В.Ф. Панов
МАТЕМАТИКА
древняя и юная
Под редакцией доктора технических наук,
профессора B.C. Зарубина
Издание второе, исправленное
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 51
ББК22.1
П16
Рецензенты:
В.В. Блаженков — зав. кафедрой высшей математики Военной
академии ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого,
д-р техн. наук, проф.;
С.Г. Шеховцов — директор Центра развития новой университетской
образовательной модели Российского государственного
гуманитарного университета.
Панов В.Ф.
П16 Математика древняя и юная / Под ред. B.C. Зарубина. — 2-е изд.,
испр. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 648 с: ил.
ISBN 5-7038-2890-2
Книга является дополнением к комплексу учебников серии
«Математика в техническом университете» и знакомит читателя с основными
фрагментами истории становления современной математики. В ее основу положены
лекции по курсам «Введение в специальность» и «История математики»,
читаемым автором студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающимся по
специальности «Прикладная математика». В первой части книги основное
внимание уделено биографиям творцов математики и тех мыслителей, чьи идеи
оказали решающее влияние на развитие этой науки. Во второй части
изложена история некоторых основных математических понятий и идей.
Для студентов технических вузов и учителей математики, а также всех,
интересующихся историей науки.
УДК 51
ББК 22.1
© В.Ф. Панов, 2004; 2006 с изменениями
© Оформление. МГТУ им. Н.Э. Баумана,
ISBN 5-7038-2890-2 2004; 2006 с изменениями

Посвящается моим внукам —
Ксении и Даниилу
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предисловие можно назвать громоотводом.
ПК. Лихтенберг
В основе книги лежит курс лекций по истории математики,
читаемый автором в Московском государственном техническом
университете им. Н.Э. Баумана. Свою задачу автор видел в
систематизации имеющегося материала и его изложении таким образом,
чтобы у читателя, практически не знакомого с историей
математики, составилась более или менее цельная картина ее развития.
Автор не работал с архивными документами и содержание книги
фактически заимствовано из опубликованных исследований других
авторов. Иногда автор позволял себе включить в повествование без
изменения отдельные понравившиеся абзацы из литературных
источников. Чаще других использовались книги Г. Вейля, М. Клайна,
Ф. Клейна, Н.Я. Виленкина, В.А. Никифоровского, В.А. Успенского,
В.М. Тихомирова, В.Д. Чистякова.
При подготовке книги автор постоянно помнил высказывание
великого француза Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько
серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного
занимательным» [57, с. 12]. С этой целью он старался отдавать
предпочтение тем фактам из жизни творцов математики, которые
характеризуют их личности, и не стремился скурпулезно перечислять
все полученные ими результаты. В предисловии к книге
Линкольна Барнета «Вселенная и доктор Эйнштейн» в 1948 г. А. Эйнштейн
писал: «Всякий, кто хоть раз пытался популярно изложить какое-
либо научное положение, знает, какие огромные трудности стоят на
3

этом нуги. Можно преуспеть в доходчивости, уйдя от изложения
сущности проблемы и ограничившись лишь смутными намеками
на нее, и таким образом обмануть читателя, внушив ему иллюзию
понимания. Можно, наоборот, квалифицированно и точно изложить
проблему, но так, что неподготовленный читатель скоро потеряет
мысль автора и лишится возможности следовать за ней дальше» [57,
с. 128]. В предлагаемой книге сделана попытка найти «золотую
середину» между доходчивостью и точностью изложения
математических проблем, поэтому в ней мало формул.
Творцы математики были необычайно одаренными и широко
образованными людьми, автор хотел показать их вклад в мировую
культуру, а также проследить связь развития математики с общим
развитием нашей цивилизации. Чтобы это стремление не
повредило чисто математическому аспекту книги, она разделена на две
части. Первую часть составляют в основном биографии творцов
математики и тех мыслителей, которые, не будучи математиками,
оказали огромное влияние на ее историю, а вторую часть — история
некоторых разделов и идей математики. В первой части материал
изложен «по горизонтали», в хронологическом порядке, а во
второй — «по вертикали», от древних времен до наших дней.
Чтобы сделать более понятной связь развития математики
с состоянием общества, в первой части книги в начале некоторых
глав дана краткая характеристика соответствующего исторического
периода.
На уровень математических знаний часто оказывали влияние
организационные мероприятия внутри отдельных государств.
Чтобы читателю стало понятно, почему, например, в математике начала
XIX в. встречаются в основном французские фамилии, а в
математике второй половины XIX в. — немецкие, в гл. 12 рассказано о
Политехнической школе в Париже, а в гл. 16 — о системе обучения в
университетах Германии.
В настоящее время фактически отсутствует анализ развития
математики в XX в. В книге предпринята попытка восполнить
этот пробел с привлечением доступного автору материала. Этой
проблеме посвящены (полностью или частично), начиная с гл. 18,
почти все главы за исключением гл. 24 и 28.
4

Гл. 19 целиком посвящена Международным конгрессам матема-
•тиков, так как, в частности, II Международный конгресс,
состоявшийся в 1900 г. в Париже, оказал судьбоносное влияние на
математику XX столетия.
В подготовке книги неоценимую помощь автору оказал
профессор Зарубин Владимир Степанович. Ему принадлежит идея
создания книги. Рекомендации и советы B.C. Зарубина были учтены при
отборе материала, а замечания, сделанные при чтении рукописи,
помогли исключить повторы и значительно улучшить содержание.
Автор благодарен доценту Канатникову Анатолию
Николаевичу, который внес много полезных предложений, способствовавших
улучшению изложения материала, а также редактору издательства
МГТУ им. Н.Э. Баумана Кошелевой Елене Константиновне,
приложившей немало усилий для устранения стилистических
погрешностей.
В.Ф.Панов

ВВЕДЕНИЕ
Вся история математики состоит из чередующихся
процессов «расширений» и «сокращений». Например, внимание
математиков привлекает какая-нибудь задача, пишутся
сотни статей, каждая из которых освещает лишь одну
сторону истины. Вопрос разрастается. Затем какой-нибудь
гений, опираясь на все данные, собранные с таким трудом,
заявляет: «Все, что мы знаем, станет почти очевидным, если
посмотреть на это вот с такой точки зрения». После этого
никому, кроме историков математики, нет уже
необходимости изучать сотни отдельных статей. Разрозненные выводы
объединяются в одну простую доктрину, важные факты
отделяются от шелухи, и прямой путь к желаемому выводу
открыт для всех.
У. У. Сойер
Математика и познание окружающего мира
С момента появления первых цивилизаций человечество
стремилось познать окружающий мир, понять происходящее в
природе. Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий
по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего
знания о внешнем мире был сделан, когда для изучения его стали
применять математику. Отметим, что термина «математика» в
древности не существовало. Вероятно, наука о количественных
отношениях и пространственных формах действительного мира стала
называться позднее, в средние века, когда европейцы ознакомились
с арабскими переводами трудов древнегреческих ученых.
Поэтому, говоря о математике Древнего Мира, мы имеем в виду методы
накопления и систематизации научного материала по
количественному изучению явлений природы. Математика не только уточнила
6

и расширила наше восприятие окружающего мира с помощью
органов чувств, но и позволила открыть весьма важные явления, не
воспринимаемые нами, но от того не менее реальные по их
воздействию на человека. Нам, живущим в начале 3-го тысячелетия,
природа и «земные» приложения математики хорошо известны, и
потому воспринимаются они как нечто само собой
разумеющееся. Уже цивилизации, в недрах которых математика зарождалась, а
именно цивилизации Древнего Египта и Древнего Вавилона, более
5 тыс. лет назад создали набор полезных, но не связанных между
собой правил и формул для решения практических задач, с которыми
люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне
не осознавали, что математика способна распространить их знание
природы за пределы, доступные чувственному опыту.
Как единое связное целое и средство познания природы
математика есть творение древних греков. Они начали заниматься этим
примерно за шесть веков до нашей эры. Не сохранилось никаких
документов VI—V вв. до н. э., способных рассказать нам, что
заставило греков прийти к новому пониманию математики и ее роли.
Мы располагаем лишь более или менее правдоподобными
догадками историков, один из которых утверждает, что греки обнаружили
противоречия в результатах, полученных древними вавилонянами
при определении площади круга, и вознамерились выяснить, какой
из результатов верен. В качестве еще одного объяснения историки
ссылаются на философские интересы греков, но это только догадки.
По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков
начиная с VIв. до н.э. сложилось определенное миропонимание,
сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена
рационально, а все явления протекают по точному и неизменному
плану, который в конечном счете является математическим.
Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к
изучению природы, то лежащий в основе мироздания математический
план удастся раскрыть и познать [43].
Разработанная пифагорейцами программа выявления
рационального плана, лежащего в основе природы, предполагала
использование математики. Они усматривали сущность вещей и явлений
в числах и числовых соотношениях. Число для них было первым
принципом в описании природы, и оно же считалось выражением
7

митерии и формы мира. Пифагорейцы полагали, что «все вещи суть
числа». К числовым соотношениям они сводили и музыку, и
астрономию. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве,
производят звуки, причем быстро движущееся тело издает более
высокий звук, чем движущееся медленно. Такая «музыка сфер»
может быть сведена к чисто числовым отношениям. Но тогда к
числовым отношениям можно свести и движения планет.
Первым из греков, кому мы обязаны наиболее существенным
шагом в математическом исследовании природы, был Платон. Он
не только воспринял некоторые стороны учения пифагорейцев, но
и был выдающимся философом, чьи идеи во многом определили
развитие мысли в Древней Греции. Согласно Платону, то, что
воспринимают наши органы чувств, не более чем несовершенное
представление реального мира. Реальность и рациональность
физического мира могут быть постигнуты только с помощью математики.
Платон заложил также основы дедуктивно-аксиоматического
метода, являющегося в настоящее время основным при построении
математического знания.
Началом современного периода развития математики принято
считать конец XV — начало XVI в. Что касается XVI в., то его часто
называют эпохой Возрождения (Ренессанса) — возрождения
греческой мысли. Примерно к 1500 г. европейские умы ознакомились с
основной идеей мыслителей античности о необходимости
приложения разума к исследованию природы и поиска математического
плана, лежащего в основе мироздания. Но если греки не
сомневались, что природа устроена на математических принципах,
неизменно и неуклонно следует некоему идеальному плану, то
мыслители конца Средневековья приписывали весь план и все действие
христианскому Богу. Именно Бог был, по их представлениям, творцом
и создателем плана мироздания, и все явления природы
неукоснительно следовали предначертаниям Творца, беспрекословно
подчиняясь его воле. Математики и естествоиспытатели эпохи
Возрождения, бутучи правоверными христианами, разделяли эту доктрину.
К уже существующим учениям был добавлен новый тезис о том,
что Бог сотворил мир на математической основе.
Математики XVI—XVIII вв. были уверены в существовании
математических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и
8

настойчиво стремились найти их, ибо исходили из убеждения, что
Бог и эти законы включил в общую схему мироздания.
Галилео Галилей предложил план изучения природы,
включавший четыре пункта [43]:
1) получить количественные описания физических явлений и
облечь их в математические формулы;
2) выделить и измерить наиболее фундаментальные свойства
явлений (свойства — переменные в формулах);
3) построить физику на основе фундаментальных физических
принципов, используя дедуктивный метод;
4) при изучении явлений непременно прибегать к идеализации.
Особенности математического метода
Первая отличительная особенность математического метода —
введение основных понятий. Некоторые из таких понятий
(например, точка, линия, целое число) подсказаны непосредственно
материальным, или физическим, миром. Помимо элементарных
понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные
человеческим разумом. Их примерами могут служить понятия
отрицательного числа, комплексного числа, функции,
математического анализа, буквенные обозначения классов чисел, всевозможные
кривые, бесконечные ряды, дифференциальные уравнения,
матрицы и группы, многомерные пространства.
Некоторые из перечисленных понятий полностью лишены
интуитивной основы. Другие, например понятие производной
(мгновенной скорости движения), имеют под собой некую основу в
физических явлениях. Но и производную в гораздо большей степени
можно рассматривать как конструкцию, созданную разумом,
причем на качественно совершенно новом уровне, нежели, скажем,
понятие математического треугольника.
Вторая отличительная особенность математики — ее
абстрактность. В одном абстрактном математическом понятии должны
быть отражены существенные особенности всех физических
проявлений этого понятия. Например, математическая прямая должна
заключать в себе все наиболее значительные особенности туго
натянутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых
лучей.
9

Третья отличительная особенность математики — идеализация.
Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины
меловой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при
решении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе
идеализация не является серьезным отступлением от реальности, но при
любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос,
достаточно ли близок исследуемый объект (например, реальная
частица или траектория) к его идеальному образу.
Четвертой отличительной особенностью математики является
использование специальных обозначений. Хотя страница,
испещренная математическими символами, способна отпугнуть
непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений
математики погрязли бы в неразберихе слов.
Наиболее поразительной, пятой, отличительной особенностью
математики является используемый ею метод рассуждения.
Основу его составляет набор аксиом с применением к ним дедуктивного
доказательства (вывода). Слово «аксиома» происходит от
греческого выражения «мыслить подобающим образом». Само понятие
аксиомы — истины столь самоочевидной, что она ни у кого не
вызывает сомнения, — введено греками. Аристотель во «Второй
аналитике» упоминает об общих положениях, называемых им
аксиомами, из которых выводится доказательство и истинность которых
постигается безошибочной интуицией. Хотя Эрик Т. Белл в шутку
сказал, что «аксиома — это предрассудок, освященный
тысячелетиями» [43, с. 168], а Альберт Эйнштейн заметил, что «здравый смысл
— это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем
сознании к восемнадцати годам» [93, с. 192], без аксиом нам не обойтись.
Если бы в доказательстве использовались какие-то факты, не
известные нам как истины, то потребовалось бы дополнительное
доказательство, которое устанавливало бы эти факты, и этот процесс
пришлось бы повторять бесконечно. Аристотель указывал также на
то, что некоторые понятия должны оставаться неопределяемыми,
ибо в противном случае доказательство не будет иметь начала.
В наше время такие понятия, как точка и прямая, остаются
неопределяемыми, их значение и свойства зависят от аксиом,
предписывающих свойства точек и прямых. Аксиоматизация новых
10

понятий требует более тонкого подхода, поэтому правильные
аксиоматические обоснования некоторых разделов математики удалось
создать лишь через много лет после возникновения этих разделов.
Суть тех средств, которыми математики добывают фактические
данные, характеризующие внешний мир, можно сформулировать
следующим образом: математика строит модели целых классов
реальных явлений. Понятия, обычно идеализированные (независимо
от того, почерпнуты они из наблюдений природы или являются
плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть
подсказаны физическими фактами или придуманы людьми,
процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция — все
идет в ход при построении моделей. Доказательство цементирует
модель как единое целое.
Математика, опираясь на человеческий разум и способность
человека к рассуждениям, порождает знание о реальном мире,
которое среднему человеку, даже если он воспитан на рациональной
западной культуре, кажется полученным исключительно путем
чувственного восприятия, хотя таковым и не является.
О религиозности творцов математики
Подавляющее большинство творцов математики были глубоко
религиозными людьми. Однако в книгах о науке, издававшихся в
СССР, делались попытки представить всех творцов науки
атеистами или же говорилось об их религиозности как явном недостатке.
Более того, одним из самых больших недоразумений последнего
столетия было противостояние науки и религии как двух
враждебных друг другу сил. А должны ли они враждовать и всегда ли
враждовали?
Так было не всегда. Самим своим происхождением наука
обязана религии, и обе они издавна существовали в тесном
взаимодействии. Религиозно-символическое мировосприятие не только не
исключало становления и развития научной мысли, но и на первых
порах было, в сущности, единственным путем, приведшим к
появлению науки в современном смысле слова.
Мы так привыкли видеть в религии только отрицательный опыт
человечества (и не без оснований, достаточно вспомнить инквизи-
11

пик»), что перестали думать, а говорить и подавно, о неизмеримом
титле религии » человеческую культуру.
Основы математики, астрономии, медицины созданы
египетскими и вавилонскими жрецами. Первые анатомические и
географические атласы, первые математические формулы — плод труда
людей, служивших религии. Творцы античной науки были
одновременно и религиозными мыслителями. Общество пифагорейцев, так
много сделавших для прогресса математики, представляло собой
религиозный орден. Аристотель, отец современного
естествознания, был создателем религиозно-философских принципов,
вошедших впоследствии в христианское мировоззрение. Употребление
арабских цифр в Европе ввел французский монах, математик и
философ Герберт, впоследствии ставший папой римским
Сильвестром II.
Средневековые университеты имели привилегии,
определяемые папской буллой. Церковь, и только она одна, занималась всеми
вопросами образования.
Создателем гелиоцентрической концепции был польский
священник Николай Коперник. Его книга «О вращении небесных
сфер» была посвящена папе римскому, который принял ее
благосклонно. Религиозным человеком, близко стоявшим к церковным
кругам, был Галилей. Декарт и Кавальери, Ньютон и Лейбниц,
Кеплер и Паскаль совершали свои научные подвиги, оставаясь
искренне религиозными людьми.
Родоначальник английского материализма Фрэнсис Бэкон
утверждал, что мелкая философия сподвигает ум человеческий к атеизму,
а глубокая философия приводит его к религии.
Эйнштейн утверждал, что вера в осмысленность мироздания
вдохновляет исследователя. Наука и религия должны свободно
развиваться, не препятствуя друг другу. Это следует из качественных
различий объектов, на которые они направлены. Наука отвечает
на запросы разума, отсюда ее непреодолимая мощь, религия — на
запросы сердца, отсюда ее магическая сила [112]. Наука и
религия — эти два пути познания реальности — должны не просто
быть независимыми сферами, но в гармоничном сочетании
способствовать движению человечества на пути к истине.
12

Ошибки ученых поучительны
Нередко в книгах по истории вообще и по истории
естественных наук и математики в частности допускается снисходительный
тон по отношению к тем личностям, имена которых дошли до нас.
Однако высокомерное отношение к давно жившим людям —
негативная особенность. Наши предки были не глупее нас. Люди
поступают разумно (с их точки зрения) для достижения определенных
целей, и, если поведение какого-либо человека кажется нам
неразумным, это, вероятнее всего, означает, что мы не понимаем тех
целей, которые человек преследовал или преследует. Поэтому нельзя
давать оценку деятельности человека, не проанализировав те
обстоятельства, в которых он действовал.
Математику создавали гениальные люди, и их интересы редко
ограничивались чем-то одним. Иногда они ошибались, но и
ошибки их очень показательны. Например, один из учеников Д.К.
Максвелла, Г. Лэмб, рассказывал, что тот не считался отличным
лектором, к тому же приходил на занятия без записей. Выводя у доски
формулы, он часто сбивался, допускал ошибки. Но, наблюдая, как
учитель искал и исправлял свои ошибки, Лэмб, по его признанию,
узнал больше, чем из многих прочитанных книг. По этому поводу
П.Л. Капица мудро заметил: «Ничто так не поучительно, как
заблуждения гения» [95, с. 111].
Любопытно обратить внимание на то, как трансформируется
оценка деятельности ученого с течением веков. Кардано не
сомневался в том, что его главные заслуги относятся к медицине, а не к
математике; похоже, Кеплер считал своим главным достижением
«открытие» мифической связи между орбитами планет и
правильными многогранниками; ни одно свое открытие Галилей не ценил
так, как ошибочное утверждение, что приливы и отливы
доказывают истинное движение Земли; Гюйгенс гордился применением
циклоидального маятника в часах, оказавшегося полностью
бесполезным на практике. Список можно продолжить.
Одной из особенностей науки является самокоррекция.
Познание обладает замечательным свойством преодоления и изъятия
(по мере продвижения вперед) ошибок и промахов, допущенных
13

прежними шноритетами. При действии механизма самокоррек-
цмм опинжн не столь уж опасны. Опасно другое: посчитать
достоверным результат заблуждением и отлучить его от науки. Такая
ситуация позволяет (а может быть, заставляет) рисковать. Пусть
будут сбои, уклонения, неверные шаги. Но мы подстрахованы тем,
что знание предрасположено к самоочищению, и все
прегрешения могут быть и должны быть исправлены. Говорят же: «Наука
безупречна, а заблуждаются ученые».
Как совершаются в математике открытия
и что заставляет ученых их совершать
Морис Клайн в марте 1955 г. в журнале Scientific American
писал: «Творческий акт имеет мало общего с логикой или
рациональными рассуждениями. Вспоминая обстоятельства, при которых их
озарила блестящая идея, математики нередко отмечали, что
вдохновение не имело прямого отношения к тому, чем они в это время
занимались. Иногда озарение наступало в тот момент, когда
человек ехал в транспорте, брился или размышлял о чем-нибудь
другом. Творческий процесс нельзя по желанию довести до наивысшей
точки или продлить самыми радостными посулами. Он проистекает
особенно успешно, когда разум предается праздности и
воображение свободно расправляет крылья».
В книге «Прелюдия к математике» У.У. Сойер отмечал: «Почти
все математические открытия имеют в основе очень простую идею.
Учебники часто скрывают этот факт. Они обычно содержат
громоздкие выводы и этим создают впечатление, что математики — это
люди, которые всю жизнь просиживают за письменными столами
и переводят тонны бумаги. Это чепуха. Многие математики очень
успешно работают в ванной, в кровати, ожидая поезда или катаясь
на велосипеде (предпочтительно при слабом уличном движении).
Математические вычисления производятся до или после открытия.
Само открытие возникает из основных идей» [93, с. 5—6]. В этой
связи любопытно вспомнить, что Эйнштейн, например,
лихорадочно делал выкладки по теории относительности на обратной стороне
подвернувшегося под руку старого конверта. Гамильтону идея
кватернионов пришла в голову на Королевском мосту, на перилах
которого он и написал первые формулы. Из воспоминаний Пуанкаре
14

мы знаем, что долго не дававшееся ему доказательство важной
теоремы из теории автоморфных функций неожиданно было найдено,
когда он занес ногу на ступеньку омнибуса. И подобных примеров
можно привести множество.
Уже упомянутый нами Пуанкаре предлагает очень интересную
схему математического творчества. Он связывает его с делением
человеческой психики на сознательную и бессознательную части.
Процесс начинается с сознательных усилий, направленных на
решение некоторой проблемы. Эти усилия повышают активность
бессознательной части психики. Там появляется множество
новых комбинаций математических объектов — как бы возможных
фрагментов решения. Они возникают в громадном количестве и с
колоссальной скоростью. Сейчас мы могли бы сравнить эту фазу
с работой грандиозного компьютера. Но подавляющая часть этих
комбинаций бесполезна для решения проблем. Они, за очень
небольшим исключением, не достигают сознания, проходят отбор,
основанный на эстетическом принципе. Некий эстетический
барьер позволяет лишь небольшому числу их проникнуть в сознание.
Они появляются там как готовая идея решения, причем это
сопровождается очень сильным субъективным чувством уверенности в
правильности идеи. Дальше остается лишь техническая работа по
осуществлению найденного решения.
А что заставляет ученых делать открытия? Очевидно, что
существует тесная взаимосвязь между математикой и
общекультурными устремлениями эпохи, которые отражают общественные и
экономические условия. Даже такой гений, как Ньютон, может
прокладывать новые пути в математике и механике только тогда,
когда в обществе есть силы, готовые поддержать и ободрить его,
создать ему условия для работы и для того, чтобы он был
услышан. Возникновение в XVII в. современной математики можно
понять лишь с учетом того, что в то время в экономической жизни
Западной Европы капитализм начинает брать верх над
феодализмом. Общественно-экономическое состояние общества влияло на
развитие физики, географии, навигации, архитектуры, живописи,
которые, в свою очередь, стимулировали развитие математики. На
математику также оказывали влияние земледелие, торговля,
промышленность, философия и военное дело.
15

И XVI XVIlhm. важно было обеспечить безопасность оке-
пискпх плаваний (в 1492 г. Колумб открыл Америку). Требовались
точные методы для определения координат корабля в море (в
основном долготы, так как широта определялась легко). Правительства,
академии и частные лица поощряли занятия этой проблемой
почестями, пожертвованиями и премиями. В поисках решения
проблемы были усовершенствованы навигационные приборы и часы,
исследовано движение Луны и спутников Юпитера. Все
исследования по картографии, навигации, механике и астрономии
«оплодотворили» математику той эпохи, в частности математический
анализ.
Возможны разные точки зрения на смысл занятия
математикой. В XIX в. возник спор между двумя знаменитыми учеными —
французским математиком Жозефом Фурье и немецким
математиком Карлом Якоби. Фурье считал, что цель математики —
содействовать объяснению природы. Якоби отвечал, что ее цель —
прославлять человеческий разум. Оба они правы. Но математика,
кроме того, помогает философскому осмыслению мира и
позволяет решать практические задачи, возникающие в других областях
человеческой деятельности.
Однако нельзя думать, что стимулом к развитию математики
являются только меркантильные соображения. Говорят, что
летчики и моряки не могут быть счастливы без своих океанов, потому
что они дают им ощущение власти над тремя координатами. Но
как же сильно должна тогда властвовать над человеком древнейшая
из наук, если она позволяет окунуться в пространство любых
измерений, познавать законы Вселенной и атома, искать гармонию и
смысл в окружающем мире и любую сложнейшую мысль изложить
легко и изящно [57].
Занятия математикой стимулируют развитие способностей
человека. Так, А.И. Маркушевич пишет: «Кто с детских лет
занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою
волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении
цели» [58, с. 13]. Его дополняет А.Д. Александров: «Математика
учит точности мысли, подчинению логике доказательства,
понятию строго обоснованной истины, а все это формирует личность,
пожалуй, больше, чем музыка» [58, с. 14]. Польский математик
16

Г. Штейнгауз даже высказал мнение, что если поручить двум
людям, один из которых — математик, выполнение любой незнакомой
работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее
лучше. Другой польский ученый и просветитель Ян Снядецкий
писал: «Математика — царица всех наук. Ее возлюбленный — истина,
ее наряд — простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен
тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому
приходится продираться сквозь чащу. Случайный путник не обнаружит во
дворце ничего привлекательного. Красота его открывается лишь
разуму, любящему истину, закаленному в борьбе с трудностями,
свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой
склонности человека к необычайно запутанным, но неиссякаемым и
возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе вещей»
[58, с. 17].
Существует еще и романтика поиска: «Хочу знать — весь сказ!
Просто так! Потому что это — моя жизненная потребность, потому
что без этого мне жизнь — не в жизнь. Хочу знать потому, что не
могу не хотеть этого!» В 1956 г. Борис Пастернак писал:
Во всем мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.
До сущности протекших дней,
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины.
Все время схватывая нить
Судеб, событий,
Жить, думать, чувствовать, любить,
Свершать открытья...
Науковеды Иллинойсского университета (США) провели
исследование ряда научных новшеств, имеющих явную экономическую
ценность. Они обнаружили, что 63,5 % новинок привнесли ученые,
которыми руководило простое любопытство. При так называемом
17

ориентированном поиске (когда намечены подсказывающие
результат вехи) получено 28,8 %, и всего 7,7 % пришлось на долю
разработок, нацеленных на решение специальной задачи.
Математики много раз меняли представление о своей науке и
делали это каждый раз под давлением определенных факторов,
которые заставляли их отказываться от привычных воззрений.
Становление каждого раздела математики связано вначале с
объяснением каких-то загадок природы, затем, постепенно
внедряясь в повседневную деятельность, математическое знание
позволяет решать технологические задачи текущего дня.
Современное освоение математики — это не просто знакомство
с набором имеющихся интуитивных представлений об этой науке,
для него не достаточно непосредственного изучения тех или других
математических теорий. Необходимо исследование истории
математики, анализ ее структуры, отношения к другим наукам.
Рассказывать о современной математике без всякой ссылки на
математику прошлого — это то же самое, что играть третий акт
пьесы, не объяснив предварительно, что происходило в первых двух.
Из-за нехватки учебного времени преподавателям обычно не
удается рассказать о жизни великих творцов математики —
интенсивной, целенаправленной, поучительной, хотя подчас и драматичной.
Так и остается неведомым для нас облик незаурядных, духовно
прекрасных личностей ученых — гениев математики — со всем
богатством их натуры и разносторонними интересами.
В представлении многих, ученые — творцы математических
абстракций — сами являются какими-то полуабстрактными
существами, «сухарями», погруженными в свою науку и ничем другим
не интересующимися. Заблуждение это происходит от неведения
того, что гениальность — «великий дар благой природы» —
совместима только с личностью, увлеченной вдохновенным
созидательным трудом, разносторонне деятельной, может быть, при этом, и
сложной, но всегда глубокой, содержательной.
Большое математическое дарование нередко сочетается также с
проявлением творческого интереса к поэзии, прозе, другим видам
искусства. Эйнштейн искал красоту во Вселенной задолго до
создания общей теории относительности, и сама теория возникла из
чувства эстетической неудовлетворенности [36].

Часть I
История математики
как часть истории
цивилизации
Математика — это большой город, чьи
предместья не перестают разрастаться, в то время
как центр периодически перестраивается,
следуя каждый раз все более и более ясному
плану и стремясь к все более и более
величественному расположению, в то время как... старые
кварталы с их лабиринтом переулков сносятся
для того, чтобы проложить к окраине улицы все
более прямые, все более широкие и удобные.
Н. Бурбаки

Глава 1
МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ВОСТОКА
Стиль любой зарождающейся математики
полностью зависит от той культуры, в которой она
возникает, от особенностей народа, над ней
размышляющего.
О. Шпенглер
Древние цивилизации Востока развивались на берегах великих
рек Африки и Азии — Нила, Тигра и Евфрата, Инда, позже Ганга,
Хуанхэ, еще позже Янцзы. В этих цивилизациях происходило
отождествление Церкви и государственного аппарата. Во многих
восточных странах областями управляли жрецы. А так как занятия
наукой были прерогативой чиновничества, жрецы выступали
обладателями научных знаний.
Восточная математика возникла как прикладная наука, имевшая
цель облегчить календарные расчеты, распределение урожая,
организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале стала
развиваться арифметика как собрание постепенно накапливающихся
практических правил для решения повседневных житейских задач.
Эти правила сводились к сложению, вычитанию, умножению и
делению чисел, вначале только целых, а затем — постепенно и в очень
медленном развитии — и дробных. Первые геометрические
результаты были получены в Египте и в Месопотамии: после затопления
20

земельных угодий во время разливов рек межи между наделами
смывались и требовалось заново нарезать участки.
Отличительной чертой всей математики Древнего Востока
является отсутствие доказательств. Теорема Пифагора применялась на
практике, но не ясно, как она была получена. Результаты
представлялись сводом правил без обоснования их достоверности.
Древний Египет
Расцвет египетской цивилизации — двух царств, Верхнего и
Нижнего Египта, — начался во времена третьей династии
фараонов (ок. 2500 до н. э.), когда строились пирамиды, и продолжался
без каких бы то ни было внешних влияний до завоевания Египта
Александром Македонским в 332 г. до н. э.
Египтяне пользовались двумя системами письма:
иероглифической (встречается на памятниках и могильных плитах), где каждый
символ (пиктограмма) изображает какой-нибудь предмет, и
иератической, где использовались условные знаки, происшедшие от
иероглифов в результате упрощений и стилизаций. Вторая система
лучше приспособлена для письма от руки и чаще встречается на
папирусах, которые являются основным источником сведений о
египетской математике. Самые известные среди таких папирусов —
папирус Ринда, который хранится частично в Британском музее в
Лондоне, частично в Нью-Йорке (длина его 5,25 м, ширина 33 см),
Московский папирус, хранящийся в Государственном музее
изобразительных искусств им. А.С. Пушкина (длина 5,44 м, ширина 8 см),
очень схожий с папирусом Ринда, а также Кожаный свиток
египетской математики, с большим трудом распрямленный в 1927 г.
и проливший свет на египетскую арифметику [30].
В папирусе Ринда приведены 84 задачи прикладного характера.
Там имеются действия с дробями и вычисления площадей и
объемов, задача на сумму геометрической прогрессии. В Московском
папирусе содержатся решения 25 задач. Кроме задач, аналогичных
задачам папируса Ринда, в нем есть задача на объем усеченной
пирамиды с квадратным основанием и на площадь боковой
поверхности полуцилиндра.
Иероглифическая система счисления имеет основание 10 и не
является позиционной: для обозначения чисел 1, 10, 100 и т.д.
21

в ней используются разные символы, каждый символ повторяется
определенное число раз, и, чтобы прочитать число, нужно
просуммировать значения всех символов, входящих в его запись. Таким
образом, их порядок не играет роли, и они записываются либо
горизонтально, либо вертикально. Эта система счисления позволяла
египтянам сравнительно просто производить только операции
сложения и вычитания натуральных чисел. Умножение выполняли с
помощью удвоения, т. е. множители разбивали на сумму степеней
двойки, перемножали между собой отдельные слагаемые, а затем
результаты складывали. Деление осуществляли вычитанием из
делимого чисел, получаемых в процессе последовательного удвоения
делителя.
Иератическая система счисления также десятичная, но
специальные дополнительные символы помогают избежать повторения,
принятого в иероглифической системе.
Кроме целых чисел египтяне знали лишь аликвотные дроби (т. е.
дроби с числителем 1). В обеих.системах счисления над символом,
обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. Кроме
того, дробь 2/3 занимала, по-видимому, особое положение, ее
обозначали отдельным символом. Более сложные дроби разбивали с
помощью таблиц на сумму аликвотных дробей.
Древний Вавилон
Вавилонская цивилизация охватывает целую группу народов,
живших в Месопотамии начиная с 3-го тысячелетия до н. э. Их
главным культурным центром был Вавилон. В результате
археологических раскопок, предпринятых в XIX в., было обнаружено несколько
сотен глиняных табличек с нанесенными тонкой палочкой
клиновидными надписями, по-видимому обожженных и потому хорошо
сохранившихся. Около 300 из них имеют отношение к математике.
Одна их часть датируется временем первой вавилонской династии
(с 1894 по 1595г. до н.э.), в которой наиболее знаменитым было
царствие Хаммурапи. Другая часть относится к эллинистическому
периоду между 600 и 322 гг. до н. э., т. е. ко времени от халдейской
династии до государства Селевкидов. Около 50 табличек содержат
математические тексты, остальные — математические таблицы без
текста.
22

В Месопотамии шумеры использовали комбинацию шестиде-
сятеричной и десятичной систем счисления с применением
позиционного принципа, что явилось прочным достоянием
человечества, дошедшим до наших дней. Наше современное деление часа на
60 мин и 3600 с восходит к шумерам, как и наше деление
окружности на 360 °, каждого градуса на 60' и каждой минуты на 60". В
самых древних текстах (около 1700 г. до н. э.) не встречается никакого
символа для обозначения нуля; числовое значение, которое
придавалось символу, зависело от условий задачи, и один и тот же символ
мог обозначать 1, 60, 3600 или даже 1/60, 1/3600... Умножение
выполняли, обращаясь к таблицам умножения, первоначально
составленным последовательными сложениями, а использование таблиц
обратных величин позволяло заменить деление умножением.
Во времена Хаммурапи (4000 лет назад) появились начала
алгебры. В вавилонских табличках встречаются численные задачи,
сформулированные описательно, т. е. без символических
обозначений, с помощью слов и фраз, решение их представлено как
последовательность правил, которые нужно выполнить, но без какого бы
то ни было их обоснования. В Египте в то время решались
линейные уравнения, а в Вавилоне — уже квадратные уравнения, частные
случаи кубических и биквадратных уравнений.
Вавилоняне использовали геометрический язык, причем
неизвестное они называли стороной, а его вторую степень —
квадратом. В случае двух неизвестных их называли длиной и шириной, а
их произведение — площадью. Но, несмотря на эту терминологию,
они без колебания вычитали сторону из площади. Так, текст 13901
из Британского музея «Я вычитаю сторону квадрата из его площади
и получаю 14,30» можно записать на алгебраическом языке в виде
уравнения х2 — х = 14,30.
В текстах более позднего периода (VI—III вв. до н. э.)
обнаруживается значительное влияние на математику вавилонской
астрономии, которая приобретает в это время характер настоящей
науки, что сказывается в тщательном анализе различных эфемерид
(таблиц восхода и захода небесных светил). Обнаруженные
вычисления доведены до семнадцатого шестидесятеричного знака.
Наивно считать, что на основании имеющихся археологических
памятников мы имеем представление об истинном уровне развития
23

математики в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне. Допустим,
что от нашей цивилизации через 4000 лет потомкам останется
такой же объем информации, как нам от Древнего Египта и Древнего
Вавилона. Судить о математике наших дней по тем остаткам,
которые уцелеют, — это то же, что о содержании огромного
уничтоженного мозаичного полотна судить по нескольким найденным
кусочкам. В соответствии с теорией вероятностей до наших потомков
дойдут скорее бухгалтерские книги или учебники для начальной
школы, чем книги по функциональному анализу, — ведь
последних в тысячи раз меньше, чем первых. Так и наши представления
об уровне развития математики Древнего мира далеки от
действительности. Выводы ученых, основанные на расшифровке
археологических находок, заслуживают уважения, но они никоим образом
не свидетельствуют о высших достижениях математиков эпохи
создания пирамид, тайны которых не раскрыты до сих пор. Считается,
что жрецы Египта умели довольно точно предсказывать солнечные
затмения. Однако немногие из профессиональных математиков
начала XXI в. самостоятельно справятся с этой задачей, так как для
этого нужны и точные статистические данные, и знакомство с
соответствующими алгоритмами.
По мнению многих историков, все знания в древности
делились на экзотерические — открытые, доступные всем желающим,
и эзотерические —тайные, доступные только прошедшим
несколько ступеней посвящения (своеобразных экзаменов на этику,
нравственность, выдержку и волю). Тайные знания были изложены
в определенных символах, многослойный смысл которых
постепенно раскрывался при переходе на более высокие ступени
посвящения. Считается, что многие тайные знания Древнего Египта
заключены в картах Таро. Почему именно в картах? Существует
такая легенда.
«Египту угрожало нашествие чужеземцев, и, неспособный
более отразить их, он готовился достойно погибнуть. Египетские
ученые (жрецы) собрались вместе, чтобы решить, каким образом
сохранить знание, которое до сих пор ограничивалось кругом
посвященных людей, как спасти его от гибели.
Сначала хотели доверить это знание добродетели, выбрать
среди посвященных особенно добродетельных людей, которые
передавали бы его из поколения в поколение. Но один жрец заметил, что
24

добродетель — самая хрупкая вещь на свете, что ее труднее всего
найти; и, чтобы сохранить непрерывность преемства при всех
обстоятельствах, предложил доверить тайну пороку. Ибо последний,
сказал он, никогда не исчезнет, и можно быть уверенным, что порок
будет сохранять знание долго и в неизменном виде. Очевидно,
восторжествовало это мнение, и была изобретена игра, служащая
пороку. Были выгравированы металлические пластинки с
таинственными фигурами, которые некогда обучали самым важным тайнам; с
тех пор азартные игроки передавали карты Таро из поколения в
поколение гораздо лучше, чем это сделали бы самые добродетельные
люди на земле» [99, с. 236].
Древний Китай
По утверждению китайского историка математики Ли Яня,
математические познания китайцев восходят к XIV в. до н. э. В
истории математики Древнего Китая имеются сведения о
десятичной системе счета, об использовании вспомогательных счетных
устройств (узелки, счетная доска), об оперировании циркулем,
линейкой и угольником.
Принято считать, что в 152г. до н.э. государственный деятель
и ученый Чжан Цан собрал и систематизировал все известные в
то время математические знания в собрании «Математика в девяти
книгах». После переработок и дополнений это произведение
стало своеобразной математической энциклопедией, основным
учебником для поступающих на государственную службу. Состоит эта
«Математика» из формулировок 246 задач, ответов к ним и правил
решения типовых задач без выводов этих правил. Девять книг этого
сочинения имели вид отдельных свитков, посвященных различным
темам.
Книга 1 называется «Измерение полей». Площади
прямоугольных фигур вычисляются верно. При вычислении площадей круга,
сектора и кольца принимается 7г = 3.
Книга 2 «Соотношение между различными видами зерновых
культур» содержит математические правила взимания налогов
зерном.
Книга 3 «Деление по ступеням» содержит задачи на
пропорциональное деление.
25

В книге 4 «Шао-гуан» вначале речь идет об определении
стороны прямоугольника по площади и другой стороне. Затем излагаются
правила извлечения квадратных и кубических корней, нахождения
радиуса круга по его площади.
В книге 5 «Оценка работ» собраны задачи, связанные с
расчетами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям,
рвов и других сооружений.
Книга 6 «Пропорциональное распределение» содержит задачи
на суммирование арифметических прогрессий и на совместную
работу лиц с разной производительностью труда.
В книге 7 «Избыток-недостаток» собраны задачи на линейные
уравнения и их системы, решаемые методом двух ложных
положений.
В книге 8 изложено правило «фан-чэн» решения систем,
содержащих до пяти линейных уравнений, заключающееся в
преобразовании расширенной матрицы системы. Это метод исключения
переменных, но операции производились только со столбцами, так как
столбцы и строки матрицы считались неравноправными.
В книге 9 собраны задачи по определению недоступных
расстояний и высот сооружений с помощью теоремы Пифагора и на
основании принципа подобия треугольников.
Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае
развивались элементы комбинаторики; был найден треугольник
биномиальных коэффициентов, известный теперь под названием
треугольника Паскаля.
Попыток систематического дедуктивного построения
математики в Древнем Китае не отмечено.
Древняя Индия
Самыми ранними памятниками математической культуры
индийцев являются религиозные книги: Сутры и Веды. Их
происхождение относят к VIII—VII вв. до н. э., хотя индийцы считают их
более древними. Написаны они на давно умершем языке —
санскрите. В них мы находим геометрические построения, первые
способы вычисления площади круга, описание случаев применения
теоремы Пифагора [87].
26

Европа заимствовала начала арифметики и алгебры у арабов
(чем и объясняется название «арабские цифры»), а арабы, в свою
очередь, заимствовали их у индийцев. Лаплас 200 лет назад писал:
«Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел
посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет
значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль
кажется нам сейчас настолько простой, что мы не замечаем ее истинных
достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую
она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из
самых полезных изобретений. Мы оценим все величие этого
достижения, когда вспомним, что мимо него прошел даже гений
Архимеда и Аполлония, двух величайших людей древности»1.
Первое известное нам употребление знака «нуль» мы находим
в одной из священных книг, датируемой примерно 200 г. до н. э.
Нуль, называемый «шунья» (или «ничто»), изображался вначале в
виде точки, а позже в виде маленького кружка. Он считался таким
же числом, как и все остальные.
В XIX в. стали известны работы индийских математиков Брах-
магупты (VI в.) и Бхаскары Ачарии (X в.). В комментариях к этим
работам указывается, что еще до Брахмагупты решения уравнений
первой степени с двумя неизвестными в целых числах умел
находить Ариабхатта (конец V в.). Результаты, приведенные в сочинении
Бхаскары Ачарии, слабее результатов, полученных Брахмагуптой,
хотя они на 400 лет моложе [111].
В трактате Брахмагупты по астрономии приводится много
математических результатов. В гл. 12 трактата, посвященной
арифметике, есть геометрический раздел, в котором излагается теория
четырехугольника, вписанного в окружность. Брахмагупта мог строить
вписанный в окружность четырехугольник по четырем сторонам и
вычислять его площадь. При решении геометрических задач на
построение Брахмагупта пользовался результатом, который в
современной символике можно представить в виде формулы
(а2 + Ъ2)2 = {а2-Ъ2)2 + Аа2Ь2.
1 Цит. по кн.: Неру Д. Открытие Индии: Пер. с англ. М.: Политиздат, 1989. Кн. 1.
С. 337-338.
27

Арифметика и вычислительные возможности интересовали
индийцев несравненно больше, чем дедуктивные схемы рассуждений,
и основной вклад они внесли именно в развитие арифметики и
разработку практических приемов вычислений. Математику индийцы
называли «ганита», что означает «наука о вычислениях».
Главной особенностью индийской математики является
преобладание вычислительных приемов. Многие математические
тексты написаны стихотворными размерами с целью облегчить
запоминание.
Относительно математики в Индии мы располагаем очень
ограниченными сведениями. Либо исчезли, либо еще не найдены
многие материальные свидетельства возникновения и накопления
математических знаний как части древних культур. Помимо
разрушительного влияния времени в этом виновны колонизаторы. Ими
были приложены серьезные усилия для фальсификации истории,
для превознесения заслуг «цивилизаторов» и «просветителей»,
якобы несущих свет «темным» народам.
Кроме того, информация о достижениях цивилизаций прошлых
веков умышленно скрывалась от завоевателей в тайниках [87].
Считается, что тексты священных книг Индии утеряны для Запада
и сохраняются в Азии в тайных хранилищах Тибета и Гималаев.
Священные книги Востока существуют в полной безопасности от
«оскверняющих рук Запада», чтобы вновь появиться в более
просвещенное время.
В настоящее время из эзотерических учений человечеству
разрешено ознакомиться лишь с малой частью, которая изложена в
«Тайной доктрине» Е.П. Блаватской и в других подобных книгах.
Западное мышление сильно отличается от восточного. Метод
западного мышления анатомичен: живая суть явления
расщепляется на элементы и изучается их связь между собой. Мир
воспринимается как неживой объект для препарирования. Считается, что
медленно происходящие процессы формирования минералов, создания
и умирания космических тел не являются жизнью.
В соответствии с мышлением Востока мир — живой. Само
понятие «неживая природа» — абсурд. Человек есть часть мира.
28

Познание возможно потому, что живому существу свойственно
ощущение, пронизывающее организм и связывающее его части.
Человек может натренировать свои ощущения до такой степени,
что станет способен воспринимать тончайшие движения жизни во
всем. Это возможно в измененном состоянии сознания. Грубо
говоря, каждый может путем самосовершенствования достичь такого
состояния сознания, когда он как бы подключается к
информационно-энергетическому полю Земли («космическому интернету») и
начинает получать оттуда готовую информацию, не пользуясь
никакими устройствами.
К примеру, в соответствии с современными научными
концепциями космологии несколько миллиардов лет назад Вселенная была
сосредоточена в точке, где материя имела бесконечную плотность
и бесконечную температуру. Произошел Большой Взрыв, и до сих
пор галактики разлетаются.
А что говорит об этом древняя мудрость? Для мудрецов Индии
пульсирующее существование Вселенной ассоциируется с
понятиями «кальпа» и «махаюга». Рассмотрим схему (рис. 1),
представляющую собой космический календарь Индии.
Критаюга
0,4 махаюги
1 728 000 лет
Равенство,
нет горя
и болезней
Третаюга
0,3 махаюги
1 296 000 лет
Впервые появляются
пороки, но все
соблюдают религиозность
Двапараюга
ОД махаюги
864 000 лет
Зло и пороки
распространены,
но войн еще нет
Калнюга
0,1 махаюги
432 000 лет
Войны, грабежи,
окизнь коротка,
полна грехов и зла
1000 махаюг = 1 день Брамы =14 манвантар
1 день Брамы + 1 ночь Брамы -кальпа (сутки Брамы)
Брама живет 100 «собственных» лет по 300 дней в году
Рис. 1. Космический календарь Индии
29

Итак, «ночь Брамы» по продолжительности равна «дню
Брамы». Весь материальный мир «ночью» не существует. После смерти
Брамы гибнут боги, космос и на 100 лет Брамы воцаряется Хаос.
Затем рождается новый Брама. Сейчас идет седьмая манвантара,
28-я махаюга, 6-е тысячелетие калиюги,-которая началась в полночь
с 17 на 18 февраля 3102 г. до н. э. Нынешний Брама живет 51-й год
«своей» жизни. Конечно, большинство ученых рассматривают эту
схему как легенду. Но до чего же красива эта легенда!

Глава 2
МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Греки — это не способные школьники или хорошие
студенты, но, скорее, «коллеги из другого колледжа».
Дж. Литлвуд
Теоретическая часть математики имеет истоки в научных и
философских школах Древней Греции. Эллины как народ сложились
в результате двух вторжений индоевропейских завоевателей.
Около 2000 г. до н. э. на полуострове Пелопоннес обосновались
ахейцы, о которых мы можем судить по деяниям и подвигам
полулегендарных героев, описанных Гомером. В конце VII в. до н. э.
произошло переселение народов, затронувшее западное побережье Малой
Азии (Ионию) и острова Эгейского моря. Вторжение дорийцев
вызвало новое переселение. В VI—IV вв. до н. э. Греция представляла
собой совокупность рабовладельческих государств-полисов
(городов), оживленно торговавших как между собой, так и с другими
государствами Средиземноморья: Египтом, Финикией, Персией.
По сравнению с Древним Востоком в Греции были введены два
новшества: неудобное письмо Востока заменено легкодоступным
алфавитом и введена чеканная монета, облегчающая торговлю.
Ведущее место среди греческих натурфилософских школ
последовательно занимали: ионийская (VII—VI вв. до н. э.),
пифагорейская (VI—V вв. до н. э.) и афинская (со второй половины V в.
до н.э.).
31

В математике того времени практические задачи, связанные с
необходимостью арифметических вычислений и геометрических
измерений и построений, продолжали играть большую роль. Эти
задачи постепенно выделились в раздел математики, получившую
название «логистика». К ней относились: операции с целыми
числами, численное извлечение корней, счет с помощью
вспомогательных устройств (типа абака), вычисления с дробями, численное
решение задач, сводящихся к уравнениям первой и второй
степеней, практические и конструктивные задачи архитектуры,
земледелия и т. д.
Своеобразие греческой математики заключается прежде всего в
попытке систематически использовать идею доказательства и
доказать то, что было получено эмпирически и без должного
обоснования использовалось в египетской и вавилонской математике. Греки
вводят процесс обоснования как необходимый компонент
математической действительности. Техникой доказательства в ранней
греческой математике, как в геометрии, так и в арифметике,
первоначально являлась простая попытка придания наглядности.
Конкретными разновидностями такого доказательства в арифметике было
доказательство с помощью камешков, в геометрии — путем
наложения.
В нашем повествовании мы рассмотрим тысячелетний период
развития греческой математики — от предсказания Фалесом
Милетским солнечного затмения в 585 г. до н. э. до смерти Гипатии в
415г. н.э.
Ионийские мудрецы
Достопамятными людьми из Милета были Фа-
лес — один из Семи Мудрецов, первый среди
греков занявшийся естествознанием и
математикой, его ученик Анаксимандр и ученик последнего
Анаксимен.
Страбон
Очагами греческой цивилизации стали города, там были
заложены основы античной науки. Одним из главных центров умствен-
32

ной жизни Ионии был Милет, и если у халдеев и египтян наукой
занимались в основном жрецы, то в Греции она приобрела уже вполне
светский характер — произошло разделение веры и философии. Но
наука не была автономной.
Человек, постигающий истину, в своих усилиях разрешить
мировые загадки исходит из интуиции. Хотя научное знание
развивается по формально-логическим законам, постулатами его являются
некоторые недоказуемые утверждения, которые человек
принимает как очевидные для себя. Иными словами, отправной пункт науки
связан с интуицией. Эмпирическая наука, привнесенная в Грецию
с Востока, вызвала к жизни первые попытки создать цельную
картину мира и уяснить его происхождение.
Фалес Милетский и его последователи
Фалес Милетский (ок. 625 — ок. 547 до н. э.), с именем
которого обычно связывают начало греческого естествознания, был для
своего времени энциклопедически образованным человеком.
Будучи купцом, он собрал во время путешествий множество
разнообразных сведений. В 585 г. до н. э. весь Милет был изумлен тем, что
Фалес сумел предсказать солнечное затмение (этому он научился в
Египте). Ему не было равных в знании геометрии, метеорологии,
сельского хозяйства. Впоследствии говорили даже, что он изобрел
греческий календарь.
Из геометрических достижений кроме вошедшей в учебники
теоремы Фалеса ему приписывают доказательства следующих
теорем:
— диаметр делит круг пополам;
— углы при основании равнобедренного треугольника равны;
— вертикальные углы при пересечении двух прямых равны;
— треугольник однозначно определяется двумя углами и
прилегающей к ним стороной;
— угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Фалес мог определять расстояние от корабля, находящегося в
море, до берега, мог вычислять высоту пирамид и вообще
различных предметов по их теням.
2 Математика древняя и юная 33

В Греции математика была неотделима от философии. Фалес
Милетский считается первым греческим философом. Ум философа
не удовлетворяется действительностью, находя ее неясной, и ищет
то, что не дано, чтобы объяснить то, что дано. Ум считает
наличный мир неверною, неразборчивою копией того, что должно быть.
В IV в. до н. э. Аристотель писал, что первые философы полагали
начало всего в материи, считая ее тем, из чего все существующее
состоит, из чего оно происходит, во что превращается.
Относительно того, какое вещество считалось основным началом
существующего, мнения расходились.
Фалес Милетский полагал, что основным началом всего
существующего является вода, так как влажность — непременное
условие жизни: пища, семена влажны, начало влажности называют
водой. Влажное начало, как порождающее жизнь, — само живое.
Все в природе одушевлено. Мир является одушевленным и полным
демонов.
По мнению Анаксимена Милетского, вода проникает во все
недостаточно. Всепроникающим началом, по его представлению,
является воздух — тончайшее материальное начало, которое
является основой психической и физической жизни. Он считал, что,
подобно тому как душа, будучи, в сущности, воздухом, проникает в
тело и управляет им, так и общий воздух проникает во Вселенную
и управляет ею.
Анаксимандр Милетский называл то, из чего порождается весь
мир, апейроном.
Гераклит Эфесский считал, что основа всего — вечный процесс
движения. Все движущееся походит на течение реки, в которую
нельзя войти дважды, так как в промежутке между вхождениями река
изменилась. Все существующее находится в постоянной вражде не
только с окружением, но и с самим собой. «Все» отрицает само
себя. Огонь есть непрерывное самоуничтожение, он живет
собственною смертью, пожирая свой материал. Огонь — символ и подобие
самотворящегося и самоуничтожающегося процесса.
Истина считалась единой, реальность представлялась
множеством различных объектов, познаваемых чувствами человека.
В частности, Пифагор и его ученики связующим звеном между
истиной и реальностью полагали число.
34

Пифагор и его школа
Уважение к Пифагору доходило до поклонения.
А.И. Герцен
Легенды о Пифагоре
Много странных легенд существует о Пифагоре. Мы знаем о
нем не по его сочинениям, а по отрывкам из Филолая, его
последователя, и из «Метафизики» Аристотеля, который излагал
пифагорейское учение. В конце III в. н. э., перед окончательной победой
христианства, его противники, последователи Плотина — Порфи-
рий и Ямвлих, — превозносили учение Пифагора в противовес
христианству и проводили параллели между Иисусом Христом и
Пифагором.
По некоторым дошедшим до нас легендам, Пифагор был не
обычным смертным человеком, а одним из богов, принявшим
человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человеческую
расу. Он представал одним из мудрецов древности, за кем
утвердилась репутация «безупречного во всем».
При том, что Пифагор родился примерно за 600 лет до Иисуса
Христа, поражает сходство их биографий: оба родились в
Палестине, их родители были предупреждены о рождении мальчика —
благодетеля человечества, родились они тогда, когда родители были в
пути далеко от дома, и т. д. Имя Пифагора было тайным и означало
«сын Бога». Иисус Христос — это также не просто имя, это,
скорее, звание. Иисус — это переведенное с еврейского языка на
греческий имя Иешуа, означающее Иегова — Спаситель или же Господь
Спаситель. Слово Христос взято из греческого языка. Оно означает
мессия или, буквально, помазанник.
Пифагор был сыном богатого самосского ювелира.
Дельфийская пифия предрекла его родителям появление сына, который
принесет благо всем людям на все времена. Еще до рождения
ребенок был посвящен Аполлону и с детства отличался красотой, умом
и справедливостью. Родители поощряли его раннюю склонность к
науке. В 20 лет он вступил в научный диспут с Фалесом и Анак-
симандром в Милете, затем, стремясь к знанию, решил
отправиться в Египет и принять посвящение. Владыка Самоса Поликрат дал
2* 35

ему рекомендательное письмо к фараону Амазису, который
представил его жрецам Мемфиса. Жрецы приняли его неохотно — они
не доверяли грекам. Но он мужественно перенес предвзятое к нему
огиошение и прошел все сложности посвящения под руководством
великого жреца Сопхиза.
В течение 22 лет Пифагор обучался у жрецов Египта. Когда они
увидели в нем необычайную силу души и необыкновенную страсть
к мудрости, которая так редко появляется в этом мире, они
открыли перед ним все сокровища своего опыта. Пифагор глубоко
изучил священную математику, науку чисел, или всемирных
принципов, которые он сделал центром своей системы. Жрецы Мемфиса
говорили: «Наука чисел и искусство воли — вот два ключа магии,
открывающие все двери Вселенной» [112, с. 219].
Пифагор достиг вершины египетского жречества и уже думал
о возвращении в Грецию, когда на Египет напали вавилонские
завоеватели. Страна была покорена и разорена. Предводитель
вавилонских завоевателей Камбиз приказал часть египетских жрецов,
а среди них и Пифагора, доставить в Вавилон. Громадный город
(периметр его был равен 85 км) в то время был похож на
калейдоскоп, в нем соседствовали различные народы, исповедовались
многие культы и религии, сосуществовали жрецы Халдеи, персидские
маги и образованные пленные евреи, уведенные из Иерусалима.
Пифагор изучил все эти религии, доктрины и культы. Особенно
тщательно он постигал знания магов, наследников Зороастра (За-
ратустры), которые считались наиболее искусными в практическом
применении оккультных знаний. Существует мнение, что затем он
предпринял свое величайшее и наиболее важное историческое
путешествие через Мидию и Персию в Индию, где несколько лет был
учеником, а затем принял посвящение в брамины Элефанта и Элло-
ра. Имя Пифагора хранится в летописях браминов, где он
фигурирует как Яванчария, т. е. ионийский учитель. За 12 лет пребывания
на Востоке Пифагор постиг многие тайны природы [105, с. 220].
После этого, через 34 года, Пифагор вернулся на остров Самос.
Все, кроме матери, давно мысленно похоронили его. Из Самоса
Пифагор отправился в Дельфы, по пути посещая храмы Греции.
В Дельфах он потратил год на просвещение жрецов.
36

Пифагор был первым человеком, который назвал себя
философом, и мир обязан ему этим термином. До него умные люди
назывались мудрецами, что означает «человек, который знает». Пифагор
был гораздо скромнее. Он ввел в обращение термин «философ» —
«тот, кто пытается найти, выяснить истину».
Из Дельф Пифагор с учениками отправился в Кротон —
цветущий город в южной Италии. Первое выступление Пифагора перед
молодыми кротонцами, по словам Порфирия и Ямвлиха,
покорило слушателей. Сенат Кротона (Совет тысячи) принял предложение
Пифагора создать новое учреждение для него и его учеников. Это
братство посвященных мирян должно было вести общую жизнь в
специально построенном для этой цели здании, но не уклоняться
от гражданской жизни. Те из них, которые заслужат доверие
учителя, станут обучаться физическим, психическим и религиозным
наукам. Молодые люди, оставаясь под контролем Пифагора,
могли быть допущены к различным степеням посвящения в
соответствии с их развитием и выработанной волей. Окруженное садами
здание, где жили Пифагор и его ученики, кротонцы называли
«Храмом Муз». Так возник орден пифагорейцев, который сделался
одновременно и коллегией этического воспитания, и академией наук,
и образцовой общиной под руководством великого Посвященного.
Школа Пифагора может рассматриваться как праматерь всех
идеалистических школ.
Учение Пифагора было основано на опытном знании и
всесторонне проникало в самый строй жизни. Оно сохраняло для народов
Запада самую суть восточной мудрости.
От Пифагора исходило обаяние величия и силы. В его
присутствии все вели себя смирно и робко. По мере того как он
становился пожилым, его физические силы отнюдь не убывали, и он, когда
достиг столетия, был полон жизни. Влияние этой великой души на
окружающих было столь велико, что похвала Пифагора наполняла
его учеников восторгом, а когда он однажды на мгновение
разгневался на ученика, тот покончил с собой. Пифагор был потрясен этой
трагедией и больше никогда ни с кем не говорил раздраженно.
Он придавал особенное значение смеху и походке молодых
людей. Смех, говорил он, есть самое несомненное указание на
характер человека, и никакое притворство не может украсить смех злого.
37

()рш'он предполагал, что Пифагор был творцом физиогномики и по
ипешпости и поведению человека узнавал о нем все [112].
Когда Пифагору было около 60 лет, он женился на одной из
своих учениц, и у них родилось семеро детей. Его жена была
замечательной, способной женщиной, которая не только вдохновляла его
всю оставшуюся жизнь, но и после его убийства продолжала
распространять его учение.
Как это часто случается с гениями, своей искренностью
Пифагор вызвал политическую и личную враждебность со стороны
некоторых граждан Кротона. Среди желающих принять посвящение
был один, которому Пифагор отказал в ученичестве, и тогда тот
решил уничтожить и Пифагора, и его учение. Распустив ложные
слухи, этот человек возбудил в простых людях недовольство
философом. Банда убийц ворвалась на территорию школы, здание
подожгли, Пифагора и его ближайших учеников убили. Оставшиеся
в живых ученики пытались продолжать его учение, но всякий раз
подвергались гонениям, и к настоящему времени практически не
осталось свидетельств величия этого философа.
Говорят, что ученики никогда не произносили имени Пифагора,
а использовали слова «мастер» или «этот человек». Это
происходило, возможно, потому, что, по преданию, его имя содержало
специальным образом упорядоченные буквы и имело огромное
священное значение. Есть работы, в которых показывается, что Пифагор
посвящал своих учеников-кандидатов посредством определенной
формулы, скрытой в буквах его имени.
Пятиконечная звезда служила эмблемой, опознавательным
знаком для учеников Пифагора. Существует легенда, что один
пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с
ухаживавшим за ним хозяином дома. Хозяин по совету умирающего
нарисовал на стене своего дома звезду. Через несколько лет другой
путешествующий пифагореец щедро вознаградил хозяина, узнав о
причине появления звезды [105].
Основы пифагореизма
Одним из тайных положений учения Пифагора было
утверждение, что Бог един (в Греции того времени господствовал
политеизм). Для Пифагора Бог представлял собой Монаду, или Единое,
38

которое есть Все. Он описывал Бога как Верховный Ум',
рассредоточенный по всем частям Вселенной, как Причину, Разум и Силу
нсех вещей.
Ученики пифагорейской школы разделялись на «экзотериков» —
учеников низших степеней — и «эзотериков» — тех, кто проходил
высшую, третью, степень посвящения и был допущен к секретной
мудрости. Молчание, секретность и безоговорочное повиновение
были кардинальными принципами этого великого ордена.
Пифагорейский орден существовал 50 лет, а что касается идей Учителя,
то они живы и поныне. Пифагор не начинал обучать своих
подопечных до тех пор, пока они не освоят дисциплину молчания —
необходимое условие развития духовного разума.
Вдумайтесь в его изречения из «Золотых стихов», имевших
широкое хождение во времена Римской империи:
— не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех
своих поступков в прошедший день;
— приучайся жить просто и без роскоши;
— делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не
принудит раскаяться;
— не пренебрегай здоровьем своего тела, доставляй ему
вовремя пищу, питье и упражнения, в которых оно нуждается;
— не делай никогда того, чего ты не знаешь, но научись всему,
что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.
Подобная пифагорейская мудрость вызывала бесконечные
подражания во все времена. Имеются целые наборы изречений,
приписываемых Пифагору, например «Пифагоровы законы и
нравственные правила». Вот некоторые из них.
1. Более примечай и наблюдай, нежели читай: кто читает много,
тот читает худо.
2. Что есть мудрость? Знание порядка. Если желаешь быть
мудрым в течение твоей жизни, все поставь на своем месте.
Преходящая временная слава не стоит тихого и безмятежного порядка,
видимого в ежедневных делах мудрого.
3. Не будь членом ученого общества: самые мудрые, когда они
составляют общество, делаются простолюдинами.
4. Не полагайся на жену, которая много смеется.
5. Отличай знания от мудрости.
39

6. Если тебя спросят: «В чем состоит благополучие?» —
ответствуй: «Быть в согласии с самим собой».
7. Не возвещай истину на местах общенародных: народ
употребит оную во зло.
8. Не избирай себе другом живущего несогласно со своею
женою.
9. Одну каплю здравого разума предпочитай целому кладезю
учености.
10. Все люди знают, чего они хотят, но мало кто знает, что им
нужно [108, с. 338—341].
Одним из любимых выражений Пифагора было: «Мы должны
всеми силами стремиться к истреблению во всех вещах излишеств
и огнем и мечом изгонять из тела болезни, из души — невежество,
из живота — обжорство, из городов — призывы к бунту, из семьи
— раздоры» [105, с. 223].
Одна из основных идей учения Пифагора такова: «Все в
природе разделено на три части, и никто не может стать воистину мудрым,
пока не будет представлять каждую проблему в виде треугольной
диаграммы. Узрите во всем треугольник, и проблема на две трети
решена» [105, с. 226].
Пифагор считал, что человеческие отношения являются по
своей природе больше духовными, чем физическими, и что
незнакомец, симпатичный ему с интеллектуальной точки зрения, ближе
к нему, нежели кровный родственник, не разделяющий его точку
зрения.
Философские взгляды пифагорейцев
Пифагор рассматривал математику как священную и
точнейшую из всех наук и требовал от всех, кто приходил к нему учиться,
знания арифметики, музыки, астрономии и геометрии.
Пифагорейцы объявляли арифметику матерью всех
математических наук. Это доказывается тем, что геометрия, музыка и
астрономия зависят от нее, а она от них нет. Можно убрать геометрию,
а арифметика останется, но если убрать арифметику, то придется
убрать и геометрию. Так же и музыка зависит от арифметики, а
устранение музыки заденет арифметику только частично.
Пифагорейцы были убеждены в первичности арифметики по отношению к
40

астрономии, потому что она опирается на музыку и геометрию.
Размер, форма и движение небесных тел определяются посредством
геометрии, а их гармония и ритм — посредством музыки.
Получается следующая схема (рис. 2).
Рис. 2. Связи в философских воззрениях пифагорейцев
Пифагор обосновывал схему так. По его учению, математика
разделена на две части. Одна из них имеет дело с
множественностью, другая — с величиной. Множественность может быть
направлена «к себе» (арифметика) и «к другим» (музыка). Величина
может быть постоянной (геометрия) или изменяющейся (астрономия).
Математика изначально равнозначна гнозису. Математик,
следовательно, есть знающий, и разглашение отдельных
математических тайн (нынешних параграфов в школьных учебниках) каралось
серьезным наказанием. По своей сути математика была теологией в
самом сокровенном, эзотерическом смысле слова. Занятия
математикой были божественным делом, связанным с непосредственным
ощущением духовного мира. Математика считалась
всеобъемлющим знанием, представляла собой исключительный род науки
посвящения не во что-либо одно, а сразу во все. Математика не просто
возносилась на вершину познавательной иерархии, но оказывалась
мерой познания как такового.
Огромное значение Пифагор придавал символам. Слова и
числа — символы мысли. Символы пронизывают всю жизнь
человека. Есть символы универсального значения (например, крест и
свастика). Никогда не было идеи без соответствующего слова, как нет
слова, которому не отвечала бы идея. Мысль и слово неразрывны
по своей природе. Силу слова признают все религии, иные из них
в такой мере, что даже считают слово началом сотворения мира.
Слово — внешний аспект мысли Бога, а поскольку, прежде чем
сотворить мир, Бог думал и имел желания, мир был сотворен словом.
41

В 1921г., уже после расстрела Николая Гумилева, вышел его
сборник произведений «Огненный столп», в котором было
напечатано стихотворение «Слово»:
В оный день, когда над Патриарх седой, себе под руку
миром новым Покоривший и добро и зло,
Бог склонял лицо Свое, тогда Не решаясь обратиться к звуку,
Солнце останавливали словом, Тростью на песке чертил число.
Словом разрушали города.
Но забыли мы, что осиянно
И орел не взмахивал крылами, Только слово меж людских тревог,
Звезды жались в ужасе к Луне, И в Евангелии от Иоанна
Если, точно розовое пламя, Сказано, что Слово — это Бог.
Слово проплывало в вышине.
Мы ему поставили пределом
А для низкой жизни были числа, Скудные пределы естества,
Как домашний, подъяремный скот, И, как пчелы в улье опустелом,
Потому, что все оттенки смысла Дурно пахнут мертвые слова.
Умное число передает.
По Гумилеву, а следовательно, и по «патриарху седому» —
Пифагору, «все оттенки смысла умное число передает». Для нас
числа — только количественные характеристики окружающего мира,
а для Пифагора и его учеников число представляло собой тайну,
которую они хранили от непосвященных. Для них число — начало
начал. Для нас числа — абстрактные понятия, а вещи — физические
или материальные объекты. Для пифагорейцев объекты —
конкретные реализации чисел.
Аристотель писал: «В числах пифагорейцы усматривали (так
им казалось) много сходного с тем, что существует и возникает, —
больше, чем в огне, земле или воде (например, такое-то свойство
чисел есть справедливость, а такое-то — душа и ум, другое —
удача и, можно сказать, в каждом из остальных случаев точно так же).
Так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие
гармонии, могут быть выражены в числах, так как, следовательно,
им казалось, что все остальное по природе своей явно уподобляемо
числам и что числа — первое во всей природе, то они
предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что
все небо есть гармония и число» [2, т. 1, с. 75—76].
42

Пифагорейцы развили мистику чисел, позаимствовав ее у
египетских жрецов. Число для них было ядром реальности вещи; по их
мнению, числа и их соотношения управляют миром.
Единое начало в непроявленном состоянии равно нулю. Когда
оно воплощается, то создает проявленный полюс Абсолюта,
равный единице. Превращение единицы в двойку символизирует
разделение единой реальности на Материю и Дух. Их взаимодействие
порождает смысл — Логос, образуя Троицу — триединое духовное
начало мира.
По мнению пифагорейцев, природа состоит из четырех типов
геометрических элементов (точек, линий, поверхностей, тел) и
четырех типов материальных элементов (земли, воздуха, огня и воды).
Числа 1, 2, 3, 4 образуют четверицу, или тетрактис. По преданию,
клятва пифагорейцев гласила: «Клянусь именем Тетрактис,
ниспосланной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей
природы» [44, с. 23].
Для пифагорейцев каждое число несло свою энергетику. Так как
подлинное учение Пифагора утрачено, существует множество
попыток реконструировать его (о применении учения Пифагора в
нумерологии см. в гл.22). Для примера рассмотрим одну из версий
значения числа 9. Считается, что оно выражает
активность,устойчивость и динамику Духа Жизни. Обоснование этого выглядит так.
Умножим числа от 0 до 10 на 9:
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90.
Если присмотреться к этой последовательности чисел, то
обнаружится следующее:
1) правая половина цифр последовательности зеркально
отражает левую половину;
2) сумма цифр у каждой пары рядом стоящих цифр равна 9;
3) первое число пары при движении слева направо возрастает на
одну единицу, а второе убывает. Если же смотреть справа налево, то
все наоборот (это называется инверсией).
Таким образом, увеличение в 9 раз придает любому процессу
инверсионность и динамическую устойчивость. Пифагорейцы
связывали числа с правильными многоугольниками и
многогранниками: точка символизирует число 1, линия символизирует число 2,
43

треугольник (плоскость) символизирует число 3, тетраэдр
(пространство) символизирует число 4.
Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев
и последующих греческих мыслителей величайшее значение.
Пифагор был первым, кто сумел открыть, что существуют только пять
правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр,
икосаэдр). Позже их стали называть Платоновыми телами.
Лауреат Нобелевской премии по биологии Джон Кендрью в
своей книге «Нить жизни» писал: «Со времен древнегреческой
философии правильные многогранники считались не более чем
игрушкой для математиков, не имеющей никакого практического
значения. Примечательно, что как раз эти фигуры оказались в центре
внимания биологов в их яростных спорах относительно точной
формы вирусов» [57, с. 79]. Добавим, что многие вирусы, в том
числе вирус полиомиелита, имеют форму икосаэдра.
О музыке в учении Пифагора
Сложное именуется красивым только в том случае, если его
части гармоничны в сочетании. Красота есть гармония, проявляющая
себя, свою собственную природу в мире формы. Звучание
струны зависит от ее длины и силы натяжения. Для Пифагора музыка
была производной от божественной науки арифметики, и ее
гармония жестко регламентировалась математическими пропорциями.
Математика демонстрирует точный метод, которым Бог
установил и утвердил Вселенную. Числа, следовательно, предшествуют
гармонии, так как их неизменные законы управляют всеми
гармоническими пропорциями.
Утвердив музыку как точную науку, Пифагор применил
найденные им законы гармонических отношений ко всем феноменам
природы, пойдя настолько далеко, что установил при этом
гармонические отношения между планетами и созвездиями. Пифагорейцы
утверждали, что расстояния между небесными телами
пропорциональны интервалам музыкальной гаммы. Наиболее
величественным и наименее известным является вклад Пифагора в теорию
сидерических гармоний. Халдеи первыми осознали, что небесные
тела исполняют космический гимн по мере их движения по небу.
44

Однако от теории небесной музыки Пифагора мало что осталось, и
возможны лишь слабые попытки приблизиться к его мыслям.
Для Пифагора Вселенная была громаднейшим монохордом с
одной струной, прикрепленной верхним концом к абсолютному
духу, а нижним — к абсолютной материи, т. е. струной, натянутой
между небом и землей. Вселенная разделена Пифагором, согласно
одним авторитетам, на девять сфер, согласно другим — на
двенадцать. Первая сфера соответствует неподвижным звездам. Сферы
со второй по двенадцатую соответствуют Сатурну, Юпитеру,
Марсу, Солнцу, Венере, Меркурию, Луне, огню, воздуху, воде и земле.
Пифагорейцы верили, что все, что существует, имеет голос и что
все создания вечно поют хвалу Создателю. Человек не смог
удержать в себе эту мелодию, потому что его душа запуталась в иллюзии
материального существования. Когда он освободит себя от
бремени низшего мира с его ограниченным чувственным восприятием,
музыка сфер опять зазвучит, как в золотой век.
В пифагорейском тетрактисе — верховном символе
универсальных сил и процессов — содержатся теории греков относительно
музыки и цвета. Пифагорейцы установили соответствие между
семью цветами радуги и семью нотами музыкальной гаммы.
Красному цвету соответствует нота «до» и т. д., фиолетовому — нота «си».
Было установлено соответствие между семью музыкальными
нотами и семью небесными телами: «до» — Марс, «ре» — Солнце, «ми»
— Меркурий, «фа» — Сатурн, «соль» — Юпитер, «ля» — Венера,
«си» — Луна.
Пифагор открыл, что музыка может иметь терапевтическое
значение, и составлял специальные мелодии от различных болезней.
Один из его уникальных методов лечения заключался в декламации
стихов из «Илиады» и «Одиссеи». Он экспериментировал также с
цветом и как будто достиг больших успехов. Вместе эти методы
давали пифагорейцам глубокое проникновение в тайны мира.
Математические открытия
Последующим развитием науки подтверждены два тезиса
пифагорейцев:
— основополагающие принципы, на которых зиждется
мироздание, можно выразить на языке математики;
45

— объединяющим началом всех вещей служат числовые
отношения, которые выражают гармонию и порядок природы.
Перечислим основные математические результаты
пифагорейской школы, известные нам. Главным из них считается
доказательство несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали
(иррациональность л/2) и доказательство «теоремы Пифагора» (частные
случаи были известны на Востоке ранее). До настоящего времени эта
теорема считается одной из важнейших теорем геометрии.
Доказательство самого Пифагора до нас не дошло, а легенд известно
много. По одной из легенд, Пифагор, обрадованный своим открытием,
в благодарность принес богам жертву в 100 быков (гекатомбу).
Заметим, что устав пифагорейцев запрещал пролитие крови и, скорее
всего, это были «быки», сделанные из муки, — так считали позже
последователи Пифагора.
Пифагорейцам были известны результаты суммирования типа
п
Y^ (2& — 1) = п2. Они рассматривали вопросы делимости чисел,
fc=l ]_ п
ввели арифметическое среднее — ]П а&, геометрическое среднее
п к=1
v/aiu2 ■ ■ ■ ап, гармоническое среднее п/ ( У] — ). Рассматрива-
/ 4=1 а*'
1111
лась также гармоническая пропорция = -, получившая
abed
свое название от существования обратной пропорциональности
интервалов между полными тонами и высотой тона.
После открытия несоизмеримости пифагорейцы стали
разрабатывать геометрическую алгебру, применяемую при доказательстве
алгебраических соотношений и решении квадратных уравнений.
В отсутствие символики соотношение (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ъ2
записывалось на языке геометрической алгебры так:
а Ь
а2
аЪ
аЪ
Ь2
46

Афинская школа
В VI в. до н. э. Персией была предпринята попытка покорить
Грецию. После исторических побед греков при Марафоне, Салами-
ие и Платее усилилось влияние Афин. Около 430 г. до н. э. Афины
превратились не только в центр Греции, но и в центр новой
цивилизации. В этот золотой век Греции возникли знаменитые памятники
эллинской культуры: великолепные произведения скульптуры,
архитектуры и литературы (храмы Акрополя, трагедии Эсхила,
Софокла и Еврипида, «истории» Геродота и др). В области философии и
науки в этом веке выделяются Анаксагор из Клазомен и Демокрит
из Абдеры.
Атомисты
Демокрит и его предшественник Левкипп (V в. до н. э.)
являются основоположниками атомистического учения. Они считали, что
все в природе состоит из комбинаций неделимых атомов,
отличающихся по форме, размерам, твердости, порядку и расположению.
Одни свойства тел, такие, как форма, размеры и твердость,
определяются свойствами атомов. Другие, как, например, вкус, тепло или
цвет, определяются не самими атомами, а воздействием атомов на
того, кто испытывает ощущения. Чувственное восприятие
ненадежно, так как зависит от индивидуума.
Демокрит был одним из крупнейших ученых своего времени.
В своих книгах, которых было около 70, он рассуждал о физике,
математике, анатомии, психологии, астрономии, богословии и
этике. До Аристотеля попытка Демокрита дать целостную картину
мира была, вероятно, наиболее значительной. Характерно, что главное
его произведение так и называется «Диакосмос» — «Мировое
устройство».
Демокрит полагал, что всякая геометрическая величина состоит
из первовеличин — «геометрических атомов». Если какой-нибудь
отрезок разделим пополам, а каждую полученную половину опять
разделим пополам, то в конечном счете, по Демокриту, мы придем
к неделимым отрезкам, которые более делить невозможно, т. е.
придем к «атомам» прямолинейного отрезка. Демокрит полагал, что
площадь и объем также состоят из большого, но конечного числа
47

неделимых «атомов». Таким образом, вычисление объема тела
ученый сводил к суммированию объемов всех «атомов», из которых
состоит тело.
Геометрические тела Демокрит иногда представлял себе
состоящими из параллельных пластинок, толщина которых равна одному
«атому». Он предвосхитил известный «метод неделимых» и
«принцип Кавальери», сформулированный в 1635 г., согласно которому
два тела имеют равные объемы, если при пересечении их любой
плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, оба
сечения имеют всякий раз равные площади. Круг, по Демокриту,
является многоугольником, каждая сторона которого состоит из двух
атомов. Круговые цилиндры и конус Демокрит считал призмами и
пирамидами с очень большим числом сторон основания.
Демокрит добился замечательных результатов определения
объемов геометрических тел. По словам Архимеда, именно
Демокрит впервые открыл, что объем пирамиды или конуса равен
трети объема призмы или цилиндра с тем же основанием и той же
высотой. Демокрит и Анаксагор изложили также основы теории
изображения пространственных фигур на плоскости.
Заслуга Демокрита в истории математики заключается в том,
что он одним из первых стал разрабатывать вопросы
стереометрии и наметил приемы математического исследования, развитие
которых привело позднее к созданию теории бесконечно малых
величин.
Среди ученых нет единства по поводу истолкования учения
Демокрита, и одни и те же цитаты толкуются ими неоднозначно.
Российский историк науки С.Я. Лурье считает, что Демокрит
различал неделимые двух видов — атомы и амеры. Атомы — это
сплошные частицы материи, имеющие самую разнообразную
форму и размеры (Демокрит говорил даже об атомах размером с наш
земной шар!), но далее уже неделимые ввиду отсутствия в них
пустот и крайней их твердости. При этом мысленно атомы можно
делить и далее. Однако и мысленному делению наступает конец,
атомы делятся на мельчайшие частицы, имеющие минимальное
протяжение, — на амеры. У амеры нет ни формы, ни верха, ни
низа, ни середины, она неделима даже в воображении. Но в то же
время амеры не являются точками. Таким образом, Демокрит, по
48

сути дела, выдвинул идею о существовании минимальной длины,
вновь возникающую сейчас у некоторых физиков-теоретиков.
Элеаты
Научными противниками атомистов были элеаты, учение
которых представляет собой следующую стадию в развитии греческой
философии. Они считали, что если единое начало всего
существующего не находится в мире материальном, то оно не зависит от него.
Ксенофан из Колофона (ок. 570 — после 478 до н. э.), по
свидетельству Аристотеля, нашел, что истинно только единое и это единое
есть Бог. Бог един, а многие боги Олимпа — вымыслы поэтов,
которые приписали своим богам позорные дела. Учение Ксенофана
высказано в полемической форме, а его ученик Парменид из Элей
изложил его в форме догматическо-философской.
Зенона Элейского, ученика Парменида, Аристотель называл
«изобретателем диалектики». Зенон показал некорректность
исходных предпосылок, используемых философами при рассуждениях
относительно пространства и движения. На различных примерах
(апориях) он вскрывал неизбежные при этих предпосылках
противоречия и доводил рассуждения до абсурдных выводов.
Развитие философских идей оказывало огромное влияние на
математику, так как в античной Греции все философы
интересовались математикой, а все математики интересовались
философией. Апории Зенона способствовали уяснению понятия
«бесконечность». Идеи Платона и Аристотеля, которые были великими
философами, а не математиками, определили развитие математики
на тысячелетия.
Платон и платоники
Платон своей гениальной любознательностью во
многом способствовал развитию геометрии и
других математических наук.
Прокл
Подобно Акрополю, парящему над Афинами, возвышается над
миром античной мысли учение Платона (428 или 427 — 348 или
49

347 до н.э.). Значение его выходит за пределы древности.
Современный англо-американский философ Уайтхед даже утверждал,
будто все крупные идеи Запада являются лишь рядом подстрочных
примечаний к Платону. Математик и богослов П.А. Флоренский
называл диалоги Платона «претрепетными».
Платон был учеником Сократа (ок. 470—399 до н. э.) и
унаследовал от него твердую веру в существование истины и высших
ценностей жизни, которые познаются через приобщение к благу и
красоте трудным путем внутреннего самосовершенствования [60].
Чтобы изучить математику, Платон, подобно его
предшественникам, отправился сначала к египетским жрецам, а потом в Италию
к пифагорейцам. Возвратившись в Афины, он стал во главе новой
школы и ввел в геометрию аналитический метод, конические
сечения и учение о геометрических местах.
Платону приписывают изобретение анализа —
способа'исследования истины, когда искомое рассматривают как известное и
переходят от следствия к следствию до тех пор, пока не убедятся в
истинности искомого [111].
Ученики Платона купили ему имение с рощей, посвященной
герою Академу. Так возникла Академия Платона. Среди питомцев
Платона были известные математики Теэтет и Евдокс.
Придуманный Евдоксом «метод исчерпывания» (своеобразное
предвосхищение предельного перехода) был ответом школы Платона на
парадоксы Зенона и явился методом устранения ловушки бесконечно
малого. Суть метода в том, что для обоснования уже известного
математического результата х = а доказывается абсурдность
неравенств х > а, х < а. Основным недостатком этого метода было то,
что надо было заранее знать результат, чтобы его доказать, а
результат находили «методом проб и ошибок» или каким-либо нестрогим
методом.
Платоники и поздние пифагорейцы проводили резкое различие
между миром вещей и миром идей. Они считали, что тела и
отношения в материальном мире несовершенны, преходящи и тленны, но
существует другой, идеальный мир, в котором истины абсолютны
и неизменны. Именно эти истины и надлежит рассматривать
философу. О физическом мире мы можем иметь только мнения.
Видимый, чувственный мир — смутная, расплывчатая и несовершенная
50

реализация идеального мира, так как вещи суть тени идей,
отбрасываемых на экран опыта. По Платону, в лошади, доме или прекрасной
женщине нет ничего реального. Реальность заключена в
универсальном типе (идее) лошади, дома или прекрасной женщины. Такие
идеи постоянны и неизменны, а знание относительно них прочно
и неуничтожимо. Реальность и рациональность физического мира
могут быть постигнуты только с помощью математики идеального
мира. Плутарх приводит изречение Платона: «Бог всегда является
геометром». Математические законы платоники считали не только
сущностью реальности, но и вечными и неизменными.
Платон пошел дальше пифагорейцев в том, что хотел не только
понять природу с помощью математики, но и заменить математикой
природу. Если Евдокс и Архит (современники Платона)
использовали физические соображения для доказательства математических
истин, то Платон с негодованием отвергал такие доказательства как
подрывающие основы геометрии, ибо они построены не на чистых
рассуждениях, а на чувственном восприятии [60].
Платон поощрял приверженность теоретической астрономии,
занятие которой услаждает разум, а не тешит глаз. Применение
астрономии в навигации, при составлении календарей и
исчислении времени для Платона интереса не представляло.
Аристотель
Аристотель поражает меня более всего именно
тем, что нет, кажется, ни одного достойного
внимания явления, мимо которого он прошел бы, не
коснувшись его.
Г. Галилей
Преемником Платона был его ученик и решительный противник
Аристотель (384—322 до н. э.), величайший из древнегреческих
философов. Родился он в Стагире — городе на северо-западном
побережье Эгейского моря. Его отец, Никомах, принадлежавший к роду
врачей Асклепиадов, был придворным врачом македонского царя
Аминты III. В семнадцатилетнем возрасте Аристотель приезжает в
Афины, становится учеником Платона и пребывает в его Академии
до смерти учителя.
51

С 355 г. до н. э. Аристотель живет в Ассосе, в Малой Азии, под
покровительством Гермия, тирана города Атарнея,
предоставившего ему прекрасные условия для работы. Через три года после смерти
Гермия философ уезжает в Митилену на остров Лесбос. Еще через
три года он принял приглашение македонского царя Филиппа и стал
воспитателем его сына Александра, будущего великого полководца.
После того как в битве при Херонее Филипп Македонский
разгромил греческое ополчение и тем положил конец греческой
независимости, Аристотель вернулся в Афины. Здесь он создает свою школу,
получившую название Ликей, по имени храма Аполлона Ликейско-
го, вблизи которого она находилась. При школе был сад с крытыми
галереями для прогулок (paripatos), и, поскольку занятия
проходили там, школа получила название перипатетической, а
принадлежавших к ней называли перипатетиками. Второй афинский период
был временем окончательного оформления системы взглядов
Аристотеля [108].
Смерть Александра Македонского (356 — 323 до н. э.) вызвала
антимакедонское восстание в Афинах, поэтому философ вынужден
был бежать в Халкиду на острове Эвбея, где у него было поместье.
Летом 322 г. до н. э. он умер.
Сохранившиеся произведения Аристотеля относятся в
основном к ликейскому периоду. Более ранние произведения пронизаны
платонизмом. Лишь в сочинении «О философии», некоторыми
исследователями относимом ко второму периоду творчества
мыслителя, обнаруживаются существенные отклонения от платонизма. Так,
в нем критикуется теория идей, которые сводятся к математическим
сущностям — числам.
Вместе с тем Аристотель опровергает и воззрение
пифагорейцев, утверждая, что из бестелесных точек не могут образоваться ни
линии, ни тем более тела.
Работоспособность Аристотеля была почти
сверхъестественной. Он написал около 300 больших трактатов. Зрелые
произведения Аристотеля делятся традиционно на восемь групп.
1. Логика («Органон»): «Категории», «Об истолковании»,
«Аналитики» (первая и вторая), «Топика», «О софистических
опровержениях».
52

2. Философия природы: «Физика» (или «Лекции по физике») в
иосьми книгах, «О небе» в четырех книгах. В натурфилософские
произведения включается также псевдоаристотелевский трактат «О
мире», написанный, вероятно, уже в I в. до н. э.
3. Психология: «О душе» в трех книгах, а также «Малые труды
по естествознанию», включающие трактаты: «О восприятии и
воспринимаемом», «О памяти и воспоминании», «О сне», «О
бессоннице», «О вдохновении [приходящем] во сне», «О длительности и
краткости жизни», «О жизни и смерти», «О дыхании». Включается
сюда, кроме того, труд «О духе», относящийся, видимо, к середине
IIIв. до н.э.
4. Биология: «О частях животных», «О движении животных»,
«О передвижении животных», «О происхождении животных».
5. Первая философия: сочинение в 14 книгах, получившее
название «Метафизика».
6. Этика: «Никомахова этика» в 10 книгах, «Большая этика» в
двух книгах, «Евдемова этика».
7. Политика и экономика: «Политика» в восьми книгах,
«Экономика» в трех книгах. В 1890 г. был найден папирус с текстом
«Афинской политики» Аристотеля.
8. Риторика и поэтика: «Искусство риторики» в трех книгах.
Сочинения Аристотеля сохранились, можно сказать, чудом.
После смерти философа они перешли к Теофрасту, а затем к его
ученику Нолею. До I в. н. э. они пролежали в подземном хранилище,
предоставленные «грызущей критике мышей», а затем попали в
библиотеку Апелликона Теосского в Афинах. Позднее они оказались
в Риме, где и были изданы главой тогдашних перипатетиков
Андроником Родосским.
Уже перечень произведений Аристотеля показывает энцикло-
педичность его учения. В нем не только охвачены все области
тогдашнего знания, но и произведена его первичная классификация,
так что впервые из философии как таковой выделены специальные
науки. Это был редчайший пример того, как полнота наук целой
эпохи вместилась в одной гениальной голове. Каждой работе
Аристотеля предшествуют краткое изложение и критический разбор
ранних учений по данному вопросу. Тем самым осуществляется
53

первый подход к проблеме, которая затем решается в духе
собственного учения Аристотеля. Фактически он был первым историком
науки, хотя его изложение учений древних следует рассматривать
критически.
У Аристотеля нет работ, относящихся к конкретным
математическим исследованиям, однако важнейшие стороны
математического познания были подвергнуты им глубокому философскому
анализу, послужившему методологической основой деятельности многих
поколений математиков. Основополагающими в схеме Аристотеля
были физические науки, математике он отводил вспомогательную
роль для описания таких внешних свойств, как форма и размеры, и
для объяснения причин явлений, наблюдаемых в материальном
мире. Он считал, что геометрия может помочь исследованиям в оптике
и астрономии, а арифметические пропорции могут служить
основой гармонии.
Ко времени создания школы Аристотеля теоретическая
математика прошла значительный путь и достигла высокого уровня
развития. Продолжая традицию философского анализа математического
познания, Аристотель поставил вопрос о необходимости
упорядочения самого знания о способах усвоения науки, о
целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности,
включающего два основных раздела: «образованность» и
«научное знание дела». Среди известных сочинений Аристотеля нет
специально посвященных изложению методологических проблем
математики. Но по отдельным высказываниям, по использованию
математического материала в качестве иллюстраций общих
методологических положений можно составить представление о том,
каков был его идеал построения системы математических знаний.
Можно выделить два принципа, которые, по мнению Платона,
Аристотеля и их последователей, должны выполняться в математике.
Первый принцип. Математика должна иметь дело с
абстракциями. Это был заказ философов, занимавшихся идеями. Это нужно
было и для того, чтобы охватить в едином абстрактном понятии
существенные черты всех физических реализаций этого понятия.
Нужно было изучить такие понятия, как «точка», «прямая», «целое
число». Например, прямой можно считать то, что отражает
наиболее существенные стороны натянутой нити, края линейки, границы
54

земельного участка, траектории луча света. Математическая прямая
не должна иметь толщину, цвет, молекулярную структуру или
испытывать натяжение, т. е. не должна обладать частными свойствами
материальных физических воплощений прямой. По словам
Платона, геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному
взору.
Второй принцип. Свои рассуждения о математических
понятиях греки начинали с аксиом — истин, столь очевидных, что в
справедливости их невозможно усомниться.
Платон, считавший объективно существующим мир идей, где
обитала душа человека до его рождения, полагал, что душа после
рождения человека восстанавливает накопленные ранее
впечатления и аксиомы ей доказывать не нужно. Никакой земной опыт ей
для этого не требуется.
Аристотель считал, что истинность аксиом познается
посредством безошибочной интуиции. Среди аксиом Аристотель
различал общие понятия и постулаты. Общие понятия истинны во всех
областях мысли. («Если от равного отнять равные части, то
остаются равные же части».) Постулаты применимы к такой
специфической области, как геометрия. («Две точки определяют прямую, и
притом только одну».) Аристотель, не будучи математиком,
полагал, что постулаты не обязательно должны быть самоочевидными и
их истинность можно проверить по следствиям из них. Математики
требовали самоочевидности постулатов.
Из аксиом с помощью рассуждений выводятся заключения.
Существует много типов рассуждений, например рассуждения по
аналогии, с применением индукции и дедукции.
Аристотель, а вслед за ним и весь мир приняли за неоспоримую
истину утверждение, что применение правил дедуктивного вывода
к любым посылкам гарантирует получение заключений, не
уступающих по надежности посылкам. (Отметим, что Платон считал
дедуктивный метод доказательства поверхностным.)
Приверженность дедукции объяснялась также и тем, что в
Греции того времени образованные свободные граждане не занимались
физическим трудом, который был уделом рабов. В таком обществе
эксперимент и наблюдения были мыслителям чужды. Считалось,
что источники такого рода не могут помочь получить результаты
научного, в частности математического, характера.
55

Евдокс
Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) был величайшим
математиком IV в. до н. э. Родившийся в Книде, на юго-западе
Малой Азии, Евдокс был известен не только как математик, но и как
астроном, врач, философ, географ, оратор и общественный деятель.
Недаром друзья называли его «Евдокс Знаменитый». Будучи очень
бедным, Евдокс жил не в Афинах, а в гавани города Пирея,
откуда ежедневно совершал утомительные походы в платоновскую
Академию. С помощью некоторых своих друзей он совершил
путешествие в Египет, где изучал астрономию у жрецов. По возвращении
на родину Евдокс основал в Кизике, на берегу Мраморного моря,
собственную школу, сыгравшую значительную роль в истории
греческой науки. Среди астрономов Евдокс получил большую
известность благодаря описанию звездного неба, восходов и заходов
неподвижных звезд. Именно Евдоксу принадлежит одна из первых
попыток построения теории движения планет.
Согласно схеме Евдокса в центре семейства концентрических
сфер находится неподвижная Земля. Сложное движение любого
небесного тела (кроме неподвижной Земли) Евдокс объяснял
соответствующей комбинацией движений сфер. Схема была весьма
громоздкой, поскольку для описания движения каждой из планет,
Солнца и Луны требовалось три-четыре сферы. Разумеется, сами
сферы были чисто математическими, гипотетическими.
Комбинации сфер позволяли воспроизводить с достаточной точностью
движения всех планет, за исключением Венеры и Меркурия. Здесь
схема Евдокса не срабатывала.
Евдокс составил также постоянный календарь, содержащий
данные относительно дней равноденствия и солнцестояния, а
также предсказания погоды. Одно из астрономических произведений
Евдокса, «Явления», переложенное на стихи поэтом Аратом,
пользовалось успехом в древности и было переведено на другие языки.
По свидетельству Архимеда, Евдокс разработал один из
важнейших методов в математике, так называемый метод
исчерпывания, с помощью которого он дал первое строгое доказательство
формулы объема пирамиды. Ему принадлежит также
доказательство теоремы о том, что отношение площадей двух кругов равно
отношению квадратов их радиусов.
56

Имя Евдокса также связано с теорией отношений, которую
Евклид приводит в своей пятой книге. Можно сказать, что теория
отношений Евдокса является предшественницей теории сечений
Дедекинда. В отличие от Дедекинда Евдокс не учитывает фактор
непрерывности. Можно также отметить, используя современную
терминологию, что действительные числа Дедекинда образуют
поле, тогда как отношения Евдокса образуют группу. Современная
теория иррационального числа, построенная Дедекиндом и Вей-
ерштрассом, почти буквально следует за ходом мыслей Евдокса,
но открывает значительно более широкие перспективы благодаря
использованию современных математических методов. Евдоксова
теория отношений была чисто геометрической теорей, изложенной
в строгой аксиоматической форме, и она сделала излишними какие-
либо оговорки относительно соизмеримости или несоизмеримости
рассматриваемых величин, в связи с этим отпала необходимость в
арифметической теории пифагорейцев, применимой только к
соизмеримым величинам.
Архит, Теэтет
С Академией Платона связаны также имена еще двух
крупных математиков. Архит из Тарента (ок. 430—345 до н. э.) доказал
иррациональность чисел вида уп(п + 1) и рассматривал теорию
дробей.
Теэтету (начало IV в. до н. э. — 369 до н. э.) принадлежит одна
из первых классификаций иррациональностей. Считается, что его
теория изложена в десятой книге «Начал» Евклида.

Глава 3
АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ МАТЕМАТИКА
(МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ЭЛЛИНИЗМА
И РИМСКОЙ ИМПЕРИИ)
Эллинистическая культура — это эллинская
культура, выплеснутая благодаря завоеваниям
Александра Македонского далеко на юг в Африке и еще
дальше на восток в Азии — до самого ее сердца,
до Средней Азии и Индии.
А.Н. Чанышев
Эллинизм — трехсотлетний период в истории Восточного
Средиземноморья и прилегающих к нему континентальных областей
в Азии и Африке, оказавшихся под духовным влиянием греческой
культуры. Он длился от победы Македонии над Грецией в 338 г. до
н. э. до покорения Египта римлянами в 30 г. н. э. Эпоха Римской
империи закончилась в 476 г. н. э.
Империя Александра Македонского занимала территорию,
ныне полностью включающую в себя Афганистан, Иран, Ирак,
Сирию, Ливан, Израиль, Египет, Турцию, Грецию, Македонию.
Частично на этих территориях размещены Пакистан, Ливия,
Узбекистан, Туркменистан. Столицей империи стал древнейший город
Вавилон [108].
После смерти Александра империя была поделена между его
полководцами и их потомками. В 322 г. до н. э. определилось
царство Птолемеев (Египет), в 312г. до н.э. — царство Селевкидов
58

(от Палестины до Индии) и в 283г. до н.э. — царство Антигони-
дов (Греция и Македония); образовались также малые
эллинистические государства — Пергам, Родос и др. На территориях империи
и Азии и Африке сохранялась греческая культура, чему
способствовало то, что и в Египте, и в Селевкии правили македоняне, а также
то, что македоняне и греки обучали местное население своей
культуре. Возникли новые центры культуры — Пергам (в Малой Азии)
и Александрия, сохранили свое значение Афины.
Александрия — город, основанный в устье Нила Александром
Македонским и ставший столицей эллинистического Египта после
смерти Александра. Вскоре этот многоязыкий торговый город
превратился в один из прекраснейших городов древности. Позднее
размерами его превзошел Рим, но долгое время ему не было равных.
Александрия на многие века стала научным и культурным центром
Древнего мира. Научным центром мира Александрия продолжала
оставаться и во времена Римской империи. Ранние представители
династии Птолемеев покровительствовали ученым. Уже Птолемей I
(Лаг, или Сотер), правивший в Египте с 322 по 283 г. до н. э., создал
в столице Египта научный центр — Мусейон.
Мусейон
В Греции Мусейоном называли храм, или святилище муз,
дочерей Зевса и богини памяти Мнемозины — покровительниц искусств
и наук. Всего муз девять: муза истории — Клио, муза лирической
поэзии — Евтерпа, муза комедии и радостной поэзии — Талия, муза
трагедии — Мельпомена, муза танца и музыки — Терпсихора, муза
эротической поэзии — Эрато, муза эпической поэзии —
Полигимния, муза астрономии — Урания, муза красноречия — Каллиопа.
Из этого списка следует, что только две музы были
покровительницами науки: Клио олицетворяла собой историю и гуманитарные
науки, а Урания — астрономию и естественные науки.
Прекраснее всех святилищ муз был александрийский Мусейон.
Он являлся частью царских дворцов, группой зданий,
предназначенных для научных занятий и для проживания ученых,
формально считавшихся служителями муз. Эти ученые имели общую
собственность и содержались государством.
59

Дело организации Мусейона, начатое Птолемеем I, было
продолжено его сыном — Птолемеем II Филадельфом. Им помогали
философы Деметрий Фалерский и Стратон. Мусейон продолжал
функционировать при всех Птолемеях и затем при римлянах, когда
ученые получали жалованье от римского наместника. Но после
середины II в. н. э. александрийский Мусейон утратил свое значение
как центр наук из-за соперничества Афин, Родоса, Антиохии, Рима
и Константинополя и политических неурядиц. Император
Адриан (годы правления 117—138 н.э.) пытался оживить Мусейон, но
безуспешно. В 270г. н.э. Мусейон был разрушен, однако затем
восстановлен [108].
Организуя Мусейон, Птолемеи позаботились о том, чтобы при
нем была и научная библиотека. Свитки для своей библиотеки
Птолемеи собирали ревностно, не гнушаясь прямым грабежом.
Птолемей III Эвергет (годы правления 246—221 до н. э.) приказал, чтобы
все прибывающие в Александрию иностранцы предъявляли
имеющиеся у них при себе книги. Если в библиотеке таких книг не
оказывалось, то они отбирались, а владельцам взамен возвращали копии.
Птолемей III под залог в громадную сумму (15 талантов) получил из
Афин оригиналы трагедий Эсхила, Софокла и Еврипида, но вернул
лишь копии, оставив оригиналы в Александрии.
Библиотеку составляли папирусные свитки. Имелся их каталог.
К временам Цезаря, оккупировавшего Александрию, в
библиотеке насчитывалось около 400 тыс. свитков. Поскольку хранилища не
могли вместить все рукописи, еще 300 тыс. свитков были
размещены в храме Сераписа.
В 47 г. до н. э. римляне по приказу Цезаря подожгли египетские
суда, стоявшие в Александрийской гавани. В огне пожара, который
охватил город, сгорела и Александрийская библиотека. Уцелели
только рукописи, хранившиеся в храме Сераписа. Урон,
нанесенный библиотеке военными действиями Цезаря, был частично
компенсирован Марком Антонием, который ограбил Пергам и подарил
Клеопатре 200 тыс. пергамских свитков. Это было в 41 г. до н.э.
Затем многое из библиотеки забрали римляне [108].
Когда император Феодосии в 392 г. н. э. приказал разрушить
языческие храмы, христиане по приказу александрийского
епископа Теофилоса, ненавидевшего античную культуру, разрушили
60

храм Сераписа. Многие сочинения греческих авторов были
стерты с пергаментов, и на этих пергаментах были написаны книги
религиозного содержания.
Обычно окончательную гибель Александрийской библиотеки
связывают с вторжением арабов, которые дважды брали
Александрию (в 640 и 645 гг. н. э.). В 640 г. н. э. Египет был завоеван
мусульманами. Почти все ранее уцелевшие греческие книги были
уничтожены. Халиф Омар провозгласил, что либо в этих книгах
написано то, что есть в Коране, и тогда их незачем читать, либо они
утверждают то, что противоречит Корану, и тогда их не подобает
читать. Почти полгода бани Александрии отапливались
пергаментными свитками.
С Мусейоном связывается развитие александрийской
математики, которая носит ярко выраженный геометрический характер. В
конце III в. до н. э. у Архимеда и Аполлония заметен интерес к
«логистике», т. е. вычислительной математике. Одной из причин
является повышенный интерес к астрологии, требовавшей многих
вычислений. Другая причина в том, что алгебраические методы
позволили дать более простые и удобоваримые способы доказательства.
Математики перешли от греческого геометрического метода к
египетскому алгебраическому.
ВIII—II вв. до н. э. Мусейон блистал именами Евклида,
Аполлония, Эратосфена, Гиппарха, а в I—III вв. н. э. здесь работали такие
ученые, как Герон, Птолемей и Диофант.
Евклид
Евклидова геометрия — не просто одна из
логических систем. Она является первым и
величайшим примером такой системы, которой другие
науки пытались, и все еще пытаются, подражать.
Д. Пойа
Евклид (III в. до н. э.) был профессиональным ученым,
связанным с Мусейоном и получавшим вознаграждение за занятия
наукой. О жизни Евклида известно очень мало. В более поздних
произведениях он изображается как исключительно честный, тихий и
скромный человек, чуждый гордости и эгоизма. Пишут, что, когда
61

царь Птолемей спросил Евклида, нельзя ли найти более короткий и
менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала»,
он ответил: «Нет царской дороги1 к геометрии» [37, с. 14].
Наиболее знаменитым и наиболее выдающимся
произведением Евклида являются его «Начала», содержащие 13 книг (позднее
к ним были прибавлены еще две книги), но до нас дошли и другие
его произведения:
— «Данные» — задачи, решаемые с помощью геометрической
алгебры;
— «О делении фигур» — задачи на построение;
— «Феномены» (явления) — астрономическое сочинение;
— «Оптика».
Мы не знаем, какие результаты в «Началах» принадлежат
самому Евклиду и какую часть составляют компиляции, но во
многих местах проявляется поразительная проницательность автора. В
истории человечества «Начала» занимают третье место после
Библии и цитатников Мао по числу изданий и числу изучавших.
После изобретения книгопечатания появилось более тысячи изданий
книги, но и до этого в рукописном виде книга была основной при
изучении геометрии. Для профессионального математика эта книга
все еще обладает неотразимым очарованием, а ее логическое
построение повлияло на научное мышление, пожалуй, больше, чем
какое бы то ни было другое произведение.
Оригинальная рукопись «Начал», долгое время хранившаяся
в Александрийском музее, не дошла до нас. Рукописные книги,
которые на протяжении сотен лет комментировались, снабжались
примечаниями и исправлениями, нередко местами дополнялись
и изменялись. Отсюда понятно, почему тексты дошедших до нас
рукописных копий не совпадают полностью. Древнейшая из
сохранившихся копий написана в IX в. На русском языке «Начала»
издавались три раза в XVIII в. и четыре раза в XIX в. Последний
новый перевод был опубликован в 1948 г. [37].
Форма изложения материала в «Началах» соответствует
аристотелевским принципам построения науки. Евклид стремился
изложить основы математики в виде логически совершенной
математической теории, построенной на минимуме исходных положений.
'«Царской» в Египте называлась особая дорога, по которой не разрешалось
ездить простым людям.
62

В этом смысле «Начала» соответствуют современному способу
аксиоматического построения математических наук.
Первые шесть книг «Начал» посвящены планиметрии,
следующие четыре — учению о числах, последние три — стереометрии
(табл. 1). Некоторые историки математики считают, что книги с
первой по четвертую и с седьмой по девятую содержат результаты,
полученные математиками ионийской и пифагорейской школ, книги
пятая и седьмая — от Евдокса, книги 10 и 13 — от Теэтета.
Таблица 1
Структура «Начал» Евклида
Номер
книги
Содержание книги
1
2
3
4
5
6
11
12
13
Планиметрия
Аксиомы, постулаты. Начала планиметрии
Соотношения между площадями прямоугольников и квадратов
(геометрическая алгебра)
Свойства круга, окружности, хорд, касательных, центральных
и вписанных углов
Свойства правильных многоугольников, вписанных и
описанных, построение правильных 3-, 4-, 5-, 6-, 15-угольников
Общая теория отношений Евдокса
Геометрические приложения теории отношений
Теория рациональных чисел
Алгоритм попеременного вычитания, теория делимости,
теория пропорций для рациональных чисел
Непрерывные числовые пропорции
Учение о простых числах
Классификация биквадратных иррациональностей
Стереометрия
Прямая и плоскость в пространстве, многогранные углы,
отношение объемов параллелепипедов и призм
Отношение объемов пирамид, цилиндров, конусов, шаров
Правильные многогранники и их построение
63

Каждая книга «Начал» открывается списком понятий, которые
встречаются впервые. Например, первой книге предпосланы 23
определения. Вот первые три из них.
Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2. Линия есть длина без ширины.
Определение 3. Границы линии суть точки.
После определений приводятся постулаты и аксиомы, т. е.
утверждения, принимаемые без доказательств.
Более 2 тыс. лет геометрия изучалась в школах по «Началам».
Наши современные учебники имеют много общих черт с
«Началами»:
— планиметрия и стереометрия излагаются раздельно;
— каждая из них излагается примерно в том же порядке, что и
у Евклида;
— теоремам предшествуют определения и аксиомы.
«Начала» и теперь остаются образцом научной строгости в
школьном преподавании, где, учитывая возрастные особенности
учащихся, довольствуются дедуктивным методом Евклида, а не
современным аксиоматическим методом. Многие теоремы,
изложенные в современных учебниках, по содержанию совпадают с
теми, которые имеются в «Началах», методы доказательства в
большинстве случаев те же. Однако некоторые различия все же есть: в
«Началах» даже не упоминается о непосредственном измерении
площадей фигур и объемов тел, а также об их сравнении.
Так, у Евклида нет теоремы о том, что площадь треугольника
равна половине произведения его основания на высоту, а имеется
только теорема о том, что треугольник равновелик половине
параллелограмма с тем же основанием и той же высотой. Нигде не
говорится о числе 7г и его приближенном значении. Евклид не
вычисляет длин, площадей и объемов, а находит посредством
геометрических построений соотношения между геометрическими
величинами фигур. Поэтому и сами слова «длина», «площадь»,
«объем» отсутствуют в «Началах».
С современной точки зрения самыми слабыми местами «Начал»
являются попытка определить основные понятия (точка, прямая,
плоскость) и неполнота аксиоматики.
64

В арифметике Евклид сделал три значительных открытия:
сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком;
придумал «алгоритм Евклида» — быстрый способ нахождения
наибольшего общего делителя или общей меры отрезков (если они
соизмеримы); первым начал изучать свойства простых чисел и
доказал, что их множество бесконечно.
Знакомство с «Началами» Евклида полезно каждому
математику и в наши дни.
Архимед
Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут,
ибо языки умирают, а математические идеи — нет.
Г. Харди
В голове Архимеда было больше воображения,
чем в голове Гомера.
Вольтер
О жизни Архимеда (287—212 до н. э.) известны лишь
отрывочные сведения, которые дошли до нас благодаря древним писателям
Цицерону и Плутарху. Архимед родился в Сиракузах на острове
Сицилия. Получил начальное образование у отца. Затем Архимед
отправился в Александрию, где изучил труды Евдокса, Евклида и
других математиков древности. На 75-м году жизни он был убит
римским воином при взятии римлянами Сиракуз.
О своих открытиях он письменно сообщал в Александрию,
тексты его посланий и некоторых сочинений сохранились и
вошли важной составной частью в сокровищницу науки. Имеются
превосходные издания сочинений Архимеда на русском языке со
вступительной статьей и комментариями И.Н. Веселовского.
Легенды об Архимеде. Личность Архимеда обросла
легендами. Всем известна история открытия закона о гидростатическом
давлении, когда Архимед после внезапного озарения во время
принятия ванны выбежал на улицу с криком «Эврика!». Рассказывали и
о том, как он разоблачил ювелира, скрывшего часть золота при
изготовлении венца для царя Гиерона. Было и такое: по приказу Гие-
рона построили роскошный корабль «Сиракусий», невероятных по
тем временам размеров. На нем были сады, баня и по 10 конюшен с
3 Математика древняя и юная 65

каждого борта. Спустить на воду обычным способом его не могли.
Архимед придумал особую машину и один сумел сдвинуть корабль
с места. Ему принадлежат слова: «Дайте мне точку опоры, и я
подниму весь мир» [70, с. 17].
Во время второй Пунической войны римляне осадили
Сиракузы. Архимед подготовил город к обороне. Под его руководством
были созданы катапульты и камнеметательницы, выбрасывавшие на
значительные расстояния свинец, стрелы, камни. Были построены
«журавлиные клювы», спускаемые на канатах, которые
захватывали носы кораблей, поднимали и опрокидывали их.
После восьмимесячной осады Сиракузы пали. Архимед,
погруженный в решение какой-то задачи и сосредоточенно
рассматривавший чертежи, не слышал шума на улицах и не заметил
ворвавшегося в дом воина. Римлянин потребовал, чтобы Архимед отправился с
ним к Марцеллу, их предводителю, но Архимед отказался, ссылаясь
на то, что ему нужно найти решение задачи. Разозленный
завоеватель выхватил меч и убил Архимеда.
Поэт Дмитрий Кедрин писал:
Нет, не всегда смешон и узок
Мудрец, глухой к делам земли:
Уже на рейде в Сиракузах
Стояли римлян корабли.
Над математиком курчавым
Солдат занес короткий нож,
А он на отмели песчаной
Окружность вписывал в чертеж.
Ах, если б смерть — лихую гостью —
Мне так же встретить повезло,
Как Архимед, чертивший тростью
В минуту гибели — число!
В 212 г. до н. э. консул Марцелл, взяв штурмом Сиракузы,
доставил в Рим небывалый трофей: металлическую модель Солнечной
системы из подвижных сфер и окружностей, изготовленную самим
Архимедом. Тот экспериментировал с нею, когда недоставало
прямых наблюдений за звездами и планетами. Римляне с изумлением
глядели на чудесную игрушку.
Научные открытия Архимеда. В статике он ввел понятие
центра тяжести и определил положения центров тяжести многих фигур
66

и тел, разработал теорию рычага. В трактате Архимеда «О
плавающих телах» содержится теория устойчивости плавающих тел, к
которой современные ученые прибавили очень немного. По
утверждению римского архитектора Витрувия, в утерянном сочинении
«Катоптрика» Архимед изложил свои воззрения на особенности
изображений в плоских, выпуклых и вогнутых зеркалах, на
причины возникновения радуги, сформулировал закон о равенстве углов
падения и отражения. По легенде, с помощью системы вогнутых
зеркал Архимед сжег многие римские корабли.
Однако основным объектом исследований Архимеда была
математика, в ней он достиг высочайших для его времени вершин
(например, получил «формулу Герона», которую Герон доказал через
200 лет). Архимед определил площадь круга, площади поверхности
шара и шарового сегмента, вычислил объем шара и эллипсоида,
сегментов шара, эллипсоида, параболоида и двуполостного
гиперболоида вращения, нашел площадь витка спирали р = aip (спираль
Архимеда), параболического сегмента. Он открыл методы проведения
касательных к кривым и применил их при проведении касательных
к спирали. Методы проведения касательных и отыскание
экстремумов, разработанные Архимедом, получили развитие в
дифференциальном исчислении, возникшем в XVII в. Архимед
усовершенствовал евдоксов метод исчерпывания и успешно пользовался им при
доказательстве многих теорем. Так он заложил начала
интегральных методов, введя в рассмотрение аналоги сумм Дарбу.
Метод интегральных сумм. Этот метод разработан
Архимедом и применен к вычислению площадей и объемов,
предложенному в его сочинениях «О шаре и цилиндре», «О коноидах и
сфероидах», «О спиралях». Рассмотрим идею этого метода.
Пусть требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на
рис. 3.
Проделаем следующие операции.
1. Прямыми, параллельными основанию, разделим высоту на п
равных частей и проведем через точки деления прямые,
параллельные основанию.
2. Для каждой горизонтальной полоски, на которые разделилась
фигура, построим вписанный и описанный прямоугольники.
Искомая площадь S удовлетворяет неравенствам
3* 67

Рис. 3. Иллюстрация метода интегральных
сумм
п—1 п
/ _, *Ьгвп < <Ь < у ^ biom
г=1 г=1
где 5гвП — площадь г'-го вписанного прямоугольника; Sion —
площадь г-го описанного прямоугольника.
В чем отличие этого метода от вычисления определенного
интеграла? Архимед в методе интегральных сумм интуитивно
использует строго не определенное понятие площади, но не применяет
арифметико-алгебраический аппарат. Им не введены и не
определены необходимые общие понятия «предел», «интеграл»,
«бесконечная сумма» и не изучены условия применимости высказываемых
теорем.
В период господства идей Платоновой школы к практическим
применениям математических теорий относились презрительно.
По Плутарху, Архимед, гениальный изобретатель, стыдился своих
изобретений, которые много месяцев позволяли жителям Сиракуз
сопротивляться осаждавшим их римлянам. Плутарх писал: «Хотя
эти изобретения заслужили ему репутацию сверхчеловеческой
проницательности, он не снизошел до того, чтобы оставить какое-либо
письменное сочинение по таким вопросам. Считая низким и
недостойным делом механику и искусство любого рода, если оно имеет
пользу и выгоду, все свои честолюбивые притязания он основывал
на тех умозаключениях, красота и тонкость которых не запятнаны
какой-либо примесью обычных житейских нужд» [70, с. 22].
Работы Архимеда предвосхитили методы интегрального и
дифференциального исчислений. В качестве методов, предшествую-
68

щих интегральному исчислению, Архимед использовал кроме
метода интегральных сумм также метод исчерпывания.
Метод исчерпывания. Этот метод изобретен Евдоксом и
описан в 12-й книге «Начал» Евклида, а также в трудах самого
Архимеда. Это строгий метод, он применялся для доказательства
правильности результатов, полученных при вычислении площадей фигур,
объемов тел, длин кривых, нахождении подкасательных к кривым
и т.п.
Опираясь на метод исчерпывания, Архимед обосновал много
известных ранее, но не доказанных положений, получил
следующие новые важные результаты:
— площадь сегмента параболы равна 4/3 площади вписанного
в него треугольника;
— объем шара равен учетверенному объему конуса, у которого
основанием служит большой круг шара, а высотой — его радиус;
— площадь поверхности шара равна учетверенной площади
большого круга [70].
В современном изложении суть метода, к примеру, для
вычисления площади S фигуры Ф такова (рис. 4).
1. В фигуру Ф вписывается последовательность
возрастающих по площади фигур {А\,А2, ... ,Ап, ...}, методы вычисления
площадей которых известны (А\ — площадь треугольника,
нарисованного пунктиром; ^2 — площадь пятиугольника, нарисованного
сплошной линией, и т. д.), так, чтобы разность S — Ап могла быть
сколь угодно малой.
Рис. 4. К пояснению метода
исчерпывания
69

2. Из факта существования описанной фигуры В делается
вывод об ограниченности сверху последовательности
«исчерпывающих» вписанных фигур.
3. Из каких-либо соображений находится А — предел
последовательности — и, как правило, методом от противного,
доказывается, что S = А (доказывается, что не верны неравенства S < А,
S>A).
Общих методов для практического вычисления предельных
значений А не было. Каждая задача решалась своим приемом, иногда
очень оригинальным (см. в гл. 24 о вычислении Архимедом объема
шара).
Использовались Архимедом и методы, которые с современных
позиций могут быть названы дифференциальными. С их помощью
он определял длину подкасательной к спирали р = aip.
Архимеду самой важной казалась доказанная им теорема о том,
что объем шара и объем описанного около него цилиндра относятся
как 2 : 3. Этот результат казался ему настолько значительным, что
он завещал на своей могильной плите изобразить цилиндр и шар, а
в тексте указать отношение их объемов.
«Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам
современных математиков», — писал Лейбниц, а Даламбер заметил:
«За Архимедом сохранится репутация одного из самых
удивительных гениев, которые когда-либо посвящали себя математике...
Несмотря на преимущества новых методов, которые ценят все
геометры, всякий математик должен заинтересоваться, какими
своеобразными путями и глубокими размышлениями Архимед мог
достичь таких сложных результатов» [61, с. 257].
Аполлоний
Аполлоний из Пергама (ок. 260 — 170 до н. э.) был младшим
современником и научным соперником Архимеда. В отличие от
Архимеда он больше придерживался геометрических традиций греков,
старался решить три великие задачи (см. гл. 24), пользуясь только
циркулем и линейкой без делений. Продолжительное время он жил
и работал в Александрии, затем возвратился на родину, в Пергам,
где был главой математической школы.
70

Из многочисленных математических сочинений Аполлония до
нас дошли только семь из восьми книг «Конические сечения»:
книги с первой по четвертую — на греческом языке, книги с пятой по
седьмую — в переводе на арабский язык. Предполагаемое
содержание восьмой книги восстановил английский астроном и геофизик
Эдмунд Галлей, исходя из сведений, имеющихся в трудах
комментаторов Аполлония [111].
Названиями кривых второго порядка мы обязаны Аполлонию.
В современных обозначениях кривые второго порядка Аполлоний
записывал так, как указано в табл.2. Если р = 262/a, d = 2а, то
уравнение эллипса примет вид г h То = 1> а уравнение ги-
az bz
(х + а)2 у2
перболы ^ —- = 1.
az bz
Таблица 2
Кривые второго порядка
Кривая
Парабола
Эллипс
Гипербола
Уравнение
у2 — рх
у2 = рх — рх2 /d
у2 = рх + рх2 /d
Название кривой,
данное Аполлонием
Приложение
Приложение
с недостатком
Приложение
с избытком
В то время координатный метод не был известен (он введен в
XVII в. Декартом и Ферма), но результаты Аполлония очень легко
записываются и интерпретируются на языке координат.
Исследование кривых второго порядка и решение связанных с ними задач
Аполлоний проводил очень подробно с анализом их эволют.
Как астроном Аполлоний пользовался такой известностью, что
получил прозвище Эпсилон, поскольку много занимался
движением Луны, а Луну греческие астрономы обозначали буквой е
(эпсилон). Сами астрономические труды Аполлония до нашего времени
не дошли, но различные авторы, в том числе Птолемей (в XII книге
«Альмагеста»), ссылаются на его результаты. Почему математики
71

старались воссоздать труды Аполлония? Дело в том, что в
утраченных работах Аполлония были приведены решения многих задач,
которые безуспешно пытались решить математики спустя 1700—
1800 лет.
Диофант
Знаменитое сочинение Диофанта, целиком
посвященное проблемам неопределенного анализа,
содержит много исследований, которые вследствие
их трудности и красоты методов заставляют быть
высокого мнения об уме и проницательности их
автора, особенно если учесть незначительность
вспомогательных средств, находящихся в его
распоряжении. .. <... > Эта книга [«Арифметика»]
рассматривается как эпоха в развитии
математики. .. потому, что она содержит в себе первые
следы искусства, характерного для алгебры.
К. Гаусс
В Древней Греции наиболее заметных результатов в математике
достиг Диофант Александрийский (ок. III в. н. э.), которого считают
последним великим математиком античности. То, что Диофант жил
в III в. н. э, не является достоверным, а вычислено по косвенным
данным. Достоверно известно лишь то, что он жил в Александрии.
«Арифметика» Диофанта до сих пор представляется одним из
самых загадочных явлений в истории науки. По своему стилю она
резко отличается от классических произведений Евклида,
Архимеда и Аполлония, творивших в ту же эпоху. Диофант был одним из
первых создателей новой алгебры, основывающейся не на
геометрии (как было у Евклида, Архимеда и Аполлония), а на
арифметике. Именно Диофант ввел отрицательные числа и пользовался
буквенной символикой. Под «числом» Диофант понимал не
натуральное число, как было до него, а рациональное. Из 13 книг,
составляющих «Арифметику», до нас дошли шесть. Рукопись этого
произведения была найдена в библиотеке Ватикана.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения
алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач,
сопровождаемых объяснениями и решаемых с помощью
составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений
72

Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач: «Найти два числа, зная, что их
сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи
следует, что искомые числа не равны, так как если бы они были
равны, их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом,
одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое
же — меньше, т. е. 10 — х. Отсюда уравнение получается таким:
(10 + ж)(10-ж) = 96
или же
100 - х2 = 96, х2 = 4.
В итоге х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое — 8.
Решение х = — 2 в данном случае Диофант не учитывает, так как
греческая математика до него знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбрав в качестве неизвестного одно
из искомых чисел, то придем к решению уравнения
у(20 - у) = 96 или у2 - 20у + 96 = 0.
Таким образом, выбирая в качестве неизвестного полуразность
искомых чисел, Диофант упрощает решение: ему удается свести
задачу к решению неполного квадратного уравнения.
Диофант старался выбрать неизвестное в задачах, прямой
способ решения которых приводит к системе уравнений, содержащих
одно уравнение второй степени и одно линейное, таким образом,
чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.
В целом содержание дошедших до нас шести книг
«Арифметики» Диофанта таково. Всего там 189 задач, каждая из которых
снабжена одним или несколькими решениями. Задачи ставятся в общем
виде, затем берутся конкретные значения входящих в них величин
и даются решения.
Одной из значительных заслуг Диофанта является введение в
алгебру некоторой символики. Поскольку мы располагаем не
подлинными рукописями самого Диофанта, а лишь поздними
(датированными не ранее чем XIII в.) копиями, трудно говорить с
уверенностью, какими именно символами пользовался Диофант. Известно
73

лишь, что он ввел символы, соответствующие нашим
обозначениям х, целочисленным степеням неизвестного ж от —1 до 6.
Появление такой символики замечательно само по себе, но еще больший
интерес представляет введение степеней выше третьей,
поскольку греки классического периода игнорировали произведения более
чем трех сомножителей, так как считали их не имеющими
геометрического смысла.
Свои решения Диофант излагал словами — так, как мы пишем
прозу. Все необходимые действия он производил исключительно
арифметически, не прибегая к геометрии для иллюстрации или
подтверждения своих рассуждений. В вычислениях он выполнял
действия, основанные на использовании алгебраических тождеств,
хотя сами тождества в явном виде у него не встречаются.
Задачи первой книги в большинстве своем связаны с
определенными уравнениями. В ней имеются и такие задачи, которые
решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными,
эквивалентных одному квадратному уравнению.
Во второй книге решаются задачи, связанные с
неопределенными уравнениями и системами таких уравнений с двумя — шестью
неизвестными не выше второй степени.
Методы, разработанные во второй книге, Диофант применяет к
более трудным задачам третьей книги, связанным с системами трех,
четырех и большего числа уравнений степени не выше второй.
В четвертой книге встречаются определенные и
неопределенные уравнения третьей степени и более высоких степеней,
например одно уравнение с двумя неизвестными. Такие уравнения
математики рассматривали и до Диофанта. Диофант был первым, кто
предпринял систематические и обширные исследования
неопределенных уравнений, став основателем нового раздела алгебры,
называемого ныне диофантовым анализом.
Пятая книга содержит наиболее сложные задачи. Некоторые из
них решаются с помощью уравнений третьей и четвертой степеней
от трех и более неизвестных. Есть и такие, в которых требуется
разложить данное целое число на сумму двух, трех или четырех
квадратов, причем эти квадраты должны удовлетворять определенным
неравенствам. При решении задач Диофант дважды рассматривает
уравнение Пелля ах2 + Ь = у2.
1А

Задачи шестой книги касаются прямоугольных треугольников с
рациональными сторонами. К условию х2 + у2 = z2 в них
добавляются еще условия относительно площадей, периметров, сторон
треугольников. Доказывается, что если уравнение ах2 + Ъ = у2
имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет
бесчисленное множество. Для решения задач этой книги Диофант применяет
все известные ему способы.
Правила Диофанта оперирования с многочленами и
уравнениями использовались почти всеми математиками средних веков.
Алгебраические уравнения или их системы с целыми
коэффициентами, в которых число неизвестных превосходит число уравнений и
разыскиваются целые или рациональные решения, называют дио-
фантовыми уравнениями.
О вкладе Диофанта в теорию чисел подробнее рассказано в
гл. 23.
Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в
стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей
алгебраической загадки, представляющей собой якобы надгробную надпись на
его могиле [110, с. 24]:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения
ж/6 + ж/12 + ж/7 + 5 + ж/2 + 4 = ж,
откуда ж = 84. Диофант прожил 84 года.
75

Герон, Гипатия и упадок греческой цивилизации
В продолжение трех или четырех веков после Архимеда,
Аполлония и Диофанта многие математики, не обладая талантами своих
великих предшественников, обогатили науку новыми открытиями и
теоремами, заслужив себе почетное имя в истории науки. Наиболее
известен из них Герон Александрийский (ок. I в. н. э.). О его жизни
до нас дошли только отрывочные сведения. Он занимался
вопросами геодезии и написал математический трактат «Метрика», где дал
правила численного решения квадратных уравнений и
приближенного извлечения квадратных и кубических корней. В
геометрическом разделе он привел формулы приближенных расчетов
площадей и объемов, в том числе знаменитую формулу вычисления
площади треугольника по его сторонам.
Жившие в последующих двух или трех столетиях
комментаторы передали нам творения и имена геометров Древнего мира. Из
них наибольший след в истории оставил Папп Александрийский
(вторая половина III в. н. э.). В его «Математическом собрании» дан
оригинальный свод важных открытий древнегреческих
математиков по геометрии и арифметике. Сочинение содержит много
заметок о древнегреческих математических трактатах, которые до нас
не дошли [61].
В первые века нашей эры христиане в Римской империи
преследовались. Их распинали, травили дикими зверями. Особенно
страшными гонения христиан были в первом десятилетии IV в.,
тогда приняли казнь Дмитрий Солунский, знаменитый военачальник
Георгий Победоносец и многие другие. Однако, после того как
христианство при Константине Великом стало государственной
религией Римской империи, гонимые превратились в гонителей, как это
многократно повторялось и повторяется в истории человечества. В
частности, в 391 г. христиане-фанатики сожгли Александрийскую
библиотеку. От роскошного храма египетского бога Сераписа, в
котором она размещалась, остался только фундамент, сложенный
из очень тяжелых плит. Ученые, не принявшие христианства,
преследовались. В 415 г. в Александрии была зверски убита Гипатия
(370 — 415), последняя из известных древнегреческих философов
и математиков.
76

По свидетельству историков, она была женщиной
необыкновенной красоты и большого ума. Образование Гипатия получила под
руководством отца, Тиона Александрийского, крупного ученого-
математика, принадлежавшего к Александрийской школе.
Сочинения Гипатии до нас не дошли, но известно, что она написала
обстоятельные комментарии к теории конических сечений Аполлония
Пергского и к алгебраическим сочинениям Диофанта. Утверждают,
что она изобрела ареометр, астролябию и планисферы
(изображения небесной сферы на плоскости для составления эфемерид). В
Александрийской школе Гипатия заведовала кафедрой философии.
Слава о ее лекциях распространилась далеко за пределы
Александрии. Поэты слагали о ней стихи.
После убийства одного из христиан архиепископ Кирилл сказал
христианам, что убийцами являются язычники, а их вдохновляет
Гипатия. Ее затащили в церковь, изуродовали, разорвали на куски и
сожгли. Позже христианские иерархи объявили, что убийцами
Гипатии являются язычники.
С гибелью Гипатии закатилось солнце древнегреческой
математики. Нидерландский математик Ван-дер-Варден писал: «После
этих последних вспышек пламя греческой математики погасло, как
догоревшая свеча» [ 10, с. 392]. Даже слово «математика» стало
связываться с чем-то преступным. В законе византийского императора
Юстиниана «О злоумышленниках, математиках и тому подобных»
говорилось: «Да никто не совещается с гадателями или
математиками» [70, с. 33]. В 529 г. Юстинианом I были закрыты афинские
школы.
Великая греческая цивилизация пришла в упадок по двум
причинам:
1) римляне, завоевав Грецию, Египет и Ближний Восток,
превращали завоеванные территории в колонии, сырьевые придатки,
не заботясь о развитии культуры;
2) христианство, став в начале IV в. н. э. государственной
религией Римской империи, запрещало языческие религии, разрушало
языческие храмы, боролось с языческой культурой и наукой.

Глава 4
АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ АСТРОНОМИЯ
Хотя древние греки не были творцами астрономии
в ее современном виде, именно они заложили ее
основы и создали предпосылки для последующего
развития теории. Греки явили миру образцы
первых истинно математических рассуждений и
положили начало пониманию космических явлений.
М. Клайн
Аристарх Самосский
Как и Пифагор, Аристарх Самосский (ок. 310 — 230 до н.э.)
происходил с ионийского острова Самос. По-видимому, он был
старшим современником Архимеда, написавшего об Аристархе
Самосском не позднее 216 г. до н. э. [61]. Единственная точная дата,
связанная с именем Аристарха, — это 281 г. до н. э., когда Аристарх
мог наблюдать описанное им солнечное затмение.
Среди достижений астрономов александрийского периода
особое место занимает гелиоцентрическая система, выдвинутая
Аристархом. На основе космологических вычислений Аристарх
пришел к идее гелиоцентризма. Он пытался установить некоторые
основные параметры Солнечной системы и вычислить, во сколько
раз
— Солнце отстоит дальше от Земли, чем Луна;
78

— диаметр Солнца больше диаметра Луны;
— радиус лунной орбиты больше радиуса Луны;
— диаметр Земли больше диаметра Луны;
— диаметр Солнца больше диаметра Земли;
— Солнце больше Земли по объему.
Полученные им результаты сильно отличались от истинных
значений, но это отличие было все же количественным, а не
качественным [108].
В основном об Аристархе мы знаем из сохранившегося письма
Архимеда к сиракузскому тирану Гелону П. Архимед писал: «Вы
знаете, что Вселенная — имя, данное большинством астрономов
сфере, чей центр Земля и чей радиус равен расстоянию между
центром Солнца и центром Земли. Это, как вы слышали от астрономов,
общепринято. Но Аристарх Самосский выпустил книгу, в которой
содержится ряд гипотез; из них следует, что звезды и Солнце
неподвижны, а Земля вращается вокруг Солнца по окружности, что
Солнце лежит в середине орбиты, что сфера неподвижных звезд,
расположенная вокруг того же центра, т. е. Солнца, так велика, что
круг, по которому, как он думает, движется Земля, находится в
такой же пропорции к расстоянию до неподвижных звезд, как центр
сферы относится к ее поверхности» [61, с. 57].
Аристарх, кроме того, говорил о вращении Земли вокруг ее оси,
чем он объяснял суточное движение небосвода. Гелиоцентризм
Аристарха не был принят ни в Античности, ни в Средние века.
Тогда преобладала аристотелевская геоцентрическая космология.
Стоик Клеандр обвинил Аристарха в безбожии. Единственным, кто
поддержал Аристарха, был Селевк из Вавилонии (первая
половина II в. до н. э.). Считавшийся великим астрономом, Гиппарх из
Никеи (ок. 180 или 190—125 до н. э.) своим авторитетом раздавил
Аристарха. Через два-три века после Гиппарха Птолемей утвердил
геоцентризм на 14 с лишним веков, даже не упомянув Аристарха в
своих произведениях.
79

Эратосфен
Эратосфен является, так сказать, математиком
среди географов и географом среди математиков.
Страбон
Эратосфен (ок. 276—194 до н. э.) родился в городе Кирене
(Северная Африка). Он был ученым-энциклопедистом, хранителем
Александрийской библиотеки, другом и корреспондентом
Архимеда. Не довольствуясь успехами в математике, астрономии и
географии, он выступал также на поприще поэзии, истории, грамматики
и литературной критики и был удостоен почетного прозвища Бета
(по названию второй буквы греческого алфавита) за то, что во всех
этих областях знания уступал лишь сильнейшим. Такая
разносторонность интересов необычна даже для грека [43].
Эратосфен прославился как географ и геодезист. Он заметил,
что в день летнего солнцестояния в Сиене (ныне Асуан) предметы
не отбрасывают в полдень никакой тени, между тем как в
Александрии стержень солнечных часов отбрасывает в полдень тень, длина
которой составляет 1/50 окружности (7°12'). Считая, что
Александрия и Сиена находятся на одном меридиане (что не совсем точно),
Эратосфен решил, что расстояние между Александрией и Сиеной
составляет 1/50 окружности Земли. По его измерениям, длина
экватора Земли равна 39 590 км, что отличается от истинного значения
на 410 км [108]. Это первое успешное определение размеров
Земли создавало прецедент и вселяло уверенность в осуществимости
подобных измерений. Человечество обрело еще одну «мерную
линейку». Эратосфен составил карту звездного неба с 675 звездами,
вычислив их координаты в градусах (этот способ численного
хранения геометрической информации изобретен Евдоксом).
В арифметике Эратосфен считался вторым после Евклида. Он
составил первую таблицу простых чисел («решето Эратосфена») и
заметил, что многие простые числа группируются в пары
близнецов: таковы 11 и 13, 29 и 31,41 и 43. Евклид доказал, что множество
всех простых чисел бесконечно. Эратосфен хотел доказать
бесконечность пар близнецов. Эта задача ему не покорилась. Не решена
она и до сих пор и является единственной нерешенной задачей,
доставшейся нам от Античности.
80

Гиппарх
Вершиной и бесспорным достижением греческой астрономии
были труды Гиппарха (ок. 180 или 190—125 до н. э.) и Клавдия
Птолемея. Бблыную часть своей жизни Гиппарх провел на острове
Родос. В те времена Родос был одним из процветавших торговых и
культурных центров Греции, соперничавших с Александрией.
Гиппарх сознавал, что схема Евдокса, по мнению которого
небесные тела прикреплены к сферам, вращающимся вокруг общего
центра — Земли, не позволяет истолковать результаты многих его
собственных наблюдений и наблюдений других греческих
астрономов. Вместо гомоцентрических сфер Евдокса Гиппарх предложил
считать, что планета Р движется с постоянной скоростью по
окружности (эпициклу), центр Q которой перемещается с постоянной
скоростью по другой окружности, в центре О которой находится Земля
(рис. 5).
Рис. 5. Схема движения планет
(по Гиппарху)
Движение планет в схеме, предложенной Гиппархом,
напоминает движение Луны, каким его описывает современная астрономия.
Луна обращается вокруг Земли, в то время как Земля обращается
вокруг Солнца.
При описании движения некоторых небесных тел Гиппарху
потребовалось ввести комбинацию из трех или четырех окружностей.
В некоторых случаях ему пришлось предположить, что центр
самой внутренней окружности (деферента) не совпадает с центром
81

Земли, а находится неподалеку от него. Движение в соответствии
с такой геометрической конструкцией получило название
эксцентрического, а движение в случае, когда центр деферента совпадал с
центром Земли, было названо эпициклическим. Используя
движения обоих типов и надлежащим образом подбирая радиусы и
скорости перемещения окружностей, Гиппарх сумел достаточно
точно описать движения Луны, Солнца и пяти известных тогда планет.
Теория Гиппарха позволяла предсказывать лунное затмение с
точностью до одного-двух часов, солнечные затмения с ее помощью
удавалось предсказывать менее точно [43].
Следует упомянуть о том, что с современной точки зрения
Гиппарх сделал шаг назад, так как примерно на сто лет раньше
Аристарх Самосский предложил теорию, согласно которой все
планеты обращаются вокруг Солнца. Вместо того чтобы воспринять и,
возможно, усовершенствовать эту теорию, Гиппарх отринул ее как
чисто умозрительную.
Птолемей
Во II в. н. э. греческая космология достигла наивысшего
расцвета. Ее создателем стал Клавдий Птолемей, родившийся на
берегах Нила. О его жизни известно мало. Родился он около 90 г. н. э.
близ Александрии и умер около 160 г. Считают, что его зрелость
пришлась на годы правления императора Марка Аврелия (121—
180 н. э.). Некоторые считают его членом семьи Птолемеев,
правивших Египтом с 323 до 30 г. до н. э. В свое время Птолемей был
известен не только как астроном, но и как географ. Ему принадлежат
также сочинения по оптике и астрологии. Наиболее
распространенное сочинение Птолемея в настоящее время — это «Четверокни-
жие» («Тетрабиблос»), самый популярный справочник по
астрологии из когда-либо написанных.
Непреходящую славу принесло Птолемею его сочинение «Ме-
gale Matematike Syntaxis», что в переводе с греческого означает
«Великого Учения Правила». Столь длинное название средневековые
европейцы сократили до второго слова «Математика», или
«Учение». Так мы называем теперь геометрию, арифметику, алгебру и
все науки, которые позднее родились на стыке со строгой античной
мудростью.
82

В арабском переводе сочинение Птолемея называлось «Аль-
мегисте» («Великое») по первому слову полного названия. В
европейской астрономии оно занимало главенствующее положение 14
столетий под названием «Альмагест».
О работах Гиппарха нам известно лишь по упоминаниям в
«Альмагесте». В математической части «Альмагеста» Птолемей
изложил тригонометрию, придав ей тот законченный вид, который
она сохраняла на протяжении более тысячи лет. Что же касается
астрономии, то «Альмагест» содержал подробное изложение
геоцентрической теории эпициклов и эксцентриков, дошедшей до нас
под названием теории Птолемея. Она была столь точна
количественно и так долго не вызывала сомнений, что трудно было
устоять перед искушением принять ее за абсолютную истину. Теория
Птолемея явилась высшей и окончательной формой
предложенного греками решения проблемы Платона о рациональном описании
небесных явлений и навсегда осталась первой в истории
человечества научной картиной мироздания. Труды Гиппарха, дополненные
и завершенные Птолемеем, позволили описать картину
«математического первопорядка» во Вселенной с точностью до десятого
знака после запятой.
Однако у Птолемея, как и у Евдокса, мы находим явное
признание того, что его теория — не более чем математическое
построение. Для некоторых планет Птолемей подбирал несколько
альтернативных схем и останавливался на той, которая была проще с точки
зрения математики. В дошедшей до нас версии «Альмагеста»
Птолемей представляет все параметры орбит и разъясняет все
алгоритмы вычисления положения небесных тел в любой момент времени.
Первая книга «Альмагеста» описывает тригонометрию, во
второй и третьей книгах речь идет о Солнце, в четвертой и пятой —
о Луне, в шестой — о затмениях, в седьмой и восьмой — о
звездах. Все изложение занимает на греческом языке 1152 страницы, в
английском переводе 647 страниц.
Расстояние от Земли до Луны Птолемей оценил, сравнив
результаты своих наблюдений с положениями Луны, вычисленными по
83

его же теории, и получил, что среднее расстояние от Земли до
Луны составляет 29,5 земного радиуса (около 230 тыс. км).
Воспользовавшись доводами (четырехвековой давности) Аристарха Са-
мосского, Птолемей попытался оценить расстояние до Солнца, но,
допустив грубую ошибку, получил величину, вдвое меньшую, чем
у Аристарха, и в 10 раз меньшую истинного расстояния. Однако на
протяжении последующих 15 столетий никто не уточнял
результаты Птолемея.
В седьмой и восьмой книгах Птолемей исправил и дополнил
каталог неподвижных звезд, составленный Гиппархом, увеличив
число включенных в него звезд с 850 до 1022. Птолемей разделил
звезды на шесть классов по их «величине». В современной астрономии
под звездной величиной понимают не размеры, а видимую яркость,
но в Античности принято было считать, что все звезды одинаково
удалены от Земли и, следовательно, яркость их просто
пропорциональна видимым размерам [43].
Девятая книга Птолемея посвящена его высшему и
единственному в своем роде достижению — первому в истории человечества
полному и строгому описанию причудливых и запутанных
движений планет. Исходным пунктом всех его построений была
неоспоримая первая аксиома небесной геометрии, которую он
сформулировал еще раз: «Перед нами стоит задача доказать, что, как в случае
пяти планет, так и в случае Солнца и Луны, все видимые
нерегулярности вполне объяснимы посредством равномерных круговых
движений (свободных от каких бы то ни было несоразмерностей и
беспорядков)» [43, с. 75—76]. Трудно указать в истории науки еще
какой-нибудь априорный принцип, который властвовал бы над
умами людей столь прочно и продолжительно.
Даже в ограниченных рамках равномерного кругового
движения теория Птолемея позволяла вычислять орбиты небесных тел
с точностью, великолепно согласующейся с точностью результатов
наблюдений, которые приняты за исходные. «Альмагест» по праву
принадлежит к числу наиболее замечательных достижений в
истории науки.
84

В 13-й книге «Альмагеста» Птолемей прямо заявляет, что в
астрономии следует стремиться к возможно более простой
математической модели. Но христианский мир воспринял
математическую модель Птолемея как истину. Хотя сегодня
гелиоцентрическая теория воспринимается как нечто само собой разумеющееся,
отголоски старых геоцентрических представлений и поныне
сохранились в нашем языке. Мы все еще говорим, что Солнце восходит
на востоке, а заходит на западе, иначе говоря, утверждаем, что
движется Солнце, а не мы на вращающейся Земле.

Глава 5
МАТЕМАТИКА ИСЛАМСКОГО ВОСТОКА ПОСЛЕ
УПАДКА ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Исследуя геометрию греков и алгебру индийцев
одну при помощи другой и благодаря взаимной
поддержке, оказываемой этими двумя отраслями
науки, арабы сообщили математическим наукам
тот особый и оригинальный характер, который
перешел к европейцам и в руках их послужил в XVI
столетии основою быстро развившегося
превосходства новой науки перед наукою древних.
М. Шаль
Особенности исламской культуры
Исторически сложилось так, что в Европе до XVI в. не было
достигнуто значительных результатов в алгебре. Результаты
появились на Арабском Востоке после возникновения там ислама, и это
не случайно. Остановимся подробнее на версии, объясняющей этот
факт.
Мудрецы древности считали, что все в мире соответствует
четырем стихиям: огню, воде, воздуху, земле. Исходя из этих понятий,
на Западе господствует стихия огня, в странах Арабского
Востока — стихия воды. Обосновывается это так. Исламская культура
выросла из культуры арабов, народа, к которому принадлежал
86

пророк Мухаммад (570 — 632 н. э.). Уже во времена прихода Му-
хаммада к власти культура Арабского Востока была достаточно
совершенной. Это была культура кочевого народа, занимавшегося
скотоводством и караванной торговлей в сухих степях и пустынях.
Арабы привыкли преодолевать большие расстояния на безводных
территориях. Медленный текучий ритм движения караванов и стад,
постоянные мысли о воде, о том, чтобы напоить людей и животных,
привели к тому, что вода стала играть важную роль в сознании
арабов. Тема воды глубоко пропитала весь их духовный мир. Даже
для неискушенного человека очевидны различия в плавном
начертании букв арабского алфавита в виде текучих линий и резком
начертании букв еврейского алфавита. Столь же явно ощущение
воды в плавных контурах арабской архитектуры, в «мокрых» сине-
зеленых куполах мечетей и медресе, в извилистых линиях арабесок
и арабских акварелей. Стихия воды доминирует в интерьере
мечети, пространство которой организовано так, что взор в первую
очередь устремляется на устланный драгоценными коврами пол.
По поверхности ковра растекаются волнообразные молитвенные
движения мусульман, изобилующие земными поклонами и
простираниями ниц. Предписываемые Кораном обязательные ежедневные
многократные омовения и поклонение всему, что связано с водой,
подтверждают предположение, что стихией Востока является вода
[68, с. 87].
Стихия воды, по мнению древних мудрецов, соответствует
женскому началу, которое воплощает в себе безрассудочную любовь,
женский тип восприятия, мышления, «женскую логику». Как ведет
себя женщина, сталкиваясь с какой-либо экстремальной жизненной
ситуацией? Она сразу, не задумываясь, отдается действию по
интуиции и только потом начинает думать: как все получилось —
хорошо или плохо? Для мужчины, который сначала должен осмыслить
ситуацию, в таком поведении нет никакой логики. Для женщины
она есть, тем более что во многих случаях подобное поведение
дает исключительно плодотворные результаты.
Именно на таком «женском» способе мышления зиждется
основная идея алгебры: составляется уравнение относительно
неизвестного. С уравнением производятся определенные манипуляции,
87

причем с неизвестной величиной обращаются так же, как с
известными величинами, и в результате неизвестное удается определить.
(Не случайно девочки в школе легче мальчиков усваивают алгебру
и с большим трудом — геометрию, в которой заложен мужской
пифагорейский принцип огня.)
Все сказанное, однако, не означает, что женский тип
мышления присущ только женщинам. Им обладали, например,
итальянцы XVI в. и один из самых замечательных мыслителей XX столетия
Бертран Рассел, развивший математическую логику. В предисловии
к своей книге «История западной философии» он писал:
«Философия учит нас, как жить без уверенности и в то же время не быть
парализованным неопределенностью» [68, с. 92]. Большинство
других философов, обладавших мужским типом мышления, таких,
например, как Аристотель, искали в философии прежде всего метод
достижения достоверного знания.
В соответствии с национальным характером арабов и
особенностями личности Мухаммада созданная им религиозная практика
резко отличается от всего известного тем, что базируется на
обычной материальной жизни человека и на его обычных душевных
качествах. Ислам не требует от человека ухода от жизни, его путь к
Богу лежит через чувственную любовь к нему, доведенную до полного
самозабвения. Ведь слово «ислам» означает «предание себя Богу»,
«покорность».
Такая гипертрофированная любовь к Богу на первый взгляд не
соответствует возможности познания. Тем не менее исламская
цивилизация дала человечеству алгебру и тригонометрию, сохранила
для человечества философию Аристотеля и алхимию, развила
прославленную арабскую медицину, построила Кордовскую мечеть и
мавзолей Тадж-Махал, создала персидскую поэзию и арабские
миниатюры [68].
Достижения математиков Востока
В арабской культуре Средневековья, и в математике в
частности, имело место смешение различных влияний. При этом под
арабской культурой понимают главным образом культуру народов,
88

покоренных арабами. Заметное место в развитии математики в
странах Арабского халифата на протяжении более 500 лет, с IX по
XVI в., неизменно принадлежало ученым народов Средней Азии и
Закавказья, и прежде всего таджикам, узбекам, азербайджанцам.
К крупнейшим среднеазиатским математикам принадлежат
узбекский ученый аль-Хорезми, таджикский ученый Абу-аль-Вефа,
таджикский ученый-энциклопедист Авиценна, узбекский
математик аль-Бируни, таджикский ученый, математик, поэт и философ
Омар Хайям, узбекский астроном и математик Улугбек.
Халифы Абассиды покровительствовали наукам. Халиф аль-
Мамун, сын Харун ар-Рашида, завершил дело, завещанное его
предком аль-Мансуром. Он построил в Багдаде «Дом мудрости»
с библиотекой и обсерваторией, установил отношения с
императорами Византии, преподнес им богатые подарки и попросил их
подарить ему имеющиеся у них книги по философии, медицине,
математике и астрономии. Императоры отправили ему труды
Платона, Аристотеля, Гиппократа, Галена, Евклида, Птолемея. Аль-
Мамун нашел хороших переводчиков и поручил им перевести эти
сочинения как можно лучше.
Алгебраист Мухаммад бен Муса аль-Хорезми, автор 11 научных
работ, увековечил свое имя в науке благодаря двум математическим
трактатам: по алгебре «Китаб аль-джебр ал-мукабала»1 («Книга о
восстановлении и противопоставлении») и по арифметике.
Первоначальное название арифметического трактата не известно, в
латинском переводе он называется «Об индийском счете». Благодаря
ему в Европу пришла десятичная система счисления, называемая
арабской. Замечательный трактат по алгебре аль-Хорезми написал
по указанию аль-Мамуна около 830 г. как учебное руководство для
юношества. Автор говорил, что его трактат преследовал цель
элементарного изложения важных сведений, носящих прикладной
характер.
В названии трактата есть слово «аль-джебр» (восстановление), от которого
произошло слово «алгебра». От имени аль-Хорезми произошел термин
«алгоритм».
89

а
4
X
f
s=b+ai
Рис. 6. Геометрическое
решение квадратного
уравнения
Аль-Хорезми использует геометрию
для иллюстрации алгебраических
правил. В частности, для решения уравнения
ах = Ь он рекомендует формулу
а
х2 +
х
ал
Строился квадрат площадью S =
отсекалось а/2 (два отрезка по а/4).
+ 1 / — + Ъ. Решалось уравнение
геометрически (рис. 6).
Смысл преобразований состоит в
следующем:
(ж + а/2)2 = х2 + 4ха/4 + 4(а/4)2 =
= х2 + ах + а2/4 = Ъ + а2/4.
Ъ + а2/4 и от его стороны
Омар Хайям
Наиболее значительным достижением арабов в алгебре был
«Трактат о доказательствах задач алгебры и ал-мукаббалы»
знаменитого среднеазиатского ученого и поэта Омара Хайяма (1048—
1112). Трактат в основном посвящен кубическим уравнениям. К
сожалению, он не оказал непосредственного влияния на
европейскую математику, так как стал известен только в XIX в.
Хайям построил теорию кубических уравнений, основанную на
геометрических методах Античности. Он классифицировал все
кубические уравнения с положительными корнями на 14 видов: одно
двучленное, шесть рехчленных и семь четырехчленных; каждое из
них он решал соответствующим построением и исследовал, при
каких условиях уравнение имеет один корень, а при каких — два
корня (он не подозревал, что кубическое уравнение может иметь три
корня). Решения в общем виде Хайяму найти не удалось.
Хайям составил оригинальную геометрическую теорию
параллельных линий. Он является автором реформы (1079 г.) старого
персидского календаря. Составленный им календарь был точнее
современного. Однако позже он был заменен мусульманским лунным
календарем. Вероятно, о своем календаре Омар Хайям писал:
90

Я рассчитал — твердит людей молва —
Весь ход времен. Но дней ведь только два
Изъял навек я из календаря:
Тот, что не знаем — завтра, и не вернем — вчера.
Широкой публике Омар Хайям более известен как поэт. Его
рубай (четверостишия) обычно считают сладострастными
вакхическими рапсодиями. На самом деле поэтические произведения
Омара Хайяма имеют двойной смысл. Дело в том, что Омар Хайям был
суфием. Суфизм — это философская и религиозная система
мистиков в исламе, тех, кому известен тайный, эзотерический смысл
учения о Боге и природе. В поэзии Омара Хайяма все символично, и она
имеет явно очерченный религиозный смысл, раскрывающий тайны
ислама.
Вот скрытый смысл некоторых терминов:
объятие — восторг сознательного единения с Божеством;
бракосочетание — начало познания;
вино — мистическое учение суфиев;
лоза и виноград — источник «вина», т. е. суфизм;
таверна — храм, тайное место обучения суфиев;
Возлюбленный — Бог;
любовник — суфий, созерцающий Возлюбленного;
возлюбленная дева — символ божества, объект любви суфия.
Такой же символикой наполнена поэзия Низами, Саади, Хафиза,
Гатифи и других восточных поэтов.

Глава 6
МАТЕМАТИКА В ЕВРОПЕ В СРЕДНИЕ ВЕКА
И В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ
Математика представляет искуснейшие
изобретения, способные удовлетворить любознательность,
облегчить ремесла и уменьшить труд людей.
Р. Декарт
Общая характеристика эпохи
Создание университетов. Принято считать, что европейская
цивилизация и наука ведут свой отсчет с 795 г., когда по
повелению Карла Великого была организована первая школа в столице
королевства Ахене. В этой школе изучали и математику. Самым
знаменитым преподавателем школы был уроженец Британии Алку-
ин, написавший первую в Европе книгу для школьников — «Задачи
для изощрения ума юношей».
С конца XI в. в Европе стали заметны сдвиги в науке и технике.
Они были обусловлены значительными изменениями в экономике:
возникновением ремесел, ростом городов, развитием торговли,
увеличением продуктивности сельского хозяйства. Заметную роль
сыграло знакомство европейцев с культурой Востока во времена
крестовых походов.
92

Когда в 1085 г. Толедо был отвоеван христианами у мавров,
ученые западных стран устремились в этот город, чтобы изучать
науку арабов. Они часто пользовались услугами переводчиков-евреев.
В XII столетии Платон из Тиволи, Герардо из Кремоны, Аделард
из Бата и Роберт из Честера переводят на латинский язык арабские
математические рукописи. Именно так, через посредство арабов,
Европа узнала труды греческих классиков и благодаря достаточно
высокому уровню развития смогла оценить эти знания [108].
Развивающаяся промышленность нуждалась в специалистах,
что вызвало появление первых университетов в Болонье (1119),
Париже (1150), Салерно (1173), Монпелье (1180), Оксфорде (1229).
Затем возникли университеты в Праге (1348), Кракове (1364), Вене
(1365), Будапеште (1385), Базеле (1459), Братиславе (1467) [69].
Структура университетов везде была примерно одинакова. Они
включали четыре факультета (искусств, богословия, права и
медицины). Обучение на факультете искусств продолжалось шесть
лет, затем студент мог перейти на любой другой факультет.
Наиболее влиятельным был богословский факультет, обучение на
котором длилось примерно восемь лет. Руководили университетами
монахи-богословы.
Традиционно изучались «семь свободных искусств»: тривиум
(трехпутье) и квадривиум (четырехпутье). Первый цикл — тривиум
— включал в себя грамматику, риторику (искусство красноречия),
диалектику (элементарную логику). Второй цикл — квадривиум —
составляли арифметика (изложение простейших свойств чисел и
числовой мистики), геометрия, астрономия (составление
календарей и гороскопов) и музыка (учение о гармонии). Как много взято
у пифагорейцев!
Математика изучалась на факультете искусств в объеме квадри-
виума. Некоторые вопросы рассматривались в курсе философии.
Впоследствии программа математики расширилась и включала в
себя одну или две книги «Начал» Евклида, теорию пропорций,
сведения из оптики, теорию движения светил, сферическую
астрономию [69].
Роль Церкви. В Средние века росло могущество Церкви. В
целях укрепления папства Иннокентий III, бывший Папой Римским в
93

1198—1216 гг., объявил себя наместником Бога на земле. Для
борьбы с ересью были организованы монашеские ордена доминиканцев
и францисканцев. В XIII в. создана инквизиция — орган
католической Церкви для суда и кары еретиков. Инквизиторы — монахи-
доминиканцы и монахи-францисканцы — подчинялись
непосредственно папе и были фактически бесконтрольны. С 1231 г. казни
еретиков производились сожжением на костре (под предлогом
того, что «Церковь питает отвращение к пролитию крови»). От
преследований не спасала даже смерть: судили мертвецов, на кострах
сжигали вырытые кости давно умерших людей. Общее число жертв
инквизиции исчисляется сотнями тысяч.
В монастырях развивалась и наука, хотя ученые монахи иногда
дорого расплачивались за свои исследования. Монах-францисканец
Роджер Бэкон, английский философ и естествоиспытатель, в глухом
монастыре в ожидании скорой смерти спешил написать о том,
каким видится ему будущее. Он пророчил появление судов, бегущих
без гребцов, а колесниц — без лошадей, мечтал о том, как
полетят, раскачивая крыльями, люди и как пойдут они под водой,
словно посуху. Он описывал приборы, несущие на дальние
пространства буквы и слова, а также приборы, которые смогут приближать
звезды, Солнце и Луну. Эти пророчества Церковь не оставляла без
внимания, а за одно из своих открытий Бэкон заплатил тюремным
заключением. Открытием были простые очки.
Изобретателем очков принято считать И. Кеплера. Однако
недавно выяснилось, что во время занятий в Парижском университете
анатомией и физиологией Бэкон изучал эффекты преломления
световых лучей и шлифовал стекла. Он нашел, что сегмент
стеклянного шара способен помочь тем, у кого ослабло зрение. В конце жизни
Бэкон 14 лет провел в одиночной камере монастырской тюрьмы,
куда был посажен инквизицией за связь... с дьяволом. Ему вменялись
в вину отшлифованные стекла, сквозь которые мир якобы виден не
таким, каким его создал Господь.
Теология играла главенствующую роль в идеологической жизни
общества. Она основывалась на догматизированном и
канонизированном учении Аристотеля, религиозных учениях Отцов Церкви,
системе мира Птолемея.
94

Примечательна судьба идей Аристотеля. Поначалу его взгляды
показались церковникам опасными; против него выступали
богословы, а в Парижском университете и некоторых других
университетах были запрещены лекции о естественно-научных работах
Аристотеля. Греческое учение о математических принципах
устройства Вселенной противоречило догматам католической Церкви.
Затем церковники увидели возможность приспособить идеи
Аристотеля к Священному Писанию. В основном это произошло
благодаря работам профессора Парижского университета Фомы
Аквинского, канонизированного в 1323 г. и ставшего одним из
самых почитаемых католических святых. Первые пять томов полного
его собрания из 30 томов содержат комментарии идей Аристотеля.
В XIII в. была создана новая доктрина: при сотворении Вселенной
Бог руководствовался математическими принципами.
Католическая доктрина о том, что первостепенной обязанностью ученого
является постижение Божьей воли и его творений, обрело форму
поиска математического плана, по которому Бог создал Вселенную.
В 1366 г. церковный декрет уже обязывал изучать «Логику»,
«Метафизику», «Физику» Аристотеля для получения первой
ученой степени. Вслед за этим стало считаться ересью всякое
возражение против естественно-научных взглядов Аристотеля. Так Церковь
обратила идеи Аристотеля в свое орудие [69].
К началу XVI в. провозглашенные греками цели научного
исследования — изучение явлений природы на рациональной основе
и поиск лежащего в их основе общего математического плана —
были восприняты европейцами. Мыслители позднего
Средневековья приписывали и сотворение плана, и все происходящее в природе
Богу.
Математики и представители естественных наук в эпоху
Возрождения и на протяжении последующих столетий были
правоверными христианами и полностью принимали доктрину о Боге.
Научные исследования того времени проводились почти исключительно
с религиозными целями, и выполнялись они служителями Церкви
— священниками и монахами.
Развитие науки. Практика ставила перед наукой все более
сложные задачи, таким образом стимулировались научные
исследования. В частности, потребность в печатании книг вызвала
изобретение печатного станка (издание первой печатной книги относится
95

к 1445 г.). Огнестрельное оружие совершенствовалось на основе
развития динамики. Грандиозные гидравлические работы в
Голландии, связанные с осушением заливаемых морем территорий,
были осуществлены на основе применения усовершенствованных
насосов. В судоходстве возросло водоизмещение кораблей,
совершенствовался компас, был изобретен вертикальный штурвал с
рукояткой (XII в.), появились лоции (XIII в.).
Существенное влияние на развитие науки оказали великие
географические открытия конца XV — начала XVI в. Морские
экспедиции способствовали постановке новых задач перед наукой,
прежде всего перед астрономией, механикой, математикой.
Открытие новых земель в Америке создало возможность для грабежа
заморских территорий, их колонизации. С интервалами в два года
«золотые флотилии» совершали плавание в Центральную Америку,
чтобы снабжать колонистов товарами и привозить награбленное в
Европу. Нужды мореплавания требовали умения определять
местонахождение корабля на море. В отсутствие ориентиров это можно
было делать только по светилам, т. е. важно было хорошо знать
астрономию.
Задача определения долготы на борту корабля в XVII в. — веке
мореплавания — была одной из самых актуальных. Сегодня трудно
поверить, что в то время моряки совершали дальние плавания, не
имея сколько-нибудь надежного способа измерять координаты
корабля в открытом море. Это, конечно, не касалось широты: ее умели
надежно измерять, по крайней мере в XVI в. (например, по высоте
Солнца в полдень). А что касается определения долготы, то ученые
ничего реального предложить не могли. Проблема эта все больше
волновала морские державы по соображениям сугубо
экономическим. Автор метода измерения долготы с приемлемой точностью
(скажем, до 0,5°) мог в разное время получить 10 тыс. экю от
Филиппа II Испанского, или 100 тыс. ливров от Людовика XIV, или
20 тыс. фунтов от английского парламента, или 100 тыс. флоринов
от Генеральных Штатов Голландии. Меньшая точность
пропорционально уменьшала премию. Эти цифры достаточно выразительно
свидетельствуют об интересе к проблеме.
XV и XVI столетия именуют эпохой Возрождения, имея в виду
исключительное внимание к античной культуре, небывалый взлет
96

науки и искусств. В недрах феодального строя возникали
капиталистические отношения, создавалась новая, более
прогрессивная формация — буржуазное общество. Расширялось ремесленное
производство, наблюдался дальнейший рост городов, чрезвычайно
оживились торговля и мореплавание, стремительно развивалась
наука.
XVI в. ознаменован многими открытиями блистательных
итальянцев. Итальянский математик Лука Пачоли в 1509 г. издал
книгу «О божественной пропорции». В этой книге,
иллюстрациями к которой послужили 59 рисунков Леонардо да Винчи,
рассказывалось о золотом сечении. Золотым сечением называют
деление отрезка на две неравные части, такое, чтобы отношение
большей части к меньшей равнялось отношению всего отрезка
к большей его части. Это отношение составляет (v5 + 1)/2 «
« 1, 618. Оно широко распространено в природе и искусстве,
поэтому Леонардо да Винчи назвал его золотым.
В том же веке итальянцами было сделано величайшее
открытие в алгебре, да и во всей математике, — найдены в общем виде
решения уравнений третьей и четвертой степеней. Проблема
решения уравнений третьей и четвертой степеней занимала математиков
около двух тысячелетий. Результаты арабских математиков,
особенно Омара Хайяма, в Европе не были известны, они открывались
заново и развивались далее.
Ферро
Среди итальянских университетов того времени одно из первых
мест занимал университет Болоньи. В 1496—1526 гг. профессором
математики в нем был Даль Ферро (1465—1526) Сципион.
Известно, что в 1505 г. он нашел решение кубического
уравнения вида
х + ах = b, а,Ь > 0.
Свое решение Ферро не опубликовал, а перед смертью сообщил
его Фиоре, одному из учеников. В те времена поступок Ферро был
легко объясним. Журналов, предназначавшихся для публикации
научных статей, еще не было, выпуск книги — дело длительное и
4 Математика древняя и юная
97

дорогостоящее. К тому же обладание общим методом решения
некоторого класса задач доставляло ученому большие преимущества
перед другими математиками.
В то время был распространен особый вид общения и
соревнования ученых — научный диспут (поединок, турнир). Такой
поединок по математике состоял в том, что два математика предлагали
друг другу для решения определенное количество задач
(несколько десятков) с числовыми данными. Выигрывал поединок тот, кто
решал большее число предложенных задач за установленное
время. Победитель получал денежное вознаграждение, известность,
нередко ему предлагалась должность на выгодных условиях. Фи-
оре был посредственным математиком, но любил участвовать в
турнирах, используя результаты своего учителя Ферро [27].
Тарталья
12 февраля 1535 г. Фиоре встретился на турнире с Никколо
Тартальей (ок. 1499—1557), настоящее имя которого было
Никколо Фонтана из Брешии. Тарталья по-итальянски означает «заика».
В шестилетнем возрасте он был найден раненым в церкви рядом
с его отцом, убитым французами, с которыми в то время воевала
Италия. Мальчик остался заикой на всю жизнь. Мать его была
бедна, средств на обучение не было, и Тарталья в основном занимался
самообразованием.
Будучи выдающимся математиком, обладающим блестящими
способностями и большой силой воли, Тарталья предполагал, что
легко победит Фиоре, но, узнав, что Фиоре владеет секретом
Ферро, приложил много усилий, чтобы найти решение кубического
уравнения. Это ему удалось сделать за восемь дней до поединка.
Фиоре не решил ни одной задачи из 30, предложенных
Тартальей, а Тарталья, за два часа решивший все 30 задач,
предложенных противником, стал знаменит на всю Италию. Но секрета он не
раскрыл, так как собирался опубликовать его в своей книге [27].
Кардано
Годом моложе Тартальи был другой замечательный
представитель эпохи Возрождения Джероламо Кардано (1501—1576).
Родился он в семье юриста, но был незаконным сыном. Этого глубоко
98

верующего человека с четырехлетнего возраста посещали видения,
он видел во сне будущее.
В 17 лет Джероламо Кардано поступил на медицинский
факультет университета Павии, где блистал знанием языков, философии,
астрологии, математики и умением вести диспуты, в которых часто
выигрывал у известных профессоров. В 30 лет он женился на
пятнадцатилетней Лючии, которая через 16 лет умерла, оставив ему
троих детей. Математиком себя Кардано не считал, а свое призвание
видел в медицине. Ему удалось успешно вылечить несколько
высокопоставленных особ, и он стал одним из самых желанных гостей
при дворах правителей Европы.
Узнав о победе Тартальи над Фиоре, Кардано решил выведать
у Тартальи тайну решения кубического уравнения. Через четыре
года, в марте 1539 г., Тарталья, не хотевший выдавать своей
тайны, все-таки описал в стихах секрет решения для Кардано,
который поклялся на Евангелии, что никому не передаст его. Однако в
1545 г. Кардано нарушил клятву и опубликовал решение Ферро —
Тартальи в книге «Великое искусство», указав, правда, что формулу
открыл Тарталья. С этого момента формула для корня
кубического уравнения называется формулой Кардано. Тарталья был глубоко
обижен и в своей книге назвал Кардано невеждой. Феррари,
ученик Кардано, не стерпел оскорбления, нанесенного его учителю, и
вызвал Тарталью на диспут.
Диспут состоялся в 1547 г., и молодой, прекрасный оратор
Феррари, которого к тому же поддерживали зрители, легко одержал
победу над угрюмым заикой Тартальей. Феррари к тому времени
уже овладел вершинами математики и открыл метод решения
уравнений четвертой степени. После победы над Тартальей он получил
выгодное предложение читать лекции в Риме и Венеции. Вскоре
Феррари расстался с Кардано (возможно, по религиозным
мотивам), через восемь лет заболел, вернулся в Болонью, а в 1565 г.
внезапно скончался в возрасте 43 лет (по легенде, его отравила
сестра) [26].
О Кардано, как о выдающемся астрологе, слагали легенды. По
одной из них, он составил даже гороскоп Христа (за такой
поступок могли сжечь на костре). От костра его спасло заступничество
4* 99

коронованных особ. По другой легенде, Кардано составил свой
гороскоп, в котором предсказал день и час своей смерти, и, чтобы не
уронить славу великого прорицателя, в назначенное время
покончил с собой.
Конец жизни Кардано был нелегким. Один его сын отравил
жену и был казнен, другой стал бродягой и ограбил отца. В 1570 г.
Кардано попал в тюрьму. Существуют разнообразные версии о
причине его ареста: долги, обвинение в черной магии и т. д. В ожидании
ареста Кардано уничтожил 120 своих книг. В тюрьме он пробыл два
месяца и еще 86 дней находился под домашним арестом. Умер
Кардано в 1576 г.
Мнения потомков о достижениях Кардано противоречивы.
Давид Гильберт вообще отрицал любые заслуги Кардано перед
наукой. Лейбниц писал, что Кардано был великим человеком при всех
его недостатках, без которых был бы совершенством. Имя
Кардано осталось в истории науки: все слышали о карданных шарнирах
и валах; медики используют карданный метод для лечения астмы;
один из кратеров на видимой стороне Луны назван в честь ученого.
Формула Кардано. Общее уравнение третьей степени ах3 +
+ Ьх2 + сх + d = 0 подстановкой х = у — Ь/(За) приводится к виду
y3+py + q = 0, (1)
где р = с/а- Ь2/(За2); q = d/a + 2Ь2 /(27а3) - Ъс/(3а2).
Решим уравнение (1). Пусть у = и + v, тогда
и + 3u2v + 3uv2 + v+pu + pv + q = 0,
и3 + v3 + (3uv+p)(u + v) +g = 0.
Пусть 3uv + p = 0, тогда и3 + v3 + q — 0; uv = — p/3.
Мы получили систему уравнений
и3 ■ v3 = -р3/27,
и3 + v3 = -q.
Значения и3 и v3 можно найти как корни квадратного уравнения
z2 + qz-p3/27 = 0:
q lq2 рз
Zl'2 = -2±VT + 27-
100

Так как у = и + v, следовательно,
Это один действительный корень при условии, что
q2/4 + p3/27>0.
Если же это условие не выполняется, то имеет место случай, с
которым не справились ни Кардано, ни Тарталья. Если перейти от у
к х, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения
третьей степени.
Бомбелли
Последним крупным итальянским алгебраистом эпохи
Возрождения был Раффаэле Бомбелли (ок. 1526—1572). После выхода в
1546 г. работы Тартальи «Вопросы и различные изобретения»
Бомбелли, будучи почитателем Кардано, задумал написать трактат по
алгебре. Он сделал это между 1557 и 1560 гг., систематически и
логично изложив алгебраические знания своей эпохи.
Несколько лет спустя Бомбелли получил возможность
прочитать в Риме рукопись «Арифметики» Диофанта, найденную в
Венеции известным немецким ученым Региомонтаном за 100 лет до
того. Заметим в скобках, что Региомонтан (настоящее его имя
Иоганн Мюллер) знаменит своими переводами классических
трактатов древнегреческих ученых. В трактате «О треугольниках всех
видов», опубликованном после смерти автора в 1533 г.,
тригонометрия рассмотрена как самостоятельная наука, обособленная от
астрономии.
Книга Диофанта, без сомнения, произвела на Бомбелли
глубокое впечатление. После прочтения рукописи он частично
пересмотрел свой трактат и включил в него 143 задачи, взятые из
«Арифметики» Диофанта, причем в 81 из них он сохранил те же числовые
значения. Первые три книги «Алгебры» Бомбелли были
опубликованы в 1572 г., за несколько месяцев до смерти автора.
101

Таким образом, Бомбелли первым распространил задачи
Диофанта на Западе, хотя в его «Алгебре» задачи приняли более
символический вид и их связь с задачами Диофанта была
установлена позднее. Работы Бомбелли способствовали возникновению
более абстрактных и более строгих теоретических формулировок в
алгебре.
Виет
Виет сделал решающий шаг, введя символику во
все алгебраические доказательства путем
применения буквенных обозначений для выражения как
известных, так и неизвестных величин не только в
алгебре, но также и в тригонометрии.
Д. Верная
Одним из основоположников алгебры считается крупнейший
французский математик XVI в. Франсуа Виет (1540—1603). Он
окончил университет в Пуатье, получил юридическое
образование и в 19 лет начал адвокатскую практику. Виет был
крупным государственным деятелем. Сначала он занимал пост
советника парламента в Бретани, затем перешел на службу к королю
Генриху III в качестве «докладчика по ходатайствам». После смерти
Генриха III Виет поступил на службу к Генриху IV [69].
При королевском дворе Франсуа Виет проявил себя как
талантливый специалист по расшифровке сложных кодов, которыми
пользовалась Испания в войне против Франции. После
расшифровки кодов испанцы стали терпеть одно поражение за другим. Узнав,
что коды расшифровал Виет, испанская инквизиция объявила его
богоотступником и заочно приговорила к сожжению на костре,
однако выполнить свой план не смогла.
Как и многие выдающиеся ученые, Виет обладал большой
работоспособностью. Кроме своих основных обязанностей он серьезно
стал заниматься математикой, глубоко изучал труды древних
классиков — Архимеда, Евклида, Аполлония, Диофанта — и своих
непосредственных предшественников — Тартальи и Кардано. Кроме
того, он печатал отдельные свои статьи небольшими брошюрами и
рассылал их знакомым математикам.
102

В 1570 г. Виет подготовил большой труд по тригонометрии
«Математический канон», содержавший теорию и таблицы. В 1579 г.
книга была издана. В ней было очень много опечаток, и Виет
постарался собрать и уничтожить весь тираж. Уцелевшие книги
представляют собой величайшую редкость.
Был случай, который чрезвычайно укрепил авторитет Виета
среди математиков. В 1594 г. нидерландский посланник в
Фонтенбло в разговоре с Генрихом IV заметил, что Франция, видимо, не
имеет хороших математиков, так как Роумен (известный
нидерландский математик), послав вызов на диспут крупнейшим математикам
мира, не упомянул никого из французов. Король сказал: «У меня
есть математик, и весьма выдающийся. Позовите Виета». Когда
Виет появился, посланник достал письмо Роумена. Виет прочел
письмо. Роумен предложил всем математикам в качестве вызова
решить уравнение
45х-3795ж3 + 95 634ж5-
- 1138 500ж7 + ... + 945х41 - 45ж43 + х45 = а
при
\1-\
если известно, что при
получают
2 + \/2 + V2
2 + \/2 + \/3.
Виет сразу написал ответ: х = 2 sin(4/15)°. Остальные 22 корня,
„ . 360°р + 12°
указанные им на следующий день, таковы: хр = 2 sin ,
45
р = 1,2, ..., 22. Виет знал закономерности между корнями и
коэффициентами, известные ныне как теорема Виета [69].
103

Виетом получена красивая формула, связанная с числом 7г:
Вскоре после случая в Фонтенбло Виет сам предложил
математическую задачу, которая принесла ему громкую славу. Это была
задача о построении с помощью линейки без делений и циркуля
окружности, касающейся трех данных окружностей, решенная еще
Аполлонием в утраченном труде «О касаниях». Себя Виет тогда
назвал Аполлонием Галльским. Он был первым, кто занимался
восстановлением утраченных работ Аполлония [69].
В своих работах по математике Виет не пользовался словом
«алгебра», эту науку он называл искусством анализа. Он различал
видовую логистику и числовую логистику.
Видовая логистика Виета после внесенных им в символику
усовершенствований представляла собой буквенное исчисление.
Ее объектами служили геометрические и псевдогеометрические
образы, связанные между собой различными соотношениями. Виет
был последователем древних: он оперировал такими
величинами, как сторона, квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб и т. д.,
образующими своеобразную лестницу скаляров.
Закономерности видовой логистики применялись Виетом в
геометрии и числовой логистике, которая изучала числовые значения
величин и их отношения.
Буквенная символика впервые появилась у Диофанта в III в. н. э.
В своем основном труде «Арифметика» он возродил и развил
числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических
построений, которыми пользовались греки. Однако Диофант, видимо,
не нашел в этом деле последователей ни в его эпоху, ни много
позднее. Лишь с конца XV в. в Европе началась интенсивная разработка
алгебраической символики, а завершилось создание буквенного
исчисления только в конце XVI — начале XVII в. в трудах Виета и
Декарта.
Знак равенства ( = ) введен в 1557 г. Робертом Рекордом
(«никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем
два параллельных отрезка» [27, с. 13]). Знак неравенства предложил
104

англичанин Гарриот в 1631 г., через 74 года после введения знака
равенства, но на практике знак неравенства стал применяться раньше,
чем знак равенства. У Виета этих знаков еще не было [27].
Виет разработал символику, в которой наравне с обозначением
неизвестных впервые появились знаки для произвольных величин,
называемых в настоящее время параметрами. Для обозначения
скаляров Виет предложил пользоваться прописными буквами. Он ввел
слово «коэффициент». Из знаков Виет употреблял плюс, минус и
черту дроби. Символика Виета имела недостатки и в некоторых
отношениях была менее совершенной, чем у его предшественников и
современников, так как для записи действий он употреблял слова.
Может показаться, что Виет внес в символику алгебры совсем
немного. Буквами для обозначения отрезков пользовались Евклид,
Архимед и математики более поздних времен. Но существенный
шаг вперед сделал именно Виет. Его символика позволила не только
решать некоторые конкретные задачи, но и находить общие
закономерности и полностью обосновывать их. Это, в свою очередь,
способствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь
математики, не зависящую от геометрии. Преимущества символики
позволили Виету не только получить новые результаты, но и более полно
и обоснованно изложить все известное ранее. Если
предшественники Виета формулировали некоторые правила, рецептуры для
решения конкретных задач, то Виет дал полное изложение вопросов,
связанных с решением уравнений первых четырех степеней.
Виет скончался в Париже в 1603 г. Из его многочисленных
математических работ часть была опубликована при жизни, многие
— посмертно, некоторые так и остались в рукописях. Основные
алгебраические идеи Виет изложил во «Введении в аналитическое
искусство», которое должно было стать частью не написанного им
большого трактата по алгебре.
Рассмотрим подробнее историю появлении современных
математических символов.
Математическая символика
Первыми математическими знаками были цифры. Вавилонская
и египетская системы счисления возникли еще в 3-м тысячелетии
105

до н. э. Буквенные обозначения появились в позднеэллинистиче-
скую эпоху (Диофант) в результате освобождения алгебры от
геометрической формы.
Создание современной алгебраической символики относится
к XIV—XVII вв.; оно определялось успехами практической
арифметики и развитием учения об уравнениях. Огромная заслуга в
создании современной математической символики в XVIII в.
принадлежит Л. Эйлеру, в XIX в. — Коши, Вейерштрассу, Кэли.
Французский математик Л. Карно говорил, что символы не только
выражают мысль на письме, но и воздействуют на мысль, до известной
степени направляя ее. Достаточно переместить символы на бумаге,
руководствуясь некоторыми правилами, чтобы безошибочно
достигнуть новых истин.
Современные математические обозначения с указанием их
авторов и дат введения приведены в табл. 3 [65, т.2, с. 462—463].

Таблица 3
Математические обозначения индивидуальных операций
Знак
+, -
V~,^
=
log
>
<
X
_L
х, у, z
а2, а3, ..., ап
оо
dx, ddx,..., |
d2x,d3x,... J
d
dx
Значение
Сложение, вычитание
Корни
Равенство
Логарифм
Больше
Меньше
Умножение
Перпендикулярность
Неизвестные или переменные величины
Степени
Бесконечность
Дифференциал
Производная
Кто предложил
Немецкие математики
К. Рудольф, А. Жирар
Р. Рекорд
И. Кеплер, Б. Кавальери
Т. Гарриот
Т. Гарриот
У. Оутред
П. Эригон
Р. Декарт, И. Ньютон
Р. Декарт
Дж. Валлис
Г. Лейбниц
Г. Лейбниц
Когда введен
Конец XV в.
1525, 1629
1557
1624, 1632
1631
1631
1631
1634
1637, 1676
1637
1655
1675
1675

Продолжение табл. 3
Знак
Jydx
II
7Г
(fX
№
е
cos
sin
tg
Ах
£
СП
sh
f'(x),y',f'x
Значение
Интеграл
Параллельность
Деление
Отношение длины окружности к диаметру
Функция
Функция
Основание натурального логарифма
Косинус
Синус
Тангенс
Разность, приращение
Сумма
Гиперболический косинус
Гиперболический синус
Производная
Кто предложил
Г. Лейбниц
У. Оутред
Г. Лейбниц
У. Джонс, Л. Эйлер
И. Бернулли
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
В. Риккати
В. Риккати
Ж. Лагранж
Когда введен
1675
1677
1684
1706, 1736
1718
1734
1736
1748
1748
1753
1755
1755
1757
1757
1770

Продолжение табл. 3
Знак
arcsin
г
д
дх
lim
=
!
Г
П
Ъ
ff(x)dx
а
д
П(а)
В
Значение
Арксинус
Корень квадратный из —1
Частная производная
Предел
Сравнимость
Факториал
Гамма-функция
Произведение
Определенный интеграл
Дельта (оператор Лапласа)
Угол параллельности
Бета-функция
Кто предложил
Ж. Лагранж
Л. Эйлер
А. Лежандр
С. Люилье
К. Гаусс
К. Крамп
А. Лежандр
К. Гаусс
Ж. Фурье
Р. Мерфи
Н.И. Лобачевский
Ж. Бине
Когда введен
1772
1777
1786
1786
1801
1808
1808
1812
1819
1833
1835
1839

Окончание табл. 3
Знак
\х\
г, 3, к
V
lim
п—оо
Г
С
lim
п—>оо
Значение
Модуль
Единичные векторы (орты)
Набла (оператор Гамильтона)
Предел
Вектор
Дзета-функция
Предел
Кто предложил
К. Вейерштрасс
У. Гамильтон
У. Гамильтон
У. Гамильтон
О. Коши
Б. Риман
Многие математики
Когда введен
1841
1853
1853
1853
1853
1857
Начало XX в.

Глава 7
АСТРОНОМИЯ В XVI В.
И все-таки она вертится.
Г. Галилей
Коперник
Коперника всегда будут помнить как человека,
который потряс мироздание, изгнав Землю и все
живые существа на ней из его центра, предоставив им
куда более скромное место в плане Вселенной.
Б. Лейджер
Николай Коперник (1473—1543) родился в польском городе
Торуни. Отец Коперника умер, когда Николаю было 10 лет.
Ответственность за его благополучие и воспитание взял на себя дядя
мальчика — состоятельный священник. Будучи епископом Вармии,
дядя позаботился и о том, чтобы Коперник стал одним из
каноников Фромборкского кафедрального собора в Вармии, обеспечив тем
самым Николаю приличный доход на весь остаток жизни.
Учился Коперник в Краковском университете на богословском
факультете, потом почти 10 лет прожил в Италии. В Болонье, Риме,
Падуе и Ферраре он изучал медицину, юриспруденцию и
астрономию. Возвратившись в 1506 г. в Польшу, Коперник в течение
нескольких лет был секретарем и врачом своего дяди епископа, по-
111

еле смерти дяди работал управляющим южной частью провинции
Вармии.
В 1514 г. Папа Римский Лев X обратился к ученым с
призывом скорректировать календарь, и Коперник углубился в
астрономию. В те времена, когда Коперник принялся размышлять на
астрономические темы, теория Птолемея претерпела некоторые
усовершенствования. К эпициклам, предложенным Птолемеем,
были добавлены новые эпициклы, которые понадобились для того,
чтобы привести теорию в соответствие с новыми
астрономическими данными, собранными главным образом арабами. Для описания
движений Солнца, Луны и пяти известных в тот период планет
птолемеевой теории требовалось уже 77 окружностей. Многие
астрономы, в том числе и Коперник, стали считать теорию
Птолемея чрезмерно сложной [51].
Изучение достижений греческих ученых привело Коперника к
убеждению в существовании единого математического плана, по
которому построена Вселенная и который обеспечивает ее
гармонию. Эстетические соображения требовали более изящной теории,
чем нагромождение эпициклов, содержащееся в позднем варианте
теории Птолемея. Из прочитанных книг Коперник узнал о
предположении Аристарха Самосского, что Солнце покоится, а Земля
обращается вокруг него и одновременно поворачивается вокруг
своей оси. Он решил выяснить, к чему может привести подобная
гипотеза.
Поворотный момент в размышлениях Коперника наступил
тогда, когда он воспользовался для описания движения небесных тел
птолемеевой схемой деферента и эпицикла с тем, однако,
существенным различием, что в центре каждого деферента находилось
Солнце. Земля стала одной из планет, которая, вращаясь вокруг
своей оси, движется по эпициклу. Такое видоизменение
позволило Копернику значительно упростить всю схему. В предложенной
им гелиоцентрической системе оказалось возможным уменьшить
общее число окружностей (деферентов и эпициклов) до 34 вместо
77 по геоцентрической теории. В математическом плане это
равносильно упрощению уравнения кривой или поверхности второго
порядка, когда начало координат переносится в «центр» кривой или
поверхности. При этом Коперник по-прежнему считал все орбиты
112

планет круговыми и лежащими на сферах внутри сферической
небесной тверди, на которой прикреплены неподвижные звезды.
Результаты исследований Коперник изложил в книге «О
вращении небесных сфер», посвященной папе римскому. В предисловии
к книге, написанном богословом-математиком Оссиандером,
говорится: «Во всем же, что касается гипотез, пусть никто не ожидает
получить от астрономии чего-нибудь истинного, поскольку она не
может дать что-либо подобное» [92, с. 6]. Идея автора предисловия
состояла в том, что теория Коперника удобна для вычислений, но
не имеет прямого отношения к реальному миру.
В системе Птолемея описывалась лишь проекция движения
планеты на небесный свод Земли. Поэтому нужны были отдельные
теории для Луны, Марса и других планет.
В системе Коперника необходимо знать отношения расстояний
от планет до Солнца к расстоянию от Земли до Солнца (к
астрономической единице), которое используется при расчете параметров
орбит всех планет по одному и тому же алгоритму.
Система Коперника не была принципиально точнее
птолемеевой. Более того, изменение системы отсчета не могло изменить
результатов вычислений. Однако переход к гелиоцентрической
системе настолько изменил все представления о строении мира, что
за ним вскоре последовали открытия Галилея и Кеплера, а затем и
создание механики Ньютоном. Поэтому книга Коперника оказалась
фундаментом, на котором построена вся современная наука.
Именно в этом смысле ее считают одной из величайших книг, когда-либо
написанных рукой человека.
Следует помнить, что в течение 50 лет после опубликования
книги Коперника гелиоцентрическая гипотеза не пользовалась
широким признанием главным образом потому, что она представляла
небесное движение не лучше, чем система Птолемея, и к тому же
основывалась не на свежих данных, а на наблюдениях, сделанных
Птолемеем 1400 лет назад.
После создания своей теории Коперник по-прежнему исполнял
обязанности каноника и служил королю, разрабатывая программу
по чеканке монет, которая должна была воспрепятствовать
подделке государственных денег. Он написал несколько очерков о деньгах
113

и выпуске монеты и был членом различных королевских комиссий,
занимавшихся этим вопросом.
Умер Коперник в 1543 г. в Фромборке — городе, ныне
находящемся на территории Польши.
Галилей
Галилей, искуснейший наблюдатель и
экспериментатор, превосходный математик, умелый
практический механик, мыслитель и поэт, опрокинул
существовавшее в продолжение 2000 лет учение
Аристотеля о движении и основал ту механику,
которою мы пользуемся до настоящего времени.
А.Н. Крылов
Галилео Галилей (1564—1642) родился в Пизе в семье
музыканта. По желанию родителей он поступил в Пизанскии университет,
чтобы стать врачом. Обучение начиналось с изучения философии
Аристотеля. Врачом Галилей так и не стал, увлеченно занимаясь
математикой и астрономией. В 1589 г. он был назначен
профессором математики Пизанского университета. С 1610 г. до конца жизни
он — «главный философ и первый математик светлейшего великого
герцога Тосканского».
Наибольший научный интерес у Галилея вызывали вопросы
движения (свободное падение, качание маятника). При этом своей
задачей он считал математизацию философии физики Аристотеля:
«Философия написана в величайшей книге, которая постоянно
открыта нашим глазам (я говорю о Вселенной); но нельзя ее понять,
не научившись понимать язык и различать знаки, которыми она
написана. Написана же она языком математическим» [26]. Однако
для математизации нужны факты, подтвержденные
экспериментами. Но Аристотель и его последователи считали эксперимент
недостойным занятием, излишним для установления истины. Поэтому
Галилей решил сначала вывести закон из общих соображений, а
уж затем проверить его экспериментально. Для экспериментов он
использовал «падающую» Пизанскую башню, с которой сбрасывал
вниз различные предметы.
Галилей считал, что в мире царит равномерное круговое
движение, и не поверил ни в эллиптические орбиты, ни в неравномер-
114

ность движения планет по орбитам. Он считал, что во Вселенной,
«где все части находятся в отличнейшем порядке» [26, с. 51], нет
места для прямолинейного движения по инерции. Он оставляет место
прямолинейному движению лишь вблизи Земли, а в космосе
должно царить круговое движение.
К 1610 г. Галилей получил в механике результаты, к которым
шел 20 лет. Он начал работать над всеобъемлющим трактатом по
механике, но... отложил эту работу на 23 года из-за увлечения
астрономией. Дело в том, что он построил 20-кратный телескоп и в
начале 1610 г. открыл спутники Юпитера. Вслед за этим он открыл
кольца Сатурна, фазы Венеры. Его астрономические открытия
следовали одно за другим, пока инквизиция не запретила эти работы.
Галилей был религиозным человеком, близким к высшим
церковным кругам. Папа Римский Урбан VIII высоко ценил труды
Галилея еще тогда, когда сам был студентом. Он учился у Галилея и
посвятил ему стихи, написанные в честь открытия Галилеем Меди-
чейских звезд (спутники Юпитера — Ио, Европа, Ганимед, Калли-
сто), названных так в честь Медичи [20]. Даже гелиоцентрическая
система не вызывала возражений папы, пока не претендовала на
объективный смысл. Гелиоцентризм казался ученым, и в том числе
папе — образованному гуманисту, лишь математическим
упражнением ума.
«Главным философом и первым математиком светлейшего
великого герцога Тосканского» Галилей стал после открытия
спутников Юпитера. В обязанности придворного математика тогда
входило наблюдение за светилами, составление таблиц и их
использование в астрологии, однако гороскопы Галилея не сбывались
(в отличие от гороскопов Кеплера), так как в вычислительной
астрономии он не был силен.
После выхода в свет книги Галилея «Диалоги Галилео Галилея...
экстраординарного математика Пизанского университета и
главного философа и первого математика светлейшего великого
герцога Тосканского, где в четырех дневных беседах ведется
обсуждение двух основных систем мира, птолемеевской и коперниковой, и
предлагаются неокончательные философские и физические
аргументы как с одной, так и с другой стороны» инквизиция стала
преследовать Галилея. По-видимому, инициатива в этом принадлежала
115

самому Урбану VIII. Преследование было вызвано политическими
соображениями, а также тем, что он увидел себя в «Диалогах» в
качестве героя, высказывающегося не слишком умно.
22 июня 1633 г. Галилея осудил суд инквизиции. В церкви
святой Марии-над-Минервой коленопреклоненный Галилей, которому
через полгода должно было исполниться 70 лет, выслушал
приговор. Галилея объявляли «сильно заподозренным в ереси»
(заподозренного в ереси не сжигали как еретика) за то, что он «держался и
защищал в качестве правдоподобного мнения... будто Солнце есть
центр мира и не движется, а Земля не есть центр мира и
движется». Книга «Диалоги» запрещалась, Галилей приговаривался к
заключению в Святой службе (так называлась тюрьма инквизиции)
и должен был «три года единожды в неделю читать семь
покаянных псалмов». Галилей зачитал текст отречения от своих взглядов.
Заключение в тюрьме инквизиции было заменено ссылкой, и через
полгода ему разрешили перебраться в его виллу Арчетри,
невдалеке от монастыря, где находились его дочери. Там Галилей прожил
восемь оставшихся ему лет [26].
Отречение Галилея не перестает волновать людей и сегодня.
Имел ли право ученый отречься от теории, которую,
несомненно, считал истинной и утверждению которой отдал значительную
часть своей жизни? Рассказывают, что Гильберт, с присущей ему
непосредственностью, так отозвался о Галилее: «Но он же не был
идиотом. Только идиот может считать, что научная истина
требует мученичества. Быть может, так обстоит дело в религии, но
научные результаты доказывают себя с течением времени» [84,
с. 124]. Легендарную фразу «И все-таки она вертится!» Галилей,
по-видимому, не говорил, но, несмотря на его несомненную
религиозность, его отречение не могло быть искренним.
В последние восемь лет жизни слепнувший Галилей вновь
занимался механикой. В своих «Беседах» (1638) он пришел к
математическому изучению движения, к зависимости между расстоянием,
скоростью и ускорением. Он ни разу не изложил систематически
свои математические идеи, предоставив это сделать ученикам —
Торричелли и Кавальери.
Не будучи собственно математиком, Галилей занимает видное
место в истории математики. Он всячески пропагандировал
применение математических методов при изучении явлений природы
116

и дал превосходные образцы такого применения. Он искал новые
математические методы, необходимые для развития новых
физических теорий, и его деятельность в этом направлении оказала
большое влияние на его непосредственных и косвенных учеников, к
которым надо отнести всех виднейших математиков XVII в.
Ньютон приписывал Галилею не только первый закон
механики, но и второй, хотя это было преувеличением, так как четкой
связи между силой и ускорением Галилей не установил. Размышляя о
свободном падении, Галилей дал исчерпывающий ответ на вопрос
как, но не дал ответа на вопрос почему. О задачах ученых Галилей
говорил, что они должны не рассуждать — почему, а устанавливать
— сколько (т. е. находить количественные соотношения).
Последователи Аристотеля считали истинной задачей ученых объяснение
причин, по которым происходит явление. Основой выводов
Галилей считал эксперимент и презрительно относился к «бумажным»
ученым.
Все современное естествознание «вышло» из Галилея. И дело
не только в том, что он открыл основополагающие законы
механики. Величайшая заслуга Галилея перед человечеством состоит в
том, что он был первым экспериментатором, первым стал задавать
вопросы природе. Нынешний этап развития науки начался в тот
момент, когда Галилей поднялся на Пизанскую башню, чтобы
исследовать законы падения тел. Он был вдохновенным защитником
системы Коперника.
Умер Галилей в конце 1642 г., за несколько месяцев до рождения
Ньютона. В ноябре 1979 г. Ватикан реабилитировал Галилея.
Кеплер
Когда историю жизни Кеплера сопоставляешь с
тем, кем он стал и что он сделал, радостно
изумляешься и при этом убеждаешься, что истинный
гений преодолевает любые препятствия.
И. В. Гете
Иоганн Кеплер (1571—1630) родился в небольшом германском
городке Вейль-дер-Штадт. Его отец был ландскнехтом
испанского короля Филиппа II и редко бывал дома, так как участвовал
117

в военных походах. Его мать, дочь трактирщика, имела тяжелый
и неуживчивый характер, она немного разбиралась в травах и
лечила отварами и настоями тех, кто к ней обращался.
Иоганн родился семимесячным и рос слабым ребенком. В
четыре года он чуть не умер от оспы, его мучили нарывы, преследовали
болезни печени и желудка, головные боли. Слабое здоровье
впоследствии очень мешало Кеплеру в его занятиях наукой. Ему трудно
было вести астрономические наблюдения в холодные зимние ночи,
к тому же у него была сильная близорукость и дефект зрения, в
результате которого он, например, видел не одну Луну, а несколько.
Выручали Кеплера сила духа и воля.
Родители выбрали для Иоганна духовную карьеру. В 1584 г. он
поступил в низшую семинарию, а в 1586-м — в высшую. Занятия
начинались летом в четыре часа утра, зимой в пять часов. После
окончания семинарии в 1589 г. Иоганн поступил в Тюбингенский
университет на факультет искусств. Через два года он перешел
на теологический факультет, где для студентов-богословов был
установлен трехлетний срок обучения. В конце 1594 г. обучение
Кеплера на теологическом факультете должно было
закончиться, но неожиданно произошло событие, резко изменившее судьбу
Иоганна. В протестантской школе города Граца скончался
преподаватель математики, и Кеплеру, мечтавшему о духовной карьере,
пришлось преподавать в ней математику. Отказаться он не мог, так
как в университете обучался за государственный счет и ему просто
приказали преподавать. В Граце Кеплер прожил шесть лет. Кроме
преподавания математики в его обязанности входило составление
астрономических календарей и прогнозов с видами на урожай,
погоду, политические и военные события. Уже первый прогноз
Кеплера сбылся: зима была суровой, турки вторглись, а крестьяне
восстали. В дальнейшем Кеплер пользовался славой
выдающегося астролога, все гороскопы которого сбывались. Будучи глубоко
религиозным человеком, Кеплер смотрел на занятия астрологией
лишь как на источник дополнительного дохода [59].
Астрономические открытия Кеплера. В 1596 г. Кеплер
напечатал первую свою книгу «Тайна Вселенной», в которой пытался
построить гелиоцентрическую систему мира, устанавливая
числовую зависимость между расстояниями планет от Солнца и
размерами правильных многогранников. В то время было известно шесть
118

планет. Кеплер решил, что если в сферу, на которой лежит
орбита Сатурна, вписать куб, то на сфере, вписанной в этот куб, будет
лежать орбита Юпитера. Если в нее вписать тетраэдр, то на
сфере, вписанной в тетраэдр, будет лежать орбита Марса. Далее как
матрешки должны быть вписаны: додекаэдр, сфера Земли,
икосаэдр, сфера Венеры, октаэдр, сфера Меркурия. В центре этой
системы концентрических сфер, вписанных и описанных
многогранников находится Солнце [31].
Полученный Кеплером результат не слишком отличается от
реальности (за исключением ошибки в определении радиуса
орбиты Меркурия). Кеплер считал, что это — открывшаяся ему великая
тайна Вселенной: «Мне никогда не удастся найти слов, чтобы
выразить свое восхищение этим открытием» [31, с. 176]. Некоторые
считают, что Кеплер до конца своих дней считал эту идею,
сформулированную им в 23 года, основным достижением своей научной
деятельности. Однако думается, что это была лишь проба пера,
полет фантазии, позднее же он с помощью скрупулезных вычислений
открыл свои знаменитые три закона, которые никак не вписываются
в рассмотренную гипотезу.
В связи с усилением гонений на протестантов, к которым
принадлежал Кеплер, в 1600 г. он уехал в Прагу по приглашению Тихо
Браге — придворного математика и астронома Рудольфа II,
императора Священной Римской империи. Осенью 1601 г. Браге умер,
и придворным математиком был назначен Кеплер. В его руках
оказались журналы с записями точнейших астрономических
наблюдений, которые Браге вел на протяжении четверти века. Эти
наблюдения позволили Кеплеру открыть три закона движения планет. Но
он не открыл бы эллиптичности орбит движения планет, если бы не
был столь педантичен и не обеспокоился бы тем, что, по
наблюдениям Тихо Браге, орбита Марса имела небольшое отклонение (8')
от орбиты, предсказанной теорией Птолемея.
Зимой 1601 г. Кеплер выводит один из законов движения планет,
который впоследствии получит наименование второго закона
(«закон площадей»). Вначале Кеплер формулирует его для Марса, так
как опирается на наблюдения движения этой планеты, полученные
Тихо Браге. Затем, проверив правильность этого закона для
движения других планет, распространяет его на всю Солнечную систему.
119

Формулировка закона такова: радиус-вектор планеты описывает в
равные промежутки времени равные площади.
Свой первый закон Кеплер сформулировал в 1605 г.: каждая
планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого
находится Солнце.
Оба закона Кеплера были опубликованы в его книге «Новая
астрономия», которая увидела свет в 1609 г. в Гейдельберге.
Третий закон был установлен позднее, в 1618г. Он приведен в книге
Кеплера «Гармония мира», изданной в 1619 г. Этот закон звучит
так: квадраты времен обращений планет вокруг Солнца
пропорциональны кубам больших осей их эллиптических орбит.
Чтобы вывести свои законы, Кеплер проделал огромное
количество вычислений. Каждое из них занимало 10 страниц. Одно
вычисление делалось 70 раз, чтобы проверить его правильность.
Сохранилось 900 листов таких вычислений, заполненных мелким
почерком ученого [59, с. 26]. Сформулировав третий закон, Кеплер
разражается ликующим хвалебным гимном Творцу: «Вы, Солнце,
Луна и планеты, восславьте Его на своем неизъяснимом языке! Вы,
небесные гармонии и все, кто постигает разумом Его чудесные
творения, воздайте Ему хвалу! И ты, душа моя, восхвали Создателя!
Им все сотворено, и в Нем все существует. Все лучшее из того, что
мы знаем, заключено в Нем и в нашей жалкой науке» [44, с. 50].
Помимо «Новой астрономии» в Праге Кеплер написал два
фундаментальных трактата по оптике: «Дополнения к Вителло,
в которых излагается оптическая часть астрономии» (1604) и
«Диоптрика» (1611). Термином «диоптрика» Кеплер назвал тот раздел
оптики, в котором рассматривается преломление света (в отличие
от евклидовой катоптрики, изучающей отражение света). Кеплер
построил в целом правильную теорию действия оптических
приборов, и в частности зрительных труб. Здесь же Кеплер описал
изобретенный им телескоп, явившийся прообразом современных
рефракторов. Нынешнюю оптику можно с полным правом назвать
кеплеровской. В Праге Кеплер написал еще ряд работ: «О новой
звезде» 1604—1606гг., «Разговор со звездным вестником» 1610г.,
«О шестиугольной форме снежинок» 1611г. и др.
Кеплер не только защитил учение Коперника, но и сделал
гигантский шаг вперед в изучении строения Солнечной системы.
120

Против теории Коперника было выдвинуто много возражений.
Поддержку она получила только у математиков, которые были
убеждены, что Вселенная построена на простых математических
принципах (чем проще и изящнее, тем правильнее). У Птолемея было
77 окружностей, у Коперника — 34 окружности, у Кеплера — семь
эллипсов. Самым серьезным доказательством правильности
гелиоцентрической системы стало открытие Галилеем четырех
спутников Юпитера, которое показало, что у движущейся планеты могут
быть свои спутники, т. е. Земля — не исключительное явление во
Вселенной. Следующим доказательством было открытие Галилеем
фаз Венеры (предсказанных Коперником).
Математические открытия Кеплера. Относительно
благополучный десятилетний период пребывания Кеплера в Праге
закончился. В конце 1610 г. заболевает жена Кеплера Барбара. Течение ее
болезни осложняется припадками эпилепсии и появлением
признаков душевного расстройства. Трое детей Кеплера заболевают оспой.
В 1611 г. умирают сын и жена. Он остается с двумя детьми.
Через два года, в 1613 г., Кеплер женится на Сусанне Раттин-
гер. Во втором браке у него родилось восемь детей. Рассказывают,
что когда, Кеплер покупал вино для свадьбы, его заинтересовало,
как торговец определял вместимость бочки. Тогда ученый решил
заняться задачами на вычисление объемов тел вращения.
Сначала Кеплер нашел формулу для объема бочки. Затем он определил
объемы тел, которым дал названия: «лимон», «яблоко», «груша»,
«слива», «айва», «земляника», «турецкая чалма» и т. п. Всего им
исследованы 92 тела вращения. Для нахождения объемов таких
«неправильных» тел он применил метод исчерпывания, заполняя
умозрительно тела фигурами, объемы которых поддавались
вычислению. Одновременно он разбивал тело на множество элементарных
частей.
Написанная Кеплером и изданная в 1615 г. «Новая стереометрия
винных бочек» положила начало целому ряду исследований,
которые привели к созданию Ньютоном и Лейбницем
дифференциального и интегрального исчисления.
Кеплер был выдающимся математиком. Он внес большой вклад
в теорию конических сечений, ввел в научный оборот термин
«фокус» (гиперболы, параболы, эллипса). Введенное им понятие беско-
121

нечно удаленной точки способствовало созданию проективной
геометрии. Основной заслугой Кеплера в математике является то, что
он смело отошел от считавшихся незыблемыми методов
геометрических доказательств, известных со времен Архимеда и Аполлония.
Он требовал от метода простоты и быстрого получения результата.
Ему были сделаны упреки в том, что его доказательства ничего не
доказывают, что он оскорбляет священную память Архимеда.
Найденные с помощью «механических теорем» результаты Архимед
затем выводил (проверял) методом исчерпывания, а Кеплер отказался
от такой проверки.
До Галилея и Кеплера кривые второго порядка казались плодом
математической фантазии, не имеющим отношения к
действительности. Галилей открыл движение по параболе для свободно
падающего тела, а Кеплер — эллиптичность орбит планет.
Галилей и Кеплер были современниками, Галилей родился на
семь лет раньше, а умер на 12 лет позже Кеплера. Но они не
сопоставили свои открытия. Это сделал только Ньютон. Более того,
Галилей не признал законы Кеплера и не сообщил ему о своем
открытии, хотя они регулярно переписывались и оба были активными
сторонниками системы Коперника.
Кеплер был хорошим вычислителем, принимал участие в
разработке теории логарифмов, составлении таблиц логарифмов.
Некоторые математики считали, что таблицы Иоганна Кеплера лучше,
чем таблицы Джона Непера, шотландского барона, занимавшегося
астрономией и математикой. Современное обозначение логарифма
введено в обращение Кеплером.
В конце 1615 г. мать Кеплера обвинили в колдовстве. Обвинение
содержало 49 пунктов: вызванный ею мор животных, сглаз людей,
сношение с дьяволом и т. д. Следствие тянулось почти пять лет. В
1620 г. мать была арестована и препровождена в тюрьму. Кеплер
построил защиту очень искусно. Он давал каждому конкретному
случаю вполне естественное объяснение, отводившее обвинение в
колдовстве. Судьи вынуждены были записать: «Арестованную, к
сожалению, защищает ее сын, господин Иоганн Кеплер, математик»
[59, с. 32]. В конце 1621 г. процесс был прекращен, через полгода
мать умерла.
122

В 1617—1622 гг. Кеплер пишет первый учебник по астрономии,
который сразу попадает в список запрещенных книг; в 1619 г. он
издает «Гармонию мира», где приводит три закона движения планет;
в 1624 г. заканчивает составление новых астрономических
планетных таблиц — «Рудольфинских таблиц» (названных так по имени
Рудольфа II), над которыми он трудился 22 года. Таблицы
использовались астрономами в течение 200 лет и только в начале XIX в.
были заменены более точными.
Последние годы жизни Кеплера. Они были омрачены
лишениями и скитаниями. В Европе шла тридцатилетняя война, и Кеплер
преследовался как протестант. Однако от предложения императора
перейти в католичество он отказался. В довершение ко всему
сгорела типография, где печатались труды Кеплера, чудом уцелела лишь
рукопись таблиц.
В тот период судьба столкнула Кеплера с любимцем
императора — полководцем Альбрехтом Валленштейном. Дважды он
обращался к Кеплеру как к астрологу, и тот составлял для него точные
гороскопы. В гороскопе, составленном в 1624 г., Кеплер предсказал
Валленштейну смерть в 1634 г. Действительно, 4 февраля 1634 г.
Валленштейн был убит. Но Кеплер умер раньше. В 1630 г. он
простудился во время поездки за обещанными, но не выплаченными
деньгами и умер 15 ноября на 59-м году жизни. После смерти
Кеплера остались одно изношенное платье, две рубашки, несколько
медных монет, 12 694 гульдена неуплаченного жалованья, 57
вычислительных таблиц, 27 напечатанных научных трудов (некоторые
из них многотомные) и огромное рукописное наследие,
объединенное позже в 22 тома [59, с. 19].
Но надо сказать, что, несмотря на сложные перипетии судьбы
Кеплера, читая его работы, мы неизменно ощущаем его
благодарность Творцу — за радость и счастье, дарованные ему. Радость —
от труда и счастье — от постижения истины. Он искренне верил в
то, что любой человек, ищущий истину, будет счастлив, узнав о
новых открытиях. Таким людям адресованы его слова: «На некоторых
местах... надо остановиться поподробнее, чтобы... ученые люди
нашли, чем воспользоваться и чему порадоваться» [97, с. 49].

Глава 8
МАТЕМАТИКА В XVII В.
В истории науки математика XVII в. занимает
особое, весьма значительное место. XVII в. открывает
новый период — период математики переменных
величин.
К.А. Рыбников
Общая характеристика
XVII в. является поворотным не только для математики, но и
для естествознания в целом. Причина бурного развития
естествознания в XVII в. заключается в необычайно возросших
экономических ресурсах европейских государств, в том, что на арену
политической жизни вышел новый класс — буржуазия. Достижения
научного естествознания утверждаются буржуазией в качестве
одного из основных средств ее господства.
Перед наукой встала задача создания таких методов, которые
вместе с возможностью наиболее широкого приложения были бы
достаточно простыми и компактными. XVII в. ознаменовался
появлением трех исключительных по силе и значению созданий
человеческого ума: логарифмов, аналитической геометрии и
исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального
исчисления). Эти три открытия можно коротко определить
следующим образом: метод наиболее экономного и эффективного вы-
124

полнения вычислений; метод сведения разнообразных процессов
реальной действительности к общим законам алгебры и, наконец,
метод пределов, наиболее точно отражающий непрерывность
механических процессов. В XVII в. берут начало все, или почти все,
разделы математики, входящие в настоящее время в классический
фонд современного высшего математического образования.
В трудах Декарта и Ферма начала складываться аналитическая
геометрия как метод выражения посредством аналитических
соотношений размеров, форм и свойств геометрических объектов.
В разнообразных формах стал возникать математический анализ.
Вначале это было дифференциальное и интегральное исчисление,
принявшее в 1665—1666 гг. в сочинениях Ньютона
(опубликованных, однако, лишь в XVIII в.) вид теории флюксий, а в сочинениях
Лейбница (опубликованных в 1682—1686 гг. и позднее) вид
исчисления дифференциалов.
Тотчас после возникновения математического анализа
механические и физические задачи стали записывать в виде
дифференциальных уравнений, решение которых стало с тех пор едва ли не
самой главной особенностью всей математики. Почти в то же самое
время в математическом анализе появились первые задачи,
вводящие в его высшие области. В частности, речь идет о вариационных
задачах, попытки решения которых привели впоследствии к
появлению вариационного исчисления — самой ранней части
функционального анализа.
В неразрывной связи с анализом формировались в качестве
отдельной области математики его геометрические приложения. Еще
в начале столетия, в 1604 г., Кеплер получил формулу радиуса
кривизны. Позднее, в 1673 г., Гюйгенс исследовал эволюты и
эвольвенты кривых. Многие дифференциально-геометрические факты,
открытые и доказанные в XVII в., послужили надежной основой для
выделения и обоснования новой области математики —
дифференциальной геометрии. В XVII в. были получены первые результаты
теории перспективы и проективной геометрии в работах Ж. Дезар-
га и Б. Паскаля. Научную форму приобрела теория вероятностей,
особенно благодаря открытию Я. Бернулли простейшей формы
закона больших чисел. Наконец, элементарная математика приобрела
125

завершенную форму благодаря замене риторической алгебры
символической, а также изобретению логарифмов.
В XVII в. мир рассматривался как механизм, действующий в
соответствии с незыблемыми законами. В связи с таким взглядом
ведущее значение приобрела механика. Ее положения
распространялись на все явления жизни, какой бы природы они ни были. Для
того времени это было прогрессивным явлением, и лишь
впоследствии механистическое объяснение мира стало тормозом в
развитии научного естествознания.
В условиях нового времени формировался новый тип ученого:
в большинстве своем ученые были одновременно механиками,
инженерами, физиками, астрономами, математиками и часто
философами. Многие из них занимались инженерной практикой. Галилей,
Гюйгенс, Ньютон строили зрительные трубы. Гюйгенс, кроме того,
был выдающимся часовым мастером. Паскаль и Лейбниц
конструировали вычислительные машины. Дезарг занимался
фортификацией, Декарт и Торричелли — шлифованием линз.
В 1600 г. Галилею было 36 лет, Кеплеру — 29 лет, Рене
Декарту — четыре года, а до рождения Пьера Ферма оставался один год.
Именно Декарт и Ферма являются наиболее выдающимися
математиками первой половины XVII в.
Логарифмы
Отношение к логарифмам сейчас не такое, каким было еще
несколько десятилетий назад. Сейчас логарифмическая функция —
одна из многих, а таблицы логарифмов в наш век
микрокалькуляторов и компьютеров уже не нужны. Однако еще 40 лет назад в
школах ответы к очень многим задачам нужно было привести к виду,
удобному для логарифмирования.
Начиная с XVII в. до 60-х годов XX в. логарифмы оставались
основной «вычислительной фабрикой», так как значительно
сокращали время, необходимое для громоздких приближенных
вычислений, связанных с практическими задачами вычислительной
математики. Их применение основано на том, что сложным
математическим операциям над числами соответствуют более простые
операции над их логарифмами (при возведении числа в степень
126

его логарифм умножается на показатель степени, а
произведению чисел соответствует сумма их логарифмов при одинаковом
основании).
Логарифмы были изобретены в начале XVII в. Теоретические
основы логарифмирования стали формироваться очень давно как
следствия сравнения арифметической и геометрической
прогрессий. Одним из первых таблицу логарифмов составил Бюрги,
швейцарский специалист по ремонту часов и астрономических
инструментов. Он долго не решался публиковать таблицу, несмотря на ее
очевидную полезность при вычислениях. Только в 1620 г. по
настоянию Кеплера Бюрги издал книгу «Таблица арифметической и
геометрической прогрессий с обстоятельным наставлением, как
пользоваться ею при всякого рода вычислениях».
Медлительность Бюрги стоила ему приоритета. В 1614 г., на
шесть лет раньше выхода его книги, в Англии появилось
«Описание удивительных таблиц логарифмов», автором которых был Джон
Непер. Десятичные таблицы логарифмов разработал профессор
математики в Оксфорде Генри Бригг. Свои таблицы логарифмов
составил и Кеплер.
Теория логарифмических функций получила завершение в
XVIII в. в трудах Эйлера. Он дал общее определение
логарифмической и показательной функций как взаимно обратных,
распространил понятия логарифма на случай комплексного аргумента, ввел
символ е для основания натуральных логарифмов и т. д.
Мерсенн
С развитием науки возникала настоятельная потребность
ученых в общении. Это привело к появлению научной переписки,
созданию своего рода центров научной информации.
Подлинным центром французской науки была (вплоть до его
смерти) келья монаха Марена Мерсенна (1588—1648), с детства
знакомого с Декартом и учившегося с ним в одной школе. Мерсенн
сам был незаурядным ученым. Кроме того, и это, пожалуй, главное,
он вел переписку почти со всеми европейскими умами, будучи
своего рода почтовым центром для всех ученых Европы, от Галилея до
Гоббса [85].
127

Ядро кружка Мерсенна составляли несколько человек,
встречавшихся, как правило, каждую неделю. Мерсенн обладал редкой
способностью объединять вокруг себя людей с общими интересами
и отличался замечательной интуицией, позволявшей ему из потока
научных работ выделять наиболее значительные. Благодаря этому
Мерсенн стал душой парижских естествоиспытателей. Переписка
заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно
позже. Через Мерсенна велись научные дискуссии по всем важным
спорным вопросам. Кружок (или ассамблея) собирался обычно у
Мерсенна, с 1625 г. это происходило регулярно. Местом собраний
был монастырь ордена миноритов на Королевской площади.
В келье Мерсенна обсуждались результаты проведенных
наблюдений, экспериментов, теоретических изысканий, научных
новостей, поступивших из других стран. Кружок Мерсенна стал
зародышем Парижской Академии наук, созданной в 1666 г. Кольбером,
министром Людовика XIV.
Декарт
Если я и открыл некоторые новые истины в науках,
то я могу утверждать, что все они либо являются
прямыми следствиями пяти или шести главных
задач, которые мне удалось решить, либо зависят от
них; я рассматриваю их как такое же число
сражений, в которых военное счастье было на моей
стороне.
Р. Декарт
Рене Декарт (1596—1650) родился в небольшом французском
городке Лаэ в богатой и старинной дворянской католической семье.
На восьмом году Рене был отдан в школу Ла Фреш — одно из
лучших учебных заведений того времени. Школа была организована
образцово и находилась в ведении ордена иезуитов. В школе Декарт
познакомился с Мареном Мерсенном, который, хотя и был старше,
стал первым в кругу друзей Декарта.
Вскоре после окончания школы Рене Декарт, продав часть
принадлежавших ему имений, вступил добровольцем в войско
знаменитого Морица Оранского, главнокомандующего армией
Нидерландов. Служба в армии обеспечивала осуществление плана, который
128

к тому времени созрел у Декарта: изучать открывающийся перед
ним мир, ознакомиться с применяющимися в армии механизмами и
с фортификационным искусством. Франция тогда враждовала с
Испанией, поддерживала Голландию, и служба французских дворян в
нидерландской армии была данью моде. Голландия в XVII в. —
передовая в политическом и экономическом отношении страна,
переживающая пору бурного расцвета. В стране работали выдающиеся
ученые, получило широкое распространение книгопечатание,
развивалась сеть университетов.
В 1618 г. Декарт приехал в Бреду, где познакомился с
математиком Бекманом, а затем в составе войск оказался в Ульме (Германия).
По воспоминаниям Декарта, в Ульме в ноябре 1619 г. ему
приснились три вещих сна, в которых открылась сущность новой,
универсальной науки. После этих снов Декарт проникся убеждением, что
«часто работа, составленная из многих частей и сделанная руками
многих мастеров, не имеет такого совершенства, как работа, над
которой трудился один человек» [32, с. 17], и дал обет Богоматери
посетить Лорето в Италии, где и побывал в 1625 г.
Однажды Декарт удивил самого кардинала, когда в обществе
«ученых и любопытных людей» он выступил против одного
рассуждения, встреченного аплодисментами. «Это рассуждение, —
сказал Декарт, — свидетельствует о том, как легко люди
удовлетворяются правдоподобным вместо истинного. Нет ничего легче, как
выдать ложное за истинное и, наоборот, истину представить
заблуждением» [109, с. 83]. Для доказательства верности его слов
Декарт попросил присутствующих изложить какую-нибудь
бесспорную истину и с помощью двенадцати аргументов, из которых один
был вероятнее другого, логически доказал, что истина ложна.
Затем он предложил высказать заведомо очевидную ложь и, также
используя веские, весьма вероятные высказывания, заставил всех
признать, что высказанная ложь — это не ложь, а самая настоящая
истина.
На вопрос, как же отличить ложь от истины и избежать ошибок,
Декарт ответил, что нужно пользоваться особым методом,
извлеченным им из математики. Этот метод Декарта, которому он
посвятил трактат «Рассуждения о методе, чтобы хорошо исправлять свой
5 Математика древняя и юная 129

разум и отыскивать истину в науках», основан на твердом
соблюдении следующих четырех правил.
1. Считать истинным только то, что с очевидностью познается
таковым. Другими словами, научное исследование надо проводить
без спешки и предубеждения в выводах, причем отчетливость и
ясность должны быть на первом плане.
2. Каждую из рассматриваемых трудностей делить на столько
частей, сколько требуется для лучшего разрешения (сложную
математическую задачу следует делить на ряд более простых).
3. Исследование всегда надо начинать с наиболее простых и
легко познаваемых предметов и постепенно восходить, как по
ступеням, до познания наиболее сложных предметов и явлений, допуская
существование порядка даже среди тех, которые не следуют друг за
другом.
4. Делать всегда настолько полные перечни и общие обзоры
(фактов, открытий, гипотез, систем), чтобы быть уверенным, что
ничего не пропущено [32].
Декарт представлял себе мир как воплощение геометрии и свою
механистическую физику строил лишь на понятиях
протяженности, формы и движения. Он был убежден, что силы, вызывающие
движение, подчиняются неизменным математическим законам. Так
как форма сводится к протяженности, а протяженность можно
выразить в математических терминах, значит, мир, который есть не что
иное, как протяженность и движение, можно математизировать.
С 1625 г. Декарт занимается математикой и физикой, в
основном оптикой. Он разрабатывает математическую теорию
рефракции света, чтобы улучшить изображение в телескопах, в частности,
устанавливает, что наилучшей формой линз для исправления
аберрации является гиперболическая.
Используя теорию вихревых движений материальных частиц,
Декарт нарисовал картину перемещений небесных тел. Эта
вихревая композиция стала структурой его ошибочной теории света.
Удивительное дело: отталкиваясь от нее, он безошибочно выводит
закон преломления светового луча на границе раздела двух сред. И
еще удивительнее, что им найдены многочисленные приложения
этого закона в практике оптических инструментов. Занимается он
130

также поиском новых решений великих задач древности об
удвоении куба и трисекции угла.
Осенью 1628 г. он на 20 лет опять уезжает в Голландию, где, по
его словам, среди «деятельного народа можно свободно жить, как в
отдаленной пустыне». Декарт переписывается с учеными Франции,
Италии, Голландии. Мерсенн информировал его о научных
открытиях, посылал для решения физические и математические задачи. В
ту пору среди ученых решение предложенных задач считалось
делом чести, поэтому Декарт уделял этому занятию много внимания.
Если для математиков Декарт — создатель аналитической
геометрии, то для остального образованного мира он — философ,
основатель нового направления, названного «картезианство»
(Cartesius — латинизированное имя Декарта). Философия Декарта
имеет большое значение. Она оказала решающее влияние на
формирование стиля мышления, характерного для XVII в., и на взгляды
таких гигантов науки, как Ньютон и Лейбниц. Сам он считал себя
в первую очередь философом, во вторую — космологом, в третью
— физиком, в четвертую — биологом и только в пятую очередь
математиком.
В Голландии Декарт занялся философией более основательно
и решил написать большую работу, в которой хотел изложить свое
видение мира, ведь еще в школьные годы у него оформилась мысль
построить все науки по образцу математики. По его замыслу,
трактат должен был содержать следующие разделы: физика,
космология, природа, животное, человек.
Главная цель Декарта как философа — найти способ,
позволяющий установить истину в любой области. Основными способами
мышления, позволяющими избежать ошибок, Декарт считал
интуицию и дедукцию. Он теоретически пытался доказать
существование Бога, под которым понимал «субстанцию бесконечную,
вечную, неизменную, независимую, всемогущую, создавшую и
породившую меня и все остальные существующие вещи» [44, с. 54]. По
его мнению, математика выражает сущность всех наук, изучающих
физический мир.
Несмотря на большие трудности, связанные с широтой охвата
проблем, Декарту удалось к лету 1633 г. вчерне закончить трактат,
о чем он сообщил Мерсенну в письме от 22 июня 1633 г. Но как раз
5* 131

в тот день инквизиция осудила Галилея, о чем Декарт узнал через
пять месяцев. Узнал и прекратил работу над трактатом.
Осуждение Галилея было тяжелым ударом для Декарта. Он
писал Мерсенну: «Это меня так поразило, что я решил сжечь все мои
бумаги или по крайней мере никому их не показывать; ибо я не в
состоянии был вообразить себе, что он, итальянец,
пользовавшийся расположением даже папы, мог быть осужден за то, без
сомнения, что хотел доказать движение Земли; насколько я знаю, это было
осуждено кардиналами, но, как мне стало известно, затем публично
преподавалось даже в Риме. Признаюсь, если движение Земли есть
ложь, то ложь и все основания моей философии, так как они явно
ведут к этому заключению. Учение о движении Земли так тесно
связано со всеми частями моего «Трактата», что если его исключить,
то все остальное делается негодным. Но так как я ни за что в
мире не пожелаю, чтобы мною было написано сочинение, в котором
оказалось хотя бы одно слово, не одобренное Церковью, то я лучше
уничтожу его, чем выпущу с пропусками» [69, с. 132]. Декарт
отказался от своего учения не из боязни разделить участь Галилея, а по
собственному убеждению в непогрешимости Церкви.
В 1637 г. Декарт издал в Лейдене на французском языке
«Рассуждения о методе с приложениями. Диоптрика. Метеоры.
Геометрия». В 1641 г. в Париже на латинском языке вышли
«Размышления о первой философии, в которых доказывается бытие Бога и
бессмертие души». В русском переводе этот труд известен как
«Метафизические размышления». В 1644 г. в Амстердаме на латинском
языке изданы «Начала философии» — самое обширное сочинение
Декарта, в 1649 г. — «Страсти души».
В 1647 г. Декарту указом короля была назначена пенсия в 3 тыс.
ливров, но тогда не выплачивалось жалованье даже
государственным служащим, и Декарт ничего не получил. В августе 1648 г. он
покинул Францию: 23-летняя королева Швеции Христина
ознакомилась с учением Декарта и пригласила философа в свою страну.
Она намеревалась изучить его философию в личных беседах с ним.
Занятия начинались в пять часов утра, а зима стояла суровая. При
поездках во дворец Декарт простудился, заболел воспалением
легких и через девять дней, 11 февраля 1650 г., скончался. Он был
похоронен в Стокгольме, а спустя 16 лет его прах был перевезен в Париж
132

и затем перенесен в церковь Святой Женевьевы (нынешний
Пантеон). По существующей версии, согласие церковников на
перенесение праха Декарта в Пантеон объясняется отречением Христины от
короны и переходом ее в католичество, что посчитали большой
заслугой Декарта перед Церковью [69].
Ферма
Никто никогда столь успешно не проникал в тайны
чисел, как Ферма.
Л. Эйлер
Уже при жизни Пьер Ферма (1601—1665) был признан первым
математиком своего времени, но о нем самом мы знаем очень
мало. Родился он на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ло-
мань, где его отец, Доминик Ферма, был «вторым консулом», т. е.
кем-то вроде помощника мэра. В колледже родного города Пьер
приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого,
испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском,
французском и испанском языках. Ферма считался тонким
знатоком Античности, к нему обращались за консультацией по поводу
трудных мест при изданиях трудов греческих классиков. По
общему мнению, он мог бы составить себе имя в области греческой
филологии.
Но Ферма направил всю силу своего гения на математические
исследования. И все же математика не стала его профессией.
Ученые его времени не имели возможности посвятить себя целиком
любимой науке. Виет был юристом и тайным советником французских
королей, Декарт — офицером, Мерсенн и Кавальери — монахами.
Ферма избирает юриспруденцию. Мы не знаем, в каком городке
он изучал право. Эту честь оспаривают Тулуза и Бордо. Известно
только, что степень бакалавра была присуждена ему в Орлеане. С
1630 г. Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника
в суде. Он считается одним из лучших юристов своего времени [3].
В 1631 г. Ферма женился на своей дальней родственнице по
материнской линии — Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро
детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему
133

мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма,
вышедшим в 1679 г.
Ферма быстро продвигался по ступеням служебной лестницы и
вошел в круг знати, о чем свидетельствует небольшая частица «де»,
появившаяся перед его именем: Пьер де Ферма. Успешная
карьера Ферма связана не столько с его честолюбивыми устремлениями,
сколько с его здоровьем. В то время в Европе свирепствовала чума,
и те, кто выживал, поднимались по ступеням служебной лестницы,
занимая места умерших. Советником суда Тулузы Ферма был
назначен через три года после того, как кардинал Ришелье стал премьер-
министром Франции. Это был век заговоров и интриг, и каждый,
кто был вовлечен в управление государством даже на
провинциальном уровне, должен был с особой осторожностью следить за тем,
чтобы не оказаться в хитросплетении махинаций кардинала.
Жизнь Ферма была бедна внешними событиями, но его
математическое наследие таково, что интерес к его личности не ослабевает
и в наше время.
При жизни работы Ферма не печатались. Изданы были только
книга «О сравнении кривых линий с прямыми» (1660) и
дополнение к книге Лалувера «Развитие геометрии древних в семи книгах о
циклоиде и в двух прилагаемых дополнениях». Труды Ферма были
хорошо известны современникам благодаря его обширной и
чрезвычайно интересной переписке через Мерсенна.
Пьер Ферма скончался 12 января 1665 г. во время одной из
деловых поездок.
Достижения Ферма в математике. Только некоторым
трактатам Ферма придал вполне законченный вид. Иногда полученные им
результаты помещали в свои книги его друзья. Например, Эригон
изложил разработанный Ферма способ отыскания экстремумов в
«Курсе математики» (1642).
Широкой публике Ферма известен прежде всего благодаря
«великой теореме», носящей его имя. Он стал основоположником
наиболее плодотворных разделов математики: аналитической
геометрии, исчисления бесконечно малых, теории вероятностей.
Ограничиваясь лишь некоторыми указаниями, он не записывал точных
доказательств своих результатов, за исключением доказательства
теоремы: уравнение х4 + у4 = z4 неразрешимо в целых числах.
134

В области арифметики отправной точкой для Ферма были
работы Диофанта, труды которого математики открыли для себя уже
в XVI в. Ксиландер перевел их на латинский язык, Стевин — на
французский. В 1621 г. Боше де Мезирьяк опубликовал греческий
текст Диофанта и новый перевод его на латинский язык с важными
комментариями, исправив некоторые ошибки в его «Арифметике»
и обобщив несколько решений. У Ферма было издание трудов
Диофанта (в переводе Боше), поля которого он исписал знаменитыми
теперь замечаниями; с большим энтузиазмом он занимался диофан-
товым анализом. К тому времени Ферма познакомился с трудами
Виета и пользовался его символическими обозначениями.
В то время как Диофант проводил свои исследования во
множестве положительных рациональных чисел, Ферма был первым, кто
ограничился областью целых чисел, которая представлялась ему
самой сутью арифметики. Он задавал себе вопрос: не потому ли
целочисленные задачи до сих пор не привлекали к себе внимания
математиков, что этому мешало слишком сильное преклонение перед
геометрией? Его отказ признать, наперекор традиции древнего дио-
фантова анализа, рациональные решения для некоторых задач
послужил причиной споров с Валлисом, Френиклем и некоторыми
другими математиками.
В арифметике Ферма в основном интересовали простые числа,
их делимость. Из его теоретико-числовых результатов, часть
которых была доказана только математиками XVIII в., в основном
Эйлером, отметим следующие.
1. Малая теорема Ферма: для всякого простого числа р и числа
а, не делящегося на р, имеет место сравнение ap~l = l(modp).
2. Исследование уравнений вида ах2 + Ь = у2, где а не является
точным квадратом. Для этого уравнения (за которым впоследствии
из-за случайной обмолвки Эйлера утвердилось название
«уравнение Пелля») Ферма умел находить его наименьшее решение и
получать, зная наименьшее, все остальные решения.
3. Введение чисел Ферма вида Fn = 22" + 1, которые он все
считал простыми. Эйлер доказал, что F5 = 232 + 1 = 4 294 967 297
не является простым числом, а делится на 641.
4. «Великая теорема» Ферма, об истории которой подробно
рассказано в гл. 23.
135

Идеи и открытия Ферма в области теории чисел не оказали
большого влияния на математиков его времени. Но велико было их
влияние на последующие поколения математиков.
Иногда Ферма упрекали в хвастовстве. Декарт однажды сказал:
«Господин Ферма — гасконец, а я — нет» [70, с. 65]. Ферма часто
посылал другим математикам «вызовы», предлагая решить те или
иные задачи, например такую: «Найти прямоугольный треугольник,
у которого гипотенуза и сумма катетов — точные квадраты в целых
числах» [70, с. 65]. Сам Ферма предложил такое решение:
а = 4 687 298 610 289 = 2 165 0172,
Ъ = 4 565 486 027 761,
с = 1 061 652 293 520,
b + с = 5 627 138 321 281 = 23 72 1592.
Следует отметить, что у Ферма не было даже механического
арифмометра.
Что же еще оставил нам Ферма? Вместе с Паскалем он заложил
основы теории вероятностей. По поводу открытия Ферма способов
проведения касательных и отыскания экстремумов Даламбер в
«Энциклопедии» указал, что у Ферма впервые встречаются приложения
дифференциалов к нахождению касательных. Лагранж в
«Лекциях по исчислению функций» назвал Ферма «первым изобретателем
новых исчислений». В 1934 г. было опубликовано письмо Ньютона,
из которого следует, что мысли о дифференциальном исчислении у
него возникли при рассмотрении способа проведения касательных,
описанного Ферма.
В интегральном исчислении Ферма возродил метод
интегральных сумм, делил промежутки на неравные части, чем внес в метод
существенное усовершенствование.
Ферма успешно занимался оптикой. Он сформулировал
принцип, носящий его имя. Его суть состоит в том, что свет между
двумя точками распространяется по пути, для прохождения которого
требуется наименьшее время.
Ферма сыграл важную роль в развитии вариационных методов
в механике и физике, и его работы послужили руководством для
136

Луи де Бройля и Шредингера в исследованиях волновых свойств
материи.
Умер Ферма 12 января 1665 г. Его открытиям грозило полное
забвение, так как он фактически находился в полной изоляции от
Парижской математической школы.
Возникновение аналитической геометрии
До тех пор пока алгебра и геометрия двигались
различными путями, их развитие было
медленным, а применение ограниченным. Но когда эти
науки объединились, они почерпнули друг у
друга свежие силы и в результате быстро двинулись
вперед к совершенству.
Ж.Л. Лагранж
По Декарту, все содержание математики должно
рассматриваться с единых позиций, изучаться единым методом, который он
излагает в последней части трактата «Рассуждение о методе», названной
«Геометрия».
В основу «Геометрии» положены две идеи: введение
переменной величины и использование прямолинейных (декартовых)
координат. В соответствии с унифицирующей тенденцией переменная
величина вводится в двоякой форме: в виде текущего значения
координаты точки, движущейся по кривой, и в виде переменного
элемента множества чисел, соответствующих точкам данного
координатного отрезка.
«Геометрия» состоит из трех книг. Первая книга («О задачах,
которые можно построить, пользуясь только кругами и прямыми
линиями») начинается с кратких разъяснений общих принципов.
Затем следуют правила составления уравнений геометрических
кривых. Доказывается, что все геометрические задачи, решаемые
с помощью циркуля и линейки без делений, сводятся к решению
уравнений не выше второй степени. Общие правила своей
аналитической геометрии Декарт не даёт в виде теории, а демонстрирует
при решении трудных задач.
Вторая книга «Геометрии» названа «О природе кривых линий».
Она посвящена рассмотрению кривых различных порядков, их
137

классификации и выявлению их свойств. Значительную часть
второй книги составляют теоремы о проведении нормалей и
касательных к алгебраическим кривым.
Задача третьей книги «О построении телесных, или
превосходящих телесные, задач» — построение общей теории решения
уравнений и использование для этого наряду с алгебраическими
средствами геометрических образов.
Сущностью нововведений Декарта в геометрию явилась ее ал-
гебраизация. Применение алгебры в геометрии не было открытием
Декарта. Оно имело место уже у арабов и Фибоначчи. Новым было
принципиальное, систематическое сведение геометрических задач
к алгебраическим. Речь шла не о новых удачных приемах решения
задач, а об изменении самой точки зрения на геометрию [42].
В книге «Прелюдия к математике» У.У. Сойер писал:
«Некоторые математики в восторге от этого изобретения Декарта,
поскольку оно позволяет упразднить геометрию как предмет и заменить
ее алгеброй. Другие же предпочитают мыслить геометрическими
образами без обращения к алгебре. Но, как мне кажется, истинная
ценность идеи Декарта заключается в том, что она позволяет
переходить от алгебры к геометрии и обратно. Очень часто смысл
алгебраического результата виден гораздо лучше, если перевести его
на язык геометрии, поскольку геометрия позволяет увидеть и
почувствовать алгебраические абстракции. С другой стороны,
геометрические результаты становятся более точными и ясными, когда
они принимают алгебраическую или арифметическую форму» [93,
с. 89].
Введенные Декартом методы усвоения геометрических знаний
существенно отличаются от методов древних греков. Античные
ученые тоже решают задачи (строят с помощью циркуля и
линейки), но античная геометрия немыслима без созерцания. Декарт же
вычисляет. Геометрическая интуиция оказывается как бы совсем
ненужной: Декарт совершает своеобразную интеллектуализацию
геометрии. Этот метод оказывается эффективным орудием для
решения обширного класса задач. Историк математики Г. Цейтен
сравнивает реформу математики, связанную с алгебраизацией
геометрии, с переходом индустрии от ремесленного к фабричному
производству [107].
138

Одновременно с Декартом аналогичную систему взглядов
развил и Пьер Ферма. Идеи аналитической геометрии, т. е. введение
прямолинейных координат и приложение к геометрии
алгебраических методов, развиваются в небольшом сочинении Ферма
«Введение в теорию плоских и пространственных мест». Оно известно с
1636 г., но напечатано вместе с другими сочинениями в 1679 г.,
через 14 лет после смерти Ферма.
Метод координат у Ферма вводится так же, как у Декарта.
«Введение» Ферма показывает, что он, по-видимому, последовательнее
Декарта внедрял координатный метод, особенно приемы
преобразования координат, и не был стеснен априорными соображениями,
ограничивающими возможности его метода. Однако это сочинение
не оказало на математику столь значительного влияния, как
декартова «Геометрия». Это произошло по двум причинам: во-первых,
«Введение» было напечатано очень поздно, а до этого времени
было известно лишь узкому кругу корреспондентов Ферма; во-вторых,
оно было изложено тяжеловесным, затруднительным для
понимания языком алгебры Виета, да еще по-латыни (Декарт свои
сочинения писал на французском языке) [48].
Дальнейшее развитие аналитической геометрии показало, что
идея Декарта о едином методе, в котором соединяются методы
алгебры и геометрии, осуществилась не так, как это ему
представлялось. Аналитическая геометрия вошла в систему математических
дисциплин, не поглотив алгебру. Алгебра продолжала
самостоятельное развитие, превращаясь в общую теорию уравнений.
В первые 50—70 лет после появления аналитическая геометрия
переживала период утверждения и признания в обстановке
горячих споров о правомерности, удобствах и возможностях ее методов.
Среди тех, кто не принимал программу алгебраизации геометрии,
был Ньютон. Он не отрицал, что с помощью алгебры можно
более эффективно решать некоторые геометрические задачи, и дал в
своих работах множество примеров виртуозного владения
алгебраическим методом. Спор идет о смысле этого приема, о
гносеологическом статусе геометрии.
С античных времен геометрические задачи делились на три
класса: плоские, телесные и линейные. Плоские задачи — это
задачи, для решения которых можно использовать только циркуль и
139

линейку без делений (прямые и окружности). Телесные задачи —
это задачи, при решении которых можно использовать конические
сечения (эллипс, гиперболу, параболу), получаемые при
пересечении конуса (тела) плоскостью. Линейные задачи — это задачи, при
решении которых можно было использовать все другие известные
кривые (конхоиду, квадратрису и т.д.). Решение задачи считалось
корректным, если оно выполнено с применением
соответствующих, заранее оговоренных средств.
Декарт в своей «Геометрии» дает новую классификацию
кривых по порядку соответствующих им уравнений. По Декарту,
задачи, решаемые с помощью циркуля и линейки без делений (плоские
задачи), также могут быть решены и с помощью конических
сечений. Это вопиющее противоречие с традицией античной геометрии
и подвигает Ньютона на возражения.
Декарт, стремящийся к универсальности, считал, что простое
решение задачи в смысле простоты геометрического построения
есть дурная привычка принимать случайное за основное. Эту
привычку нужно преодолеть. Декарт ввел новый критерий простоты и
сложности.
Ньютон считал, что уравнения суть выражения арифметических
вычислений, и им нет места в геометрии и что современные
Ньютону ученые, смешивая обе науки, утратили простоту, в которой
состоит все изящество геометрии [71].
Облик, близкий к современному, придал аналитической
геометрии Л. Эйлер, посвятив этому второй том «Введения в анализ».
Название «аналитическая геометрия» впервые ввел в конце XVIII в.
французский математик академик Лакруа. Появление в
математике аналитической геометрии существенно облегчило
формирование анализа бесконечно малых. В то же время она стала
необходимым средством построения механики для Ньютона, Лагранжа,
Эйлера.
Зарождение проективной геометрии
Развитие живописи в эпоху Возрождения потребовало
разработки теории перспективы. Итальянские художники во главе с
Леонардо да Винчи, обладавшие практическими навыками во многих
140

областях человеческой деятельности, пытались изобразить
пространственные фигуры на плоскости так, как видит их
человеческий глаз. Считая математику отражением самой сути природы,
они разработали геометрические правила, позволяющие достичь
сходства с реальностью, — правила перспективы.
С начала XVI в. появились многочисленные трактаты о
перспективе. Математической основой перспективы является идея
проекции, эта же идея лежит в основе картографии. Включение
проективных методов в математику обогатило и обновило
геометрию, которая получила быстрое развитие после выхода из печати
нескольких изданий «Конических сечений» Аполлония (к 1600 г.).
Интерес к геометрии еще более возрос после открытия Кеплером
законов движения планет.
Становление проективной геометрии связано с именем Жирара
Дезарга — французского архитектора, инженера, фортификатора.
Его основной труд «Черновой набросок подхода к явлениям,
происходящим при встрече конуса с плоскостью» (1639) был напечатан
всего в 50 экземплярах, розданных автором своим друзьям
геометрам, и вскоре стал библиографической редкостью. Идеи Дезарга
были подхвачены его учеником Блезом Паскалем.
Блез Паскаль
Наиболее значительным математиком середины XVII в. был
Блез Паскаль (1623—1662) — один из самых знаменитых людей в
истории человечества. Особенно популярен он во Франции.
Достаточно сказать, что его портрет был воспроизведен на пятисотфран-
ковой ассигнации.
В историю естествознания Паскаль вошел как великий физик
и математик, один из создателей математического анализа,
проективной геометрии, теории вероятностей, вычислительной техники,
гидростатики. Франция чтит в Паскале одного из самых
замечательных писателей. Жозеф Бертран сказал о нем: «Каждая строка,
вышедшая из-под его пера, почитается как драгоценный камень» [26,
с. 118]. Лев Толстой называл его «человеком великого ума и
великого сердца».
Но Паскаль оставил не только письменные доказательства своей
гениальности. Им изобретена обыкновенная тачка с одним колесом
141

и придумана идея регулярного городского транспорта с
фиксированным маршрутом. А прожил он всего 39 лет, был очень
болезненным и в 37 лет выглядел глубоким стариком.
Блез Паскаль родился в Клермоне в семье дворянина,
выборного королевского советника Этьена Паскаля и дворянки
Антуанетты Бегон. Его отцу в то время было 35 лет, матери — 27 лет. Блез
имел двух сестер: старшую Жильберту и младшую Жаклин. Отец
Паскаля служил в суде города Клермон-Феррана и серьезно
увлекался математикой, он поддерживал профессиональные контакты с
большинством французских математиков. В его честь одна из
кривых четвертого порядка названа улиткой Паскаля.
Едва маленький Блез стал ходить, с ним произошло нечто очень
странное и непонятное: он неожиданно стал чахнуть. Его
племянница Маргарита Перье вспоминала, что эта слабость
сопровождалась двумя совершенно необычными обстоятельствами: одно из
них заключалось в том, что он не мог переносить вида воды без
вспышек конвульсий; другое, еще более удивительное, состояло
в том, что он не мог видеть отца- и мать рядом друг с другом. Он
терпел их ласки по отдельности, но стоило им только приблизиться
друг к другу, как он начинал кричать и биться в совершенном
исступлении; все это длилось более года, в течение которого болезнь
продолжала увеличиваться; он стал очень плох, и казалось, что
вот-вот умрет. Положение спасло обращение родителей к некоей
колдунье, которая якобы сглазила Блеза. Разъяренный отец силой
заставил произнести необходимые заклинания и провести действия
по изгнанию болезни, в результате ребенок полностью выздоровел,
хотя и оставался очень болезненным и в детстве, и во взрослые
годы.
По воспоминаниям Жильберты, недюжинные способности
Паскаля проявились с раннего возраста. Как только он заговорил, так
сразу же стали заметны необычные для его возраста признаки ума.
Примерно в 10 лет Блез сделал свою первую физическую работу.
Пытаясь понять причину звучания фаянсовой тарелки, он провел
поразительно хорошо организованные эксперименты, используя
подручные средства, и объяснил заинтересовавшее его явление
колебанием частичек воздуха.
142

Отец старался оградить мальчика от занятий математикой, но
тот, в 12 лет познакомившись с геометрией Евклида,
самостоятельно доказывает теорему о сумме углов треугольника. В 13 лет Блез
Паскаль уже имеет доступ в математический кружок Мерсенна.
Он поддерживает хорошие отношения с Пьером Ферма и не очень
ладит с Рене Декартом. Своим учителем Паскаль считает Жерара
Дезарга.
Под влиянием работ Дезарга в 1640 г. Паскаль (ему было 17 лет)
напечатал свой первый труд — «Опыт о конических сечениях» (50
экземпляров, 53 строки текста). Без доказательства он
сформулировал теорему, которую сейчас называют теоремой Паскаля. Вот эта
теорема: пусть на кривой второго порядка произвольно выбраны и
занумерованы шесть точек. Обозначим через Р, Q, R точки
пересечения трех пар прямых Р = (1,2) П (4,5), Q = (2,3) П (5,6), R =
= (3,4) П (6,1). Тогда точки Р, Q, R лежат на одной прямой
(рис.7) [26].
Рис. 7. Иллюстрация теоремы
Паскаля
По оценке Дезарга, в этой теореме содержатся четыре книги
Аполлония. Паскаль начинает работать над «Полным трудом о
конических сечениях», который он закончил не позднее 1654 г. По
утверждению Мерсенна, Паскаль получил 400 следствий из своей
теоремы. Лейбниц писал, что видел этот трактат уже после
смерти Паскаля. Родственники не опубликовали рукопись, и она была
утеряна.
143

Интересна история создания Паскалем вычислительной
машины. Этьену Паскалю грозила Бастилия за поддержку выступления
парижских рантьеров. Его дочь Жаклин после успешного участия
в спектакле, на котором присутствовал кардинал Ришелье,
упросила кардинала простить отца. Кардинал Этьена простил и назначил
на должность, исполнение которой требовало осуществлять очень
много счетной работы. Блез решил облегчить труд отца и создал
вычислительную машину. Это была механическая машина, которая
надежно, хотя и медленно, производила четыре действия над
пятизначными числами. До настоящего времени сохранилось восемь
экземпляров машины Паскаля.
Паскаль первым обнаружил атмосферное давление воздуха и
его зависимость от высоты над уровнем моря (его именем названа
единица давления). Он провел много опытов по исследованию
равновесия жидкостей и газов, которые ставят его, наряду с Галилеем и
Симоном Стевином, в число создателей классической
гидростатики. Паскаль — автор знаменитого закона, названного его именем, и
идеи гидравлического пресса. Им существенно развит принцип
возможных перемещений. В 1654 г. Паскаль обменивался письмами с
Ферма по поводу «парадокса де Мере» (см. гл. 27). Эту переписку
многие считают началом теории вероятностей.
В 1654 г. Паскаль опубликовал одну из своих самых популярных
работ — «Трактат об арифметическом треугольнике». Это
треугольник, составленный из биномиальных коэффициентов:
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
В основе правила образования арифметического треугольника
лежит формула
/~<к s-tk | /ofc—1
Этот треугольник называют треугольником Паскаля, хотя
обнаружилось, что он был известен еще в Древней Индии. В трактате
принцип математической индукции, известный и раньше,
формулируется в привычной для нас форме.
144

Рассматривая квадратуры в форме, близкой к той, которой
пользовался Кавальери, Паскаль сумел решить много задач на
определение площадей, объемов, статических моментов и т. д.
Работы Паскаля по интегрированию связаны с суммированием
степеней натуральных чисел. Паскаль находит результат
xndx
an+l
п + 1
о
полученный до него Кавальери и Ферма. Однако в работах Паскаля
есть важная особенность — он использует прием, теперь
известный как правило отбрасывания бесконечно малых величин высших
порядков малости.
В «Трактате о синусе четверти круга» Паскаль получил
результаты, которые можно интерпретировать как доказательство
равенств
У_ У
sin xdx = 1 — cos у, I cos xdx = sin y.
о о
Этот трактат оказал значительное влияние на взгляды Лейбница,
который познакомился с ним в 1673 г. по совету Гюйгенса.
В 1658 г. ночью во время страшного приступа зубной боли
Паскаль вспомнил одну нерешенную задачу Мерсенна про циклоиду.
К утру он получил целый ряд результатов о циклоиде и исцелился
от зубной боли. На задачах о циклоиде Паскаль разработал, по
существу, все, что необходимо для построения дифференциального и
интегрального исчисления. Лейбниц пишет, что когда он
познакомился с работами Паскаля, то был удивлен, насколько тот был
близок к построению общей теории и почему неожиданно остановился,
будто «на его глазах была пелена».
Небезынтересно отметить, как на протяжении жизни менялось
мировоззрение Паскаля. На его внутреннее ощущение сильно
влияло состояние здоровья его и его близких. Когда отец Паскаля во
время гололеда вывихнул бедро, у Блеза начались очень сильные
головные боли, он мог передвигаться только на костылях и был в
состоянии проглотить только несколько капель теплой воды. Блез
Паскаль задумался над вопросом: допустимо ли бесконтрольное заня-
145

i не наукой, стремление все познать, все разгадать? Он стал
воспринимать свою научную деятельность как греховную, а выпавшие на
его долю беды как кару за грех. Это появление сомнений он назвал
своим «первым обращением». Меняется характер Блеза:
вспыльчивый нрав его сменяется смирением и покорностью. Забыв все-таки
на время о математике, он почти не расстается с Евангелием.
В середине ноября 1654 г., когда Паскаль переезжал мост,
передняя пара лошадей сорвалась, а коляска чудом задержалась на краю
пропасти. С тех пор Паскалю всегда было нужно, чтобы слева от
него кто-нибудь сидел или чтобы была какая-то преграда и не было
свободного пространства. После этого Паскаль тайно делает записи
о соприкосновении его с потусторонним миром, их он зашивает под
подкладку камзола. «Секрет» был обнаружен совершенно
случайно, уже после смерти мыслителя, когда слуги приводили в порядок
его вещи. Это называют «вторым обращением» Паскаля. Последние
годы он проводит в монастыре, где добровольно ведет монашеский
образ жизни. В монастыре он пишет «Письма к провинциалу» —
одно из величайших произведений французской литературы. С тех
пор как в знаменательном 1654 г. излечили глаз его племяннице тем,
что приложили к нему «святой терний» (по преданию, снятый с
тернового венца Христа), на печати Паскаля изображен глаз,
окруженный терновым венцом.
Последние три года жизни Паскаль уже не возвращался ни к
физике, ни к математике. Он решил разобраться в самых сокровенных
тайнах человеческого существования, в смысле жизни. Написанные
им в то время работы носят религиозный и философский характер.
Высказывания Паскаля по самым разным вопросам необычайно
проницательны. Он не окончил главную книгу своей жизни.
Оставшиеся материалы были изданы посмертно в разных подборках, под
разными названиями. Чаще всего книгу называют «Мысли».
Популярность этой книги была необычайной. Но не все принимали ее.
Для Льва Толстого она была любимой книгой. Тургенев ценил
глубину и ясность мысли, но не соглашался с сутью, считая, что тоска
Паскаля и его проклятия ужасны. Достоевский тоже не соглашался
с Паскалем.
В декабре 1660 г. Гюйгенс дважды посетил Паскаля и нашел его
глубоким стариком (Паскалю было всего 37 лет), который был не в
146

состоянии вести беседу. Умер Паскаль 19 августа 1662 г. Умирал он
тяжело. После смерти его тело досталось врачам. По результатам
вскрытия они нашли желудок и печень увядшими, а кишечник
гангренозным. Особое впечатление на врачей произвело отсутствие на
черепе Паскаля швов, кроме «стрелочного», что, вероятно, являлось
причиной сильных головных болей, которым он был подвержен в
течение всей жизни.
Гюйгенс
Христиан Гюйгенс (1629—1695) был голландцем, но, будучи
человеком зажиточным, он в течение ряда лет жил в Париже.
Гюйгенс стал непосредственным преемником Галилея в науке. По
словам Лагранжа, Гюйгенсу «было суждено усовершенствовать и
развить важнейшие открытия Галилея». С помощью более сильного
телескопа он пытался разгадать тайну Сатурна, который Галилей
считал «тройной планетой». Наблюдая Сатурн в 92-кратный
телескоп (у Галилея был 20-кратный), Гюйгенс обнаружил, что за
боковые звезды принималось кольцо Сатурна. В 1655 г. он открыл
спутник Сатурна — Титан [26].
После астрономии Гюйгенс увлекся механикой. Им получена
одна из самых замечательных формул механики — выражение для
центростремительной силы: F = mV2/R, где т — масса, V —
скорость, R — радиус кривой.
Гюйгенс реализует идею, занимавшую Галилея в последние
годы его жизни: он конструирует маятниковые часы. Задачей о
создании и совершенствовании часов, прежде всего маятниковых,
Гюйгенс занимался почти 40 лет — с 1656 по 1693 г. Его считали
гениальнейшим часовым мастером всех времен. Одна из основных
работ Гюйгенса, содержащих его результаты по математике и
механике, вышла в 1673 г. под названием «Маятниковые часы, или
Геометрические доказательства, относящиеся к движению маятников,
приспособленных к часам». Он писал 12 января 1657 г.: «На этих
днях я нашел новую конструкцию часов, при помощи которой
время измеряется так точно, что появляется немалая надежда на
возможность измерения при ее помощи долготы, даже если придется
везти их по морю» [26, с. 99].
147

Первый экземпляр маятниковых часов изготовил гаагский
часовщик Соломон Костер. 16 июня Генеральные Штаты Голландии
выдали патент, закрепивший авторство Гюйгенса.
Совершенствование часов становится для Гюйгенса одной из главных задач.
Последняя работа о часах была опубликована им в 1693 г., за два года
до смерти. Если в первой работе Гюйгенс проявил себя прежде
всего как инженер, сумевший реализовать в часовом механизме уже
известное свойство изохронности маятника, то постепенно его
начинают все более занимать физика и математика.
Еще в начале своей работы Гюйгенс обнаружил неточность в
утверждении Галилея об изохронности колебаний маятника. Этим
свойством маятник обладает лишь при малых углах отклонения от
вертикали. Чтобы скомпенсировать отклонения от изохронности,
Гюйгенс решил уменьшить длину маятника, увеличив при этом
угол отклонения. Гюйгенс пытался решить эту задачу
математически. Надо было найти такую кривую (ее назвали изохроной, или
таутохроной), чтобы точка скатывалась вниз за одно и то же время
независимо от высоты, на которой она начинала движение. Галилей
ошибочно считал, что этим свойством обладает окружность.
Гюйгенс же обнаружил, что таутохроной является циклоида. Циклоиду
описывает фиксированная точка окружности, которая катится без
скольжения по прямой. Циклоиду открыл и предложил это
название Галилей. Во Франции ее называли трохоидой или рулеттой
(там ее, по-видимому, независимо открыл Мерсенн).
Когда циклоида была открыта, она быстро стала самой
популярной кривой для математиков. В 1673 г. Гюйгенс констатировал, что
циклоида исследована точнее и основательнее других кривых.
Внимание Гюйгенса к циклоиде было вызвано приглашением принять
участие в конкурсе на решение серии из шести задач о циклоиде,
объявленном в июне 1658 г. Паскалем. Гюйгенс за короткий срок
решил четыре задачи. Это была лучшая работа, если не считать
работы самого Паскаля.
Прошло 300 лет. Маятниковые часы сослужили добрую службу
людям, которые часто не знают имя их создателя. Драматическая
история работы Гюйгенса над маятниковыми часами очень
поучительна. Циклоидальный маятник, который Гюйгенс считал своим
148

главным изобретением, не прижился. Но те математические и
физические результаты, получение которых стимулировалось задачей
о совершенствовании часов, навсегда остались в анализе
бесконечно малых, дифференциальной геометрии, механике. И их значение
трудно переоценить.
Гюйгенс исследовал также трактрису, логарифмическую
кривую, цепную линию. Несмотря на обилие результатов, многие из
которых были получены уже после создания дифференциального
и интегрального исчислений, Гюйгенс признавался Лейбницу, что
никогда не был в состоянии освоиться с его методом.

Глава 9
РАЗВИТИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
МЕТОДОВ В XVII В.
В сокровищнице науки и культуры есть идеи,
которые, возникнув в глубокой древности и
развиваясь и совершенствуясь, прошли через все
последующие времена и успешно служат человечеству
сейчас. К ним, безусловно, следует отнести идею
интеграла в математике.
В.А. Никифоровский
В высших учебных заведениях сначала изучают
дифференциальное исчисление, а затем — интегральное, но их историческое
развитие шло в обратном порядке. Главное внимание математиков
XVII в. было направлено на разработку методов вычисления
определенных интегралов. Знак интеграла (вытянутая буква S) был
введен Лейбницем, а слово «интеграл» — его учеником Иоганном Бер-
нулли в конце XVII в.
Ньютон и Лейбниц совершили качественный скачок в развитии
математики и создали интегральное и дифференциальное
исчисления. До них европейские математики занимались преимущественно
количественным расширением результатов математиков
Античности (в основном Архимеда), дошедших до них, как правило, в
арабских переводах. Количественным это расширение названо потому,
что математики, освоив методы времен Архимеда, пытались при-
150

менить их к вычислению площадей таких плоских фигур и объемов
таких тел, которые раньше не рассматривались.
Новых идей было мало. Строгость вывода полученных
результатов была, как правило, ниже, чем в работах Архимеда.
Вклад Кеплера в развитие интегральных методов
Первым, кто сказал новое слово после Архимеда, был Иоганн
Кеплер. Он установил, что планеты движутся вокруг Солнца по
эллипсам (первый закон). При проверке второго закона (постоянство
секторальной скорости каждой планеты) ему приходилось
вычислять площади эллиптических секторов. Для решения задач этого
типа он разработал новый метод, радикально, как казалось
современникам Кеплера, отличавшийся от метода геометрического
доказательства Архимеда. Современники критиковали его метод за
недостаточную строгость обоснования. Среди критиков особенно
выделялся монах-иезуит Гульдин. Это тот самый Гульдин, именем
которого названы две теоремы — о площади поверхности и об
объеме тела вращения, — сформулированные до Гульдина и строго
доказанные в работах Кавальери.
Через пять лет после смерти Кеплера Гульдин издал первую
книгу «О центре тяжести», в 1640 г. — вторую и в 1641 г. — третью
и четвертую книги, в которых осуждал нестрогие методы Кеплера.
Гульдин считал полученные Кеплером результаты ценными, но не
одобрял использование его метода для доказательств.
Рассмотрим, как идеи Архимеда развивались Кеплером, на
примере вычисления площади круга (рис. 8).
Кеплер делит окружность на п частей и соединяет точки
деления с ее центром О. При разворачивании окружности в отрезок
А0А п секторы AiOAi +1 на отрезке AqAh образуют п
равнобедренных треугольников. Так, сектору AiOAi +i соответствует
треугольник A\OiA'iJrV Весь круг получается равновеликим «частоколу»
из п равнобедренных треугольников. При соединении точек А{ и
Ai _|_ 1 с точкой О получается треугольник А\ОА\ +1, равновеликий
треугольнику A\OiA\ + х и сектору A^OAi +1. Весь круг равновелик
151

1
At
О,
A0 Л, Aj Am An
Рис. 8. К вычислению площади круга (по Кеплеру)
треугольнику AqOAu , площадь которого равна - • А^Ап ■ AqO =
1 2
= - • 2ят • г = -кг . В такой же манере Кеплер доказал многие
недоказанные утверждения античных авторов и нашел объемы 92
тел вращения, придуманных им.
Плодотворность метода суммирования элементов,
позаимствованная Кеплером у Архимеда, была очевидной. Многие ученые
посвятили свои работы усовершенствованию оперативной
стороны такого суммирования и рациональному разъяснению
возникающих при этом понятий. Наибольшую известность приобрела
геометрия неделимых, развитая Кавальери. Идея неделимых идет от
Демокрита.
Кавальери
Бонавентура Кавальери (1598—1647) родился в Милане, в
старинной и знатной, но обедневшей семье. Он получил прекрасное
гуманитарное образование, владел латинским и греческим
языками, хорошо знал работы древних авторов, в том числе и великих
математиков.
В 1613 г. Кавальери вступил в монашеский орден иеронимитов
в Пизе. Его учителем был ученик Галилея — математик и астроном
Бенедикт Кастелли, который высоко ценил Кавальери и познакомил
его с Галилеем. Галилей, живший тогда во Флоренции, охотно
поддерживал с Кавальери переписку.
Из некоторых писем Кавальери Галилею становится ясно, что
основные идеи разработанного Кавальери метода сложились у него
152

в начале 20-х годов XVII в. В 1629 г. Кавальери успешно
участвовал в конкурсе на должность профессора кафедры математики Бо-
лонского университета, занял ее и оставался в этой должности всю
жизнь. Одновременно он был пожизненным настоятелем
монастыря св. Марии делла Маскарелла. На эту должность, снявшую с
Кавальери земные заботы и позволившую ему целиком отдаться науке,
он был назначен покровительствовавшим ему Папой Римским
Урбаном VIII.
Основной труд Кавальери — «Геометрия, изложенная новым
способом при помощи неделимых непрерывного» — издан в 1635 г.
В 1647 г. вышли «Шесть этюдов по геометрии», где содержался
ответ на критику метода со стороны Гульдина. Кавальери доказал
теорему о том, что объемы двух тел или площади двух фигур будут
равны, когда равны между собой площади или длины всех
соответствующих сечений, параллельных одной и той же плоскости или
прямой (принцип Кавальери).
Кавальери поясняет свою идею метода неделимых, сравнивая
плоскую фигуру с куском ткани, сотканной из параллельных нитей.
Различие их лишь в том, что число нитей в куске ткани конечно,
число же линий в плоской фигуре бесконечно, так как линии не имеют
толщины.
Ниже записаны три правила (теоремы) Кавальери.
1. Если у двух плоских фигур любые две соответственные
линии подобны (равны), то и их совокупности линий подобны
(равны).
2. Площади двух фигур относятся как их совокупности линий.
3. Первые две теоремы не зависят от выбора направлений
неделимых в фигурах.
На практике Кавальери всегда выбирает одно направление для
обеих фигур. Методы, изложенные в «Геометрии», Кавальери
совершенствовал в последующие годы. В частности, он
рассматривал задачу о вычислении объема тела, образованного при вращении
сегмента параболы вокруг хорды, перпендикулярной оси параболы
(это тело Кеплер называл веретеном; в современных задачниках по
математическому анализу для вузов его называют лимоном
Кавальери). Точное вычисление объема этого тела было выполнено ибн
ал-Хайсамом более чем за 500 лет до Кавальери. Ибн аль-Хайсам
153

установил, что объем веретена равен 8/15 объема описанного около
веретена цилиндра. Об этом ни Кеплер, ни Кавальери не знали.
Кавальери первым получил результат, который в современной
символике соответствует интегралу
о
Прекрасный знаток работ античных авторов, Кавальери написал
ряд сочинений по астрономии, технике вычислений, коническим
сечениям, тригонометрии, руководство по астрологии. В 1632 г. он
опубликовал одиннадцатизначные таблицы логарифмов и
тригонометрических функций.
Несмотря на широкое признание научных заслуг и высокое
покровительство, Кавальери не чувствовал себя счастливым, он
ощущал внутреннюю неудовлетворенность, так как ему не удалось
обосновать метод неделимых строгой логичной теорией.
В течение всей жизни Кавальери страдал от жестокой подагры.
Он умер 30 ноября 1647 г. в возрасте около 50 лет.
Торричелли
Страстным приверженцем метода неделимых был Эвандже-
листа Торричелли (1608—1647). Он родился в городе Фаэнце, в
50 км от Болоньи. Отец его умер, когда дети были маленькими,
и заботу о них принял на себя брат отца, настоятель
бенедиктинского монастыря святого Джованни в Фаэнце, отец Джакомо. Он
поместил Эванджелисту в иезуитскую школу. Затем Торричелли
успешно учился в Римском университете, где тогда преподавал
переведенный из Пизы Кастелли, сделавший молодого человека
своим личным секретарем.
Торричелли ведал перепиской учителя и стал писать Галилею.
После осуждения Галилея Кастелли был озабочен его
пошатнувшимся здоровьем и рекомендовал Торричелли Галилею в
помощники. С октября 1641 г. Торричелли поселился в доме Галилея и
в последние месяцы жизни Галилея записывал то, что слепнувший
ученый ему диктовал. Герцог Тосканский после смерти Галилея
154

предложил Торричелли занять освободившуюся должность
«главного философа и первого математика светлейшего великого герцога
Тосканского», которую Торричелли занимал пять с половиной лет
до смерти, наступившей 25 октября 1647 г. Было ему всего 39 лет.
Помимо математики Торричелли успешно занимался физикой,
оптикой, механикой, баллистикой, метеорологией. Он изобрел
барометр. Из школьного курса физики всем известен опыт
Торричелли, разрушивший тезис Аристотеля о том, что природа не терпит
пустоты. Торричелли владел способом изготовления линз,
позволяющим ему утверждать, что никто не сможет сделать их лучше, чем
он. Описание этого способа хранилось в шкатулке герцога
Тосканского, которая была утеряна.
При исследовании вопроса о центрах тяжести Торричелли
доказал теорему, которая в современных терминах
интерпретируется как формула для нахождения координат центра тяжести плоской
фигуры в виде отношения двух интегралов.
Существенное усовершенствование метода неделимых,
выполненное Торричелли, состояло в том, что наряду с прямолинейными
неделимыми он для плоских фигур чаще применял дуги кривых, а
для тел ввел искривленные поверхности. Вот как решал он задачу
Кеплера о вычислении площади круга обобщенным методом
неделимых (рис. 9).
Рис. 9. К вычислению площади круга обобщенным методом неделимых
Пусть дан круг радиусом О А. На касательной к окружности
в точке А отложим отрезок АС, равный длине окружности 2-nR.
Возьмем произвольную точку В на радиусе О А и проведем
окружность радиусом О В с центром в точке О. Проведем BD\\AC.
155

Поскольку AOBD ~ АО АС, значит, BD = 2тг<35, т. е. BD
равно длине малой окружности. Системе окружностей, являющихся
неделимыми круга, соответствует система неделимых АО АС —
отрезков прямых. На основании принципа неделимых делается
вывод о равенстве площадей круга и треугольника, т. е. S = -к В2.
Достижения Торричелли поражали самого создателя метода
неделимых — Кавальери, который был восхищен вычислением
объема «острого гиперболоида» — тела, полученного от вращения
гиперболы ху = а2 вокруг оси О у. По современным понятиям, это
соответствует вычислению несобственного интеграла
оо
fdy = }_
J У2 Уо'
2/0
Однако у метода неделимых были свои недостатки. Во-первых,
он не годился для измерения длин кривых, так как
соответствующие неделимые (точки) не имели длины. Во-вторых,
невыясненность понятия неделимого, невозможность его рационального
объяснения делали теорию необоснованной. В-третьих, развитие
метода сильно задерживалось в связи с тем, что Кавальери в
соответствии со сложившимися в его время представлениями о научной
строгости избегал применять символику и приемы алгебры.
Сочинения Торричелли в четырех томах изданы в 1919 и 1949 гг.
Вклад Ферма в развитие интегральных методов
Важное усовершенствование метода вычисления площади
фигур было проделано Пьером Ферма, который ввел деление квад-
рируемой площади вертикальными прямыми, отстоящими друг от
друга на неравных расстояниях. По-видимому, Ферма изобрел этот
прием под влиянием сочинений Непера, потому что назвал его
логарифмическим.
Ферма занимался «квадратурами» парабол у = хп, т. е. вычи-
а
слением интегралов f xndx. Он рассматривал и дробные показате-
0 о
ли, т. е., по сути, вычислял интегралы J xvlqdx. Затем он ввел в рас-
о
смотрение гиперболы высших порядков, задаваемые уравнениями
156

xpyq = const, и находил соответствующие квадратуры. Сначала он
пользовался методом Архимеда, а затем, примерно в 1642 г., нашел
свой, более эффективный способ.
Ферма применял разные приемы интегрирования: замену
переменных и аналог интегрирования по частям, что позволяло ему
сводить новые квадратуры к известным. Он выполнил, например,
квадратуру кривой у = а3/(ж2 + а2), называемой локоном Анъези.
Он исследовал интегралы вида f^J{a2 — x2)ndx при нечетных п и
показал, что они сводятся к квадратурам круга, а также выполнил
квадратуру кривой ж3 + у3 = аху («декартов лист»).
Изложение своего метода и его применений Ферма дал в
сочинении, оформленном после 1657 г. и изданном в 1679 г. под
названием «О преобразовании уравнений мест... с приложением
способа употребления геометрической пропорции к квадрированию
бесчисленных парабол и гипербол». В небольшой работе (объемом
20 страниц) Ферма сумел изложить метод интегральных сумм. В
отличие от неделимых Кавальери полоски Ферма имели ширину.
Сравнение методов Ферма, Кавальери и Кеплера показывает,
насколько продвинулся вперед Ферма в технике интегрирования.
В то время как Кеплер геометрическую задачу сводит также к
геометрической задаче, Ферма приводит ее к задаче алгебраической,
т. е. к суммированию геометрической прогрессии, и составляет
интегральную сумму в точности так, как впоследствии это стали
делать в интегральном исчислении.
Валлис
Принципиально важный шаг в развитии интегральных методов
связан с творчеством Джона Валлиса (1616—1703). Он родился в
городе Эшфорде (Восточный Кент) в семье приходского
священника, в 1632 г. поступил на богословский факультет Кембриджского
университета, после окончания которого был капелланом сначала в
Кембридже, а с 1643 г. в Лондоне.
Избрание секретарем собрания богословов позволило Валлису
войти в кружок естествоиспытателей, начавший функционировать
в Лондоне в 1645 г. На основе этого кружка в 1662 г.
сформировалось Лондонское Королевское общество, одним из учредителей
157

которого был Валлис. Он оставался ведущим математиком
Королевского общества в период до Ньютона, который был моложе его
на 27 лет.
Валлис обладал феноменальной памятью и способностью
производить сложнейшие вычисления. Однажды в бессонную ночь он
вычислил в уме 27 цифр квадратного корня из 53-значного числа,
запомнил их и утром записал.
Достижения Валлиса в математике состоят в арифметизации
методов Архимеда, широком применении неполной индукции,
разработке основ метода пределов.
Вопросы, связанные с интегрированием, Валлис изложил в
«Арифметике бесконечных», изданной в 1656 г. на латинском
языке. Само название книги показывает, что Валлис хотел применить
не геометрию древних, а новую «арифметику» (алгебру). Он был
первым математиком, у которого алгебра по-настоящему переросла
в анализ. Методы обращения с бесконечными процессами,
которыми пользовался Валлис, часто были примитивными, но он получил
новые результаты: вводил бесконечные ряды и бесконечные
произведения и весьма смело обращался с мнимыми выражениями, с
отрицательными и дробными показателями.
Математики первой половины XVII в. с большим удивлением и
энтузиазмом обнаруживали, что большое количество, казалось бы,
разнородных задач геометрии и механики приводилось к
квадратурам. С каждым годом, с каждым новым результатом все более
выявлялась общность операций, которые приходилось применять
при решении этих задач. Геометрический эквивалент
определенного интегрирования, возникший как специфический метод
геометрии и частично воспринятый у Архимеда, постепенно приобрел
черты общего метода математики. Нужен был только толчок —
рассмотрение всей совокупности интегральных методов с единой
точки зрения, — чтобы выработать общий взгляд на различные задачи
и создать интегральное исчисление.

Глава 10
СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В начале 1665 г. я открыл метод приближенных
рядов и правило для сведения любой степени любого
бинома к таким рядам. В мае того же года я открыл
метод касательных Грегори и Слюза, а в ноябре —
прямой метод флюксий. <... > ... Все это
произошло в два чумных года, 1665-й и 1666-й. Ибо в это
время я находился в наилучшем для открытий
возрасте и думал о математике и философии больше,
чем когда-либо позже.
И. Ньютон
В каждой науке, едва приступив к ней и часто не
вполне понимая общеизвестное, я искал нового.
Г. Лейбниц
Дифференциальные методы
В математике XVII в. наряду с интегральными методами
развивались и методы дифференциальные. К дифференциальным
относятся методы решения задач следующих трех типов:
— нахождение касательных к кривым;
— нахождение максимумов и минимумов функций;
— отыскание условий существования кратных корней
алгебраических уравнений.
159

К этим типам задач тесно примыкают задачи механики,
вытекающие из необходимости определять скорость в любой точке
траектории в случае неравномерного движения.
Научное наследие древних и средневековых авторов в этой
области не было столь определенным и значительным, как в
случае интегральных методов. Уже в школе Галилея для нахождения
касательных и нормалей к кривым систематически применялись
кинематические методы. При этом касательная появляется как
диагональ параллелограмма, стороны которого — горизонтальная и
вертикальная составляющие скорости (рис. 10). Этот
кинематический метод дал начало рассмотрению различных траекторий
бросаемого тела и определению касательных в любой точке траектории.
Рис. 10. Касательная к кривой
Первые формулы дифференциальною исчисления были
получены Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил
задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма
f(x + h) — fix)
составил уравнение = 0 и после преобразований
h
в левой части взял h = 0.
К середине XVII в. накопился достаточно большой запас
средств решения задач, в настоящее время решаемых с помощью
дифференцирования. Однако не было еще выделено особой
операции дифференцирования и понятий, равнозначных понятиям
производной и дифференциала. Не была ясна связь
дифференциальных и интегральных методов. Математический анализ был не
самостоятельным разделом математики, а формировался в рамках
и терминах алгебры, геометрии, механики.
160

Общий метод дифференцирования и интегрирования,
построенный с полным пониманием того, что один процесс является
обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими
учеными, которые овладели как геометрическим методом греков и
Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Валлиса. Ими
стали Ньютон и Лейбниц.
Ньютон
Ньютон был счастливейшим из смертных, ибо
существует только одна Вселенная и Ньютон открыл
ее законы.
Ж. Лагранж
Исаак Ньютон (1643—1727), великий математик и физик,
родился слабым недоношенным ребенком 25 декабря 1642 г. (по
новому стилю 4 января 1643 г.) в деревне Вульсторп, недалеко от
Грэнтэма в Великобритании, спустя несколько месяцев после
смерти Галилея. Отец Ньютона умер еще до рождения ребенка, и вся
забота о нем легла на плечи матери. Мать, воспитывая свое
дитя, думала больше о его физическом здоровье, чем об умственном
развитии. Забегая вперед, нужно сказать, что Ньютон прожил до
глубокой старости (умер на 85-м году). Он не носил очков, и за всю
жизнь у него не выпало ни одного зуба.
Мать отдала ребенка на двенадцатом году жизни в частную
городскую школу (пансион) Кларка — грэнтэмекого аптекаря.
Ньютон не обнаружил особой любви к наукам и учился посредственно.
Перелом в его отношении к учебе произошел в конце
двухлетнего пребывания в пансионе. Однажды в драке его побил сверстник.
По своему физическому состоянию Ньютон не мог противостоять
обидчику и решил добиться превосходства в учебе. Вскоре он стал
первым учеником школы. Кто-то сказал, что не было более удачного
действия кулаками.
В 1656 г. Ньютону из-за материальных трудностей в семье
пришлось временно оставить школу и помогать матери в ведении
хозяйства. Затем он вернулся в школу, а летом 1661 г. поступил в
колледж Святой Троицы Кембриджского университета. Первые три
года пребывания в Кембридже Ньютон учился довольно
посредственно. Как бедный студент, он получил жилье и питание и за это
6 Математика древняя и юная
161

работал слугой в колледже. 28 апреля 1664 г. Ньютон впервые
получил стипендию. Это дало возможность больше времени уделять
учебе.
Он с жадностью изучал сочинения древних ученых, в
частности «Начала» Евклида, затем перешел к изучению работ
крупнейших ученых Нового времени. Его внимание привлекли геометрия
Декарта, арифметика Валлиса и математические сочинения
Кеплера. Чтение трактатов не было для Ньютона механическим делом.
Он усваивал их критически, глубоко осмысливая прочитанный
материал. Утверждениям авторов он, как правило, противопоставлял
свою точку зрения и незаконченные мысли доводил до
«логического конца».
Уже в студенческие годы Ньютон зарекомендовал себя
пытливым, упорным и настойчивым исследователем. Так, будучи
студентом, Ньютон доказал теорему о биноме. С тех пор формула бинома
стала называться биномом Ньютона. Студентом же он вплотную
подошел к проблеме всемирного тяготения.
В 1665 г. Ньютон окончил университет со степенью бакалавра.
Тот год стал знаменательным в его жизни. Вспыхнувшая эпидемия
чумы, от которой только в Лондоне погибли около 100 тыс.
человек, вынудила горожан искать убежища в деревнях, и Ньютон
уехал в Вульсторп, где прожил до марта 1667 г. Считается, что в эти
два чумных года, когда, по словам Ньютона, он был в расцвете
своих изобретательских сил и думал о математике больше, чем когда-
либо, он обосновал свои математические открытия. В то время им
были разработаны метод флюксий, широкое приложение рядов к
решению различных задач, применение взаимно обратных операций
дифференцирования и интегрирования к новому и
систематическому нахождению квадратур. Тогда же у него сложились основные
идеи механики и исходные положения теории всемирного
тяготения, он успешно занимался также проблемами оптики.
По возвращении из Вульсторпа Ньютон продолжал
интенсивные занятия математикой и механикой, стал магистром. У него
возникла идея создать телескоп-рефлектор, и в 1668 г. он его изготовил.
Длина трубы составляла 15 см, диаметр зеркала — 2,5 см.
Несмотря на незначительные размеры, телескоп давал 40-кратное
увеличение, что позволило Ньютону наблюдать Юпитер и Венеру.
162

В 1669 г. Исаак Барроу оставил пост главы кафедры астрономии
Кембриджского университета и Ньютон занял его место. Судя по
всему, Ньютон не был хорошим преподавателем. Очень немногие
студенты посещали его лекции, и никто не отмечал особой
оригинальности в его преподавании.
В 1671 г. Ньютон построил большой зеркальный телескоп
длиной 120 см с зеркалом диаметром около 2 м и отправил его в дар
королю. Демонстрация телескопа произвела сильное впечатление.
11 января 1672 г. Ньютона избрали членом Лондонского
Королевского общества. Уже в феврале того же года Ньютон представил
Королевскому обществу доклад «Новая теория света и цветов». В этом
докладе сообщалось о разложении белого света и о некоторых
других открытиях в области оптики [102].
Кембриджский университет избрал Ньютона депутатом
парламента. Деятельность его в этой роли осталась практически не
замеченной. И еще одному виду деятельности довелось ему отдать
свое время и энергию — в 1696 г. он был назначен смотрителем
Монетного двора в Лондоне. Ему пришлось организовать
перечеканку всей английской монеты. Ньютону удалось перечеканить
монету и усовершенствовать технику монетного дела. За эти заслуги в
1699 г. он получил высокооплачиваемый пожизненный пост
директора Монетного двора.
Основной труд Ньютона — «Математические начала
натуральной философии» — был написан за 18 месяцев и вышел в свет в
1687 г. [72]. Научный авторитет Ньютона в то время был высок.
В 1699 г. его избрали иностранным членом Парижской Академии
наук, в 1703 г. — президентом Лондонского Королевского
общества (на этой должности он находился до самой смерти). В 1705 г.
Ньютон был возведен в рыцарское достоинство.
Ньютон не любил издавать свои работы. Он искренне полагал,
что своевременная публикация не приносит никаких прав,
первооткрывателем перед Богом всегда останется тот, кто сделал открытие
первым. Ректор Кембриджского университета заставлял
преподавателей сдавать в библиотеку рукописи лекций. Преемник Ньютона на
посту заведующего кафедрой астрономии, Уинстон, в 1702 г. взял из
библиотеки рукопись Ньютона по алгебре и в 1707 г. издал ее. Так
вышла «Всеобщая арифметика».
6* 163

Много энергии Ньютон затрачивал на дискуссии и
приоритетные споры: сначала — с Р. Гуком по поводу открытия закона
всемирного тяготения, а впоследствии — с Лейбницем и его сторонниками
в связи с созданием дифференциального и интегрального
исчислений. Печальный факт — в споре о приоритете Ньютон и Лейбниц
изменили первоначальные оценки заслуг друг друга. Результатом
спора стало то, что англичане отказались пользоваться алгоритмом
Лейбница, а многие математики континентальной Европы не
признавали достижений Ньютона. Так продолжалось более 100 лет.
Несмотря на величайшие заслуги перед наукой, Ньютон был
удивительно скромным человеком. Он говорил о себе так: «Не знаю,
каким я кажусь людям, самому же себе я кажусь ребенком,
который играет на берегу моря и радуется, когда ему удается отыскать
гладкий камешек или красивую раковину не совсем
обыкновенного вида, в то время как необозримый океан истин лежит перед ним
неисследованным» [109, с. 112].
Ньютон вел уединенный образ жизни. Погруженный в глубокие
размышления, он часто не замечал окружающих и был очень
рассеянным. Увлекшись работой, он совершенно забывал о еде. По
словам его основного помощника и переписчика трудов Гемфри,
Ньютон был весьма скромным, любезным и спокойным человеком. Он
никогда не смеялся и никогда не раздражался. Работая, он забывал
обо всем — о друзьях, о сне, спал не более четырех-пяти часов в
сутки, не знал иного отдыха, кроме перемены занятий, считая
потерянным каждый час, оторванный от работы. По описанию
современников, Ньютон был мужчиной среднего роста, весьма солидной
полноты. Он сохранил густые волосы до самой смерти, хотя, по
традиции того времени, голову покрывал париком. У него были умные,
живые глаза [102].
Свой век Ньютон прожил холостяком. Биографы полагают, что
о женитьбе ему некогда было подумать.
Когда друзья, преклоняясь перед его гениальностью,
спрашивали Ньютона, каким образом он открыл законы тяготения, он
отвечал: «Непрерывным размышлением о них». При этом свой
метод исследований он объяснял следующим образом: «Я постоянно
обращаю внимание на предмет моих изысканий и жду, пока дело не
станет вполне и всецело ясно» [109, с. 113].
164

Ньютон был человеком своего времени. Он увлекался
алхимией, и одной из главных его забот было превращение металлов —
золото оставалось постоянным «героем» его непрерывных поисков.
Искал он и эликсир жизни — универсальное лекарство и гарантию
бессмертия.
Интенсивную научную работу Ньютон проводил первые 45 лет
жизни. В остальные 40 лет Ньютон в основном занимается
изданием ранее написанного (в 1704 г. вышла «Оптика», в 1713 г. —
второе издание «Начал»), теологическими и историческими
изысканиями. Знаменитый французский ученый Жан Батист Био, тщательно
изучавший труды Ньютона, полагает, что умственные способности
Ньютона пострадали от несчастного случая, когда от оставленной
на столе зажженной свечи по вине собаки, вспрыгнувшей на стол
и опрокинувшей свечу, сгорели рукописи, готовившиеся много лет.
Это произошло вскоре после выхода «Начал». На полтора года
Ньютон попал в психиатрическую лечебницу.
С юных лет и на протяжении всей жизни Ньютон критически
изучал и интерпретировал религиозные произведения, а в конце
жизни целиком посвятил себя теологии. В его домашней
библиотеке издания по теологии и истории составляли ббльшую часть, а он
был не из тех, кто покупает книги, чтобы выставлять их напоказ,
— он с ними работал. Считается, что его неопубликованные
работы религиозного содержания по объему во много раз превосходят
его научные труды. Свои теологические и исторические
исследования Ньютон ценил никак не меньше, чем «Начала» и «Оптику».
Укрепление основ религии Ньютону представлялось гораздо
более важным, чем развитие математики и естествознания, поскольку
он считал, что науки призваны лишь открыть тот план,
руководствуясь которым Бог создал Вселенную. Систематические занятия
теологией он начал в 1670-х годах. Внешним поводом для такого
решения послужило окончание в 1675 г. предельного срока
пребывания Ньютона в качестве члена колледжа Святой Троицы
Кембриджского университета. По заведенному порядку, вступающий
в члены колледжа давал клятву, что после семи лет пребывания в
качестве магистра искусств (а Ньютон стал таковым в июне 1668 г.)
примет священный сан или покинет стены колледжа Святой
Троицы. Следует отметить, что по специальному распоряжению короля
Ньютону было позволено не принимать сана.
165

В письме Ньютона к Ричарду Бентли от 10 декабря 1692 г. есть
такие строки: «Когда я писал свой трактат о нашей системе, мне
хотелось найти такие начала, которые были бы совместимы с верой
людей в Бога; ничто не может доставить мне большее
удовлетворение, чем сознание того, что мой труд оказался не напрасным» [44,
с. 73].
В 1704 г. в «Оптике» Ньютон задавал вопросы: «Что
находится в местах, почти лишенных материи, и почему Солнце и планеты
тяготеют друг к другу, хотя между ними нет плотной материи?
Почему природа не делает ничего понапрасну и откуда проистекает
весь порядок и красота, которые мы видим в мире? Для какой цели
существуют кометы и почему все планеты движутся в одном и том
же направлении по концентрическим орбитам, в то время как
кометы движутся по всевозможным направлениям по очень
эксцентрическим орбитам, и что мешает падению неподвижных звезд одной
на другую? Каким образом тела животных устроены с таким
искусством и для какой цели служат их различные части? Был ли
построен глаз без понимания оптики, а ухо без знания акустики? Каким
образом движения тел следуют воле и откуда инстинкт у
животных?.. И если эти вещи столь правильно устроены, не становится
ли ясным из явлений, что есть бестелесное существо, живое,
разумное, всемогущее, которое в бесконечном пространстве, как бы в
своем чувствилище, видит все вещи вблизи, прозревает их насквозь
и понимает их вполне благодаря их непосредственной близости к
нему?» [73, с. 280—281].
В третьем издании «Начал» на эти вопросы он отвечает так:
«Столь изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло
произойти иначе, как по намерению и власти могущественнейшего
и премудрого существа ... <... > Сие управляет всем не как душа
мира, а как властитель Вселенной и по господству своему должен
именоваться Господь Бог Вседержитель» [72, с. 659].
Как и Декарт, Ньютон вводит Бога в науку, в физическую
теорию. В последние годы жизни Ньютон писал сочинение о
пророке Данииле и толковал Апокалипсис. Он, ранее решительно
возражавший против принципа дальнодействия, теперь приписывает его
Богу.
166

Основной задачей своих исторических трудов Ньютон считал
устранение расхождений между хронологией светской и
хронологией Ветхого Завета. Он полагал, что все народы сильно
преувеличивают свою древность, стремясь выделиться друг перед другом.
Ньютон сократил историю Египта сразу чуть ли не на сотню
фараонов и на несколько тысячелетий. Согласно его выводам,
египетское государство начинается с XI в. до н. э. Методические
достижения Ньютона в установлении хронологии весьма существенны:
он использовал астрономические данные, сократил действительно
раздутые сроки царствований, сблизил похожие мифы, использовал
сходство культов и культур и т. п. Однако следует отметить, что
научная общественность и во времена Ньютона, и позже относилась
к его теологическим и историческим работам весьма скептически.
Скончался Ньютон 31 марта 1727 г. Он похоронен в
Вестминстерском аббатстве. При погребении ему были оказаны почести,
которые воздавались только членам королевского двора. На
могильном памятнике на латинском языке написано: «Здесь покоится
сэр Исаак Ньютон, который почти божественной силой своего ума
впервые объяснил с помощью своего математического метода
движения и формы планет, пути комет, приливы и отливы океана. Он
первый исследовал разнообразие световых лучей и
проистекающие отсюда особенности цветов, каких до того никто не
подозревал. .. <... > Пусть смертные радуются тому, что в их среде жило
такое украшение рода человеческого» [109, с. 116].
Лейбниц
После Лейбница, быть может, уже не было
человека, который бы полностью охватывал всю
интеллектуальную жизнь своего времени.
Н. Винер
В середине XVII в. Германия представляла собой в научном
отношении глубокую провинцию. В то время как в Италии, Франции,
Англии закладывались основы естественных наук, Германия дала
миру только одного гения — Иоганна Кеплера. После его смерти в
Германии не было крупных ученых, пока не засияло ярким светом
167

имя Лейбница, которому суждено было дать мощный толчок
развитию европейской науки.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) родился в
Лейпциге (на три года позже Ньютона, а умер на 11 лет раньше). Его
отец — профессор этики и юрисконсульт Лейпцигского
университета — умер, когда мальчику пошел седьмой год. Воспитывала
его мать, урожденная Катарина Шмукке, — дочь профессора
того же университета. Готфрид рано пристрастился к чтению книг
из библиотеки отца и самостоятельно овладел латинским языком,
перечитывая сочинения древних авторов. Он даже имел слабость
считать себя хорошим поэтом. Когда Лейбницу было 14 лет, в
гимназии, где он учился, должен был состояться праздничный вечер,
но гимназист, приготовивший стихотворение, заболел. Лейбниц
вызвался заменить его и в течение дня написал триста латинских
гекзаметров [102].
На пятнадцатом году жизни Лейбниц становится студентом
Лейпцигского университета, где когда-то работал его отец.
Официально он значился студентом юридического факультета, но
интересовался философией и математикой. Лейбниц писал позже: «Таким
образом, я достиг семнадцатилетнего возраста, и более всего меня
радовало то обстоятельство, что я работал не по чужим мнениям,
а по собственному влечению. Этим путем я достиг того, что всегда
был первым между своими сверстниками во всех общественных
и частных лекциях и собраниях, и таково было мнение не только
учителей, но и моих товарищей» [101, с. 15]. В 1663 г. Лейбниц
один семестр изучал математику в Йенском университете.
Усвоив начала комбинаторики, Лейбниц приходит к мысли
создать математическую дисциплину, с помощью которой можно
было бы логическую обработку понятий заменить их математической
обработкой. Эту мысль он изложил в сочинении «О комбинаторном
искусстве». Уже в первых самостоятельных философских трудах
Лейбниц выдвигает идеи, на которых основаны его главные труды
по философии и математике. Одной из центральных задач он
считал выработку совершенной символики, математизирующей
философию. Вернувшись в Лейпцигский университет, в 1664 г. Лейбниц
получил степень магистра философии, в 1665 г. — бакалавра
права, в 1666 г. после защиты диссертации «О запутанных случаях в
168

праве» стал доктором права. Ему предложили профессуру, но он
отклонил лестное предложение и уехал в Нюрнберг. Там он вступил
в общество розенкрейцеров. Его эрудиция была высоко оценена, и
ему предложили должность секретаря с приличным содержанием.
В обществе розенкрейцеров он познакомился с дипломатом Бой-
пебургом, который дал ему рекомендательное письмо к герцогу в
Майнце[102, с. 102].
В Майнце Лейбниц работал у местного курфюрста на
должности советника по пересмотру свода законов и наведению порядка в
запутанном законодательстве и судопроизводстве. Там он прожил
пять лет и в 1672 г. уехал в Париж с дипломатическим поручением
к Людовику XIV. В Париже он познакомился с Гюйгенсом,
который подарил ему свою книгу «Маятниковые часы». Для чтения
этой книги математических знаний Лейбница, которыми он тогда
владел, было недостаточно, и он стал тщательно изучать
математическую литературу. Математический гений Лейбница вспыхнул
внезапно и с невиданной силой. В 26 лет он стал изучать
математику, в которую, по его словам, «вошел с черного хода». К осени 1675 г.
Лейбниц в общих чертах достроил символику дифференциального
и интегрального исчислений, разработал основные его принципы.
Еще в 1671 г. ганноверский герцог Иоганн Фридрих,
прослышавший о блестящем даровании Лейбница, начал с ним
переговоры, приглашая к себе на службу. В середине 1676 г. Лейбниц принял
приглашение, но предварительно отправился в Лондон, где
продемонстрировал членам Королевского общества свою действующую
счетную машину. В Ганновере Лейбниц интенсивно занимался
различными вопросами: выполнял поручения герцога, писал
философские труды, продолжал исследования, посвященные анализу
бесконечно малых величин, занимался лингвистикой,
совершенствованием горного дела, вел обширную переписку.
В 1699 г. Парижская Академия наук получила право избирать
в свой состав не только католиков, но и представителей других
религиозных конфессий, и Лейбниц стал ее иностранным членом.
В 1700 г. Лейбниц организовал Берлинскую Академию наук и стал
первым ее президентом.
Лейбниц ратовал за примирение религии и науки, веры и
разума, откровения и философии. По его словам, существующий мир
169

создан Богом как «наилучший из всех возможных миров». Он
создал учение о «монадах» — бесчисленных психических,
деятельных субстанциях, находящихся между собой в отношении
предустановленной гармонии. Научную деятельность он рассматривал
как религиозную миссию, возложенную на ученых.
Математика для Лейбница составляла часть философской
системы с ее фундаментом — всеобщей гармонией. Мир, в котором
царит всеобщая гармония, един, его можно понять, применяя
единый метод познания типа математического метода. Необходимо
построить, считал Лейбниц, алгоритм, где операции над понятиями
выполнялись бы так же, как в математике выполняются операции
над величинами.
К началу XVIII в. слава Лейбница гремела по всей Европе.
Каждый ученый, каждый монарх считал для себя честью переписку
или даже беседу с Лейбницем. Разносторонность его интересов
была поразительной. Перечислять все отрасли науки, все извивы
политической деятельности, все отрасли промышленности, все
хитросплетения церковных переговоров — охватить все, что успел
сделать Лейбниц, просто немыслимо.
Готфрид Вильгельм Лейбниц — универсальный гений. Он
философ, стоящий в одном ряду с Декартом, Спинозой, Кантом,
Гегелем. Он математик, соперничавший в создании анализа с
Ньютоном. Он политик, дипломат, публицист. Лейбниц оставил
значительный след в механике и физике, занимался юриспруденцией,
логикой, теологией, историей. Он выдвинул существенные идеи
в геологии, языкознании, психологии и палеонтологии,
организовал академии наук, внес вклад в горное, библиотечное и монетное
дело, изобрел различные устройства. Он много ездил и завязывал
знакомства с выдающимися людьми, вел оживленную переписку —
насчитывается около 15 тыс. писем Лейбница. Почти в каждом из
них можно найти новую, глубокую и плодотворную мысль, так
как мелочных писем он вообще не писал. Его интересовали все
ведущие идеи века.
Несколько раз он встречался и беседовал с Петром I и
способствовал организации образования в России. Только документов на
эту тему, написанных Лейбницем собственноручно, насчитывается
244 единицы, и они составляют том объемом 369 страниц. Проект
170

Лейбница был положен в основу организации Петербургской
Академии наук.
По описаниям современников, Лейбниц был худощавым,
среднего роста мужчиной. Его бледное от природы лицо, оттененное
черными волосами парика, казалось еще бледнее. На первый взгляд
он производил впечатление довольно невзрачного человека. Будучи
как-то в Париже, Лейбниц зашел в книжный магазин в надежде
купить книгу философского содержания, написанную его знакомым.
На просьбу показать книгу продавец, осмотрев его с головы до ног,
насмешливо спросил". «Зачем она вам? Неужели вы способны
читать такие книги?» Не успел Лейбниц ответить, как в магазин вошел
автор книги и любезно поздоровался с ученым: «Великому
Лейбницу привет и уважение!» [109, с. 121].
От природы Лейбниц был наделен вспыльчивым, но
отходчивым характером. Он зла не помнил и долго сердиться не мог.
С детства был близорук и отличался, как сам говорил, большим
воображением. Обожал детей, но семьей не обзавелся. Однажды, уже
в пятидесятилетнем возрасте, он сделал предложение одной даме,
но та попросила его немного подождать. За это время Лейбниц
раздумал жениться и должен был признаться: «До сих пор я
воображал, что жениться всегда успею, а теперь, оказывается, опоздал»
[109, с. 122].
Последние годы жизни Лейбница были тяжелыми и прошли в
одиночестве. Подагра приковала его к креслу. Покровители умерли,
переписка постепенно угасла. Ему, как когда-то Кеплеру, правители
ганноверского двора, у которых он находился на службе, не
выплачивали жалованья. Спор с Ньютоном о приоритете в создании
интегрального и дифференциального исчислений получил широкую
огласку и подорвал репутацию Лейбница.
Умер Лейбниц в возрасте 70 лет. Обстоятельства его смерти
не свободны от некоторых неясностей. 14 ноября 1716 г. с утра
Лейбниц чувствовал себя хуже обычного. У него был друг
иезуит, который предложил «домашнее средство», приготовленное им
самим. Лейбниц выпил предложенный состав и сейчас же
почувствовал жестокие боли в животе. Пока разыскивали врача, Лейбниц
скончался, примерно через час после принятия «лекарства». На
могильной плите его высечены два слова: «Прах Лейбница». Смерть
171

его прошла почти незамеченной. На его похоронах присутствовали
всего несколько друзей и единственный родственник —
племянник [102].
Ньютон и Лейбниц —
творцы математического анализа
Очень сложно подробно описывать все математические
результаты, которые получены такими гениями, как Ньютон и Лейбниц.
Рассмотрим их вклад в математику в общих чертах.
Ньютон и Лейбниц открыли свои формы анализа независимо
друг от друга. Оба опирались на опыт многочисленных
предшественников, в котором накопилось достаточно предпосылок для их
открытий. Ньютон, видимо, добился успеха раньше, Лейбниц —
несколько позже. Однако приоритет в публикации, преимущества
в удобстве алгоритмов и символов, заслуги в активной пропаганде
нового исчисления принадлежат Лейбницу.
Для Ньютона математика была не самоцелью, а орудием
физических исследований, способом описания механических
процессов. Разработанный им математический аппарат, названный самим
ученым теорией флюксий, в современной терминологии относится
к теории производной и неопределенного интеграла.
Ньютон считал, что геометрические образы — линии,
поверхности, тела — получаются в результате движения: линия —
результат движения точки, поверхность — результат движения линии,
тело — результат движения поверхности. Эти движения
осуществляются во времени. Для нахождения мгновенной скорости надо
найти флюксию — предел отношения приращения пути к
приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю.
Переменные Ньютон назвал флюентами, а скорость движения
флюент — флюксиями (производными по времени). Соотношение
между флюентой и флюксией — это соотношение между
первообразной и производной. Если флюенту обозначить как у, то ее
первой флюксией будет у, второй — у и т. д. Способ Ньютона
обозначать производные по времени с помощью точек дошел до наших
дней, особенно в механике. Если же нужно по известной флюксии
172

:/: найти флюенту (первообразную), то Ньютон пользовался
символом 'х или Пж (квадратура). Введенный Лейбницем символ J был
гораздо удобнее.
На языке метода флюксий основные задачи анализа Ньютон
сформулировал так.
1. По данному соотношению между флюентами определить
соотношение между флюксиями (задача дифференцирования
функции нескольких переменных).
2. По данному уравнению, содержащему флюксии, найти
соотношение между флюентами (задача интегрирования
дифференциальных уравнений первого порядка).
Ко времени создания основного труда своей жизни
«Математические начала натуральной философии», в котором, кстати,
содержалось 12 лемм теории пределов, Ньютон свободно владел новым
математическим аппаратом: дифференцированием,
интегрированием, разложением в ряд, интегрированием дифференциальных
уравнений, интерполированием.
По словам самого Лейбница, он был математиком-самоучкой.
Когда по совету Гюйгенса он познакомился с одной из работ
Паскаля, то был поражен, почему Паскаль не сделал решающего
шага для открытия интегрального и дифференциального исчислений,
так как сразу увидел, что область применения описанных Паскалем
методов гораздо шире, чем думал автор. Вообще, как и подобает
гению, Лейбниц в результатах своих предшественников видел гораздо
больше, чем их авторы.
Осенью 1675 г. Лейбниц сформулировал основные понятия
дифференциального и интегрального исчислений. Он дал общие
правила решения задач на квадратуры и касательные, установил
связь между задачами дифференцирования и интегрирования, ввел
символику обеих операций, сохранившуюся и поныне. Созданные
Лейбницем исчисления, вскоре объединенные общим названием
«анализ бесконечно малых величин», давали возможность более
просто решать рассматриваемые ранее задачи, а также получать
новые результаты.
Решение задач анализа бесконечно малых привело Лейбница
к расширению и уточнению важнейшего понятия математики —
173

функции. Слово «функция» и введено в науку Лейбницем как
понятие, объединяющее многие отдельные и разобщенные виды
функциональных зависимостей, изучаемых ранее.
В своем первом письме Ньютону (1676) Лейбниц поставил
перед ним вопросы обоснования биномиальной формулы,
совершенствования приемов разложения функций в ряд и обращения рядов.
Он сообщил о найденных им рядах для ех, arctg х и ряде для
вычисления 7г. Метод флюксий Ньютона, обнародование которого
задержалось на многие годы, оставался тогда Лейбницу неизвестным.
Второе письмо Лейбница Ньютону (1677) содержало полное
разъяснение установленных им правил дифференцирования и их
применения. Здесь же Лейбниц изложил решение проблемы
проведения касательной с помощью нового исчисления и отметил
возможность квадратуры любой фигуры. Все это не было новым для
Ньютона, а особенного удобства в предложенном Лейбницем знаке
дифференциала d он не усмотрел и на письмо не ответил. К
сожалению, на этом переписка двух великих математиков оборвалась.
Друг Лейбница Э. фон Чирнгаузен не оценил важности нового
исчисления, так же как и Гюйгенс. В 1682—1683 гг. Чирнгаузен
в своих статьях привел некоторые результаты, полученные
Лейбницем, без ссылки на автора. Лейбниц решил поторопиться с
публикацией своих открытий и в 1684 г. представил в журнал Acta
eruditorum первую статью по дифференциальному исчислению
«Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для
которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные
величины, и особый для этого род исчисления». Статья отличалась
крайней сжатостью изложения. На шести страницах описывались
основные понятия, правила дифференцирования, отыскания
экстремумов и точек перегиба и т. д. Разобраться в ней, и то не сразу,
смогли только братья Бернулли. Можно согласиться с Иоганном
Бернулли, который назвал эту статью «скорее загадкой, чем
разъяснением» [100, с. 107].
В публикации 1686 г. Лейбниц ввел знак интеграла, отметив
взаимную обратимость операторов f и d. (Термин «интеграл» ввел
позже Иоганн Бернулли — преемник и ученик Лейбница.)
Символы и термины Лейбница оказались очень удачными. Они были
несложными и отражали существо дела, помогали пониманию и
174

позволяли оперировать ими по сравнительно простым правилам.
Многие из них дошли до наших дней. Лейбниц ввел термины:
«дифференциал», «дифференциальное исчисление», «функция»,
«координаты», «дифференциальное уравнение», «алгоритм» и многие
другие, а также ббльшую часть символов.
Для Лейбница интеграл был суммой бесконечного числа
слагаемых — определенный интеграл в современном понимании. Для
пего он использовал термин «сумма».
Трактовка основного понятия — производной — Ньютоном и
Лейбницем была разной. Для Ньютона это «флюксия» — скорость
изменения «флюенты», для Лейбница — это отношение
дифференциалов.
Ньютон, переходя от средней скорости к мгновенной,
фактически использовал понятие предела. Лейбниц использовал
преимущественно понятие «бесконечно малые» (он называл эти величины
также инфинитезимальными), но трактовалось это понятие не так,
как сейчас трактуется в учебниках высшей математики. Бесконечно
малая, по Лейбницу, отлична от нуля, но меньше любого другого
положительного числа. Это не переменная величина, т. е. не
функция, стремящаяся к нулю, а постоянная величина, но очень малая
(подробнее см. в гл. 32).
Владимир Андреевич Успенский, ученик Андрея Николаевича
Колмогорова, в книге «Что такое нестандартный анализ?» писал:
«В трудах основоположников математического анализа —
Ньютона и Лейбница — прослеживаются различные модели мироздания.
Говоря образно и уже по одному этому весьма огрубленно, Лейбниц
видел мир как мозаику, составленную из мельчайших частиц;
можно интересоваться отношением одной из частиц, dy, к другой, dx.
Мир Ньютона непрерывен и непрерывно меняется с течением
времени: переменные (по Ньютону, флюенты) х, у,... суть функции
времени, и можно интересоваться скоростями их изменения
(флюксиями, по Ньютону) х,у , ... Таким образом, если картина мира
Лейбница выполнена в технике мозаики и меняется так, как если бы
мы встряхивали калейдоскоп через бесконечно малые промежутки
времени dt, то картина мира Ньютона написана масляными
красками, которые еще не успели застыть и потому текут по поверхности
холста» [98, с. 120].
175

Своими открытиями Ньютон и Лейбниц совершили переворот
в математике. Раньше она была доступна лишь узкому кругу
специалистов, решающих каждую отдельную задачу придуманными ими
способами. После создания алгоритма дифференциального и
интегрального исчислений, применимого к широкому кругу задач,
математика стала инструментом в руках людей, занимающихся
различными исследованиями, но не обладающих достаточно глубокими
познаниями в математике.
Произошла в некоторой степени демократизация математики,
возросло ее общекультурное значение. В то же время
прослеживается обратная связь: возрастающее число исследований приводило
к возникновению новых проблем, встающих перед самой
математикой и стимулирующих ее развитие.
После Ньютона и Лейбница идея интеграла развивалась в двух
направлениях.
Интеграл, трактуемый как предел некоторой суммы,
определенный интеграл, приобретал совершенные и всеобъемлющие формы.
Он находил все большее и большее применение при решении задач
самой математики, в которой сложился, а также механики и физики.
Интеграл проник в технические науки, стал инструментом,
необходимым во всех отраслях естественных наук.
Интеграл как семейство первообразных, неопределенный
интеграл, своим развитием вызвал возникновение совершенно нового
раздела анализа—«Методы интегрирования функций». Это, в свою
очередь, было сопряжено с появлением функций, не известных
ранее, — класс интегрируемых функций все время пополнялся.
Важнейшее же приложение неопределенного интеграла относится
к интегрированию дифференциальных уравнений, составляющих
мощный математический аппарат многих наук.
Крайне неприятные приоритетные споры об открытии
математического анализа, развернувшиеся в XVII в. между Ньютоном и
Лейбницем, формально окончились как будто полной победой
Ньютона, не претерпевшего в результате этих споров ни малейшего
материального или морального ущерба, тогда как Лейбниц из-за
споров умер буквально в нищете.
Однако исторически победителем оказался именно Лейбниц.
Вся континентальная Европа восприняла дифференциальное и
176

интегральное исчисления в том обличье, которое им придал
Лейбниц, — с более удобной терминологией и символикой (производная
и интеграл, а не флюксия и флюента, исчисление дифференциалов,
а не моментов). Существенную роль в этом сыграли последователи
Лейбница, и в первую очередь Якоб и Иоганн Бернулли.

Глава 11
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ
В КОНЦЕ XVII — XVIII В.
Именно математика в первую очередь защищает
нас от обмана чувств и учит, что одно дело — как
на самом деле устроены предметы,
воспринимаемые чувствами, другое дело — какими они
кажутся; эта наука дает надежнейшие правила; кто им
следует — тому не опасен обман чувств.
Л. Эйлер
Семейство Бернулли
В отличие от Ньютона, не имевшего учеников, Лейбниц был
основателем блестящей школы математиков. Ближайшими
помощниками Лейбница в развитии анализа и других направлений
математики стали братья Якоб и Иоганн Бернулли.
Род Бернулли — выдающееся явление в истории науки и
культуры. Он дал девять крупных математиков, из них три
выдающихся (Якоб, Иоганн, Даниил). У старшего брата, Якоба, сын был
художником. У Иоганна было пятеро сыновей, но научной
деятельностью занимались только трое старших — Николай, именуемый
обычно Николаем II, Даниил I и Иоганн II. Все три сына
Иоганна I были профессорами математики. У Иоганна II было два сына
математика — Иоганн III, академик Берлинской Академии наук, и
178

Якоб II — математик Петербургской Академии наук, утонувший в
Неве в тридцатилетнем возрасте. После них в семье Бернулли
математиков не было.
Кафедру математики Базельского университета Бернулли
возглавляли в течение 105 лет практически без перерыва.
Профессорами того же университета (на разных кафедрах) Бернулли состояли
более 200 лет. Кресло академика Парижской Академии наук было
занято ими подряд 100 лет. Пятеро математиков Бернулли были
академиками Петербургской Академии наук.
Помимо математиков в роду Бернулли были историки,
архитекторы, юристы, искусствоведы и т.д. Не менее 30
представителей рода Бернулли обладали талантами в различных областях
деятельности.
Якоб Бернулли
Ветвь математиков Бернулли начинается с Якоба (1654—1705).
Он родился в Базеле, куда семья Бернулли переехала из
Амстердама, спасаясь от гонений на протестантов.
Якоб окончил Базельский университет, где изучал философию,
богословие и языки, готовился к тому, чтобы стать богословом. Он
рано увлекся математикой и астрономией, изучал их
самостоятельно, тайком от отца и почти без учебников. В 1671 г. он получил
степень магистра философии, владел французским, немецким,
английским, итальянским, латинским и греческим языками. С большим
успехом читал проповеди на немецком и французском языках. Якоб
любил путешествовать. В Генуе, например, он прожил 20 месяцев
и обучал слепую девушку логике, истории, физике и т. д.
В 1681 г. Якоб Бернулли опубликовал первую научную работу по
астрономии, посвященную кометам, в которой утверждал, что
кометы — не некий воздушный феномен, а небесные тела с
определенными траекториями движения. Статья вызвала критику богословов.
По официальной версии, кометы представляли собой знаки
Божьего гнева. Во втором издании статьи Якоб дал иное объяснение: ядро
кометы — обычное небесное тело, а хвост — знак того, что Господь
гневается, и размер хвоста соответствует силе гнева [70]. В 1682 г.
Якоб решает оставить церковную карьеру и посвятить себя точным
наукам.
179

В 1686 г. оказалась вакантной должность математика в Базель-
ском университете. Сенат университета единодушно выдвинул на
вакантное место Якоба Бернулли. Вряд ли присутствовавшие на том
скромном акте представляли, что они являются свидетелями
беспримерного в истории математики события: отныне кафедра отдана
попечению семейства Бернулли на 105 лет.
Основные научные интересы Якоба Бернулли были
сосредоточены на развитии и применении анализа. Освоив алгоритм
Лейбница, он применил его к исследованию свойств кривых. Якоб решил
поставленную Лейбницем задачу об отыскании изохроны (кривой
равных спусков) и опубликовал в 1690 г. свое решение. Это была
первая печатная работа после статей Лейбница 1684 и 1686 гг., в
которой исследование от начала до конца проводилось средствами
нового исчисления. Она вызвала изумление Лейбница. В конце
статьи Бернулли предложил задачу по определению кривой, которую
образует цепь или гибкая нить, укрепленная в двух крайних
точках. В 1692 г. им определена парусная кривая, по которой
изгибается наполненный ветром парус. Бернулли принадлежит изобретение
полярных координат. Он был первым, кто нашел упругую линию
гибкой пластины (балки), защемленной с одного конца и
нагруженной сосредоточенной силой на другом конце. Он же вывел формулу
радиуса кривизны произвольной кривой.
Якоб Бернулли открыл числа, названные впоследствии его
именем. Он выполнил значительные исследования в области числовых
рядов. Пять его работ под общим названием «Арифметические
предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах» (1689—
1704) были первым руководством по теории числовых рядов.
Основополагающий вклад внес Якоб Бернулли в теорию
вероятностей. Им разработана схема Бернулли — одна из основных
моделей теории вероятностей. Она позволила открыть важнейшую
закономерность теории вероятностей, простейшую форму закона
больших чисел, теорему, названную впоследствии его именем. Его
сочинение «Искусство умозаключений» было издано в 1713 г. Он
занимался также физическими задачами: определением центров
качания тел, вычислением сопротивления жидкости движущимся в
ней телам различной формы.
180

Еще в первые годы своих занятий высшей математикой Якоб
изучал логарифмическую спираль и открыл многие ее свойства. Он
гак высоко ценил эту свою работу, что завещал изобразить
логарифмическую спираль на его надгробном камне, что и было сделано.
Иоганн Бернулли
Третий сын и десятый ребенок в семье, Иоганн Бернулли (1667—
1748) был младшим братом Якоба. В Базельский университет он
поступил в 1683 г. Вскоре защитил диссертацию, написанную
латинскими стихами, и получил степень бакалавра.. В 1685 г. защитил
еще одну диссертацию, написанную стихами на греческом языке,
и получил степень магистра искусств (доктора философии, как сам
он пишет в «Автобиографии»). В то же время по совету старшего
брата Якоба он стал заниматься математикой и медициной.
Легкость, с которой Иоганн овладевал математикой, поразительна. За
два года им были изучены все известные в то время труды древних и
новых математиков, включая «Геометрию» Декарта. В 1687 г. Якоб
увидел статью Лейбница, опубликованную тремя годами раньше,
в которой был изложен новый метод исчисления. Сначала братья
не до конца поняли его и послали Лейбницу письмо с просьбой о
более подробных разъяснениях. Лейбниц в то время
путешествовал. Письмо Бернулли к Лейбницу лежало в Ганновере, дожидаясь
адресата, до 1690 г. К тому времени, когда Лейбниц ответил,
братья уже настолько овладели новым исчислением, что Лейбниц им
был нужен уже не как наставник, а как единомышленник. Между
Иоганном Бернулли и Лейбницем началась переписка, которая
продолжалась до смерти Лейбница. Из всего грандиозного
эпистолярного наследия Лейбница (15 тыс. писем) его переписка с Бернулли
выделяется и объемом, и значением для истории культуры.
Одновременно с математикой Иоганн изучал медицину: в
сентябре 1690 г. он защитил диссертацию по медицине, получил звание
лиценциата медицины, дающее право на чтение лекций.
Путешествуя, Иоганн Бернулли познакомился в Париже с Гийо-
мом Франсуа Лопиталем, имевшим репутацию одного из
крупнейших французских математиков. Лопиталь обнаружил, что
считаемые им очень трудными задачи Иоганн решает быстро и легко. Он
181

был так поражен, что, не посчитавшись ни с возрастом Иоганна (тот
был младше на шесть лет), ни с общественным положением (Лопи-
таль — маркиз, владелец богатейшего майората), попросил
Иоганна прочитать ему лекции по новому исчислению. Сначала это были
беседы, но вскоре Лопиталь предложил Иоганну передавать ему
заранее написанные лекции. Иоганн принял предложение. Вероятно,
он думал воспользоваться ими впоследствии для создания своего
курса, так как снимал копии лекций. В «Автобиографии» Иоганн
умолчал, что получил от Лопиталя за свой труд значительный
гонорар [102]. Однако Лопиталь опередил учителя и издал «Анализ
бесконечно малых» в 1693 г. Это был первый учебник по
математическому анализу, а курс Иоганна Бернулли увидел свет не скоро:
в третьем томе его сочинений (1742) напечатаны «Математические
лекции о методе интегрирования и других вопросах, написанные
для знаменитейшего маркиза Лопиталя», тогда как «Лекции по
исчислению дифференциалов» были найдены в рукописях и
напечатаны лишь в 1922 г. Несмотря на то что курс был прочитан одному
слушателю, он сыграл существенную роль в становлении анализа,
так как благодаря Лопиталю стал известен многим. С тех пор пра-
/0\ /осп
вило раскрытия неопределенностей вида <->и — > при
вычислении пределов стало называться правилом Лопиталя.
В ноябре 1692 г. Иоганн возвратился в Базель и продолжал
изучать медицину. В 1694 г. он получил степень доктора медицины
после защиты диссертации «Соискательная физико-анатомическая
диссертация о движении мускулов», в которой задачи о форме и
движении мускулов решались методом анализа бесконечно малых.
Через несколько дней после защиты Иоганн женился. В Базеле,
где университетская кафедра математики была занята его старшим
братом, Иоганн не мог рассчитывать на соответствующее его
квалификации место и поэтому переехал в Гронинген (на северо-западе
Голландии), где прожил 10 лет. Кроме курса математики он читал
еще экспериментальную физику.
Для истории математики чрезвычайно интересен спор,
возникший между братьями Бернулли и длившийся более 10 лет.
Самомнение Иоганна и зависть внушили ему мысль о том, что Якоб
уступает ему в способностях и что не следует считать его значительным
182

математиком. Видимым поводом для этого было то, что решения
Иоганна блистали изяществом и простотой, в то время как решения
Якоба Бернулли отличались внешней громоздкостью. Однако
решения Якоба, несмотря на их громоздкость, всегда были
фундаментальными и глубокими, и, по мнению некоторых исследователей,
он был талантливее. Якоб был обижен нападками брата, его
раздражительность усиливалась тяжелым заболеванием (он был болен
туберкулезом). Спор велся в резких тонах, сопровождался взаимными
насмешками, оскорблениями. В 1695 г. Якоб предал его гласности.
В 1696 г. Иоганн Бернулли предложил всем математикам
решить знаменитую задачу о брахистохроне (см. гл. 25). Многие
математики откликнулись на приглашение И. Бернулли. Одним из
первых решил задачу о брахистохроне Лейбниц. Проблема ему
очень понравилась, и он назвал ее прекрасной. Затем о своих
успехах сообщили Якоб Бернулли и Лопиталь. Иоганн Бернулли,
разумеется, располагал собственным решением. Кроме решений
перечисленных авторов было опубликовано и еще одно безымянное
решение, в котором знатоки сразу же узнали стиль Ньютона («По
когтям узнают льва» — эту латинскую поговорку процитировал
И. Бернулли). Ньютон позже признался, что нашел решение задачи
после 12 часов непрерывного обдумывания. Все авторы пришли к
одному и тому же результату: брахистохроной является циклоида.
Задача о брахистохроне сыграла важную роль в развитии
математического анализа и оказалась первой в ряду задач, на основе
которых сформировалось вариационное исчисление.
После решения задач о брахистохроне Якоб предложил для
решения изопериметрическую задачу. Иоганн объявил, что ему
достаточно трех минут для преодоления трудностей. На это Якоб
ответил, что он разгадает метод решения брата, укажет ошибку в нем
и опубликует правильное решение. За неисполнение обещания он
обязался уплатить круглую сумму. Спор между братьями шел, как
говорится, «на характер», изнурял ту и другую сторону и окончился
только со смертью Якоба в 1705 г.
В 1705 г. Иоганн покинул Гронинген и занял кафедру
математики в Базельском университете, освободившуюся после смерти
брата. Иоганн Бернулли возглавлял кафедру математики 42 года.
Его лекции слушали студенты, профессора, доктора, академики из
183

Англии, Франции, Италии, Швеции и других стран. Он вел
чрезвычайно деятельную жизнь: читал лекции, председательствовал
и выступал на диспутах, руководил факультетом и университетом
(был восемь раз деканом философского факультета и два раза
ректором университета), переписывался с математиками, физиками,
должностными лицами академий, членами которых он состоял. Как
многие крупные ученые, он был счастлив в учениках (Лопиталь,
Клеро, Эйлер, сыновья, Г. Крамер и другие известные математики).
Необыкновенно крепкое здоровье И. Бернулли заметно
пошатнулось лишь в последние недели 1747 г., но так сильна была его
привычка к труду, что он продолжал ежедневно трудиться до
полуночи. Скончался он в 1748 г. в возрасте 85 лет. Интересно отметить,
что траурную речь над его могилой произнес дядя Эйлера,
священник Генрих Брукер.
Заслуги И. Бернулли в науке чрезвычайно важны. Вместе с
братом он утвердил, развил и систематизированно изложил методы
дифференциального и интегрального исчислений, установил их
применимость к различным областям науки. Он нашел новые
методы решения дифференциальных уравнений, был одним из
создателей вариационного исчисления, впервые поставил задачу о
геодезических линиях, открыл геометрическое свойство
геодезических линий и составил их дифференциальное уравнение, успешно
решал задачи по теории колебаний, теории удара, гидравлике,
сформулировал принцип возможных перемещений.
Вот какую оценку творчества Якоба и Иоганна Бернулли дал
Лейбниц в 1701 г. (когда Якобу было 46 лет, а Иоганну — 34
года): «Я ценю их обоих, как только можно ценить наиболее
глубоких гениев в математике. Я многим обязан тому и другому...
так как главным образом благодаря их открытиям разрозненные
семена моего метода смогли принести столько добрых плодов»
[70, с. 149].
Даниил Бернулли
Даниил Бернулли (1700—1782) — один из сыновей Иоганна
Бернулли. Родился он в Гронингене. Под руководством отца и
отчасти старшего брата он рано приобщился к занятиям математикой и,
184

кроме того, занимался физиологией и медициной. В 1725—1733 гг.
Даниил был профессором Петербургской Академии наук,
позднее — ее почетным членом. По его рекомендации в Петербург был
приглашен Эйлер.
Даниил Бернулли впервые применил математический анализ к
теории вероятностей, а теорию вероятностей — к демографии (см.
гл. 27). Он дал определение числа е: е ~ lim 1 Н— . Им разра-
п^оо у п J
ботаны важные проблемы гидродинамики. За работы по математике
и физике он получил 10 премий Парижской Академии наук.
Когда Даниил, будучи уже профессором и академиком, создал
в 1738 г. свою знаменитую «Гидродинамику», Иоганн Бернулли не
мог допустить даже мысли, что сын оказался талантливее его
самого — пусть даже в какой-то специальной области. Он публично
заявил, что вынашивал те же идеи чуть ли не 10 лет,
сформулировал их по-своему и включил в собрание своих сочинений. Даниил
оказался в глазах ученого мира лишь распространителем идей
знаменитого отца. Даниил жаловался Эйлеру: «Я не взял у него ни
единого слова» [116, с. 21].
Эйлер
Изучение работ Эйлера остается наилучшей
школой в различных областях математики, и ничто не
может это заменить.
К. Гаусс
Леонард Эйлер (1707—1783) родился в Базеле, в семье
священника сиротского дома, пастора Пауля Эйлера. Отец Леонарда слыл
любителем математики, учился у Якоба Бернулли и защитил
диссертацию по теории пропорций и отношений. Он видел в сыне
будущего пастора, но склонность того к математике взяла верх. После
окончания гимназии в 1720 г. Эйлер поступил на философский
факультет Базельского университета, где кафедрой математики
руководил Иоганн Бернулли. Эйлер стал слушать его лекции. Бернулли
обратил внимание на чрезвычайно одаренного юношу и
посоветовал ему изучать труды математиков. Каждую субботу Эйлер должен
был приходить к Бернулли домой для бесед о прочитанном. Здесь
185

Эйлер познакомился с сыновьями Иоганна — Николаем и
Даниилом; возникшая дружба сыграла большую роль в судьбе Эйлера.
Философский факультет Эйлер закончил в 1722 г. в возрасте
15 лет. Затем он поступил на богословский факультет, где с
особым усердием изучал иностранные языки. Петербургский
профессор Н.И. Фусс, впоследствии женившийся на внучке Эйлера,
отмечал, что Эйлер прочитал труды многих римских классиков. Память
Эйлера была такова, что он помнил наизусть всю «Энеиду», мог
воспроизвести первый и последний стихи на каждой странице
книги. Летом 1724 г. Эйлер перед преподавателями и слушателями
университета произнес на латинском языке речь о сравнении
философии Декарта и Ньютона и получил степень магистра искусств.
Швейцария готовила гораздо больше образованных людей, чем
могла содержать и обеспечить службой. Да и во всей Западной
Европе спрос на ученых был невелик. Ни Эйлер, ни его друзья
братья Бернулли не могли найти приложение своим знаниям. Однако у
братьев было достаточно известное ученым Европы имя,
служившее им лучшей рекомендацией, — и вскоре обоих пригласили в
создаваемую в Петербурге Академию наук. Они обещали устроить
туда и Эйлера [116].
В последующие два года юный Эйлер написал несколько
научных работ. В эпоху парусного флота первостепенную роль
играли количество, высота и расположение мачт на корабле. Парижская
Академия наук объявила конкурс на оптимальное решение задачи.
Почетный отзыв французские академики дали работе Эйлера,
который никогда не видел моря и которому тогда было 19 лет. Когда в
Базеле освободилась вакансия профессора на кафедре физики,
Эйлер предоставил на конкурс работу «О природе и распространении
звука». Но по молодости лет его кандидатуру даже не стали
рассматривать.
Первый период жизни в России. В начале зимы 1726 г.
Эйлеру сообщили из Петербурга, что по рекомендации братьев
Бернулли он приглашен на должность адъюнкта по физиологии. И Эйлер
начинает изучать физиологию. Однако в Петербурге его назначили
адъюнктом математики. Петербургская Академия наук была
организована по инициативе Петра I по проекту Лейбница. После
смерти Петра I создание Академии завершила Екатерина I. Из 22
профессоров и адъюнктов, приглашенных в первые годы, восемь были
186

математиками и занимались также механикой, астрономией,
картографией.
В отличие от европейских академий, представлявших собой
добровольные сообщества ученых, работавших на деньги меценатов,
Петербургская Академия наук с самого начала существования была
государственным учреждением, цели и задачи ее определялись
потребностями государства, научные работы ее членов широко
публиковались в изданиях Академии. В день приезда Эйлера в Петербург
умерла Екатерина I. Положение Академии стало весьма
неопределенным.
Уже через несколько месяцев после приезда в Петербург Эйлер
бегло говорил по-русски. Вскоре он становится одной из ведущих
фигур в Географическом департаменте, быстро и точно выполняет
весьма громоздкие вычисления. Не ограничившись чисто
математической частью, Эйлер непосредственно занялся картографией и
сам вычертил немало карт, испортив себе при этом зрение [102].
В 1730 г. на российский престол вступила Анна Иоанновна.
Академию возглавил немец Шумахер, и многие ученые стали покидать
Россию. В 1731 г. освободившееся место профессора физики было
предложено Эйлеру. Через два года после отъезда из России
Даниила Бернулли Эйлер стал академиком и профессором чистой
математики. В конце того же 1733 г. 26-летний Эйлер женился на своей
ровеснице — дочери живописца Екатерине Гзелль. Свадьбу
справляли на Новый год. Среди стихотворений, преподнесенных
молодоженам, были такие [116, с. 16]:
В том усомниться мог ли кто-то, Теперь совсем в другом он мире,
Что Эйлер удивит весь мир, Где чувства, счастье и любовь.
Что только цифры и расчеты — И то, что дважды два — четыре,
Его единственный кумир. Доказывать придется вновь.
Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. В 1735 г.
Академия получила задание выполнить срочные и громоздкие
астрономические вычисления. Группа академиков просила на эту
работу три месяца. Эйлер вызвался сделать работу в три дня и
выполнил обещание. Однако перенапряжение не прошло бесследно:
он заболел и потерял зрение в правом глазу. Тогда ему было 28 лет.
187

Ни один том Трудов Петербургской Академии наук не выходил
без нескольких работ Эйлера по математике, механике, физике.
Например, в 1736 г. из 13 работ по математике, опубликованных в
Трудах Академии, 11 принадлежали Эйлеру и две — Даниилу Бернул-
ли. За первые 14 лет пребывания в Петербурге Эйлер написал более
80 крупных научных работ, более 50 из которых были тогда же
опубликованы.
Двухтомное сочинение «Механика, или Наука о движении, в
аналитическом изложении», изданное в 1736 г., принесло ему
мировую славу. Эйлер блестяще применил методы математического
анализа к решению проблем движения в пустоте и в
сопротивляющейся среде.
Берлинский период. В 1740 г. умерла Анна Иоанновна.
Политическая обстановка в России стала неустойчивой, и Эйлер принял
предложение прусского короля Фридриха II, который приглашал его
в Берлинскую Академию наук на весьма выгодных условиях. В
Берлине Эйлера приняли с большим почетом. В первые дни
пребывания его в Германии на одном из приемов в королевском дворце мать
короля обратила внимание на то, что Эйлер отвечает ей
односложными «да», «нет». «Почему же вы не хотите со мной говорить?» —
спросила она Эйлера. «Сударыня, — отвечал он, — я приехал из
страны, где тех, кто говорит, вешают» [102, с. 152]. Это
свидетельствует об обстановке в России во времена бироновщины.
В Берлине Эйлер был директором математического класса и
замещал президента Академии Мопертюи во время его частых и
длительных отъездов во Францию. Фридрих II часто давал Эйлеру
поручения, не связанные с его непосредственной деятельностью:
рассчитать объем расхода воды в фонтанах, рассчитать прочность
колонн строящегося дворца. Методы, применявшиеся Эйлером в
этих расчетах, использовались потомками. В течение всего времени
пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почетным
членом Петербургской Академии наук и многие из своих трудов
печатал в ее изданиях.
Иоганн Бернулли, который не терпел превосходства рано
умершего брата Якоба и боялся соперничества собственного сына
Даниила, преклонялся перед своим учеником Леонардом Эйлером,
считая его главой математиков. Посылая ему в 1742 г. в Берлин свой
188

четырехтомник, Бернулли писал: «Я посвятил себя детству высшей
математики. Ты, мой друг, продолжишь ее становление в зрелости»
|116, с. 21].
Одна за другой выходят научные работы Эйлера
колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» (1748), «Морская
наука» (1749), «Теория движения луны» (1753), «Наставление по
дифференциальному исчислению» (1755), не говоря уже о десятках
статей, печатавшихся в Берлине и Петербурге. Книги Эйлера
отличались естественностью изложения, насыщенностью примерами и,
хотя они являлись учебниками, читались с интересом. С
появлением этих книг математический анализ становится методически
разработанной учебной дисциплиной. В 1760—1761 гг. Эйлер пишет
«Письма к немецкой принцессе» — свыше 200 писем, содержащих
всю известную тогда физику в популярном изложении.
Второй период жизни в России. В 1762 г. на русский престол
вступила Екатерина II. Она приказала предложить Эйлеру
управление математическим классом (отделением), звание конференц-
секретаря Петербургской Академии наук, оклад 1800 рублей в год,
его сыну — Иоганну Альбрехту — звание академика и 600 рублей
в год. «А если не понравится, пусть благоволит сообщить свои
условия, лишь бы не медлил с приездом в Петербург» [116, с. 26].
Эйлер подает Фридриху II прошение об увольнении со
службы, но тот не желает даже обсуждать этот вопрос. В 1766 г. Эйлер
пишет ему резкое письмо, в котором ссылается на предложение
Екатерины II и напоминает, что он — свободный гражданин
Швейцарии. Король отпускает его, боясь ссоры с Екатериной II, но
запрещает отъезд его сыну, который родился в Пруссии. Лишь много
позже, после вмешательства Екатерины II, сыну Эйлера разрешили
выехать в Россию. Все условия, обещанные Эйлеру, императрицей
были выполнены.
После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась
катаракта левого глаза, и он перестал видеть. Но это не отразилось на его
работоспособности. В 1769—1771гг. вышли три тома
«Диоптрики», в которых объединено все написанное Эйлером об оптических
приборах. Этим сочинением была создана новая по тем временам
наука об оптических инструментах, описывающая законы
прохождения и преломления световых лучей, правила расчета
телескопов и микроскопов, вычисления аберраций — все, что может дать
189

оптике математика. Будучи слепым, Эйлер блестяще изложил
законы распространения света.
В сентябре 1771г. немецкий окулист Вентцель удалил с левого
глаза Эйлера катаракту, и Эйлер снова стал видеть. Но он не
вытерпел положенного срока, раньше времени снял повязку и ослеп уже
навсегда, однако, будучи слепым, продолжал диктовать научные
работы.
В 1773 г., после 40 лет счастливого брака, Эйлер овдовел. С ним
жило все его потомство, более 30 человек. Громадная семья
нуждалась в хозяйке. В 1776 г. Эйлер женился на сводной сестре своей
первой жены Саломее Гзелль.
В сентябре 1783 г. Эйлер стал ощущать головные боли и
слабость, 18 сентября он умер от инсульта. По образному выражению
французского ученого Кондорсе, «Эйлер перестал жить и
вычислять». Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге.
Краткая характеристика творчества. Творчество Эйлера
составляет эпоху в развитии не только математики, но и механики,
физики, астрономии и ряда других наук точного естествознания.
Эйлеру принадлежат выдающиеся достижения в математическом
анализе, вариационном исчислении, интегрировании
дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, теории чисел,
топологии, математической физике.
Не менее важны его достижения в гидродинамике, теории
теплоты, оптике, механике твердого тела, механике машин,
сопротивлении материалов, гидравлике, теории навигации, баллистике и
др. Не чуждался Эйлер и практики. Он ввел в математику
тригонометрические функции, и во всех школах дети до сих пор изучают
их по Эйлеру. Он употреблял некоторые символы и термины,
получившие распространение и дошедшие до наших дней (ж, е).
О формуле Эйлера еш = — 1 Тобиас Данциг сказал, что она
содержит «самые важные символы: таинственное единение, в
котором арифметика представлена посредством — 1, алгебра —
посредством г, геометрия — посредством 7г, а анализ — посредством е»
[30, с. 354].
Эйлер был выдающимся вычислителем. Однажды во время
бессонницы он вычислил шестые степени всех первых натуральных
190

чисел от 1 до 100 и полученную таблицу воспроизвел по памяти
через несколько дней. Всего за один час он определил первые 20 цифр
числа 7г. Академик Н.Н. Лузин писал: «Эйлер нисколько не
тяготился вычислениями, и никакие формулы, как бы они ни были
необъятны, никогда не стесняли его: такова была прозорливость Эйлера,
что самая громоздкая формула гнулась в его руках, как мягкий воск,
и послушно давала под его усилиями все, что угадывала в ней его
проницательность... В своем поистине изумительном чувстве
формул Эйлер не знает себе соперников и по наши дни. Его инстинкт
алгебраиста и геометра непосредственно чувствовать в формулах
истину и ложь, его искусство комбинировать формулы, их
оценивать численно, преобразовывать, мгновенно разгадывать природу
результата были поистине изумительны» [58, с. 32—33].
Среди своих современников Эйлер получил наибольшее
количество премий Парижской Академии наук за конкурсные
работы — 14.
Перу Эйлера принадлежат 886 работ. После того как Эйлер
ослеп, он продиктовал своим ученикам и помощникам 416 работ
(по 25 в год). При жизни было напечатано 530. В 1909 г.
Швейцарское общество естественных наук приняло решение издать полное
собрание сочинений Эйлера, состоящее, по предварительным
подсчетам, из 72 томов по 600 страниц каждый. К 1927 г. вышло 23
тома, к 1956 — 40, к 1980 — 62. Около трех тысяч писем должны
составить еще восемь томов (дополнительно к 72). Из 72 томов
30 посвящено математике, 31 — механике и астрономии, 11 —
физике и другим предметам. В процентном отношении работы по
математике распределяются по объему так: 60% — анализ, 17%
— геометрия, 13 % — теория чисел, 7 % — алгебра, 3 % — теория
вероятностей. Внутри анализа особенно большое место занимают
работы по интегральному исчислению — 33 %;
дифференциальным уравнениям — 25 %, рядам — 22% и вариационному
исчислению — 11%. Оставшиеся 9 % приходятся на том
«Дифференциальные исчисления» и первый том «Введения в анализ бесконечно
малых» [34].
В среднем в год Эйлер подготавливал к печати 800 страниц
научного текста. Его работоспособность поражает воображение —
191

ведь это были четко изложенные научные труды самой
разнообразной тематики: теория чисел и музыка, астрономия и механика,
теория вероятностей и оптика, математический анализ и
сопротивление материалов.
Труды Эйлера изучали и высоко ценили все последующие
великие математики. «Читайте Эйлера, — говорил Лаплас, — это
наш общий учитель» [116, с. 4]. В работах Эйлера не
обосновывается каждое утверждение, часто отсутствуют строгие
доказательства. Практическая применимость и безошибочность при
отсутствии строгих доказательств вообще характерна для
математики XVIII столетия. Этот стиль «правдоподобных рассуждений»
— наилучший при знакомстве с существом тех или иных
явлений и закономерностей, когда требуется разобраться в фактах, но
еще не наступило время для строгого обоснования и
дедуктивного построения теории. Именно так следует впервые знакомиться с
отдельными разделами физико-математических наук. Лишь когда
существо явления станет понятным, можно будет говорить о его
первопричинах и строгих обоснованиях.
Именно таким путем шло развитие точных наук в XVIII —
первой половине XIX в. Понятия математики и не всегда строго
обоснованные формулы применялись и в подавляющем большинстве
случаев приводили к верным результатам. А обоснования
фундаментальных начал анализа появились лишь в работах выдающихся
математиков XIX в. О. Коши и К. Вейерштрасса.

Глава 12
МАТЕМАТИКА ВО ФРАНЦИИ
В КОНЦЕ XVIII — НАЧАЛЕ XIX В.
Успехи, достигнутые Ньютоном, Эйлером, Да-
ламбером, Лагранжем и Лапласом в
математическом описании и точном предсказании множества
самых разнообразных астрономических явлений,
были столь впечатляющи, что
естествоиспытатели преисполнились гордостью за науку, нередко
граничившей с самонадеянностью и
высокомерием. Они перестали думать о физическом
механизме явлений и сосредоточили все усилия на их
математическом описании.
М. Клайн
Десятью годами моложе Эйлера был Жан Лерон Даламбер, на
29 лет моложе — Жозеф Луи Лагранж. Вместе они составили
замечательный «математический триумвират» конца XVIII в. И хотя в то
время уже жили на свете Лаплас, Лежандр, Монж, Фурье, Пуассон,
они еще ничего не успели сделать для науки. Коши еще не родился.
Будущему «королю математиков» Карлу Фридриху Гауссу в момент
смерти Эйлера едва минуло шесть лет.
Остановимся подробнее на личностях Даламбера и Лагранжа.
Известный немецкий ученый Иоганн Генрих Ламберт, к которому
Эйлер очень хорошо относился и которого Кант считал
крупнейшим философом века, говорил так: «Первыми из ныне живущих
7 Математика древняя и юная [у J

математиков я считаю Эйлера и Даламбера или, если угодно,
Даламбера и Эйлера, ибо каждый из них дополняет блестящие
качества другого. Эйлер обладает большей непосредственностью и
легкостью, Даламбер — большей утонченностью, остроумием и
изяществом. Оба в равной мере глубоки и продуктивны, так что
трудно одного из них предпочесть другому; каждый из них
бесспорно первый. Лагранж является ныне вторым, но, возможно,
догонит их. А третий — я» [116, с. 25].
Даламбер
Жан Лерон Даламбер (1717—1783), внебрачный сын
аристократки, был подкинут к церкви святого Жана Лерона в Париже. По
приказу полицейского комиссара его назвали Жаном Лероном, а
фамилию Даламбер он позже придумал себе сам. Воспитывался он
в многодетной семье стекольщика Руссо. Об истинных родителях
Даламбера можно прочитать у Самуила Смайлса в книге «Жизнь
и труд» [91]. Там указывается, что его отцом был комиссар
артиллерии, а матерью — сестра архиепископа Лионского кардинала
Тенсена.
В четыре года мальчика отдали в пансион. Когда ему
исполнилось 10 лет, содержатель пансиона обратился к супругам Руссо с
настоятельной просьбой забрать из пансиона их подопечного, так
как он усвоил всю программу и ему там более нечему учиться. Жан
рос болезненным ребенком и физически развивался слабо,
поэтому по просьбе приемных родителей его оставили в пансионе еще
на два года. Математикой в пансионе почти не занимались, и с 13
лет Жан стал изучать ее самостоятельно, посещая общественные
библиотеки. Там он прочитывал теоремы, а дома сам их доказывал.
И хотя родители настаивали на занятиях медициной, так как труд
математика не был престижным, медицину он вскоре забросил.
Даламбер — знаменитый энциклопедист XVIII в. Совместно с
Дидро он составил 20 томов «Энциклопедии наук, искусств и
ремесел». В этой энциклопедии им написаны разделы, относящиеся
к физике и математике. Ему же принадлежит вводная статья под
названием «Очерк происхождения и развития науки», в которой
представлен большой фактический материал и дана оригинальная
классификация всех наук. Даламбер — автор ряда философских работ
194

и весьма оригинальных трудов по вопросам музыкальной теории и
музыкальной эстетики.
Его ранние и блестящие успехи в науках облегчили ему
карьеру. В 1739 и 1740 гг. он представил в Парижскую Академию наук
трактаты по математике и физике ив 1741 г. был избран ее
членом. В 1743 г. появился его «Трактат по динамике», который
содержал метод сведения динамики твердых тел к статике, известный
как принцип Даламбера. В 1747 г. он опубликовал теорию колебания
струны, что делает его вместе с Даниилом Бернулли основателем
теории уравнений в частных производных, т. е. одним из
создателей математической физики.
Даламберу не составляло труда писать по многим вопросам,
включая даже вопросы обоснования математики. Он ввел понятие
предела. «Основную теорему алгебры» иногда называют теоремой
Даламбера, так как он пытался ее доказать в 1747 г. (доказал ее
Гаусс). Даламбер многое сделал для создания теории функций
комплексного переменного. Ему принадлежит обоснование условий
аналитичности функции, связывающих действительную и мнимую
части, которые впоследствии были названы условиями Коши —
Римана, хотя исторически их правильнее называть условиями
Даламбера — Эйлера. Каждому студенту известен достаточный
признак сходимости знакоположительных числовых рядов {признак
Даламбера).
Фридрих II уговаривал Даламбера занять пост президента
Берлинской Академии наук, но тот отказался наотрез и рекомендовал
сделать президентом Эйлера. После вторичного отъезда Эйлера в
Петербург президентом Берлинской Академии наук на 20 лет стал
Лагранж.
Лагранж
Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) родился в Турине (Италия).
Его дед, французский офицер, служивший на Сардинии, был женат
на итальянке. В школе Лагранж прилежно изучал древние языки и
рано познакомился с сочинениями Архимеда и Евклида.
Математикой он увлекся после того, как случайно прочитал книгу
английского математика Галлея (более известного как астронома, вычислив-
7* 195

шего орбиту кометы его имени) «О преимуществах аналитического
метода».
Уже в возрасте 16 лет Лагранж начал преподавать математику в
Туринском артиллерийском училище, а в 18 лет там же стал
профессором и автором учебника. Из наиболее способных учеников,
которые почти все были старше их наставника, он организовал научное
общество, превратившееся впоследствии в Туринскую Академию
наук.
Сочинение «О способах нахождения наибольших и
наименьших величин интегралов» Лагранж написал в девятнадцатилетнем
возрасте. Эйлер, ознакомившись с этим сочинением еще до того,
как оно было опубликовано, предрек автору мировую славу. Первый
том трудов Туринской Академии наук вышел в 1759 г., когда Ла-
гранжу было 23 года. В этом томе была помещена статья Лагранжа
о максимумах и минимумах в вариационном исчислении. В других
статьях того же тома он применяет анализ к теории вероятностей,
существенно продвигается дальше Ньютона в математической
теории звука. Эйлер, получив от Лагранжа письмо с решением
вариационной задачи, добился избрания Лагранжа в члены Берлинской
Академии наук.
Исследования по вариационному исчислению относятся к
раннему периоду деятельности Лагранжа. Им создано чисто
аналитическое вариационное исчисление (1760—1761), в котором не только
много оригинальных открытий, но и отлично упорядочен и
переработан накопленный исторический материал — это характерно для
всего творчества Лагранжа. Лагранж сразу применил свою теорию
к задачам динамики, причем он полностью использовал эйлерову
формулировку принципа наименьшего действия.
Впоследствии Лагранж развил и дополнил многие работы
Эйлера по вариационному исчислению, а во многих отношениях
продвинулся дальше Эйлера. И как некогда старый Иоганн Бернулли
справедливо отдал пальму первенства молодому Эйлеру, так и
Эйлер писал, что вступивший в апогей своей славы Лагранж является
весьма достойным его преемником (в Берлинской Академии наук)
и самым знаменитым геометром века. Эйлер решил добиться
переезда Лагранжа в Берлин.
196

Среди задач, которыми занимался Лагранж до приезда в Берлин,
следует отметить задачу трех тел. Частным ее случаем является
задача об особенностях движения Луны. Почему Луна всегда
обращена к Земле одной стороной и чем объясняются некоторые
небольшие неправильности в ее движении? За решение задачи о либрации
Луны Лагранжу в 1764 г. была присуждена Большая премия
Парижской Академии наук. Академия предложила еще более трудную
задачу — задачу шести тел, материалом для которой послужила
система Юпитера (Солнце, Юпитер и четыре его спутника). В полном
объеме аналитически эта задача неразрешима, но Лагранж
значительно продвинулся в объяснении наблюдаемых неправильностей и
получил следующую Большую премию Парижской Академии наук
в 1766 г. Задача трех тел интересовала Лагранжа в течение всей его
активной жизни, и он получил аналогичные премии за свои
результаты о движении Луны и возмущениях в движении комет в 1772,
1774 и 1778 гг.
В 1766 г., после отъезда Эйлера из Берлина в Петербург,
Фридрих II пригласил Лагранжа в Берлин, и в этом приглашении было
сказано, что необходимо, чтобы величайший геометр Европы
проживал вблизи величайшего из королей [94]. Устроившись в
Берлине, Лагранж вызвал из Турина свою молодую родственницу и
женился на ней, но вскоре жена заболела и умерла.
В 1767 г. издан труд Лагранжа «О решении численных
уравнений», в котором он изложил методы отделения действительных
корней алгебраического уравнения и их приближенного вычисления с
помощью непрерывных дробей.
«Аналитическая механика», написанная в 1759 г. и
напечатанная в 1772 г., — наиболее ценный труд Лагранжа, который до сих
пор заслуживает тщательного изучения. В этой книге,
появившейся через 100 лет после «Начал» Ньютона, вся мощь
усовершенствованного анализа использована для решения задач механики точек и
твердых тел. Результаты Эйлера, Даламбера и других математиков
XVIII столетия обработаны и развиты с единой точки зрения. На
основе вариационного исчисления Лагранжу удалось объединить
различные принципы статики и динамики.
Книга Лагранжа стала триумфом чистого анализа, и ее автор с
гордостью подчеркивал в предисловии: «В этой работе вовсе нет
197

чертежей, в ней только алгебраические операции» [94, с. 181]. Это
характеризует Лагранжа как первого чистого аналитика. Лагранж
впервые показал, что четыре величины — три декартовы
координаты и время — полностью определяют движение материальной
точки. Использование анализа, и в частности, уравнений Лагранжа, в
механике оказалось более гибким и более мощным методом
исследования, чем все известные ранее методы.
В возрасте 50 лет Лагранж почувствовал, что «выдохся». Это
был классический случай нервного истощения, вызванного
длительным и чрезмерным переутомлением. Он говорил, что его
энтузиазм выгорел и что он потерял вкус к математике. Экземпляр
«Аналитической механики» лежал на его столе не раскрытым в
течение двух лет. Устав от всего, что связано с математикой, Лагранж
обратился к философии, эволюции мышления, истории религии,
общей теории языков, медицине и ботанике.
После смерти Фридриха II (17 августа 1786 г.) Лагранж стал
добиваться отставки, чтобы уехать из Берлина. Его отпустили с
условием, что он будет присылать статьи в Берлинскую Академию наук
в течение нескольких лет. Он принял приглашение Людовика XVI
продолжать математические исследования в Париже. В Лувре ему
была отведена удобная квартира, в которой он жил до революции
1793 г. Революция изменила жизнь Лагранжа. Хотя практически вся
творческая жизнь его прошла под покровительством королевских
особ, новая власть отнеслась к нему терпимо и специальным
декретом ему была пожалована пенсия. В возрасте 56 лет он женился
на дочери своего друга. Брак оказался идеальным.
В 1794 г. в Париже была учреждена Нормальная школа, и
Лагранж стал там профессором математики. После основания в
Париже Политехнической школы (1795), Лагранж составил план курса
математики и стал ее первым профессором. Ему пришлось читать
лекции для слабо подготовленных студентов. Величайший
математик стал великим учителем математики. Лагранж дал изложение
анализа без использования бесконечно малых и понятия предела.
Его собственная теория была опубликована в двух трудах: «Теория
аналитических функций» (1797) и «Лекции об исчислении
функций» (1801).
198

Последнее научное усилие Лагранжа было связано с
переработкой и расширением «Аналитической механики» для второго
издания. Хотя Лагранжу было уже за 70, прежние силы полностью
вернулись к нему. Вспомнив свои давние привычки, он работал
непрестанно, даже зная, что неизлечимо болен. Всю жизнь он
относился равнодушно к своей судьбе.
Работы Лагранжа по математике, астрономии и механике
составляют 14 томов. Ему удалось успешно разработать многие
важные вопросы математического анализа. Лагранж дал очень удобную
для практики формулу выражения остаточного члена ряда
Тейлора, формулу конечных приращений и интерполяционную формулу,
ввел метод множителей для решения задачи по нахождению
условных экстремумов.
В алгебре он разработал теорию, обобщением которой
является теория Галуа. Им найдены следующие методы: приближенного
вычисления корней алгебраического уравнения с помощью
непрерывных дробей; разделения корней алгебраического уравнения;
исключения переменной из системы уравнений; разложения корней
уравнения в ряд Лагранжа.
В теории чисел с помощью неправильных дробей он решил
неопределенные уравнения с двумя неизвестными второй степени,
развил теорию квадратичных форм.
В области дифференциальных уравнений Лагранж разработал
теорию особых решений и метод вариации произвольных констант
при решении линейных дифференциальных уравнений. Исходя из
основных законов динамики, он указал две основные формы
дифференциальных уравнений движения несвободной системы,
которые теперь известны как уравнения Лагранжа первого рода, и
вывел уравнения в обобщенных координатах — уравнения Лагранжа
второго рода.
Умер Лагранж в 1813г. Его именем назван кратер на видимой
стороне Луны.
Лаплас
Пьер Симон Лаплас (1749—1827) родился в семье небогатого
крестьянина в Нормандии. Учился в колледже монашеского ордена
199

бенедиктинцев в Бомон-ан-Ож. В совершенстве овладев древними
языками, он глубоко изучил литературу и искусство. Юный Пьер
Симон вначале думал стать богословом, затем увлекся
математикой и астрономией. Еще учась в колледже, Лаплас получил место
преподавателя в военной школе Бомона.
Окончив колледж, Лаплас поступил в университет в городе Кан
и готовился там к карьере священника. Переехав в Париж в 1770 г.,
он написал Даламберу письмо, в котором изложил свои взгляды на
основные принципы механики и вероятное ее развитие в будущем.
Письмо произвело на Даламбера огромное впечатление, и он помог
Лапласу стать профессором математики Королевской военной
школы в Париже. В 1773 г. Лаплас был избран в Парижскую Академию
наук. Он занимал и несколько других преподавательских и
административных должностей.
Лаплас легко менял свои политические взгляды. Такая
неустойчивость позволила ему продолжать чисто математическую
деятельность при всех политических переменах во Франции. Наполеон, в
свое время блестяще сдавший Лапласу экзамен по баллистике, став
императором, назначил его министром внутренних дел. Вскоре
Лаплас был освобожден от должности «за внесение бесконечно малых
в управление государством». Наполеон удостоил его многих
почестей, но то же делал и Людовик XVIII. При Наполеоне Лаплас стал
одним из первых кавалеров ордена Почетного Легиона, а в 1808 г.
получил титул графа империи. После падения Наполеона в 1814 г.
он получил титул маркиза и стал пэром Франции.
Научная деятельность Лапласа была чрезвычайно
разнообразной. Ему принадлежат многочисленные фундаментальные труды по
математике, экспериментальной и математической физике и
небесной механике. Его можно назвать последним из ведущих
математиков XVIII в.
В работах 1773 и 1784 гг. Лаплас подробно исследовал
динамику изменения орбит Юпитера и Сатурна и устойчивость Солнечной
системы. Труды Лапласа тесно связаны с трудами Лагранжа на эту
же тему. Они попеременно уточняли результаты друг друга.
В 1777 г. Лаплас выступил в Парижской Академии наук с
докладом о приливах и отливах в океанах. В исследованиях 1778—
1785 гг. он совершенствовал теорию возмущений. Особенно
сильно его интересовало влияние Юпитера на орбиты комет. В XVIII в.
200

многие ученые стали сомневаться в справедливости закона
всемирного тяготения Ньютона. Им казалось, что данные уточненных
наблюдений за движением Луны не соответствуют теории. Лаплас
доказал, что эти данные не противоречат закону, а, наоборот,
являются его блестящим подтверждением. Благодаря его работам все,
что было сделано Ньютоном, стало считаться образцовым.
Особое внимание следует обратить на два труда Лапласа.
Первым из них является «Аналитическая теория вероятностей» (1812).
I фактически, теория вероятностей сформировалась именно в
трудах Лапласа. Он подробно рассмотрел азартные игры,
геометрические вероятности, закон больших чисел, теорию наименьших
квадратов, ввел теоремы сложения и умножения вероятностей, понятия
математического ожидания и производящих функций. Им доказана
важная предельная теорема, которая называется теоремой Муавра
—Лапласа. В работе рассмотрено преобразование Лапласа, которое
позже стало основой операционного исчисления Хевисайда. Там же
подробно исследован постулат Байеса.
Свои труды, написанные на высочайшем научном уровне,
Лаплас дополнял популярными работами на эти же темы. Такой
работой по теории вероятности стал трактат «Философский опыт
относительно вероятностей» (1814) — легко читающееся введение
в теорию вероятностей. Оно содержит классическое определение
вероятности с помощью «равновероятных событий».
Другим важнейшим трудом Лапласа является «Небесная
механика» (1799—1825) в пяти томах, являющаяся завершением
исследований Ньютона, Клеро, Даламбера, Эйлера и Лагранжа
касающихся теории фигуры Земли, теории Луны, задачи трех тел и
теории возмущения планет, включая основную проблему
устойчивости Солнечной системы.
Популярным изложением «Небесной механики» является
«Изложение системы мира» (1796). Там содержится знаменитая
гипотеза о происхождении Солнечной системы из туманности,
предложенная до Лапласа Кантом в 1755 г. (и даже раньше Канта, в 1734 г.
— Сведенборгом). В «Небесной механике» подробно изучено урав-
д2и д2и д2и
нение ——^ + тг^" + тгт" = 0> получившее название уравнения Ла-
axz ayz azl
пласа, на котором основывается решение задач теории потенциала,
теплопроводности, электростатики и гидродинамики.
201

С «Небесной механикой» связано немало исторических
анекдотов. Рассказывают, что Наполеон, которому Лаплас подарил свою
книгу, упрекнул автора в том, что в ней нет упоминаний о Боге.
Лаплас ответил: «Мне не понадобилась эта гипотеза» [94, с. 182].
Как-то Натаниел Боудич, который перевел четыре тома труда
Лапласа на английский язык, сказал: «Всегда, когда я встречал у
Лапласа заявление «Итак, легко видеть...», я был уверен, что мне
потребуются часы напряженной работы, пока я не заполню пробел,
догадаюсь и покажу, как это легко видеть» [94, с. 182].
Математическая карьера Гамильтона началась с того, что он нашел ошибку в
«Небесной механике» Лапласа. Грин пришел к мысли о
математической теории электричества при чтении Лапласа.
В 1780 г. Лаплас предложил новый способ вычисления орбит
небесных тел. Он доказал, что кольцо Сатурна не может быть
сплошным, и высказал предположение о сильном сжатии Сатурна около
полюсов. Им разработана теория движения спутников Юпитера,
открыты причины ускорения движения Луны и определена
величина сжатия Земли возле полюсов. Совместно с Лавуазье Лаплас
исследовал теплопроводность, расширение тел при нагреве, горение
водорода в кислороде. Ему принадлежит разработка динамической
теории приливов. Лаплас опубликовал ряд работ по теории
капиллярности. Им выведена барометрическая формула для вычисления
плотности воздуха с изменением высоты над поверхностью Земли.
За блестящий интеллект и выдающиеся достижения сразу в
нескольких науках — астрономии, математике, физике — Лапласа
называли «французским Ньютоном».
Его жизнь была яркой, и всего в ней он добился собственными
силами. Поднявшись из народных глубин на вершину научного
знания, он обладал не только выдающимися умственными
способностями, но и совершенно исключительными волевыми качествами.
Зимой 1827 г. Лаплас заболел. Умер он 5 марта 1827 г.
Последними словами его были: «То, что мы знаем, так ничтожно по
сравнению с тем, чего мы не знаем» [19, с. 239].
Положение в математике на рубеже XVIII и XIX вв.
Французская революция и наполеоновская эпоха создали
исключительно благоприятные условия для дальнейшего развития
202

математики. В Европе был открыт путь для промышленной
революции. Она побуждала к занятиям естественными науками, создала
новые общественные классы, заинтересованные в науке и
техническом образовании. В академическую жизнь ворвались
демократические идеи, устаревшие формы мышления вызывали критику,
школы и университеты были преобразованы и обновлены.
К началу XIX в. математический анализ, аналитическая,
дифференциальная и проективная геометрия были развиты настолько, что
некоторым математикам даже казалось, будто развитие этих наук в
основном завершено. Пытаясь отвечать на все более возрастающие
запросы техники и естествознания, математика быстро развивалась
вширь. Рассмотрим, например, как использовались ряды.
В XVIII в. ряды трактовались во многом иначе, чем это делается
теперь. Математики прошлого имели ясное представление о
сходимости ряда и понимали под его суммой предел частных сумм, если
такой предел существует, правда, выражали это в несколько иной
терминологии. При этом одни полагали, что можно пользоваться
только сходящимися рядами, другие же привлекали для работы и
расходящиеся ряды. И другие обращались при этом с
бесконечными рядами, в частности со степенными, точно так же, как с
конечными целыми алгебраическими многочленами. Предполагая, что
анализ и алгебра управляются совершенно одинаковыми законами,
они производили над степенными рядами любые алгебраические и
аналитические преобразования и действия без всяких ограничений
и нередко для любых значений переменных, т. е. и вне области их
сходимости. Подавляющее большинство результатов при этом было
верным либо потому, что производимые вычисления были на самом
деле законными, либо потому, что от ошибок оберегала интуиция.
Современная теория сходимости рядов была систематически
развита только в XIX в. Коши и его последователями, хотя отдельные
критерии сходимости были установлены еще в XVIII в. Лейбницем,
Маклореном, Варингом и другими учеными.
К математикам, применявшим расходящиеся ряды,
принадлежал и Эйлер. С их помощью он получил много замечательных
результатов, например в теории дзета-функции. Эйлер предложил
понимать под суммой всякого ряда «конечное выражение, из
разложения которого возникает этот ряд». Концепция Эйлера встретила
203

возражения отдельных математиков еще в его время, но особенно
резкой критике подверглась в первой половине XIX в., когда
применение расходящихся рядов почти прекратилось. Такая реакция в
эпоху начавшейся реформы оснований анализа была не
удивительна, тем более что математики убедились тогда в принципиальной
неправомерности чисто формальных приемов оперирования
рядами. К тому же при неосмотрительном пользовании расходящимися
рядами были получены и ошибочные результаты, даже самим
Эйлером.
Только в конце XIX — начале XX в. теория суммирования
расходящихся рядов получила новое развитие и важные приложения в
трудах российского математика Георгия Вороного, француза
Эмиля Бореля и других ученых; при этом выяснилась принципиальная
правота Эйлера, а вместе с тем его методы получили необходимое
обоснование.
Опираясь в значительной степени на круг идей, разработанных
Декартом, Ньютоном, Лейбницем, математики XVIII в. успешно
решали множество новых задач. В подавляющем большинстве
правила, которыми они пользовались, оказывались
удовлетворительными: действия над математическими символами, производимые
согласно этим правилам, давали верные результаты. И если в
отдельных случаях они и приводили к противоречиям (например,
при вычислении несобственных интегралов), то объяснить эти
отступления от правил в то время математики не могли: от понятия
античной строгости они во многом отошли, а нового логического
обоснования еще не создали.
Для математики XIX в. начался хорошо. Активно работал Ла-
гранж. В зените славы и расцвете сил находился Лаплас. Гаусс
опубликовал свои «Арифметические исследования», ставшие
знаменательной вехой в развитии теории чисел. Новые математические
направления постепенно освобождались от прежней тенденции
видеть конечную цель точных наук только в приложении к
механике и астрономии. Занятия наукой в целом все более отделялись
от требований экономики или военного дела. Рост специализации
сопровождался разделением математики на абстрактную и
прикладную.
204

Фурье считал, что конечной целью математики являются
общественная польза и объяснение явлений природы. Якоби говорил,
что единственная цель науки — возвеличивание человеческого ума
и что вопрос о числах так же важен, как вопрос о системе мира.
Гаусс выступал за синтез обоих мнений. Он применял математику
к астрономии, физике, геодезии. Вместе с тем он считал
математику царицей наук, а теорию чисел — царицей математики. Иммануил
Кант, выдающийся философ, говорил: «Так как во всяком учении о
природе имеется науки в собственном смысле лишь столько,
сколько в ней имеется априорного познания, то учение о природе будет
содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой
может быть применена в нем математика» [40, с. 59].
Создание Политехнической школы в Париже
В начале XIX в. блестящие результаты были получены
французскими математиками. Это связано с реорганизацией в конце XVIII в.
системы образования во Франции. Были закрыты 22 университета и
учреждены школы, важной составной частью учебного плана
которых было преподавание теоретической и прикладной математики.
Образцом для всех технических школ начала XIX в. стала
Политехническая школа в Париже, в которую 1795 г. была
переименована Центральная школа общественных работ, учрежденная годом
ранее.
Фундаментом французского школьного образования была
полная средняя образовательная школа. За ней шло Mathematiques
speciales — учебное заведение с чрезвычайно большим объемом
математических дисциплин (до 16 часов в неделю). Здесь
преподавались аналитическая геометрия и механика, а потом еще и
элементарный курс анализа бесконечно малых. Большое количество
упражнений должно было дать учащимся возможность прочно
овладеть материалом. Далее следовал очень строгий
вступительный экзамен, в результате которого из большого числа
претендентов отбирали 150 человек, допускаемых в Политехническую школу.
Отбор производился чисто статистически, по количеству пунктов,
набранных из 2000 возможных. Абсолютный рекорд за все время
существования Политехнической школы — 1875 пунктов —
принадлежит Адамару.
205

Обучение в Политехнической школе длилось два года и
являлось единственным путем, ведущим к занятию высших
технических государственных постов. К этому инженер готовился в
последующие два года в одной из нескольких специальных школ,
таких, как Институт путей сообщения, Горный институт, Военно-
инженерная школа, Артиллерийская школа.
Политехническая школа была основана в самую тяжелую
пору революции, когда были ликвидированы все учебные заведения
и страна теряла молодых, сильных, подготовленных к несению
военной службы мужчин. Школа предназначалась для подготовки и
воспитания офицеров революционной армии, а позже — армии
Наполеона. Этим объясняется военный уклад школы и нацеленность
на воспитание у учеников патриотических чувств.
Поставленным целям соответствовал продуманный учебный
план. В первые десятилетия существования Политехнической
школы математика прочно стояла в этом плане на первом месте и
включала в себя пять разделов. Ниже указано количество лекций,
отведенных на их изучение.
Количество двойных лекций
(по 90 минут)
Чистый анализ 108
Приложения анализа к геометрии 17
Механика 94
Начертательная геометрия 153
Черчение 175
Всего 547
Так как в это поразительное учебное заведение в качестве
преподавателей были приглашены самые значительные математики
Франции — Лагранж, Лаплас, Монж, Пуассон, Фурье, Коши, не
удивительно, что в очень короткий срок достижения школы
поднялись на небывалую высоту.
206

Монж
Нет ни одной кривой поверхности, которую нельзя
было бы рассматривать как образованную
движением кривой линии: или сохраняющей свою
форму при изменении положения, или же
изменяющей одновременно и форму, и положение в
пространстве.
Г. Монж:
У Гаспара Монжа (1746—1818) проблески дарования
обнаружились рано. Уже в 14 лет он изобрел пожарный насос и составил
план родного города Бона. Сейчас этот план, как дорогая реликвия,
хранится в одной из библиотек города. Семья Гаспара была
незнатной и небогатой. Учился он в Мезьерской военно-инженерной
школе. Еще юношей он создал начертательную геометрию,
являющуюся «языком» всей современной техники. Ее методы он
применил для решения задачи защиты укреплений от прямых
попаданий пуль противника. За свое открытие его из слушателей военно-
инженерной школы сразу перевели в преподаватели того же
учебного заведения. Вскоре он стал заведующим кафедрой начертательной
геометрии, которая в то время была секретной наукой.
Профессором и заведующим кафедрой Монж стал в 22 года. Свою работу по
начертательной геометрии он опубликовал только через 30 лет. В
44 года (в 1790 г.) его избрали академиком Парижской Академии
наук. На 48-м году жизни Монж стал организатором
Политехнической школы в Париже, где являлся научным руководителем группы
математиков.
Монж — один из первых математиков нового времени, кого мы
считаем специалистом: он геометр, и даже его подход к
уравнениям в частных производных носит отчетливо выраженный
геометрический характер. Геометрия начала процветать в
Политехнической школе благодаря влиянию Монжа. В начертательной
геометрии Монжа содержались элементы проективной геометрии, а его
мастерское применение алгебраических и аналитических методов к
теории кривых и поверхностей во многом содействовало развитию
аналитической и дифференциальной геометрии [94].
В течение 70-х годов XVIII в. Монж опубликовал два сочинения:
«Мемуар о развертках, радиусах кривизны и различных видах
перегибов кривых двоякой кривизны» (1771) и «О свойствах многих
207

видов кривых поверхностей» (1775). В них дано широкое и полное
исследование свойств пространственных кривых и поверхностей,
введено развертывание поверхностей, исследованы эволюты,
огибающие и т. п.
Перевод фактов теории поверхностей на язык
дифференциальных уравнений в частных производных сопровождался у Монжа
разработкой геометрической теории этих уравнений. В частности,
он дал геометрическую трактовку общей теории
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка.
Сведение задачи решения дифференциальных уравнений с
частными производными к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, геометрическая интерпретация решений,
тесная взаимосвязь и взаимодействие геометрических и механических
методов — вся совокупность достижений Монжа вывела
дифференциальную геометрию на новый этап. Он характеризуется
применением к геометрии аппарата дифференциальных уравнений и
дальнейшим расширением ее теоретических и практических
возможностей.
В работах Монжа было завершено формирование
начертательной геометрии в особую математическую науку. С 1795 г. он читал
в Политехнической школе лекции об ортогональном
проектировании на плоскости, а в 1798—1799 гг. опубликовал уже полностью
разработанный курс начертательной геометрии.
Научная и педагогическая деятельность Монжа находилась в
полном равновесии с его административными и организаторскими
интересами. Ему неоднократно доверялись важнейшие
государственные посты. В конце XVIII в., в период Французской
революции, Монж состоял в Комиссии по установлению мер и весов. Два
года он был министром морского флота. Монж обладал
обширными познаниями не только в математике. Уже после того, как он
ушел в отставку с поста министра, выяснилось, что Республика
испытывает острую нужду в боеприпасах — не хватало пороха. Для
его изготовления нужна была селитра, запасы которой кончились.
Правительство обратилось за помощью к ученым. Выход нашли
не химики, а математик Монж. Он предложил добывать селитру
в конюшнях и погребах из естественных бытовых отходов. Через
считанные дни селитра в достаточном количестве поступила на
208

пороховые заводы. После этого Монж один год заведовал всеми
пороховыми и пушечными заводами Республики. Сблизившись с
11аполеоном, в 1798 г. он участвовал в его египетском походе.
В то время, когда Франция стала империей, Монж был
сенатором и получил титул графа. В 1815 г. после возвращения Бурбонов
он был устранен с поста, лишился всех прав, был изгнан из
Политехнической школы и Парижской Академии наук. Умер Монж на
72-м году жизни.
Учеными Политехнической школы, достигшими наиболее
важных результатов в математических исследованиях, были Пуассон,
Фурье, Коши.
Пуассон
Выдающийся французский математик, механик и физик
Симеон Дени Пуассон (1781—1840) родился в небольшом местечке Пи-
тивьер. Мать будущего ученого, исключительно по слабости
своего здоровья, вынуждена была отдать крохотного сына одной
знакомой крестьянке-кормилице. Когда Пуассон подрос, отец решил
сделать из сына деревенского врача-хирурга, который все болезни
лечит кровопусканием. Но Симеон вскоре понял, что эта профессия
не для пего.
В 17 лет Пуассон поступил в Политехническую школу в
Париже. Своими ответами он не раз приводил в изумление
профессоров школы Лагранжа и Лапласа. После окончания
Политехнической школы Пуассон стал ее профессором. Известно его
высказывание о том, что жизнь красна возможностью изучать математику и
возможностью преподавать ее. В качестве преподавателя Пуассон
создал систематический курс механики, из которого потом
возникла его книга «Курс механики» в двух томах (первое издание — в
1811 г.).
Благодаря Пуассону соотношения механики приобрели
гораздо более удобный вид. Кроме того, он переработал все разделы
прежней математической физики: капиллярность, изгибание
пластин, электростатику, теплопроводность. Насколько плодотворной
и многосторонней была его деятельность, можно судить по
многим элементам, которые и до сих пор связаны с его именем
(коэффициент Пуассона в теории упругости, интеграл Пуассона в
209

теории потенциала и, наконец, общеизвестное уравнение Пуассона
AV = 47гр, которое он установил для внутренней части
притягивающего тела, поставив его рядом с уравнением Лапласа AV = О
для внешнего пространства). Пуассон написал более 300 работ и
получил важные результаты во всех областях науки, которыми
занимался. В плане теории он был ортодоксальным последователем
атомистики в лапласовском духе.
Он глубоко изучал вопрос устойчивости Солнечной системы
и вывел дифференциальные уравнения возмущенного движения,
впервые воспользовавшись скобками Пуассона. Изданная им в
1837 г. книга по теории вероятностей содержит закон Пуассона.
Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830) родился в городе Осер
в семье портного, окончил военную школу в Осере и преподавал в
ней. С 1796 по 1798 г. он работал профессором Политехнической
школы в Париже, в 1798 г. был включен в число участников
экспедиции Наполеона в Египет, а затем, в 1802 г., стал префектом
департамента Изер (главный город — Гренобль).
В 1811 г. Парижская Академия наук объявила конкурс на
математическую разработку законов распределения теплоты и
сравнения результатов теории с данными опытов. Это было вызвано
необходимостью повышения коэффициента полезного действия
паровых машин, к тому времени сделавшихся энергетической
основой машинного производства. Победителем конкурса стал Фурье.
Еще раньше (в 1807 г.) им была представлена работа,
посвященная распространению теплоты в твердом теле. В 1811 г. Фурье
подал в Академию вторую работу на эту тему. Эти результаты
были опубликованы только через 11 лет в капитальном труде
«Аналитическая теория теплоты». Изучение теплопроводности
Земли Фурье считал одной из важнейших проблем космогонии, ибо
надеялся таким образом показать, что первоначально земной шар
находился в расплавленном состоянии. Теория теплопроводности,
изложенная в этом труде, оказала огромное влияние на развитие
математики и дала начало термодинамике — общей науке о
закономерности теплового движения. Эта книга стала источником всех
210

современных методов математической физики, относящихся к
интегрированию уравнений в частных производных при заданных
краевых условиях.
Фурье считал, что при решении физических проблем обязателен
математический подход: «Глубокое изучение природы — наиболее
плодотворный источник математических открытий. Такое изучение
не только обладает преимуществами хорошо намеченной цели, но
и исключает возможность неясной постановки задач и бесполезных
выкладок. Оно является надежным средством построения самого
анализа и позволяет открывать наиболее значительные идеи,
которым суждено навсегда сохраниться в науке» [44, с. 333].
К решению физических проблем Фурье применил
тригонометрические ряды и интегралы, которые учениками Фурье были
названы в его честь рядами Фурье и интегралами Фурье.
Тригонометрические ряды были известны и часто использовались ранее, что
уже было предметом дискуссии между Эйлером, Даламбером и
Даниилом Бернулли. Фурье полностью разъяснил положение вещей.
Он установил тот факт, что произвольную функцию (функцию,
которую можно изобразить дугой непрерывной кривой или
сочетанием таких дуг) можно представить тригонометрическим рядом вида
оо
У^ (Ап cos пах + Вп sin пах).
п=0
Несмотря на все то, что было указано Эйлером и Бернулли, эта
идея была настолько нова и ошеломляюща во времена Фурье, что,
согласно преданию, когда Фурье впервые в 1807 г. высказал свои
соображения, он встретил энергичную оппозицию со стороны не
кого иного, как Лагранжа. Ряды Фурье теперь стали хорошо
разработанным средством теории уравнений в частных производных
при решении краевых задач. Эти ряды и сами по себе привлекают
внимание благодаря присущим им свойствам. Исследование таких
рядов, проведенное Фурье, отчетливо показало, что следует
понимать под функцией. В связи с этим математики XIX столетия сочли
необходимым более тщательно рассмотреть вопросы о строгости
математических доказательств и об общих основах математических
понятий.
211

т
Коэффициенты Ап, Вп называют коэффициентами Эйлера —
Фурье. Коэффициенты для ряда по синусам впервые получил
французский математик Алекси Клод Клеро в работе, опубликованной
в 1759 г. Этого не знал Эйлер, предложивший формулы для
коэффициентов ряда по синусам и косинусам в 1777 г. (опубликовано в
1798 г.). Фурье вывел те же формулы в третий раз, не подозревая о
результатах своих предшественников [106].
Идя гораздо дальше своих предшественников, Фурье там, где
этого требуют обстоятельства, использует и более сложные ряды.
оо
Так, он рассматривает ряды f(x)= Yl (A» cos Хпх + Вп sin \пх),
п=1
где коэффициенты Хп определяются довольно сложными
условиями, трансцендентными по своему характеру, например условием
tg 7гЛп = а\п (здесь а — некоторая положительная константа),
которому удовлетворяют бесконечно много значений А.
С помощью всех этих средств Фурье получил единые формулы
для большого числа новых функций, кажущихся весьма
произвольными по сравнению с известными ранее. Он разлагал в ряд любую
из функций, которые ему могли в то время предложить. Именно
поэтому он счел себя вправе утверждать, что с помощью указанного
математического аппарата можно дать выражение абсолютно
произвольных функций, понимая под этим функции, состоящие из
набора функций, задаваемых на разных отрезках различными
аналитическими формулами. Строгого доказательства он дать не смог, как
и устранить ряд нестрогостей. Метод Фурье был усовершенствован
Пуассоном, Дирихле и Остроградским.
Работы Фурье являются примером того, что математический
аппарат нередко гораздо лучше выдерживает испытание временем,
нежели те физические представления, которые он изначально
выражал. Фурье разработал полную и подробную математическую
теорию теплопроводности (получившую название калорической
теории теплоты), в которой теплота рассматривалась как некий флюид.
Калорическая теория давно отброшена и забыта. Но предложенный
Фурье математический аппарат и в настоящее время находит
широкое применение в акустике и других областях физики.

Глава 13
КОШИ И ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Что такое эти флюксии? Скорости исчезающе
малых приращений. А что такое эти исчезающе
малые приращения? Они не есть ни конечные
величины, ни бесконечно малые величины, но они и не
нули. Разве мы не имеем права называть их
призраками усопших величин?
Дж. Беркли
Коши
Огюстен Луи Коши (1789—1857) родился в Париже в семье
видного чиновника. Его отец был ревностным католиком и роялистом.
Вначале с Коши занимался отец, прекрасный лингвист, а в 1805 г.
Огюстен поступил в Политехническую школу в Париже, затем в
1807 г. — в Школу мостов и дорог, которую и окончил в 1810 г. Ла-
гранж отметил выдающиеся математические способности юноши и
предсказал ему блестящее будущее. После окончания школы Коши
получил ответственное поручение по постройке военного порта в
Шербуре. Здесь в 1811 г. он написал свою первую работу о
многогранниках, где разрешил некоторые вопросы, не
поддававшиеся усилиям первоклассных математиков. Затем последовали другие
работы: по теории многогранников, о симметричных функциях, об
213

алгебраических уравнениях, по теории чисел. В 1816г. Коши
представил на конкурс Парижской Академии наук знаменитое
исследование по теории волн на поверхности тяжелой жидкости и получил
премию. В том же году Коши был назначен правительством членом
Института Франции вместо исключенного Монжа.
Тогда же началась интенсивная преподавательская
деятельность Коши: в 1816—1830 гг. он профессор Политехнической
школы и одновременно профессор Сорбонны, в 1848—1857 гг.
он профессор Коллеж де Франс. Им написаны «Курс анализа»
(1821), «Резюме лекций, прочитанных в Королевской
Политехнической школе» (1823), «Лекции о приложении анализа к геометрии»
(1826—1828). В этих курсах Коши дал определение непрерывности
функции, построил строгую теорию сходящихся рядов, ввел
определенный интеграл как предел интегральных сумм, рассмотрел и
другие вопросы анализа. Вся система построена на базе понятия
предела. Книги Коши долгое время служили образцом для курсов
анализа.
Революция 1830 г. резко изменила судьбу Коши: оставаясь
верным присяге Карла X, он отказался присягнуть правительству Луи
Филиппа, потерял должности и вынужден был покинуть Францию.
Некоторое время он провел в Швейцарии, затем получил место в
Туринском университете на кафедре математической физики. Карл X,
поселившийся в Праге, пригласил Коши в 1832 г. в качестве
учителя и воспитателя своего сына. Коши несколько лет
путешествовал с ним по Европе. Так было до 1838 г., когда Коши
возвратился в Париж. Однако из-за отказа принести присягу новому режиму,
никакой государственной должности он занять не мог и
удовольствовался преподаванием в иезуитской коллегии. Коши предлагали
различные должности, но он отказывался от них, руководствуясь
своими католическими и роялистскими убеждениями. Революция
1848 г. отменила присягу, и Коши получил кафедру математики в
Коллеж де Франс, где и проработал до самой смерти.
Коши сделал первостепенные открытия в анализе, теории
функций комплексного переменного, теории дифференциальных
уравнений, теории рядов, теории чисел, математической физике,
теории упругости, теоретической механике, гидродинамике, оптике.
214

Работоспособность Коши поразительна: иногда он каждую
неделю представлял Академии новую работу. Всего Коши написал
789 работ, не считая сочинений политического и религиозного
содержания. Он был членом почти всех академий наук. Умер Коши
22 мая 1857 г.
Отношение математиков к идее бесконечно малых
Самым уязвимым моментом в исчислении бесконечно малых
была их природа. Математики XVII в. пытались узаконить
существование этих исчезающих величин, прибегая к метафизическим
аргументам.
Успехи математического анализа в первой трети XVIII в. были
огромными, за исключением одной области — его основ. Ни
метод пределов и флюксий, ни исчисление бесконечно малых не
были построены на прочном логическом фундаменте, и это
осознавали многие. Высказывания Ньютона о природе моментов и
Лейбница о сущности бесконечно малых были неоднозначны и далеки
от ясности: предельные отношения исчезающих величин требовали
непонятного деления нуля («ничего») на нуль (на «ничто»);
принцип отбрасывания бесконечно малых, казалось, противоречил
очевидному для величин тождеству а = а. Дифференциал функции
определяли как ее бесконечно малое приращение, а вычисляли как
некоторую часть этого приращения.
Реакцией на такую непоследовательность явилось выступление
против математического анализа английского философа Джорджа
Беркли, одного из крупнейших представителей субъективного
идеализма и притом видного сановника (епископа) Англиканской
церкви. В 1734 г. он написал сочинение «Аналист, или Рассуждение,
обращенное к ...». В понятиях анализа он видел только фикции,
«тени усопших величин», и притом фикции противоречивые, а его
окончательным выводом было то, что математика может спокойно
обойтись без нового анализа. Но, каковы бы ни были цели и
выводы Беркли, он указал на действительно слабые пункты в основах
современного ему исчисления бесконечно малых. Этим он привлек
внимание математиков к недостаткам в понятиях и методах
анализа, к трудностям, связанным с идеей мгновенной скорости, к
искусственному характеру вывода Ньютоном момента произведения
215

и т. д. Отрицать правильность результатов исчисления бесконечно
малых было, однако, невозможно. Эту правильность Беркли
объяснил тем, что в своих выводах сторонники анализа допускают две
взаимно уничтожающиеся ошибки [4].
Критика Беркли вызвала большое волнение в математическом
мире и сообщила мощный толчок разработке основ анализа.
Английские последователи Ньютона тотчас встали на защиту метода
флюксий, и между ними и Беркли началась острая полемика.
Откликом на «Аналист» явился фундаментальный «Трактат о
флюксиях» К. Маклорена (1742). Далее дискуссия перенеслась главным
образом на континент, где были по-новому развиты или вновь
созданы несколько концепций математического анализа.
С точки зрения Эйлера, бесконечно малая — это величина
исчезающая, а значит, актуально равная нулю. Эйлер систематически
изучил элементарные функции и нашел для них отношение
приращений функций к приращениям переменной. Он считал бесконечно
малые нулями, но отношению dy/dx придавал то значение,
которое будет иметь отношение конечных разностей Д-у/Дх, если
положить Ах = 0.
Наиболее ярким представителем другой концепции
математического анализа во второй половине XVIII в. был Даламбер. Сам он
не дал систематического построения своего метода пределов,
продолжавшего идеи Ньютона, но его краткие и отточенные статьи в
«Энциклопедии» сыграли очень большую роль в подготовке теории
пределов современного классического анализа.
В статье «Предел» (1765) Даламбер писал: «Ньютон никогда
не считал дифференциальное исчисление исчислением бесконечно
малых, а видел в нем метод первых и последних отношений, т. е.
метод определения пределов отношений. Этот знаменитый ученый
поэтому никогда не дифференцировал величины, а только
уравнения, ибо всякое уравнение заключает в себе отношение между
двумя переменными, и дифференцирование состоит только в
определении пределов отношений между конечными разностями
содержащихся в уравнении двух переменных...» [106, с. 157]. Говоря
о бесконечно малых, Даламбер имеет в виду «несравнимые»,
актуально бесконечно малые величины. Такое понимание термина
«бесконечно малые» было в XVIII в. весьма распространенным.
216

Даламбер дал следующее определение предела: «Говорят, что
неличина является пределом другой величины, если вторая может
приблизиться к первой ближе, чем на любую данную величину,
сколь бы малой ее ни предположить...» [106, с. 155]. Но ему не
удалось построить логически связного учения о пределах.
В конце XVIII в. с обширной новой системой анализа выступил
Ж.Л. Лагранж. Основное содержание этой системы он излагал в
лекциях, читаемых в Политехнической школе в Париже. Лагранж
критикует и отвергает метод бесконечно малых Лейбница, метод
отношения двух нулей Эйлера, метод пределов Даламбера и метод
флюксий Ньютона. Целью Лагранжа было сведение исчисления
бесконечно малых к алгебре. Он использовал понятие непрерывной
функции, как его трактовал Эйлер, и ряды Тейлора. Для вычисления
производных Лагранж пренебрегает всеми членами разложения
функций в ряд, начиная с третьего. Благодаря оценкам остаточного
члена, которым пренебрегают, Лагранж нашел способ определения
числового значения допустимой погрешности. Этим он исключил
из рассмотрения понятия бесконечно малой и предела [106].
В 1797 г. вышла книга Лагранжа «Теория аналитических
функций, содержащая начала дифференциального исчисления,
освобожденные от какого-либо рассмотрения бесконечно малых, пределов
и флюксий и сведенные к алгебраическому анализу конечных
величин». В 1813 г. эта книга была издана в несколько переработанном
и дополненном виде.
Основную идею своей программы Лагранж высказал за
четверть века до выхода «Теории аналитических функций» в статье,
написанной в 1772 г. и опубликованной в 1774 г. Она заключалась
в том, чтобы алгебраически доказать общую теорему Тейлора и
далее строить анализ на разложениях функций в степенные ряды.
«Теория аналитических функций» состоит из введения и трех
частей, содержащих соответственно саму математическую теорию,
ее приложения к геометрии и затем к механике. В книге
полностью отсутствуют чертежи. Под аналитическими функциями
Лагранж понимал функции, образуемые с помощью известных в
анализе средств и разложимые в ряд Тейлора. Лагранж считал, что
случай, когда функция f(x) и все ее производные обращаются при
некотором значении х = а в нуль, возможен, только если функция
217

тождественно равна нулю. Это утверждение, высказанное также
Эйлером, опроверг Коши. Лагранж приходит к заключению, что
«истинная теория» дифференциального исчисления еще не создана.
«Теория аналитических функций» Лагранжа была встречена
с большим интересом. Ее идеи восприняли составители многих
руководств. Однако предложение Лагранжа отказаться от
использования бесконечно малых и пределов не встретило сочувствия,
и большинство математиков решили сочетать теорию Лагранжа с
применением бесконечно малых и пределов.
В конкурсе, объявленном Лагранжем в Берлинской Академии
наук для прояснения понятия «бесконечность», участвовал Карно.
Он первым отметил, что понятия потенциальной бесконечно малой
и предела неразрывно связаны, и первым определил бесконечно
малую как переменную, пределом которой является нуль. Это
открывало путь к синтезу теории пределов и исчисления бесконечно
малых — синтезу, который Карно безуспешно пытался осуществить и
который удался Коши.
В начале XIX в. желание подвести под математику прочный
фундамент стало почти всеобщим и необходимость пролить свет на
основные понятия анализа сделалась неотложной. Впервые ясная
концепция основных понятий исчисления бесконечно малых
(непрерывность, производная, связь между непрерывностью и диф-
ференцируемостью) появилась у чешского логика и математика
Бернарда Больцано, но его работы почти полвека оставались
неизвестными остальным математикам.
Бесконечно малые в трактовке Лейбница в ХТХ в. были
изгнаны из строгой математики, однако не исчезли совсем (так как
физики использовали их постоянно). Математики перешли к «эпси-
лон-дельта»-анализу, который до сих пор соответствует духу
университетского образования.
Работы Коши по обоснованию
математического анализа
Огюстен Коши стал главным «проводником» строгости в
исчислении бесконечно малых. Этому посвящены три его работы,
появившиеся между 1821 и 1829 гг.: «Курс анализа» (1821),
«Краткое изложение лекций по исчислению бесконечно малых» (1823) и
218

«Лекции о дифференциальном исчислении» (1829). От метода Ла-
гранжа Коши отказался, так как Лагранж не обратил внимания на
расходимость многих рядов.
За основное понятие Коши принял понятие предела. Развив
идею Даламбера, но отказавшись окончательно от
геометрического подхода, с которым она была еще тесно связана, он определил
предел как чисто арифметическое понятие. Вот его определение:
сели значения, последовательно приписываемые одной и той же
переменной, неограниченно приближаются к фиксированному
значению, так, что, в конце концов, отличаются от него сколь угодно
мало, то последнее называют пределом всех остальных. Вслед за
Коши большинство аналитиков приняли предел за основу
исчисления бесконечно малых.
В свете концепций предела, переменной и функции Коши
разъяснил понятие бесконечно малой величины, которая является не
чем иным, как сходящейся последовательностью с пределом нуль:
если последовательные числовые значения переменной
неограниченно убывают, так, что становятся меньше любого заданного
числа, то эта переменная становится тем, что называют
бесконечно малой или бесконечно малым количеством. Переменная
этого рода имеет пределом нуль. Производная непрерывной функции
У = f(x) также определяется через предел. Это предел отношения
(f(x + г) — f(x))/i, если он существует, когда г стремится к нулю.
Определив производную, Коши установил ее связь с
дифференциалами Лейбница: если dx — некоторая конечная величина,
дифференциалом dy функции у = f{x) будет просто f'{x)dx. Таким
образом, величины dx и dy определены только одним свойством,
заключающимся в том, что их отношение равно производной f'{x).
Ньютон и Лейбниц разработали две различные концепции
интеграла. Ньютон использовал в основном неопределенный интеграл и
рассматривал интегрирование как операцию, обратную
дифференцированию. В течение всего XVIII в. этот подход был
преобладающим. Лейбниц интерпретировал площади и объемы как суммы
прямоугольников и цилиндров, что привело к понятию
определенного интеграла. Коши, первым давший точное определение
интеграла (1823), придерживался концепции Лейбница.
219

Определенный интеграл введен Коши в 21-й лекции в работе
«Резюме лекций, прочитанных в Королевской Политехнической
школе» (1823). В предисловии он писал: «В интегральном
исчислении мне представилось необходимым доказать общим образом
существование интегралов, или первообразных функций, прежде
чем знакомить с их различными свойствами. Чтобы достигнуть
этого, потребовалось сначала установить понятие интегралов, взятых
между данными пределами, или определенных интегралов» [70,
с. 168—169].
Коши ввел неопределенный интеграл как частный случай
определенного при переменном верхнем пределе. Он доказал
непрерывность такого интеграла по верхнему пределу и теорему о том,
что производная его по верхнему пределу равна подынтегральной
функции. Коши доказал также справедливость формулы
Ньютона — Лейбница. Он сформулировал положения, связанные с
дифференцированием и интегрированием по параметру.
Две лекции Коши посвятил несобственным интегралам. Данное
им определение несобственных интегралов без существенных
изменений дошло до наших дней.
Дальнейший шаг к строгости вычислений вслед за Больцано и
Коши сделал немецкий аналитик Карл Вейерштрасс.
Другие достижения Коши в математике
Достижения Коши в работах по математическому анализу
отодвинули в тень его многочисленные труды по оптике и
механике. Вместе с французским ученым Анри Навье он принадлежит к
основателям математической теории упругости. Больше всего
славы принесли ему теория функций комплексного переменного и то,
что он настаивал на строгости математического анализа.
Функции комплексного переменного были введены еще до
Коши, в частности Даламбером, получившим в одной из работ о
сопротивлении жидкостей (1752) условия, которые мы теперь
называем условиями Коши — Римана. Благодаря трудам Коши теория
функций комплексного переменного превратилась из полезного для
гидродинамики и аэродинамики орудия в новую и самостоятельную
область математических исследований. Работы Коши в этой
области появлялись непрерывно с 1814 г. Одной из наиболее важных
220

среди них является его «Мемуар об определенных интегралах,
взятых между мнимыми пределами» (1825), где доказана интегральная
георема Коши и вводятся вычеты. Так как одновременно появля-
iiiil'i. работы Гаусса и Лорана по вопросам теории функций ком-
иисксного переменного, в теоретических исследованиях Коши не
пришлось встретиться с сопротивлением специалистов: с самого
начала они были приняты полностью.
11есколько признаков сходимости в теории рядов носят имя
Коши. В его книгах вполне определенно намечается арифметизация
ипализа, которая позже стала сутью исследований Вейерштрасса.
Коши также первым доказал существование решения дифференци-
плыюго уравнения и системы таких уравнений (1836). То есть он
чпложил основы для разрешения ряда проблем и парадоксов,
которые были бичом математиков со времен Зенона, и сделал это, не
отрицая и не игнорируя их, а создав математическую технику, по-
шолившую их учесть.

■<}
■4
Г л а в a 14
ГАУСС И СОЗДАНИЕ ,
НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ *
Не считать ничего сделанным, если еще кое-что
осталось сделать.
К. Гаусс
Гаусс
В ряду гениальных представителей нашей науки
только два великих предшественника Гаусса —
Архимед и Ньютон — были столь же щедро
одарены природой, как он. И подобно этим двум, Гаусс
жил достаточно долго и имел возможность
полностью проявить все заложенные в нем силы.
Ф. Клейн
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) родился в немецком городе
Брауншвейге в семье поденщика. От отца он унаследовал крепкое
здоровье, а от матери — яркий интеллект. Гаусс говорил о себе, что
«умел вычислять раньше, чем говорить» [26, с. 142]. Самая ранняя
математическая легенда о нем утверждает, что в три года он
следил за расчетами отца с каменщиками-поденщиками и неожиданно
поправил отца, причем оказался прав [26].
Однажды группе учеников, среди которых был Гаусс, было
222

предложено просуммировать натуральные числа от 1 до 100.
Пока диктовалось условие, десятилетний мальчик успел переоткрыть
формулу для суммы арифметической прогрессии. Слава о чудо-
ребенке распространилась по маленькому Брауншвейгу. В 1788 г.
I аусс переходит в гимназию, но там изучают не математику, а
классические языки. Он с удовольствием занимается языками и делает
такие успехи, что не может определить, кем больше хочет стать —
математиком или филологом.
О Гауссе узнают при дворе. В 1791 г. его представляют герцогу
Фердинанду Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и
развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству
герцога Гаусс в 1795 г. поступает в Геттингенский университет. Первое
время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций
но математике. Но это не означает, что он не занимается
математикой. Его с детства привлекает искусство счета. Благодаря
постоянным упражнениям в действиях над числами он не только достигает
изумительной виртуозности, но и приобретает такую широту
кругозора в области чисел, какой вряд ли обладал кто-либо до или после
него. Незнакомый с какой бы то ни было математической
литературой, Гаусс должен был все создавать сам. Он составляет большие
таблицы простых чисел, выражает дроби 1/р, где р € [1; 1000],
десятичными дробями, доводя вычисления до полного периода, что
в иных случаях требовало вычислений до нескольких сотен
десятичных знаков. Только в университете ему попадают в руки работы
Эйлера и Лагранжа, которые он просто «проглатывает» [26].
Прежде чем рассказать о математических открытиях Гаусса,
следует сказать о некоторых особенностях его характера. Те, кто
восхищались Гауссом больше всего и знали его лучше других,
находили его холодным и необщительным. Как математик он очень
быстро достиг высочайшего авторитета, который практически не
могли увеличить публикации его последующих открытий. Это
привело к тому, что он публиковал свои работы только тогда, когда
считал, что рассматриваемая в них тема исчерпана полностью. О
многих открытиях узнали только после его смерти из рукописей,
дневника, который он начал вести с девятнадцатилетнего возраста,
писем или неполных заметок.
223

У Гаусса не было друзей, так как он настолько превосходил сво- |
их ровесников, что те не понимали его. Он был глубоким консерва- ]
тором и националистом. Когда ему исполнилось 30 лет, он уехал в !
Геттинген, чтобы стать директором обсерватории. Там он работал ;
более 47 лет, до самой смерти в 78 лет. В годы его наивысшей
работоспособности только в Париже трудились математики, с
которыми он мог бы плодотворно сотрудничать (о них рассказано в гл. 12),
но, к сожалению, он не мог легко общаться с французами.
Трагедией его жизни было то, что он, человек смелой научной мысли,
мирился с унизительной, почти рабской зависимостью от чванливых
полуграмотных властителей.
О делении круга. В «Арифметических исследованиях» (1801)
содержатся результаты Гаусса о делении круга, что
соответствует решению уравнения хп = 1. Там доказана теорема о том,
что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный
n-угольник при п = 22 + 1, где к = 0,1, 2,... Этот результат
является обобщением открытия, сделанного им 30 марта 1796 г., о чем
свидетельствует запись в дневнике. В тот день Гаусс открыл
способ построения с помощью циркуля и линейки правильного семна-
дцатиугольника. Этому открытию Гаусс придавал весьма большое
значение и дорожил им (подробнее об этом открытии см. в гл. 24).
Теория чисел. Следующая запись в дневнике Гаусса
датирована 8 апреля 1796 г. В ней сообщалось о доказательстве
основной теоремы всей теории чисел — теоремы о квадратичном законе
взаимности. Частные случаи этого закона доказали Ферма, Эйлер,
Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное
доказательство которой дал Лежандр. Гаусс нашел полное доказательство
гипотезы Эйлера, которую назвал золотой теоремой. Дело в том,
что Гаусс не знал о работе своих великих предшественников и путь
к золотой теореме прошел самостоятельно. Эта теорема касается
вида остатков от деления квадратов целых чисел на простые числа.
Немецкий математик Леопольд Кронекер назвал доказательство
золотой теоремы «пробой сил гауссова гения». Позднее Гаусс нашел
еще шесть доказательств золотой теоремы (ныне их известно около
пятидесяти).
Эти два первых открытия были сделаны Гауссом в течение 10
дней, за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет. Первое в
основном опиралось на арифметическое рассмотрение, а второе целиком
224

относилось к арифметике (теории чисел). Теория чисел — первая
любовь Гаусса. Он называл ее «царицей математики» и
любимейшей наукой величайших математиков.
Одна из удивительных сторон феномена Гаусса заключается в
1 ом, что в своих первых работах он, практически не опираясь на
достижения предшественников, переоткрыл за короткий срок то, что
было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших
математиков.
Знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса
представляют собой огромную книгу (более 500 страниц крупного
формата) и содержат основные результаты, полученные Гауссом. Книга
была издана на средства герцога и ему посвящена. В изданном
виде она состояла из семи частей — на восьмую часть не хватило
средств.
Немецкий математик Феликс Клейн писал: «В своих
«Арифметических исследованиях» Гаусс в полном смысле этого слова
создал современную теорию чисел и предопределил все ее
дальнейшее развитие до нынешнего дня. Восхищение этим трудом
возрастает еще больше, когда наблюдаешь, как Гаусс без всякого
внешнего побуждения с самого начала черпает этот мир из самого
себя» [45, с. 38].
В 1798, г. Гаусс подготовил диссертацию, посвященную
доказательству основной теоремы алгебры. Эта теорема утверждает, что
всякий многочлен с комплексными коэффициентами, в частности с
действительными, имеет хотя бы один корень. В области
действительных чисел ее можно сформулировать так: всякий многочлен с
действительными коэффициентами раскладывается в
произведение многочленов первой и второй степеней.
Последние годы XVIII в. уходят у Гаусса на построение
теории лемнискатных функций и их обобщение эллиптическими
функциями.
Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своих
открытий. Тридцать лет так и было. Но в 1827 г. сразу два
молодых математика — Абель и Якоби — опубликовали свои
результаты, в которых имелось многое из того, что не было обнародовано
Гауссом.
8 Математика древняя и юная
225

С наступлением нового века научные интересы Гаусса
решительно сместились в сторону от чистой математики, хотя в 1812г.
он опубликовал работу о гипергеометрической функции. Эта
функция зависит от трех параметров. Придавая им конкретные
значения, можно получить большинство функций, встречающихся в
математической физике. Широко известна заслуга Гаусса в
геометрической интерпретации комплексных чисел. Однако уже никогда
чистая математика не будет главным делом его жизни.
«Математический век» Гаусса был короток — менее 10 лет.
Астрономия. Новое увлечение Гаусса — астрономия. Надо
иметь в виду, что, начиная с работ Кеплера, Галилея и Ньютона,
астрономия была наиболее яркой областью приложения
математики. Эта традиция продолжилась в трудах Эйлера, Даламбера,
Клеро, Лагранжа, Лапласа.
Гаусс начал интересоваться астрономией в Геттингене. Кое-
какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причем часть
герцогской пенсии израсходовал на покупку секстанта. Он ищет
достойную вычислительную задачу, решая пока мелкие задачи.
Например, он разработал простой способ вычисления даты Пасхи и
других религиозных циклических праздников взамен чрезвычайно
путаных способов, которыми пользовались до него.
Пасха празднуется весной, когда каждый день и час у крестьян
на счету, ведь «весенний день год кормит». Для того чтобы
празднование Пасхи не отвлекало от весенне-полевых работ и
предшествовало основным из них, нужен как бы долгосрочный прогноз
готовности почвы к севу. Для этого должна быть учтена
динамика температурно-влажностного режима почвы. Известно, что
температурный режим зависит от Солнца, от длительности светового
дня, а влажностный режим зависит от фаз Луны. После того как в
324 г. христианство стало государственной религией Римской
империи, на Никейском соборе в 325 г. было решено праздновать Пасху
в первое воскресенье после первого полнолуния после весеннего
равноденствия и так, чтобы она не совпала с еврейской пасхой.
Таким требованиям удовлетворяет алгоритм расчета даты
Пасхи, предложенный Гауссом. В соответствии с этим алгоритмом,
взятым нами из работы И.А. Климишина [46] и преобразованным для
226

нычисления даты православной Пасхи по новому стилю,
необходимо проделать следующие операции, приняв порядковый номер
интересующего нас года за N.
1. Вычислить А, равное остатку от деления N на 19.
2. Вычислить В, равное остатку от деления N на 4.
3. Вычислить С, равное остатку от деления N на 7.
4. Вычислить D, равное остатку от деления (19 А + 15) на 30.
5. Вычислить Е, равное остатку от деления (2В + 4 С + 6D + 6)
на 7.
6. Если D + Е < 26, то Пасха будет (£) + Е + 4) апреля; если
П + Е > 26, то Пасха будет (D + Е - 26) мая.
Пример. Пусть 7V = 2003, тогда А = 8, Б = 3, С = 1, D = 17,
/i1 = 6, дата Пасхи — 27 апреля.
Итальянский астроном Джузеппе Пиацци, составлявший
звездный каталог, 1 января 1801 г. обнаружил неизвестное светило
восьмой величины. Он наблюдал его в течение 40 дней, за которые оно
сместилось на 9°, постепенно скрываясь в лучах восходящего
Солнца. Пиацци попросил крупнейших астрономов продолжить
наблюдения, но они этого не сделали, и светило было потеряно. Была
выдвинута гипотеза, что это могла быть малая планета между Марсом
и Юпитером. Ее нужно было срочно найти.
В сентябре Гаусс начал расчеты, которые заняли два месяца. Он
опубликовал результаты в журнале, и по ним в ночь с 31 декабря
на 1 января 1802 г. немецкий астроном Ольберс, друг отца Гаусса,
нашел планету, названную Церерой. Это была сенсация.
25 марта 1802 г. Ольберс открыл еще одну малую планету —
Палладу. Эта планета, также находящаяся в поясе астероидов
между Марсом и Юпитером, как доказал Гаусс, имеет необычную
орбиту. Она отличается очень большими эксцентриситетом (е = 0, 2) и
наклонением к плоскости эклиптики (39°). С одной стороны, это
делает ее интересной из-за сильного возмущающего действия на нее
других планет, с другой — чрезвычайно затрудняет вычисление ее
орбиты.
В 1804 г. теория возмущений Паллады была выбрана Парижской
Академией наук в качестве темы, успешная разработка которой
вознаграждалась большой премией — золотой медалью весом 1 кг.
Виртуозное вычислительное искусство Гаусса и его настойчивая
8* 227

энергия позволили ему дерзнуть взяться за решение этой задачи.
В надежде, что Гаусс решит проблему Паллады, Парижская
Академия наук дважды (до 1816г.) переносила срок присуждения премии.
Поистине трагично, что Гауссу не удалось дойти до окончательных
результатов в вычислении орбиты Паллады. После громадных
усилий, о которых свидетельствует огромный объем вычислений, и
после того, как вычисления возмущений, вызываемых Юпитером и
Сатурном, уже были завершены, работа, не доведенная Гауссом до
конца, вдруг обрывается.
Это тем более поразительно, что имеется огромное количество
указаний на то, что Гаусс с большим интересом относился к
названному вопросу. В 1812 г. он публикует загадочную анаграмму,
состоящую из расположенных в определенном порядке нулей и единиц,
содержащую важнейший результат, касающийся движения
Паллады. Анаграмма эта не расшифрована и по сей день.
Аналогичные случаи в творчестве Гаусса встречаюся не раз: он
часто оставлял неопубликованными самые прекрасные свои
результаты. Чем могла быть вызвана эта странная остановка,
случавшаяся, когда он был почти у цели? Быть может, причину следует искать
в ипохондрии, которая иногда овладевала Гауссом в минуты
самого успешного творческого труда. Своеобразное свидетельство
таких настроений можно найти, например, в набросках к работам по
эллиптическим функциям, относящимся примерно к 1807—1810 гг.
Здесь, среди заметок чисто научного характера, вдруг
встречается написанная очень мелко карандашом фраза: «Смерть мне милее
такой жизни» [26, с. 178]. О замкнутости Гаусса ходили легенды.
У этого малоразговорчивого приземистого человека крепкого
телосложения бывали депрессии и тяжелейшая бессонница. Его
окружение — и прежде всего его собственная семья — не обнаруживало
ни малейшего понимания той гигантской работы, которая
отвлекала его от всех прочих интересов. Его осыпали горькими упреками,
и подчас находились люди, которые сомневались, в здравом ли он
уме. На его настроение оказывали влияние ранняя смерть его
первой жены, плохое здоровье второй и ужасные отношения с
сыновьями.
В 1809 г. выходит законченная в 1807 г. знаменитая «Теория
движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим
228

орбитам». Гаусс излагает метод вычисления орбит. Чтобы
убедиться в силе метода, он повторяет вычисление орбиты кометы, которую
в свое время за три дня напряженного счета, вычислил Эйлер.
Гауссу на расчет потребовался один час. В книге был изложен метод
наименьших квадратов, остающийся и в настоящее время одним из
самых распространенных методов обработки результатов
наблюдений. Гаусс указывает, что он знает этот метод с 1794 г., а с 1802 г.
систематически им пользуется (за два года до выхода «Теории
движения» Гаусса метод наименьших квадратов был обнародован Ле-
жандром).
Геодезия, физика, последние годы жизни. К 1820 г. центром
практических интересов Гаусса стала геодезия. В 1816 г. он был
занят обобщением основной задачи картографии — задачи об
отображении одной поверхности на другую, так, чтобы искажения
были минимальными. В 1828 г. вышла в свет главная геометрическая
работа Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях». Она
посвящена внутренней геометрии поверхности, т. е. тому, что
связано со структурой самой этой поверхности, а не с ее положением в
пространстве. Гаусс интересуется поверхностями постоянной
кривизны, в частности сферой, являющейся поверхностью постоянной
положительной кривизны {К — 1/R). В записях Гаусса
упоминается также поверхность вращения постоянной отрицательной
кривизны. Позже ее назовут псевдосферой, а итальянский математик
Эудженио Бельтрами обнаружит, что ее внутренняя геометрия есть
геометрия Лобачевского.
В 1833—1834 гг. Гаусс начал проявлять интерес к физике. В тот
период он выполнил большую экспериментальную работу по
земному магнетизму. У него нашлось время и для теоретических
исследований по вопросам электродинамики. В 1839—1840 гг. вышли его
«Общие теоремы о силах, действующих обратно пропорционально
квадрату расстояния». Это было началом теории потенциала как
отдельной ветви математики.
Научная деятельность Гаусса не ослабевала до самой его
смерти в 1 855 г. В последние годы жизни он все больше и больше
отдавал силы прикладной математике. Теперь мы знаем, что Гаусс уже
в 1800 г. открыл эллиптические функции и около 1816 г. овладел
неевклидовой геометрией. По этим вопросам он никогда ничего не
229

публиковал и только в некоторых письмах к друзьям изложил свое
критическое отношение к попыткам доказать аксиому Евклида о
параллельных. По-видимому, Гауссу не хотелось публично
затрагивать какой-либо спорный вопрос.
В 1854 г. здоровье тайного советника Гаусса, как его именовали
коллеги по Геттингенскому университету, значительно ухудшилось.
Не могло быть и речи о продолжавшихся в течение 20 лет
ежедневных прогулках. Его удалось уговорить обратиться к врачу. В январе
1855 г. Гаусс соглашается позировать художнику Геземану для
медальона. По заказу Ганноверского двора уже после смерти
ученого в феврале 1855 г. по этому медальону была изготовлена медаль.
На медали под барельефом Гаусса было написано: «Король
математиков».
Даже немногие опубликованные Гауссом отрывки из того, что
было создано его умом, произвели на современников огромное
впечатление как новизной и значительностью математического
содержания, так и убедительной строгостью изложения.
Распространились слухи, что Гаусс является обладателем еще более крупных и
неожиданных результатов. Слухи эти, в свою очередь, столь же
бурно опровергались. У молодежи Гаусс вызывал безграничное
уважение, не вполне свободное от недоверия. Только потомки оказались
в состоянии квалифицированно судить о научном богатстве,
которым владел Гаусс. Чем глубже мы проникаем в наследие Гаусса, тем
больше растет наше изумление этим могущественнейшим гением.
Роль Гаусса в развитии математики. После работ Гаусса
изменилась роль математики как науки. Со времен Ньютона она была
орудием в руках естествоиспытателя и оценивалась по ее
приложимости к естествознанию, при этом не существовало ясно
выраженных отличий между математикой и физикой. Гаусс показал, что
математика обладает собственной, только ей присущей ценностью.
С равным успехом он работал в области как абстрактной (чистой),
так и прикладной математики, но выше ценил первую. Новаторство
Гаусса заключалось в том, что он провозгласил приоритет
теоретических соображений, вследствие чего математика заняла высшее
место среди всех наук.
Присущая XVIII в. убежденность в математической природе
Вселенной была поднята в работах Гаусса на новый уровень. Мате-
230

матика и впрямь была орудием естествознания, но, по мнению
Гаусса, отнюдь не его служанкой. На его взгляд, математика управляет
поведением Вселенной. Следовательно, чтобы понять Вселенную,
необходимо открыть и развить лежащие в ее основе
математические законы.
Гаусс вернул в математику греческую строгость. Он настаивал
на том, что математические результаты, пользовавшиеся в его время
общим признанием на основании интуиции или индукции,
подлежат логическому доказательству, без которого невозможно
установить их справедливость. Он усилил использование логики в
математическом доказательстве и установил новый критерий того, что
может считаться очевидным. Анализируя некорректное лежандров-
ское доказательство квадратичного закона взаимности, он
постулирует неприемлемость использования того, что всего лишь
убедительно или даже вероятно, и предостерегает от опасности
порочного круга.
Взгляды Гаусса стимулировали пересмотр самой природы
математики, предпринятый его преемниками. Математика вернула
себе статус самостоятельной науки, и практически полному
отождествлению математики и физики, как это было со времен Ньютона,
пришел конец.
Вопросы истинности в математике.
Споры философов XVIII в.
То, что я понял, прекрасно, из этого я заключаю,
что остальное, чего я не понял, тоже прекрасно.
Сократ {по поводу неясностей у Гераклита)
Успехи математики привели к тому, что ученые решили
попытаться использовать могущество человеческого разума для
обоснования господствующих религиозных и этических учений, а не
принимать их за догму.
Дидро в «Мыслях об объяснении природы» (1753) отрицал
абсолютность математических законов. Он считал, что математики,
как игроки, играют в игры, руководствуясь ими же самими
созданными абстрактными правилами, так как предмет математического
исследования — условность, не имеющая опоры в реальности.
231

Дэвид Юм утверждал, что мы не знаем ни разума, ни материи,
и то и другое — фикция. Воспринимаем мы впечатления
(ощущения) и идеи — образы, воспоминания, мысли (отголоски
впечатлений). Для любого человека все остальные люди и предполагаемый
внешний мир — всего лишь результат восприятия, и нет гарантии,
что они действительно существуют. Происхождение наших
ощущений необъяснимо; мы не можем сказать, что является их
источником: реально существующие внешние объекты, разум или Бог. Юм
разрушил ценность дедуктивной схемы, которая представляла
реальность для мыслителей предыдущих поколений. Он не отвергал
аксиом, но их выбор, а значит, и результаты, получаемые из них
методом дедукции, он ставил под сомнение. По его мнению, теоремы
чистой математики — излишние утверждения, ненужные
повторения одного и того же различными способами [43].
Опровергнуть философские воззрения Юма, встретившие
резкое неприятие большинства мыслителей XVIII в., ценивших успехи
математики и естествознания, удалось Иммануилу Канту, одному
из наиболее чтимых и глубоких философов всех времен. В
«Критике чистого разума» (1781) Кант утверждает, что все аксиомы и
теоремы математики истинны. По Канту, наш разум априори сам по
себе владеет формами пространства и времени, в которые он
входит, как тесто в формочки для печенья. Порядок и рациональность,
которые мы, как нам кажется, воспринимаем во внешнем мире, в
действительности проецируются на внешний мир нашим разумом
и формами нашего мышления. Философия Канта и его авторитет
раскрепостили и одновременно ограничили научно-философскую
мысль. Он считал, что упорядочение пространственных ощущений
по образу и подобию евклидовой геометрии и ньютоновой
механики является единственно возможным, что может быть допущено
нашим разумом.
Весьма вероятно, что именно нежелание вступить в конфликт
с позицией столь высокочтимого в Германии философа побудило
Гаусса не только воздержаться от опубликования открытий в
области неевклидовой геометрии, но и категорически запретить
знающим о них друзьям рассказывать кому-либо об его истинных
воззрениях.
232

Об истории пятого постулата Евклида
Сам Евклид сформулировал пятый постулат (аксиому о
параллельных) следующим образом: всякий раз, когда прямая при
пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние
внутренние углы, сумма которых меньшие двух прямых углов, эти
прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма
меньше двух прямых.
Рис. 11. К пятому постулату Евклида
Иначе говоря, если углы / и 2 в сумме меньше 180°, то прямые
а и Ь (рис. 11), продолженные достаточно далеко в правую
сторону, пересекутся. Опираясь на пятый постулат и другие аксиомы,
Евклид доказал существование параллельных, поэтому этот
постулат стали называть аксиомой о параллельных. Должно быть, Евклид
был недоволен своим вариантом этой аксиомы, ибо обратился к ней,
лишь доказав все теоремы, какие только смог вывести без ее
использования.
Математики считали, что аксиома о параллельных в том
виде, как ее сформулировал Евклид, слишком сложна, ей
недоставало простоты других аксиом. Ученые искали ответ на вопрос:
«Существуют ли в физическом пространстве параллельные
прямые?» — и пытались или доказать пятый постулат Евклида как
теорему на основе остальных аксиом, или заменить его другой
аксиомой. В 1795 г. англичанин Джон Плейфер предложил вариант
аксиомы, вошедший во многие учебники: существует одна и
только одна прямая, проходящая через данную точку Р, лежащую вне
233

прямой L в плоскости, задаваемой точкой Р и прямой L, которая
не пересекается с прямой L (рис. 12).
щ
р
_L
Рис. 12. К аксиоме о параллельных,
предложенной Плейфером
Попытки найти подходящую замену евклидовой аксиоме о
параллельных или доказать, что она следует из девяти остальных
аксиом, были столь многочисленны и тщетны, что в 1759 г. Далам-
бер назвал проблему параллельных «скандалом в области
оснований геометрии». Постепенно сформировалось мнение, что
весомость аксиом определяется их соответствием опыту, а не
самоочевидностью.
Самым выдающимся математиком среди тех, кто работал над
решением проблемы, возникшей в связи с пятым постулатом
Евклида, был Гаусс. В 1831 г. в письме.к своему другу Шумахеру он
писал, что еще в 1792 г., когда ему было 15 лет, он понял
возможность существования логически непротиворечивой геометрии, в
которой пятый постулат Евклида не выполняется. Примерно с 1813г.
Гаусс начал работать над своей неевклидовой геометрией, которую
назвал сначала антиевклидовой, затем астральной и, наконец,
неевклидовой. В письме к Ф. Бесселю в 1829 г. он признался, что вряд
ли когда-нибудь опубликует свои открытия в этой области,
опасаясь, как он выразился, вызвать крики беотийцев (беотийцы —
древнегреческое племя, чья тупость вошла в поговорку).
Более значительный вклад, по сравнению с открытиями Гаусса,
в создание неевклидовой геометрии внесли русский математик
Николай Иванович Лобачевский и венгр Янош Больяй, офицер австро-
венгерской армии.
234

Лобачевский
Лобачевский был первым, кто до конца понял
великую математическую идею множественности
мыслимых геометрий, и этим поставил на
совершенно новую и высшую ступень вопрос о том, что
значит «существование» в математике и что значит
математическая реальность.
П. С. Александров
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в
Нижнем Новгороде в семье мелкого чиновника. После смерти отца мать
в 1802 г. определила Николая в казанскую гимназию, а в 1807 г. он
стал студентом Казанского университета. На первом курсе он
изучал медицину, а когда преподавать математику в Казанском
университете приехал из Германии Бартельс, который в молодости учился
вместе с Гауссом, Лобачевский увлекся математикой. Бартельс
занимался с Лобачевским математикой дополнительно по четыре часа
в неделю, проходя с ним «Арифметику» Гаусса и «Небесную
механику» Лапласа.
Лобачевский находил время не только для учения, но и для
веселых проказ. Однажды ночью он запустил в небо ракету
собственного изготовления, чем напугал дежурного на пожарной каланче,
который забил тревогу и поднял на ноги всю Казань. Только
благодаря заступничеству профессоров Лобачевский не был исключен
из университета [109].
3 августа 1811 г. Лобачевский получил степень магистра (его
научным руководителем был Бартельс). Представив два научных
исследования: по механике — «Теория эллиптического движения
небесных тел» (1812) и по алгебре — «О разрешимости
алгебраического уравнения хп — 1 = 0» (1813), он был ранее срока, в 1814 г.,
произведен в должность адъюнкт-профессора (доцента). Со
следующего года он начинает преподавать самостоятельно, постепенно
расширяя круг читаемых им курсов, и уже задумывается над
перестройкой начал математики. Еще через год он получает звание
экстраординарного профессора. Однако вскоре в университете
создается очень тяжелая для работы обстановка. Для инспектирования
Казанского университета был назначен и прибыл в университет в
235

марте 1819 г. член Главного правления училищ М.Л. Магницкий,
предложивший расформировать университет.
Но университет не был расформирован — Александр I решил
его исправить. Попечителем Казанского учебного округа был
назначен Магницкий, который и приступил к энергичному «обновлению
университета». Он начал свою деятельность с увольнения девяти
профессоров. Была установлена тщательная слежка за
содержанием лекций и студенческих записей и введен суровый казарменный
режим для студентов. В то время Лобачевский преподает
математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт (Тарту) Бартельса,
замещает профессора К. Броннера, не вернувшегося в Казань
после отпуска, читает физические курсы и заведует физическим
кабинетом. Кроме того, он замещает отправившегося в кругосветное
плавание астронома И.П. Симонова, читает астрономию и
геодезию, приняв в свое ведение обсерваторию, ряд лет работает
деканом физико-математического отделения. Колоссальный труд
вкладывает Лобачевский в упорядочение библиотеки и в расширение ее
физико-математической части. Вместе с тем он является одним из
активнейших членов, а затем и председателем строительного
комитета, занятого постройкой главного университетского корпуса.
Несмотря на тысячи текущих дел и обязанностей,
Лобачевский не прекращает напряженной творческой деятельности. Он
пишет два учебника для гимназий: «Геометрию» (1823) и «Алгебру»
(1825). «Геометрия» получает отрицательный отзыв у академика
Н.И. Фусса, не оценившего тех изменений, которые Лобачевский
внес в традиционное изложение, и осудившего введение
метрической системы мер, поскольку она создана в революционной
Франции. «Алгебра» из-за внутренних проволочек в университете тоже
не была напечатана.
Мысль Лобачевского работает неустанно над строгим
построением начал геометрии. Первые следы этой работы мы находим в
студенческих конспектах его лекций по геометрии за 1817 г. Об этом
же свидетельствует рукопись учебника «Геометрия» и его
«Обозрения преподавания чистой математики» за 1822—1823 и 1824—
1825 гг. В феврале 1826 г. он делает на факультете доклад на тему
«Воображаемая геометрия». Доклад был передан на отзыв
профессорам И.П. Симонову, А.Я. Купферу и адъюнкту Н.Д. Брашману.
236

Отзыва не последовало. Рукопись доклада до нас не дошла,
однако материал его был включен Лобачевским в сочинение «О началах
геометрии», вышедшее в 1829—1830 гг. в «Казанском вестнике».
Доклад Н.И. Лобачевского совпал по времени со смещением
Магницкого. Специальная ревизия выявила ряд злоупотреблений,
и попечитель был уволен и выслан. Новый попечитель Казанского
учебного округа М.Н. Мусин-Пушкин сумел оценить деятельную
натуру Лобачевского. Великого геометра в 1827 г. избирают
ректором, и 19 лет он самоотверженно трудится на этом посту.
Лобачевский добивается существенного повышения уровня
научно-учебной работы на всех факультетах. Он проводит
строительство целого комплекса университетских вспомогательных
зданий, сам читает ряд специальных курсов для студентов, пишет
наставление учителям математики и заботится о постановке
преподавания также в училищах и гимназиях. В 1842 г. Лобачевский
принимает участие в поездке в Пензу для наблюдения солнечного
затмения. Он умело оберегает сотрудников и студентов
университета во время эпидемии холеры в 1830 г., изолировав
университетскую территорию и многократно проводя тщательную
дезинфекцию. Он организует спасение астрономических инструментов
и выноску книг из загоревшейся библиотеки во время громадного
пожара Казани в 1842 г., причем ему удается отстоять от огня почти
все университетские здания.
Вместе с тем Лобачевский находит время для непрерывных и
обширных научных исследований, посвященных, главным образом,
развитию новой геометрии. Его идеи были настолько непривычны,
глубоки и новы, он настолько обогнал свою эпоху, что
современники не смогли понять и правильно оценить его. Первая работа
«О началах геометрии» была представлена ученым советом
университета в 1832 г. в Петербургскую Академию наук. Но даже академик
М.В. Остроградский не понял ее значения и дал на нее
отрицательный отзыв. А в 1834 г. в журнале Ф. Булгарина «Сын Отечества»
появился издевательский анонимный отзыв об этой работе.
Неизвестный рецензент писал, что в книге отсутствует здравый смысл.
Встретив непонимание и даже издевательство, Лобачевский не
прекратил своих исследований. В 1835 г. он печатает «Воображае-
237

мую геометрию», в 1836 г. — «Применение воображаемой
геометрии к некоторым интегралам», в 1835—1838 гг. — свою
наиболее обширную работу «Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных». Наконец, в 1840 г. выходят на немецком и
французском языках его «Геометрические исследования по теории
параллельных линий», где содержится предельно ясное и лаконичное
изложение его основных идей. Немецкую версию изложения
прочитал Гаусс и, разумеется, понял автора с полуслова. Он оценил
результаты Лобачевского в письмах к ученикам, но публичной
поддержки новой геометрии не оказал. Однако по его представлению в
1842 г. Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттин-
генского научного общества.
В 1846 г. Лобачевский оказался фактически отстраненным от
работы в университете. Внешне он получил повышение — был
назначен помощником попечителя Казанского учебного округа (однако
жалованья ему за эту работу не назначили), но при этом лишился
кафедры и ректорства. Более года он управлял Казанским учебным
округом, заменив М.Н. Мусина-Пушкина, переведенного в
Петербург. Лишившись кафедры и ректорства, Лобачевский потерял
возможность не только руководить университетом, но и вообще
действенно участвовать в его жизни. Насильственное отстранение от
деятельности, которой он посвятил свою жизнь, ухудшение
материального положения, а затем и семейное несчастье (в 1852 г. умер
его старший сын) разрушающе отразились на его здоровье: он
сильно одряхлел и стал слепнуть.
Непонимание значения его новой геометрии, жестокая
неблагодарность современников, материальные невзгоды, семейное
несчастье и, наконец, слепота не сломили мужественного духа ученого.
За год до смерти он закончил свой последний труд — «Пангеоме-
трию», которую диктовал своим ученикам.
Лобачевский был не только гениальным геометром. У него есть
ценные работы по анализу. В алгебре известен его метод
приближенного вычисления корней уравнений любой степени.
24 (12) февраля 1856 г. закончилась жизнь великого ученого,
целиком отдавшего себя науке.
238

Янош Больяй
Десятью годами моложе Лобачевского был Янош Больяй
(1802—1860). Он родился в семье крупного венгерского ученого,
друга Гаусса, профессора математики Фаркаша Больяй, который
лично руководил занятиями сына.
В 13 лет мальчик овладел дифференциальным и интегральным
исчислениями. Когда Яношу исполнилось 14 лет, отец написал об
успехах сына своему другу Гауссу и попросил его взять подростка
к себе в качестве ученика. Гаусс не ответил, и после некоторых
колебаний Фаркашу Больяй пришлось устроить шестнадцатилетнего
юношу в Военно-инженерную академию в Вене — закрытое
учебное заведение, не требовавшее значительных расходов.
В возрасте 31 года Янош оставляет военную службу.
Будучи офицером, Больяй увлекся проблемой, связанной с
пятым постулатом Евклида. Не зная об открытии Лобачевского,
Больяй повторил его открытие и опубликовал свои результаты в
1831—1832 гг. в качестве приложения («Аппендикс») к первому
тому сочинений отца. Том с описанием результатов Яноша Больяй
по неевклидовой геометрии был послан Гауссу, однако посылка из-
за свирепствовавшей в то время холеры затерялась. Вторая посылка
дошла до адресата. В письме Фаркаш Больяй просил Гаусса дать
оценку работе сына, так как мнение Гаусса он ставил выше мнения
всей Европы. Только через полгода Гаусс ответил, что результаты
Яноша Больяй почти полностью совпадают с теми результатами,
которые он сам получил 30—35 лет тому назад. Янош подумал,
что Гаусс хочет присвоить себе его открытия. Когда 17 октября
1848 г. отец прислал ему работу Лобачевского «Геометрические
исследования по теории параллельных линий», Больяй решил, что
«Лобачевский» — это псевдоним Гаусса, описавшего его открытие
на свой лад. Читая Лобачевского, Янош Больяй составил
обширные замечания, выполнил подробный критический разбор всего
сочинения. Он восхищался некоторыми выводами Лобачевского и
называл их гениальными.
Больяй много занимался также теорией комплексных чисел,
однако и эти его работы не получили заслуженного признания.
Вследствие этого он потерял душевное равновесие и стал заниматься
заведомо неразрешимыми проблемами (например, стремился создать
239

на математической основе учение о всеобщем благе). Тяжелые
переживания и недуги сломили и без того слабое здоровье Яноша Бо-
льяй. Он умер на 58-м году жизни. Его изложение неевклидовой
геометрии в «Аппендиксе» переведено почти на все европейские
языки. Я
щ
Сущность неевклидовой геометрии '
Теории Больяй и Лобачевского очень схожи в основе, хотя их
работы значительно различаются. Лобачевский смело отверг
аксиому Евклида о параллельных и принял допущения, высказанные еще
итальянским священником Джероламо Саккери (1667—1733),
членом ордена иезуитов и профессором университета в Павии: пусть
заданы прямая АВ и точка Р вне ее на расстоянии а от АВ. Тогда
все прямые, проходящие через точку Р, распадаются на два класса:
класс прямых, пересекающих АВ, и класс прямых, которые АВ не
пересекают. Две прямые, являющиеся границами второго класса,
будут параллельными прямой АВ (на рис. 13 ip = </з(а) — угол
параллельности).
Рис. 13. К пояснению допущений
Лобачевского о параллельных прямых
Заслуга Лобачевского состоит в том, что он на основе догадки
Саккери создал непротиворечивую элементарную геометрию,
соответствующую ей тригонометрию, а также аналитическую и
дифференциальную геометрии. Геометрия Лобачевского в большей своей
части, в которой не используется пятый постулат Евклида, не
отличается от геометрии Евклида. В той же части, которая использует
аксиому о параллельности, все обстоит иначе. К этой части
относятся теоремы:
— о расположении параллельных прямых;
— о сумме углов в треугольниках и многоугольниках;
240

— о площадях;
— о вписанных в окружность и об описанных многоугольниках;
— о подобии и конгруэнтности фигур;
— о тригонометрии;
— теорема Пифагора;
— об измерении круга и его частей.
Формулировка этих теорем в геометрия Лобачевского
отличается от их формулировок в геометрии Евклида. Для примера
приведем некоторые результаты: прямые, имеющие общий
перпендикуляр, расходятся в обе стороны; сумма углов треугольника меньше
180°; подобных треугольников и многоугольников не существует.
Вся тригонометрия оказалась в основном тригонометрией
гиперболических функций. Совокупность ее формул подобна совокупности
формул сферической тригонометрии в системе Евклида, но для
сферы мнимого радиуса Ri.
В сочинениях Лобачевского построена система, не содержащая
погрешностей и столь же богатая фактами, как и геометрия
Евклида. Тем самым показано, что не только одна система геометрии
мыслима, но и другие системы можно получить, видоизменяя и
обобщая основные положения геометрии Евклида. Однако Гаусс,
Лобачевский и Больяй, убежденные в непротиворечивости
неевклидовой геометрии, доказать эту непротиворечивость не могли.
')то сделали математики следующего поколения. Неевклидова
геометрия в течение нескольких десятилетий оставалась заброшенной
областью науки. Большинство математиков ее игнорировали,
господствующая философия Канта не могла стать основой для того,
чтобы принять ее всерьез.
Мысль о том, что евклидова геометрия — это геометрия
реального пространства, т. е. абсолютная истина о пространстве,
настолько глубоко вошла в сознание людей, что любые идеи
противоположного толка на протяжении многих лет отвергались. Не так-то
легко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро оно
получило достаточно широкое распространение. По словам создателя
квантовой механики Макса Планка, новая научная истина
одерживает верх не потому, что ее противники убеждаются в ее
правильности и прозревают, а лишь потому, что ее противники постепенно
241

вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с
молоком матери [88].
Некоторые математики не отрицали, что неевклидовы
геометрии (позже их появилось несколько) логически непротиворечивы;
другие были убеждены, что новые геометрии содержат
противоречия и потому бесполезны. Почти все математики считали, что
единственно верной геометрией физического пространства должна
быть евклидова геометрия. К неевклидовой геометрии скептически
относились даже такие математики-новаторы, как Уильям Роуан
Гамильтон, Артур Кэли и Феликс Клейн. Хотя Кэли и Клейн
сами работали над неевклидовыми геометриями (отличающимися от
геометрии Лобачевского), они рассматривали предмет своих
исследований как попытки введения в евклидову геометрию новых
искусственных метрик — функций, задающих расстояние между
двумя точками. Ни Кэли, ни Клейн не признавали за
неевклидовыми геометриями фундаментальности и применимости к реальному
миру, которые приписывались евклидовой геометрии.
Первым ведущим ученым, кто целиком понял значение
неевклидовой геометрии, был Риман. Его общая теория многообразий
(1854) допускала не только существовавшие виды неевклидовой
геометрии, но и многие другие, так называемые римановы
геометрии.
В 1868 г. итальянский математик Бельтрами исследовал
вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что для
этой поверхности справедлива геометрия Лобачевского. Через два
года немецкий математик Клейн предлагает другую модель
поверхности Лобачевского. Еще одна модель была предложена
французским математиком Пуанкаре. Впоследствии появились и
другие модели геометрии Лобачевского, которыми была
окончательно установлена ее непротиворечивость, что оказало
прогрессивное влияние на все дальнейшее развитие геометрии и математики
в целом.
В XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не
только имеет важное значение для абстрактной математики как
одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с
242

приложением математики к физике. Оказалось, что взаимосвязь
пространства и времени, открытая в работах Лоренца, Пуанкаре,
Эйнштейна, Минковского и описываемая в рамках специальной
теории относительности, имеет непосредственное отношение к
геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных
синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

Глава 15
РАЗВИТИЕ АБСТРАКТНОЙ МАТЕМАТИКИ
В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX В.
Алгебра — это язык, не пользующийся словами,
а только математическими символами. Если этот
язык символов нам знаком, то на него можно
перевести интересующие нас выражения
повседневного языка.
Д. Пойа
После 1830 г. продуктивность французской школы прикладной
математики стала ослабевать. Уже в работах Коши, как видно из
анализа его вклада в науку, прикладная математика занимает более
скромное место, чем абстрактная математика. В XIX в. абстрактная
математика развивалась в двух направлениях:
— осваивались новые разделы математики (например, теория
функций комплексного переменного);
— критически пересматривались, в целях усиления строгости,
разделы математики, развивавшиеся в предшествующих столетиях.
Последней ярчайшей звездой среди математиков французской
школы, а точнее, даже метеором, блеснувшим, чтобы быстро
угаснуть, был Эварист Галуа.
Как и самобытный генией математики норвежец Нильс Хен-
рик Абель, Галуа занимался чистейшей абстрактной математикой
244

и наиболее общем смысле этого слова. Они просто не успели
проявить себя в других разделах математики, так как ушли из жизни
слишком рано. Одновременно с ними замечательных результатов
достигли математик и философ Бернард Больцано и Карл Густав
Якоб Якоби. Знакомство с их биографиями начнем со старшего из
них, чеха Больцано.
Больцано
Бернард Больцано (1781—1848) родился в Праге в семье
торговца предметами искусства. Бернард был четвертым ребенком в
семье, часто болел. После окончания гимназии в 1796 г. Больцано
поступил на философский факультет Пражского университета,
который с отличием закончил в 1800 г., и затем начал изучать
богословие.
По окончании богословского факультета он был избран
заведующим кафедрой философии религии Пражского университета.
В течение двух недель после избрания Больцано получил степень
доктора философии и принял сан.
Больцано был любим студентами, но его не жаловали
церковные иерархи. Папа римский обращался к австрийскому императору,
настаивая на смещении Больцано за его свободомыслие. Его
привлекали к допросам, всячески пытались выманить у него публичное
отречение. В 1820 г. решением императора его изгнали из
университета и он был взят под надзор полиции.
Живя в деревне, Больцано занимался наукой. В научных
вопросах он отличался холодной строгостью, которая контрастировала с
его необыкновенной мягкостью в повседневной жизни.
В 1843 г. Больцано заболел тяжелым воспалением легких.
Осенью 1848 г. его состояние ухудшилось, и 21 декабря 1848 г. он умер.
При жизни Больцано было напечатано только пять небольших
работ по математике (первую он написал в 23 года) и ряд
философских работ, вышедших анонимно. Только спустя век после его
смерти была извлечена из архивов замечательная работа «Учение
о функциях» и признаны его заслуги в математике. Долгое время
математические работы Больцано оставались незамеченными,
непонятыми и не оцененными по заслугам. Поэтому они не повлияли
245

заметно на развитие математики, которая независимо от них
пришла спустя десятилетия к тем же результатам. Много позже, после
изучения работ Больцано, было установлено, что заслуга первого
открытия многих важнейших положений, приписываемых другим,
по праву принадлежит именно Бернарду Больцано.
Сосредоточившись на философском значении математики и
на ее логическом обосновании, Больцано занялся прежде всего
ее определением как науки. Сочинение «К более обоснованному
изложению математики» (1810) содержало две главы: «О
понятии математики и ее разделах», «О математическом методе», а в
приложении к ним — критику взглядов Канта на происхождение
понятий. Общепринятое школьное определение математики того
времени как науки о величинах Больцано отвергает.
Начатая Больцано грандиозная работа по расчленению
математических понятий, их очистке и обоснованию оказалась
необыкновенно плодотворной. Но потребовалось почти 100 лет, чтобы идеи
Больцано, Коши, Лобачевского о необходимости дать
математическому анализу и геометрии новый прочный логический фундамент
были осуществлены Кантором и Гильбертом [76].
Поставив себе целью построить логически безупречные
основы математики, Больцано уделил главное внимание
математическому доказательству. Настаивая на выделении аксиом в особую
группу предположений, для каждого из которых должно быть
показано, что оно не доказуемо, и объяснено, почему не доказуемо
(т. е. не выводимо из остальных аксиом), Больцано
сформулировал один из основных принципов современного
математического метода. К самому математическому доказательству Больцано
предъявлял два требования: при построении доказательства
необходимо использовать, во-первых, все посылки, а во-вторых, только
исходные понятия. Больцано отвергал введенное Кантом
противопоставление математического доказательства доказательству
логическому.
Однако великая историческая заслуга Больцано заключается не
в попытке обоснования арифметики и геометрии, а в постановке и
решении на новой основе ведущих вопросов математического
анализа. Необыкновенно ясно и уверенно, хотя не всегда с
современной точки зрения безупречно, он приступил к построению анализа
246

на чисто арифметических основах. В «Чисто аналитическом
доказательстве» (1817) Больцано сформулировал и доказал теорему о
верхней грани ограниченного сверху множества, в настоящее
время носящую имя Вейерштрасса, хотя последний высказал ее в своих
лекциях, которые он начал читать лишь в 1860 г. За четыре года до
Коши и более точно, чем он, Больцано вывел необходимое условие
сходимости рядов с действительными числами [76].
Больцано положил начало созданию теории множеств. В
«Парадоксах бесконечности» (1851) он исследовал бесконечные
множества, таким образом, он был предшественником Кантора в их
изучении. Отправляясь от идеи Лейбница, он отстаивал
объективность актуальной бесконечности. При этом он различал два рода
существования объективного: существование реальное —
«непосредственно данное»; существование нереальное, но возможное —
существование «в себе». Возможность нереального объективного
существования не зависит от субъективного знания и создается не
мышлением (по Больцано, возможность мыслить вещь не является
основанием для возможности ее существования), а «чистыми
понятиями», которые играют роль определяющего начала и для всего
реального, и для всего объективно возможного.
Больцано вплотную подошел к определению бесконечного
множества как множества, чьи элементы могут быть поставлены во
взаимно однозначное соответствие по меньшей мере с одной его
правильной частью, а также к формулировке важнейшего понятия
теории множеств — к понятию мощности. Однако ни в том, ни в другом
пункте последнего решающего шага он все же не сделал.
Говоря о значении математических работ Больцано, нельзя не
восхищаться смелостью, проникновенностью, глубиной его идей,
которые на полвека опередили свое время. Он достиг
замечательных результатов, занимаясь математикой лишь между делом, ибо
делом своей жизни он считал не математику, а философские и
теологические работы и проповедь социальных взглядов.
Абель
Невозможность решения в радикалах уравнений пятой или
большей степени была наконец доказана в 1826 г. молодым
норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем (1802—1829).
247

Абель родился в небольшой деревушке Финней на юге
Норвегии в семье пастора. Он был вторым ребенком, рос хрупким,
болезненным мальчиком. Школьный учитель Абеля Хольмбое в
отчете писал о Нильсе: «Несомненный математический гений... <.. .>
Он сочетает, безусловно, гениальные математические способности
с неистощимым интересом к науке. Если с ним ничего не случится,
он станет большим математиком» [16, с. 116]. В первоначальном
варианте отчета стояло даже «самым выдающимся математиком
мира», но, по-видимому, школьное начальство решило, что такая
оценка слишком высока для семнадцатилетнего юноши.
Еще в школе Абель начал самостоятельные исследования. Со
свойственной юности самонадеянностью он принялся за задачу, не
поддавшуюся усилиям многих выдающихся математиков XVII и
XVIII вв., — за решение уравнения пятой степени
uqX5 + й\ХА + U2X + ОзЖ2 + CI4X + as = 0.
После нескольких недель напряженной работы Абелю
показалось, что задача решена — искомые формулы получены. Работу
юного математика проверяли и Хольмбое, и многие профессора
университета, и крупнейший из скандинавских математиков
профессор Копенгагенского университета Деген. Никто из них не смог
найти ошибки в его вычислениях. Проверка на конкретных
уравнениях показала, что ошибочными были формулы.
Закончив в 1821 г. школу и выдержав экзамен в университет,
Нильс обратился с просьбой предоставить ему бесплатное
общежитие и стипендию. Стипендия была ему необходима: в 1820 г. отец
Абеля скончался, оставив семью без средств к существованию.
Получив стипендию, Абель выписал к себе младшего брата, чтобы
облегчить жизнь другим членам семьи. С этого времени и до самой
смерти Нильс был вынужден ежедневно думать о том, как
заработать немного денег, чтобы не умереть с голоду и расплатиться с
многочисленными долгами [16].
Вскоре у него появились печатные работы. К несчастью, они
остались незамеченными, так как были написаны на норвежском
языке, а этого языка не знал никто из современных ему
выдающихся математиков. Абель стал решать уравнения, в которых искомая
248

функция находится под знаком интеграла. Никто до Абеля
интегральных уравнений не решал: математики тогда интересовались
дифференциальными уравнениями. Лишь в конце XIX в., когда
начала развиваться общая теория интегральных уравнений, стало
ясно, что Абель на многие десятилетия предвосхитил будущие
математические исследования.
Зимой 1822—1823 гг. Абель написал работу, посвященную
интегрированию функций. Он решил выяснить, при каких условиях
интеграл данной функции можно выразить через элементарные
функции. Его работа, по-видимому, содержала очень интересные
математические идеи, но дать ей точную оценку невозможно, ибо
рукопись впоследствии бесследно исчезла и судить о ней можно
лишь по сухим строчкам протоколов ученого совета и наметкам,
разбросанным в других рукописях Абеля.
Профессор Деген посоветовал Абелю заняться теорией
эллиптических интегралов. При вычислении длины дуги эллипса
получается интеграл вида
/dx
У(1 - ж2)(1 - кЩ'
Если к = 0, то интеграл равен arcsin х. При других же значениях
к выразить этот интеграл через элементарные функции не удается.
Пришлось ввести новый класс трансцендентных функций —
эллиптические интегралы. Так назвали интегралы, содержащие
квадратные корни из многочленов четвертой степени. Целый ряд
замечательных свойств таких интегралов открыли Эйлер, Лежандр, Гаусс.
Абелю удалось найти общую формулу, частными случаями
которой были многие ранее известные соотношения для таких
интегралов. Вскоре он пришел к идее, позволившей коренным образом
изменить всю тематику этого направления: вместо эллиптических
интегралов изучать обратные им функции. Новые функции
получили название эллиптических функций. Абель доказал, что эти
функции являются периодическими. Оказалось, что в отличие от
тригонометрических функций эллиптические функции имеют два
различных периода, причем один из них действительный, а другой
комплексный. Это потребовало углубления в только что созданную
в то время теорию функций комплексного переменного.
249

Позже Абель вновь занялся алгебраическими уравнениями.
Анализируя свое решение уравнения пятой степени, он понял, что
ложным было не только это решение, но и сам подход к задаче.
Вот что написал он об этом: «Одной из интереснейших проблем
алгебры является алгебраическое решение уравнений. Почти все
выдающиеся математики исследовали этот вопрос. Без труда были
получены общие выражения для корней уравнений первых
четырех степеней. Для решения этих уравнений был открыт единый
способ, и надеялись, что он применим к уравнениям любой
степени; но, несмотря на все усилия Лагранжа и других выдающихся
математиков, поставленная цель не была достигнута... <... >
Предполагали решать уравнения, не зная, возможно ли это решение. В
случае существования решения могли его получить, ничего о нем
предварительно не зная; но если, к несчастью, решения не
существовало, то его могли бы тщетно искать целую вечность. Для того
чтобы получить наверняка некоторые результаты по этому
вопросу, надо было выбрать иную дорогу, придав проблеме такой вид,
чтобы она была всегда разрешима, а это можно сделать с любой
проблемой. Вместо того чтобы искать некоторое соотношение, не
зная, существует ли оно, надо спросить, возможно ли такое
соотношение. .. <... > Этот метод, который, без сомнения, является
единственно научным, поскольку лишь он позволяет быть заранее
уверенным в достижении поставленной цели, мало применяется в
математике только потому, что его применение связано с
исключительными трудностями...» [16, с. 121].
Абелю удалось преодолеть эти трудности: он доказал, что общее
уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, решение
такого уравнения нельзя выразить через его коэффициенты с помощью
арифметических действий и извлечения корней.
Таким образом, проблема, над которой математики бились
веками, к началу 1824 г. была полностью решена. Чтобы скорее сделать
полученный результат достоянием ученых, Абель на свои средства
отпечатал на французском языке брошюру с доказательством;
однако из-за недостатка средств ему пришлось сократить изложение
до шести страниц и предоставить читателю возможность додумать
детали многих рассуждений. Не удивительно, что лишь немногие
250

математики смогли полностью разобраться в содержании этой
работы. Даже Гаусс, больше всех интересовавшийся теорией
алгебраических уравнений, затерял брошюру Абеля среди своих бумаг.
Впоследствии Абель опубликовал развернутое доказательство своей
теоремы, занявшее несколько десятков страниц [16].
Вскоре выяснилось, что за несколько лет до Абеля аналогичный
результат получил итальянский ученый Паоло Руффини. И хотя
доказательство Руффини было неполным, все же теорему о
неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах теперь называют
теоремой Руффини — Абеля.
Итак, Абель вписал последнюю страницу в длинную главу
классической алгебры. Теория уравнений в традиционной форме была
в основном завершена.
Описанный круг идей Абель разрабатывал на протяжении
1824—1826 гг., когда, окончив университет, отправился за границу
для продолжения образования. Он побывал в Германии, Австрии,
Италии, Швейцарии, Франции, Бельгии.
На очередном заседании Парижской Академии наук 30 октября
1826 г. ее бессменный секретарь Фурье представил собравшимся
норвежского математика Нильса Хенрика Абеля и его «Мемуар об
общих свойствах весьма широкого класса трансцендентных
функций». Заключение о представленной работе было поручено дать Ле-
жандру и Коши. Докладчиком утвердили Коши. Трудно было найти
менее подходящую кандидатуру: Коши был настолько увлечен
собственными исследованиями, что у него не оставалось времени ни на
что другое. Работа Абеля затерялась среди рукописей,
загромождавших кабинет Коши. Напрасно Абель ждал признания французских
ученых: «Мемуар» нашелся только после его смерти.
Совсем скоро Абель понял, что денег, отпущенных ему на
заграничную командировку, недостаточно, и решил вернуться домой.
В Осло он с огорчением осознал, что никому не нужен, — ему даже
не предоставили места с постоянным заработком. По его просьбе в
сентябре 1827 г. коллегия университета приняла решение
выплачивать Абелю 200 талеров в год — ровно столько, сколько он получал в
студенческие годы. В марте 1828 г. ему поручили вести занятия по
механике и астрономии вместо уехавшего в экспедицию
профессора Ханстина, а также избрали в Королевское научное общество
251

Норвегии. Это было единственным официальным признанием за- j
слуг Абеля при жизни. j
В 1828 г. Абель узнал, что его тематикой очень успешно
занимается немецкий ученый Карл Густав Якоб Якоби. Весь этот год
прошел в соперничестве двух молодых математиков. За их
«состязанием» с большим интересом следил Гаусс: в его юношеских
дневниках, написанных, когда ни Абеля, ни Якоби еще не было на свете,
описывались многие их достижения. Но Гаусс не торопился
публиковать свои результаты, о них узнали только после его смерти. Ни
Абеля, ни Якоби в то время уже не было в живых. Они и не
подозревали о работах своего великого предшественника, хотя их теоремы,
а иногда даже и обозначения, совпадали с гауссовскими. Но в одной
области Абель все же превзошел не только Якоби, но и Гаусса. Он
разработал общую теорию интегралов от эллиптических функций,
частным случаем которой являлась теория эллиптических функций,
изложенная в работе, лежавшей непрочитанной среди бумаг Коши.
Соперничество с Якоби было нелегким для Абеля. Он
недосыпал, недоедал, все это сказывалось на его здоровье. В конце декабря
1928 г. Абель сильно простудился, в марте 1829 г. уже почти не
вставал с постели, а 6 апреля 1829 г. умер.
Гений Абеля был признан лишь после его смерти. На
заседании Парижской Академии наук 11 июня 1829 г. Лежандр объявил
о смерти Абеля. Теперь Коши потребовалась всего неделя,
чтобы подготовить свое заключение. На очередном заседании
Академия выслушала сообщение Коши и приняла решение опубликовать
«Мемуар» Абеля в серии работ иностранных ученых, присудив ему
вместе с Якоби Большую премию за выдающиеся математические
открытия [16].
Галуа
Время стерло много имен, некогда известных и
могущественных. Но память о Галуа с годами лишь
росла в истории математики. Там она и останется
жить вечно.
Л. Инфельд
Абель не смог дать общий критерий разрешимости уравнений
с числовыми коэффициентами в радикалах. Эта проблема была
252

разрешена Эваристом Галуа (1811—1832), чрезвычайно яркой,
необычной личностью среди всех математиков, известных в истории
науки.
Печальна и коротка была жизнь гениального французского
математика. Галуа родился в городке Бур-ля-Рен в семье директора
пансиона, позже — мэра городка. Его мать, дочь доктора права
Парижского университета, дала своему сыну хорошее гуманитарное
образование. В 12 лет Эварист поступил в Парижский лицей
Людовика Великого. Там он стал одним из лучших учеников, получал
похвальные листы и призы за стихи на латинском языке и переводы
с греческого. Товарищи не любили Галуа за его резкий характер и
не дружили с ним. Не выносили Галуа и учителя. Они знали: чтобы
заставить Галуа слушать и работать под их диктовку, надо
заинтересовать его, а для этого самим надо много знать, очень много читать
и готовиться.
Он быстро охладел к литературе и истории и вскоре остался на
второй год в классе риторики. При повторном обучении он стал
одновременно учиться в математическом классе, где сразу
обнаружились его математические способности. Не интересуясь школьным
учебником алгебры, Галуа с поразительной легкостью овладевает
математическим анализом. Больше всего его заинтересовала работа
Лагранжа, в которой исследовалась проблема разрешимости в
радикалах алгебраических уравнений [18].
В 16 лет он совершает ту же ошибку, которую за несколько лет
до него сделал Нильс Абель, — думает, что решил уравнение пятой
степени. Он стремится поступить в знаменитую Политехническую
школу в Париже, где преподают ученики Лагранжа, так как лицей
его уже не устраивает. Попытка поступить в Политехническую
школу окончилась провалом: знания работ Лежандра и Лагранжа
оказалось недостаточно, чтобы решить изощренные задачи,
предлагавшиеся экзаменаторами. Галуа возвращается в лицей [15].
В 17 лет Галуа получает первые научные результаты. Его
статья «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных
дробях» была напечатана в «Анналах математики», однако осталась
незамеченной. Свою новую работу о разрешимости алгебраических
уравнений Галуа послал в Парижскую Академию наук. Оценить его
253

работу и представить совету Академии взялся Коши. Обычно в
книгах о Галуа утверждается, что Коши якобы умышленно утаил
работу, сомневаясь в том, что юный лицеист смог одолеть столь
трудноразрешимую проблему, или что Коши, загруженный делами, просто
забыл о рукописях Галуа. Так или не так, но эти рукописи с тех пор
считаются утерянными.
Тень непорядочности или, скажем, высокомерной
пренебрежительности была наброшена на Коши летописцами жизни Галуа.
В 1971 г. в архивах Французской Академии наук было обнаружено
письмо Коши, из которого следует, что он внимательно
ознакомился с работой Галуа, счел ее важной и планировал представить ее
ученому совету Парижской Академии наук в январе 1830 г., но не
представил.
Галуа решил еще раз поступать в Политехническую школу.
Существует много различных предположений о происшедшем на
экзамене. Сохранилась запись Галуа о том, что его экзамен
сопровождался «сумасшедшим хохотом экзаменаторов». Так или иначе, но
в Политехническую школу он не поступил. Через несколько дней
после неудачного экзамена покончил с собой отец Эвариста, 17 лет
бывший мэром городка Бур-ля-Рен.
В январе 1830 г. Эварист представляет на конкурс в Парижскую
Академию наук следующие три работы. Теперь его судьба в руках
секретаря Академии Жана Батиста Жозефа Фурье. Фурье начинает
читать рукописи, но вскоре умирает. Рукописи Галуа и на этот раз
утрачиваются.
В феврале 1830 г. Галуа был зачислен в Приготовительную
школу, где готовили кандидатов на звание преподавателя. Уже через год,
в революционном 1830-м, он был исключен из школы за
выступление в числе прочих «бунтарей» против ее реакционного директора.
Казалось, что вскоре о Галуа забудут, как о многих других
несостоявшихся революционерах. Но позднее выяснилось, что Галуа успел
состояться как математик, да такой, каких Франция не рождала со
времен Декарта.
В январе 1831 г. девятнадцатилетний Галуа, исключенный из
школы за свои взгляды, дает объявление в газете, что будет читать
публичный курс высшей алгебры. В объявлении указывается, что
«... курс состоит из теорий, частично новых, которые никогда еще
254

не изучались в публичных курсах. Мы ограничиваемся тем, что
назовем новую теорию мнимых, теорию уравнений, разрешимых в
радикалах, теорию чисел и эллиптических функций, трактуемых
чисто алгебраически» [15, с. 134]. Было прочитано всего три лекции,
гак как они были слишком сложны для слушателей. Из объявления
следует, что в то время Галуа уже владел идеями,
обессмертившими его имя, — лекции посвящались разрешимости уравнений в
радикалах.
В мае 1831 г. Галуа арестовывают. Суд оправдывает его, но в
июле он снова арестован. В тюрьме он отредактировал свои самые
нажные работы и в третий раз послал их в Академию. Ответ из
Академии пришел в тюрьму. Рукопись была возвращена с запиской от
секретаря Академии Франсуа Араго: «Дорогой месье Галуа! Ваша
рукопись была послана для ознакомления месье Пуассону. Он
возвратил ее нам с отзывом, который мы здесь и приводим: "... мы
приложили все усилия, чтобы понять доказательства месье Галуа. Его
рассуждения недостаточно ясны, недостаточно развернуты и не
дают возможности судить, насколько они точны..."» [15, с. 141].
Академия вновь отвергла его работу, не поняв ее. Впрочем,
отчасти в этом был виноват и сам Галуа. В спешке он не совсем ясно
излагал свои мысли, а некоторые теоремы, которые не были им
доказаны, сформулировал как доказанные. Да и стиль работ Галуа
был непривычен для математиков начала XIX в. Новый стиль был
провозвестником математики XX в. Вместо длинных выкладок для
решения проблем применялись совершенно неожиданные идеи;
кроме того, в его работах было слишком много новых понятий. Не
удивительно, что Пуассону эти работы показались недостаточно
ясными [15].
По состоянию здоровья Галуа переводят в тюремную больницу,
где он познакомился с женщиной, из-за которой был убит на дуэли.
В последнюю ночь своей жизни он привел в порядок
рукописи и написал несколько писем. Предчувствуя трагический для
себя исход дуэли, он писал о сотворенном им новом, оказавшемся
впоследствии очень актуальным разделе математической науки —
теории групп, — полностью раскрывшем тайны существования
решений алгебраических уравнений. Он делает на полях рукописи
255

редакционные пометки и горестные замечания: «...осталось
немного для завершения этих доказательств, но у меня мало
времени. ..» В одном из писем, адресованном его единственному другу
Огюсту Шевалье, он кратко изложил содержание своих
исследований и попросил обратиться к виднейшим математикам для оценки
важности этих результатов. В их истинности он не сомневался.
В 1982 г. к 150-летию со дня гибели Эвариста Галуа научный
сотрудник одного из ленинградских НИИ Александр Сергеевич
Любомудров написал поэму, в которой есть такие строки: j
Как это трудно — одному |
Вдруг оказаться вне событий '.
И знать, что больше никому
Не объяснишь своих открытий. "\
Ученый мир тебе не внял, ^
Любовь и нежность обманули, !
Ну а враги, ты это знал, ,;
Словам предпочитают пули. ц
Как это трудно — в двадцать лет л
Встречать последний свой рассвет!
Утром 30 мая 1832 г. какой-то крестьянин около пруда в
местечке Жантийи наткнулся на тяжело раненного в живот молодого
человека. Раненого перевезли в больницу, где он скончался утром
следующего дня на руках брата [15].
Только через 14 лет после смерти Галуа все сохранившиеся его
работы (60 страниц рукописи) были разобраны и опубликованы Ли-
увиллем, редактором «Журнала чистой и прикладной математики».
Он с трудом разобрался в сжатом тексте своего покойного
ровесника и был поражен: как могли эти чудесные находки оставаться не
замеченными и не повторенными так долго? Признание же пришло
еще позже — в 70-х годах XIX в.
Что же сделал Галуа? После того как Абель показал, что
алгебраические уравнения выше четвертой степени неразрешимы в
общем виде, а решаются только в отдельных частных случаях, сам
собою возник вопрос: как узнать по виду уравнения, разрешимо ли
оно в радикалах? Абель начал заниматься этой проблемой, но не
успел достичь цели.
Галуа хотелось понять самому и объяснить другим, почему
уравнения высших степеней не решаются в радикалах. Он изобрел
256

и этой области математики замечательную конструкцию.
Оказалось, что можно присоединить к полю коэффициентов многочлена
его нули и получить новое поле — расширение прежнего поля. Эту
процедуру можно повторять много раз; в итоге возникает нечто
ироде растущего кристалла, оси и грани которого обладают особой
симметрией. И возможно, от этой симметрии зависит
разрешимость исходного уравнения.
Такова была дерзкая догадка Галуа. Она оказалась верна,
поэтому автора считают гением. Но не только поэтому. Еще важнее то,
что Галуа сумел довести свою гипотезу до строгой теоремы. Для
этого ему пришлось создать первую математическую теорию
произвольных симметрии — так называемую теорию Галуа. Именно
1 алуа ввел в науку такие понятия, как группа и подгруппа,
изоморфизм и гомоморфизм групп.
Если мы хотим, чтобы все элементы большего поля F
получались из элементов меньшего поля F\ с помощью арифметических
действий и извлечения корней, то фактор-группа симметрии поля
F по симметриям поля Fi должна не только существовать, но и
быть циклической. При этом группа всех симметрии поля F
разложится в конечную цепочку нормальных подгрупп с циклическими
фактор-группами. Таким свойством обладают группы перестановок
двух, трех или четырех символов. Поэтому все нули многочленов
этих степеней выражаются через коэффициенты многочленов с
помощью радикальных формул. Напротив, группы перестановок пяти
или большего числа символов не имеют цепочки подгрупп с
циклическими фактор-группами. Оттого соответствующие уравнения не
разрешимы в радикалах.
Такова суть теории Галуа, созданной им в 19 лет. И в наше время
она выглядит сложно для неподготовленного человека. Каково же
было современникам Галуа — даже самым маститым академикам?
Не удивительно, что при жизни Галуа никто не оценил его открытия
по достоинству.
Сейчас имя Галуа — одно из самых популярных в математике.
Группа Галуа, когомологии Галуа, поля Галуа — трудно
перечислить все словосочетания, в которых встречается его фамилия.
Немецкий математик Феликс Клейн в «Лекциях о развитии
математики в XIX столетии» пишет: «Великие достижения Галуа
простираются в следующих двух направлениях.
9 Математика древняя и юная 257

1. Он создал первую решительную по замыслу классификацию
иррациональностей, определяемых алгебраическими
уравнениями, учение, которое еще и сегодня носит краткое название теории
Галуа.
2. Он далеко продвинулся в своих занятиях интегралами от
произвольных алгебраических функций одной переменной — как мы
теперь говорим, абелевыми интегралами — и оставил в этой
области результаты, позволяющие говорить о нем как о
предшественнике Римана.
И возможно, в качестве третьего пункта следовало бы
упомянуть еще об одном кратком намеке, точный смысл которого, однако,
трудно понять из-за чрезмерной сжатости изложения. В своем
прощальном письме к Шевалье Галуа говорит об исследованиях,
касающихся «ambiguite des functions» («двусмысленности функций»);
вполне возможно, что здесь содержится намек на идею римановой
поверхности и на понятие многосвязности.
Выдающиеся достижения Галуа не могут быть оценены по
достоинству без знания теории Галуа» [45, т. 1, с. 105].
Якоби
Менее глубоким и самобытным, но гораздо более
разносторонним математиком, чем норвежец Абель, был его соперник по
научным спорам еврей Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851). Родился
он в Потсдаме 10 декабря 1804 г., т. е. двумя годами раньше Абеля.
Его отец был банкиром. Якоби рос в самых благоприятных
условиях, в состоятельной семье с широким кругом интересов, имея
возможность получить самое лучшее образование того времени.
Блестяще закончив школу, Якоби стал студентом Берлинского
университета. Основное время он тратил на самостоятельное
изучение трудов Эйлера, изредка посещая лекции по математике.
Благодаря своим способностям он получил широкое и основательное
гуманитарное образование, усердно занимаясь филологией и
классическими языками. Высокий уровень научной культуры и
хорошая система преподавания в Берлинском университете подготовили
Якоби к плодотворной педагогической деятельности.
258

Защитив докторскую диссертацию в 1825 г., весной 1826 г. Яко-
би переселяется в Кенигсберг, где в течение 17 лет преподает
математику. Характер Якоби был резким, и начало работы в Кенигсберге
оказалось для него трудным, так как каждому из членов факультета
он сказал что-нибудь неприятное. Но, в конце концов, его
неоспоримые научные заслуги сыграли свою роль.
В сентябре 1827 г. в журнале Шумахера «Математические
анналы» Якоби публикует первую общую теорему о существовании
рациональных преобразований эллиптических интегралов для случая
преобразований любой степени. В ноябре того же года он
представляет доказательство, в котором пользуется идеей обращения
эллиптических интегралов и двойной периодичностью.
Следующий, 1828 год является периодом напряженнейшего
соперничества между Якоби и Абелем на почве построения теории
эллиптических функций. В этом споре принципиальное различие в
характерах обоих участников проявилось с особенной резкостью.
Абель гениально справляется с самыми общими задачами в этой
области. Математическая идея становится у него активно
действующим элементом, причем в абстрактной форме, без обращения к
геометрической интуиции. Якоби, напротив, хотя в отдельные
моменты и руководствуется провидческой силой своего таланта,
немедленно придает завоеванному четкую структуру с помощью
блистательного вычислительного мастерства.
Со смертью Абеля это необычное состязание, едва ли имевшее
аналоги в истории математики, обрывается. Переживший Абеля,
Якоби продолжал работу один. В признание заслуг Абеля он ввел в
употребление выражения «абелевы трансцендентные функции» и
«теорема Абеля».
Якоби обладал не только тягой к чисто научному познанию, но и
потребностью изложить познанное. Благодаря необычайной
разносторонности мышления Якоби не оставил незатронутой
практически ни одной области математики. Занимался он также прикладной
математикой, к этим занятиям его подталкивало общение по
вопросам астрономии с Бесселем. До численных приложений доведены
его работы по механике, дифференциальным уравнениям в частных
производных и вариационному исчислению.
9* 259

От эллиптических функций Якоби переходит к абелевым
функциям. Существенным пробелом теории у Абеля и Якоби следует
считать полное отсутствие не только доказательства
однозначности функций, полученных обращением интегралов, но даже и
потребности в доказательствах такого рода. Якоби полностью
игнорировал доказательства существования, необходимость которых
ощущал Коши, почти всегда он рассматривал лишь «общий случай».
Однажды он сказал: «Для гауссовской строгости у нас нет времени,
господа» [45, с. 129].
Влияние, которое Якоби оказывал на своих учеников, было
огромным. Он подчинял их своему образу мышления. Кенигсберг-
ская школа, основанная Якоби и Францем Нейманом,
представлявшим математическую физику, сыграла большую роль в развитии
математики в Германии.
Напряженная разносторонняя деятельность в Кенигсберге
привела Якоби в 1843 г. к истощению сил. Полтора года он отдыхал
в Италии, затем переехал в Берлин, где ему была предложена
чисто академическая должность без педагогических обязанностей. Но
прежняя работоспособность к нему не возвращалась. Скончался он
18 февраля 1851 г. от оспы.
Состояние расцвета школы Якоби длилось еще по меньшей
мере около 30 лет. Все германские университеты испытали на себе ее
влияние. Учениками Якоби считали себя и известные французские
математики Эрмит и Лиувилль.
Расширение границ алгебры
В работах Гаусса, Коши, Абеля, Галуа накапливались
результаты, касающиеся новых разнообразных понятий и разделов
математики, включая теорию подстановок, композицию классов
квадратичных форм и т. п. Так готовилась почва для расширения границ
алгебры. Эти понятия и разделы появлялись вне рамок алгебры,
которая традиционно продолжала оставаться наукой об
алгебраических уравнениях, «универсальной арифметикой», с теми же
законами, что и в обычной числовой области.
В начале XIX в. в Кембридже группа ученых разработала
абстрактный математический аппарат, который дал начало симво-
260

лической алгебре. Вначале они пытались формально
классифицировать функции в математическом анализе по тем соотношениям,
которым функции удовлетворяют. Затем перешли к алгебре.
Чтобы обосновать операции над буквенными выражениями, Пикок
ввел в 1833 г. различие между арифметической и символической
алгебрами. Арифметическая алгебра — это буквенная
арифметика, известная со времен Виета. Символическая алгебра — это
«чистая» наука о символах. Они могут представлять собой
совершенно произвольные объекты, над которыми априори считаются
возможными любые операции. Единственным ограничением было
то, что законы комбинаций этих символов должны были совпадать
с законами арифметической алгебры, когда символы представляли
собой арифметические величины. Одной из целей символической
алгебры становилось нахождение подходящей модели, в рамках
которой символы имели смысл и начальные правила были
справедливы.
Подход представителей Кембриджской школы открыл путь к
более абстрактному мышлению в алгебре.
Теоретико-множественные понятия и простые алгебраические структуры (группа, кольцо,
ноле, векторное пространство) входят теперь в математический
багаж студентов на самых первых этапах их высшего математического
образования. Некоторые из этих структур являются
основополагающими для всей математики, но как медленно шло их выделение на
протяжении XIX в. Постепенно целью алгебры стало абстрактное
изучение алгебраических структур независимо от их различных
реализаций, и эта тенденция была неотделима от общего процесса
аксиоматизации математики в целом.
Алгеброй стали называть часть математики, посвященную
изучению алгебраических операций. Напомним, что в XVII — первой
половине XVIII в. под алгеброй понималась наука о буквенных
вычислениях — тождественных преобразованиях буквенных
формул, решениях алгебраических уравнений. Во второй половине
XVIII — первой половине XIX в. алгебра занималась изучением
многочленов.
В XIX в. в связи с потребностями механики и физики возникла
векторная алгебра, хотя понятие вектора математики широко
использовали начиная с XVI в. Около 1800 г. Вессель, Арган и Гаусс
261

предположили, что комплексным числам можно сопоставить
векторы на плоскости и использовать комплексные числа для
выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления
векторов. К 30-м годам XIX в. идея использования комплексных чисел
для представления векторов на плоскости и выполнения
операций над ними получила достаточно широкое распространение. Для
представления пространственных векторов и выполнения операций
над ними было бы естественно ввести «трехмерные числа», если
считать обычные действительные числа «одномерными», а
комплексные числа — «двумерными».
Как и в случае комплексных чисел, допустимые операции над
трехмерными числами должны были бы включать сложение,
вычитание, умножение и деление. Для того чтобы над этими числами
беспрепятственно и эффективно производить алгебраические
операции, они должны обладать обычными свойствами
действительных и комплексных чисел. Многие математики принялись за поиски
«трехмерных комплексных чисел». Впечатляющие результаты
были получены Гамильтоном.
Гамильтон
Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) родился в Дублине
(Ирландия). Он был необычайной, многогранно одаренной личностью,
что замечательным образом проявилось уже в ранние его годы.
В десятилетнем возрасте он наизусть знал Гомера. Биографы
говорят, что Гамильтон к 12 годам изучил столько иностранных языков,
сколько ему было лет. Среди них были арабский, персидский,
малайский и др. Латинским языком мальчик владел в совершенстве.
Поводом для его изучения послужили «Начала» Евклида, которые
Гамильтон достал на латинском языке и прочитал, когда ему было
всего 10 лет. Гамильтону еще не было 12 лет, когда он составил
грамматику древнего сирийского языка, а к 14 годам юноша так
свободно владел персидским языком, что был переводчиком на
приеме персидского посла в Дублине. Кроме того, он был весьма
плодовитым поэтом.
Когда Гамильтону было 17 лет, он послал президенту
Ирландской Королевской Академии наук статью о геометрической опти-
262

ке, ознакомившись с которой президент отметил, что автор является
лучшим математиком среди коллег его возраста.
В 1823 г. Гамильтон поступил в колледж Святой Троицы. В
апреле 1827 г. он представил в Ирландскую Королевскую Академию
наук свою «Теорию систем лучей». В статье геометрическая оптика
рассматривалась как раздел математической физики на основе
общего принципа наименьшего действия. Вскоре после
представления этой статьи Гамильтона, который был еще студентом, избрали
на должность профессора астрономии Дублинского университета.
В 1827 г. он также получил почетную и видную должность
директора обсерватории в Денсинке близ Дублина со званием королевского
астронома Ирландии. Пост этот он сохранял до конца жизни.
В 1832 г. Гамильтон написал работу, в которой предсказал
коническое преломление в биаксиальных кристаллах,
экспериментально обнаруженное спустя два месяца. Проблемами геометрической
оптики и аналитической механики Гамильтон занимался примерно
до 1835 г.
В 1837 г. он стал президентом Ирландской Королевской
Академии наук.
В 1843 г. Гамильтон изобрел кватернионы (об этом подробнее
рассказано в гл. 22). Он ввел в рассмотрение символические
операторы, в том числе оператор «набла»:
V-— — к—
дх ду dz
Скалярное произведение «наблы» на вектор дает дивергенцию
вектора, а векторное произведение — ротор вектора.
В зрелом возрасте Гамильтон злоупотреблял алкоголем, в
последние годы жизни вел себя странно. Видимо, его слишком рано
развившийся ум быстро перенапрягся и исчерпал себя. По словам
Клейна, «творчество Гамильтона обладает характерной чертой —
всюду в его работах рассыпаны новые, остроумные наметки,
которые затем теряются среди подробностей, так и не приведя ни к
какому полному, завершенному результату» [45, т. 1, с. 206].
Гамильтон является автором более 140 печатных работ,
относящихся преимущественно к оптике, динамике и исчислению
кватернионов. Введение кватернионов явилось потрясением для
263

математиков. Это был пример алгебры, очень полезной, но не
обладающей свойством коммутативности, являющимся
фундаментальным свойством всех ранее известных чисел. Вскоре, после того как
Гамильтон создал кватернионы, математики, работавшие в других
областях, ввели еще более необычные алгебры. Одним из таких
математиков был Артур Кэли.
Кэли
Английский математик Артур Кэли (1821—1895) родился в
Ричмонде в семье купца, но вырос в Петербурге. В 1838—1841 гг. он
учился в Кембриджском университете, где уже студентом показал
себя вполне сложившимся математиком. В 1841 г. были
опубликованы его первые математические работы. В 1849 г. Кэли стал
работать адвокатом в Лондоне. Юриспруденцией он занимался 20 лет,
параллельно ведя активные математические исследования.
Именно в это время им получены наиболее важные результаты. В 1863 г.
Кэли стал профессором математики в Кембриджском университете.
Многочисленные и широкие по тематике труды Кэли были
изданы в 13 больших томах. Там имелись работы и по механике, и
по астрономии, хотя в основном Кэли можно считать создателем
современной алгебраической геометрии. Больших успехов Кэли
добился в вопросах уяснения взаимосвязей между проективной и
метрической геометриями. Основная его работа в этой области —
«Шестой мемуар о формах» (1859), а всего им написаны на эту тему
девять знаменитых работ.
В 1844 г. Кэли опубликовал «Главы из n-мерной аналитической
геометрии», а в 1858 г. в работе «Мемуар о теории матриц» развил
матричное исчисление, рассматривающее п2-членные
комплексные числа, охватывающее в частном случае кватернионы.
Понятия определителя и матрицы исторически тесно связаны
между собой, поскольку оба они возникли в XVIII в. при
исследовании систем линейных уравнений. Изучение таких систем было
начато Лейбницем около 1678 г. Он использовал индексы в случае
системы трех уравнений с двумя неизвестными. Лейбниц исключал
обе неизвестные и получал определитель, обращение которого в
нуль было условием разрешимости системы. В 1748 г. Маклорен
264

дал явные формулы для решения систем трех уравнений с тремя
неизвестными. Общее решение линейных уравнений со многими
неизвестными в виде частного двух определителей получил
швейцарский математик Габриэль Крамер в 1750 г. Гаусс в
«Арифметических исследованиях» получил правило умножения двух матриц.
Свойства определителей описал Коши в 1815 г. Хотя теория
определителей была создана к 1820 г., прогресса в выяснении понятия
матрицы не наблюдалось.
Разделение понятий матрицы и определителя произошло
благодаря работам Кэли и Сильвестра. Эти английские математики
занимались алгеброй и алгебраической геометрией, а также вместе
с Эрмитом теорией инвариантов. Сам термин «матрица» был
введен Сильвестром в 1850 г. Основной работой, в которой матрицы
представлены абстрактно как особые объекты, хотя они уже
широко применялись, был написанный Кэли «Мемуар о теории матриц»
(1858).
Кэли построил новую систему элементов, не являющихся в
общепринятом числами (квадратные матрицы образуют алгебру, но
не поле) и обладающих совсем другими свойствами. Но эта система
содержала числа, и в нее можно было перенести задачи из числовой
области.
По мере того как росло знакомство математиков с
определителями и матрицами, они стали постепенно переходить к анализу
понятия «пространство те измерений». Первыми это сделали Кэли в
Англии и Грассман в Германии в 1843—1845 гг.
Сильвестр и Сальмон
В 1880-х годах Кэли совместно с английским математиком
Джеймсом Джозефом Сильвестром (1814—1897) и ирландским
теологом Джорджем Сальмоном (1819—1904) активно
занимался теорией инвариантов. Сильвестр был старше Кэли на семь лет.
Родился он в Лондоне, но с детства до 70-летнего возраста жил в
Америке. В 1841—1845 гг. он был профессором университета в
Вирджинии, в 1845—1855 гг. занимался страховым делом, работал
адвокатом и затем до 1871 г. был профессором Военной академии
в Вулвиче.
265

Чистой математикой он начал заниматься с 1876 г., когда стал
профессором университета Джона Гопкинса в Балтиморе. В 1884 г.
он переехал в Лондон, где работал с Кэли над теорией инвариантов,
и вскоре стал лидером этой теории. Все термины, используемые в
теории инвариантов, придуманы Сильвестром.
К Кэли и Сильвестру примкнул Сальмон, профессор богословия
в колледже Святой Троицы в Дублине. Сальмоном написаны
знаменитые учебники по математике: «Конические сечения» (1848),
«Плоские кривые высших порядков» (1852), «Современная
высшая алгебра» (1859), «Аналитическая геометрия трех измерений»
(1862). Несколько поколений студентов во многих странах изучали
по этим книгам аналитическую геометрию и теорию инвариантов.
Грассман
Немецкий ученый Герман Грассман (1809—1877) родился в
Штеттине. Он происходил из старинной протестантской
пасторской семьи, традиционными для которой были и научные и
художественные интересы. Свой научный путь он начал с богословия
и филологии, которыми занимался с 1827 по 1830 г. в Берлине, а
математику начал изучать самостоятельно с 1832 г. Сначала он
работал учителем в Берлине и в Штеттине, но только в 1839—1840 гг.
сдал дополнительный экзамен на звание преподавателя
математики, написав работу о приливах и отливах. В 1842 г. он стал
преподавателем Штеттинской гимназии и оставался в этой должности до
самой смерти [45].
При жизни Грассман не получил признания как математик. Тем
не менее поражает разносторонность его научных пристрастий. Он
был не только оригинальным математиком с ярко выраженными
философскими интересами, но и физиком теоретического и
практического склада. У него есть великолепные работы в области теории
электрического тока, акустики, лингвистики, ботаники,
фольклора, учения о цвете. Он обладал тончайшим музыкальным слухом,
проявлял к музыке большой интерес и обладал исключительной
музыкальной одаренностью. Многое сделано им в области
сравнительного языкознания. Им изданы словарь санскритского языка для
изучающих Ригведу, который используется до сих пор, сборник
266

немецких народных песен, исследование о названиях растений в
немецком языке.
В 1844 г. Грассман опубликовал «Учение о протяженности»,
которое затем было переиздано в 1861 г. Работа написана тяжелым
языком, содержит много новых терминов. В ней Грассманом
описана геометрия пространства п измерений, сначала аффинная,
затем метрическая. Им введены символы и понятия, в дальнейшем
использовавшиеся другими математиками для создания векторного
анализа аффинного и метрического пространств, для
геометрического построения любых кривых n-го порядка и в тензорном
исчислении.
Попытки Гамильтона, Кэли и других ученых сделать
кватернионы основным понятием математики и внедрить их во все ее разделы
встретили сильное противодействие. По итогам работ
Гамильтона и Грассмана и соперничества между сторонниками
кватернионов и векторов физики-теоретики (Максвелл, Гиббс, Хевисайд)
разработали к 1880 г. главные инструменты векторного исчисления
в трехмерном пространстве: скалярное, векторное и смешанное
произведения.

Глава 16
МАТЕМАТИКА В ГЕРМАНИИ
ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX В.
Насколько трагической является многовековая
политическая история Германии, настолько
счастливой является история ее высшего образования.
Г. Вейль
Система обучения в университетах Германии
К середине XIX в. влияние Политехнической школы в Париже
на развитие математики пошло на убыль. Центр математической
мысли переместился в Германию. Если в начале XIX в.
французской когорте математиков противостоял в Германии один Гаусс, то
к середине века более прогрессивная система организации высшего
образования в Германии проявилась в полной мере.
Характеристику германских университетов можно найти в книге Германа Вейля
«Математическое мышление» [12].
Германские университеты в Средние века были такими же, как
и во всей Европе. В начале XVIII в. в Германии произошли
изменения, положившие начало соединению преподавания с научными
исследованиями. Философский факультет, который в Средние века
играл роль подчиненного, получил статус ведущего, стал центром
главных научных исследований и источником знаний, на которых
268

базировались все профессии, представленные в университете. Эта
традиция началась с философского факультета Прусского
университета в Галле. Вскоре король Англии Георг II, который был
одновременно правителем Ганновера, организовал университет Георга
Августа в Геттингене. Эти университеты заняли ведущее место в
интеллектуальной жизни нации. В 1810 г. в Германии,
оккупированной наполеоновской армией, был основан Берлинский университет.
Проект его разработал Вильгельм фон Гумбольдт. Университет стал
образцом для всех подобных учебных заведений страны.
В Германии всегда царил милитаристский дух и престижными
считались две социальные группы — военные и студенты. В
германских университетах нашла свое продолжение наполеоновская
традиция уважения к математике с точки зрения военных
интересов. Считалось, что студенты на каникулах должны продолжать
занятия дома, а не зарабатывать себе на жизнь, так как физический
труд не соответствовал их социальному статусу.
Университеты были самоуправляющейся корпорацией с
собственной юрисдикцией. Ректор избирался на один год из
профессоров университета. Поступив в университет, студент сам решал,
что он собирается изучать. На старших курсах он учился без
всяких зачетов и экзаменов. В соответствии с наклонностями студент
выбирал преподавателей, лекции которых он собирался слушать,
практические занятия и семинары, в работе которых хотел
участвовать. Не было никакого контроля посещаемости занятий. Обычно
студент два или три раза переходил из университета в университет
в зависимости от того, насколько популярен был преподаватель или
ученый, у которого он намеревался обучаться. Студенты не
платили за обучение в целом, но вносили умеренные взносы за каждый
прослушанный ими курс лекций.
Доход профессора состоял из двух частей: из твердого оклада,
выплачиваемого государством, и процентов от взносов, вносимых
теми студентами, которые посещали его лекции. Назначение
профессора на должность было пожизненным, и оклад сохранялся при
его уходе в отставку. Приват-доценты не имели оклада и жили
только на проценты от взносов студентов, посещавших их лекции.
Право на чтение лекций давала сдача факультетского экзамена.
269

ч
Существовали три формы учебной работы: лекции, читаемые
перед большой аудиторией, практические занятия в классе или
лаборатории (с участием ассистентов) и семинарские занятия,
преследовавшие цель приобщить студентов к научно-исследовательской
работе. Лекции по основным предметам собирали до 500
студентов. Читались они на самом высоком научном уровне, который мог
обеспечить лектор. Преподаватель учил тому, чему пожелает, и так,
как пожелает. Он был полностью свободен в выборе темы, способа
изложения, формы семинарских занятий. Учебники считались
помехой учебе и прогрессу.
В конце университетского обучения студент, если он был
намерен продолжать научную карьеру или поступить на
государственную службу, должен был сдать государственный экзамен.
Например, комиссия, принимающая экзамены на звание школьного
учителя, назначалась государством из числа профессоров университета
и школьных работников. Одним из условий допуска к экзамену
было обучение в университете в течение определенного времени (трех
или четырех лет).Такая система подготовки ученых способствовала
чрезвычайно высокому уровню научных исследований, в
результате во второй половине XIX в. Германия заняла лидирующие
позиции в математике.
Развитию математики способствовало и основание в 1826 г.
«Журнала чистой и прикладной математики», который по имени
основателя часто называют журналом Крелля. Так как он быстро
превратился в орган ярко выраженной абстрактной математики,
его в шутку называли «Журнал чистой, неприкладной
математики». Первый том журнала содержал пять работ Абеля, работу Яко-
би и несколько работ Штейнера. В третьем томе появились имена
Дирихле, Мебиуса и Плюккера.
Дирихле
Петер Густав Лежен Дирихле (1805—1859) происходил из
французской эмигрантской семьи. Его отец работал
почтмейстером в Дюрене. В 1822—1827 гг. Дирихле был домашним учителем
в Париже, входил в кружок молодых ученых, группировавшихся
вокруг Фурье. По рекомендации Гумбольдта в 1827 г. Дирихле был
270

приглашен в Бреславль. В 1829 г. он переехал в Берлин, где 26 лет
работал в Берлинском университете, сначала в должности доцента,
а с 1839 г. в должности профессора. Преподавание в
университете он совмещал с преподаванием в военной и строительной
академиях.
В 1855 г. после смерти Гаусса Дирихле занял его место в Геттин-
генском университете. Он остался в памяти коллег не только своими
научными открытиями, но и особой манерой чтения лекций,
которой подражали во всех университетах Германии.
Научные интересы Дирихле были весьма разносторонними.
В теории чисел он установил формулы для числа классов бинарных
квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему
о бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии из
целых чисел, первый член которой и разность взаимно просты.
К решению этих задач Дирихле применил аналитические функции,
названные рядами Дирихле. Им создана общая теория
алгебраических единиц в алгебраическом числовом поле.
В математическом анализе Дирихле впервые точно
сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал
строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно
непрерывной и кусочно монотонной функции, что послужило
обоснованием для многих дальнейших исследований.
Его лекции по теории чисел, теории рядов и определенного
интеграла, краевым задачам математической физики, теории
потенциала оказали огромное влияние на выдающихся математиков более
позднего времени: Римана, Кронекера, Дедекинда и других.
Вейерштрасс
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815—1897) родился в
Остенфельде (Бавария) в семье секретаря мэра города, позже —
налогового инспектора. Из-за частых переездов отца Карлу пришлось
поменять много школ. После окончания католической гимназии в
Падерборне он поступил в Боннский университет, где изучал
юриспруденцию, финансы и экономику. Математику он осваивал
самостоятельно. В 1838 г. после окончания восьмого семестра у Карла
случился моральный и физический срыв — он бросил университет,
271

не сдавая экзамены, и провел полгода в отчем доме. Отец добился,
чтобы Карлу позволили обучаться в Академии теологии и
философии Мюнстера, окончив которую он получил право преподавать в
средней школе. Кроме математики он обязан был преподавать
также физику, ботанику, географию, историю, немецкий язык и
чистописание.
В 1842—1848 гг. Вейерштрасс служит преподавателем в
католической прогимназии в Дойч-Кроне (Западная Пруссия), в 1848—
1855 гг. преподает в Брауншвейге в учебном заведении, готовящем
католических священников [45].
Первые его статьи по математике о функциях Абеля,
написанных в 1841 и 1842 гг., остались незамеченными. Статья 1854 г. «Для
теории абелевых функций» вызвала большой интерес, и
университет Кенигсберга присудил Вейерштрассу степень почетного
доктора. Он получил отпуск для оформления результатов, изложенных
до того лишь в кратком, предварительном виде. Полная версия
теории инверсии гиперэллиптических интегралов была представлена
в 1856 г. После этого ему предлагали кафедру в любом
австрийском университете по выбору. Он переехал в Берлин, где занимал
должность экстраординарного профессора. В то время там
работали Кронекер, Куммер, Борхардт. Это свидетельствует о высоком
уровне берлинской математической школы того времени.
Знаменитые лекции Вейерштрасса по математике
привлекали студентов из многих стран. Темы лекций охватывали различные
разделы математики. Им были прочитаны следующие курсы:
«Применение ряда Фурье и интеграла Фурье в математической физике»,
«Введение в теорию аналитических функций», «Теория
эллиптических функций и их применение к проблемам геометрии и
механики», «Введение в анализ», «Интегральное исчисление». Своей
славой Вейерштрасс обязан исключительной тщательности
рассуждений, «вейерштрассовой строгости», ярко проявившейся не
только в его теории функций, но и в его вариационном исчислении.
Он разъяснил понятия минимума, функции, производной и таким
образом устранил неясности в формулировках основных понятий
анализа. Он был воплощением математической скрупулезности как
в методологии, так и в логике рассуждений. Примером тому
может служить открытие равномерной сходимости функциональных
272

рядов. Вейерштрасс первым осуществил сведение принципов
математического анализа к простейшим арифметическим понятиям,
т. е. то, что мы называем арифметизацией математики.
Зимой 1859—1860 гг. у Вейерштрасса стали появляться
признаки переутомления, за которыми в 1861 г. последовало полное
нервное расстройство. Только через год он смог возобновить чтение
лекций, но сидя, при этом один из студентов записывал его слова на
доске. В 1864 г. 49-летнему ученому дали должность ординарного
профессора.
В Берлинском университете Вейерштрасс и его коллеги Куммер
и Кронекер были ведущими профессорами математики. Кронекер
дружил с Вейерштрассом, но теория множеств Кантора, принятая
Кронекером в штыки, стала для них яблоком раздора. Кронекер,
опираясь на философские соображения, признавал
действительное существование лишь целых, самое большое — рациональных
чисел. Он хотел полностью изгнать из математики
иррациональные числа и создал новое направление, сторонники которого
считали вейерштрассово обоснование теории функций
неудовлетворительным.
Вейерштрасс мало печатался, но конспекты его лекций
широко распространялись, и постепенно он приобрел в научном мире
беспримерный авторитет. Многие его ученики позже стали
известными учеными: Больд, Кантор, Киллинг, Клейн, Ли, Минковский,
Шварц, Штольц. Среди его учеников была и Софья Ковалевская.
Именно с помощью Вейерштрасса Ковалевская получила степень
почетного доктора и должность в Стокгольме в 1883 г. Они
переписывались в течение 20 лет, с 1871 по 1890 г. Переписка составила
более 160 писем, но Вейерштрасс сжег письма Ковалевской после
ее смерти.
Вейерштрасс считается отцом современного анализа: он
придумал тесты на сходимость ряда и внес вклад в теорию
периодических функций, функций действительного переменного,
эллиптических функций, функций Абеля; им исследованы сходимость
бесконечных произведений и вычисление вариаций, развита теория
билинейных и квадратичных форм.
В течение последних трех лет жизни Вейерштрасс был
прикован к инвалидному креслу. Причиной смерти, последовавшей 19
февраля 1897 г., стала пневмония.
273

Риман
Георг Фридрих Бернхард Риман (1826—1866) родился в деревне
Брезеленц в Ганноверском королевстве в семье лютеранского
священника. Когда ему исполнилось 10 лет, с ним стал заниматься
учитель, которого он вскоре превзошел. Еще учась в гимназии, он за
шесть дней усвоил книгу Лежандра по теории чисел, содержавшую
около 900 страниц.
В 1846 г. Риман поступил на богословский факультет Геттин-
генского университета, затем перешел на философский факультет,
где слушал лекции Гаусса по методу наименьших квадратов. Через
год он продолжил обучение в Берлинском университете, однако в
1849 г. вернулся в Геттингенский университет, профессор которого
Генрих Вебер осознал гениальность Римана и приблизил робкого
студента к себе. В 1850 г. Риман стал членом только что
основанного тогда геттингенского физико-математического семинара, быстро
поднялся в нем до положения одного из руководителей и стал
ассистентом Вебера по физическому практикуму.
В декабре 1851 г. Риман получил степень доктора за
диссертацию «Основы общей теории функций комплексного переменного».
Как Даламбер и Коши, он исходил из гидродинамических
интерпретаций теории. Следствием использования конформных
отображений стало появление нового понятия — римановой поверхности,
что позволило ввести в анализ топологические представления. В то
время топология была еще недостаточно полно исследованным
разделом математики.
Прошло около трех лет, прежде чем Риман получил право
преподавать, став приват-доцентом. На начальном этапе работы
доцентом Риман, будучи робким по природе, часто подвергался
насмешкам со стороны коллег. Он был болезненным человеком, часто у
него бывало мрачное настроение, доходившее до приступов
меланхолии. Отгородившись от окружающего мира, Риман тихо жил
своей необычайно богатой внутренней жизнью. У него были очевидны
типичные задатки гения: внешне он был тих и чудаковат,
внутренне — полон сил и размаха.
В 1855 г. умер Гаусс и на его кафедру был приглашен Дирихле,
который знал о математических способностях Римана еще по Бер-
274

лину. При поддержке Дирихле Риман стал читать лекции по
результатам собственных исследований: о функциях комплексного
переменного, и в частности об эллиптических и абелевых
функциях, о гипергеометрических рядах и трансцендентных функциях. В
лекциях он приводил пример непрерывной функции, не имеющей
производной. Математики не хотели серьезно относиться к таким
функциям и называли их «патологическими», но современный
анализ показал, насколько такие функции естественны [45].
Риман рассматривал гипотезы, на которых основана геометрия.
Пространство он вводил как топологическое многообразие
произвольного числа измерений. Этот объединяющий принцип позволил
Риману не только классифицировать все существовавшие виды
геометрии, включая еще весьма неясную тогда неевклидову
геометрию, но и создать любое число новых видов пространства, многие
из которых впоследствии с пользой были введены в геометрию и
математическую физику.
В 1857 г. Риман получил место экстраординарного профессора
и издал работу «Теория абелевых функций». Вейерштрасс,
написавший исследование на ту же тему, узнав о труде Римана, отозвал
свою работу и не стал ее публиковать. Правда, вскоре Вейерштрасс
нашел пробел в работе Римана, за который Риман подвергся
издевательской критике со стороны профессора философии Дюринга. По
указанию Вейерштрасса этот пробел устранил Шварц.
На 1857—1859 гг. приходится расцвет творчества Римана.
После смерти Дирихле в 1859 г. Риман был избран ординарным
профессором и занял кафедру, возглавляемую до него Гауссом и
Дирихле.
Последней работой Римана по математике было исследование
«О числе простых чисел, не превышающих данной величины»
(1859). Эта работа стала фундаментом для исследований других
математиков на многие десятилетия. Интересы Римана
переместились в область математической физики. У него имеются работы,
посвященные исследованию формы Земли. Написанная в 1861 г.
работа «Об одном вопросе из области теплопроводности» содержит
математический аппарат квадратичных дифференциальных форм,
позже использованный Эйнштейном в теории относительности.
275

Всего лишь три года смог Риман наслаждаться своей славой.
Осенью 1862 г. он простудился, простуда вызвала обострение
туберкулеза. С тех пор Риман жил в Италии, изредка возвращался в
Геттинген, но не возобновлял работу в университете. Вебер и Валь-
тергаузен трижды добивались правительственных субсидий на
лечение Римана. Когда болезнь позволяла, он продолжал трудиться.
Последняя его работа — «Механизм уха» — была напечатана
посмертно. Умер он 20 июля 1866 г. Ему не исполнилось и 40 лет.
За свою короткую жизнь в науке (всего 15 лет) Риман
выполнил основополагающие исследования по теории аналитических
функций, геометрии, топологии, теории чисел, аналитической
теории дифференциальных уравнений, тригонометрическим рядам,
теории интеграла. Благодаря этим исследованиям в XX в. в
математике стали рассматриваться метрические и топологические
пространства, был создан функциональный анализ — раздел, в
котором обобщаются основные операции математического анализа:
предельные переходы, дифференцирование, интегрирование. Имя
Римана навеки осталось в математике, в ней используются понятия:
риманова геометрия, риманова поверхность, римановы
пространства, риманова кривизна, дзета-функция Римана, условия Коши —
Римана, интеграл Римана, теорема Римана — Роха, лемма Римана
— Лебега и др. Выдающийся математик Феликс Клейн, который
студентом слушал лекции Римана, писал: «Никто другой не
оказал более решительного влияния на современную математику, чем
Риман» [70, с. 175].
Клебш
Альфред Клебш (1833—1872) родился в Кенигсберге, где и
сформировался как математик. В 1854 г. он получил докторскую
степень за диссертацию об эллипсоиде в жидкости. Его
учителями были Нейман и Гессе. Затем он работал приват-доцентом
в Берлинском университете, с 1858 г. — профессором
теоретической механики в Политехнической школе в Карлсруэ, с 1863 г. —
профессором математики в университете в Гиссене, с 1868 г. —
в Геттингене. Умер Клебш в возрасте 39 лет от дифтерита, находясь
в должности ректора Геттингенского университета.
276

Научная деятельность Клебша отмечена замечательными
достижениями. В 1862 г. он вслед за французскими учеными
Габриелем Ламе и Адемаром Сен-Венаном опубликовал книгу по теории
упругости. После этого интерес к чистой математике взял верх и
Клебш применил свою теорию инвариантов к проективной
геометрии. Он был одним из первых, кто понял Римана, и основал ту
ветвь алгебраической геометрии, в которой риманова теория
функций и многосвязных поверхностей применяется к действительным
алгебраическим кривым. Теория абелевых функций Клебша и
Гордона дает широкое изложение этих идей.
Клебш был замечательным учителем, умевшим привлекать к
себе молодые таланты и делать из них самостоятельных
исследователей. По мнению Клейна, который считал себя последователем
Клебша, важнейшей чертой, обусловившей влияние Клебша на
учеников, была моральная сила, с которой он влиял на них, внушая им
веру в себя. В этом отношении он действовал совершенно иначе,
чем Вейерштрасс, чье интеллектуальное превосходство скорее
подавляло слушателей, чем нацеливало их на самостоятельное
творчество.
Особое значение для молодого поколения имел основанный
Клебшем в 1868 г. журнал «Математические анналы», который был
ведущим математическим изданием в течение более 60 лет. Лекции
Клебша по геометрии остаются образцовым курсом проективной
геометрии.

1
1
Г л а в а 17 t]
МАТЕМАТИКА В РОССИИ ДО 1917 г. J
Но в искушеньях долгой кары,
Перетерпев судеб удары,
Окрепла Русь. Так тяжкий млат,
Дробя стекло, кует булат.
А. С. Пушкин
Петербургская Академия наук
В XVIII в. в России имелось два учебно-научных центра:
Петербургская Академия наук (основана в 1725 г.) и Московский
университет (основан в 1755 г.). Становление российской науки и ее
выдающиеся мировые достижения были всегда связаны с
деятельностью Петербургской Академии наук.
Путешествуя по Западной Европе, Петр I пришел к мысли о
создании в новой северной столице Академии наук. В составлении
ее проекта активное участие принимал Лейбниц. Академия
разделялась на три класса: математический, физический и историко-
филологический (с включением юриспруденции), причем в первых
двух классах работали по четыре академика, а в третьем — три.
В математическом классе по штатному расписанию числились один
математик, один астроном (географ) и двое ученых-механиков.
278

Петру не довелось увидеть свое детище, он скончался 28
января (8 февраля) 1725 г. Через полгода в Петербург начали прибывать
члены будущей Академии наук, и в августе состоялась их аудиенция
у преемницы Петра — Екатерины I. Первое торжественное
публичное собрание Академии наук состоялось 27 декабря 1725 г. (7
января 1726 г.). В течение 20 лет Академия наук не имела ни устава, ни
официального названия. Вначале она называлась Российской
Академией наук, затем в течение короткого времени — Петербургской
Академией наук, в дальнейшем, вплоть до 1917 г., —
Императорской Академией наук, в 1917—1925 гг. — вновь Российской
Академией наук, с 1925 г. она стала называться Академией наук СССР и
с 1991 г. по настоящее время — опять Российской академией наук.
В 1934 г. Академия наук СССР была переведена из Ленинграда в
Москву. Старую Академию наук обычно называют Петербургской
Академией наук [53]. В публикациях в XVIII в. она именовалась
Императорской Петербургской Академией наук.
Первоначально в состав Петербургской Академии наук были
привлечены преимущественно выходцы из стран немецкой
культуры. К началу 1726 г. в Академии работали 12 академиков
(профессоров) и четыре адъюнкта при среднем их возрасте 30 лет (со
временем средний возраст академиков неуклонно увеличивался: в
1741 г. он составил 35 лет, в 1825 г. — 50 лет, в 1908 г. — 56 лет
и в 1991 г. — 70 лет). Среди первых петербургских академиков
были братья Николай и Даниил Бернулли. В 1727 г. на должность
адъюнкта в Академию был приглашен Леонард Эйлер.
С самого начала своей деятельности Академия стала издавать
ежегодник «Комментарии Императорской Петербургской
Академии наук» (на латинском языке). Академические «Комментарии»
сразу же вызвали серьезный интерес у широких научных кругов
Европы. «Не могу вам довольно объяснить, — писал Эйлеру в
1734 г. вернувшийся в Швейцарию Д. Бернулли, — с какой
жадностью повсюду спрашивают о петербургских мемуарах... <... >
Желательно было бы, чтобы поспешили с печатанием их» [116,
с. 11]. Петербургская Академия наук наряду с Парижской
Академией наук и Лондонским Королевским обществом входила в тройку
первых крупнейших академий мира.
279

В XVIII в. вклад Петербургской Академии наук в развитие науки
зарубежные ученые связывали прежде всего с ее
физико-математической школой. Ее международное признание неразрывно связано с
деятельностью величайшего математика и механика Леонарда
Эйлера. Сочинения Эйлера печатались в академических ежегодниках
и журналах непрерывно на протяжении целого века — с 1729 по
1830 г. — и занимали в них значительное место.
Университеты России
Московский университет, основанный в 1755 г., в XVIII в.
выполнял в основном учебные функции.
В начале XIX в. в России появились новые университеты:
Тартуский — в 1802 г., Вильнюсский — в 1805 г., Казанский — в 1804 г.,
Харьковский — в 1805 г., Петербургский — в 1819 г., Киевский
— в 1834 г. Во второй половине XIX — в начале XX в.
добавилось еще четыре университета: Одесский — 1865 г., Варшавский —
1869 г., Томский — 1888 г., Саратовский — 1909 г. К 1917 г. в
России было 11 университетов, в каждом из которых работали физико-
математические факультеты и кафедры математики.
В начале второй четверти XIX в. в России появляются ученые-
математики, занявшие почетное место в европейской науке. Среди
них нужно выделить троих: Буняковского, Остроградского и
Лобачевского. Если В.Я. Буняковского можно признать математиком
весьма одаренным, М.В. Остроградского — выдающимся
талантом, то на трудах Н.И. Лобачевского лежит печать гениальности
(см. гл. 14).
Остроградский
Михаил Васильевич Остроградский (1801—1861/62) родился в
семье полтавского помещика, в деревне Пашенная, ныне
Полтавской области. Отец хотел определить его на военную службу, но
потом передумал, ив 1817г. Михаил поступил на математическое
отделение Харьковского университета. Первые два года он занимался
без особого увлечения, не интересовала его и математика. Интерес
к математике появился у него, когда он поселился на квартире
преподавателя Павловского. С этого времени Остроградский начинает
280

учиться с увлечением и скоро обращает на себя внимание
профессоров, в частности профессора математики Т.Ф. Осиповского.
В 1820 г. Остроградский окончил университет, но вместо
диплома ему выдали «студенческий аттестат», так как он не посещал
лекций по богословию. Это не изменило намерения Остроградского
стать ученым, и в 1822 г. он едет в Париж, который был тогда
признанным математическим центром Европы. В Париже судьба
свела его с Лапласом, у которого он стал работать слугой. Однажды
Остроградский увидел, как Лаплас у доски не мог получить
решение одной задачи. Когда Лаплас вернулся домой, то с удивлением
увидел на доске эту задачу полностью решенной. Еще бблыним
было удивление Лапласа, когда он узнал, что задача решена
Остроградским. Так началась их дружба.
По какой-то причине в 1826 г. Остроградский не получил от отца
денег, задолжал в гостинице и по жалобе хозяина был посажен в
Париже в долговую тюрьму «Клиши». Там он написал работу «О
распространении волн в цилиндрическом бассейне». По рекомендации
Коши, который выкупил Остроградского из долговой тюрьмы, эта
работа была опубликована [109].
Знаменитую формулу
divFdV = $Рп ■ dS
v s
Остроградский вывел в 1828 г. и опубликовал в 1831 г., а в 1834 г.
обобщил ее на случай n-мерной области V. Частный случай этой
формулы в 1813г. получил Гаусс, поэтому ее принято называть
формулой Остроградского — Гаусса.
В Россию Остроградский вернулся в 1828 г. известным
математиком, в том же году был избран адъюнктом Петербургской
Академии наук, а через полтора года — ее действительным членом.
Он был членом многих зарубежных академий и математических
обществ.
Остроградский работал в области математического анализа,
теоретической механики, математической физики. Им написан ряд
работ по теории чисел, алгебре, теории вероятностей. Ему
принадлежит научная теория распространения теплоты в твердых телах
281
.///

1
и жидкостях. Он получил соотношение, позволяющее по
одному частному нетривиальному решению линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка найти его общее ;
решение. Это соотношение называют формулой Лиувилля —
Остроградского.
При вычислении неопределенных интегралов от рациональных
функций применяют разработанный Остроградским метод
выделения алгебраической части. Этот метод позволяет с помощью
неопределенных коэффициентов значительно упростить вычисление
интеграла от сложной рациональной дроби, сведя его к интегралу от
правильной рациональной дроби, знаменатель которой имеет
простые корни.
Большую научную работу М.В. Остроградский сочетал с
интенсивной педагогической деятельностью. Он читал лекции в Морском
кадетском корпусе, в Главном педагогическом институте, в
Институте корпуса инженеров путей сообщения и в других учебных
заведениях. Для военно-учебных заведений им написан учебник
«Руководство начальной геометрии». Влияние Остроградского как
профессора и преподавателя на его учеников было чрезвычайно велико.
Почти все они впоследствии занимали профессорские кафедры.
Буняковский
Виктор Яковлевич Буняковский (1804— 1889) родился в
местечке Баре Подольской губернии. Он получил домашнее образование и
в 1820 г. уехал за границу. Некоторое время он жил в Германии,
затем в Лозанне и, наконец, отправился в Париж, приблизительно в то
же время, что и Остроградский. В 1825 г. в Парижском
университете он получил степень доктора математики. Вернувшись в Россию,
Буняковский, как и Остроградский, был принят в Петербургскую
Академию наук сначала адъюнктом, а затем и ее действительным
членом.
По сравнению с Остроградским, способности Буняковского
были гораздо более скромными. Его интересовали теория чисел и
теория вероятностей. Им написан обширный трактат «Основания
математической теории вероятностей». Он занимался вопросами
практического приложения теории вероятностей. На основе разработок
282

Вуняковского были установлены нормы воинского набора.
Авторитет Буняковского как преподавателя был очень высок, однако к
настоящему времени его работы фактически забыты.
В наше время часто используется неравенство Буняковского
о ь о
J' f(x)-g(x)dx <Jf2(x)dx-jg2
[x)dx,
где f(x) и g(x) — функции, интегрируемые с квадратом. Это
неравенство опубликовано В.Я. Буняковским в 1859 г. Иногда его
называют неравенством Шварца, хотя в работах Карла Германа Аман-
дуса Шварца оно появилось не ранее 1884 г. (без ссылок на
Буняковского).
Чебышёв
Чебышев принадлежал к числу тех немногих ученых самого
высокого ранга, которые на протяжении своей жизни работают в
довольно многих, часто весьма удаленных друг от друга
областях математики, в каждой из этих областей прокладывая
совершенно новые пути, по которым затем в течение многих
десятилетий идут их последователи. Великий дух новаторства был
присущ Чебышеву в не меньшей степени, чем Лобачевскому.
А.Я. Хинчин
Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894) родился в селе Ока-
тово Калужской губернии в семье корнета казачьего полка Льва
Павловича Чебышева. О детстве Пафнутия Львовича мы знаем
очень мало. Грамоте его обучала мама, а французскому языку и
арифметике — двоюродная сестра. Учился Пафнутий и музыке,
что приучило его к точности и анализу.
Чебышев был хром на одну ногу. Может быть, вследствие этого
он не выносил шумного общества и любил уединенный образ
жизни. С детства он виртуозно мастерил перочинным ножом различные
деревянные механизмы, например, с большим мастерством
изготовил водяную и ветряную мельницы. Страсть к изобретательству и
конструированию сохранилась у него на всю жизнь [109].
Чтобы подготовить Пафнутия и его брата Павла к поступлению
в университет, Чебышевы в 1832 г. переехали в Москву. В 1837 г.
283

16-летний Пафнутий становится студентом
физико-математического отделения философского факультета Московского университета.
Уже через год за математическое сочинение на тему «Вычисление
корней уравнений», предложенную факультетом, он был награжден
серебряной медалью. С 1840 г. материальное положение семьи Че-
бышевых пошатнулось и Пафнутий Львович был вынужден жить
на собственный заработок.
В 1841 г. Чебышев с отличием оканчивает университет. В 25 лет
он защищает в Московском университете диссертацию на степень
магистра по теории вероятностей. В 1847 г. зачисляется
адъюнктом Петербургского университета, а через два года получает
степень доктора математических наук, избирается профессором
университета. Диссертацией служила его книга «Теория сравнений»,
которой затем более полувека студенты пользовались как одним из
самых глубоких и серьезных руководств по теории чисел.
Профессорская деятельность Чебышева продолжалась до достижения им
преклонного возраста, когда он оставил чтение лекций и отдался
целиком научной работе, продолжавшейся буквально до последних
дней его жизни.
Академиком Чебышев стал в 38 лет. Год спустя он был избран
членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г. —
ее иностранным членом.
Чебышеву принадлежат свыше 80 научных работ. В сфере
научных интересов Чебышева были теория чисел, теория вероятностей,
интерполирование, теория наилучшего приближения функций,
интегральное исчисление, картография, баллистика, астрономия,
теория механизмов. Труды Чебышева отличаются законченностью
содержания и совершенством формы. Ясное, строгое и стройное
изложение, исключительная простота и конкретность в постановке
задач делают его работы образцом математического исследования.
В начале своего научного пути Чебышев обратил на себя
внимание математиков всего мира двумя сочинениями по теории чисел:
«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной
величины» (1849) и «О простых числах» (1850). До Чебышева
вопросы распределения простых чисел в натуральном ряду решались
на основании не всегда обоснованных предположений. Вопрос о
284

том, по каким законам распределены простые числа, сколь
правильно и как часто, оставался без ответа со времен Евклида, хотя им
занимались крупнейшие математики мира, в том числе Эйлер и Гаусс.
Научные открытия Чебышева в области простых чисел принесли
славу русской математической науке и оказали огромное влияние
на научное творчество многих выдающихся ученых России и
других стран.
Второй областью исследований Чебышева была теория
вероятностей. Уже в 1840 г. он написал статью «Элементарное
доказательство одного общего предложения теории вероятностей», в
которой дал остроумное доказательство теоремы Пуассона. В 1867 г.
вышла работа «О средних величинах», в которой было предложено
общее доказательство закона больших чисел. В этой работе он
доказал известное теперь под его именем неравенство, которое ныне
приводится во всех учебниках по теории вероятностей (подробнее
см. в гл. 27).
Почти всю жизнь Чебышев разрабатывал теорию наилучшего
приближения функций. В 1853 г. вышла «Теория механизмов,
известных под именем параллелограммов» — одна из наиболее
замечательных работ Чебышева, отличающаяся богатством и новизной
содержащихся в ней математических идей. Введенные им
полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от функции в промежутке,
обладают замечательными свойствами. В этой работе математика
применялась для решения конкретных технических задач, что
было связано с быстрым развитием машинной техники в середине и
во второй половине XIX в.
Свои полиномы Чебышев использовал и для решения другой
важной задачи — интерполирования по методу наименьших
квадратов. Этому вопросу посвящены его работы «О непрерывных
дробях» (1855) и «Об интерполировании в случае большого числа
данных, полученных из наблюдений» (1858). Опубликованные в
1859 г. (после Крымской войны) мемуары Чебышева «О
разложении функций одной переменной» и «Об интерполировании по
способу наименьших квадратов» были посвящены выполняемой Че-
бышевым по специальному заданию Артиллерийского отделения
Военно-учетного комитета работе по созданию более совершенных
математических средств для составления новых таблиц стрельбы.
285

Выведенные Чебышевым формулы для интерполирования нашлй§
применение и в астрономии. Интерполяционный метод Чебыше-*!
ва имел большое преимущество перед обыкновенным способом
интерполирования по методу наименьших квадратов.
В работе «О кройке платья» (1879) изложена теория чебышев-
ских сетей, дан набросок решения интересных задач теории
поверхностей, в частности задачи отображения плоскости на
произвольную поверхность, при котором длины линий сохраняются. Чебы-
шевские и получебышевские сети изучаются в современных курсах
теории поверхностей.
Чебышева занимали многие вопросы чистой и прикладной
математики, например: формулы дальности полета снаряда,
определение орбиты планеты по многим наблюдениям, кольцеобразная
форма равновесия вращающейся жидкой массы, частицы которой
взаимно притягиваются по закону Ньютона, и т. д. С именем
Чебышева связан ряд выдающихся изобретений в области шарнирно-
рычажных механизмов, преобразующих круговое движение в
прямолинейное.
В работе «О параллелограммах» (1869) Чебышев предложил
новую оригинальную систему регулирования паровой машины,
обладавшую многими преимуществами перед другими системами
того же типа. Паровая машина Чебышева была экспонирована на
Всемирной выставке в Филадельфии в 1876 г. Она была построена
и испытана в Императорском Московском техническом училище
(ИМТУ, в настоящее время — МГТУ им. Н.Э. Баумана).
Несмотря на то что научная жизнь П.Л. Чебышева была связана
главным образом с Санкт-Петербургом, с ИМТУ у него было тесное
сотрудничество. Он систематически посещал училище, чтобы
руководить изготовлением и испытаниями спроектированных им
регуляторов и других механизмов и устройств. Его работы
публиковались в отчетах ИМТУ.
Летом 1893 г. в Чикаго была открыта Международная
промышленная выставка. Особое внимание посетителей привлекали
удивительные механизмы, привезенные из России. Среди них была
«стопоходящая машина», довольно точно воспроизводившая шаги
четвероногого животного, самоходное кресло, лодка с гребным
механизмом, повторявшим движение весел. Один ученый, увидев эту
286

лодку, воскликнул: «Я в восторге от вашей лодки с ногами, которая
пойдет по воде, как лошадь!» [109, с. 242]. На выставке можно было
увидеть усовершенствованный центробежный регулятор, лучший
и то время арифмометр и многое другое. Изобретателем этих
оригинальных экспонатов был Пафнутий Львович Чебышев, по праву
считающийся «отцом современной теории механизмов».
Говоря о наиболее важных событиях в последние годы жизни
Чебышева, нельзя не упомянуть о награждении Пафнутия Львовича
в 1890 г. орденом Почетного легиона. Инициатива по награждению
Чебышева орденом исходила от президента Парижской Академии
наук математика Шарля Эрмита, которого поддержали все
французские академики.
Чебышев создал первую математическую школу в России,
которая называлась Петербургской математической школой. Среди
его многочисленных учеников особенно известны A.M. Ляпунов,
А.А. Марков, А.Н. Крылов.
Последний год жизни Чебышева протек тихо, без каких-либо
значительных событий. Темой его последней статьи, напечатанной
уже после смерти, был вопрос о суммах, зависящих от
положительных значений какой-либо функции. Умер Чебышев 26 ноября (8
декабря) 1894 г. в возрасте 73 лет.
Ковалевская
Именно Ковалевская была одной из первых
женщин, которая в трудных условиях проложила
глубокую собственную тропинку в те
безбрежные поля науки, куда раньше ступала лишь нога
мужчины.
П.Я. Кочина
Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891) родилась в
Москве. Ее отец, генерал Василий Васильевич Корвин-Круковский,
начальник Московского арсенала, вел свой род от венгерского короля
Матвея Корвина. Дед Софьи, Ф.Ф. Шуберт был почетным членом
Петербургской Академии наук, а прадед Ф.И. Шуберт — известным
астрономом и математиком. Детство Софья провела в имении
отца — селе Палибино Невельского уезда Витебской губернии [17].
287

С математикой, еще не зная ее, Софья соприкоснулась рано.
Когда Круковские решили поменять обои в доме, на детскую обоев не
хватило и стены были оклеены листами литографированных
лекций Остроградского по дифференциальному и интегральному
исчислению, по которым учился отец Софьи. Девочка запоминала
формулы, не понимая их смысла.
Однажды сосед по имению — известный профессор Морского
корпуса Н.Н. Тыртов — привез отцу Софьи в подарок свой
«Элементарный курс физики». Девочка (ей было тогда 16 лет) взяла
книгу и стала читать, пытаясь разобраться в имеющихся там формулах.
Спустя некоторое время Тыртов снова приехал в Палибино. Софья
сказала ему, что прочла его книгу с большим интересом. Когда он ей
не поверил, она стала рассказывать ему то, до чего дошла сама,
самостоятельно освоив тригонометрию. Пораженный профессор
побежал к отцу Софьи и заявил, что ее необходимо учить
математике серьезно, ибо она — новый Паскаль. Ее репетитор на первом же
уроке по дифференциальному исчислению удивился быстроте, с
какой Софья усваивала понятия, знакомые ей с детства по наклеенным
на стенах лекциям Остроградского [47].
Получить высшее образование в России Софья не могла, и
вместе со старшей сестрой Анной они решили, что для поездки за
границу одной из них необходимо фиктивно выйти замуж. Анна
вскоре познакомилась с жившим неподалеку дворянином Владимиром
Онуфриевичем Ковалевским. Начались переговоры о вступлении в
фиктивный брак. На одно из свиданий Анна пришла с Софьей,
которая знала о переговорах, но еще ни разу не видела «жениха»
сестры. На следующем свидании Владимир заявил Анне, что готов
вступить в брак, но только... с Софьей Васильевной.
Владимир Онуфриевич продумал план побега с Софьей за
границу, если не удастся брак. Однако бегство не понадобилось.
Родители дали согласие на их свадьбу, которая состоялась 15 сентября
1868 г. После свадьбы молодые уехали в Петербург, где 18 сентября
Софья тайком проникла на лекцию И.М. Сеченова — учиться в
университетах и высших школах женщинам в России было запрещено.
Но как ни старалась она заинтересовать себя медициной, вскоре
поняла, что изучать нужно только математику.
288

В апреле 1869 г. Ковалевские и Анна выехали в Вену. Софья не
нашла в Вене хороших математиков, кроме того, жизнь была очень
дорога, а отец обещал присылать ей с Анной всего тысячу рублей в
год. Ковалевская решила попытать счастья в Гейдельберге.
Комиссия, которая рассматривала ее заявление о разрешении слушать
лекции по математике и физике, после долгих проволочек такое
разрешение дала.
Ученые мужи восторгались ее способностью на лету схватывать
и усваивать материал. На лекциях она слышала восторженные
похвалы крупнейшему в то время математику Карлу Вейерштрассу,
которого называли «великим аналитиком с берегов Шпрее». Ей
захотелось учиться у Вейерштрасса, и, преодолев застенчивость, 3
октября 1870 г. она отправилась к Вейерштрассу в Берлин.
При встрече Вейерштрасс поинтересовался, есть ли у нее какое-
нибудь свидетельство о ее занятиях математикой, какие-либо
рекомендации, так как частные уроки он дает только в исключительных
случаях и только способным к этой серьезной науке ученикам.
Желая избавиться от докучливой посетительницы, Вейерштрасс
предложил ей для проверки знаний несколько задач по гиперболическим
функциям, которые он давал самым сильным студентам
математического факультета, и попросил ее зайти на следующей неделе. Он
был очень удивлен, когда ровно через неделю Ковалевская
появилась в его кабинете и сообщила, что задачи решены. Проверяя
решения, Вейерштрасс был поражен тем, что задачи были решены не
только верно, но и необыкновенно изящно.
В Берлинском университете не только не принимали женщин
в число «законных» студентов, но и даже не позволяли им бывать
па отдельных лекциях. Пришлось Вейерштрассу давать
Ковалевской частные уроки. Занималась Софья очень старательно.
Владимир Онуфриевич, захваченный геологией, навещал жену редко,
их отношения портились. Софья сильно переутомилась и уехала
и Россию, чтобы восполнить силы. После возвращения в Берлин в
октябре 1872 г. она стала думать о получении диплома доктора наук.
Ковалевская написала диссертацию на тему «О приведении
некоторого класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам
эллиптическим». Свою работу она решила послать на отзыв
профессору Геттингенского университета Клебшу, прославившемуся
10 Мисмлгикл дрсппяя и юная 289

применением абелевых функций в общей теории кривых и
поверхностей. Но Клебш скоропостижно умер, и Ковалевская решила
писать работу на другую трудную тему — о форме колец Сатурна. Она
уточнила результаты Лапласа и установила, что поперечное сечение
кольца Сатурна должно иметь форму овала.
Несмотря на одобрение Вейерштрасса, считавшего, что каждое
из этих сочинений достойно докторской диссертации, Софья
Васильевна задумала сделать еще одно исследование в области
дифференциальных уравнений. Зиму 1873 г. и весну 1874 г. Ковалевская
посвятила исследованию «К теории дифференциальных уравнений
в частных производных». В результате ей удалось обнаружить в
теории некоторые частные случаи, о которых математики даже не
подозревали. Ее работа вызвала восхищение ученых. Правда, позднее,
когда Дарбу тоже представил свой труд о дифференциальных
уравнениях в частных производных, в Парижской Академии наук
установили, что аналогичное сочинение, но более частного характера,
раньше Ковалевской написал Коши. Задачу стали называть
теоремой Коши — Ковалевской, и она вошла во все основные курсы
анализа. Большой интерес представлял приведенный в работе
Ковалевской разбор уравнения теплопроводности, в котором она
обнаружила существование особых случаев, сделав тем самым значительное
для своего времени открытие.
С получением докторской степени возникли сложности.
Ситуацию усугубляло то, что Ковалевская была женщиной, и то, что
она недостаточно свободно владела немецким разговорным языком.
Вейерштрасс написал в Геттингенский университет, что
Ковалевская, обладая знаниями в различных областях математики,
представляет для защиты несколько работ, каждую из которых сам
Вейерштрасс принял бы как диссертацию, и что он считает справедливым
присудить степень без личной защиты. Из университета ответили,
что на факультете возникло сомнение: можно ли присудить
Ковалевской степень, если она не занимает никакой должности и даже
не добивается ее? Вейерштрасс указал, что подобные случаи в Гет-
тингенском университете бывали, а заочного присуждения он
просит не потому, что Ковалевская слаба (она очень сильный
математик), а потому, что застенчива и при необычайной живости ума ей
трудно выражать свои мысли на чужом языке.
290

Долго тянулся спор между профессорами. Однако, склоняясь
перед бесспорными научными достоинствами представленных
работ, ученый совет Геттингенского университета все же присудил
Ковалевской степень доктора философии по математике и магистра
изящных искусств «с наивысшей похвалой».
С дипломом доктора философии она возвращается в Петербург.
Но из-за несовершенства российских законов она могла
претендовать лишь на место учительницы арифметики в младших классах
женской гимназии. Поэтому, давно стремясь к литературной
деятельности, Ковалевская охотно занялась журналистикой. Владимир
Онуфриевич решил заняться коммерцией.
5 октября 1878 г. у Ковалевской родилась дочь Софья. После
тяжелых родов жизнь Софьи Васильевны долго находилась под
угрозой. Почти полгода она провела в постели. Молодой организм
победил, но сердце было поражено тяжелой болезнью.
В 1879 г. Ковалевская возвращается к занятиям математикой.
Она начинает большую работу о преломлении света в кристаллах.
По просьбе Чебышева она делает доклад о своих работах на VI
съезде естествоиспытателей и врачей в Петербурге. Блестящий доклад
вызвал одобрение Чебышева и других математиков, а также ее
нового знакомого, ученика Вейерштрасса, шведского математика Гесты
Миттаг-Леффлера, прибывшего из Гельсингфорса. В конце октября
Ковалевская приезжает в Берлин, где интенсивно работает, время от
времени советуясь с Вейерштрассом. Работа продвигается
успешно. В 1881 г. она на короткое время уезжает в Россию, где вступает
в Московское математическое общество, после чего вновь
возвращается в Берлин. Вскоре она переезжает в Париж, где знакомится с
Пуанкаре, Эрмитом и другими французскими математиками.
15 апреля 1883 г. из-за многочисленных коммерческих неудач
Владимир Онуфриевич Ковалевский покончил с собой.
В ноябре 1883 г. по приглашению Миттаг-Леффлера,
возглавлявшего кафедру математики в созданном в 1877 г. Стокгольмском
университете, Ковалевская выехала в Стокгольм, чтобы приступить
к работе на кафедре математики. Она заняла должность приват-
доцента и получила разрешение преподавать в университете. Так
как Софья Васильевна не знала шведского языка, ей разрешили в
ю* 291

течение первого семестра читать лекции на немецком. Через
несколько месяцев она уже сносно владела шведским и могла вести
на нем преподавание. Упорство и талант позволили ей через год
стать профессором, первой в истории женщиной — профессором
математики в высшей школе. В течение восьми лет она прочитала
12 курсов лекций, в том числе курс механики.
Годы работы в Стокгольмском университете — период расцвета
научной и литературной деятельности Ковалевской. Она написала
несколько замечательных художественных произведений:
«Воспоминания детства», драму «Борьба за счастье», роман
«Нигилистка» и др.
В 1888 г. Ковалевская закончила работу «Задача о вращении
твердого тела вокруг неподвижной точки». Она продолжила
исследования Эйлера и Лагранжа по теории волчка. Ковалевская
рассмотрела случай асимметричного волчка, с теорией которого
предшественники не справились. За эту работу ей была
присуждена премия Парижской Академии наук, причем сумма премии
была увеличена с 3 тыс. до 5 тыс. франков вследствие
высокого качества работы. За вторую работу, посвященную дальнейшим
исследованиям вращения твердого тела, в 1889 г. ей была
присуждена премия Шведской Академии наук, и 7 (19) ноября 1889 г. ее
избрали членом-корреспондентом Петербургской Академии наук.
Предварительно был специально решен принципиальный вопрос о
допущении женщин к избранию в члены-корреспонденты.
В 1891 г., возвращаясь из отпуска, Ковалевская простудилась и
умерла в Стокгольме от гнойного плеврита. Похоронили ее в
Стокгольме на холме Линдхаген.
Жуковский
Николай Егорович Жуковский (1847—1921) родился в
деревне Орехово Владимирской губернии в семье инженера по
строительству Московско-Нижегородской шоссейной дороги. В 1864 г.
после окончания гимназии он поступил на математическое
отделение физико-математического факультета Московского
университета, который окончил в 1868 г.
В деятельности Николая Егоровича Жуковского органично
сочетались исследования теоретического и прикладого характера.
292

Его математические интересы лежали в области уравнений
математической физики и в области теории функций комплексного
переменного. Он добился серьезных результатов в применении
приближенных методов решения уравнений математической
физики, открыл применение теории функций комплексного переменного
к решению сложных задач гидромеханики и аэромеханики.
С 1872 г. Николай Егорович начал свою работу в должности
преподавателя математики в Императорском Московском техническом
училище (ИМТУ, в настоящее время — МГТУ им. Н.Э. Баумана).
В 1876 г. им была написана магистерская диссертация
«Кинематика жидкого тела», опубликованная в восьмом томе
«Математического сборника», издаваемого Московским математическим
обществом. В диссертации были рассмотрены некоторые случаи
плоскопараллельного движения несжимаемой жидкости.
Жуковский ввел классификацию особых точек дифференциального
уравнения первого порядка, содержащую четыре основных вида особых
точек («узел», «седло», «фокус», «центр»). Позже анализом особых
точек занимался Анри Пуанкаре. Николай Егорович исследовал
поведение интегральных кривых в окрестности особой точки каждого
вида. Это направление было ответвлением его работ по механике и
в дальнейшем не получило продолжения.
Работы Жуковского по определению гидродинамических сил, в
том числе подъемной силы при обтекании крыла воздушным
потоком, оказали большое влияние на развитие методов конформных
отображений в теории функций комплексного переменного.
За работу «О прочности движения» в 1882 г. Николай Егорович
получил ученую степень доктора прикладной математики. В 1905 г.
он был избран президентом Московского математического
общества, постоянным членом которого являлся с 1876 г.
С 1878 г. интересы Николая Егоровича Жуковского были
связаны с механикой. В том же году им была создана в ИМТУ
кафедра теоретической механики (на 20 лет раньше, чем в Московском
университете), бессменным руководителем которой он был более
40 лет. До Жуковского курс теоретической механики строился на
базе классических французских курсов, основанных на идеях Ла-
гранжа. Жуковский разработал популярный курс механики, в
котором изложение велось в простой геометрической форме, более соот-
293

ветствующей мышлению инженера. По словам академика Л.С. Лей-
бензона, курс механики Жуковского был настолько прост и понятен
студентам, что получил распространение по всей России. Кафедра
теоретической механики ИМТУ во главе с Жуковским стала, по
существу, всероссийской кафедрой механики.
Жуковский обобщил принцип наименьшего действия. Первым
этот принцип высказал в 1744 г. Мопертюи, а математически
строгую формулировку ему придал Эйлер. Последующие обобщения
были сделаны Лагранжем и Якоби.
Мировую известность Н.Е. Жуковскому принесли работы по
теории гидравлического удара жидкости, текущей в трубах. Особенно
популярна его работа 1899 г. «О гидравлическом ударе в
водопроводных трубах».
Как сказал академик С.А. Чаплыгин, Н.Е. Жуковским
благодаря гигантскому диапазону его интересов были созданы школы, а не
школа. Впервые после Галилея Жуковскому удалось представить
научные проблемы механики во всей их совокупности.
Особенно велики заслуги Н.Е. Жуковского в области
аэромеханики. До его работ теоретической аэромеханики как
самостоятельной науки не существовало. Основополагающие работы,
принесшие ему мировую славу и позволяющие по праву считать его
«отцом русской авиации», посвящены непосредственно проблемам
аэрогидромеханики и самолетостроению.
В 1882 г. Жуковский опубликовал работу «О парении птиц», в
которой теоретически обосновывалась возможность свободного
парения с набором высоты.
На Всемирном воздухоплавательном конгрессе в Париже в
1889 г. Н.Е. Жуковский сделал доклад на тему «Некоторые
теоретические соображения о летательных аппаратах», ставший событием
такого представительного форума. В 1906 г. издаются его работы
«О присоединенных вихрях» и «Падение в воздухе легких
продолговатых тел, вращающихся около своей продольной оси». Затем
он публикует работу «Теоретические основы воздухоплавания», в
которой комплексно ставит многие вопросы теории,
конструирования, производства и применения летательных аппаратов.
В 1916 г. Н.Е. Жуковский и В.П. Ветчинкин организовали при
ИМТУ Авиационное расчетно-испытательное бюро, основными за-
294

дачами которого были разработка методов расчета самолетов,
лабораторные и летные испытания существующих самолетов. После
сделанного Н.Е. Жуковским в 1918 г. доклада на II Всероссийском
авиационном съезде было принято решение о реорганизации бюро
в высший автономный научный орган, в котором решались научные
задачи русской авиации.
В последние годы жизни Н.Е. Жуковский занимался вопросами
организации и становления Центрального аэрогидродинамического
института (ЦАГИ), открытого 1 декабря 1918г.
А.Н. Туполев, ученик Н.Е. Жуковского, писал о своем учителе:
«Мне хочется обратить внимание еще на одну черту Николая
Егоровича: на его способность решать крупнейшие организационные
вопросы. Он создал ЦАГИ, аэродинамическую лабораторию МВТУ,
Военно-воздушную академию и ряд других организаций, и мне
кажется, что это вытекало из натуры Николая Егоровича» [52, с. 196].
Умер Н.Е. Жуковский 17 марта 1921 г. Его именем названы
город в Московской области, Центральный аэрогидродинамический
институт, Военно-воздушная инженерная академия.
Ляпунов
Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918) родился в
Ярославле. Его отцом был известный астроном, директор
Демидовского лицея Михаил Васильевич Ляпунов. Первоначальное
образование Александр и два его брата получили под руководством
матери Софьи Александровны. Когда Александру было 11 с
половиной лет, умер его отец. Пришлось думать о дальнейшем
образовании. К счастью, занятия удалось продолжить в семье Рафаила
Михайловича Сеченова, женой которого была родная тетка
Александра — Екатерина Васильевна Ляпунова. Уже в детстве
проявился талант Александра и его братьев. Было очевидно, что им
просто необходимо продолжать обучение в среднем учебном
заведении, поэтому в 1870 г. Софья Александровна с детьми переезжает
в Нижний Новгород.
Окончив гимназию, A.M. Ляпунов осенью 1876 г. поступил на
отделение естественных наук физико-математического факультета
Петербургского университета. Чувствуя особую склонность к
математическим наукам, он уже через месяц перешел на математическое
295

отделение. Еще до окончания университетского курса, в возрасте
около 22 лет, A.M. Ляпунов потерял мать и должен был заботиться
о младшем брате.
1881 год стал знаменательным в жизни Ляпунова. Тогда
были опубликованы две его первые работы: «О равновесии твердых
тел в тяжелых жидкостях, содержащихся в сосудах определенной
формы» и «О потенциале гидростатических давлений». В работах
проявились самостоятельность и талантливость молодого ученого.
В выборе темы для магистерской диссертации Ляпунову помог его
учитель П.Л. Чебышев — он предложил очень сложную и
интересную задачу о формах равновесия вращающейся жидкости. На
решение поставленной Чебышевым задачи потребовалось два года.
Защита Ляпуновым диссертации на степень магистра
прикладной математики состоялась в январе 1885 г. и дала ему право на
преподавательскую деятельность. Весной 1885 г. A.M. Ляпунов
был утвержден на должность приват-доцента Петербургского
университета. Он уже собирался читать свой курс в Петербургском
университете, но получил предложение занять вакантную кафедру
механики в Харьковском университете. Осенью 1885 г. Ляпунов
переехал в Харьков и начал в звании приват-доцента читать лекции
по всем курсам кафедры. Академик В.А. Стеклов, ученик Ляпунова,
вспоминал, что Александр Михайлович быстро завоевал уважение
и исключительное почтение студентов.
Вплоть до 1892 г. Ляпунов один читал все разделы
аналитической механики: кинематику, динамику точки, динамику системы
точек, статику и динамику твердого тела, теорию притяжения,
гидростатику и гидродинамику. К этим курсам позднее прибавились
курсы интегрирования дифференциальных уравнений динамики,
теории возмущенного движения и теории вероятностей. Все курсы,
которые читал Ляпунов, отличались самой общей постановкой
решаемых проблем. Из общих решений поставленных задач вытекали
частные решения конкретных задач.
В 1886 г. он женился на своей двоюродной сестре Наталье Ра-
фаиловне Сеченовой.
В стенах Харьковского университета Ляпунов опубликовал ряд
интересных с научной точки зрения работ по теории потенциала и
296

теории устойчивости. В последующих работах харьковского
периода Ляпунов развивал теорию устойчивости механических систем
и связанные с нею вопросы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Кроме того, он занимался вопросами теории
вероятностей.
В 1893 г. Ляпуновым защищена докторская диссертация на тему
«Общая задача об устойчивости движения». В этой
фундаментальной работе всесторонне рассмотрена проблема устойчивости
движения систем с конечным числом степеней свободы.
В 1900 г. он был избран членом-корреспондентом
Петербургской Академии наук и в 1902 г. переехал в Петербург.
Ляпунов стал инициатором опубликования трудов Леонарда
Эйлера, список которых содержал около 900 наименований. Благодаря
настойчивости Ляпунова удалось добиться финансирования этого
проекта правительствами России и Швейцарии.
В июне 1912 г. Ляпуновых постигло большое горе: после
тяжелой болезни скончалась мать Натальи Рафаиловны — Екатерина
Васильевна Сеченова, в результате чего обострились старые недуги
жены Ляпунова. По совету докторов летом 1913г. Ляпуновы
уезжают в Одессу. События первой мировой войны и Октябрьской
революции 1917 г. Ляпунов переживал очень тяжело. К осени 1918 г. он
был крайне изнурен и морально, и физически. В тот год он читал
лишь одну лекцию в неделю в Харьковском университете. Эта
работа приносила ему скудный заработок, так как пенсия из Петербурга
перестала пересылаться из-за революционных событий. У
Ляпунова активно начинает развиваться катаракта глаз.
31 октября 1918г. скончалась жена Ляпунова. В день смерти
жены Александр Михайлович выстрелил в себя и через три дня умер
в университетской клинике, не приходя в сознание.
Ляпунов обессмертил свое имя, создав целую науку об
устойчивости и равновесии движущихся механических систем. Он
вывел законы, согласно которым можно точно рассчитать, какую
форму примет поверхность вращающейся жидкости. Анализ движения
твердого тела с полостями, целиком или частично заполненными
жидкостями, важен в современной теории корабля, в общей
теории гидравлических систем. Практически при проектировании и
создании любых механизмов и машин необходимо исследование их
297

устойчивости при различных внешних условиях. В середине XX в.
особенно актуальными стали вопросы устойчивости полета ракет и
других летательных аппаратов.
В настоящее время теория Ляпунова положена в основу
автоматического управления производственными процессами. Особую
важность приобрела проблема устойчивости движения
искусственных спутников Земли. Ляпунов поднял престиж отечественной
науки за рубежом и воспитал многих учеников.
Марков
Андрей Андреевич Марков (1856—1922) родился в Рязани. Его
отец, служивший коллежским советником в уездном суде, а затем
частным поверенным, в начале 1860-х годов переселился с семьей
в Петербург, где устроился управляющим имением.
Андрей рос хилым и болезненным ребенком. В детстве у него
был костный туберкулез, и он ходил на костылях, так как одна его
нога не разгибалась в колене. В Петербурге ему была сделана
операция, нога разогнулась, и в дальнейшем он только слегка
прихрамывал.
В 1866 г. Андрей поступил в пятую петербургскую гимназию.
Он не относился к числу лучших учеников, только по математике
у него был высший балл. В школьные годы он самостоятельно
изучил начала высшей математики и изобрел, как ему казалось, новый
метод интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Профессора Петербургского
университета Е.И. Золотарев и А.Н. Коркин объяснили ему, что этот
метод давно известен.
В 1874 г. Андрей поступил на физико-математический
факультет Петербургского университета. За все время учебы он имел
только две четверки: по богословию и по химии, которую ему
поставил Д.И. Менделеев. На старших курсах он получал именную
стипендию.
Под влиянием Пафнутия Львовича Чебышева Марков
занимался исследованием в области интегрирования дифференциальных
уравнений с помощью непрерывных дробей. За это исследование
он получил золотую медаль.
298

По завершении обучения в 1878 г. Маркову предложили
остаться преподавать в университете. Через два года, 13 апреля 1880 г., он
защитил магистерскую диссертацию на тему «О бинарных
квадратичных формах положительного определителя».
28 января 1885 г. Маркову была присуждена степень
доктора математики после защиты диссертации на тему «О некоторых
приложениях алгебраических непрерывных дробей». В этом труде,
открывшем серию работ Маркова по теории моментов, ставшей
важным средством исследований в теории вероятностей, по
интерполированию и наилучшему приближению функций, доказаны и
обобщены неравенства Чебышева для исследования предельных
величин интегралов.
Марков читал лекции по всем разделам высшей математики.
Студенты любили его лекции, четкие и ясные. При чтении лекций
он не допускал отступлений от предмета, вводных фраз, артистизма
и самолюбования.
Марков был очень эмоциональным человеком, любил дальние
пешеходные прогулки, увлекался фотографией, отлично играл в
шахматы. Существует запись шахматной партии, в которой он
победил основоположника русской шахматной школы М.И. Чигорина.
В 1889 г. после смерти В.Я. Буняковского в Петербургской
Академии наук открылась вакансия академика по чистой математике.
В 1890 г. общее собрание Академии избрало Маркова
экстраординарным академиком, в 1896 г. — ординарным академиком.
В университете Марков вел себя очень независимо. Он не
выносил компромиссов и в спорах выражал свою точку зрения
резко и определенно. В 1912 г. он обратился в Синод с просьбой
отлучить его от церкви, в 1913 г. отказался участвовать в
праздновании 300-летия дома Романовых и организовал форум, посвященный
200-летию закона больших чисел.
Любимым для Маркова разделом математики была теория
вероятностей. Он первым дал полное и строгое доказательство
центральной предельной теоремы. Продолжая свои исследования, он
пришел к идее «испытаний, связанных в цепь». Возник новый
раздел математики, названный по предложению Адамара теорией
цепей Маркова.
299

В 1913 г. Марков применил теорию вероятностей в лингвистике.
Он исследовал роман Пушкина «Евгений Онегин» и повесть
Аксакова «Детские годы Багрова-внука». Его интересовала вероятность,
с которой за каждой буквой следует гласная или согласная.
Исследования показали, что вероятностная модель, основанная на
однородных цепях Маркова, хорошо описывает творческий процесс, дает
математическое описание текста. Аппарат марковских случайных
процессов в настоящее время широко используется в научных
исследованиях.
Кроме теории вероятностей Марков занимался многими
проблемами математического анализа. Его внимание привлекали
исчисление конечных разностей, теория интерполирования функций,
экстремальные задачи в функциональных пространствах, проблема
моментов, теория ортогональных многочленов, квадратурные
формулы, дифференциальные уравнения, теория функций, наименее
уклоняющихся от нуля, и другие вопросы.
Активной научной работе Маркова помешали Октябрьская
революция 1917 г. и гражданская война. В 1917 г. Марков с семьей
выехал в город Зарайск к родственникам, где преподавал
математику в Зарайском реальном училище. Осенью 1918 г. Марковы
возвращаются в Петроград, и Андрей Андреевич возобновляет чтение
лекций в университете.
19 июля 1922 г. А.А. Марков скончался от общего заражения
крови после операции по удалению аневризмы в ноге.
Стеклов
Владимир Андреевич Стеклов (1863/64—1926) родился в
Нижнем Новгороде в семье ректора духовной семинарии Андрея
Ивановича Стеклова. Его мать, Екатерина Дмитриевна, была близкой
родственницей выдающегося критика Николая Александровича
Добролюбова. Дома Володя получил подготовку, достаточную для
поступления в гимназию, которая почему-то называлась
Нижегородским Александровским институтом. Начиная с шестого класса
в круг его интересов вошли физика, химия, математика и
искусство. Он увлекался музыкой, пением, театром настолько, что по
окончании гимназии думал о том, чтобы посвятить себя искусству.
300

Однако после окончания гимназии Стеклов поступил на
физико-математический факультет Московского университета. На
первом курсе он получил двойку по физической географии и решил
перевестись на медицинский факультет. Мест там не оказалось. Он
вновь поступает на первый курс математического факультета, но
уже в Харьковском университете. Отныне и навсегда он
устанавливает для себя строгий, напряженный распорядок рабочего дня. Его
любимым учителем становится молодой профессор, талантливый
математик и механик A.M. Ляпунов, который был старше Стеклова
всего на семь лет. В 1887 г. Стеклов окончил обучение со степенью
магистра наук и был оставлен преподавать в университете. В
первое же лето после окончания университета он выполняет научную
работу о движении твердого тела в жидкости.
Интересы В.А. Стеклова с самого начала его научной
деятельности были очень разносторонними: теория упругости,
гидродинамика, высшая алгебра и математическая физика, которой он уделял
наибольшее внимание. В 1902 г. он получил степень доктора
прикладной математики после защиты диссертации «Общие методы
решения основных задач математической физики» и в том же
году был избран членом-корреспондентом Петербургской Академии
наук, а в 1912 г. — ее действительным членом. Харьковский
период деятельности Владимира Андреевича продолжался до 1906 г.
С апреля 1906 г. он 20 лет жил и трудился в Петербурге.
В 1919 г. В.А. Стеклов избирается вице-президентом
Российской Академии наук и председателем ее хозяйственного
комитета. В тот период во всей полноте проявился научный и
организаторский талант знаменитого ученого. Он наладил печатание
научных трудов, организовал приобретение книг и журналов за
границей. Владимир Андреевич был членом комиссии по
изучению производительных сил при Совнаркоме и директором Физико-
математического института Российской Академии наук, который в
то время стал центром организационной и
научно-исследовательской работы но физике и математике.
Стеклов был профессором Петербургского университета и
главой созданной им научной школы математической физики,
историком математики, философом и писателем, академиком и
общественным деятелем. Он был горячим патриотом, любил свой народ, его
301

культуру и историю. Ученик Стеклова — академик В.И. Смирнов
писал: «Любовь к русской музыке, привычка приводить изречения
Петра Великого, Ломоносова, Лобачевского — все это было...
выражением подлинной, кровной связи его с русской культурой, и сам
В.А. Стеклов является одним из крупнейших представителей этой
культуры» [109, с. 282].
23 февраля 1926 г. в Казани отмечалось 100-летие открытия
неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским. По дороге из Москвы
в Казань Стеклов простудился и после болезни скончался 30 мая
1926 г.
Многие результаты исследований и открытия В.А. Стеклова
вошли в мировую математическую науку с его именем. В их числе
фундаментальные функции Стеклова, теория замкнутости Стекло-
x+h
ва, теорема Стеклова, функция Стеклова F(x) = — / f(t)dt, свой-
X
ства которой обладают рядом преимуществ по сравнению со
свойствами исходной функции f(x). Его имя носит всемирно известный
Математический институт Российской академии наук.

Глава 18
МАТЕМАТИКА В ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЕ
В КОНЦЕ XIX — НАЧАЛЕ XX В.
Математика пережила ранее два периода. В
первом задачи ставились богами (делосская задача об
удвоении куба), во втором — полубогами (Б.
Паскаль, П. Ферма). Мы вошли теперь в третий
период — задачи ставит нужда (практика), причем, чем
задача труднее, тем плодотворнее должны быть
методы ее решения и тем шире область их
последующего применения.
П. Л. Чебышев
Эрмит
Шарль Эрмит (1822—1901), крупнейший из французских
математиков второй половины XIX в., родился в Дьезе, главном
городе кантона в Лотарингии. Учился он в Париже вначале в коллеже
Анри IV, затем в коллеже Луи-ле-Гран, по окончании которого в
1842 г. поступил в Политехническую школу в Париже.
Уже в начале обучения он стал переписываться с берлинским
профессором Якоби, которому сообщал результаты своих
исследований в области абелевых функций. Успехам в его научной работе
помешало то, что он от рождения прихрамывал на правую ногу. Это
не было препятствием при поступлении в Политехническую школу,
303

но затем решением Министерства ему было запрещено продолжать
там занятия. Покинув школу в конце первого учебного года, Эрмит
стал готовиться к экзаменам на степень бакалавра по математике,
которую получил в 1847 г.
С 1848 г. Эрмит работает в Политехнической школе
экзаменатором по приему и репетитором по математическому анализу. В 1856 г.
Эрмита избрали членом Парижской Академии наук. С 1862 г. он —
профессор в Нормальной школе, с 1869 г. — профессор в
Сорбонне и Политехнической школе. Кафедру в Политехнической школе
он занимал до 1876 г., после чего преподавал только в Сорбонне.
В 1889 г. его избрали вице-президентом Парижской Академии
наук, в 1890 г. — президентом.
В своих научных исследованиях Эрмит искал связи между
разными разделами математики и был творцом многих научных
направлений. Разработанный им метод непрерывного параметра
нашел применение в различных разделах математики, обнаруживая
скрытые связи между ними. Например, он использовался при
исследовании вопроса о минимумах квадратичных форм. Эрмит
впервые применил непрерывные переменные в теории чисел. Большой
вклад Эрмит внес в развитие теории эллиптических функций. По
словам Якоби, он придал сочинениям Абеля новую форму, которая
яснее подчеркнула его глубокие мысли.
Одним из первых Эрмит занимался теорией ортогональных по-
2 dne~x2
линомов. Полином Нп (х) — (—1)пех — носит его имя. Им по-
к ' у ' dxn
лучены разложения функций нескольких переменных по системам
ортогональных полиномов. Одно из наиболее известных его
открытий — доказательство трансцендентности числа е.
С именем Эрмита неразрывно связан целый ряд
математических понятий: «эрмитовы операторы», «эрмитова матрица»,
«эрмитово пространство», «эрмитовы формы». Почти все крупные
французские математики конца XIX — начала XX в. были его
учениками [74].
Максвелл
Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879) — английский физик,
оказавший наиболее длительное (вплоть до наших дней) влияние
на всю математическую физику.
304

Родился Максвелл 13 июля 1831 г. в Эдинбурге в семье
аристократа. Он представлял собой нередко встречавшийся в Англии тип
ученого-аристократа, ведущего частную жизнь и лишь от случая к
случаю берущего на себя исполнение каких-либо служебных
функций. В детстве он охотно рисовал, писал стихи, но уже в 15 лет
написал первую научную работу по геометрии, которую даже
напечатало в своем периодическом издании Эдинбургское Королевское
общество.
В 16 лет Максвелл поступил в Эдинбургский университет и
начал изучать математику, химию и физику. Он провел в этом
университете три года, имел на своем счету несколько исследований
по оптике. Продолжая учебу в Кембридже, Максвелл одновременно
начал самостоятельные научные исследования. В 1855 г. появилась
его работа «О фарадеевых силовых линиях».
В 1856 г., в возрасте 25 лет, Максвелл был назначен на
должность профессора «естественной философии» (т. е. теоретической
физики) Абердинского университета в Шотландии. В 1859 г. он
опубликовал исследование о равновесии колец Сатурна, в
котором доказал, что кольца не являются сплошными (твердыми или
жидкими), а представляют собой рой метеоритов. В следующем
году Максвелл публикует результаты теоретических и
экспериментальных исследований, относящихся к кинетической теории газов.
Целую серию работ Максвелл посвятил изучению восприятия
цветов и теории упругости тел. В 1860—1865 гг. он был профессором
физики и астрономии Королевского колледжа в Лондоне, после
чего возвратился к частной жизни.
Самым знаменитым достижением Максвелла явилось создание
теории электромагнитного поля. Остановимся подробнее на
особенностях математического исследования электромагнетизма.
Во второй половине XIX в. математикам потребовалось
рассматривать явления, в раскрытии смысла которых наши ощущения
оказались бессильны. Электромагнетизм невидим, неосязаем, не
имеет ни запаха, ни вкуса. Эта призрачная субстанция оказала заметное
(даже революционное) воздействие на жизнь современного
человека. Естествоиспытатели конца XVIII в., изучавшие взаимодействие
заряженных тел, хорошо усвоив уроки Галилея и Ньютона,
занялись поисками количественных законов. Закон Кулона, устанавли-
305

вающий силу взаимодействия двух зарядов, в математическом
плане идентичен закону всемирного тяготения Ньютона. Много
сделавшие для установления связи между электричеством и магнетизмом
преподаватель Джозеф Генри и самоучка Майкл Фарадей
занимались экспериментами и физическим осмыслением наблюдаемого.
Требовалась помощь математики.
Математическое обобщение всех результатов выполнил
Максвелл. В 1865 г. он опубликовал свою основополагающую работу
«Динамическая теория электромагнитного поля». До Максвелла
математические законы, отражающие экспериментальные
результаты Фарадея и Ампера, пытались установить Гельмгольц и Вебер
Г62]. Максвелл стремился выразить математическим языком идеи
Фарадея относительно эфира как простейшего тела,
заполняющего пространство. Сам Фарадей эти идеи развивал лишь в весьма
неопределенной форме. Интересно, что Максвелл записал законы
из соображений красоты и симметрии, так как ток смещения он
включил в формулы чисто умозрительно. Как пишет Клейн,
«Максвелла четко выделяет его мощная интуиция, поднимающаяся до
высот прорицания и рука об руку идущая с сильным, исполненным
фантазии наглядным представлением» [45, с. 272].
Максвелл установил, что электромагнитное поле, т. е.
комбинация переменного электрического и переменного магнитного полей,
распространяется в пространстве. В связи с совпадением скорости
света (определенной ранее) и скорости распространения
электромагнитных волн Максвелл отнес свет к электромагнитным
явлениям, что явилось вершиной его исследований в области
электромагнетизма. Следует отметить, что эти скорости были определены с
ошибками, но их ошибочные значения удивительным образом
совпали ровно настолько, чтобы можно было сделать необходимые
выводы. Больцман так отозвался об этом интересном эпизоде
науки: «Гениальные уравнения Максвелла выведены неправильно, но
сами они правильны. Не Бог ли начертал их?» [95, с. 103].
Сделанное на основе математических рассуждений
заключение, что свет представляет собой электромагнитные волны,
иллюстрирует одно из замечательных достоинств математики. По
словам Алфреда Норта Уайтхеда, одного из выдающихся философов,
«оригинальность математики состоит в том, что в математических
306

науках выявляются взаимосвязи между вещами, крайне не
очевидные, если исключить посредство человеческого разума» [43, с. 160].
На примере теории электромагнитного поля Максвелла мы
сталкиваемся с поразительным фактом: одно из величайших
достижений физической теории оказывается почти целиком
математическим. По словам выдающегося физика Генриха Рудольфа Герца,
«трудно отделаться от ощущения, что эти математические
формулы существуют независимо от нас и обладают своим собственным
разумом, что они умнее нас, умнее тех, кто открыл их, и что мы
извлекаем из них больше, чем было в них первоначально заложено»
[44, с. 389]. (Следует отметить, что Максвелл получил свои
уравнения методом кватернионов. Современная общепринятая форма
записи уравнений в векторной форме была дана американским
физиком и математиком Дж. У. Гиббсом.)
В то же время, хотя математические формулы точны и
всеобъемлющи, качественная интерпретация их расплывчата и неполна и
физическое понимание электромагнитных явлений практически
отсутствует. Несмотря на изумительную подтверждаемость на
практике законов Ньютона и уравнений Максвелла, мы не знаем до сих
пор, что такое тяготение и как оно действует, что такое электрон,
электрическое и магнитное поля. Математика позволяет открывать
явления, которые, будучи взятыми отдельно от человеческого
разума, отнюдь не очевидны, хотя и вполне реальны.
Теория Максвелла столь глубока и всеобъемлюща, что наше
воображение бессильно представить себе ее подлинное величие. Она
открыла в природе такой план и порядок, который говорит человеку
о природе более красноречиво и проникновенно, чем сама природа.
В 1871 г. Максвелл был приглашен на должность профессора
экспериментальной физики в Кембриджском университете и
принял руководство вновь организованной Кавендишской
лабораторией, ставшей центром творческой деятельности многих известных
ученых. В 1873 г. вышел в двух томах его основополагающий
«Трактат об электричестве и магнетизме» [62].
Максвелл умер 5 ноября 1879 г. в Кембридже от болезни
внутренних органов в возрасте всего лишь 48 лет.
307

Кантор
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845—1918) родился
в Санкт-Петербурге в немецкой семье. Он был старшим из четверых
детей Георга Вольдемара Кантора, преуспевающего коммерсанта, и
Марии Анны Бем, происходившей из одаренной музыкальной
семьи. И отец и мать Кантора были по-своему сильными
личностями, и каждый из них оказал заметное влияние на сына: отец
привил ему целеустремленность и настойчивость в достижении целей,
интерес к гуманитарным наукам, от матери он перенял глубокую
религиозность.
После того как Георг окончил в Петербурге начальную школу,
семья переехала в Германию. Учился он в гимназии в Висбадене, в
частной школе во Франкфурте-на-Майне и еще в некоторых
учебных заведениях. В 1863 г. Кантор перешел из Высшей технической
школы в Цюрихе, где он учился с 1860 г., в Берлинский университет,
и там он изучал математику, физику и философию. Его учителями
были Вейерштрасс, Куммер, Кронекер.
Первоначально математические интересы Кантора были
сосредоточены в области теории чисел. К ней относятся его диссертация
«О неопределенных уравнениях второй степени» (1867) и ряд
последовавших за ней работ, в том числе и исследования «О
преобразовании тернарных квадратичных форм» (1869). За последнюю
работу он получил звание приват-доцента Галльского университета с
правом чтения лекций.
В Галле интересы Кантора сместились, в основном под
воздействием профессора университета X. Гейне, в сторону функций
действительного переменного; последовал цикл его работ по этой
тематике [76].
В 1872 г. Кантор был избран экстраординарным профессором
университета в Галле и в том же году познакомился с Дедекиндом,
который уже занимался исследованиями в области теории
множеств. В 1879 г. он избирается ординарным профессором
Галльского университета. Основные труды Кантора по теории множеств
были созданы до 1884 г.
В подготовке перехода Кантора на позиции теории множеств
значительную роль сыграли его философские интересы. Введя в
308

рассмотрение актуально бесконечные множества, Кантор выступил
против традиционных представлений о бесконечности,
разделяемых великими математиками прошлого. В 1883 г. он с горечью
признался: «Я оказался в своего рода оппозиции к общепринятым
взглядам на математическую бесконечность и к нередко
отстаиваемым суждениям о природе числа» [44, с. 232]. Создав теорию
множеств, Кантор не смог решить проблему континуума —
центральный вопрос новой теории (см. гл. 29). Его новые
математические идеи, как и философские взгляды, были не поняты
математиками или не принимались ими. Против основных понятий теории
множеств — актуальной бесконечности и трансфинитных чисел —
выступили многие католические авторитеты.
В 1884 г. Кантор испытал первый приступ нервной болезни,
продолжавшийся около месяца. Временно он отошел от
преподавания математики и начал читать лекции по философии Лейбница.
Эти лекции не понравились студентам, и он дал обещание впредь
лекции по философии не читать. Отвлекали Кантора от
математики и семейные заботы. В 1886 г. в семье появился шестой ребенок
и пришлось хлопотать о приобретении нового дома. Кроме того,
Кантор был создателем и первым председателем Немецкого
математического общества.
С 1899 г. у него начали учащаться приступы нервной болезни,
и в 1913 г. он уходит в отставку. Умер Кантор в нервной клинике в
Галле 6 января 1918 г. [76].
Дедекинд
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831—1916) родился в
Брауншвейге в семье профессора. В 1848 г. он поступил в
Коллегиум Каролипум, а в 1850 г. — в Геттингенский университет, где
слушал лекции Гаусса.
Дедекинд был последним учеником Гаусса и под его
руководством написал докторскую диссертацию по теории интегралов
Эйлера. С 1854 г. Дедекинд преподавал в Геттингенском
университете теорию вероятностей и геометрию, а после смерти Гаусса
работал под руководством Дирихле, по рекомендации которого с 1858 г.
стал преподавать в Цюрихском политехникуме. Там он читал курсы
309

по абелевым и эллиптическим функциям и теории Галуа. С 1862 г.
он преподавал в Брауншвеиге, где провел детство и где работал его
отец.
Основные работы Дедекинда связаны с теорией
действительных чисел, математической логикой и теорией множеств. В 1872 г.
он познакомился с Кантором, и они стали друзьями и соратниками,
так как их взгляды во многом совпадали.
Кроме собственных значительных работ по математике Деде-
кинд известен тем, что издал сочинения Гаусса, Римана и Дирихле.
Он заложил новый стиль в математике, так как обладал
способностью формулировать свои идеи предельно ясно.
К 1870 г. математика разрослась в огромное и хаотичное
«здание», состоявшее из большого числа частей, иногда слабо
связанных между собой. Объединяющими принципами для многих из
этих частей были теория групп и риманово понятие функции и
пространства. Именно в этих разделах математики успешно работали
Софус Ли, Феликс Клейн и Анри Пуанкаре.
Ли
Норвежский математик Софус Ли (1842—1899) известен
своими работами в области теории групп. Галуа ввел в рассмотрение
конечные группы. Французский математик профессор
Политехнической школы Камиль Жордан первым обосновал их теорию. Он
опубликовал «Трактат о подстановках», в котором рассматривались
группы подстановок и теория уравнений Галуа.
Теорию групп начали развивать Ли и Клейн. В 1870 г. они
встретились в Париже, подружились, поняли основное значение теории
групп и впоследствии разделили свои усилия: Клейн
сосредоточился на дискретных группах, а Ли — на непрерывных. Работая в
Париже, Ли открыл контактные преобразования. После возвращения в
Норвегию он стал профессором в университете в Христиании
(ныне Осло), а в 1886—1898 гг. преподавал в Лейпциге.
Всю жизнь Ли посвятил систематическому изучению групп
непрерывных преобразований и их инвариантов, выявляя их основное
значение в качестве классификационного принципа в геометрии,
механике, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и
310

уравнений в частных производных. Имя Ли увековечено в
названиях самых различных математических объектов, так или иначе
связанных с теорией групп (группа Ли, алгебра Ли и т. д).
Группы Ли введены при исследовании проблемы разрешимости
дифференциальных уравнений в квадратурах и исследовании
непрерывных групп преобразований. Успешное применение теории
групп к решению алгебраических уравнений высших степеней,
выразившееся в создании теории Галуа, повлекло за собой попытку
построения аналога теории Галуа для дифференциальных
уравнений. Возникли теория групп Ли и теория алгебраических групп,
тесно связанные со многими областями математики. Основным
методом исследования в теории групп Ли является инфинитезималь-
ный метод, созданный Софусом Ли.
Каждой группе Ли поставлена в соответствие алгебра Ли.
Термин «алгебра Ли» введен Г. Вейлем в 1934 г., через 35 лет после
смерти Ли. До этого применялся термин «инфинитезимальное
преобразование группы Ли».
По инициативе учеников Ли были изданы его работы: «Группы
преобразований» (1888—1893), «Дифференциальные уравнения»
(1891), «Непрерывные группы» (1893), «Касательные
преобразования» (1896).
Клейн
Феликс Клейн (1849—1925) родился в Дюссельдорфе в семье
чиновника. Еще студентом он стал ассистентом известного
геометра Ю. Плюккера в Бонне. В 1868 г. после смерти Плюккера Клейн
подготовил к печати рукописи своего учителя. Это и определило
тематику его дальнейшей самостоятельной деятельности.
Используя результаты, полученные Артуром Кэли, Камилем
Жорданом и другими математиками, Клейн в 1871 г. с позиций
проективной геометрии поставил точку в доказательстве
непротиворечивости геометрии Лобачевского и Больяй. Если выбрать в качестве
определяющей характеристики соответствующий тип кривой
второго порядка (эллипс, параболу, гиперболу или их вырожденные
случаи), то многие известные к тому времени геометрии (Евклида,
Лобачевского, Римана и др.) можно трактовать как частные случаи
проективной геометрии.
311

Клейн был крупнейшим немецким математиком последней
трети XIX столетия. Наиболее важные из полученных им результатов
относятся к теории групп. Благодаря его работам теория групп
стала одним из важнейших разделов математики. С ее развитием стал
возможным синтез геометрических и алгебраических понятий,
рассмотренных в трудах математиков от Гаусса и Монжа до Римана и
Грассмана.
В 1872 г. Клейн стал профессором в Эрлангенском
университете. В своей вступительной лекции, которая стала известна под
названием «Эрлангенская программа», он разъяснял важность
понятия группы для классификации различных разделов математики.
Например, любая геометрия объявлялась теорией инвариантов
особой группы преобразований. Расширяя или сужая группу, можно
перейти от одной геометрии к другой. Этот подход Клейна
позволил объединить многие различные геометрии: евклидову,
аффинную, проективную, все неевклидовы и ряд других.
Спустя десятилетия идеи, изложенные в «Эрлангенской
программе», нашли применение в различных естественных науках.
Русский кристаллограф и геометр Евграф Степанович Федоров,
используя идеи Клейна, открыл кристаллографические группы,
ставшие научной основой кристаллографии и носящие теперь его
имя. Теория групп нашла применение в ядерной физике,
квантовой теории, физике элементарных частиц, теории относительности
(группа преобразований Лоренца).
В обширных исследованиях, принадлежащих ему и его
многочисленным ученикам, Клейн применил понятие группы к
линейным дифференциальным уравнениям, к эллиптическим и
модулярным функциям, к абелевым и автоморфным функциям. Он
обнаружил и установил теорему униформизации, однако в ее реализации
его опередил Пуанкаре, который был на пять лет моложе Клейна.
В разработке теории автоморфных функций с 1883 г. происходило
своеобразное соревнование Клейна и Пуанкаре. Соперничество с
Пуанкаре в построении теории автоморфных функций подорвало
здоровье Клейна, и он тяжело заболел в возрасте 33 лет.
Клейн обладал большим даром интуиции. Он мог, глядя на
самые трудные проблемы, угадать их решение, но у него не хватало
312

терпения провести логически совершенное доказательство теорем,
в справедливости которых он был убежден.
В период между 1882 и 1898 гг. были изданы монографии
Клейна, в которых систематически излагались методы и результаты его
обширных исследований римановой теории функций,
касающихся теорий икосаэдра и эллиптических модулярных функций, первая
часть теории автоморфных функций и первая часть теории волчка.
В 1886 г. Клейн переезжает в Геттинген, в котором и живет
до конца жизни. Стараниями Клейна Геттингенский университет
с традициями Гаусса, Дирихле и Римана стал мировым центром
математических исследований. В университете Клейн читает
факультативные курсы по самым разным вопросам, от теории чисел
до технической механики. Его лекции воодушевляли слушателей,
записи этих лекций, размноженные на стеклографе, были
источником многих специальных сведений для нескольких поколений
математиков. После смерти Клейна в 1925 г. некоторые из курсов
лекций появились в виде книг.
Клейн был не только ученым-теоретиком, но и историком и
популяризатором науки. Им написаны книги «Элементарная
математика с точки зрения высшей», «Высшая геометрия», «Лекции
об икосаэдре», «Четыре знаменитые задачи древности», «Лекции о
развитии математики в XIX столетии».
Пуанкаре
Пуанкаре представлял собой тип подлинного
гения, который всюду с первого взгляда схватывает
самое существенное. Он в равной мере владел
геометрией и анализом, дар открытия и умение
доказывать находились у него в полном равновесии.
Ф. Клейн
Жюль Анри Пуанкаре (1854—1912) родился в Нанси
(Лотарингия, Франция) в семье врача Леона Пуанкаре. Он является
двоюродным братом президента Франции с 1913 по 1920 г. Раймона
Пуанкаре. Родственников удивляла и тревожила необычная рассеянность
маленького Анри, о которой будут рассказывать легенды. Она
свидетельствовала о его врожденной способности почти полностью
отвлекаться от окружающей действительности, глубоко уходя в свой
313

внутренний мир. В детстве Анри заболел дифтерией с осложнением
в виде паралича ног и мягкого неба. Паралич ног отступил быстро,
но говорить мальчик долго не мог. Для лежащего Анри слух стал
единственным связующим звеном с остальной частью дома.
Много лет спустя психологи, обследуя гениального ученого, отметили
у него красочное восприятие звуков. Каждый гласный звук
ассоциировался у него с каким-то цветом. Эта способность сохранилась
до конца жизни. После болезни Анри очень переменился не только
внешне, но и внутренне. Он стал робким, мягким и застенчивым.
Его отличная слуховая память перешла в своеобразную, резко
индивидуальную манеру усвоения знаний без фиксации на бумаге. На
всю жизнь осталось у него пренебрежение к «писанине».
Пуанкаре был прилежным, любознательным учеником.
Несмотря на успехи в математике, он учился на отделении словесности,
усиленно штудируя латынь, изучая античных и новых классиков.
В 1871 г. он стал бакалавром словесности и изъявил желание
участвовать в экзаменах на степень бакалавра наук. Подвела его
письменная работа по математике, которую Анри попросту провалил.
Университетские профессора отнеслись к его провалу как к досадному
недоразумению, и ему была присуждена степень бакалавра наук.
В октябре 1873 г. Анри поступил в Политехническую школу в
Париже, а в 1875 г. — в Горный институт, куда принимались
наиболее выдающиеся выпускники Политехнической школы.
С 1879 г. он начал преподавать математику в высших учебных
заведениях. Два года он вел курс математического анализа на
факультете наук в Кане, где опубликовал серию из 25 заметок и
несколько обширных работ. Эти работы привлекли внимание Вейер-
штрасса, о чем он написал в письме к Софье Ковалевской.
Пуанкаре предложили в 1881г. должность преподавателя на факультете
наук в Парижском университете. Сначала он преподавал анализ, с
1885 г. — математическую физику, с 1896 г. — астрономию.
В 1887 г. Пуанкаре был избран членом Парижской Академии
наук и, «обрастая» все новыми и новыми почетными постами и
званиями, вскоре сделался признанным главой французской
математики. После смерти Коши до Пуанкаре этот почетный статус имел
профессор Нормальной школы и Парижского университета Шарль
Эрмит.
314

Лекции, которые Пуанкаре читал в Сорбонне, каждый год по
новому курсу, были изданы слушателями. Эти лекции
охватывают обширную область точных наук: теорию потенциала, оптику,
электричество, теплопроводность, капиллярность,
электромагнетизм, гидродинамику, небесную механику, термодинамику, теорию
вероятностей. Пуанкаре опубликовал большое число работ по ав-
томорфным и фуксовым функциям, по дифференциальным
уравнениям, по топологии и по основам математики. Его считают первым
математиком мира на рубеже XIX и XX вв.
Питая особый интерес к задачам небесной механики (особенно
к проблеме трех тел), Пуанкаре для их решения исследовал
расходящиеся ряды и построил свою теорию асимптотических
разложений, разрабатывал теорию интегральных инвариантов, исследовал
устойчивость орбит и форму небесных тел.
Подобно Эйлеру, Пуанкаре за короткий срок переосмыслил и
обновил складывающийся в течение двух столетий
математический аппарат небесной механики. В трехтомном трактате «Новые
методы небесной механики» (1892—1899) он исследовал
периодические и асимптотические решения дифференциальных уравнений,
ввел методы малого параметра, метод неподвижных точек. Метод
интегральных инвариантов, использованный Пуанкаре, стал
классическим средством теоретического исследования не только в
механике и астрономии, но и в статистической физике, и в квантовой
механике. Его вклад в небесную механику был столь
значительным, что на вакантное место главы кафедры небесной механики
Сорбонны он утверждается единогласно. Оставив кафедру
математической физики и теории вероятностей, которой руководил 10 лет,
с осени 1896 г. профессор Пуанкаре уже ведет курсы по некоторым
разделам небесной механики. Работая над вопросами небесной
механики, он одновременно закладывает основы топологии.
В начале XX в. Пуанкаре и Гильберт считались крупнейшими
математиками планеты. Между ними разгорелась дискуссия на
тему «Формализуема ли математика?». Ход этой дискуссии осветил
И.Р. Шафаревич в докладе, сделанном 28 сентября 1993 г. на
собрании Японского математического общества.
315

Гильберт считал, что математика формализуема, и путем ее фор- ,'
мализации надеялся получить доказательство непротиворечивости |
арифметики. Пуанкаре не соглашался с ним. Позже теорема непол- '
ноты Геделя, по-видимому, позволила решить вопрос в пользу
Пуанкаре.
Пуанкаре подчеркивает роль интуиции в математическом
рассуждении. Он говорит, что математическое рассуждение имеет «род
творческой силы» и тем отличается от цепи силлогизмов. Особым
образом он выделяет математическую интуицию, которая, как он
считал, содержит бесконечное число силлогизмов, как бы сжатое
в одной формуле. Читая его высказывание о том, что математик в
принципе отличается от шахматиста тем, что он не может быть
заменен никаким механическим устройством, можно предложить, что
ему не хватало лишь нужного термина, чтобы сформулировать свою
мысль короче: «математик не может быть заменен компьютером».
Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического
чувства в математическом творчестве. Он говорит, что
математическое открытие приносит чувство наслаждения. Если бы математика
была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем —
для ее освоения требовалась бы лишь хорошая память. Известно,
что большинству людей математика дается с трудом. Пуанкаре
видит причину этого в том, что силлогизмы складываются в
математике в «структуру», обладающую красотой. Чтобы понимать
математику, надо «увидеть» эту красоту, а для этого требуются
эстетические способности, которыми обладают не все.
В 1905 г. Венгерская Академия наук учредила премию в 10 тыс.
золотых крон ученому, чей вклад в развитие математики за
последние 25 лет был наибольшим. Эта премия стала известна как премия
Больяй. Фактически на нее претендовали только двое —
Пуанкаре и Гильберт. Премию вручили Пуанкаре, математическая карьера
которого началась в 1879 г., когда Гильберт был еще учеником
гимназии.
Пуанкаре оказал самое непосредственное влияние на
развитие теоретической мысли в период кризиса классической физики.
В 1904 г. на Международном конгрессе математиков в Сен-Луи
316

(США) он сформулировал закон, который позже назвал
постулатом относительности. Летом 1905 г. в статье «О динамике
электрона» он изложил идеи, вошедшие основной частью в теорию
относительности Эйнштейна. Теория относительности не
родилась бы в голове Эйнштейна, если бы с ранней юности в ней не
поселилась неотвязная мысль: «Как соотносятся математика и
реальный мир?». Пуанкаре считал — никак. По его мнению, каждый
может выбирать себе любую геометрию — Евклида, Лобачевского,
Римана или свою собственную непротиворечивую систему аксиом,
из которой логически следуют все теоремы. Быть может, именно
это «заблуждение» помешало Пуанкаре открыть теорию
относительности, ведь математически он был подкован лучше
Эйнштейна, который считал, что ученый не волен в выборе геометрии, его
математика должна проверяться окружающим миром. Тезис о
произвольности геометрии в начале XX в. был для физиков слишком
революционным, и они к нему не были готовы. По-настоящему они
восприняли его только во второй половине XX в.
Деятельность Пуанкаре отличалась исключительной
продуктивностью и многосторонностью. Даже в последние годы жизни
он с удивительной легкостью входил в курс любых проблем,
возникающих в точных науках, и творчески развивал их, всюду пролагая
новые пути. Пуанкаре является основателем комбинаторной
топологии. Он преобразовал «истинно топологическую» формулу
Эйлера для вершин, ребер и граней многогранников таким образом, что
она стала применима для пространств любого числа измерений.
Подобно Коши, Пуанкаре публиковал свои работы очень быстро
и потому не всегда тщательно отделывал их, особенно ранние.
Впоследствии у него развился блестящий и ясный стиль, который в
сочетании с неисчерпаемым запасом замечательных по своей глубине
идей принес огромный успех его трудам по философии математики,
получившим широкую известность.
Американский историк науки Е. Белл отметил многогранность
научного мышления Пуанкаре, назвав его «последним
универсалистом». Последним потому, что им и Гильбертом замыкается
шеренга великих математиков, снискавших славу универсалистов.
317

Гильберт
Давид Гильберт был одним из истинно великих
математиков своего времени. Его труды и его
вдохновляющая личность ученого оказали глубокое
влияние на развитие математических наук вплоть
до настоящего времени. Его проникновенная
интуиция, его творческая мощь и неповторимая
оригинальность математического мышления, широта
и разносторонность интересов сделали его
первооткрывателем во многих областях математики.
Это была единственная в своем роде личность,
глубоко погруженная в работу и полностью
преданная науке, учитель и руководитель самого
высокого класса, вдохновляющий и крайне
великодушный, не знающий усталости и настойчивый во
всех своих устремлениях.
Р. Курант
Давид Гильберт (1862—1943) родился в городке Велау вблизи
Кенигсберга в семье окружного судьи Отто Гильберта и дочери
купца Марии Терезы. Отец учил его пунктуальности, бережливости,
дисциплине и уважению к закону. Мать дала ему первые уроки
математики и астрономии.
Осенью 1880 г. после окончания лучшей гимназии города
Кенигсберга, в которой ранее учился Иммануил Кант, Давид поступил
на математический курс философского факультета Кенигсбергско-
го университета. В то время студенты часто переходили из
одного университета в другой. Во втором семестре Гильберт учился в
Гейдельбергском университете, а затем вернулся в Кенигсбергский
университет. Весной 1882 г. он подружился с будущим знаменитым
математиком Германом Минковским.
После окончания университета Гильберт защитил
диссертацию, в которой исследовал свойства инвариантности некоторых
алгебраических форм. Тему, предложенную ему научным
руководителем Линдеманом, Гильберт раскрыл новым, оригинальным
способом. Полученная степень доктора философии не давала
права читать лекции. Чтобы иметь право стать учителем гимназии,
Гильберт решил сдавать государственный экзамен. Сдав его в мае
318

] 885 г., он поехал в Лейпциг к Клейну. Доклад Гильберта на
семинаре в Лейпциге в 1885 г. понравился Клейну, который позже
писал: «Когда я услышал его доклад, я сразу же понял, что у этого
человека большое будущее в математике» [84, с. 31].
Летом 1886 г. в Париже Гильберт познакомился с
известными французскими математиками Пуанкаре, Жорданом и Эрмитом.
В Кенигсберге в июле 1886 г. он получил звание приват-доцента,
дающее право на чтение лекций, и решил в каждом семестре читать
лекции по разным курсам, не повторяясь.
В 1888 г. Гильберт поехал в Эрланген, где встретился с «королем
инвариантов» Паулем Горданом. В теории инвариантов в то время
в течение 20 лет существовала проблема Гордана, являющаяся
чисто математической и вызванная внутренним развитием
математики. Нужно было проверить, существует ли базис, т. е. конечная
система инвариантов, через которые рационально выражается любой
другой из бесконечного числа инвариантов.
Гильберт увлекся этой проблемой и 6 сентября 1888 г. послал
короткую заметку в журнал Геттингенского научного общества, в
которой сделал набросок совершенно неожиданного и
оригинального способа доказательства теоремы Гордана для форм от любого
числа неизвестных. Решение Гильберта не было конструктивным:
оно лишь доказывало существование базиса, но не давало явной
конструкции для его построения. Оно не понравилось Гордану,
который заявил: «Это не математика. Это теология» [45, с. 366].
Гордая был против публикации доказательства в таком виде, а Гильберт
ничего не хотел менять. Позже, в 1892 г., ему удалось предложить
метод, позволяющий за конечное число шагов получить искомую
конструкцию [45].
Гильберт был первым, кто осознал глубокое значение и силу
косвенных, не конструктивных доказательств. При решении
проблемы Гордана он нашел свой метод, которым в дальнейшем
успешно пользовался. Многим математикам метод Гильберта был чужд.
Линдеман считал этот метод неудобным, чудовищным,
сверхъестественным, и только Клейн оценил его перспективность. В работе
Гильберта, которую Клейн взял с собой в Чикаго на
Международный конгресс математиков в честь основания Чикагского
университета, сказано: «В истории математической теории легко
различаются три фазы развития: наивная, формальная и критическая. Что
319

касается теории алгебраических инвариантов, то ее первых
основателей Кэли и Сильвестра можно рассматривать как
представителей наивного периода: разрабатывая простейшие понятия
инвариантности и изящно применяя их к решениям уравнений первой
степени, они испытали первые радости открытия. Клебш и Гордан,
которые изобрели и привели в совершенство символическое
исчисление, были лидерами второго периода. Критический период
нашел свое выражение в теоремах, которые я перечислил выше...»
[45, с. 54—55]. Это были собственные теоремы Гильберта.
После решения проблемы Гордана Гильберт больше не
занимался теорией инвариантов, которая была развита практически до
конца.
В октябре 1892 г. Гильберт дал новое доказательство
трансцендентности чисел е (впервые получено Эрмитом) и 7г (впервые
получено Линдеманом). Он получил должность профессора и
интенсивно занялся теорией чисел. Немецким математическим обществом
ему было поручено подготовить обзор по теории чисел и отобрать
идеи, наиболее перспективные для дальнейших исследований. На
эту работу ушло три года.
Гильберт обнаружил глубокие связи между теорией чисел и
другими разделами математики. Его монументальный обзор появился
в 1896 г. Заполнив пробелы большим количеством своих
собственных исследований, он придал теории чисел величественную
унифицированную форму. Результаты, опубликованные им, значительно
превосходили то, что ожидало от него Математическое общество.
Позднее их назвали истинной жемчужиной математической
литературы. Применяя для решения проблем новые методы, намного
превосходившие по элегантности и простоте методы,
использовавшиеся до него, Гильберт дал новую жизнь теоретико-множественным
работам XIX в. и указал направление для работ XX в.
В 1895 г. по приглашению Клейна Гильберт приезжает в Гет-
тинген. Он продолжает исследования по теории чисел. Главный его
интерес состоял в обобщении закона взаимности на поля
алгебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон
взаимности, известный еще Лежандру и строго доказанный
восемнадцатилетним Гауссом, считался жемчужиной теории чисел.
Гильберту удалось переформулировать его и изложить в простой и кра-
320

сивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических
чисел. Это позволило ему угадать формулировку закона взаимности
для степеней, бблыпих двух, хотя он и не смог доказать его для всех
случаев.
Венцом разработок в этой области была статья Гильберта «О
теории относительно абелевых полей». В этой программной работе
он дал набросок обширной теории, получившей известность как
теория полей классов. Здесь была явно продемонстрирована
выдающаяся математическая интуиция Гильберта. Статье суждено
было открыть исследования по полям алгебраических чисел, но этим
занимались другие математики, так как Гильберта заинтересовала
геометрия, курс которой он начал читать в 1898—1899 гг.
После открытия неевклидовых геометрий некоторые
математики пытались исключить все скрытые предположения, нарушающие
логическую красоту труда Евклида. Наибольших результатов
достигли Паш, исключивший все оплошности, и Пеано, который
перевел результаты Паша на язык символической логики. Гильберт
решил представить в классических рамках современную точку зрения
с еще большей ясностью, чем это сделали его предшественники.
Он положил в основы геометрии простой и полный список
независимых аксиом, позволяющих доказать все теоремы геометрии
Евклида. В 1899 г. он публикует небольшую по объему классическую
книгу «Основания геометрии», в которой систематически излагает
все полученные им результаты. Эпиграфом к своей работе Гильберт
выбрал цитату из Канта: «Любое человеческое знание начинается с
интуиции, затем переходит к понятиям и завершается идеями» [84,
с. 85]. Книга получила восторженные отзывы и стала
математическим «бестселлером». Один из рецензентов писал: «Широкое
распространение принципов этой работы принесет много пользы для
логического метода в любой науке и для ясного мышления и
выражения мысли вообще» [84, с. 86]. Созданный Гильбертом метод
изложения материала в последующие годы стал общепринятым и
получил название «метаматематика».
Установив образец современного строгого мышления в виде
традиционной лестницы — первичные понятия, аксиомы,
теоремы, — Гильберт потребовал, чтобы система аксиом удовлетворяла
следующим условиям:
1 1 Математика древняя и юная
321

— она должна быть полной, т. е. такой, чтобы из нее можно было
вывести любую теорему;
— она должна быть независимой, т. е. отсутствие одной из
аксиом системы делает невозможным доказательство по крайней мере
одной теоремы;
— она должна быть непротиворечивой, т. е. не позволяющей
получать противоречащие друг другу теоремы.
Характерное для Гильберта сочетание абстрактной точки
зрения и конкретного традиционного языка было особенно
эффективным. Он исследовал взаимную независимость своих аксиом. Его
метод основан на построении моделей, причем если модель
противоречит одной из аксиом и удовлетворяет требованиям остальных
аксиом, значит, первая аксиома не является следствием остальных.
Одна из знаменитых проблем математики конца XIX в.
называлась принципом Дирихле. Этим принципом пользовался Риман
в своей докторской диссертации в 1851 г., он же дал принципу и
название. По Риману, задача, которая «разумна физически», будет
«разумна математически». На физической интуиции было основано
предположение, что всегда существует решение краевой задачи для
уравнения Лапласа. Гаусс считал, что эта задача может быть
сведена к задаче минимизации двойного интеграла функций с
непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные
значения. Для одной из этих функций интеграл должен принимать
точную нижнюю границу своих значений. Рассуждение такого рода
и называлось принципом Дирихле. Вейерштрасс подверг принцип
Дирихле критике, уже после смерти Римана указав пример, в
котором нельзя было найти функцию, минимизирующую интеграл. Это
могло означать конец принципа Дирихле, и математики потеряли
всякую надежду на его «спасение».
В сентябре 1899 г. Гильберт смог предъявить статью,
являющуюся, как он говорил, первой попыткой «воскрешения принципа
Дирихле». В этой статье объемом менее пяти страниц он показал, что
при более сильных ограничениях на функции, участвующие в
задаче, можно добиться того, что принцип Дирихле будет выполняться.
Спустя шесть лет Гильберт привел второе доказательство
возможности применения принципа Дирихле.
322

Под влиянием Гильберта физик Вальтер Ритц создал мощный
метод для численного решения краевых задач, описываемых
дифференциальными уравнениями в частных производных. С
развитием ЭВМ метод Ритца стал эффективным средством
вычислительной математики.
В Париже летом 1900 г. состоялся II Международный конгресс
математиков, где Гильберту было предложено выступить с
докладом. Он сделал доклад о перспективах развития математики в XX в.
и сформулировал проблемы, решение которых, по его убеждению,
сыграет важную роль в прогрессе математики в наступающем
столетии.
Первые шесть проблем относились к основам математики.
В них сказывалось влияние недавней работы по основам геометрии
и энтузиазм Гильберта по поводу возможностей аксиоматического
подхода. Другие проблемы были более специальными и
индивидуальными, частью старыми и хорошо известными, частью новыми,
однако все они затрагивали прошлые, настоящие или будущие
интересы Гильберта.
Доклад Гильберта полностью захватил воображение всего
математического мира. Авторитет Гильберта давал основание
надеяться, что перечисленные проблемы удовлетворяют
сформулированным им критериям великих математических проблем и что настанет
время, когда они будут полностью решены. Его быстро растущая
слава обещала всеобщее признание любому математику, который
решит хотя бы одну из сформулированных проблем (подробнее об
этом см. в гл. 19).
Зимой 1900—1901 гг. один студент из Швеции принес на
семинар Гильберта работу шведского ученого Ивара Фредгольма по
интегральным уравнениям. Со времен Абеля теория интегральных
уравнений развивалась очень медленно. Фредгольм дал красивое
решение одного класса таких уравнений, которое открывало
соблазнительную аналогию между интегральными и алгебраическими
линейными уравнениями.
Интегральные уравнения полностью захватили Гильберта. В
первой работе, опубликованной в виде сообщения Геттингенского
научного общества, он предложил простой и оригинальный вариант
теории Фредгольма, который раскрывал ее основную идею более
ч* 323

точно, чем работа самого Фредгольма. Гильберт пришел к выводу,
что уравнения Фредгольма смогут приоткрыть завесу над серией
ранее недоступных проблем анализа и математической физики.
В 1904 г. Гильберт посылает в Геттингенское научное общество
второе сообщение, в котором он представляет аналог приведения
квадратичной формы от п переменных к главным осям. Используя
связанную с этим комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии,
он развил свою теорию собственных функций и собственных
значений, тесно связанную с физической теорией собственных
колебаний.
Гильберт идет дальше и создает теорию бесконечно многих
переменных, ставшую широко известной как теория гильбертовых
пространств. В ней он доказывает спектральную теорему — одну
из самых великих своих теорем. Эта теорема, подобно теореме о
приведении квадратичной формы к сумме квадратов в
конечномерных пространствах, позволяет классифицировать
самосопряженные операторы в бесконечномерных пространствах.
Авторитет Гильберта в начале XX в. был огромен. Чтобы
послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда до нескольких
сотен человек. Ни состав, ни количество слушателей не производили
на него впечатления. Известный польский математик Гуго Штейн-
гауз писал: «Если бы сам император вошел в зал, Гильберт не
прореагировал бы» [84, с. 138].
Когда в 1905 г. первую премию Больяй вручили Пуанкаре,
комитет по премиям отметил математические работы Гильберта наравне
с работами Пуанкаре. Осенью 1910 г. Венгерская Академия наук
объявила о присуждении второй премии Больяй «Давиду
Гильберту, который глубиной мыслей, оригинальностью методов и
строгой логикой доказательств уже оказал значительное влияние на
прогресс математических наук» [84, с. 165]. Пуанкаре, готовивший
общий обзор работ Гильберта, счел нужным упомянуть о таких
качествах Гильберта, как разнообразие интересов, важность
решаемых проблем, элегантность и простота методов, ясность изложения
и забота об абсолютной строгости. Он также высоко ценил
удобочитаемость работ Гильберта. О доказательстве теоремы Гордана
Пуанкаре писал: «Невозможно лучше оценить прогресс,
достигнутый господином Гильбертом, чем сравнить количество страниц,
324

потраченных Горданом на свое доказательство, с теми строчками,
в которые уложилось доказательство господина Гильберта» [84,
с. 165].
Доклад Пуанкаре практически подводил итог работам
Гильберта в конструктивной математике, так как интересы Гильберта
изменились. По словам немецкого физика Пауля Эвальда, программу
Гильберта того времени можно было выразить так: «Мы
преобразовали математику, теперь очередь за физикой, а затем мы перейдем
к химии» [84, с. 170].
В 1912 г. Гильберт начинает заниматься физикой, главной
целью считая введение аксиоматики в физике. Он полагал, что в
физике, несмотря на ее триумфальные достижения, отсутствует
порядок. К сожалению, десятилетняя работа над этой проблемой не
привела к ожидаемым результатам, так как многообразие
экспериментальных фактов огромно, их накопление происходит слишком
быстро, а их значение и относительный вес слишком изменчивы,
чтобы аксиоматический метод в физике был бы так же полезен, как
в математике.
Успехами Гильберта можно считать применение им
интегральных уравнений в кинетической теории газов и элементарной
теории излучения. Его асимптотическое решение фундаментального
уравнения Максвелла — Больцмана, интегрального уравнения
второго порядка, позволило четко разделить две группы
экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория.
Работа Гильберта по общей теории относительности может
рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и
электромагнетизма.
Вновь вернуться к математике Гильберта заставил глубокий
кризис ее основ. Аксиоматический подход начал давать сбои.
Первыми предвестниками такого кризиса были открытые в теории
множеств парадоксы. Появилось новое направление в математике,
получившее название интуиционизма. В соответствии с
концепциями интуиционизма от многого, включая теоремы существования,
основную часть анализа, канторовскую теорию бесконечных
множеств, нужно отказаться.
Гильберт не мог принять такое «увечье» математики. Он
предложил превратить математику в формализованную систему, объек-
325

ты которой — математические теоремы и доказательства —
выражались бы на языке символической логики в виде предложений,
имеющих только символическую, а не смысловую структуру. Эти
объекты должны быть выбраны так, чтобы адекватно представлять
данную математическую теорию, т. е. охватывать совокупность
всех ее теорем. Непротиворечивость этой формальной системы
будет доказываться с помощью методов, которые Гильберт назвал
финитными. Под финитностью понималось, что рассматриваемые
суждения, утверждения или определения должны точно
соответствовать объекту, используемые методы должны отличаться явной
практичностью, чтобы их можно было эффективно контролировать.
Таким образом можно было бы преодолеть кризис основ
математики и избавиться от него раз и навсегда.
В 1930 г. Курт Гедель, 25-летний специалист по математической
логике, опубликовал статью, в которой был сделан вывод, нанесший
смертельный удар по планам Гильберта. Ему удалось строго
доказать неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал
теорему, из которой следует, что не существует финитного
доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно
полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения
(подробнее см. в гл. 30).
Но все же надо сказать, что подход Гильберта значительно
обогатил и поднял на совершенно новый уровень всю математическую
логику.
В последние годы жизни Гильберт продолжал напряженно
трудиться. Время не очень изменило его, лишь подчеркнуло интеллект.
К старости его внешность производила большее впечатление, чем
в молодости. Доклады Гильберта в Геттингенском научном
обществе по-прежнему служили высоким образцом простоты и
легкости. Требования к качеству докладов по математике у него были
очень высокими. Грубость, с которой он мог обрушиться на того,
чей доклад не соответствовал его требованиям, была хорошо
известна. Многие крупные математики Европы и Америки опасались
читать доклады в Геттингене.
Но состояние здоровья Гильберта постоянно ухудшалось.
Осенью 1925 г. было определено, что он страдает злокачественной
анемией. Благодаря участию математиков разных континентов его уда-
326

лось вылечить с помощью нового способа лечения этой болезни, к
тому времени открытого в Америке.
Нельзя не отметить мужественную гражданскую позицию
Гильберта во время второй мировой войны. В период нацизма
семидесятитрехлетний отставной профессор продолжал шокировать
окружающих своими парадоксальными высказываниями и
пытался бороться против запрещения его коллегам и ученикам еврейской
национальности работать в университете. Ему самому пришлось
давать объяснение, почему он, пруссак, ариец, носит библейское
имя Давид. Вслед за евреями, спасаясь от нацистского режима,
один за другим уехали из Германии его друзья, ученики и коллеги.
В день его смерти 14 февраля 1943 г. рядом с ним была только его
жена. В последний путь его проводили не более дюжины человек.
Со смертью Гильберта математика потеряла одного из своих
великих мастеров. После него едва ли можно встретить
математика, чья работа не была бы связана в той или иной степени с
работами Гильберта. Его имя навсегда останется в истории
математики, в таких названиях, как «гильбертово пространство»,
«неравенство Гильберта», «преобразование Гильберта», «инвариантный
интеграл Гильберта», «теорема Гильберта о неприводимости»,
«теорема Гильберта о базисе», «аксиомы Гильберта», «подгруппа
Гильберта», «поле классов Гильберта», «символ Гильберта».
Лебег
Анри Лебег (1875—1941) — сын французского
рабочего-печатника, один из немногих в его время ученых пролетарского
происхождения. Его отец рано умер, и школьные годы были очень трудными
для Анри в материальном отношении. Настойчивость и блестящие
способности позволили юноше успешно закончить среднюю школу
и поступить в Нормальную школу в Париже. Ее диплом давал ему
возможность стать учителем средней школы. Окончив Нормальную
школу в 1897 г., Лебег стал преподавать математику в одном из
лицеев Нанси.
Несмотря на большую педагогическую нагрузку, за три года
он написал замечательную диссертацию, опубликованную под
названием «Интеграл — длина — площадь». Диссертация содержала
327

теорию меры точечных множеств и теорию интеграла, который
стал называться интегралом Лебега. Идеи Лебега казались
ведущим французским математикам конца XIX в. слишком смелыми, и
диссертация была допущена к защите только в 1902 г.
После защиты диссертации Лебег до 1910 г. работал
преподавателем в провинциальных университетах. В 1910 г. его заслуги
получили признание и он переехал в Париж. В 1921 г. он занимает
кафедру во Французском коллеже, в 1922 г. избирается в Парижскую
Академию наук.
Последние 20 лет своей жизни Лебег занимался
педагогическими вопросами и историей науки.
Рамануджан
Шриниваса Рамануджан (1887—1920) — величайший
математик Индии XX в. Родился он в Южной Индии в семье бедного
брахмана. Не имея возможности получить надлежащее образование, он
стал клерком в Мадрасской портовой корпорации. Однако часы
досуга он посвящал математике. По счастливой случайности один
математик послал некоторые его любительские работы в
Кембриджский университет в Англии. Эти работы произвели впечатление на
ученых, и Рамануджан получил стипендию. Тогда он бросил
работу конторщика и поехал в 1914 г. в Кембридж. Кембриджские
математики были изумлены глубиной его познаний в одних вопросах и
полной неосведомленностью в других.
Основная часть опубликованных работ Рамануджана была
написана им самостоятельно или в соавторстве с Годфри Харолдом
Харди. Работы отличались большой ценностью и удивительной
оригинальностью.
Рамануджана ярко характеризует случай, рассказанный Харди
на одной из лекций. Харди нанял кэб и отправился навестить
Рамануджана, когда тот гостил в Англии. На квартире Рамануджана
Харди сказал, что приехал на кэбе, порядковый номер которого,
равный 1729, является очень скучным числом. Рамануджан возразил,
что это очень интересное число. Это минимальное из всех чисел,
которые можно двумя различными способами представить в виде
суммы двух кубов. Действительно, 1729 = 93 + 103 = 123 + I3.
328

Не имея возможности получить математическое образование,
Рамануджан сам для себя воссоздал большие области математики
прошлого. Он заново открыл целые математические миры, над
созданием которых трудились поколения европейских ученых. В этих
классических областях математики он нашел такие глубины, о
существовании которых и не подозревали его предшественники и
которые повергли в изумление лучших современных ему
математиков.
Занимаясь теорией чисел, Рамануджан добился многих
замечательных результатов. Совместно с Харди им получены
приближенные формулы для количества Rn всех возможных разбиений
числа п. Простейшая из этих формул имеет вид
Rn —
1
0-к^ы/г
4V3n
К шедеврам математики относится найденное Рамануджаном
соотношение
а + Ъ =
где
1 1 1
а = Ц 1 1 1-
1-3 1-3-5 1-3-5-7
Ь =
1
1 +
1 +
1 +
1 +
1 + ...
Ни бесконечный ряд а, ни цепная дробь Ь по отдельности не
выражаются через числа 7Г и е, а в сумме они дают поразительную
комбинацию [113].
Лондонское Королевское общество, несколько вопреки
традиции, в 1918 г. сделало Рамануджана своим членом, и одновременно
он был избран профессором Кембриджского университета.
Непривычный для Рамануджана сырой английский климат, условия
военного и послевоенного времени, а также его недоверие к
английским врачам и настойчивое соблюдение неподходящей диеты окон-
329

чательно подорвали его здоровье. Он имел от рождения слабые
легкие, и его болезнь перешла в открытую форму туберкулеза. Он умер
в возрасте 33 лет. По словам Харди, Рамануджан был чемпионом
каждой игры, правила которой знал. Многие считают Рамануджана
одним из величайших математиков XX в.
Герман Вейль
Герман Вейль (1885—1955) родился в небольшом городке Эльм-
схорне недалеко от Гамбурга в семье управляющего местным
банком. По окончании в 1904 г. гимназии он поступил в Геттингенский
университет. Директор гимназии, в которой он учился, был
двоюродным братом Гильберта, он и направил одаренного ученика к
своему знаменитому кузену. Вейль стал одним из лучших
учеников Гильберта. Кроме Давида Гильберта огромное влияние на Вей-
ля оказали Клейн, также преподававший в то время в Геттингенском
университете, и голландец Брауэр.
В 1908 г. Вейль окончил университет, защитил диссертацию,
посвященную сингулярным краевым задачам для обыкновенных
дифференциальных уравнений, и получил степень доктора философии.
В 1908—1913 гг. он читал лекции в Геттингенском университете.
Первая его книга «Идея римановой поверхности» (1913) является
синтезом развиваемых Клейном идей теории функций,
топологических идей, идущих от Брауэра, и дифференциально-геометрических
идей Гильберта. Книга отличается высокими педагогическими и
чисто литературными достоинствами.
Если Гильберт гордо именовал себя «чистым» математиком,
а Клейн проявлял глубокий интерес к физике и физическим
соображениям, то для Вейля характерен сплав чисто математических
и физических увлечений, в связи с чем в его работах
математические построения являются фундаментом для содержательных
физических теорий, а физические соображения зачастую являются
основополагающими для изящных математических конструкций.
Совместное влияние Гильберта и Клейна на Вейля и явилось
основой его универсальности, глубокого понимания сущности
«математики в целом», не отделимого от внимания и интереса к самым
разным разделам математики и к конкретным задачам.
330

В 1913 г. Вейль переехал из Геттингена в Цюрих и стал работать
на одной кафедре с Эйнштейном, занимавшимся в то время общей
теорией относительности. В 1917 г., через год после выхода
работы Эйнштейна, по общей теории относительности Вейль уже читал
лекции по этому курсу. Эти лекции составили содержание его книги
«Пространство, время, материя», вышедшей в 1918 г.,
переиздававшейся почти каждый год и переведенной на многие европейские
языки. В ней Вейль сформулировал свою систему аксиом
геометрии, в основе которой лежат понятия «вектор» и «точка», а
основными (неопределяемыми) отношениями являются алгебраические
операции векторной алгебры. Эта книга, являющаяся классическим
произведением и по физике, и по геометрии, в 1925 г. получила
престижную международную премию имени Н.И. Лобачевского.
За 10 лет, с 1913 по 1923 г., Вейль опубликовал пять книг и
40 статей, в том числе книгу «Математический анализ проблем
пространства». Работы Вейля посвящены теории дифференциальных
уравнений, вопросам распространения электромагнитных волн,
общей теории относительности Эйнштейна, дифференциальной
геометрии обобщенных пространств, топологии, вопросам
статистической физики, теории чисел, вопросам обоснования математики,
философии науки, проблемам математической логики.
Уже в 1918 г. вышла в свет небольшая книга Вейля
«Континуум». В ней Вейль, так же как Брауэр и Гейтинг, предстал как
крупнейший представитель интуиционизма. В «Континууме» изложена
попытка обоснования математического анализа, отличавшая Вейля
от Брауэра. Однако в 1921 г. в работе «О новом кризисе основ
математики» Вейль отказался от своей трактовки и присоединился к
Брауэру.
Новое большое направление математического творчества, на
долгие годы ставшее для Вейля основным, было начато рядом
публикаций в 1924 г. Это были работы по теории представлений
групп преобразований, теории инвариантов этих групп и
физическим приложениям этих теорий. Во второй половине 20-х годов
XX в. Вейль вносит существенный вклад в квантовую механику
не только своими работами и книгой «Теория групп и квантовая
механика», в которой развивалась общая теория симметрии, но и
личным общением с создателями новой физики — Шредингером,
331

Борном, Паули. Он находит новую, интегральную, форму
перестановочных соотношений, ставшую особенно полезной в квантовой
теории поля, и указывает физикам, что «дырки» в теории Дирака
не могут быть протонами. Эти годы для Вейля — время
напряженных философских поисков и раздумий. В 1926 г. выходит его книга
«Философия математики и естествознания».
До 1930 г. Вейль жил в Цюрихе. Его часто приглашали занять
кафедры в немецких университетах. Не без колебаний он отклонял
эти приглашения, но перед соблазном стать преемником своего
учителя в Геттингене не устоял. Когда в 1930 г. Гильберту
предложили переехать из Геттингена в Берлин, он согласился при условии,
что возглавляемая им кафедра (которой когда-то руководил Гаусс),
будет передана Вейлю. Вейль позже говорил, что три года (1930—
1933) работы в Геттингене были худшими в его жизни, потому что
это было время становления фашизма в Германии.
В 1933 г. после фашистского переворота Вейль переехал в
США, в Принстон, куда перебрался и Эйнштейн. До своей
отставки в 1951 г. Вейль работал в Институте перспективных
исследований. Среди его коллег по институту — Нейман, Эйнштейн, Гедель,
Паули.
В 1930-х годах в Америке Вейлем написаны работы по
комплексному умножению абелевых функций, по теории потенциала,
дифференциальной геометрии, механике. В 1951 г. он вернулся в
Цюрих. В 1955 г., 8 декабря, менее чем через месяц после банкета
в ознаменование семидесятилетия Вейля, он скончался.
Герман Вейль принадлежит к числу классиков математической
науки, внесших вклад в арифметику (теория чисел) и алгебру, в
геометрию и анализ. Основной идеей Вейля, которая оказала
огромное влияние на развитие математики и физики, является общая идея
симметрии.

Глава 19
МЕЖДУНАРОДНЫЕ КОНГРЕССЫ МАТЕМАТИКОВ
Единый характер математики обусловлен
внутренним существом этой науки; ведь математика —
основа всего точного естествознания. А для того
чтобы в совершенстве выполнить это высокое
назначение, пусть в грядущем столетии она обретет
гениальных мастеров и многочисленных,
пылающих благородным рвением приверженцев.
Д. Гильберт
I Международный конгресс математиков
В 1897 г. в Цюрихе состоялся I Международный конгресс
математиков, собравший более 200 участников. Судя по основным
докладам, в центре внимания тогда были следующие разделы
математики: теория множеств (доклад Г. Кантора, Германия), теория
аналитических функций (доклад А. Гурвица, Швейцария),
функциональный анализ (доклад В. Вольтерры, Италия), математическая
логика (доклад Дж. Пеано, Италия), связь между чистым анализом
и математической физикой (доклад А. Пуанкаре, Франция), новая
геометрия, теория функций комплексного переменного и теория
групп (доклад Ф. Клейна, Германия). По словам Гильберта, из всех
докладов наибольшее впечатление на него произвели доклады
Гурвица и Пуанкаре.
333

Участник конгресса профессор Московского университета
Н.В. Бугаев (отец поэта Андрея Белого) читал на конгрессе
стихи сына.
II Международный конгресс математиков
Собравшийся на рубеже XIX и XX вв. II Международный
конгресс математиков имел судьбоносное значение. Он заслуживает
более подробного рассмотрения.
Проходил конгресс с 6 по 12 августа 1900 г. в Париже. Там
проводилась Всемирная выставка, и участникам конгресса было
предоставлено право бесплатного входа. Количественный состав
делегаций был таким: Франция прислала 90 человек, Германия — 25,
США — 17, Италия — 15, Бельгия — 13, Россия — 9, Австрия —
8, Швейцария — 8, Англия — 7, Швеция — 7, Дания — 4,
Голландия — 3, Испания — 3, Румыния — 3, Сербия — 2, Португалия —
2, Южная Америка — 4, Турция, Греция, Норвегия, Канада,
Япония, Мексика — по одному человеку. Всего — 226 человек.
Председательствовал на конгрессе А. Пуанкаре, почетным председателем
был Ш. Эрмит (на конгрессе отсутствовал).
Работало шесть секций:
1) по арифметике, алгебре (председатель Гильберт);
2) по анализу (председатель Пенлеве);
3) по геометрии (председатель Дарбу);
4) по механике и математической физике (председатель Лар-
мор);
5) по истории и библиографии математики (председатель принц
Роланд Бонапарт);
6) по преподаванию и методологии математики (председатель
Мориц Кантор); пятая и шестая секции работали вместе.
В день открытия конгресса на пленарном заседании состоялись
два часовых доклада: М. Кантора — об историографии математики
и В. Вольтерры — о научной деятельности итальянских
математиков Э. Бетти, Ф. Бриоски и Ф. Казорати. Затем начались секционные
заседания, на которых было сделано 46 сообщений [82].
На совместном заседании пятой и шестой секций 8 августа
1900 г. 38-летний Давид Гильберт прочитал доклад
«Математические проблемы».
334

Доклад Гильберта «Математические проблемы»
Доклад Гильберта — уникальное явление в истории
математики и в математической литературе. В нем сила математической
мысли соединилась с редкой широтой и разносторонностью анализа
состояния математики. Гильберт постоянно делал упор на то, что
математика едина, различные ее части находятся в постоянном
взаимодействии между собой и с естественными науками. В этом —
ключ к пониманию самой сущности математики и лучшее средство
против расщепления ее на отдельные, не связанные друг с другом
части.
При подготовке доклада Гильберт сформулировал 23 проблемы,
но во время доклада для сокращения времени он озвучил только 10
из них. При публикации доклада была проведена корректировка, и
число проблем увеличилось до 23.
Доклад начинается с общей части, в которой не только
говорится о значении для математики «хорошо поставленной» проблемы,
но и высказываются суждения о математической строгости.
Основные мысли, выраженные Гильбертом, таковы.
История учит, что развитие науки протекает непрерывно.
Каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или
решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить
их новыми. Всякая научная область жизнеспособна, пока в ней есть
избыток новых проблем. Недостаток их означает отмирание или
прекращение самостоятельного развития. Математическая
проблема должна быть настолько трудной, чтобы привлекать нас, и в то
же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными
наши усилия.
Решение должно быть таким, чтобы можно было убедиться в
правильности ответа с помощью конечного числа предпосылок,
которые кладутся в основу каждой задачи и которые должны быть
в каждом случае точно сформулированы. Это требование
логической дедукции с помощью конечного числа заключений есть не что
иное, как требование строгости проведенных доказательств.
Строгость доказательств соответствует общей философской
потребности нашего разума. Большая ошибка думать, что строгость в
доказательстве — это враг простоты. Строгие методы являются в то же
335

время простейшими и наиболее доступными. Стремление к
строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств. Не
верно, что совершенно строгие рассуждения применимы только к
понятиям анализа или даже одной лишь арифметики.
Причины неудач при решении проблем часто заключаются в
том, что мы не овладели достаточно общей точкой зрения, с
которой рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным
звеном в цепи родственных проблем. Каждая определенная
математическая проблема должна быть доступна общему решению или
в том смысле, что удастся получить ответ на поставленный вопрос,
или же в том смысле, что будет установлена невозможность ее
решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток
ее решить [82].
В вводной части Гильберт с поражающей силой и
убежденностью высказал свой основной тезис, «аксиому» о разрешимости в
широком смысле слова всякой математической задачи, — тезис,
содержанием которого является глубокая уверенность в
неограниченном могуществе человеческого познания.
Затем следует постановка самих проблем (табл. 4). По своему
характеру они очень разнородны. Иногда это конкретно
поставленный вопрос, на который должен быть дан однозначный ответ —
«да» или «нет». Иногда задача ставится менее определенно.
Иногда проблема в действительности содержит в себе несколько
различных, хотя и тесно связанных между собой, задач.
Гильберт начинает постановку проблемы с теории множеств
(континуум-проблема) и обоснования математики, далее переходит
к основам геометрии, к теории непрерывных групп, теории чисел, к
алгебре и алгебраической геометрии и заканчивает анализом.
Сейчас, когда прошло более 100 лет после формулирования Гильбертом
математических проблем, можно сказать, что они были поставлены
хорошо. Они оказались подходящим объектом для того, чтобы
сконцентрировать творческие усилия математиков различных научных
направлений и школ.
336

Таблица 4
Проблемы, сформулированные Гильбертом
№
п/п
Название, данное
Гильбертом
Состояние проблемы
Проблема Кантора
мощности континуума
Непротиворечивость
арифметических аксиом
Равенство объемов двух
тетраэдров с
равновеликими основаниями и
равными высотами
Проблема о прямой как о
кратчайшем соединении
двух точек
Понятие непрерывной
группы преобразований
Ли, без предположения
дифференцируемости
функций, определяющих
группу
Математическое
изложение аксиом физики
Иррациональность
и трансцендентность
некоторых чисел
Проблема простых чисел
Доказательство наиболее
общего закона
взаимности в любом числовом
поле
В 1963 г. П. Коэн показал, что
проблема неразрешима: гипотезу
Кантора можно взять за аксиому, а
можно взять за аксиому ее отрицание
В 1931 г. К. Гедель доказал
неразрешимость проблемы
Доказана учеником Гильберта
22-летним М. Деном в 1900 г.
Доказана Г. Гам ел ем в 1901 г.
Частично доказана в 1933 г. Дж. фон
Нейманом, в 1934 г. Л.С. Понтря-
гиным. Окончательно доказана в
1952 г. Г. Глисоном, Д. Монтгомери,
Л. Циппином
Аксиомы теории вероятностей
сформулированы в 1933 г. А.Н.
Колмогоровым, аксиом физики нет до
сих пор
Доказана А.О. Гельфондом в 1934 г.
До сих пор не решена
Решена И.Р. Шафаревичем в 1948 г.
337

Продолжение табл. 4
№
п/п
10
11
12
13
14
15
16
17
Название, данное
Гильбертом
Задача о разрешимости
диофантова уравнения
Квадратичные формы с
произвольными
алгебраическими числовыми
коэффициентами
Распространение
теоремы Кронекера об абе-
левых полях на
произвольную алгебраическую
область рациональности
Невозможность решения
общего уравнения
седьмой степени с помощью
функций, зависящих
только от двух
аргументов
Доказательство
конечности некоторой полной
системы функций
Строгое обоснование ис-
числительной геометрии
Шуберта
Проблема топологии
алгебраических кривых и
поверхностей
Представление
определенных форм в виде
суммы квадратов
Состояние проблемы
В 1970 г. Ю.В. Матиясевич доказал
неразрешимость проблемы
Решена Д. Хассе в 1923 г.
Окончательное решение приведено
в работах Г. Шимуры и Ю. Таниямы
в 1955 г.
В 1956—1957 гг. А.Н. Колмогоров
и В.И. Арнольд доказали
ошибочность гипотезы Гильберта
В 1956 г. М. Нагата доказал, что
гипотеза не верна
Обоснование всей теории
алгебраических многообразий
осуществляли многие: Ван-дер-Варден (1930),
В. Чжоу (1937), Г. Вейль (1946) и
другие
Результатов много, полностью
проблема пока не решена
Проблему решил в 1927 г. Э. Артин
338

Окончание табл. 4
№
п/п
Название, данное
Гильбертом
Состояние проблемы
18
19
20
21
22
23
Построение
пространства из конгруэнтных
многогранников
Являются ли решения
регулярной
вариационной задачи необходимо
аналитическими?
Общая задача о
граничных условиях
Доказательство
существования линейных
дифференциальных
уравнений с заданной группой
монодромии
Униформизация
аналитических зависимостей с
помощью автоморфных
функций
Развитие методов
вариационного исчисления
Первая задача проблемы решена
Л. Бибербахом в 1910 г., на вторую
задачу в 1928 г. отрицательный
ответ дал К. Рейнгардт, для шаров
задача не решена
Результаты по 19-й и 20-й
проблемам сомкнулись. Результаты
получены в 1903 г. С.Н. Бернштейном, в
1940 г. И.Г. Петровским
В 1908 г. Д. Племель решил
проблему, в 1913 г. Дж. Биркгоф получил
результат другим методом
Для двух переменных проблему
решили в 1907 г. А. Пуанкаре и П. Кебе
Развитие методов вариационного
исчисления привело к созданию
функционального анализа и теории
оптимального управления
Примечания. 1. С развитием теории топологических групп и
теории групп Ли отношение математиков к трактовке пятой проблемы
Гильберта постепенно изменилось. Традиционной стала следующая ее
формулировка: является ли группой Ли любая локально евклидова
топологическая группа (при подходящем выборе локальных координат)?
[82, с. 103].
2. Формально шестая проблема сформулирована так, как указано
в табл. 4. В докладе Гильберт дословно сказал: «С исследованиями по
основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом
построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых
уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь
теория вероятностей и механика» [82, с. 34].
339

Международные конгрессы математиков в XX в.
До первой мировой войны Международные конгрессы
математиков проводились каждые четыре года. Для них характерен
интерес к прошлому и будущему математики.
На III Международном конгрессе математиков, состоявшемся
в Гейдельберге в 1904 г., была организована специальная секция
истории математики. В пленарных докладах (их было четыре, как
на конгрессе в Париже) историческая тема занимала видное
место. Математик А.Дж. Гринхил сделал доклад на тему
«Математическая теория гироскопа в историческом аспекте».
Выдающийся немецкий алгебраист Г. Вебер, открывая конгресс, сказал: «Вряд
ли было такое время, когда философская сторона нашей науки,
вопрос о последних основах наших математических убеждений
вызывал бы столь общий интерес, как сейчас». Д. Гильберт выступил с
докладом, в котором убеждал математиков избавиться от
парадоксов, только что открытых в теории множеств (см. гл. 29, 30). Он
настаивал на том, что само понятие целого числа может и
должно иметь обоснование. По его предложению, само доказательство
должно стать объектом математического исследования.
На IV Международном конгрессе математиков в Риме в 1908 г.
Пуанкаре сделал доклад на тему «Будущее математики». Он назвал
не столь конкретные задачи, как Гильберт в 1900 г., а более общие
задачи, стоящие перед различными математическими
дисциплинами, и пытался наметить пути их дальнейшего развития.
На V Международном конгрессе математиков, состоявшемся в
Кембридже в 1912 г., один из пленарных докладов был сделан
итальянцем Энриквесом на тему «Значение критики основ в развитии
математики». Из восьми докладов только три были собственно
математическими (доклады Бореля, Бохера и Ландау).
Первая мировая война надолго прервала нормальное течение
научной жизни. В 1919г. был основан Международный
математический союз. Но он объединил только математиков
стран-победительниц. На Международный конгресс математиков в Страсбурге,
созванный в 1920 г., немецкие ученые даже не были приглашены.
Следующий Международный конгресс математиков состоялся в
1924 г. в канадском городе Торонто. Он стал важной вехой в истории
мирового математического сообщества.
340

Затем конгрессы проходили в Болонье (1928), Цюрихе (1932),
Осло (1936). Конгресс в Цюрихе принял решение о ликвидации
Международного математического союза. Была образована
комиссия по созданию новой международной организации математиков.
К конгрессу в Осло эта комиссия не смогла выработать приемлемых
предложений.
Из-за второй мировой войны созыва очередного конгресса
пришлось ждать до 1950 г. И вновь он проходил не в Европе, а в США, в
Гарварде. Тогда же возобновил свою деятельность и
Международный математический союз. С тех пор конгрессы проводятся
регулярно — один раз в четыре года.
На долю российских математиков на нескольких конгрессах
приходилось по 30—50 из 150—170 секционных докладов и по
два—четыре из 15—17 пленарных докладов. На конгрессе в
Берлине (1998) от России был заслушан только один секционный доклад
и ни одного пленарного.

Глава 20
МАТЕМАТИКА В ИЗОЛЯЦИИ.
СОЗДАНИЕ КИБЕРНЕТИКИ И ЭВМ
Приложения полезны и фактически необходимы
для теории, потому что они ставят перед теорией
новые вопросы. Можно сказать, что приложения и
теория находятся в том же отношении, как лист и
дерево: дерево держит лист, но лист питает дерево.
Ж. Адамар
Абстрактная математика в XX в.
Для предыдущих поколений математика была тончайшим
творением человеческого разума, предназначенным для исследования
природы, инструментом познания мира. Математика была
одновременно и «царицей», и «служанкой» естественных наук. Многие
ведущие ученые-математики, работая в областях астрономии,
механики, гидродинамики, электромагнетизма и теории упругости,
получили несравненно более важные результаты, чем в собственно
математике.
Доказательство теорем существования решений
дифференциальных уравнений, в частности впервые предпринятое Коши,
должно было отмести все сомнения в том, что физические
проблемы, сформулированные на языке математики, допускают реше-
342

ние, и тем самым вселить уверенность в то, что поиск этих
решений будет не напрасным. Стимулом для работ Кантора по теории
бесконечных множеств было стремление ответить на некоторые
вопросы теории рядов Фурье, используемых в приложениях.
Гигантская работа по перестройке основ математики (подробнее см. в
гл. 28, 30), производимая в интересах самой этой науки,
несомненно, явилась откликом на насущные проблемы не только абстрактной
(чистой), но и прикладной математики.
Чистая математика (например, теория чисел) раньше не
находилась в центре забот и интересов ученых. Ей отводилась роль своего
рода забавы, отдохновения от гораздо более важных и
увлекательных проблем, выдвигаемых естественными науками.
Повороту к приоритету чистой математики способствовали
несколько обстоятельств. Во-первых, осознание того, что математика
не является сводом незыблемых истин о природе. Во-вторых,
уяснение того, что и чистая математика рано или поздно окажется
полезной для практики и что заниматься частными проблемами вовсе
не обязательно. В-третьих, усложнение стоящих перед
естественными науками проблем, которые не всем были по плечу (например,
задача трех тел — проблема описания движения трех тел, каждое
из которых притягивается двумя другими). В-четвертых, давление
на математиков со стороны тех учреждений, в которых они
работали, выражающееся в требовании публиковать результаты
исследований.
Все это привело к образованию в чистой математике
нескольких направлений исследований. Первое направление —
абстракция. После введения Гамильтоном кватернионов математики
занялись поиском всех возможных алгебр. Второе направление —
обобщение. Математики стремятся получить результаты для n-го
порядка там, где известны результаты для второго, третьего порядков.
Третье направление — специализация, стремление решать частные
задачи внутри одного раздела математики. Четвертое направление
— аксиоматизация. Математики стремятся модифицировать
существующие аксиоматические системы, пытаясь или сформулировать
существующие аксиомы проще, или заменить их другими.
Против чрезмерного увлечения чистой математикой
предостерегали такие крупнейшие ученые конца XIX — начала XX в., как
Клейн, Пуанкаре, Курант.
343

Однако многие математики активно защищают именно чистую
математику. Рассказывают, что Харди однажды провозгласил тост:
«За чистую математику! Да не найдет она никакого приложения!»
[44, с. 342]. В 1940 г. он писал в своец статье: «Считаю своим
долгом заявить с самого начала, что под математикой я понимаю
настоящую математику, математику Ферма и Эйлера, Гаусса и Абеля,
а не то, что выдают за математику в инженерной лаборатории» [83,
с. 343].
Следует отметить, что желание уклониться от занятий
прикладными вопросами математики может быть обусловлено этическими
установками. Практически все достижения прикладной
математики рано или поздно используются в военных целях. Приведенная
выше цитата взята из статьи Харди, написанной в начале второй
мировой войны. Тот же Харди начал одну из своих вступительных
лекций с демонстративного заявления, что его математика — наука
бесполезная. «Я понимаю под этим, — продолжал он, — что она
не может быть непосредственно использована ни для эксплуатации
нам подобных, ни для их уничтожения» [94, с. 309].
Винер и кибернетика
Норберт Винер (1894—1964) родился в городе Колумбия, штат
Миссури, в семье еврейского эмигранта, выходца из России,
профессора современных языков Миссурийского университета. По
семейному преданию, корни рода Винеров уходят к Моисею Май-
мониду из Кордовы — лейб-медику султана Саладина Египетского,
известному ученому и богослову. Спустя несколько лет после
рождения Норберта Винеры переехали в Кембридж.
Под руководством отца Норберт в семь лет читал Дарвина и
Данте, в 11 лет окончил среднюю школу, в 14 лет — Тафтс-колледж
и получил степень бакалавра искусств. В 18 лет он становится
доктором философии Гарвардского университета. С 1919 г. Винер —
преподаватель, с 1932 г. — профессор Массачусетсского
технологического института.
Во время второй мировой войны Винер занимался
электрическими сетями, вычислительной техникой, работал над
математическим аппаратом для систем наведения зенитного огня. Несколько
344

позже, чем А.Н. Колмогоров, но независимо от него, Винер развил
теорию интерполяции и экстраполяции стационарных случайных
процессов. Для этих процессов он разработал теорию фильтрации,
получившую широкое техническое применение.
В 1945—1947 гг. Винер работал в Кардиологическом
институте в Мехико. Большое влияние на будущую научную деятельность
Винера оказало знакомство с мексиканским физиологом Артуром
Розенблютом. Сопоставление знаний из области медицины,
физиологии и математики привело Винера к идее создания единой науки,
изучающей процессы хранения и переработки информации,
управления и контроля. Для этой науки Винер в 1947 г. предложил
название «кибернетика», получившее общее признание. Следует
отметить, что еще Платон использовал это слово для обозначения
управления в общем смысле, а Ампер в 1834 г. предлагал обозначать им
управление человеческим обществом.
Естественно, что конкретное содержание этой области знания
не является итогом труда одного Винера. Не меньшую роль в
формировании кибернетики сыграли, например, идеи американского
математика и инженера Клода Элвуда Шеннона. Но Винеру
принадлежит, несомненно, первое место в пропаганде значения
кибернетики для всей системы человеческих знаний. Появление книги
Винера «Кибернетика, или Управление и связь в животном и
машине» (1947) превратило его из ученого-труженика, пользующегося
определенным авторитетом в своей области, в фигуру
общественного значения.
Концепция кибернетики родилась из синтеза многих научных
направлений. В ее основе лежит единый подход к описанию и
анализу действий живых организмов и вычислительных машин или
иных автоматов. Она устанавливает аналогию между
поведением сообществ живых организмов и человеческого общества, дает
возможность описания их методами общей теории управления. В
математическом плане кибернетика является синтезом теории
передачи информации и статистической физики, что дает возможность
связать энтропию системы с количеством информации в ней. Сам
термин «кибернетика» происходит от греческого слова kybernetike,
означающего «кормчий» или буквально «искусство управления
рулем».
345

На становление кибернетики огромное влияние оказало
появление электронно-вычислительных машин (ЭВМ). К началу 70-х
годов XX в. кибернетика окончательно оформилась как наука физико-
математического профиля с собственным предметом
исследования — так называемыми кибернетическими системами.
Первостепенными для кибернетических систем являются
задачи их анализа и синтеза. Задача анализа системы состоит в
нахождении различного рода свойств задаваемого системой
преобразования информации. Задача синтеза системы противоположна
задаче анализа: необходимо по описанию осуществляемого системой
преобразования построить систему, фактически выполняющую это
преобразование. При этом должен быть предварительно определен
класс элементов, из которых должна строиться система.
Важное место в теории кибернетических систем занимают
задачи обеспечения надежности их функционирования. Основное
внимание уделяется не столько повышению надежности элементов
системы, сколько вопросам организации самой системы таким
образом, чтобы можно было построить надежную систему из
ненадежных элементов.
Для достаточно простых систем бблыпая часть перечисленных
задач может быть решена средствами классической математики,
дополненными тривиальным перебором вариантов. Для сложных
систем, с которыми приходится иметь дело на практике, такой подход
не дает удовлетворительного результата. Сложность систем
определяется не только количеством элементов и связей между ними, но
и принципиально более сложными способами их взаимодействия,
большим разнообразием и нерегулярностью связей между
элементами, что не допускает простого описания. Эффективное
исследование таких систем классическими дедуктивными методами
оказывается практически невозможным. Классический
экспериментальный метод исследования также может быть применен лишь в весьма
ограниченных пределах.
В качестве основного метода исследования сложных систем
кибернетика использует машинный эксперимент (имитационное
моделирование). В результате появления быстродействующих
универсальных ЭВМ он превратился в новый мощный универсальный
346

метод научного познания. Машинный эксперимент часто
дополняется применением аналитического аппарата тех или иных разделов
математики (например, теории массового обслуживания), а также
современных вычислительных методов: градиентных; линейного,
нелинейного и динамического программирования; стохастического
моделирования и др.
Взаимоотношения кибернетики с математикой не
ограничиваются одним лишь использованием кибернетикой математических
методов. Математика и кибернетика имеют и общие объекты
исследования. Например, алгоритмы, являющиеся объектом
исследования в математической теории алгоритмов, могут рассматриваться
как кибернетические системы и служить для кибернетики не только
средством, но и объектом исследования.
Особый интерес с точки зрения взаимоотношения
кибернетики и математики представляет их подход к аппарату классической
математической логики. Математический аспект предполагает
максимальное упрощение систем аксиом и правил вывода.
Кибернетика развивает языки практической математической логики, которые
относятся к языкам современного программирования — языкам
алгоритмов, разработанным американским логиком Эмилем
Леоном Постом, или языкам нормальных алгоритмов, предложенных
А.А. Марковым-младшим. Автоматизация дедуктивных
построений представляет собой одну из наиболее важных частей раздела
кибернетики, получившего наименование «искусственный
интеллект». Естественный человеческий интеллект (мозг вместе с
органами восприятия информации и выдачи ее во вне) — одна из
наиболее интересных и сложных кибернетических систем. Вопрос
о том, как человек мыслит, был и продолжает оставаться одним из
самых интересных и увлекательных научных вопросов.
Нейман
Джон фон Нейман (1903—1957) родился в Будапеште в
еврейской семье. При рождении он получил имя Янос. Позже, в
Соединенных Штатах Америки, его звали Джонни. Его исключительные
способности проявились очень рано. В возрасте шести лет он был
способен обмениваться шутками со своим отцом на классическом
347

греческом языке. Семья Нейманов иногда развлекала гостей,
демонстрируя способность мальчика запоминать телефонные книги.
В 1911 г. Нейман поступил в лютеранскую гимназию.
Преподаватель математики быстро распознал его гениальные способности, и
Нейман стал учиться по специальной программе.
В 1919 г. к власти в Венгрии пришло коммунистическое
правительство и семья Нейманов уехала в Австрию, но через месяц
вернулась в Будапешт. В 1921 г. Нейман окончил гимназию и поступил
одновременно на отделение математики Будапештского
университета и на химический факультет Берлинского университета.
Учился он в Берлине до 1923 г., а затем переехал в Цюрих, где в 1926 г.
получил диплом химика. В Цюрихе он продолжал интересоваться
математикой.
С 1926 по 1929 г. Нейман читал лекции в Берлине, с 1929 по
1930 г. — в Гамбурге. В то же время, в 1926—1927 гг., он слушал
лекции в Геттингене. Неймана в его неполные 25 лет считали
молодым гением. В 1929 г. он принял приглашение читать лекции по
квантовой теории в Принстонском университете в США, а в 1933 г.
стал одним из первых шести профессоров основанного в том году
Института перспективных исследований в Принстоне. Кроме него
в институте профессорами были А. Эйнштейн, Дж. У. Александер,
М. Морзе, О. Веблен, Г. Вейль.
Ранние работы Неймана были посвящены математической
логике, аксиоматической теории множеств, теории меры и теории
действительных переменных. Позже (в 1927—1929 гг.) он стал
основоположником математического аппарата квантовой
механики. Им были введены в рассмотрение алгебры операторов, которые
он назвал кольцами операторов, другие математики называли их
W*-алгебры или даже алгебры фон Неймана.
В середине 1930-х годов Нейман был занят решением задач
гидродинамической турбулентности, исследуя уравнения
гидродинамики и теории удара. Поскольку в этих задачах в основном
используются нелинейные дифференциальные уравнения в частных
производных, Нейман стал заниматься возможностями
приближенных вычислений на ЭВМ. Он был одним из пионеров информатики
и внес значительный вклад в развитие этой науки: развивал теорию
ячеистых автоматов, занимался вопросами построения надежных
348

схем из ненадежных элементов. В теории игр Нейман доказал
теорему о минимаксе. Во время второй мировой войны он работал
консультантом в Вооруженных Силах США, принимал участие в
разработке атомного оружия. В 1956 г. он получил премию Ферма
и премию Эйнштейна. Тогда он уже знал, что неизлечимо болен
раком. Умер Нейман 8 февраля 1957 г.
Тьюринг
Алан Матисон Тьюринг (1912—1954) родился в Лондоне в
аристократической семье, принадлежавшей к «высшему
среднему классу» английского общества. В детстве Алан и его старший
брат Джон редко видели своих родителей, так как отец служил в
Индии, а дети оставались в Англии и жили на попечении в частных
домах, получая строгое английское воспитание. В рамках этого
воспитания не предусматривалось изучение основ естественных наук.
Поступив в престижную Шербонскую школу, Алан ленился, учился
плохо практически по всем предметам, за исключением
математики. В 15 лет он самостоятельно изучал теорию относительности,
но ему грозил отказ в выдаче школьного аттестата за отставание по
другим предметам.
В 1929 г. Тьюринг поступал в Кембриджский университет, но
не сдал вступительные экзамены. Поступить ему удалось со второй
попытки в 1931 г. В Кембриджском университете, имеющем особые
привилегии, дарованные английскими монархами, всегда царил дух
свободомыслия. Здесь Тьюринг смог полностью отдаться науке.
Он блестяще заканчивает четырехлетний курс обучения. Одна
из его работ, посвященная теории вероятностей, удостаивается
специальной премии, его избирают в научное общество Королевского
колледжа — нечто среднее между аспирантурой и
преподавательским корпусом.
В 1935—1936 гг. Тьюринг создает теорию логических
вычисляющих машин, которая навсегда впишет его имя в историю науки.
Позже эта теория войдет во все учебники по логике, основаниям
математики и теории вычислений. Изучение «машин Тьюринга» стало
обязательной частью учебных программ для будущих математиков
349

и «компьютерщиков». Тьюринг изобрел простое устройство,
обладающее всеми основными свойствами современной
вычислительной машины: завершенной программой, высокой емкостью
памяти данных, пошаговым методом математических операций. Ныне
«машина Тьюринга» является базовой темой в теории автоматов,
а в его время она была теоретической основой ЭВМ, появившихся в
1940-х годах.
Во время второй мировой войны, с 1939 по 1943 г., Тьюринг
занимался криптографией — расшифровкой немецких кодов. Вместе
с Велчманом Тьюринг разработал «Бомбу» — устройство, которое с
1940 г. позволяло расшифровывать все сообщения немецких машин
«Энигма», а их код был очень сложным. В конце войны Тьюринга
пригласили в Лондон в Национальную физическую лабораторию
для исследований по разработке компьютера. В 1946 г. он
представил новый проект автоматической вычислительной машины,
имеющей в то время самый большой объем памяти.
В 1948 г. Нейман предложил Тьюрингу читать лекции в
Манчестерском университете. В 1950 г. Тьюринг издал книгу
«Вычислительные машины и интеллект», где утверждал, что в конечном счете
можно создать компьютер, «думающий» не хуже человека. Статьи
на эту тему признаны фундаментальными в разработке
искусственного интеллекта. Последней темой его работы было применение
математической теории к биологическим формам.
Умер Тьюринг 7 июня 1954 г. в своей лаборатории от
отравления цианидом во время проведения опытов по электролизу. Цианид
был найден в половинке яблока, лежавшего перед ним. Был ли это
несчастный случай, самоубийство или убийство, осталось тайной.
Достойное признание заслуги Тьюринга получили через много
лет после его трагической смерти.

Глава 21
МАТЕМАТИКА В РОССИИ ПОСЛЕ 1917 г.
Умом Россию не понять,
Аршином общим не измерить:
У ней особенная стать —
В Россию можно только верить.
Ф. Тютчев
Внедрение диалектики в математику
На истории нет указателей:
«Осторожно! Крутой поворот!»
Повороты встречались жадные,
Пробирающие, как озноб.
Даже самых сильных пошатывало,
слабых — вовсе валило с ног!
Р. Рождественский
До 1917 г. президент Академии наук в России назначался
императором. После Февральской революции 1917 г. Академия наук
впервые избрала себе президента: им стал исполнявший до того
обязанности вице-президента А.П. Карпинский.
Советская власть приняла жесткие меры для контроля над
высшей школой и направлениями развития науки, предложив
Академии наук сосредоточить усилия на изучении естественных
производительных сил страны. Весьма критическая оценка реформ выс-
351

шей школы Советской Республики, предпринимавшихся в 1920—
1921гг., была дана в лишь недавно опубликованном письме 38
крупнейших ученых страны — академиков и профессоров,
направленном летом 1921 г. председателю Совнаркома В.И. Ленину. В
начале 1920-х годов некоторые академики были высланы из страны.
В те годы философские вопросы математики обсуждались на
фоне ожесточенной схватки «диалектиков» и «механистов».
Отношение математиков к этой дискуссии было неоднозначным.
Одни математики дискуссию игнорировали, другие активно
обсуждали вопрос о соотношении диалектического и математического
методов.
27 апреля — 4 мая 1927 г. состоялся Всероссийский съезд
математиков. На нем присутствовали 376 делегатов со всего
Советского Союза. Большой доклад на тему «Современное состояние
теории вероятностей и ее применений» сделал Сергей Натанович
Бернштейн. В докладе была высказана непочтительность к
материалистической диалектике. В 1928 г. после разгрома в Ленинграде
зиновьевской группировки начались чистки, и в результате
Ленинградское математическое общество было практически разгромлено.
В 1929 г. после разгрома всех оппозиционных течений в
стране политическому курсу И.В. Сталина потребовалась
«всенародная поддержка». Академия наук СССР была пополнена:
академиками были избраны математики С.Н. Бернштейн, И.М. Виноградов,
Н.М. Крылов, Н.Н. Лузин, почетными академиками — Д.А. Граве и
Д.Ф. Егоров.
В июне 1930 г. в Харькове проходил I Всесоюзный съезд
математиков. В его работе приняли участие 471 представитель из 54
городов страны и 14 зарубежных ученых. Всего было прочитано 167
докладов. Бернштейн сделал обзорный доклад на тему «Современное
состояние и проблемы теории приближения функций
действительной переменной посредством полиномов». Кроме того, на съезде
были поставлены проблемы применения метода диалектического и
исторического материализма к истории и обоснованию
математики, а также «внедрения этого метода в собственно математическое
исследование». Бернштейна, считавшего, что между этими двумя
направлениями человеческого мышления нет никаких точек
пересечения, уволили с должности директора основанного им в 1928 г.
352

Украинского института математических наук. Он написал в
многотиражку Харьковского физико-химико-математического института
письмо-статью, в котором отметил, что диалектический
материализм ведет к математическому скудоумию. В ответ на
последовавшую критику Бернштейн отказался признать свои ошибки.
В конце 1930 г. был арестован Дмитрий Федорович Егоров,
президент Московского математического общества, руководивший
Московской математической школой. Многие известные
математики были вынуждены от лица «инициативной группы» этого
общества подписать декларацию, приветствующую арест
своего президента [6]. Расправившись с «профессором-вредителем»
Д.Ф. Егоровым, борцы за «внедрение» материалистической
диалектики в математику перешли к Н.Н.Лузину и «лузинщине». Когда
началась травля Лузина, в его защиту выступили только академики
Н.М. Крылов и С.Н. Бернштейн.
В начале 1930-х годов Академия наук СССР (АН СССР)
подчинялась непосредственно Совнаркому и в 1934 г. была
переведена из Ленинграда в Москву. В 1921 г. по инициативе академика
В.А. Стеклова, вице-президента Российской Академии наук, был
организован Физико-математический кабинет, ставший в 1930 г.
институтом. В 1934 г., когда Академию наук переводили в Москву,
этот институт был разделен на два; одному из них,
Математическому институту АН СССР, было присвоено имя В.А. Стеклова,
другому, Физическому институту АН СССР, — имя П.Н. Лебедева.
К 1935 г. в Математическом институте им. В.А. Стеклова
образовалось девять отделов: теории чисел, которым заведовал директор
института И.М. Виноградов, теории функций действительного
переменного (Н.Н. Лузин), алгебры (Б.Н. Делоне), теории функций
комплексного переменного (М.А. Лаврентьев), теории
вероятностей и математической статистики (С.Н. Бернштейн), теории
дифференциальных уравнений и математической физики (С.Л.
Соболев), механики непрерывных сред (Н.Е. Кочин), теории упругости
(Н.И. Мусхелишвили), прикладных методов и приближенных
вычислений (A.M. Журавский).
Некоторые крупные московские математики, особенно
тесно связанные с Московским университетом, не перешли в
Математический институт им. В.А. Стеклова АН СССР, а остались
12 Математика древняя п юная
353

работать в Математическом институте Московского
университета. Это были такие блестящие математики, как И.Г. Петровский,
П.С.Александров, А.Н.Колмогоров, В.В.Голубев, А.Г.Курош и
другие [53].
Благоприятные условия для ученых были созданы в СССР
после окончания Великой Отечественной войны, когда научная и
преподавательская деятельность стала считаться весьма престижной. В
значительной степени это определялось тем, что развитие как
фундаментальных, так и технических наук было тесно связано с
укреплением военной мощи государства, чему руководство страны
придавало особое значение.
В середине XX столетия математика в Московском
университете по таким направлениям исследований, как теория функций
действительного переменного, теория функций комплексного
переменного, дескриптивная теория множеств, теория рядов Фурье,
поднялась на мировой уровень. Такой успех московской математики
принято связывать с двумя событиями: менее значимым —
переездом столицы из Петрограда в Москву и более важным —
созданием Московской математической школы. Второе событие академик
Б.В. Гнеденко назвал «самым крупным явлением в математической
жизни нашей страны» [29].
В начале 1910-х годов в Московском университете работал лишь
один ученый, имевший международное признание, — Д-Ф- Егоров.
А в 1930-х годах Московская математическая школа стала
практически самой сильной в мире. Когда одного известного
американского ученого в середине 30-х годов попросили назвать имена
четырех виднейших молодых математиков того времени, он назвал
А.О. Гельфонда, А.Н. Колмогорова, Л.С. Понтрягина и Л.Г. Шни-
рельмана — московских математиков. А помимо этой четверки в
Москве работали и П.С. Александров, и Н.К. Бари, и М.А.
Лаврентьев, и Л.А. Люстерник, и Д.Е. Меньшов, и А.Я. Хинчин —
крупнейшие имена. Их общим учителем был Н.Н. Лузин [96].
Лузин
У истоков Московской математической школы стояли два
выдающихся ученых и педагога: Дмитрий Федорович Егоров (1869—
1931) и Николай Николаевич Лузин (1883—1950), причем ведущая
354

роль в создании школы принадлежит Лузину. Именно благодаря
его усилиям к научной работе было привлечено большое число
студентов-математиков Московского университета, многие из
которых стали впоследствии известными учеными.
Лузин родился в Иркутске в семье торгового служащего. Его
отец был наполовину русский, наполовину бурят, мать —
русская [55]. У отца было мелкое торговое предприятие. Николай был
единственным ребенком в семье. В начале 1890-х годов Лузины
переехали в Томск, желая дать мальчику хорошее образование. Его
определили в Томскую губернскую гимназию. Николай не обладал
механической памятью и отставал в учебе по математике. Студент-
репетитор, которого пригласил отец, обнаружил, что Николай плохо
воспринимает готовые рецепты, но проявляет изобретательность и
самостоятельность при решении трудных задач.
Когда Николай окончил гимназию, отец ликвидировал свою
торговлю, и семья переехала в Москву. В 1901 г. Николай поступил
на математическое отделение физико-математического факультета
Московского университета. Лузин мечтал стать инженером, а для
этого решил предварительно получить хорошую математическую
подготовку. Профессор Д.Ф. Егоров во время экзамена обратил
внимание на студента, отличавшегося оригинальностью ответов.
Этим студентом был Лузин. Завязалось знакомство, сыгравшее
решающую роль в судьбе двух математиков. Егоров стал проводить с
Лузиным отдельные занятия, давал ему трудные задачи, приглашал
к себе домой.
Во время обучения в университете Лузина интересовали
вопросы, связанные с бесконечностью, в частности проблема
континуума, т. е. вопрос, могут ли существовать множества, содержащие
больше элементов, чем множество натуральных чисел, но меньше,
чем множество точек отрезка. В 1905 г. его занятия в
университете временно прервались. Из-за участия в революционных событиях
ему пришлось уехать в Париж. Во Франции он продолжает
заниматься математикой, слушает лекции виднейших французских
ученых, в том числе Бореля и Пуанкаре. Вернувшись в Москву, он
окончил университет и стал готовиться к получению звания профессора.
Осенью 1910 г. он вновь уезжает в Париж, а затем в Геттинген, где
12* 355

пишет первые научные работы. За границей он провел четыре года
(1910—1914).
В 1911 г. Лузина зачислили на должность доцента кафедры
чистой математики Московского университета. В 1912 г. в журнале
Французской Академии наук была опубликована его статья, в
которой доказана теорема, устанавливающая связь между
измеримостью и непрерывностью функции действительного переменного на
отрезке. Этот результат был получен Лузиным независимо от
работ Егорова, однако в современном курсе анализа доказательство
теоремы Лузина опирается на теорему Егорова. Так возникла
Московская школа теории функций Егорова — Лузина.
Следующее крупное достижение Лузина состояло в построении
в 1912 г. тригонометрического ряда, коэффициенты которого
монотонно убывают, но сам ряд почти всюду расходится. Результат,
полученный Лузиным, противоречил предположению П. Фату,
сделанному в 1906 г., и поразил математиков своей неожиданностью.
В то же время Лузин занимается вопросами поведения степенных
рядов на границе круга сходимости. Ему удалось построить
степенной ряд, коэффициенты которого стремятся к нулю и который
расходится во всех точках окружности своего круга сходимости. Таким
образом, Лузин положил начало исследованиям по теории
граничных свойств аналитических функций. Одновременно он изучал
вопрос о том, можно ли представить любую периодическую функцию,
даже имеющую бесконечно много точек разрыва, в виде суммы
тригонометрического ряда.
В 1914 г. Лузин возвращается в Москву и практически сразу
организует работу семинара по вопросам теории функций
действительного переменного. На его базе в дальнейшем разовьется
Московская математическая школа. На семинаре обсуждаются
темы, которые представляют интерес для Лузина: теория интеграла,
сходимость тригонометрических рядов, строение борелевских
множеств. Этим темам посвящены и первые самостоятельные работы
участников семинара, которые в значительной степени определили
дальнейшие интересы этих математиков.
В 1915 г. в Москве оказался польский математик Вацлав Сер-
пиньский. Он имел немецкое подданство, но шла первая мировая
356

война, и его эвакуировали в Москву как военнопленного.
Усилиями Егорова и Лузина Серпиньскому было предоставлено
свободное проживание в Москве и созданы условия для работы. Серпинь-
ский активно помогал Лузину в формировании Московской
математической школы, а после окончания войны, вернувшись в Варшаву,
создал там свою научную школу.
В 1915 г., обобщив результаты своих научных исследований,
Лузин написал магистерскую диссертацию на тему «Интеграл и
тригонометрический ряд». Отличительной чертой этой работы является
то, что наряду с конкретными результатами она содержит в каждом
разделе новые постановки, новые подходы к классическим задачам.
Академик В.А. Стеклов не смог оценить достоинства этой
диссертации. По его словам, диссертация содержала не математику, а
философию. Именно из-за этой «философии» работа стала
особенно полезной для дальнейшего развития тригонометрических рядов.
Профессор Д.Ф. Егоров оценил значение работы Лузина и
представил ее на ученый совет Московского университета. 27 апреля 1916г.
состоялась защита, причем диссертанту была единогласно
присвоена ученая степень доктора наук, а не магистра. Диссертация
длительное время служила источником новых проблем для многих
ученых. Главный интерес для Лузина теперь представляет
дескриптивная теория функций, которая изучает структуры различных
сложных точечных множеств, образуемых специальными способами из
замкнутых множеств.
В 1917 г. Лузин стал профессором Московского университета.
С этого момента начинает быстро расти научная школа Лузина.
Первыми учениками, составившими ее ядро, были П.С.
Александров, М.Я. Суслин, Д.Е. Меньшов, А.Я. Хинчин. Несколько
позже ее учениками стали В.Н. Вениаминов, П.С. Урысон, А.Н.
Колмогоров, В.В. Немыцкий, Н.К. Бари, С.С. Ковнер, В.И. Гливенко,
Л.А. Люстерник, Л.Г. Шнирельман — второе поколение учеников
Лузина.
На семинаре Лузина каждому участнику предлагалось написать
реферат определенной монографии. Все рефераты после этого
подвергались обсуждению, в котором ставились вопросы и
выдвигались новые задачи, определялись новые понятия, выявлялись
возможности упрощения и обобщения доказательств. Семинар имел
357

несколько секций, которые курировали математики старшего
поколения. Многие участники семинара достигли первоклассных
научных результатов, будучи еще студентами. Так, П.С. Александров
при решении проблемы о мощности борелевских множеств
показал, что эти множества получаются из замкнутых множеств одной,
построенной им, операцией. Исследуя эту операцию, Суслин
показал, что класс множеств, получаемых с помощью этой операции,
значительно шире. Операцию, введенную Александровым, он
назвал Л-операцией (в честь автора), а определяемый ею класс
множеств — А-множествами.
Начавшаяся гражданская война на время приостановила
деятельность семинара. Тяжелые условия жизни в Москве и
нехватка кадров в провинции привели к тому, что многие ученые
уехали из Москвы. Лузин с несколькими учениками в 1918 г. уезжает
в Иваново-Вознесенск, чтобы преподавать в эвакуированном туда
по инициативе М.В. Фрунзе Рижском политехническом институте.
Среди профессоров этого института был и отец будущего лузинско-
го студента М.В. Келдыша, бывший в то время крупным
специалистом по теории железобетона [28].
В 1922—1923 гг. почти все уехавшие из Москвы ученые
вернулись обратно. В то время коллектив, состоящий из учеников
Лузина, получает название «Лузитания». Так подчеркивалось
восхищение учителем, его научными идеями, лекциями. Расцвет
«Лузитании» приходится на 1922—1926 гг. В «Лузитанию»
тогда входили из старшего поколения (30—35 лет): И.И. Привалов,
В.В.Степанов, П.С.Александров, Д.Е. Меньшов, А.Я. Хинчин,
С.С. Ковнер, П.С. Урысон, В.Н. Вениаминов; из младшего и
среднего поколений (20—25 лет): Н.К. Бари, Ю.А. Рожанская, Л.А. Люс-
терник, Л.Г. Шнирельман, М.А. Лаврентьев, П.С. Новиков,
В.В. Немыцкий, А.Н. Колмогоров, Е.А. Селивановский, В.И. Гли-
венко [55].
В тот период ярко выявились особенности школы Лузина: это
была школа развития самостоятельного мышления, способности
расчленять проблемы, искать обходные пути, ставить новые
проблемы. Методы научной работы этой школы революционно
отличались от тех, которые использовались прежде.
358

Вот как характеризует стиль работы Лузина А.Н. Колмогоров:
«Существенным в этом подходе было вполне индивидуальное
личное руководство, а также умение придавать избранной тематике
особую значимость. Н.Н. Лузин настойчиво внедрял следующий
метод работы (он сам работал таким образом и приучал к этому
своих учеников): берясь за какую-либо проблему, надлежит
смотреть на нее с различных точек зрения. Надо пытаться доказывать
проблему и одновременно опровергать ее. Если доказательство не
выходит, надо переходить к опровержению гипотезы, к построению
противоречащего примера. Если не получается построение, надо
снова вернуться к доказательству. И пока не получится результат,
нельзя покидать данную область. В теории функций
действительного переменного такая установка двойного видения (поиск
доказательства — поиск опровержения), такой подход к делу естественно
привели к культивированию чрезвычайно высокой техники
построения примеров (или, как теперь принято говорить, контрпримеров).
В этом направлении школа Н.Н. Лузина 1920-х гг. была им
поставлена на уровень, превосходящий все другие научные центры
мира» [77, с. 60].
Огромную роль в развитии «Лузитании» играли лекции
Лузина. К своим лекциям он готовился только вчерне, и поэтому
материал излагался весьма творчески. В аудитории как бы творилась
новая теория. Был случай, когда на трех лекциях подряд Лузин
пытался безуспешно доказать теорему, сформулированную им на
первой лекции. На очередной лекции, когда все ждали доказательства,
Лузин сознался в своей ошибке и построил контрпример к своей
теореме.
В 1925—1928 гг. в «Лузитании» начался процесс расширения
области интересов, который впоследствии привел к ее распаду. Это
было вызвано тем, что сравнительно доступные задачи были
решены и остались задачи, над которыми безуспешно бились много лет;
кроме того, представители старшего поколения «лузинцев» стали
искать новые направления в рамках своих интересов.
15 января 1927 г. Лузин был избран членом-корреспондентом
Академии наук СССР по разряду математических наук Отделения
359

физико-математических наук, а через два года (12 января 1929 г.) —
действительным членом Академии наук.
После распада «Лузитании» рядом с Лузиным остается узкий
круг учеников, ведущих исследования в области теории
функций. Среди них П.С.Новиков, М.А.Лаврентьев, Д.Е.Меньшов,
Л.А. Люстерник, Н.К. Бари, А.Н. Колмогоров.
В 1934 г. после переезда Академии наук СССР в Москву Физико-
математический институт разделился на два самостоятельных
института: Математический институт им. В.А. Стеклова АН СССР
и Физический институт им. П.Н.Лебедева АН СССР. Руководство
отделом теории функций действительного переменного
Математического института поручают Лузину.
Личность Лузина определялась не только математическим
талантом. Он был глубоко верующим человеком, занимался
философией и психологией. Павел Флоренский, обсуждая с ним многие
вопросы религии и философии, высоко ценил его мнение. Лауреат
Нобелевской премии физиолог И.П. Павлов склонялся к лузинской
трактовке деятельности подсознания.
Выше говорилось о травле и репрессиях, проводившихся в
1930-х годах в отношении московских математиков. Лузин, как
и многие участники его семинара, был арестован. Он обвинялся
в принадлежности к религиозному течению имяславцев, но был
реабилитирован, а некоторые участники семинара были
расстреляны [33].
Умер Н.Н. Лузин в Москве 28 февраля 1950 г.
На заседании секции математики Московского Дома ученых,
посвященном столетию со дня рождения Лузина, академик Б.В. Гне-
денко отметил, что помимо очень крупного чисто математического
таланта Лузин обладал умением вдохновить молодежь на подвиги
во имя науки. Лузин знаменит не только научными результатами,
но, что гораздо важнее, и своими учениками, многочисленными
математиками с мировым именем, которые внесли огромный вклад в
самые различные области науки. В течение всей своей творческой
жизни Лузин был центром, притягивающим научную молодежь,
которая питалась его идеями, развивала и углубляла эти идеи [104].
360

Колмогоров
Отец Андрея Николаевича Колмогорова (1903—1987), Николай
Матвеевич Катаев, был агрономом, сыном священника. Мать,
Мария Яковлевна Колмогорова, дочь угличского предводителя
дворянства, умерла при рождении сына. Воспитанием мальчика занялась
ее сестра Вера Яковлевна. Раннее детство А.Н. Колмогорова
прошло в селе Туношне под Ярославлем в усадьбе родителей матери.
После переезда в Москву в возрасте семи лет Андрей поступает в
частную гимназию.
В первые послереволюционные годы Колмогорову пришлось
зарабатывать на жизнь. В 1919—1920 гг. он работает на
строительстве железной дороги Казань — Екатеринбург. В 1920 г. он получает
аттестат об окончании средней школы, сдав экзамены экстерном,
и одновременно поступает на физико-математическое отделение
Московского университета и на металлургический факультет
Менделеевского института. Сдав в течение нескольких месяцев
экзамены за первый курс университета, Колмогоров, как студент второго
курса, получил право на 16 кг хлеба и 1 кг масла в месяц, что в те
годы означало полное материальное благополучие.
На первом курсе университета Колмогоров слушал лекции
Лузина по теории функций комплексного переменного. Однажды ему
удалось показать, что некоторое утверждение, на котором Лузин
решил построить на лекции свое доказательство интегральной
теоремы Коши, ошибочно. Он сразу стал известен в «Лузитании».
В следующем учебном году Колмогоров посещал лекции Лузина
и Александрова уже на правах «своего», получив № 16 в иерархии
«лузинцев».
В 1921 г. Колмогоров начинает заниматься в семинаре Лузина по
тригонометрическим рядам, в группе, которой руководил Степанов.
Первый полученный им самостоятельный результат — решение
поставленной Лузиным задачи о выяснении того, насколько
медленно могут убывать коэффициенты ряда Фурье. После этого Лузин
торжественно присвоил Колмогорову звание своего ученика и
начал заниматься с ним индивидуально. Вскоре, летом 1922 г.,
Колмогоров выполнил работу, которая сделала его всемирно известным
математиком (тогда ему было всего 19 лет). Он построил пример
361

интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходился
почти всюду. Впечатление, произведенное этой работой на
математиков, хорошо иллюстрируют слова выдающегося французского
математика Мориса Фреше, сказанные им В.И. Арнольду в 1965 г.:
«О, Колмогоров! Это тот замечательный молодой человек, который
построил почти всюду расходящийся ряд Фурье!» [77, с. 62]. Этот
знаменитый пример заложил основы нового большого направления
в теории тригонометрических рядов. Всего же Колмогоровым
опубликовано около 10 работ по тригонометрическим и ортогональным
рядам, каждая из которых оказалась началом больших
исследований, проводимых в дальнейшем другими математиками.
Лекции П.С. Александрова привлекли внимание Колмогорова к
проблемам дескриптивной теории множеств. В том же 1922 г. он
проводит большое исследование по теории операций над
множествами.
Параллельно с учебой в университете Колмогоров в течение
трех лет, чтобы справиться с материальными трудностями, работал
учителем математики и физики в средней школе. Все это никак не
означало уменьшения интенсивности его математических
раздумий. Фундаментальность работ Колмогорова-студента поражает.
В 1925 г. он окончил Московский университет, тогда же вышли
его первые публикации по математической логике и теории меры
и интеграла, получившие широкую известность в математическом
мире.
Сразу после окончания университета Колмогоров становится
аспирантом Лузина и начинает серьезно заниматься теорией
вероятностей, которую он сам считал своей основной научной
специальностью. В теории вероятностей Колмогоров сделал
исключительно много, получив важные результаты в различных областях
этой обширной в наше время науки. Его имя обычно связывают с
созданием аксиоматики теории вероятностей. Только после выхода
в свет его монографии «Основные понятия теории вероятностей»
(в 1933 г. — на немецком языке, в 1936 г. — на русском) стало
возможным говорить о теории вероятностей как о математической
науке в современном понимании, т. е. основанной на системе аксиом.
Даже Гильберт, формулируя в 1900 г. свои знаменитые проблемы,
362

фактически относил теорию вероятностей к разделу физики (см.
шестую проблему в табл. 4).
Колмогоров сумел использовать для аксиоматизации теории
вероятностей уже известный мощный инструмент — теорию меры.
Первый вариант его аксиоматики теории вероятностей был
опубликован в 1929 г., окончательный результат появился в 1933 г.
Работы Колмогорова насыщены глубокими идеями,
оказавшими влияние на дальнейшее развитие науки. Разработанные им
методы сыграли важную роль в решении самых разнообразных
прикладных задач. Исследования прикладного характера самого
Колмогорова относились к математической геологии, теории стрельбы,
гидро- и аэромеханике, генетике.
В 1931г. Колмогоров был избран профессором Московского
университета, а в 1933 г. назначен директором Института механики
и математики при Московском университете. С 1954 по 1956 г. и с
1978 г. до своей кончины он был заведующим Отделением
математики механико-математического факультета Московского
университета, а с 1954 по 1958 г. — деканом этого факультета.
С 1938 по 1946 г. и с 1948 по 1960 г. Колмогоров —
заведующий отделом теории вероятностей Математического института
им. В.А. Стеклова АН СССР, а с 1983 г. до конца жизни —
заведующий отделом математической статистики и теории информации
этого иститута.
Ученик Колмогорова В.А. Успенский писал: «Широта научных
интересов Колмогорова имеет мало прецедентов в XX в. — если
вообще имеет таковые. Спектр его интересов простирается от
метеорологии (Колмогоров был почетным членом Американского
метеорологического общества) до теории стиха... К какой бы
области знаний ни прикоснулся Колмогоров, она, эта область, после его
прикосновения получает новый импульс развития и уже не может
изучаться без учета колмогоровского вклада в нее» [50, с. 12].
Когда в 1930-х годах начались преследования генетики,
Колмогоров применил к обработке статистических данных, которые
считались опровергающими законы Менделя (появились
соответствующие статьи), разработанный им и представленный в статье «Об
эмпирическом определении закона распределения» (1933) аппарат
363

математической статистики. Колмогоров пришел к выводу, что
опубликованные статистические данные являются блестящим новым
подтверждением законов Менделя. Понятно, что публикация
подобного вывода в те годы требовала от автора подлинной
гражданской смелости.
Сейчас в математической статистике этот метод общепризнан и
называется критерием Колмогорова.
В 1939 г. Колмогоров был избран действительным членом
Академии наук СССР. Он всегда любил трудные задачи. Так, его
внимание привлекла турбулентность — явление, наблюдаемое при
течении жидкостей и газов, часто встречающееся и в природе, и в
технических устройствах. Его основные работы по теории
турбулентности, опубликованные в начале 1941 г., имели не формально-
математический, а отчетливо физический характер. В их основе
лежало глубокое проникновение в самую суть сложных нелинейных
процессов, подлинная физическая интуиция. Надо сказать, что
теория турбулентного движения еще далека от завершения.
А.Н. Колмогоров и его ученики И.М. Гельфанд и A.M. Яглом
стали создателями прочного математического фундамента теории
информации. Их работы определили высокий стандарт уровня
математической строгости, которого с тех пор неизменно
придерживаются и математики, и инженеры, занимающиеся теорией
информации. Фактически было открыто новое направление в теории
информации. С появлением в 1965 г. статьи А.Н. Колмогорова «Три
подхода к определению понятия количества информации» родилась
алгоритмическая теория информации, в основе которой лежало
понятие колмогоровской сложности конечного объекта. Продолжая
исследования, Колмогоров приходит к выводу, что теория
информации должна предшествовать теории вероятностей, а не опираться
на нее. Строгое построение теории вероятностей на базе теории
информации — дело будущего.
Каждое из крупных направлений математической науки имеет
свой математический аппарат. Когда понятия, идеи и методы,
возникшие внутри одного направления, удается применить для
развития другого, наука существенно продвигается вперед. По мнению
Колмогорова, во всяком крупном открытии имеются элементы
неожиданности. В 1950-х годах он обнаружил неожиданные связи
теории информации с теорией приближений и теорией динамических
364

систем. В его работах по теории приближений были использованы
идеи комбинаторного направления теории информации. Такой
подход позволил выработать общий взгляд на проблему составления
таблиц значений функций. Эти исследования привлекли внимание
Колмогорова к 13-й проблеме Гильберта (см. табл. 4).
Гильберт считал, что решение общего уравнения седьмой
степени нельзя представить суперпозицией непрерывных функций двух
переменных. В 1956 г. Колмогоров показал, что можно представить
непрерывную функцию нескольких переменных суперпозицией
функций трех переменных. Студент третьего курса В.И.Арнольд,
усовершенствовав колмогоровскую конструкцию, доказал, что
всякая непрерывная функция трех переменных может быть
представлена суперпозицией непрерывных функций двух переменных,
показав тем самым в 1957 г. ошибочность гипотезы Гильберта.
Этот цикл работ Колмогорова и Арнольда был сенсацией. Закончив
аспирантуру, Арнольд представил свою работу по 13-й проблеме
Гильберта в качестве кандидатской диссертации. И.М. Гельфанд
предложил присвоить Арнольду степень доктора наук.
Предложение было отклонено, но вскоре Арнольд стал доктором наук за
работы по динамическим системам.
Колмогоров занимался и знаменитой «задачей трех тел»,
которая в общем виде не решена до сих пор. Работы Колмогорова и его
ученика В.И. Арнольда по этим вопросам были отмечены
Ленинской премией.
В 1960 г. Колмогоров организовал при кафедре теории
вероятностей Московского университета статистическую лабораторию.
Одним из направлений исследования стало применение
математических методов в языкознании. При статистической лаборатории
Колмогоров организовал семинар. Его участниками стали
математики, филологи, литературоведы. Семинар занялся изучением
русской поэзии. Решено было «поверить алгеброй гармонию». Не
эмоции, а факты, не субъективная оценка, а объективный анализ
поэтических произведений — такую задачу ставила перед собой
группа Колмогорова. Исходная позиция состояла в том, что в
произведениях поэзии имеются количественные закономерности,
которые могут быть восприняты и в отрыве от содержания.
Математический аппарат для изучения этих закономерностей включал
365

в себя теорию вероятностей, математическую статистику, теорию
информации.
Специалисты считают, что существуют два принципиальных
отличия поэзии от прозы. Во-первых, проза есть сплошная речь,
а поэзия делится на сопоставимые между собой единицы — стихи.
Во-вторых, стих обладает внутренней мерой (метром), а проза ею
не обладает. Второй признак Колмогоров определяет так: «Под
метром я понимаю закономерность ритма, обладающую достаточной
определенностью, чтобы вызывать: а) ожидание ее подтверждения
в следующих стихах, б) специфическое переживание «перебоя»
при ее нарушениях» [77, с. 85].
В основе ритмичности русской классической поэзии лежит
чередование единообразных стоп — сочетание сильных и слабых
слогов. Сильные слоги, как правило, ударные, слабые — безударные.
«Евгений Онегин» написан ямбом — размером, в котором сильные
места приходятся на четные слоги. Стихотворение Пушкина
«Буря мглою небо кроет» написано хореем, в котором сильные места
приходятся на нечетные слоги. Кроме этих двудольных размеров
в русской поэзии использовались и трехдольные размеры —
дактиль, амфибрахий и анапест. Поэты XX в. отходили от
ритмических схем своих предшественников. Колмогоров, проанализировав
все 336 стихов поэмы Пастернака «Девятьсот пятый год», показал,
что эта поэма написана безукоризненным пятистопным анапестом.
Колмогоров говорил, что вовсе не ставил целью помощь поэтам в
написании стихов. Ему было просто интересно погрузиться в
сферу, традиционно не доступную точным наукам.
В.М. Тихомиров писал, что в выступлении перед участниками
школьной математической олимпиады 1952 г. известный
отечественный математик Борис Николаевич Делоне сказал, что
решение трудной математической задачи может потребовать от ученого
5 тыс. часов непрерывного размышления. Эти слова удивили
Колмогорова — ни над одной задачей он не размышлял так долго. На
построение его знаменитого примера тригонометрического ряда,
расходящегося почти всюду, потребовалось три дня и три ночи
непрерывного размышления, т. е. меньше 100 часов [79].
Дело в том, что Колмогоров принадлежал к другому типу
математиков, необычайно редкому. Он был ученым «взрывного» типа.
366

Ему удавалось аккумулировать на достаточно короткий срок
неслыханную интеллектуальную энергию, которая, разряжаясь, крушила
великие проблемы или приводила к прорыву в целых областях
математики или естествознания. Такой период длился недолго —
неделю, две, не больше. А потом Колмогоров обычно оставлял эту тему,
предоставляя развивать ее ученикам и последователям [79].
Перечислим кратко разделы математики, в которых Колмогоров
достиг важных результатов.
В теории множеств он заложил основы теории операций над
множествами.
В теории функций его студенческая работа, где устанавливалось
существование почти всюду расходящегося ряда Фурье, сразу
сделала его известным всему математическому миру. Кроме того, он
внес решающий вклад в решение 13-й проблемы Гильберта и в
развитие теории приближений.
В математической логике он предложил свободное от
идеологических установок интуиционизма понимание интуиционистской
семантики, внес выдающийся вклад в теорию доказательств.
В топологии он разделяет с американским математиком
Джеймсом Уоделлом Александером авторство теории когомологий.
В теории информации ему принадлежит существенная роль не
только в превращении этой теории в строгую математическую
науку, но и в построении оснований теории информации на
принципиально ином, отличном от шенноновского, фундаменте.
В теории динамических систем он является первым из трех
основоположников теории (Колмогоров — Арнольд — Мозер).
В теории алгоритмов ему принадлежит определение общего
понятия алгоритма и создание теории сложности конструктивных
объектов.
В теории вероятностей он был признанным главой этой науки
во всем мире.
В Московском университете Колмогоров не только читал
курсы лекций и вел семинары, но и учреждал новые дисциплины
учебного плана, которые сам же наполнял содержанием. Он вел
большую преподавательскую работу в физико-математической
школе-интернате при университете, носящей с 1989 г. его имя.
Колмогоров является организатором и первым главным редактором
367

журнала «Теория вероятностей и ее применения». На механико-
математическом факультете Московского университета он создал и
первым возглавил кафедру теории вероятностей (декабрь 1935 г.) и
кафедру математической статистики (февраль 1976 г.).
Колмогоров имел высокие понятия об этике ученого и
претворял их в жизнь. Ему были свойственны предельная научная
честность и объективность, скромность, отзывчивость и щедрость.
В конце 1970-х годов Колмогорова поразил страшный недуг —
паркинсонизм. Эта болезнь постепенно сковывала его движения и
вскоре привела к очень большой затрудненности речи [79].
Умер Андрей Николаевич Колмогоров в 1987 г. в Москве.
Лаврентьев
Михаил Алексеевич Лаврентьев (1900—1980) родился в Казани
в семье научного работника Алексея Лаврентьевича Лаврентьева,
позднее ставшего профессором механики. После окончания
средней школы Михаил поступил на физико-математический факультет
Казанского университета, но после третьего курса перевелся в
Московский университет, который окончил в 1922 г. Работая в Научно-
исследовательском институте математики и механики Московского
университета, он стал одним из самых активных членов «Лузита-
нии» и выполнил под руководством Н.Н. Лузина ряд исследований
в области теории функций действительного переменного и теории
множеств.
Начало пути Лаврентьева в науке поражает стремительностью
и размахом. В 25 лет ему присуждена премия Главнауки СССР за
работы по математике. В 27 лет он после завершения аспирантской
работы на полгода командирован во Францию, его статьи
публикуются в трудах Французской Академии наук. В 28 лет он выступает
с докладом о квазиконформных отображениях на Международном
математическом конгрессе в Болонье.
После получения важных результатов в теории
дифференциальных уравнений и в вариационном исчислении Лаврентьев
переключился на исследования в области теории функций комплексного
переменного, ставшей основным направлением его научных
исследований.
368

Через восемь лет после окончания Московского
университета Лаврентьев становится профессором университета, а затем ему
присваиваются две ученые степени — доктора технических наук
(в 1934 г.) и доктора физико-математических наук (в 1935 г.). Уже
сам по себе этот факт свидетельствует о том, что в исследованиях
ученого теория и практика находятся в тесном единстве.
Разрабатываемые им методы по теории функций комплексного переменного
находят широкое применение в аэродинамике и гидродинамике, а
также в других разделах современной механики. В то время он вел
большую теоретическую и экспериментальную работу в
лабораториях Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ)
в Москве. В книге «Проблемы гидродинамики и их
математические модели» Лаврентьев так сформулировал свое кредо как
естествоиспытателя: «Большинство интересных физических процессов
так сложно, что при современном состоянии науки редко удается
создать их общую теорию. Вместо этого нужно посредством
экспериментов и наблюдений постараться понять ведущие факторы,
которые в тот или иной отрезок времени управляют процессом.
Выявив эти факторы, следует абстрагироваться от других, менее
существенных, и для данного участка и данного отрезка времени
построить возможно более простую математическую модель» [56,
с. 349].
В 1939 г. Лаврентьев избирается действительным членом
Академии наук УССР. Так начался киевский период его деятельности.
В столице Украины он руководил Институтом математики и
механики Академии наук УССР. Во время войны Лаврентьев вместе с
коллективом института эвакуировался в Уфу, где работал над
решением средствами математики и механики различных проблем
оборонного характера, занимался теорией взрыва. Во время Курской
битвы немецкие войска впервые применили кумулятивные заряды,
и необходимо было понять принцип их действия, чтобы определить,
какая броня этим снарядам «не по зубам» [54]. Идея Лаврентьева о
том, что металл облицовки заряда и металл брони ведут себя как
жидкости, многим показалась нелепой, и первое выступление
Лаврентьева на эту тему в Академии артиллерийских наук было
встречено смехом. Однако позже его работа по гидродинамической
теории кумуляции была отмечена Государственной премией СССР.
369

В 1946 г. Лаврентьев был избран действительным членом
Академии наук СССР. В 1957 г. он был одним из инициаторов создания
Сибирского отделения Академии наук СССР, первым его
председателем. В то же время он был вице-президентом Академии наук
СССР и директором созданного им Института гидродинамики. Как
организатор и руководитель крупнейшего научного центра страны,
Лаврентьев подобрал высококвалифицированных ученых, сумел
объединить их и направить их усилия на решение важнейших
научных проблем. Сибирское отделение АН СССР стало первым в
стране крупным центром, объединившим и организационно, и
территориально институты, работающие по различным направлениям
фундаментальной науки.
Научные достижения Лаврентьева отмечены Государственными
премиями СССР (1946, 1949), Ленинской премией (1958), Золотой
медалью АН СССР им. М. В. Ломоносова (1978). В 1967 г. ему было
присвоено звание Героя Социалистического Труда.
Среди специалистов по уравнениям в частных производных
хорошо известна работа Лаврентьева о некорректных задачах
математической физики. Широкое распространение получил учебник по
теории функций комплексного переменного, написанный
Лаврентьевым совместно с Б.В. Шабатом.
Понтрягин
Лев Семенович Понтрягин (1908—1988) родился в Москве.
Громадную роль в жизни Понтрягина сыграла трагедия, пережитая им
в возрасте 13 лет. Он пытался починить примус, тот взорвался, и
в результате ожогов и неудачного лечения Понтрягин полностью
ослеп.
Накоплению знаний и развитию интересов Понтрягина
помогла самоотверженная помощь его матери, на долгие годы ставшей
секретарем своего гениального сына. Он отказался от мысли
считать себя инвалидом и жить неполной жизнью, отказался признать
свою ущербность и никогда не производил впечатления
несчастного, страдальца. Его жизнь была предельно напряженной, полной
борьбы и побед. Он никогда не пользовался никакой техникой,
предназначенной для слепых, всегда пытался ходить сам, без сопрово-
370

ждения других. Он научился кататься на коньках и на лыжах, плавал
на байдарке.
Пробуждению в Понтрягине интереса к математике помогла
статья профессора А.К. Лахтина об этой великой науке.
В молодости Понтрягин жил в бедности, это осложняло
поступление его в университет. Позже он писал, что поступление в
Московский университет в те времена было связано с большими
трудностями. Тот социальный слой, к которому он принадлежал,
т. е. дети мелких служащих, был в очень трудном положении.
Школа рекомендовала его и хлопотала о его зачислении, но получила
отказ в районо, сотрудники которого решили, что Понтрягин не
сможет учиться математике из-за слепоты. Помогло то, что его
крестный отец имел связи в Наркомпросе.
Понтрягин рассказывал, что потерял сон в 20 лет. Он
запоминал все лекции, которые за день прослушивал в университете, а всю
ночь курил и восстанавливал их в памяти [38]. Учиться на физико-
математическом факультете Московского университета, а вскоре
самостоятельно заниматься наукой Льву Семеновичу помогли
внимание, педагогический талант и помощь П.С. Александрова.
Студенту Понтрягину, уже сделавшему значительные научные
открытия, не давали стипендию на том основании, что он не вел
общественную работу. Он получил стипендию только после смерти
отца, да и она составляла 35 рублей в месяц.
Московский университет Понтрягин окончил в 1929 г. и уже с
1930 г. работал в университете преподавателем. В 1935 г. он
получил звание профессора, в 1939 г. был избран
членом-корреспондентом Академии наук СССР, в 1958 г. — действительным членом
Академии. В 1969 г. ему присвоено звание Героя Социалистического
Труда.
Первые научные работы Понтрягина были посвящены
топологии. Понтрягин вспоминал, как он с небольшой группой товарищей
изучал в своей квартире работы классиков математики. В 1937 г.
они прекратили подобные занятия, так как собираться группами на
квартирах стало опасно. В 1932 г. у Понтрягина появилась
возможность поехать на один год в США. В качестве сопровождающего
лица он отказался взять не маму, а другую женщину, в которой
были заинтересованы те, от кого зависела поездка. В результате он на
25 лет стал «невыездным».
371

Отношение Понтрягина к работе хорошо характеризует
следующее его признание. В 1970 г. он читал лекции в Станфордском
университете США. Вернувшись домой, он понял, что допустил в
лекциях ошибку. Это было для него потрясением. Через три
месяца он нашел новый подход к решению задачи, и это принесло ему
огромное облегчение [38].
По общему признанию, Понтрягин был одним из ведущих
математиков мира. Основные его работы относятся к теории
дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории
управления, вариационному исчислению, алгебре. В области топологии
и топологической алгебры Понтрягин построил теорию характеров
коммутативных топологических групп, доказал теоремы о
структуре достаточно широких типов топологических групп и создал
новое направление в топологической алгебре. Ему принадлежат
важные результаты в области асимптотики релаксационных
колебаний, в теории размерности.
Особенно большое значение для техники, и в частности для
космонавтики, получили открытия Льва Семеновича в области
математической теории оптимальных процессов, в которой
Понтрягин создал свою научную школу. Основной принцип решения
задач оптимального управления называется принципом максимума
Понтрягина.
Лев Семенович Понтрягин скончался 3 мая 1988 г. в Москве.
Соболев
Сергей Львович Соболев (1908—1989) родился в Петербурге.
После окончания школы в 15 лет он поступил в Первую
государственную художественную студию по классу фортепиано, так как в
университет принимали только после 16 лет. Через год, продолжая
учебу в студии, Сергей стал студентом физико-математического
факультета Ленинградского университета. Художественную
студию он успешно закончил, но даже не пошел получать диплом, так
как к тому времени понял, что его призванием является математика.
Первая печатная работа студента Соболева «Замечания по
поводу работ Н.М. Салтыкова...» появилась в «Докладах Академии
372

наук СССР» в 1929 г. Он нашел ошибки в доказательстве
теоремы, предложенном профессором Салтыковым, и построил
примеры, противоречащие утверждениям автора.
После окончания университета Соболев три года работал в
теоретическом отделе Сейсмологического института АН СССР. Им
было опубликовано более 30 работ по исследованию
распространения волн в упругих средах (задача Коши для гиперболических
уравнений). Результаты одной из работ в 1930 г. были доложены на
I Всесоюзном съезде математиков в Харькове. Присутствовавший
на съезде французский математик Адамар писал Соболеву после
съезда: «Я буду очень счастлив, молодой коллега, если Вы будете
держать меня в курсе дальнейших Ваших работ, чрезвычайно меня
заинтересовавших» [77, с. 113].
В 1932 г. Соболев переходит в отдел дифференциальных
уравнений Физико-математического института АН СССР. Им сделано три
блестящих доклада на II Всесоюзном съезде математиков в
Ленинграде, название одного из них — «Обобщенные решения волнового
уравнения».
В работах Соболева 1935—1936 гг. была сформулирована
концепция рассмотрения решений дифференциальных уравнений в
частных производных как обобщенных функций (функционалов).
Созданное им понятие обобщенной функции (см. гл. 33) вызвало
к жизни новые методы, позволившие решить ряд давно стоявших
проблем математической физики, придать окончательную форму
многим ранее полученным результатам, поставить и решить ряд
новых задач. Это в короткий срок изменило облик многих разделов
математической физики.
Идеи теории обобщенных функций распространились и на
другие разделы математики: обыкновенные дифференциальные
уравнения, теорию представлений групп, теорию случайных процессов,
вариационное исчисление и даже теорию чисел. Эти идеи широко
используются в механике, теоретической физике, в ряде
инженерных дисциплин.
Соболев не только ввел в науку понятия обобщенного
решения краевой задачи и обобщенной функции как функционала, но и
заложил основы теории, построенной на этих понятиях. Сами
373

функционалы естественным образом классифицируются,
образуя определенные нормированные пространства. Соболевым было
установлено, что различные пространства обобщенных функций
связаны между собой внешне простыми, но отнюдь не
тривиальными связями. Теоремы, выражающие эти связи, называют теоремами
вложения Соболева, а пространства — пространствами Соболева
или Соболевыми пространствами. В этом смысле Соболев стоит
в одном ряду с основателями функционального анализа
немецким математиком Гильбертом и польским математиком Стефаном
Банахом.
Научные достижения Соболева получили признание. В 1933 г.
его избирают членом-корреспондентом Академии наук СССР.
В 1939 г. он становится самым молодым академиком, национальной
гордостью. О нем много и восторженно пишут газеты, его
избирают депутатом в руководящие органы Москвы и РСФСР. Во время
войны на Соболева были возложены обязанности директора
Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, который был
эвакуирован из Москвы в Казань.
В 1943 г. Математический институт возвратился в Москву.
Приказом Государственного комитета обороны СССР была
организована лаборатория № 2, впоследствии переименованная в Институт
атомной энергии. Директором лаборатории был назначен академик
И.В. Курчатов, главным (первым) заместителем директора и
председателем ученого совета — академик С.Л. Соболев. С этого
момента его фамилия надолго исчезла со страниц газет. В
обстановке глубочайшей секретности велись интенсивные работы по
созданию атомного щита страны. Соболев занимался расчетом сложных
систем получения кондиционного ядерного горючего.
Прежде чем сформулировать математическую постановку
задач, требовалось детально разобраться в физических процессах,
которые до этого никогда не изучались. Сложнейшие задачи
математической физики надо было «довести до числа», результаты —
воплотить в металле. Соболев придумывал специальные методы счета
и контроля результатов. Все это было делом государственной
важности. В декабре 1946 г. атомный реактор заработал. Личный вклад
академика Соболева был отмечен тремя Государственными
премиями СССР и званием Героя Социалистического Труда.
374

Однажды на работе при попытке открыть дверь Сергей
Львович повредил ногу. В течение шести недель он находился дома и за
это время свел воедино результаты пятнадцатилетней работы,
разбросанные по статьям и конспектам лекций. Так в 1950 г. появилась
книга «Некоторые применения функционального анализа в
математической физике», переведенная на многие языки и сыгравшая
важную роль в «перестройке» теории дифференциальных уравнений с
частными производными.
В 1950-х годах начался новый этап в творчестве Соболева. Он
рассказывал: «Работая в Институте атомной энергии, я приобрел
вкус к вычислительной математике, осознал ее исключительные
возможности. Поэтому с удовольствием принял предложение
ректора МГУ Ивана Георгиевича Петровского возглавить первую в
стране кафедру вычислительной математики Московского
университета» [77, с. 117]. Этой кафедрой Соболев руководил в 1952—
1959 гг. Разработанный им новый подход состоял в
систематическом использовании понятий и теорем функционального анализа.
Тому, что функциональный анализ стал языком современной
теории численных методов, математика в значительной мере обязана
его трудам. Сам Соболев говорил, что сейчас невозможно
представить теорию вычислений без банаховых пространств так же, как и
без ЭВМ.
Несмотря на чрезвычайную занятость в Институте атомной
энергии, Соболев читает лекции в московском и ленинградском
университетах, руководит научной работой аспирантов. В 1943—
1958 гг. он совместно с И.Г. Петровским и А.Н. Тихоновым ведет
семинар по уравнениям с частными производными. В 1947 г. он
издает учебник «Уравнения математической физики» и продолжает
заниматься задачами, связанными с распространением волн
различной природы. Особенно трудными были задачи о колебаниях во
вращающейся жидкости. Математическая модель этого процесса —
уравнения в частных производных, не разрешенные относительно
старшей производной по времени (сейчас их называют
уравнениями Соболева). Эти исследования положили начало новым
большим разделам функционального анализа и математической физики.
В 1986 г. Соболеву совместно с учениками и сотрудниками за
многолетний цикл работ «Математические исследования по качествен-
375

ной теории вращающейся жидкости» была присуждена
Государственная премия СССР.
Следующий этап жизни Соболева связан с Сибирским
отделением АН СССР. Три академика, М.А. Лаврентьев, С.Л. Соболев и
С.А. Христианович, обратились в Президиум Академии наук и
Правительство СССР с планом создания научных центров на
востоке страны. После учета пожеланий коллег-академиков
окончательный вариант предусматривал создание институтов: математики с
вычислительным центром, теоретической и прикладной механики,
гидродинамики, ядерной физики, автоматики и электрометрии,
геологии и геофизики, цитологии и генетики, экспериментальной
биологии и медицины, экономики. Позже к ним добавились четыре
химических института.
Надо было выбрать место для будущего центра сибирской
науки. Академики остановились на пригороде Новосибирска. В 1957 г.
было принято решение о создании Сибирского отделения АН СССР,
началось строительство Академгородка.
Назначенный директором Института математики, Соболев в
1958 г. переезжает в Новосибирск. Соболев заботился о том, чтобы
в институте были представлены все важнейшие направления
современной математики и возглавлялись они яркими, талантливыми
учеными.
Исследованиями в области геометрии руководил академик
А.Д. Александров, в области алгебры и математической логики
— академик А.И. Мальцев. На должность руководителя отдела
вычислительной математики Сергей Львович пригласил молодого
математика Г.И. Марчука. В 1964 г. Г.И. Марчук возглавил
Вычислительный центр — самостоятельный институт, спустя несколько
лет стал академиком, а затем и президентом Академии наук СССР.
Отдел математической экономики возглавил известный
математик Леонид Витальевич Канторович, приглашенный из Ленинграда.
После образования этого отдела экономико-математическими
методами стали активно заниматься не только математики, но и
экономисты в Институте экономики. Были найдены общие
принципы и решены конкретные планово-экономические задачи. Заслуги
Л.В. Канторовича были признаны сначала внутри страны — он стал
376

академиком и лауреатом Ленинской премии, а затем во всем мире —
в 1975 г. ему была присуждена Нобелевская премия по экономике.
В течение четверти века Соболев возглавлял Институт
математики. Сбылись его мечты об обмене идеями между математиками и
представителями других наук. Математические методы
использовались для решения геологических задач, была построена
математическая теория взрыва, специалисты научились с помощью ЭВМ
предсказывать паводок в речных руслах, велись интенсивные
исследования в области математической лингвистики.
Самого Сергея Львовича занимала задача приближенного
интегрирования функций — одна из первостепенных задач
вычислительной математики. Для одномерного случая она изучалась
Эйлером, Гауссом, Чебышевым, и полученные ими формулы называют
квадратурными. Поискам наилучших кубатурных формул для
вычисления многомерных интегралов Соболев посвятил более 15 лет.
Но не только чисто математические проблемы интересовали
Соболева. В 1951 г. группа ученых предложила организовать высшее
учебное заведение нового типа, в котором органически сочетались
бы обучение и научная работа. Естественно, что Соболев не мог
остаться в стороне. Он помогал решать организационные вопросы,
составлял и обсуждал программы, читал лекции первым студентам
Московского физико-технического института.
Важную роль сыграл Соболев в становлении исследований по
кибернетике. Многие философы называли кибернетику
идеалистической лженаукой. Первым официальным выступлением в
поддержку кибернетики была статья «Основные черты кибернетики»,
опубликованная в 1955 г. в журнале «Вопросы философии».
Соавторами С.Л. Соболева были А.И. Китов и A.M. Ляпунов. В
«Очерках по истории кибернетики» утверждается: «В СССР кибернетика
стала развиваться бурными темпами лишь после того, как
выдающиеся математики А.Н. Колмогоров, С.Л. Соболев, А.Я. Хинчин и
другие заинтересовались ее проблемами» [77, с. 123].
В июле 1954 г., когда до «оттепели» было еще далеко, Соболев
опубликовал в «Правде» статью «О научной критике, новаторстве и
догматизме». Это было выступление против антинаучных попыток
оторвать фундаментальные направления в математике от их
приложений. Много внимания в статье уделено и биологии. Обличая тех,
377

кто придает критике извращенную догматическую форму, Соболев
указывает на то, что стандартные для биологии ярлыки
«вейсманистский», «мальтузианский», «антипавловский» заменяют
некоторым биологам научную аргументацию.
В 1984 г. Соболев возвратился в Москву, в Математический
институт им. В.А. Стеклова. Снова, как и 50 лет назад, местом его
работы стал отдел дифференциальных уравнений. Почетный доктор
многих зарубежных университетов и член иностранных академий
наук, он участвовал в работе международных конференций,
выступал с докладами. Он продолжал плодотворно трудиться,
свидетельство тому — присуждение Государственной премии в СССР 1986 г.
Умер Сергей Львович Соболев в 1989 г. В том же году
посмертно ему была присуждена Золотая медаль имени М.В. Ломоносова
АН СССР.
Келдыш
Мстислав Всеволодович Келдыш (1911—1978) родился в
профессорской семье. По линии матери он был внуком полного
генерала от артиллерии А.Н. Скворцова, по линии отца — внуком
М.Ф. Келдыша, закончившего духовную семинарию, но затем
занимавшегося военной медициной и дослужившегося до
генерала. Отец Мстислава Всеволодовича — В.М. Келдыш, профессор,
генерал-майор инженерно-технической службы, один из
основоположников методологии расчета железобетонных конструкций.
В двадцатилетнем возрасте в 1931 г. Келдыш окончил физико-
математическое отделение Московского университета и был
направлен по рекомендации М.А. Лаврентьева на работу в ЦАГИ
(Центральный аэрогидродинамический институт). Уже в 1933 г.
первыми работами по применению математических методов для решения
задач гидро- и аэродинамики Мстислав Всеволодович обратил на
себя внимание научного руководителя ЦАГИ С.А. Чаплыгина.
В 1930-х годах для авиации была очень актуальна проблема
флаттера — сочетания изгибных и крутильных колебаний
элементов конструкции самолета, на определенной скорости приводивших
даже к его разрушению. С явлением флаттера столкнулись
авиастроители всех передовых стран, но раньше других и в наиболее
378

полном наборе всех его разновидностей, во всем диапазоне
скоростей полета флаттер был преодолен в СССР благодаря работам
М.В. Келдыша и его коллег. За эти работы ему была
присуждена в 1942 г. первая Сталинская премия, и спустя год он получил
свой первый орден Трудового Красного Знамени. Во время войны
Келдыш, как руководитель отдела ЦАГИ, курировал изготовление
противофлаттерных конструкций на авиационных заводах.
В 1938 г. в Математическом институте им. В.А. Стеклова
Келдыш защитил докторскую диссертацию на тему «О представлении
рядами полиномов функций комплексного переменного и
гармонических функций». Эта работа завершила большой этап его
исследований по важному разделу математики. В 1943 г. он избирается
членом-корреспондентом Академии наук СССР и, продолжая
работать в ЦАГИ, с 1944 г. руководит (по совместительству) отделом
механики Математического института им. В.А. Стеклова.
Еще одна проблема возникла в самолетостроении в связи с
переходом авиации на трехопорную схему шасси с передним
колесом. Такой переход диктовался увеличением взлетно-посадочных
скоростей самолетов. При достижении некоторой скорости у
передней стойки шасси начинались самовозбуждающиеся колебания,
которые приводили к ее поломке. Это явление получило название
«шимми». Келдыш решил эту проблему в 1945 г. и в дополнение к
теоретическому решению сформулировал практические
инженерные рекомендации. В 1946 г. работа была удостоена еще одной
Сталинской премии. Важные математические результаты, полученные
Келдышем в, казалось бы, абстрактных разделах математики,
были вызваны необходимостью решения конкретных прикладных
задач. Для этого Келдыш, умеющий находить неожиданные аналогии,
решал абстрактные математические проблемы. Например,
полученные им результаты в глубоко разработанной теории
несамосопряженных операторов были вызваны необходимостью раскрыть
причины колебаний конструкций.
В 1946 г. Келдыша избирают действительным членом Академии
наук СССР, тогда же назначают начальником Реактивного научно-
исследовательского института (НИИ-1), которым он руководил до
1955 г. Келдыш принимал активнейшее участие в создании ракетно-
ядерного щита страны. В НИИ-1 он создал и возглавил расчетное
379

бюро, которое вместе с отделом механики Математического
института им. В.А. Стеклова АН СССР явилось частью организованного
им в 1953 г. в этом институте Отделения прикладной математики,
занимавшегося атомной тематикой и переименованого в 1966 г. в
Институт прикладной математики АН СССР.
В послевоенный период на передний план выходит научно-
организационный аспект деятельности Келдыша. Он руководит
большими научно-техническими коллективами, является
председателем ответственных комиссий, членом Президиума Академии
наук СССР, а потом вице-президентом.
После запуска первого искусственного спутника Земли в 1957 г.
Келдыш, которого называют Теоретиком космонавтики, является
научным координатором общегосударственных программ по
освоению ближнего и дальнего космоса и по пилотируемой
космонавтике. Он же руководит созданием методов расчета и их
применением для решения на ЭВМ задач атомной тематики. В связи с этим
формировался новый самостоятельный раздел математики —
вычислительная и прикладная математика. Как автор Келдыш лично
участвовал в создании новых вычислительных методов и
алгоритмов, развивая численные методы решения задач математической
физики. За эти работы в 1956 г. Мстислав Всеволодович получает
звание Героя Социалистического Труда. В 1957 г. ему присуждается
Ленинская премия, а в 1961 г. он награждается второй золотой
медалью «Серп и молот» и избирается Президентом Академии наук
СССР.
Под его руководством Академия наук стала подлинным штабом
и крупнейшим центром фундаментальной науки. Были проведены
глубокие преобразования, восстановлены как научные направления
генетика и кибернетика, созданы условия для развития новых
разделов науки — молекулярной биологии, квантовой электроники и др.
В 1971 г. за исключительные заслуги перед государством в
развитии науки Келдыш был удостоен третьей золотой медали «Серп
и молот». Когда тяжелая болезнь сделала невозможным
продолжение работы в привычном для Келдыша ритме, он счел для себя не в
праве оставаться на посту Президента Академии наук СССР и
оставил этот пост в 1975 г., накануне празднования 250-летия Академии.
380

Мстислав Всеволодович Келдыш прожил 67 лет, его прах захоронен
в Кремлевской стене на Красной площади.
Имя М.В. Келдыша увековечено в названиях
научно-исследовательского судна, малой планеты Солнечной системы, кратера на
Луне, площади в Москве. Его имя носят Исследовательский центр
(бывший НИИ-1) и созданный им Институт прикладной
математики. Золотая медаль имени М.В. Келдыша, учрежденная Академией
наук СССР, вручается за выдающиеся научные работы в области
прикладной математики и механики и теоретических исследований
по освоению космического пространства.
Моисеев
Никита Николаевич Моисеев (1917—2000) родился в семье
потомственных русских интеллигентов. Его отец, Николай
Сергеевич, был приват-доцентом Московского университета. Мать,
Елена Николаевна, рано умерла, и двое маленьких сыновей
остались на попечении отца, деда и бабушки. Несмотря на сложности
существования в послереволюционной России, семья считала себя
неразрывно связанной с ней и не уехала из нее даже тогда, когда
поступали предложения из-за границы.
Еще в школе Никита проявлял серьезный интерес к математике
и занимался в математическом кружке, организованном И.М. Гель-
фандом, доцентом механико-математического факультета
(мехмата) Московского университета. Весной 1935 г. участники этого
кружка Моисеев, Гермейер и Шабат стали лауреатами
математической олимпиады школьников, что давало тогда право на
«пятерку» по математике при поступлении на мехмат. Хотя Моисеев
успешно сдал и другие вступительные экзамены, в университет его
не приняли — помешали дворянское происхождение и сведения о
репрессированном отце. Годом позже Моисееву удалось стать
студентом Московского университета благодаря помощи Гельфанда и
декана мехмата Л.А. Тумаркина.
В 1941 г. Моисеев окончил Московский университет по
специальности «Функциональный анализ» и в том же году, призванный
в армию, был направлен на учебу в Военно-воздушную академию
381

им. Н.Е. Жуковского. В 1942 г., получив диплом инженера,
Моисеев был отправлен на Волховский фронт старшим техником по
обслуживанию самолетов. Демобилизовали его в 1948 г. в звании
капитана.
В 1948—1950 гг. Моисеев преподает в МВТУ им. Н.Э.
Баумана. Одновременно он работает в НИИ-2 Министерства
авиационной промышленности, где выполняет научные исследования,
связанные с задачей расчета рассеяния и обработки результатов
стендовых испытаний реактивных снарядов.
В 1949 г. была арестована мачеха Моисеева, а сам он вынужден
был из Москвы уехать в Ростов-на-Дону, где преподавал в
университете теоретическую механику. По возвращении в 1955 г. в Москву
он был назначен деканом аэромеханического факультета
Московского физико-технического института. В конце 1960-х годов Никита
Николаевич организовал в институте факультет управления и
прикладной математики и стал его первым деканом.
В 1950—1960 гг. актуальными были задачи расчета траекторий
космических аппаратов. Непосредственное применение принципа
максимума Понтрягина при наличии фазовых ограничений было
связано со многими трудностями. Моисеев предложил прямой
метод вариации фазового пространства, что значительно упростило
поиск оптимальных траекторий.
В середине 1960-х годов важнейшей задачей считалось
применение линейного программирования для планирования народного
хозяйства. Моисеев усовершенствовал методы рационального
распределения ресурсов.
С 1967 г. он становится заместителем директора
Вычислительного центра АН СССР и работает над созданием вычислительных
методов для решения аэрокосмических задач, активно
сотрудничает с исследовательскими и проектными организациями, занятыми
разработкой авиационной и ракетной техники, что требовало новых
подходов и новых математических методов. Вместе с ведущими
авиаконструкторами Н.Н. Моисеев автоматизировал решение
многих задач проектирования истребителей. Теоретические результаты
этих исследований были обобщены и опубликованы им совместно с
В.В. Румянцевым в 1965 г. в монографии «Динамика тела с
полостями, содержащими жидкость».
382

Огромной заслугой Н.Н. Моисеева является теоретическая
разработка и компьютерный расчет последствий
одновременного взрыва нескольких водородных бомб. Им было показано, что это
приведет к явлению, названному «ядерной зимой», которое будет
иметь роковые последствия для человечества. К таким же
результатам пришел американский ученый К. Саган [67].
С сокращением финансирования научных исследований
Моисеев сосредоточил свое внимание на вопросах экологии научного
познания. В последние годы жизни основные усилия его были
направлены на борьбу с экологическим невежеством, внедрение
нравственного, высокоэтичного отношения к природе как к живой
системе.
Умер Никита Николаевич Моисеев 29 февраля 2000 г.
Шафаревич
Игорь Ростиславович Шафаревич родился в 1923 г. в
Житомире. Его отец — выпускник Московского университета,
преподаватель теоретической механики, мать — филолог по образованию,
бблыпую часть времени не работала.
Шафаревич заинтересовался математикой не сразу. В школе он
увлекался историей, а по математике имел довольно плохие оценки.
Ему было неловко перед учителями и товарищами, он решил
заниматься математикой самостоятельно и незаметно для себя увлекся
ею. Ему по душе пришлась ее логическая сторона. Особенной
логической строгостью поражала геометрия, но понравилась ему и
алгебра, в которой, оперируя символами, путем логических
рассуждений можно творить чудеса.
Обладая исключительной памятью, Шафаревич завершил
изучение школьного курса математики в 14 лет и, учась в школе в
восьмом классе, поступил на заочное отделение Индустриального
института, где за полгода сдал на «пять» все экзамены по курсу
высшей математики. Его исключительной одаренностью
заинтересовались профессора Московского университета. Член-корреспондент
АН СССР профессор Б.Н. Делоне стал руководителем Игоря.
Учась в девятом классе, Игорь ведет научные изыскания в
области теории чисел и современной алгебры. Он экстерном сдает
экзамены по математике за весь курс университета. После окончания
383

школы Шафаревич был принят сразу на последний курс
Московского университета, который окончил в 1940 г. в 17-летнем
возрасте. В 19 лет он — кандидат физико-математических наук, еще
через два года — доктор физико-математических наук. С 1943 г. он
преподавал математику в Московском университете, с 1946 г.
работал в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР, где с
1960 г. заведовал отделом алгебры.
Занявшись алгебраической теорией чисел, Шафаревич решил
две важные проблемы. Одну из них два века назад поставил
Эйлер. В 1772 г. Эйлер установил «квадратичный закон взаимности»
и в 1783 г. обнародовал его без доказательства. В 1785 г.
независимо от Эйлера этот закон был опубликован Лежандром, который дал
лишь неполное доказательство. Полное доказательство
«квадратичного закона взаимности» предложил Гаусс. Два доказательства
были им опубликованы в 1801 г. Всего Гауссом найдено семь таких
доказательств.
Заслуга построения основ теории взаимности принадлежит
Гильберту, однако построение общей теории им не было
завершено. В формулировке девятой проблемы (см. табл. 4) на II
Международном конгрессе математиков он выразил надежду, что ее
решение будет получено именно на пути развития его теории.
В 1948 г. девятая проблема Гильберта была полностью решена
25-летним Шафаревичем, ее решение было опубликовано в
работах 1948—1950 гг. под названием «Общий закон взаимности».
Другая проблема была связана с обратной задачей Галуа для
разрешимых групп. Эту задачу Шафаревич решил в 1952 г. За эти
исследования в 1959 г. он был удостоен Ленинской премии.
В 1975 г. Шафаревич был уволен из Московского университета,
и с тех пор он не занимается преподавательской деятельностью. На
вручении Шафаревичу Хейнемановской премии в Геттингенской
Академии наук им была прочитана лекция «О некоторых
тенденциях развития математики», опубликованная в 1973 г. в журнале
Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften in Gettingen. Некоторые
выдержки из этой лекции приведены ниже.
«История математики знает очень много примеров того, что
открытие, сделанное одним ученым, остается неизвестным, а позже с
384

поразительной точностью воспроизводится другим. В письме,
написанном ночью перед дуэлью, окончившейся его гибелью, Галуа
высказал несколько утверждений исключительной важности об
интегралах алгебраических функций. Более чем 20 лет спустя Риман,
который никак не мог знать о письме Галуа, вновь нашел и доказал
в точности те же утверждения. Или: после того как Лобачевский и
Больяй независимо друг от друга положили начало неевклидовой
геометрии, выяснилось, что два человека — Гаусс и Швейкарт —
более чем за 10 лет до этого тоже независимо друг от друга пришли
к тем же результатам. Странное чувство испытываешь, видя одни и
те же чертежи, как будто начерченные одной рукой, в трудах
четырех ученых, работавших совершенно независимо друг от друга.
Невольно приходишь к мысли, что такая поразительная,
загадочная деятельность человечества, длящаяся несколько
тысячелетий, не может быть случайной, должна иметь какую-то цель. А
признав это, мы с необходимостью приходим к вопросу: в чем состоит
эта цель?
Бесформенная, лишенная иной цели и смысла, кроме
неограниченного расширения, лихорадочная деятельность уже несколько
веков как захватила человечество. Она получила название
«прогресс» и на некоторое время стала чем-то вроде суррогата
религии. Ее последним порождением является современное
индустриальное общество. Уже много раз указывалось на то, что эта
гонка содержит в себе внутреннее противоречие, приводит к
катастрофическим материальным последствиям: все возрастающему,
непосильному для человека темпу изменений жизни,
перенаселенности, уничтожению окружающей среды. На примере математики я
хочу обратить внимание на не менее разрушительные духовные
последствия: человеческая деятельность лишается глобальной цели,
становится бессмысленной. < ... >
Опасность здесь не только отрицательная, она заключается не
только в том, что напряженные усилия человечества, жизнь его
наиболее талантливых представителей не освещается пониманием их
смысла. Она не исчерпывается и тем, что, не понимая цели своих
действий, мы не можем предвидеть и их результатов. Духовная
конституция человечества не позволяет ему долго мириться с
деятельностью, цель и смысл которой ему не даны. И здесь, как и во многих
13 Математика древняя и юная 385

других явлениях, вступает в силу механизм замещения — не найдя
того, что им необходимо, люди не успокаиваются на этом, но
прибегают к суррогатам. Пример этого нам всем хорошо известен —
порвав связь с Богом милосердия и любви, люди тотчас создали
себе других богов, требующих миллионов человеческих жертв.
Согласно тому же закону, когда культурная деятельность человечества
лишена понимания своих целей, она пытается заимствовать себе
осмысление из других источников. В частности, математик ищет
смысл своей работы в выполнении заказа государства, которому он
готов рассчитать траекторию ракеты или подслушивающий
аппарат, а если это ученый крупного масштаба, то спланировать и целое
общество, состоящее из гибридов людей и компьютеров. < ... >
Я хочу лишь указать на основные направления, в которых
возможен поиск решения.
По-видимому, таких направлений есть два. Во-первых, можно
пытаться извлечь цель математики из ее практических приложений.
Но трудно поверить, что более высокая духовная деятельность
найдет свое оправдание в более низкой материальной. < ... >
Если мы, таким образом, отбросим этот путь, то останется, как
мне кажется, только одна возможность: цель математике может дать
не низшая по сравнению с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности — религия. < ... >
Конечно, сейчас очень трудно представить себе, как это может
произойти. Но еще труднее вообразить, как математика сможет
вечно развиваться, не зная, ни что, ни зачем она изучает. Да уже в
следующем поколении она погибнет, захлестнутая потоком публикаций!
А ведь это еще самая элементарная, внешняя причина.
С другой стороны, в принципе такое решение возможно — это
доказано историей. Обратившись опять к той эпохе, когда
математика только возникла, мы увидим, что тогда она знала свою цель, и
получила она ее именно на этом пути. Математика сложилась как
наука в VI в. до н. э. в религиозном союзе пифагорейцев и была
частью их религии. Она имела ясную цель — это был путь слияния с
божеством через постижение гармонии мира, выраженной в
гармонии чисел. Именно эта высокая цель дала тогда силы, необходимые
для научного подвига, которому принципиально не может быть
равного: не открытия прекрасной теоремы, не создания нового раздела
математики, но создания самой математики.
386

Тогда, почти в самый момент ее рождения, уже обнаружились
те свойства математики, благодаря которым в ней яснее, чем где-
либо, проявляются общечеловеческие тенденции. Именно поэтому
тогда математика послужила моделью, на которой были
выработаны основные принципы дедуктивной науки. < ... >
... Я хочу выразить надежду, что по той же причине она теперь
может послужить моделью для решения основной проблемы нашей
эпохи: обрести высшую религиозную цель и смысл культурной
деятельности человечества».
В 1991 г. И. Р. Шафаревич был избран действительным членом
Академии наук СССР.

Часть II
История некоторых
разделов и идей
математики
При поверхностном наблюдении математика
представляется плодом многих тысяч мало
связанных индивидуальностей, разбросанных по
континентам, векам и тысячелетиям. Но
внутренняя логика ее развития гораздо больше
напоминает работу одного интеллекта,
непрерывно и систематически развивающего свою
мысль, лишь использующего, как средство,
многообразие человеческих личностей. Как в
оркестре, исполняющем кем-то написанную
симфонию, тема переходит от одного
инструмента к другому, и когда один исполнитель
вынужден прервать свою партию, ее точно, как по
нотам, продолжает другой.
И.Р. Шафаревич

Глава 22
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ «ВЕЛИЧИНА»
Все оттенки смысла умное число передает.
Н. Гумилев
«Величина» — одно из основных математических понятий,
смысл которого с развитием математики неоднократно менялся,
становясь все более общим. Первоначально понятие величины
связывали с различными системами чисел (целых, положительных,
рациональных, действительных, комплексных). К более широкому
пониманию величин привели новые числовые системы
(кватернионы, гиперкомплексные числа), а также и новые математические
объекты (матрицы, тензоры, спиноры).
Целые положительные числа в Древнем мире
Единственный естественный предмет
математической мысли есть целое число.
А. Пуанкаре
Арифметикой называют область знаний о числах и операциях
в числовых множествах. Предметом арифметики являются
рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятия числа,
приемы и средства вычислений, исследование операций с числами
различной природы, анализ математической структуры числовых мно-
389

жеств, свойства чисел. Частью арифметики, изучающей свойства
целых чисел, является теория чисел [65].
Представление о понятии числа, сложившееся у математиков
какой-либо эпохи, всегда свидетельствует о том теоретическом
уровне, которого достигла к тому времени математика, и определяет
границы их арифметико-алгебраической практики.
Первыми целые числа исследовала группа философов,
интересующихся математикой. Они называли себя пифагорейцами в честь
своего руководителя и вдохновителя Пифагора, который был
выдающимся мистиком и ученым. Исследуя свойства чисел,
пифагорейцы разбивали их на классы. Одни их термины используются и
сейчас, другие вышли из употребления. У пифагорейцев числа
разделялись на четные и нечетные, четно-четные и нечетно-четные,
простые и составные, совершенные, дружеские, треугольные,
квадратные, пятиугольные и т. д.
Треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в
виде треугольника. Их последовательность 1, 3, 6, 10, ..., п(п +
+1)/2, ...(рис.14).
О
о о о
о о о о о о
Рис. 14. Треугольные числа
Квадратные числа соответствуют числу шаров, уложенных в
виде квадрата. Их последовательность 1,4, 9,16, ..., и2,... (рис. 15).
О о О о
о о о о о о о
о о о о о о о о о
о оо ооо оооо
Рис. 15. Квадратные числа
390

В общем случае А;-угольные (фигурные) числа выражают числа
шаров, уложенных в виде правильного fc-угольника. Их
последовательность 1, к, ..., п + (к — 2)п(п — 1)/2, ...
Тетраэдрические числа соответствуют числу шаров, уложенных
в виде тетраэдра (правильной треугольной пирамиды). Их
последовательность 1, 4, 10, 20, ..., п(п + 1)(п + 2)/6, ... (рис. 16).
О
Рис. 16. Тетраэдрические числа
Пифагорейцы исследовали свойства чисел и сделали числа
основой своей философии Вселенной, пытаясь свести все
соотношения к числовым соотношениям («всё есть число»).
Относительно скрытого значения чисел есть достаточно
предположений. В этой сфере сделано много интересных открытий, но
можно согласиться с тем, что со смертью Пифагора великий ключ к
этой науке был утерян. Уже 2500 лет философы всех народов
пытаются размотать «клубок Пифагора», но никто из них полностью не
преуспел в этом. И хотя сохранившиеся фрагменты учения
Пифагора позволяют прикоснуться к сокровенному знанию, надо сказать,
что основные секреты никогда не записывались, а передавались из
уст в уста, от поколения к поколению, открывались немногим
избранным ученикам. А те не смели передать свои тайны
непосвященным, и тайны умерли вместе с ними.
Пифагор был выдающимся предсказателем, многие его
последователи пытались раскрыть секреты чисел, основываясь на его
учении. Появилась целая оккультная наука — «нумерология».
В «Энциклопедии нумерологии» есть алгоритм «Формула
Пифагора» для анализа информации о человеке, заключающейся в дате
его рождения [114]. В соответствии с этим алгоритмом проводятся
следующие действия:
391

1) записывается дата рождения (число, месяц, год);
2) суммируются все цифры даты рождения;
3) суммируются цифры итогового числа, если в п. 2 получилось
двузначное число;
4) определяется разность между итоговым числом по п. 2 и
удвоенной первой цифрой (цифрой, не числом!) даты рождения по п. 1;
5) определяется сумма цифр итогового числа по п. 4.
Нули вычеркиваются, записывается полный набор из
полученных итоговых чисел и подсчитывается число отдельных цифр в
полном наборе.
Пример. Допустим Вы родились 16 ноября 1989 г. Получаем:
1)16 11 1989; 2) 1 + 6 + 1+ 1 + 1+9 + 8 + 9 = 36; 3)3 + 6 = 9;
4) 36 - 2 • 1 = 34;
5) 3 + 4 = 7.
Полный набор итоговых чисел: 16111989 36 9 34 7. Число
отдельных цифр в наборе: «1» — 4, «2» — 0, «3» — 2, «4» — 1,
«5» — 0, «6» — 2, «7» — 1, «8» — 1, «9» — 3.
Далее расшифровывается полученный результат.
Число цифр «1» (единиц) дает информацию о силе характера.
Число цифр «2» (двоек) — о силе биополя.
Число цифр «3» (троек) — о внутреннем складе человека.
Число цифр «4» (четверок) — о здоровье.
Число цифр «5» (пятерок) — об уровне интуиции.
Число цифр «6» (шестерок) — о степени «заземленности».
Число цифр «7» (семерок) — об уровне приближения к Богу.
Число цифр «8» (восьмерок) — об уровне чувства долга.
Число цифр «9» (девяток) — об интеллекте.
Суммарное количество цифр «1», «4», «7» характеризует
жизненный стержень.
Суммарное количество цифр «2», «5», «8» — качество
семьянина.
Суммарное количество цифр «3», «6», «9» — социальную
устойчивость.
Суммарное количество цифр «1», «2», «3» — здравомыслие.
Суммарное количество цифр «4», «5», «6» —
целеустремленность.
Суммарное количество цифр «7», «8», «9» — талантливость.
392

Суммарное количество цифр «3», «5», «7» — уровень любви к
людям.
Суммарное количество цифр «1», «5», «9» — уровень
божественной миссии.
Чем больше получится число цифр или суммарное количество
цифр, тем ярче в человеке выражена соответствующая черта.
Дальнейшее развитие
теории целых и рациональных чисел
Первое известное нам логически последовательное изложение
теории целых чисел содержится в книгах VII, VIII и IX «Начал»
Евклида, где были подведены итоги развития математики на тот
период. В книге VII излагается теория пропорций, совершенно
отличная от построенной в книге V. В книге VII определяется равенство
отношений целых чисел, или, с точки зрения современных
математиков, строится теория рациональных чисел. Эта теория, как
показал нидерландский математик Ван-дер-Варден, разработана
ранними пифагорейцами (первая половина V в. до н. э.), тогда как теория
пропорций, изложенная в книге V, была создана Евдемом из Кинда
(середина IV в. до н. э.).
При аксиоматическом построении математики вначале
вводятся неопределимые понятия, которые являются простейшими и не
могут быть определены через другие понятия. В геометрии и
теории чисел избегают неопределимых понятий, пытаясь всем
понятиям дать определения. Несмотря на это, древние греки считали, что
теория целых чисел обоснована весьма удовлетворительно.
Рассматривали они и отношения целых чисел (у последующих поколений
математиков такие отношения получили название дробей).
В дошедших до нас рукописях Диофанта можно найти действия
со степенями, показатели которых не превосходят шести, и
некоторые приемы операций с вычитаемыми. В неявной форме это
операции с отрицательными числами. Сформулированные Диофантом
правила применялись им только к рациональным числам.
Развитие арифметики в Европе связано с распространением
индийской десятичной позиционной системы и арабских цифр.
393

Употребление арабских цифр в Европе ввел в Хв. н.э. монах-
бенедектинец Герберт из Орийака, который был сначала
воспитателем, затем советником императора Отгона III, а впоследствии —
Папой Римским Сильвестром II (с 999 г. н. э.). Он путешествовал в
Испании между 967 и 969 гг. и, посетив там арабские школы,
познакомился с индо-арабской системой счисления. Во Франции в то
время еще считали на пальцах или с помощью системы жетонов.
Герберт построил счетную доску — абак. Метод абацистов,
пропагандистом которого был Герберт, давал упрощения, аналогичные
использованию позиционной системы, для сложения и вычитания,
тогда как умножение и особенно деление оставались еще очень
сложными. Абацистов сменили алгоритмики, которые
использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня.
Усиление контактов между государствами, развитие торговли
и банковской системы требовали простой в обращении и легкой
в применении арифметики для обучения торговцев, банкиров,
ремесленников и др. Появились первые учебники. Большое влияние
оказал труд «Сумма» (1494) итальянского математика Луки Пачо-
ли, настоящий свод математических знаний той эпохи. В нем была
полностью воспроизведена «Книга абака» (1202) итальянского
математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи).
Первые шаги в направлении применения десятичных дробей
были сделаны в XV в., но широкое распространение эти дроби
получили только в XVI в. после выхода сочинений
нидерландского математика и инженера Симона Стевина. В течение более 200
последующих лет десятичные дроби употреблялись лишь в
астрономической вычислительной практике. Усилиями многих
крупнейших французских математиков (Лагранж, Лаплас, Монж и другие)
в период 1790—1799 гг. была разработана единая десятичная
метрическая система. Она была введена во Франции 24 апреля 1799 г.
С тех пор аппарат десятичных дробей нашел повсеместное
применение. В XIX в. по мере перехода на десятичную систему новых
государств этот аппарат сделался частью школьной математической
подготовки.
В XV—XVI вв., да и позже, предлагались разные схемы для
умножения и деления многозначных чисел, эти схемы различались,
394

в сущности, только характером записи промежуточных
вычислений. Общепринятый в настоящее время способ умножения ввел
А. Ризе в XVI в.
Иррациональные числа
На иррациональные числа (так же, как и на
всякие другие) можно смотреть, как на чистые
знаки, которые могут быть и действительно бывают
весьма полезны, между прочим, по той причине,
что этими знаками удобно выражаются реальные
свойства вещей.
СО. Шатуновский
Пифагорейцы первыми обнаружили, что отношения некоторых
отрезков (например, гипотенузы равнобедренного прямоугольного
треугольника к катету) нельзя представить в виде отношения целых
чисел. Это их удивило и озадачило. Такие отношения отрезков
получили название несоизмеримых. Примером несоизмеримого
отношения является иррациональное число \/2. Пифагорейцы доказали
изобретенным ими методом от противного, что если доказать
соизмеримость числа а/2, то придем к противоречию. Их
доказательство было таким. Пусть \/2 = а/Ъ, где а и b — взаимно простые
числа. Тогда а2 = 2Ь2, следовательно, а2 — четное число. Число
а тоже четное, так как квадрат нечетного числа может быть
только нечетным, a b нечетно. Если а четное, то его можно представить
в виде а = 2с, поэтому а2 = Ас2, т. е. 4с2 = 2Ь2 или Ъ2 = 2с2,
т. е. Ь2 четно и b четно. Следовательно, Ь является одновременно и
четным, и нечетным числом, что невозможно. Этим доказано, что
\/2 — иррациональное число.
Открытие иррациональных чисел привело к постановке
проблемы, ставшей центральной для древнегреческой математики. Платон
в своих «Законах» призывал к познанию несоизмеримых величин.
Евдокс, ученик Платона, предложил понятие величины трактовать
геометрически. При этом принципиальное различие между
рациональными и иррациональными величинами сглаживалось.
Вместо применения формулы для решения квадратных
уравнений решалась задача на построение отрезка,
удовлетворяющего уравнению. Это направление в математике получило название
395

геометрической алгебры. Превращение всей математики, за
исключением теории целых чисел, в геометрию привело к нескольким
важным последствиям. Несоизмеримые величины целиком
принадлежали юрисдикции геометрии — арифметике (теории чисел) они
были «не подсудны». Геометрия стала основой всей «строгой»
математики. Мы до сих пор называем х2 «икс квадратом», ж3 «икс
кубом», а не соответственно «во второй» и «в третьей» степени,
потому что некогда под х2 и х3 понимался лишь геометрический
смысл этих величин.
В греческой цивилизации на смену эпохе высокой классики
(афинский период) в III в. до н. э. пришла эпоха эллинизма
(александрийский период), сложившаяся в результате слияния
классической греческой культуры с культурами Египта и Вавилона.
Наиболее выдающиеся математики александрийского периода Архимед
и Аполлоний следовали образцу аксиоматической, дедуктивной
геометрии «Начал» Евклида. Но под влиянием прагматичных
египтян и вавилонян александрийцы начали использовать математику
и для удовлетворения запросов практики. Герон Александрийский
в своем сочинении «Метрика» привел формулу для вычисления
площади треугольника S = у/р(р — а)(р — Ь)(р — с), где а, Ь, с —
длины сторон треугольника, р — его полупериметр.
Вычисление площади треугольника по формуле Герона нередко
приводит к иррациональным числам. Во многих чистых и
прикладных науках, развитых греческими учеными александрийского
периода, — составление календаря, измерение времени, навигационные
расчеты, оптика, география и гидростатика — иррациональные
числа находили самое широкое применение.
Индийцы и арабы, подхватившие эстафету развития
математики после окончательного уничтожения арабами эллинистической
(александрийской) греческой цивилизации, использовали целые
числа и дроби, но, не колеблясь, оперировали и иррациональными
числами. Они ввели новые, верные, правила сложения, вычитания,
умножения и деления иррациональных чисел.
В конце Средневековья и в эпоху Возрождения европейцы
ознакомились с существующим уровнем достижений математики.
Частично это были уцелевшие рукописи на греческом языке, а в
основном — работы греческих авторов на арабском языке и исследования
396

арабских математиков. По мнению европейцев, настоящей
математикой была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же
время они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность
арифметики и алгебры, которые были значительно
усовершенствованы по сравнению с Античностью.
Первая проблема, с которой столкнулись европейцы, сводилась
к старому вопросу о том, как следует относиться к иррациональным
числам. До XV—XVI вв. под иррациональными числами
понимались только квадратные корни. Все же Леонардо Пизанский
рассматривал вопрос о приближенном вычислении не только квадратных,
но и кубических корней. Ферро и Тарталья при решении
уравнения третьей степени стали употреблять кубические корни. Вплоть
до XVIII в. при обосновании операций над иррациональными
числами ограничивались величинами, выражаемыми в радикалах.
Операции с иррациональными числами не вызывали
затруднений, но математиков беспокоила проблема, можно ли считать эти
числа настоящими. Немецкого монаха и профессора математики
Михаэля Штифеля беспокоило то, что для записи иррационального
числа в десятичной системе требуется бесконечно много знаков. Он
считал, что, подобно тому как не является числом бесконечность,
иррациональные числа также не являются истинными числами, а
как бы скрыты от нас в облике бесконечности. Далее Штифель
добавлял, что настоящие числа — это либо целые числа, либо дроби,
а поскольку иррациональные числа не принадлежат ни к тем, ни к
другим, их нельзя считать настоящими числами.
Столетие спустя Паскаль и английский математик, филолог и
богослов Исаак Барроу утверждали, что иррациональные числа не
более чем символы, не существующие независимо от
геометрических величин, и что логика арифметических операций,
производимых над иррациональными числами, должна быть обоснована с
помощью теории величин Евклида (иррациональные числа —
отношение несоизмеримых отрезков).
Настоящими иррациональные числа признавали
нидерландский математик Симон Стевин и английский математик Джон Вал-
лис, но они не привели никаких логических аргументов в
подтверждение своего мнения. Создатели аналитической геометрии
397

Декарт и Ферма не имели ясного представления об
иррациональных числах, но неявно допускали их существование.
Иррациональные числа нашли широкое применение с
появлением логарифмов — одного из новых достижений математики
эпохи Возрождения. И хотя логарифмы большинства положительных
чисел иррациональны (предложенный Непером метод вычисления
логарифмов основан на свободном обращении с
иррациональными числами), все математики приветствовали полезное
изобретение, избавившее их от излишнего труда.
Отрицательные числа
Отрицательные величины алгебры реальны лишь
постольку, поскольку они соотносятся с
положительными величинами, реальны лишь в рамках
своего отношения к последним; взятые вне этого
отношения, сами по себе, они носят чисто
воображаемый характер.
Ф. Энгельс
Первым ввел в обращение отрицательные числа индийский
математик и астроном Брахмагупта. Используя отрицательные числа
для обозначения денежных долгов, или пассива, индийцы
преумножили и без того многочисленные логические трудности
математиков (положительные числа при таком подходе должны означать
наличность, или актив).
Индийский математик и астроном Бхаскара обратил внимание
на то, что квадратный корень из положительного числа имеет два
значения — положительное и отрицательное. Он также рассмотрел
вопрос о квадратном корне из отрицательных чисел и пришел к
выводу, что такой корень не существует, так как иначе его квадрат
должен был бы быть отрицательным числом, а отрицательное число не
может быть квадратом. Далеко не все индийцы восприняли
нововведение Бхаскары. Тем не менее отрицательные числа, вскоре
после того как они были введены, начали распространяться все шире.
В Европе отрицательные числа стали известны из арабских
текстов. Большинство европейских математиков XVI—XVII вв. не
считали отрицательные числа настоящими или утверждали, что
398

отрицательные числа не могут быть корнями уравнений. Карда-
но включал отрицательные числа в число корней
рассматриваемых им уравнений, но полагал, что отрицательные корни — это
просто символы, не имеющие реального смысла. Отрицательные
корни уравнений он называл фиктивными и противопоставлял их
действительным, т. е. положительным, корням. Виет полностью
отвергал отрицательные числа. Декарт принимал их лишь с
определенными оговорками. Отрицательные корни уравнений он называл
ложными на том основании, что они якобы представляют собой
числа, которые меньше, чем ничто. Паскаль считал, например,
вычитание числа 4 из числа 0 операцией, лишенной всякого смысла.
В его «Мыслях» есть выразительное признание: «Я знаю людей,
которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре,
то получится нуль» [95, с. 34].
Интересный довод против отрицательных чисел выдвинул
близкий друг Паскаля теолог и математик Антуан Арно. Он утверждал,
что для двух неравных чисел отношение большего числа к
меньшему всегда больше отношения меньшего числа к большему. Так как
1 1 -1 1
— 1 < 1, он считал равенство — = — противоречащим здравому
смыслу. Лейбниц, признав правильность возражения Арно, указал,
что такого рода пропорции вполне допустимо использовать в
вычислениях, ибо по форме они правильны. Кроме того, Лейбниц
предложил называть мнимыми (несуществующими) все величины, не
имеющие логарифмов. По его мнению, число — 1 не существует, так
как положительные логарифмы соответствуют числам бблыпим 1,
а отрицательные логарифмы соответствуют числам, заключенным
между 0 и 1. Следовательно, для отрицательных чисел логарифмов
просто «не хватает» [95]. Действительно, если бы нашлось какое-
нибудь число, соответствующее log(—1), то половина его, как
следует из теории логарифмов, соответствовала бы log у/—Т, а \/—Т
заведомо не имеет логарифма.
В целом можно сказать, что немногие математики XVI—XVII вв.
свободно обращались с отрицательными числами или легко
воспринимали их введение. По поводу отрицательных чисел среди
математиков бытовали самые нелепые предрассудки. Так, Валлис
придерживавшийся прогрессивных для своего времени взглядов и не
399

отвергавший отрицательных чисел, был убежден в том, что
отрицательные числа больше, чем бесконечность, и в то же время меньше
нуля. В «Арифметике бесконечно малых» из неравенства <
п+1
1
< — для натуральных чисел он заключил, что
п
11111
"'<3<2<l<0<^i<"', ИЛИ ••<1<00<~1<---
Отрицательные числа беспокоили математиков гораздо сильнее,
чем иррациональные. Возможно, это объяснялось тем, что
отрицательные числа не имели столь очевидного геометрического
смысла и правила операций над ними выглядели менее привычно. Хотя
примерно с середины XVII в. отрицательные числа использовались
весьма широко, они были лишены строгого определения и
логического обоснования, и многие математики либо пытались каким-то
образом восполнить этот пробел, либо оспаривали само
применение отрицательных чисел. В статье «Отрицательное», написанной
для знаменитой французской «Энциклопедии», один из
величайших мыслителей «века разума» Даламбер утверждал: «Если задача
приводит к отрицательному решению, то это означает, что какая-то
часть исходных предположений ложна, хотя мы и считаем ее
истинной. < ... > Если получено отрицательное решение, то это
означает, что искомым решением служит дополнение к
[соответствующему положительному] числу» [44, с. 140].
На протяжении XVIII в. против отрицательных чисел
выдвигалось немало возражений. Английский математик Фрэнсис Мазер в
работе «Рассуждение о применении в алгебре знака минус» писал
об отрицательных корнях: «... насколько я могу судить, они служат
лишь для того, чтобы внести замешательство во всю теорию
уравнений и сделать смутным и загадочным то, что по самой своей
природе особенно ясно и просто...» [44, с. 141].
Практическое применение для обработки результатов научных
исследований отрицательных и иррациональных чисел приводило
к превосходному согласию с результатами наблюдений и
экспериментов. Какие бы сомнения ни испытывали математики, применяя
отрицательные числа в естественно-научных исследованиях, они
отбрасывали все сомнения, как только окончательный результат
400

оказывался физически правильным: ведь математики заботились
главным образом о естественно-научных приложениях и все, что
доказывало свою полезность на деле, принималось ими без особого
разбора.
Комплексные числа
При рассмотрении квадратных уравнений математики разных
эпох, начиная с индийских математиков, встречались с
комплексными числами. Однако мнимые решения отбрасывались как
несуществующие. В XVI в., так и не преодолев трудностей, связанных с
иррациональными и отрицательными числами, европейцы еще
более увеличили свое и без того тяжкое бремя, когда набрели на новое
открытие, значение которого они осознали далеко не сразу, —
комплексные числа.
Кардано в трактате «Великое искусство» (1545) поставил и
решил следующую задачу: разделить число 10 на две части,
произведение которых равно 40. Эта на первый взгляд нелепая задача
допускает решение в виде сопряженных комплексных чисел 5 + у/—\Ъ
и 5 — \J —15. Относительно полученных значений Кардано заметил,
что эти «сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма
хитроумны». Еще раз он столкнулся с комплексными числами в связи
с алгебраическим методом решения кубических уравнений. Хотя
Кардано искал и отбирал только действительные корни,
приведенная им в книге формула давала и комплексные корни (если
уравнение их допускало).
Бомбелли также рассматривал комплексные числа как решения
кубического уравнения и сформулировал (практически в
современном виде) правила выполнения четырех арифметических операций
над комплексными числами, однако считал их бесполезной и
ненужной выдумкой. Декарт тоже был среди тех, кто отвергал
комплексные корни. Именно он ввел в употребление термин «мнимое
число».
Даже Ньютон не придавал особого значения комплексным
корням, вероятнее всего потому, что в его время комплексные корни
еще не имели физического смысла. Он считал, что задачи, которые
не допускают решений, имеющих физический или геометрический
смысл, должны иметь комплексные корни.
401

У Лейбница тоже не было ясности в вопросах, связанных с
комплексными числами. Желая хоть как-то обосновать те применения,
которые он сам и Иоганн Бернулли нашли комплексным числам в
математическом анализе, Лейбниц высказал надежду, что вреда от
этого не будет.
Несмотря на отсутствие ясного понимания природы
комплексных чисел в XVI—XVII вв., алгоритмическая сторона вычислений,
производимых с действительными и комплексными числами,
усовершенствовалась и расширялась.
С 1712г. развернулась острая дискуссия о смысле комплексных
чисел, и в частности о логарифмах отрицательных и комплексных
чисел, в которой участвовали своими статьями и письмами
Лейбниц, Иоганн Бернулли и Эйлер. Переписка между Лейбницем и
Иоганном Бернулли о логарифмах отрицательных чисел была
весьма обширной, но — увы! — большинство утверждений, на которых
настаивали обе стороны, были неверными. Считая комплексные
числа несуществующими, они с их помощью получали в анализе
совершенно правильные формулы интегрирования:
промежуточные выкладки, казалось бы, не имели смысла, но окончательный
результат был верен.
В 40-х годах XVIII в. Даламбер и Эйлер доказали, что всякое
выражение, содержащее мнимые величины, приводится к виду а +
+/3г, где а и [3 — действительные числа.
Правильное решение проблемы логарифмов отрицательных
чисел нашел великий Леонард Эйлер. Свой результат он изложил в
работе «Исследования о мнимых корнях уравнений» (1751).
Современники Эйлера не поняли и не оценили эту его замечательную
работу. Еще до выхода книги Эйлер о своих результатах сообщил Да-
ламберу в письме от 15 апреля 1747 г. Ни обширная переписка, ни
работа Эйлера не убедили Даламбера, и в своей заметке «О
логарифмах отрицательных величин» он выдвинул всевозможные
метафизические, аналитические и геометрические аргументы против
существования таких логарифмов.
Производя операции над комплексными числами, Эйлер порой
и ошибался. Так, в его «Алгебре» фигурирует равенство у/—1 \/^4 =
= \fi = 2, выписанное по аналогии с тождеством у/а х/Ъ = y/ab,
402

справедливым для положительных а и Ъ, т. е. для действительных
корней.
Все участники острой полемики, развернувшейся вокруг
проблемы расширения понятия числа, мыслили непоследовательно.
Было принято считать, что некоторые операции над
комплексными числами, например операция возведения комплексного числа в
комплексную степень, могут привести к числам совершенно новой
природы. Даламбер установил, что все операции, производимые
над комплексными числами, порождают только комплексные числа.
Однако, сознавая непоследовательность и даже противоречивость
собственных представлений о комплексных числах, Даламбер даже
не упомянул о них в «Энциклопедии», которую он вместе с Дидро
редактировал и для которой им написано много математических
статей.
Несмотря на множество принципиальных возражений против
комплексных чисел, на протяжении XVIII в. их широко
использовали, свободно применяя к ним правила арифметических действий
над действительными числами. Так математики получали
практические навыки в обращении с комплексными числами. В тех
случаях, когда комплексные числа применялись лишь на промежуточных
стадиях математических доказательств, полученные с их помощью
окончательные результаты всегда оказывались верными, что не
могло не произвести благоприятного впечатления. Тем не менее
математиков не оставляли сомнения в правильности такого рода
доказательств, а иногда даже и получаемых с их помощью результатов.
Коши, возглавлявший французскую математическую школу
первой половины XIX в., усиленно занимался установлением
статуса комплексных чисел, начиная со своего «Курса анализа» (1821).
Он считал, что теория комплексных чисел покоится на «принципах,
которым недостает ясности». Для него комплексное число есть
некое «символическое выражение», само по себе не имеющее смысла,
но подчиненное некоторым «фиксированным правилам» по неким
«установленным соглашениям». Он стал явным сторонником
геометрического представления комплексных чисел лишь в 1847 г.,
познакомившись с принципами векторного исчисления.
Первым математиком, имевшим совершенно четкое
представление о статусе комплексных чисел, был Гаусс. Идея их
геометрического представления появилась у него в 1799 г., когда в своей
403

диссертации он изложил очень красивое чисто топологическое
рассуждение, примененное в доказательстве основной теоремы
алгебры. В своем знаменитом письме Бесселю, датированном 1811 г.,
Гаусс со всей определенностью писал о соответствии между
точками плоскости и комплексными числами.
Изучение переписки Гаусса и его заметок, опубликованных
лишь после его смерти, приводит к выводу, что он хорошо понимал
ценность геометрического представления с педагогической точки
зрения и что его можно причислить к сторонникам определенного
геометрического реализма. Гаусс, бесспорно, первым предвидел
ту роль, которую должно было сыграть в дальнейшем
геометрическое представление комплексных чисел как методическое средство
в области анализа, и предугадал, какую пользу сумеют извлечь из
него математики XIX в.
В 20-х годах XIX в. Гаусс и Коши ввели и обосновали
операции над числами вида а ± [Зг, предложили термин
«комплексное число», нашли «модуль» (Коши, 1821), или «норму» (Гаусс,
1828), комплексного числа, определили понятие сопряженности
комплексных чисел. Положение комплексных чисел в математике
существенно упрочилось, и они вошли в алгебру. Однако
математикам пришлось смириться с тем, что не все свойства действительных
чисел справедливы для комплексных. Так, нельзя сказать, какое из
двух комплексных чисел больше, а какое меньше. Общепринятая
трактовка понятия бесконечно удаленной точки также весьма
своеобразна.
Гаусс никогда не спешил опубликовать полученные им
результаты, особенно тогда, когда предчувствовал возможность развития
теории, которой еще недостаточно овладел. Он излагает свои идеи,
касающиеся геометрического представления комплексных чисел,
лишь начиная с 1830 г. и особенно ясно говорит о них в работе
«Теория биквадратных вычетов» (1831).
К концу 40-х годов XIX в. геометрическое представление было
принято повсеместно и привело к бурному развитию теории
функций комплексного переменного, комплексного интегрирования и
т. д., которое увенчалось гениальным обобщением Римана,
заставившего комплексное переменное принимать значения не на одной
плоскости, а на поверхности, состоящей из налагающихся друг на
друга листов.
404

Векторы
Для описания физической реальности математикам стало
недоставать рассмотренных типов чисел. Чтобы иметь возможность для
некоторых величин указывать не только их числовое значение, но
и направление, было введено понятие вектора как направленного
отрезка. Следовательно, вектор — абстракция математических
объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами
физических векторных величин являются перемещение, скорость,
ускорение, напряженность электрического или магнитного поля.
Любой отрезок однозначно определяется его концами, поэтому
одно из двух возможных направлений для данного отрезка можно
задать, указав, от какого конца отрезка надо начать движение в
заданном направлении, чтобы, двигаясь по отрезку, попасть в другой
его конец. Это позволяет определить геометрический вектор как
упорядоченную пару точек.
Сам термин «вектор» (от лат. vector — несущий) впервые
появился у Гамильтона в 1845 г. в работах по построению числовых
систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону
принадлежат также термины «скаляр», «скалярное произведение»,
«векторное произведение».
После введения понятия вектора были более детально
разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению
сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа.
Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она
стала своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный
анализ изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями
векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор»
(«вихрь»)и «лапласиан».
Многие результаты векторного исчисления получены Грассма-
ном и английским математиком Уильямом Клиффордом.
Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели
в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда
Гиббса, который в 1901 г. опубликовал обширный учебник по
векторному анализу.
Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная
алгебра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории
405

кватернионов, о которых речь пойдет ниже [41 ]. Гиббс показал связь
векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана и
был большим энтузиастом распространения векторного исчисления
в различных областях точных наук.
Введение новых понятий заставило математиков отказаться от
некоторых свойств, справедливых для понятий, рассматриваемых
ранее. При введении операции векторного произведения пришлось
отказаться от коммутативности произведения. Понятие вектора
может быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься
как элемент векторного пространства. Развитием понятия «вектор»
можно считать понятия «кватернион», «матрица» и «тензор».
Кватернионы
Для представления пространственных векторов и выполнения
операций над ними было бы естественно ввести «трехмерные
числа», если считать обычные действительные числа
«одномерными», а комплексные числа — «двумерными».
Как и в случае комплексных чисел, допустимые операции над
трехмерными числами должны были бы включать сложение,
вычитание, умножение и деление. Чтобы над этими числами можно
было беспрепятственно и эффективно производить алгебраические
операции, они должны обладать обычными свойствами
действительных и комплексных чисел. Многие математики принялись за
поиски «трехмерных комплексных чисел». Впечатляющие
результаты были получены Гамильтоном. С 1833 г. он все более и более
углубляется в рассмотрение сущности алгебраической алгорифми-
ки и пытается создать для пространства такие же числа, какими для
плоскости являются комплексные числа.
Известно, что открытия часто приходят к математикам
внезапно. Так случилось и с Гамильтоном. В течение 15 лет он пытался
разработать «трехмерные комплексные числа», а 16 октября 1843 г.
на пути домой, переходя Королевский мост, он изобрел
кватернионы. Гамильтон внезапно понял, что в арифметической системе
не обязательно должен выполняться коммутативный закон и что
числа должны быть не трехкомпонентные, а четырехкомпонент-
ные. Рассказывают, что эта мысль настолько поразила Гамильтона,
406

что он остановился на мосту как вкопанный и нацарапал основные
формулы алгебры кватернионов на каменных перилах.
«Высеченные в камне», эти формулы и поныне украшают исторический
мост [22, с. 8].
Кватернионы — это числа, каждое из которых определяет
величину и направление в пространстве. Они могут быть представлены
в виде а + Ы + cj + dk, где г2 = j2 = к2 = — 1. Чтобы произведение
кватернионов было кватернионом и чтобы кватернион сохранил как
можно больше свойств действительных и комплексных чисел,
Гамильтон вынужден был ввести такие правила умножения: jk = г,
kj = —г, кг = j, гк = —j, ij = к, ji = —к. Кватернион можно
считать точкой или радиус-вектором четырехмерного пространства.
С момента открытия кватернионов до конца своих дней
Гамильтон занимался их исследованием и пытался внедрить их в
различные разделы математики и физики. Он считал, что к каждой
точке пространства приложен кватернион, т. е. скаляр и вектор, и
это позволяет одновременно рассматривать пространство и
время. В высших учебных заведениях Ирландии по кватернионам был
установлен специальный экзамен, и без их знания немыслимо было
окончание колледжа. Такое насильственное внедрение
кватернионов вызвало противодействие со стороны многих математиков,
продолжавшееся до тех пор, пока кватернионы не нашли применения
в физике, в первую очередь в динамике.
Надо сказать, что построение теории функций кватернионов в
будущем может привести к открытиям общематематического
значения. Сейчас кватернионы успешно применяются в теории
относительности.
Гиперкомплексные числа
С введеним кватернионов задачи пространственной геометрии
стали решаться так же легко, как с помощью комплексных чисел
решаются задачи на плоскости. Влияние идей Гамильтона было
весьма значительным: они подготовили почву для целой серии работ
об ассоциативных алгебрах, завершившихся доказательством ряда
важных теорем о строении таких алгебр.
407

Кватернионы являются частным случаем гиперкомплексных
чисел. Важными для практического применения являются те
гиперкомплексные числа, для которых определена операция деления:
действительные и комплексные числа, кватернионы и октавы. Эти
математические объекты связаны последовательно проводимыми
операциями удвоения. Комплексные числа получаются процедурой
удвоения действительных чисел. Кватернионы получаются
удвоением комплексных чисел. Октавы получаются путем удвоения
кватернионов. Алгебру октав разрабатывал В.Я. Фридман [103], а в
настоящее время интересные результаты в алгебре октав
получены доцентом МГТУ им. Н. Э. Баумана Сергеем Владимировичем
Галкиным [21].
Во второй половине XIX в. обычные комплексные числа широко
применяли в теории функций и даже в теории чисел. В то же время
разработка проблем n-мерной геометрии и методов математической
физики потребовала дальнейшего обобщения понятия числа,
перехода к комплексным числам с п мнимыми единицами.
Комплексными и гиперкомплексными числами стали представлять исследуемые
реальные величины — векторы в пространстве Rn; ответ на задачу,
выраженный комплексным или гиперкомплексным числом, имел в
этой области объективный смысл. Объявлять комплексные (и
гиперкомплексные) числа ложными, воображаемыми, как это делали
математики XVII—XVIII вв., стало невозможным.
Арифметика комплексных чисел показала, что переход к
новой, более широкой области чисел, во-первых, требует обобщения
определения операций, выполняемых в исходной области чисел, и,
во-вторых, сопровождается потерей некоторых свойств, присущих
исходной области чисел. При переходе от действительных чисел
к комплексным пришлось отказаться от связывания их знаками <
(меньше), > (больше). В арифметике кватернионов
дополнительно пришлось отказаться от закона коммутативности умножения.
Законы счета, которые в понимании математиков XVII—XVIII вв.
составляли основу неизменной сущности понятия числа, оказались
законами с ограниченной областью действия. Чисто формальное
подведение новых видов чисел под все законы известных чисел
было окончательно дискредитировано.
408

С учетом общих тенденций развития способов обоснования
математики стало ясно, что для обоснования арифметики какого
угодно вида чисел, объективность которых уже доказана, достаточно
перечислить основные понятия, определения и посылки, выяснить,
какие законы счета выполняются в обосновываемой области чисел,
а все остальные утверждения несложно получить методом
дедукции. На этом пути удалось обосновать арифметику целых,
рациональных, комплексных, гиперкомплексных чисел.
Матрицы
Если рассматривать вектор как элемент векторного
пространства, то развитием понятия «вектор» является математическое
понятие «матрица».
Матрица — это прямоугольная таблица вида
fan
Q21
а-12
Й22
\а
ml am2
ain\
&2n
&rnn/
состоящая из m строк и n столбцов, элементы а^ которой
принадлежат некоторому множеству К. В наиболее важных случаях в
качестве К выступают поле действительных чисел, поле комплексных
чисел и т. д.
По своей природе эта таблица является символом,
используемым при записи системы линейных уравнений
+ ainxn = h,
+ CL2nXn = h,
a\\X\ + a\2X2 +
(221X1 + 022^2 +
am\x\ + am2X2 -\ h amnxn = br,
в виде Ax = b, где
A
(an
a>2i
\Oml
«•12 •
a.22 ■
am2 •
• аы\
■ «2n
Q"mn/
, X =
(xA
X2
\Xn)
, b =
(bA
h
\bm)
409

Линейные уравнения описывают процессы, приводящие к
задачам, в которых рассматриваются малые величины. Такие задачи
возникают при описании геометрических деформаций тел, в теории
электричества и магнетизма, в аэро- и гидродинамике.
Матрицы встречаются во многих разделах чистой математики.
Используются матрицы в теории кривых и поверхностей второго
порядка при записи квадратичных форм, в теории
дифференциальных уравнений, в теории групп, в теории вероятностей и в других
разделах математики. Матричному исчислению обязана своим
развитием квантовая теория. В целом матричная алгебра — наиболее
убедительный пример того, как одна и та же закономерность
встречается при самых различных обстоятельствах.
Понятие «матрица» впервые появилось в середине XIX в. в
работах Гамильтона и Кэли (см. гл. 15). Фундаментальные
результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, французскому
математику Камилю Жордану, немецкому математику Георгу Фробе-
ниусу.
Тензоры
В течение XIX в. в разных областях математики стали
использовать системы с индексами. Это квадратичные формы в алгебре,
квадратичные дифференциальные формы в геометрии. В конце XIX в.
удалось понять внутреннее единство формул, содержащих системы
с индексами, и найти новый математический аппарат, сделавший
операции с ними компактными и удобными.
Создать математический аппарат, распространивший векторное
исчисление на системы с произвольным числом индексов, удалось
итальянскому математику Дж. Риччи. Он получил
основополагающие результаты в дифференциальной геометрии n-мерных
пространств. Исчисление, созданное Риччи, оказало настолько сильное
влияние на геометрию и физику, что некоторое время даже
называлось исчислением Риччи. В теории упругости и кристаллофизике
его применял немецкий ученый Фойгт, который и ввел в
обращение термин «тензор» (от лат. tensus — напряженный) для описания
механических напряжений. Термин был принят не только в теории
упругости, но и в геометрии и физике.
410

Тензоры являются обобщением векторов и матриц, так как
векторы можно рассматривать как частный случай тензора, а матрицы
— как представление тензоров второго ранга. Для сложных
тензоров третьего ранга и более компоненты могут располагаться в виде
многомерной таблицы чисел, своеобразной многомерной матрицы.
Тензорное исчисление — раздел математики, изучающий
тензоры и тензорные поля, — разделяется на тензорную алгебру
и тензорный анализ. Оно было создано для изучения свойств
анизотропных сред и постепенно проникло во все области физики.
С середины XIX в. тензоры используют в механике при описании
упругих деформаций (тензор напряжений, тензор деформаций).
С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически
применяют в релятивистской физике. Эйнштейн для
математического аппарата теории относительности выбрал тензорное
исчисление как наиболее подходящее. Он не только полностью овладел
этим математическим аппаратом, но и ввел некоторые упрощения в
записи тензорных преобразований. Тензорное исчисление в XX в.
развивали итальянский математик Леви-Чивита, голландский
математик Скоутен, немецкие математики Г. Вейль, Веблен и другие.
Изучение пьезоэлектрических свойств кварца требует
использования громоздкого математического аппарата. Методы тензорной
алгебры значительно упрощают исследования. Вообще тензорное
исчисление позволяет упростить изучение кристаллических сред,
в большинстве случаев анизотропных (например, при
исследовании диэлектрических свойств кристалла используется тензор
диэлектрической проницаемости).
С середины XX в. активно разрабатывается теория
нелинейных тензорных функций и функционалов, позволяющая описывать
такие нелинейные свойства сред, как эффекты анизотропной
пластичности, ползучести, нелинейной вязкости, нелинейной
диффузии, нелинейные оптические свойства и др.
Метод применения тензорного исчисления к исследованию
электрических цепей разработан американским математиком
Габриэлем Кроном.
В современном тензорном исчислении используются три
формы записи соотношений: компонентная, безындексная и
матричная. Тензорное исчисление тесно связано с другими разделами ма-
411

тематики: теорией инвариантов, теорией групп, теорией
представлений [35].
Спиноры
Спиноры впервые были рассмотрены в 1913 г. французским
математиком Эли Картаном в его исследованиях по теории
представлений непрерывных групп.
Теорией групп в XIX в. занимались многие математики, в том
числе и Дедекинд. Его интересовала проблема определителя
группы. Когда он почувствовал, что не сможет решить эту проблему, он
в марте 1896 г. обратился к Фробениусу, который был моложе его на
18 лет, с просьбой разобраться в этом вопросе. В ответном письме
от 12 апреля 1896 г. Фробениус описал свои идеи. Этот день
принято считать днем рождения теории представлений конечных групп.
Развивая эту теорию, Картан и ввел в рассмотрение спиноры. Они
были вновь открыты в 1929 г. Ван-дер-Варденом в исследованиях
по квантовой механике. Им было обнаружено, что явление спина
электрона и других элементарных частиц описывается
физическими величинами, не принадлежащими к известным ранее типам
величин (тензоры, псевдотензоры и т. д.). Например, они
определяются лишь с точностью до знака, и при повороте на угол 2тх вокруг
некоторой оси все компоненты этих величин меняют свой знак.
Новые математические объекты и были названы спинорами.
Спинорное исчисление нашло широкое применение во многих
разделах математики и позволило решить ряд трудных задач
алгебраической и дифференциальной топологии.

Глава 23
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
И «ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА» ФЕРМА
В арифметике, этой самой древней, но вечно юной
ветви математики, от времени до времени
возникают замечательные, своеобразные задачи: по
своему содержанию они так элементарны, что их
может понять каждый школьник... И вот, несмотря
на всю кажущуюся простоту задачи, решение ее
годами, а подчас и столетиями не поддается
усилиям самых крупных ученых эпохи. Согласитесь,
что это очень увлекательно.
А.Я. Хинчин
Фрагменты истории теории чисел
В развитии математики существует общая закономерность:
новые направления математики рождаются в недрах старых, основные
понятия и методы оперирования проходят период
«эмбрионального» развития. Затем на основе радикальных изменений
применяемых методов возникает новая математическая дисциплина.
Теория чисел, изучающая свойства целых и рациональных
чисел, а также свойства любых других чисел, вытекающие из
приближения их рациональными числами, выросла из арифметики. От
других разделов математики она отличается тем, что формулиров-
413

ку ее теорем могут понять люди, знающие лишь начала высшей
математики, а в некоторых случаях даже лишь элементарную
математику, хотя, чтобы понять содержание иной теоремы, требуется
большое напряжение ума, а доказательство даже простых теорем
является чрезвычайно трудным.
Еще в Древней Греции пифагорейцами были выделены по
принципу общности свойств различные подмножества целых чисел.
Ими же была разработана стройная теория делимости, доказана
неограниченность числа простых чисел в натуральном ряде.
Серьезные результаты в области теории чисел были
обнаружены в трудах Диофанта, сочинения которого математики открыли для
себя лишь в XVI в. В тех книгах «Арифметики» Диофанта,
которыми мы располагаем, исследования по теории чисел
отсутствуют. Однако, ставя некоторые задачи или решая их, Диофант иногда
формулирует условия, при которых решение задачи возможно или
невозможно. Иногда он отмечает, что некоторое полученное в
процессе решения число невозможно представить в том или ином виде,
например как сумму квадратов. Таким образом, можно считать, что
в «Арифметике» имеются теоремы теории чисел. Судя по одному
замечанию Диофанта, такие теоремы были им рассмотрены в
специальной книге «Поризмы», которая до нас не дошла.
На основе замечаний, имеющихся в «Арифметике», можно
сделать вывод, что в теории чисел Диофанту были известны
следующие результаты.
1. Всякое простое число вида 4п + 1 может быть представлено
в виде суммы двух квадратов.
2. Целое число N можно представить в виде суммы двух
квадратов, если после выделения наибольшего квадрата оно не имеет
простых делителей вида 4п — 1.
3. Целое число N, являющееся произведением двух различных
простых чисел вида An + 1, можно представить в виде суммы двух
квадратов двумя различными способами, квадрат такого числа — в
виде суммы двух квадратов четырьмя различными способами.
4. Любое целое число можно представить в виде суммы четырех
рациональных квадратов.
5. Никакое число вида 24п + 7 не может быть представлено в
виде суммы трех квадратов, целых или дробных.
414

История математики в Китае и Индии свидетельствует о раннем
появлении ряда теорем теории сравнений и других фактов,
относящихся к теории чисел. Однако теория чисел развивалась весьма
медленно. На это могли влиять специфичность предмета,
возрастающая абстрактность в постановке задач, необычайная трудность их
решения, требующая незаурядных личных качеств ученого.
После Диофанта наибольших успехов в теории чисел добился
Ферма (см. гл. 8). Становление теории чисел как науки связано с
именем Эйлера. Проблемы этого раздела математики находились
в поле зрения Эйлера в течение всей его жизни. Теории чисел
посвящено около 150 его работ. Он доказал ряд теорем, относящихся
к проблеме делимости, в том числе малую теорему Ферма.
Нахождение доказательств, обобщений или опровержений теорем
Ферма было только первым этапом теоретико-числовых исследований
Эйлера. В последующем он охватил и развил все основные
направления теории чисел, как алгебраической, так и аналитической,
обозначив ее состав и методы на много лет вперед.
Работы Эйлера определили проблематику, структуру и методы
алгебраической теории чисел, т. е. той ее части, в которой
используются преимущественно методы арифметики и алгебры и не
привлекается по возможности математический аппарат теории функций и
анализа бесконечно малых.
Не менее велики заслуги Эйлера в разработке проблем диофан-
това анализа (решение неопределенных уравнений в целых и
рациональных числах), для которого он разработал и строго обосновал
теорию непрерывных дробей. Одной из проблем, которыми он
занимался в теории чисел, была проблема дружественных чисел.
Однажды Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, якобы
ответил, что друг тот, кто является моим вторым я, так же как числа
220 и 284. Видимо, какое-то необычайное свойство сблизило эти
числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных
чисел.
Вот это свойство. 220 = 1 • 22 • 5 • 11 делится на 1, 2, 4, 5,
10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. Если исключить само число из
перечня делителей (тогда делители называются собственными), то сумма
всех собственных делителей числа 220 равна 284. В свою очередь,
284 = 1 - 22 • 71 делится на 1, 2,4,71 и 142 и сумма всех собственных
415

делителей числа 284 равна 220. Значит, 284 — это как бы «второе
я» числа 220, а 220 — как бы «второе я» числа 284, так как сумма
собственных делителей одного числа равна второму числу и,
наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому
числу. В средние века считалось, что талисманы с числами 220 и
284 способствуют укреплению любви.
Вторую пару дружественных чисел — 17296 и 18416 — открыл
марокканский ученый Ибн аль-Банна (ок. 1300). Не зная этого, в
1636 г. эту же пару открыл Ферма. Третью пару дружественных
чисел нашел Декарт, а Эйлер в своих работах «О дружественных
числах» и «О сумме делителей» излагает пять различных методов
выявления таких чисел. Сам он нашел 59 пар дружественных чисел.
К настоящему времени с помощью ЭВМ найдено больше 1000 пар.
До сих пор никто не изобрел формулу, позволяющую получать все
пары дружественных чисел. Не известно даже, конечно или
бесконечно множество таких пар.
В XVIII в. теория чисел, по существу, переросла в отдельный
раздел математики. В ней определились практически все главные
проблемы и направления. В работах Эйлера, Лагранжа, Лежандра,
Ламберта и других математиков были разработаны
многочисленные методы теории чисел, как элементарно-алгебраические, так и
аналитические.
В XIX в. характер и направление исследований по теории чисел
были определены работами Гаусса. Открытия Гаусса в теории чисел
огромны. Свое основное сочинение в этой области —
«Арифметические исследования» — он начал писать в 1797 г., и к 1801 г., когда
ему было всего 24 года, оно вышло в свет. Последующие теоретико-
числовые работы Гаусса появились в 1811 и 1828— 1832 гг.; это
свидетельствует о его постоянном интересе д теории чисел.
«Арифметические исследования» определили основные направления
современной теории чисел вплоть до наших дней. В этой работе Гаусс
классифицировал задачи, которые требовалось решить в теории
чисел, и методы их решения, известные со времен Эйлера и Лагранжа;
кроме того, он ввел мощные новые методы.
Три основные составляющие работы Гаусса — теория
сравнений, алгебраические числа и теория форм — оказались невероятно
богаты заключенными в них неявными структурами. Много сил
416

Гаусс отдал изучению квадратичного закона взаимности. Изучая
квадратичные формы, он, по существу, создал арифметику
квадратичных расширений. Эта часть его исследований послужила
исходным пунктом для последующей разработки арифметики
алгебраических расширений, вплоть до работ по теории полей классов.
Гаусс открыл и доказал биквадратичный закон взаимности,
построил арифметику целых комплексных чисел, разработал
математический аппарат теории сравнений. Он глубоко ощущал
внутреннее единство математики, прекрасно осветил иногда очень
неожиданные взаимосвязи отдельных ее областей. Так, он
предложил восемь доказательств квадратичного закона взаимности,
четыре доказательства основной теоремы алгебры, показал связь между
комплексными числами и геометрией, между вращениями сферы
и томографическими преобразованиями плоскости комплексного
переменного и т. д.
Считается общепризнанным, что со времен Гаусса теория
чисел развивается уже как стройная теория, побуждающая к развитию
новых тонких методов анализа, алгебры и даже геометрии.
Перечислим основные направления развития теории чисел:
— специальные методы теории чисел, носящие иногда название
элементарных;
— аналитические методы, применяемые по преимуществу к
задачам распределения;
— диофантовы уравнения и диофантовы приближения.
После Гаусса в XIX — начале XX в. доминировала немецкая
школа теории чисел. Позже больших успехов добились
российские математики. Иван Матвеевич Виноградов открыл новые
методы в аналитической теории чисел, оказавшие огромное влияние
на ее развитие и имеющие применение далеко за пределами
теории чисел. Недаром академик Ю.В. Линник в статье, посвященной
80-летию И.М. Виноградова, назвал его «преобразователем высшей
арифметики» [53].
Мировую славу И.М. Виноградов приобрел, получив в 1937 г.
решение проблемы Гольдбаха. Немецкий математик Христиан
Гольдбах в 1742 г. в письме к Эйлеру высказал предположение, что
всякое четное число можно представить в виде суммы двух
простых, а нечетное — в виде суммы трех простых чисел. Решить эту
14 Математика древняя и юная
417

проблему Виноградову позволил развитый им метод оценки
специальных тригонометрических сумм в соединении с установленными
им фактами о распределении простых чисел в арифметических
прогрессиях. Это достижение вызвало восхищение специалистов
во всем мире и продемонстрировало силу методов, разработанных
И.М. Виноградовым [64].
Осветить все проблемы теории чисел и показать вклад
математиков в ее развитие в рамках данной книги невозможно. Расскажем
только об одном фрагменте теории чисел — о «великой теореме»
Ферма.
Предыстория «великой теоремы» Ферма
«Арифметика» Диофанта была настольной книгой Ферма.
Книга имела широкие поля, и Ферма иногда записывал на них ход своих
рассуждений и комментарии.
История «великой теоремы» Ферма такова. В задаче № 8
второй книги «Арифметики» Диофанта требуется представить число
а2 в виде двух целых квадратов (т. е. найти пары типа 52 = З2 + 42,
132 = 52 + 122 и т. д.). На полях книги Диофанта напротив условия
этой задачи Ферма написал: «Наоборот, невозможно разложить ни
куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую
степень, бблыпую квадрата, на две степени с тем же показателем.
Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для
него слишком узки» [3, с. 51].
В современных обозначениях эта теорема может быть
сформулирована так: уравнение хп + уп = zn для целых показателей при
п > 2 неразрешимо в целых числах.
Из записи Ферма можно заключить, что он был доволен своим
«поистине чудесным доказательством», но не потрудился изложить
его на бумаге. Теорема названа «великой» не потому, что она важна
для теории чисел в целом. Практическое ее значение невелико. Но
она оказалась «крепким орешком» для математиков, и при ее
решении были получены важные побочные результаты. Запись на полях
была сделана около 1637 г., в самом начале математической карьеры
Ферма.
418

Старший сын Ферма Клеман-Самюэль пять лет изучал письма и
неразборчивые записи отца на полях «Арифметики». В 1670 г. он
издал в Тулузе книгу под названием «Диофантова арифметика,
содержащая примечания Пьера де Ферма». Когда «Примечания» Ферма
стали известны ученым, все поняли, что те письма, которые он
ранее посылал своим коллегам, содержали не просто предположения,
а теоремы. Пометки Ферма на полях либо были лишены
объяснений, либо содержали лишь наброски доказательств. Однако
содержащиеся в них изящные логические ходы не оставляли сомнений,
что доказательствами многих теорем Ферма располагал.
Все утверждения Ферма, оставленные им на полях
«Арифметики» Диофанта, кроме «великой теоремы», были одно за другим
доказаны. В том же экземпляре «Арифметики» Ферма при решении
совсем другой задачи изложил в зашифрованном виде
доказательство «великой теоремы» для п = 4. Несмотря на отсутствие многих
важных деталей, метод доказательства был понятен. Он получил
название метода бесконечного спуска.
Суть метода заключается в том, что вначале для конкретного
значения п предполагается, что решение в целых числах
существует. Из рассмотренных Ферма свойств чисел следовало, что
решение должно существовать и при числах, меньших, чем те, при
которых оно верно. Получалась целая лестница постепенно
уменьшающихся решений. Но лестница не могла быть неограниченной,
так как рассматриваются только целые числа. Отсюда
первоначальное предположение о существовании решения является ложным.
Первый успешный шаг к доказательству теоремы сделал Эйлер,
доказавший ббльшую часть других теорем, оставленных Ферма без
доказательств. Методом бесконечного спуска, которым Ферма
доказал свою теорему для п = 4, Эйлер в 1753 г. доказал теорему
для п = 3. При доказательстве он воспользовался комплексными
числами. Это было грандиозным достижением, но повторить успех
для других значений п Эйлеру не удалось. Дальнейшие
исследования математиков показали, что достаточно доказать теорему для
простых п, так как она справедлива для всех чисел, кратных уже
доказанным.
Француженка Софи Жермен смогла доказать, что если
уравнение хп + уп = zn имеет решения для таких п, что 2п + 1 также
14* 419

простое число, то либо ж, либо у, либо z делится на п. В 1825 г.,
используя этот результат, Лежандр и Дирихле независимо друг от
друга доказали теорему Ферма для п = 5. Через 14 лет
французский математик и инженер Габриэль Ламе внес некоторые
усовершенствования в метод Софи Жермен и доказал теорему для п = 7.
Парижская Академия наук установила серию премий, включая
золотую медаль и три тысячи франков тому математику, который
сумеет разгадать тайну «великой теоремы». 1 марта 1847 г. Академия
наук собралась на заседание, посвященное подведению итогов.
Ламе на трибуне заявил, что находится на пороге доказательства
теоремы в общем виде. Он рассказал о своем методе и сообщил, что
через несколько недель опубликует полное доказательство в
журнале Академии. После него на трибуну поднялся Коши и сказал, что
уже давно работает над доказательством теоремы и также вскоре
намеревается опубликовать полное доказательство. Через три недели
в запечатанных конвертах Ламе и Коши представили свои
доказательства и опубликовали в журнале некоторые их детали.
На заседании Академии наук 24 мая первым выступил Жозеф
Лиувилль. Он зачитал письмо немецкого математика Эрнста Кум-
мера, который был крупнейшим специалистом в теории чисел. Кум-
мер писал, что, проанализировав фрагменты доказательств Ламе и
Коши, нашел некорректность в их методах. Ламе и Коши
опирались на использование единственности разложения целых чисел на
простые множители. Куммер обратил внимание на то, что, хотя
теорема о единственности разложения на простые множители
выполняется для целых чисел, при использовании мнимых чисел она не
обязательно должна выполняться. Он показал, что полное
доказательство теоремы Ферма находится за пределами возможностей
существовавших тогда математических подходов. Это был удар по
целому поколению математиков, надеявшихся решить труднейшую
проблему.
В 1857 г. в заключительном отчете Академии наук по поводу
премии за «великую теорему» Коши предложил присудить медаль
Куммеру за исследования по комплексным числам. Куммер умел
доказывать теорему Ферма для всех простых п < 100.
Немецкий математик профессор из Дармштадта Пауль Вольф-
скель, потерпев неудачу в личной жизни, решил покончить с собой
420

и назначил для этого точную дату. Приводя свои дела в порядок,
он стал просматривать математические журналы. Ему показалось,
что он нашел ошибку в статье Куммера. Потратив много времени
на проверку статьи, он убедился, что ошибки у Куммера не
было, но пропустил время, назначенное им для самоубийства. Решив
отложить на будущее расчеты с жизнью, в написанном завещании
Вольфскель значительную часть своего состояния назначил в
качестве премии тому, кто сумеет доказать теорему Ферма. После его
естественной смерти в 1906 г. завещание, повергшее в шок семью
Вольфскеля, было оглашено и опубликовано. Премия была
назначена в сумме сто тысяч марок (в настоящее время более миллиона
фунтов стерлингов). Подробно были расписаны условия
присуждения премии. Оговаривалось, что если премия не будет
присуждена до 13 сентября 2007 г., то дальнейшие заявки не принимаются.
Премия была предназначена тому, кто первым докажет, что
теорема верна. Тот, кто доказал бы, что теорема не верна, не получил бы
ничего.
Проценты с оставленной Вольфскелем суммы до вручения
приза должны были тратиться по усмотрению комитета при Геттин-
генском научном обществе, который долгое время возглавлял
Гильберт. Премия была практически обесценена в конце первой
мировой
войны.
Профессиональные математики не стали заниматься
доказательством теоремы. Когда Гильберта спросили, почему он никогда
не пытался доказать «великую теорему», он ответил, что, прежде
чем начать, он должен был бы затратить три года на усиленную
подготовку, а у него нет столько времени, чтобы расточительно
расходовать его на решение проблемы, которое может закончиться
неудачей.
Многие горячие молодые умы, не имевшие достаточного
математического багажа, жаждали испытать себя решением
неприступной головоломки, но в первой половине XX в. не было достигнуто
новых серьезных успехов в доказательстве теоремы. Только Ванди-
вер в 1929 г. получил в явном виде условия, позволяющие
проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого
421

момента доказательство теоремы для конкретного значения п
свелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко
справлялись ЭВМ. К концу 70-х годов XX в. теорема была доказана для
всех п < 100 000.
Завершающие атаки на «великую теорему» Ферма
В любой области науки плодотворным является установление
связи между разными математическими объектами, которые
раньше считались несвязанными между собой. Решить проблему
«великой теоремы» Ферма удалось, только установив связь между
модулярными формами из теории функций комплексного переменного,
эллиптическими кривыми и соответствующими им
алгебраическими уравнениями третьего порядка и свойствами целых чисел.
Вначале, вне связи с теоремой Ферма, в 1955 г. два молодых
японских математика Ютака Танияма и Горо Шимура установили
наличие связи между двумя разными математическими
объектами — модулярными формами и эллиптическими кривыми,
задаваемыми уравнением у2 = х(х — ап)(х — с").
М-ряды модулярных форм и .Е-ряды эллиптических кривых
могут совпадать. Танияма выдвинул гипотезу, что каждая
модулярная форма может соответствовать некоторому кубическому
уравнению (эллиптической кривой). Совместная работа Шимуры и Тани-
ямы длилась недолго. В 1958 г. Танияма покончил жизнь
самоубийством, и Шимура продолжал исследования один.
В 60-х годах XX в. многие математики проверяли гипотезу Та-
ниямы — Шимуры. Эта гипотеза обладает весьма приятной
особенностью, заключающейся в том, что простые интуитивные
соображения в модулярных формах при переходе к эллиптическим кривым
превращаются в глубокие истины и, наоборот, ясные результаты в
эллиптических кривых соответствуют трудно достижимым
результатам в модулярных формах. Если бы гипотеза Таниямы —
Шимуры оказалась верной, то это позволило бы математикам подходить к
решению эллиптических проблем, остававшихся нерешенными на
продолжении столетий, с позиций модулярных форм. Была
надежда, что область эллиптических уравнений удастся объединить с
областью модулярных форм. Гипотеза также породила надежду на
422

существование мостов и между другими разделами математики,
которые составили бы единую великую математику.
Осенью 1984 г. на симпозиуме специалистов по теории чисел в
Обервольфахе немецкий математик из Саарбрюкена Герхард Фрей
указал на связь «великой теоремы» Ферма с гипотезой Таниямы —
Шимуры. Предположив, что теорема Ферма неверна и
существуют решения в целых числах уравнения хп + уп = zn, Фрей
преобразовал это уравнение вместе с гипотетическими решениями к
кубическому уравнению. Следовательно, если решение уравнения
Ферма существует, то оно равносильно некоторому кубическому
уравнению и соответственно некоторой эллиптической кривой,
имеющей свой Е-ряд. Но согласно гипотезе Таниямы — Шимуры
должна существовать модулярная форма с М-рядом, совпадающим
с полученным £"-рядом. Оказалось, что эллиптическая кривая,
соответствующая возможным решениям уравнения Ферма, такова,
что модулярной формы с таким М-рядом не может быть.
Из этого следовал сенсационный вывод, что доказательство
гипотезы Таниямы — Шимуры автоматически доказывает «великую
теорему» Ферма. Оказалось, что теорема Ферма, значение которой
не очень велико, связана с самой значительной проблемой XX в. —
гипотезой Таниямы — Шимуры. К тому времени доказать эту
гипотезу пытались уже почти 30 лет, но безуспешно.
В тайне от всех над доказательством гипотезы Таниямы —
Шимуры, а следовательно, и «великой теоремы» Ферма трудился
профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс, английский
математик, живущий в США. Он как бы подражал самому Ферма —
знаменитому отшельнику-математику. Получив много важных
результатов, ведущих к доказательству гипотезы Таниямы —
Шимуры, Уайлс решил держать их в тайне и опубликовать только после
получения окончательного результата. Чтобы не вызывать
подозрения, он по кусочкам, по одной статье каждые полгода, публиковал
результаты исследования одного конкретного вида эллиптической
кривой, полученные им ранее.
В доказательстве гипотезы Таниямы — Шимуры Уайлс решил
использовать метод математической индукции. Прежде всего ему
было необходимо доказать, что первый член Е-ряда можно
поставить в соответствие первому члену некоторого М-ряда. На
преодоление этого этапа Уайлсу понадобилось два года.
423

8 марта 1988 г. Уайлс испытал шок, увидев на первых полосах
газет сообщение о том, что 38-летний Иончи Мияока из
токийского Метрополитен университета доказал «великую теорему» Ферма,
о чем сообщил на семинаре в Институте Макса Планка в Бонне.
Мияока подошел к решению проблемы с позиций алгебраической
геометрии. Как и другие математики, он надеялся, что нерешенные
проблемы теории чисел удастся решить, изучая соответствующие
проблемы геометрии, которые еще оставались нерешенными.
Подход Мияоки был аналогичен подходу Уайлса в том, что они оба
пытались доказать «великую теорему» Ферма, связывая ее с
фундаментальной гипотезой в другой области математики. У Мияоки это
была алгебраическая геометрия, у Уайлса — эллиптические кривые
и модулярные формы.
Через две недели после выступления в Бонне Мияока
опубликовал пять страниц вычислений, составлявших суть его
доказательства. Через несколько дней математики обнаружили в
доказательстве Мияоки противоречие, обрекавшее доказательство на провал.
После семи лет работы в одиночку Уайлс завершил
доказательство гипотезы Таниямы — Шимуры. В июне 1993 г. в Институте
Исаака Ньютона состоялся симпозиум по теории чисел под
названием «.Е-функции и арифметика». Уайлс на симпозиуме читал три
лекции под общим названием «Модулярные формы, эллиптические
кривые и представления Галуа». Первые две лекции были
подготовительными к атаке на гипотезу Таниямы — Шимуры, 23 июня
читалась третья лекция. Слухи о том, что на лекции будет доказана
«великая теорема» Ферма, уже расползлись, и аудитория была
переполнена. Уайлс вспоминал, что к концу доклада многие
присутствовавшие в аудитории принялись щелкать фотоаппаратами и
появился директор института с бутылкой шампанского в руках.
Особая почтительная тишина наступила в аудитории, когда он окончил
доклад и, повернувшись к доске, написал формулировку «великой
теоремы» Ферма.
В начале декабря 1993 г., за несколько дней до того, как рукопись
работы Уайлса должна была пойти в печать, в его доказательстве
были обнаружены пробелы. В августе 1994 г. на очередном
Международном конгрессе в Цюрихе Уайлс вынужден был сообщить, что
пока не обладает полным доказательством. 19 сентября 1994 г. его
424

озарила ключевая идея, позволившая ему восполнить имеющийся
пробел в доказательстве. На завершающем этапе ему помогал
профессор Оксфордского университета Ричард Тейлор. Статья с
доказательством гипотезы Таниямы — Шимуры вышла в свет летом
1995 г.
Хотя для решения загадки XVII в. Уайлсу пришлось прибегнуть
к методам XX в., тем не менее найденное им доказательство
«великой теоремы» Ферма удовлетворяло всем условиям, установленным
комиссией Вольфскеля. 27 июня 1997 г. Эндрю Уайлс получил
премию Вольфскеля в размере 50 тыс. долларов.
Доказательство Уайлса занимает 100 страниц убористого
математического текста, его невозможно разместить на полях
«Арифметики» Диофанта, и в нем используются те методы, которых не было
в XVII в. Поэтому и сейчас есть математики, которые хотят
получить доказательство с помощью только тех средств, которые были
доступны Ферма.

Глава 24
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Обладая литературой более обширной, чем алгебра
и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере,
столь же обширной, как и анализ, геометрия в
большей степени, чем любой другой раздел
математики, является богатейшей сокровищницей
интереснейших, но полузабытых вещей, которыми
спешащее поколение не имеет времени насладиться.
Е. Т. Белл
Следует помнить, что в каком-то смысле высшая
математика проще элементарной. Исследовать,
например, лесную чащу пешком очень трудно, с
самолета это делается проще.
У. У. Сойер
Академик А.Д. Александров в предисловии к книге К.Е.
Левитина «Геометрическая рапсодия» писал: «Своеобразие геометрии,
выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей
науки вообще, заключается в неразрывном, органическом
соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и
основе геометрия и есть пространственное воображение,
пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют
эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и
точная формулировка, строгий математический вывод. Там, где нет
одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.
426

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству,
строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и
живость наглядной картины — «лед и пламень не столь различны меж
собой». Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в
ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Это
относится в конечном счете также к современным абстрактным
геометрическим теориям, которые при всей своей возвышенной
отвлеченности вырастают из той же геометрической интуиции»
[57, с. 3].
О названиях геометрических фигур
В № 1 журнала «Квант» за 1970 г. была напечатана статья
Б.А. Розенфельда «Откуда произошли названия геометрических
фигур?» [86]. Основываясь на материале этой статьи, проследим
происхождение русских названий геометрических тел и фигур.
Почти все названия геометрических фигур имеют греческое
происхождение, как и само слово «геометрия», происходящее от
греческого jewperpia — землемерие. Однако эти слова вошли в
русский язык не непосредственно из греческого, а через латинский
язык.
Слово «цилиндр» происходит от латинского слова cylindrus,
являющегося латинской формой греческого слова кдХшброя,
означающего «валик, каток».
Слово «призма» — латинская форма греческого слова жрмтра,
означающего «опиленная» (имелось в виду опиленное бревно).
Слово «сфера» — латинская форма греческого слова aipatpa,
означающего «мяч».
Слово «пирамида» — латинская форма греческого слова
nvpapis, которым греки называли египетские пирамиды; это слово
происходит от древнеегипетского слова «пурама», которым эти
пирамиды называли сами египтяне. Современные египтяне называют
пирамиды словом «ахрам», которое также происходит от этого же
древнеегипетского слова.
Слово «трапеция» происходит от латинского слова trapezium —
латинской формы греческого слова тра-Ke^iov, означающего
«столик». От этого же слова происходит слово «трапеза».
427

Слово «ромб» происходит от латинского слова rombus —
латинской формы греческого слова po/iflos, означающего «бубен». Мы
привыкли к тому, что бубен имеет круглую форму, но раньше бубны
имели форму квадрата или ромба, о чем свидетельствует
изображение «бубен» на игральных картах.
Непосредственно из латинского языка мы заимствовали слово
«пункт», употребляющееся иногда в значении «точка» (отсюда —
«пунктир»), и слово «линия».
Слово «пункт» происходит от латинского слова punktum,
означающего «укол»; от этого же корня происходит медицинский
термин «пункция», означающий прокол.
Слово «линия» происходит от латинского слова linea —
«льняная» (имеется в виду льняная нить). От этого же корня
происходит слово «линолеум», первоначально означавшее «промасленное
льняное полотно».
Таким образом, все названия геометрических фигур
первоначально были названиями конкретных предметов, имевших форму,
более или менее близкую к форме данной фигуры.
Три великие задачи Античности
Древнейшие из доступных нам документов (вавилонские
таблички, египетские папирусы) позволяют предположить, что
существует непосредственная связь между истоками геометрии и
требованиями повседневной жизни: знание геометрии было
необходимо при изготовлении и украшении предметов быта, строительстве
жилых зданий, амбаров и погребальных памятников, вычислении
площадей полей и т. д.
Как и вавилонская, египетская геометрия была практической; в
ней не столько рассуждали, сколько устанавливали на ощупь
правила действий, удобные для приложений, но сами эти правила
никогда не исследовались. Греческая геометрия усвоила знания
предыдущих поколений, но в корне порвала с прагматизмом вавилонской
и египетской геометрий.
Геометрия была основной математической дисциплиной для
греческих мыслителей, а предпочтительным методом познания они
считали дедукцию. Приверженность дедукции объяснялась также
428

и тем, что в Греции того времени образованные свободные
граждане не занимались физическим трудом, который был уделом рабов.
В таком обществе эксперимент и наблюдения были мыслителям
чужды. Считалось, что источники такого рода не могут помочь
получить результаты научного, в частности математического,
характера.
Это привело к тому, что основными для греческих математиков
были задачи на построение с помощью циркуля и линейки без
делений, а задачи вычислительного характера считались
второстепенными. В Древней Греции несколько поколений математиков решали
три задачи на построение, которые последующие поколения
назвали великими. Формулировки задач таковы.
1. Задача об удвоении куба: требуется построить ребро куба,
объем которого в 2 раза больше объема данного куба.
2. Задача о квадратуре круга: требуется построить сторону
квадрата, площадь которого равна площади данного круга.
3. Задача о трисекции угла: требуется произвольный угол
разделить на три равные части.
Если говорить о значении решения великих задач для практики,
то сразу следует сказать, что оно равно нулю. В самом деле, так ли
важно решать эти задачи, пользуясь именно циркулем и линейкой
без делений? Однако оказалось, что именно в бесконечных
попытках решить задачи с помощью циркуля и линейки были получены
столь важные для математики результаты, причем имеющие
утилитарное значение, что практическая важность самих задач отступает
на второй план.
Математика обладает чудесной особенностью, выделяющей
ее из других наук: если в ней «потянуть за какое-то звено», то
можно вытянуть всю цепь ее фактов, причем как части, которые
предшествуют выбранному звену, так и следующие за ним. Идеи
и методы, созданные замечательными математиками при решении
конкретных проблем, обычно не умирают. Они потом обязательно
возрождаются, и потому проникновение в замыслы великих людей
всегда обогащает.
Рассмотрим подробнее первую задачу. Легенда о ее
возникновении такова.
429

На острове Делос началась эпидемия чумы. Предсказательница
Пифия, к которой жители острова обратились с просьбой о
помощи, ответила, что Аполлон требует удвоить кубический алтарь в
его храме. Быстро соорудили такой же куб, поставили на первый,
но эпидемия не прекратилась. Повторно обратились к Пифии,
которая сказала, что нужно удвоить куб, не меняя его формы. Поехали
за советом к Гиппократу (V в. до н. э.) на остров Хиос.
Так как х — а^/2, Гиппократ предложил для решения уравнения
а ос is
х3, = 2 а3 исследовать пропорцию — = — = —.Из этой пропорции
х у 2а
следует х2 = ау; ху = 2а2; ж3 = аху = 2а3 [69].
Последователь Пифагора Архит Тарентский показал, что можно
получить искомую длину ребра куба, начертив параболы ау = х2,
у2 = 2ах. Абсцисса х точки пересечения парабол равна искомому
отрезку (рис. 17). В самом деле, из двух уравнений находим х4 =
= а2у2 = 2агх, откуда х3 = 2а3.
Но это не чистое решение задачи,
у | так как использовался график параболы,
/ который нельзя построить с помощью
yf циркуля и линейки. Великие задачи не-
/ ', разрешимы, что было строго доказано в
; XIX в. Древние греки об этом не знали
_j ». и, пытаясь решить их, получали все но-
«т/2 х вые и новые результаты.
В теории геометрических построе-
ч. ^=2ах ний установлено, что данный отрезок
можно умножить с помощью циркуля и
Рис. 17. Решение задачи линейки на действительное число толь-
об удвоении куба ко в том случае, если это
действительное число может быть корнем алгебраического уравнения с
целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Число,
которое не может являться корнем никакого алгебраического
уравнения с целыми коэффициентами, называют трансцендентным
числом. Заслуга немецкого математика Фердинанда Линдемана как
раз и заключается в том, что он впервые в мировой науке вполне
строго доказал, что 7г является трансцендентным числом, и тем
самым окончательно установил невозможность решения задачи о ква-
430
>~х~

дратуре круга с помощью циркуля и линейки. Поэтому Линдемана
называют «победителем числа 7г» [61].
Дополнительные сведения о задачах на построение
Геометрические построения являются существенным фактором
математического образования. Они представляют собой мощное
орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение
орудий геометрических построений только циркулем и линейкой
восходит к глубокой древности. Геометрия Евклида была основана
на геометрических построениях, выполняемых циркулем и
линейкой, причем эти инструменты рассматривались как равноправные.
В 1797 г. итальянский математик, профессор университета в
Павии, Лоренцо Маскерони опубликовал большую работу
«Геометрия циркуля». В ней была доказана следующая теорема: все задачи
на построение, разрешимые с помощью циркуля и линейки, могут
быть точно решены и с помощью одного циркуля. Эта же теорема
в 1890 г. была доказана еще раз с помощью инверсии немецким
математиком Августом Адлером. Он также предложил общий
метод решения геометрических задач на построение с помощью лишь
одного циркуля.
В 1928 г. в книжном магазине Копенгагена была найдена
книга датского математика Георга Мора «Датский Евклид», изданная
в 1672 г. в Амстердаме. В первой части этой книги дано полное
решение проблемы Маскерони. Таким образом, задолго до Маскерони
было доказано, что все геометрические построения, выполнимые с
помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью
одного только циркуля.
В качестве примера рассмотрим задачу, автором которой
является Наполеон Бонапарт: разделить окружность на четыре равные
части, пользуясь только циркулем, если известен центр
окружности О [23].
Решение этой задачи состоит в выполнении трех операций
(рис. 18):
1) от произвольной точки А откладываем три раза по отрезку,
равному радиусу, и получаем точки В, С, D; АС = DB = г\/3;
2) из точек D и А радиусом, равным г\/3, делаем две засечки и
на их пересечении получаем точку М;
431

D
Рис. 18. Деление окружности на четыре
части с помощью одного циркуля
3) радиусом, равным ОМ, отсекаем часть исходной
окружности; поскольку расстояние ОМ равно гл/2, т. е. совпадает со
стороной квадрата, вписанного в окружность, отсекаемая часть
окружности будет ее четвертью.
В 1833 г. швейцарский геометр Якоб Штейнер опубликовал
работу «Геометрические построения, производимые с помощью
прямой линии и неподвижного круга», в которой наиболее полно
исследовал построения с помощью одной линейки. Основной результат
этой работы можно сформулировать в виде утверждения: каждая
задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки,
может быть решена и с помощью одной линейки, если в плоскости
чертежа даны постоянная окружность и ее центр. Таким
образом, чтобы линейку сделать равносильной циркулю, достаточно
однократное употребление циркуля.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу:
пользуясь только линейкой без делений, опустить на диаметр ВС
полуокружности перпендикуляр из точки А, лежащей вне круга.
Идея решения заключается в построении ортоцентра О
треугольника ABC. Для реализации этой идеи достаточно выполнить
следующие построения (рис. 19):
432

в с
Рис. 19. Построение перпендикуляра
на диаметр полуокружности
1) соединяем точку А с концами диаметра В я С линиями, на
пересечении которых с окружностью получаем точки М и N;
2) на пересечении отрезков BN и СМ находим ортоцентр О
треугольника ABC;
3) через точки An О проводим искомый перпендикуляр к
диаметру ВС.
Политопы
Когда нематематик слышит о четырехмерных
вещах, его охватывает священный трепет.
А. Эйнштейн
Евклид в «Началах» настолько удачно изложил основы
геометрии, что до сих пор для получения аттестата зрелости
достаточно изучить некоторую модернизацию геометрии из его «Начал». В
действительности геометрия развивалась после Евклида еще более
2 тыс. лет и развивается до настоящего времени. Ее многие
достижения, как правило, остаются не известными даже выпускникам
математических отделений вузов.
Возьмем, например, последовательность усложняющихся
геометрических образов: точка — прямая линия — многоугольник —
многогранник. Правильных многоугольников на плоскости может
быть сколько угодно. В трехмерном пространстве существуют
только пять правильных многогранников. А что будет в четырехмерном
пространстве?
433

Швейцарский математик Людвиг Шлефли установил, что в
четырехмерном пространстве существуют шесть правильных гипер-
тел — правильных сверхмногогранников, или политопов, для
которых правильные многогранники являются ячейками политопа,
соединенными между собой так, что каждая их грань принадлежит
двум, а каждое ребро — сразу нескольким ячейкам. Термин
«политоп» придумал в 1882 г. Рейнгольд Хоппе. В научный обиход он
вошел в начале XX в. благодаря Алисе Стотт, родной сестре Этель
Лилиан Войнич, автора романа «Овод». Их отец Джордж Буль,
создатель алгебры логики, сумел передать каждой из пяти дочерей
часть своих разносторонних талантов. Алиса обладала прекрасным
пространственным воображением — она умела четко представлять
себе четырехмерные фигуры. Сделанные ею модели политопов
хранятся в Кембридже [57].
Способен ли обычный человеческий разум наглядно
представить себе четырехмерные фигуры? «Человеку, который посвятил
бы этой задаче всю жизнь, — писал Анри Пуанкаре, —
вероятно, удалось бы мысленно представить себе четвертое измерение»
[23, с. 190]. Чарльз Хинтон, преподававший в Принстонском
университете, изложил свою систему тренировки четырехмерной
интуиции в книге «Новая эра мышления», изданной в 1910 г. [23].
Мартин Гарднер в «Математических новеллах» приводит
методику последовательных этапов построения простейшего
политопа — гиперкуба (рис. 20). Возьмем точку 0 и сдвинем ее вдоль
прямой на расстояние, равное единице (рис. 20, а). Каждую точку
единичного отрезка можно пронумеровать, поставив ей в соответствие
число, заключенное между нулем и единицей. Сдвинем теперь
единичный отрезок на единичное расстояние в направлении,
перпендикулярном прямой, на которой лежит сам отрезок (рис. 20, б).
Единичный отрезок при этом опишет («заметет») единичный квадрат.
Обозначим одну из вершин квадрата 0, а концы его сторон,
пересекающихся в «нулевой» вершине, — 1. Введя таким образом систему
координат х и у, мы можем поставить в соответствие каждой точке
квадрата упорядоченную пару чисел — ее координаты.
Следующий этап построения гиперкуба аналогичен: сдвинем
единичный квадрат на расстояние, равное единице, в
направлении, перпендикулярном осям х и у, и получим единичный куб
434

О 1
О 1
1
б
ч ^
ч
1
ч-
^
jS"1 ч
у
*s
V ^
ч
^
•-.ч
^ Ч
1
в г
Рис. 20. Последовательные этапы построения гиперкуба
(рис. 20, в). Выбрав за оси x,ynz три ребра, сходящиеся в одной из
вершин куба, поставим в соответствие точкам куба упорядоченные
тройки чисел (ж, у, z) — координаты точек. Логически ничто не
мешает нам сдвинуть единичный куб на расстояние, равное
единице, в направлении, перпендикулярном всем трем осям: х, у и z.
Фигура, которая получится в результате сдвига, и будет единичным
гиперкубом (рис. 20, г). Он содержит 24 стороны, 16 вершин, 32
ребра и сверх того восемь трехмерных граней — вот то
геометрическое богатство, которым он обладает [57].
Некоторые фрагменты истории геометрии
Вычисление Архимедом объема шара
Рассмотрим метод вычисления Архимедом объема шара,
описанный, разумеется, в современной символике и терминологии.
Он взят из рукописи «Послания к Эратосфену о механических
теоремах», найденной в 1906 г. в одном из иерусалимских мона-
435

стырей [70]. Считается, что этим методом Архимед получал много
результатов. Архимед вычисляет объем шара, используя известные
в его время формулы объема цилиндра, объема конуса, понятие
центра тяжести и правило рычага.
Рис. 21. Вычисление Архимедом объема шара
Выберем оси декартовых координат и расположим шар
радиусом а так, чтобы уравнение его большого круга имело вид
(ж — а)2 + у2 = а2 (рис.21). В этом уравнении раскроем
скобки:
х2 + у2 = 2ах. (1)
Затем умножим все члены уравнения на 2атх:
2а(тгх2) + 2а(тп/2) = ж • тг(2а)2 . (2)
Проведем секущую плоскость перпендикулярно оси Ох через
точку с абсциссой х. Тогда величины 5К — 7гж2, 5Ш = тту2, 5Ц = 7г(2а)2
будут представлять собой площади сечений конуса, шара и
цилиндра, где конус и цилиндр построены на диаметре шара и имеют
радиус основания, равный этому диаметру. Иначе говоря, величины
5К, 5Ш и 5Ц — это «неделимые» от конуса, шара и цилиндра.
436

Уравнение (2) можно интерпретировать как уравнение
моментов плоских сечений трех тел. Расположим шар и конус с общей
вертикальной осью на расстоянии 2а от оси Оу. Тогда:
2а(-7гх2) — момент сечения конуса относительно оси Оу;
2а(жу2) — момент сечения шара относительно оси Оу;
Ж7г(2а)2 — момент сечения цилиндра относительно оси Оу.
Равенство моментов сечений означает, что момент цилиндра
равен сумме моментов шара и конуса, т. е. шар и конус
уравновешивают цилиндр, если в качестве точки опоры выбрать точку О,
принятую за начало координат.
Если объем шара обозначить V, то по правилу рычага условие
равновесия имеет вид
2a(V + тг(2а)22а/3) = атг(2а)22а.
4 о
Упрощая, получаем V = -тга .
О
Задачи Аполлония
Одна из задач Аполлония формулируется так: сколько нормалей
можно провести из точки к эллипсу?
Ван-дер-Варден в книге «Пробуждающаяся наука», рассказывая
о пятой книге из трактата «Коники», не переведенной на русский
язык, пишет, что «Аполлоний поставил задачу о том, как провести
из одной точки М к коническому сечению самый длинный и самый
короткий прямолинейные отрезки. Однако он дает больше, чем
обещает: он определяет все проходящие через М прямые, которые
пересекают коническое сечение под прямым углом (в настоящее
время их называют нормалями), разбирает, при каком положении М
задача имеет два, три или четыре решения» [97, с. 130].
Другой знаменитой задачей Аполлония является задача о
построении окружности, касающейся трех данных окружностей.
После Аполлония первым ее решил Виет.
Теорема Эйлера
В 1765 г. в «Трудах Петербургской Академии наук» была
опубликована теорема Эйлера: середины сторон треугольника, основа-
437

ния его высот и середины отрезков высот треугольника от
ортоцентра до вершин лежат на одной окружности (на рис. 22 точки
М, N, L — середины сторон треугольника, точка S — центр
описанной окружности; точки D, Е, F — основания высот
треугольника; точка Н — ортоцентр треугольника, или точка пересечения
высот; точки K,P,Q — середины отрезков СН, АН, ВН; точка О
— центр окружности).
Рис. 22. Построение окружности
Эйлера
Окружность, о которой говорится в теореме Эйлера, называют
окружностью девяти точек или окружностью Эйлера. Радиус ее
равен половине радиуса окружности, описанной около заданного
треугольника. Прямую, соединяющую ортоцентр треугольника с
центром описанной окружности, называют прямой Эйлера. Центр
окружности Эйлера лежит на этой прямой как раз посредине между
ортоцентром и центром описанной окружности.
Построение Гауссом правильного семнадцатиугольника
Гениальные математические открытия Гаусса начались, когда
он был студентом. Результаты своих исследований Гаусс записывал
в дневник, который открывается записью от 30 марта 1796 г. о
методе построения с помощью циркуля и линейки без делений правиль-
438

ного семнадцатиугольника. Покровитель Гаусса Циммерман
посоветовал Гауссу опубликовать в газете заметку об этом открытии, и
сам написал примечание к заметке о важности открытия. 1 июня
1796 г. в газете появилась заметка с таким содержанием:
«Всякому начинающему геометру известно, что можно
геометрически (т. е. циркулем и линейкой) строить разные правильные
многоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятнадца-
тиугольник и те, которые получаются из каждого из них путем
последовательного удвоения числа его сторон. Это было известно во
времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распространено
убеждение, что дальше область элементарной геометрии не
распространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попытки
распространить ее в эту сторону.
Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие,
что, кроме этих правильных многоугольников, может быть
геометрически построено множество других, например семнадцати-
угольник.
К.Ф. Гаусс из Брауншвейга, студент-математик в Геттингене»
[26, с. 145].
К этому открытию, которого ждали 2 тыс. лет, 19-летний студент
пришел, занимаясь задачей отыскания корней уравнения хп — 1 = 0.
Поговорим еще немного о возможности решения задач на
построение с помощью циркуля и линейки без делений. Если дан
отрезок единичной длины, то с помощью циркуля и линейки можно
построить любой отрезок, длина которого выражается через
единицу конечным числом операций сложения, вычитания,
умножения, деления и извлечения квадратного корня. Такие числа
называют квадратичными иррациональностями. Доказано, что никакие
другие отрезки построить с помощью циркуля и линейки нельзя.
Решая уравнение
ж17 - 1 = (х - 1)(ж16 + х1Ъ + хи + ... + х + 1) = 0,
Гаусс показал, что можно так сгруппировать члены в последнем
множителе, что корни уравнения
xl6 + x15 + ...+Х + 1 = 0
439

можно будет находить, решая цепочку квадратных уравнений.
Порядок действий, необходимых для построения правильного семна-
дцатиугольника, после Гаусса совершенствовался. Рассмотрим
наиболее компактный метод практического построения, предложенный
Ричмондом [49]. Пусть задана окружность с центром в точке О и
диаметром АВ (рис. 23). Последовательно выполняем следующие
действия:
1) строим радиус ОС, перпендикулярный диаметру АВ;
2) строим отрезок OD, составляющий четвертую часть радиуса
ОС;
3) на диметре АВ определяем точку Е так, чтобы угол ODE
был вчетверо меньше угла ODB;
4) на диаметре АВ находим еще одну точку F, для которой угол
EDF равен половине прямого (7г/4);
5) на отрезке FB как на диаметре строим окружность и находим
точку К ее пересечения с радиусом ОС;
6) строим окружность с центром в точке Е, проходящую через
точку К, и находим точки М и N ее пересечения с диаметром АВ;
7) через точки М и N проводим прямые перпендикулярно
диаметру АВ и находим точки пересечения Р$, Р&, Р±2, Ры этих
прямых с заданной окружностью.
Найденные точки Рз, Р$, Pi2. Ри представляют собой вершины
правильного семнадцатиугольника, причем индексы в
обозначениях точек совпадают с их номерами в порядке следования вершин
семнадцатиугольника.
Представленное исследование Гаусса надолго становится
недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей
неевклидовой геометрии Янош Больяй называл его «самым
блестящим открытием нашего времени и даже всех времен» [26, с. 158].
Только трудно было это открытие постигнуть. Благодаря письмам
на родину великого норвежского математика Абеля, доказавшего
неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем о
трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 г.
Абель писал: «Если даже Гаусс — величайший гений, он,
очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли...» [26, с. 158]. Позже
он добавил: «Мне, в конце концов, удалось приподнять завесу
таинственности, окружавшую до сих пор теорию деления круга,
созданную Гауссом. Теперь ход его рассуждений ясен мне, как Божий
440

Рис. 23. Построение семнадцатиугольника
день» [26, с. 158]. Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение
теории, в которой «столько замечательных теорем, что просто не
верится».
Гаусс выразил желание, чтобы в памятнике на его могиле был
увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение
сам Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса
нет этого рисунка, но памятник, воздвигнутый Гауссу в Браун-
швейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва
заметном зрителю. Вскоре после решения задачи о построении
правильного семнадцатиугольника Гаусс доказал, что построить
правильный n-угольник (для простого числа п) с помощью
циркуля и линейки можно только в том случае, когда п = 22 + 1 , где
к — натуральное число.

Глава 25
ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ
Большая часть вопросов практики приводится к
задачам наибольших и наименьших величин... и
только решением этих задач мы можем
удовлетворить требования практики, которая везде ищет
самого лучшего, самого выгодного.
П. Л. Чебышев
В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью
принятия наилучшего решения (иногда говорят — оптимального)
из возможных решений. Огромное число подобных проблем
возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что
полезно прибегнуть к математике.
Примерно 300 лет назад выяснилось, что некоторые
специальные задачи оптимизации играют очень важную роль в
естествознании, а именно обнаружилось, что многие законы природы
допускают вывод их из так называемых вариационных принципов.
Это означает, что истинное движение механической системы, света,
электричества, жидкости, газа и т. п. можно выделить из
произвольной совокупности допустимых движений благодаря тому, что они
минимизируют или максимизируют некоторые величины.
В конце XVII в. было поставлено несколько конкретных
экстремальных задач естественнонаучного содержания (задача о
брахистохроне, задача Ньютона и др.). Потребность решать как их, так
442

и многие другие проблемы, возникающие в геометрии, физике,
механике, привела к созданию нового раздела математического
анализа, получившего название вариационного исчисления.
Интенсивное развитие вариационного исчисления продолжалось около двух
столетий. В нем принимали участие многие замечательные ученые
XVIII и XIX вв., и к началу XX в. стало казаться, что они исчерпали
эту тематику.
Однако в последнее время потребности практической жизни,
особенно в области экономики и техники, выдвинули такие новые
задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо
было идти дальше. Пришлось несколько развить математический
анализ и создать новый его раздел — выпуклый анализ, где изучались
выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи.
В свою очередь, потребности техники, в частности
космической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались
средствам вариационного исчисления. Необходимость решать их
привела к созданию новой теории, получившей название теории
оптимального управления. Новый метод в теории оптимального
управления был разработан в 1950—1960 гг. советскими
математиками — Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что
теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к
дальнейшим исследованиям.
Решение экстремальных конечномерных задач
Следует поставить перед собой цель изыскать
способ решения всех задач... одним и притом
простым методом.
Ж. Даламбер
Первоначально для каждой отдельной задачи на максимум и
минимум создавался свой собственный метод решения. В начале
XVII в. стала ощущаться потребность отыскать какие-то общие
приемы исследования экстремальных задач. Попытки найти
алгебраические способы отыскания максимумов и минимумов были
сделаны Декартом. Ферма был первым, кто привлек для этих
целей идеи, как мы теперь говорим, дифференциального исчисления.
Свой метод он открыл, по его собственным словам, еще в 1629 г.,
443

но первое достаточно подробное изложение метода содержится в
его письмах французскому математику Жилю Робервалю и
Декарту, которые он написал в 1638 г. Ньютон также уделял большое
внимание нахождению наибольших и наименьших величин.
Название первой работы Лейбница по основам математического анализа,
начинающееся со слов: «Новый метод нахождения наибольших и
наименьших значений...», показывает, какую важную роль сыграла
задача о нахождении экстремумов в становлении современной
математики. В статье 1684 г. Лейбниц не только получает в качестве
необходимого условия соотношение /'(ж) = 0, но и использует
второй дифференциал для различения максимума и минимума.
Исследования Ферма, Ньютона и Лейбница способствовали
появлению единого способа отыскания экстремумов, включающего
этап формализации, т. е. перевода задачи с конкретным
содержанием на язык математики. В общем случае задача в формализованном
виде содержит некоторую функцию, наибольшее или наименьшее
значение которой надо найти, и равенства и/или неравенства,
ограничивающие область возможного изменения аргументов этой
функции. На следующем этапе, используя необходимое условие
экстремума, находят критические (в том числе стационарные) точки этой
функции и среди них отбирают удовлетворяющие по смыслу
исходной задаче.
Исторические задачи на экстремум
Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории
математики играли важную роль в ее развитии. За все это время
накопилось большое число красивых, важных, ярких и
интересных задач в геометрии, алгебре, физике. В решении их принимали
участие крупнейшие ученые прошлых эпох — Евклид, Архимед,
Аполлоний, Герон, Тарталья, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли,
Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач
стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приемы,
позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной
природы.
Рассмотрим некоторые исторические задачи в современной
формулировке.
444

Задача Герона Александрийского. Даны две точки А и В по
одну сторону от прямой L. Требуется найти на L такую точку D,
чтобы сумма расстояний от А до D и от В до D была
наименьшей [97].
V
L
0
J (0, а)
X
D
.B(d,b)
Ч \ х
хЧб,(</, ~ь)
Рис. 24. Геометрическое решение задачи
Герона Александрийского
Рассмотрим два варианта решения задачи. Геометрическое
решение задачи состоит в следующем. Пусть В\ — точка,
симметричная точке В относительно прямой L (рис. 24). Соединим точку А с
точкой В\. Тогда точка D пересечения прямых АВ\ и L будет
искомой, поскольку прямая короче ломаной. Если прямую L
рассматривать как некое зеркало, то полученный результат можно
сформулировать словами: луч света движется из точки А в точку В,
отражаясь от зеркала в точке D, т. е. так, чтобы траектория
луча имела наименьшую длину (отметим, что при этом угол падения
равен углу отражения).
Аналитическое решение задачи связано с введением некоторой
функции и анализом ее экстремальных свойств. Обозначим через х
абсциссу искомой точки D. Тогда формализуемая функция,
описывающая длину ломаной в зависимости от положения точки D, имеет
вид
/о(ж) = \/а2 + х2 + л/Ь2 + (d- ж)2.
Необходимо найти такое значение ж, при котором функция fo(x)
принимает наименьшее значение. Используем необходимое условие
445

локального экстремума /q(х) = 0. Решая это уравнение,
определяем стационарные точки функции fo(x). Так как
/о(*) =
X
va2 + х2
у/Ь2 + {d- х)2'
необходимое условие после несложных преобразований принимает
х d — х (id
вид - = —-— и имеет единственное решение х = .
а о а + о
Задача Евклида. В данный треугольник АВ С вписать
параллелограмм ADEF(EF\\AB, DE\\AC) наибольшей площади [97].
Геометрическое решение задачи.
Докажем, что искомый
параллелограмм характеризуется тем, что D,
Е, F — середины соответствующих
сторон. Рассмотрим параллелограмм
AD\E\F\, отличный от
параллелограмма ADEF. Пусть G — точка
пересечения прямых DE и F\E\, а G\
— точка пересечения прямых D\E\ и
FE (рис. 25). Докажем, что площадь
параллелограмма AD\E\F\ меньше
площади параллелограмма ADEF на
величину площади параллелограмма
GEG\E\. Из подобия треугольников EE\G\ и BDE, а также
равенств BD = EF, EG = E\G\ заключаем, что
EGi EGX BD _ EF
EG ~ EiGi ~Ъ~Ё~ Ш'
Из этих равенств следует, что EGyDE = EGEF,t. е.
произведение смежных сторон параллелограмма DD\G\E равно
произведению смежных сторон параллелограмма F\GEF. Поскольку
площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон и
синуса угла между этими сторонами, заключаем, что SdDxGiE =
= SfxGEF- Таким образом,
SAjDiEi.Fi = SadGFx + SdDiEt.G = SaDEF - Sf-lGEF + SdD^EiG =
= SaDEF - SdDiGiE + SqDiEiG = Sadef — Sge-lG^E
446
Рис. 25. Задача Евклида

и площадь параллелограмма AD\E\Fi оказывается меньше
площади параллелограмма ADEF на величину SgeiGxE-
Аналитическое решение задачи. Пусть Н — высота
треугольника ABC, Ъ — длина отрезка АС, х — длина отрезка AF. Тогда
площадь параллелограмма, вписанного в треугольник ABC, выра-
Нх(Ь - х)
жается через х функцией /о(х) = , а решаемую задачу
можно сформулировать следующим образом:
Нх(Ь- х)
/о(ж) = > max,
О < х < Ь.
Для ее решения используем необходимое условие /о (ж) = 0. На-
ГТ
ходим критические точки: /о(ж) = — (Ь — 2х) = 0 =» х = 6/2.
Итак, минимум функции fo(x) достигается в точке х — Ь/2, что как
раз соответствует случаю, когда точка F является серединой
отрезка Л С.
Задача Архимеда. Среди всех шаровых сегментов шара
фиксированного радиуса, имеющих заданную площадь сферической
поверхности, найти тот, который вмещает наибольший объем [97].
Дадим аналитическое решение этой задачи. Пусть R — радиус
шара, h — высота шарового сегмента, S — площадь боковой
поверхности сегмента.
1. Формализация задачи:
hS тгН3
fo(h) = - — -> max, 0 < h < ^/S/тт.
2. Необходимое условие экстремума функции: f'Q{h) — 0.
3. Нахождение критических точек функции. Поскольку
/оС1) ~ 77 — ^h2, функция имеет лишь одну критическую
точку h = yJS/(2ir). Так как S = 2-kIUi, то h = R. Искомый шаровой
сегмент является полушаром и его высота равна радиусу.
Задача Тартальи. Разделить число 8 на две такие части,
чтобы их произведение, умноженное на их разность, было
максимальным [97].
Аналитическое решение задачи. Обозначим через х меньшее из
чисел.
447

1. Формализация задачи:
/о(ж) = ж(8 - ж)(8 - 2ж) -> max, 0 < х < 4.
2. Необходимое условие экстремума функции: /о (ж) = О.
3. Нахождение критических точек функции. Необходимое
условие экстремума выполняется в точках х\ = 4 — 4/л/З и жг = 4 -+-
+ 4/\/3. Второй корень не подходит на роль меньшего корня (х2 >
> 4), но он является большим корнем. Ответ Тартальи: 4 ± 4/\/3.
Задача Кеплера. Вписать в заданный шар цилиндр
наибольшего объема [97].
Аналитическое решение задачи. Пусть шар имеет радиус R.
Обозначим половину высоты цилиндра через х.
1. Формализация задачи:
/о(ж) = 27г(Д2 - ж2)ж -» max, 0 < х < R.
2. Необходимое условие экстремума функции: /д (ж) = 0.
3. Нахождение критических точек функции. Необходимое
условие экстремума выполняется в точках х\ = Д/л/З. Ж2 =
= -R/y/З. Второй корень не подходит, так как высота цилиндра не
может быть отрицательной (а^ < 0). Радиус минимального
цилиндра \/R2 — R2/3 = Ry/2/З. Отношение высоты экстремального
цилиндра к диаметру основания равно л/2.
Бесконечномерные экстремальные
исторические задачи
Задачи Дидоны. Эти задачи связаны со следующей легендой,
воспроизведенной в «Энеиде» Вергилия. Финикийская царевна
Дидона, спасаясь от преследования брата, отправилась на запад
вдоль берега Средиземного моря искать себе прибежище. Ей
приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива.
Она уговорила местного правителя Ярба продать ей столько земли,
сколько можно окружить бычьей шкурой. После сделки она
изрезала шкуру быка на тонкие тесемки, связала их воедино и окружила
большую территорию, на которой основала крепость, а вблизи ее —
город Карфаген.
448

Задача о выборе линии фиксированной длины, окружающей
максимально возможную площадь, называется «изопериметриче-
ской задачей» (изопериметрические фигуры — это фигуры,
имеющие одинаковый периметр). В связи с описанной легендой
возникают две изопериметрические задачи.
Первая задача Дидоны. Указать такую форму участка земли,
который при заданной длине периметра L имел бы наибольшую
площадь. Решением этой задачи является окружность.
Вторая задача Дидоны. Среди всех дуг длиной L с концами в
заданных точках (0, 0) и (0, а), лежащих в полуполосе 0 < х < а,
у > 0, найти такую, которая вместе с отрезком, соединяющим
концы дуги, ограничила бы фигуру наибольшей площади. Решением
этой задачи является дуга окружности [97].
Многие историки полагают, что задачи Дидоны — первые
экстремальные задачи, обсуждавшиеся в научной литературе. Вместе
с изопериметрическим свойством круга (т. е. свойством
окружности охватывать наибольшую площадь среди изопериметрических
фигур) античные геометры отмечали изопифанное свойство шара
(т. е. свойство сферы охватывать наибольший объем среди изопи-
фанных фигур — фигур, имеющих одну и ту же площадь
поверхности).
Задача Иоганна Бернулли. В июньском номере журнала «Акта
Эрудиториум» за 1696 г. была помещена статья Иоганна Бернулли с
интригующим названием: «Новая задача, к решению которой
приглашаются математики». Вот как формулирует ее сам автор: в
вертикальной плоскости даны точки А и В. Определить путь AM В,
спускаясь по которому под действием собственной тяжести,
тело М, начав двигаться из точки А, достигнет точки В за
кратчайшее время (рис. 26). Другими словами: какая же кривая является
брахистохроной (по-гречески — наибыстрейшей)?
Для решения этой задачи Лейбниц применил прием, который
позже развил Эйлер. Метод Лейбница — Эйлера открыл путь к
вариационному исчислению. Якоб Бернулли основывал свое
решение на принципе Гюйгенса и сделал, таким образом, первый шаг
к созданию теории, позже названной теорией Гамильтона — Яко-
би. Наибольшую популярность получило решение Иоганна
Бернулли. Он исследовал так называемую оптико-механическую анало-
1 5 Математика древняя и юная 449

А
" —В
У
Рис. 26. Задача И. Бернулли о брахистохроне
гию, которая затем принесла много открытий, описанных в трудах
Гамильтона, Якоби, де Бройля и других ученых.
Аэродинамическая задача Ньютона. Эту задачу можно
сформулировать так: найти тело вращения заданной длины и заданной
ширины, испытывающее наименьшее сопротивление при
движении в некоторой среде [97].
Задача была сформулирована и решена в «Математических
началах натуральной философии». Она опередила свое время почти
на 300 лет и только во второй половине XX в. вошла в теорию
оптимального управления и использовалась при расчете космических и
сверхзвуковых летательных аппаратов. Ее решение, данное
Ньютоном, считали абсурдным. Мысль гения, кажущаяся нам
заблуждением, на самом деле несет в себе отпечаток истины — доступной
ему, но еще не открывшейся нам.
Создание вариационного исчисления
Иоганн Бернулли поставил перед своим учеником Леонардом
Эйлером проблему изыскать общую методику решения всех
экстремальных задач, и Эйлер создал такой метод. В 1744 г. вышла работа
Эйлера, которая так и называлась — «Метод нахождения кривых
линий, обладающих свойством максимума или минимума, или
решение изопериметрической задачи, взятой в самом общем виде».
Эйлер нашел уравнение, которому должна удовлетворять «кривая
линия, обладающая свойством максимума или минимума». Это
уравнение стали называть уравнением Эйлера [97].
В 1759 г. произошло знаменательное событие. Тогда совсем еще
молодой Лагранж написал свое первое сочинение, касающееся той
450

же темы. Он подошел к ней с другой стороны и настолько удачно,
что с тех пор метод Лагранжа (называемый иногда методом
вариаций) стал общепринятым. Работа Лагранжа привела Эйлера в
восхищение, и он отказался от публикации собственных разработок
на эту тему, давая возможность молодому ученому самому довести
свои замыслы до конца. Весь новый раздел математики Эйлер
назвал вариационным исчислением [97].
И в классической изопериметрической задаче, и в задаче о
брахистохроне, и в задаче Ньютона испытанию подвергались «любые
кривые». Их нельзя задать с помощью одного, двух или любого
числа параметров. В их «произволе» заключено «бесконечно большое
число переменных».
После разработки метода исследования на максимум и
минимум функций одного переменного началась эра классического
вариационного исчисления, и продолжалась эта эра примерно два с
половиной века.
Несколько позже был развит анализ функций конечного числа
переменных. А потом (и сравнительно недавно) было понято, что
математический анализ бесконечного числа переменных не
является принципиально более сложным, чем конечномерный анализ.
Бесконечномерный анализ изучает функции от «бесконечного
числа переменных», точнее, функционалы на бесконечномерных
пространствах.
В конце XIX в. Вольтерра и чуть позже Фреше, Адамар и многие
другие стали развивать основания бесконечномерного анализа. При
этом всегда подчеркивалось, что одна из целей вновь
создаваемого исчисления — решение бесконечномерных задач на максимум и
минимум. В первой половине XX в. математический анализ в
бесконечномерных пространствах (его стали называть функциональным
анализом, этот раздел анализа соединил в себе различные
концепции классического анализа, высшей алгебры и геометрии) пережил
пору бурного развития и расцвета [97].
Бесконечномерный анализ (точнее, дифференциальное
исчисление в бесконечномерных пространствах) — это раздел
математики, основанный в точности на тех же самых идеях, что и
конечномерный. Он является математическим аппаратом классического
15* 451

вариационного исчисления в той же мере, как конечномерный
анализ является математическим аппаратом теории конечномерных
задач на экстремум.
Решение бесконечномерных исторических задач
В бесконечномерном случае формализация проводится так же,
как и в конечномерном. Ограничения задаются равенствами или
неравенствами. Только максимизировать или минимизировать нужно
не функцию, а функционал — оператор, отображающий
пространство функций в числовое множество.
Для первой задачи Дидоны используется функционал «длины»
ь
Цу) = J^\ + {y'(x)fdx.
а
Вторая задача Дидоны ставится так:
о о
при граничных условиях у(0) = О, у (а) = 0.
Для задачи Иоганна Бернулли (о брахистохроне) используется
функционал «время движения вдоль кривой»
T(y) = f
у/1 + (У'(Х)У ^_
0 V29V(x)
Задача ставится так:
T(y)^min, у(0) = 0, y(a) = b.
Для задачи Ньютона используется функционал «сопротивление
движению в разреженной среде»
R
xdx
F(y) = 2KJY
+ {y'{x)f
о
Задача ставится так:
F(y)^min, y'(x)>0, y(0) = 0,y{R) = H.

Глава 26
ПОИСК УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПРИНЦИПОВ
В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден
смысл какого-нибудь максимума или минимума.
Л, Эйлер
Закон Снеллиуса
Исследуя в своей книге законы отражения света и свойства
зеркал и стараясь отыскать для них логическое обоснование, Герон
Александрийский высказал предположение, что «природа
действует кратчайшим путем». В этих словах Герона содержится зародыш
фундаментальной идеи, осознанной в XVII—XIX вв.
К началу XVIII в. математики уже располагали
несколькими впечатляющими примерами того, как природа пытается
«максимизировать» или «минимизировать» те или иные важные
характеристики физических процессов. Было уяснено, что природе
свойственно «действовать» оптимально и в механике, и в
термодинамике, и в оптике — вообще всюду. Экстремальный принцип,
касающийся явлений природы, был впервые четко сформулирован
в оптике при попытке теоретического осмысления законов
преломления света.
Если опустить шест в неподвижную гладь прозрачного озера,
он покажется нам как бы изломанным. Это происходит в результате
453

преломления света. Еще в древности старались найти закон
преломления. В частности, во II в. н. э. Клавдий Птолемей пытался вывести
этот закон опытным путем. Но он не дошел до правильного
ответа. Впервые его отыскал в начале XVII в. нидерландский астроном
и математик Виллеброрд Снеллиус. Он установил, что отношение
синуса угла падения луча света к синусу угла его преломления есть
величина постоянная, не зависящая от угла падения.
Для объяснения закона преломления света Ферма выдвинул
экстремальный принцип, характеризующий оптические явления.
Впоследствии этот принцип был назван его именем. Принцип Ферма
гласит: в неоднородной среде свет избирает такую траекторию,
вдоль которой время, затрачиваемое им на преодоление пути от
одной точки до другой, минимально.
Принцип Ферма позволяет точно поставить и решить задачу на
минимум, приводящую к выводу закона Снеллиуса. Необходимо
найти минимум функции одного переменного
/(*)
Va2 + х2 ^b2 + (d - х)2
+
где v\ и V2 — скорости луча света в двух средах при у > О и при
у < О соответственно (рис. 27).
_ь *B(d, -b)
Рис. 27. Преломление луча света
К моменту, когда Ферма выдвинул свой экстремальный принцип
(а это произошло около 1660 г.), он уже владел алгоритмом
нахождения максимумов и минимумов функций, состоящим в
приравнивании нулю производной, но дифференцировать радикалы он не
454

умел. Нужный результат (закон Снеллиуса) Ферма получил гораздо
более сложным путем. Вывод этого закона, который сейчас
изучают в школе, был найден Лейбницем, причем в той же самой работе
1684 г., в которой заложен фундамент математического анализа.
В основу принципа Ферма положено допущение о том, что свет
распространяется по некоторым линиям. Это представление
легче всего увязать с корпускулярной теорией света, согласно которой
свет — это поток частиц. Гораздо более простой, чем у Ферма,
вывод закона Снеллиуса дал Гюйгенс — гениальный ученый XVII в.,
автор волновой теории света. Ему принадлежит другое объяснение
законов распространения и преломления света, основанное на
представлении о свете как о волне, фронт которой движется с течением
времени (принцип Гюйгенса): каждая точка волнового фронта
сама становится вторичным источником, и мы получаем семейство
волновых фронтов от всех этих вторичных источников, а
истинный фронт есть огибающая этого семейства [97].
Возможность различных путей решения
вариационных задач
В подходе Ферма никак не проясняется истинная сущность
происходящего явления: он постулирует некоторое свойство
траекторий и показывает, что это допущение согласуется с экспериментом.
Гюйгенс же в своем подходе отталкивается от описания физической
природы явления.
Такая неоднозначность описания типична для естествознания.
Законы природы, с одной стороны, допускают истолкования,
базирующиеся на некоторых физических моделях, а с другой —
выводятся из экстремальных принципов.
На самом деле любая задача вариационного исчисления и
оптимального управления может быть рассмотрена двумя путями.
Можно изучать ее экстремальные траектории (подобно Ферма), и это
ведет к теории Эйлера — Лагранжа. Но есть и другой путь (Гюйгенса):
изучать пучки экстремальных траекторий, что приводит к аналогам
волновых фронтов, к теории, разработанной Гамильтоном и Якоби
в XIX в., и к исследованию задач оптимального управления
методами динамического программирования.
455

Принцип наименьшего действия и другие вариационные
принципы классической механики
В 1740 г. французский ученый Пьер Луи Моро де Мопертюи
провозгласил свой знаменитый принцип наименьшего действия.
Он его сформулировал следующим образом: «Когда в природе
происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое
для этого изменения, является наименьшим возможным.
Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на
расстояние, которое они пробегают» [44, с. 80]. Мопертюи считал
этот принцип универсальным законом природы и первым научным
доказательством существования и мудрости Бога. Эйлер в письме
Мопертюи писал: «Поскольку наш мир устроен
наисовершеннейшим образом и является творением всеведущего Творца, во всем
мире не происходит ничего такого, в чем не было бы воплощено
какое-либо правило максимума или минимума» [44, с. 80].
Лагранж при разработке вариационного исчисления не
остановился лишь на математических проблемах. Он, собственно говоря,
и занимался ими лишь для того, чтобы иметь возможность
применить их к проблемам естествознания. Хотя название принципа,
предложенного Лагранжем, совпадает с названием принципа
Мопертюи, фактическое содержание этих принципов разное. Лагранж
придал принципу более точную и общую форму, фактически сведя
действие к энергии.
В книге «Рассказы о максимумах и минимумах» В.М.
Тихомиров [97] показывает, что второй закон Ньютона является
уравнением Эйлера (из вариационного исчисления) для действия, т. е.
при малых временах истинная траектория тела минимизирует
действие. Это еще раз свидетельствует о том, что законы природы
имеют двойное описание — «физическое» и «экстремальное».
Лагранж обобщил принцип Мопертюи и действие фактически
свел к энергии. Его работу продолжил Гамильтон, «второй
Ньютон» Британии. Его принцип и в настоящее время является одним
из наиболее универсальных принципов, лежащих в основе
механики. Якоби предложил рассматривать аналоги волновых фронтов и
в задачах механики (рассматривая «фронты действия»), и вообще
456

в любой простейшей задаче классического вариационного
исчисления. Аналогичные принципы, получившие название вариационных,
были сформулированы и в приложении к другим разделам физики.
Вариационные принципы классической механики
подразделяют на дифференциальные и интегральные.
Из дифференциальных принципов первым по времени (еще со
времен Галилея) применяется принцип возможных перемещений:
«Механическая система находится в равновесии в некотором
положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ
активных сил на всяком возможном перемещении, выводящем систему из
рассматриваемого положения, равна нулю в любой момент
времени» [65, т. 1,с. 597].
Второй важный дифференциальный принцип — принцип Да-
ламбера — Лагранжа: «Для действительного движения системы
сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых
возможных перемещениях равна нулю в любой момент времени»
[65, т. 1, с. 597]. Этот принцип модифицировал Гаусс,
сформулировавший принцип наименьшего принуждения.
Интегральные вариационные принципы являются менее
общими по сравнению с дифференциальными. Наиболее общим из них
является принцип Гамильтона — Остроградского (принцип
стационарного действия). Его модификациями являются принципы
Лагранжа и Якоби.
Следует заметить, что многие великие ученые, задумываясь
над вопросом о причине существования универсальных
принципов, стали верующими людьми. Эйнштейн говорил, что вера в
осмысленность мироздания вдохновляет исследователя. В 1936 г.
ему был задан вопрос: «Молятся ли ученые, и если молятся, то
о чем?» Он ответил: «Каждый, кто серьезно занимался наукой,
приходит к убеждению, что в законах природы проявляется дух,
значительно превосходящий наш человеческий. Перед лицом этого
высшего духа мы, с нашими скромными силами, должны ощущать
смирение. Так занятия наукой приводят к благоговейному чувству
особого рода, которое в корне отличается от наивной
религиозности» [36, с. 71].
Немецкий физик Макс Планк, классик естествознания XX в.,
фактический основоположник квантовой физики, в мае 1937 г. в
457

Дерптском университете прочитал доклад «Религия и
естествознание», в котором высказал следующие мысли.
Для Планка, введшего в современную физику представление
о кванте излучения, основным принципом теоретической физики
является принцип наименьшего действия. В соответствии с этим
принципом мы можем охарактеризовать протекание всякого
процесса во всех подробностях, утверждая, что из всех мыслимых
процессов, которые переводят систему, находящуюся в определенном
состоянии, в другое состояние, реализуется тот, для которого
интеграл определенной величины, взятый по времени (так называемая
функция Лагранжа), имеет минимальное значение.
Формулировка этого закона вызывает у каждого непредубежденного
человека впечатление, будто природой правит разумная, преследующая
определенную цель воля. Успехи естественнонаучного познания
укрепляют надежду на непрерывное углубление нашего
понимания того, как осуществляет управление природой правящий ею
Высший Разум [78].
В заключение скажем несколько слов о задачах оптимального
управления. Этот важнейший раздел теории экстремальных задач
был вызван к жизни задачами технического содержания. Во многих
случаях необходимо учитывать ограничения типа нестрогих
неравенств. Их наличие не позволяет применять методы, разработанные
в классическом вариационном исчислении. Задачи с такими
ограничениями получили название «задачи оптимального управления».
Основной метод решения таких задач был открыт Понтрягиным и
развит его учениками. Он получил название «принцип максимума
Понтрягина». С помощью этого принципа решаются в настоящее
время задачи типа аэродинамической задачи Ньютона.

Глава 27
ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Теория вероятностей есть, в сущности, не что
иное, как здравый смысл, сведенный к
исчислению: она заставляет оценить с точностью то, что
справедливые умы чувствуют как бы инстинктом,
часто не умея отдать себе в этом отчета.
П. Лаплас
Теория вероятностей
Истоки теории вероятностей. Размышления о случайном
(например, «золотые правила» игроков в азартные игры) имели место
уже в древнейшие времена, но математические вычисления
вероятностей появляются в письменных источниках начиная лишь с XV в.
Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца
средних веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости,
так как оно происходит от арабского слова alzar, переводимого как
«игральная кость». Карточные игры стали популярными в Европе
лишь в XIV в., в то время как игра в кости пользовалась успехом
еще в Древнем Египте во времена I династии, позднее — в Греции,
а также в Римской империи. Согласно греческой легенде игру в
кости предложил Паламедей для развлечения греческих солдат, ску-
459

чающих в ожидании битвы при Трое. Самой ранней книгой по
теории вероятностей является «Книга об игре в кости» Кардано. Эта
небольшая книжка была опубликована лишь в 1663 г., спустя почти
100 лет после написания. Видимо, поэтому Галилей стал
заниматься той же самой задачей о костях, хотя она была уже решена в
работе Кардано. Галилей написал трактат на эту тему между 1613 и
1624 гг. Первоначально он назывался «Об открытиях, совершенных
при игре в кости», но в собрании сочинений Галилея, изданном в
1718г., название изменили на следующее: «О выходе очков при игре
в кости» [80].
Известна задача об одновременном бросании одинаковых
игральных костей, на верхней грани каждой из которых может
появиться от 1 до 6 очков. При бросании двух костей 9 и 10 очков
можно получить двумя способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5и10 =
= 4 + 6 = 5 + 5. При бросании трех костей 9 и 10 очков
получаются шестью способами: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 =
= 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3; 10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 =
= 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.
Почему 9 очков появляются чаще, когда бросают две кости, а
10 — когда бросают три кости? Правильное решение этой задачи
дает такой результат: при бросании двух костей вероятность
появления в сумме 9 очков равна 1/9, а вероятность выпадения 10 очков
равна 1/12. При бросании трех костей вероятность выпадения 9
очков равна 25/216, а вероятность появления 10 очков равна 26/216.
Несмотря на простоту задачи о костях, некоторым великим
математикам не удавалось ее решить. Ошибались и Лейбниц, и Да-
ламбер. Например, во Французской энциклопедии в 1754 г. в статье
«Герб и решетка» Даламбер писал, что вероятность выпадения
хотя бы один раз герба при двух подбрасываниях монеты равна 2/3,
вместо правильного ответа 3/4.
Существует старая история, впервые рассказанная Лейбницем,
о том, как француз шевалье де Мере попросил Паскаля решить две
задачи, связанные с азартными играми.
Задача 1. Доказать, что при 24 подбрасываниях двух костей
вероятность одновременного выпадения двух шестерок меньше 1/2.
Задача 2. Два игрока играют в безобидную игру (т. е. у обоих
шансы победить одинаковы). Они договорились, что тот, кто
первым выиграет шесть партий, получит весь приз. Предположим, что
460

на самом деле игра остановилась до того, как один из них выиграл
приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй —
три). Как справедливо следует разделить приз?
Задачи Паскаль обсуждал в 1654 г. в своей переписке с Ферма,
и оба они решили их правильно. Известно, что Кардано и Тарта-
лья решили вторую задачу неверно. Правильное решение этих задач
Паскалем и Ферма дает основание считать 1654 г. временем
рождения теории вероятностей. Гюйгенс, узнав об их результатах, начал
писать книгу по теории вероятностей, в которой была задача о
разделе ставки для трех игроков.
Развитие теории. Одним из основоположников теории
вероятностей был Якоб Бернулли. В книге «Искусство предположений»,
опубликованной в 1713 г. через восемь лет после смерти Якоба
Бернулли, перепечатан трактат Гюйгенса об азартных играх и
рассматриваются элементы комбинаторики. Главным результатом
является теорема Бернулли (простейшая форма закона больших чисел)
о биномиальных распределениях. Сам Бернулли указывал, что к
тому времени, когда он начал писать четвертую часть этого
сочинения, он уже в течение 20 лет владел решением задачи,
составляющей ее главное содержание, т. е. своим законом больших чисел.
Рукописи Бернулли по теории вероятностей, подготовленные к
печати Ван-дер-Варденом, полностью подтверждают это. Бернулли
не использовал понятие «закон больших чисел»; это название ввел
в 1837 г. Пуассон, доказавший более сильное утверждение. В книге
Бернулли при рассмотрении им треугольника Паскаля появляются
числа Бернулли. До Якоба Бернулли исследования в области
комбинаторики проводил Лейбниц, написавший в 1666 г. «Рассуждения о
комбинаторном искусстве».
В XVIII в. сфера приложений теории вероятностей
расширилась. Наиболее ранним теоретическим результатом, обогатившим
математические методы этой теории, были локальная предельная
теорема Муавра (1730), оценивающая асимптотически вероятность
отклонения реального результата в независимых испытаниях от
ожидаемого, и теорема Лапласа (1780), обобщающая этот результат.
Абрахам де Муавр родился во Франции, но после отмены Нантско-
го эдикта, предоставлявшего гугенотам свободу вероисповедания,
переехал в Англию. Там в 1718 г. была опубликована его основная
461

работа «Доктрина шансов», в которой он сообщил об открытом им
нормальном распределении.
Начавшись с исследования результатов азартных игр, теория
вероятностей развилась в универсальную теорию, нашедшую
применение в самых разных областях жизни. Многие ученые считали, что
теория вероятностей — это не что иное, как путеводитель по
жизни, здравый смысл, выраженный в числах. Однако в начале XVIII в.
Петербургская Академия наук опубликовала статью Даниила Бер-
нулли, в которой выводы из математических вычислений казались
противоречащими здравому смыслу. В статье описана игра,
состоящая в бросании правильной монеты до тех пор, пока не выпадет
«решка». Если это произойдет при n-м бросании, игрок получает 2п
рублей из банка. Таким образом, с каждым бросанием выигрыш
удваивается. Вопрос в следующем: сколько игрок должен
предварительно заплатить за игру, чтобы игра стала безобидной? У Бер-
нулли получилось, что при любом вступительном взносе игрока
банк будет в проигрыше. Этот результат был назван «петербургским
парадоксом». Много работ на тему этого парадокса опубликовано
и в XX в.
Чрезвычайно богата по содержанию работа Лапласа
«Аналитическая теория вероятностей», изданная в 1812 г. В ней подробно
рассмотрены азартные игры, геометрические вероятности, теорема
Бернулли и ее связь с интегралом нормального распределения,
метод наименьших квадратов, изобретенный Лежандром и Гауссом.
До Лапласа теория вероятностей находилась в довольно
хаотическом состоянии, и методы, которыми она пользовалась, были
элементарны. Доказательства теорем получались недостаточно
ясными и очень громоздкими. Лаплас разработал новые математические
методы, внеся в них достижения современного ему
математического анализа, в частности используя разработанную им самим теорию
производящих функций. Это сделало изложение теории
вероятностей простым, ясным и изящным.
В 1814 г. вышло второе издание этого замечательного труда, к
которому в качестве предисловия был помещен «Опыт философии
теории вероятностей», вышедший отдельным изданием. В 1820 г.
вышло третье окончательное издание труда Лапласа, снабженное
462

расширенным предисловием и четырьмя дополнениями. Б.
Воронцов-Вельяминов писал: «В "Опыте философии теории
вероятностей" Лаплас дает не только блестящее популярное изложение ее
положений и выводов. Тут же Лаплас излагает свои обширные
соображения о применении теории вероятностей к явлениям
социального характера...» [19, с. 224].
Распределение (вероятностей) Пуассона. Понятие
распределения Пуассона впервые появилось в его книге «Исследования о
вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским
делам», опубликованной в 1837 г. Это распределение является
приближением для биномиального распределения. Возможность
широкого применения и большая важность распределения Пуассона
не были поняты в середине XIX в.; более того, о нем почти забыли.
Однако после 1894 г. это распределение использовали при
изучении странного феномена. За 20 лет, между 1875 и 1894 гг., в 14
различных кавалерийских корпусах германской армии была
собрана статистика трагических случаев, когда солдат был убит ударом
копыта лошади. Согласно 280 наблюдениям (280 наблюдений =
= 20 лет х 14 корпусов) 196 солдат погибли таким образом, т.е.
в среднем пришлось по 0,7 смертей на одно наблюдение. Если бы
число трагических исходов подчинялось распределению Пуассона
с параметром 0,7, то можно было бы ожидать, что при 280
наблюдениях в 139 случаях нет трагических исходов, в 97 случаях — одна
смерть, в 34 случаях — две смерти и т. д. В действительности было
соответственно 140, 91, 32 и т.д. Практика и теория оказались в
столь хорошем согласии, что вряд ли можно было ожидать
большего. Это сравнение появилось в 1898 г. в знаменитой монографии
Л. Борткевича «Закон малых чисел». С тех пор распределение
Пуассона стало широко применяться [89].
Демография и смежные вопросы. Математические
исследования смертности населения и продолжительности жизни,
начавшиеся на раннем этапе развития капитализма, обусловливались
потребностями страховых компаний. Галлей опубликовал в 1693 г. статью
о таблицах смертности, которая положила начало математической
теории страхования жизни.
Работа Д. Бернулли «О средней продолжительности браков при
всяком возрасте супругов и о других смежных вопросах» является
463

примером применения вероятностных идей к статистике
народонаселения. Другая его работа — «Опыт нового анализа смертности,
вызванной оспой, и преимущество предотвращающей ее
инокуляции» — содержит исследования о влиянии прививок оспы на
продолжительность жизни. Д. Бернулли поставил перед собой цель
математически показать пользу прививок, вызвавших в народе
недовольство. Классическая проблема статистики народонаселения —
соотношение рождаемости мальчиков и девочек — была им
исследована в работе, вышедшей в Петербурге в 1771 г.
Понятие смертности нетрудно расширить. Если
рассматривать амортизацию промышленных изделий или распад атомов как
смерть, получим широко применимую математическую теорию,
возникающую из исследований смертности населения. Понятие
периода полураспада стало фундаментальным в некоторых
областях науки. Радиоуглеродный метод, разработанный американским
физикохимиком Уиллардом Фрэнком Либби, до сих пор является
самым распространенным методом датирования в области
археологической хронологии. В 1960 г. за это открытие ему была
присуждена Нобелевская премия. Продолжительность существования
радиоактивных частиц описывается показательным распредением.
В 1950 г., следуя идеям Либби, М. Свадеш применил его метод в
лингвистике, предполагая, что не только радиоактивные атомы, но
и атомы речи, т. е. слова, можно считать распадающимися.
Предполагая, что период полураспада древнего базового словаря языков
составляет 2000 лет, можно определить дату, когда два
родственных языка разделились. Для этого достаточно знать, какая часть
базового словаря до сих пор существует в обоих языках. Этот метод
применяется часто и известен как лексикостатистика, или
глоттохронология [89].
Геометрическая вероятность. Понятие геометрической
вероятности ввел французский естествоиспытатель Жорж Бюффон в
работе, написанной в 1733 г., но опубликованной в 1777 г. Там была
решена знаменитая задача об игле, рассматриваемая практически в
каждом учебнике по теории вероятностей. Однако задачи на
геометрическую вероятность часто приводят к парадоксам. Наиболее
известен парадокс Бертрана, впервые опубликованный в книге
«Исчисление вероятностей» (1889) французского математика Жозефа
464

Луи Франсуа Бертрана. В этом парадоксе рассматривается задача об
определении вероятности того, что хорда, случайным образом
проведенная в окружности, будет длиннее стороны правильного
треугольника, вписанного в эту окружность. Разные методы решения
задачи давали разные ответы.
Неравенство Чебышева. Статья «О средних величинах»,
представленная П.Л. Чебышевым Петербургской Академии наук в
1866 г., была напечатана в следующем году во втором томе
«Математического сборника». Там было доказано неравенство
Чебышева. Оно было впервые ясно высказано, доказано и применено к
выводу обобщенного закона больших чисел Чебышевым, но несколько
ранее его получил в менее общей форме французский математик
Жюль Бьенэме в работе о методе наименьших квадратов (1853).
В зарубежных учебниках оно называется неравенством Бьенэме —
Чебышева. Статья «О средних величинах» (1867) и вторая работа
Чебышева «О двух теоремах относительно теории вероятностей»
(1887), в которой он распространил на суммы случайных величин
предельную теорему Муавра — Лапласа, открыли новую эпоху в
развитии теории вероятностей.
По этому поводу Колмогоров писал, что Чебышев вывел
русскую теорию вероятностей на первое место в мире. Основная
заслуга Чебышева не только в том, что он впервые с полной
настойчивостью выдвинул требование абсолютной строгости доказательства
предельных теорем, но главным образом в том, что Чебышев
всюду стремился получать точные оценки отклонений от предельных
закономерностей, возможных хотя бы и при большом, но конечном
числе испытаний, в виде безусловно правильных при любом числе
испытаний.
Предельные теоремы Чебышева были затем распространены
на более широкие классы случайных величин А.А. Марковым,
A.M. Ляпуновым, С.Н. Бернштейном, А.Я. Хинчиным, А.Н.
Колмогоровым и другими учеными.
Основы теории вероятностей. В 1900 г. на II Международном
конгрессе математиков в Париже Гильберт среди 23 важнейших
нерешенных проблем в математике шестой по счету назвал проблему
математического изложения аксиом физики и построения основ
теории вероятностей (см. табл. 4). Хотя на рубеже веков в теории веро-
465

ятностей было получено много выдающихся результатов, из-за
отсутствия обоснованной системы аксиом эта теория в целом еще не
стала одним из разделов математики. Ее больше относили к
физике. В этом заключалась, видимо, главная причина, почему Ф. Клейн
даже не упомянул теорию вероятностей в своей работе «Лекции о
развитии математики в XIX столетии».
Используя результаты работ многих математиков, в
особенности Э. Бореля, А. Ломнитского, а также теорию множеств и теорию
меры, Колмогоров в 1933 г. построил математически строгую
теорию вероятностей. В основе разработанной им теории лежит тот
факт, что любое событие, вероятность которого мы хотим найти,
может быть представлено в виде некоторого подмножества множества
элементарных событий. Предполагается, что наблюдаемые
события образуют сигма-алгебру, т. е. что совместное наступление двух
произвольных событий, наступление по крайней мере одного из
конечного или счетного числа наблюдаемых событий и дополнение
к любому наблюдаемому событию также являются
наблюдаемыми событиями. Каждому наблюдаемому событию приписывается
некоторое неотрицательное число, называемое вероятностью этого
события, таким образом, чтобы вероятность достоверного события
была равна единице и выполнялось свойство сигма-аддитивности.
Теория игр. Хотя азартные игры в различных формах
существуют со времен палеолита и математические исследования разных игр
восходят к эпохе Возрождения, общая теория игр возникла лишь в
XX в., и тогда же была установлена ее связь с другими науками,
такими, как, например, экономика. В 1921 г. французский
математик Эмиль Борель начал систематическое изучение матричных игр,
доказав для некоторых случаев существование оптимальных
смешанных стратегий. Принцип минимакса, фундаментальную
теорему в теории игр, в 1928 г. доказал основоположник теории игр Джон
фон Нейман в работе «К теории стратегических игр». Ранее даже
Э. Борель сомневался в ее справедливости. Теория игр внесла
новые аспекты и в математическую статистику, в основном благодаря
трудам американского математика Абрахама Вальда.
Метод Монте-Карло. Метод Монте-Карло — численный метод,
основанный на случайной выборке. При решении вычислительных
задач часто можно найти подходящую вероятностную модель, в
466

которую входит искомое неизвестное число. Затем для решения
задачи много раз наблюдаются исходы случайных экспериментов,
включенных в вероятностную модель, с тем чтобы с заданной
точностью можно было оценить искомое число.
Идея метода Монте-Карло впервые появилась в 1777 г. в работе
Бюффона, где излагался метод оценки числа 7г путем бросания иглы
наугад. Хотя идея метода довольно стара, его настоящее
применение началось лишь с появлением компьютеров, когда Е. Нейман,
С. Улам и Э. Ферми использовали метод Монте-Карло для
приближенного решения трудных вычислительных задач, связанных с
ядерными реакциями.
Название метода объясняется тем, что в нем применяются
последовательности случайных чисел, в качестве которых могли бы
выступать регулярно объявляемые результаты игр, проводимых в
казино, например в Монте-Карло. Однако на практике случайные
числа, необходимые для реализации метода, выдает сам
компьютер. Следовательно, симпатичное название, впервые
использованное в 1949 г. Н. Метрополисом и С. Уламом, вводит в заблуждение
(метод вряд ли поможет выиграть в Монте-Карло).
Последовательности случайных чисел, генерируемые ЭВМ,
применяются довольно широко. Они нужны для численного
интегрирования и численного решения дифференциальных уравнений,
при моделировании на ЭВМ физических, химических,
биологических, технических и экономических задач. Они помогают решать
задачи уличного движения, транспортные и другие
оптимизационные задачи, а также создавать астрономические модели.
Характеристические функции. Основные теоремы в
классической теории вероятностей, такие, как законы больших чисел,
теоремы о предельном распределении, связаны с распределением
суммы независимых случайных величин и опираются на свойства
слагаемых этих сумм. Обратными к этим теоремам о композиции
являются теоремы о декомпозиции, или факторизационные
теоремы, в которых распределение суммы известно и мы хотим получить
какую-либо информацию о возможных слагаемых, или факторах.
Как в теоремах о композиции, так и в теоремах о декомпозиции
важную «техническую роль» играют характеристические функции
случайных величин.
467

Характеристическая функция случайной величины X
определяется как математическое ожидание комплексной случайной
величины eltx. Каждая случайная величина имеет характеристическую
функцию, которая однозначно определяет функцию
распределения этой величины. Характеристическая функция суммы
независимых случайных величин равна произведению характеристических
функций слагаемых. Из этих свойств ясно, почему
характеристические функции столь важны при решении задач, связанных с
композицией и факторизацией.
Характеристические функции использовали еще в 1853 г. Коши
и в начале XX в. A.M. Ляпунов. С 1920-х годов под сильным
влиянием работ Д. Пойа и П. Леви характеристические функции очень
часто применяются для решения проблем о композициях. В 1930-х
годах благодаря теоремам Крамера, Хинчина и Райкова возникает
теория декомпозиции.
Теория вероятностей в квантовой физике. Методы теории
вероятностей широко использовались в физике уже в XIX в.
Классическая статистическая физика начиналась с идеи о том, что
равновесие системы, состоящей из большого числа частиц, есть наиболее
вероятное ее состояние. Считалось, что методы статистической
физики лишь приближенно описывают макроскопическое поведение
системы. Однако в результате вероятностной интерпретации
квантовой физики случайность и вероятность стали неотъемлемыми
частями всей физики. Понятие вероятности стало столь же
фундаментальным, как, например, понятие энергии, т. е. оно не является
понятием, которое используется лишь в качестве приближения и
без которого можно обойтись. Даже Эйнштейну не нравились эти
радикальные изменения в основах физики. В письме Максу Борну,
получившему Нобелевскую премию за вероятностную
интерпретацию волновой функции в квантовой механике, он написал, что
верит в существование совершенных законов природы: «Бог не
играет в кости» [43, с. 271]. В своем ответе Борн объяснил, что
вместо решения большого числа дифференциальных уравнений в
некоторых случаях можно получить приемлемые результаты,
бросая игральную кость. С тех пор идеи Борна стали
доминирующими. «Случайность» и «вероятность» — уже признанные понятия
в физике.
468

Эти изменения повлияли и на философию: механистический
детерминизм потерял свою главенствующую роль. Будущее
состояние мира не полностью определяется его современным состоянием.
На основе настоящих знаний можно определить лишь вероятность
событий, которые произойдут в будущем. Физическая концепция
вероятности не является простым применением математической
вероятности в физике. Мотивы и дух обеих концепций различны.
Волновая теория де Бройля и Шредингера, принцип неопределенности
Гейзенберга привели, во многом благодаря работам Борна, к
созданию между 1926 и 1929 гг. новой квантовой теории вероятностей.
Математическая теория вероятностей Колмогорова также была
построена приблизительно в это время. Выяснение связи между
двумя типами теории вероятностей началось значительно позже, почти
20 лет спустя; большую роль здесь сыграла работа Г. Макки,
основанная на более ранних исследованиях фон Неймана. В конце
концов, была разработана общая единая теория вероятностей, которая
включила в себя и классическую, и квантовую теории вероятностей
[89, с. 210].
Математическая статистика
Формирование статистики. Первоначально статистика была
«государственной арифметикой». Слово «статистика» происходит
от латинского слова status, означающего «государство». С
древнейших времен статистику использовали для того, чтобы
информировать правителей стран о величине налога, который можно собрать
с их подданных, или о числе солдат, на которое можно
рассчитывать в военное время. В Китае учет населения проводился уже
более 4 тыс. лет назад. Согласно Библии Моисей также вел учет
всех мужчин своего народа старше 20 лет.
Статистика стала наукой лишь в XVII в. Ее
основоположниками являются Джон Граунт и сэр Уильям Петти. В книге Граунта
«Естественные и политические наблюдения, сделанные над
бюллетенями смертности» (1662) исследовались вопросы
народонаселения. В 1669 г. Гюйгенс на основе данных Граунта опубликовал
таблицы смертности. В книгах Петти «Трактат о налогах» (1662) и
«Наблюдения над дублинскими записями смертности» (1681) также
469

использовались результаты и идеи Граунта. В работе Петти
«Политическая арифметика», опубликованной в 1689 г. после смерти
автора, Англия, Голландия и Франция сравниваются по их населению,
торговле и судоходству.
Термин «государственная арифметика» можно считать
предвестником слова «статистика». С развитием капитализма
статистическими данными стали интересоваться не только государственные
деятели, но и капиталисты. Для обработки данных использовались
все более сложные математические методы, при этом
увеличивалась и выгода от их применения, например в страховом деле.
Компания Ллойда, одна из крупнейших страховых компаний в мире, была
основана в XVII в. и занимала в то время лишь кофейню на Тауэр-
стрит в Лондоне. Успех в страховом деле определяется точностью
данных и надлежащими математическими выводами.
Математическая статистика, постепенно развиваясь с XVII в., превратилась в
самостоятельный раздел математики [89].
Метод наименьших квадратов. Из-за неизбежных ошибок
измерений часто кажется, что теоретические формулы и
эмпирические данные противоречат друг другу. В начале XIX в. Лежандр,
Гаусс и Лаплас предложили эффективный метод, позволяющий
уменьшить влияние ошибок измерений. Лежандр описал и
применил его в 1805 г. для нахождения орбит комет.
Новый прием, названный методом наименьших квадратов,
детально исследован Гауссом в его работе «Теория движения
небесных тел» (1809). Именно Гаусс указал также на вероятностный
характер этого метода. Хотя Лежандр обвинял Гаусса в плагиате, он
не мог предоставить для этого достаточно оснований. Гаусс,
применявший метод в расчетах с 1795 г., претендовал на приоритет лишь
в использовании метода, а не в его публикации.
Лаплас опубликовал свой основной труд по теории
вероятностей в 1812 г., посвятив его «великому Наполеону». На протяжении
всей четвертой главы его книги излагается метод исчисления
ошибок. С того времени метод наименьших квадратов развился в новый
раздел математики. Однако возможности метода порой
переоценивают и часто его используют тогда, когда более подходящими были
бы другие методы. На эту проблему обращал внимание еще Коши
во время «дебатов» с Бьенэме (в ходе диспута Коши использовал
470

плотность вероятности 1/(-7г(10 + ж2)), названную позднее его
именем, хотя он и не был первым ученым, применившим плотность Ко-
ши).
Корреляция и регрессия. К последней трети XIX в.
некоторые науки (например, молекулярная физика) достигли такого
уровня развития, что стало необходимым использование в них теории
вероятностей и математической статистики. В 1859 г. книга
Дарвина произвела революцию в биологии, и вскоре после этого
двоюродный брат Дарвина Фрэнсис Гальтон заложил основы генетики
человека. Исследования Менделя по генетике были заново
«открыты» лишь на рубеже XIX и XX вв.; слово «генетика» употребляется
только с 1905 г., но результаты Гальтона привлекали всеобщее
внимание еще в XIX в. Гальтон и его ученики, особенно Карл Пирсон,
ввели такие важные понятия, как «корреляция» и «регрессия»,
которые стали основными понятиями в теории вероятностей и
математической статистике, а также в связанных с ними науках.
Коэффициент корреляции описывает зависимость между двумя
случайными величинами одним числом, а регрессия выражает эту
зависимость в виде функционального соотношения и поэтому дает
более полную информацию. Понятие регрессии Гальтон ввел при
сравнении роста родителей с ростом их детей. Вначале
регрессионный анализ применялся в биологии, и важнейшим научным
журналом, в котором освещалась эта тема, был журнал «Биометрика»,
выходящий с октября 1901 г. Между 1920 и 1930 гг. большое
значение приобрело использование регрессионного анализа в экономике,
и возникла новая область науки — эконометрика (термин,
принадлежащий Р. Фришу (1926), которому позднее была присуждена
Нобелевская премия).
От изучения частных регрессионных задач исследователи
постепенно перешли к регрессионному анализу структуры, присущей
глобальным экономическим системам. Эти исследования
проводили Д. Кейнс, Я. Тинберген и другие ученые, например Л. Клейн,
которому в 1980 г. была присуждена Нобелевская премия по
экономике. Журнал «Технометрика» выходит с 1959 г. и в основном
посвящен техническим приложениям регрессионного анализа.
Метод максимального правдоподобия. Этот метод является
одним из наиболее эффективных методов оценки неизвестных
параметров. Он получил распространение в 20-е годы XX в. благодаря
471

работам английского статистика и генетика Роналда Фишера. И
хотя у Фишера были предшественники, именно его статья,
написанная в 1912г., сыграла решающую роль.
Интервальное оценивание. Теория интервального оценивания
была разработана в основном Р. Фишером и американским
математиком Ежи (Юрием) Нейманом между 1925 и 1935 гг.
Доверительный интервал Неймана содержит неизвестный параметр с заданной
вероятностью. Этот параметр не случайный, а выборка
экспериментальных данных случайна. При другом подходе к интервальному
оцениванию случайным считают, наоборот, неизвестный параметр.
Такой вид интервальных оценок, называемых фидуциальными
интервалами, ввел Фишер. Он начал заниматься интервальными
оценками немного раньше, чем Нейман, и даже обвинил Неймана,
который тогда работал в Польше, в присвоении и обобщении своих
идей.
В случае нормального распределения доверительные и фиду-
циальные интервалы формально совпадают; различается только их
«философия». В течение некоторого времени считали, что эти два
вида интервалов практически совпадают и что споры о различии
между доверительными и фидуциальными интервалами являются
чисто теоретическими. Однако вскоре обнаружились парадоксы,
имеющие практическое значение. Разные подходы Неймана и
Фишера привели и к различным результатам в практических
применениях. В 1959 г. К. Стейн указал на чрезвычайно парадоксальный
случай, когда доверительный и фидуциальный интервалы могут
сильно различаться.
Проверка статистических гипотез. Трудно сказать что-то
определенное о том, когда предпринимались первые попытки
проверить статистические гипотезы. Джон Арбунтот, английский
математик, врач и писатель, был первым, кто заметил в 1710 г., что
гипотеза о равном соотношении родившихся мальчиков и
девочек должна быть отвергнута, так как согласно демографическим
данным за 82 года (доступным в то время) мальчиков каждый год
рождалось больше, чем девочек. Если бы вероятность рождения
мальчиков была 0,5, то итог за 82 года был бы настолько
маловероятен (1/282), что его можно было бы считать практически
невозможным.
472

Этот парадокс заинтересовал Лапласа. В 1784 г. он с удивлением
обнаружил, что в нескольких различных районах доля родившихся
мальчиков приблизительно равнялась 22/43, а в Париже это
отношение было равно 25/49. Лаплас был заинтригован таким
различием, но вскоре нашел для него разумное объяснение. В общее число
родившихся в Париже включались также все подкидыши, а
население из пригородов предпочитало подкидывать в основном
девочек. Когда Лаплас исключил подкидышей из общего числа
родившихся, доля новорожденных мальчиков и в Париже стала близкой
к 22/43.
В 1734 г. Парижская Академия наук присудила Даниилу Бернул-
ли премию за исследование орбит планет. С помощью некоторого
критерия проверки гипотез он пытался показать, что схожесть
орбит планет является далеко не случайной. В 1812 г. Лаплас пытался
применить статистические выводы для решения вопроса о том,
какую из гипотез следует принять: считать кометы обычными
элементами Солнечной системы или «незваными гостями». Он пришел к
выводу, что кометы не являются обычными элементами Солнечной
системы.
Основоположниками современной теории проверки
статистических гипотез были К. Пирсон, Э. Пирсон, Р. Фишер и Е.
Нейман. Для проверки гипотезы о виде закона распределения
случайной величины К. Пирсон, Г. Крамер, Р. Мизес, А.Н. Колмогоров,
Н.В. Смирнов и другие ученые, работавшие позже, предложили
несколько различных критериев, и возникла необходимость сравнить
их эффективности. При определении интервальных оценок и
проверке статистических гипотез широко используется распределение
Стьюдента. Оно введено в рассмотрение ирландцем Уильямом
Госсетом в 1908 г. (с 1899 г. он работал в Дублине на пивоваренном
заводе Гиннесса, и его начальник настоял на том, чтобы Госсет
писал под псевдонимом Стьюдент). Э. Пирсон и Е. Нейман сделали
первые шаги на пути решения теоретических задач по нахождению
лучших методов принятия решений. Они ввели понятие
альтернативной гипотезы, которая, вообще говоря, не является полным
отрицанием проверяемой («нулевой») гипотезы. Были введены
понятия ошибок первого и второго рода.
Теория Неймана и Пирсона стала основной при проверке
гипотез, не лишенной, однако, парадоксов. В 1950 г. Герберт Роббинс
473

показал, что существует критерий, который в некотором смысле
является более мощным, чем критерий Неймана — Пирсона.
В классической теории математической статистики
предполагается, что элементы выборки заранее известны. В основе одного
из важнейших направлений современной статистики лежит
понимание того, что не нужно фиксировать заранее объем выборки, его
следует определять в зависимости от результатов более ранних
наблюдений. Таким образом, объем выборки случаен. Эта идея
последовательного выбора постепенно развивалась в работах многих
исследователей, но настоящим основателем теории
последовательного анализа в математической статистике является Абрахам Вальд.
Его последовательный критерий отношения правдоподобия,
разработанный в 1943 г., стал важным открытием, позволившим в
типичных ситуациях на 50 % уменьшать среднее число наблюдений (при
тех же вероятностях ошибок). Не удивительно, что в годы второй
мировой войны открытие Вальда было объявлено «секретным». Его
основная книга «Последовательный анализ» опубликована лишь в
1947 г. Год спустя он и Дж. Вольфовиц доказали, что методы,
отличные от последовательного критерия отношения правдоподобия,
не дают такого уменьшения числа элементов выборки.
Случайные процессы
Ветвящиеся процессы. В первой половине XIX в. было
замечено следующее интересное явление: некоторые знаменитые
аристократические и простые фамилии постепенно исчезали. Эту
проблему с математической точки зрения изучали Бьенэме в 1845 г. и
де Кондолье в 1873 г. В 1874 г. Гальтон и Ватсон опубликовали
важнейшую статью, посвященную этому вопросу. Ветвящиеся цепочки
фамилий стали первым примером случайного ветвящегося
процесса. Процессы такого типа наблюдаются в химии, физике и
некоторых других областях. Например, процесс деления ядер или цепная
реакция в ядерной физике хорошо моделируются случайными
процессами. Поколения нейтронов сменяют друг друга чаще, чем
поколения людей, однако в обоих случаях главный вопрос остается
одним и тем же: при каких условиях процесс затухнет (фамилия
исчезнет) или разовьется до бесконечности (бомба взорвется)?
Понятие ветвящегося процесса введено в 1947 г. А.Н. Колмогоровым и
Н.А. Дмитриевым.
474

Марковские процессы. Понятие марковской цепи
принадлежит русскому математику А.А. Маркову, чьи первые статьи по
этому вопросу были опубликованы в 1906—1908 гг. Он использовал
новое понятие для статистического анализа распределения букв в
романе А.С. Пушкина «Евгений Онегин». «Цепь Маркова» —
важнейшее математическое понятие, возникшее при решении
лингвистических проблем. Последовательности такого типа появляются
во многих областях, например в классической физике, где будущее
развитие системы полностью определяется ее настоящим
состоянием и не зависит от того, как система оказалась в этом состоянии.
В наши дни цепи Маркова и их обобщение на случай
непрерывного времени и непрерывного фазового пространства (марковские
процессы) играют в естественных и технических науках намного
ббльшую роль, чем в лингвистике, где они первоначально
применялись.
Винеровские процессы. Во время экспериментов в 1827 г. с
использованием микроскопа английский ботаник Роберт Броун не
только обнаружил существование ядер у клеток, но и наблюдал
интересное, хотя в то время необъяснимое явление: случайное
движение взвешенных частиц, известное в настоящее время как
броуновское движение. Поскольку он проводил свои эксперименты с
цветочной пыльцой, предположили, что движение имеет
биологические причины. Великой заслугой Броуна является
экспериментальное доказательство исключительно физической природы этого
явления.
На одной из лекций в Париже в 1904 г. Пуанкаре утверждал,
что когда большие частицы размером примерно 0,1 мм со всех
сторон много раз ударяются движущимися атомами, то эти частицы
остаются на месте, так как по закону больших чисел случайные
столкновения нейтрализуют друг друга. Однако в случае более
мелких частиц воздействия толчков не достаточно для их общей
нейтрализации, поэтому частицы двигаются зигзагообразно.
Количественное объяснение явления было дано в 1905 г. Эйнштейном
и польским ученым Смолуховским независимо друг от друга. По
теореме Эйнштейна, средняя длина пути частиц пропорциональна
корню квадратному из времени движения t. Значит, их средняя
скорость пропорциональна 1/лД. Отсюда вытекает, что мгновенная
скорость частиц в любой момент времени должна равняться бес-
475

конечности, следовательно, при определении мгновенной скорости
для броуновского движения возникают проблемы. Для их решения
требовался более глубокий математический анализ, который
провел Норберт Винер. В знак признания его заслуг в этой области
математическая модель броуновского движения была названа ви-
неровским процессом. Этот процесс можно интерпретировать как
движение с непрерывной траекторией, нигде не дифференцируемой
с вероятностью, равной единице. Это означает, что мгновенную
скорость нельзя определить ни в одной точке [89].
Непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции были
известны задолго до Винера. В 1875 г. немецкий математик
Пауль Дюбуа-Реймон впервые опубликовал пример непрерывной, но
нигде не дифференцируемой функции, открытой Вейерштрассом
в 1872 г. До этого подобная функция была придумана Больцано.
Открытие таких функций многими выдающимися математиками
было встречено без энтузиазма. В 1909 г. Пуанкаре писал:
«Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая-нибудь
практическая цель. Теперь функции изобретаются специально для
того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждений наших
отцов; никакого иного вывода, кроме этого, из них нельзя извлечь»
[14, с. 119]. В письме нидерландскому математику Томасу Стил-
тьесу Эрмит высказывался аналогичным образом: «С чувством
непреодолимого отвращения я отшатываюсь от достойного всякого
сожаления зла — непрерывных функций, не имеющих
производных» [44, с. 224].
Винеровский процесс, очевидно, опровергал приведенные
выше обвинения, так как никто не мог утверждать, что броуновское
движение введено лишь для придумывания патологических
контрпримеров.

Глава 28
ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ
ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX В.
Наиболее замечательным результатом новейших
математических методов является признание важности
символической логики и точного формализма.
Б. Рассел
Необходимость обоснования математики
В начале XIX в. излюбленной областью исследования
математиков вновь стала геометрия. Несмотря на существование
аналитической геометрии, математики начала XIX в. считали
алгебраические методы чуждыми геометрии. Для доказательства теорем чисто
геометрическими методами использовали принцип непрерывности,
который применяли еще Лейбниц, затем Монж, но наиболее широко
Жан Виктор Понселе. Он его сформулировал так: «Если одна
фигура получается из другой непрерывным преобразованием и
полученная фигура не уступает по общности исходной, то можно сразу же
утверждать, что любое свойство первой фигуры будет справедливо
и для второй фигуры» [44, с. 188].
Математики верили своим результатам, не пытаясь их строго
обосновать. Французский математик Алекси Клод Клеро писал, что
все рассуждения, приводящие к результатам, заранее известным из
соображений здравого смысла, считаются лишними.
477

Когда исследования по неевклидовой геометрии приобрели
более широкую известность, были обнаружены существенные изъяны
в структуре евклидовой геометрии. Стало очевидным, что этот
«эталон строгости» нуждается в критическом пересмотре.
Логическое обоснование алгебры в первой половине XIX в.
также полностью отсутствовало. Проблема состояла в том, что вместо
всех типов чисел в алгебре использовались буквы и все действия
над этими буквами производились так, как если бы они обладали
свойствами положительных целых чисел. Полученные с
использованием этих свойств результаты оставались верными при
подстановке вместо букв любых чисел: отрицательных, иррациональных
или комплексных. Создание в 1843 г. кватернионов, не обладающих
коммутативным свойством, поставило под сомнение уверенность, с
которой математики обращались с действительными и
комплексными числами, и потребовало строгого обоснования операций,
производимых над буквенными или символическими выражениями.
Ранее этой проблемой занимался профессор Кембриджского
университета Джордж Пикок. Во втором издании «Трактата по алгебре»
(1842—1845) он в явном виде сформулировал, что алгебра,
подобно геометрии, является дедуктивной наукой. Пикок утверждал, что
алгебраические методы должны основываться на полном наборе
явно сформулированных аксиом, которым подчиняются операции,
используемые в алгебраических процедурах. Эта идея Пикока стала
называться принципом перманентности эквивалентных форм.
Создание кватернионов подорвало самые основы этого принципа.
Критически настроенные математики решили направить свои
усилия на построение (или критическую перестройку) основ
математики. Чтобы привести в порядок здание математики, требовались
решительные меры. Было ясно, что не существует твердой почвы,
на которой можно было бы заложить фундамент здания
математики, так как опора на истину оказалась зыбкой. Решено было в
качестве фундамента искать систему четко сформулированных аксиом,
определений и явных доказательств всех результатов, сколь
интуитивно очевидными они бы ни казались. Основной акцент делался
не на истинности утверждений, а на их логической совместимости,
т. е. на непротиворечивости.
478

Обоснование математического анализа
Математики вначале решили обосновать математический
анализ, хотя надо было начинать с арифметики и алгебры, так как
анализ предполагает использование арифметики действительных
чисел и алгебры. Однако числа были привычными и считались
обоснованными, а к анализу со времен Лейбница и Ньютона
предъявлялось много претензий.
Проблема строгого обоснования анализа в начале XIX в.
привлекла внимание трех мыслителей: Больцано, Абеля и Коши.
Работы Больцано долго оставались неизвестными, Абель умер в
возрасте 27 лет, и главную работу по обоснованию математического
анализа выполнил Коши (см. гл. 13).
Сформулированные Коши определения функции, предела,
непрерывности и производной по существу были правильными, но
язык, которым ему приходилось пользоваться, не отличался ни
ясностью, ни точностью. Коши был убежден, что из непрерывности
следует дифференцируемость, и сформулировал множество теорем,
в условиях которых предполагал только непрерывность, тогда как
в доказательстве использовал дифференцируемость. Он предлагал
неверные теоремы о расходящихся рядах и приводил ошибочные
доказательства.
С самого начала работы по обоснованию математического
анализа носили сенсационный характер. После заседания Парижской
Академии наук, на котором Коши изложил свою теорию
сходимости рядов, Лаплас поспешил домой и оставался там взаперти до тех
пор, пока не проверил на сходимость все ряды, которые он
использовал в своей «Небесной механике». Велика была его радость, когда
он обнаружил, что ряды сходятся [94].
Завершил начатое Коши дело обоснования анализа
выдающийся математик Карл Веиерштрасс. Результаты своих исследований
он изложил в лекциях, прочитанных в 1858—1859 гг. в Берлинском
университете. Его работы освободили математический анализ от
интуитивных представлений и геометрической наглядности.
Веиерштрасс отчетливо понимал, что дифференцируемость не
следует из непрерывности. Математики были потрясены, когда в
1872 г. он представил Берлинской Академии наук пример функции,
479

непрерывной при всех действительных значениях х, но не
дифференцируемой ни при каком значении х. Пример другой подобной
функции, придуманной Больцано еще в 1830 г., стал известен
математикам позже. В 1905 г. французский математик Эмиль Пикар
сказал: «Если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции
не обязательно должны иметь производные, то дифференциальное
исчисление никогда не было бы создано» [44, с. 205].
Обоснование системы чисел
Первый шаг к логическому обоснованию действительных и
комплексных чисел был сделан в 1837 г. создателем кватернионов
Гамильтоном. Одним из результатов, изложенных в его работе
«Алгебраические пары с предварительным очерком о времени», было
логическое обоснование комплексных чисел, при построении
которых он считал, что свойства действительных чисел общеизвестны.
Вместо комплексных чисел а + Ы Гамильтон ввел упорядоченные
пары (а, Ь) действительных чисел и определил операции над этими
парами так, чтобы результаты совпали с результатами операций над
комплексными числами. В свою теорию пар Гамильтон включил и
свойства действительных чисел — пар вида (а, 0). Развитая
теория была логически несовершенна и особенно несостоятельна в
отношении иррациональных чисел. Математический мир просто
не заметил эту работу.
Вейерштрасс первым понял, что обоснование математического
анализа останется незавершенным, если не добиться более
глубокого понимания системы действительных чисел. Свои исследования
он начал еще в 1840-х годах, но они стали известны только из
лекций, прочитанных в Берлинском университете в 60-е годы.
Дедекинд и Кантор правильно определили иррациональные
числа и доказали их свойства, приняв в качестве исходных свойства
рациональных чисел. Их работы на эту тему были опубликованы в
1870-х годах.
Логическое обоснование рациональных чисел появилось позже.
Итальянский математик Джузеппе Пеано, используя идеи Дедекин-
да и некоторые идеи, заимствованные из «Учебника арифметики»
(1889) Германа Грассмана, построил в работе «Элементы
арифметики» (1889) теорию рациональных чисел из аксиом, описывающих
480

свойства положительных целых (натуральных) чисел. Так была
создана логическая структура действительных и комплексных чисел.
Побочным результатом обоснования числовой системы было
решение проблемы обоснования алгебры.
Непротиворечивость неевклидовых геометрий
В конце XIX в. была доказана непротиворечивость
неевклидовых геометрий. Многие математики относились к неевклидовым
геометриям как к курьезу, бессмысленность которого может
выясниться в любой момент. В 1868 г. итальянский математик Эудженио
Бельтрами обнаружил, что удвоенная эллиптическая геометрия,
введенная Риманом в 1854 г., применима к поверхности сферы, если
прямые в этой геометрии интерпретировать как большие
окружности на сфере. В том, что прямыми являются окружности, никакого
противоречия нет, так как большие окружности на сфере
удовлетворяют всем аксиомам прямых линий в удвоенной эллиптической
геометрии.
Неевклидовы геометрии, задуманные как «геометрии
реального пространства», где прямая имеет тот же смысл, что и в
евклидовой геометрии, оказались применимыми к фигурам, совершенно
отличным от тех, которые имели в виду их создатели.
Интерпретации неевклидовых геометрий получили название моделей.
Физический смысл той или иной математической теории оказался
необязательным. Одна и та же теория могла применяться к совершенно
различным физическим или математическим ситуациям.
Непротиворечивость неевклидовых геометрий была доказана в
предположении, что евклидова геометрия непротиворечива.
Нерешенной оставалась лишь одна фундаментальная проблема,
связанная с наведением строгости в математике: в основах евклидовой
геометрии обнаружились изъяны. Однако в отличие от
математического анализа природа геометрии и ее понятий была ясна.
Установить неопределяемые термины, уточнить определения,
восполнить недостающие аксиомы и завершить доказательства смогли
независимо друг от друга Мориц Паш, Джузеппе Веронезе и Марио
Пиери.
16 Математика древняя и юная
481

Наиболее широко в наши дни используется вариант
аксиоматического построения евклидовой геометрии, предложенный
Гильбертом. Он же заложил основы неевклидовых геометрий
Ламберта, Гаусса, Лобачевского и Больяй, проективной геометрии, а также
других геометрий, созданных в XIX в.
К началу XX в. математическая строгость восторжествовала в
арифметике, алгебре, математическом анализе (их основы
базировались на аксиомах для целых чисел) и в геометрии (на основе
аксиом для точек, прямых и других математических объектов). Ариф-
метизация геометрии еще не была осуществлена.
При разработке основ математики под огонь критики попала и
логика в виде законов мышления, используемых в математических
доказательствах при переходе от одного заключения к другому.
Соотношение интуиции и логики в математике
Логика и интуиция имеют каждая свою
необходимую роль. Логика, которая одна может дать
достоверность, есть орудие доказательства;
интуиция есть орудие изобретения.
А. Пуанкаре
Прогресс математики представляет собой цепочку великих
интуитивных озарений, впоследствии получавших обоснование.
В действительности математик не полагается на строгое
доказательство до такой степени, как обычно считают. Его творения
обретают для него смысл до всякой формализации, и именно этот смысл
сам по себе является для него реальностью. Великие математики
заранее, еще до того, как им удавалось найти логическое
доказательство, знали, что какая-то теорема верна, и иногда ограничивались
всего лишь беглым наброском доказательства. Более того, Ферма
в своей обширной классической работе по теории чисел и Ньютон
в работе по кривым третьего порядка не привели даже набросков
доказательств. Прогрессу математики, несомненно,
способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью
проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной
интуицией.
По этому поводу М. Клайн в работе «Математика. Утрата
определенности» писал: «Доказательство, абсолютная строгость и тому
482

подобные понятия — блуждающие огоньки, химеры, не имеющие
пристанища в математическом мире. Строгого определения
строгости не существует. Доказательство считается приемлемым, если
оно получает одобрение ведущих специалистов своего времени или
строится на принципах, которые модно использовать в данный
момент. Никакого общепринятого критерия строгости в современной
математике не существует» [44, с. 363—364]. Доказательства
одного поколения воспринимаются другим поколением как ворох
логических ошибок. Можно считать, что ни одно доказательство не
является окончательным.
Нельзя не признать великого значения логики для математики.
Если интуиция — господин, то логика — всего лишь слуга, но это
тот случай, когда слуга обладает определенной властью над
господином. Логика сдерживает необузданную интуицию, когда та
отбрасывает всякую осторожность. Интуиция может и обмануть. Так,
крупнейшие математики XIX в. считали, что любая непрерывная
функция имеет производную, пока Вейерштрасс не указал
непрерывную функцию, ни в одной точке не имеющую производной.
Начало логике как науке было положено сочинением
Аристотеля «Органон» («Инструмент [мышления]»). Логика Аристотеля в
основном представляла собой силлогистику — набор правил о
выводе новых утверждений из известных.
Декарт задал себе вопрос: «Откуда нам известно, что законы
логики правильны?» И сам ответил, что Господь Бог не стал бы нас
вводить в заблуждение.
Лейбниц считал, что для построения универсальной логики
необходимы три основных элемента:
— универсальный научный язык, применимый ко всем истинам,
выводимым посредством рассуждений;
— исчерпывающий набор логических форм мышления,
позволяющих осуществить любой дедуктивный вывод из начальных
принципов;
— набор основных понятий, алфавит мышления.
Ни Декарту, ни Лейбницу не удалось развить последовательно
символическое исчисление логики. Они создали лишь отдельные
фрагменты. Вплоть до XIX в. логика Аристотеля сохраняла свои
позиции. В 1797 г. Кант во втором издании «Критики чистого разума»
назвал логику «замкнутым и полным учением».
16* 483

Выдающихся успехов в критическом пересмотре логики
добился английский математик и логик Джордж Буль. Он родился в очень
бедной семье мелкого торговца, поэтому сумел окончить лишь
несколько начальных классов школы для бедных, которые,
разумеется, ничего не дали ему в области математики. Все свои знания Буль
приобрел путем самообразования. Стремясь разобраться в
математике глубже, он обратился к трудам классиков науки. Тогда и
родились у него первые самостоятельные идеи, которые он изложил в
статьях, направленных в «Кембриджский математический журнал».
К счастью, редактору журнала Грегори, представителю
«кембриджской группы» математиков, поиски Буля оказались достаточно
близкими. Именно с помощью «кембриджцев» Булю удалось в конце
жизни стать профессором математики во вновь открытом
католическом колледже (университете) в Корке.
Характерно, что первая развернутая система формальной
(символической) логики принадлежит самоучке Булю. Не закончив даже
средней школы, он не был связан путами традиционных взглядов и
установок, смог посмотреть на математику свежим взглядом и
оценить ее логический статут с той ясностью и полнотой, которая
позволила Расселу позже сказать: «Чистую математику открыл Буль в
сочинении, которое называлось "Законы мысли"» [44, с. 416].
Буль в 1844 г. предложил обобщение алгебраических
рассуждений в форме алгебры операторов. Шедевром считается его работа
«Исследование законов мышления» (1854), основная идея которой
состояла в том, что законы мышления могут быть представлены в
символическом виде, позволяющем придать более точный смысл
обычным логическим рассуждениям и упростить их применение.
Математическая логика
Решающий шаг в создании математической логики —
направления математики, посвященного изучению математических
доказательств и вопросов обоснования математики, был сделан
Джорджем Булем в 1847 г. Начало алгебраизации аристотелевой
логики было положено шотландским математиком и логиком Огастесом
Морганом в 1858 г.
484

Логика отношений была развита в серии статей,
опубликованных в 1870—1893 гг. американским философом, логиком и
математиком Чарлзом Сандерсом Пирсом, и систематизирована
немецким математиком и логиком Эрнстом Шредером. Пирс ввел
специальную символику для обозначений высказываний, выражающих
отношения, в частности предикаты и кванторы Ух (квантор
общности) и Зх (квантор существования), которые позволяют достичь
однозначности высказываний.
Последний шаг в математизации логики в XIX в. был сделан
профессором математики Иенского университета Готлобом Фреге.
Восприняв идеи логики высказываний, логики отношений,
пропозициональные функции и кванторы, Фреге ввел различие между
простым утверждением высказывания и утверждением, что данное
высказывание истинно. В последнем случае он ставил перед
высказыванием знак К Фреге проводил различие между объектом х и
множеством {ж}, содержащим только х, между элементом,
принадлежащим к множеству, и включением одного множества в другое.
Он предложил также аксиоматический подход к логике.
Значительную роль в использовании математической логики
для достижения большей математической строгости сыграл
итальянский математик Джузеппе Пеано. Занимаясь преподаванием
математики, он, как и до него Дедекинд, обнаружил
недостаточность строгости существовавших ранее доказательств и посвятил
свою жизнь усовершенствованию основ математики. Символику
математической логики он применил для записи не только законов
логики, но и математических аксиом. В полной мере она
использована им для вывода теорем из аксиом. Аксиомы арифметики были
введены в 1888 г. Дедекиндом ив 1891 г. Пеано, причем
аксиоматика Пеано была более удобной для логического языка. Считая
необходимым отказаться от интуитивных представлений, Пеано
ввел собственные символы для обозначения понятий, кванторов и
таких связок, как «и», «или», «не».
Логический язык был усовершенствован в основополагающей
совместной работе английского философа и математика Бертрана
Рассела и англо-американского философа и математика Алфреда
Норта Уайтхеда «Основания математики» (т. 1—3, 1910—1913).
В этой работе была предпринята попытка свести всю математику
485

к логике, которая, однако, не увенчалась успехом, так как
невозможно вывести существование бесконечных множеств из чисто
логических аксиом. Рассел заявлял: «Тот факт, что вся математика
есть не что иное, как символическая логика, — величайшее
открытие нашего века» [44, с. 254].
В работах Фреге и Рассела был создан богатый логический
аппарат, в результате чего математическая логика стала полноценной
математической дисциплиной. Далеко не все математики с
энтузиазмом приветствовали точную формулировку таких понятий, как
«иррациональное число», «непрерывность», «производная» и
«интеграл». Многие не поняли новой терминологии и сочли точные
определения своего рода причудами, не обязательными для
понимания математики и даже для построения строгих доказательств.
Итак, развитие математики на протяжении XIX в.
характеризовалось стремлением к систематизации, к установлению единства в
многообразии математических фактов и методов, на первый взгляд
весьма далеких друг от друга. Ценным было также критическое
уяснение и строгое обоснование фундаментальных понятий. Эти
стремления достигли наиболее полного выражения в арифметиза-
ции математики и формировании теории множеств (подробнее см.
в гл. 29 и 30).
Арифметизацией математики называют сложившуюся в XIX в.
тенденцию сведения всех основных фактов математической науки
к числу, в конечном счете натуральному. Утверждение, что любую
теорему алгебры или анализа можно свести к рассуждениям о
соотношениях между натуральными числами, завоевывало все
большее число сторонников. Кульминационным моментом в этом
течении математической мысли было построение теории
действительных чисел (Больцано, Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). Понятие
числа постепенно осознается как фундаментальное понятие всей
математики.

Глава 29
ТАЙНЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Понятие о бесконечном множестве, войдя в состав
современной математики, коренным образом
революционизировало ее.
77. С. Александров
Отношение к идее бесконечности в Древнем мире
Когда нас не спрашивают, что такое бесконечность, нам
кажется, что мы знаем, что это такое. Но стоит задуматься, как
выясняется, что знаем мы не так уж много.
Идея бесконечности впервые возникла как идея вечности,
неограниченного во времени существования мира. По-видимому, уже
египтяне и вавилоняне пришли к мысли, что течение времени не
будет иметь конца. Эта идея ярко выражена в восточной притче:
«Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столетие
прилетает птичка и точит свой клюв о гору. Когда она сточит всю гору,
пройдет первое мгновение вечности» [15, с. 4]. Однако и в Египте,
и в Вавилоне не было еще мысли о бесконечности пространства.
Эта идея впервые возникла в Древней Греции. Греческие
философы говорили: «Где бы ни стал воин, он сможет протянуть копье еще
дальше» [15, с. 6]. Хотя это рассуждение доказывает лишь
неограниченность, а не бесконечность (у окружности нет границы, хотя
487

ее размеры и конечны), греки считали, что мир бесконечен во всех
направлениях и вечен во времени.
Свою лепту в развитие идеи бесконечности внес Архимед.
Многие его сочинения не дошли до наших дней, но, к счастью,
сохранилась книга, в которой он развивает свою систему счисления. Она
называется «Псаммит» (или «Исчисление песчинок в пространстве,
равном шару неподвижных звезд»).
Еще до Архимеда греки пользовались десятичной системой
счисления и доходили до тысячи мириад, т. е. до 107. Архимед
начинает счет с мириады мириад, т. е. с 108. Это число он называет
октадой или единицей чисел вторых. Потом идет октада октад,
которую Архимед именует единицей чисел третьих. Наконец, он
доходит до октад чисел октадных, т. е. до числа, равного единице
с 800 миллионами нулей, и объявляет это число единицей второго
периода. Закончил Архимед свою систему октадой чисел октадных
октадного периода, т. е. числом 108'10 . Если написать это число,
записывая 400 цифр на полоске длиной 1 м, то получится лента
такой длины, что ею можно будет опоясать земной экватор примерно
5000 раз. Даже на ракете, летящей с первой космической
скоростью, пришлось бы лететь около 300 суток, чтобы пролететь вдоль
всей ленты [15].
И хотя еще до Архимеда ученые знали, что количество
натуральных чисел бесконечно, что последнего натурального числа не
существует, только после «Псаммита» они получили возможность
называть числа, превосходящие количество песчинок не только
на берегу моря, но и в «шаре неподвижных звезд». Как показал
Архимед, это количество меньше тысячи мириад чисел восьмых,
т. е. меньше чем 1063. Идея бесконечного числового ряда,
математическая модель, отражающая вечность времени, как бы
материализовалась в октадах и периодах исчисления Архимеда.
Это было понятие бесконечности «в большом». Одновременно
философы и математики размышляли о том, как устроен мир «в
малом» . Можно ли, например, бесконечное число раз делить отрезок
пополам? Мнения были и «за» и «против».
Самые сильные доводы против идеи бесконечного деления
выдвинул философ Зенон Элейский, живший в Италии в середине V в.
до н. э. Он показал, что допущение бесконечного деления приводит
488

к отрицанию возможности движения. Им сформулировано более 40
апорий1, до нас дошли девять. Апории Зенона оказались в
противоречии с некоторыми давними и интуитивными представлениями
относительно бесконечно малого и бесконечно большого.
В Древней Греции общепринятыми были две аксиомы.
1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и очень
малых протяженных величин, обязательно должна быть бесконечно
большой (это аксиома равносильна соотношению оо • е = оо).
2. Сумма любого, хотя бы и очень большого числа
непротяженных величин, всегда равна нулю и никогда не может быть равной
некоторой заранее заданной протяженной величине (оо -0 = 0).
Критика Зенона была направлена против этих аксиом. Три из его
апорий, касающихся этой тематики, вызвали такое волнение среди
ученых мужей, что и сейчас можно наблюдать «некоторую рябь».
Эти парадоксы дошли до нас благодаря Аристотелю и известны под
названиями «Ахилл и черепаха», «Стрела» и «Дихотомия».
Ахилл не может догнать черепаху, так как ему надо
последовательно достигать тех мест, где только что находилась черепаха, т. е.
исчерпывать бесконечную последовательность отрезков пути.
Полет стрелы делается невозможным, если время считать
суммой дискретных мгновений, а пространство — суммой дискретных
точек. Летящая стрела в любой момент своего полета где-то
находится. Находиться где-то — значит занимать пространство,
равное себе по размерам. Занимать пространство — значит покоиться.
Если все, что занимает пространство, равное себе, покоится, то
летящая стрела не может тронуться с места.
Дихотомия (деление на два). Невозможно осуществить
движение, так как путь может делиться до бесконечности (пополам, еще
пополам и т. д.), и поэтому надо последовательно преодолевать
бесконечное множество участков пути.
Апории Зенона показали, что мы встречаемся с
затруднениями, пытаясь объяснить смысл заявления, что прямая линия
состоит из точек. Более того, проблемы, приводящие к парадоксам
Зенона, неизменно возникают в ходе философских и теологических
дискуссий.
1 Апория (от древнегреч. anopia) — логическое затруднение, непреодолимое
противоречие при разрешении проблемы.
489

Разумеется, Зенон не «доказал», что в мире нет движения
(этому противоречит повседневный опыт). Но он показал, что
модели мира, которые строили до него философы и математики,
были неудовлетворительными с точки зрения логики, что нужна была
серьезная перестройка взглядов на устройство мира «в малом».
Философское значение апорий Зенона состояло в том, что они вскрыли
действительную противоречивость движения, пространства и
времени.
Парадоксы Зенона также приучили греческих ученых к
осторожности. Евклид, формулируя свою знаменитую теорему о
бесконечности множества простых чисел, выражается так: «Простых
чисел существует больше всякого предложенного количества простых
чисел» [14, с. 53]. Слово «бесконечно» он не использует.
Споры о бесконечности протекали порою довольно остро.
Например, Платон с такой непримиримостью относился к
атомистической теории Демокрита, что повсюду разыскивал рукописи
сочинений этого автора и уничтожал их.
Найти выход из критической ситуации, сложившейся в вопросе
о бесконечности после Зенона, попытался Аристотель. Он связывал
с бесконечностью понятие непрерывности: «... если пространство
и время непрерывны, то движение должно происходить скачками.
Но между двумя атомами пространства нет пространства, а
между двумя атомами времени нет времени. ... А непрерывное есть то,
что всегда делимо на всегда делимые части» [2, т. 3, с. 59].
Аристотель различал потенциальную бесконечность (осуществимость
сколь угодно большого, но конечного числа объектов) и актуальную
бесконечность (возможность завершения бесконечного процесса, в
результате чего возникает завершенный, «ставший» объект),
отмечая вместе с тем их единство (в существующих актуально и
развивающихся вещах заложено все возможное, потенциальное, т. е.
возможное едино с действительным).
Аристотель предпочитал рассматривать потенциальную
бесконечность, а не актуальную. Он считал, что математике незачем
рассматривать величины с точки зрения завершенной бесконечности:
«Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в
отношении увеличения как не проходимого до конца, не отнимает у
490

математиков их теории; ведь они не нуждаются в таком
бесконечном и не пользуются им...» [106, с. 16]. Эта точка зрения привела к
тому, что само понятие актуальной бесконечности воспринималось
логически противоречивым.
Отношение к идее бесконечности в XIII—XIX вв.
Философ Фома Аквинский, знаменитый схоласт XIII в.,
соединил учение Аристотеля с христианством. Вначале христианство не
признавало учение Аристотеля, но после работ Фомы Аквинского,
считающегося одним из самых чтимых католических святых,
стало преследовать несогласных с этим учением. Фома Аквинский
допускал возможность существования актуальной бесконечности. Он
не давал математического обоснования актуальной бесконечности,
так как с понятием актуальности он связывал только Бога. По его
мнению, только Бог актуально бесконечен, дан в своей вечности и
неограничен весь целиком, без всякой постепенности и
последовательности. Время сотворено Богом, имеет начало и конец, в отличие
от вечности, присущей Богу, которая существует сразу вся, без
начала и конца.
Кеплер, решая проблему бесконечности в связи с
практическими потребностями в измерении, пришел к методу бесконечно
малых, опираясь на метод исчерпывания Архимеда и опыт
вычислительной практики. Его «интеграционный» метод считается одним
из первых инфинитезимальных методов, осознанно оперирующих
бесконечно малыми.
Ньютон и Лейбниц, чьи работы послужили толчком к развитию
операций с бесконечно малыми величинами, не смогли дать
достаточно четких теоретических обоснований всем операциям. В конце
XVIII в. Берлинская Академия наук во главе с Лагранжем объявила
конкурс на «строгую и ясную теорию того, что в математике
называют бесконечным». В XIX в. обозначения +оо и — оо стали вполне
привычными, однако приемлемого определения понятия
бесконечности не было.
В XVIII—XIX вв. математики начали широко применять запись
функций в виде бесконечных рядов. При этом они также
столкнулись с особенностями бесконечности. Рассмотрим примеры.
491

Пример 1. В XVII—XVIII вв. ученые не задумывались над
строгим определением суммы числового ряда. Теперь суммой S
числового ряда называют конечный предел n-й частичной суммы Sn
(суммы первых п членов ряда) при п, стремящемся к бесконечности,
если он существует, т. е. S = lim Sn, S ^ оо.
В соответствии с этим определением ряд
а — а + а — а + а — а + ...
является расходящимся, т. е. его сумма не существует, так как не
существует единственного предела его частичной суммы. В XVIII в.
считали, что этот ряд имеет сумму, равную а/2. Получали ее
следующими рассуждениями. Пусть существует S=a — a + a — а +
+ а — а + а — ... Вычтем первый член ряда: S— а = —а + а — а + а —
— а + а — ... = —S. Из соотношения S — а = —S получим S = а/2.
Пример 2. Известно, что сумма конечного числа непрерывных
функций непрерывна. Оказывается, что сумма бесконечного числа
непрерывных функций может иметь разрывы. Рассмотрим сумму
З'х — X)
71 = 1
Поскольку Sn(x) = 2n+\fx — X и
1 — х, х > О,
lim Sn(x) = .
n->oo [ — 1-Х, X < О,
эта сумма бесконечного числа непрерывных функций имеет разрыв
при х — 0 (рис. 28).
Пример 3. Оказалось, что всегда справедливое для сумм с
конечным числом слагаемых утверждение: «от перемены порядка
слагаемых сумма не меняется» — для бесконечного числа слагаемых
может нарушаться (для условно сходящихся числовых рядов).
Обозначим через S сумму ряда
111111
1 1 1 1 ...
2 3 4 5 6 7
492

\v
-1
У ■>
1
-Г
X ч Л,
0 "rv
X
Рис. 28. Сумма бесконечного числа
непрерывных функций
(вообще-то S = In 2). Переставим члены ряда так, чтобы после
одного положительного члена стояли два отрицательных члена:
1 1 1 1 1 1 1 1
1111111
~2~4 + 3~6~8 + 5~10~'"~
liii 1 1
~2~4 + б~8 + Т0~12+"'~
1/11111 \ . 1
= H1~2 + 3-4 + 5-6 + --J^2-
Сумма ряда уменьшилась вдвое.
В XIX в. исследованием актуальной бесконечности занимался
Г. Кантор. Он поставил задачу классифицировать актуально
бесконечные множества по «числу» содержащихся в них элементов.
Основная его идея сводилась к установлению взаимно
однозначного соответствия между сравниваемыми множествами, т. е.
разбиению множеств на пары, содержащие по одному элементу из
каждого множества.
Если правило образования таких пар четко сформулировано и у
одного множества после образования всех пар остались
свободными элементы, то его мощность больше, чем у другого множества.
Кантор первым понял, что бесконечные множества могут
подчиняться новым законам, не применимым к конечным множествам.
493

Он определил бесконечное множество как такое множество,
которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие
со своим собственным, т. е. отличным от всего множества,
подмножеством.
Стремясь показать, что точек внутри квадрата со стороной,
равной единице, больше, чем на промежутке [0; 1) (на стороне
квадрата), он неожиданно увидел способ доказательства того, что
количество точек на промежутке и внутри квадрата одинаково. Так,
он установил для бесконечных множеств отношение равномощно-
сти. Он получил поистине удивительный результат: множество
целых чисел равномощно множеству рациональных чисел, но меньше
множества всех действительных чисел.
В 1870-х годах, когда Кантор приступил к созданию теории
бесконечных множеств, и еще много лет спустя эта теория
находилась на периферии математической науки. Доказанные Кантором
теоремы о тригонометрических рядах не были столь уж
фундаментальными. Но к началу XX в. канторовская теория множеств нашла
широкое применение во многих разделах математики. Кантор и Де-
декинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования
теории целых чисел (конечных, или «финитных», и
трансфинитных), для анализа понятий линии или размерности и даже для основ
математики. Другие математики, в частности французы Эмиль Бо-
рель и Анри Лебег, к тому времени уже работали над обобщением
интеграла, в основу которого была положена канторовская теория
бесконечных множеств.
Кантор ввел специальные символы для обозначения количеств
элементов в бесконечных множествах, используя букву «алеф» —
первую букву древнееврейского алфавита. Символом Щ (алеф-
нуль) он обозначил мощность множества натуральных чисел
(меньшее по мощности бесконечное множество).
В 1895—1897 гг. Кантор опубликовал свою фундаментальную
работу «К обоснованию учения о трансфинитных множествах».
В отличие от предшествующего цикла статей «О бесконечных
линейных точечных многообразиях», в которых теория множеств
рассматривалась как верхний этаж здания математики, опирающийся
на остальные разделы математики, в новой работе теория множеств
494

рассматривалась как фундамент здания математики,
предшествующий всем остальным разделам.
Основной сложностью на этом пути стали парадоксы теории
множеств, первые из которых обнаружил сам Кантор. Он
установил, что существует последовательность бесконечных множеств,
мощности которых возрастают. В 1895 г. у него возникла идея
рассмотреть множество всех множеств. Мощность такого
«сверхмножества» должна быть самой большой из возможных. Но еще
ранее Кантор доказал, что множество всех подмножеств любого
заданного множества должно обладать трансфинитным числом,
которое превосходит трансфинитное число, отвечающее исходному
множеству. Следовательно, заключил Кантор, должно
существовать трансфинитное число, превосходящее наибольшее из
трансфинитных чисел. Придя к столь нелепому выводу, Кантор сначала
растерялся, а затем решил, что множества можно разбить на
противоречивые и непротиворечивые. Таким образом, множество всех
множеств и соответствующее ему трансфинитное число попадали
в разряд «противоречивых» и исключались из рассмотрения.
В письме Гильберту, написанном в 1896 г., Кантор признает
недоказуемость непротиворечивости существования вполне
упорядоченных множеств и алефов — основных объектов своей теории —
и предлагает признать факт их недоказуемости за аксиому.
Свойства и парадоксы бесконечности
В отличной книге Н.Я. Виленкина «Рассказы о множествах»
[14] придуманы сюжеты на тему бесконечности, в которых
действующим героем является Ион Тихий, персонаж из
фантастических рассказов Станислава Лема. В этих сюжетах Ион Тихий
посещает космическую гостиницу с бесконечным числом одноместных
номеров. У директора этой гостиницы возникают проблемы, с
которыми не сталкиваются директора даже самых вместительных
других гостиниц с конечным числом номеров. Рассматриваются
ситуации, когда вся гостиница занята делегатами какого-нибудь
съезда (например, охотников за метеоритами, по одному от каждой
галактики, ведь галактик во Вселенной бесконечно много), а в это
время в гостиницу нужно поселить:
495

1) одного человека;
2) конечное число п человек;
3) бесконечное число делегатов другого съезда;
4) жильцов бесконечного множества гостиниц с бесконечным
числом номеров в каждой.
Оказывается, все эти проблемы разрешимы, причем можно
даже в последнем случае так разместить жильцов, что останется
свободной бблыная часть номеров.
Решение первой проблемы: жилец из n-го номера переселяется
в (п + 1)-й. В этом случае первый номер освобождается.
Решение второй проблемы: жилец из к-го номера переселяется
в (п + к)-й (освобождаются первые п номеров).
Решение третьей проблемы: жилец из n-го номера
переселяется в (2п)-й номер. Освобождаются все нечетные номера, которых
бесконечно много.
В решении четвертой проблемы будем именовать гостиницу,
которую посетил Йон Тихий, первой. Возможны два варианта. В
первом варианте составляется бесконечномерная таблица (матрица), в
которой элемент (г, j) (стоящий в г-й строке и j-м столбце)
соответствует j-му номеру г-й гостиницы:
(1,1) (1,2) (1,3) ... (l,j)
(2,1) (2,2) (2,3) ... (2,j)
(г,1) (г, 2) (г,3)
&3)
Расселение жильцов всех гостиниц проводится по квадратам, т. е.
на данную матрицу накладывается следующая бесконечномерная
матрица из номеров первой гостиницы:
1 2 5 10 ...
4 3 6 И ...
9 8 7 12 ...
При этом все жильцы всех гостиниц будут расселены в первой
гостинице. Ни один из ее номеров не будет пустовать.
496

Во втором варианте решения жильца из j-ro номера г-й
гостиницы переселяем в первою гостиницу в номер 2*3J. Тогда многие
номера первой гостиницы будут пустовать.
Сравнение бесконечных множеств
В случае конечных множеств самой разной природы всегда
можно сказать, какое из них содержит больше элементов, а какое
меньше. В случае бесконечных множеств этот вопрос становится
гораздо более сложным, например: чего больше, натуральных чисел
или рациональных, рациональных чисел или действительных? Где
больше точек, на отрезке или на всей прямой, на стороне квадрата
или внутри квадрата?
На первый взгляд кажется, что ответить на эти вопросы совсем
просто. Ведь множество натуральных чисел является частью
множества рациональных чисел, а отрезок — частью прямой. Не ясно
ли, что поэтому натуральных чисел меньше, чем рациональных, а
точек на отрезке меньше, чем точек на всей прямой? Оказывается,
не ясно. Ведь ниоткуда не следует, что при переходе к бесконечным
множествам сохранятся законы, выведенные из рассмотрения
конечных множеств, например закон о том, что часть меньше целого.
Для сравнения бесконечных множеств Кантор, автор теории
множеств, решил применить идею взаимно однозначного
соответствия. Между двумя множествами А и В установлено взаимно
однозначное соответствие, если элементы этих множеств
объединены в пары (о, 6) так, что: 1) элемент а принадлежит к множеству
А, а элемент Ь — к множеству В; 2) каждый элемент обоих
множеств попал в одну и только одну пару. По Кантору, два множества,
А и В, имеют поровну элементов (одинаковую мощность), если
между этими множествами можно установить взаимно
однозначное соответствие. Основной догмой, которую пришлось отбросить,
было установленное на самой заре развития математики положение
о том, что часть меньше целого.
Все множества, которые имеют столько же элементов, сколько
имеет множество натуральных чисел, называют «счетными».
Иными словами, множество называют счетным, если оно бесконечно,
но его элементы можно перенумеровать натуральными числами.
497

Например, множество четных чисел, множество нечетных чисел,
множество простых чисел да и вообще любая бесконечная часть
множества натуральных чисел являются счетными множествами.
Иногда, чтобы установить счетность того или иного множества,
надо проявить изобретательность. Для доказательства счетности
множества всех целых чисел следует записать это множество в
виде двух строк:
О, 1, 2, ...
-1, -2, -3, ...
и нумеровать по столбцам: «О» — № 1, «—1» — №2, «1» — №3
и т. д. Все положительные целые числа и нуль нумеруются
нечетными числами, а все отрицательные целые числа — четными.
Но если в то, что множество всех целых чисел счетно, легко
поверить, то в счетность множества рациональных чисел поверить
труднее. Ведь рациональные числа на числовой оси расположены
очень густо (между любыми двумя рациональными числами
найдется еще бесконечно много рациональных чисел).
Сделаем так: выпишем сначала все положительные дроби со
знаменателем 1, потом все положительные дроби со
знаменателем 2, потом со знаменателем 3 и т. д. Получится матрица
следующего вида:
1/1 2/1 3/1 4/1 ...
1/2 2/2 3/2 4/2 ...
1/3 2/3 3/3 4/3 ...
В полученной матрице мы встретим любое положительное
рациональное число и притом не один раз. Приступим к нумерации по
квадратам. Получится следующая нумерация положительных
рациональных чисел:
1, 2, 1/2, 3, 3/2, 2/3, 1/3, 4, 4/3, 3/4, ...
Пронумерованы, таким образом, все положительные рациональные
числа. Для нумерации всех (положительных и отрицательных)
рациональных чисел их надо записать отдельно в виде двух строк и
числа одной строки нумеровать четными номерами, а второй —
нечетными (и еще оставить один номер для нуля).
498

Так удалось пронумеровать все рациональные числа. Но
рациональные числа получаются из натуральных чисел с помощью лишь
одной операции — деления (и еще, быть может, изменения знака).
Добавим операцию извлечения корня и будем рассматривать все
числа, которые можно получить из натуральных чисел с помощью
этой операции и арифметических действий. Такие числа
называются алгебраическими, так как каждое из них является корнем
алгебраического уравнения вида
а0хп + а\хп~х + ... + ап = О,
где ао ^ Опао,..., ап — целые числа. Оказывается, что и это
множество счетно, т. е. его элементы можно пронумеровать, что было
доказано Дедекиндом.
В XIX в. математики проявляли большой интерес к
трансцендентным числам, не являющимся корнями алгебраических
уравнений. Ценой больших усилий французскому математику Жозефу
Лиувиллю в 1844 г. удалось найти несколько трансцендентных
чисел. Линдеман в 1882 г. сумел доказать трансцендентность числа
я". Кантор показал, что алгебраические числа, которые
встречаются на каждом шагу, на самом деле являются величайшей
редкостью, а трансцендентные числа, которые так трудно строить,
составляют абсолютное большинство. Доказательство существования
трансцендентных чисел, проведенное Кантором в 1873 г.,
произвело большое впечатление на математиков. Ведь Кантору удалось
доказать существование трансцендентных чисел, не строя ни
одного конкретного примера таких чисел. Он просто показал, что
множество алгебраических чисел счетно. Из этого следовало, что
множество трансцендентных чисел несчетно, так как разность
несчетного и счетного множеств является несчетным множеством.
Доказательства такого типа математики называют
неконструктивными, так как из доказательства Кантора нельзя непосредственно
извлечь никакого конкретного примера трансцендентного числа.
То, что является достоинством доказательства Кантора, в то же
время является и его слабой стороной.
Любая бесконечная часть множества натуральных чисел счет-
на. Следовательно, не может существовать бесконечное
множество, мощность которого была бы меньше мощности счетного
499

множества. В каждом бесконечном множестве есть счетное
подмножество. Относительно легко доказываются следующие теоремы:
мощность бесконечного множества не меняется от прибавления
к нему счетного множества; мощность несчетного множества не
меняется от удаления из него счетного множества.
Эти теоремы еще раз подтверждают, что счетные множества —
самые малые из бесконечных множеств. Исследования Кантора
показали, что существуют несчетные множества, имеющие разные
мощности, бблыиие, чем мощность счетного множества. Доказать
несчетность какого-то множества вообще нелегко. Ведь доказать,
что какое-то множество счетно, — значит просто придумать
правило, по которому нумеруются его элементы. А доказать
несчетность какого-то множества — значит доказать, что такого правила
нет и быть не может. Иными словами, какое бы правило мы ни
придумали, всегда найдется непронумерованный элемент
множества. Чтобы доказывать несчетность множеств, Кантор придумал
очень остроумный способ, получивший название диагонального
процесса. Рассмотрим его на примере доказательства несчетности
множества всех действительных чисел.
Каждое действительное число можно записать в виде
бесконечной десятичной дроби. Предположим, что нам удалось каким-то
образом пронумеровать все действительные числа. Чтобы доказать,
что наше предположение неверно, достаточно построить хотя бы
одно непронумерованное число. Это число мы получим, записав
его так, чтобы его n-й знак отличался от n-го знака числа с n-м
номером. Ясно, что это число не получило никакого номера, так как
отличается от всех пронумерованных чисел.
Бесконечность Кантор определил как множество, в котором
части могут быть равномощны {эквивалентны) целому. Еще
Галилею было ясно, что два арифметических счетных множества, из
которых одно является частью другого, равномощны (это
терминология Кантора, а не Галилея).
Три года (с 1871 по 1874 г.) Кантор искал доказательство того,
что мощность множества точек внутри квадрата больше мощности
множества точек на его стороне. Шли годы, а желаемый результат
не достигался. Совершенно неожиданно Кантору удалось
построить взаимно однозначное соответствие между точками внутри квад-
500

рата и точками его стороны, т. е. доказать утверждение,
противоположное тому, на доказательство которого он потратил годы.
Сначала он сам себе не поверил. Полученный результат был настолько
неожиданным и так противоречил интуиции, что своему другу Де-
декинду Кантор написал: «Я вижу это, но не верю этому» [14, с. 32].
Пусть х и у — координаты внутренней точки,
принадлежащей единичному квадрату. Так как х и у не больше единицы,
их можно записать в виде бесконечных десятичных дробей: х =
= 0,а/?7 ■ • А У = 0,£е£... Скомпонуем из координат точки число
z — 0,а<5/Зе7С • • • Поставим в соответствие точке М(х, у) квадрата
точку z отрезка [0; 1]. Ясно, что различным точкам квадрата
соответствуют при этом разные точки отрезка. Таким образом, Кантор
установил взаимно однозначное соответствие между внутренними
точками квадрата и частью точек отрезка (всех точек отрезка мы
не получим). Это показывает, что множество точек квадрата
имеет не ббльшую мощность, чем множество точек отрезка. Но его
мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают.
Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколько
имеет его сторона. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая
хотя бы одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок.
Такие множества Кантор назвал множествами мощности континуума
(от лат. continuum — непрерывный). Мощность континуума Кантор
обозначил буквой с («це» готическая).
Арифметика бесконечных множеств
Понятие мощности бесконечного множества является
обобщением понятия числа элементов конечного множества. Поскольку
над натуральными числами можно производить арифметические
операции — их можно складывать, вычитать, умножать и т. д.,
посмотрим, насколько распространяется аналогия на мощности
бесконечных множеств и как выглядят правила арифметических
действий над ними.
Оказалось, что многие правила сложения бесконечных
мощностей не похожи на обычные правила арифметики. Но это и не
удивительно, ведь свойства бесконечных множеств совсем не похожи
на свойства конечных множеств. Дополнительно к рассмотренным
501

мощностям счетного множества Ко и множества мощности
континуума с введем в рассмотрение мощность множества всех функций,
заданных на действительной оси, которая обозначается буквой /.
Эти мощности связаны следующими равенствами:
п + к0 = Ко;
Ко + ^о = К0;
К0 + с = с;
с + с = с;
с + / = /.
Первое из них означает, что сумма конечного и счетного
множеств является счетным множеством, второе — что сумма двух
счетных множеств есть счетное множество, третье — что
прибавление счетного множества к множеству мощности континуума дает
множество мощности континуума и т. д. Справедливы также
равенства
К0К0 = К0, К0с = с, ее = с.
Первое равенство означает, что сумма счетного множества счетных
множеств является счетным множеством, а последнее — что число
точек на отрезке и в квадрате одно и то же. Ведь с — это число точек
на отрезке, асе — число точек в прямом произведении отрезка на
себя, т. е. число точек в квадрате. Отметим еще, что с = 2 °.
Мы познакомились с двумя типами бесконечных множеств.
Одни из них имеют столько же элементов, сколько и множество
натуральных чисел, а другие — столько же, сколько и множество точек
на прямой (множество действительных чисел). Оказалось, что во
втором множестве больше элементов. Естественно, возникает
вопрос: нет ли промежуточного множества, которое имело бы
элементов больше, чем множество натуральных чисел, и меньше, чем
множество точек на прямой? Этот вопрос получил название
проблемы континуума (континуум-гипотезы).
Среди 23 проблем, которые были сформулированы Гильбертом
на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. для
решения математиками в XX в., проблема континуума шла под
первым номером (см. табл. 4).
502

Кантор был убежден, что в построенной им бесконечной
иерархии алефов, каждый из которых получается при возведении числа 2
в степень, равную предыдущему алефу, представлены все алефы,
какие только могут быть. Алефов, которые занимали бы
промежуточное положение между «ступеньками» иерархии бесконечностей,
по Кантору, просто не существует, как не существует и последнего,
«высшего», алефа.
В 1938 г. Гедель доказал, что предположение об истинности
континуум-гипотезы не противоречит аксиомам теории множеств.
В 1963 г. Пол Джозеф Коэн, 29-летний математик из Станфордского
университета, доказал противоположное утверждение:
предположение о том, что существуют множества промежуточной
мощности также не противоречит аксиомам теории множеств. Гипотеза
Кантора неразрешима, ее можно принять за аксиому, а можно за
аксиому взять ее отрицание.
Надо сказать, что все это нанесло теории множеств
сокрушительный удар. К каким результатам приведет потрясение основ
теории множеств, пока сказать трудно.
Упорядоченные множества
Натуральные числа применяются не только для того, чтобы
ответить на вопрос «сколько?», но и для того, чтобы ответить на
вопрос «какой по порядку?». Хотя множество натуральных чисел
имеет столько же элементов, сколько и множество всех целых чисел,
упорядочены они по-разному. У множества натуральных чисел есть
самый первый элемент, а у множества всех целых чисел первого
элемента нет.
Поэтому, чтобы изучить порядок расположения элементов в
множестве, кардинальных чисел (мощностей) не достаточно,
нужны новые понятия. Сначала введем понятие упорядоченного
множества. Говорят, что множество А упорядочено, если для любой
пары его элементов определено понятие неравенства а < Ь,
обладающее следующими свойствами:
1) если а < Ь, то а ф Ь;
2) если а < b и b < с, то а < с.
503

Легко упорядочить множества всех действительных чисел, всех
рациональных чисел, всех натуральных чисел и т. д. Два
упорядоченных множества, А и В, имеют один и тот же «порядковый тип»,
если между ними можно установить взаимно однозначное
соответствие, сохраняющее порядок элементов. Даже счетное множество
может быть упорядочено различными способами. Ведь счетными
являются и множество всех натуральных чисел, и множество всех
целых чисел, и множество всех рациональных чисел. Упорядочены
же они по-разному.
Чтобы хоть как-нибудь разобраться в этом разнообразии
упорядочений, Кантор выделил особый класс упорядоченных множеств,
некоторые свойства которых весьма напоминали свойства
множества натуральных чисел. Если во множестве натуральных чисел
выбрать любое не пустое подмножество, то среди его элементов
обязательно окажется самый меньший, самый левый. Множества,
обладающие таким свойством, Кантор назвал вполне
упорядоченными. Иными словами, упорядоченное множество А называют
вполне упорядоченным, если любое его не пустое подмножество
имеет первый элемент.
Может случиться так, что при присвоении порядковых номеров
элементам множества окажутся задействованными все
натуральные числа. Тогда новое число, необходимое для нумерации
следующего элемента, называют трансфинитным (от лат. слов trans —
через, finitae — конечный). Принято обозначать трансфинитное
число, сразу идущее за всеми натуральными числами 1, 2, 3, ...,
через и>.
Аксиома выбора
А можно ли вообще упорядочить любое множество, и если
можно, то всегда ли удается из данного множества получить вполне
упорядоченное? Над этой задачей трудились многие математики, так
как из положительного решения следовало бы, что любое
множество можно пронумеровать с помощью трансфинитных чисел.
Неожиданно простое и короткое решение опубликовал в 1904 г.
ученик Гильберта Эрнст Цермело: ему удалось доказать, что
всякое множество можно упорядочить (Кантор предугадал это еще в
504

1883 г.). Однако доказательство Цермело понравилось далеко не
всем математикам. Дело в том, что доказательство опиралось на
утверждение, которое самому Цермело, да и другим математикам,
казалось далеко не очевидным. Это утверждение, названное
впоследствии аксиомой выбора или аксиомой Цермело, формулируется
так: если дано бесконечное множество бесконечных множеств, то
из каждого множества можно выбрать по одному элементу, не
указывая заранее закона выбора.
Долгие годы математики пользовались аксиомой выбора,
считая ее совершенно очевидной. Но когда стали глубже вникать в ее
смысл, она стала казаться все более и более загадочной. Многие
из теорем, доказанных с помощью аксиомы выбора,
противоречили наглядности. Например, Рассел так высказался об этой аксиоме:
«Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в
нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под
конец же перестаешь понимать, что же она означает» [14, с. 102]. Тем
не менее большинство математиков спокойно пользуются в своих
исследованиях аксиомой выбора.
В последнее время удалось доказать, что с аксиомой выбора
дело обстоит так же, как и с континуум-гипотезой, т. е. что эта аксиома
не противоречит остальным аксиомам теории множеств и не
выводима из них. Примером одного из парадоксальных следствий из
аксиомы выбора является такой. Как было доказано в 1914 г., можно
так разбить шар на четыре равные части, что из двух частей можно
составить целый шар того же радиуса, ничего к ним не прибавив,
а только двигая их, как твердые тела. Из двух других частей
можно составить второй такой же шар. Таким образом, из одного шара
получилось два равных ему шара.
Есть и другие странные следствия из аксиомы выбора.
Бесконечные множества обладают и другими необычными свойствами.
По мере изучения этих свойств математикам пришлось все более
оттачивать свои рассуждения, все более подробно анализировать
свои доказательства. В ходе этого процесса совершенствовалось
новое важное направление математики — математическая логика.
В настоящее время теория множеств является одной из основ таких
разделов математики, как функциональный анализ, топология,
общая алгебра и т. д. Ведутся глубокие исследования и в самой теории
множеств. Эти исследования связаны с обоснованием математики.

Глава 30
НОВЫЙ КРИЗИС ОСНОВ МАТЕМАТИКИ
Истин так же много, как листьев в лесу, и
провозглашенная мной истина — лишь горсть листьев.
Будда Гаутама
Основные проблемы
В математике конца XIX в. на передний план выдвинулась
проблема непротиворечивости. Создание неевклидовой геометрии в
значительной мере способствовало осознанию того, что геометрия
является творением человека и лишь приближенно описывает
происходящее в реальном мире. Это описание нельзя считать
истинным потому, что оно не адекватно внутренней структуре
окружающего мира и, следовательно, не обязательно непротиворечиво.
Движение за аксиоматизацию математики в конце XIX в.
заставило математиков понять, сколь глубокая пропасть отделяет
математику от реального мира. Аксиомы выбираются так, чтобы
задаваемые ими свойства находились в согласии с теми, которые мы
интуитивно с ними связываем. Но мы не можем быть уверены в том,
что удалось выбрать аксиомы так, чтобы не привнести некоторое
нежелательное свойство, которое может привести к противоречию.
Канторовская теория бесконечных множеств вызвала бурю
протестов. Несмотря на то что эта теория нашла применение во мно-
506

гих разделах математики, некоторые ученые отказывались
принимать актуальные множества и все, что с ними связано. Кронекер,
испытывавший к тому же личную неприязнь к Кантору, называл
его шарлатаном. Анри Пуанкаре считал теорию множеств тяжелой
болезнью, своего рода математической патологией. «Грядущие
поколения, ■■— заявил он в 1908 г., — будут рассматривать теорию
множеств как болезнь, от которой они излечились» [44, с. 236].
У теории Кантора были не только противники, но и
сторонники. Рассел назвал Кантора одним из великих мыслителей XIX в.
В 1910 г. Рассел писал: «Решение проблем, издавна окутывавших
тайной математическую бесконечность, является, вероятно,
величайшим достижением, которым должен гордиться наш век». Ему
вторил Гильберт: «Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас
Кантором» [84, с. 230].
Немецкий математик Феликс Хаусдорф в «Основаниях
теории множеств» назвал теорию множеств «областью, где ничто не
является очевидным, где истинные утверждения нередко звучат
парадоксально, а правдоподобные зачастую оказываются ложными»
[44, с. 237].
Противоречия, вскрытые Кантором при попытке сопоставить
трансфинитное число множеству всех множеств и множеству всех
ординальных (порядковых) чисел, заставили математиков осознать,
что они используют аналогичные понятия и в старых, казалось бы,
хорошо обоснованных традиционных разделах математики.
На рубеже XIX—XX вв. были обнаружены антиномии,
связанные с основными понятиями теории множеств. Антиномия —
парадоксальная ситуация, когда можно убедительно доказать два
взаимоисключающих суждения. В отличие от софизма, умышленно
ложного умозаключения с замаскированной ошибкой, антиномии
свидетельствуют о глубоких недостатках рассматриваемой теории,
что обычно приводит к ее перестройке. Первооткрывателями
антиномий, относящихся к теории множеств, были Рассел (1902), Ришар
(1905), Греллинг (1908).
Особенно сильное впечатление на математиков произвела
антиномия Бертрана Рассела, которая была открыта также учеником
Гильберта Эрнстом Цермело: если М есть множество всех таких
множеств, каждое из которых не является своим собственным
507

элементом, то М является своим элементом тогда и только
тогда, когда М не является своим элементом.
По мнению Гильберта, эта антиномия вызвала в математике
«эффект полной катастрофы». Признав свое поражение,
перестали заниматься теорией множеств Фреге и Дедекинд, считавшиеся
крупными специалистами в этой области. Открытие этой
антиномии привело к необходимости как-то ограничить канторовскую
теорию множеств. В результате наметились два пути преодоления
трудностей в разработке основ математики, разделившие
математиков на интуиционистов и логицистов.
Многие математики в начале XX в. попросту отмахивались от
антиномий, не придавая им особого значения, так как антиномии
относились к теории множеств — тогда еще новому направлению
математики, лежащему далеко не в центре интересов
математического мира. В дальнейшем большие споры вызвал закон
исключенного третьего. Он гласит, что каждое высказывание является либо
истинным, либо ложным. Но закон исключенного третьего сам
также является высказыванием. Следовательно, вопреки намерениям
сформулировать всегда истинный закон логики, мы имеем
высказывание, которое может быть истинным, но может быть и ложным.
«Такая формулировка логического закона, — заявил Рассел, —
лишена смысла» [44, с. 241]. Были обнаружены, кроме того,
противоречия во многих определениях, например в понятии «наименьшая
верхняя граница».
На фоне непрекращающихся попыток подвести прочный
фундамент здания математики доказательство непротиворечивости
перерастало в острейшую необходимость. Самыми важными были
следующие две проблемы: континуум-гипотеза и аксиома выбора.
На проблему аксиомы выбора (см. гл. 29) первым обратил
внимание в 1904 г. Цермело. Используя эту аксиому, он доказал, что
каждое множество может быть вполне упорядоченным. Выяснилось,
что аксиома выбора неявно использовалась при получении
важнейших результатов. Многие математики выступили против
использования аксиомы выбора. За нее выступали только сам Цермело и
Адамар. По мнению Цермело, аксиома выбора «имеет
исключительно объективный характер, который сразу же ясен» [44, с. 246].
508

Он признал, что она не самоочевидна, но научно необходима,
поскольку используется для доказательства важных теорем. По сути,
споры вокруг аксиомы выбора сводились к проблеме: как следует
понимать существование всего, что анализируется в математике?
Дискуссии по поводу теории множеств Кантора и аксиомы
выбора Цермело свелись к основному вопросу: «В каком смысле
можно утверждать, что математические понятия существуют!»
Некоторые математики начала XX в. (Борель, Бэр, Лебег)
считали чистые доказательства существования бессмысленными. По их
мнению, доказательство существования должно позволять
математикам вычислять существующие величины с любой степенью
точности. Такие доказательства существования получили название
конструктивных.
Еще до начала XX в. было провозглашено и даже разработано
несколько радикально новых подходов к математике. Ключевым
вопросом, на который различные группы математиков давали разные
ответы, был вопрос о том, существует ли математика объективно
вне человека, или же она является плодом его разума. Если
математика существует вне человека, то математики просто открывают
истины, если же она изобретена человеком, то математики
придумывают теоремы. И та и другая точка зрения имела много
сторонников в процессе развития математики. Этим объяснялось разное
отношение к теоремам существования в математике.
Платон утверждал, что математические конструкции не зависят
от опыта и даже предшествуют ему. В существовании
математики он видел доказательство существования бессмертной души. По
Платону, формулировка новой теоремы — это акт воспроизведения
того, что хранилось в памяти. Блез Паскаль был убежден в
истинности математических законов природы. До начала XIX в.
подобных взглядов придерживались практически все математики. Один
из выдающихся французских математиков XX в. Жак Адамар в
книге «Исследование психологии процесса изобретения в области
математики» утверждал: «Хотя истина еще не известна нам, она
предшествует и неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны
следовать» [43, с. 232—233]. Годфри Харди писал в книге
«Апология математики»: «Я убежден в том, что математическая реальность
лежит вне нас, и наша роль заключается в том, чтобы открывать или
509

наблюдать ее, а теоремы, которые мы доказываем и столь пышно
именуем нашими «творениями», в действительности представляют
собой просто записи наших наблюдений» [43, с. 232—233].
Математики, считал Харди, только открывают понятия и их свойства.
От Аристотеля идет другая точка зрения, в соответствии с
которой математика всецело является продуктом человеческой мысли и
математик — изобретатель, а не открыватель. Эту идею развивали
интуиционисты. В XIX в. этой точки зрения придерживались
многие математики. Дедекинд в письме к Веберу писал: «По-моему, то,
что мы понимаем под числом, само по себе есть не класс, а нечто
новое... созданное нашим разумом. Мы божественная раса и
обладаем... способностью творить» [43, с. 233]. Вейерштрасс считал,
что истинный математик всегда поэт.
Другим камнем преткновения стала математическая логика,
бурное развитие и все расширяющиеся границы которой заставили
математиков осознать, что обращение к законам логики не
может оставаться неформальным и осуществляться лишь от случая к
случаю.
Логицизм
Первое из направлений в обосновании математики получило
название «логистическая школа». Основной тезис логицистов
сводился к утверждению, что математика может быть полностью
выведена из логики, так как в законах логики заключены незыблемые
вечные истины. Если законы логики истинны, то истинна и
математика. А поскольку истина не противоречива, математика должна
быть непротиворечивой. Эти идеи идут от Лейбница. Их развивали
Дедекинд, Фреге и Рассел.
Рассел считал, что принципы логики и объекты
математического знания существуют независимо от разума и лишь
воспринимаются разумом. Знание объективно и неизменно. Свою позицию Рассел
ясно изложил в книге «Проблемы философии». В «Принципах
математики» он обобщил свои взгляды в отношении физической
истинности математики. Затем эти идеи были подробно развиты им
совместно с Уайтхедом в трехтомном труде «Основания
математики». Используя введенную ими аксиому сводимости, авторы
сделали попытку построения всей математической науки на фундаменте
510

логики. Математика становилась не более чем естественным
продолжением логических законов и предмета логики. Кроме
аксиомы сводимости использовались аксиома бесконечности и аксиома
выбора.
Логистический подход к математике подвергся резкой критике.
Сильные возражения вызвала аксиома сводимости, которая многим
математикам казалась совершенно произвольной. Ее безоговорочно
отвергал Вейль и критиковал Пуанкаре.
Использование трех спорных аксиом поставило под сомнение
основной тезис логицизма о возможности вывести всю математику
из логики.
Интуиционизм
Еще в то время, когда логицизм переживал период становления,
группа математиков, называвших себя интуиционистами,
предложила совершенно иной подход к математике, диаметрально
противоположный логическому. Они пытались обосновать истинность
собственно математики, ссылаясь непосредственно на
человеческий разум. Выводы из логических принципов интуиционисты
считали менее надежными, чем непосредственно интуитивные
соображения. Открытие антиномий не только укрепило недоверие
к логическим принципам, но и ускорило процесс формулировки
основных представлений интуиционизма.
Истоки интуиционизма можно найти у Декарта и Паскаля.
Многие положения интуиционизма были предвосхищены Кантом.
Феликс Клейн, рассматривая в своих «Лекциях о развитии
математики в XIX столетии» творчество Римана, говорил: «...
математические доказательства, вынуждающие нас своей убедительностью
принять их, замыкают теорию, как замыкает свод его последний,
замковый камень. Конечно, отказавшись от такого характера своих
доказательств, математика подписала бы себе смертный приговор.
Однако то, как ищутся новые задачи, как предчувствуются новые
результаты, как обнаруживаются новые факты и связи, — все это
навсегда остается секретом творческой лаборатории гения. Не
создавая новых концепций, не ставя новых целей, математика со всей
логической строгостью ее доказательств скоро исчерпала бы себя
511

и впала в состояние застоя, полностью израсходовав весь свой
материал. <... > С этой точки зрения максимальное содействие
развитию нашей науки оказывают математики, выделяющиеся не столько
строгостью доказательств, сколько интуицией» [45, с. 300].
Непосредственным предшественником интуиционизма был
Леопольд Кронекер. Широко известно его высказывание: «Господь
Бог создал целые числа; все остальное — дело рук человеческих»
[44, с. 269]. Сложную логическую концепцию целого числа Кантора
и Дедекинда, базирующуюся на теоретико-множественной основе,
Кронекер считал менее надежной, чем непосредственное принятие
целых чисел. По его мнению, целые числа интуитивно понятны и
не нуждаются в более строгом обосновании. Бесконечные
множества и трансфинитные числа он полностью отвергал, так как считал
возможным иметь дело только с потенциальной бесконечностью.
С его точки зрения, все, что сделал в этой области Кантор, было не
математикой, а мистикой.
Пуанкаре по поводу бесконечных множеств утверждал:
«Актуальной бесконечности не существует. То, что мы называем
бесконечностью, представляет собой неограниченную возможность
создания новых объектов независимо от того, сколько объектов уже
существует» [44, с. 271].
Предшественники интуиционизма Кронекер, Борель, Лебег,
Пуанкаре и Бэр высказывали критические замечания по поводу
стандартных математических рассуждений и логического подхода,
но их собственный вклад в развитие интуиционизма был
фрагментарным и случайным. Их идеи вошли в окончательную версию,
разработанную голландским математиком, основоположником
философии интуиционизма Лейтцзеном Эгбертом Яном Брауэром.
К тому времени Брауэр уже внес значительный вклад в
математику. Его работы по теории множеств, по мнению многих, были
самыми глубокими после работ Кантора. Он получил важнейшие
результаты в топологии. Однако он был готов отказаться от большей
части собственных математических достижений ради своих
философских идей. Изложение философии интуиционизма Брауэр
начал в докторской диссертации «Об основаниях математики» (1907).
Обобщенный вариант своих взглядов он изложил в серии статей,
опубликованных, начиная с 1918 г., в различных журналах.
512

Брауэр считал, что вне человеческого разума математика не
существует, следовательно, она не зависит от реального мира. Разум
непосредственно постигает основные, ясные и понятные
интуитивные представления, такие, например, как целые числа.
Математическое мышление представляет собой процесс мысленного
построения собственного мира, не зависящий от опыта и ограниченный
лишь тем, что в основе его должна лежать фундаментальная
математическая интуиция. Интуиция (а не опыт или логика) определяет
правильность и приемлемость новых идей. Он отвергал актуально
бесконечные множества Кантора, все элементы которых были
представлены «в готовом виде», и тем самым отрицал теорию
трансфинитных чисел, аксиому выбора Цермело и те разделы
математического анализа, в которых используются актуально бесконечные
множества.
Брауэр подверг критическому анализу отношение
математиков к языку. Он, в частности, считал, что язык принадлежит миру
восприятий, который противостоит миру интуитивных
математических представлений; математические идеи не зависят от словесного
одеяния, в которое их облекает язык, и в действительности гораздо
глубже; мысли невозможно выразить полностью даже на
математическом языке, в том числе и на языке символов; язык вносит
отклонения от предмета собственно математики.
Еще более решительную позицию, резко контрастирующую с
логицизмом, интуиционизм занимает в отношении логики:
логические принципы — это закономерности, наблюдаемые апостериори в
языке; логика — это наделенное внутренней структурой словесное
построение, и не более того; логика строится на математике, а не
математика на логике, обладающей гораздо меньшей
определенностью, чем наши интуитивные представления, и поэтому математика
не нуждается в поддержке со стороны логики.
С.К. Клини, цитируя интуициониста Гейтинга, писал:
«Согласно Брауэру, математика тождественна с точной частью нашего
мышления... <... > Никакая наука — в частности, ни философия,
ни логика — не может служить предпосылкой для математики.
Было бы порочным кругом применять в качестве средств для
доказательств какие-либо философские или логические принципы,
\ 7 Математика древняя и юная 513

потому что в формулировке таких принципов уже
предполагаются математические понятия. < ... > Для математики не остается
«никакого другого источника, кроме интуиции, которая с
непосредственной ясностью помещает перед нашими глазами
математические понятия и выводы» [5, с. 176].
Не признавая никаких априори обязательных логических
принципов, Брауэр тем самым отвергал математическую задачу вывода
заключений из аксиом. Следовательно, наряду с логицизмом
Брауэр отвергал и аксиоматизацию математики, предпринятую в конце
XIX в. Математика не обязана почтительно относиться к правилам
логики. Знание математики не требует знания формальных
доказательств, и поэтому парадоксы не существенны. Парадоксы
являются дефектом логики, а не математики. Непротиворечивость
возникает как следствие правильных размышлений, а о правильности
размышлений мы судим интуитивно. В логике следует принимать
только ясные, интуитивно приемлемые логические принципы,
поэтому из логики следует выбросить то, что вызывает антиномии,
например закон исключенного третьего.
В течение тысячелетий математики без колебаний принимали,
что для любого утверждения А существуют только две
возможности — либо А, либо не А. Брауэр настаивал на том, что существует
третья возможность — среднее, которое нельзя исключить.
Следствия из закона исключенного третьего можно проверить
интуитивно для конечных множеств и нельзя проверить для
бесконечных множеств. Г. Вейль позже писал: «Принцип исключенного
третьего может быть верным для Господа Бога, как бы
обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность
натуральных чисел, но не для человеческой логики» [44, с. 275]. В работе
1923 г. Брауэр привел примеры теорем, которые нельзя считать
доказанными, если отрицать применение закона исключенного
третьего к бесконечным множествам.
Интуиционисты отказались от неконструктивных
доказательств. По выражению Г. Вейля, неконструктивные доказательства
извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при
этом его местонахождение, т. е. не позволяя это сокровище
использовать. Такие доказательства не могут заменить построение.
Подмена конструктивного доказательства неконструктивным влечет за
514

собой утрату смысла и значения самого понятия «доказательство».
С точки зрения интуиционистов, не приемлемы классическое и
аксиоматическое построения системы действительных чисел,
математический анализ, современная теория функций действительного
переменного, интеграл Лебега и многие другие понятия и теории.
Брауэр и его сторонники не ограничивались критикой и
пытались построить математику на конструктивной основе. Им удалось
спасти некоторые разделы перечисленных выше теорий, но
конструктивные варианты оказались крайне сложными. Они смогли
перестроить на конструктивной основе элементарные разделы
алгебры и геометрии. Перестройка происходила чрезвычайно
медленно. К тому же интуиционисты не сумели прийти к единому мнению
относительно того, на какой основе производить эту перестройку.
Чтобы гарантировать надежность основ математики,
интуиционисты готовы были даже пожертвовать какими-то разделами
классической математики и не считали слишком высокой ценой отказ от
«рая» канторовской теории трансфинитных чисел.
Хотя интуиционисты разных групп расходились во мнениях, им
все же удалось перестроить значительную часть классической
математики. Имея в виду медленный прогресс конструктивистского
направления, математики, принадлежащие к научной школе Бурбаки,
отмечали: «Интуиционистская школа, о которой математики
вспоминают как о своего рода историческом курьезе, во всяком случае
оказала услугу математике тем, что заставила своих противников,
г. е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать
причины (одни — логического порядка, другие — психологического)
их веры в математику» [44, с. 279].
В 1930 г. голландский математик Аренд Гейтинг, наиболее
выдающийся представитель интуиционизма после Брауэра, опубликовал
работу с изложением формальных правил интуиционистской
логики высказываний; это явилось своего рода символическим
выражением намерения наладить отношения с формальными логиками.
Логика высказываний охватывала лишь часть классической
формальной логики.
Несмотря на ограничения, наложенные интуиционистами на
математику, и на критику интуиционистской философии
представителями других направлений, в целом интуиционизм пошел
математике на пользу. На первый план выдвинулся вопрос: «Что означает в
17* 515

математике существование!», впервые серьезно обсуждавшийся в
связи с аксиомой выбора. Неограниченное, наивное использование
закона исключенного третьего явно нуждалось в пересмотре.
Формализм
Последователи двух направлений в обосновании математики —
логицизма и интуиционизма — придерживались диаметрально
противоположных взглядов. Третье направление — формализм —
сформировал и возглавил Давид Гильберт. Суть своего подхода
к основам математики, в том числе и к доказательству ее
непротиворечивости, он изложил в 1904 г. в докладе на III Международном
конгрессе математиков в Гейдельберге.
Главное возражение Гильберта против логицизма сводилось к
тому, что в ходе длительного и сложного развития логики целые
числа оказались вовлеченными в присущую ей систему понятий.
Следовательно, занимаясь построением понятия числа, логика в
действительности ходит по замкнутому кругу. Гильберт разделял
мнение Рассела и Уайтхеда о необходимости включения в
математику бесконечных множеств. Но для этого потребовалась бы
аксиома бесконечности, а Гильберт не считал ее аксиомой логики.
Интуиционизм Гильберт яростно критиковал. В 1922 г. он
обвинил интуиционистов в том, что они «стремятся разрушить и
изуродовать математику» [44, с. 215]. По его мнению, математика могла
бы восстановить первоначальную объективность на основе
формализации утверждений и доказательств, которые, будучи
записанными на языке символической логики, должны были являться
непосредственными объектами изучения. В статье 1927 г. он выразил
протест против интуиционизма следующим образом: «Отнять у
математиков закон исключенного третьего — это то же самое, что
забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользование
кулаками. Запрещение теорем существования и закона
исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической
науки» [24, с. 383].
И логицизм, и интуиционизм Гильберт обвинял в том, что они
не смогли доказать непротиворечивость математики. В 20-х годах
XX в. он сформулировал свой собственный подход к обоснованию
516

математики и до конца жизни работал над ним. Среди работ,
опубликованных им в 20-х — начале 30-х годов, особое место по
богатству идей занимает работа «О бесконечности». В ней Гильберт
ввел свои аксиомы логики. По его замыслу, из выбранных им
аксиом должны были следовать все законы логики Аристотеля. Записав
математические и логические аксиомы в виде символических
формул, Гильберт подготовил все необходимое для ответа на главный
вопрос: что следует понимать под объективным доказательством?
По Гильберту, строгое доказательство складывается из трех этапов:
1) предъявление некоторой формулы;
2) утверждение, что из предъявленной формулы следует другая
формула;
3) предъявление второй формулы [44].
Последовательность этих трех этапов, в которой вторая
предъявленная формула является следствием принятых ранее аксиом
или ранее выведенных заключений, и является доказательством
теоремы.
Математику Гильберт рассматривает как набор формальных
систем, каждая из которых имеет свою логику, обладает своими
собственными понятиями, своими аксиомами, своими правилами
дедуктивного вывода и своими теоремами. Чтобы избежать
парадоксов теории множеств, он предложил усложнить правила
логики, добавив к финитным утверждениям идеальные утверждения.
С этой точки зрения математика станет набором формул двух типов:
первые будут нести осмысленную информацию, вторые ничего не
будут обозначать, кроме того, что они представляют собой
идеальную структуру теории.
Но свободны ли от противоречий выводимые из аксиом
заключения? Предыдущие доказательства непротиворечивости
основных разделов математики проводились в предположении, что
арифметика не противоречива. Гильберт сам показал, что
непротиворечивость евклидовой геометрии сводится к
непротиворечивости арифметики. Это означало, что вопрос о непротиворечивости
арифметики приобрел решающее значение.
В серии работ, выполненных в период 1920—1930 гг., Гильберт
и его ученики Вильгельм Аккерман, Пауль Бернайс и Джон фон
517

Нейман постепенно создали метод, получивший название
метаматематики, — метод доказательства непротиворечивости любой
формальной системы. В метаматематике Гильберт предложил
использовать особую логику, которая не вызывала бы никаких
возражений. Доказательства существования должны были быть
конструктивными. Все спорные моменты — доказательство
существования от противного, трансфинитная индукция, актуально
бесконечные множества, непредикативные определения — старательно
изгонялись.
Выступая с докладом о своей метаматематической программе
на Международном конгрессе математиков в 1928 г., Гильберт с
уверенностью заявил: «Не сомневаюсь, что наш новый подход к
основаниям математики, который можно было бы назвать теорией
доказательства, позволит навсегда покончить со всеми проблемами
обоснования математики» [44, с. 291]. Он выразил надежду, что ему
удастся доказать непротиворечивость математики и решить
проблему полноты. Иначе говоря, все высказывания, имеющие смысл,
будут либо доказаны, либо опровергнуты.
Формалистская программа вызвала критику со стороны
представителей соперничавших направлений. Хотя формалисты
могли ответить далеко не на все критические замечания, с начала
1930-х годов у них появился весомый аргумент, существенно
подкреплявший их позицию. К тому времени Рассел и его коллеги-
логицисты признали, что аксиомы логики не являются
универсальными истинами и поэтому их непротиворечивость отнюдь не
гарантирована автоматически, а интуиционисты могли лишь
утверждать, что надежной гарантией непротиворечивости служит сама
интуиция. Формалисты располагали тщательно продуманной
процедурой доказательства непротиворечивости, которая с успехом
применялась к простым системам; это вселяло в них уверенность,
что им удастся доказать непротиворечивость арифметики, а тем
самым и всей математики.
Теоретико-множественное обоснование математики
Четвертым направлением в обосновании математики является
теоретико-множественное. Его истоки можно проследить в рабо-
518

тах Дедекинда и Кантора. Хотя теория множеств была составной
частью логистического направления в математике, его представители
предпочитали прямой аксиоматический подход к теории множеств.
Аксиоматизацию теории множеств впервые предпринял
Цермело в работе 1908 г. Причину парадоксов он видел в том, что Кантор
не уточнил понятие множества. По мнению Цермело, явно
сформулированные аксиомы могли бы прояснить, что следует
понимать под множеством и какими свойствами оно должно обладать.
Он просто стремился избежать противоречий, не придерживаясь
какой-либо определенной философии. Цермело разработал
систему аксиом (им использовалась также аксиома выбора) и
ограничился лишь свойствами множеств, которые перечислены в аксиомах.
Аксиомы гарантировали существование бесконечных множеств и
выполнимость таких операций, как объединение множеств и
образование подмножеств.
Систему аксиом, предложенную Цермело, усовершенствовал в
1922 г. Абрахам Френкель. Нельзя не заметить одну замечательную
особенность аксиом Цермело — Френкеля: они не допускают к
рассмотрению множество, которое содержит все множества, и тем
самым, возможно, позволяют избежать антиномий. Несмотря на все
критические замечания, аксиоматика Цермело — Френкеля до сих
пор используется некоторыми математиками как надежное
основание для построения всей математики.
К 30-м годам XX в. сложились четыре различных подхода к
обоснованию математики, сторонники которых вели между собой
ожесточенную борьбу. Математик Эрик Темпл Белл писал: «Как
известно большинству математиков по собственному опыту, многое из
того, что одно поколение математиков считает надежным и
удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину
под пристальным взором следующего поколения... Знания, как в
некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам
обоснования математики, по-видимому, не существует... <... > Ясно
одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и
продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений,
хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на
универсальность, общность или неоспоримость» [44, с. 292].
519

Открытия Геделя и Коэна
Состояние основ математики в 30-х годах XX в., как пишет
профессор математики Нью-Йоркского университета Морис Клайн
в книге «Математика. Утрата определенности» [44], было вполне
удовлетворительным. Парадоксы были разрешены, хотя
представители каждого из рассмотренных выше направлений в обосновании
математики решали их по-своему, но проблемы доказательства
непротиворечивости математики и полноты аксиоматических систем
сохранялись, и отношение к этим проблемам было различным.
Последователи теоретико-множественного направления были
убеждены в том, что их подход не приводит к новым
противоречиям, однако доказать это они не могли.
Интуиционисты довольно безразлично относились к проблеме
непротиворечивости. Они полагали, что интуитивные
представления не противоречивы по самой своей природе. Формальное
доказательство, по их мнению, не требовалось и было даже неуместным.
Что касается полноты аксиоматических систем, то они считали, что
человеческая интуиция достаточно сильна, чтобы распознать
истинность или ложность почти любого осмысленного утверждения,
хотя некоторые утверждения могут оказаться неразрешимыми.
Формалисты во главе с Гильбертом продолжали попытки
решить проблему непротиворечивости. В работе «Основания
математики», опубликованной в 1930 г., Гильберт утверждал, что
скоро сможет окончательно решить вопросы обоснования математики,
превратив каждое математическое высказывание в поддающуюся
конкретному показу и строго выводимую формулу. Тем самым он
обещал привести образование понятий и выводы к такому
изложению, при котором они были бы неопровержимы и давали картину
всей науки.
В 1931 г. Гедель опубликовал работу «О формально
неразрешимых утверждениях [оснований математики] и родственных
систем», в которой содержались два поразительных результата.
Первым из них является теорема Геделя о неполноте. Она
утверждает, что если формальная теория, включающая
арифметику целых чисел, не противоречива, то она не полна.
Вторым результатом было утверждение, что
непротиворечивость любой достаточно мощной математической системы,
520

охватывающей арифметику целых чисел, не может выть
установлена средствами самой этой системы на основе
математических принципов, принятых различными школами в основаниях
математики: логицистами, формалистами и представителями
теоретико-множественного направления.
Это означало, что непротиворечивость любой формальной
системы может быть обоснована только средствами более сильными,
чем те, которые формализованы в этой системе. Результат Геделя
послужил поводом для известного высказывания А. Вейля: «Бог
существует, поскольку математика, несомненно, не противоречива, но
существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы
не можем» [44, с. 304].
Оба полученных Геделем результата потрясли математику.
Невозможность доказать непротиворечивость наносила смертельный
удар формалистской философии Гильберта, который не
сомневался в успехе своего намерения в рамках метаматематики доказать
непротиворечивость всей математики. Математика была
вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную
достоверность или значимость своих результатов. Положение осложнялось
невозможностью доказать непротиворечивость.
Теорему Геделя о неполноте до некоторой степени можно
рассматривать как отрицание закона исключенного третьего. Каждое
утверждение мы считаем либо истинным, либо ложным. В
современных основах математики это означает, что рассматриваемое
утверждение доказуемо или не доказуемо с помощью законов
логики и аксиом того раздела математики, к которому относится
интересующее нас утверждение. Гедель же доказал, что некоторые
утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
В известной мере теорема Геделя подкрепляла позиции ин-
туиционистов, хотя те возражали против логических принципов
совсем по другим причинам, и порождала ряд побочных проблем.
Поскольку в любой области математики существуют
утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть, возникает
вопрос: можно ли определить, доказуемо или не доказуемо
любое заданное утверждение? Этот вопрос известен под названием
«проблема разрешимости».
521

Нерешенные проблемы могут оказаться неразрешимыми, но
далеко не всегда это известно заранее. Например, задача о трисекции
угла с помощью циркуля и линейки в течение по крайней мере
нескольких столетий ошибочно считалась разрешимой, но не
решенной. Но трисекция оказалась невозможной.
В 1936 г. американский логик и математик Алонзо Черч,
используя введенное им новое понятие рекурсивной функции, показал, что
в общем случае разрешающая процедура невозможна: если задано
конкретное утверждение, то не всегда можно найти алгоритм,
позволяющий установить, доказуемо оно или опровержимо.
Математики могут напрасно терять время, безуспешно пытаясь доказать то,
что вообще не доказуемо. Например, решая 10-ю проблему
Гильберта (см. табл. 4), советский математик Юрий Матиясевич в 1970 г.
доказал, что не существует алгоритма, позволяющего установить,
удовлетворяют ли какие-либо целые числа соответствующим дио-
фантовым уравнениям или нет.
В работе «Совместимость аксиомы выбора и обобщенной
гипотезы континуума с аксиомами теории множеств» (1940) Гедель
доказал, что если система аксиом Цермело — Френкеля без аксиомы
выбора не противоречива, то добавление аксиомы выбора не
нарушает непротиворечивости, т. е. аксиома выбора в рамках этой
аксиоматики не может быть доказана. Аналогично он установил, что
гипотеза континуума не противоречит системе аксиом Цермело —
Френкеля, даже если эту систему дополнить аксиомой выбора. Это
означает, что гипотезу континуума нельзя опровергнуть. В 1947 г.
Гедель доказал, что гипотеза континуума не зависит от аксиом
Цермело — Френкеля и от аксиомы выбора.
В 1963 г. Коэн доказал, что и аксиома выбора, и гипотеза
континуума не зависят от остальных аксиом Цермело — Френкеля, если
те не противоречивы. Таким образом, в системе аксиом Цермело
— Френкеля аксиома выбора и гипотеза континуума
неразрешимы. Что касается гипотезы континуума, то результат Коэна
свидетельствует о том, что может существовать трансфинитное число,
заключенное между &о и 2N°, хотя оно не соответствует ни
одному известному множеству. Это означает, что существует не одна,
а много математик. С появлением коэновских доказательств
независимости математика оказалась в еще более затруднительном поло-
522

жении, чем это было при создании неевклидовой геометрии.
Появилась проблема выбора: какому из многочисленных вариантов двух
аксиом (аксиомы выбора и гипотезы континуума) следует отдать
предпочтение? Даже если ограничиться теоретико-множественным
подходом к обоснованию математики, число возможных вариантов
оказывается ошеломляюще большим. Остановить свой выбор на
одном из многих вариантов нелегко, так как в любом случае
принятие определенной редакции аксиом имеет свои и положительные, и
отрицательные стороны.
Отказ от аксиомы выбора заставляет сомневаться в истинности
многих полученных ранее результатов. Принятие аксиомы выбора
позволяет доказывать теоремы, противоречащие интуиции. Одна из
таких теорем известна под названием парадокса Банаха — Тарско-
го. В соответствии с этим парадоксом, разрезав земной шар на
мелкие кусочки и сложив их в другом порядке, мы можем получить
футбольный мяч. В отличие от парадоксов, с которыми
столкнулась теория множеств в начале XX в., парадокс Банаха — Тарско-
го в действительности не является противоречием. Это логическое
следствие из аксиом теории множеств и аксиомы выбора.
Многие математики были настроены пессимистично. Г. Вейль
сказал в 1944 г.: «Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остается
открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли
вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-
нибудь получен и признан всеми математиками» [44, с. 16].
Бурбаки
Некоторые математики думают, что расхождения во мнениях
относительно того, что следует считать настоящей математикой,
когда-нибудь будут преодолены. Особое место среди тех, кто так
считает, занимает группа ведущих французских математиков,
пишущих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки: «С
древнейших времен критические пересмотры оснований всей
математики в целом или любого из ее разделов почти неизменно сменялись
периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые
523

приходилось решать... <... > Но вот уже двадцать пять веков
математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в
этом обогащение, а не обеднение науки; это дает им право смотреть
в будущее спокойно» [9, с. 30].
Группа Бурбаки образовалась в 1937 г. из бывших питомцев
Высшей Нормальной школы в Париже. Численность и полный
состав группы не разглашаются. С 1939 г. они выступают с попыткой
осуществить идею, исходящую от Гильберта, — обозреть
различные математические теории с позиций формального
аксиоматического метода. В многотомном (и далеком от завершения) трактате
Бурбаки «Элементы математики», выходящем с 1939 г.,
развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу
авторов, должна охватить если не все, то главнейшие разделы
математики как «частные аспекты общей концепции». Изложение носит
сугубо абстрактный и формализованный характер, дается лишь
логический каркас теорий. Основу изложения составляют так
называемые структуры, определяемые посредством аксиом, например
структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ
рассуждения — от общего к частному. Классификация
математики, производимая по типам структур, значительно отличается от
традиционной. Работает «семинар Бурбаки», на котором помимо
подготовки трактата заслушиваются доклады ученых из разных
стран.
Конструктивная математика
Конструктивной математикой стало называться течение в
обосновании математики, сформировавшееся в СССР к 50-м годам
XX в. под руководством Андрея Андреевича Маркова-младшего.
Развивая основные идеи интуиционизма, это направление
заимствовало ряд положений формализма. Основные черты
конструктивной математики таковы:
— предметом изучения являются конструктивные процессы,
развертывание которых приводит к образованию математических
объектов, допускающих точную характеристику;
— конструктивные процессы и объекты рассматриваются в
рамках абстракции потенциальной осуществимости с полным
исключением идеи актуальной бесконечности;
524

— интуитивное понятие эффективности связывается с точным
понятием алгоритма;
— используется специальная, учитывающая специфику
конструктивных процессов и объектов конструктивная логика [65].
Характерной чертой конструктивных процессов является
протекающее по отдельным шагам оперирование в рамках некоторых
четко указанных правил с элементарными, заведомо
отличающимися друг от друга объектами, считающимися неразложимыми в
ходе этих процессов. Возникающие в результате новые объекты,
составленные из исходных элементарных объектов, и считаются
конструктивными объектами. Конструктивная математика не
имеет необходимости углубляться в общее понятие конструктивного
процесса и объекта, поскольку для ее нужд оказывается вполне
достаточным один специальный вид конструктивных объектов —
слова в том или ином алфавите.
Первоначальные математические структуры — натуральные,
целые и рациональные числа — непосредственно могут
трактоваться как слова некоторых простых типов в фиксированном
алфавите. Введение более сложных структур — действительных чисел,
функций над ними и т. д. — осуществляется в конструктивной
математике на основе понятия алгоритма, играющего в ней примерно
такую же роль, какую играет в традиционной математике понятие
функции. Фактически наибольшее применение в конструктивной
математике получили нормальные алгорифмы Маркова. К
необходимости уточнения понятия алгоритма приводит также и
конструктивная трактовка существования в математике [65].
Конструктивная логика отличается от классической логики
отсутствием законов исключенного третьего и двойного отрицания.
На основе изложенных принципов и современной теории
алгоритмов конструктивную математику подразделяют на ряд
математических дисциплин, в том числе конструктивную топологию,
конструктивную теорию вероятностей, конструктивный
математический анализ, включая дифференциальные уравнения, теорию
функций комплексного переменного и т. д.
Конструктивная математика заимствовала у интуиционизма ряд
конструкций и идей. Конструктивное направление математики в
525

этом смысле можно рассматривать как разновидность
интуиционизма, для которого характерно исследование конструктивных
объектов и конструктивных процессов алгоритмическими методами.
Вместе с тем имеются и принципиальные отличия
общефилософского и конкретно математического характера. В интуиционизме
имеет место идеалистическая трактовка интуиции, а в
конструктивной математике интуиция рассматривается с материалистических
позиций. Конструктивная математика не разделяет свойственного
интуиционизму убеждения в первоначальном характере
математической интуиции, считая, что интуиция формируется под
влиянием практической деятельности человека. Интуиционистская
математика в то же время не принимает правила конструктивного
подбора — сформулированного А.А. Марковым-младшим логико-
философского принципа. Этот принцип является частным случаем
общего закона снятия двойного отрицания и закона
исключенного третьего. Он утверждает, что если конструктивный процесс,
заданный некоторым предписанием, не является неограниченно
продолжаемым, то он заканчивается [65].

Глава 31
ТОПОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ
В соединении с алгеброй топология составляет
общую основу математики и содействует ее единству.
А.В. Архангельский
Топология — сравнительно молодой раздел математики,
возникший примерно 120 лет тому назад. Проникновение в «мир
топологии» требует глубокого знания геометрии, алгебры,
математического анализа и других разделов математики. Образную оценку
топологии дал известный французский математик Андре Вейль,
по словам которого, за душу каждого математика борются ангел
топологии и дьявол абстрактной алгебры. Этой метафорой он
выразил, во-первых, необычайное изящество и красоту топологии,
во-вторых, то, что вся современная математика представляет собой
причудливое переплетение идей топологии и алгебры. Сам термин
«топология» придумал профессор Геттингенского университета
Иоганн Бенедикт Листинг.
В истоках каждого раздела математики заложена основная идея,
определяющая его сущность. Для топологии это идея
непрерывности. Она встречается уже в математическом анализе, но не получает
в нем заметного развития. Идея непрерывности выражает коренные
свойства пространства и времени и имеет фундаментальное
значение для познания.
527

Объектом исследования топологии являются топологические
пространства. Это любые множества точек, в которых задано
отношение близости между точками и некоторыми подмножествами,
удовлетворяющими определенным аксиомам. Иногда вместо
термина «топологическое пространство» используют термин
«фигура». Кроме элементарных геометрических фигур топологическими
свойствами обладают многие чисто математические объекты, и
именно это определяет значимость топологии.
Топологическими свойствами (или топологическими
инвариантами) считают те свойства фигур, которые не изменяются при го-
меоморфных отображениях (гомеоморфизмах), т. е. отображениях,
которые взаимно однозначны и взаимно непрерывны.
Наглядно гомеоморфизм можно представить себе как такое
отображение одного множества на другое, которое происходит и без
разрывов, и без склеиваний. Например, будем считать, что фигуры
А и В «изготовлены» из очень прочного и эластичного материала,
и будем допускать возможность любых растяжений и искривлений
этого материала без разрывов и без образования складок и склеек;
если мы сможем при этих условиях «наложить» фигуру А на фигуру
В, то, значит, они гомеоморфны. Так, контур любого
многоугольника гомеоморфен окружности.
Другой пример: изображенные в виде линий буквы русского
алфавита Г, Л, М, П, С гомеоморфны между собой. Буквы Е, У, Т,
Ч, Ш, Ц, Э также гомеоморфны между собой, но не гомеоморфны
указанным ранее буквам. Буква О не гомеоморфна никакой другой
букве русского алфавита [7, с. 12].
Поверхности шара, куба, цилиндра гомеоморфны между собой.
Однако они не гомеоморфны тору, который можно наглядно
представить себе как поверхность баранки или автомобильной камеры.
Термин «гомеоморфизм» был введен А. Пуанкаре в 1895 г.
В начале XX в. началось интенсивное изучение гомеоморфизмов.
Эта задача была поставлена Д. Гильбертом в пятой проблеме (см.
табл. 4). Особое значение имело установление Л. Брауэром
негомеоморфности Rn и Rm при пф т. Этим была восстановлена вера
математиков в геометрическую интуицию, поколебленная
результатами Кантора о равномощности Rn и Rm.
528

Многие свойства фигур, изучаемых в элементарной геометрии,
сознательно игнорируются топологией. Можно сказать, что
топологи руководствуются принципом, сформулированным поэтом
Александром Блоком: «Сотри случайные черты, и ты увидишь — мир
прекрасен». Любую фигуру тополог имеет право сгибать,
скручивать, сжимать и растягивать — делать с ней что угодно, только не
разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что
ничего не произошло, — все ее свойства остались неизменными. Для
него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни
площади. Игнорирует он и прямолинейность, и гладкость. Его
интересуют только самые общие свойства фигур, которые не изменяются
ни при каких преобразованиях. Это дает право называть топологию
«резиновой геометрией». Топологу ничего не стоит поместить все
свои фигуры на поверхность надувного шара и без конца менять его
форму, следя за тем, чтобы шар не лопнул. То, что при этом прямые
линии будут превращаться в кривые, топологу безразлично.
Существенной чертой этой «резиновой геометрии» является
необычайная широта класса геометрических объектов, попадающих в сферу
деятельности ее законов [7].
Первые важные наблюдения и точные топологические
соотношения были найдены еще Эйлером, Гауссом и Риманом.
Существуют расхождения в трактовке первичного, основополагающего
вклада математиков в топологию. По мнению группы французских
математиков, выступающих под общим псевдонимом Никола Бур-
баки, топология началась с Римана. Он первым попытался выделить
понятие топологического пространства, выдвинул идею
самостоятельной теории этих пространств, определил инварианты (числа
Бетти, подробнее о них см. далее) и дал им первые применения в
анализе (периоды абелевых интегралов). Риман составил
программу исследований, которая и является программой современной
топологии, и сделал первые шаги в ее реализации. Он определил
числа Бетти сначала для поверхности, а затем для многообразия
любого числа измерений и применил их к теории интегралов.
Результатом было появление алгебраической топологии.
По мнению советских топологов школы СП. Новикова,
настоящая топология началась с Анри Пуанкаре. Им создана так
называемая комбинаторная топология, являющаяся самостоятельным
разделом математики. Пуанкаре назвал ее Analysis situs, что дословно
529

означает анализ положения. Ему топология виделась в будущем как
геометрия относительных положений, качественная геометрия. До
1904 г. он написал пять дополнений к работе Analysis situs.
В обзоре за 1897 г. Пуанкаре исследовал поля
действительных чисел и доказал теорему, до сих пор называемую
«теоремой 90». Развитие идей, заключающихся в этой теореме,
способствовало возникновению гомологической алгебры, играющей
важную роль в алгебраической геометрии и топологии. В целом
гомологическая алгебра явилась следствием теории гомологии,
вышедшей из рамок топологии и получившей приложения также в
теории банаховых алгебр и других разделах математики.
Топология делится на комбинаторную топологию (раздел
геометрии) и общую, или теоретико-множественную. Термин
«комбинаторная» в настоящее время практически не используется.
Топология без этого термина — это топология, рожденная Пуанкаре.
Долгое время топологию воспринимали как науку, далекую
от жизни, признанную лишь прославлять «человеческий разум».
В конце XX в. выяснилось, что она имеет самое непосредственное
отношение к физической реальности, к объяснению устройства
мироздания, может быть использована во многих областях
практической деятельности человека.
Комбинаторная топология.
Лист Мебиуса и бутылка Клейна
Комбинаторная топология началась с рассмотрения необычной
поверхности, позже названной листом Мебиуса. Эта поверхность
впервые описана в 1862—1865 гг. в работах немецких математиков
Мебиуса и Листинга. Она получается следующим образом. Ленту
прямоугольной формы один раз перекручивают и затем ее концы
склеивают.
Лист Мебиуса имеет лишь одну сторону (рис. 29). В каждой
точке этой поверхности можно провести два противоположных
вектора, перпендикулярных к ней. Эти векторы называют нормалями.
Выберем одну из нормалей в точке а и начнем перемещать
точку а по поверхности вместе с нормалью. Когда точка а обойдет всю
530

ленту, меняющаяся нормаль перейдет не в свое первоначальное
положение, а в противоположное. Поверхности, обладающие такими
свойствами, называют односторонними.
Рис. 29. Лист Мебиуса
Если в первые десятилетия после открытия лист Мебиуса был
просто экзотической поверхностью, полюбившейся математикам,
то в XX в. он нашел свое практическое применение.
Зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит односторонняя
поверхность. В 1923 г. американец Ли де Форест (автор трехэлек-
тродной лампы — триода) предложил записывать звук на киноленте
без перемены катушек, сразу с двух сторон. После появления
магнитофона нашлись умельцы, придумавшие особые кассеты, где
магнитофонная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Время
непрерывного звучания увеличилось вдвое.
В 1963 г. патентное ведомство США выдало патент на
самоочищающийся фильтр, который представляет собой все тот же лист
Мебиуса. Фильтр беспрерывно освобождается от впитавшейся в него
грязи, при этом активно функционируют обе его стороны. В том же
году физик из корпорации «Сандиа» в Альбукерке (США) изобрел
электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью
(мечта радиотехников и физиков!). В этом изобретении
используется односторонняя поверхность, как и в бесконечных шлифовальных
лентах. Можно привести много других примеров практического
использования листа Мебиуса. У входа в Музей истории и техники в
Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, за-
531

крученная на полвитка. Это своеобразный памятник немецкому
математику и астроному Августу Фердинанду Мебиусу, профессору
Лейпцигского университета [57].
Существует множество поверхностей, которые являются
замкнутыми, как сфера и тор, и односторонними, как лист Мебиуса.
Самой простой и наглядной из них является так называемая бутылка
Клейна (рис. 30), которую придумал в 1882 г. Феликс Клейн. В
отличие от обычной бутылки она не имеет края, а ее поверхность нельзя
разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая
кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется
внутренней, как переходят друг в друга на первый взгляд различные
стороны листа Мебиуса.
Рис. 30. Бутылка Клейна
Бутылка Клейна не единственная достаточно простая
односторонняя поверхность без края. Поверхность, которую называют
проективной плоскостью (такое название поверхности связано с тем,
что топологически она эквивалентна плоскости, изучаемой в
проективной геометрии), обладает рядом свойств, присущих бутылке
Клейна.
При анализе геометрических фигур тополог интересуется
инвариантами — топологическими свойствами поверхностей:
ориентированностью (то, чего нет у листа Мебиуса, являющегося
односторонней поверхностью) и непрерывностью. (На листе Мебиуса
532

любая точка может быть соединена с любой другой точкой.
Муравью, ползущему по поверхности, не придется переползать через
край ленты. Разрывов нет — непрерывность полная.)
Более интересно еще одно топологическое свойство —
связность. Если квадрат разрезать бритвой от стороны к стороне, то
он, естественно, распадется на два отдельных куска. Но вот чтобы
рассечь на две части кольцо, нужно сделать уже два разреза. А
телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой
кривой до другой, и он все равно останется единым целым.
Характеризуя это свойство, тополог скажет, что квадрат односвязен,
кольцо и оправа от очков — двусвязны, а диски с отверстиями и
подобные сложные фигуры — многосвязны. Лист Мебиуса
является двусвязным, так как, будучи разрезан вдоль, он превращается
не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить
перед склеиванием ленту на два оборота, то лист становится од-
носвязным. Если сделать перед склеиванием три оборота, то лента
завяжется в узел и лист останется односвязным.
Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в
честь известного итальянского математика и физика Энрико Бетти.
Оно равно числу разрезов, которые можно провести на поверхности
так, чтобы она не распалась на два отдельных куска. Если
поверхность имеет края, то каждый разрез должен быть
«трансконтинентальным», т. е. идти от одной точки какого-то края до другой точки
края. Если поверхность замкнутая, т. е. не имеет края, то каждый
разрез должен иметь форму какой-нибудь замкнутой кривой (такой
разрез называют замкнутым). Для квадратного листа бумаги число
Бетти равно нулю.
Топологические инварианты некоторых поверхностей
представлены в табл. 5.
Еще одним топологическим свойством поверхности является
хроматическое число. Оно равно максимальному числу областей,
которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из
них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую
область выкрасить по-разному, то любой цвет должен
соседствовать с любым другим цветом. На листе бумаги, на сфере и на
цилиндре можно расположить не более четырех цветных пятен любой
533

Таблица 5
Топологические инварианты некоторых поверхностей
Поверхность
Квадрат (или круг)
Трубка
Сфера
Лист Мебиуса
Бутылка Клейна
Тор
Проективная плоскость
Число
сторон
2
2
2
1
1
2
1
краев
1
2
0
1
0
0
0
Бетти
0
1
0
1
2
2
1
формы, чтобы они имели общую границу. Это значит, что
хроматическое число этих поверхностей равно четырем. А на торе число
соседствующих цветов равняется семи. Хроматическое число листа
Мебиуса равно шести.
Если любая карта на поверхности Q допускает раскраску в п
цветов, но существует карта, для раскраски которой нельзя
обойтись меньшим числом цветов, то п называется хроматическим
числом поверхности Q, которое обозначают через col(Q). Для
произвольной замкнутой поверхности Q, отличной от поверхности
бутылки Клейна, хроматическое число определяется формулой Хи-
вуда:
col(Q)
7+^/49-24X(Q)
где квадратные скобки обозначают целую часть действительного
числа; x(Q) — эйлерова характеристика поверхности. Для бутылки
Клейна хроматическое число равно шести.
Топологических свойств известно большое множество, и их
число растет с развитием топологии. Если на первом этапе большее
внимание уделялось числовым инвариантам, то с развитием теории
большее значение приобрели топологические инварианты,
являющиеся группами и другими алгебраическими структурами.
534

Общая топология
У истоков общей (или теоретико-множественной) топологии
стоял Г. Кантор. Общая топология примыкает к теории множеств
и является одним из фундаментальных разделов математики. Это
аксиоматическая теория, призванная исследовать такие
основополагающие понятия, как предел, сходимость, непрерывность. Общая
топология является, по существу, естественным обобщением ряда
более частных математических фактов, относящихся, например, к
области математического анализа.
Аксиоматически определяемыми объектами изучения общей
топологии являются пространства и их непрерывные отображения.
В математике пространство понимают как некоторое абстрактное
множество произвольных объектов, для которых задана
определенная операция, осуществляющая известное отношение между
элементами пространства. Базой для построения теории того или
иного абстрактного пространства являются общематематическое
понятие множества и установленные структурные соотношения
между этими объектами.
Под топологическим пространством подразумевают множество
объектов произвольной природы, называемых точками, в котором
выделена некоторая система подмножеств, называемых открытыми
множествами пространства.
Общепринятое в настоящее время понятие топологического
пространства возникло не сразу. Первые достаточно общие
определения топологического пространства даны в работах Фреше,
Рисса и Хаусдорфа. Окончательное определение
топологического пространства было сформулировано польским математиком
К. Куратовским и советским математиком П.С. Александровым.
Основы теоретико-множественной топологии были
заложены французским математиком Морисом Рене Фреше, немецким
математиком Феликсом Хаусдорфом и советскими математиками
Павлом Самуиловичем Урысоном и Павлом Сергеевичем
Александровым.
Уяснение топологической природы числа измерений евклидова
пространства явилось одним из важнейших событий во всей
математике начала XX в. На протяжении долгого времени не удавалось
535

доказать, что евклидовы пространства разной размерности не го-
меоморфны между собой. Решение задачи стало возможным лишь
после того, как было дано топологически инвариантное
определение числа измерений. Две независимые идеи топологического
определения размерности высказали почти одновременно Лебег в
1911 г. и Пуанкаре в 1912 г. В 1913г. родоначальник интуиционизма
Брауэр, основываясь на идее Пуанкаре, дал строгое топологически
инвариантное определение размерности, а также доказал, что для
евклидовых пространств эта размерность совпадает с обычной.
Заслуга окончательного построения теории размерности
принадлежит П.С. Урысону. В 1921—1922 гг. Урысон дал
усовершенствованное определение размерности Брауэра и доказал теоремы, которые,
как теперь принято считать, определяют основное содержание
теории размерности.
О том, как Урысон решал задачу о топологическом
определении линии и поверхности, поставленную перед ним Д.Ф. Егоровым,
вспоминал П.С. Александров [22]. В то время понятие
топологического пространства уже существовало. Оно наметилось в работах
М. Фреше (1906) и Ф. Хаусдорфа (1914). Но эту общую
абстрактную схему нужно было наполнить геометрическим содержанием и
сделать общим достоянием всех математиков. После двух месяцев
напряженных размышлений Урысон «проснулся с готовым
окончательным и всем теперь хорошо известным индуктивным
определением размерности. Произошло это в деревне Бурково, вблизи
Болшева, на берегу реки Клязьмы... <... > В то же утро, во время
купания в Клязьме, Урысон рассказал мне [П.С. Александрову. — В.П.]
свое определение размерности и тут же, во время этого разговора,
затянувшегося на несколько часов, набросал план всего построения
теории размерности с целым рядом теорем, бывших тогда
гипотезами, за которые неизвестно было как взяться и которые затем
доказывались одна за другой в течение последующих месяцев» [22, с. 5].
П.С. Александров и П.С. Урысон начали с построения теории
счетно-компактных пространств, которая после трагической
смерти П.С. Урысона (он утонул в Бискайском заливе в возрасте 26
лет) была развита П.С. Александровым в теорию бикомпактных и
локально-бикомпактных пространств.
536

В 1925 г. П.С. Александровым была дана окончательная, в
настоящее время общепринятая форма аксиоматики топологического
пространства. Созданная им в 1928—1930 гг. гомологическая
теория размерности представляет собой одно из наиболее
значительных открытий в топологии.
Важные результаты, имеющие большое значение для общей
топологии, были получены в 20-х годах XX в. студентом
Московского университета Андреем Николаевичем Тихоновым, ставшим
впоследствии академиком, деканом факультета вычислительной
математики и кибернетики Московского университета и
директором Института прикладной математики им. М.В. Келдыша. На
четвертом курсе он пришел к определению топологического
произведения топологических пространств, или, как теперь его
принято называть, тихоновского произведения. Результат был
неожиданным, и даже научный руководитель Тихонова, глава советской
топологической школы П.С. Александров, отнесся к нему с
недоверием. Вначале результат был опубликован в 1925 г. в немецком
журнале Mathematische Annalen. В дипломной работе Тихонов
доказал теорему о том, что тихоновское произведение любого числа
бикомпактных пространств бикомпактно. Бикомпактным
пространством называют топологическое пространство, в каждом открытом
покрытии которого содержится конечное подпокрытие того же
пространства. Теорема Тихонова оказалась важной не только для
топологии, но и для некоторых разделов функционального анализа,
а также для динамического программирования. Среди
топологических теорем она занимает первое место по числу ссылок на нее
в мировой общематематической литературе. Дж. Келли, автор
известного учебника по общей топологии, писал, что весьма
правдоподобно, что это вообще самая важная теорема общей топологии.
Большой вклад в исследование топологических проективных
геометрий внес А.Н. Колмогоров, опубликовавший свои
результаты в 1932 г. Одним из применений построенной
гомологической теории явилась теория двойственности, восходящая к
Дж. Александеру и получившая дальнейшее развитие после
открытия А.Н. Колмогоровым и Дж. Александером когомологических
групп.
537

Полное описание связных локально-компактных тел было
выполнено в 1932 г. Л.С. Понтрягиным. Он нашел и доказал закон
двойственности для компактов, лежащих в евклидовом
пространстве, а затем создал теорию двойственности
локально-бикомпактных групп.
В 1933 г. была опубликована первая работа Ивана
Георгиевича Петровского в области алгебраической геометрии — «Вопросы
о топологической природе алгебраических кривых и поверхностей
в действительной области». Результаты его дальнейших
исследований в этой области публиковались в 1938 и 1949 гг.
С самого начала возникновения топологии как отдельной
математической науки стало очевидным, что для решения важнейших
ее задач и широкого и глубокого ее применения в других разделах
математики целесообразно и даже необходимо использование
алгебраических методов. Прогресс в основных областях
топологического исследования был достигнут именно благодаря применению
алгебры.
Алгебраическая топология изучает математические объекты и
их отображения друг в друга, которые не меняются при
деформациях (гомотопиях). Классами таких объектов являются комплексы
(многогранники, полиэдры), многообразия, расслоения и их
сечения. Важнейшим понятием алгебраической топологии является
понятие деформации. Часть алгебраической топологии,
рассматривающая связь между топологическими и алгебраическими
понятиями, называют теорией гомологии.
В то время, когда советские математики заинтересовались
алгебраической топологией, а именно теорией гомологии, в работах
Пуанкаре, Брауэра, Веблена, Александера и других ученых уже были
разработаны основы комбинаторной топологии полиэдров и одним
из наиболее актуальных и трудных вопросов был вопрос о
перенесении этих результатов на более широкий класс пространств.
Московские топологи, принадлежащие к школе Д.Ф. Егорова и
Н.Н. Лузина, во главе с П.С. Александровым успешно справились
с этой задачей. Одним из фундаментальных методов исследования
топологических пространств является предложенный П.С.
Александровым метод аппроксимации пространств полиэдрами. Этот
538

метод тесно связан с методом покрытий. Связь осуществляется
посредством введенного П.С. Александровым в 1926 г. понятия нерва
покрытия.
Наиболее общие исследования в гомотопической топологии
были проведены Л.А. Люстерником и Л.Г. Шнирельманом. Они
были суммированы в работе «Топологические методы в
вариационном исчислении» (1930).
В ряде фундаментальных работ П.С. Александровым
созданы основы гомологической теории общих топологических
пространств и общий метод перенесения на теоретико-множественные
объекты методов комбинаторной топологии. К середине 30-годов
XX в. оказались связанными в единое целое до того совершенно
различные ветви топологии — комбинаторно-алгебраическая,
восходящая к Пуанкаре, и теоретико-множественная, ведущая свое
начало от Фреше и Хаусдорфа. Отражением этого синтеза двух
основных ветвей топологии служит написанная осенью 1935 г.
П.С. Александровым совместно с X. Хопфом «Топология I», по
которой учились все современные топологи. Эта книга должна
была стать первой частью трехтомной монографии, которая осталась
незавершенной в связи с началом Великой Отечественной войны.
С середины 30-х и до конца 40-х годов одно из центральных
мест в топологии заняли работы Л.С. Понтрягина и его школы. Ими
был заложен фундамент дифференциальной топологии, которая
выделилась в самостоятельную ветвь в 1956 г. В 1939 г. в
Московском университете был создан отдел топологии. Его
руководителем стал Л.С. Понтрягин, интересы которого в то время лежали в
области дифференциальной топологии. Ведущий сотрудник
отдела П.С. Александров интересовался общей алгебраической
топологией, тогда называвшейся комбинаторной топологией. После
войны в отдел перешла Людмила Всеволодовна Келдыш,
занимавшаяся геометрической топологией. В 50-х годах интересы Понтрягина
сместились в область дифференциальных уравнений, и в 1959 г. он
был назначен заведующим отделом дифференциальных уравнений,
а заведующим отделом топологии стал П.С. Александров.
Одним из самых старых направлений алгебраической
топологии является теория узлов. В предисловии к книге Р. Кроуэлла и
539

Р. Фокса «Введение в теорию узлов» сказано, что, хотя теорией
узлов многие математики занимаются уже почти 90 лет, полученные
в ней результаты довольно скромны и многие основные проблемы
все еще ждут своего решения. Особенно парадоксально то, что в
теории узлов проблемы многомерной топологии зачастую
решаются гораздо легче, чем аналогичные им проблемы в обычном
трехмерном пространстве. Сами авторы начинают книгу такими
словами: «Теория узлов представляет собой часть геометрии,
привлекательную тем, что изучаемые в ней объекты можно воспринимать и ;
осмысливать в обычном физическом мире. Она — место стыка
таких разных разделов математики, как теория групп, теория матриц, ;
теория чисел, алгебраическая и дифференциальная геометрия (мы ']
называем лишь наиболее важные разделы). Ее истоки лежат в мате- !
матической теории электричества и элементарной атомной физике,
а недавно наметилась возможность ее новых приложений в
некоторых областях химии» [57, с. 123]. Молекулы ряда полимеров
могут образовывать переплетающиеся между собой кольца. В разных
странах ученые работают над тем, чтобы создать искусственным
путем заузленные молекулы. Недавно открыт факт, что в клетках,
пораженных раком, резко повышено содержание катенановых —
«скольцованных» — молекул ДНК. Встречаются в живой ткани и
иные топологические диковинки.
Раздел алгебры, занимающийся изучением топологических
алгебраических систем, т. е. групп, полугрупп, колец, решеток,
векторных пространств, модулей, в которых рассматриваемые
алгебраические операции непрерывны, называют топологической
алгеброй. Понятие топологической группы возникло в связи с
рассмотрением групп непрерывных преобразований во второй
половине XIX в. в работах С. Ли и его школы. Была создана развитая
школа групп дифференцируемых преобразований многообразий в
себя, получивших впоследствии название групп Ли.
Топологические группы, кольца и поля систематически начали изучать в 30-х
годах XX в.
В 1920-х годах Гильберт писал: «В истории геометрии как
науки топологические проблемы, естественно, появляются еще позже,
чем проективные, именно лишь в XVIII в. Впоследствии оказалось,
540

что топологические предложения, несмотря на кажущуюся их
неопределенность, связаны как раз с наиболее точными абстрактными
математическими предложениями о величинах, именно с алгеброй,
с теорией функций комплексного переменного и с теорией групп.
В настоящее время топологические исследования являются
наиболее плодотворными по сравнению с исследованиями во всех
отделах математики» [25, с. 288].
И все же до конца 1950-х годов даже математики, не
занимающиеся топологией, рассматривали ее как красивую, но бесполезную
игрушку.
В 60-х годах был обнаружен ряд интересных топологических
закономерностей в других разделах математики: в теории функций и
комплексном анализе, в качественной теории динамических систем
и уравнений с частными производными, в теории операторов и даже
в алгебре. Колмогоров писал: «Теория дифференциальных
уравнений послужила отправным пунктом исследований топологий
многообразий. Здесь получили свое начало комбинаторные,
гомологические и гомотопические методы алгебраической топологии.
Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и
функционального анализа и привело к систематическому
построению теории общих топологических пространств» [65, т. 3, с. 563].
С начала 70-х годов началось интенсивное проникновение
методов топологии в математический аппарат современной физики.
В конце XX в. в нескольких довольно далеких друг от друга
разделах физики возник ряд задач, получивших свою адекватную
формулировку и решение на языке топологии. Теперь не вызывает
сомнений важность топологических методов для теории поля и общей
теории относительности, физики анизотропных сплошных сред и
низких температур, современной квантовой теории и т. д.
Примером может служить биофизика полимеров, имеющая
дело с гигантскими молекулами белков и нуклеиновых кислот.
Рассматривая положения, которые молекула может занимать в
пространстве, мы сталкиваемся с ограничениями топологической
природы. С математической точки зрения длинная замкнутая молекула
представляет собой замкнутую линию, образующую узлы. В теории
поля фигурируют частицы, математически описываемые
векторными полями с топологическими особенностями. Топологические
541

методы используют при изучении обычных и жидких кристаллов
всех типов, ферро- и антиферромагнетиков, сегнетоэлектриков,
сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей.
В 1983 г. в Московском университете на базе отделов
топологии и геометрии был создан отдел геометрии и топологии во главе
с академиком СП. Новиковым, который в 1964—1965 гг. создал
теорию перестроек на односвязных гладких многообразиях и доказал
топологическую инвариантность характеристических классов Пон-
трягина. За эти результаты он первым из советских математиков
получил высшую награду по математике — Филдсовскую медаль.
Исследование топологических объектов в различных разделах j
математики требует особых специфических методов, обладающих |
узким действием и применимых только для данного раздела. Эти \
методы придают направлениям топологии, попадающим в сферу их
действия, индивидуальные черты, дающие повод говорить о
распадении топологии на ряд самостоятельных и малосвязанных
дисциплин: алгебраическая топология, общая топология,
дифференциальная топология, геометрическая топология.
К числу общих методов, применяемых в решении большинства
задач топологии во всех ее направлениях, относятся, в частности,
следующие:
— метод покрытий, на котором основана аппроксимация
топологических пространств полиэдрами;
— метод функторов, ставящий в соответствие топологическим
пространствам алгебраические объекты, обладающие правильным
(функториальным) поведением и допускающие вычисление;
— метод спектров, в котором реализуется идея топологической
аппроксимации топологических пространств более простыми или
более удобными для изучения математическими объектами;
— метод непрерывных отображений, основой которого
является исследование поведения топологических инвариантов при
отображении пространств из одного класса на пространства из другого
класса;
— аксиоматический метод, анализирующий взаимоотношения
между топологическими инвариантами и классами топологических
пространств внутри самой топологии для ее совершенствования.
Практически применение топологии возможно всюду, где
присутствует идея непрерывности.
542

Проблема четырех красок
Сформулированная в середине XIX в. проблема четырех красок
выглядит как развлекательная задача, однако попытки ее решения
привели к результатам, имеющим практическое значение.
Предположим, что перед вами стоит задача раскрасить
контурную политиче.скую карту мира. Чтобы граница была четко видна,
пограничные страны необходимо раскрашивать в разные цвета.
Какое минимальное число красок нужно иметь, чтобы можно было
раскрасить любую карту на плоскости? Эта задача была
сформулирована в 1853 г. аспирантом университетского колледжа в
Лондоне Френсисом Гутри, который выдвинул гипотезу о том, что
четырех цветов достаточно для раскраски любой карты. В 1878 г. Кэли
в своих выступлениях в математическом и географическом
обществах Англии сообщил, что безуспешно занимался этой проблемой,
и порекомендовал слушателям испытать свои силы. Спустя 15 лет
английский математик Хивуд доказал, что любую карту на
плоскости можно раскрасить в пять цветов.
На лекции по топологии друг Гильберта, известный немецкий
математик и физик Герман Минковский, о проблеме четырех
красок сказал однажды следующее: «Эта теорема не была до сих пор
доказана лишь потому, что ею занимались только математики
третьего сорта. Я уверен, что мне удастся ее доказать». Несколько
недель он пытался осуществить доказательство прямо в аудитории.
Затем он сказал студентам: «Небеса разгневаны моим
высокомерием. Мое доказательство теоремы о четырех красках также неверно»
[84, с. 125].
В 1968 г. Оре и Стемпл доказали, что любую карту, имеющую
не более 40 стран, можно раскрасить в четыре цвета. Дальнейшие
результаты были получены в 1976 г. американскими математиками
К. Аппелем и В. Хакеном, и в настоящее время считается, что
справедливость гипотезы четырех красок установлена. В 1978 г. П. Ко-
эн решал эту задачу на ЭВМ и изложил решение проблемы в
книге среднего формата и объема. По его мнению, проверка этого
решения может быть выполнена вручную одним человеком в течение
двух-трех лет ежедневной восьмичасовой работы при условии, что
он нигде не допустит ошибки [7].
543

Теория графов
Теория графов — это направление дискретной математики,
особенностью которой является геометрический подход к изучению
математических объектов. Часто ее относят к топологии, так как
во многих случаях рассматриваются лишь топологические свойства
графов. Однако она пересекается со многими направлениями
теории множеств, комбинаторной математики, алгебры, геометрии,
теории матриц, теории игр, математической логики и многих
других математических дисциплин.
На практике этой теорией пользуются инженер при
вычерчивании электрических схем, химик при анализе валентных связей в
сложных молекулах, историк при вычерчивании родственных
связей в генеалогических деревьях, социолог при анализе иерархии
подчиненности в огромных корпорациях, военачальник при
вычерчивании коммуникаций, по которым доставляются подкрепления,
и другие.
В каждом их этих примеров фигурирует схема, состоящая из
точек, соединенных между собой линиями. Название «графы»
подобным схемам дал немецкий математик Дене Кениг, первым
проведший систематическое исследование таких схем в 1930-х годах.
Первые задачи теории графов были связаны с решением
математических развлекательных задач и головоломок. В 1736 г. Эйлер
сформулировал критерий существования обхода всех ребер графа
без повторений при решении задачи о Кенигсбергских мостах. Суть
этой задачи такова.
В XVIII в. в городе Кенигсберге было семь мостов через
реку Прегель, расположенных так, как показано на рис. 31. В
работе, представленной Эйлером Петербургской Академии наук,
содержался ответ на вопрос: можно ли совершить прогулку по
Кенигсбергу таким образом, чтобы, выйдя из какого-либо пункта, пройти
ровно один раз по каждому из городских мостов и вернуться в
исходный пункт? Эйлер не ограничился случаем Кенигсберга и
рассмотрел общую задачу для произвольного числа островов, каким
угодно способом связанных мостами.
544

Рис. 31. Семь мостов Кенигсберга
Если обозначить острова точками, а мосты линиями,
соединяющими эти точки, то получится геометрическая фигура, которую
называют графом, при этом точки — это вершины графа, а линии
— его ребра. Граф, соответствующий системе кенигсбергских
мостов, представлен на рис. 32.
D
Рис. 32. Граф мостов
Кенигсберга
Эйлер ввел в рассмотрение инвариант, который стал называться
эйлеровой характеристикой поверхности. Пусть Q — поверхность
(с краем или без края, двусторонняя или односторонняя), которая
допускает разбиение на многоугольники; это означает, что на
поверхности можно «нарисовать» граф, разбивающий ее на конечное
число кусков, гомеоморфных кругу. Обозначим число вершин и
ребер графа через В и Р, а число многоугольников, на которые Q
разбивается этим графом, через Г. Число x(Q) — В — Р + Г называют
эйлеровой характеристикой поверхности Q. Эйлер доказал
теорему о том, что для поверхности Q, гомеоморфной сфере, эйлерова
характеристика не зависит от выбора разбиения на многоугольники
18 Математика древняя и юная 545

и x(Q) = 2. Рассмотрим частный случай этой теоремы для мно>
гогранников. В табл. 6 представлены данные для пяти правильны?
многогранников.
Таблица 6
Параметры правильных многогранников
Название
многогранника
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Число
вершин
4
8
6
20
12
ребер
6
12
12
30
30
граней
4
6
8
12
20
Из табл. 6 ясно, что для каждого правильного многогранника имеет
место соотношение В — Р + Г = 2, где В — число вершин, Р —
число ребер, Г — число граней многогранника.
Работы по теории графов, имеющие практическое значение,
стали появляться в середине XIX в. В 1847 г. были опубликованы
работы немецкого физика Густава Роберта Кирхгофа, в которых он
предложил при составлении полной системы уравнений для токов и
напряжений в электрической схеме представлять такую схему
графом и находить в этом графе остовные «деревья», с помощью
которых выделяются линейно независимые системы контуров. В 1854 г.
Кэли пришел к задачам перечисления и описания «деревьев»,
исходя из задач подсчета числа изомеров предельных углеводородов.
В XX в. задачи, связанные с графами, стали рассматриваться как
в разделах математики (топология, алгебра, теория вероятностей,
теория чисел), так и в физике, химии, электротехнике, биологии,
экономике, социологии.
«Деревья» играют большую роль в биологической теории
ветвящихся процессов. Одной из разновидностей ветвящихся процессов
является процесс размножения бактерий. Если предположить, что
546

через определенный промежуток времени каждая бактерия либо
делится на две новые, либо погибает, то для потомства одной бактерии
получим двоичное дерево.
При разработке печатных схем в радиотехнике приходится
вычерчивать плоские графы с вершинами в тех точках, в которых
необходимо устанавливать диоды, триоды, резисторы и другие
элементы.
С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов,
тепло- и электросети.
Первая книга Кенига о графах вышла в Лейпциге в 1936 г.
Особый интерес вызвали задачи о плоских графах, в которых
вершины соединены ребрами так, что никакие два ребра не
пересекаются. Граф называют полным, если каждая пара его вершин
соединена между собой. Оказалось, что полный граф может быть плоским
лишь в том случае, если число его вершин равно четырем или
меньше четырех.
Этот факт представляет интерес и с философской точки зрения.
Многие физики и математики пытались ответить на вопрос, почему
физическое пространство имеет три измерения. Английский
специалист по космологии Г. Дж. Уитроу в своей книге «Структура и
эволюция Вселенной» утверждает, что разум не мог бы возникнуть в
пространстве размерности, большей трех, ибо в пространствах
высших размерностей планеты не могут двигаться вокруг Солнца по
стационарным орбитам. А в пространствах одномерных и
двумерных мозг не мог бы состоять из большого числа нервных клеток
(соответствующих вершинам графа), попарно соединенных между
собой нервными волокнами (ребра графа), которые нигде не
пересекаются друг с другом. В соответствии с теорией графов число
измерений физического пространства обязательно должно быть
равно трем, так как это единственное условие, при котором происходит
развитие высших форм земной жизни.
Исследования по теории графов значительно расширились в
конце 40-х — 50-х годах XX в., что связано с развитием
кибернетики и вычислительной техники.

Г л а в а 32
НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ '
Новое — это хорошо забытое старое.
Народная мудрость
Отношение математиков к понятию «бесконечно малая» со
временем изменялось (см. гл. 13). Однако в XIX в. практически все
математики отказались от точки зрения Лейбница, который считал
бесконечно малые не переменными величинами, а постоянными.
В XX в. была сделана попытка вернуться к той трактовке
бесконечно малых, которая господствовала при создании
дифференциального и интегрального исчислений. Эта попытка была предпринята
американским математиком Абрахамом Робинсоном.
Математический анализ, в котором рассматриваются бесконечно малые в
трактовке, отличающейся от общепринятой, он назвал нестандартным
анализом.
Сделаем некоторое отступление, чтобы уяснить природу
бесконечно малых. Математическое описание физической реальности
возможно только с известной степенью приближения. Так, планету
Земля можно описать как шар, как эллипсоид и как геоид: и первое,
и второе, и даже третье описания приблизительны, хотя точность
их возрастает. Не надо думать, что, чем точность выше, тем
описание лучше: подлинную революцию произвело именно
представление о Земле как о шаре, и, скорее всего, это представление навсегда
548

останется самым главным. При не слишком больших и не слишком
малых (по сравнению с размером человека) пространственных
размерах физическое пространство с достаточной точностью
описывается обычной геометрией Евклида. При значительном увеличении
или, напротив, уменьшении размеров эта точность становится
недостаточной.
О том, как устроено физическое пространство в очень большом
и в очень малом, мы знаем еще недостаточно. По-видимому,
общепринятой является точка зрения, что пространство в целом
конечно, однако столь велико, что утверждение «Вселенная бесконечна»
описывает реальность не хуже, чем утверждение «Земля — шар».
Мы мало знаем и о микромире. Одна из серьезно обсуждаемых
гипотез, лежащая в основе так называемой теории квантования
пространства — времени, состоит, например, в том, что временные и
пространственные промежутки нельзя неограниченно делить
пополам и что, напротив, существует минимально возможный для таких
промежутков конечный размер. Любая математическая концепция
может описывать действительность не исчерпывающим образом,
а лишь приблизительно, огрубленно. Разумно принимать
принцип множественности моделей и считать, что действительность
описывается сразу целой совокупностью математических
моделей, частично противоречащих друг другу. Скорее всего, разумно
считать, что физическое пространство одновременно
описывается несколькими моделями, одна из которых — обычная евклидова
геометрия, другая предполагает минимальный пространственный
размер («квант пространства»), третья — существование
бесконечно малых расстояний и т. д.
Бесконечно малые по Лейбницу
Развивая свой вариант дифференциального и интегрального
исчислений, Лейбниц ввел величины, названные им инфинитези-
мальными, или бесконечно малыми. Понятие «бесконечно малая»,
введенное им и использовавшееся до Коши, отличается от того,
которое принято в учебниках по высшей математике сегодня.
Бесконечно малая, по Лейбницу, отлична от нуля, но меньше
любого другого положительного числа (см. гл. 10). Это не
переменная величина, т. е. не функция, стремящаяся к нулю, а постоянная
549

величина, но очень малая. Из-за этой малости любыми степенями
бесконечно малых можно пренебречь. То есть для Лейбница это
была актуальная бесконечно малая, а не потенциальная, как это
общепринято в настоящее время (подробнее о потенциальной и
актуальной бесконечности см. в гл. 29).
Лейбниц утверждал также, что с бесконечно малыми
величинами следует обращаться так же, как с обычными числами.
Бесконечно малые величины были идеальными элементами, фикциями,
однако приносили вполне ощутимую реальную пользу, хотя именно
их Беркли называл «тенями усопших величин».
Стараясь избавиться от метафизической природы бесконечно
малых, Лейбниц рассматривал их просто как некое
вспомогательное средство, наподобие мнимых чисел. Основной идеей была идея
несравнимости. Для него точки, линии, поверхности не сравнимы:
например, мы ничего не прибавляем к прямой, добавляя к ней
точку. Таким образом, dx «ведет себя» по отношению к х как точка по
отношению к прямой. Отметим, что он рассматривал множество
величин, не являющееся архимедовым: в него входят действительные
числа, дополненные дифференциалами.
Лейбниц высказал мысль, что бесконечно малые количества
меньше любого заданного количества, что они лишены величины
и что в силу какого-то неясного принципа непрерывности они
сохраняют характер соотношений между конечными величинами, из
которых произошли. Как и Ньютон, он тоже старался рассматривать
не бесконечно малые элементы, а только их отношения.
Самым уязвимым моментом исчисления бесконечно малых
была их природа. Существование постоянных бесконечно малых,
которые должны быть меньше всех других положительных чисел, но
больше нуля и при этом быть действительными числами,
противоречит аксиоме Архимеда, утверждающей, что для любых двух
отрезков можно отложить меньший из них столько раз, что в сумме
получится отрезок, превосходящий по длине больший отрезок. Ведь
бесконечно малые должны быть такими, что суммирование любого
их количества даст отрезок меньше единицы.
550

Краткая история нестандартного анализа
Парадокс, состоящий в том, что существование постоянных
бесконечно малых, не равных нулю, противоречит аксиоме Архимеда,
разрешил Робинсон, предложив расширить множество
действительных чисел до множества гипердействительных чисел. В это
расширенное множество входят все действительные числа, плюс
бесконечно малые, и на нем сохраняются все полезные свойства
действительных чисел, но аксиома Архимеда для бесконечно
малых не выполняется. Робинсон показал, как это сделать
практически. Интересующиеся подробностями должны обратиться к книгам
по нестандартному анализу.
Изложим краткую историю развития нестандартного анализа, в
основном опираясь на книгу В.А. Успенского «Что такое
нестандартный анализ?» [98].
В 1961 г. в трудах Нидерландской Академии наук появилась
статья Робинсона «Нестандартный анализ». В ней были намечены как
основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его
приложения (например, в аналитической механике). В этой статье
Робинсон, в частности, писал: «Наша главная цель — показать, что
эти модели дают естественный подход к старой почтенной
проблеме построения исчисления, включающего бесконечно большие и
бесконечно малые количества. Как хорошо известно,
использование бесконечно малых, настойчиво защищаемое Лейбницем и без
колебаний принимаемое Эйлером, было дезавуировано с
появлением методов Коши, поставивших математический анализ на твердую
основу» [98, с. 108]. За твердость основы надо было платить и
сложностью математического аппарата, и отдалением от физической
наглядности.
Итак, до 1961 г. понятие бесконечно малой постоянной
величины, бесконечно малого числа критиковалось в лучшем случае как
нестрогое, а в худшем — как бессмысленное. Робинсон впервые
обнаружил, что этому понятию можно придать точный
математический смысл.
В течение последующих восьми лет вышли в свет три
монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г. — книга
У.А. Дж. Люксембурга «Нестандартный анализ. Лекции о робин-
соновой теории бесконечно малых и бесконечно больших чисел»,
551

в 1966 г. — книга самого Робинсона «Нестандартный анализ» и
в 1969 г. — книга М. Маховера и Дж. Хиршфельда «Лекции о
нестандартном анализе». Наибольший резонанс вызвала книга
Робинсона, вышедшая в известной серии «Исследования по логике и
основаниям математики». В девяти первых главах этой монографии
содержалось описание необходимого логико-математического
аппарата и многочисленных приложений — к дифференциальному и
интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций
комплексного переменного, к теории групп Ли, к гидродинамике и I
теории упругости.
В 1966 г. была опубликована статья А.Р. Бернстейна и А.
Робинсона, в которой впервые методами нестандартного анализа]
было найдено решение ранее поставленной проблемы, относящей-1
ся к обычным, стандартным, математическим объектам.
Доказанная там теорема представляет собой отнюдь не единственный, хотя,
быть может, наиболее эффектный пример применения методов
нестандартного анализа. Число и разнообразие таких применений
неуклонно растут. В сентябре 1986 г. в Ташкенте проходил I
Всемирный конгресс Общества математической статистики и теории
вероятностей им. Я. Бернулли, 19-я секция этого конгресса
называлась «Нестандартный анализ в теории вероятностей».
В настоящее время нестандартный анализ завоевывает все
большее признание. Состоялся ряд международных симпозиумов,
специально посвященных нестандартному анализу и его
приложениям. Теория Робинсона закладывает прочный логический фундамент
под применение бесконечно малых, и в XXI в., видимо, возобновят
обучение студентов оригинальным эвристическим идеям Ньютона
и Лейбница. В университетах штата Висконсин и в
Массачусетсском технологическом институте студенты уже сейчас могут, если
захотят, выбрать для изучения вместо теории эпсилон-дельта Вей-
ерштрасса теорию Робинсона. Некоторые итоги такого рода
преподавания были подведены в методической статье, опубликованной
в 1976 г. «Американским математическим ежемесячником». Статья
заканчивается следующими фразами: «Опасения... что те
студенты, которые будут изучать математический анализ при помощи ин-
финитезимальных (бесконечно малых) элементов, в меньшей
степени овладеют основными навыками, должны быть, без сомнения,
552

сняты. Более того, представляется весьма вероятным, что
использование инфинитезимального подхода сделает курс математического
анализа гораздо более живым и увлекательным как для
преподавателей, так и для студентов» [98, с. 115].
Увлекающиеся историей математики могут попытаться
ознакомиться с первоисточниками и изучить лучшие математические
трактаты великих математиков (например, «Дифференциальное
исчисление» Эйлера — одно из наиболее богатых идеями сочинений
за всю историю математики). Они могут быть сильно удивлены.
Многие математические открытия, известные сейчас в том виде,
который они приняли после «кошианской» реконструкции основ
анализа, первоначально были сделаны на основе нестандартных
рассуждений. Примером может быть вопрос о разложении
функции в степенные ряды.
В качестве достоинств нестандартного анализа следует
отметить еще два. В книге «Парадоксы в теории вероятностей и
математической статистике» Г. Секей утверждает, что нестандартный
анализ позволяет разрешить: 1) парадокс нулевой вероятности:
вероятность невозможного события есть нуль, обратное же
утверждение неверно; 2) апорию Зенона «Стрела» [89].
В классическом математическом анализе считается, что
пространство бесконечно делимо, так как бесконечно малая есть
переменная величина, стремящаяся к нулю. В соответствии с
физическими воззрениями XX в. пространство квантовано и никакие
размеры не могут быть меньше Ю-33 см. Таким образом,
нестандартный анализ, пожалуй, точнее отражает реальный мир, чем
классический анализ.

Глава 33
ФУНКЦИЯ
Понятие функции такое же основное и
первоначальное, как и понятие множества.
Ф. Хаусдорф
Развитие понятия «функция»
Развитие логического обоснования математики можно
проследить на отдельных ее понятиях. Особенно характерными являются
в этом отношении такие важнейшие понятия математического
анализа, как понятия функции и непрерывности.
Понятие функции формировалось не сразу. Древние греки не
включали в математику понятия изменения и движения. Это
казалось им несовместимым со строго логической системой из-за
вскрытых Зеноном противоречий.
Новая математика зародилась тогда, когда Декарт стал
рассматривать изменение алгебраического выражения в зависимости от
непрерывного изменения входящих в него величин. В применении
к изучению кривых рассматривалась зависимость ординаты от
абсциссы. Однако, когда изучались лишь частные случаи, не было
необходимости давать этой зависимости строгое определение и
даже особое название. Но с созданием математического анализа с его
обобщакощими методами стало возможно изучать общие случаи
554

зависимости переменных величин. Первые попытки очертить
контуры зависимости делаются в конце XVII в. Лейбницем, Иоганном
и Якобом Бернулли. Термин «функция» ввел Лейбниц в 1692 г. [76].
Иоганн Бернулли вкладывает в этот термин понятие о
«выражении, составленном каким-либо образом из переменной величины»
[30, с. 310]. Эйлер в 1748 г. дал такое определение: «Функция
переменных величин есть аналитическое выражение, составленное
каким-либо образом из переменных величин и чисел или
постоянных количеств» [30, с. 310]. Он же ввел символ /(ж). В этом
определении функции в основе была формула. Однако Эйлер считал
возможным называть функцией также произвольно вычерченную
кривую. Кроме того, допускалось словесное описание функции.
Рассмотрим для примера функцию у — \х\. Несомненно, что
|ж| = ух2 = (х2)1'2 есть аналитическое выражение,
составленное из переменной величины х и постоянных величин. Так что это
функция и по И. Бернулли, и по Эйлеру. Но ее же можно
изобразить и как линию, идущую по биссектрисам первого и второго
квадрантов в декартовой системе координат. Ее же можно описать и
словесно, сказав, что для х, равного нулю, эта функция равна
нулю, для положительного х она равна самому х, для отрицательного
х она равна —х. Вообще большинство функций допускают разные
описания.
Чему же отдать предпочтение? По этому поводу было много
споров. Эйлер считал, что класс функций, являющихся произвольно
начерченными кривыми, шире, чем класс функций, заданных
аналитическими выражениями. Даламбер утверждал, что это одно и то
же. Даниил Бернулли высказал убеждение, что произвольную
периодическую функцию с периодом 27г можно представить в виде
суммы
оо
У (afe cos кх + bk sin кх).
Большинству математиков казалось, что этот класс функций
уже, чем аналитические выражения и, разумеется, чем
произвольные кривые. Возник ожесточенный спор, в котором приняли
участие все крупнейшие математики XVIII в.
555

Окончательное решение вопроса было получено в начале XIX в.,
когда Фурье показал, что сумма бесконечного ряда, состоящего из
тригонометрических функций, может на различных участках
выражаться различными формулами. После этого он дал новое
определение функции, подчеркнув в нем, что главным является задание
значений функции, а совершается это задание некоторой единой
формулой или нет — несущественно.
Дирихле уточнил определение функции, данное Фурье, и
придал ему тот вид, которым пользуются и сейчас: переменная
величина у называется функцией переменной величины х, если каждому
значению величины х соответствует единственное определенное
значение величины у. В дальнейшем к словам «каждому значению
величины х» добавили слова «принадлежащему некоторому
множеству» (ведь функция не обязательно определена для всех
значений х). Это определение было чрезвычайно общим, в нем ни слова
не говорилось о том, что функция должна задаваться одной и той
же формулой на всем отрезке, где она определена. Оно было
окончательным для числовых функций числового аргумента.
Определение Дирихле позволило строить функцию с самыми
причудливыми свойствами. Например, сам он рассмотрел такую
функцию:
,, ч ГО, если х — иррациональное число,
\l, если х — рациональное число.
Построить график этой функции совершенно невозможно,
потому что эта функция во всех точках разрывна. Но и среди
непрерывных функций есть функции с неожиданными свойствами.
Построим, например, непрерывную функцию, которая на
единичном отрезке имеет бесконечно много максимумов и минимумов.
Для этого разделим отрезок пополам и построим на левой
стороне равносторонний треугольник. Теперь разделим оставшуюся
правую половину отрезка снова на две равные части и на левой из них
построим второй равносторонний треугольник. Выполним
описанную операцию бесконечно много раз. В результате получится
«горная цепь», состоящая из бесконечного числа вершин, постепенно
опускающихся к точке х = 1 (рис. 33).
556

Рис. 33. Функция с бесконечным числом
максимумов и минимумов
На протяжении многих столетий математики имели дело лишь
с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести
касательную. В течение долгого времени никто из математиков не
верил, что может существовать непрерывная линия, целиком
состоящая из зубцов, изломов и колючек. Велико было изумление
математиков, когда удалось построить функцию, график которой был
«колючей изгородью». Первым сделал это Больцано.
Построение кривой Больцано
Разделим отрезок [0; 1] на четыре равные части и над двумя
средними построим равнобедренный прямоугольный треугольник
(рис. 34, а). Пусть уравнение этой линии будет у = f\(x).
Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре части и
построим еще четыре равнобедренных прямоугольных треугольника
(рис. 34, б). Уравнение этой линии обозначим у = /г(х). Сложим
эти функции. График функции у = f\(x) + /2(х) изображен на
рис. 34, в. Продолжая этот процесс, в пределе получим линию, у
которой излом имеется в каждой точке и ни в какой точке кривой
нельзя провести касательную к ней.
Математики построили много непрерывных функций, графики
которых не имели касательной ни в одной точке, и начали изучать
их свойства. Эти свойства совсем не походили на свойства
«добропорядочных» гладких функций, с которыми они до сих пор имели
дело.
Если спросить далекого от математики человека, в чем
различие между линией, поверхностью и телом, то он будет удивлен
вопросом о столь очевидных понятиях. Однако в ходе развития
науки после открытий Кантора появилось много столь причудливых
557

_! ►.
1 л:
У
0
/\
/\
/N
/V., ,
1 X
у
V
гУ
/v /
V.
\Aj ,
1 X
Рис. 34. Построение кривой Больцано
геометрических объектов, что и умудренный знаниями
профессиональный математик не сразу ответит, что это такое — линия,
поверхность или тело. Рассмотрим, например, так называемый ковер
Серпиньского.
Ковер Серпиньского
Разделим прямоугольник на девять равных частей и выкинем
центральную часть (рис. 35, я). После этого разделим каждый из
оставшихся прямоугольников на девять равных частей и снова
выкинем центральные прямоугольники (рис. 35, б). Ясно, что
полученная фигура еще является поверхностью. Но если мы будем
бесконечно много раз делить прямоугольники на девять равных частей
и после этого выбрасывать центральную часть, то в конце концов у
нас получится некоторая геометрическая фигура, которая
называется ковром Серпиньского — по имени придумавшего ее польского
558

1 1
1 1
1 1
1 1
:::□::
i i
i i
— i—T---j
i t
i i
:::□:::
i i
i i
i i
::□:::
i i
i i
г ' i
::i±
i i
i i
i i
::□:::
t i
— i—j
i i
i i
:::□:::
i i
i i
i i
—r--r~--
i i
:::□::
i i
i i
а б
Рис. 35. Ковер Серпиньского
ученого. Эта фигура похожа на очень дырявую ткань. И совсем не
ясно, линия это или поверхность.
А что об этом есть у Евклида? Первые строки книги Евклида
«Начала» гласят следующее:
«1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же — длина без ширины.
3. Оконечность же линии — точка.
4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
5. Оконечность же поверхности — линия.
6. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
7. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или
каких-нибудь границ» [14, с. 125].
Как видим, все эти определения нестрогие и не дают
возможности ответить на вопрос, является ковер Серпиньского линией или
поверхностью. (Об определении размерности ковра Серпиньского
и построении другого его варианта см. в гл. 34.)
В 1892 г. английский физик Оливер Хевисайд предложил
формальные правила обращения с оператором дифференцирования —
at
и решил ряд прикладных задач, из которых возникло
операционное исчисление. Лауреат Нобелевской премии английский физик-
теоретик Поль Адриен Морис Дирак, работая с операционным
исчислением, придумал знаменитую импульсную дельта-функцию.
Так он назвал функцию, которая равна нулю во всех точках
числовой прямой, кроме начала координат, где она равна бесконечности.
559

Требовалось также, чтобы интеграл этой функции по всей
числовой оси был равен единице. Первоначально для математиков
дельта-функция была чудовищем с противоречивыми свойствами,
химерой. Физики же работали с этой функцией спокойно, придав
ей отчетливый физический смысл.
Фактически дельта-функция — это не функция, а
математический объект нового типа, представляющий собой некоторый
способ описания распределения физической величины по
пространству. Позднее математики нашли путь для широкого обобщения
понятия дельта-функции, создав теорию обобщенных функций, или
распределений.
Покажем идею получения дельта-функции Дирака.
Предположим, что в момент времени t = 0 на единичную массу
начинает действовать постоянная сила 1/т, которая разгоняет эту массу
в течение времени т, а затем сила становится равной нулю.
Графики ускорения, скорости и перемещения точки представлены на
рис. 36, а—в.
При предельном переходе т —> О мы получим для ускорения
дельта-функцию Дирака, для скорости единичную функцию Хеви-
сайда (рис. 36, г):
Щ) ~ \0, ts (-00; 0),
а в случае перемещения — функцию, изображенную на рис. 36, д.
Таким образом, в механическом смысле дельта-функция
Дирака — сила, которая единичной массе в момент действия дает
единичную скорость (аналог удара по биллиардному шару).
Теория обобщенных функций появилась на стыке двух разделов
математики: уравнений математической физики и
функционального анализа. Основы математической теории обобщенных функций
были заложены С.Л. Соболевым в 1936 г. при решении задачи Коши
для гиперболических уравнений. В 1950-х годах французский
математик Лоран Шварц дал систематическое изложение теории
обобщенных функций и указал многие области их применения.
560

у ■
1
г
0
I
й
t
У
1
0
/
/]
т
б
t
у-
X
2
0
'"/
т
в
(
? +
Рис. 36. Ускорение (а), скорость (б, г) и перемещение (в, д) единичной
массы под действием силы, описываемой дельта-функцией Дирака
Развитие понятия «линия»
В XIX в. математики поняли, что в основе каждого
геометрического утверждения (и не только геометрического) должны лежать
строгие определения, безупречные логические утверждения.
Ньютону, Лейбницу, Эйлеру, Лагранжу и другим великим математикам
прошлого удалось решить самые разнообразные задачи — от
расчета траектории артиллерийского снаряда до предсказания
движений планет и комет. Но основные понятия, с помощью которых
достигались эти замечательные результаты, были определены крайне
нестрого. Даже в конце XIX в. .Якоби, в работах которого по
теории эллиптических функций осталось множество неразрешенных
вопросов, говорил: «На гауссовскую строгость у нас нет времени,
господа» [44, с. 192].
Но методы, позволявшие великим мастерам, которых
оберегала от ошибок их абсолютная математическая интуиция, получать
столь замечательные результаты, стали приводить к ошибкам в
работах у их менее талантливых учеников. Появилось много
сомнительных формул и теорем, абсурдность которых дискредитировала
561

науку. Математики XIX в. подвергли жесткой критике все
применявшиеся до того понятия и стали вводить строгие определения.
Одним из самых жгучих вопросов был вопрос: что такое
линия"?
По определению французского математика Камилла Жордана,
линия — это траектория движущейся точки. В этом случае
уравнение кривой задается в параметрическом виде. Например, система
уравнений окружности радиусом, равным единице, имеет вид
X = C0s2"7Tt,
у = sin27r£.
Казалось, что цель достигнута, но вскоре поняли, что
определение Жордана охватывало не только привычные для математиков
линии, но и фигуры, которые никто линиями не назвал бы.
Например, квадрат со всеми его внутренними точками является линией в
смысле Жордана (получается, что «Черный квадрат» Малевича —
линия!).
Пеано удалось придумать непрерывную линию, которая
проходит через все точки квадрата (рис. 37). На первом квадрате жирной
линией показаны отрезки, соединяющие положения движущейся
точки через каждые 1/4 с; на втором — движущейся точки через
1/16 с; на третьем — через 1/64 с. В пределе, если все время
наблюдать за движущейся точкой, мы получим линию, проходящую через
все без исключения точки квадрата.
Трудно передать словами впечатление, произведенное на
математический мир результатом Пеано. По этому поводу Пуанкаре с
горечью воскликнул: «Как могла интуиция до такой степени
обмануть нас!» [14, с. 133]. Стало ясно, что жорданово определение
кривой не безупречно.
V
Рис. 37. Построение кривой Пеано
562
Ti

О геометрических фигурах
Создав теорию множеств, Кантор перешел к вопросу о том, что
такое геометрическая фигура. Самый общий ответ на этот вопрос:
геометрическая фигура — это любое множество точек
пространства. Чтобы из всех множеств пространства выделить те, которые
ближе всего подходят по своим свойствам к обычным
геометрическим фигурам, нужно было выяснить, чем отличаются
геометрические фигуры от любых произвольных множеств. Оказывается,
общим является единообразный процесс их получения.
Скульптор Роден на вопрос, как ему удается делать его
замечательные статуи, ответил: «Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее
все лишнее» [14, с. 135]. Так и Кантор предложил для получения
любой ограниченной плоской фигуры выбрасывать из квадрата, в
котором она лежит, те кусочки плоскости, которые ей не
принадлежат. На каждом шагу формирования фигуры из квадрата
выкидываются круги, внутри которых нет ни одной точки геометрической
фигуры. Обе координаты центра и радиус выбрасываемого круга
должны быть рациональными, а граница круга — окружность —
должна оставаться в фигуре. При такой процедуре в квадрате
останется только сама геометрическая фигура, а число выброшенных
кругов будет счетно. Вместо кругов можно удалять квадраты,
прямоугольники, эллипсы, лишь бы отбрасывались внутренние точки,
а граничные точки оставались. Ковер Серпиньского получается как
раз выбрасыванием прямоугольников.
Фигуры, получаемые таким образом, Кантор назвал
континуумами. Континуумы оказались наиболее общими множествами,
свойства которых очень близки к свойствам обычных
геометрических фигур.
Канторовы линии. Все плоские линии являются
континуумами, но не все континуумы являются плоскими линиями. Квадрат и
круг являются континуумами, но назвать их линиями нельзя. Для
линий Кантор ввел дополнительное условие. Плоской линией
называют лежащий на плоскости континуум, не заполняющий ни
одного сплошного куска плоскости (т. е. такой, что в каждом
квадрате есть точки, не принадлежащие этой линии). Ковер Серпиньского
является канторовой линией, так как ни одного целого куска
плоскости он не содержит.
563

Цена геометрической очевидности. После появления кривой
Пеано математики были уверены, что не может уже быть ничего,
что бы их удивило. Однако свойства канторовых линий могут
сильно отличаться от свойств обычных линий, и геометрическая
интуиция часто может подвести.
В начале XX в. немецкий математик Артур Шенфлис
опубликовал серию работ, в которых говорилось о различных свойствах
кривых, границ областей и т. д. При этом он часто опирался на
геометрическую очевидность. Но в 1910 г. появилась короткая
(содержащая всего 12 страниц) статья Брауэра, в которой было
несколько удивительных примеров, показывающих, что одни результаты
Шенфлиса были просто
неверны, а другие — нестрого
доказаны [14, с. 143].
Брауэр построил
ограниченную область, граница
которой не являлась
континуумом. Для этого он взял
«бутылку» и начал вытягивать
ее горлышко, наматывая его
на окружность. В результа-
_„«,„- т, те получилась область, огра-
Рис. 38. Область, построенная Брауэром J с
ничейная двумя спиралями
и бутылкой. Но эта граница не является континуумом; чтобы
получить континуум, надо к спиралям прибавить окружность, на
которую они наматываются (рис. 38).
Если же добавить к границе окружность, то получится новое
осложнение: точки границы нельзя будет соединить с точками
области линиями конечной длины [14].

Глава 34
ПОРЯДОК И ХАОС.
СОЗДАНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Высшее назначение математики — находить
порядок в хаосе, который нас окружает.
Н. Винер
Порядок и хаос
Многие понятия, некогда бывшие достоянием узкого круга
специалистов, теперь становятся междисциплинарными и
общезначимыми, далеко выходя за рамки тех специальных задач, в связи с
которыми они первоначально возникли. Так, мало известное в
прошлом за пределами гидродинамики понятие «турбулентность» в
настоящее время представляет общенаучный интерес. Слово «хаос»
перестало быть синонимом отсутствия порядка и обрело
структуру, подобно тому как перестало быть синонимом понятия «ничто»
словосочетание «физический вакуум».
В наше время уже недостаточно открыть основные законы и
понять, как работает мир в принципе. Все более и более важным
становится выяснение того, каким способом эти законы проявляются
в реальности.
До недавнего времени, до разработки теории турбулентности
и создания фрактальной геометрии, математика описывала строго
565

упорядоченные процессы. Практически формы всего того, что
создается руками человека, — строго упорядочены, и промышленные
человеческие изделия считаются тем совершеннее, чем упорядо-
ченнее их формы.
Для природных процессов типична смесь порядка и хаоса,
когда они гармонично сбалансированы друг с другом. Слово «хаос»
происходит от греческого хаоС чт0 означает «зияние». Это слово
часто использовалось при описании первобытной пустоты
Вселенной до возникновения вещества. Так обозначалась бесструктурная
и бесформенная масса, не наделенная никаким порядком.
Математики исследовали процессы возникновения хаоса из
упорядоченной субстанции и возникновение упорядоченной
субстанции из хаоса. Во многих случаях между хаосом и порядком
трудно провести четкую границу. Например, тропический лес,
очень хаотичный, имеет общую структуру, соответствующую
некоторому прообразу порядка.
Когда-то считалось, что при точном знании исходных состояний
любой системы и при известных дифференциальных уравнениях,
описывающих процесс ее функционирования, ее поведение можно
точно предсказать на любой момент времени в будущем. В
работе «Философский опыт относительно вероятностей» (1814) Лаплас
утверждал: «Ум, который знал бы все действующие в данный
момент силы природы, а также относительное положение всех
составляющих ее частиц и который был бы достаточно обширен,
чтобы все эти данные подвергнуть математическому анализу, смог бы
охватить единой формулой движение как величайших тел
Вселенной, так и ее легчайших атомов; для него не было бы ничего
неопределенного, он одинаково ясно видел бы и будущее, и прошлое» [94,
с. 182—183]. Описанный «ум» обычно называют «демоном
Лапласа». Это придуманное Лапласом существо, способное, восприняв в
любой данный момент времени положение и скорость каждой
частицы во Вселенной, прозревать ее эволюцию как в будущем, так
и в прошлом, понадобилось для того, чтобы наглядно
продемонстрировать степень нашей неосведомленности и необходимость в
статистическом описании некоторых процессов.
Абсолютная точность, о которой говорил Лаплас, физически не
достижима. Даже наиболее тщательно поставленный эксперимент
566

никогда не бывает полностью изолирован от влияния окружающей
среды, а состояние системы ни в один момент времени не может
быть известно точно. Но ученые верили, что почти одинаковые
причины будут давать почти одинаковые следствия. Мир
представлялся царством порядка, в котором все предсказуемо и предопределено.
Случайности в нем практически не было места.
Фрактальная геометрия, о которой речь пойдет далее, показала,
что это неверно для больших промежутков времени даже в случае
нормального (типичного) течения природных процессов. Самые
незначительные причины вызывают через некоторое время огромные
последствия.
Во всех процессах, происходящих во Вселенной, присутствуют
случайные факторы. Они влияют на развитие процессов и
придают им неопределенность. Лауреат Нобелевской премии по химии
профессор Свободного Брюссельского университета И.Р.
Пригожий писал, что одни процессы при существующем уровне знаний
допускают описание с помощью детерминированных уравнений,
другие требуют привлечения вероятностных соображений [81].
Законы микромира описываются на языке теории вероятностей.
Тождественно протекающие процессы отсутствуют, имеет место
лишь похожесть, близость. Теперь большинство ученых
утверждает, что в природе царствует не порядок, а хаос.
В статье Пригожина «Философия нестабильности» говорится,
что в 1986 г. сэр Джеймс Лайтхил, ставший позже президентом
Международного союза чистой и прикладной математики, сделал
удивительное заявление: он извинился от имени своих коллег за
то, что «в течение трех веков образованная публика вводилась в
заблуждение апологией детерминизма, основанного на системе
Ньютона, тогда как можно считать доказанным, по крайней мере
с 1960 г., что этот детерминизм является ошибочной позицией»
[80, с. 48].
Многие физики считают, что так же, как теория
относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном
пространстве — времени, а квантовая механика развеяла мечту о детерминизме
физических событий, так и хаос развеял фантазию Лапласа о
полной предопределенности развития систем.
567

В Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша под
руководством Сергея Павловича Курдюмова не один десяток лет
исследовались процессы самоорганизации в открытых нелинейных
системах и разрабатывалась математическая теория хаоса.
Основными понятиями этой теории являются «бифуркация» и
«аттрактор». Поясним их смысл.
При неустойчивом состоянии системы малая флуктуация
может вызвать серьезные изменения в состоянии системы. На
начальном этапе развития происходит медленное изменение свойств
системы. В какой-то момент или внешние воздействия достигают
критического значения, или сумма внутренних воздействий
достигает значений, при которых параметры системы начинают быстро
изменяться. Ранее стабильное состояние теряет устойчивость, и
возникает возможность разных путей развития. Этот момент
называют точкой бифуркации (термин ввел Пуанкаре, изучавший
разнообразные проявления механизма бифуркации). Такими особыми
точками до Пуанкаре интересовался Максвелл. В качестве
примеров, когда малое воздействие, являющееся своеобразным пусковым
механизмом, приводит к последствиям, не сравнимым с величиной
воздействия, он рассматривал небольшую искру, поджигающую
огромный лес, слово, ввергающее мир в пучину войны, и т. п.
Среди различных ветвей развития процесса после достижения
точки бифуркации есть траектория (или достаточно узкий коридор
траекторий), которая отличается относительной устойчивостью и
как бы притягивает к себе все множество траекторий систем с
разными начальными состояниями. Эта траектория носит название
«аттрактор». Если система попадает в этот коридор (конус)
траекторий, то она неизбежно эволюционирует к этому относительно
устойчивому состоянию. Аттрактор можно также определить как
асимптотический предел решений, на который не оказывают
прямого влияния начальные условия. Важный принцип эволюции систем
сформулировали И.Р. Пригожий и Н.Н. Моисеев (их
формулировки несколько отличались друг от друга): если законы сохранения
{материи, энергии, импульса) допускают несколько равновесных
состояний (решений), то реализуется состояние движения,
которому отвечает минимальный рост энтропии.
568

В математике есть также необычные математические объекты,
именуемые странными аттрактороми. С одной стороны, для их
описания используются системы дифференциальных уравнений, в
которых все определено, детерминировано и не содержится никаких
стохастических членов. А с другой стороны, поведение решений
такой системы уравнений на продолжительном временном
интервале приобретает хаотический, непредсказуемый характер.
Полностью детерминированная система уравнений порождает
хаотический процесс.
Самое интересное, что в природе обнаружены явления,
моделировать которые можно только с помощью странных аттракторов,
причем явления такого рода наблюдаются не только в микро- или
мегамире. Изменения погоды, как правило, моделируются
именно такими странными аттракторами, которые изображают смену
состояний метеорологического объекта. Незаметные различия в
исходных условиях способны обернуться огромными расхождениями
в результатах. Это называют сильной зависимостью от начальных
условий. Применительно к погоде это выливается в эффект
бабочки: сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через
месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке. Образ странного
аттрактора привносит в мир макромасштабных объектов дух
неопределенности, присутствующий в квантовой механике. В.И. Арнольд
утверждает, что существуют кометы, поведение которых носит
стохастический характер и определяется странным аттрактором, т. е.
оно неустойчиво настолько, что их траекторию нельзя предсказать.
Многие нелинейные процессы в природе приводят к
ветвлению, и система может выбрать ту или иную ветвь. Рано или поздно
начальная информация о состоянии системы становится
бесполезной, так как самые незначительные неточности в начальном
состоянии системы развиваются, в каждый конкретный момент
причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она
уже не видна.
Возникающие при этом трудности описания поведения системы
характерны не только для механических процессов. Они
встречаются и в физике элементарных частиц, и в биологии, и в социологии.
Пригожий писал, что «окружающая нас среда, климат, экология и,
между прочим, наша нервная система могут быть поняты только в
19 Математика древняя и юная 569

свете описанных представлений, учитывающих как стабильность,
так и нестабильность. Это обстоятельство вызывает повышенный
интерес многих физиков, химиков, метеорологов, специалистов в
области экологии. Указанные объекты характеризуются странными
аттракторами и, следовательно, своеобразной смесью стабильности
и нестабильности, что крайне затрудняет предсказание их будущего
поведения» [80, с. 50].
Курдюмов, комментируя указанную выше статью Пригожина,
писал: «... все сложные структуры в мире должны быть
нестабильными, носить колебательный характер. В одном режиме они
локализуют и удерживают хаос в определенной форме, а в другом —
вблизи момента обострения — само это удерживание посредством
положительной обратной связи способствует действию хаоса, что
влечет за собой статистическое поведение системы и ее
«радиоактивный распад». Описанный механизм удивительно
напоминает древние натурфилософские построения. Тут можно вспомнить и
круги возрождений древних индусов, и цикличность эволюции
мироздания Эмпедокла, и многое другое. Сопоставление этих учений
с современными теоретическими представлениями могло бы иметь
эвристическую ценность для дальнейших разработок в теории
самоорганизации» [39, с. 57].
Наше ощущение прекрасного возникает под влиянием
гармонии порядка и беспорядка в объектах природы — тучах, деревьях,
горных грядах или кристалликах снега. Их контуры — это
отражение динамических процессов, выражение чередования порядка
и хаоса. Для адекватного описания природы не хватало
математических средств, требовался новый математический аппарат.
Математический подход к более широкому взгляду на окружающую нас
реальность нашел французский математик Бенуа Мандельброт,
создавший фрактальную геометрию. Его вклад в современную науку
значителен, поэтому расскажем о нем подробнее.
Мандельброт родился в 1924 г. в Варшаве. В 1936 г. его семья
переехала в Париж, и с 1945 по 1947 г. он учился в
Политехнической школе. В 1948 г. в США, в Пасадене, Мандельброт получил
степень магистра наук (по аэрокосмическим наукам) в
Калифорнийском технологическом институте. Через четыре года он защитил
570

диссертацию на степень доктора философии по математике в
Парижском университете, был приглашенным ученым в Принстоне,
Женеве, Париже, а в 1958 г. переехал в США. С 1974 г. Мандель-
брот является членом исследовательского совета и совета фирмы
ИБМ в Йорктаун Хейтс, штат Нью-Йорк, с 1984 г. — профессором
Гарвардского университета. По своему характеру он добровольный
скиталец, блуждающий между математикой и другими науками.
Можно смело сказать, что до Мандельброта фрактальной
геометрии не существовало. Он использовал некоторые конструкции,
введенные Пуанкаре, Кантором, Фату, Жюлиа, Пеано, Хаусдорфом,
Серпиньским. Но его предшественники не видели родства тех
конструкций, которые Мандельброт объединил в целое, чтобы
приблизиться к изучению хаоса.
Фракталы
Описание чуть более 100 лет назад в математической литературе
объектов, которые мы теперь называем фракталами, было
встречено с неприязнью. Французский математик Шарль Эрмит даже
окрестил эти объекты монстрами, и общее мнение признало их
интересными только для чудаков, а не для настоящих ученых. Термин
«фрактал» Мандельброт предложил в 1975 г., еще не дав ему
строгого математического определения. Он образован от латинского слова
fractus — состоящий из фрагментов. Смысл термина —
нерегулярный, но самоподобный (самопохожий). Заметим, что
самоподобие — достаточно старая идея (стоит вспомнить, например, русских
матрешек).
В основе понятия фрактала лежит определенная идеализация
действительности: фрактальные объекты самоподобны, т. е. вид их
не претерпевает существенных изменений при разглядывании в
микроскоп с любым увеличением. О множествах, имеющих такую
структуру, говорят, что они обладают геометрической (масштабной)
инвариантностью. Протекание физических процессов в природных
фрактальных объектах имеет специфические свойства. Фракталы
иначе рассеивают электромагнитное излучение, по-другому
колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам по-
иному происходит диффузия вещества. Таким образом, возникает
19* 571

новая область естествознания — физика фракталов. Они
становятся удобными моделями для описания процессов в средах, ранее
считавшихся неупорядоченными. Примерами фракталов в
математике могут служить кривая Пеано, ковер Серпиньского и другие
экзотические геометрические объекты. Принцип самоподобия в
приближенном виде проявляется и в природе: в линиях берегов
морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентных
потоках жидкости или газа (например, дым, выходящий из трубы),
в иерархической организации живых систем.
Давно подмечено, что между наукой и искусством есть связь.
Эйнштейн писал, что там, где окружающий нас мир перестает быть
ареной личных надежд и желаний, где мы как свободные существа,
сомневаясь и размышляя, созерцаем его в изумлении, там мы
вступаем в царство искусства и науки. Если мы описываем увиденное и
известное по опыту на языке логики — это наука; если же мы
представляем его в формах, внутренние взаимосвязи которых не
доступны нашему сознанию, но которые интуитивно воспринимаются как
осмысленные, — это искусство. И для искусства, и для науки
общим является увлечение чем-то стоящим выше личного, свободным
от условного.
По этому поводу известный биолог А.А. Любищев
высказывался так: «Что такое красота? Одно из самых загадочных явлений
природы. И как в законах строения и развития природных тел мы
имеем разные уровни, так есть они и в прекрасном. И на самом высшем
уровне, может быть, находятся абстрактнейшие математические
теории и высшие музыкальные творения гениальных композиторов.
Не всем дано подняться на эти вершины, но, как в капле воды
отражается солнце, так некоторый намек на высшую красоту мы
можем постичь, внимательно рассматривая такое скромное явление,
как ледяные узоры на стеклах...» [57, с. 94]. А ведь ледяные узоры
на стеклах — типичные фракталы.
Именно фракталы сделали осязаемой связь науки и искусства,
так как многие из них обладают эстетической привлекательностью.
Во многих странах мира демонстрировалась выставка, созданная
бременскими математиками Рихтером и Пейтгеном в содружестве с
художниками. На ней экспонировалось около 150 художественных
572

изображений фракталов. Весь мир обошли компьютерные
«лунные» пейзажи, выполненные Мандельбротом и его сотрудниками
на основе фрактальных множеств Бенуа.
Размерность фракталов
Внутренние свойства фракталов удобно описывать числовой
характеристикой, получившей название фрактальной размерности.
Размерность определяют следующим образом.
Фракталы являются геометрическими самоподобными
объектами с дробной в общем случае размерностью. Она была впервые
рассмотрена в работах немецкого математика Феликса Хаусдорфа в
1919 г. Если объект разбит на N равных между собой подобъектов,
подобных самому объекту с коэффициентом подобия г, то размер-
и logJV
ность d находят из соотношения Nr = 1, т. е. d = -—,.,,.• Если,
log(l/r)
например, разрезать куб на 1000 равных кубиков, то ребро
маленького кубика будет в 10 раз меньше ребра исходного куба. В данном
случае N = 1000, г = 1/10, следовательно, d = 3.
Найдем размерность ковра Серпиньского, рассмотренного в
гл. 33. Коэффициент подобия равен 1/3, а после выбрасывания
центрального квадрата остается восемь квадратов, равных
отброшенному. Следовательно, размерность ковра Серпиньского равна d =
log 8
= и 1,8928. Это уже не линия размерностью 1, но еще и
log3
не поверхность, размерность которой 2. Это что-то среднее между
линией и поверхностью. Оказывается, в природе существуют
объекты, представляющие собой аналог ковру Серпиньского
размерностью d € (1; 2). Это фрактальные агрегаты коллоидных частиц.
Рассмотрим еще два фрактала: второй вариант ковра
Серпиньского и так называемую снежинку Коха.
Ковер Серпиньского (второй вариант). Будем на каждом шаге
отбрасывать центральную часть из равностороннего треугольника.
Получим фигуру, вид которой показан на рис. 39.
Здесь коэффициент подобия равен г = 0,5; N = 3. Следова-
log3
тельно, размерность d = -—-.—; « 1,5850.
,Р V log(l/0,5)
573

Снежинка Коха. Границу этого
фрактала описывает кривая, состоящая
из трех одинаковых фракталов.
Разделим каждую из сторон равностороннего
треугольника на три части и на средних
участках, как на основаниях, построим
наружу новые равносторонние
треугольники. Отбросим основания построенных
треугольников. После первой итерации
получим «звезду Давида». На каждой
следующей итерации будем получающиеся прямые отрезки делить
на три части, на средней части строить наружу равносторонний
треугольник и отбрасывать его основание. Результат первых трех
итераций на одной стороне треугольника представлен на рис. 40.
Рис. 39. Ковер Серпиньско-
го (второй вариант)
-JvJ \У\- лХь? Xsj\^
Рис. 40. Первые итерации при построении снежинки Коха
После многих итераций получим
фигуру, построенную Гельгом фон
Кохом в 1904 г. и названную снежинкой
Коха. Размерность этого фрактала d =
log 4
= та 1,2618. Выглядит он так, как
log3
показано на рис. 41.
Ковры Серпиньского, снежинка
Коха, кривая Пеано — экзотические
линии, являющиеся фантазией
изощренного математического ума. Но
существуют реальные объекты, не
укладывающиеся в привычные представления
практической геометрии. Английский
естествоиспытатель Л. Ричардсон, исследуя очертания береговых
линий, обнаружил, что они также представляют собой объекты с
дробной размерностью, т. е. являются фракталами. Для побережья
574
Рис. 41. Снежинка Коха

Великобритании их размерность равна 1,24; для побережья
Австралии — 1,13. Изломы и шероховатости линии берега, видные на
картах крупного масштаба, постепенно исчезают с уменьшением
масштаба.
Одним из исследователей фракталов был Гастон Жюлиа. В
годы первой мировой войны он открыл так называемые множества
Жюлиа, представляющие собой границы, в различных частях
которых встречаются одни и те же формы разных масштабов. В малой
окрестности границ множеств Жюлиа процесс хаотичен настолько,
насколько это возможно. Ведь вблизи каждой точки границы
содержится бесконечно много аттракторов и хаотических точек.
Фракталы могут иметь самую разную природу. Выше были
приведены примеры геометрических фракталов. Более широко
известны алгебраические фракталы, которые получают с помощью
нелинейных процессов. Фазовое пространство динамических
систем может быть разбито на области притяжения аттракторов, если
оно обладает различными устойчивыми состояниями.
Неожиданностью для математиков стала возможность получения на
компьютерах с помощью примитивных алгоритмов сложных
нетривиальных структур. Примеры некоторых фракталов представлены на
рис. 42—46.
Рис. 42. Кривая Гильберта Рис. 43. Кривая Госпера
575

Рис. 44. Цветок Брандона Нельсона Рис. 45. Дракон Хартера —
Хайтвея
Рис. 46. Куст
Фрактальная геометрия
Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом
в 1977 г. книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».
Мандельброт исследовал сначала фракталы, инвариантные
относительно линейных преобразований, затем фракталы, инвариантные
относительно нелинейных преобразований. Реальное построение
фракталов стало возможным только с возникновением достаточно
мощных компьютеров, так как оно требует повторения огромного
числа простых операций. Позже Мандельброт занялся построени-
576

ем на компьютере и изучением множеств Жюлиа, почти забытых
после 1918 г.
В 1980 г. Мандельброт обнаружил принцип, с помощью
которого образуются самоподобные структуры. Это происходит в
процессах с обратной связью, которые описываются нелинейным законом
(динамической зависимостью) хп+\ — f(xn,c) (рис.47).
=/(*.. с)
Рис. 47. Схема динамического процесса
Ученый решил исследовать процессы с нелинейным законом
xn+i = f(xn,c) в комплексном случае. Он остановился на законе
zn+i = z^ + c, где с — комплексное число. До Мандельброта такие
процессы изучал в 1970-х годах П.Дж. Мирбергер для комплексных
чисел z и действительных значений с.
Если при неизменном комплексном значении с изменять
значения zq, то получим множества Жюлиа. Они очень сильно зависят
от значения с. Андриен Дуади писал, что одни из них похожи на
большие «толстые» тучи, другие напоминают редкие кусты
ежевики, третьи выглядят как искры, летящие в небе во время фейерверка.
Одно множество имеет форму кролика, у многих других — хвосты,
как у морского конька [75].
Если же принять zq = 0 и изменять значения с, то можно
получить не только связные множества Жюлиа, но и множества,
распадающиеся в так называемую пыль Фату. В первом случае
комплексные значения с образуют множество М, которое Дуади
назвал множеством Мандельброта. Это множество является
путеводителем в мире параметров для множеств Жюлиа. На границе
множества М меняется природа этих множеств. При с ф М
множества Жюлиа теряют связность, «взрываются» и превращаются в
пыль Фату.
Получить на комплексной плоскости множество Мандельброта
можно только с помощью ЭВМ, так как требуется провести
огромное количество вычислений. Построенное на ЭВМ множество Ман-
577

дельброта имеет вид, показанный на рис. 48. Впервые это
множество на экране монитора Мандельброт увидел 1 марта 1980 г.
Рис. 48. Множество Мандельброта
Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе
ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг,
коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а
также их комбинации. Однако многие природные системы
настолько сложны и не регулярны, что использование только знакомых
объектов классической геометрии для их моделирования не приводит к
удовлетворительному результату. Как, к примеру, построить модель
горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? В природе
почти нет ровных линий и поверхностей, описываемых
привычными нам уравнениями.
В 1984 г. Мандельброт размышлял, почему геометрию часто
называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее
неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря.
Облака — это не сферы, горы — это не конусы, линии берега — это
578

не окружности, и кора не является гладкой, и молния не
распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто
высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных
масштабов длин в структурах всегда бесконечно.
Существование этих структур бросает нам вызов в виде
трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как
бесформенные, — задачи исследования морфологии аморфного.
Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все
больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не
соответствуют ничему из того, что можно увидеть или
почувствовать [75].
Многие природные образования имеют узорчатую структуру.
Достаточно посмотреть на листья деревьев. Существует большое
сходство между построением фракталов на экране монитора и
развитием живых организмов в природе. Как организм развивается из
зародыша путем деления клеток, так и фрактал строится
повторением простых операций миллионы раз. Так образуется самоподобие.
При большом увеличении элементы множества Мандельброта
похожи друг на друга, но все-таки различны, как различны существа,
населяющие Землю. Идея самоподобия неоднократно встречалась
как у философов, так и у поэтов. Лейбниц предполагал, что внутри
капли воды могут умещаться целые вселенные со своими
планетами. В 1922 г. поэт Валерий Брюсов писал:
Быть может, эти электроны —
Миры, где пять материков,
Искусства, знанья, войны, троны
И память сорока веков!
Еще, быть может, каждый атом —
Вселенная, где сто планет;
Там все, что здесь, в объеме сжатом,
Но также то, чего здесь нет.
Фрактальные объекты встречаются не только на Земле, их много
и в космосе. Вид колец Сатурна на фотографиях, снятых
космическими аппаратами при большом увеличении, напоминает
фракталы. Фракталами являются фотографии спиралевидных галактик.
Фрактальная геометрия позволит описывать природные
объекты, имеющие такие сложные формы, для описания которых в
обычной геометрии не существует достаточных средств. Если при по-
579

строении фрактала в итерационном процессе случайным образом
меняются какие-либо его параметры, то мы имеем стохастические
фракталы. Они дают изображение объектов, очень похожих на
природные несимметричные образования. Это могут быть горные
пейзажи, иллюстрации к произведениям фантастики и т. п.
Таким образом, вопреки ожиданию, что использование
компьютеров позволит навести полный порядок и дисциплину во всех
областях науки, именно они дали возможность лучше понять
гармонию порядка и хаоса.
В XXI в. обязательно появятся устройства, построенные на
принципах фрактальной геометрии. Уже сейчас используются
фрактальные анализаторы для улучшения качества изображений.
С помощью фракталов можно сжимать изображения, хранимые в
электронной форме. Сравнив фрактальные размерности сложных
сигналов, энцефаллограмм или шумов в сердце, медики смогут
диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней
стадии, когда больному еще можно помочь. Метеорологи научились
определять по фрактальной размерности изображения на экране
радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с
большим опережением выдавать морякам и летчикам штормовые
предупреждения.
Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в
науке, технике и искусстве. Но не следует забывать о том, что и
фракталы — не более чем упрощенная модель реальности, которая
не может претендовать на роль универсального ключа к описанию
природы. Английский биолог и философ Джон Бердон Сандерсон
Холдейн сказал, что мир устроен не только причудливей, чем мы
думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать [75].

Глава 35
МАТЕМАТИКА — ВСЕОБЩИЙ ЯЗЫК НАУКИ
Математика, эта «царица и служанка» всех остальных
наук, всегда и везде оказывалась впереди и, подчас
подвергаясь насмешкам, упрекам в ее оторванности от
жизни, отвлеченности, сухости и т. п., прокладывала
новые пути человеческому знанию.
С.Л. Соболев
Математические модели.
Особенности математического языка
В любой науке в той или иной степени приходится исследовать
не только качественные особенности объектов, явлений или
процессов, но и их пространственные и количественные
характеристики, для изучения которых необходим общий метод. Этот общий для
разных наук метод разрабатывает математика.
Каждая наука, пользуясь математическими методами, строит
определенную схему — представление об изучаемом объекте. Эту
схему — представление в виде какой-то формулы, уравнения или
в виде геометрического образа — называют математической
моделью изучаемого объекта. Затем с помощью модели делают
логические выводы, справедливость которых проверяют на практике,
581

в эксперименте. Если результаты практической проверки
подтверждают справедливость этих выводов — следствий построенной
модели, то это служит свидетельством правильности модели; если же
хотя бы один из выводов-следствий не подтверждается на практике,
то ученые уточняют разработанную модель или же вовсе
отказываются от нее и строят новую модель изучаемого объекта. Движение
к истине, к познанию законов природы и общества идет через
построение все более точных, все более правильных математических
моделей.
Таким образом, математика занимается разработкой методов
построения и методов изучения конкретных математических моделей
для разных наук. Для этой цели используются математический
аппарат, математические понятия. Математическая модель
описывается с помощью символов и обозначений, принятых в математике.
Именно поэтому говорят, что математика представляет собой
всеобщий язык науки — математический язык. Это предельно точный,
четкий способ рассказать о самых главных, существенных
свойствах природы. Именно потому, что он лишен всяческих излишеств,
язык этот может служить скелетом мысли, какой бы сложной или
непривычной она ни была.
Математический язык, в отличие от языка, на котором мы
говорим в обыденной жизни, является очень удобным для краткого
и точного описания различных понятий и зависимостей многих
наук. Он дает возможность не только описывать те или иные
зависимости, характеризующие конкретные явления или процессы, но
и осуществлять проверку этих зависимостей посредством
сопоставления результатов вычислений с результатами, найденными
опытным путем. Формулировка зависимостей той или иной науки на
математическом языке позволяет также делать различного рода
предсказания и новые открытия чисто математическим путем.
Например, только на основе вычислений англичанин Д. Адаме и
независимо от него француз У. Леверье открыли существование
планеты Нептун, которая позже была обнаружена с помощью телескопов
в указанном месте небесного свода.
582

Криптография
В Большом энциклопедическом словаре дается такое
определение криптографии: «.. .тайнопись, система изменения письма с
целью сделать текст непонятным для непосвященных лиц» [8, с. 594].
Системы шифрования текстов существовали еще в глубокой
древности. По свидетельству Геродота, в Древнем Египте
параллельно существовали три алфавита: письменный, отражающий
обычный разговорный язык; священный, использовавшийся для
религиозных текстов, и загадочный, применявшийся
предсказателями или для сокрытия смысла сообщений. Тайнопись
существовала в Древней Греции и Древнем Риме. Чтобы упростить процедуру
шифрования, римляне уже в IV в. до н. э. применяли шифрующие
диски.
Научные методы в криптографии впервые появились в арабских
странах. Арабское происхождение имеет и само слово «шифр».
С давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали
все более и более сложные шифры, а секретные службы других
государств пытались эти шифры разгадать.
В XIV в. появилась книга о системах тайнописи, написанная
Чикко Симонетти, сотрудником тайной канцелярии папы римского.
Одним из простейших шифров была «тарабарская грамота», в
которой буквы заменялись другими по определенным правилам.
Однако такие шифры легко разгадывались по характерным
сочетаниям букв. Поэтому стали применять шифры, основанные на
комбинаторных принципах, например на различных перестановках
букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д.
Навыки в разгадке сложных шифров помогли ученым прочитать
тексты, написанные на языках, исчезнувших несколько
тысячелетий тому назад. Французский филолог Жан Франсуа Шампольон,
обладавший большим комбинаторным даром, расшифровал
египетские иероглифы. Еще теснее с комбинаторикой связана история
расшифровки клинописных надписей, сделанных в эпоху Ахаменидов,
и крито-микенского линейного письма [13].
В Средние века шифрами пользовались также ученые для
обозначения своего приоритета в открытиях. Они использовали
анаграммы — тексты с переставленными буквами (например, слова
583

«Москва» и «смоква» — анаграммы). Одну из анаграмм Галилея
расшифровывали так: «Высочайшую планету тройною наблюдал».
Считалось, что в ней идет речь о кольцах Сатурна. При
компьютерной расшифровке в 60-х годах XX в. эта анаграмма была прочитана
как «Привет вам, близнецы, Марса порождение!», что, возможно,
свидетельствует об открытии Галилеем спутников Марса
(впоследствии названных Фобосом и Деймосом), о чем он умолчал.
Для кодирования и расшифровки тайных записей привлекались
математики. Так, Джероламо Кардано написал несколько книг по
криптографии. Еще в конце XVI в. расшифровкой переписки
между противниками французского короля Генриха III и испанцами
занимался Франсуа Виет. Разгневанный испанский король Филипп
обратился к папе римскому с заявлением, что Виет использует
черную магию. От суда инквизиции Виета спасло то, что папа римский
сам был знаком с криптографией.
В истории криптографии XVII и XVIII вв. называют эрой
«черных кабинетов». В тот период во многих странах Европы так
назывались дешифровальные подразделения. В Англии XVII в.
криптографическую службу возглавлял Джон Валлис, крупнейший
математик до Ньютона, который получил должность профессора в
Оксфорде не за работы в области бесконечно малых, а за
редкостные успехи в расшифровке донесений. В России при Анне Иоан-
новне Леонарду Эйлеру кроме математики приходилось заниматься
и криптографией.
В XIX в. возникла необходимость в автоматизации процесса
шифрования. Однако первая практически используемая
криптографическая машина появилась в Германии в 1917 г. Это была роторная
машина, которая впоследствии получила название «Энигма»
(загадка). Ее промышленные образцы изготовлялись фирмой Siemens.
Вначале считалось, что закодированные «Энигмой» сообщения
расшифровать невозможно. Немцы надеялись на сложность своего
шифра при ручной дешифровке. Однако в 1942 г. англичане
применили для расшифровки кодов «Энигмы» быстродействующую ЭВМ
«Колосс», специально созданную для этого Тьюрингом (см. гл. 20).
Высокое развитие криптографической техники в значительной
степени предопределило ход многих боевых операций во второй
мировой войне. Англичане перехватывали донесения немецких гросс-
584

адмиралов Редера и Деница, американцы читали донесения
японских адмиралов.
Исследуя математическими методами надежность шифрования,
интересные результаты получил во время второй мировой войны
американский ученый Клод Элвуд Шеннон, связавший
информатику с криптографией. Он показал, как статистические свойства
сообщения можно использовать для его расшифровки. Работа была
опубликована лишь в 1949 г., так как была засекречена. Этими же
проблемами занимались Винер и Колмогоров, чьи результаты были
опубликованы раньше результатов Шеннона.
В 1976 г. появилась книга молодых американских ученых
У. Диффи и М.Э. Хеммана «Новые направления в криптографии»,
которая не только существенно изменила криптографию, но и
привела к появлению и бурному развитию новых направлений в
математике [11].
Еще несколько десятилетий назад криптография
использовалась почти исключительно для обеспечения безопасности военной
и дипломатической связи, а также для целей разведывательной и
контрразведывательной служб. Вместе с тем начавшееся в 80-е
годы XX в. бурное развитие информационных технологий и
внедрение автоматизированных методов и средств обработки информации
практически во все сферы деятельности привело к необходимости
более широкого использования криптографических средств
защиты информации. С этой необходимостью сталкиваются и
пользователи сети Интернет, и обладатели интеллектуальных банковских
карточек. Именно новые практические приложения криптографии
являются одним из источников ее развития.
Математика и экономика
Применение математики в экономике имеет ряд особенностей,
связанных со спецификой экономических задач.
Во-первых, это задачи с большим числом неизвестных,
имеющих различные динамические связи и взаимоотношения, т. е.
многомерные задачи.
Во-вторых, эти задачи имеют множество возможных решений.
Определенную продукцию можно получить различными способа-
20 Математика древняя и юная 585

ми, по-разному выбирая сырье, применяемое оборудование,
технологию и организуя производственный процесс. Для управления
требуется найти по возможности минимальное число желательно
наилучших вариантов. Это приводит к экстремальной постановке
экономических задач, что предполагает наличие целевой функции, а
часто нескольких целевых функций и соответственно компромисса
между ними.
В-третьих, входными величинами производственных систем
служат материальные ресурсы (природные, трудовые,
капиталовложения, информационные). Из этого следует еще одна
особенность экономических задач — наличие ограничений на ресурсы,
т. е. экономические задачи содержат неравенства.
В-четвертых, случайный характер факторов, влияющих на
экономическую систему, предполагает вероятностный характер
технико-экономических параметров и коэффициентов целевой
функции.
В-пятых, нередко встречаются условия, когда зависимости
между различными факторами или в целевой функции нелинейны.
Поэтому еще одной особенностью экономических задач является
дискретность технико-экономических показателей (не может быть
дробным число предприятий, число рабочих и т.д.) и
неотрицательность их значений.
Применение математики в производстве приводит к
поразительным результатам. Как-то королева Англии пригласила к себе
Ньютона и попросила его сходить на Монетный двор, чтобы подсчитать,
сколько дополнительных помещений, станков и рабочих надо
добавить, с тем чтобы выпускать в 1,5 раза больше монет. Ньютон
провел полдня на Монетном дворе, вникая в производство. Остальное
время суток он находился за письменным столом, занимаясь
расчетами, а утром предложил решение: можно, не добавляя ни
одного нового помещения, станка и рабочего, увеличить выпуск монет
в 2 раза. Для этого достаточно произвести лишь некоторые
изменения в организации производства: изменить последовательность
операций, переставить и по-иному использовать станки, иначе
распределить работу.
Задача, подобная той, которую решил Ньютон, сейчас имеет
массовый характер: постоянно приходится определять, как
рациональнее организовать перевозку грузов, как раскроить материал,
586

чтобы было меньше отходов, как получить максимальную прибыль
из данного производства и т. д. За разработку общего метода
решения подобных задач академик Леонид Витальевич Канторович стал
лауреатом Нобелевской премии.
Канторович внес большой вклад в разработку математических
проблем экономики. Экономическими задачами он заинтересовался
в конце 1930-х годов, а ранее занимался в основном
функциональным анализом. В 1939 г. вышла небольшая брошюра Канторовича
«Математические методы организации производства» — первая
работа по линейному программированию. В работе впервые давалась
математическая постановка производственных задач оптимального
планирования и предлагались эффективные методы их решения.
Следующим важнейшим шагом в этом направлении было
создание Канторовичем в 1942 г. первого варианта капитальной
монографии «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов».
Эта работа настолько опережала свое время и не соответствовала
догмам политической экономии тех лет, что в СССР ее
публикация оказалась возможной только в 1959 г. Книга была переведена на
английский, французский, японский, румынский, словацкий,
польский, сербский, испанский языки. В 1975 г. Канторовичу вместе с
американским экономистом Т. Купмансом была присуждена
Нобелевская премия по экономике с формулировкой: «За вклад в теорию
оптимального использования ресурсов».
В 60-х годах XX в. развернулась дискуссия о математических
методах в экономике. Академик Василий Сергеевич Немчинов
выделял пять базовых методов исследования при планировании:
балансовый метод; метод математического моделирования; векторно-
матричный метод; метод экономико-математических множителей
(оптимальных общественных оценок); метод последовательного
приближения.
В то же время Канторович объединял математические
методы в четыре группы: макроэкономические модели (куда он относил
балансовый метод и модели спроса); модели взаимодействия
экономических подразделений (на основе теории игр); линейное
моделирование, включая ряд задач, несколько отличающихся от
классического линейного программирования; модели
оптимизации, выходящие за пределы линейного программирования (дина-
20* 587

мическое, нелинейное, целочисленное, стохастическое
программирование).
С точки зрения широты применения в реальных процессах
планирования несомненным лидером является метод линейной
оптимизации, разработанный Канторовичем в 30-х годах XX в. Чаще
всего задача линейного программирования применяется при
моделировании организации производства. Метод линейной
оптимизации с того момента, как он был разработан Канторовичем, не
оставался без изменений, а развивался и продолжает развиваться. На
основе объективно обусловленных оценок американским
математиком Дж. Данцигом был разработан симплекс-метод решения задач
линейного программирования.
Несмотря на широкое применение метода линейного
программирования, он учитывает лишь три особенности экономических
задач: большое число переменных, ограниченность ресурсов и
необходимость целевой функции. С этим методом конкурирует другой
хорошо разработанный метод математического моделирования —
динамическое программирование (предложен Р. Беллманом).
Строгое обоснование метода динамического программирования было
получено в результате работ Понтрягина и его учеников. Задачей
динамического программирования является описание
многошаговых процессов принятия решений. Динамическое
программирование является составной частью методов, используемых в
исследовании операций. В основе всей концепции динамического
программирования лежит принцип выбора оптимальной
стратегии, а не перебор всех возможных вариантов.
Одним из подходов к решению экономических задач является
подход, основанный на применении теории игр (см. гл. 27). Суть
этой теории заключается в том, что игрок (участник экономических
взаимоотношений) должен выбрать оптимальную стратегию в
зависимости от того, какими он представляет себе действия
противников (конкурентов, факторов внешней среды и т. д.).
Перспективным методом исследования в экономике следует
считать и стохастическое моделирование. Его роль возрастает с
совершенствованием ЭВМ, позволяющих перерабатывать большие
объемы статистической информации и выявлять более глубокие
588

вероятностные закономерности экономических явлений.
Развитие таких специфических вычислительных систем, как
самообучающиеся системы или системы искусственного интеллекта, даст
возможность широко использовать моделирование экономических
взаимоотношений с помощью деловых компьютерных игр. В
процессе игры самообучающиеся системы будут «приобретать опыт
принятия оптимальных решений» в самых сложных ситуациях,
не теряя при этом преимуществ вычислительной техники перед
мозгом человека (большой объем памяти, прямой доступ к ней,
быстродействие).
Развитие систем компьютерной обработки, накопления и
хранения информации ведет к созданию новой, весьма обширной
информационной базы, которая, возможно, послужит толчком к
появлению новых, ранее неизвестных математических методов поиска и
принятия решений.

Глава 36
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
И ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Причину же этих свойств силы тяжести я до сих
пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не
измышляю... Довольно того, что тяготение на
самом деле существует и действует согласно
изложенным нами законам и вполне достаточно для
объяснения всех движений небесных тел и моря.
И. Ньютон
Закон всемирного тяготения
После установления законов Кеплера и астрономических
открытий Галилея многие ученые заинтересовались астрономией.
В 1666 г. в одном из писем Ньютон сообщил о найденном им
законе, управляющем падением тел и движением планет. Применив
свою формулу к движению Луны, Ньютон признал свое
поражение: астрономы фиксировали местонахождение Луны вовсе не там,
где следовало ей быть по его расчетам. Через 16 лет выяснилось,
что значение радиуса Земли, которым Ньютон пользовался при
расчетах, было неверным. Повторив вычисления с более точным
значением радиуса, Ньютон получил прекрасное совпадение рас-
590

четов с данными астрономических наблюдений, но публиковать
результаты не стал.
В конце XVII в. к формулировке закона всемирного тяготения
подошли англичане Эдмунд Галлей, Кристофер Рен и Роберт Гук.
Последний в 1680 г. в письме Ньютону сообщил, что пришел к
выводу о существовании силы притяжения, обратно
пропорциональной квадрату расстояния между телами. В январе 1684 г. Галлей с
Реном также заключили, что притяжение следует закону обратных
квадратов, но не знали, как из такого вывода получить законы
Кеплера и рассчитать орбиты планет. В мае Галлей попросил
заняться этой проблемой Ньютона. Ньютон ответил, что задача им давно
решена. В июне — июле Ньютон написал трактат «О движении»,
ставший ядром будущих «Математических начал натуральной
философии».
Первая книга «Начал» была представлена Лондонскому
Королевскому обществу 28 апреля 1686 г., вторая — осенью 1686 г.,
третья — в апреле 1687 г. После этой публикации имя Ньютона обрело
широкую известность. При его жизни «Начала» выдержали три
издания. Они были весьма трудны для чтения. Величайшей заслугой
Ньютона можно с полным основанием считать открытие единых
законов, управляющих движением тел в космосе и на Земле. Найти
какую-нибудь связь между земными и небесными явлениями —
такая задача будоражила умы великих ученых. И величайший из них
справился с этой задачей.
Ньютон превратил общие соображения в четко поставленную
математическую задачу и, не вдаваясь в выяснение физической
природы силы притяжения, блестяще решил эту задачу с помощью им
же разработанного математического метода. Чтобы подвести
прочную основу под все свое грандиозное исследование небесных и
земных движений, Ньютон сформулировал в своих «Началах» три
закона движения, известные ныне как законы Ньютона (хотя первые
два закона были сформулированы еще Декартом и Галилеем).
Первый закон Ньютона: всякое тело продолжает
удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного
движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными
силами изменять это состояние.
591

Второй закон Ньютона: изменение количества движения
пропорционально приложенной движущей силе и происходит по
направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Третий закон Ньютона: действию всегда есть равное и
противоположное противодействие, иначе: воздействия двух тел друг
на друга между собою равны и направлены в противоположные
стороны.
К этим трем законам Ньютон добавил закон всемирного
тяготения
где F — сила тяготения; Мит — массы тел; г — расстояние
между ними; к — коэффициент, одинаковый для всех тел. Ньютон
обобщил этот закон и возвел в ранг универсального,
применимого ко всем телам во Вселенной. Получив некоторые подтверждения
справедливости закона всемирного тяготения, Ньютон показал
далее, что он применим к движениям на поверхности Земли и
вблизи нее.
Ньютону удалось достичь одной из главных целей программы
Галилея, ибо он показал, что законы движения и закон всемирного
тяготения принадлежат к числу фундаментальных принципов.
Подобно аксиомам Евклида, эти законы служат логической основой
для получения других физически значимых законов. Построив
цепочку безукоризненных дедуктивных умозаключений, Ньютон
показал, что все три закона движения планет, полученные Кеплером,
следуют из открытых Ньютоном законов движения и закона
всемирного тяготения. Ньютон подводил все новые обоснования под
математические начала физики и выводил из них следствия. Он
вычислил массу Солнца и мог вычислить массу любой планеты с ее
спутниками. Применив понятие центробежной силы к суточному
вращению Земли вокруг собственной оси, Ньютон оценил
величину экваториального «выпучивания» Земли и обусловленное им
изменение веса тела при перемещении из одной точки земной
поверхности в другую. По известным из наблюдений отклонениям формы
некоторых планет от сферической Ньютон определил периоды их
вращения вокруг собственных осей. Он показал, что морские
приливы связаны с гравитационным притяжением Земли Солнцем и
Луной.
592

Галлей не только убедил Ньютона написать «Начала», но и взял
на себя все расходы и хлопоты по изданию. За это он приобрел
нерасположение Гука (который с 1679 г. был секретарем Лондонского
Королевского общества). Гук считал, что он первым открыл закон
всемирного тяготения [69].
М. Льоцци писал, что характер у Гука был непростым, но у него
были редкий изобретательский талант (ему приписывают около 100
изобретений) и гениальная интуиция, которая позволяла ему
установить основные динамические законы, управляющие Солнечной
системой; однако из-за непостоянства характера и
недостаточности математических знаний он не мог их систематически изложить.
Гук объявил, что Ньютон присвоил себе его открытие. Поскольку
Гук настаивал на своем приоритете и относительно многих
пунктов ньютоновой «Оптики», завязалась длительная и малоприятная
для обеих сторон полемика. Мнения ученых склонились в пользу
Ньютона.
Необходимо отметить, что не все ученые континентальной
Европы считали верными результаты, полученные Ньютоном.
В 1747 г. Эйлер, Клеро и Даламбер пришли к одному и тому же
заключению: Ньютон совершил ошибку. При описании движения
Луны математическое выражение для силы притяжения должно
иметь более сложный вид, чем у Ньютона, и состоять из двух
слагаемых. На протяжении двух последующих лет они пребывали в
уверенности, что природа доказала ошибочность выводов Ньютона,
и эта уверенность вдохновила их. Последующее развитие событий
вынудило этих ученых признать свою ошибку. Закон всемирного
тяготения успешно выдержал все проверки: многочисленные
случаи кажущегося нарушения этого закона превратились в блестящее
подтверждение его правильности [81].
Считается, что никакое произведение научной литературы не
может быть сопоставлено с «Математическими началами
натуральной философии». Ньютону суждено было открыть систему мира, а
такое может случиться лишь однажды. Лагранж назвал это
сочинение «величайшим из произведений человеческого ума»;
«памятником глубины гения» назвал «Начала» Лаплас.
Став еще при жизни почти национальным героем, Ньютон
примерно через столетие превратился в символ научной революции в
593

Европе. Научные результаты, изложенные Лапласом в «Небесной
механике», подтвердили методическую правильность результатов,
полученных Ньютоном, уточнили их и дополнили. Астрономы
взирали на небо, где безраздельно царила математика. Ньютонова
система успешно преодолела все препятствия на своем пути. Более
того, она проложила путь математическому методу, позволившему
учесть все наблюдаемые отклонения в движениях планет и даже
использовать их для вывода о существовании еще не известной
планеты. Предсказание планеты Нептун явилось своего рода
освящением предсказательной силы, присущей ньютоновой картине
мироздания [81].
Задача трех тел
Орбита, по которой планета обращается вокруг Солнца, была
бы эллипсом лишь в том случае, если бы не существовало других
планет. Но в Солнечной системе их девять, многие из них имеют
свои естественные спутники, и все они не только обращаются
вокруг Солнца, но и притягиваются друг к другу в соответствии с
законом всемирного тяготения Ньютона. Следовательно, их орбиты не
могут быть идеально эллиптическими. Чтобы определить точные
орбиты планет, пришлось бы решить общую задачу многих тел, т. е.
оценить движение любого числа тел, каждое из которых
притягивает все остальные. Однако задача многих тел и поныне не поддается
аналитическому решению.
Частным случаем задачи многих тел является так называемая
задача трех тел, которую можно сформулировать следующим
образом: в пустоте находятся три материальные точки,
взаимодействующие по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы их
массы, начальные положения и скорости. Требуется найти
положения точек для всех последующих моментов времени.
Задача трех тел, как и общая задача многих тел, не имеет
общего аналитического решения. Ввиду особой важности задача трех
тел привлекала к себе внимание многих выдающихся математиков
и механиков. Лагранж, Якоби, Пуанкаре, американский математик
Джордж Биркгоф и другие затратили на поиск решения много лет
упорного труда, выдвинув множество блестящих идей, получив
594

большое число ценных методов и результатов, но построить общее
решение так и не удалось. Тем не менее уже более 200 лет известны
ее точные частные решения.
Лагранж со свойственным молодости бесстрашием взялся за
решение математической задачи о движении Луны под
действием притяжения Солнца и Земли и добился успеха, когда ему было
28 лет. Он установил, что изменения видимой части Луны
обусловлены экваториальными «выпучиваниями» Земли и Луны. Дело
в том, что, хотя Луна постоянно обращена к Земле одной и той
же стороной, периодически становятся видимыми то бблыдие, то
меньшие области ее обратной стороны, примыкающие к краю
видимого диска. Кроме того, ему удалось показать, что силы
притяжения, действующие на Землю со стороны Солнца и Луны, вызывают
довольно значительные колебания земной оси относительно
космического пространства. Таким образом, выяснилось, что
периодические изменения направления оси вращения Земли, замеченные
наблюдателями еще в античные времена, являются следствием
закона всемирного тяготения.
В 1772 г. Лагранж опубликовал свою знаменитую работу «О
задаче трех тел», удостоенную впоследствии премии Парижской
Академии наук. В ней, занимаясь уравнениями задачи трех тел, он,
между прочим, указывает на существование двух классов движений в
задаче трех тел, которые описываются несложными
математическими формулами.
Для небесной механики и динамики космических полетов
наиболее важна так называемая ограниченная задача трех тел. Она
состоит в изучении движения тела Р малой массы гпз под действием
ньютоновского притяжения тел S и J, обладающих большими
массами mi и 7П2 {гп\ 3> тз; тог 3> тз), в предположении, что тело
малой массы не влияет на движение тел больших масс.
Анализ ограниченной задачи трех тел сводится к исследованию
движения только одного тела Р малой массы. Например, если
пренебречь притяжением Солнца, то движение космического аппарата
на трассе Земля — Луна с приемлемой точностью описывается в
рамках ограниченной задачи трех тел. Конечно, ограниченная
задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тел, но
и ее общее решение до сих пор также не найдено.
595

Если тела S и J движутся по окружностям, то говорят о
круговой ограниченной задаче. Выбрав систему координат,
вращающуюся вместе с телами S и J (О — центр масс S и J), Лагранж получил
в качестве точного решения задачи пять фиксированных точек
равновесия тела Р (рис. 49). Эти точки называют точками либрации или
либрационными центрами.
2, s^to
\LA
Lx г J Ьъ х
/
/
/
\ /
\ /
Рис. 49. Точки либрации
Точки L\,Ij2, Ьз не являются устойчивыми. Это значит, что
частицы космической материи, попадающие в окрестность одной из
этих точек, с течением времени выбрасываются из этой
окрестности. Точки Ь^ и L§ являются устойчивыми при определенных
условиях. Исследованиями многих ученых были найдены необходимые
условия устойчивости.
После обнаружения точных решений задачи трех тел многим
казалось, что они представляют только теоретический интерес. Сам
Лагранж относился к ним не более как к любопытному
математическому курьезу, не имеющему значения для астрономии.
В 1907 г. в Гейдельберге астрономы открыли астероид,
движущийся вблизи орбиты Юпитера впереди него на 60° и образующий
вместе с Солнцем и Юпитером равносторонний треугольник. Тем
самым в природе было обнаружено движение, существование
которого предсказывалось теоретическим исследованием Лагранжа,
выполненным 135 годами ранее! Новооткрытому астероиду дали
596

имя Ахиллес. Для астероида он находился необычайно далеко.
Анализ его орбиты показал, что он всегда остается возле точки Лагран-
жа L4 в системе Солнце — Юпитер [63].
В результате последующих затем наблюдений было
открыто еще восемь астероидов, движущихся недалеко от Ахиллеса в
окрестности вершины равностороннего треугольника, а также пять
астероидов, отстающих от Юпитера на 60° и образующих с ним и
Солнцем другой равносторонний треугольник (рис. 50).
«Греки>>^г^Г1Т7Г1^Г>чЮпитер
«Троянца»
Рис. 50. «Греки» и «троянцы»
Все эти астероиды (малые планеты) получили мужские имена,
взятые из древнегреческого эпоса о Троянской войне. Астероиды
первой группы названы именами героев греческого войска, поэтому
эти астероиды иногда называют «греками». Астероиды, отстающие
от Юпитера, были названы в честь защитников Трои — их часто
именуют «троянцами». Точки L4,1/5 обычно называют троянскими
положениями.
В недавнее время интерес к точкам либрации возрос в связи
с практическими потребностями космических исследований.
Существуют проекты запуска искусственных спутников в
окрестности точек либрации Солнечной системы. Все чаще
подчеркивается важность необычных динамических свойств точек либрации с
астрономической, геофизической и эксплуатационной точек
зрения. Были проекты создания в точках либрации баз для стоянок и
технического обслуживания космических станций, для проведения
космических аварийно-спасательных работ, размещения установок
по осуществлению технологических процессов, требующих
невесомости и высокого вакуума. Обсуждались проекты постройки
597

в точках либрации внеатмосферных астрофизических
обсерваторий и т. д. Многие из этих проектов кажутся сегодня
фантастическими. Айзек Азимов предлагал посылать в районы точек либрации
радиоактивные отходы и объявить эти районы запретной зоной,
чтобы избежать опасности для космических кораблей [1].
Точки либрации системы Земля — Луна предполагается
использовать для размещения там ретранслятора для связи наземного
пункта с космическим аппаратом, находящимся на обратной
стороне Луны или на орбите искусственного спутника Луны, когда он
находится за Луной и непосредственная прямая радиосвязь с ним
невозможна. Ведь на Луне, в отличие от Земли, нет ионосферы,
отражающей короткие волны.
Независимо от конкретных космических приложений точки
либрации имеют и самостоятельный общемеханический и
математический интерес. Многочисленные исследования показали, что сами
точки либрации и характер движения в их окрестности тесно
связаны с характером движения в задаче трех тел, что крайне важно
ввиду того, что общее решение задачи трех тел, как уже говорилось, не
найдено.
В XIX в. были предприняты многократные попытки решения
задачи трех тел с использованием новой функции —
гамильтониана (или функции Гамильтона). Она является не чем иным, как
полной энергией системы, т. е. суммой ее кинетической и
потенциальной энергий. Но в гамильтониане полная энергия представлена
как функция координат и импульсов, а не координат и скоростей.
Существует множество различных представлений одной и той же
динамической системы, в каждом из которых уравнения движения
сохраняют гамильтонову форму. Эти представления
соответствуют различным выборам координат и импульсов. Наиболее простые
случаи приводят к интегрируемым системам уравнений.
В конце XIX в. ученые изменили цель своих усилий по решению
задачи трех тел: они сконцентрировали свои усилия на том, чтобы
показать невозможность построения общего решения. Это удалось
сделать Брунсу и Пуанкаре, доказавшим, что общее решение задачи
трех тел нельзя выразить через алгебраические или
трансцендентные функции координат и скоростей тел.
598

В настоящее время общее решение может быть найдено только
с помощью бесконечных рядов того или иного характера. Такое
решение было предложено в 1912 г. финским математиком К. Зунд-
маном, который в результате глубоких исследований дал общее
решение задачи трех тел в виде рядов по степеням некоторой
вспомогательной переменной, введенной им вместо времени t. Через
20 лет было показано, что практическая значимость результата
Зундмана ничтожна. Французский ученый Д. Белорицкии пришел
к выводу, что для того, чтобы вычислить положение какой-либо
планеты с точностью, даваемой современными астрономическими
ежегодниками, нужно в этих рядах взять число членов,
выражаемое единицей со многими десятками нулей. Такие вычисления не
доступны даже для современных компьютеров.
Исследования задачи трех тел продолжаются до настоящего
времени. В 1954г. в работах А.Н.Колмогорова по теории
динамических систем (более точно — по теории возмущений
условно-периодических движений) было положено начало методу
Колмогорова — Арнольда — Мозера, легшему в основу
одноименной теории. Этот метод считается одним из крупнейших
достижений математики XX в. По утверждению И.М. Гельфанда, в трудах
В.И. Арнольда и А.Н. Колмогорова разработан совершенно новый
математический метод. Применение его позволило им решить ряд
проблем, которые «не поддавались», несмотря на усилия многих
выдающихся математиков, механиков и астрономов. В качестве
примера можно опять-таки указать задачу трех тел. В.И. Арнольд,
применяя разработанные его учителем А.Н. Колмогоровым
методы, сумел доказать существование достаточно большого «массива»
устойчивых решений в этой задаче. Это исследование имеет,
например, прямое отношение к вопросу об устойчивости Солнечной
системы. Новые методы оказались настолько плодотворными, что
их удалось применить для исследования не только классических
проблем, но и целого ряда задач, значение которых осознано только
сейчас, — таких, как задача движения заряженных частиц в
магнитных ловушках.

Глава 37
МАТЕМАТИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА В XX В.
Можно отметить разницу между ходом
мышления физика, который ищет
краткости, и ходом мышления математика,
который стремится достичь точности.
А. Фуше
Сопоставление математики и физики
Американский физик-теоретик, один из основателей квантовой
электродинамики, Нобелевский лауреат по физике 1965 г. Ричард
Филлипс Фейнман в цикле лекций «Характер физических законов»
писал, что возможны два взгляда на математику. Для удобства один
из них он назвал вавилонской традицией, а другой — греческой
традицией. В вавилонских школах математики ученик решал
огромное множество примеров, пока не улавливал общего правила. Он
подробно знал геометрию, множество свойств круга, теорему
Пифагора, формулы для площадей квадратов и треугольников; кроме
того, существовали некоторые способы выводить одно из другого.
Имелись числовые таблицы, с помощью которых можно было
решать сложные уравнения. Все было подготовлено для того, чтобы
проводить вычисления.
600

Но Евклид обнаружил, что все теоремы геометрии можно
вывести из нескольких простых аксиом. Вавилонский подход — назовем
его вавилонской математикой — заключается в том, что вы знаете
самые разные теоремы, многие связи между ними, но не осознаете
до конца, что все они могут быть выведены из набора аксиом. Самая
же современная математика делает упор на аксиому и
доказательства, исходя из очень четких соглашений о том, что можно и что
нельзя считать аксиомами. Современная геометрия берет аксиомы,
подобные евклидовым, но несколько усовершенствованные, и
выводит из них все остальное. Например, такие теоремы, как теорема
Пифагора, не будут аксиомами. Но возможно и другое построение
геометрии — так, например, в геометрии Декарта теорема
Пифагора является аксиомой. ... Дорога, которая начинается с выбора
наилучших аксиом, не всегда кратчайшая дорога к цели. В физике нам
нужен вавилонский путь. ... Мы не можем сказать заранее, не
прибегая к интуиции, как лучше всего строить систему, чтобы прийти к
новому закону. Мы постоянно должны иметь в виду все возможные
способы описания; поэтому физики занимаются вавилонской
математикой и уделяют мало внимания аксиоматическому построению
своей науки [100].
Фейнман указывает, что в физике необходимо полученные
выводы переводить на язык природы, чтобы проверить их
экспериментально. Только так можно проверить истинность выводов. В
математике этой проблемы не существует. Математики любят придавать
своим рассуждениям возможно более общую форму. Физиков
интересуют только частные случаи.
Умозрительные модели часто помогают в работе. Но всегда
выходит так, что величайшие открытия абстрагируются от модели и
модель оказывается ненужной. Максвелл создал электродинамику,
наполнив пространство массой воображаемых шестеренок и
зубчатых колесиков. Но колесики и шестеренки были отброшены, а
теория осталась. Дирак, получивший в 1933 г. Нобелевскую премию
совместно с Шредингером, открыл правильные законы
релятивистской квантовой механики, просто угадав уравнение. Это
доказывает, что математика дает глубокое описание природы, а всякая
попытка выразить природу, опираясь на философские принципы или
интуитивные механические аналогии, обычно не приводит к
серьезным результатам.
601

Академик А.Б. Мигдал в статье «Физика и философия» писал:
«Все естественные науки нуждаются в математике. Однако везде, за
исключением физики, математика используется только как
вспомогательный инструмент. Так, в биологии формализуется лишь та
сторона явлений, которая сводится к физическим процессам, главное
же — процессы жизни — определяется скорее количественными
характеристиками и пока не требует изощренной математики. Роль
математики в физической науке гораздо глубже. Дело не только в
том, что физика не может обойтись без математического языка и
математического аппарата, и даже не в том, что математик позволяет
вычеркнуть из списка трудностей вывод однозначных следствий из
уравнений, описывающих законы природы. Самое важное, что
математика позволяет сформулировать интуитивные идеи и гипотезы
в форме, допускающей количественную проверку. Не обсчет
фактов, а возможность проверки гипотез, лежащих в основе законов,
составляет главную ценность математики как инструмента
познания физического мира ... <... >
Физическая картина мира и его строгое математическое
описание дополнительны. Создание физической картины требует
качественного подхода, пренебрежения деталями и уводит от
математической точности. И наоборот — попытка точного математического
описания настолько усложняет картину, что затрудняет физическое
понимание. В этом смысл слов Бора, утверждавшего, что ясность
дополнительна истине» [66, с. 9, 16].
Ньютон, открывший единые законы, управляющие движением
тел на небе и на Земле, признал, что не смог указать причины
всемирного тяготения, хотя фактически им была доказана и
частично реализована возможность количественного расчета параметров
движения любого тела в Солнечной системе. Отказ от объяснения
физического механизма в пользу математического описания явился
сильнейшим потрясением даже для выдающихся ученых —
современников Ньютона.
Возможность получения математических следствий из
количественного закона принесла столь богатые плоды, что эту процедуру
стали считать неотъемлемой частью физической науки. Понимание
физических причин явления было принесено физикой в жертву
математическому описанию и математическому предсказанию. Стало
602

очевидно, что лучшее знание физического мира есть знание
математическое.
Мы можем утверждать, что не располагаем никаким
физическим объяснением действия электрического и магнитного полей.
Уравнения Максвелла позволили ученым использовать в технике
электромагнитные явления, несмотря на отсутствие понимания их
физической природы. Количественные законы — это все, чем мы
располагаем, пытаясь дать точное рациональное объяснение.
Математические формулы точны и всеобъемлющи, качественная
интерпретация расплывчата и неполна. Электроны, электрическое и
магнитное поля — не более чем имена переменных, входящих в
формулы; как заметил по этому поводу Гельмгольц, в теории Максвелла
электрический заряд является лишь носителем символа.
Но если физическое понимание электромагнитных явлений
отсутствует, а наша способность рассуждать о них, пользуясь
физическими понятиями, весьма ограничена, то какова в этом случае
природа нашего понимания электромагнитных реалий? На чем мы
основываемся, утверждая, что нам удалось овладеть
электромагнитными явлениями? Математические законы — всего лишь
средство для анализа и использования этой обширной области
реального мира; математические законы — единственное знание, которым
человеческий разум располагает, размышляя о загадочных
явлениях электромагнетизма.
Пользуясь и теорией гравитации Ньютона, и теорией
электромагнитного поля Максвелла, мы вынуждены признаться в незнании
основных механизмов и возложить на математику описание того,
что нам известно.
Почему математика оказывается таким точным и незаменимым
инструментом, вскрывающим красоту опытных наук? Не означает
ли это, что математика изучает не только мир логических
построений сам по себе, но и все возможные реализации мира вещей?
Изучает не нашу единственную Вселенную и не только те законы,
которые в ней выполняются, но и все возможные законы, которые могли
бы реализоваться при других начальных условиях или в других
вселенных?
Современная наука постепенно отошла от интуитивного и
физического содержания, которое апеллирует к чувствам. Она все
более исключает из системы своих представлений классический образ
603

материи, прибегая к таким идеальным понятиям, как «поля» или
«электроны», относительно которых нам известны лишь
математические соотношения, которым они удовлетворяют. Естествознание
стало вымыслом, рационализированным с помощью математики.
Более всего реальному миру соответствует не то, о чем говорят
наши органы чувств с их ограниченным восприятием внешнего
мира, а то, что говорят нам созданные человеком математические
теории, охватывающие достаточно широкий круг явлений.
Математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно
различных аспектов реальности.
Наши представления о мире находятся в соответствии с
уровнем развития математического аппарата. Пытаясь построить
теорию какого-либо явления, ученые используют тот математический
аппарат, который позволяет им продвинуться к желанной цели.
Так, Кеплер использовал эллипсы, Эйнштейн — тензорный анализ.
История науки говорит о том, что на смену старым теориям
приходят новые, как, например, на смену ньютоновой механике пришла
специальная теория относительности, а старую теорию строения
атома заменила квантовая теория. Поэтому существующая
математическая теория физического мира — символическая конструкция,
которая будет непрерывно совершенствоваться.
Даже если математические структуры сами по себе не
отражают реальности физического мира, тем не менее они являются
единственным ключом к научному познанию реальности.
Математика и теория относительности
Мы останемся верными принципу
относительности в его наиболее широком смысле, если
придадим такую форму законам [природы], что
они окажутся применимы в любой
четырехмерной системе координат.
А. Эйнштейн
Ньютон считал пространство и время абсолютными и в
«Математических началах натуральной философии» определял их
следующим образом: «Абсолютное, истинное математическое время
само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения
к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется
604

длительностью... Абсолютное пространство по самой своей
сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается
всегда одинаковым и неподвижным» [72, с. 30]. Понятия
абсолютного пространства и времени Ньютон рассматривал как
объективную реальность независимо от материальных тел или
человеческого опыта. Многие из современников и преемников Ньютона,
главным образом Эйлер и Кант, разделяли его убеждения.
В 1881 г. американские физики решили поставить эксперимент,
который показал бы, что Земля движется в покоящемся эфире. Этот
эксперимент, основанный на очень простом принципе, задумал и
осуществил Альберт Майкельсон. Ни малейших признаков,
которые свидетельствовали бы о том, что Земля движется в покоящемся
эфире, не было замечено.
В конце XIX в. физики полагали, что в любой инерциальной
системе отсчета дифференциальные уравнения в частных
производных имеют одинаковый вид. Иначе говоря, считалось, что в теории
электромагнитного поля все обстоит так же, как в механике
Ньютона. Но, как выяснилось, подобная точка зрения приводит к
противоречию.
Преобразование уравнений Максвелла из одной системы
отсчета в другую, движущуюся равномерно и прямолинейно
относительно первой, показало, что эти уравнения ведут себя иначе, чем
законы Ньютона в механике. В классической механике простое
преобразование переводит одну систему отсчета в другую, но при том
же преобразовании вид уравнений Максвелла изменяется.
Выход из создавшегося положения предложил выдающийся
нидерландский физик-теоретик Хендрик Антон Лоренц. Он поставил
вопрос: что получится, если сохранить инвариантность уравнений
Максвелла и ввести надлежащие изменения в закон
преобразования из одной системы отсчета в другую? Лоренц получил
следующие формулы преобразования одной системы координат в другую,
движущуюся относительно первой с постоянной скоростью v:
, х — vt i , , t — vx/c2
x = —. =, у = у, Z = Z, t = — z.
v/l~i;2/c2 y/1 - v2/c2
В 1905 г., ознакомившись с работой Лоренца и экспериментом
Майкельсона, Эйнштейн предпринял попытку устранить столь яв-
605

ное расхождение между классической механикой и теорией
Максвелла. Одна из работ, выполненных Эйнштейном в 1905 г.,
называлась «К электродинамике движущихся тел». В ней излагалась
специальная (или частная) теория относительности. По существу,
в своем ограниченном варианте специальная теория
относительности родилась в недрах теории электромагнитного поля Максвелла.
Эйнштейн предположил, что и в механике для преобразования из
одной инерциальной системы в другую следует пользоваться
соотношениями не Галилея, а Лоренца.
Экспериментально установленный факт постоянства скорости
света для всех наблюдателей (независимо от движения источника
света) Эйнштейн принял в качестве одного из постулатов
специальной теории относительности. Из этих постулатов вытекали
следствия.
Первое следствие. Два наблюдателя, один из которых движется
равномерно и прямолинейно относительно другого, разойдутся во
мнении относительно одновременности событий.
В популярной статье 1898 г. «Измерение времени» Пуанкаре
высказал мысль об условности определения одновременности.
По Эйнштейну, в любой инерциальной системе координат
вспышки света в разных точках считаются одновременными, если
свет одновременно приходит в точку, лежащую на равном
расстоянии от них. Из этого определения сразу же следует относительность
одновременности: события, одновременные для неподвижного
наблюдателя, не одновременны для движущегося.
Из мысли об условности одновременности Пуанкаре и
Эйнштейн сделали разные выводы. Эйнштейн, установив
относительность одновременности в разных инерциальных системах,
заключил, что время течет по-разному для неподвижного и движущегося
объекта. Пуанкаре принял ньютонову концепцию абсолютного
времени и пространства. Он считал утверждения Эйнштейна
условными и не принял теорию относительности.
Второе следствие. Два наблюдателя, один из которых движется
равномерно и прямолинейно относительно другого, разойдутся во
мнении при измерениях расстояний.
Теория, выдвинутая Лоренцем и развитая Пуанкаре, отличается
от той, которую мы называем теорией относительности. У Лоренца
606

и у Пуанкаре, в отличие от Эйнштейна, лоренцево сжатие
получается не как неизбежное следствие кинематики, а как результат
изменения баланса сил между молекулами твердого тела при движении.
В 1909 г. в Геттингене Пуанкаре прочел лекцию «Новая
механика», где перечислил постулаты, принятые в его теории: 1)
физические законы не зависят от выбранной инерциальной системы;
2) скорость материального тела не должна превышать скорость
света; 3) тела сжимаются вдоль движения. О третьем постулате
Пуанкаре говорил, что необходимо принять гораздо более странную
гипотезу, противоречащую всему, к чему мы привыкли: тело при
движении испытывает деформацию в направлении движения. Это
означало, что с позиций Лоренца и Пуанкаре сокращение Лоренца
выглядит удивительным событием, которое почему-то должно
выполняться для всех видов сил. Между тем у Эйнштейна оно
является прямым следствием двух его постулатов: требования
неизменности законов природы при изменении инерциальной системы и
постоянства скорости света.
Третье следствие. Правило сложения скоростей тоже выгля-
дит непривычно: V = т~о- Здесь v — скорость системы;
1 + uv/cz
и — скорость объекта относительно движущейся системы; V —
скорость объекта для наблюдателя, находящегося вне системы.
Четвертое следствие. Это самое необычное следствие
специальной теории относительности касается массы движущегося тела:
масса любого объекта увеличивается сростом скорости.
Зависимость массы от скорости Эйнштейн рассмотрел в
четвертой из своих статей, опубликованных в 1905 г. Если т — масса тела,
покоящегося относительно наблюдателя, a М — масса тела,
движущегося со скоростью v относительно наблюдателя, то они связаны
т
соотношением М = — =.
у/1 - V2/C2
В книге «Сущность теории относительности» Эйнштейн
сформулировал итог своих рассуждений следующим образом: «Масса и
энергия сходны по существу — это только различные выражения
одного и того же. Масса тела не постоянна; она меняется вместе с
его энергией» [43, с. 196].
607

Лоренц и Пуанкаре внесли глубочайший вклад в теорию
относительности, но не сделали того переворота, который совершил
Эйнштейн. После работы Пуанкаре 1898 г. и работы Лоренца 1904 г.
оставалось сделать еще одно решительное усилие — принять
относительность пространства — времени, но этот шаг требовал
другого типа мышления, другой философии. Лоренцу помешала его
глубокая приверженность философии физики XIX в. Могучая
математическая интуиция Пуанкаре оказалась шире той задачи, которую
решил Эйнштейн. Из всех возможных вариантов, которые были
ясны Пуанкаре, он не стал выбирать тот вариант, который Эйнштейн
считал единственным.
Во второй половине XX в. многие физики изменили взгляды на
соотношение вклада Эйнштейна и Пуанкаре в создание
специальной теории относительности в пользу Пуанкаре.
На работы Эйнштейна в более поздний период сильное влияние
оказали идеи немецкого математика и физика Германа Минковско-
го, одного из ведущих профессоров Цюрихского политехникума в
период обучения там Эйнштейна, друга Гильберта. Сначала
Эйнштейн верил, что для формулировок фундаментальных законов
физики подойдут самые примитивные математические средства.
Убедившись в противоположном, он обнаружил, что именно Минков-
ский, лекции которого он считал неинтересными, создал
математическое понятие пространства — времени, давшее возможность
ему самому сформулировать общую теорию относительности.
Эйнштейн развил идею Минковского о том, что Вселенную следует
рассматривать как четырехмерный пространственно-временной мир,
но эти поразительные новшества специальной теории
относительности не позволили разрешить все трудности.
Эйнштейн предпринял попытку распространить специальную
теорию относительности на такие системы отсчета, которые
движутся относительно друг друга ускоренно. Он пришел к идее
искривленного пространства — времени. Основная идея общей
теории относительности Эйнштейна состоит в том, что геометрия
пространства — времени учитывает распределение материи, а
гравитация исключается.
Эйнштейну необходимо было удостовериться, что законы
остаются одинаковыми для всех наблюдателей. Для этого ему нужно
608

было сформулировать эти законы так, чтобы они сохраняли свой
вид при преобразовании из системы координат одного наблюдателя
в систему координат другого. Перед Эйнштейном встала чисто
математическая проблема. По подсказке своего коллеги Георга Пика
Эйнштейн вместе со специалистом по дифференциальной
геометрии Марселем Гроссманом стал рассматривать возможность
использования в своих работах тензорного анализа. В 1913—1914 гг.
Гроссман и Эйнштейн опубликовали три совместные работы. В
последующие годы Эйнштейн настолько овладел математическим
аппаратом, что мог свободно пользоваться римановой геометрией и
тензорным анализом для формулировки общей теории
относительности и описания того, каким образом преобразуются законы при
переходе от одной системы координат к другой. В 1915 г. Эйнштейн
написал четыре работы по общей теории относительности,
решающая из которых датирована 25 ноября 1915г. В ней говорится, что
записанные в тензорных обозначениях законы природы сохраняют
одну и ту же форму во всех математически приемлемых системах
координат. Он высказал также предположение, что свет далекой
звезды, проходя вблизи Солнца, должен отклоняться, и оценил
величину отклонения. В 1919 г. в Бразилии во время солнечного
затмения расчеты Эйнштейна были подтверждены
экспериментально.
Теория относительности объединила пространство и время в
четырехмерный континуум и показала, какое влияние оказывает
распределение материи на геометрию пространства — времени.
Благодаря проникновению этих идей в философские концепции мира
природа предстает перед нами как органическое целое, где
неразрывно слиты пространство, время и материя.
Интересные результаты в теории относительности были
получены российским математиком Александром Александровичем
Фридманом. В 1922 г. он написал книгу «Мир как пространство
и время». В том же году вышла его статья о кривизне
пространства. Кривизной пространства называют особую математическую
величину, зависящую от распределения масс в пространстве. Для
нее выведено специальное дифференциальное уравнение, которое
было проинтегрировано Эйнштейном, причем он получил для
кривизны пространства постоянное во времени значение. Фридман же
609

нашел другие решения, из которых вытекало, что кривизна
пространства может изменяться периодически, а может и возрастать с
течением времени. Сначала этот результат Фридмана не был
оценен, а самому Эйнштейну показалось, что у Фридмана неверное
решение, о чем он написал в журнале Annalen der Physik. Однако,
когда Эйнштейн понял, что он не прав в оценке работы Фридмана,
он в том же журнале признал свою ошибку [53].
Несмотря на экспериментальные подтверждения теории
относительности, многим людям трудно воспринимать ее
четырехмерный неевклидов мир. Представить себе наглядно такой
четырехмерный мир действительно невозможно. Сначала математики
развивали алгебраический подход, не зависящий от чувственного опыта.
Теперь математики строят и применяют геометрии, которые
существуют только в человеческом разуме и никогда не предназначались
для наглядной интерпретации.
Английский физик Джеймс Джине так интерпретировал
выводы Эйнштейна: «Вселенная, изображаемая теорией
относительности Эйнштейна, подобна раздувающемуся мыльному пузырю. Она
не его внутренность, а пленка. Поверхность пузыря двумерна, а
пузырь Вселенной имеет четыре измерения: три пространственных и
одно — временное» [57, с. 66].
Представления о физическом мире, сформированные на основе
геометрических и алгебраических соображений, должны
соответствовать наблюдениям и экспериментам, но настаивать на том,
чтобы каждый шаг в цепи геометрического рассуждения непременно
чему-нибудь соответствовал в нашем чувственном опыте, —
значит отказаться от успехов тысячелетнего развития науки.
Со времен Евклида законы физического пространства были
лишь теоремами евклидовой геометрии. Гиппарх, Птолемей,
Коперник и Кеплер сформулировали основные свойства движений
небесных тел в геометрических терминах. С помощью
телескопа Галилей распространил применение геометрии на бесконечное
пространство и многие миллионы небесных тел. Когда
Лобачевский, Больяй и Риман показали, как строить иные геометрические
миры, Эйнштейн подхватил их идеи, превратив наш физический
мир в четырехмерный, математический. Гравитация, время и
материя наряду с пространством стали компонентами геометрической
структуры четырехмерного пространства — времени.
610

Математика и квантовая теория
Первичным языком, который вырабатывают
в процессе научного усвоения фактов,
является в теоретической фишке обычно язык
математики, а именно математическая
схема, позволяющая физикам предсказывать
результаты будущих экспериментов.
В. Гейзенберг
Квантовая теория занимается изучением атомной структуры
материи, и до сих пор не все проблемы и даже явные противоречия в
ней разрешены. Мы все еще находимся на довольно ранней стадии
развития в той области науки, которую часто называют
микрофизикой в противоположность макрофизике, занимающейся, как
правило, изучением крупномасштабных явлений. Квантовая теория
занимается изучением невидимого безмолвного мира.
С XVII в. вплоть до начала XX в. признание получила
теория, согласно которой атомы неделимы. В 1907 г. английский физик
Уильям Томсон (лорд Кельвин) заявил, что атом неразрушим.
Атомная теория в то время утверждала, что все атомы состоят из
протонов и электронов. Но к 1910 г. англичанин, Нобелевский лауреат
по физике Эрнест Резерфорд пришел к мысли, что атом по своему
строению напоминает Солнечную систему, а в 1919 г. осуществил
первую искусственную ядерную реакцию. В его модели атома
вокруг расположенного в центре ядра двигались по различным
орбитам электроны. Резерфорд предположил, что помимо протонов ядро
содержит электрически нейтральные частицы, которые он назвал
нейтронами.
В 1900 г. Планк совершил необычайно важное открытие,
оказавшее влияние на все последующее развитие атомной физики. Он
выдвинул гипотезу, согласно которой излучение испускается не
сплошным, непрерывным потоком, а небольшими порциями, или
квантами, энергия которых зависит от частоты излучения,
испускаемого атомом. Позднее кванты излучения стали называть фотонами.
Формула Планка Е = nhv, где п — число испущенных квантов,
h — постоянная Планка, v — частота излучения, была счастливой
догадкой, плодом физической интуиции. Планку понадобилось вы-
611

полнить немало математических выкладок, чтобы изложить свои
рассуждения и хотя бы в какой-то мере придать им убедительность.
Работы Планка и Эйнштейна, занимавшегося в то время
фотоэлектрическим эффектом и подтвердившего догадку Планка,
возродили проблему: из чего состоит электромагнитное излучение, и в
частности свет? Из волн или из частиц?
Используя планетарную модель Резерфорда, Нобелевский
лауреат по физике датчанин Нильс Бор на основании некоторых
математических соображений постулировал, что электроны в атоме не
излучают фотоны, если движутся по вполне определенным
орбитам. Но стоит лишь электрону перейти с одной орбиты на другую,
как он либо испускает, либо поглощает излучение. И испускание,
и поглощение энергии происходят скачками. Каждый скачок
представляет собой квант энергии, его величина кратна hu.
В 1922 г. французский физик, Нобелевский лауреат Луи де
Бройль высказал идею, которая стала центральной в волновой
механике: если световые волны могут вести себя и как частицы, и как
волны, то почему бы аналогичным образом не вести себя частицам?
Нельзя ли с любым веществом связать волны? Пользуясь методами
математической теории дифференциальных уравнений с
частными производными, он установил, что длина волны любой частицы
должна быть равна постоянной Планка, деленной на произведение
массы частицы и ее скорости, т. е. А = h/imv).
В начале 1925 г. к немецкому физику Максу Борну приехал его
соотечественник Вернер Гейзенберг с математическими
выкладками, в которых пытался представить созданную им теорию
квантовой механики. Борн узнал в этих выкладках матричную алгебру,
зачатки которой появились еще в теории кватернионов Гамильтона.
Ровно через 60 дней после опубликования работы Гейзенберга была
опубликована работа Борна и Йордана, в которой давались
необходимые и строгие математические основы матричной механики [84].
Развивая идею де Бройля о том, что всем микрочастицам, и в
частности электронам, соответствуют волны, австрийский физик-
теоретик, Нобелевский лауреат Эрвин Шредингер вывел в 1926 г.
дифференциальное уравнение с частными производными для так
называемой ^-функции, описывающей форму этих волн. Решая
уравнение Шредингера, можно найти параметры волн. Решения
612

этого уравнения называют собственными или
характеристическими функциями. Волна Шредингера, описывающая электрон в атоме,
представляет собой не простую волну одной-единственной
частоты, а состоит из целого набора волн различных частот.
К открытию волнового уравнения близки были Борн и Гейзен-
берг. При построении матричной квантовой механики у них
возникли сложности, и они обратились к Гильберту. Он им сказал, что
у него аналогичные матрицы получались при решении
дифференциальных уравнений, и посоветовал поискать уравнение, которому
соответствуют получающиеся у них матрицы. Борн и Гейзенберг
решили, что это пустая идея. Через несколько месяцев Шредингер
вывел свое знаменитое уравнение. Это дало повод Гильберту
заявить, что если бы его послушали, то уравнение было бы выведено
по меньшей мере на полгода раньше. По его словам, «физика
слишком сложна для физиков» и «физика — достаточно серьезная наука,
чтобы оставлять ее физикам» [84, с. 28].
В представлении Шредингера электроны подобны облакам с
переменной плотностью. Они трехмерны. Электронные облака
образуют несколько ярусов вокруг ядра. Нахождение аналитических
решений уравнения Шредингера — задача настолько трудная, что
решить ее удается лишь в отдельных исключительных случаях.
Гейзенберг утверждал, что физически реальны лишь частицы, а
их волнообразность — математическая маска. Шредингер полагал,
что физически реальны только волны, а их корпускулярность —
математическая иллюзия.
Работы де Бройля и Шредингера выдвинули на передний план
понятие корпускулярно-волнового дуализма (волна — частица),
доставившее немало хлопот и физикам, и философам. Пытаясь
избежать корпускулярно-волнового дуализма, Борн в 1926 г. выдвинул
совершенно иную версию теории Шредингера: ввел ее
вероятностную интерпретацию. Он предложил трактовать величину ф как
вероятность того, что частица находится в данном элементе
пространства в данный момент времени. За эту работу он позже был
удостоен Нобелевской премии. Вероятностная интерпретация Бор-
на общепринята и в настоящее время.
Эйнштейн, Планк и Шредингер выступали против
вероятностной интерпретации квантовой механики. Однако одна из принци-
613

пиально новых особенностей квантовой теории состоит в
неизбежности некоторого индетерминизма. В 1927 г. Бор сформулировал
принцип дополнительности. Он понял, что несочетаемым
понятиям разрешено дополнять друг друга. Позже Паули предлагал
называть квантовую механику теорией дополнительности — в
параллель эйнштейновской теории относительности.
В том же году Гейзенберг сформулировал принцип
неопределенности, в соответствии с которым невозможно получить
одновременно точную информацию и о положении, и о скорости (или
импульсе) частицы. И положение, и импульс частицы можно измерить
сколь угодно точно, но только не одновременно, а порознь — либо
координату, либо импульс. Соотношение неопределенностей Гей-
зенберга есть количественное проявление принципа
дополнительности Бора.
Из принципа дополнительности следуют все непривычные
особенности квантовой теории. Перечислим некоторые из них.
1. Предсказания квантовой механики не однозначны; они дают
лишь вероятность того или иного результата.
2. Вероятностное описание справедливо как для сложных, так и
для самых простых систем.
3. Причина вероятностного характера предсказаний в том, что
свойства микроскопических объектов нельзя изучать, отвлекаясь от
способа наблюдения.
4. Волновая функция — не физическое поле, а поле
информации.
5. В квантовой механике выполняется принцип суперпозиции
— полная волновая функция складывается из волновых функций
взаимоисключающих событий.
Квантовомеханический принцип неопределенности подрывает
классическую концепцию объективности, т. е. идею о том, что мир
находится во вполне определенном состоянии независимо от
наблюдения его. Напрашивается вывод: стоит вглядеться в мир
пристальнее (на атомном уровне), как окажется, что его состояние
зависит и от того, каким образом мы его наблюдаем и что выбираем
за объект наблюдения.
В конце 40-х годов XX в. наступил кризис квантовой механики.
Существовавшие методы позволяли с большим успехом описывать
614

огромное количество явлений, происходящих с атомами и
молекулами, но не были пригодны для описания взаимодействия
заряженных частиц с электромагнитным полем. Теория оказалась
бессильной в описании квантовых свойств электромагнитного поля. Новые
идеи, позволившие объединить старую теорию электромагнитного
поля (электродинамику Максвелла) с квантовой механикой
релятивистских частиц, в 1947 г. выдвинули американские физики Ричард
Филлипс Фейнман и Юлиан Швингер и японский физик Синьити-
ро Томонага. Рождалась квантовая электродинамика, необычайно
красивый и мощный раздел физики. В 1965 г. эти ученые были
удостоены Нобелевской премии.
Не следует забывать, что квантовая теория возникла
сравнительно недавно. Вполне возможно, что через несколько
десятилетий неуклюжий гибрид корпускулярной и корпускулярно-волновой
теорий превратится в простую и ясную теорию.
Существенно то, что современные модели структуры атома не
физические, а от начала до конца математические. Математика
позволяет открыть и установить порядок там, где царил хаос. По
словам Дирака и Гейзенберга, непротиворечивое математическое
описание природы — путь к истине в физике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тот, кто не знает математики, не может узнать
никакой другой науки и даже не может
обнаружить своего невежества.
Р. Бэкон
Ни одно человеческое исследование не может
назваться истинной наукой, если оно не прошло
через математические доказательства.
Леонардо да Винчи
Научный метод познания базируется на использовании
интеллекта и логики. Они являются орудиями упорядочения и
систематизации знания, которое человек получает через такие мало
понимаемые нами каналы познания, как интуиция и озарение.
Почему математика успешно применяется при описании
физически реальных явлений? Почему в тех случаях, когда физическое
явление понято нами и мы приняли соответствующие аксиомы,
сотни следствий, полученных из аксиом, оказываются столь же
применимыми к реальному миру, как и сами аксиомы? Почему
математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые не
понятны нам?
Ученым XVI—XVII вв. ответы на эти вопросы казались
простыми и ясными. Полностью разделяя убежденность древних греков в
том, что мир устроен на математических принципах, и принимая
убежденность Церкви, что мир создан Богом, они видели в
математике путь к познанию истины о природе.
Суть того, во что непоколебимо верили Декарт, Кеплер,
Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной
математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща
некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в ви-
616

де простых математических законов. Именно в силу этой
гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом
позволяет предсказывать явления природы.
В конце XVIII в. математика представляла собой как бы
величественное двухтысячелетнее дерево с могучими корнями и
мощными ветвями, прочно стоящее на почве реальности,
возвышающееся над всеми остальными областями знания. Убеждение в том, что
природа основана на математических принципах, было прочно как
никогда. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти
принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, и сама
математика считалась инструментом, как нельзя лучше
приспособленным для решения этой задачи.
В XIX и XX столетиях роль математики в «упорядочении»
окружающего мира и овладении природой возрастала невероятно
быстрыми темпами. Существенно увеличивалась точность, с которой
математики могли описывать и предсказывать явления природы.
Математика подарила человечеству много блестящих открытий.
Это прекрасно согласующаяся с повседневным опытом евклидова
геометрия, необычайно точная гелиоцентрическая теория
Коперника и Кеплера, величественная и всеохватывающая механика
Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа. Это физически необъяснимая,
но имеющая весьма широкую сферу приложений теория
электромагнетизма Максвелла и теория относительности Эйнштейна с ее
тонкими и необычными выводами. Это теория порядка и хаоса и
фрактальная геометрия, позволяющая лучше понять окружающую
нас красоту природы. Математика позволила многое понять в
строении атома. Все эти блестящие достижения опираются на
математические идеи и математические рассуждения.
Математика играет роль стержня естественнонаучных теорий, и
ее приложения в XIX—XX вв. являются еще более удивительными,
чем все ее прежние успехи, когда математики оперировали
понятиями, навеянными непосредственно физическими явлениями. Хотя
было бы неверно приписывать одной лишь математике такие
достижения современной науки, как радио, телевидение, самолет,
телефон, телеграф, высококачественная звукозаписывающая
аппаратура, рентгеновские установки, транзисторы, компьютеры, источники
21 Математика древняя п юная 617

атомной энергии. Вклад в эти достижения представителей
экспериментальной науки не менее фундаментален, чем вклад математиков.
Математика является самым могущественным созданным
человеком инструментом. Она позволяет достичь определенного
понимания сложного и разнообразного мира природных явлений.
В 1900 г., обращаясь к участникам II Международного конгресса
математиков, Гильберт заявил: «Математика — основа всего
точного естествознания» [82, с. 64].
Современный мир неожиданно обнаружил, что математика
уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках.
Многие науки, по существу, представляют собой свод математических
теорий, скупо приправленных физическими фактами. Несмотря на
то что вторжение математики продолжается — и с все
возрастающей интенсивностью, — удивление по этому поводу скорее даже
убывает: математическая экспансия стала привычной. Сейчас уже
все смирились со словосочетаниями: «математическая биология»,
«математическая лингвистика», «математическая экономика»,
«математическая психология»; и какую дисциплину ни взять, вряд ли
кому-нибудь покажется невозможным присоединение к ее
наименованию определения «математическая».
Распространение математики вширь сопровождается ее
проникновением вглубь; математика занимает теперь видное
положение в жизни общества. Тем не менее повсеместное проникновение
математики некоторым кажется загадочным, а некоторым —
подозрительным. В самом деле, не вызывает сомнений право на
всеобщее признание, скажем, физики или химии: физика открывает нам
новые мощные источники энергии и новые средства быстрой связи,
химия создает искусственные ткани, а сейчас «покушается» и на
создание искусственной пищи. Не удивительно, что эти науки
прочно и почетно вошли в нашу жизнь. Несмотря на то что, например,
при обучении языкознанию пользуются физическими приборами
для исследования устной речи, никто же не говорит о «физической
лингвистике», тогда как термин «математическая лингвистика» уже
давно получил права гражданства.
Так что же дает людям математика, такая теоретическая наука,
которая не открывает ни новых веществ, как химия, ни новых
источников энергии, как физика? И почему появление в какой-либо
618

отрасли науки математических методов исследования или хотя бы
просто математического осмысления соответствующей системы
понятий и фактов всегда означает и достижение этой отраслью
определенного уровня зрелости, и начало нового этапа в ее
дальнейшем развитии?
В настоящее время имеется более 6 тыс. профессий, успешное
овладение которыми требует хорошего знания математики,
устойчивых навыков ее использования. И с каждым годом число таких
профессий растет. Поэтому без настойчивого изучения
математических законов нельзя стать хорошим специалистом.
Всем сказанным не исчерпывается роль математики в жизни
общества. Г. Вейль писал: «Математика играет весьма существенную
роль в формировании нашего духовного облика. Занятие
математикой — подобно мифотворчеству, литературе или музыке — это одна
из наиболее присущих человеку областей его творческой
деятельности, в которой проявляется его человеческая сущность,
стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из
проявлений мировой гармонии»[115, с. 9]. Ему же принадлежат слова:
«Несмотря на почтенный возраст, математика отнюдь не страдает
прогрессирующим склерозом, вызванным все возрастающей
сложностью; напротив, она продолжает активно жить, питаясь теми
живительными соками, которые извлекают ее глубокие корни из
разума и природы»
Математика стала главным продуктом человеческого разума.
Именно математика воплощает в себе звено, наиболее эффективно
связывающее реальный мир с миром чувственных восприятий, и
сегодня она остается драгоценнейшим сокровищем человеческого
разума, которое следует всячески оберегать. На протяжении долгого
времени математика находилась в авангарде человеческой мысли,
и, несомненно, она сохранит передовые позиции и в будущем.
Области приложений математики стремительно расширяются.
Человеку, желающему быть в курсе всего нового в математике,
пришлось бы прочитывать ежедневно около 15 статей, весьма больших
по объему и содержащих сложные математические выкладки.
Математические знания и уровень их применения в различных
науках за последние годы в значительной степени изменились.
Теория меры используется (нетривиально) в экономической географии
21* 619

и теоретической экономике. Алгебраическая геометрия
взаимодействует с физикой. Лемма Минковского, теория кодирования и
структура воды встречаются в теории упаковки и покрытия. Теория гомо-
топий оказывается полезной в математическом программировании,
при изучении квантовых полей и дефектов кристаллов. Этот список
можно продолжать очень долго.
Открытия, которые делают математики, столь разнообразны по
своему характеру, что однажды Гильберт, то ли в отчаянии, то ли
в шутку, сказал, что математика — это то, что подразумевают под
этим компетентные люди. Казалось, что только такое широкое
определение может охватить все, что относится к математике.
Математики решают проблемы, которые в прошлом не считались
математическими, и трудно представить, чем они еще станут заниматься в
будущем.
Несомненно, роль математики в естественных науках будет
возрастать по мере их развития. Кроме того, в будущем в математике
возникнут новые структуры, которые откроют новые возможности
формализовать не только естественные науки, но в какой-то мере,
может быть, и искусство.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Азимов А. Вид с высоты: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.
2. Аристотель. Сочинения: В 4 т. М.: Мысль, 1976; 1981. T.l; Т.З.
3. Башмакова И.Г. Пьер Ферма // Замечательные ученые / Под ред.
СП. Капицы. М.: Наука, 1980.
4. Беркли Дж. Сочинения: Пер. с англ. М.: Мысль, 1978.
5. Бирюков Б.В. Г. Вейль и методические проблемы науки // Вейль Г.
Симметрия: Пер. с англ. М.: Наука, 1968.
6. Богомолов А.Н., Роженко Н.М. Опыт «внедрения» диалектики в
математику в конце 20-х — начале 30-х гг. // Вопр. философии. 1991. № 4.
7. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука,
1982.
8. Большой энциклопедический словарь. М.: Большая Российская
энциклопедия, 1997.
9. Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с фр. М.: Мир, 1965.
10. Ван-дер-Варден Б.А. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего
Египта, Вавилона и Греции: Пер. с англ. М.: 1959.
11. Введение в криптографию / Под общ. ред. В.В. Ященко. М.: МЦНМО,
1998.
12. Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с нем. М.: Наука, 1989.
13. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975.
14. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1969.
15. Виленкин Н.Я. Тайны бесконечности (Зенон, Демокрит, Архимед) //
Квант. 1970. №12.
16. Виленкин Н.Я., Лишевскии В.П. Нильс Хенрик Абель // Замечательные
ученые / Под ред. СП. Капицы. М.: Наука, 1980.
17. Виленкин Н.Я., Лишевскии В.П. Софья Васильевна Ковалевская //
Замечательные ученые / Под ред. СП. Капицы. М.: Наука, 1980.
18. Виленкин Н.Я., Лишевскии В.П. Эварист Галуа // Замечательные
ученые / Под ред. СП. Капицы. М.: Наука, 1980.
19. Воронцов-Вельяминов Б. Лаплас. М.: Журн.-газ. об-ние, 1937.
20. Галилей Г. Избранные труды: В 2 т. М.: Наука, 1964.
621

21. Галкин СВ. Целенаправленные системы в физическо-духовном мире.
(Мир, жизнь, разум). М.: Анвис К, 1999.
22. Гарднер М. Есть идея!: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.
23. Гарднер М. Математические новеллы: Пер. с англ. М.: Мир, 1974.
24. Гильберт Д. Основания геометрии: Пер. с нем. М.; Л.: Гостехтеоре-
тиздат, 1948.
25. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. М.:
Наука, 1981.
26. Гиндикин СГ. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1985.
27. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1982.
28. Гнеденко Б,В. Александр Яковлевич Хинчин. К 100-летию со дня
рождения выдающего ученого и педагога // Квант. 1994. № 6.
29. Гнеденко Б.В. О математике Страны Советов // Квант. 1987. №11.
30. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по
истории математики: Пер. с фр. М.: Мир, 1986.
31. Данилов Ю.А., Смородинский Я.А. Иоганн Кеплер: от «Мистерии» до
«Гармонии» // Успехи физ. наук. 1973. Т. 109, вып. 1.
32. Декарт Р. Рассуждения о методе с приложениями. Диоптрика.
Метеоры. Геометрия. М.: Наука, 1953. (Классики науки).
33. Дело академика Н.Н.Лузина (архивные материалы) / С.С. Демидов,
А.И. Володарский, Т.А. Токарева и др. СПб.: РХГИ, 1999.
34. Делоне Б.Н. Леонард Эйлер // Замечательные ученые / Под ред.
СП. Капицы. М.: Наука, 1980.
35. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк., 2001.
36. Дюкас Э., Хофман Б. Альберт Эйнштейн как человек // Вопр.
философии. 1991. №1.
37. Евклид. Начала. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948.
38. Жизнеописание Л.С.Понтрягина, математика, составленное им
самим. М.: ИЧП «Прима В», 1998.
39. Интервью с СП. Курдюмовым // Вопр. философии. 1991. № 6.
40. Кант И. Сочинения: В 6 т.: Пер. с нем. М.: Мысль, 1966. Т. 6.
41. Кантор И.Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука,
1973.
42. КатасоновВ.Н. Аналитическая геометрия Декарта и проблемы
философии техники // Вопр. философии. 1989. № 12.
43. Кпайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.
44. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ. М.: Мир,
1984.
45. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: В 2 т.: Пер.
с нем. М.: Наука, 1989. Т. 1.
46. Климишин И.А. Календарь и хронология. М.: Наука, 1985.
47. Ковалевская СВ. Воспоминания. М.: Наука, 1974.
48. Коващев Н.И. Математика и романтика. Киев: Выща шк., 1976.
622

49. Кокстер X. Введение в геометрию: Пер. с англ. М.: Наука, 1966.
50. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука,
1991.
51. Коперник Н. О вращении небесных сфер. Малый комментарий.
Послания против Вернера. Упсальская запись: Пер. с пол. М.: Наука,
1964.
52. Космодемьянский А.А. Николай Егорович Жуковский. М.: Наука,
1984.
53. Кочина П.Я. Воспоминания. М.: Наука, 1974.
54. Лаврентьев М.А. Кумулятивный заряд и принцип его работы // Успехи
мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 4.
55. Лаврентьев М.А. Николай Николаевич Лузин // Успехи мат. наук.
1974. Т. 29, вып. 5(179).
56. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1973.
57. Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1984.
58. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. М.:
Просвещение, 1981.
59. Лишевский В.П. Иоганн Кеплер // Замечательные ученые / Под ред.
СП. Капицы. М.: Наука, 1980.
60. Лосев А.Ф., Тахэ-Годи А.А. Платон. Аристотель. М.: Мол. гвардия,
1993.
61. Лурье С.Я. Архимед. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1945.
62. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного
поля: Пер. с англ. М.: Гостехтеоретиздат, 1954.
63. Маркеев А.П. О задаче трех тел и ее точных решениях // Империя
математики. 2000. № 1.
64. Математика в Петербургском-Ленинградском университете / Под
ред. В.И. Смирнова. Л.: Наука, 1970.
65. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов: В 5 т. М.:
Сов. энцикл., 1979.
66. Мигдал А.С. Физика и философия // Вопр. философии. 1990. № 1.
67. Моисеев Н.Н. Восхождение к разуму. М.: ИздАТ, 1993.
68. Немировский Л.Н. Мистическая практика как способ познания. М.:
Изд-во МИФИ, 1993.
69. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI—XVII вв. М.: Наука,
1979.
70. Никифоровский В.А. Путь к интегралу. М.: Наука, 1985.
71. Ньютон И. Всеобщая арифметика, или Книга об арифметических
синтезе и анализе: Пер. с англ. М.: Наука, 1998.
72. Ньютон И. Математические начала натуральной философии //
Собрание трудов академика А.Н. Крылова: В 7 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1936. Т. 7.
623

73. Ньютон И. Оптика, или Трактат об отражениях, преломлениях,
изгибаниях и цветах света. М.: Гостехтеоретиздат, 1954.
74. Ожигова Е.П. Шарль Эрмит. Л.: Наука, 1982.
75. Паитген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных
динамических систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1993.
76. Парадоксы бесконечного. Минск: В.П. Ильин, 2000.
77. Писаревский Б.М., Харин В. Т. Беседы о математиках и математике. М.:
Нефть и газ, 1998.
78. Планк М. Религия и естествознание // Вопр. философии. 1990. № 8.
79. Последнее интервью с А.Н.Колмогоровым // Империя математики.
2000. № 1.
80. Пригожий И. Философия нестабильности // Вопр. философии. 1991.
№6.
81. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Эдиториал УРСС,
2000.
82. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 2000.
83. Реньи А. Трилогия о математике: Пер. с венг. М.: Мир, 1980.
84. Рид К. Гильберт: Пер. с англ. М.: Наука, 1970.
85. Розенбергер Ф. История физики: Пер. с англ. М.; Л.: ОНТИ, 1937.
4.2.
86. Розенфелъд Б.А. Откуда произошли названия геометрических фигур?
//Квант. 1970. № 1.
87. Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.
88. Садовничий В.А. Роль математики в развитии человечества. М.: Изд-
во Моск. ун-та, 1995.
89. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической
статистике: Пер с венг. М.: Мир, 1990.
90. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: Изд-во Моск. центра непрывн.
мат. образования, 2000.
91. Смайлс СВ. Жизнь и труд. СПб.; М.: Товарищество О. Вольф, 1900.
92. Смородинский Я.А. Николай Коперник // Замечательные ученые / Под
ред. СП. Капицы. М.: Наука, 1980.
93. Сойер У. У. Прелюдия к математике: Пер. с англ. М.: Просвещение,
1972.
94. СтройкД.Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с англ. М.:
Наука, 1978.
95. Сухотин А.К. Превратности научных идей. М.: Мол. гвардия. 1991.
96. Тихомиров В.М. Андрей Николаевич Колмогоров // Квант. 1993. № 3/4.
97. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука,
1986.
98. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987.
99. Успенский П.Д. Новая модель Вселенной: Пер. с англ. СПб.: Изд-во
Чернышева, 1993.
624

100. Фейнман Р. Характер физических законов: Пер. с англ.. М.: Наука,
1968.
101. Филиппов М.М. Лейбниц, его жизнь и деятельность: общественная,
научная и философская. СПб., 1893.
102. Фреймам Л.С. Творцы высшей математики. М.: Наука, 1968.
103. Фридман В.Я. Теория кентавров и структура реальности. М., 1996.
104. Халамайзер А.Я. Памяти Н.Н. Лузина // Математика в школе. 1984.
№2.
105. Холл М.П. Энциклопедическое изложение масонской,
герметической, каббалистической и розенкрейцеровской символической
философии: Пер. с англ. Новосибирск: ВО «Наука», 1993.
106. Хрестоматия по истории математики / Под ред. А.П. Юшкевича. М.:
Просвещение, 1977.
107. Цейтен Г. История математики в XVI и XVII веках. М.; Л.: ОНТИ,
1933.
108. Чанышев А.Н. Курс лекций по древней и средневековой философии.
М.:Высш. шк., 1991.
109. Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. Минск: Вышэйш. шк., 1966.
ПО. Чистяков В.Д. Старинные задачи. Минск.: Вышэйш. шк., 1966.
111. Шаль М. История геометрии: В 2 т. М.: Моск. мат. о-во, 1883.
112. Шюре Э. Великие посвященные. Очерк эзотеризма религий: Пер.
с фр. Калуга: Тип. губерн. зем. управы, 1914.
113. Энциклопедия для детей. Т. 11: Математика. М.: Аванта+, 1998.
114. Энциклопедия нумерологии. СПб.: ИПД «ВББ», 1998.
115. Яглом ИМ. Герман Вейль и идея симметрии // Вейль Г. Симметрия:
Пер. с англ. М.: Наука, 1968.
116. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. М.: Просвещение, 1983.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ*
Абель Нильс Хенрик (1802—1829), норвежский математик 225, 244, 247—
252, 256, 258—260, 270, 272, 323, 344, 479
Авиценна (ок. 980—1037), среднеазиатский ученый, философ, врач, музыкант
89
Адамар Жак (1865—1963), французский математик 205, 299, 373, 451, 508,
509
Адаме Джон Кауч (1819—1892), английский астроном 582
Александров Александр Данилович (1912—1999), советский математик 16,
376, 426
Александров Павел Сергеевич (1896—1982), советский математик 354, 357,
358,361,362,371,535—539
Аньези Мария Гаетана (1718—1799), итальянский математик 157
Аполлоний из Пергама (ок. 260 — ок. 170 до н. э.), древнегреческий математик
и астроном 27, 61, 70—72, 76, 77, 102, 104, 122, 141, 143, 437, 444
Ариабхатта (ок. 476 — ок. 550), индийский астроном и математик 27
Аристарх Самосский (ок. 310—230 до н.э.), древнегреческий астроном 78,
79,82,84, 112
Аристотель (384—322 до н.э.), древнегреческий философ 10, 12, 34, 35, 42,
47,49,51—55, 88, 89,94,95, 114, 117, 155,483,490,510
Арнольд Владимир Игоревич (р. 1937), советский математик 365, 367, 569,
599
Артин Эмиль (1898—1962), австрийский математик 338
Архимед (ок. 287—212 до н. э.), древнегреческий математик и физик 27, 48,
61, 65—72, 76, 78, 79, 102, 105, 122, 150—152, 157, 158, 195, 396, 444, 488
Архит из Тарента (ок. 430—345 до н. э.), древнегреческий математик 51, 57,
430
Банах Стефан (1892—1945), польский математик 374
Бари Нина Карловна (1901—1961), советский математик 354, 357, 358, 360
*В указатель внесены имена только тех творцов науки, которые оказали
существенное влияние на развитие математики.
626

Барроу Исаак (1630—1677), английский математик, филолог, богослов 163,
397
Бельтрами Эудженио (1835—1900), итальянский математик 229, 242, 481
Беркли Джордж (1685—1753), английский философ 215, 216, 550
Бернулли Даниил (1700—1782), швейцарский ученый 178, 184—188, 195,
211,277,473,555
Бернулли Иоганн (1667—1748), швейцарский математик 118, 150, 174, 177,
178, 181—185, 188, 196, 402, 444, 450, 555
Бернулли Якоб (1654—1705), швейцарский математик 177—185, 188, 444,
461,555
Бернштейн Сергей Натанович (1880—1968), советский математик 352, 353,
465
Бертран Жозеф Луи Франсуа (1822—1900), французский математик 141, 465
Бессель Фридрих Вильгельм (1784—1846), немецкий астроном и геодезист
234, 259, 404
Бетти Энрико (1823—1892), итальянский математик 334, 533
Бибербах Людвиг (р. 1886), немецкий математик 339
Биркгоф Джордж Дейвид (1884—1944), американский математик 339
Больцано Бернард (1781—1848), чешский математик и философ 218, 220,
245—247, 476, 479, 480, 486, 557
Больцман Людвиг (1844—1906), австрийский физик 306
Больяй Фаркаш (1775—1856), венгерский математик 239
Больяй Янош (1802—1860), венгерский математик 234,239,240,316,385,482,
610
Бомбелли Раффаэле (ок.1526—1572), итальянский математик 101, 102, 401
Бор Нильс Хенрик Давид (1885—1962), датский физик 612, 614
Борель Эмиль (1871—1956), французский математик 204, 340, 355, 466, 494,
509,512
Борн Макс (1882—1970), немецкий физик 332, 468, 469, 612, 613
Браге Тихо (1546—1601), датский астроном 119
Брауэр Лейтзен ЭгбертЯн (1881—1966), нидерландский математик 330, 331,
513—515,536,538,564
Брахмагупта (ок. 598—660), индийский математик и астроном 27, 398
Бригг Генри (1561—1630), английский математик 127
Бройль Луи де (1892—1987), французский физик 612, 613
Броун Роберт (1773—1858), английский ботаник 475
Буль Джорж (1815—1864), английский математик и логик 484
Буняковский Виктор Яковлевич (1804—1889), российский математик 280,
282, 283, 299
Бурбаки Никола — коллективный псевдоним французских математиков XX в.
19,515,524,529
Бхаскара Ачарья (1114—1185), индийский математик и астроном 27, 398
Бэкон Роджер (ок. 1214—1292), английский философ и естествоиспытатель,
монах-францисканец 94
627

Бюрги (1552—1632), швейцарский астроном 127
Бюффон Жорж Луи Леклерк (1707—1788), французский естествоиспытатель
464, 467
Валлис Джон (1616—1703), английский математик 135, 157, 158, 161, 162,
397, 399, 584
Вальд Абрахам (1902—1950), американский математик 466, 474
Ван-дер-Варден Бартел Ландерт (1903—1996), голландский математик 77,
393,412,437,461
Вебер Генрих (1842—1913), немецкий математик 274, 276, 306, 510
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815—1897), немецкий математик 57,
106, 192, 220, 221, 247, 271—273, 275, 277, 289, 290, 291, 308, 314, 322, 476, 479,
480,483,486,510,552
Вейль Андре (1902—1988), французский математик 514, 521
Вейль Герман (1885—1955), немецкий математик 268,311,330—332,348,411,
511,523,619
Ветчинкин Владимир Петрович (1888—1950), советский ученый-механик
294
Виет Франсуа (1540—1603), французский математик 102—105, 133, 135, 139,
261, 399, 437
Винер Норберт (1894—1964), американский ученый 344, 345, 476, 585
Виноградов Иван Матвеевич (1891—1983), советский математик 352
Вольтерра Вито (1860—1940), итальянский математик 333, 334, 451
Вольфскель Пауль (1856—1906), немецкий математик 420, 421
Вороной Георгий Феодосьевич (1868—1908), российский математик 204
Галилей Галилео (1564—1642), итальянский физик, механик, астроном и
математик, 12, 13,51, 111,114—117, 121, 126, 127, 132, 144,147, 148, 152, 154,160,
161, 226, 294, 305, 460, 584, 592, 610, 616, 617
Галлей Эдмунд (1656—1742), английский астроном 71, 195, 463, 591, 593
Галуа Эварист (1811—1832), французский математик 199,244, 253—257,260,
310,385,424
Гамильтон Уильям Роуан (1805—1865), ирландский математик 14, 202, 242,
262, 263, 267, 343, 405-^07, 410, 455, 456, 480, 612
Гаусс Карл Фридрих (1777—1855), немецкий математик 193, 195, 204, 205,
221—232, 234, 235, 238, 239, 241, 249, 251, 252, 260, 261, 265, 268, 271, 274, 275,
281, 285, 309, 310, 312, 313, 320, 322, 332, 344, 377, 384, 385, 404, 416, 417, 438,
439, 457, 462, 470, 529
Гедель Курт (1906-—1978), логик и математик, родился в Австро-Венгрии, с
1940 г. жил и работал в США 326, 332, 503, 520, 522
Гейзенберг Вернер (1901—1976), немецкий физик 469, 612—615
Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд (1821—1894), немецкий ученый
306, 603
628

Гельфанд Израиль Моисеевич (р. 1913), советский математик 354, 364, 365,
599
Гельфонд Александр Осипович (1906—1968), советский математик 354
Герберт из Орийака (ок. 940—1003; с 999 г. — Папа Римский Сильвестр II),
французский математик 394
Геродот (между 490 и 480 — ок. 425 до н. э), древнегреческий историк 47, 583
Герон Александрийский (ок. I в. н. э.), древнегреческий математик и механик
67, 76, 396, 444, 453
Герц Генрих Рудольф (1857—1894), немецкий физик 307
Гессе Людвиг Отто (1811— 1874), немецкий математик 276
Гильберт Давид (1862—1943), немецкий математик 100, 116, 246, 316—326,
330, 332—336, 340, 348, 362, 374, 384, 417, 421, 465, 482, 495, 502, 507, 508, 516—
518,520,521,524,613,618,620
Гипатия (370—415), математик, астроном и философ 32, 76, 77
Гиппарх(ок. 180 или 190—125 дон. э), древнегреческий астроном 61,79, 81—
84, 430, 610
Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.), древнегреческий геометр 89, 430
Гордан Пауль (1837—1912), немецкий математик 319, 320
Грассман Герман (1809—1877), немецкий математик, физик и филолог 265—
267,312,480
Грин Джордж (1793—1841), английский математик и физик 202
Гук Роберт (1635—1703), английский естествоиспытатель 164, 591, 593
Гульдин Пауль (1577—1643), бельгийский математик, монах-иезуит 151, 153
Гюйгенс Христиан (1629—1695), нидерландский ученый 13, 125, 126, 145—
149, 169, 173, 174,455,461,469
Даламбер Жан Лерон (1717—1783), французский математик, механик и
философ 70, 136, 193—195, 197, 200, 201, 211, 216, 217, 219, 220, 226, 234, 274, 400,
402, 403, 460, 555, 593
Дарбу Жан Гасгон (1842—1917), французский математик 67, 290, 334
Дедекинд Юлиус Вильгельм Рихард (1831—1916), немецкий математик 57,
271, 308—310, 412, 480, 485, 486, 494, 501, 508, 510, 512, 519
Дезарг Жерар (1593—1662, по др. данным 1591—1661), французский
математик 125, 141, 143
Декарт Рене (1596—1650), французский философ, математик, физик и
физиолог 12, 71,92, 125—133, 136—139, 140, 143, 161, 162, 166, 170, 181, 186,254,398,
399, 401, 416, 443, 483, 511, 541, 554, 616
Делоне Борис Николаевич (1890—1980), советский математик 366, 383
Демокрит (ок. 470 или 460 до н. э. — умер в глубокой старости),
древнегреческий философ 47, 48, 152, 490
Ден Макс (1878—1952), немецкий математик 337
Дидро Дени (1713—1784), французский философ 194, 231, 403
Диофант Александрийский (ок. Ill в. н.э.), древнегреческий математик
72—77, 101, 102, 104, 106, 135, 393, 414, 415, 418, 425
629

Дирак Поль Адриен Морис (1902—1984), английский физик 559, 601, 615
Дирихле Петер Густав Лежен (1805—1859), немецкий математик 212, 270,
271, 274, 275, 309, 310, 313, 420, 556
Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 до н. э.), древнегреческий математик и
астроном 50, 51, 56, 57, 63—65, 69, 80, 81, 83, 395
Евклид (III в. до н. э.), древнегреческий математик 57, 61, 62, 64, 65, 69, 72,
80, 89, 93, 102, 105, 143, 162, 195, 230, 233, 234, 240, 241, 262, 285, 317, 321, 393,
396, 431, 433, 444, 490, 549, 559, 579, 592, 601, 610
Егоров Дмитрий Федорович (1869—1931), российский математик 352—354,
356, 357, 536, 538
Жермен Софи (1776—1831), французский математик 419
Жордан Мари Энмон Камиль (183 8— 1922), французский математик 310,311,
319,410,562
Жуковский Николай Егорович (1847—1921), российский ученый 292—294
Жюлиа Гастон (1893—1978), французский математик 571
Зенон Элейский (ок. 490 — 430 до н. э.), древнегреческий философ 49, 50,
221,488,489,554
Ибн аль-Хайсам (965—1039), арабский ученый 153
Инфельд Леопольд (1898—1968), польский физик 252
Йордан Эрнст Паскуаль (1902—1980), немецкий математик 612
Кавальери Бонавентура (1598—1647), итальянский математик 12, 48, 116,
133, 145, 151—153, 156, 157, 161
Кант Иммануил (1724—1804), немецкий философ 170, 193, 201,205, 232, 241,
246,318,321,483,511,605
Кантор Георг (1845—1918), немецкий математик 232, 246, 247, 273, 308, 310,
343, 480, 486, 493—495, 497, 499—501, 503, 504, 507, 509, 512, 519, 535, 557, 563,
571
Кантор Мориц Бенедикт (1829—1920), немецкий математик 333
Канторович Леонид Витальевич (1912—1986), советский математик и
экономист 376, 587, 588
Кардано Джероламо (1501—1576), итальянский математик, философ и врач
13, 98—102, 399, 401, 460, 461, 584
Карно Лазар Никола (1753—1823), французский математик 106, 218
Кебе (1882—1945), немецкий математик 339
Келдыш Людмила Всеволодовна (1904—1976), советский математик 378—
380
Келдыш Мстислав Всеволодович (1911—1978), советский математик и
механик 358, 378, 381
630

Кеплер Иоганн (1571—1630), немецкий математик и астроном 12,13,113,115,
117—123,125—127, 141, 151—153, 155, 157, 162, 167,171,226,491,592,604,610,
616,617
Кирхгоф Густав Роберт (1824—1887), немецкий физик 546
Клебш Альфред (1833—1872), немецкий математик 276, 289, 320
Клейн Феликс (1849—1925), немецкий математик 225, 242, 257, 263, 273, 276,
277, 306, 310—313, 319, 320, 330, 333, 343, 466, 471, 511, 532
Клеро Алекси Клод (1713—1765), французский математик и астроном 184,
201,226,477,593
Ковалевская Софья Васильевна (1850—1891), российский математик 287—
292,314
Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987), советский математик 345,354,
357—368, 377, 465, 466, 469, 473, 474, 537, 585
Коперник Николай (1473—1543), польский астроном 12, 111—114, 117, 121,
610,617
Кочина Пелагея Яковлевна (1899—1999), советский математик 287
Коши Огюстен Луи (1789—1857), французский математик 106, 192, 193, 195,
203, 206, 209, 213—215, 218—220, 244, 246, 247, 251, 252, 254, 260, 265, 274, 281,
290, 317, 342, 403, 404, 420, 468, 470, 479, 549, 551
Коэн Пол Джозеф (р. 1934), американский математик 503, 522, 543
Крамер Габриэль (1704—1752), швейцарский математик 184, 265
Крамер Карл Харальд (1893-1985), немецкий математик 468, 473
Кронекер Леопольд (1823—1891), немецкий математик 224, 271—273, 308,
507,512
Крылов Алексей Николаевич (1863—1945), советский кораблестроитель,
математик и механик 287
Крылов Николай Митрофанович (1879—1955), советский математик и
механик 352, 353
Куммер Эрнст Эдуард (1810—1893), немецкий математик 272, 273, 308, 420,
421
Курант Рихард (1888—1972), немецкий и американский математик 343
Курдюмов Сергей Павлович (1928—2004), советский математик 568, 570
Курчатов Игорь Васильевич (1902/03—1960), советский физик 374
Кэли Артур (1821—1895), английский математик 106, 242, 264—266, 311,
320, 410, 543, 546
Лаврентьев Михаил Алексеевич (1900—1980), советский математик и
механик 354, 358, 360, 368—370, 376, 378
Лагранж Жозеф Луи (1736—1813), французский математик и механик 136,
140, 147, 193—199, 200, 201, 204, 206, 209, 211, 213, 217, 219, 223, 224, 226, 250,
253, 292—294, 394, 416, 450, 456, 491, 561, 594, 596, 617
Ламберт Иоганн Генрих (1728—1777), немецкий физик, астроном, математик
и философ 193, 416, 482
Ламе Габриэль (1795—1870), французский математик 277, 420
631

Ландау Эдмунд (1877—1938), немецкий математик 340
Лаплас Пьер Симон (1749—1827) французский астроном, математик, физик
27, 192, 193, 199—202, 204, 206, 209, 210, 226, 235, 281, 290, 394, 461, 462, 470,
473, 479, 566, 593, 617
Лебег Анри Леон (1875—1941), французский математик 327, 328, 494, 509,
512,536
Леверье Урбен Жан Жозеф (1811—1877), французский астроном 582
Леви-Чивита Туллио (1873—1941), итальянский математик 411
Лежандр Адриен Мари (1752—1833), французский математик 193, 229, 249,
251—253, 274, 320, 384, 416, 420, 462, 470
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716), немецкий философ, математик,
физик, языковед 12, 70, 100, 121, 125, 126, 131, 143, 145, 149, 150, 161, 164, 168—
170, 172—176, 178, 180, 181, 183, 184, 186, 203, 204, 215, 217—220, 247, 264, 278,
309, 399, 402, 444, 455, 460, 461, 477, 479, 480, 483, 491, 510, 548—552, 555, 561,
579,616
Леонардо да Винчи (1452—1519), итальянский живописец 97, 140
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (1180—1240), итальянский математик 138,
394, 397
Ли Софус (1842—1899), норвежский математик 273, 310, 311, 540
Линдеман Фердинанд (1852—1939), немецкий математик 318—320,430, 431,
499
Литлвуд Джон Идензор (1885—1977), английский математик 31
Лиувилль Жозеф (1809—1882), французский математик 256, 260, 420, 499
Лихтенберг Георг Кристоф (1742—1799), немецкий писатель-сатирик 3
Лобачевский Николай Иванович (1792—1856), русский математик 229, 234—
243, 246, 280, 302, 317, 331, 385, 482, 610
Лопиталь Гийом (1661—1704), французский математик 181—184
Лоран Пьер Альфонс (1813—1854), французский математик 221
Лоренц Хендрик Антон (1853—1928), нидерландский физик 243,605,606,608
Лузин Николай Николаевич (1883—1950), советский математик 191, 352—
354, 356—358, 360, 361, 368, 538
Люстерник Лазарь Аронович (1899—1981), советский математик 354, 357,
358, 360, 539
Ляпунов Александр Михайлович (1857—1918), русский математик и механик
287, 295—298, 301, 377, 465, 468
Майкельсон Альберт Абрахам (1852—1931), американский физик 605
Маклорен Колин (1698—1746), шотландский математик 203, 216, 264
Максвелл Джеймс Клерк (1831—1879), английский физик 13, 267, 304—307,
568,601,617
Мальцев Анатолий Иванович (1909—1967), советский математик 376
Мандельброт Бенуа (р. 1924), американский математик 570, 571, 576—578
Марков Андрей Андреевич (1856—1922), русский математик 287, 298, 299,
465, 475
632

Марков Андрей Андреевич (1903—1979), советский математик 347, 524
Марчук Гурий Иванович (р. 1925), советский математик 376
Маскерони Лоренцо (1750—1800), итальянский математик 431
Матиясевич Юрий Владимирович (р. 1947), советский математик 522
Мебиус Август Фердинанд (1790—1868), немецкий математик 270, 530, 532
Меньшов Дмитрий Евгеньевич (1892—1988), советский математик 354, 357,
358, 360
Мерсенн Марен (1588—1648), французский ученый 127, 128, 131—134, 143,
145, 148
Мигдал Аркадий Бейнусович (1911—1991), советский физик 602
Мизес Рихард (1883—1953), математик и механик 473
Минковский Герман (1864—1909), немецкий математик и физик 243,273,318,
543, 608, 620
Миттаг-Леффлер Магнус Геста (1846—1927), шведский математик 291
Мияока Иончи (р. 1950), японский математик 424
Моисеев Никита Николаевич (1917—2000), советский математик 381, 568
Монж Гаспар (1746—1818), французский математик 193, 206—208, 214, 312,
394, 477
Мопертюи Пьер Луи Моро (1698—1759), французский ученый 188, 294, 456
Морган Огастес (1806—1871), шотландский математик и логик 484
Муавр Абрахам де (1667—1754), английский математик 201, 461
Навье Анри (1785—1836), французский ученый 220
Нейман Джон фон (1903—1957), американский математик и физик 332, 347,
348,466,469,473,518
Нейман Ежи (Юрий) (1894—1981), американский математик 469, 472
Нейман Франц (1798—1895), немецкий математик 260, 276
Немчинов Василий Сергеевич (1894—1964), советский экономист 587
Непер Джон (1550—1617), шотландский математик 122, 127, 156, 398
Новиков Петр Сергеевич (1901—1975), советский математик 358, 360
Новиков Сергей Петрович (р. 1938), советский математик 529, 542
Ньютон Исаак (1643—1727), английский математик, механик, астроном и
физик 12, 15, ИЗ, 117, 121, 125, 126, 131, 136, 139, 140, 150, 158, 161—167, 171—176,
178, 183, 186, 196, 197, 201, 202, 204, 215—217, 219, 220, 226, 230, 231, 305—307,
401, 444, 479, 480, 482, 491, 550, 552, 561, 567, 586, 590—593, 602, 604, 616, 617
Ольберс Генрих Вильгельм (1758—1840), немецкий астроном 227
Омар Хайям (ок. 1048—после 1112), персидский и таджикский поэт,
математик и философ 61, 89, 90, 97
Остроградский Михаил Васильевич (1801—1861/62), советский математик и
механик 212, 237, 280—282, 288
Папп Александрийский (вторая пол. III в. н. э.), древнегреческий математик 76
Парменид из Элей (VI в. до н. э.), древнегреческий философ 49
633

Паскаль Блез (1623—1662), французский математик, философ, физик и
писатель 12,26, 125, 126, 136, 141—146, 148, 173,288,397,399,460,509,511
Паскаль Этьен (1588—1651), французский математик 142, 144
Паули Вольфганг (1900—1958), швейцарский физик 185, 332
Пачоли Лука (ок.1445 — ок. 1514), итальянский математик 97, 394
Паш Мориц (1843—1930), немецкий математик 321, 481
ПеаноДжузеппе(1858—1932), итальянский математик 321,333,480,485,562,
571
Пелль Джон (1620—1685), английский математик 74
Пенлеве Поль (1863—1933), французский математик 334
Петровский Иван Георгиевич (1901—1973), советский математик 375
Петти Уильям (1623—1687), английский математик 469
Пиацци Джузеппе (1746—1826), итальянский астроном 227
Пик Георг (1859—1943), немецкий математик 609
Пикар Эмиль (1856—1941), французский математик 480
Пикок Джордж (1791—1858), английский математик 261, 478
Пирс Чарлз Сандерс (1839—1914), американский философ и математик 485
Пирсон Карл (1857—1936), английский математик 471, 473
Пифагор Самосский (VI в до н. э.), древнегреческий философ и математик 21,
26, 34—41,43—46, 78, 241, 390, 391, 415, 430
Планк Макс (1858—-1947), немецкий физик 457, 611—613
Платон (428 или 427—348 или 347 до н. э.), древнегреческий философ 8, 49,
51, 54, 55, 57, 83, 89, 93, 395, 490, 509
Плейфер Джон (1748—1819), английский математик 233
Плутарх (ок. 45 — ок. 127), древнегреческий историк 51, 65, 68
Плюккер Юлиус (1801 —1868), немецкий математик 270, 311
Понселе Жан Виктор (1788—1867), французский математик 477
Понтрягин Лев Семенович (1908—1988), советский математик 354, 370—372,
443,458,538,539,588
Привалов Иван Иванович (1891—1941), советский математик 358
Пригожий Илья Романович (1917—2003), бельгийский физик 567—570
Птолемей Клавдий (ок. 90 — ок. 160), древнегреческий ученый 60, 71, 79, 82,
83,85, 112, 113, 121,610
Пуанкаре Жюль Анри (1854—1912), французский математик, физик и
философ 14, 15, 242, 243, 291, 293, 310, 312, 313, 315—317, 319, 324, 325, 333, 334, 340,
343, 355, 434, 475, 476, 507, 512, 529, 530, 536, 538, 539, 562, 568, 571, 594, 598,
606, 608
Пуассон Симеон Дени (1781—1840), французский математик, механик и
физик 193, 206, 209, 210, 212, 255, 285, 461, 463
Рамануджан Шриниваса (1887—1920), индийский математик 328, 329
Рассел Бертран (1872—1970), английский философ и математик 88, 484 —
486, 505, 507, 508, 510, 516, 518
634

Региомонтан (Иоганн Мюллер) (1436—1476), немецкий астроном и
математик 101
Резерфорд Эрнест (1871—1937), английский физик 611, 612
Рен Кристофер (1632—1723), английский архитектор и астроном 591
Риккати Винченцо (1707—1775), итальянский математик 108
Риман Бернхард (1826—1866), немецкий математик 195, 220, 242, 258, 271,
274—277, 310, 312, 313, 317, 322, 385, 404, 481, 511, 529, 610
Ритц Вальтер (1878—1909), немецкий физик 323
Риччи Курбастро (1853—1925), итальянский математик 410
Роберваль Жиль (1602—1675), французский математик 444
Робинсон Абрахам (1918—1974), американский математик 548, 551, 552
Руффини Паоло (1765—1822), итальянский математик 251
Саккери Джероламо (1667—1733), итальянский математик 240
Сальмон Джордж (1819—1904), ирландский теолог 265, 266
Сен-Венан Адемар Жан Клод (1797—1886), французский механик 277
Серпиньский Вацлав (1882—1969), польский математик 356, 571
Сильвестр Джеймс Джозеф (1814—1897), английский математик 12, 265, 266,
320
Смирнов Владимир Иванович (1887—1974), советский математик 302
Смирнов Николай Васильевич (1900—1966), советский математик 473
Снеллиус Виллеброрд (1580—1626), нидерландский астроном и математик
454
Снядецкий Ян (1756—1830), польский ученый 17
Соболев Сергей Львович (1908—1989), советский математик 372—374,376—
378, 560
Стевин Симон (1548—1620), нидерландский математик 135, 144, 394, 397
Стеклов Владимир Андреевич (1863/64—1926), российский математик 296,
300—302, 357
Степанов Вячеслав Васильевич (1889—1950), советский математик 358, 361
Стилтьес Томас Иоаннес (1856—1894), нидерландский математик 476
Страбон (64/63 до н. э. — 24/23 и. э.), древнегреческий географ и историк
32,80
Суслин Михаил Яковлевич (1894—1919), российский математик 357, 358
Танияма Ютака (1927—1958), японский математик 422
Тарталья Никколо (ок. 1499—1557), итальянский математик 98, 99, 101, 102,
397,444,461
Тейлор Брук (1685—1731), английский математик 217
Теофраст (372—287 до н. э.), древнегреческий естествоиспытатель и
философ 53
Теэтет (нач. IV в. до н. э. — 369 до н. э.), древнегреческий математик 50, 57, 63
Тинберген Ян (1903—1994), нидерландский экономист 471
635

Тихонов Андрей Николаевич (1906—1993), советский математик и геофизик
375, 537
Томонага Синьитиро (1906—1979), японский физик 615
Томсон Уильям (лорд Кельвин) (1824—1907), английский физик 611
Торричелли Эванджелиста (1608—1647), итальянский физик и математик
116, 126, 154, 155,444
Тьюринг Алан Матисон (1912—1954), английский математик 349, 350, 584
Уайлс Эндрю (р. 1953), английский математик 423—425
Уайтхед Алфред Норт (1861—1947), английский и американский математик,
логик и философ 50, 306, 485, 510, 516
Улугбек Мухаммед Тарагай (1394—1449), узбекский астроном и математик
89
Урысон Павел Самуилович (1898—1924), советский математик 357, 358, 535,
536
Фалес Милетский (ок. 625 — ок. 547 до н. э.), древнегреческий мыслитель
32—35
Фарадей Майкл (1791—1867), английский физик 306
Фату Пьер (1878—1929) 356, 571
Федоров Евграф Степанович (1853—1919), русский кристаллограф и геометр
312
Фейнман Ричард Филлипс (1918—1988), американский физик 600, 601, 615
Ферма Пьер (1601—1665), французский математик 71, 125, 126, 133—136,
139, 143—145, 156, 157, 160, 224, 344, 398, 415, 416, 418, 419, 422, 423, 425, 444,
454,455,461,482
Ферми Энрико (1901—1954), итальянский физик 467
Феррари Лудовико (1522—1565), итальянский математик 99
Ферро Сципион (1465—1526), итальянский математик 97—99, 397
Фишер Роналд Эйлмер (1890—1962), ученый в области статистики и
биометрии 472, 473
Флоренский Павел Александрович (1882—1937), российский ученый и
богослов 50, 360
Фойгт Вольдемар (1850—1919), немецкий физик 410
Фома Аквинский (1225 или 1226—1274), философ и теолог 95, 491
Фреге Готлоб (1848—1925), немецкий математик и философ 485,486,508,510
Фредгольм Эрик Ивар (1866—1927), шведский математик 323
Фрей Герхард (р. 19..), немецкий математик 423
Френкель Адольф Абрахам (1891—1965), израильский математик 519
Фреше Морис Рене (1878—1973), французский математик 362, 451, 535, 536,
539
Фриш Рагнар (1895—1973), норвежский экономист 471
Фробениус Фердинанд Георг (1849—1917), немецкий математик 410
636

Фурье Жан Батист Жозеф (1768—1830), французский математик 16,193, 205,
206, 209—212, 251, 254, 270, 556
Харди Годфри Харолд (1877—1947), английский математик 328, 329, 344, 509
Хаусдорф Феликс (1868—1942), немецкий математик 507, 535, 536, 539, 571,
573
Хевисайд Оливер (1850—1925), английский физик 201, 267, 559
Хинчин Александр Яковлевич (1894—1959), советский математик 354, 357,
358, 377, 465, 468
Холдейн Джон Бердон Сандерсон (1892—1964), английский биолог 580
Хопф Хейнц (1894—1971), швейцарский математик 539
Хорезми Мухаммед бен Муса (аль-Хорезми) (787 — ок. 850), среднеазиатский
ученый 89
Христианович Сергей Алексеевич (р. 1908), советский ученый 376
Цермело Эрнст (1871—1953), немецкий математик 504, 507, 508, 513, 519
Чаплыгин Сергей Алексеевич (1869—1942), российский ученый 294, 378
Чебышев Пафнутий Львович (1821—1894), российский математик 283—287,
291,296,298,377,465
Чжан Цань (? — ок. 103 до н. э.), китайский дипломат 25
Чирнгаузен Э.В. (1651—1708), немецкий математик 174
Шаль Мишель (1793—1880), французский математик 86
Шафаревич Игорь Ростиславович (р. 1923), советский математик 383,384,388
Шварц Карл Герман Амандус (1843—1921), немецкий математик 273,275,283
Шварц Лоран (1915—2002), французский математик 560
Шеннон Клод Элвуд (1916—2001), американский математик 345, 585
Шимура Горо (р. 1928), японский математик 422
Шлефли Людвиг (1814—1895), швейцарский математик 434
Шнирельман Лев Генрихович (1905—1938), советский математик 354, 357,
358,539
Шпенглер Освальд (1880—1936), немецкий философ 20
Шредер Эрнст (1841—1902), немецкий математик и логик 485
Шредингер Эрвин (1887—1961) австрийский физик 331, 469, 601, 612, 613
Штейнгауз Гуго (1887—1972), польский математик 17, 324
Штейнер Якоб (1796—1863), швейцарский математик 270, 432
Штифель Михаэль (ок. 1486—1567), немецкий математик 397
Эвальд Пауль Петер (1888—1985), немецкий физик 325
Эйлер Леонард (1707—1783), швейцарский математик 106, 127, 135, 140,
184—192, 195—197, 201, 203, 204, 211, 216—218, 223, 224, 226, 229, 249, 258, 279,
285, 292, 294, 297, 309, 315, 317, 344, 377, 384, 402, 415, 416, 419, 437, 450, 451,
456, 529, 544, 545, 551, 555, 561, 584, 593, 605
637

Эйнштейн Альберт (1879—1955), физик 10, 12, 14, 18, 243, 275, 317, 331, 332,
348, 411, 457, 468, 475, 604, 609, 610, 612, 613, 617
Эмпедокл из Агригента (ок. 490 — ок. 430 до н. э.), древнегреческий философ
570
Энриквес (1871—1946), итальянский математик 340
Эратосфен Киренский (ок. 276—194 до н. э.), древнегреческий ученый 61, 80,
435
Эрмит Шарль (1822—1901), французский математик 260, 265, 287, 291, 303,
304,319,320,334,476,571
Эсхил (ок. 525—456 до н. э.), древнегреческий поэт-драматург 47, 60, 65
Юм Дэвид (1711—1776), английский философ 232
Якоби Карл Густав Якоб (1804—1851) немецкий математик 16, 205, 225, 245,
252, 258—260, 270, 294, 455, 456, 594
Ямвлих (сер. III в. — ок. 330), античный философ 35, 37

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Математика и познание окружающего мира 6
Особенности математического метода 9
О религиозности творцов математики 11
Ошибки ученых поучительны 13
Как совершаются в математике открытия
и что заставляет ученых их совершать 14
ЧАСТЬ I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ КАК ЧАСТЬ ИСТОРИИ
ЦИВИЛИЗАЦИИ 19
Глава 1. Математика Древнего Востока 20
Древний Египет 21
Древний Вавилон 22
Древний Китай 25
Древняя Индия 26
639

Глава 2. Математика Древней Греции 31
Ионийские мудрецы 32
Фалес Милетский и его последователи 33
Пифагор и его школа 35
Легенды о Пифагоре 35
Основы пифагореизма 38
Философские взгляды пифагорейцев 40
О музыке в учении Пифагора 44
Математические открытия 45
Афинская школа 47
Атомисты 47
Элеаты 49
Платон и платоники 49
Аристотель 51
Евдокс 56
Архит, Теэтет 57
Глава 3. Александрийская математика (математика в эпоху
эллинизма и Римской империи) 58
Мусейон 59
Евклид 61
Архимед 65
Аполлоний 70
Диофант 72
Герон, Гипатия и упадок греческой цивилизации 76
Глава 4. Александрийская астрономия 78
Аристарх Самосский 78
Эратосфен 80
Гиппарх 81
Птолемей 82
Глава 5. Математика исламского Востока после упадка Древней
Греции 86
Особенности исламской культуры 86
Достижения математиков Востока 88
Омар Хайям 90
640

Глава 6. Математика в Европе в Средние века и в эпоху
Возрождения 92
Общая характеристика эпохи 92
Ферро 97
Тарталья 98
Кардано 98
Бомбелли 101
Виет 102
Математическая символика 105
Глава 7. Астрономия в XVI в 111
Коперник 111
Галилей 114
Кеплер 117
Глава 8. Математика в XVII в 124
Общая характеристика 124
Логарифмы 126
Мерсенн 127
Декарт 128
Ферма 133
Возникновение аналитической геометрии 137
Зарождение проективной геометрии 140
Блез Паскаль 141
Гюйгенс 147
Глава 9. Развитие интегральных методов в XVII в 150
Вклад Кеплера в развитие интегральных методов 151
Кавальери 152
Торричелли 154
Вклад Ферма в развитие интегральных методов 156
Валлис 157
Глава 10. Создание математического анализа 159
Дифференциальные методы 159
Ньютон 161
Лейбниц 167
Ньютон и Лейбниц — творцы математического анализа ... 172
641

Глава 11. Развитие математики в конце XVII — XVIII в 178
Семейство Бернулли 178
Якоб Бернулли 179
Иоганн Бернулли 181
Даниил Бернулли 184
Эйлер 185
Глава 12. Математика во Франции в конце XVIII — начале
XIX в 193
Даламбер 194
Лагранж 195
Лаплас 199
Положение в математике на рубеже XVIII и XIX вв 202
Создание Политехнической школы в Париже 205
Монж 207
Пуассон 209
Фурье 210
Глава 13. Коши и обоснование математического анализа .... 213
Коши 213
Отношение математиков к идее бесконечно малых 215
Работы Коши по обоснованию математического анализа ... 218
Другие достижения Коши в математике 220
Глава 14. Гаусс и создание неевклидовой геометрии 222
Гаусс 222
Вопросы истинности в математике. Споры философов XVIII в. 231
Об истории пятого постулата Евклида 233
Лобачевский 235
Янош Больяй 239
Сущность неевклидовой геометрии 240
Глава 15. Развитие абстрактной математики в первой
половине XIX в 244
Больцано 245
Абель 247
Галуа 252
Якоби 258
642

Расширение границ алгебры 260
Гамильтон 262
Кэли 264
Сильвестр и Сальмон 265
Грассман 266
Глава 16. Математика в Германии во второй половине XIX в. . 268
Система обучения в университетах Германии 268
Дирихле 270
Вейерштрасс 271
Риман 274
Клебш 276
Глава 17. Математика в России до 1917 г. 278
Петербургская Академия наук 278
Университеты России 280
Остроградский 280
Буняковский 282
Чебышёв 283
Ковалевская 287
Жуковский 292
Ляпунов 295
Марков 298
Стеклов 300
Глава 18. Математика в Западной Европе в конце XIX — начале
XX в 303
Эрмит 303
Максвелл 304
Кантор 308
Дедекинд 309
Ли 310
Клейн 311
Пуанкаре 313
Гильберт 318
Лебег 327
Рамануджан 328
Герман Вейль 330
643

Глава 19. Международные конгрессы математиков 333
I Международный конгресс математиков 333
II Международный конгресс математиков 334
Доклад Гильберта «Математические проблемы» 335
Международные конгрессы математиков в XX в 340
Глава 20. Математика в изоляции. Создание кибернетики и ЭВМ 342
Абстрактная математика в XX в 342
Винер и кибернетика 344
Нейман 347
Тьюринг 349
Глава 21. Математика в России после 1917 г. 351
Внедрение диалектики в математику 351
Лузин 354
Колмогоров 361
Лаврентьев 368
Понтрягин 370
Соболев 372
Келдыш 378
Моисеев 381
Шафаревич 383
ЧАСТЬ II. ИСТОРИЯ НЕКОТОРЫХ РАЗДЕЛОВ И ИДЕЙ
МАТЕМАТИКИ 388
Глава 22. Развитие понятия «величина» 389
Целые положительные числа в Древнем мире 389
Дальнейшее развитие
теории целых и рациональных чисел 393
Иррациональные числа 395
Отрицательные числа 398
Комплексные числа 401
Векторы 405
Кватернионы 406
Гиперкомплексные числа 407
Матрицы 409
Тензоры 410
Спиноры 412
644

Глава 23. Теория чисел и «великая теорема» Ферма 413
Фрагменты истории теории чисел 413
Предыстория «великой теоремы» Ферма 418
Завершающие атаки на «великую теорему» Ферма 422
Глава 24. Элементарная геометрия 426
О названиях геометрических фигур 427
Три великие задачи Античности 428
Дополнительные сведения о задачах на построение 431
Политопы 433
Некоторые фрагменты истории геометрии 435
Вычисление Архимедом объема шара 435
Задачи Аполлония 437
Теорема Эйлера 437
Построение Гауссом правильного семнадцатиугольника . 438
Глава 25. Задачи на экстремум 442
Решение экстремальных конечномерных задач 443
Исторические задачи на экстремум 444
Бесконечномерные экстремальные
исторические задачи 448
Создание вариационного исчисления 450
Решение бесконечномерных исторических задач 452
Глава 26. Поиск универсальных принципов 453
Закон Снеллиуса 453
Возможность различных путей решения вариационных задач 455
Принцип наименьшего действия и другие вариационные
принципы классической механики 456
Глава 27. История теории вероятностей, математической
статистики и случайных процессов 459
Теория вероятностей 459
Математическая статистика 469
Случайные процессы 474
645

Глава 28. Обоснование математики во второй половине XIX в. . 477
Необходимость обоснования математики 477
Обоснование математического анализа 479
Обоснование системы чисел 480
Непротиворечивость неевклидовых геометрий 481
Соотношение интуиции и логики в математике 482
Математическая логика 484
Глава 29. Тайны бесконечности 487
Отношение к идее бесконечности в Древнем мире 487
Отношение к идее бесконечности в XIII—XIX вв 491
Свойства и парадоксы бесконечности 495
Сравнение бесконечных множеств 497
Арифметика бесконечных множеств 501
Упорядоченные множества 503
Аксиома выбора 504
Глава 30. Новый кризис основ математики 506
Основные проблемы 506
Логицизм 510
Интуиционизм 511
Формализм 516
Теоретико-множественное обоснование математики 518
Открытия Геделя и Коэна 520
Бурбаки 523
Конструктивная математика 524
Глава 31. Топология и теория графов 527
Комбинаторная топология. Лист Мебиуса и бутылка Клейна . 530
Общая топология 535
Проблема четырех красок 543
Теория графов 544
Глава 32. Нестандартный анализ 548
Бесконечно малые по Лейбницу 549
Краткая история нестандартного анализа 551
646

Глава 33. Функция .134
Развитие понятия «функция» 534
Построение кривой Больцано 557
Ковер Серпиньского 55К
Развитие понятия «линия» 561
О геометрических фигурах 563
Глава 34. Порядок и хаос. Создание фрактальной геометрии . . 565
Порядок и хаос 565
Фракталы 571
Размерность фракталов 573
Фрактальная геометрия 576
Глава 35. Математика — всеобщий язык науки 581
Математические модели.
Особенности математического языка 581
Криптография 583
Математика и экономика 585
Глава 36. Закон всемирного тяготения и задача трех тел .... 590
Закон всемирного тяготения 590
Задача трех тел 594
Глава 37. Математика и теоретическая физика в XX в 600
Сопоставление математики и физики 600
Математика и теория относительности 604
Математика и квантовая теория 611
Заключение 616
Список литературы 621
Именной указатель
626

Научное издание
Панов Владилен Федорович
МАТЕМАТИКА ДРЕВНЯЯ И ЮНАЯ
Редактор Е.К. Кошелева
Художник С. С. Водчиц
Корректор Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстопог
Оригинал-макет подготовлен в издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.005683.09.04 от 13.06.2004 г.
Подписано в печать 23.06.2006. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 40,5. Уч.-изд. л. 40,0.
Тираж 2000 экз. Заказ № 3612.
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Отпечатано в ОАО «Рыбинский Дом печати».
152901, г. Рыбинск, ул. Чкалова, д. 8.