/
Текст
/ГГ’
о
и-07
ЭНТЛ
Мето««
системного
р
■•%%%%*♦%!
окружающей
среды
ИЗДАТЕЛЬСТВО МИР
Techniques
of Environmental
Systems Analysis
R. H. Pantell
Electrical Engineering Department
Stanford University
Stanford, California
A Wiiey-lnterscience Publication
Joiin Wiley & Sons
New Yoil< / London / Sydney / Toionto
p. пэнтл
Метрды
системного анализа
окружающей
среды
Перевод с английского
под редакцией чл.-корр. АН СССР Н. Н. Моисеева
1ГГБ СГТУ
SK248235
Издательство „Мир"
Москва
УДК 577.4
Предлагаемая книга является введением в быстроразвиплющуюся об¬
ласть изучеиия воздействия человека на окружающую среду. Автор зна¬
комит читателя с методологией системного анализа, используя большое
количество примеров конкретных природных, экономических и социальных
систем. Благодаря широкому кругу рассматриваемых проблем создается
довольно полное представление о возможностях системного анализа, спо¬
собах исследования проблем с различным сочетанием исходных данных
и обоснованного выбора решения. Наглядность изложения делает книгу
доступной для широкого круга читателей, интересующихся системным ана¬
лизом применительно к окружающей среде.
Редакция литературы по новой технике
1502000000 Copyright © 1976 by J. Wiley and Sons, Inc.
1603000000 All rights reserved. Authorized translation from
О.ААП .-TO English language edition published by John
^ 21002-173 Wiley and Sons, Inc,
041 (01)-79 © Перевод на русский язык, «Мир», 1979
предисловие редактора перевода
Системный анализ представляет собой синтетическую дис¬
циплину, разрабатывающую способы исследования разнооб¬
разных сложных систем или ситуаций при нечетко постав¬
ленных целях (критериях). Такие исследования необходимы
для определения научно обоснованной программы действий
с учетом не только объективной, но и субъективной информа¬
ции. При системном подходе используются математический
аппарат теории исследования операций и методы неформаль¬
ного анализа, такие, как метод экспертиз, метод опроса, эв¬
ристические методы. Все шире используется машинная
имитация.
Существенной частью исследования систем является вы¬
бор способа описания происходящих в них изменений и фор¬
мализация такого описания (даже в случае субъективной
информации). Сложность формализации определяется соче¬
танием разнотипных факторов, характеризующих систему, на¬
пример, сочетанием экологических, экономических и других
факторов.
Разработка методов исследования системного анализа как
научной дисциплины ведется по различным направлениям.
Одним из важнейших среди них является создание принципов
построения и использования моделей, имитирующих проте¬
кание реальных процессов, способов их объединения в си¬
стемы и такого представления системы моделей в ЭВМ, ко¬
торое обеспечивало бы простоту ее использования. Другое
направление связано с изучением организационных структур
и прежде всего систем, обладающих иерархической орга¬
низацией.
Несмотря на значительное число опубликованных работ
по системному анализу, до сих пор отсутствуют практические
руководства по этой дисциплине. Если учесть, что в настоя¬
щее время не только собственно экология, но и водное хозяй
ство, крупные народнохозяйственные и технические проекты,
организация сложного физического эксперимента и многое
другое являются предметом исследований с применением
системного анализа, то становится очевидным, что любые
в Предисловие редактора персподп
работы, в которых содержатся изложенио мстодои системного
анализа и практически полезные рекомендации п этой обла¬
сти, несомненно представляют интерес для исследователя
систем.
Книга профессора Станфордского университета Р. Пэнт-
ла — это введение в системный анализ. Она предназначена
для читателя, который не является специалистом в области
математики или исследования операций и впервые сталки¬
вается с задачами анализа конфликтных ситуаций и слож¬
ных систем.
Книга состоит из четырех глав. В гл. 1 излагаются основы
системного анализа. Автор методически последовательно рас¬
крывает возможности системного подхода, основная задача
которого состоит в том, чтобы помочь исследователю разра¬
ботать единый критерий оценки приемлемого варианта ре¬
шения на основе анализа многих в принципе несоизмеримых
факторов (показателей), характеризующих систему, и свя¬
занных с ними различных вариантов решения.
Глава 2 служит превосходным введением в практику мо¬
делирования на основе законов сохранения (что, вообще го¬
воря, является основным принципом построения любых мо¬
делей в естествознании) н анализа конкретных систем. По¬
скольку для рассматриваемых в работе систем исследуются
материальные потоки, тс законы сохранения выражаются
в уравнениях неразрывности или балансовых соотношениях.
Демонстрируя справедливость законов сохранения для си¬
стем самой разнообразной природы, автор тем самым пока¬
зывает не только возможность единообразного подхода к по¬
строению моделей, но и возможность единого математиче¬
ского описания различных по своей природе явлений.
Следует отметить, что законы сохранения часто не дают
полного описания процесса, поэтому помимо законов сохра¬
нения существуют и другие принципы отбора реальных со¬
стояний, которые необходимо учитывать при построении мо¬
дели. Так, например, в экосистемах законы сохранения имеют
форму трофических связей: перенос энергии и вещества со¬
вершается с помощью механизма «кто кого ест». Но для пол¬
ного описания динамики экосистемы необходимы еще функ¬
ции поведения; какой вид и при каких обстоятельствах пред¬
почитает то или иное меню. Функции поведения определяют
рбратные связи. Они не выводимы из законов сохранения.
Это новые принципы отбора.
В гл. 3 обсуждается одна из важнейших проблем совре¬
менности— оценка ущерба, наносимого окружающей среде
деятельностью людей, и оценка степени эффективности воз¬
можных способов уменьшения этого ущерба. При всей акту¬
Предисловие редактора перевода
альности указанной проблемы до сих пор нет единого подхода
к ее решению, так что проблема в целом почти не раз¬
работана.
Автор книги обсуждает проблему оценки действий людей
с позиций, занимаемых многими учеными капиталистических
стран, которые полагают, что оценка любых действий может
быть сделана на основе затрат п выгод. Видимо, понпмая
уязвимость такой концепции, автор допускает возможность
замены анализа стандартной схемы затраты — выгоды си¬
стемой таких ограничений, как допустимые уровни загрязне¬
ния, шума и т. п. Однако он тут же отмечает, что подобный
подход ничего не изменяет по существу, а лишь приводит
к уменьшению количества возможных вариантов решения.
Несмотря на высказанные замечания, выполненный автором
анализ безусловно представляет интерес для советского
читателя.
В гл. 4 подробно обсуждается процесс принятия решения
в условиях многокритериальности, т. е. когда результат вы¬
бора оценивается несколькими показателями. В этой главе
рассматриваются также способы учета и результаты исполь¬
зования субъективной информации, обрабатываемой методом,
который может быть назван методом «интуитивных вероят¬
ностей». Этот метод широко используется специалистами
западных стран и безусловно полезен в решении многих при¬
кладных задач. Однако следует иметь в виду, что метод «ин¬
туитивных вероятностей» лишь формально и только в неко¬
торых отношениях напоминает хорошо разработанные методы
теории вероятностей.
Поскольку в примерах, приводимых автором, речь идет
о единичных актах принятия решений, то метод интуитивных
вероятностей следует рассматривать в качестве специального
варианта метода экспертных оценок как наглядное и удобное
представление информации эксперта об изучаемой ситуации.
Каждая глава завершается большим количеством задач
и обширной библиографией, что резко повышает учебное зна¬
чение книги.
Нам представляется, что книга профессора Пэнтла будет
хорошим дополнением к тем книгам по системному анализу
и исследованию операций, которые уже были изданы на рус¬
ском языке.
Перевод книги выполнен канд. техн. наук Е. Л. Левченко.
И. Моисеев
11редисловие
Повышенный интерес к управлению системами окружаю¬
щей среды') обусловлен пониманием серьезных последствий
нарушения ее качества, которое вызывается, например, за¬
грязнением воздуха или перенаселением городов, а также
последствии истощения природных богатств. Системный ана¬
лиз как метод разработки рациональных программ управле¬
ния средой до настоящего времени был малоэффективен.
Причинами этого, по-видимому, являются;
— неумение некоторых исследователей представлять ин¬
формацию в форме, понятной для лица, принимающего
решение;
— переоценивание возможностей системного анализа;
— неадекватность данных;
— неопределенность и трудности установления причинно-
следственных взаимосвязей между переменными, описываю¬
щими состояние среды;
— довольно распространенное мнение о невозможности
использования аналитических методов исследования при ре¬
шении проблем окружающей среды;
— неспособность некоторых исследователей выразить
цели планирования таким образом, чтобы можно было оце¬
нить прогресс в решении поставленных задач.
Тем не менее системный подход имеет несомненные пре¬
имущества по сравнению с традиционными методами. Так, он
дает возможность найти упорядоченную систему правил для
выбора верного решения, лучше понять взаимосвязь между
переменными, описывающими состояние среды, и тем самым
создать предпосылки для правильного учета этих взаимосвя¬
зей при изучении проблемы. Кроме того, системный анализ
позволяет существенно улучшить планирование при решении
проблем окружающей среды. Необходимо, однако, отметить,
что такой подход нельзя считать универсальным для реше¬
ния всех проблем в этой области.
*) Термин «системы окружающей среды», используемый в настоящей
книге, включает не только физические факторы, но также экономические и
социальные.
11редИсловие 9
Хотя В предлагаемой читателю книге освещаются раз¬
личные аспекты системного анализа, тем не менее представ¬
ленный в ней материал следует рассматривать не как закон¬
ченное изложение системного подхода, а как призыв к даль¬
нейшей работе, к поиску способов устранения имеющихся
в настоящее время недостатков метода и тем самым к повы¬
шению его полезности и эффективности.
В гл. 1 даются общая характеристика и краткое описание
системного анализа. Единственного «наилучшего» метода ис¬
следования сложной проблемы окружающей среды не суще¬
ствует, но определенные характерные черты подхода к такому
исследованию могут быть выделены. На этапе постановка
задачи необходимо, как правило, перейти от достаточно об¬
щей формулировки задачи к осмысливанию имеющихся дан¬
ных и возможностей, к познанию того, чем можно управлять,
а чем нельзя, к качественному представлению о компонентах
системы и их взаимосвязи. На этапе моделирования и ана¬
лиза необходимо от качественного описания системы перейти
к количественному. И наконец, на этапе оценки возможных
вариантов решения должна быть дана оценка возможных
вариантов решения по степени их предпочтительности.
В гл. 2 проводится аналитическое исследование систем
с использованием уравнений неразрывности, с помощью ко¬
торых изменение показателя, характеризующего состояние
системы, определяется через скорость изменения входных пе¬
ременных системы (денежные средства, загрязняющее веще¬
ство, биомасса или группа особей одного вида). Исследуются
различные проблемы, такие, как рождаемость и смертность,
миграция различных групп, загрязнение воды, проблема
«хищник — жертва», загрязнение воздуха и урбанизация.
В гл. 3 рассматриваются экономические аспекты управле¬
ния окружающей средой. Так как финансирование, как пра¬
вило, является критической компонентой систем, описываю¬
щих окружающую среду, то этому вопросу уделяется особое
внимание. Изложенный материал включает обсуждение во¬
проса о затратах и выгоде, подчеркивается несостоятельность
концепции «laissez-faire»*) в области предложение — спрос
применительно к проблеме загрязнения среды и истощению
природных ресурсов, а также сравнение возможных методов
управления окружающей средой с точки зрения затрат,
') Концепция «laissez-faire» («не мешайте делать») была декларирована
в конце прошлого века представителями неоклассической школы буржуазной
экономики. Смысл этой концепции состоит в том, что любая регламентация
в экономике вредна, а единственный механизм регулирования в этой об¬
ласти обеспечивает рынок. — Прим. ред.
10 предисловие
необходимых для достижения конкретного уровня рабочих
характеристик системы.
В гл. 4 обсуждаются различные проблемы принятия реше¬
ния, среди которых — процессы принятия решения в случае
системы лишь с одним показателем при наличии риска или
при наличии неопределенности, а также методы исследования
систем при двух или более разнотипных показателях.
Я хотел бы выразить признательность д-ру М. Кашеву,
который любезно согласился прочитать первые редакции
рукописи и написать приложение А, г-же Ж. Динки за ее не¬
оценимую помошь в подготовке рукописи, а также поблагода¬
рить г-на Р. А. Фишера (F. R. S.), д-ра Ф. Ятеса (F. R. S.)
и лондонское издательство «Лонгман групп» за разрешение
перепечатать таблицу случайных чисел из книги Statistical
Tables for Biological, Agricultural and Medical Research
(6th ed., 1974).
Ст'»ифорд, Калифорния
Оч'^'ябрь, 1976 г.
Глава I
Системный подход
в связи со второй мировой войной возникли такие проб¬
лемы, для решения которых потребовалось развитие методов
исследования сложных систем, определявшихся экономиче¬
скими, техническими, политическими и социальными факто¬
рами. Блестящий анализ многих методов исследования таких
систем и трудностей, которые при этом встречаются, дан
в работе [7]. Подобные методы применялись также для ре¬
шения проблем управления в промышленности. В этой обла¬
сти использованные методы базировались на основных раз¬
делах теории исследования операций, таких как системный
анализ, теория решений, затраты — выгода, стоимость — эф¬
фективность и ряд других. Для читателя, возможно, предста¬
вят интерес некоторые определения и различия в терминах
исследование операций [1], системный анализ [2, 3], теория
решений [4—6] и анализ по критерию стоимость — эффек¬
тивность [7].
Характерные черты системного анализа
Методы системного анализа представляют собой способы
выбора одного варианта решения. По сравнению с ранее ис¬
пользовавшимися методами они обладают большой точностью
и, по-видимому, являются более обоснованными. Системный
подход к решению проблем включает следуюшне этапы:
— отыскание возможных вариантов решения;
— определение последствий использования каждого из
возможных вариантов решения;
— применение объективных утверждений или критериев,
которые указывают, является ли одно решение более пред¬
почтительным, чем другие.
При этом не предполагается, что используемые способы
выбора решения являются единственными или что они не
имеют неопределенностей. Наоборот, поскольку планирова¬
ние производится на перспективу, то всегда имеется по край¬
ней мере минимальная неопределенность в оценке условий,
которые будут преобладать в будущем.
Волее развернутое определение системного анализа
дают Квейд и Бучер: «Системный подход помогает лицу,
12 Глава 1
принимающему решение, выбрать последовательность действий
путем общего изучения стоящей перед ним проблемы, опреде¬
ления цели, нахождения вариантов решения и сравнения
последних под углом зрения соответствующих им результа¬
тов, причем для квалифицированного суждения об исследуе¬
мой проблеме по возможности используются аналитические
зависимости». Трудно точно охарактеризовать деятельность,
которая охватывает столь разностороннюю задачу, и, по-ви¬
димому, не следует тратить на это силы.
Перечислим некоторые положения, которые желательно
учитывать при системном анализе:
— процесс принятия решения должен осуществляться та¬
ким образом, чтобы используемые способы выбора решения
можно было оценить, улучшить или заменить на другие;
— критерии оценки, используемые в процессе принятия
решения, должны быть четко сформулированы;
— усилия, затраченные на нахождение связей между при¬
чиной и следствием, могут быть в дальнейшем оправданы
лучшим пониманием изучаемой проблемы.
Может быть поставлен вопрос, являются ли способы вы¬
бора решения, описанные в этой главе, более совершенными
по сравнению с другими возможными способами. По-види¬
мому, наиболее полезным было бы использование системного
анализа как вспомогательного средства, которое не заменяет
суждения лица, принимающего решение. Это лицо может
иметь опыт, позволяющий ему постигать общую стратегию
исследования, которую трудно выразить каким-либо формаль¬
ным образом. Например, можно построить вычислительные
машины, которые будут блестящими шашистами и хорошими,
но не первоклассными шахматистами, довольно слабо играю¬
щими на соревнованиях. Чем сложнее стратегия игры, тем
труднее ее моделировать. Возможности вычислительных ма¬
шин, конечно, растут быстрее, чем возможности человеческой
памяти, и не исключено, что они сравняются. Однако даже
в настоящее время важную роль при исследовании систем иг¬
рает представление информации лицу, принимающему реше¬
ние, вместе с описанием эффектов, получаемых при измене¬
нии параметров системы, при изменении системы оценок или
при замене одного варианта решения на другой.
Применение анализа к системам окружающей
среды и общества
В последние годы методы системного анализа стали ис¬
пользоваться для решения таких проблем окружающей
среды и общества, как загрязнение окружающей среды
Системный подход 13
[8, 9], трапспортные потоки [10], планирование использова¬
ния земли [11], образование [ 12], медицинское обслуживание
[13, 14] и криминалистика [15].
Распространение этих методов на новые области исследо¬
вания вызвало критику [16], которая отчасти справедлива,
так как большинство моделей систем создавалось на базе
необоснованных допущений о структуре связей между эле¬
ментами системы, а также о реакции людей на воздействие
внешних условий или их изменений.
Тот факт, что исследования систем, относящихся к окру¬
жающей среде, и социальных систем очень мало повлияли на
окружающий нас мир, по крайней мере частично является
результатом несовершенства использованных моделей и про¬
веденного анализа, а также следствием неумения исследова¬
телей передавать свою информацию в наглядной форме или
понимать социальные, политические и экономические влияния
на лицо, принимающее решение. Однако это не означает, что
методы системного анализа должны быть отвергнуты, а ско¬
рее, наоборот, это значит, что их следует совершенствовать.
1.1. Некоторые замечания о трудностях,
связанных с исследованием сложных систем
Сведение различных факторов
к одному параметру
Может быть, и не совсем привычно начинать обсуждение
с замечания, касающегося защиты системного анализа, од¬
нако предубеждение против его использования для решения
проблем окружающей среды и общества настолько велико,
что отрицательная реакция на возможности системного под¬
хода почти гарантирована. Одной из причин беспокойства
может быть тот факт, что для обеспечения возможности вы¬
бора одного варианта решения из многих исследователь пы¬
тается свести много несопоставимых факторов к одному. Как,
например, проблему, включающую в себя эстетику, условия
обитания, стоимость и жилищное строительство, свести к оп¬
ределению одного параметра, с помощью которого можно
проводить сравнение возможных решений? На первый взгляд
это кажется ненужной, если не неосуществимой, работой, од¬
нако на самом деле эта работа является неизбежной.
Описание системы с помощью многих переменных, задан¬
ных качественно или имеющих различные единицы измере¬
ния, является векторным. Информация по данной проблеме
14 Глава I
не может быть представлена как результат единственного
измерения. Каждая компонента вектора будет меняться при
замене одного возможного варианта другим, и каждая воз¬
можность может быть описана своим вектором. Однако ис¬
пользуемый при выборе решения термин наиболее желатель¬
ное решение заключает в себе только один-единственный
фактор — желательность, и, следовательно, в этом случае ис¬
пользуется скалярное описание. Это значит, что необходимо
совершить операцию, преобразующую вектор в скаляр. В на¬
стоящее время эта операция, как правило, четко не формули¬
руется, но одной из задач системного анализа как раз и яв¬
ляется четкое определение этой операции, с тем чтобы можно
было исследовать ее разумность и состоятельность.
Численное представление переменных
Следующее замечание касается попытки представить все
переменные при системном подходе в численном виде, в то
время как это не всегда возможно. Подобная трудность может
иметь место и в случае переменных, которые легко предста¬
вить в численном виде, например, таких, как время и стои¬
мость, которые несоизмеримы.
Нельзя сказать, что численная оценка переменных яв¬
ляется крайне необходимым требованием системного анализа.
Это важная проблема, которая не имеет простого решения.
Исследователь систем может просто обойти рассмотрение тех
переменных, которые трудно представить в численном виде,
например эстетики, и сосредоточить свое внимание только на
переменных, измеряемых в некотором удобном масштабе. Те
аспекты проблемы, которые не рассмотрены при анализе, мо¬
гут быть переданы лицу, принимающему решение, для одно¬
временного рассмотрения с другими данными. Это лицо,
может, например, оценивать эстетические аспекты в соответ¬
ствии со своим вкусом или с тем, как он понимает вкусы
общества. С другой стороны, исследователь может включить
эстетические аспекты в свой анализ путем использования из¬
меримых характеристик эстетики (например, площади откры¬
того пространства, которую необходимо оставить незанятой)
или использования классификации предпочтительности и кри¬
териев оценки, разработанных лицом, принимающим решение,
или какой-либо другой заинтересованной группой лиц для
изучения возможных изменений во внешнем виде окружаю¬
щей среды. Очевидно, что не существует единственного наи¬
лучшего способа, позволяющего учесть те факторы, которые
трудно поддаются численной оценке.
Системный подход
Неопределенность исходных данных
и решений
Еще одна трудность, возникающая при исследовании си¬
стем окружающей среды и общества, связана со степенью не¬
определенности исходных данных и принимаемых решений.
Что может дать любая формальная процедура планирования,
если имеются неопределенности относительно будущего, если
данные либо полностью отсутствуют, либо четко не опреде¬
лены п, наконец, если структура самой системы не имеет
однозначного представления? Несомненно, что существование
разного рода неопределенностей осложняет процесс планиро¬
вания, однако снова возникает вопрос: стоит ли отказываться
от системного планирования, если имеются неопределен¬
ности? Скорее всего нет. В таких случаях следует попы¬
таться найти разумные способы учета неопределенностей,
такие как исследование возможных основных параметров
в области неопределенности, или, может быть, выбор вариан¬
тов решения, имеющих наилучшие характеристики, когда не¬
определенные переменные принимают наихудшие значения.
Этим не исчерпывается перечень трудностей при систем¬
ном анализе; желающие глубже изучить этот вопрос могут
найти достаточно обширные сведения в работе [16 .
1.2. Методология системного анализа
в процессе роста понимания нужд планирования модели
управления получили развитие в различных областях дея¬
тельности или интересов людей. В этом разделе рассматри¬
ваются способы планирования, разработанные для некоторых
различных по характеру проблем, и на основе такого иссле¬
дования предлагается общий подход к проблеме пла¬
нирования.
Некоторые подходы к исследованию
На рис. 1.1 показана схема управления для разработки
программы образования [7]. Стрелки обозначают поток инфор¬
мации, а прямоугольники — операции. Если начало процесса
управления соответствует верхней части схемы, то первые
три операции по часовой стрелке — основные принципы,
цели и задачи — характеризуют формулировку целей про¬
граммы. Содержание каждой операции может быть конкре¬
тизировано, если основные принципы записать в виде перечня
идей общего характера, а задачи выразить как перечень
18
Глава 1
факторов, которые могут быть подтверждены или измерены.
Следующие три операции — требования, условия и разра¬
ботка программы — относятся к процессу планирования.
В процессе операции требования определяется разрыв между
существующим состоянием дел и желаемой ситуацией. Опе¬
рация условия представляет собой описание взаимосвязи
Операция I
Операция в
Рассмотрение
основных
Операция 3
Операция 6
Оценка условий
реализации
программы
Рис. 1.1. Схема управления для разработки программы образования.
между переменными, которыми лицо, составляющее план,
может управлять и которыми необходимо управлять. Опера¬
ция разработка программы заключается в рассмотрении ва¬
риантов, которые могли бы быть использованы для решения
поставленных задач, и в определении необходимых ресурсов.
Последние две операции —это передача программы лицу,
принимающему решение, и оценка эффективности выбран¬
ного порядка действий. Целью операций обратной связи
и управления, указанных в центре схемы, являются под¬
тверждение логического соответствия каждой последующей
Системный подход 17
операции планирования с предыдущими и выдача указаний
на внесение изменений в случае обнаружения несоот¬
ветствий.
Проиллюстрируем использование приведенной схемы.
Предположим, что наши основные принципы заключаются
в следующей формулировке: все дети нашего района должны
иметь одинаковые возможности для получения образования.
Цель работы состоит в том, чтобы каждый ребенок получал
одинаковые с другими сведения по изучаемым дисциплинам.
Задачи заключаются в обеспечении всех детей штата при¬
мерно одинаковым количеством пособий. Требования опре¬
деляются в результате просмотра перечня учебных пособий,
при этом может оказаться, что школы в одних районах имеют
большое количество пособий, а в других не имеют их совсем.
Условия выравнивания возможностей обучения могут быть вы¬
ражены в терминах «место» (район) и «финансовые потреб¬
ности». Возможные способы удовлетворения потребностей
изучаются при выполнении операции разработка программы.
Рассматриваются две возможности; создание центра обучения,
который позволит ученикам нескольких школ пользоваться
пособиями центра по обучению, пли обеспечение недостаю¬
щими учебными пособиями тех школ, которые в них нуж¬
даются. Выявляются преимущества того или иного варианта,
выражаемые в затратах, образовательном и общественном
эффекте, и принимается один из вариантов. Затем программа
осуществляется и оценивается ее результат, т. е. опреде¬
ляется, получили ли дети примерно одинаковое количество
учебных пособий по соответствующим дисциплинам.
Аналогичная схема разработки программы (рис. 1.2) была
составлена профессором А. Л. Дельбергом в университете
города Висконсин для решения проблем медицинского обслу¬
живания. Операция 1 приблизительно эквивалентна первым
трем операциям схемы на рис. 1.1: основные принципы, цели,
задачи. Операция 2 соответствует следующим двум опера¬
циям на рис. 1.1. Операция 3, окончательное определение
программы, не была явно включена в схему на рис. 1.1. Если
оказалось, что потребности превышают ограниченные воз¬
можности, то необходимо классифицировать их по важности
для данной проблемы. Операция 4 приблизительно эквива¬
лентна операциям разработка программы и передача про-
граммы, а операция 5 соответствует операции оценка про¬
граммы. Хотя на рис. 1.2 не приведен существующий на схеме
рис. 1.1 механизм обратная связь — управление, однако ма¬
ловероятно, чтобы операции, указанные на рис. 1.2, могли
быть разумным образом реализованы без проверки правиль*
ности выводов, сделанных ранее,
18
Глава 1
Схема управления для разработки программы роста го¬
родов (рис. 1.3) содержит в основном те же операции, что
и схема на рис. 1.1, за исключением того, что в данной схеме
процесс заканчивается рекомендуемой программой, а осу¬
ществление и оценка программы отсутствуют. Входными дан¬
ными для системы являются информация о потребностях
и возможностях в области жилищного строительства, а также
Операция 1
Рнс. 1.2. Схема управления для разработки программы медицинского
обслуживания.
программы, позволяющие решить эту проблему. В качестве
дополнительных данных в систему вводятся переменные, ко¬
торые описывают предпочтение людей к определенным местам
жительства и условиям жизни. Выбор мест для перспектив¬
ного жилищного строительства производится по приведенной
модели с использованием указанных входных данных и ги¬
потетических экономических принципов, связывающих рас¬
пределение мест жилищного строительства с возможностями
и потребностями в этой области. Задачи общественной или
планирующей комиссий обычно сводятся к формулированию
вариантов программы и оценке выходных данных при рас¬
смотрении каждого варианта. На основании этих оценок мо¬
гут быть произведены модификации вариантов рещения, если
Системный подход
19
III' оказалось подходящих, а затем цикл повторяется снова.
Выходным результатом операции оценка вариантов является
рекомендуемая программа.
Сравнение схем на рис. 1.3 и 1.1 показывает, что основные
(шерации планирования одни и те же независимо от специ-
(||цки рассматриваемой проблемы или конкретной формы са¬
мих схем разработки программы. Операция формулирование
Рис. 1.3. Схема управления для разработки программы обновления го¬
родов.
целей программы на рис. 1.3 соответствует операциям 1—3
{основные принципы, цели и задачи) на рис. 1.1. Входные
данные системы (см. рис. 1.3), представляемые операциями
определение требований и площадей, прогнозирование роста
населения, выбор переменных, характеризующих поведение
одного лица или группы лиц, рассматривались бы в про¬
цессе выполнения операции 4 {требования) схемы рис. 1.1.
Операция, связывающая входные и выходные переменные,
приблизительно эквивалентна операции оценка условий на
рис. 1.1. Операции рассмотрение вариантов программы
и оценка вариантов, показанные на рис. 1.3, соответствуют
операции разработка программы на рис. 1.1.
20
I'.’idBa I
В качестве последнего примера рассмотрим методику ана¬
лиза возможных местных транспортных систем, иллюстри¬
руемую схемой на рис. 1.4 [10]. Начальная операция — опи¬
сание условий (среды), в которой будет функционировать
рассматриваемая транспортная сеть, с учетом возможных тех¬
нологических и социальных изменений, а также различных
Рис. 1.4. Схема планирования транспортной сети.
вариантов распределения населения в будущем, т. е. в интер¬
вале времени, охватываемом планированием. (В данном кон¬
кретном случае плановый период относится к 1970—2000 гг.).
Здесь же производится определение основных транспортных
сетей и служб. Следующая операция состоит в рассмотрении
основных видов транспорта (автомобили, автобусы, желез¬
ные дороги и воздушный транспорт, т. е. сеть, которая будет
развиваться с 1970 до 2000 г. без изменения системы),
а также различных ожидаемых усовершенствований.
Целью исследований является определение влияния каж¬
дой возможной транспортной сети на тех, кто будет ею поль¬
Системиьш подход
21
Постановка
задачи
Моделирование
и анализ
зоваться, и на остальную часть общества. Здесь рассматри¬
ваются такие аспекты, как надежность системы, удовлетво¬
рение нужд в пассажирских и грузовых перевозках, умень¬
шение числа заторов и понилсение ущерба, наносимого
природной среде. Затем формируется информация об эф¬
фекте, получаемом при реализации каждого возможного
решения.
Для выбора лучшего варианта решения требуется срав¬
нение целей групп лиц, связанных с транспортной сетью, и эф¬
фектов, получаемых в результате использования того или
иного варианта. Следовательно, исходные
данные для оценки вариантов должны
содержать информацию об их эффектив¬
ности и формулировки целей того или
иного решения. Выходная информация,
которая содержит описание последствий
использования различных решений, пред¬
ставляется лицу, планирующему транс¬
портную сеть. Анализ чувствительности
заключается в исследовании влияния из¬
менения значений переменных, для кото¬
рых имеет место существенная неопре¬
деленность (например, распределение на¬
селения, прогресс в технологии и требо¬
вания к транспортной сети). По-видимо-
му, предпочтительным был бы вариант,
дающий удовлетворительные результаты
в широком диапазоне значений переменных, по сравнению
с вариантом, дающим превосходные результаты в узком
диапазоне изменения параметров.
Из приведенных примеров видно, что не существует еди¬
ного способа организации процесса планирования, однако
следует заметить, что все перечисленные подходы имеют об¬
щие элементы. На рис. 1.5 показана схема, которая включает
осе операции, представленные на рис. 1.1 —1.4. Этап поста¬
новка задачи предусматривает определение целей предприни¬
маемой работы, рассмотрение возможностей и потребностей,
а также перечисление возможных решений. Этап моделиро¬
вание и амалыз связывает входные данные изучаемой системы,
такие как предсказанная численность населения, рост эконо¬
мики или развитие транспортной сети, с выходными данными,
такими как влияние на природу и общество. Стратегия дей¬
ствий, соответствующая каждому из возможных вариантов,
оценивается путем сравнения выходных данных моделирова¬
ния с целями планирования на этапе оценка возможных ва¬
риантов решения.
Рис.
этапы
Оценка
возттых
вариантов
решения
.5. Основные
планирования.
22 Глава I
В следующем разделе этой главы мы рассмотрим некото¬
рые методы планирования систем окружающей среды и об¬
щества, а также укажем на ряд трудностей, с которыми
приходится встречаться при такой работе. Мы не будем оста¬
навливаться на операциях осуществление программы и оцен¬
ка программы, включенных в схемы рис. 1.1 и 1.2, и сосредо¬
точим внимание на этапах постановка задачи, моделирование
и оценка, включенных в схемы рис. 1.3 и 1,4,
1.3. Постановка задачи
Исследование часто начинается при нечеткой формули¬
ровке целей работы. Для их уточнения на этапе постановка
задачи необходимо определить критичные компоненты си¬
стемы и попытаться качественно описать взаимодействия
между этими компонентами. В табл. 1.1 перечислены опера¬
ции, выполняемые обычно на этом этапе работы, однако по¬
следовательность их выполнения не обязательно должна со¬
ответствовать последовательности, указанной в таблице.
Если, например, изучаемая проблема в основном относится
к области техники, то, вероятно, целесообразно сначала оп¬
ределить входные и выходные переменные системы, в то
время как рассмотрение сугубо социальной проблемы можно
было бы начать в последовательности, указанной в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Операции, выполняемые на этапе постановка задачи
1. Деление общества на группы лиц по общности их интересов
2. Формулирование целей разрабатываемой программы и выбор
критериев оценки ожидаемых результатов
3. Определение состояния дел и необходимости дополнитель¬
ной информации
4. Определение входных, выходных и управляющих переменных
системы
5. Перечислевше возможных вариантов решения
6. Формирование лредставлений о структуре проблемы и о мо¬
дели системы
7. Оценка будущих условий, включающая предсказания отно¬
сительно переменных и изменений в технике
Группы лиц, имеющих общие интересы
Первой операцией на этапе постановка задачи является
деление общества на группы, состоящие из лиц с общими
интересами. Например, при изучении проблемы транспортной
III ^11
S
»S
О
X
s
s
s
03
OQ
О
n
a
X
Cu
Б
O.
a
Я
X
V
X
Ш
Ю
о
0>
s
2
>>
Cu
a
24 Глава 1
сети могут быть выделены следующие группы (рис. 1.6): по¬
требители, владельцы, прочие члены общества и работники
исполнительных органов (описываемый в настоящей главе
пример транспортной проблемы основан на материале ра¬
боты [10]). Каждая из этих групп может быть в свою оче¬
редь подразделена следующим образом; потребители — на
пассажиров и лиц, заинтересованных в перевозке грузов; вла¬
дельцы— на управляемых и неуправляемых поставщиков
и представителей государственной службы транспорта; про¬
чие общественные группы — на подгруппы по доходам, а ра¬
ботники исполнительных органов — на подгруппы по выпол¬
няемым функциям (планирование, финансирование, регули¬
рование и т. п.). Как показано на рис. 1.6, возможно дальней¬
шее подразделение, например, пассажиры могут совершать
деловые, неделовые или сезонные поездки.
Простого правила для определения степени необходимого
подразделения каждой группы не суп^ествует. Членов группы
объединяют общность интересов и схожесть поведения, а сте¬
пень близости интересов или схожесть поведения неочевидны,
так как не существует двух совершенно одинаковых индиви¬
дуумов. Целью подразделения групп является учет неодно¬
родности интересов или свойств внутри группы и тем самым
повышение точности анализа. Однахо пропорционально уве¬
личению числа групп или подгрупп растет сложность проб¬
лемы. Обычно глубина разбиения групп определяется клас¬
сификацией, производимой па основе тех факторов, которые
могут влиять на выходные переменные. Например, если по¬
требность должна удовлетворяться транспортной сетью,
а пространственные и временные потребности пассажиров из¬
меняются в зависимости от делового или развлекательного
характера их поездок, то классификацию пассажиров целе¬
сообразно проводить в соответствии с тем, являются ли их
поездки развлекательными или деловыми.
Цели разрабатываемой программы
и критерии оценки ожидаемых
результатов
В соответствии с п. 2 табл. 1.1 исследователь системы дол¬
жен определить цели программы. В общем случае каждая
группа лиц может иметь цели, отличные от целей других
групп. Например, в связи с транспортной проблемой можно
перечислить следующие разные цели для пассажиров
и общества.
Системный подход 25
Цели пассажиров Цели общества
1. Минимизация времени 1. Минимизация вредного влияния на здоровье
поездок человека (паирнмер, загрязнение окружаю-
2. Минимизация стоимо- щей среды, количество несчастных случаев)
сти поездок 2. Минимизация неудобств, связанных с су-
3. Минимизация тревог, ществованием полос отчуждения (например,
связанных с обеспече- перемещение владельцев частной собствен-
нием безопасности и пости, преграды)
надежности поездок 3. Максимизация экономической выгоды (на-
4. Максимизация удобств пример, обеспечение работой, распределение
при использовании заказов в промышленности)
транспорта н комфорта 4. Улучнюние планировки и архитектуры цент-
во время поездок ральных районов города (например, умень¬
шение скученности людей в центре города)
5, Удовлетворение социальных требований (на¬
пример, обеспечение роста свободного време¬
ни и доступа в учебные заведения)
6. Минимизация дальнейшего сокращения ре¬
сурсов (например, сведение изменений в эко¬
логической системе до минимума и более эф¬
фективное использование энергии)
Не следует считать, что интересы лиц, входящих в разные
группы, обязательно не совпадают. Пассажир является чле¬
ном общества, и, следовательно, он, как одно лицо, может
иметь цели, общие для двух групп.
Формулирование целей программы создает возможность
выбора связанных с ними критериев, с помощью которых
можно количественно сопоставлять относительные преимуще¬
ства вариантов решения. Это достигается путем последова¬
тельного дробления цели до тех пор, пока не будут получены
показатели (частные цели, подцели), которые могут быть
оценены либо размерной величиной (например, затратами
денежных средств), либо с помощью коэффициента значи¬
мости (например, от О до 1 для эстетики автомобиля). На
рис. 1.7 приведено разбиение целей пассажира, связанных со
временем поездки и комфортом, на частные цели (показа¬
тели) [10].
Подобное разбиение на показатели может быть сделано
и применительно к другим целям. При замене одного ва¬
рианта решения на другой количественная оценка показа¬
телей меняется, и именно на основе таких оценок могут быть
определены конкретные выгоды, потери и суммарный эффект
в результате реализации каждого возможного варианта. Фор¬
мулировки целей и связанные с ними показатели не являются
неизменными, так как более глубокое понимание проблемы,
приобретаемое на более поздних этапах планирования, часто
заставляет исследователя модифицировать исходные цели
и задачи.
§1.
-
E
■ йоппшти
— wmoidis
_ (ошпнзтди mos!
пшоатвшодоо и зпнзтоншо
l-ппЬтшз
■пш!1оиот6ш пдпд
— wdouoHodi
-зпноятИиздо
-чпноАоэйшо
-nhinu 1мэЫи
^онпц
че
§ ё
а: п
II
1§|
S9
|р эпнзШпо-
[I-DIYOI/Jiarf—
■90
_пшооншои
анизЬо
г— lISTS,
iir
шоонжоив
^niRwnddunsi /о
5 oagm хпгМд зашзаЫр i ипнащзби
1» огонтзшвтшзи тоотизштио^оёц
_тзп ximogoxo о\гопн
п пшоошиои шзЬо
_w33wmHh0Q0am опт
п пшэонезш вш'по
S
Z
О)
о,
А
3
X
3
I
cf
а*
<■> л
li
* я
tr
s
3
со
о,
1
2
со
s
^зоня1/тпжиодо(1и
П ЧШООН9ПОНЭШИИ
Onfiodpng niuooHmiumi/ogodu
- nnbDdonff ^ duiotuoDh ‘dgfiiuni/vi/iD ои ni/n
^ nMH9t}0 хоЬпиг^ х1тпшизгр/1од
^ - пшо^ —
зпнэдощ -
s
-- ВхоЬпипдэд Я
со
б хоЬттцз д S
= 1-
I
а
Системный подход 27
Цели лиц, относящихся к различным группам, могут про¬
тиворечить друг другу, и, кроме того, возможно противоре¬
чие целей у лиц в пределах одной группы. Например, дей¬
ствия, направленные на удовлетворение требований пасса¬
жира к транспортной системе, могут вызвать нежелательные
экологические последствия. Конфликт может быть разрешен
различными способами. При одном подходе исследователь
системы может менять относительную значимость или весо¬
вой множитель различных целей и находить предпочтитель¬
ный вариант решения для каждого набора множителей.
В этом случае заинтересованным группам сообщается, какой
план является более предпочтительным для любого заданного
распределения приоритета среди целей, а окончательный вы¬
бор решения оставляется на усмотрение ответственных лиц.
Другой подход заключается в создании функции социаль¬
ного благосостояния, основанной на учете предпочтения ин¬
дивидуумов или отдельных групп путем классификации ва¬
риантов по предпочтительности или приписывания весовых
множителей целям общества как единого целого. Значитель¬
ное число ученых пыталось построить функцию социального
благосостояния, однако недостаточное соответствие реально¬
сти имеет место во всех предложениях [17]. Правило боль¬
шинства часто является основой для улаживания конфликтов
в Соединенных Штатах, и этот метод имеет преимущество
в том, что он всегда приводит к принятию решения в преде¬
лах одной группы и дает одинаковые полномочия каждому
индивидууму. В некоторых случаях, вероятно, было бы же¬
лательно ввести весовой множитель для голоса каждого
лица с учетом того, в какой мере принятое решение влияет на
индивидуумы. Например, проблема размещения индейской
резервации в Соединенных Штатах касается большинства
в очень слабой мере, но является очень важной для меньшин¬
ства. Поэтому такое различие следовало бы учитывать.
Состояние дел и необходимая информация
В третьем пункте табл. 1.1 указывается па необходимость
выяснения существуюш,его состояния дел, связанного с изу¬
чаемой системой. В случае изучения транспортной проблемы
выяснению подлежат: существующие условия и оборудование,
имеющие отношение к планируемым работам; данные, кото¬
рые могут быть использованы для оценки последствий раз¬
личных действии; предшествующие предложения или теку¬
щие планы решения проблемы; существующая транспортная
сеть; существующие планы расширения городских перевозок;
прогнозы распределения населения к 2000 г. (если они суще¬
28 Глава I
ствуют); имеющиеся публикации; наличие местных экспер¬
тов. Может оказаться, что имеется большой пробел в необхо¬
димой информации, и тогда определяется область, в которой
требуется проведение дополнительных исследований.
Переменные, характеризующие систему
и управление системой
Четвертый пункт табл. 1.1 относится к определению вход¬
ных, выходных и управляющих переменных. Входные пере¬
менные—это такие факторы, которые оказывают влияние на
систему. Предполагается, что некоторые из этих переменных,
называемые экзогенными или независимыми, не изменяются
при функционировании системы. Для транспортной сети та¬
кими переменными могут быть расстояния между городами,
прирост населения, технологические факторы и климатиче¬
ские условия. Выходные переменные, которые называются
также зависимыми, эндогенными или переменными состоя¬
ниями, описывают рабочие свойства системы. Выходными пе¬
ременными, представляющими интерес для пассажира, яв¬
ляются время, расходы, удобства, комфорт и желание ездить.
Эти переменные определяются целями и интересами лиц, вхо¬
дящих в группы, и характеризуются количественно соответ¬
ствующими показателями (см. рис. 1.7). Данная переменная
может быть экзогенной или эндогенной в зависимости от ре¬
шаемой проблемы. В некоторых случаях прирост населения
может быть нечувствителен к изменениям, происходящим
в рассматриваемой области, и, следовательно, он будет экзо¬
генной переменной. С другой стороны, если рассматривается
влияние каких-то факторов на прирост населения, то послед¬
ний становится эндогенной переменной.
Значения, приобретаемые выходными переменными, опре¬
деляются значениями входных переменных и особенностями
системы или сети, которая вводится разрабатываемой про¬
граммой. При проектировании системы исследователь или со¬
ставитель плана может управлять определенными факторами,
и поэтому они называются управляющими или решающими
переменными. В проблеме транспортной сети решающими пе¬
ременными могут быть линии связи между городами, комби¬
нация различных видов транспорта (самолеты, автобусы,
поезда, автомобили), возможности (мощности) каждого вида
транспорта и сроки введения новых линий связи или видов
транспорта. Основное назначение анализа заключается в по¬
лучении наиболее желательных значений решающих пере¬
менных.
Системный подход 29
Возможные варианты решения
Каждый набор решающих переменных соответствует оп¬
ределенному варианту порядка действий (п. 5 табл. 1.1). Если
1П1 один из предложенных вначале вариантов не дает удовле¬
творительных результатов, то необходимо дополнительно рас-
гмотреть другие возможности. Варианты, рассмотренные при
анализе транспортной сети, были следующими:
1. Постепенный рост имеюнщхся служб (основной ва¬
риант) .
2. Дополнительное введение маршрутного транспорта на
иоздушной подушке на сильно загруженных линиях и само¬
летов с небольшой длиной пробега при взлете и посадке на
малозагруженных линиях при дополнительных затратах на
чти цели в сумме 5 млрд. долл.
3. Введение электрических пассажирских автомобилей
и автобусов, которые должны двигаться по улицам городов
с установленными в них скоростями и с повышенными скоро¬
стями между городами, при дополнительных затратах
в сумме 5 млрд. долл.
Для каждого варианта решения должны быть определены
шачения выходных переменных (т. е. числа, приписываемые
показателям, которые подобны приведенным на рис. 1.7).
Интересный пример, иллюстрирующий подход к выбору
варианта решения, следует из эксперимента по доставке со¬
общения из одного города в другой, проведенный в одной из
1)алканских стран в середине 60-х годов. Был заказан теле¬
фонный разговор, посыльные выехали на автомобиле и на
велосипеде, были отправлены письма, телеграммы и выпу-
И1СНЫ четыре почтовых голубя. Первыми доставили сообще¬
ние два почтовых голубя, но другие два так и не прилетели.
Описанный эксперимент показывает, что если может
быть разработана только одна система, то целесообразно
сначала провести оптимизацию каждого варианта решения
проблемы по отношению к его собственным решающим пере¬
менным. Например, велосипедиста следует посылать на ко¬
роткие расстояния, для поездки на автомобиле лучше выби¬
рать опытного водителя, голубей нужно выбирать сильных
и т. д. Тогда варианты можно будет классифицировать в со¬
ответствии с заданными требованиями к системе. Если таким
требованием является скорость доставки сообщения, то вы¬
бор почтового голубя будет наилучшим, но если требованием
будет надежность доставки, то лучшим будет выбор велоси¬
педиста. В общем виде требования можно было бы выразить
п виде комбинации скорости и рабочих характеристик, припи¬
сав каждой переменной некоторый весовой множитель.
30 Глава 1
Структурное разбиение и моделирование
системы
Часто бывает полезно провести качественное рассмотре¬
ние структурного разбиения и моделирование системы (п. 6
табл. 1.1). Структурное разбиение заключается в подразде¬
лении общей проблемы на более мелкие частные проблемы,
а моделирование системы — в попытке определить взаимо¬
действие между частными проблемами. Целесообразность ис¬
следования структурного разбиения и моделирования системы
обусловлена следующими причинами:
— обычно легче изучать частные проблемы, чем рещать
сразу проблему в целом;
— если проблема разделена на составные части, облег¬
чается поручение работы отдельным исполнителям;
— могут быть определены качественные взаимосвязи типа
«кто влияет на что»;
— если проведено моделирование системы, то, как пра¬
вило, легче определить, какую дополнительную информацию
необходимо иметь для более полного понимания системы;
— число переменных, относящихся к системе в целом,
может превысить объем памяти ЭВМ, или обработка сведений
о таких переменных может оказаться дорогостоящей.
Структурное разбиение и моделирование не являются од¬
нозначными и неизменными, так как существует много путей
выполнения соответствующих операций, и исключительно
маловероятно, что сформулированное конкретное представ¬
ление о системе будет оставаться неизменным в течение всего
анализа. Действительно, в процессе исследования обычно
происходит совершенствование модели от довольно грубой
до более детальной.
Один из методов структурного разбиения проблемы за¬
ключается в рассмотрении проблемы в рамках отдельных ин¬
тервалов времени с принятием решений и оценками их для
каждого интервала. Имеется несколько причин, по которым
рассмотрение проблемы во временных интервалах целесооб¬
разно. Одна из причин состоит в том, что если относительное
изменение переменных в рассматриваемом интервале вре¬
мени мало, то их можно считать постоянными. Другая при¬
чина может быть связана с тем, что в системе происходят
дискретные изменения переменных в определенные моменты
времени. Например, если финансирование проекта меняется
каждые три года, то, вероятно, было бы целесообразно вести
рассмотрение применительно к трехлетним интервалам вре¬
мени. И наконец, рассмотрение проблемы во временных ин¬
тервалах может позволить составителю плана принимать ре-
Системный подход 31
тения не сразу, а поэтапно, так как при этом число перемен¬
ных на любом интервале времени будет меньше, чем при
рассмотрении проблемы в целом.
Структурное разбиение проблемы может осуществляться
также на основе научных дисциплин. Такой подход к созда¬
нию структуры удобен тем, что позволяет легче осуществлять
распределение работ между различными исполнителями и ру¬
ководителями. Однако если в процессе планирования жела¬
телен учет тесной взаимосвязи между различными частными
проблемами, то разбиение основной проблемы в соответствии
с научными дисциплинами может оказаться неподходящим,
так как при таком подходе ослабляется контакт между пред¬
ставителями различных дисциплин.
Представление о структуре проблемы может быть создано
в соответствии с общими интересами лиц, отнесенных к одной
группе. Например, исследование транспортной проблемы мо¬
жет быть проведено с точки зрения интересов потребителей,
иладельцев, общества и членов исполнительных органов.
Еще один метод структурного разбиения проблемы осно¬
ван на ее рассмотрении применительно к различным геогра¬
фическим областям. Такое рассмотрение удобно в тех слу¬
чаях, когда введение изменений в одну область не вызывает
значительных изменений в других областях.
Различные частные проблемы могут быть подвергнуты
дальнейшему разбиению. Например, разработки, проводимые
па первом временном интервале, могут быть разбиты на геог¬
рафической основе. Чем глубже структурное разбиение про¬
блемы в целом, тем меньшее количество решений необходимо
принять но каждому элементу структуры (единице разбие¬
ния) и, следовательно, проще проводить анализ. Однако каж¬
дый элемент структуры по-разному взаимодействует с осталь¬
ными элементами, так что поведение системы в целом не бу¬
дет определяться суммой решений, соответствующих всем эле¬
ментам, рассмотренным по отдельности. Чем больше число
подсистем, на которые разбита система, тем сложнее опреде¬
лить работу всей системы по работе подсистем. Обычно по¬
лезно расчленять проблему таким образом, чтобы взаимодей¬
ствие между ее структурными элементами было относительно
малым или определимым. Если сложность взаимодействия ме¬
жду элементами при дальнейшем разбиении заметно повы¬
шается, то оно целесообразно. В каждом конкретном случае
необходим компромисс между малостью структурных элемен¬
тов, облегчающей их анализ, и трудностью синтеза целого по
его частям.
Одной из целей разбиения является определение границ
проблемы. Исследование может быть ограничено определенной
32
Глава
географической областью, конкретным периодом времени,
набором групп лиц с общими иитересами и числом входных и
выходных переменных. Предположим, что удалось определить
границы, в пределах которых проблема не теряет значимости.
Тогда независимо от того, как проходят эти границы, возни¬
кает вопрос: почему то-то и то-то включено в рассмотрение?')
При установлении границ проблемы необходимо искать комп¬
ромисс между возможностью ее эффективного решения и уче¬
том количества критичных факторов.
Рис. 1.8. Модель транспортной сети.
Разбиение может также проводиться на базе источников
и потоков объектов. В качестве объектов могут рассматри¬
ваться деньги, материалы, люди, вещества, загрязняющие воз¬
дух, и прочее. На рис. 2.9 приводится пример разбиения, ос¬
нованного на учете источников и потоков материалов.
Разбиение может также проводиться с учетом порядка
проводимых операций и потоков информации. Пример такого
разбиения показан на рис. 1.8 применительно к исследованию
транспортной сети. В этом примере население является экзо¬
генной переменной, предъявляющей требования к транспорт¬
ной системе. Наряду с информацией об этих требованиях в
звено «проектирование сети» подается информация о каждом
возможном варианте комбинации видов транспорта. Требова¬
*) А то-то и то-то исключено из рассмотрения. — Прим. ред.
Системный подход 33
ния исполнительных органов и владельцев транспорта накла¬
дывают ограничения на транспортную сеть. Когда она спроек¬
тирована, можно определить воздействие системы на потре¬
бителей и общество. На рис. 1.8 показано, как транспортная
система влияет па распределение населения. Цепь обратной
связи, показанная штриховой линией, должна учитываться,
если, например, рассматривается перераспределение населе¬
ния при введении системы городских перевозок.
Прогнозирование условий функционирования
системы в будущем
Операция, указанная в последнем пункте табл. 1.1, озна¬
чает, что исследователь должен сделать оценки условий, при
которых система будет функционировать в будущем. Эти
оценки должны включать прогнозы прироста населения и
улучшения экономики, возможный прогресс в технологии, из¬
менение социальных условий. Очевидно, что в этих прогнозах
будет неопределенность, и один из методов работы с неопре¬
деленными данными заключается в анализе проблемы при
различных значениях неопределенных входных переменных.
Например, при исследовании транспортной проблемы Северо-
восточных штатов рассматривались два варианта распределе¬
ния населения в 2000 г. Один вариант основан на экстрапо¬
ляции существующих тенденций на будущее, а другой соот¬
ветствует распределению населения в случае проведения
политики, направленной на стимулирование роста западной
части региона. При проектировании и анализе транспортной
системы оба эти варианта были рассмотрены совместно с
возможными комбинациями видов транспорта.
Не все операции, перечисленные в табл. 1.1, должны осу¬
ществляться при решении каждой проблемы, и порядок вы¬
полнения работ, как уже было сказано, не является един¬
ственным. Указанные различия в подходе к решению разных
проблем не столь существенны. Существенно, однако, то, что
каждый анализ содержит этап постановка задачи, который
начинается с достаточно общих формулировок целей, а закан¬
чивается определением критичных переменных и качествен¬
ным определением взаимосвязей между переменными. Поста¬
новка задачи обычно повторяется в течение всего процесса ис¬
следования. После получения информации с последних этапов
исследования может быть вновь произведено определение це¬
лей разрабатываемой программы, изменение структурного
разбиения или рассмотрение дополнительных вариантов ре¬
шения.
34 Глава 1
1.4. Моделирование и анализ
Если на этапе постановка задачи получают качественное
описание проблемы, то на этапе моделирование качественное
представление переходит в количественное. На этом этапе воз¬
никают функциональные зависимости между переменными, и
для каждого варианта решения и набора входных данных оп¬
ределяются выходные данные системы. Существуют разные
формы представления этих зависимостей, такие как уравне¬
ния, графики или таблицы с численными значениями перемен¬
ных. Одной из основных целей моделирования является оказа¬
ние помощи исследователю системы и лицу, принимающему
решение, в получении более ясного представления о взаимо¬
связях между различными элементами системы.
Анализ начинается со сбора информации, которая может
быть использована для определения зависимостей между пе¬
ременными. По возможности эти зависимости следует прове¬
рять на точность, и, кроме того, необходимо выявить характер
влияния любой неопределенности в параметрах на конечный
результат. Эти операции перечислены в табл. 1.2 и в следую¬
щих разделах данной главы проводится рассмотрение различ¬
ных аспектов моделирования в последовательности, указан¬
ной в таблице. Первой операцией моделирования является
сбор информации, которую можно использовать для нахож¬
дения количественных связей между переменными. Информа¬
ция может быть получена из литературных источников, на ос¬
новании мнений экспертов или по результатам экспериментов,
проводимых самим исследователем системы или по его за¬
казу.
Таблица 1.2
Операции, выполняемые на этапе моделирование
1. Сбор информации для установления количественных вза¬
имосвязей между переменными
2. Конкретизация количественных взаимосвязей между пере¬
менными
3. Проверка установленных взаимосвязей между перемен¬
ными
4. Оценка допущений и выявление неопределенностей
Использование имеющихся статистических данных
Исследователь испытывает ряд трудностей, связанных с
использованием имеющихся данных [18]. Одна из трудностей
обусловлена тем, что имеющиеся данные, как правило, соби¬
рались не в связи с той проблемой, которой занимается ис¬
Системный подход 35
следователь, и [юэтому для пего эти данные могут оказаться
непригодными. Предположим, например, что необходимо ус¬
тановить зависимость способности к правописанию у детей на¬
чальной школы от их веса. Такая формулировка проблемы не
будет полной, так как способность к правописанию меняется
также с возрастом, экономическим положением, уровнем об¬
разования родителей и т. д. Для определения способности де¬
тей к правописанию в зависимости от их веса необходимо
знать, оставались ли другие факторы неизменными, или они
менялись. Если статистик собирает сведения в школьном дво¬
ре у детей от первого до шестого класса, то он установит
корреляцию между весом ребенка и его способностью к пра¬
вописанию, так как и способность к правописанию, и вес повы¬
шаются с возрастом. Поэтому предположение о том, что улуч¬
шение калорийности ежедневного рациона ребенка повысит
его способрюсти к правописанию, по-видимому, неверно. Дан¬
ные были получены без учета изменения возраста детей, в то
время как по условиям проводимого эксперимента возраст
должен быть одним и тем же. Это не значит, что собраны не¬
верные данные, они просто применимы к тем обстоятельствам,
при которых они получены. Так, например, если бы кому-
либо завязали глаза и предложили среди школьников вы¬
брать представителя для участия в конкурсе на лучшее пра¬
вописание, то, учитывая, что единственной информацией, ко¬
торую можно получить, является вес ребенка, для конкурса
следовало бы выбрать ребенка, имеющего наибольший вес.
Рассмотренный пример может быть выражен аналитиче¬
ски. Предположим, что способность к правописанию 5 (изме¬
ряемая посредством экзамена) является функцией возраста
ребенка а и что его вес ш, возраст и количество потребляемой
им пищи f также функционально связаны между собой. Пер¬
вая зависимость, которая может быть найдена эксперимен¬
тально, определяется выражением между переменными S и w
при меняющемся а и фиксированном /, т. е.
^ N __ rfS (За Ч
\ dw Jf da \ dw Jf’
где индекс / указывает, что потребление пищи ребенком не
меняется. Анализ этого уравнения показывает, что способ¬
ность к правописанию меняется с весом из-за зависимости
возраста от веса. Вторая зависимость, также устанавливае¬
мая экспериментально для случая, когда возраст детей один
и тот же, а потребление пищи разное, выражается соотноше¬
нием
(Л.) =0
dw )а da V dw )а
36 Глава 1
Так как возраст не меняется в зависимости от веса детей, то
их способность к правописанию не будет изменяться с весом
при фиксированном возрасте и равном потреблении пищи.
Другая трудность, связанная с использованием имеющих¬
ся данных, обусловлена различием способов их получения, что
является важным фактором при любом сборе информации.
Например, есть основания считать, что сообщаемое в печати
повышение тяжести преступлений по крайней мере частично
является следствием новых методов сообщений о преступле¬
ниях и их описаний. При сравнении статистических данных,
полученных в разное время, или в разных местах, или различ¬
ными людьми, следует учитывать разницу в методах сбора
данных.
Третья трудность в использовании статистических данных
обусловлена степенью точности имеющейся информации. Каж¬
дый эксперимент вносит возмущение в среду, и поэтому не
исключены ошибочные заключения относительно состояния
среды в отсутствие эксперимента. Кроме того, метод измере¬
ния вносит неопределенность в получаемые данные, так как в
принципе невозможно включить в модель сразу все население
или измерить любую переменную с абсолютной точностью.
И наконец, промежуток времени между сбором данных и их
использованием вносит неопределенности из-за зависимости
переменных от времени.
Получение информации от экспертов
В некоторых случаях может оказаться, что получить функ¬
циональные зависимости между выходными и входными пере¬
менными невозможно из-за недостатка данных, и тогда при¬
ходится использовать мнение экспертов. Кроме того, эксперты
могут оказать исследователю следующую помощь:
— дать оценку имеющихся данных с точки зрения их на¬
дежности и применимости;
— уточ1шть варианты и управляющие переменные си¬
стемы;
— назвать показатели, которые могут быть использо¬
ваны для количественной характеристики общих инте¬
ресов и целей лиц, входящих в разные группы;
— указать относительную важность целей и показателей.
Например, к искусствоведу можно обратиться с просьбой на¬
звать показатели, пригодные для измерения уровня творче¬
ской активности современных художников. Может быть, он
предложит включить в анализ оценку тематического разнооб¬
разия и количества произведений художников. Кроме того, он
Системный подход 37
может предложить методы измерения разнообразия и коли¬
чества произведений и высказать свое мнение об относитель¬
ной важности этих двух переменных.
Для исследователя системы наиболее подходящим являет¬
ся эксперт, качествами которого являются: способность при¬
менения знаний для решения рассматриваемой проблемы,
умение предсказать события с разумной точностью, умение
довести необходимую информацию до лица, не являющегося
специалистом, относительная беспристрастность. О способно¬
стях эксперта судить трудно. Чтобы судить о них, необходимо
принять во внимание стаж работы эксперта по специалыюсти,
его публикации и академические звания. (Однажды мне при¬
шлось проверять компетенцию хирурга. Для этого я проана¬
лизировал его способность доводить информацию о проблеме
до меня, спросил мнение о его способностях у других врачей,
лично мне знакомых, выяснил, имел ли он жалобы на не¬
брежное лечение, и узнал даты выпуска наиболее свежих ме¬
дицинских журналов, которые я смог увидеть в его каби¬
нете.)
Оценки эксперта зависят от его пристрастности. Например,
человек, связанный с табачной компанией, будет склонен не
принимать во внимание мнение врачей о вреде курения. Ана¬
логично значимость мнения эксперта по транспорту снижается
до минимума, если его работодателя интересуют такие дей¬
ствия, которые могли бы привести' к созданию заторов тран¬
спорта. Это совсем не означает, что такие люди нечестны.
Дело в том, что на их априорное убеждение непроизвольно
оказывают воздействие обстоятельства, в которых эти люди
находятся. Под априорным убеждением подразумевается мне¬
ние личности или эксперта до получения каких-либо допол¬
нительных данных. Как правило, объективные данные можно
интерпретировать по-разному, и под влиянием своего априор¬
ного убеждения эксперт может придать большее значение тем
данным, которые больше соответствуют этому убеждению.
Если кто-то убежден, что у немцев отсутствует чувство юмора,
то при посещении Германии он будет более восприимчив к
людям со строгим выражением лица. Если же он считает, что
немцы легкомысленны, то он будет более восприимчив к улы¬
бающимся людям.
В том случае, когда между экспертами в од1Юй и той же
области имеются разногласия, для достижения еди?юго мне¬
ния можно воспользоваться так называемым методом Дельфи
[19, 20]. В соответствии с этим методом каждому эксперту
предлагается заполнить анкету, в которой он излагает свои
мнения по поставленным вопросам и обосновывает их. Затем
эта информация размножается в виде сборника мнений всех
38 Глава 1
экспертов 11 раздается им с просьбой пересмотреть свои пози¬
ции в свете новых данных. Можно надеяться, что такой обмен
мнениями при нескольких итерациях приведет к единому мне¬
нию (или к относительно малому расхождению мнений). При
метоле Дельфи нет необходимости в прямых контактах экс¬
пертов и обеспечивается анонимность их мнений, так что
опытный эксперт и эксперт-новичок не стеснены мешающим
делу влиянием субъективных факторов, связанных с окру¬
жением.
Эксперты и группы лиц с общими интересами, не состоя¬
щие из специалистов в исследуемой области, могут непосред¬
ственно взаимодействовать с моделью посредством операцион¬
ной игры’) [21]. При таком подходе эксперту предоставляет¬
ся информация о существующем положении дел и перечень
целей разрабатываемой программы. На основании этих дан¬
ных эксперт принимает решение, направленное на достиже¬
ние поставленных целей, и необходимые операции вводятся в
модель системы. Затем информация о любых изменениях в
существуюп1,ей ситуации, предсказанных моделью, передается
обратно эксперту, и он может изменить свои действия или
продолжить их так, как он сочтет нужным. Этот процесс про¬
должается до тех пор, пока участник операционной игры не
удовлетворится достижением целей, или не возникнет безвы¬
ходная ситуация, или не кончится установленное время игры.
В игре может принимать участие одновременно любое коли¬
чество экспертов и групп лиц. Проведение игр избавляет от
необходимости включения в общую модель предполагаемых
моделей поведения, так как реакция человека и его решения
вводятся в систему участниками игры. Кроме того, в процессе
игры ее участники приобретают интуицию для понимания по¬
следствий, которые могут быть вызваны теми или иными ре¬
шениями. Конечно, игра является приближением к реальной
системе, и, следовательно, возможны ошибки, например свя¬
занные с тем, что в процессе игры ее участники не подвер¬
жены такому же воздействию внешних факторов, как в реаль¬
ной жизни, понимают, что ошибки в игре обходятся не так
цорого, как в жизни, и действуют более рискованно, чем в
реальных условиях. Следует также иметь в виду, что модель
является идеализированным представлением системы и по¬
этому информация, которой располагают участники игры, мо¬
жет содержать неточности.
’) В литературе на русском языке операционные игры часто назы¬
ваются «деловыми» играми, что в меньшей степени отвечает существу
дела, чем термин, принятый в литературе на английском языке.— Ярил.
ред.
Системный подход 39
Получение информации путем постановки
специальных экспериментов
В дополнение к имеющимся данным и советам экспертов
можно получить информацию посредством прямых экспери¬
ментов, специальная постановка которых позволяет исследо¬
вателю получить именно те данные, которые необходимо
учесть при решении проблемы. Как уже отмечалось ранее, при
использовании данных, полученных другими исследователями,
не всегда точно известно, какие факторы изменялись в про¬
цессе эксперимента, в то время как при постановке специаль¬
ных экспериментов исследователь проблемы может контроли¬
ровать изменение всех факторов, подлежащих учету. Экспери¬
менты связаны с потерей времени и расходом средств, что
должно быть оправдано полезностью получаемых результатов.
Например, если окажется, что изменение данной переменной
в широком интервале значений не оказывает влияния на ре¬
шение, то нет необходимости ее определять с большой точ¬
ностью. И наоборот, иногда можно поставить достаточно
простой эксперимент, который позволяет точно определить
величину особенно критичной переменной или пара¬
метра.
Общепринятой формой проведения эксперимента, часто ис¬
пользуемой для получения оценочных суждений, является ан¬
кета. Однако анкетные данные могут вызвать у исследователя
следующие трудности:
— если анкета заполнена не полностью, то неясно какую
экстраполяцию можно сделать на незаполненную часть ан¬
кеты;
— фактические действия людей могут отличаться от дей¬
ствий, указанных в ответах на вопросы.
Вопросы, которые остались без ответа, могут не иметь ни¬
чего общего с вопросами, на которые получен ответ; тогда по
содержащимся в анкете ответам непосредственную экстрапо¬
ляцию данных для восполнения недостающих сведений прово¬
дить нельзя. Тот факт, что на одни вопросы получен ответ, а
на другие нет, может указывать на значительное различие
отношений человека, заполнявшего анкету, к этим вопро¬
сам.
Выявить возможное отличие между фактическими и ука¬
занными в ответах действиями людей пока не представляется
возможным. Кто-то, например, может написать в анкете, что
готов платить по 100 долл. за каждый предмет, но не сделает
этого, когда действительно нужно будет принять такое реше¬
ние. Возможно, материалы проведенных ранее опросов людей
по аналогичным темам в сравнении с последующими
40
Глава I
действиями этих же людей позволят установить корреляцию
между ответами на вопросы анкет и фактическими действиями
лиц, заполнявших анкеты.
Конкретизация количественных взаимосвязей
между входными и выходными переменными
После того как вся необходимая информация собрана,
можно составлять уравнения, таблицы или чертить графики,
выражающие зависимость между переменными (п. 2
табл. 1.2). Для этого можно воспользоваться регрессионным
анализом [22], при котором задается функциональная зави¬
симость между переменнымии, имеющая неопределенные
коэффициенты. Вычисление коэффициентов регрессии произ¬
водится путем минимизации интеграла вероятности ошибок,
получаемого по точечным данным и искомой функции. Кроме
того, можно записать уравнения неразрывности (уравнения
для скорости изменения переменных см. гл. 2). Эти уравнения
также содержат неопределенные коэффициенты, которые вы¬
числяются с использованием исходных данных.
Получить аналитическое описание взаимосвязей между
входными и выходными переменными не всегда представляет
ся возможным. Справедливость этого утверждения неоспо
рима, если выходные переменные представляют собой оценоч
ные суждения (с использованием коэффициентов значимости)
В этом случае желательной формой представления взаимо
связи между входными и выходными переменными, вероятно.
Таблица 1.3
Коэффициенты значимости для шума в транспортной сети
Элементы транспортной
сети
Уровень шума,
дБ
Расстояние
между
источником
шума и
людьми, м
Коэффициенты
значимости
Шоссейная дорога
Аэропорт
Транспорт на воздушной
подушке
68-73
>73
(непре^вный шум)
> 105
(шум с перерывами,
только во время
взлетов и посадок)
90-105
> 105
(шум с перерывами)
30-120
< 30
3200-6500
< 3200
35-180
<35
0,6
0,2
0,6
0,2
0,6
0.2
Системный подход 41
будет таблица, в которой одна колонка представляет описа
кие состояний системы, а в другой колонке приводятся коэф
фициенты значимости. Если, например, рассматривается про
блема шума в транспортной сети, включающей наземные ли
НИИ, самолеты с небольшой длиной пробега при взлете и
посадке и транспорт на воздушной подушке, то коэффициенты
значимости можно представить так, как показано в табл. 1.3
[10]. Шкала коэффициентов значимости содержит значения
от О до 1, где О характеризует наименее желательный уровень
шума, а 1 — наиболее желательный. Коэффициент значимости
является субъективной величиной и должен отражать мнение
лиц, объединенных общими интересами. После составления
таблицы коэффициенты значимости для шума необходимо
скомбинировать с коэффициентами значимости для других
факторов (стоимость, время поездки, удобства и т. д.), чтобы
получить полный коэффициент значимости для каждой воз¬
можной комбинации видов транспорта (разд. 1.5).
Проверка количественных взаимосвязей
между переменными
Установленные зависимости между входными и выход¬
ными данными должны быть по возможности проверены (п. 3
табл. 1.2). Такая проверка может быть сделана путем расчета
значений выходных переменных по входным данным системы,
для которой эти величины известны или могут быть измерены.
Существует много переменных и много систем, для которых
это сделать невозможно. Например, если описываются модели
поведения двух противников в какой-либо ситуации ядерной
войны, то для такого случая нельзя найти примера из прош¬
лого н невозмож1ю поставить эксперимент. Обычно физиче¬
ские параметры (шум, концентрация загрязняющего веще¬
ства, температура, количество пассажиров в день, потерянное
время и т. д.) лучше поддаются измерению, чем параметры,
характеризующие действия людей.
Как правило, чем более глобальна изучаемая проблема,
тем труднее осуществить проверку найденных взаимосвязей
между переменными, так как для количественного описания
такой системы используется большое число переменных, что
вызывает трудность их отдельного учета. Дополнительную
трудность для проверки установленных взаимосвязей пред¬
ставляют системы с большими постоянными времени (напри¬
мер, более или менее значительные последствия использования
новой транспортной сети могут быть отмечены лишь через
20 лет после ее введения).
42 Глава 1
Оценка допущений и уменьшение
неопределенностей
К какой бы области знаний ни относилась любая про¬
блема— к физике, экономике или социологии, — она не может
быть исследована без некоторых допущений (п. 4 табл. 1.2).
Например, хотя скорость кирпича, падающего с высоты, зави¬
сит от положения каждой звезды в космическом пространстве
и каждого человека на Земле, тем не менее обычно предпола¬
гается, что скорость падения кирпича может быть вычислена
без учета этих факторов. Часто допущения делаются с целью
уменьшения количества учитываемых переменных, для того
чтобы задача могла быть решена с помощью имеющихся
средств.
Не всегда очевидно, насколько пригодно то или иное до¬
пущение. Предположим, что сделагю допущение, согласно ко¬
торому некоторая входная переменная имеет постоянное зна¬
чение, в то время как в действительности она меняется и
может изменить общий результат на 20%. Если рассматривае¬
мая проблема состоит в том, чтобы получить более точную ве¬
личину скорости света в вакууме, то такое приближение не¬
пригодно, так как скорость света в настоящее время известна
с гораздо большей точностью. Если же решаемая проблема
заключается в определении числа людей, которые будут поль¬
зоваться транспортной сетью через 20 лет, то приближение,
вероятно, будет очень хорошим. Если допущение упрощает
задачу, а вносимая при этом ошибка незначительно превы¬
шает ошибку при учете других факторов, например точности
исходных данных, то такое допущение оказывается пригод¬
ным. Умение пользоваться допущениями является искусством,
которое развивается с опытом.
Важной характеристикой квалификации эксперта в какой-
либо области является его способность рекомендовать подхо¬
дящие допущения. Противоречивые результаты, полученные
разными исследователями, могут быть следствием различия
принятых допущений, и, чтобы понять причины расхождения
таких результатов, необходимо выяснить, какие предположе¬
ния были сделаны в процессе анализа.
С допущениями могут рассматриваться различные эле¬
менты исследуемых систем окружающей среды и обще¬
ства:
— подсистемы, в пределах которых предполагается одно¬
родное поведение системы (чем мельче подсистемы, тем выше
не только точность, по и сложность анализа);
— границы системы, которые принимаются в предположе¬
нии, что факторы, действующие за пределами границ, остают¬
Системный подход 43
ся неизменными при изменениях в самой системе или что
внешние факторы мало влияют на систему;
— взаимное влияние элементов системы, относительно ко¬
торого допущения могут отражать характер реакции одной
части системы на изменения в другой части;
— действия людей, которые рассматриваются с введением
предположения о характере реакции групп с общими интере¬
сами на изменения в системе.
Когда в системе имеют место неопределенности в каких-
либо данных, прогнозах изменения переменных па будущее,
взаимосвязях между элементами структуры и т. п., допущения
могут оказаться «наилучшими догадками» о свойствах такой
системы. В результате использования правильно принятого
допущения неопределенность может быть обработана, но си¬
стема оказывается к нему нечувствительной, если допущение
принято неправильно (например, в случае, когда неверна наи-
лучшая догадка о распределении населения в будущем).
Наряду с методом «наилучшей догадки» можно использо¬
вать другие методы уменьшения влияния неопределенностей
на результаты анализа поведения системы:
— если неопределенность касается будущего, то ее можно
уменьшить путем ожидания изменений в течение какого-то
промежутка времени;
— неопределенность можно снизить путем сбора дополни¬
тельных данных. Однако, прежде чем проводить сбор таких
данных, желательно провести анализ чувствительности выход¬
ных переменных к различным значениям неопределенных
входных переменных. Если окажется, что выходные перемен¬
ные относительно нечувствительны к изменениям задаваемых
входных переменных, то, по-видимому, нет необходимости в
получении более точных значений этих переменных;
— используя метод пессимистической и оптимистической
оценок, можно определить поведение системы в интервале
возможных значе1шй входных переменных. В этом случае мо¬
жет быть выбрано такое решение, которое относительно не¬
чувствительно к изменениям неопределенных переменных, и
совсем не обязательно, что решение совпадает с наиболее же¬
лательным вариантом реп1ения по методу «наилучшей до¬
гадки».
1.5. Оценка возможных вариантов решения
На этапе оценка возможных вариантов решения исследо¬
ватель пытается классифицировать возможные варианты ре¬
шения по степени их предпочтительности. В настоящее время
44 Глава 1
наиболее распространенный метод оценки вариантов основан
на интуитивных суждениях, зависящих от интеллектуальных
способностей лица, принимающего решение. Чаще всего ос¬
новное внимание уделяется тем переменным, которые наибо¬
лее легко представляются в численном виде, как, например,
стоимость в денежном выражении. Если лица, принимающие
рещение, избираются, то они обычно убеждены в том, что их
интуитивные действия соответствуют желаниям их избирате¬
лей. Такой подход к выбору решения имеет то преимущество,
что он обеспечивает быстрое получение недорогих ответов
почти по всем проблемам. Но в то же время подход, основан¬
ный на интуиции, имеет недостатки, заключающиеся в том,
что он не приводит к четким суждениям о значимости различ¬
ных аспектов системы, не отражает всего разнообразия ин¬
тересов членов общества и может быть чувствителен к давле¬
нию to стороны заинтересованных лиц. Одной из целей си¬
стемного планирования является повышение отношения ин¬
теллектуальных составляющих в процессе принятия решения
к интуитивным и внутренним.
Теперь проведем измерение, которое отличается от всех до
сих пор проводимых нами измерений. Достаточно просто ре¬
шить, что один объект длиннее другого, сопоставив их длину,
измеренную в метрах или в долях метра. Но как решить, что
более желательно купить на имеющиеся деньги — два яблока
и три апельсина, или одно яблоко, четыре апельсина и газету?
Ответ на этот вопрос зависит от вкусов покупателя, и опти¬
мальное решение для одного лица может оказаться неопти¬
мальным для другого. При системном планировании окру¬
жающей среды и общества необходимо рассматривать резуль¬
таты наших действий, которые не могут быть измерены в од¬
них и тех же единицах.
Человек делает выбор между яблоком и апельсином, как
правило, без глубокого самоанализа, так как замена яблока
на апельсин не оказывает заметного влияния на благополучие
человека. Однако, когда решается вопрос о перемене места
работы, собственном вкладе в общий капитал, женитьбе, вы¬
боре специальности в университете, этим проблемам человек
уделяет много времени и сознательно или неосознанно делает
сравнения разнотипных переменных, которые в случае их
представления в численном виде измерялись бы в разных еди¬
ницах. Системное планирование окружающей среды и обще¬
ства может охватывать миллионы людей, длительные периоды
времени и огромные расходы денежных средств. Поэтому спо¬
соб оценки решений проблем такого крупного масштаба сле¬
дует сделать более совершенным по сравнению с туманными
Системный подход 45
соображениями, которые часто используются для оценок ин¬
дивидуальных действий.
В разд. 1.3 постановка задачи были названы показатели,
с помощью которых можно устанавливать степень достижения
цели при том или ином варианте решения. Системный подход
к оценке решения состоит в определении подходящей меры
для показателей и последующем объединении численных зна¬
чений всех показателей таким образом, чтобы можно было
выбрать наиболее желательное направление действий. Обе
операции указаны в табл. 1.4, и могут быть выполнены либо
в основном качественно, либо в основном количественно.
Таблица 1.4
Операции, выполняемые на этапе оценка
возможных вариантов решения
1. Определение меры для каждого показателя системы
2. Объединение всех показателей в единое представление или
функцию, по которым можно выбрать наиболее желатель¬
ный вариант решения
Качественное и количественное измерение
показателей
Мерой каждого показателя (п. 1 табл. 1.4) может быть его
качественное описание*). Например, в случае системы, пред¬
ставляющей собой транспортную сеть (разд. 1.3), цель обще¬
ства заключается в минимизации таких пагубных воздействий
на человека, как загрязнение атмосферы и несчастные случаи.
Ниже приводится качественное описание этих воздействий для
двух вариантов развития транспорта — постепенного развития
существующей транспортной сети и организации системы, со¬
стоящей из двух новых видов транспорта. Для каждого пока¬
зателя этих систем [10] можно было бы привести формули¬
ровки, подобные приведенным в табл. 1.5.
Некоторые показатели имеют хорошо определенные еди¬
ницы измерения, и численное представление таких показате¬
лей можно получить путем их расчета по модели системы.
В табл. 1.6 представлены пределы изменения показателей
рассматриваемых систем и значения показателей для каждого
варианта решения (шкалы для шумов в децибелах и времени
ожидания при багажных операциях в минутах являются
*) Говоря о качественном описании, как о мере, автор имеет в виду
ту или иную упорядоченность признаков или показателей. — Прим. ред.
46
Глава 1
Таблица 1.5
Качественное описание воздействия транспорта на людей
при двух вариантах решения транспортной проблемы
Вид
воздействия
Постепенное развитие
шоссейных дорог
Система двух видов
транспорта
Загрязнение
воздуха
Несчастные
случаи
Непосредственное загрязне¬
ние воздуха:
— велико в непосредственной
близости к дороге;
— от умеренного до сильного
в городах;
— умеренное во всей обла¬
сти.
Большое число людей под¬
вержено влиянию шума и за¬
грязнения воздуха в городах
Загрязнение среды, не свя¬
занное с транспортом, велико
в окрестностях больших горо¬
дов из-за высокой концентра¬
ции в них промышленных
предприятий и населения.
Небольшое загрязнение сре¬
ды имеет место в сельских
местностях
Количество несчастных слу¬
чаев велико в непосредствен¬
ной близости к магистралям и
прилегающим к ним улицам
Непосредственное за¬
грязнение воздуха и во¬
ды, а также уровень
шума малы во всех рай¬
онах. Накопление загряз¬
нений отсутствует
Загрязнение, не связан¬
ное с транспортом, уме¬
ренно в небольших горо¬
дах и низко в зеленых
зонах
Количество несчастных
случаев уменьшается от
умеренного на основных
линиях до низкого на
конечных станциях. Не¬
счастные случаи при
других видах транспорта
снижаются благодаря
уменьшению количества
заторов
линейными, а шкалы остальных показателей — логарифмиче¬
скими). Для каждого показателя более желательное значение
приведено на рисунке справа, а менее желательное — слева
(например, более высокая скорость движения предпочтитель¬
на при более низкой стоимости проезда).
Оценка полезности отдельных рабочих
характеристик системы
Качественное описание и расчет значений показателей,
применяемых для оценки системы достижения цели при каж¬
дом принятом варианте решения, представляют собой объек¬
тивную информацию, которая получается в результате ана¬
Системный подход 47
Таблица 1.6
Значения показателей возможных вариантов транспортной сети
: Средняя скорость, км/ч ,
Средние затраты, денежные
ед. на 1 км i
Вероятность смертных случаев I
на 1 км I
Вероятность случаев увечий I
на 1 км 5 X W
Шум, дБ I
Ускорение (максимальное зна- 10x10''’
чение при трогании и оста- I
новке)
Среднее время ожидания ба¬
гажных операций, мин
1 — постепенное развитие транс¬
портной сети; 2 —введение )q
транспорта на воздушной
подушке и самолетов с ко¬
роткой длиной разбега при
взлете и посадке; 3 — вве¬
дение электрических автомо¬
билей и автобусов
80
0,3
©
® Ф
ш
1
ф @
1
г
1
(DQ)
1
0,05
1
© ®
®
1
0,1 X Ю'"'
1
Ф®
®
kQ
1
Ф ®
®
0,02
1
Ф
® Ф
1
0
лиза и учитывается при выборе наиболее желательного ва¬
рианта решения.
Однако в процессе принятия решения учитывается также
и субъективная информация (например, пожелание иметь
транспортную сеть, обеспечивающую скорость движения
240 км/ч при стоимости проезда лишь в два раза превышаю¬
щей стоимость проезда со скоростью 160 км/ч). Такая инфор¬
мация вводится в рассмотрение путем приписывания показа¬
телям субъективных коэффициентов значимости или оценок
полезности отдельных рабочих характеристик системы. Эти
коэффициенты или оценки показывают относительную значи¬
мость данной рабочей характеристики для какого-то конкрет¬
ного лица.
При выборе шкалы оценок полезности целесообразно уста¬
новить интервал возможных значений показателя. Нанлучшее
значение (наиболее приемлемое) удобно принять за единицу,
а наименее приемлемое — за ноль, хотя числа, приписываемые
предельным значениям показателей, никак не влияют на саму
оценку.
Наилучшее значение каждого показателя могло бы быть
получено, если бы целью разрабатываемой программы была
максимизация значения этого показателя. Наихудшее значе¬
ние показателя определяется его минимальным значением.
48
Глава 1
которое могло бы еще быть пригодным для всех членов обще¬
ства. Разумные предельные значения показателей, приемле¬
мые для пассажиров транспортной сети, даны в табл. 1.7 [10].
Таблица 1.7
Предельные значения показателей, приемлемые для
пассажиров транспортной сети
Показатели
Наиболее
желательный
результат ‘)
Приемлемый,
но нежела¬
тельный
результат ^
Время поездки от начала до конца, мин
Время стоянки на станции, мин
Стоимость проезда на 1970 г., долл,
Вероятность смертных случаев X 10^
Вероятность случаев увечий X 10^
Допустимый шум, дБ
Предельный шум, дБ,
продолжительность 1 с
Ускорение, в единицах g
Удар, в единицах g
Вибрация, в единицах g
Температура, °С
Изменение давления, атм
Число посадочных мест
Количество пассажиров в радиусе 1 м
Вероятность выполнения расписания с точ¬
ностью ±2 мин
Время ожидания багажных операций, мин
30
2
10
0,01
0,1
40
90
0,02
0,01
0,01
19,7
0,001
200
О
0,98
О
’) Полезность равна 1.
Полезность равна 0.
150
30
40
10
100
80
140
0,30
0,25
0,30
17,8
0,01
40
8
0,80
10
В большинстве случаев невозможно одновременно полу¬
чить идеальные значения для разных показателей, так как ча¬
сто они соответствуют необходимости достижения противоре¬
чивых целей. Так, требование максимальной величины какой-
то рабочей характеристики системы может не выполняться
при минимальной потере времени и минимальных финансовых
затратах. Кроме того, идеальная ситуация не достигается из-
за невозможности учесть влияние некоторых событий, таких
как неожиданный прирост населения или изменение окру¬
жающей среды. Система может «испортиться» или устареть и
тем самым окажется хуже идеальной.
Поскольку оценка полезности всей разрабатываемой про¬
граммы или проекта системы, как правило, не равна единице,
необходимо определить степень полезности вариантов реше¬
ния при частичном выполнении целей создаваемой програм-
Системный подход 49
мы. Оценка полезности рабочей характеристики системы при
частичном выполнении цели осуществляется на основе субъек¬
тивных суждений лица, принимающего решение, и групп лиц
с общими интересами. Возможными способами определения
степени полезности рабочей характеристики могут быть сле¬
дующие:
1. Непосредственная оценка полезности лицом, принимаю¬
щим решение, или группой лиц. Например, если 30-минутное
время поездки считается идеальным, а поездка продолжитель¬
ностью 150 мин неприемлема, то, по-видимому, можно при¬
нять, что 40 мин будет соответствовать коэффициент значи¬
мости, равный ы = 0,9, 50 мин и — равный 0,8 и т. д. Таким
образом будет получена кривая полезности скорости проезда
в зависимости от времени поездки. Более подробное рассмот¬
рение этого подхода можно найти в литературе [24].
2. Оценка полезности рабочей характеристики системы по
вероятности реализации значений этой характеристики. Этот
способ обсуждается в гл. 4.
Мера, используемая при объединении
показателей. Целевая функция
Для выбора варианта решения с конкретными значениями
решающих переменных необходимо преобразовать векторное
описание системы с многими показателями в скалярное. Это
можно сделать путем качественного обобщения информации в
форме, которая аналогична представленной в табл. 1.6 и 1.7.
При таком представлении выявляются основные различия ме¬
жду вариантами и их сходство. Некоторые варианты, вероят¬
но, могут быть отвергнуты из-за неприемлемых рабочих ха¬
рактеристик системы, определяемых соответствующими зна¬
чениями показателей. Окончательный выбор решения обычно
делается на основе субъективного суждения лица, принимаю¬
щего решение, о том, какие рабочие характеристики системы
он считает наиболее существенными.
Можно также воспользоваться оценками полезности ра¬
бочих характеристик, определяемых всеми показателями си¬
стемы, чтобы перейти к скалярному представлению, удобному
для оценки полезности того или иного варианта всей си¬
стемы. Очевидно, что этот способ принятия решения основан
на использовании величин, характеризующих степень выпол¬
нения каждого требования к системе, а также показателей
значимости всех рабочих характеристик в сравнении друг с
другом.
Скалярное описание системы, которое используется для
принятия решения, называется целевой функцией. Если,
50 Глава I
напрнмер, единственным требованием к системе является ее
стоимость, то целевая функция — это стоимость осуществле¬
ния проекта, которую необходимо сделать минимальной. Ины¬
ми словами, требуется выбрать вариант решения, при котором
достигается минимальная стоимость системы (т. е. ее макси¬
мальная полезность). Если требования к системе включают
стоимость и время, то целевая функция должна включать обе
эти характеристики.
Определение относительной значимости
показателей
Существует много способов, посредством которых показа¬
тели или связанная с ними оценка полезности рабочих ха¬
рактеристик системы могут быть объединены в одну целевую
функцию. Целевую функцию F можно, например, представить
в виде
П
/' = WU= 2 + ®2Н2+ ••• +Wntln, (1-1)
( = 1
где U, Ui — оценки полезности, связанные соответственно со
всей системой и с i-m показателем, а w, Wi — постоянные ве¬
совые множители, связанные соответственно с и, и,-. Функция
F является скалярным произведением вектора w на вектор и.
В соответствии с формулой (1.1) предполагается, что полная
полезность системы F может быть представлена в виде ли¬
нейной суммы взвешенных оценок полезности отдельных рабо¬
чих характеристик.
Определение весовых множителей или относительной зна¬
чимости показателей производится таким образом, что все по¬
казатели располагаются в ряд в предполагаемом порядке
уменьшения их важности, затем проводится попарное сравне¬
ние соседних показателей, и на основе сравнения решается
вопрос об их относительной значимости. Например, если при¬
менительно к исследуемой системе финансовые затраты, вре¬
мя и безопасность по важности занимают соответственно пер¬
вое, второе и третье места, то можно было бы принять, что
wjw2 = 1,5 и ШгМз = 1,2, где w\, Шч и Шз — соответственно
весовые множители для показателей затрат, времени и без¬
опасности. Эти множители могут быть вычислены, если к при¬
нятым соотношениям добавить условия нормировки^] а»; = 1.
Тогда получим W\ = 0,45, w-i = 0,30 и Шз = 0,25. Другие ме¬
тоды определения весовых множителей приведены в работах
[23, 24].
Системный подход 51
Если затраты (или какие-либо другие показатели), связан¬
ные с различными возможными вариантами решения, неопре¬
деленны, т. е. задаются в виде распределения вероятности, то
можно построить соответствующее распределение вероятности
и для оценки полезности затрат. Следовательно, целевая
функция тоже будет иметь вид распределения вероятности, и
для выбора наиболее желательного варианта решения целе¬
сообразно провести оптимизацию среднего значения <f> этой
функции. Если же задача состоит в том, чтобы исключить
возможность реализации наихудших вариантов системы, то
необходимо минимизировать вероятность уменьшения F ниже
определенного значения. Дальнейшее рассмотрение процесса
принятия решения при наличии риска и неопределенности при¬
водится в гл. 4.
Целевая функция при ограничениях,
накладываемых на входные переменные
Наряду с методом выбора варианта решения на основе
объединения показателей системы соотношением (1.1), суще¬
ствует метод, основанный на фиксации всех входных пере¬
менных, кроме одной, с последующей оптимизацией целевой
функции по переменной, которая осталась незафиксированной.
Например, если в качестве показателей рассматриваются за¬
траты и время поездки, то можно зафиксировать предельно
допустимое наибольшее время поездки и затем выбирать ва¬
риант с минимальными затратами, при котором не превы¬
шается указанное время поездки. Точно так же можно ука¬
зать допустимые максимальные затраты и провести миними¬
зацию времени поездки. Последний метод, вероятно, наиболее
подходит для выбора решения в том случае, когда для разра¬
батываемой программы или проекта строго ограничен объем
их финансирования.
Соотношения эквивалентности показателей
Существует подход к объединению показателей, который
претендует на большую точность при выборе вариантов ре¬
шения, но требует при этом большего числа операций, чем
два предшествующих метода. Этот подход заключается в оп¬
ределении соотношений эквивалентности между показателями
или между оценками полезности рабочих характеристик си¬
стемы, связанных с этими показателями. Например, если бы
было можно определить дополнительную плату, на которую
согласен пассажир за уменьшение времени поездки, то уда¬
лось бы установить «денежный эквивалент» времени поездки.
52
Глава I
Такой денежный эквивалент Сэкв(0 можно сложить с основ¬
ными затратами пассажира и получить целевую функцию для
полных затрат, которую необходимо минимизировать.
Целевую функцию можно также получить, если опреде¬
лить соотношения эквивалентности между оценками полезно¬
сти различных показателей. Формула (1.1) соответствует ча¬
стному случаю этого метода, когда эквивалентность не зави¬
сит от оценок полезности, и поэтому целевая функция являет¬
ся линейной функцией. Если и,- изменяется по отношению к
Рис. 1.9. Линии одинаковой полезности.
Стрелкой показано направление наиболее значительного прироста полезности.
изменению Uf пропорционально отношению весовых множите-
лей (—wfiwi), то в соответствии с формулой (1.1) целевая
функция F остается неизменной. Это значит, что при конкрет¬
ном повышении Uj заинтересованное лицо остается настолько
же удовлетворенным решением, как и до этого повышения,
если Ui увеличивается по отношению к и/ в (w,iwi) раз. На
рис. 1.9 приведены линии одинакового удовлетворения интере¬
сов одной и той же группы лиц в случае линейной целевой
функции, представляемой формулой (1.1). Эти линии являют¬
ся линиями одинаковой полезности рабочей характеристики
для конкретной группы лиц. Каждая линия на рис. 1.9 пред¬
ставляет определенную степень удовлетворения интересов
групп лиц (т. е. степень выполнения целей программы), а в
направлении, показанном стрелкой, происходит максимальное
приращение полной полезности системы. Направление макси¬
мального изменения оценок полезности системы указывает,
как должны меняться значения показателей для наиболее
Системный подход 53
значительного улучшения решения. Это направление совпа¬
дает с направлением градиента VF целевой функции (V опе¬
ратор)
0.2)
i *
где 1,- — единичный вектор в направлении ы,-. Для F = ш,Ы(+
-\-WjUj уравнение (1.2) принимает вид
+ = + 0-3)
Следовательно, вектор максимального приращения оценок
полной полезности имеет проекцию wt на ось «,• и проекцию
Wj на ось ы/, а тангенс угла наклона к оси м/ равен {wi/wj).
Стоимость реализации разрабатываемой
программы и ее эффективность
Различные способы объединения показателей могут быть
пояснены на примере рассмотрения стоимости реализации и
эффективности программ. Это проблема с двумя показате¬
лями, один из которых — эффективность — характеризует ка¬
кую-либо рабочую характеристику или комбинацию рабочих
характеристик системы. В случае транспортной сети, в кото¬
рой не учитываются финансовые затраты, эффективностью
можно было бы считать оценку полезности системы или один
из таких факторов, как время поездки или ее безопасность.
Для каждого варианта решения величины стоимости и эффек¬
тивности вычисляются при разных значениях управляющих
(т. е. решающих) переменных. По результатам таких расче¬
тов можно построить кривые зависимости эффективности от
стоимости (рис. 1.10). Типичным для таких кривых является
то, что сначала эффективность растет с увеличением затрат,
а затем она имеет тенденцию к насыщению. Например, даль¬
нейшее увеличение затрат не приводит к заметному сокраще¬
нию времени поездки, так как на это сокращение наклады¬
вают ограничения другие факторы (техническая оснащен¬
ность транспорта).
Два разнотипных показателя — стоимость и эффектив¬
ность— измеряются в разных единицах. Если эффективность
выражается через оценку полезности, то она безразмерна,
если же она выражается временем поездки, то измеряется в
минутах и т. п. Стоимость же измеряется в денежных едини¬
цах. Чтобы можно было выбрать наиболее желательный ва¬
риант решения, необходимо описание каждого варианта
54
Глава 1
с помощью двумерного (для стоимости н эффективности) век¬
тора перевести в скалярное описание. Применим теперь ука¬
занные выше способы объединения переменных: зафиксируем
Рис. 1.10. Схематические кривые зависимости эффективности Е от стои¬
мости С для двух возможных вариантов решения.
Рис. 1.11. Схема использования ограничений, наложенных на значения
показателей, для выбора одного варианта решения из двух возможных.
одну переменную и будем оптимизировать другую, после чего
используем соотношение равной полезности.
Если задан минимальный уровень эффективности си¬
стемы и необходимо минимизировать ее стоимость, то выбор
решения будет зависеть от величины £мин. Как показано на
рис. 1.11, для величины ^мин! минимальные затраты соответ¬
ствуют варианту 1, в то время как для £мин2 приемлем только
СистемныГ) подход
65
вариант 2. Если определена максимальная стоимость Смаке и
необходимо максимизировать эффективность, то выбор наи¬
более желательного варианта зависит от величины Смаке- Для
Смаке! предпочтительнее вариант 1, а для С„аке2 — вариант 2.
Часто выбор варианта решения удобно проводить на ос¬
нове максимизации отношения эффективности к стоимости,
так как это отношение отражает наибольшую эффективность
системы на единицу затрат. На рис. 1.12. показаны несколько
Рис. 1.12. Схема, поясняющая операцию максимизации отношения £/С
для выбора решения.
Стрелкой показано направление увеличения отношения £/С.
линий с постоянным значением отношения EjC и кривые Е{С)
для двух вариантов решения; стрелкой показано направление
увеличения отношения EjC. Из рисунка видно, что макси¬
мальное значение EjC достигается в точке Л, где линия по-
СТ0Я1Ш0Г0 отношения EjC является касательной к кривой, ко¬
торая соответствует варианту 1. Если подход основан на
максимизации величины Е1С, то это означает, что определен¬
ные значения EjC имеют одинаковую или постоянную пред¬
почтительность независимо от значений самих переменных Е
и С. Следовательно, линии постоянных значений Е/С являют¬
ся линиями одинаковой полезности, а максимизация отноше¬
ния EIC эквивалентна максимизации соотношения равной по¬
лезности, согласно которому одинаковая предпочтительность
имеет место тогда, когда приращению стоимости соответ¬
ствует пропорциональное приращение эффективности.
Более целесообразно было бы использовать кривые равной
полезности, подобные тем, что показаны на рис. 1.13 штрихо¬
выми линиями. В этом случае одинаковая предпочтительность
требует больших приращений эффективности для данного
56
Глава 1
приращения стоимости при увеличении последней. Для линий,
показанных на рис. 1.13, точка В соответствует максимуму
полезности.
Проведенное рассмотрение показывает, что существует не¬
сколько способов принятия решения; более подробно этот во¬
прос будет исследован в гл. 4.
Рис. 1.13. Схема использования кривых одинаковой полезности для вы¬
бора решения.
Стрелкой показано направление наиболее значительного прироста полезности.
Изложенные в настоящей главе методы системного ана¬
лиза следует рассматривать как основу для начала исследо¬
ваний, а не как жесткую схему, в рамках которой должно
проводиться исследование проблемы. Каждая ситуация имеет
свои особенности, так что метод исследования может быть ви¬
доизменен в процессе анализа. Некоторые практические про¬
блемы, возникшие при системном анализе медицинского об¬
служивания в округе Сан Матео, шт. Калифорния, даны в
приложении А.
ЛИТГ ; ЛТУРА
1. Churchman С. W., Ackoff К. L., Arnoff Е. L,, Introduction to Opera¬
tions Research, Wiley, New York, 1957.
2. Chestnut H., Systems Engineering Tools, Wiley, New York, 1966, p. 8.
3. Alfel H. A., Jr., System Engineering, Int. Sci. Technol., 18 (Nov. 1964).
4. Howard R. A., IEEE Trans, on Systems Science and Cybernetics, SSC-4,
211, Sept. 1968.
5. North D. W„ IEEE Trans. on Systems Science and Cybernetics, SSC-4,
211, Sept. 1968.
6. Raiffa H., Decision Analysis, Introductory Lectures on Choices Under
Uncertainty, Addison- Wesley, Reading, Mass, 1968, pp. 295—297.
7. Quade E. S., Boucher W. I. (eds.) Systems Analysis and Policy Plan¬
ning, Applications in Defense, Amer. Elsevier, New York, 1968, pp. 15—17.
Системный подход 67
8. Seinfeld J. Ы., Kyan С. P., Socio-Econ. Plann Sci., 5, 173—190 (1971).
9. Rose D. J., Gibbons J. H., Fulkerson W., Phys. Today, 25 (2), 32—41
(Feb. 1972).
10. Pardee F. S.. Phillips C. Т., Smith K. V., Measurement and Evaluation
of Alternative Regional Transportation Mixes, Vol. 1—3, Rand Corp.,
RM-6324-DOT, Aug. 1970.
11. Wolfe H. B., Ernst M. L., Simulation Models and Urban Planning, Ch. 3,
P. M. Morse, L. W. Bacon (eds,), Operations Research for Public Sy¬
stems, M. I, T. Press, Cambridge, Mass., 3rd print, 1971.
12. Schussman M. II., Qoalsmanship (Developing Educational Philosophy,
Goals, and Objectives), Report Prepared for San Mateo County School
Boards Assoc., Redwood City, Calif, Sept. 1970.
13. Kennedy F. D., IEEE Trans, on Systems, Science and Cybernetics,
SSC-5, 204, July 1969.
14. Horvath W. J., Operations Research in Medical and Hospital Practice,
Ch. 6, P. M. Morse, L. W. Bacon (eds.). Operations Research for Public
Systems, M. 1. T. Press, Cambridge, Mass, 3rd print, 1971.
16. Blumenstein A., Larson R. C., A Systems Approach to the Study of
Crime and Criminal Justice, Ch. 7, P. M. Morse, L. W. Bacon (eds.).
Operations Research for Public Systems, M. I. T. Press. Cambridge,
Mass., 3rd print, 1971.
16. Hoos I. R., Systems Analysis in Public Policy. A Critique, Calif. U. P.,
Berkeley, 1972.
17. Arrow K. J., Social Choice and Individual Values, Wiley, New York,
1951.
18. Etzione A., Lehuran E. W., Ann. Amer. Acad. Polit. Soc. Sci., 1, 1 (May
1967).
19. Helmer O., Rescher N., Manage Sci., 6, 1 (Oct. 1959).
20. Brown B., Helmer O., Improving the Reliability of Estimates Obtained
from a Consensus of Experts, Rand., p. 2986, Sept. 1964.
21. Weiner M. G., Gaming, Ch. 7, E.S. Quade, W. I., Boucher (eds.). Systems
Analysis and Policy Planning, Applications in Defense, Amer. Elsevier,
New York, 1968.
22. Mood A. М., Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, New
York, 1950, Ch. 13.
23. Miller R. J., Ill, Assessing Alternative Transportation Systems, Rand,
RM-5865-DOT, Apr. 1969.
24. Ackoff R. L., Scientific Method Optimizing Applied Research Decisions,
Wiley, New York, 1962, pp. 76—93.
Задачи
1.1. В институте градостроения города Вашингтона (округ
Колумбия), проводилось исследование, целью которого была
попытка оценить уровень жизни населения 18 городов США.
Прежде чем продолжать чтение задачи, определите показа¬
тели, которые вы бы использовали для измерения уровня
жизни в городе. Укажите метод измерения для каждого по¬
казателя.
Показатели, которые используются для решения задачи,
перечислены ниже, причем в скобках указана их мера: без¬
работица (% безработных), уровень образования (усреднен¬
ное количество законченных классов средней школы), ма¬
лая обеспеченность (% семей с низким доходом), здоровье
58 Глава 1
(смертность среди детей), моральное состояние (количество
самоубийств, о которых сообщается в печати), расовое равен¬
ство (отношение числа безработных среди цветного населения
к числу безработных среди белых), чистота воздуха (концент¬
рация загрязняющего вещества), уровень дохода (пересчитан¬
ный на дущу населения), транспорт (среднегодовые расходы
на транспорт для семьи среднего достатка из четырех чело¬
век), плата за жилье (годовые расходы на жилье семьи из че¬
тырех человек), общественный порядок (количество грабежей
на 10® человек населения), забота о согражданах (пожертво¬
вания в Объединенный фонд на душу населения), социальное
разложение (количество наркоманов на 10'* человек населе¬
ния), активность граждан (участие в голосовании на выборах
президента). Рассмотрите отличия вашего списка показателей
от предложенного выше. Включили ли вы в ваш список не
занятое строениями пространство, средства культурного об¬
служивания, климатические условия? Какова мера каждого
из этих показателей?
1.2. Для каждого из восемнадцати городов определено
место, которое он занимает среди других (см. табл.), по
принципу предпочтительности 14 показателей, перечисленных
в задаче 1.1 (1-е место соответствует наибольшей предпочти¬
тельности). Предположим, что вы хотели бы выбрать место
жительства на основе информации, приведенной в этой таб¬
лице.
а) Какой город (или города) вы бы выбрали, если более
предпочтительным считают город, занимающий лучшее место
по своему самому низкому значению показателя? Например,
Нью-Йорк занимает восемнадцатое место по показателю, ха¬
рактеризующему общественый порядок, который имеет наибо¬
лее низкое значение, в то время как Филадельфия имеет наи¬
более низкое значение показателя здоровья — семнадцатое
место. Следовательно, в соответствии с предложенным прин¬
ципом выбора Филадельфия более предпочтительна, чем Нью-
Йорк. [Замечание: когда нет данных по какому-то показа¬
телю, то соответствующий город с одинаковой вероятностью
может занять любое место по этому показателю, так что
разумнее всего приписывать этому городу место в середине
списка для дальнейшего рассмотрения — см. разд. 4.3.)
б) Какой город (или города) вы выберете, если произво¬
дить выбор по наибольшему числу первых мест?
в) Пять показателей, которые вы считаете наиболее важ¬
ными, расположите в порядке уменьшения их важности и при¬
пишите каждому весовой множитель, используя метод, опи¬
санный в разд. 1 5 под заголовком «Оценка возможных вариан¬
тов решения». Припишите показателям оценки полезности
ЭИНЭЖ01ГСБ(1
30H4ifBHYi03
exXtrcoe
Ов1ЭЭЬВ>1
idouDHBdx
ЭННВвОЕВ(190
чхоонвихмв
квмэнвll'жвdJ
хвнв10'жвб.]0э
о BlOpBg
оехэнэе
•Bd dOflooBd
MOVBdon «!ЧН
-нэвюэтпдо
9ИНвод.:)оэ
aoHqiTBdow
aqaodotrg
ЭЧ1ГНЖ
ве BiBifu
Biroxoir
4Haeod;^
чхэоннэьэи
0990 BBiTBw
BHHX09Bde9g
— ООО «о Юсо Ю 00 — со Ю (N СО—ою
CD — г>. СО СЧ « О Ю СО "ЧГ а> CD — ’^'^СЧОО
СЧ 0> со N. со со — со со Ь-00 С5 со COb.CO<JJ
со 00 ю о со (М сч со— Ю о 00 со ^
(М -т (ост.оог-^ю-'в-мо^ XIII
со X— тt•co^•lлcoюa>«ooc^^^ оо —
00 —1^ со со Ю о —• ^ со (N 1Л <0 00 05 сч
о> да сцю<о — о ю 00 со — n. со
N. о со о> ю — 00 со даю — <о сч со <м
сч со 1Л— да N со сч со Oi — со голода
N. 0> Ю 1Л 0> со — СЯ со — N N. ^ <0 ЮЭД
со 0> 00 СЧ N-N-— о Ю СЧ Ю ^ со о N. сц
X
со
и
I
о 4» к о
a>g^is^3:,0 *§ н
*gg-§“? S“§-?*°c: х"о
од,2ос:?ь!Ч^д(1На:чк2®[эч5®'в‘
о“лй^Я®1ияО®<ияЧЛ®'-^«*Я>,
с o-ectffliacowt*ix:s
I
60 Глава 1
таким образом, чтобы первому месту была приписана по¬
лезность, равная 1, а пятому — ноль. Считайте, что для про¬
межуточных мест полезность меняется линейно. Выберите го¬
род, используя целевую функцию в соответствии с формулой
(1.1).
Укажите преимущества и недостатки этих методов выбора
города.
1.3. Окружная администрация начальных школ должна ре¬
шить проблему, связанную с сокращением числа поступающих
в школу и ожидаемым дефицитом бюджета. Необходимо вы¬
брать программу действия администрации. Перечислите тре¬
бования каждой из следующих групп, в которые входят лица
с общими интересами:
— ученики;
— родители учеников;
— жители округа, в котором находится школа, не имею¬
щие детей, посещающих школу;
— учителя;
— администрация школы (заведующий, директор);
— школьный совет (орган из пяти членов, который отве¬
чает за обучение).
Определите меру оценки значимости каждого требования (см.
Mager R. F., Preparing Instructonal Objectives, Fearon, Bel¬
mont, Calif., 1962).
Ниже перечисляются возможные действия, направленные
на предотвращение дефицита:
— выпуск облигаций;
— исключение мероприятий, не входящих в программу
обучения (например, исключение музыкальных про¬
грамм, дискуссий и экскурсий);
— увольнение части учителей и увеличение численности
учащихся в классе;
— закрытие одной из школ в округе (т. е. экономия на
содержании одного учебного заведения) и доставка
учащихся на автобусе в другие школы;
— объединение с другими школами с целью сокращения
администрации.
Для каждой из перечисленных возможностей расположите
требования по шкале от 1 до 3 (используя свою собственную
оценку и мотивируя ее). При этом цифру 1 припишите наибо¬
лее желательному исходу. Какой возможный вариант вы пред¬
почли бы, будучи членом школьного совета? Почему?
1.4. Были собраны данные, позволяющие выразить зависи¬
мость показателей при проверке правописания ребенка от его
веса. Если эта зависимость предполагается линейной, т. е.
S==>aw-\-b,
СистемныЛ полхол 61
\ где S — балл и w — вес, то а и Ь могут быть определены на
основе регрессионного анализа путем минимизации среднего
квадратичного отклонения полученных при проверке данных
от заданной функции. Если S,-, гг», —балл и вес i-ro ребенка
соответственно, то покажите, что в результате этих расчетов
получим
D
D
где п — число детей, и
1.5. Составьте классификацию предпочтительности сле¬
дующих источников энергии: Солнце, реактор термоядерного
синтеза, реактор расщепления ядер, геотермические источ¬
ники, гидроэлектростанции, естественный газ, уголь, нефть и
ветер по отношению к следующим показателям: безопасность,
размещение запасов, необходимых для потребления, загряз¬
нение среды, степень распространения. Воспользуйтесь шка¬
лой оценок от 1 до 3 (1 будет соответствовать наибольшей
предпочтительности) и дайте краткое (в одно-два предложе¬
ния) обоснование вашей классификации (см. Rose D. J., Ener¬
gy policy in the U. S.,Sci. Amer., 230 (1), 20—29 (Jan. 1974);
Cheny E. S., U. S. Energy Resources, Amer. Sci., 62, 1, 14—22
(Jan. —Feb. 1974)).
1.6. Линии одинаковой полезности в координатах эффек¬
тивность {Е) — стоимость (С) описываются уравнением
£/С = const.
Используя оператор градиента, определите уравнения кри¬
вых, вдоль которых происходит максимальное увеличение по¬
лезности. Какую фигуру представляют эти кривые?
1.7. Линии одинаковой полезности в плоскости (Е — С)
даются уравнением
Е (Со — Cf = const,
где С а Со, Со > О — константа. Начертите линии одинаковой
полезности и, используя оператор градиента, определите функ¬
цию, которая связывает Е w С к описывает кривые наиболее
значительного прироста полезности.
62 Глава 1
1.8. Предположим, что надо ответить на вопрос, будет ли
достаточно инженеров и физиков в следующем десятилетии.
Охарактеризуйте в общих чертах метод, которым вы восполь¬
зовались бы для этого прогноза, и назовите принятые вами
допущения и неопределенности в системе (см. Cartter А. М.,
Scientific manpower for 1970—1985, Science, 172. 132—140
(Apr. 1971); Science and Engineering Doctorate Supply and
Utilization 1968—1980, NSF 69—137. (1969); Grodzins L., The
Manpower Crisis in Pliysics, Bull. Amer Phys. Soc., 16, 737—
749 (June 1971); Brode W. R., Manpower in science and engi¬
neering, based on a saturation model, Science, 173, 206—213
(July 1971)).
Глава 2
Уравнения неразрывности
2.1. Введение
Как отмечалось в гл. 1, метод математического моделиро¬
вания позволяет установить связь между входными н выход¬
ными переменными, что в свою очередь дает возможность
предсказать последствия выбора (принятия) того или иного
решения. Моделирование включает несколько операций, и
после структурного разбиения задачи важной операцией яв¬
ляется получение возможных уравнений неразрывности: соот¬
ношений между потоками переменной в какую-то часть си¬
стемы и из нее со скоростью изменения этой переменной. Так,
например, в бухгалтерском учете используется закон сохране¬
ния денежных потоков; скорость денежных поступлений при¬
равнивается к сумме скоростей накопления и расхода денеж¬
ных средств. В настоящей главе рассматриваются некоторые
принципы получения уравнений неразрывности для различ¬
ных систем.
В случае экологической системы в качестве переменных,
характеризующих состояние системы, берется либо число осо¬
бей одного вида, либо их суммарная масса. На рис. 2.1 пока¬
заны входные и выходные переменные, влияющие на суммар¬
ную массу особей, увеличение которой стимулируется исклю¬
чительно потреблением. Рождение, в результате которого
возрастает число особей, не дает увеличения их массы, так как
сразу после родов суммарная масса родителя и потомства не
превышает массы родителя (включая утробный плод) до ро¬
дов. В действительности при родах обычно теряется какое-то
количество массы, и, следовательно, это должно отразиться
на суммарной массе особей (рис. 2.1). Скорость уменьшения
массы особей, вызванного смертью особей (естественной или
насильственной), как правило, есть функция этой массы.
Если масса особей увеличивается, то скорость уменьшения
массы вследствие смерти особей также будет увеличиваться
(например, если годовая смертность составляет 1/1000, то при
росте населения вдвое число смертей в год также возрастет
в два раза). Потери массы, связанные с заготовками (напри¬
мер, биологический вид культивируется для обеспечения чело¬
века пин1,ей), функционально выражаются иначе, чем потери
64 Глава 2
в результате смерти, обусловленной другими причинами, и
поэтому рассматриваются как особая статья потерь. Другие
формы потерь суммарной массы особей связаны с процессами
выделения и обменом веществ. Таким образом, для рассмат-
- Смерть
Процессы мделшя
Потребление > масса ^Потери,связанные с обменом веществ
г —с-..-, ^ Потери,свтнные с рооат
Убой на заготовки
Рис. 2.1. Входные и выходные переменные, влияющие на суммарную массу
особей.
риваемого процесса уравнение сохранения массы (уравнение
баланса масс) будет иметь вид
Увеличение массы в единицу времени=
= (потребление массы в единицу времени) —
— (потери массы в единицу времени, связанные
со смертью) —
— (потери массы в единицу времени, связанные
с выделением)—
— (потери массы в единицу времени, связанные
с обменом веществ)
— (потери массы в единицу времени, связанные
с родами) —
— (потери массы в единицу времени, связанные
с заготовкой продуктов питания).
Чтобы определить вид функциональной зависимости каждой
формы потерь от независимых переменных, члены в правой
части уравнения (2.1) представляют в виде разложения в сте¬
пенной ряд, ограничиваясь несколькими первыми членами.
2.2. Задача с одной группой (или видом)
Дифференциальные уравнения
Рассмотрим случай, когда все представители (или все ча¬
стицы) группы идентичны. Если Л/ —число представителей
группы в любой момент времени t, то скорость изменения ве¬
(2.1)
Уравнения неразрывности 65
личины N{dNldt) дается уравнением
dN
~di
-^ == (увеличение числа представителей
в единицу времени)—
— (уменьшение числа представителей в единицу
времени). (2.2)
В общем случае как увеличение G, так и уменьшение L числа
представителей в единицу времени есть функция jV и т. е.
G = G{N,t) п L = L{N,t). Если увеличение числа представи¬
телей является результатом рождения, а уменьшение числа
представителей — результатом смерти, можно записать
G {N, t) — (вероятность рождения одного представителя
в единицу времени) • N, (2.3)
L{N, О = (вероятность смерти одного представителя
в единицу времени) • N. (2.4)
Вероятность рождения одного представителя может быть
функцией времени t, но, как правило, является функцией чис¬
ла представителей N. Например, с увеличением числа пред¬
ставителей может сократиться количество продуктов питания
(пища), приходящееся на одного представителя, что вызовет
понижение рождаемости. Вместе с тем увеличение числа пред¬
ставителей может привести к большему количеству встреч в
единицу времени особей мужского и женского пола, что будет
способствовать повышению рождаемости.
Рассмотрим случай, когда рождаемость и смертность не
зависят 01 N VI t, г затем проведем обобщение с учетом за¬
висимости рождаемости и смертности от численности группы
(например, населения). Если рождаемость и смертность не за¬
висят от и то можно записать следующее дифференци¬
альное уравнение:
^^aN-bN = XN, (2.5)
где а — вероятность рождения одного представителя в еди¬
ницу времени, Ь — вероятность смерти одного представителя
в единицу времени, к = а — Ь, причем а и Ь — постоянные ве¬
личины. Решением уравнения (2.5) будет
N = N(0) (2.6)
где Л/(0) — численность группы в момент времени / = 0. Если
а и Ь, а следовательно, и А, —функции времени /, то решение
66 Глава 2
имеет вид
t
N^N{0) exp J А, (t) dt. (2.7)
о
При Я, < О (т. е. когда смертность превышает рождаемость)
численность группы может в конечном итоге понизиться до
нуля. При Я, > О численность становится бесконечной') и при
X = О остается постоянной.
Если начальное значение X положительно, то прирост
группы может быть ограничен смертностью и рождаемостью,
которые зависят от N. Воспользуемся приближенными зави¬
симостями а и Ь 01 N \1 рассмотрим первые два члена разло¬
жения в ряд:
a-a,-a,N,
6 = + b,N.
Поскольку было сделано предположение о том, что с ростом
N рождаемость понижается, а смертность увеличивается, то
ао, Ьо, ui и bi — положительные величины. Подставляя соот¬
ношения (2.8) в уравнение (2.5), получим
4г = ("о - Ьо) N-{ai + Ьд Л/2 = (2.9а)
= CoM-CiN\ (2.96)
где Со и Cl — постоянные.
Присутствие в уравнениях (2.9) члена, содержащего
объясняется тем, что при составлении уравнений учитывалась
зависимость рождаемости и смертности от N. Если бы при
составлении уравнений были учтены смертельные исходы
встреч двух представителей группы, то величина N^ также
входила бы Б уравнения, так как с ростом N вероятность по¬
добных встреч в любом заданном интервале времени увели¬
чивается и, следовательно, вероятность смерти одного пред¬
ставителя группы пропорциональна N, а скорость изменения
численности группы в результате таких встреч будет пропор¬
циональна N^.
Решение уравнения (2.9) имеет вид
N--
Со/с
1 -f
Co/Cl _ J
IN(0)
exp {— Cot)
(2.10)
Если Co < 0, TO величина N со временем уменьшается до нуля
(рис. 2.2,а). Если О < Со < Ci Л'(О), то N понижается до ве-
*) То есть растет неограниченно со временем. — Прим. ред.
Уравнения неразрывности
67
ЛИЧИНЫ (co/ci) (рис. 2.2,6), и если CiN{0)<iCo, то N возра¬
стает до величины (со/с\) (рис. 2.2, в). Для некоторых биоло¬
гических видов кривая прироста аналогична кривой, представ¬
ленной на рис. 2.2, в.
Уравнения (2.9) являются приближением к реальным ус¬
ловиям роста численности группы (населения), и справедли¬
вость этих уравнений зависит от относительной величины чле-
N
т
с„<0
И
N(0)
CfN(0)>Cg^0 t
6 в
Рис. 2.2, Кривые, описываемые уравнением (2.10).
нов ряда, которыми мы пренебрегли, по сравнению с остав¬
шимися. Для малых отклонений N от равновесной величины
использование только первых членов разложения в степенной
ряд относительно положения равновесия дает хорошее при¬
ближение. При больших отклонениях N, вероятно, необходимо
учитывать члены более высокого порядка. Подробно проблема
роста и падения численности населения обсуждается в книге
Ватта [1].
Разностные уравнения
Полученные уравнения (2.9) являются дифференциаль¬
ными уравнениями первого порядка, в которых, согласно сде¬
ланным предположениям, N есть непрерывная функция вре¬
мени. Однако часто зависимости между переменными описы¬
ваются с помощью разностных уравнений во времени, которое
берется в виде дискретных интервалов. Использование не
дифференциальных уравнений, а разностных обусловлено ря¬
дом причин: во-первых, возможно, что имеющиеся данные по¬
лучены в дискретные интервалы времени, т. е. изменение
68 Глава 2
изучаемой величины происходило ступенчато; во-вторых, пере¬
менная действительно может меняться дискретно (поток де¬
нежных средств в организацию и из нее может возникать с
недельным интервалом; изменение энергии атомов, молекул
и силовых полей теоретически происходит дискретно) и,
в-третьих, при решении уравнений с помощью ЦВМ необхо¬
дима разностная форма записи уравнений. Разностное урав¬
нение для численности населения, которая изменяется вслед¬
ствие рождения и смерти, при временном интервале имеет
вид
N{t + M)-N (i) = а MN (t) - b MN {t), (2.11)
где a — вероятность рождения на душу населения, оД/ —ве¬
роятность рождения на душу населения за время А/ и a^tN —
общее число рождений за время А/. При А/->0 уравнение
(2.11) переходит в уравнение (2.5).
Стохастические процессы
Как в дифференциальном уравнении (2.9), так и в раз¬
ностном (2.11) функция является детерминированной, т. е. при
заданных начальных условиях можно вычислить точное зна¬
чение N в любой момент времени. Это есть следствие пред¬
положения, что рождение и смерть — достоверные события,
которые происходят с определенной скоростью. Однако, по¬
скольку эти события являются дискретными и случайными,’
мы вынуждены ограничиться утверждением, что в момент вре¬
мени t существует вероятность Pt{N) того, что численность
населения равна N. Например, возможно (хотя и малове¬
роятно), что за какой-то промежуток времени произойдет
10 смертей и ни одного рождения, даже если вероятности
рождения и смерти сравнимы.
Если переменные выражаются не в виде определенных
значений, а в виде вероятностных функций, то такие перемен¬
ные являются стохастическими. В данном разделе числен¬
ность населения определяется как функция времени при усло¬
вии, что рождение и смерть рассматриваются как случайные
события, описываемые с какой-то вероятностью.
Рассмотрим некоторые общие характеристики стохастиче¬
ских процессов, а затем используем эти характеристики при
решенич задачи «рождение — смерть» [см. уравнения (2.8),
(2.9)].
Если в момент времени t численность населения равна /,
то это означает, что в момент времени t система находится в
состоянии I.
Уравнения неразрывности
69
Пусть Р(/,/)—вероятность состояния системы J в момент
времени t + At при условии, что в момент времени t система
находилась в состоянии I.
Если вероятность процесса перехода системы Р(/,/) из
одного состояния в другое не зависит от способа, с помощью
которого было достигнуто состояние /, а зависит только от
характеристик состояний / и J, то такой процесс представ¬
ляет собой марковскую цепь [2]. Так как вероятность пере¬
хода из состояния I в состояние J не зависит от условий, в
которых находилась система до достижения состояния /, то
марковская цепь не имеет памяти. Покажем, что процесс рож¬
дение— смерть является марковской цепью.
Вероятность P<+a/(jV) нахождения системы в состоянии N
в момент t + М есть сумма произведений вероятности нахож¬
дения системы в состоянии I в момент времени t на вероят¬
ность перехода системы из состояния / в состояние N для
всех возможных начальных состояний:
Р/+д< = Р^(0)Р(0, N) + Pt{\)P{\,N)^-...-\-Pt{N)P{N,N)+...=
= I.Pt{I)P{I, N). (2.12)
/
Выражение (2.12) удобно представить в матричной форме.
Тогда Pt записывается в виде вектор-строки
Pt = {PtiO), Pi(\), Pt{2), ...),
а Р — в виде матрицы
Р(0, 0) Р(0, 1) Р(0, 2) ...
Р(1,0) Р(1, 1) Р(1,2) ...
Р= Р(2, 0) Р(2, 1) Р(2, 2) ...
В матричной форме уравнение (2.12) имеет вид
Р<+д< = Р(Р.
(2.13)
где Pt+M = [Pt+At (0)Р(+д/(1) Pt+M(2) .. •]• Пусть 1-\-Ы = тЫ,
тогда
Рт \t Р(т-1) AtP ^ Р(т-2) AtP^ — PqP • (2.14)
Уравнение (2.14) определяет вектор вероятностей после m
шагов по времени как функцию начальной вероятности Pq.
70 Глава 2
Сумма элементов любой строки матрицы Р равна единице,
т. е.
ZP{I.N)=L (2.15)
N
Из равенства (2.15) следует, что вероятность перехода систе¬
мы из 1-го состояния в любое другое, включая пребывания
в 1-м состоянии, равна единице. Матрица, у которой сумма
строк равна единице, есть стохастическая матрица, а так как
вероятность перехода системы из одного состояния в любое
другое в момент времени /пА^ равна единице, то матрица
рт — стохастическая.
Теперь рассмотрим задачу рождение — смерть [уравнение
(2.9)]. Выберем интервал времени At настолько малым, чтобы
вероятность осуществления более чем одного события в этот
интервал времени была пренебрежимо малой. Тогда в тече¬
ние интервала времени At может произойти одно рождение,
одна смерть, либо не произойдет ни рождения, ни смерти.
Следовательно, необходимо рассмотреть три типа элементов
в матрице Р:
P{N — l,N) = вероятность рождения в период времени At
при условии, что в момент времени i
система находится в состоянии — 1 =
= [ao-ai(A^-1)]А/(Л^-1), (2.16)
Р {N, N) = вероятность того, что в интервале
времени At не произойдет ни рождения,
ни смерти при условии, что в момент
времени t система находилась
в состоянии N —
= I — (вероятность рождения или смерти) =
= 1 - [(ао - aiN) AN + % -f b^N) AtN], (2.17)
P{N \ ,N) = вероятность смерти в интервале времени At
при условии, что в момент времени t
система находилась в состоянии N \ =
= [6o-f6,(yV+1)]Л/(Л^+1). (2.18)
Заметим, что при составлении уравнений (2.16) —(2.18) не
учитывалось состояние системы до момента времени t, т. е.
рассматриваемый процесс представляет собой марковскую
цепь. Кроме того, такая марковская цепь является однород¬
ной, так как Р(/, J) явно не зависит от времени.
Уравнения неразрывности
П
Рассмотрим конкретный пример. Пусть ао = 1 с~',
й1 = 9* 10“2 С"', йо = 0,4 с“' и bi =0,3-10-2 ц At = 0,05 с.
Запишем матрицу Р, используя формулы (2.16) и (2.18):
Р =
1
О
О
О
0,02 0,93 0,05 О
О 0,04 0,86 0,10 О
О О 0,06 О,
О О О 0,1
0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,15
0
0
0,73
0,19
0
0,10
0,66
0,24
. (2.19)
Если начать расчет с yv = 2, то Ро (0 0 1 0 0 0...) и для
^ = 0,05 с — Ро.о5 = РоР = {0 0,04 0,86 0,10 0 0...), а для
^ = 0,1с —Яо,1 = /’0,05Р= (0,0008 0,072 0,75 0,16 0,015 О ...).
Заметим, что в случае ^ = 0,1 с существует отличная от нуля
вероятность того, что N = 0. Это противоречит результату,
полученному при использовании детерминистического подхода
к решению задачи рождение — смерть (см. кривую роста на
рис. 2.2, в).
Напомним, что временной интервал At выбирался доста¬
точно малым, так что вероятность осуществления нескольких
событий в течение этого интервала времени была ничтожно
малой. Следовательно, точность расчетов будет зависеть от
выбора шага At: чем меньше At, тем больше точность. Одна¬
ко, чем меньше At, тем больше требуется шагов по времени,
чтобы покрыть любой заданный временной интервал. Разум¬
ный предел для величины At достигается тогда, когда вклад в
вероятность перехода от членов, содержащих коэффициент
А^, мал по сравнению с вкладом от остальных членов. В слу¬
чае задачи рождение — смерть это означает, что диагональ¬
ные члены должны быть больше недиагональных. Из выраже¬
ний (2.16) и (2.18) следует, что при увеличении N для сохра¬
нения точности необходимо уменьшить величину Д^.
Если использовать детерминистический подход к решению
задачи рождение — смерть, то, полагая в уравнении (2.9)
dN/dt — О, получим некоторое установившееся значение
До — Ьр
ai + bi'
(2.20)
72
Глава 2
Подставляя в выражение (2.20) значения ао, ai, bo и bi, на¬
ходим, что Ns = 50. Для N — 50 формулы (2.16) и (2.18)
дают Р (60, 51) = Р (50, 49) = 27,5 А^. Таким образом, при
N = 50 вероятность рождения равна вероятности смерти, и
численность населения будет оставаться близкой этой вели¬
чине. При N 50 вероятность рождения превышает вероят¬
ность смерти, и, следовательно, наиболее вероятно, что чис¬
ленность населения будет расти. При > 50 вероятность
смерти превышает вероятность рождения, и, следовательно,
наиболее вероятно, что численность населения будет падать.
Рис. 2.3. Зависимость численности населения N от времени t при детерми¬
нистическом подходе {}) и стохастическом подходе (2).
Таким образом, как стохастический метод, так и детерми¬
нистический дают одно и то же среднее устойчивое состоя¬
ние.
Используя таблицу случайных чисел [3] (стр. 109), можно
смоделировать случайный процесс рождение — смерть. Если
начать вычисления со значения N — 2, то по формуле (2.19)
получаем Р (2,1) = 0,04, Р (2,2) = 0,86 и Р (2,3) =0,10. Для
/ = 0,05 с: Л^= 1, если случайное число находится в интервале
0,01—0,04; N = 2, если случайное число находится в интер¬
вале 0,05—0,90, и = 3, если случайное число находится в
интервале 0,91 — 1,00. Таким образом, вероятность перехода
системы в новое состояние определяется функцией Р(/,/).
В тех случаях, когда случайные числа берутся из строки таб¬
лицы подряд, получают зависимость численности населения
от времени, аналогичную той, которая дана в табл. 2.1. На
рис. 2.3 представлены зависимости численности населения от
времени.
Уравнения неразрывности
73
Таблица 2.1
Численность населения в зависимости от времени
(использовалась таблица случайных чисел)
Время, с
Р (N, N-1)
Р (ЛГ, N)
Р (N. Л+1)
Случайное
число
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
0,04
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,86
0,93
0,86
0,79
0,73
0,66
0,10
0,05
i
0,10
0,15
0,19
0,24
03
47
43
73
86
36
96
47
36
61
46
98
63
71
62
32
26
16
80
45
60
И
14
10
96
97
74
24
67
62
42
81
2.3. Задача с двумя группами
В разд. 2.2 был дан анализ процесса рождение — смерть
в пределах одной группы (системы). Теперь перейдем к рас¬
смотрению процессов в пределах двух взаимодействующих
групп. В качестве примера проанализируем изменение числен¬
ности населения двух возрастных групп, взаимосвязь кон¬
центраций кислорода и отходов в воде, поведение атомов и
света в лазере и, наконец, взаимодействие между хищниками
и жертвами.
74 Глава 2
Рассмотрим две группы населения Ni{t) и N2(0. Скорость
изменения численности населения группы может быть
выражена формулой
= (число представителей группы Ni, поступающих
или мигрирующих в группу в единицу времени) +
+ (число рождений представителей группы Ni,
рождающихся в единицу времени) +
+ (число представителей группы N2, переходящих
в группу Ni в единицу времени)—
— (число представителей группы Ni, входящих или
покидающих группу в единицу времени) —
— (число смертей представителей группы Ni
в единицу времени)—
— (число представителей вида jV|, переходящих
в группу N2 в единицу времени). (2.21)
Аналогичное выражение можно записать и для скорости из¬
менения численности населения группы N2. Каждый член в
этих выражениях может быть функцией yVi, N2 и времени t.
Часто функциональная зависимость различных факторов, ко¬
торые изменяются в зависимости от Nt, N2 и t, выражается в
виде первых членов разложения в степенной ряд. Если, на¬
пример, вероятность рождения одного представителя группы
в единицу времени относительно независима от числа пред¬
ставителей, то число рождений представителей этой группы
в единицу времени прямо пропорционально числу представи¬
телей. В том случае, когда смерть происходит в результате
встречи представителей групп, первый член разложения в ряд
содержит произведение N1N2, так как при исчезновении любой
из групп встречи представителей исключаются. Первый член
разложения в ряд скорости изменения численности группы
jVi (или N2) в результате перехода представителей Ni (или
N2) в группу N2 (или Ni) пропорционален /Vi (или N2).
Выражения для dN\/dt и dN2/dt могут содержать одинако¬
вые члены. Так, скорость изменения численности группы N\
(или N2), вызванного переходом представителей группы N\
(или N2) в группу N2 (или Л^]), имеет одно и то же абсолют¬
ное значение как в выражении для dN\/dt, так и в выражении
для dN2/dt, однако в первом случае это положительная ве¬
личина, а во втором — отрицательная. Если в результате
встречи представителей групп наступает одновременная
смерть обоих представителей, то выражения для dN\/dt и
dN2/dt содержат одинаковый отрицательный член.
Уравнения неразрывности 75
Две возрастные группы
Рассмотрим население как систему, состоящую из двух
групп; одна группа представляет собой население в возрасте от
О до 10 лет (обозначим ее A^i), а другая группа — население
в возрасте свыше 10 лет (обозначим ее N2). На рис. 2.4 пока¬
зано изменение численности населения групп в результате рож¬
дения, смерти и перехода представителей группы Л/i в груп¬
пу N2 при достижении возраста свыше 10 лет. Предположим,
Рис. 2.4. Схема изменения численности населения двух возрастных групп.
что вероятность рождения и смерти одного представи¬
теля в единицу времени не зависит от численности группы и
времени. Тогда
^ = a2N,-b^Ny-R(t), (2.22)
^ = R{t)-b2N2, (2.23)
где «1, Ь\ VI Ьг — постоянные. Первый член в правой части
уравнения (2.22) есть число рождений в единицу времени,
пропорциональное численности группы N2, производящей по¬
томство. Второй член дает число смертей в единицу времени,
третий член — число представителей первой группы, перехо¬
дящих во вторую группу в единицу времени в результате из¬
менения возраста. Уравнения (2.22) и (2.23) содержат три
зависимые переменные N\, N2 и R, и, следовательно, для того
чтобы система была разрешима относительно этих перемен¬
ных, требуется дополнительное уравнение. Представим вели¬
чину R как число представителей, достигающих 10-летнего
возраста в единицу времени, т. е.
7?(0 = а2[Л^2(^-10)]5, (2.24)
где N2(t—10)—число представителей группы N2, которое
было десять лет назад, и 5 — степень выживания (доля вы¬
живших к моменту времени t среди родившихся 10 лет на¬
зад). Произведение a2N2(t—10) дает число родившихся в
единицу времени в момент времени t =i—10 Лет. (Если
76 Глава 2
рождаемость «2 зависит от времени, то в выражении (2.24)
следует использовать величину a2(t— 10).)
Вследствие смертности в возрасте от О до 10 лет степень
выживания S меньше единицы. Изменение численности насе¬
ления, вызванное только смертью, можно получить из урав¬
нения
^ = (2.25)
Интегрируя уравнение (2.25), получим
= (2.26)
(если bi зависит от времени, то в формуле (2.26) сле-
— \ bi {() dt j. Степень
L * J,n /
выживания
дует заменить на ехр
t-w
равна отношеню числа оставшихся в живых в момент вре¬
мени t к числу живых в момент времени {t— 10), т. е.
с A'i(0 „-106, со 07\
Подставляя соотношения (2.27) и (2.24) в (2.23), получим
выражение
^ = (2.28)
где 0,^ = Решение уравнения (2.28) имеет вид
N2 = N2 (0) еР\ (2.29)
где р удовлетворяет трансцендентному уравнению
а'е-'ор-р-&2 = 0. (2.30)
Так как |Яг ~ ^2! ^ 1, то р яг; (а' “ ^2)/(* "Ь Юа^. Численность
населения определяется в результате совместного решения
уравнений (2.22), (2.23) и (2.29). Если а[ < Ь^, то со временем
численности обеих групп Ni и N2 уменьшаются.
Загрязнение воды
Интересным примером системы, состоящей из двух взаи¬
модействующих групп, является вода, содержащая растворен¬
ный кислород и органические отходы. Рассмотрим взаимо¬
связь между концентрациями растворенного кислорода и
органических отходов. Разложение отходов происходит под
Уравнения неразрывности 77
действием бактерий, вызывающих химическую реакцию, кото¬
рая протекает с использованием растворенного кислорода. Кон¬
центрацию отходов часто измеряют так называемой биохими¬
ческой потребностью кислорода (БПК), которая представляет
собой количество кислорода на единицу объема воды, необ¬
ходимое для разложения отходов. (Единицей измерения БПК
может быть количество кислорода в миллиграммах на литр
воды.) Скорость разложения отходов пропорциональна их
концентрации при условии, что в воде присутствует достаточ¬
ное количество кислорода для поддержания процесса. Если
для описания ВПК использовать символ L, то скорость разло¬
жения отходов выражается формулой
^=-k,L, (2.31)
где ki — постоянная отбора кислорода, которая обычно изме¬
ряется в единицах с размерностью 1/день. При отсутствии
отходов концентрация кислорода колеблется около равновес¬
ного значения Со (со — известная функция от температуры
воды). При наличии отходов реальная концентрация кисло¬
рода с будет ниже Со и понижение концентрации кислорода
D определяется как
D = co-c. (2.32)
Переменная D может увеличиваться со временем вследствие
окисления отходов и уменьшаться вследствие поглощения кис¬
лорода поверхностью воды. (Последний процесс называется
реаэрацией). Таким образом, имеем
^==k,L-k,D, (2.33)
где первый член в правой части уравнения характеризует
процесс окисления отходов, а второй член — реаэрацию. По¬
стоянная ^2 есть постоянная реаэрации и измеряется также
в единицах с размерностью 1/день.
Уравнения (2.3 ) и (2.33) были получены Стритом и
Фелнсом [4]. Совместное решение этих уравнений дает
D = L (0) + D (0) в-*»', (2.34)
где 1(0)—концентрация ВПК при ^ = 0 и 0(0)—началь¬
ное понижение концентрации кислорода в момент времени
^ = 0.
Если по течению реки расположено несколько промышлен¬
ных предприятий, которые загрязняют воду отходами произ¬
водства, то возникает вопрос, имеющий важное практическое
значение: какое максимальное обеднение воды кислородом
78
Глава 2
наблюдается в этом месте реки [5]? Например, если кон¬
центрация кислорода падает ниже определенного уровня, то
рыбы не выживают. Время t связано с расстоянием х, кото¬
рое отсчитывается по течению реки, зависимостью х = vt, где
V — скорость течения. Следовательно, если подставить вели¬
чину t = x/v в уравнение (2.34), то получим зависимость D от
расстояния X. На рис. 2.5 показана зависимость концентрации
Рис. 2,6. Зависимость концентрации растворенного кислорода с от рас¬
стояния X.
кислорода от расстояния. Максимальный недостаток кислоро¬
да 1)макс можно определить, приравнивая производную вели¬
чины D, заданной уравнением (2.34), нулю:
k,vk2(.
kiVk^V z.(0)yfe, 7J ’
где L(0)—биохимическая потребность кислорода в потоке
при X = О и D(0) —начальное понижение концентрации кис¬
лорода, обусловленное наличием источников загрязнения в
верхнем течении реки. Если необходимо, чтобы величина
£>макс была ниже какой-то определенной величины, а 0(0),
k\ и ki фиксированы, то максимальная величина биохимиче¬
ской потребности кислорода, соответствующая максимально
допустимому сбросу отходов в месте реки х = О, определяет¬
ся по формуле (2.35), разрешенной относительно значе¬
ния L(0).
Лазер
В качестве примера физической системы, состоящей из
двух действующих групп, рассмотрим лазер [6] и покажем,
что основные принципы получения уравнений неразрывности,
Уравнения неразрывности 79
описывающих данную систему, остаются теми же, что и при
составлении уравнений неразрывности для других систем.
В частности, уравнения данной физической систем'ы оказы¬
ваются почти идентичными уравнениям системы «хищник —
жертва» (см. следующий раздел).
Согласно квантовой теории, энергия атома может прини¬
мать дискретные значения, соответствующие стационарным
состояниям атома. Усиление света происходит на частоте (о,
если разность энергий между двумя состояниями атома равна
/гсо, где h — постоянная Планка, и число атомов в более вы¬
соком энергетическом состоянии превышает число атомов в
более низком энергетическом состоянии. Если в единице объ¬
ема в возбужденном состоянии находится N\ атомов, а в бо¬
лее низком энергетическом состоянии N2 атомов, то необхо¬
димо, чтобы разность N — N\ — N2 была положительной.
Скорость изменения величины N зависит от двух факто¬
ров. Одним из них является переход атомов при отсутствии
света из состояния с более высокой энергией в состояние с
более низкой энергией. При таком переходе величина N стре¬
мится к своему равновесному значению № — равновес¬
ная разность количества атомов при наличии небольшого воз¬
мущения (например, свет карманного фонарика), в резуль¬
тате которого равновесное количество атомов N\ превышает
равновесное количество атомов N2). Атомы в возбужденном
состоянии теряют энергию при столкновении с другими ча¬
стицами или путем спонтанного излучения света. Скорость
перехода атомов из одного энергетического состояния в дру¬
гое пропорциональна разности (N — №). Другим фактором
является изменение разности чисел атомов, находящихся в
возбужденном и более низком энергетическом состояниях,
при наличии света частоты со. Свет стремится понизить вели¬
чину N до нуля со скоростью, пропорциональной произведе¬
нию N на интенсивность излучения ф. Следовательно,
-jf= f ЛФЛ. (2.36)
Если ф = О (т. е. свет от внешнего источника отсутствует),
то величина N изменяется как где Т — постоянная вре¬
мени, связанная с переходом атома из возбужденного состоя¬
ния в состояние с меньшей энергией при отсутствии света.
Второй член в правой части уравнения (2.36) дает изменение
энергетического состояния атома под воздействием света, где
К — коэффициент пропорциональности.
Скорость изменения интенсивности излучения также зави¬
сит от двух факторов: рассеяния излучения в пределах рас¬
сматриваемой системы, в результате которого интенсивность
80 Глава 2
излучения уменьшается со скоростью, пропорциональной ф, и
изменения энергетического состояния атомов при воздействии
света, вследствие которого интенсивность излучения увеличи¬
вается. Следовательно, можно записать
К
-Й- = Т + Т'Р^> (2-37)
где т — постоянная времени, связанная с рассеянием излу¬
чения ф. На рис. 2.6, а представлена зависимость величины N
от времени. Равновесные значения N я ц> получают из урав¬
нений (2.36) и (2.37), приравнивая производные нулю. Эти
величины, обозначенные через No и фо, показаны на рис. 2.6.
Стрелка на кривой рис. 2.6, в указывает направление увели¬
чения времени. Интенсивность излучения лазера пропор¬
циональна ф, и кривая на рис. 2.6, в дает зависимость интен¬
сивности излучения от времени в координатах (ф, Л^).
Решения уравнений (2.36) и (2.37) могут быть устойчи¬
выми и неустойчивыми в непосредственной близости от состоя¬
ния равновесия. Определим равновесные значения No и фо.
Для этого производные d^>/dt и dN/dt приравняем нулю:
KJ 2 'СЛ'® 1 /г.
No I Фо 27" ■ (2.38)
Обозначим малые отклонения системы от положения равно¬
весия через
УУ = Л/о[1+яА(0]. (2.39)
Ф = Фо[1+Л/2(0]. (2.40)
где Я <С 1. Подставляя соотношения (2.39) и (2.40) в урав¬
нения (2.36) и (2.37) и ограничиваясь членами первого по¬
рядка малости, имеем
KxN^
IT 2Т
U = (2.42)
Если исключить fz(0 уравнений (2.41) и (2.42), то по¬
лучим
+ = (2-43)
Решение уравнения (2.43) убывает по экспоненте в зависи¬
мости от времени, если {KN^/2) > (1/т), и возрастает по
экспоненте, если (KN^j2) < (1/т). Следовательно, равновес¬
ное состояние системы может быть достигнуто, если
Т>т.
Уравнения неразрывности
81
Время
8
Рис. 2.6.
а —зависимость разности чисел атомов в единице объема активной среды лазера N
от времени <; б —зависимость интенсивности излучения ср от времени <; в —зависи¬
мость интенсивности излучения ф от времени t, построенная в координатах (ф, N)-
82
Глава 2
так как только при этом условии система возвращается в
состояние равновесия. Кроме равновесного решения уравне¬
ний (2.36) и (2.37) существует решение, соответствующее ну-
левому излучению
ф = 0,
N = N^.
Это решение устойчиво при (KN^I2) < (1/т) и неустойчиво
при (К№!2) > (1/т). Неравенство (2.44) известно как поро¬
говое условие для осцилляций. Если при возбуждении актив¬
ной среды лазера равновесная разность yv® настолько велика,
что выполняется неравенство (2.44), то усиления света инду¬
цированным испусканием излучения не наблюдается. В этом
случае решения ф = О и устойчивые.
Хищник — жертва
Система уравнений, подобная (2.36) и (2.37), была полу¬
чена Лоткой и Вольтерра для описания взаимодействий меж¬
ду группами хищников и жертв [7]. Если в уравнении (2.36)
равновесная разность № равна нулю, а постоянная Т — отри¬
цательна, то идентичность уравнения лазера и уравнения
Лотки — Вольтерра очевидна. Интенсивность излучения ф
аналогична хищнику, так как с ростом интенсивности раз¬
ность N = N\ — N2 уменьшается, и, следовательно, величина
N играет роль жертвы. Член, характеризующий взаимодейст¬
вие, в обоих примерах пропорционален произведению пере¬
менных, так как встречи хищников с жертвами невозможны,
если число представителей любой из групп окажется равным
нулю.
Так как моделирование увеличения и уменьшения числен¬
ности (поголовья) животных представляет особый интерес,
то исходная модель системы хищник — жертва, созданная
Лоткой и Вольтерра, была усовершенствована с учетом раз¬
личия в поведении возрастных групп, территориального рас¬
пределения животных, отклонения в окружающей среде. Кро¬
ме того, путем соответствующего подбора параметров удалось
добиться лучшего соответствия модели и экспериментальных
наблюдений [8].
Рассмотрим исходную модель системы хищник — жертва.
Уравнения, описывающие взаимодействие хищников и жертв,
получены при следующих допущениях:
— в отсутствие хищников численность жертв возрастает
со скоростью, пропорциональной их численности;
— в отсутствие жертв число хищников убывает со ско¬
ростью, пропорциональной их числу;
Уравнения неразрывности 83
— в результате встречи хищников с жертвами увеличи¬
вается число хищников и уменьшается численность жертв, и
такое изменение численности пропорционально произведению
численностей каждой группы.
Последнее допущение основано на том факте, что первый
член разложения в ряд функции, описывающей встречи меж¬
ду группами, пропорционален произведению численностей по¬
следних, так как если численность какой-либо группы станет
равной нулю, то не будет встреч между представителями
групп. На основании этих допущений можно записать следую¬
щие уравнения:
J^ = b,V-b2AV, (2.46)
4^ = -М + М^. (2.47)
где /4 — число хищников, К —число жертв, а Ь\, Ьг, Ьз, Ь^ —
положительные константы. Если г/риравнять производные
нулю, то получим равновесное решение
^o — bijbi, Vo = Ьз/bi,
где Ло и Vo — равновесные значения численности групп.
Уравнения (2.46) и (2.47) удобно нормализовать по отно¬
шению к равновесным значениям путем введения новых пе¬
ременных а и у:
а = Л/Ло, v = V/Vo. (2.48)
Подстановка выражений (2.48) в уравнения (2.46) и (2.47)
позволяет получить нормализованные уравнения
^=-b3a{l-v), (2.49)
- =biV{l-a). (2.50)
dt
Эти уравнения нелинейны, но в координатах а, v переменные
разделяются. Если разделить уравнение (2.49) на уравнение
(2.50)
(2.51)
da 63 (\ —у)а
dv (1 — а) а
И полученное выражение проинтегрировать, то найдем
&,[lna-a]4-&3[lnt)-t)] = K, (2.52)
где К — постоянная интегрирования. Различным значениям К
соответствует семейство кривых, одна из которых показана
на рис. 2.7. Постоянную К можно определить, если заданы
значения а и у в какой-либо момент времени.
84
Глава 2
Стрелка на кривой рис. 2.7 показывает направление увели¬
чения времени. С ростом времени величины а и у изменяются
периодически в соответствии с перемещением по кривой про¬
тив часовой стрелки; период определяется промежутком вре-
Рис. 2.7. Циклическое изменение числа хищников v и жертв а во времени.
мени, необходимым для прохождения одного полного цикла.
Переменные а и v никогда не достигают точки равновесных
значений, имеющей в плоскости а, v координаты (1, 1).
Предположим, наша цель состоит в том, чтобы увеличить
максимальное число хищников «макс Если мы находимся в
точке Pi на кривой ci (рис. 2.8), то можно сократить число
хищников, так чтобы переместиться в точку Рг на кривой Са').
*) Например, часть хищников уничтожить. — Прим. ред.
уравнения неразрывности 85
Однако максимальное число хищников в случае кривой Сг
превышает максимальное число в случае кривой с\, и, следо¬
вательно, сокращая численность хищников в определенной
точке цикла, можно повысить их максимальное число. Этот
результат объясняется тем, что вследствие сокращения числа
хищников в точке Р\ число жертв может увеличиться выше
уровня, достигаемого без сокращения численности хищников
(Умакс на С2 больше Умакс ИЗ С]). Большее количество жертв
означает больше пищи для хищников, и, следовательно, мак¬
симальное число хищников увеличивается.
В этом разделе был использован детерминистический ме¬
тод решения задачи хищник — жертва. Однако по аналогии
с уравнениями (2.46) и (2.47) эту же задачу можно решить с
помощью стохастического метода. В частности, в случае ма¬
лой численности жертв существует конечная вероятность их
полного истребления, и в этом случае стохастический анализ
может привести к результату, заметно отличающемуся от ре¬
зультата, полученного при детерминистическом подходе.
Устойчивость равновесного решения уравнений (2.49) и
(2.50) а = у — 1 может быть проанализирована с помощью
метода, который использовался для исследования устойчи¬
вости равновесных решений уравнений (2.46) и (2.47). Вве¬
дем малые отклонения системы от равновесного состояния,
приняв
а = 1+Я/,(0, (2.63)
v=l+kh{t), (2.54)
где 1. После подстановки соотношений (2.53) и (2.54) в
уравнения (2.49) и (2.50) имеем
fi = hf2. (2.55)
f2 = -bJi. (2.56)
Из уравнений (2.55) и (2.56) получим уравнение относительно
одной из переменных (либо /ь либо /2), например,
fi + M3/i = 0. (2.57)
Решение уравнения (2.57) имеет вид
/, == а cos /-Ь Р sin V^i^3 ^ (2.58)
где а и Р — постоянные. Таким образом, малое возмущение
приводит к незатухающим синусоидальным колебаниям около
положения равновесия. Это решение является устойчивым,
так как амплитуда отклонений не увеличивается и не умень¬
шается со временем.
86 Глава 2
2.4. Задача с многими группами
Химические реакции
Примером задачи с многими группами является задача о
химических реакциях, которые происходят между продуктами
загрязнения воздуха [9]. Предположим, что вещества Ai и Лг
вступают в химическую реакцию, в результате которой обра¬
зуются вещества Аз и Л4, т. е. Л1 + ЛгЛз + Л4. Эта зада¬
ча относится к типу задач, в которых рассматриваются встре¬
чи представителей различных групп, т. е. предполагаемая
реакция не будет иметь места, если концентрация Ci вещества
Ль или концентрация Сг вещества Л2, равна нулю. Следова¬
тельно, можно записать
^ = (2.59)
где k — коэффициент пропорци^рнальности. Единичное пони¬
жение Л1 и Лг приводит к соответствующему единичному уве¬
личению Лз и Ai, так что
= (2.60)
где Сз и С4 — концентрации Лз и Л4.
Если химическая реакция происходит между тремя веще¬
ствами
^1 + -^2 + -^3 2 А>
i-4
то
= (“1)
где k — коэффициент пропорциональности для химической ре¬
акции такого типа. Если Лг = Лз, то
^. + 2Лг^1: Л„
и соответственно
^=-kc,c\. (2.62)
Уравнение (2.62) получено из (2.61) при условии, что Сз = Cj.
Концентрация Сг изменяется вдвое быстрее, чем концентрация
Сь так как на каждую единицу вещества А\ расходуется две
единицы вещества Лг. Следовательно, имеем
= ^ = (2.63)
Уравнения неразрывности
87
В общем случае для реакции
; N
г-1 г-/+1
можно записать
I .
1 dc
L-.
— kY[c1^ при
г=1
+ й П с"' при / + 1 < /.
(2.64)
где
Уравнение (2.64) дает скорость изменения концентрации для
процесса взаимодействия объектов I групп.
Материальный баланс
Рассмотрим взаимодействие между окружающей средой,
промышленностью и потребителями [10]. Окружающая среда
является источником сырья; промышленность использует это
сырье для производства потребительских товаров; готовая
Рис. 2.9. Схема взаимодействия окружающей среды, промышленности и
потребителя.
продукция поступает к потребителям (рис. 2.9). (Некоторые
виды природных запасов потребители могут использовать не¬
посредственно, например воду, воздух и т. д., однако этот вид
потребления в данном случае не учитывается.) Побочные про¬
дукты производства поступают в окружающую среду в виде
отходов. Некоторые виды отходов от потребительских товаров
используются промышленностью как вторичное сырье. (По¬
требителями являются отдельные покупатели, федеральное
правительство, иностранные государства, а также местная
администрация и правительства штатов.) Любое различие
между входными и выходными данными для экономического
сектора должно отражать изменения, происходящие внутри
88
Глава 2
сектора. Чтобы составить уравнения материального баланса,
используем следующие переменные:
Y* =число наименований единиц продукции типа k, произ¬
водимой в единицу времени;
Yk = число наименований единиц продукции типа k, полу¬
чаемой потребителями в единицу времени (в общем
случае Xk ф так как какое-то количество продукции
используется в промыщленном, а не в потребительском
секторе):
/Vff = масса материала /-го типа в окружающей среде;
Mi ±= масса материала t-ro типа в промышленном секторе;
= масса материала г-го типа в потребительском секторе.
Тогда уравнения материального баланса имеют вид
dM]
~Ж
I
(масса сырья
в единицу
времени)
/
(масса про¬
мышленных
отходов
в единкиу
времени) •
у
(масса отхо.
дов, посту¬
пающих от
потребителей
в единицу
времени)
dM
i = ^ АиХ, - ^ ВцХ, - Y^DuYi + Y, Б
II i I
(2.66)
I
(масса сырья
в единицу
времени)
I
(масса про¬
мышленных
отходов
в единицу
времени)
/
(масса про¬
дукции, по¬
ступающей
к потребите¬
лям в еди¬
ницу вре¬
мени)
(масса вторич¬
ного сырья, по¬
ступающего за
цикл в еди¬
ницу времени)
dM
~4i
ЕиМЧ - 2 СиМ^, (2.67)
/
(масса про¬
дукции, по¬
ступающей
к потребите¬
лям в еди¬
ницу вре¬
мени)
/
(масса вторич¬
ного сырья за
цикл в еди¬
ницу времени)
i
(масса отхо¬
дов, посту¬
пающих от
потребителей
в единицу
времени)
где
-4(у = масса материала г-го типа, требуемая для производства
одной единицы продукции /-го типа;
в,у = масса промышленных отходов материала г-го типа,
образующихся в единицу времени из материала /-го типа;
Уравнения неразрывности 89
Сц = масса поступающих от потребителей отходов г'-го типа,
образующихся в единицу времени из единицы массы
материала /-го типа;
0;/ = масса материала г-го типа, используемого для произ¬
водства продукции потребления /-го типа;
£(/= масса материала г-го типа, возвращаемого за цикл
в единицу времени, приходящаяся на единицу массы
материала /-го типа.
Эти коэффициенты могут быть функциями времени и пере¬
менных X и Y, однако обычно они принимаются постоянными.
Если супюствует равновесное состояние, т. е. не происходит
изменения массы материалов в каждом из трех секторов, то
уравнения (2.65) и (2.66) можно записать в виде
Z AuXi = Z BiiXi + Z СцМ^, (2.68)
I I I
(масса сырья (суммарная масса отходов
в единицу в единицу времени)
времени)
(2.69)
Z AaXi = Z BiiXi + Z DuYi - Z
III!
(масса сырья (масса про- (масса про- (масса мате-
в единицу мышленных дуктов, по- риала, воз-
времени) отходов ступающих вращаемого
в единицу к потреби- за цикл
времени) телям в еди- в единицу
ницу вре- времени)
мени)
Уравнение, получаемое из уравнения (2.67), не является не¬
зависимым, так как оно может быть получено путем вычита¬
ния уравнения (2.68) из уравнения (2.69). Согласно уравне¬
нию (2.68), в равновесном состоянии суммарная масса отхо¬
дов в единицу времени равна массе сырья, которое берется
из природных источников (окружающей среды) в единицу
времени. Приведенные выше уравнения можно использовать
для нахождения различных вариантов уменьшения массы ис¬
пользуемого сырья и, следовательно, снижения массы обра¬
зующихся отходов. Так, например, можно
— изменить потребление У/, а так как производство Xj
зависит от потребления, то эта переменная также будет изме¬
няться;
— улучшить техническое оснащение и процесс изготовле¬
ния таким образом, что это приведет к сокращению массы
отходов, т. е. уменьшению коэффициентов Вц и Сц;
— повысить часть возвращаемой массы материалов за
цикл, т. е. увеличить коэффициент Я,/;
90 Глава 2
— улучшить техническое оснащение и технологический
процесс, что позволит уменьшить массу материалов, необхо¬
димых для обеспечения всех потребностей, т. е. уменьшить
коэффициент Dij.
2.5. Несколько независимых переменных
в примерах, приведенных ранее в этой главе, число
представителей группы рассматривалось только как функция
времени. Однако в ряде случаев необходимо определить зави¬
симость числа представителей от других переменных, напри¬
мер таких, как возраст или местонахождение члена группы.
Численность населения как функция
возраста и времени
Предположим, что нас интересует число представителей в
малом возрастном интервале da в момент времени t. Тогда
N {а, t) da — число представителей в возрастном интер¬
вале от а до а-f в момент времени /'). (2.?0)
Если смертность представителей не зависит от их числен¬
ности, а является функцией возраста и времени, то можно за¬
писать
=-d{a,t)N {а, t) {а > 0), (2.71)
где d{a, t) — вероятность смерти одного представителя в еди¬
ницу времени. Для а = 0 уравнение (2.71) не имеет смысла,
так как JV(0, t) зависит только от рождения.
Так как N{a,t) есть функция двух переменных, то произ¬
водную по времени можно выразить в виде
{а, О _ дМ4а, t) ON {а, t) ^
dt dt да dt •
Если учесть, что возраст каждого представителя подчиняется
зависимости
a{f)^ao + t, (2.73)
где Со — возраст в момент ^ = 0, то (2.72) принимает вид
dN(a,t) dN{a,t) , dN (а, t)
dt ~ dt ^ да •
’) Таким образом, N{a,t)—это возрастная плотность популяции.—
Прим. ред.
Уравнения неразрывности 91
Комбинируя уравнения (2.71) и (2.74), получим
+ .1Ц9111 = -d{a,t)N {а, t) (а>0). (2.75)
Чтобы разрешить уравнение (2.75) относительно N(a,t),
необходимо задать граничные условия N(a,0) и N{0,t). Пер¬
вое условие определяется возрастным распределением населе¬
ния при / = О, а второе оценивается по рождаемости. Харак¬
терно, что число представителей группы, имеющих возраст от
О до da, N(0, t)da равно числу рождающихся в единицу вре¬
мени, умноженному на время dt, необходимое для того, чтобы
родившийся достиг возраста da. Из уравнения (2.73) полу¬
чаем, что daldt—\, и, следовательно, N(0,t) равно числу
рождающихся в единицу времени. Таким образом,
оо
(О, о = 5 6 (а, i) N {а, t) da, (2.76)
о
где b{a,t)—вероятность рождения одного представителя
в единицу времени. Так как N(a,t)da есть число представи¬
телей в возрастном интервале da, то выражение (2.76) дает
число рождений в единицу времени. Если заданы функции
b(a,t) и d{a,t) и число Л^(а, 0) определено, то, используя
уравнения (2.75) и (2.76), можно вычислить распределение
населения как функцию времени.
Стационарное решение определяется из условия независи¬
мости рассматриваемых функций от времени, при этом урав¬
нение (2.75) принимает вид
i^ = -d(a)iV(a). (2.77)
Решением этого уравнения будет
iV(a) = A^(0)exp
(2.78)
Из выражения (2.78) следует, что в стационарном случае
удельная численность населения N{a)/N{G) (т. е. распределе¬
ние населения по возрасту) является функцией только смерт¬
ности. Этот результат является вполне логичным, так как в
стационарном случае численность населения в различных воз¬
растных интервалах будет изменяться только в результате
смерти представителей. В стационарном случае уравнение
(2.76) имеет вид
оо
N {О) =\ь (а) N (а) da. (2.79)
92 Глава 2
Если ЭТО выражение подставить в уравнение (2.78), то полу¬
чим
а
da. (2.80)
6
оо а
1 = ^ Ь{а) ехр — ^ с? (jc) dx
о 1-0
Уравнение (2.80) определяет соотношение между рождае¬
мостью и смертностью при стационарных условиях').
Пространственная и временная зависимость переменных.
Уравнение неразрывности,
описывающее загрязнение воздуха
Примером переменной, меняющейся в пространстве и во
времени, является концентрация загрязняющего вещества в
воздухе [11]. Если с,- — концентрация загрязнителя t-ro вида
(т. е. число частиц в единице объема), то уравнение нераз¬
рывности имеет вид
-^ == (скорость повышения концентрации вследствие переноса
частиц воздушным течением) +
+ (скорость повышения концентрации, обусловленного
движением частиц относительно воздуха)+
-f (скорость повышения концентрации, связанного с источ¬
никами загрязняющего вещества) —
— (скорость понижения концентрации из-за отвода загряз¬
няющего вещества). (2.81)
Теперь запишем выражение (2.81) в математической форме.
Плотность потока частиц равна
числу частиц вида I, пересекающих в единицу време[1и
единичную площадь поверхности, нормальной к на¬
правлению потока.
Она связана со скоростью частицы \i уравнением [12]
= (2.82)
') Таким образом, возрастное распределение стационарно только при
выполнении крайне жестких условий, которым должны удовлетворять
коэффициенты смертности и рождаемости. Если интеграл, стоящий в пра¬
вой части выражения (2.80), больше единицы, то численность населения
всех возрастов неограниченно растет со временем; если этот интеграл мень¬
ше единицы, то она экспоненциально убывает. Это общая особенность всех
линейных популяционных моделей; в них отсутствует стабилизирующая
обратная связь. — Прим. ред.
Уравнения неразрывности 93
Согласно закону сохранения числа частиц для элементарно¬
го объема, в котором частицы не создаются и не уничтожают¬
ся, можем записать уравнение вида [13]
= (2.83)
или в прямоугольной системе координат
где Jtx, Jiy и Jiz — компоненты плотности потока. После под¬
становки уравнения (2.82) в уравнение (2.83) имеем
дс
- ^ = V . . V, + (V, . V) Сг (2.85)
или в прямоугольной системе координат
(V, . V) Ci = ^ + Viy + Vt, -^) Cl.
Для несжимаемой среды (т. е. когда плотность частиц не
является функцией времени или пространства) уравнения
(2.85) принимает вид
дСт
dt
: о = c„V • + (V;„ • V) Cm, (2.86)
где Cm и Vm — концентрация частиц и скорость среды. Так
как концентрация частиц Ст не является зависимой от про¬
странственной переменной, (vm*V)c„ = 0, следовательно,
V.v„ = 0. (2.87)
При рассмотрении загрязнения воздуха можно предположить,
что среда (т. е. воздух) несжимаема. С учетом равенства
(2.87) уравнение (2.85) дает
дс,
г + (V;„ • V) с, = - V . {с1Уд = - V . Jb (2.88)
dt
где \i — скорость загрязняющего вещества относительно сре¬
ды {vi = \i — Vm) и ji — плотность потока загрязняющего ве¬
щества относительно среды (j/ = Ci\i).
Уравнение (2.88) выражает закон сохранения частиц за¬
грязняющего вещества в несжимаемой среде. Первый член в
левой части уравнения есть скорость изменения концентрации,
второй член — изменение концентрации вследствие движения
среды. Правая часть уравнения дает изменение концентрации,
обусловленное движением частиц относительно среды.
Если в какой-либо точке пространства имеются источники
,или стоки частиц, то в уравнение (2.88) необходимо ввести
94
Глава 2
дополнительные члены. Например, источником может быть
дымовая труба, а стоком — земля (для частиц); химическая
реакция для данного вида загрязнителя может быть как ис¬
точником, так и стоком. Обозначим через Si скорость повы¬
шения концентрации загрязняющего вещества t-ro вида, обус-
•V = о
Рис. 2.10. Схема распространения Частиц в результате диффузии.
Стрелкой показано направление увеличения времени.
ловленного источником, а через D, — скорость понижения кон¬
центрации, обусловленного стоком. Тогда уравнение (2.88)
принимает вид
^==_(v
dt
,V)c,-V.^+5,-A.
(2.89)
Поток частиц относительно среды, имеющей плотность ji,
зависит от скорости у,- распространения выхлопных газов,
дыма и т. д. или от скорости диффузии загрязняющего веще¬
ства. В начальный момент загрязняющее вещество сосредо¬
точено в какой-то точке пространства, а затем вследствие
беспорядочного движения частиц оно начинает диффундиро¬
вать в окружающей среде, причем процесс диффузии продол¬
жается до тех пор, пока не будет достигнуто равномерное
распределение загрязнителя. На рис. 2.10 показан процесс
диффузии для одного частного случая. В начальный момент
Уравнения неразрывности 95
[ t = и все частицы расположены в точке х = 0. Поскольку
система симметрична, существует равная вероятность того,
что случайное движение частиц будет происходить как в по-
• ложительном, так и в отрицательном направлении. Следова¬
тельно, в момент времени t\ приблизительно половина частиц
будет находиться справа и половина — слева от точки а: = 0.
С ростом времени t частицы будут распространяться симмет¬
рично относительно х = 0. Плотность такого потока частиц
пропорциональна' пространственному изменению концентра¬
ции. Для одномерного случая имеем
= (2.90)
где kx — постоянная диффузии в направлении х. Когда кон-
. центрация становится одинаковой во всех точках простран¬
ства (т. е. dcildx = 0), диффузионный поток прекращается.
В случае загрязнения воздуха процесс диффузии частиц за¬
висит от силы тяжести, сопротивления воздуха и выталкиваю¬
щей силы.
Граничные условия
Если источник, сток и средняя скорость потока частиц мо¬
гут быть описаны математически, то при заданных граничных
условиях концентрация Ci определяется с помощью уравне¬
ния (2.89). Для некоторых загрязнителей (например, частиц)
земля может рассматриваться как сток или как непроницае¬
мая стенка. Граничным условием для непроницаемой стенки
является равенство нулю плотности потока частиц в направ¬
лении, перпендикулярном поверхности стенки. Это значит, что
в направлении, перпендикулярном стенке, постоянная диффу¬
зии и скорость потока равны нулю.
При определенных атмосферных условиях непроницаемая
стенка может возникнуть в какой-либо плоскости, параллель¬
ной поверхрюсти Земли. На рис. 2.11 показана возможная
зависимость температуры воздуха от высоты над поверх¬
ностью Земли. Градиент температуры, определяемый по вер¬
тикали от поверхности Земли, записывается как
где Т — температура.
Так как атмосферное давление с высотой уменьшается, то
воздух при подъеме расширяется, и вследствие этого его тем¬
пература понижается. Если температура окружающего воз¬
духа понижается с тем же градиентом, что и температура
рассматриваемого восходящего потока воздуха, то теплообмен
96 Глава 2
между воздушным потоком и окружающей атмосферой от¬
сутствует, т. е. имеет место адиабатический процесс. Градиент
температуры, соответствующий этим условиям, называют
адиабатическим градиентом температуры, и на некоторой вы¬
соте от поверхности Земли он приблизительно равен 1 °С
на 100 м.
Таким образом, если градиент температуры адиабатиче¬
ский, то любой данный объем воздуха имеет те же темпера¬
туру и давление, что и окружающая среда, и, следовательно,
равнодействующая сил, приложенных к объему, равна нулю.
Рис. 2.11. Зависимость температуры воздуха Г от высоты над поверхно¬
стью Земли Z.
Однако такое равновесие не является устойчивым, так как
даже незначительная сила вызовет беспрепятственное дви¬
жение воздушного объема. Если градиент температуры ок¬
ружающей среды больше адиабатического (т. е. окружаю¬
щий воздух с высотой охлаждается быстрее, чем восходящий
поток воздуха), то поднимающийся воздух более теплый и
менее плотный, чем окружающий воздух (рис. 2.12, а), и, сле¬
довательно, на поднимающийся объем воздуха со стороны
окружающего воздуха действует направленная вертикально
вверх сила (выталкивающая), и он продолжает подниматься.
Аналогично нисходящий поток воздуха будет продолжать
опускаться. Следовательно, если градиент температуры более
высокий, чем адиабатический, состояние атмосферы неустой¬
чиво. Если градиент температуры меньше, чем адиабатиче¬
ский (рис. 2.12,6), то поднимающийся воздух имеет более
низкую температуру и более высокую плотность, чем окру¬
жающая среда, и, следовательно, на него будет действовать
сила, направленная вертикально вниз. Аналогично на опус¬
кающийся воздух будет действовать сила, направленная вверх.
В этом случае состояние атмосферы устойчиво, так как
при перемещении воздушного объема на него будет действо¬
вать удерживающая сила.
Уравнения неразрывности
97
Рис. 2.12. Зависимость температуры воздуха Т от высоты над поверхно¬
стью Земли 2.
а —неустойчивый градиент температуры воздуха; б —устойчивый градиент темпера-
воздуха; адиабатический градиент температуры воздуха.
Z
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
N
\
\
1
\
в г
Рис. 2.13. Зависимость высоты распространения дыма от температуры
воздуха.
а_утренние часы; б —полуденные часы; в—ночные часы в сельской местности;
г —ночные часы в городе; градиент температуры воздуха; адиабатиче¬
ский градиент температуры воздуха.
98 Глава 2
На рис. 2.13, а показана возможная зависимость темпера¬
туры воздуха от высоты в утренние часы, когда верхние слои
атмосферы, имеющие меньшую теплоемкость, чем Земля, про¬
греваются лучами восходящего солнца. Так как на высоте,
превышающей h {высоту инверсии), состояние атмосферы
устойчиво, то малая доля загрязняющего вещества от двух
труб может проникнуть выше этого уровня. Изменение темпе¬
ратуры с высотой, которое может иметь место в полуденные
часы, когда Земля прогрелась, представлено на рис. 2.13,6.
В этом случае дым из труб распространяется беспрепят¬
ственно.
Ночью в сельской местности (рис. 2.13, в) изменение (па¬
дение) температуры с высотой происходит медленнее, чем в
адиабатическом случае, поэтому по всей высоте состояние ат¬
мосферы устойчиво и распространение дыма незначительно.
Ночью в пределах города изменение температуры по высоте
может быть таким, как показано на рис. 2.13, г. В этом слу¬
чае на высоте, соответствующей уровню низкой трубы, состоя¬
ние атмосферы неустойчиво. Следовательно, распространение
дыма от нижней трубы будет более интенсивным, чем от
верхней, при этом лишь малая доля дыма от нижней трубы
будет проникать выше уровня h. На высоте инверсии гранич¬
ные условия будут такими же, как и для непроницаемой стен¬
ки. Граничные условия на плоскостях, перпендикулярных по¬
верхности Земли, могут определяться цепью гор, которую
можно рассматривать либо как сток, либо как непроницае¬
мую степку по аналогии с земной поверхностью. Если горные
цепи или другие препятствия отсутствуют, то границы могут
быть выбраны на достаточно далеком расстоянии от точки,
для которой рассчитывается концентрация загрязнителя, так
чтобы можно было бы ввести поглощающую или непроницае¬
мую границу без заметного изменения результата.
Уравнение (2.89) можно использовать для грубой оценки
концентрации загрязнителя в какой-либо области, рассмат¬
ривая упрощенную модель. В этой модели (рис. 2.14) пред¬
полагается, что система стационарна, внутри объема перемен¬
ные не зависят от координат х и г, частицы не перемещаются
относительно среды и, кроме того, внутри исследуемого объе¬
ма отсутствуют стоки, т. е.
ffL
dt
= /, = Di = 0.
В этом случае уравнение (2.89) принимает вид
Уравнения неразрывности
99
Обозначим через qi количество загрязняющего вещества, об¬
разующегося в единицу времени на единичной длине в на¬
правлении у. Тогда количество загрязняющего вещества, об¬
разующегося в единицу времени в единице объема, выра¬
жается как
(2.93)
где W — ширина параллелепипеда и h — высота инверсии.
Ширина W может определяться природными особенностями
Рис. 2.14. Расчетная модель для оценки концентрации загрязняющего ве¬
щества.
(например, цепью гор) или размерами города. Из уравнений
(2.92) и (2.93) получим
О
Ci {у) =
у
где Qi (у) — ^ qi dy — количество загрязняющего вещества,
о
образующегося в единицу времени в направлении у. Уравне¬
ние (2.94) позволяет оценить концентрацию без решения пол¬
ного уравнения (2.89).
2.6. Модель роста города
Дж. Форрестер [14] использовал уравнения неразрывности
для построения модели роста города. В модели делается до¬
пущение, что события, происходящие в черте города, не
100 Глава 2
влияют существенно на окружающую среду вне города. Пред¬
полагается также, что число людей, въезжающих в город и
выезжающих из него, незначительно отражается на числен¬
ности населения вне города и что интенсивность потока людей
определяется только условиями, существующими в городе.
В некоторых случаях эти допущения спорны, например когда
основной поток людей направляется в ближайший пригород
и из пригорода, где численность населения может быть мень¬
ше, чем в городе. В модели принимаются определенные шаб¬
лоны поведения для различных групп населения и определен¬
ные структурные взаимодействия между подсистемами го¬
рода. Большинство из этих допущений вызвало возраже¬
ния [15].
Однако независимо от справедливости сделанных допу¬
щений модель Форрестера представляет интерес и может
служить основой для будущих более соверпюнных моделей го¬
родов. Одним из преимуществ этой модели является ее кон¬
кретность в части допущений и методов. Система города, пред¬
ложенная Форрестером, состоит из трех подсистем: предприя¬
тия, жилищное строительство и население. Каждая из этих
трех подсистем в свою очередь делится па три составляющие
(рис. 2.15). Для каждой из девяти составляющих можно за¬
писать уравнения сохранения. Рассмотрим, например, харак¬
тер изменения числа безработных U.
= (число рабочих, теряющих работу в единицу
времени)-Ь
+ (число безработных, прибывающих в город
в единицу времени) -f
+ (число начинающих рабочую жизнь безработ¬
ными в единицу времени)—
—- (число безработных, получающих работу в еди¬
ницу времени)—
— (число безработных, поки’-чающих город в еди¬
ницу времени)—
— (число умирающих безработных в единицу вре¬
мени). (2.95)
Предполагается, что прямой переход из группы руководящих
кадров в группу безработных и наоборот отсутствует. Форре¬
стер использует не дифференциальную форму записи уравне¬
ния сохранения, а разностную, однако основные принципы
составления уравнения остаются теми же.
Для каждого потока, содержащегося в правой части урав¬
нения (2.95), Форрестер выводит уравнения, основываясь на
102
Глава 2
доводах умозрительного характера. Например, число безра¬
ботных VA, прибывающих в город в единицу времени, при¬
нимается пропорциональным сумме безработных U и рабо¬
тающих L, умноженной на кажущуюся привлекательность
данного города РА для безработных, т. е.
UA = K{U -\-L){PA), (2.96)
где К — коэффициент пропорциональности. Постоянная К
является отношением числа безработных, прибывающих в го¬
род в единицу времени, к {U L) при РА = 1.
Значение кажущейся привлекательности района РА за¬
паздывает относительно действительной привлекательности А
со временем запаздывания т. Таким образом, если в городе
предпринимаются некоторые действия, направленные на то,
чтобы сделать его более привлекательным для безработных,
то требуется время т для того, чтобы безработный заметил
это изменение, осознал и отреагировал на это изменение.
В дифференциальной форме связь между величинами РА ц. А
с учетом запаздывания реакции на происшедшие изменения
записывается в виде уравнения
+ ,2.97)
решение которого имеет вид
РА = А + {{РА),-А]е-^1\
(2.98)
где (РЛ)о — кажущаяся привлекательность города в момент
времени t = 0. Если при ^ < О система находится в состоянии
равновесия (т. е. РА = А) и А резко изменяется, то РА при¬
ближается к новому значению Л с постоянной запаздывания т.
На рис. 2,16 показано изменение РА со временем; РА при--
уравнения неразрывности ЮЗ
ближается к новому значению А со временем запаздывания,
приблизительно равным т.
В момент времени t -f кажущаяся привлекательность
города определяется из уравнения
(РЛ),^= (РА), - ^ [(PAh - ЛЛ, (2.99)
где At — шаг по времени в расчетах РА. В предельном слу¬
чае, когда At О, уравнение (2.99) переходит в уравнение
(2.97). Согласно Форрестеру, величина т равна 20 годам.
Предполагается, что действительную привлекательность го¬
рода для безработного определяют следующие показатели,
которые характеризуют реакцию безработных на различные
условия:
Fi — степень перехода из группы безработных в группу
работающих, т. е. величина, показывающая, как часто проис¬
ходит переход из группы безработных в группу работающих.
Город тем привлекательнее, чем больше относительное количе¬
ство безработных, совершающих этот переход в данный про¬
межуток времени;
р2 — наличие жилья для безработных. Чем больше жилья,
тем привлекательнее город;
Fs — расходы на душу населения. Город тем привлека¬
тельнее, чем больше средств расходуется на обслуживание
населения;
Fi — наличие работы. Привлекательность города возра¬
стает с увеличением спроса на рабочую силу;
Fs — жилищное строительство. Чем больше строится до¬
мов в единицу времени, тем желаннее город. Форрестер вво¬
дит еще один показатель fe, который не зависит от условий,
связанных с городом. Этот показатель можно рассматривать
как параметр для определения чувствительности переменных
состояния к изменениям А. Действительная привлекатель¬
ность города определяется по формуле
A=-flF,.
i-l
Значения показателей определяются по таблицам, отра¬
жающим связь между входными и выходными переменными.
Например, значение F\ определяется по таблице, в которой
дается связь этого показателя с процентом безработных, пе¬
реходящих в течение года в группу работающих. Предпола¬
гаемая зависимость такого типа приводится в табл. 2.2.
Численное значение, онределяющёе условие, которое соот¬
ветствует каждому показателю, вычисляется как функция
104 Глава 2
Таблица 2.2
Зависимость Р\ от годового
процента безработных,
получающих работу
Годовой процент
безработных, получающих
работу
О
2.5
Б,О
7.6
10,0
12,5
15,0
Рх
0,3
0,7
1 О
1,2
1.3
1.4
1.5
переменных состояния и других параметров системы. Напри¬
мер, предполагается, что годовой процент безработных, полу¬
чающих работу, зависит от числа новых предприятий, числа
процветающих предприятий, числа предприятий, приходящих
в упадок, количества работающих, количества безработных и
от налога на душу населения.
Итак, мы определили один из потоков в правой части
уравнения (2.95) (число безработных, прибывающих в город
в единицу времени). Другие потоки (2.95) определяются сле¬
дующим образом.
Число работающих, которые теряют работу в единицу
времени, принимается зависящим от отношения числа рабо¬
тающих к числу рабочих мест. Если это отношение равно
единице, то считают, что численность теряющих работу в год
составляет 3%. С увеличением этого отношения процент те¬
ряющих работу возрастает.
Разность между относительным количеством людей, всту¬
пающих в жизнь безработными, и смертностью безработных
в год берется равной 0,015.
Как отмечалось выше, интенсивность потока из безработ¬
ных в работающие предположительно зависит от нескольких
факторов, среди которых налог на душу населения, число но¬
вых предприятий, число рабочих и так далее.
Интенсивность потока уезжающих безработных имеет об¬
ратную зависимость по отношению к тем факторам, которые
определяют интенсивность потока приезжающих безработных.
Наконец, определяются начальные условия для перемен¬
ных девяти состояний, указанных на рис. 2.15. На рис. 2.17
приведены кривые, вычисленные на ЭВМ по этой модели на
250-летний интервал времени. В течение примерно первого
Уравнения неразрывности
105
столетия будет происходить резкий рост всех переменных со¬
стояния, в течение следующего столетия будут наблюдаться
затухающие колебания около устойчивого состояния и затем
процесс стабилизируется.
Лет
Рис. 2.17. Изменение количества рабочих (а), жилищ для безработных (б)
и новых предприятий (в) в условиях города в течение 250 лет.
Важным назначением модели роста города является опре¬
деление последствий выбора различных вариантов действий.
Например, постоянная времени для переменных, представлен¬
ных на рис. 2.17, составляет 50—100 лет, так что реализация
Лет
Рис. 2.18. Изменение количества рабочих (о), жилищ для безработных (б)
ч новых предприятий (в) в условиях города при введении программы
жилищного строительства, не требующей больщих финансовых затрат.
новых решений имела бы время запаздывания по меньшей
мере в несколько десятилетий. Кроме того, если действия,
проводимые в соответствии с принятым решением, колеб¬
лются с периодом времени более коротким, чем постоянная
времени города, то не следует ожидать значительных изме¬
нений. Это наводит на мысль о том, что плановый период для
городов должен иметь продолжительность в несколько десяти¬
летий
106 Глава 2
На рис. 2.18 показано изменение переменных, представлен¬
ных на рис. 2.17, после того как достигнуто стационарное со¬
стояние и началось осуществление программы строительства
дешевого жилья. Каждый год дешевое жилье получают 2,5%
безработных, и, следовательно, обеспечение безработных
жильем улучшается. Однако в результате жилищного строи¬
тельства растут налоги и сокращается площадь незанятой
земли. Это делает город менее перспективным для строитель¬
ства промышленных объектов, и, следовательно, их число
уменьшается. Вследствие малого числа свободных мест ра¬
боты работающая часть населения в городе сокращается, а
недостаток рабочих создает дополнительные трудности для
строительства новых предприятий. Таким образом, происхо¬
дит значительное сокращение как работающего населения,
так и числа новых предприятий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Watt К. Е. F., Ecology and Resource Management, McGraw-Hill, New
York, 1968, p. 292.
2. Keineny J. G., Snell J. L„ Finite Markov Chains, Van Nostrand, Prin¬
ceton, N. J., 1959.
3. Chernoff H., Moses L. E., Elementary Decision Theory, 5th print, Wiley,
New York, 1967, p. 305.
4. Streeter H. W„ Phelps E. B., A Study of the Pollution and Natural
Purification of the Ohio River, U. S. Public Health Bull., 146, Feb. 1925.
5. Liebman J. C., Lynn W. R„ Water Resour Res., 2 (3), 581—591 (1966).
6. Pantell R. H., Puthoff H. E., Fundamentals of Quantum Electronics,
Wiley, Ch. 4, New York. 1969.
7. Lotka A. J., Elements of Physical Biology, Williams and Wilkins, Bal¬
timore, 1925.
8. Pielou E. C,, An Introduction to Mathematical Ecology, Wiley, Ch. 6,
New York, 1969.
9. Stephens E. R., J. of the Air Pollut. Control Assoc., 19 (3), 181—185
(1969).
10. Kneese A. V., Ayres R. U., d’Arge R. C., Economics and the Environ¬
ment, Materials Balance Approach, Resources for the Future, Inc., Johns
Hopkins Press, Baltimore, 1970
11. Panofsky H. A., Amer. Sci. 57 (2), 269—285 (1969).
12. Cm. Plonsey R., for example, Collin R. E., Principles and Applications
of Electromagnetic Fields, McGraw-Hill, New York, 1961, pp. 181—189.
13. Ibid., pp. 169—170.
14. Forrester J. W., Urban Dynamics, M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1969,
pp. 12—37.
15. A number of papers critiquing Forrester’s model are included in IEEE
Trans, on Systems, Man and Cybernetics, SMC-2, 2 (Apr. 1972).
Задачи
2.1, Для некоторой группы населения вероятность рожде¬
ния в единицу времени выражается формулой
(0,2 + 0.01Л/)с-‘,
уравнения неразрывности 107
а вероятность смерти в единицу времени — формулой
0,02Nc'K
Приняв первоначальную численность населения равной
N = Б, начертите график решения детерминистического урав¬
нения. Определите установившееся решение. Используя табли¬
цу случайных чисел и взяв в качестве шага дискретности вре¬
мени величину 0,3 с, нанесите 300 точек зависимости числен¬
ности населения от времени.
2.2. Пусть течение реки имеет постоянную реаэрации,
равную 0,4 1/день, а постоянную потребления кислорода 0,26
1/день. Какой должна быть максимально допустимая вели¬
чина биохимической потребности кислорода (БПК) в зоне
загрязнения, чтобы в любом месте течения дефицит кислоро¬
да не превышал 5 мг/л? (Предполагается, что источники за¬
грязнения в верхнем течении реки отсутствуют.)
2.3. Напишите систему уравнений неразрывности для на¬
селения численностью Ni (группа 1), N2 (группа 2) и N3
(группа 3) при следующих условиях:
— группы 2 и 3 отсутствуют, а группа 1 растет со ско¬
ростью, пропорциональной ее численности;
— численность группы 3 возрастает за счет группы 1;
— численность группы 2 возрастет за счет членов груп¬
пы 3, а численность группы 1 — за счет членов группы 2;
— группы 1 и 3 отсутствуют, а в группе 2 происходят два
процесса, один из которых способствует росту группы — рож¬
даемость превышает смертность —, а другой — уменьшению
группы в результате встреч между ее членами;
— группы 1 и 2 отсутствуют, а прирост населения группы
3 равен нулю. Определите знаки коэффициентов в получен¬
ных уравнениях.
2.4. Экологическая система хищник — жертва находится
в равновесии при численности хищников, равной 100 000, и
жертв — 75 ООО. Предположим, что необходимо произвести
убой хищников для заготовок продуктов питания и, кроме
того, желательно обеспечить максимальные поставки продук¬
тов питания. В связи с этим немедленно производится убой
50 ООО хищников без изменения численности жертв. Спустя
некоторое время обнаруживается, что численность хищников
и жертв возросла до 80 000 и 112 500 соответственно. Какое
максимальное число жертв можно ожидать? (Ркпользуйте
уравнения Лотка — Вольтерра.) Если бы возникла необхо¬
димость в кратчайший срок увеличить численность хищников
до 10®, то как следовало бы поступить при равновесных чис¬
ленностях?
108
Глава 2
2.5. Используя представленную ниже диаграмму, опреде¬
лите необходимые численности групп и запишите соответ¬
ствующие разностные уравнения для шага дискретности вре¬
менив 1 год. Проверьте, справедливость предположения, что
изменения численности групп, обусловленные отчислением,
смертью и уходом на пенсию, пропорциональны соответствую¬
щим численностям. Определите, все ли факторы учтены в этой
диаграмме, и если нет, то укажите, какие и являются ли они,
по вашему мнению, существенными для системы.
2.6. Выведите в общем виде уравнение для концентрации
Cl загрязнителя воздуха при отсутствии ветра (vm = 0) и при
условии, что поток загрязняющего вещества определяется в
основном диффузией (Si = О и D; = 0).
2.7. Просмотрите последние данные о зависимости смерт¬
ности от возраста d{a) в Соединенных Штатах. Если предпо¬
ложить, что эта зависимость остается постоянной, то каким
будет распределение населения для установившегося состоя¬
ния системы? Какой процент населения будут составлять лю¬
ди в возрасте свыше 65 лет и какой в возрасте меньше
20 лет? (См. Life Insurance Fact Book, Institute of Life Insu¬
rance, New York.)
Уравнения неразрывности 109
Таблица случайных чисел
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 Ъ
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 5712 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 26 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
18 18 07 92 46 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64,05 05
26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71
23 42 40 64 74 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75
52 36 28 19 95 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 86 60 42 04 53
37 85 94 35 12 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 98 35 85 29 48 39
70 29 17 12 13 40 33 20 38 26 13 89 51 03 74 17 76 37 13 04 07 74 21 19 30
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 25 93 47 70 33 24 03 54 97 77 46 44 80
99 49 57 22 77 88 42 95 45 72 16 64 36 16 00 04 43 18 66 79 94 77 24 21 90
16 08 15 04 72 33 27 14 34 09 45 59 34 68 49 12 72 07 34 45 99 27 72 95 14
31 16 93 32 43 50 27 89 87 19 20 15 37 00 49 52 85 66 60 44 36 68 88 11 80
68 34 30 13 70 55 74 30 77 40 44 22 78 84 26 04 33 46 09 52 68 07 97 06 57
74 57 25 65 76 59 29 97 68 60 71 91 38 67 54 13 58 18 24 76 15 54 55 95 53
27 42 37 86 53 48 55 90 65 72 96 57 69 36 Ш 96 46 92 42 45 97 60 49 04 91
00 39 68 29 61 66 37 32 20 30 77 84 57 03 29 10 45 65 04 26 11 04 96 67 24
29 94 98 94 24 68 49 69 10 82 53 75 91 93 30 34 25 20 57 27 40 48 73 51 92
16 90 82 66 59 83 62 64 11 12 67 19 00 71 74 60 47 21 29 68 02 02 37 03 31
11 27 94 75 06 06 09 19 74 66 02 94 37 34 02 76 70 90 30 86 38 45 94 30 38
35 24 10 16 20 33 32 51 26 38 79 78 45 04 91 16 92 53 56 16 02 75 50 95 98
38 23 16 86 38 42 38 97 01 50 87 75 66 81 41 40 01 74 91 62 48 51 84 08 32
31 96 25 91 47 96 44 33 49 13 34 86 82 53 91 00 52 43 48 85 27 55 26 89 62
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 II 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 II 66
14 90 84 45 И 75 73 88 05 90 \52 27 41 14 86 22 98 12 22 08 07 52 74 95 80
68 05 51 18 00 33 96 02 75 19 07 60 62 93 55 59 33 82 43 90 49 37 38 44 59
'.20 46 78 73 90 97 51 40 14 02 04 02 33 31 08 39 54 16 49 36 47 95 93 13 30
64 19 58 97 79 15 06 15 93 20 01 90 10 75 06 40 7 8 78 89 62 02 67 74 17 33
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
68 71 86 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 И 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
Эта таблица перепечатана из книги Фишера и Ятса, Statisti¬
cal Tables for Biological, Agricultural and Medical Research,
Longman, London (previously published by Oliver and Boyd,
Edinburgh), с разрешения авторов и издателей.
Глава 3
Экономические аспекты
проблемы управления окружающей
средой
3.1. Введение
в связи с истощением природных ресурсов и необходи¬
мостью контроля за загрязнением среды возрос интерес к
проблемам управления окружающей средой, что в свою оче¬
редь способствовало появлению большого числа работ, в ко¬
торых рассматриваются экономические аспекты этих про¬
блем [1 —10]. Экономический подход к решению проблемы
управления окружающей средой состоит в нахождении де¬
нежного эквивалента для всех возможных воздействий па ок¬
ружающую среду с последующим определением тех условий
ее эксплуатации, при которых возможно достичь максималь¬
ной разницы между выгодами и затратами.
Как будет показано в разд. 3.5, при реализации товаров
максимизация чистой выгоды (или прибыли) происходит ав¬
томатически, если выполняются следующие условия;
— производители и потребители стремятся оптимизиро¬
вать свои выгоды;
— производственные затраты и отпускные цены являются
функциями объема товарооборота;
— соотношение между затратами и ценами (кривые пред¬
ложения и спроса) не зависит от воли производителя и по¬
требителя;
— действия одного лица не затрагивают интересы других
лиц;
— все ресурсы и товары являются частной собствен¬
ностью.
Хотя эти условия соответствуют идеальному положению дел
на рынке, тем не менее такая модель во многих случаях ока¬
зывается справедливой'), поскольку предполагаемая макси¬
мизация чистой выгоды для общества в целом близка к ис¬
тинной. (Следует заметить, что данная модель не учитывает
распределения доходов между различными группами обще¬
ства, например среди бедных и богатых, и, возможно, что с
этой точки зрения оптимизация чистой выгоды для общества
*) То есть может быть использована для анализа ситуаций в той ча¬
сти мира, где властвует капитализм. — Ярыж. ред.
Экономические аспекты проблемы упраплепия средой 111
В целом может быть не достаточно удовлетворительной. Воз¬
можность справедливого распределения доходов между всеми
группами общества обсуждается отдельно.) Однако в случае
проблем окружающей среды, в частности проблем, связанных
с контролем за загрязнением среды, не все эти условия вы¬
полняются, т. е. такая модель не соответствует реальной
действительности. Во-первых, часто не выполняется условие,
которое заключается в том, что действия одного лица не долж¬
ны затрагивать интересы других лиц. Так, например, бумаж¬
ная фабрика, загрязняющая реку или окружающую атмосфе¬
ру, наносит ущерб без соответствующей компенсации лицам,
которые используют воду и воздух. Такие действия называют
внешним эффектом. Во-вторых, цепы на природные ресурсы
в основном не установлены. Какова, например, стоимость не¬
загрязненного водоема? В-третьих, такие природные ресурсы,
как воздух и вода, обычно не являются частной собствен¬
ностью, и, следовательно, трудно определить их приемлемую
стоимость. Ухудшение качества окружающей среды, по край¬
ней мере частично, является результатом несоответствия
идеального положения дел на рынке действительному поло¬
жению [11]. Тот факт, что отходы производства часто яв¬
ляются внещнимн факторами (внешним эффектом), означает,
что стоимость ущерба, причиненного окружающей среде в ре¬
зультате неправильного обращения с отходами, не входит в
затраты производителя. Что может заставить бумажную фаб¬
рику, главной целью которой является оптимизация прибыли,
очищать водоемы, если она не несет никакой материальной
ответственности за слив отходов в водоемы? Отсутствие конт¬
роля использования природных ресурсов может привести к их
быстрому истощению, так как каждый стремится максималь¬
но увеличить свою долю в общих поставках. Издержки ис¬
пользования, которые являются вмененными издержками,
связанными с благоприятной возможностью потребления чего-
то в счет будущих доходов, до сих пор не изучены должным
образом. Как показано в работах [12—14], для решения про¬
блем, связанных с уменьшеннем внешнего эффекта и предот¬
вращением истощения природных ресурсов, необходимо вме¬
шательство государства. Возможные формы такого вмеша¬
тельства (контроль, субсидирование, обложение налогами)
рассматриваются в разд. 3.6—3.8.
3.2. Затраты и выгоды
Экономический подход к решению проблем управления
окружающей средой включает определение затрат, выгод и
оптимизацию чистой выгоды.
112
Глава 3
Определение затрат
Для осуществления проектов (или выполнения программ),
связанных с управлением окружающей средой или с контро¬
лем за загрязнением среды, необходимы рабочая сила, капи¬
тал, земля и материалы, что в свою очередь требует опреде¬
ленных затрат со стороны общества. При этом предпола¬
гается, что из всех возможных вариантов использования
указанных факторов выбирается наиболее желательный. За¬
траты, включающие расходы на строительство или капиталь¬
ное оборудование и называемые капитальными затратами,
зависят от вместимости запруженных водоемов, выходной
мощности генератора, емкости очистительных сооружений
и т. д. Эксплуатационные затраты — это расходы на ведение
работ, куда входят зарплата рабочих, аренда земли, стои¬
мость необходимых материалов. Капитальные и эксплуата¬
ционные затраты не являются независнмыми. Например,
крупные капиталовложения в капитальное оборудование
могут сделать процесс производства более эффективным, сле¬
довательно, снизят эксплуатационные затраты. Там, где это
возможно, оценка затрат проводится с учетом расходов, ко¬
торые имели место при реализации аналогичных проектов.
И все-таки оценка затрат до некоторой степени затрудни¬
тельна, так как неизвестно, насколько меняется величина рас¬
ходов на реализацию проекта вследствие использования
новой техники или новой технологии.
Таблица 3.1
Затраты на осуществление контроля за загрязнением воды
в период 1970—1975 гг. (млрд. долл.)
Расходы
Капитальные
Эксплуата¬
ционные
Полные
Государственные
Из федерального бюджета
0,3
1.3
1.6
Из бюджета штатов и местные
13.6
9,3
22,9
Всего
13,9
10,6
24,5
Частные
Промышленные
4,8
7,2
12,0
Другие
0,5
1,0
1.5
Всего
19,2
18,8
38,0
Экономические аспекты проблемы управления средой
113
Таблица 3.2
Затраты на осуществление контроля за загрязнением воздуха
в период 1970 — 1975 гг. (млрд. долл.)
Расходы
Капитальные
Эксплуата¬
ционные
Полные
Федеральные
Частные
0,4
13,4
Всего
13,8
1,2
8,7
1,6
22,1
9,9
23,7
В табл. 3.1 И 3.2 дана оценка расходов, необходимых для
достижения в период 1970—1975 гг. установленных норм ка¬
чества воздуха и воды [15]. Помимо затрат на ресурсы могут
возникнуть затраты (издержки), связанные с обесцениванием
таких ресурсов, как земля, материалы, рабочая сила и ка¬
питальные сооружения. Так, например, если завод закры¬
вается, так как высокая стоимость очистных сооружении
делает его нерентабельным, и для рабочих этого завода от¬
сутствует возможность другого трудоустройства, то часть
из них останется без работы. Или если кто-то владеет земель¬
ным участком, на котором находится месторождение богатого
серой горючего, то этот участок будет приносить меньший до¬
ход, так как горючее нельзя сжечь из-за ограничений по за¬
грязнению атмосферы. Как правило, издержки такого рода
оценить труднее, чем вычислить стоимость производственных
ресурсов, и в большинстве случаев они значительно меньше
стоимости ресурсов и обычно не учитываются при расчетах
затрат и выгод. Однако, несмотря на то что совокупные из¬
держки, вызванные обесцениванием ресурсов, вероятно, мень¬
ше совокупной стоимости производственных ресурсов, «стои¬
мость» безработного очень велика.
Определение выгод
Денежные выгоды от проектов управления или контроля
окружающей средой могут быть либо прямым, либо косвен¬
ным результатом проведения программ, реализующих такие
проекты. Прямой эффект от строительства плотины можно
выразить как сокращение затрат на подачу воды по отноше¬
нию к затратам, связанным с нодачей воды к гидроэлектро¬
станциям с помощью существующих методов. В качестве кос¬
венной выгоды можно рассматривать повышение урожая сель¬
скохозяйственных культур в результате орошения, которое
стало возможным благодаря строительству плотины.
114 Глава 3
Не существует единой оценки выгод, не имеющих денеж¬
ного выражения (например, выгоды сохранения эстетического
вида). Один из способов оценки выгод основан на анализе
кривых одинаковой полезности или определении денежного
эквивалента выгоды путем установления связи между выго¬
дой и «готовностью заплатить» (готовность заплатить — сум¬
ма, которую потребитель готов заплатить за определенные
удобства, связанные с окружающей средой, даже если в дей¬
ствительности он ничего не платит).
Существует несколько способов оценки готовности запла¬
тить. Если правительство планирует проведение работ по
созданию условий для отдыха на побережье, то в этом случае
готовность заплатить оценивается как плата за существую¬
щие аналогичные удобства, находящиеся в частном владении.
Кроме того, можно провести опрос с целью определения раз¬
мера взносов, которые готовы внести отдельные лица.
Например, при анализе затрат и выгод, получаемых при
контроле за загрязнением воды в реке Делавэр, потребовалась
оценка выгод, которые могли быть получены в том случае,
если долина реки станет местом отдыха [16]. Было установ¬
лено, что существующий уровень загрязнения воды препят¬
ствует использованию долины реки как места отдыха. На осно¬
вании прогнозов численности населения и экономического раз¬
вития района, прилегающего к реке, определили число челове¬
ко-дней лодочных прогулок и рыбной ловли для данного района
при условии осуществления контроля за загрязнением. Так
как каждый человеко-день оценивался в готовности заплатить
сумму приблизительно равную 3 долл., то выгоды, получае¬
мые от использования долины реки как места отдыха, ока¬
залось возможным оценить в долларах.
В табл. 3.3 приведен пример анализа затрат и выгод, по¬
лучаемых от реализации государственного плана защиты от
эрозии побережья в округе Сент-Джонс, шт. Флорида [17].
Большая часть берега в окрестностях округа Сент-Джонс
была разрушена под действием волн и течений, и частные
владения, расположенные вдоль береговой линии, были силь¬
но повреждены. По мнению сотрудников инженерных войск,
сооружение насыпи вдоль побережья позволило бы предо¬
хранить частные владения от дальнейн1его разрушения и,
кроме того, сделать морской берег пригодным для отдыха.
Отношение выгод к затратам асимптотически приближается
к значению 1,5 и остается близким этой величине в течение
более 10 лет. В этом примере большая часть выгод, согласно
опенкам готовности заплатить, связана с использованием по¬
бережья как места для отдтзтха. Более умеренная оценка вы¬
год, связанных с использованием побережья как места для
экономические аспекты проблемы управления средой
115
Таблица 3.3
Оценка затрат и выгод предотвращения эрозии
морского берега (долл.)
Оценка начальных затрат
Сооружение насыпи
Проектирование и пла¬
нирование
Надзор и управление
Земельные участки, пе¬
ресечение чужих зе¬
мель, отдаленность от
дорог, перенесение
объектов в другие
места
2 446 ООО
120 ООО
150 000
2 716 000
110 000
2 826 ООО
Оценка годовых затрат
Периодическое укрепле¬
ние берега (восстано¬
вление насыпи)
530 ООО
Оиенка годовых выгод
Федеральные
Выгоды, связанные с
предотвращением по¬
вреждений берега
Выгоды, связанные с
образованием места
отдыха (оцененные в
готовности заплатить)
Выгоды, связанные с
возможностью нави¬
гации в районе порта
Сент-Августин
Государст¬
венные
35 ООО
420 ООО
Частные
248 000
83 ООО
Итого
283 ООО
420000
83 ООО
Всего
83 ООО
455 ООО
248 ООО
786 ООО
отдыха, по-видимому, значительно понизила бы отношение
выгод к затратам.
Определение готовности заплатить эквивалентно опреде¬
лению полезности, если полезность измеряется в долларах.
Согласно анализу, который будет проведен в гл. 4, типичная
кривая зависимости полезности от объема потребления Q
(часы отдыха, число автомобилей и т. д.) имеет тенденцию
к насыщению с увеличением Q (рис. 3.1). Производная от
функции и (Q) (dU(dQ) есть приращение полезности на
lie Глава 3
еднницу объекта потребления и, следовательно, представляет
собой стоимость каждой дополнительной единицы объекта по¬
требления в долларах. Это количество долларов на единицу
объектов является ценой, которую общество готово запла¬
тить за каждую следующую единицу объектов.
Кривая, представленная на рис. 3.2, определяет характер
поведения производной df//dQ, и так как она выражает спрос
на объекты потребления, то называется кривой спроса.
Если обеспечивается объем потребления, равный Qs, то,
как показано на рис. 3.3, получаемый доход равен PsQs- Од¬
нако большая часть потребителей готова заплатить больше
чем Ps, так что выгода, определяемая готовностью запла¬
тить, превышает доход. В соответствии с рассмотрением, при¬
веденным выше, цена P{Q) выражается как
(3.1)
и, следовательно, совокупная полезность для объема по¬
требления Qs будет
о*
U=\p{Q)dQ. (3.2)
о
Площадь прямоугольника PsQs (рис. 3.3) определяет доход,
в то время как площадь фигуры, ограниченной кривой меж¬
ду О и Qs, дает выгоду, определяемую готовностью запла¬
тить. В том случае, когда нет никакого дохода, т. е. цена
равна нулю, выгода, определяемая готовностью заплатить,
может быть рассчитана по формуле (3.2) при условии, что
Qs—*’оо. Таким образом можно оценить полезность, получа¬
емую от бесплатного пользования местами отдыха, сохране¬
ния живописных мест или защиты флоры.
В некоторых случаях трудно определить готовность за¬
платить. Например, для большинства людей было бы затруд¬
нительно назначить плату за чистый воздух, так как неиз¬
вестны выгоды, которые приносит определенное улучшение
качества воздуха. В этом случае более целесообразно опре¬
делять выгоды, связанные с контролем загрязнения, путем
оценки размера ущерба, которого можно избежать в случае
осуществления программы по очистке воздуха.
Загрязненный воздух наносит ущерб здоровью людей,
растительности, ценностям и их стоимости. Как всегда, воз¬
никает проблема взаимосвязи двух разнотипных переменных,
например таких, как здоровье и доллары. В работе [18] бы¬
ло найдено количественное соотношение между качеством
воздуха и коэффициентом смертности [18]. На основании
Экономические аспекты проблемы управления средой П7
Рис. 3.1. Зависимость полезности U от количества товаров Q.
Рис. 3.2. Кривая спроса.
Рис. 3.3. Зависимость стоимости P(Q) от количества товаров Q.
Площадь прямоугольника OP^RQ^ определяет доход, а площад под кривой между
Qb^O и определяет готовность заплатить.
118 Глава 3
этого соотношения оказалось возможным получить зависи¬
мость изменения коэффициента смертности от степени улуч¬
шения качества воздуха. Кроме того, было сделано предпо¬
ложение, что ущерб, оцениваемый в долларах и связанный с
преждевременной смертью, наступившей вследствие отравле¬
ния загрязненным воздухом, выражается количеством поте¬
рянного заработка. Ущерб, связанный с болезнью, предпола¬
гался равным потере заработка плюс стоимость лечения. По¬
лученная на этой основе годовая (1963 г.) выгода в масштабе
государства при 50%-ной очистке воздуха от пыли и окисей
серы составляла 2 млрд. долл. (долларовый эквивалент здо¬
ровья) [18].
Итак, затраты и выгоды можно представить следующим
образом:
Затраты
а. Затраты на производственные ресурсы (рабочая сила,
материалы, капитал, земля):
— капитальные затраты (расходы на капитальное обору¬
дование) ;
— эксплуатационные затраты.
б. Факторы затрат (обесценение основных факторов про¬
изводства) .
Выгоды
а. Денежные:
— прямые (например, понижение стоимости электроэнер¬
гии благодаря наличию плотины);
— косвенные (например, повышение урожая сельскохо¬
зяйственных продуктов благодаря орошению водой из запру¬
женного водоема).
б. Неденежные:
— готовность заплатить (определяется с помощью кри¬
вой спроса);
— избежание ущерба.
Оптимизация чистой выгоды (или прибыли)
Если затраты и выгоды имеют денежное выражение (дол¬
ларовый эквивалент), то можно определить функцию полез¬
ности, или целевую функцию, которая выражает чистую вы¬
году, т. е. разность между выгодами и затратами. При
рассмотрении проблемы загрязнения среды в качестве незави¬
симых переменных используются ресурсы (земля, рабочая
сила, капитальные сооружения и материалы), необходимые
для осуществления контроля загрязнения, применяемая тех¬
нология и псоцент вторичного сырья. В этом случае оптими¬
Экономические аспекты проблемы управления средой 119
зация чистой выгоды по отношению к независимым перемен¬
ным дает желаемые условия работы.
Такой способ оптимизации чистой выгоды не является
единственно возможным. Можно, например, установить до¬
пустимый уровень загрязнения, и тогда затраты, необходи¬
мые для достижения этого уровня, минимизируются. Это по¬
зволяет избежать необходимости определения долларового
эквивалента выгод. Допустимый уровень загрязнения можно
установить с учетом влияния загрязнения на здоровье людей
или с учетом технической выполнимости контроля загрязне¬
ния. Более подробное рассмотрение различных вариантов оп¬
тимизации чистой выгоды дано в разд. 1.5 при обзоре мето¬
дов анализа эффективности затрат (или экономической эф¬
фективности).
Кто платит и кто получает выгоду?
Оптимизация чистой выгоды обычно выполняется для
всего общества в целом, и при этом не делается различия
между темн слоями общества, которые несут затраты, и те¬
ми, кто получает выгоды (прибыли) [10]. Улучшение каче¬
ства воздуха особенно важно для районов, примыкающих к
центру города, где, как правило, живут семьи с малым дохо¬
дом. Состоятельные члены общества имеют возможность
жить в предместьях города, где вода и воздух обычно чище.
В результате улучшения качества воды выгоды в основном
связаны с возможностью использовать дополнительные ме¬
ста отдыха, что в большей степени отвечает интересам семей
с большим доходом.
Затраты государства на осуществление контроля загрязне¬
ния или на выполнение программы обслуживания населения
возмещаются в виде налогов или платы за обслуживание. Ес¬
ли налоги вводятся федеральным правительством, то это мо¬
жет быть прогрессивное обложение налогом, т. е. лица, име¬
ющие больший доход, платят более высокий процент налога.
Если налог имеет местный характер, например налог на про¬
дажу товаров, то он будет регрессивным, так как лица с ма¬
лым доходом будут платить более высокий процент налога.
Плата за обслуживание, например за снабжение электро¬
энергией и водой, которое стало возможным в результате со¬
оружения плотины, обычно ложится на потребителя в виде
более высоких цен на товары, производство которых требует
участия этих служб. Такое обложение также регрессивно, так
как равное прирап^енне стоимости для богатого и бедного
означает более высокий процент для лиц, имеющих малый
доход. Если затраты на ресурсы производятся частными
120 Глава 3
предприятиями, то и в этом случае цены на товары повы¬
шаются.
Фримен и др. рассматривают два способа, с помощью ко¬
торых возможно облегчить участь тех, кто страдает от бре¬
мени регрессивных затрат: субсидии и помощь «в перестрой¬
ке». Субсидии могут выплачиваться из федерального бюд¬
жета, и в этом случае бремя налога ложится на плечи
налогоплательщика. Таким образом, увеличение регрессивных
затрат на продукцию может быть преобразовано в прогрес¬
сивное обложение подоходным налогом. Однако при субси¬
дировании затрат отсутствует стимул у загрязняющего сре¬
ду уменьшить загрязнение путем изменения вида продукции,
улучшения процесса производства, организации замкнутых
циклов или других мер, так как при этом загрязняющий сре¬
ду не воспринимает отходы производства как часть своих
затрат.
Поэтому Фримен и др. [10] отдают предпочтение второму
способу. Если рабочий становится безработным, то он имеет
возможность пройти переподготовку или получать пособие
по безработице; если закрывается завод, то выделяется ссу¬
да на реконструкцию, а также оказывается техническая по-
моп1,ь предприятиям для развития выпуска новой продукции.
При таком способе можно достичь более равномерное рас¬
пределение затрат на осуществление контроля загрязнения
среды и при этом сохраняется стимул для уменьшения за¬
грязнения у загрязпяющ,его среду.
3.3. Затраты и выгоды как функции времени
Затраты на осуществление государственных проектов или
на осуществление контроля за загрязнением и выгоды, кото¬
рые при этом получают, зависят как от времени, так и от
объема проводимых работ. Рассмотрим долгосрочную госу¬
дарственную программу, такую, например, как строительство
плотины. На начальном этапе программы требуются расходы
на планирование и проектирование; выгоды на этом этапе от¬
сутствуют (этап I, рис. 3.4). Следующий этап включает строи¬
тельство плотины и установку оборудования. В течение этого
периода времени годовые затраты достигают максимума, а
затем начинают уменьшаться в процессе завершения строи¬
тельства. Основные расходы на этапе II составляют капи¬
тальные затраты. Выгоды проявляются на этапе III, когда
проект приводится в действие. В процессе выполнения такой
программы выгоды могут снизиться из-за введения новой
Технологии или из-за других зависящих от времени факторов
Экономические аспекты проблемы управления средой
121
(например, перемещение населения). На этапе III расходы
являются в основном эксплуатационными, и они в течение
долгого периода времени остаются относительно постоянны¬
ми, пока выход из строя или износ оборудования не приве¬
дет к увеличению годовых расходов. Экономической жизнью
программы является период времени от начала ее выполнения
до того момента времени, когда чистая годовая прибыль (вы¬
года) падает до нуля. После этого программа лншь требует
ежегодных расходов и не является больше рентабельной. Для
Рис. 3.4. Зависимости годовых выгод и затрат от времени.
Этап I —планирование и проектирование; Этап И —конструирование и установка:
Этап III —эксплуатация.
выполнения больших программ, таких, как строительство
плотин, может потребоваться 30 лет для завершения первых
двух этапов, а рабочий период может продолжаться от 50 до
150 лет. Совокупные выгоды и издержки, полученные путем
интегрирования функций, соответствующих кривым рис. 3.4,
показаны на рис. 3.5. Экономической жизнью является вре¬
мя, необходимое для того, чтобы совокупная чистая выгода
достигла максимальной величины.
Затраты и выгоды с течением времени обесцениваются, и
поэтому, чтобы отразить действительную выгодность будущих
затрат и выгод, можно связать их со стоимостью на данное
время. Например, если деньги вложены при годовой норме
процента, равной 6%, то 100 долл., полученных по прошест¬
вии 12 месяцев, имеют стоимость в настоящее время
(1/1,06)-100 долл. = 94 долл., так как немедленный вклад
94 долл. дает через год 100 долл. при 67о-ном годовом дохо¬
де. Если Pi — чистая выгода (или прибыль), полученная в
1-й год, и годовая норма процента равна /, то стоимость
122
Глава 3
проекта на данное время выражается как
лг
Pi
pw=Y.
г-0
{!+/)* ’
(3.3)
где /V —экономическая жизнь проекта в годах. При pw = Q
стоимость выгод за данный период времени в точности рав¬
на стоимости затрат за данный период времени.
Как следует из формулы (3.3), стоимость за данный пери¬
од времени может возрастать или убывать при изменении ве¬
личины j. В частности, в те периоды времени, когда долго¬
срочная процентная ставка меняется, можно рассматривать
г§ О
1
Время
Этап! ЗтапП
Этап III
Рнс. 3.5. Зависимость совокупных выгод (/), совокупной чистой вы¬
годы (2) и совокупных затрат {3) от времени.
интервалы ее значений. Те, кто высказываются за государст¬
венные проекты, предполагают низкое значение нормы про¬
цента j, а противники таких проектов — более высокие зна¬
чения /.
Если на ранних этапах осуществления программы < О
(как правило, это имеет место, так как затраты на планиро¬
вание и проектирование предшествуют выгодам, а совокупная
чистая выгода за экономическую жизнь положительна), то
всегда можно выбрать значение величины / настолько боль¬
шим, чтобы pw = 0. Значение /, при котором величина pw
обращается в нуль, называется внутренней нормой прибыли
проекта^). Если возможные нормы процента на инвестирова¬
ние капитала превышают внутреннюю норму прибыли, то
величина pw отрицательна и реализация проекта принесет
*) Очевидно, что эта величина зависит от М. — Прин. ред.
Экономические аспекты проблемы управления средой 123
убытки. В том случае, когда норма процента ниже внутрен¬
ней нормы прибыли, проект дает прибыль. Следовательно,
внутренняя норма прибыли является той нормой прибыли, на
основании которой проект может быть отклонен исходя из
того, что стоимость за заданный период времени должна быть
положительной.
Если L — начальные затраты, а В — чистая прибыль, ко¬
торую получают ежегодно с момента реализации проекта, то
можно показать, что внутренняя норма прибыли есть BjL.
Из выражения (3.3) находим
РШ = -£,+ в|;-^=-/,+4.
Если pw = О, то / = B/L.
3.4. Затраты и выгоды в зависимости
от масштаба проекта
При увеличени масштаба проекта, например емкости
водохранилища или размера очистных сооружений для
сточных вод, затраты монотонно возрастают’). Кривая зави¬
симости затрат от масштаба показана на рис. 3.6. Наклон
кривой затрат определяет затраты на единицу увеличения
масштаба, которые уменьшаются из-за экономии в результате
увеличения масштаба производства. Стоимость сотого авто¬
мобиля, производимого ежегодно маленьким заводом, выше,
чем стоимость 100 000-го автомобиля подобной конструкции,
производимого большим заводом. Эффект понижения затрат
на каждую дополнительную единицу продукции при увеличе¬
нии масштаба называется экономией масштаба. При дальней¬
шем росте масштаба проекта наклон кривых затрат обычно
увеличивается, т. е. затраты на каждую дополнительную еди¬
ницу продукции растут, что может быть связано с усложне¬
нием управления производственными процессами или с ис-
пользованнем специального оборудования.
С увеличением масштаба проекта выгоды растут, но на¬
клон кривых уменьшается, так как вследствие насыщения
рынка снижается спрос па дополнительную продукцию. Вы¬
годы и затраты (рис. 3.6) могут быть установлены для боль¬
шого промежутка времени (предполагается, что все будущие
прибыли отнесены к их стоимости на данное время путем
учета дисконтирования ^).
’) То есть затраты являются вогнутой функцией «масштаба» проек¬
та. — Прим. ред.
2) То есть обесценивания со временем. — Прим. ред.
124 Глава 3
Экономическим критерием для выбора масштаба проекта
является максимальная чистая выгода р, которая определя¬
ется из условия, чтобы
ds ds ds
Точки / и 2 на рис. 3.6 соответствуют значениям масштаба,
для которых это условие выполняется. Производная db/ds
есть предельная выгода по отношению к изменению масшта¬
ба, а dc/ds — предельные затраты по отношению к изменению
масштаба. Из уравнения (3.4) следует, что в точке, соответ¬
ствующей максимальной чистой прибыли, предельные выгода
и затраты равны.
Если найти производную функций, описываемых кривыми
1 п 2 dbjds и dc/ds (см. рис. 3.6), то можно построить зави¬
симость предельных выгод и затрат от масштаба проекта
(рис. 3.7). Из анализа этих зависимостей следует, что пони¬
жение предельных затрат в результате экономии масштаба
происходит до тех пор, пока его дальнейшее увеличение ста¬
новится нерентабельным. Максимальная чистая выгода опре¬
деляется или как разность функций, описываемых кривыми
рис. 3.7, или как их частное. Из уравнения (3.4) следует, что
условие максимальной чистой выгоды требует выполнения
равенства
db/ds db ,
и, следовательно, в точке пересечения кривых рис. 3.7
(dp/ds) = 0.
На рис. 3.8 показана зависимость функции db/dc от мас¬
штаба. В точках / и 2 db/dc = 1, но положительный наклон
в точке 1 указывает, что она соответствует величине рмин, в то
время как отрицательный наклон в точке 2 дает величину
Рмакс. Следовательно, точка 2 является масштабом проекта,
который максимизирует действующую стоимость чистой вы¬
годы. На этом рисунке представлена также зависимость от¬
ношения Ь/с от масштаба, которая часто используется в ка¬
честве критерия рентабельности предприятия. Однако в
общем случае точка максимума на кривой Ь/с не соответ¬
ствует максимальной чистой выгоде и обычно сдвинута в сто¬
рону меньших масштабов.
Если чистая выгода является функцией нескольких пере¬
менных X, у и Z, то при отсутствии ограничений на систему,
т. е. в том случае, когда величины х, и г не связаны между
I
Экономические аспекты проблемы управления средой
125
Рис. 3.6. Зависимость действующей стоимости затрат (/), действующей
стоимости выгод (2) и чистой выгоды (3) от масщтаба s проекта.
Рис. 3.7. Зависимость предельных затрат и выгод от масштаба s проекта.
Рис. 3.8. Зависимость отношения предельных выгод к предельным затра¬
там и выгод к затратам от масштаба s проекта.
Точка 2 соответствует масштабу проекта с максимальной чистой выгодой.
126 Глава 3
собой, точка, соответствующая максимальной чистой выгоде,
задается равенстпами
дЬ дс дЬ дс дЬ дс
дх дх ’ ду ду ’ дг дг '
(3.6)
В экстремальной точке, т. е. в точке, соответствующей макси¬
мальной чистой выгоде, предельная выгода равна предельным
затратам относительно каждой переменной (переменными мо¬
гут быть численность нанятых рабочих, капиталовложения,
масштаб проекта). Например, в точке максимума чистой вы¬
годы предельная выгода относительно увеличения рабочей
силы равна соответствующим предельным затратам.
3.5. Спрос и предложение
в предыдущем разделе было показано, что чистая выгода
становится максимальной, когда предельная выгода равна
предельным затратам. При определенных допущениях это
условие выполняется в сфере производства и сбыта товаров.
Однако, когда в процессе производства образуются отходы,
загрязняющие среду, эти допущения оказываются неприемле¬
мыми и возникает проблема загрязнения окружающей среды.
Представляется целесообразным дать некоторое представ¬
ление о рыночном обмене и его неспособности разрешить
проблему загрязнения окружающей среды. Кривая спроса
(см. рис. 3.2) определяет цену, которую покупатели готовы
заплатить за каждую дополнительную единицу товара в за-
внспмости от имеющегося количества товаров. Цена равна
предельной полезности (или выгоде), соответствующей коли¬
честву товаров.
Кривая спроса (см. рис. 3.2) представляет собой функцио¬
нальную зависимость цены от количества товара. Для того
чтобы получить единственные равновесные значения этих пе¬
ременных, необходимо найти зависимость отпускной цены то¬
вара от количества товара, которое производитель готов
обеспечить, т. е. построить кривые предложения. Как пра¬
вило, чем выше цена, тем больше товаров производится, и
производная от функции P{S) везде положительна.
На рис. 3.9 показаны кривые спроса и предложения. Если
количество изготовленной и реализованной продукции Qi
меньше количества, соответствующего точке пересечения двух
кривых, то цена Pi, которую покупатель готов заплатить, со¬
ответствует большему количеству продукции по кривой пред¬
ложения, и поэтому производители заинтересованы в увели¬
чении выпуска продукции. Если количество изготовленной и
Экономические аспекты проблемы управления средой
127
реализованной продукции Qz больше, чем количество, зада-
ваемое точкой пересечения, то цена, которую покупатель го¬
тов заплатить, соответствует меньшему количеству продукции
по кривой предложения. В этом случае производитель вынуж¬
ден сократить производство товаров. Точка пересечения кри¬
вых дает равновесные значения количества и цены товара. На
рынке свободной конкуренции равновесие (см. рис. 3.9) соот¬
ветствует условию максимальной чистой выгоды, когда пре¬
дельная выгода равна предельным затратам. Если предель¬
ная выгода (т. е. готовность заплатить за дополнительную
Рис. 3.9. Кривые предложения (/) и спроса (2).
Равновесие предложения и спроса имеет место в точке (Р«. Qa).
единицу продукции) превышает предельные затраты (т. е. за¬
траты на производство дополнительной единицы продукции),
то производство продукции увеличивается, так как это дает
возможность производителю повышать прибыль. Если пре¬
дельная выгода меньше предельных затрат, то производство
товаров сокращается, так как в этом случае производитель
терпит убытки.
Для того чтобы на рынке происходила оптимизация чистой
выгоды (прибыли), необходимо выполнение определенных
условий, которые рассматривались в разд. 3.1. Перечислим
их еще раз:
— производители и потребители стремятся оптимизиро¬
вать свои выгоды;
— производственные затраты и отпускные цены являются
функциями товарооборота;
— соотношение между затратами и ценами (кривые пред¬
ложения и спроса) не зависит от воли производителя и по¬
требителя;
128
Глава 3
— действия одного лица не затрагивают интересы других
лиц;
— все ресурсы и товары являются частной собствен¬
ностью.
Когда в процессе производства используются такие ре¬
сурсы окружающей среды, которые не являются частной соб¬
ственностью, как воздух и вода, и имеет место внешний эф¬
фект, т. е. действия одного лица затрагивают интересы дру¬
гих лиц, эти условия не выполняются. Таким образом, затраты
на производство занижаются вследствие отсутствия затрат,
1'
Рис. 3.10. Кривые предложения (/), (/') и спроса (2) с учетом и без
учета затрат, связанных с охраной среды.
связанных с использованием ресурсов окружающей среды, и
не производится затрат на те ресурсы, которые потребуются
для восстановления ущерба, причиненного в результате за¬
грязнения, или для предупреждения загрязнения.
Если бы эти затраты можно было определить и учесть в
затратах на производство, то кривая предложения имела бы
вид кривой 1' на рис. 3.10. При отсутствии затрат, связанных
с охраной окружающей среды, точка равновесия имеет коор¬
динаты Ро, Qo- Если приращение цены Ре, обусловленное за¬
тратами на охрану окружающей среды, прибавить к затратам
производителя, то получим кривую предложения Г, на кото¬
рой точке равновесия Pq, Qq соответствует меньшее количе¬
ство продукции и более высокие отпускные цены. Так как
повышение отпускной цены Рд — Pq меньше, чем величина Ре,
Экономические аспекты проблемы управления средой 129
ТО часть Ре оплачивается покупателями и часть производи¬
телем.
В тех случаях, когда приращение цены Ре не учитыва¬
ется, предельные затраты на производство являются занижен¬
ными. Следовательно, в точке Ро, Qo, соответствующей
начальному равновесию, предельные затраты превыщают
предельную прибыль. Если при определении предельных за¬
трат производитель учтет затраты, связанные с охраной окру¬
жающей среды, то он сможет сократить объем выпускаемой
продукции настолько, чтобы новая отпускная цена P(i равня¬
лась новым предельным затратам. Следовательно, точка Р'о, Qo
соответствует максимальной чистой выгоде с учетом затрат,
связанных с охраной окружающей среды.
Чем выше эти затраты, тем значительнее сокращается
объем выпускаемой продукции. Это приведет к тому, что
предприятие, которое производит сильное загрязнение, будет
заменено на предприятие, меньше загрязняющее окружаю¬
щую среду. Кроме того, производители будут иметь стимулы
для внедрения новой техники или для выпуска новой продук¬
ции, при производстве которой образуется меньшее количе¬
ство отходов.
Поскольку рынок не учитывает затрат, связанных с охра¬
ной окружающей среды, то предлагается ввести налог на
отходы, загрязняющие среду [12], т. е. на производителя на¬
лагается штраф, пропорциональный количеству выбрасывае¬
мых отходов. В идеальном случае налог должен равняться
ущербу, причиняемому окружающей среде в результате вы¬
броса отходов, и таким образом достигалась бы оптимизация.
Кроме введения налога на отходы, загрязняющие среду, су¬
ществуют и другие способы охраны окружающей среды. Рас¬
смотрим некоторые из них.
3.6. Способы охраны окружающей среды
В предыдущем разделе для максимизации чистой выгоды
предлагалось ввести налог на отходы, загрязняющие среду.
Однако определить величину такого налога трудно, так как
неизвестны затраты, необходимые для осуществления конт¬
роля загрязнения. Возможны и другие варианты решения
этой проблемы.
Например, можно напомнить лицу, загрязняющему среду,
о той огромной ответственности, которую он несет перед об¬
ществом. Такая мера воздействия не требует никакого зако¬
нодательства и никаких специальных административных ор¬
ганов. Однако, поскольку снижение загрязнения связано с
130 Глава 3
определенными затратами, маловероятно, чтобы такая мера
воздействия дала положительные результаты.
Далее можно привлечь к судебной ответственности лицо,
загрязняющее среду, с тем чтобы заставить его выплатить
компенсацию лицам, которым нанесен ущерб. Однако в боль¬
шинстве случаев трудно установить как источник, так и раз¬
мер ущерба. Например, у лица, проживающего в зоне с силь¬
ным загрязнением воздуха, могут наблюдаться различные
отклонения от нормального состояния, и не представляется
возможным определить денежный эквивалент таких отклоне¬
ний и установить их источник.
Наконец, можно регулировать степень чистоты окружаю¬
щей среды путем введения допустимого уровня загрязнителя
в среде. Такое регулирование можно осуществлять путем вы¬
дачи производителю лицензий, условием для получения ко¬
торых являлось бы соблюдение установленных норм каче¬
ства окружающей среды.
Однако установление единого стандарта для всех лиц, за¬
грязняющих среду, обычно не является наименее дорогим
способом получения наилучшего качества очистки среды. Это
означает, что затраты для потребителя будут больше, чем
это необходимо. Полные затраты С на устранение загрязне¬
ния складываются из суммы затрат Ci для каждого загряз¬
няющего среду
C = ZQ(Q,), (3.7)
i
где Q, — масса устраненного загрязняющего вещества i-ым
загрязняющим среду. Для обеспечения установленного уровня
качества окружающей среды полная масса загрязняющего
вещества Q, подлежащего устранению, дается формулой
Q = ZQf (3.8)
Минимизация затрат [уравнение (3.7)] при ограничении типа
равенства (3.8) сводится к минимизации функции Лагранжа
(приложение Б)
z,(Q,)==EQ(Q,)-xrZQi-Ql. (3.9)
i
В результате минимизации (3.9) получим, что для любого
i-ro лица загрязняющего среду'),
dCi дС,
*) Рапенство (3.10) является следствием условия dL/dQi = 0.—
Прим. ред.
Экономические аспекты проблемы управления средой 131
Это означает, что если необходимо минимизировать затраты,
то предельные затраты, соответствующие массе устраненного
загрязнителя, должны быть одни и те же для всех загрязняю¬
щих среду. При равной для всех норме совпадение предель¬
ных затрат является случайным, так как каждый загрязняю¬
щий среду должен устранять различный фиксированный про¬
цент загрязнителя. Однако в следующем разделе будет
показано, что при введении налога на отходы, загрязняющие
среду, предельные затраты на охрану среды для всех загряз¬
няющих среду одинаковы. В разд. 3.10 приводится численный
пример, иллюстрирующий разницу в затратах при одинако¬
вых нормах очистки и при налогах на отходы, загрязняющие
среду.
3.7. Налог на отходы, загрязняющие среду
В тех случаях, когда проблеме охраны окружающей среды
не уделяется серьезного внимания, загрязняющий среду не
имеет экономических стимулов к снижению выброса загряз¬
нителя, так как, снижая загрязнение, он повьшает стоимость
своей продукции без каких-либо ощутимых выгод. Ио выгоды
от снижения загрязнения среды есть, и они измеряются ущер¬
бом, которого можно избежать. Если эти выгоды определен¬
ным образом «передаются» загрязняющему среду, то у него
появляются стимулы к снижению загрязнения. Налог на за¬
грязнение выполняет эту функцию.
Зависимость выгод, которые получает общество от конт¬
роля загрязнения, а пменно зависимость ущерба, которого
удается избежать, от процента устраненного загрязняющего
вещества может иметь вид, показанный на рис. 3.11: кривая
монотонно возрастает, но не обязательно линейно, так как
понижение ущерба не обязательно прямо пропорционально
проценту устраненных отходов.
Выгоды от контроля загрязнения могут быть «переданы»
загрязняющему среду посредством налога на загрязнение,
равного ущербу D (рис. 3.11). Снижая выброс загрязнителя,
загрязняющий среду получает выгоду, равную той, что полу¬
чает общество. Налог на загрязнение, т. е. плата за единицу
выбрасываемого загрязняющего вещества, должен быть равен
отнощению ущерба в денежном выражении к количеству за¬
грязняющего вещества. Если кривые на рис. 3.11 не являются
прямыми линиями, то это отношение не постоянно. Тем не
менее проще всего установить фиксированную плату за за¬
грязнение Те, как это показано на рис. 3.12.
132
Глава 3
Рис. 3.11. Выгоды в зависимости от процента устраненных от.ходов (D ■
ущерб, связанный с выбросом загрязняющего вещества).
Г Л
Рис. 3.12. Ущерб в долларах на единицу массы отходов в зависимости от
процента г устраненных отходов.
Рис. 3.13. Затраты лица, загрязняющего среду, С/, на сокращение отходов
в зависимости от процента г устраненных отходов.
Экономические аспекты проблемы управления средой 133
Как загрязняющий среду будет реагировагь на налог за
загрязнение? Если налог превышает его затраты на устране¬
ние единицы количества отходов, он понизит выброс загряз¬
нителя до значения, нрн котором его предельные затраты на
устранение отходов станут равными налогу. Типичная кривая
затрат, связанных с охраной окружающей среды, для одного
загрязняющего показана на |)ис. 3.13. Эта кривая аналогична
кривой, изображенной на рис. 3.6. Производная функции, опи¬
сываемой кривой затрат, уменьшается в результате экономии
масштаба, а затем увеличивается, так как высокая степень
очистки требует дорогостоящих операций. При фикси|)ованиой
величине налога на загрязнение Те полные затраты, произво¬
димые загрязняюихим среду, при устранении г процентов за¬
грязнителя будут
где С/г (г) — затраты на устранение загрязнения и Qt — полное
количество производимого загрязняющего вещества. Таким
образом, величина
wQr = Q (3.12)
есть количество загрязнителя, которое устраняется. Усло¬
вием минимизации стоимости будет
QrT, , ,313.
Подставляя выражение (3.12) в уравнение (3.13), получим')
dC
~dQ
Из уравнения (3.14) следует, что при минимальных затра¬
тах предельные затраты, соответствующие количеству устра¬
ненного загрязняющего вещества, равны налогу на отходы,
загрязняющие среду: равенство определяет точку пересече¬
ния кривых, изображенных на рис. 3.14. Процент устраненного
загрязняющего вещества равен Го. Если в интервале О -< /" <
< 100 минимум отсутствует, то минимальным затратам соот¬
ветствует либо точка г = О, либо точка г — 100. Например,
если налог на загрязнение среды равен Те, то затраты мини¬
мальны при г = О, так как налог меньше, чем предельные
затраты. Если кривые пересекаются дважды, как в случае
Те, то необходимо вычислить величину d}Cldr'^. При
*) Автор полагает, что dQldr ~ Qlr. — Прим. ред.
134
Глава 3
(d^Cldr^) > О минимум будет в точке г", а при {d^Cjdr'^) < О
будет максимум в точке г",
Из уравнения (3.10) следует, что в тех случаях, когда лиц,
загрязняющих среду, много, минимум полных затрат, необ-
Рис. 3.14. Предельные затраты в зависимости от процента г устраненных
отходов при различных налогах Тт'^ и Т'^ на отходы, загрязняющие
среду.
ходимых для устранения установленного количества загряз¬
няющего вещества, достигается при равных предельных за¬
тратах для всех загрязняющих среду. Такие условия
Рис. 3.15. Затраты на сокращение отходов (пропорциональные /4i) и на уп¬
лату налогов на отходы, загрязняющие среду (пропорциональные Лз), при
различных процентах г устраненных отходов.
создаются при введении налога на отходы, загрязняющие
среду.
На рис. 3.15 показаны затраты, производимые лицами, за¬
грязняющими среду. Если загрязняющий среду устраняет
процент отходов гь то, как показано на рис. 3.15, а, он затра¬
чивает на снижение отходов сумму, пропорциональную Ль а
Экономические аспекты проблемы управления средой
135
государству в соответствии с налогом на отходы, загрязняю¬
щие среду, он должен выплатить сумму, пропорциональную
Ла- Полные затраты С выражаются как
с=^И. + Л1.
(3.15)
Загрязняющего среду не интересует, какая часть его затрат
выпадает на долю или Л г, он стремиться минимизировать
сумму {i4i-j-^2). Этот минимум достигается при Го
(рис. 3.15,6).
Рис. 3.16. Линии (сплошные) одинаковой полезности при устранении от¬
ходов в координатах затраты на сокращение отходов (Л1)—сумма, вы¬
плачиваемая в виде налога (Ла). Штриховая линия является графическим
изображением условия связи между и А^.
Минимальные затраты соответствуют точке касания Т штриховой линии и одной и»
сплошных линий. Стрелкой показано направление роста полезности.
Другой метод определения го основан на использовании
линий одинаковой полезности (сплошные линии на рис. 3.16),
которые описываются уравнением
Ai + Ла = const.
Штриховая линия на этом рисунке представляет собой функ¬
циональную зависимость Ai от Лг, т. е. каждому значению Ai
соответствует значение Лг.
Точка касания Т дает величину максимальной полезности,
и по ней можно определить величины Л] и Лг, соответствую¬
щие этой полезности. Используя найденные величины Л] и Л2,
можно определить процент подлежащих устранению отходов.
136 Глава 3
Затраты лица, загрязняющего среду, включают затраты
на обработку отходов Qr^^i/lOO и затраты, связанные с вы¬
платой налога на отходы, загрязняющие среду, QM2/IOO,
причем только первые затраты идут на пользу обществу. За¬
траты, связанные с выплатой налога, являются переходными
(трансфертными) платежами правительству лицами, загряз¬
няющими среду.
3.8. Способы контроля за загрязнением среды
Если для загрязняющего среду существует стимул для
снижения загрязнения среды, то он может использовать сле¬
дующие доступные способы для практического осуществления
контроля за загрязнением.
Снижение массы перерабатываемых материалов. В соот¬
ветствии с уравнением материального баланса (гл. 2) общая
(полная) масса отходов может быть снижена только за счет
уменьшения массы перерабатываемых материалов [19]. Сле¬
довательно, одним из методов снижения загрязнения среды
является снижение массы перерабатываемых материалов, ко¬
торое можно осуществлять следующим образом:
— Снизить потребление, что в свою очередь приведет к
уменьщению массы материалов, необходимой для производ¬
ственного сектора. Это означает снижение валового нацио¬
нального продукта, т. е. созданной за год в отраслях мате¬
риального производства стоимости товаров и услуг.
— Использовать вторичное сырье, так как, чем больше
вторичного сырья, тем меньше требуется новых материалов.
Вторичное сырье используется тогда, когда оно обходится
дешевле для производителя, чем закупка новых материалов.
Таким образом, для увеличения объема используемого вто¬
ричного сырья необходимо осваивать новую технику, позво¬
ляющую снизить затраты, а также повысить цены на сырье.
— Улучшить технологические процессы с целью уменьше¬
ния выхода побочных продуктов и повышения эффективного
использования исходного материала.
—Изменить состав валового национального продукта пу¬
тем замены продукции с больпднм количеством отходов про¬
дукцией с малым количеством отходов.
Обработка отходов, которые являются побочными продук¬
тами. В соответствии с уравнением материального баланса
(гл. 2) общая (полпая) масса отходов может быть снижена
только за счет массы перерабатываемого материала. Поэтому
обработка отходов не дает снижения их массы, а позволяет
либо понизить содержание в них вредных веществ, либо за¬
Экономические аспекты проблемы управления средой 137
менить одну форму отходов на другую. Например, газы из
дымовых труб можно пропускать через твердые или жидкие
поглотители и тем самым изменить форму отходов. Такая
форма удаления отходов может оказаться оправданной в том
случае, когда главной проблемой является снижение загряз¬
нения воздуха.
Минимизация ущерба путем контролирования места и вре¬
мени удаления отходов. Удаление отходов необходимо произ¬
водить с учетом времени и места, наиболее благоприятных с
точки зрения охраны окружающей среды. Например, концен¬
трацию загрязняющего вещества вблизи поверхности Земли
можно снизить, используя не низкие, а высокие дымовые
трубы, или биохимическая потребность кислорода в воде мо¬
жет быть сведена к минимуму, если отходы сбрасывают в
реку в период половодья.
Повышение ассимиляционной способности окружающей
среды. Скорость ассимиляции биологической потребности кис¬
лорода в потоке зависит от концентрации кислорода. Содер¬
жание кислорода может быть увеличено при помонщ аэра¬
ции, т. е. путем увеличения степени поглощения кислорода
водой. Одним из способов аэрации является распыление воды
в воздухе.
3.9. Минимизация расходов нэ обработку отходов
Предположим, что уменьшение загрязнения окружающей
среды достигается в результате предварительной обработки
отходов. Если в распоряжении лица, загрязняющего среду,
имеется несколько технологических способов обработки отхо¬
дов, то, ио-видимому, он выберет такую комбинацию процес¬
сов, которая требует наименьших затрат. Например, для того
чтобы сохранить установленный уровень чистоты водгл в реке,
можно или обрабатывать отходы перед сбросом в реку, или
сливать их в глубокие колодцы, не загрязняя реки. Следова¬
тельно, полные затраты можно представить как затраты на
слив отходов в глубокие колодцы С| и затрат на очиститель¬
ные сооружения С2. Предпочтительность того или иного спо¬
соба обработки отходов определяется количеством подлежа¬
щих устранению отходов Q, которое есть функция величин
Cl и Сг, т. е.
/(C„C2) = Q. (3.16)
На рис. 3.17 показаны линии одинаковой полезности в ко¬
ординатах (Cl, С2) и соотнощение между Ci и С2 при различ¬
ных количествах отходов Qi, Q2 н С?з- Для каждого значения
138
Глава 3
Q максимальная полезность соответствует точке касания кри¬
вых Ci(C2) с линиями одинаковой полезности.
Если существует много различных способов снижения ко¬
личества отходов, то выбор оптимального способа сводится
к минимизации суммы
ZQ (3.17)
i~\
при условии связи / (Cl, Сг, ..., C„) = Q,
где Ct — затраты, связанные с t-м способом, а всего имеется
Рис. 3,17. Линии (сплошные) одинаковой полезности и одинакового коли¬
чества отходов (штриховые) в координатах (Ci, Сг).
Стрелкой, проведенной по точкам касания штриховых и сплошных линий, т. е. по ра¬
бочим точкам, соответствующим различным количествам отходов Qu Q*. Qj. показано
направление роста количества отходов.
п способов. Решение этой задачи (3.17) приводит к следую¬
щим равенствам (приложение Б)'):
JL
дс, ■
д!
дСг
JL
дСп
(3.18)
Так как /(Ci ... Cn)=Q, то, согласно уравнению (3.18), при
минимальных затратах предельное сокращение отходов на
') Автор вводит функцию Лагранжа Z, = ^ -f f (С), С
/-1
Условие dL/dCi = О приводит к равенству df/dCi = —1/А., откуда следует
выражение {Ъ.Щ. — Прим. ред.
Экономические аспекты проблемы управления средой 139
доллар затрат одно и то же для всех способов обработки
отходов.
Предположим, что необходимо ликвидировать Ю"* т отхо¬
дов. В результате слива в глубокие колодцы ликвидируется
10~^ Cl т отходов, а в результате обработки отходов AC'i‘T.
Затраты, необходимые на осуществление каждого способа —
Cl и Сг соответственно. Следовательно, задача сводится к
минимизации суммы Ci + С2 при ограничении
f(Cu C,) = Q
или
10~®Ci + 4C2'^= 10\ (3.19)
что эквивалентно минимизации следующего выражения (при¬
ложение В):
С, + Сз - Л [lO"'Ci + - 10']. (3.20)
В результате получим
1 _ 10-^Я = 0,
(3.21)
1 - 2С2'‘‘К = 0.
Решением уравнения (3.21) будет
Л =10*. С2 = 4-10® долл.
Подставляя значение для Сг в уравнение (3.19), находим
Cl = 2 ■ 10® долл.
Таким образом, для минимизации затраты капиталовложения
следует распределять следующим образом: Ci=2-10® долл.
и Сг = 4 -10® долл.
В приложении Б показано, что при минимальных затратах
д (С, + С,)
^ ЙО •
Следовательно, параметр X дает приращение затрат на еди¬
ницу массы устраненных отходов при минимальных затратах.
Множитель Лагранжа А, имеет размерность цены, т. е. затра¬
ты на единицу массы отходов, и называется скрытой (неяв¬
ной) ценой*). В рассматриваемом примере Я = 101 Это озна¬
чает, что при минимальных затратах каждая дополнительная
тонна отходов, подлежащих ликвидации, требует дополни¬
тельных затрат в размере 1000 долл.
‘) Или двойственной оценкой. — Прим. ред.
но
Глава 3
Из уравнения (3.19) следует, что
дС,
== 10
-3
дС,
= 2Ci
т'Ь
откуда для Сг = 4 -10® долл. получим
д!
дС, дСг •
Это равенство согласуется с требованием того, что при мпни-
мальных затрата.х предельное понижение отходов на доллар
затрат одно и то же для всех способов обработки отходов.
ЗЛО. Расходы на осуществление контроля
за загрязнением окружающей среды
В этом разделе проводится сравнение затрат, необходимых
для снижения количества отходов до допустимого уровня с уче¬
том различных мер воздействия на загрязняющего среду. Для
сравнения используется пример, приведенный в работе [10].
Рассматриваются следующие меры воздействия; а) введение
налога на отходы, загрязняющие среду; установление нормы
снижения отходов в процентном выражении для всех загряз¬
няющих среду; установление единой нормы снижения массы
необработанных отходов.
Предположим, что число предприятий, загрязняющих сре¬
ду, равно четырем п каждое из них производит отходы в ко¬
личествах, указанных в табл. 3.4. В этой же таблице приво¬
дятся предельные затраты иа снижение отходов для каждого
загрязняющего среду. Предполагается, что предельные за¬
траты постоянны, т. е. они не зависят от количества обраба¬
тываемых отходов.
Таблица 3.4
Масса отходов и предельные затраты
Условное обозначение
предприятия, загрязняющего
среду
Масса производимых
отходов, кг
Предельные затраты на
снижение отходов,
центы/кг
1
100
4
2
200
8
3
300
6
4
400
10
Итого:
1000
Экономические аспекты проблемы управления средой
141
Если масса выбрасываемых необработанных отходов не
должна превышать 600 кг и размер налога на отходы, загряз¬
няющие среду, составляет 7 центов за 1 кг отходов, то
предприятия, производящие отходы в количестве 100 и 300 кг,
примут меры для их устранения, так как предельные затраты
на устранение отходов меньше, чем налог. В результате ко¬
личество необработанных отходов, поступающих в окружаю¬
щую среду, не будет превышать 600 кг (табл. 3.5). Полные
полезные для общества затраты на сокращение отходов со¬
ставляют 22 долл. Суммы, выплаченные в виде налогов
на отходы, загрязняющие среду, являются трансфертными
Таблица 3.5
Экономическая оценка эффективности снижения отходов,
поступающих в окружающую среду, при введении налога за загрязнение
Условное
обозначение
предприятия,
загрязняю¬
щего среду
Масса
произво¬
димых
отходов.
кг
Предельные
затраты на
снижение
отходов,
центы/кг
Затраты на
снижение
отходов,
долл.
Количество
необработан¬
ных отходов,
поступающих
в окружающую
среду, кг
Налог на
отходы,
загрязняющие
среду, долл.
1
100
4
4,00
0
0
2
200
8
0
200
14,00
3
300
6
18,00
0
0
4
400
10
0
400
28,0
Итого:
22,00
600
Таблица 3.6
Экономическая оценка эффективности снижения отходов,
поступающих в окружающую среду, при установлении нормы
снижения отходов в процентном выражении
Условное
обозначение
предприятия,
загрязняю¬
щего среду
Масса
произво¬
димых
отходов,
кг
Предельные
затраты на
снижение
отходов,
центн/кг
Затраты на
снижение
отходов,
долл.
Количество необра¬
ботанных отходов,
поступающих
в окружающую
среду, кг
1
100
4
1,60
60
2
200
8
6,40
120
3
300
6
7,20
180
4
400
10
16,00
240
Итого:
31,20
600
142
Глава 3
платежами н, следовательно, не входят в полезные для обще¬
ства затраты. Если потребовать от каждого загрязняющего
среду уничтожать 40% отходов, то масса отходов, поступаю¬
щих в окружающую среду, составить 600 кг (табл. 3.6). В этом
случае полезные для общества затраты составят 31,20 долл.
Ограниченный выброс отходов — 600 кг — может быть также
достигнут, если потребовать, чтобы каждый загрязняющий
среду снизил выброс отходов на 100 кг. Соответствующие за¬
траты показаны в табл. 3.7 при полных затратах 28 долл.
Таблица 3.7
Экономическая оценка эффективности снижения отходов,
поступающих в окружающую среду, при установлении единой нормы
снижения массы необработанных отходов
Условное
обозначение
предприятия,
загрязняю¬
щего среду
Масса
произво¬
димых
отходов.
кг
Предельные
затраты на
снижение
отходов,
центы/кг
Затраты на
снижение
отходов,
долл.
Количество необрабо¬
танных отходов,
поступающих
в окружающую
среду, кг
1
100
4
4,00
0
2
200
8
8,00
100
3
300
6
6,00
200
4
400
10
10,00
300
Итого:
28,00
600
Итак, мы видим, что налог за загрязнение среды является
вариантом, обеспечивающим минимальные затраты.
3.11. Выводы
Ниже приводится ряд выводов, связанных с экономиче¬
ским подходом к вопросу контроля за загрязнением окружаю¬
щей среды.
— Экономически оправданным средством контроля за за¬
грязнением является введение налога на отходы, загрязняю¬
щие среду.
— Для правильного определения затрат и выгод при
разработке проектов, связанных с окружающей средой, необ¬
ходимо усовершенствование методов такого определения.
— Контроль за загрязнением окружающей среды следует
осуществлять в масштабах административного или геологи¬
Экономические аспекты проблемы управления средой 143
ческого района, с тем чтобы извлечь выгоды от экономии
масштаба.
Следует отметить, что успешному осуществлению проектов
по охране окружающей среды мешают такие факторы, как
нежелание выборного должностного лица способствовать вве¬
дению любых ограничений и налогов, которые не дают ощу¬
тимых выгод в период его пребывания в должности; неравно¬
мерное представительство в законодательных органах США
лиц с разным доходом, что препятствует справедливому рас¬
пределению затрат па охрану окружающей среды; отсутствие
в существующем законодательстве США статьи, предусматри¬
вающей возмещение ущерба, наносимого обществу загрязне¬
нием среды.
Тот факт, что в настоящее время общество стоит перед
угрозой кризисных явлений в окружающей среде, по-види¬
мому, вынудит его принять активные меры по охране среды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Grocker Т. D., Rogers А. J., III. Environmental Economics, Dryden, 1971.
2. Goldman М, I. (ed.), Ecology and Economics; Controlling Pollution in
the 70’s, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1972.
3. Dolan E. Q., Tanstaaft, The Economic Strategy for Environmental Crisis,
Holt, Rinehart and Winston, New York, 1974.
4. Kneese A. V., Bower B. T. (eds.). Environmental Quality Analysis,
Johns Hopkins Press, Baltimore, 1972.
5. Headly J. C„ J. Environ. Qual. I (4), 377—381 (Oct. — Dec. 1972).
6. Dales J. H., Pollution, Property and Prices, Toronto U. P., 1968.
7. Leontief Wassiley, An Unput — Output Approach, Rev. Econ. Stat., 52
(3), 262—271 (1970).
8. Ayres R. U„ Kneese A, V„ Amer. Econ. Rev., 59 (3), 272-297 (1969).
9 Wilson R. D., Minnott D. W., J. Air Pollut. Control Assoc., 19, 303—308
(1969).
10. Freeman A. М., Ill, Haveman R. H., Kneese A. V., The Economics of
Environmental Policy, Wiley, New York, 1973.
11. Bator F. М., Quart. J. Econ., 72, 351-378 (1958).
12. Freeman A. М., Ill, Haveman R. H., Science, 177, 322—329 (1972).
13. Solow R. M„ Science. 173, 498—503 (1971).
14. Stern M. 0„ Ayers R. U., Saxton J. C., IEEE Trans, on Systems, Man
and Cybernetics, SMC-3, 6, 588—30.3, Nov. 1973.
15. The President’s Council on Environmental Quality, Environmental Qua¬
lity 1971, p. Ill, Washington, D. C. 1971.
16. Davidson P., Adams F. G., Seneca J., The Social Value of Water Re¬
creational Facilities Resulting from an Improvement in Water Quality:
The Delaware Estuary, A. V. Kneese, S. C. Smith (eds.). Water Research,
Johns Hopkins Press, Baltimore, 1966, pp. 175—224.
17. U. S. Senate Document No. 97, 89th Congress, 1966.
18. Lave L. B„ Seskin E. P., Science, 169, 723—733 (Aug. 1970).
19. Kneese A. V., Ayers R. U., D’Arge R. C., Economics and the Environ¬
ment, A Materials Balance Approach, Johns Hopkins Press, Baltimore,
1970.
144 Глава 3
Задачи
3.1. Для цифр, представленных в табл. 3.1 и 3.2, определите
величину полных затрат, необходимых для контроля за за¬
грязнением воздуха и воды (капиталовложения производятся
в начальной стадии проекта, эксплуатационные затраты
остаются постоянными в каждом пятилетии, ставка процента
предполагается равной 6%).
3.2. Какова внутренняя норма прибыли для проекта
предотвращения эрозии побережья (табл. 3.3)?
3.3. Возможным методом исправления недостатка законов
рынка по отношению к отходам, загрязняющим среду, яв¬
ляется введение налога па продажу потребительских товаров,
в процессе производства которых создаются отходы. Пока¬
жите, как меняются кривые предложения и спроса при влия¬
нии такого налога. Кривые начертите так, чтобы ось ординат
соответствовала цене товара до введения налога на продажу
потребительских товаров, и найдите точку равновесия. Про¬
ведите сравнение введения налога на продажу потребитель¬
ских товаров с введением налога на отходы, загрязняющие
среду, путем рассмотрения следующих факторов: стимулов к
выпуску товаров, производство которых дает меньше отходов,
стимулов у предпринимателя к сокращению выброса отходов
путем устранения последних или путем разработки новой
технологии, оптимизация чистой прибыли, т. е. будут ли
предельные затраты равны предельным выгодам в новом по¬
ложении равновесия, какие слои общества несут бремя за¬
трат при введении налога на отходы, загрязняющие среду
(т.е. будут ли расходы распределены регрессивно), и простота
управления и сбора налога. Считаете ли вы существенной раз¬
ницу между налогом на продажу потребительских товаров и
налогом на отходы, загрязняющие среду?
3.4. В соответствии с рис. 3.15 целью загрязняющего среду
является минимизация площади {А\-^А2). Покажите, ис¬
пользуя метод множителя Лагранжа (приложение Б), что ми¬
нимизация {А\-\-А2) при условии связи между Л\ и Лг при¬
водит к уравнению
с1С^
■Ж = Т'е. (3.14)
Покажите, что в точке оптимума {dAildA2) = —1. Согла¬
суется ли этот результат с рис. 3.16?
3.5. Если фирма имеет N работников, то эксплуатационные
затраты С даются формулой
C^Co + QyV,
Экономические аспекты проблемы управления средой 145
где Со II Cl — положительные константы. Предположим, что
годовой доход в зависимости от N выражается формулой
г = г, (1 — е-'-’"),
где Г1 и Г2 — положительные константы. Приравнивая пре¬
дельные затраты и предельные выгоды, определите число не¬
обходимых работников в зависимости от постоянных в приве¬
денных выше уравнениях.
3.6. Чтобы определить заинтересованность жителей неко¬
торого района в создании государственной автостоянки, про¬
извели анкетный опрос. Па основании этого опроса была
сделана оценка зависимости годовой численности лиц, поль¬
зующихся автостоянкой, от платы за ее пользование. Эта за¬
висимость представлена в следующей таблице:
Плата за пользование
одного места,
лолл./пользователь
8
5
2
О
Число автомобилей
» год
25 ООО
100 ООО
200 ООО
300 ООО
Сделайте определенные допущения и определите выгоду в
форме готовности заплатить при условии, что стоянка бес¬
платная.
Если начальные затраты на проект составляют 1,5 млн.
долл. и годовые затраты на содержание составляют
280 000 долл., определите внутреннюю норму прибыли, ис¬
пользуя полученную оценку выгоды в форме готовности за¬
платить.
3.7. Природный источник, важный для повседневной
жизни, иссякает и предлагается несколько вариантов дейст¬
вий: нормированное распределение с контролем цены, измене¬
ние цены по законам рыночного обмена без вмешательства
правительства, введение налога на продажу. Как распре¬
деляется бремя затрат между различными слоями общества
в каждом из предложенных вариантов. Например, будет ли
распределение затрат прогрессивным или регрессивным?
3.8. Ущерб, вызываемый загрязняющим веществом, оцени¬
вается в 40 долл./т, вводится равный по величине налог на от¬
ходы, загрязняющие среду. Существует два способа обработки
146 Глава 3
ОТХОДОВ, причем при затрате в D\ долл., вложенных в
способ 1, можно обработать 0,4D?’® т отходов, а при затра¬
тах в Da долл., вложенных в способ 2, можно обработать
10^ • Da '* т. Суммарный выброс отходов производителем за
данный период времени составляет 2-10'' т. Определите:
сколько тонн отходов будет обработано; затраты производи¬
теля; затраты в пользу общества (учтите как стоимость ре¬
сурсов, так и размер ущерба) при условип, что используется
только метод 1, только метод 2 и, наконец, при использова¬
нии обоих методов.
Глава 4
Процесс принятия решения
4.1. Введение
в этой главе обсуждаются различные проблемы, связан¬
ные с принятием решения. Анализ возможных вариантов ре¬
шения помогает лицу, принимающему решения, выбрать наи¬
более желательный вариант. Необходимыми данными для
принятия решения являются соотношения между входными и
выходными переменными (т. е. умение предсказать послед¬
ствия каких-либо действий) и предпочтительные значения
выходных переменных, задаваемые группами лиц, имеюп|их
общие интересы. Предпочтительность часто задается в общем
виде, и тогда частью анализа возможных вариантов решения
является аналитическое выражение предпочтительности.
Следует ли вводить принципы учета
субъективной информации при исследовании системы
Как отмечалось в гл. 1, наиболее желательной формой
оценки возможных вариантов решения является скалярное
представление системы'), и поэтому разнотипные показатели
(например, затраты, время, безопасность, удобство) должны
быть сведены к одной скалярной величине. Для этого необ¬
ходимо ввести систему оценок показателей для групп лиц,
имеющих общие интересы, так как результаты сравнения по¬
казателей, измеряемых в различных единицах (например, за¬
траты и время), зависят от индивидуального мнения о пред¬
почтительности. Сокращение времени поездки на 10 мин для
одного пассажира, пользующегося сезонным билетом, по-ви¬
димому, будет иметь более высокую стоимость в денежном
выражении, чем для другого пассажира. Дал<е когда имеется
один показатель (например, стоимость), для выбора варианта
решения может все-таки потребоваться учет индивидуальных
оценок, особенно если существует элемент риска. Например,
ставка величиной 100 долл. в игре с вероятностью выигрыша
в 50% может быть приемлемой для игрока, имеющего
200 долл., и неприемлемой для игрока, совсем не имеющего
денег.
‘) Точнее, целей системы. — Яриж. ред.
148 Глава 4
Почти в каждом конкретном случае процесс принятия ре¬
шения предполагает использование объективной информации,
которая получается при моделировании и связывает решение
с его последствиями, и субъективных данных, которые полу¬
чаются с помощью системы оценок, принятой для групп лиц,
имеющих общие интересы. Среди исследователей систем, а
также других лиц не существует единого мнения относительно
того, следует ли учитывать субъективную информацию при
исследовании системы. Один из возможных способов пред¬
ставления результатов анализа группам лиц с общими инте¬
ресами состоит в том, что в представляемом материале субъ¬
ективная информация не учитывается, но используется в
процессе принятия решения. Такой способ исключает необхо¬
димость четкого определения индивидуальных оценок, что
нередко является трудновыполнимой задачей, и позволяет ли¬
цам, имеющим общие интересы, использовать свою интуицию,
суждение и мнение непосредственно при выборе решения.
Другой возможный способ состоит в том, что исследователь
пытается определить мнение своих заказчиков, использует
данную ими оценку для классификации показателей по их
значимости или для лриписывания показателям весовых мно¬
жителей и рекомендует группам лиц с общими интересами
единственный вариант решения. Промежуточной стадией вто¬
рого способа представления результатов является рекоменда¬
ция вариантов решения для различных возможных комбина¬
ций весовых множителей.
Каждый из указанных способов имеет свои преимущества
и недостатки, Некоторые люди «отключаются», когда им за¬
дают вопрос о том, каково их мнение о предпочтительности
показателей в количественном выражении. «Я не хочу быть
сведенным к числу в ЭВМ» — типичный ответ таких людей.
В подобных случаях попытка исследователя системы учесть
оценки групп лиц, имеющих общие интересы, может вызвать
с их стороны отрицательное отношение ко всей программе в
целом. Кроме того, очень часто трудно определить индивиду¬
альные оценки, а когда это удается, установленные оценки
могут не отражать действительного мнения людей, которое
должно использоваться в процессе принятия решения. В са¬
мом деле, оценочная информация, полученная с помощью
анкет или интервью, совсем необязательно отражает факти¬
ческую реакцию человека и его действия в ситуации, соответ¬
ствующей принимаемому решению. Необходимо также учи¬
тывать, что при наличии групп лиц с разными интересами
может оказаться трудным или почти невозможным достиже¬
ние компромисса при выборе таких значений для показате¬
лей, которые приемлемы для всех групп. Еще одна трудность
Процесс принятия решения 149
II использовании субъективных оценок связана с допущениями
1)1 носительно предполагаемых действий людей в будущем.
1.1 кие допущения принимаются исследователем для составле¬
ния классификации показателей по предпочтительности в чис¬
ленном виде, но предполагаемые и фактические действия лю-
доп могут не соответствовать друг другу, что можно пояснить
следующим примером.
Одним из вводимых допущений является транзитивность
(1И0НКН предпочтительности. Это означает, что если результат
Л разрабатываемой системы предпочтительнее результата В,
который в свою очередь предпочтительнее результата С, то
[к'чультат Л предпочтительнее результата С. Символически
(ТО можно записать следующим образом: если А > В и
/i > С, то Л > С. Транзитивность является разумным предно-
.'южением, и, но-виднмому, его пригодность для использова¬
ния в процессе принятия решения не вызывает сомнений.
Однако в фактических действиях людей не всегда проявляется
транзитивность. Это, возможно, объясняется тем, что человек
не связывает конкретные результаты своих решений с окон¬
чательными оценками этих результатов, а скорее меняет
оценки в зависимости от тех или иных ожидаемых результа¬
тов и степени риска, связанной с решениями. Например, если
кто-то может выиграть d[ долл. с вероятностью р пли cl2 долл.
с вероятностью (1—р), то оценка, связанная с di долл.,
может зависеть как от величины d\, так и от величин ^2 и р.
В этом случае как раз и возможно отсутствие транзитивности.
Анализируя систему, исследователь должен учитывать такую
«несостоятельность» действий людей.
Тем не менее существует ряд причин, по которым при си¬
стемном анализе было бы желательно использовать субъек¬
тивные оценки на основе введения принципов их правильного
учета. Если такие принципы не вводятся, то на процесс при¬
нятия решения оказывает значительное воздействие мнение
авторитетных лиц, убедительность красноречия, переутомлен-
ность или отчаяние людей, представляющих группы лиц с об¬
щими интересами. Обнаружить несостоятельность какого-то
довода в процессе принятия решения, по-видимому, легче,
когда индивидуальные отношения людей к предпочтительно¬
сти показателей системы обсуждаются открыто и при этом
делается попытка дать численную оценку стоимости и значи¬
мости возможных результатов реализации программы или
проекта. Вполне вероятно, что тем переменным, которые
трудно представить в численном виде, будет уделено недоста¬
точное внимание, если не будет сделана попытка определить
весовые множители для этих переменных. Такие переменные,
как стоимость, время, количество людей, воспринимаются
150 Глава 4
легче, чем такие факторы, как эстетика, уединенность и т. п.,
которые при отсутствии весовых множителей могут быть
учтены неправильно.
Независимо от того, используются ли принципы учета
субъективных оценок или нет, процесс принятия решения за¬
висит от отношения групп лиц с общими интересами к си¬
стеме, а также от типа проблемы и склонностей исследовате¬
лей. Настоящая глава в основном посвяп1ена способам учета
субъективной информации при системном анализе.
Различные способы представления информации
о результатах анализа
Сначала целесообразно рассмотреть несколько способов
представления информации в тех случаях, когда результаты
исследования и моделирования не содержат субъективных
оценок. Форму табл. 1.5 и 1.6 можно считать пригодной для
описания рабочих характеристик системы при различных воз¬
можных вариантах решения. Если какой-либо вариант реше¬
ния оказывается менее предпочтительным по сравнению с
другим (т. е. если значения всех показателей у какого-то ва¬
рианта ниже, чем у другого), то этот вариант может быть
исключен из рассмотрения независимо от субъективных оце¬
нок, даваемых группами лиц с общими интересами. Однако
если система характеризуется большим количеством показа¬
телей, то маловероятно, чтобы на основе такой предпочти¬
тельности можно было исключить из рассмотрения достаточно
много вариантов. Некоторые варианты можно исключить из
рассмотрения, если значения одной или нескольких рабочих
характеристик системы находятся вне пределов приемлемого
диапазона изменения этих характеристик. Хотя такое исклю¬
чение и опирается на субъективное мнение о том, какие зна¬
чения приемлемы и какие нет, тем не менее при этом не тре¬
буется детального определения полезности характеристик.
Распространенным способом представления результатов
анализа является наглядное изображение рассчитанных с по¬
мощью ЭВМ рабочих характеристик системы на экране
осциллографа, например кривых стоимость — эффективность,
показанных на рис. 1.10. В этом случае лицо, принимающее
решение, может изменять значения решающих переменных и
наблюдать результирующее изменение кривой стоимость —
эффективность. Этот способ позволяет быстро оценивать раз¬
личные ситуации и последствия возможных решений, и, кроме
того, для некоторых лиц может оказаться более удобным, чем
использование графиков и таблиц с численными значениями
переменных или использование словесных описаний системы.
Процесс принятия решения
151
В процессе принятия решения полезно графически изобра¬
зить наилучшую рабочую характеристику системы (т. е. наи¬
более желательное решение) при попарном рассмотрении по¬
казателей. Для этого строится зависимость лучших значений
одного показателя при изменении другого, определяемая раз¬
личными вариантами решения в разных интервалах значений
решаюш,ей переменной. Например, кривым стоимость — эф¬
фективность (рис. 1.10) соответствует наилучшая характери¬
стика (рис. 4.1), которая дает возможность лицу, прииимаю-
Рис. 4.1. Наилучшая характеристика эффективности в зависимости от за¬
трат для сочетания вариантов решения (/) и (2).
щему решение, сопоставить лучшие результаты, полученные
при реализации каждого варианта: при С С Со преимуще¬
ство имеет вариант /, а при С > Со —вариант 2. Выбор по¬
рядка действия (наложение ограничений на стоимость реали¬
зации программы или максимизация отношения Е/С и т. д.),
а, следовательно, определение рабочей точки характеристики
остается за лицом, принимающим решение. При таком спо¬
собе представления информации одновременно рассматри¬
ваются только два показателя лишь потому, что при этом
можно использовать наиболее простое и удобное двумерное
представление интересующей зависимости в плоскости.
Полезность ожидаемых результатов
Предположим, что в процессе анализа решено учитывать
информацию об индивидуальном отношении людей к рассмат¬
риваемым показателям, и поэтому производится оценка по¬
лезности ожидаемых результатов. Как сообщалось в разд. 1.5,
показатель полезности — это число, приписываемое конкрет¬
ному результату — рабочей характеристике или состоянию
1 52 Глаг/а 4
системы — и представляющее собой оценку значимости этого
результата по восприятию определенного человека. Величины
полезности рассматривались как с теоретической, так н с
практической точки зрения. В первом случае имеются в виду
философские соображения об отношениях людей к разраба¬
тываемой программе, а во втором — способ измерения полез¬
ности результата.
Свыше 200 лет назад Бернулли, рассматривая вопрос о
полезности богатства, пришел к выводу, что заданное прира¬
щение богатства совсем не обязательно повлечет за собой
строго определенное приращение счастья и, следовательно,
полезности самого богатства. Скорее напротив, чем большим
богатством обладает человек, тем меньше будет добавка по¬
лезности на определенную величину приращения богатства.
Миллионер, по-видимому, получает от подарка в 100 долл.
значительно меньшее удовлетворение, чем нищий. Бернулли
предположил, что приращение полезности обратно пропорцио¬
нально богатству человека, и на основании этого предположе¬
ния вывел соотношение
dii = jdx, (4.1)
где и — полезность богатства, х — богатство, Ь — коэффициент
пропорциональности. После интегрирования уравнения (4.1)
получим и = Ь\пх-\-с, где с — постоянная интегрирования.
Часто полагают, что 6 = 1 и с = О, и тогда
и — \пх. (4.2)
Если Ь = Igioe, то в этом случае и = IgioA'.
Современники Бернулли разделяли его точку зрения отно¬
сительно того, что полезность богатства растет не прямо
пропорционально его величине, а медленнее, но для оценок
полезности предложили другие формулы, например:
du = dx и du = —^ dx.
-ух
Вероятно, разумнее было бы предположить, что приращение
полезности богатства du является функцией не величины х, я
величины и (например, степень удовлетворенности человека,
получившего подарок в 100 долл., в большей мере зависит не
от его богатства, а от того, насколько он счастлив, обладая
этим богатством).
Предположим, что приращение полезности пропорцпо-
нально и приращению количества полезности, которого не хва¬
тает для «полного счастья», и приращеншо количества денег.
Это означает, что если кто-то испытывает полное удовлетворе¬
Процесс принятия решения 153
ние от имеющегося богатства, то приращение богатства уже
не дает такому человеку приращения счастья. На основе
этого предположения можно записать следующую зависи¬
мость:
du-=b{\-u)dx, (4.3)
где и = 1 соответствует случаю полного удовлетворения. При¬
няв ы = О для X = О, в результате интегрирования соотноще-
ния (4.3) получим
н = 1 — (4.4)
Функция, задаваемая формулой (4.4), такл<е описывает более
медленное изменение полезности, чем линейная функция.
Подобные гипотетические функции полезности могут быть
нспользованы для оцеики предпочтительности показателей
пли поведения людей при реализации того или иного варианта
решения. Конечно, желательно осуществить проверку полез¬
ности опытным путем. Этот вопрос рассматривается в сле¬
дующих разделах.
4.2. Использование одного показателя при выборе
решения, связанного с риском
Выбор решения связан с риском, когда это решение может
привести не к одному, а к нескольким результатам с разными
вероятностями их осуществления. Если эти вероятности из¬
вестны, то исследование решений может оказаться полезным
даже в случае использования только одного показателя. Про¬
цесс принятия решения в таком случае и рассматривается в
данном разделе.
Определение полезности решения
при наличии риска
Одним из важнейших факторов, учитываемых в процессе
принятия решения, являются финансовые затраты. Выберем
их в качестве показателя некоторой системы и сформулируем
задачу следующим образом; необходимо определить про-
I |)амму действий при наличии риска в расходовании средств,
который обусловлен возможностью получения нескольких ре¬
зультатов при осуществлении принятой программы.
Предположим, что возможный диапазон затрат на осу¬
ществление программы составляет 6-10®—10-10^ долл. Если
целью использования является выбор программы с минималь¬
ными затратами, то наиболее желательному случаю будут
154 Глава 4
соответствовать затраты, составляющие 6-10^ долл., а наи¬
менее желательному — затраты величннои 10-10® долл. По¬
лезность «6 при затратах в 6-10^ долл. можно принять равной
единице, а полезность мщ, соответствующую затратам в
10-10® долл., за пуль.
Чтобы определить значения полезности решения для про¬
межуточных затрат, используем основной постулат теории
полезности: если результат Ri имеет вероятность осуществле¬
ния Pi, то полезность решения при наличии риска опреде¬
ляется средним значением полезности
П
(и> = р • U = Е PiUi = + P2U2 + ... + PnUn, (4.5)
>■=1
где ц; — полезность результата Ri. Исследования оценок, сде¬
ланных различными людьми, показали, что среднюю полез¬
ность разумно использовать в тех случаях, когда результат
имеет вероятностный характер.
Если группа лиц с общими интересами не отдает пред¬
почтения ни одному из двух событий, то это означает, что
<m)i = {4)2, (4.6)
где <«>1 — средняя полезность события 1 и <и>2 — средняя
полезность события 2. Условие отсутствия предпочтительности
можно использовать для установления полезности каждого
из возможных результатов Предположим, например, что
событие 1 представляет собой затраты либо в сумме
6-10® долл. с вероятностью р, либо в сумме 10-10® долл. с
вероятностью (1—р). Тогда
<м) 1 = pile + (1 — р) гг 10. (4.7)
Так как Иб = 1 н мш = О, то из соотношения (4.7) получим
(«>1=р. (4.8)
Если теперь рассмотреть событие 2, которое представляет
собой затраты в сумме 8,5-10® долл. с вероятностью 1, то
{11)2 = «8,6- (4.9)
Условие отсутствия предпочтительности при выборе между
событиями 1 и 2 записывается как <«>i = <«>2, и тогда
«8,5 = р. (4.10)
Следовательно, если можно найти значение р, при котором
группа с общими интересами не отдает предпочтения ни од¬
ному из событий 1 или 2, то, следовательно, полезность затрат
в 8,5-10® долл. равна р.
Процесс принятия решения
155
Долл ,10
Рис. 4.2. Зависимость полезности от расходов для группы лиц, не склон¬
ной к риску (кривая ^4), и для группы лиц, безразличной к риску (кри¬
вая В).
Знак минус перед числами, расположенными вдоль оси абсцисс, указывает на то, что
рассматриваются затраты, а не прибыль.
Рис. 4.3. Кривые полезности, характеризующие различное отношение к
риску консервативного руководителя (/) и руководителя, склонного к
риску (2).
156 Глава 4
Соответствующая шкала фактической стоимости реализа¬
ции программы не обязательно будет прямо пропорциональна
расходам. Предположим, например, что принятое решение с
одинаковой 50%-ной вероятностью может потребовать затрат
в 10-10® и в 6-10® долл. Если средние значения полезностей
двух решений равны и, следовательно, этп решения эквива¬
лентны, то при линейной зависимости между полезностью и
затратами приемлемое решение было бы связано с вполне
определенной суммой затрат в 8-10® долл., которая реали¬
зуется с вероятностью, равной 1. Однако, чтобы избежать
затрат в сумме 10-10® долл., вероятность которых составляет
50%, группа лиц с общими интересами, по-видимому, могла
бы согласиться на строго установленные затраты в сумме
8,5-10® долл. Такое решение было бы характерно для лиц,
не желающих рисковать и готовых уплатить несколько боль¬
ше, чем приемлемо для всей группы, чтобы избежать возмож¬
ности менее желательного исхода. Полезность «8,5 оценива¬
лась бы при этом величиной 0,5, так как
(и) = 0,5мб + 0,5ы,о = 0,5 (1) + 0,5 (0) = 0,5 = «8,5-
На кривой полезности А (рис. 4.2) выделены точки, соот¬
ветствующие расходам 6-10®, 8,5-10® п 10-10® долл. Проме¬
жуточные точки этой кривой можно рассчитать тем же мето¬
дом, какой использовался для оценки «8,5. т. е. путем прирав¬
нивания средних значений <и> для случая известных значений
полезностей и случая известного результата при неизвестном
значении полезности. Лицо, которое избегает риска, потребо¬
вало бы «разницу» возможных полезностей в свою пользу
fi поэтому рискованной ситуации предпочитает вполне опре¬
деленную. Кривая В отражает линейную зависимость полез¬
ности от затрат, характерную для группы лиц, которые к
риску относятся с безразличием.
Чтобы сопоставить восприятие стоимости предпринима¬
телями, связанное с положительным или отрицательным при¬
ращением денег при известной фактической сумме затрат,
были построены кривые полезности по оценкам двух предпри¬
нимателей— консервативного и склонного к риску (рис. 4.3).
Решения, принятые этими двумя лицами, значительно отли¬
чаются друг от друга (см. задачу 4.2).
Постулаты теории полезности
Метод, который был применен в примере расходования
средств при получении шкалы полезности с использованием
одной переменной, основан на постулатах теории полезности
[1,2]. Для ряда вероятных событий А, В н С эти постулаты
формулируются следующим образом.
Процесс принятия решения
157
а) Вероятные события связаны друг с другом условиями
транзитивности: если А> В (т. е. Л предпочтительнее, чем В)
и S > С, то Л > С; если Л ~ В (т. е. Л эквивалентно В) и
б ~ С, то Л ^ С.
б) Случайное событие предпочтительнее других только в
том случае, когда вероятность связанного с ним более жела¬
тельного результата больше, чем вероятность менее жела¬
тельных результатов: если Л > S, то [р, Л;(1—р). В] >
>[/?', Л; (\—р'),В\ только для р > р', где Г/7, Л; (1 —/?), В]
означает, что событие Л осуществляется с вероятностью р, а
событие В с вероятностью (1 — р).
в) Наличие дополнительного риска может быть учтено при
выборе решения. Это означает, что сложная лотерея
при которой событие Л происходит с вероятностью р, а с ве¬
роятностью (1—р) происходит либо событие В с вероятно¬
стью р', либо событие С с вероятностью (1—р'), эквива¬
лентна лотерее
г) Если событие В по предпочтительности занимает про¬
межуточное место между событиями Л и С, то можно
установить соотношение эквивалентности между собы¬
тием В и событиями Л или С. Это означает, что если
Л > В > С, то существует такая вероятность р при
(О р 1), что
В~[р, Л; (1-р), С].
158 Глава 4
На основе этих четырех постулатов для некоторой пе¬
ременной может быть определена единственная функция
полезности, которая должна удовлетворять следующим усло¬
виям:
— Если Л > S, то ы(Л)> и{В), т. е. полезность события
А больше, чем полезность события В, когда А предпочтитель¬
нее В (в качестве положительного направления полезности
выбрано направление возрастания удовлетворенности);
— Если В ~ [р, Л; (1—р), С], то и(В) = ри(А) +
+ (1—р)и{С), т. е. когда результат является комбинацией
событий, имеющих различные вероятности их осуществления,
полезность результата определяется как среднее значение по¬
лезностей возможных результатов.
В примере с затратами постулаты теории полезности были
использованы при определении щкалы полезности для раз¬
личных возможных результатов. Если функция полезности
определена, то peuienne выбирается путем максимизации этой
функции.
Дерево решений [31
Дерево решений —это наглядное представление процесса
принятия решения. Оно указывает решения, которые могут
быть приняты, возможные результаты и вероятности получе¬
ния этих результатов при осуществлении каждого из решений.
Когда имеется относительно малое количество решений с
дискретными результатами, дерево решений оказывается по¬
лезным для выбора программы действий с максимальным по¬
казателем полезности.
Предположим, например, что предприниматель рассматри¬
вает вопрос о разработке и выпуске новой продукции. Если
продукция будет принята покупателем, предприниматель по¬
лучит прибыль, но если продукция не будет пользоваться
спросом, он не оправдает своих затрат. Предприниматель ис¬
ходит из того, что его новая продукция будет распродана с
вероятностью 50%. Ему поступило предложение поручить
другой фирме обследование рыночного спроса с соответствую¬
щей оплатой этой работы. Анализируя предшествующие от¬
четы, предприниматель может быть уверен на 90%, что если
эта фирма даст рекомендацию на освоение новой продукции,
то она будет принята покупателем. Следовательно, он имеет
следующие варианты для выбора решения: оставить ассорти¬
мент продукции прежним, разрабатывать новую продукцию
или заплатить за обследование рыночного спроса и затем
последовать рекомендациям фирмы, проводившей обследова¬
ние. Для рассматриваемого примера на рис. 4.4 показан про¬
Процесс принятия решения
159
цесс принятия решения в виде дерева решения, каждой ветви
которого соответствует определенный доход.
‘/истый доход,
долл.,10‘‘
Рис. 4.4. Дерево решений для проблемы внедрения новой продукции и
чистый доход, который может быть получен при осуществлении различ¬
ных вариантов решения.
□ точка, в которой необходимо принять решение; О точки, в которых может быть
получен случайный результат.
Для случая, когда разработка новой продукции не произ¬
водится, доход, измеряемый в единицах IC долл., прини¬
мается равным 1,0. Если разработка новой продукции произ¬
водится и ее сбыт осуществляется успешно, то доход удваи¬
вается, но в случае отсутствия спроса затраты на разработку
160
Глава 4
снижают доход до 0,6. Если предположить, что затраты на об¬
следование рыночного спроса составляют 0,2-10'' долл., то с
учетом затрат на обследование все доходы снижаются на эту
Полезность
^00
«:U>=4,0J
1>,30
Нрлвача Р=0,5
<U> = 'aA9
'Ф
А
А,26
■3,60
3,90
Phc. 4,5. Дерево решений для проблемы внедрения новой продукции и
ожидаемые полезности, которые могут быть получены при осуществлении
различных вариантов решения.
На ветвяк указаны значения вероятностей (р) разных событий.
же величину. Чтобы выбрать программу действий, необходимо
определить полезности результатов и вероятности, связанные
с каждым случайным результатом. Предположим, что полез¬
ность затрат в долларах задается логарифмической зависи¬
мостью, предложенной Бернулли, т. е.
и(долл.) = 1ёю(долл.). (4.11)
Процесс принятия решения 161
На рис. 4.5 представлены значения полезности для каж¬
дого возможного результата, а вероятности каждого события
указаны вдоль соответствующей ветви. Если новая продукция
1)азрабатывается, то успех или неудача равновероятны. Сле¬
довательно, на основе имеющихся данных можно считать оди¬
наковой вероятность того, что фирма, обследующая рынок,
ласт рекомендацию производить или не производить новую
продукцию. Однако если обследование произведено и выданы
рекомендации производить новую продукцию, то тогда возмо¬
жен успех с вероятностью 90%. Ожидаемая полезность <ы>
для каждой ветви определяется в виде суммы ^ рай, где
Pi и И; —соответственно вероятность и полезность £-го ре¬
зультата.
Как видно из рис. 4.5, ветвь с обследованием рыночного
спроса характеризуется наибольшей ожидаемой полезностью.
Страхование на случай неудачного
выбора решения
Воспользуемся теорией полезности для иллюстрации того,
как следует обосновать приобретение или продажу страхового
полиса. Если продавец и покупатель страхового полиса были
бы безразличны к степени риска, то тогда они не смогли бы
прийти к соглащению на основе компромисса, так как удача
одного приводит к неудаче другого. Многие не склонны к
действиям, связанным с риском, и предпочитают платить
больше, чем следовало бы, чтобы избежать еще больших
1готерь.
Для примера предположим, что кто-то имеет дом стоимо¬
стью 40 000 долл. и, кроме того, 2000 долл. в активе. Чтобы
упростить задачу, будем считать, что в течение любого дан¬
ного года дом либо останется нетронутым, либо будет пол¬
ностью разрушен. Располагая данными о домах подобной кон¬
струкции в области, где он живет, владелец дома пришел
к заключению, что вероятность разрушения дома в течение
года составляет 1%- Как владелец дома, так и страховая
компания не склонны к риску. Предполагается, что функция
полезности имеет логарифмический вид и задается уравне¬
нием (4.11). На рис. 4.6 показан диапазон изменения полез¬
ности страхования в интервале величин страхового полиса
от 5000 до 50 ООО долл.
К концу года величина средней полезности <и> для имуще¬
ства домовладельца при отсутствии страхового полиса будет
(„) = (1 - 1Q-') Igio (42 ООО долл.)-flO^'lgio (2000 долл.). (4.12)
162
Глава 4
Уравнение (4.12) отражает тот факт, что с вероятностью 0,99
домовладелец будет иметь к концу года актив на сумму
42 000 долл. и с вероятностью 0,01—лишь 2000 долл. Из
уравнения (4.12) получим
(ы) = 4,610.
(4.13)
Денежный эквивалент этой полезности равен антилогарифму
от 4,610, т. е. 40 700 долл. Если домовладелец был бы без-
Рис. 4.6. Логарифмическая функция полезности в зависимости от затрат,
которая может характеризовать человека, не склонного к риску.
различен к степени риска, то среднее значение полезности в
долларах для него было бы равно
(долл.) = (1 - 10“^) X 42 000 + 10"^ X 2000 = 41 600 долл.
Следовательно, ценность имущества по восприятию домо¬
владельца ниже, чем полученная прямыми расчетами, так
как он по существу не склонен рисковать, чтобы не оказаться
перед фактом больших потерь.
Домовладелец готов застраховать свой дом на 40 000 долл.^
если для него полезность при страховании <«>' превышает
<и>. Максимальный страховой полис, приемлемый для страху¬
ющегося, вычисляется путем приравнивания <и>' и <и>, так
как большой полис привел бы к значению <«>' ниже <и>.
Если максимальный приемлемый страховой полис обозначить
через Рмакс, то получим
<«)' = Igio (4,2 • 10^-Р„зкс) = <«) = 4,610. (4.14).
Из выражения (4.14) следует, что Рмакс = 1300 долл. Если
домовладелец безразличен к степени риска, то максимальная
сумма, на которую он готов застраховаться, составит 400 долл.
Процесс принятия решения 163
Определим теперь минимальную величину страхового по¬
лиса, приемлемую для страховой компании. Эта величина
иычисляется путем приравнивания средней полезности для
компании в двух случаях; когда страхование не производится
(<и>б/с) и когда оно производится (<м>с). Если страховая
компания имеет в активе 10 млн. долл., то <«>б/с = Igio =
= 7,0. При страховании
(H), = (l-10-')lg,o(lo4P„„„) +
+ 10-'lg,o(lO" + P„HH-4X 10^). (4.15)
где Рмин — минимальная величина полиса, приемлемая для
страховой компании. Актив компании в случае страхования
и без него почти одинаков. Следовательно, можно считать,
что в рассматриваемом интервале величин страхового полиса
полезность меняется линейно, т. е. при малых изменениях
своего актива страховая компания безразлична к степени ри¬
ска. Поэтому
Р„ии ~ (вероятность выплаты) X (размер выплаты) =
= 0,01 X 4 X 10'* = 400 долл.
Таким образом, страховой полис в размере от 400 до
1300 долл. оказывается приемлемым как для домовладельца,
так и для страховой компании.
Выбор решения домовладельцем или страховой компанией
в предыдущем примере (т. е. ответ на вопрос, следует или не
следует покупать или продавать страховой полис) основан
на использовании известного значения вероятности, с которой
может произойти разрушение дома. Если вероятности полу¬
чения различных результатов известны, то в таком случае
принятие решения производится при наличии риска. Когда
вероятности не известны, то принятие решения производится
с учетом имеющейся неопределенности. В действительности
отсутствие указанной информации не приводит к изменению
существующего положения. Вероятная причина того, что лицо,
принимающее решение, отказывается предпринимать какие-
либо действия при неполной информации о системе, заклю¬
чается в том, что недостаточно обоснованные действия, как
правило, чаще вызывают порицание, чем отсутствие таких
действий. Однако сохранение существующего положения не¬
изменным совсем не обязательно является наилучшим реше¬
нием, которое следует выбирать, когда имеется пробел в зна¬
ниях. В следующем разделе этот вопрос рассматривается
более подробно.
164 Глава 4
4.3. Принятие решения в случае наличия
неопределенности в системе
В примере страхования (разд. 4.2) имелась возможность
дать рекомендации для процесса выбора решения, так как
вероятности случайных событий были известны. Как же по¬
ступать в тех случаях, когда эти величины неизвестны?
Максимизация энтропии
Предположим, например, что имеется v избирателей, голо¬
сующих за п кандидатов на государственный пост, и вам
предлагается игра, заключающаяся в том, что вы должны
определить кандидата, которого предпочитает первый встре-
тивщийся вам избиратель. Не имея какой-либо дополнительной
информации, какую вероятность приписали бы вы событию,
заключающемуся в том, что данный избиратель предпочитает
данного кандидата? Так как нет оснований считать, что ка-
кое-либо распределение голосов избирателей более вероятно,
чем другое, то наиболее вероятным будет такое распреде¬
ление голосов, при котором избиратели могут быть приписаны
определенному кандидату наибольшим числом способов.
Если Vi голосов отдано г-му кандидату, то для п кандида¬
тов число способов, которыми это распределение может быть
реализовано, дается формулой [4]
Число способов = ——, (4.16)
nv
^-1
где
Пиг! = («11)(и21)(из!) (и„!).
/-1
При десяти избирателях и двух кандидатах существует толь¬
ко один способ такого распределения избирателей, при кото¬
ром все голоса отдаются одному конкретному кандидату, но
когда оба кандидата получают одинаковое число голосов, су¬
ществует 252 способа приписывания избирателей. (Другой
пример. Если взять 10 шаров и бросать их произвольно в два
ящика, то случай равного распределения будет происходить
в 252 раза чаще, чем случай, когда все шары окажутся в
определенном ящике.) Для больших значений v распределе¬
ние количества способов приписывания избирателей кандида¬
там имеет резкий пик вблизи равного распределения. Следо¬
вательно, исходя из равновероятного распределения, вероят¬
Процесс принятия решения 165
ность pi того, что избиратель выберет г-го кандидата, дается
формулой
(4.17)
Все кандидаты имеют одинаковую вероятность получения го-
П
лоса любого заданного избирателя, и, очевидно, YuPi = ^-
t = i
Даже без каких бы то ни было математических выкладок
естественно считать, что pt = 1/п. Если нет оснований пола¬
гать, что какой-либо кандидат предпочтительнее другого, то
из соображений логики припишем равные значения вероятно¬
стям pi любого индивидуального голоса за г-го кандидата. Так
П
как S Р/ = 1. то pi = 1/п.
1=1
Если все избиратели голосуют за какого-то определенного
кандидата, то можно с определенностью сказать, за какого
кандидата подаст свой голос любой произвольно выбранный
избиратель. Такое распределение обычно называют полностью
упорядоченным. Если голоса избирателей распределены рав¬
номерно между кандидатами, то почти невозможно угадать,
за какого кандидата проголосует произвольно выбранный
избиратель. Такое распределение называется полностью неупо¬
рядоченным или беспорядочным. Энтропия Н рассматривае¬
мой системы является мерой ее неупорядоченности и выра¬
жается формулой
Я = -£л1пр,. (4.18)
(-1
Система находится в равновесии, когда энтропия максималь¬
на, что соответствует полному беспорядку. Если при максимн-
П
зации Н используется условие 2 Рг = 1. то вероятность
г-1
р/дается формулой (4.17).
Введение дополнительных условий связи изменяет вели¬
чину pi. Например, если pi — вероятность того, что переменная
превысит значение х,-, а <x> зафиксировано, то из условия
максимума энтропии Н получим
Pi=--^^. (4.19)
i
где X —постоянная; р,- выражается теперь через распределе¬
ние Больцмана [4]. Если же вероятность pi становится
166 Глава 4
известной, то процесс принятия решения в случае неопреде¬
ленности не отличается от процесса принятия решения при на¬
личии риска [5J.
Пример выбора типа здания для строительства
в районе сейсмической активности
Рассмотрим следующий пример принятия решения в слу¬
чае неопределенности; необходимо выбрать для строитель¬
ства тип зданий, чтобы сократить степень их разрушения в
случае землетрясения. (Предполагается, что другие показа¬
тели, такие, как состояние почвы и расстояние от дома до
места излома земной коры, остаются постоянными.) Для
наглядности будем считать, что в рассматриваемом районе в
течение ближайших 20 лет могут иметь место три вида
сейсмической активности: слабое землетрясение, которое не
приведет к разрушению зданий; одно или несколько умерен¬
ных землетрясений, которые вызовут разрушение конструкций
самых непрочных зданий, слабые разрушения (осыпание шту¬
катурки, бой оконных стекол или обвал карнизов) более
прочных зданий и не принесут никакого ущерба очень проч¬
ным зданиям; сильные землетрясения, которые полностью
разрушат самые непрочные здания и произведут разной сте¬
пени разрушения прочных конструкций. Вероятность этих со¬
бытий неизвестна (в действительности можно получить оценку
этих вероятностей, если ознакомиться с данными о землетря¬
сениях или проконсультироваться с экспертами). Необходимо
принять решение, вводить ли высокие прочностные нормы
для строящихся зданий с соответствующим повышением их
стоимости в среднем на 12%, средние нормы с повышением
стоимости зданий на 6% или не вводить никаких норм. Чем
выше норма прочности, тем меньше вероятность разрушения,
но дороже конструкция. В табл. 4.1 приведена характеристика
возможных для данного примера вариантов решения.
В табл. 4.2 приведены результаты сочетания стоимости и воз¬
можных разрушений зданий и указана оценка полезности
каждого варианта. Для этой оценки были использованы де¬
сятибалльная шкала полезности (от О до 10) и система вычи¬
тания различного количества баллов из максимальной полез¬
ности но следующей схеме: слабое разрушение — вычитался
1 балл, каждое приращение стоимости — 2 балла, разруше¬
ние конструкции — 6 баллов и полное разрушение—10 бал¬
лов (приведенные значения полезности не отражают чьего-
либо отношения к варианту, а используются лишь для на¬
глядности изложения).
Процесс принятия решения
167
Таблица 4.1
Варианты нормирования прочности здания и ожидаемые
результаты в зависимости от вида сейсмической активности
Норма
прочности
Ожидаемые результаты
слабые толчка
умеренные толчки
сильные толчки
Отсутствует
Средняя
Высокая
Дешевые конст¬
рукции, нет раз¬
рушений
Умеренная стои¬
мость, нет раз¬
рушений
Высокая стоимость,
нет разрушений
Дешевые конструк¬
ции, разруше¬
ние конструкций
Умеренная стои¬
мость, слабые
разрушения
Высокая стоимость
нет разрушений
Дешевые конструк¬
ции, полное раз¬
рушение
Умеренная стои¬
мость, разруше¬
ние конструкций
Высокая стоимость,
нет разрушений
Таблица 4.2
Оценка полезности стоимости зданий в связи с возможностью их
разрушения при проявлении сейсмической активности
Сочетание стоимости здания и ею возможного разрушения
Полезность
Дешевая конструкция, отсутствие разрушений
Умеренная стоимость, отсутствие разрушений
Умеренная стоимость, слабые разрушения
Высокая стоимость, отсутствие разрушений
Высокая стоимость, слабые разрушения
Дешевая конструкция, разрушение конструкции
Умеренная стоимость, разрушение конструкции
Дешевая конструкция, полное разрушение
10
8
7
6
5
4
2
О
Таблица 4.3
Значения полезности вариантов решения
о нормах прочности зданий в зависимости
от вида ожидаемого землетрясения
Норма прочности
Полезность
слабые
толчки
умеренные
толчкн
сильные
толчкн
Отсутствует
10
4
0
Средняя
8
7
2
Высокая
6
6
5
168 Глава 4
В табл. 4.3 приведены значения полезности для возмож¬
ных вариантов решения рассматриваемого примера.
Так как вероятность проявления различных видов сейсми¬
ческой активности не известна, то на основе предшествую¬
щего рассмотрения примем эти вероятности равными ‘/з Для
каждого вида активности.
Таким образом, ожидаемые полезности для каждого воз¬
можного варианта решения будут иметь следующие значения:
— при отсутствии норм
прочности (и) = -1 (10) -f (4) + (0) = 4,67,
— при средней норме
прочности (и) = -1 (8) + (7) + у (2) = 5,67,
— при высокой норме
прочности (и) == у (6) + J (6) + у (5) = 5,67.
С точки зрения максимизации <«> как средняя, так и высокая
норма прочности приемлемы в равной степени.
Какие же средства следовало бы выделить на сбор допол¬
нительной информации? Наилучшим результатом использо¬
вания этих средств является получение такой дополнительной
информации, которая позволила бы точно узнать, какое со¬
бытие произойдет. Располагая точной информацией, можно
было бы определить верхний предел необходимых финансо¬
вых затрат.
А какова стоимость точной информации? Если бы было
известно, что при землетрясении будут иметь место слабые
толчки и поэтому можно было бы не вводить дополнительные
нормы прочности (отсутствие норм прочности дает наиболь¬
шую полезность при слабых толчках), то соответствующая
полезность была бы равной 10; если бы было известно, что
ожидаются умеренные толчки, то следовало бы ввести уме¬
ренные нормы прочности с полезностью, равной 7; и наконец,
если бы было известно, что ожидаются сильные толчки, то
необходимо было бы ввести высокую норму прочности с по¬
лезностью, равной 5. Каждое сейсмическое событие имеет
априорную вероятность '/з (основанную на максимизации
энтропии), и, следовательно, ожидаемая полезность точной
информации будет равна
(„)= 1(10)+ -^(7)+ 1(5) = 7,33.
Чтобы определить сумму затрат, которую целесообразно
вложить на сбор дополнительной информации, необходимо
Процесс принятия решения 169
найти связь полезности (табл. 4.3) с затратами, т. е. денеж¬
ный эквивалент полезности. Предположим, например, что для
данного общества людей 6%-ное увеличение стоимости кон¬
струкций соответствует 2-10® долл. Так как 6%-ному увели¬
чению соответствуют две единицы полезности, то денежный
эквивалент единицы полезности равен 10® долл. (предпола¬
гается, что в рассматриваемом примере в диапазоне возмож¬
ных значений затрат в долларах существует независимость
затрат от степени риска). Разность значений полезности при
наличии точной информации и при ее отсутствии составит
7,33—5,67=1,66 единиц полезности, что соответствует денеж¬
ному эквиваленту 1,66-10* долл. Следовательно, приемлемый
верхний предел затрат на сбор дополнительной информации
составляет 1,66-10® долл., что и является стоимостью получе¬
ния полной информации.
Другие способы выбора варианта решения
Выбор варианта решения при наличии риска или в случае
неопределенности в системе может производиться и на основе
принципов, отличных от максимизации ожидаемой полезно¬
сти. Если лнцо, принимающее рещение, является пессимистом,
т. е. человеком, который уверен в наихудшем исходе, то оно
может использовать принцип максимина, с помощью которого
выбирается вариант, позволяющий получить максимальное
значение показателя при наихудшнх условиях'). В этом слу¬
чае при наименее желательных условиях полезность выбран¬
ного варианта решения выше, чем любого другого.
Из табл. 4.3 следует, что при различных вариантах нор¬
мирования прочности зданий наименее желательные события
характеризуются значениями минимальной прочности:
— при отсутствии норм прочности О,
— при средней норме прочности 2,
— при высокой норме прочности 5.
Принцип максимина рекомендует высокую норму проч¬
ности, так как в этом случае полезность никогда не будет
иметь значения ниже 5 даже при самых неблагоприятных
условиях.
Оптимист мог бы использовать способ, основанный на
принципе максимакснмума, с помощью которого выбирается
вариант решения, максимизирующий максимальные полез¬
ности. Из табл. 4.3 следует, что при рассматриваемых раз¬
личных вариантах решения наиболее благоприятные события
*) Такой способ носит название гарантирующего. — Прим. ред.
170
Глава 4
характеризуются следующими значениями максимальной по¬
лезности;
— при отсутствии норм прочности 10,
— при средней норме прочности 8,
— ири высокой норме прочности 6.
Следовательно, оптимист выбрал бы вариант, согласно кото¬
рому нормирование прочности зданий производить не следует.
Можно оценивать варианты решения по степени неудов¬
летворенности тем, что выбирается неверный вариант для
данного события из числа ожидаемых событий. Неудовлетво¬
ренность определяется как разность между значениями полез¬
ности при лучшем решении для рассматриваемого события
и значением полезности для любого варианта решения того
же события. В примере выбора типа здания оценки неудов¬
летворенности в баллах для каждого варианта решения при¬
ведены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Оценка неудовлетворенности вариантами
решения о нормах прочности зданий
в зависимости от вида ожидаемого
землетрясения
Неудовлетворенность
Норма прочности
слабые
толчкн
умеренные
толчки
сильные
толчки
Отсутствует
0
3
5
Средняя
2
0
3
Высокая
4
1
0
Если в качестве событий рассматриваются слабые толчки
при сейсмической активности, то наилучшим вариантом ре-
Н1епия будет отсутствие норм прочности (пулевая неудовле¬
творенность), следующим по предпочтительности вариантом
будет средняя норма прочности (неудовлетворенность оцени¬
вается в 2 единицы) и наихудшим возможным решением бу¬
дет высокая норма прочности (неудовлетворенность оцени¬
вается в 4 единицы).
Одним из способов принятия решения является выбор ва¬
рианта с наименьшим значением максимальной неудовлетво¬
ренности. Из табл. 4.3 следует, что максимальная неудовле¬
творенность при отсутствии норм прочности равна 5, при
'Средней норме прочности равна 3 и при высокой норме проч¬
Процесс принятия решения 171
ности равна 4. Следовательно, в соответствии с указанным
способом необходимо выбрать среднюю норму прочности, так
как при этом независимо от возможных событий неудовлетво¬
ренность не превысит
В настоящем разделе приведено описание различных спо¬
собов принятия решения. Не следует считать, что один из
способов является наилучшим. Выбор того или иного способа
принятия решения зависит от склонности групп лиц, имею-
Ш.ИХ общие интересы.
4.4. Соотношения между переменными при
одинаковой полезности вариантов решения
В оставшихся разделах главы рассматриваются способы
принятия решения при наличии в системе разнотипных пока¬
зателей, т. е. показателей, измеряемых в различных единицах.
В разд. 1.5 было установлено, что для объединения показа¬
телей в одной целевой функции можно воспользоваться
соотношением между переменными при одинаковой полезности.
Кривая одинаковой полезности (т. е. линия постоянной по¬
лезности) для таких переменных, как затраты и время, мо¬
жет быть использована для получения функциональной зави¬
симости, описывающей денежный эквивалент времени, или
наоборот.
Кривая одинаковой полезности может быть определена
путем нахождения условий, которые одинаково приемлемы
для групп лиц с общими интересами. Например, установлено,
что поездка стоимостью в 30 долл. при продолжительности
2 ч и поездка стоимостью в 20 долл. при продолжительности
3 ч одинаково приемлемы. Если предположить, что в рассмат¬
риваемом диапазоне изменения параметров пригодно линей¬
ное приближение, то требуются лишь две точки, чтобы опре¬
делить уравнение прямой одинаковой полезности. На основа¬
нии нмеюн1,ихся данных получим уравнение
с+ 10/ = 50, (4.20)
где с — затраты и t — время.
Допущение о линейности может оказаться непригодным,
и в общем случае соотношение одинаковой полезности задается
функцией g{c), представляющей собой временной эквивалент
затратам (т. е. g{c) является тем временем поездки, которое
может быть предложено вместо части затрат для сохранения
постоянного уровня удовлетворенности). И наоборот, можно
использовать функцию в качестве денежного эквива¬
лента времени (здесь g~^ — функция, обратная g). Полные
172 Глава 4
затраты С, которые включают как действительные затраты,
так и денежный эквивалент времени, могут быть записаны
в виде
С = с + Г’(0. (4.21)
Аналогично полное время поездки Т будет определяться вы¬
ражением
T = t + g{c). (4.22)
В координатах затраты — время линия одинаковой полезно¬
сти описывается уравнениями
с -Ь (О = const
и
^ (с) = const,
так как константы полных затрат и полного времени соответ¬
ствуют фиксированной величине полезности.
Рис. 4.7. Кривые одинаковой полезности в координатах затраты —
время.
Стрелкой показано направление максимального увеличения полезности.
Для уравнения (4.20) денежный эквивалент времени ра¬
вен 10/, т. е. дополнительный час, затрачиваемый на поездку,
воспринимается как дополнительная затрата в 10 долл. Ана¬
логично временной эквивалент затрат равен с/10. Следова¬
тельно, полные затраты С даются формулой С = с4-Ю/,
а полное время Т — формулой Т = / —с/10.
Нелинейные соотношения между переменными при оди¬
наковой полезности могут выглядеть подобно тому, как пока¬
зано на рис. 4.7, где направление максимального увеличения
полезности перпендикулярно линиям одинаковой полезности.
Процесс принятия решения 173
Пример оптимизации количества работников,
необходимых для реализации государственного проекта
Допустим, что денежный эквивалент времени (или вре¬
менной коэффициент затрат) известен. Тогда, используя ме¬
тод, рассмотренный в разд. 4.2, можно определить функцию
полезности U{С) для полных затрат. Целью анализа воз¬
можных вариантов решения при наличии риска является оп¬
тимизация функций и {С) или {U{C)).
Рассмотрим случай, когда и денежные средства, и время,
затрачиваемые на реализацию государственного проекта, яв¬
ляются функциями одной переменной, а именно число рабо¬
тающих N. Время выполнения проекта сокращается с
увеличением числа работающих, но при этом растут затраты.
Предположим, что зависимость между переменными будет
иметь следующий вид:
t = io + ^. (4.23)
c = Co + CiN, (4.24)
где to, t\, Со и Cl — положительные константы. Задача сво¬
дится к определению числа N, при котором достигается мак¬
симальная полезность. Прежде всего необходимо определить
денежный эквивалент времени (или величину обратную).
Если предполагается существование линейной зависимости
между затратами и временем, при которой t часов эквива¬
лентны стоимости в (t/R) долл., где R — постоянная, то пол¬
ные затраты С можно выразить формулой
С = с + ^. (4.25)
Линии одинаковой полезности в координатах затраты —
время являются линиями постоянной величины С, имеющими
наклон, равный (—\/R). Такие линии показаны на рис. 4.8, из
которого видно, что полезность решения увеличивается
с уменьшением С и t.
Если исключить переменную N. из уравнений (4.23) и
(4.24), то можно получить дополнительную зависимость
между переменными cut:
с = Со + 7^. (^-26)
которая представлена на рис. 4.9 штриховой линией. Точка А
соответствует максимальной полезности, которая может быть
достигнута при наличии дополнительного условия связи
(4.26). Касательная к штриховой линии в точке А имеет тот
174
Глава 4
Рис. 4.8. Линии одинаковой полезности в координатах затраты —
время.
Наклон прямых равен Стрелкой показано направление увеличения полезиоста.
Рис. 4.9. Линии одинаковой полезности и зависимость (штриховая линия),
выражающая условие связи (4.26), в координатах затраты — время.
Процесс принятия решения 175-
же наклон, что и линия одинаковой полезности. Из уравнений
(4.25) и (4.26) получим
* ' (4.28)
dt R ’
Приравнивая правые части уравнений (4.27) и (4.28) и ре¬
шая полученное уравнение относительно t, найдем время, со¬
ответствующее максимальной полезности;
/ = /о + л/с7^. (4.29)
Подставляя полученное выражение для t в уравнение (4.23),
найдем оптимальное число работников, необходимое для реа¬
лизации государственного проекта:
N
“л/5-
Существуют другие способы получения этого результата
(см., например, задачу 4.1 или используйте прямую подста¬
новку уравнений (4.23) и (4.24) в (4.25) с последующим диф¬
ференцированием), однако графический способ, который по¬
яснен с помощью рис. 4.9, наглядно показывает роль показа¬
теля полезности в процессе принятия решения.
Пример оценки отношения рабочего
к гарантированному минимуму заработной платы
Соотношения одинаковой полезности используются эко¬
номистами в качестве вспомогательного средства для пред¬
сказания поведения отдельного лица или группы лиц. Напри¬
мер, рабочий может указать приемлемое для него соотноше¬
ние между заработной платой и числом отработанных часов
(рис. 4.10) [6 . Кривые С\, Сг и Сз представляют собой ли¬
нии одинаковой полезности. Они показывают, что рабочий
одинаково удовлетворен соотношением между количеством
рабочих часов и заработком, которое определяется каждой
из этих линий. При увеличении количества рабочих часов
для сохранения у рабочего неизменного уровня удовлетво¬
ренности необходимо установить ему более высокую заработ¬
ную плату. Штриховая линия АО показывает рост заработка
рабочего с числом отработанных часов, а тангенс угла на¬
клона этой линии определяет величину почасового заработка
рабочего. Если он стремится повысить полезность своего
труда и в рассмотрение не вводятся какие-либо дополни¬
тельные условия, то точка Т, в которой линия АО касается
кривой Сг. определяет соотношение между заработком и
176
Глава 4
отработанным временем, соответствующими максимальной
полезности для рабочего.
Предположим, что введен гарантированный минимальный
заработок. Если заработок рабочего ниже установленного
минимального заработка, то рабочий получает разность
между ними, в противном же случае он не получает никакого
вознаграждения. Если введенная минимальная зарплата
имеет уровень 1\ (рис. 4.10), а почасовая оплата остается
Рис. 4.10. Кривые одинаковой полезности.
Стрелкой показано направление максимального увеличения полезности.
прежней, то рабочий предпочитает продолжать работать
столько часов, сколько соответствует точке Т на кривой Сг,
так как в этом случае полезность для рабочего выше, чем
в случае, который описывается кривой С\. Если минимальная
зарплата установлена равной /г, рабочий предпочитает пре¬
кратить работу и принять гарантированный минимум, потому
что, поступая таким образом, он приближается к более вы¬
сокой для себя полезности Сз. Он может достигнуть ее, не ра¬
ботая, даже в том случае, если его новый заработок ниже
прежнего»
Пример выбора действий, необходимых для повышения
уровня потребления товаров без серьезного
загрязнения окружающей среды
Подход к решению задачи
Рассмотрим процесс выбора варианта действий, направ¬
ленных на удовлетворение потребностей покупателей в това¬
рах без нанесения серьезного ущерба окружающей среде
Процесс принятия решеиия 177
[7]. Противоречие в условиях этой задачи состоит в том, что
при данном составе производственного оборудования и струк¬
туре валового национального продукта повышение уровня по¬
требления вызывает увеличение загрязнения среды. Напри¬
мер, требования действующих стандартов к качеству воздуха
можно удовлетворить, если сократить использование автомо¬
билей. Правильно ли это заключение? В этом разделе выво¬
дится функциональная зависимость потребления от временн,
которая отражает стремление общества к повыщению уровня
потребления и к уменьшению загрязнения окружающей среды.
Эта задача может быть разделена на две части; установ¬
ление количественной взаимосвязи между потреблением и за¬
грязнением и описание отношения людей к этим переменным.
Для установления связи между рассматриваемыми перемен¬
ными предполагается, что интенсивность генерации загряз¬
няющего вещества пропорциональна потреблению, а интен¬
сивность очистки отходов пропорциональна уровню загряз¬
нения. На основе этих предположений составим уравнение
=р = аС-ЬР, (4.31)
dt
где Р — масса загрязняющего вещества, С — потребление
в единицах массы на единицу времени, t — время, а и 8^) —
положительные константы. Коэффициент а зависит от эффек¬
тивности техники и технологии. Например, использование
вторичного сырья понизило бы величину а. Предполагается,
что в течение всего периода реализации проекта техническое
оборудование останется неизменным. Коэффициент б может
зависеть либо от естественного процесса снижения загрязне¬
ния, либо от выполнения программы очистки отходов.
Уравнение (4.31) является лишь одним из возможных спо¬
собов выражения связи между рассматриваемыми перемен¬
ными. Такую связь можно было бы выразить, например, тем
же уравнением (4.31), но с дополнительным постоянным чле¬
ном в правой части, представляющим собой фиксированную
интенсивность удаления загрязнения.
Для описания отношения людей к потреблению и загряз¬
нению будем использовать функцию полезности, которая на
период времени от ^ = О до t = Т, отведенный для выпол¬
нения проекта, дается формулой
т
и='\и{С, P)e-y*dt, (4.32)
*) б должна иметь размерность — Прим. ред.
178 Глава 4
где W (С, — приращение полезности в интервале вре¬
мени от t до Множитель e-v' выражает обесценива¬
ние будущего по отношению к настоящему (дисконтирова¬
ние). Если, например, v = 0,05 лет"‘, то это означает, что
интерес к потреблению и загрязнению через 20 лет будет
в е раз меньше, чем в настоящее время, т. е. текущим проб¬
лемам придается большее значение, чем будущим. Если же
придать большее значение будущим проблемам по сравне¬
нию с настоящими, то тогда у будет иметь отрицательное
значение.
Целью решения рассматриваемой задачи является выра¬
жение потребления в виде такой функции от времени C{t),
которая оптимизирует целевую функцию U в соответствии
с уравнением для переменных потребления и загрязнения
(4.31). Предполагается, что начальный уровень загрязнения
Р{0) известен, а уровень загрязнения в конце планируемого
периода Р(Т) задается. Хотя принципиальные трудности
учета таких факторов, как истощение ресурсов и изменение
численности населения, отсутствуют, в приведенном решении
задачи они не учитываются.
При рассмотрении предыдущего примера минимизация за¬
трат при наличии условия связи проводилась графическим
методом (рис. 4.9). При решении задачи о расширении по¬
требления без дополнительного серьезного загрязнения окру¬
жающей среды используется метод множителя Лагранжа
(приложение Б). Согласно выражению (Б. 10), максимизация
функции и (4.32) при наличии условия связи (4.31) эквива-
т
лентна максимизации интеграла ^L{t, С, Р, P)dt, где
о
L (/, С, Р,Р) = и (С. Р) - К it) [Р-аС + 6Р], (4.33)
а X(t)—множитель Лагранжа. Максимизация приводит к сле¬
дующим дифференциальным уравнениям, которые аналогичны
уравнениям (Б.12);
^ = 0, = (4.34)
дС дР dt дР ^ ’
Подставляя выражение (4.33) в уравнения (4.34), получим
= (4.35)
+ Я = (4.36)
Процесс принятия решения 179
После исключения % из этих уравнений имеем
+ = («7)
Одновременное решение уравнений (4.31) и (4.37) дает опти¬
мизирующую функцию C(t) и соответствующую ей функ¬
цию P{t).
Получение стационарного решения
Стационарное решение уравнений (4.31) и (4.37), опти¬
мизирующее функционал (4.33), получим путем приравнива¬
ния к нулю производных от массы Р и полезности U по
времени:
С = |Р (4.38)
и
(Y + S)-§ = -a|^. (4.39)
Достоинство стационарного решения состоит в том, что
оно дает полезность, не зависящую от времени. Иными сло¬
вами, при таком решении не отдается предпочтения ни бу¬
дущему по отношению к настоящему, ни настоящему по от¬
ношению к будущему. Однако следует заметить, что отдель¬
ные лица даже в стационарных условиях могут отдавать
предпочтение каким-то конкретным промежуткам времени.
А зависимость предпочтительности от времени влияет
на оптимальное стационарное решение, о чем свидетель¬
ствует наличие обесценивающего множителя у в уравнении
(4.39).
Уравнение (4.39) связывает интенсивность изменения по¬
лезности при изменении потребления (duldC) с интенсив¬
ностью изменения полезности при изменении загрязнения
{dujdP). Если полезность выражается в долларах, то (duldC)
выражает количество долларов на единицу потребления, т. е.
потребительскую цену или стоимость единицы продукции.
Аналогично (duIdP) является стоимостью единицы загрязне¬
ния. Чтобы оптимизировать стационарное состояние, необхо¬
димо знать соотношение между потребительской ценой и стои¬
мостью загрязнения (4.39). Если функция и{С,Р) зависит от
переменных С и Р в явной форме, то одновременное решение
уравнений (4.38) и (4.39) позволяет получить стационарные
значения этих переменных.
180
Глава 4
Исследование функции полезности
Для дальнейшего решения приведенной задачи необхо¬
димо дать более конкретное описание функции полезности
и{С,Р). Приемлемое описание отношения людей к потребле¬
нию и загрязнению, по-видимому, должно включать следую¬
щие условия: предельная полезность в единицу времени по от¬
ношению к потреблению dujdC положительна и уменьшается
с увеличением С, а предельная полезность в единицу времени
по отношению к загрязнению dujdP отрицательна и тем
С/Со
а
Р/Рр
(Г
Рис. 4.11. Зависимость полезности от относительных величин потребления
С/Со (а) и загрязнения Р/Ро {б).
Стрелкой показано направление увеличения параметра п.
больше по абсолютной величине, чем выше Р (т. е. по мере
приближения уровня загрязнения к критической величине,
неудовлетворенность растет с большей скоростью). Если при¬
нять, что функция и(С,Р) меняется в интервале значений
от О до 1, то нулевая полезность будет соответствовать по¬
треблению С = О или загрязнению Р, достигнувшему крити¬
ческого значения Pq. Значение полезности, равное единице,
должно соответствовать загрязнению Р = О при большом
значении С.
Основываясь на этих соображениях, можно предложить
приемлемую форму описания и(С,Р) в виде
(4.40)
где С > О, Ро> Р > О, t О, а Со, Pq и п — положительные
константы. На рис. 4.11 показана зависимость и от перемен¬
ных С п Р. Параметр п показывает, насколько быстро растет
неудовлетворенность с увеличением Р: если п мало, то и
Процесс принятия решения
181
резко уменьшается при невысоких значениях Р, в то время
как при больших п снижение и имеет место только при при¬
ближении Р к критическому значению Ро-
Если и имеет постоянное значение, то уравнение (4.40)
является уравнением кривых одинаковой полезности для пе¬
ременных потребления и загрязнения (рис. 4.12). Как видно
Рис. 4.12. Кривые одинаковой полезности в координатах относительных
величин потребления С/Со и загрязнения P/Pq при фиксированном значе¬
нии п.
Стрелкой показано направление увеличения полезности.
из рисунка, неудовлетворенность загрязнением резко повы¬
шается по мере приближения Р к значению Ро, в то время
как при сохранении постоянного уровня полезности возможно
даже значительное увеличение потребления при одновремен¬
ном небольшом повышении загрязнения.
Оптимизация решения при допустимости лишь незначительного
загрязнения окружающей среды
Если допустимо лишь незначительное загрязнение среды,
то аналитическое решение рассматриваемой задачи можно
получить в конечном виде. В этом случае функция полезности
и(С,Р) практически не зависит от переменной Р. Тогда урав¬
нение (4.37) сводится к следующему:
(4.41)
где и=\ — (согласно уравнению (4.40)). Совместное
решение уравнений (4.40) и (4.41) дает
С (/) _ С (0)
(Y + 6)/.
(4.42)
182
Глава 4
Оптимизирующая функция потребления максимальна при
^ = О и линейно убывает со временем. Этот вывод остается
справедливым даже тогда, когда дисконтирование отсут¬
ствует, т. е. при V = 0.
Если период выполнения проекта велик по сравнению с пе¬
риодом очистки, т. е. бГ > I, то выражение для С(0) имеет
относительно простой вид, и тогда соотношение (4.42) можно
записать следующим образом:
С (О = [^Р (Г) + (Y + б) ГСо] - (Y + б) Cot. (4.43)')
Соответствующая функция загрязнения имеет вид
Р (/) = [Р (Т) + аСоТ] - aCot + [Р (0) - Р (Т) - аСоГ] е"". (4.44)
На рис. 4.13 приведено графическое изображение зависи¬
мости (4.43) для оптимизирующей функции C{t) при разных
Рис. 4.13. Зависимость оптимизирующей функции потребления С от вре¬
мени t при различных значениях параметров у{а) и б(б) для бГ » 1 и
Р < Ро.
Стрелками показаны направления увеличения V и g.
значениях 7 и б. При увеличении коэффициента дисконтиро¬
вания Y (рис. 4.13, а) начальное значение функции C(t) рас¬
тет относительно ее конечного значения. Это логично, так как
большее значение у означает, что настоящему придается
большее значение, чем будущему. Из рис. 4.13,6 видно, что
потребление растет также и с увеличением интенсивности
очистки б.
На рис. 4.14 показан график оптимизирующей функции
загрязнения P{t), построенный в соответствии с уравнением
') Этот результат получается интегрированием уравнения (4.31) при
условии, что Р(Т) — величина заданная, и отбрасыванием величин поряд¬
ка \1ЬТ. — Прим. ред.
Процесс принятия решения
183
(4.44) для случая малого загрязнения, предположения, что
бГ» 1, и начального условия Р(0) = 0. Тот факт, что опти¬
мизирующая функция загрязнения P(t) не зависит от у
н растет с увеличением интенсивности очистки б, в какой-то
степени является неожиданным и объясняется тем, что, как
Рис. 4.14. Зависимость оптимизирующей функции загрязнения Р от вре¬
мени t для бГ > 1, Р < Яо и Р(0) =0.
Стрелкой показано направление увеличения параметра в.
показано на рис. 4.13,6, оптимизирующая функция потребле¬
ния C(t) увеличивается вместе с б, а поэтому увеличивается
иР(0.
Численное решение задачи с помощью ЭВМ
Для расчета функций C{t), P(t) и U с помощью ЭВМ
были выбраны следующие значения параметров:
7 = 0,02 лет“' (это соответствует дисконтированию в е
раз за 50 лет);
п = 5; Г = 50 лет (период реализации проекта);
аСо/Ро = 0,02 лет“‘ (это соответствует увеличению за¬
грязнения, обусловленного ростом потребления, приблизи¬
тельно на 2% в год);
Р(0)/Ро = 0,8.
Рассматривались три случая:
1. Оптимальное стационарное рещение для б = 0,01 лет~',
соответствующее уменьщению загрязнения в е раз через
100 лет. Полученное при этом значение потребления С ока¬
залось равным 0,4Со.
2. Оптимизирующее рещение для Р(Т)=Р{0) и б ==
= 0,016 лет~‘, соответствующее уменьшению загрязнения
в е раз приблизительно через 60 лет.
184
Глава 4
3. Искусственно вводимый рост потребления, приводящий
к удвоению потребления за 20 лет, при б = 0,01 лет~‘
и С(0) = 0,4Со.
Рис. 4.15. Зависимость относительной величины потребления С/Со от вре¬
мени t для значений параметров у = 0,02 лет~', п = 5, Т = 50 лет,
(аСо/Ро) = 0,02 лет-', [Р(0)/Ро] = 8.
/—оптимальное стационарное решение при 6=0,01 лет“'; оптимизирующее решение
для 6=0,016 лет”*: 3—вынужденное повышение потребления в 2 раза за 20 лет при
в=0,01 лет~‘ и С (0)=0,4 С,.
Рис. 4.16. Зависимость относительной величины загрязнения Р/Ро от вре¬
мени / для трех случаев, показанных на рис. 4.15.
Результаты расчетов приведены на рис. 4.15 и 4.16. В слу¬
чае 1 потребление и загрязнение постоянны. В случае 2
потребление монотонно растет, а загрязнение слегка умень¬
шается, но к концу периода Т принимает исходное значение.
В случае 3 искусственно введенный рост потребления приво¬
Процесс принятия решений 185
дит к росту загрязнения до критической величины Ро за пе¬
риод времени, который немного больше 30 лет. Суммарные
значения полезности 3 рассматриваемых случаев за 50-лет¬
ний период времени имеют следующие значения:
t/(i) = 8,5; [/(2) =12,3; С/(3) = 6,5.
Таким образом, экспоненциальный рост потребления дает
наименьшую полезность, а уменьшение времени очистки со
100 до 60 лет приводит к заметному увеличению полезности
при оптимальном решении.
Как и все другие модели, эта модель оптимизации реше¬
ния при наличии противоречия между потреблением и загряз¬
нением основана на компромиссе между учетом реальной дей'
ствительности и простотой модели. Поэтому важно понимать
недостатки проводимого анализа. Например, одним из при-
пятых приближений является высокий уровень агрегирования,
при котором не делается различия между типами загрязните¬
лей, между видами предметов потребления или не учиты¬
вается распределение товаров между социальными слоями
потребителей. Конкретный вид используемых функциональ¬
ных зависимостей, выбранных для модели [уравнения (4.31)
и (4.40)], является еще одним приближением, принятым для
описания действительности. Кроме того, предполагается, что
значения параметров, на которые могли бы повлиять измене¬
ния технологии или изменение отношения со стороны отдель¬
ных людей, остаются постоянными в течение всего плано¬
вого периода.
4.5. Определение статистического веса
полезности показателей
Если имеется несколько разнотипных показателей, то вы¬
ражение для общей полезности часто записывается в линей¬
ной форме в виде суммы отдельных полезностей с учетом их
статистического веса:
П
С/ == Е + W2U2 + .. . + (4.45)
где t/ —целевая функция, f/,-— полезность, связанная с г-м
показателем, и Wi — весовой множитель, приписанный полез¬
ности Ui. В разд. 1.5 значения весовых множителей опреде¬
лялись путем попарного сравнения показателей, другие ме¬
тоды нахождения статистического веса полезности показате-*
лей можно найти в работе [8].
186 Глава 4
Треугольник точек зрения
Если получение единого набора весовых множителей,
представляющего одинаковую точку зрения разных групп
лпц, оказывается невозможным, то часто целесообразно ука¬
зать доминирующее рещение для каждой совокупности на¬
боров весовых множителей. Этот метод был выбран Стан-
фордским университетом [9] при исследовании проблемы
использования земельных площадей, при этом экономические,
социальные и природные факторы были представлены сле¬
дующими показателями.
Экономические факторы: доход университета, доход мест¬
ного населения, занятость рабочих (создание дополнительных
рабочих мест).
Социальные факторы: жилищное строительство (число
единиц жилых домов для семей с низким, средним и высоким
доходом), движение транспорта (число дополнительных поез¬
док на автомобиле), отдых (количество и качество мест от¬
дыха), социальный эффект (степень сближения различных
социально-экономических групп).
Факторы, связанные с состоянием окружающей среды:
влияние воздействий (биологических, геологических и в фор¬
ме загрязнения среды) на природу, эстетика (ухудшение
привлекательности ландшафта района).
Разбиение показателей на три категории в некоторой сте¬
пени произвольно, и конкретный выбор разбиения основы¬
вается на подборке показателей, которая считается целесооб¬
разной для лиц, участвующих в исследовании.
Для оценки всего диапазона возможных вариантов реше¬
ния проблемы проанализировано одиннадцать вариантов,
сгруппированных по их основной идее следующим образомз
Номер
варианта
решения
Основная идея варианта решения
1, 2, 3
Сохранение незанятых площадей для
отдыха
4, 5, 6
Организация жилищного строитель*
ства
7, 8, 9, 10
Развитие промышленности и тор*
говли
11
Создание университетского фонда
Каждый Показатель при анализе каждого варианта реше*
НИН измерялся с использованием либо определенных единиц
Процесс принятия решения 187
измерения, либо оценок значимости. Полученные результаты
были затем преобразованы в оценки полезности по пяти¬
балльной шкале, при этом пятерка соответствовала наиболь¬
шей полезности.
Следующим шагом было определение весовых множителей
для показателей системы в целом с целью представления от¬
носительной важности каждого показателя системы. В каче-
9
стве условия нормировки было принято, что 2 = 100, где
Wi — вес i-ro показателя. Сумма
9
5/ = S ЩЩ1
г-1
1-1
(/ изменяется от 1 до 11) вычислялась для каждого /-го пла¬
на, где Uij — полезность t'-ro показателя в /-м плане. При лю¬
бом наборе весовых множителей один вариант решения
доминирует над другими, давая наибольшее значение 5/. Ма¬
лые изменения весовых множителей не могут сделать доми¬
нирующий вариант недоминирующим, и, следовательно, по¬
добные друг другу наборы весовых множителей, приводящие
к одному и тому же доминирующему варианту, группируются
в одну «гроздь точек». Представление в виде гроздей точек
является методом, используемым при распознавании образов
[10]. Оказалось, что достаточно иметь 94 грозди точек,
чтобы представить все возможные наборы весовых множите¬
лей в рассматриваемом примере.
Для представления результатов исследования органу, при¬
нимающему решение, различные наборы весовых множителей
и доминирующие варианты решения были отображены на
плоскости в виде треугольника точек зрения (рис. 4.17). Это
потребовало группировки девяти показателей по трем вы-
бранноШ факторам (экономическому, социальному и связан¬
ному с окружающей средой) и определения весовых множи¬
телей для этих групп.
Каждая вершина треугольника представляет 100%-ную
значимость соответствующего фактора, например нижняя ле¬
вая вершина представляет точку зрения, при которой весь
вес сосредоточивается на экономических факторах. По пря¬
мой, проведенной из вершины треугольника к противополож¬
ной стороне, значимость фактора, представляемого этой вер¬
шиной, убывает от 100 до 0%. Штриховые линии внутри тре¬
угольника соответствуют значимости 80, 60, 40 п 20%. На¬
пример, верхняя горизонтальная линия соответствует 80%-ной
значимости социальных факторов.
188 Глава 4
Числа, нанесенные на рис. 4.17, обозначают номер доми¬
нирующего варианта решения (буква Т обозначает вариант
10). Например, для точки зрения, соответствующей 33%-ной
значимости экономики, 25%-ной значимости социальных фак¬
торов и 42%-ной значимости факторов, связанных со средой,
доминирующим является вариант 2.
Рис. 4,17. Треугольник точек зрения при исследовании проблемы исполь¬
зования земельных площадей.
В процессе выбора рещения о том или ином использова¬
нии земельных площадей должны были учитываться как тре¬
бования землевладельцев, так и пожелания жителей соседних
областей. Опрос 4600 зерегистрированных участников голосо¬
вания соседних областей включал следующие вопросы: Ка¬
кую пользу, по ващему мнению, можно извлечь из предгорий
полуострова: а — как места жительства, б — как парка, неза¬
нятых площадей, в —для промышленности или торговли?
Наряду с конкретными ответами регистрировалось также от¬
сутствие мнения по поставленным вопросам. Мнения лиц, от¬
дающих предпочтение идее (а), отображаются точкой в верх¬
процесс принятия решения 189
нем углу треугольника точек зрения, идее (б)—в нижнем
правом углу и идее (в) — в нижнем левом углу этого тре¬
угольника. Каждая точка зрения в пределах треугольника
учитывает количество жителей каждой области, отдавших
предпочтение идеям (а), (б) или (в) (рис. 4.18). Как видно
из рисунка, основной интерес у жителей соседних областей
Социальные
факторы
3 S5
3 5 3
—S-
'',53 г
^^35 з\ /
' 5 5® \ /
35, V
-3— •
Z 2
\7^ /
9 9.9 / 3 \ / \ / \ О
- ' / ■ \/> \/’
—■’—-f\T 7“ ’
6
/ \ 9 9 /\
в 9
/ \ / \ / \ / Л:—Ж
v_
Экономические Факторы,связанные
(ракторы с окружающей средой
Рис. 4.18. Треугольник точек зрения, отображающий мнения жителей раз¬
личных областей.
а —Ист-Пало-Альто; б—Маунтен-Вью; в —Лос-Альтос Вудсайд; г—Портола Валли;
а —Ладера; в —Менло-Парк, Пало-Альто; ж—Альтерон. Лос-Альтос Хиллз.
вызывают факторы, связанные с окружающей средой, незна¬
чительное внимание уделяется социальным факторам и пре¬
небрежимо малое — экономическим факторам. Наибольшее
отклонение от «средней» точки зрения продемонстрировали
жители Ист-Пало-Альто, большую часть которых составляют
негры, имеюш,ие более низкий средний доход по сравнению
с доходом жителей других соседних областей. В рассматри¬
ваемом примере предпочтительность основной идеи проекта
или программы отображается той частью площади внутри
треугольника, где преобладают варианты 1 и 2.
190 Глава 4
4.6. Выводы
В гл. 4 рассмотрены различные проблемы, связанные
с принятием решения, и методы, которые могут быть исполь¬
зованы при выборе наиболее предпочтительного варианта ре¬
шения. В случае одного показателя при наличии риска или
неопределенности принятие решения осуществляется либо пу¬
тем установления значений полезности для возможных ре¬
зультатов реализации различных вариантов и последующей
максимизации ожидаемой полезности, либо с учетом некото¬
рых других требований к полезности (максимизации мини¬
мальной полезности, минимизации неудовлетворенности
и т. д.). При рассмотрении разнотипных показателей можно
получить единственную функцию полезности из соотношений
одинаковой полезности между показателями. Если имеются
дополнительные условия связи между показателями, то за¬
дача сводится к оптимизации полезности при условии связи.
При большом числе показателей выбор решения основан на
представлении полезности варианта решения в виде линей¬
ной суммы полезностей отдельных показателей с учетом их
значимости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Chernoff Н., Moses L. Е., Elementary Decision Theory, Wiley, New York,
5th print., 1967, Ch. 5.
2. J, von Neumann, Morgenstern O., Theory of Games and Economic Be¬
havior, Princeton U. P., 1953.
3. Raiffa H., Decision Analysis, Addison-Wesley, .Menlo Park, Calif., 1968,
pp. 10—27.
4. Parzen E., Modern Probability Theory and Its Applications, Wiley, New
York, 9th print, 1967, pp. 39—40.
5. Jaynes E. Т., IEEE Trans, on Systems, Science and Cybernetics, SSC-4,
pp. 227—241 (Sept. 1968).
6. Ferguson C. E„ Maurice F. C., Economic Analysis, Irwin, Georgetown,
Ontario, Ch. 4, 1970.
7. Fleming R., Pantell R. H.. IEEE Trans, on Systems, Man and Cyberne¬
tics. SMC-4, pp. 204—208 (1974).
8. Additional discussion of methods for relating one attribute to another
is presented in R. L. Ackoff, Scientific Method for Optimizing Applied
Research Decisions, Wiley, New York, 1962, pp. 76—93.
9. Neering M. et al., Socio-Econ. Plan. Sci., 6, 409—419 (1972).
10. Astraban M. М., Speech Analysis by Clustering, Computer Science De¬
partment, Stanford, Memo Al-124, May 1970.
Задачи
4.1, Используя метод множителя Лагранжа, выведите со¬
отношение (4.30) путем нахождения минимума функции
i(4.25) при условии связи (4.26).
Процесс принятия решения 191
4.2. Два человека — склонный к риску и консервативный,—
характеристики действий которых представлены на рис. 4.3,
получают предложение заключить пари. Каждый из них
имеет 750 долл., а результатом пари может быть либо удвое¬
ние имеющейся суммы, либо ее проигрыш. Какие шансы на
выигрыш хотел бы иметь каждый из этих людей, чтобы при¬
нять пари? Вычислите приблизительные значения полезностей
по кривым рис. 4.3. Какие шансы на выигрыш хотел бы иметь
каждый, если бы вначале оба имели по 500 долл.?
4.3. Рентгеновское просвечивание больного показало в лег¬
ких наличие опухоли. Врач может предложить либо хирурги¬
ческое вмешательство, либо консервативное лечение. По мне¬
нию врача, есть 90% шансов, что опухоль доброкачественная,
и, следовательно, нет необходимости в операции. Если же
опухоль злокачественная, то без операции больной умрет,
а в случае удаления опухоли имеется 85% шансов на выздо¬
ровление. Операция может быть проведена с некоторым рис¬
ком, так как есть 15% шансов, что больной не выздоровеет
после операции. Нарисуйте дерево решений и путем макси¬
мизации полезности определите, что следует предпринять в
в этих условиях.
4.4. Если на рис. 4.4 заменить единицы измерения 10'* долл.
па 10® долл., функцию полезности — на уравнение (4.11),
а вероятности, показанные на рис. 4.5, оставить без измене¬
ния, то какие действия следует рекомендовать предпринима¬
телю и будут ли они отличаться от действий, выбранных для
единиц измерения 10^ долл.?
4.5. Для задачи затраты —время, рассматриваемой
в разд. 4.4, предположим, что денежный эквивалент времени
задается формулой k\n{t — /о) для t > to, где ft —положи¬
тельная константа. Начертите кривые равной полезности
в координатах затраты — время, а также ограничения, пока¬
занные штриховой линией на рис. 4.8. Определите оптималь»
ное число рабочих по уравнению (4.23) или (4.24).
4.6. Перед строительством жилых домов для профессор¬
ско-преподавательского состава в станфордском универси¬
тетском городке была сделана оценка возможности исполь¬
зования различных земельных участков для этого строитель¬
ства. Такая оценка проводилась при помощи баллов, которые
приписывались ряду показателей, характеризующих степень
соответствия строительства на каждом из участков с ранее
утвержденными генеральными планами использования зе¬
мельных площадей и развития дорог и транспорта (см. табл.).
Рассмотрим только те участки, которые не доминируют по
суммарным баллам. Для этих трех участков нужно рассмат¬
ривать только три показателя. Почему? Начертите треуголь*
192
Глава 4
Оценка степени соответствия строительства на различных
земельных участках с генеральными планами использования
земельных площадей и развития дорог и транспорта
Условное
обозна¬
чение
земельного
участка
Показатели, связанные с генеральным
планом использования земельных
площадей
U о S
ООО
USX
fc. >»
Показатели, связанные
с генеральным планом
развития дорог и транспорта
CQ л
S5:
о о <
у X :
§£
X
с со
о * ct
SSS.
8S
я Pf СЧ
§3£
Сумма
баллов
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
3
И
к
л
м
н
8
9
9
10
11
12
13
13
14
16
17
17
18
в таблице использованы сле^ющие значения показателей в баллах: 1 —хорошо,
2—удовлетворительно, 3 —плохо. Для окончательной оценки по сумме баллов принято:
мало баллов—хорошо, много баллов—плохо.
Пояснение терминов, использованных в таблице
1. Согласованность с планом указывает па степень соответствия наме¬
чаемого строительства с утвержденными генеральными планами но средней
плотности строений.
2. Занятость участка характеризует наличие на нем строений, которые
необходимо снести для осуществления намеченного строительства.
3. Совместимость с соседними районами означает возможность обеспе¬
чения минимума нежелательных последствий, вызванных взаимным влия¬
нием нового жилого массива и прилегающих районов.
4. Физическая готовность участка имеет двоякое значение: она отражает
наличие предприятий коммунальных услуг на данном земельном участке и
необходимость специальной подготовки строительной площадки, например
ее выравнивание.
5. Доступность центра городка подразумевает легкость, с которой жи¬
тели конкретного места застройки смогут добираться, преимущественно
пешком, до таких представляющих для них интерес мест городка, как почта,
книжный магазин, профессорско-преподавательский клуб, библиотека, зри¬
тельный зал и др.
6. Доступность мест за пределами городка подразумевает легкость,
с которой жители нового района смогут перемещаться за пределы городка
и обратно, а также наличие прямых дорог, по которым люди, находящиеся
вне городка (посетители, почтальоны, аварийный персонал), смогут подъ¬
ехать к конкретному месту новой застройки.
Процесс принятия решений 193
НИК точек зрения с каждым из этих показателей в отдельной
вершине и укажите области, где доминируют различные
участки.
4.7. Предположим, что полезность денег задается фор¬
мулой
и (долл.) = 1 — е"*’*,
где 6=10“® долл.-' и дс —количество долларов. В соответ¬
ствии с задачей о страховании, обсуждаемой в разд. 4.2, вы
имеете 40 000 долл. в имуществе дома и 2000 долл. в допол¬
нительных активах. Определите воспринимаемую вами цен¬
ность ваших активов и сумму, которую вы были бы готовы
внести при страховании. Примите вероятность потери дома
в данном году равной 0,01.
4.8. Для задачи 4.7 примите, что размер страхового по¬
лиса равен 2000 долл. Используя методы максимизации, мак-
симинимизации, максимаксимизации ожидаемой полезности
и регрессионный, дайте ответ на вопрос, выплатили бы вы та¬
кой полис или нет. Предположите, что функция полезности
описывается той же формулой, что и в задаче 4.7.
Приложение А
Данное приложение написано д-ром Кашевым, который
под моим руководством проводил исследования в области си¬
стемы медицинского обслуживания в округе Сан-Матео,
шт. Калифорния. В это же время он работал в группе спе¬
циального назначения при окружном Департаменте здраво¬
охранения и социального обеспечения, которая занималась
планированием дальнейшего развития медицинского обслу¬
живания в округе. По моему глубокому убеждению, только
при работе в тесном контакте с практиками исследователь
систем может найти практическое применение своим знаниям
и методам, которыми он владеет. Именно поэтому я и попро¬
сил д-ра Кашева написать это приложение и уделить основ¬
ное внимание тем трудностям, с которыми ему пришлось
столкнуться при работе как члену группы.
АЛ. Введение
Поскольку очень часто теоретические знания не находят
должного практического применения, т. е. существует разрыв
между теорией и практикой, желательно, чтобы специалисты
в области планирования не только понимали методы систем¬
ного анализа, но и могли использовать их практически. Целью
настоящего приложения является описание некоторых проб¬
лем «реального мира», встретившихся при планировании си¬
стемы медицинского обслуживания в округе Сан-Матео,
шт. Калифорния.
В конце 1972 г. директором окружного Департамента
здравоохранения и социального обеспечения города Сан-
Матео была учреждена специальная группа для изучения
системы медицинского обслуживания округа. Эта группа дол¬
жна была разработать проект дальнейшего развития медицин¬
ского обслуживания в округе. Решение о проведении подоб¬
ного исследования было принято после того, как правитель¬
ство округа столкнулось с необходимостью пересмотреть
систему медицинского обслуживания в округе в связи с мно¬
гими изменениями (введением государственной и правитель¬
Приложения 195
ственной программы медицинского обслул^нвания, а также
появлением избытка мест в больнице), которые произошли
в финансировании и обеспечении медицинского обслуживания
после введения существующей системы.
В ходе исследования системы медицинского обслужива¬
ния рассматривались различные проблемы, которые, ве¬
роятно, могут быть аналогичны проблемам, возникающим при
планировании других социальных систем. В исследуемую
проблему были включены следующие вопросы:
— реакция людей на внешние воздействия;
— определение состава планирующего органа;
— учет финансовых ограничении;
— обработка данных.
А.2. Исторические аспекты развития системы
медицинского обслуживания
в округе Сан-Матео, шт. Калифорния
До 1965 г., согласно государственному законодательству,
полную ответственность за медицинское обслуживание лиц
с малым доходом несло местное правительство (окружное
и/или городское). Для выполнения возложенных на них обя¬
занностей местные правительства разработали сложные си¬
стемы медицинского обслуживания бедной части населения.
По существу медицинское обслуживание представляло собой
две независимые друг от друга системы обслуживания — одна
для бедной части населения, другая для обеспеченной, причем
последней не разрешалось пользоваться медицинской систе¬
мой округа, даже если она была бы готова платить за обслу¬
живание.
Центром медицинского обслуживания округа являлась
окружная больница, где пациенты получали полное медицин¬
ское обслуживание. Окружные больницы, как правило, пере¬
полненные больными и не укомплектованные персоналом, от¬
носились к лечебным учреждениям второго класса.
Введение государственной и правительственных программ
медицинского обслуживания привело к существенным изме¬
нениям.
Так как государственная программа предусматривает
организацию медицинской помощи состоятельным лицам, а
правительственная — несостоятельным, основная ответствен¬
ность за медицинское обслуживание бедных легла на феде¬
ральное правительство и правительства штатов, а бедная
часть населения получила право пользоваться больницами и
услугами врачей, не находящимися в ведении округа.
196 Приложения
В результате осуществления этих программ местные пра¬
вительства были вынуждены «выкупать» свои обязательства
по отношению к бедным, расходуя некоторую часть средств
из поимущественного налога на осуществление программы
медицинского обслуживания. Однако ни в одной из программ
не предусматривалось оказание медицинской помощи приез¬
жим и лицам, заключенным в местные тюрьмы.
Чтобы предотвратить упразднение местными правитель¬
ствами находящегося в их ведении медицинского обслужива¬
ния, в шт. Калифорния была разработана «комбинированная»
программа, в соответствии с которой окружное медицинское
обслуживание как бы приравнивалось к частному сектору и
распространялось на все слои населения. При этом преду¬
сматривалось, что плата за обслуживание всех пациентов,
получающих медицинскую помощь, будет заноситься на счет
округа, а за строго определенный годовой взнос округа штат
должен возмещать ему все непокрытые расходы.
В результате проведения этой комбинированной програм¬
мы округ Сан-Матео стал осуществлять свою систему меди¬
цинского обслуживания обеспеченной части населения и про¬
вел ряд улучшений, с тем чтобы медицинское обслуживание
охватывало все слон населения.
Однако, несмотря на улучшение системы медицинского
обслуживания, бедная часть населения предпочитала обра¬
щаться в больницы, не находящиеся в ведении округа, и
пользоваться услугами частных врачей, что способствовало
значительному расширению частного сектора.
В 1971 г. прекратилось возмещение округам некоторых
расходов, что привело к ухудшению финансового положения
округов и снижению норм обслуживания бедной части насе¬
ления. Некоторые округи закрыли свои общедоступные боль¬
ницы.
Специальная группа, назначенная в 1972 г. директором
Департамента здравоохранения и социального обеспечения
округа Сан-Матео, должна была предложить возможные ва¬
рианты действий в округе для организации в округе новой
системы медицинского обслуживания. Группа рассмотрела
следующие варианты:
— продолжение содержания единственной окружной боль¬
ницы;
— закрытие окружной больницы и создание районных
центров здравоохранения, управляемых округом;
— использование фондов округа для оплаты обслуживания
частными врачами и больницами несостоятельных пациентов,
не охватываемых государственной и правительственной про¬
граммой.
Приложения 197
Для оценки каждого варианта были выбраны следующие
показатели:
— затраты округа;
— затраты пациентов;
— качество медицинского обслуживания;
— требования пациентов и медицинского персонала;
— степень контроля системы здравоохранения со стороны
окружного Департамента здравоохранения и социального
обеспечения населения.
А.З. Практические трудности планирования системы
медицинского обслуживания
Реакция людей на внешние воздействия
Главным вопросом планирования дальнейшего развития
медицинского обслуживания в округе Сан-Матео была судьба
окружной больницы, которая обеспечивала медицинским об¬
служиванием бедную часть населения в течение половины
столетия и являлась своего рода символом обязательства
округа перед нуждающимися в медицинской помощи. По¬
скольку вопрос о закрытии больницы возник уже несколько
лет назад, то в округе существовали группы людей, которые
имели вполне определенное мнение относительно этого во¬
проса. Например, твердую позицию против закрытия боль¬
ницы заняла центральная газета округа и многочисленная
группа работающих в больнице врачей.
Окружной Департамент здравоохранения и социального
обеспечения населения нес административную ответственность
за любую программу медицинского обслуживания в округе.
Хорошо понимая политический климат в округе, департамент
решил подойти к проблеме с большой осторожностью. Пря¬
мым свидетельством понимания ее важности и явилось созда¬
ние специальной группы для изучения проблемы и подготовки
предложений. Схема взаимодействия специальной группы с
окружной администрацией показана на рис. А. 1. Группа под¬
чинялась директору Департамента здравоохранения и со¬
циального обеспечения, который в свою очередь подчинялся
главе округа и контролирующему органу. Отдел здравоохра¬
нения и социального обеспечения имел консультативные пол¬
номочия по отношению к Департаменту здравоохранения и
социального обеспечения и к контролирующему органу.
Чтобы оградить специальную группу от внешнего влияния,
были приняты следующие меры: лица, вошедшие в группу, не
являлись политическими деятелями округа, а сама группа
198
Приложения
подчинялась не политическому органу, а административному.
Однако имелась потенциальная опасность слишком сильной
изоляции группы от политических событий. Это могло бы при¬
вести к тому, что разработанная программа оказалась бы
неприемлемой из политических соображений. Во избежание
Рис. А.1. Схема разработки программы медицинского обслуживания в ок¬
руге Сан Матео, шт. Калифорния.
■ постоянные прямые обязанности; совещательное взаимодействие; —вре
менные прямые обязанности.
такого исхода специальная группа запланировала периодиче¬
ские совещания по обмену информацией с основными груп¬
пами лиц с общими интересами, такими, как медицинский
персонал окружной больницы, пациенты, пользующиеся ме¬
дицинским обслуживанием, политические лидеры и ряд об¬
щественных организаций. Во время таких совещаний спе¬
циальная группа сообщала о результатах проведенных ею
исследований, высказывала свои мнения, допуская и привет¬
Приложения 199
ствуя советы и критику. Теперь можно сказать, что такая ор-
гапизация работы группы оказалась полезной, так как позво¬
лила получать дополнительную информацию.
Определение состава планирующего органа
При исследовании такой общественной проблемы, как ме¬
дицинское обслуживание бедной части населения, исключи¬
тельно большое значение имеет авторитет авторов программы.
Личные качества и образование составителей программы яв¬
ляются объектами для критики со стороны тех групп лиц,
которые не согласны с программой. Рассматриваемая кон¬
кретная специальная группа включала людей, имеющих
медицинское обслуживание, и общественных деятелей, кото¬
рые помогли поднять авторитет специальной группы. Кроме
того, в качестве консультанта к работе со специальной груп¬
пой была привлечена пользующаяся хорощей репутацией
фирма, которая, однако, использовалась не столько для эк¬
спертизы программы, сколько для публичного выражения до¬
верия к ее разработке.
При планировании большинства социальных систем необ¬
ходимо учитывать существование большого числа различных
групп лиц с общими интересами. В случае системы медицин¬
ского обслуживания в округе Сан-Матео имелись следующие
группы лиц с общими интересами:
— врачи, работающие в окружной больнице;
— прочий персонал окружной больницы;
— персонал независимых клиник, обслуживающих округ;
— сотрудники других учреждений медицинского обслужи¬
вания;
— бедная часть населения;
— налогоплательщики;
— окружное медицинское общество;
—окружной совет по всестороннему планированию здра-
воохрапения;
— контролирующий орган.
Чтобы учесть интересы всех перечисленных групп, было
бы желательно иметь от них по одному представителю в со¬
ставе специальной группы. Однако это сделало бы специаль¬
ную группу очень громоздкой, и к тому же слишком большое
количество различных точек зрения могло бы привести к не¬
разрешимым спорам. Могли бы возникнуть и трудности в об¬
щении членов группы друг с другом из-за различий в уровне
их образования и социального положения. Поэтому специаль¬
ная группа состояла только из четырех человек, трое из кото¬
рых (врач, сестра и общественный деятель) являлись предстя-
200 Приложения
вителями перечисленных групп лиц с общими интересами, а
четвертый член группы (д-р Кашев) являлся лицом нейтраль¬
ным.
Учет финансовых ограничений
Специальной группе было известно, что планируемый бюд¬
жет округа на медицинское обслуживание составляет
4 млн. долл. в год и может быть увеличен до 6 млн. долл.,
если будет убедительно показана необходимость дополнитель¬
ных затрат. Поскольку в процессе планирования было трудно
учесть какие бы то ни было финансовые ограничения, некото¬
рые члены специальной группы были уверены, что если про¬
грамма будет изменена из-за денежных ограничений, то это
приведет к необходимости нарушения моральных принципов
(т. е. тем самым поставит под сомнение личную честность
членов группы). Программа, предложенная специальной груп¬
пой, была утверждена до того, как была сделана оценка свя¬
занных с программой расходов. Предполагалось, что приня¬
тие решения о том, что можно принять, а что нельзя, остается
за органом контроля. В предложениях группы выражалось
сожаление по поводу того, что те или иные ее рекомендации
могут оказаться дорогостоящими, однако группа пе сделала
попытки ограничить расходы на реализацию программы сум¬
мой, установленной бюджетом округа.
Обработка данных
Оценка возможных вариантов решения часго требует на¬
личия такой информации, которая либо не может быть по¬
лучена, либо не имеет подходящего представления. Например,
было бы полезно знать численность и распределение будущих
пациентов, а также степень использования средств медицин¬
ского обслуживания в зависимости от времени поездки па¬
циента в больницу и его затрат. Такая информация была бы
необходима не только для описания существующих потребно¬
стей, но и для планирования средств медицинского обслужи¬
вания в будущем.
Большая часть данных в области здравоохранения была
собрана в основном для медицинских, а не для управленче¬
ских целей. Данные, собранные с одной целью, как правило,
бывает трудно применить для других целей, так как в разных
областях деятельности людей отсутствует единообразие в ис¬
пользовании терминов, а различные источники информации
часто противоречат друг другу. В нашей информации были
плохо подтверждены документами те данные, которые пока¬
приложения 201
зывают степень влияния экономических факторов на пользо¬
вание медицинским обслуживанием.
На сбор необходимой информации специальная группа за¬
тратила много средств и времени. В некоторых случаях для
восполнения отсутствующих данных использовалось мнение
эксперта. Наиболее полной была информация об истории ис¬
пользования окружных медицинских служб различными
слоями населения, благодаря чему специальная группа оказа¬
лась хорошо подготовленной для ответов на вопросы в этой
области.
А.4. Выводы
Цель настоящего приложения состояла в рассмотрении
практических трудностей, встречающихся при планировании
социальных систем. Успещное использование системного ана¬
лиза осуществимо только при совместной работе исследова¬
теля систем и практиков. Такая совместная работа развивает
у исследователя систем способность передавать идеи, учит его
правильно использовать методы исследования, чтобы они ста¬
новились доступными и для других людей, и повышает его
восприимчивость к пожеланиям групп лиц с общими интере¬
сами. Хорошее знание экономики, процесс принятия решения
и уравнений неразрывности имеют мало пользы, пока они не
соединяются с другими компонентами системного анализа.
Задачи
АЛ. Предположим, что планирующая группа, членом кото¬
рой вы являетесь, составила документ, против которого вы¬
ступает местная пресса. Приведите доводы за и против сле¬
дующих возможных вариантов ваших действий в сложив¬
шейся ситуации:
— игнорировать мнение газеты;
— написать письмо редактору, в котором излагается ваша
точка зрения;
— поместить сообщение в газете, освещающее ваши вы¬
воды и причины, по которым они сделаны;
— посетить редактора газеты и попытаться убедить его
изменить свою позицию;
— бойкотировать газету.
А.2. Если вы являетесь председателем группы планирова¬
ния и замечаете, что один из членов вашей группы постоянно
затрагивает не относящиеся к делу вопросы, какие меры воз¬
действия на него вы бы использовали:
— сказать этому члену группы, что его высказывания не
202 Приложения
ОТНОСЯТСЯ к делу, и продолжать обсуждение рассматривае¬
мого вопроса?
— объявить в начале совещания о введении регламента?
— «забывать» посылать объявления о предстоящих сове¬
щаниях этому члену группы?
— терпеливо ждать, когда этот член группы закончит свое
выступление, и затем продолжать обсуждение рассматривае¬
мого вопроса?
— распорядиться о замене этого члена другим, соответ¬
ствующим образом мотивируя такое распоряжение?
— терпеть не относящиеся к делу обсуждения?
А.З. Как исследователь системы, вы пытаетесь выяснить
отношение планирующей группы к какому-то условию. Вы
просите членов группы расположить возможные варианты в
соответствии с приписываемой им численной оценкой. Неко¬
торые члены группы отказались удовлетворить вашу просьбу,
мотивируя свой отказ тем, что реакция людей не поддается
численной оценке. Что бы вы предпочли;
— отказаться от получения нужной вам информации?
— объяснить таким членам группы, что вы не можете про¬
должать исследование без их активного участия?
— объяснить, почему вы хотите представить отношения в
численном виде?
— получить информацию от тех членов группы, которые
готовы ее предоставить, и проигнорировать мнение осталь¬
ных?
А.4. На общественном собрании один из присутствующих
заявил, что представленный вами план медицинского обслу¬
живания не может быть признан, так как в планирующую
группу не входят представители негритянского и индейского
населения. Как вы бы прореагировали на такое заявление и
почему?
Приложение Б
Оптимизация при наличии
дополнительного условия связи
(метод множителя Лагранжа “)
Рассмотрим задачу о нахождении максимума (или мини¬
мума) функции f{x,y,z) при наличии дополнительного усло¬
вия g{x,y,z) = 0, связывающего аргументы этой функции
друг с другом. В общем случае в точке, соответствующей
безусловному экстремуму функции, имеем
df
dy + ^dz==0.
(Б. 1)
В том случае, когда х, у и г являются независимыми (несвя¬
занными) переменными, т. е. dx, dy и dz могут принимать
независимые значения, на основании (Б. 1) можно записать
(для точки, соответствующей максимуму функции /)
Л — Ж — Л. = п
дх ду дг
Если имеется дополнительное условие связи g{x,y,z) = Q, то
для всех значений переменных
dg = ^dx-^^dy+ ^dz==Q.
(Б. 2)
Зл: ' ду ^ ' дг
Из соотношения (Б. 2) видно, что dx, dy и dz теперь уже
не являются независимыми переменными. Разрешая соотно¬
шение (Б, 2) относительно dz, получим
dz =
дх
(Б.З)
дг
Подстановка выражения (Б.З) в соотношение (Б. 1) дает
df
df
дг
dg
dx +
df
df
дг
dg
дх
dg
дх
ду ~
dg
dy
-
дг
-
dz
-
dy = Q, (Б. 4)
*) Метод неопределенных множителей Лагранжа используется при ре¬
шении задачи об отыскании экстремумов функции, аргументы которой
удовлетворяют дополнительным условиям связи. Экстремумы такого рода
называются условными. Более подробно см., например, Ильин В. А., Позд-
няк Э. Г. Основы математического анализа. — М.: Наука, 1967. — Лрил«. ред.
204 Приложений
в котором dx и dy можно рассматривать как независимые
переменные, так как все значения dx и dy удовлетворяют
условию (Б. 2). Поэтому из соотношения (Б. 4) следует
д\ df
дх ^Кдх ду ^\ду )■
дг дг
Введем множитель К ^ {dfldz) J(dgldz) (А, — множитель
Лагранжа), который рассчитывается для точки, соответствую¬
щей максимуму функ1^и f{x,y,z). Тогда на основании соот¬
ношений (Б. 4) и (Б. 5; можно записать
дх дх ду ду дг дг ^ '
Уравнения (Б.6) являются условием максимума функции
Ч''(л:, у, г), которая выражается через заданные функции сле¬
дующим образом:
W {х, у, z) = f {х, у, z) — Ig {х, у, z). (Б. 7)
Совместное решение уравнений (Б.6) и g(x,y,z) = 0 опре¬
деляет максимум функции f{x,y,z) при наличии условия
связи.
Из уравнений (Б.6) видно, что если допускается измене¬
ние функции связи g, то можно определить значение коэффи¬
циента X:
df
dg *
Когда функция f, максимум которой необходимо найти, пред¬
ставляет чистую выгоду, постоянная % является предельным
изменением чистой выгоды при предельном изменении функ¬
ции связи, которые рассчитываются для точки максимума
функции /. Если величина / измеряется в долларах, то К имеет
размерность цены и дает изменение чистой выгоды в долла¬
рах, приходящееся на единицу изменения функции связи и из¬
вестное как скрытая цена.
Например, если условие связи накладывает ограничение
на величину производственной площади, которую можно ис¬
пользовать в проекте, то скрытая цена означает изменение
чистой выгоды на единицу изменения производственной пло¬
щади при максимальной выгоде. Скрытая цена используется
для выработки предложений относительно ограничений, ко¬
торые следует изменить. Если скрытая цена при ограничении,
накладываемом на величину производственной площади, на¬
много выше, чем скрытая цена при ограничении людских ре¬
сурсов, то единица повышения производственной площади
Приложения 205
произведет большее приращение чистой выгоды, чем дополни¬
тельная единица людских ресурсов.
Если функция, максимум которой необходимо найти, и
условие связи выражаются в виде интегралов с постоянными
пределами интегрирования
ь
\ / {х, у, Z, у', г') dx,
(Б. 8)
5 g (х, у, Z, у', г') dx = О,
а
где «/ и Z являются функциями х и у' = {dyjdx), z' ={dzfdx),
то методом, аналогичным получению функции (Б. 7), задачу
можно свести к нахождению максимума интеграла
ь
J L {х, у, Z, у', г') dx, (Б. 9)
а
где
L{x, у, у', Z, z') = f{x, у, 2, у', z') — Xg(x, у, Z, у', z'). (Б. 10)
Если необходимо найти максимум интеграла при наличии
условия связи, которое не выражается через интеграл, т. е.
имеем
ь
5 / {х, у, Z, у', г') dx
а
при
g (х, у, z) = о, (Б. 11)
то уравнения (Б.9) и (Б. 10) остаются справедливыми, но в
этом случае множитель X становится функцией х, т. е.
■К^Цх).
Нахождение максимума интеграла (Б. 9) сводится к ре¬
шению системы дифференциальных уравнений
дЬ ddL „
ду dxdy'
dL ddL .
дг dx дг
Решение системы уравнений (Б. 12) позволяет найти функции
у{х) и z{x), которые определяют максимум заданного ин¬
теграла при наличии условия связи в соответствии с выраже¬
ниями (Б,8) или (Б,11),
Предметный указатель
Адиабатический градиент темпера¬
тур см. Градиент температур
адиабатический
Анализ 33, 43
— регрессионный см. Регрессион¬
ный анализ
— систем окружающей среды и
общества 12
— транспортной системы 20
— чувствительности 21, 43
Анкета 39
Ассимиляционная способность ок¬
ружающей среды 137
Выгоды ПО, 111, 113—118, 120—
126, 131, 142
— денежные 112, 113, 118
— как функция времени 120
— косвенные 113
— неденежные 118
— предельные 124—127
— прямые 112, ИЗ, 118
— совокупные 121, 122
— чистые 110, 124—126
Высота инверсии 98
Выходные переменные см. Пере¬
менные выходные
Биохимическая потребность кис¬
лорода 77, 78, 107, 137
Варианты решений 11, 25, 29, 45,
150
Весовой множитель 27, 29, 50, 148
Внешний эффект 111
Внутреняя норма прибыли 122,
144
Возможные воздействия на окру¬
жающую среду ПО
Временной эквивалент затратам
71
Временные интервалы 30, 31
Вторичное сырье 87. 136
Входные переменные см Пео-^-
менные входные
Выбор решения 11
Выгода предельная 144
Глубина разбиения групп 24
Годовой доход см. Доход годовой
Готовность заплатить 114, 118,
145
Градиент температур 95
адиабатический 96
Граница проблемы 31—32
Граничные условия 95
Гроздь точек 187
Данные дополнительные 18, 43
— входные 18, 19, 21, 34, 41
— выходные 18, 19, 21, 34, 41, 87
Денежные выгоды см. Выгоды де¬
нежные
Дерево решений 158—161
Детерминированная функция 68
Дифференциальные уравнения см.
Уравнения дифференциальные
Диффузия 94
предметный указатель
207
Долларовый эквивалент здоровья
118
Доход 116
— годовой 121
Единая оценка выгод 114
Загрязнение вод 92, 109, 116,
121, 144
— воздуха 76, 121, 144
Задача с двумя группами 73—85
многими группами 86
одной группой 64—72
Затраты 110, 112, 113, 118-126,
131, 142
— капитальные 78, 112
•— на обработку отходов 136
— предельные 124—127, 140, 144
— производственные 110
— регрессивные 120
— эксплуатационные 112, 121
Значимость мнения экспертов 37
Идеальное положение дел на рын¬
ке 110, 111
Издержки ИЗ
— вмененные 111
— временные 111
— использования 111
Износ оборудования 121
Интуиция 44
Информация, получаемая от экс¬
пертов 36
Капитальные затраты см. Затра¬
ты капитальные
Качественная взаимосвязь между
переменными 33
Качественное и количественное из¬
мерение показателей 45
Классификация показателей 148
Количественная взаимосвязь меж¬
ду переменными 40, 41
Контроль за загрязнением 111,114,
119, 129, 131, 136, 137, 140, 142
Косвенные выгоды см. Выгоды
косвенные
Коэффициент значимости 41
Кривая предложения 126—128
— спроса 114
Кривые одинаковой полезности
114
— стоимость — эффективность
150-151
Критерий оценки ожидаемых ре¬
зультатов 24—27
Критические компоненты системы
22
Лазер 78—82
Лотерея 157
Максимизация энтропии 164—166
Марковская цепь 69
однородная 70
Масса особей 63, 64
Материальный баланс 87
Матричная форма записи 69
Медицинское обслуживание 18,
194
Метод Дельфи 37—38
— множителей Лагранжа 130, 144,
178, 190, 209
— «наилучшей догадки» 43
Методология системного анализа
15
Методы системного анализа 11—
56
Моделирование 30, 36, 63, 82, 150
Налог на отходы, загрязняющие
среду 126, 129, 131, 136, 14q,
142, 145
208
Предметный указатель
Неопределенность 33, 34
Несопоставимые факторы 13
Неудовлетворенность 6, 170
Образование 107
Обратная связь 16, 17, 33
Однородная марковская цепь см.
Марковская цепь однородная
Операционная игра 38
Определение выгод 113
— системного анализа 11, 12
Оптимальное решение 44
Оптимизация чистой выгоды 118,
119
Относительная значимость 27
Отпускная цена см. Цена отпуск¬
ная
Отходы производства 120, 142
Оценка возможных вариантов ре¬
шений 43—45
— готовности заплатить 114
— допущений 28, 42, 43
— оптимистическая 43
— пессимистическая 43
— полезности 152
— рабочих характеристик систе¬
мы 47—49
— субъективная 147—149
Переменные входные (экзогенные)
147
— выходные (эндогенные) 147
— характеризующие систему 28
Плотность потока частиц 92
Побочные продукты производства
87
Показатели 19, 25, 28, 45, 46, 49,
50, 57
— разнотипные 147, 171, 185
Показатель полезности 151
Полезность 115
— максимальная 135, 138
—• одинаковая 35, 52, 54, 61, 138
Положение равновесия 63
Пороговое условие 82
Постановка задачи 22
Постоянная отбора кислорода 77
Правило большинства 1а, 27
Предельная выгода см. Выгода
предельная
Предельные затраты см. Затраты
предельные
Предпочтительность 61
Принцип максимин 169, 170
— учета субъективной информа¬
ции 147
Пристрастность 37
Проверка количественных взаимо¬
связей 41
Производственные ресурсы 118
Прямой эффект 113
Равновесное состояние 89
Разностные уравнения см. Урав¬
нения разностные
Разнотипные показатели см. По¬
казатели разнотипные
Распределение Больцмана 165
— населения 33, 109
Расходы на душу населения 103
Реаэрация 77, 78
Регрессионный анализ 40
Риск 153
Рождаемость 65, 76
Рост городов 19
Случайные числа 72
Смертность 30, 65, 76
Совокупная чистая выгода 121
Совокупные выгоды см. Выгоды
совокупные
Социальные факторы 186
Среда несжимаемая 93
Статистический вес полезности
показателей 185
Стационарное решение 179
Предметный указатель
209
Степень риска 161, 162
Стоимость 50, 53, 122
Стохастические процессы 68—85
Структурное разбиение проблемы
30—33
Структурные элементы 31
Суммарный эффект 25
Теория полезности 156—161
Транзитивность 149, 157
Транспортная сеть 20, 22—25, 27,
29, 31, 32, 41, 45, 48
Трансфертные платежи 136
Треугольник точек зрения 186, 193
Уравнения дифференциальные
64-67
— Лотки — Вальтерра 82, 107
— неразрывности 40, 63—109
— разностные 67
Ущерб 111, 118, 131—145
Факторы затрат 118
— несопоставимые 13
Финансовые ограничения 200
Функция полезности 118
Химические реакции 86
Хищник-жертва 82, 107
Целевая функция 171, 185
Цели программы 24—27, 38
Цена 116, 126
— отпускная 110, 126
— скрытая 139, 204
Численное представление перемен¬
ных 14
показателей 45
Численность населения 107
Чистая годовая прибыль 121
Шкала оценок полезности 47
Эквивалентность показателей 51
Экологическая система 63—107
Экономическая жизнь программы
121, 122
Экономия масштаба 123, 133
Эксплуатационные затраты см.
Затраты эксплуатационные
Эффективность 53
Оглавление
предисловие редактора перевода
Предисловие
Глава 1. Системный подход . .
Характерные черты системного анализа
Применение анализа к системам окружающей среды и об
щества
1.1. Некоторые замечания о трудностях, связанных с исследова
кием сложных систем
Сведение различных факторов к одному параметру . .
Численное представление переменных
Неопределенность исходных данных и решений ....
1.2. Методология системного анализа
Некоторые подходы к исследованию
t.3. Постановка задачи
Группы лиц, имеющих общие интересы
Цели разрабатываемой программы и критерии оценки ожи
даемых результатов
Состояние дел и необходимая информация
Переменные, характеризующие систему и управление систе
мой
Возможные варианты решения
Структурное разбиение и моделирование системы ....
Прогнозирование условий функционирования системы в бу
дущем
1.4. Моделирование и анализ
Использование имеющихся статистических данных ....
Получение информации от экспертов
Получение информации путем постановки специальных экс
периментов
Конкретизация количественных взаимосвязей между вход
ными и выходными переменными
Проверка количественных взаимосвязей между переменными
Оценка допущений и уменьшение неопределенностей . . .
1.5. Оценка возможных вариантов решения
Качественное и количественное измерение показателей . .
Оценка полезности отдельных рабочих характеристик системы 46
Оглавление 211
Мера, используемая при объединении показателей. Целевая
функция
Определение относительной значимости показателей
Целевая функция при ограничениях, накладываемых на вход¬
ные переменные
Соотношения эквивалентности показателей . . .
Стоимость реализации разрабатываемой программы
фективность
Литература
Задачи .
ее эф-
49
50
51
51
53
56
57
Глава 2. Уравнения неразрывности , , . 63
2.1. Введение 63
2.2. Задача с одной группой (или видом) 64
Дифференциальные уравнения 64
Разностные уравнения 67
Стохастические процессы 68
2.3. Задача с двумя группами 73
Две возрастные группы 75
Загрязнение воды 76
Лазер 78
Хищник — жертва 82
2.4. Задача с многими группамп 86
Химические реакции 86
Материальный баланс 87
2.5. Несколько независимых переменных ,90
Численность населения как функция возраста и времени . . 90
Пространственная и временнйя зависимость переменных.
Уравнение неразрывности, описывающее загрязнение воз¬
духа 92
Граничные условия 95
2.6. Модель роста города 99
Литература 106
Задачи 106
Глава 3. Экономические аспекты проблемы управления окружающей
средой ПО
3.1. Введение ПО
3.2. Затраты и выгоды 111
Определение затрат 112
Определение выгод 113
Оптимизация чистой выгоды (или прибыли) 118
Кто платит и кто получает выгоду? 119
3.3. Затраты и выгоды как функции времени 120
3.4. Затраты и выгоды в зависимости от масштаба проекта 123
3.5. Спрос и предложение 126
3.6. Способы охраны окружающей среды 129
212 Оглавление
3.7. Налог на отходы, загрязняющие среду 131
3.8. Способы контроля за загрязнением среды 136
3.9. Минимизация расходов на обработку отходов 137
3.10. Расходы на осуществление контроля за загрязнением окру¬
жающей среды 140
3.11. Выводы 142
Литература 143
Задачи 144
Глава 4. Процесс принятия решения 147
4.1. Введение 147
Следует ли вводить принципы учета субъективной информа¬
ции при исследовании системы 147
Различные способы представления информации о результа¬
тах анализа 150
Полезность ожидаемых результатов 151
4.2. Использование одного показателя при выборе решения, свя¬
занного с риском 153
Определение полезности решения при наличии риска .... 153
Постулаты теории полезности 156
Дерево решений 158
Страхование на случай неудачного выбора решения .... 161
4.3. Принятие решения в случае наличия неопределенности в си¬
стеме 164
Максимизация энтропии 164
Пример выбора типа здания для строительства в районе
сейсмической активности 166
Другие способы выбора варианта решения 169
4.4. Соотношения между перемеипыми при одинаковой полезно¬
сти вариантов решения 171
Пример оптимизации количества работников, необходимых
для реализации государственного проекта 173
Пример оценки отношения рабочего к гарантированному ми¬
нимуму заработной платы 175
Пример выбора действий, необходимых для повышения уров¬
ня потребления товаров без серьезного загрязнения окру¬
жающей среды 176
Подход к решению задачи 176
Получение стационарного решения 179
Исследование функции полезности 180
Оптимизация решения при допустимости лишь незначи¬
тельного загрязнения окружающей среды 181
Численное решение задачи с помощью ЭВМ 183
4.5. Определение статистического веса полезности показателей 185
Треугольник точек зрения 186
4.6. Выводы 190
Литература 190
Задачи 190
Приложение А
Л. 1. Введение 194
А. 2. Исторические аспекты развития системы медицинского об¬
служивания в округе Сан Матео, шт. Калифорния .... 195
А. 3. Практические трудности планирования системы медицинского
обслуживания 197
Реакция людей на внешние воздействия 197
Определение состава планирующего органа 199
Учет финансовых ограничений 200
Обработка данных 200
А. 4. Выводы 201
Задачи 201
Приложение Б. Оптимизация прп наличии дополнительного условия
связи (метод множителя Лагранжа) 203
Предметный указатель ^06
p. Пэнтя
МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Научный редактор Т. Сапожкова
Младший научный редактор Т. Богданова
Художник Н. Дронова
Художественный редактор Л. Безрученков
Технический редактор Г. Алюлина
Корректор Е. Литвак
ИБ № 1448
Сдано в набор 05.09.78. Подписано к печати 18.04.79.
Формат 60x90'/i». Бумага типографская № 2. Латинская
гарнитура. Высокая печать. Объем 6,75 бум. л. 13,50 уел.
печ. л. Уч-изд. л. 12,24. Изд. № 20/9791. Тираж 6700 экз.
Заказ № 1325. Цена 95 коп.
Издательство «Мир»
129820. Москва, И-ПО, ГСП
1'й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект. 29