БИБЛИОТЕКА ПО АВТОМАТИКЕ
Выпуск 261
В. В. КАРИБСКИЙ, П. П. ПАРХОМЕНКО,
Е. С. СОГОМОНЯН
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ДИАГНОСТИКА
ОБЪЕКТОВ КОНТРОЛЯ
(методы анализа непрерывных и дискретных
объектов)
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1967

6П2.154
К 23
УДК 621.317
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
И. В. Антик, А. И. Бертинов, С. Н. Вешеневский, А. А. Воронов,
Д. А. Жучков, Л. М. Закс, Н. Е. Кобринский, В. С. Малов,
В. Э. Низе, О. В. Слежановский, Б. С. Сотсков, Ф. Е. Темников,
А. С. Шаталов
Карибский В. В. и др.
К 23 Техническая диагностика объектов контроля.
М., «Энергия», 1967.
80 с. с илл. (Б-ка по автоматике. Вып. 261).
Перед загл. авт.: В. В. Карибский, П. П. Пар-
хоменко, Е. С. Согомонян.
Книга посвящена рассмотрению вопросов технической диагно-
стики объектов контроля Рассматриваются методы выбора опти-
мальных совокупностей внешних воздействий и контролируемых па-
раметров для контроля работоспособности и поиска неисправностей
в непрерывных объектах, комбинационных устройствах и дискрет-
ных устройствах с памятью.
Книга предназначена для инженеров, имеющих дело с разра-
боткой и эксплуатацией средств контроля.
3 3-13
217^7 6П2Л54
КАРИБСКИЙ ВЯЧЕСЛАВ ВЛАДИМИРОВИЧ,
ПАРХОМЕНКО ПАВЕЛ ПАВЛОВИЧ,
СОГОМОНЯН ЕГОР СЕРГЕЕВИЧ
Техническая диагностика объектов контроля.
Редактор А. С. Касаткин
Технический редактор Г. С. Юдаева
Корректор Е. X. Горбунова
Сдано в набор 24/1 1967 г. Подписано к печати 24/Х 1967 г. T-13632
Формат 84x108732 Бумага типографская № 2
Усл. печ. л. 4,2 Уч.-изд. л. 5,36 Тираж 12 ООО экз. Цена 27 коп. Зак. 52
Издательство „Энергия", Москва, Ж-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Шлюзовая наб., 10.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Современное состояние науки и техники характеризуется созда-
нием и использованием сложных управляющих, логических, вычи-
слительных и других устройств. Одним из путей поддержания тре-
буемого уровня надежности подобных устройств в процессе их экс-
плуатации или хранения является контроль работоспособности
устройств и поиск неисправностей в них. Важное значение имеет
контроль также в процессе производства сложных устройств.
Независимо от того, какими способами и средствами должен
производиться контроль (вручную или автоматически, специализи-
рованными или универсальными, встроенными или внешними сред-
ствами), всегда важно иметь как можно меньше затрат времени
и аппаратуры контроля. Эти затраты в первую очередь определяют-
ся числом подаваемых в процессе контроля на объект контроля
внешних воздействий, числом подлежащих контролю параметров
объекта и последовательностью выполнения отдельных операций
контроля.
Поэтому внедрение в инженерную практику методов получения
минимальных (или близких к минимальным) совокупностей воздей-
ствий и контролируемых параметров, а также методов оптимизации
программ проверок имеет большое значение. В предлагаемой чита-
телю книге излагаются такие методы, предназначенные для комби-
национных (дискретных) устройств и для непрерывных объектов
контроля. Изложение методов сопровождается примерами.
Описанные методы, дающие общий подход к решению рассмот-
ренных в книге задач, по-видимому, требуют усовершенствования,
Авторы с благодарностью примут критические замечания и пожела-
ния читателей по существу освещенных в книге вопросов.
Авторы

ВВЕДЕНИЕ
Успешное решение задачи контроля зависит от правильности
ответов на следующие взаимосвязанные вопросы:
1. Что (какие параметры) контролировать?
2. Каким способом (методом) контролировать?
3. Какими средствами контролировать?
Интуитивные методы определения контролируемых параметров,
зачастую применяющиеся в настоящее время, не позволяют сделать
объективного заключения о пригодности объекта к выполнению
своих задач даже в случае положительных исходов проверки объ-
екта. Кроме того, нет уверенности, что выбранный перечень пара-
метров является неизбыточным (последнее приводит к излишним
затратам времени и аппаратуры контроля).
В общем случае решение задачи анализа объекта состоит
в определении минимума воздействий (стимулирующих сигналов),
подаваемых на объект в процессе контроля, и минимума реакций
(ответов) объекта на эти воздействия, необходимых и достаточных
для определения работоспособности объекта или для поиска не-
исправностей в нем с учетом требований, предъявляемых к объекту
в .условиях его контроля (в процессе производства, эксплуатации
или хранения). Однако громоздкость операций анализа сложных
объектов вынуждает часто идти на получение достаточных (мини-
мизированных) объемов воздействий и реакций.
Любая совокупность воздействий и реакций, достаточная для
определения мест неисправностей в объекте (диагностическая сово-
купность, или тест), всегда позволяет также получить ответ на
вопрос об исправности или работоспособности объекта. Тем не менее
во многих практических случаях оказывается целесообразным ис-
пользовать раздельно совокупности воздействий и реакций для
определения работоспособности объектов (проверяющие совокупно-
сти, или тесты) и диагностические совокупности.
В соответствии ео сказанным удобно в общей задаче анализа
выделять три его частные задачи: задачу построения проверяющих
совокупностей, задачу построения диагностических совокупностей и
задачу оптимизации программ проверок, в частности получения
условных проверяющих и диагностических совокупностей.
Данные, полученные в результате анализа объекта, и выбран-
ный способ контроля являются исходными для разработки средств
контроля. Ручные средства практически не могут быть использо-
ваны для контроля сложных объектов, так как они не обеспечивают
требуемой скорости и объективности проверок. Рядом существенных
недостатков обладают также и специализированные контрольные
4

установки (смена объекта требует изменения контрольной аппара-
туры, переобучения персонала и т. д.). В настоящее время все бо-
лее широкое распространение получают универсальные устройства
автоматического контроля с программным управлением. Эти устрой-
ства в значительной степени свободны от недостатков специализи-
рованной аппаратуры контроля и пригодны для обслуживания ши-
рокого класса объектов.
Наиболее эффективно задачи контроля могут решаться одно-
временно с проектированием объекта при использовании научных
методов анализа объекта и универсальных средств контроля. Толь-
ко тогда контроль будет полным и эффективным, а в проекте объ-
екта будут предусмотрены все условия, необходимые для его кон-
троля.
Ниже рассматриваются методы логического анализа объектов
контроля и построения тестов, которые могут быть автоматизиро-
ваны с помощью УЦВМ или специализированных средств. Для ре-
шения задачи анализа объекты контроля разделены на два класса —
непрерывные и дискретные, причем среди последних выделены дис-
кретные объекты «без памяти» (комбинационные устройства) и дис-
кретные объекты с памятью (устройства, описываемые моделью ко-
нечного автомата). Для анализа объектов различных классов исполь-
зуется единый общий подход.

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА НЕПРЕРЫВНЫХ
ОБЪЕКТОВ 1
1. ЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА
Пусть объект представлен в виде функциональной схемы, со-
стоящей из N связанных между собой блоков К
Выходные сигналы каждого блока зависят от входных сигна-
лов. Если какой-либо входной (выходной) сигнал характеризуется
несколькими параметрами, то каждый из этих параметров будем
представлять отдельным входом (выходом).
Считаем, что из множества значений каждого входного и вы-
ходного 'параметра всегда можно выделить подмножество их до-
пустимых значений2. Значение входа или выхода блока назовем
допустимым (недопустимым), если значение соответствующего пара-
метра принадлежит (не принадлежит) подмножеству допустимых
значений.
Обозначим внешние входы блока Pi (t—1, ..., N) объекта че-
рез Хц, Xi2, ..., его внутренние входы, являющиеся выходами дру-
гих блоков, — через у и, #г-2, ..-и выходы — через zu, Zi2, ...,zHhit
Обозначим логическое высказывание «значение входа допустимо»
символом входа х (или у). Тогда символы входов можно считать
логическими входными переменными, принимающими значение
«истинно» (1), если значения соответствующих им входов допусти-
мы, и значение «ложно» (0) — в противном случае. Аналогично сим-
волы выходов можно считать логическими выходными функциями,
принимающими значение 1, если значения соответствующих им вы-
ходов допустимы, и 0 — в противном случае.
1 Вопрос об оптимальном разбиении схемы объекта на блоки
представляет собой самостоятельную задачу, решение которой не
является целью настоящей работы. Критерий оптимальности должен
включать в себя, по-видимому, такие показатели, как сменность
блоков, удобство измерения выходных параметров блоков, конструк-
тивные соображения и т. п.
2 В общем случае (например, когда контролируется неустановив-
шийся процесс) понятие допустимого значения включает в себя учет
момента времени измерения параметра. Моменты времени измерения
могут быть определены по известным теоремам В. А. Котельникова
[Л. 1].
6

При таком рассмотрении функции выходов блоков являются
булевыми функциями.
Переберем все возможные сочетания значений входов (входные
наборы) исправного блока /\- и определим для каждого такого со-
четания значение выхода гц (/=1, .... ki). Полученную таким об
разом булеву функцию можно записать в виде ее совершенной
дизъюнктивной нормальной формы [Л. 2]. Назовем эту функцию
функцией условий работы блока по выходу гц и обозначим симво-
лом Fij. Для нее известными методами [Л. 3] можно получить
дизъюнктивную частную нормальную минимальную форму.
Для большинства исправных непрерывных объектов булевы
функции условий работы блоков являются монотонными. Для мо-
нотонных функций частная минимальная форма единственна.
В дальнейшем считаем, что Fij представлена такой минимальной
формой.
В результате минимизации функций Fix Fik для каждого
из выходов ziv . .. ,zik блоков Pi получим совокупность существен-
ных входов. В логической модели объекта каждый блок Pi будем
представлять блоками Qilt.. . , Qik , каждый с одним выходом гц и
г
с Sj входами, существенными для выхода гц.
Назовем логическую модель правильной, если для любой пары
- блоков: 1) характерной тем, что выход одного из блоков является
входом другого, выполняется условие: подмножества допустимых
значений упомянутых входа и выхода и подмножества их недопу-
стимых значений соответственно совпадают; 2) имеющей одноимен-
ные входы, выполняется условие: подмножества допустимых зна-
чений и соответственно подмножества недопустимых значений вхо-
дов совпадают.
Тогда для правильной логической модели символы внутренних
входов можно заменить символами связанных с ними выходов (при
условии, что в связях между блоками нет задержек). Перенуме-
руем блоки логической модели и обозначим их символами Qu ...,
N
Qn, где п = ^ ki. На этом завершается построение логической мо-
/=1
дели объекта.
В общем случае каждому исходному блоку Pi в функциональ-
ной схеме соответствует подмножество блоков логической модели
из {Qu ..Qn}. В частном случае логическая модель может совпа-
дать с функциональной схемой объекта.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ
ВЫХОДОВ БЛОКОВ ДЛЯ КОНТРОЛЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
Построенную логическую модель можно рассматривать как не-
которое логическое устройство, при контроле которого допустимое
множество входных наборов содержит один единственный набор 1
... 1. Это значит, что при контроле непрерывного объекта на по-
следний подаются входные сигналы, которые находятся в допуске.
Для анализа логической модели может быть использована об-
щая методика анализа комбинационных устройств, излагаемая
7

в следующей главе. Однако ряд особенностей логической моДеЛй
(монотонность функции условий работы блоков, ограниченный ха-
рактер неисправностей и др.) позволяет существенно упростить про-
цесс анализа.
Не нарушая общности, дальнейшее изложение проведем на
примере логической модели, изображенной на рис. 1.
Рис. 1.
Предположим, что частная минимальная форма Ft (i=l, ..., п)
состоит из одного члена, являющегося конъюнкцией внешних и внут-
ренних переменных, т. е. имеет вид:
г — Xi 1 • • • Хц .'Уг\*
•У1
''Pi
Все возможные неисправности блока Qi можно разбить на два
класса. К первому классу относятся те неисправности, которые
приводят к появлению выхода 2* = 0 вместо ожидаемого (соответ-
ствующего исправному блоку) выхода Fi = \. Второй класс содер-
жит неисправности, переводящие значение /гг = 0 в z*=l.
Назовем правильным блок, который сопоставляет значения г*
со значениями Fi в соответствии с табл. 1.
Неправильный блок осуществляет сопоставление в соответствии
с табл. 2.
Таблица 1
Таблица 2
Т а'б л и ц а 3
zi
Qi
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
, 1
0
1
0
0
0
0
0
8

Для большинства непрерывных объектов понятие правильного
блока совпадает с понятием исправного блока, а понятие неправиль-
ного блока — с понятием неисправного блока.
Если составить логическое высказывание «блок Q правильный»
и обозначить его символом Q (Q = l или 0), то в соответствии
с табл. 1 и 2 можно составить табл. 3, из которой следует, что z%
можно рассматривать как конъюнкцию переменных Fi и Qi.
Zi = QiFi.
Физически это соответствует тому, что выход Zi блока Qi бу-
дет допустимым только в том случае, когда все его входы допусти-
мы (Л —1) и блок Qi исправный.
Для того чтобы блок Qi был правильным (исправным), доста-
T04HQ, чтобы высказывание Zi было истинным (выход Zi был допу-
стимым).
Обратимся к рис. 1 и выпишем значения функций условий ра-
боты блоков;
Fч = ^21' Z j' 2*2 • Z3\
Fз — -£31*25;
F\ — x±x>z^
(1)
Составим равенство типа z+ = Qi»Fi'.
Z\ — Q\'^\\'z\'^bi
~2 ~ Q2*^2\'Z\'^г'^з»
z3 = Q3-x3l'Z5; \ (2)
24 = Q4,x41'21;
z5 — Qb* Xbl'Zz.
Считаем, что правильная логическая модель функционирует
правильно, если все ее блоки правильные. Для того чтобы объект
функционировал правильно (был исправным), достаточно, чтобы ло-
гическое высказывание
2i • г2... г» (3)
было истинным.
Покажем, как <найти минимальную совокупность выходов, истин-
ность значений которых влечет за собой истинность высказывания
(3).
Составим в соответствии с (2) квадратную матрицу (табл. 4),
число строк и столбцов которой соответствует выходам 2Ь ..., zn.
Заполним матрицу следующим образом. В клетках главной диаго-
нали проставим знаки 0. Затем возьмем первое равенство системы
функций (2) и отметим знаками + (без кружка) в первой строке
матрицы те столбцы, в которых записанные выходы содержатся
в правой части первого равенства системы функций (2). В рассмат-
риваемом примере такими выходами являются zx и 25. Просмотрим
первую строку матрицы слева направо и найдем первый знак +.

©
е
©
е
©
©
©
©
©
©
©
©
©
Обратимся к тому уравнению системы (2), которому соответствует
столбец с найденным знаком +. В данном случае это пятое урав-
нение системы (2). Обведем кружком знак + в столбце z& и отме-
тим знаком + столбец гъ в той же строке. Снова найдем первый
слева знак + и будем повторять описанную процедуру до тех пор,
пока в строке не останется ни одного знака + (без кружка). После
этого перейдем к следующей строке и т. д. В результате получим
окончательную табл. 4. Очевид-
Таблица 4 но, число шагов описанной
процедуры [под шагом подра-
зумевается один просмотр ка-
кого-либо уравнения в системе
(2)] не может превышать
п(п— 1).
Теперь задача определения
минимального числа выходов
состоит в выборе минимальной
совокупности строк, таких что-
бы в каждом столбце имелся
хотя бы один знак ф, принад-
лежащий этим строкам. Для
рассматриваемого примера ми-
нимальная совокупность содержит строки z2 и z4. Это свидетель-
ствует о том, что контроль работоспособности объекта на рис. 1
следует осуществлять путем подачи допустимых входов *ц, х2\, *зь
Х\и *5i и проверки состояния выходов Z2 И 24.
Истинность полученной описанным образом минимальной со-
вокупности выходов является необходимым и достаточным условием
истинности высказывания (3).
В простейших случаях определение минимальной совокупности
строк легко осуществить путем простого просмотра таблицы. В бо-
лее сложных, случаях следует применять известную методику по-
строения частных минимальных форм при минимизации булевых
функций [Л. 6] или приближенные методы, изложенные в следующей
главе. При получении нескольких равноценных по числу строк ва-
риантов минимальных совокупностей следует выбирать ту из них,
которая наиболее удобна для технической реализации. .
Рассмотрим вопрос о контроле работоспособности объекта
в случае, когда функции условий работы блоков модели Fi (i=l,
..., п) являются монотонными и имеют вид 1:
%
(4)
где Агj — конъюнкция логических переменных.
Здесь равенства Fi~\ и Zi=l в общем случае не позволяют
утверждать, что блок Qi исправный.
Назовем блок Qi полностью правильным, если он правильный
на каждом из наборов Aij, входящих в Fi.
Назовем функционирование правильной модели полностью пра-
вильным, если все ее блоки полностью правильны (исправны).
Поскольку Fi представляет собой частную минимальную форму,
то всегда найдутся Ц различающих наборов входных переменных,
1 Функции такого вида имеются, в частности, в логических мо-
делях объектов, с резервированием.
Ю

таких что на /-м наборе А», = 1 и Ди\/ ••• \7Д«-Л/ A<j+i ...\УАЛ«==
/= 1,. , /г. Объясняется это тем, что частная минимальная форм
не имеет поглощений.
Без нарушения общности для дальнейшего изложения возьмем:
Fi = Xi \'У1\ \J Xi2'lJi2 \J Xi^'yiz* (5)
Представим различающие наборы для Fi в виде табл. 5
Здесь единицы проставлены в клетках строки At-j, соответствующих
переменным, входящим в &ц. В остальных клетках строки простав-
ляются нули. Следовательно, каждая
строка соответствует своему различа- \fiis
ющему набору.
В общем случае различающий
набор содержит значения некоторых
переменных, равные 0. При реализа-
ции различающих наборов возникает
необходимость в принудительном за- рис 2.
дании значений, равных 0, для ряда
входов блока Qi. В качестве комму-
тирующего элемента (КЭ), включаемого на таких входах (рис. 2),
может быть элемент, реализующий функцию fis, заданную табл. 6.
Таблица 5 Таблица 6
*и
у и.
yi2
у а
yiP
<*ir>
fi.
1
0
1
0
0
0
0
0
Ai2
0
1
0
1
0
1
0
1
Ai3
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
Здесь Pis — дополнительный внешний вход для управления КЭ\
Us, — выход /09, являющийся входом блока Qi вместо yip(Xir).
Определим минимальную совокупность коммутирующих элемен-
тов, достаточную для образования всех требуемых различающих на-
боров.
Обратимся к табл. 5. При подаче набора Ап должны быть об-
ращены в 0 все остальные наборы Дг-2 и Аг-3. Для обращения в 0,
набора Ai2 необходимо приравнять нулю входы х%2 или г/г2, а для
обращения в 0 набора Агз — входы xt2 или г/г-3
{xi2\J yi2)-{xi2\J yiz).
Аналогично для наборов Аг-2 и Агз получаем соответственно:
Логическое произведение всех таких выражений после раскрытия
скобок даст все совокупности входов, требующих коммутирующих
11

элементов. Выбираем среди этих наборов минимальный по длине.
Обратимся к системе .функций (4) и найдем для каждого блока
минимальную совокупность дополнительных внешних входов рь
..., рд. В результате логическая модель будет иметь внешние входы
Всегда можно построить s = MaKc/t- наборов (хь ..xr, pi, ..., pq)
таких, что на всех s наборах каждая из конъюнкций Ац по мень-
Вход
\Выход
2
Рис. 3.
шей мере 1 раз примет значение, равное 1, и одновременно все
остальные конъюнкции Д*ь=(&=1, ..., j—1, ..U) —значение,
равное 0 (по всем /).
Анализ метода при этом сводится к s-кратному применению
рассмотренной выше методики.
х
Qi
г,
Q3
г Qs
г*
*2
Q*
Рис. 4.
В качестве примера проведем анализ схемы резервированного
элемента, изображенной на рис. 3. Логическая модель для указан-
ной схемы построена в соответствии с правилами, описанными
в § 1, и показана на рис. 4. Выпишем соответствующие функции
условий работы:
F, = jc;
F2 ~ х\
^3 = Zi\/z2;
^4 = *, \/28;
^ = 2,\/ Z4.
12

Так как функции f3, F4, F5 содержат Но дба дизъюнктивных члени,
то для проведения контроля работоспособности необходимо включе-
ние коммутирующих элементов. На рис. 5 изображена логическая
модель с включенными КЭ.
Проверку правильности функционирования модели, изображен-
ной на рис. 5, можно провести на следующих двух наборах внеш-
них входов х, ft, р2, Рз, Р4, Рз, Ре: 1101010, 1010101.
Рис. 5.
Следовательно, при контроле схемы на рис. 3 сначала разры-
ваются связи в точках / и 3 и контролируются значения выходов
блоков Ри Ръ и Ра (при подаче допустимого входного сигнала). За-
тем производится разрыв связей в точках 2 я 4 и контролируются
значения выходов блоков P2f Р3 и Р4.
3. ПОИСК НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Допустим, что какой-либо блок модели Qi неисправен. Подстав-
ляя значение Qi = 0 в уравнение 2t=Qi • Fi% получим недопустимое
значение выхода Zi = 0. Определим по системе функций (2) значе-
ния выходов Zj которые обратятся в 0 при Zi = Q (за счет
Fj=0), и поместим их в Qi-ю строку таблицы, которую назовем
таблицей неисправностей (табл. 7).
Анализ табл. 7 показывает, что неисправности блоков Q3 и Qs
неотличимы по состоянию выходов (значения всех выходов одина-
ковы при любой из этих неисправностей). Такие неисправности на-
зываются неотличимыми (см. гл. 2). Неисправности остальных бло-
ков отличимы.
Перенумеруем и обозначим строки таблицы следующим обра-
зом:
= > 4 •!»} (< =1
где в| о1п — состояния выходов f-й строки таблицы неисправно-
стей.
Операцию логического умножения строк (наборов) определим так:
где (£=1, 2, . . . , п) — логическое произведение.
13

Таблица 7 Можйо показать, что на-
бор значений выходов логиче-
ской модели при неисправных
блоках Qi, Qj, ..., qi совпа-
дает с набором a=ai • о^ ...
... щ.
Поэтому неотличимые не-
исправности, отвечающие оди-
наковым набором а, могут
быть помещены в одну строку.
В результате получим табл. 8,
в которой все строки попарно
различны.
Определим минимальное
число выходов блоков модели для определения неисправных блоков.
Группы блоков, помещенные в одну строку таблицы неисправностей,
будем рассматривать как один блок. Рассмотрим сначала случай,
когда в модели имеется только один неисправный блок. Решение
поставленной задачи в этом случае можно проводить двумя путя-
ми. Первый путь соответствует определению минимального числа
выходов блоков для выделения неисправности одного блока среди
всех других.
Таблица 8
22
*8
г4.
z5
Qi
0
0
1
0
1
Q2
1
0
1
1
1
Qa
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
Q5
0
0
0
0
0
z2
Zi
Z4
25
al
Qi
0
0
1
0
1
«2
Q2
1
0
1
1
1
«3
Q3; Q5
0
0
0
0
0
«4
Q4
1
1
1
0
1
Из табл. 8 выписываем совокупности выходов, отличающие строку,
соответствующую выделяемой неисправности (допустим, Qi), от всех
других строк:
1.3 —z8 v*5;
1.4 —г, V z2.
Логическое произвеДение этих совокупностей означает высказы-
вание: „в совокупность выходов, отличающих неисправность блока qlt
входят выходы (г, или г4) и (г3 или z5) и (zx или z2):(z1 \/z4)-(z3 V zb)
(zi \/2а) — г\'г*\/zi'z6\jz2'z3'z±\/z2'z*,zb- Минимальными явля-
ются совокупности zx и z3 или zx и z5. Таким образом, состояния
выходов zt = 0 и zz = 1 или zx = 0 и z5 = 1 указывают, что не-
исправным является блок Qi. Аналогично находятся минимальные
совокупности выходов для других блоков.
Второй путь состоит в определении такой минимальной совокуп-
ности выходов, что попарно различные наборы в таблице неисправ-
14

ностей будут попарно различны и на этих выходах. Из табл. 8 вы-
писываем совокупности выходов, отличающие любую строку от
всех остальных:
1,2-
гх V гА;
1,3 —
1,4 —
zx\J z2\
2,3 —
zx\J zz\J z^y zb\
2,4 —
z2 V 24;
3,4-
■2l V Z2\J ZZ\J Zb.
Логические произведения, полученные после раскрытия скобок,
дают все совокупности выходов, на которых все наборы аг- попарно
различны. Выбрав среди них минимальную по длине совокупность,
получим искомое решение.
В общем случае контроль работоспособности объекта предшест-
вует 'поиску неисправностей. Поэтому при определении минимальной
совокупности выходов целесообразно учесть выходы модели, требуе-
мые для контроля работоспособности. Добавив эти выходы к ука-
занному логическому произведению в качестве сомножителей, мож-
но перед раскрытием скобок произвести дополнительное упрощение
типа z(z\J A)=z. Для рассматриваемого примера получаем:
z2 • • (zi V z4) • (2, V z5) • (Zi V z2) • (zx V zs V z4 \/ z5) X
X (Z2 V 24)-(*i V Z2 V ZZ V Z5) = 22-24.Z3 V 22-24.25.
При большом числе блоков модели целесообразно использовать из-
лагаемый в [Л. 7] метод определения ограниченной совокупности
признаков (в нашем случае выходов модели) для выделения дан-
ного состояния объекта (неисправного блока) из всех других или
методы, изложенные в гл. 2.
Определим число проверок при последовательном поиске [Л. 8]
неисправного блока в модели при помощи внешней аппаратуры конт-
роля. Под проверкой будем понимать подачу на модель допустимых
входов и наблюдение одного выхода.
Можно показать, что последовательный поиск любого неисправ-
ного блока правильной логической модели, состоящей из п блоков
[при условии наличия только одного неисправного блока и попарной
различимости наборов аг- (/=1, ..я)], содержит число проверок
N^n— 1.
При этом длина последовательного поиска любого неисправного
блока не превышает числа выходов, входящих в минимальную со-
вокупность.
Рассмотрим теперь случай, когда в объекте возможно существо-
вание произвольного числа неисправных блоков. Таблица неисправ-
ностей, используемая при таком анализе (типа табл. 8), должна
содержать все попарно различные строки. В рассматриваемом при-
мере (рис. 1) наборы значений выходов при неисправных блоках
Q3 или Q§ совпадают. Поэтому они помещены в одну строку
15

табл. 8 неисправностей и обозначены а3. При этом оба блока рас-
сматриваются как один.
Предположим, что число попарно различных наборов сц равно п,
a f и Ц| суть непересекающиеся подмножества соответственно
{aPv ар*' "' ' аР^ И \' ' } из множества M{alt а2,...,ап}.
Известно, что наборы ост=а -а ...аЛ и атт= а, -а, ... а, всегда
различимы [Л. 14].
Используем следующий алгоритм нахождения любого числа неис-
правных блоков модели.
Просматриваем значения всех выходов модели, в результате чего
получаем некоторый набор а0 из нулей и единиц (cj, Og, ... , ). Про-
сматриваем таблицу неисправностей и вычеркиваем строки oij при
(/€{!»•••• п})> Допустим, что в наборе а0 нулевыми элементами
являются 0^, . . . , Cf^S1!, ... , st £ {1. ••• . п}-
В оставшейся части таблицы неисправностей среди столбцов zs ?
zs2> ••• »zst находим все столбцы, содержащие один нулевой элемент а,
расположенный на главной диагонали, и выписываем строки, отвечаю-
щие таким нулевым элементам.
Блоки, соответствующие этим строкам, неисправны. Если после
замены найденных неисправных блоков конъюнкция значений ми-
нимальной совокупности выходов для контроля работоспособности
равна нулю, т. е. обнаружены не все неисправные блоки, то повто-
ряем описанный алгоритм.
Пусть для схемы на рис. 1 получены, например, значения вы-
ходов:
2i = 0; z2 = 0; z3, г5=1; z4 = 0.
Вычеркиваем в таблице строку Q3, Q5 и, просматривая столбцы zu
z2, Zi, находим, что столбец Z\ содержит один нулевой элемент 0\.
Блок Qi неисправен. Если после замены этого блока z2'Z4=\ (где
z2 • z4 — минимальная совокупность выходов для проверки работо-
способности), то неисправных блоков больше нет. Если же z2*Z\—§%
то повторяем алгоритм.
4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА
В § 1 была рассмотрена методика построения логической моде-
ли непрерывного объекта на основе аппарата алгебры логики.- Эта
методика может оказаться малопривычной для специалистов, зани-
мающихся непрерывной техникой, в частности автоматическим ре-
гулированием. Поэтому здесь приводятся основные положения,
позволяющие построить модель непрерывного объекта (аналогично
логической модели), предназначенную для решения задач контроля
и основанную на понятии функциональной зависимости [Л. 15].
Рассмотрим систему функциональных блоков, обладающую сле-
дующими свойствами:
1. Каждый блок системы имеет только один выход, который
может быть соединен с любым числом входов других блоков. Число
входов блока не ограничено.
16

Если в системе есть блоки, имеющие к выходов, то их надо
разбить на к блоков с одним выходом и у каждого блока оставить
только те входы, от которых зависит выход данного блока. Вход
i-ro блока Xi называется внутренним входом, если он является вы-
ходом /-го блока Уз, т. е. если Xi=yj. Вход i-ro блока аг- называет-
ся внешним входом, если сигнал подается на этот вход извне.
2. Выходы различных блоков не могут быть объединены. Это
ограничение исключает из рассмотрения систем .с резервирова-
нием.
3. Для каждого 1-го блока системы определена функциональная
зависимость выходного сигнала yi от входных сигналов.
Для каждого значения любого сигнала системы из области его
изменения определено множество значений, каждое из которых от-
личается от заданного на величину, не превышающую допустимой.
Это множество составляет область допустимых значений.
Сигнал считается допустимым, если его истинное значение не
выходит за область допустимых значений. Предполагается, что
внешние входные сигналы принимают всегда допустимые значения.
4. Блок неисправен, если все входные сигналы блока допусти-
мы, а выходной сигнал недопустим,
5. Недопустимое значение хотя бы одного входного сигнала
блока приводит к появлению недопустимого выходного сигнала.
6. Предполагается, что по выходному -сигналу блока можно
определить, соответствует он допустимому или недопустимому зна-
чению.
7. Для любого выхода f/j, соединенного с любым входом х%,
область допустимых значений х\ совпадает с областью допустимых
значений у\.
Графически объект будет изображаться схемой, в которой
функциональные блоки обозначены прямоугольниками, соединенны-
ми линиями со стрелками на концах, указывающими направление
прохождений сигналов.
5. МИНИМИЗАЦИЯ ЧИСЛА ВЫХОДОВ В ОБЪЕКТАХ
С ОБРАТНЫМИ И БЕЗ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Объекты с обратной связью (рис. 6) и с резервированием прин-
ципиально содержат неразличимые неисправности и не могут быть
дцаконтр о л и ров а н ы~ без изменения структуры объекта.
Можно показать, что в объекте, представляющем собой сово-
купность функциональных блоков с обратными связями, существует
2m—1 неразличимых неисправностей, где т — число блоков, охва-
ченных обратной связью.
При диагностике неисправностей в объектах с обратными свя-
зями (и с резервированием) необходимо приводить их к объектам
без обратных связей и без резервирования, разрывая на время
поиска неисправное^* соответствующие соединения.
Для отыскания минимального числа указанных выше разрывов,
достаточного для определения любрй^неисправности, можно исполь-
зовать метод определения минимальных•.QOjajJByiwp^x^fr 'Дояолнитель-
ных внешних входов объекта, опйсаиш&'аЖ2.' \^':>* I
3-53 17

В объекте без обратных связей всегда найдется по крайней ме-
ре один входной блок, имеющий только внешние входы 1.
Назовем выход блока свободным внешним выходом, если он
не является входом ни для какого блока объекта. Блоки с такими
выходами назовем выходными.
Для проверки работоспособности объекта необходимо и доста-
точно просмотреть все свободные внешние выходы при подаче всех
внешних сигналов. Неисправность любого блока обязательно приве-
дет к недопустимому сигналу хотя бы на одном из свободных
внешних выходов. После проверки работоспособности в случае не-
исправности объекта необходимо перейти к диагностике неисправ-
ности.
lb--lb-, Ь
«г -3 <?/
>/ Ъ) Уг Ъ, ]Ул Ъ»,
Рис. 6.
Можно использовать следующий алгоритм проверки объекта без
обратных связей и без резервирования. Путем просмотра найти все
v входных блоков. Подав на внешние входы этих блоков требуемые
воздействия (или включив источник питания на блок без входов).
проверить поочередно исправность всех v блоков по их выходам.
В случае, если все v блоков исправны, их выходы можно считать
внешними входами блоков, на которые они подаются, и рассматри-
вать оставшиеся п—v блоков объекта. В этой части объекта снова
можно выделить входные блоки, проверить их и т. д. Если при про-
верке обнаружится неисправный блок, то его надо заменить исправ-
ным и затем продолжить процесс до тех пор, пока будут проверены
все блоки и тем самым обнаружены все неисправные блоки.
Без нарушения общности рассмотрим на примере системы
рис. 7 задачу нахождения минимального числа выходов, добавление
которых к свободным внешним выходам необходимо для определе-
ния любой единичной неисправности. Сформулируем два положения:
1. Если в объекте есть два таких блока, у которых выход
одного соединен только со входом другого (например, блоки 2 и 3
на рис. 7), то неисправность одного блока нельзя отличить от не-
исправности другого без контроля выхода первого блока. Исходя из
этого, просмотрим все блоки и включим в число обязательных для
проверки, кроме свободных внешних выходов, те выходы, которые
не разветвляются (на рис. 7 последние показаны пунктиром).
2. Если задан набор выходов, включающий обязательные вы-
ходы, на котором различаются единичные неисправности всех бло-
ков объекта, кроме выходных, то неисправность любого выходного
блока отличима от любой другой на этом же наборе выходов. Усло-
вимся недопустимые значения сигналов обозначать нулем, а допу-
стимые — единицей.
1 Предполагается, что любой функциональный блок имеет цо
.крайней мере один вход от источника энергии.

Построим таблицу неисправностей для системы рис.'7 (табл. 9).
В первом слева столбце таблицы проставлены номера блоков объ-
екта, в .верхней строке — номера выходов одноименных блоков
В каждой клетке на пересечении i-й строки и /-го столбца указывает-
ся значение выходного сигнала /-го блока при неисправности /-го
блока. При таком построении таблицы в каждой строке оказывается
записанным в условных обозначениях набор значений выходов, со-
ответствующий неисправности блока, номер которого записан в пер-
вой слева клетке данной строки.
2
с
«2
<*3
10
11
1?
1,
13
-+12
16
\ *
■ + 15
Рис. 7.
Для минимизации числа выходов, с которых получается инфор-
мация о системе в процессе ее контроля, используем идею метода
[Л. 5], предложенного для минимизации числа наборов входных
переменных, подаваемых на вход контролируемой системы при ди-
агностике единичных неисправностей в контактных комбинационных
устройствах.
Для определения всех возможных минимальных наборов выходов
необходимо выписать все выходы, отличающие неисправность j-ro
(i=l, 2 п) блока от неисправности каждого из всех остальных
блоков. В общем случае символы (номера) выходов, отличающие не-
исправность /-го блока от неисправности /-го блока, где / для каж-
дого i пробегает значения /=(/+1), (/+2), ..п, надо для каждой
пары значений / и / соединить знаком логического сложения и затем
все полученные логические суммы перемножить по правилам логиче-
1
ского умножения. Очевидно, произведение будет содержать у п (п—О
сомножителей. После раскрытия скобок получится сумма произведе-
ний. Каждое произведение представляет собой достаточный набор
выходов. Среди этих наборов надо выбрать минимальные. Этот ме-
тод весьма трудоемок как в части составления сумм, так и в части
преобразований и для большого числа блоков практически непри-
емлем. Однако процедуру минимизации числа выходов можно упро-
2* 19

Таблица 9
1
2
СО j
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
0
0
0
0
0
0
0
0
!
0
0
0
0
,
,
,
2
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
-1
-1
—1
-1
-0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
6
-1
-1
—1
— 1
—1
-0 '
-1
—1
-1
—1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
7
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
8
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
со
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
10
I
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
11
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
12
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
13
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
14
Г
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
16
~1
-1
—1
—1
—1
—1
-1
-1
-1
—1
-1
—1
—1
-1
—1
-0
стить. На основании положения 2 можно вычеркнуть строки табл. 9
(пунктирные линии), соответствующие неисправностям выходных
блоков (5, 6, .16 на рис. 7), или не выписывать их при составлении
таблицы. Выделим в табл. 9 столбцы, соответствующие обяза-
тельным выходам (2, 4, 5, 6, 11, 12, 15, 16). Сравнивая строки (про-
сматривая только выделенные столбцы), выпишем все пары симво-
лов (номеров) блоков, неисправности которых неотличимы одна от
другой на обязательных выходах, и запишем для каждой такой па-
ры логические суммы символов выходов, на которых они отличимы:
3 от 13 3\/ 13;
7 от 10 7 V 8;
7 от 11 3\/7V8V Ю;
8 от 12 8;
10 от 11 3\/ 10.
Из записанных сумм видно, что выход восьмого блока обяза-
телен, так как неисправность восьмого блока отличается от не-
исправности двенадцатого блока только на восьмом выходе. Поэто-
му вторую (7\/8) и третью (3 V 7 \/ 8 \у 10) суммы из дальней-
шего рассмотрения можно исключить. Тогда все неисправности бу-
дут отличаться друг от друга на следующих наборах выходов:
2-4.5.6-1Ы2-15.16-8-(3 V 13)-(3 V щ =
=.2-4.5-6-11-12.15.16-8.(3V Ю-13).
Минимальным будет набор
2.3.4.5.6-8.Ц.12-15-16.
20

ГЛАВА ВТОРАЯ
ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА
КОМБИНАЦИОННЫХ УСТРОЙСТВ
6. МИНИМАЛЬНЫЕ СОВОКУПНОСТИ
Комбинационным называется устройство, в котором состояние
его выходов в каждый данный момент времени однозначно опреде-
ляется состоянием входов в тот же момент времени. Полюсы неко-
торого комбинационного устройства можно разделить на входные
и выходные, при этом устройства, содержащие несколько выходов,
называются многовыходными комбинационными устройствами (ком-
бинационными многополюсниками). Будем называть эти выходы вы-
ходными полюсами устройства.
Впервые математическая постановка задачи проверки работо-
способности и диагностики комбинационных устройств была дана
в работе {Л. 5]. Практическое решение этой задачи рассмотрено
в указанной работе применительно к контактным (в основном двух-
полюсным) схемам. Тесты представляются в виде минимальных со-
вокупностей наборов значений входных переменных (комбинации
состояний реле), при которых определяется реакция (значения функ-
ции выходного полюса) устройства в процессе его контроля.
Обобщение задачи на комбинационные многовыходные устрой-
ства, схемы которых составлены из любых логических элементов илч
представляют собой композицию любых комбинационных подсхем,
изложено в [Л. 16, 17].
Пусть задан комбинационный многополюсник, реализующий
в исправном состоянии на своих k выходных полюсах и внутренних
узлах функции /*о, ..., fho от п переменных х\, • хп. Многополюс-
ник может быть задан графически (структурной или функциональ-.
ной схемой), аналитически (совокупностью функций внутренних
узлов и выходных полюсов) или в табличной форме (совокупностью
таблиц истинности для выходных полюсов и внутренних узлов).
Заданы принципиальные схемы логических элементов, из кото-
рых построен многополюсник. Для каждого логического элемента
известна реализуемая им в исправном состоянии функция <р0. За-
даны перечень возможных устойчивых неисправностей для каждого
элемента, а также допустимое число одновременно существующих
в нем неисправностей. Исходя из принципиальной схемы элемента
и физики его работы, определяется функция cpj, реализуемая эле-
ментом при наличии в нем /-й неисправности (или допустимой со-
вокупности неисправностей). Аналогичные сведения необходимо
иметь также по комбинационным подсхемам, являющимся состав-
ными частями заданного многополюсника.
Задано число одновременно существующих в многополюснике
неисправностей. Каждой такой i-fi неисправности (или их совокуп-
ности) отвечают реализуемые многополюсником функции неисправ-
ностей f\, . .. , ff (от тех же п переменных).
Наконец, задан способ проведения контроля, заключающийся
в том, что на многополюсник подаются последовательно во времени
входные наборы и проверяются соответствующие каждому набору
значения функций выходных полюсов и внутренних узлов.
21

Дальнейшее изложение без потери общности проведем на при-
мере анализа многополюсника, построенного на логических полу-
проводниковых элементах НЕ —ИЛИ. Принципиальная схема трех-
входового элемента (рис. 8,а) и его условное обозначение (рис. 8,6)
показаны на рис. 8. Функциональная схема многополюсника, имею-
щего три входные переменные хи х2 и х3, два выходных полюса j
я 2 и два внутренних узла 3 и 4, приведена на рис. 9.
Рис. 8. Рис. 9.
Зададимся следующим перечнем неисправностей для рассматри-
ваемого элемента:
1. Обрыв цепи эмиттера.
2. Обрыв цепи базы.
3. Обрыв цепи коллектора.
4. Обрыв цепи сопротивления r4.
5. Обрыв цепи сопротивления r5.
6. Короткое замыкание между эмиттером и коллектором.
7. Короткое замыкание между эмиттером и базой.
8. Короткое замыкание между базой и коллектором.
9. Обрыв цепи сопротивления ri.
10. Обрыв цепи сопротивления r2.
11. Обрыв цепи сопротивления /?з-
Для указанных неисправностей элемента значения функций <рь ...
..., <рц приведены в табл. 10, называемой таблицей функций не-
исправностей элемента и построенной в данном случае при условии
наличия в элементе только единичных неисправностей. В столбце
таблицы приведены значения функции выхода исправного элемента,
а жирными линиями выделены подтаблицы функций неисправностей
для двухвходового и одновходового элементов.
Из табл. 10 следует, что неразличимыми являются неисправ-
ности 1, 2, 3 и 7, функции ф1, ф2, Фз и ф7 которых тождественно
равны '1 *, и неисправности 4, 5, б и 8, для которых <р4=<р5 = <р6=
= <р8 = 0. Предполагая, что диагностика многополюсника должна
проводиться не подробнее, чем до одного элемента, каждую из
указанных групп неразличимых неисправностей будем рассматри-
* Для одновходового элемента тождественно равна единице
также функция ф9, получаемая при обрыве сопротивления ri на
входе элемента.
22

Таблица 10
Наборы значе-
ний входных
Значения выходных функций
<D Си
переменных
S О
1
1
1
1
£ S
У г
У2
Ух
Фо | ф!
Фз
Фз
Ч>1
ф5
Фв
*'\
ф8
Ф» |
Фш
Фи
0
0
0
0
1
1
!
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
2
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
3
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
4
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
6
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
7
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
вать как одну неисправность (например, cpi и ср4). Число возможных
различимых устойчивых неисправностей для одновходового элемента
равно 2, для двухвходового 4 и для трехвходового 5. Условимся
/-ю неисправность /-го элемента многополюсника обозначать симво-
лом реализуемой им функции с соответствующими индексами Фу .
Пользуясь функциональной схемой многополюсника и таблица-
ми функций неисправностей элементов, построим общую таблицу
функций неисправностей многополюсника (табл. 11), отличающуюся
от общепринятой [Л. 5] таблицы функций неисправностей тем, что
в ней приведены значения не только функций выходных полюсов
многополюсника, но и функций его внутренних узлов. При заполне-
нии таблицы использован следующий порядок.
Т а б л и ц а" 11
Вход-
ные на-
боры
Значения функций выходных полюсов и внутренних узлов
CQ
Г>
Фо
•1
фз
фз
*з
40
1 набор»
Х3Х2Х1
о
СМ
со
ю
СО
Номер*
со о
<м о
— о
СО -н
<м —
СО <м
CM СМ
—< см
со со
СМ СО
— СО
СО "<f
ем^
со ю
см ю
ю
СО СО
см to
,— QO
0
1
2
3
4
5
6
7
ООО
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0 10 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
10 0 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
0 10 1
10 0 1
10 0 1
10 0 1
10 0 1
10 0 1
10 0 1
10 0 1
0 110
0 0 10
10 0 0
10 0 0
0 0 10
0 0 10
10 0 0
10 0 0
0 111
0 0 10
0 0 11
0 0 10
0 0 11
0 0 10
0 0 11
0 0 10
0 10 1
10 0 0
10 0 1
10 0 0
10 0 1
10 0 0
10 0 1
10 0 0
0 10 1
0 0 10
10 0 1
0 0 10
10 0 1
0 0 10
10 0 1
0 0 10
0 111
0 0 10
10 0 1
10 0 0
0 0 11
0 0 10
10 0 1
10 0 0
23

Продолжение табл. 11
Номера наборов |
Значения функций выходных полюсов и внутренних узлов
' 10
41
*4
•J
40
N.
CO N.
C^N-
"^-«
00
со оо
СМ ОО
со а>
СМ О
^2
сГе
cTs
— 2
СО —
CSJ —
сГ^
со
со —
СО
со
со —
см —
ю
со —■
ю
ю
0
1
2
3
4
5
6
7
0 10 1
0 110
0 10 1
0 10 0
0 10 1
0 110
0 10 1
0 10 0
10 0 1
0 0 10
1 0 0 г
10 0 0
10 0 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
0 10 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
0 10 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
0 10 1
0 110
10 0 1
10 0 0
10 0 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
0 10 1
0 0 10
0 10 1
10 0 0
10 0 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
110 1
10 10
10 0 1
10 0 0
10 0 1
10 10
10 0 1
10 0 0
0 10 1
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
110 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
10 0 1
0 0 10
10 0 1
10 0 0
0 10 1
10 10
10 0 1
10 0 0
10 0 1
10 10
10 0 1
10 0 0
Для исправной схемы (группа столбцов, отмеченная в табл. И
индексом фо) последовательно для каждого входного набора опре-
деляются и заносятся в соответствующие столбцы таблицы значения
функций выходов элементов, на входы которых подаются только
входные переменные (для схемы рис. 9 такими элементами явля-
ются элементы 2 и 4). После этого снова для каждого входного
набора определяются и заносятся в таблицу значения функций вы-
ходов элементов, среди входов которых имеются входы, являющиеся
выходами элементов, рассмотренных ранее (элемент 3 на рис. 9).
Затем определяются выходные функции элементов следующего кас-
када (элемент 1) и т. д. При определении значений выходных
функций элементов при исправном состоянии многополюсника надо
использовать столбец ф0 табл. 10.
После этого производится такой же анализ многополюсника
при наличии в нем первого повреждения (например, ф41). Процесс
отличается от описанного для исправной схемы только тем, что при
определении значений выхода поврежденного элемента необходимо
пользоваться соответствующим столбцом табл. 10 (в данном случае
столбцом Ф1). Построение общей таблицы функций неисправностей
заканчивается после проведения анализа многополюсника для каж-
дого заданного повреждения (и их совокупностей в общем случае).
Общая таблица функций неисправностей является достаточным
исходным материалом для построения проверяющих и диагностиче-
ских совокупностей всех трех видов.
Решим для схемы рис. 9, например, такую задачу: построить
минимальный по числу входных наборов проверяющий тест при
условии, что контроль реакции схемы предпочтительно осуществлять
на выходном полюсе 1. Для решения поставленной задачи исключим
(временно вычеркнем) из табл. 11 все столбцы ft с /=0, 1 15
и /=2, 3, 4. После этого получим обычную таблицу функций неис-
правностей, построенную относительно выходного полюса I
(табл. 12).
24

Таблица 12
Значения функций узчов
m
ные
о
а
на-
1 набо
боры
'?
<
*!
*i
*J
о.
1 Номе
'S
'i
ч
4
'io
'12
'i,
'is
0
ООО
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0 0 1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
2
0 1 0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
3
0 1 1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
4
1 0 0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
5
1 0 1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
6
1 1 0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
7
1 1 1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
Воспользуемся процедурой, описанной в [Л. 5], и составим по
табл. 12 выражение
(1 V5).4.(2V3V4V6V7)-(1 V5>(3V7)-4(2V3V4V 6\/ 7) X
X0-4.2.(0V 1 V5)-(2 V3V4V6V7)-0.(1 V 5), (6)
представляющее собой конъюнкцию дизъюнкций номеров входных набо-
ров, на которых значения функции выходного полюса 1 при исправном
состоянии схемы (fj) отличаются от значений функций этого полюса
при соответствующих неисправностях (fj, / = 1,... , 15). При пост-
роении этого выражения выяснилось, что неисправность ^0 не обна-
руживается состояниями выходного полюса 1 (fo = /}о)« Раскрывая
скобки и производя допустимые упрощения, из выражения (6) по-
лучаем четыре минимальных проверяющих теста: 0, 1, 2, 3, 4;
О, 2, 3, 4, 5; 0, 1, 2, 4, 7; 0, 2, 4, 5, 7. При этом десятая неисправ-
ность схемы не обнаруживается (ни на одном входном наборе).
Чтобы отличить эту неисправность, снова обратимся к общей
таблице функций неисправностей и преобразуем ее следующим об-
разом. Вычеркнем временно из этой таблицы те группы столбцов,
которые соответствуют неисправностям, обнаруживаемым на выход-
ном полюсе 1, а также столбцы /д*и [J0, отвечающие исправной
схеме и наличию десятой неисправности, не обнаруживаемой со-
стояниями выходного полюса 1. Кроме того, возьмем один из мини-
мальных тестов (например, 0, 1, 2, 3, 4) и в табл. 11 вычеркнем
строки 5, 6, 7, соответствующие наборам, не содержащимся в вы-
бранном минимальном тесте. Наконец, выберем один из неиспользо-
ванных узлов (например, выходной полюс 2) схемы и удалим из
25

Таблица 13 оставшихся столбцов табл. 11 те, которые
соответствуют остальным узлам схемы.
В результате получим табл. 13, из которой
следует, что функции /2 и /20 различаются
на единственном наборе 1.
Окончательным решением поставленной
задачи, таким образом, является минималь-
ный тест 0, 1, 2, 3, 4, причем на наборе 1
реакцию устройства необходимо проверять
на обоих входных полюсах, а на остальных
наборах теста — только на выходном полю-
се 1.
Поставим теперь задачу проверки рабо-
тоспособности устройства при условии, что
его реакция будет проверяться всегда по
состояниям нескольких (или даже всех)
узлов одновременно. Для решения такой
задачи в общей таблице функций неисправ-
ностей оставим только те столбцы, кото-
рые соответствуют выделенным для конт-
роля узлам. Например, если выбрать в качестве таких узлов
выходные полюсы Ч и 2, то получим табл. 14. Как и прежде, по
этой таблице можно составить выражение вида конъюнкции дизъ-
юнкций номеров наборов, на которых различаются теперь уже пары
Значения
Вход-
функций
ные на-
Номе-
боры
л
ра на-
боров
'10
0
ООО
1
1
1
0 0 1
0
1
2
0 1 0
0
0
3
0 1 1
0
0
4
1 0 0
0
0
значений функций \\\\ и пары значений функций /]/? (i
15).
(1 V5)-4-(2V3V4V6V7)-(l V5)-(3V7)-4-X
X(l V2V3V4V5V6V7)-0-4.1-2.(0Vl V5)X
X(2V3V4\/6V7)-0.(1 V5). (7)
После преобразования этого выражения для рассматриваемого
примера получаются два минимальных проверяющих теста из пяти
наборов: 0,1, 2, 3, 4 и 0, И, 2, 4, 7.
Таблица 14
Значения функций узлов и полюсов
Номера
наборов
Входные
наборы
ф4
•4
фз
фз
40
x§x$x\
/1/2
что
V2
'i'5
Л .2
V5
'б'б
0
ООО
0 1
0
1,
> 0 1
0 1
0
1
0 1
0 1
1
0 0 1
0 0
1
0
0 0
0 0
1
0
0 0
0 0
2
0 1 0
1 0
1
0
1 0
0 0
1
0
1 о
1 0
3
0 1 1
1 0
1
0
1 0
0 0
1
0
0 0
1 0
4
1 0 0
1 0
1
0
0 0
0 0
1
0
1 0
0 0
5
1 0 1
0 0
1
0
0 0
0 0
1
0
0 0
0 0
6
1 1 0
1 0
1
0
1 0
0 0
1
0
1 0
1 0
7
1 1 1
1 0
1
0
1 0
0 0
1
0
0 0
1 0
26

Продолжение табл. 14
Значения функций узлов и полюсов
Номера
«\
*\
Ф2
40
Ф2
41
*4
^9
Ф1
40
наборов
'7'7
Л ,2
'9 '9
'ю'ю
Л «2
'1141
,1 ,2
4242
«1 ,2
4343
Л ,2
4444
fl ,2
4545
0
0 1
1 0
0 1
0 1
0 1
1 1
0 1
1 1
0 1
1
0 1
0 0
0 0
0 1
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0
2
0 1
1 0
1 0
1 0
0 1
1 0
0 0
1 0
1 0
со
0 1
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
0 0
1 0
1 0
4
0 1
1 0
0 1
1 0
1 0
1 0
0 0
1 0
1 0
5
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0
6
0 1
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
0 0
1 0
1 0
7
0 1
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
0 0
1 0
1 0
Построим теперь минимальную проверяющую совокупность
внутренних узлов и выходных полюсов при условии, что в про-
цессе контроля на устройство предпочтительно подавать входные
наборы 0, 1, 2 и 3*. Удалим из табл. 11 строки, соответствующие
наборам 4, 5, 6 и 7. По полученной после этого таблице составим
аналогичное (6) выражение, представляющее собой конъюнкцию
дизъюнкций номеров узлов и полюсов схемы, значения функций
которых при наличии неисправности в устройстве отличаются от
значений этих функций при исправном устройстве (естественно,
только на выделенных входных наборах). Выражение имеет вид:
(1 V3V4)-(3V4).(1V3)-(1 V3).(l V3)-3.(l V2)X
X(l V2)-2.(l V2)-M-M. (8)
причем неисправность ф2 не обнаруживается на заданном перечне
входных наборов.
Преобразования выражения (8) дают по числу узлов одну
минимальную совокупность: 1, 2, 3. Для того чтобы обнаружить
девятую неисправность, необходимо увеличить число входных набо-
ров, подаваемых на устройство в процессе его контроля. Желатель-
но, чтобы дополнительные наборы позволяли определить указанную
неисправность на одном из узлов, входящих в полученную мини-
мальную совокупность. Преобразуем табл. 11 путем вычеркивания
из нее строк и столбцов к виду табл. 15, из которой легко видеть,
что девятая неисправность обнаруживается на наборе 4.
Таким образом, работоспособность устройства может быть
проверена контролем состояний узлов 1, 2 и 3 на наборах 0, 1,
2, з; 4.
* Например, потому что организация значения хг=\ при конт-
роле затруднительна.
27

Таблица 15
Закончим рассмотрение за-
дачи построения минимальных
проверяющих совокупностей
Значения функций
Номера
наборов
Входные
наборы
описанием методики построе-
ния минимальной совокупности
пар входной набор — узел (по-
люс), обеспечивающей провер-
ку исправности устройства.
Пользуясь табл. 11, выпи-
шем все пары набор — узел, на
которых значения функций не-
исправностей отличаются от
значений функций исправного
устройства (номер узла будем
ставить в качестве нижнего
индекса при номере набо-
ра):
4
5^
6
7
1 О О
1 0 1
1 1 О
1 1 1
1 О О
0 0 1
1 О О
1 О О
О 1 О
0 0 1
1 О О
1 О О
(W W W34V5»V5,V54V74)X
Х(0з V о4 \/ 24 V 4, V 4з V 44 V 64)Х
X(0,V2i V2,V3i У33У4! V43 V6i V63V7!V73)X
X(li V 1 з V 5, V 5.)• (3! v з3 V 7, V 7.).(03V 4tV 43)X
X(i2 V21V22V31V32V41V42V52V61V62V71V72)X
X(0i V 0a).(4i V 42). 1 я(24 V 2,)• (0, у 1, v 50X
X(2i V 3i V 4i V 6i V 70 - Ot • (11 V 50- (9)
Производя обычные упрощения этого выражения, можно полу-
чить все минимальные совокупности, одной из которых является
совокупность Оь 1ь 12, 2ь Зь 4Ь состоящая из шести пар набор —
узел и охватывающая пять входных наборов 0, 1, 2, 3, 4 и два
узла 1 и 2.
Рассмотрим построение минимальных диагностических совокуп-
ностей. Процедуры такого построения в значительной мере аналогич-
ны описанным выше для получения минимальных проверяющих
совокупностей. Отличие состоит лишь в том, что выражение вида (6)
включает в себя отдельными сомножителями также номера входных
наборов, выражение вида (8) — номера узлов и выражение (9) — но-
мера с индексами пар набор — узел, на которых различаются между
собой значения всех возможных пар функций неисправностей. Пре-
образование выражений производится по тем же правилам.
Построим для схемы рис. 9 минимальный по числу входных
наборов диагностический тест при условии, что. контроль реакции
схемы предпочтительно осуществлять на выходном полюсе I.
Из табл. 12 получаем выражение:
(1 V5).4.(2\/3V4V6V7).(1 V5>(3V7).4.(2V3V4V6V7)X
X0.4.2.(0V1V5)42V3V4V6V7).0.(1V5)-(1 V4V5)X
X(1V2V3V4V5V6V7).(1V5V7)-0V4V5)X
28

X(l V2V3V4\/5V6V7)-(0V1 V5)-(bV4\/5)X
XU V5)(l V2V6)-0.(1 V2V3V4V5V6V7)-(0V1 V5)X
X(2V3V6V7)-(1 V4V5)-(3V4V7)-(2V3V6\/7)-(0V4)-4X
X(2V4)-(0V1 V4V5)-(2\/3V6V7)-(0V4)-(l V4V5)X
X(l V2V3V4V5V6V7)-(2V4V6)-(2V3V6V7)X
X(0V2V3V4V6V7)-(2V3V6V7)-(2V3V4V6V7)X
X(3V4V6V7)• (0V1V2 V3\/4 V 5 V 6 V 7)• (0 V 2 V 3 V 4 V 6 V 7)X
X(1V2V3V4V5V6V7)-(1 V3V5\/7)-(l V4V5)X
X(l V2V3V4V5V6V7)-(0V1 V5)-(1V4V5)-(1 V5)X
X(l V2V5)-0-(lV2V3V4V5V6V7)-(0Vl V5)-(3V4V7)X
X(2V4V6)-(0V3V7)-(3V4V7)-(3V7)-(2V3V7)X
X(0V1 V3\/5V7)-(2V4V6)-(0V3V7)-(i V3V5V7)X
X(2V3V6\/7)-(0V4)-4.(2V4)-(0Vl V4V5)-(2V3V6V7)X
X(0V4)-(1 V4V5)-(0V2V-3V4 V6V7)-(2V3V6V7)X
X(2V3V4V6V7)-(3V4V6V7)X
X(OVi V2V3V4V5V6V7)-(0V2V3V4V6V7)X
X(l V2V3V4V5V6V7)-(0V4)'0.(0\/2)-(l V5)X
X(0V2V3V4V6V7)-(0\/l V5)-4-(2V4)-(0Vl V5V4)X
X(2 V3V6V7) • (0V4) • (1V4V5) • 2 • (О V 1 V 5) • (2 V 3 V 4 V 6 V 7) • OX
X(l V 5)-(0 V 1 V 2 V 5)-(3V 4 V 6 V7)-(0 V 2)-(l V 2 V 5)X
X(OViV2V3V4V5V6V7)-(iV5)-ox
X(0V2V3V4\/6\/7).(lV2V3V4V5V6V7)-(0VlV5).
(10)
Из (10) получаем два минимальных диагностических теста:
О, 1, 2, 3, 4 и 0, 2, 3, 4, 5; О, 1, 2, 4, 7 и 0, 2, 4, 5, 7. Неразличи-
мыми остаются исправное состояние устройства и его состояние при
неисправности ф20, а также пары неисправностей 1 и 4, 1 и 15, 2 и
6, 2 и 9. 3 и 7, 3 и 13, 4 и 15, б и 9, 7 и 13, 8 и 14.
Если к числу контролируемых выходов устройства добавить по-
люс 2, то минимальный диагностический тест будет 0, 1, 2, 3, 4
и число неразличимых пар неисправностей сократится до пяти
(I и 4, 1 и 15, 2 и 6.3 и 13, 4 и 15).
29

Определим минимальное число узлов схемы, необходимое для
распознавания этих пар неисправностей, на наборах полученного
минимального диагностического теста. Вычеркивание соответствую-
щих строк и столбцов табл. 11 для рассматриваемого случая дает
табл. 16. Из этой таблицы получаем, что пара неисправностей 1 и 15
различима как на узле 3, так и на узле 4, пары 3 и 13, 4 и 15,—
только на узле 3, а пары 2 и 6, 1 и 4 — только на узле 4.
Следовательно, минимальный диагностический тест при указан-
ных условиях должен состоять из входных наборов 0, 1, 2, 3 и 4,
а контроль реакции устройства на эти наборы должен производиться
на узлах 1, 2, 3 и 4.
Подобным образом может быть решена задача построения ми-
нимальной диагностической совокупности выходных полюсов и внут-
ренних узлов как при наличии, так и при отсутствии ограничений
на число используемых входных наборов.
Построим такую совокупность при условии, что в процессе
контроля на устройство можно подавать только входные наборы
О, 1, 2 и 3. После удаления строк 4, 5, 6 и 7 из табл. 11 получим
следующее выражение:
(1 V3 V4)-(3 V4)-0 V3).(l V3)-0 V3)-3.(l V)-(l V2)-2X
X(i V2)-l-M-b(l V3V4).(1 V3V4)-4-(l V3V4)X
(1 V3V4).(1 \/2\/3V4).(l V2V3V4)-(1 V3V4)X
X(i V2V3V4)-(i V2V3V4)-(1 V3V4)-(i V3V4)X
X(3V4)-(i V3V4)-(i V3V4)-(1 V3V4MX
X(i V2V3V4)-(i V2V3V4)-(3V4)-(2V3V4)X
X(i V2V3V4)-(i V3V4)-0 V3V4)-(i V3V4)X
X(i V3V4)-(i V3)-(i V3)-(i V3)-(2V3)-(i\/2V3)-(i V3)X
XO V2V3).(i V2V3)-(i V3)-3.(i V3).(i V3).(i V3)-(i V3)X
XO V3)-0 V2V3)-0 V2V3).(i V3)-0 V2V3)-(i V2V3)X
X(i V3)-0 V 3)-з.(1 V3)-(i V2\/3).(i V2V3)-0 V3)X
X(i V2V3)-(i V2V3).(i V3).(i V3)-(i V3).(i V3).
X(l V2V3)-(1 V2V3)-3.(2V3).(1 V2V3).(i V3).(i V3)X
X(l V3)-(l V3)-(l V2)-(l V2).(l V2)41 V2).(l V2)-2X
XO V2)-(l V2)-(l V2)-(l V2)-(l V2).(l V2).(l V2)-2X
X(l V2)-2.(lV2)-l-bM-(l V2)-(l V2)-(l V2).(l V2)41 V2)X
XO V2)-(l V2)-(l V2)-(l V2)-l-M-bM. (11)
Упрощения дают минимальный диагностический тест 1, 2, 3, 4,
причем исправное состояние устройства и его- состояние при неио
30

правности ф9 остаются неотличимыми. Различать эти состояний
можно путем увеличения числа допустимых входных наборов.
Построим еще минимальную диагностическую совокупность пар
входной набор — узел (полюс) для случая, когда отсутствуют огра-
ничения по входным наборам и доступными для контроля явля-
ются выходные полюсы 1 и 2. Этим условиям отвечает табл. 14,
из которой получаем:
.Oi V51)-41.(21V31 V*iV6i V 70.(11 V5i)
...(0, V li V 2, V 3! V 4, V 5, V 6, V 7,)-(l, V 5,)X
XOi • (0, v 2, V 3t V 4, V 6! V 70X
XOi V 2i V 3! V 4» V 5, V 6a V 71)-(0i V li V 5i). (12)
В целях экономии места в выражении (12) приведены лишь
пары набор — узел, отличающие исправное состояние устройства
от его состояний при неисправностях 1, 2, 3 и 4 (начало выражения)
и неисправность 12 от неисправностей 13, 14, 15, неисправность 13
от неисправностей 114 и 15 и, наконец, неисправность 14 от неис-
правности 15 (конец выражения).
Обработка полного выражения (12) дает восемь минимальных
совокупностей, состоящих из восьми пар набор — полюс и охваты-
вающих оба полюса 1, 2:
^i,2» 11.2» 2i» 3j, 4I(2; 012, li>2. 22» 3i» 41>2;
^i,2» 11,2» 2i» 4Ь2, 7 г\ 01>2, 11>2, 22, 41>2, 7 х\
0i>2» 12» 2i, 3j, 41>2, 5j; 01>2» 1г« 22, Зь 41>2, Ъх\
0,,*>, 12. 2,. 41i2, 5X, 7,; 0lt8, 12, 22, 41>2, 5,. 7,.
Эти совокупности не различают неисправности 1, 4 и 15, а так-
же 3 и 13. Добиться их различения можно путем увеличения числа
контролируемых узлов.
В описанных процедурах построения минимальных проверяющих
и диагностических совокупностей весьма громоздкими являются опе-
рации построения общей таблицы функций неисправностей, полу-
чения выражений вида (6), (8), (9) и особенно (10), (11), (12),
а также преобразования этих выражений для получения искомых
минимальных совокупностей.
В этой связи следует указать на работу [Л. 9], в которой при-
ведены методы построения тестов для различных классов контакт-
ных структур, [Л. 7], описывающую метод получения ограниченной
совокупности признаков, достаточной для того, чтобы различить за-
данные состояния анализируемого объекта, а также на изложенные
в § 9, 10, И методы, дающие существенные упрощения при построе-
нии таблиц функций (неисправностей и при определении минималь-
ных тестов.
31

1 Минимизированные сойбкупнбсги
Рассмотрим метод построения минимизированных проверяющих
и диагностических совокупностей.
Пусть заданы три множества: ffl с элементами 1, . ./, .. ., М;
91 с элементами 1 /,..., Л и 35 с элементами 1, . .В. Каж-
дой паре элементов {/, /} поставлен в соответствие элемент Ьц £ 35.
Различным парам соответствуют не обязательно различные элементы
bij.
Образуем прямоугольную таблицу Ау(М, строкам которой сопо-
ставим элементы множества 51, а столбцам — элементы множества ЭЛ.
На пересечениях ;-й строки и /-го столбца таблицы проставим соот-
ветствующие элементы Ьц £ 35.
Рассмотрим первую процедуру. Зафиксируем некоторый элемент
/о € ш.
Возьмем /j-ю строку таблицы. В этой строке имеется М элемен-
тов (не обязательно различных) ЬГп £ 35. Разобьем множество Ш на
такие два подмножества, чтобы любой элемент i £ ffl находился в од-
ном подмножестве с элементом i0, если Ьп и Ь; , являются одним и
Чх loJi
тем же элементом 35, и в другом подмножестве, если b и bi ^ яв-
ляются различными элементами 35.
Затем выберем /2-ю строку таблицы и по указанному правилу
разобьем полученное на предыдущем шаге подмножество, содер-
жащее to, на свои подмножества.
Продолжаем так до тех лор, пока окажется, что ни одно из
возможных на данном шаге разбиений не изменяет результат пре-
дыдущего разбиения. Назовем такие разбиения безрезультатными
(в противном случае разбиения результативны).
Рассмотрим вторую процедуру.
Возьмем /i-ю строку таблицы и разобьем множество Ш на такие
подмножества, чтобы два любых элемента i1, i2 £ находились в од-
ном и том же подмножестве, если Ь, , и Ь; , являются одним и тем
'1/1 '2/1
же элементом множества 33, и в разных подмножествах, если bt ^
и являются различными элементами 35.
Выберем /2-ю строку таблицы и по указанному правилу разобь-
ем каждое из полученных на предыдущем шаге подмножеств на
свои подмножества. Продолжаем так до тех пор, пока окажется,
что ни одно из возможных на данном шаге разбиений не изменяет
результат предыдущего разбиения.
Пусть множество Ш есть множество, содержащее все заданные
неисправные состояния и исправное состояние комбинационного
устройства. Примем в качестве множества %— множество входных
наборов, подача которых допустима во время контроля устройства;
—множество заданных на всех возможных парах {состояние
устройства — входной набор} упорядоченных совокупностей значений
функций узлов и полюсов, выделенных для использования в про-
цессе контроля устройства 1. Тогда первая процедура (если принять,
1 Например, в соответствии с табл. 11 для пары {исправное со-
стояние ф0 —входной набор ООО} указанной упорядоченной сово-
купностью значений функций полюсов 1, 2 и узлов 3, 4 является
совокупность 0101.
32

что to есть исправное состояние устройства) соответствует построе-
нию некоторого проверяющего, а вторая процедура — диагностиче-
ского тестов (совокупностей входных приборов). Эти наборы от-
вечают элементам /ь /2,... соответствующих результативных раз-
биений. Примем теперь в качестве множества $1 множество выход-
ных полюсов и внутренних узлов, заданных для использования
в процессе контроля устройства, а в качестве множества 23— мно-
жество заданных на всех возможных парах {состояние устройства—
полюс (узел) устройства} упорядоченных совокупностей значений
функций узлов и полюсов, определенных на входных наборах,
выделенных для использования в процессе контроля устройства1.
Тогда первая процедура даст некоторую проверяющую, а вторая
процедура — диагностическую совокупность выходных полюсов и
внутренних узлов.
Примем, наконец, в качестве множества 5( множество пар
входной набор — узел (полюс), заданных для использования в про-
цессе контроля устройства, а в качестве множества 05 — множество
заданных на всех возможных парах, состояние устройства, входной
набор — узел (полюс) устройства, значений функций узлов и по-
люсов 2. Тогда описанные процедуры дадут проверяющую и диагно-
стическую совокупности пар входной набор — узел (полюс) устрой-
ства.
Однократное применение процедур в том виде, в каком они
описаны выше, ведет к получению какой-то в общем случае не обя-
зательно нетривиальной проверяющей или диагностической совокуп-
ности. Использование некоторых положений теории информации
[Л. 10] дает возможность получать в среднем наименьшие по числу
входных наборов, узлов (полюсов) или пар набор — узел проверяю-
щие и диагностические совокупности при существенном сокращении
перебора вариантов.
Организуем первую процедуру (построение проверяющей сово-
купности) следующим образом. На каждом шаге строим все воз-
можные /-разбиения (;=<1, .... А) множества и выбираем раз-
биение, которое дает подмножество, содержащее элемент £о при
минимальном числе других элементов3. Если таких разбиений не-
сколько, то выбираем любое из них.
Такой критерий выбора вариантов (по минимуму числа элемен-
тов в подмножестве, содержащем элемент Iq) соответствует получе-
нию максимальных приращений информации на каждом отдельном
1 Например, в соответствии с табл. 11 для пары {исправное
состояние фо — выходной полюс 1} указанной упорядоченной сово-
купностью значений функций выходного полюса 1, определенной
на всех входных наборах, является совокупность 00111011 (порядку
расположения нулей и единиц в столбцах таблицы сверху вниз
соответствует порядок слева направо).
2 Например, в соответствии с табл. 11 для пары исправного со-
стояния фо входной набор 2— выходной полюс 1 (2i) указанным
значением функции выходного полюса 1 на входном наборе 2 яв-
ляется значение 1.
3 Практически на данном шаге не имеет смысла проводить те
разбиения, которые были выбраны на предыдущих шагах, так как
такие разбиения всегда безрезультатны.
3-52 33

шаге процедуры при условии, что вероятности исправного и каж-
дого из неисправных состояний устройства одинаковы.
Действительно, обозначим вероятность исправного состояния уст-
ройства через ро, а его неисправных состояний — через рх, р2,. . .
•••» Рм—v Тогда первая процедура, рассматриваемая как сложный опыт
Р имеет два возможных исхода: Вх (устройство исправно) и В2 (устрои-
ла— 1
ство неисправно) с вероятностями р0 и ^ pi соответственно. При
/ = 1
осуществлении интересующего нас определенного исхода Вх будет по-
лучена информация / (р) = — log р0. Пусть на первом шаге при у-м
разбиении (простой опыт а13\ у = 1 А) множество оказалось
разбитым на первое подмножество TlXj, содержащее /0 с числом эле-
ментов тХ2, и второе подмножество с числом элементов М—тц. Пе-
рераспределим вероятности состояний первого подмножества, в ре-
зультате чего вероятнссть исправного состояния устройства станет-
равной plJ. Теперь при осуществлении исхода Вх будет получена
информация / (а,,-; Р) = — log p]Q}. Поэтому прирашение информации,
получаемое в результате проведения опыта ап-, равно:
Uи = — log ро — (— log plQ[).
Это приращение тем больше, чем меньше / (axj; Р), т. е. чем больше
значение ру . Следовательно, необходимо выбирать разбиение, кото-
рое дает макс p\j. Если р0 = рх . . . = рм_\ = 1/М и pV=\/*nljt) то
/ (р) — log М, J (<х,;-; р) = log тху и Uij = log М — log тХз имеют ма-
ксимум для разбиения, дающего мин mXj. Аналогичные рассуждения
можно провести по отношению к опыту a2j и т. д.
Рассмотрим применение первой процедуры на примере построе-
ния проверяющих тестов по табл. И (при контроле могут использо-
ваться все входные наборы и все выходные полюсы и внутренние
узлы).
Считаем, что вероятности исправного состояния (0) и неисправ-
ных состояний (1, ..., 15) устройства неодинаковы:
Ро=0,5; р1=рз = р7=/712=Р1з=0,05; р2=р4=/?8 = 0,06; р5=Ро== Pq=Рю=
= Pll = Pl4 = /?15 = 0,01.
Таблица 16
Номера
наборов
Выходные
наборы
Значения функций
<
*?
фЗ
м
'J
/?/?
fit
1 ft
Ч '4
'б3 'е4
/3 f4
43 43
0
ООО
0 1
1 0
1 1
0 1
1 1
0 1
0 1
1
0 0 1
0 1
1 0
1 0
0 0
1 0
1 0
1 0
2
0 1 0
0 1
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
0 1
3
0 1 1
0 1
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
4
1 0 0
0 1
1 0
1 1
0 1
1 1
0 1
0 1
34

Построим Минимизированную проверяющую совокупность вход-
ных наборов. В этом случае множество $1 есть множество всех
входных наборов 0 ... 7, а множество $5 — подмножество всех че-
тырехразрядных двоичных чисел.
Предположим, что в результате любого разбиения изменяются
только абсолютные значения вероятностен исправного состояния
устройства и его неисправных состояний, а соотношения между
вероятностями исправного состояния устройства и тех его неис-
правных состояний, которые выделены в результате разбиения,
остаются неизменными1. Тогда макс plJ будет иметь "место для раз-
биения, у которого сумма вероятностей V р1{~],} выделенных со-
стояний (в их число входиг исправное состояние) минимальна, потому
что при принятом предположении
До начала процедуры информация, которая будет получена при осу-
ществлении исхода Bi (устройство исправно), определяется вероятно-
стью р0: / (Р) = log р0 = 0,3*. На первом шаге минимум указанной
выше суммы вероятностей имеет место при 0-разбиении: {0, 1, 4, 5,
7, 9, 10, 11, 13, 15}, {2, 3, 6, 8, 12, 14} и равен 0,76 (см. табл. 2-8):
Новые значения вероятностей будут: Pq° = 0,658; p]]° = pj° = p™ =
= 0,066; р\° = 0,079 и pl5° = р19° = р\°0 = р\\ = р\% = 0,013. Теперь
информация, которую даст осуществление исхода Blf будет меньше:
/ (а10, Р) = — log /?Q° = 0,18. На втором шаге минимум суммы вероят-
ностей, равный 0,764, достигается при 1-разбиении: {0, 5, 9, 11, 13},
{1, 4, 7, 10, 15}. Находим /?21=0,8б; pf = р\{ = /?2J=0,017; pfz =
= 0,08 и /(а21, Р) = — log Pq1 = 0,065. Ha третьем шаге 2-разбиения
{0, 5, 9}, {11, 13} имеем минимум суммы вероятностей, равный 0,89.
Отсюда pf = 0,962; pf = pf = 0,019 и / (а32, р> = 0.05. На
четвертом шаге выбираем 4-разбиение {0, 5}, {9} с минимумом суммы
вероятностей 0,981. Проведя необходимые расчеты, на пятом шаге
выбираем 7-разбиение с минимумом суммы вероятностей 0,981. На
этом процесс заканчивается, так как выделенное подмножество содер-
жит только одно исправное состояние, или же формально
Ро7=1.0. а Р) = 0.
1 Такой критерий перераспределения вероятностей является
в определенной мере искусственным и принят здесь лишь для того,
чтобы продемонстрировать численное решение задачи. В действи-
тельности новые значения вероятностей должны определяться, исхо-
дя из статистики отказов реальных устройств.
* Здесь и далее будут браться десятичные логарифмы.
3* 35

В итоге получен минимизированный проверяющий тест, состоящий
из пяти входных наборов 0, 1, 2, 4, 7.
Таблица 17
/
2 Pi
2 р?
2
2 'f
2 *f
0
0 10 1
0,76
1
0 0 10
0,77
0,764
—
—
2
10 0 1
0,78
0,856
0,894
—
со
10 0 0
0,79
0,790
0,894
0,981
4
10 0 1
0,77
0,856
0,894
0,981
1,00
5
0 0 10
0,78
0,777
1,000
1,000
1,00
6
10 0 1
0,79
0,869
0,911
1,000
1,00
7
10 0 0
0,79
0,790
0,894
0,981
0,981
В табл. 18 приведены результаты по построению минимизи-
рованной проверяющей совокупности узлов (полюсов) при заданных
выше вероятностях состояний устройства. Процедура состоит из
двух шагов и дает совокупность, содержащую два полюса 1 и 2.
Таблица 18
/
bioj
2 Pi
2
1
00111011
0,51
2
10000000
0,78
0,98
3
0 1 000 1 00
0,76
1,00
4
10101010
0,89
1,00
Первый шаг:
мин Л /?» = 0,51 для /=1;
1 *ти
1-разбиение:
{0, 10}, {1. 2/J, 4,^5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15};
р£= 0,98; / (anp) = - log ptf = 0,01.
Второй шаг:
мин V p"i = 0,98 для / = 2;
2-разбиение:
{0}, {Ю}; =1.0; /(«22. Р) = 0.
36

В табл. 19 даны сведения по построению минимизированной
проверяющей совокупности пар набор — узел (полюс) при прежних
исходных вероятностях состояний устройства.
Т а б л и ця 19
ь. •
2 ^
2 р2и
2 ^
2 ра1>
2 *f'
1<т21-
о,
0
0,88
0,844
0,883
02
1
0,94
0,922
0,900
1,000
1,00
1,00
Оз
0
0,88
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
о4
1
0,94
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
1.
0
0,83
0,779
—
—
—
—
It
0
0,94
0,987
0,983
0,981
—
—
ll
, 1
0,89
0,857
1,000
1,000
1,00
1,00
1.
0
0,94
0,922
1,000
1,000
1,00
1,00
2,
1
0,84
0,987
0,983
0,981
0,98
.—
22
0
0,94
0,987
0,983
0,981
0,98
1,00
23
0
0,95
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
2*
1
0,94
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
3,
1
0,84
0,987
0,983
0,981
0,98
0,98
з2
0
0,95
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
з,
0
0,94
0,987
0,983
0,981
0,98
0,98
з4
0
0,95
0,935
1,000
1,000
1,00
1,00
4,
1
0,77
—
—
—
—
—
4*
0
0,94
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
4,
0
0,88
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
44
1
0,94
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
5,
0
0,83 .
0,779
1,000
1,000
1,00
1,00
52
0
0,95
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
53
1
0,89
0,857
1,000
1,000
1,00
1,00
54
0
0,95
0,935
1,000
1,000
1,00
1,00
6,
1
0,85
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
62
0
0,95
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
6,
0
0,95
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
64
1
0,94
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
7,
1
0,84
0,987
0,983
0,981
0,98
0,98
72
0
0,95
1,000
1,000
1,000
1,00
1,00
7,
0
0,94
0,987
0,983
0,981
0,98
0,98
74
0
0,95
0,935
1,000
1,000
1,00
1,00
Процедура состоит из шести шагов и дает совокупность 4Ь h, 0ь
Ь, 2ь Зь
Первый шаг:
мин. 2j Рг= 0»77 Для / = 4Г>
4^-разбиение:
{0, 1, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 14, 15}, {2, 3, 6, 7, 9, 13};
/7^ = 0,649; /(o|V 0) = 0,187,
37

Второй шаг:
мин ^ p\4l = 0,779 для у = 1х;
I]-разбиение:
{0, 5, 8, 10, 11, 14}, {1, 4, 12, 15}; 0,832; / (с^, р) = 0,08.
Третий шаг:
мин. ^ pf1 = 0,883 для / = 0!;
0j-разбиение:
{0, 5, 10, 11} {8, 14}; p10i = 0,943; / (о^, Р) = 0,026.
Четвертый шаг:
мин. ^ pfJ = 0.981 для /=12;
12-разбиение:
{0, 5, 11}, {10}; р£*=--0,96; / (<х41з, р) = 0,017.
Пятый шаг:
мин. ^ pf2 = 0,98 для / = 2i;
2гразбиение:
{0, 5}, {11}; ^ = 0,98; / (о^, р) = 0,008.
Шестой шаг:
мин. У pfl = 0,98 для / = Зг,
Зг разбиение:
{0}, {5}; /^=1.00; / (o^. P) = 0.
Рассмотрим оптимальную организацию второй процедуры (по-
строение диагностической совокупности). Предположим сначала,
что вероятности исправного и каждого из неисправных состояний
устройства одинаковы .и равны \/М. Пусть на /-м шаге второй про-
цедуры при /-м разбиении получается Rj подмножеств %ЯГц с числом
элементов тгп, г=1, ..., Rj. Обозначим макс. Ri=R. Тогда в соот-
/
ветствии с выводами теории информации [Л. 10] процедура будет
иметь наименьшее (в среднем) число шагов, если на каждом шаге
из всех возможных разбиений будет выбираться такое разбиение,
которое дает
R
макс. £J p^Xogp]-, (13)
1 r=\
38

где
SI 1
г=1
(16)
с рассмотрением на каждом шаге только таких /-разбиений, для
которых Rj=R.
При одинаковых вероятностях состояний устройства из (16)
получаем:
R
мин.
г=1
7-S т
м
(17)
Положение минимума относительно / не изменится, если (11)
умножить на М=const. При этом будем иметь:
R
мин.
\Т-ти
г=1
(18)
Содержание выражения (18) состоит в том, что на 1-м шаге второй
процедуры необходимо взять все такие /-разбиения, для которых
число подмножеств максимально (Rj=R), и затем среди этих раз-
биений выбрать одно из таких, которые даю г наиболее равномер-
ное разбиение М элементов исходного множества состояний ffi на
39
причем при Rj < R для г > Rj принимается tr?Vj — 0.
Нетрудно видеть, что (14) отражает частный случай более общей
ситуации, когда вероятности состояний неодинаковы и
тЬ
i = l
представляет собой сумму вероятностей состояний, входящих в мно-
жество щгг] .
Использование формулы (13) требует вычисления логарифмов.
При некоторых допущениях, уменьшающих точность результатов,
можно получить более простое для вычислений выражение, оцени-
вающее качество разбиений. Первое допущение состоит в том, чтобы
всегда отдавать предпочтение тем /-разбиениям, для которых Rj —
=R. С другой стороны, выражение (13) достигает максимума при
рГц =1//?, /"='1, ..., R. Поэтому можно приближенно вместо мак-
химума выражения (13) искать минимум для выражения
(14>

R подмножеств 9D^ (сумма по модулю отклонений числа элементов
тГц множеств от числа элементов M/R, которое получилось бы
при строго равномерном разбиении $R на R подмножеств, минимальна).
Если вероятности состояний устройства неодинаковы, то вместо
(17) получаем:
мин.
(19)
Рассмотрим пример применения методики построения миними-
зированной диагностической совокупности. Считаем, что вероятности
всех состояний устройства одинаковы. Построим минимизированную
диагностическую совокупность входных наборов для условий, задан-
ных табл. 14 (в процессе контроля можно использовать все входные
наборы и два выходных полюса устройства).
Таблица 20
/
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
S/? log р
Ър log р
Ър log р
£/? log р
Ър log р
0
3
0,262
6
0,626
9
0,875
1
3
0,391
2
3
0,320
6
0,646
8
0,828
11
1,002
—
—
3
3
0,305
5
0,594
8
0,828
11
1,002
12
1,039
4
3
0,391
6
0,685
5
3
0,338
4
0,429
6
0,685
9
0,875
11
1,002
6
3
0,305
5
0,594
8
0,828
11
1,002
12
1,039
7
3
0,305
5
0,594
8
0,828
11
1,002
12
1,039
На первом шаге произведем все возможные /-разбиения, /=
=0,..., 7, определим для каждого из них значение Rij и найдем
значение суммы по выражению (13). Основные результаты поместим
в табл. 20 и 21. Из третьего столбца табл. 20 видно, что максимум
(0, 391) выражения (12) на первом шаге достигается при 1-разбие-
нии: {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14}, {1, 4, 12, 15}, {7, 10}. На втором
шаге получаем максимальное значение выражения (13), равное
0,685, при 4-разбиении: {0, 5, 8, 11, 14}, {1, 4, 12, 15}, {10},
{7}, {9}, {2, 3, 6, 13}. На третьем шаге 0-разбиение {0, 5, И},
{8}, {14}, {2, 3, 6, 13}, {9}, {1, 4, 15}, {12}, {7}, {10} соответствует мак-
симуму 0,875. Четвертый шаг дает максимум 1,002 при 2-разбие-
нии: {0, 5}, {11}, {8}, {14}, {2, 6}, {3, 13}, {9}, {1, 4, 15}, {12}, {7}, {10}.
Наконец, пятый шаг дает максимум 1,039 при 3-разбиении: {0}, {5},
{11}, {8}, {14}, {2, 6}, {3, 13}, {9}, {1, 4, 15}, {12}, {7}, {10}. Никакое
разбиение на шестом шаге не изменяет результатов разбиения пя-
того шага. Поэтому процедура заканчивается получением теста |?
49

Таблица 211
I
SCR = {°» Ь 2> 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
1
2
3
4
1
0,2,3,5,6, 8,9, 11, 13, 14
1, 4, 12, 15
7, 10)
00
10
0, li
4
0, 5, 8, 11, 14
2, 3, 6, 13
9
1, 4, 12, 15
7
10)
10)
10)
01
10»
10
10
00
0 1
10
01
0
^30
0, 5, 11
8
14
2, 3, 6, 13
9
1, 4, 15
12
7
brQ
01
10
11
01
01
01
И
01
2
0, 5
11
8
14
2, 6,
3, 13
9
1, 4, 15
12
7
10
01
10
10
10
00
10
10
10
01
5
3
^53
0
5
00
11
8
14
2,6
3, 13
9
1, 4, 15
12
7
10
10
10
10
10
10
10
00
10
10
10
01
4, 0, 2, 3, причем группы неисправностей {2, 6}, {3, 13} и {1, 4, 15}
оказываются неразличимыми.
Совершенно аналогично решаются задачи при неодинаковых
вероятностях состояний устройства, только в этом случае вычис-
ление рГц должно производиться по формуле (15) вместо форму-
лы (14).
8. УСЛОВНЫЕ ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ СОВОКУПНОСТИ
Рассмотрим вопросы построения диагностических совокупностей,
учитывающих ту промежуточную информацию о состоянии устрой-
ства, которая получается в результате реализации каждого очеред-
41

ного элемента (подачи входного набора и контроля значений функ-
ций узлов и полюсов) совокупности 1.
Назовем такие совокупности условными диагностическими сово-
купностями входных наборов, или узлов (полюсов), или пар набор—
узел (полюс).
Процедуры построения условных диагностических совокупностей
основаны на следующих соображениях. Пусть на первом шаге про-
цедуры задано исходное множество состояний устройства, в одном
из которых оно находится. Выбор любого из элементов, использова-
ние которых допустимо при построении условной диагностической
совокупности того или иного вида, соответствует разбиению исход-
ного множества на непересекающиеся подмножества.
Если все элементы дают безрезультатные разбиения, то все
состояния исходного множества неразличимы и на этом процесс
заканчивается. Если один или несколько элементов дают результа-
тивные разбиения, то зафиксируем одно из таких разбиений и ис-
ключим из дальнейшей обработки подмножества, содержащие по
одному состоянию. Оставшиеся подмножества (с двумя и более со-
стояниями) будем рассматривать теперь в качестве исходных мно-
жеств для очередного шага. Проверим возможности разбиения этих
исходных множеств. Зафиксируем и исключим из далынейшей об-
работки те из них, для которых не существует ни одного результа-
тивного разбиения (входящие в эти исходные множества состояния
неразличимы). Зафиксируем также по одному результативному раз-
биению для каждого из оставшихся исходных множеств. В общем
случае элементы, порождающие указанные разбиения, могут быть
различными 2.
В результате каждое исходное множество окажется разбитым
на свои подмножества. Снова исключим подмножества, состоящие
из одного состояния, и перейдем к следующему шагу, исходными
множествами которого являются оставшиеся подмножества, получен-
ные на предыдущем шаге, и т. д. Процесс заканчивается тогда,
когда для всех исходных множеств на очередном шаге процедуры
либо будут получены подмножества, каждое из которых содержит
по одному состоянию, либо все возможные разбиения окажутся
безрезультатными.
Полученную по описанной процедуре совокупность называем
общей условной диагностической совокупностью.
1 Под осуществлением (или реализацией) совокупности будем
понимать: а) входных наборов — последовательную во времени по-
дачу этих наборов на входы устройства и контроль соответствующих
значений функций заданного множества узлов и полюсов устрой-
ства; б) узлов и полюсов устройства—контроль значений функций
узлов (полюсов) совокупности на заданном множестве входных
наборов; в) пар входной набор — узел (полюс) устройства — пода-
чу на устройство входных наборов совокупности и контроль значе-
ний функций узлов ((полюсов) совокупности.
2 В этом заключается существенное отличие процедуры построе-
ния условной диагностической совокупности от описанной ранее
процедуры построения диагностической совокупности, когда на лю-
бом шаге процедуры выбирается единственный элемент, порождаю-
щий разбиения всех исходных множеств. В этом плане указанная
диагностическая совокупность является одной из возможных услов-
ных диагностических совокупностей.
42

В ряде случаев возникает необходимость определить, находится
или нет устройство в одном определенном (фиксированном) состоя-
нии. Примером такой постановки является задача контроля работо-
способности устройства. Совокупность (наборов, узлов или пар
набор — узел), реализация которой позволяет решить поставленную
задачу, можно построить по описанной процедуре при условии, что
на каждом шаге в качестве исходного всегда брать множество,
содержащее фиксированное состояние. Получаемую таким образом
совокупность называем частной условной диагностической совокуп-
ностью относительно фиксированного состояния.
Если до реализации общей условной диагностической сово-
купности состояние, в котором может находиться устройство, неиз-
вестно, то в качестве исходного множества первого шага процедуры
должно приниматься множество всех (возможных состояний устрой-
ства. Если контроль работоспособности устройства предшествует
реализации условной диагностической совокупности, то в качестве
исходного множества первого шага следует брать подмножество
неисправных состояний устройства, выделенное конкретным исходом
реализации части (или всей) проверяющей совокупности. Второй
случай можно рассматривать как часть некоторой общей условной
диагностической совокупности для первого случая. Поэтому в даль-
нейшем рассматривается только первый случай.
На рис. 10 в виде древовидной диаграммы разбиений приве-
дена некоторая общая условная диагностическая совокупность вход-
ных наборов для рассматриваемого нами устройства при исходных
условиях контроля, заданных табл. 14. Исходные для каждого шага
множества состояний устройства помещены на диаграмме разбиений
в прямоугольные рамки, а в кружках расположены подмножества,
содержащие одно состояние или группу неразличимых состояний.
Прямоугольники и кружки соединены ориентированными ветвящи-
мися ребрами. Каждое ребро соответствует одному элементу
(в данном случае входному набору) диагностической совокупности.
Число ветвей ребра равно числу подмножеств, на которые данный
элемент разбивает свое исходное множество состояний. Например,
входной набор 2 (нижняя левая часть диаграммы на рис. 10) делит
исходное множество состояний {0, 5, 11} на два подмножества
{0, 5} и {11}.
Число различных входных наборов общей условной диагности-
ческой совокупности, показанной на рис. /10, равно пяти (0, 1, 2,
3, 4). Для распознавания, например, состояния 0 необходимо на
устройство подать пять наборов в последовательности 4, 0, 1, 2, 3,
а для распознавания состояния 9 — два набора в последовательно-
сти 4, 2. Для распознавания состояний 0 и 5 требуется по пять
наборов, состояния 11—четыре набора, состояний (1, 4, 15), (10,
12 и 14)— по три набора и состояний (2, 6), (3, 13, 7, 8 и 9)—
по два набора. Поэтому общая сумма наборов для раздельного рас-
познавания всех шестнадцати состояний 0, 1,..., 15 равна 2-5 +
+1 • 4+6 • 3+7 • 2 = 46. Отсюда среднее число наборов, требуемое
для распознавания одного состояния, равно 46 : 16=2,88.
Для одного и того же устройства при одних и тех же исход-
ных условиях его контроля можно построить ряд различных услов-
ных диагностических совокупностей. В связи с этим рассмотрим
задачу получения оптимальных совокупностей относительно задан-
ных критериев оптимальности.
4?

Такими критериями для общих условных диагностических сово-
купностей могут, например, быть следующие:
1) минимум числа различных элементов, распознающих все со-
стояния устройства;
2) минимум среднего числа элементов, требуемых для распо-
знавания одного состояния устройства (число различных элементов,
распознающих все состояния устройства, не учитывается);
3) минимум среднего числа элементов, требуемых для распо-
знавания одного состояния, при минимуме числа различных эле-
ментов, распознающих все состояния устройства.
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, $, 10, 11, 12, 13, 14, 15
L
0,1,4,5,8,10,11,12,14,15
2,3,6,13
7,9
0
2
12,14
12) (14
О, 1, 4, 5, 10,11,15
П
2) & Ш 0®
О, 5У 11
2
0,5
ТУ
ъ
Рис. 10.
Реализация диагностических совокупностей при использовании
первого критерия требует наименьшего числа либо подаваемых на
устройство различных входных наборов, либо контролируемых уз-
лов (полюсов), либо пар тех и других. Порядок реализации элемен-
тов диагностических совокупностей, построенных по этому Крите-
рию, не учитывается.
Стремлению сократить (в среднем на одно состояние устрой-
ства) время обнаружения повреждений отвечает второй критерий.
При построении условных диагностических совокупностей по
третьему критерию сначала ищется минимальная диагностическая
совокупность по первому критерию, а затем для элементов, входя-
щих в полученную совокупность, находятся последовательности
их реализации, удовлетворяющие второму критерию. Поэтому тре-
тий критерий сохраняет преимущества первого критерия в части
получения минимального числа различных элементов условной диа-
гностической совокупности и частично — преимущества второго кри-
терия в части некоторого сокращения среднего времени распозна-
вания состояния устройства.
Каждому элементу частной условной диагностической совокуп-
ности относительно одного фиксированного состояния отвечает раз-
биение соответствующего исходного множества состояний устрой-
ства на два подмножества, в одном из которых находится фиксиро-
ванное состояние. Считаем, что все состояния второго подмножества,
44

не содержащего фиксированного состояния, выделяются этим эле-
ментом совокупности. Тогда для построения оптимальных частных
условных диагностических совокупностей можно рекомендовать сле-
дующие два критерия:
il) минимум числа элементов, различающих фиксированное со-
стояние;
2) минимум среднего числа элементов, требуемых для распо-
знавания (выделения) одного состояния, при минимуме числа эле-
ментов, различающих фиксированное состояние устройства.
Эти критерии аналогичны первому и третьему критериям по-
строения общих условных диагностических совокупностей. Нетрудно
видеть, что второй критерий обеспечивает сокращение времени про-
верки работоспособности устройства без каких-либо дополнительных
(по отношению к первому критерию) затрат по организации воз-
действий и реакций в процессе контроля устройства.
Методами построения частных условных диагностических сово-
купностей, удовлетворяющих первому критерию относительно исправ-
ного состояния устройства, являются описанные выше методы по-
строения минимальных и минимизированных проверяющих совокуп-
ностей, если считать порядок реализации их элементов безразлич-
ным. Второму критерию, требующему определенной последователь-
ности реализации элементов совокупности, удовлетворяет метод по-
строения минимизированных проверяющих совокупностей, если реа-
лизацию их элементов проводить в том порядке, в котором эти эле-
менты были определены процедурой метода. Для того чтобы по-
строить минимальную частную условную диагностическую совокуп-
ность относительно исправного состояния устройства, удовлетворяю-
щую второму критерию, необходимо выполнить следующее. Постро-
ить все минимальные проверяющие совокупности, т. е. найти
минимальное число и состав элементов, различающих исправное
состояние устройства. Для каждой такой совокупности построить
все возможные последовательности реализации ее элементов. Опре-
делить для каждой последовательности среднее число элементов,
требуемых для распознавания одного состояния устройства. Выбрать
последовательность с минимальным средним числом элементов. Со-
ответствующие этому числу минимальные проверяющие совокупно-
сти и последовательности реализации их элементов дают варианты
искомых минимальных частных условных диагностических совокуп-
ностей относительно исправного состояния устройства. Проиллю-
стрируем этот процесс примером.
В § 6 для условий табл. 14 была построена минимальная про-
веряющая совокупность входных наборов: 0, 1, 2, 3, 4. Число воз-
можных последовательностей из пяти наборов Р5=5!=120. Проверка
этих последовательностей показывает, что среднее число элементов,
требуемых для распознавания (выделения) одного состояния устрой-
ства, колеблется от 3,18 (например, для последовательностей 0, 2,
3, 4, 1 и 0, 3, 2, 4, 1) до 2, 25 (например, для последовательностей
1, 4, 0, 2, 3 и 4, 1, 0, 3, 2). На рис. 11 показана диаграмма разбие-
ний, соответствующая последовательности 1, 4, 0, 2, 3. Из диаграм-
мы видно, что первое 1-разбиение среди 16 состояний исходного
множества выделяет шесть неисправных состояний {1, 4, 7, 10, 12,
15}, следующее за ним 4-разбиение — пять состояний {2, 3, 6, 9, 13}
из девяти, третье 0-разбиение — два состояния {8, 14} из пяти, чет-
вертое 2-разбиение — одно состояние {11} из трех и, наконец, пятое
3-разбиение распознает исправное состояние {0} и последнее неис-
45

правное {5}. Среднее число разбиений (элементов совокупности)
на одно состояние получается равным (6-1+5-2+2-3+1 - 4-Ь
+ 2-5) : 16=2,25.
Все сказанное выше в одинаковой мере пригодно для построе-
ния частных условных диагностических совокупностей относительно
другого фиксированного состояния устройства.
Для рассматривавшегося до сих пор случая одинаковых веро-
ятностей состояний устройства второй критерий построения мини-
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, в, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
0,2,3,5,6,8,9,11, 13, 14
- V
С/, 4, Z W, 12, 15)
а 5, в, п, 14
(2,3,6,9,13)
О
0,5,11
2
\0,5
02) ©
Рис. 11.
мальных частных условных диагностических совокупностей соответ-
ствует получению минимума выражения
м
T'S А*"1' • (20)
где М — число состояний устройства, £=1, ..., v — номер последо-
вательности из v элементов минимальной проверяющей совокуп-
ности и L\ — число элементов t-и последовательности, распознаю-
щей или выделяющей г-е состояние устройства.
При неодинаковых вероятностях состояний устройства следует
перебором вариантов последовательностей добиваться минимума вы-
ражения:
м
мин.J pil*. (21)
t i=\
где pi — вероятность /-го состояния.
46

Йри построении минимизированных частных условных диагно-
стических совокупностей для случая неодинаковых вероятностей
состояний устройства на каждом шаге процедуры находится
мин. ^ Р1Г1* где SW/j— множество, содержащее исправное (фикси-
рованное) состояние и определенное на 1-м шаге при /-разбиении, и
р1[~х — вероятность /-го состояния, определенная на /—1-м шаге.
Этот минимум соответствует тому, что на каждом шаге выбираются
такие /-разбиения, которые сопоставляют подмножествам более
вероятных состояний устройства более короткие выделяющие их
последовательности элементов совокупностей.
Построение минимальных и минимизированных общих условных
диагностических совокупностей при равных вероятностях состояний
устройства, удовлетворяющих первому критерию, было продемон-
стрировано на примерах построения минимальных диагностических
совокупностей в гл. 1 и минимизированных диагностических сово-
купностей выше в гл. 2. Реализация элементов минимальной диаг-
ностической совокупности в любой из v! возможных последователь-
ностей, которые можно построить из v элементов этой совокупности,
не гарантирует удовлетворения второго или третьего критерия для
общих условных диагностических совокупностей. Любая такая реа-
лизация соответствует частному виду диаграммы разбиений, когда
всем ее ребрам, находящимся на одном и том же уровне дерева,
сопоставлен один и тот же элемент совокупности. Среди этих вари-
антов можно выбрать такую последовательность, которая дает наи-
меньшее Среднее число элементов, требуемых для распознавания
одного состояния устройства. Но это число в общем случае не бу-
дет минимальным. То же можно сказать и о реализации элементов
минимизированной диагностической совокупности в той последова-
тельности, в которой эти элементы получаются по процедуре. Одна-
ко в этом случае такая реализация сразу дает близкое к минималь-
ному среднее число элементов для распознавания одного состояния.
Построение' минимальных общих условных диагностических со-
вокупностей, удовлетворяющих второму критерию, по описанной
в начале этого параграфа процедуре требует полного перебора всех
возможностей. Для сложных задач такой перебор практически
трудно осуществим и здесь не рассматривается.
При построении минимизированной общей условной диагно-
стической совокупности на каждом шаге процедуры выбирается та-
кое /-разбиение, которое дает максимальное значение приведенного
выше выражения (13) для каждого множества состояний в отдель-
ности. Тем самым первый шаг этой процедуры ничем не отличается
от первого шага описанной выше в гл. 2 процедуры построения
соответствующих минимизированных диагностических совокупностей.
На втором и последующих шагах процедуры лучшее /-разбиение
ищется для каждого из полученных новых исходных множеств не-
зависимо.
Проиллюстрируем эту процедуру на примере построения мини-
мизированной общей условной диагностической совокупности для
условий, определяемых табл. 2-5.
Из соответствующего примера построения минимизированной диаг-
ностической совокупности (см. табл. 20 и 21) находим, что на первом
шаге лучшим является 1-разбиение, порождающее три подмножества:
47

ЯЙИ ^={'0.2. 3,5, 6. 8,9. 11, 13, 14},Ш11а = {1,4, 12, 15} и 9Я13 = {7, 10}
(рис. 12), которые являются исходными множествами второго шага.
Для исходного множества fflu лучшим, дающим максимум выраже-
ния (13), равный 0,410 (табл. 22), является 4-разбиение, порождающее
три подмножества: SK1U = {9}, 2Rll2 = {0, 5, 8, 11, 14} и 9Й113 =
= {2,3,6,13}. Два последних являются исходными множествами
третьего шага.
Для исходного множества Шг2 лучшие результаты дает 0-разбиение,
Множество 9ftl2 разбивается на два подмножества: 9Йт={Ь4, 15} и
9^122 = {12}, первое из которых следовало бы взять в качестве исход-
°> 1> 2> J> 4> 5' 6> 7> 8> 9> 10' 11> f2> 13> f4' 13
О, 2, 3, 5, 6, 8, 9,11, 13, 14 j
/, 4, 12,15
4
0
j
< -
© 0,5,8,11,14 2,3,6,13
0,4,15) Q
JL
2,6) (3,13
7, W
2(3,4,5,0, 7)
7) Ш
О, 5
Рис. 12.
[3(6, 7)
ного множества для третьего шага процедуры. Из предыдущих при-
меров известно, что состояния 1, 4 и 15 устройства при принятых
условиях задачи неразличимы. Поэтому не будем проверять безрезуль-
татность разбиений подмножества {1,, 4, 15}. Последним исходным мно-
жеством второго шага является 9ftl3, для которого равноценными
являются 2, 3, 4, 5,6 и 7-разбиения, дающие 5W141 — {7} и $Щ142 = {10}.
Для первого исходного множества третьего шага fflU2 максимум выра-
жения (13) достигается при 0-разбиении, которое дает три подмноже-
ства: 9W1121 = {8}, ЯЯ1122 = {14} и ЙЙп28 = {0.5, И}, из которых
только последнее является исходным множеством четвертого шага.
Для множества %Япз выбираем 2-разбиение, а остальные равноценные
3, 6 и 7-разбиения отмечаем в скобках. Разбиение множества 5Р^113 оказы-
вается полным, так как пары состояний 2, 6 и 3, 13 неразличимы.
На четвертом шаге единственным исходным множеством является
9^ц2з = {9, 5, 11}, для которого одинаково хорошими являются 2, 3,
6 и 7-разбиения, порождающие два подмножества: SD^mi = {®$} и
50^11232 = {11}. Первое из этих подмножеств служит исходным множе-
ством пятого шага. Выберем 2-разбиение. На пятом шаге равноценными
являются 3, 6 и 7-разбиения, которые различают состояния 0 и 5.
На этом процесс построения совокупности заканчивается.
48

Таблица 22
Шаг 1
Шаг 2
Шаг
СО
Шаг 4
Шаг 5
1
а»!
ЗИП
9»112
SW„a.
0
1
2
3
4
5
6
7
0,262
0,391
0,320
0,305
0,391
0,338
0,305
0,305
0,277
0,277
0,264
0,410
0
0,264
0,264
0,244
0
0
0
0
0
0
0
0,301
0,301
0,301
0,301
0,301
0,301
0,355
0,217
0,217
0
0,217
0,217
0
0,301
0,301
0
0,301
0,301
0,275
0,275
0
0,275
0*275
0,301
0
0,301
0,301
Из диаграммы разбиений на рис. 12 находим, что среднее
число элементов для распознавания одного состояния устройства
равно (2 • 5+1 • 4 + 6 • 3+7 • 2) : 16=2,87. Заметим, что использование
помеченных на диаграмме в скобках возможных вариантов разбие-
ний может в ряде случаев привести к уменьшению общего числа
различных элементов совокупности без изменения среднего числа
элементов на одно состояние. При выделении равноценных вариан-
тов разбиений следует учитывать, что такими вариантами являются
только разбиения, порождающие одинаковые^ подмножества.
Построение общих условных диагностических совокупностей,
удовлетворяющих третьему критерию, отличается от построения та-
ких совокупностей, удовлетворяющих второму критерию, только тем,
что элементы, из которых строятся совокупности, являются элемен-
тами соответствующих общих условных диагностических совокупно
стей, удовлетворяющих первому критерию.
При построении совокупностей, удовлетворяющих первому кри-
терию, перераспределение вероятностей после реализации очередно-
го элемента совокупности не имеет смысла, так как независимо от
того, в каком исходном множестве данного шага окажется факти-
ческое состояние устройства, должен быть выбран один и тот же
элемент для каждого из этих исходных множеств. Поэтому построе-
ние минимизированных общих условных диагностических совокуп-
ностей, удовлетворяющих первому критерию, при неодинаковых ве-
роятностях состояний устройств есть не что иное, как построение
для этих условий минимизированных диагностических совокупностей.
Для совокупностей, удовлетворяющих второму и третьему кри-
териям, перераспределение вероятностей после реализации каждого
очередного элемента совокупности должно производиться на основе
имеющихся статистических данных по частоте появления различ-
ных групп повреждений при условии отсутствия других групп по-
вреждений.
Приведенные выше выражения (20) и (21) справедливы для
опенки и сравнения также общих условных диагностических сово-
купностей. В соответствии с (21) для построенной совокупности
(рис. 13) получаем:
V ptLt=0,24 • 2+0,24 . 3+0,01 • 4+0,51 • 5 = 3,79.
4—52
49

Рассмотрим такую же характеристику для общей условной диа-
гностической совокупности, построенную в соответствии с первым
критерием и с учетом неодинаковых вероятностей состояний
(табл. 23). На рис. 14 приведена соответствующая диаграмма раз-
биений. Находим ^ PiLi = 0,07-2+0,24-3+0,18-4+0,51 -5=4,13.
i
Следовательно, лучшей является совокупность рис. 13.
4 /, 2,
\
4.
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11,
12,
13, 14, 15
1
\
\
1> 4, 12,
15
о, 2, 3, 5, 6, (
8, 9, 11, 13,
14
Z
10
Выше рассматривались вопросы построения проверяющих и диа-
гностических совокупностей при предположении, что все заданные
для их построения элементы (в смысле их реализации) равноценны.
В ряде практических случаев, однако, это не так. В первую очередь
Таблица 23
1
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Шаг 6
Е р log р
Яр log р
2/>log р
Е Р log р
£/?log р
0
3
0,195
6
0,450
9
0,656
1
3
0,291
2
3
0,236
6
0,55
8
0,574
11
0,723
—
—
—
—
со
3
0,234
5
0,439
8
0,574
11
0,723
12
0,744
—
—
4
3
0,291
6
0,500
5
3
0,280
4
0,303
6
0,502
9
0,654
11
0,723
12
0,744
6
3
0,234
5
0,439
8
0,574
11
0,723
12
0,744
12
0,744
7
3
0,234
5
0,439
8
0,574
11
0,723
12
0,744
12
0,744
50

следует указать на то, что использование для целей контроля вы-
ходных полюсов устройства почти всегда предпочтительнее, чем
использование их внутренних узлов. Электрические выводы от вы-
ходных полюсов всегда имеются (они необходимы для выполнения
устройством своих рабочих функций) и, как правило, доступны для
подключения контрольной аппаратуры. В то же время такие выводы
от внутренних узлов не нужны для нормальной работы устройства,
и необходимость использования их в процессе контроля может либо
потребовать дополнительных материальных затрат и затрат времени
в процессе производства устройства (прокладка проводов, увеличе-
О, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7,
8,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
I /
г~
*
\
7, 10
/, 4, 12, 15
О, 2, 3, 5, 6, 8, 9,11, 13, 14
ние емкости внешних штекерных разъемов), либо вызвать неудоб-
ства при подключении к устройству внешней контрольной аппара-
туры. Аналогичные соображения можно привести и по отношению
к входным наборам, когда по каким-либо причинам (время орга-
низации подачи на устройство, энергетические расходы, вопросы
безопасности и др.) использование одних наборов в процессе конт-
роля устройства более желательно, чем других.
Учесть указанную неравноценность элементов в процессе по-
строения проверяющих и диагностических совокупностей можно
путем придания элементам соответствующих положительных «ве-
совых» коэффициентов («весов»). Если критерием, по которому стро-
ится совокупность элементов, является минимум какой-либо величи-
ны (например, числа элементов), то среди равноценных по этому
критерию элементов должен выбираться элемент с меньшим весом.
Если же критерием является максимум какой-либо величины, как.
например, максимум выражения (13), то более предпочтительный
элемент должен иметь больший вес. Абсолютные значения весов при
этом не имеют значения, и поэтому для первого случая можно при-
нимать 0<Cj<l, а во втором случае в качестве значений весов
можно брать \/Cj.
4* 51

При построении минимальных проверяющих и диагностических
совокупностей с учетом весов их элементов можно поступать сле-
дующим образом. После преобразований выражений вида (6), (8)
или (9) необходимо все совокупности оценить суммой весов вхо-
дящих в них элементов и выбрать те из них, которые дают мини-
мум этой суммы. Пусть, например, входные наборы имеют веса
с0, С\, ..., с7у причем cq=c\= ... =Ci=Cq<c5 = c7. Тогда из четырех
проверяющих совокупностей входных наборов 0, 1, 2, 3, 4; 0, 2,
3, 4, 5; 0, il, 2, 4, 7 и 0, 2, 4, 5, 7, которые получаются из выра-
жения (6), надо выбрать первую.
При построении минимизированных проверяющих совокупно-
стей критерием выбора лучшего /-разбиения теперь должен быть
MHHCjmij, а не мин тц, как это имело место при одинаковых весах
/ /
элементов совокупностей. При учете различных вероятностей состоя-
// 1 vlj
ний устройства вместо макс. р0] следует искать макс. —— F° '
/ / j
В методах построения проверяющих и диагностических сово-
купностей, базирующихся на использовании выражения (13), при
учете весов элементов необходимо пользоваться выражением
R
макс. — р\} \ogprlr (22)
r=l
Вместо выражения (18) надо применять выражение
R
I М I
(23)
■ r=l
и т. д. При отсутствии достаточно обоснованных соображений^ по
выбору значений весов следует производить пробы вариантов.
9. ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ТЕСТОВ
Схему комбинационного устройства можно разбить на ряд под-
схем (в частном случае — логических элементов), которые будем
называть блоками схемы. Каждый такой блок имеет свои полюсы,
которые могут соединяться с полюсами других блоков. Построен-
ные таким образом схемы называются блочными. Блочные схемы,
в которых не накладываются ограничения на свойство направлен-
ности действия сигналов в связях между блоками и на свойство
разделительности полюсов каждого блока, будем называть блочными
схемами общего вида. Представителями таких многополюсников
являются контактные релейные устройства.
Контактная схема, пример которой дан на рис. 15,а, может
быть представлена ib виде функциональной схемы (рис. 15,6), в ко-
торой функциональными элементами являются одиночные контакты.
Путем объединения нескольких элементов этой схемы в один может
быть получена блочная схема общего вида, например, схема
рис. 15,в, где мостиковый контакт х3 включен в блок /.
52

Пусть анализируемый комбинационный многополюсник состоит
из / блоков, в каждом из которых возможна одна из /ftj(/= 1,..., /)
неисправностей. Тогда число различных неисправностей многополюс-
ника равно [Л. 5]:
я= По + ^-)-1.
Исходя из принципиальных схем блоков (логических элементов) и физики
О
"x, ■
г
а)
о н
их работы, определяются функции неисправностей f\, ... ,fnt (i — 1
По этой таблице найдем номе-
ра наборов входных переменных,
на которых функция неисправности
ff(t= 1,q) отличается от функ-
ции /о (по всем s = 1, k).
Сведем результаты такого
анализа в таблицу, которую назо-
вем таблицей тестов. Число столб-
цов таблицы тестов равно числу
узлов многополюсника (&), а чи-
сло строк — полному числу раз-
личных неисправностей (q).
В каждой клетке t, s этой табли-
цы выписываются через знак
дизъюнкции номера наборов вход-
ных переменных, на которых t-я
(*€0» • • •» Я)) неисправность изме-
няет функцию s-ro узла s£ /С, где
/С={1, ..., k}. Заполнение клетки
прочерком означает, что t-я .не-
исправность не изменяет функцию
s-ro узла ни на одном наборе
входных переменных.
Описанная процедура запол-
нения таблицы тестов достаточно
трудоемка и требует построения
общей таблицы функций неисправ-
ностей. В случае, когда в много-
полюснике возможны только еди-
ничные неисправности, процедуру
построения таблицы тестов мож-
но упростить.
Я)
2
6)
О
\1
/
1
2
2
б)
Рис. 15.
а) Метод построения таблицы тестов для блочных схем
общего вида
Пусть блоки 1,..., / анализируемого комбинационного много-
полюсника имеют соответственно гь..., rt внешних полюсов. По-
строим функции неисправностей, реализуемые на внешних выходах
каждого блока, при условии наличия одной неисправности (из за-
данного перечня) в рассматриваемом блоке. Очевидно, что для каж-
дого блока можно построить соответственно Ш\ги..., trifi функций
неисправностей. Эти функции неисправностей вместе с функциями
53

fj» • • • »fo свеДем в таблицы, которые назовем частичными табли-
цами функций неисправностей. В каждой такой таблице слева пере-
нумерованы все 2п входных наборов, а справа вместе с функцией,
реализуемой многополюсником в исправном состоянии на каком-ли-
бо внешнем узле рассматриваемого блока, приведены функции не-
исправностей, реализуемые многополюсником на этом узле при на-
личии одной неисправности (из заданного перечня) в данном блоке.
Для каждого блока будет построено соответственно гь..., п ча-
стичных таблиц функций неисправностей, которые будут в совокуп-
/
ности содержать ^ mfj функций неисправностей.
/=1
/
Так как общее число единичных неисправностей р = mjt то
/=1
l
общая таблица функций неисправностей содержала бы к V nij функций
У=1
неисправностей. Учитывая, что rj ^ к (/ = 1, /), получаем:
/ / /
k У ntj = ^ nijk V mjTj,
]=\ /=1 У=*1
Отсюда следует, что число функций неисправностей, необходимых для
заполнения частичных таблиц функций неисправностей, не превышает
числа функций неисправностей, которые нужны для заполнения общей
таблицы.
Заполним по этим частичным таблицам функций неисправно-
стей клетки таблицы тестов (которая для случая, когда в много-
полюснике возможны только единичные неисправности, имеет к
столбцов и р строк), отвечающие узлам блоков, в которых зада-
ются неисправности. Таким образом, в результате анализа построен-
ных частичных таблиц окажется заполненной часть rtijrj ] клеток
таблицы тестов из общего числа ( к V rrij
'Пусть в t-я строке таблицы тестов оказались заполненными
клетки, принадлежащие столбцам .., гр т 5 (фь • • 4>rj€^0» где
1,..., rj — полюсы /-го блока многополюсника, в котором суще-
ствует t-я неисправность. Для заполнения оставшихся клеток в этой
строке необходимо определить номера наборов входных перемен-
ных, на которых t-я неисправность в /-м блоке изменяет функции
узлов, не принадлежащих /-му блоку.
Составим выражение, представляющее собой дизъюнкцию вы-
ражений, входящих в заполненные клетки t-й строки, и произведем
54

сокращения типа х\/ х=х. В результате получим некоторое выра-
жение вида
au\laU V- V % , где A = {at1 at }CI{0, 1, ...,2* —1}.
Xi
x2
x3
fi
fl
fl
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
2
0
1
0
1
1
1
3
1
1
0
1
1
1
4
0
0
0
1
1
0
5
1
0
1
1
1
0
6
0
1
1
1
1
1
7
1
1
1
1
1
1
Пусть с есть столбец, отвечающий некоторому узлу многополюс-
ника, не принадлежащему совокупности узлов с индексами obi
Можно показать, что Таблица 24
номера входных наборов,
записанных в клетке t,
таблицы тестов, обязатель-
но содержатся во множе-
стве А.
Используем следующий
алгоритм заполнения сво-
бодных клеток таблицы
тестов.
Выберем первый эле-
мент ati из множества А и
найдем, в какие из клеток
t-й строки он входит. Функ-
циям узлов, отвечающих
столбцам этих клеток и
принадлежащих /-му блоку,
придадим значения, ин-
версные их значениям на наборе ati при исправной работе много-
полюсника. Для функций остальных узлов, принадлежащих /-му
блоку, сохраняются значения, которые они принимают при исправ-
ной работе многополюсника. После этого схема анализируется
на этом наборе входных переменных и в клетки, отвечающие узлам,
не принадлежащим /-му блоку, номер ati заносится только в том
случае, если значения функций в этих узлах отличаются от сво-
их значений при исправной работе схемы. Далее берется эле-
мент at^ и т. д. до элемента at(p. Аналогично заполняются осталь-
ные строки.
В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на рис. 15.
Зададимся перечнем неисправностей для каждого блока схемы. Бу-
дем считать, что для первого блока возможна одна из следующих
неисправностей: 1) обрыв контакта х\\ 2) короткое замыкание
(к. з.) контакта х\\ 3) обрыв контакта х\\ 4) к. з. контакта х\,
5) обрыв контакта х3 и 6) к. з. контакта х$. Аналогично для вто-
рого блока возможна одна из следующих неисправностей: 7) обрыв
контакта 8) к. з. контакта я3; 9) обрыв контакта х2 и 10) к. з.
контакта х2.
В табл. 24 приведены функции fJ./o»/o Узлов исправного мно-
гополюсника; табл. 25 и 26 представляют собой частичные таблицы
функций неисправностей, построенные для первого блока при усло-
вии наличия в нем одной из шести указанных выше допустимых
неисправностей. Узел 0 является входным полюсом многополюсника,
и функция в этом узле всегда тождественно равна единице.
Поскольку на блоки многополюсника не накладывалось каких-
либо ограничений в смысле возможности существования «возвра-
55

f а б л и ц а 25
х2
*8
f\
tl2
'I
fl
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
2
0
1
0
*1
1
1
0
1
1
1
со
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
4
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
СП
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
6
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
7
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
щающихся» цепей \ то построение этих таблиц ведется по прин-
ципиальной схеме многополюсника.
Аналогичные таблицы можно построить для второго блока.
По частичным таблицам функций неисправностей можно по-
строить [Л. 17] таблицу тестов, имеющую три (по числу узлов)
столбца и десять (по числу неисправностей) строк (табл. 19).
В результате окажутся незаполненными клетки, обведенные рам-
кой.
Таблица 26
хг
х2
f2
'0
О
п
f2
ft
f2
и
/1
ft
0
0
0
0
1
1
1
0
J
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
3
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
4
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
СП
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
6
0
1
-1
1
1
1
0
1
1
1
7
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
Рассмотрим процедуру заполнения клетки 1,3. Множество А
содержит элементы {1, 3, 5, 7}. Элемент 1 входит только в клетку
1,1, поэтому значение функции в узле 1 будет равно нулю, т. е.
оно равно инверсии значения функции /д на наборе 1 (см. табл.24),
а значение функции в узле 2 остается равным нулю. Анализируя
схему на наборе 1, находим, что значение функции в узле 3 равно
нулю, т. е. совпадает с ее значением при исправном состоянии мно-
гополюсника, поэтому входной набор 1 в клетку 1,3 не входит. На
1 Возвращающимися цепями называются [Л. 5] цепи с прово-
димостью, отличной от нуля,.которые могут образовываться между
узлами рассматриваемого блока через другие блоки многополюсника.
56

наборе 3 входных переменные функции в узлах 1,2 будут равны
соответственно 0,0. Анализ схемы показывает, что значение функции
fl узла 3 на этом наборе, равное нулю, отличается от значения
функции /(f при исправной работе многополюсника. Поэтому эле-
мент 3 заносится в клетку 1,3. Далее просматриваем элементы 5
и 7, из которых первый не входит в клетку 1,3. Аналогично запол-
няются остальные клетки.
Рассмотренная в этом параграфе методика построения таблицы
тестов для блочных схем общего вида, содержащих единичные не-
исправности, может быть упрощена для класса ориентированных
блочных схем без петель.
б) Метод построения таблиц тестов для ориентированных блочных
схем без петель
Если комбинационный многополюсник построен на бесконтакт-
ных логических элементах, то он часто представляется в виде блоч-
ной схемы, причем нее внешние полюсы каждого блока могут быть
разбиты на входные и выходные таким образом, что никакие изме-
нения сигналов на выходных полюсах
сигналов на входных полю-
не приводят к изменению
Таблица 27
х3
f2
'0
f3
'0
ft
0
0
0
0
0
J-
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
2
0
1
0
1
0
0
1
3
1
1
0
1
0
0
0
4
0
0
1
1
0
0
1
5
1
0
1
0
0
1
0
6
0
1
1
1
0
0
1
7
1
1
1
1
0
0
0
сах данного блока, если
рассматривать каждый блок
в отдельности. Обозначим
входные полюсы блоков
в виде входящих стрелок,
выходные полюсы — в виде
выходящих стрелок, при
этом будем считать, что
в схеме отсутствуют петли.
Предположим, что никакая
неисправность в блоке не
влияет на значения сигна-
лов на его входах. Вход-
ные полюсы блоков воспри-
нимают сигналы либо с вы-
ходов других блоков, либо
с источников входных воз-
действий (входные перемен-
ные). Называем такие блочные схемы ориентированными.
Примером таких схем является схема, изображенная на рис. 9.
Данная схема составлена из логических полупроводниковых элемен-
тов НЕ — ИЛИ (принципиальная схема элемента и его условное
изображение представлены на рис. 8). В § б был приведен перечень
возможных неисправностей для рассматриваемого элемента, число
которых для одновходового элемента равно 2, для двухвходового 4,
для трехвходового 5.
Перенумеруем все возможные единичные неисправности в схеме
следующим образом: в элементе 1 возможны 4 неисправности —
1, 2, 3, 4; в элементе 2—5 неисправностей — 5, 6, 7, 8, 9; в элемен-
те 3—4 неисправности— '10, 11, 12, 13 и, наконец, в элементе 4—2
неисправности—14, 15. Узлов в схеме четыре. Отсюда таблица
Жестов будет иметь размер 4 X 15.
57

Перенумеруем все наборы входных переменных и найдем зна-
чения функций в узлах исправной схемы. Результат такого анализа
сведем в таблицу (табл. 27).
Пусть исследуемый многополюсник имеет k узлов, функции
в которых fo , . . . , /опРи исправном состоянии зависят не более
чем от п переменных (*i,..., хп). В любой схеме, принадлежащей
рассматриваемому классу, всегда найдется хотя бы один блок, на
входы которого подаются только входные переменные. В самом деле,
если таких блоков в схеме нет, то граф, в котором блоки являются
узлами, а связи между блоками — ребрами, будет содержать хотя
бы одну петлю, что противоречит определению данного класса
схем.
На нервом шаге найдем все блоки, на входы которых пода-
ются только входные переменные, и выпишем зависимость функций
выходов этих блоков от своих входных переменных. Для рассмат-
риваемого примера такими блоками являются блоки 2 и 4.
На втором шаге находим блоки, на входы которых подаются
только входные переменные и выходы блоков, найденные на первом
шаге. Далее на i-м шаге находим блоки, на входы которых подают-
ся только входные переменные и выходы блоков, найденные на 1,
2,..., i—1-м шагах, и выписываем соответствующие функции. Для
примера (рис. 9) получаем:
Первый шаг: f% == хг \J х2 V хг\
fo = х\*
Второй шаг: {1 = Ь^\/ х2.
Третий шаг: f 10 = Ьъ0 V b\.
Число шагов в такой процедуре не превышает числа блоков
в схеме.
Поскольку никакая неисправность в каждом блоке не влияет
на значения сигналов на его входах, неисправности блоков, найден-
ных на i-м шаге, могут влиять только на функции выходов блоков,
рассматриваемых на /4-1 ... шагах. Свяжем с каждым блоком но-
мера узлов, на функции которых влияют неисправности в рассмат-
риваемом блоке. Так, первый блок связан только с узлом 1, второй
блок — с узлами 2 и 1, третий блок — с узлами 3 и 1 и четвертый
блок — с узлами 4, 3 и 1.
В соответствии с этим в таблице тестов (табл. 28) проставле-
ны прочерки в клетках, находящихся на пересечении строк, отве-
чающих неисправностям в i-м блоке, и столбцов, отвечающих узлам,
которые не связаны с i-м блоком.
Сначала заполняются клетки таблицы тестов, принадлежащие
столбцам с индексами узлов блоков, которым отвечают неисправ-
ности, находящиеся в строках этих клеток. Такими клетками в рас-
сматриваемом примере являются 1,1; 2,1; 3,1; 4,1; 5,2; 6,2; 7,2; 8,2;
9,2; 10,3; 11,3; 112,3; 13,3; 14,4; 15,4. Заполнение этих клеток ведется
на основании анализа таблицы функций неисправностей блоков
(табл. 11) и таблицы функций в узлах исправного многополюсника
(табл. 27). Для двухвходового элемента (элемент / на рис. 9) на-
бор входных переменных, позволяющий отличить наличие неисправ-
ности у = 0 В; этом элементе (табл. 11), имеет вид 00. На вход
58

Таблица
Узлы
Неисправности
1 \ 2
3
4
1
2V3V4V
V6V7
—
—
—
Блок 1
2
0V1V5
—
—
—
3
4
0
z
—
—
5
0
0
—
—
Блок 2
6
2V3V4V
V6V7
1V2V3V
V4V5V6V7
—
—-
7
—
1
—
—
8
2
2
—
—
9
4
4
—
10
—
Блок 3
11
2\/3\/4\/
V6V7
—
0V2V3V
V4V°V7
—
12
4
—
0V4
—
13
3V7
—
3V7
—
Блок 4
14
4
—
0\/4
0V2X/4V6
15
1V5
—
1V5
1V3V5V7
первого элемента подаются функции и f^, и поэтому в клетку 1, 1
заносятся номера наборов входных переменных, на которых fq = 0
и fo = 0 (табл. 27). Неисправность 2 (<р^1) в блоке 1 может быть
обнаружена на следующих наборах входных переменных: 0, 1 или 1,0
или 1, 1, т. е. когда fq = 0 и 1 или f\ = 1 и fI = 0 или =
= fо = 1. Эти значения функции принимают на наборах входных пере-
менных с номерами 1 или 5 (f§ = 0, fjj = 1), 0 (fj| = 1, fjj = 0). Обе
функции fg и fg одновременно не равны единице ни на одном наборе
входных переменных. Аналогично заполняются остальные из указанных
выше клеток таблицы тестов.
Для заполнения оставшихся клеток таблицы тестов необходимо
проверить, на каких наборах входных переменных (из числа набо-
ров, найденных для узлов блоков, в которых задаются неисправно-
сти) функции узлов, связанных с соответствующими блоками, из-
менят свои значения. Для этого разложим функции узлов блоков
по тем входным переменным, которые являются выходами других
59

блоков (т. е. разлагаются функции, Которые определяются на вто-
ром, третьем и т. д. шагах рассмотренной выше процедуры):
~ jo'^2*
/о = Jq'Jq9
Неисправность 5 в блоке 2 обнаруживается на выходе второго блока
на нулевом наборе входных переменных. На этом наборе /д = 0, по-
этому /о = Таким образом, изменение значения функции /о~^5
на этом наборе ведет к изменению значения функции fg= /б>
т. е. неисправность 5 в блоке 2 обнаруживаема на выходе
первого блока на этом же наборе. Заносим его в клетку 5,1.
Рассмотрим набор 1 для неисправностей б и 7 в блоке 2. На этом
наборе /о=1, откуда /q — О, т. е. изменение значения функции
fo = У17 на этом на^оре не вед£т к изменению значения функции fq =
= fg7. Отсюда следует, что неисправности 6 и 7 в блоке 2 необнару-
живаемы на выходе первого блока на наборе 1. По этой причине
в клетке 7,1 проставлен прочерк, а номер первого набора не включен
в выражение, записанное в клетку 6, 1 (по той же причине в этом
выражении нет набора 5).
Аналогично заполняются остальные клетки таблицы тестов.
Заполненная таблица тестов содержит необходимую информацию
для решения поставленных задач минимизации тестов и диагно-
стики.
10. АНАЛИЗ ТАБЛИЦ ТЕСТОВ ДЛЯ КОНТРОЛЯ
РАБОТОСПОСОБНОСТИ
Пусть анализируемая таблица тестов имеет q строк и k столб-
цов. Рассмотрим некоторые ее свойства.
а) Если в таблице тестов имеется строка, сплошь содержащая
прочерки, то неисправность, отвечающая этой строке, необнаружи-
ваема ни на одном узле схемы.
б) Если в таблице тестов имеется столбец, сплошь содержащий
прочерки, то на узле, отвечающем этому столбцу, необнаруживаема
ни одна неисправность из заданного перечня.
в) Если несколько клеток, принадлежащих одному и тому же
столбцу, содержат одинаковые совокупности номеров входных на-
боров, то неисправности, отвечающие строкам этих клеток, неотли-
чимы между собой на узле, отвечающем данному столбцу.
В соответствии с этими свойствами будем называть неисправ-
ность обнаруживаемой, если в строке, отвечающей этой неисправно-
сти, имеется хотя бы одна клетка без прочерка. В противном слу-
чае неисправность необнаруживаема ни на одном узле многопо-
люсника.
1. Пусть задано некоторое допустимое множество входных на-
боров, которые разрешается подавать в процессе проверки много-
полюсника.
Рассмотрим решение задачи о нахождении минимального числа
узлов, контроль значений функций которых позволяет судить об
60

отсутствии всех неисправностей, обнаруживаемых на допустимом
множестве входных наборов, и построим для этих узлов минималь-
ны^ проверяющий тест. Для этого вычеркнем из таблицы тестов но-
мера входных наборов, не входящих в допустимое множество.
Строки, все клетки которых оказались заполненными прочерками,
удаляем из таблицы. Неисправности, отвечающие этим строкам,
необнаруживаемы на заданном допустимом множестве входных на-
боров ни на одном узле схемы.
Если в оставшейся таблице тестов нет ни одного столбца, не
содержащего хотя бы в одной клетке прочерка, то это значит, что
ни один узел не является искомой минимальной совокупностью.
Тогда рассмотрим строки, содержащие хотя бы в одной клетке
прочерк, и выпишем для каждой такой строки через знак дизъюнк-
ции те номера узлов, которые отмечают столбцы, на пересечении
которых с рассматриваемой строкой находятся клетки без про-
черка.
Образуем конъюнкцию полученных дизъюнктивных выражений
и раскроем скобки. Произведя алгебраические упрощения и выбрав
члены минимальной длины, получим искомые минимальные сово-
купности узлов.
Задачу построения минимальных проверяющих тестов для най-
денных узлов сформулируем следующим образом: найти такую
минимальную совокупность входных наборов, после подачи кото-
рой и наблюдения за рассматриваемой минимальной совокупностью
узлов можно сделать заключение об отсутствии в схеме неисправ-
ностей из заданного перечня (за исключением неисправностей, необ-
наруживаемых ни на одном узле многополюсника). Для этого вы-
пишем выражение, представляющее собой конъюнкцию дизъюнкций,
составленных для каждой строки из выражений, входящих во все
заполненные клетки, принадлежащие столбцам из рассматриваемой
минимальной совокупности узлов. Раскрыв скобки и произведя упро-
щения, находим минимальные проверяющие тесты для рассматри-
ваемой совокупности. Аналогичную операцию проделываем для всех
других минимальных совокупностей узлов и находим минимальный
проверяющий тест.
В качестве примера рассмотрим таблицу тестов (табл. 29), по-
строенную для схемы на рис. 15. Пусть допустимое множество для
этого примера содержит наборы {2, 3, 4, 5, 7}. После вычеркивания
номеров наборов О, II, б из таблицы тестов находим, что строки
2, 4, б содержат одни прочерки, т. е. неисправности 2, 4 и 6 необ-
наруживаемы на заданном допустимом множестве ни на одном узле
схемы.
Удалив эти строки из таблицы тестов, получим табл. 30 (строка,
содержащая во всех клетках прочерки и имеющая нулевой индекс,
введена для рассматриваемого ниже решения задачи диагностики).
В этой таблице каждый столбец содержит прочерки. Рассмотрим
строки, содержащие прочерки, и выпишем соответствующие выра-
жения:
строка 5 — 1 V 2;
строка 8 — 3;
строка 10—3.
Далее получаем: (1 V 2).3-3 -= 3-1 V 3-2.
Таким образом, искомыми минимальными совокупностями будут уз-
лы 3 и '1 или 3 и 2. Найдем минимальные проверяющие тесты для
первой совокупности (узлы 3 и 1):
61

(Зуб V^)42V4)-4-^(4V 6)42 V3V^) = 2-3.4V 2-4-6 V 2-4 А
Для узлов 3 и 2 имеем:
(3V5V7).(2V4)-(5V7).(2V3).(4V5)-(3V7)-
= 2-3.5 V 2-4-7 V2-5-7 V 3-4-5 V 3-4-7.
Таблица 29
Неисправности
Узлы
Блок 1
Блок 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1V3V5V7
0
2V4V6
4V6
0
3V5V7
0V2V4V6
1
5\/7
1
3V7
0V2V6
1
6
1
0V2
4V5
3V6V7
1V4V5
Заметим, что все минимальные проверяющие тесты, найденные для
обеих пар узлов, имеют одинаковую длину. Окончательный выбор
того или иного теста может быть осуществлен с учетом ряда дру-
Таблипа 30 гих ФакТ0Р0В> таких как стоимость,
удобство измерения функций в узлах,
конструктивные соображения и т. д.
2. Рассмотрим задачу о нахож-
дении минимальной совокупности
входных наборов для осуществления
контроля работоспособности, если
задан набор допустимых для контро-
ля выходных полюсов и внутренних
узлов многополюсника. В этом слу-
чае из таблицы тестов вычеркиваем
столбцы, отвечающие узлам, которые
не входят в заданный набор. Остав-
шуюся таблицу тестов анализируем
изложенными методами.
Для примера проанализируем
таблицу тестов (табл. 28), постро-
енную для схемы рис. 9. Пусть до-
ступный набор узлов содержит
Неисп-
Узлы
равности
1
2
3
1
3V5V
V7
3V5V
V7
3V7
со
2V4
2V4
2
5
4
5V7
—
7
2
3
2
8
—
—
4V5
9
2
со
3V7
10
—
—
4V5
0
—
—
—
62

узлы 1, 3, 4. После удаления второго столбца табл. 31 (в этой
таблице нулевая строка добавлена для целей решения задачи диаг-
ностики) находим, что неисправность 7 необнаруживаема на этом
наборе узлов. Все остальные неисправности обнаруживаемы на пер-
вом узле.
Таблица 31
Узлы
Неисправности
1
3
4
1
2V3V4V
V6V7
—
—
Блок 1
2
0V1V5
—
—
3
—
—
4
0
—
—
5
0
—
—
Блок 2
6
Q
2V3V4V
V6V7
2
—
—
cd с
4
—
—
10
—
Блок 3
11
2V3V4V
V6V7
0V2V3V
V4V6\/7
—
12
4
0\/4
—
13
3V7
3V7
—
14
4
0V4
0V2V4V6
Блок 4
15
1V5
1V3V5V7
0
—
—
—
Построим для него минимальный проверяющий тест:
(2V3 \/4V6V7)-(0V 1 V5)-0 V5).0-2.4-(3V7) =
= О-Ь2-3.4 V 0-1- 2.4-7\/0-2-3.4-5V 0-2-4-5.7.
Для этого узла существует четыре минимальных проверяющих те-
ста. Выбор того или иного из них может быть произведен с учетом
дополнительных факторов.
П4АНАЛИЗ ТАБЛИЦ ТЕСТОВ ДЛЯ ПОИСКА
НЕИСПРАВНОСТЕЙ
При решении задачи диагностики считаем, что в результате
контроля работоспособности установлено наличие в схеме неисправ-
ности (при этом предполагается, что эта неисправность принадле-
W

жит заданному перечню). Две 'Неисправности называем отличимыми
между собой, если в строках таблицы тестов, отвечающих этим
неисправностям, существует хотя бы одна пара клеток, которые
принадлежат одному и тому же столбцу и содержат неодинаковые
совокупности номеров входных наборов. В противном случае эти
неисправности будем называть неотличимыми между собой.
1. Рассмотрим решение задачи диагностики в случае, когда за-
дано допустимое множество входных наборов. Для этого определим
минимальное число узлов схемы, в которых контроль значений
функций позволяет установить вид неисправности в схеме (из чи-
сла неисправностей, обнаруживаемых на заданном допустимом мно-
жестве входных наборов), и построим для этих узлов минимальный
диагностический тест.
Допустим, что после вычеркивания из таблицы тестов номеров
входных наборов, не входящих в допустимое множество, и удале-
ния строк, все клетки которых оказались заполненными прочерка-
ми, в таблице тестов осталось h строк (h^q) и k столбцов.
Таким образом, если в результате контроля работоспособности
обнаружено, что в схеме существует одна из h неисправностей, то
наблюдение за некоторым i-м узлом позволяет разбить все мно-
жество неисправностей на непересекающиеся подмножества, такие,
что неисправности, принадлежащие одному и тому же подмноже-
ству в i-разбиении, неотличимы между собой на i-м узле ни на
одном наборе входных переменных (из допустимого множества).
Для целей анализа добавим в таблицу тестов нулевую строку,
содержащую во всех клетках прочерки, и будем считать, что она
соответствует некоторой неисправности, необнаруживаемой на допу-
стимом множестве входных наборов 1.
Определим i, у, ..., г-разбиение (i, /, ..., г£ К) следующим
образом: одному и тому же подмножеству в /, у, ..., /--разбиении
принадлежат те и только те элементы, которые в каждом из
i, у, ..., r-разбиений находятся в одном подмножестве. Справедливо
утверждение: неисправности, принадлежащие одному/ и тому же
подмножеству в /, у, ..., r-разбиении, неотличимы между собой
при наблюдении узлов i, у,..., г ни на одном входном наборе (из
допустимого множества). Отсюда следует, что некоторая s-я не-
исправность схемы (s£{l,..., к}) отличима от всех других только
в том случае, если существует разбиение, в котором s-я неисправ-
ность является единственным элементом подмножества в этом раз-
биении. Если такого разбиения не существует, то 5-я неисправность
не отличается по меньшей мере от одной другой неисправности.
Таким образом, задача определения минимального числа узлов
может быть сформулирована как задача о нахождении такого раз-
биения, содержащего минимальное число узлов, у которого все
отличимые между собой неисправности находятся в отдельных
подмножествах.
Следовательно, неисправности, принадлежащие одному и тому
же подмножеству, в 1, 2,..., &-разбиении неотличимы между собой
ни на каком наборе входных переменных (из допустимого множе-
ства) при наблюдении всех узлов схемы.
Исходя из этого, алгоритм нахождения минимальной совокуп-
ности узлов следует начинать с построения /-разбиений (у = 1, 2, ...
1 Если такой неисправности в перечне нет, то введем ее условно
в заданный перечень неисправностей.
§4

л., k), по которым строится 1, 2, ..., ^-разбиение. Эти операции
проводятся в том случае, если ни одно разбиение по одному узлу не
дало искомого результата. После этого в 1, 2,..., ^-разбиениях
символы неотличимых между собой неисправностей заменяются ка-
кими-либо новыми символами и последовательно строятся разбие-
ния^ по всем парам узлов, по всем тройкам узлов и т. д. до нахож-
дения минимального по числу узлов разбиения, в котором каждое
подмножество содержит только по одному элементу!.
Построим минимальный диагностический тест для минимальных
совокупностей узлов. Возьмем первую минимальную совокупность
узлов и найдем для каждой пары отличимых между собой неисправ-
ностей номера входных наборов, на которых рассматриваемые две
неисправности отличаются между собой. Номера входных наборов
берутся по всем узлам из рассматриваемой минимальной совокуп-
ности.
Образуя конъюнкцию из полученных выражений и раскрывая
скобки, получаем минимальный диагностический тест для рассмат-
риваемой минимальной совокупности узлов.
Рассмотрим в качестве примера таблицу тестов (табл. 30), по-
строенную для схемы рис. 15 при допустимом множестве входных
наборов {2, 3, 4, 5, 7}. По этой таблице построим следующие раз-
биения:
1-{0, 8, 10}, {1}, {3}, {5}, {7. 9};
2-{0, 8, 10}, {1}, {3}, {5}, {7, 9};
3 —{0, 5}, {1, 9}, {3, 7}, {8, 10}.
По этим разбиениям строим разбиение по всем узлам:
1, 2, 3-{0}, {1}, {3}, {5}, {7}, {8, 10}, {9}.
Отсюда следует, что неисправности 8 и 10 неотличимы между
собой при заданном допустимом множестве входных наборов ни
на одном узле. Обозначим эти две неисправности индексом 8' и
продолжим построение разбиений:
1,2-{0,8'}, {1}, {3}, {5}, {7, 9};
1,3 - {0},{1}, {3}, {5}, {7}, {8'}, {9};
2,3-{0}, {1}, {3},{5},{7}, {8'}, {9}.
Таким образом, минимальными совокупностями узлов являются
узлы II, 3 или 2, 3.
Построим минимальный диагностический тест для первой пары
узлов. Выпишем для всех пар отличимых между собой неисправно-
стей номера входных наборов, на которых отличается каждая из
этих пар (по всем узлам из рассматриваемой минимальной сово-
купности) :
1/3 —2V3V4\/5\/7;
1/5-3V4V5V7;
1/7 —2V3 \/5\/ 7;
1/8'-3\/4\/5\/7;
1/9-2V3V5V7;
1 Эти операции проводятся в том случае, если ни одно разбие-
ние по одному узлу не дало искомого результата.
5-52 05

3/5-2;
3/7 — 4;
3/8'-2V4V5;
3/9-2V3V4V7;
5/7 —2 V 4;
5/8'—4 V 5;
5/9-2V3V4V7;
7/8' —2 V 4 V'5;
7/9 — 2 V 3 V 7;
8'/9-2V3V4V5V7.
Перемножив эти выражения, получаем следующий минимальный
диагностический тест для этой пары узлов:
-2-4.
Аналогичной процедурой находим минимальные диагностические
тесты для узлов 2 и 3:3-5 \/ 7 • 4 \/ 7 • 2. Отсюда следует, что
в качестве минимального диагностического теста можно взять лю-
бой из приведенных тестов.
2. Рассмотрим решение задачи диагностики в случае, когда
задано множество доступных для контроля выходных полюсов и
внутренних узлов схемы. Для этого удалим из таблицы тестов
столбцы, отвечающие узлам схемы, не входящим в заданное мно-
жество. Оставшуюся таблицу анализируем методами, изложенными
в предыдущем параграфе.
Рассмотрим пример. Таблица 31 построена для схемы, изобра-
женной на рис. 9 при доступном множестве узлов {1, 3, 4}. Строка,
отвечающая седьмой неисправности, из таблицы удалена, поскольку
она содержит во всех клетках прочерки. Построим последовательно
разбиения по каждому одному узлу и по всем узлам:
1 _ {0}, {1, 6, 11}, {2}, {3, 10, 15}, {4, 5}, {8}, {9, 12, 14}, {13}
3 —{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, {10, 15}, {11}, {12, 14}, {13};
4 —{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, {14}, {15};
1, 3, 4, -{0}, {1, 6}, {2}, {3}, {4, 5}, {8}, {9}, {10},
{11}, {12}, {13}, {14}, {15}.
Из разбиения 1, 3, 4 следует, что пары неисправностей 1, 6 и 4, 5
между собой неотличимы ни на одном узле схемы (из заданного
множества доступных узлов). Обозначим их соответственно индек-
сами И' и 4' и построим разбиения по всем парам узлов:
1.3 -{0}, {1'}, {2}, {3}, {4'}, {8}, {9}, {10, 15},
{11}, {12, 14}, {13};
1.4 -{0}, {1', 11}, {2}, {3, 10}, {4'}, {8},
{9, 12}, {13}, {14}, {15};
3, 4 -{0, 1', 2, 3, 4', 8, 9}, {10}, {11}, {12}, {13}, {14}, {15}
60

Й ^аждом из этих разбиений не все отличимые между собой неис-
правности находятся в отдельных подмножествах. Поэтому мини-
мальная совокупность содержит узлы 1, 3, 4. Минимальный диаг-
ностический тест для этих узлов имеет вид:
0.1.2.3V0-1-2.7 VO-1-2-4 VO-2-3-5 VO-2.5-7 V0-2-4-5V0X
Х1-3-4\/0-Ь4.7 \/0-Ь4.6\/0-3.4.5\/0-4.5.7\/0-4.5.6.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
КОНТРОЛЬ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И ПОИСК НЕИСПРАВНОСТЕЙ В КОНЕЧНЫХ
АВТОМАТАХ
12. КОНТРОЛЬ «ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОГО» КЛАССА АВТОМАТОВ
Построение тестов для многотактных релейных устройств (ко-
нечных автоматов с памятью) базируется на основных положениях
теории экспериментов1 над автоматами. Основные положения тео-
рии экспериментов изложены в [Л. 11, 12], где указывается на воз-
можность использования этой теории для целей контроля. Дальней-
шее развитие эти идеи получили в [Л. 13].
Постановка задачи контроля автоматов, изложенная в работе
[Л. 13], аналогична постановке, изложенной в гл. 1 и 2.
Дан автомат М0, подлежащий проверке. Предполагается, что
для автомата М0 задан перечень неисправностей, причем, естествен-
но, рассматриваются только те неисправности, которые изменяют
таблицу переходов исправного автомата. Каждый автомат, получив-
шийся в результате неисправности, рассматривается как новый авто-
мат. Таким образом, какова бы ни была неисправность из задан-
ного перечня, ей всегда будет соответствовать автомат из класса2
автоматов, включающего исправный автомат3 и все автоматы, полу-
чившиеся в результате неисправности исходного. Задача состоит
в том, чтобы с помощью экспериментов над автоматом определить,
какому автомату из заданного класса соответствует проверяемый
автомат. Эта задача называется задачей идентификации (опозна-
вания) автомата.
Отметим ряд условий, которые должны соблюдаться, чтобы
поставленная задача была разрешима, и которые далеко не всегда
соблюдаются в реальных автоматах. Основное ограничение сформу-
лируем в виде теоремы.
1 Экспериментом над автоматом называется подача входных по-
следовательностей на вход автомата, наблюдение соответствующих
им выходных последовательностей и выводы, которые делаются на
основании этих наблюдений.
2 Под классом понимается множество сравнимых (одинаковые
входные алфавиты) минимальных автоматов, среди которых нет ни
одной пары эквивалентных (см. стр. 68) автоматов.
3 В тех случаях, когда заранее известно, что автомат неиспра-
вен, исправный автомат не включается в рассматриваемый класс.
5* 67

Если известно что данный автомат М принадлежит к конечному
классу автоматов %R={Mi, М2, М^}, то для идентификации/ М
необходимо и достаточно, чтобы класс 9Л являлся исключительным
Исключительный класс, определяется как класс автоматов {М,,
М2, MN}, в котором ни в каком автомате Mi £ Ш не существует
ни одного состояния эквивалентного1 состоянию в автомате М;£ ffl
Если ^Jl = {Mlt М2, MN} является конечным классом сильно
связанных автоматов2, в котором не содержится эквивалентных авто-
матов3, то этот класс является исключительным [Л. 13].
Введем ряд понятий и определений, которые будут использо-
ваться ниже при рассмотрении методики опознания автомата:
1. Состояния о*г и Oj называются одноэквивалентными, если
при любом входном символе из входного алфавита, приложенном
к автомату в состоянии Gi или Gj, автомат выдает один и тот же
выходной символ.
2. Расщепляемым автоматом Д(МЬ М2,..., MN) называется
автомат, составленный из автоматов Mi, М2,..., MN\ где N — число
автоматов, между которыми нет связи.
Таблица переходов такого расщепляемого автомата образуется
путем записи одна под другой таблиц переходов автоматов Мь
М2,..., Мя, причем необходимо следить за тем, чтобы обозначения
различных состояний не совпадали.
3. Установочным экспериментом называется эксперимент, после
проведения которого над минимальным автоматом, находящимся
в неизвестном начальном состоянии, по выходной последовательно-
сти можно точно определить, в каком состоянии находится автомат
после проведения эксперимента (предполагается, что таблица пере-
ходов автомата известна).
4. Регулярным установочным экспериментом называется уста-
новочный эксперимент, который строится таким способом, при ко-
тором не гарантируется получение минимальной длины эксперимен-
та (длина эксперимента — число символов входной последователь-
ности).
5. Разветвленным называется эксперимент, в котором входная
последовательность (исключая первую) определяется по реакции
автомата на предыдущие последовательности и составляется из
двух или больше подпоследовательностей.
1 Состояния Gi автомата Мх и состояние o*j автомата М2 экви-
валентны, если при подаче на автоматы Mi/o*2- и М2/о*7- (Mh/Oi
означает, что автомат Mk «находится в состоянии Oi) любой входной
последовательности оба автомата выдают одинаковые выходные по-
следовательности. Это же определение будет справедливо- и для
одного автомата, если М2 заменить на Mi.
2 Автомат М, имеющий п состояний {<Хь о~2, ..., сгп}, называется
сильносвязанным, если существует входная последовательность, ко-
торая переводит автомат М из любого данного состояния оч в лю-
бое заданное состояние Gj (где / может равняться i).
3 Автомат Mi эквивалентен автомату М2, если каждому состоя-
нию Gi автомата Mi соответствует по крайней мере одно состояние
автомата М2, эквивалентное состоянию о**, и наоборот.
классом.
68

6. Минимальной диагностической последовательностью называет-
ся входная последовательность минимальной длины, при подаче
Которой на автомат, находящийся в состоянии о* или а;-, автомат
выдает различные выходные последовательности в зависимости от
того, в каком из двух состояний он находился перед подачей вход-
ной последовательности.
7. Таблица переходов автомата состоит из двух иодтаблиц—под-
таблицы zv и подтаблицы sv_j_j. Строки в таблице переходов обо-
значены символами состояний olf о2, оп (крайний левый столбец).
Столбцы каждой подтаблицы обозначены входными символами glt
62» •••» 6р. В клетке подтаблицы zv> расположенной на пересечении
строки си и столбца помещается выходной символ который
появляется на выходе автомата, находящегося в состоянии с* в момент
подачи символа £j. В клетке подтаблицы sv_^]t расположенной на пе-
ресечении строки at и столбца , помещается символ состояния ск,
в которое переходит автомат, находящийся в состоянии ог в момент
подачи символа Sj.
8. Таблица Рг строится по таблице переходов автомата. В таб-
лице переходов изменяется порядок строк таким образом, чтобы
строки, идентичные в подтаблице zv, были записаны подряд одна за
другой (такие строки называются смежными). Из таблицы переходов
вычеркивается подтаблица ^, слева добавляется столбец S, в кото-
ром для каждой группы смежных строк записывается индекс этой
группы.. Кроме того, в клетках подтаблицы s,v_|_1 каждому состоянию
приписывается индекс группы, к которой принадлежит данное состо-
яние. Строки, принадлежащие группам с различными индексами, на-
зываются разобщенными.
Таблица Pu + i строится из таблицы Ph(k^\) по следующим
правилам.
Пара смежных строк в таблице имеющая одинаковые ин-
дексы при обозначениях состояний во всех столбцах, образует-
смежные строки в таблице P/t+i. В противном случае эта пара
строк образует в таблице Pk+i разобщенные строки.
Разобщенные строки в таблице Рк являются разобщенными и
в таблице Рк+\- Группа, состоящая из одной строки в состоит
из одной строки в Pk+\. Маркировка групп и состояний индексами
групп производится в каждой следующей таблице заново.
9. Алгоритм определения минимальной диагностической последо-
вательности, различающей два состояния Gi и а3- автомата М:
1) Построить Рк таблицы для М. Найти номер 1Рь таблицы,
для которого строки ог-о и <SjQ являются смежными в таблице Pi-i
и разобщенными в таблице Pt. Пусть k= 1 (k — номер шага).
2а) Если /—&>0, перейти к пункту 3. 26) Если / — к = 0, то
в качестве входного символа f*Mfe взять любой символ, обозначающий
столбец в подтаблице zv автомата М, в котором строки aift_1 и Vjk_1
различаются в этом столбце. £„2, SUft являются минимальной
диагностической последовательностью для {0io, <*jQ}.
3. В качестве входного символа %UJt взять любой символ, обо-
значающий столбец в таблице Pi-и автомата М, в котором в стро-
ках <5ik_1 и Gjfc.j клетки (sih и (5jk имеют различные индексы. Уве-
личить k на 1 и перейти к п. 2.
69

Рассмотрим теперь метод определения неисправности на при-
мере автомата М, таблица переходов которого представлена
табл. 32а. Пусть известно, что автомат неисправен и в нем имеется
одна из трех возможных 'неисправностей. Неисправности состоя!
в том, что при подаче входного символа а вместо выходного сим-
вола 0 (пуль), выдается символ 1 (единица), при неисправности
№ 1 единица появляется вместо нуля при переходе автомата из со-
стояния 2 в состояние 3, при неисправности № 2 — из состояния
3 в состояние 4, при неисправности № 3 — из состояния 4 в состоя-
ние П. Эти неисправности преобразуют автомат М соответственно
в автоматы М', М"\ М"' (см. табл. 326, 32в, 32г автоматов ЛГ,
М", АГ").
Таблица 32а
Автомат М
Таблица 326
Автомат М'
2v
5v
+ 1
+ 1
x
v
л
v
а
р
а
Р
а
Р
а
Р
1
1
0
2
4
г
1
0
2'
4'
2
0
1
со
1
2'
1
1
3'
1'
3
0
0
4
2
3'
0
0
4'
2'
4
0
1
1
со
4'
0
1
1'
3'
Таблица 32в
Автомат Ж"
Таблица 32г
Автомат М'"
+ 1
sv + 1
2"
3"
4"
4"
1"
2"
3"
1'"
2"'
3'"
щ"
1"'
|2"'
| 3'"
Предположим, что экспериментатору заранее известно, что ав-
томат М неисправен. Требуется путем проведения экспериментов
над данным автоматом опознать автомат, т. е. определить, является
ли исследуемый автомат автоматом М\ М" или М'".
Для решения этой задачи выполним следующую последователь-
ность действий:
1. Проверим, составляют ли автоматы М\ М" и М!" исключи-
тельный класс.
а) Если автоматы ЛГ, М" и ЛГ" не составляют исключительного
класса, то в этом случае с помощью экспериментов не всегда можно
опознать автомат.
70

б) Если автоматы М\ М" и М'" составляют исключительный
класс, то переходим к п. 2.
2а) Предполагая, что в нашем распоряжении находится авто-
мат ЛИ, с помощью установочного эксперимента переводим его
в известное состояние, например о'*.
26) Предполагая теперь, что в нашем распоряжении находится
автомат М", продолжаем эксперимент с исследуемым автоматом и
с помощью установочного эксперимента переводим его в известное
состояние, например a"j, учитывая, что при этом автомат М' пере-
шел бы в другое состояние из а'*, например в g'i.
2в) Далее, предполагая, что в нашем распоряжении находится
автомат М"\ продолжаем эксперимент и с помощью установочного
эксперимента переводим автомат в известное состояние, например
а"'ь, учитывая, что при этом М' перешел бы, например, в сг'р,
аГ-в a'V
Заметим, что для минимального автомата установочный экспе-
римент всегда существует. После проведения эксперимента над авто-
матом в соответствии с п. 2 можно сделать заключение, что в на-
шем распоряжении находится или М' в состоянии а'р, или М."
в состоянии o"q, или М'" в состоянии o"'k.
3. Предполагаем теперь, что в нашем распоряжении находится
расщепляемый автомат Л(АГ, М", М"') в состоянии о'р, или о%,
или o"'k\ переводим автомат Д(АГ, М'\ М"г) при помощи устано-
вочного эксперимента в известное состояние. Зная, какому автомату
из М\ М" или М'" принадлежит это последнее состояние, опреде-
ляем, какой автомат находится в нашем распоряжении, т. е. опреде-
ляем неисправность.
Проследим описанную последовательность действий на примере
автомата М.
Пункт 1. Определим эквивалентные состояния расщепляемого
автомата Д(ЛР, М", М"'). Если окажется, что ни для одного авто-
мата из множества {М\ М", М'"} не существует эквивалентного со-
стояния в другом автомате из это-
го же множества, то автоматы
М', М", М'" составляют исключи-
тельный класс. Определение экви-
валентных состояний проведем
методом таблиц пар состояний
(табл. 33).
По этому методу в первом
столбце таблицы, озаглавленном
«пары», выписываются символы
всех возможных пар одноэквива-
лентных состояний (в каждой
строке — пара), в столбце, оза-
главленном а((3), выписываются
пары состояний, в которые соот-
ветственно переходит пара, нахо-
дящаяся в крайнем левом столбце
данной строки при подаче на
автомат входного символа а((3).
Затем просматриваются столбцы
а и (3.
В каждой строке пара состоя-
ний в столбце «пары» выделяется
Таблица 33
Таблица пар для А (М'у
Пары
a
р
1', 1"
2'
, 2"
4',
А"
1', S"
2'
, 4"
4',
2"
1', 1"'
2'
, 2"'
4',
со
2"
, 4"
4".
2"
1", V"
2"
, 2'"
А",
А'"
3", V"
\"
, 2"'
2",
2', 4"'
3'
Г"
Г,
3"'
3', 3"'
4'
А'"
2',
2"'
4', 2"
1'
3"'
3',
1"
4', 4"
4', 2"'
Г
. 1"
3',
3"
Г
, 3"'
3',
1"
2", А"
3"
1"
1",
3"
2", 2"'
3"
3"'
1",
1"'
4", 2'"
1"
3"'
3",
1"'
7)

Автомат А (ЛГ', ЛГ',
ЛГ")
Таблица 34 жирным шрифтом, если в столбце а
или р данной строки имеется пара сим-
волов состояний, или вообще не содер-
жащаяся в столбце «пары», или выде-
ленная жирным шрифтом в этом столбце.
Просмотр столбцов аир повторя-
ется до тех пор, пока оказывается, что
больше в столбце «пары» нельзя выде-
лить ни одной новой пары.
Невыделенные пары представляют
собой пары эквивалентных состояний.
В примере такими парами оказались
пары 1" и 3" и 2", 4", которые принад-
лежат одному и тому же автомату. Это
значит, что автомат неминимальный и
после минимизации может быть изобра-
жен графом рис. 16. Таким образом,
проверка показала, что автоматы ЛГ,
М", ЛГ" в своих минимальных формах
составляют исключительный класс авто-
матов. Таблица переходов и граф пере-
ходов автомата Д(ЛГ, ЛГЛГ") соответ-
ственно представлены в табл. 34 и на рис. 16.
Для лучшего понимания процесса опознавания автомата в со-
ответствии с пп. 2 и 3 предположим, что автомат М находится
в начальном состоянии 2 и существующая в нем неисправность
2
v
5v
+ 1
X
v
а
р
а
Р
г
1
0
2'
4'
2'
1
1
3'
Г
3'
0
0
4'
2'
4'
0
1
1'
3'
1"
1
0
2"
•2"
2"
0
1
1"
Г'
1'"
1
0
2'"
2"'
0
1
3'"
1"'
0
0
4"'
2'"
4"/
1
1
1"'
3"'
состоит в том, что при подаче входного символа а, когда автомат
находится в состоянии 4, выдается выходной символ 1. Следова-
тельно, в действительности в нашем распоряжении находится авто-
мат ЛГ" в состоянии 2"'. Об этом экспериментатору, конечно, не-
известно до проведения эксперимента, но эти сведения .необходимы,
чтобы правильно определять выходные символы автомата. (В дей-
ствительности выходные символы при проведении эксперимента опре-
деляются измерением.) Поведение автомата при принятом предполо-
жении под воздействием эксперимента, который будет построен, опи-
сывается табл. 35.
72

Таблица 35
Эксперимент для М, определяющий
неисправность
Фактиче-
ское со-
стояние
К
Реак-
ция
Установочный эксперимент для М и
{l'.2't
3'. 4'}
2"'
0
{V, 2', 3', А'}
1', 2'
Р
1
V"
1
{У. 3'}
Г, 3'
a
1
2'"
2
Эксперимент для М'
' и {1'
, 2"}
to
0
{1", 2"}
2",
Г'
a
0
со
1
{1-}
Установочный эксперимент для М"'
и
* 2"',
3"'
0
{1"', 2'", 3"',
А'"}
2'",
V"
a
0
А'"
1
{3"', А'"}
3'"'
a
1
Г"
2
О'"}
Установочный эксперимент для А (М', М,г
и {l'f 1", 1"'}
V"
0
{1', 1", 1"'}
1'. 1"
a a
10
со
1
{V, 3"'}
1"
a
0
4'"
2
{4"'}
Столбец «фактическое состояние» в табл. 3-4 показывает по-
следовательность перехода испытуемого автомата из состояния в со-
стояние в процессе проведения эксперимента и служит просто для
пояснения (фактически эти данные экспериментатору также неиз-
вестны до проведения эксперимента).
Пункт 2. а) Проводим регулярный разветвленный установочный
эксперимент с автоматом Мг в предположении, что для него мно-
жеством допустимых начальных состояний является множество 1',
2' 3', 4', т. е. множество всех состояний. Для этого, используя
73

Ph таблицы, находим (см. стр. 69) минимальную диагностическую
последовательность, различающую два произвольных состояния, на-
пример <Г и 2'.
В нашем примере минимальной последовательностью является
Р, т. е. один входной символ (это можно проверить по графу авто-
мата ЛГ). Действительно, при подаче входного символа р на ЛГ,
находящийся в состоянии 1', автомат выдает символ 0 (нуль), а при
подаче ip на ЛГ, находящийся в состоянии 2', автомат выдает
символ 1; значит, эти два состояния можно отличить одно от дру-
гого по выходному символу, подав на вход р. Однако по условию
задачи автомат ЛГ может находиться в любом из четырех состояний
И, 2', 3', 4'. Это значит, что поскольку при подаче р получается
(при эксперименте с реальным автоматом — в результате измерения,
при рассмотрении примера — в результате условия, что начальное
состояние известно) выходной символ 1, то из таблицы переходов
ЛГ следует, что если исследуемый автомат ЛГ, то он находился
в состоянии 2' или 4' и перешел в состояние Г или 3', что записано
во второй строке столбца qu. Теперь необходимо различить только
состояния Г или 3'. Минимальной последовательностью, различаю-
щей Г и 3', является <х. Поскольку реакции автомата на а
равна II, то, следовательно, автомат находился в состоянии V (если
этот автомат ЛГ) и теперь перешел в состояние 2\ т. е. в известное
для экспериментатора состояние. Таким образом, установлено, что
если наш автомат является автоматом ЛГ, то он после подачи по-
следовательности ра находится в состоянии 2'.
б) Проводим аналогичный эксперимент в предположении, что
испытуемый автомат является автоматом ЛГ7. Получим, что на
него необходимо подать входную последовательность а и его конеч-
ное состояние после эксперимента будет 1".
в) Для автомата ЛГ" надо подать аа, и после проведения
эксперимента получим конечное состояние Г"
После третьего эксперимента можно сказать, что испытуемым
автоматом может быть автомат ЛГ в состоянии Г (ааа переводит
2' в 1Г) или автомат М" в состоянии 1" (аа переводит V в 1"),
или автомат ЛГ" в состоянии 1"'.
Пункт 3. Теперь, применяя регулярный установочный экспери-
мент к Л(ЛГ, ЛГ', ЛГ") при допустимом множестве начальных со-
стояний (К, 4", Г"), определим (см. табл. 35), что автомат пере-
шел в конечное состояние 4'". Поскольку состояние 4'" принадлежит
автомату ЛР", то можно заключить, что в нашем распоряжении
находится автомат ЛГ", т. е. неисправность определена.
Очевидно, далеко не все реальные автоматы удовлетворяют
условиям, при которых описанная методика позволяет опознать
автомат. Не все реальные автоматы минимальны. Часто сильно-
связанный автомат в результате неисправности перестает быть силь-
носвязанным. И, наконец, может оказаться, что автоматы, соот-
ветствующие различным неисправностям, эквивалентны. Тем не ме-
нее желательно эти неисправности различать между собой.
В связи с вышеизложенным представляет интерес решение за-
дачи диагностики автомата при отсутствии указанных выше огра-
ничений, т. е. когда класс неисправных автоматов не является ис-
ключительным, исправный автомат неминимальный, а эквивалентные
автоматы соответствуют различным неисправностям и должны быть
отличимы. Эту задачу можно решить при помощи модификации
теории экспериментов [Л. 18].
74

13. КОНТРОЛЬ КЛАССА НЕСОВМЕСТИМЫХ АВТОМАТОВ
Пусть заданы (например, диаграммой переходов) полностью
определенный автомат М0 и множество из п его возможных устой-
чивых 'неисправностей. Для каждой неисправности построим соответ-
ствующие им автоматы Мь ..., Мп, которые назовем неисправными
модификациями автомата М0.
Обозначим множество из Si состояниий1 автомата Mi через fflit
п
/ = 0,1,..., п. Объединение $R = (J Ш % дает множество {1, s}
всех различных состояний автоматов М0, Mv ...,Мп. Состояния авто-
матов будем обозначать символами о^-, о*j £ (/=1. s)- Может
оказаться, что состояния air£gftj и Vjt£fflj представляют собой один
и тот же элемент из ffi. В этом случае состояния oir и будем
называть одноименными.
Два автомата называются совместимыми но состояниям и пере-
ходам тогда и только тогда, когда для каждого состояния одного
автомата найдется одноименное состояние в другом автомате и
наоборот и если автоматы из одноименных состояний при подаче
любого входного символа переходят снова в одноименные состояния
и при этом выдают одинаковые выходные символы.
Неисправность называется существенной, если соответствующий
ей автомат несовместим с М0. Две неисправности называются отли-
чимыми (неотличимыми одна от другой), если соответствующие
им автоматы несовместимы (совместимы) друг с другом.
Введем три операции над автоматами:
Ai—установить автомат в состояние i\
Bi — проверить, находится ли автомат в состоянии /;
— подать на автомат входной символ ap (ар £ {<Xj,. .., ak}) и оп-
ределить его выходной символ,
где {ai,..., ак} — множество входных символов автомата.
Последовательность таких операций назовем опытом над авто-
матом, число операций в опыте — длиной опыта N. Задачу мини-
мизации тестов (диагностики) можно сформулировать теперь как
задачу определения опыта минимальной длины, позволяющего уста-
новить отсутствие в автомате неисправностей (или вид неисправно-
сти в автомате) из заданного перечня.
Пусть исследуется автомат М, о котором известно, что он при-
надлежит множеству {М0, Ми ..Мп].
Теорема 1. Существует опыт длины N ^ s[&(s+2)+ 1], при по-
мощи которого можно построить диаграмму переходов автома-
та М *.
Доказательство. Применим к автомату М *s опытов вида
(AfBi-CbBi... В.) (Л,.С"« Blm.. В8) . . . (А{ .С"ь В,... £.), где
/=1,..м 5. Опыт, описанный в первой скобке, устанавливает на-
личие в автомате М * состояния i и, кроме того, указывает, в какое
состояние и с каким выходным символом идет переход из состоя-
ния i при подаче входного символа ai. Если состояние i в автома-
те М * существует, то опытом, описанным во второй скобке, он
устанавливается опять в это же состояние и определяется переход
1 Под состоянием понимается внутреннее состояние автомата, характе-
ризуемое комбинацией состояний элементов памяти.
75

при подаче входного символа а2 и т. д. Если же состояния i в авто-
мате нет, то увеличиваем i на 1 и повторяем тот же опыт. Число
операций в каждом таком опыте равно (s+2)k +1. Отсюда общая
длина опыта N ^.s[k(s+2) + 1]. Теорема доказана.
Диаграмма переходов автомата М *, полученная в результате
такого построения совпадет с какой-либо диаграммой переходов
из {Mq, Ми ..., Мп). Тем самым таким опытом решается сразу как
задача контроля работоспособности, так и задача,поиска неисправ-
ностей.
Теорема 2. Для того чтобы существовал опыт длины N ^ 3,
исход которого позволяет отличить два автомата, необходимо и до-
статочно, чтобы эти автоматы были несовместимы.
Доказательство. Допустим, что автоматы Мг- и Mj совместимы.
Тогда любая последовательность переходов и соответствующая ей
последовательность выходов, имеющаяся в автомате Mi, существует
и в автомате Mj. Следовательно, какая бы ни была последователь-
ность операций, проведенных над автоматом, по последовательности
переходов и выходов невозможно отличить автомат Mi от Mj. Не-
обходимость доказана.
Рассмотрим два случая:
'1. Два автомата имеют разное число состояний. Поскольку
ни в одном автомате не может быть двух одинаковых состояний
(обозначенных одним и тем же символом), одноименных одному
и тому же состоянию в другом автомате, а число состояний различ-
но, то в одном из автоматов обязательно существует состояние,
которого нет в другом, например oik. Тогда, применяя опыт Ak*Bh
длины 2, можно различить эти автоматы.
2. Два автомата имеют одинаковое число состояний.
а) Существует по крайней мере одно состояние в каждом авто-
мате, для которого нет одноименного состояния в другом автомате.
Пусть этим состоянием будет Oik- Тогда опыт типа AkBk длины
2 различит два автомата.
б) Каждому состоянию автомата Мг- соответствует одноименное
состояние в Mj и наоборот. Поскольку автоматы несовместимы, су-
ществует по крайней мере одна пара одноименных состояний
(aVH °Jfe) для К0Т0РЫХ найдется входной символ ар, при котором
Mi/o*ir и Mj/<3jk выдают разные выходные символы или существует
входной символ а/, переводящий автоматы из этих состояний в раз-
ноименные, например в aip и ajq. Следовательно, существует опыт
АС*1 Вр или AC*1 Bq длины 3 или AC*V длины 2, различающий
два автомата.
Таким образом, достаточность доказана.
Следствие 1.
Отсутствие в автомате М * неисправностей из заданного перечня
{1,..., п) можно установить опытом длины N <; 3/2.
Следствие 2. Опыт, идентифицирующий автомат М* с каким-либо
автоматом из {Мх, .... Мп} (М* £ {Mv Mn})t имеет длину
Зп (/1—1)
* MiJGir обозначает, что автомат Mi находится в состоянии сг*г<
76

Пример. На рис. 17 приведены диаграммы переходов исправ-
ного двухразрядного двоичного счетчика с последовательным пере-
носом на триггерах и таблица размещения состояний. Определим
перечень возможных неисправностей в счетчике следующим обра-
зом:
а) Одновременно возможна неисправность только одного триг-
гера.
б) Неисправность каждого триггера выражается в том, что он
всегда находится в одном из устойчивых состояний. В соответствии
— Выход
Состс
тригг
Тр1
)яние
еров
Тр2
Состо-
яния
О
0
©
1
О
©
О
1
©
1
1
©
Диаграммы переходов неисправных автоматов
W \Jf/o \Ji/o \Ji/o
б) Автомат Mf б) Автомат М2
)1/0 \Jf/o
г) А 6т о мат М3 д) Автомат
Рис. 17.
с этим (рис. 17,6, в, г, д) автомат Mi является модификацией Мо,
когда триггер Тр\ неисправен и находится в состоянии О, М2 — то
же в состоянии 1, М3 — неисправный триггер Тр2 находится в со-
стоянии 0, и М4 — то же в состоянии 1. %
Для контроля работоспособности выпишем выражения для
опытов, отличающих соответственно автоматы:
1) {М0, Мг} - А2В2 V ДА V Л4С*;
2) {М0, М2] — А,В,\/ А3В3 \/ А^С1;
3) {Мо, М3}-А3В3\/ A4BA\J Л4С
4) {Мо, М4) - АгВх V А2В2 V А4С\
Минимальным по длине является опыт ААС\ Для решения задачи
поиска неисправностей выпишем выражения опытов, отличающие:
автомат Мх от автоматов М2, М3 и М4 (или наоборот)
{АХВХ V ^В3 V А2В2 \/ Л4£4).(Л3В3 V Л252).(Л1В1 v АА);
автомат М2 от автоматов М3 и МА
(Л4я4улАИЛ£2 УА3В3);
автомат М3 от автомата М4
(A\Bl V АгВ2 V А3Вг \/ Л4В4),
77

Образуя из полученных выражений конъюнкцию, раскрывая
скобки и производя упрощения, не затрагивающие состав и поря-
док символов в выражениях для отдельных опытов, получим все
возможные совокупности опытов, позволяющие решить задачу
диагностики. Минимальными совокупностями опытов являются, на-
пример, {AiBi) • (АгВ3) или (AiBi) • (А2В2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Котельников В. А., Теория потенциальной помехоустой-
чивости, Госэнергоиздат, 1956.
2. Н о в и к о в П. С, Элементы математической логики, Физ-
матгиз, 1959.
3. К о л д у э л л С, Логический синтез релейных устройств,
Изд-во иностранной литературы, 1962.
4. Яблонский С. В., Функциональные построения в &-знач-
ной логике, Труды Математического ин-та им. В. А. Стаклова, т. 51,
Изд-во АН СССР, 1958.
5. Ч е г и с И. А. и Яблонский С. В., Логические способы
контроля работы электрических схем, Труды Математического ин-
ститута им. В. А. Стеклова, т. 51, Изд-во АН СССР, 1958.
6. McCluckey, Minimisation of Boolean Function, Bell Syst.
Journ., 1956, v. 35, № 6.
7. Синдеев И. M., К вопросу о синтезе логических схем
для поиска неисправностей и контроля состояния сложных систем,
Известия АН СССР, ОТН, Техническая кибернетика, 1963, № 2.
8. Brule J. D., Johnson R. A. Kletsky E. J., Diagnosis
of Equipment Failures, IRE Trans., April 1960. PRQC-9, № '1.
9. Коган И. В., О тестах для бесповторных контактных схем,
Проблемы кибернетики, изд-во «Наука», 1964, вып. 12.
110. Яглом А. М. и Яглом И. М., Вероятность и информа-
ция, Физматгиз, 1960.
11. Мур Э. Ф., сб. «Автоматы», под ред. К. Э. Шеннона и
Дж. Маккарти, Изд-во иностранной литературы, 1956.
12. Гинзбург С. А. Кибернетический сборник, вып. 3, 1961.
13. Гил л А., Введение в теорию конечных автоматов, Физмат-
гиз, 1966.
14. С о г о м о н я н Е. С, Контроль работоспособности и поиск
неисправностей в функционально связанных системах, «Автоматика
и телемеханика», 1964, т. XXV, № 6.
15. Карибский В. В., Анализ систем для целей контроля
работоспособности и диагностики неисправностей, «Автоматика и
телемеханика», 1965, т. XXVI, № 2.
116. К а р и б с к и й В. В., Пархоменко П. П., Согомо-
н я н Е. С, Техническая диагностика комбинационных устройств,
сб. «Абстрактная и структурная теория релейных устройств», изд-во
«Наука», 1966.
17. Со гомон ян Е. С, Вопросы анализа комбинационных
многополюсников для целей контроля работоспособности и поиска
неисправностей, сб. «Абстрактная и структурная теория релейных
устройств, изд-во «Наука», 1966.
18. Карибский В. В., Пархоменко П. П., С о г о м о-
н я н Е. С, Вопросы контроля работоспособности и поиска неисправ-
ностей в конечных автоматах, ДАН, т. 161, 1965, № \,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава первая. Техническая диагностика непрерывных объ-
ектов 6
1. Логическая модель объекта 6
2. Определение минимальной совокупности выходов бло-
ков для контроля работоспособности
3. Поиск неисправностей 13
4. Функциональная модель объекта 16
5. Минимизация числа выходов в объектах с обратными
и без обратных связей 17
Глава вторая. Техническая диагностика комбинационных
устройств 21
6. Минимальные совокупности 21
7. Минимизированные совокупности 32
8. Условные диагностические совокупности .... 41
9. Построение таблицы тестов 52 .
а) Метод построения таблицы тестов для блочных
схем общего вида 53
б) Метод построения таблиц тестов для ориентирован-
ных блочных схем без петель 57
10. Анализ таблиц тестов для контроля работоспособно-
сти , 60
11. Анализ таблиц тестов для поиска неисправностей . 63
Глава третья. Контроль работоспособности и поиск не-
исправностей в конечных автоматах 67
12. Контроль «исключительного» класса автоматов . . 67
13. Контроль класса несовместимых автоматов ... 75
Литература 78

БИБЛИОТЕКА ПО АВТОМАТИКЕ
Готовятся к печати
Лранчий Г. А., Жемеров Г. Г. и Эпштейн Й. И., Тиристорные пре-
образователи частоты для регулируемых электроприводов.
Бамдас А. М., Шапиро С. В. и Давыдова Л. И., Ферромагнитные
делители частоты.
Видинеев Ю. Д., Автоматическое непрерывное дозирование жидко-
стей.
Гинзбург С. А.г Математическая непрерывная логика и изображение
функций.
Гринберг Л. С, Многообмоточные потенциометры.
Давидов П. Д., Аналитический расчет импульсных тепловых режи-
мов полупроводниковых приборов.
Жовинский В. П., Генерирование шумов для исследования автома-
тических систем.
Иконников С. И., Испытания магнитных элементов и автоматиче-
ских устройств.
Исмаилов Ш. Ю., Автоматические системы и приборы с шаговыми
двигателями.
Каган В. Г., Кочубиевский Ф. Д., Шугрин В. М., Нелинейные си-
стемы с тиристорами (Электроприводы с полупроводниковым
управлением).
Комолое В. П. и др., Параметроны в цифровых устройствах.
Корытин А. М. и др., Синхронные приводы с полупроводниковым
управлением.
Куликовский К. Л., Электрометрические преобразователи напряже-
ния.
Лебедев М. Д., Состояние и развитие автоматических систем кон-
троля.
Лемберг М. Д., Релейные системы пневмоавтоматики.
Ловушкин В. Н., Транзисторные преобразователи постоянного на-
пряжения.
Любчик М. А., Силовые электромагниты аппаратов и устройств
автоматики постоянного тока.
Меджицкий Е., Операционные усилители постоянного тока.
Сафрошкин Ю. В., Переходные характеристики и устойчивость ста-
билизаторов напряжения и тока.
Стопский С. В., Счетчики числа импульсов.
Страхов В. П., Методы фазовой плоскости в теории цифровых сле-
дящих систем.
Ястребенецкий М. А. и Соляник Б. Л., Определение надежности
аппаратуры промышленной автоматики.