— показывает, что оставшийся на проводнике заряд q<, об-
обратился бы в нуль только в том случае, если бы тело, на которое он перехо-
12" 179
дит, обладало бы бесконечно большой или, практически говоря, конечной, но
огромной емкостью, какую имеет, например, Земля.
187. а) Нет, так как и незаряженное тело, находясь в электрическом поле,
наэлектризованной палочки, будет притягиваться к ней.
б) Да.
188. Нет.
189. а) Так сказать можно, б) Введем обозначения: т — масса камня,
М — масса Земли, г — расстояние между центрами масс Земли и камня,
тМ
и — универсальная гравитационная постоянная, f= и —$- —сила взаим-
взаимного притяжения.
Силовой характеристикой поля является его напряженность, в данном слу-
случае сила, отнесенная к единице массы тела и равная ускорению g его свобод-
свободного падения.
Для поля, порожденного Землей и действующего на камень, можно напи-
написать: ?="^Г= ^ _2~ • Для поля, порожденного камнем и действующего на
/ т
Землю, можно написать: д{~= g = G~~pi~- Без вычислений ясно, что ускоре-
ускорение Земли g' в сторону камня исчезающе мало по сравнению с ускорением,
которое испытывает камень, в) Характер ответов не изменится.
190. Квантуемость электрического заряда сводится к утверждению, что
пробный заряд q0 по величине не может быть взят меньшим, чем элеменгар-
элеменгарный, т. е. меньшим, чем заряд электрона. Отказываясь от этого утверждения и
мысленно продолжая уменьшать величину д0, т. е. заменяя ее некоторой абст-
абстракцией, мы тем самым отказываемся лишь от возможности обнаружить поле,
порожденное зарядом q. Тееретически же, считая q0 непрерывно меняющейся
переменной, переходя к пределу и полагая Нт<?о-»-О, мы, правда, обращаем в
нуль и силу кулонова взаимодействия между q и qa, но поле Е, порожденное
зарядом q, согласно теории близкодействия от этого не исчезает и остается
_ .. F Я
равным: Е = Iim q0 = . .— .
?„-0 q0 4uer
191. Точный расчет и построение линий напряженности в поле двух точеч-
точечных одноименных зарядов обнаруживают существование семейства асимптот,
проходящих через среднюю точку между зарядами. Эти асимптоты изобража-
изображали бы поле удвоенного по величине заряда в центре фигуры, эквивалентного
паре одноименных с ним, изображенных на рисунке 8.
192. Заряды одноименные: они или оба положительные, или оба отрица-
отрицательные.
Что касается связи местоположения х точки, в которой ? = 0, с отношени-
отношением величин зарядов 1/ —— = k , то несложный расчет показывает, что
V q2
193. Если k — число пар полюсов, то искомой формулой напряженности
поля может служить выражение вида:
q (k + О/*
^^"Z ' k 4- 2 '
где q — один из равных зарядов, г — расстояние от заряда до исследуемой
точки поля, / — плечо диполя. Тогда надо положить для точечного заряда
6 = 0, для диполя на его оси 6=1, для квадруполя или диполь-диполя 6 = 2
(рис. 157).
180
194. Точечный электрический заряд стал бы двигаться ' ф 0
вдоль линии напряженности произвольной формы только в том
случае, если бы он был безынерционен. В противном случае
заряд массы т следовал бы направлению линии напряженнос-
напряженности, только если бы она была прямой и начальная скорость
заряженной массы была направлена по линии напряженности
В неоднородном же поле заряд массы тфО вдоль линии на- A f
пряженности двигаться не будет.
195. В однородном поле на диполь будет действовать толь- Рис. 157.
ко вращающий момент, который стремится повернуть момент
диполя до совпадения с направлением поля.
196. В неоднородном поле на диполь будут действовать вращающий мо-
момент и сила, пропорциональная градиенту поля, перемещающая диполь в об-
область большей напряженности.
197. В случае (а) равновесие устойчиво; в случае (б) оно неустойчиво, и
вращающий момент будет стремиться повернуть момент диполя по полю.
198. а) Изменится, б) Нет. в) Обратится в нуль, г) Обратится в нуль,
д) Не изменится.
199. Напряженность гравитационного поля g есть его векторная характе-
характеристика, равная отношению силы тяготения /, действующей на материальную
точку, к ее массе т. Согласно закону тяготения
«-¦?¦-«¦?.
где М — масса Земли иг — расстояние от ее центра массы до исследуемой тон-
тонки поля. По аналогии с теоремой Гаусса в электростатике для потока вектора
напряженности g пишем:
Ф= <pgdS , B)
где dS — элемент сферической поверхности, перпендикулярный радиальному
расстоянию г. Подставляя A) во B), получим: Ф=вМ \ = GM I do>,
о г "о
dS
где d<n = r2 —элемент телесного угла, под которым dS видна из центра
шара. Результат интегрирования:
Ф = 4nGM . C)
200. По определению поток вектора скорости v течения жидкости равен
Ф— ф vdS. Далее, по теореме Гаусса о преобразовании поверхностного интер-
интервала в объемный
Ф — фуй~8 = \d\vvdV, A)
->
где дивергенция вектора скорости div v служит мерой обильности источника
или стока, т. е. мерой возникновения или уничтожения жидкости в данном объ-
объеме. Если жидкость несжимаема, то объем V жидкости, вытекающей через по-
поверхность S, равен объему втекающей жидкости и, следовательно, для полно-
полного потока
-+¦
div v = 0 . B)
Подставляя условие B), называемое уравнением неразрывности несжимае-
несжимаемой жидкости, в равенство A), получим
Ф = фvdS = 0,
теорему Гаусса для несжимаемой жидкости.
181
201. Выражение теоремы Гаусса, обобщенной на случай п зарядов в
вакууме:
l
Алгебраическая сумма зарядов, образующих диполь, равна нулю. Следо-
Следовательно, поток вектора напряженности Фе=0, хотя поле диполя ?=^0, но
при суммировании Е по точкам поверхности 5 интегральная сумма, т. е. поток
Фе, обращается в нуль.
202. Теорема Гаусса соблюдаться не будет, так как при выводе ее даже
для частного случая сферической поверхности при а=И=2
203. Проводники отличаются от диэлектриков тем, что электроны наруж-
наружных энергетических уровней атомов могут перемещаться по всему объему про-
проводника свободно. По теореме Гаусса наличие зарядов внутри замкнутой по-
поверхности, ограничивающей объем проводника, означало бы, что внутри про-
проводника поле ЕфО. Но Е =—grad U, где U — разность потенциалов, которая
под действием кулоновых сил приводила бы к выравниванию этой разности и,
следовательно, к условию ?=0. Итак, отсутствие неподвижных зарядов внут-
внутри проводника вытекает из теоремы Гаусса. На поверхности же проводника
условием существования неподвижных зарядов будет Ех =0, т. е. равенство
нулю тангенциальной слагающей напряженности поля, которая иначе приводи-
приводила бы заряды в движение по поверхности. Слагающая же Епф0, перпенди-
перпендикулярная к поверхности проводника, показывает наличие заряда на поверх-
поверхности и служит началом линий напряженности.
204. Речь идет не о полях внутри проводника, которые могли бы возник-
возникнуть там в момент сообщения заряда через проделанное в проводнике отвер-
отверстие. Речь идет просто о куске металла, не обнаруживающем никаких призна-
признаков наэлектризованное™, хотя атомарные поля, несомненно, пронизывают всю
его толщу. Кажущаяся противоречивость обоих явлений тем не менее нисколь-
нисколько не ставит под сомнение справедливость теоремы Гаусса. Последняя ведь
утверждает, что электростатическое поле внутри замкнутой области будет
равно нулю не только при отсутствии там зарядов; это может случиться и в
их присутствии, но тогда заряды эти должны быть разных знаков п электриче-
электрически полностью нейтрализовать друг друга. Это последнее условие полностью
совпадает с нашими современными представлениями об электронно-ядерной
структуре атомов и молекул в веществе.
205. Геометрически очевидно, что для наибольшего удаления одноименных
зарядов друг от друга потребовалось бы их пространственное, а не поверх-
поверхностное распределение. Таким образом, истинной причиной поверхностного рас-
распределения электронов на проводнике нужно считать соображения, приведен-
приведенные в ответе на вопрос 203.
206. Поток вектора напряженности Е зависит только от алгебраической
суммы зарядов, но не зависит от их расположения внутри выбранной замкну-
замкнутой поверхности. Однако закон Гаусса оказывает большую помощь в расчете
поля лишь в такой его точке, через которую может быть проведена гауссова
поверхность так, чтобы все точки этой поверхности были в симметричных ус*
ловиях относительно зарядов, находящихся внутри S. В условиях же вопроса
такой поверхности относительно любой искомой точки поля найти не удастся.
Поэтому здесь поле придется рассчитывать с помощью закона Кулона.
207. См. ответ на вопрос 190.
208. Для плотности р, равномерно заряженной до величины q, по объему
q 4
V сферы будем иметь: ? = ~у, где 1^ = -д-л/?3A) .
182
На внутреннюю сферу радиуса /¦</?, концентричную с заданной, придется
4
меньший заряд q' = о- — г.г3 B), где плотность заряда р по условию та же.
г3
Из A) и B) получим q = q ~~5Т и после подстановки в выражение тео-
- - г»
ремы Гаусса е0 фЕй S' = ?0ES' = q', где S' = 4nr-. Отсюда s0E-4-r2=q к и,
следовательно,
т. е. внутри сферы напряженность поля при p=const убывает пропорционально
уменьшению г, причем в центре сферы (при г = 0) ? = 0.
Если сделать радиус У? заряженной сферы величиной переменной и
стремящейся к нулю, то из C) видно, что с приближением к центру, когда и
г-э-О, эффект, вносимый величиной R, пересилит и напряженность ?->-оо.
209. Как видно из ответа на предыдущий вопрос, напряженность Е внут-
внутри объемно заряженной сферы при постоянной плотности заряда р меняется
по линейному закону, убывая по прямой до нуля. При p=^const, но при сфе-
сферически симметричном распределении объемного заряда q, т. е. когда р есть
функция одного только расстояния г от центра, задача становится плоской и
может быть рассмотрена в плоскости чертежа (характер зависимости Е(г)
аналогичен зависимости g(r) на рисунке 155). Тогда график функции
Е~р(г)г может принять любые формы, например, такие, какие изображены
на рисунке 155, но с обязательными двумя условиями: E(r)r = R = const=T^0 и
?(г)г_»о=О. Таким образом, при р = const максимум Е на поверхности сферы
при r = R необязателен.
210. Можно. При измерениях все значения потенциалов увеличатся на
100 в, но разности потенциалов не изменятся.
211. Передача заряда человеку электростатической машиной, дающей
104 в напряжения, если он изолирован от Земли, не вызовет у него никаких
ощущений. В то же время приближение к нему руки другого человека, стоя-
стоящего на полу или так или иначе заземленного, вызывает искры, что может
быть для последнего опасным.
212. С высоким, так как заряд электрона отрицательный.
213. Потенциал какого-либо проводника, например Земли, рационально
принять за нуль в том случае, если окажется, что при заземлении заряженных
проводников потенциал Земли будет увеличиваться на пренебрегаемо малую
величин}.
Пусть заряд проводника q, часть которого q' при заземлении остается на
проводнике, а часть q" переходит в Землю. Заряд с проводника будет перете-
перетекать в Землю вплоть до выравнивания их потенциалов, принявших, допустим,
значение <р'. Тогда q' = Cy' и q" = C3 q/, где С и С3 —соответственно емкос-
q'
ти проводника и Земли. Из . написанных равенств получается <р-- -^— =
q" q' С
= г и —— = -?=.—.Но емкости проводников можно приближенно считать
ьз ч ьз
С
пропорциональными их размерам, и тогда —q- будет исчезающе малой вели-
величиной, равно как и тот потенциал ср', на который изменится потенциал Зем-
Земли. Поэтому принять потенциал Земли за нуль удобно и рационально.
214. Понимая под напряженностью Е=—gradcp меру скорости спада по-
тенциала ф, можно сказать, что равенство нулю Е в какой-нибудь точке поля
означает, что в окрестности этой точки потенциал постоянен. В частности,
так как при ?=0 разность потенциалов фг—ф1=0 и, следовательно, ф2 = фь
183
то формально математически мы можем принять последнее равенство за тож-
тождество и положить ф2=ф!=0. Однако определенный физический смысл оста-
остается все же лишь за разностью потенциалов.
Примером может служить исследование поверхности заряженного про-
проводника зондом, соединенным со стрелкой электрометра, корпус которого за-
заземлен. Показаниями прибора будет q>=const, что доказывает равенство ну-
нулю тангенциальной слагающей ?, независимо от того, отнесем мы потенциал
Ф = const ^=0 к Земле или примем за нуль уровень самого проводника
(<p = const=0).
Другой пример: постоянная разность потенциалов между обкладками
плоского конденсатора и постоянство самих потенциалов вне обкладок. Здесь,
как и выше, определенный физи-
физический смысл остается за разно-
<p. V,
'г
р
Фг стью потенциалов, а какую точ-
б
ку между обкладками выбрать за
нулевое значение потенциала без-
<р \ различно (рис. 158).
X 215. Зная Е = — ~^ГПо . мы
„ Q знаем только скорость наиболь-
шего изменения потенциала в про-
Рис. 158. странстве, но не самый вотенци-
ал. Если для простош при-
принять поле за однородное, то, выполняя интегрирование J Edn = En =
— — (ф!—фг)=Дф, мы найдем только разность потенциалов в начале и в кон-
це вектора п. Если же ?=#=const, то для нахождения Дф нужно знать закон
изменения Е вдоль п. Для нахождения самого потенциала в данной точке
нужно выбрать местонахождение нулевого потенциала. За нулевой потенциал
может быть принят или потенциал бесконечно удаленной точки, или Земля.
216. С помощью пламенного зонда, соединенного с заземленным электро-
электрометром.
217. В обоих случаях внутри шара ?=0.
218. На поверхности куба заряд распределится крайне неравномерно. На-
Наибольшая его плотность придется на области, смежные с ребрами и вершина-
вершинами куба. Если поместить такой куб в атмосферу, где молекулы воздуха всег-
всегда частично ионизированы, то в местах заострения заряды начнут стекать в
воздух и там нейтрализоваться.
219. а) Конденсатором называется такая система из двух проводников,
где при наличии на них разности потенциалов все линии напряженности, ис-
исходящие из одного проводника, заканчиваются на другом. Но так как линии
напряженности могут начинаться и заканчиваться только на зарядах, то заря-
заряды, возникающие на обкладках конденсатора, всегда равны по величине и
противоположны по знаку.
б) Если в результате различия в площади обкладок или нарушения сим-
симметрии в их геометрическом расположении емкость конденсатора изменится,
то изменится разность потенциалов или общая величина зарядов на обклад-
обкладках, но они обязательно будут равными по величине и противоположными по
знаку.
220. Пот. В момент соприкосновения проводников заряды с одного про-
проводника начнут перетекать на другой до полного уравнивания потенциалов.
221. Если принять, что поверхностная плотность a(R) заряда q обратно
пропорциональна переменному радиусу кривизны R поверхности, то это озна-
означает, что большая часть заряда распределится в местах поверхности с мень-
меньшим радиусом кривизны. Если же радиус поверхности постоянен, то а пере-
перестает зависеть от R, и заряды, оказавшиеся относительно друг друга в оди-
одинаковых условиях, распределятся по поверхности с постоянной плотностью.
184
С такими случаями мы встречаемся, например, при распределении заряда по
поверхности сферы, где радиус кривизны конечен и постоянен, или в случае
плоскости, где за исключением краев R одинаково бесконечно велик. В обоих
q
случаях зависимость с от R выпадает и получается з = -jr-. Нужно только
допустить, что плотность заряда на краях плоскости или на поверхности сфе-
сферы недостаточно велика, чтобы заряды начали стекать в пространство.
222. В случае (а) никакого влияния на емкость конденсатора оказано не
будет. Здесь получатся как бы два последовательно соединенных конденсато-
конденсатора, и, вычислив их общую емкость, можно убедиться, что она равна емкости
конденсатора в отсутствие тонкого металлического листка.
В случае (б) обкладка, соединенная с листком, образует как бы одну
обкладку, но с меньшим расстоянием до другой. Первоначальная емкость до
соединения листка с обкладкой С =—j- , после соединения С = —^г , тогда
С d
—jz— = -j/ , но, поскольку d»d, присутствие листка на емкости конденса-
конденсатора и в этом случае не отразится.
223. Если вдвигается диэлектрик с относительной проницаемостью е и
толщиной в половину расстояния d между обкладками, то емкость получив-
2Чг8
шегося слоистого конденсатора равна: Cj = „ ¦ j> .
Если вдвигается проводник, то получится тот же воздушный конденсатор,
но с уменьшением вдвое расстоянием между обкладками и с емкостью
Таким образом, - = ¦—- .
L-2 ? + 1
224. Из выражений для напряженности поля между обкладками
U
? = — A)
и для емкости
где 5 — площадь каждой обкладки и d — расстояние между ними, мы прихо-
приходим к следующему выводу. По условию должно быть С = const, U = const и
e=const. Тогда из A) видно, что для уменьшения Е при t/ = const следует
увеличить d, а из B) вытекает, что для выполнения С = const нужно, кроме
того, пропорционально увеличить и 5.
225. Жесткими называются молекулярные диполи, электрический момент
которых при воздействии на них внешних сил остается постоянным. Действие
электрического поля на жесткие диполи молекул выражается исключительно
в тенденции ориентировать их по полю, но хаотическое тепловое движение
молекул расстраивает ориентирующее действие поля. Поэтому поляризуемость
молекул будет в сильной степени зависеть от температуры. Следовательно, со-
согласно соотношению Клаузиуса—Мосотти от температуры будет зависеть и
диэлектрическая проницаемость.
226. Оставляя без рассмотрения количественную сторону изменения массы,
можно сказать, что положительный заряд тела получается за счет недостатка
в нем электронов. Следовательно, масса такого тела меньше массы того же
тела в электрически нейтральном состоянии на сумму масс недостающих
электронов.
185
227. В теория электричества доказывается, что на диэлектрик, помещен-
помещенный в неоднородное электрическое поле, будет действовать пондеромоторная
сила, пропорциональная градиенту напряженности поля:
/= -^^ gradfi» .
Из формулы видно, что сила эта направлена в сторону возрастания абсо-
абсолютной величины вектора Е независимо от направления последнего. В усло-
условиях вопроса поле сосредоточено в пространстве между обкладками конденса-
конденсатора, куда и будет втянута пластинка диэлектрика.
228. По определению электрического смещения
?> = е?=?0?0 A)
где во и е — диэлектрические проницаемости соответственно вакуума и про-
проводника, а ?о и ? — напряженности поля в тех же средах. Из A) имеем:
= = —т-—. Так как напряженность поля в вакууме равна всегда
Ев Е0 i-
некоторой конечной величине, а внутри проводника в условиях электростати-
consl
ки ?=0, то диэлектрическая проницаемость проводника г' = —g—- —*¦ <х> .
229. Сюда относятся все величины, могущие принимать положительные
и отрицательные значения и, следовательно, рашящиеся на графиках двумя
противоположными направлениями на одной оси. Таковы э. д. с , температур-
температурный коэффициент сопротивления, магнитная восприимчивость, магнитный
поток и др.
- — dq
230. Так называемое уравнение непрерывности t&jdS = / -= — ..
является математическим выражением постулата сохранения электрических за-
dq
рядов. Если положить -тг = 0, т. е. постулировать стационарность тока, то
из теоремы Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный
= J div;dV = O
вытекает, что div/=0, т. е. постоянный ток не имеет истоков, и линии тако-
такого тока всегда замкнуты или уходят в бесконечность.
231. Если искрить сопротивление лампочки в холодном состоянии и
включить ее затем в цепь постоянного тока, то приборы оiметят отклонение
от закона Ома и притом тем большее, чем больше сила тока. Затруднение в
доказательстве справедтивоечи закона Ома отпадает, е<чи учесть зависимость
сопротивления от температуры R = RB (l±a/), где температурный коэффициент
а для одних веществ положителен, дтя других — отрицателен.
232. Нет. Пример: сопротивление дуги, где U = R(i)i.
233. У всех металлов температурный коэффициент сопротивления а>0 и
удельное сопротивление слабо меняется с температурой. У полупроводниковых
сопротивлений, к числу которых принадлежат термисторы. коэффициент а<0
и сильно меняется с температурой. Зависимость между током и напряжением
сохраняет линейный характер закона Ома только для очень малых токов, а
затем с увеличением тока и. следовательно, с увеличением температуры про-
проводника сопротивление падает столь сильно, что уменьшается напряжение и
вольт-амперная характеристика становится падающей (см. правую часть гра-
графика).
234. При выводе закона Ома с электронной точки зрения предварительно
получают соотношение:
/ = епи , (!)
186
где и — скорость поступательного движения электронов вдоль проводника,
/ — плотность тока, е — заряд электрона, п — число свободных элементарных
зарядов в единице объема проводника. Умножая A) на площадь поперечного
сечения S = —j- проводника и пользуясь законом Ома в интегральной фор-
U U
ме, получим: jS = enuS — I — ~j~ , откуда и j— .
Таким образом, скорость поступательного движения электронов вдоль про-
проводника прямо пропорциональна приложенной разности потенциалов U и
обратно пропорциональна длине проводника /; от диаметра d сечения провод-
проводника при фиксированном U скорость электронов и не зависит.
235. Электроны в проводнике приходят в движение под действием достиг-
достигшего их электромагнитного поля, возникшего в источнике тока. Распрост-
Распространяется же электромагнитное поле в вакууме или в воздухе со скоростью
света, причем направляющими в его распространении служат провода. По-
Поэтому все лампочки в помещении вспыхивают практически мгновенно по вклю-
включении тока и одновременно во всех точках проводника.
236. По закону Джоуля—Ленца количество тепла, выделяемого током,
проходящим по проводнику Q—Q,24i2Rt, где ток i предполагается постоянным,
а сопротивление R меняется вместе с величиной плоского сечения шара по
мере продвижения зарядов в его толще (рис. 159). Очевидно, наименьшее ко-
количество тепла будет выделяться в плоскости большого
круга, а наибольшее в диаметрально противоположных точ-
точках соединения шара с электрической цепью
237. а) Согласно техническим нормам для каждой про-
проводки, рассчитанной на освещение и на использование элек-
электронагревательных приборов, установлены предельные дли-
длительно допустимые токовые нагрузки. В пределах этих норм
нагревательный провод должен давать достаточный накал
спиралей, но не допускать их перегорания. Кроме того, не
должен происходить нагрев соединительных проводов вне
участков, где работают нагревательные приборы.
б) Провод в плавком предохранителе рассчитывается на
немедленное перегорание при коротком замыкании в сети.
Однако при перегрузках до 50—60% время перегорания „
провода настолько велико, что. изоляция перегруженных ис'
проводов успевает сильно нагреться. Защитой от короткого
замыкания и перегрузок служат установочные автоматы (ограничители), но о
них в тексте вопроса нет речи.
238. Если в равенствах Р = flR и Р -= -75— заменить связанными с ними
в законе Ома величинами I и U (U=iR), то получатся тождественно равные
выражения Р = Ш, так что противоречия между двумя выражениями" мощнос-
мощности Р нет никакого. Прямая же и обратная пропорциональность между величи-
величинами Р и R зависит исключительно от характера соединения сопротивлений.
Покажем это для участка цепи, содержащего для простоты лишь два сопро-
сопротивления.
При последовательном соединении сопротивлений проходящий по ним
ток будет одинаков (» = const), и затрачиваемая мощность будет зависеть
только от напряжения. Последнее же по закону Ома (U=iR) прямо про-
пропорционально R, и потому P = iU = i2R.
При параллельном соединении сопротивлений напряжение па концах каж-
каждого сопротивления будет одно и то же (G = const) и затрачиваемая мощ-
мощность (Р = Ш) будет зависеть только от величины тока; но последняя по
(. U \ 0г
закону Ома \г== о )обратно пропорциональна R, поэтому Р = —р— .
187
239. Для каждого участка замкнутого контура без учета э. д. с. спра-
справедлив закон Джоуля — Ленца A^^i^Rh. где Ль — ежесекундная работа
тока I* на сопротивлении Rk, а для всего контура из п участков
п п
3 ^* =2 '*^* ¦ ^° сУммаРная работа токов преизводится за счет
к-\ *=1
энергии, выделяемой источниками тока, т. е. за счет энергии, вырабатываемой
сторонними э. д. с. Число этих э. д. с. в любом заданном контуре может быть
произвольным и даже равняться нулю, если необходимая для работы токов
энергия черпается из источников, находящихся в других контурах (рис. 160).
Итак, для каждого контура:
п п т
2 l'kRk =2 Л* =2 <§стор 'п(т<п). A)
k=l *=! Я=1
Это означает, что энергия источников сторонних сил при отсутствии в
каком-либо контуре движения проводников и химических реакций расходу-
расходуется на нагревание проводников, т. е. на превращение электрической энер-
энергии в джоулево тепло. Но тогда равенство A) выражает собой не что иное,
как закон сохранения и превращения
энергии, эквивалентный в данном слу-
случае второму закону Кирхгофа.
240. Ожоги тканей человеческого те-
тела и нервный шок, могущие быть смер-
смертельно опасными, зависят от величины
той разрушительной работы, которую
производит электрический ток. Если ис-
искать зависимость мощности Р от разно-
разности потенциалов U, приложенной к телу,
и от сопротивления R, которое зависит
только от свойств самого тела, то по за-
закону Джоуля—Ленца
Рис. 160. D и*
Р- R .
Здесь мы коснемся только теплового воздействия тока на ткани чело-
человеческого организма, оставляя в стороне его действие на нервную систему.
Л\ощность тока Р может варьировать не только в зависимости от прило-
приложенного к телу напряжения U, но и от величины R. Ткани же человечес-
человеческого тела крайне разнородны в отношении присущего им электрического со-
сопротивления. Наибольшее сопротивление току оказывает кожа (особенно
сухая), наименьшее — жидкие элементы организма. Ориентировочно общее
сопротивление тела оценивается в пределах от 1000 до 5000 ом, причем
ток в 0,1 а считается уже безусловно смертельным. Тогда соответствующие
напряжения принимают значения от 100 до 500 в. Эти данные о прохожде-
прохождении тока через ткани человеческого тела и служат ответом на вторую по-
половину вопроса. Однако известны случаи, когда сопротивление тела у от-
отдельных индивидуумов было столь велико, что им не приносило вреда даже
напряжение 5000 в, иногда же человек погибал и от напряжения, значитель-
значительно меньшего 100 в.
Что касается применяемого в медицине статического электричества в
виде так называемого электростатического душа, то там разность потенциа-
потенциалов между электродами достигает 50 000 в. Однако благодаря огромному
сопротивлению воздушного промежутка между электродами, где помеща-
помещается пациент, прерывистый ток получается совершенно ничтожным, так что
он не только не опасен, но обладает даже целебными свойствами для чело-
человека. Безвредное для человеческого организма прочесывание гребнем шерсти
(или волос) и относится к случаю крайне малой мощности тока, несмотря
на весьма высокое напряжение порядка 10 кв.
188
241. Так как обе лампы рассчитаны на одно и то же напряжение Со,
то U20=PiRi=PiR2, и если мощность Р2>Р\, то сопротивление R2<Ru
По условию обе лампы соединены последовательно, следовательно, ток,
.. Pi P2 Ri P
проходящий через них, одинаков и /'= -р— = -р— или —?— = —р—.
Значит, более мощная лампа будет потреблять меньшую мощность, в ней бу-
будет выделяться меньшее количество теплоты, и она будет гореть более слабым
накалом.
242. Согласно обобщенному закону Ома для участка цепи:
<§к "г" бстор = U .
Здесь <§к = ф1—ф2 есть разность потенциалов между конечными точ-
точками участка цепи, обязанная своим происхождением кулоновым электриче-
электрическим силам, действующим во внешней цепи. Ее назначение — приводить в
движение свободные электроны в проводнике. По определению разность по-
потенциалов есть удельная работа кулоновых сил, т. е. мера той работы, кото-
которую можно получить, перемещая единицу положительного заряда между
заданными точками участка цепи.
<§стор есть электродвижущая сила, обязанная своим происхождением
сторонним силам, действующим внутри источника тока. Ее назначение —•
восполнять убыль в разности потенциалов во внешней цепи и таким обра-
образом поддерживать в ней ток. По определению э. д. с. — удельная работа источ-
источника сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по
замкнутому пути.
Сумма обеих удельных работ называется напряжением (или падением
напряжения), равным по закону Ома U = iR, где R — полное сопротивление
участка, включая сюда и внутреннее сопротивление источника э. д. с.
Разность потенциалов на клеммах источника меньше постоянной э. д. с.
на величину падения напряжения на сопротивлении внутри источника. Но
разность потенциалов будет больше э. д. с, если за счет работы второго ис-
источника она идет на увеличение э. д. с, что бывает, например, в случае за-
зарядки аккумулятора.
243. Поле скоростей v несжимаемой жидкости является полем сво-
свободным от источников (соленоидальным), которое характеризуется тем, что
линии тока жидкости замкнуты или уходят в бесконечность. Математически
это выражается условием, что мера обильности источников (или стоков),
т. е. divw=0.
Аналогичным условием div/=0, где / — плотность тока, характеризует-
характеризуется и цепь постоянного тока, как простая, так и разветвленная, что устанав-
устанавливает связь между законами Кирхгофа и закономерностями в потоке не-
несжимаемой жидкости.
244. В изображенную на рисунке 161 схему входит неоновая лампа НЛ.
Она представляет собой баллон, где откачанный воздух заменен смесью
75%Ne и 25%Не. Характерной особенностью такой лампы является то, что
потенциал ее зажигания (А выше потенциала погасания U2. Из схемы вид-
видно, что по наложении на ее вход напряжения Uo конденсатор С начнет за-
заряжаться, причем возрастающая разность
потенциалов на конденсаторе будет все
время равна разности потенциалов на НЛ.
Когда эта разность достигнет величины Uu
в лампе возникает тлеющий разряд. Однако
достигнутое напряжение не будет сохра-
сохраняться постоянным, так как сопротивление
R выбирается весьма большим, сопротивле-
сопротивление же горящей неоновой лампы мало по
сравнению с ним. Поэтому переход заря-
зарядов с одной обкладки конденсатора через
неоновую лампу на другую обкладку не бу- Рис. 161.
189
дет компенсироваться их пополнением через большое сопротивление R. Напря-
Напряжение на лампе (равно как и на конденсаторе) будет уменьшаться, и по до-
достижении потенциала Us лампа потухнет. Зарядка конденсатора начнется сно-
снова, самый же процесс вспышек и гашения лампы будет периодическим, обрат
зуя так называемые релаксационные колебания.
Аналитическое рассмотрение вопроса приводит к соотношению
R =•
из которого видно, что, зная емкость С конденсатора и измерив период ко-
колебания Т секундомером, а также напряжение Uo на входе в систему и по-
потенциалы зажигания U\ и погасания U2 лампы вольтметром (с помощью
особой схемы), искомое сопротивление R может быть определено.
245. Электрон может лететь по прямой в трех случаях: одновременно
отсутствуют и электрическое и магнитное поле; присутствуют оба поля, но
они перпендикулярны друг другу; магнитное поле присутствует, но вектор
скорости электрона коллинеарен вектору магнитной индукции.
246. Нет. Электрон может отклоняться под действием одного лишь
электрического поля, например внутри обкладок конденсатора.
247. Если пучок протонов отклонился по полю, то причиной этого может
быть только действие электрического поля.
Если пучок протонов отклонился перпендикулярно полю и стал дви-
двигаться по окружности или по винтовой траектории, то причиной может слу-
служить только действие магнитного поля.
Всякое отклонение, направление которого не укладывается в рамки при-
приведенных выше условий, обязано своим происхождением действию обоих
полей.
248. Полный заряд неподвижною пр.)подника с током складывается из
положительно заряженного неподвижною атомного остова и из потока
слабо связанных с ним отрицательно заряженных электронов. Внешнее ма-
магнитное поле действует с силой Ампера только на обладающие направлен-
направленным движением отрицательные заряды в проводнике с током.
249. Если ток в рамке течет, как
показано на рисунке 162, а, то век-
>
тор рт магнитного момента рамки
согласно правилу буравчика будет на-
направлен вправо, образуя угол а с
внешним магнитным полем В. Далее,
согласно правилу левой руки амперо-
вы силы FA, образуя пару, будут
стремиться установить рамку так, что-
чтобы векторы Рт и В были параллель-
/\
п F, ны др\г другу, т. е. чтобы sin (PmB) =
и и • ¦ Хч
Рис. 162. = 0. Следовательно, еслп(РтВ) = 0 ,
ю положение рамки под действием
вращающего момента М будет устойчивым.
Из рисунка 162, б видно, что в случае антипараллельности векторов
х\
Рт и В, когда (РтВ) = 180°, положение рамки будет неустойчивым, и вра-
вращающий момент М повернет рачку на 180°. Безразличное равновесие рамки
возможно только в случае отсутствия в ней тока.
190
250. Работа А, необходимая для поворота контура с постоянным то-
током / и площадью S. охватываемой им, в магнитном поле с индукцией В
может быть представлена в виде:
А = fl/S(C0Sa2 — COSaj) ,
тде ai и a2 —углы между вектором 1* и нормалью к площадке S соответ-
соответственно до и после поворота контура. По условию a2=cti + n, тогда после
преобразований получим;
' v A = 2BIScos-x1 .
Таким образом, работа А зависит от первоначальной ориентации кон-
контура относительно направления магнитного поля и изменяется по величине
и знаку, следуя закону косинуса.
251. Совершение работы потребуется во всех случаях, кроме одного,
когда вектор магнитного момента рамки перпендикулярен к линиям магнит-
магнитной индукции.
252. В теории эффекта Холла выводится формула:
л n_^_p__L5 A)
д? = « d -к d, C0Sa ¦ кч
Здесь Аф = фА—фв есть разность потенциалов, получающаяся при воз-
возникновении поперечного электрического поля в результате действия силы Ло-
ренца Fn .отклоняющей поток зарядов в направлении, перпендикулярном к
их движению вдоль проводника со скоростью у; /? —постоянная Холла: / —
ток, параллельный или антипараллельный направлению v; В — магнитная ин-
индукция, вектор которой направлен перпендикулярно плоскости чертежа
(рис. 1631.
Точщина пластинки d. Если направление d' скошено под углом а от-
относительно d, то d = rf'cosa. Тогда, так как d'>d при а = 0, согласно форму-
формуле 1 получится разность потенци-
потенциалов поперечного поля (фс—фв)<1
<(фД—фв). Максимальное пока-
показание вольтметра, измеряющего
разность потенциалов Холла, и
будет признаком того, что поло-
положение точек измерения выбрано
правильно,
253. Траектория электрона в
виде замкнутой окружности в по-
поставленных условиях невозможна.
Действительно, скорость электро-
электрона, влетающего в область магнит-
магнитного поля, должна быть перпенди-
перпендикулярна ему, иначе траекторией р „„
электрона будет винтовая линия,
которая выведет его за пределы
куба. Но при выполнении этого условия электрон, описав половину окружнос-
окружности вернется к той же грани куба, за которой магнитного поля нет. Поэтому
полной окружности электрон описать не может, он просто вернется на пря-
прямую, параллельную исходной, и скорость его будет противоположна ско-
скорости влета.
254 Радиус г окружности, описываемой частицей в однородном ма-
т v q
гнитном поле В, определяется зависимостью г = — • g-, где——удельный
заряд электрона и v—его скорость. Благодаря высокой задерживающей
силе пузырьковой камеры уменьшение скорости частицы v сказывается на
уменьшении г. Отсюда спиралевидный характер траектории.
255. Электрическое поле в циклотроне служит для ускорения заряжен-
заряженной частицы. Для того чтобы частица, описав дугу полуокружности, могла
снова подойти к полосе, где локализовано электрическое поле так, чтобы не
191
тормозиться им, а вновь ускоряться, необходимы два условия I) переменный
характер электрического поля и 2) электростатическая защита частицы от
действия на нее поля в те части периода, когда она испытала бы торможение
а не ускерение. Для этой цели служат два металлических кожуха, называемых
дуантами, в прорези между которыми и локализовано действие на частицу
электрического поля.
Внутри дуантов частица подвергается действию только магнитного поля.
Назначение магнитного поля двоякое: во-первых, обеспечить такое действие
силы Лоренца на частицу, которое направило бы ее по дуге полуокружности
и вернуло бы ее в зону электрического поля. Во-вторых, назначением магнит-
магнитного поля является обеспечение независимости периода обращения частицы
/ 2кт\
по окружности от ее скорости I Г =—^/;. Это будет удаваться до тех пор,
пока масса частицы не начнет заметно возрастить со скоростью. Поскольку
ускорение частицы в циклотроне носит резонансный характер, необходимо точ-
точное попадание частицы в фазу ее ускорения электрическим полем, что дости-
достигается подбором величины магнитного поля и частоты переменного электри-
электрического поля.
256. Удельный заряд электрона, движущегося в магнитном поле, опреде-
Q v q
ляется из равенства~~= ~в- Так как -—¦—мировая константа, то при со-
v
хранении В = const будет иметь место ~= const, т.е. изменившаяся почему-
либо скорость электрона повлечет за собой'изменение радиуса описываемой им
V
окружности, но так, что сохранится ~ = const . Таким образом, условие
постоянства скорости при определении удельного заряда электрона принципи-
принципиально несущественно.
257. Судя по форме записи закон полного тока в данном случае не обоб-
обобщен на случай молекулярных токов, иначе было бы написано ф Srf/=fj.0(S/+
+2'мол). В отсутствие члена 2(Мол этот закон звучит так: циркуляция век-
вектора магнитной индукции В по замкнутому контуру пропорциональна алгебраи-
алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром. Отсюда
следует, что через проводник контур / проходить не может, так как он не
охватывал бы ток, текущий по проводнику, а разрезал бы его на две части
258. Может не сохранять, и для доказательства достаточно привести хотя
бы один пример этому. Рассмотрим магнитное поле на оси кругового витка
с током. Из соображений симметрии ясно, что с направлением этой оси свя-
связана одна и та же линия магнитной индукции В то же время расчет пока-
показывает, что магнитная индукция В на этой оси, на расстоянии h от плоскости
витка радиуса R с током / равна:
(#з 4- /Is) 2
т е. с возрастанием расстояния h от тока значение В на заданной линии ин-
индукции убывает.
259. Применение закона полного тока приводит к следующим заключе-
заключениям:
1) внутри трубы В=0; 2) вне трубы магнитная индукция будет такой же,
как индукция, созданная линейным током, совпадающим с осью трубы
260. Закон Ампера F=i[lB] относится к силе, которая действует на про-
проводник с током, находящийся в магнитном поле иного источника. Таким ис-
источником может быть другой ток проводимости или два полюса магнита, где
поле создается молекулярными токами. Во всяком случае, возникновение си-
силы Ампера связано с взаимодействием двух магнитных полей, созданных дву-
192
мя источниками. В условии же такой источник имеется только один, это ток,
текущий по прямому проводу.
1 261. Возникновение магнитного поля является наиболее общим и непре-
непременным признаком электрического тока как любого движущегося заряда и
вообще тока любого происхождения.
262. При замыкании цепи параллельные токи в витках пружины сблизят
из? между собой, груз приподнимется над контактом, и цепь разомкнётся.
Причина, сближающая витки, исчезла; тогда под действием тяжести груз,
опустившись, снова замкнет цепь, и колебание системы повторится.
263. Магнитная индукция соленоида вблизи его оси равна B — \iofil,
N
r,ne«=-j" — число витков на единицу длины соленоида; параметры же, опре-
определяющие геометрическую форму поперечного сечения витков соленоида, в
выражение в = цол/ не входят, следовательно, формула для расчета индукции
на оси соленоида применяется в случае любой формы сечения.
264. Для правильного определения направления вектора dB нужно учесть
следующее' 1) выбрать направление тока, что определяет собой совпадающее
с ним направление элемента длины проводника dl; 2) радиус-вектор г имеет
начало в элементе длины и конец в исследуемой точке поля; 3) повернув бу-
буравчик с правой нарезкой так, чтобы он переместился по току на элементе idl,
определяют направление dB.
265. Согласно закону Био—Савара—Лапласа
Woi f sinjdl r )dl
= _ j _ .
о
В силу того что для каждой выбранной точки внутри круга предельная
длина г своя, магнитная индукция В внутри круга будет функцией выбранной
точки, и однородным магнитное поле там не будет (рис. 164).
266. Из сравнения выражения напряженности электро-
электростатического поля, вытекающего из закона Кулона, с зако-
законом Био—Савара—Лапласа для магнитного поля
написанных в дифференциальной векторной форме, вытека-
вытекают следующие черты их сходства.
1) Как доказывается в теории, напряженность электро-
электростатического поля dE аналогична именно магнитной ни- С-
дукции dB (а не напряженности dH), в то время как напряженность маг-
магнитного поля аналогична электростатической индукции
2) Оба закона справедливы только для стационарных полей: для электро-
электростатического в одном случае и стационарного магнитного в другом
3) Для обоих полей справедлив принцип суперпозиции.
4) Как dE, так и dB подчиняются закону обратных квадратов величины
г, причем в законе К>лона г есть расстояние от элемента точечного заряда
dq, а в законе Био—Савара—Лапласа — от элемента тока idl до исследуемой
точки соответственно электрического и магнитного полей
За этими формальными чертами сходства в выражениях обоих законов
кроется различие в физической природе величин, порождающих dE и dB
13 Заказ 170 J93
1) Электростатическое поле dE потенциально и порождается реально су-^
Шествующими элементарными электрическими зарядами dq, а магнитное пол*
dB носит вихревой характер и порождается не формальным аналогом для dq
в виде (фиктивных) магнитных зарядов, а реально существующими элемен-
элементами тока idl.
2) Вектор dE коллинеарен (или антиколлинеарен) орту г0, а то вре^я
как вектор dB перпендикулярен г0 и находится по правилу левой руки.
267. В качестве расчетной величины иногда бывает удобно пользоваться
понятием момента диполя. Под последним подразумеваются два полюса
(±т) полосового магнита, формально являющиеся аналогами электрических
зарядов. Если длину полосового магнита в виде, например, магнитной стрел-
стрелки обозначить через /, то момент магнитного диполя рт=т1 можно опреде-
определить, измерив вращающий момент M = fl = mHl. Момент М будет действовать
на магнитную стрелку в земном магнитном поле Н, которое в малых объемах
можно считать постоянным Из рисунка 165 видно, что M = Hmls\na=
~°Hpms\na Если крутящий момент М и угол а за-
закручивания нити, на которой подвешена стрелка, из-
-i-mti ¦; мерить с помощью крутильных весов Кулона, то тем
самым определится и момент магнитного диполя
М
. / / / Рт = -~ц,:па—, так как горизонтальная составляю-
составляющая земного магнитного поля известна из других
опытов.
268. Как доказывается в теории, магнитные свой-
свойства постоянного магнита и соленоида вполне сход-
сходны друг с другом. При этом полосовой магнит удобно
рассматривать как магнитный диполь с полюсами,
р .fi. определяемыми как места входа и выхода из него
ис' линий напряженности. Указанное сходство сохранит-
сохранится и в случае укорочения соленоида до одного витка,
а полосового магнита до толщины «магнитного листка». Поэтому магнитная
характеристика витка с током в форме магнитного момента может быть рас-
распространена и на магнитный диполь.
Математически разница в выражениях магнитного момента рт заключа-
заключается лишь в том, что для вятка с током проводимости i момент pm = iS, где
S — площадь, охватываемая витком. Для постоянного же магнита pm=2i'S,
где правая часть равенства представляет собой сумму элементарных токов,
т. е. электронов, движущихся по ориентированным в одном направлении
атомным орбитам с площадями, равными S.
269. Если смотреть на кольцо сверху, то индукционный ток в нем будет
направлен против часовой стрелки.
270. Перемещение медного листа внешней механической силой вызовет
изменение магнитного потока, пронизывающего лист. Вследствие этого в ме-
медном листе возникнут индукционные токи Фуко, направленные по закону
Ленца так, чтобы воспрепятствовать движению листа, как причине, вызы-
вызывающей эти токи. Торможение это осуществится независимо от того, бу-
будет лист вдвигаться в область магнитного поля или выталкиваться из
него.
271. а) Быстрое изменение магнитного поля В наведет в листе сильное
вчхревое поле с токами Фуко. Токи эти будут течь в таком направлении, что-
чтобы уменьшить возбуждающее магнитное поле. Если в области Р расположен
какой-нибудь детектор для обнаружения поля, то в первые моменты после
резкого изменения В, когда экранирующее противополе особенно сильно, де-
детектор не будет реагировать на действие поля.
194
б) Знак минус в выражении величины индукционных токов Фуко
J с1Ф
означает, что их направление таково, что они своим магнитным полем стре-
стремятся уменьшить причину, их вызывающую, т. е. в данном случае уменьшить
изменение во времени магнитного потока, пронизывающего лист из металла с
сопротивлением R. Но если материал листа можно принять за сверхпровод-
йФ
ник, то IR — 0 = — —jjr , т. е. действие индукционных токов в сверхпровод-
сверхпроводнике сведут к нулю всякое изменение магнитного потока, почему это измене-
изменение и не может быть обнаружено в области Р.
в) Причина сильного экранирования здесь та же, что и разобранная в
пункте б.
г) Если лист имеет достаточно большую толщину и изготовлен из мате-
материала с большой магнитной проницаемостью, то при полном охватывании за-
защищаемой области он будет хорошо экранировать действие статических маг-
магнитных полей.
272. Индукционные токи, препятствующие колебательному движению мед-
медной пластинки (ср. ответ к вопросу 270), возникнут в обоих случаях. Но если
медная плгстинка сплошная, то электрическое сопротивление в ней будет
меньше, чем в случае наличия в ней прорезей, и, следовательно, токи Фуко
сильнее. Отсюда следует и возрастание затухания колебательного движения
пластинки.
273. Если ток в контуре А (рис. 166) течет по часовой стрелке, то соглас-
согласно правилу буравчика линии магнитной индукции будут входить в плоскость
контура со стороны, ближайшей к наблюдателю, и выходить из обратной.
Это означает, что если рассматривать круговой ток как магнитный диполь, то
оправа от контура будет северный полюс
как место, откуда линии индукции выходят,
S у а слева будет южный полюс, куда эти линии
входят. Кроме того, если в контуре А ток
возник и первое время усиливается, то в
Рис. 166.
Рис. 167.
контуре С индукционный ток по правилу Ленца будет обратного направления.
Таким образом, оба диполя, будучи обращены друг к другу одноименными по-
полюсами, будут отталкиваться друг от друга. Наибольшей силой индуцирован-
индуцированный в контуре С ток будет достигать в момент наибыстрейшего изменения
генерирующего тока в контуре А.
274. а) На рисунке 167 схематически изображены левые витки первичной
и вторичной обмоток. При замыкании ключа К (рис. 17) ток h течет против
часовой стрелки и усиливается; поэтому индукционный ток и своим магнит-
магнитным полем должен ослаблять его и будет течь в обратном направлении. По
сопротивлению R ток ц будет течь справа налево.
13*
195
б) Когда ток ii по величине установится, то индукционный ток /о исчез-
исчезнет совсем.
в) После размыкания ключа К ток i\ потечет в прежнем направлении, но
будет очень быстро ослабевать по силе. Поэтому индукционный ток ij будет
течь, как и ток t\, против часовой стрелки и своим магнитным полем будет
стремиться поддержать слабеющий первичный ток.
г) Левый конец первичной катушки будет ее северным полюсом как мес-
местом, откуда линии магнитной индукции выходят.
275. Так как ток в соленоиде течет против часовой стрелки, то линии маг-
магнитной индукции В будут выходить из правого витка соленоида, где будет
создан северный магнитный полюс В одиночном же контуре должен возник-
возникнуть ток, текущий по часовой стрелке, так что магнитные линии поля В ин-
индуцированного тока будут выходить из площадки, ограниченной витком, на-
навстречу вектору В. Тогда магнитное поле В' будет препятствовать усилению
В, т. е. препятствовать приближению соленоида к витку, что находится в со-
согласии с законом электромагнитной индукции Ленца.
276. Так как ток в левом контуре течет в направлении по часовой стрел-
стрелке и ослабевает, то индукционный ток в правом контуре будет течь также по
часовой стрелке.
277. Здесь удобно воспользоваться правилом правой руки: вектор В будет
направлен от наблюдателя.
278. Когда работе электромагнитных сил сопутствует механическое пере-
перемещение контура, то его удобно рассматривать как магнитный диполь. Маг-
Магнитное поле будем считать неоднородным и сконцентрированным в средней
части междуполюсного пространства.
а) Возникший индукционный круговой ток будет такого направления, что-
чтобы препятствовать изменению магнитного потока в плоскости круга в случае
перемещения контура. Рассматривая поле кругового тока как магнитный ди-
диполь, можно сказать, что условие Ленца будет соблюдено, если к неподвиж-
неподвижному полюсу N будет обращен полюс 5 подвижного диполя, а к неподвижно-
неподвижному полюсу 5 — полюс N. Мысленно ввинчивая буравчик в контур с левой
(южной) стороны контура и смотря на него с той же стороны, получаем на-
направление индукционного тока по часовой стрелке.
б) Так как электромагнитные силы противодействуют выталкиванию кон-
контура из области магнитного поля, то для осуществления этого перемещения
нужна работа внешней механической силы.
в) Сопоставляя выражения работы тока A — PRAt, закона Ома г'= —^^i-
\Ф 1 °
и э. д. с. индукции<§ инд = —~д7' приходим к выводу, что А ~ -д^ , т. е. чем
медленнее производится выталкивание контура из магнитного поля или чем
больше At, тем меньше работа тока, превращающая электромагнитную энер-
энергию в джоулево тепло.
279. При движении магнита поток магнитной индукции пересекает каж-
каждый элемент длины проводника, которым является медная труба. Поэтому в
ней возникает индукционный ток, магнитное поле которого согласно правилу
Ленца будет ориентировано так, чтобы препятствовать изменению магнитного
потока, создаваемого перемещением магнита. Следовательно, магнит, помимо
ускоряющего гравитационного поля, будет испытывать на себе тормозящее
действие магнитного поля индукционного тока и тем большее, чем больше ско-
скорость падения магнита. Если труба достаточно длинна, то, в конце концов,
скорость падения магнита достигнет предельного установившегося значения
280. В выражение баланса энергии системы магнит—кольцо будут вхо-
входить следующие величины: 1) механическая тормозящая работа А пондеро-
моторны\ сил магнитного поля; 2) выделение джоулева тепла Q в системе
и 3) энергия магнитного взаимодействия токов AW, молекулярных в магните
и индукционных токов проводимости в кольце, осуществляемого через по-
посредство их магнитных полей. Последний из возможных факторов, обуслов-
1D6
ливающих баланс энергии в системе, а именно работа сторонних сил здесь
отсутствует. Тогда выражение баланса энергии примет вид:
Д№ = А + Q .
Изменение энергии магнитного взаимодействия токов в обоих предлагае-
предлагаемых случаях будет постоянным. Энергия эта лишь различным образом рас-
распределится между большим или меньшим торможением движения магнита и
большим или меньшим эффектом нагревания системы.
В случае б кольцо уложено в сухой лед и количество теплоты, получен-
полученное им при индукционном нагреве, будет расходоваться на плавление льда
при неизменной температуре.
В случае а вследствие ничтожной теплоемкости воздуха передача ему
кольцом теплоты будет ничтожна, и температура кольца будет заметно повы-
повышаться. Поэтому доля энергии, приходящаяся на выделение джоулева тепла
Q в случае б, будет меньше, чем в случае а. Тормозящая же работа сил маг-
магнитного поля в случае б будет больше, чем в случае а, и изображение
падающего магнита на пленке в случае б будет резче, чем при более быстром
падении в случае а.
281. Индукционный ток в кольце может быть рассчитал по формуле:
§ \Ф
i = —р- = — "од/ 'где R — электрическое сопротивление кольца. Если в от-
отношении пронизывающего их магнитного потока оба кольца находятся в оди-
ЛФ
наковых условиях, то— —гу = const = iR , где в силу одинаковости длины
и поперечного сечения колец сопротивление R пропорционально удельному со-
сопротивлению р кольца. Итак, iipi = i2Q2, где индекс 1 относится к медному
кольцу, а индекс 2 — к деревянному. Так как при 20°С для меди
р, = 17-10~9 ол-ж»2-10~~8 ом-м, а для дерева р2= 12-10' ом-м, то ток в медном
проводнике примерно в 10м раз превосходит по силе ток в таком плохом про-
проводнике, как дерево. Перейдем к оценке электрических полей. Если к равенст-
равенству iipi = (V>2 применить дифференциальный закон Ома /=— , тогда
Р
EiS\ = E2S2 и, следовательно, при равенстве площадей S поперечных сечений
колец получим и равенство заключенных в кольцах самих электрических
полей.
282. Пользуясь аргументами, приведенными в ответе на вопрос 278, при-
приходим к расположению магнитных полюсов, изображенному на рисунке 168.
На 2-й вопрос смотри ответ ниже B83).
283. Если магнитный поток и, следовательно, магнитная индукция меня-
меняются, например, по закону B = Bosinu)t, то вокруг создается вихревое электри-
электрическое поле. Скорость, с которой меняется магнитное поле, "ту =Mj3,cosaf;
по такому же закону y = 0ocos(o< будет меняться и скорость
движения электрона, попавшего в электрическое вихревое по-
поле, линии напряженности которого — замкнутые кривые. /\j
Если бы магнитное поле действовало в течение всего пе- '
риода, ю движение электрона было бы просто колебательным jS
Но если поле будет действовать только в течение одной чет-
четверти периода (в данном случае последней), то движение элек-
электрона будет поступательным и ускоренным. Достаточная дли-
длина траектории определяется здесь возможностью обращения <5
электрона по круговой орбите, если только будут обеспечены
постоянство ее радиуса и устойчивость движения по ней.
Таким образом, весь процесс ускорения электрона в бета-
бетатроне завершается примерно за '/4 периода изменения тока, р
который питает электромагнит ускорителя. За это время элек-
трон, прежде чем выйти из ускорителя, успевает обежать сотни тысяч раз зам-
замкнутую линию напряженности вихревого электрического поля.
197
284. Циклотрон называется резонансным ускорителем потому, что подкач-
подкачка электрической энергии частице должна происходить точно в определенной
фазе процесса, иначе получится не ускорение, а торможение частицы. Бета-
Бетатрон же, не осложненный фазотронным или синхротронным устройством, яв-
является чисто индукционным, а не резонансным ускорителем.
285. Общая индуктивность двух катушек L = Li + L2±2Afi2, где взаимоза-
взаимозависимость геометрических параметров обеих катушек имеет место только в
выражении взаимной индуктивности:
где dl\ и dl2— элементы длины каждого контура и R — расстояние между
ними.
286. Индуктивность L соленоида длиной /, площадью поперечного сече-
сечения S и с общим числом витков N равна-
где k — коэффициент размагничивания, зависящий ст отношения длины / со-
соленоида к диаметру d его витков, причем с уветачепием отношения —- значе-
I ' d
ние коэффициента k растет и при -^ =10 становится равным единице. Поэто-
Поэтому неучет величины k делает значения индуктивности, получаемые из форму-
формулы A), вообще говоря, завышенными. Следовательно, значения L у концов
соленоида меньше, чем у его середины.
kp.<x0N2S
287. Из формулы индуктивности соленоида L ~- j при ki~k2,
U n[
(j-i = [_t2. Si = S2 получим —j~— ~тт . т. е. при прочих равных условиях индук-
тивность соленоида прямо пропорциональна квадрату общего числа витков.
Следовательно, индуктивность соленоида А больше, чем В.
L т,
Постоянная времени релаксации т = —к . Легко показать, что -^- =
= -fi~jj— где d\ и d-i — диаметры проволоки каждого соленоида. Н-о d\N^ и
йчЫг соответственно равны длинам соленоидов /, а они по условию равны,
следовательно, равны и постоянные времена релаксации.
288. Ток, протекающий через витки катушки, один и тот же. Если извес-
известен магнитный поток, пронизывающий каждый виток в отдельности, то
289. Если ток 1\ генератора Г, текущий по катушке L (рис. 22,6), возрас-
возрастает, то по закону Ленца возникающая э. д. с. самоиндукции, а значит, и ин-
индукционный ток /г будут такого направления, чтобы воспрепятствовать уси-
усилению тока 1\, и запасаемая в катушке магнитная энергия Wb будет убывать.
При этом токи /] и /г будут идти навстречу друг другу. Наоборот, при
уменьшении тока 1\ э. д. с. самоинд} кции будет стремиться поддержать его
величину, и магнитная энергия в катушке будет возрастать. При этом токи
1\ и /г будут одного направления. Итак, условия изменения энергий в обеих
схемах будут противоположны друг другу, а именно, в схеме (рис. 22, а)
имеет место уменьшение энергии WL при постоянных токах 1\ и /2 одинаково-
одинакового направления и увеличение энергии при токах противоположного направле-
направления; в схеме (рис. 22, б) энергия WL уменьшается при возрастающие токах
/] и h противоположного направления и увеличивается при убывающих токах
одинакового направления.
198
290. Витки, соединенные последовательно, но расположенные в простран-
пространстве хаотически, дадут в итоге ничтожную индуктивность Наивыгоднейшей
формой расположения витков будет форма тороида, притом если витки при-
примыкают вплотную друг к другу. Фактор размагничивания здесь равен нулю.
291. В теории ^кстратоков доказывается, что при включении э. д. с. в
цепь LR ток i достигает своего установившегося значения i0 не сразу, а сле-
следуя закону:
где 1а -
(So
. Отсюда
•=^-1п
1 —.
(So
т. е. при заданной доле i равновесного значения тока время, необходимое
для этого, тем меньше, чем больше приложенная э. д. с.
292. Пусть общее сопротивление цепи R=ro+r, ключ замкнут на точку а,
и по цепи идет установившийся ток '0 =~ ~Ъ~ (рис. 169). Если контур, содержа-
содержащий L, закоротить, перекинув ключ из а в с, то юк, шедший по цепи, будет
ослабевать. Обозначим его через i 1огда за счет
запасенной матипюи энергии в катушке (в пери-
период усиления тока при ею включении) возникнет
di
э. д. с. индукции ?и — — L —jj , которая по зако-
закону Ома равна §=ir, где R = r, так как .'о выклю-
выключено. Итак,
Интегрируя A), получим.
= if
A)
после момента закороче-
ёо
Рис. 169.
C)
где t—время, текущее
пия контура
В момент выключения э. д. с. ток /0 = ~~"^~~ ¦ так 11Т0 по подстановке в
A) получится:
г
~ R ^ °
Если теперь допустить, что ключ, разомкнутый в точке а, не замкнут на
точку с, а оставлен посреди между ними, то контур Lr будет не закоро-
закорочен, а разомкнут, и, следовательно, вместо конечного сопротивления г возник-
возникнет ' ->-оо. Тогда сравнение с C), где вместо г теперь г' и э. д. с. самоин-
г'
дукции <§и= ~~n~(So . покажет, что в момент размыкания контура на
короткое время возникнет э д. с. <§и>(§о- Явление это опасно и может
привести не только к возникновению дуги, но и к пробою изоляции, и к
выходу ич строя включенных приборов.
293. Будет, поскольку соединение обоих сопротивлений последовательное.
294. Довод в пользу такого утверждения вытекает из закона сохранения
энергии применительно к цепи, содержащей катушку самоиндукции. После
включения тока в период его возрастания в катушке возникает э. д. с. ин-
индукции, дающая ток, идущий навстречу току, вырабатываемому э. д. с. источ-
199
пика. Общий ток в цепи уменьшится, а вместе с этим уменьшится и коли-
количество i2rdt джоулева тепла, в которое переходит энергия источника gidt.
Поэтому для удовлетворения закона сохранения энергии приходится допус-
допустить, что избыток энергии источника идет на образование собственной энер-
энергии тока Но увеличение тока в цепи, хотя и замедленное, связано с усилени-
усилением его магнитного поля, поэтому можно предположить, что магнитная энергия
запасается в катушке индуктивности. Доказательством правильности такого
предположения служит возвращение этой энергии обратно в цепь при размы-
размыкании контура, содержащего катушку самоиндукции.
В2
295. Плотность энергии магнитного поля равна w =-?> , и в случае то-
тороида локализована целиком внутри его объема Магнитная же индукция рав-
Ni
на В — [х|х0 g—, где г — расстояние точки внутри тороида до его центра.
Очевидно, о> = а)Макс У внутреннего края тороида.
296. Нужно подвергнуть стрелку действию магнитного поля, созданного
током короткого замыкания. Для этого, поместив стрелку внутри катушки,
следует пропустить через ее обмотку сильный прямой ток (например, ток ко-
короткого замыкания), направление которого выбрано так, чтобы направление
линий магнитной индукции тока оказалось противоположным магнитным ли-
линиям стрелки.
297. На заряженную космическую частицу движущуюся со скоростью v
в магнитном поле Земли В, действует сила Лоренца F = e[vB]. Для простоты
допустим, что направление скорости v частицы всюду нормально к поверхнос-
поверхности Земли (рис. 170). На широте 0<<р<90° угол между векторами v и В при-
принимает значения 0<t|)<90°. Тогда результирующее движение частицы будет
представлять собой винтовую линию с осью,
п направленной вдоль магнитных линий индук-
" ции В в сторону одной из полярных областей.
На магнитных полюсах \ гол ( гВ) = 0, а
так как sin(vB) —0, то и отклоняющее действие
на частицу равно нулю На магнитном эквато-
ре угол(и В) = 90°, отклоняющее действие си-
силы F здесь максимально и направлено по ли-
линии В—3.
298. Напряженность Н магнитного поля ди-
диполя в точке, находящейся на перпендикуляре,
восставленном из его середины на расстоя-
расстоянии г от нее, равна:
Рис. 170
Н
Г
(СГСМ)
A)
где рт — магнитный момент диполя (рис. 171).
По существу требуется определить магнитный момент такого магнита, по-
помещенного в центре Земли, чтобы его поле компенсировало магнитное поле
Земли. Тогда г=6400 км, полная же величина Н на экваторе равна ее гори-
горизонтальной составляющей #', так как вертикальная составляющая на эква-
экваторе Я"=0. Величина Н' может быть определена экспериментально, напри-
например, по способу Гаусса; для экватора она оказывается равной 0,32 э.
Тогда искомый магнитный момент определится из равенства A).
200
299. В невозбужденном состоянии любой атом электри-
электрически нейтрален, но это не означает отсутствие в нем заря-
зарядов. Просто он представляет собой систему из положитель-
положительно заряженного ядра и отрицательно заряженного электрон-
электронного облака. Такую же сложную систему, по современным
воззрениям, представляет собой нейтрон, который по край-
крайней мере часть времени своего существования состоит из
положительно заряженного протона, окруженного отрица-
Рис. 171. тельно заряженным пи-мезонным облаком. Одна из реакций,
происходящих здесь непрерывно: п+±р+п~.
Если по классическим представлениям электромагнетизма обязательным
условием возникновения магнитного поля является движение электрического
заряда, то современным воззрением на структуру нейтрона это классическое
условие удовлетворено в полной мере. Движение минус-пи-мезона вокруг про-
протонного ядра и является причиной возникновения магнетизма электрически
нейтрального нейтрона.
300. Магнитное насыщение как пара-, так и ферромагнетизма означает
одно и то же состояние стопроцентной (или близкой к этому) ориентации
магнитных моментов молекул по полю, и следовательно, отличаться в этом
отношении пара- и ферромагнетики мотут только численным значением магнит-
магнитной индукции Принципиальная же разница между ними, и притом огромная,
в том, что ферромагнетики дают индукцию, близкую к предельной, уже при
малых значениях внешнего намагничивающего поля. Что касается парамагне-
парамагнетиков, то даже при предельно достижимых современной техникой полях по-
порядка 106 э линии их намагничивания еще не обнаруживают тенденции к от-
отклонению от прямой, т. е. не обнаруживают признаков насыщения.
301. Действие магнитного ноля магнита на ферромагнетик проявляется в
том, что домены последнего ориентируются по полю, т. е. ненамагниченный
железный предмет намагничивается. В результате этого ближайшими к север-
северному полюсу магнита окажутся южные полюсы доменов железного предмета,
и последний притянется к магниту, т. е. будет втянут в места наибольшей на-
напряженности намагничивающего поля магнита (точнее, оба предмета притя-
притянутся друг к другу).
302. Ненамагннченный железный стержень (не имевший собственного маг-
магнитного поля) нама1нитится по внешнему полю, но, поскольку это поле од-
однородно, поступательного или вращательного движения он испытывать не
будет.
303. Кинетическая энергия гвоздя возникает за счет уменьшения магнит-
магнитной энергии взаимодействия магнита и гвоздя, намагниченного под действием
магнита.
304. Диамагнетиками называются вещества, у которых суммарный орби-
орбитальный магнитный момент каждого атома или молекулы в отдельности
в отсутствие внешнего магнитного поля равен нулю. За период времени, хотя
бы и весьма короткого, включения внешнего магнитного поля усиление его по-
порождает по правилу Ленца вихревое электрическое поле, компонент которого
направлен по касательной к орбите атомных электронов. Действие этого поля
сводится только к такому изменению угловой скорости вращения орбитальных
электронов, которое уменьшало бы действие поля на атом. Диамагнитный
эффект не стоит ни в какой связи с температурным режимом вещества.
Парамагнетиками называются вещества, у которых суммарный магнитный
момент каждого атома не равен нулю и в отсутствие внешнего намагничива-
намагничивающего поля. Поэтому здесь намагничивание сводится к суммарному действию
двух конкурирующих процессов: 1) к ориентации магнитных моментов ато-
атомов по полю, которые прямо пропорциональны индукции поля Во, и 2) к дез-
дезориентации магнитных моментов под действием хаотического, теплового
движения молекул, которая пропорциональна температуре. Таким образом,
намагниченность парамагнетика зависит от температуры.
201
305. На графике рисунка 24, а величина -jr , откладываемая по оси абс-
абсцисс, означает индукцию внешнего магнитного поля в вакууме, отнесенную к
единице температуры парамагнетика. Отложенная по оси ординат величина
/
—. означает ту долю максимальной намагниченности, которая достигнута
' макс
o
при том или ином значении намагничивающего поля -у—
В
На графике рисунка 24, б величина ъ , откладываемая по оси ординат,
"МЯ1.С
означает долю индукции в ферромагнетике, взятую относительно индукции
насыщения.
I В„
Для диамагнетиков зависимость—? or-™- примет вид кривой, изо-
'иньс '
бражешгой на рисунке 172, причем располо-
расположение кривой ниже оги абсцисс означает,
что диамагпетики намагничиваются против
поля. Как уже указывалось в ответе на
вопрос 300, поля, насыщающие диа- и пара-
магнетики, столь велики, что они не достиг-
нуты даже современной техникой намагни-
намагничивания. Причина этому — крайняя малость
значений магнитной восприимчивости
(х«10-5— Ю-6). Рис. 172.
306
Электрические векторы
/
'¦max
Наименование
1. Напряженность
элсктрнческо!о
поля
2. Электростатичес-
Электростатическая индукция
3. Поляризация
Си vibo.i
Е
D
Р
Свя^ь
Со всеми зарядами
Только со свобод-
свободными зарядами
Только с поляриза-
поляризационными зарядами
Граничные условия
Непрерывен тан-
тангенциальный ком-
компонент
Непрерывен нор-
нормальный компонент
Вектор пропадает
в вакууме
Магнитные векторы
Наименование
1. Магнитная ин-
индукция
2. Напряженное ib
мапцпного поля
3. Намагничение
Симпол
В
и
7
Со р.семи токами
Только с внешними
токами
Только с молекуляр-
молекулярными томами маг-
магнетика
Грлничные условия
Непрерывен нор-
норма тьный компонент
Непрерывен rafireif-
цпатьный компо-
нен i
Вектор пропадает в
вакууме
202
Заключения:
Векторы ? и В сходны в своей связи со всеми зарядами для Е или то-
токами для В. Различны эти векторы в отношении граничных условий.
Векторы D и Н сходны в своей связи только со свободными зарядами
для D или с внешними токами для Н. Различны D и Н в отношении гра-
граничных условий.
Векторы Р я I сходны между собой в отношении связи с зарядами для
Р и токами для /, а также в отношении своего исчезновения в вакууме.
307. К тому моменту, когда конденсатор разряжается полностью, ток в
контуре достигает максимальной силы. К этому моменту достигает максиму-
максимума энергия магнитного поля, запасенная в катушке. Наличие запаса этой
энергии и служит причиной того, что процесс разрядки конденсатора не
обрывается на указанной стадии.
Дальнейшее изменение тока в сторону его ослабления порождает э. д. с.
индукции такого направления, при котором за счет уменьшения запасенной
магнитной энергии поддерживается величина и прежнее направление тока.
В итоге этот процесс приводит не только к исчезновению магнитной энергии,
но и к перезарядке обкладок конденсатора. Последнее состояние конденсато-
конденсатора не является равновесным, и начинается его разрядка в обратном направ-
направлении.
308. Пусть ключ на схеме (рис. 173) замкнут на точку а и по контуру,
включающему в себя только э.д.с. <§ и катушку индуктивности L, течет по-
постоянный ток, создавший и поддерживающий магнитное поле в катушке.
В момент, который принимается за начальный, ключ
перекидывается в точку с и э. д. с. выключается. Магнит-
Магнитное поле, исчезая, порождает индукционный ток, текущий в
том же направлении и заряжающий обкладку /; при этом
2 под действием электростатической индукции равный заряд
противоположного знака возникает и на обладке 2. Приток
зарядов на обкладку / прекращается в момент полного ис-
исчезновения магнитного поля в катушке, но такое состояние
контура не равновесно, и заряды погекут обратно по кон-
контуру LC, вновь создавая магнитное поле в катушке. Далее
процесс повторяется в обратном направлении.
309. Циклическая частота свободных незатухающих
электромагнитных колебаний в контуре шо определяется
его емкостью С и индуктивностью L следующим образом:
1
Рис. 173.
0 ~ /Тс" ¦
Амплитуда колебаний тока в контуре io = qoa>o, где q0 — начальный за-
заряд, сообщенный извне обкладкам конденсатора. Амплитуда колебаний на-
соотношением Uc= ~г~ '
пряжения Uс на обкладках связана с зарядом
310. Математически уравнения движения механической диссипативной ко-
колебательной системы из пружины и груза и электрической системы RLC за-
записываются совершенно одинаково. Однако в последнем случае необратимый
процесс расходования электрической энергии на нагревание, уход ее из сис-
системы и результирующее затухание, — все это сосредоточено только на оми-
омическом сопротивлении и не стоит ни в какой связи с емкостным и индуктив-
203
ным сопротивлениями. В результате полное сопротивление контура Z прини-
принимает вид:
При нахождении резонансного минимума Z путем его дифференцирования
по ш величина R просто выпадает и резонансная частота »0 = 77==- ока-
оказывается не зависящей от R.
В механической системе подобной локализации трения на каком-нибудь
параметре системы нет и потому в выражении амплитуды смещения полное
сопротивление:
где коэффициент затухания р связан с частотой со вынуждающей силы.
Однако принцип соответствия будет выполняться в точности, и различие
в условиях резонанса, о котором говорится в вопросе, исчезает полностью,
если сравнивать между собой выражения амплитуды переменного электри-
электрического тока с амплитудой механической колебательной скорости или соот-
соответственно выражения амплитуды электрического заряда конденсатора со
смещением в механической колебательной системе.
311. Пусть k — найденный коэффициент пропорциональности между раз-
разностью потенциалов Ua на концах сопротивления R(T) и его температурой Т.
Тогда
где Го — аплитудное значение температуры, меняющейся, как и ток, по гар-
гармоническому закону:
Т = Tosin<o/ , B)
i — /osin со/ . C)
Сопоставляя закон Джоуля — Ленца с выражением для количества теплоты
dQ, выделяемой реостатом с массой проволоки m за время dt, можно на-
написать:
dQ = i*Rdt = mcydT . D)
где
dT = co7"ocos<oZdZ . E)
Далее, беря для sin»/ и cosco/ средние значения за полпериода, равные
—7=. и подставляя A), C) и E) в D), получим для частоты со темпера-
У 2
турно-временной зависимости:
312. Акустический объемный резонатор Гельмгольца представляет собой
сферическую полость с впускным горлом. Входя в сравнительно узкий гор-
горловой канал, частицы воздушного потока согласно с теоремой Бернулли уве-
увеличивают свою скорость, почему горло резонатора и считается местом сосре-
сосредоточения кинетической энергии воздушного потока. Масса воздуха в горле
колеблется как одно целое, напоминая колебания поршня в цилиндре. Далее,
проникая в сферическую полость резонатора, частицы воздушного потока те-
теряют часть своей скорости, и движение их по отражении от стенок полости
приобретает характер стоячих волн наподобие колебаний пружины, периоди-
периодически меняющей свою потенциальную энергию. В этой смене пространствен-
204
но разделенных кинетической и потенциальной энергий воздушного потока и
заключается его первая периодичность. Далее, как и во всякой стоячей волне,
места узлов и пучностей при переходе от точки к точке оказываются фикси-
фиксированными, в чем и заключается вторая периодичность потока энергии в
резонаторе. В отличие от стоячих волн в струне здесь переменный характер
поперечного сечения полости приводит к тому, что обертоны лежат далеко от
основного тона и резонатор усиливает только этот последний.
313. Примером упомянутой в вопросе возможности может служить за-
закрытый и открытый электрический колебательный контур. В 1-м случае ем-
емкость можно считать сосредоточенной между обкладками конденсатора, пре-
пренебрегая емкостью катушки и соединительных проводов.
В открытом контуре емкость распределена по всем элементам системы.
То же относится и к самоиндукции, которая в замкнутом контуре сосредото-
сосредоточена в катушке, а в открытом распределена по всем его элементам.
314. а)" Примеры механических систем с сосредоточенными параметрами:
1) система из груза и пружины; 2) акустический воздушный резонатор, где
колеблющуюся массу воздуха можно считать сосредоточенной в горле резо-
резонатора, а упругость воздуха в полости; 3) математический маятник; 4) спи-
спиральная пружина на оси колеблющегося маховика в часах.
б) Примеры колебательных механических систем с распределенными пара-
параметрами: 1) натянутая струна; 2) физический маятник, где масса распреде-
распределена по всему его объему; 3) жидкость в сообщающихся сосудах; 4) стер-
стержень или пластинка, зажатые у одного конца в тисках.
815. Как видно из выражения, для частоты колебания контура
1
b0S r >VVS
где С = —-j— и L = i . Треоование огромных или крайне малых зна-
значений частоты приводит к трудно осуществимым на практике огромным
или крайне малым величинам параметров, определяющих размеры конденса-
конденсатора и катушки самоиндукции. Параметры эти следующие: S — площадь од-
одной обкладки плоского конденсатора; d — расстояние между обкладками;
N — число витков катушки; / — ее длина; S'—площадь ее поперечного се-
сечения.
316. Температурный коэффициент а для меди положителен. Следовательно,
омическое сопротивление R с уменьшением температуры уменьшается, так как
R = R0{\ + at). Вместе с уменьшением R уменьшится и резонансное значение
сопротивления контура и, следовательно, острее и выше будет пик амплиту-
амплитуды резонансного тока.
317. Для увеличения добротности объемного (полого) резонатора.
318. По теореме Гаусса поток вектора смещения через замкнутую по-
поверхность равен:
ФЕ = $>DndS = q .
По предположению Максвелла, источником магнитного поля может служить
не только ток проводимости, но и переменное электрическое поле, которое бу-
дет выполнять функции тока, названного током смещения. Тогда ¦ ¦ =
дФЕ d * дФЕ
~~ /см== dt = ~~йГ rDndS, следовательно, г'См = dt •
319. Стадии разряда предшествовала такая стадия, когда заряды перехо-
переходили с положительно заряженной обкладки на отрицательно заряженную.
При этом движение зарядов, т. е. ток, приводило к возникновению магнитно-
магнитного поля. Когда потенциалы на обкладках выровнялись настолько, что ток
стал ослабевать, э.д.с. индукции в катушке породила индукционный ток, уже
стремящийся поддержать слабеющий поток зарядов. Индукционный ток будет
205
идти в прежнем направлении, перезаряжая обкладки, вплоть до исчезновения
магнитного поля. Изменение же электрического поля между обкладками кон-
dD
денсатора-^- и есть плотность тока смещения, замыкающего цепь между
обкладками.
320. Если считать, что отсутствуют все э.д.с, кроме э.д.с. индукции, а так-
также отсутствуют токи проводимости и конвекционные токи (кроме токов сме-
смещения), то первое и второе уравнения Максвелла приобретают вполне сим-
симметричный вид:
дФ„
Hdi =
ct
Симметрия сказывается и в словесной формулировке. Первое уравнение озна-
означает, что изменение магнитного поля порождает вихревое электрическое поле.
Второе уравнение означает обратное, т. е. что изменение во времени электри-
электрического поля порождает поле магнитное. Различные зкаки в правых частях
равенств являются следствием закона сохранения энергии и необходимым
условием существования устойчивого электромагнитного поля.
321. Введем в качестве условия, что длина и проводимость коаксиального
кабеля бесконечно велики. Если ключ замкнут на точку Ь (рис. 27,а), то
разность потенциалов между наружным и внутренним проводником кабеля
AU = 0. При замыкании же ключа на точку а разность потенциалов появится
и будет распространяться по цепи со скоростью света. В точках, находящих-
находящихся от начала цепи на расстоянии l — ct и еще не достигнутых электромагнит-
электромагнитным импульсом, AU = 0 (рис. 27, б).
При периодическом включении и выключении из цепи э.д.с. <g=const
характер посылаемых импульсов приобретает вид, изображенный на рисунке
174, а. Если э.д.с. <g=const заменить электромагнитным осциллятором, то
импульс приобретает характер вол-
U
ны, дошедшей к моменту t до точ-
точки, отстоящей от начала цепи на
расстоянии l = ct (рис. 174, бив).
322. При одинаковой частоте v
сигнала длина волны 7. зависит от
скорости ее распространения. В ва-
вакууме или в воздухе с = 3-103 м/сек
с
и /1 = -^~ ; для диэлектрика внут-
с
ри коаксиального кабеля >2 "-—ГТ^-
Следовательно, > ч =
где е
Рис. 174
d<P . .
и \i — диэлектрическая и магнитная
проницаемости среды.
323. Интерпретация уравнения
,/ , данная Максвеллом, сводится к утверждению
магнитное поле создается не только токами проводимости, но и всяким
переменным электрическим полем ( е0 —г,— I • Но возникшее в какои
нибудь части пространства вихревое электрическое поле, по догадке Максвел-
Максвелла, не остается на месте, а распространяется в окружающем пространстве, как
волна. Теоретическое предположение Максвелла получило экспериментальное
подтверждение в опытах Герца, а в дальнейшем стало базой для всей радио-
радиотехники.
206
324. Можно думать, что нет, так как тогда получилось бы, что природа
реальных физических явлений определяется математическими абстракциями
и законы природы, минуя опыт, могут быть непосредственно выведены из них.
325. Проводники в коаксиальном кабеле служат только направляющими
для пути распространения энергии, сама же энергия в своем движении ло-
локализуется в объеме диэлектрика между проводами.
326. Человеческий глаз обладает резко выраженной способностью к весь-
весьма точной оценке равенства освещенностей двух смежных световых полей.
Поэтому для построения кривой чувствительности (кривой видносги) глаза
к различным цветам в гетерохромной фотометрии пользуются ступенчатым
методом. Метод этот сводится к субъективному установлению одинаковой
яркости для двух световых пучков близких длин волн. Чем больше чувстви-
чувствительность Ф(К), тем меньше требуемая мощность dE, т. е. <f>(X)dE(K) =const
или
Ф(Л2) - </?(л,) •
где ).\ и Лг—две близкие друг к другу длины волны.
327. При подаче сигнала об опасности важнее всего, чтобы он был виден
с наибольшего расстояния. Меньше всего рассеиваются в стороны длинновол-
длинноволновые лучи, поэтому для сигналов об опасности и выбран красный свет.
328. По третьему закону динамики Ньютона задняя стенка прожектора
должна испытывать реактивный импульс под действием светового потока.
329. Скорость света с в опыте Галилея должна была определяться из
соотношения с=—z— , где а — расстояние между двумя участниками опыта,
которые были снабжены фонарями; величина t, по предположению Галилея,—
это время, потребное для прохождения светом расстояния d в прямом и
обратном направлениях; время же, требовавшееся участникам опыта для
субъективной реакции на сигнал, предполагалось равным нулю
В действительности реакция на сигнал и поглощала все время (, в чем
можно было бы убедиться, поставив участников опыта почти рядом. Тогда
время t в пределах ошибок наблюдения оказалось бы тем же самым, а «ско-
«скорость света» is опыте уменьшилась бы в соответствующее число раз
330. Скорость распространения упругих или электромагнитных волн зави-
зависит только от свойств среды, а не от движения источника или наблюдателя.
Обратное явление могло бы обнаружиться в опытах Ремера по определении:
скорости света.
331. Скорость света в вакууме есть универсальная константа, не завися-
зависящая ни от одной из перечисленных в вопросе величин.
332. Согласно теории относительности скорость v любых тел, начиная с
макроскопических и кончая элементарными частицами, должна быть меньше
скорости света с. Если бы все же оказалось возможным, что v = c, то земной
наблюдатель рано или поздно мог бы увидеть галактику, так как свет испу-
испущенный ею в какой-либо момент, распространялся бы в пространстве и дошел
бы до нас независимо от того, двигалась и излучала ли свет галактика в
дальнейшем или нет. Об этом свет, так сказать, не знал бы.
333. Гюйгенс ввел в физику принцип, носящий его имя, в первую очередь
применительно к продольным волнам в упругой среде. Так как звуковые вол-
волны в воздухе являются продольными, то к ним возможно применить принцип
Гюйгенса
334. С помощью своего принципа Гюйгенсу удалось объяснить только
преломление, отражение и двойное преломление. Дополненная идеей интерфе-
интерференции волновая теория света Гюйгенса — Френеля объяснила дифракцию,
а с помощью гипотезы поперечности световых волн и поляризацию света. Но
все же потребовавшаяся для этого теория упругого, твердого эфира зашла
в тупик.
207
Все оптические явления, кроме явлений молекулярной оптики и излучения
света, были объяснены электромагнитной теорией света Максвелла уже без
всяких натяжек. Кроме того, более точное решение задачи о дифракции света
может быть основано также только на уравнениях Максвелла. Отсюда и вы-
вытекает необходимость рассматривать вопросы волновой оптики именно с
точки зрения электромагнитной теории света.
335. Явления отражения, преломления, интерференции и дифракции обьяс-
няются волновой теорией света независимо от продолыюсти или поперечности
колебаний в среде. Поэтому можно ожидать, что волновая теория, объясня-
объясняющая перечисленные оптические явления, может распространяться и на зву-
звуковые.
336. Как видно из рисунка 175, изображение а'Ь' предмета аЪ, отражен-
отраженного от гладкой поверхности воды /—2—3, будет меньше изображения а"Ь"
того же предмета, отраженного
от поверхности волны /—3—2
(ряби). В последнем случае
изображение предмета оказыва-
оказывается вытянутым в длину.
337. Выражением связи ме-
между показателем преломления
п среды и длиной волны А, для
света, падающего на границу
этой среды, может служить при-
приближенная формула дисперсии
вида
В
п = А 4- уу ,
где А и В, определяемые из опыта, — постоянные. Формула эта может слу-
служить средством определения X, если показатель преломления данной среды
определен опытным путем из закона Снеллиуса.
Что касается закона отражения света, то он может быть истолкован как
sin (' л2
частный случай закона преломления . = ¦——. если положить в нем П\=п%.
Тогда угол падения (' будет равен углу отражения г. Однако в этом случае
величина п из формулы выпадает и потому последняя не может быть исполь-
использована для определения Я.
338. В 1868 г. Фуко сумел сократить до 4 ж длину своей установки по
определению скорости света методом вращающегося зеркала. Заключив путь
светового луча в трубу с водой, Фуко получил для скорости света в воде
значение меньшее, чем в вакууме. Это согласовалось с волновой теорией света
и противоречило корпускулярной теории в форме, предложенной Ньютоном,
чем и был положен конец спору, длившемуся почти 200 лет. Однако в наши
дни дуализм волновых и корпускулярных свойств света возродился с появле-
появлением квантовой оптики.
339. Затронутый вопрос относится к случаю отражения света на границе
двух прозрачных диэлектриков, например на границе воздуха со стеклом,
водой, драгоценными камнями и пр.
Согласно формулам Френеля амплитуда отраженного луча сильно зависит
от углов падения и отражения, а также от величины показателя преломле-
преломления отражающего вещества. Как вода, так и стекло отражают всего лишь
несколько процентов падающего света, что можно усмотреть из формулы
Френеля для нормального падения лучей, при котором коэффициент отра-
отражения р минимален:
Резкое изменение величины коэффициента отражения от различных гра-
граней бриллианта (алмаза) или ограненного стекла, или даже от поверхности во-
208
ды при ряби создает блеск, как игру или как вспышки света. Алмаз же бла-
благодаря рекордно большому показателю преломления («=2,42) сильно отлича-
отличается от воды и стекла по красоте, силе блеска и переливам света.
с
340. Соотношение л. = —связывает три основные характеристики волны.
Частота v определяется только частотой источника колебаний; скорость рас-
распространения колебаний с в среде зависит только от свойств самой среды;
наконец, длина волны %, которая при неизменной частоте источника зависит
только от характера среды, будет меняться вместе с последней.
341. Нужно воспользоваться законом преломления Снеллиуса для пре-
предельного угла падения в стекле и интерпретацией показателя преломления по
Гюйгенсу и— —, где v — скорость света в стекле, ас—в воздухе. Измерив
V
'пред и воспользовавшись легко выводимым соотношением sin гпрел = —— ,
можно, зная скорость света с в воздухе, определить скорость света v в
стекле.
342. Оптическая длина пути d' равна произведению геометрической длины
пути d на показатель преломления среды п, т. е. d' = dn. Очевидно, величина
d'<d при 0<п<1. Такое значение п принимает в областях аномальной дис-
дисперсии по переходе через максимум поглощения света (рис. 176).
Согласно принципу Гюйгенса физический смысл показателя преломления
среды п связан лишь с фазовой у, а не с группоьой скоростью распростра-
( с \
нения электромагнитной волны ln = ~^j"l, поэтому превышение скорости света
в вакууме (v>c при 0<и<1) не вступает здесь в противоречие с требованием
теории относительности, согласно которому не может быть больше скорости
света в вакууме только скорость переноса энергии электромагнитной волны.
343. Изображение точечного источника S будет находиться в такой точке
пространства, где сходятся лучи, расходящиеся от источника или их мыслен-
мысленные продолжения в сторону, обратную их действительному распространению.
В последнем случае изображение называется мнимым (точка Si на рис. 177).
Поместим в точке S! экран столь малых размеров, чтобы он не преграждал
Рис. 176. Рис. 177.
пути к линзе L\ для большинства лучей, расходящихся от светящегося точеч-
точечного источника S. Светлой точки в Si как изображения действительного то-
точечного источника мы таким путем не получим, так как в действительности
лучи от S в точке Si не собираются, и в этом смысле точечное изображение
в Si мнимо. Однако увидеть его глазом или сфотографировать будет возмож-
возможно, если пучок лучей, расходящийся от рассеивающей лннзы, собрать в ка-
какой-либо точке S2 с помощью линзы L2, роль которой может выполнять хру-
хрусталик глаза или объектив фотоаппарата. Тогда в точке S2, где должен на-
находиться экран, фоточувствительная пленка или ретина глаза, будет реальное
изображение точечного источника S, причем S2 может с равным правом
рассматриваться как изображение мнимого точечного источника S{.
344. Вывод ограничивается параксиальностью лучей.
14 Заказ 170 209
345. Достаточно проверить выполнение закона отражения для всех основ-
основных цветных лучей.
346. Положение изображения не изменится, так как в явлениях прелом-
преломления (и отражения) выполняется закон обратимости световых лучей.
347. Вопрос решается рассмотрением нулевого инварианта Аббе:
Здесь п—показатель преломления однородной прозрачной среды в простран-
пространстве предмета, находящегося в точке 5; п' — то же в пространстве изобра-
изображения, находящегося в точке S'; г — радиус кривизны сферической преломля-
преломляющей поверхности.
Приложим равенство A) к случаю сферического зеркала, учитывая, что
фокусом сферической поверхности называется точка, в которой сходятся после
отражения параллельные лучи, идущие из бесконечно удаленной точки
(s = oo или s' = oo). Известно, что формула закона преломления переходит в
формулу закона отражения, если положить п'=—п. Тогда для фокусных рас-
1 1 Ji
стояний из равенства ~~тт -+- —г- — —р~ получится только одно значение fi =
— \г — ~2~ •
Далее, написав инвариант Аббе два раза для двух преломляющих по-
поверхностей в виде тонкой линзы, получим для нее уже два значения главного
фокусного расстояния, совпадающих по абсолютной величине, но обратных по
знаку.
348. Параксиальность лучей и совмещение главных плоскостей в одну.
349. Написать два раза формулу -р- = f "(M—' J \R~ ~~ ~~Щ7 ) с учетом
знаков и поделить одну r-га другую.
350. В формуле линзы (см. задачу 349) относительный показатель пре-
ломления я = ——, где п2 относится к линзе, а гц — к среде. Если <1 при
~п~—~п~- > 0 , то линза рассеивающая, так как /?<0. Меняя среду, можно
переменить действие линзы с собирающего на рассеивающее.
351. Предмет должен быть помещен в переднем фокусе линзы или в фо-
фокусе зеркала. На практике этот случай используется в прожекторе, когда то-
точечный источник света (дуговую лампу) помещают в фокусе параболического
зеркала.
352. Получение изображения, точно передающего форму источника, мож-
можно считать главной задачей геометрической оптики, но в основе этой задачи
стоит требование сохранения гомоцентричности пучков лучей. Это означает,
что каждая точка источника в пространстве предмета, представляющая собой
центр расходящеюся пучка лучей, в результате прохождения через систему
отражающих и преломляющих поверхностей является точкой схождения того
же пучка лучей в пространстве изображения. Оказывается, что если пучки лу-
лучей, проходящие через оптические системы, подчиняющиеся законам прелом-
преломления, ограничить узкой областью параксиальности, то упомянутое условие
точечное™ (стигматичности) изображения выполняется. Как следствие из этих
законов получается н выполнение принципа обратимости'хода лучей, согласно
которому п>ти лучей при изменении их направлений на прямо противополож-
противоположные остаются неизменными.
1 1 1
353. Сравнение тонкой линзы имеет вид -jr — ~г" = ~~5~ , где s, s', F —
соответственно расстояния от линзы до предмета, до изображения и до
210
s s
главного фокуса. Разрешив его относительно увеличенияk = — и х = ~рг- .
1
получим: k = . . .
Чтобы получить кривые, изображенные в условиях вопроса, надо пгре-
s
нести начало координат из точки О в точку О' так, чтобы х/=л:+2=-7Г+
+ 2 и k' = k -\- 1 =~г~+ 1 (рис. 178). Отсюда вытекает и физический смысл
нового начала, выраженного через исходные величины s, s', F. Положив я'=0 и
k'=0, получим s = —IF и s' = —s, откуда s'=2F, т. е. новое начало совмеще-
jjo с точкой изображения, располо-
расположенного на удвоенном фокусном рас-
расстоянии от центра линзы.
354. Рассмотрим пути лучей, вы-
выходящих из точки А светящегося
предмета (рис. 179) или из той же
точки, если она принадлежит фронту
волнового поля, возбуждаемого светя-
светящимся предметом. Все лучи, выходя-
выходящие из точки Л, равновозможпы; тог-
В/
-5 -Ч -3
0'
¦2 -1
1—
\
к
0 Н +2 +J
Рис. 178.
Рис. 179.
да два из них АВ и АВ\ как и все остальные в вакууме или в воздухе, будут
характеризоваться оптическими длинами путей поАВ и п0АВ', где показатель
преломления яо = 1. Эти лучи вступают в стеклянную линзу с показателем пре-
преломления п и проходят там оптические пути пВС и пВ'С, причем направления
их в стекле и далее в воздухе определяются законом преломления, который
может быть выведен из принципа Ферма. Среди различных точек, определяю-
определяющих длины световых путей CF и CF', найдется точка D, в которой пути n^CD
и n0C'D сойдутся. Тогда согласно принципу Ферма изображение точки А бу-
будет создаваться в такой точке D, для которой суммарная оптическая длина
всех световых путей будет экстремальна, т. е. либо она будет минимальной,
либо максимальной, либо, как в данном случае, она сохраняет постоянное
значение. Итак, по принципу Ферма должно быть n0AB+nBC+naCD=n0AB'+
+ nB'C'+n0C'D.
Примечание. Можно видеть, что написанное условие является про-
простым следствием волновой теории Гюйгенса — Френеля. Действительно, если
для точки D, где получается изображение, не будет соблюдено условие ра-
равенства всех оптических путей от А до D, то возникает разность хода,
которая уменьшит необходимое для появления изображения интерферен-
интерференционное взаимное усиление волн.
355. Интерференция, как и дифракция, не зависит от продольности или
поперечное™ волн, а потому может встречаться как в световых, так и в лю-
любых звуковых волнах.
356. Малое отверстие в экране А должно служить точечным источником
света, обеспечивающим одинаковость фаз в обоих точечных отверстиях
211
экрана В. При этом условии разность хода лучей, доходящих до произвольной
точки экрана С, будет вполне определенной, а интерференционная картина
четкой. Если же указанное условие не соблюдено и размеры отверстия А увели-
увеличиваются, то интерференционная картина на экране С будет размываться.
357. Пусть благодаря различной цветности интерферирующих лучей дли-
длина волны одного луча будет Xi на пути /, а другой — Х2 на пути 12. Тогда
разность фаз в точке наблюдения:
Однако интерференция могла бы иметь место только в том случае, если
в данной точке пути встречаются участки одной волны длиной, например,
Хь Условие это соблюдалось бы при наличии монохроматичности источника
света в 5 или одинаковости светофильтров в обеих щелях экрана В. В дан-
данном случае этого нет, следовательно, нет и когерентности двух независимых
волн Л) и Хг. Поэтому распределение интенсивности света на экране С не
будет создавать интерференционных полос, а создаст лишь монотонное
убывание освещенности смешанного цвета по закону обратных квадратов.
358. Воздействие падающей световой волны на электроны и ионы атомов
вещества приводит к возбуждению в них вторичных колебаний. Эти колеба-
колебания будут связаны между собой по фазе, как возникшие под действием од-
одной и той же электромагнитной волны. Следовательно, они когерентны, и ин-
интерференция между ними позволяет объяснить такие явления в веществе, как
отражение, преломление, дисперсия, рассеяние и т. д. Расчет по формулам
Френеля позволяет определить не только направление распространения отра-
отраженных и преломленных волн, но и их амплитуды.
359. При погружении в воду изменится длина волны, которая станет рав-
равной ?ч = —¦, соответственно изменится и разность фаз у участков волн в
точке экрана:
/2
r-77
где Хо — длина волны в воздухе, а 1\—/2 разность хода лучей в среде с пока-
показателем преломления п. Изменятся также и угловые расстояния между сосед-
соседними интерференционными полосами.
360. Интерференция перестанет наблюдаться, если соседние максимумы
порядка к и А+1 у двух волн с близкими длинами X и Х+ДХ будут совпа-
Л
дать. Таким образом, условие начала неразличимости АХ = —г~ в условии же
X
АХ > -г- A) . Чем больше АХ, тем дальше друг от друга интерференци-
интерференционные максимумы и тем лучше различимость.
Из условия A) и формулы тонкой пластинки толщины h с показателем
преломления п
2nh cos r = k~k
Х«
при наивыгоднейшем угле преломления (г=0) получим АХ > ^^ , т. е.
чем толще пластинка, тем хуже различимость интерференционной картины.
361. При просветлении оптики применяются многослойные пленки, рассчи-
рассчитанные на то, чтобы уничтожить отражение большей части света и впустить
в оптическую систему лучи, к которым человеческий глаз особенно чувстви-
чувствителен. Вне этого условия остается, главным образом, фиолетовая часть спек-
спектра, почему входные линзы просветленных оптических приборов в отражен-
отраженном свете и кажутся фиолетовыми.
362. Отношение интенсивностей отраженного и падающего света, т. е. ко-
коэффициент отражения
212
где п — — относительный показатель преломления двух сред, на границе
которых происходит отражение.
Пусть абсолютные показатели преломления, воздуха по = 1, воды п,=—
3 3>
стекла «2=~о" ¦ Пока водяная пленка не высохла, суммарный эффект отраже-
отражения складывается из отражений на границах воздух — вода (pi) и вода — сте-
стекло (р2).
Тогда с помощью формулы A) получим:
1 1
Р = Р1+Р2=49+289 = °'024 •
В отсутствие же водяной пленки отражение от границы воздух — стекло,
даст р' = 0,040. Таким образом, отражение от влажных очковых стекол почти
в 1,7 раза меньше, чем от сухих.
363. Поглощение света пленкой сделало бы применение ее лишенной смы-
смысла — такая пленка не просветляла бы оптику. Энергия, которая без пленки
отражалась, теперь пропускается внутрь оптической системы и воспринимает-
воспринимается глазом.
X2
364. В ответе на вопрос 360 была выведена формула ДХ > 2/г/г со г— '
куда вошел cosr, ранее принимавшийся за единицу. Имеем:
~ h cos r
Угол преломления света г изменяется в ту же сторону, что и угол паде-
падения (. При одних и тех же изменениях г изменения в различимости интерфе-
интерференционной картины ДХ будут тем сильнее, чем больше толщина пленки h.
В частности, чем больше Л, тем хуже различимость.
365. Принцип обратимости световых лучей не нарушается, так как он ка-
касается здесь в сущности только зрачков глаз обоих наблюдателей. Однако
условия контрастности изображения их фигур слишком неравны, чтобы мо-
можно было говорить об их одинаковой видимости.
366. При первом измерении интерференционной картины одно плечо ин-
интерферометра Майкельсона совпадало с направлением движения Земли, а дру-
другое было к нему перпендикулярно. Далее по изменению интерференционной
картины (если бы таковое было) желательно было судить о влиянии движе-
движения земли на результаты измерения. Для этого надо повернуть установку на
90°.
367. Опыт Майкельсона показал, что даже с помощью весьма тонких
оптических измерений невозможно установить абсолютное движение системы.
В опыте Майкельсона такой системой являлась Земля по отношению к непо-
неподвижному эфиру. Отрицательный результат опыта Майкельсона был принят
Эйнштейном как постулат теории относительности.
368. В теории биений указывается, что период т изменения абсолютного
значения амплитуды определяется из условия разности частот
1 с с сЛХ
X2
откуда г ~ .^ .
Если пользоваться почти монохроматическими спектральными линиями
о
ртутной лампы, то можно принять разность близких длин волн ДЛ=0,1А. Вы-
о
бирая красный цвет (Я=7000 А), получим тж10-п сек.
213
Рекордные по краткости промежутки времени, которые удалось определить
с помощью специальных осциллографических установок, были порядка
10~13 сек. Таким образом, получение на экране кривых, изображающих про-
пропорциональные премени колебания амплитуд при биениях, возможно.
369. Известно, чтс условием дифракционных экстремумов при дифракции
от двух щелей является равенство sin 9 = 2(a+b) ' Здесь ср — угол дифрак-
дифракции, а+Ь — период решетки; для главных максимумов k—2m, а для миниму-
минимумов k=2m+l (m=l,2...). Дифракционная картина станет невозможной, если:
/гХ , X
1) 2(а+Ь) > ' так как s'n(P^'' и 2) ПРИ т=0> когда (а+Ь) < -у .
370. Дифракция волн проявляется, прежде всего, в отклонении луча от
прямолинейного направления в однородной среде и в захождении его в об-
область геометрической тени. В оптике это явление благодаря малой длине све-
световых волн (доли микрометра) вне специально поставленных условий наблю-
наблюдения совершенно незаметно. Достаточно зайти за ствол дерева, чтобы ока-
оказаться внутри геометрической тени, если, конечно, оставить в стороне
рассеяние света молекулами воздуха
Что касается звуковых волн, то длина их в среднем порядка одного мет-
метра и потому заход за ствол дерева, наоборот, не даст ни малейшего признака
звуковой тени и восприятие звука останется тем же самым. Заход за угол
здания или за пригорок уже может дать заметный эффект звуковой тени. В
то же время заход за угол здания окажет на распространение радиоволн дли-
длиной в один, два километра столь же малое действие, как ствол дерева на ра-
распространение звука.
371. Геометрической мерой направленности звукового излучения служит
d
отношение k —-j—, где Я — длина волны и d — характерный размер излучате-
излучателя. Чем больше k, тем уже раствор конуса, в котором распространяется излу-
излучение. В условиях, указанных в тексте вопроса, направленный пучок излучае-
излучаемой интенсивности звука будет в горизонтальной плоскости шире, так как
размеры излучателя по горизонтали меньше, чем по вертикали
372. Искомое отношение должно быть больше единицы (см. ответ к пре-
предыдущему вопросу).
373. Лучи, падающие на узкую щель, можно считать параллельными, и
следовательно, дифракцию надо считать дифракцией Фраунгофера
374. Формула дифракции Фраунгофера от одной щели имеет вид sin ^ =
kk
~~2d< где Для дифракционного максимума k~2m+\, а для минимума
k=2m. Из формулы видно, что с увеличением длины волны, а также с умень-
уменьшением ширины щели угол дифракции увеличивается.
375. Если ширина щели d=\ мкм, а длина волн составляет интервал
между ?.,<р = 0,76 мкм и Хф=0,38 мкм, то подстановка этих значений при
т=0, 1, 2, ... в формулы дифракционных максимумов и минимумов
X 2тХ
sin» = Bт -f- 1)^г , sin у —~^1—
даст следующую картину. В середине экрана—нулевая полоса белого недиф-
рагирезанного света. Дальше по обе стороны — полоса первых дифракцион-
дифракционных минимумов между углами дифракции 22°20' до 49°30'. На эту полосу
частично налегает полоса первых дифракционных максимумов от фиолетового
до светло-красного цвета (Х=0,67 мкм) при углах дифракции от 34°45' до 90°
На длинноволновый край первых максимумов частично находит полоса вторых
дифракционных минимумов от фиолетовой до зеленой части спектра при уг-
углах дифракции от 49°30' до 90". Это последний порядок спектра.
376. Четное число зон Френеля гасит все лучи попарно. На рисунке
4 зоны.
214
377. Для получения четкой дифракционной картины требуется геометри-
геометрически правильное чередование тончайших полосок, пропускающих свет (или
отражающих), и полосок, поглощающих свет или, по крайней мере, рассеи-
рассеивающих его Таким путем изготовляются отражательные дифракционные ре-
решетки.
Если поверхности плоского или сферического зеркала просто покрыты
"астицами пыли, то экран, на который падает свет от таких зеркал, может
дать слабое и неправильное подобие дифракционной карти»п В демонстра-
демонстрационных целях для наблюдения дифракционных венцов, подобных вен-
венцам вокруг Солнца, пользуются порошком ликоподия. Кроме того, слабые
дифракционные полосы могут наблюдаться у краев изображений предметов.
378. Волновая оптика переходит в геометрическую при условии, что дли-
длина волны света стремится к нулю, а это уничтожает возможность потучения
дифракционной картины. Если обратиться, например, к формуле дифракции
Фраунгофера dsin<p=kX, то при Х=0 ни одной дифракционной линии не воз-
возникло бы, так как угол дифракции ф = 0. В вопросе ставится условием, что
его рассмотрение ограничивается областью геометрической оптики, поэтому
ответ на него будет отрицательным, т. е. с явлением дифракции мы не
столкнулись бы
379. Дифракция света проявляется, прежде всего, в нарушении прямоли-
прямолинейности распространения света в однородной среде. Таким нарушением бу-
будет захождение света в область геометрической тени, что будет иметь место
всегда при наличии частичных преград, ограничивающих распространение све-
световых пучков. Для формального объяснения дифракции света в указанном
смысле достаточно применения принципа Гюйгенса.
Однако принцип Гюйгенса не может объяснить второй стороны дифрак-
дифракции — перераспределения световой энергии в пространстве. Это перераспреде-
перераспределение энергии в виде различных по интенсивности света светлых и темных
полос объясняется исключительно интерференцией света, которая проявляется
здесь в условиях ограничения световых пучков С этой точки зрения опыт
Юнга с двумя щелями представляется в следующем виде (рис. 29).
Если бы не существовало дифракции, то тонкие пучки лучей, распростра-
распространяясь от А к В, дали бы на экране С только два маленьких светлых пятныш-
пятнышка Дифракция в отсутствие интерференции привела бы к равномерному осве-
освещению всего (предполагаемого небольшим) экрана С.
Интерференция перераспределяет интенсивность дифрагированного света
в пространстве между экранами В и С и дает картину чередующихся кон-
концентрических светлых (или цветных) и темных полос.
Интерференции в опыте Юнга может и не наблюдаться. Это произойдет
в двух случаях' если отверстия в экране В увеличены настолько, что разность
хода лучей, доходящих до произвольной точки экрана С, теряет свою опре-
определенность или если ширина каждой щели в экране В меньше полуволны.
380. Отличить дифракционный спектр от призматического нетрудно по та-
такому признаку в призме чем больше длина волны, тем меньше угоч прелом-
преломления; для дифракционной решетки: чем больше длина волны, "тем больше
угоп дифракции
Пол} чить полную информацию о спектральном приборе — значит узнать
три его характеристики: угловую (или линейную) дисперсию D, дисперсион-
дисперсионную область С и разрешающую способность R
Введем обозначения:
Q — угол дифракции: X— длина волны; бв, 6Я — разность двух значений
в и X; k — порядок спектра; N — общее число штрихов в решетке; d — период
решетки.
Воспользуемся формулами, выводящимися в любом полном курсе оптики:
ы - х2-х, - e
215
а = м= -j . О)
Подстановка значений 8 и 1в A) определяет дисперсию решетки D, т. е.
значение углового расстояния между двумя последовательными максимумами,
о
приходящееся на разность длин волн, равную единице, например на 1 А.
Поскольку даже большая дисперсия еще не обеспечивает разрешения двух
близких линий, то подстановка Xi и %2 во B) определяет разрешающую спо-
способность R.
Наконец, найдем предельную по величине ширину спектрального интерва-
интервала, при котором еще возможно получить не перекрывающиеся максимумы,
т. е. найдем дисперсионную область G. Величину k можно узнать, если фото-
фотография содержит хотя бы одну линию спектра другого порядка, например
k+i. Тогда, кроме. G, можно определить из A) и период решетки d.
Аналогичным путем, хотя и с иной формулой, для разрешающей способ-
способности определятся и характеристики призмы в качестве спектрального при-
прибора.
381. Для линий й-го порядка можно написать условие главных максиму-
k\k (k + 1) А. ,.
мов в виде sin8ft — —g—, а для (б-Н)-го порядка sine^ == -z——- .
По условию должно быть вь-нОь следовательно, (k+\)%K+\<kXy или
k+1 h
—г— < ¦—, . Подставляя заданные числовые значения, убеждаемся, что
й Л?т 1
поставленное требование невыполнимо независимо от периода решетки.
382. Ценность для спектрального анализа представляет большая разре-
разрешающая способность R спектрального прибора, но формально математически
она будет одинаковой как при малом периоде dm и большом общем числе
штрихов JVa, так и, наоборот, при de большом и NK малом:
dMN6 = dcNu .
Однако физически левое и правое выражения максимальной разрешаю-
разрешающей способности Rmukc совершенно не равноценны. Так какО —-д (см. ответ
379) и интенсивность в максимумах I~N2 (по доказываемому в курсах оп-
оптики), то выгодными оказываются только решетки с малым периодом и боль-
большим числом интерферирующих лучей, т. е. с большим общим числом штрихов
решетки.
383. Верхний предел значения k определяется условием для главных диф-
. _ "'¦мин
ракционных максимумов sine = —j—=1, где а — заданный период решетки,
а Амин — крайняя длина волны фиолетового света. Верхний же предел обще-
общего числа штрихов ставится техническими возможностями изготовления диф-
дифракционных решеток.
dsin в
384. Из условия главных дифракционных максимумов находим к——j—»
а так как разрешающая способность решетки R=kN, где N — общее число
штрихов решетки, a Nd=b — ее общая ширина, то
т. е. при заданных в и % разрешающая способность решетки зависит только
от ее ширины.
216
385. Разрешающая способность
(расшифровку обозначений см. в ответе 380). Дифференцирование формулы
Ьв к
главных максимумов дает ^ = ^C0Sa—• Отсюда получается приведен-
приведенное в тексте вопроса равенство:
А в* = Ndcosek ¦ B)
Угол дифракции в растет вместе с порядковым номером спектра к, сле-
следовательно, Ад* ~ ,.„„ „ к. Парадокса или противоречия между A) и B)
нет, так как АЭ=9я—вь+i—это не ширина максимума, а угловое расстоя-
расстояние между двумя соседними максимумами, прямо пропорциональное k, равно
как и R~k.
о
386. Длины волн рентгеновых лучей варьируют в пределах от 1 до 0,04 Л.
о
Постоянные кристаллических решеток варьируют в пределах от нескольких А
о
для элементов простых соединений до 10—20 А для сложных органических и
о
неорганических соединений и до сотен А для белков и вирусов. Отсюда вид-
видно, что длина рентгеновых лучей может быть слишком малой для образова-
образования пучка лучей, дифрагированных на атомах кристалла, но не может быть
слишком большой. Действительно, условием дифракционного усиления интен-
интенсивности лучей, отраженных от разных плоскостей кристалла, служит уравне-
уравнение Вульфа—Брэгга:
При наибольшей длине волны рентгеновых лучей Я= 1 А, при наименьшем
о
межплоскостном расстоянии d=2 А и при наименьшем п=\
пк Ы
025 1
sin3 =
2-2" =
т. е. дифракция еще возможна.
387. В теории дифракции на одно- и двумерных структурах доказывается,
что в пределах условий, дающих 0<sin6<l, главные дифракционные макси-
максимумы найдутся всегда при любой X. При дифракции же на трехмерных
структурах значения X не могут быть любыми, а должны удовлетворять спе-
специальному условию. Кроме того, условием взаимного усиления лучей, отражен-
отраженных от разных плоскостей кристалла, является соотношение Вульфа—Брэгга.
Ограничения возможностей к дифракции на кристалле в виде обоих ус-
условий делают довольно маловероятным появление дифракционных максиму-
максимумов при падении рентгеновых лучей, близких к монохроматическим, и при за-
заранее фиксированном угле скольжения.
Вероятность появления дифракционной картины возрастает в большой
степени, если: 1) вместо монохроматических лучей на кристалл будет падать
совокупность лучей близких длин волн и в достаточно широком диапазоне;
2) благодаря покачиванию монокристалла будут обеспечиваться всевозможные
углы скольжения. То же самое получится при замене монокристалла (иногда
к тому же трудно выращиваемого) порошком из огромного числа мелких
поликристаллов.
388. а) Измерения с призмой. Прежде всего, измеряется на специальном
гониометре показатель преломления п для различных линий ртутного спектра.
Значения соответствующих длин волн могут быть взяты из таблиц. Строят
217
dn
график п{Х) и по тангенсу угла наклона кривой определяют-^-= D, т. е.
дисперсию. Далее пользуются формулой разрешающей способности призмы
R = bD, где Ь — путь, проходимый лучом вдоль основания призмы, причем
световой пучок должен заполнять весь объем призмы.
б) Измерения с дифракционной решеткой. Для различных линий ртутного
спектра измеряют на гониометре углы дифракции; соответствующие длины
волн могут быть взяты из таблиц. Далее по графику, как и в случае призмы,
dn
находят ?> =-тт-. Зная период решетки (по ее паспорту), определяют число
штрихов на единицу длины Ы' = —г и,умножив на ширину решетки /, полу-
получают общее число штрихов в решетке N=N'1. Тогда разрешающая способ-
способность R=kN, где k — легко находимый порядок спектра.
389. Огромная яркость поверхности Солнца, варьирующая около средней
величины в 15 яг, делает обязательным условием ее наблюдения применение
какого-нибудь прибора, уменьшающего интенсивность света, пропускаемого в
глаз наблюдателя. По сравнению с обыкновенными светопоглощающими
фильтрами пара поляроидов имеет большие преимущества, так как интенсив-
интенсивность пропускаемого плоскополяризованного света, подчиняющаяся закону
Малюса, легко допускает здесь удобную регулировку ослабления света в лю-
любых пределах.
390. Интенсивность пропущенного света от максимума до нуля будет оп-
определяться толщиной пластинки; длиной световой волны; веществом плас-
пластинки, от которого зависят показатели преломления обыкновенного и необы-
необыкновенного лучей, и взаимной ориентацией оптических осей всех трех пла-
пластинок.
391. Условие Брюстера для полуой поляризации света при отражении на
границе двух изотропных прозрачных диэлектриков может быть выражено
равенством
1 + г = -^-, A)
где i — угол падения луча, г — угол преломления. Так как законы отражения
и преломления допускают обратимость лучей, то будет ли показатель пре-
преломления первой среды больше или меньше, чем второй, не играет роли. Важ-
Важно лишь соблюдение условия A).
392. а) Только направление в пространстве; б) не обладает; в) характе-
характеристическим здесь можно назвать направление, определяющее ход преломлен-
преломленного луча при его падении на одноосный двоякопреломляющий кристалл. Та-
Таковым является направление оптической оси кристалла, относительно которой
и принято определять ориентацию падающего луча.
393. По своим поляризующим свойствам поляриод (кристалл герапатита)
очень сходен с турмалином, так как и тот и другой в сильной степени дихро-
нчны. В поляриоде обыкновенный луч целиком поглощается уже при общей
толщине пластинок в 0,3 мм. Пусть пластинка поляроида будет поляризато-
поляризатором, а анализатором — николь. Установив николь на максимум пропускания
света и смотря в торец николя, отмечают направление между двумя тупыми
углами кристалла. Это и будет направлением главной оптической оси, вдоль
которой колеблется электрический вектор Е плоскополяризованного света.
Положение это вытекает из опытов Винера с турмалином.
394. Чтобы получить приведенные значения по и пе, надо вырастить в
особых условиях монокристалл льда. В природе же монокристаллы льда
встречаются редко, так что обычно структура льда поликристаллична. В та-
таких структурах кристаллографические направления повернуты относительно
друг друга на всевозможные углы, и потому анизотропия микрокристаллов в
виде двойного лучепреломления не обнаруживается.
218
395. Формула, связывающая толщину / пластинки в 'Д волны, длину вол-
волны А, и показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей п0
и п„, имеет вид:
Написав формулу A) два раза для толщины пластинки кварца /„ и из-
известкового шпата /ш и поделив одну на другую, получим:
/к (п„~пе)ш 0,172
1ш ~ (по - пе)к ~ 0.009 > •
т. е. пластинка кварца в 'Д волны будет почти в 19 раз толще пластинки из-
известкового шпата.
396. Да, но значение показателя преломления пе ие будет зависеть от
угла падения только в том случае, когда плоскость падения луча перпендику-
перпендикулярна главной плоскости.
397. а) Пластинка вырезана перпендикулярно главной оптической оси
00'. Двойное лучепреломление имеет место при всех углах падения, кроме
i=0. Показатель преломления луча пе зависит от i (рис. 180, а).
б) Пластинка вырезана параллельно оптической оси, и плоскость падения
луча совпадает с главной плоскостью (рис. 180, б). Двойное лучепреломление
а
есть при всех углах падения, кроме ? = 90". Величина показателя преломления
луча п, зависит от ?.
в) Пластинка вырезана параллельно оптической оси, но плоскость паде-
падения перпендикулярна главной плоскости (рис. 180, в). Двойное лучепреломле-
лучепреломление есть при всех углах падения без исключения, но величина л„ не зависит
от угла /'.
На чертежах направления колебаний лучей о и е всюду обозначены чер-
черточками и точками. Направления колебаний луча о везде перпендикулярны
к оси, а колебания луча е составляют с осью различные углы. Во всех трех
случаях луч е не выходит из плоскости падения.
398. Поместим пластинку Q в -т-волны между двумя николями. Ннколь
Р служит поляризатором, т. е он превращает падающий на него естественный
луч в плоскополяризованныи. Пластинка Q служит для превращения плоско-
поляризованного луча в эллиптически или циркулярно поляризованный. Ни-
коль А служит анализатором характера поляризации. Если, поворачивая ана-
анализатор, мы видим усиление или ослабление света, но не доходящее до пол-
полного погашения, то луч, вышедший из Q, поляризован эллиптически.
Поворачивая Q на небольшие углы и всякий раз анализируя луч враще-
вращением А, добиваемся такого угла поворота Q, при котором луч погасится сов-
совсем. Это будет означать, что след плоскости, в которой колеблется линейно-
поляризованный луч, вышедший из Р, совпал с главной осью пластинки.
Не меняя углового положения Q, поворачиваем А до максимума пропус-
пропускания света, линейно-поляризованного с помощью Р и не подвергающегося
уже никаким трансформациям пластинкой Q. Смотря в торец николя А, от-
219
мечаем направление между двумя тупыми углами кристалла. Это и будет
следом плоскости колебаний электрического вектора Е, совпадающим с опти-
оптической осью.
399. В курсе оптики доказывается, что проекции колебаний света, про-
прошедшего через пластинку в —т-волны, на оси х и у описываются уравнениями:
х = acosoit ; A)
у = bcos(a>t — <f) , B)
тс
где ф= ~2~ сдвиг по фазе в результате прохождения света через пластинку
волны; a=v4cosa; 6=^sina; A — амплитуда колебаний электрического
4 __>.
вектора Е линейно-поляризованного света, падающего на пластинку Q; a —
угол между направлениями этих колебаний и оптической осью пластинки Q.
По подстановке заданных значений в A) и B) получим:
я
X
У
0'
Acosoit
0
90»
0
Acos(u>t—-f)
0°<а<90°
Acosoicosut
AiiniCOS(mt—t?)
Выводы. 1) Если угол между вектором Е и оптической осью пластин-
пластинки а=0 или а=90°, то колебания Е остаются линейно-поляризованными, в
первом случае без сдвига фазы, а во втором со сдвигом фазы.
2) Если 0°<а<90°, то пластинка превращает линейно-поляризованный
тс
свет в эллиптически поляризованный; в частности, при а——т—в циркулярно
поляризованный.
400. а) Пластинка в -у- волны вносит в линейно-поляризованный свет
сдвиг по фазе ср=я. В этом случае эллиптически поляризованные колебания
превращаются в линейно-поляризованные, которые описываются уравнением
х и
1- -4- = 0 (расшифровку обозначений см. в ответе на предыдущий воп
рос). При а = 45" а = Ь и «/ = — х, т. е. пластинка в -у волны поворачивает
направление плоскости колебаний на 45° против направления входящих в
нее колебаний.
б) Если на пластинку в -jp волны падает свет, поляризованный по кругу
/ «л 1
(а=о), то это значит, что свет предварительно прошел через пластину в~т~
« 3 / -и \ 3
волны Тогда результат сдвига фаз-f =~2~ + Х=~<Г п =\2л—~о~) , sin-7>7c=
*а У2 1
= — 1 и уравнение колебаний —^ + —^ = 1 , , т. е. пластинка в-д-вол-
ны не меняет характера циркулярно поляризованного света, который полу-
получается под действием пластинки в~2~ волны, но поляризация по левому кру-
кругу сменяется поляризацией по правому кругу.
220
в) Естественный свет, прошедший через пластинку, будет представлять
собой совокупность эллиптически и плоскополяризованных лучей, ориентиро-
ориентированных по всевозможным направлениям, т. е. естественный свет остается
естественным.
401. Поместив диск между двумя николями, на первый из которых Р па-
падает естественный свет, можно с помощью второго николя А прийти к следую-
следующим заключениям:
а) Если луч при вращении анализатора гасится полностью и полное про-
пропускание света совершается при параллельных николях, то диск сделан из
неполяризационного материала, например из стекла, или он является поляри-
поляризационной пластинкой в 1 волну.
б) Если вращение анализатора приводит к частичному затемнению и
просветлению поля зрения, то диск может быть только поляризационной
пластинкой, поскольку частично поляризованный свет, дающий тот же эффект,
исключается благодаря присутствию поляризатора.
в) Если вращение анализатора не приводит к изменению интенсивности
света, пропущенного диском, а наличие здесь естественно света исключается
благодаря присутствию поляризатора, то диск представляет собой пластинку
в -j- волны.
г) Если при вращении анализатора луч гасится полностью, но анализа-
анализатор и поляризатор при этом не параллельны, то диск может быть только пла-
пластинкой в —rj~ волны.
402. Прямолинейное гармоническое колебательное движение, соответству-
соответствующее плоскополяризованному лучу, может быть разложено на два круговых,
происходящих с одинаковой частотой, но в противоположных направлениях.
Бели фаза одной из компонент изменилась на угол а0, то результирующее ко-
d
лебание испытает сдвиг фазы на ао= 2^ -j— , где й-—толщина поляризую-
поляризующей пластинки.
403. Поляризация волн связана в качестве непременного условия с попе-
речностью колебания относительно направления своего распространения. В
воздухе возможны только продольные волны, поэтому поляризованных каким
бы то ни было образом звуковых волн в воздухе быть не может.
Что касается электромагнитных волн, в частности радиолокационных, то
известно, что спиральные антенны излучают радиоволны, поляризованные по
кругу и по эллипсу.
404. Давление р, вообще говоря, равно количеству движения tnAv, при-
/ F
ходящемуся в единицу времени, на единицу поверхности S тела I р = —гг =
m&v \
= ~~s\i~l- Но для того чтобы доказать, что количество движения может
быть передано телу именно давлением света, а не в результате радиометриче-
радиометрического воздействия молекул воздуха, П. Н. Лебедеву пришлось преодолеть
труднейшие препятс1вия, которые поставили в свое время его опыт на верши-
вершину экспериментального искусства. Однако в его опыте речь шла только о пере-
передаче телу светом количества движения.
Возможность же передачи телу момента количества движения составляет
сущность так называемого эффекта Садовского. Теоретически было доказано,
а затем подтверждено экспериментально, что телу в виде кристаллической
пластинки, обладающей двойным лучепреломлением, может быть сообщен
вращающий момент, равный изменению момента количества движения. Это
может произойти только в том случае, если на пластинку падает световая
,юлна, поляризованная по кругу,
405. Свет, рассеянный молекулами атмосферного воздуха, свободного от
запыленности и конденсированных водяных паров, т. е. свободного от обла-
221
ков, обычно сильно поляризован; поэтому поворот плоскости поляризацион-
поляризационной пластинки, через которую рассматривается ясное небо, сильно меняет
пропускаемую пластинкой интенсивность света. Свет же, рассеянный облака-
облаками, не поляризован, поэтому опыт с поляризационной пластинкой не приво-
приводит к дифференциации в пропускаемой ею интенсивности света.
406. Температура кратера в аноде угольной дуги оценивается величиной
несколько большей 4000°К, а температура выпуклой части катода в 3000°К.
Причиной этому служит экранирующее от рассеяния тепла действие вогнутой
поверхности кратера.
407. В выражении закона Стефана — Больцмана
R = sT* A)
величина R есть частная форма интенсивности потока теплопередачи, а имен-
именно R есть интегральная лучеиспускательная способность абсолютно черного
тола. Таким образом, зная абсолютную температуру такого тела в любых ин-
интервалах, можно с помощью A) всегда определить R. Обратный же путь
определения Т по интенсивности потока теплопередачи R' не всегда приводит
к верным результатам. Результаты подсчета будут хорошими лишь тогда,
когда теплообмен через электромагнитное излучение намного превосходит по
величине другие формы теплопередачи, т. е. теплопередачу через теплопро-
теплопроводность и, главным образом, через конвекцию. При невысоких же температу-
температурах интенсивность отдачи тепла осуществляется преимущественно через кон-
конвекцию, так что оценка ее с помощью закона излучения Стефана — Больцма-
Больцмана привела бы к неправильным результатам.
408. Множитель k непостоянен, и его возрастание с температурой столь
велико, что интегральная лучеиспускательная способность, т. е. интенсивность
излучения R, может расти пропорционально 5-й, а с дальнейшим ростом тем-
температуры даже 6-й степени абсолютной температуры.
409. Допустим, что внутри полости находятся два различно нагретых те-
тела — белое и черное. Пусть полная лучеиспускательная способность белого
тела (?ь а черного е2, и соответственнные поглощательные способности ezi и аг-
Согласно интегральному закону Кирхгофа отношения этих величин будут рав-
равняться лучеиспускательным способностям абсолютно черного тела при тех же
температурах Т\ и Т2, т. е. ~— = Ет^ и —— = ?j-f •
В этом случае суммарные потоки температурного излучения ?г, и Ет2,
идущие от обоих тел, различны, и глаз наблюдателя различает оба тела по
отдельности. В тексте же вопроса температура стенок полоски предполагается
постоянной, и если выждать время, когда излучение станет равновесным, оба
предмета будут по цвету неразличимы.
410. Поскольку энергия фотона <§ и частота v как основной параметр,
характеризующий связанные с ним колебания, относятся к свойствам однего
и того же излучения, то величины <§ и v должны быть каким-то определен-
определенным образом связаны между собой. Планк сделал допущение, что связь эта
носит простейший характер прямой пропорциональности:
г*
— =h = const .
Итак, монохроматическая волна, несущая энергию <§ в волновом пред-
представлении, заменяется в квантовой теории потоком из N фотонов, несущих
ту же энергию.
411. По волновой теории отсутствие ^фотоэффекта при облучении светом
фотокатода должно объясняться просто недостаточностью энергии, падающей
на фотокатод, <§ ~ А2, где А— амплитуда световых колебаний. Однако от-
отсутствие фототока даже при значительном увеличении А уже делало неудачу
необъяснимой. Увеличение же падающей энергии (G=hv) света повышением
частоты выше пороговой v0 явно решало вопрос в пользу применения гипо-
гипотезы световых квантов к явлению фотоэффекта. Свет с частотой v>Vo выры-
вырывает электроны с катода, как бы ни была мала его интенсивность.
222
4\2. Для того чтобы электрон под действием фотона мог выйти за пре-
пределы катода, необходимо, чтобы сообщенной электрону энергии хватило на
совершение работы выхода. Конкретно эта энергия расходуется на преодо-
преодоление сил притяжения со стороны положительных ионов и отталкивания со
стороны электронов, находящихся ближе к поверхности. Работа эта может
быть уменьшена за счет нанесения на поверхность фотокатода тонкого слоя
серебра, цезия, калия или других металлов. Максимум селективного дейст-
действия этих слоев приходится на различные частоты падающих фотонов, харак-
характерные для каждого сорта атомов наносимого слоя. Поэтому величина фото-
фототока и его измерение крайне чувствительны к действию поверхностных слоев,
наносимых на фотокатод.
4C. Вопрос о взаимодействии света с веществами в области фотоэффек-
фотоэффекта привел Эйнштейна к корпускулярной, фотонной теории света, как к един-
единственному решению вопрос,1. Применим ли квантовый подход к явлениям
интерференции света, проявляющейся, например, в опыте Юнга?
Рассмотрим по отдельности два случая: случай большой и малой интен-
интенсивности света, проходящего через щели в опыте Юнга. При достаточно
большой интенсивности света без идеи интерференции нельзя обойтись и при
квантовом подходе. Дело в том, что под корпускулярными свойствами света
приходится понимать неделимость фотона при любых воздействиях. Можно
сказать также, что наиболее вероятный путь фотона лежит в направлении
интерференционных максимумов, а наименее вероятный в направлении мини-
минимумов. Таким образом, в среднем поток фотонов распределяется так, как
этого требует волновая интерференционная картина. Иначе говоря, если ин-
интерференция и дифракция света не сопровождаются потерей энергии, то при
достаточной интенсивности света его корпускулярные свойства проявляться
не будут, хотя это и не означает, что свет ими не обладает вообще.
Точность интерференционного метода уменьшается с уменьшением ин-
интенсивности света, когда начинают сказываться флюктуации интенсивности.
Чем меньше интенсивность света, тем резче проявляется корпускулярный
характер процесса распространения света. Таким образом, если волновая
концепция может быть сохранена при любой интенсивности проходящего че-
через щели света, то при малой интенсивности она просто не даст возможности
точно предугадать, в какой именно точке экрана проявятся остающиеся спра-
справедливыми условия дифракционных экстремумов.
414. а) В объяснение процесса температурного излучения Планк впервые
в истории физики ввел следующие идеи.
Осциллятор может обладать лишь такими значениями энергии, которые
задаются равенством
<§ = л/Ь.
где v — частота осциллятора, h — постоянная, которой позднее было присвое-
присвоено имя Планка, и п — число (квантовое), могущее принимать только целые
значения.
Итак, формула Планка утверждает, что энергия осциллятора квантована и
излучается она не непрерывно, а отдельными порциями или квантами.
б) При объяснении явления фотоэффекта Эйнштейн принял точку зре-
зрения Планка о дискретнол! характере излучения, но в противоположность
Планку считал, что при своем распространении в пространстве свет ведет се-
себя не так как волны электромагнитного поля, а как частицы, названные фо-
фотонами. Кроме того, Эйнштейн предположил, что один фотон может выбить
только один электрон. Не допускалось, чтобы один фотон, постепенно теряя
энергию, вырывал из вещества несколько электронов.
в) Дальнейшее развитие идеи квантов применительно к модели атома во-
водорода получило в постулатах Бора. Первый из них касается установления
стационарных орбит и квантуемое™ на них момента количества движения.
Второй утверждает отсутствие на стационарных орбитах излучения энергии
электронами. Третий говорит о так называемом правиле частот, т. е. об усло-
условии излучения электроном кванта энергии.
223
415. По Бору, потенциальная энергия электрона в атоме водорода равна:
2Rhc e2
где постоянная Ридберга
# = ¦
ch3
Здесь е, т — заряд и масса электрона; г — радиус электронной орбиты;
с — скорость света в вакууме; Л — постоянная Планка; п — квантовое число.
Строя график функции §п(г) (рис. 181), получим потенциальную яму с
нижним пределом \ёп\г-^о ——°° и верхним | (§п |г->~=0. Горизонтальные
прямые между гиперболическими краями
ямы означают соответственные различным
значениям п дискретные и единственно воз-
возможные уровни потенциальной энергии ато-
атома. Если сообщать извне электрону различ-
различные порции кинетической энергии
/ mv°-
<gK — —о— > 0 , > то полная энергия
6 = Eп+<§к- Если (§<0, то электрон пере-
переходя на высшие энергетические уровни и бу-
будучи возбужденным, еще остается в элек-
электрическом поле атома и только при сообще-
сообщении ему энергии равной или большей, чем
энергия ионизации, когда 61>0, энергия
связи разрушается полностью.
416. При поглощении такого фотона из-
избыток энергии по разрушении связи затра-
затрачивается на сообщение иону Н+ и электрону
е~ соответствующих кинетических энергий.
417. Формула Резерфорда, устанавлива-
устанавливающая связь отклонения альфа-частиц в ку-
лоновском поле с зарядами рассеивающих
ядер атомов, оказалась применимой и в квантовой механике. Однако специфи-
специфическое действие ядерных сил Резерфордом не учитывалось, а Борн показал,
что действием ядерных сил можно пренебречь, только если
Рис. 181.
1с
Av
1 ,
A)
где А — -
— зарядовое число рассеивающего
ядра,
1_
he = 137
равное, как выяснилось позднее, порядковому номеру химического элемента;
е — элементарный электрический заряд; h — постоянная Планка; v — скорость
налетающей частицы; с — скорость света в вакууме.
Для тяжелых элементов, в частности для золота, условие A) не выпол-
выполняется, поэтому и значение радиуса ядра Аи оказалось приближенным. Не-
Необходимо только помнить, что под термином «радиус ядра» нужно понимать
то расстояние, за пределами которого действие ядерных сил становится уже
пренебрегаемо малым.
418. Формула Резерфорда была им выведена для одной налетающей час-
частицы и для одного только акта рассеяния частицей, принадлежащей мишени.
Следовательно, принципиально возможно определение поперечного сечения
столкновения одной частицы. Однако в целях опытной проверки формула
Резерфорда была преобразована к условиям статистической обработки очень
большого числа актов одновременного рассеяния при фиксированном угле их
отклонения.
419. Закон сохранения полного электрического заряда может быть сфор-
муллрован так; алгебраическая сумма электрических зарядов в замкнутой
224
системе остается постоянной (SGi = const). Ниже приведены некоторые реак-
цич превращения элементарных частиц'
р+
2п° ,
е+ +
420. Ядра, образующиеся при делении тяжелых ядер, радиоактивны, так
как все они оказываются пересыщены нейтронами, избыток которых несов-
несовместим с устойчивостью ядер. Поэтому осколки деления испытывают не-
несколько радиоактивных распадов, прежде чем превратиться в стабильные
ядра.
421. Из формулы Вульфа — Брэгга получаем:
2rfsine
k = 1 , A)
где k — искомый порядок дифракционного максимума электронной волны,
падающей на кристалл никеля с известным значением периода d решетки и
при измеренном значении угла скольжения в падающего электронного луча.
Длину электронной волны можно определить из уравнения де Бройля
h mxj1
} = и из выражения кинетической энергии электрона —?>— =eU, приоб-
приобретенной им при движении в ускоряющем поле с разностью потенциалов U.
h
Тогда X =
Таким образом, в правой части исходного равенства
V 2meU
оказываются известными все величины, и порядок дифракционного максиму-
максимума может быть определен.
422. На рисунке 182 изображена схема опыта П. С. Тартаковского, про-
проводившего опыты по проверке формулы де Бройля, аналогичные опытам
Г. Томсона, но только с дифракцией медлен-
медленных электронов Попадая в круговой прорез
шириной 0,5 мм, электронные волны испы-
испытывают дифракцию от его краев. Если при-
принять скорость электрона и = 108 см1сек, то
h о
формула де Бройля дает X = -^j x 7 А .
При столь малой сравнительно с шириной I
щели в 0,5 мм длине волны дифракционный
эффект будет совершенно незаметен.
423. Рассчитаем для примера длину Рис. 182.
волны, связанную с футбольным мячом ве-
весом в 1 кГ, движущимся со скоростью 10 м/сек. По формуле Бройля получаем.
h
= ~mv ~7 10~27 см- Обнаружить волны столь малой длины невозможно ни-
никакими средствами. Для электрона же длина волны может быть порядка
одного или нескольких ангстремов, так что, падая на решетку кристалла с пе-
периодом несколько большим, он даст вполне различаемую для человеческого
глаза дифракционную картину.
424. Представим себе, что некоторая частица может свободно двигаться
на пути О^х^/ между двумя бесконечно высокими стенками, или, как го-
говорят, в потенциальном ящике, где потенциальная энергия частицы:
0, 0 < х < I ;
U=
оо, X < 0 , X > I .
15 Заказ 170
225
Если целью поставлено нахождение вероятности ф2 того, что частица бу-
будет находиться в какой либо точке х между границами O^x^l, то Для этого
надо написать и решить уравнение Шредингера для волновой функции в
виде:
при краевых условиях ¦ф-с=о='A]х>=(=0. В уравнении B) m — масса частицы,
(g — ее полная энергия. Решение урав-нения относительно функции if даст
для квадрата ее модуля-
^ {х) =sinart^-. C
С точки зрения классической физики, справедливой для макрочастицы,
ее можно найти в любом месте потенциального ящика (см. на рис. 183 пря-
прямые). При этом макрочастицей может быть любая частица, поставленная в
такие услов чт, где ее волновые свойства не проявляются. С квантовой же
точки зрения наибольшая вероятность ме-
/-ч /~\ s-. ^ч стонахождения микрочастицы падает на точ-
, /\/\/\/\ ки максимума кривых. Из рисунка можно
* ¦*- ±-? ^ ^- -^- усмотреть, что с увеличением квантового чи-
s~^ ^-ч ^~^ ела п максимумы сближаются между собой
/ \ / \ / \ и ПРИ достаточно большом п они будут
п-3 -Z ±**l. \У Л. сближены в такой степени, что разница ие-
-—^ -— жду обоими подходами к решению задачи,
/ ч. у \^ классическим и квантовым, стирается —
п-2 _^с_ ^ У _ia- классический метод является предельным
случаем квантового. Таким образом, прин-
принцип соответствия в рассмотренной задаче
П-1 ^^ _i»i удовлетворяется.
425. Задача о частице в трехмерном по-
Рис. 183. тецциалыюм яшнке (для простоты кубиче-
кубическом с ребром /) сводится к решению урав-
уравнения Шредингера в частных производных с разделяющимися переменными.
При этом выражение для плотности вероятности нахождения частицы в той
или иной точке внутри ящика принимает вид:
Фл (х, У, z) = ~ sin Vr,™ sirAy^-- sinan2— .
По условию nx — nu=nz = \, а поочередная подстановка х=у=г\г во
всех трех случаях дает г|J = 0. Физический смысл этого тот, что у самих сте-
стенок частица не будет бывать никогда.
426. Формально квантовое уравнение Шредингера для одномерного дви-
движения частицы в потенциальном ящике тождественно с классическим уравне-
уравнением в задаче о колебаниях натянутой струны с жестко закрепленными кон-
концами. Разница только в истолковании математически совпадающих решений.
Если под частицей подразумевать электрон, то точки (см. кривые на
рис. 183), соответствующие узлам стоячей волны, или, что то же, нулевым
минимумам функции г|з2 (см. равенство C) в ответе на вопрос 424), означают,
что в этих точках электрон, запертый внутри стенок потенциального ящика,
не бывает никогда. Точки же, соответствующие пучностям стоячей волны и
максимумам функции -ф2, означают места, где электрон бывает чаще всего.
Прочие же точки стоячей волны х соответствуют промежуточным значениям
вероятности.
Дальнейший анализ решения показывает, что малые значения квантово-
квантового числа п дают ощутимую разницу в значениях соседних квантовых энер-
энергий. Кроме того, анализ полного решения задачи об электроне в потенциаль-
потенциальной яме дает количественно правильное объяснение явления холодной эмис-
эмиссии и контактной разности потенциалов.
226
427. Для каждой пары канонически сопряженных величин, например, для
координаты q и импульса р принцип (или соотношение) неопределенностей
требует выполнения неравенства
где &q и Др соответственно координата и импульс, определенные с некоторым
допуском. Концепция же боровских стационарных орбит предполагает точ-
точные определения как координаты, так и скорости электрона на этих орбитах
(см. также 430).
Неудачи Бора в дальнейшем развитии его теории связаны с формаль-
формальным смешением классических и квантовых концепций, например с сохране-
сохранением классического понятия траектории микрочастицы, несовместимого с со-
соотношением неопределенностей.
428. Существует коренная разница в понимании статистического харак-
характера тех или иных величин. Если свойства частиц носят только корпускуляр-
корпускулярный характер и их волновые черты не проявляются, то здесь статистический
характер математической обработки их поведения указывает просто на не-
неполноту наших знаний и на необходимость усреднения искомых величин.
Так обстоит дело в молекулярно-кинетическои теории, где отказ от решения
системы ньютоновых уравнений движения молекул продиктован не убежден-
убежденностью в их неправильности применительно к молекулам, а просто практиче-
практической невозможностью их применения.
Совершенно иначе обстоит дело в мире микрочастиц, где неразрывно с
их корпускулярными свойствами проявляются и волновые. Здесь статистиче-
статистический смысл волновой функции, точно описывающей поведение микрочастиц,
отражает не недостаточность наших знаний о них, но саму вероятностную
сущность микроявлений. Поэтому не приходится удивляться той беспреце-
беспрецедентной точности, с которой оправдываются предсказания квантовой
механики.
429. Согласно соотношению неопределенностей
h
Соотношение это указывает, что величина неточности в измерении коор-
координаты или скорости микрочастицы имеет своей причиной не недостаточность
измерительной техники, а отражает объективную вероятностную сущность
самой исследуемой системы. Соотношение неопределенностей показывает, на-
насколько точный смысл вообще имеют данные величины применительно к дви-
движению исследуемой системы.
Отнесем соотношение A) сперва к электрону в атоме, допустив, что ско-
скорость V электрона порядка 108сж/сек, а его координата измерена с точ-
точностью до размеров атома, т. е. Дл:=10~8 см. Тогда погрешность в опреде-
h 6 67 10-"
лении скорости электрона \v'-¦ т^х — 9-1С~'8-10~8 ~ "'^8 см1сек, т. е
погрешность в определении скорости больше самой скорости.
Другой пример отнесем к шарику массой в 1г. Тогда Дл-Ду > —— =
= 6,6-10~'7 см2/сек, откуда видно, сколь исчезающе мала неопределенность в
измерении координаты и скорости исключительно за счет волновых свойств,
присущих телам такого масштаба. Очевидно, что обнаружить столь малую
неопределенность на опыте не только затруднительно, но и просто
невозможно.
430. Поскольку момент количества движения электрона на воровской ор-
орбите L = 2nmvr = nh считается лишенным неопределенности, вся неопределен-
неопределенность падает на угловую координату
h h 1
д? > Т = ~Ш = ~7Г •
С увеличением квантового числа п до бесконечности неопределенность в
15* 227
измерении угловой координаты уменьшается до нуля, а так как L лишено
неопределенности, то принцип соответствия применительно к моменту количе-
количества движения в атоме водорода выполняется. Однако при п=1 неопреде-
неопределенность Дф=1 рад, т. е. она огромна, и говорить об электронных орбитах
не приходится.
431. 908 м/сек2.
432. На ОА i> = const>0, a=0; на АВ t/^constX), a^const<0; на ВС
v = 0, a = 0; на CD v<0, a<0.
433. Даже при замедлении |a|=g скорость до начала торможения ока-
оказывается меньше дозволенного предела. Человеческий же организм в тече-
течение короткого времени может выдержать ускорение, равное нескольким g,
что уже соответствует превышению дозволенной скорости. Поэтому крите-
критерий, выбранный инспектором ОРУДа, неправилен.
434. 91,5 ж; 18,3 м/сек.
436. 17,3 сек; 293 м.
437. 0,52 сек; 1,32 м.
438. О третью ступеньку.
439. 4,0 м/сек.
440. Не перескочит.
441. 5,6 м1сек.
442. Увеличится на 1,06 см.
3
-+ -* v
443. a) u = i>0cos6; б) a=g; в) al_v; г) R =
444. 80 мин.
445. а) 60° от направления вверх по течению; б) 1,16 ч\ в) 1,33 ч;
г) 1,33 ч; д) поперек течения.
447. 1,54 см.
448. 1 н.
449. Г1=10 я; Г2=30 к.
450. а) а=10,2 м/сек2; б) нет.
451. Спускать груз с ускорением большим, чем 0,13 g.
452. а) a^gsme; б) a2=gsin6; в) a3=(g—a)sin0; г) a^=0.
453. а) 12 кг; б) 146 «.
454. а) х ф -j- ; б) я = [-—-— l) g.
455 а) 0,115 м/сек2; 0,242 л/сек2; б) 0,041; 0,027.
456. 6ст = 0,58; й„жВ = 0,52.
457. а) 2,25 к/"; б) 2,41 кГ; в) 33,2 «Г.
458. 0,75.
459. а) Не придет; б) 5,9 кГ.
460. 18,2 кГ.
461. а) 27 к; б) 3 м/сек2.
462. а) 6,8 кГ; б) 1,95 м/сек2.
463-а) f- sme -Tcfcose1 ; в) {8е< *--
465. 0,034 к; 9,77 н.
466. 12°37'; на ремни будет действовать центростремительная сила, если
движение отнесено к неподвижной системе координат,
467. 600 дж.
468. а) 22,7 кГ; б) нет; в) да; 13,8 кГ-м', г) нет.
470. 6/6 дж\ 15/5 дж; 25/8 дж; 5 ет.
472. 72 км/ч.
474. а) у = 2У?/;Т=5 mg; б) 70°,5.
228
47fr. 2d.
477. a) 8mg; 6) 2,5 R.
478. Е|пот= —2"'
479. a) —'hkx*.
480. a) u = _
J_^ бМ= нл
481. а) 'МЛ4; 6) — ke2A; в) -у- АраЛ; A = -щ- — -щ- .
3 ' at*
483. a) vt=]'2al; a=g(sine—ftcose); 6) d = vot ——?Г~
вычислены в пункте а).
484. 7,2 л/сек.
485. а) Л = 317 дж; б) Л' = Л; ?=16,2 <Эяе.
ms.1
®*-А = -щ- ¦
487. а) 428 вт; б) 2674 дж; в) 267,4 er; r) идти при выключенном моторе.
488. а) 5,79-10-11 дж; б) 0,08.
489. 0,010 кг; 0,023 кг.
490. 22,5 кг.
491. На расстоянии 0,77 земного радиуса, считая от центра Земли.
492. 6,5-Ю-12 м.
Ft»
493. а) x(t) = -rj^j- ; б) 0,75 м.
494. а) Посредине на линии центров; б) центр масс смещен на 0,1 см в
сторону более тяжелого тела, считая от середины линии центров; в) вниз с
ускорением 0,04g\
495. р+ pt •
496. Скорость платформы в обоих случаях будет одинаковой.
497. а) 1,36-10—22 кг-м-сек-1; под углом 6Г55' к направлению движения
нейтрино; б I,6-10-19 дж.
498. а) 58,8 кг/сек; б) 176,4 кг/сек.
500. 2,2-104н; 4070 кет.
501. 8,8 MJceK.
502. 53 м/сек.
503. —2,4 м/сек; +1,2 м/сек.
504. а) 1,24 м/сек; 2.0-103 дж; б) «, = 0,99 м/сек; и2=1,6 м/сек,
505. а) Мяч ударится о верх шахты; б) 4,2 м.
506. 5,1 кГ.
507. 7460.
508. 1,9 м[сек; 30° от начального направления.
509. П6°,5 от направления шара В после удара. Скорость шара А после
v —
удара равна ~2~У 5.
510. 17,2 м/сек; 26°13' между первоначальным направлением А и по-
последующим.
2mnvn
5П. а) тп + тн ; б) 1,14 а. е. м.
512. 0,8ш0.
513. а) траектория — окружность, ю—угловая скорость вращения;
б) Ух = —co#sino)/; vy = aRcos<s)t; v направлена против часовой стрелки;
в) ах = —(u2/?coso3^; ay~—aPRsmuit; а направлено против часовой стрелки.
514. а) 314 м/сек; б) винтовая линия с шагом винта 1,34 м.
229
515. а) аг=ш2г; at=ar; б) 1/2уз рад.
516. а) ш=1884 се/с-1; б) и=94,2 м/сек.
517. 7,0-1012 сек-К
518.
520. 1,88-Ю-2 кг-мг.
521. 0,58 g; 3,4 кГ; 3,2 кГ.
522. 0,5 g.
523. 32%.
525. а) 3,4 м ;б) 1,4 сек.
526. a) mgR; 2/7 и 5/7; б) 2,43 mg.
527. a) Mg; б) V.|M/?2cos; в)-^— .
528. 1,95 м над полом; 0,38 м от стены.
529. an=3g(l—cosa).
530. 0J = 250 обIмин.
531. 148 л.
532. 0,77 рад/сек.
2gr к
533. у = —г = ; при в = -д-; Уо
1+tW
534. а) V^Afwo2; 'hMR2aH; б) о : в) td0; lh(M—m)/?2coo;
2itr/7J2 /|
535. а) На расстоянии /х = . от тг, б) ^ = -гр , где скорость
536. 74,5 Г.
539. 0,28 г; 0,40 т.
541. iVx = 54,4 кГ; Л'Е = 32,6 кГ; Г = 21,7 /сГ.
542. 0,68 г.
543. 23,1 «; 0,58 g.
544. 7/i2 л; I7/i2 л.
545. FA = 39,5 кГ; Fb=68,1 кГ; Fc = Fd
547. Г = 0,73 сек.
548. а) При Л>0,245 м\ б) при v<2,23 сек~
551. 710 к/л.
552. 1,31 -10s н/м; 2,7 сек-1.
553. 8,7 кГ.
556. а) 0,39 сек-1; б) нуль.
557. а) 1,64 сек; б) 1,54 сек; в) 1,94 сек.
560. а) 0,45 сек-1; б) 1,2 м.
562. 977,6 см/сек2.
564. 7,9 км/сек.
565. б) Т --- 2*|/ *°пд ; в) о -/
567. а) 7800 м/сек; б) 1,47 ч.
230
569. л) 2,9-10* км.
570. а) При подъеме надо затратить в 2 раза больше энергии; б) при
подъеме надо затратить в 3,0 раза больше энергии.
571. а) '/г; 2; б) 1,2-Ю7 К.Г-Л.
572. 1,88 земных лет.
573. 6,0-1024 кг.
574. б) 1,04-10* ж/сек; в) 1,90-103 м/сек; 6,17-Ю5 м/сек.
575. а) 0,72; б) 3,9 ж/сек2; 5,1 км/сек.
576. а) 7,1-Ю-15 рад/сек; б) 2-Ю3 ж/сек.
577. а) 8,7- 10~s ж/сек2; б) —3,3-Ю-7 ж/сек.
578. а) 0; б) —Ю-9 дж/кг; в) —5,0-10-'° дж/кг.
579. a) F = 0; «)</ = -<? ^ в) g= JL; 0 = -?- .
581. а) 2716 кГ.
1 1
583. a) -7j- Y^2rf, где -у — удельный вес воды; -g— v?>3d; б) на высоте
-о- D от дна.
585. б) P = ph(g—a); в) Р=0.
586. 6) /> = pg/i(l + tg6).
587. а) 0,1 м/сек; б) 2875 <Эж/ж3.
589. 537 см/сск.
590. 5,7-10-3 ж3/сек.
591. 112 дж1м\
592. 7,6 кГ/см1.
593. б) на высоту h от отверстия.
595. 38,7 м,'сек.
596. 359 кГ; 114 кГ, вверх.
597. F=-2~pSu2, где р — плотность воздуха.
59S. б) 5,67-Ю-17 дж/м?.
599. у \и т а) -г ^ V " "г 4
601. а) 2,5 еж; 120 см/сек; б) 3 еж; в) нуль.
603. а) 3,67 кГ.
605. а) п-^-= 1/ РлС/1 ; в) -~ = п. 2 , где р01о( — акустическое
^2 Г Ро2и2 /2 Poit'i
сопротивление.
aSBD 1
606. а) 5-Ю3 гц;
607. a) ai = 142°; a2=282°; б) 21,9 мквт/м2; 5,9 и 16 мквт/м*.
608. 82,5 гц; 81,7 к.
609. 0,56 ж; 0,28 ж.
610. 13,3 см; 16 еж; 20 еж; 26,7 еж.
611. ± Fo.
612. 51:6 гч; 555 гц.
613. а) 971 гц; б) 1031 гц; в) 60 гг< (при столь частых биениях они ухом
улавливатьс? не будут).
614. а) 0,31 ж; б) 1440 сек-1; в) 330 м/сек; г) 0,23 ж.
615. 29°30'.
3
616.-g-с (фазовая скорость).
617. 1.;<7.
618. 91°С.
231
619. 46,4 см.
620. а) 525 см; б) 0,031 рад.
627. 1.1 ГС.
628. 4,2-10-'2 кг.
629. 0,59 кал/г-град.
630. а) 5 град/см; б) 19,3 дж/сек; в) 50°С.
633. г) 1,4-iO-5 ккал/мЧек; б) 6,2-10м /скал.
635. а) 6 кол; б) 43 кал; в) 40 кал; г) 18 кал.
636. Возможен любой процесс независимо от его направления при усло-
условии соблюдения закона согргьения и превращения энергии.
637. 106 см».
638. 0,24 н/м2.
639. а) 11; б) 1.
640. 6,6-Ю-26 кг; 39,9 а.е.м.
641. 3,15-10» дж/кг-град.
642. Расхождение между результатами опыта и классической теории объ-
объясняется неучтенной в теории неравномерностью распределения энергии по
степеням свободы.
644. 1,4.
645. Молекула йода двухатомна.
647. 3,5-10ш см-3.
648. 3,6-109 сек-К
650.
?=4"
?4+(
651. а) 4,5-10° и/ж2; б) 4,Ы06 н/м2.
652 2,94 А°.
654. 0,58.
655. а) 2090 дж; б) 375 кал; в) 1570 дж.
656. 6,5 (!), см. вопрос 173.
657. -?- .
658. а) Диаграмма та же, что в прямом цикле Карно, но обход контура
обратный (против часовой стрелки); б) с принципиальной стороны ничем,
с практической — разницей в значении величин Qt, Q2 и W; в) в тепловой
машине получают W посредством Qi и Q2; в холодильной получают Q2 по-
посредством Q\ и W; в насосе получают Qi посредством Q2 и W; г) не может;
д) с эксплуатационной стороны насос как средство динамического отопления
значительно выгоднее обычного, но осуществление его громоздко и дорого.
659. 13 дж.
663. 1240 дж/кг-град.
664. 1,0 кал/град.
665. Для 1-го способа' 1-я стадия AQi^PiViln2; AUi=0; 2-я стадия
—AQ2=36piVi; Л2=0; Д?/2 = Д<Э2.
Для 2-го способа. 1-я стадия AQ/=— p\V,ln2; /V=AQ,'; M/i'=0; 2-я
стадия — AQ2=A8—1п2)р!Уь Л2"=— piV,ln2; AC/2"=18p1V1. Изменение энтро-
энтропии для обоих способов одинаково' DS= (cy + cp) 1п2.
666. 0,12 а.
667. б) 2,4-Ю-8 к; в) 28 мм/мин.
668. 6,0-10~8 к.
669. a) Q=—2qV 2 ; б) нет.
670. 12 см.
671. а) 5,7-1013 к; б) нет; в) 660 т.
672. ?= -у Q.
673. 3,8-10-s к; 1,2-Ю к.
674. 3,6-1015 г/сж3.
675. 510 я; 7,7-Ю28 м/сек2.
232
678. Сила, действующая на заряд + q, направлена вдоль прямой, парал-
параллельной линии, соединяющей заряды +Q и —Q.
679. 1,1-Ю-5 к/м2; поле направлено вверх.
685. а) 1,5-Ю3 к/к; б) 2,4-Ю-16 «; вверх; в) 1,6-10-26 н; г) 1,5-Ю10.
686. а) 7,1 см; 2,8-10~8 сек; б) 11%.
dE 8a
687. а) 5Г = — ~^г ¦ б) будет.
688.
689. 36я-103 в/л.
691. 4,0-10е я/к; 0.
692. ?^
ео
693. ? = — , влево; ? = 0; ? = —— , вправо.
694. 0,88 мм.
ОУО. Л —^ с\ гз •
697. ? =
, = 0.
699. 270 эв.
± q
700. ? —~п—г7"> где ' — длина цилиндров; г — радиальные расстояния
искомых точек поля и Е направлено по радиусу внутрь; +q — на внутренней
поверхности оболочки, — q — на внешней; Е= г,,,. ./' направлена по радиусу
наружу.
702. 199 н; 2,97-Ю28 м/сек2.
703. 1,1 н-мУк; 9,7-Ю-12 к.
704. 0,89 мм.
706. Если начало отсчета совпадает с положением заряда +<7, то коор-
координата точки, где ?=0, будет Х\=—1,37 м, а точки, где (/=0, л:2=0,5 м.
707.
708. —4,5-103 в.
709. 1,9-10~2Э к-м; табличное значение 0,6Ы0~29 к-м меньше найденного,
так как при решении задачи были допущены упрощения.
711. 99 т.
712. —0,12 в; 1,9-10~8о/лг, вдоль радиуса внутрь.
713. 1890 к; 3,0-Ю-11 док.
1
714. ?г = -^1_.^^р
715. Нет.
716. 2,6-Ю6 в/ж; 1,7-104 в/м.
718. а) 2,6-105в; 0,75 с.
720. a) q1=\,l-\Q-* к; д2=1>Ы0~7 к; б) иначе заряды будут стекать в
пространство.
721. 43 пф.
725. 3,2 мкф.
726. Обе искомые величины увеличатся.
727. 4 мкф.
728. Система состоит из пяти последовательно соединенных конденсато-
конденсаторов; система состоит из трех параллельно соединенных групп, в каждую из
которых входят пять последовательно соединенных конденсаторов.
732. Пластинку из слюды.
733. 0,63 ж2.
233
735. 0,11 дж!м3.
740. 87,5%; 12,5%.
741. 7,0-Ю-6 к.
743. 6,7-Ю-6 к/ж2.
744. 1,7-10-2; 0,13.
745. 0,39% (/?); 0,0034% E); 0,0017% (/).
746. 10-" см/сек.
747. 4,9-106 а/ж2; 8,4-10 в/ж; 26 е; 610 ел
748. а) 8,7%; б) меньше.
750. 3,9-Ю3 micck; 2,4-10-' дж/сек.
753. 0,05 ом; 1 в
754. Vd-Vc = 0,25 в.
755. 120 ом; ?, = 0,051 а; !2 = и=0,019 а; /4 = 0,013 а.
756. «з = в/и Л-
757. #=•-?- ; -|^
758. 38 ом.
759. 400 ет; 75 вт; 40 ег; 25 вт.
760. —0,05 а; 0,06 а; 0,11 а; 9 в.
2 g 2g
7Ы. /поел ~ ~~Ъ j оТ J 'играл ~ 2/? -!- Г ' 'поел ^ 'парал» б) /посл*^
< 'парал-
762. Поставить движок приблизительно на середину /?(; произвести грубую
регулировку тока с помощью реостата R2 и тонкую с помощью /?ь
Большие изменения Ri приводят лишь к малым изменениям в системе
параллельно соединенных R\ и R2, а это допускает точность регулировки в.
отношении 1:21.
763. 0,9%.
764. 2,7%.
765. 4,6 RC.
767. 9.5-10-7 к1сек; 1,1-10-с ет; 2,7-10-6 вт; 3,8-10 ет
769. К востоку; 6,3-1014 At/сек2; 3,0 мм.
770. 1,007 Мэв; 0,5002 jWas.
771. Ток в 0,4 а течет по АВ слева направо.
Bid
774. 3,8 к.
775. 549 гс; поле нормально к плоскости колеи.
777. 4,3-10~3 н-м; вектор вращающего момента параллелен длинной сто-
стороне катушки ff направлен вниз.
779. 2,45 о.
780. а) 1,4-Ю-4 м!сек; б) 4,5-Ю-23 «; вниз; в) 2,8-10~* e/м; вниз;
г) 5,7-10—6 в; наверху плюс, внизу минус: д) то же, что в п. в.
782. TT=TTt =1/г71а ; i?D =14 см; /?а=14 см.
783. 2,6-Ю7 м/сек; 1Д-10-7 сек; 14 Мае; 7,0-10б в.
786. 1,6- 10~в вб/м2; вектор горизонтален и ортогонален к экватору.
787. Г=3,6-10-10 сек; /7=0,17 мм; г=1,5 мм.
788. 2,11-Ю-25 кг или 127 протонных масс.
790. Увеличивается. Уменьшается.
792. 1,4.
793. 1,7-Ю-4 вб/м2.
794. 7.9-Ю-3 вб/м2.
Н
795. -jf •= 17% .
796. 3,2-10-16 я; сила параллельна току; 3,2-10~16 к; сила направлена ра-
диально наружу; нуль.
234
7S9. 1.0-10-6 вб/м.
800. а) 1,1-Ю-5 вб/л; б) 2,2%; в) нуль.
801. В=0 вдоль линии, параллельной проводу к отстоящей от него на
4 мм. Если ток горизонтален и направлен к наблюдателю, а внешнее поле
также горизонтально и направлено слева направо, то упомянутая линия ле-
лежит прямо над проводом.
803. 8,0-10-5 вб/м2, вверх.
804. 3,2-Ю-3 я, сила направлена к длинному проводу.
810. 6,7-10-5 вб/м2.
812. Вкв>Ввр.
813. 9,4-10-5 вб/м2; 1,5-Ю-6 н-м.
814. Нуль.
815. 1,4 вб/м2-сек.
817. 3,7-10-6 ет.
818. UmSLl
819. 3,0-Ю-4 s.
820. 3,1-10—2 в. Слева направо.
821. а) —4 е; б) 5 н; в) A = Q.
824. 3,5-Ю7 ж/сек2, вправо; 4,4-Ю7 м/сск2, влево; нуль.
831. 12 сек.
L
832. 6,9-?¦ .
835. 27 а/сек.
836. 237 вт; 390 вг; 627 вт.
838. 0,63 дж/м3.
839. 2,43-105 вб/м2; 9,0-10-г4 а-м2; 2,4-Ю16 <?ж/л!3.
841. 2,5-10-« дж/л; 1,4-Ю-5 бж/ж; 0,8-10-в дж!м.
842. 1,5-108 в/ж.
843. а) 5,0-107 а; б) да; в) нет.
844. 1,4-Ю11 в/л; б) 2,8-Ю-3 вб/м2.
845. а) 3,4-10-* а; б) 0,063 к.
846. а) 7,6 а-м2; 6I1 м-ле.
848. 4,2-Ю-9 вб/ж2.
852. 2,82 ол.
855. 35,5; 38 и 33 гч.
859. Мгновенное значение разности потенциалов на обкладках конденса-
конденсатора должно равняться 106 в.
862. Потери в кабеле на джоулево тепло приводят к появлению продоль-
продольной составляющей электрического поля.
*ЕВ
аЕВ
865. а) для граней, параллельных плоскости ху, и нуль —
\хо
для остальных плоскостей.
866. ? = 0,082 б/ж; Я = 3,2-103 а/м; S = 262 вт/м*.
867. ? = 728 в/ж; В = 2,44-10-« вб/м2.
868. 3.3-103 вб/м2; 2,6-10-11 вт/м2.
871. 0,93 км2.
874. 1,5-103 м/сек.
875. 1,3-10-» к/а2.
876. 2,1-10-'•%.
877. а) 498 сек.
878. б) 4,5 гц.
880. 3,8-10 А.
884. яср = 1,31. Разброс 1,28—1,34.
886. б) 0,17.
888. Па= ;;;е;
235
889. /15*1,41.
890. 0,33 см; 0,35.
893. По вертикальным столбцам:
а) +, +40, —20, +2, мнимое; б) вогнутое, +40, +60, —2, действительное;
в) выпуклое, —20, +20 ,+0,5, мнимое; г) —20, +5, +0,8, мнимое.
895. 4,24 см.
896. а) —19, мнимое; б) +71, действительное; в) +30, мнимое; г) —26,
мнимое.
897. а)+; +10; +10; +20; —1; да; нет; б) собирающая; +10; +10; —10;
нет; да; в) собирающая, +30; +; —15; +15; нет; да.
—n\R niR
Ti2 "~~ tl\ /7 ч—Л|
901. Прямое в натуральную величину изображение предмета в системе
находится между линзой и зеркалом на расстоянии 2Л от линзы.
— \Я\
902. Оба знака отрицательны: s' = ^ . . Изображение мнимое,
уменьшенное, прямое.
903. Положение изображения совпадает с предметом и увеличено в 5 раз.
Мнимое и обратное.
904. Расстояние между щелями 0,034 мм.
ДА' „ „ ДА
905.
906. а)
•=0,13 ;
-0,15 .
X ктах
хктт
0
+ 0О
15,8
l
7,50
4,56
2
3,00
1,97
3
1,171
0,54
к
0
—
k — порядковые номера экстремумов, выраженных в метрах.
б) /(*3min)?=0, так как на малых расстояниях интерферирующие лучи
не параллельны и проекции их амплитуд не равны друг другу.
908. Результат аналитического сложения: #=26,8sin(uir+8o30'r).
909. 8,0-107.
910. 2960 А.
911. 6700 А.
912. 1,47 мкм.
913. 6 А.
914. Яа=2>-4. Совпадают при тъ=1та.
916. ср = 6°48'; sincp>l.
917. 9100 м.
918. а) 0,16"; б) 7,4-Ю7 км; в) 2,2-10~2 мм.
921. Период d=4a, где а — ширина щели. Пропадает каждая полоса,
кратная четырем, вплоть до значения 6 = 90°.
922. 3 максимума.
923. Только первый спектр.
925. б) Де =
24
' п) да'
927. Интенсивность света будет концентрироваться вблизи 22-го порядка
спектра для голубых лучей и вблизи 11-го порядка для красных. Спектры
236
разных порядков будут перекрывать друг друга так, что свет получится
почти белым.
928. 6250 А; 5000 А; 4200 А. По максимальной интенсивности.
929. Период 0,92 мкм; граничные углы 28 и 48°.
930. От 5200 до 6200 А.
935. В 2 раза меньше.
936. 0,0032 град/'к; 0,0077 град/А; 0,0240 град/А; 4-Ю4; 8-Ю4; 12-Ю4.
938. 4,2-Ш град1А. Нет, так как m = mmax = 3.
939. а) 4,5-!04 Л; б) 1,5-Ю4 А; в) 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9; 10-й порядок будет
уже при в =90°.
940. Возникнут в спектрах 3-го и 4-го порядков.
941. 33°; 20°; 5°, 2' (все по часовой стрелке); 14° против часовой стрелки.
942. ±54°45'; ±35° 16'.
943. -у- A,5)"-' .
944. Для правой системы координат: а) круговая, против часовой стрел-
стрелки, если стоять лицом к источнику, б) эллиптическая, против часовой стрел-
стрелки, если стоять лицом к источнику, большая ось эллипса вдоль у~х;
в) плоская, вдоль у =—х.
945. а) 0,50 мм; б) луч у— обыкновенный; луч х— необыкновенный.
948. 2,7-Ю-14 кг-м2/сек2; 2,0 ч.
949. 6.2-1023 фотонов.
950. 63 дж/м2-сек; 22%.
951. 2,2-Ю19 мин-^-см-2.
953. 100 лет.
954. 5,9-Ш4 см-3; 120 м.
956. 0%'; 0,004%; 2,4%; 66,2%.
957. 1; 5,3-10~и м; 1,Ы0-34 дж-сек; 2,0-Ю-24 кг-м]сек; 4,Ы016 рад/сек;
2,2-106 м/сек; 8,2-Ю-8 я; 9,0-1022 ж/сек; 13,6 эв; —27,2 эв; —13,6 эв.
958. 2,6 эв.
959. Серия Лаймана: /п=1; п = 2.
960. 2,6-Ю-'3 м; 2800 эв; 4,4 А.
961. п=2,6-1074 (обнаружить невозможно).
962. 1/7-1О-25 А.
963. 1,8 А.
964. Х=7,7-10~!3 см, т. е. в 2,6 раза больше среднего диаметра ядра.
965. а), Для заданного ускоряющего потенциала и для заданных плос-
плоскостей не может существовать дифракция более высокого порядка, чем 1-й.
б) 59°; для удовлетворения закона Брэгга при новой длине волны крис-
кристалл должен поворачиваться соответственно падающему лучу.
967. Ду = 1,4-109 см/сек; Др = 1,3-10-18 г-см-сек-[.
969. 0,015 Мэв.
970. 6,1-!0-2Э кг-м/сек.
СОДЕРЖАНИЕ
От переводчика 3
Вопросы 6
Механика —
Физические измерения —
Движение в одном измерении 7
Движение на плоскости —
Динамика точки 8
Работа и энергия —
Сохранение энергии 9
Сохранение количества движения —
Кинематика и динамика вращательного движения 10
Сохранение момента количества движения 11
Статика твердого тела 12
Колебания
Тяготение 13
Гидростатика 15
Гидродинамика 16
Волны в упругих средах —
Звуковые волны 17
Молекулярная физика 18
Температура —
Количество теплоты и первое начало термодинамики 19
Кинетическая теория газов —
Энтропия и второе начало термодинамики 21
Электричество 22
Электрический заряд —
Электростатическое поле ?3
Электрический потенциал 25
Конденсаторы и диэлектрики —
Электрический ток и сопротивление 26
Электродвижущая сила и электрическая цепь 27
Магнитное поле 28
Закон полного тока 29
Закон электромагнитной индукции Фарадея 30
Индуктивность 33
Магнитные свойства вещества 34
Электромагнитные колебания , 35
Электромагнитные волны 37
Оптика и атомная физика 38
Природа света и его распространение —
Отражение и преломление света
238
Интерференция света ^
Дифракция света ^
Дифракционная решетка и спектры 42
Поляризация света . . . 43
Свет и квантоьая физика 45
Волны и частицы 46
Задачи 48
Механика —
Движение в одном измерении . . ¦ —
Движение на плоскости 49
Динамика точки 51
Работа и энергия 54
Сохранение энергии 55
Сохранение количества движения ¦ .58
Кинематика вращательного движения . . 63
Динамика вращательного движения 64
Сохранение момента количества движения 65
Статика твердого тела 66
Колебания 69
Тяготение 71
Гидростатика 75
Гидродинамика 76
Волны в упругих средах 78
Звуковые волны 79
Молекулярная физика 81
Температура —
Количество теплоты и первое начало термодинамики 83
Кинетическая теория газов 85
Энтропия и второе начало термодинамики 86
Электричество 88
Электрический заряд и вещество —
Электростатическое ноле ..... 90
Теорема Гаусса : 93
Электрический потенциал 95
Конденсаторы и диэлектрики 98
Постоянный ток и сопротивление 101
Электродвижущая сила и электрические цепи 103
Магнитное поле 106
Закон полного тока 111
Закон электромагнитной индукции Фарадея 115
Индуктивность .' 118
Магнитные свойства вещества 120
Электромагнитные колебания 122
Электромагнитные волны 123
Оптика н атомная физика 120
Природа света и его распространение —
Отражение и преломление плоских волн плоской поверхностью . . . 127
Отражение и преломление сферических волн плоскими и сферическими
поверхностями 130
Интерференция 133
Дифракция 135
Дифракционные решетки и спектры 136
Поляризация света 139
Свет и квантовая физика 140
Волны и частицы 142
Ответы 144
Дэвид Холидей, Роберт Резник
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
ПО ФИЗИКЕ
Редактор В. Л. Климонтович
Художник Б. Л. Николаев
Художественный редактор Л. Ф. Малышева
Технический редактор Л. Я. Медведев.
Корректор Т. Н. Смирнова
Сдано в набор 6/1 1969 г. Подписано к печати
21/VIII 1969 г. 60x901/i6- Печ. л. 15,0. Уч.-изд. л. 16,68
Тираж 40 тыс. экз (Тем. пл. 1969 г. № 17)
Издательство «Просвещение» Комитета по печати
при Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41
Типография № 2 Росглавполиграфпрома, г. Рыбингк,
ул. Чкалова, 8. Заказ № 170
Цена без переплета 47 коп., переплет 18 коп.