И.И.Ляшко, А.К.Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П.Головач
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Справочное пособие по высшей математике. Т. 3
М.: Едиториал УРСС, 2001. — 224 с.
«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной.
Том 3 по содержанию соответствует второй половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу». В нем рассматриваются интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы, а также элементы векторного анализа.
Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.
Оглавление
Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра	3
§1	. Собственные интегралы, зависящие от параметра	3
§2	. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов	15
§3	. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла	34
§4	. Эйлеровы интегралы	51
§5	. Интегральная формула Фурье	60
Глава 2. Кратные и криволинейные интегралы	68
§1	. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным и их вычисление	68
§2	. Несобственные кратные интегралы	99
§3	. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 112
§4	. Интегрирование на многообразиях	148
§5	. Формулы Остроградского, Грина и Стокса	184
§6	. Элементы векторного анализа	201
§7	. Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах	214
Ответы	222
Глава 1
Интегралы, зависящие от параметра
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1.1. Непрерывность функции
А
F : у i-* j f(x, y)dx.	(1)
а
Теорема 1. Если функция f : П —► R. где П = {(х, ^) | а i A, J у $ В}, непрерывна, то функция F непрерывна на отрезке [6, В].
Теорема 2. Если функция f непрерывна н<гП, а кривые х = ‘р(у), х = ^>(у), у € [6, В], непрерывны и не выходят за его пределы, то функция
*(«)
I -У *-* У /(i. y)dx	(2)
непрерывна на отрезке [6, В].
1.2. Предельный переход под знаком интеграла.
Теорема 1. При условиях теорем п.1.1 справедливы формулы А	А
Ни* / f(x, y)dx = I lim f(x, y)dx, У—УО J	J V—SO
a	a
’f’(v)	’f’(so)
lim / f(x,y)dx = I f(x,y0)dz. У~*УО J	J
<e(y)	v(vo)
Определение. Семейство функций x н» f(x, у), где у — параметр семейства, у € У, равномерно стремится к предельной функции g при у —» уо, уо € R, если Уе > 0 36 > О такое, что при 0 < |у — уо| < 6 будет |/(х, у) — у(х)| < е для всех тех х, для которых функции fug определены.
Если уо = ос, то неравенства 0 < |у—-уо| < 6 следует заменить неравенством |у| > 6; если же уо = +оо(—ос), то тогда неравенством у > 6 (у < —6).
Теорема 2. Если функция f при фиксированном у € У непрерывна по х € [а, А] и при у Уо стремится к предельной функции g равномерно относительно х, то
lim и—vo
А
У f(x, y)dx
А
У g(x)dx.
4	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
1.3. Дифференцирование под знаком интеграла.
Теорема 1. Если функции f и fy непрерывны на П, то функция F дифференцируема на отрезке [6, В] и ее производную можно найти по формуле Лейбница
Теорема 2. Если, кроме условий теоремы 2, п.1.1, функции р и ф дифференцируемы при Ь < у < В, то
V’(s)
V’(s)
X = Цф(у), у')Ф'(у') -/(^(у), у)<р'(у) + У fy(x,y)dx, у е]Ъ, В[.
1.4. Интегрирование под знаком интеграла.
Теорема. Если функция f непрерывна на П, то
В А	АВ
ь
ь
1. Исследовать на непрерывность функцию
F : у
1
о
где f € С[0, 1] и f(x) > 0.
Ч Функции р : х >-> ~2^у2 11 f интегрируемы по х на [0,1] и знакопостоянны при 0 < х < 1. Кроме того, функция f непрерывна; следовательно, все условия первой теоремы о среднем в интегральном исчислении выполнены, поэтому
F(y) = f(c(y)) arctg i, 0 c(y) $ 1.
У
Пусть e > 0. Тогда
|F(e)-F(-e)| = |(/(c(e)) + /(c(-e))) arctg -I > 2 min f(z) larctg-l
I	e I *€[o, 1] I e |
тг min f(x) > 0, e —► 0. xe[o,i] v 7
Таким образом, функция F разрывна в нуле.
Далее, поскольку функция ф : (г, у) »-► непрерывна в каждом из прямоугольников
А], [0 <t х <; 1; —А у —5], где 6 > 0, А > 0, то, согласно теореме 1, п.1.1, функция F непрерывна на каждом из отрезков [6, А] и [—А, —5]. Поскольку S и А произвольны, то отсюда следует, что функция F непрерывна Уу ф 0. ►
1	1 + а
2. Найти: a) Em [ \/х2 + a2 dx: б) Em / ------------х-;
а—0 J	' a—O J 1 + X2 + а2 '
-1	а
1	2
X Г / dx \ V f 1п(х + lal) j
’ n—*оо J 1 4- (1 -|- £)	’ а — оо J 1п(г2 + а2)
Ч Поскольку функции (z, a) ь-> -^х2 + а2, а н-> 1 + а, (х, а) i—> 1+з;2+а2 непрерывны, то, согласно теореме 1, п.1.2, возможен предельный переход по а под знаком интеграла, когда а —- а о и а о — конечное.
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1	_ 1
a)	Em f у/х^ + a2 dx — f Izldz = 1;
a~°-i	-i
5
б)	ПтД TT^=/I£7 = f,ao=O. a	0
Поскольку функции x >-> -—/	\ » и z >-* /”^2^0 2) ПРИ фиксированных п, п е N и
a, |a| > 1, непрерывны по i	и 1 z 2 соответственно) и /п(г) =
, когда п —< ос, а /(г, a) =	=? J, когда а —<• ос (см. ниже), то, согласно
теореме 2, п.1.2, получаем:
в)	Em f —(dX	— f Em —/ —= f = In £-;
"~~0 l+(l+i) Jn_ol+(l+i)	»+l’
2	2
jA r Jiiiihll j- _ f lim ln(*+H) dx - -Г' { ln(*2+«2)	~ J	ln(*2 + «2)	“ 2 •
Равномерная сходимость последовательности (/n(z)) и семейства функций х f(x, а)
вытекает нз следующих оценок:
1 1
1 + (1+п)П	1 + еХ
+	< L. _ Л + 1
(1 + е')(1+(1+Э”) 'I ' "
при п —► ос Vr е [О, 1]. Пусть е > 0. Тогда
1п(х + |a|) _ 1
1п(х2 + а2)	2
21п(г2 + а2)
_______g|«l__________ <
(г2 + a2)ln(z2 + a2)
2|a|	1
(1 + a,2)ln(l + a2) ln(l + a2)
i
/ 1 \ 2
Vz £ [1, 2], как только |a| > I e« — 1 I . ►
2
3.	Найти A = Em / e-Ksln 6 df).
Я—+ co J
0
2
Ч Поскольку sin(? при 0 в у, to e~Ksln 6 e . Поэтому
7Г	-Г
2	2
у e-Hsin edg< у de = 2L(J _ е-Я)
0	0
и 0 sj A Sj Em ts(1 — e R) = 0, t. e. A — 0. ►
R—+ oo 2R	’
4.	Пусть функция / непрерывна на отрезке [А, В]. Доказать, что
X
Em i [ (f(t + h) - f(t))dt = f(z) - f(a), A<a<x<B. h—*0 П I
6	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Ч Вводя в рассмотрение первообразную F функции. /, согласно формуле Ньютона— Лейбница, получаем
X
J(F'(t + А) - F'(t)) dt = (F(t + h) - F(ty> С = F(x + h) - F(x) - (F(a + A) - F(a)). a
Следовательно,
1 l4	F(z + h)-F(x) F(a + h) - F(a)
Km - / (fit + h) - /(t)) dt = Km —- ---f--- lim	=
л—о h J	A—o A	*>—o A
a
= F'(x)-F'(a) = f(x)-f(a). ►
5. Пусть: 1) ^n(r)	0, n € N, на [—1, 1]; 2) ^n(x) =4 б при n —* oo, если 0 < e Sj |x| Sj 1;
i
3) j ipn{z)dx —- 1 при n —* oo. Доказать, что если f € C[—1, 1], то -i
i
Km [ f(x)<pn(x)dx = f(0). n-oo J
-1
Ч Пусть 6 > 0 задано. Рассмотрим неравенство
1
1
Первое слагаемое в правой части (1) оценивается следующим образом:
sup <^п(х), 0<е<|х|<1
(2)
где М = тах|/(т)|	0 (заметим, что при /(г) = 0 на [—1, 1] утверждение теоремы стано-
1*1<1
вится тривиальным).
Пользуясь первой теоремой о среднем, а также условием 1), оцениваем второе слагаемое в правой части неравенства (1):
4>п(х) dx - /(0)
у>„(т) dx + М 1
ipn(z) dx + М 1
sup	(3)
0«<|х|<1
В силу непрерывности функции /, всегда можно выбрать число е так, что будет выполняться неравенство
IW">-««)!< 4^7-
(4)
$ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
После того как число s уже выбрано, из условий 2) и 3) находим
7
sup 0<«<|х|<1
6
Ш’
8
Ш’
8 4М’
(5)
1
если п достаточно велико.
Используя теперь оценки (2)—(5), из (1) получаем
при всех достаточно больших п. ►
6. Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла в выражении
s3 dr?
»-о J о
Ч Нет, нельзя. Переходя к пределу под знаком интеграла, получаем нуль. Если вычислить интеграл, а затем перейти к пределу, то получим
же
/ j. _±_	1	Г	/ х2 \	1	/	—1
lim / — е	у2 dx = - lim /	е у2 d ( — )	= — lim | 1	— е у1 )	— -.
у-о J у2	2y~oJ	\у2 J 2у-о\	)	2
о	о
Отметим, что в точке (0, 0) функция f : (г, у) -^е у2 терпит разрыв. ► a	a2
7. Найти F'(a), если: a) F(a) = J f(x+a, х — а) dx-, б) F(a) = J dx j sin(x2 +у2—a2) dy. 0	0	z—a
Ч а) Допуская существование непрерывных частных производных функций (и, и) н-» /(и, г>), где и = г + a, v = х — а, согласно формуле Лейбница, имеем
а
F'(a) = /(2а, 0) + У\fu(u, v) - v))dx. о
Замечая, что К + Л, можем записать а	а
(fu - f'v)dx = 2 о	о
а Следовательно, F\a) = /(а, —а) 4-2 f о z+a
б) Обозначим /(г, а) = J sin(r2 + у2 — a2)dy. Тогда х—а
f'u dx - f(2a, 0) + /(а, -а).
F'(a) = 2/(а2, а)а +
У/а(т, а) dr, О
/а(®> “) — sin(r2 + (г + а)2 — а2) + sin(r2 + (г — а)2 — а2) —
8
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
- 2а
у2 - a2)cfy.
Таким образом, получаем
2
J sin (у2 + a4 — a2 2
,2
sin 2x2 cos 2ax dx — 2a
т2 + у2 - О2) dy. ►
о
о
h	h
8. Найти F"(x), если F(r) =	J
о	0
, h > 0, где f — непрерывная
функция.
Ч Очевидно, если функция f непрерывна, то справедливо равенство
/3	/3+^
Пользуясь этим равенством и возможностью дифференцирования по параметру, получаем / ь
— I—i dx I h2 J
\ о
h
= ± f(f(h + x + V-f(x + t))dt =
0
/ x+2h
I
Г"(т) = ^(/(2Л + г) - 2/(Л + г) + /(г)). ►
9. Доказать формулу
dnf(x) _ dx"
п е N,
(1)
где
{sin x
X
1,
если
если
X О,
х — О,
Пользуясь формулой (1), получить оценку
dnf(x) dxn
0
cos
n + 1 ’
х = 0, п 6 N.
—- при X e] — OO, +oc[. n + 1

*+4
x4»h
х ф О,
Ч Справедливость формулы (1) при х ф 0 устанавливается методом математической индукции. Действительно, при п = 1 соотношение (1) справедливо. Предполагая, что формула (1) правильна при некотором п = к, дифференцированием обеих ее частей по г с последующим применением интегрирования по частям получаем
dk+1 dxk+1

к -f-1 . xk + 2 J
0
1
— cos X
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра	9
X	X
О	О
Покажем теперь справедливость формулы (1) при х = 0. Используя разложение sin г в ряд Маклорена, получаем = У^	’ если х 0. Очевидно, сумма этого ряда при
х k=o 1
х = 0 равна единице. Поэтому /(г) = УУ	ПРИ всех. х. Отсюда находим f^n\0) —
к=0
COS
, что и требовалось доказать.
Далее, поскольку при г / 0
а при х = 0 имеем	'	2 '	то '^х б] — °°! +°°[
dnf(x) dxn
1
п + 1
10. Функцию / : I н- г2 на отрезке [1, 3] приближенно заменить линейной функцией х и-* а + Ьх так, чтобы
з
1(а, Ъ) = У (а + Ьх — г2)2 dx = min .
i
Ч Поскольку подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные при любых а и Ь. то можно применять формулу Лейбница. Дифференцируя под знаком интеграла по а и по Ъ и учитывая необходимые условия экстремума функции I, получаем
3	3
1д(а, 6) = 2 У (а + Ьх — г2) dx = 0, 1ъ(а, Ь) = 2 J(а + Ьх — х2)х dx = 0.
1 1
Отсюда находим а = — -у, 6 = 4. Легко убедиться, что /"Да, 6) = 4. Таким образом,
d2I(a. Ъ) = 4 da2 + 16 da db + db2 = 4(da + 2 db)2 + —db2 > 0, □	<J
t. e. при a = — y-, b = 4 функция J принимает минимальное значение. Следовательно, линейная функция у = 4х — — удовлетворяет поставленной задаче. ►
11. Найти производные от полных эллиптических интегралов
Т	Т
Е(к) = [ у/1 — к2 sin2 <р d<p, F(k) — I —.	, 0 < к < 1,
J	J V 1 — к2 sin2 р
о	о
и выразить их через функции Е и F.
10	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Показать, что Е(к) удовлетворяет дифференциальному уравнению Е"(к) + 1я'(*)+_£Ш_ = 0.
Ч Будем считать, что к € [Л;о, Ai] С]0, 1[. Тогда функции (к, уз) ь-» \/1 — A2 sin2 уз, (к, уз) I—>	. кSln у непрерывны в прямоугольнике П = {(уз, к) | 0 Sj ip Sj 7, ко к Sj Ai ).
yl— fc3sin29?	1	2	)
Следовательно, к интеграл}’ применима формула Лейбница. Имеем
2
[ к sin2 уз
/ ~7	=
(1)
о
Умножая обе части этого равенства на к и пользуясь выражениями для Е(к) и F(k), находим dE(k) _ Е(к) - F(k)
(2)
dk
Интегрируя в (1) по частям, получаем
к
2
j sin р
2
к cos2 уз dip
2
j sin2 уз dp
о v
Но поскольку
d(cos'p) _ f
к2 sin2 р J (1 — i2 sin2 уз) 2	(1 — к2 sin2 уз) 2	£ (1 - A2 sin2 уз) 2
2
/ dp
2
2
О
"*’(WW-/-----------------------г
(1 - к2 sin2 уз) 2	J (1 - к2 sin2 уз) 2
(дифференцирование здесь возможно по причине, аналогичной изложенной выше), то Е' (к) = F\k) = —k(kF(k))'. Пользуясь формулой (2), из последнего соотношения находим
F'fki -	Ш
А(1 — А) к '
Из формулы (2) следует, что Т’(А) = i’(A) — кЕ'(к), F' = —кЕ". Подставляя F(k) и F'(k) в (3), приходим к указанному дифференциальному уравнению.
Наконец, так как числа ко и к могут быть как угодно близкими к нулю и единице
соответственно, то отсюда следует, что все полученные выше результаты справедливы при
(3)
12. Доказать, что функция Бесселя
1п : х ь-» i / сов(пуз — zsin уз) dp, п е Z, J о
удовлетворяет уравнению Бесселя
х21п(х) + xl'n{x) + (т2 - п2)1п(х) = 0.
Ч Вычисляя производную от данного интеграла и интегрируя по частям, находим
sin (пуз — х sin уз) <f(cos уз) =
о
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра	11
“К	7Г
= — / cos р cos(np — х sin р) dip — — / (1 — sin2 р) cosing — х sin р) dp =
* J	* J
о	0
IT
= — / cos p cos(n<^ — x sin p) dp — x/n(x) — xf^(x).	(1)
T J
0
Поскольку i f cos(np — xsin p)(n — x cos p) dp = 0, to 0
— j cos(np — x sin p) cos p dp = nl„(x).	(2)
о
Умножая обе части соотношения (1) на х и учитывая тождество (2), получаем уравнение Бесселя. ►
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы:
•я
13. 1(a) = ^ln(l — 2аcos х + a2)dx. о
Ч Пусть | |а| — 1| > в > 0. Тогда функции f : (а, х) 1п(1 — 2аcos х + а2), fa : (а, х) ь-» r^~J7os°l+a5' непрерывны в прямоугольнике П = {(е, х) | ||а| — 1| е > 0, 0 х я-} и, в соответствии с теоремой 1, п.1.3, возможно дифференцирование по параметру а под знаком интеграла. Имеем
т// \ а /	® COS X	.
I («) = 2 / ----------—a dx.
J 1- 2а cos х + а2 о
Используя подстановку t = tg -, приводим интеграл к виду
+ ©О
»// \ f л — 14* (а 4" 1	.
1Aa>=4lJ (1+<2)((1-а)2 + (1 + а)2<2)Л-о
Применяя метод неопределенных коэффициентов и формулу Ньютона—Лейбница, получаем
х Г если |а|	1 + е,
0, если |а|С1-<.
Отсюда
г/ \ _ I 2jtIn |а| + Ci, если |а|^1+е, W — c2j	если |а|	1 — е,
где Ci, С2 — произвольные постоянные.
Поскольку полученный результат справедлив при сколь угодно малом е > 0, то
т, .	( 2xln|a| + Ci, если |a| > 1,
= \С2,	если |а| < 1.	W
Для вычисления 7(±1) используем исходный интеграл:
•я	V
/(±1) = J ± cos г)) dx = 27t1h2 4- 4 ^lnsintdt = O.	(2)
о	о
12	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Поскольку /(0) = 0, то С2 = 0. Кроме того, как видим из (1), lim 1(a) = 0. Следова-|a|—*1—О
тельно, с учетом тождества (2) находим, что функция 7 непрерывна в точках a = 1, a = —1 соответственно слева и справа.
Замечая, что
7 f — 'j = / In Г— (а2 ~ 2a cos х + 1)^ dx = — 2тг In |а| +• 7(a), a / 0, \a/ J \a	/
о
(3)
приходим к выводу, что функция I непрерывна в указанных точках также справа и слева. Действительно, в этом случае из соотношения (3) находим
lim 1(a) = 2тг lim In la! + lim	lim 1(a) — 0.
|a|—l+o	|a| — l+o	|a|-*l+0 \aj	|a| —1-0
Таким образом, функция I непрерывна при всех а. Поэтому, полагая Ci = 0, имеем
7(a) =
2тг1п |<г|, если
0,	если
|а| > 1,
|а| $ 1. ►
14.	rarctg^tgx)^
V J tgi О ◄ Пусть а £ > 0. Тогда функции
f : (х, а) <
arctgfatgj:) tgx
а,
(Г
l+a2 tg2ic ’ о,
непрерывны в прямоугольнике П = {(г, е) | 0 х < а е > О}. Поэтому, согласно теореме 1, п.1.3, при а е > 0 справедливо равенство
из которого интегрированием находим
= у 1и(1 + а) + С,	(1)
где С — произвольная постоянная.
Поскольку е > 0 может быть произвольно мало, то полученный результат справедлив при всяком a > 0. Тогда из (1) следует, что
С= lim 1(a).	(2)
a-* 4-0
Таким образом, если исходный интеграл представляет собой непрерывную функцию параметра а, то, с учетом (2), имеем С = 7(0). Но интеграл действительно непрерывен по а в силу теоремы 1, п.1.1. Следовательно, С — 0 и 7(a) = у 1п(1 + а) при а 0.
Учитывая еще очевидное равенство 7(a) = 7(|a|)sgna, окончательно находим 7(a) = J sgn a • ln(l + |а|) Va. ►
7
15. /(o)= Лп|±^£-^-;|а|<1.
v 7 J 1 — a cos x cos x
0
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
13
<4 Функции
-2-In у
COS X J 2а,
1
1 — a2 cos2 х

X =
2 ’
2 ’
непрерывны в прямоугольнике П = {(е, т) | |а| ствии с п.1.3,
Поэтому, в соответ-
2
Г(а) = 2 [ ----= 2
J 1 — а2 cos2 х о
откуда 1(a) — тг arcsin а + С.
Устремляя е к нулю, замечаем, что этот
С = 0. Таким образом, 1(a) = тг arcsin а. ► 16. Пользуясь формулой
dt
у/1 — а2 ’
вычислить интеграл
ответ правилен при
|а| < 1. Так как 7(0) = 0, то
1 arctg х _ Г
х J
о
dy
1 + х2у2 ’
(1)
1
f arctg х dx f -/I -
(2)
-4 Интеграл (2) является несобственным, поэтому его следует понимать как предел
/arctg х
х о
dx л/1 — х2
J + & о
х / 0,
Подставляя сюда интеграл (1), получаем
7 = Um	/-Ат-
—+о J у/1-Х2 J 1+х2у2 о	о
(3)
Так как функция f : (х, у) >-< --------. является непрерывной на прямоугольнике П =
(14-a;2S/2)y 1— х2
{(т, у) | 0 С х < 1 — е, 0 у С 1}, то из (3), используя теорему п.1.4, находим
I =
,.	/ ,	/	dx
lim I dy I -----------=====
£-*+° J	J (1 4- z2y2)vT~ z2
о	о
Сделав в
интеграле A = f
_______dx______
i/l-z2(l + z2y2)’
|i| < 1, подстановку t = arcsin x, получаем
A = —..	arctg ( zJ\ + j/2 ) , z = tg (arcsin x).
у/1 + У2 V	7
Следовательно,
B(e, y) =
--------arctg (y/1 + »2 tg (arcsin J- «2---\
14	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Поскольку функция В при	является непрерывной (при е = 0 полагаем
В(0) = lim В(е, у)), то в соответствии с теоремой 1, п.1.2, имеем «-♦ 4-0
I =
lim е—*4-0

17. Вычислить интегралы:
1
о
— X
хь . J
—:------dx;
In X
1
о
— X
ь
—:—— dx, а > О, Ъ > 0. in х
◄ Используя представление (1) из предыдущего примера, вместо данных интегралов рассматриваем повторные:
	1	Ь	1	ь Ii= I	dx 1	ху sin	I In	— I dy, I?	= I	dx I	xy cos I In	— I	dy. J	J	V	J	J	_	\	xJ 0	a	0	a
Функции	j.	,	.	f	xy sin	(in 1) ,	0 < x	1,	a	у	b, Ji • (l, У)	0,	1	z = 0,	a < у b, e	j	X	f	xy cos	(in ,	0 < X	<	1,	a	< у	< b, ti :	(i,	v)	t—*	<	\	*/	' J2 ’ y> [0,	i = 0,	a < у b,
непрерывны, поэтому можно выполнить перестановку интегралов:
	bl	bl Ii = j dy j xy sin (in —) dx, h = J dy j xy cos (in —) dx. a	0	a	0
Произведя подстановку х = е *, получаем
	b	4-oo	b	4*00 h = J dy j	sin t dt, I2 = j dy j e_,(y+1) costdt, a	0	a	0
Выполняя внутреннее интегрирование, находим
	b	b r _ f dy	I ~ [ (y + 1)<jy 1 J (у + iy + l’	J (» + l)2 + l’
откуда	T	b — a	r 1 , b2 + 2b + 2 Ii arctg 1 + (a + 1^j+1y	* 2 П a2+2a + 2’ Упражнения для самостоятельной работы b
1. Доказать, что функция F : у	J <p(x)f(x, y)dx является непрерывной на [с, d], если
а выполнены условия:
1) функция f непрерывна на прямоугольнике [а, А] х [с, </];
2) функция абсолютно интегрируема на интервале ]а, Ь[.
Исследовать на непрерывность следующие функции:
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 15
4. F : у н-► <
(»2 + »2 + 1)
______х* dx________
a.rctg(z2 + y2)sin z ’
г_________________
О,
У # О,
У = о.
У /0,
У = о.
2. F : у^ J
О
Найти пределы:
5. lim Г
sin(z+y) dx д z2y2+zj/ + l
2	2
lim f e x y dx. j,^+ooJ »+»
i/2 + l	.	sgni/
7. lim f	. 8. lim j , dx.
»-<> ;2 ^+d+v2)4r w+o (*+»)»+i
Доказать, что в следующих случаях возможен предельный переход под знаком интеграла: 2	з	,	.
9- f-^^dx’ »-*+«> 10- J arctg (r+v) У °-
О	-1	4	7
2	О	1	/ ч ,
in f 1 • z j	ч о Г arccos (z+w) dx	1
11. / - sm — dx, у —* oo. 12. / -г-~—, у —* — r-
J x	у ’ 9	J	z+s/+2	’ *	2
о	0
13. Пусть: 1) функция -ф : (г, у) н- У'1 непрерывна в прямоугольнике [а, Ь] х [с, d]; ь
2) функция абсолютно интегрируема на ]а, Ь[. Тогда функция F : у i—< f y(x)f(x, у) dx а
непрерывно дифференцируема на ]с, d[. Доказать это.
Исследовать на непрерывную дифференцируемость функцию F и возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла, если: 2 _х	1
14. F -.у^ sinidx. 15. F-.y^. f cos^. О	-1
Доказать, что в следующих повторных интегралах можно изменить порядок интегриро
вания:
16. }dyf^ldx. 17. о о
f dyf о
4
dx. ч/с2 + »2+1
§ 2.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов
2.1.	Определение равномерной сходимости.
Пусть несобственный интеграл
+ <х>
[ f(z,y)dx,	(1)
где функция f определена в области П = {(х, j/)|a^x< +оо, yi < у < У2}, сходится на интервале ]yi, у2[. Говорят, что интеграл (1) равномерно сходится на ]j/i, У2[, если Уе > О
16	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
ЭВ > а такое, что Vb > В Л Vj/ уз[ выполняется неравенство
+ °°
У f(x, у) dx ь
2.2.	Критерий Коши.
Для того чтобы интеграл (1), п.2.1, сходился статочно, чтобы Ve > О ЗА > а такое, что Vo- >
равномерно на ]jfi, г/г[ необходимо и до-А Л V/? > А Л Vy €]yi, у? [ выполнялось
неравенство
f(x, у) dx
2.3.	Признак Вейерштрасса.
Несобственный интеграл (1), п.2.1, сходится абсолютно и равномерно на ]yi, уг[, если 3F : ]а, +оо[—► R такая, что |/(т, у)| < F(x) Vi €]а, -f-oc{A Vy €]yi, Уъ[ и несобственный интеграл 4- ое f F(x) dx сходится. Функция F называется мажорирующей по отношению к функции f. а
2.4.	Предельный переход под знаком интеграла.
Теорема 1. Если 1) функция / : П —* R непрерывна по переменной х и при у уо & ]г/1, У2[ равномерно относительно х стремится к предельной функции g на каждом отрезке [а, А]; 2) интеграл (1), п.2.1, сходится равномерно на ]yi, 3/2], то
lim
У — Уп
+ <х>
У f(x, у) dx =
lim f(x, у) dx = У—У о
Теорема 2. Если функция f непрерывна при а х < +оо, уу у < у-у и интеграл (1), п.2.1, сходится равномерно на ]уу, 3/2], то
4- оо	4-со
lim	7 f(x,y)dx =	/ f(x,y0)dx.
y~yoe[vi,y2] J	J
а	а
2.5.	Непрерывность несобственного интеграла.
Теорема 1. Если функция f непрерывна в области а х < +ос, уу у у? и интеграл (1), п.2.1, сходится равномерно на отрезке [уу, у?], то он представляет собой значение непрерывной функции на этом отрезке.
Теорема 2. Если: 1) функция f непрерывна и ограничена в указанной области; 2) функ-4-оо
ция <р интегрируема на каждом отрезке а х А; 3) интеграл f |<^>(i)| dx сходится, то
а интеграл
4-00
У /(z, y)y>(x)dx а
сходится равномерно и является значением равномерно-непрерывной функции параметра у на отрезке [гд, уг].
Аналогичные определение и теоремы справедливы н для интегралов от неограниченных функций. '
Определить области сходимости интегралов:
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 17
18.	[ ^^dx.
J хР + хч 7Г
◄ Положим для определенности, что р д. функция
X
х j cos t dt — sin x
7Г
ограничена. Функция x	монотонно стремится к нулю при р > 1. Следовательно,
интеграл
4-00 /cos х  —7 dx, xp-l
в силу признака Дирихле, сходится при р > 1. Так как функция х >-< х+Д-р монотонна и ограничена при х > тг, то интеграл
dx
1 + хЧ-р
по признаку Абеля, сходится при р > 1, т. е. при max(p, q) > 1.
Это условие является и необходимым. Действительно, представляя интеграл в виде ряда и пользуясь теоремой о среднем, получаем
cos х
xp-i + г«-1
cos х dx Z₽-1 + хЧ~г
— (2n+l)	£„ < — (2n+3).
£	4
Из необходимого условия сходимости ряда вытекает неравенство max(p, g) > 1, что и требовалось доказать. ►
4- СО
19.	[ ^-dx.
О
у
◄ Произведем замену переменной х по формуле х = М, t > 0, q > 0, и разобьем полученный интеграл на два интеграла. Тогда
4-оо	а	4-00
1 f sin t 1 [ sin t	р - 1
dx = -	----dt -|— I --------dt, o- =----------hl, a > 0.
? J	q J ta	q
0	0	a
Так как "4 ~ О* (^Li ) при t —» +0, то первый интеграл, в силу признака сравнения, сходится при а < 2 и расходится при а 2. Второй интеграл, в силу признака Дирихле, сходится при а< 2. При а0 этот интеграл расходится, так как при этом условии расходится соответствующий числовой ряд. Действительно, поскольку
7ГП
7г(п + 1),
то это утверждение становится очививлгыя
Следовательно, если д > 0, то исходный интеграл сходится при условии О <	< 2,
или, что то же самое, при |р — 1| < д
18
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Если q < 0, то, полагая q = —qi, qi > 0, и производя аналогичные выкладки и рассуждения, приходим к такому условию сходимости данного интеграла: |р —1| < qi, или |р —1| < — q. Объединяя оба случая и учитывая, что при q = 0 интеграл расходится, приходим к выводу, что данный интеграл может сходиться только при условии |Е^’| < 1. ► 2
20.	[ J llnilp
о
Положим х = e-t. Тогда получим
2	4-оо	1	4-00
[ dx _ [ е~* dt _ f e~f dt f e-t dt J IM” “ J " J № + J
0	-In 2	-In 2	1
(1)
Поскольку = O*	при i —* 0, то первый интеграл в правой части равенства (1), в
силу признака сравнения, сходится лишь при р < 1. Второй интеграл сходится при всяком р, так как е4 > t2~p при достаточно большом t. Последнее неравенство вытекает из того, что lim —= 0. Следовательно, данный интеграл сходится лишь при р < 1. ► t -. + оо е
21.
д/1 — X2
Положим i = (1 — х) 1,т/1. Тогда получим
cos t dt
Поскольку функция / : t
т/1 — х2
t2~n~l
;cos t dt
в силу признака Дирихле, сходится при п < 0 или при п > j, то рассматриваемый интеграл сходится, в силу признака Абеля, при этом же условии. Пользуясь приемом, примененным в примере 18, можно показать, что это условие является необходимым. ►
22. [ - s-~.....dx,P>o.
J xp + sin X 0
◄ Разобьем данный интеграл на два
sin х хр + sin х
/sin х , f sin х -------:--dx = I ----;-- xp + sm x J xp 4- sin x о------о
Так как /(г) =	~	ПРИ 1 —To пеРвь™ интеграл в правой части равен-
ства (1) сходится при любом р (точка х = 0 является точкой устранимого разрыва функции /). Поскольку sin х _ sin х хр + sin х хр
sin2 х ,	( 1 \ sin х 1	, cos 2х
х2р + °\х?р) ~ ~хр~ ~ 2х*р + 2х2р
(1)
и интегралы f ~^-dx, J c°s22* dx, р > 0, в силу признака Дирихле, сходятся, а интеграл
J сходится лишь при р > то второй интеграл из (1) сходится лишь при р > j •
dx.
о
х —> +оо,
$ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 19
Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. ►
Исследовать сходимость интегралов путем сравнения их с рядами:
+ оо
23.	[----х-*х, , , п > о.
J 1 4- хп sm х о
◄ Поскольку
+ °°	<»	(*+1)’г	оо *
/х dx _ V [ х dx:	_	[ (kir + t)dt
l + insin2i J 1 + хп sin2 х J 1-|-+ t)n sin2 t ’
О	*=0 к-	*=0 0
то будем исследовать сходимость последнего ряда.
Легко видеть, что
kirdt	(кт -}-t)dt	< f (k + l)irdt
1 + (k 4- l)n7rn sin2 t J 1 4- (кт +1)" sin2 t J 1 4- кптп sin2 t 2’ о	oo
где 11 = h Так KaK 11 = °' (тгО 72 = °’ (tf?) при k - °°> то, по признаку сравнения, ряд, а значит и интеграл, сходится лишь при п > 4. ►
+ оо
0
◄ Представив данный интеграл в виде
+ <х>	„ (п+1)«
f dx 5—f dx
J zpv^sin2 x J хр у/sin2 x _	n=l _
7Г	П7Г
будем рассматривать последний ряд. Полагая х = пт + t, имеем
(n+l)ir	тг
f dx _ [ dt
J z^Vsin2 x J (пт + t)p v^sin2 t П7Г	0
Заметим попутно, что этот интеграл является несобственным и сходится по признаку срав-
1 f dt f dt	1 f di
irP(n + l)pJ sin2 t J (пт 4- t)p v^sin2 t тРпР J sjn2 о	о	0
oo исследуемый ряд (интеграл) сходится или расходится одновременно с рядом — кото-
П=1
рый сходится только при р > 1. Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. ►
+ <х>
25. Доказать, что если: 1) интеграл j f(x, y)dx сходятся равномерно на Jjfi, рг[ и 2)
а
функция ограничена и монотонна по х, то интеграл
+ оо
У f(x, y)v(x, y)dx	(1)
20	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
сходится равномерно на ]j/i, 2/г[.
Пусть произвольное число е > 0 задано. В силу условия 1) согласно критерию Коши, 35(e) такое, что V6',	b" > 5(e) независимо от у 3/2 [ выполняются неравенства
£
У f(x, у) dx
Ъ'
е
213'
ь‘
У f(x, у) dx £
е
2ЛГ
где М = sup |^(i, у)| / 0 (при М = 0 теорема, очевидно, справедлива). и
Далее, поскольку функция монотонна по х, а функция f интегрируема, то, по второй теореме о среднем, имеем
ь"
f(x, у)р(х. у) dx =
Ь'
£	ъ"
+ 0, у) у f(x, у) dx + у>{Ъ" - 0, у) У f(x, у) dx, ь'	£
где Ъ' С £ Ъ". Отсюда, учитывая неравенства (2), получаем оценку ь‘
ь'
|^(У + 0, у)| j f(x, y)dx + \у>(Ъ‘
,Ъ‘
ь‘
£
Vy €]//1, у2[• А это, по критерию Коши, и означает, что интеграл (1) сходится равномерно в указанной области. ►
26. Доказать, что если: 1) функция у>(х, г/) г? О при х —< +оо, у €]j/i, Jtef, и монотонна по
х, х €]а, +со[; 2) первообразная
, У1 < У < У2, ограничена абсолютной постоянной
М, то интеграл
(1)
равномерно сходится в области ]j/i, у2[. К интегралу
ь‘
Ъ', Ъ" €]а, +оо[,
Ь'
применим вторую теорему о среднем. Тогда
£	ъ"
У>(.х, y)f(x, y)dx = </>(&' +0, у) У f(x, y)dx + <p(b" - 0, у) J f(x, у) dx < ь'	£
<	+ 0, у)| + |<^(}" - 0, у)|).
Поскольку у) стремится к нулю при х —► +оо равномерно по параметру у €]j/i, У2[, то Ve > 0 25(e) такое, что |</>(&' + 0, у)| < и |у>(Ь" - 0, у)| < при уг < у < у2, если только Ь' > В Л Ь" > В. Следовательно, Ve > 0 25(e) такое, что
ь'
£
~ О,
<е Vj/ е]?/1, 1/2 [,
§ 2.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 21 если только V > В и Ь" > В. В силу критерия Коши, интеграл (1) сходится равномерно в области ]yi, У2[, что и требовалось доказать. ►
27.	Доказать, что равномерно сходящийся интеграл
Т'-’-’ С	,	к 9 Л
г У	J 1 (	Л 1л
J Г к	У/
нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не зависящим от параметра. + <*> 2
◄ Интеграл L = f е~* dt сходится, а поэтому Ve > О 35(e) такое, что о
е
(1)
В(£)
Выберем число А так, чтобы
Произведя в интеграле j~ exp < — А I венства (1) и (2), получаем оценку
^ + В(£).
\ 21
- I > dx замену t —
(2)
и используя нера-
I	,	Ч О 1
У )	1 У С L
/ ехр <---~ я-------I У dx = у
J Г \ У J I
А 4	7
е
из которой непосредственно следует равномерная сходимость интеграла на ]0, 1[.
Что же касается мажорирования, то здесь можно привести следующие соображения. Предположим, что такая мажорантная функция F существует. Тогда должно быть
/(х, у) = ехр
Легко видеть, что благодаря конструкции области определения функции f :]1, +оо[х]0, 1[—» R Vi Зу = такое, что f(x, у) = 1. Таким образом, F(x) 1 Vx. Очевидно, соответствующий несобственный интеграл от F(x) расходится. ►
28.	Показать, что интеграл
+ оо / = j ае~ах dx
о
1)	сходится равномерно в любом промежутке 0<а^а^6и2) сходится неравномерно в промежутке О С ® 5- Ь.
◄ В первом случае легко построить мажорирующую функцию F : х i-> be~ax. Следовательно. по признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно.
22	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Во втором случае, произведя замену t = ах, х > О Л а > О, получим
+ <»	+<Х>
У ае~ах dx = У е~‘dt = е~аВ.
В	аВ
Отсюда следует, что У В > 0 За, а €]0, i[, такое, что е~аВ > е, 0 < е < 1. Например, число а можно выбрать из неравенства 0 < а < ± In -. Таким образом, в этом случае интеграл сходится неравномерно. ►
29.	Доказать, что интеграл Дирихле
+ 50
/sinах .
-----ах х
о
1)	сходится равномерно на каждом отрезке [а, Ь], не содержащем значения а = 0, и 2) сходится неравномерно на каждом отрезке [а, 4], содержащем значение а = 0.
◄ В первом случае воспользуемся примером 25. Здесь функция : х i при х —► 4-ос монотонно стремится к нулю (и равномерно относительно параметра а). Первообразная
X
/sin atdt = —(cos аа — cos аг) а
а
ограничена числом min(|qj "|b|) • Следовательно, согласно примеру 25, данный интеграл сходится равномерно.
Во втором случае положим х = at, а > О Л t > 0. Тогда получим
+ <х> sin ах	.	[	sin	t t,
-------dx = / ---------at.
x	/	t
В	Bat
Отсюда следует, что VВ > 0 За € [а, Ь] такое, что
+ <х>
0,1
Ди	^*0,1
еиствительно, для этого достаточно взять а \	.
При а < 0 применяем подстановку х = —at и, проводя аналогичные рассуждения, приходим к такому же выводу.
Таким образом, в этом случае интеграл сходится неравномерно. ► + оо -
30.	Исследовать на равномерную сходимость интеграл j — в следующих промежутках: 1
а) 1 < его а < 4-оо; б) 1 < а < 4-оо. + оо
◄	а) Легко видеть, что —	при 1 х < 4-оо, ао а < 4-оо и интеграл f
1 сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса, данный интеграл сходится равномерно.
и lim ——— — -poo, то Зе > 0 такое, что VBo ЗВ > a_i+o 0,-1
+°°
Во А За €]1, 4-оо[ такие, что f -£• > е. Следовательно, интеграл в этом случае сходится в *
неравномерно. ►
б) Поскольку f в
$ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 23
31. Показать, что интеграл
+<»
dx
ха + 1
о
сходится неравномерно на интервале 1 < а < 4-оо.
◄	Пусть В > 1. Тогда справедлива оценка
/dx 1 [ dx ха + 1 > 2 J
В	в
В1"* а — 1
—► +оо, а —> ] 4- О,
указывающая на то, что данный интеграл сходится неравномерно (см. пример 30). ► Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие интегралы:
+ <Х)
nn / COS QX .
6L I --------- dx, —ос < a < 4-ос.
J 1 + x2 ’
— ОС
+ OO
◄ Поскольку *‘°* aJl 1	—oo < a < 4-ос, и интеграл f ,^x2 сходится, то, по при-
1 Ж	1 J*	v 1 ж	л
— ОС
знаку Вейерштрасса, данный интеграл сходится равномерно. ► + ОО
33.	[ 7—^2-гт- о^ <+~-
J (х - а)2 4-1 о + °° dx
◄ В интеграле I(B, a) = f	произведем замену х = а 4- /.Тогда I(B, а) =
в
+ °° dt
f TTfY- Если положить а = В > 0, то при любом В будет ЦВ, а) > е, где 0 < е < у.
В—а
Следовательно, данный интеграл сходится неравномерно. Заметим, что сходимость рассматриваемого интеграла при фиксированном а, 0 Sj a < 4-оо, следует из признака сравнения
+ оо
34.	[ —-—е~ах dx, 0 а < 4-оо. J х о
+<» .
Воспользуемся примером 25. Здесь/(г, a) =	<р(х, а) = е~ах. Интеграл § dx,
о согласно признаку Дирихле, сходится, а функция х >-> е~ах монотонна по х ((е~азс)х = —ае~ах	0) и ограничена единицей. Следовательно, согласно указанному примеру, дан-
ный интеграл сходится равномерно. ► + <х>
35.	[^dx, о^р^ю. J w* 1
◄	Поскольку --"у	С (~)	~|т= при х э е, то, согласно признаку
Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно. ►
4-00 о I —ах COS X . ОО. / е --------dx, 0 а < 4-ос, где р > 0 фиксировано.
J ХР 1 + оо
◄	В силу того, что интеграл J" dx при р > 0 сходится (по признаку Дирихле), а 1
функция х 1-» е~ах монотонна по х и ограничена единицей, то, согласно, примеру 25, данный интеграл сходится равномерно. ►
24	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
+ °о
37.	j у/ае~ах dx, 0 а < +оо. о + °° 2 Полагая yfax = t в интеграле f yfae ах dx, имеем в
4-00	4-00
J у/ае~ах dx = J e-t dt.
В	By/а
+ <^ 2
Взяв а = -i, В > а, получаем неравенство f у/ае~ах dx > е, справедливое при любом в
В, если
4-00 О < е < У e-t dt.
1
Следует заметить, что данный интеграл при а 0 сходится по признаку сравнения. ► 4-00
38.	1(х) = j е~х + и sin х dy, — ос < х < +ос. о
Очевидно, /(0) = 0. Полагая в данном интеграле t = х 0, получаем J(z) =
| С= f e~l dt / 0 | . Так как lim /(z) = — C, lim I(x) = С, то функция I
И \ о	/	о	t-o
разрывна в нуле. А тогда, согласно теореме 1, п.2.5, интеграл сходится неравномерно (если бы он сходился равномерно, то, в силу непрерывности подынтегральной функции, представлял бы собой непрерывную функцию). ►
4-00
39.	/ ^^-dx, р^о.
J 1 + хр о
◄ Произведя замену х — y/t, получим
4-00	4’00
/sin х2 * * * * * * j _ f sin t dt
l+xP J 2(1+Д)х/< 0	0	\	/
4- oo .
Поскольку интеграл f dt, в силу признака Дирихле, сходится, а функция t i—► -----------у,
о	2 (14-t 2 )
р 0, монотонна по t и ограничена числом 0,5, то, согласно примеру 25, данный интеграл сходится равномерно. ►
1
40. У In9 — dx, если: а) р ро > 0; б) р > 0, д > — 1. о
◄ Произведем замену переменной х по формуле х = e-t, t > 0. Тогда получим
1	+ оо
f zp_1 ln? 1 dx = f tqe~pt dt.
0
0
§ 2.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 25 + оо
а)	Поскольку tqe~pt	и интеграл f tqe~potdt, в силу признака сравнения, схо-
о
дится, то, согласно признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно.
4-ос
б)	В интеграле I(B, р) — f tqe~pt dt, В > 0, положим z — pt. Тогда получим в
4-00
Вр
Пусть числа В > 0 и е > 0 заданы. Тогда в силу того, что
lim —— / z4e 2 dz — +ос, wop’+1 J
Вр
всегда можно выбрать число р > 0 так, что 1(В, р) > е.
Итак, данный интеграл сходится неравномерно. ►
/ х J
I — dx.
J л/1 — X2 о
4 Поскольку
= и интеграл f
о са, данный интеграл сходится равномерно. ►
di	Т"» и
===== сходится, то, по признаку Веиерштрас-
лп f . 1 dx
42. / sin —  —, 0 < п < 2.
J X хп о
4 Положим х = у, t > 0. Тогда
[. 1 dx I sin -  — J X хп о
Далее, интегрированием по частям находим
S^dt.
t2-n
COS t , -т— dt. t3-n
(1)
/sint , cos В ,	J
^<«=5^+ (”-2) j
в	в
Последний интеграл, в силу примера 26, сходится равномерно (здесь функция ip : t х
- —> 0 при t-> оо и монотонна по t, первообразная J cos tdt = sin х — sin а ограничена числом а
ei, где sj > 0 —
2). Поэтому при достаточно большом В справедлива оценка £ ^’1* dt в наперед заданное число.
Что же касается слагаемого ^s_^- в (1), то оно не может быть сделано как угодно малым при всех достаточно больших b В равномерно относительно параметра п. Действительно, пусть В > 0 задано. Пусть, кроме этого, 0 <	Тогда, выбирая число b = 2kir > В, к €
л	In ® *>	I cos bl	1
, значение параметра п из неравенства 0 < 2 — п < 1п 2*?г, получаем	> £2-
Следовательно, исследуемый интеграл сходится неравномерно.
Заметим, что сходимость данного интеграла при 0 < п < 2 вытекает из признака Дирихле. ►
26	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
2
43. [	.Х.У.Х----- |а| < —.
J </(т-1)(х-2)2’ 1 1	2
◄ Поскольку
_______Ха_______ <	у/ху/1х-11(х-2)2 ’	’
У1. - 1|(. - 2)^ | у,.Х-г,,,	1<«<2,
ТО 2	1	2
/ха dx	f	dx	f y/xdx
</|z-l|(x-2)2 J	+ J </(x - l)(x - 2)2 ’
0	0	1
В силу оценок ------------------------	1	— = О* (• * - +о. V?У(х - 1)(х - 2)2	\AJ
----—^===== = О* ~^== , хА</(х - 1)(х - 2)2	\ А^Т/
.-.........=	О* f 1
</(x-i)(z-2)2
44. Подобрать число Ь > 0 так, чтобы О
и признака сравнения, два последних интеграла сходятся. Следовательно, по признаку Вейерштрасса, исследуемый интеграл сходится равномерно. ►
+ оо
У 1 п < с при 1,1 п 10, где е = 10-6. ь
-4 Поскольку	^гд-, то
+ ©о	4-00
f dx Г dx _ 10
< J 1 +х" < J 7Т ~ ь	ь
10
Таким образом, решая неравенство Ь0’1 < 10“6, находим, что если b > 1О70, то указанное в условии примера неравенство будет обеспечено. ►
45. Пусть интеграл
ь
У /(«, y)dx, с<у < d,	(1)
а
является несобственным сходящимся интегралом и х = tp(y), <р(у) €]а, 6[, есть кривая бесконечного разрыва функции f (подвижная особенность). Интеграл (1) будем называть равномерно сходящимся на интервале ]а, Ь[, если Ve > О ЗД > 0 такое, что для любых и #2 из неравенств 0<#i <ДА0<6г<Д следует неравенство
^(»)+<2
У f(x,y)dx
< е Чу £]с, d[.
Показать, что интеграл
Г sin^dx
J V\x -у1 о
О у < 1,
$ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 27 сходится равномерно.
< Пусть е > 0 задано. Покажем, что
J/ + $2
dx
Vy е [0,1]
(2)
в смысле данного выше определения. Имеем !/+^2
У~&1
/ dX J \/1х -
У-il
У+$2
У-*1
dx
—== =2
Vх-у
(3)
для любых 61 и 6г таких, что 0 < 61 < Д и 0 < 62 < Л-
Если теперь Уе > О взять Д = то из (3) получим неравенство (2). Следовательно, данный интеграл сходится равномерно. >
46. Несобственный интеграл
у€У,
(1)
где Л/ — матричная функция, называется равномерно сходящимся иа множестве У, если Уе > 0 ЗАо > “ такое, что УЛ > Ао Л Уу € У выполняется неравенство
где М(х, у) = (atj(x. у)), 1 tт, 1 j п. Доказать, что равномерная сходимость интеграла (1) эквивалентна равномерной сходимости всех интегралов
на У
(2)
◄ 1. Пусть интегралы (2) сходятся равномерно. Тогда Vs > 0 ЗАо > а такое, что VA > Ао Л Уу € У выполняются неравенства
+ оо
У yjdx
А
< е, 1 t >п,	1 С j С п.
С учетом этих неравенств имеем оценку
+ ОО
У М(х, y)dx
А
1
которая показывает, что несобственный интеграл (1) сходится равномерно.
2. Пусть интеграл (1) сходится равномерно на У. Тогда выполняется данное в условии определение, а значит, справедливо неравенство
У
X J
У
28	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Отсюда следует, что
4- оо
j aij(x, y)dx А
< е Vy € У. 1 i т, 1 j п,
т. е. несобственные интегралы от всех элементов матрицы Л/(г, у) сходятся равномерно. ► 47. Исследовать на равномерную сходимость несобственный интеграл
dx, у £ У,
/ е *(v+i) sjn х
У = [0,+оо[, М(х, у) =
cos д(у-Ю,1) я + у In (1 + -Нт-И
\	*2+v3J
◄ Согласно доказанному выше, равномерная сходимость данного интеграла эквивалентна равномерной сходимости интегралов от элементов матрицы М(х. у):
е~х(1+у) sjn х д
4-о©
/cos z(y + 0,1) X + У Х
+ оо
dx,
У х2 +у3
dx.
Первый, третий и четвертый интегралы сходятся равномерно по признаку Вейерштрасса, поскольку мажорируются соответствующими сходящимися интегралами
е
dx, I хе 1 dx, —
Второй интеграл также равномерно сходится, поскольку: 1) семейство функций х >-*	=3 О
при х +оо; 2) функция х ь-. —— при каждом фиксированном у монотонно убывает к нулю;
3) f cos t(y + 0,1) dy 20, т. e. выполняются все условия примера 26. Таким образом, 1
несобственный интеграл от матрицы Af(x, у) сходится равномерно. ►
48. Функция f интегрируема
в промежутке ]0, +оо[. Доказать формул}'
О
о
Оценим разность
atx
— 1)/(е) dx =
о
о
о
в
-l)/(z)dz.	(1)
в
о
Пусть с > 0 задано. Тогда, замечая, что интеграл
— l)y(i) dx, согласно примеру 25, о
сходится равномерно при а 0 (здесь функция |z| н-> е~ах — 1 ограничена единицей и мо-
4-0©
нотонна по г 0, а интеграл J f(x)dx, по условию, сходится), при достаточно большом о ,
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 29 фиксированном В можем записать
-1) f(x)dx
< - Уо > 0. 2
По данному е и фиксированному В найдем а такое, чтобы выполнялось неравенство

(3)
Имеем
l)J(z)dx
(1 — е~аВ)МВ < j,
откуда

(4)
где М = sup |/(z)| / 0 (при М = 0 теорема тривиальна).
Тогда из (1), с учетом неравенств (2), (3), находим
+ оо
У e~azf(x)dx о
е,
если В достаточно велико, а число а удовлетворяет условию (4). ► + оо
49. Доказать, что lim / /(г) sin пх dx = 0, если f абсолютно интегрируема в проме-n-oo J
0
жутке ]0, +оо[.
Данный интеграл, по признаку Вейерштрасса, сходится равномерно относительно параметра п. Поэтому Уе > 0 ЭАо(е) > 0 такое, что УЛ > Ао(е) Л Уп
(1)
Промежуток [0, А] разобьем на к + 1 частей л
представим интеграл f J(z)sin пх dx в виде о
точками 0 — хо < xi < ... < ijt+i = А и
mi = inf	(2)
^X^Xt + 1
Поскольку /(z) — mi , где cu:- — колебание функции f на промежутке [z», z»+i], то из (2)
получаем оценку
sin пх dx
к	2 к
t=0	t=o
30	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
В силу интегрируемости функции f, для ранее заданного е > 0 существует такое разбиение сегмента [О, А], для которого
к
52	< j-	w
1=0
к
При выбранном разбиении числа т, фиксированы; поэтому если возьмем п > -' 1=0
то из неравенств (3), (4) и (1) получим окончательно
50. Доказать, что если: 1) /(т, у) f(x, уо) на
f f(x)sinnxdx <е. ► о
каждом интервале ]а, 4[; 2) |/(х, у)|
lim
К—Ко
◄ Оценим по абсолютной величине разность
+ ©о	Ъ
Пусть s > 0 задано. В силу условия 2), при достаточно большом
(1)
Ь справедливы оценки
е
3’
3’
(2)
ь
а в силу условия 1), — оценка
|/(«, У) ~ f(x, Уо)| <
е
3(Ь — а)
Ух €]а, 6[,
(3)
ь
о
о
ь
ь
ь
если разность |у — уо| достаточно мала.
Таким образом, из (1), с учетом оценок (2) и (3), получаем
х, уо) dx < е
при достаточной близости у к уо. ►
51.	Пусть f — непрерывная и ограниченная на [0, +ос[ функция. Доказать, что
I = lim — ) к—±о w J
о
’jdx = ±f(0).
•Я Положим х — ty, t > 0, у > 0. Тогда
1 = lim
К—+0
о
dt.
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 31 4- оо
Так как С 7^7 > гДе	Af = const, f = у (сходится), а в силу непрерыв-
о
ности функции f дробь =5 при у —> 4-0 на каждом конечном интервале ]а, Ь[, то, согласно примеру 50, получаем
4-оо	4-оо
lim - / Йт^=- / 11111 ^ТТЛ=/(°)-	(1)
И—+0 X J t2 + 1 X J S/—+0 I2 + 1 о	о
В силу нечетности интеграла по переменной у и равенства (1), имеем
+ оо
lim - i У2~^2 dx = ~Л0)- »
у—-О X J X2 + у2
о
+ оо
52.	Найти lim [ —
п—*оо J Хп -4" 1
О
◄ Представляя данный интеграл в виде
/• а sin —
---— dx есть непрерывная функция иа интервале —ос < ха
о
2.
◄ Выполняя замену х = |, t > 0, получаем
+ ОО
/sin at
F(a) = J ~^dt-
Пусть —оо < a Тогда, в силу оценки	-у и признака Вейерштрасса, рассма-
(2
триваемый интеграл сходится равномерно. Если учесть еще, что функция t ь-► 31"_° при
—оо < а SC j, t 1 непрерывна, то на основании теоремы 1, п.2.5, можно утверждать, что функция F непрерывна в указанном промежутке.
Ж
§ sin at dt i
Пусть i^a^2 — е, е > 0. Тогда
2	1
< - С 4; функция 11— при фиксиро
ванном а монотонно стремится к нулю при t —► 4-ос. Это стремление, как показывает оценка jr, равномерно по а. Поэтому, в соответствии с утверждением примера 26, данный интеграл сходится равномерно. Принимая еще во внимание непрерывность подынтегральной
32	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
функции при | С а С 2 — е, устанавливаем, что функция F непрерывна на рассматриваемом отрезке.
Таким образом, функция F непрерывна при —оо < а 2 — е. Поскольку число е > О произвольно, то требуемое доказано, ►
54. Определить точки разрыва функции
4-оо
„ Г sin((l - а2)х2) , F : a I-+ / —ii-------—- dx.
J х
о
Ч Полагая t = (1 - о2)г, а / ±1, получаем
4- оо
г (а) = У tftsgn (1 - а2).
о
Очевидно, это выражение справедливо и при |а| = 1. Точки а = 1 и а = — 1 являются точками разрыва первого рода функции F. ►
Исследовать на непрерывность в указанных промежутках следующие функции:
4-	оо
55.	F-.a^ [ а >2.
J 2 + ха о
Ч Можно показать (см. пример 31), что этот интеграл сходится неравномерно в указанной области (сходимость его вытекает из признака сравнения). Поэтому о непрерывности функции F сказать пока что ничего нельзя.
Пусть а 2 + е, где £ > 0. В случае х 1 имеем 2_Д<> С ' П°скольку = О* ( 1\ё') при х —> +оо, то, на основании признака Вейерштрасса, интеграл
сходится равномерно. Учитывая еще непрерывность подынтегральной функции, согласно теореме 1, п.2.5, устанавливаем непрерывность функции Ф при о 2 + е, т. е. при а > 2.
Принимая во внимание, что функция
1 т f xdx Ф : а н-, / ----,
J 2 + ха о
в силу п.1.1, непрерывна при о > 2, приходим к выводу, что функция F : а ф(о) Ф(а) также непрерывна при а > 2. ►
- л „	Г sin х
56.	F : о' !->• / —--— dx, 0 < а < 2.
J ха(тг~х)а о
Ч Пусть 0<е^а^2 — е < 2. Тогда, разбивая данный интеграл на три интеграла и оценивая подынтегральную функцию, получаем
1
dx
(тг — х)1-' 
о
§ 2.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 33
Поскольку последние интегралы, в силу признака сравнения, являются сходящимися, то, согласно признаку Вейерштрасса, исходный интеграл равномерно сходится при е SC а 2 — е. Учитывая еще непрерывность функции
/ : (х, а)
sin х х“(тг — х)“
в области 0 < х < я, г а 2 — е, в соответствии с теоремой 1, п.2.5, заключаем, что функция F непрерывна на каждом отрезке е а SC 2 — е. Следовательно, она непрерывна в интервале 0 < а < 2. ►
4-оо
57.	F : а	0 < а < 1.
J I 8111X1“
О
Ч Замена переменной х по формуле х = кя + t в интеграле под знаком суммы
оо +
л	f е х dx
FH = E у j—
к=° Ь
преобразует данный интеграл к следующему:
1
1 - е-’ J sina t' О
Поскольку t С (57)°	(j)1 ' 7Т=Т> 0 < t С 1, где 0 < г < j, то, в силу признака
1
Вейерштрасса, интеграл f 77^7 равномерно сходится на отрезке [е, 1 — е]. о
Аналогично можно показать, что интеграл J также равномерно сходится на этом
отрезке. Так как, кроме того, функция t s.ena- непрерывна в области 0 < Z < тг, 0 < е a 1 — е, то, согласно теореме 1, п.2.5, функция F непрерывна при a € [е, 1 — е]. В силу произвольности е > 0, эта функция непрерывна при а €]0, 1[. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на равномерную сходимость в указанных интервалах следующие несобственные интегралы:
4-	оо
18.	J ^Х’ 0 < У < +ос’ — функция Римана, о
+ °°	. ,	,	+°°	.
19.	J ^х’ 0 <	20. J"	arctg (ху) dx, 0 < у < +оо.
о	1
+ °°	, 1	ч	+°°
21.	f хСО5<*^} dx, у > 0. 22. Г ^±dx, 1 < 3/ < +00.
J х+у ’ *	J ухУ ’	*
1 1
1	-	1 In (xiy/lix2)
23.	f ху~г ln(l — z) dx, у > 0. 24. J —-——---- dx, —оо < у < 2.
о	о
1
25.	у cos dx, —оо < у < 4~оо. о
Найти пределы: !	Z	П
+ °°	I n -т—т - Л
26.	lim f f„(x)dx, где f„(x) = {	21 ’ х > °’
о	I 0,	х = 0.
34	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
27.	lim 7°е-‘2^7£гЛ. 28. lim / dt.
*-+<» JQ	'	1-+00J	‘ +1
Показать, что следующие функции непрерывны:
О	о
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла
3.1. Дифференцирование по параметру.
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) функция f’y непрерывна в области 4-оо	4-оо
а х < Ч-оо, $ у уз: 2) интеграл f f(x, y)dx сходится; 3) интеграл J fy(x> у) dx а	а
сходится равномерно на отрезке [yi, уг]. Тогда
4*оо	4*°о
У f(x, y)dx = j fy(x, y)dx a	a
на отрезке [yi, уг].
Теорема 2. Если функции f и fy непрерывны и ограничены в указанной области, а ин-4- сю	4-оо
теграл f |^(х)| dx сходится, то интеграл f f{x,y)<p(x)dx представляет собой значение а	а
дифференцируемой функции на отрезке [yi, уг] и
4-00	4-00
У f(x, y)<p(x)dx = j f'y(x, y)<p(x)dx. a	a
3.2. Интегрирование по параметру.
+ OO
Теорема 1. Если функция f непрерывна при х а и у & [yi, уг], а интеграл J f(x, у) dx а равномерно сходится на [yi, уг], то справедлива формула 12	+°°	+ОО 12
У dy У f(x, y)dx= У dx у f(x, y)dy. 11	“	а	11
Эта формула справедлива также и в том случае, когда у: = —00, у2 = 4-ос, если f(x, у) 4-оо	4-оо
О, интегралы J /(х, у) dx и f f(x, y)dy непрерывны и одни из повторных интегралов — ОО	—оо
4-оо 4*оо	4*оо 4*оо
f dy f f(x,y)dx или f dx f f(x, y) dy сходится. — oo —00	—00 —00
Теорема 2. Если функция f непрерывна при a Sj х < +00, с Sj у < +оо, а интегралы
4*оо	4-ос
У f(x> у) dy и У f(x, у) dx
$ 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла	35
сходятся равномерно: первый — на каждом отрезке [а, А], а второй — на каждом отрезке [с, С], и если хотя бы один из повторных интегралов
сходится, то сходятся и равны между собой повторные интегралы
Теорема 3. Если f непрерывна и ограничена при а х < +оо, у (z [yi, уз], а интеграл too f |<^(х)| dx сходится, то
d 4"00
У dy j f(x, y)<p(x)dx = с а
f(x, y)dy.
58. Пользуясь формулой / хп 1 dx = —, п > 0, вычислить интеграл J п о
1
/ = у г"-11пттйт, о
где т € N.
< Формально дифференцируя т раз по параметру п обе части указанной формулы, получаем
1 = [ xn~1lnmxdx =	=
J	\nJ v ’ n™*1
0
Покажем, что m-кратное дифференцирование под знаком интеграла возможно. Для этого, полагая х = j, I > 0, преобразуем данные в условии интегралы к следующим:
Поскольку функции t ►-+ t П-1 у t >-+ t n 1 lnm t непрерывны в области 0 < е n < +оо, 1
1
t < +оо и интеграл f хп~г dx сходится, то, в силу п.3.1, остается показать, что интеграл о
+ °о т
J тЬрг dt сходится равномерно на полуинтервале 0 < е п < +оо. Действительно, так как
1
|lnmt| lnmt fn+l <!+<
lnmt 1	< /2m\m 1
то, в силу признака Вейерштрасса, интеграл I равномерно сходится на указанном полуинтервале. Следовательно, при каждом фиксированном е > 0, согласно теореме 1, п.3.1, дифференцирование по параметру n, п > е, справедливо, т. е. справедливо при п > 0. ►
36
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
59. Пользуясь формулой j — = 2^/^ о
Г dx
J (х2 + a)n+1 ’ о
вычислить интеграл
п € N.
Ч Формально дифференцируя п раз по а левую и правую части данной в условии формулы, имеем
f_nnn, f dx = тт / IV } = (—l)nn!(2n — 1)!!
/ (х2 + a)n+1 а \ J	(2п)!!ап2у/а
о
откуда следует значение интеграла /п-ц.
Возможность n-кратного дифференцирования вытекает из п.3.1. Действительно, функции (х, а) *— и (х, а) н-»	+ непрерывны в области 0 < е а < -Ьоо, О х < -Ьоо.
+ <» dx
Интеграл f х?+а сходится при а > 0. Интеграл 7n+i сходится равномерно по признаку о
Вейерштрасса	(дЗ^-уГ+Т ПРИ х на полуинтервале s а < -Ьоо. Поэтом}’ на
этом полуинтервале, а в силу произвольности е > 0 и на интервале 0 < а < -Ьоо дифференцирование возможно. ► 4-оо
а.Г\ тт	тт	т/ \	/ sin QX .	. .
OU. Доказать, что интеграл Дирихле Да) = / -------ах имеет при а О производную,
J х о
однако ее нельзя найти с помощью правила Лейбница.
Ч Положим ax = t. Тогда 1(a) = const. Следовательно, при аО имеем 1'(а) = 0. Если же формально продифференцировать по а под знаком интеграла, то получим расходящийся интеграл 4-оф ' j cos ax dx. ► о
61. Доказать формулу Фруллани 4- оо
у f(ax)^f(bxldx = fWlnb_ a>Oj fe>Oj О
4-оо (% ) -  dx сходится V A > 0.
X A
Ч В силу условий теоремы имеем 4-оо	4-ое	4-оо	4-оо
у	J ДМ dl = у ffl) д,
А	Аа	А	АЪ
откуда 4- оо	АЪ
J f(ax)-f(bx) dx==J f(^dt А	Аа
§ 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла	37
Применяя к последнему интегралу первую теорему о среднем, получаем
4-оо	АЬ
J f(ax) - f(bx) dx = J = ш ± Аа^АЬ.	(1)
А	Аа
Поскольку функция f непрерывна, то lim /(£) = f(0), в силу чего из (1) вытекает, что существует
4-оо	4-00
lim Г f(ax) — f(bx)dx_ Г f^~f(bx)	b *
А-^+о J	х	J	х	а
А	О
4- оф
Замечание. Может случиться, что интеграл J dx, А > 0, расходится, но существует
Л
4-ос
lim f(x) = /(Ц-оо), а также сходится интеграл f  dx, где /*(х) = f(x) — Д+оо).
Z-+OO
Тогда на основании изложенного выше
4-оф
о
Вычислить интегралы:
о
а > 0, /3 > 0.
< Пусть а е > 0, /3 е > 0. Тогда функции
//	/	\	—ах2
а  (х, а) ь- -хе
непрерывны в области а > 0; интеграл
—ах2 е — е . --------------dx,
х
в силу признака сравнения, сходится, а интеграл J хе OiX dx, по признаку Вейерштрасса, о
2
сходится равномерно (здесь х ь-► хе	мажорантная функция) на полуинтервале а е. По-
этому' дифференцирование по а под знаком интеграла по теореме 1, п.3.1, возможно. Имеем
4- оо
Г(а) = — У хе~ах dx = — —, а е > 0. о
Отсюда находим 1(a) = — j In а + <^(/?). Очевидно, !(/?) = 0. Поэтому <^(/?) = jin/?, /3 е> 0.
Итак, 1(a) = j-In —, а е > 0. В силу произвольности е > 0, этот ответ справедлив Уа > 0, /3 > 0. ►
+ °° У	. 9
Г /c~QX ^~0Х\£
63. 1(a) = J	-----J dx
О
а > 0, /? > 0.
38	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
< Как и в предыдущем примере, легко показать, что дифференцирование по а возможно (полагаем сначала, что а > е > 0, /3 е > 0). Тогда имеем
/-(а+/3)х _	-2O.I
-------—Л------dx.
О
Применяя формулу Фруллани (см. пример 61), находим /'(Q) = 21n Отсюда интегрированием по а получаем
1(a) = —2(а 4- /3)(1п(а + /3) — 1) + 2а(1п 2а — 1) + <£(/?)•
Из условия I(/J) = 0 следует, что р(/3) = 2fl(ln2fl — 1). Поэтому
В силу произвольности е > 0 этот результат справедлив при а > 0, /3 > 0. ► + оо /е~ах _ е~Рх --------------------------sin mxdx, а > 0, f} > 0.
х о
< Дифференцируя по параметру т, получаем
ах — е ^I)cosmidi.
(1)
ах — е &х) cos тх
.2 •
о
Дифференцирование под знаком интеграла по теореме 1, п.3.1, возможно, так как функции f е—ах—е“^х .	/ л
f-.(m,x)^l -----*---sinmz> х*°’
I 0,	х =0,
непрерывны в области —оо < т < 4-оо, 0 х < +оо; интеграл (1), в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно, а данный интеграл сходится.
Выполняя интегрирование в (1), находим /„(пг) =	’ 0ТКУДа Цт) = arctg —
arctg + С. Так как /(0) = 0, то С = 0. Следовательно, 1(т) = arctg	k
65. о
◄ Пусть |а|	1 — е, 0 < е < 1. Тогда при фиксированном е функции
Г ln^1—J Л
-2а
[-а2, х = 0,	(1-а2х2)'/1^Р’
непрерывны в области |а|	1 — е, |т| < 1. Интеграл 1(a) сходится по признаку сравнения, а
интеграл
У adx
J (1 — а2х2)у/1 — х2 ’ о
(1)
2
иа от-
в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно ^|/4(т, а)|
резке |а|	1 — е. Следовательно, дифференцирование по параметру а под знаком интеграла
возможно при |а|	1 — е (см. теорему 1, п.3.1).
§ 3.	Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла
Полагая в (1) х — sint, получаем
2 г'/ ч о f
I (а) = —2а / -------—. - =--------
J 1 - a2 sin2 I у/1 - а2 о
Отсюда находим 1(a) = тгV'l — a2 4- С. Так как 1(0) = 0, то С = —я-. Следовательно, 1(a) = тг (\/1 — а2 — l') .
39
(2)
/(о), т.
е.
В силу произвольности е, заключаем, что этот ответ пригоден при |а| <1.
Нетрудно видеть, что функция f непрерывна в области |a|	1, |х| < 1. В силу признака
Вейерштрасса, интеграл 1(a) сходится равномерно на сегменте |a|	1	а)|
Следовательно, функция I непрерывна при |a|	1. Поэтому /(±1) = lim
|a|—*1-
формула (2) справедлива при a = ±1. ► 1
66. 1(a) = [ 1П^	dx, |a| < 1.
V ’ J	1 1
о
Ч Аналогично предыдущему (см. пример 65) получаем
х2 dx
J (1 — а2т2)\/1 — х2 I о, о	'	’
Отсюда находим 1(a) — — тг!п(1 4- т/1 — а2) 4- С, |а| < 1. Поскольку 1(0) = 0, то
Следовательно,
а = 0.
С = тт In 2.
„ , l-bvT^a2 1(a) = -т1п---------.
В силу непрерывности исходного интеграла при |а|	1 это выражение справедливо также
< Функции
arete ах , ---..-° = dx.
непрерывны в области 1 < х
arctg ах , ,	.	1
---°	- ,	: (х, а) нч- 	-........... х2у/х2 — 1	х(1 4- a2x2)V®2 — 1
< 4-оо, —оо < а < 4-оо; интегралы
arctg ах
:2у/х2 — 1
dx
т(1 4- а2х2)у/х2 — 1
равномерно сходятся по признаку Вейерштрасса, так как |arctgax|	я	1	1
х2у/х2 — 1	1х2у/х2 — 1 ’	х(1 4- а2х2)у/х2 — 1 ху/х2 — 1
и соответствующие интегралы от мажорирующих функций сходятся. Следовательно, функции f и fh непрерывны при всех а и дифференцирование под знаком данного интеграла возможно. Имеем + оо
rn= f dx
J х(1 4- а2х2)у/х2 — 1
40	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Полагая здесь х — ch t, получаем I'(a) = j-	, откуда 1(a) = j(a — /1 4- о2) + С,
а 0. Поскольку 7(0) = 0, то С = j. Таким образом, J(a) = j(l + а — л/1 4- а2), а 0.
Аналогично при a SC 0 получаем 1(a) = — £(1 — а — л/1 + а2). Окончательно имеем 1(a) = ^(1 + |а| — т/1 + a2)sgn а, |а| < оо. ► + оо
68-	JH = / о
◄ Пусть /3 7^ 0. Тогда функции .	.	1п(й'2 4- х2)	,	,	_______2 а______
/.(х, а)н- ^24.^2 ’ /а • (*’	(а2 +х2)^2 + J.2)
непрерывны при 0 < х < фоо, — ос < а < +ос; интеграл 1(a) сходится равномерно, в силу признака Вейерштрасса, на любом отрезке [—А, А],
|1п£Д2,)|	iin*2i}-
Интеграл
4“ оо
о
также сходится равномерно, но только на отрезке 0 < е |а| А.
Действительно, в этом случае
2а-	<	2А	- /М
(а-2 + х2)(/32 + х2)	(е2 + х2)(/32 + х2) ~ V[X>
4- 00
и интеграл J ^(х) dx сходится.
о
Таким образом, функция I непрерывна V а €] — ос, + ос[, а функция I' непрерывна при |а| > 0.
Выполняя интегрирование в (1), получаем I'(a) = |ag|([a°+|/3|) >	откуда 1(a) ==
i^i 1п(Ы +1^1) + С-
Поскольку
4-оо	4-°о	4-оф	4"°°
Т(П\ 1 I 1пх 2 [ ln^Uy_L 2 f ln tdt - 21П 1^1 [ dt -,-1п 1^1
,m = 2J	ттё'“ + т] ттё--т~] гтё-’-и-
О	0	0	0
то С = 0. Окончательно имеем 1(a) = — 1п(|<а-| + |/?|), ,5/0.
Заметим, что если /3 = 0, то данный интеграл сходится только при |a| = 1. В этом случае
4-сю	„
f ln(14-^2) j	ь.
интегрированием по частям легко установить, что j	2—L dx = тг. ►
о
4- оо
69. I(a,)3)= I
о
4- оо
Ч Очевидно, I(a, Р) = f f(x, a, fd)dx, где
о
tr о\ I Л- arctgax • arctg вх, х / О, f(x„	До.’
§ 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла	41
Функция / непрерывна в области 0 $ х < +оо, —ос < а, 0 < 4-оо, и данный интеграл, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно (мажорантная функция строится так: при О < х С 1 будет |/(х, а, /?)|	|а/?|, а при х 1 имеем |/(х, а, /?)|	т.е. у>(х) =
7Г2
при 0 х 1 и <р(х) = ^2 ПРИ х !)• Следовательно, по п.2.5 функция I непрерывна Va, 0 g] — ос, +оо[.
Далее, пусть 0<е^а^А< -рос, О<6^0^В< +оо. Тогда, как нетрудно проверить, справедливы формулы
4-оо	4-оо
=	1'^,0)= [	-2иГ.Д2-.....2V
J я(1 + а2яг)	J (1 + а2х2)(1 +/32х2)
о	о
откуда находим I^^a, /?) =	• Интегрируя это равенство по /? и а последовательно,
получаем
Ца, 0) = ^(а +/3)(1п(а+0) - 1) + ?(а) + ^(0),	(1)
где у — функции, подлежащие определению. В силу произвольности чисел е > 0, 6 > О, А > О, В > 0 последнее соотношение справедливо при любых а > О и 0 > 0. Заметим, что (1) есть сужение функции I на область положительных значений параметров а и 0. Для нахождения ее для всех а, 0 б] — ос, +ос[ нужно подобрать функции <р и $ таким образом, чтобы функция I оказалась непрерывной Уа-, 0, как и должно быть по доказанном}’ выше. Соотношение непрерывности
lim 1(а, 0) — lim 7(а, 0) = lim 7(а, 0) — 7(0, 0) = 7(а, 0) = 7(0, 0)
9—НО
приводит к равенству
<^(а) + ф(0) = ^(/?(1 - In 0) + а(1 - In а)).	(2)
Таким образом, учитывая тождество 7(а, 0) = 7(|а|, |/?|)sgn (а/?) и равенство (2), окон-чательно получаем
7(а,	( 7 sg“ (Q7?)ln	> если ав * °’
t 0,	если а0 = 0. ►
При решении следующих примеров считается известным значение интеграла Эйлера— 4-оо
Пуассона: J е~х dx —	.
о 4-оо
70. 7= у (air2 + 2bix + ci)e-(a:l: +2bl+c< dx, а > 0. — ОФ
✓	\ 2	2	___
Ч Приводя трехчлен аж2 4- 2Ьх 4 с к виду ( у/ах 4-	1 + с —~ и полагая у/ах = t,
получаем
4-ос
7= j (At2 + 2Bt + C)e~‘2 dt,
где
. aj	n bia-aib	a2ci -labbi +агЬ2
-Л-----7=e а В — ---------x-----e a C = ------------=—7=------e a
ay/a	a2	a2y/a
42
Поскольку
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
е
te“‘2 dt = O,
+ °°
[ t2e~t2 dt=±
2 ’
то
ac—b2 a + 262)ai — 4a66j 4- 2a2ci)e a
+ °°
ch bx dx,
4 Имеем
e ax ch bx dx = i f e ax +bx dx + i e ax bx dx.
Замечая, что оба эти интеграла можно найти как частные случаи общего интеграла из пре-ь2
дыдущего примера, получаем 1 = л/^е4а . >
72. Z(|a|) = J о
4 Представляя данный интеграл в виде
dx.
dx
производя замену у = - в первом интеграле, получаем
Z(|a|)= [	[
dy.
Так как подынтегральные функции fi и /2 здесь непрерывны при всех а и 1 у < 4-оо, а соответствующие интегралы, по признаку Вейерштрасса, сходятся равномерно
\	4-ОС
—V2 |	Г	dy
* I и интегралы J	-%
'	1
р _ 2
и j е v dy сходятся, то функция I непрерывна
V|a| ей.
Пусть |а| е > 0. Поскольку функции —£, непрерывны в области |a| е, 1 у < +ос а соответствующие интегралы от них, в силу мажорантного признака, сходятся равномерно на каждом отрезке е |а| А, то функция I' непрерывна при |а| > 0. Следовательно,
® = -2|a| a|a|
(1)
о
Кроме того, положив в исходном интеграле х =
—, у > 0, можем написать
(2)
е
о
,2 >
.2 ‘
Z(|a|) = l«l j о
,2 '
§ 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла	43
Сравнивая (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение /'(|а|) + 27(|а|) = °> решая которое, находим 7(|а|) = Се~21“', |а| > 0.
Но функция 7(|а|) непрерывна, поэтому должно быть /(0) = lim (Се~2'“'). Учитывая, 1“1-о
что 7(0) = -^, отсюда находим С =
Итак, окончательно получаем 7(|а|) = л^е-21<11. + оо
73.	1(b) = У е~ах cosbxdx, а > 0, b 6 R. о
◄ Функции f : (b, х) е ах cos Ъх и fb : (6, х) —хе ах sin bx непрерывны в области 0 х < +оо, —оо < Ь < 4-оо; интегралы
-f-oo	-f-oo
У е~ах cosbxdx, J хе~ах sin bxdx, о	о
в силу признака Вейерштрасса, сходятся равномерно относительно параметра Ь. Следовательно, функции I и I' непрерывны V6 G R и
+ <50	+©О
l'(b) = — / хе~ах sin bxdx = х~е~ах sinbzl — Д- / е~ах cosbx dx — ——1(b). v ’ J	2a	Io 2a J	2a v ’
о	о
Отсюда l'(b) 4-	~ 0- Решая это уравнение, находим 1(b) — Се 4а . Поскольку /(0) =
+ оо	Ь2
f е~ах dx = то 1(b) = х\/^е 4а а > 0, b G R. ►
J	2 V а	2 v а
О + <х>
74.	У х2пе~х cos2bxdx, п G N. о
◄	Дифференцируя 2п раз интеграл из предыдущего примера и полагая а = 1, получаем
е
cos 2bx dx = (—
’	/ г \(2п)
i2"e-1 cos2bxdx= I -т—е-Ь )
\ 2 I
о
о
откуда
75. Исходя из
х2пе х2 cos2bxdx =
интеграла
_axsinPx е -------
х
(2п)
dx, а > 0, G R, вычислить интеграл
О
о
1 J — dx.
Дирихле D(P) = J о
◄	Поскольку функция
.-ах sin
X р,
х О, х = О,
44
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
+ °°
непрерывна при каждом конечном О 0, 0	< +оо, а интеграл J /(а, г)dx, в силу
о
примера 25, сходится равномерно по о 0, то функция I непрерывна по переменной а О и поэтому /(+0, /3) = £>(/?).
Пусть а > 0. Тогда функция р : (/?, г) ь-» е~ах cos (Зх, х 0, —оо < ,3 < +оо, непрерывна и интеграл
4-оо
1'р(а, Р) = У е~ах cos Рх dx,	(1)
о
в силу мажорантного признака, сходится равномерно относительно параметра Р, поскольку |<=-nx cos/Зт| е~ах. Следовательно, дифференцирование по /3 возможно, и после выполнения интегрирования в (1) получаем 1р(а, /3) = д2°з2, а > 0. Отсюда находим 1(а, /?) — arctg £ + С(о). Так как 1(а, 0) = 0, то С(а) = 0 и 1(а, р) — arctg £.
Таким образом, окончательно имеем
3 7Г
D(P) = I(+0, Р) = lim arctg - = - sgn 3. ► a—*-f-0	Л' 2
Используя интеграл Дирихле и формул}’ Фруллани, вычислить интегралы: + оо
76, 7(а. /3) = у е ” -~2C0S dx, <О0, р е R.
О
Ч При а е > О, \Р\ е > 0 и 0 х < +оо функции
( -^(е ах — cospx), х / О, f-.(a,P,x^\ х\
[ ^Р2-а,	т = 0,
/а : (а, р, т) н. -е~ах , f'p : (а, р, х) \
I Р >	- V
4-оо
непрерывны. Данный интеграл, а также интегралы ЛДа', /?) = f fa(a> x)dx, Ipfjx, /?) = о
+ оо
f fp(a, Р, т) dx сходятся равномерно (первый— в силу признака Вейерштрасса, второй — в о
силу примера 26). Следовательно, функции I, 1'а, 1'р непрерывны и существует дифференциал
(4-00	\	/ 4-00	\
— У &~ах dx j da + I У S*n dx j dp = da + sgn P dp о	/	\ о	/
(см. интегралы Дирихле и Эйлера—Пуассона), откуда интегрированием находим
/(а,/3)=Л|/3|-^+с.	(1)
В силу произвольности е > 0, этот результат справедлив при а > 0, |/?| > 0. Покажем, что он справедлив также и при а 0, —оо < Р < +оо.
Разбив исходный интеграл на два интеграла
видим, что первый интеграл — непрерывная функция а и Р при любых а и Р- Второй интеграл равномерно сходится при а 0 и любом Р, так как |/(а, Р, т)|	 Кроме
§ 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла	45
того, функция f непрерывна, поэтому и второй интеграл — также непрерывная функция при а О, /3 — любое.
Используя непрерывность функции I, находим постоянную С из соотношения /(0, 0) = lim - -х/тга + С) = 0.
о—+о 2
Таким образом, из (1) окончательно имеем 1(а, /3) =	— у/тса, а0, /3 € R. ►
4- оо
77.	/s^os^ ai/?eR. О
◄ Представляя данный интеграл в виде
4-оо	-f-oo	4-оо
/sin ах cos j3x	_1 fsva\a + /3)z	1 f sin(a —/3)z
X	2 J x	2 J x
0	0	0
и пользуясь интегралом Дирихле (см. пример 75), получаем
4-00
/sin ах cos Зх , тг /	,
----г----dx = 4 'sgn (° + Р) + s6n (а -/?))• ►
О
4-оо
78.	J S[nax^^dx, а,/ЗеК а*±/3. О
◄ Пользуясь формулой Фруллани (см. пример 61), находим
4-оо	4" оо
f sin az sin /Зх 1 [ 1/	. д. .	. х ,	1
/ ----------------ах = — / — I cos а — р\х — cos а'4- р г) dx = — in
J х	2 J х х	7	2
о	о
а + /3
а- /3
а / ±/3. ►
4- оо
79.	J^^dx, а€Й. О
◄ Используя тождество sin3 аг = | sin az — |sin 3az, а также интеграл Дирихле (см. пример 75), имеем
/sin3 ах —-------ах =
х
о
4-оо	4-°°
3 [ sin ах , if sin Зат ,	3 тг	тг „ тг
l] ~T~dX~l J -^^=Tsgna--sgn3a=-sgna.> О	о
4- оо
80. 1(а,/3)= У sin4a;r.Tsin4^ dx. О
Преобразовывая разность sin4 az — sin4 /Зх к виду
sin4 az — sin4 /Зх = 1 ((1 — cos 2az)2 — (1 — cos 2/?z)2) = 1 (/(|/3|z) — /(|a|z)),
f(x) = 2 cos 2x — 1 cos 4z,
запишем
+ oo
I(a,/3)=1- J
0
46	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Теперь применим формулу Фруллани (см. пример 61). Поскольку функция f непрерывна + оо
и интеграл f dx, по признаку Дирихле, сходится УЛ >0, то по указанной формуле л
1(а, ft) = |1п | j|, если aft ф 0. Если а — 0, /3 / 0 или ft = 0, а ф 0, то данный интеграл расходится. Наконец, если а = ft = 0, то интеграл существует и равен нулю. Поэтому окончательно имеем
81.
dx.
| 3 1 I а /(а, £) = •{ « р
I О,
если aft ф О, если а = ft = 0. ►
После замены переменной х по формуле х — y/t, t > О, получаем интеграл Дирихле (см. пример 75):
7Г
2 f	dX
82.	Найти разрывный множитель Дирихле D(x) = — / sin A cos Ат— Ут GR-тг J	А
о
Ч Полагая в примере 77 х = А, а = 1, ft = х получаем
1 (
D(x) = Usgn(l+«)+ sgn(l-x)), D(x) = < i,
I o,
83.	Вычислить интеграл I = v. p. I Sln^ dx.
◄ Положим t = х + b. Тогда
I = V. р.
sin at .	,	/ cosat .	...
—-—cos(ao)at — v. p. / —-—sinaoat = 2cos
если
если
если
X — ±1,
[ sin at
I —-—dt = ir cos(ao) sgn a,
о
так как 4- oo	—«	A
v.p. / ^dt = Um [C-2^1dt+ Jim f^dt = O J t	e-+o J t	.-+o J t
-oo	A^ + °°-A	A—»4*oo ,
в силу нечетности подынтегральной функции, а 4-оо	—е	А	4'0°
/sin at	f sin at , v f sin at _ f sin at
----dt = lim I ------dt + lim / 	dt = 2 / -dt t <_+o J. t '~+0 J t---------------------------------J t
-oo	А-.+оо_л	A-.+ 00 ,	0
в силу четности подынтегральной функции. ►
§ 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла
47
84.	Пользуясь формулой ----z* = / е + >dy, вычислить интеграл Лапласа L(a) =
1 +1 J
о
У cos ах .
о
◄ Согласно условию имеем
1(a) =
е у(-1+х ) cos ar dy.
о о
Введя множитель е кх , к > 0, рассмотрим интеграл
(1)
Функция f : (г, у) н-* е у <*+^)х2 cosax непрерывна в области 0 х < +оо, 0 у < +оо; интегралы -f-oo	-f-oo
У e~v~(k+9'lx cosaxdy и J e~v-(.k+v)x cosaxcix о	0
сходятся равномерно в силу мажорантного признака Вейерштрасса (действительно, имеют место неравенства |е~у~(к+у>>х cosaz|	е~у,	cos ат, е~кх , а интегралы
+ оо	+ оо	2
f e~vdy, J е~кх dx сходятся); интеграл (1), как следует из оценки о	о
-f-oo	-f-oo	4-оо	4- оо
Г* J	< У .-М, У
0	0	0	0
сходится. Следовательно, по теореме 2, п.3.2, можно в (1) изменить порядок интегрирования. Тогда получим
+ оо	4-оо
Г („,<)=у.-ч, у .-<*«) о	о
Используя решение примера 73, находим
+ °°	( а2 \	+°°	2
= У	)dy = ^ek j dt, 7(f) =	+ t2.	(2)
0	Л
Поскольку интеграл J е- х dx равномерно сходится при к 0 и подынтегральная о
функция непрерывна, то функция L* непрерывна по переменной к (см. теорему 1, п.2.5). Поэтому
+ оо	+оо / а2	\
L(a) = lim L*(k, а) = [ cos ат	f	^4t2	J
4 ’ к—+ о '	J 1-t-T2	J
о	о
48	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Последний интеграл был вычислен в примере 72. Таким образом, окончательно имеем L(a) = a eR. ►
Вычислить следующие интегралы:
+ оо
««• 7
о
1	+°° sin2 х
Ч Используя тождество sin2 х — -(1— cos 2г) и интеграл Лапласа, получаем J dx =
4-оо / cos ах . 86. /
J (1 + *2)2 о
Ч Вводя функцию f по формуле
+ °«
Г cosax	1
1	+ °° costa
замечаем (после замены x = yt), что /(у) — -Z(|a|j/), а также fy(l) = —2 f	dx, L —
о
интеграл Лапласа. Следовательно (см. пример 84), имеем
+ °о
/ «тт?) =- Р'*1 >=4	-1(1+-
cos ах dx ах2 + 2Ъх + с’
а > 0, ас — Ъ2 > 0.
◄ Выделяя полный квадрат в знаменателе и производя замену по формуле у/ах +	= t,
имеем
at аЬ
COS ~~^= COS —
...£1 2 ° dt+
t2 + у2
• at • ab
Sin —7= Sin —
ь2
где у2 = с -
Замечая, что в сил}' нечетности подынтегральной функции второй интеграл равен нулю, а первый легко вычисляется через интеграл Лапласа, получаем
Г/ ч 2 аЬ ( |а| Д ttcos^ .4^
Ыл/а а	J у/ас — Ъ2
88. С помощью интегралов Френеля
4-сю	4-с>о
О	О
вычислить следующий интеграл: 4- оо sin(az2 + 2bx + с) dx, а / 0.
— ОО
§ 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла	49
◄ Приводя квадратный трехчлен к каноническому вид}' и производя затем замену переменной по формуле у/ах 4-	= t, а > 0, имеем
-f-oo	+00	4-00
I = У sin (ar2 + 2bx + с) dx = j sin t2 dt + J cos t2 dt — yj?- sin	,
— 00	—00	—00
b2
где у = с — —. При а < 0 следует положить а = — ау, dj > 0, и провести аналогичные выкладки. В общем случае получаем
г / т . / тг	ас — Ь2\
1 = д / |—г sin - sgn а -|---, а / 0. ►
V 1а1 \4	° /
89. Доказать формулы:
4-00
. [ cos ах т . .. | .
О
4-оо
2) [ аХ dx — - cos(aa)sgn а, I d X
о
где а / 0 и интегралы понимаются в смысле главного значения Коши.
◄ 1) Легко видеть, что
4-оо	4-оо	4-оо
/cos ах ,	1 f cos ах , if cos ах ,
------7 dx = 7“ /  ;-----dx + Г" / -------dx-а2 — z2	4ct J a + x 4a J a — x
0	—00	—00
Вычисляя эти интегралы способом, изложенным в примере 83, получаем формулу 1).
г>\ тт	* i	_	х sin ах 1 sin ах 1 sin ах
2) Представляя значение подынтегральной функции в виде -д2_д2  = — - _а+х — 2 а+х и используя указанный пример, получаем формулу 2). ►
90. Найти преобразование Лапласа
4- оо К(р)= у e-ptf(t)dt, р>0, о
ч	— t
для функции /, если: a) f(t) = tn, п £ N; б) f(t) = y/t; в) /(/) = -; г) /(/) = sin(ay/t).
◄ а) Функция : (р, t) ь-» e~pttn непрерывна при р > О, 0 t < +оо и при любом п > 0. Данный интеграл равномерно сходится при р е > 0 и при любой интегрируемой функции, для которой справедлива оценка |/(t)|e-£t const. В нашем случае tne~et	е~п.
Следовательно, дифференцирование под знаком интеграла по параметру р, р > 0, возможно.
Пусть f(t) = 1. Тогда F(p) = и
4- оо £-F(p) = (-ir J e-ptt”dt,
О
откуда f e~pttn dt =	.
о	р
50
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
б)	Выполняя замену — х, находим .• , -f-oo	-f-oo
F{p) = j e~pt\/t dt = 2 У e~px x2 dx, о	о
откуда интегрированием по частям получаем
F(p)=--e~px2 Р
+ ОО
+ -
+ оо
У е~рх2 dx о
1 /7
2р\ р'
в)	В этом случае воспользуемся формулой Фруллани. Имеем
e-pt _ e-(p+i)t	/	i
----------------dt = In 1 + -
• t	\	p
о
г)	После замены л/t = z приходим сначала к интегралу
4*оо
jF'(p) = 2 У ze~pz sin az dz, о
а после интегрирования по частям — к интегралу
4-00
F(p) = — у e~pz cos az dz, о
который вычислен в примере 73. Окончательно имеем
у—	а2
Ftp) = ^2.е_47. ►
2pV?
91.	Доказать формулу (интеграл Липшица)
+ оо
/ e~atI0(bt)dt =	1	, а > О,
J	у/а? + Ъ2
о
где 10 — функция Бесселя нулевого индекса (см. пример 12).
Ч Функция -ф : (t, <р) и-* cos(6tsin р) непрерывна при 0 t < -f-oo, 0 <р т. Ии-+оо
теграл J e-at dt сходится, поэтому данный интеграл сходится равномерно по параметру, о
Следовательно, по теореме 1, п.3.2, справедливо равенство
4*00	7Г	7Г	-f*00
— J e~at dt J cos(bt sin p) dtp = i J dp J e~at cos(btsin <^) dt, 0	0	0	0’
откуда
4-00	7Г
[ e~atI0(bt)dt = — [ -------j = / ?............7- ►
J v ' 7Г J a2 b2 sin2 p y/a2 + b2 о	0
51
$ 4. Эйлеровы интегралы
92.	Найти преобразование Вейерштрасса
+ оо
У	(у) dy,
— СО
если f(y) = cos а у.
•4 Полагая х — у = t, получаем
cosax f _f2	sin ал; [ _t2 .
Jr (x) = J e	cos at dt H—J e sin at dt.
— oo	—oo
В силу нечетности подынтегральной функции, второй интеграл равен нулю, а первый вычислен в примере 73. Таким образом, имеем
F(x) = е 4 cos ах. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Применяя метод дифференцирования и интегрирования по параметру под знаком интеграла, вычислить интегралы:
+ оо _	+©О	4-00
31. 7(о) = f dx, а > 0. 32. J ^dx. 33. f О	0	0
34. Г sin I-х cos д 35 г S^dx. 36. Г	37. Г ‘	dx.
J х4	J ch х	J xJ + a2 х	J	x
О	—oo	О	0
2	1	+oo
38. J sina x • ln(sin x) dx. 39. J (in j)°In (in dx. 40. J e-^1 sin26x^.
oo	о
Вычислить:
2	+ oo	2тг
41. v. p. f	—,	0 < a < b. 42. v. p. f , d*3 .	43. v. p. f	,	a > 1.
r J	a—ocosx’	r J 1— x3	r J	I-acosi’
0	0	0
(b	\
v. p. $ I , a < 5; функция ip удовлетворяет условию Гельдера: Ba, L x	/
a	/
такие, что Vxi, X2 G]a, выполняется неравенство ^(ti) — уз(тг)| < I<|ti — Z2|a, 0 < a 1.
Найти преобразование Лапласа для функций:
45. f : х t-> —7=—, x > 0. 46. f : x i-> —==—, x > 0.
J	у/TJX ’	J	y/KX 1
§4. Эйлеровы интегралы
4.1. Гамма-функция.
Определение. Функция
+ °О
Г : р У тр_1е-1 dx, 0 < р < +оо, о
называется гамма-функцией, а ее значение—эйлеровым интегралом.
52	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Функция Г непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка при р > 0 и для них справедлива формула
хр 1(lns)fce х dx, k € N.
о
4.2. Основные формулы.
Если р > 0. то
Г(р +1) =рГ(р) (формула понижения). Если п € N, то
Г(п) = (п — 1)!,
(1)
(2)
а также
\п — 1)!!
2П
(3)
Если 0 < р < 1, то
Г(р)Г(1-р) = ^— sin ~р
(4)
(формула дополнения).
4.3. Бета-функция.
Определение. Функция
4 1 dx.
в : (р, д) н- j о
называется бета-функцией, а ее значение—эйлеровым интегралом.
Бета-функция непрерывна в области определения и обладает частными производными любого порядка, которые можно найти путем дифференцирования по переменным р, q под знаком интеграла. Полезно представление
В(р, q) = [ -г.	dz.
у ’ J (1 + z)p+? о
Связь между В- и Г-функциями выражается формулой
В(р. ?) = Wil Г(р + q)
С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегралы:
93.
а2 — х2 dx,
О)
(2)
о
◄ Полагая х = ay/t, t > 0, и пользуясь формулами (2), (3), п.4.2, и формулой (2), п.4.3, получаем
о
_________ 4
а2 — х2 dx — —
Л а4
-t)s <Й= —В
1	2
о
94.
dx.
з \	4
2) тса
Г ~ 1б“
о
53
§ 4. Эйлеровы интегралы
◄ Используя представление (1) и формулу (2), п.4.3, имеем
7°°	: „/з 5ч rQ)rQ)
J (1+х)2	\4’ 4?	Г(2)
о
Далее, применяя формулы понижения (1) и дополнения (4), п.4.2, находим
+ оо
95. У х2п е~х dx, п g N. о
•4 Полагая х = y/t, t > 0, получаем
4-со	4-оо
f 2п -Х* ,	1	1Г/	1\	(2п — 1)!!
Jx е dx=-	t 2е dt = -Г (n+ -J = 2п+/ убт. ►
о	о
Выразить через эйлеровы интегралы:
+ оо
/	т-1
------dx, тг > 0.
1 +тп
о
2_
◄ Замена х = i n, t > 0, приводит к интегралу
4-°° т
п J 1 + t п \п п о
п \ п /	\ п / п sin —
п
Этот результат справедлив при 0 < т < п. ► 4-оо
97.	[ , хт^~-, а>Ъ,Ь>й,п>й. J (а + Ьхп)Р
О
◄ Полагая х = (-/) п , t > 0, получаем
f xmdx
J (а + bxn)p о
+.°° mll-J	m±l
\b) n ft” ..	(a\ r. 1 (m + 1 m + l\
nap J (1 + t)p \bj nap \ n	nJ
о
Следовательно, данный интеграл сходится при условии 0 <	< р. ►
98.	/ J	< .т, 0<а<6,с>0.
J (х + c)m+n+2	’
а
◄ Выполняя замену	получаем
(6 -	Г _	(6-аГ+^В(т + 1, п + 1)
(Ь+с)т+1(а + с)п+1 J I1 Ч аТ	(6 + c)m + l (а + с)п+1
О
Отсюда следует, что данный интеграл сходится, если т > — 1, п > — 1. ►
54
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
2
99.	Imn - I sinm x cos” x dx.
о
◄ Положим sin х = y/t, t
> 0. Тогда
тп —
-tr?dt=i-B(^±l
2
о
Очевидно, интеграл сходится, если т > —1, п > —1. ►
юо. [ . sin"~\ dx, о < |*| < 1.
J (l + *cosz)n	1 1
о
◄ Вводя новую переменную по формуле t = tg |, имеем
_ j sin”-1 x , 2T 1=1	;-----— dx = -----
J (1 + к cos x)n (1 + 0
Полагая далее at = y[z, получаем
T 2
f t"-1 di
J (l+a2/2)"’ о
1 -*
1 +*
В (1 - k2)2
101.
р
dx.
о
◄ Применяя подстановку in i — t, получаем
1	4-оо
У ^1п —) dx = У Zpe-t dt = Г(р + 1), р > —1. ► о	о
+ оо
102. 7(р) = у хре~ах In х dx, а > 0. о
◄ После замены х = получаем
+ оо	-f-oo
1(р) = —[ tp in tdt —тт [ tpe~t dt.
v ДР+1 J	ДР+1 J
о	о
Легко видеть, что первый интеграл есть значение производной от гамма-функции аргумента р + 1, р + 1 >0, а второй равен _Г(р + 1). Следовательно,
7(р) = Лр±1)_	+1) =	►
w ОР+1	ОР+1	7 dp\ а₽+1 J
4-оо
103. 7(р)= [	dx.
J 1 + ж
0
§ 4. Эйлеровы интегралы	55
◄ Очевидно, функция I является производной от бета-функции (см. п.4.3). Поэтому
f dx =	1 - р) = А(г(р)г(1 _ р)) = А ( _
J 1Ч- х dp V 7 dp ' V 7 v 77 dp ysinpTr о
2
7Г COSpTT sin2 pit ’
0 < p < 1. ►
+ oo
104. 1= [ ^Ldx.
J 1 + s3 0
◄ Полагая x = /з и используя результат предыдущего примера, получаем
1 / ^—1П<Л =
9 J 1+« о
1 тг2 cos	_ 2тг2
9 ’ sin2	" '27Г'
+ °°
105. 1= [ ^-^dx.
У 1+т4 о
◄ Применяя подстановку х
1_
= fi , i > 0, приходим к интегралу
I =
+ оо	3
1	[ t 4 In2 i
--- I -------------dt. 64 J 1 + i
о
являющемуся второй производной от бета-функции
+ оо
1	[	t?-1 dt
64 J (l+t)p+(i-P) ’
О
вычисленной в точке р = |. Следовательно,
1 Л2
/=-^(5^, 1-р)) 64 dp* 4	'
3\/2 з
1	64 *
4
+ °о
Г з-Р-1 - г’-1
106. I(p, д) = / —--------—----dx.
У (1 + ж) In х о
◄ Очевидно, если р = q, то интеграл равен нулю. Используя признак сравнения, нетрудно установить, что данный интеграл сходится, если 0 < р < 1, 0 < g < 1.
Далее, замечая, что
1(Р, 9) = / В(р, l-p)dp- / B(q, 1 - q)dq + С,
где С — постоянная, имеем
7(р, д) = тг [	-----тг [	----1- С = -к In
J sin тгр J sin тгд
Полагая здесь р = д, находим, что С — 0. Таким образом, имеем
7(р, д) = irln
tg2?
tg2?
+ С.
О < р < 1,	0 < д < 1. ►
56	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
1 /тР-1 _ т~Р
—л----— dx, 0<р<1.
1 - X
о
◄ Рассмотрим интеграл
1
F(e) = J(zp~1 — т-р)(1 — z)~1 + e dx, е 0.	(1)
о
Поскольку функция f : (т, е) ь->	при 0 < z < 1 и е^О непрерывна, а интеграл (1)
сходится равномерно при е 0, в силу признака Вейерштрасса
1Ж е)|
то функция F непрерывна и возможен предельный переход под знаком интеграла (1) при г —♦ +0. Имеем
1 /тР-1 _ Т-Р
—^——dx.	(2)
О
Принимая во внимание, что F(e) = В(р, е) — В(1 — р, г), из (2) находим
/ = lim (В(р. е) - В(1 - р, е)) = lim Г(е) (----------ДЛ .
£-+ov 4	7	7	” е-+о к'уГ(р + е) Г(1-р + е)/
Отсюда, используя формулу Г'(е) = и применяя правило Лопиталя, получаем
1=(£г(Г^р)£) -	= (ln^a -р)г(р)))^=-ctg.p. ►
+ оо
108.	[ S^dx, 0<а</3.
J snpx о
◄ Полагая е-2^1 = t, получаем
4-оо	1
[ shax ,	1 Пр-1
/ ——— dx = — / ---------dt,
J sh/?z 2/3 J 1-t о	0
где p =	 Поскольку 0 < p < то можно воспользоваться результатом предыдущего
примера. Имеем
+ оо
/sh ах , 7г тга ^^=2^tg2^-k
О
1
109.	/ = У ln.T(z)sin vxdx. о
◄ Производя замену х = 1 — t, получаем интеграл
О	о
§ 4. Эйлеровы интегралы	57
откуда с помощью формулы дополнения (см. п.4.2) находим ’ 1 1
I = i / (In тг — In sin тгт) sin тгх dx = — In тг — I / In sin тгх sin тгт dx -
2 J	~	2 J
о	0
— — In 1Г	— -5- (cos ТГХ + (1	— cos тгт) In sin	n — ln( 1	+ COS 7Tz)) I	— — fl	+ In —.	►
тг	2тг	'	v	|+0 7Г \	2 )
110.	Доказать равенство
+ OO	J
J"J [ xm~1e~x dx =	(2тг) 2 , n € N.
m = l JQ
1_
◄ Полагая i = t n , t > 0, получаем
4-oo
( x™-4-*ndx = ±r(™Y J	n \n /
0
откуда
4-oo
=	0)
m=l q	m=l
При n = 1 равенство (1), очевидно, справедливо. Поэтому далее считаем, что п 2. Записывая произведение (1) в прямом и обратном порядках, замечаем, что
Отсюда, используя формулу дополнения, находим
7ГП-1
тг — 1 П. irk
sin V
(2)
Для вычисления произведения синусов разложим двучлен zn — 1 на множители. Имеем zn — 1 = (z — zo)(z — zi) ... (z — zn-i), Zk — нули этого двучлена, т. е. (/Г = ехр ___________________ п	тг—1
г2 = — 1, к = 0, п — 1. Следовательно, 2 Д — II (z — откУДа
Z к=1
Поскольку
= 2sin то из (3) получаем формулу
n ik —
1 — е п
(3)
П51п? = А’ «€N\{1J.	(4)
к=1
Наконец, подставляя (4) в (2), а затем (2) в (1), получаем доказываемое тождество. ►
58	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
+ оо	+<х>
-| -| -| Тт	1	f 1Тп—1 —‘Xt j»	Л u	t COS dX j
111.	Используя равенство —— Г(т) J * e «Ь я > 0, наити интеграл J —dx, о	0
0 < m < 1, a 0. ◄ Имеем
4-ос	4-co	-A	4-co
7 = _/ • , f cosaxdx I tm~1e~xtdt =	. lim [ cosaxdx I tm~1e~xtdt. (1)
Г(т) J	J	F(m) a_+oo J	J
0	0	<S—+0 f	0
Функция f : (x, t) t— tm 1e cosax непрерывна при 0 < t < +oo, 6 x А. Несобственный интеграл
+ oo
/— xt,m-1	j.
e i cos ax at,
о
в силу мажорантного признака Z)|	Zm-1e_<1), сходится равномерно относительно
x € [6, Л]. Тогда, по теореме 1, п.3.2, в (1) можно выполнить перестановку интегралов:
Г(тп) Л—4-оо +о
+ °о
/Zm-:l(asin аА — t cos a A) -tA j 6 +
о
+ cos аб
(2)
Первый интеграл в (2), как следует из оценки
4-оо
J «2+*2
стремится к нулю при А —* Ч-оо. Второй интеграл, в силу равномерной (по признаку Вейерштрасса) сходимости его относительно 8 (0	6	6о) и непрерывности подынтегральной
функции в области 0 < t < +оо, 0	6	6о, согласно теореме 1, п.4.2, при 6 —* +0 стремится
к интегралу
Г t™ dt lai”1-1 /т + 1	m4-l\_	”
J a2+ t2 ~ ~	\ Т~’ 1	2~) ~ 2|a|1-m cos
о
По той же причине третий интеграл (вместе с sin аб) стремится к нулю при 6 —> +0. ff la|m” *
Таким образом, окончательно получаем I = ——L-1-----wnr, a 0. ►
2F(m) cos
112.	Доказать формулы Эйлера:
4-оо
а)	j t1"1 e-Atcos a cos(Atsin a) dt = cosoi; о + oo
6)	[ tx~1e~Xtcoa a sin (At sin a) dt = sin ax, A > 0, x > 0, —	< a <
/	лх	2	2»
0
§ 4. Эйлеровы интегралы '	59
•4 Нетрудно видеть, что подынтегральные функции в а) и б) и их производные по а непрерывны при 0 < t < +оо и |а| < £. Кроме того, данные интегралы (обозначим их через F(a) и Ф(а) соответственно) при |а| < сходятся по признаку сравнения. Интегралы
+ оо
F'(a) = — A j txe-Atcos а sin (Atsin a — a) dt,	(1)
о
+ oo
ф’(а) — А У txe~Xtzo>a cos(At sin a — a) dt,	(2)
о
по признаку Вейерштрасса, сходятся равномерно на каждом отрезке |а|	— е, 0 < е < j.
Действительно, функция t н-» txe~*ts,n ‘ является мажорирующей для подынтегральных функ-+ °о
ций в (1) и (2), а интеграл J txe~xtsm * dt сходится по признаку сравнения. Следовательно, о
дифференцирование в (1), (2) возможно при |а| < у.
Выполняя в (1) и (2) интегрирование по частям (приняв tx — м, e_A,cosa sin (Atsin а — a)dt = dv, tx = м, e-Atcosa cos(AZsin a — a)dt = dv соответственно), получаем систем}' дифференциальных уравнений
F’(a') = —хФ(а), Ф'(1х) = xF(a).
Решая эту систему, находим
F(a) = Л sin ах + В cos ах, Ф(а) = — A cos ат + В sin ах,	(3)
где А, В — постоянные; |а| < Замечая что
+ ОО
F(0) = У tI-1e~Xtdt= Ф(0) = О, О
из (3) определяем эти постоянные: А = О, В =	.
Подставляя найденные значения постоянных в (3), получаем
. Г(х)	. .. Г(х) .
F(a) = - > - cos ах, Ф(а) = sin ах. ►
А’*’
Упражнения для самостоятельной работы
С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегралы:
1	1	2	1	+оо 5_
47.	J х3(1 -	т3)з	dx. 48.	f tg з х dx.	49.	f ^-у,)8 dx.
о	о	0 '
1	,	1	,	+OO
50.	f «О--»),. dx . 51. fx3(lni) dx. 52. Г s±¥dx.
J (1—3®+3®2)3	J	X xJ	J ch px
0	0	0
53.	Используя формулу понижения, построить продолжение функции Г для отрицательных значений аргумента.
54-	Построить эскиз графика функции В.
60	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
§ 5.	Интегральная формула Фурье
5.1.	Представление функции интегралом Фурье.
Теорема. Если функция f :] —оо; оо[—> R является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке числовой прямой и абсолютно интегрируема на ] —оо, +оо[, то справедлива формула
I 4-оо
lim - [ dX [ /(£) cos А(£ — z) = i (/(z + 0) +/(z — 0)),	(1)
+ °° ~ J J	i
0	—oo
или
4-oo
/(^ + 0) + 7(ж-0) _ j~ cos Д-р £(Д) sjn д^) dX
0 где
4-oo	4- co
а(Д) = i У /(£)cosAfdf, 6(A) = i j /(£) sin A£ z € R.
— OO	—oo
Если f — непрерывная функция, то j(/(z + 0) + f(x — 0)) = f(x) и интегральная формула (1) принимает вид
4-оо 4-оо
У(х) = У dX У y(£)cosA(£ - z) d£, х € R.	(2)
О —оо
Для упрощения записи вид формулы (2) сохраняют и в том случае, когда функция f разрывна. Интеграл в (2) называют интегралом Фурье функции f.
Часто формулу (2) используют в комплексной форме:
4-оо	4- оо
/(*) = У dX У fWe'x<-x-V d£, г2 = -1.	(3)
Интеграл в (3) называют комплексным интегралом Фурье функции f.
5.2.	Преобразования Фурье.
Теорема. Если функция f :]0, +оо[-^ R является кусочно-гладкой на каждом отрезке полупрямой х > 0 и абсолютно интегрируема на ]0, +оо[, то
— +оо	— +оо
Л(^) = у“У' /(я) sin Ax dx, у(х) = у У /s(A)sin XxdX,	(1)
о	о
-- + оо	— +оо
7с(А) = у У f(x)cosXxdx, f (ж) = у J /с(А)cos XxdX.	(2)
о	о
Равенства (1) называют синус-преобразованием Фурье функции f, а равенства (2) — косинус-преобразованием; причем, первые формулы в (1) и (2) называют прямым преобразованием, а вторые — обратным.
Из формулы (3), п.5.1, следует прямое комплексное преобразование Фурье:
+ °о
ДА) = 4= / f(s)e~iX‘ds	(3)
61
§ 5. Интегральная формула Фурье
и обратное комплексное преобразование Фурье:
4-оо
ni) = 7s J
— ОО
(4)
Представить интегралом Фурье следующие функции:
ИЗ. f-.x^l i’ если
(О, если |z| > 1.
Данная функция удовлетворяет условиям теоремы п.5.1 и, следовательно, ее можно представить интегралом Фурье. Легко видеть, что 6(A) = 0 (в силу четности функции /), а
а(А) =
о
. ,	2 /	2 sin A
cos Az az — — I cosXxdx =----------—.
7Г J	7Г A
0
Таким образом,
cos Az dX,	|z|	1,
о
что и требовалось.
Следует заметить, что в точках х — ±1 разрыва функции f интеграл Фурье, согласно теории, равен Действительно, поскольку
о
sin A cos Ax	1 /
---A---iX=’\J
\ о
dX +
dX
о
то, применяя формулу Дирихле (см, пример 75), имеем
/sin А . ..	1/	\	/ w
-у- cos Хх dX = -(sgn(l + z) + sgn(l - z)), 0
откуда и следует указанный результат. ►
114. f : z sgn(z — a) — sgn(z — /?), в > a. ◄ Замечая, что
{О, если х < а,
1, если х = а,
2, если а < х < jd,
1, если z = jd, О, если х > /?,
имеем
cos Az dx
ь
2
cos Az dX = —-(sin A/? — sin Aa), тгА
a
sin Ax dx —
ь
2 f	2
— I sin Ax dx — —r-(cos Xa — cos A£).
7Г J	ТГА
62
Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Следовательно, представление интегралом Фурье имеет вид
/(х) =
о
sin АД — sin Ла) cos Ах + (cos Аа — cos
АД) sin Ах) dX =
+ оо
2 f sin А(Д — х) + sin А(х — а)
я- J	А
о
dX.
В данном примере значение функции f совпадает с ее интегралом Фурье во всех точках числовой прямой. ►
115.	/zx^-yA-j.
а2 + х2
< Функция / при а / 0 дифференцируема и абсолютно интегрируема на интервале ] — ос, +ос[. Следовательно, она представима интегралом Фурье. Имеем 6(A) = 0 (в силу четности функции /),
+ ОО	+©о
...	2 [ cosAxdx, . , .	2 f cos(Alalt)dt
а(А) = 7 J	=|а|/) = 7R J l + t* “
О	о
|а|
(см. пример 84). Запишем теперь интегральную формулу Фурье данной функции:
е Al“'cosAxdA, если а ф 0. ►
116.	/;х^-уА_у, а2 + х2
•< Функция f дифференцируема и не является абсолютно интегрируемой на интервале ] — ос, +ос[, однако она интегрируема на нем в смысле главного значения Коши и может быть представлена интегралом Фурье.
+«
Легко видеть, что а(А) = 0, 6(A) = - $
о
Этот интеграл равномерно сходится по параметру А Ао > 0 в силу примера 26 (здесь
х sin Хх > Га.-а
т~). Следовательно, его до1
f sin Xt dt
. о
можно найти как производную (с точностью до знака) от функции, рассмотренной в предыдущем примере, т. е.
монотонно стремится к нулю при х —> -|-оо, а
6(A) = -
/COsAxdx I —А|а| а2 + х2 1 ~ е о	' х
Интеграл Фурье функции х
имеет вид
а ф О
о
а ф 0.
е sin Ах dX, а 0. ►
о
117.
/ :хн-
sin х, 0,
если |х| $ -тг, если |х| > тг.
$ 5. Интегральная формула Фурье	63
•< Эта функция непрерывна, кусочно-гладкая и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой. Кроме того, она нечетна;
4-00	7Г
2 У	2 У	f 2 ain А -V. 1
а(А) = О, 6(A) = — / /(х) sin Ах dx — — / sin х sin Ах dx = < * i-a2 >	' ’
х J	х J	( 1,	A = 1.
о	0
+ <x>
Итак, f(x) = ~ f 7° fr sin AxdA. ► о
118.	f : x >-> a > 0.
◄ Рассматриваемая функция непрерывна, дифференцируема всюду, за исключением точки х = 0, и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой. Следовательно, она представима интегралом Фурье.
Поскольку функция f четная, то 6(A) = О,
+оо
а(А) = — [ е~°д cos Az dx =	2<*	.
х J	х(а2 + А2)
о
Таким образом, искомое представление дайной функции интегралом Фурье имеет вид
+ 00
-оЫ 2а У cosAx
е “1’1 = —	dX> а > °- ►
х J а2 + А2
о
119.	/ : х н-> е “'’I sin /Эх, а > 0.
◄ Нетрудно проверить, что эта функция дифференцируема всюду и абсолютно ннтегриру-+ 0О
ема на j—оо, +ос[ (|e-Qlx'sin/Зх|	J е-“^ сходится). Поэтому ее можно представить
— ОФ
интегралом Фурье.
Учитывая нечетность функции, имеем
4-фо
а(А) = О, 6(A) = — j е~ах sin fix sin Хх dx.
о
Переходя под интегралом от произведения синусов к разности косинусов, получаем
4-оо	4-оо
6(A) — — е~ах cos(/f — А)х dx — — j е~ах cos(/f + А)х dx =
о	о
а	а	_	4а/ЗА
“ х(а2 + (/? - А)2) " х(а2 + (/?+А)2) ” х(а2 + (/? - А)2)(а2 + (,!? + А)2) ‘
Следовательно,
+ оо
-а|х| . а ioi/З У	Asin Ах dX
е sm/?x- х у (а2 + (д_А)2)(а2 + (у? + А)2)>	«>
о
120.	f:x^e-^.
64	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
•< Замечая, что все условия теоремы о представимости функции интегралом Фурье зде< i. выполняются, имеем
4-00
2 f _i	1
а(А) = — / е 1 cos Xxdx =	< (см. пример 73),
я- J	л/я-
о
2 Ь(А) = 0 (в силу четности функции х >—г е х ).
Таким образом, представление интегралом Фурье имеет вид + °°	,
е х = —7= / е 4 cosAzrfA. ► V* J о
121.	Функцию / :г н»е х, 0 < г < +ос, представить интегралом Фурье, продолжая ее: а) четным образом; б) нечетным образом.
< В случае а) в выражении для функции / вместо х подставим |т|; в случае б) будем рассматривать функцию f — /(js|)sgnz. Очевидно, при х > 0 функции Ф : х >—* и F : х I-+ sgn х совпадают с данной функцией, а при х < 0 первая из них является четным продолжением, вторая же — нечетным продолжением функции /, т. е. Ф(—г) = Ф(а:), _F(—х) = —F(x).
Поскольку функции Ф и F удовлетворяют условиям представимости их интегралом Фурье, то по соответствующим формулам находим
_	2
е х cos Хх dx =	,	(А) = О,
я’(А“ + 1)
о
+ оо
МА) = О, 6f(A) = | У е~* sin Xxdx = у о
Таким образом, в первом случае
+ ОО .	2 Г cos Аг
ф(г) =; У ртт "
О
а во втором
4-со 9 Л*) = J 7Г
О
Найти прямое комплексное преобразование Фурье функции /, если:
122.	а > 0.
◄ Подставляя данную функцию в указанную формулу преобразования (см. (3), п.5.2), получаем
Asin Хх dX ' А2 + 1
4-оо	4-оо	4-о°
/(А) = —= f	dt = —== [ cos tX dt----------------~=z [ sin tX dt =
— OO	—oo	—oo
costXdt = \----- ,
у г a2 + A2
0. ►
0
§ 5. Интегральная формула Фурье
65
123.	f-.x^xe~aM, а>0.
◄ Как и в предыдущем примере, находим
/(>) =
dt =
te cos tX dt
te sin tX dt —
te-at sintA^ = -^(A2°AQ.2)2,
о
Заметим, что последний интеграл можно получить дифференцированием интеграла Фурье из предыдущего примера по параметру А (дифференцирование под знаком интеграла справедливо в силу равномерной сходимости интеграла f te-Q1sin tXdt относительно А). ► о
124.	Найти прямое синус-преобразование Фурье функции
1. О < х 2,
3. 2 < х < 4, О, 4 < х < +оо.
/ : x
◄ Функция / удовлетворяет условиям синус-преобразование Фурье:
теоремы п.5.2, поэтому она допускает прямое
А (А) = у — J /(ж) sin Хх dx = о
sin Хх
4
I sin Хх dx
2
1 — cos 2А + 3(cos 2A — cos
(1 + 2 cos 2A — 3 cos 4A). ►
125. Найти прямое косинус-преобразование Фурье функции
X, е1
◄ Функция / является кусочно-гладкой на любом отрезке полуинтервала х > 0 и абсолютно интегрируемой на ]0, +оо[, поэтому к ней можно применить косинус-преобразование Фурье. По первой формуле (1), п.5.2, имеем
/с(А) = у — J f(x)cosXxdx = о
х cos Хх dx + / е1 х cos Хх dx
_ / 2 (sin А ь cos А — 1 , cos А — A sin А \
~ V т v” + А5 + А2 + 1 ) ' ►
Применяя преобразования Фурье, решить следующие дифференциальные задачи:
1QC J у" + Ш2у = <р(г), 0 < X < +ос,
12о. < я/ / + <’	,,	,	'	ш — const.
( 3/(0) = О, з/(+ос) = у (+оо) = О,
< Применим синус-преобразование Фурье. Для этого умножим обе части уравнения на
; sin Хх и проинтегрируем по х от 0 до +оо:
3/"(x)sin Хх dx + w2ys(A) = v’s(A).
о
(1)
66	Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
К интегралу применим интегрирование по частям и учтем при этом краевые условия:
sin Axdx = 3/'(z)sin Az|+
cos Ar dx =
0
0
3/(т) cos Azl
1о
sin Ar dx
\	о	/
Подставив это значение в (1) и решив полученное уравнение относительно fjs(A), найдем
У^ ) ш2 - А2'
Для восстановления функции у используем обратное синус-преобразование Фурье:
y(x) =
^8(Д) sjn \ТАА ь. _	. fy ЫН /, Ju il/i.
— Az
о
1 чт 1 у" + ш2у =	0 < х < фоо,	,
127. < у,, .	“ Г? ,,	.	’ ш = const.
[ у (0) = 0, у(+оо) = у (+оо) - 0,
Применим косинус-преобразование Фурье. Для этого умножим обе части уравнения на л/2- cos Az и проинтегрируем по х от 0 до фоо:
y"(x)cosAxdx + ш2уc{A) = ¥>c(A).
(1)
0
Учитывая краевые условия, преобразуем интеграл:
cos Ax dx = y' (x) cos Ax |
sin Ax dx =
о	о
А тогда из (1) аналогично проделанному выше получим
У (А\ =	^(Д)
Ус( } и2 - А2 '
Применяя к функции ус обратное преобразование Фурье, приходим к решению данной задачи:
y(x) =
с cos А х dA. ► и2 — А1
о
Упражнения для самостоятельной работы
Найти прямое синус-преобразование Фурье следующих функций: 0 С х 1,	. J COST.
.	,	56. ] : х I-* <
1 < х < +ос.	[ 0,
х, 0, е~
Найти прямое косинус-преобразованйе Фурье следующих функций:
x.
0.
sin 0.
x,
0 < х < 1,
1 < х 2,
55. f : x
57. f : x
58. f : x
0 < х
67
§ 5. Интегральная формула Фурье
__ f / 1,	,	( х, 0 $ х $ 1,
59. f: х >-► <	’	,	60. f : х ь-► <	’	,	,
J I 0,	< х < +оо.	е , 1 < х < +ос.
\ arcsin(sin х), 0 х тг,
10,	тг < х < 4-оо.
62. Найти прямое комплексное преобразование Фурье производных f1, f", если lim /(z) = lim f'(x) = 0.
63. Применяя комплексное преобразование Фурье, решить следующую дифференциальную задачу:
у" + $у' + у = р(я),
3/(±оо) = у'(±ос) = 0.
Глава 2
Кратные и криволинейные интегралы
§ 1.	Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным и их вычисление
(2)
1.1.	Мера m-мерного параллелепипеда.
Если в евклидовом пространстве Rm задана система векторов у]; j = 1, т, и на ней построен m-мерный параллелепипед J, то его мерой (объемом) pj — |У| будем называть число	_
И = x/rCs/i, 1/2, ••• , Ут),	(1)
где
{У1,У1}	<1/1. 1/2>	•••	(1/1. Ут}
Г(1/1, У2 ..... Ут} = {У2_\у-\ {У2\ у± {У2\
{Ут’У1} <Ут,У2> {Ут,Ут}
— определитель Грама от этих векторов. Параллелепипед J = [ai. 6i ] х[а2, b2] х .. . х[ат, 6т] называется т-мерным брусом. Его ребра взаимно перпендикулярны, так как он построен на векторах у} = (6; — ау)е2, j = 1, т, где е} — векторы стандартного базиса пространства Rm, у которых j-я координата равна единице, а все остальные — нули. Для скалярного произведения (yj, ук) имеем
.	. _ ( 0,	если к j,
(1/j.l/fc/—	(bj—aj)2, если к = j,
в силу чего равенство (1) принимает вид тп
<з)
>=1
Кроме бруса J рассматривают также открытый брус J =]cti, i>i[x]a2, 62[х ... x]am, i>m[ и полуоткрытые брусы J = [cti, 6i[x[a2, 62[х ... х [am, bm[, J =]ai, 6i]x]a2, 62]х ... x]am, 6т]. В каждом случае полагают pj — \J\ = |У|.
Если каждое ребро [a,, fey], j = 1, т, бруса J разбить на п1 частей точками х^ = aj < < ... < tj,’? = bj и провести через эти точки гиперплоскости х} = х^\ к — 0. nj, то получим так называемое сеточное разбиение П =	, J 2, .... J п} (п = п1«2 •  • пт) бруса
J на элементарные брусы (ячейки) <7,, i — 1, п. В качестве ячеек можно брать не только замкнутые брусы J,, но и открытые брусы Ji.
Если П — сеточное разбиение бруса J, то
=	(4)
i=l	*=1
§ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 69
Пусть f : J —► R — ограниченная на m-мерном брусе J функция, П = {J р, » = 1, п} — сеточное разбиение бруса J на ячейки, мерами которых являются их евклидовы объемы |У,|. Обозначим
Mi = sup {/(я)}, mi = inf {/(х)}	(5)
xeJi	xGJi
и введем в рассмотрение суммы
п	п
Sn(f) = ^Mi[J,l, 5n(/) = 2Zm.|7,|,	(6)
i=i	i=i
которые называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами функции /, соответствующими сеточному разбиению П бруса J.
Пусть {П} — множество всех возможных сеточных разбиений бруса J на ячейки J Числа
[ f dx — inf{Sn(/)}, J W
dx = sup{Sn(/)} {n}
(')
называются соответственно верхним и нижним интегралами Римана функции / на брусе J.
Определение. Функция f называется интегрируемой по Риману на брусе J. если выполняется равенство
/ dx,
(8)
а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется т-кратным интегралом Римана этой функции на брусе J и обозначается
/(ail, Z2, ..., xm) dxi dx2    dx
(9)
Множество всех функций /, интегрируемых по Риману на брусе J, обозначим
Теорема (критерий интегрируемости). Для того чтобы ограниченная функция f : J —> R была интегрируемой на брусе J необходимо и достаточно, чтобы Ve > О существовало такое сеточное разбиение П этого бруса, что 0	5ц(/) —Sn(/) < е.
Сокращенно критерий интегрируемости функции / записывают следующим образом:
(/€ R(j)) О (Ve > О ЗП : 0 Зц (/)-£„ (/) < е).
1.2. Интеграл Римана как предел интегральных сумм.
Пусть П = {Ji\ i = 1, та) — произвольное сеточное разбиение бруса J. Диаметром d{Ji) ячейки Ji будем называть точную верхнюю грань множества всех расстояний между ее точками. Обозначим </(П) = max d{Ji). Пусть f : J —> R — ограниченная функция.
1^П
Возьмем произвольные точки £, € Ji, « = 1, п, и образуем интегральную сумму
п
М/) = ]Гж)|7,1-j=l
(1)
Полагаем lim Sn{f')'=I, если Ve > 0 36 > 0 такое, что для всякого сеточного разбие-d(II)-+0
ния П бруса J, для которого с((П) < 6, выполняется неравенство
|3п(/) —7|<е.	(2)
70	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Теорема. Если: 1) при е£(П) —>• 0 31imSn(/) = I, то f € R(J) u при этом
J /(я) dx = I.
~3
2) fe R(J), mo 3 dHm ° Sn(/) = J f(x)dx.
~5
Эта теорема устанавливает два эквивалентных определения интеграла Римана на брусе.
1.3. Мера 0 Лебега и мера 0 Жордана.
Определение 1. Множество Е точек евклидова пространства Лт имеет лебегову меру 0, если Ve > 0 существует такое счетное покрытие W = {J j: j € N} этого множества брусами Jj {счетное покрытие W — {Jj : j € N} открытыми брусами меры которых P-Jj = pJj =	• что
ОО
а) 1=1
Определение 2. Множество Е точек евклидова пространства Rm имеет жорданову меру 0, если Ve > 0 существует такое конечное покрытие W = {J}; j = 1, п} (И7 = {J}\ j = 1, n}) этого множества брусами Jj (открытыми брусами Jj), меры которых что п
El7,l<*-	(2)
1=1
Из определения 2 следует, что всякое множество жордановой меры 0 имеет лебегову меру °- _ _ _
Теорема (Лебега). Пусть f : J —> R — ограниченная на брусе J функция и А С J — множество ее точек разрыва. Функция f интегрируема на брусе J тогда и только тогда, когда А — множество лебеговой меры О.
1.4. Интегралы функций, заданных на произвольных множествах точек евклидова пространства Rm.
Определение 1. Пусть Е С Rm и А Э Е. Функция хЕ : А —► R, где
, . _ J 1, если х & Е,
Хе(х) — q, если х£А\Е,
называется характеристической функцией множества Е.
Определение 2. Пусть Е С J С R™, где J — некоторый брус, f : J —► R — ограниченная функция. Полагаем
У f(x)dxd= У f(x)xE(x)dx,	(1)
Е
если fxE € R(J). При этом пишем f € R(E).
Определение 3. Пусть Е С Rm, / : Е —► R — ограниченная функция J Z) Е — произвольный брус. Продолжим функцию f в каждую точку множества J \ Е, образовав при этом функцию F : 3 —»• R, где
р(~\ _ / Яж)> если х € Е, ' '	( 0,	если х € J \ Е.
§ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 71 Если F € R(J), то полагаем
f(x)dxd= J F(x)dx.	(2)
Е	~5
Определение 4. Ограниченное множество Е точек евклидова пространства Rm, граница которого имеет лебегову меру О, называется измеримым по Жордану (или жордано-вым), а интеграл
рЕ = J dx	(3)
Е
называется в этом случае т-мерным объемом множества Е.
Пересечение Ei П Е2 и объединение Ei U Е2 двух жордановых множеств Ei и Е2 есть жорданово множество. Если Ei и Е2 не пересекаются, то
p(Ei U Ег) — pEi + цЕ2.	(4)
Дополнение Е \ G жорданова множества G до жорданова множества Е Э G есть жорданово множество, и
р(Е \ G) = рЕ — pG.	(5)
1.5.	Основные свойства интеграла Римана на компакте.
Пусть К — компакт в евклидовом пространстве Rm, f : К —> R — интегрируемая на этом компакте функция. Тогда:
1)	сужение функции / на компакт АД С К интегрируемо на АД;
2)	если А' = A'; U А'г. где Ki и АД — компакты без общих внутренних точек, то
J' f(x)dx = У f(x)dx + У f(x)dx	(1)
к	кг	к-2
(свойство аддитивности);
3)	если /1 € Л(А'), /2 € Л(А'), а, /3 е R, то (afi + j3f2) Е R(K) и
У(а/1 + £/2)(ж)dx = a J fi(x)dx + /3 J /2(x)dx	(2)
к	к	к
(свойство линейности);
4)	если /i € R(K) и /2 € R(K). то /1/2 € R(K);
5)	если /1 € R(K) Л /2 € R(K) и fi(x) Л(®) V® g К, то
J fi(x)dx^. J f2(x)dx;	(3)
к	к
6)	если f Е R(K), то |/| € R(K), и при этом
j f(x)dx У |/(ж)|£/ж;	(4)
К	к
7)	если f € R(K)> g € -ft(Jf) A g(x) > 0 (g(x)	0) V® € К, m = inf {/(ж)}, M =
x£K
sup {/(я)}, то существует такое p E R, удовлетворяющее неравенствам m p M, что хек.
справедлива формула
f(x)g(x)dx — ft J g(x)dx-t	(5)
к	к
72	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
если, кроме того, f g С(А'), то найдется такая точка £ g К, что
j f(x]g(x)dx = /(С) j g(x)dx	(6)
к	к
(теорема о среднем).
1.6.	Приведение кратного интеграла к повторному.
Следующая теорема позволяет свести вычисление кратного интеграла к повторному интегрированию.	_ ________
Теорема (Фубини). Пусть 3j С R", З2 С R"1 — брусы в евклидовых пространствах и f : J —* R, 3 = 31 х 32 — интегрируемая на брусе 3 функция. Обозначим
р(х) = f(x,y)dy, v(x)~ f(x,y)dy, x&3i-
Тогда функции риф интегрируемы на брусе 31 « при этом справедливы равенства
X
(1)
где f f(x, y)dxdy — интеграл Римана функции f на брусе 3
Интегралы f ip(x)dx, f ф(х) dx называются повторными интегралами функции f.
Справедливы также равенства
(2)
3	32	'	3-2 \	'
в которых интегралы называются повторными, взятыми в обратном порядке по сравнению с повторными интегралами (1).
Следствие 1. Если функция у н-< f(x, у) интегрируема на брусе З2, то при выполнении условий теоремы Фубини справедливо равенство
dx.
(3)
Если, кроме того, функция х >—> f(x, у) интегрируема на брусе 3i, то справедливо равенство
(4)
3	31 V 2	/	3 2 V1	/
т.е. повторные интегралы, взятые в обратном порядке по отношению друг к другу, равны между собой и каждый из них равен кратному интегралу функции f на брусе 3 — За* Зъ-В частности, формула (4) справедлива в случае, когда f g С(3)-
Следствие 2. Пусть функция f : 3 —♦ R интегрируема на брусе 3 = [<И, &1] х [“2, Ьз] х
• • • X [am, Ьт], и также на каждом из брусов 3i = [ai, 61] X [az, 63] X • • • X [am_z. hn-г]: З2 =
§ 1.	Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 73 [щ, 61] х • •  х [ятп-з, Ьт-з], •. • , Jm-3 = [<И, 61] х [аг, 62] и на сегментах [а?, бу], j = 2, т. Применив теорему Фубини т — 1 раз, получим равенство
ь, ь2
/(ж) dx = j dx-, j dx-2 .
a i	аз
bm
У /(ii, x2,  . , Zm) dxm am
(5)
посредством которого интегрирование no брусу J сводится к повторному интегрированию. При этом все переменные, кроме той, по которой производится интегрирование, фиксируются.
1.7.	Некоторые конкретные реализации интеграла Римана на компакте.
Рассмотрим два важных случая.
1.	Пусть К С R2 — компакт с краем ЭК. Множество ЭК точек границы компакта К является гладкой или кусочно-гладкой кривой класса С1 и поэтому имеет лебегову мер}' 0, в силу чего измеримо по Жордану.
Если f : К —> R — интегрируемая по Риману на множестве К функция, то ее интеграл
Jnx]d* к
называется двойным интегралом и обозначается
jУ f(x, y)dxdy.	(1)
К
Предположим, что К — выпуклое в направлении оси Оу множество, т.е. что его можно представить в виде
К = {(т, у) е R2 : а $ х $ 6, уз (г) $ у $ г/2(т)},	(2)
где У1,у2 — кусочно-гладкие функции. Согласно определению 3, п.1.4, и следствию 2 из теоремы Фубини, справедливо равенство (в предположении, что внутренний интеграл существует)
ь 1/2(1)
УУ f(x, У) dx dy = У dx у /(г, y)dy,	(3)
К	а У1(*)
позволяющее вычислить двойной интеграл как повторный.
Если множество К выпукло в направлении оси Ох, т.е. его можно представить в виде
К = {(г, у) S R2 : с $ у < d, ц(у) < х $ 12(3/)},	(4)
где X], Х2 — кусочно-гладкие функции, и, кроме того, существует интеграл
*2(1/) j f^yjdx,
*i(»)
то двойной интеграл выражается через повторный следующим образом:
d x2(l/)
JJ y'jdxdy - J dy J f(x,y)dx.	(5)
К	c
74	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Если множество К выпукло, то при выполнении условий, сформулированных в следствии 2 из теоремы Фубини, справедливы одновременно равенства (3) и (5):
Ь Уг(*)	d *2(у)
УУ f(x,y)dxdy = / dx / f(x,y)dy = j dy J f(x,y)dx.	(6)
К	a yi(i)	c i>(y)
2.	Пусть К C R3 — компакт с краем дК, являющимся гладкой или кусочно-гладкой поверхностью класса С1. Если f : К —► R — интегрируемая на компакте К функция, то ее интеграл Римана
К
называется тройным интегралом функции f и обозначается
УУУ JG z)dxdydz.	(7)
К
Пусть К — {(г, у, г) € R3 : a Sj х Sj Ъ, yi(x) Sj у С 3/2(1), Zi(r,.y) Sj i У1, Уг, zi, гг — гладкие или кусочно-гладкие функции, и двойной интеграл
х, у, z) dy dz
У1(*)<У<У2(*)
существует Vr € [а, 6]. Применив теорему Фубини, получаем
><
х, у, z) dx dy dz =
JJ
*i(s,	у)
f(x, у, z) dydz.
Если, кроме того, V(г, у) £ {(г, у) € R2 : а $ х <; b, yi(x) Sj у $ уг(х)} существует г2(х, У)
f(x, у, z) dz,
*1(*. У)
то, согласно следствию 2 из теоремы Фубини, справедливо равенство
Ь У2(1)	Z2(2,,l/)
JJУ /(z, У, z)dxdydz = У dx J dy J f(x,y,z)dz.	(8)
/<	a У1О) *1(*, y)
Если компакт К не является выпуклым множеством, но его можно представить в виде объединения выпуклых множеств без общих внутренних точек, то следует воспользоваться свойством аддитивности кратного интеграла и представить его в виде суммы интегралов по этим множествам, заменив каждое слагаемое повторным интегралом.
1.8.	Замена переменных в интеграле Римана.
Теорема. Пусть О и О' — выпуклые области евклидова пространства Rm с фиксированным базисом, К С О — компакт с краем дК (гиперповерхностью размерности т — 1 класса С3) и 4 — С1 -диффеоморфизм О' на О. Если f : К —♦ R — непрерывная на компакте К функция, то справедлива формула замены переменных в т-кратном интеграле Римана
У f(x)dx = у /«(t))|det 4'(t)|dt,	(1)
К	К'
§ 1.	Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 75 где К' —	£'(t) — матрица Остроградского—Якоби отображения
Определитель матрицы Остроградского—Якоби 4' (полной производной отображения 4) называется якобианом и обозначается через	 Поскольку при замене переменной
х= ((t) имеем xj = £j(t), то	t™) =	’ и Ф°РмУла (1) принимает вид
/ f(x)dx = У /(<(<))	dt>
J	J	<2, • • • , tm)
К	K‘
(2)
в котором она обычно употребляется.
Если 4 : (ti, /2)	(т, у) — С1-диффеоморфизм пространства R2 на R2, и в плоскости
хОу задана измеримая по Жордану область D, а на ее замыкании D определена непрерывная функция f, причем D является образом при отображении 4 измеримой по Жордану области D1, лежащей в плоскости tiO'tz, то согласно формуле (2) имеем
Л f(x. у) dx dy = УУ/(6(*i, *2), 601; *2))
Т>(х, у)
D(ti, Ъ)
dti dt2.	(3)
В частности, если р : (р, р) н-► (г, у) — отображение R2 —* R2, определяемое равенствами z = р cos <р, y = psin<p,	(4)
которые называют формулами перехода к полярным координатам, то
УУ /(г, у) dx dy = УУ /(pcosp, psinp)pdpdp,	(5)
D	D'
поскольку	= P- Заметим, что в формулах (3), (5) вместо областей D и D' можно
взять их замыкания D и D , так как границы этих областей имеют двумерный объем 0.
Довольно часто при замене переменных в двойных интегралах переходят от декартовых координат к обобщенным полярным координатам по формулам
х — apcos“ <р, у = 6psina <р (р > 0, 0 < р < 2тг),	(6)
где параметр а выбирается надлежащим образом. В этом случае
Т>(х, у) ,	 а-1	а-1
—7------ = aoapsin р cos <р.
7>(Р, р)
Пусть р : (р, в, р) ь-» (г, у, г) — отображение R3 —► R3 определяемое системой
х = psin 0 cos р, у — psin в sin р, z = pcos в (р^О, 0 $ # $ тг, 0 $ р С 2тг),	(7)
которую называют формулами перехода к сферическим координатам. Предположим, что в пространстве переменных х, у, z задана измеримая по Жордану область О, а на ее замыкании О определена непрерывная функция f, причем О является образом при отображении р измеримой по Жордану области О', лежащей в пространстве переменных р, 0, <р. При замене переменных в интеграле
УУУ /(я, У, z) dx dy dz ' о
по формулам (7), принимая во внимание, что	= р2 sin#, получим
УУУ /(г, у, z) dx dy dz = УУУ cos <p, psintfsinp, p cos #)p2 sin в dp df) dp.	(8)
O	O'
Иногда вместо системы (7) берут систему
х — аР sinа 6 cos*3 р, у = bpsin“ #sin^ <р, z = cpcosa в (p 0, 0 в it, 0 <p 2тг), (9)
76	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
которую называют формулами перехода к обобщенным сферическим координатам. В этом случае имеем
V(x, у, Z)	2	а-1 п  2а —1 п  в-1	в-1
—-   = аЬсавр cos 0sm в sm </;cos р.	(10)
В некоторых случаях при вычислении тройных интегралов удобно переходить от декартовых координат х, у, z к цилиндрическим координатам р, р, z по формулам
х = pcosip, у = psin<^, z = z (р > 0, 0 < р < 2тг)	(11)
или к обобщенным цилиндрическим координатам, полагая
х = apcosa р, у = bpsina р, z = z (p > 0, 0 < p < 2тг),	(12)
где параметр а выбирается надлежащим образом. В последнем случае имеем
V(x, у, z)	. а_!	а—1
7=77---(• = abapsm tpcos р.	(13)
Р(р, р. z)
При вычислении m-кратного интеграла Римана часто оказывается полезным переход в интеграле от декартовых координат к сферическим координатам в пространстве R"1 по формулам
Xi = р sin pi sin Р2 • • • sin pm-i,
т —1
xj = pcos ^j-i sin <pi, j = 2, m — 1,
*	i = J
: P COS pm— 1 , , (p > 0, 0 <	< 2?r, 0 < p, < yr при j = 2, m — 1).
Якобиан преобразования координат, задаваемого системой (14), имеет вид
(14)
(15)
1.	Вычислить интеграл jj xy dx dy, рассматривая его как предел интегральной суммы при сеточном разбиении квадрата D = [0, 1] х [0, 1] на ячейки — квадраты со сторонами, длины которых равны —, выбирая при этом в качестве точек & правые вершины ячеек.
п
Ч Разбиение области интегрирования на ячейки производится прямыми х =. у = i- (i, j = 1, п — 1), а значение функции f(x, у) = ху, (г, у) € D в каждой правой вершине ячейки равно (i, j = 1, п). Вполне очевидно, что </(П) —>• 0 при п —>• оо. Следовательно,
//
O^j/^3
xy dx dy = lim
71—*00
2.	Составить нижнюю Sn(/) и верхнюю 5'п(/) интегральные суммы для функции /(г, у) = х2 + у2, (г, у) £ D, D = [1, 2] х [1, 3], разбивая прямоугольник D на ячейки I	2 ?
прямыми х = 1 -I--, у = 1 -(i, j = 1, п). Чему равны пределы этих сумм при п —» оо?
п	п
◄ Ячейки разбиения П — прямоугольники, длина сторон которых — и —; поэтому пло-и	2
щадь ячейки равна .
Рассмотрим ячейку
 = [(х, у) € R2 : 1 + - $ X 1 +	1 + а у $ 1 + ^±111 .
j L	п	п п	п )
§ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 77
Так как /(.г, у) — квадрат расстояния точки (г, у) от начала координат, то
+	1 + —/max = f	, l+2(j + 1)^
\ п п /	у п	п J
при (г, у) ё. Jij, в силу чего имеем
1=0 j=0
40 _ 11	5
3	п	Зп2 ’
2(> + 1) п
40	11	5
——I------F т—J-
3 п Зп2
Переходя к пределу, находим
Um Sn(/) = lim Sn(/) = 1з|. ►
П —* ОО	71 —» ОО	О
3.	Какой знак имеет интеграл
I =	arcsin(z + у) dx dy?
—1^y^l—х
◄ Представим исследуемый интеграл I в виде
1= jj arcsin(z + у) dx dy + J J arcsin(z + y) dx dy = Ii + J2-
Вполне очевидно, что h > 0. Исследуем интеграл h. В точках квадрата D = [0, 1] х [—1, 0], симметричных относительно его диагонали у = — х, функция f(x, г/) = arcsin (z +г/) принимает значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку, поэтому при любом разбиении П множества D на ячейки — квадраты У; — в каждой паре симметричных ячеек, лежащих по обе стороны диагонали, найдутся такие точки (£,, щ), (£,, у':), что f(£i, yi) + /(Ci, 7i) = 0- Рассмотрим такое сеточное разбиение П = {У,; i = 1, п} на квадраты, чтобы сумма площадей ячеек, объединение которых |J Jсодержит диагональ квадрата D, была к
меньше произвольного е > 0. Тогда при указанном выше выборе точек (Ci, yi), (С;, 7i) и произвольном выборе точек (С*, у к) € J к интегральная сумма Sn(/) имеет вид
мл = !>(&, yk)\jk\-к
Пусть sup |/(т, j/)| = М. Тогда справедлива оценка (х, y}^.D
\Sn(j)\^Me,
из которой следует, что Л = lim 5ц(/) = 0. Поэтому I > 0. а(П)_о
При решении примера воспользовались тем, что интеграл Римана интегрируемой функции / не зависит от способа выбора точек (Ci, Уг) при сеточном разбиении квадрата D. ►
4. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл
7= /7 dxdy.
J J	100 + cos2 х + cos2 у'
И+Ы^ю
78	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
◄ Площадь области интегрирования равна 200. Согласно формуле (6), п.1.5, имеем
1 = 1M + J”+	«’ ’) е °- ° = «' ») s ' 1'1 + Ы «
Принимая во внимание неравенства 100 < 100 + cos2 £ + cos2 у < 102, получаем оценку 1,96 < I < 2. ►
5. З.м»,„к „о™	, = Ц f(l, „)«у „ов„р„ыв„
D
интегралами, если: a) D — замкнутый треугольник с вершинами 0(0, 0), А(2, 1), В(—2, 1); б) D = {(z, у) € R2 : z2 + у2 $ у}; в) D — компакт с краем dD, заданным уравнением (z — у)2 + z2 = а2, а > 0.
◄ а) Если внешнее интегрирование в повторном интеграле производить по переменной z, то следует представить область интегрирования в виде D = Di U Ог, где Di = {(z, у) € R2 : — 2 $ z $ 0, — j- $ у $ 1}, O2 = {(z, у) € R2 : 0 $ z 2, $ у $ 1} . В этом случае воспользуемся свойством аддитивности двойного интеграла и формулой (3), п.1.7:
= УУ f(z> y)dxdy — УУ /(г, у) dx dy + J J f(x, у) dx dy =
D	Di	D2
0	1	2	1
= j dx j f(x,y')dy + j dx j /(r, y)dy.
-2	0	£
2	2
Если внешнее интегрирование производить по переменной у, то, применив формулу (5), п.1.7, получим
1 2у
I = У dy / /(г, у) dx.
О -2у
б) Из представлений компакта D:
B=Uz,y)eR2: _1ОН, 1
I	Zi	Zi L
следует, что при замене двойного интеграла повторными можно применить формулы (3) и (5), п.1.7. При этом получим
в) После несложного исследования убеждаемся в том, что компакт D является выпуклым в направлении осей Ох и Оу множеством, имеющим следующие представления:
D = {(z, у) е R2 : —а х а, х — у^а2 — z2 у х + \/а2 — z2 j = = /(z,y)eR2: -aV^y^aVl, ~
У + \/2а2 ~ У2
2
§ 1. Интеграл Римана иа компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 79
Согласно формулам (3) и (5), п.1.7, справедливы равенства
◄ Предположим, что повторные интегралы, равенство которых требуется доказать, существуют. Можем предположить, например, что функция f непрерывна на множестве
D = {(г, у) € R2 : 0 $ х а, 0 у 3$ г} — {(z, у) € R2 : 0 $ у а, у 5$ х а}
или имеет разрывы в D лишь на конечном числе гладких кривых, оставаясь ограниченной. Рассмотрим функцию F : £4 —* R, £4 = [0, а] х [0, а], где
f(z, У), О,
если
если
F(z, У) =
(z, у) е D,
(z, у) е \ D.
Для функции F существуют повторные интегралы
12 =
О О
о о
Произведем разбиение П квадрата Di на ячейки — прямоугольники Jt] (i = 1, n; j = 1, m), выберем произвольную точку	€ Jи составим интегральные суммы
пт	т п
4V) =	sn2)(л =
i=l j = l	j = l i=l
где \J i31 =	. Из существования интегралов Ji, Iq, следует, что Vs > 0 35 > 0 : VII Л
d(H) < 6 => |/1 -	(F)| < е Л |72 — S^(/)| < S. Так как (F) =	(F), то Л = I2.
Пусть x €]0, a[. Тогда имеем
Если у €]0, a[, то получим
у) dx
у
Поскольку 11 =12, то
/(z, у) dx.
80
Гл. 2. Кратные ж криволинейные интегралы
Изменить порядок интегрирования в повторных инте-
гралах:
2 y/is—x1
7. j dx J f(x,y)dy.
1	2-z
4 При изменении у от 0 до 1 переменная х пробегает в области интегрирования значения от 2 — у до 1 +	— У2,
в силу чего получаем повторный интеграл
◄ Разобьем замкнутую область
D — < (г, у) € R2 : 0 4$ х 4$ 2а,
отрезком прямой у = а на три области (рис. 1). При изменении порядка интегрирования получим сумму повторных интегралов
dy.
4 Из свойства аддитивности интеграла Римана и его свойства изменять знак на противоположный при изменении направления интегрирования получаем
В каждом из интегралов, входящих в правую часть полученного равенства, изменим порядок интегрирования.
При изменении у от 0 до 1 переменная х изменяется от arcsin у до т — arcsin у; а при изменении у от —1 до 0 переменная х изменяется от т — arcsin у до 2т + arcsin у, в силу чего получим разность интегралов
2ir+»rc»in у
dy J y(r, y)rf®. ►
Я—*ГС*1Д у
$ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 81
В двойном интеграле I = f(x, у) dx dy перейти к полярным координатам р и <р и
D
расставить пределы интегрирования, если:
10.	D = {(г, у) € R2 : х2 + у2 ах (а < 0)}.
4 При переходе к полярным координатам в интеграле I по формуле (5), п.1.8, переменная <р изменяется в пределах от — до а р изменяется от 0 до ecos^>. Следовательно,
2 асов^
1= j dp У f\pcosp, psinp)pdp. ► о 2
11.	D = {(г, у) € R2 : —а Sj г а, у а}.
◄ Отрезками лучей у = х я у = — х, у > 0, разобьем область интегрирования на три множества (рис. 2): два параболических сегмента
Di = ^(г, у) € R2 : 0 х а,
Di = < (г, у) € R2 : —а х О,
и треугольник D3 = {(х, у) € R2 : — а	х a, |r|
у а). В силу свойства аддитивности двойного интеграла, имеем
Рис. 2
(1)
3 Г Г
=	// f(,x> у) dx dv-
*=1 JO.-
I
В Di переменная p изменяется от 0 до J, а р изменяется от 0 до р = “Д™ -. В Di имеем ^р 0 р Sj п**;у, а в D3, очевидно, J Sj р Sj 0 Sj р Sj a cosecp.
4	cos* ф	4	4
Переходя к полярным координатам в каждом интеграле, входящем в сумму (1), получим
а sin сое2
3ir
"4“ a cosec
а sin cos2 dtp j/(pcos^, psin^)ptip. ►
3ir 0
* о
f{x, у) dy.
Перейти к полярным координатам в повторных интегралах, считая подынтегральную функцию непрерывной в области определения:
1
12.	I = у dx
О	1-1
4 функция f непрерывна в круговом сегменте
D = {(г, y)€R2:0^x^l, 1 — х у sj ^/1 — г2}, поэтому повторный интеграл I равен двойному интегралу f(x, у) dx dy.
D
82
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Полагая х = р cos <р, у — рзулр, получаем представление множества D в виде
D = < (р, <р) € R2 : 0 $ <р	------
I	2 sin <р + cos <р
$ р $ 1
или в виде
Соответственно каждому из этих представлений после замены переменных интеграл 1 принимает вид
2	ху/2
13.	I = У dx J f (у/х2 + у2) dy. О	х
Рис. 3
◄ Как и в предыдущем примере, повторный интеграл I равен двойному интегралу от функции (х, у) >-» f ^у/х2 + у2) , (х, у) € D, D = {(х, ji) 6 R2 : 0 I 2, х $ у ху/2}, на компакте D.
Предположим, что при переходе от декартовых координат к полярным после замены двойного интеграла повторным внешнее интегрирование производится по переменной <р. Представляя в этом случае множество D в виде
D = < (р, <р) € R2 :	$ р $ arctg -^2, 0 $ р	—-—
I	4	cos р
получим
2
cos
J pf(p) dp. о
Если при замене переменных в двойном интеграле и переходе затем к повторному интегралу внешнее интегрирование будет производиться по переменной р, то предварительно представим множество D в виде D = Pi U Di (рис. 3), где
Di = {(р, р) € R2 : 0 $ р $ 2л/2,	$ р $ arctg л/2} ,
Dt = < (р, р) € R2 : 2у/2 р 2\/3, arccos- р arctg у/2 I	Р
и воспользуемся свойством аддитивности двойного интеграла:
2у/3
I = Jj pf(p)dpdp+ JJ pf(p)dpd<p= J pf(p)dp D\	0
$ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 83
ЗуЯ	Зу/З
2 \ arccos — I ftp) dp. ►
PJ
О	2-/Г
14.	I = JJ f(x, у) dx dy, где край dD компакта D задан неявно уравнением (х2 + у2)2 = а2 (г2 — у2), х 0.
4 Полагая х = р costp, у = psintp, получаем уравнение края dD в виде р = а -Уcos 2^», — f <Р 7 • Если после замены переменных и перехода к повторному интегралу внешнее интегрирование производится по <р, то, очевидно,
I
<со*
I f(pcosip, рsinр)рdp.
о
Из представления компакта D
1	Р2	1	Р2
— - arccos	-т ч V	7	arccos
2	а*	2	а*
D =
◄ На рис. 4 показано, что область, в которой задана подынтегральная функция /, определяется неравенствами
_ ,	1	. р2 .	. Т 1 Р2
О $ р $ а, - arcsin — $ р $ — — - arcsin —.
2 (л	2	2	л
После изменения порядка интегрирования получим интеграл
«	1	. р’
— arcsin —= 3 а3
16.	Квадрат D = |(х, у) € R2 : а < х < а + Л, Ъ < у < 6 + Л}, а > 0, 6 > 0, посредством системы функций и = у2 г-1, v = y/ху преобразуется в область D'. Найти отношение площади области D к площади области D. Чему равен предел этого отношения при Л —* О?
84	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
Пусть Ро>, Ро соответственно площади областей D' и D. Под площадями открытых областей понимаем меры Жордана множеств D' и D или их замыканий. Согласно формуле замены переменной и определения жордановой меры множества, имеем
7?(и, т) у)
dx dy,
3	3
T>(u,v)	3 -- -
Г«е = ~2* 2У2 
Заменяя двойной интеграл повторным, получаем
3 Г _з г з g (b2 + (6 + Л)2 + Ъ(Ь + Л) + (26 + й)\/б(6 4- h)\ h2 pDi = - I x 2 dx I y?dy =----------------———--------—-—- —-------—---,	:---
2 J	J	5	(у/a 4- h 4- у/a) (y/b 4- h 4- y/b] \/a(a 4- /г)
a	b
Поскольку Pd = h2 .
PD, = 6 624-(6 + fe)2+6(6 + fe) + (2fe + fe)0(6~+fe)
Pd 5 a h 4*	4* лЛ) d(ti 4*
Переходя к пределу при h — 0. находим
.. Рр/ 3 / 6 \ 2 шп -х— = - - ) • ► /<—о Рв 2 \а/
17.	В ,.к„Гр.те 7 =	где «р.й	О „д.к
D
у/х 4- у/у — л/я, х = 0, у = 0 (а > 0), произвести замену переменных по формулам х = и cos4 V, у = и sin4 v и перейти от двойного интеграла к повторному, считая функцию f непрерывной.
◄ При заданном отображении имеем
Р(х, у)
P(u, г) в силу чего получаем
cos4 v —4и cos3 v sin v sin4 v 4u sin3 v cos v
.	• з з
= 4u sm v cos v,
I = 4 I I f(ucos
v, и sin4 v) |и11 sin3 v cos3 r| du dv,
где D' — компакт, внутренние точки которого отображаются на множество всех внутренних точек компакта D.
Чтобы заменить полученный двойной интеграл повторным, найдем пределы изменения переменных и и v. При заданном отображении край компакта, заданный уравнением у/х 4-у'у = у/a, переходит в отрезок прямой и = а. Если (0, у) — любая точка, лежащая на отрезке оси Оу, где 0	1/ а, то v = ^. Если точка (т, 0) лежит на оси Ох и 0 т а, то v — 0.
Таким образом, справедливо равенство
18.	Показать, что замена переменных х 4- у = у ~ переводит треугольник D = {(я, 3/) € R2 :	— х} в квадрат D' = {(£, ч) € R2 : 0 С £	1, 0 у 1}.
◄ Началу координат в плоскости хОу соответствует множество точек 71 = {(£, ч) 6 R2  £ = 0, 0 у 1}. Если у = 1 — х, то ( = 1, у = 1 — х, откуда следует, что множество
§ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 85 72	= {(х, у) £ R2 ; 0	ж < 1, у = 1 — х} отображается	на множество	72 = {(£> ч) € R2 :
£ = 1, 0 С 1]	1}, причем при возрастании х от 0 до 1	переменная у	убывает от 1 до 0.
Совершенно аналогично убеждаемся в том, что множество 73 = {(х, у) € R2 : х = 0, 0
отображается	на множество 73 = {(£, »у) £ R2 :	0 ^ £ ^ 1, у	= 1}, а множество
— {(х, у) € R2 : 0	х С 1, у = 0} — на множество 7'4	= {(£, ту) £ R2	: 0 ^ £ ff 1, ту = 0}.
Таким образом, край компакта D отображается в край компакта!)'. Осталось показать, что при заданном отображении любая внутренняя точка компакта D переходит во внутреннюю точку компакта D'. Если 0 < х < 1, 0 < у < 1 — х , то 0 < £ < 1,0 < £(1 — ту) < 1. откуда следует, что 0 < ту < 1, т.е. что точка (£, ту) £ D' — внутренняя. ►
19.	Пусть функция (х, у) f(x, у) непрерывна на компакте D, край которого ЭВ задан уравнениями ху = 1, ху = 2, у = х, у = 4х (х > 0, у > 0). Посредством замены переменных ее» двойкой „втогрзл I = Ц /(., ,)<Т. к од„окр.„„„У.
D
Произведем в интеграле I замену переменных по формулам ху = и, у = vx. Тогда 1 _1	1 i_
1 и 2, 1 v <С 4, т.е. отображение, определяемое системой х = u?v 5, у = «2 гт , осуществляет С1-диффеоморфизм квадрата D' = {(и. тг) £ R2 : 1 и 2, 1 v 4} на криволинейный четырехугольник D. Согласно формуле замены переменных, имеем
I =
2	4	2
dudv=^ у f(u)duj ~=]а2^ f(u)du. 11 1
Заметим, что якобиан взятого отображения легко вычислить по формуле
У)
D(u, v)
D(u, х) \
Р(т, ту))
х _ 1
2у 2v
Вычислить двойные интегралы:
20.	I = УУ (х2 ч- у2) dx dy, где!) = {(х, у) £ R2 : х4 + у4 1}.
D
<1 Переходя к полярным координатам р, р, получим уравнение края 9D компакта D в виде p4(sin4 р + cos4 уз) = 1, откуда
0 р	, Of ip С 2?Г.
y/sm р 4- cos4 у>
После замены переменных и перехода от двойного
интеграла к повторному получим
sin4 ^-fcos
dip
dp
Полагая в интеграле
J sin4 + cos4 95 о
J sin4 р 4- cos4 р о
2
J 14-tg4^ V О
tg4<p = имеем з
з Р
О
О
2
1 =

о
----------dt = 1 4- t
тг тг
2 sin	д/2
21.
, где D — компакт, край
которого 9D задан уравнениями
у2 = 2х, х 4- у = 4, х 4- у = 12.
86	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
◄ Решая системы уравнений у2 — 2х,	[ у2 = 2х,
X + у = 4 И Z 4* У — 12,
получим соответственно Xt = 2, х-г = 8 и zi = 8, хз = 18. Поэтому справедливо представление D — D, U Di, где
£>i = {(z, у) € R2 : 2 х 8, 4 — х	у V2x},
Di = {(г, у) g R2 : 8 х «С 18, — V2z	у С 12 — z}.
Используя свойство аддитивности двойного интеграла и заменяя двойные интегралы повторными, получим
22. I = JJ | cos(z + у)| dx dy, где D — {(z, у) 6 R2 : 0 z тг, 0 у тг}. D
В точках квадрата D, симметричных относительно его диагонали, определяемой уравнением х 4- у = тг, подынтегральная функция принимает равные значения, в силу чего справедливо равенство
I	= 2 // | cos(z + у)| dx dy,
D'
где D' = {(z, у) g R2 : O^z^tt, О^у^тг — z}. С помощью отрезка 7 = {(ж, у) eR2 : 0 гС х тг, = я} разобьем множество D' на два множества, на одном из которых подынтегральная функция положительная, а на другом — отрицательная. Указанные области в полярных координатах определяются соответственно неравенствами
о - Л* _	Л*	_	7Г	ТГ	ТГ
0 р 5-С —г—;---------0 5-С р —,	—-------------- 5-С р	.
2	2(sm р + cos р)	2 2(sin р + cos 95)	sin р 4- cos р
После перехода к полярным координатам и замены двойных интегралов повторными получим
2
р cos p(sin р 4- cos
(sin ¥>-|-cos <р)	’
/ pcos p(sin 93 + cos 93) dp dtp =
о
о
2(sin «р-l-cos <р)
2
2
= 2ТГ [	--------—------rz- = 7Г I
J	(sin <p + cos tpy J
о	0
ТГ
1°
I =2зг. ►
ТГ •
2
X + У 2	2
---3=--X —У
V2
dxdy, где£> = {(z, y) g R2 : x2 -f- y2 1}.
D
§ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 87
— х2 — у2, (х, у) € D, положительна на множестве Di — и отрицательна на множестве Di = D \ Di, вследствие чего
|(х, у) € R2 : х2 + У2 имеем
Т~ JJ f(x' y)dxely- JJ f(.x’ у) dx dv =
2

s2 + V2
Di
dx dy = h + /2.
После замены переменных в интегралах Л и fa соответственно по формулам х = р cos ip, у = psin <р, х —	= р cos ip, у —	= psin ip, получим
cos ip, psin
. i  i A . .
pcostp + —=, psinip 4---T= I pdpdtp =
2y2	2v2/
0^^>^2тг
24.	I = jJ x/|sf - x2| dx dy, гдеР = {(x, y) € R2 : |x|	1, 0 у 2}.
D
◄ Выражение под знаком модуля неотрицательно на множестве Pi = {(я, у) € R2 : |х|
1, х2 у 2} и неположительно на множестве Р2 = {(х, у) € R2 : |х|	1, 0 у < х2}.
Принимая во внимание, что Р = Pi U Р2, и свойство аддитивности двойного интеграла, имеем
J[ \/у~х2 dxdy + jj л/х2 - у dx dy
01	о2
»=2	j
+ (х2-у)2 у—х2
dx = I/ ^х2|х| + (2 - х2)г^ dx = | + | J(2-x3)2 dx. -1 -1
Полагая в последнем интеграле t = arcsin окончательно получим
1Г 7
Г 1 . 2 f /3 , „	. cos4t\ Т 5
^з + зУ (2+2cOS2<+“2_r<= 2 + 3 > 1Г
"7
Вычислить интегралы от разрывных функций:
25.	I = JJ sgn (х2 - у2 +2)dxdy, где Р = {(х, у) € R2 :
х2 + у2 ^4}.
◄ Исходя из симметрии, следует равенство
I = 4 JJ sgn (х2 - у2 + 2) dx dy, Dl

D
88
Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
где Di = {(х, у) € R2 : зсг Ч- уа 4; ас 0, у > 0}.
Обозначим через f функцию под знаком интеграла на компакте Di. Эта функция разрывна в каждой точке кривой 7 = {(®, у) € R2 : 0 х 1, у = у/х2 + 2} , разделяющей компакт Di на множества D2 и D$ (рис. 5), где
Р2 = {(ж, у) g R2 :	0<у< х/х2 + 2 }и{(х, у) € R2 : 1 $ х 2, 0 у $ \/4-х2} ,
D$ = {(х, у) € R2 : 0 х SJ 1, \/х2 + 2 < у $ \/4 — х2} .
Поскольку /(х, у) = 1, если (х, у) g D2, f(z, у) = 0, если (х, у) € 7, f(x, у) — —1, если (х, у) е £)3, то
(в интеграле J >/4 — х2 dx производилась замена х = 2sint). ►
26. I = jj[x + y]dx dy, где D = {(x, y) € R2 : 0 x D
2, 0 у 2).
4 Отрезками прямых, заданных уравнениями х + у = j (j = 1, 2, 3), разобьем компакт D на множества Dk(k = 1, 2, 3, 4) (рис. 6). Если (х, у) — внутренняя точка множества D*, то [х + у] = к — 1, к = 1, 4, в силу чего имеем
I =	11 [x + y]dxdy= ~	= ft + 2ft + 3ft,
*=1 Dk	*=1
где Рк — жорданова мера множества D*. Поскольку ft = ft = I, ft = ft = I, то окончательно получаем
,	3	3
/ = 3 ±+^=6. ► 2	2
27. I =	^/[y — x2] dx dy, где D = {(x, y) € R2 : — 2 < x < 2, x2 $ у $ 4}.
D
4 Исходя из симметрии заключаем, что
Di
51. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 89
где Di = {(х, у) б R2 : О х $ 2, х2 $ у $ 4]. Части кривых ТУ — {(я, у) € R2, х 0, у = х2 + ji}, j = 1, 2, 3, лежащие внутри компакта Di, разбивают его на множества Dk (к = 1, 4) (рис. 7). Если (х, у) — внутренняя точка множества Dk, то ^/[у — х2] = у/к — 1, к = 1, 4. Из свойства аддитивности двойного интеграла следует равенство
I = 2 у/к — 1 J[ dx dy = 2 У* — *=i	*=i
где Рк — жорданова мера множества Dk  Из представления множества Dk в виде
Dk = {(х, у) € R2 : 0 $ х у/4 — к, х2 + fc — 1 у х2 -|- i) U
U {(ж, у) б R2 : у/4 — к С ®	\/4 — (й — 1), х2 + i — 1 у 4^,
имеем
Рис. 7
74^ I3 + k	4
1 / 3 3
= У4-к + (5 - к) (у/5-к- у/4^к)	Н5-к)2 -(4-й)з
Следовательно,
4
I = 2 V у/к-1Рк = 2 (А + у/2Рз + УЗА) = 2 (| + |Уз - 2y/i \ = i (4 + 4л/з - Зу/2) . ► ™" ”	\ о <5	/о
fc=l
28.	Вычислить F'(t), если F(t) — jj е к2 dxdy.
0<i^t
0<»^t
◄ Произведя в интеграле замену переменных по формулам х = tu, у — tv, t > 0, получаем F(t) = ct2, где
с= J J" е *2 dudv.
0<и<1
Дифференцируя по t, имеем
F'(t) = 2ct = ^- ct2 = 2^, t > 0. ►
29.	Найти F'(t), если F{t) = jJ \/x2 + y2 dx dy, где P(t) = {(x, y) € R2 : (x — t)2 + (y —
D(«)
t)2 1, t 6R).
< Заменяя в интеграле переменные no формулам х — t = pcostp, у—t = psin 0 ip 2тг, получим
2я
•F(t) =	J J ^/(t + pcos^j)2 + (t + pein <p)2pdpd<p = J 9(<p,t)d<p,
O<P<1	о
0<^<2ir
90	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
1
где Ф(^>, t) = f (t 4- pcos ^)2 -P (t + psin dp. о
Согласно формуле Лейбница (формуле дифференцирования интеграла по параметру), имеем
2тг	2тг	1
Л‘) =	г	f	+	+ + pdp= [[^+^dxdy
J	J	J A/(t 4- p cos >p)2 4- (t 4- psin <p)2 J J л/г2 4- ?/2
0	0	0	£>(t)
30.	Пусть линии уровня функции f — простые замкнутые кривые, и область 1’2) ограничена кривыми
71 = {(я, у) € К2 : /(г, у) — 14 } 72 = {(г, у) € К2 : f(x, у) - v2}, щ < v2.
Доказать, что
I— f(x.y)dxdy — j vF'(y)dv,
S(vj, г>2)	Vi
где F(v) — переменная площадь фигуры, ограниченной кривой 77 и кривой = {(г, у) g R2 : /(г, у) = V, vi С г> г>г}.
◄ Предположим, что функция F дифференцируема на сегменте [t>j, г?г]. Тогда F'(v) £ О Vt> g]t'i, v2[, так как F — возрастающая функция. Пусть П = {гч = v0, t?i, ..., vn = v2} — произвольное разбиение сегмента [гч, v2], где vt < v!+i, i = 0, n — 1, Принимая во внимание неравенства г, С f(x, у) v.-j-i, (г, у) g S(v,, v,+i) и свойство аддитивности двойного интеграла, имеем
п —1	п — 1 л л	п — 1
У^| Д5(г?,, t!,+i)	// f(x, y)dxdy = I ^^Vi+iAS(vi, vi+1),	(1)
i-0	1=0^,- - ,	i = 0
S(v>, ».+l)
где Д5(тч, 174.1) = F(n1+i) — F(vj) — площадь компакта S(vi, ®ifi)• Согласно формуле конечных приращений, получаем
AS(vt, 5,4.;) = F (J;) Av,. где v,<vi<vi+t.
Из очевидных соотношений Vi — Vi 4- а/\Дгч), Vj+1 — v, 4- а^2\Дгт,), где и — бесконечно малые при Avi —♦ 0 функции, следует, что неравенства (1) можно записать в виде
УУ а/'1^'(г,) Дг.’| + У ' v,F'(v,) Av, Si I Si У^ ViF'(li,) Avi 4- У , a/’)F'(jj,) Дг,. i=0	i=0	i=0	!=o
После перехода к пределу в этих неравенствах получим
V2
I = j vF'(y) dv.
Пусть, например, f(x, у) = х2 F у2, (ж, у) € R2,	= 1, v2 = 3. Тогда F(y) = tt(v - 1),
F'(y) = тг,
3
Уу f(x, у) dx dy = тг У vdv = ~v21 = 4тг. ►
Вычислить следующие тройные интегралы:
Ж 2	2	2 \	(	'2	2	2	'}
+ р- + dxdydz, где ЭК= |(г, у, z) € R3 :	4. L-4- ^- = 11.
§ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 91
◄ Переходя к обобщенным сферическим координатам по формулам х = ар sin в cos р, у = 6psin 9 sin р, z = cpcos9, О «С 0 «С ?r, 0	93 2тг, и заменяя тройной интеграл повторным,
р(л:, у, z) »	2 • л
получим, принимая во внимание, что	= abcp sin0,
2	1°	4
— irabccos 9\ = — irabc. ►
5	L	5
32. I
x2 + у2 dx dy dz, где край дК компакта К задан уравнениями z2 + ?/2 = z2
z — 1 .
◄ Край дК состоит из части конической поверхности и части плоскости, заданной уравнением z = 1; а компакт К проектируется на круг
D = {(z, г/) g R2 ; х2 + у2 1}.
Перейдем в интеграле к цилиндрическим координатам и заменим тройной интеграл повторным. Принимая во внимание, что О «С р «С 2тг, 0 р 1, р z 1,	— Р,
получим 2тг 1	1	1
I = J" dp р2 dp j dz = 2тг у р2(1 — р) dp = —. ► о о	р	о
33. I = jJ J у/х2 + У2 + z2 dx dy dz, где К = {(z, у, z) g R3 : z2 + y2 -f-z2 z}. К
◄ Перейдем в интеграле к сферическим координатам, приняв во внимание, что 0^0^	,
0	2?г, 0О< cos^,	= p2sin0.
Тогда получим
7Г
io*
34.
x2dxdydz, где край дК компакта К задан уравнениями z = ay2, z
by2, у > 0
(0 < а < b), z = ах, z — )3х (0 < а < /?), z = h (h > 0).
◄ Представив множество К в виде
и заменяя тройной интеграл повторным, получим
h v a a	h
I = Jdz J dyУx2 dx = i(a-3— /?“3)	2—6 2^ J
О ГТ	0
V ь P
? ( 1 1 \ 9
—(a-3-/?-3) (a z -b~2\h2.>
35. I - JJJ xyz dx dy dz, где компакт К расположен в октанте ж>0, у > 0, z>0
х2 + у2	х2 + У2	2
и ограничен поверхностями, заданными уравнениями z = --, z = -----, xy = а ,
т	п
xy = b , у = /Зх (0 < а <Ъ, 0 < а < ^, 0<т< п).
92	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Произведем в интеграле замену, полагая ху = и, у = их, z ~ г. Тогда получим
F>(x, у, z) V(u, v, z)
= /// х^и’ ^у(и’ v)
du dv dz,
где К' — компакт, отображающийся на компакт К, причем
L-f (/	\ z- ттт>3 2/^,2	о
А = < (и, v, z) Е К • а и о , а v р, — --------------- <i z — ---------
[	п	т
1-1 1 1
Поскольку при указанной замене x = u2v 2 , у = «2 ^2 , z — z, то	Следова-
тельно,
u(v + v *)
а2 а и(г? + и-1)	а2	а
/3
= Т^(т~2 ~ n~2)(fc8 ” fl8) [ (v + ” + "4) dv ~
16	J \ V Vs /
а
=	- n-2)(68 - а8) (|(/32 - а2) + 21п	+ |(а’2 - /Г2)} =
1о	\2	а 2	/
= ±(т-2 - п-2)(Ь8 - а8) (у2 - а2)(1 + Q-2/T2) + 41п	. ►
36. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл
[ff	dx dy dz
J J J y/(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 •s2 + t/24-z2^r2
a2 4- b2 + c2 > r2
Согласно теореме о среднем для кратных интегралов, имеем
I = f(M)nK = f(M)  |тгг3,
где f(M) — значение подынтегральной функции в некоторой точке шара К = {(т, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 г2}. Поскольку а2 + Ь2 + с2 > г2, то функция <р : (т, у, z) i-+ У(х - а)2 + (у- Ь)2 + (z - с)2, (х, у, z) € К, не принимает экстремальных значений внутри шара К, а достигает наибольшего и наименьшего значений на его крае дК — {(т, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 = г2}. Составим функцию Лагранжа
F(x, у, z) = ip(x, у, z) + A(z2 + у2 + z2 - г2)
и найдем ее экстремальные точки. Имеем
^ = ^ZL2 + 2Az=0, F' =	+ 2АУ = О, F'z =	+ 2Az = 0.
V	V	V>
Решая полученную систему уравнений совместно с уравнением связи х2 + у2 +z2 = г2, найдем А и точки Му, М2 условного экстремума функции ip:
,	,1	( га	rb	гс \
2г	у д/а2 + ^2 + с2 x/я2 + 62 + с2 у/а2 + Ъ2 + с2 J
(га	_____rb____	гс А
у/а2 + Ь2 + с2 ’ у/а2 + Ъ2 + с2’ у/а2 F Ъ2 + с2 )
§ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 93
Поскольку
) = у/а2 + Ъ2 + с2 — г, р(М2) = \/а2 + Ъ2 + с2 + г, то справедливы неравенства ip(Mi) < <^(М) <	которые можно записать как одно
неравенство
MtK\ ЭК.
Обозначая 6 =
Принимая
37.
, получим равенство = \/а2 + Ь2 + с2 + г0, где |0| < 1. во внимание, что	> имеем оценку
4	,	1
1 = —тгг .	,.. ......, 101 < 1. ►
3	^/а2 + Ь2 + с2 + гв
Доказать, что если функция f : К —* К непрерывна на компакте К С R3 и у, z) dx dy dz = 0 для любой области С К, то f(x. у, z) = 0, (г, у, z) € К.
Пусть Р — любая внутренняя точка множества К и S(P, е) — открытый шар. По теореме о среднем и из условия задачи имеем
/(Р) =	УУУ /(г, у, z) dx dy dz = 0, Pg S(P, e).
S(P,c)
Стягивая шар S(P, e) к точке P, получаем, что f(P) = 0. Таким образом, функция f обращается в нуль в каждой внутренней точке множества К. В силу ее непрерывности на компакте К она будет равна нулю и в точках, принадлежащих его краю ЭК. Следовательно, /(т, у, z) 0, если (т, у, z) € К. ►
38. Найти F'ft), если:
f(x2 + у2 + z2) dx dy dz, где f — непрерывная функция;
а
б) F(f) = Jf f(xyz)dxdydz, где f — дифференцируемая функция. O^i^t
а) Перейдя в интеграле к сферическим координатам и заменяя после этого тройной интеграл повторным, получим
— 4тг
ООО	о
Дифференцируя функцию F, находим F'(t) = 4тг<2/(<2). б) Заменим тройной интеграл повторным
ООО
и вычислим производную функции F по параметру t:
о о.
о
о
о
94	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы t	t	t	t	t	t =	j f(tyz)dz + J dx j f(xtz)dz + j dx j f(xyt)dy.	(1) 0	0	0	0	0	0
Поскол примен	ьку функция f дифференцируема, то можем вычислить повторный интеграл F(t), [ив формулу интегрирования по частям, полагая при этом dv = dz, и = f^xyz): t	t	/	t	\
F(t) =	j dx j dy 1 zf(xyz)^ -J zf'(xyz)xydz\ = 0	0	\	0	/ t	t	t	t	t = t У dx У f(xyz)dy — У dx У dy J xyzf'(xyz)dz.	(2) 0	0	0	0	0
Заменя	я тройной интеграл F(i) повторными t	t	t	t	t	t F(t) = У dx У dz У f(xyz)dy~ У dy J dz J f(xyz)dx 0	0	0	0	0	0
и прим	енив формулу интегрирования по частям, получим t	t	t t	t F(t) -	+ У dx J f{xtz)dz —	J dx j dz j	xyzf'(xyz)dy,	(3) 0	0	0	0	0 t	t	t t	t F(t) =	t У^У fityzjdz -	j dy У dz У xyzf'(xyz)dx.	(4) 0	0	0	0	0
Складь имеем	[вая левые и правые части равенств (2), (3), (4) и принимая во внимание равенство (1), /	t	t	t	\ - 1 F(t) + У dx	dy J xyzf'(xyz) dz \ = F'(t), \	0	0	0	/
откуда	получаем F'(/) = | 1 F(t) + УУУ xyzf'(xyz) dx dy dz j , \	K(t)	/
где Kh 39 х, 3 = '	t)	= {(x, y,	z) € R3 : 0 SJ x SJ t, 0 Sj у	t, 0 z	Sj t}. ► .	Пусть f	: К —* R — непрерывная	функция	на множестве К	=	{ж €	Rm	: 0 SJ х3 1, m}. Доказать равенство X	Xi	^т — I	X	X	X 1{х) =	У dll У dx2 ... У /(ж)	dxm = У	dxm J dxm-i	...	j	f(x)	dxj.	• ООО	0	xm	X2
Из непрерывности функции f и теоремы Фубини следует равенство
dx.
Представляя множество К в виде
К = {я € Rm : 0 Sj хт х, t,+i Sj х,х, i — т — 1, т — 2, ..., 1}
>. Приведение кратных интегралов к повторным 95
§ 1. Интеграл Римана на komi и применив теорему Фубини, по;
Д*) =
40. Доказать, что
t <1
I(t) — J dti J dt2   о о
где f — непрерывная функция.
Запишем /(<) в виде
Л<) = /
о
и обозначим
Представив <p(tm„2) в виде
2) —
получим
^(<т-2) = —
Предполагая справедливым равенство
Методом математической индукции формула доказана. ► 41. Вычислить интеграл
Применив формулу, доказанную в примере 40, получим
96	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
42. Привести к однократному интегралу m-кратный интеграл
где ||я:|| = yzf +	+ • • • + Zm, / — непрерывная функция,
= {ж : ||ж||2 $ г2}.
Произведем в интеграле замену переменных по формулам (14), п.1.8. Принимая во внимание формулу (15), п.1.8, получим
В каждом интеграле, входящем в произведение, произведем замену переменной sini^j = tf .
-1
Тогда = -t2 (1 — tj) 2 dtJ: в силу чего получим
m г	т т
о	о
Полагая в последнем интеграле р2 = t, имеем
I =
43. Доказать равенство
где f — непрерывная функция.
Согласно формуле, доказанной в примере 39, имеем
$ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 97 Поскольку
уdxt jdxl =
х3 то можем предположить, что справедливо равенство
/ dxm_2 У dxm-3 ...Jdxtjdx^	-
*m-l	Sm-I	»»	*»
При таком предположении получаем
Таким образом, применив метод математической индукции, имеем
1 =]	(т-I)! dXm=J /(Ц) (m-l)-^ *
о	о
Упражнения для самостоятельной работы
1.	Приближенно вычислить интеграл ff	,
,*+&2s^4+'’+i'S
разбивая область интегрирования на квадраты, вершины которых находятся в целочисленных точках, и выбирая значения подынтегральной функции в вершинах этих квадратов, наиболее удаленных от начала координат. Сравнить получениый’результат с точным значением интеграла.
2.	Компакт К = {(г, у) € R2 : х3 + у2 1} разбит на конечное число квадрируемых частей Kt, t = 1, п, диаметром меньше чем 8 Каждая, без общих внутренних точек. При каком значении 8 будет обеспечено выполнение неравенства
J/ sin(r + у) dx dy -	sin (х,- + у,)цК,
К	•=!
< 0,001,
где (xi, yi) € Ki, uKi — жордаиова мера множества Ki?
3.	Доказать равенство
ff p(x)Q(y) dxdy = f P(x) dx f Q(y) dy, К	о	Ь
где К = [a, A] x [b, В], а функции P и Q непрерывны соответственно на сегментах [а, А], [Ь, В].
4.	Пусть f : [a, b] —► R — непрерывная функция. Доказать неравенство
»	\ ’	ь
f/(x)dx) (b-a) f fa(x)dx,
98	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
где знак равенства возможен лишь при f(x) = const.
5.	Какой знак имеет интеграл
1 = ff {/1 - г2 - у2 dx dy?
Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
2	О	I	1-К
6.	f dx J f(x,y)dy. 7. J dy f___________f(x,y)dx.
°	-0-(»-1)а	0
a д/а’-х3	2 a V2ax
8. f dx f f(x,y)dy.	9.	j dx J f(x,y)dy.
°	а3-д3	0	72az-j!
2a
Ввести вместо хну новые переменные и произвести замену переменных в следующих интегралах, предполагая, что подынтегральная функция непрерывная:
10.	I — ff f(x, y)dxdy, где: а) К = {(г. у) € R2 : х 0. у 0. х2 + у2 < а2}; б) К = К
{(х, у) € R2 : х 0. у 0, а2 х2 + у2 Ь2}., если х = «cost', у = «sin v.
11.	I — ff f(x, у) dx dy, если a = x + y, uv — y.
O^x^a ax^y^dx
12.	I — ff f(x, y) dx dy, если u = у + ax, uv = y.
O^x^a O^y^b
13.	I = ff f(x, y) dx dy, если x = pcos3 p, у = psin3 p, где к
f	2	2.	2 )
ЭК = < (x, у) € R2 : хз + уз = aH.
14.	В интеграле ff f(x, y)dxdy край ЭК компакта К задан уравнениями у — ах, у = к
/Зх, х — а (а < /?). Произвести в интеграле такую замену переменных, чтобы после нее интегрирование производилось в прямоугольнике.
15.	В интеграле ff f(x, y)dxdy, где К = {(х, у) € R2 : х2 + у2 г2, х 0, у 0), к
произвести такую замен}' переменных, чтобы после нее интегрирование производилось: а) в прямоугольнике; б) в равнобедренном прямоугольном треугольнике.
Вычислить двойные интегралы:
16.	I = ff x2dxdy.
kl+l»l<i
17.	ff xy2 dx dy, где край ЭК компакта К задан уравнениями у2 = 2рх, х = | (р > 0). к
18.	ff a > 0, если край ЭК компакта К состоит из кратчайшей дуги окружности к
с центром в точке (а, а) радиуса а, касающейся осей координат и отрезков осей координат.
19.	ff(x2 +y2)dx dy, если К — параллелограмм со сторонами, заданными уравнениями к
у = х,у = х + а, у — а и у — За (а > 0).
20.	ff у2 dx dy, если край дК компакта К состоит из отрезка оси абсцисс и одной арки к
циклоиды
= {(х, у) € R2 : х = a(t — sin t), у = a(l — cos t), 0 t 2w}.
21.	J J sin ^/x^ + y2 dx dy, где К = {(г, у) € R2 : тг2 х2 + у2 4х2}. к
$ 2. Несобственные кратные интегралы	99 .
22.	ff(x + у) dx dy, где К — {(г, у) € R2 : г2 + у2 < х + у}. к
Вычислить тройные интегралы:
23.	ffj xy2 zz dxdydz, где край ЭК компакта К задан уравнениями z = ху, у = х, х — 1, к
z — и.
'24	. Г Г Г ‘г—гг, где край ЭК компакта К задан уравнениями х + у + z = 1, г = О, У’т*)
у = 0, z = 0.
25.	//J \А2 + у2 dxdydz, где край ЭК компакта К задан уравнениями х2 + у2 — z2, К
z = 1.
26.	J’j’J' \/г2 + у2 + z2 dxdydz, где край дК компакта К — поверхность в R3, заданная К
уравнением х2 + у2 + z2 — z.
27.	fff xmynzr dx dy dz, где m, n, p— целые неотрицательные числа. ла+1?3+^2<1
Вычислить следующие m-кратные интегралы:
.28. J ||®||2 dx, где ||х||2 = К = [0> 1] х [0, 1] х •  • х [0, 1]-К	i=l
/ тп \ 2
29.	J I £2 х< ) где К — [0, 1] х [0, 1] х ... х [0. 1]. К \i=l /
30.	f dx, где К = < х € Rra : х, 0 (i = 1, m), £2 I,	а?.
К _______ I	i=i J
31.	f dx, К =	€ Rm : Xi 0 (» = 1, т), х, 1^.
32.	Доказать равенство
fx^dx-L f dx2 ... f f(xrn+i)dxm+1 = f(x2 — u2)mf(u)du. ooo	n
33.	Найти потенциал на себя однородного шара радиуса и плотности До, т.е. вычислить интеграл
jy _ МО ffffff dyi dzi dxi а*3 Д1’2
х2 + у2+'2^г2
где pi,2 = у/(и - гг)2 + (yi - Уз)2 + (zi - z2)2.
§ 2. Несобственные кратные интегралы
2.1. Несобственный m-кратный интеграл Римана.
Определение 1. Точка Хо € Rm. называется особой точкой для интегрирования функции f : Rm \ {то} —► R (функции f : Rm —► R), если f не ограничена в любой окрестности S(xo. 6).
Предположим, что все особые точки функции f : Rm —< R образуют замкнутое множество Z меры 0 (которое, в частности, может быть пустым). Возьмем последовательность множеств (Еп), п 6 Н, обладающих свойствами: 1) каждое множество Е„ является открытым, измеримым по Жордану; 2) Еп С Е„+г и (J Еп = Rm \ Z, где Ё„ — замыкание множества Еп • пек
Такую последовательность множеств назовем допустимой для интегрирования функции f с мн', жеством особых точек Z. „ли, короче, допустимой.
100	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Пусть функция / непрерывна почти всюду в области определения, т.е. разрывна лишь на множестве лебеговой меры 0. Так как Еп С Еп+i и En+i О Z =0, то у каждой точки х € Еп есть окрестность S(x, 6(ж)), в которой значения функции f ограничены. По теореме Гейне—Боре ля, из указанного семейства окрестностей можно выбрать их конечное число S(xt, 3,), i = 1, к, покрывающих множество Еп. Пусть в окрестности 5(ж,, <$,), г = 1, к, значения функции f ограничены числом Mi. Тогда на множестве Еп значения функции f ограничены числом М = max{Afi, М2, ... , Л/k). Поскольку функция f непрерывна почти всюду в области определения и ограничена на каждом множестве Еп, то ее сужение на это множество интегрируемо по Риману.
Рассмотрим последовательность m-кратных интегралов Римана
In= / f^dx-	О)
Еп
Определение 2. Если для произвольной допустимой последовательности множеств (Еп) последовательность интегралов Римана (7п) имеет при п —► ос- конечный предел I, не зависящий от выбора допустимой последовательности, то существует (сходится) несобственный т-кратный интеграл Римана
У f(*)dx,	(2)
Rm
равный числу I. Если lim 1п = оо или вообще не существует, то несобственный интеграл п—»оо
(2) не существует (расходится).
Согласно определению, имеем
Еп
(3)
Определение 3. Несобственный интеграл (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
J lf(x)[dx.	(4)
|j>m
Теорема 1. Пусть функция f : Rm —► R непрерывна почти всюду и неотрицательна. Если существует такая допустимая последовательность множеств (Еп), что последовательность (1) ограничена, то интеграл (2) сходится.
Эта теорема значительно упрощает исследование абсолютной сходимости несобственного интеграла. Для решения вопроса об абсолютной сходимости интеграла (2) достаточно исследовать на ограниченность последовательности
(5)
для какой-нибудь одной, специально выбранной допустимой последовательности множеств (Еп). Если при этом последовательность (5) окажется ограниченной, то несобственный интеграл (2) абсолютно сходится; если последовательность (5) не ограничена, то интеграл (4) равен +ос, и интеграл (2) не является абсолютно сходящимся.
Теорема 2. Пусть функция f : R™ —♦ R непрерывна почти всюду в области определения. Если несобственный интеграл (2) сходится абсолютно, то он сходится.
Следующая теорема сводит проблему сходимости несобственного m-кратного интеграла Римана к проблеме его абсолютной сходимости.
Теорема 3. Пусть функция f : Rm —> R непрерывна почти всюду. Если несобственный интеграл (2) сходится, то он сходится абсолютно.
§ 2.	Несобственные кратные интегралы	101
2.2.	Несобственный m-кратный интеграл Римана функции, заданной на подмножестве пространства Rm.
Пусть f : Е — R. Е С Rm — непрерывная почти всюду на множестве Е функция, не интегрируема по Риману в собственном смысле. Рассмотрим функцию F : R’" —> R, где
Г /(ж), если ж ё Е,
1 0.	если х € Rm \ Е.
Определение. Несобственный^т-кратный интеграл
j F(x)dx
назовем несобственным интегралом той же кратности от функции f и обозначим символом
f(x) dx.
Е
2.3.	Некоторые признаки сходимости m-кратных несобственных интегралов.
Признак 1. Если f : Rm — R почти всюду непрерывная, локально ограниченная функция и существует предел
lim f(x)|[ж||а = с. с ё R, И—+<х>
то несобственный интеграл
/(ж) dx
Rm сходится при а > т.
Признак 2. Если f : Rm — R — почти всюду непрерывная функция, ограниченная вне некоторой окрестности начала координат О. и существует предел
Jim /(^ЯНГ = с, ceR, И-о
то несобственный интеграл
/(ж)dx
Rm сходится при а < т.
Признак 3 (сравнения). Пусть f : Е —► R, g : Е —> R, Е С Rm, — почти всюду непрерывные неотрицательные функции и /(ж) Sj з(ж) Vt ё Е. Тогда из сходимости интеграла
dx
следует сходимость интеграла f f(x)dx а из расходимости интеграла Е
/(х)dx
Е следует расходимость интеграла fg(x)dx.
Е
102
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
2.4.	Замена переменных в несобственном m-кратном интеграле.
Теорема. Пусть ( — С1-диффеоморфизм открытого множества Е' евклидова пространства Rm на открытое множество Е того же пространства. Если функция / :	» R
непрерывна всюду на Е, за исключением замкнутого множества точек Z меры 0. и несобственный интеграл
У f(x)dx	(1)
Е существует, то интеграл
У W))|detf(t)|dt	(2)
В' сходится и справедливо равенство
У f(x)dx = У /tt(t))| det C(t)\dt.	(3)
Е	Е‘
Исследовать на сходимость следующие несобственные интегралы:
44. [[ I ^Х,’ dx Е - К®’ ») € R2 : я2 + у2 1}, 0 < m ^(х, у)| М. JJ (Л‘‘ + !Г)Р
в
4 Обозначим подынтегральную функцию через /. Поскольку	|/(®, J/)l
И сходимость несобственного двойного интеграла эквивалентна его абсолютной сходимости, то по признаку сравнения исследуемый интеграл сходится или расходится вместе с интегралом
г — [ tedy J (»2+У2)р’
Е
Поскольку	= О	ajj4'^ ПРИ х2"*-р2 ~" +°°> то! согласно признаку 1,интеграл
I сходится при 2р > 2, т.е. при р > 0. Поэтому исследуемый интеграл также сходится при Р>1- ►
45. I = /7 -________________
Ж»
4 Пусть (Е„) —допустимая последовательность областей такая, что |J Еп =R2. Возь-ngN
мем такой квадрат Kin С Еп. сторона которого равна 2ai„, и такой квадрат Kin Э Еп, сторона которого равна 2азп, чтобы а,п —< -f-oo при п —► оо, j = 1, 2. Тогда справедлива оценка
f f_______dx dy________ f f____________dx dy_________ f f__________dx dy________
J J (1 + 1Ф)(1 + M’) " J J (1 + H”)(l + Ы’) " J J (1 + Hp)(l + |y|’)’
Kin	Bn	к3п
из которой следуют неравенства
г f [ dxdy	[ [	dx dy
J J (1 + l»l”)(l + M’) " " J J (1 + klp)(i + Ivl’)’ Km	K3n
Поскольку подынтегральная функция непрерывна, то
+ 1»1’)
§ 2. Несобственные кратные интегралы	103
где (а, 6) — центр всех квадратов Kjn\. Следовательно,
+ оо	+ оо
dxdy _ Г dx Г dy (1+|х|Р)(1 + |У|») " J 1 + \х\р J 1 + |у|*'
Kjn	— оо	— оо
Таким образом, сходимость интеграла I эквивалентна одновременной сходимости двух одномерных несобственных интегралов, сходящихся лишь при р > 1 и д > 1. Заметим, что поскольку подынтегральная функция положительная, то исследование интеграла I достаточно провести при выборе фиксированной допустимой последовательности(Еп). ►
46-7 = //	£ = Rx [0’1]’0 < т 1^’ у)1 <м-
Е
◄ Вполне очевидно, интеграл I сходится и расходится одновременно с интегралом
Е	Е
Согласно определению п.2.2, имеем
Л = УУ F(x. у) dxdy, v?
где
р(г ,л _ Г Л*, У), если (®, У) 6 е, ' '	[ 0, если (г, у) 6 R2 \ Е.
Так как функция F неотрицательна, то достаточно рассмотреть и исследовать на сходимость последовательность интегралов
(УУ F(x, у) dxdy I , п 6 N, Еп	/
для одной допустимой последовательности множеств (Еп).
Возьмем Еп = [—n, n] х [—п, n], п € N. Тогда получим
У//•(., „)л 1,- уd.у il+^,i)F = у у „X,,.
Еп	—п 0	0	—п
Если р 0, то lim ff F(x, y)dxdy = +oc и интеграл Ii, а вместе с ним и интеграл I
Еп
расходятся. При р > 0 справедливы оценки
откуда получаем, что сходится, если 2р > 1, т.е. если р > и расходится, если р j. Таким образом, интеграл / сходится, если р > i, и расходится, если р $ j. ►
104	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
47. I = /Л	Р > 0, g > 0, где Е = {(х. у) € R2 : |х| + М £ !}•
J J 1^1 • IУI
Е
◄ Очевидно, сходимость интеграла I эквивалентна сходимости интеграла
[Г dxdy JJ пР + уЧ’
где Е' = {(х, j/) € R2 •' хр + у4 1, х > 0, у > 0}. Согласно определению п.2.2, имеем
УУ F(x, у) dxdy, и2
где
У) = | 01Р+к,?
если (х, у) € £', если (х, у) g R2 \ Е'.
Поскольку F(x, у) 0, то
lim п—*оо
dx dy.
где (Еп) — произвольная фиксированная последовательность допустимых множеств такая, что |J Еп = R2. Возьмем
Произведя в интеграле
In = jУ F(x, у) dxdy
Е„
13.	13
замену переменных по формулам х — р? cos₽ ip, у = ря sin«
получим
2 ]	1
In = — I sin я pg J
0
2
ip COS Р
-+--2,	1D/1 1
Рр ’ dp = -В -2 \g р
1 f £
Т;--- пр
-+--1\
Р Я 4
Следовательно, только тогда, когда
последовательность (In) имеет конечный | — 1 < 0. Таким образом, интеграл I 48. I — I J	dx dy, Е = {(г. у) € R2 : х + у 1}.
JJ (я + У)р Е
Ч Заменяя в интеграле переменные по формулам и =
предел при п сходится, если
оо тогда и
h
Л
£ п
Ч - 1
р я
- и
?=-, получим
- cos >/2и , , ----------du dv. E = и?
-^=. v ЕЮ .
E'
Согласно определению п.2.2, имеем
IP
§ 2. Несобственные кратные интегралы
105
где
F(u, v) =
cos cos ur о,
если (и, v) ё E', если (n, v) € R2 \ £'.
Множества En = {(u, f) 6 R2 : —n, < u < n, — n < v < n} допустимые для интегрирования функции F, а последовательность двойных интегралов
JУ F(u, v)dudv
можно заменить последовательностью повторных интегралов, так как F — непрерывная функция. Таким образом,
n п	п	тг
/du Г /	/~	и- \ ,	/т- . /т f du „ f cos \/2u ,
— I (cos v2t? — cos dv = v2 sin v 2n I —^ — 2n I -------------—du.
1 -n	i	)
Поскольку последовательность (7n) не имеет предела при п — ос, то интегралы ff F(u, v)
R2
и I. расходятся. ►
49.	Показать, что
lim I I sin(z2 + у2) dx dy = тг. n-ooJJ
En
где En = {(z, y) € R2 : |z| < n, |y| < n}, тогда как
lim / / sin(z2 + y2) dx dy = 0.
J J E'n
где
F'n = {(z, J/) € R2 : z2 + у2 < 2птг}.
◄ Из непрерывности функции (х, у) >—- sin(x2 + у2), (х, у) 6 R2, следует равенство
z2 + y2)dxdy
Z2 + y2
sin х2 dx I cos у2 dy,
En	—n — n	—n	-n
в силу которого получаем после перехода к пределу произведение интегралов Френеля:
lim
sin z2 dx
Еп	—оо	—о©
Для проверки второго предельного соотношения достаточно перейти к полярным координатам и вычислить интеграл:
2 psin p
\/2ттп
j рsin р2 dp = тг cos р21°^__ = 0. о
0<у<2тг
Этот пример показывает, что двойной несобственный интеграл

106	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
расходится. ►
50.	Показать, что интеграл:
7= /7	£={(т,у)б1й2:т^1, у^1},
J J (x + У ) E
расходится, хотя повторные интегралы
+ ©о +<х>
14 1 I
4-ос 4*оо
Л = / dy /  Х	У V dx
J	J (*2+У2)2
1	1
существуют.
◄ Для доказательства первой части утверждения достаточно показать, что интеграл I абсолютно расходится, т.е. что интеграл
Г = У/ Р dxdy = JJ F(X’ dx dy’ Е	Ж’
где
F(z.y) = (	если
\ 0,	если (г, у) € R2 \ Е.
расходится.
В качестве допустимой последовательности множеств Еп возьмем Еп = {(г, у) € R2 : -п < х < п, —п < у < п}. Тогда получим, принимая во внимание, что |т2 — у2| = I х2 — у2, если х > у, 1 у2 — х2, если х < у :
х2 - У2 , Г , [ У2 - х2 _ (х2 + у2)2 У J Х J (х2 + у2)2 У
I Ж
П \ .	. 7Г	1
—— ] dx = Inn - — arctg х* + п£ /	4	п
Поскольку lim 1*п — +оо, то интеграл 1 расходится.
Т1—♦оо
Вычислим интегралы 7] и 1^. Имеем
Этот пример показывает, что существование лишь повторных интегралов не обеспечивает сходимости соответствующего двойного несобственного интеграла. ►
Вычислить следующие интегралы:
51.	1= If	Е = {(г, у) € R2 : г2 + у2 < 1}.
J J — X2 - у2
Е
◄ Подынтегральная функция принимает положительные значения, поэтому достаточно вычислить интеграл
§ 2. Несобственные кратные интегралы
107
где
। i— , . > если (x, g) € E, F(x, g)={
0,	если (m)€R2 *\£,
для любой фиксированной допустимой последовательности множеств (Еп). Возьмем Е, { (х, д) 6 R2 : i < х2 + у2 < 1 - i п = 2. 3, .. . } .
Тогда получим
,2’
Е,
о
- dp = 2тга/1 - р2 = 2т
\/^	Ь-1
I = lim 1п = 2т. ►
где
52. I = jj -^5..E = {(T!9)6R2:y>T2 + l}. Е
◄ Согласно определению п,2.2, имеем
Ц2
если
если
Так как подынтегральная функция F неотрицательная, то достаточно вычислить lim 1п, где
= [ о
(х. д) 6 Е,
(х, g) е R2 \ Е.
В,
для любой фиксированной последовательности допустимых множеств (£п). Возьмем Е, {(х, у) g R2 : — п < х < п, -п < у < п}. Тогда получим
_ _ = 2 / х4 + g2 J +о

f 1 ( „ п 1 + х2 V
J ^“Ctg	“ arctg “75“ J dx =
+о
2 ( п 1 + х2
- ( arctg Za “ arctg
X \ X*	X*
+ 0
/ (_______1____________
J \2т4 + 2z2 + 1 х4 + п2 о
Внеинтегральный член стремится к нулю при х оценку J о
о
+0 и
при п —» оо. Принимая во вниманне
f dx
J 2x4 + 2x2 + 1 “ 2 J™ О
dz
о
108	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
Представляя подынтегральную функцию в виде суммы простых дробей и интегрируя эти дроби, имеем
,	(	у/2	, Z2 + \A/2-lz 4-4	у/2 I t I 2х	Iу/2-i
1 = hm —.	In ----- --------4- ,	 arctg --	4- < / —-
00 I 2\Д/2-1 x2 - \Д/2-1т 4- 4 \/x/2 4-l I l \Д/2 4-1 V + 1
,	. / 2т
4-	arctg '
I \А/2 + 1
V2+ 1
Ул/2 + 1
о
ea^+2bXy + ey42d.+2ey+f dx dy	a < 0, ДС — 62
R2
◄ Применив известное преобразование координат по формулам х = io 4- х' cos о — у' sin а, у = у0 4- х' sin а 4- у' cos а, где числа то, Уо, а удовлетворяют уравнениям
( dxo 4- Ьуй 4- d = 0,	, , 2	/	, .	. п
{ 1	,	, a	t>tg а — (с — а) tg а- — b = О,
I Ьхо 4- суо 4- е = О, ь v ' °
квадратичную форму <р ~ ах2 + 2Ьху 4- су2 + 2dx + 2еу + f приведем к каноническому виду:
,2	,2	,
<р = Ах + Су + f ,
где
А = — (a cos2 а — 26 sin a cos а + с sin2 а) < 0, f
С = —(asin2 а — 26sin acosa- + ccos2 а) < 0,
6 ’
а Ъ d
А =
d е
ь
с
а
Ъ
6 =
Ъ с е
Между коэффициентами а, Ь, с н А, С
существует следующая связь
АС — de — 6 —6. А 4- С — d 4- с.
После указанной выше замены переменных интеграл I принимает вид f [ e^+c^^‘dx'dy' = е}‘ [/>-'2+^'2 dx'dy'.
R2	R2
В качестве допустимой последовательности множеств (Еп) выберем Еп = |(т', у') g R2 : — п < Ах' 4- Су'2 < — ~} , п € N. /2 /2
Заменяя в интегралах In = ff еАх +Су dx' dy' переменные по формулам
х
р
--- COS ip, у
Р == sin о,
получим, принимая во внимание, что	=
2»
4= [
Cac J
0
-р2,	ТГ
ре dp = -j=e р
ТГ ( -т=-1 е /б \
lim In = -^=
з—оо	д/ о
п — е
§2. Несобственные кратные интегралы	109
Окончательно имеем р ТГ ТГ — I = eJ = —=е « . ► у/б V6
Исследовать на сходимость следующие несобственные тройные интегралы:
54. [[[ Ev’q’, dx dVdz’ где E = {(x> J/> z) 6 R3 : z2 + p2 + z2 > 1}, 0 < m JJJ (x + У + z)
E l<r?(a\- У, *)l M-◄ В силу оценки для функции р и теоремы об абсолютной сходимости несобственного кратного интеграла требуется фактически исследовать на сходимость интеграл
Г Г f dxdydz
JJJ + у2+ z2)p' Е
Поскольку подынтегральная функция под знаком интеграла положительная, то в качестве допустимой последовательности множеств (Еп) можно взять любую фиксированную последовательность, например Еп — {(z, у, z) g R3 : 1 + Е < х2 + у2 + z2 < п}. В интегралах -	[ f [ dxdy dz
" “ JJJ	П e 1
En
перейдем к сферическим координатам по формулам
х = psin 0cos р, у — psin д sin р, z = pens 8 (0 < 8 < тг, 0 < р < 2тг).
Тогда ^/1+ п < Р < 'У™ и’ заменив тройные интегралы повторными, получим
Если р > то 3 lim 1п = „4~г и интеграл I сходится, а вместе с ним сходится и исследуемый 1 ' п —оо	Zy-i
интеграл. Если р то исследуемый интеграл расходится. ►
55‘ /// |^|р^|уН< + |z|r’ Е = у’ z) € к3 : 1*1 + 1у1 + 1-1 > 1}: Р > 0, ? > о, г > 0. Е
◄ Сходимость интеграла I эквивалентна сходимости интеграла
/1= [[[	. р > 0. > 0. г > о,
Е'
где Е' = {(z, у, z) g R3 : |z|p + |у|? + |z|r > 1}.
Согласно определению п.2.2, имеем

у, z) dx dy dz.
где
У, z) =
klF + lsl’ + Ur ’ 0,
если (z, y. z) g E', если (z. y. z) eR3\ E'.
110	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Поскольку F(x, у, z) 0 на всем пространстве R3, то в качестве допустимой последователь-, ности множеств (Еп) можно взять любую фиксированную последовательность, например, Еп = {(г, у, z) е R3 : 1 + < |®|₽ + |у|* + |z|r < п}. Тогда h - lim In, где n	n—*oo
ln = JJJ F(x’ z) dxdydz = 8 Ijf F(x, y, z) dxdydz,
E'n — вся часть множества En, лежащая в первом октанте, интегралах 1п по формулам £22	1	2	2
х = pp sin? dcosP р, у = pi sin’ 0sin« р, внимание, что
"В(х, у. z) 4 1+1+1-1 . * + *-! „ . 2-. ,	„ --- = ---рр ч г slnp q 0sin«
1>(р< 6, v>) pqr
принимая во
После замены переменных в
1	2
= рт COS’- д,
2 р COS р
locos’- Р.
z
получим
2
	Л	-
sin p 1 О COS Г
2
[  -
I Sin 1
2—1 pCOSP р
±+i+i-2 pp i T dp —
о
о
/ \ / \ ——1
—В (1,	В (-,	рР q Г
pgr \р’ q) \9 Р/ -+к + --1
X z X 'pqr
Вполне очевидно, что конечный предел последовательности (Гп) существует лишь при выполнении условия “ + “ + “ < 1- Тогда и исследуемый интеграл сходится при выполнении этого условия. ►
56. Доказать формулу Дирихле
1 =/// х?dj:i dx2 • • • dXm =
JJ J	Цр1 +p2 + ••• +Ртп + 1)
E где {m
x g Rm : xt 1, Xi > 0, i = 1, m > , p, > 0, i = 1, m. i=i	J
◄ При m = 2 имеем
i	i-ii
zp-1®?2-1 dxj di2 = У rf1-1 dxi J z£2-3 di2 =
:l>0.x2>0	о	0
= - I - Хг)рз dx. = ^-B(p1; 1 +p2) = -^pl)^2l.-.
P2 J	P2	T(P1 +P2 + 1)
0
Следовательно, при m = 2 формула Дирихле справедлива. Допустим, что она справедлива для (m — 1) -кратного интеграла. При таком предположении получим
§2. Несобственные кратные интегралы	111
где {т—1
х g R’"-1 : ^2 z,1 - хт. Xi 0, * = k‘;n-l I . 1=1	)
Отображение, определяемое системой
Z1 = (1 — Em)£l< ®2 = (1	^т)^2? • • • j ®т—I = (1	®т)^тп—1»
является С1-диффеоморфизмом множества
Е" = / ( g R”’-1 : £ 6	1, 6 > 0, i = 1, m- 1|
I	( = 1	)
на множество Е1. Принимая во внимание равенства
Е>(Х!, Х2,  > Хт-1 ) _ ,	.т_]
P(6,6,...,£n.-1)	(	’•
_Р1—1 Р2-1	Рт-1—1 _лР1-1лР2- 1	fPm-l -1 Z,	\Р1 +Р2 + ' +Рт-1 -т +1
Х1 х2 хт-1	— 51	?2	•••?т-1 V1 х™>	’
в силу предположения индукции, получим
JJJ dxi dx2  dXm~1 =
Е‘
= (1-Zrn)₽1+P2+ - +₽ra'1//'-- J	d& ...dU-i =
E"
_ fl _	'1P1+P2+	+ Pm-1	T(pm-l)
(	}	F(pi+p2+ •• +Pm-1+1)’
Тогда интеграл I примет вид
i
I = ЛрОЛрэ) T(Pm-i)	f ^".-’(1 _ x,n )₽+”’ + - +p™-i dxm =
Г(р1 + p2 + • • • + pm-1 + 1) J
_	Г(р1)Г(р2)  r(pm-i)	4.11-
- r,	--—-------T~T\ VPm’ Pl +p2 + • •  4" pm—1 + 1) -
I (Pl + P2 + ’ ’ • + Pm-1 +1)
_ E(pi) •   Г(рт-1 )Г(рт)Г(р1 +  •  + pm-1 + 1) _	-Г(р1)Г(р2)    -T(pm)
T(pi + • • • + Pm-1 + 1)Т(р1 + • •  + pm + 1) T(pi + p2 + • • • + Pm + 1)
Методом математической индукции формула Дирихле доказана. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
34-	1 = И	= {(т, J/) 6 R2 : х2 + р2 < 1}, 0 < т |<p(z, р)| М, (х, у) g Е.
35-	/=	£={(x,p)eR2:0<x2 + p2<l},0<m^|^,p)|^Af,
(х, у) g Е.
36.	I = fff .	Е = {(=с. У- x) g R3 : 0 х а, 0 у а. О $ z а}.
О < т	|/(г. у. z)l < Л/, (г, у. z) g Е, <р, ip --- непрерывные на сегменте [0, а] функции.
37-1=Я/ЙЙ^' £=]0,1]х]0,1]х]0,1]. Е
Вычислить несобственные интегралы:
38-	1 = ff ^7, Е = {(г. у) g R2 : х 1, ху 1}, р > 0, у > 0.
Е
112	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
39.	£ = {(«, У)€К2:ха4-»а > 1}-
Е
40.	1 = Jfe-^^dzdy, Е = {(х, !/) €й2 : О О О}-Е
41.	I = // е~(х + у cos(x2 + у2) dx dy. R2
42.	//ехр {- (£+£)} dxdy, Е = {(х, у) 6 й2 : £ + £	1} , а > О, b > 0.
4з-	//г^ехр{- (^+2ezi+° < i£i <г
Щ2	' 1
44.	ГГ1П-Т-2-dxdy, Е = {(х. у) ей2 : 0 < х2 + у2 1}.
V*2+i/2
45-	Е={(1Л--!еР:3:С'<12+/ + ?<1}.
46.	///c^^ + ^+^’dxdydx. щЗ 3	3
47.	Л/ е-р(;,:1’*2’1з) dxx di2 dx3 где Р(хх, х2. х3) = 52 52 ачх<хЕ a'i = аз< — положила	i = l 3=1
тельно-определенная квадратичная форма.
48.	Доказать обобщенную формулу Дирихле
где Е = ух € йт : Xi 0, i = 1. т, £2 (т-)	1} • “> >0; а> > 0> Р> > 0-
49.	Доказать формулу Лиувилля
Л ( 52 Х' ) я?"1 zSr-1 dxx ... dim = %1,V.'..+p2) i у(ц)цР1+ '+р’“~1 du, Е \i=l J	О
E = < x € йт : х; 0, i = 1, m, 52 11 f ; P' > 0. * = 1’, m, I	i=i J
в предположении абсолютной сходимости интеграла в правой части равенства.
§ 3.	Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики
3.1.	Вычисление меры множества, измеримого по Жордану.
Если Е — жорданово множество (см.определение 4, п.1.4), то его жордановой мерой рЕ (или т-.иерным объемом) называется интеграл
рЕ = j dx.		(1)
Е
При т = 2 жорданова мера множества называется его площадью и обозначается через Р. В этом случае
Р =
dx dy.
(2)
(3)
§3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики из При т = 3 объем обозначают через V, а формула (1) принимает вид
V = JjJdxdy dz.
Е
Объемы тел, лежащих в пространстве R3, можно также вычислять с помощью двойных интегралов. Если
Е = {(х, у, z) € R3 : (х, у) € D С R2, 0 z f(x, у)}, где D -— компакт, f € C(D), то
V
«)
3.2.	Вычисление площади куска гладкой поверхности, лежащей в пространстве R3.
Если множество точек S = Ф(О) пространства R3 задано двухпараметрическим векторным уравнением
Ф — Ф(и, г) = (ж(и, f), y(u, f), z(u, t’)),	(«, г’) € D,
где D — область пространства R2, то S называется многообразием размерности р — 2 класса С1, или гладкой поверхностью, если компоненты отображения Ф являются непрерывно дифференцируемыми функциями своих аргументов. В каждой точке М = (х, у, z) гладкой поверхности S существует касательная плоскость, определяемая векторами
ЭФ, , (Эх, . ду .	, dz .	дФ .	. (Эх, , ду . dz .	,\
X—(«: v) = s~(u>	v) = ~5~Уи’ v>! ~5~Уи’ v)> 7ГУи’ v) 
ди	\ди ди ди ) dv	\dv dv dv )
Определение 1. Площадь параллелограмма. построенного на векторах du,	dv,
называется элементом площади поверхности S и обозначается через dS.
Согласно этому, элемент площади поверхности dS определяется через определитель Грама (см. п.1.1):
\ du dv
dS
= (EG - F2)du2 dv2,
дФ , дФ \ — du, — dv , ди dv )
l^,^)du2	dudv
\ du ’ du /	\ du’ dv I
{Z^^udv {^^)dv2
ГДе £ =	’ G = ir) > F =	— коэффициенты Гаусса.
Таким образом, согласно определению, имеем
dS = у/EG — F2 du dv.
Если поверхность S задана уравнением z = z(x, у), (х, у) g D. т.е.
Ф = Ф(х. у) = (х, у, z(x, у)),
то формула (1) принимает вид
(1)
dS = у 1 + z'2 + z'y dx dy.	(2)
Определение 2. Площадью Р куска гладкой поверхности S С R3 называется интеграл
Р=х [[ dS= fl y/EG-F2 dudv.	(3)
/2 । /2
Если dS = \/l + z'x + z£ dxdy, to формула (3) принимает вид P = J J	z'x + z'y dx dy.
D
(4)
114	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
3.3.	Приложения двойных и тройных интегралов к решению задач механики.
Если хо и уо — координаты центра тяжести пластинки D С R2 н р. = р(х, у) — поверхностная плотность вещества пластинки, то хо и уо можно найти по формулам
хо =	у) dxdy, уо = JJ ур(х, у) dxdy,	(1)
О	D
где т = ff р(х. у) dx dy — масса пластинки, о
Если пластинка однородная, то д(х, у) является константой, которую принимают равной единице.
Моменты инерции Ix, 7И пластинки D относительно осей координат Ох и Оу можно вычислить по формулам
Л = УУ з/2д(х, у) dx dy, Iy = У/ х2д(х. у) dxdy.	(2)
D	D
Центробежный момент инерции 1ху вычисляется по формуле
1ху — хур(х, у) dxdy.	(3)
D
Полагая в формулах (2) и (3) д = 1, получим геометрические моменты инерции однородной .пластинки — замкнутой области D.
Если хо, уо, zq — координаты центра тяжести тела Т С R3 и ц = д(х, у, z) — его объемная плотность, то хо, уо, хо можно найти по формулам
хо = — УУУ х^х’ У’ х) dx dy dz,
Уо =
х, у, z) dx dydz,
zo = — jJJ хц(х, у, z) dx dy dz,
(4)
где т = р(х, у, z)dxdydz — масса тела. т
Если тело Т однородное, то в формулах (4) полагаем д = 1.
Моментами инерции тела Т относительно координатных плоскостей называются соответственно интегралы

x, y, z) dx dy dz, IyZ = УJУ x2д(х, y, z) dx dy dz, T
Izx = УУУ У2р(х, у, z)dxdydz.
(5)
Моментом инерции тела T относительно некоторой прямой I называется интеграл
Il = УУУ г2 д(х, у, z)dx dy dz,	(6)
т
где т — расстояние от точки М = (х, у, z) тела до прямой I. Для осей координат имеем
1ху + Ixz, 1у = 1ух + lyz, Iz — Izx 4- Izy.	(7)
Моментом инерции тела Т относительно начала координат называется интеграл
7о = / [/ (ж2 + у2 + х2)д(х, у, z) dx dy dz.	(8)
$ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 115
Из формул (5) получаем /о = 2»в 4- /уж + /.*•	(9)
Ньютоновым потенциалом, или потенциалом поля тяготения тела Т в точке Р = (х, у, z) называется интеграл
«(«» v, «) =	д(6 ъ С) —,	(ю)
т
где »j, С) — объемная плотность тела, г = \/(£ — *)2 4- (ч — v)2 + (С — г)2-Материальная точка массы m притягивает тело Тс	уи
силой F, проекции которой Fx, Fv, Fx на оси координат
Ох, Оу и Oz выражаются формулами
р. -	JJJ о <_Л ц d, «,	,
где 7 — гравитационная постоянная.
Найтн площади плоских фигур D, края которых заданы уравнениями:
57.	(г2 4- у2)2 = 2а2(х2 - у2), х3 4- у2 = а2 (х2 4- у2 > а2).
•4 Перейдя к полярным координатам р и <р, получим уравнения края компакта D в виде р3 = 2а2 cos 2(р и р3 = а3. Требуется вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной частью лемнискаты Бернулли и частью окружности радиуса а, лежащей вие круга радиуса а (рис. 8). Легко убедиться в том, что точка (а, является одной из четырех точек пересечения лемнискаты с окружностью. Принимая во внимание симметрию фигуры, площадь которой требуется найти, приходим к выводу, что искомая площадь равна учетверенной площади фигуры
Di = ((р, р) € R2 : а р ау/2сов2<р, 0 <р .
Согласно формуле (2), п.3.1, имеем
58.	(х — у)2 4- х2 = а3, а > 0.
4 Для вычисления площади Р плоской фигуры воспользуемся решением примера 5, в), полагая там f(x, у) = 1. При этом получим
Полагая в интеграле t = arcsin имеем я	я
Р = 4а3 J cos3 tdt = 2а3 J (1 4-cos 21) di = 2а2 («4-	!)|2 = ™2. ►
о	о
116
Гл. 2. Кратные к криволинейные интегралы
ППК
Рис. 9
59.	(x* 2 + y2)2 = &a2xy, [x — a)2 + (y — a)2 = a2
Ч Требуется вычислить площадь общей части круга D = {(х> у) € R2 : (х - о)2 + (у - о)2	о2} и компакта
К = {(х, у) € R2 : (х2 + у2)2	8а2ху}. Пересечение этих
множеств D П К лежит в первом квадранте плоскости хОу (рис. 9). Переходя к полярным координатам, получим представление множества D Л К в виде
sin р + cos
О
п ГГ-Т- 1	. 1	Д’ , 1 .II
О 2a\/sin 2р, - arcsin -	р - + - arcsin - > .
Z	О	к Z	О J
Принимая во внимание симметрию точек множества D Л К относительно луча р = J, получим
dp
2 sin 2р + 2(sin р + cos р) yjsin 2p — 1
i»rc»in 1 a((«in v>+cot 2	8
2	8
= a2
arcsin
arcsin
'sin p + cos <^)ysin 2yj dp.
Принимая во внимание равенства
1	V63	Зу7	тг	1	.1	1 /тг
64	8	8 ’	4	2	8	2 к 2
и произведя в интеграле замену переменной р +	= t, получим
cos (arcsin
1Г	.	1\	1	1
— — arcsin - = — - arccos -2	8/2	8
Вычислим
Р = а2
Зу/7	1
—-------—	arccos
8	2
V—cos'it sin t dt
2
V — cos 2t sin t dt = 2
После замены переменной \/2cost = sin z имеем
*rc*in —
cos2 z dz = arcsin —= +----------.
2^/2	8
о
Таким образом,
p » / V? j. • V7 1	1
Jr = a I —— + arcsin —=------arccos —
\ 2	2	8
2
2	8

2	8
2
2
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 117 Обозначив arcsin | arccos | = а, получим
Зл/7	v'U	. v'U
sin а = —-=----= = ——. о = arcsin ——.
8ч/2	8ч/2	8	8
Окончательно имеем „	2 (у/i '	. УПД
Р = а ——I- arcsin —— . ► \ 2	8 /
2	2
60.	+ У— = £ + У-. а > 0. b > 0, h > 0. к > 0.
а1 2 о2 h к'
◄ Записав уравнение края dD компакта D С R2 в виде
(- - —V + (I _ А? = + А_
U 2h) +U 2к)	4h2 + 4к2
и произведя в двойном интеграле
Р = JJ dxdy D
замен}' переменных по формулам ха	у	b	.
---77=PC0S<p,	—= psinp, a 2h	Ь 2к
а также принимая во внимание, что
у) ^(р, <р)
а2 Ь2
Л2 + к2’
получим
1 М. £
2гг 2 V Л2+*2 f , f , irab fa2 b2\ P = abjdV	j	Pdp=— +
0	0
61.	~ ~	x = 0, у = 0 (a > 0, b > 0, h > 0, к > 0).
cr Л2 к2
◄ Плоская фигура, площадь которой требуется вычислить, лежит в первом квадранте. Перейдем к обобщенным полярным координатам по формулам
2	2
х = apcos3 <р, у = 6psin3 р.
2
Тогда уравнения границы фигуры примут внд „2	4	.2	4	/
а	-	О.-I
Р = 77 COS3 <р + — Sin 3 |р
IP	к2 \
„ ТГ
0, <р = —, ’ v 2
-г	2	1	.--- •-----
а якобиан будет равен ^abp cos з (р sin з р.
После замены переменных в интеграле dx dy и замены двойного интеграла повторным
D получим
4
cos з <р sin з ip d(p
2
о
1	(a2	1 b2 . 1 VJ
3	\ Ip cos3 v + к2 sin 3	I d<i> =
118
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
2 ,
_ ab t ( ai
О
L b* I -1
sin з wcos3 4- 7-sm3 pcos з^ + я4
2а2Ь2 • А;
Рр- sm у> cos I dtp =
ab
Т
а2Ь2 ^_п(1 £\	/5 1Й Л^2 1 fa< Ь<^ ff Р £\\ =
h2k2 + 2Л4^ \3’ 3/ + 2к*а \3’ з))	3 \h2k2 + 2 у Л4 + к* J U’ 3J J
_аЪ (а2Ъ2	r/П гЛ	ГЛ	аЬ	, 2*	бЛ\
~ 3 \yks +	6 ^А4 + k*J \з) V	з) )	3	+ 3>/3V4	к* J)'
4	2	2
62. f-+^ =
\a b) h2	к2'
◄ В интеграле
произведем замену переменных по формулам
х = ар cos2 р, y = bpsia2p.
Тогда уравнение кривой, являющейся частью края компакта D, примет вид
/ a2 cos4 р b2 sin4
p=\l—h2--------W
a2 cos4 p b2 sin4 p h2 k2
Из условий X
имеем 0 Sj р arctg
После замены переменных
перейдем от двойного интеграла к повторному. Прн этом получим
(так как cos(arctga) =
63. х2 — ay, х2 = by, х3 — су2, х3 — dy2 (0 < а < b, 0 < с < d).
4 Из уравнений границы области видно, что она лежит
интеграле
D
переменные по формулам х2 = иу, х3 = vy2, получим
с $ v $ d, х — u2v ’. у = a3t> 2,
в первом квадранте. Заменяя в
Р(*> У) !>(«, »)
= «4 v~4,
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 119 ь d
Р = Jа4»-4du dv = У и4du v~4 dv = —(Ь5 ~ °5)(с 3 — d 3), ► a^u^b	a	с
c^v^d
64. у = ахр, у = bxp, у = схч, у = dx4 (0 < р < q, 0 < а < Ь, 0 < с < d). _i 1	_i_ 1
◄ Запишем уравнения края компакта D в виде у = ахр, у = Ьхр, х — с я у я, х = d яуя и в интеграле
Р = dxdy
D 1 произведем замен}' переменных по формулам у = ихр, х = vy я ( задающим взаимно однозначное соответствие между точками прямоугольника
( -1 _1)
D'	=	< (u, v) € R2 : а С « С Ь, d я v	с	я >
1 Я	Р	РЯ	|	I	р+1	р(?+1)
и компакта D.	Поскольку	х	= и я-р v я-р , у = и ч-р v я-р ;	я-р v я-р , то
а Г Е±1	[ ₽Сч±1> , д-р
Р =	/ ия-Pdu / V я-р dv = т—-
q-pj	J	(Р + 1)(? + 1)
а	_ 1
<?+* \ / _р+1	р+1
ая-р 1 | с я-р — d я-р
<4 В интеграле Р = JJ dx dy заменим переменные согласно формулам х = ар cos3 <р, у =
D bp sin3 <р. Тогда
»rctg2
[	• 2
> / sin <р cos d<p =
arctg 1
Р
= 3abpsin2 pcos2 <р, 1 р 8, arctg 1 р arctg2, V) &rctg2	8
> У sin2 р cos2 pdp J arctg 1	1
2	* О*	/
sin 2p dp = -^-ab I (1 — cos 4yj) dp = »rctg i
189	(	.	2-2
= —ab ^arctg 2 — arctg 1 — sin p cos ^(cos p — sin p
189 ,( . 1 . 6 \
—ab ^arctg - + -) • ►
66.	Найти площадь области D, ограниченной эллипсом, заданным уравнением (aji + biy + ci)2 + (а2х + Ъгу + cj)2 = 1, где 6 = aib2 - e2i>i 0 0.
•4 В интеграле Р = JJ" dx dy произведем замену переменных по формулам <ц х + 61 у + ci =
D
и, а2х -|- Ь2у + I. = v, отображающим круг £>' = {(u, v) 6 R2 : и2 + v2 < 1} на область D. Используя известное свойство якобиана, выраженное формулой	> получаем,
что j т>(и. v) | — Таким образом, имеем Р = JJ dv dv =	►
120	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Применяя формулу (4), п. 3,1, вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, заданными уравнениями:
67.	z =ь х2 + у2, у = х2, у = 1, z = 0.
◄ Тело Т, объем V’ которого требуется вычислить, представляет собой замкнутое множество
Т = {(х, з/, z) £ R3 : -1 х 1, х2 < з/ 1, 0 z х2 + у2}.
Согласно формуле (4), п.3.1, имеем
V = уу"(х2 + y2)dxdy, D = {(х, у) € R2 : ]х| < 1, х2 < у < 1]. D
Следовательно, 11 1 .	[, 2 2ч .	[ ( 2	4	1	Х6\ ,	88
V = dx / (х2	+ y)dy -	/ ( х- х+ - - — I dx	= —.	►
-1	-1
68.	z =s xy, X + у + z = 1, z = 0.
•< Поверхность S = {(x, y, z) £ R3 : z = 13/} пересекается с плоскостью о = {(x, у, z) £ R3 :x-f-3/ + z = l} по кривой, уравнение проекции которой на плоскость хОу имеет вид у = х, € R \ {-I}- Поэтому множество D в формуле (4), п.3.1, представляет собой замкнутый треугольник D = {(1, j) ё R2 : 0 i 1, 0 j 1-х}, который запишем в виде D = Di U Di, где
Dy = |(х, t/)gR2:0^x^l, О^з/^ д } ’ Di - |(х, у) G R2 : 0 С х С 1, 1--^ С у С 1 - х|.
На множестве Di функция f в формуле (4), п.3.1, имеет вид /(х, у) = ху, а на множестве £>2 /(х, з/) = 1 — (х + з/). Представив интеграл
V = УУ /(х, у) dx dy D
в виде суммы интегралов по множествам Di и Di и перейдя от двойных интегралов к повторным, получим
1— X
1	1+7	1 i-х
V = У xdx J у dy + У dx j (1 — х — у) dy = 00	0	1-1
ПТ
= 1/41^)! dx = 1 / (> _ 3Z + 4- -М dx = 12-21п2. ►
2 J 1 + х	2 J \	14-х/	.12
о	о
69. z2 = ху, х2 + у2 = а2.
◄ Тело ограничено сверху и снизу относительно плоскости хОу конической поверхностью S = {(х, у, z) £ R3 : х2 = ху}, а с боков — цилиндрической поверхностью 51 — {(х, у, z) € R3 : х2 + у2 = a2, z € R]. В силу симметрии точек тела относительно плоскостей, заданных уравнениями z = 0, z = х + у, можем вычислить значение j- части объема V и умножить
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 121 полученный результат на 4. При этом множеством D в формуле (4). п.3.1, является D = {(z, у) е Р? ; х2 у2 а2, х 0, у 0}. Таким образом, имеем
V=4 УУ у/xydx dy. D
Переходя в интеграле к полярным координатам и заменяя двойной интеграл повторным, находим
70.	z — х2 + у\ х2 4- у2 — х. х2 + у2 = 2z, z = 0.
◄ Тело ограничено сверху параболоидом вращения S — {(z, у, z) € R3 : z = х2 + у2}, снизу— плоскостью хОу, извне — цилиндрической поверхностью Si = {(z. у, z) € R3 : (z —1)2 + y2 — 1, z 6 R}, изнутри — цилиндрической поверхностью S? = {(z. у, z) G R3 : (z — |)2 + y2 = j, z € rJ. Эти цилиндрические поверхности вырезают из плоскости хОу замкнутую область D. которая в полярной системе координат определяется неравенствами — <р
cos<p р 2cos^p. Согласно формуле (4), п.3.1, имеем
71.	z — х2 + у2, z = х + у.
◄ Параболоид вращения и плоскость пересекаются по кривой, уравнение проекции которой на плоскость хОу имеет вид (z —	+ (у — |) = Поэтому тело Т является множе-
ством:
Т ~ У, z) € R3 : (z - i) + (у -	|, х2 + у2 z х + зД ,
I	\	* /	\ Z / L	J
а формула (4), п.3.1, запишется в виде
V = (х + у - х2 - y2)dxdy, D= {(z, у) € R2 : (z -	+ (у - 0
D
Заменяя в интеграле переменные по формулам х — 1 = pcos ip, у — j = psin получаем
1
v = y^y (£_рз) dP^-.+ О о
122	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
2	2	2	2 2	2
72.	2? + Ь- + ^	= 1>	X- + ^	=	Z-(Z>0,a>0,b>Q,c>Q).
а2 Ь2 с2	а2 Ь2	с2
◄ Тело ограничено конической поверхностью и поверхностью эллипсоида. Коническая поверхность вырезает из поверхности эллипсоида кусок, проекция которого иа плоскость хОу ограничена кривой у = ^(z. у) € R2 :	+ *зг = Из геометрических соображений
и формулы (4), п.3.1, заключаем, что искомый объем тела может быть найден с помощью интеграла
Iz = yy(zi(r, у) - z2(x, у)) dxdy, D = |(z, у) € К2 :
D
где
Переходя в интеграле к обобщенным полярным координатам по формулам х = apcostp, у = ftp sin <р, получим
1 2% V?
V — abc j dtp j ^P\/l — p2 — p2^ dp = о о
2 .
-vabc 3
о
= ^ebc(2 — 5/2). ►
>/2
73.	(— +	+-r = l, x = 0. y = 0. z = 0(a>0, 6>0).
\ a 0 / c2
Ч Если z — 0, to	T-e-	— 5)- Требуется вычислить объем
тела
В интеграле
2
dx dy,
D = {(z, j/)€R2:0^z^a, O^j/^6^1— —
произведем замену переменных по формулам х = apcos2 <р, у = bpsin2 <р. Принимая во внимание равенство	= 2abpsin <pcos<p, а также пределы изменения <р и р (О <р у,
О р 1), получим
о
1
V = 2аЬс
2
У sin <р cos tp dtp
У р\/1-р2</р=	- р2)2
о
abc
У' *
2	2	2	/2	2\2 о	2
74.	Х-+У +z- = }: pL + И =^-^(о>0,6>0)с>0).	
аг	Ь2	с2	\a2b2J	а2	о2	’
◄ Тело ограничено частью поверхности эллипсоида и частью цилиндрической поверхности. вырезающей из плоскости хОу замкнутую область
Г	/ 2	2 \ 2
D=hx,y)^:(^+^]
_ И
а2 Ь2
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 123
Принимая во внимание симметрию точек тела относительно координатных плоскостей, а также симметрию точек области D относительно осей Ох и Оу, можем вычислить величину V' объема тела по формуле
v = Sc]]D1 = г1’€r2:+
D,	'
После замены переменных по формулам х = apcos 93, у = ipsin 93 находим
75.	z = ху, х2 = у, х2 = 2у, у2 = х, у2 = 2х. z = 0.
◄ Тело Т, объем которого требуется вычислить, представим в виде Т = {(z, у, z) € R3 : (х, у) € D, 0 Sj z zy}, где D — криволинейный четырехугольник, край которого задан уравнениями х2 = у, х2 = 2у, у2 = х, у2 = 2z.
В интеграле
V = JJ ху dx dy
D
заменим переменные по формулам х2 = иу, у2 = vx, отображающим квадрат D' = {(u, п) €
R2 : 1 и 2, 1 С v С 2} на множество D. Тогда = 5 
76.	— +	+ —	= 1,	х = 0, у	- 0,	z = 0 (п > 0. а	> 0, Ь > 0, с > 0).
ап	Ьп сп ' ’о 	\	/
◄ Требуется вычислить объем тела
Т — 9 (®, У- z) € R3 : (z, у) € D, 0 z $ с Г/1 — (-—|-
I	у \ап Ьп
где D — < (z, у) € R2 : 0 < х < а, 0 у < Ъ
Согласно формуле (4), п.3.1, имеем
V
2
Полагая в интеграле х = ар cos «
= C/f D
2
S3, у = ip sin n 95, получим
V(x,y) 2 ,	*_1	. 1-!
^-^y = -a6pcosn 93 sin n
124
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
о
cos »	95 sin « <pd<p i
о
— . а1>с п рп dp — ——В п
о
Рп <ip-
В интеграле 1 — f р v^l — рп dp заменим переменную по о
1
формуле р = tn . Тогда
n dt =
о
Окончательно имеем
1\ _ abc Г3 (^)
J Зп2 Г(1)
Применяя формулу (4), п.3.2, найти:
77. Площадь поверхности тела, ограниченного полыми цилиндрами
51 = {(х, у, z) € R3 : х2 + z
S2 = {(х, у, z) € R3 : у2 + z2
2 = а2, у € R}, = а2, х € R}.
что jg- часть поверхности тела, образованного в результате пересе-
4 Из рис. 10 видно, чения двух цилиндров, проектируется в плоскости хОу на множество
поэтому
Р = 16 УУ ^/1 + z42 + z'y dx dy,
D
где z = y/a2 — x2. Поскольку 1 + z* + z'2 —	, то
P = 16а
о
Vа2 — х2 J	J у/а2 — х2
о	о
,--------10
= 16а \/а2 — х2 — 16а2. ► I а
78. Площадь части сферы S = {(х, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 = а2}, заключенной внутри цилиндрической поверхности
f	2	2	1
Si = < (*> V> *) € r3 :	+ Т5- = 1> * € R > , Ь sj а.
1	а ол	1
◄ Цилиндрическая поверхность, пересекаясь со сферой, вырезает из нее симметричные относительно .плоскости хОу куски, каждый из которых рассекается координатными плоскостями xOz и уОг на четыре равные части. При z 0 имеем
z = \/ а2 — х2 — у2,
. , i2 i2
1 + Zx + Zy —
а2 — х2 — у2 ’
§ 3.	Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии н физики 125
Согласно формуле (4), п.3.2, получаем
79.	Площадь части поверхности S = {(z, у. z) g R3 : z1 = 2ху}, отсекаемой плоскостями, заданными уравнениями х + у = 1, х = 0, у — 0.
◄ Дифференцируя левую и правую части равенства z2 = 2ху, получаем z dz = у dx-j-x dy. откуда z'x = f, 4 = -z, 1 + zf + z? =
Принимая во внимание, что точки поверхности S симметричны относительно плоскости хОу и что верхняя ее часть относительно этой плоскости проектируется на множество D = {(z. у) € R2 : 0 z 1, 0 у 1 — z}, находим
dy -
// 1	1 -j 1	3 \	/	/ Ч Ч \	1	/1 S \ \
Z2(l-z)2 +£z"2(1-z)2 dx = 2V2[B[~, - +-в(_, -	=
\	О	]	\\4Z/0\4Z//
О
80.	Площадь части поверхности S = {(z, у, z) € R3 : z = \/z2 + у2}, заключенной внутри полого цилиндра Si = {(z, у, z) € R3 : z2 + у2 = 2z, z € R}.
◄ Поверхность, площадь которой требуется определить, вырезается цилиндром Si из конической поверхности S. Цилиндр Si пересекается с плоскостью хОу по окружности " = {(z, у) g R2 : (z — l)2 + у2 — 1}, которая является краем компакта D — круга радиуса 1 с центром в точке (1, 0). На поверхности S имеем z = i^/z2 + у2, поэтому z'x = j, z'y =
1 + zx + z'y =1 + *	= 2. Следовательно, P — ff \[2 dx dy = яу/2. ►
D
81.	Площадь части Si поверхности S = {(z, y, z)gR3:z = i/z2 — y2}, заключенной внутри полого цилиндра
S2 = {(г, У, z) g R3 : (z2 + у2)2 = a2(z2 - у2), z g R}.
◄ Цилиндр S2 вырезает из конической поверхности S симметричные относительно плоскости yOz и равные между собой куски, a j- часть поверхности Si проектируется в плоскость хОу на замкнутую область D = {(z, у) g R2 : (z2+y2)2 a2(z2—у2), z 0, у 0}. Поскольку для рассматриваемого случая х/1 -|- zl2 + Ру = —, то
,/ж2—«2
z dx dy /z2 — у2
126	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
После перехода в интеграле к полярным координатам получим я	___ я	я
Г	ay/cos 2<р	<	т
Р = 4д/2—/C°S.<^= dtp j pdp = 2t/2a2 fcos tp \Jcos 2tp dtp = 2a2 J	~ (>/2 sin <p}2 d(t/2 sin tp).
ООО	0
Полагая в последнем интеграле \/2sin<£ = t, имеем
i
Р = 2a2 У >/1 ~t2 dt = О
82.	Площадь части Si поверхности S = {(z, у, г) € R3 : z - j(z2 - у2)}, вырезанной плоскостями, заданными уравнениями х —' у = ±1, х + у = ±1.
◄ Четвертая часть поверхности Si проектируется в плоскость хОу на замкнутую область D = {(г, у)€Й2:0^х^1,0^у^1 — х}. Поскольку \/1 + z£2 + z'y = >/1 + z2 + у2, то
Р = 4 УУ \/1 + х2 + у2 dx dy.
D
Переходя в интеграле к полярным координатам, получим
2 -
о
Полагая в интеграле ctg (tp +	= t, имеем
2тг 2
з + 3-/2
где
(3 + ?)Д
1 +t2
dt.
Для вычисления интеграла I представим его в виде
1 11
7 = / (1+ТТр) Х//3 + /2 = j V^ + t2dt + 2 У ^±^-dt = -i	-i	-i
=	+ t2 + |In (t + х/з + t2)) I1 + 2 I —di.	+ 4 [------- =
'2	2	\	))]_> J у/3+Р J (l-H2)vT+F
-1 ~1
1
= 2 + — In 3 4- 2 In (t + х/з + 12У I + 4 [ --——у — — = 2 + x In 3 + 47i,
2	\	J l-i J (l + t2)V3 + P 2
-i
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и фнлпкн 127 1
где 7i = Г ----  Осталось вычислить интеграл Л. Полагая в нем t = V3tgг, получим
_i (i+i2)v3+‘s
в
cos z dz cos2 z 4- 3 sin2 z
в	*
arctg (i/2sin z) = V2 arctg-1=. л/2 J l + k/2sinz)2 V2	’	V2
6
6
Окончательно имеем
P = _T + ^ (1 + Iln3) + larctg^' *
О	О \ *х / О	V ~
83.	Площадь части поверхности S, заданной уравнением sin z = sh z sh у и отсекаемой плоскостями, уравнения которых х = 1 и х = 2 (у 0).
◄ Из условия следует, что 0 shzshy 1, откуда 0 $ у $ arsh (^7)- Дифференцируя обе части равенства sin z — shzshy, получаем coszdz = ch x sh у dx -j- sh x ch у dy, откуда z* = ^7777^' z'v = *7^77* • Следовательно,
,2	/2 _ i , ch2z sh2y 4-sh2z ch2y л t ch2zsh2y 4- sh2zch2y
cos2 2	1—sh2zsh2y
_ 1 — sh2z sh2y 4- ch2z sh2y 4- sh2z ch2y _ 1 4- sh2z(ch2y — sh2y) 4- ch2zsh2y _ 1 — sh2z sh2y
1 — sh2z sh2y
1 4- sh2z 4- ch2z sh2y _ ch2z(l 4- sh2y) _ ch2zch2y 1—sh2zsh2y 1 —sh2zsh2y 1—sh2zsh2y
Согласно формуле (4), п.3.2, имеем
ch х dx
<^(sh у)
s/1 - (sh ash y)2
2
dx = j arcsin 1 • cth x dx =
1
2
v , sh 2 v . e2 — e 2 — In —-- = — In ------Г-
2 shl 2 e — e-1
v. ( Г = 2ta(e+;
84.	Площадь части сферы S — {(z, у, z) € R3 : x1 4- 3/2 4- z2 = а2}, ограниченной двумя параллелями и двумя меридианами.
Ч Пусть <^1, tfi — долготы меридианов (<^2 > pi), а У1, V>2 — широты параллелей ($2 > 1&1). Тогда координаты любой точки М = (х, у, z), принадлежащей указанной части сферы, можно записать в параметрической форме
х = acos<pcostl>, у = a sin <р cos	z = a sin 'ф (y>i ip р2, Фг ^Ф Ф2У
Найдем коэффициенты Гаусса Е, G и F:
Е = «У + Ю2 + (4)2 = °2 cos2 G = (4)2 + (у^)2 4- (4)2 = “2 -
128	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Таким образом, у/EG — F2 = a2cos^> и, согласно формуле (3), п.3.2, имеем
¥>2	^2
Р = a2 J dp j cos V' ЛФ — a2(<^2 — y>i)(sin Ф2 — sin ^>i). ►
¥>1 Vl
85.	Площадь части поверхности тора, заданного векторным уравнением
Ф = Ф(р, ф) = ((Ь + a cos ф) cos р, (b 4- a cos ф) sin p, a sin ф). 0 < a Sj b, ограниченной двумя меридианами p = pi, p = <pj и двумя параллелями ф = ф1,ф = Фг-Чему равна площадь поверхности всего тора?
Ч Вычислим гауссовы коэффициенты тора:
Е = {Ф'<^, Ф^.) = (Ь +a cos ф)2, С=(Ф'ч.,Ф^) = а2, F =	Ф’^) = 0.
Следовательно, y/EG — F2 = a(b + a cos ф) и, применив формулу (3), п.3.2, имеем
^2
Р = а dp j\b + a cos ф) 4ф = а(рг — pi) [Ь(ф2 — фр) + a(sin ф? — sin ф1)). vi vi
Подставляя в полученное выражение pi = 0, р2 = 2тг, фг = 0, ф2 = 2тг, находим, что площадь всей поверхности тора равна 4т2ab. ►
Применяя формулу (3), п.3.1, вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, заданными уравнениями:
86.	z = х2 + у2. z = 2z2 + 2у2, у — х, у — х2.
◄ Тело Т, объем которого требуется вычислить, представляет собой следующее множество точек:
Т — {(z, у, г) € R3 : 0 х 1, х2 sj у sj х, х2 + у2 Sj z Sj 2(z2 -|- j/2)} .
Применяя формулу (3), п.3.1, получим
dx dy dz
2(х2+»2)
J dZ
x2+!/2
О X2
3
35'
87.	z — x + У, z = xy, z+y= 1, z =0, y = 0.
◄ Поскольку T — {(z, y, z) g R3 : 0 z 1, 0 у 1 — z, xy z z + у}, to
dx dy dz
J dx J dy J dz = j dx J (x + у - xy) dy 0	0 xy 0	0
0
dx =
24’
88.	az = z2 + y2, z = ^/i2 + У2, о > 0.
◄ Тело T ограничено частью поверхности параболоида вращения и частью конической поверхности, пересекающихся по кривой, проекция которой на плоскость хОу является окружностью 7 = {(х, у) g R2 : х2 + у2 = а2}. Поэтому
Т = < (z, у, z) € R3 : —в С х а, —у/а3 — х2 у	у/о.2 — х2, -—±-?L- < z у/х2 -|- у2
а
§ 3, Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 129
В интеграле V = fff dxdydz перейдем к цилиндрическим координатам х = р cos <р, у = т
psin s;. z = z. Принимая во внимание симметрию точек тела относительно плоскостей xOz и yOz. а также равенство ^^7-^ = Р> получим
89.	az — а2 — х2 — у2, z = а — х — у, х = 0, у = 0, z — 0.
◄ Тело Т лежит в первом октанте и ограничено частью параболоида вращения, заданного уравнением az — а2 — х2 — у2 (с вершиной в точке (0, 0. а)), и частью плоскости, уравнение которой z = а — х — у. в сипу чего его можно представить в виде Т = Tj U Tj, где
7j = < (т, у, z) € R3 : 0 Sj x a. a — x Sj у Sj \/a2 — z2, 0 z Sj a------—
формула (3), п.3.1, принимает вид
V
41/
Л
dx dydz +
///
dx dy dz.
После перехода к цилиндрическим координатам получим
90.	z = 6 — х2 — у2. z = у/х2 +у2 
◄ Тело Т ограничено конической поверхностью S.= {(я, у, z) € R3 : z = t/z2 + у2 } н поверхностью параболоида вращения, заданного уравнением z = 6 — х2 — у1 (с вершиной в точке (0, 0, 6)).
Решая уравнение 6—х2— у2 — у/ х2 + у2 относительно \/z2 + у2, получаем, что ^/z2 + у2 = - откуда следует, что конус и параболоид пересекаются по кривой, проекцией которой на
130	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
плоскость хОу является окружность у = {(х, у) € R2 : х2 + у2 = 4}. Следовательно, множество точек тела Т имеет вид
Т = •! (х, у, z) € R3 : х2 + у2 4, а/х2 + у2 < z 6 - х2 - у2
В интеграле V = fff dx dy dz перейдем к цилиндрическим координатам и заменим тройной т
интеграл повторным. Принимая во внимание симметрию точек тела Т относительно плоскостей xOz и yOz, получим
2	2	6-р2	2
V — 4 [ dtp [ pdp [ dz — 2т J р(6 — р2 - р) dp = о
0	0	р
91.	(х2 + у2 + г2)2 = а2(х2 + у2 — z2).
Ч Точки тела Т симметричны относительно всех координатных плоскостей, поэтому в первом октанте находится его 1 часть. Переходя в интеграле V = fjj dxdydz к сферическим г
координатам по формулам (7), п.1.8, получим
2
2
2
V' = 8
Р dp =
cos 26 )3 de.
о о
Полагая в интеграле — 9 = i, находим
где u = sin t.
4	4
5 f l 4та3 f
- / cos t cos 2 2t dt = —-— /
0	0	0
Замена переменной y/2u = sin z приводит к интегралу
з
2 sin2 t) 2 </(sin t) =,
\/2 3 Г	3
— I (1 — 2u2) 2 du,
V
2
I3 f .
= I COS
zdz
0
2та3 _ (1 5\	т2а3
— '-IS.- jP { ~, — I = — 	, ►
3a/2	\2 2/	4a/2
92.
= a > 0. b > 0. c > 0. h > 0. Л
Ч Для вычисления объема тела, ограниченного данной поверхностью, удобно перейти к обобщенным сферическим координатам, полагая в формулах (9), п.1.8, о• = ft = 1. Тогда 0'^ 9 т, —tp у (так как х 0). Принимая во внимание, что 0 р 3/a sin в сое у Т>(ж.	1	2 • л
V-----h---’ Р(Р, Р,У) = аЬсР имеем
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 131
Ч Из уравнения границы тела Т видно, что его точки симметричны относительно координатных плоскостей, поэтому
V = 8 уУJ dz dydz, т'
где 7* — восьмая часть тела, лежащая в первом октанте. Заменим в этом интеграле переменные по формулам (9), п.1.8, полагая в них о• = 0 = 1. В сферических координатах уравнение границы тела принимает вид р2 = sin2 в—cos2 в, откуда заключаем, что 9	0	.
После замены переменных и перехода к повторному интегралу получим
3%
V = 8аЬс
2
I dtp
3ir
Произведем в интеграле
.1	„2
4 t
= -irabc 3
1 — 2 cos'
з
;2е)г
4	.
du ~ —itabc
3
3
2 cos2 в)2 d(cos9).
Зтг
замену \/2cosfl = sin t. Тогда
2
f	4	4
/ cos t dt — ——irabcB
I	Зд/2
т2
—=аос. ► 2д/2
,2	Л.2	„2	_2	2
94.	^ + ^- + £. = 1,	+ *
а2	62	с2	а2	о2	с
◄ Найдем уравнение проекции на плоскость хОу кривой, по которой пересекаются дан-2	2
ные поверхности. Для этого подставим - =	+ р- в уравнение поверхности эллипсоида.
2	..2	^2	^2	1
Решив полученное уравнение относительно	имеем	—• Таким образом,
тело Т представляет собой множество точек
/2
Т = < (z, у, z) е к3 : (г, у) € D, с I — + I	\ °
где D = {(z, у) € R2 :
В интеграле
dx dy dz
целесообразно перейти к обобщенным цилиндрическим координатам по формулам
х = а
pcostp, у = Ъ
1 . —psin	Z — Z
Тогда	= t£(>/5 — l)p. Принимая во внимание симметршо точек тела относитель-
но плоскостей rOz и yOz. после замены переменных и перехода от тройного интеграла к
о
о
V =
о
Z
1 _ — _ у2 I а2 Ь2 | '
132 повторному имеем
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
2	2 н 1 н
= -^-irabc(3 — \/5). ► 1Z

◄ Принимая во внимание симметрию точек тела Г относительно координатных плоскостей, имеем
V = 8 /// dx dy dz,
т'
где
{/ т~2 Tv (х, У> х) ё R1 : (х, у) ё D, 0 z < с\ 1 - ( ~т + тт )	>
V \а & /
(	х2	V2	1
-О = < (®> у) ё R2 : -= + тт < 1, х > 0, у 0 > . I	а	г	I
Затем приходим к выводу о целесообразности перехода в тройном интеграле к обобщенным цилиндрическим координатам по формулам (12), п.1.8, полагая там а = 1. Заменив переменные, получим г 1	1
V = &ab j dtp j pdp У dz = iirabc J p(l—pi)^dp. ooo	о
i
Полагая p = ti, выразим объем V через Г-функцню Эйлера:
1
V = irabc j t2-1 (1 — t)T dt = тсаЪсВ (i, j) = о tr(|)r(|) xv^abc-r(l) abc v^r2(l)sinf abc /х n2 /1\ " г (I) "	3P(i)  1	3 Г V 2r U • *
96	. f — + V + -'j = V- — x 0, у 0, z 0, h > 0, к > 0. \a b cj h к
4	Множество всех точек тела Т принадлежит первому октанту. В интеграле
V = УУУ dx dydz т
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 133
перейдем к обобщенным сферическим координатам по формулам (9), п. 1 8, полагая в них - Л тж	х у л	asina6cos2« 6sin2 (Ssin2 Л _
о- = •? = 2. Из условия j — f 0 получаем неравенство ------------j--= О, откуда
О arctg . После замены переменных в тройном интеграле перейдем к повторному
интегралу. Получим	-
◄ В интеграле
dx dy dz
перейдем к обобщенным сферическим координатам по формулам (9), п.1.8, полагая там а = ,5 = 4. Тогда
О < #5%	0 < <р < у, О С р 1,
7	1	2
V = 16abc У cos3 6 sin1 0 dO J р2 dp j sin3 <^cos3 d<p = ^абс #(4, 2)B(2. 2) =	. ►
0	0	0
2	2	2
98- ©MDMi)5'1-
◄ Точки тела T симметричны относительно координатных плоскостей, поэтому
Т'
где Т — восьмая часть тела, лежащая в первом октанте.
Заменяя в тройном интеграле переменные по формулам (9), п.1.8 (полагая там а = 3 = 3). получим
2
V = 72 abc J cos2 6 sin5 0 dO о
2

• 2	2
sin 9? COS <p
= ба&с В
МИН)-
, W2 (I)
6al»c------/тг-
ПЗ)Г(|)
4
— rube. ► 35
134	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
99. х2 + z2 = a2, х2 + z2 = b2, x2 — у2 — z2 = 0 (ж > 0, a < b).
•< Точки тела T, объем которого требуется вычислить, симметричны относительно плоскостей xOz и хОу, которые разделяют его на четыре равные части. Граница тела состоит из частей конической и цилиндрических поверхностей. В силу всего сказанного выше имеем
V = 4 dxdy dz,
в
где множество точек Т* принадлежит первому октанту. Заменив получим
тройном интеграле переменные по формулам z — pcossp, х = psiny?, у = у.
ir
4
ir
2'
7>(z, x, y) _ V(P> V>, y) ~ p’
Ь Р\/~cos	2
pdp / dy = 4
Произведем в интеграле замену переменной, полагая t = у — <р. Тогда
i3 — a3
2/ dt.
В полученном интеграле целесообразно di =
произвести замену sin 2t = z2, после чего имеем
dz,
>,3 „з о — a
3
>3	„3
b — a
3
100.
2
= — arcsin ж
- ) , — 4- v = 1, x = 0, х = а (а > О, Ъ > 0, с > 0). с/ ' а о
z = 0, получаем уравнение прямой 4- | = 1, по
а Ъ
◄ Полагая в уравнении поверхности ;
которой поверхность пересекается с плоскостью хОу. В тройном интеграле
V = JУdx dy dz
произведем замену переменных, полагая ~ = « f + = v, ~	= w- При этом получим
2w	V. z}	1
О и 1,	— arcsin w v 1, — 1 w 1,	' у—~ = —---------г- = abc.
ж	2/(u, v, w) 2/(«? v, w)
®(x, у, z)
V = abc
dv
1 — — w arcsin	dw — 2abc I 1 — — / w arcsin wdw
»	/	I x J
2w
—— arcsin w
I	1 / w2
= 2abc 11------I arcsin w
\	ж I 2
w2 dw II. . / , " I I = abc I 1
Vl — w2 ] ] I
w2 dw
\Z1 — i"2
2
V = 4 /
V =
* + м g ~ Ь
о
о
ь
2
з з> / > -а )
о
V =
< dz =
о
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 135
= abc I 1 —
w2 dw +
== I = abc I
-abc. ► 2
101. (ai x + bl у + Cl z)2 + (a2x-r62y + c2z)2
ai by 0,2	62
аз Ьз
+ (а3х + Ь3у + с3х)2 = Л2,
Cl ct
Сз
/0.
◄ В интеграле
Д =
dx dy dz
заменим переменные по формулам сцх +	+ CiZ = ut (i = 1. 2. 3), отображающим шар
Т‘ — {(uj. «2? «з) G I3 • «1 + «2 + ti2} на тело Т. Тогда, принимая во внимание, что 7?(х. у.х) 1 ггН— ' , = -г, получим Z>( ui, из, из) Д’ J
1' = Й	з W
Г'
/2	2\n 2n /2	2 \ n~2
102.	(^+b-)	=	+	, n > 1, a > 0, 6 > 0. c > 0. Л > 0.
\a2 b2 J c2n h \a2 b2 J
◄ Тело T находится в полупространстве R x R x R+ и его точки симметричны относительно плоскостей xOz и yOz, в силу чего имеем
V = 4 JУУ dxdy dz.
где T' — четвертая часть тела, находящаяся в первом октанте.
Перейдем в интеграле к обобщенным сферическим координатам по формулам (9), п.1.8, полагая в них a = Д = 1. Тогда
V
2’
r
2’
ccos0sin2n 4 6
Vovuovom	V __ . .
A(sin2n в + cos2n S')	?
2
V' = 4abc /
0	0	0
Полагая tg2n0 = t. получаем
2	р(*)	2	2
/ ,	[ 2J 2,г А 2 / cos0sin2n-3fl 21Г , 2 / tg2n-30</(tg0)
I dV J ' df~3k’tc J	Л ° J
0	0

v = ^- [ LJLdt=^B(1-L, 3nh J 1Ц-1 3nh \ n'
о
к2 abc2
3nh
Г(1)
3nhsin —
103.	Найти объем m-мерной пирамиды Г т
T =
, a,- > 0. » = ]. m.
136	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
4 Объем тела Т вычисляется по формуле
Заменим в интеграле переменные по формулам х,- = j = 1, m. Тогда получим, принимая во внимание, что ^5* ’ ' Г"? = <и aj ... am:
104.	Найти объем М-мерного шара
Т = h 6 Rm : О’ L
I	i=«l )
4 Заменяя в интеграле
т
переменные по формулам (14), п.1.8, и принимая во внимание формулу (15) того же пункта, получим
2ir tr	ir	ir	a
V = J dvi j	j sin2 933^3 •J smm~2 <pm-i d>pm-i J pm~2 dp =
о о	о	о	о
m m—1
= 2"*-1 2^- Д у sin>- d*j.
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 137
Каждый интеграл, входящий в произведение, является В-функцией Эйлера:
Следовательно,
При т — 2 получим V' = на2, а при т = 3 имеем V' = ixa3. что известно из элементарного курса геометрии. ►
105.	Найти объем m-мерного конуса, ограниченного поверхностью, заданной уравне-2	2	2	2
37 j	37 о	тп — 1	т
нием —=- Н—=- + ... Ч-=-- = -Х-, и гиперплоскостью, уравнение которой хт = ат.
а1	°2	ат-1	ат
◄ В интеграле V — f dx заменим переменные по формулам т
т-2
Xi = 01 psin sin р2   -sin рт-2. x}• = a,p cos <py-.i JJ sin <p,- (j' = 2, m — 2), ’-3
27m —1 = <2?n—1 P COS 2 «	27 m = 27m.
Принимая во внимание равенство
p(ll, x2, ... , xm)
^P1 * • • • , pm—2 < 2?m)
и решение предыдущего примера, получим
2тг 2 aiO2 ... ат (т - 1)тГ
?п —1
тг 2 010; , , gm
Применяя формулы (1), п.3.3, найти координаты центра тяжести:
106.	Однородной пластинки D, граница которой задана уравнениями ау — х2, х + у = 2а (а > 0).
◄ Прямая *(т = {(х, у) € R2 : х + у — 2а} и кривая = {(х, у) ЕЙ2 : ау — х2} пересекаются в точках с абсциссами г; = —2а, х; = а. Однородная пластинка D является плоской замкнутой областью D = (х, у) € R2 : — 2а х а. у 2а - х >, а ее масса
т
а	2а—х
9 2 2“
138	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
По формулам (1), п.3.3, имеем
Хо =
х \ , а — ) dx = — — а 1	2
—2а	-2а
а
107.	Однородной пластинки D, ограниченной частью кривой
2	2	2
(х, у) € R2 : ХЗ + уз = аз
и отрезками О^х^а. 0 у а.
◄ Вычислим массу пластинки D:
т
dxdy =
D
у(х) dx,
з
/ 2	2\ 2
где у(х) = I аз — хз I Полагая х = acos3t, у = asin3t (0 Sj t Sj у) н принимая во
внимание, что возрастанию параметра t от 0 до у соответствует убывание переменной х от а до 0, получим
т =
t(—3a cos2 t sin t) dt = За2
2
j sin4 t cos2 tdt =
Применив формулы (1), п.3.3, имеем
л И»)	а	2
1 [ ,	[ , i f . . ,	За3 f 5j • За3 - /5 ,
хо = — I х dx I at = — / xylx) dx =   / cos t sin t dt = -—в — 3
m J J mJ 1 mJ	2m \2 .
0	0	0	0
a iz(x)
yo — — dx I tdt =
mJ J о 0
a	2
/" 2 / i j	.	2 . n 3a „ / 3 \	256a
Jy(x'>dx = —J sin Zcos tdt = —B ^4, -J = —.
0	0
108.	Однородной пластинки D, ограниченной кривой, заданной уравнением р = а(1 + cos <р), и отрезком луча = 0.
◄ Применяя формулы пункта 3.3, получим
т
a(l+cos
=
о
о
ТГ
2	/•
У I (l+cos<p)2 dip =
О
a2 [ ,	2ч.	3	2
” / (14-2cos93-hcos	-ira ,
0
$ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики
139
Го
а(14-со* о
+ cos 93)3 dtp =
cos2 <p+cos4 tp) dtp =
/(3 cos2 <p+cos4 <p)	= j- (зВ (j, |) + В (j, |))
3mJ	зт \ \z z/ \z i//
0
5
6a’
Уо =
0
a(l+cos <f)
+ cos <p)3 sin tp dtp
+ cos <p)3d(cos <p) =
16a
9?r
При решении примера использовали переход в двойном интеграле от декартовых координат к-полярным координатам. ►
109.	Найти координаты центра тяжести круглой пластинки D = {(г. у) € R2 : х2 + у2 а2}, если плотность ее вещества в точке (г, у) пропорциональна расстоянию от этой точки до точки (а, 0).
◄ Из условия задачи следует, что плотность р вещества пластинки D выражается формулой р(х, у) = ст/(г — a)2 -I- у2. где с > 0 — постоянная. Согласно формулам (1), п.3.3, имеем
Хо
J j хц(г, у) dx dy, D
у) dx dy,
где m = д(х, у) dx dy. После замены переменных по формулам х — а = pcosp, у — psin tp,
D получим
3%	3%
4 4
= -Са I (3coss 9? — 2 cos3 93) dtp =	 I (1 — 4sin2 ip 4- 3sin4 y?) </(sin 9?) = — 7,
от J	3m J	о
ff	1Г
2	7
140
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
3»г “5”
с [ .	,
уо = — / sm ч> dtp
т /
cos4 9?sin <pdip = 0.
110.	Найти моменты инерции относительно осей координат Ох н Оу однородной пластинки	_______________________________________________________
D = {(х, у) € R2 : 0 х а, 0 у а — \/ 2ах — х2 ) .
◄ Заменяя в формуле (2), п.3.3, для вычисления 1Х двойной интеграл повторным, при д(х, у) = 1 получаем
a a—y/iax—x2	а
1Х = У dx j у2 dy = У (а — 2ах — х2^ dx.
0	0	о
Полагая х = 2а sin21, находим
Интеграл Iv = ff х2 dx dy заменим по-D вторным, в котором внешнее интегрирование производится по переменной у. При этом получим
a a-y/iay-y2
j dy j x2 dx = Ix = Yg(16-5ir). ►
111.	Доказать формулу = ha + md2, где h, ho — моменты инерции плоской пластинки D относительно параллельных осей I и !о, из которых /о проходит через центр тяжести пластинки, d — расстояние между
рис ц	осями, т — масса пластинки.
◄ Выберем систему координат хОу так, чтобы ее начало О совпадало с центром тяжести Мо = (хо, Уо) пластинки D, а ось Ох — с прямой 10 (рис. 11). Тогда, очевидно, уо = 0. Пусть ц(х, у) — плотность вещества пластинки. Расстояние точки (х, у) ё D от прямой I равно d — у, в силу чего можем
написать
г2
Из равенств
= т,
У[ у/*(х, у) dx dy = myo = 0,
= /<.
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики
141
следует доказываемая формула.
112.	Доказать, что момент инерции I плоской пластинки D относительно прямой, проходящей через центр тяжести О = (0, 0) пластинки и составляющей угол а с осью Ох, определяется формулой
I = Ix cos2 а — 2lxv sin a cos а + sin2 а, где 1Х к I, — моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу, 1Ху —центробежный момент инерции (см. формулы (2) и (3), п.3.3).
Ч По условию центр тяжести пластинки D находится в начале координат системы хОу. Фиксируем точку (х, у). Ее расстояние до заданной прямой равно (ж — у ctg a) sin а = х sin а — у cos а (рис. 12), в силу чего имеем
1 = J(xsin а — у cosa)2 ц(х, y)dxdy=
D
D
д(ж, у)х2 dx dy —2 sin a cos а
хуц(х, у) dx dy + cos2 a jj у2ц(х, у) dx dy =
= ly sin2 a — 2Ixy sin a cos a -+• Ix cos2 a. ►
113.	Определить силу давления воды на боковую стенку цилиндрического сосуда Т — {(ж, у, z) € R3 : ж2 + у2 а , 0 z Л}, ж 0, если уровень воды z = h.
Ч Согласно основному закону гидростатики, на элемент d<z(Af) цилиндрической поверхности, площадь которого dS(M), действует сила давления dP(M), равная по величине произведению dS(M) на плотность д(1И) жидкости и на расстояние элемента da(M) от свободной поверхности жидкости. Эта сила направлена в сторону единичной внешней нормали к боковой поверхности цилиндра. Следовательно,
dP(M) = dS(M)n(M)(h - z)n(M), М € da.
Поскольку образующие цилиндра параллельны осн Oz, то
dP{M) = dX(M)i + dY(M)j,
где dX(M} = dS(M)(h — z)/*(M)cos(n, »), dY(M) = dS(M)(h — z)n(M) cos(n, f). Суммируя по всем элементам da(M) к принимая во внимание равенства
dS = ^/1 + Ху + ж^2 dydz,
(cos п, ») = --  - -i--  , cos(n, j) =-- д(ЛГ) = 1,
Vl-f-Жу -|-ж?	Vl-f-xi +xi
получаем следующие значения компонент X и Y вектора Р — суммарного давления на стенку цилиндрического сосуда при ж 0:
a h
Х= ^1 + ж,,2 + хх (Л — z) cos(n, ») dy dz = j dy J(h — z)dz = a{h — z)2|° = ah2, ——a 0
а Л
Y = J J yjx + x'y + xx (h — z) cos(n, j) dy dz = J ydy J(h — z)dz = 0. ►
-a 0
142	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Найти координаты центров тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями, заданными уравнениями:
11 л	У2	2,2
114.	-у +	= —, Z = С.
ст о2	с2
< Тело Т однородно, ограничено частью конической поверхности S = {(z, у, х] ,€ R3 : z = cyj^7 +	, частью плоскости Si = {(z, у, z) € R3 : (z, у) € R2, z = с} и симметрично
относительно оси Oz. Следовательно, его центр тяжести Л4о = (zo, уо, zo) лежит на этой оси и Zo = 0, уо — 0. Согласно одной из формул (4), п.3.3, имеем, полагая g(z, у, z) = 1:
Zo =
z dx dy dz.
V
где V' — объем тела Т.
В интеграле V = dx dy dz перейдем к обобщенным цилиндрическим координатам, т
полагая z — ар cos у = bpsin <р, z = z (0 ip 2тг). После замены получим
V = ab
dz — 2irabc
—abc.
3
0	0 ср
Таким образом, имеем
z0 =
zdz =
irabc2 .
~V~ J о
яаЬс2 3
47“ ” 4е' k
0	0 ср
115. х2 = 2pz, у2 = 2рх. х = ^, z = 0
< Точки тела Т симметричны относительно плоскости xOz, поэтому
V = 2 jJdx dydz.
т>
где Г = |(z, у, z) g повторным, получим
Заменяя тройной интеграл
§ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики
143
р	_	р
2 v2pi 2р	2
*°=г.Л* j ООО	о
тдтР- ► 1(6
116.	+ т— +	= 1. х = 0. у = 0, z = 0. (п > 0. х > 0, у '
ап ои сп
< Точки тела Т принадлежат первому октанту. В интеграле
V = УУУ^ dx dy dz
перейдем к обобщенным сферическим координатам по формулам (9), п.1.8, полагая там а — /3 = Тогда
0^0^™. 0	• 0 <	1,	; = — abc р2 cosn 1^sinn 30sinn 3<^cosn 3
2'	2	P(p, 0, <p) n2
2
V = -^-abc 1 nS J
0
1 cos n 0 sin n
2
[ • -/ ЯП"
2
COS п
<p d<p
о
о
_ abc n f % 3n2	\ n
3n2
Применив формулы (4), п.3.3, имеем
хо =
2
1 fff , > , 4a2bc [ . 1 y I I I x dx dy dz —	/ sin n
T	0
2
[  -/ sm n
<j?COSn
о а2ЬсВ
V 4п2
0
2
COS «
1
yo - p: JУУ у dx dy dz
z0 = p: УУУ z di dy dz =

о
117.	Определить координаты центра тяжести тела, имеющего форму куба Т — z) € R3 : 0 х 1, 0 у 1, 0 z 1]. если его плотность в точке (т, у, z)
определяется формулой
la-1 2(3-1	2-.
n(x. y, z) = X 1-0 У Z 1-
< Найдем массу m тела T:
2a-l
2/3-1
ТП
 Sb.-d-»)(!-«(!-7)
T	0	0
Согласно одной из формул (4), п.3.3, имеем
a /3 у
х° ~ ~ JI"J хц(х, у, z) dx dy dz = — j T	0
2Д-1
27-1
z 1—1 dz —
0
= 1 (] -o)(l-^)(l--,) m	a
/?
z, y. z
о
0
144	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Аналогично находим уо = /3. zo = 7. ►
118.	Определить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т, ограниченного поверхностью, заданной уравнением
2	2	2
х_ У _ £_ а2	Ь2	с2 ’
а > О, Ъ > 0, с > 0.
< Применим формулы (5), п.3.3, и в интеграле
I ху = jjjz2dxdy dz
т
перейдем к обобщенным сферическим координатам по формулам (9). п.1.8, при о = ,3 = 1. Уравнение границы тела Т в сферических координатах примет вид р2 = sin2 в — cos2 0, откуда следует, что в Множество Т' = {(р, 0, <р) € R3 : у 0 С , 0 р з/~ cos 20. 0 <р 2%} отображается на множество Т. Принимая во внимание равенство	=
abc р2 sin 0, после замены переменных и перехода от тройного интеграла к повторному получим
V	2я
Ixy = abc3 j sin 0 cos2 0 d0 j d'p
1 ° 4
Зя
2 к 3
-Ttabc
5
cos2 £(sin2 0 — cos2 0)2 d0.
1
Полагая в интеграле -\/2cos(? имеем
тгаЬс3
5V2 J о
it2 abc3 128t/2
Аналогично получим
- _ 15ir2a3bc . _ 15тг2аЬ3с
VZ~ 256^2 ’ ZI ~ 256V2 '
119.	Найти момент инерции неоднородного шара Т = {(т, у, z) g R3 : х2 + у2 + z2 т2 } массы тп относительно его диаметра, если плотность шара в текущей точке М = (х. у, z) пропорциональна расстоянию этой точки от центра шара.
•4 По условию задачи имеем
д(т, у, z) = у у/X2 + у2 + Z2. у = const, у > 0. Постоянную определим из условия
m = у
х2 + у2 + z2 dx dydz.
Перейдя в интеграле к сферическим координатам, получим
$ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 145
Считая, что диаметр шара является отрезком оси Oz и применяя одну из формул (7), п.3.3, найдем
'х2 + у2 + z2(x2 + у2) dx dy dz = i
о
2ir г
у ps -о
о
2
2irmr6 [
Зтг4 J
о
1 ,ГЦ)Г(2) 4 2 w
-ГПГ -----ГТ- — —W • ►
3	Г(2 + |)	9
120.	Доказать, что момент инерции тела Т С R3 относительно оси I, проходящей через его центр тяжести О — (0, 0, 0) и образующей углы а, /3, у с осями координат, определяется по формуле
Л = Ix cos2 а + 1У cos2 р + IX cos2 у — 2Кху cos a cos/? — 2KXX cos a cos 7 — 2Куг cos /? cos 7,
где Ix, Iy, h — моменты инерции тела относительно осей координат (см. формулы (7), жЗ.З) и

Кху
худ(х, у, z)dxdydz,
К*,
х, у, z) dx dy dz,
=///”'“
Кух
угц{х, у, z) dx dy dz
— центробежные моменты.
Найдем квадрат расстояния от точки М = (х, у, z)
тела до прямой I (т.е. до точки N — проекции точки М	Рис. 13
на прямую I, рис. 13). Пусть г = (х, у, z) — радиус-
вектор точки М, а е — орт прямой I. Очевидно, е = (cosa,cos/?, cosy), d2 = |r|2 — (г, e), где (г, е) — скалярное произведение векторов г и е. Принимая во внимание равенства |г|2 = х2 + у2 + z2, (г, е) = х cos а + у cos Р + z cos 7, cos2 a + cos2 p + cos2 7 = 1, имеем
d2 = (x2 + y2 + z2)(cos2 a 4- cos2 p + cos2 7) — (1 cos a + у cos P + z cos y)2 =
= {y1 +z2) cos2 a+(x2+z2) cos2 p+(x2+y2) cos2 7—2xy cos a cos/?—2xz cos a cos 7—2yz cos p cos 7.
Пусть д(х, у, z) — плотность вещества тела Т. Из определения момента инерции тела относительно некоторой оси (см. формулу (6), п.3.3) следует равенство

х, у, z) dx dy dz.
т
Подставив в интеграл найденное выше значение <?2 и пользуясь свойством аддитивности тройного интеграла, получим доказываемую формулу, ►
121.	Найти момент инерции относительно качала координат однородного тела Т плотности до, ограниченного поверхностью, заданной уравнением (х2 + у2 + z2)2 = a2(x2 + у2).
Применяя формулу (8), п.3.3, получим
'x2 + у2 + z2) dx dy dz,
146	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Перейдем в интеграле к сферическим координатам по формулам (7), п.1.8. Очевидно, 0
6 тг. О 2т, 0 р «sin в. После замены тройного интеграла повторным найдем
ТГ	ТГ	тг
2* abin 6	2*
Io = 8;<0 j sin в d6 j dip p* dp = po«S j sin6 в d6 — |-ir pocfB = -^-доа5- ► ooo	о
122.	Найти ньютонов потенциал в точке Р = (z, у, z) сферического слоя Т = {($, г), £) 6 R3 : т2 £2 + г? + С2 Гг], если плотность д = /(г), где / — известная функция, г = V? + v2 + C2-
< Поверием систему координат так, чтобы ось 0(1 системы координат	проходила
через точку Р. В новых координатах сферический слой является множеством точек, определяемым неравенствами г2 £2 + г)2 + £2 г2, по которому будем интегрировать, применяя формулу (10), п.3.3. Имеем
«(z, у. z) = «1(0, 0, г) =
_2
/(уШ^ + С?) \Д? + ^ + (Cl - г)2
<Д1 drii dQi.
Перейдем к сферическим координатам по формулам (7), п.1.8. Легко убедиться в том, что О^О^тг, 0 <р 2тг, и р тг. Принимая это во внимание и переходя к повторному интегралу, получим
sin 9 d9
у/ р2 — 2рт cos 0 + г2
о о
0=!Г\	г2
)dP = ~ \ pf(p)(p +г “ 1р ~ rl) dP = а=о /	г.
V f P2f(p)dP,
если
если
Р> г,
Р<г,
где г = t^/z2 + у2 + z2.
2
Ответ можно записать в более компактной форме. Если р > г, то — > р; если р < г, то р?	„
у- < р. Поэтому
Др) dp.
Г2
п
Упражнения для самостоятельной работы
Найти площади плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными .уравнениями: 50. (z2 + у2 - az)2 = a2(z2 + у2), х2 + у2 — а\/3у (внутри каждой из кривых).
51. (z2 + 3/2)2 = «2z2 + &V. 52.’z«+y< = 2а2ху. 53. £ + £ = £ + £.
54- (f + !)2 = f-p>«- 55. (^ + К)3 = ^13,>0,а>0.6>0.
56- ((f)3 +(f)^ =^+£’ 57- (\/?+\/Т)&= £ + £ ' > °: У > °-
§ 3.	Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 141
58.	х2 = ау, х2 = by,	у = т, у = п (0 < а < 6, 0 < m < п).
59.	у2. = а2 — 2ах, у2	= b2 — 2bx, у2 = т2 + 2тх, у2 — п2 4- 2пх	(0 < т <	п,	0	<	ч	<	Ь).
60.	(z2 + у2)2 - а(х3	- 3zy2), а > 0. 61 (z3 + у3)2 = г2 + у2, х	> О, у 0.
62.	(f + f)5 = х .	63. х + у = а, х + у — Ь, у = аг. у = /Зх	(0 < а < Ь.	0	<	а	<	S).
64.	J^+	= 1, Ут = 2, - = 4- = f (а > °, b > °).
V а V 6	’ V а V b } а b ’ а 6 4	'
С помощью двойных интегралов найти объемы тел. ограниченных поверхностями, заданными уравнениями:
65.	х 4- у -|- z — а, х2 4- у2 = Ъ2, z = 0, (а > Ь\/2}. 66. х2г2 4- я2у2 = с2х2, 0 < х < а.
67.	у2 4- z2 = х, х = у (z > 0). 68. z = sin(z2 4- у2), z = 0, птг < х2 4- у2 < (п 4- 1)х.
69.	х2 4- у2 = az2, х2 4- у2 = ах (z > 0).
70.	z(z 4- у) = ах 4- by. z = 0, 1 < z2 4- у2 < 4, (z > 0. у > 0, а > 0. Ъ > 0).
71.	(f| + f|J* + f = 1, z > 0. 72. z2 = 2zy, (f| +	(x > 0, у > 0, z > 0).
73.	z = Xy/x 4- уу/у, x + y = 1 (z > 0, у > 0. z > 0).
(; + Пг + 5 = 1. + =
75.	z = x2y, y2 — a2 — 2ax, y2 — m2 4- 2mx, у = 0, z = 0.
Найти площади:
76.	Части поверхности S = {(z, у, z) g R3 : az = xy}, заключенной внутри цилиндра S1 = {(z. у, z) gR3 : x2 + y2 = a2, z gR}.
77.	Части поверхности S — {(z, y, z} g R3 : x2 + y2 + z2 = d2}, расположенной вне цилиндров Si = {(z. у. z) g R3 : z2 + y2 = ax. z g R}, S2 = {(z, y, z) g R3 : z2 + y2 = —ax, z g R}, a > 0.
78.	Части поверхности S = {(z, y, z) g R3 : x2 + y2 - 2az}, заключенной внутри цилиндра Si = {(z. у, z) g R3 : (z2 4- y2)2 = 2a2xy, z gR}.
79.	Части цилиндра S{(z, у, z) g R3 : z2 4- y2 = a2, z g R}, вырезанной плоскостями, заданными уравнениями z4-z = 0. z-г =0 (z > 0, 1/> 0),
f	3	1
80.	Части поверхности S = < (z, у, z) g R3 : (z2 4- y2)x 4- z — 1 > . отсекаемой плоскостью zOy.
81.	Части поверхности S = {(z. у, z) g R3 :	4- |)2 4-^ = 1}, вырезанной плоскостя-
ми, заданными уравнениями z = 0, у = 0, z = 0.
82.	Части поверхности S = {(z. у, z) g R3 : у —	= 2z|, вырезанной поверхностью
Si = |(z, у, z) g R3 :	+	= 1, z 0}.
83.	Части поверхности S = {(z. y, z) g R3 : у 4-	= 2z j-, заключенной внутри цилиндра Si = |(z, у, z) gR3 :	z gR^.
С помощью тройных интегралов найти объемы тел, ограниченных поверхностями, заданными уравнениями:
84.	(х2 4- у2 4- z2)3 = a3(z3 4- у3	4-z3), а > 0, у >	0, z > 0.	85.	(z2 +	у2)2 4- z4 =а3(х - у).
( 2	2	2\®	4	/ 2	2	2	\ 2	/ о э \
= Кт-87-	+ Ъ + +	=*4	< ’•
88-	(f + S + S, = f + f-j.-=>«.»>«.4>»-
89.	(ujz 4- b^y 4- ciz)2 4- (a2z 4- b2y + c2z)2 = 1, u3z 4- b3y 4- C3Z = ±h, где
«1
«3
bl i>2 Ьз
Cl
C2
C3
# 0.
148	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
90.	(ж2 + у2 + z2)3 = 3xyz.
91.	z2 + у2 + z2 = а2, х2 + у2 + z2 = Ъ2. х2 + у2 = z2 (z > 0, 0 < а < Ь).
(О 3	2 \ 2 о 2	2	2	4
+	+	+	93. ^ + ^ + ^ = 1.
94‘	(Г+f +(Г =
95.	а + | + П4 = ^>^0>^0-^0-
96-	(? + 1)2 + (г)2 = 1, ОО, у^О. z^O.
97.	\/1+?/1+	= О0,у^0, z>0. 98. (х2 +у2 +z2)3 = ^5.
Найти координаты центров тяжести однородных пластинок D С К2, ограниченных кривыми. заданными уравнениями:
99.	х4 + у4 = х2 у. 100. (| + f)4 = %. 101.	+ ^у - х = 0, у = 0.
102.	(f + ;)3 = fr- ЮЗ. (х2 + у2)2 = 2а2ху, х > 0. у > 0.
Найти моменты инерции h И 1У относительно осей координат Ох и Оу однородных пластинок Рей2, ограниченных кривыми, заданными уравнениями:
104.	4-	= 1, — +	= 1, у = 0 (bi > 0, &2 > 0, h > 0). 105. р — а(1 + cos<^).
106.	х4 + у4 = а2(х2 + у2). 107. ху = а2-. ху = 2а2, х = 2у, 2х = у (х > 0, у > 0).
108.	Найти момент инерции правильного треугольника со стороной а относительно прямой. проходящей через центр тяжести треугольника и составляющей угол о с его высотой.
Найти координаты центров тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями, заданными уравнениями:
109.	Л2(х2 + у2) — a2 z2, 0 < z < А. 110. х2 + у2 + z2 = а2, х2 + у2 = ах.
111.	£ + £ = f f = ±1, £ - f = ±1, z = 0.
112.	x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2 (z 0). 113. x2 + y2 = 2z, x + у = z.
Определить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных тел, ограниченных поверхностями, заданными уравнениями (параметры положительны):
X2 „2	Z2	г2 „2	-2	X2 ,.2	Т
114.	= V Z = с. 115.	4-	+	= 1.	+ « = £.
а2 о*4 с* 	Ъ* ' с*	а~ Ь2 а
116.	4+Й = 2-. - + £ = -. а2 ‘ Ь2 с а 1 Ъ с
117.	Найти ньютонов потенциал в точке Р = (0, 0. z) цилиндра Т — {(£, у, g РГ : £2 + у2 а2. О £ Sj 6} постоянной плотности до.
118.	Найти сил}' притяжения однородным шаровым сектором плотности до материальной точки с массой, равной единице, помещенной в его вершине, если радиус шаровой поверхности равен г, а угол осевого сечения сектора равен 2a.
§ 4.	Интегрирование на многообразиях
4.1.	Многообразия в евклидовом пространстве Rm и их ориентация.
Определение 1. Множество А1 С Rm называется .многообразием размерности р т. принадлежащим классу С1. если для каждой точки a = (си, ... , am), a € Л/, и некоторой окрестности S[a, <5) существует окрестность S(ap, <5i) точки ар = (ai, ... , ар) и такое отображение tp : S(ap, 6i) — AI П S(a, 6) класса С1. что tp}(ap) = а7, j’ = р -|- 1, т, причем координаты точек х € AI П S(a, 6) удовлетворяют уравнениям
Xj = Pj(xp) = pj(xi, , хр), хр е S(ap, <51), j =р + 1, т.	(1)
Определение 2. Параметрическим представлением множества Al С Rm размерности р т, принадлежащим классу С1, называется отображение и н-» Ф(и) открытого множества О Q йр в пространство R"1. обладающее следующими свойствами:
1)	Ф являемся гомеол/орфизмом О на А1\
2)	Ф является отображением О — Rm. принадлежащим классу С1;
§ 4. Интегрирование на многообразиях	_	149
3)	е; каждой точке и — (и]; .... ир), и g О. отображение d&(u) g £(R,>; R'") имеет ранг р.
Последнее условие в определении 2 означает, что образ векторного пространства йр при этом отображении является векторным подпространством в R"' размерности р, т.е. векторы ~(и), j = 1, р, линейно независимы в Rm, в силу чего хотя бы один из определителей р-го порядка матрицы Ф'(и), составленной из элементов	(« = 1, ”i, j — 1, р): отличен от
нуля.	1
Теорема. Для того чтобы множество М С Rm было многообразием класса С1 размерности р $ т. необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки а g М существовала такая открытая окрестность S(a, 8), чтобы множество М Г) S(a. 6) допускало параметрическое представление размерности р, принадлежащее классу С1 .
Если р — 1, то говорят, что М есть кривая класса С1 (или гладкая кривая), а в случае р = 2 многообразие М называют поверхностью класса С1 (или гладкой поверхностью).
В случае, когда р = т — 1, многообразие М С R™ называется гиперповерхностью.
Если т — 3, р = 2, то, для того чтобы в окрестности точки a € М множество .W С R3 было гладкой поверхностью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два эквивалентных условия:
1) с точностью до перестановки координат хг, хз в окрестности точки а = (ai, аг, аз) множество М задается уравнением хз — <р(х\. хг). где р —функция класса С1 в окрестности точки (ai, аг) и <p(aj, аг) = а3;
2) в окрестности точки а множество Л/ допускает параметризацию класса С1
Xj = pj(ui, иг), 1 j 3, (ui, u2) € 5(о, 5), х}(а) = а}, и при этом хотя бы один из определителей
"Р&г, Рз)	£>(у>з, Pi)	2?(у>1, рг)
P(ui.ut)’	V(ui,U2)'	V(uj, иг)
отличен от нуля для всех точек (uj. иг) £S(a, 8).
Определение 3. Пусть отображение и i— Ф(и). и g О, О С Rp, является параметрическим представлением множества М С Rm размерности р ^т класса С1 в окрестности точки а g М, причем Ф[а) = а, а g О. Тогда образ линейного отображения </Ф(а) : Rp Rm есть векторное подпространство размерности р. Это подпространство называется касательным пространством к многообразию М в точке а и обозначается ТДМ).
Определение 4. Системой ориентаций дифференцируемого многообразия М называется выбор для каждой точки a Z М некоторой ориентации его векторного касательного пространства ТДМ).
Определение 5. Многообразие М С Rm размерности р т класса С1 называется ориент ируемым, если оно имеет хотя бы одну непрерывную систему ориентаций, а выбор такой фиксированной системы ориентаций называется ориентацией многообразия М.
Если многообразие М является связным н ориентируемым, то оно обладает двумя возможными ориентациями, определяемыми выбором ориентации пространства ТДМ).
Если М С Rm — гиперповерхность класса С1, то ее трансверсально ориентируют выбором непрерывного поля единичных нормалей п(х) , х g М, а выбор одного из двух возможных направлений вектора п в произвольной точке х g Л/ определяет трансверсальную ориентацию в целом.
Трансверсально ориентируемые гиперповерхности называются двусторонними.
Если, например, гладкая поверхность размерности р = 2 в пространстве R3 задана уравнением
f(x, у, z) = z - y>(z, у) = 0.	(х, у) g D, D С R2,
то
grad Дх, у. z) = I -^(г. У). ~^(х’ ?)> И •
150
Гл. 2. Кратные  криволинейные интегралы
следовательно, векторы
н(х, у, z)=
—=====	1
±\/1 + ₽2 +?2	+ Р2 + f2 ±\/1 +Р2 + ?2
(2)
где р = ^(я, »), ? =	У)> определяют два непрерывных поля единичных нормалей к
поверхности в каждой ее точке. Выбор определенного знака перед радикалом у/Т+р2 + ?2 в произвольной точке поверхности фиксирует одно из этих полей, а значит, и определенную сторону поверхности, т.е. ориентирует ее трансверсально.
Если гладкая поверхность М С R3 задана параметрически в виде
х = х(и, о), у = у(м, о), х — z(u, о), (и, о) 6 О, О С R2,
то
А	В	С
±VA2+B2+C2’ ±VA2 + B2 + C2' ±VA2 + B2 + C2 где
А _ Т>(у, х) в _ P(z, х) с _ 7>{х, у) Т)(и, о) ’ D(u, о) ’	2>(и, v)
Если М С Rm — гладкая кривая, то ее касательная ориентация называется направлением обхода кривой, а положительным считается обход, при котором вектор скорости 4>'(t), t €]а, Ь[, в каждой точке t является положительным в смысле ориентации в этой точке. Трансверсальная ориентация этой кривой определяется заданием направления вращения вокруг нее.
Пусть М С Rm — ориентированное многообразие размерности р = 2 класса С1 , а К — компакт, лежащий на этом многообразии. Обозначим через дК границу компакта К.
Определение 6. Компакт К С М называется компактом с краем класса С1, если выполнены следующие условия:
1) дК в пространстве Rm является кусочно-гладкой кривой класса С1 (эта кривая лежит на многообразии М и имеет в общем случае конечное множество угловых точек);
2) всякая точка а 6 дК, отличная от угловой, имеет такую открытую окрестность S(a, 8) на многообразии М, что множество S(a, 8) Л СдК распадается на две связные компоненты, одна из которых состоит из точек S(a, 8) П СК, а другая — из точек окрестности S(a, 8), принадлежащих компакту К.
Ориентации многообразия М сопоставляем ориентацию гладких дуг края ЭК по следующему правилу: в каждой регулярной точке a € дК рассмотрим в касательной плоскости к многообразию вектор т(а), касательный к дК в точке а, направленный в сторону, определяемую ориентацией края ЭК, и вектор v(a), ортогональный к вектору т (а), направленный в ту сторону, где лежат внутренние точки компакта К. В случае, когда' М С R®, векторы т(а), и(а) и N = (т(а), и(а)] образуют базис пространства R3, ориентирующий его так же, как и канонический базис {в, у, fc) (рис. 14).
Если М С Rm — многообразие размерности р < т класса С1, то всякое параметрическое представление # класса С1 открытого множества М П S(a, 6) этого многообразия называется локальной картой класса С1, или просто картой. Множество #(О) = М П S(a, 8) называется образом этой карты. Атласом многообразия М называется множество карт открытых множеств из М, образы которых покрывают М.
§4. Интегрирование иа многообразиях	151
4.2.	Элемент р-мерного объема на многообразии Л/ С Rm размерности р тп класса С .
Пусть и Ф(и), и € О, — С1-гомеоморфизм области О С Rp на область Ф(О) евклидова пространства Rm, а отображение d4>(u) € £(RP; Rm) имеет ранг р в каждой точке и е О. Тогда множество Л/ = Ф(О~) является многообразием размерности р класса С1. Отображение rf<₽(n) в точке и Е О переводит систему р векторов базиса пространства Rp в систему линейно независимых векторов ^r(w), j — 1, р, из R™.
Рассмотрим на множестве О брус В с вершиной в точке и £ О, построенный на векторах duj = ejduj, j — 1, р, duj > 0, где еу — векторы стандартного базиса пространства Rp. Объем этого бруса V(B) равен произведению длин его ребер:
dV(B) — dui du? ..  dup.	(1)
Образом вектора du} при отображении (2Ф(и) является вектор	du} = duj.
Следовательно, дифференциал бф(и) отображает брус В} на параллелепипед Н с вершиной в точке Ф(«). построенный на векторах	j = 1; Р-
Определение. Объем dV(H) параллелепипеда Н называется элементом р-мерного объема на многообразии М .
 Согласно определению, имеем
dV(H)= Jr	p-(u), ... , ^-(«) \dv, du2...dup,	(2)
у у OUy	0U2	0Up J
где Г	... ,	— определитель Грама от векторов	j = 1, р.
Пусть т = 3, р = 2, S — гладкая двусторонняя поверхность в пространстве R3. Обозначим через х, у, z координаты точки в R3 со стандартным базисом {i, j, к}. В окрестности каждой точки поверхности М рассмотрим ее параметрическое представление (u, v) t-* Ф(и, и), определяемое тремя функциями класса С1
х = х(и, и), у = у(и, v), z = z(u, v), (u, v) g О С R2.
Так как поверхность S является многообразием размерности 2, то ранг матрицы — \ Эи I — I Эи J
равен 2. Поэтому по меньшей мере один из якобианов
А - J R -	*) с -
В(и,и)’ В(и,иУ V(u,v) отличен от нуля во всех точках открытого множества О С R2-
Обозначим через dS элемент двумерного объема многообразия S и будем называть его элементом площади поверхности Согласно формуле (2), получим
(3)
Ox au Ox dv
ay au
Bv
dS =
ОФ 0Ф dv ’ dv
dudv = \/EG — F2 du dv.
(<)
где
2
2
2
2
2
2
/ <ЭФ d$ \	dz dz	dy dy	dz dz
\ du ' dv f	du dv	dv dv	du dv
*) Об этом уже говорилось в пункте 3.2. Здесь строится мера на произвольном многообразии, частным случаем которой является dS.
152	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
— коэффициенты Гаусса.
Из тождества Лагранжа
(be — cb')2 + (са — ас')2 + (ab' — Ьа')2 = (а2 + Ь2 + с2)(а'2 + Ь'2 + с'2) — (аа' + ЬЬ' + сс')2 следует, что EG — F2 — А2 + В2 + С2, в силу чего имеем
dS = у/А2 +ВЧС2 du dv.	(5)
В случае Явного задания поверхности
S = {(i, у, z) € R3 •• z = z(x, у), (i, у) € D, D C R2}
получаем
.	.. дФ ( dz\
y) = (*• У, У))- ^7 =	°’ 57 )
f = 14.^Y r=14.f^V f2=
( dx ) ’	I dy J	1 dx ) ( dy )
ЭФ dy
EG-F2 =l+(^\ + \ux /
Следовательно,
dS = \1+ [—)+{ — ] dxdy.	(6)
\l \dx J \dy J
Пусть m = 3, p = 1, * — ориентированная кривая. Элемент одномерного объема называется элементом длины кривой Если координаты х, у. z точек кривой - являются функциями x(t), y(t), z(t) класса С1, производные которых ic'(t), y'(t), z'(t) нигде одновременно не обращаются в нуль в области изменения параметра i, то элемент длины кривой dl(t) имеет вид
dl(t) = у/{Ф'^), «₽'(0> dt = у/х^Щ+уЯЩ + г^) dt,	(7)
где Ф(ф) =	y(t)> z(t)) (в предположении, что обход кривой в положительном напра-
влении соответствует возрастанию параметра /).
4.3.	Интегрирование на многообразии с краем. Криволинейные и поверхностные интегралы и их применения.
Пусть К С Л/ — многообразие с краем ЭК и К = Ф(О), где D С О, О С Rp, — замкнутая область с гладкой границей dD, х н- /(®), х € К, — ограниченная числовая функция.
Определение 1. Если функция = f о ф : D —► R интегрируема по Риману на множестве D, то интеграл
I <p(u)dV(H),	(1)
D
где dV(H) — элемент р-мерного объема на многообразии М, называется интегралом от функции f на компакте К С М и обозначается
I f{x)dK.	(2)
К
Таким образом,
у f(x) dKa^ J J J /(*(«)) J Г ^(«), • • • , du* • • • duP- (3) к	 d	'
При p = 1 интеграл (3) называется криволинейным интегралом первого рода от функции f на гладкой кривой у = Ф(О), где D = [а, 6] С R, и обозначается
[ /(я) dl.	(4)
§ 4. Интегрирование на многообразиях
Поскольку dl(t) = >/(<₽'(<), &'(ty)dt = ||Ф'(/)|| dt
t>
Если = {(i, у, z) g R3 : x = <p(t), У = V'W, z = x(i): « i b}> to
ь
J f(z, y, z)dl = Уtf’(i), x(t)) yV2(<) + V/2(<) +x'2W dt.
153
(5)
(6)
Если - = {(z, у) € R2 :
ь
У	+ ^,2(i)dt-
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой у.
Если р — 2, то интеграл (3) называется поверхностным интегралом первого рода от функции f на компакте К. Он не зависит от ориентации многообразия Л/.
При р = 2, т = 3 поверхностный интеграл первого рода обозначается
УУ Л1- У, -г) dS.	(8)
S
(9)
Если S = «₽(£>), Ф(и.,и) = (i(u, v), у(и, v), z(u, «)), I) С R2, то, согласно формуле (4), п.4.2, и формуле (3) настоящего пункта, имеем
УУ /(z, у. z) dS = УУ f(x(u,v), у(и, t>), z(u, t>)) \/EG — F2 du du. s	D
Если S = {(i, y, z) € R3 : z = z(z, y), (z, y) g D}, to
У)} dxdy.
(Ю)
J J	«
s
Теорема. Интеграл (3) не зависит от выбора параметризации многообразия М.
Поскольку интеграл на многообразии сводится к интегралу Римана, то он обладает свойствами интеграла Римана.
Если кривая у = Ф([а, 6]) кусочно-гладкая, то существует такое разбиение П = {/о = п
a. ti, ... }tn = 6} сегмента [а, Ь]. что 7 = |J */;, где 7; = Ф([Л'? Л'+1[) — гладкие кривые. Для t=:l
этого случая полагаем
(И)
У f^dl=Y.j f^dL
Если поверхность М = Ф (О), О С R2, не является гладкой, но существует такое пред-л
ставление О — (J О,, где О, — области в R2 без общих внутренних точек, что каждое i=i
.множество Mi = Ф(О,) является поверхностью класса С’. то множество М будем называть
154	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
кусочно-гладкой поверхностью. Если К С М и f : К —► R — ограниченная функция, то полагаем
J f(x)dK^J2j f(x)dKit	(12)
К	i=1 Ki
в предположении, что внутренность каждого компакта Ki является поверхностью класса С1 и что все интегралы, входящие в сумму в правой части этой формулы, существуют.
Пусть вдоль гладкой или кусочно-гладкой кривой 7 С R3 (т С R2) распределена масса с линейной плотностью /(i, у, z) (f(x, у)), интегрируемой на 7. Тогда масса т этой кривой численно равна криволинейному интегралу первого рода
т = / /(i, у, z) dl
(13)
Если на гладкой или кусочно-гладкой поверхности S С R3 распределена масса с поверхностной плотностью f(x, у, z), интегрируемой на S. то интеграл (8) равен численному значению массы этой поверхности.
Статическими моментами Мх, Му и моментами инерции Jx, Jy относительно осей координат Ох и Оу гладкой или кусочно-гладкой кривой 7 С R2. вдоль которой распределена масса с линейной плотностью р(х, у), интегрируемой на 7, называются интегралы
Мх = У ур(х, у) dl, Му = У xp(x,y)dl, Ц = У y2p(x,y)dl, Iy = j x2p(x,y)dl, (14) ->	тэт
а координаты центра тяжести этой кривой вычисляются по формулам
где т — f р(х. y)dl — масса кривой 7.
>
Если кривая 7 однородна, то полагают р(х, у) = 1. а ее статические моменты и моменты инерции относительно осей координат называются геометрическими.
Статическими моментами Мхоу, МуоХ! Мгох относительно координатных плоскостей гладкой или кусочно-гладкой поверхности S С R3, по которой распределена масса с поверхностной плотностью р(х. у, z), интегрируемой на S, называются интегралы
МхОу — J J ZP(X> У: z)dS.
S
а координаты центра тяжести
x.y.z'jdS, (16)
s	s
C(xc. ус, zc) этой поверхности вычисляются по формулам
X, у, z) dS, MxO.
хс =
х. у, z) dS,
Ус = — / т Jj
S
, у, z) dS.
s
s
где т = ff р(х, у, z)dS — масса поверхности 5.
Пусть то — масса, сосредоточенная в точке Мо = (хо, уо. го), не лежащей на поверхности S. Тогда сила F, с которой материальная поверхность S притягивает материальную точку с массой то. может быть вычислена по формуле
F = к то // р(*: У, z)^-dS;
(18)
$ 4. Интегрирование на многообразиях
155
где х — постоянная тяготения,
т = (х - х0, у - УО, Z- г0), Г = |г| = \/(х - х0)2 + (у - уо)2 + (г - -го)2-
Моментом инерции Iz материальной поверхности $ С R3 относительно оси Oz называ-
ется интеграл
УУ(12 + У2)р[х. у, г)dS. s
(19)
Дадим определение криволинейных и поверхностных интегралов второго рода.
Пусть М С Rm — ориентированное многообразие размерности р < тп класса С1, заданное в виде М = Ф(О), О С R₽, где Ф — отображение класса С1 области О в евклидово пространство Rm. Если М — многообразие размерности р = 1 и € Л/, где *, = Ф([а. 6]) — гладкая кривая, то касательная ориентация этой кривой называется направлением ее обхода, а положительным считается обход, при котором вектор Ф'(1) в каждой точке t g]a. Ь[ является положительным в смысле ориентации в этой точке. Поскольку кривая принадлежит классу С1, то
ll*'(W о vt е]«, Ь[. где ||Ф'(ОН =

Пусть х ।— F(x). х € у, — вектор-функция с ограниченными компонентами F; (i = 1, т). т(х) =	= (cosa-], cosq'2, .... cosam) — единичный касательный вектор к кри-
вой т в точке х = &(t), t €]а, Ь[, положительный в смысле ориентации этой кривой. Рассмотрим числовую функцию х >— (/’(я), т(а:)), х g -у, где (F, т) — скалярное произведение векторов F и Т.н предположим, что существует криволинейный интеграл первого рода
j (F(x). r(x))dl — у (Fi(x)cosot + F2(a:)cosa2 + ... + Fm(x) cosam) dl. (20) 7	7
Определение 2. Интеграл (20) называется общим криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции F на ориентированной кривой и обозначается
У Fi(x)dxi + F2(x)dx2 + ... + Fm(x)dxm.	(21)
Исходя из определения криволинейного интеграла первого рода, получаем ъ	ь
l(F(x), r(x))di = J (р[фю),	цф'(011л = У £K(<₽w)$;(t)dt, (22)
у	а	а 1=1
если положительному обходу кривой э соответствует возрастание параметра t.
Таким образом, согласно определению, имеем
Ъ /	V
/ т	. / m	\
52r,(x)dx, = у f 52г,(Ф(<))Ф;.(*))л.	(23)
у	а
Наряду с общим криволинейным интегралом второго рода рассматривают также криволинейные интегралы частного вида
У Fi(x)dxt.	(24)
156	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Если кривая замкнута, то криволинейный интеграл второго рода
(F(x), r(x)}dl
(25)
называется циркуляцией вектора F вдоль кривой .
Если М С Е™ — многообразие размерности р = т — 1, т.е. гиперповерхность класса С1, трансверсально ориентированная выбором одного из двух непрерывных полей единичных нормалей n(x), х G М, то п(х) =	> где N(x) — вектор нормали к гиперповерхности
М в точке х = Ф(и), и € О, 'О С R"1-1,
/ (дФ	дФ \
— определитель Грама от векторов |“-("и), j —
1. т — 1.
Предположим, что на компакте К С Л/ с краем ЭК, где К — Ф(И). D С О. О С R"1 1
задана вектор-функция х н- F(x) с ограниченными компонентами Ft(x), i = 1, т, и что
существует поверхностный интеграл первого рода
n(x)) dK.
(26)
к
Определение 3. Интеграл (26) называется общ им поверхностным интегралом второго рода на ориентированной гиперповерхности К и обозначается
j Fi(x) dx? dxs ... dxm + Fj(x) dxj dx$ ... dx-m + .. . + Frn(x) dxi dx? . .. dxm-i 	(27)
К
Если К C R3, К = S = Ф(О), D С R2, Ф(и, v) = (x(u, v). y(u, i>), z(u, v)), (u, r) € D, F = (P, Q, R). то, согласно определению, имеем
IJ P(x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z)dx dy = J J (F(x, y, z), n(x, y, z)) dS = s	s
— ± JУ (Р(Ф(и. «))Л + Q(«₽(u, v))B + Р(Ф(и, i>))C) du dv, (28)
D
поскольку dS = y/EG - F2 = yjA* + В* + C*, A = В = C - n(x. y: z) = ±7л4вЧс2^Л’ B' (CM' формулу (3)’ и-4'1’ и Ф0РмУлу (5), п.4.2).
Если S = $(D), где ф(т, у) = (i, у, z(x, у)), (г, у) g D С R2, п = (cosa, cos/?, cos-), то формула (28) принимает вид
УУ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = J J (P cos a + Qcos ft + Rcos-)) dS =
s	s
= ±УУ у)р(ж> У’ Z(I> у)) - f“(I> Уг г{х, у)) + R{x, у, z(x. у)Л dx dy. (29) D	7
поскольку в рассматриваемом случае имеем
§4. Интегрирование ид многообразиях	157
Криволинейный интеграл второго рода имеет физический смысл работы силового векторного поля F, а поверхностный интеграл второго рода — потока векторного поля F через поверхность S.
Заметим, что криволинейные и поверхностные интегралы второго рода зависят от ориентации кривой / и поверхности S: при изменении направления обхода кривой 7 и изменении трансверсальной ориентации поверхности S скалярные произведения {F, т}, {F, п) меняют знаки на противоположные.
4.4. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора пути интегрирования.
Если дифференциальная форма ш = Р(х, y)dx + Q(x, у) dy является полным дифференциалом некоторой функции и, т.е. в некоторой области, содержащей кривую у = АВ, выполняется равенство Р dx + Q dy = du, то интеграл
У Р dx + Q dy = и(В) — и( А ')	(1)
АВ
не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точку А с точкой В.
Если функции Р и Q определены и непрерывны вместе со своими частными произвол-ними и в замкнутой односвязнои области V С Н , в которой выполняется равенство
дЯ =	(2)
дх ду '
то дифференциальная форма л = Р dx + Q dy является полным дифференциалом некоторой функции и и криволинейный интеграл
J Р dx + Q dy	(3)
АВ
не зависит от выбора пути интегрирования из точки А в точку В, лежащего в D. Равенство (2) является необходимым и достаточным условием независимости криволинейного интеграла (3) от пути интегрирования, лежащего в односвязной области D.
Для того чтобы дифференциальная форма
ш — Р dx + Q dy + Rdz
была полным дифференциалом некоторой функции w в замкнутой односвязноп области К С R3, необходимо и достаточно, чтобы в К выполнялись условия
ЭО__дР_ dR_dQ_ дР__^. дх ду ’ ду dz dz дх
В этом случае интеграл
У Рdx + Q dy + Rdz	(5)
АВ
не зависит от выбора пути интегрирования, если кривая у = АВ лежит в К.
Если в односвязных замкнутых областях Л С К2 и К С R3 выполняются условия (2) и (4), то
Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = du, Р(х, у, z) dx + Q(i, у, z) dy + R(x, y, z) dz -- dw, а функции и и w можно найти по формулам
ж	у
и(х, у) = У P(t,yo)di + У Q(x, t)dt + C,	(6)
Хо	Уо
158	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
I	у	Z
w(z, у, z) = P(t, уо, zo) dt + J Q(z, t, го) dt + f R{x, y, t) dt + C,	(7)
Xo	Уо	*0
где (io5 J/о) и (io, Уо, го) — фиксированные точки областей D и К, С — произвольная постоянная.
Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода: /44	222
(13 4- j/з ) dl, где -/ — дуга астроиды, заданной уравнением хз + уз — аз ,
а> 0.
◄ Параметрические уравнения астроиды имеют вид х — a cos3 t, у — а sin3 t (0 t 2тг), поэтому, согласно формуле (7), п.4.3, имеем
7 21Г
1 = Заз у (cos'* t + sin4 t)| sin tcost| dt, о
так как
хз + у з = а з (cos4 14- sin4 #). dl = у/(—За cos2 tsin t)2 + (За sin2 teas t)2 dt = 3a|sin t cos/| dt.
Поскольку подынтегральная функция является у-периодической, то
I = 12аз у (cos4 t + sin4 t) sin Seos t dt = 2a з (cos6 t — sin6 t) о
0 %
2
7
= 4aз . >
124. 1=1 \/x2 + y2 dl, где 7 = {(z, y) € R2 : x2 + y2 — az}, a > 0.
◄ Перейдя к полярным координатам, получим уравнение окружности * в виде р = acos<^, — р Взяв в качестве параметра полярный угол р, найдем параметрические уравнения окружности 7:
2
и = a cos у = a cos (р sm у
На окружности - имеем у/ х2 у2 = a cos р. Поскольку dl — a dp, то, согласно формуле (7), п.4.3, получим
2
J = a2 j cos р dtp — 2а2. ►
~ 2
125. I = jх2 dl, где 7 — окружность, полученная в результате пересечения сферы
S = {(г. у. z) € R3 : х2 + у2 + z2 = а2} и плоскости, заданной уравнением х + у + z = 0.
◄ Плоскость проходит через начало координат и пересекается со сферой S по окружности радиуса а, длина которой равна 2тга. Производя циклические перестановки, легко убедиться в справедливости равенств
У х2 dl = У у2 dl = j z2 dl,
-г
у
§4. Интегрирование на многообразиях	15!>
из которых получаем интеграл I в виде
7=	(i2 + !/2+ ?)<//.
На окружности выполнено равенство i2 4- у2 4- z2 = а2, в силу которого имеем 7 = |-7га3, так как
У dl = 2тга. ►
126.	1 = f zdl, где у — кривая, полученная в результате пересечения поверхностей, заданных уравнениями х2 4- у2 = z2, у2 = ах, пробегаемая от точки О = (0. 0, 0) до точки А = (а, а. а 72).
< В качестве параметра выберем переменную х. Тогда параметрические уравнения кривой у примут вид	______
х = х, у — у/ах. z = х2 + ах (0 х а).
' Поскольку
dz =—а / dx, dy=ys[^-dx, <7/ = >/14- (y'(i))2 + (z'(i))2 dx,
27i2 + ax	2 У x
то, применив формулу (6), п.4.3, получим
а ^1-0	а I .	2 /8х2 4- 9ах -|- 2а2 dx =	/ \ ( 2\/2х 4- -~= ) — “fl2 dx = 2 J у \	4у2/	32 0
= 4?2 \	/	\	z		\ \ а ( 2i/2i Ч—-^= 1 \/8i2 + 9ах + 2а2 — —а2 In ( 2v^i Ч—^-7= 4- 8i2 Ч- 9ах 4- 2а2 | ) X	4\/2/	32	у	4V2	// 0 = _£L АоОл/38 - 72 - 17In	, 256^2 \	17	/
Найти длины пространственных кривых (параметры считать положительными), заданных уравнениями:
127.	(i — у)2 = а(х + у), х2 — у2 = -z2 от точки О = (0, 0, 0) до точки А = (io, Уо, го),
8
◄ Параметризуем кривую, полагая х 4- у — 7(i — у). Тогда из уравнений кривой получаем х — у = at, х + у = at2, |z2 = a2ts (t 0), откуда
® = |(t2 + t), y = ^(i2-t)> H = ^y^“<2-
2	2
При этом точке О соответствует значение 7 = 0, точке А — значение to = | (|) 3 z3 . Обозначая через L искомую длину кривой, получим
to	to
i = У V(<<®(t))2 + (dy(t))2 + (dz(t))2 = Via У + i) dt = о	о
= ^(t2+t) V "
128.	x2+y2 = CZ; I =tg - от точки О = (0. 0, 0) до точки А — (х0. уо. го).
160	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
◄ Параметризуем кривую, взяв в качестве параметра полярный угол $5. Полагая х — р cosip. у = psin у, получаем р5 ~ cz. tg ip = tg ~, откуда z — c<p, p2 — c2<p. Параметрические уравнения кривой принимают вид
Вычисляя дифференциал кривой dl — с	dv> 11 интегрируя полученное выражение
в пределах от 0 до —, находим
129.	Найти массу m дуги параболы у = ^(т, у) G R2 : у2 = 2рт, 0 х , если ее линейная плотность р(х. у) в текущей точке (х, у) равна |у|.
Ч Вычислим дифференциал dl по формуле dl — у/1 + (у'(х))2 dx = у^1 + dx. Принимая во внимание равенство р(т, у) =.|у| = •J'lpz и симметрию точек параболы относительно оси Ох. находим
р	р
22	3
2У+ ^dx V2PX +Р2 dx = ^(ЗР1 + Р2)? О	о
p
,2	2 9z s-
= -p2(2V2-l). ► о J
т
at2 at3
130.	Найти масс}’ т кривой у С R3, заданной уравнениями х = at. у = z — -у
t 1). линейная плотность которой меняется по формуле р(х, у, z ◄ Согласно формуле (13), п.4.3, имеем
т
х, у, z)dl = У p(x(t). p(t), z(t)) у/(x'(t))2 + (у'(0)2 + (2'W)2 dt. О
Поскольку р(г(1), y(t), z(/)) = t, dl — aVl + <2 +1* dt. то
т = а
+ t2 +14 dt =
2	3 J /
+ -d [t
4 \
о
о
1п (<2 + | + ч/! + <2 +<4))| =
131.	Найти координаты центра тяжести однородной кривой у С R2, заданной уравнением у = a ch | от точки А = (0, а) до точки В = (Ь, h} (а > 0, b > 0, h > 0).
◄ Воспользуемся формулами (15), п.4.3. Поскольку кривая у однородна, то в формулах (15), п.4.3, следует взять p(i, у) =1. Имеем
у' = shp dl = л/1 + (уЧ1))2 dx  ь , [	.	.6
т = / ch — dx = a sh — » a /a	a
C i *> x , i x .
1 4- sh — dx = ch — dx, a	a
О
132.	Найти координаты центра тяжести контура однородного сферического треугольника
S = {(i, у, z) € R3 : i2 + у2 + z1 — а2, х 0, у 0, z 0}.
•< Сферический треугольник однороден, в силу чего имеем
хс = — / I dl. ус = — [ у dl. zc = — / z dl, mJ	mJ	mJ
7	7	У
3
где у — контур треугольника, т = j зга — его длина.
В плоскости yOz выполняется тождество х = 0. поэтому
где -1 — часть кривой у. лежащая в плоскости хОу, 72 — та ее часть, которая лежит в плоскости xOz. Кривые-] и 72 можно задать соответственно параметрическими уравнениями
х = a cos уз, у = a sin уз (0 уз
х = a cos ф, у = a sin •$
тг\
2/
причем dl = a dtp на 71
и dl = ad-ф на 72. Поэтому
4а
Зтг
Аналогично, у с = zc =	►
133.	Найти статические моменты дуги у однородной астроиды, заданной уравнением 2	2	2
хз + уз = аз, I 0, у 0, относительно осей координат.
◄ Воспользуемся формулами (14), п.4.3, полагая в них р(аз, у) = 1. Записав параметрические уравнения астроиды в виде х = a cos3 t, у = a sin3 I (о t и принимая во внимание решение Примера 123, имеем
2	2
Мх = За2 j sin4 i cost dt = |-а2, My — За2 [ cos4 tsin t dt = ^a2. ►
0
0
162	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
134.	Найти момент инерции однородной окружности 7 = {(х, у) € R2 : х2 + у2 = а2} относительно ее диаметра.
Ч Момент инерции однородной окружности совпадает с Jx или 1у (см. формулы (14). п.4.3), если система координат хОу выбрана так, что диаметр окружности 7 является отрезком оси Ох, а начало координат совпадает с центром окружности. Принимая во внимание однородность окружности 7, имеем
2л-
I = Ix = j у2 dl = a3 j sin2 <р d<p = я а3
-I	о
(при вычислении интеграла воспользовались параметрическими уравнениями окружности х — a cos р, у = a sin р, 0 $ <р $ и равенством dl = a dip). ►
135.	Найти полярный момент инерции
Л> = j\x2+y2)dl
относительно точки О = (0, 0) однородного контура квадрата
*/ = {(я. У) € В2 : тах{|х|, |у|) = а).
Ч Контур квадрата 7 образован отрезками прямых, заданных уравнениями у = ±а, х = ±а. Если х = ±а, то х2 + у2 = а2 + у2, —а у а, dl = dy. Если же у = ±а, то х2 + у2 — х2 + а2, —а $ х a, dl = dx.
Заменив криволинейный интеграл /о соответствующим интегралом Римана, получим
Jo = 2
2 .	2
а +у
(а2 + х2) dx
32 3 з а
136.	Найти моменты инерции относительно координатных осей одного витка однородной винтовой линии
у = {(х, у, z) g R3 : х = a cos I, у = a sin i, z =	0 $ i 2%^ .
Ч Обозначив через rx, ry. т= расстояния от точки M — (х, у. z). лежащей на однородной кривой , до соответствующих осей координат, можем написать формулы для вычисления моментов инерции:
1Х = У г2 dl, 1У — У г2 dl, 1г = У т2 dl.
Воспользуемся очевидными равенствами г2 = у2 + z2, ту = х2 + г2, т2 = х2 + у2; следова-2	2*2	2	22	2	2
тельно, тх	= a. sin	t + ry	= a cos i	+ rx	= a. .	Поскольку
dl = V(dz(t))2 + (dy(i))2 + (dz(*))2 = -- 2 t 4%2-a2 dt> Lit
TO _ 2tt х/й2 + 4тг2а2 j / j . 2	й2*2 A ,	/ «2 , h2 A /,2	2 2
h =-------------- I [a sm t+ -r-z- I di = — + — ) y/h2 + 4ir2a2,
Zjt J \	4тг^ I \ Z о J ,
0
х/ll2 +4тг2а2 f ( 1 2v_L/t2<2Ajv /“2 , h2A /77 ’, я~2 2 ly = ------------J [a cos i + — j dt =	+ Tj y/h2 + 4ir2a2.
$ 4. Интегрирование на многообразиях
Jt=7 dt=а* 2х J
163
137.	Вычислить логарифмический потенциал простого слоя
u(s, у) = х\п- di,
т
где х = const, г = \/(f — х)2 + (rj — I/)2 и контур у является окружностью, заданной уравнением С + t? = R2.
4 Перейдем к новой системе координат i'Ori', выбрав последнюю так, чтобы ее начало совпадало с началом координат системы £Oi] и чтобы точка (х, у) находилась на оси . Тогда получим
и(х, У) = Ф и 1л -7 dl',
где у' = {(£', jj') € R2 : £'2 + г/ = Я2}, г' =	- р)2 + У2, р = у/х2 + у2. Параметри-
ческие уравнения окружности имеют вид = Я cosy, = Я sin <р, 0 ip 2тг, a dl = Rdip.
Следовательно,
2тг	1я
и(х, у) = ~~7Г [ 1»(Я2 — 2Rp cosip + р2) dip = -2тЯх In Я — I In ( 1 — cosp +	] dip.
“	/	" J \ лк	** )
о	о
Обозначив 4 = а, вычислим интеграл
2тг
1(a) = J 1п(1 - 2аcos у? 4* <т2) dip. о
Дифференцируя по параметру а, получаем
2 к	2<г
т'г \	1 [ («- cos р) dip 1 Г 2zz~(z + z)
о	о
где z = ae’v. z = ae"lv. Если a < 1, то
2я	2я
I'(a) = -i У (	* _) dtp = -i У(z + z2+ ... + zn + ... +z + z2 + ... + zn + .. ,)dip =
о	0
2-я
= I (a cos ip + a2 cos 2<p + ... + an cos nip 4- ...) dip = 0. a J
о
Почленное интегрирование ряда возможно, поскольку он сходится равномерно. Таким образом, 1(a) = С, С = 7(0) = 0, в силу чего имеем u(s, у) = — 2тЯх1п Я = 2тЯх1п если р < Я. Если р > Я, то а > 1, и прн этом получим
Г(о)=|/(ггг+7тт) a J(2 + l+ •••+pr+-+J+--+^+-)d*’ = °	‘	1	' о
164	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
2*
2 [ /, costs cos2v> ,	, cosths ,	\ , 4л
a J \ а а2	ап ) о
о
1(a) = 4 л In а +С. С — 1(1) = 0. 1(a) = 4л In а,
и(х. у) = —2лАк In А - 2% Ах In	= 2лАх In -. ►
л	р
Вычислить следующие криволинейные интегралы второго рода, взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра:
138.	I = у"(х2 - 2xy)dx + (у2 - 2ху) dy, где 7 = {(z, у) € R2 : у = z2, |z| 1}.
у
Ч Воспользуемся формулой (7). п.4.3, где роль параметра t играет переменная х. Подставляя в подынтегральное выражение у — х2 п dy = 2xdx, получаем интеграл Римана
I
1 = У"(х2 - 2х3+2х6-4z4)dx =►
139.	I = J(2a — y)dx + xdy, где у — арка циклоиды, заданной уравнениями х =
a(t — sin t), у = а(1 — cos t), 0 t 2%.
Ч На кривой 7 выполняется равенство
(2а — у) dx + х dy = (2а — а(1 — cos <)} d(a(t — sin <)) + a(t — sin t) d(a(l — cost)) = a2/sin t dt.
Применив формулу (23), п.4.3, получим
2?г
I = a2 j t sin t dt = a2 (t cos + sin t |2,r) = —2ла2. ► о
140.	Ф г'1,	. где AB CD A — контур квадрата с вершинами А = (1, 0), В —
J 1®1 + 1з/Г
А В CD А
(0, 1), С = (-1, 0), Р = (0, -1).
◄ Из свойства аддитивности криволинейного интеграла следует равенство
г- f dx+dy	f	dx + dy	Г	dx+dy f	dx + dy
~ J m+m	J	м+ы	7	m+wj	м+м
AB	BC	CD	DA
На отрезках AB и CD выполняются соответственно равенства x + у — 1 и х + у — —1, dx + dy = 0. откуда следует, что криволинейные интегралы на этих отрезках равны нулю. На отрезках ВС и DA соответственно имеем у - х = 1 и у — х = — 1, dy = dx, |z| + |у| = 1. Если (х, у) € ВС, то х убывает от 0 до —1; если (х, у) € DA, то х возрастает от 0 до 1. Следовательно,
-1 ।
1 = 2 У dx + 2 У dz = -2 + 2 = 0. ► О	о
141.	Доказать, что для криволинейного интеграла справедлива оценка
Р(х, y)dx +Q(x. y)dy
LM,
§ 4. Интегрирование на многообразиях
165
Где L — длина кривой 7 и М = max x/P’fx, у) + Q’fx, у).
(«> »)€т
•4 Без ограничения общности можно считать кривую 7 гладкой (если 7 — кусочногладкая кривая, то интеграл можно представить в виде суммы интегралов по гладким кривым). Согласно определению криволинейного интеграла второго рода, имеем
Pdx + Qdy
где F = (Р, Q), т — единичный касательный вектор к кривой 7. Из оценки |(.F, т)| < |F| = x/^ + Q2 получаем неравенство
j Pdx + Qdy 'i
х/Р’(х, y) + Q2(x, у)
dl = LM.
142.
Оценить интеграл Ir
ydx — xdy (x’+xy + y2)2’
где 7 = {(x, y) € R2 : x2 + y2 — R2}.

Доказать, что lim Ir = 0. П—+00
4 Для оценки интеграла воспользуемся неравенством, доказанным в предыдущем примере. Здесь
р(®> »)	(Е3 + Еу + „2)3 >	») - (Е3 + ху+ „3)2 -
.----------------- \/х2 4- у2
Следовательно, Ir $ 2хЯ •
max (».»)ет
(х’+х»+»2)а 
Приняв во внимание параметрические уравнения окружности х = Ясоз^, у = Rsin 0 $ <р $ 2х, по
лучим оценку
\/х2 + у2 _	_________1___________4
(хТ»)ет(х2 + ху + у2)2 -о<^<2хК3(1 +sinyj cosp)2 ~ R3 ’ которая следует из неравенства
1	4
(1 + sin <р cos ip)2 ~ (2 + sin 2<p)2	®
Окончательно получаем оценку |Zr| $ из которой следует предельное соотношение lim Ir = 0. ►
Я—*+оо
Вычислить криволинейные интегралы второго рода: 143. 1 = у (у — z)dx + (z — x)dy + (х - y)dz, где
7
7 — окружность, полученная в результате пересечения сферы S = ((х, у, х) G R3 : х2+у2+х2 = в2} и плоскости Si, заданной уравнением у = х tg а, пробегаемая в направлении против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных х.
М Окружность 7 с центром в начале координат Лежит в плоскости Sj, И ее радиус равен а. Пусть v — угол между радиусом окружности и прямой, заданной уравнениями у = х tg or, z =
166
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
О (рис. 15). Тогда можем параметризовать окружность у следующим образом: z = acosacosp, у = азшacostp, х = айа<р (0<р<2т).
Приводя криволинейный интеграл к интегралу Римана, получим
2к
I — a2 j (cos а — sin «) d<p = 2>/2та2 sin — а) . ► о
144.	I = / у2 dx 4- z2 dy 4- х2 dz, где у — часть кривой Вивиаии у = Si П S2, Si =
{(z, у, z) € R3 : z2 4- у2 4- z2 = a2}, Si = {(z, y, z) € R3 : z2 4- y2 = ax}, z > О, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной части (х > а) оси Ох.
-4 Переходя к полярным координатам, получим уравнение кривой Вивиаии в виде
р = a cos <р, z
Принимая во внимание это уравнение и выбирая в качестве параметра полярный угол <р, имеем
х = a cos2 <р, у = a sin ip cos ip, z = a| sin $s|	y) .
Для вычисления криволинейного интеграла I приведем его к интегралу Римана, вычислив значение подынтегрального выражения в точках параметризованной кривой у. Получим
dx = — 2a sin р cos р dip, dy = a(cos2 ip - sin2 <p)dip, dz = sgn p(a cos <p)dip, <p^0,
y2 dx 4- 2 dy 4- x2 dz = a3(—2 sin3 $scos3 <p + sin2 <p — 2 sin4 <p 4- sgn <p cos5 <p) dip, ip / 0. Принимая во внимание равенство
1
У (—2sin3 <p cos3 >p 4- sgn <pcos5 p) d<p = 0,
w
находим
2
I = a3 J (sin2 <p — 2 sin4 ip) dip —
~2
145.	1 = J\y2 — z2)dx 4- (z2 — x2)dy 4- (z2 — у2) dz, i
где у — контур, который ограничивает часть сферы S — {(z, у, z) G R2 : z2 4- у2 4- z’ = 1, z > 0, у > 0, z > 0}, пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности остается слева.
Представим интеграл на ориентированной кривой у в виде суммы интегралов по ориентированным кривым уу, j » 1, 2, 3, лежащим в координатных плоскостях (рис. 16). Каждая кривая у, представляет собой четверть
§4. Интегрирование на многообразиях	167
окружности радиуса 1 с центром в начале координат. В плоскости хОу выполняются равенства z = 0, dz = 0, в силу чего иа кривой > подынтегральное выражение ш принимает вид о; = у2 dx — z2 dy. Записав параметрические уравнения кривой -/> в виде
х = cos $э, у = sin <р ^0	$9 у) .
получим
Вполне очевидно, J w = f <jJ = f = — j. Следовательно, I = 3 f w = —4. ► ~ii 13	11	'll
При решении примеров 146—151 будем пользоваться независимостью крпволинейпого интеграла второго рода от выбора путп интегрирования, соединяющего две точки, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции в односвязной области D, содержащей кривую, по которой вычисляется интеграл. Если известна такая функция и. что du = Р dx -J- Q dy, то можем сразу написать
(*i,ю)
|(*1, 4/1)
Р dx 4- Q dy = и(х. J/)	= u(jjPl) - u(xq. J/o),
Ч*о, Л/о)
(*o, J/o)
Если вид функции и Haiti неизвестен и в данной односвязной области D выполнено равенство = -gj-, то, пользуясь свойством независимости криволинейного интеграла от выоора пути интегрирования пз точки (xq. уо) в точку (xj. pj), лежащего в D, будем брать в качестве пути ломаную, состоящую пз отрезков прямых, параллельных координатным осям и не пересекающих границу области D. Тогда, в сплу того что dy = 0. если у = уо, и dx = 0, если х — ху, получим формулу
(*1.1/1)	*1	4/1
J Р dx 4- Q dy = J Р(х. y0)dx+ j Q(xi.y)dy.	(A)
(*O,l/o)	*0	4/0
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
(з,-4)
146.	1= у х dx +ydy.
(о, 1)
4	Поскольку х dx 4- У dy = | d(x2 + у2), то
1	|(3.-4)
-Г=|(х2 + »2)	=12. ►
2	1(0,1)
(1-1)
147. I = У (z - y)(dx - dy).
(1,-1)
◄ Из равенства (z — y)(dx — dy) = (z — у) d(x — у) = j d(x — у)2 получаем
(1,-Г)
,	(1,2)
ias f уdx —xdy	„
130. I x-----------— вдоль путей, не пересекающих оси Оу.
(2. 1)
l(>t>	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
4 Здесь Р(х. у) = Л-. Q(x. у) = — 7, х ± 0, поэтому	= Л-. Следовательно,
в любой односвязной области, не содержащей точек оси Оу. подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции. Применив формулу (А), получим
1	2
2	1
(6.8)
чалг [ х dx + у dy
14У. 1 = / —	----вдоль путей, не проходящих через начало координат.
J v/г2 + у2
(1,0)
4 Поскольку	= d (л/х2 + у2} , то
у»2+»2	\	/
--------1(6,8)
I = у/х2 + У2 \	= 9. ►
1(1.0)
(1.0)
-ten т	f х dy — у dx
1эи. 1 — I —---------г-— вдоль путей, не пересекающих биссектрису первого коорди-
J (* - УГ
(о.-1)
натного угла.
4 Здесь Р(х, у) = -(д2у)2, Q(x> У) = (7^)2’ Ц = % = ~ мы убеждаемся в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции во всякой односвязной области, содержащей точки (0, —1), (1, 0) и не содержащей точек прямой
= {(х, 1/) € R2 : у = х}. Применив формулу (А), получим
dx f dy _	1 1°	1	_
(х + I)2 + J (1 - у)2 х + 1 Ii 1 - у “ ’ * 0	-1
2. я) .
у2	У\,	(	У	У	У\,
1---=• cos — dx + sm —|— cos — ) dy вдоль путей, не пересекающих
х1	х)	\	х	х	х)
(i-’t)
оси Оу.
4 В силу равенства
151. 7 =
можем применить формулу (А), в которой интеграл по переменной у равен нулю (так как путь интегрирования параллелен осп Ох):
1
В примерах 152—156 будем находить первообразную функцию по известному ее дифференциалу du, пользуясь при этом формулами (6) и (7), п.4.4, пли видоизменив их. Например, иногда вместо формулы (6) бывает полезна формула
я	у
и(х.у) = jp(t.y)dt + f Q(x0,t)dt + C.	(В)
*0	УО
если путь из точки (.го, Уо) в точку (х. у) выбран в виде ломаной, состоящей из отрезка, парал-лельного осп Оу н отрезка. параллельного осн Ох (рис. 17).
§ 4. Интегрирование на многообразиях
169
Найти первообразную функцию и, если:
152. du = (х2 + 2ху - у2) dx 4- (z2 - 2ху - у2) dy.
◄ Применим формулу (6), п.4.4, взяв х0 = 0, уо = 0. Получим
(*о>У)	(х,у)
«(«> у)
(х2 - 2xt -t2)dt + C =
х3 , а а У3 . „ .
- _ 4. х у - ху - — 4- С. ► <5	О
153 du = (g2 + 2gy + 5у2) +	~
(® + »)3
•4 Применим формулу (В) считая, что хо = 0, у0 / 0 — любое фиксированное. Приняв во внимание равенства
Рис. 17
1 X + у
Р(х, у) =
4У2 П(х у\-^х~
(х4-у)”	(х+у)3’
получим
х у
”(''’) = /(^ + Н^)'й + /7 + с-0	Уо
- In |х + у| - In |у| - 2У- 4- 2 +ln |у I - In |уо| + С = In |z + у| -	<7 + •
(х + У)	\х + У)
Ci = const. ►
154.	du = ez (e*(z — У + 2) + у) dx 4- ez (еу(х — у) + 1) dy.
4 Применим формулу (6), п.4.4, полагая хо = 0, уо = 0. Получим
г	у
и(х, у) = J e‘(t + 2)di + ez f (е‘(х—t) 4-1) dt 4-С = (t 4-1)е‘4-е* (е‘(х - t + 1) +1) |* + C = 0	0
= el+*(x - у 4-1) + e*y + Ci, Ci = C - 1. ►
Найти первообразную функцию w, если:
155.	dw = (x2 — 2yz) dx + (y2 — 2xz) dy 4- (z2 — 2iy) dz.
-4 Записав dw в виде
dw = x2 dx + y2 dy +z2 dz — 2(yz dx + xz dy + xy dz) — d I -----2xyz j ,
t \	о	I
имеем
w{x, у, z) = ^(x3 + y3 + z3) — 2xyz + С, C = const. ►
156.	dw = (1 — - 4- —dx 4- (— 4- Л-''l dy — -?-dz. \ У z/ \z У J z
-4 Выражение w является полным дифференциалом в любой области, не содержащей начала координат и точек плоскостей хОу, xOz. Применив формулу (7), п.4.4, получим
)=/(1-1 + £)Л+/(^+л)Л-/^+с.
хо	Уо	>0
170	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
где (хо. J/o, го) — некоторая фиксированная точка, С = const. Интегрируя, находим / ч А 1 , !/о\ Л 1 , j/o\ ху х хуо х ху ху
w(x. у, z) = х 1------1----- Хо 1------1--1-1---------------1---1---------F С.
У уо Zo )	\ Уо Zo J ZO у Zo уо Z zo
Взяв, например, хо = Уо = zo = 1, получим .	X ху
w(x, у. z) — х--+-----F Ci, Ci = const. ►
У z
157.	Найти работу, производимую силой тяжести, когда материальная точка массы т перемещается из положения (xi, yi, zi) в положение (xj, j/2, zj). Ось Oz направлена вертикально вверх.
Ч Сила тяжести есть вектор-функция
F = (Р, Q, R) - (0, 0, — тд).
где д — ускорение свободного падения, а выражение Р dx + Q dy + Rdz = — mgdz является полным дифференциалом функции и = —mgz. Поэтому работа силы F по перемещению материальной точки из положения (xi, 3/1, zi) в положение (zj, 3/2, Z2) не зависит от формы траектории и равна величине
(l2. У2, Z2)
л= У Р dx + Qdy + Rdz = u(x2, 3/2, z2) - tz(xi, yi, zi) = -mj(z2 - zj). ►
*1)
158.	Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалению материальной точки от начала координат, если эта точка описывает в направлении, противоположном ходу часовой стрелки, положительную четверть f	2	2
эллипса *, = < (х. j/) € R2 :	+ у- = 1
I	а <г
•< Пусть М = (х, у) — произвольная точка на кривой -,т, положительной четверти эллипса 7, а г = \/х2 + з/2 — расстояние от этой точки до начала координат. Тогда упругая сила F, направленная из точки М в начало координат, имеет вид F(x, у) = дте(ЛГ, О), где д — некоторая постоянная, е(ЛГ, О) —орт, направленный из точки М в начало координат. Поскольку е(ЛГ, (?) = ——, где г = (х, у) — радиус-вектор точки М, то F(x, у) = —дг = (—дх, —дз/)-
Значение работы А найдем, вычислив интеграл
А = -д / zdx+ydy = -^ I d(z2+y2).
Как и в предыдущей задаче, работа А не зависит от формы траектории точки и равна разности значений потенциала u(z, у) = — ~(х2 4- 3/2) силовой функции F в точках (0, 6) и (а, 0):
4	/1"2	2\
k	___________
159.	Найти работу силы тяготения |jF| = —. где г = у/х"2 + 3/2 +.z2. действующей на г2	*
единичную массу, когда последняя перемещается из точки Mi = (zi, 3/1, zj) в точку М2 = (Х2, У2. Z2).
Ч Сила тяготения F является центральной силой; поскольку ее линия действия проходит через начало координат. Поэтому можем ее представить в виде
F = ^е(М, О) =
k г(°>	_ _к (х_ У_ М
г2 г	\ г3 ’ г3 ’ г3)
$ 4. Интегрирование на многообразиях	171
где М = (х, у, z) — произвольная точка, r(O, М) = (х, у. z) — радиус-вектор этой точки. Значение работы А получим с помощью интеграла, взятого вдоль любой гладкой кривой, со“' .няющей точки Afi и М2:
м2	м2
Л L f х A У A . 2 J 1, [ ,1 (к\ к\М* L ( 1	1 А
Л = — к I -у dx + — dy + -5- dz = к I d I — I = - =fc---------------,
J Тл Тл Тл	J \T J T	\ Г2 Г1 ) '
Ml
Mi
где r, = \/x2 + y2 + Z?, i = 1, 2. ►
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого рода:
160.	1 = Jj(х + у + z) dS, где S — {(х, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 = а2, z 0}. s
4 Интегрирование производится по верхней полусфере, заданной уравнением х2 + у2 + z2 = а2. Так как в точках множества S выполняются равенства
z = >/а2 - х2 - у2, z'x = —~,	z'=-~, z > О,
z s z	'
то jo /77	7 j j a dxdy
’	у/a2 — x2 — y2
Применив формулу (10), п.4.3, получим
I = а [ [ I — Х	+ 1 | dx dy. D = {(х, у) € R2 : х2 + у2 < а }.
J J \ у/a2 — х2 — у2 / D 4	'
После перехода в интеграле к полярным координатам имеем
г [ j f / ₽(s‘n + cos ?) , Л j з
J J \	- Р2 J
0 0х	z
так как 2тг	а-0
/ (sin <р + cos dip I —у... d? = 0. ►
J	J \/a1	— p2
о	0
161.	1 = JJ (x2 + y2)dS. где S — граница тела T = -^(x, у, z) € R3 : \/x2 + 3/2 z 1^. s
4 Интегрирование производится по боковой поверхности и основанию конуса Т. в силу чего можем записать
1 = ll(x2 + y2)dS + Ц(х2 + у2)ЛЗ, Si	Sz
где Sj — боковая поверхность конуса, S2 — его основание. На множестве S2 имеем dS — dxdy, поэтому
2*
JJ(x2+y2)dS= jj (x2 + y2)dxdy= Jdipj p3dp=\ S?	x3+j/3^l	0	0
На боковой поверхности конуса dS — x/2dxdy, следовательно, Ц(х2 +y2)dS = y/2 II (x2 +y3)dxdy =
172	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Окончательно получаем I = f (1 + у/2). ►
162.	1= /7 —, где S — поверхность эллипсоида с полуосями a, b. с, a h — расстояние
s
от центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу da поверхности эллипсоида.
Ч Расстояние h определяется формулой
Л = х cos а + у cos ,3 + z cos у, где cos о-, cos /?, cos*, — направляющие косинусы внешней единичной нормали п к поверхности эллипсоида в точке (i, у, z). Запишем параметрические уравнения поверхности эллипсоида в виде
х = asin Seos р, у = 6sin 0sin p, z = ccosd (0 в тг, 0 p 2x).
Применим формулу (9), п.4.3, полагая там и = в, v — р. Исходя из симметрии, можем написать равенство
S]
где Sj — восьмая часть поверхности эллипсоида, лежащая в первом октанте. Если (г, у. z) € Sj,toO^0^|-,O^p^j. Вычислим направляющие косинусы вектора внешней единичной нормали п в точке (т, у. z) € Sj \ dSy, где dSi — край поверхности .5’1. Для этого найдем
. _ z) о _	с =
Р(0,рУ Т>(д, ру 1>(е,рУ
Имеем
А = besin2 decs р, В — ас sin2 в sin р, С ~ ab sin в cos в.
Так как С > 0 при 0 < в < и указанный вектор единичной нормали п в каждой точке множества Si\dSi образует с положительным направлением оси Oz острый угол, то cos -, > 0, следовательно,
А	.	В	С
cos о- =	, cos a — ,	-- -- cos у = ,
У А2 + В2 + С2 ’	У А2 + В2 + С2 '	VA2+B2+C2
Заменив поверхностный интеграл соответствующим ему двойным, получим, принимая во внимание, что dS = у/А2 + В2 + С2 dddp,
Т-я ff А2 + В2 + С2
JJ Ax(d,p) + By(d,p)+Cz(d,p) п
где О = {(0, р)€Й2:О<0<^, 0<р<у}. Сделав элементарные преобразования, находим
Лг(0, р) + By(d, р) + Cz(0, р) — abcsin 0, А2 + В2 + С2 = t>2 с2 sin4 0 cos2 р + а2 с2 sin4 0 sin2 р + а2 Ь2 sin2 0 cos2 0 =
2.2 2 • 2 л / sin2 0 cos2 р sin2 0sin2 p cos2 0 = a b c sin 0 -------z-----1------—------1----—
\ a2	b2	c2
Окончательно имеем
7	7
т о 1 [ • ала [ (sin20COS2р , sin20sin2p , cos20\ ,
I = 8at>c J Sin0d0 J -------2--Z	dp =
0	0
ir 2
= Sake j ™ sin2 в 4- ~ cos2 fl') sin 0	=
J \ 4 \ a2 b2 /	2c2	7
о
173
= 4ira.bc
§ 4. Интегрирование на многообразиях /	о	\
Н^+^И1’2)+1 /cos2^(cose) \	Т	/
4 . = -~abc 3
(1 + 1 + \а2	62
zdS, где S — часть поверхности геликоида, заданного параметрическими s уравнениями
х = и cos v, у = и sin v, z — и (0 < и < а, 0 < и < 2тг).
•4 Применим формулу (9), п.4.3. Для этого рассмотрим отображение Ф(и, v) = (u cos и, и sin v, v) и вычислим коэффициенты Гаусса
„	/ дФ дФ\ 2	 2	,
Е = ( -т—, — > = cos v + sin v = 1.
\ ди ди /
/ дф дф \	2.2	.2	2	. ,	. . 2
G = ( -s—. -X— > = и sin V + и cos V + 1 = 1 + и . \dv ди /
„	/ дФ дФ \	.	.	.
F = ( -т;—,	) = —и sin v cos v + и sin V COS V — 0.
\du du /
Таким образом, EG — F2 = 1 + и2 и по формуле (9), п.4.3, поверхностный интеграл I выражается через повторный:
164.;-//(ху + yz + zx) dS, где S — часть конической поверхности Si — {(х, у, z) € _________S
R3 : z = \/х2 + у2}, вырезанная цилиндром Si = {(х, у, z) € R3 : х2 + у2 = 2ах, z £ R}.
•4 Поверхность S проектируется на круг D = {(х, у) € R2 : (х — а)2 + у2 а2}, a dS = y/2dxdy, поэтому, применив формулу (9), п.4.3, получим
Перейдем в интеграле к полярным координатам р, р. Тогда
•° = {(Р; V>) е R2  ~ j. о р 2а cos
и после замены переменных найдем
ff	-7
2	2а cos V	У
I — (sin V> cos ip + sin ip + cos <p) dp p3dp = 4 v^2a4^((cos5 p + cos4 p) sin p + cos6 p) dp = о
2	2
ff
2	/1\
= 872a4 [ cos5 p dp = 4 ^a4 В (з° 1) = 4 VL4 ^-Г \2/ = ^a4. ►
J	\ 2/	Г (34. 1)	15
174	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
165.	Доказать формулу Пуассона
+ cz) dS = 2ti
a2 + 62 + с2 I du,
f(ax + by + cz
s	-1
где S — поверхность сферы, заданной уравнением х2 + у2 + z2 =1,
Ч Запишем подынтегральную функцию / в виде
~ ах + by + cz \
у/а2 +Ь2 + с2 /
и перейдем к новым переменным и. v, w, выбрав плоскость, заданную уравнением ах + by + cz = О, в качестве плоскости переменных и, V. полагая w = ^==й=. При таком выборе новой прямоугольной системы координат единичная сфера S перейдет в единичную сферу S' и при этом dS' — dS. Поэтому можем написать равенство
+ cz) dS
a2 4- b2 + c2w
s	s'
Пз уравнения u2+v2+w2 — 1 находим u2+v2 = 1—w2. Полагая получим параметрические уравнения сферы S' в виде
и = \/1 — w2 cos <р. v —	— w2 sin ip,
Таким образом. S' — Ф(И), где
Ф^, ip) = (у/1 — w2 cos р, \/1 — w2 sin <р, wj , Вычислим коэффициенты Гаусса
а/) \ dw dw /
= cos<p.
= sin p,
£>=]-!, l[x]O, 2?r[.
1	9Ф \ _
1 — w2 ’	\ dip ' dp /
и найдем площадь dS' элемента поверхности S'\
dS' = \/EG — F2 dw dp = dwdp.
Заменяя поверхностный интеграл соответствующим двойным, получим
w2.
дФ дф\ _ dw ' dp /
S'
a2 + b2 4 c2w
a2 + b2 + c2w
0
+ c2w I dw. &
w = w
I
.3
166.	Найти массу параболической оболочки
+ !/2): 0 плотность которой меняется по закону р(х, у, z) = z.
Ч Масса m данной поверхности вычисляется по формуле
tn
zdS.
s
На поверхности S выполняется равенство z = ±(х2 + у2). а сама поверхность проектируется на множество J) = {(;г. у) € R2 : х2 + у2 2). Принимая во внимание раиенстио
§4. Интегрирование на многообразиях	175
dS = \/1 + zi2 + z'y dx dy = y'l + х2 + у1 dx dy, заменим поверхностным интеграл соответствующим ему двойным и перейдем в последнем к полярным координатам. Имеем
тп =
2% у/г
j dp j р3\/1 + р2 dp = ir о о
+ р2 dp.
После замены переменной ] + р2 = t\ окончательно получим
у/з
1
= ^т(б\/з + 1). ► 10
3 J
167.	Найти статические моменты однородной треугольной пластинки S — {(х. у, z) € Pi3 : х + у + z = а (х Js О, у Js 0, z 0)} относительно координатных плоскостей.
•4 Применим формулы (16), п.4.3. Полагая р(х, у, z) = 1, имеем
Принимая во внимание равенства z\s = а — х — у, (х, у) € D, dS — y/3dxdy, где D = {(х, у) € R2 : 0 х а, 0 у а — х}, получим
г
Ijdx J (а—х — у) dy о о
Вполне очевидно, что Муог = М*ох = Мхоу =	. ►
168.	Найти момент инерции относительно оси Oz однородной сферической оболочки S = {(х, у, z) ей3 : х2 + у2 + z2 = a2 (z Js 0)} с поверхностной плотностью вещества ро-
•4 Согласно формуле (19), п.4.3, имеем
Л
где dS = .adxd* , (х, у) е D, D = {(х, у) € R2 : х2 + у2 < а2}. уа2-х2—у2
Заменяя поверхностный интеграл двойным, получим
х2 +V2 у/a2 -х2 - у2
dx dy.
В двойном интеграле перейдем к полярным координатам р и (р и заменим полученный интеграл повторным. Имеем
4
-irpo« . ►
Гл. 2. Краткие к кркволккейкые кхтегралы
176
Рис. 18
169. Найти момент инерции однородной конической оболочки
S — < (к, У, z) € R3 : -j" + т- - 1л ~ °’ ООО 1	о* Д* b
с поверхностной плотностью ро относительно прямой 7, заданной шхЯ	X у Z — Ъ
в пространстве К уравнениями — = “ = —-—.
4 Прямая у параллельна оси Ох и лежит в плоскости xOz, отсекая на оси Oz отрезок длины Ъ. Пусть точка М = (z, у, z) принадлежит элементу da поверхности S, площадь которого рав-У на dS (рис. 18). Квадрат расстояния от точки М до прямой у определяется по формуле г5 = х2 + у2 + (b — z)2, поэтому искомый момент инерции равен поверхностному интегралу
А=Ро Jj(x2+y2 + (b — z)2)dS.
s
Принимая' во внимание равенства
z|s = —у/х2 + у2, (z, у) € D, dS =	+  dx dy,
а	а
где D = {(z, у) € R2 : z2 + у2 а2}, получим
2\
) dp =
Переходя к полярным координатам, окончательно найдем
_____ 2*	®
у/a2 + b2 f	f / 2	2
Л = ро--------- / dip I р ( р +Ъ
a J J \
о о
2	262Р2 \ ,
4 Ъ р------— I dp =
a J
_ 2яр0------J (^1 + j
О
л/а2 4- №	/а* ( Ъ2 \ а2Ъ2 < 2 2,2 A v	о »2\
= 2хро —----- ( — ( 1	+ — I	Ч-----~а2Ь2 )	= -роау/а2 + Ь2(3а2	+ 62). ►
а \4\ аг j Z о J б
170. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности
Z
вырезанной цилиндром Sy = {(z, y, z) € R3 : x2 + y2 = ax, z € R}.
◄ Для вычисления координат центра тяжести указанной части поверхности S воспользуемся формулами (17), п.4.3, полагая в них p(z, у, z) = 1, так как поверхность однородна. Имеем
z.
Х=, z; = -J
2 Л.»2
dS = у/1 + z'2 + z'f dx dy= Vidx dy,
(z, у) € D, D= {(z, у) € R3 : х2 + у3 С о®}»
4	’
m
s
D
§ 4. Интегрирование на многообразиях
177
хс =
xdS =
х dxdy =
cos <р dip
a cos
У p^dp =
О
тп
т/2 та3
8 т
а
2’
ус =
У dxdy
гс —
х2 + у2 dx dy =
dp =
2
2
Г(2)Г(^) ? 16а Г (2 + 1) 9т '
1

171. Найти координаты центра тяжести однородной поверхности
S — < (i, у, я) £ R3 : z = i^/a2 — г2 — у2, х + у а (х О, у О
◄ Рассматриваемая часть сферы проектируется на множество D = {(х, у) € R2 : 0 х а, 0 у а — i}, поэтому
Полагая в интеграле arcsin .	= t, найдем
т = 2а2
2 sin t cos t (1 + sin2 t)2
dt - 2а2
= 2а2
/ 3 \
-1+ [ d(ctgf) 4 J 2 + ctg2/ \ ? /
.->2 1 T , 1	. ct8*
= 2а I - - ч-------7= arctg —=
1	4 y/z ° y/2
p(v^-i).
178	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Применив формулы (17), п.4.3, вычислим сначала координату гс- Имеем
а а—у
а во втором у = a sin2 в, получим
Полагая в первом интеграле у = «sin
172. Найти полярные моменты инерции
S
следующих поверхностей S: а) поверхности куба S = {(х, у, z) € R3 : max{|x|. |у|. |z|) = а}: б) полной поверхности цилиндра S = {(х, у, z) Q R3 : х2 + у2 $ R, 0 z $ Н}.
◄ а) Можем представить 7о в виде
7о
'Ц\х2+ У2 + z2)d3.
, = 1 с.
где Si. i = 1,6, — грани куба. Рассмотрим грань Si = {(х, у, z) € R3 : — а х	а, — а	у
а, z = а}. На ней dS = dx dy, в силу чего получим
X2 + у2+Z2)dS
а а	а
У dx У (х2 + у2 + а2) dy = 4 j (ах2 + |а3) dx — у^а4. оо	о
Интегралы, входящие в сумму, определяющую 7о, равны между собой, поэтому имеем
70 = 6~а4 = 40а4. <5
б) Представим 1а в виде
y2 + z2)dS +
//^ у2 + г2)	+ у2 4$’
s.	Sr,
где 5Я — нижнее основание цилиндра S, S, — его верхнее основание, St, — его боковая поверхность.
$4. Интегрирование иа многообразиях	179
На Sa и Sa выполняется равенство dS = dxdy, в силу чего первые два интеграла в правой части равенства являются двойными интегралами в замкнутой области D = {(z, у) € R2 : z2 + у2 Я2}. Принимая во внимание равенства z|s> = 0, z|s> = Н, получим
(х2 + у2 + z2) dS + Jj\x2 + у2 + z2) dS =
= УУ (?(х2 + У2) + Я2) dx dy = tR2H2 +2 УУ (*2 + У2} dx dy-D	D
Переходя к полярным координатам, находим
2% Я
2 Jj\x2+y2)dx dy = 2 j dip J p3 dp = к R?. d	oo
Ha St выполняются равенства z2 + у2 — R2, dS = -^==, причем St проектируется на прямоугольник Di = {(z, z) € R2 : |z| $ Я, 0 z Я), в силу чего имеем
//("’ о1 + -•’)« =	/(* + »’) = <ЛЯ (л1 + f-
s6	-я	о	о
/	zj2 \	г Iй	/	№\
= 4RH | R2 + -г- ) arcsin — = 2тгRH I R2 Ч—— ) .
\	3/ л|о	\	3 J
Складывая полученные равенства, окончательно находим
Io = *R (r(R + Я)2 + |я3) . ►
173.	С какой силой притягивает однородная усеченная коническая поверхность
S = {(р, <р, г) € R3 : х = pcos^s, у — psin ip, z — р\ 0 <р 2т, 0 Ъ р а}
с поверхностной плотностью ро материальную точку массы т, помещенную в вершине этой поверхности?
•4 Применив формулу (18), п.4.3, получим
F
= хтро
s
где х — постоянная тяготения,
г = (х ~ Хо, у - уо, Z - zo), г = ||т|| = \/(х ~ Zo)2 + (у - уо)2 +(z - Zo)2.
Здесь следует взять zo = уо = zo = 0, так как материальная точка находится в вершине конуса. Обозначая F = (Fx, Fv, Fx), имеем
= хтро
Гу
= хтро
= хтро
Параметризуем поверхность S, полагая S — Ф(О), где Ф(т, $?) = ^^cosy, ^5 sin v>, ° = {(*. V>) € R2 : bV2 О aV2, 0 y> < 2ir}. Тогда
E 1, G= —, F ₽ 0, dS as у/EG — F3 dr dip «	dr dp.
J т = »'
Ъу/2
180	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Заменяя поверхностные интегралы соответствующими двойными, найдем
2я р 1 f Ех = —хтро / <
о
2тг
= ixmpo У । о
о,
Ь\/2
2тг аУ2
г 1	Л / dr > “
Ft = -хтро I dp I — = irxmpo In
2 J J *	b
о M
Из физических соображений можно было сразу сделать вывод о том, что Fx = 0. Fy = 0, так как однородная поверхность S имеет ось симметрии Oz, на которой находится центр тяжести поверхности, в силу чего
F = ъхтро In ^к, о
где к — орт оси Oz. ►
174.	Найти потенциал однородной сферической поверхности S = {(i, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 = а2} плотности ро в точке Мо — (то, Уо, zo), Т.е. вычислить интеграл
s где г = у/(х - ю)2 + (у — ро)2 + (z - zo)2.
Перейдем от системы координат Oxyz к системе О^у^, совершив поворот осей так, чтобы точка Мо находилась на положительной полуоси О£- В новой системе координат точка Мо имеет координаты £о = 0, у0 = 0, (о = го. где го = \/z2 + !^о + 2о• ^Рн указанном переходе к новой системе координат сфера S перейдет в сферу S' = {(£. у, Q g R3 ; £2 у2 ц. С2 — а2}. Таким образом, требуется вычислить интеграл
dS'
U =ро , , г---------------
\А2 + Т?2 + (С - Го)2
Представим множество S' в виде S' = $(D). где Ф{8. <р) = (asin#cos<p, asin#sin<p, a cos#), D = {(5, js) g R2 : 0 J г, 0	2т], и вычислим коэффициенты Гаусса, а также
dS'. Имеем Е = a2, G ~ a2 sin2 в, F = 0, dS' = у/EG — F2d8 dp = a2 sin 8 d8 dtp. Принимая во внимание равенство £2 + у2 + (£ — то)2 = а2 — 2аго cos в +г%, получим
2%
гг ff sin в dd dp	2	[
U = а ро II -. .	..	= — а ро I dp
JJ v/°2 — 2ar0 cos в + г? J J D	оо
2	^/а2 — 2aro cos 8 + rj
= 2ira ро ---------------------
sin в d8
2arocos9 + rl
=-------(а + го - |а - го|).
го
о
Если а < то, то U = "~7рРр • Если а > то, то U — Чтгаро- Оба случая объединяются ,	2'
одной формулой. Действительно, неравенство а < то эквивалентно неравенству ^- < а, а неравенство а > т — неравенству ~ > а. Следовательно. U = 4irpn min/а.	►
аг о
§ 4. Иитегрнрование на многообразиях
175.	Вычислить интеграл
181
J J f(x- У: 2)dS, s(e)
где
<2	2
,/ ч J X + у , если /(.т, з/, z) = <
0,	если
г2 У2'	•?(<) = {(«! У; z) £ R3 : х2 + у2 + z2 = t2}.
х2 + у2,
Из условия примера следует, что функция f отлична от нуля на той части поверхности S(t), которая находится внутри части пространства R3, ограниченной конической поверхностью Si = {(я, у, z) £ R3 : z = у/х2 + у2}, поэтому имеем
х2+!/2	, ,
--— dx dy.
\/t2 - X2 - у2
Т
(z2+j/2)dS =
После перехода в двойном интеграле к полярным координатам получим
2	\/2	\
0	0	о
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода;
176. I = /f х dy dz + у dz dx + zdxdy. где S — внешняя сторона сферы, заданной

S уравнением х2 + у2 + z2 = а2 Ч Рассмотрим интеграл
Л = JJ zdxdy.
s
Плоскость z - 0 пересекается со сферой S по окружности -, = {(т, у) £ R2 : х2 + у2 — а2}, являющейся гладким краем компактов S+ = {(z, у, z) £ R3 : z+ — у/a,2 — x2 — у2, (z, у) £ 7?}, S~ = {(z, y. z) £ R3 : z~ = -у/a2 — x2 - y2, (z, у) £ D}, D = {(z, y) £ R2 : x2 + y2 а2}. Ориентация кривой - должна быть согласована с ориентацией многообразий S+ \ и •S'~ \ по правилу, указанному в п.4.1. Эти ориентации противоположны, поэтому
Л = JJ z dx dy + JJ z dx dy = J J z+ dx dy — J J z~ dx dy = s+	s-	D	D
После перехода в интеграле к полярным координатам получим
2т
71 =2
IJ У 0,2 ~ x2 ~ y2 ^У-D
а2 — р2 dp = ^т(а2 <5
о
Из очевидных равенств
S
окончательно находим I = 4 та3. ►
х2 + ^+х
о
Л
3
2
о
4 з -та .
3
182	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
177. , . JJ(у — z)dydz + (z — x)dzdx + (z — у) dxdy, где S — внешняя сторона s
конической поверхности, заданной уравнением х2 + у2 = z2, 0 z Л.
◄ Коническая поверхность S проектируется на круг D = {(z. у) € R2 : х2 + у2 Л2}. Из-за особой точки в начале координат множество S называют псевдомногообразием. В начале координат вектор нормали п к S не определен, поэтому
1=	((у - z) cos а + (z — z) cos/? + (z — у) cos7) dS,
S\{(0,0,0)}
где cos a, cos /?, cos 7 — направляющие косинусы вектора единичной нормали п в точках множества S\{(0, 0, 0)}. Множеством {(0, 0, 0)} можно пренебречь при интегрировании в любом случае, поскольку оно имеет меру нуль.
Множество S \ {(0, 0, 0)} трансверсально ориентируем выбором одного нз двух возможных направлений вектора единичной нормали п. Поскольку речь идет о внешней стороне поверхности 5, то вектор п образует с ортом к оси Oz тупой угол, в силу чего имеем
1	zx	□	zy
cos*, =----======, cos a = —=======. cos о = —7=====,
+ z'y	Vl + zi2 + Zy	V*+z'x +4
где z(z, y) = i/z2 + y2.
Заменяя поверхностный интеграл двойным и принимая во внимание, что
dS = у 1 + z'x + Zy dx dy, получим
I ~	((y - z(z, y))z* + (z(z, y) - z)z' + у - z) dx dy =
D
178. 1 = jj	+
s уравнением
dx dy \
----— I, где S — внешняя сторона эллипсоида, заданного
◄ Множество S представим в виде
S = $(D), Ф(0,	= (asin#cos<£, isintfsiny», ccostf),
где D = {(6,	€ R2 : 0	0 тг, 0	2тг}.
Согласно определению поверхностного интеграла по ориентированной поверхности 5, имеем
+ + ds, у z )
s
где cos a, cos/?. cos7 вычисляются по формулам
--	-	— cos в =-------- ..........cos 7 =........  —	  -, ±хЛ42 + В2+С2	±V42 + В2 + С2	±VA2 + В2+С2
л _ 7>(g. z) _ 7>(z, z) _ 7>(z, у) s?)’	Т>(б. <(>}’	Т>(8,рУ
$4. Интегрирование на многообразиях	183
х, у, z — компоненты вектора Ф (в примере 162 найдены следующие значения: А = 6с sin2 в cos <р, В = ас sin2 9 sin </>, С = a6sin 9 cos в). Поскольку С > 0 при 0 < в < у и С < О при J < в < тг, то в формулах для вычисления cos a, cos/?, cos-, перед радикалом выбираем знак в силу того что на верхней половине поверхности эллипсоида cos~, > 0, а на нижней его половине cosy < 0. Принимая во внимание равенство dS = у/А2 А- В2 + С2 d9 dip, приводим поверхностный интеграл к двойному:
т	f [ (	& С \ j [ [ (be ас ab\.
I =	/ / ( —тт—г +	—77—г +	—77—г I	d9 dip	= / / (--I- —	Н--1 sin 9 d9 dip	=
D	D
n	2тг
(be ac ab\	. (be ac ab\ , , ( 1 , 1 ,1 \
=-------h —	+ — ) /	sin 9 d9 I	dip = 4tt (-|- —	+ — )	= 4?ra6c —	+ — +	-z I	. ►
\ a 6 c / J	J	\	a b c /	\a2 b2	c2 /
о	0
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
119.	Г где 7 — отрезок прямой, заданный уравнением у = J — 2, заключенный •J Х~у •	2
7
между точками А = (0, —2) и В = (4, 0).
120.	f у dl, где — дуга параболы, заданной уравнением у2 — 2рх, отсеченная кривой,
7
уравнение которой х2 = 2ру.
121.	J xyzdl, где 7 — четверть окружности, лежащей в первом октанте, полученной в ре-
У
зультате пересечения сферы S = {(т, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 = R2 } и поверхности цилиндра 51 = {(т, у, г) € R3 : х2 + У2 = у, г € r} •
122.	J ^2z — ^/i2 + j2^ dl, где — первый виток конической винтовой линии, заданной уравнениями х = tcost, у = tsint, z = t.
123.	Найти массу дуги кривой, заданной уравнением у = In х, между точками с абсциссами zi п 12, если плотность кривой в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.
124.	Найти массу кривой 7, заданной уравнениями х = e'eost, у = e’sint, z = е‘, от точки, соответствующей t = 0, до произвольной точки, если плотность кривой обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1, 0, 1) равна единице.
125.	Вычислить статический момент первого витка конической винтовой линии, заданной уравнениями х = tcost, у = tsint, z = t, относительно плоскости хОу, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости: д = kz2, к = const.
126.	Вычислить площадь данной цилиндрической поверхности, заключенной между плоскостью хОу и поверхностями, заданными уравнениями у = у/2рх, z = у, х -- |р, р > 0.
Вычислить криволинейные интегралы:
127.	fxdy, где 7 — пробегаемый в положительном направлении контур треугольника, образованного отрезками осей координат и прямой, заданной уравнением f + 3 = 1-
1 о о	Г dy—1/3 dx	u
1Ло. J —44—1 где 7 — четвертая часть астроиды, заданной уравнениями х =
7 х*+уЗ
a cos3 t, у = asin3t (от точки (a, 0) до точки (0, а)).
129. J х dx + у dy + (х + у — 3) dz, где 7 — отрезок прямой линии, от точки (1, 1, 1) до т точки (2, 3. 4).
184	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
130. Доказать, что величина интеграла f(2xy - у) da -h х2 dy.
где — замкнутый контур, выражает площадь области, ограниченной этим контуром. 131. Доказать, что интеграл
J ?(y)dx + (т</(у) + т3) dy
равен утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры, ограниченной контуром , относительно оси ординат.
Найти функции по данным полным дифференциалам:
132-Л+’)<'’+- >0 133-* -
Вычислить поверхностные интегралы:
134.	Я £ , где S — цилиндр, заданный уравнением х2 + у2 = R2, ограниченный плоско-s'
стями, уравнения которых z = 0 и z = Н, а г — расстояние от точки поверхности до начала координат.
135.	Я  гДе $ — сфера, заданная уравнением х2 + у2 + г2 = а2 а р — расстояние S
элемента поверхности до точки (0, 0, с), расположенной вне сферы.
136.	j~f yz dx dy + xzdydz + xydxdz. где S — внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра, заданного уравнением х2 + у2 = R2, и плоскостей, уравнения которых т = 0, у = 0, z = 0 и z = Н.
137.	Я у2 zdxdy + xz dy dz + х2у dx dz, где S — внешняя сторона поверхности, располо-э
женной в Первом октанте и составленной из параболоида вращения, заданного уравнением z = х2 + у2, цилиндра, заданного уравнением т2 +у2 = 1. и координатных плоскостей.
138-	Я((*"- уп) cos а + (тп — zn) cos /? + (yn — хп) cos ' ) dS, где S — верхняя половина s
сферы, заданной уравнением х2 + у2 + z2 = а2, a cos О', cos /?, cos *, — направляющие косинусы внешней единичной нормали п к поверхности S.
§	5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса
Пусть К — компакт с краем ЭК в евклидовом пространстве Rm с фиксированным базисом.
Определение 1. Компакт К называется элементарным, если каждая прямая в пространстве Rm. параллельная оси Оц. i = 1, т, либо не пересекается с К. либо имеет с К один общий сегмент, который может вырождаться в точку.
Указанный в определении сегмент можно задать в виде
... , Xi-1. ««+1, • • • , Хт) X, &(®1,  • • : Xi-1, Xi+1, .... Хт),	(1)
где ipi, tpi — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.
Определение 2. Компакт К С Rm с краем дК называется простым, если существует его представление в виде п
к = U	(2)
J\j — элементарные компакты без общих внутренних точек с краями dKj. j =s 1, т.
§ 5.- Формулы Остроградского, Грина н Стокса	] 85
Теорема Остроградского. Пусть на простом компакте А С R3 с ориентированным краем дК = S определена вектор-функция F = (Р, Q, R). непрерывная на К вместе с частными производными	Тогда справедлива формула Остроградского
J J J	dx dy dz = (Pcos a + Qcos/3 + Я cos 7) dS, (3)
к	s
где cos a. cos /3, cos 7 — направляющие косинусы вектора единичной нормали п в точках поверхности S.
Если в равенстве (3) взять Р = х, Q = у, R = z, 10 получим следующую формулу для вычисления объема V' компакта К посредством поверхностного интеграла второго рода:
V = i J j(х cos a + у cos /3 + z cos 7) dS.	(4)
s
Если D — простой компакт с ориентированным краем dD = 7 в евклидовом пространстве R2, а вектор-функция F = (Р’, Q') непрерывна на D вместе с частными производными и то формула Остроградского принимает вид
Ц =	<5>
D	f
Если т = (cos a', cos^') — единичный касательный вектор к гладкой кривой , указывающий положительное направление ее обхода, то, принимая во внимание, что п = [т, fc], где k — орт оси Oz пространства R3, и пользуясь правилом циклической перестановки в смешанном произведении, имеем
(F, п) dl = ({P'i, [т, Л]) + ((?';, [т, fc])) dl = (Р'{т, [fc, «]) + Q'{r, [fc, j]>) dl =
= (P'{r, j} - Q'(r, »)) dl = {-Q'i + P'j, r) dl.
Следовательно, согласно определению криволинейного интеграла второго рода, равенство (5) принимает вид
// {^ + ^)dxdy = j-Q'dx + p'dv-	(6)
D	7
Полагая Р1 = х, Q' = у, получим формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной гладким контуром 7, посредством криволинейного интеграла второго рода:
Р = xdy -ydx.	(7)
Из теоремы Остроградского и формулы (6) получаем, как следствие, теорему и формулу Грина.
Теорема Грина. Пусть D С ®2 — простой компакт с ориентированным краем , на котором определена вектор функция F — (Р. Q), непрерывная на D вместе с частными производными и . Тогда справедлива формула Грина
Р dx + Qdy.
(8)
D	7
Для доказательства формулы (8) следует взять в формуле (6) Р' = Q, Q' = — Р.
Определение 3. Гладкая поверхность S С R3 с краем у' называется элементарной. если ее можно задать уравнением z = z(x. у), (т. у) € D. а также, уравненш м
186
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
х = т(у, z), (у. z) € D'. где D u D' — компакты в пространстве R2 с краями А и А'.. а функции z и х непрерывно дифференцируемы в D и D'.
Определение 4. Гладкая поверхность S С R3 с краем у' называется простой, если п
существует ее представление в виде S = |J Sj, где Sj — элементарные поверхности без ,=1
общих внутренних точек с краями уу.
Если простая поверхность S трансверсально ориентирована и ориентации контуров */ и уу, j = 1, п, согласованы с ориентацией поверхности, то общие части границ двух смежных поверхностей 5у и Sj+i будут противоположно ориентированными.
Теорема Стокса. Пусть S С R3 — гладкая простая поверхность с ориентированным краем у', F = (Р, Q, R) — непрерывная на S вектор-функция, компоненты которой имеют непрерывные на S частные производные ууу,	Тогда справедлива
формула Стокса
cos а a
8х Р
cos /3 a
8y Q
cos у a
az
R
Р dx + Q dy + R dz,
(9)
где под умножением символов J-j-, Jp на функцию будем понимать выполнение соответствующей операции дифференцирования, cos а, cos/?, cos— направляющие косинусы вектора единичной нормали п.
179.	Применяя формулу Грина (8), вычислить криволинейный интеграл / = У е1 ((1 — cos у) dx — (у — sin у) dy),
где — пробегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий область D = {(т, у) € R2 '• 0 < х < тг. О < у < sin г}.
I
◄ По формуле Грина (8) имеем
sin у - у)) - — (е*(1 - cos у))
dxdy =
УI уех dxdy =
D
= — - / е sin2 х dx = — - f е (1—cos 2т) dx = —-е fl — г (cos 2т + 2 sin 2т)) = — ~(е — 1). ►
2 J	4\5	У (о 5
о	о
180.	На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы
h = У (т + у)2 dx - (т - у)2 dy, Л = У (т + у)2 dx - (т - у)2 dy, АтВ	АпВ
где АтВ — отрезок прямой, соединяющий точки А = (1, 1) и В = (2, 6), и АпВ — дуга параболы с вертикальной осью, проходящая через те же точки А.Вя начало координат?
◄ Уравнение параболы, проходящей через начало координат и точки А, В, имеет вид у = 2т2 — х, а разность h ~ h является криволинейным интегралом по замкнутому контуру АпВтА, ограничивающему область D С R2 и пробегаемому в положительном направлении, в силу чего можем применить формулу (8):
h-h= У (т + у)2 dx - (т - у)2 dy = JJ (-(т - у)2) - ^(х + у)2^ dx dy = АпВтА	В
dy = ~4. / (6т2 - 4т - 2т3) dx = (2т4 + 8т2 - 8т3
$ 5. Формулы Остроградского, Грмжа к Стокса
187
Следовательно, Ii — I2 = 2. ►
181.	Вычислить криволинейных интеграл
1 = У (е* sin у — ту) dx + (е* сов у — т) dy, АтО
где Ат О — верхняя полуокружность, заданная уравнением х2 + у2 = ах, пробегаемая от точки А = (а, 0) до точки О = (0, 0).
◄ На сегменте [0, а] подынтегральное выражение равно нулю, поэтому интеграл по кривой Ат О равен интегралу по замкнутому контуру АтОА, состоящему из кривой АтО и сегмента [0, а], ограничивающему область D — {(г, у) ей2 : о < х а, 0 у у/ах — х2}, в силу чего можем применить формулу (8):
I =• У (e*sin у — ту) dx + (ехсову — m)dy = АтОЛ
dx dy —
— т jj dxdy = ^хо2. ► D
182.	Вычислить криволинейный интеграл
1 = У (^(у)®1 - ту) dx + (р'(у)е1 АтВ
где <р, у>' — непрерывные функции, АтВ — произвольный путь, соединяющий точки А = (xi, yi) и В = (хз, Уз), но ограничивающий вместе с отрезком AJ3 фигуру D, площадь которой равна данной величине Р.
◄ Интеграл по кривой АтВ представим в виде суммы интегралов по замкнутому контуру АтВА и по отрезку АВ (рис. 19):
/= у (р(у)с1 -ту) dx + (<p\y)e.x — m)dy + J (<р(у)ех - my)dx+ (<р'(у)ех - т) dy = Ц +12. ЛтВА	АВ
ех cos у — т) — — (е* sin у — ту) Эу
D
- m) dy,
Интеграл Ii вычислим, применив формулу (8):
Л = УУ (¥>'(у)ех - т) - J^(p(y)e* - ту) \ dxdy = m JJdx dy - mP. D	D
Для вычисления интеграла Z3 преобразуем подынтегральное выражение к виду
Му)®* - ту) dx + (v'(у)ех - т) dy = = (**(у)е* - ту) dx + (р'(у)е1 - тх) dy + т(х - 1) dy = du + т(х - 1) dy,
где du — полный дифференциал некоторой функции. Следовательно,
du 4- т j
АВ
188	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
где первый интеграл в правой части этого равенства не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А н В. Таким образом,
12	у3
У du = j\p(yi)ex - myi) dx + j\ч>\у)е12 - тх2) dy = ‘р(у2)еХз - <^(yi)eX1 - т(х2у2 - ijj/i).
АВ	j/i
На отрезке АВ выполняется равенство у = yi -Ь (д “ ^1), в силу чего имеем
х2
//	,ч.	У2-У1 [ (	, у2 - У1 (х - I)2 2
т l(x — l)dy = m-------- / (х — 1) dx = т--------—---- =
J	х2- xi J	12 -11	2
АВ	*1
- ^-(У2 - yi)(n + х2 - 2) =	- Jh)(*i + х2) - т(у2 - уг}.
L	и
Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдем
I = тР + v(y2)eX2 - p(yi)ex' - у(х2 ~ ®i)(^2 + У1) - т(у2 - у у}. ►
183.	Определить дважды непрерывно дифференцируемые функции Р : R2 —* К, Q : R2 R так, чтобы криволинейный интеграл
I = j>P(x + a,y + fi)dx + Q(x + а, у + р) dy у
для любого замкнутого контура у не зависел от постоянных а и ;3.
◄ Если функции Р и Q удовлетворяют поставленному условию, то должно выполняться равенство
У Р(х + а, у + p)dx + Q\x + а, у + p)dy - j> Р(х, y)dx + Q(x, y)dy
•у	~у
для любого замкнутого контура у, в сил}' чего имеем
11 = Ф Р dx + Q dy = О,
где Р = Р(х +.а, у + 3) - Р(х, у), Q = Q(x + а, у + ;3) - Q(x, у).
Для того чтобы криволинейный интеграл Д по любому замкнутому контуру у был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим контуром, и на самом контуре выполнялось равенство	(которое следует из формулы Грина).
Обозначив х + а — (,у + р = г). получим написанное условие в виде
откуда имеем равенство
Левая часть этого равенства не зависит от $ и у, поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно,
dQ ЭР	9Q	ЭР	r_rnn4f
-ХТ---Х— =	-х--—	= с,	О = const,
t///	UJ	ay
$ 5. Формулы Остроградского, Гржна к Стокса
189
Из условия —	= С получаем равенство 5~(Ф(Х> у) — Ох) = ^~(х, у), справедливое лишь
в том случае, когда Q(x, у) - Сх = ^(г, у) + ^(у), Р(х, у) = у) + ^(®), где и, <р, ф — дважды непрерывно дифференцируемые функции. Окончательно находим
Р = ~ + р(т), Q = Сх +	+ У>(у), С = const. ►
ОХ	оу
толп	. [xdy — ydx
1о4. Вычислить интеграл I = ф —т——, где 7 — простои замкнутый контур, не J х + У
проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.
◄ Если контур 7 не окружает начало координат, то, применив формулу Грина, получим
Если контур 7 окружает начало координат, то применять формулу Грина нельзя, поскольку область D в этом случае неодносвязна. В этом случае будем вычислять интеграл I непосредственно.
Обозначим через ш дифференциальное выражение под знаком интеграла I. Покажем, что интеграл
1
не зависит от выбора кривой 7, окружающей начало координат.
Пусть 71 и 72 — произвольные иепересекающиеся замкнутые гладкие или кусочно-гладкие контуры, окружающие начало координат и ограничивающие простую область D СЙ2\{(0, 0)}. При положительной ориентации границы 7 = 71 U 72 области D направления обхода кривых 71 и 72 будут противоположны (рис. 20). Двухсвязная простая
область D не содержит особой точки подынтегрального выражения w, поэтому, согласно
формуле Грина, имеем
[[(-L ( -х Л + ± f—V._^dldy= [и- /« = 0, JJ \дх\х* + у*) +ду{х* + у'))ах * J J
D	71 Tj
откуда следует равенство
•n 13
показывающее, что интеграл 1 не зависит от выбора замкнутой кривой 7, окружающей начало координат. Взяв окружность 7 = {(т, у) € R2 : х = ecosp, у = esin у>,	2я), получим
.	[ е2 cos2 <р + е2 sin2 <р f
1=1 —:--------------- d<p = I dtp = 2x. ►
о	0
185. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у, заданной уравнением J + ) =	, а > 0, 6 > 0, п > 0, и отрезками осей координат.
4 Для решения примера воспользуемся формулой (7).
190
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 2	2
Полагая х = ар cos « <рг у = 6psin " <р (о <р J), получим уравнение заданной кривой в полярных координатах, используя которое, находим ее параметрические уравнения
(2	2	'
2	. ‘	. 2	—
cos р sm " р + S1D р COS п р
sin n р
(2	2
cos2 рsin n р + sin2 р cos n p
У _ -----------;
COS n ip
2
Из равенства | = - tgn^, 0 < p < j, получаем
y\ 2b sin n <p
I	2
х/	na z.4.1
cos n
d
^(xdy — ydx) = iz2 d
3-1	.	. з-l l-i \
p cos " p + 2 sin p cos p + sin n p cos п p I dp.
„	7Г
о < P < -•
Поскольку x dy — у dx = 0 на отрезках осей координат, ограничивающих фигуру, то формула (7) принимает вид
Заменим криволинейный интеграл определенным, приняв во внимание равенство
186. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у, заданной уравнением
x\2n+i	/и\2"+1	fх\п fу\п
— )	+(т)	= с ( — ) ( -г I , а > 0, 6 > 0, с > 0, п > 0.
а/	\о/	\а/ \Ь/
2
◄ Переходя к обобщенным полярным координатам по формулам х = apcos2n+1 р, у = 2	2п ‘ 2п
bpsin2n+1 р, получим уравнение кривой 7 в виде р = ccos2n+1 psin2n+i р, из которого заключаем, что при изменении р от 0 до кривая выходит из начала координат и возвращается в него, т.е, является петлей. Используя уравнение кривой в полярной системе координат, получим ее параметрические уравнения, в которых параметром служит угол р-,
2п+2	2п	2п	2п+2
X = ас COS 2n+1	sin 2п+1 у ~ iccos2n+l р sin 2n+l О <	.
191
§ 5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса
Далее действуем по той же схеме, что и при решении предыдущего примера:
2Ъ а(2п + 1)
sin2n+1 tp ,
-----5-------dtp,
т-— -1
cos2n+1
~r(,xdy — у dx) = ix2 d (-4	4	\ X
abc2 2n + 1
cos sin tpdtp,
n 1 i j □ abc2 [	abc2
P=-J)xdy-ydx=—-J COS^d^^-^.
t	0
187. Показать, что если ~ — замкнутый контур и е — произвольное направление, то
cos(eT'n) dl = 0.
гдеп — внешняя единичная нормаль к контуру .
◄ Пусть е = (cosao, cos,3o) — произвольное направление. Поскольку ||е|| = 1 и ||n|| = 1, то cos(e, п) - (е, п). Если кривая ограничивает область D С R2, то, применив формулу Остроградского (5), в которой F = е, получим
//(^COSQo + ^COS/3° D
dx dy = 0.
у Ь --------
— = —tg2n+1 ф} х а
я о < V» < ?,
188. Найти значение интеграла
I — £ [zcos(n, i) + у cos(n, у)) dl, a
где — простая замкнутая кривая, ограничивающая конечную область D. и п — внешняя нормаль к ней (г, j — орты осей координат).
◄ Поскольку cos(n, г) = (п, г). cos(n, у) = (п, j), то интеграл I преобразовывается к виду
I = j) (х(п, i) + у{п. j})dl =	n}dl.
У
где F = xi + yj = (т, у). Осталось применить формулу (5):
Г = УУ +	dxdy = 2 JУ dx dy = 2Р,
D	D
где Р — площадь области D. ►
189. Найти lim i n)dl, где В — площадь области D. ограниченной контуром d(D)—о В J
7. окружающим точку («о, уо), d(D) — диаметр области D, п — единичный вектор внешней нормали к контуру и F = (Р. Q) — вектор, непрерывно дифференцируемый в D U 7.
◄ Согласно формуле (5), имеем
192	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
При стягивании контура 7 в точку (хо, уо) получим, применив теорему о среднем и пользуясь непрерывной дифференцируемостью функций Р и Q:
..	1 [[ (дР dQ\ , , ЭР,	,
hm — / / -5- + -г- ] dx dy = — (хо, уо) + -х-(«о, уо)-
d(D)-o В JJ \дх ду J	дх	ду
D
Следовательно,
1 t	qp	д(д
lim — <b(F, n)dl = — (ю. уо) + ^(«о, уо)- ► d(D)^o В J	дх	ду
190.	Доказать, что если S — замкнутая простая поверхность не — любое постоянное направление, то
s
где п — внешняя единичная нормаль к поверхности S.
◄ Пусть е = (cos оо, cosflo, cos 70) -— единичный фиксированный вектор. Тогда можно написать равенство
cos( п7~ё) = (п. е) = cos a cos ао + cos fl cos flo + cos 7 cos 70,
где coso, cos fl, cos 7 — направляющие косинусы вектора нормали п. Применив формулу Остроградского (3), получим
S	к
— cos ао + cos Во + cos 70 | dx dy dz = 0. дх	dy	dz J
191.	Дока зать, что объем V конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью S, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, и плоскостью, заданной уравнением Ax+By+Cz+D = О, PH
вычисляется по формуле V = —j—, где Р — площадь основания конуса, расположенного в данной плоскости, Н — его высота.
◄ Не ограничивая общности, можем считать, что вершина конуса находится в начале координат, а плоскость, в которой расположено основание конуса, пересекает положительную полуось Oz (этого всегда можно добиться путем линейного преобразования координат). Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой (4), которую запишем в виде
где Si — основание конуса, Sj — его боковая поверхность, г = (х, у, z) — радиус-вектор точки М = (х, у, г) на поверхности конуса, п = (cos a, cos fl, cos 7) — единичный вектор нормали к поверхности конуса (рис. 21). На боковой поверхности конуса векторы гита ортогональны, поэтому
jI {г, п) dS = 0.
Следовательно, V = ff (г, n)dS.
Si
На множестве Si выполняется равенство
А В D
сх-су~с’
$ 5. Формулы Остроградского, Грина к Стокса
193
откуда получаем
А	а	В
cos а = -.......... ,	cos В =	—,
у/А^ + В'+С2	VA2 + В2 + С2
С
COS У = —к-, у/А2 + В2+&
r х D f[ds DP Зу/А2 + В2 + С2 JJ Зу/А2 + В2 + С2’
Sl где Р — площадь основания конуса S. Из рис. 21 видно, что Н = — Р; cosy =--, п, , где Н — высота конуса.
с	у/л3+в3+с3
Таким образом, V =	►
192.	Найти объем тела Т, ограниченного поверхностями, заданными параметрическими уравнениями
х = a cos u cos v + b sin u sin v, у = a cos u sin v — b sin u cos v, z = csinu, z = ±c (a > 0, 6 > 0).
◄ Пусть c > 0. В плоскости хОу имеем х2 + у2 а2, и — 0, 0 v 2т.
Рис. 21
Если z = ±с, то и = ±^, х2 + у2 Ь2, 0 v 2х. Следовательно, верхним и нижним основаниями тела Т являются круги радиуса Ь. Таким образом,
Т = Ф(-О), где Ф(и, в) = (1(1», v), у(и, v), z(u, v)), D - {(n, v) € R2 : ~ u y, 0 v 2x j .
Если a2 > 62, то при z > 0 единичный вектор нормали n в каждой точке верхней части боковой поверхности образует с ортом к оси Oz острый угол, если же а2 < Ь2 — то тупой угол (рис. 22, 23).	£
Для вычисления объема V тела Т воспользуемся формулой (4), записав ее в виде
s
где г = (х, у, г) — радиус-вектор точки М = (х, у, z), S — полная поверхность тела Т. Разобьем интеграл на сумму интегралов
v = nM5 + Jf<r’ nM5 + jf<r’ n>dS)’ \ Sj	S3	S3	/
где Si и Sj — соответственно верхнее и нижиее основания тела, S3 — его боковая поверхность. На поверхности Si выполняются равенства п = (0, 0, 1), г = (х, у, с), (г, п) = с, а на поверхности St имеем п = (0, 0, —1), г = (х, у, —с), (г, п) = с. Принимая во внимание, что на Si и на St справедливо равенство dS = dxdy, получим
dS = Jj\r,n)dS = c J J dxdy = irb2c.
Sx	Sj	x3+y3^i>3
Для вычисления интеграла по поверхности S3 нам понадобятся направляющие косинусы вектора п. Вычислим С =	— (J2 —a2)sinucosu, 0 u Если а2 > Ь2, то С < 0, и
поскольку cos 7 > 0, то
С сов 7 ---. _
>/Л4 +	+С2
194
Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
С COS 7 = 7-----=	.
VA2 + В2 + С2
Следовательно, принимая во внимание равенство dS = у/ А? + В2 + С2 dudv, имеем
УУ (г, n) dS = — УУ (x(u, и)Л Ц- у(и, v)B + z(u, v)C) du dv, s,	D
где
D(y, z)	.	n P(z, x)	.
Л =	—7 = —cx(u, v) cos u, В —  ------= — су(u, v) cos u.
U(u, v) v ’	P(u, v) '	7
Таким образом,
УУ {г, п) dS = jj (c(x2(u, v) + y2(u, v)) cos u + (a2 — 62)z(u, v) sin u cos u) dudv =
S3	D
2 2"
= a2 c jУ cos u dudv — a2c J cos u du J dv = 4ira2c.
D	0
2
Складывая полученные значения, при с > 0 имеем
тл 2	2 ,2	4	( 2	\
V = т»а с + с = ---хс la q- — I . «J	О	о V Z I
Если с < 0, то, очевидно, получим
У=_|«(а2 + £\ 3 \	2 7
Окончательно имеем
v ~ I*!0!	+ т) ‘ ►
О \	" /
Рассмотрим несколько примеров на применение формулы Остроградского (3).
Вычислить интегралы:
193. I
§ 5. Формулы Остроградского, Грнна и Стокса	195
х3 dydz + у3 dzdx + z3 dxdy, где S — внешняя сторона сферы, заданной
уравнением х2 + у2 + z2
◄ Используя формулу Остроградского (3), находим
7 = 3 / / / (х2 + у2 + z2) dx dy dz,
где К = {(х, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 а2} — шар радиуса а. После перехода в интеграле к сферическим координатам получим
о
f J [ 4j 12	5
I dtp I p dp = —тга . k
о 0
194.	I = ]J (x — у + z) dy dz + (y — z + x) dz dx + (z — x + у) dx dy, где S — внешняя s
сторона поверхности, заданной уравнением |х — у + z| + |у — z + х| + |z — х + у| = 1.
◄ Обозначим через Т тело, ограниченное поверхностью S. Применив формулу (3), получим
I
х — у + z) + J^(y - z + х) + -^-(z - х + у)^ dx dy dz = 3 Jjj dxdy dz.
Произведем в интеграле замену переменных, полагая u = x — y + z,v = y — z + x,w = z — x + y. Принимая во внимание равенство
Ф(х, У, z) _	1________________1_____
Т>(-и, v, w)	P(u, v,	w)	1—11
V(x, у,	z)	11 —1
-1 1 1
находим
'=? Ill III
|u|+|v|+jw|^l	u+v + w^l
u>0, v>0, u/>0
du dv dw = 6
(1 - ")2 .
—— du =
195.	1 = Jj(x2 cos a + y2 cos fl + z2 cos*,) dS, где S — часть конической поверхности, s
заданной уравнением х2 + у2 — z2, 0 z h, н cos о-, cos/3, cos 7 — направляющие косинусы внешней нормали п к этой поверхности.
◄ Поскольку поверхность S незамкнута, то воспользоваться формулой Остроградского (3) нельзя. Рассмотрим замкнутую поверхность 51, которую получим, присоединив ко всем точкам поверхности S множество точек круга Si — {(х, у, z) € R3 : х2 +у2 $ h2, z — h}. Множество 5i является псевдомногообразием, поскольку в вершине конуса и иа окружности у = {(х, у, z) € R3 : х2 + у2 = Л2, z = Л} вектор п не определен. Этими множествами можно пренебречь, так как они имеют меру 0, п рассматривать интеграл на мпожестш*
196	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
S3 = Si \ (7 U {0, 0, 0}). Имеем равенство
jJ (х2 cos а + у2 cos )3 + z2 cos 7) dS — j j (x2 cos о + у2 cos ft + z2 cos 7) dS. S3	s2\-f
К интегралу на множестве S3 можем применить формулу Остроградского (3). а. на множестве S? \ 7 имеем cos ст = cos/? = 0, cosy = 1, z2 — h2, dS — dx dy. Поэтому получим
7=2
dx dy =
x 4- у + z) dx dy dz — irft4,
где T = {(s. y, z) € IR3 : x2 + y2 < h2. ^/s2 -|- y2 < z < h}.
В тройном интеграле перейдем к цилиндрическим координатам и заменим полученный интеграл повторным. Найдем
х -Ь у -Ь г) dx dy dz
h
h
(p(sin p -|- cos p) + z)dz =
о 0
h
t2	л2\	~
..	\ /	•	\ Л	0 1»	7Г ,4
р(Л - p)(cos + sin <p) + — - — I p dp = — ft .
Окончательно имеем I = jft4 — 7rft4 = — ^ft4. ►
196.	Вычислить интеграл Гаусса
= Jj S!iS^ds.
s
где S — простая замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая компакт Т С R3, п — внешняя нормаль к поверхности S в ее точке (f, т), О > г — радиус-вектор, соединяющий точку (х, у. z) с точкой (£, Г), С), и z = ^/($ - х)2 + (ч — у)2 + (С — z)2.
◄ Рассмотрим два случая: а) поверхность S не окружает точку (х, у, z); б) поверхность S окружает точку (х, у. z).
В случае а) можем применить формулу Остроградского (3). Приняв во внимание равенство cos(rTn) =	> получим
Цх, у, z) = JJ (J у- cos а + У cos,? + £~3 Z cos 7^ dS =
T	T
В случае б) формулу Остроградского применять нельзя, так как интеграл 1(х. у, z) становится несобственным. Поэтому вычислим его непосредственно. Для этого рассмотрим произвольный простой компакт Tj с краем Si, лежащий строго внутри тела Т. Предположим, что (х, у, z) € i\, где ii — внутренность компакта Т\. Множество T\fi не содержит точку (х, у. z) и является компактом с ориентированным краем S U Sj~, где S,- — ориентированная граница компакта Тз. в каждой точке которой единичный вектор нормали п
§ 5. Формулы Остроградскогр, Грнна н Стокса	197
направлен внутрь Т\. Применив формулу Остроградского (3) на компакте 2 \	, получим
равенство
5	s?
из которого следует, что
1(Х.У! z) = JJ dS,
s>
где Si — произвольная гладкая поверхность, все точки которой являются внутренними точками компакта Т. Таким образом, интеграл 2(х, у, z) не зависит от вида поверхности, окружающей точку (х, у. z). Поэтому можем взять в качестве поверхности Si сфер)' достаточно малого радиуса е > 0. При этом получим
z) = yy^dS=iyydS = ^=4.,
Si	51
поскольку на сфере Si векторы г и п коллинеарны и выполняется равенство г = е. ►
197.	Тело Т целиком погружено в жидкость. Исходя из закона Паскаля, доказать, что выталкивающая сила жидкости равна весу жидкости в объеме тела и направлена вертикально вверх (закон Архимеда).
◄ Согласно закону Паскаля, погруженная в жидкость площадка испытывает давление, направленное по нормали к ней и равное весу столбика жидкости, основанием которого служит площадка, а высота столбика равна глубине погружения.
Пусть тело Т ограничено гладкой или кусочно-гладкой поверхностью S и ц — удельный вес жидкости. Выберем систему координат Oxyz так, чтобы свободная поверхность жидкости совпадала с плоскостью хОу, а ось Oz была направлена вверх. Рассмотрим элемент поверхности da, площадь которого равна dS, и пусть М = (х, у, z) G da — произвольная точка. Согласно закону Паскаля, можем написать приближенное равенство dF(M) = pzndS, где п(М) — единичный вектор нормали к поверхности S в точке М, z — аппликата этой точки.
Суммируя по всем элементам da и совершая предельный переход, когда диаметры этих элементов стремятся к нулю, получим формулу для вычисления силы F:
IJ zn(M)dS =
5
cos о dS + jp
Применив к каждому поверхностному интегралу формулу Остроградского (3), найдем z cos a dS —	z cos fidS = 0, J J z cos у dS = JJJ dxdydz = V,
S	S	ST
где V — объем тела T.
Окончательно получаем F = kpV = kP, где Р — вес тела Т. ►
Рассмотрим несколько примеров на применение формулы Стокса (9).
198.	Пусть у — замкнутый контур, расположенный в плоскости, заданной уравнением х cos а + у cos /3 + zcos'/ — р — 0 и ограничивающий площадку S, cos о. cos.S, cos*/ — направляющие косинусы вектора нормали та к плоскости. Найти
dx cos а х
dy	dz
cos fi cos у
У	2
где контур пробегается в положительном направлении.
В обозначениях формулы Стокса имеем
Р = z cos /? — у cos у, Q = х cos у — z cos О', R = у cos а — х cos ,2.
198	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Применив формулу Стокса (9), получим
1 = 2 JУ cos a dy dz+cosf) dz dz-f-cos у dxdy = 2 jj (cos2 a-f-cos2 Д+cos2 7 s
dS = 2B,
s
s
где В — площадь площадки S. ►
Применяя формулу Стокса (9), вычислить интегралы:
199.	1 = У ydx + zdy + xdz, где 7 — окружность, полученная в результате пересечения
7
сферы S = {(г, у, z) € R3 : z2 + у2 + z2 = а2} с плоскостью Si, заданной уравнением х + у + z = 0, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
◄ Применим формулу Стокса, взяв в ней в качестве поверхности круг S? радиуса а, лежащий в плоскости Si. Получим
I = — УУ dy dz + dz dx + dx dy = — J J (cos a + cos /3 + cos 7) dS,
S3	S3
где cos a, cos/?, cos 7 — направляющие косинусы нормали n к плоскости Si. Так как вектор п и орт к оси Oz образуют острый угол, то в каждой из формул для вычисления cosa, cos j3, cos 7 перед радикалом в знаменателе следует взять знак Приняв во внимание, что cos а = cos /? = cos 7 =	, имеем
s3
так как площадь круга Sj равна ха2. ►
200.	I = У(у — z)dx + (z — x)dy + (z — y)dz, где 7 — кривая, полученная в результате 7
пересечения поверхности S цилиндра Т = {(я, у, z) € R3 : х2 + у2 a2, z € R) с плоскостью
Si, заданной уравнением —I- — = 1, а > 0, h > 0, пробегаемая против хода часовой стрелки, a h
если смотреть с положительной стороны оси Ох.
◄ По формуле Стокса (9) имеем
dy dz 4- dz dx + dx dy = —2 j(cos a + cos p + cos 7) dS,
S3	S3
где S2 = T П Si — множество всех точек эллипса
S2 = {(®,у, 0€R3 :z2 + y2 О2, ~ + г = 1 I	а п
cosa. cos/?, cos7 — направляющие косинусы нормали п к плоскости Si. Множество точек S2 проектируется на круг 2? = {(г, у) € R2 : z2 + у2 а2}. Поскольку нормаль к плоскости Si образует острый угол с ортом к оси Oz, то в каждой из формул
—а	*	1
cosa=------ —- ==, cos/? =---------=========, cos 7=--------=======
±\Л + z* + ze	±x/l + 2» + z'y	±\/1 + z£2 + z'y
перед радикалом в знаменателе следует взять знак Переходя от поверхностного интеграла к двойному н принимая во внимание равенство dS = yi + z'2 + zj2 dx dy, получим
7 = 2 УУ (zi(z, y) + Zy(x. y) - 1) dx dy.
J 5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса	199
Так как на множестве Si выполняется равенство z = h — ~х, то zx = —z'y = 0. Следовательно,
I = —2 JJ ^1 + —) dx dy = —2 ^1 + —) тга2 = —2тга(а + Л). ► D
201.	I = у (У2 + Z2)dx + (х2 + z2)dy -j- (х2 + y2)dz, где 7 — кривая, полученная
7
в результате пересечения полусферы S = {(х, у, z) € К3 : х2 + у2 + z2 = 2Дх, z > 0} н поверхности Si = {(z, у, z) € R3 : х2 + у2 — 2rx, z € R}, 0 < г < R, пробегаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне полусферы S наименьшая область остается слева.
◄ Применив формулу Стокса, получим поверхностный интеграл
I — 2 j\у — z) dy dz -J- (z — x) dz dx (x — y) dx dy = s2
= 2 j((у — z) cos o- + (z — x) cos + (z — y) cos 7) dS, s?
где S2 — кусок полусферы S, вырезанный из нее поверхностью Si, cos a, cos;?, cos 7 — на-пра’вляющие косинусы вектора нормали п к Sj. На множестве S2 выполнены равенства z = y/2Rx — х2 — у2, z'x = z'y = Так как вектор п н орт к оси Oz образуют острый угол, то в формулах для вычисления cos a, cos /3, cos 7 перед радикалом в знаменателе следует взять знак Принимая во внимание равенство dS = y/l + z'2 + z'y dx dy, получим
7 = 2 УУ ((у - z(z, y))(-zi(z, у)) + (z(x, у) - x)(-z'(х, у)) + (x - у)) dx dy = D
= 2 ff (,,+ЖО' + a _ 3 dxdy — 2R If fl-^—^zrfy, J J \	J J J \ Ф, V) J
D	D
где D = {(z, у) € R2 : z2 + у2 2rx}. Поскольку
r r .
[[-y—dxdy= [dx f r ydy - [	=
J J z(x> У) J J \/2Rx — x2 — y2 J \	l»=V2r®-®2 /
D 0 ° 4 7
то окончательно имеем
1 = 2R jУdxdy = 2%Rr2. ► D
202. I = У y2z2 dx + x2z2 dy + x2y2 dz, где 7 — замкнутая кривая, заданная уравнениями 7
z = a cost, у = a cos 2i, z = acos3i, пробегаемая в направлении возрастания параметра I.
◄ При изменении t от 0 до х подвижная точка М = (х, у, z) пробегает часть кривой 7 от точ^и Мо = (а, а, а) до точки Mi = (—а, а, —а), а при изменении t от т до 2т точка М пробегает ту же самую часть кривой 7 в противоположном направлении — от точки Mi до точки Ма. Таким образом, точки замкнутой кривой 7 взаимно накладываются, и эта кривая не ограничивает никакой поверхности. Следовательно, 1 = 0. ►
200	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
Упражнения для самостоятельной работы
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
139.	J = $ ху2 dy — x2ydx, где у = {(z, у) € R2 : х2 + у2 = а2}.
140.	1 = §(х + y)dx - (z - y)dy, где у = |(х, у) € R2  £ + %з = 1 т
141.	1 = $ е_(^2+»2)(СО52ху dx + sin 2ху dy), где у = {(z, у) € R2 : х2 + у2 = R2}.
7
142.	Какому условию должна удовлетворять дифференцируемая функция (z, у) t-> F(x, у), чтобы криволинейный интеграл
/ K(z, у)(у dx + х dy)
АтпВ
не зависел от вида пути интегрирования?
143.	Вычислить Г —	, если X = ах + by, К = сх + dy и простой замкнутый
контур окружает начало координат (ad — be / 0).
144.	Вычислить интеграл 1 (см. предыдущую задачу), если X = <р(х, у), Y = ^'(х, у) и простой контур у окружает начало координат, причем кривые, определяемые уравнениями <p(z, у) — 0 и ^’(х, у) = 0, имеют несколько простых точек пересечения внутри контура у.
145.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у, заданной уравнением
(z 4- y)n+m+1 — ахпут, а > 0, п > 0, т > 0.
146.	Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох простого замкнутого контура у, расположенного в верхней полуплоскости у О, равен
V = —я § у2 dx.
7
Применяя формулу Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V н cos a, cos/?, cos у — направляющие косинусы внешней нормали п к поверхности S:
147.	ffx3dydz+y3dzdx + z3dxdy. 148. ff *	dS'
149’	Л (В cos « +	cos £ +	cos *') dS-
s 4	7
150.	Вычислить интеграл I = x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy, где S — внешняя сторона
s
границы куба К — {(х, у, z) € R3 : 0 x a, 0 у a, 0 z a}.
151.	Найти объем тела T, ограниченного поверхностью S, заданной уравнениями г — ucosv, у = usinz, z = —u + acosv, u 0, а > 0, н плоскостями х = 0, z — 0.
152.	Доказать формулу
к	s
где S — край компакта К, п — внешняя единичная нормаль к поверхности S в точке ($, т), £), г = у/(£ - х)2 + (у - I})2 + (С - г)2 и т = ($ - х, г/ - у, ( - z) — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, z) к точке .(£, г), £).
153.	Вычислить интеграл J" х2у3 dx + dy + zdz, где у = {(z, у, z) € R3 : х2 + у2 =
7
R2, z = 0}: а) непосредственно; б) используя формулу Стокса (в качестве поверхности S взять полусферу,.заданную уравнением z = \/ R2 — х2 — у2). Интегрирование по окружности ". вести в положительном направлении.
§ 6. Элементы векторного анализа	201
154.	Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл § у dx + z dy + х dz, i
где 7 — окружность, полученная в результате пересечения сферы S — {(z, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 — а2 } с плоскостью, заданной уравнением х + у + z = 0, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
155.	Вычислить интеграл
f (х2 - yz)dx + (у2 - xz) dy + (z2 - xy)dz, АтВ
О	О	V	•	h
взяты» по отрезку винтовом линии, заданной уравнениями х = acoscp, у — asiny. z = — от точки А = (а, 0, 0) до точки В — (а, 0, h).
Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы:
156.	I = $(у + z)dx + (z + x)dy + (х + y)dz. где • — эллипс, заданный уравнениями х = a sin2 t. у — 2a sin /cos/, z — a cos2/, 0 t тг, пробегаемый в направлении возрастания параметра /.
157.	I = /(у2 — z2)dx + (г2 — z2) dy + (z2 — y2)dz, где — сечение поверхности куба э
К =: {(z, у. z) € R3 ’• 0 х а, 0 у а, 0 z а} плоскостью, заданной уравнением х + у + z = ja, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
§ 6.	Элементы векторного анализа
6.1.	Скалярные и векторные поля.
Если каждой точке М пространства Rm, т 1, или некоторой области этого пространства поставлено в соответствие Некоторое число f(M). то говорят, что задано скалярное поле f (например, поле давления в атмосфере, поле плотности сплошного распределения массы в объеме V и т. д.).
Если каждой точке М пространства Rm, т 1, или области этого пространства поставлен в соответствие некоторый вектор м(1И), то говорят, что задано векторное поле и (например, поле тяготения системы масс или сплошного распределения массы в ограниченном объеме, иоле плотности импульса, поле плотности тока, поле магнитных сил и т. п.).
6.2.	Плотность аддитивной функции областей. Восстановление аддитивной функция по ее плотности.
Пусть Ф(Л’) — аддитивная функция компакта К, т.е. функция, удовлетворяющая условию
Ф(К1 U К2) = Ф(К1) + Ф(Аз)
для любых двух компактов без общих внутренних точек. Число
ф(М) = lim
1 к-М уК
(1)
где у К — мера компакта К, называется плотностью функции Ф в точке М € К.
Если плотность аддитивной функции областей Ф непрерывна или кусочно-непрерывна на компакте К, то
х) dx.
(2)
202	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
6.3.	Дифференциальный оператор Гамильтона.
Пусть	и(М), ...} — множество скалярных и векторных полей, имеющих непре-
рывные производные по всем координатам, и пусть Т(р) = Т(р; ф(М), и(ЛГ), ... ) — некоторое выражение, имеющее смысл скаляра или вектора, линейное относительно произвольного вектора р:
T(aipt + о2р2) = OiT(Pi) + а2Т(р2), где Qi, аг — произвольные действительные числа.
Пусть р = ал 4- bj + ck. Тогда, в силу линейности Т, имеем
T(p) = aT(i) + bT(j) + cT(k).	(1)
Полагаем
T(V)®Ar(i) + ^r(j) + ^TW,	(2)
заменяя в (1) компоненты вектора р символами дифференцирования по х, у и z соответственно.
Символ V (набла) называется дифференциальным оператором Гамильтона.
В векторном анализе наиболее важными выражениями Т, о которых упоминалось выше, являются:
а)	Г(р; <р) = рф (ф — скалярное поле);
б)	Т(р; и) = (р, и) (скалярное произведение);
в)	Т(р; и) = [р, и] (векторное произведение).
На основании (2) получаем:
a)	T(V) = ^ = ^+^+^fc;
б)	T(V) = (V, и) = || +	если и = (Р, Q, R\,
г	j	к
•)	T(V).(V,.1, £ £ £ = g-g .+(£-•£),+ g-g)t.
Р	Q	R
Вектор в правой части а) называется градиентом скалярного поля ф. Выражение в правой части б) называется расходимостью (или дивергенцией) векторного поля и. Вектор в правой части в) называется вихрем (или ротором) векторного поля и.
6.4.	Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля.
Пусть ф — скалярное поле, определенное в области П С R3, 7 — гладкая кривая, лежащая в f) и проходящая через фиксированную точку Мо € f), ДI — длина дуги кривой от точки Мо до точки М. Если при М —► Мо существует конечный предел отношения
Д^>(9Ио) ф(М) — ф(Мо)
Xi ~	д';	’
то он называется производной скалярного поля ф в точке Мо вдоль кривой у и обозначается >(Мо):
>«) = £;/(М)2Г(М<	«
Если функция ф дифференцируема в точке Мо. то ее производная вдоль кривой существует и для всех кривых, выходящих из точки Мо с одной и той же касательной т = (cosai, cos/91, cos7i), значение этой производной одно и то же, а сама производная называется производной по данному направлению т и вычисляется по формуле
j£-(Mo) = (grad <p(Af0), т) = ^-(Afo)cosai + ^-(Мо) cos/?i + ^(Af0)cos7i.	(2)
<74	dx	dy	dz
Вектор gradp(Afo) = ^’fj(Afo), ^(Afo),	направлен из точки Mo в сторону бы-
стрейшего возрастания скалярного поля ф, а его евклидова норма равна абсолютной величине производной поля ф в этом направлении.
На гладкой поверхности уровня ф(М) = С, С = const, касательная плоскость к поверхности в точке Afo ортогональна вектору grad ^>(Afo).
§ 6. Элементы векторного анализа	203
6.5.	Потенциальные векторные поля. Циркуляция векторного поля.
Любое векторное поле и, совпадающее с полем градиента некоторого скалярного поля <р, называется потенциольнь<л<, а функцию <р называют в этом случае потенциалом поля и.
Если вектор поля и имеет физический смысл силы, то потенциал <р этого поля имеет физический смысл работы. Работа А силы и на гладкой или кусочно-гладкой кривой 7, соединяющей точку Мо с точкой Mi, вычисляется по формуле
А = J{и, r)dl,	(1)
где г — единичный касательный вектор к кривой .
В силу условия и = grad р, из (1) получаем
А = / (grad <^. т) dl = J dl = y>(Mi) - v’(Mo),	(2)
M0Mj	MaMi
т.е. работа силы на пути М0М1 равна разности потенциалов в точках Mi и Мо.
Если и — произвольное непрерывное векторное поле, то интеграл по замкнутому контуру
(«, r)dl	(3)
т
называется циркуляцией поля и по контуру 7.
Циркуляция непрерывного потенциального векторного поля и по всякому замкнутому контуру 7, лежащему в односвязной области, равна нулю. Справедливо и обратное утверждение: если циркуляция непрерывного векторного поля и равна нулю по любому замкнутому Контуру 7, лежащему в односвязной области, то поле и потенциально.
6.6.	Поток и расходимость векторного поля.
Пусть S — конечная гладкая или кусочно-гладкая поверхность, и — векторное поле, заданное в области П, содержащей все точки поверхности S. Выражение
w(u; S) = fj\u, n)dS,	(1)
s
где п — единичный вектор нормали, характеризующий сторону поверхности, называется потоком поля и через поверхность S. Вычисление потока является линейной операцией. Если поверхность S, ограничивающая область П, замкнута и при стягивании области П в точку М существует конечный предел
lim
w(u; S')
где pQ — жорданова мера множества f), то он называется расходимостью или дивергенцией векторного поля и в точке М € П и обозначается div и(М):
div = lim —— v	pQ
dS.
(2)
Таким образом, по определению div'u(M) есть плотность аддитивной функции областей — потока векторного поля и через замкнутую поверхность S. Если компоненты поля и = (Р, Q. R) имеют в области Q непрерывные производные	то справедлива формула
div и(М) = £(М) +^(М)+	~	(3)
получаемая на основании формулы (2), формулы Остроградского и теоремы о среднем!
Ранее, в п.6.3, показали, что div u = (V, и), где V — дифференциальный оператор Гамильтона.
204	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
6.7.	Вихрь векторного поля.	«
Пусть и — непрерывное векторное поле, заданное в конечной области П с гладкой или кусочно-гладкой границей 5, п(1И) — единичный вектор внешней нормали к поверхности S в точке М. Вектор-функция
(1)
S
называется циркуляцией поля и по границе области f). Если существует конечный предел
9(Р) = lim v 7 п-Р рО,
то вектор q называется вихрем или ротором поля и в точке Р € Q и обозначается rotu(P):
(2)
rot и(Р) = lim —— /
S
(3)
где дГ2 — жорданова мера множества Q.
Таким образом, по определению, rot м(Р) есть плотность аддитивной функции областей — циркуляции векторного поля и по границе области Q.
Если компоненты поля и = (Р, Q, R) имеют непрерывные частные производные по переменным х, у и z, то вихрь поля и в точке Р' € П можно вычислить по формуле
rot u(P') =
J а
ву
Q
к а az R
dR _ dQ\ . (дР_ _	. (&Q _ ЭР\
ду dz j k dz дх / дх ду у
t
а дл р
В п.6.3 было показано, что rot u = [V, и].
Классические формулы Остроградского и Стокса в обозначениях векторного анализа принимают соответственно вид
div udx dy dz = nus
(5)
(6)
Определение. Если в каждой точке М области Q выполняется равенство rot м(1И) = О, то поле и называется безвихревым.
Теорема. В односвязной области всякое безвихревое поле потенциально.
6.8.	Дифференциальные операции первого порядка.
В выражениях T(V; <р, и. ...), рассмотренных в п.6.3, можно производить любые тождественные преобразования, допускаемые правилами линейной алгебры, считая при этом символ V вектором, например:
V(pi + рз) = V<pi + V^2,
{V, U1 + u2) = (V, Mi) + (V, м2),	(7)
[V, ui + u2] = [V, Mi] + [V, м2].
Теорема. Если оператор V действует на произведение ('численное, скалярное, векторное) двух величин, то результат можно представать как сумму двух слагаемых того же вида, в каждом из которых V действует на один из сомножителей и не действует на другой, аналогично правилу обычного дифференцирования произведения двух числовых функций.
203. Пусть и = ху — z2, (х, у, z) € R3. Найти величину и направление grad и в точке М = (—9. 12, 10). Чему равна производная в направлении биссектрисы координатного угла хОу?
205
grad u(Af) =
§ 6. Элементы векторного анализа
◄ Используя определение градиента скалярного поля, получаем
, ^-(М).	= (12, -9, -20), ||gradu(M)|| = у/122 + 92 + 202 = 25.
оу az 1
Направление grad u(Af) определяется вектором
,, , gradu(JW) /12	9	4\	,	„	.
v ’ ||grad u(M)||	\25	25'	5/ v	M ’
Единичный вектор т, выходящий из начала координат в направлении биссектрисы первого
координатного угла, имеет вид т = I -yr, -ys, 0 I. Согласно формуле (2), п.6.4, получаем
ди .	, ,<	12	9	3
— = (grad и(М), т) = — - — =	►
204.	В каких точках пространства Oxyz градиент поля и — х3 +у3 +z3 — 3xyz, (х, у, z) € R3: а) перпендикулярен к оси Oz; б) параллелен оси Oz; в) равен нулю?
◄ Из определения градиента скалярного поля следует, что grad u(x, у, z) = (3(z2 — yz), 3(у2 — xz), 3(z2 — ху)') . В случае а) имеем (grad и, k) — 3(z2 — ху) = 0, откуда z2 = ху.
В случае б) вектор gradu(x, у, z) колинеарен орту k оси Oz, вследствие чего в каждой точке искомого множества должны одновременно выполняться равенства х2— yz = 0, у2 — xz = 0. Исключив из них z, найдем х3 — у3 = 0, откуда х — у и х2 + ху + у2 = 0. Второе равенство выполняется лишь в случае, когда х = у = 0. Подставляя х = у в любое из исходных равенств, получаем, что х = у = z. Следовательно, градиент скалярного поля и параллелен оси Oz в точках х = у = 0 ив точках х = у = z.
В случае в) получаем равенства х2 — yz = 0, у2 — xz = 0, z2 — ху = 0, которые должны выполняться одновременно. Используя результат, полученный при рассмотрении случая б), имеем х = у = z. ►
205.	Дано скалярное поле и — In -, где т = у(х- а)2 + (у — Ь)2 + (z — с)2. В каких точках пространства Oxyz выполняется равенство ||grad u|| = 1?
-r-т	ди	х—а ди	у—Ъ ди
◄ Принимая во внимание равенства — = —= ||gradu|| = i.
Равенство ||grad u|| = 1 выполняется на сфере единичного радиуса с М = (а, Ь, с), т.е. на множестве точек г = 1. ►
206.	Найти косинус угла о- между градиентами поля и =
(1, 2, 2) и В = (-3, 1, 0).
◄ Косинус угла о- вычислим по формуле
_ (gradu(A), gradи(В)) C°SQ ||grad u(A)|| ||grad u(B)||'
=	+ y2 + z2, последовательно получим
, получаем
центром в точке
х
—5——z- в точках A = X2 + у2 + z2
Обозначив г2
Z	ди _ 1 дх т2	_ 2х^ т4 ’	Эи _ Эу	2ху г4 ’	ди _ 2xz dz	г4	, г(А) = 3,	г (В) = у/10,
— (А)- — дх' ’	81’	^(А) = ду	81’	az	4 81’	^-(В) = -ах	-2, Jf(B) 25’ Эд1 '	д^=°
(grad u(A), grad u(J3)) =		4 405’	|| grad	«(4)|| ||grad и(В)|| =		1 —г . cos о = 90	4	1 _ _8 405 ’ 90 ~ 9
207. Вычислить-, a) gradr; б) gradr2-, в) gradi, где т = л/х2 + у2 + z2.
Г	v
◄ Рассмотрим скалярное поле <p(Af) = f(r), т € R, где f — дифференцируемая функция. Его поверхности уровня — сферы с центром в начале координат О = (0. 0. 0). Градиент ноля
206	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
tp направлен по нормали к сфере, т.е. по радиусу ОМ. Функция f возрастает, если f'(r) > О, и убывает, если f'(r) < 0, поэтому вектор grad/(г) направлен в сторону возрастания г, если /'(г) > 0, и в сторону убывания г, если /'(г) < 0, причем ||grad/(r)|| = |/'(г)1- ® силу сказанного выше, имеем
grad /(г) = £—1г,
где г = (х, у, z) — радиус-вектор точки М = (х, у, z).
В случае а) /'(г) = 1, поэтому grad г = £ = е(О, М). В случае б) /'(г) = 2г, поэтому grad г2 = 2г. В случае в) /'(г) = в силу чего grad 1 = —	►
208.	Доказать формулу V2(uv) = uV2v + vV2u + 2(Vи, Vv), где V2 — {V • V) = д2	д2	д2
Эх2	ду2 dz2
◄ Записав V2(uv) = (V, V(uv)) и воспользовавшись правилами действий оператором Гамильтона, получим
V(uv) = vVu + uVv, (V,	= (V, vVk) + (V, uVt) =
= vV2« + (Vu, Vu) + aV2t + (Vu, Vu) = «V2t + tV2a + 2(Vu, Vv). ►
209.	Доказать, что если функция и дифференцируема в выпуклой области V С R3 и jjgrad u|j Л/, где М = const, то для любых точек А и В из V имеем |u(A) — и(В)[ Мр(А, В), где р(Л, В) — расстояние между точками А и В.
◄ Обозначив А = (хо, уо, zo), В = (xi, yi, zi), Р = (хо — Xi, уо — yi, zo — zi) и используя свойство дифференцируемости функции и, получим
|U(A) - «(В)| = |d«(CI, $ е V.
Поскольку
1<М*)1 = ^«Xxo-x^+^Xso-yrJ + ^^Xzo-zr) = ах	ay	az
= I(gra-d u(£), J°)| ||grad u«)|| ||P|| = ||grad и(£)||л/(хо - Xi)2 + (yo - yi)2 + (z0 - zi)2 =
= |jgradu«)|jp(A,B)^Mp(A, B), to |u(A) — u(B)| Mp(A, B). ►
x2 v2 z2
210.	Найти производную поля и —	+ — 4—z-, (х. у, z) € R3, в данной точке М =
а1 „ о2 с2
(х, у, z) в направлении радиуса-вектора г этой точки. В каком случае эта производная будет равна величине градиента?
◄ По формуле (2), п.6.4, имеем
|^(М) = (Jgrad Ц(М),	= l(grad и(М), г) = 1	+ ^+	= \(М),
где г — ^/х2 + у2 + z2. Из условия	= |[grad и(ЛГ)|| получаем	— г‘ Послед-
нее равенство, как легко проверить, выполняется, если а = b = с. ►
211.	Найти дивергенцию'поля и = ——£ в точке М = (з 4, 5). Чему прибли-у/х2 + у2
женно равен поток вектора и через бесконечно малую сферу
S. = {(х, у, z) € R3 : (х - З)2 + (у - 4)2 + (z - 5)2 = е2}?
◄ С помощью формулы (3), л.6.6, получаем
—х \ д_ f у \ + — ( Z — д2 ~у2 ।	1
у/х2 +y2J \\/®2 +У2/ 3z \>А2 +У2/	(х2 + у2Д V®2 + »2
div u(Af) =
j* div и = —
ах
§ 6. Элементы векторного анализа	207
Дивергенция поля и является плотностью аддитивной функции областей — потока w(u; S), для восстановления которого следует применить формулу (2), п.6.2:
w
div и(х, у, z) dxdydz,
где Т = {(х, у, z) е R3 : (х — З)2 + (у - 4)2 + (z - 5)2 < е2}.
Поскольку шар бесконечно мал, т.е. е —< +0, то можем взять div u(x, у, z) zs div и(М) = 18 ттг
—. При этом получим
U’l
,.	j j 18	4 з 24 з
div u(Af(dxdydz =-— -тге = — тге
1ZO о	1ZO
212.	Найти div (grad /(г)), где r = x2 + y2 + z2. В каком случае div(grad f(r)) = 0?
◄ В примере 207 получена формула grad /(г) — в предположении, что функция f дифференцируема. Здесь будем считать, что она дважды дифференцируема. Обозначив = $г(г), запишем упомянутую формул)' в виде grad /(г) = f(r)r, где г = (х, у, z).
Пользуясь оператором V и правилами действий с ним, получим
div (grad /(т)) = (V, р(т)т) = (г, Vyi(r)) + p(r)(V, г) =
= (г, grad^(r)) + ^>(r)div г = (г, gradp(r)) + 3^(г),
так как div г = 3. Принимая во внимание равенства grad<p(r) = г, (г, grad = (г, *Ar).r\ — Д(г)г2 = находим
div (grad /(г)) = гр'(г) + Зр(г) = /"(г) - Lili + 3 —Г) = /"(г) + гт	т
так как ^'(т) =
Приравнивая div (grad /(г)) к нулю, получим дифференциальное уравнение (г/'(т))' + f'(r) = 0, решая которое, находим r/z(r)+/(r) = ci. Применив метод вариации произвольной постоянной, окончательно получим /(г) = ci + —, где Ci, Сг —- произвольные постоянные. ►
213.	Найти: a) div (u grad и); б) div (иgrad v).
◄ Применив оператор V, получим:
a)	div (u grad u) = (V, и grad и) = (grad и, Vu)+u(V, grad и) = (grad и, gradu)+u(V, Vti) = |grad u|2 + uV2a = |grad u|2 + и Ди, где Д =	— оператор Лапласа.
б)	div (и grad и) = (V, и grad и) = (grad v, Vu) + u(V, grad v) = (grad u, grad v} + и Д v. ►
214.	Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси Oz против хода часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ш. Найти расходимость вектора скорости v и вектора ускорения го в точке М = (х. у, z) пространства в данный момент времени.
◄ Линейная скорость v частицы жидкости в точке М равна вектору v — [w, г], где ш = и>к, г = ix + jy + kz. Получаем
О	д
v = jwx — iwy, div г’(М) = — (—wy) + — (ы х) = 0. дх	ду
Ускорение го(х, у, z) выражается формулой
го = [w, г’] = [u>, [w, г]] : ы{ш, г) — r(w, ш) = кш2 z — ш2г — —«»2(»х + jy).
Согласно формуле (3), п.6.6, имеем
div w(x, у, z) ±= ~(-w2x) +	= -2т2. ►
дх	ду
208	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
215.	Найти дивергенцию гравитационного силового поля, создаваемого системой притягивающих центров.
◄ Рассмотрим векторное поле F(P), создаваемое системой материальных точек т;, j = 1, п, помещенных в точках Mj, j = 1, п. Это поле задано формулой
;=1
где r(P, Afj) — радиус-вектор, проведенный из точки Р в точку Mj, r(P, Mj) — его длина. Поскольку вычисление дивергенции является линейной операцией, то
d"F(p) = £div(^=^.v .и,)
Таким образом, задача свелась к вычислению расходимости поля F/P) = ^Дг)г, где ^j(r) = гз(р/м )  рассмотренного в примере 212. Там было показано, что div РДР) = r<p'(r)+ 3<^j(r). Подставив сюда rpj(r) = —3^-, получим
div Fj (Р) = -	= 0, div Р(Р) = 0.
г г
Результат объясняется тем, что поле тяготения не имеет источников вне масс т7, в силу чего мощность источников этого поля, характеризуемая расходимостью, равна нулю. ►
216.	Доказать формулу rot (Д и) = <^rot и + [grad <р, и].
◄ Применив оператор Гамильтона, находим
rot (р«) — [V, pu] = [V, <puc] + [V, <рси],
где значок ‘‘с® указывает, что оператор набла на данный объект не действует. Если объект, на который оператор V не действует, находится позади V, то будем индекс “с” опускать. Имеем
rot (<ри) = —[и, V<p] + ^[Т, м] = — [и, grad <р] + rot и = <prot и + [grad и]. ►
217.	Найти rot (У(г)т), где г = (г, у, z).
◄ На основании формулы, доказанной в примере 216, имеем: rot(/(r)r) = [V, /(г)г] = /(г) rot г + [grad/(г), г]. С помощью формулы (4), п.6.7, находим
	i j к	
	д	д	д	
rot г =	дх ду dz	= 0
	х у Z	
Решая пример 207, мы нашли, что grad /(г) = ^-г.
Таким образом, окончательно имеем:
rot (/(г) г) =
ШГ1 г = о т
218.	Найти a) rot cf(r}-. б) rot [с, f(r)r] (с — постоянный вектор).
◄ а) Пользуясь обозначениями и правилами, которые были применены при решении примера 216, получаем:
rot сДг) = [V, с/(г)] = [V, с/с(т)] + [V, сс Дг)] = /(r)[V, с] - [с, V/(r)] =
= /(г) rot с + [grad /(г), с] -

Г
§ 6. Элементы векторного анализа	209
б) Воспользуемся известной формулой векторной алгебры: [а, [Ь, с]] = Ь{а, с} — с(а, Ь). Действуя оператором V на вектор [с, Я], где R = f(r)r, находим:
rot [с, R] = [V, [с, Я]] = [V, [с, Лс]] + [V, [сС! Я]] =
= c(V, Rc) - R(4, с} + c(V, R) - R{V, cc) = {R, V)c - R(V, c) + c(V, R) - (c,	=
= (R, V)c — R div с + c div R — (c,	.
Так как с — постоянный вектор, то справедливы равенства
<Л’ V)c = f(r) (х А + у А + z^ С = /(г) (xff + у^ +	= 0, div с = 0,
в силу которых
rot [с. Я] — с div Я — (с, Ч)Я.	(*)
При решении примера 212 мы нашли div Я = r/z(r) + 3/(г). Чтобы решить пример до конца, требуется вычислить (с, Т)Я. Пусть вектор с имеет вид с =: (а, Д, *,). Тогда получим:
(с, V)R= (а^ + 3^ + у^ f(r)r =
\ ах ay dzj
— а (Ш-ХТ+ «/(г)4) + Д ft-^-yr + jf(r) ) + у ( ^—T > zr + kf(r)\ =
У т	J \ r	/	\ r	/
= f(r)c + -y-)-r(c, r).
Подставляя полученные выражения в (*), находим:
rot [с, f(r)r] — с (т/'(т) + 3/(г)) - /(г)с - Ш-г(с, г) =
= 2/(г)с +	— с{т, г} — ?—Т'- г{с, г} = 2/(г)с + —(с(г, г) — г(с, г)). ►
т	т	г
219.	Доказать формулу div [Яг, Яг] = (Я2, rotRj) — (Яг, rotR2).
◄ Действуя по той же схеме, что и при решении примеров 216—218. получаем:
div [Яъ Яг] = (V, [Яь Ri]} = (V, [Яг, Яс2]) + (V, [Я], Я2]) =
= (Яг, [V, Яг]) - (Яг, [V, Я2]) = (Я2, rotRj) - (Яь rotR2). (воспользовались известным правилом векторной алгебры для смешанного произведения: (а, [Ь, с]) = (&, [с, а]) = (с, [а, &])). ►
220.	Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси е = (cos а, cos Д. cos ) с постоянной угловой скоростью ы. Найти вихрь вектора линейной скорости v в точке пространства М = (х, у, z) в данный момент времени.
◄ Направление вектора угловой скорости ы совпадает с направлением е, поэтому ы = ле. Вектор линейной скорости v частицы жидкости в точке М определяется формулой v = [w, г], где г = (х, у, z).
Для вычисления вихря векторного поля скоростей v воспользуемся формулой, полученной при решении примера 218, полагая в ней с = ы, /(г) = 1. Находим: rot v = 2w. ►
221.	Найти поток вектора г = (х, у, z): а) через боковую поверхность конуса К = {(х. у, z) € R3 : х2 + у2 z2; 0 z Л}; б) через основание этого конуса.
◄ Для вычисления потока воспользуемся формулой (1), п.6.6, которая в данном случае принимает вид:
w(r; S) = уу(n(M), r(M))dS.
В случае а) единичный вектор нормали в каждой точке на боковой поверхности S’e конуса ортогонален к вектор)' г. вследствие чего w(r; So) =0,
210	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
В случае б) единичный вектор нормали коллинеарен орту к в каждой точке основания So конуса, поэтому получаем:
w
dx dy — тгЛ3. ►
222.	Найти поток радиуса-вектора г через поверхность, уравнение которой z = 1 — \/т2 + З/2 (0 z 1).
◄ Поверхность S конуса замкнута, поэтому здесь проще всего воспользоваться формулой восстановления аддитивной функции областей (в данном случае потока) с помощью формулы (2), п.6.2:
w(r; S) — JУУ div г dx dy dz.
v
Очевидно, div т — 3, в сил)' чего имеем:
w(r; S) = 3 УУУ dxdydz = 3Q,
v
где Q — численное значение объема тела V. Тело V которого и радиус основания равны 1, поэтому Q = у.
— прямой круговой конус, высота Окончательно получаем: w(r; S) =
223.	Найти поток вектора R = x3 4 *i + y3j + z3 к через сферу, заданную уравнением х2 + у2 + z2 = х.
◄ Как и при решении предыдущего примера, воспользуемся формулой
w(2?: S) = уУУ div R dx dy dz,
где V — замкнутый шар {(x, у, z) € R3 : x2 + y2 + z2 Sj x). Подставив в интеграл значение div R = 3(x2 + у2 + z2), получим:
w(2?: S) = 3 J"JJ (x2 + y2 + z2) dx dy dz.
Перейдем в интеграле к сферическим координатам. После замены найдем:
w
о
2 sin 9 cos
J '
0
2 sin6 0 dd I
о
2
2
2
2
[	5	,	12 5!’ тг 4!! тг
/ cos	►
о	о .
224. Найти поток вектора и = ™ г (иг — постоянная) через замкнутую поверхность S, окружающую начало координат. г
4 По определению потока имеем (считал поверхность гладкой или кусочно-гладкой):
тп
W
У	z
cos о-|—cos р -|-- COS 7
г3	гя
§ 6. Элементы векторного анализа	211
Решение примера свелось к вычислению интеграла Гаусса (см. пример 186), когда замкнутая поверхность окружает фиксированную точку (в данном случае начало координат). Таким образом, w(w; S) = 4тт. ►
п
225. Найти поток вектора P(r) = ^^grad	J , где et — постоянные и г, —
•=1
расстояния точек Mi (источников) от переменной точки М(г), через замкнутую поверхность S, окружающую точки Mi (t = 1, n).
4 Векторное поле м(г), рассмотренное в предыдущем примере, можно представить в виде м(г) = grad (—7), вследствие чего приходим к выводу, что рассматриваемое поле F(r) является суммой полей вида м(г), для которых т = На основании решения предыдущего примера можно сразу записать:
п	п
5) = 524,г =	►
1 = 1	1 = 1
226.	Найти работ)' вектора F = г вдоль отрезка винтовой линии г = iacosl+jasin t + kbt (О 1 2т).
◄ Работ)’ поля F вычислим с помощью формулы (1), п.6.5. Найдем единичный касательный вектор т в каждой точке кривой:
7*^ ( i )	1
= и—Мт? = > 	= (—asmt, dCQst. {Л.
||r-(z)||
Таким образом, получим
A = b2 J tdt = 2тг262 О
(приняв во внимание равенства (F, т) = —~ь	. dl = х/(x'(i))2 + (y'(i))2+ (z'(<))2 dt =
ya2 + b2 ’	v
x/a2 + b2 dt). ►
227. Найти работу поля R = - +
У
3 к
—I вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего Z X
точки М = (1, 1, 1) и N = (2, 4, 8).
◄ Очевидно, т = -rL~ (1, 3. 7) = ( ~ir, ~4т, -г?) —единичный вектор, совпадающий по |МЛГ|	\V59 v V59z
направлению с вектором MN, в силу чего имеем:
i + - + -У Z X
Уравнение прямой, проходящей через точки М и 2V, имеет вид х — 1 =	и мы
можем параметризовать эту прямую, выбрав в качестве параметра переменную х. При этом получим: х = х, у = Зх — 2, z = 7х — 6, dl = y/dx2 + dy2 + dz2 = x/59dx,
2
A= [ {R,r)dl= [ (-L^+^—+L'\dx =
J	J \ <iX ~~ Z	IX “• 0 X /
MN	1
= (iln(3x — 2) + у ln(7x — 6) + 7hi	j = ln 2. ►
228.	Найти работу поля R — (3/ + z)i + (z-f-:r)j + (a; + 3/)fc вдоль меньшей дуги окружности большого круга сферы S = {(я, у, z) € R3 : х2 + у2 + z2 = 25}, если эта дуга соединяет точки М = (3, 4, 0) и (0, 0, 5).
212	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
◄ Рассматриваемая дуга лежит в плоскости, уравнение которой у = |х, и представляет собой четверть окружности радиуса 5. Параметризуем эту кривую, выбрав в качестве параметра угол р, образованный радиусом-вектором точки кривой, лежащим в упомянутой выше плоскости, с его проекцией на плоскость хОу. Тогда параметрические уравнения данной дуги будут иметь вид х = 3cos 93, у = 4 cos р, z = 5 sin p (0	^), и единичный касательный
вектор т в каждой ее точке будет выражаться формулой
т =	,. = (х'(р), у'(р), х'(р)} = (-7 sin р, — ^sinip, cos</) .
Вектор R на данной дуге принимает вид
R = (4 cos р + 5 sin p)i + (5 sin р + 3 cos p)j + (7 cos p)k,
поэтому имеем: (Я, т) = 7cos 2p — ^r-sin2p. Применив формулу (1), п.6.5, и приняв во внимание равенство dl = 5 dp, получим:
6 sin 2<р + - cos 2<р
5
= -12. ►
229.	Найти циркуляцию Г вектора R = —yi + xj + ск (с — постоянная): а) вдоль окружности * — {(х, у, z) € R3 : х2 + у2 = 1, z = 0}; б) вдоль окружности 7 = {(х, у, z) € R3 : (х - 2)2 + у2 = 1, z = 0}.
◄ Циркуляция поля R вдоль замкнутого контура 7 равна, по определению, интегралу
Г = у (Я, r}dl.
В случае а) возьмем параметрические уравнения окружности в виде х = cosp, у = sin р, z = 0 (0 р 2тг). Тогда получим: т = (— sin р, cos<p, 0), R = — isin р + jcosp + кс, {R, т) = 1, dl = dp, 2тг
Г = f{R, r)dl = j dp = 2tt.
7	0
В случае б) параметрические уравнения окружности берем в виде х = 2 + cos^, у = sin р, z = 0 (0 р 2тг). При этом получаем: т = (—sin р, cos р, 0), R — — tsin ^+j(2 + cos р) + кс, {R, т) = 1 + 2cos}j, dl — dp,
2тг
Г = ^(1 + 2 cos р) dp — 2тг. ►
о
230.	Найти циркуляцию Г вектора R = grad (arctg вдоль контура 7 в двух случаях: а) 7 не окружает оси Oz; б)ч7 окружает ось Oz.
◄ Поле R — потенциальное, поэтому в случае а) его циркуляция Г вдоль любого контура, не содержащего особых точек функции (х, у) >— arctg , равна нулю.
В случае б) имеем:
Г = r)dl = £ ^grad (arctg	dl = £ ~ arctg —) dl — arctg — |
(напомним читателю, что выражение (grades, т), где т — единичный касательный вектор к некоторой кривой, равно производной скалярного поля р вдоль этой кривой).
Обозначив - = tg#, получаем, что циркуляция поля R по замкнутому контуру 7 равна приращению угла 6 при его обходе. При каждом полном обходе угол в получает приращение
§ 6. Элементы векторного анализа	213
2тг (гак как контур у окружает ось Oz и его проекция на плоскость хОу окружает начало координат), поэтому в общем случае Г = 2тгп. где п — число полных обходов контура у вокруг оси Oz. ►
231.	Дано векторное поле R = ~^=г—^—j+^/xyk. Вычислить rot Я в точке М = (1. 1, 1) У? y/z
и найти приближенно циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой окружности L = S П Т, где S = {(г, у, z) € R3 : (г — I)2 + (г/~ l)2 + (z — I)2 = е2}. Т— плоскость, заданная уравнением (т — 1) cos а + (у — 1) cos ,3 + (z — 1) cos у = 0, где cos2 а + cos2 /3 + cos2 у = 1.
◄ Применив формул}' (4), п.6.7, получим:
rot R(M) = —j — 2k.
Циркуляцию Г поля R вдоль заданной окружности вычислим с помощью формулы Стокса
Г — / / (n, rot R) da,
где а — кусок плоскости Т, ограниченный окружностью L. На плоскости Т имеем: г = 1 -	- l)cosa + (у - l)cos/?), z'x =	г' =	п = (cosa, cos/?, cosy),
(п, rot Я(ЛГ)) = — cos /3 — 2 cos у .
Подставив скалярное произведение под знак интеграла, найдем:
Г ~ — / / (cos /3 + 2 cos у) da = —(cos/3 + 2 cos у)зге2.
так как a — круг радиуса е. лежащий в рассматриваемой плоскости Т. ►
232.	Показать, что поле R = yz(2x+y+z')i+xz(x + 2y+z)j+xy(x-lry + 2z')k потенциальное и найгн его потенциал.
◄ Поле потенциально, поскольку rot Я = 0 (убедиться в этом предоставляем читателю). В силу’ потенциальности поля Я, имеем: Я = grad	+ ^к.
Из равенств = yz(2x + у + z),	= xz{x + 2у + г),	= ху(х + у + 2z) находим:
уз(г, у, z) = xyz(x +3/ + z) ++(</, z),	= xz(x + 2у+ z) = xz(x + 2у+ z) + откуда - 0,
V = Ф(г).
Из равенства = ху(х + у + 2z) = ху(х + у + 2z) + Ф'(г) получаем: Ф'(г) = 0, Ф(г) = С. где С = const.
Окончательно имеем: р(х, у, z) = xyz(x + y + z) + C, где С — произвольная постоянная. ►
233.
Найти потенциал гравитационного поля
„ m Я —------~т, создаваемого массой т.
находящейся в начале координат.
◄ Принимая во внимание равенство Я = grad находим потенциал поля Я: уз = —. ►
Упражнения для самостоятельной работы
158.	Найти угол уз между градиентами функции и = arctg - в точках Му = (1, 1) и М2 = (-1, -1).	J________
159.	Найти производную скалярного поля и = - , где г = у/х2 + у2 + z2, в направлении е = (cosa, cos/3, cosy). В каком случае эта производная равна нулю?
160.	Найти производную поля и в направлении градиента поля v. В каком случае эта производная будет равна нулю?
214
Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
161. Найти
к а
az шг
162.	Вычислить div (/(г) с), где с — постоянный вектор.
163.	Найти div (У(г)г). В каком случае дивергенция этого вектора равна нулю?
164.	Найти поток вектора и = xyi + yzj + xzk через часть сферы S = {(т, у, z) g R3 : х2 + у2 + г2 = 1}, лежащую в первом октанте.
165.	Найти поток вектора и — yzi + xzj + хук через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точке Р = (0, 0, 2), основанием которой служит треугольник с вершинами О = (0, 0, 0), А = (2, 0, 0), В = (0, 1, 0).
166.	Доказать, что: a) rot (и + v) = rot и + rot v; б) rot (vu) = v rot и + [grad v, «].
167.	Найти направление и величину rot и в точке М = (1, 2. —2). если и — ^i-f- ~j + ^k.
168.	Найти rot (grad ip).
169.	Движущаяся несжимаемая жидкость заполняет область П. Предполагая, что в области П отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение неразрывности
+ div (р и) - 0,
где р = р(г, у. z) — плотность жидкости, и — вектор скорости, t — время.
170.	Вычислить работу силового поля
F = yi + xj + (х + У + х)к
вдоль отрезка АВ прямой, проходящей через точки Му = (2, 3, 4) и М2 = (3, 4, 5).
171.	Доказать, что поле и = f(r)r, где / — непрерывная функция, является потенциальным. Найти потенциал этого поля.
§	7. Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах
7.1. Криволинейные координаты в евклидовом пространстве R3. Параметры Ламе.
Если в евклидовом пространстве R3 введена система координат qi, 92, 9з посредством формул
т = *(«). У = У(Ч)! * = *(<?)> 9 = (ffi , 92, дз),	(1)
связывающих декартовы координаты х, у, z точки М Q R3 с координатами qi, 92, дз, то ее называют криволинейной системой координат. При этом координаты д,- (1 = 1, 2, 3) называют криволинейными.
Предположим, что отображение Ф = (т(д), у(я)> •*(?)), Я € R3, порождаемое системой равенств (1), является С1-диффеоморфизмом R3 на R3 (т.е. Ф непрерывно дифференцируемое вместе с отображением Ф-1).
Определение 1. Криволинейная система координат gi, 92, 93 называется ортогональной, если векторы (i = 1, 2, 3) взаимно ортогональны:
(2)
Сферическая и цилиндрическая системы координат в евклидовом пространстве R3 являются ортогональными криволинейными системами.
§7. Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах 215
Действительно, если Ф(р, 9, у>) = (psin 6 cos р, psin 9sin ip, рcos б) , р 0, 0 < 9 < х, О < р < 2%, и (р, 95, ж) = (pcos 95, psin 95, ж), р 0, 0 < 95 < 2%, z g R, то имеем
ЭФ /	\ дФ	. \
= (sin 9 COS 95, sin 9Sin p, cos 9),	= (p cos9 cos p, p cos 9sin p, —pSin 9) ,
Эф / . .	\
—— = (— psin#sin p, psin#cos<p, 0), dp '	' ’
/ дФ дФ \ _	/ дФ дФ \ _	/ дФ
\ др’ d9 f ’	\ др’ др f ’	\ d9 ’
дФ
(cos 95, sin 95, 0),	= (—psin p, pcos 95, O),
/ дФ дФ\	„	/ дФ дФ\	„	/ дФ
\ др др /	\ Эр dz I \ др dz
„	84 / •
криволинейных координат qi, qs, qs ортогональна, то векторы (г = базис пространства R3, и базис Ze, =	^-(q); i = 1, 2, з\, где Hi =
ЭФ
Эр
дФ\
=0, 095 /
^ = (0, 0, 1),
дф\ n
= 0.
Если система
1, 2, 3) образуют
, является ортонормированным. Функции Hi называются параметрами Ламе. Базис {е,; i = 1, 2, 3} и параметры Ламе изменяются при переходе от точки к точке.
Если в ортогональной криволинейной системе координат gi, 92. 93 одна координата фиксирована, то отображение Ф определяет многообразие класса С1 размерности р — 2 — гладкую поверхность, которую будем называть координатной поверхностью. В пространстве R3 существует три семейства координатных поверхностей. Через каждую фиксированную точку евклидова пространства R3 проходит по одной поверхности каждого из трех семейств.
Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей, и обозначим dli, dis, dis длины ребер ячейки. Имеем
dli = Hi dqi, dis = Hs dqs, dis — Hsdqs,
(3)
где Hi (i = 1, 2, 3) — параметры Ламе. Действительно,
dli = у/dx2 + dy2 + dz2 —
Г/ \ 2	/	\ 2/	\ 2
ттг} +(?) +(?-) d4<=H<d4' (t = l, 2,3). у \Эд,- у \Эд, у dqi J
Вычислим параметры Ламе для случаев перехода от декартовой прямоугольной системы координат к сферической и цилиндрической системам координат.
При переходе к сферической системе координат имеем
у sin2 9cos2 р + sin2 #sin2 р + cos2 9 = 1,
Hs
cos2 9 cos2 p + p2 cos2 9 sin2 p + p2 sin2 9
= P,
Hs
1/p2 sin2 #sin2 95 + p2 sin2 0cos2 p = psin 9,
(4)
(5)
(6)
а при переходе к цилиндрической системе координат получим
\/cos2 р + sin2 р — 1,
(П
216
Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
Определение 2. Элементом объема dV в криволинейных координатах qi, дг, ?з. соответствующим приращениям dqt координат q, (г = 1, 2, 3) в точке q — (gi, дг, дз), называется объем параллелепипеда, построенного на векторах ^—(q)dqi.
Согласно этому определению имеем
/ / дФ	дФ	дФ	\
dV(q) = \ Г (	^—(9)^з),	(Ю)
у \ VQ1	oq2	uqz	J
где Г ^^-(g)dgj, ^-(9)</дг, ^~(9)^?з) — определитель Грама от векторов ^-(q)dqi (г = 1, 2, 3).
Принимая во внимание ортогональность Векторов — (i = 1, 2, 3), получим
лп А //ЭФ, , ЭФ. \ /дФ, . дФ. \ /дФ, . дФ. \	. ,
dV(9) = V W9 ’ 9 / W9' 9 / w 9 ’
= Н1Н2Н3 dqy dq2 dq3. (11)
Используя определение 2 и формулы (4)-—(11), можно получить известные выражения для элементов объема в сферической и цилиндрической системах координат:
dV(p, 6, <р) = р2 sin 6 dp d6 dtp, dV(p, <p, z) = pdpdipdz.	(12)
Параметры Ламе называют масштабными множителями. Координатные линии, вдоль каждой из которых изменяется лишь один параметр, можно представить как кривые в пространстве R3. на которые нанесены шкалы этих параметров. Параметры Ламе Hi на этих кривых преобразуют параметры д, в длины дуг соответствующих кривых.
7.2. Градиент скалярного поля.
Пусть в области D' С R3 задано дифференцируемое скалярное поле q u(g). Компонентами вектора grad u(q) в базисе <^е, =	^-~(q); г — 1, 2, 3^ являются его проекции 577(9) —
(gradu(g), е,) на направления, определяемые векторами е> . Поскольку (gradu(g), е;) =
^gradu(q), 57(9)^ =	^(д), то справедливо представление
grad u(q) = i ^-(9)ei + -g- ^(ч)е2 +	^(9)ез.	(1)
% Л1 aqi	ii2 aq2	Из Oq$
В частности, в сферической и цилиндрической системах координат вектор-граднент скалярного поля и имеет следующие представления:
. , . . ди, „ .	1 Эи, л .	1 ди,	...
gradu(p, е, <р) = —(р, е, ^)ер + - — (р, е, Р)ев +	—(р, е, ip)ev, (2)
• /	\ ди .	,	1 ди,	, ди,	.
gradu(p, р, z) = ^-(р, q>, z)ep + - -х-(р, ¥>, z)ev + —(р, <р, z)ez,	(3)
op	р oq>	oz
где {ер. ее, ev}, {ер, ev, ег) — ортонормированные базисы, порождаемые отображениями <₽'{р, 6, v) и Ф'(р, <р, z) (см. п.7.1).
§ 7. Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах 217
7.3. Расходимость и вихрь векторного поля.
Для записи операций расходимости и вихря векторного поля q «(?), q € D'. в криволинейных координатах нам понадобятся некоторые вспомогательные вычисления.
Полагая в формуле (1), п.7.2, и = qi, получим
grad ?! = -5-е!.	(1)
Взяв операцию вихря от обеих частей равенства (1) и принимая во внимание, что rot grad gi = 0, имеем
rot-i-ei = [v,	ei] - [ej,	rot ej + [grad i eJ =0.	(2)
ni L -ад J Л1	L -fiiJ Л1	L -tii J
Согласно формуле (1), п.7.2, находим
, 1	1 d ( 1 \	1 д ( 1 \	1 д ( 1 \
grad Hi “ Hi dqi [Hi)ei + H2 dq2 \H3) e2 + H3 dq3 IH J	“
1 ( 1 dHi	1 dHi	1 dHi	\	1	, .
= “772 ИГТ" ei + 7F ~я~~ e2 + ТГ ~я~~ ез	(3)
dqi	Hi dqi	H3 dqz	J	H{
Таким образом, равенство (2) принимает вид
^-rotej - -^-[grad^i, е3] = °.	(4)
Hl	Ну
Следовательно, rot ej = -^-[gradHi, ej]. Поскольку [grad Hi, ei] —	e2 — -y e3, то
	t	1 dHi	1 dHi r°tei	Я1Я3 dq3 C2 Я1Я2 dq2	5 )
Рассуждая	аналогично, получим ,	_	1	дНъ	1	дНъ	(с\ Г° в2	“	Я2Я1	5gi	CJ	Я2Я3	Эдз	ei’	( ) ,	1	ЭЯз	1	ЭЯз Г°	3	Я3Я2	dq2	CJ	Я3Я1	dqi	€2‘	(‘)
Вычислим теперь расходимости векторов ei, е2, ез посредством формулы div[«i. и2] = (V, [«1, U2]) = (и2: rot гы) — (ui, rot «2), полученной при решении примера 219. Приняв во внимание, что ej = [вг, ез], е2 = [ез, ej], ез = [ej, е2], имеем:
,	+	\ /	+ \	1	дЯг	.	1	ЭНз
d,v е1	=	(ез, rot	е2) - (е2,	rot е3)	=	уу
,.	,	, ,	.	1	дНз	,	1	dHi
div е2	=	(ei, rot	ез) - (ез,	rot ei)	=	—	—	+	— —,
dive3 = (е2, rotei)- (ei, rot e2) = yy- + yy луЛз &q3	122H3 а$з
(8)
(9)
(10)
Если и = (ui, u2, из), то, в силу линейности операции вычисления расходимости, получим
ui ЭЯ2
“ я7я7 +
Ц3 ЭЯ1
+ Hi Hz dq3
1
ui dH3 Я3Я1 dqi + 4. из дЯг
Я2Я3 dq3
div и = div (tn ei) + div (u2e2) + div (изез) = (V, гы ei) + (V, u2e2) + (V, изез) =
= Ui div ei + U2 div e2 + u3 div ез + (ei, grad ui) + {e2, grad u2) + (ез, grad из) = иг ЭНз u2 dHi
Я3Я2 ~dq7 + Я7Ж ~dq^ +
1 dui____1 du2 , 1 Эйз _
+ Я? Э71 + Я2 dq2 +H^dq3~
d , rr rr ! . d ,	,, tl
218	Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы
Если в формуле (11) взять и = grad и, то получим следующее выражение для оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах:
, _	1	( д f Н2Н3 dv \	д /Н3Н1 ду \	д / Н1Н2 dv \\	, .
V Н1Н2Н3 \dqi V Hi dqi J	dq2 V H2 dq2 J	dqs \ H3 dqs J J
Для вычисления вихря векторного поля и воспользуемся линейностью этой операции, формулами (5)—(7), примером 216 и формулой (1), п.7.2:
rot и = rot (uj ej) + rot («262) + rot (изе3) =
= Ui rot ej + y.2 rot ег + из rot ез + [graduit ej] + [grad иг, es] + [grad из, ез] = dHs из дНз
H^Hi d^~ ез ~ H2H3 dgT ei +
1 duj	1 dui
"й в2 Нз dq3 в2 H2 dq2 + .	- --2	1 du3 1 due _
+ lhd^'e3'H^d^ei + H^d^ei~H^d^e2~
1
_ ui dHi	ui dHi	uj
H1H3 dqs	H1H2 dqs
дНз	_ u3 dHs
H3H2	dqs	1	H3H1 dqi
1	dus	1 dus
Hi	dqi	"°	Нз dq3 ' ’
1 ( d rr d . A 1 f d . u . d A
“ м (Яз“з)" d^ (Я2°2)/)ei + CT?	" di? (Яз“37 e2 +
+ ТГН2 (4? (Я2“2)" h(Я1и1)) ез’
«3
Выражение (11) можно рассматривать как результат применения формулы Остроградского к параллелепипеду К, стороны которого равны смещениям вдоль координатных линий, соответствующих приращениям dqi (i = 1, 2, 3), а выражение (13) — как результат применения теоремы Стокса к трем парам граней того же параллелепипеда:
div u(q) = lim / / (n, и) dS, (rot u, n) = lim <p{r, u) dl, к—q pH J J	s—q pS J
s	L
где pK = H1H2H3 dqi dqs dq3 — объем параллелепипеда, S — его граница, n — вектор внешней единичной нормали к поверхности S, pS — площадь поверхности S, L — объединение контуров, ограничивающих грани параллелепипеда, т — единичный касательный к L вектор. При этом следует принять во внимание, что векторы внешней единичной нормали п на гранях параллелепипеда К и векторы т, касательные к кривой L, совпадают с векторами базиса {е<; i = 1, 2, 3} или противоположны им.
Для вычисления расходимости и вихря векторного поля и = (uj, U2, из) в сферической и цилиндрической системах координат воспользуемся формулами (4)—(9), п.7.1, и формулами (11), (13) этого пункта. Имеем
div и(р, в, q>) =	JL(p2U1)-|---1— JL(U2Sin0)+ —L-^2.	(14)
р2 др	psvatp дб	psm6 д<р	'
,.	, ч 1 д .	1 du2 , Эи3
div u(p, <р, z) = - — (pui) + - —— + —,	(15)
p др	p d<p dz
rot u(p, 0, <p) = —~ (u3 sin 6) - )ep + p sin 6 у дб	dq> J
( 1 dui	Id,	Д	(1 d ,	x	1 dui^\
+ —^7 S-----------£“ (Риз) I ee + - -x-(pu2)-5— e^,,	(16)
ypsins dip	pop'	')	\p дрк	'	p дв J
. , ч fl du3 du2\ . f dui	duaA (id. .	1 dui \	, ,
rot U(p, v, z) =	— - — j ep + ( — - — j ev +	-(pu2) - - j ег. (17)
Если (p, 4, <p) u(p, 6, <p) и (p, q>, z) к-» v(p, <p, z) — дважды дифференцируемые скалярные поля, то. применив формулу (12) этого пункта и используя формулы (4)—(9). п.7.1.
§ 7.	Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах 219
получим запись оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах:
.	1 д ( 2 Зи\	1	д	( .	Зи\	1	дги	. .
Au = (V, Vu) = -т- — ( р2 —	+	.	—	I sin в	—т ) + -y •	~л	Г1’	(18)
р2 ар др J	р2 sm в	до	\	до )	р2 sin 0	др2
.	1 д ( ди\ 1 32и Э2и	.
Д1>=-^-(р^-	+-2	д-2 +	д"?-	(19)
р др у др J р2 др2 dz2
234.	Вычислить grad и, где u(p, в, р) = Зр2 sin & + epcos tp — р.
◄ Применим формулу (2), п.7.2. Получим
, , а ч (ди 1 ди 1 Эи\ (	. р	а epsin<p\
grad и(р, О, <р) = —. - —, —— — = I 6р sm 0 + e*cos <р — 1, 3pcos0,-—- . ►
у Эр р до psm в dtp J	psintf J
235.	Вычислить grad и, где u(p, р, z) = р2 + 2pcos р — ezsin р.
◄ Согласно формуле (3), п.7.2, имеем '	.	,	(ди 1 ди ди \	/ ,	.	( .
grad и(р, р, z)= I —, - —, — = 2(р +cosip), - 2sin<p + удр р др dzJ	у	\
236.	Вычислить div и, если и = (ui, иг, из) = ^р2, —2cos2 р, ◄ Применив формулу (14), получим
,.	, . .	1 Э z 2 \	1 д ,	. .	1	диз
div u(p, в, р) = — — (р U1) 4-— — (иг sin в) + —r-т =
р2 др '	'	psm 6	дб	psm 6	др
1 Э /	4х 1	д ,	2	 п\	1	д ( р \
= ^Тр<р^-~^ёдё{-	+
2	2	1
= 4р---cos р ctg 6 Ч—т-г--т—:—-. ►
Р	6 p(p2 + l)sm0
е cos \ z . -------- I , е sin у?
Р J
У
Р2 + 1
237.	Вычислить div и, где и — (uj, из, из) = (iparctgp, 2, —г2ех). ◄ Согласно формуле (15), имеем
,.	, ч 1 д .	1 диз , Эи3 1 Э .	.13 , . Э , 2 г\
div U(p, P, z) = - - (рИ1)+ -	= - -(p<parctgp)+ - ^(2) - - (z е ) =
= — farctgp+ f +2ze* + z2e*. ►
P X.	1 + p2 J
238.	Найти rot и, если и = (uj, из, из) = (p2, 2cos0, — p).
◄I Применим формулу (16). Получим
rot u(p, в, p) =
( 1	( d .	. . диз \	1 3ui 1 Э .13.	.	1 ЭиЛ
=	<3^(W3 sin J ’ э7 - ; d?(риз)’ p Tp{pU2} ~~р-дё) =
*ctg0,
p p p J
239.	Вычислить rot и. где и = (uj, из, из) = ( cosр, — р2 \ .
220	Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы
◄ Согласно формуле (17), имеем
,	.	(1	диз	ди?	dui	диз	1 д	.	.	1 dui \
rot u(p, р. z) — - —---—, —--------—, - — (риз)---------— I =
\p	dp	dz	dz	dp	p dp	p dp J
f1 d . 2, Э /sin^\ d . d . 2, 1 д	1 d . Л
= (j a?(p > - Й (—) • Й (c“y)" ai L iai " i ai =
_ (_2Л !il£) . „ \ p J
n zn rr	i	\	(2 cos в sin в \
Z4U. Доказать, что векторное поле и = (uj, из, из) = I -j—, —0 1 потенциальное.
Ч Поскольку класс потенциальных векторных полей совпадает с классом безвихревых полей, то достаточно показать, что rot и = 0. Применив формулу (16), получим rot и(р, в, р) =
__ / 1	( л • л\ _ Q (sin	1 d (2 cos 0^ _ 1_ 3 /а ч L — f sin _ 3	(2 cos _ ^psin 6	' dtp у p3 J J ’ psin 6 dtp \	/ P	@ ' P ^P \ P2 / P \ P3 J J
= (o, 0, -^ +	= (0, 0, 0). ►
241. Найти поток векторного поля и = (uj, из, из) = (р2#, ре2®, 0) через внешнюю сторон}' верхней полусферы S радиуса R с центром в начале координат.
Ч Пусть а — часть координатной поверхности gi = С, где С = const, ограниченная координатными линиями
51 = од, 92 = о'2 (oi < аг); дз = Д1, дз = 02 (31 < Дг).
Тогда поток вектора u(gi, дг, дз) = (“i(gi, 52, дз), «2(51, 52, дз), «з(51, 52, дз)) через поверхность а в направлении вектора ej вычисляется по формуле
w(c; и) = у у «1(С, д2, дз) Н2(С, д2, дз) Нз(С, д2, дз) dq2 dq3-	(20)
Pi
Полусфера S является частью координатной поверхности р = const, т.е. р — R. На поверхности S имеем
7Г gi — р = R, дг = d, 0 9 —, д3 = <р, 0 р < 2тг.
Принимая во внимание, что в сферических координатах
Hi = Нр = 1, Н2 = Не = р, Нз = Н<е = psvn р, по формуле (20) получаем
7Г	7Г
2	2тг	2
w(S; и) = У dt? У Л4# sin в dp = 2тгЛ4 6 sin 6d6 = 2тгЛ4. ► 00	0
242. Вычислить поток векторного поля и = (wi, из, из) = (р, z, 0) через замкнутую поверхность S. образованную плоскостями, уравнения которых z = 0, z = 1, и цилиндром, уравнение которого р = 1.
◄ Воспользуемся формулой Остроградского
"(S; “’=///div udV.
9	v
. § 7. Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах 221 Согласно формуле (15), имеем
1 д . 2,	1 dz
div «=- — (р) + -^— =2.
р др	р dtp
Таким образом,
w(S; н) = 2ууу dV = 2|V| = 2ir,
v
поскольку объем цилиндра равен тг. ►
Упражнения для самостоятельной работы
172.	Найти градиенты скалярных полей:
а) и = pcos tp + z sin2 tp — Зр: б) и = p2 cos б; в) и = С^г", С = const.
173.	Вычислить расходимости векторных полей и:
\	/	С \	( 2cos0 sin б л\
aj и = (р. £Sin<p. ev cos г); б) и = I -- —,	0 ).
174.	Вычислить роторы векторных полей:
а) и — (2р + a cos <р, —а sin в, pcos в), а = const; б) v. — ^sin р. —pz'j 
175.	Вычислить поток векторного поля и через заданную поверхность S, если и = (р, — cos<p, г), S — замкнутая поверхность, образованная цилиндром, уравнение которого р = 2, и плоскостями, уравнения которых z — 0, z = 2.
Ответы
Глава 1
2. Непрерывна. 3. Непрерывна. 4. Непрерывна при у / 0. 5. 1. 6. 0. 7. (у — 1). 8. 0. 14. Непрерывно дифференцируема. 15. Непрерывно дифференцируема при у / 0. 18. Равномерно. 19. Равномерно. 20. Равномерно. 21. Равномерно. 22. Неравномерно. + оо .
23. Неравномерно. 24. Неравномерно. 25. Неравномерно. 26. 1. 27.	28. 0. 31. / dx.
о
32. ^|а|3. 33.	при 0 $ а < 2; * при О 2. 34. f. 35.	36. тг (e~ia| - 1).
v *	л	О	*	4	СП 	X	а /
2
37. 1 ln(l + а2).	38. -W .	39. £(Г(а + 1)).	40. f г l«l db2 f еМ db2 .
\ ai \ 2 / /	0	0
41.	, 1 - In - V'fe2~-a2. 42. — . 43. 0. 44. 0. 47. ^-Г3	48. -7=. 49. —
a	3V3	во»	vT	5sinV
50. \ Y	51>	55.	56. _L_(1 + cosAt) 57.
fc=0	1
A 1 ec sin A cos A . sin 2 A-f-A cos 2A Kq sin Arr __ sin A . cos A—1	. cos A—A sin А	cos Л 2	1
Oo. -ya ~ + —e2(ITV)	* 0У- ““* bUe — + —^2	b e^x2) “ • Ol. x2
62. .АДА); -A2f(A). 63.	^^d\.
Глава 2
0 1 + x/l—и2
1. 9,88. Точное значение 2тг(7—т/24). 2. 6 < 0,00022. 5. Отрицательный. 6. f dy f f(x, у) dx.
О V1-®2	11-х	2	у/ a2-s2	а у/ар-у1
7.	f dx f f(x, у) dy + f dx f f(x,y)dy.8.Jdy f f(x, y)dx + f dy J f(x,y)dx. -i 0	oo	о	| о
a а-у/а^-у?	a	2a	2a	2a
9.	f dy f f(x,y)dx + fdy f f(x, y)dx + J dy f f(x,y)dx.
°	»2	0	a+V“2-S2	a	Ml
2a	2a
ТГ	7Г	0	a
2	a	2	b	l+£	1— v
10.	a) f dv f f(и cos v, и sin d)u du; 6) f dv f /(ucos v, sin v)u du. 11. f dv f f(u—uv, uv)udu. 0	0	0	a	_2_	0
l+« b aot	&
aa+b	I'—v	3
12-	Z f dv f uf ((1 - ”)£, uv) du+ a J dv f uf ((1 - v)|, uv)du.
0	0	Ь	о
aa+b a	2ir
13.	3 f pdp f /(pcos3 (p, psin3 <p)sin2 <pcos2 pd<p. 14. у = uv, x = v. 15. а) Перейти к поляр-0	0-
s	3
ным координатам; б) положить х2 = и, у2 = v. 16. |. 17.	18. (2у/2 — |)а2 . 19. 14a4.
20.	jjira4. 21. —бтг2. 22.	23. jjj. 24. |ln2—25. j. 26.	27. 0, если одно из чисел
т, п. р нечетное; ^*^4.3	. если т, п, р четные. 28. f. 29. <3-Д±-П .
Ответы
223
30.	2-r. 31. j-7^7:—тг?- 33. U = т-гтрдо’’5. 34. Сходится при р < 1. 35. Сходится при
т:	(m—jjuzm+jj	ю '
р < 1. 36. Сходится при р < 1. 37. Сходится при р < 1. 38. (p-^g-i)’ Р > 9 > 1- 39.
р > 1. 40. |. 41.	42. —. 43. -	°а|,\ . 44.	45. 2тгВ (|. 1 -р) , р < 1. 46. л?.
2	2	е	2(1—<2)2	2	42 '	'
VJ. где Д = de((a;,). SO. ^(4,-3-3V5). SI. y(e3 + 42). S2.	S3.	(£ + •£)•
и-g- W-ет- «-TST (£ + £) ”-g(S + S)- ss.
59.	j(s/b — y/a)(y/m — y/n)p, где p — a + b + m + n + Vab + y/mn. 60.	61. - + ~ ln(l + \/2).
62’ i^o^- 63-	64’	65’	66’	67’	68- 2,Г' 69'
70.	£(a + 6). 71.™^. 72. £(£)3. 73, £. 74. (f - £) abc. 75. ^(a + m)(3a2 -5am + 3m2). 76. |тга2(2т/2 - 1). 77.8a2. 78. £(20 - 3ir). 79.2a2. 80. |(3V10 + ln(3 + V10)). 81-	+	+	82- jat(2V2-l) arctg 83. 5-ab. 84. ^£.
85.	jTa3. 86. —£- 87. 2тг2 (l-a2)atc. 88.	89-	9o-	91- f(2~V2)(t3-a3).
92.	£abc. 93. ^abc. 94. £ (J + £) (£ + £) - 95.	96. =£. 97.	98. ^a3.
I)’ 10°-	101,	*)• 102- (^’ ^)- 103‘	^)- 104, Ix =
TFr ly =	b = |6r -M- 105. Ix = Цта4, Iy = Цтга4. 106. Ix = Iy =
107.	Ix = Iy =	108. Ia = ^. 109. (0,0, £). 110. (j^j. 0, o) . 111. (o, 0, £).
112. (0, 0, £). 113. (1, 1, j). 114. Ixy = ^abc3, Iyz = £a3bc, Ixz = £ab3c. 115. Ixy = ^а6с3(15тг - 16), Iyz = ^~-а3Ьс(105тг - 92), Ixz = т^а63с(105тг - 272). 116. Ixy = ^irabc3, Iyx = j7ra3ic, Ixz = |тгаЬ3с. 117. u = тгдо ^°2 In | — —— | + (/i — a2 + (h — z)2 + zy/a2 + ?2 —((/i —?)|/i—z|+.z|.z|)y 118. F = (0, 0, — rkpor sin2 a). 119. -\/51n2. 120. £-(5-\/5 — 1). 121.	122.	((1 + 2tt2)2 - 1) . 123. |	+ 1)1 - (x? + 1)^. 124. (1 + e-t)V3.
(3	\
35Г2 - 1)(2тг2 + 1)2 + 1 . 126. ||p2. 127. 3. 128. ^iraMa. 129. 13. 132. и =
lnk-y|+^+£-£+C. I33.u=^+C. 134. 2* arctg 135.
n/2.	136. R2H (£ + £9-	137. f. 138.0.	139.	140. -2тга6.	141.0.
142< ^(X-F'(X’ У)) =	У))- 143- sgn (ad - be). 144. sgn , где сумма рас-
пространяется на все точки пересечения кривых, определяемых уравнениями <p{z. у) = О, ^•(х, у) = 0, лежащие внутри контура 145. ^-5(2т + 1, 2п + 1). 147. fffix2 + у2 + z2)dxdydz. 148. 2/Я^^. 149. /JJ	dX dy dz. 150. 3a4. 151.
153. -~. 154. -тга2>/3. 155. £. 156. 0. 157. -?£. 158. <р = тг. 159.	=
£ = Oi если е J. г. 160.	= 0, если grada ± gradx.
161. 0. 162. ^(с, г). 163. 3/(т) + т/'(г); /(г) = С = const. 164.	165. |.
167. rotu(Af) =	|rot u(Af)| = ;y/141. 168. 0. 170. £. 171. u(x, y, z) - f tf(t)dt.
224	Ответы
где г = ^/х2 + у2 + z2. 172. a) ^cosy> — Зр1п3, ^sin2y? — sin<£>,sin2 <р^ ; б) (2pcos0, — psin 6, 0); в)	-C^V, o') . 173. a) 2+-cossin z; 6) 0. 174. a) - (2cosfi +	,
_a.ine\ . / _с»лЛ 175 24
P ) ’ ’ \ ’	 P )
Оглавление
Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра...................... з
§1	. Собственные интегралы, зависящие от параметра............ 3
§2	. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов........................................ 15
§3	. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла............................................. 34
§4	.	Эйлеровы интегралы...................................... 51
§5	.	Интегральная формула Фурье.............................. 60
Глава 2. Кратные и криволинейные интегралы..................... 68
§1	. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным и их вычисление.................................... 68
§2	.	Несобственные кратные интегралы......................... 99
§3	. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики ...	112
§4	. Интегрирование на многообразиях........................ 148
§5.	Формулы Остроградского, Грина и Стокса................. 184
§6.	Элементы векторного анализа............................. 201
§7.	Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах..................... 214
Ответы........................................................ 222
Издательство УРСС предлагает Вам свои лучшие книги:
Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Математика: Пути знакомства. Основные понятия. Методы. Модели. (Гуманитариям о математике).
Киселев А. И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика. Т. 1-6.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Краснов М.Л., КиселевА.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ.
Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения.
Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.
КрасновМ.Л., Макаренко Г.И., КиселевА.И. Вариационное исчисление.
Боровков А. А. Теория вероятностей.
Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов.
Шикин Е. В. От игр к играм.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 7-еизд.,исправл.
ГнеденкоБ.В. Очеркпоисториитеориивероятностей.
Гчеденко Б. В. О математике.
Самарский А.А., Вабшцевич П. И., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам.
Колоколов И.В., Кузнецов Е.А., Милыитейн А.И., Подивилов Е.В., Черных А.И., Шапиро Д.А., Шапиро Е.Г. Задачи по математическим методам физики.
Эльсгальц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики.
Квасников ИД. Молекулярная физика.
Жукарев А.С., Матвеев А.Н., Петерсон В.К. Задачи повышенной сложности в курсе общей физики.
Ляшко Иван Иванович, Боярчук Алексей Климентьевич, Гай Яков Гаврилович, Головач Цжгорий Петрович
Справочное пособие по высшей математике. Т. 3: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 224 с.
ISBN 5-354-00019-Х
«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной.
Том 3 по содержанию соответствует второй половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу». В нем рассматриваются интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы, а также элементы векторного анализа.
Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.