Actualites Scientifiquesct Industrielles
Exposes de Geometrie
Publies sous la direction de
M. E. Carton
Membre de Vlnstitut
Professeur a la Sorbonne
IX, XI
LEMONS
sur
LA THEORIE DES SPINEURS
EUECAJtfAN
ANDRE MERCIEK
Dockm 4» Science»
199»

Э. Картон
Теория
спиноров
Перевод с французского
под редакцией
профессора
П.А.Широкова
ЯЛА ТОН
1997

Э. Картан
Теория спиноров
Научное издание
Лицензия Л Р №024851 от 17.07.93 г.
Подписано к печати 05.09.97 г. Формат 60x88/16
Печ. п. 14 Заказ Nil 560.
Издательство "ПЛАТОН"
400062, г.Волгопрад, ул.Кирова, 71/15
ISBN 5-80100-256-1
© Э. Картан
©«ПЛАТОН», 1997

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Автор издаваемых в русском переводе лекций по теоргя
спиноров1) Э. Картан является творцом общей теории спиноров,
основы которой он опубликовал в 1913 г. в своем классическом
исследовании по теории представлений простых групп2). Теории
спиноров — это один из наиболее интересных отделов
тензорного исчисления, дающий глубокий анализ природы тензоров
метрической геометрии. Книга Картана — первая в мировой
литературе, излагающая общую теорию спиноров м-мериых
пространств. Написана она элементарно: благодаря тому, что автор
базируется в своем изложении на геометрических представлениях
и пользуется при исследовании ортогональных групп методом
бесконечно малых преобразований, его изложение отличается
значительной простотой и наглядностью. Поэтому эта книга
вполне доступна для аспирантов и студентов старших курсов
физико-математических факультетов университетов"). Благодаря
богатству содержащихся в ней идей и методов исследования
она значительно расширяет кругозор начинающего математика
и является прекрасным введением в общую теорию линейных
представлений групп Ли. В то же время она будет полезна
и для физиков-теоретиков, желающих углубить свои знании
в области теории спиноров.
П. Широков
') Е. С а г (;i п, Lecons sur la thiorie dts spineurs (Actualitea
scicntifiqucs ct indnstrielles, 643. 701), Paris, 1938.
2) E. С а г I a n, Les groupes project ifs qui ne lalssent invarlante aucune
multiplidti plane (Bull. Soc. Math, de France, 41, 1913, стр. 53 — 96).
3) Хорошим пособием при изучении книги Картана может служить
Пауэр Введение в теорию ivvnn и ее приложения в квантовой
ф'отИ 1937. ' с

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В квантоМЙ «шинке фнэнкамн было введено понятие
о спиноре. В наиболее общей математической форме спиноры
были открыты автором этой книги в 1913 г. в свяэн с
исследованием линейных представлений простых групп1). Спиноры
дают линейное представление -группы вращений
пространства л измерений, причем каждый спинор определяется при
помощи 2\ составляющих (л = 2v-(-1 или 2>). Спиноры
четырехмерного пространства входят в знаменитые уравнения
Дирака для электрона, причем четыре волновые функции
являются не чем иным, как составляющими спинора. Было
опубликовано очень много исследований по общей теории спиноров.
Герман Вейль и Рихард Брауер недавно опубликовали
прекрасный мемуар*), который можно рассматривать как основной,
хотя многие из полученных результатов были очень кратко
указаны в упомянутом выше исследовании. О. Веблен дал очень
интересное исследование спиноров с другой точки зрения в
неопубликованном курсе, прочитанном в Прннстонском
университете. Но почти во всех работах спиноры вводятся чисто
формально, без интуитивной геометрической интерпретации, н это
отсутствие геометрической природы спиноров сделало столь
«ложными попытки распространения на общую теорию
относительности уравнений Дирака.
Одной из основных целей этой кимтн является
систематическое развитие теории спиноров па основе чисто
геометрического определения этих математических объектов. Благодаря
этой геометрической основе матрицы, которыми пользуются
в квантовой механике, возникают ■ ходе исследования сами
*) Е. С а г t a n, Les groupes projeetifa qul ne lalasent invariante
aucune multipliciUplant (Bull. Soc. Math, de France, 41,19)3, стр. 53—96).
J) R. Brauer, H. Weyl, Splnors in n dimensions (Amer. J. of
Math., 57, 1935, стр. 425-449). °

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
собой, и выясняется самая основа тех свойств, которыми
обладают гиперкомплексные числа Клнффорда-Липшитца в теории
представления вращений в пространстве любого числа
измерений. Наконец, эта геометрическая основа делает очень простым
введенне спиноров в римановой геометрии и, в частности,
применение к этим геометрическим объектам понятия параллельного
переноса. Становятся понятными также и те затруднения,
которые встретились в связи с последним вопросом и которые
являются непреодолимыми, если пользоваться классическими
приемами исследования в римановой геометрии. Эти приемы
применимы к векторам и тензорам, которые помимо
метрической природы имеют чисто аффинный характер, но они не
могут применяться к спинорам, имеющим метрическую, но не
аффинную природу.
Книга делится на две части. Первая посвящена общим
вопросам теории групп вращений л-мерного пространства и
линейных представлений групп, теории спиноров пространства трех
измерений и исследованию линейных представлений группы
"•вращений этого пространства. Эти представления, как известно,
играют важную роль в квантовой механике. Для их определения
использован метод бесконечно малых, который требует минимума
предварительных сведений для своего понимания;
трансцендентный метод Г. ВеЙля, основанный на теории характеров,
оставлен в стороне, несмотря иа его большой интерес.
Вторая часть посвящена теории спиноров в пространстве
любого числа измерений и специально в пространстве частного
принципа относительности; указаны линейные представления
группы Лоренца, а также дана теория спиноров в римановой
геометрии.
Эта книга, воспроизводящая с некоторыми изменениями
курс, прочитанный в Сорбонне в зимнем семестре 1935/36 г.,
составлена по запискам, написанным А. Мерсье и
использованным автором, который выражает ему свою глубокую
благодарность за сотрудничество.
ЭЛИ КАРТАН.

ЧАСТЬ
I
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
ЛИНЕЙНЫЕ "ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ

ГЛАВА 1
ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ
И ОТРАЖЕНИЯ
I. Пространство Эвклида
1. Определение. Векторы. Можно ввести понятие об
эвклидовой л-мерном пространстве, называя точкой совокупность п чисел
причем квадрат расстояния от начальной точки (0,0 ,0)
до точки (х) задается фундаментальной формой:
(1)
эта форма дает также скалярный квадрат (квадрат длины)
вектора х, выходящего из начала и оканчивающегося в точке (х);
л величин xt называются также составляющими этого вектора.
Координаты xt могут быть произвольными комплексными числами,
и тогда мы говорим о комплексном пространстве; но они могут
быть также действительными, — и в этом случае мы имеем
вещественное эвклидово пространство. В действительной
области существуют также псевдоэвклидовы пространства,
соответствующие неопределенной действительной фундаментальной форме:
не ограничивая общности исследования, мы будем предполагать
я — А>я.
Мы будем рассматривать в вещественных пространствах
векторы, составляющие которых не все являются вещественными,"
такие векторы будем называть мнимыми.
Вектор называется изотропным, если его длина равна иулю,
то есть если его составляющие обращают в нуль
фундаментальную форму. В комплексном пространстве или вещественном
эвклидовом вектор называется единичным, если его длина равна 1.
В вещественной псевдоэвклидовом пространстве с
неопределенной фундаментальной формой мы будем различать
вещественные пространственные векторы, составляющие которых дают

12 ГЛ А В А 1
положительное значение для фундаментальной формы, и
вещественные временные векторы1 составляющие которых дают
отрицательное значение для этой формы. Единичный
пространственный вектор дает для фундаментальной формы значение -|-1,
единичный временной вектор —значение —1.
-+■ —f-
Рассмотрим два вектора х, у; скалярный квадрат вектора
х-\-\у (где X — некоторый параметр), имеющего составляющие
х{-\-'*-У(, равен
где через ху обозначена сумма xty{-\-x2yz-\-... ~\-хауя.
Эта сумма называется скалярным произведением векторов х
и у. В случае псевдоэвклидова пространства скалярное
произведение имеет следующий вид:
Два вектора называются взаимно перпендикулярными, или
ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю;
изотропный вектор ортогонален сам себе. Геометрическое
ыесто векторов, ортогональных данному вектору, есть
гиперплоскость п — 1 измерений (определяемая одним линейным
уравнением между координатами).
2. Декартовы реперы, л векторов eit е2,... еп, имеющих
составляющими соответственно (11 0т 0, 0), (0, 1, 0.
0) , (0,0,0, , 1), образуют базис век-
торов в том смысле, что каждый вектор х является линейной
комбинацией xlel-\-xze7~\- ... -\~хяеа этих векторов. Векторы
базиса попарно взаимно ортогональны; их совокупность мы
будем называть ортогональным декартовым репером.
Возьмем теперь вообще п линейно независимых векторов
—♦■ —►- —#-
т],, Т|2,..., т<п, то есть таких, чтобы нельзя было подобрать а
чисел л,,*, , *я (не равных одновременно нулю) так, чтобы
вежтор ijij, -\- *2Tj2-|- • • • '{- *-пУ* был равен тождественно нулю.
Каждый вектор х может быть единственным способом представлен

ЭВКЛИДОВО п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 13
—»■-*■ -*■
в виде и1 tjj -\- а!т)2 -\- ... -\- и"цп. Квадрат длины этого
вектора равен
в этой'формуле, следуя Эйнштейну, мы пропускаем знак <-уммы;
индексы i, j принимают независимо друг от друга значения
от 1 до я. Полагая
имеем для фундаментальной формы следующий вид:
Ф :-£,/«/. (4)
Мы будем говорить, что совокупность векторов ij,, т)г, ... , г<я
образует базис, или декартов репер. В качестве векторов базиса
будем выбирать векторы, имеющие общую начальную точку.
Исследуем обратный вопрос: можно ли заданную a priori
квадратичную форму рассматривать как фундаментальную форму
эвклидова пространства при соответствующем выборе репера?
Мы будем предполагать, конечно, переменные и коэффициенты
комплексными, если пространство комплексное, и действительными,
если оно действительно. При решении этого вопроса мы
применим одну классическую теорему из теории квадратичных форм.
3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.
Теорема. Каждая квадратичная форма может быть
приведена при помощи линейной подстановки к сумме
квадратов.
Доказательство, которое мы применяем, приложимо как
в действительной, так )< в комплексной области. Предположим
сначала, что один из коэффициентов glt, g,it..., gnn ие
равен нулю, например giv Рассмотрим форму
она ие содержит переменной к1; полагая

|4 ГЛАВА I
имеем
где Ф, — квадратичная форма от я — 1 переменных и8, и9, ..., иа.
Предположим теперь, что все коэффициенты gllt gnt ... tgM
равны нулю, а один из остальных коэффициентов, например glt,
отличен от нуля. В этом случае рассмотрим форму
Ф« = Ф - £ (fti*1 + fti*' + • • • + g*nu") X
она не содержит переменных и\ и2. Полагая
У\ -тУг = fti"1 + gn* + • • • "Г guu4
получаем
где Ф2 — квадратичная форма от л — 2 переменных иь, и*,
..., и". К Ф, и <1>2 применяем тот же процесс и в конце
концов представим Ф. в виде суммы квадратов независимых
линейных форм, причем каждый квадрат имеет определенный
постоянный коэффициент. В вещественной области эти операции ие
вводят мнимых элементов.
Пусть
Ф = аху\ + агу\ + ... + a, yi (>;< я).
«Если в комплексной области мы примем yt \/а, за новые
переменные, то приведем Ф к сумме квадратов. В вещественной
области мы должны учитывать знаки коэффициентов а(;
принимая у,у ■+: а( за новые переменные, приводим Ф к виду:
ф= у2Л- у2-1- 4-у2 — V2 ,— —V2
* —У\ I ^з 1^ • • • I Ур Sp+\ ••• У-,'
4. Теорема инерции. В вещественной области число
положительных и число отрицательных квадратов не зависят
от способа приведения квадратичной формы к
каноническому виду.

ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 1<1
Предположим, что существует два разложения:
О
причем.) линейные формы у( и zt независимы, так же как и
формы vt и wr Предположим рфр\ например р <С.Р'• Имеем
тождество:
Рассмотрим р -\- q' линейных уравнений
так как р -\-q'<C.P' Л"Я'<л, то эти уравнеиня имеют по
крайней мере одно решение, при котором неизвестные и1, о1..., а"
не равны все нулю; для этого решения
таким образом, можно удовлетворить p'-\-q' независимым
уравнениям
1 * ' • Р 1 2 * • • Я' •
решая систему с меньшим числом p-f-tf' уравнений; мы
приходим к противоречию. Следовательно, р = р', q = q'-
Добавим, что, если данная форма Ф от а1, а1, ... и" не
д Ф <?Ф <?Ф
является выродившейся, т. е. если /i форм ^—(| т—,, ... , т-^
независимы, так что дискриминант формы
(5)
отличен от нуля, то число p-\-q независимых квадратов,
получающихся в приведенной форме, равно п. В самом деле, в
дФ
противном случае л- частных производных —., являющихся
г.
Si\Sti

16ГЛАВА I
линейными комбинациями отр + ?<л Ф°РМ Уи У* Ур> гм
zi, •••< гя\ не были бы независимыми.
5. Доказав приведенные выше теоремы, вернемся к нашей
проблеме. Рассмотрим невыродившуюся квадратичную форыу (4).
В комплексной области существует п независимых линейных форм
x( — aikuk (« = 1,2, ...,п),
причем
Если в комплексном пространстве мы возьмем векторы т^
с составляющими {а1к, агк, ..., anJt)(k= 1, 2, ..., л), то эти п
векторов независимы; вектор ы* т1к имеет /-й составляющей
x/=alkuk, и его скалярный квадрат х* -|- х\ -{- ... -\- х\ равен
дайной квадратичной форме. Таким образом, соответствующим
выбором векторов базиса, заданная фундаментальная форма
пространства может быть приведена к произвольно заданной
квадратичной форме g[/ii'uJ.
, В вещественной области имеем аналогичную картину, ио
квадратичная форма gyti'u/ должна быть: 1° иевыродившейся,
2° приводимой к сумме л — h положительных и h отрицатель*
ных квадратов, где h — данное целое число.
в. Контраварнантные и ковариантные составляющие.
Пусть пространство отнесено к некоторому декартову реперу,
— его фундаментальная форма. Скалярный киадрат вектора
х-\-\у равен
отсюда вытекает, что скалярное произведение векторов х и
у равно
I
если за х ну возьмем векторы е,, tj базиса, то мы снова
полупим, между прочим, геометрическое значение (3)
коэффициентов *т(,:

ЭВКЛИДОВО н-М£РНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ЦРАЩЕМИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 17
Ковариантными составляющими вектора х называются
скалярные произведения х еи х е2, ..., х еп. Они обозначаются
через дс„ дс„ ..., хп. Таким образом
• Jt,= ^,=f/; xy~ = gl/xlS = xlyl = x,y'. (6)
Обычные составляющие называются контравариантными.
Формулы перехода от коварнантных составляющих к контрава-
риантным получаются при решении уравнений (6):
*' = *%•
где через g^ обозначены миноры элементов gl} в дискриминанте g
фундаментальной формы, деленные на g. В случае формы (1)
получаем *, = *'
II. Вращения и отражения
7. Определение. Вращениями и отражениями *)
(подразумевается: около начала) называются линейные преобразования
координат, оставляющие инвариантной фундаментальную форму.
Если такое преобразование переводит векторы х, у в х',
У, то оно преобразует вектор х-\-Ху в вектор х"-\-\у. Оно
не меняет, конечно, длину вектора и скалярное произведение
двух любых векторов. В вещественном псевдоэвклидовом
пространстве оно преобразует пространственный вектор в
пространственный, временнбй — во вреиеннбй.
Определенная выше операция преобразует каждый
ортогональный репер в ортогональный. Обратно, рассмотрим два
•) Термином .отражение" здесь переведено французское слово
retoumement, которым Картан обозначает ортогональное и ля
псевдоортогональное преобразование с определителем, равным — 1; эти
преобразования иногда называют несобственными вращениями в отличие
от собственных вращений (ортогональных или псевдоортогональиых
уиимодулярных преобразований), которые Картан называет просто
.вращениями*. Термины .собственное и несобственное вращение (или
отражение)* Картаи вводит в дальнейшем^ используя их для специальной
классификации псевдоортогональиых ripeo'6pa55BaHirtr~B псеадоэвклидо-
вом пространстве. (Прим. ред.) ; - 1 Ice у': *' j:.-, •

18 ГЛАВА I
ортогональных репера {ev ег еп) и (т),, т)2, ... , 7)П), пусть
-*■ /i-<-
7], — at ек. Отнесем пространство к первому из этих реперов
и обозначим через х1 соответствующие, координаты. Линейное
преобразование
(xly = a1kxk
переводит вектор е{ в вектор с составляющими (а*, а2(, ...а"),
то есть в Бектор г),; это преобразование не меняет, с другой
стороны, фундаментальную форму ф, так как скалярный
квадрат Ф{х') вектора (а'1')'*Г. = акхк7( = Xм jj4 равен Ф(дс).
8. Докажем следующую теорему:
Теорема. Определитель линейного преобразования,
определяющего вращение или отражение, равен ~\-\ ала —1.
Достаточно рассмотреть комплексную область, так как
каждое вращение в вещественном эвклидовом пространстве является
частным случаем вращений в комплексном пространстве.
Предположим сначала, что репер ортогональный; пусть
■< = */*** («==1. 2 п) (8)
— уравнения преобразования. Из инвариантности
фундаментальной формы имеем:
а?/ + 4+ ••• +<&=! ('==». 2 я),
= 0
Применяя правило умножения определителей к квадрату
определителя преобразования, мы получим детерминант, у
которого диагональные элементы равны единице, а все
остальные нулю.
Если взять репер общего вида, что соответствует
преобразованию координат
и если линейной подстановке (8) соответствует в координатах
и' подстановка
(«')' = Ь'ки\ (9)
то
aikbkhuh=alkakhuh (/, А= 1, 2 я).

ЭВКЛИДОВО я-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 19
Полагая
и обозначая через с, Ь, а, а определители, составленные
соответственно из ctj, Ы{, a,j, at/t получаем
откуда Ь = а = 4; 1.
Мы будем называть вращением преобразование, определитель
которого равен -f-1, отражением — преобразование с
определителем, равным — 1.
9. Симметрии. Будем называть симметрией относительно
гиперплоскости П, проходящей через начало, преобразование,
которое ставит в соответствие точке х ей симметричную
относительно П, то есть точку х', получающуюся при помощи
следующего построения: из х опускаем перпендикуляр на II и
продолжаем его на расстояние, равное длине этого
перпендикуляра. Пусть в некоторой декартовом репере уравнение
плоскости имеет вид
Вектор х' определяется из следующих условий:
1° вектор х' — х ортогонален гиперплоскости П;
2° вектор ■=•(.«*-}- х) лежит в гиперплоскости II.
Так как уравнение гиперплоскости выражает тот факт, что
вектор х ортогонален к вектору с ковариантными
составляющими а„ то имеем
(х*)'~~ х1 = \а( или (х1)' = х1 -\- \а';
далее,
ai{2xt-\-\al) = 0, то есть \-^= —!
Преобразование возможно, если в^а'^-0, то есть если
перпендикуляр к гиперплоскости не является изотропной прямой;
в-этом случае получаем
очень просто проверяется инвариантность длины.

20
ГЛАВА I
Построенное выше преобразование мы будем называть
симметрией; каждая симметрия задается гиперплоскостью или неиэо-
тропным вектором (который можно, в частности, считать
единичным).
В случае вещественного пространства с неопределенной
фундаментальной формой следует различать симметрии,
определяемые вещественными пространственными вектораин, и
симметрии, относящиеся к вещественным временным векторам. Мы
будем их называть соответственно пространственными и
временными симметриями.
Каждая симметрия есть отражение. Достаточно
показать это при каком-нибудь частном выборе декартова
ортогонального репера, например, когда первый вектор базиса
определяет симметрию; тогда уравнения симметрии имеют вид
(а»)' = — и\ (**)' = «' («»)'=: и»;
определитель этого преобразования равен —I.
Ю. Разложение вращения на произведение симметрии.
Докажем следующую теорему, которая имеет место как а
комплексной, так и в действительной области:
Каждое вращение является произведением четного числа
«^я симметрии; каждое отражение является произведением
нечеткого числа s^n симметрии.
То, что четное число симметрии дает вращение, а нечетное —
отражение, вытекает непосредственно из того, что симметрия
есть отражение.
Теорема очевидна для п = \; предположим, что она имеет
место для пространств I, 2 п — 1 измерений, и докажем
ее для пространства п измерений.
Теорема очевидна в том частном случае, когда существует
неизотропный вектор, инвариантный при рассматриваемом
вращении; в самом деле, принимая этот вектор за вектор i), базн-
са н выбирая остальные п — 1 векторов базиса в
ортогональной гиперплоскости П (она ме содержит jj,), мы приведем
фундаментальную форму к виду
Ф = £П («')• + g,juV = д

ЭВКЛИДОВО м-МЁРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 21
где Ч1 — неособенная форма от п — 1 переменных. Так как
рассматриваемое вращение (или отражение) оставляет
инвариантной гиперплоскость II, то оно определяется линейным
преобразованием, не изменяющим координату их и преобразующим
между соГой координаты и», и», ..., и" так, что форма Ч1
остается инвариантной; оно полностью определяется, такк*
образом, вращением или отражением в гиперплоскости II, т. е.
в эвклидовом (я—1)-мериом пространстве; согласно
сделанному предположению оно образовано из симметрии,
соответствующих векторам, лежащим в П, причем число этих
симметрии не больше п — 1.
Рассмотрим теперь общий случай; возьмем любой неизо-
-+■ -+-
тропиый вектор а; пусть а' — преобразованный из него вектор.
-+■ ->•
Если вектор а' — а не изотропный, то симметрия,
соответствующая ему, переводит а в а'; рассматриваемое преобразование
является, таким образом, произведением этой симметрии и
другого преобразования, оставляющего инвариантным неизотроп-
-+-
ный вектор а; она разлагается, следовательно, на некоторое
число ^п симметрии.
Наше рассуждение неприменимо в том случае, если, ка-
-+■ -*■—*■
ков бы ии был вектор х, вектор х' — х является изотропным
(*' — вектор, преобразованный нз х). Исследуем этот случай.
Векторы х' — х образуют линейную совокупность, то есть если
векторч х' — х и у — у принадлежат ей, то ей принадлежит
и вектор х' — х-\- \{/—у). Пусть р — число измерений этой
совокупности, которую мы будем называть р-плоскостью.
Возьмем в этой /?-плоскости р векторов базиса »),, ij,, . .., jj ;
плоскость, перпендикулярная этим р векторам, определяется р
линейными независимыми уравнениями; число измерений ее
равно п—р, причем она содержит в себе каждый из
векторов j)(; в этой плоскости можно за векторы базиса
принять j),, j)2l. .. ij и п — 2/7 других независимых векторов
Ср Сг» ■■■, Сл_2(>- ^ построением п'—-р векторам прибавим р

22 Г Л А В А I
новых векторов &j, Ьг, ..., 0р таким образом, чтобы
получился базис для полного пространства.
Заметим, что, каковы бы ни были векторы хну,
~х'—х~ = а%, у1 — 7= ft*J;
-»■-»■ -»■ -♦■
выражая равенство скалярных произведений х'у' и ху,
получаем
Выберем в качестве у какой-нибудь из векторов 7), и С/.
Правая часть равенства обращается в нуль; следовательно, вектор
ортогонален любому вектору х. Это возможно только в
том случае, если вектор b*t[k равен нулю. Отсюда вытекает,
что векторы 7), и С/ инвариантны при рассматриваемой
операции (вращении или отражении).
Образуем теперь фундаментальную форму пространства;
обозначая через u'j]^ -J- vCy -4- 1е^&Л произвольный вектор, имеем:
Ф==
Эта форма не выродившаяся, то есть коэффициенты при
и1, и* , иР являются независимыми линейными формами
от wl, w2, ,.., чл)(", таким образом, можно выбрать векторы
базиса так, чтобы
1, если i—j,
О, если 1ф).
Затем можно добиться того, чтобы производные -р , равные и'
плюс линейная комбинации переменных ?/ и wk, били равны и1;
для этого следует только изменить каждый вектор (,, &ft
прибавлением линейной комбинации пекгорол т\г Пилучаем

ЭВКЛИДОВО /1-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 23
причем вторая сумма в правой части определяет невыродив-
шуюся форму. Так как Су инвариантны при рассматриваемом
преобразовании (вращении или отражении), то мы приходим
при п ^> *2.р к частному случаю, когда существует инвариантный
иеиэотгопный вектор, и теорема, таким образом, доказана.
Остается случай п = 2р. Имеем:
соотношения »],&,= I, jjf0 = 0 (i^j) приводят нас, если вы-
разить инвариантность скалярных произведений &,&,, к
равенству:
Р
Можно еще упростить предыдущие формулы. В самом деле,
результат преобразования произвольной линейной комбинации
векторов &Л выражается следующим образом:
Но сумма w*PAft>]A остается инвариантной при любой
замене баэнса Ц(, сопровождаемой коррелятивным преобразова-
нием в базисе &k] i], н w, преобразуются одинаковым образом
^Инвариантность 'Zu'w1 и 2u'i}{)- С другой стороны, известно,
что знакопеременная билинейная форма путем применения
одного и того же линейного преобразования к обоим рядам
переменных ...ожет быть приведена к каноническому виду:
a — wa7), 4- v)\ — w\ -f ...
Таким образом, прн соответствующем изменении базиса мы
имеем следующие формулы преобразования:
=&, — 7],, .... hq =5= hq — »J2<7-1.

24 Г Л А В А I
Между прочны, р должно быть обязательно равно 2q, так как
в противном случае нензотропный вектор $р-\-*1р быд бы
инвариантным. Каждое из 4-мерных пространств с невыродившейся
фундаментальной формой, определяемых векторами (i)p i)2, 91(dt),
(т)а, Т)4, &8, &J и т. д., инвариантно прн рассматриваемом
преобразовании. Таким образом, достаточно доказать, что это
преобразование может быть выполнено в каждом из этих пространств при
помощи не более 4 симметрии. Рассмотрим пгрвое пространство
с фундаментальной формой ux<w' -\- tPvi1, Вращение (или
отражение) выражается следующим образом:
так как определитель равен -\-1, то это есть вращение.
Нетрудно видеть, что оно может быть получено в результате
последовательного применения симметрии, соответствующих
четырем ненэотропным векторам
где а — коэффициент, отличный от 0 и 1. Теорема доказана.
В вещественных пространствах это доказательство вводит
только вещественные векторы при условии, что а берется
вещественным.
11. Непрерывность группы вращений. Докажем, что в
комплексном пространстве и вещественном с определенной
фундаментальной формой группа') вращений непрерывна. Это
означает, что каждое вращение может быть связано с
тождественным преобразованием при помощи непрерывной
последовательности вращений. Достаточно доказать эту теорему для
!) Говоря, что вращения образуют группу, мы выражаем
следующие два свойства совокупности зтнх преобразований: 1°
произведение двух вращений есть вращение, 2° каждому вращению
Соответствует обратное вращение.

ЭВКЛИДОВО я-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСГБО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 26
вращения, являющегося результатом применения двух
симметрии. Пусть этн симметрии определяются двумя единичными
векторами а и Ь; если л 3* 3, можно найти по крайней мере
один единичный вектор с, ортогональный к а и Ь. Рассмотрим
непрерывную последовательность вращений, определяемых сим-
метриями, которые соответствуют единичным векторам
а' = а cos / ■-}- с sin /, b' = b cos / -|- с sin /,
где t обозначает вещественный параметр, изменяющийся от О
до -к-; при < = 0 получаем данное вращение, прн t = -? —
вращение, являющееся результатом двукратного применения одной
и той же симметрии (соответствующей вектору с), то есть
тождественное преобразование; итак доказана
Теорема. В комплексном эвклидовом пространстве и
в вещественном эвклидовом пространстве с определенной
фундаментальной формой вращения (вещественные во
втором случае) образуют непрерывную группу.
12. Собственные я несобственные вращения. Покажем,
что в вещественном псевдоэвклидовом пространстве (с
неопределенной фундаментальной формой) группа вращений не
непрерывна, а разлагается на два различных непрерывных семейства,
которые ыы назовем семейством собственных вращений н
семейством несобственных вращений.
Лемма I. Два пространственных единичных вектора
могут быть всегда соединены непрерывной
последовательностью пространственных единичных векторов.
Примем за фундаментальную форму
Вещественный пространственный вектор определяется при
помощи л вещественных чисел, из которых п — Л первых могут
быть рассматриваемы как составляющие вектора а в
вещественном эвклидовом, пространстве Я„_А> Л остальных —
как составляющие вектора v в вещественном эвклидовом

26 ГЛАВА
пространстве Ек. Если вектор х единичный, то ifi — v*=\,
то есть можно положить
u = acha, v = bsha,
-*■ -*■
где а — вещественное число, а и b — единичные векторы
пространств Ея_н и Ек. Любой другой пространственный вектор
♦
х может быть определен вещественным числом а' и двумя едн-
иичными вещественными векторами а' и Ь'. Можно непрерыв-
ным образом перейти от х к х'\
1° оставляя a, b неизменными и изменяя а непрерывно до
значения а';
-*■ -*■-*■
2° оставляя b неизменным и соединяя в EH_h векторы а и а'
непрерывной последовательностью вещественных единичных
векторов;
3° оставляя а' неизменным н соединяя в Eh векторы b и Ь'
непрерывной последовательностью вещественных единичных
векторов.
Лемма применима и к двум единичным временным
векторам *).
Лемма II. Вращение, получающееся в результате
применения двух пространственных (или временных) симметрии,
может быть соединено с тождественным вращением при
помощи непрерывной последовательности вращений.
Пусть вращение является произведением двух симметрии,
соответствующих двум единичным пространственным
векторам и но, н пусть wt—непрерывная последовательность еди-
*) Лемма I справедлива по отношению к пространственным
векторам при условии я = 2 и по отношению к временным при условии
А=1; при доказательстве леммы »тн условия используются
соответственно в пунктах 2° я 3°. В общем случае, если а, Ь единичные
пространственные (временные) векторы, то а может быть соединен
непрерывной последовательностью единичных пространственных (временных)
ректоров или с Ь или с — *. (Прим. ред.)

ЭВКЛИДОВО «-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 27
мнчиых пространственных векторов, соединяющая и с v*)\
вращение, получающееся в результате применения симметрии, опре-
-*■ -*■
делаемых векторами w, и v, соединяет непрерывным образом
рассматригэемое вращение с тождественным.
Лемма III. При каждом вращении (или отражении)
функциональный определитель, составленный из производных
от х\, *J, ..., x'n_k no хи хг, ..., xn_h, отличен от
нуля.
Предположим противное: пусть существуют значения д,,
в, , ..., Д„_л переменных хх,хг, ..., хя_н, не равные
одновременно нулю и превращающие в нуль в формулах,
выражающих де|, x'v ..., x'n_h через xit х2, ..., ха, совокупность
членов, зависящих от хи х2, .... хп_н. У вектора,
получающегося прн преобразовании из пространственного вектора
(в|, в„ ..., а^д, 0, ..., 0), первые л — Л составляющих
*1> Х2, •••, ^я-л равны нулю; мы получаем, таким образом,
вреиенибй вектор, что невозможно.
Обратимся теперь к доказательству теоремы. Заметим прежде
всего, что на основании леммы III, если два вращения могут
быть соединены непрерывной последовательностью вращений,
то эти два вращения дают один и тот же знак
функциональному определителю Л, образованному из производных от jcJ, ...,
*^_Л по xv ..., хя_л, так как при переходе от одного
вращения к другому этот определитель изменяется непрерывно н
не обращается в нуль. На основании леммы II вращения,
являющиеся произведениями четного числа пространственных
отражений и четного числа временных, дают определителю Д
тот же знак, что и тождественное вращение, то есть плюс.
Наоборот, вращение, являющееся произведением пространственной
симметрии и временнбй, может быть на основании леммы I
соединено непрерывной последовательностью вращений с
вращением, являющимся результатом применения симметрия-,
определяемых векторами е1 и <?„; оно дзет, таким образом, определителю Д
*) Такая последовательность всегда существует, так как
векторы и, v определены только с точ"остью, до знака (см. предыдущее
примечание). (Прим. ред.)
С)

28 ГЛАВА I
тот же знак, что и это последнее вращение, то есть
минус. Результирующее вращение нечетного числа
пространственных симметрии и нечетного числа временных может быть
приведено к последнему вращению при помощи непрерывной
последовательности вращений. Таким образом, доказана
Теорема. В вещественном псевдоэвклидовом
пространстве группа вращений разлагается на 2 различных
семейства; первое образовано группой собственных вращений,
получающихся в результате применения четного числа
пространственных симметрии и четного числа временных;
второе семейство является совокупностью несобственных
вращений, состоящих из нечетного числа пространственных
симметрии и нечетного числа временных; эта совокупность
не образует группы.
Собственные и несобственные вращения различаются знаком
функционального определителя, составленного из производных
от х[, jfj, .... х'_д по лс,, хг, .... xa_h илн знаком
функционального определителя
д(х'П_н+1 х'„)
<*(*„-л+1 хп)
В дальнейшем мы будем рассматривать так называемые
собственные отражения, являющиеся результатом применения
нечетного числа пространственных симметрии н четного числа
временных. Они характеризуются тем, что функциональный
определитель
^ х'п)
д (х„_Л+1 .... х„)
положителен (инвариантность временнбй ориентации).
13. Пространства, у которых А = 1. В этих
пространствах каждое собственное вращение и собственное отражение
является произведением пространственных симметрии. В самом
деле, пусть х — единичный временнбй вектор, х' — вектор,
получающийся из него при преобразовании; мы можем
выбрать х за вектор еп базиса; так как коэффициент при хп

ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 29
—*■
в jc* положителен, то составляющая х'п вектора х' положитель-
-♦ -*
на и больше 1, то есть скалярное произведение л; jc'меньше—I.
-» •* -»-+
Скалярнь'1 квадрат вектора х' — х равен — 2хх'—2^>0,то
О "*• -,
есть jc'—х— пространственный вектор. Таким образом, можно
перейти от вектора х к х' при помощи пространственной
симметрии н, чтобы получить рассматриваемое вращение (или
отражение), достаточно иметь дело с вещественным эвклидовым
пространством с определенной фундаментальной формой,
ортогональным к jc', а это даст самое большее л— 1
пространственных симметрии.
Теорема. В пространстве, фундаментальная форма
которого приводится к сумме п — I положительных
квадратов а одного отрицательного, каждое собственное
вращение и собственное отражение является произведением
некоторого наела *^я пространственных симметрии.
III. Мультивекторы
14. Объем гиперпараллелепипеда, построенного на я
векторах. Пусть в эвклидовом пространстве Еп, отнесенном к
некоторому декартову реперу, заданы л векторов в
определенном порядке х, у, г, ..., /; рассмотрим определитель,
образованный из составляющих этих векторов,
лг i jc» ... Xя
у1 у2 ... у"
О 1* ... i"
так как вращение определяется линейным преобразованием
с определителем, равным -\-\, а отражение—линейным
преобразованием с определителем, равным — 1, то Д не изменяет
абсолютной величины при применении к векторам пространства
одного и того же вращения или отражения. Можно составить
определитель Д' нз ковариантных составляющих векторов;
Д'равен произведениюД на определитель линейной подстановки,

30
ГЛАВА I
преобразующей контравариантные составляющие в ковариантные,
то есть на g.
С другой стороны, вычислив произведение
JC1 X2 ... Xя
дд*=
... tn
к 1г •••
получим
хг ху ... xt
ух у2 ... yt
ix ty ... t*
причем в этот определитель *) входят только скалярные
произведения [заданных векторов. При я=3 этот определитель
равен квадрату объёма параллелепипеда, построенного на 3
векторах. Естественно назвать объемом гиперпараллелепипеда,
построенного на л векторах х, у, ..., tt квадратный корень
из этого определителя при любом л. Таким образом
откуда
Если вещественное
удобнее положить
виак у Д дает ориентацию л-эдра, построенного на л векторах;
если Д^>0, то эта ориентация та же, что и у декартова репера.
*) Этот определитель называется определителем Гранка векторов
х.у t. (Прим. ред.)
V g
пространство — пссвдоэвклндово, тс

8ВКЛИД0В0 я-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 31
18. Мультивекторы. Рассмотрим теперь систему р
векторов х, у, • • > i *, заданных в определенном порядке. Будем
говорить, что они определяют р-вектор: условимся считать два
р-вектора равными, если плоское р-мерное многообразие,
содержащее данные р-векторы, одно и то же для обоих р-век-
торов и если объем параллелепипеда, построенного иа векторах
каждой системы, один и тот же и с одинаковой ориентацией.
Покажем, что р-вектор однозначно определяется минорами р-го
порядка матрицы, составленной из контравариантных (или ко-
вариаитных) составляющих этих векторов.
В самом деле, пусть / — переменный вектор; для того чтобы
этот вектор лежал в р-мерной плоскости, определяемой
заданными векторами, необходимо и достаточно, чтобы миноры
(р-{-1)-го порядка матрицы
' jc« ... x"N
yiy* ... у4
• • • *
1 z8 ... zn
fi ... /"
были равны нулю. Обозначая через P'}>'a 1p минор,
построенный из элементов р первых строк и 'j-ro, /г-го, ..., /-го
столбцов, мы получаем уравнения
|4(y
Для того чтобы два р-вектора с составляющими Р и Q
лежали в одной и той же р-плоскости, необходимо и
достаточно, чтобы их составляющие были пропорциональны.
Предположим, что это условие выполнено: Q*»'» ••'• lp=\Pl<f*-Jp\
алгебраическое отношение двух р-векторов сохраняется при
проектировании; оно равно постоянному отношению их
составляющих, которые дают объемы их проекций иа различные
координатные р-плоскости.
Отметим, наконец, что квадрат Vs меры *) р-вектора равен
,*) Мерой (или объемом) ^-вектора, определяемого векторами
-♦ -♦ -♦
х,у г, называется объем параллелепипеда, построенного на этих
векторах. {Прим. ред.)

32
ГЛАВА I
где Pi,i,...ip обозначают ковариантные составляющие (миноры,
построенные из ковариантных составляющих р-векторов). В
самой деле (п. 14),
X*
ух
zx
ху .
У* ■
гУ
...
X1
У1
z'
xz
yz
-*
2a
X
xl
y'x,
z*xt
ri ... Xм
у... у
....
r*
xlyj
y'yj
1
''p\p
• • • xrzk
• • ' У*гк
J... *
причем сумма распространяется на все сочетания из п
индексов 1, 2 п по р.
Совокупность п векторов может быть названа л-вектором; она
имеет только одну контравариантную и ковариантную
составляющую. Каждая из этих составляющих меняет знак при отражении.
16. Изотропные мультивекторы, р-вектор называется
изотропным, если' его мера равна нулю, причем его
составляющие не равны все нулю, то есть он не лежит в плоскости
с числом измерений <^р.р-вектор является изотропным тогда
и только тогда, если в его /^-плоскости существует вектор,
перпендикулярный ко всем векторам этой плоскости. В самом
деле, если мера р-вектора равна нулю, можно найти р
постоянных а, |), ..., y, не равных одновременно нулю и
удовлетворяющих уравнениям:
x = О,
axz -\- $yz -\-... -\- fгг = О;
отсюда вытекает, что существует ненулевой вектор ах-\-
Ч" Р.У ~Ь • • • +Тг ортогональный р векторам х, у, ... у г. Спра-

ЭВКЛИДОВО /i-MEPHOIi ПРОСТРАНСТВО; 11РАШЕНИЯ И ОТРЛЖЫШН X'.
ведливо и обратное предположение. Можно также сказать, что
/7-плоскость р-вектора касательна к изотропному конусу
(геометрическому месту изотропных прямых) вдоль прямой,
ua которой лежит вектор ах -j- $y -f- .. • 4"Тг-
17. Дополнительные мультивекторы. Рассмотрим кензо-
тропный вектор; будем говорить, что (д — ,-')-иектор является
дополнительным к этому /?-вектору, если плоскость первого
является геометрическим местом прямых, перпендикулярных
к /^-плоскости данного р-вектора, если мера (п— р)-иектора
равна мере р-вектора и если, наконец, я-эдр, образованный
нз р векторов данного />-вектора и п — р векторов (« — р)-век-
тора, имеет положительную ориентацию. Заметим, что [п —
/^-плоскость искомого [п — /?)-вектора вполне определена и не имеет
общих направлений с р-плоскостыо данного р-вектора (п
противной случае этот последний был бы изотропным).
Предположим, что Рп ••• ?^О. Уравнения, выражающие
условие, что некоторый вектор / перпендикулярен к р
векторам х, у, .... z, имеют вид;
',*'=0, ^/=0, .... ',z'=0;
исключая tv /e, ..., / получаем соотношение
/jP>2 ... я-f/я + 1р(Р+»)« ...р + . .. + tnP™ ~<р = 0;
аналогично получаем:
.(p-I)_l_ -Lf p'.l'i...{j>-\) =Q
Таковы уравнения (п—/>)-плоскости искомого
дополнительного (я — /))-вектора. С другой стороны, если обозначить че-
Рез Q/,/,... in ковариантные составляющие этого [п—р)-
вектора, уравнения его (п — /^-плоскости имеют внд:

34ГЛАВА 1
принимая последовательно за /,, /2, .... in , комбинации
(1, /» + 1, р-\~2 я), (2, р + 1, р + 2, .... п) и т. д.
отождествляя с ранее полученными уравнениями (л—р)-
плоскости, мы видим, что между РЛ'»—'я и Q, х/ ,..../.
существует пропорциональность, причем предполагается, что
перестановка (/,, /2, ..., in) четная. Таким образом, можно
положить
р1,1,...1р==\П
Записав, что />-вектор и дополнительный (л — р)-вектор
имеют одинаковый объем, имеем Xjjl=1. С другой стороны,
я-вектор, образованный из векторов р-вектора и (л —
^-вектора, имеет меру, равную
где сумма распространяется на все сочетания lxi% ... ip по р
индексов. Эта мера равна квадрату меры /^вектора, поэтому
Х = ~т=, \L = V~g, откуда следуют формулы:
Примечание. При определении (я—/?)-вектора,
дополнительного к данному ^-вектору, мы предполагали, что
этот последний неизотропен; однако, полученные формулы имеют
общее значение и позволяют распространить определение на
все возможные случаи; может случиться, что р-вектор равен
своему дополнительному (конечно, если п = 2р).
18. Сумма р-векторов. Рассмотрим некоторую систему
/7-векторов. Условимся считать равными две такие системы,
если суммы составляющих с одинаковыми индексами
/7-векторов, входящих в каждую систему, одинаковы для обеих этих

ЭВКЛИДОВО «-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 35
совокупностей*). Обозначая эти суммы так же, как и
составляющие р-вектора, мы получим то, что называется
составляющими системы. Уславливаются и в этом случае говорить,
что эти С£ составляющих определяют р-вектор; введенные
раньше р-векторы называются простыми. Можно определить
дополнение к непростому р-вектору при помощи тех же
самых формул, что и для простого р-вектора. Аналитически
р-вектор в обобщенном смысле может быть определен как
совокупность Ср чисел PIJ*-lp .имеющихр различных антисим-
метрических индексов, то есть таких индексов, при
перестановке которых составляющая или. вовсе не меняется, или
меняет знак в зависимости от того, четной или нечетной
является перестановка.
IV. Бивекторы и бесконечно малые вращения
л (л — 1) .,
Бивектор определяется при помощи —~—■ величин aU =
= —al'\ бивектор тогда и только тогда является простым,
если его составляющие удовлетворяют соотношениям
aUato + atW + aW^O (i, jt ft, A=l, 2 я).
19. Бесконечно малые вращения. Мы приходим к
бивекторам, изучая совокупность вращений, зависящую от одного
параметра.
Пусть пространство отнесено к декартову реперу
Скорость точки х пространства в некоторый момент t
имеет составляющими линейные формы от координат; в самом
деле, пусть
— уравнения движения, где xf1 обозначают координаты
движущейся точки в начальный момент t0. Предположим, что фумк-
•) Картан пользуется здесь аналогией с понятием эквивалентности
двух систем векторов, приложенных к некоторой точке. Две системы
считаются эквивалентными vpaBHUMii), если рапиы их главные пекторы,
являющиеся суммлми векторов каждой, системы. Аналогично атому
Картан вводит поинтие о ракных системах мультивекторов. [Прим ред.)

Эб ГЛАВ A I
шш o.'k (t) дифференцируемы; скорость точки, имевшей в
начальный момент положение (x)t определяется составляющими
но Xм суть линейные однородные функции координат (х1)'
движущейся точки в момент /; таким образом, v1 являются
линейными функциями этих координат.
Изменяя несколько обозначения, имеем
эти формулы дают скорость в момент / точки, имеющей
координаты х1 в этот момент. Скорость должна быть
перпендикулярна к вектору с началом О и концом х; следовательно,
xtv'=alkxtxk = a^x* = 0;
отсюда at,-\-а.( — 0; а'к суть смешанные составляющие
бивектора.
Бесконечно малым вращением называется переменное
вращение, совершающееся в бесконечно малый интервал времени
(t, t-\-dt); оно дает каждой точке х элементарное
перемещение, равное bx = vdt, где v — скорость в момент t.
Каждое бесконечно малое вращение определяется,
следовательно, формулами:
l (11)
где alh — смешанные составляющие бнпектора. Бесконечно малые
п{п — \)
вращения зависят лнкейно от —■ параметров.

ГЛАВА II
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
1. Определение тензоров
20. Первый пример линейного представления. Выше мы
рассматривали линейные преобразования S, определяющие
вращение SR вектора х эвклидова пространства Еа, отнесенного
-*■-*■ -*■
к некоторому неподвижному декартову реперу (е1( е2,...,е„).
Эти линейные преобразования имеют следующее очевидное
свойство: если преобразования S н S' соответствуют
вращениям 31 и SR', преобразование, соответствующее вращению SR'SR
(получающемуся в результате последовательного применения SR
и SR'), является произведением S'S подстановок 5 и S'. Мы
будем говорить, что совокупность преобразований 5 образует
линейное представление группы вращений.
Еслн ввести новый репер, который не может быть получен
из старого при помощи вращения или отражения, то
вращение SR, определявшееся подстановкой S, выразится при помощи
нового линейного преобразования Т. Совокупность
преобразований Т дает новое линейное представление группы вращений.
Очевидно, что существует тесная зависимость между этими
Двумя представлениями, которые аналитически выражают один
и те же геометрические операции над одними и теми же
геометрическими объектами. Эта зависимость заключается в
следующем: если х1 суть составляющие вектора в первой репере,
У—составляющие того же вектора во втором, то зависимость
между х1 и у1 выражается некоторой линейной подстановкой а;
преобразование Т получается из соответствующего
преобразования S, если над переменными х1 и (х1)' выполнить одну и ту
же линейную подстановку, именно, ту, которая преобразует х'
в у1. Таким образом, мы переходим
от У к х1 при помощи подстановки а"1;
. х< к (*')' ... .5;
. (*')' х (У)' . ■ '' ■ «

38 ГЛАВ All
следовательно, переход от У к {у')' происходит при помощи
преобразований а~', S, о, а это записывается при помощи
следующей формулы
Мы будем говорить, что линейное представление Т группы
вращений эквивалентно линейному представлению S, причем
эта эквивалентность выражается в том, что существует
определенное линейное преобразование а, при помощи которого
каждой подстановке S первого представления соответствует
преобразование aS'o~l второго.
21. Общее определение линейных представлений группы
вращений. Возьмем два вектора {х1) и (У), отнесенных к
одному и тому же декартову реперу, и образуем п2 произведений
xl%/\ при вращении эти произведения подвергаются линейной
подстановке 2, причем эта последняя обладает тем свойством,
что, если 2 и 2' соответствуют вращениям 5R и SR1, то пре-
-. образование 2'2 соответствует 3ft'9t • я* величин x'yf дают,
таким образом, новое линейное предстарление группы вращений,
отличное от первых двух.
Вообще совокупность линейных преобразований S над г
переменными uv'uv .... иг дает линейное представление
группы вращений, если каждому вращению 9? соответствует
определенная подстановка S, причем произведению JR'SR двух
вращений соответствует произведение S'S соответствующих
преобразований. Целое число г называется порядком
представления.
22. Эквивалентные представления. Два линейных
представления группы вращений называются эквивалентными, если:
1° они имеют одинаковый порядок,
2° можно перейти от одного представления к другому,
выполняя над переменными этого представления определенную
линейную неособенную подстановку а (с определителем,
отличным от нуля).
Если S и Т соответствуют врящению 1^, то
где о обозначает некоторую определенную подегшопку.

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 39
Линейное представление называется точным, если двум
различным вращениям соответствуют два различных линейных
преобразования.
23. Понятие об эвклидовом тензоре. Можно поставить
вопрос о конкретной интерпретации тех переменных а,, я^...,^,
которые фигурируют в линейном представлении группы
вращений. Можно говорить, что совокупность г чисел (и,, а2,..., и,)
образует объект, и условиться считать, что результат
применения к объекту (к,, иъ, ..., иг) вращения SR сводится к
совмещению его с объектом (a'v u'2, ...,и'г), составляющие
которого и\ получаются из и, при помощи подстановки S,
соответствующей JR. Такое условие является вполне законным,
так как результат применения вращения SR' к объекту (и1) тот
же самый, что и результат применения вращения SR'tR к начальному
объекту (я). Можно, между прочим, сузить рассматриваемое
семейство объектов (а), налагая на составляющие и,, uv ...,ur
требование удовлетворять определенным алгебраическим
соотношениям при условии, что:
1° составляющие их, и^ иг объектов суженного
семейства не удовлетворяют никакому линейному соотношению с
постоянными коэффициентами,
2° алгебраические соотношения, определяющие суженное
семейство, должны быть инвариантными при преобразованиях
линейного представления.
Полученная таким образом совокупность называется
эвклидовым тензором; условимся говорить, что он отнесен к
точке О. Два эвклидова тензора называются эквивалентными, если
они соответствуют одному и тому же линейному представлению
группы вращений или двум эквивалентным представлениям.
Например, совокупность векторов (с началом в точке О),
совокупность векторов длины 1, совокупность изотропных
векторов образуют три эквивалентных тензора; если каждый
вектор одной нз этой совокупности определить составляющими в
декартовом репере, то вторая совокупность характеризуется
соотношением Ф(л;)=1, третья — соотношением Ф(х) = 0,где
Ф(лг) — фундаментальная форма. Важно заметить, что теизор
определяется не природой тех объектов, которые его
составляют, но выбором составляющих, определяющих его аналитически.

40 ГЛАВ А II
Например, пара противоположных вещественных векторов
х и — х может быть представлена аналитически или при помощи
<|(я + 1) одночленов *V, или при помощи 2
одночленов x'x^xkxh; каждое из этих аналитических
представлений определяет эвклидов тензор, и эти два тензора не
эквивалентны.
Разумеется, все то, что было сказано относительно группы
вращений, можно было бы распространить на группу вращений
и отражений; нужно, однако, отметить, что тензор относительно
группы вращений не является необходимо тензором относительно
группы вращений и отражений, в дальнейшем мы встретим
соответствующий пример (п. 51). Таким образом, следует
различать эвклидовы тензоры в узком смысле, дающие линейные
представления группы вращений, и эвклидовы тензоры в
широком смысле, соответствующие линейным представлениям группы
вращений и отражений. В вещественном псевдоэвклидовом
пространстве можно провести более детальную классификацию в
зависимости от того, рассматривается ли группа собственных
вращений, или же всех вращений, или группа собственных
вращений и отражений и т. д.
24. Другая точка зрения. Можно также встать на
несколько иную точку зрения, которая обычно и применяется в
тензорном исчислении. Рассмотрим уравнения, которые
Определяют вращение SR, примененное к вектору х, отнесенному к
данному декартову реперу R. Уравнения подстановки S,
соответствующей вращению Ы, могут быть рассматриваемы как
определяющие переход от составляющих х1 вектора к
составляющим (х1)' того же самого вектора, но отнесенного к
реперу R', который получается из R при помощи вращения Ы.
При этой точке зрения мм рассматриваем подстановку S как
преобразование координат, причем S определяет поворот
старого репера в новое положение, определяемый аналитически
б старом репере. Важно отметить, что старый и новый реперы
равны с точки зрения группы вращений. Линейное
преобразование группы нрэщений дает, таким образом, преобразование
координат, оперируя над составляющими произвольного вектора,
но различные рассматриваемые системы координат не

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 41
являются .произвольно выбранными декартовыми системами:
они должны быть все эквивалентны относительно группы
вращений, так как соответствующие реперы конгруэнтны.
Можно было бы также рассматривать формулы, дающие
преобразования составляющих вектора, когда вектор относится
V совершенно произвольным переменным декартовым реперам.
Линейные преобразования, получающиеся при этом, дают уже
линейное представление не группы вращений, но более
обширной группы аффинных вращений; они выражаются линейными
преобразованиями совершенно произвольными, С этой точки
зрения вектор и р-вектор являются аффинными тензорами
в том смысле, что они дают линейные представления группы
аффинных вращений. Таким образом понятие тензора и
вводится в классическом тензорном исчислении.
П. Тензорная алгебра
Понятие о тензоре может быть обобщено для любой
группы G', тензор, относящийся к группе О, может быть определен при
помощи линейного представления этой группы. Объекты,
которые определяют этот тензор, могут быть конкретно
интерпретированы различными способами.
Какова бы ни была рассматриваемая группа С, тензорное
исчисление вводит определенные простейшие операции и
подчиняется определенным общим теоремам, которые мы кратко и
укажем,
25. Сложение двух эквивалентных тензоров. Возьмем
два эквивалентных тензора с составляющими дг1, дг2, .,., У
н у\ у*, ..., /, которые выбраны таким образом, что линей»
ное преобразование, соответствующее любому элементу группы О,
одно и то же для переменных х' и для у'. Назовем суммой
этих тензоров тензор с составляющими х' ~\-у'\ эта сумма
дает тензор, эквивалентный данным тензорам. Вообще,
величины mje'-j-лу, где т и а— определенные постоянные,
определяют тензор, эквивалентный данным.
26. Произведеиие^двух любых тензоров. Пусть дани два
тензора (эквивалентные или неэквивалентные) с составляющими

42 Г Л А В А II
х1, xi, .,,,/, н/, /, ..., уг; произведением этих
тензоров называется тензор, определяемый составляющими х'уК
27. Некоторые основные теоремы.
Теорема I. Пусть х:, х2, ..., хг — составляющие
тензора, у, уг, .... у—переменные, которые преобразуются
элементами группы О так, что сумма xlyt остается
инвариантной; г величин yt определяют тензор, природа которого
зависит только от природы первого тензора1).
В самом деле, пусть
— линейные преобразования составляющих первого тенэора
при применении элементов группы G; преобразования у{—*у
величин у1 удовлетворяют тождеству
откуда
отсюда вытекает, что у\ связаны с yk линейной подстановкой,
зависящей исключительно от линейного преобразования
составляющих х{.
Теорема II. Пусть хх, х2 хг—составляющие
тензора, yv уг, ..., ух — величины, которые преобразуются
элементами группы G таким образом, что выражения
(о = 1, 2, .... А)
преобразуются как составляющие тензора; тогда hr
величин с*лук (/ = 1, 2, ..., г; о = 1, 2, ..., Л) определяют
тензор, природа которого зависит только от природы тензора
(х) и тензора (г). Порядок этого тензора равен числу
независимых линейных форм с{аУц-
J) Мы говорим, что два тензора одной и той же природы, если
они эквивалентны.

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 43
Предположим, в самом деле, что любым элементом группы О
величины х1 и г, преобразуются линейно:
имеем
откуда
<МЛ=^аЛ (fl==1. 2 А;у=1, 2 г).
Эти уравнения могут быть разрешены относительно
величин с*лу'л, причем эти последние выразятся линейно че-
Рез <д
28. Приложение. Мы видели (п. 19), что каждое беско-
п(п — 1)
иечно малое вращение зависит от ——=—- величин atj=—ajt,
причем вектор скорости v{ точки х? определяется следующим
образом:
■ Мы говорили, что величины alk могут быть рассматриваемы
как составляющие бивектора. В действительности мы не
доказали этого: мы не убедились, что при применении вращения
к вектору х и его скорости v{ величины а{. будут
преобразовываться как Составляющие бивектора. Рассмотрим
произвольный вектор у и скалярное произведение yv = alkylx* =
= 2а/Л(У**—У'х1) (второе суммирование распространяется
на Г" сочетаний из индексов 1, 2, ..., л по два). Эта
сумма является инвариантом; с другой стороны, величины
jO*—у*х* определяют тензор, следовательно, являются
составляющими тензора и а^ (теорема I), и закон преобразования a(h
зависит только от закона преобразования величии /х*—у*х*.

44 Г Л Л В А II
С другой стороны, пусть и и v — два произвольных вектора,
сумма
2 (ufvt — vJtk) [у1 я* — у^х1) = u.ytivlxk — ^Vyfykx'
Ik
является инвариантом; таким образом, величины u{vk — ukvt
преобразуются, как а1к, и являются составляющими простого
бивектора; следовательно, бесконечно малое вращение
определяет тензор, эквивалентный бивектору*
III. Тензоры приводимые и неприводимые
29. Определение. Тензор, соответствующий группе G,
называется приводимым, если из его составляющих uv
uv ..., иг можно образовать р <V линейных комбинаций с
постоянными комплексными коэффициентами, обладающих
тензорным характером, то есть линейно преобразующихся между
собой любым преобразованием из группы О.
Тензор, не являющийся приводимым, называется
неприводимым.
Тензор называется вполне приводимым, если при
помощи линейного преобразования над составляющими их можно
разбить на определенное число классов:
Уи Л У?
Z\t 2*2, • • • i Zft
таким образом, что составляющие каждого класса линейно
преобразуются между собой неприводимым образом.
Ясно, что тензор, эквивалентный неприводимому, сам является
неприводимым; то же имеет место в случае полной приводимости.
Тензор, принадлежащий к группе О, дает ее линейное
представление, а также и каждой подгруппы g этой группы;
таким образом, он является тензором и для g. Если он иепри-
.водим относительно подгруппы g, то он, очевидно, является
неприводимым и относительно О, но обратное не всегда
справедливо. Мы уже приводили пример, когда О является
группой вращений и отражений, a g — группой вращений.

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 45
30. Критерий неприводимости. Понятие неприводимости
можно представить следующим образом. Будем интерпретировать
г составляющих рассматриваемого тензора как составляющие
вектора r-мерного пространства. Если этот тензор приводим, то
существует $<^г линейных комбинаций г величин и,,
преобразующихся линейно между собой преобразованиями из группы О.
Следовательно,плоскость II,проходящая через начало и
определяемая приравниванием нулю этнх р форм, инвариантна относительно
группы О. Обратно, если О оставляет инвариантной некоторую
плоскость II, проходящую через начало, левые части линейных
уравнений, определяющих II, преобразуются между собой
линейно при подстановках S, то есть тензор является
приводимым. Таким образом, тензор тогда и только тогда является
неприводимым, если преобразования S не оставляют
инвариантной никакую плоскость, проходящую через начало.
31. Одно свойство неприводимых тензоров. Отсюда
можно вывести одно свойство неприводимых тензоров, которое
будет полезно для нас в дальнейшем. Будем интерпретировать
каждый частный тензор рассматриваемого семейства тензоров
вектором и в г-иериом пространстве Ег. Мы не получим,
таким образом, обязательно всех векторов пространства Ег,
но так как не существует линейной и однородной зависимости
между составляющими a,, tfj,..., uf тензоров семейства, то
каждый вектор пространства ЕТ может быть представлен в виде
линейной комбинации векторов, интерпретирующих тензоры
семейства. Предположим, что тензор неприводим и применим к
вектору uQ, изображающему некоторый частный тензор
семейства, все преобразования из группы G. Мы получим
определенную совокупность векторов. Эти векторы не могут
лежать в одной и той же плоскости П, проходящей через
начало. В самом деле, пусть П имеет наименьшее число
измерений среди таких плоскостей; тогда каждый вектор и
плоскости II является линейной комбинацией определенного числа
векторов совокупности, например, векторов, которые получаются
из и0 при помощи преобразований Sv S2, ..., Sp. Применив
к этому вектору и преобразоваьие из группы О, определяемое

46
Г Л А В А II
подстановкой S, мы получим ту же линейную комбинацию
векторов SS^q, 552a0, .... SSpua, которые все по
предположению лежат в П. Следовательно, преобразования S оставляют
инвариантной плоскость П, а так как тензор неприводим, то
это может быть только -и том случае, если II совпадает со
всем пространством.
32. Проблема. Рассмотрим неприводимый вектор с г
составляющими «j, «г иг. Исследуем вопрос, существует
ли такое линейное преобразование составляющих
(преобразование базиса), при котором новые составляющие для каждого
элемента из группы G преобразуются той же самой линейной
подстановкой S, что и старые составляющие.
Пусть о—искомая линейная подстановка, преобразующая
старые составляющие в новые; тогда при любом
преобразовании S мы должны иметь:
oSq~1 = S или <jS=So. (1)
-+•
В пространстве Ег векторов и существует всегда вектор
и0, который при преобразовании а не изменяет направления, а
умножается только на некоторое число т. В самом деле, пусть
о определяется уравнениями
ищем г чисел и,, удовлетворяющих уравнениям:
cfa^mu, (/=1, 2 г).
Эти уравнения допускают нетривиальное решение, если
определитель
с\ — т с? ... сг.
С,-т
равен нулю; достаточно за т принять одни из корней этого
полинома.

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 47
ои01= ти0
Из уравнения
и соотношений (1) выводим
таким образом, преобразование о умножает вектор Su0 на т.
Но так как тензор приводим, то каждый вектор пространства Е
является линейной комбинацией векторов Su0, то есть при
применении а умножается на т. Следовательно, v,-=mu{.
Теорема. Единственное линейное преобразование
переменных, оставляющее инвариантными все подстановки
линейного неприводимого представления группы G, состоит в
умножении всех переменных на один и тот же постоянный
множитель т.
33. Нахождение неприводимых тензоров, которые могут
быть получены из вполне приводимого тензора. Применим
полученные выше результаты к решению следующей проблемы.
Возьмем вполне приводимый тензор, относящийся к группе О.
Предположим, например, что соответствующим выбором
составляющих он разлагается на 5 неприводимых тензоров, из
которых 3 первых эквивалентны между собой, так же как и два
последних. Обозначим соответственно через
Ху, Хг, . • • , • pt
У» Л» • • • • У?
«I. г*. • • ■. V
«и Ч V
«„ в„ . . ., vg
составляющие этих пяти тензоров. Мы можем предполагать, что
составляющие х{, у{, zt выбраны таким образом, что линейные
преобразования над переменными х{, у,, г, одни и те .же;
аналогично — относительно и, и vr
Определим все неприводимые тензоры, которые можно
выделить из заданного вполне приводимого тензора. Составляющие
такого тензора будут линейными комбинациями xf, yt, zit u(, v(.

48 Г Л А В А II
Пусть
2 аЛ + 2 V/ + 2с А + 2А.«. + Ч^Р
— одна из этих составляющих. Если один из коэффициентов
а( отличен от нуля, то невозможно, чтобы все составляющие
х{ отсутствовали в какой-нибудь другой из линейных комбинаций,
образующих искомый тензор; в самом деле, в противном случае
совокупность всех линейных комбинаций, в которые не входят
Х[, обладала бы сама тензорным характером. С другой стороны,
различные величины 2я,*/ преобразуются линейно между собой,
н, так как х, образуют неприводимый тензор, отсюда следует,
что искомый тензор содержит обязательно р независимых
составляющих, которые могут быть приведены к виду
JCj -р ...»
■f«"| • » • I
где многоточия обозначают линейные комбинации переменных
у{, z{, u[t vf.'p линейных комбинаций из у„ которые здесь
фигурируют (мы предполагаем, что они не равны все нулю),
преобразуются тогда как хх, х2, ... , jcp; следовательно (п. 32),
они имеют вид myv m_y2,..., my . Аналогичную картину имеем
для комбинаций из zt. Что касается переменных и{, то они не
могут входить, так как р линейных комбинадий, которые тогда
фигурировали бы, преобразовывались бы между собой как х,;
отсюда вытекало бы, что q = p и что и{ образует тензор,
эквивалентный л*,-, что противоречит предположению.
34. Приложение. Из полученных результатов вытекает один
важный вывод. Предположим, что ь<ы имеем класс объектов,
преобразующихся между собой элементами группы О, и что
каждому объекту можно отместн некоторую совокупность г
величин ив, обладающих следующими свойствами:
1° каждому элементу группы G соответствует определенная
линейная подстановка S, преобразующая величины ил;
2° линейные преобразования 5 лают линейное представление
группы О.

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 49
Возникает вопрос, может ли между и% существовать одно
или несколько линейных соотношений с постоянными
коэффициентами.
Сделанное предположение сводится к тому, что в некотором
Г-мерном пространстве Ег векторы х. определяют своими г со*
ставляющими ха некоторый тензор 2. Векторы и, отнесенные
К объектам рассматриваемого класса, образуют только часть
Векторов х пространства Ег. Но подстановки 5 преобразуют
их между собой; следовательно, плоскость наименьшего числа
измерений, содержащая векторы и, инвариантна при
подстановках S. Левые части уравнений, определяющих эту плоскость,
определяют тензор, выделенный из £. Следовательно, линейные
соотношения между иа получаются приравниванием нулю всех
составляющих некоторого тензора, выделенного из %.
Предположим, например, что тензор % разлагается на три
неприводимых эквивалентных между собой тензора и что
составляющие
xv хг xf У\г Уъ> • • • *Уу г\<гг *f
втих трех тензоров выбраны таким образом, чтобы х,, у, и zf
преобразовывались одной и той же линейной подстановкой для
каждого данного элемента группы G. Искомые соотношения
подучатся, если выписать одну или несколько систем р
соотношений вида
«1 = 0 (1 = 1, 2 р),
где а, Ь, с — постоянные коэффициенты.
35. Основная теорема. Применим полученные результаты
к доказательству следующей замечательной теоремы:
Теорема Бернсайда1). Между коэффициентами
линейных подстановок S, образующих неприводимое линейное
представление группы G, не может существовать линейных
соотношений с постоянными коэффициентами.
. О
») London Math. Soc. Proc. 3, 1905, ttp. 430.

50 Г Л А В А 11
Рассмотрим линейное представление порядка л, и пусть
uf. обозначают коэффициенты подстановки 5 общего вида:
x'i = uixk (' = 1,2,..., л).
Если А — некоторая частная подстановка этого
представления, то S=AS некоторая другая подстановка, причем ее
коэффициенты (и^)' связаны с и/ соотношениями
(«>)' = **«/. (2)
Каждому элементу а группы G соответствует, таким образом,
лннейиое преобразование (2) над л2 величинами а£ эти
линейные преобразования дают линейное представление группы О,
так как произведению элементов а и. Ь нз О соответствует
последовательное применение двух преобразований
У = AS, S'
Мы можем теперь применить теорему предыдущего параграфа.
Если в уравнениях (2) мы фиксируем индекс /, то величины
и{) "]• * " • "л преобразуются так же, как преобразуются при
подстановке А составляющие тензора, соответствующего данному
представлению; так как этот тензор неприводнм, то отсюда
следует, что тензор u>t разлагается на л неприводимых
тензоров, эквивалентных между собой. Следовательно, все линейные
соотношения между и^ получатся, если выписать одну или
несколько систем уравнений вида
т1и)-\-тги21-{-... + тпи?=х0 <i = l,2 л),
где тк—постоянные. Но такие соотношения невозможны, так
как определитель подстановки S был бы нулем. Теорема, таким
образом, доказана.
В качестве примера возьмем группу вращений вещественной
плоскости в применении к векторам:
x'=xcosa— ysina,
у' = х sin a -\~ у cos a;
так как коэффициенты этого преобразования линейно зависимы,
то вектор не может быть неприводимым тензором. В самом деле,

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 51
он разлагается на два неприводимых тензора х-\-1у и х — 1у,
имеющих по одной составляющей.
36. Критерий неприводимости. Иэ теоремы Бернсайда
вытекает критерий неприводимости линейного представления.
Теорема. Линейное представление группы О тогда а.
только тогда не приводимо, если между коэффициентами
различных подстановок, определяющих данное представление,
не существует линейных соотношений с постоянными
коэффициентами, не равными одновременно нулю.
Условие необходимо на основании теоремы Бернсайда. Оно
очевидно и достаточно, так как если оно выполнено, то из
данного тензора % порядка г невозможно выделить никакого
тензора %' более низкого порядка р; в самом деле, если за р
первых составляющих тензора % принять составляющие тензора
%', то коэффициенты при л— р последних переменных в первых р
уравнениях подстановки S были бы все равны нулю.'
IV. Матрицы
37. Определение. Каждое линейное преобразование 5 над
л переменными х{:
x't = a}xk (/ = 1, 2,...,л)
может быть определено при помощи матрицы — квадратной
таблицы с п строками и л колоннами, составленной из
коэффициентов преобразования. Эту матрицу мы будем обозначать
также буквой S. Если над преобразованными переменными х'(
выполнить новую подстановку S:
то результирующая подстановка S'^&S определяется
формулами
Отсюда выводим аакон умножения матриц; элементы #{
матрицы S"=S'S и еют^ид:

52 Г Л А В А II
В общем случае можно рассматривать прямоугольные (не
квадратные) матрицы и определить предыдущими формулами
произведение S'S при условии, что число столбцов матрицы S'
равно числу строк матрицы S. В частности, обозначив через х
матрицу с л строками и 1 колонной, элементами которой
являются xlt х2,..., хп, через х1 аналогичную матрицу,
получающуюся при преобразовании S, имеем
38. Сложение, умножение яа число. Суммой £-[~3' двух
матриц S и S', имеющих одинаковое число строк и столбцов,
называется матрица, элементы которой получаются сложением
соответствующих элементов матриц S и S'.
Произведением rnS матрицы S на число т называется
матрица, получающаяся при умножении всех элементов матрицы S на т.
39. Замечание к вычислению произведения матриц.
Необходимо сделать одно замечание к вычислению произведения
S'S двух линейных преобразований. Если пытаться получить
х *, соответствующее преобразованию S'S, подставляя в уравнениях
x't=afxk, соответствующих преобразованию S, вместо хк ре-
эультат применения S', то есть ^*А, то получится
неправильный результат
вместо
xl —
Для того чтобы применить указанный процесс вычисления,
следует S' и S поменять местами, применяя сначала S',
затем S. То же следует заметить о произведении нескольких
преобразований.
40. Матрицы транспонированные и обратные.
Транспонированной матрицей S* от матрицы S называется матрица,
получающаяся из S заменой строк столбцами. Таким образом,
матрица х* имеет одну строку и л столбцов, составленных из
элементов jCj, хг,..., хп.

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 53
Из равенства S' = S'S получаем при переходе к транспониг
ррванным матрицам следующее соотношение:
5"* = 5*5'*;
*ц частности, формула x' = Sx дает x'*=x*S*.
' Матрицей 5"1, обратной данной квадратной матриг.г 5,
определитель которой ие равен нулю, называется матрица,
Соответствующая линейному преобразованию, обратному 5. Имеем
где через 1 мы будем обозначать (в тех случаях,- когда не мо-
усет возникнуть недоразумения) матрицу, диагональные элементы
(соторой равны единице, а_ все остальные нулю. Имеем при
любом выборе матрицы 5
15 = 51=5.
Будем называть диагональной такую матрицу, элементы которой.,
{ie стоящие на главной диагонали, равны нулю.
41. Подобные матрицы. Мы видели (п. п. 20, 22), что при
вамене переменных в линейной подстановке 5 новыми перемен*
рыми, связанными со старым линейным преобразованием А,
Получается подстановка ASA~l. Будем говорить, что матрицы S
|i ASA'1 подобны и что вторая преобразована из первой при
помощи матрицы А.
Подобные матрицы имеют равные детерминанты. Матрица,
преобразованная из S'S при помощи А, равна произведению
матриц, преобразованных из 5 и 5'; это вытекает из равенства:
А
Диалогично матрица, обратная преобразованной, равна
преобразованной обратной, так как
{ASA-1) (/Ш-»)-> = {ASA-1) (А5-М-1) = ASS-*A-* = I.
42. Характеристическое уравнение. Собственные
значения. Характеристическим уравнением квадратной матрицы S
Называется уравнение с неизвестной X, получающееся
приравниванием нулю определителя матрицы 5—X; элементы
последней получаются вычитанием X ьз элементов главной диагонали
о

54 ГЛАВАМ
матрицы S. Корни характеристического уравнения называются
собственными значениями матрицы S.
Две подобные матрицы 5 и ASA~l имеют одинаковое
характеристическое уравнение, так как
ASA-1 —).-.A(S — l)A-\
откуда
] ASA-1 — ).\ = \A'\S — M|/4-i| = |S— M-
Если 10 является собственным значением матрицы S,
соответствующей линейному преобразованию в векторном
пространстве Еп, то существует ненулевой вектор ха, который при
преобразовании 5 умножается на ),0:
-*- -+•
SXq = ),х о.
43. Унитарные матрицы. Квадратная матрица U с
комплексными элементами называется унитарной, если
соответствующее линейное преобразование оставляет инвариантной сумму
квадратов модулей переменных, то есть произведение х*х, где
х обозначает матрицу с одним столбцом и п строками,
комплексно сопряженную с х. Имеем:
x*'x' = x*U*Ux;
таким образом, условие того, что U является унитарной
матрицей, выражается следующим образом:
то есть матрица, транспонированная и комплексно
сопряженная с U, равна матрице, обратной U.
Теорема. Каждая унитарная матрица может быть
преобразована при помощи унитарной же матрицы к
диагональному виду, причем модули стоящих на главной
диагонали элементов преобразованной матрицы равны единице.
Условимся называть скалярным произведением двух векторов
х и у величину х*у. Это произведение при перестановке
векторов меняет свое значение на комплексно сопряженное.
Скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов модулей его

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 55
составляющих; если этот квадрат равен нулю, то равен нулю и
вектор. Вектор, скалярный квадрат которого равен 1, будем
Называть унитарным. Два вектора называются взаимно
перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.
Отметим, Г.аконец, что каждая унитарная матрица U оставляет
инвариантным скалярное произведение двух векторов; в самом челе,
Обратимся теперь к доказательству теоремы. Пусть )> —
собственное значение матрицы U; тогда существует ненулезой вектор
х, удовлетворяющий соотношению
при помощи транспонирования и перехода к комплексно
сопряженным значениям получаем
откуда при помощи перемножения получаем
x*U*Ux = x*x=:)Ix*x, то есть П=1.
Таким образом, все собственные значения матрицы U по
модулю равны I.
Отметим, с другой стороны, что матрица,
преобразованная из U при помощи унитарной матрицы, также является
унитарной:
Обозначим через ех унитарный вектор, который при
преобразовании U умножается на \v Матрица U оставляет
инвариантным подпространство, в котором лежат векторы,
перпендикулярные к в,; в этом подпространстве существует по крайней
мере один вектор е2, который можно считать унитарным и
который при преобразовании U умножается на \г. Матрица U
оставляет инвариантным подпространство, ортогональное к в, и
Г9', в этом подпространстве существует по крайней мере один
унитарный вектор е^, который при преобразовании U умножается

26 Г Л А В А II
на \, и так далее. Мы приходим, таким образом, к базису
*ii еъ* - ••»ея- Каждый вектор может быть представлен в виДй
причем скалярный квадрат этого вектора равен
-)-.. .-\-упуп. Таким образом, преобразование С, переводящее
х1 в уп унитарно, и матрица U' = CUC~l, определяющая
преобразование над y[t переводит вектор 2у,е, в JX^e,.
Следовательно, W — диагональная матрица, и ее диагональные элементы \,
по модулю равны единице.
44. Ортогональные матрицы. Квадратная матрица
называется ортогональной, если соответствующее линейное
преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных,
то есть х*х. Соотношение
х*О*Ох = х*х
дает
0*0 = 1, или 0* = 0~\
то есть транспонированная ортогональная матрица равна
своей обратной.
Если ортогональная матрица имеет вещественные элементы,
она унитарна. Приведение, указанное в предыдущем параграфе,
дает в рассматриваемом случае я векторов elt ev ..., еП,
комплексных, если соответствующие собственные значения комплексны,
вещественных при вещественных собственных значениях (равных
тогда ztl); кроме того, сумма квадратов модулей
составляющих каждого вектора равна 1. Выберем один из этих векторов,
например е{, пусть это — комплексный вектор
причем 1),, 1), вещественны. Нетрудно видеть, что г,
определяет изотропное направление в пространстве, то есть
-♦■ -*■
4i и 1»—единичные взаимно перпендикулярные векторы, причем
От), = cos от)! — sin от),,

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
57
Матрица О оставляет инвариантной плоскость, ортогональ-
вую к цг и Г)2, причем она преобразует векторы этой
плоскости ортогональным преобразованием. Таким образом, можно
—»■ —*
найти два единичных вектора т]3, г\о ортогональных между со-
бой и к Tjj, т)2; эти векторы 7]3,7]4 преобразуются аналогичным
образом. Собственным значениям + 1 матрицы О соответствуют
векторы, которые при ортогональном преобразовании или
инвариантны, или только меняют знак.
В результате мы видим, что при помощи некоторой
ортогональной матрицы С можно матрицу О преобразовать к виду,
аналогичному следующему:
cos a
sin а
0
0
0
0
— sin а
cos а
0
0
0
0
0
0
cos [5
sin j$
0
0
0
0
—-sin [$
cosfl
0
0
0
0
0
0
I
0
01
0
0
0
0
1
Определитель такой матрицы равен + 1; матрица называется
прямой ортогональной, если ее определитель равен-{-1.
45. Применение к разложению вещественного вращения»
Полученный результат дает интересное свойство группы
вращений и отражений вещественного эвклидова пространства,
В этом пространстве, отнесенном к ортогональному реперу,
вращения и отражения определяются вещественными
ортогональными матрицами. Назовем простым вращением такое
вращение, при котором все координаты, за исключением двух,
например, х,, х. постоянны, причем
x't=xt cos a — Xj sin о,
x'j=xt sin a -\- Xjcos a;
a называется углом простого вращения; двумерная плоскость,
Построенная на е{, tp — плоскость этого вращения. Мы можем
формулировать следующую теорему: .

■5ft Г Л А Б A It
Каждое вращение есть произведение некоторого числа *^-к-
простых вращений, двумерные плоскости которых взаимно
перпендикулярны; каждое отражение есть произведение
некоторого числа *s; —=— простых вращений и симметрии
относительно гиперплоскости, содержащей двумерные плоскости
•всех простых вращений.
46. Эрмитовы матрицы. Квадратная матрица И называется
эрмитовой, если ее транспонированная равна комплексно
сопряженной:
Матрица, преобразованная из эрмитовой при помощи
унитарной, является эрмитовой; это следует из соотношения
{С-1)*Н»С\=СНС-К
Теорема. Каждая эрмитова матрица может быть пре-
■образована при помощи унитарной к диагональному виду, в
мотором все элементы вещественны.
Покажем прежде всего, что собственные значения матрицы//
вещественны. Из соотношения
переходя к транспонированным комплексно сопряженным
матрицам, получаем
умножая первое соотношение слева на х*, второе справа на
х, получаем
х*Нх = \х*х^х к х*х,
откуда \ = X.
Введем теперь в векторном пространстве унитарную метрику,
в которой скалярное произведение векторов х, у определяется
формулой х*у. Существует по крайней мере один унитарный
вектор ev который при преобразовании И умножается на

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 59
вещественное число ).j. Каждый вектор х, перпендикулярный к
-»■ -*■ —г
«,, преобразуется в вектор х\ перпендикулярный к ех; это
следует из соотношения
Так как подпространство, в котором лежат векторы,
перпендикулярные к в,, инвариантно относительно преобразования//,
то оно содержит по крайней мере один унитарный вектор
еь, который при применении И умножается на вещественный
множитель \2. Продолжая это рассуждение дальше, мы
приходим к системе л взаимно перпендикулярных унитарных
векторов ep ev ...,eft которые при применении преобразования И
умножаются соответственно на 1Х, Х2, • • ■ i а„. Принимая эти
векторы за векторы базиса, мы преобразуем И при помощи
унитарной матрицы С в диагональную матрицу с элементами
47. Примечание. Произведение двух унитарных матриц
одного и того же порядка есть матрица унитарная; аналогично
произведение двух ортогональных матриц дает ортогональную
матрицу. Но произведение двух эрмитовых матриц, вообще
говоря, уже не является эрмитовой матрицей. Матрица НИ' тогда
и только тогда является эрмитовой, если
Н'*н* = 7777' или trи=ии\
то есть, если матрицы И и И' перестановочны. Совокупность
линейных унитарных преобразований образует группу, как и
Совокупность ортогональных преобразований; но совокупность
эрмитовых преобразований относительно умножения группы не
образует.
Наоборот, сумма двух эрмитовых матриц является
эрмитовой матрицей; ни унитарные, ни ортогональные матрицы этим
свойством не обладают.

60 Г Л А В А II
V. Неприводимость р-векторов
В заключение этой главы мы исследуем мультивекторы с
точки зрения их неприводимости относительно группы
вращений. Мы будем иметь в виду прежде всего вещественное
эвклидово пространство, отнесенное к ортогональному реперу, но
результаты могут быть применены без изменения к комплексному
пространству.
48. Неприводимость р-вектора относительно группы
вращений (п =^=2р). Обозначим через а, симметрию,
Соответствующую вектору е{ базиса. Если бы р- вектор был
приводим, то существовал бы тензор % порядка г<^&,
составляющие которого были бы линейными комбинациями составляющих
*/,/....' ') р-вектора. Предположим, что в одной из этих
составляющих коэффициент при хп... „ не равен нулю.
Тогда вращение а^г дало бы новую составляющую тензора £,
которая получилась бы из первой изменением знаков у
коэффициентов при X[t[,,,.[ .содержащих один и только один из
индексов 1 и 2; сложением мы исключили бы Эти велгчины.
Применяя так же вращения а^,..., с^, мы придем к
составляющей тензора £, содержащей xl2...p и только те величины
xU,..i » которые не имеют ни одного из индексов 1, 2,...,р.
Пользуясь, наконец, вращениями охор+1,..., <?,<?„, мы доказали
бы существование составляющей тензора %, содержащей вместе
с *1а...р только те */,/,... / , в которые входит все индексы
I, p-\-2,..., n, но не входит ни один из индексов
1,2,..., р. Но это возможно только в том случае, если
Таким образом, если п=£2р, тензор % содержит
составляющую х1а„. л ио перестановка координат xt в сопровождении
с переменой знака у одной из координат (если перестановка
нечетная) показывает, что тензор 5£ содержит все
составляющие р- вектора, то есть этот последний иепрнводиы.
1) Мы будем обозначать через х[[г j составляющие р- вектора
(вместо обозначения Pl( ( .введенного в п. 15).

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 61
49. Полу-у-векторы пространства Еи. Предположим
теперь, что п — четное: я ■= 2v и p = v. Предыдущее
рассуждение показывает, что тензор % содержит по крайней мере
одну из составляющих вида
О I
XaJ: + 2)... Ы'
Перестановка, примененная к индексам, позволяет вывести
отсюда существование составляющей
в которой следует брать знак (4-) или (—) в зависимости от
четности или нечетности перестановки (klt к-г ка). В
частности, имеем составляющую
. ■„•
Чтобы тензор £ не совпадал с v-вектором, необходимо
принять а? = (—1)\ то есть о = + :"♦. Обратно, выберем,
например a = i?. Величины
где (£j, kv... , Ал) является четной перестановкой, определяют
тензор, В самом деле, составляющие дополнительного v-вектора к
данному определяются следующим образом:
Л,*,- • •*„ = **»+1 *,+2- • '*г/
Этот дополнительный v-вектор образует тензор,
эквивалентный v-вектору. Следовательно, величины xkikr. .fc,4~
~%~тУкхк,- • •*» являются составляющими тензора. При т=-Р
получим найденные выше величины.
V-вектор разлагается, таким образом, иа два
неприводимых тензора; они не эквивалентны, так как а противном
Случае v-вектор дал бы бесконечное число неприводимых
тензоров порядка —-С^(п. 33), между тем как он дает только
два.

62 ГЛАВАМ
В произвольной декартовой системе координат полученные
выше тензоры (мы будем называть их полу-у-векторами
первого и второго рода) определяются составляющими
как это вытекает из выражения для составляющих у-вектора,
дополнительного к данному v-вектору (п. 17).
50. Примечания. Полученные результаты остаются в силе,
если рассматривать группу вращений или даже просто группу
собственных вращений в вещественном псевдоэвклидовом
пространстве, хотя данное выше доказательство должно быть в этом
случае пополнено. Это является следствием одной общей
теоремы, которая будет дана в дальнейшем (п. 75).
Можно поставить вопрос: могут ли р-вектор и ^-вектор
{рфя) образовывать эквивалентные тензоры? Это может быть
только в случае q = n—р, — единственном случае, когда эти
тензоры одинакового порядка.
° Относительно группы вращений р-вектор и (л —
/^-вектор эквивалентны, так как соответствующие составляющие
/?-вектора и дополнительного (л — р) - вектора преобразуются,
очевидно, одинаково при вращении. С другой стороны, мы видели,
что в случае « = 2v полу-v-вектор первого рода и полу-
v-вектор второго рода не эквивалентны.
51. Мультивекторы относительно группы вращений я
отражений. Относительно группы вращений и отражений полу-
V-векторы ие дают уже тензоров, так как симметрия
переводит полу-V-вектор первого рода в полу-v-вектор второго
рода.
Теерема. р-векторы (/7 = 1,2 я) образуют «в-
приводимые тензоры; они не эквивалентны между собой.
Вторая половина теоремы доказывается легко: достаточно
показать, что р- вектор и (л— р)- вектор (л=И=2р) не
эквивалентны. Если бы они были эквивалентны, то можно было бы
установить такое соответствие между составляющими этих
тензоров, что при каждом вращении и отражении составляющие
р-вектора и (л — р)- вектора преобразовались бы одинаково. Мы

ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 63^
знаем, что при группе вращений это можно сделать
единственным образом (п. 32); составляющая уа (л — р)- вектора, которая
должна соответствовать данной составляющей xkikt... kp
р-вектора, может только постоянным множителем отличаться от
составляющей (я — р)-вектора, дополнительного данному р-век-
тору именно у*р+' кр + * ... kn (ftj, k2, ..., kn—четная пе;
остановка) (п. 17). Если воспользоваться прямоугольной системой
координат, то нетрудно видеть, что симметрия, соответствующая
одному из векторов базиса, не меняет соответствующих
составляющих по абсолютной величине, но в то же время у одной
меняет знак на обратный, а у другой не меняет знака.

ГЛАВА III
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА.
I. Понятие спинора
52. Определение. Рассмотрим в трехмерном пространстве Eit
отнесенном к ортогональной системе координат, изотропный
вектор [xlt xv х3). Так как составляющие этого вектора
удовлетворяют соотношению
то ему можно отнести два числа £,>, Ех при помощи следующих
■формул:
Получаем два решения для
Невозможно указать такое правило, имеющее внутренний гео-
метрическнй смысл, которое позволило бы сделать
определенный выбор знака для каждого изотропного вектора, если в то же
время выставить требование, чтобы выбранное решение
изменялось непрерывно вместе с вектором. В самом деле,
предположим, что мы нашли такое правило; возьмем определенный
изотропный вектор и будем его вращать около оси Oxt на
переменный угол а, причем пусть а изменяется непрерывно; так как
jcx — ixt умножится на e~lt, то £,> надо умножить по соображе-
а
ниям непрерывности на е~'?. После полного обхода на угол 2п
величина €0 умножается на е~и = — 1; мы приходим к
начальному положению вектора, но £о имеет новое значение, отличное
от неходкого. .-

СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО UPOCTPAIICTBA 66
Система, двух величин £0) £х называется спинором. Спинор,
таким образом, является как бы ориентированным, или
поляризованным, изотропным вектором; вращение около оси на угол 2п
изменяет поляризацию этого изотропного вектора.
53. Спинор является эвклидовым тензором. Рассмотрим
вращение (или отражение), заданное уравнениями
где a, p, Yt a\ {5', Y\ &"• ?"• Y"— девять направляющих косн-
иусов трех взаимно перпендикулярных направлений. Рассмотрим
спинор ($0, £х), соответствующий изотропному вектору (xt, xv xt),
и один из спиноров (Eg, SJ), соответствующих преобразованному
вектору; имеем:
Правая часть является полным квадратом, так как дискриминант
трехчлена равен
(Y - /YT - (^ - 'V + /р + р-) (_ a + /a' + /р + р») =
= (а- /а')Ч(Р-'Л2 + (У- 'Я2 = 0.
Величина ^, таким образом, линейно выражается через £q, £t;
то же надо сказать и относительно £' После выбора одного
из двух значений величины ^ величина $j определяется из
соотношения
q = - j (a' + 'Л Ч + Г5.6, + { (a'- If) Ц.
В дальнейшем мы выведем линейные преобразования,
создаваемые в области спиноров вращениями н отражениями.

66 ГЛАВА II!
54. Геометрическая интерпретация отношения % • Отно-
ше.ние -А при каждом вращении и отражении преобразуется дроб-
ио-лннейиой подстановкой. Это вытекает очень просто из того,
что отношение ~ может быть рассматриваемо как параметр об*
разующей изотропного конуса, причем каждое вращение или
отражение сохраняет ангармоническое отношение четырех
образующих этого конуса. Если дробно-линейная подстановка
известна, вращение определено; в самом деле, если М —
произвольная точка пространства, то две изотропных прямых,
перпендикулярных к ОМ, преобразуются в определенные изотропные
прямые, к которым перпендикулярна прямая ОМ'; таким
образом, прямая ОМ' определена, то есть определена н точка М',
Эти рассуждения лежат в основе теории параметров Эйлера-
Оликда-Родрига, как мы увидим это дальше.
II. Матрицы, соответствующие векторам
55. Матрица, соответствующая вектору. Вернемся к
спинорам. Уравнений изотропной прямой, определяемой,
изотропным вектором» соответствующим спинору ;, могут быть
написаны в следующем виде:
Рассмотрим матрицу
образованную нз коэффициентов прн (g u ;, > левых частях
уравнений. Рассматривая хъ х2, xt как составляющие некоюрого
лектора х, мы будем говорить, что матрица X соотктствует
зтоиу вектору, причем мы будем говорить часто просто „вектор Л\
вместо »»ектор, которому соответствует матрица К".
Матрицы X обладают следующими важными свойствами.
Вх+«1>-ел=г ■ (1)

Спиноры трехмерного пространства 67
Теорема I. Определитель матрицы, соответствующей
некоторому вектору, равен скалярному квадрату этого век*
тора с обратным знаком.
Теорема II. Квадрат матрицы X, соответствующей
Некоторому вектору, равен единичной матрице, умноженной
на скалярный'квадрат вектора.
В самом Деле,
\ (хх 4- ixb) х3— х^ + ixt), {хх+ *хг) (*i — '*«) + х\)
= (
I о
Теорема III. Скалярное произведение двух векторов х у
равно полусумме произведений XY и YX соответствующих
матриц.
В самом деле, если I, ц — некоторые параметры, то
откуда вытекает справедливость теоремы.
В частности, если построить матрицы, соответствующие
векторам базиса
"i= (i о) • И*= (?"о) • н*= (о —°i
то квадраты этих матриц равны 1, а скалярное произведение
каждой пары меняет знак при перестановке сомножителей:
56. Матрицы, соответствующие бивектору и тривектору.
-♦ -»•
Рассмотрим бивектор, определяемый векторами х, у с
составляющими °

68 ГЛАВА III
Этому бивектору можно отнести матрицу
Отметим, что эта матрица равна матрице,
соответствующей векторному произведению двух данных векторов и
умноженной на i.
Если векторы взаимно перпендикулярны, то матрица,
соответствующая бивектору, равна
Можно аналогично отнести тривектору, определяемому век*
торами х, у, z, матрицу
■g- [XYZ + YZX+ZXY — YXZ — ZYX — XZY).
Если три вектора взаимно перпендикулярны, то эта матрица
-+ -»-»
равна XYZ. Обозначая через и векторное произведение [ху],
имеем
XYZ — iUZ.
Но произведение UZ матриц, соответствующих двум
векторам, лежащим на одной прямой, равно скалярному
произведению этих векторов, которое в данном случае равно объему v
тривектора. Таким образом, матрица, соответствующая
тривектору с алгебраическим объемом v, равна iv. В частности,
//,//,//,==/,
как это показывает непосредственное вычисление.
57. Связь с теорией кватернионов. Не существует
линейной зависимости с комплексными коэффициентами, не равными
одновременно нулю, вида

СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 69
Можно непосредственно проверить, что левая часть этого
соотношения выражается матрицей
о43 \
я, 4- ia2, a0 — аг
Отсюда вытекает, что каждая матрица 2-го порядка с
комплексными коэффициентами единственным способом может быть
разложена на сумму скаляра и вектора. Мы получаем систему
гиперкомплексных чисел, не отличающуюся от системы
кватернионов; достаточно положить
и мы получим закон композиции:
" = ^ = /з== 1, /2А,— ^2=Л«
В' действительной области между матрицами 1, Hv И2,
И3, iHv iHv iHt, i не существует линейной зависимости
с вещественными коэффициентами, не равными одновременно
нулю; эти матрицы образуют систему гиперкомплексных чисел
с 8 единицами, построенную на совокупности вещественных
чисел. Каждое число системы разлагается единственным способом
на сумму вещественного скаляра, вещественного вектора,
вещественного бивектора и вещественного тривектора.
III. Представление симметрии и вращении
-♦
58. Представление симметрии. Пусть а — единичный вектор;
-► ■ -»
вектор х\ симметричный вектору х относительно плоскости П,
перпендикулярной к а и проведенной через начало,
определяется соотношением (п. 9):
-» -♦ -»-►
х' = х — 2а (ха),
или, переходя к соответствующим матрицам и замечая, что Аг = \,

70 ГЛАВА 111
имеем:
Х' = Х — А{ХА + АХ)=* — АХА. (2)
Отсюда вытекает, что симметрия для бивектора,
определенного двумя озаимно перпендикулярными векторами X, У,
определяется следующим образом:
ХГ' = AXYA,
откуда для матрицы U, соответствующей бивектору, имеем
U'—AUA. (3)
Наконец, при применении симметрии к матрице,
соответствующей тривектору, последняя только меняет знак.
59. Представление вращения. Так как каждое вращение
является произведением двух симметрии А, В (п. 10), то
результат применения вращения к вектору X и бивектору О выра-
,жается формулами
Х'=ВАХАВ, U' = BAUAB,
или
X' = SXS~\ U' = SUS~\ (4)
где S = BA.
Из формулы (3) можно вывести формулу Эйлера-Олинда-Род-
рига. Пусть L — единичный вектор, определяющий направление
оси вращения, & — угол поворота; скалярное произведение
единичных векторов А,В равно cos-?-, их векторное
произведение, -тг{АВ — ВА), равно iL sin-^ . Отсюда имеем
ВА = cos у — iL sin у, АВ = cos у -f- iL sin у,
то есть
Х= (cos ~/£slny)*(cos |+ Atsln j) . (5)
Если обозначить через 1х,1г,1я направляющие косинусы
вектора L, то параметры Эйлера-Олинда-Родригя определяются

СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 71
следующими 4 формулами:
p = COSy, X = /1Sln^-, Ji = /4Sln-j, V=:/3Sin— ;
сумма квадратов этих величин равна 1.
60. Операции над спинорами. Вернемся к спинорам.
Обозначим через S матрицу с двумя строками и одним столоцом,
элементами которой являются ^, Sr Условимся относить
симметрии относительно плоскости II, ортогональной единичному
вектору а, преобразование
6'-=/45. (6)
-♦ •
Нетрудно видеть, что если х является изотропным вектором,
которому соответствует спинор £, то спинором, соответствую-
-► -+
щнм изотропному вектору х', симметричному х относительно II,
-► ■ -♦
является V или произведение £' на скаляр. В самом деле, на
основании уравнений (1), связывающих составляющие вектора х
•+
с составляющими &, имеем At = 0; с другой стороны, из (2) и (5)
получаем
X1? = — (АХ А) (А5) = — AXi=0;
таким образом, спинор, соответствующий вектору X', имеет
•*■
вид лг£.
-♦ -♦
В частном случае, когда вектор а является вектором ея
базиса:
формула (6) дает
спинор £' является действительно одним из спиноров,
соответствующих вектору X', симметричному X. Чтобы убедиться, что
это имеет место в общем случай, заметим, что преобразование

72 ГЛАВА III
повторенное два раза, должно Дать спинор,
соответствующий исходному изотропному вектору, то есть $ или — с;
таким образом т2 = + 1; но тп изменяется непрерывно вместе
с А, то есть оно постоянно. Итак, преобразование (6)
действительно соответствует отражению.
Ми видим, что в применении к спинорам каждая симметрия
распадается на две*), именно
$' = Л$ и i' = -AZ;
каждая из них характеризуется выбором единичного вектора,,
перпендикулярного к плоскости симметрии.
Каждое вращение, являясь произведением двух симметрии,
также раздваивается. Результат применения вращения,
являющегося произведением симметрии А и В, выражается формулой
£' = £Лс; (7)
вращение — ВА, геометрически одинаковое с первым, дает пре*
образование
IV. Произведение двух спиноров и его разложение
на неприводимые части
Три одночлена Щ, £0 £,, SJ образуют тензор,- эквивалентный
вектору: в самом деле,, они являются линейными независимыми
комбинациями составляющих изотропного вектора, а изотропный
вектор, рассматриваемый как теизор, эквивалентен вектору
общего вида.
61. Матрица С. Рассмотрим теперь гензор с,£р 4-го порядка —
-*■ -»
произведение двух спиноров Ъ, i' Чтобы изучить его, введем
матрицу
■=(-U)' «
*) Значения т — ^.1 не применимы, как показывает приведенный'
выше пример с /1—//|. (Прим. ред.)

СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 73
она имеет. следующее замечательное свойство: каков бы ни
был вектор Л",
— Х*С; (9)
кроме того,
'С* = — С, СС* = \, & = —]. (10)
Тождество (9) проверяется подстановкой выражения для
матрицы (п. 55); имеем:
01
(
62. Тривектор и вектор, соответствующие двум.спино-
рам. Рассмотрим два спинора $ и с' и форму
прн применении симметрии /4 эта форма на основаиии (6) и (9)
преобразуется в
то есть только изменяет свой знак. Она определяет, таким
образом, тензор, эквивалентный тривектору, который
инвариантен при вращении и меняет знак при отражении. Ее явное,
выражение следующее:
v. ее
Эта величина, действительно, при применении линейного
преобразования к обоим спинорам умножается иа определитель
подстановки, причем определитель преобразования А равеи —1,
Рассмотрим теперь два спинора и произвольный вектор X
и образуем форму
при применении симметрии А она преобразуется на основаиии
(2), (6) и (9) следующим образом:
— (Z'*A*YC (AXA) {Ак) = б

74 ГЛАВА 111
то есть она инвариантна при вращениях и отражениях. Но это —
билинейная форма составляющих хи хг, х3 вектора X и
произведений 6.£р. Отсюда следует (п. 27), что коэффициенты при
*i. хг, ха определяют тензор; этот тензор эквивалентен
вектору, так как сумма х1у[-\-хгу2-\-х3ул, где у(—
составляющие некоторого вектора, инвариантна также при каждом
вращении и отражении, то есть рассматриваемый тензор эквивалентен
тензору yt. Определенный таким образом вектор имеет
составляющие, симметричные относительно составляющих спиноров
£ и £', так как
k' = $'*А'*С* • = — V*X*Ct -=
равенство двух первых выражений вытекает из того, что скаляр
не меняется при транспонировании. Получаем следующие
выражения для составляющих рассматриваемого вектора:
при 5'=^£ получаем изотропный вектор, соответствующий
спинору £; при £'ф% отметим, что скалярный Квадрат вектора
равен (^,-qSo)2-
Таким образом, мы получили, разложение тензора 4-го
порядка ^в£р'(а, 0=0, 1) на вектор и тривектор, причем объем
тривектора равен длине вектора.
V. Случай вещественного эвклидова пространства
Полученные выше результаты применяются к области ком»
плексных вращений и отражений. Теперь мы рассмотрим
эвклидово пространство с вещественными вращениями и отражениями.
63. Сопряженные комплексные векторы. Матрицы X и У,
-соответствующие двум комплексно сопряженным векторам
—*■

Спиноры трехмерного пространства 75
удовлетворяют соотношению
Y = X*, то есть Y=X*; (U)
в частности, если вектор вещественный, то Х=Х*, откуда
вытекает
Теорема I. Матрица, соответствующая вещественному
вектору, эрмитова.
Так как матрица U, соответствующая вещественному
бивектору, равна матрице, соответствующей вещественному вектору,
умноженной на /, то она не эрмитова; имеет место
соотношение
77= — и:
Каждое вращение определяется матрицей S = BA —
произведением матриц, соответствующих двум вещественным
единичным векторам; следовательно,
откуда
Теорема II. Каждое вращение определяется унитарной
унимодулярноп матрицей, каждое отражение — унитарной
матрицей с определителем, равным — 1.
64. Сопряженные спиноры. Пусть X—изотропный
вектор, ; — один из соответствующих ему спиноров; имеем Х$ = 0.
Отсюда следует
cxl=o,
но на основании (9) и (11)
О = сЖ = — ~Х*С\ = — l
где К — комплексный вектор, сопряженный с X. Следовательно,
каждый из спиноров, соответствующих Y, имеет вид тС1;
нетрудно проверить, что коэффициент т равен +/.
Услошмся называть спинором, сопряженным с £,
великану /Cf. Операция сопряжения, определенная таким
образом, не инволюторна, так как при двукратном применении она
переводит спинор $ в —£.

76 ГЛАВА Ш
Ваного отметить, что спинор /С£ в действительности имеет
природу, отличную от S, так как при применении симметрии А
матрица /С$ дает
iCAl = iCA*!= — iA (С?,;
она умножается слева па —Л, а не на Л. Мы будем называть
величину, сопряженную спинору, спинором второго рода.
65. Скаляр и бивектор, соответствующие двум
сопряженным спинорам. Если в произведении двух спиноров £, £'
мы заменим £' на спинор второго рода, сопряженный с £, или
на Сс, то получим тензор, разлагающийся на две
неприводимых части. Одна определяется формой
это — скаляр, инвариантный при каждом вращении и отражении;
в самом деле, мы видели (п. 63), что каждое вращение и
Каждое отражение определяются унитарными матрицами. Другая
неприводимая часть определяется формой
(1*с*) с XI=ь*х1=(*,+/*,) *>ё Г
коэффициенты при xv x2, х3 образуют бивектор. В самом
деле, при вещественной симметрии А величина Z*XZ
преобразуется в
— (IMJ (AXA)(Ai) = —1»ХЪ
она инвариантна при вращении и меняет знак при отражении;
следовательно, она эквивалентна тривектору; но величина
где у23, уп, ylt—составляющие бивектора, есть тривектор.
Следовательно (п. 27, теорема II), три величины
+ tfo> '(^i — ?,!>), Solo — «Л
являются составляющими бивектора. Что они являются
составляющими вектора, следует непосредственно из того, что
при симметрии относительно начала они остаются
инвариантными, так как £о и £: при этом преобразовании умножаются на/.

СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 77
VI. Случай псевдоэвклидова пространства
66. Вещественные вращения. Мы получаем вещественное
псевдоэвклидово пространство, заменяя всюду хг на ix, и
считая новые, координаты хи х2, хг вещественными. Матрица,
соответствующая вещественному вектору, вещественна:
Изотропному вектору (вектору скорости света) с
положительной временной составляющей (хг*^>0) соответствуют два
спинора с вещественными составляющими:
Спинором, сопряженным спинору ч, является с; он той же
природы, что и £.
Форма 5*С£ определяет тривектор Sq^—S,^. Форма?
определяет вещественный вектор
это — временндй вектор, длина которого равна i[Zolt — £г%)'<
он изотропен, если спинор £ вещественный.
Наконец, собственные вращения представляются
вещественными унимодулярными матрицами, собственные отражения —
вещественными матрицами с определителем, равным —1.

ГЛА В.А IV
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В £,
I. Линейные представления, выражаемые при помощи
спиноров
Мы укажем простой метод построения в эвклидовом
комплексном или вещественном пространстве трех измерений
неограниченной совокупности неприводимых линейных
представлений группы вращений и группы вращений и отражений.
В дальнейшем мы увидим, что не существует других представ*
лений, по крайней мере в вещественном пространстве, и что,
кроме того, каждое линейное представление этих групп
вполне приводимо. На основании теоремы, приводимой ниже,
каждое линейное представление любой из рассматриваемых
., вещественных групп дает линейное представленне соответствую*
щей комплексной группы, и оба эти представления
одновременно приводимы или неприводимы.
67. Представление Dp и его производящий полином.
"2
Рассмотрим спинор (£о, £,). Совокупность однородных
Полиномов степени р от ^ и ^ образует тензор и дает линейное
представление группы вращений. Можно символически
представить этот тензор при помощи производящего полинома
(а^о-^-Ыу, где а и b — произвольные параметры; это надо
понимать так, что коэффициенты прн различных одночленах,
образованных из а и b в этом полиноме, взятом в разаерну-
тоы виде, определяют составляющие тензора. Мы будем
обозначать этот тензор или соответствующее линейное
представление символом D, .
Г
Теорема. Представление Dp не приводимо.
а"
Достаточно доказать эту теорему для группы комплексных
вращений. Рассмотрим преобразование

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В £,
определяющее вращение на вещественный угол ft вокруг
оси jf8. При этом преобразовании одночлен £g£J получает
множитель е 2. Если 0 не имеет специально подобранного
частного значения, множители, соответствующие разным состарляю-
щим к*Ц тензора, все различны между собой. Предположим,
что представление Dp приводимо. Тогда существовал бы тен-
зор %, образованный при помощи ?<^р-{-1 целых полиномов
порядка р от Eg, £t; пусть
— один из этих полиномов; рассматриваемое вращение
преобразует его в
повторяя р раз эту операцию, мы получим р -\-1 независимых
линейных комбинаций от
Отсюда следует, что существует, по крайней мере, один
одночлен ЦЦ(к-\-к=р), входящий в состав тензора %, и что,
следовательно, все полиномы (а.%, -\- (S;,)* (Y^o ~Ь ^'i)* (рДе
а8 — PY==^) также входят в %. Если предположить, что
четыре i хтоянных a, JJ, 1, Ь ие равны нулю, мы получим, что
коэффициент при Ц в соответствующем полиноме не равен
нулю. Таким образом, тензор % содержит Ц, то есть и
(a^Q-f- PSjKf следовательно, и все одночлены £*«*.
При /7=0 полученный тензор 1-го порядка является
скаляром; при /)=1 мы имеем спинор, прн р=2 — вектор; в
самом деле, величины £|, ^ilt Ц дают преобразование
составляющих вектора, если от них взять соответствующие линейные
комбинации.
Существует другое представление (р -\- 1 )-го порядка группы
вращении и отражений; оно получается при помощи тех же

80 ГЛАВА IV
составляющих, но в предположении, что при отражении эти
составляющие преобразуются с помощью рассмотренной выше
подстановки вместе с изменением знаков у всех составляющих. Будем
обозначать это новое представление символом Dp в отличие от
Г
предыдущего, которое условимся обозначать Dp; на основании
2
сделанного выше соображения оно не эквивалентно первому.
DJ относится к спинору второго рода, D~ — к бивектору,
7
£>0 —к тривектору (т. е. £Q£J— S^). За производящий
полином представления DJ можно выбрать выражение
7
68. Разложение D,y^Dj. Пусть uv uit ..., uil+l и vv
О,,..., Ф2/+1 — переменные представлений Dt и Dj.
Произведения uef« приводят к новому линейному представлению
порядка (2f-f-1)(2/-{-1), которое мы будем обозначать через
Dty^Dj. В общем случае это представление приводимо, и мы
разложим его на неприводимые представления.
Заметим прежде всего, что если £ и £' — два произвольных
спинора* то производящие полиномы
определяют эквивалентиые представления; это вытекает из того,
что коэффициенты при различных одночленах а*№ в этих
полиномах преобразуются одинаковым образом при каждом вращении
и отражении, так как £^ и £J преобразуются так же, как
So и ег
На основании сделанного замечания можно выбрать за
составляющие тензора D^y^Dq полнноми от %, $,, ip, £j степени р
Т

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ НЕ,
HI
относительно $0, £, и q относительно "0, £|. Рассмотрим
полиномы
-2
предполагая p^q. Каждый из них определяет линейное
неприводимое представление, именно
л+
UP±±
Р-Ч
2
последнее имеет знак -\- или —, в зависимости от четности
или нечетности числа q.
Составляющие каждого из этих представлений являются
составляющими рассматриваемого представления. Число этих
составляющих равно
а это есть как раз порядок данного представления. Эти
составляющие линейно независимы: в противном случае в
приводимом тензоре, определяемом q-\-\ найденными неприводимыми
тензорами, по крайней мере, один из этих тензоров имел бы все
свои составляющие равными нулю (п. 34), а это не имеет
места. Следовательно, имеем теорему;
Теорема. Произведение двух линейных неприводимых
представлений £>£ , D*q вполне приводимо и разлагается на
1 7
неприводимые представления:
D
p У Я
j
П£+£ ,

82 ГЛАВА IV
69. Частные случаи. Гармонические полиномы. Случай
представлений Dh для которых индекс г есть целое число (p = 2i),
рассмотрим особо. Для г = 1 производящий полином
К 4- bttf = а*Ц + 2аЬ^ + Ь*Ц
может быть заменен другим, линейным относительно
составляющих xlt xv x3 вектора. В самом деле, имеем
Ц ~ — Х1 4- IXV Vl ~ «si Щ ~ Х1 4" iX2>
где знак -~ обозначает, что левые части этих соотношений
преобразуются, как соответствующие правые; следовательно,
за производящий полином тензора D{ можно взять
(ft2 — а*) х, 4- i (^ 4" °2) *» 4" 2abxr
Таким образом, за производящий полином тензора D
можно принять
Fp = [{b* - а*) х, 4- / (*2 4- а2) *, 4- 2а6ха]Л
Соответствующий тензор имеет в качестве составляющих
2р~\-\ однородных полиномов порядка р от х,, х2, х3; это —
гармонические полиномы. В самом деле, непосредственное
вычисление показывает, что
Произведение D\ y^D\, то есть произведение двух
векторов, разлагается на три неприводимых представления D£, D\~
н Dq". Первое дает тензор
X2X3 ~T~ xlX2' *3*\ 4" *l*y *\X1 4~"^2"^l'
эквивалентный тензору
I X'\* 1 ~ X'Af *"^2^&f ^•^3*^'li "X\Xlyi
определяемому гармоническими полиномами второго порядка;

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ D С, 83
второе представление дает бивектор
"*3^2' "^3^1 ^1^3* ^\^2 2^1'
наконец, третье — скаляр
г г' I г г' I г г*
*| | Т" 2 2 "I П'
70. Приложения. Рассмотрим векторное поле Vv V2, Vz;
каждой точке (xj, xv х3) пространства отнесен вектор с
составляющими V,, V2, I/3, являющимися заданными функциями от
(jCj, xv jc8). При движении или отражении величины -г—*
преобразуются, как произведения составляющих двух векторов с
началом в точке О:
О*! ОХ2 ЙЛ"з I» ?• S
Определим все линейные соотношения с постоянными коэффи-
циентами между s—, которые остаются инвариантными при
движениях. Мы должны, следовательно, выполнить разложение
произведения двух векторов (символических) и приравнять нулю
составляющие одного или нескольких неприводимых тензоров,
дающих это разложение. Беря один из этих тензоров, мы
получим одну из следующих систем:
. d_V_l = dVi = dV1
' dxi Hx~2 дх3 '
dV« , dVs Л дУ<, , dV, л dV-, , dV, n
дх3~дх3 ' dxi~ dxt ' дх2 ' dxj
b) p_p=0, ^11 —ill = 0, p —^i = 0;
' dxt дхъ ' йд:, dxt ' dxt dxx
Случай с) дает векторные соленоидальные поля (с нулевой
дивергенцией); случай Ъ) — потенциальные (безвихревые) поля;
случай а) — поле скоростей движения конформно изменяемого
тела.

84 ГЛАВА IV
Если бы мы рассматривали группу движений в собственном
смысле (без отражений), то система
dV '№ dV
где т. — некоторая постоянная, была бы также инвариантной;
при движении, сопровождаемом симметрией, она преобразуется
в аналогичную систему, причем постоянная т заменяется на —т.
Дивергенция векторного поля, удовлетворяющего этой системе^
равна нулю.
71. Уравнения Дирака. Аналогично можно исследовать
тензор (т^-» ггМ » который преобразуется при движении
произведение вектора -г- на спинор с. Но
Производящий полином тензора D*y(D* есть
производящий полином тензора D * равен
производящим полиномом D~ является

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 85
Приравнивая нулю составляющие тензора D~, получаем
уравнения типа Дирака:
- dxt*dxa дхг~ '
это—наиболее простые уравнения этого типа.
Уравнения:
остаются инвариантными при движении, так как спиноры
первого и второго рода D\ и D~ преобразуются одинаково при
вращении; при симметрии эти уравнения не наменяют своей
формы, только постоянная т меняет знак.
Отметим, что уравнения Дирака в символической форме
могут быть записаны в следующем виде:
дх U>
д д д д „
где j- — матрица, соответствующая вектору т—, т—, -з—.При
д ( д
умножении слева на -ч- мы получаем (так как квадрат -у-
д1 , а2 , д2 \
равен Д = —гЧ :>т ■}} уравнения
Д«о = О ^,=0.
Уравнения, получающиеся приравниванием нулю
составляющих тензора D* ,

86 ГЛАВА IV
дают:
^ = Ь{— хх + Ц,) + ахй + A, 5j = a(Xj +'
где а, Ь, Л, k — некоторые произвольные постоянные.
II. Бесконечно малые вращения и определение эвклидовых
тензоров
72. Бесконечно малые вращения пространства Ег. Мы
приступаем теперь к отысканию всех линейных представлений
группы вращений. Мы уже рассматривали выше (п. 19) бесконечно
малые .вращения, которые определяют поля скоростей при
движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Наиболее
общее бесконечно малое вращение, примененное к вектору
хи х2, дса, определяется матрицей третьего порядка, являющейся
линейной комбинацией с комплексными или вещественными
коэффициентами трех матриц базиса, например тех, которые
определяют вращения с единичной угловой скоростью вокруг
координатных осей; этими тремя матрицами являются
/0 0 Ох / 0 0 1\ /о — 1 0\
00—1, 0. 0 0 1,1 00.
\0 1 ' 0/ \— 1 0 0/ М> 0 0/
В применении к спинорам вращения дают аналогичные матрицы.
Вращение на угол & около вектора е3 определяется, как мы видели
выше (п. 59), матрицей
cos i — Шъ sin j = 1 — ^Ш,+ ...
Вращение с угловой скоростью, равной 1, определяется, таким
образом, матрицей — -^ 1Нй. Имеем, следовательно, три матрицы
Оазиса
° Л
i

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ D Е, 87
73. Точное определение изучаемых ниже представлений.
Рассмотрим теперь какое-нибудь линейное представление группы
вращений, однозначное или не однозначное. Необходимо дать
точное определение того, что мы подразумеваем под этим понятием.
Зададиг, в группе вращений достаточно малую окрестность
тождественного преобразования, например, совокупность
вращений на угол, меньший некоторого фиксированного угла ае^гс.
Каждому вращению Ш в этой окрестности отнесем одну и
только одну матрицу 5 данного порядка, которая
удовлетворяет следующим условиям:
1° элементы матрицы 5 являются непрерывными функциями
параметров, от которых зависит 9?;
2° если 9t, 3R' и didV принадлежат к данной окрестности,
то произведение SS' матриц, соответствующих вращениям
Э? и !)£', равно матрице, соответствующей вращению 9Ш'.
Каждое вращение на произвольный угол может быть
получено как произведение конечного числа вращений из данной
окрестности; поставим ему в соответствие матрицу,
получающуюся как произведение матриц, соответствующих этим
различным вращениям. Мы получаем, таким образом, то, что
будем называть представлением группы вращений. Относящиеся
к спинорам матрицы, которые мы поставили в соответствие
с различными вращениями, удовлетворяют формулированным
выше условиям (угол а равен тс).
Неоднозначность представления выражается в том, что
матрица, изменяясь непрерывно в зависимости от непрерывного
изменения соответствующего вращения, может не принимать
неходпго значения, когда соответствующее вращение
возвращается к исходному.
74. Основная теорема. Линейные преобразования,
соответствующие некоторому линейному представлению, образуют
линейную группу, обладающую тем свойством, что элементы
представляющих матриц являются непрерывными функциями
параметров, от которых они зависят (непрерывную линейную группу).
Имеет место следующая основная теорема :):
1) Эта теорема принадлежит J. Von Neumann'y; она является частным
случаем более общей теоремы Картана (La theorle des groupes finis
<;t continus etl'Analysis situs. Mem. Sc. Math., XL11,1930, § 26, стр. 22).

88 Г Л А В А IV
Теорема. Каждая непрерывная линейная группа мож$т
быть образована при помощи бесконечных малых
преобразований.
Эта теорема выражает в том случае, которым мы занимаемся,
в частности, следующий факт: если вращение Ш прогсходит
вокруг оси е(, причем угол поворота й, <^ а, то соответствую-
•S — 1
щая матрица обладает тем свойством, что —.— стремитси при
bt—*-0 к определенной матрице Rt, представляющей бесконечно
малое вращение вокруг оси е[} с единичной угловой скоростью."
В общем случае бесконечно малое вращение с единичной
угловой скоростью вокруг оси, определяемой направляющими
косинусами о, ^, Y, представляется матрицей
Наконец, если мы возьмем непрерывную последовательность
вращений, зависящих от параметра t, и применим к
переменным а( рассматриваемого линейного представления эту
непрерывную последовательность вращений, то перемеииые и{ будут
удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений вида
Отсюда вытекает, что, зная матрицы /?,, Rz, Rt, мы можем
определить матрицы 5 при помощи интегрирования линейных
дифференциальных уравнений. Более точно, мы интегрируем
уравнения
где a, ?, Y — ТРН параметрических направляющих косинуса;
выражения, определяющие в пространстве линейного
представления вектор и в функции от / и его значения и0, дают для всех
достаточно малых значений / линейные преобразования,
элементы которых, являются аналитическими функциями от at, $t, *{l;
эти преобразования соответствуют вращению на угол t
вокруг оси (а, р, у)- .Затем мы дополняем представление так, как
было указано RUine.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ в Е, Н9
75. Представления группы вещественных вращений и
аналитические представления группы комплексных
вращений. 6 случае вещественных вращений в эвклидовом
вещественном пространстве параметры at, $t, yt вещественны. В
вещественном псевдоэвклидовом пространстве следует взять
линейную комбинацию с вещественными коэффициентами трех
матриц, соответствующих трем линейно независимым бесконечно
малым вращениям. Наконец, в случае комплексных вращений
мы придадим at, p/, yt произвольные комплексные значения.
Отсюда выводим следующую теорему:
Теорема. Каждое линейное представление группы
вещественных вращений дает линейное представление группы
комплексных вращений.
Достаточно подставить в элементах матриц представления,
являющихся аналитическими функциями от вещественных
параметров вещественного вращения, вместо этих вещественных
параметров комплексные; будем говорить, что второе
представление (группы комплексных вращений) получается из первого
(группы вещественных вращений) переходом из вещественной
области в комплексную. Полученные представления группы
комплексных вращений называются аналитическими; существуют,
как увидим ниже, представления не аналитические (п.п. 82—84).
Наконец, переход из действительной области в комплексную
сохраняет характер неприводимости линейного представления,
так как, если бы аналитическое представление комплексной
группы было приводимо, то представление вещественной группы,
являющейся ее подгруппой, было бы также приводимо.
Таким образом, существует взаимно однозначное
соответствие между:
1° неприводимыми аналитическими представлениями группы
комплексных вращений,
2° неприводимыми представлениями группы вещественных
вращений в вещественном эвклидовом пространстве,
3° неприводимыми представлениями группы собственных
вещественных вращений в вещественном псевдоэвклидовом
пространстве.
В этом последнем случае необходимо ограничиться случаем
собственных вращений, так как совокупность всех вращений
не образует непрерывней группы.

90 Г Л А В А IV
76. Уравнения структуры. Между матрицами Ru Rz, R3>
определяющими бесконечно малые вращения в любом линейном
представлении, существуют некоторые соотношения, которые
мы сейчас и установим.
Рассмотрим для этого Два семейства вращений, из которых
каждое зависит аналитически от одного параметра, причем вра-
щенне приводится к тождественному вращению, когда параметр
равен нулю.
Пусть s (и) и s (v) — соответствующие матрицы,
определяющие вращения векторов. Для простоты предположим, что
первое вращение происходит на угол и вокруг оси (о, fl, Y).
второе — на угол v вокруг оси (а', [Г, Y')- Построим вращение
s = s (и) s (v) s{—u)s (— v);
эту матрицу можно разложить по степеням и и v; она равна 1
для u = v = 0. С другой стороны, она равна 1 при v = 0
или ц = 0; следовательно, все члены разложения, кроме первого,
будут содержать множитель uv; главная часть матрицы s — 1
имеет вид uvp, где р — матрица, определяющая бесконечно
малое вращение. Чтобы получить эту матрицу р, достаточна-
разложить произведение ,s(H)s(t>)s(—u)s(—v), ограничиваясь
в каждом множителе членом первого порядка. Пусть
s{u) = \-\-u?l, у (</)==!-f г/?г, s(— н)=1— нр„
<?(— v}=\— v?v
тогда
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Если pj и р2 — матрицы, определяющие два бесконечно
малых вращения векторов, то матрица prp2—p2pj
соответствует, также бесконечно малому вращению.
Важно отметить следующий факт: если взять произвольное
линейное представление группы вращений, то на основании
т,ого рассуждения, при помощи которого мы пришли к матрице
. р,р2 — PjPj, можно утверждать, что бесконечно малому
вращению. р,Рз г- р2р, соответствует в линейном представлении
матрица RxRi — RSv если ^i * ^2 ~ матрицы., соответствующие

I ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 91
£ В частности, если Rlt /?а, Ra — матрицы, определяющие
■бесконечно малые вращения базиса линейного представления,
то матрицы R2Ra — tfs/?2, R3Rt — Rfta, R^ — R2Rt являются
Линейными комбинациями Ru Rz, /?s, причем коэффициенты
$ этих линейных комбинациях одни и те же для всех
линейных представлений группы вращений.
Рассмотрим, в частности, группу спиноров, для которой
Ri = — у '#1» ^г = —2 '"*' ^а== —Т '^8'
имеем
и два аналогичных соотношения, откуда вытекает
Теорема. Матрицы Rv /?2, Ra, определяющие в некотором
линейном представлении группы вращений вращения с
единичной утловоп скоростью вокруг координатных осей,
удовлетворяют соотношениям структуры:
х к векторам:
,0 0 0ч г 0 0 К /
Rx=[0 0-1], R2 = ( 0 0 0], Л, = (
\0 1 0/ \-1 0 0/ \
Нетрудно проверить эти соотношения на матрицах,
применяемых к векторам:
/0 — 1 0N
0 0
\0 0
Эта теорема допускает обращение, которое является
частным случаем второй основной теоремы теории групп Ли, но
ею мы не будем пользоваться в дальнейшем.
77. Неприводимые представления группы вращений.
Перейдем теперь к определению линейных представлений группы
вращений.
Вместо неизвестных матриц /?,, R2, Rt мы возьмем три
линейных комбинации
Л — Al~~ i
(U

92 Г Л А В А IV
получаем новые соотношения структуры
АВ—ВА = С, АС-г-СА = А, ВС--СВ = — В. (2)
Определим сначала все неприводимые представления. Пусть
X — собственное значение матрицы С; в пространстве
представления существует вектор и, удовлетворяющий соотношению
Си = \и; мы будем говорить, что он принадлежит собственному
значению Х- Уравнения (2) дают
= [\—\)Аи,
то есть, если вектор Аи не равен нулю, матрица С имеет
собственное значение X— 1, и если Ви не равен нулю, матрица С
имеет собственное значение X-j-1-
Предположим, что собственное значение матрицы X выбрано
так, что X 4" 1 не является уже собственным ее значением.
Тогда Ва—-0. Из соотношений
Си — 1и, Ви — 0
выводим, применяя к вектору и соотношения (2),
САа={\— \)Аи, ВАи = — \и;
затем, применяя те же соотношения к Аи, А2и, А9и и т. д.,
имеем:
САЧ ^= (X — 2) /Ги, ВАЧ-=(\ —2к)Аи,
С АР и =-- (X - р) АРи, ВАРи-^р (^-yi - а) АР-Ч1.
Так как число независимых векторов ограничено,
существует такое целое число р, что AP+l является линейной
комбинацией и. Аи,..., Ари. Предположим, что р — наименьшее число,
обладающее этим свойством, и пусть
7а 4" -" 4-
умножая это равенство слева на В, получим аналогичное
соотношение:

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 93
Это соотношение возможно только в том случае, если все
коэффициенты равны нулю, откуда
мы получаем, таким образом, соотношение /V+I« —аод,
умножая которое на С, имеем:
(; — р — \)АР+1и — ап).и, откуда {р-\-\)ао=О, О0 = 0;
следовательно,
Отсюда вытекает, что независимые векторы и, Аи,..., АРи
преобразуются линейно между собой при бесконечно малых, а
следовательно, и конечных вращениях. Так как представление
неприводимо, то порядок его равен р-\-1; оно полностью
определяется целым числом р, так как
С АР и— — £ АР и; (I)
| = (1— р) Аи,...,
u. (И)
Mf приходим, таким образом, к теореме:
Теорема. Существует не более одного неприводимого
линейного представления данного порядка.
Ввиду того, что раньше было доказано существование
неприводимого представления любого порядка, отсюда
вытекает, что кроме указанного представления любого порядка
других не существует.
Отметим, что случай /> = 0 дает представление первого
порядка, для которого матрицы А, В, С равны нулю; это —
тождественное представление: и' —и.
78. Приводимые представления. Рассмотрим снова какое-
нибудь линейное представление. Если оно приводимо, то
существуют векторы, независимые от рассмотренных выше

94 ГЛавА iv
векторов и, Аи,... ,Ари. Мы будем предполагать в дальнейшем,
что ^—наибольшее собственное значение матрицы С.
Предположим сначала, что существует, по крайней мере, один вектор v,
независимый от а и принадлежащий тому же собственному
значению —■ матрицы С. Применяя к v те же рассуждения, что
и к «, мы установим существование р ~\- 1 векторов г», Лг»,..., Apv,
преобразующихся линейно между собой неприводимым
образом. Будем продолжать таким же образом, если будут
находиться новые векторы, принадлежащие собственному значению
F- матрицы С; мы получим таким образом некоторое число А
совокупностей по р-\~\ векторов, причем в каждой такой
совокупности р-\~\ векторов преобразуются неприводимым
образом. Полученные h{p~\-\) векторов линейно независимы; в
самом деле, они преобразуются как векторы линейного
представления, которое разлагается на h неприводимых эквивалентных
частей; тогда, как известно (п. 34), каждое линейное
соотношение между рассматриваемыми Л (р -)— 1) векторами может быть
получено исключительно приравниванием нулю всех векторов
одной из этих частей или, по крайней мере, всех векторов
ахи -f aj).+... + ahw,
ахАи -{- a^Av-J-... -|_
но между векторами и, v,,.. ,w, соответствующими
собственному значению ~, не существует по предположению никакой
линейной зависимости. Следовательно, h(p-\-l) векторов А
серий линейно независимы. Обозначим через £, линейное
пространство, которое они определяют.
Предположим теперь, что порядок представления больше
А (р -|- 1) и что существуют собственные значения матрицы С,
которые дают векторы, не лежащие в пространстве Ev Пусть 1<С.-%~
— наибольшее из этих собственных значений. Пусть s — вектор,
удовлетворяющий соотношению Cs = -^-S', вектор Bs, принадле-

Линейные представления группы вращений в е, 95
жащий собственному значению 4-4" 1 матрицы С, должен лежать
в Е{, раз он лежит в Ev он может быть получен при помощи
преобразования В из другого вектора / пространства Elt
принадлежащего собственному значению у; рассматривая тогда вместо s
вектор s — t, который не принадлежит к Ех, мы видим, что
B(s — i)=0. Меняя обозначение s — t на s, мы получаем
вектор s, не принадлежащий к £, и удовлетворяющий соотноше-
шениям *)
Cs=^-s, Bs = 0. (Ill)
•) Приведенное здесь доказательство существования вектора,
удовлетворяющего соотношениям (III), нуждается в дополнении.
Отметим прежде всего следующее свойство собственных значений
матрицы С. Из формул (I) предыдущего параграфа вытекает, что если
наибольшее собственное значение матрицы С равно \, то она имеет
также собственные значения 1 — 1 X — 2,.... — \. Далее, если бы мы при
выводе формул (1), (II) (п. 77) исходили не из наибольшего, а из
наименьшего собственного значения ц матрицы С, то матрицы А н В
поменялись бы ролями, и мы получили бы следующие формулы,
аналогичные (I):
Аг = 0, АВг=&г АВЧг = %г
Отсюда мы видим, что матрица С имеет также собственные значения
V- + 1» Р + 2....,— l1- Итак, если наибольшее собственное значение
равно )., то наименьшим является —X.
Обратимся теперь к доказательству существования вектора s,
удовлетворяющего соотношению (III). Обозначим через г вектор,
удовлетворяющий уравнению Сг — ^тг, (-f""^"^)' пРичем ? имеет
указанное в тексте свойство. На основании отмеченного выше свойства
собственных значений матрицы С имеем 4г > — тг ■ Применяя к обеим
частям уравнения Сг = ~г матрицу В, получаем
Если Вг = О, мы полагаем j = r к сразу получаем соотношение (III);
если Вт Ф О, то этот вектор, как указано в тексте, должен принадле-

96 Г Л ABA IV
Мы можем повторить приведенные выше рассуждения и найти
последовательность q -f- 1 векторов s, As,. . ., A^s, которые
преобразуются между собой неприводным образом.
Продолжая этот процесс дальше, мы придем в результате
к пространству $, которое преобразуется группой вращения
вполне приводимым образом и содержит все векторы,
принадлежащие собственным значениям матрицы С.
Если пространство S совпадает с пространством Е данного
представления, то последнее вполне приводимо. Мы докажем
теперь, что действительно S совпадает с Е.
79. Теорема о полной приводимости. Изменим наши
обозначения и возьмем в пространстве $ базис, составленный из
векторов at1', и^\ ... , и^\ которые принадлежат различным
собственным значениям матрицы С. Собственное значение Х„>
которому принадлежит uta\ является целым числом или
половиной целого числа. Напомним, что существует столько
независимых векторов, принадлежащих собственному значению — \а,
сколько н собственному значению \л, и что если Х,^1, то
каждый вектор, принадлежащий собственному значению А,,
может быть получен применением преобразования В к вектору,
принадлежащему собственному значению )ч—1.
Предположим, что пространство $ имеет v измерений,
причем v меньше числа измерений п пространства Е. Если мы
условимся рассматривать, как равные, два вектора пространства Е,
жать к £j. Таким образом, -~Л- 1 является одним нз собственных
значений
матрицы С, относящихся к пространству £х, причем -?-
поэтому Z?/- = L4*K-J-|i/4*i/-f...'+ v/l*o», где *=-4—(т"
Так как А</?, то на основании формул (11). (п. 77) имеем r = Bt,
причем t принадлежит собственному значению у- Л—1=-?-.
Полагая s = r—t, получаем формулы (111). (Прим. ред.)

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 97
разность между которыми принадлежит к $, то получим в
пространстве £' = £/(§ с числом измерений п—v линейное
представление группы вращений. Пусть ji — такое собственное
значение матрицы С в этом представлении, что jjl —I— 1 не является
собственным значением. В Е существует вектор v, не
принадлежащий к £ и обладающий тем свойством, что
Если мы рассмотрим вектор
w =
то получим
Отсюда вытекает, что
1° ц является одним из собственных значений матрицы С,
относящихся к $\ в самом деле, в противном случае можно
было бы выбрать постоянные {} так, чтобы обратить в нуль
коэффициенты С^+Р/О^— ц), то есть вектор w, не
принадлежащий к S, умножался бы на ji, что противоречит
предположению;
2° можно выбрать (i, так, чтобы вектор Cw—\lw
принадлежал собственному значению Ц.
Положим
= -£ и Cw—-j
причем и принадлежит собственному значению —. Отсюда на
основании (2) выводим
Если вектор Ви не равен нулю, необходимо, чтобы вектор Bw
лежал в £, на основании предположения, сделанного
относительно ji; то же самое, впрочем, имеет место, если Ви равен
нулю. Так как Bw принадлежит к S, то разность CBw —
как не трудно видеть, является линейной

08 ГЛАВА IV
комбинацией векторов, принадлежащих собственным значениям,
отличным от -уЧ-1; так как Ви принадлежит собственному
значению у + I. то Bw=0. Наконец, тик как у -}-1^1,
то в $ можно найти такой вектор и', принадлежащий
собственному значению у, что Bw = Bu'. Полагая s = w — и',
найдем основные соотношения
Cs = ^s-\-u, Bs = 0, Bu — O. (3)
Вектор и дает последовательность г-|- I векторов а, Аи,...
..., Аги, преобразующихся неприводимым образом, причем
Аг+1и = 0. Посмотрим, как преобразуются векторы s, As,...,
... Ars, Ar+1s. Вычисления, аналогичные предыдущим и
опирающиеся на соотношения структуры (2), дают
.... CAhs= (у — Л) Ahs-\-Ahu,...;
h
., BAhs = у (h — I — r) As-is — hAh~\ ...
Пусть AA+!5 — первый из векторов s, As,A2s,..., который
линейно зависит от предыдущих и от и, Аи, Aiu..., А/и:
A*+ls = aos-f ^As + ... -f ahAhs -f- fa + $tAu +... + ^/l'u;
применяя к обеим частям этого соотношения преобразование В, мы
получим новое соотношение, в котором будет отсутствовать Ah+ls
и которое, следовательно, должно удовлетворяться тождественно.
Но в этом новом соотношении коэффициент при Ahs равен
' ' '* ~г', то есть h=.r, в этом же соотношении
коэффициент при Аги равен —(г —J— I) в левой части и нулю в
правой. Таким образом, мы приходим к противоречию, то есть

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 99
нельзя предполагать, что пространство $ не совпадает- с Е,
откуда следует *)
Теорема. Каждое линейное представление группы
вращений (аналитическое, если речь идет о группе комплексных
вращений) вполне приводимо.
80. Матрица R\-\-R\-{-R\- В квантовой механике
неприводимые представления группы вещественных вращений играют
важную роль: каждое из них соответствует одному из
состояний атома гелия; матрицы -rRlt -jRv —Rs определяют состав-
•) Указанное в тексте доказательство может быть упрощено и
уточнено, если непосредственно воспользоваться теорией
элементарных делителей в геометрической форме (Клей н, Высшая геометрия,
ГОНТИ, 1939, стр. 374—389; Широков, Тензорное исчисление,
ч. 1, ОНТИ, 1934, стр. 172—198). Если собственное значение X матрицы М
имеет кратность А, и ему соответствует Анеэависшыхглавныхнаправленнй
(то есть векторов х, удовлетворяющих уравнению Мх = \х), то будем
называть такое собственное значение неособенным; если же ему
соответствует меньше чем k независимых главных направлений, условимся
называть его особенным. X тогда и только тогда является особенным
собственным значением, если существуют векторы хну,
удовлетворяющие уравнениям
Мх-\х+у, Му = \у.
Доказательство теоремы приводится к доказательству того, что
у ыатрнцы С иет особенных собственных значений. Предположим
противное: что одно из собственных значений, например |х, — особенное.
Тогда существуют векторы х и у, удовлетворяющие уравнениям
Так как у принадлежит кратному собственному значению матрицы С,
то на основании п. 77 ji является одним из собственных значений в
ряде
причем существуют векторы s и г, удовлетворяющие соотношении
если к=-?—*f то У = Aks^=Bq~kzr Применяя повторно к оервоыу

100 ГЛАВА IV
ляющие соответствующих кинетических моментов; квадрат
кинетического момента дается матрицей — h2 (R*-\-Щ-\-R*).
Покажем, что эта матрица является произведением единичной
матрицы на положительное число.
В самом деле, в любом представлении группы вращений
матрица R\-\-Rl~\-Rl коммутирует с каждой из матриц
R\, Я2. Я9; например,
*| (Я?+Щ+я») - (ЯН- R'i+Щ) я,=RA -
+ RXR\ - Я| Я, = (Я,Я, + Я,) R, - R, {Rfi* - R3) +
, - R2) R3 - Ru (/?,/?, + R2) = 0.
нэ соотношений (а) матрицы А н В, получаем
Тгк как векторы Ату н Впу (прн m^q — k, n^k) не равны нулю
к определяют главные направления матрицы С, то отсюда следует, что
если одно на собственных значений в ряде (Ь) является особенным,
то и все значения этого ряда также особенные. Поэтому в формуле (а)
можно положить
К = -|. У—*,
Cx = ±x + s, Cs = ±s. (d)
Покажем, что вектор х может быть выбраи так, что Вх = 0.
В самом деле, применяя к первому из соотношений (d) матрицу В,
получаем
Если Вх Ф 0, то этот вектор определяет главное направление
матрицы С с характеристическим числом -^--t-U то есть на основании
формул (II) (п. 77) Bx — Bt, где t — вектор главного направления
матрицы С, причем Of = -у t. Таким образом, обозначая х — t череэ х,
нмсеи

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 101
Если представление неприводимо, то отсюда вытекает
(п. 32)х), что матрица /?^ _j_ ^2 _j_ /^2 • равна произведению
единичной матрицы на некоторое число. При преобразовании
векторов пространства она умножает их на один и тот же
множитель.
Полагая, как мы уже делали это выше (п. 77),
A = Rl-iRv B = j(Rl+iR9), С = iR3,
получаем соотношение
АВ + ВА — C» = /?f + /?» + /?|. (4)
Если мы возьмем неприводимое представление Dp, то по-
Т
лучим для вектора и, соответствующего собственному
значению тг матрицы С, соотношения
At
откуда
Применяя к последнему соотношению несколько раз матрицу А,
получаем
= А(А_ 1 — q)A*-ix-hAi>-is. (e)
Полагаем A = ^-f-l. Если А9*1х = 0, то получаем противоречие:
q 4-1 ±=0. Если A*+1x Ф 0, то формулы (с) показывают, что векторы
Aq'tkx определяют главные направления матрицы С. Следовательно,
найдется такое А, что Ая+Нх Ф 0, Л*+А+'* = (). Полагая в формуле (е)
A = ?4"*"f-1. получаем А = 0, то есть н в этом случае приходим
к противоречию, (Прим. ред.)
1) Собственно говоря, указанная теорема применяется к матрицам,
перестановочным со всеми матрицами, представляющими конечные
преобразования группы; но матрица, соответствующая вращению иа угол Ь,
которое задается бесконечно малым вращением R, определяется
следующей формулой:
s=1 + »я+lej/?j+5U'/?3 + • • •;
очевидно, что если R\-\-R\-\-R\ коммутирует с R, то оиа
коммутирует и с S.

102 г л а в л iv
и, следовательно,
Итак доказана
Теорема. В неприводимом представлении D, матрица
R\-\-R\ + R\ равна -/(;+1).
81. Примечания. При помощи матрицы, аналогичной
матрице R{-\-R\ + Я|, Н. Casimir и В. L. van der Waerdeni),
а еще проще М. J. Н. С. Whiteheadг) дали доказательство
полной приводимости линейных представлений более общих
групп, чем группа вращений, а именно, полупростых групп,
которые содержат, в частности, группу вращений пространства
любого числа измерений. До этого Н. Weyl'eM8) было дано
трансцендентное доказательство этой теоремы; это
доказательство применимо ко всем замкнутым, или компактным, группам
и, значит, ко всем тем группам, которые из них выводятся
при помощи перехода из вещественной области в комплексную
(следует только отметить, что для этих последних речь идет
об аналитических представлениях, но эта оговорка легко
устранима).
Итак, мы доказали теорему о полной приводимости и
нашли все неприводимые представления в случае группы
вращений вещественного эвклидова пространства и группы
собственных вращений вещественного псевдоэвклидова
пространства. То же самое надо сказать о группе вращений эвклидова
комплексного пространства, только ограничиваясь
аналитическими линейными представлениями.
III. Линейные представления группы комплексных вращений
82. Постановка проблемы. Остается определить все
линейные непрерывные представления группы комплексных вращений.
1) Math. Ann., Ш, 1935, стр. 1-12.
«) Quarterly J.' of Math., 8, 1937, стр. 220—237.
•) H. W e у 1, Theorie der Darstellung kontlnuierlleher halb-eln-
faeher Oruppen dutch lineare Transformation (Math. Zeitschr., 23i
1925, стр. 289).

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 103
Мы знаем (п. 74), что если обозначить через а, р, у ТРИ
комплексных параметра вращения и положить
то элементы матриц, определяющих представление, являются
аналитическими функциями 6 вещественных параметров ар а,,
Рр Ря> Yn Y2- Переходя из вещественной области в
комплексную, мы получим линейную группу, у которой коэффициенты
определяются аналитическими функциями б комплексных
параметров а,, а2, р1( Р2, Yii Y2 или ^ комплексных параметров
«i + '"«2. Pi + 'Pi. Yi + 'b «i ~ fa«. Ji_-jP«. Yi - *Y«. J° iCTi
6 комплексных параметров a, p, Yi я, (}, Yi где через а, р, у
обозначены выражения at — /a2, pt — /p2, Yi — *Y«» причем эти
6 параметров независимы.
Ясно, что эта группа дает представление группы ©,
получающейся при рассмотрении вращений с параметрами а, ($, у
и вращений с параметрами а, (}, у. Эта группа © является
так называемым прямым произведением группы G вращений
(а, р, у) и группы G' вращений (а, р]_у); каждый элемент
группы © является совокупностью (Ш, Ш) вращения 31, опре*
деляемого параметрами а, р, у, и вращения 5ft,
соответствующего параметрам а, р, у, причем произведением двух
элементов (31, Щ и (5ft\ Щ группы © является элемент (SKft'.TRR').
Эта группа содержит подгруппу G элементов (9t, 1), в
которых jfi является тождественным вращением, н группу G'
элементов (1,5ft), в которых 5ft есть тождественное вращение;
элементы групп G и G', конечно, перестановочны между
•собой, и каждый элемент группы © одним н только одним
•способом выражается как произведение элемента группы G и
элемента группы О'. © называют прямым произведением G и О'
и обозначают следующим образом: © = ОХ^'.
Таким образом, мы пришли к следующей проблеме:
Проблема. Даны две группы G и О' и ах прямое
произведение G'XG' = (B; зная все линейные аналитические
представления каждой из групп G и G', построить все
аналитические представления группы ©.

104 ГЛАВА IV
Напомним, что представление является аналитическим, если
элементы соответствующих матриц суть аналитические функции
комплексных параметров группы.
В рассматриваемом случае мы знаем все аналитические
представления групп G и G' (являющиеся, между поочим,
одинаковыми, но у которых параметры рассматриваются как
различные).
83. Линейные представления прямого произведения двух
групп. Предположим, что теорема о полной приводимости
имеет место для каждой из составляющих групп О и G', что
мы имеем действительно в рассматриваемом случае. Каждое
линейное представление группы ® дает линейное представление
ее подгруппы О; по предположению это представление может
быть разложено на определенное число неприводимых
представлений. Рассмотрим одно из них, порядка г и предположим,
что существует А — 1 других, эквивалентных ему; пусть
хф.ф ХР (а = 1« 2 h)
— составляющие этих h неприводимых представлений. Пусть
.? — элемент группы G, / — элемент группы G'; обозначим через
у£\ у£\ ..., Ур\ переменные, преобразованные из х['\ х£> ,
...,*(") посредством /;ni перестановочны:
если мы применим к переменным jcW, x£\ ..., xW сначала s,
а затем /, то переменная xf> преобразуется сначала в й*хф ,
а затем в я£у£\ если, наоборот, применим сначала t, то х^
преобразуется в у^; следовательно, элемент s, примененный
к у^*\ дает ан{у^. Другими словами, элементами группы О
составляющие у^ преобразуются как jc<"). Следовательно,
имеем (п. 33)
В результате при применении элемента st имеем
преобразование

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 105
матрица (я*) показывает, как элемент 5 группы G преобразует
между собой составляющие одного из тензоров jcW, матрица
(fljj) — как элемент / группы G' преобразует между собой А
тензоров *('), х^\ ..., *(А), неприводимых относительно О.
Матрицы (я^) определяют неприводимое линейное
представление группы G
х, —>■ а*хл
Л I к9
матрицы (йр определяют представление группы G'
Мы видим, таким образом, что hr переменных xf-p
преобразуются линейно между собой при применении группы ©;
рассматриваемое линейное представление группы © разложится,
таким образом, на такое число неприводимых представлений,
сколько в индуцированном представлении группы О' имеется
неприводимых неэквивалентных представлений. Кроме того, мы
видим, что hr переменных jcJ") преобразуются как
произведения х^а> составляющих неприводимого представления группы G
иа составляющие представления группы О. Так как это
последнее вполне приводимо, то и представление х{х^ само вполне
приводимо, причем каждая часть является произведением
неприводимого представления группы О на неприводимое
представление группы G'. Таким образом, имеет место
Теорема. Каждый тензор, неприводимый относительно
прямого произведения G X О' двух групп О и О',
эквивалентен произведению тензора, неприводимого относительно О,
на тензор, непри$одчл.ы.й относительно G'; если теорема
о полной приводимости имеет место для G и G', то она
имеет место и для их прямого произведения.
84. Приложения к группе комплексных вращений. В
рассматриваемом нами случае каждый неприводимый аналитический
тензор прямого произведения двух групп комплексных вращений
эквивалентен произведению тензора Dp .на тензор Dq, причем
Т г"
первый преобразуется вращениями с параметрами a, f$, Y* вт0~
рой — вращениями с независимыми параметрами a, {J, у. Если

106 ГЛАВА IV
теперь мы вернемся к группе комплексных вращений, то получим
•■от 'че тензор, но в котором а, (}, у следует рассматривать
как величины комплексно сопряженные с а, (5, у. Отсюда
ол1т^кает теорема:
гСаждый неприводимый тензор группы комплексных
вращений эквивалентен тензору, составляющие которого
являются одночленами, составленными из со, £,, £0, £,, порядка р
относительно $0, £ и q относительно 10, £,, где через Ео, S,
обозначен произвольный спинор, через ^, \— его
сопряженный.
Соответствующее представление можно обозначить через
Dp q и за производящую форму взять полином
2 ' 2 _
(а=в-|- aWeSo + rfl,)*
с четырьмя произвольными параметрами а, Ь, с, d. Порядок
этого представления равен (р-\- 1) (q-\- ]).
Мы встретим в дальнейшем снова эти представления.
Отметим случай p=q = \, который дает тензор четвертого
порядка с составляющими EqCo, Ml. £,£<>• ^i^p этн составляющие
связаны квадратичным соотношением. Для p = q имеем
вещественный тензор в том смысле, что его составляющие могут быть
выбраны таким образом, что прн любом комплексном вращении
они преобразуются линейной подстановкой с вещественными
коэффициентами. Пример: 9 произведений XfXj составляющих
вектора на составляющие вектора комплексно сопряженного.
IV. Однозначность и двузначность
85. Однозначность линейных представлений унимодуляр-
ной группы двух переменных. Произведенное исследование
неприводимых линейных представлений группы вращений
комплексного эвклидова пространства, группы вращений
вещественного эвклидова пространства и группы собственных вращений
псевдоэвклидова пространства дало представленнв однозначные
и двузначные. Для двух последних групп даузначныии
представлениями являются Dp с нечетным р; для первой группы
~2

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛКНИЯ П'ЬППИ ВРАЩЕНИЙ И Е, 1С7
двузначными являются Dp q при p-\-q нечетном. В действа-
2' 2
тельности все полученные представления являются также
представлениями соответствующей группы спиноров, и с этой точкг
зрения они однозначны. Мы приходим, таким образом, к
следующей теореме:
Теорема. Три группы линейных унимодулярных
подстановок с двумя переменными, являющихся соответственна
1° комплексными, 2° унитарными, 3° вещественными, не
имеют многозначных линейных представлений.
В случае унитарной группы можно дать доказательство
топологического характера. Каждая унитарная унимодулярная
матрица 2-го порядка имеет вид (!L ~—), причем aa-\-bb=l.
Полагая
мы видим, что унитарная унимодуляриая группа является
многообразием, каждая точка которого определяется четырьмя
вещественными числами а,, л„, а3, а4, сумма квадратов которые
равна 1; это — трехмерное сферическое пространстве (едн=
ничная сфера в эвклидовом пространстве четырех измерений).
Это пространство односвязно, то есть каждый замкнутый кои-
тур может быть стянут в- нем в точку непрерывной
деформацией; проще всего это можно доказать, преобразую эту
сферу в трехмерное эвклидово пространство при помощи инверсик,
полюс которой лежит в некоторой точке данной сферы
(стереографическая проекция); эта инверсия преобразует ее
в эвклидово трехмерное пространство (замыкаемое на бесконеч*
ности точкой). Можно доказать, что если бы унитарная
унимодулярная группа имела многозначное представление, то, изменяя
непрерывно матрицу этого представления, когда мы
перемещаемся вдоль соответственно выбранного замкнутого контура,
выходящего из начальной точки и возвращающегося в нее же,
мы получили бы в результате из единичной матрицы некоторую
другую. Преобразуя непрерывно этот контур, будем получать
одинаковые конечные j матрицы, но так как контур можно
стянуть в начальную точку, мы приходим к
противоречию.

108 ГЛАВА IV
86. Линейные представления вещественной проективной
группы одной переменной. Можно показать, что пространство
унимодулярпых комплексных матриц также односвязно; это
объясняет невозможность существования многозначных
представлений унимодулярной- комплексной группы. Но пространство
вещественных унимодулярных матриц уже не является одно-
связным,— с точки зрения топологии оно гомеоморфно
внутренности тора; таким образом, для этой группы нельзя
дать топологического доказательства несуществования
многозначных линейных представлений. Заметим, между прочим,
что линейные представления этой группы являются также
линейными представлениями группы проективных преобразований
одной вещественной переменной
элементу этой группы соответствуют две вещественных
линейных унимодулярных подстановки двух переменных. Проективная
группа допускает, таким образом, линейные представления одно-
аначные и двузначные, но не допускает многозначных
представлений порядка выше второго.
Отсюда можно вывести существование групп, которые не
имеют ни одного точного линейного представления, то-есть
такого, чтобы существовало взаимно' однозначное соответствие
между элементами группы и матрицами представления.
Рассмотрим уравнение
Это уравнение для х' имеет бесконечное множество решений,
выберем дли х = 0 одно из аначений arctg-т и будем его
непрерывно изменять, когда х изменяется от 0 до -|-сю или от
0 до —оо. Так как
dx' ad —be
dx (asinx-{-b cos л:)1 -f- (с sin x + d cos x)*'
dx'
мы видим, что -г- заключается между определенными
положительными числами; следовательно, когда х меняется от 0 до

ЛИНЕЙ11ЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Ё, 109
-}-оо, х' возрастает от arctg-j до -|-оо, а. прн изменении х
от 0 до —оо, х' убывает от arctg-j до —сю. Мы определяем,
таким обрсчом, преобразование на вещественной прямой.
Совокупность этих преобразований образует, очевидно, группу,
и эта группа непрерывна. Для доказательства последнего
свойства достаточно показать, что можно непрерывным образом
перейти от преобразования с параметрами а, Ь, с, d,
соответствующего некоторому значению arctg-у, к преобразованию
с теми же параметрами, соответствующему другому значению
^-, например, отличающегося от первого на гг или —п.
Для этого мы будем рассматривать с, Ь, с, d как однородные
координаты точки в трехмерном пространстве; каждому
проективному преобразованию соответствует точка, лежащая в
положительной области пространства, ограниченной линейчатой
поверхностью 2-го порядка ad—be = 0. Проведем через
рассматриваемую точку (а, Ь, с, d) прямую, не пересекающую
поверхности, и возьмем на этой прямой некоторую точку (а0) Ьо,
с0, d0); рассмотрим проективное преобразование, определяемое
параметрами а-\-\а0, b-\-\b0, с-\-\с0, d-{-\d0, причем
параметр а. изменяется непрерывно от 0 до -\- оо и затем от — оо
до 0; изменяя непрерывно значение arctg т , > .° , начиная от
и -J» Лид
выбранного исходного значения, мы придем или к тому же
значению, увеличенному на тт, или к тому же значению,
увеличенному на —тг (это зависит от выбора направления
изменения X). Таким образом, в семействе рассматриваемых
преобразований переменной х мы найдем непрерывную
последовательность преобразований, в которой начальное и
конечное преобразования соответствуют данным параметрам а, Ь,
с, d, но с величинами для arctg-т, отличающимися на тг. Что
и требовалось доказать.
Определенная таким образом непрерывная группа
преобразований переменной обладает тем свойством, что
преобразованию над tgx проективной группы соответствует бесконечное
множество преобразований переменной х. Такая группа не

ПО ГЛАВА IV
может, следовательно, допускать точного линейного
представления. Ее многообразие односвязно. Этот результат тем более
примечателен, что согласно теореме Вейля и Петера каждая
замкнутая (компактная) группа имеет всегда точное линейное
представление.
Мы получим другие группы, накрывающие конечное число
раз проективную группу и не допускающие точного линейного
представления, если возьмем, например, уравнение
, a ig пх 4- Ь .
рассматривая его как уравнение, выражающее z' = igx's виде
функции от z = igx. Это уравнение порядка п и имеет п
решений, из которых каждое дает преобразование на проективной
вещественной прямой z (z принимает все значения, включая
и оо). Все эти преобразования образуют непрерывную группу,
накрывающую п раз проективную группу одной переменной.
Она допускает точное линейное представление только при п = 1
и л = 2.
V. Линейные представления группы вращений
и отражений
87. Постановка проблемы. Зададимся целью определить
все линейные представления:
1° группы комплексных вращений и отражений;
2° группы вращений и отражений вещественного эвклидова
пространства;
3° группы собственных и несобственных вращений
вещественного псевдоэвклидова пространства;
4° группы собственных вращений и собственных отражений
того же пространства;
5° группы собственных вращений и несобственных
отражений того же пространства.
В каждом из этнх случаев мы имеем группу ©,
образованную из двух непрерывных семейств О и О', из которых
первое образует непрерывную группу; будем употреблять
обозначение & = О \- G'. Мы знаем в каждом случае все линейные
представления группы G и что теорема о полной приводимости

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАШЕНИЙ В Е, 111
применима. Наконец, для каждого линейного представления
группы G мы знаем линейное представление группы ©, дающее
для G данное представление.
88. Сличай неприводимых представлении, индуцирующих
в группе вращений неприводимое представление. Сначала
мы рассмотрим некоторое неприводимое представление группы ©,
дающее для G также неприводимое представление, и покажем,
что существует еще одно и только одно представление G, не
эквивалентное первому и дающее для G то же самое линейное
представление. Обозначим через Т матрицу, соответствующую
элементу t семейства О'; с другой стороны, пусть s —
бесконечно малое преобразование из G и R— соответствующая
матрица; элементу tst~l группы G соответствует тогда матрица
TRT'1. Если существует другое представление, относящее
элементу t матрицу 7"', то бесконечно малому преобразованию
tst~l будет соответствовать матрица T'RT'-1; таким образом,
какова бы ни была матрица R рассматрииаемого представления
Группы О, имеет место соотношение
или
Так как матрица Т~ '7" перестановочна со всеми матрицами R
неприводимого представления, то она является скаляром m
(п. 32), то есть
Т = тТ.
Коэффициент m не зависит от t; это вытекает из того, что
каждый другой элемент из G' имеет вид st% где .? принадлежит
к G. Рассматривая элемент /-', принадлежащий G', выводим,
что шг = 1, m = — 1. Если вместо матрицы Т взять — 7*, то
получим новое линейное представление группы ©.
Эти оба представления не эквивалентны, так как в
противном случае существовала бы такая постоянная матрица С, что
-* = S, CTC-*=—T;
первое соотношение показывает, что С является скаляром,
а это противоречит второму.

112 ГЛАВА IV
Теорема. Если дано линейное неприводимое
представление группы G, тко шги не существует представления
группы 05, индуцирующего данное представление группы, G,
или существует два неэквивалентных таких представления.
8Э. Противоположный случай. Рассмотрим теперь
неприводимое представление группы &, индуцирующее приводимое
представление группы G. Обозначим через xv xv..., хг
составляющие неприводимой части последнего представления.
Пусть t — элемент из О'; предположим, что / преобразует
соответственно хх, хо,..., хг в г линейных комбинаций
переменных представления, эти комбинации обозначим через ylt
^2,..., уг (если группа многозначна, мы будем рассматривать
одну из линейных подстановок, соответствующих t). Пусть
^ — бесконечно малое преобразование из группы G; положим
s' = tst~1, откуда ts = s'i. Если мы применим к переменной х{
элемент s'i, мы получим bk.yk, где через Ьь{ обозначены элементы
матрицы /?', преобразующей переменные х{, с другой стороны,
применяя к х{ элемент is, мы получаем результат применения
матрицы R к у{, следовательно:
Если s' преобразует переменные х1 в bk.xk, то s = t~'ls't
преобразует yt в Ькгук.
Таким образом, мы видим, что величины yv уг, ...,уг
дают линейное представление группы G, очевидно,
неприводимое. Если изменять t непрерывным образом в G', то
переменные х{ будут преобразовываться в линейные комбинации от
yvyv.. .,yr Так как элемент t~\ обратный t, принадлежит к G,
то все элементы из G' преобразуют yv уг, ..., уг в
линейные комбинации от xv xit ..., xr.
Возможны два случая:
А. Линейные представления группы G, определяемые
соответственно переменными х1 и у0 эквивалентны. В этом
случае, выполняя предварительно подстановку над
переменными у{, мы можем предполагать, что yt преобразуются каждым
элементом группы G так же, как и хг Пусть д:'^=Гу, y' = Ux
— уравнения линейной подстановки, соответствующей элементу t
из О', и пусть R — матрица, применяемая как к переменным
к„ так и к у,, соответствующая бесконечно малому нреобра-

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Я. 113
V*1 ■ ■■-—-—.. . — ь-1- ™- ' ■ ■ ■ ■
вованию 5.нэ G. Матрица, соответствующая /$/-*, равна TRT~l,
если она применяется к хг и LJRU-1, если она применяется
к V/; таким образом,
TRT->
откуда U=mT. Но тогда переменные у(-\-Утх1%. преобразу-.
ются между собой элементами из G', так как
и аналогично
у — У w*f = — VlnT {у — Vmx).
Во всяком случае существуют линейные тождественные
соотношения между л, и уп так как в противном случае
рассматриваемое представление группы © не было бы неприводимо.
Так как два неприводимых представления группы ©,
соответствующих матрицам VniT и —у mTt не эквивалентны, то это
возможно только в том случае, если равны нулю или все
переменные у{ -|^ V mxt, или все переменные^ — У~тхг В том и
другом случае, в противоречии с предположением,
рассматриваемое представление группы © индуцирует неприводимое пред-,
Ставлеиие группы G.
В. Линейные представления группы G, определяемые
соответственно переменными xt и у{, не эквивалентны. Этот
Случай, таким образом, — единственно возможный. Переменные
Х{ и у{ линейно независимы, так как в противном случае все
переменные х1 и все переменные yt были бы равны нулю, что
невозможно. Они составляют все переменные рассматриваемого
представления группы ©. Мы покажем, что все неприводимые
представления группы ©, которые индуцируют в G два данных
неприводимых неэквивалентных представления, эквивалентны
между собой. В самом деле, пусть в первом представлении
группы ©
x'=Uy, y'=Vx
— линейная подстановка (илн одна из линейных подстановок),
' соответствующая элементу / иа ©' и пусть
x'^U'y, y'=V'x
: —соответствующая подстановка во втором представлении.
Если R — матрица, оперирующая над переменными у^ н

JI4 ГЛАВА IV
соответствующая бесконечно малому преобразованию 5 из
группы G, то имеем:
URU~i^=U'RU'~l, откуда U' = mU;
имеем также V' = nV, причем коэффициенты тип являются
постоянными. Рассматривая обратное преобразование, выводим
«=—. Но тогда в уравнениях
x' = mUy, y' =
' = mUy, y' = ~
достаточно заменить х1 на mxt и х\ на тх'р чтобы получить
уравнения первого представления, что н доказывает
утверждение.
Теорема. Если существует Неприводимое
представление группы ©, индуцирующее в группе G приводимое пред-
ставление, то это последнее разлагается на два
неприводимых неэквивалентных представления одного и того же
порядка, и всякое другое неприводимое представление группы ©,
индуцирующее в G эквивалентное приводимое представление,
эквивалентно первому.
Из приведенного выше исследования вытекает, что каждый
элемент из G' преобразует определенный неприводимый тензор
группы G в другой неприводимый тензор, вполне определенный.
Если этот второй тензор эквивалентен первому, то любой нз
них дает составляющие одного или, вернее, двух неприводимых
неэквивалентных тензоров группы ©. Если данный тензор и
преобразованный не эквивалентны, то совокупность
составляющих этих двух тензоров дает неприводимый тензор, и только
один, группы ©.
90. Приложения. В случае группы вещественных
эвклидовых вращений и отражений или группы собственных
псевдоэвклидовых вращений и отражений неприводимыми тензорами
группы G являются тензоры Dp производящих полиномов
Г
(яЕд -\- Ь^)Р. Так как симметрия Нг преобразует % в £„, £,
в — Sj, то она сохраняет составляющую t'l тензор,
преобразованный при помощи G', эквивалентен, таким образом,
рассматриваемому тензору. Тот же вывод имеет место при рассмотре-

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В 5, 115
«ни группы вращений псевдоэвклидова пространства и группы
собственных вращений и несобственных отражений.
;> Что касается группы комплексных вращений, то тензор
производящего полинома
Преобразуется в эквивалентный тензор при помощи отражения,
так как составляющая £рЦ инвариантна при симметрии Н3.
Следовательно, во всех рассмотренных группах каждому
неприводимому линейному представлению группы G
соответствуют два неэквивалентных неприводимых представления
группы & и не существует никаких других неприводимых
представлений группы ©.
Например, тензору (fl?o4-*^i)p(c5 + 4)ff соответствуют
для © два неприводимых тензора; преобразованию ^ = $0,
€| = — St над спинорами соответствуют для производящего по-
дннома два преобразованных полинома
So — blyicSo — dZji и —(*$„-«,)'(c'So-rf!,)*.
91. Случай группы вращений и отражений
вещественного псевдоэвклидова пространства. Здесь мы имеем группу,
образованную из четырех непрерывных семейств. Исследование,
диалогичное предыдущему, показывает, что каждому
неприводимому тензору группы собственных вращений
соответствуют четыре неэквивалентных неприводимых тензора
полной группы, прочем они являются единственными
неприводимыми тензорами этой группы. Если в одном из этих
представлений элементам s, t, a, v четырех семейств
соответствуют матрицы S, Г, U, V, то в трех других им соответствуют
S, T, -U, -V;
5,-7, U.-V-,
S, -Г, -U, V.
В то время как ъ эвклидовом вещественном пространстве
существуют два и только два различных тензора, преобразую-

Мб ГЛАВА IV
щихся как вектор относительно группы вращений, в
пространстве псевдоэвклидовом существуют четыре тензора,
преобразующиеся как вектор относительно группы собственных
вращений.
Добавим еще, что, как нетрудно видеть, теорема о полной
приводимости имеет место для линейных представлений группы
© = О -у* О', если мы предполагаем, что она справедлива для
представлений группы О; это имеет место в тех случаях,
которые были рассмотрены выше.

ЧАСТЬ
И
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА я>3 ИЗМЕРЕНИЙ
СПИНОРЫ В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

ГЛАВА V
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
Спиноры в эвклидовом пространстве нечетного числа
измерений n = 2v-\-\ мы введем при помощи рассмотрения
V-мерных полностью изотропных плоскостей, проходящих через
начало координат О. Систему декартовых координат х* мы
выберем таким образом, чтобы фундаментальная форма имела
следующий вид:
Координаты дс" можно также рассматривать как контрава-
риантные составляющие вектора х. В первых разделах этой
главы мы будем иметь дело с комплексной областью.
Плоскости, которые мы будем рассматривать, проходят все через начало.
I. Изотропные v-плоскости и матрицы,
соответствующие векторам
92. 2' уравнений изотропной v-плоскостя. Нетрудно
видеть, что уравнения, определяющие изотропную плоскость (в
которой все векторы изотропны), устанавливают по крайней мере
одно соотношение между хй, х\ х*, ..., хч; в противном
случае было бы невозможно обратить в нуль форму F,
принимая за х1' линейные формы от х°, х\ х*, ..., х\ Таким
образом, число [измерений изотропной плоскости не больше у.
Мы установи:* сейчас вид уравнений изотропной плоскости,
предполагая общий случай, когда между х\ xit ..., хч не
существует ни одного линейного соотношения.
Пусть
^+^4-... -K*v=0 0)
единственное соотношение между х°, х1, хъ х\ причем
коэффициент ^о не равен нулю. Учитывая это соотношение,
Су

120 Г Л ABA V
приводим полином ZqF к следующему виду:
а это позволяет положить
^=^'-^-{-^^=0 (£„+£„=0). (2)
Уравнения (1} и (2) определяют искомую v-плоскость. К ним
мы прибавим новые. Образуем комбинацию
to/ - fa 4- 5</Чв = ^
И ПОЛОЖИМ
получаем новые уравнения
причем коэффициенты. lljk имеют характер составляющих
тривектора (меняют знак при нечетной перестановке индексов).
Образуем теперь комбинацию
и положим
получаем новые уравнения
причем коэффициенты ^yftA имеют характер составляющих 4-век-
тора.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £„ + , 121
Продолжая далее, мы введем 2V коэффициентов £/,/,.../р
(/? = 1, 2, ..., v), обладающих тем свойством, что они сохраняют
знак при четной перестановке индексов и меняют на обратный
при нечетной,и 2V линейных форм тщ,...1р, обладающих тем же
свойством. Величины 5„, где через а обозначен составной
индекс: О, /, //, ijk, ..., определяются рекуррентно через Б0) £/(
£/,,... Если р четное, то
если р нечетное, то
Ь)
Формы т)а определяются соотношениями:
р
с) Ч/А».'Р= 2 (- 1)'-*&.'А.
Л1 =^
Отметим еще, что каждое с. с четным числом индексов
/j, t2, ..., / может быть выражено с точностью до
отрицательной степени £q при помощи суммы
в которой jv /',, ..., у^.,, jp суть индексы /,, /2, ..., /р1
расположенные в таком порядке, чтобы перестановка (jvjv- • •, Jp)
была одинаковой четности с перестановкой (iv ia, ..., t^); два
члена этой суммы, содержащие одинаковые множители (с
точностью до знака), учитываются только один раз.
2* уравнений 7)(1=0 с 2* параметрами определяют в случае
^О изотропную v-плоскость, причем 1а должны
удовлетворять соотношениям а) н Ь). В дальнейшем (п. 106) мы увидим,
что в случае Б0 = 0 эти уравнения также могут определять
изотропную v-плоскость, если £а удовлетворяют соотношениям
а), Ь) и дополнительным, которые мы получим; мы увидим также,
что таким образом может быть получена каждая изотропная
v-плоскость.

122 ГЛАВА V ___
93. Матрица, соответствующая вектору. Мы будем
называть спинором систему 2V произвольных величин ^,, вообще
говоря не связанных соотношениями а) и Ь) и преобразующихся
при вращениях и отражениях по законам, которые мы введем
в дальнейшем (пп. 96 и 97). Мы убедимся a posteriori, что
такое введение операций вращения и отражения совместимо со
свойством определенного класса спиноров соответствовать
изотропной v-плоскости.
Рассмотрим теперь 2* форм ija и в каждой из них
коэффициенты при Ер. Если расположить 2* составных индексов в
определенном порядке, то эти коэффициенты могут быть приняты
за элементы матрицы порядка 2*; каждый отличный от нуля
элемент равен с точностью до знака одной из координат Xйt
х1, я2,..., д:*', которые мы будем считать за контравариантные
-к
составляющие вектора х. Мы сопоставляем таким образом
каждому вектору х матрицу X порядка 2V; эта мвтрица
вполне определяется выбранным порядком в системе составных
индексов. Например, если при v=2 индексы расположить в
следующем порядке 0,1,2,12, то получим (на основании
соотношений (1), (2), (3)) х1 хг 0.
/ х^' — х^ О
X=\xv 0 —х* —.
\0 *»' —х1' хУ
В этом частном случае матрицы, соответствующие векторам
базиса, имеют вид 10 0 0\
(о -1 о о\
"о=1 0 0—10]'
\0 0 0 1/
/0 1 0 0\ ,0 0 1
„/000 0\ „_ /0 0 01
"i=l0 0 0 — 1 > "я"~ \0 0 0 0
\0 0 0 0/ \0 0 0 QJ
,0 0 0 Ov /0 0 0 Ov
10 О О 0 0 0 0
о о о Ь "2>— \ 1 о о о
^00—10/ \0 1 О О-'

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА E,v4.i 123
94. Основная теорема. Основное свойство матрицы X,
соответствующей некоторому вектору, заключается в
следующем:
Теорема. Квадрат матрицы X, соответствующей
вектору, равен скалярному квадрату этого вектора.
Для доказательства этой теоремы заметим, что
единственные не равные нулю элементы аЦ матрицы X (а обозначает
номер строки, р — столбца) суть:
Ha основании этого элемент матрицы X*, например:
где суммирование распространено на 2V составных индексов,
может быть отличен от нуля только в том случае, если р — q
равно 0, ±1 или +2. Если р — у=2или I, то q индексов
jx, у, jq должны фигурировать среди индексов iu i2 ip;
в случае q — р = 2 или 1 должна иметь место обратная
картина; наконец, если p = q, то у обоих составных индексов
itl i% / и /i, Л, '-.,jq должно быть по крайней мере
р — 1 общих индексов.
Если р — 0 = 2, то даже те элементы ЫА'-{я, , кото-
рые мы отметили выше, равны нулю; в самом деле, эти
элементы равны
— л/«+« jtA+«=0;
то же самое имеем, если ^ — р = 2. Тот же результат
получается, если q — p=l (иди р—-$=1), так как
Наконец, если р = цЛ то мы должны исследовать элементы

124 ГЛАВА V
Первые равны нулю: доказательство аналогично предыдущему.
Вторые равны
1,1» ... If lti, ... Гр (|(|... /р I
-4- V а'1'1 - '*-'•'*+■ - 'р fl'1'1 - 'j -4-
i 2- aU,... /Р р /А... /*-. /*+1... /р i
/А... /J л/.... /рЛ
Из этой теоремы непосредственно вытекает, что
скалярное произведение двух векторов есть полусумма
произведений, двух соответствующих матрац.
Доказательство то же, что и для пространства Е3 (п. 5Б,
теорема III).
Отсюда вытекают следующие соотношения для матриц Аи
А„..., Ап, соответствующих п взаимно перпендикулярным
единичным векторам:
Л. — 11 А^/К t — —
96. Матрица, соответствующая р-вектору, р-вектору,
определенному векторами Хи Х2, ..., Х„, можно отнести,
матрицу
где сумма распространена на все перестановки индексов
1, 2, ..-, р, причем знак -{- или — берется в зависимости от
того, четной или нечетной является перестановка /1( /2, ...,/j
элементами этой матрицы являются линейные комбинации
составляющих р-вектора. Мы будем обозначать матрицу,
соответствующую /7-вектору, символом X. Если р векторов взаимно
перпендикулярны, то матрица, соответствующая /7-вектору, равна
хххг... хр.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £>, + , 125
Пользуясь этим видом для матрицы, нетрудно показать, что
квадрат матрицы X, соответствующей р-вектору, равен ква-
00 р±р-г>
драту мерч этого р-вектора, умноженному на (— 1) 2 ;
например^ если векторы X и У взаимно перпендикулярны, то
{XY)*=XYXY = — XXYY = — X*Y* = — тг. (5)
В дальнейшем мы увидим (п. 98), что матрицы,
соответствующие двум различным р-векторам, различны и что матрица,
соответствующая (п — р)-вектору, тождественна с матрицей,
соответствующей некоторому р-вектору.
II. Представление вращений и отражений при помощи
матриц порядка 2*
96. Симметрия, соответствующая единячпому вектору.
Как и в пространстве Е3, результат применения к вектору X
симметрии относительно гиперплоскости П, перпендикулярной
к единичному вектору А, выражается формулой (гг. 68)
Х' = -АХА. (6)
Для р-вектора X имеем
(р)
Х' = (-\)РАХА. (7)
W (р)
Определим a priori результат применения симметрии к
спинору t формулой
Z' = Al; (8)
МЫ расчленяем, таким образом, операцию симметрии на две, —
в зависимостч от того, выбираем ли за единичный вектор,
перпендикулярный к гиперплоскости II, А или — А.
Если мы исследуем, в частности, результат применения к
спинору операторов базиса Но, Н(, //,-», то получим следующее:
Оператор Но оставляет инвариантной абсолютную
величину каждой составляющей $0, изменяя ила не изменяя ее
знак в зависимости от того, содержит ли составной индекс п.
нечетное или четное число ^простых индексов (относительно

126 Г Л А В А V
составляющей £„ следует предполагать, что она содержит
четное число простых индексов, равное нулю).
Оператор //,(/=1,2, ..., v) обращает в нуль
составляющие £к) содержащие простой индекс /, и прибавляет этот,
индекс к тем составляющим, у которых а не содержит i;
например, Н9 преобразует Е4В в £ш и обращает в нуль $j8.
Оператор H/i обращает в нуль составляющие £,,, не
содержащие индекса i, и отнимает этот индекс у тех,
составной индекс а которых содержит i (при условии, что индекс i
предварительно был переставлен на последнее место в
составном индексе а)', например, Иг< превращает в нуль Е46 и
преобразует Е184 = — %-аъ в — Ец-
97. Представление вращения. Так как вращение является
произведением четного числа симметрии Аи Ай A^(k^v),
то результат применения вращения к вектору или вообще
/7-вектору определяется формулой
^ = ^2А^!1*-1* • •АгА1ХА1Аг.. •Л2._1АгЛ. (9)
О») W)
Преобразование спинора при вращении выражается формулой
. i' = A2kA2k_1...AiA1l (10)
Если положить
^2k^tk-i'' • ™г™\:^ ^t
то предыдущие формулы примут следующий вид:
X' = SXS-\ Z = Sl (11)
Аналогично может быть выражено отражение
Х' = (-\уТХТ-\ е = П, (12)
причем матрица Т является произведением нечетного числа
<2у-}-1 матриц, соответствующих единичным векторам.
. В частности, симметрия относительно начала, которая
является произведением п симметрии, соответствующих л единичным
взаимно перпендикулярным векторам Аи Аи... А„, выражается
при помощи матрицы AxAt... Ап> то есть матрицы, соответ-

' СПИЖИРЫ ПРОСТРАНСТВА е„+« 127
ствующей л-вектору единичного объема. Для вычисления
этой матрицы достаточно выбрать за эти п матриц матрицы
в саном деле,
третий член этого соотношения является удвоенным скалярным
—>- -+•
произведением векторов ek, ек. то есть 2gai=\. Образуя
произведение, получаем с точностью до знака
Применяя правила, данные в конце п. 96, мы видим, что
матрица HvHx — //j//i» умножает каждую составляющую £„ на
плюс или минус единицу в зависимости от того, содержит или
не содержит составной индекс а индекс 1. Следовательно,
построенная выше матрица умножает каждую составляющую на Р.
Отсюда вытекает
Теорема. П'вектору единичного объема соответствует
скалярная матрица /\ которая определяет симметрию
относительно начала в применении к спинорам.
98. Числа Клиффорда-Липшитца. В п. 48 была доказана
Неприводимость р-вектора относительно группы вращений.
Если Мы возьмем матрицу Х> соответствующую произвольному
if)
р-вектору, то элементы этой матрицы, являющиеся
линейными чомбинациями составляющих р-вектора, при вращении
преобразуются линейно между собой; отсюда следует, что или
все они тождественно равны нулю (это невозможно), или
линейные комбинации, которые они образуют, линейно независимы
относительно С£ составляющих р-вектора. Отсюда, в
частности, вытекает
Теорема. Двум различным р-векторам соответствуют
две различные матрицы X.
Можно пойти дальше. Рассмотрим матрицу и порядка 2V с
произвольными комплексными коэффициентами. 23v элементов
этой матрицы могут быть рассматриваемы как составляющие
о

128 Г Л ABA V
тензора относительно группы вращений, если условиться, что
вращение S преобразует матрицу U в SUS'1. Из этого тензора
порядка 22* можно выделить скаляр, вектор, бивектор,...,
v-вектор: достаточно взять матрицы, соответствующие
произвольному скаляру, произвольному вектору и т. д. Мы выделим,
таким образом, из полного тензора v —]— 1 неприводимых
тензоров, не эквивалентных между собой; полное число
составляющих этих v -\-1 тензоров равно
то есть оно равно числу составляющих полного тензора. Между
этими 2ZV составляющими не может существовать линейных
соотношений, так как в противном случае, на основании
теоремы в. 34, по крайней мере одни из выделенных тензоров
был бы равен тождественно нулю. Таким образом, мы получили
следующую теорему:
Теорема. Каждая матрица порядка 2V может бить
разложена одним и только одним способом на сумму
скаляра, вектора, бивектора, .... v- вектора.
Матрицы порядка 2V можно рассматривать как числа
гиперкомплексной системы с 22v единицами, построенной над полем
комплексных чисел; принимая за единицы этой системы матрицу 1,
матрицы A!t соответствующие п единичным взаимно
перпендикулярным векторам, их произведения по две, по три, ...,nov,
имеем правило умножения
Мы получаем систему гнперкомплексных чисел Клиффорда-Лип-
шитца, применение которой к представлению вращений очевидно
в силу сказанного выше:).
1) Относительно этих чисел см. статью: .Nombres complexes* в
Encyclopedie des Sc. Math.; составленную Э. Картаноы на основании
статьи Штуди на немецком языке (Encycl/, 1,5, 1908, стр. 463—465).
Относительно применения этих чисел в пространстве частного принципа
относительности см. А. М е г с i е г, Expressions des equations de
I'electromagiietlsme аи тоуеп des nombres de Clifford (These, Geneve,
1935) и G. J u v e t, Les rotations de I'espace euclidien & quatre
dimensions, etc. (Comment. Math. Helvet, 8, 1936, стр. 264—304).

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £„ + , 129
Добавим, что матрица, соответствующая (п — р)-вектору
(/?<v), тождественна с матрицей, соответствующей некоторому
р-вектору, именно: произведению f на р-вектор,
дополнительный к данному (л—р)-вектору. Например, учитывая,
что произведение А1А2...А„ равно /\ имеем
= (-1) 2 (AlAv..Ap)(A1Ai...ApAp+l...An) =
р (P-D
= (-1) 2 /МИг..-V
09. Тензорный характер спинора. Формулы (11) и (12)
показывают, что спинор дает линейное представление группы
вращений и отражений. В самом деле, возьмем два вращения
S, S; если эти вращения-последовательно применить к вектору X,
мы получим результирующее вращение S'S:
будучи приложены последовательно к спинору, вращения S, S'
дают то же самое вращение S'S. Следует отметить, что
представление двузначно, так как каждое вращение или отражение
сдваивается при приложении к спинору. Матрицы S являются
как раз матрицами представления, определяемого спинорами.
Сдваивания избежать невозможно^ по крайней мере, если
потребовать, чтобы .соответствие между вращениями и
отражениями векторов, с одной стороны, и вращениями и
отражениями спиноров, с другой, было непрерывно. Рассмотрим,
например, симметрию А: можно непрерывным образом привести
единичный вектор А в совпадение с единичным вектором — А;
таким образом, мы переходим непрерывно от преобразования
£—»Л£ к преобразованию £—>■ — А% причем обоим этим
преобразованиям соответствует одно и то же преобразование над
векторами.
100. Неприводимость спинора. Покажем, что, при
применении к любой линейной комбинации 2а^а составляющих
спинора достаточного числа вращений, мы получим 2' линейно
независимых комбинаций. Мм рассмотрим простые вращения

130 ГЛАВА V
на угол тт, являющиеся произведениями двух симметрии,
соответствующих двум единичным взаимно перпендикулярным векторам,
а также произведения двух таких вращений; будем пользоваться,
в частности, матрицами
i (Ик + Нк.) (Н, - Нк,) = i [Нк.Ик - НкН,,)
или, что приводится к тому же,
И1,Н1 — //,-#,„ HtHJt HtHj,, H{lHJt
Рассмотрим теперь линейную комбинацию а7?„ и
предположим для определенности, что коэффициент при £1г...Р не равен
нулю. Применяя преобразование #i>//,— ИХН\Ч мы не изменим
в рассматриваемой форме коэффициентов при £„, которые
содержат индекс 1; остальные коэффициенты изменят знак. При
помощи сложения получаем новую линейную комбинацию, в
которую входят только £,, содержащие индекс 1. Поступая
также относительно индексов 2, 3 р, мы получим новую
комбинацию; в нее входят те £,, которые содержат одновременно
все индексы 1,2,...,/». Применяя теперь матрицы Н^^хуИ +1 —
— Иp+xH{p+i)i, ••-, мы исключим при помощи вычитания все £в,
содержащие один из индексов р-\-1, р-\-2, ..., V. б
результате видим, что из данной линейной комбинации мы можем
выделить каждый не равный нулю член этой комбинации.
Применение матрицы Нр<Нр+1 выводит из ^xi...p составляющую
^i2...fp-i) (p+i)' следовательно, можно выделить все $„ с р
индексами. Матрица И(р^.\уИ^ позволяет вывести отсюда все
составляющие с р — 2 индексами. Матрица Нр+^Нр+г — все
составляющие z p -\-2 индексами. Аналогичные операции дадут нам
в конце концов все £, с четным или же нечетным числом
индексов. До сих пор мы не пользовались матрицей Ии. Матрицы
НцН( и Н0Н(> позволяют перейти от ^, с четным числом
индексов к S,c нечетным числом и обратно. Это доказывает
неприводимость спинора относительно группы вращений, а
следовательно, и относительно группы вращений и отражений. Между
прочим, неприводимость относительно этой последней группы
может быть доказана, как нетрудно видеть, без применения
матрицы Яо.

спиноры пространства £,v+i
131
III. Фундаментальная полярность в пространстве спиноров,
р-векторы, определяемые парой спиноров
101. Матрица С. Рассмотрим преобразование, определяемое
матрицей
С= (//, - //,,) (//, - Н2>) ... (Яу - ЯУ,).
Преобразование Ях — Яр переводит составляющую 6ц..._
в (—1У 323...pi преобразование Л/2— Ну переводит эту
последнюю в {— i)V+(^-i) « ' и т. д.; наконец, применение Я„— Я»»
-о»
дает (—1)
то в результате применения С получили бы
ip
а последующие преобразования дают
„. Если бы мы исходили из L ,
причем перестановка (i,, i2, .... /J предполагается четной.
Таким образом, единственными элементами матрицы С,
отличными от нуля, являются элементы
где (ij, /8 /v) — четная перестановка.
Если при v = 3 строки и столбцы расположить в следующем
порядке:
0, 1, 2, 3, 23, 31, 12, 123,
то матрица С имеет
С =
0
0
о
о
0 -
о
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
вид
0
0
0
0
0
— 1
-Л о
0
0
0
0
0
о
0
— 1
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
0
0
— 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0

132 Г Л А В А V
Основное свойство матрицы С следующее:
Теорема. При любом выборе вектора X
СХ={—\уХ*С. (13)
Достаточно проверить это соотношение для векторов
базиса #„. Замечая, что Но антикоммутнрует с Я, и Hi> имеем
затем
СН, = (— 1)'-'+»(Я, — Ht,)...
так как Я/; =Н*{1 то формула доказана.
Если бы вместо вектора ЛГ мы взяли р- вектор X, то
note)
лучили бы
(14)
(Л ' ' О»)
В самом деле, всегда можно предположить, что
(Р) 1 '"' ''
где Xv Хй Хр, суть р взаимно перпендикулярных
векторов; имеем
...Х*С =
tx:
что и требовалось докавать.
Отметим, наконец, следующие два свойства:
= 1, С« = ( —1) 2 ; (15)

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ^+1 133
первое вытекает из того, что
(//, - И„) (//, - //„)* = (//, - Н„) (//„ - Ht) =
так каОскалярное произведение векторов И. и Hv равно -х.
it
Второе следует из того, что С соответствует v-вектору,
образованному из v взаимно перпендикулярных векторов,
причем квадратный скаляр каждого равен — 1; поэтому С2 равно
(-1) 2 (-1)' = (-1) 2 .
102. Фундаментальная полярность. Рассмотрим два
спинора £, £' и скаляр
е*се\
где через 5* обозначена матрица с 1 строкой и 2V столбцами,
через £' — матрица с 2' строками и 1 столбцом. Эта величина
не меняется по абсолютному значению, если к £-и £'
применить одно и то же аращенне,' в самом деле, она преобразуется в
но на основании (13) имеем:
А*С={— \уСА,
откуда
А*СА =( — 1)» СА» = (— \)-С;
таким образом, рассматриваемая форма прн преобразовании
только умножается на (— 1)*. Если v четное, имеем инвариант
при вращении и отражении; если V нечетное, эта величина
меняет знак при отражении. В последнем случае она дает
тензор, эквивалентный л-вектору.
Соотношение
билинейное относительно составляющих двух спиноров,
определяет в пространстве спинороа полярность в том смысле, что
это соотношение симметрично относительно обоих спиноров,
о

I'M Г Л ABA V
В самом деле, так как левая часть является скаляром, то она не
меняется при операции транспонирования; поэтому
то есть рассматриваемое соотношение действительно симметрично
относительно обоих спиноров.
Полученная таким образом фундаментальная полярность —
первого рода (полярность относительно квадрики*)), если
(—1) 2 =1; в этом случае она получается из квадратичной
( + 1)
формы £*С£. Если (— 1) 2 = — 1, то мы имеем полярность
второго рода (полярность относительно линейного комплекса);
она определяется внешней формой [£*С;].
При v = l имеем
при v = 2:
при v:=3:
2
наконец, при v = 4:
2 5 О? — ЧО>
L с*/" с — ее е с ее ? е •
; °- — ^мгз Ч1*~:з Vsi С8ч1г'
"42-84
В дальнейшем мы увидим, что в пространстве спиноров
фундаментальная полярность является единственной
полярностью, инвариантной при группе вращений.
•} Задаваемо., уравнением £*Сл= 1, (Прим.

спиноры пространства e3v+1 135
103. Приведение тензора ^„^. Мы показали, что
билинейная форма Е*С£' определяет тензор с одной составляющей
относительно группы вращений и отражений; этот тензор
является скаляром, если v четное; он эквивалентен «-вектору,
если v нечетное. Рассмотрим теперь тензор £JeL, являющийся
произведением двух спиноров. Этот тензор имеет 22v
составляющих. Он является приводимым; мы покажем, что он
вполне приводим, и разложим его на неприводимые части.
Образуем для этого форму
(р)
где Л"—некоторый неопределенный р-вектор (ps£iv). Прн-
меняя симметрию А одновременно к спинорам £, Б' и р-
вектору X, мы преобразуем эту форму, учитывая соотношения (7),
(р)
(8), (14), в следующую:
(
0») (р)
таким образом, при этом преобразовании она умножается на
(— \у+Р={ — \у~Р. Она дает, следовательно, скаляр, если
V—р четно, и тензор, эквивалентный п-вектору, если v—р
нечетно.
В первом случае эта форма, если ее расположить по кон-
Травариантным составляющим -к*'"» • • • "р р - Лектора X, имеет
вид W
причем у^Лг... в являются билинейными формами от £ н £'.
Согласно основной теореме (п. 27) уЛЛш... „ образуют
эквивалентный р-вектору тензор, у которого уа,а,---а являются
ковариантнымн составляющими. р
Во втором случае коэффициенты при jev» • • • "р являются
составляющими (л—р)' вектора.
Отметим, что в первом случае р, а. во втором п-^-р
одинаковой четности С V,
Из изложенного вытекает, что из тензора 6.EJ можно виде-
лить у -{-1 неприводимых тензорЪв. Полное число составляющих.

136 Г Л ABA V
этих v -{-1 тензоров • равно (полагаем последовательно
р = 0, 1, 2, .... v)
оно равно, таким образом, числу составляющих тензора
С другой стороны, на основании общей теоремы (п. 34) мы
знаем, что совокупность тождественных линейных соотношений
между составляющими v —|— 1 неприводимых тензоров должна
обращать тождественно в нуль все составляющие по крайней
мере одного из этих тензоров; но между тем ни один из
найденных тензоров не равен тождественно нулю, так как
величина £*СЛ*£' ие может быть равна нулю при произвольном вы-
(р)
боре спиноров Е, 5' и р-Еектора X.
Из приведенных рассуждений следует, что 22* составляющих
1 полученных v + 1 неприводимых тензоров линейно независимы*.
а потому тензор 5.Ц может быть разложен на v-{-l неприво»
димых частей. Эти различные неприводимые тензоры мы
обозначим через £ .
104. Неприводимые симметрические и
антисимметрические части тензора £а£р. Ясно, что каждый неприводимый
тензор, составляющие которого суть билинейные формы от £„ и £
является или симметрическим или антисимметрическим. Чтобы
исследовать, какой мы имеем случай, поступаем, как и выше
Принимая во внимание формулу (14), имеем
=(-1)
но
(-1)

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я\+1 137
Следовательно, если [v—р = 0 или —1 (mod 4), тензор £
симметрический; если v — р=1 или 2 (mod 4), он
антисимметрический.
Таким образом, симметрические тензоры эквивалентны
q-векторам, если q = v (mod 4); антисимметрические
тензоры эквивалентны q-векторам, если q = \-\-2 (mod 4).
Симметрические тензоры эквив лентны тем, которые
получаются при подстановке ^ = Еа; они дают разложение тензора
SJp с 24""1 (2*4-1) составляющими. Между прочим, нетрудно
проверить, что сумма коэффициентов С£,+1 бинома, у которых
верхний индекс равен v плюс или минус кратное 4, равна
2-1(2» +1).
105. v-вектор, соответствующий спинору. Один из этих
тензоров очень важен; это тензор S£v. Он эквивалентен
v-вектору. Мы подсчитаем его составляющие для v = 2.
Для этого надо рассмотреть выражение £*СЛ"$; для кова-
(2)
риантных Составляющих бивектора имеем
\
xlt = e*C//,//2E = — %, xv2, =
tfi = Ц, xV2 =
■ В начале этой главы мы видели, что при v = 2 каждый
спинор позволяет определить, по крайней мере, если £0 =^=0,
изотропное образующее многообразие двух измерений (2-плос-
кость). В то же время мы можем отнести каждому спинору
бивектор. Нетрудно видеть, что этот бивектор лежит в этой
изотропной плоскости. Ограничимся сначала для проверки
случаем спинора, у которого все составляющие, за
исключением ^,, равны нулю; в этом случае изотропная 2-плоскость,

138 Г Л А В А V
соответствующая этому тензору, определяется уравнениями
контравариантные составляющие каждого бивектора, лежащего
в этой 2-плоскости, равны нулю, за исключением х12; другими
словами, все его ковариантные составляющие равны нулю, за
исключением xw Но бивектор £2, определяемый
рассматриваемым спинором, обладает как раз этим свойством, так как
единственная его ковариантная составляющая, отличная от нуля,
есть jfi'2'= — Щ- Этот результат является общим и
распространяется на все значения v, как это мы сейчас покажем.
IV. Простые спиноры и интерпретация нх
как поляризованных изотропных v-векторов
Рассматривая в начале этой главы (п.- 92) изотропные
V - плоскости, мы пришли к системе 2* линейных уравнений с п
переменными х° х', х1', коэффициенты которых являются 2'
составляющими спинора. Эти уравнения определяют
V-плоскость, если при £0, отличном от нуля, между составляющими
спинора существуют квадратичные соотношения а) и Ь),
определяющие через £0, £,-, £{j составляющие 5, имеющие больше
двух индексов. Эти 2* уравнений выражаются матричным
уравнением Хс = 0.
106. Простые спиноры и изотропные v-плоскости. Мы
будем называть ненулевой спинор простым, если ранг системы
этих уравнений равен v —|— 1; они определяют тогда
V-плоскость, являющуюся изотропной, так как если вектор х
удовлетворяет этим уравнениям, то
= X*;=='jflZ=Oi откуда J3 = 0.
Обратно, каждая изотропная V-плоскость может быть
определена простым спинором: мы показали в том случае, когда
из уравнений этой v - плоскости не вытекает никакого
линейного соотношения между х1, х2, . . . , х'; соответствующий ему
простой спинор имеет составляющую ;0, отличную от нуля.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £v0 + , 139
Чтобы доказать, что указанный результат имеет место в общем
случае, достаточно установить следующие две леммы.
Лемма I. Спинор, получающийся из простого при
помощи вращения или симметрии, является также простым,
причем v - плоскость, содтветствующая преобразованному
спинору, получается из у-плоскости исходного при
помощи, того же вращения или симметрии.
В самом деле, пусть £ — простой спинор, X — вектор
соответствующей v- плоскости; при помощи симметрии Л получаем
спинор £' = Л5 и вектор Х' = — АХА, причем
X'k' = — АХАЧ = — АХ=-.О;
так как векторы X' образуют изотропную плоскость, то лемма
доказана.
Лемма II. Две изотропные v- плоскости могут быть
всегда преобразованы одна в другую при помощи вращения
им отражения.
В самом деле, рассмотрим две изотропные v-плоскости,
имеющие общую р- плоскость; обозначим через X вектор
первой v - плоскости, не принадлежащий ко второй; этот
вектор ие может быть перпендикулярен ко всем векторам второй
V- плоскости, так как (v —|— 1) - плоскость, содержащая
вторую V-плоскость и вектор X, была бы изотропна, что
невозможно. Пусть X' — вектор второй v-плоскости, не
перпендикулярный к X; вектор X' — X ие изотропен, так как в
противном случае мы имели бы
(X' — Х)г = Х'* + Хг — (XX' + Х'Х) = — (XX* + Х'Х) =
Симметрия X' — X (относительно плоскости, перпендикулярной
к отрезку, соединяющему концы векторов X и X', и проходящей
через середину этого отрезка) оставляет инвариантной
р-плоскость, общую двум данным v-плоскостям, так как эта
р- плоскость перпендикулярна к X' — X; кроме того, ощ
преобразует X в X'; она преобразует, таким образом, первую
v-плоскость в другую, имеющую со второй v-плоскостью
общую [р-\-1)-плоскость. Повторяя несколько раз это же.
преобразование, мы совместим обе данные v- плоскости при.
помощи некоторого числа ^ v симметрии,

140 ГЛАВА V
Можно добавить к этому, что в рассматриваемом случае
нечетного п можно всегда осуществить это совмещение при
помощи вращения, так как в (v-f~ 1)-плоскости,
перпендикулярной к изотропной V-плоскости, существует неизотропный
вектор, перпендикулярный к этой v- плоскости, и,
следовательно, существует симметрия, оставляющая инвариантной
v - плоскость.
Вернемся к нашему предложению. Каждая изотропная
v - плоскость может быть получена при помощи вращения из
V - ПЛОСКОСТИ
применим это вращение к спинору, у которого составляющие,
отличные от £0) равны нулю; на основании леммы I мы получим
простой спинор, соответствующий данной изотропной плоскости.
Мы приходим, таким образом, к следующей общей теореме.
Теорема. Каждая изотропная v - плоскость
определяется при помощи простого спинора. Простые спиноры
образуют соеокупность, инвариантную при вращениях и
отражениях.
107. Простые спиноры обращают в нуль
симметрические тензоры, отличные от S£v. Теперь мы охарактеризуем
алгебраически простые спиноры. Покажем сначала, что каждый
простой спинор превращает в нуль составляющие различных
симметрических тензоров %1рфу)9 входящих в разложение
тензора ^.
Прежде всего это предложение справедливо для простого
спинора, у которого все составляющие, за исключением Ео,
равны нулю. Рассмотрим симметрический тензор % ; получающийся
из выражения
(р)
если все &в, за исключением q0, равны нулю, то это выражение
равно Ц, умноженному на коэффициент при ^ в
составляющей Ео, преобразованной матрицей СХ, то есть на коэффи-
(р)
циент при со в составляющей tI2 • • . *> преобразованной
матрицей X. Но в составляющую £,2. . . .,, преобразованную
ОМ

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £а, + 1 141
матрицей X вектора, входят только те составляющие £в>
которые имеют по крайней мере v — 1 индексов; применяя вторую
матрицу вектора, мы получим выражение, содержащее только
те Ев, которые имеют по крайней мере v — 2 индексов и т. д.
Так ка^ р <^v, то составляющая ч0 не входит в искомую
составляющую &12 . . . „ преобразованную матрицей X.
U>)
1ак как каждый простой спинор может быть получен
("лемма II) из рассмотренного спинора частного вида, то тензор £
также равен нулю для этого спинора, что и требовалось
доказать.
Докажем теперь обратное, — что каждый спинор,
обращающий в нуль симметрические тензоры £р, отличные от 3\,—
простой. В самом деле, на основании самого определения простых
спиноров они характеризуются целыми алгебраическими
соотношениями. Рассмотрим среди этих соотношений асе
квадратичные. Эти соотношения обладают тензорным характером в том
смысле, что левые их части образуют тензор, так как в целом
их совокупность, конечно, инвариантна при вращении и
отражении. На основании прямой теоремы мы знаем, что среди
этих квадратичных соотношений фигурируют все те, которые
получаются приравниванием нулю симметрических тензоров £р|
отличных от !JV. Других соотношений существовать не может,
так как рассматриваемые соотношения, будучи линейными
относительно составляющих тензора Б,^, могут быть
получены только (п. 34) приравниванием нулю одной или нескольких
из неприводимых частей этого тензора; но 5£, не может фигу-
рировг "Ь среди этих частей: в противном случае все
составляющие ^, то есть и все ^, были бы равны нулю; мы пришли
к абсурду. Следовательно, совокупность квадратичных
соотношений, характеризующих простые спиноры, совпадает
с- той, которая получается приравниванием нулю
симметрических тензоров SE , отличных от S£,.
108. Алгебраическая характеристика простых спиноров.
Рассмотрим спинор, обращающий в нуль все эти тензоры; его
составляющие удовлетворяют соотношениям а) и Ь) (п. 92)
31 ~Г ^И'
о

142 ГЛАВА V
которые необходимо имеют место для составляющих простого
спинора; если $о^0,то эти необходимые соотношения являются
и достаточными, как это показывает начало главы, для того
чтобы спинор был простым; следовательно, каждый спинор
с составляющей ^=^0, обращающий в нуль симметрические
тензоры 2^, отличные от £•,,—простой. То же самое имеем в
том случае, если £0 = °> так как нз S можно получить
преобразованием новый спинор с составляющей ^^О1), который
обращает в нуль те же составляющие тензора и поэтому
является простым; следовательно, S, получающийся
преобразованием из простого тензора, сам является простым.
Теорема. Спинор является простим тогда и только
тогда, если его составляющие обращают е нуль все
тензоры, определяемые выражениями
$*Ш [/><v, v — />=0 или 3(mod 4)].
О»)
В пространстве спиноров простые спиноры образуют, таким
"" образом, алгебраическое многообразие, определяемое линейно
••езависимыми квадратичными уравнениями в числе 2^
р
то есть
Это число равно:
для v = 3, 10 = Сэ+Св для v =
п для v = 5, 364=С?з-|-с13 для v = 6.
109. Изотропный v-вектор, соответствующий простому
спинору. Рассмотрим простой спинор; тензор S£v позволяет
отнести этому простому спинору, как и вообще каждому спинору,
v-вектор (п. 105). Мы покажем, что этот v-вектор лежит
в изотропной v-плоскости, определенной спинором. Достаточно
проверить это для какого-нибудь спинора частного вида, так
• ]) В самом деле, еслн бы спиноры, преобразованные нз данного,
имели составляющую $0, равную нулю, то наименьшее подпространство,
содержащее все эти преобразованные спиноры, было бы инвариантно
при группе вращений; так как это подпространство самое большее
2- — 1 измерений то это противоречит неприводимости спиноров.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я;у + | 143
как применением вращения мы распространим это на любые
простые спиноры. Возьмем снова спинор, у которого все
составляющие, за исключением ?„, равны нулю. Рассуждение, которое
применялось при доказательстве леммы II, показывает, что едиист-
иенная отлг: шая от нулп коварнантная составляющая v-вектора по-
лучаетЙ из v - вектора «V, являющегося произведением v-векторов
г, <">
Hii, так как Н,-, — единственные векторы базиса, обладающие тем
свойством, что их применение к составляющей £ уменьшает
на единицу число ее индексов. Следовательно, единственная
отличная от нуля ковариантная составляющая v-вектора, соот-
иетствующего спинору, есть
v- плоскость этого v-вектора определяется уравнениями
x» = xv=x*~.. . = *v> =0;
s»to — изотропная v-плоскость, определяемая рассматриваемым
спинором.
Отсюда вытекает важное следствие. Каждый простой
спинор может быть определен как изотропный поляризованный
>вектор. Если задан изотропный v-вектор, то составляющие
спиноры определены (с точностью до общего знака) выражениями
тензора &„; для v = 2 это — выражения (16), данные в п. 105.
Вполне очевидно, что каждый спинор можно рассматривать,
и притом бесконечным числом способов, как сумму простых
спиноров; это дает также геометрическую интерпретацию
спиноров общего вида.
Интересно отметить, что как понятие спинора может быть
выведено из понятия вектора, так и обратно—понятие вектора
может быть выведено из понятия спинора: прежде всего при
помощи спинора можно построить изотропный v-вектор,
затем можно определить v-вёктор общего вида как сумму
изотропных v-векторов и вектор — как элемент, общий семейству
v-векторов, удовлетворяющих определенным условиям..
110. Пересечение двух изотропных v-плоскостей.
Обозначим через [Е] изотропную v-млоскость, определяемую
простым спинором $. Пересечение двух изотропных v-плоскостей

144 Г ЛАВ А V
[S] и [£*] еСть изотропная р-плоскость, причем р может
изменяться от 0 (в этом случае эти у-плоскости не имеют
общих прямых) до v (когда они совпадают).
Существует по крайней мере один неизотропный вектор,
перпендикулярный к обеим- v-плоскостям; в самом дел^,
геометрическое место перпендикуляров к этим двум
v-плоскостям определяется 2у —р независимыми линейными уравнениями,
то есть является (p-j-1)-плоскостью, содержащей р-ппо-
скость, общую рассматриваемым v-плоскостям. Таким образом,
существует прямая, перпендикулярная к обеим v-плоскостям
и не принадлежащая к их общей /7-плоскости. Эта прямая
не может быть изотропной, так как в противном случае она
определяла бы с каждой из рассматриваемых v-плоскостей
изотропную (v-y-1)-плоскость, что невозможно. С другой
стороны, не будучи изотропной, она не может лежать
в (2v—/>)-плоскости, которая содержит данные две у-пло-
скостн и к которой эта прямая перпендикулярна.
При помощи вращения можно всегда единичный вектор,
лежащий на этой прямой, совместить с #0, а v-плоскость
[£']— с плоскостью, определяемой векторами Hv Я,,..., Я,;
наконец, можно предположить, что /^-плоскость, общая обеим
"V-плоскостям, определяется векторами Ни Я2,..., Нр. Каждый
вектор v-плоскости [$] является линейной комбинацией векторов
//,, Я2| • ■ • i ^р. "i», #2», . . • , "р'> ^(/>+l)' ' ' ' . ^'» H0 И3 У010'
вия, что он перпендикулярен к Я,, вытекает, что #i» не может
входить в эту комбинацию; то же самое относится к Ну,..., tip.
Итак, v-плоскость [£] можно определить при помощи у векторов
Hv Я2,..., Нр, Кр+1,... , К„
причем
Тогда скалярные произведения векторов
Козффициечты ау ие произвольны.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £ау.ц 145
те же самые, что и у векторов
Но, Hlt..., Hpi Hp+rt.... И,\
HVt H2>,. .. , И,,,, //(/)+1). ,. . ., Нн; (Ь)
таким образом, векторы (а) образуют репер, конгруэнтный
координатному реперу, то есть при помощи вращения или
отражения можно обе данные v-плоскости совместить соответственно
с v-плоскостями
[ВД • • • ИрНр^.. , tfj и [НгНг... НрН(р+1), .. . //,.],
у которых уравнения соответственно следующие:
Х»=Х{'=Х2' = .. .=ХР' = ХР+* — ... =Х'=О.
У соответствующего'простого спинора $' все составляющие
кроме £э равны нулю, у спинора q не равна нулю только
составляющая £(р+1)(„+2) •••„• В самом деле, для второго
спинора уравнения
я^=... =//ра=о, н{р^у g=... =лгд=о
показывают, что все$а, содержащие один из индексов 1, 2,.. . ,р,
равны нулю, так же как и те составляющие, у которых
отсутствует один из индексов ^-j-1, p-j-2,..., v; таким образом,
остается не равной нулю только одна составляющая
^(p+i) ip+г) • • • v
111. Условие того, что пересечение двух изотропных
v-плоскостей имеет р измерений. Полученный в
предыдущем параграфе результат позволяет нам найти непосредственно
необходимые и достаточные условия того, что пересечение
двух, изотропных v-плоскостей ["£] и [$'] является плоскостью
р измерений. В самом деле, если эта плоскость р-мерна, то
все тензоры £0, %х..., £ ., определяемые парой спиноров
£ и £', равны нулю; достаточно доказать это для двух v-'плс-
скостей, определенных выше. Если мы образуем величину

146 Г Л А В А V
где X—произвольный ^-вектор {q<CP)> т0 эта величина
(?)
является произведением &d £(р+1)... v на коэффициент при
(•( и (р+2)... v в So, преобразованной матрицей СЯ", то есть
Е12... , преобразованной матрицей X. Но X является суммой
v (?) (?)
произведений <? матриц #„; так как матрица На, примененная
к составляющей £,, уменьшает число простых индексов этой
составляющей самое большее на единицу, то матрица X, при-
(?)
мененная к составляющей Sia...v, дает выражение, в которое
не может входить составляющая £(»+!)•• •»• А это и
требовалось доказать.
Наоборот, тензор S£ определяемый величиной £'*СА'£,
(р)
не равен нулю, так как, выбирая Х-=Н\,Ну ..; Яр/, мы полу-
^+d • • • v; кроме того, мы видим, что р-вектор 5£р
лежит в /^-плоскости, общей обеим у-плоскостям.
Отсюда вытекает следующая
Теорема. Пересечение двух изотропных ^плоскостей
И а [%] тогда и только тогда является плоскостью р
измерений, если тензоры £? [q-векторы или (п — д)-вектори],
определяемые парой спиноров 5, 5', равны нулю при ? = 0,
1,..., р — 1, но тензор %р не равен нулю.
Например, для того чтобы две изотропные ^-плоскости
имели общую прямую, необходимо и достаточно, чтобы
то есть, чтобы простые спиноры £ и &' были сопряженными
относительно фундаментальной полярности.
Добавим следующее замечание. Если теперь %q равен нулю,
то равны нулю и тензоры £?_1( ...,£„.
В самом деле, вопрос можно всегда привести к случаю,
когда одна из v-плоскостей соответствует простому спинору $',

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Etv + I 147
у которого, все составляющие, за исключением Бо, равны нулю.
Выражая условие, что величина
тождественно равна нулю, мы получим, принимая
Х=Н.' Н; ...//,'
(?) '1 '2 V
Х=Н,' Я,- ...Н/ (И, .' —И.'
И,
что все составляющие спинора £, имеющие v — q простых
индексов, v — Q-\-l простых индексов, v — q-\- 2 простых
индексов и т. д., равны нулю. Отсюда следует, что величина i*CX%.
тождественно равна нулю.
V. Случай вещественного эвклидова пространства
Рассмотрим группу вещественных вращений и отражений.
Мы не будем менять выбранного выражения для
фундаментальной формы; достаточно предполагать координату х°
вещественной, а х{ и х1' комплексно сопряженными. Каждое вращение
и в рассматриваемом случае есть произведение четного числа
^ 2у симметрии, соответствующих вещественным единичным
векторам А; каждое отражение есть произведение нечетного
числа <2v-)-l таких симметрии.
112. Сопряженные векторы и р-векторы. Из векторов базиса
е0, e(t e{, первый вещественный, остальные попарно комплексно
сопряженные. Отметим, что соответствующие матрицы Ио, Но Н{>
обладают тем свойством, что две матрицы, соответствующие
комплексно сопряженным векторам, являются взаимно
транспонированными. Следовательно, рассматривая матрицы X и Y двух

148 ГЛАВА V
комплексно сопряженных векторов, будем иметь
X = х°Н0 + х'Н,
откуда
Y=X*.
В частности, матрица вещественного вектора является
эрмитовой:
Х=Х*.
Переходя от векторов к /7-векторам, получим, что
р-вектор, сопряженный с X, есть (—1) 2 X*. Таким обра-
зом, вещественный р-вектор имеет эрмитову матрицу,
если /7 = 0 или 1 (mod 4), и эрмитову антисимметрическую,
если р = 2 или 3 (mod 4).
113. Сопряженные спиноры. Важно установить, когда два
спинора должны быть рассматриваемы как сопряженные. Если
эти спиноры простые, необходимо, чтобы они соответствовали
двум изотропным комплексно сопряженным v-плоскостям. Но
если. £ — Простой спинор, X—вектор изотропной v-плоскрсти,
которую этот спинор определяет, то имеем соотношение Х\ =0.
Пусть £' — один из простых спиноров, определяющих
сопряженную v-плоскость, Х1 — вектор, сопряженный с X; имеем
'£'= **£' = О,
откуда на основании формулы (13) (п. 101)
так к«к ^£ = 0, то естественно положить CV = /и|, то есть
1' = т(:Г.
Что0ы оправдать эту формулу и уточнить значение т,
рассмотрим изотропный v-вектрр, соответствующий S; он дается

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £iv + , 149
выражением
'ОД Qr
W
заменим в- этой формуле v-вектор Х его сопряженным и 5
через ъ\ мы должны получить выражение, комплексно
сопряженное первому.
Имеем
( )*c*
учитывая, что второй член равен своему транспонированному,
и принимая во внимание соотношения (14), (15) (п. 101),
получаем
()
(v) (v)
то есть
Таким образом, приходим к следующему соглашению:
Спинор, сопряженный с 5, есть ЛС5.
Отметим, что спинор, сопряженный с сопряженным от £,
v(v-l)
является спинором С25 = (—1) 2 t Переход от спинора
к его сопряженному определяет в пространстве спиноров
антиинволюцию', эта антиинволюция первого рода, если v=0
или — 1 (iaod 4); она — второго рода, если v = 1 или 2 (mod 4).
В первом случае в пространстве спиноров существует область
вещественности, образованная спинорами, равными своим
сопряженным. При v = 3 вещественные спиноры—те, для которых
I = — 1С 5, что дает уравнения
«О = * &, js, $j = ' £23, 52 == * &81» £з = ' ^12-
114. Тензор ^1р. Спинор, сопряженный с данным, при
отражении не преобразуется вполне как спинор. В самом деле,
о

150 Г Л А В А V
при вещественной симметрии А, преобразующей £ в ЛЕ,
сопряженный спинор преобразуется в
С С AI = i'CAH — (— \УСАС Г= (— \)"А (<vCf).
Если v четкое, СЕ преобразуется вполне как спинор; но при v
нечетном мы имеем преобразование по закону спинора только
при вращении, но не при отражении.
Мы получим разложение тензора £„ 5^, исходя из р-век-
торов, определяемых разложением тензора 5Х, в котором
заменяем £' на спинор, сопряженный с £. Рассмотрим, таким
образом, выражение
(р) (/>) (р)
При вещественной симметрии А это выражение умножается
на (—\у~р(—l)v (второй множитель получается потому, что
спинор, сопряженный с S, преобразуется как спинор только
в том случае, если v четное). Следовательно,
рассматриваемое выражение 'дает р-вектор или [п —р)-вектор в
зависимости от четности или нечетности р.
Тензор £„!? разлагается, таким образом, «о v-|-l
неприводимых тензоров, которые являются Iq-векторами.
В частности, для р = 0 имеем скаляр (пренебрегаем
постоянным множителем iv):
Важно отметить, что полученные таким образом Iq-век-
торы все вещественны.
Достаточно показать, что если р-вектор Л' вещественный,
то выражение %*Х% вещественно или чисто мнимо, так как тогда
составляющие р-вектора или (я — р)-вектора будут, с
точностью до множителя, вещественными величинами. Но величина,

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
151
комплексно сопряженная с
равна
Что и требовалось доказать.
Таким образом, чтобы иметь вещественные составляющие
мультивектора, определенного двумя сопряженными спинорами,
достаточно исходить из выражения
2
О»)
116. Пример v = 2. При у = 2 тензор &а?р разлагается на
три неприводимых тензора:
1° скаляр
2° 4-вектор, определяемый формой
„ Г,
его контравариантные составляющие суть
„0122'
(17)

152
ГЛАВА V
3° Бивектор, определяемый формой г£*ЛГ&; его 10 ковари-
антных составляющих определяются формулами:
i. = i l*HJ1v\ = - i (EoSi + S,fl2),
' /» . - pc i t p e л \
"Г^О'О ^]'l I S2'2 412^l2o
i .*т
(18)
1Чера 4-вектора и бивектора с точностью до множителя
равна
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств
116. Матрицы / и /. Мы можем предполагать, что
фундаментальная форма приводится к сумме п — Л положительных
квадратов и h отрицательных, причем <&sg;v. Можно сохранить
введенное выше выражение для фундаментальной формы,
предполагая, что координаты
i х"; jc^*
вещественны, а х' и х1' (i = \, 2, .... v —А) комплексно

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Д.,.», 153
сопряженны. Вектор
Х=х°Н0 + .vH, 4-... 4- х«Нч 4- *"//,. 4"• • • т ■*""»•
имеет себе сопряженным следующий:
/=l У v-A+l
Чтобы перейти от X к К, введем две матрицы
- • ЛЪ-НЛ (20)
аналогичные С. Имеем
/У=С, //• = УУ* — 1, (21)
(*-/>) (*-л+0 ЛОЧ-П
Я —(—1) 2 , Ув=(— I) 2 .
Простое вычисление, аналогичное тому, которое было
проведено для матрицы С, приводит к следующей теореме:
Теорема. Вектор Y, сопряженный с вектором X,
определяется формулой
Y — (— 1 )-н1Х1- ■ = (— 1 )"-ЧХ1* = (— 1 )•- Ч*Х1.
Вообще р-вектор У, сопряженный, /7-вектору X , равен
(/» IP)
0>) о»)
В случае Л=0 мы получим результаты, найденные выше; следует
заметить, что тогда / = С.
Вектор X вещественный, то есть матрица X соответствует
вещественному вектору, если
X = (— 1 у- Ч*Х1 = (— 1 )-ЧХ1*.
117. Сопряженные спиноры. Соображения, аналогичные
приведенным выше, приводят к следующему определению
спинора, сопряженного с данным £:

154 ГЛАВА V
Проверим, что, если в выражении
(V)
мы заменим v-вектор X его сопряженным и спинор £ его со-
пряженным, мы получим величину, комплексно сопряженную
с данной. Следует, таким образом, заменить
X через (— \yb-h>/XI* и £ через р-Ч1;
со (•»)
рассматриваемое нами выражение преобразуется в следующее:
которое является комплексно сопряженным с исходным.
Переход от спинора к его сопряженному определяет в
пространстве спиноров антиинволюцию первого рода, если /2=1,
то есть если v — А = 0 или —1 (mod 4), или второго рода,
если v — h=\ или 2(mod 4). В первом случае в пространстве
спиноров существует область вещественности, к которой
принадлежат спиноры, равные своим сопряженным.
Спинор, сопряженный с данным, преобразуется как спинор
при отражении в том случае, если h той же четности, что и V.
118. Произведение двух сопряженных спиноров.
Произведение $а$д двух сопряженных спиноров является тензором,
который можно разложить на неприводимые тензоры, заменяя
в тензорах % спинор £' спинором, сопряженным с £. Мы
должны, таким образом, рассмотреть выражения:
(р) W
Прежде чем исследовать природу этих тензоров, важно
отметить, относительно какой группы мы их будем
рассматривать.
Напомним (п. 12), что группа линейных подстановок,
оставляющая инвариантной фундаментальную форму, делится на
четыре связных семейства:

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е,ы + 1 155
1° Собственные вращения, являющиеся произведениями
четного числа пространственных симметрии и четного числа
временных.
2° Несобственные вращения — произведения нечетного
числа пространственных симметрии и нечетного числа временных.
3° Собственные отражения — произведения нечетного
числа пространственных симметрии и четного числа временных.
4° Несобственные отражения — произведения четного
числа пространственных симметрии и нечетного числа временных.
Пространственная симметрия соответствует вещественному
единичному пространственному вектору А(А2=\); она
преобразует вектор X в — АХ А и спинор 5 в спинор А£. Времен-
нйя симметрия соответствует временному вещественному
единичному вектору А (Л2 = — 1); она преобразует вектор X в АХА =
= — АХА~1, спинор £— в спинор М£. Группа собственных
вращений и отражений характеризуется тем свойством, что она
оставляет инвариантной ориентацию времени (Л измерений).
При применении пространственной симметрии А выражение
i*JXi умножается на (—1)'-*; при применении симметрии
(р)
временной оно умножается на (—1)Р-*+'.
Отсюда следует, что относительно группы вращений и
отражений, собственных и несобственных, неприводимые тензоры,
на которые разлагается тензор £в£„, не являются
мультивекторами.
Если же ограничиться рассмотрением группы собственных
вращений и отражений, оставляющих инвариантной временную
ориентацию, то эти тензоры эквивалентны мультивекторам.
Выражение £*JXZ не изменяется при собственном вращении
(р)
и умножается на (—1)Р~Л при собственном отражении.
Следовательно, оно определяет р-вектор или (я — /?)-вектор в
зависимости от того, имеют ли р и h одинаковую четность или
неодинаковую.
Как и в случае положительно определенной фундаментальной
формы, доказывается, что ^-векторы, построенные при помощи
двух сопряженных спиноров, вещественны.
119. Л-векторы, построенные на двух сопряженных
спинорах. Особенно интересный случай получается при р = п\

156 ГЛАВА V
выражение
(Л)
определяет А-вектор. Временная составляющая этого А-век-
тора получается при замене в этом выражении X на А-вектор,
(А)
образованный k временными векторами базиса, именно
эта временная составляющая, таким образом, равна
она с точностью до знака равна сумме квадратов модулей 2'
составляющих спинора ]).
Отсюда можно вывести одно важное свойство, которое
применяется а квантовой механике. Если h-вектор, определяемый
двумя сопряженныма спинорами, простой, то h-плоскостъ,
содержащая его. не имеет на. одного пространственного
вектора. В само» деле, предположим, что она содержит такой
вектор; при помощи вращения можно этот пространственный
вектор привести в такое положение, что все его временные
составляющие будут равны кулю. Пусть £*—спинор,
получающийся из £ при атом вращении; Л-вектор, получающийся из
данного Л-вектора при такой же вращении, имеет временную
составляющую, равную нулю,, так как временные составляющие
одного из векторов^ на- которые его можно разложить, равны
нулю; но этого не может быть, так как эта временная
составляющая должна быть равна сумме квадратов модулей
составляющих спинора £*.
Этот вывод имеет смысл, конечно, только в том случае,
если А-вектор простои. Интересно сделать подсчет для
v=A=2. Для составляющих бивектора, определенного двумя
сопрвженными спинорами, получаем, принимая во внимание,
что J=C
1) % В г а и е г„ Н. W е у I, Spinors In n dimensions (Amer. J.
of Math., 57. 1935. стр. 447],

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я„+, 157
хй1 = 1*СНйН£ = - (5,112 + &, Д),
хох. = £*СВД.£ = - № + W'
}
(22)
= — У (=0^13 + ^Л + ^2^1 4" ^I
JC22' = •«■
(?
Вычисление показывает, что этот вектор простой, когда
скаляр £*С$ равен нулю, то есть (п. Ill) когда изотропные
сопряженные 2-плоскости [£] и [£] имеют общую прямую. То
же имеем в частном случае, когда эти 2-плоскости совпадают,
что характеризуется (п. Ill) тем, что тензор %,и получающийся
из величины k*CXZ, равен нулю; в этом случае бивектор (22)
является изотропным бивектором, соответствующим простому
спинору ;.

ГЛАВА V!
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £3v
I. Изотропные v-плоскости и полуспиноры
120. Изотропные v-плоскости. Мы переходим от
пространства £2v+1 к пространству £2v, полагая в первом jc° = O.
Получаем фундаментальную форму
В пространстве Е2ч изотропные плоскости имеют не больше
v измерений; в самом деле, плоскость, перпендикулярная к
изотропной р-плоскости, имеет п — р измерений, и так как она
содержит эту р-плоскость, то п—р^р, то есть ps^v.
С другой стороны, каждая изотропная v-плоскость простран-
ства Еъ может быть рассматриваема в пространстве £'2¥+1,
гиперплоскостью которого является Eiit как v-плоскость,
перпендикулярная к вектору Но. Составляющие простого спинора
Е, соответствующего этой v-плоскости в пространстве
должны, таким образом, удовлетворять соотношению вида
#0£=m£ (т — скаляр),
откуда умножением на Ио получаем
Если т = 1, то отсюда вытекает, что все £а с нечетным
числом индексов равны нулю; если т =—1, то все £„ с четным
числом индексов равны нулю. Обратно, если простой спинор
пространства обладает тем свойством, что все составляющие
с четным (нечетным) числом индексов равны нулю, то
соответствующая v-плоскость лежит в пространстве £2v, так как имеем
#0Б=— $ (tfo£=E), что показывает инвариантность v-плоскости
при семметрии Яо.
121. Полуспиноры. Назовем полуспинорами пространства
£2у систему 2V чисел £„, в которой все составляющие с четным

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £tv 159
(нечетным) числом индексов равны нулю. Существует два рода
полуспиноров: Полуспиноры первого рода (которые мы будем
обозначать через (р) с четным числом индексов и полуспиноры
второго рода (которые мы будем обозначать через ф) с
нечетным числом индексов. При применении симметрии в
пространстве ££ эти два рода полуспиноров переходят один в другой;
это вытекает из того, что операции И{ и Н/> над спинором
пространства £2»+i переводят каждую составляющую £а с
четным числом индексов в составляющую с нечетным и обратно.
Таким образом, вращение преобразует полуспиноры каждого
рода между собой. В частности, два семейства изотропных
^-плоскостей пространства E2v преобразуются одно в другое
при отражении и каждое а самое себя при вращении.
122. Простые полуспиноры, определяемые как
изотропные поляризованные v-векторы. Возвращаясь снова к
пространству £2v+ii мы видим» что простой полуспинор, например <р,
можно рассматривать как изотропный поляризованный v-век-
тор этого пространства, определяемый величиной
р
Ь)
где Л'—произвольный v-вектор пространства Е2ч ,.
Нетрудно доказать вообще, что каждый р-вектор
пространства £, j может быть представлен в виде X-\- ХН0, где
(р) (р-1)
X — р вектор, X —(р — 1)-вектор пространства £2v. Таким
(р) (р->)
образом, ели учесть, что Ноу = у, то величина у*СХу может
быть заменена следующей:
<в*СЛГ<р-И*С X Нм = и*СХи-\-Ф*С X ш,
(v)T т (,_,, т т (v)T T (,_,)
где X и X принадлежат к Е„ч. Но, как мы видели (п. 107).
(v) (v-l)
второй член правой части тождественно равен нулю. Величина
Ф*СХ<о, где X — произвольный v-вектор пространства Еъ,
(V) (V)

160 Г Л ABA VI
определяет, таким образом, в £2, изотропный v-вектор, составляю*
щие которого являются квадратичными формами составляющих
простого полуспинора <р, который, обратно, может
рассматриваться как поляризованный изотропный v-вектор.
123. Условия простоты полуспинора. Полуспинор тогда
н только тогда является простым, если он обращает в нуль
все тензоры у*СХу при p<^v(n.lO7) (некоторые из этих тен-
(р)
зоров тождественно равны нулю). В этом выражении X обоана-
(р)
цает произвольный р-вектор пространства Я2.,+1, н0 сделанное
выше замечание показывает, что можно ограничиться р-векто-
рами пространства Ew Мы знаем (п. 104), что рассматриваемая
величина тождественно равна нулю, если v — /> = 1 или 2 (mod 4).
С другой стороны, она также тождественно равна нулю, если
v — р нечетно: в самом деле, матрица СХ является суммой про*
О»)
41 изведений v-(-p матриц Н1 и Н{,\ каждая матрица #,,
примененная к спинору, меняет четность числа индексов у каждой
его составляющей; таким образом, если v-f-p (или v—р)
нечетно, то матрица СХ, изменяя четность числа индексов полуспи-
(р)
нора (р, превратит его тождественно в нуль. Остается, следо*
вательно, рассматривать значения р, меньшие v и отличающиеся
от v на числа, кратные 4.
Теорема. Полуспинор тогда и только тогда является
простым, если его составляющие обращают тождественно
в нуль все величины £*СЛ"£, где X обозначает произвольный
О» (р)
р-вектор пространства Еъ, причем р принимает все
значения, меньшие v и сравнимые с v(mod 4).
В пространстве 2*"1 измерений полуспиноров данного вида
простые полуспиноры образуют, таким образом, многообразие,
определяемое системой квадратичных уравнений. Простой
подсчет показывает, что число этих линейно независимых
уравнений равно

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я„ 161
это число равно нулю при v=l, 2, 3; для v = 4, 5, 6, 7 оно
соответственно равно 1, 10, 66, 3641.
При у = 4 имеем соотношение
—^и~"^1«~ ^1^Я4=° (полуспиноры первого рода), (1)
«—Vu8=0 (полуспиноры второго рода). (2)
124. Пересечение двух изотропных v-плоскостей.
Рассуждения п. 110 показывают, что в пространстве £Sv две
изотропные v-плоскости [£] и [£'] могут быть при помощи вращения
или отражения приведены в положение v-плоскостей,
соответствующих спинору &', все составляющие которого, за
исключением £„, равны нулю, и спинору к, имеющему единственную
ненулевую составляющую S^+iH^+e)-*'*; эти две v-плоскости
имеют тогда пересечение р измерений. Отметим, что
полуспинор £' первого рода и что полуспинор I также первого рода
в том случае, если v — р четно, и второго рода, если v—р
нечетно. Таким образом, имеем теорему:
Теорема. Пересечение двух изотропных ^-плоскостей
Является р-плоскостыо, число измерений которой той же
четности, что a v, если обе ^-плоскости одного рода, и
разной четности, если обе v-плэскости различного рода.
Две изотропные у-плоскости одного рода [<р] и [<р'] имеют
тогда и только тогда пересечение р измерений, причем р
одинаковой четности с v, если величины <р*СЛу (д*=р — 2,
(»)
р — 4, ...) равны нулю, но величина <р*СЛу не равна нулю;
(?)
р-вектор, определяемый последней величиной, изотропный
а лежит в р-плоскости, являющейся пересечением данных
двух v-плоскостей.
Две изотропные v-плоскости разного рода [<р] и [ф]
тогда а только тогда имеют пресечение р измерений,
причем put равной четности, если величины <(*CXty {q=p — 2,
(f)
1 Нетрудно проверить, что по число равно числу линейно
независимых квадратичных уравнений, которые определяют простые спиноры
пространств* £j,_t; ути спиноры имеют также 2'-1 составляющих (п. 1цв).

162 ГЛАВ'АУ!
р — 4 ...) рааны нулю, но величина у*СХ$ отлична от
О»)
нуля; р-вектор, определяемый последней величиной, изо-
тропный и лежит в р-плоскости, пеляюгейся пересечением
двух данных ^-плоскостей.
Все эти результаты являются непосредственным следствием
теоремы п. 111. Как и в пространстве £2v+I, тождественное
обращение в нуль неличины у*СХу (р одинаковой четности с v)
(р)
или у*СХ'Ь (р и v разной четности ) влечет за собой тождествен-
ное обращение и нуль аналогичных величин, у которых р
заменено на р—2, р—-4 -..
Например, при v = 3 Две изотропные различные 3-плос-
кости одного рода имеют общую прямую; две изотропные
3-плоскости разного рода или не имеют ни одной общей
прямой, или же имеют общую 2-плоскость: последний случай
имеет место, если
с: е: :е се л
где SOl ;2i), 34i, ;ia — составляющие полуспинора,
соответствующего первой 3-плоскости, ;,, $2, 5j, 512в — составляющие
полуспинора, соответствующего второй 3-плоскости.
При v = 4 две изотропные 4-плоскости различного рода
имеют общую прямую или 3-плоскость; последний случай
имеет место, если величина :р*СХф тождественно равна нулю,
что дает восемь условий, из которых достаточно выписать
два следующих:
■чгм-i ^ ' и
составляющие l с четным числом индексов и составляющие £
с нечетным числом индексов являются соответственно
составляющими полуспиноров, соответствующих двум данным
изотропным 4-плоскостям. Составляющие каждого из этих
полуспиноров удовлетворяют, конечно, соотношению, характеризующему
простые полуспиноры, именно, соотношению (1) для первого
полуспинора и соотношению (2) — для второго (п. 123).

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
163
II. Матрицы, соответствующие р-векторам. Представление
вращений и отражений
125. Структура матриц X. Матрица X, соответствующая
(Р) U>)
р-вектору пространства Е2н, имеет своеобразную структуру.
Расположим строки и колонны этой матрицы следующим
образом: сначала выпишем те, составные индексы которых содержат
четное число простых индексов, затем с составными индексами,
содержащими нечетное число простых. Так как х° заменено
здесь нулем, то единственные не равные нулю элементы
матрицы Ху соответствующей некоторому вектору,—те, для
которых составной порядковый номер строки имеет на один
индекс больше или меньше составного порядкового номера колонны.
Эта матрица X принадлежит, таким образом, к типу
-{по)
= 1 (£> w или Х= (
) \0 Н/ /„ч \
где каждая из четырех матриц О, 3, Н, О имеет порядок,
равный 2*"1. Матрица, соответствующая р-вектору, являясь
суммой произведений р матриц, соответствующих векторам,
имеет, таким образом, одну из следующих форм1):
О
(р) \о н/ -■" (;;~\о) н
О») (Р)
в зависимости от того, четным или нечетным является р.
В частности, матрица С, являющаяся произведением v матриц,
соответствующих векторам, имеет диагональные матрицы
порядка 2*"1, заполненные нулями, если v нечетно;
противоположное имеет место при четном у.
126. Применение симметрии к спинору. Пусть Л
—единичный вектор пространства Ei4. Мы знаем на основании
предыдущей главы, что результат применения симметрии, соответ-
*) Матрицы Н , которые всегда связаны с матрицами Н, не должны
отождествляться с матрицами Ht н Hi> векторов базиса пространства-
первые — порядка 2'-', последние — порядка 2*.

164 Г Л А В Л VI
ствующей вектору А, к простому полуспинору <р определяется
соотношениями:
tp' = Л<р ИЛИ ip' = — /1(р;
совершенно так же дело-обстоит для простого полуспинора ф.
Возможны два соглашения, причем они оба совместимы с
предыдущими условиями:
1° можно отнести каждой симметрии А = (п ~],
преобразующей спинор (?], две операции
<р'=аф, ф' = р(р, то есть £' —ЛЕ,
<р' = —аф, ф' = — р<р, то есть £' — — ЛЬ
2° можно, наоборот, ей отнести две операции
(р' = оф, ф' = — р<р, то есть £'=ЛЛГ$,
(р' = — аф, ф' = {ty, то есть V = —
где
Оба соглашения одинаково законны; первое — наиболее
естественное; оно имеет то преимущество, что дает
одинаковые соглашения в пространстве Е^+х а в пространстве Ег,
содержащемся в первом. В некоторых отношениях второе
соглашение вводит некоторые упрощения.
127. Две группы вращений и отражений в прннеаешш
к спинорам. Какое бы из соглашений мы ии сделали, мы ииееи
в общем одни и те же матрицы, представляющие вращения
» применении к спинорам, именно
6'= 55,
где 5 валяется произведением четного числа <2» единичных
векторов.
Первое соглашение для отражений дает преобразования
где А — единичный вектор, фиксированный для всех случаев;

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £„ 165
второе соглашение для того же самого отражения даст
преобразование
Нетрудно видеть, что обе смешанные группы (вращений и
отражеоий), определенные таким образом, различны и не имеют
одинаковой структуры; произведение двух отражений SA »» SA'
не равно произведению отражений SAK и SA'K: например,
АКА'К= — АА\ но не АА'.
Вполне очевидно, что в применении к векторам обе эти
группы тождественны.
Для дальнейшего изложения мы примем первое
соглашение, более естественное. Отметим только то свойство матрицы
К, что она антикоммутативиа с каждым вектором.
128. Неприводимость спинора и полуспиноров.
Рассуждения п. 100 показывают, что спинор неприводим относительно
группы вращений И отражений (как бы мы ее ни определяли)
и разлагается относительно группы вращений на две
неприводимые части, которые являются полуспинорами двух родов.
129. Матрацы порядка 2% разложенные на суммы
р-векторов. Элементы матрицы X, соответствующей р-вектору,
0»)
являются линейными комбинациями Сп составляющих этого
р-вектора; ясно, что они не равны все тождественно нулю. Отсюда
следует, что среди них имеется С£ независимых, так как
р-вектор неориводим относительно группы вращений и отражений,
а 8л€мсятч матрицы X преобразуются линейно между собой
■ <П
каждым яясментом этой группы. Следовательно, матрицы.
еоотмвпиаиучцае двум различным р-векторам, .различны.
Как и в п. 08, мы докажем, что из матрицы порядка 2" можно
выделить скаляр, вектор, ..,, л-вектор, то есть тензоры
неприводимые и не»квиаалентные между собой относительно группы
вращений и отражений. Так как ии один из этих неприводимых
тензоров не равен тождественно нулю и сумма их порядков равна

166 ГЛАВА VI

частто есть числу элементов рассматриваемой матрицы, то имеем
теорему:
Теорема. Каждая матрица порядка 2* может быть
представлена одним и только одним способом в виде суммы
скаляра, вектора, бивектора. ..., п-вектора в пространстве
2v измерений.
Мы получаем, таким образом, в другой интерпретации,
систему гиперкомплексных чисел Клиффорда-Липшитца.
Интересно отметить структуру матрицы, соответствующей
л-вектору пространства Е2^, она тождественна с матрицей,
соответствующей в пространстве ^v+i вектору, перпендикуляр-
р (т °\ и
иому пространству £2v то есть имеет вид [q _my B
ности, симметрия относительно начала определяется матрицей
О _л) и матРицей (~~о ?)'
ISO. Структура матриц X. При вращении элементы каждой
из матриц Е, Н, входящих в состав матрицы X (п. 125), «пре-
ip) U>) L»)
образуются линейной подстановкой. Если p^v, тор-вектор
неприводим относительно группы вращений; следовательно,
элементы каждой из-матриц 5, II являются линейно независимыми
комбинациями от Ср„ составляющих р-вектора, соответствующего
матрице X.
Это рассуждение неприменимо, если p = v; так как v-вектор
разлагается относительно группы вращений на два
неприводимых неэквивалентных тензора, являющихся полу-у-векторами
(п. 49), то элементы одной из матриц S выражаются или
независимыми линейными комбинациями от Cj, составляющих
j
v-вектора, или же линейными комбинациями от тг^*,
составляющих одного из полу-у-векторов, на которые разлагается данный
v-вектор. Чтобы доказать, что имеет место последнее,
достаточно доказать существование у-вектора, дла которого матрица Н
тождественно равна нулю, и v-вектора, для которого матрица 5

. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £»., 167
тождественно равна нулю, v-вектор И1Н2... Я„ например,
определяется матрицей, которая при применении к спинору
обращает в нуль все составляющие кроме Е„, преобразуемой
в ^ij...,; следовательно, матрица имеет только одну строку,
по номеру нулевую, не состоящую исключительно из нулей,
то есть'-' Н тождественно равна нулю; рассматриваемый v-вектор,
являющийся изотропным, разлагается, таким образом, на два
полу-у-вектора, из которых один тождественно равен нулю.
Точно также матрица НхНг.. .НЧ_1Н,» обращает в нуль все
составляющие с. спинора, за исключением $,, которая
преобразуется в (~ l)*"1«i2--(v-i); единственная строка этой матрицы,
не состоящая исключительно из нулей, имеет номер v, так что
составляющая 3 этой матрицы тождественно равна нулю.
(v)
Так как каждый изотропный v-вектор прн помощи вращения
можно превратить в один из рассмотренных v-векторов,
умноженный на некоторое число, то матрицы, соответствующие
изотропным v-векторам первого рода, имеют составляющую Н,
тождественно равную нулю, а у матриц, соответствующих
изотропным v-векторам второго рода, составляющая 3 тождественно
равна нулю; эти ti-векторы, таким образом, в Действительности
являются полу-у-векторами частного вида.
Итак, каждому р-вектору (рфч) можно отнести двумя
различными способами матрацу порядка 2V-1 (3 и Н), каж-
дому полу-ч-вектору можно отнести вполне определенную
матр. цу порядка 2*"1 (3 для полу-ч-векторов первого рода.
(»)
Н — для голу'Ч'векторов второго рода).
Ь)
III. Разложение произведения двух спиноров
131. Разложение относительно группы вращений и
отражений. Произведение. £,£1 двух спиноров может быть
разложено при помощи рассмотрения п-\-\ величин
S*CX? (p =0,1,2 я).
(р)
При применении симметрии, соответствующей единичному
вектору А, эта величина умножается на (— 1У~Р; таким образом,

168 Г Л А В А VI
она определяет, как и в £2v+1, р-вектор или (я — /7)-вектор,
смотря по тому, четным или нечетным является v — р.
Отсюда вытекает
Теорема. Произведение двух спиноров вполне приводимо
относительно группы вращений и отражений и разлагается
на скаляр, вектор, бивектор, ..., п-вектор.
Доказательство основькается на том, что полное число 22*
произведений ча$д равно сумме порядкоа найденных неприводимых
и неэквивалентных тензоров.
Относительно полученных р-векторов можно доказать, как
в п. 104, что они симметричны относительно спиноров £ и £',
если v — р = 0 или 3 (mod 4), и антисимметричны, если v — р = 1
или 2 (mod 4). Симметричные неприводимые тензоры дают
разложение тензора £а£р, если отождествить спиноры £ и £'. При
v = 2 получаем вектор и бивектор, при у = 3 имеем 6-вектор,
тривектор и бивектор.
132. Разложение произведения двух полуспиноров
относительно группы вращений. 1° Рассмотрим сначала
произведение полуспиноров одного рода, например, у и у'. Величина
уу где tp есть матрица (!П с 2V строками и одним
столбцом, отлична от нуля только в том случае, если V-j-p четно.
Придавая, таким образом, р значения одинаковой четности с У
и отличные от v, мы получаем тензоры, неприводимые
относительно группы вращений; мы рассмотрим только (v —ЭД-век-
торы. Придавая затем р значение у, мы получим полу-у-вектор
первого или второго рода: если у четно, то действует матрица в,
если нечетно, — матрица Н.
Полное число составляющих неприводимых неэквивалентных
тензоров, выделенных таким образом из тензора уау£, равно
половине суммы
= i-2"=2*'>;
итак, получаем 2lv*-*— число произведений

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е„ 169
Т е о р е.м а. Произведение двух полуспиноров одного рода
разлагается относительно группы вращений на полу-ч-век-
тор, (v — 2)'вектор, (у—4)-вектор и т. д.
Заметим, что произведение двух полуспиноров одного и
того же рода не эквивалентно произведению двух полуспиноров
другого рода, так как полу-у-векторы различного рода не
эквивалентны.
2° Рассмотрим теперь произведение <ра<Ь. двух полуспиноров
разного рода. Образуем величины Ь*СХ£, где через S
обозначена матрица (Т\, через £' — матрица (.) и где р имеет
четность, отличную от четности v. Таким образом мы выделяем из
данного произведения (v—1)-вектор, (v — 3)-вектор и т. д.,
то есть тензоры, неэквивалентные между собой. Число их
составляющих равно также 2?v~2, то есть числу произведений уж>
откуда.
Теорема. Произведение двух полуспиноров различного
рода разлагается относительно группы вращений на
{у—\)-вектор, {\ — Ъ)-вектор и т. д.
133. Разложение тензоров <$.$„ и ^„фд. Рассмотрим в
предыдущих разложениях р-векторы, симметричные относительно
двух полуспиноров <р, у' или ib, ф'; получаем теорему:
Теорема. Тензор <ра<р. разлагается относительно группы
вращений на полу-^-вектор, {у — 4)-вектор, (ч-Ъ)-вектор и
т. д. То же самое имеем для тензора <J>a<{y
При v = 2 имеем полу бивектор, при v = 3 — полутрнвектор,
при v = 4 — скаляр и полу-4-вектор и т. д.
134. Применение к группе вращении для v нечетного,
В случае v нечетного, величина <р#Сф, построенная на двух
полуспинорах разного рода, инвариантна при каждом вращении.
Эта величина равна
причем сумма распространяется на все четные комбинации
(i}/,.../,) индексов 1, 2 v;p принимает все целые четные
значения. В матрице, соответствующей вектору, мы располагаем

170 ГЛАВА VI
составные индексы с четным числом индексов в каком-нибудь
определенном порядке и затем остальные индексы в
соответствующем порядке так, чтобы составному индексу (/./, ... i )
J+J) p
соответствовал составной индекс (—1) * (rp+1. ..rv). Если
мы обозначим тогда 2*"1 составляющих полуспинора tp через
<р,, <р2, • ¥г»-1» а соответствующие составляющие
полуспинора <{> через <J»P ф2, .... то увидим, что каждое вращение
оставляет инвариантной сумму f^x + <р2фг+ .. . -f Уг"1^"1.
Таким образом, если через 2 мы обозначим матрицу порядка
2*"1, определяющую преобразование <рв при вращении, матрица
2*"1 определит преобразование величин 6а, так что матрица
порядка 2*, соответствующая этому вращению, будет иметь вид
Она преобразует вектор X в
., /2 ^ ON/0 E
откуда, в частности,
Приходим к следующему замечательному результату:
Теорема. Б пространстве Е^ (у нечетное) каждое
вращение, примененное. к вектору, преобразует матрицу 3
порядка 2V-I, соответствующую этому вектору, следующим
образом:
Е' УЕ2* (3)
В частности, становясь на другую точку зрения, мы видим,
что, зная эффект применения вращения к полуспинору
первого рода, мы знаем вполне эффект применения этого
вращения к полуспинору второго рода.
135. Случай v четного. В случае v четного дело обстоит
совершенно иначе. В самой деле, зная одно из преобразований
Ф*=2<р, соответствующих данному вращению, ми можем ему
сопоставить два различных преобразования над полуспинорами ф
и векторами. Например, тождественное преобразование 'f' = 4>

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е,ч 171
может получиться или от тождественного вращения, что дает
тогда <|>' = т\ Х' = Х, или от симметрии относительно начала,
которой соответствуют матрицы f . j и ( « . ) (здесь
/* = :+; 1); первая из них дает
<р'=ч>. Ф'=-ф. . х'=-х.
Аналогично этому, тождественному преобразованию над
полуспинорами второго рода могут соответствовать два
различных преобразованнл над полуспинорами первого рода
и векторами.
Таким образом, вращения можно применять к трем видам
объектов: полуспинорам первого рода, полуспинорам второго
рода и векторам. Они дают три группы; между любыми
двумя из них существует двузначное соответствие, если
V четно.
136. Примечание. Матрицы 2 и Т, которые вводятся как
операторы над полуспинорами при применении вращения, уни-
модулярны. В самом деле, исследуем, в каких случаях
определитель матрицы S порядка 2""1, соответствующей вектору,
может обратиться в нуль. Если он равен нулю, то можно найти
такой ненулевой полуспинор ф, что S'| = 0; будем иметь
^£=0, где £— матрица f . I, откуда ХЧ = 0. Следовательно,
скалярный квадрат вектора равен нулю. Определитель матрицы И
поэтому является степенью xxxv -\-. . .-{-■**■**'■ умноженной на
числовой фактор, который может быть равен только 4; 1, так
как в каждую строку матрицы 5 может входить только хх
или xl\ ио ие оба сразу. Если вектор единичный, определитель
матрицы S равен, следовательно, или всегда -f-1 или всегда
— 1. Матрица, являющаяся произведением двух единичных
векторов
/0 а\(0 р\ /ар"1 0
/
имеет, таким образом, то свойство, что обе матрицы, которые
ее составляют, уннмодулярны; то же имеет место и для
матрицы, являющейся произведением четного числа единичных
векторов,

172 Г Л А В А VI
Отметим, между прочим, что определитель матрицы S для
единичного вектора равен -J-1 или — 1 в зависимости от
порядка, в котором расположёны составные индексы спинора.
IV. Частные случаи: v = 3 и v=s4.
137. Случай v = 3. В следующей главе мы исследуем
детально случай v = 2, который интересен для квантовой
механики. Случаи v = 3 и v = 4 представляют геометрический
интерес.
При v = 3 составляющие Eq, &3з> ^зп ^п полуспинора
первого рода можно рассматривать как однородные координаты
точки в проективном пространстве 3 измерений, а
соответствующие составляющие (п. 134) $1231 ~~5ц —&г> —^8 П0ЛУ'
спинора второго рода — как однородные координаты плоскости
в этом пространстве. Величина
приравненная нулю, выражает инцидентность точки и плоскости.
Величина у*САГ(р' определяет в эвклидовом пространстве Et
изотропный вектор с ковариантными составляющими:
"^2 = ^12^23 ^23^2' ЛГз = *гзч31 чз1^з>
составляющие этого вектора являются плюккеровыми
координатами прямой, соединяющей точки ср и <р' трехмерного
пространства. Величина ф*СМ/ также определяет в Е6 изотропный
ректор
•*1== N23*1 ЧЧ23» Х2 == N28^2 ^24J23« Xt:= N28*3 ^8*123'
составляющие этого вектора являются плюккеровыми координа*
тами прямой пересечения двух плоскостей ф и <|/
трехмерного пространства.
Полуспиноры все простые. Полуспинор первого рода <р
определяет в Et изотропную 3-плоскостьг то есть в трехмерном

: спиноры пространства я„ 173
пространстве линейное многообразие прямых с двумя
параметрами: это — связка прямых, проходящих через точку,
изображающую полуспинор (р. Полуспинор второго рода ф определяет
аналогично двупараметрическое семейство прямых,
расположенных в плоскости, интерпретирующей <}>. Изотропные 3-плоскости,
соответствующие двум полуспинорам одного рода, должны иметь
в Et общую прямую (п. 124), что соответствует основной
теореме: две точки или две плоскости трехмерного пространства
определяют прямую. Теорема, согласно которой 3-плоскости,
соответствующие двум полуспинорам разного рода, не имеют
в Е6 общих прямых или имеют общую 2-плоскость,
соответствует теореме, что плоскость и точка в трехмерном
пространстве не определяют вообще ин одной прямой и определяют
пучок прямых, если точка лежит в плоскости.
б V 5
Добавим, что, так как группа зависит от -^- = 15
параметров, матрица 2, соответствующая вращению, является уни-
модулярной матрицей 4-го порядка общего вида.
138. Случай v = 4. Фундаментальная трилинейная форма.
В случае v = 4 полуспиноры каждого рода имеют 8
составляющих; в каждом роде существует квадратичный инвариант
относительно группы вращений:
для полуспиноров первого рода и
для полуспиноров второго рода.
Мы имеем таким образом, три пространства 8 измерений:
пространство векторов, пространство полуспиноров первого
рода н пространство полуспиноров второго рода; каждое из
них имеет фундаментальную квадратичную форму, и в них мы
имеем три группы, одинаковые в целом, но с соответствиями
да взаимно однозначными, так как каждому элементу в одной
нз них соответствует по два различных элемента в каждой из
двух остальных (п. 135).

174 Г Л А В А VI
Если эти три группы применять одновременно к векторам
и двум родам полуспиноров, то они образуют группу О,
оставляющую инвариантной трилинейную форму.
4~ X2 (^23-124 ^12^234 ГХ^т 4" ^1251^2) 4~
+ х1 (£,,£„4 — ^га?,,! — ^гз -f eiM1St) +
4" Х* ( 'И'23* ^2*^Blt -B^l2t 4" &|2»4^) 4"
-f *1# (~ €0^,4 + ?гА - Su*t 4- ^3i
+*v (- V.m 4- 6,A - 6.A
4-^3' I- ^0^124 + 1пч - *i& + W 4-
+ **' (£0^2» - SsiSi - 58ie2 - Sue,) (6)
и три квадратичные формы
F = х1*1' 4" Л*1' 4- л3л"'
Обратно, каждая линейная подстановка 24 переменных д: и £,
преобразующая между собой векторы и полуспиноры каждого
рода и оставляющая инвариантной трилинейную фоРмУ $> не
меняет каждую из форм F, Ф, ф с точностью до постоянного
множителя. Докажем это для формы F; из полученных ниже
результатов будет вытекать доказательство для каждой из
двух других форм Ф и f. Инвариантность с точностью до
множителя формы F следует из характерного свойства
изотропного вектора — обращать в выродившуюся билинейную
форму ^ от <р„ и <]>р. В самом деле, эта форма является
выродившейся в том случае, если можно определить такой
полуспинор <1>, что линейная форма ^ от <ра тождественно равна
нулю; необходимое и достаточное условие этого выражается
соотношением СХ<Ь = 0, или Л^ = 0, а это равенство имеет
ыесто для полуспинора ф, отличного от нуля, тогда и только
тогда, если Л?ф = О, или Х* = 0. Предложение доказано.
Рассмотрим теперь линейную подстановку, оставляющую
инвариантными формы ^, F, Ф и Ф; она принадлежит группе О.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £,v 175
Для доказательства этого достаточно показать, что если она
оставляет инвариантными все векторы, то она приводится или
к <p' = tp, ф' = ф или к <р' = — <р, ф' = —ф. Но если х* инва-
риаитиы, то, коэффициенты при х* в форме % также инвариантны.
Например, преобразованная составляющая ?0, вследствие
инвариантности коэффициентов при xl\ хг', хъ>, xv, заг.чсит,
с одной стороны, только от 50, S2t, S24, £3и c Другой стороны,
только от $о, Е3ц S,4, Su и т. д., то есть она есть кратное «0.
То же самое имеем для других составляющих. Но нетрудно
видеть, что множители при этих составляющих одни и те же Для
всех составляющих (рв и одинаковы также (обратны предыдущим)
для составляющих ф«. Инвариантность Ф и У. показывает, "что
они все равны -{-1 или все равны — 1. Аналогичным
рассуждением установим, что из инвариантности .<р, вытекает или
х' = х, ш'= «{>, или х' = — х, ф' =— ф.
139. Принцип тройственности. Покажем теперь, что
группа О может быть дополнена пятью другими семействами
линейных подстановок, оставляющих инвариантной форму % и
преобразующих между собой три формы F, Ф, V, причем
элементы каждого из этих новых семейств устанавливают
определенную перестановку между тремя видами объектов:
векторами, полуспинорами первого рода и полуспинорами второго рода.
Одно из этих семейств, обозначим его через G23, получается
комбинированием элементов группы G с симметрией А,
преобразующей X в — АХА, ф в Л<р н ф в Дф; выбирая, например,
AH\H, получим преобразование
, х2 -и **, я* —ж8, **-* — **',
■JB»' — х1', х*'-+х*\ х3'—*х*', х*'-*—х<;
£ав4—*"~'Ч8» П14~* — »»li*U4~"* — *!»• ^128 *" ~
семейство это является не чем иным, как семейством
отражений.

176 Г Л А В А V!
Второе семейство, которое обозначим через О,а,
преобразует между собой векторы и полуспиноры первого рода; оио
получается при комбинировании элементов иа О с
преобразованием
^^2S*> 'SI* **ЗН> ^12*—^124» £|28 " N'
Третье семейство, которое обозначим через Gl8,
преобразует между собой векторы и полуспиноры второго рода; оио
получается комбинированием элементов из О с преобразованием
Xх—>-&ш, X* —
*24i *8* *^34i *U84—^ —
^14—•"—*X, S«14-* —•**. 5m-* —X1, 6m-**4.
Наконец, произведение GI2O18 образует четвертое
семейство О18,, а произведение О13О1а — пятое семейство QIU.
Например, одним из элементов семейства О128 является
•"
*Bli Х *

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е,ч 177
Таким образом, в эвклидовой геометрии 8 измерений в точке
имеет место принцип тройственности1) с тремя видами
объектов (векторов, полуспиноров первого рода, полуспиноров
второго рода), играющих совершенно одинаковую роль. Группа
этой. геометрии слагается из шести различных непрерывных
семейств, соответствующих шести возможным перестановкам
этих трех видов объектов; она характеризуется инвариант*
иостью формы £J и формы ^ФЪ^
140. Параллелизм в пространстве £8. Единичному
бивектору, определенному двумя единичными взаимно
перпендикулярными векторами А, А', можно отнести в эвклидовом
пространстве полуспиноров данного рода, обладающем
фундаментальной формой Ф или ф, паратактическую конгруэнцию
единичных биполуспиноров у, <р'; в этой конгруэнции
существует один и только один биполуспинор, у которого первый
полуспинор <f> задан. Единичным полуспинором мы называем
такой, который дает фундаментальной форме Ф численное
значение, равное единице.
Заметим прежде всего, что матрица Ху, в которой ни
один из множителей не равен нулю, может быть равна нулю
только в том случае, если вектор X изотропный и полуспинор <р
также изотропный (длины 0). Первое условие уже было
доказано выше; предположим, что X приведен к вектору Нх\ из
равенства #,£ = 0 вытекает тогда равенство нулю всех
составляющих $„, содержащих индекс 1, и, следовательно, равенство
нулю выражения £*С£, то есть фундаментальной ф^мы Ф.
Пусть if — единичный полуспинор. Определим такой
полуспинор <р', чтобы
или
Первое уравнение дает у'=А'Ау; подставляя во второе,
получаем тождество, так как АА' -\- А'А = 0. Сделанное выше
1) См. Е. С а г t a n, Le principle de duallti et la thiorle des
troupes simples et seml-simples (Bull. Sc. Math., 49, 1925, стр. 367—
374).

178 глАВА vl
замечание показывает тогда, что <р + /!Р' и <Р— 1(Р' являются
изотропными полуспинорами, то есть <р'—единичный полуспинор,
перпендикулярный к у.
Если воспользоваться языком проективной геометрии, то
три пространства векторов и полуспиноров можно трактовать как
гемимерные пространства; прямая АА'первого пространства
определяет в каждом из двух других паратактическую конгруэнцию
прямых, обладающих тем свойством, что через каждую точку,
не расположенную на фундаментальной квадрике, проходит
одна и только одна прямая.
Зададим теперь единичный вектор А; он позволит нам
определить в пространстве полуспиноров (р (или ш)
эквиполлентность биполуспиноров. В самом деле, возьмем некоторый
единичный биполуспинор (<р, у'); равенства
Ау — Лу = 0 4?'-|-/Г<р = О,
в которых А, у, у' являются заданными, дают определенное
решение для А': это зависит от симметричной роли векторов
и полуспиноров1). Будем говорить, что два единичные биполу-
спинора (<f, f'), (tfj, <^|) эквиполлентны, если для каждого из
них можно найти один и тот же вектор А'. Употребляя теперь
язык проективной геометрии, мы можем сказать, что задание
точки в одном из трех пространств (не лежащей на
фундаментальной квадрике) определяет в каждом из остальных
пространств параллелизм прямых (не лежащих на фундаментальной
квадрике и не касающихся ее), прн котором через данную точку
проходит одна и только одна прямая, параллельная данной, и.
две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой *)•
14К Формула Бриоски. Можно поставить в связь с
предыдущим исследованием формулу Брноски, выражающую
произведение двух сумы восьми квадратов в виде суммы восьми
х) Можно сказать, также, что в данном пространстве векторов
полуспиноры ?-j-/y\ f — /?' простые, н два соответствующих 4-вектора
ие имеют o6taeF& вектора; тогда можно провести через прямую
вектора А одну к только одну 2-плоскость, пересекающую каждый из
этих 4-векторов но прямой; на этих двух прямых лежат векторы
AitA'aA — iA'.
*). Скг. F. Van с у, Le parallilisnic iibsoln, etc. (Paris, Giiuthier-
s, 1929):.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА £., 179
квадратов. .Пусть X вектор, <р — полуспинор; произведение Л"<р
определяет полуспинор cb. Имеем
откуда получаем следующий результат: скалярный квадрат
полуспинора cb равен произведению скалярного квадрата
вектора X на скалярный квадрат полуспинора <р. Заметим, что
составляющие полуспинора <Ь являются билинейными формами
составляющих X и составляющих (р. В развернутом виде
формула дает:
Если мы предположим, что х1', хг\ х3', xv являются
комплексно сопряженными с jc1, x*, xz, xiy a £12s4l —£l4, —£г4,
— £34 комплексно сопряженными с So, $2S, S3i» S2i T0 в четырех
произведениях правой части оба множителя будут комплексно
сопряженными. Мы получаем, таким образом, формулу Бриоски
в вещественной области; произведение двух сумм восьми
квадратов является суммой восьми квадратов. Полагая
получаем формулу
где
t=zX0Yt — Y0Xt 4- ^+1^4-» — -^ir+i^+
— ^ue^+j + ^+/(+6 — Xl+tYl+i (/=1, 2 7),

180 Г Л А В А VI
причем индексы i-\-1, г —|— 2, * —|— 3, * + 4. i-\-5t i-\-6 берутся
по модулю 7.
Если применить формулу Бриоски к двум единичным
векторам X и К, то она дает отображение на сферическое
пространство 7 измерений топологического произведения двух
сферических пространств 7 измерений.
Добавим еще одно замечание. Рассмотрим 7-мерное эвклидово
пространство, полагая Хо = К0 = 0. Вектор Z с составляющими
Z,, Z2, ..., Z, соответствует бивектору, построенному на двух
единичных взаимно перпендикулярных векторах Л" и К; он
перпендикулярен к этому бивектору, что нетрудно проверить
вычислением. Три вектора, X, Y, Z, определяют 3-плоскость,
в которой каждый вектор соответствует 2-плоскости, ему
перпендикулярной. Через 2-плоскость проходит одна и только одна
такая 3-плоскость.
V. Случай вещественного эвклидова пространства
142. Матрицы, соответствующие вещественным
векторам. Будем считать координаты х1, х1' комплексно
сопряженными. Мы знаем (п. 112), что тогда матрица Л", соответствующая
вектору, является эрмитовой, то есть матрица Н порядка 2"-1 равна
транспонированной сопряженной с S. Если вектор единичный,
то Н является матрицей, обратной матрице S, причем эта
последняя унитарна. Отсюда нетрудно вывести, что у матрицы (Q «,] ,
определяющей вращение, составляющие матрицы — унитарные
унимодулярные.
143. Сопряженные спиноры. Как и в вещественном
пространстве £2v+], за спинор, сопряженный спинору £, можно
принять
£' преобразуется вещественной симметрией А как спинор, если v
четное, и не преобразуется как спинор, если v нечетное
(п. 114).

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е„ 181
Отсюда вытекает, что величины £*Л"$ дают р-вектор или
(я—/?)-вектор в зависимости от четности или нечетности р
(п. 114). Скаляр £*£ является суммой квадратов модулей
составляющих £д.
Тензор 5аЕр разлагается на скаляр, вектор, бивектор,...
й-вектор.
144. Сопряженные полуспиноры. Полуспинор,
сопряженный с данным, того же рода, что и данный, если v четное,
и другого рода, если v нечетное.
При v нечетном произведение полуспинора на его
сопряженный разлагается на вещественные скаляр, бивектор, ... ,
(v—1)-вектор. При четном v разложение дает также скаляр,
бивектор и т. д., но этот ряд оканчивается полу-v-BeKTopoM,
145. Параллелизмы в эллиптическом пространстве 7
измерений. При v = 4 три пространства: 1° векторов, 2°
полуспиноров первого рода, 3° полуспиноров второго рода являются
вещественными эвклидовыми пространствами. Каждый
вещественный единичный вектор одного из этих пространств дает
в любом из двух других эквиполентность для единичных
бивекторов. Отсюда вытекает с точки зрения проективной
геометрии существование со2 параллелизмов для ориентированных
прямых в эллиптическом пространстве (вещественном
проективном) 7 измерений.
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств
146. Сопряженные спиноры. Предположим, как и
пространстве Егч+1, что координаты х1 и *''(/ = 1, 2, ..., v — h) —
комплексно сопряжены, а *»-■*+', ..., хч; *(*-*+!>' х" —
вещественны. Результаты, полученные для £2v+1, переносятся
без изменения ъЕ^. Так, спинор, сопряженный с 6, может быть
определен формулой
где

182 Г Л А В А VI
Величина, сопряженная спинору, преобразуется при
симметрии вещественного пространства как спинор, если v и А
одинаковой четности (п. 117).
Можно доказать также, что разложение произведения спинора
на его сопряженный дает скаляр £*./$, вектор, ..., «-ректор.
147. Сопряженные полуспиноры. Два сопряженных
полуспинора принадлежат к одному и тому же роду или к разным,
в зависимости от того, одинаковой или разной четности
являются числа h и v.
Если Л четное, то произведение полуспинора на его
сопряженный разлагается на скаляр, бивектор и т. д., причем
последний неприводимый тензор разложения является (v —
^-вектором, если v нечетное, и полу-у-вектором, если v четное.
Если h нечетное, то произведение полуспинора на его
сопряженный разлагается на вектор, тривектор и т. д., причем
последний тензор является (v—1)-вектором, если v четное, и
полу-у-вектором, если v нечетное.
При v = 3 все полуспиноры простые. Если /г=1 или 3, то
вектор, определенный полуспинором н его сопряженным, лежит
на прямой, общей двум соответствующим изотропным 3-плоско-
стям, комплексно, сопряженным одна относительно другой; этот
вектор, следовательно, вещественный и изотропный. Если h =3,
то два сопряженных полуспинора могут быть тождественны,
и в этом случае вектор равен нулю. При h = 2 две
соответствующие 3-плоскости тогда и только тогда имеют общую
прямую (и тогда они имеют общую вещественную изотропную
2-плоскость), если скаляр £*Д равен нулю, то есть

ГЛАВА VII
СПИНОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
I. Группа вращений в эвклидовом пространстве
четырех измерений
148. Матрицы, соответствующие р-вектору. Рассмотрим
фундаментальную форму
Общие формулы непосредственно дают матрицы,
соответствующие вектору, бивектору, тривектору, 4-вектору.
Для вектора имеем матрицу
для бивектора —
xU О О
xw jfLxW о О
х~1 ; _:i_ _ ; (2)
О 2 •*
2
для тривектора
(3) 2 | jfi-25» ._лпч

184 ГЛАВА VII
наконец, для 4-вектора имеем
(xn'w 0 0 0
О х»'"' О О
О о —xnw о
0 0 0 — д:11'2
149. Случай прямоугольных координат. Если взять
прямоугольные координаты, заменяя х1, х1', х2, х*' через
то получим для вектора матрицу
О х* + № х*4-1х*
Матрица iY бивектора имеет вид
(2)
'5 О
где
является матрицей полубнвектора первого рода с
составляющими
и где
является матрицей полубивектора второго рода с
составляющими
х™ — х", л1! — л:24, д;1а_дЛ4#

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 185
Если взять координаты, употребляемые в частном принципе
относительности, с фундаментальной формой
то получим для вектора матрицу
О О *
О 0 х* —
_ ix* x*-\-cx* О О j
—ос* — Jci — ijc» 0 0 /
затем матрицу
в _ / — i (хп — icx9i) —
соответствующую полубивектору первого рода с
составляющими
и матрицу
н _ /
соответствующую полубивектору второго рода с составляю*
щими
х*г-\-1Схи, х*1-\-icx*K, xXi -\- icx**;
ковариантные составляющие этих полубивекторов соответ.
ственно имеют следующий вид:
хп~т~~£хи< ■kbi+—*"• ли"Г7"г»*1
*fl /* 14' 81 j* 24 > \% т 8**
150. Группа вращений комплексного пространства.
Каждый единичный ректор А выражается в виде
А =

186 ГЛАВА VII
где матрица второго порядка имеет определитель, равный —1,
Симметрия, соответствующая этому вектору, преобразует
полуспиноры (риф следующим образом:
а вектор ЛТ=(д tj по формулам
3' = — аНа,
Н' = —а-!На-'.
Произведение двух симметрии А, В дает соотношения
(12)
Положим
где s и / — унимодулярные матрицы; имеем
<?' = sy, ф' = *ф; (13)
3' = eS/-1, H' = /Hs-i; (14)
эти формулы относятся к простому вращению. Формулы,
определяющие вращение общего вида, имеют ту же самую форму.
В частности, каждое вращение вектора ^определяется формулой
*-=(г °')х{о" ?-)-*«-■.
где 5 и t — унимодулярные матрицы второго порядка.
Обратно, пусть s и t являются любыми унимодулярными
матрицами второго порядка; я утверждаю, что соотношения (15)
определяют вращение четырехмерного пространства. Для этого
надо доказать, что
1° если X— матрица, соответствующая вектору, то X' также
авляется матрицей, соответствующей вектору;
2° квадрат матрицы X' равен квадрату матрицы X.

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 187
Второе, предложение очевидно, так как
Что касается первого, то оно справедливо, если X является
матрицей единичного вектора, то есть если определитель
матрицы В равен —1, а Н является матрицей, обратной 3, так
как тогда на основании (14) определитель матрицы 5' равен
также —1 и Н' является матрицей, обратной S'. Общий
случай выводится непосредственно из этого частного.
Теорема. Наиболее общее вращение комплексного
эвклидова пространства 4 измерений определяется формулами
$ \ (16)
где матрица S имеет вид ( ^ , ], причем sat —
произвольные унамодулярные комплексные матрицы.
Группа вращений является прямым произведением двух
групп линейных унимодулярных подстановок двух переменных.
Если мы рассмотрим, в частности, результат преобразо-
/3 °\
вания бивектора ^ д I, то получим
\ <*)/
z'=szs'-, Н'=ШГ\ (17)
(3) (2) (2) (2)
Каждый из двух родов полубивекторов преобразуется
группой, изоморфной группе вращений трехмерного
комплексного пространства. Отметим, что согласно формулам (17)
определитель каждой матрицы 3 и Н является инвариантом
(2) (2)
группы вращений; эти инварианты определяются следующими
выражениями:
(10)
они являются квадратичными формами составляющих
соответствующих полубивекторов, в соответствии с найденным

188 ГЛАВА VII
выше результатом. В прямоугольных координатах имеем два
инварианта
г28_1_ ,-1112 _L IrM _1_ r2mJ_/vI2J_ v-S^2 "\
(19)
откуда вычитанием получаем инвариант x2ixH -\-х31х2* -\-хпх**,
равенство нулю которого выражает условие простоты
бивектора. В частном принципе относительности имеем два
инварианта:
+ (*S1 —icx2i)* + (*li — icx3i)\ \
В частности, мы видим, что каждый простой бивектор может
быть изображен двумя векторами одинаковой длины
трехмерного пространства; результат применения вращения 4-мерного
пространства к бивектору эквивалентен результату
применения к каждому из этих двух векторов независимых друг от
друга вращений.
151. Случай вещественного эвклидова пространства.
Формула (5) показывает, что матрица а, являющаяся одной из
составляющих матрицы А, соответствующей вещественному
единичному вектору, является унитарной с определителем,
равным — 1; в самом деле, матрица А—эрмитова, то есть
С£=а*~1. Унимодулярные матрицы 5 = —$а~х и t = — ^~'а
являются тогда унитарными, откуда следует
Теорема. Каждое вращение а вещественном эвкладо~
вом пространстве 4 измерений, определяется формулами (15),
в которых матрицы s и t являются любыми унитарными
унамодулярными матрицами.
В частности, составляющие х2й-{-хн, л31 -f x2*, xli-\-x**
полубивектора преобразуются вещественной ортогональной
подстановкой с определителем, равным 1.
152. Случай пространства частного принципа
относительности. В пространстве частного принципа относительности
матрица а, которая входит в матрицу А, соответствующую
вещественному единичному вектору, сопряжена с а"1:
а=а~1;

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 189
матрицы s н t ъ этом случае являются унимодулярными, взаимно
комплексно сопряженными.
Теорема. Всякое собственное вращение пространства
частного принципа относительности определяется формулами:
5' = 5;, X' =
где s — произвольная унимодулярная комплексная матри*
ца второго порядка, s — ее сопряженная*
Таким образом, мы видим, что Лорещева группа
собственных вращений изоморфна группе комплексных унимодуляр-
ных подстановок двух переменных, то есть группе ераще-
ний эвклидова комплексного пространства 3 измерений1).
Собственные отражения в применении к спинорам
определяются формулами:
II. Разложение произведения двух спиноров
1БЗ. Произведение двух различных спиноров. На
основании общей теоремы п, 131 произведение двух спиноров
разлагается на скаляр, вектор, бивектор, тривектор и 4-вектор.
Бивектор в свою очередь разлагается на два полубивектора.
Это разложение дают величины £*СЯ"£'. Находим следующие
результаты:
1° Скаляр равен
]) Полувектор первого (второго) рода Эйнштейна и Манера
является не чей иным, как совокупностью двух полуспиноров первого
(второго) рода; он не имеет чисто геометрического определения; его
преобразование задается матрицей я (*). См. А. Е i п s t e i п, W. М а у е г,
Seml-Vektoren und Sptnoren (Sitzungsb. Akad. Berlin, 1932, стр. 522—
550), а также J. A. S с h о u t e n, 7.ur gsnerellen Feldtheorle, Semt-
Vektoren und Splnraum (Zeitschr. -fttr Phyeik, 84, 1933, стр. 92—111).

190 Глава vii
2° Тривектор определяется следующими ковариантными
составляющими:
у ее» ft' г с Р' t P
Л122'— ЧЧЗ 42 ""1 ' 11'2 "242 42^2 '
■*1»22' = V'O ~Г 1<Г2| *11'2' == ЧГ1 1 ЧТ> '
3° Полубивектор первого рода имеет ковариантные
составляющие:
полубивектор второго рода —
4° Вектор определяется следующими ковариантными
составляющими:
*1 = "2 (Ml2 4" ^12'i)> Х2 =*2" (^2П2"Т" ^12^)>
5° Наконец, 4-вектор имеет составляющую, равную
154. Полуспиноры как поляризованные изотропные
бивекторы. Мы получаем конкретное определение полуспиноров
как поляризованных изотропных полубивекторов, полагая £' = £;
это дает для изотропного бивектора первого рода
= 0, *12' = 0, ХЦ» — ДГ22» = 0;
для изотропного бивектора второго рода —
^ , Л12' = i\ , *Ц« — *22» = — 21,^;
•) М. Е. Т. W h i 11 a k e r недавно отметил эту связь между
некоторыми бивекторами частного принципа относительности и
полуспинорами: On the relations of the tensor-calculus to the zplnor-calcuUu
(Proc. R. Soc. London, 158, 1937, стр. 38—46).

ЙПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 191
В пространстве частного принципа относительности можно
дать другую интерпретацию полуспиноров. Воспользуемся уже
введенными координатам хх, х2, Xs, х*. БивекторныЙ квадрат
спинора дается формулами
Формулы (21) позволяют выразить полуспинор (£,,, £12) при
помощи вещественного бивектора х*/, удовлетворяющего двум
соотношениям:
1* = 0;
12)3. I
I
полуспинор является не чем иным, как этим поляризованным
бивектором. С точки зрения физики этот бивектор может
быть рассматриваем как совокупность электрического поля
(xli, хи, хи) и магнитного {x2i, xil, xn), взаимно
перпендикулярных; отношение их интенсивностей равно обратной величине
скорости света —. Два поля, которые вводятся в
электромагнитной теорий света, обладают как раз этой природой.
Полуспинору ($j, £j) можно дать аналогичную интерпретацию,
пользуясь формулами (22).
Такая интерпретация при помощи вещественного образа
возможна только в пространственно-временном континууме
частного принципа относительности, но не в эвклидовом
вещественном пространстве четырех измерений.

192 ГЛАВА YU
III. Сопряженные векторы и спиноры в пространстве
частного принципа относительности
155. Сопряженные спиноры. Матрицы, соответствующие
двум комплексно сопряженным векторам, имеют вид
О х1 х* \ /0 0 £»' £г
О хг —xl'\ | 0 0 хг> —х1
** О О I И \ х1 *а О О
Xх 0 0 / \*8' —л1' О О
или
5\ /ОН
О/ " \S О
вторая матрица К выводится из первой ЛГ при помощи
формулы (п. 116)
У = — Ш* = (Я, — //,.) X (//, — //i.).
Аналогично для спинора £', сопряженного данному ^, имеем
формулу
иэ которой вытекает
нлн, более подробно,
(24)
156. Разложение произведения двух сопряженных
спиноров. Результаты п. 146 дают непосредственно разложение
произведения двух сопряженных спиноров на скаляр, вектор,
бивектор, тривектор и 4-вектор.
Мы вычислим этн различные тензоры, пользуясь
координатами частного принципа относительности, в которых
фундаментальная форма имеет вид

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 193
матрицы, соответствующие векторам базиса, следующие:
Ai = Hx-\-HVl Ai = t(Hl — Hv),
Здесь матрица J, введенная в_ п. 116, равна Ht—//j». Мы
должны рассмотретьовеличнны £*JX£, причем мы будем умножать
каждую из них на некоторый постоянный множитель, чтобы
иметь вещественные р-векторы.
1° Имеем 4-вектор с составляющей
2° Имеем вектор, определяемый величиной Z*JX$; его
контравариантные составляющие определяются формулами:
(26)
На основании общей теоремы (п. 119) это — временнбй
вектор, скалярный квадрат которого равен
3° Имеем бивектор, определяемый величиной l*JXi; его
(»)
контравариантные составляющие имеют вид

194
Г Л А В А VII
Он разлагается на два комплексно сопряженных бивектора:
:1
=2Ё(-6,6,+J.6,,,),
/«21 = 2(6
'■««♦= 2 (
_
,60).
(28)
Сумма квадратов составляющих первого равна — 4 (Е0Е2— El2Sj)2;
сумма квадратов составляющих второго равиа — 4 (ЕгЕ0 — Е^^)1.
4° Имеем тривектор, определяемый'величиной /EVXE, с
составляющими (3>
= у (6,1,, - 6А
7 Йо
(29)
5° Наконец, имеем скаляр с составляющей
(30)
IV. Уравнения Дирака
157. Ковариантный вектор т-. Рассмотрим в.пространстве
частного принципа относительности, отнесенном к системе
координат jc1, л:2, х3, х*, функцию точки-/; дифференциал df
является скалярным инвариантом при каждом преобразовании
Лоренца; но

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ^5
дифференциалы dxl преобразуются как контравариантные состав-
д
лающие вектора; следовательно, четыре оператора 3-7 можно
рассматривать как ковариантные составляющие вектора;
контравариантные составляющие этого вектора имеют вид
Ш1 17* х Их* ' ~~&5&'
Обозначим через -^ - матрицу, соответствующую этому
вектору:
О О
О О
<
1 д
с дх*
д
ы'
д
_L_/ д
4.1 д
^ с дх<
0
д
дх*
-Ан
г1
а
д
±А-1± -±-i
дх* Т с дх* dxi
Пользуясь этой символикой, можно представить уравнения
Дирака для электрона в электромагнитном поле в следующем
виде. Вводим четыре волновых функции, которые являются
составляющими спинора (;, представляющего собой функцию
точки (х); пусть V обозначает матрицу, соответствующую
векторному потенциалу, К—матрицу, выведенную в п. 126:
/—1 0 0 0\
„_/ 0—100
А~1 0 0 10
V О ООЬ
Уравнения Дирака могут быть объединены в одном
уравнении:
где буквы Л, е, с, /н„ имеют хорошо известные из физики
значения.

196
ГЛАВА VII
Выписыва» каждое из четырех уравнений, имеем1)
А
7
(31)
158. Дивергенция вектора тока. Нетрудно доказать, что
если спинор Е удовлетворяет уравнениям Днрака, то
дивергенция вектора (26) равна нулю. Этот вектор в квантовой механике
играет роль вектора тока. В самом деле, скалярное
произведение произвольного вещественного вектора X на вектор тока
равно вещественной величине SV/Y&. Дивергенция вектора тока
равна сумме двух комплексно сопряженных величин, из которых
одна получается дифференцированием составляющих £„, другая —
дифференцированием составляющих £„. Первая величина есть ис
1) См., например, В. L. v а п der W a e r d e n, Die gruppentheo-
retlshe Mtthode in derQuantenmechanlk, 1932, стр. 97. (Ван-дер-Варден,
Метод теории групп в квантовой механике, ОНТИ, Харьков, 1938,
стр. 107); нэ уравнений (23.7) этой ккиги можно получить приводимые
адесь формулы (31), заменяя ф через (5, — \.}) и ф через (Е,,, 1а). Для
того, чтобы получить из принятых Э1ссь обозначений обозначения
Дирлка, надо злиенить ^ через ^t — ф«, ^ через h-hta ^i через
~fi - ift и £„ через |, - |,-

СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 197
что иное, как TV^S, ко*орая на основании уравнений Дирака
равна
5
но величина £ *JVl вещественная, поскольку вектор V веществе-
нен; то же самое справедливо относительно величины i*JKZ, которая
равна скаляру (30):
следовательно, мы получаем для величины £Ч/т—£ чисто
мнимое значение; искомая дивергенция, будучи суммой двух
сопряженных чисто мнимых величин, равна, таким образом, нулю.
Уравнения Днрака инвариантны при каждом собственном
преобразовании (вращении или отражении) группы Лоренца, так
как при вещественной пространственной симметрии А обе
матрицы с 1 столбцом и 4 строками VZ и Ас преобразуются
одинаково, первая в—A(Vi), вторая в KAl =— Z
159. Примечание. В пространстве с нечетным числом
измерений не существует систем уравнений, аналогичных уравнениям
Днрака н инвариантных при движении и отражении: это зависит
от того, что спинор -г-Е (или V'c) не эквивалентен спинору £
относительно отражений. Но в пространстве с четным числом
измерении уравнения Дирака обобщаются непосредственно.

ГЛАВА VIII
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
I. Линейные представления группы вращений Лоренца
160. Приведение к группе комплексных вращений
пространства Еу На основании теоремы п. 75 существует взаимно
однозначное соответствие между неприводимымидлинейными
представлениями:
1° группы вращений вещественного эвклидова пространства
4 измерений;
2° группы вращений Лоренца (собственных вращений);
3° группы собственных вращений псевдоэвклидова
пространства, фундаментальная форма которого приводима к сумме двух
положительных квадратов и двух отрицательных.
В самом деле, эти три группы при переходе из
вещественной области в комплексную дают одну и ту же группу, именно,
группу комплексных вращений.
При применении первой группы полуспинор (^, ^)
преобразуется унитарной подстановкой, полуспинор ($о, £12) — другой
подстановкой того же рода, но независимой от первой (п. 151).
При применении второй группы полуспинор (£v ^)
преобразуется линейной унимодулярной подстановкой £ с комплексными
коэффициентами, полуспинор (;0 £12) — комплексно сопряженной
подстановкой s (п. 152).
При применении третьей группы оба полуспинора
преобразуются линейными унимодулярными вещественными
подстановками, независимыми одна от другой.
Мы уже определили (пп. 82 — 84) линейные представления
группы Лоренца, которая изоморфна группе комплексных
вращений трехмерного пространства. Ми получаем систему
неприводимых неэквивалентных представлений, рассматривая
представления D£ q с производящим полиномом
14

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА [99
161. Частные случаи. При р = д=\ получаем тензор 4-го
порядка, эквивалентный вектору; в самом деле, выражение
£*СЛГ£', где Е есть полуспинор (£,, £2), 5' — полуспинор ($<,, £ц),
дает вектор с составляющими
Of, =jfi'=
xv =д:г = —
Производящий полином этого вектора может быть иаписаи
в следующем виде:
+ £ £ + Л - асх* +
Если р ^> ^, то можно заменить производящую форму
представления Dp q фОрмбЙ
2' 2
— асх~
При p = q получаем тензор порядка (р+1)2, причем
составляющие являются однородными полиномами порядка р от х1,
х2, х1', xv, удовлетворяющими уравнению Лапласа
' dx*dx*' ~ '
это — гармонические полиномы р-ro порядка; доказательство —
непосредственное.
При р = 2, q = 0 тензор имеет составляющие SJ, £j£j, S|; он
эквивалентен полубивектору второго рода, и за производящий
полином можно принять
/\2<0 ^- &хп, — ab{xn, — xa>) -f **«1ч:
аналогично имеем
Если р и q одинаковой четности, то можно за производящую
форму для представления D p q взять форму, в которую вхо-
дят только векторы и полубивекторы.

ЭОО ГЛАВА VIII
II. Представления группы вращений и отражений Лоренца
162. Две категории неприводимых представлений. Группа
вращений и отражений вещественного эвклидова пространства
4 измерений, группа собственных вращений и отражений
пространства частного принципа относительности, наконец, группа
собственных вращений и отражений псевдоэвклидова
пространства, фундаментальная форма которого приводима к сумме двух
положительных и двух отрицательных квадратов, имеют
одинаковые линейные представления.
. В любом из-этих случаев симметрия Н%-\-Н'г преобразует
Со в £, и Е, в Ео, то есть составляющую E£cJ неприводимого
тензора Dp q в составляющую Ц Ц тензора Dq „. Примене-
2 'з Г' а
вие теорем пп. 88,89 приводит нас к следующему предложению:
Теорема. Неприводимые представления группы
вращений и отражений (собственных) вещественного эвклидова
пространства 4 измерений распадаются на две категории:
1° представления, индуцирующие в группе вращений
линейное неприводимое представление вида D р р; каждому це-
a -j
лому числу р соответствуют два неэквивалентных линейных
представления полной группы;
2° представления, индуцирующие в группе вращений
приводимое линейное представление; это последнее разлагается
на два неприводимых неэквивалентных представления Dp 9
Г'7
и Dq p (р ф q)* Каждой паре (р, q) различных целых чисел
5 •%
соответствует единственное неприводимое представление
полной группы.
Обозначим через Dp р тензор, составляющие которого пре-
5" Т
образуются как составляющие тензора производящей формы
через D~lp . \ — тензор, у которого составляющие преобра-
ауютса так же, но с изменением знака при каждом отражения.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 201
При ' рз=-1 Dfi M определяет вектор, следовательно,
D fL ,L\
L L\ —тривектор.
Через Dip q\(p=^q) будем обозначать тензор произво-
дящей формы
163. Разложение произведения £)//> р\Х^7£.' г.'
Составляющие этих двух тензоров задаются производящими
полиномами:
Составим полиномы
Коэффициенты различных одночленов, составленных из а, Ь,
с, d, дают {р-\-р' — М-{-1){р-\-р' — 2/-J-1) линейных
комбинаций составляющих тензора-произведения. Сумма всех
этих чисел равна квадрату суммы величин р-\-р' — 2; + 1
(/ = 0,1, 2,... ,рУ, она равна, таким образом, (р4-1)2Х(р'-И)а-
Но это последнее число как раз равно порядку
рассматриваемого тензора, разложение которого мы ищем. Каждый из
полиномов Pttj определяет неприводимый тензор группы вращений,
именно, тензор Рр+р' . р+р» . . Таким образом, имеем иско-
( а - '' 2 '
мое разложение

202 ГЛАВА VIII
где первая сумма распространяется на все пары целых чисел
/, J, причем O^i<CJ^p'^P> вторая — на все целые числа/,
удовлетворяющие неравенствам 0 <; / <; р' «^ р.
Тензоры второй суммы суть вида £)+, тэк как
при отражении величины £, Ь'2— £2£[ и S0£j2— £12^ преобразуются
одна в другую с изменением знака, так что полином Р(<1
эквивалентен производящему полиному тензора
D(p+p' . р+р' . \
\ 2 '' 2 ')•
Если бы оба множителя левой части были D", то результат
разложения был бы тот же самый. Если бы только один из
множителей был D~, то все члены во второй сумме правой
части были бы D~.
Например,
*>(«..£) X D^. |) = D(+1(1) + D(M) + Dfa ',
произведение двух тривекторов разлагается на скаляр
(скалярное произведение), бивектор и тензор, эквивалентный
совокупности гармонических полиномов второго порядка.
164. Разложение произведения £>/, p\XDtp> q,\
\г'г) \Т'Т)
{p'=£q'). Разложение производится аналогично. Тензоры
d(p+p' t p+i' Л
дают все неприводимые части искомого произведения, если
/и у придавать независимо друг от друга значения
(0/ 0</<р') и

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 203
но если '2 1 =—у2 J, то этот тензор надо учесть
два раза, приписывая ему в одном случае верхний знак -}-, в
другом— верхний знак—.
Например, при перемножении тривектора и спинора (р = \,
р' = 1, ^' = 0) следует положить / = 0 и 1, у=0, что дает
ОЛИ и D/0M. Мы получим эквивалентное разложение,
исходя из произведения вектора и спинора. Вообще два
произведения:
*>(£. р.) X D(r И и D~(L А X D(el Si)
эквивалентны (p'=fcq'), хотя в этих произведениях, имеющих
одинаковую вторую часть, первые множители не эквивалентны.
В рассматриваемом примере часть Dl у\ разложения имеет
в качестве производящего полинома
(~- асх2> -f bcx\, -\- adx\ -f- bdxt) (a?i -f- bz2-{- ct0 -f- ^12).
Если вектор х заменить на g—, то получим
неприводимый тензор
Составляющие этого тензора образуют одну из неприводимых
частей производной спинорного поля. Спинорные поля,
обращающие в нуль этот тензор, определяются формулами
где а, р, у. ^ а'. Р', К', 5' — произвольные постоянные. Любое
движение и отражение преобразует такое спннорное поле в поле
того же вида.

204 глава vm
166. Разложение приведенияD(f ,|) X°[^•qj
Аналогичное рассуждение приводит к разложению
D(f.t) X"(f,j)=J'>(^^
где суммы распространяются на все значения /, J, ft, Л,
удовлетворяющие неравенствам
Если
+^-/=±±Ш_; или
надо соответствующий символ D заменить на D+ -(- D".
Например, для произведения двух спиноров
H x D(bo=D(w+°(Ь
разложение дает бивектор, вектор, тривектор, скаляр и 4-век-
тор, что согласуется с тем, что было получено непосредственно.
В частности, вектор и тривектор даются производящими
полиномами
из которых первый эквивалентен полиному

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 205
Ш. Линейные представления группы вращений
вещественного эвклидова пространства Е .
166. Э. Картам определил все неприводимые линейные
представления группы вращений вещественного эвклидова
пространства п измерений1). С другой стороны, на основании исследо-г
ваний Г. Вейля (п. 81, примечание 3) мы знаем, что теорема
о полной приводимости имеет место для всех линейных
представлений этой группы. Эти результаты распространяются
непосредственно на группу собственных вращений вещественных
псевдоэвклидовых пространств. Метод, примененный в пп. 82—84,
позволяет получить отсюда все представления группы
комплексных вращений.
Следует различать случаи нечетного и четного п.
167. Случай пространства Е^+1. За фундаментальную
форму примем
(*°)2 -f я1*1'+xw -f Ь x"xV-
Каждое неприводимое линейное представление группы
вращений (собственных) получается при помощи выражения
Ц {xl)P* {хп)Р>... (х™- • • »->) Pv-i,
если к нему применять различные вращения группы.
Показатели р, ри ... , pv_j являются произвольными целыми числами,
положительными или равными нулю. Например, представление
(р=2, рх =/?3= ... ==р¥_г=0) дает v-вектор; в самом
деле, v-вектор, соответствующий спинору £ и определяемый
2
выражениьм £*САТЗ, содержит составляющую хю ... *'=гЬ£0>'
следовательно, применяя к Ц различные вращения, мы получим
*) См. Е. С a r t а п, Les groupes projedlfs, qul ne lalssent Invarlante
aucune multlpllctte plane (Bull. Soc. Math. France, 41, 1913, стр. 53—96).
Совершенно отличный метод принадлежит R. Brauer'y: Ober die
Darstellung der Drehungt gruppe durch Grupnen llnearer Substitution
nen (Inaugural — Dissertation, Gottingeri, 1925). Относительно группы
комплексных вращений см. также R. Brauer, Die stttlfgn Darstel-
lungen der komplexen Orthogonal gruppe (Sitzungsb. Akad. Berlin, 1929,
стр. 3—15).

206 ГЛАВА VIII
неприводимый тензор, эквивалентный тому, который получается
при применении к составляющей л;12""* v- вектора различных
вращений, а в этом последнем случае ми получаем v-вектор.
168. Случай пространства Е2ч. Возьмем фундаментальную
форму в виде
Каждое неприводимое линейное представление группы
вращений получается при полощи выражения
если к нему применять различные вращения группы.
При р = 1, р1 =рч = ... =/>„_! = 0 получаем полуспинор с
четным числом индексов; при /7 = 0, полуспинор с нечетным
числом индексов. Тензоры (р = 2, р^ = рг= ... p^_l=.Q) и
(Р = 0> ^i = 2, рг = /\_1=0) являются полу-у-векторами
первого и второго рода; тензор (р = р{ = 1, рг = ... =/\_i =0)
является (v—1)-вектором. Чтобы доказать последнее
свойство, достаточно -заметить, что выражение
(м-1)
дает (v—1)-вектор, соответствующий двум полуспинорам
у и ф, и для этого (v—1)-вектора имеем
тензор, получаемый при изменении различных вращений к
произведению £0£i> эквивалентен, таким образом, тензору, который
получается при применении различных вращений к х14"**"1,
то есть (V—1)-вектору.
169. Неприводимые линейные представления группы
вращений и отражении. В пространстве i:2,+i каждое отражение
оставляет инвариантным каждый нз у основных неприводимых
тензоров, определяемых составляющими £0, х1, х11, .. .,*11"'*"1;
следовательно, если задано какое-нибудь линейное представле-

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 207
ние группы вращений и отражений, индуцирующее для группы
вращений неприводимое представление, то каждое отражение
преобразует одну из неприводимых частей в другую экизшалент-
ную. Таким образом (п. 83),
Каждое неприводимое представление группы вращений
и отражений (собственных) пространства £2*+1 чндуцгуует
в группе вращений неприводимое представление; обратно,
каждому неприводимому представлению группы, вращений
соответствует два неприводимых неэквивалентных
представления группы вращений и отражений.
В случае пространства £2» любое отражение оставляет пнра-
риантным каждый из неприводимых тензоров, определяемых
х1, я12,... , х12"'*~2, но преобразует полуспинор в полуспинор
другого рода. Таким образом,
Для группы вращений и отражений (собственных)
пространства Е2ч существует два рода неприводимых линейных
представлений:
1° каждый неприводимый тензор, для которого р=Р\,
дает два неприводимых неэквивалентных представления группы
вращений и отражений;
2° совокупность составляющих двух тензоров (р, ри р2,...,
Рч-i) и (Pi. P> Pz> ' • • » /\-i) при рфр^ дает одно и только
одно неприводимое представление группы вращений и
отражений.
Отметим, что тензоры первой категории, или вернее,
половина этих .тензоров, получаются при применении различных
вращений к выражению
так как выражение Ьо£, задает (v—1)-вектор. Как пример
неприводимого тензора второй категории достаточно привести
спинор.
Следует отметить существенное различие между
пространствами с четным и нечетным числом измерений.
170. Частный случай я = 8. В случае л = 8 тремя
первыми основными неприводимыми представлениями группы
вращений (собственных) являются полуспинор первого рода,
полуспинор второго рода н вектор. Мы показали в п. 139, что

208 ГЛАВА VIII
к группе вращений можно присоединить пять других семейств
преобразований таким образом, что преобразования из каждого
семейства производят над тремя рассматриваемыми тензорами
одну и ту же перестановку, причем эта перестановка меняется
от одного семейства к другому. Составляющие неприводимых
тензоров полной группы, составленной из шести указанных
семейств, получаются тогда присоединением к составляющим
тензора (р, Р\, рг\ Рз) составляющих тензоров, получающихся при
помощи применения любой перестановки к трем первым
показателям р, рх, рг. Отметим, что четвертый основной тензор, именно
бивектор, инвариантен при каждом преобразовании полной
группы. Нетрудно проверить, например, что тензор £я£^—\£!v
где £. и Ь'а — составляющие двух полуспиноров одного и того же
рода, эквивалентен бивектору, так как в бивекторе,
определяемом выражением у*СХу, составляющая х^2 равна — ^о^з» ~h^a4^o;
применение различных вращений к выражению £0Е^ — £м£^дает,
таким образом, тензор, эквивалентный бивектору.
171. Примечание. Метод Г. Вейля для определения
неприводимых линейных представлений замкнутых групп1) позволяет
легко найти порядок различных указанных выше неприводимых
линейных представлений. Приведем один пример, относящийся
к пространству Еь. Порядок неприводимого представления
( Pv Pt) Равен
. 1, 1, 1)
где
F {x, xux2, xt) = ххххгхь (x -f *,) (*, + *,) (xt4- xt) X
«) X
Например, порядок представления (1, 1, 1, 0) равен 350.
i) H. W е у 1, Theorle der Darstellang kontlnuierllcher halbeln-
facher Gruppen durch llneare Trans formationen /'Math. Zeitschr.. 23,
1925, стр. 271-309; 24. 1925, стр. 328—395). (Русский перевод в
Успехах Математических Наук, т. 4. ред.)

ГЛАВ Л IX
СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЬ
ГЕОМЕТРИИ
1. Спинорные поля в эвклидовой геометрии
172. Бесконечно малые вращения в применении к
спинорам. В -Ц. 19 было показано, что каждое бесконечно малое
вращение эвклидова пространства Еп определяется тензором,
эквивалентным бивектору. Мы сейчас снова получим этот
результат другим методом, который в то же время даст
бесконечно малое вращение спиноров.
Сначала рассмотрим простое вращение на угол а,
получающееся в результате применения двух симметрии, соотзетствующих
двум единичным векторам, образующим между собой угол у .
Обозначим через Ах первый из этих единичных векторов, через
Л2 — единичный вектор, перпендикулярный к первому и лежащий
в 2-плоскости простого вращения; тогда рассматриваемое
вращение определится матрицей
( Alcosj-{-A2sin-^)A1 = cos j — sin-j АхА.г.
Если мы предположим, что угол а — бесконечно малый, то
главная часть этой матрицы равна 1— — аАхА„.
It
Применяя ее к вектору X, получим
у гА%—АХА%Х)\
применяя к спинору £, имеем

210 ГЛАВА IX
Следовательно, обозначив через U матрицу, соответствующую
бивектору а-4Иг> имеем бесконечно малое преобразование:
± (1)
Если мы отнесем, например, пространство к п векторам
базиса Аи Аг,..., Ап, причем
~2 ИИ/ ~т AjA()== £j/>
то бесконечно малое вращение, определяемое символом
даст в применении к вектору xkAt
Ъх*Ак = -j а.Чхк [AkAtAf — AtAjAk) —
= 1 аЧх* [Ak (V/ -AjA,) - (ЛИ/ ~
Величина, стоящая в квадратных скобках, равна
- А,
+ ИИ* + ^Л) Л, =
Таким образом, имеем
Ьх*Ак = —I л"** (5"/Л
откуда
дл;' = акхк, или Зх' = а^дгд, или ixt — амхн. <3)
Формула (2) дает
Например, для п = 3, сохраняя обозначения главы Ш, можно
положить

СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 211
откуда, учитывая выражений для матриц Ht (п. 55), имеем
/
учитывая введенные выше общие обозначения, имеем для
коэффициентов a, p, y следующие значения:
173. 71ругая интерпретация. Полученные результаты можно
интерпретировать иначе. Рассмотрим составляющие
фиксированного вектора и фиксированного спинора, отнесенные
последовательно к двум декартовым реперам (R) и (R1), из которых
новый (/?') получается из старого {R) при помощи заданного
бесконечно малого вращения. Если мы будем отмечать
штрихом составляющие вектора или спинора в новом репере, то
вектор или спинор, имеющий эти новые составляющие в старом
репере, получается из данного вектора или спинора при помощи
бесконечно малого вращения, обратного данному. Таким
образом, имеем теорему:
Теорема. Если задан вектор X или спинор I,
отнесенный к реперам (R) и (R'), причем (R1) получается из (R) при
помоща бесконечно малого вращения U, то бесконечно малые
приращения составляющих этого вектора или спинора
определяются формулами
iX=^(UX-XU), (5)
*5=4^- (6)
Первая из них может быть записана также в виде:
bx'= — allixk, или bxi = aikx\ или Ц = а/Лх*. {1)
В частности, формулы (4) дают
=4'(a + ДОг-т

212 Г Л А В А IX
174. Абсолютное хифференцирование вектора и спинор!.
Рассмотрим в пространстве .векторное или спинорное поле,
причем каждый вектор (или спинор) отнесен некоторой точке
пространства. Представим, что каждой точке пространства отнесена
декартова координатная система, относительно которой
фундаментальная форма сохраняет одни и те же коэффициенты
(то есть координатные реперы в различных точках равны в смысле
эвклидовой геометрии).
Обозначим через Q бивектор, определяющий бесконечно
малое вращение, которое переводит репер (R) с началом М в
положение, параллельное реперу (/?'), имеющему начало в
бесконечно близкой точке М'\ обозначим составляющие этого
бивектора через со'Л Пусть х(—составляющие вектора поля
относительно (R) с началом в М, х' -\-dxt:— составляющие вектора
поля, отнесенные к (/?') с началом в М'. Чтобы получить из
первого вектора второй, можно сначала перейти от первого к
вектору с началом М\ имеющему относительно (R') те же со?
ставляющие х1 при помощи вращения Q, переводящего [R) в (/?');
затем перейти ко второму вектору, складывая х1 и dx'.
Элементарное геометрическое приращение Dx1, получаемое
вектором поля, определяется согласно (3) формулами
Dxi=dxt + iutkxk или DX=dX-{-j(XQ — QX); (8)
для поля спиноров имеем аналогично
ПС — аЧ ОС /й\
/Д=Дч — у*":. (»)
dX (или rf£) обозначает относительное приращение, -^ {XQ—QX)
[или —у^) —переносное приращение. DX и D5 являются
абсолютными дифференциалами вектора и спинора.
176. Уравнения Дирака. Предположим, что пространственно-
временной континуум частного принципа относительности отнесен
к галнлеевым реперам, имеющим начала в различных точках

СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 213
пространства; пусть
(0)2)2 -f (0)8)2 _ С2 (о)*)2
— скалярный квадрат вектора, соединяющего точку М с
бесконечно близкой точкой М'; ш1, <о2, ш3, <о*— контравариачтные
составляющие вектора ММ'. Матрица й, определяющая
бесконечно малое вращение, которое переводит репер {R) с началом
в точке М в положение, параллельное реперу (R1), имеющему
начало-в точке М', имеет вид (п. 149)
-(11 °\
причем II есть матрица
—/С0)»)\
U8'—/co)^ + i(o)"—/со)14)
Положим
где /—функция точки; если пространство отнести к реперу (/?),
вектор TL (п. 167) должен быть заменен .следующим:
0
7D* ° °
iDi 0 0 /
, (11)
причем символы D( имеют следующее значение: полагаем
Df=DJ& + DJtf + ^e/o)8+Л^/«<; (12)

ГЛАВА1Х
имеем
С
i .
7 U)24
i — 7
(13)
)
В уравнениях (13) мы ввели ковариантные составляющие ю^,
связанные с контравариантными соотношениями:
(014 = — С2(1)14, (О24 = —
Уравнения Дирака выражаются следующим матричным
соотношением:
(i + f^-O, (14)
причем матрица К, как н в п. 157, имеет вид ( * ^ V где
каждый элемент обозначает матрицу второго порядка.
II. Спинорные поля в рииановой геометрии
176. Случай общего принципа относительности. В
предыдущих формулах ничего не надо изменять при условии, что
мы будем относить каждой точке пространственно-временного
континуума локальный Галилеев репер, дающий фундаментальную

СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 21S
форму вида
(о1)2 4- W+Мг — с* (<о4)2,
г за формы to,y будем принимать те, которые определяют
аффинную связность пространственно-временного контннуума 1).
В качестве примера рассмотрим фундаментальную форму ds
Шварцшильда (изменив у нее знак); ей соответствуют с' эрмы
з dr
01 ~7^?'
Единственные не равные нулю формы (i>,;. следующие:
/ Ъп
г Г
/, 2т . Q , сгт ..
1 sin 6</tp, (0,- = г- rf/.
Матрица D имеет вид (т л ), где Д и Д — комплексно сопря-
женные матрицы, причем
Д=("» М, (15)
_ 1 д ■ / д . 1 ctgB
" r at. ' г sin в 5f '
»,i-K '-73? 7=
«,1/ 1
<: I/ 1—:
1
ел/ l —~
Id, id
(16)
А получается из Д изменением всюду i на — /.
1) Данное в п. 198 доказательство теоремы, согласно которой
дивергенция вектора тока равна нулю, может быть повторено здесь беэ
всякого изменения.

216 ГЛАВА IX
177. Случай любых декартовых реперов. Выше цы
предполагали, что риманово пространство отнесено к
семейству реперов частного вида: необходимо, чтобы они были
конгруэнтны между собой с метрической точки зрения. Этой точкой
зрения пользовались некоторые из авторов, пытавшихся
обобщить уравнения Дирака на общий принцип относительностих).
Но для этих авторов спинор не является вполне
определенным геометрическим объектом; В. Фок выводит закон
преобразования спинора при вращении из закона преобразования
вектора, определяемого этим спинором и его сопряженным, а это
вводит некоторую неопределенность, которую он рассматривает
как основу электромагнитного поля. Другие физики отказываются
от употребления локальных галилеевых реперов и ищут
обобщение уравнений Дирака, пользуясь классической техникой
исследования в римановой геометрии2), техникой, основанной на
употреблении декартовых реперов, связанных с выбором
координатной системы; эти реперы могут иметь произвольную форму
с метрической точки зрения. Если с этой точки зрения мы бу-
^дем продолжать рассматривать спинор как вполне определенный
геометрический объект, имеющий природу тензора в наиболее
общем смысле этого слова, мы убедимся, что обобщение
уравнений Дирака становится невозможным 3).
Поставленный вопрос приводится к выяснению,—имеет ли
спинор тензорный характер относительно группы всех линейных
подстановок с л переменными. В действительности вопрос носит
несколько более общий характер, так как некоторые эвклидовы
!) См., главным образом, V. Fock, Geometrlslerungder Diracschen
Theorte des Elektrons (Zeitschr. f. Physik, 75, стр. 261—277), а также
H.Weyl, Electron and Gravitation (Zeitschr. f. Physik, 56, 1929,
стр. 330—352); Вейль стоит на иной точке зрения.
2) См., например, Е. SchrQdinger, Diracsches Electron In
Schwerfeld (Sitzungsb. AKad. Berlin, 1932, стр. 105).
8) Некоторые физики рассматривают спииор как объект, в некотором
роде индифферентный по отношению к вращениям, воздействующим на
классические геометрические объекты (векторы и т. д.), и у которого
составляющие в заданной системе отсчета могут подвергаться линейным
преобразованиям, в некотором роде автономным. См., например, L. I а-.
feld, В. L. van der Waerden, Die Wtllen°lelchungen dei Bek-
trons. in der allgemetnen ReltfivltutstheQrle (Sjtjtungsl). Akad. Berlin.
1933, стр. 380),

СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 217
тензоры определенного порядка г, не являющиеся в то же время
аффинными тензорами, могут быть все же аналитически заданы
относительно любого декартова репера при помощи
составляющих аффинного тензора порядка R более высокого, чем г,
таким образом, что если нх отнести к прямоугольному реперу,
то R — г этих составляющих обращается в нуль, а остальные г
составляющих являются составляющими рассматриваемого
эвклидова тензора. Так, например, при л = 4 полубивектор
определяется -составляющими ру -\-У gpkh (/, /, k, h — четная
перестановка) бивектора. Таким образом, надлежит исследовать,
можно лн найтн в аффинном пространстве с числом измерений
л = 2у-|-1 или 2v такой аффинный тензор с N составляющими,
чтобы при отнесении его к прямоугольному реперу N—2*
этих составляющих обращались в нуль, а остальные 2*
преобразовывались как составляющие спинора при преобразовании
прямоугольного репера. Мы покажем, что это невозможно.
В самом деле, мы можем рассматривать комплексную область,
пользуясь при необходимости переходом от вещественного к
комплексному. Фундаментальную форму возьмем в виде суммы
квадратов:
Мы имели бы линейное представление группы всех линейных
подстановок, которое нам дало бы, в частности, линейное
представление группы
(а*-рГ) = 1. (17)
Это линейное представление было бы многозначным, так как
при эвклидовом вращении
где вещественный угол в изменяется непрерывно от 0 до 2п,
спниор преобравовмвался бы линейной подстановкой, которая
переходит непрерывно из тождественной подстановки ?=<; в
подстановку $' = — £. Мы имели бы многозначно* лццейн/н

218 ГЛАВА»
представление группы (17), что невозможно, как мы видели
в п. 85.
Ничего не меняя в доказательстве, можно было бы взять
вместо группы (17) унитарную унимодулярную группу с
переменными хи хъ, относительно которой мы доказали при помощи
топологических соображений (п. 85) невозможность
существования многозначных линейных представлений.
Мы приходим, таким образом, к следующей основной теореме:
Теорема. Если спинор имеет тот геометрический смысл,
который мы ему дали, то невозможно ввести спинорные поля
в классическую технику исследования в римановой геометрии;
то есть при произвольном выборе системы координат х'
пространства невозможно определить спинор при помощи
конечного числа N составляющих иа таким образом, чтобы я,
допускали ковариантные производные вида
ч. "
где kit являются определенными функциями от xh
!) Ясно, что эта теорема может служить для уяснения точки ере-
нив L. 1 п f е 1 d'a и v а п derWaerden'a (см. предыдущее
примечание), не оправданной, однако, геометрически и физически.-

БИБЛИОГРАФИЯ
Среди мемуаров, специально посвященных теории спиноров в
собственном смысле слова, стметии:
В г a u e r R., W е у 1 Н., Splnors in п dimensions (Am. J. of. Math.,
57, 1935, стр. 425—449).
Wallage Givens J. Tensor coordinates of linear spaces
(Annals of Math., 38, 1937, стр. 355-385).
Veblen 0. Spinors and projectlve Geometry (Comptes Rendue
Congres Oslo, 1936, 1, 1937, стр. 111-127).
Из осповных монографий, посвященных связи между теорией ли-
иейпых представлений групп, теорией спиноров и квантовой механикой,
отметим:
W е у 1 Н., Gruppentheorle und Quantenmechanlk. 2. Auflage
(Leipzig, Hirzel, 1931).
W i g n с г E., Gruppentheorle und Ihre Anwendung auf die Qnan-
tenmechanik der Atomspektren (Vieweg, 1931).
Van der Wacrden B. L., Die grupoentheoretlsche Method e in der
Quantenmechanik (Berlin, Springer, 1932). (Ван дер Вардеп, Метод
теории групп в квантовой механике, ОНТИ, Харьков, 1938).
Bauer E., Introduction a la thiorle des groupes et a ses
applications a la Physique quantique (Paris, 1933). (Э. Бауэр, Введение
в теорию групп и ее приложения в квантовой физике, ОНТИ,
Москва—Ленинград, 1937)1).
Кроме мемуаров, цитированных в тексте и относящихся к проблеме
уравнений Дирака в общей теории относительности, укажем специально:
Schouten J. A. Dlrac equantions in general relativity (Journal
of. Maht. and. Phye., 10, 1931, стр. 239—283).
!) Си. также: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. Ill,
ОНТИ, Моема—Ленинград, 1933.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютное дифференцирование
вектора н спинора 212
Алгебраическая характеристика
простых спиноров 141
полуспиноров 160
Аналитическое представление
группы комплексных
вращений 89
Антиинволюция 149
Бивектор 35
Вектор 11
—временнбй 12
— изотропный 11
— пространственный 11
Вращение 17
— бесконечно-малое 35
— несобственное 28
—простое 57
— собственное 28
Гармонический полином 82, 199
Гиперплоскость 12
Декартов репер 12
ортогональный 12
Инвариантность временнбй
ориентации 28
Инерция квадратичной формы 14
Кватерниоп 68
Коварнантные составляющие
вектора 16
Контраварнантные составляющие
вектора 16
Критерий неприводимости 45, 51
Линейное представление группы
вращений 37
точное 39
Линейные представления D p D£ ,
2 '
78, 80, 200
Матрица 5/
— дпагонал: я 53
— обратная оЗ
— ортогональная 56
— соответствующая вектору 66,122
— мультивектору 67, 124, 163
— транспонированная 52
— унитарная 54
— эрмитова 58
— С 72, 131
-/ 152
— Л 52
-К 164
2
Матрицы подобные 53
Мера мультивектора 31
Мультивектор "30
— дополнительный 32
— изотропный 32
— простой 34
Неоднозначность представления 87
Непрерывность группы вращения24
Неприводимость мультивектора 60
— спинора 129
Область вещественности 149
Объем гиперпараллелепипеда 29
Отражение 17
■—собственное 28

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
221
Паратактическая конгруэнция 177
Полу-»-вектор 61
Полуспинор 158
Полуспиноры первого и второго
рода 159
— сопряженные 182
Порядок линейного
представления 38
Принцип тройственности 175
Произведение матрицы на число 52
— спиноров 72
— тензоров 41
Производящие полиномы
представлений D+ , D~
L 2 7Э
Производящие полиномы предста-
влений D* £, D-p D
\2 • 2 / \2 • 2 j \2 ' 2)
106. 201
Пространство псевдоэвклндово 11
— эвклидово 11
Симметрия 19
— временная 20
— пространственная 20
Скалярное произведение
ров 12
Сложение тензоров 41
Собственные значения матрицы 53
Составляющие вектора 11
коварнантные 16
кс лтравариантные 16
Составной индекс 121
Спинор втпого рода 76
— пространства Еа^+1 119
— простой 138
— 3-мерного пространства 64

вектоСпинорные поля в рниаповой
геометрии 214
Спиноры сопряженные 75,148,153,
181
Сумма матриц 52
— мультивекторов 34
Тензор вполне приводимый 44
— неприводимый 44
— приводимый 44
— эвклидов 39
Тензоры D
'р_ 78
2
[Е. ЕЛ' (Е- £.У (£.
\2 ' 21 \2 ' 2 > V2 '
200
— %р 137
Теорема Бернсайда 49
— инерции 14
Уравнения Дирака 85,194,212
— структуры 90
Формула Брноски 178
Фундаментальная полярность 133
— квадратичная форма 11
— трилинейная форма 173
Характеристическое уравнепие ма-
тряцы 53
Числа Клнффорда-Липшитца 127
Эквивалентпость линейпых
представлений 38

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу 5
Предисловие автора 7
ЧАСТЬ I
Спиноры трехмерного пространства.
Линейные представлении группы вращении
Г а 1 ■ 1 I. ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ
И ОТРАЖЕНИЯ.
I. Пространство Эвклида (1—6) 11
II. Вращения и отражения (7—13) 17
Ш. Мультивекторы (14—18) 29
IV. Дивекторы н бесконечно малые вращения (19).... 35
'!*«•■• И. ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
I. Определение тензоров (20—24) L' . . . . 37
II. Тензорная алгебра (25—28) 41
III. Тензоры, приводимые н неприводимые (29—36Д. ... 44
IV. Матрицы (37—47) 51
V. Неприводимость />-векторов (48—51) 60
Г в ■ ■ « III. СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
I. Понятие спинора (52—54) 64
II. Матрицы, соответствующие векторам (55—57) 66
III. Представление симметрии и вращений (58—60).... 69
IV. Произведение двух спиноров и его разложение на
неприводимые части (61—62) 72
V. Случаи вещественного эвклидова пространства (63—65) 74
VI. Случаи псевдоэвклидова пространства (66) 77
Гни IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
I. ЛнпеЙные представления, выражаемые при помощи
спиноров (67—71) . • 78
II. Бесконечно малые вращепна и определение эвклидовых
тензоров (72—81) 86
III. Линейные представления группы коыплекспых вращений
(82-84) 102
IV. Однозначность и двузначность (85—86) 106
V. ЛипеРчые представления группы вращений и отражения
(87-91) . Г Г . . . V 110

ОГЛАВЛЕНИЕ 23S
ЧАСТЬ II
Спиноры пространства л > 3 измерений.
Спиноры в римановой Геометрии
Глену. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Въ +1
О1. Изотропные v-плоскости и матрицы, соответствующие
векторам (92—95) 119
II. Представление вращений и отражений при помощи
матриц порядка 2-> (96—100) 125
III. Фундаментальная полярность в пространстве спиноров,
р-векторы, определяемые парой спиноров (101—105). . 131
IV. Простые спиноры и интерпретация их как
поляризованных изотропных у-векторов (106-111) 138
V. Случай вещественного эвклидова пространства
(112-115) 147
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств (116—119). . . 152
Г я 1 в 1VI. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА С2»
I. Изотропные v-плоскостн и полуспиноры (120—124). . 158
И. Матрицы, соответствующие /7-векторам. Представление
вращений н отражений (125—130) 163
III. Разложение произведения двух спиноров (131—136). . 167
IV. Частные случаи: v = 3 и v = 4 (137-141) 172
V. Случай вещестиенпого эвклидова пространства
(142-145) 180
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств (146—147)... 181
Г я « в ■ VII. СПИНОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИ-
ТЕЛЬНОСТИ. УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
I. Группа вращений в эвклидовом пространстве четырех
измерений (148—152) 183
II. Разложение произведения двух спнпоров (153—154). . 189
III. Сопряженные векторы и спиноры в пространстве
частного припципа относительности (155—156) .:.... 192
IV. Уравнения Дирака (157-159) 194
Г * I ■ 1 VIII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
I. Линейные представлении группы вращений Лоренца
(160-161) . 198
II. Представления группы вращепий и отражепий Лоренца
(162-165) 200
III. Лппейиые представления группы вращений веществен-
пого эвклидова пространства £„ (166—171) 205
Г л а ■ 1 IX. СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
I. Спннориые поля в эвклидовой геометрии (172—175). . 209
П. Спипорпые пола в рниаповой геометрии (176—177). . 214
Бвб^ография 219
Предметный указатель .'. 220