СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
ФИЗИКА
Р. А. Силин
НЕОБЫЧНЫЕ ЗАКОНЫ
ПРЕЛОМЛЕНИЯ И
ОТРАЖЕНИЯ
Библиотека
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ	серия
ФИЗИКА
Р. А. Силин
НЕОБЫЧНЫЕ ЗАКОНЫ
ПРЕЛОМЛЕНИЯ И
ОТРАЖЕНИЯ
ФАЗИС
Москва, 1999
УДК 535
Издание поддержано фондом
«КНИГА-НАУКА-КУЛЫУРА»
Силин Р. А.
Необычные законы преломления и отражения.
М.: ФАЗИС, 1999. - 80 с.
(Библиотека «Ступени знаний», серия «Физика»)
ISBN 5-7036-0055-3
Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.1996)
123557 Москва, Пресненский вал, 42-44
E-mail: phasis@aha.ru
Типография «ВИКТОРИЯ-ПРИНТ»
(Плр № 060392 от 05.07.99)
ISBN 5-7036-0055-3
© ФАЗИС, 1999
Оглавление
Предисловие...................................... 5
Беседа 1. В цирке................................ 8
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости	волны.... 12
Беседа 3. Изочастоты............................ 22
Беседа 4. Анизотропные среды.................... 32
Беседа 5. Магнитостатические волны
в ферритовых пленках............................ 52
Беседа 6. Среды, в которых энергия может
распространяться в любом направлении .... 61
Литература...................................... 73
Послесловие..................................... 78
Моему учителю,
Сергею Павловичу Стрелкову,
посвящаю
Предисловие
Принимаясь за дело, соберись с духом.
Козьма Прутков
Великий английский физик Дж. К. Максвелл в 1864 году
на заседании Лондонского Королевского общества доложил
о сформулированной им системе уравнений, описывающих
электромагнитное поле, впоследствии названной уравнения-
ми Максвелла. Из них следовало, что должны существовать
электромагнитные волны, о которых тогда еще никто не
знал. Правда, их существование (без доказательства) пред-
сказывал еще в 1832 году М. Фарадей. Говорят, что Макс-
велла спросили: «Зачем нужны Ваши электромагнитные вол-
ны?» «Не знаю, — ответил великий физик, — быть может
когда-нибудь на основе этих волн будут делать игрушки».
Однако, игрушками дело не ограничилось. Сейчас уравне-
ния Максвелла прочно вошли в нашу жизнь, на их основе
созданы радио, телевидение, локация, электроника и мно-
гие другие отрасли техники. Выдающийся физик XX века
Р.Фейнман назвал открытие Максвеллом законов электро-
магнетизма «самым замечательным событием XIX века в
истории человечества» (более подробно об этом ярко написа-
но, например, в книге: М. В. Терентьев «История эфира» —
М., ФАЗИС, 1999, с. IX).
Книга, которую Вы держите в руках, посвящена опи-
санию необычных явлений, возникающих при отражении и
6
Предисловие
преломлении электромагнитных волн на границе двух сред.
К таким явлениям относятся, в частности:
о «движение» преломленной волны не от границы раздела,
как обычно, а к границе;
о убывание угла преломления по мере роста угла падения;
о «движение» падающей и отраженной волн к границе раз-
дела одновременно;
о наличие падающей волны в отсутствие отраженной и пре-
ломленной;
о появление двойного лучепреломления при изменении либо
частоты, либо угла падения волны на границу раздела
двух сред.
Большинство из описанных здесь законов преломления и
отражения известно сегодня лишь узкому кругу специали-
стов. Они, как правило, реализованы не в оптическом диа-
пазоне длин волн (А = 0,4-0,76 мкм), а в микроволновом
(А = 1 мм -1 м), который называют также диапазоном сверх-
высоких частот. В перспективе не исключено их наблюдение
и в оптическом диапазоне. Для этого необходимо исследо-
вать оптические свойства как известных сред (полимеров,
жидких и белковых кристаллов и т. п.), так и вновь создава-
емых на основе так называемых сверхрешеток. Некоторые
из описанных явлений реализованы лишь на бумаге в ви-
де результатов расчета. Необыкновенными «оптическими»
свойствами «богаты» такие вещества, как магнитные мате-
риалы, полупроводники и плазма, помещенные в магнитное
поле.
Вы вправе спросить, где можно использовать необыкно-
венные законы преломления и отражения? Отвечу: «Не знаю.
Может быть, когда-нибудь будут делать игрушки». Повто-
ряя слова Максвелла, хочу лишь сказать, что будущие откры-
тия в области необыкновенных законов преломления и отра-
жения принадлежат Вам, мой читатель. Надеюсь, что изда-
Предисловие
7
ние этой книги, доступной любознательному старшекласс-
нику, стимулирует исследования в области необычных опти-
ческих явлений, поиски их применений и создание устройств
на их основе.
Эта книга написана по предложению директора изда-
тельства ФАЗИС В. Б. Филиппова, которому я однажды
рассказал о необычных оптических явлениях. Изложение
построено в форме бесед отца (физика) с сыном (стар-
шеклассником); каждую беседу начинает отец. Рукопись
книги прочли и своими конструктивными замечаниями со-
действовали ее улучшению А. К. Балыко, А. В. Вашковский,
А. В. Галдецкий, С. В.Герус, Ф. М. Исмагилов, А. Р. Силин,
И. Р. Тимошина. Всем им автор приносит глубокую благо-
дарность. Особую признательность автор выражает фон-
ду «КНИГА-НАУКА-КУЛЬТУРА» и своим коллегам, —
А. Н. Королеву, В. Н. Батыгину, В. В. Лиссу, И. И. Климачеву,
Р. М. Терацуяну, — благодаря которым эта книга подгото-
влени к печати и вышла в свет.
Р. А. Силин
Москва - Фрязино
август, 1999
Беседа 1
В цирке
Видала я котов без улыбки, но улыбка без кота!
Такого я в жизни еще не встречала.
Льюис Кэррол
Однажды я пошел в цирк. Больше всего меня поразило
зрелище, когда по рядам побежал живой тигр. Он рычал, на-
падал на зрителей, которые шарахались и кричали, но оста-
вались невредимыми. Тигр подбежал и ко мне, устремился к
моей руке, которую я мгновенно отдернул. Тогда он вцепил-
ся в меня, но я ничего не почувствовал, на теле не осталось
и следа. Тигр помчался дальше. Потом на арену выбежал
укротитель со шпагою в руке и бросился на зверя. Тигр хо-
тел увернуться от удара, но ему не удалось. Казалось, сейчас
тигр погибнет. Однако он как ни в чем не бывало подошел
к укротителю и дружески положил ему лапу на плечо. Зал
бушевал от восторга.
* * *
— Описанная выше история — выдумка, но она может
оказаться правдой, если использовать экран из специального
вещества.
Беседа 1. В цирке
9
В школе ты проходил обычные законы преломления и от-
ражения света. Знакомые тебе направления падающей, отра-
женной и преломленной волн изображены на рис. 1.1а. Здесь
преломленная волна распространяется от границы раздела
двух сред. Вместе с тем, могут существовать материалы, в
которых направления волн иные (рис. 1.16).
Рис. 1.1. Волновые векторы падающей из свободно-
го пространства (Тс), отраженной (kJ) и преломлен-
ной (^) волн для случаев, когда среда имеет поло-
жительную (а) и отрицательную (6) дисперсию
— Как же так? Ведь преломленная волна бежит к границе
раздела! Разве такое возможно?
— Вот именно, такое возможно! Если экран, представля-
ющий плоскопараллельную пластину, сделать из обычного
прозрачного вещества, то лучи пойдут так, как показано на
рис. 1.2 а. Изображение находится за экраном. Ты, наверное,
замечал, что если смотреть на предмет через толстую сте-
клянную пластину, то его видно за стеклом, но ближе к тебе.
— Да, замечал.
10
Беседа 1. В цирке
Рис. 1.2. Прохождение лучей через пластины с по-
ложительной (а) и отрицательной (б) дисперсией.
Стрелки указывают направления волновых векторов
— Теперь представь, что экран сделан из вещества, в ко-
тором преломленная волна идет, как на рис. 1.1 б. Рассмот-
рим предмет и его изображение в такой пластине (рис. 1.26).
Видишь, предмет расположен с одной стороны экрана, а изо-
бражение — с другой. Вот из такого материала должен быть
сделан экран в цирке. Тигр бегает с одной стороны экра-
на. Там же он нападает не на людей, а на их изображения.
Причем реакция у тигра такая, как будто он видит перед
собой реальных людей. С другой же стороны экрана «бега-
ет» изображение тигра, а зрители реагируют на него, как на
настоящего.
Беседа 1. В цирке
И
— Вот здорово!
— В технике сверхвысоких частот такие «материалы»
можно сделать искусственно. Их существование не проти-
воречит законам физики. В оптическом диапазоне они пока
неизвестны. Их предстоит обнаружить в будущем.
В рассматриваемых средах коэффициент преломления не
зависит от направления. Такие среды называются изотроп-
ными. Несколько сложнее законы преломления для анизо-
тропных сред, у которых коэффициент преломления зависит
от направления. С ними связано много разных интересных
явлений. Чтобы понять их, надо вспомнить, что такое волна
и какими свойствами она может обладать.
Беседа 2
Фазовая и групповая скорости волны
Бросая в воду камешки, смотри на круги,
ими образуемые, иначе такое бросание
будет пустою забавою.
Козьма Прутков
— Знаешь ли ты, что такое волна?
— Знаю. Простейшим примером служат волны на воде,
представляющие «бугры», бегущие вдоль поверхности. Су-
ществуют звуковые волны, благодаря которым мы слышим
друг друга. Благодаря электромагнитным волнам мы прини-
маем радио и телевизионные передачи, а также видим друг
Друга.
— Правильно. Часто волны бегут в виде множества «бу-
гров», следующих один за другим. Их идеализируют, пред-
ставляя в виде
и = Acos(2tu4 — /3z +	= Acos(2?n/(t — z/v) +	(2.1)
Здесь и — некоторая величина, характеризующая волну. Это
может быть давление воздуха для акустической волны, от-
клонение воды от среднего уровня для волн на воде, напря-
женность электрического или магнитного поля для электро-
магнитной волны и т.п. При этом величину А называют
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны
13
амплитудой волны, и — частотой колебаний, fl— волновым
числом, выражение в скобках 2тп4 — flz + ф — фазой волны,
ф — начальной фазой. Величину flz называют разностью
фаз между началом координат и точкой z. Амплитуда А
может зависеть от координат, перпендикулярных направ-
лению распространения (оси z). Волна бежит со скоростью
v = 2'ки/А в сторону роста z. Величина v называется фазо-
вой скоростью, она определяется оптическими свойствами
среды. В оптике отношение скорости света с в вакууме к фа-
зовой скорости v волны в той или иной среде называют ко-
эффициентом или показателем преломления (п = с/и). Это
же отношение часто называют коэффициентом замедления,
поскольку оно показывает, во сколько раз фазовая скорость
v волны 'в среде отличается от ее скорости в вакууме с.
Если фиксировать координату z, то можно наблюдать ко-
лебания с частотой и, т. е. числом и периодов в секунду. За
время Т = \/и, называемое периодом колебаний, фаза изме-
няется на 2%. Если же взглянуть на волну в целом в данный
момент времени, то видно, что период колебаний Л в про-
странстве (рис. 2.1), называемый длиной волны, связан с вол-
новым числом fl*.
ДА = 2тг, или Л = 2тг/р.
Часто направление распространения волны не совпадает ни с
одной из осей координат х, у, z. При этом фазовую скорость
целесообразно характеризовать вектором 1/ или волновым
вектором , который совпадает по направлению с фазовой
скоростью и обратно пропорционален ей по величине:
fl = 2тги/и.	(2.2)
Рассмотрим только электромагнитные волны, частными
случаями которых служат световые и радиоволны. Для ва-
куума волновое число обозначим символом к : к = 2яи/с,
14
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны
Рис. 2.1. Зависимость величины и от координа-
ты z для волны длиною Л, распространяющейся
с фазовой скоростью и
а длину волны А = 2it/k. При этом коэффициент замедле-
ния п = с/v = Р/k = X/Л. В анизотропных средах коэффи-
циент преломления зависит от направления. В общем случае
коэффициент замедления зависит от частоты п(р). Это явле-
ние называется дисперсией волны, а функция п(р) называет-
ся дисперсионной характеристикой. Дисперсия во многом
определяет законы преломления и отражения. В ряде случаев
вместо п(у) рассматривают функцию Д(р) или зависимость
частоты и от волнового числа которые также называ-
ют дисперсионными характеристиками, поскольку все они
в конечном счете характеризуют связь коэффициента замед-
ления п = Р/k = сД/(2тгр) с частотой у. Характеристика
у(Р) особенно удобна для построения законов преломления
и отражения. В анизотропных средах частота и зависит не
только от величины Р волнового вектора X? но и от его
направления, так что приходится рассматривать дисперси-
онную характеристику уС$)- В переводе с латинского дис-
персия (dispersio) означает рассеяние или разбрасывание.
— Ничего не понимаю. Как связано разбрасывание с за-
висимостью коэффициента замедления от частоты?
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны 15
— Ньютон обнаружил, что если на стеклянную призму
направить луч света, то он выйдет из призмы не в виде од-
ного луча, а в виде целой полосы, в пределах которой разли-
чаются цвета радуги. Свет получается как бы «разбросан-
ным». Потом это явление объяснили изменением коэффици-
ента преломления п с частотой р. Зависимость п(р) стали
называть дисперсией волны.
— В школе мы проходили, что свет распространяется в
виде волны, но ведь он несет с собой и тепло. Вчера был
ясный день, я грелся на солнышке и выжигал на деревяшке
красивые узоры с помощью увеличительного стекла. Значит
ли это, что волна переносит с собой энергию?
— Да. При этом распространение волн характеризуется
фазовой, а перенос энергии волной — групповой скоростью.
— А разве фазовая скорость и скорость переноса энергии
не одно и то же?
— Нет. Представь себе бесконечную цепочку грузиков
на пружинах, не связанных между собой (рис. 2.2), кото-
рые имеют одинаковую частоту колебаний и и совершают
движения в направлении, перпендикулярном цепочке. Пусть
грузики расположены столь часто, что цепочку можно счи-
тать непрерывной, подобно тому, как кристалл, состоящий
из атомов, часто рассматривают как сплошную среду. Гру-
зики можно отклонить от положения равновесия так, чтобы
образовалась волна. Ее скорость v зависит от того, с какой
разностью фаз отклонены грузики. Величина v может да-
же превышать скорость света с в свободном пространстве,
поскольку при фиксированной частоте и волновое число (3
может быть произвольным.
— Разве возможна скорость, большая чем с? Ведь в школе
нам учитель говорил, что согласно теории относительности
ни тела, ни информация, ни энергия не могут иметь ско-
рость, большую чем с.
16
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны
Рис. 2.2. Волна в системе масс на пружинках, не свя-
занных между собой
— Фазовая скорость может превышать с, так как она не
равна скорости переноса энергии или информации. В рас-
смотренном примере вдоль цепочки нет переноса энергии,
ведь грузики не связаны, а для передачи информации или
энергии необходимо, чтобы они были связаны между со-
бой. Информацию несет не бесконечная в пространстве и во
времени синусоидальная волна, а либо конечный ее участок
(ведь волна возбуждается в какой-то точке и в какой-то мо-
мент времени), либо изменение в пространстве и во времени
ее амплитуды, частоты или начальной фазы. В простейшей
модели это может быть прямоугольный импульс колебаний
(рис. 2.3). Математики доказали, что такой импульс можно
представить в виде суммы бесконечно большого количества
синусоидальных волн с близкими частотами и и волновыми
числами (3, а скорость переноса импульса, называемая груп-
повой скоростью,
иг = lirdv/dp.
Групповая скорость волны всегда меньше с.
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны 17
Рис. 2.3. Прямоугольный импульс синусоидальных
колебаний
Последнее равенство можно проиллюстрировать на про-
стейшем примере сложения двух синусоидальных волн с не-
много отличающимися частотами (i/i и и волновыми чи-
слами (/31 и /?г):
и = Л cos (27ri/it - (3]z) + Acos(2tti/2^ - Дгг) =
- 24coS(2,r^li - ^Лг)с03(2я^( -
ft + Pl X
—r~z>-
Видно, что результат сложения представляет собой произве-
дение двух колебаний (рис. 2.4). Одно — с высокой частотой
+ ^1)/2, а другое — с низкой (уъ ~ ^1)/2, каждое из кото-
рых бежит со своей скоростью:
,	о	+ i/i , ps-1/i
V = 2тг—---— И иг — 2?Г — —.
(2-3)
18
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны
Рис. 2.4. Высокочастотная волна бежит с фазовой
скоростью v, а огибающая — с групповой скоро-
стью иг
В этом случае говорят, что высокочастотные колебания
промодулированы низкочастотными. Пределы vr и и' при
01 -> 02 - 0, »l V2 = :
v = 2т1и/0 и = 2ndv/d0	(2.4)
представляют фазовую (у) и групповую (v2) скорости. По-
следняя является скоростью перемещения огибающей иг
(рис. 2.4). Она равна скорости переноса энергии. Различают
следующие виды дисперсии волн в средах. Если фазовая и
групповая скорости направлены одинаково, то говорят, что
дисперсия положительная. Ею обладают световые волны
практически во всех известных изотропных веществах. Если
же фазовая и групповая скорости противоположны, то дис-
персия называется отрицательной. Она в оптике не встре-
чалась, но на возможность существования сред с отрица-
тельной дисперсией указывал академик Л. И. Мандельштам
в 1940 г. на лекциях по оптике в Московском государствен-
ном университете. В средах с положительной дисперсией ко-
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны 19
эффициенты замедления n = c/v и пг = c/vz имеют одинако-
вый знак, а с отрицательной — разный. Именно благодаря
средам с отрицательной дисперсией в принципе возможны
упомянутые выше эффекты с тигром в цирке, но, как мы уже
говорили, такие свойства пока известны лишь в диапазоне
сверхвысоких частот (длины волн 1мм-1м). Теперь можно
объяснить необычный ход преломленной волны на рис. l.ld.
Стрелками изображены не групповые скорости vt, а вол-
новые векторы и направленные также, как фазовые
скорости и V.
— Кажется догадался. Ход волны, как на рис. 1.16, воз-
можен для среды с отрицательной дисперсией. Ведь в такой
среде энергия распространяется навстречу волновому векто-
ру, поскольку групповая и фазовая скорости противополож-
ны по направлению. Энергия бежит от границы раздела, а
волновой вектор направлен к границе.
— Правильно.
— Давно хочу тебя спросить. На рис. 1.1 указаны два
возможных направления волн. А ведь можно нарисовать еще
два (рис. 2.5). Почему ты о них забыл?
— Не забыл. Можно строго доказать, что проекции
волнового вектора на границу раздела для падающей, от-
раженной и преломленной волн должны быть одинаковы-
ми. На рис. 1.1 эти проекции (АВ и ВС) одинаковы, а на
рис. 2.5 — противоположны по знаку. Таких случаев прелом-
ления быть не может.
Из равенства проекций волновых векторов на границу
раздела двух сред следует известный из школьных учебников
закон преломления
sin0i/sin02 = п,	(2.5)
где п — (3/k = c/v — коэффициент преломления волны в сре-
де или, что то же, коэффициент замедления, #i — угол па-
дения, а #2 — угол преломления. Действительно, пусть волна
20 Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны
Рис. 2.5. Волновые векторы падающей (А:), отра-
женной (fct) и преломленной (^) волн для случаев,
которые противоречат законам преломления
падает из свободного пространства (рис. 1.1) в среду. Соот-
ветствующие волновые векторы обозначаем через к и i
а их модули — через к и Д. Из равенства проекций этих
векторов следует
к sin 01 = (3 sin 02-	(2.6)
Отсюда получается формула (2.5), которую называют зако-
ном Снеллиуса.
— А почему ее так называют?
— Этот закон открыл голландский математик Вилле-
брорд Снеллиус примерно в 1620-1626 гг., но, не опублико-
вав его, скончался в 1626 г. Первая публикация этого зако-
на независимо от Снеллиуса сделана в 1637 г. французским
философом, математиком, физиком и физиологом Рене Де-
картом. Тем не менее закону присвоили имя Снеллиуса, по-
скольку уже после его смерти этот закон был обнаружен в
его бумагах.
— Ты говоришь, что на рис. 1.1 и 1.2 изображены волно-
вые векторы, тогда как в школе нам говорили, что нарисо-
ванные тобой стрелки — ход лучей. Это одно и то же?
Беседа 2. Фазовая и групповая скорости волны 21
— Нет. Волновые векторы совпадают по направлению с
фазовыми скоростями, а лучи — с групповыми. Ведь именно
в луче переносится энергия.
— Но в школе мы строили изображения, рассматривая
ход лучей, которые получали на основе закона Снеллиуса.
Выходит, что нас учили неверно? Справедливо ли примене-
ние этого закона к построению хода лучей?
— Справедливо, но только для изотропных сред. В сво-
бодном пространстве и в пластине энергия бежит в сторо-
ну роста z (рис. 1.1, 1.2). Поэтому коэффициент замедления
групповой скорости во всех средах целесообразно считать
положительным, а фазовой (п) — в пластине на рис. 1.2# —
отрицательной. Значению п < 0 соответствует sin 02 < О,
т. е. в пластине с отрицательной дисперсией луч отклоняет-
ся от вертикали в противоположную сторону, в отличие от
сред с положительной дисперсией. Это и видно на рис. 1.1
и 1.2.
«Оптические» свойства различных сред проиллюстри-
руем ниже на примерах устройств сверхвысокочастотно-
го (СВЧ) диапазона.
Беседа 3
Изочастоты
... с трудом усваивал новую идею,
но потом крепко ее удерживал.
Джек Лидсней
При описании законов преломления удобно пользовать-
ся понятием «изочастота», которая определяется как множе-
ство векторов , для которых частота одинакова v(~$) =
= const. Функцию ) можно представить графически. Ес-
ли волна распространяется только вдоль какой-то линии, то
зависимость изображается в виде графика, называемо-
го кривой дисперсии. Примером соответствующей среды мо-
жет служить коаксиальный кабель, хорошо известный ка-
ждому, так как он подводит сигнал к телевизору от антен-
ны. С большой степенью точности коэффициент замедления
п = (3/к волны в этом кабеле не зависит от частоты (нет дис-
персии). При этом величина v = Агс/(2тг) связана с волновым
числом /? соотношением:
„ = (с/(2»п))|^|.	(3.1)
Знак модуля (абсолютной величины) стоит потому, что ча-
стота всегда положительна независимо от направления вол-
ны (знака /3).
Беседа 3. Изочастоты
23
Для рассматриваемого кабеля кривая дисперсии (график,
соответствующий формуле (3.1)) представляет собой пару
лучей (рис. 3.1а), выходящих из начала координат. Каждой
частоте соответствует два значения /3, отличающихся лишь
знаком. Каждая изочастота представляет пару точек (Д и
В) на оси /3.
Рис. 3.1. К определению понятия «изочастота» на
примерах сред без дисперсии, в которых волны мо-
гут бежать в одном (а) и в двух (б) измерениях
Для сред, в которых волны могут распространяться в
двух измерениях (например, волны на воде или в плен-
ках какого-либо материала), дисперсионную характеристи-
ку i/(7fy можно изобразить в виде поверхности. Ее назы-
вают поверхностью дисперсии. В частности, между двумя
идеально проводящими плоскостями возможна электромаг-
нитная волна без дисперсии. Соответствующая поверхность
р(^) (рис. 3.16) представляет конус, а ее сечения и = const
(т. е. изочастоты) являются окружностями.
24
Беседа 3. Изочастоты
Дисперсия волны в обычных веществах, например в ди-
электриках, обусловлена тем, что они не однородны, а со-
стоят из молекул, которые можно рассматривать как осцил-
ляторы, ибо атомы в них совершают колебания с некоторой
частотой. По мере сближения частот колебаний волны и ос-
цилляторов коэффициент замедления изменяется. Такое же
изменение п(у) происходит по мере приближения длины вол-
ны Л в среде к межатомным расстояниям. При этом зависи-
мость п от частоты становится заметной лишь в рентгенов-
ском диапазоне частот.
Дисперсия волны появляется и в коаксиальном кабеле, ес-
ли периодически поперек его оси расположить какие-либо не-
однородности. На рис. 3.2 — это диафрагмы. Кривая диспер-
сии разбивается на участки. Области частот, соответствую-
щие этим участкам, называют полосами пропускания.
Аналогичная картина получается, если между двумя
плоскостями расположить неоднородности так, чтобы обра-
зовалась двумерная решетка (искусственный двумерный
кристалл). Поверхность дисперсии, показанная на рис. 3.16,
разбивается на участки. Коэффициент замедления п стано-
вится зависящим от частоты и. Пример поверхности диспе-
рсии такого двумерного кристалла приведен на рис. 3.3 для
самой низкочастотной полосы пропускания. По аналогии с
обычными кристаллами искусственные структуры ниже, в
зависимости от контекста называются средами, вещества-
ми, периодическими структурами или искусственными ди-
электриками.
Чтобы изобразить графически дисперсионную характе-
ристику для волн в трехмерном пространстве, потре-
бовалось бы делать построение в четырехмерном (частота
и три компоненты вектора Соответствующие изочасто-
ты представляют трехмерные поверхности. Для изотропной
среды и, в частности, для свободного пространства изоча-
Беседа 3. Изочастоты
25
А I/
Рис. 3.2. Кривые дисперсии коаксиального кабеля,
периодически нагруженного диафрагмами
стоты имеют сферическую форму. Часто изочастоты назы-
вают поверхностями волновых векторов или просто волно-
выми поверхностями.
Для построения законов преломления и отражения доста-
точно знать, что волновые векторы падающей, преломлен-
ной и отраженной волн соответствуют одной и той же
частоте, а их проекции АВ и ВС на границу раздела одина-
ковы (рис. 3.4). Строго говоря, все векторы следует строить
из начала координат (рис. 3.4а), однако такое построение
26
Беседа 3. Изочастоты
Рис. 3.3. Поверхность дисперсии в низкочастотной
полосе пропускания для волн между двумя идеально
проводящими плоскостями, периодически нагружен-
ными стержнями (см. рис. 4.5)
не наглядно, так как вектор для падающей волны прихо-
дится строить в области, занятой преломляющей средой.
Удобнее построение, приведенное на рис. 3.46 Им мы и бу-
дем часто пользоваться, когда волна падает из свободного
пространства на границу раздела с каким-либо веществом
(с какой-либо средой). Если же волна падает из среды, то
удобнее приводить изочастоты полностью и строить волно-
вые векторы из начала координат (рис. 3.4а).
Построение волновых векторов с использованием изоча-
стот приведено на рис. 3.5 для случаев прохождения волн че-
рез границу раздела двух сред, через плоскопараллельную
пластину и через призму. Ход лучей для волны, преломлен-
ной на границе раздела двух сред, а также прошедшей че-
рез пластину, мы уже обсуждали. При положительной дис-
Беседа 3. Изочастоты
27
Рис. 3.4. Построение волновых векторов падающей,
отраженной и преломленной волн с помощью изоча-
стот. Векторы построены: из начала координат (а)
и не из начала координат (6)
Персии (п > 0) луч отклоняется от нормали, как показано
на рис. 3.5а. Соответствующие углы преломления #2 счита-
ем положительными (в > 0). При отрицательной дисперсии
(п < 0) луч отклоняется в противоположную сторону, что
соответствует рис. 3.56 (в < 0). При этом все формулы для
устройств из изотропных веществ с положительной и отри-
цательной дисперсией остаются одинаковыми. Следует толь-
ко учесть знак п. В призме луч отклоняется к основанию
только при п > 1. В случае п < 1 и, в частности, при п < 0
он отклоняется к вершине.
— Чем отличаются линзы из материала с положительной
и отрицательной дисперсией?
— Чтобы понять, как проходят волны через линзу, рас-
смотрим две призмы, сложенные вместе, как показано на
рис. 3.6. Если сложить призмы основаниями, то получится
некоторое приближение выпуклой линзы (рис. 3.6а), а если
вершинами, то — аналог вогнутой линзы (рис. 3.66). Говоря
28
Беседа 3. Изочастоты
Рис. 3.5. Волновые векторы падающей (01 = к) из
свободного пространства и преломленной (^2) в изо-
тропной среде волн при коэффициенте замедления
п > 0 (а) и п < 0 (б), и ход лучей через пластину
и призму при п > 0 (в, д) и при п < 0 (г, е)
Беседа 3. Изочастоты
29
Рис. 3.6. Прохождение лучей через модели выпуклой
(а) и вогнутой (б) линз
точнее, сферические поверхности линз можно приближенно
представить в виде большого количества маленьких призм.
Для понимания, однако, достаточно рассмотреть их пару.
Видно, что выпуклая линза при п > 1 является собираю-
щей, а при п < 1 — рассеивающей. Тем более она оказыва-
ется рассеивающей при п < 0. Вогнутая линза рассеивает
лучи при п > 1 и собирает при п < 1. Тем более — при
п < 0.
— А можно ли с помощью изочастот построить закон
полного внутреннего отражения?
— Можно. Для этого рассмотрим волну, падающую из
среды на границу раздела со свободным пространством. Ес-
ли угол падения 01 мал, то волна проходит в свободное про-
странство (рис. 3.7а). Углу полного внутреннего отражения
соответствует рис. З.Тб', на котором волновой вектор прелом-
ленной волны параллелен границе раздела. При большем угле
падения преломленной волны не существует.
— Куда же пропала преломленная волна?
30
Беседа 3. Изочастпотпы
Рис. 3.7. Волновые векторы для волн, падающей (/31)
из изотропной среды в свободное пространство, от-
раженной (/?з) и преломленной (/?з = к ) для случа-
ев, в которых угол падения в it меньше (а) и равен
(б) углу полного внутреннего отражения
— Она не пропала. Электромагнитное поле волны в сво-
бодное пространство проникает, но убывает экспоненциаль-
но при удалении от границы раздела, т. е. как e”QZ, где а
— некоторое положительное число. Такую волну называют
краевой или боковой. При этом не только фазовая скорость,
но и поток энергии направлен вдоль границы.
— Где-нибудь используется то, что краевая волна пере-
носит энергию вдоль границы раздела?
— Да. Представь себе две подводные лодки на далеком
расстоянии, между которыми необходимо установить радио-
связь. В морской воде (путь а на рис. 3.8) электромагнит-
ные волны затухают быстро, так что передать сигнал на
достаточно большие расстояния практически невозможно.
Еще сильнее затухают волны, отраженные от поверхности,
так как их путь б (рис. 3.8) длиннее. Вместе с тем поверх-
ность воды, как правило, расположена недалеко от лодки
(обычно — не более сотен метров). Волны расходятся от
лодки в разные стороны. Часть из них достигает поверхно-
Беседа 3. Изочастоты
31
сти под достаточно большим углом, испытывая полное вну-
треннее отражение. Возникает краевая волна, которая бе-
жит, в основном, в воздухе вдоль границы раздела (путь в
на рис. 3.8). Она затухает слабо. По мере ее распространения
часть энергии возвращается назад в море, так что сигнал
достигает другой лодки.
Рис. 3.8. Три из возможных путей прохождения волн
между подводными лодками: а — под водой непо-
средственно от одной лодки к другой; б— под водой
в результате обычного отражения волны от поверх-
ности воды; в — через краевую волну
Таким образом, с помощью изочастот ) = const стро-
ятся законы отражения и преломления волн. Позже я приведу
примеры различных по форме изочастот. Они построены в
результате сложных расчетов, в которые мы с тобою вда-
ваться не будем. Будем иметь дело лишь с законами прелом-
ления и отражения волн, которые связаны с изочастотами
различной формы.
Беседа 4
Анизотропные среды
Глядя на мир нельзя не удивляться!
Козьма Прутков
— До сих пор рассматривались изотропные среды. В них
групповая и фазовая скорости коллинеарны, т. е. либо оди-
наково, либо противоположно направлены. В анизотропных
средах фазовая скорость 1/ коллинеарна волновому векто-
ру, тогда как групповая — направлена перпендикулярно
касательной к изочастоте в сторону возрастания часто-
ты в точке окончания волнового вектора , проведенного
из начала координат (рис. 4.1а). Как частный случай, в изо-
тропных средах нормаль к изочастоте, представляющей сфе-
ру, коллинеарна волновому вектору (рис. 4.16), т. е. лучи кол-
линеарны волновым векторам. Поэтому можно пользовать-
ся законом Снеллиуса для построения лучей в изотропных
средах.
Для многих кристаллов изочастоты имеют форму элли-
псоида (в сечении — форму эллипса). При этом групповая
скорость, а вместе с ней и луч света, непараллельны волно-
вому вектору. Если размеры эллипсов растут с частотой, как
это имеет место у обычных кристаллов, то групповая ско-
рость направлена* наружу от эллипса по внешней нормали.
Беседа 4. Анизотропные среды
33
Рис. 4.1. Построение вектора групповой скорости vf
для волны в анизотропной (а) и в изотропной (б)
среде
При этом угол ф между волновым вектором и групповой
скоростью Vg меньше, чем тг/2. Если же размеры эллипса
убывают с частотой, то направлена по внутренней норма-
ли. При этом угол между и vf больше тг/2. На рис. 4.1 гру-
повые скорости указаны для случаев, в которых этот угол
меньше тг/2. В частности, для изотропных сред он равен ну-
лю (рис. 4.16).
До сих пор мы рассматривали положительную и отрица-
тельную дисперсии в изотропных средах. В общем случае
дисперсию называем положительной, если угол между и
йг меньше тг/2, и — отрицательной, если он больше тг/2.
Для изотропных сред при положительной дисперсии он ра-
вен нулю, а при отрицательной — тг.
В обычных анизотропных кристаллах возможны случаи,
в которых преломленная волна бежит к границе раздела да-
же при положительной дисперсии (см. рис. 4.2). Пусть ось z
перпендикулярна границе, а ось х — параллельна. При опи-
сании законов преломления и отражения рассматриваем две
системы координат. Одну из них (х, у, z) связываем с грани-
цей раздела двух сред и выбираем ось z перпендикулярной
34
Беседа 4. Анизотропные среды
Рис. 4.2. Волновые векторы падающей fa из изо-
тропной среды в анизотропную и преломленной fa
волн. Волновой вектор fa не реализуется, поскольку
ему соответствует групповая скорость, направлен-
ная навстречу оси z
этой границе. Другую (£,г/,£) связываем с рассматриваемой
средой. Предполагаем, что волновые векторы падающей (fa)
и преломленной (fa) волн лежат в плоскости (х, z) и что вол-
на распространяется из изотропной среды в анизотропную
(изочастота первой из них имеет форму сферы, а второй —
эллипсоида). В анизотропной среде могут распространяться
две волны с одинаковыми проекциями волновых векторов на
Беседа 4. Анизотропные среды
35
ось х. На рис. 4.2 им соответствуют векторы и fa. С век-
тором fa связана групповая скорость в анизотропной среде,
направленная от границы раздела, а с fa — к границе. Ка-
кую из двух волн возбудит падающая волна? Конечно, ту,
которой соответствует fa, потому что она несет энергию
от границы раздела, на которой возбуждается. Ее фазовая
скорость, как и вектор fa, направлена к границе, а группо-
вая — от границы.
— На рис. 4.2 полуоси эллипса меньше радиуса изочасто-
ты для свободного пространства. Это значит, что волна в
кристалле быстрее, чем в свободном пространстве, так как
v = 2тгр//3. Разве такое бывает?
— Ты прав, в обычных кристаллах волна медленнее, чем
в свободном пространстве. Рис. 4.2 может относиться к слу-
чаю, в котором волна падает на анизотропную среду не
из свободного пространства, а из изотропного материала.
В нем скорость волны может быть меньше, чем в той или
иной анизотропной среде, и построение, представленное на
рис. 4.2, оказывается возможным.
Еще более интересен случай, когда волна падает из ани-
зотропной среды. При этом возможно не только отличие
углов падения и отражения, но и случаи, в которых обе вол-
ны бегут к границе раздела (рис. 4.3). Различить падающую
и отраженную волны можно по направлениям групповых ско-
ростей.
— А можно записать закон преломления для произволь-
ной среды, аналогичный закону Снеллиуса?
— Закон Снеллиуса остается справедливым и для падения
волны в анизотропную среду, поскольку по-прежнему волно-
вые векторы падающей и преломленной волн имеют одинако-
вые проекции на границу раздела. Так, для волны, падающей
в среду из свободного пространства,
fcsinfli = /3 sin fa.
36
Беседа 4. Анизотропные среды
Рис. 4.3. Волновые векторы падающей (31) из ани-
зотропной среды в изотропную, отраженной (З2) и
преломленной (0з) волн для случая, когда 31 и /?2
направлены к границе раздела
Не следует, однако, забывать, что в общем случае величи-
на /3 зависит не только от частоты, но и от направления пре-
ломленной волны. При этом иногда оказывается более удоб-
ной иная форма записи закона Снеллиуса.
Коэффициент замедления it = /к — векторная вели-
чина, имеющая компоненту nz = flz/k, перпендикулярную
границе раздела. Отсюда следует, что (см. рис 1.1)
(3Z = Пгк = /?COS02-
(4.1)
Беседа 4. Анизотропные среды
37
Исключая /3 из двух последних равенств, находим закон пре-
ломления в виде
sin 0i = nztg02-	(4.2)
— Ты все время говорили» о необычных законах прелом-
ления и отражения, но почти ничего не сказал о том, в каких
средах они могут наблюдаться. Существуют ли такие среды?
— Сначала я расскажу тебе про искусственные среды,
которые можно сделать из металла. Правда, из них исследо-
ваны в основном липп» те, в которых энергия может бежать
только в одном или двух измерениях.
На рис. 4.4 изображены устройства, которые могут про-
пускать электромагнитные волны в одном измерении. При-
ведены кривые дисперсии р(/3), которые в соответствии с
(3.1) можно описать соотношением
р = (с/(2тгп))|Д|,
где в общем случал коэффициент замедления п зависит от
частоты.
Вдоль системы проводников а, называемой многопровод-
ной линией, существует волна без дисперсии (n = const). Как
и на рис. 3.1а, соответствующая кривая представляет пару
лучей, выходящих из начала координат. Если область меж-
ду проводниками не заполнена диэлектриком, то п = 1.
Для сред с дисперсией коэффициент замедления п может
изменяться от значений, меньших единицы (им соответству-
ет область внутри угла, образованного лучами а, соответ-
ствующими п = 1), до значений, больших единицы (область
вне этого угла).
В полых металлических трубах (рис. 4.46), которые на-
зывают волноводами, коэффициент замедления описывается
формулой
П = |1 - («,М2]‘/2,
38
Беседа 4. Анизотропные среды
Рис. 4.4. Кривые дисперсии: а — многопроводной
линии; волноводов: б — полого, в — с ребрами,
г — частично заполненного диэлектриком, д— с диа-
фрагмами

Беседа 4. Анизотропные среды
39
откуда
I/2 - (сД/2л)2 = I/2,
где ик — некоторая константа, называемая критической ча-
стотой из-за того, что при и = ик величина п = 0. Заметим,
что замедление п < 1. По мере роста частоты оно изменяется
от нуля (при и = vK) до единицы (при п -> оо). Соответству-
ющая кривая б для волновода лежит внутри угла, образован-
ного парой лучей п = 1. Дисперсия положительная, посколь-
ку фазовая (v = 2тгр/Д) и групповая (vg = lirdv/dp) скорости
направлены одинаково (имеют одинаковый знак). Волноводы
широко используются в технике сверхвысоких частот для пе-
редачи электромагнитных волн.
Для остальных сред, показанных на рис. 4.4, не существу-
ет простых формул, описывающих дисперсионные характе-
ристики. Соответствующие кривые получаются в результа-
те расчетов на компьютере.
Если поперек волновода периодически расположить ме-
таллические ребра, то получится среда, которой соответ-
ствует кривая в. Дисперсия по-прежнему остается положи-
тельной, но с частотой и коэффициент замедления п изме-
няется от нуля до некоторого значения, большего едини-
цы. Соответствующая кривая г становится необычной, ес-
ли внутрь волновода поместить диэлектрический стержень.
Дисперсия положительна при достаточно больших Д и отри-
цательна при малых Д. Перегородив периодически волновод
диафрагмами, можно получить отрицательную дисперсию
(кривая д').
На рис. 4.5 изображены среды, пропускающие волны в
двух измерениях. Каждая из них представляет пару про-
водящих плоскостей, между которыми периодически распо-
ложены штыри, касающиеся либо обеих пластин (рис. 4.5 а),
либо только одной из них (рис.4.56",в). Каждый штырь на
40
Беседа 4. Анизотропные среды
Рис. 4.5. Кривые дисперсии i/(/3) и изочастоты сред,
которые допускают распространение волн в двух из-
мерениях. Они представляют пару идеально прово-
дящих плоскостей, между которыми периодически
расположены металлические: перемычки в лунках
(а), зубья в лунках (б), зубья (в)
Беседа 4. Анизотропные среды
41
рис. 4.5а, б частично погружен в лунку. На том же рисунке
качественно изображены кривые дисперсии и((3) для волн,
бегущих вдоль какого-либо направления, а также даны изо-
частоты этих структур в области волновых векторов, ко-
торым соответствует сдвиг фаз /3d на периоде d структу-
ры, не превышающий тг. Форма изочастот для всех трех
сред примерно одинаковая. Вместе с тем, зависимость ча-
стоты и от величины (3 волнового вектора 7^ различна.
Так, дисперсия среды на рис. 4.5а в зависимости от соот-
ношения размеров h\ и Л2 может быть как положитель-
ной, так и отрицательной. Для среды на рис. 4.5d она по-
ложительна при малых замедлениях (низких Д) и отрица-
тельна при больших. Для среды на рис. 4.5в она положи-
тельна.
Все три среды имеют одинаковые периоды d в напра-
влениях £ и т/, т.е. они обладают решетками с квадратной
формой ячеек. Изочастоты имеют форму окружностей при
малых Д, т. е. периодические структуры ведут себя, как изо-
тропные среды. Аналогичная картина имеет место для кри-
сталлов с кубической решеткой атомов в оптическом диапа-
зоне частот. Лишь при длинах волн, сравнимых с периодом
решетки кристалла (т.е. в рентгеновском диапазоне), про-
является анизотропия.
Интересны характеристики структур, приведенных на
рис. 4.6. Каждая из них представляет пару идеально прово-
дящих плоскостей, периодически соединенных между собой
перемычками, сечение которых скачком меняется по дли-
не. Отличаются перемычки формой поперечного сечения.
Структуре с круглым сечением (рис. 4.6а) соответствуют
почти такие же изочастоты, как на рис. 4.5. В зависимо-
сти от соотношения диаметров центральных и краевых ча-
стей стержней, образующих структуру, знак дисперсии мо-
жет быть различным. Еще более интересны изочастоты на
42
Беседа 4. Анизотропные среды
Рис. 4.6. Изочастоты для сред, представляющих па-
ру идеально проводящих плоскостей с периодически
расположенными перемычками переменного по дли-
не сечения: круглого (а), квадратного (б) и прямо-
угольного (в)
Беседа 4. Анизотропные среды
43
рис. 4.6# и в. Так, в случае перемычек квадратного сечения
(рис. 4.66) изочастоты не охватывают начала координат, а
при перемычках прямоугольного сечения (рис. 4.6в) все они
выходят из начала координат. При этом групповая скорость
оказывается почти перпендикулярной к фазовой. Такие фор-
мы изочастот в обычной оптике не встречаются.
Изочастотам, выходящим из начала координат, соответ-
ствуют так называемые продольные волны. Для них электри-
ческое поле почти параллельно волновому вектору.
— Почему рассмотренные среды имеют приведенные на
рисунках дисперсионные характеристики?
— Это объяснить тебе трудно. Они построены в резуль-
тате сложных расчетов. Существуют специальные програм-
мы для их вычисления на компьютере. Все это описано в
научной литературе; я расскажу тебе о ней в конце.
А рисунки, которые я тебе показал, иллюстрируют суще-
ствование реальных сред с необычными законами дисперсии,
а значит — с необычными законами преломления и отраже-
ния волн.
— Ты рассказываешь о законах преломления, но о каких
же законах можно говорить, если энергия бежит в одном
направлении, например, в волноводе?
— Несколько волноводов можно объединить и постро-
ить целую решетку (рис. 4.7). Это как бы искусственные
кристаллы. Такие решетки часто называют искусственными
диэлектриками и используют в антенной технике. Из них
делают линзы, призмы и другие устройства. Их изочасто-
ты представляют плоскости /3Z = nk, перпендикулярные на-
правлению потока энергии (рис. 4.7). Здесь п = nz, так что
удобно пользоваться законом преломления (4.2).
— Зачем делать искусственные диэлектрики из металла,
если линзы и призмы можно делать из обычного стекла или
из других естественных материалов?
44
Беседа 4. Анизотропные среды
Рис. 4.7. Искусственные диэлектрики, составленные
из волноводов: полых (а), частично заполненных ди-
электриком (б), с ребрами (в), с диафрагмами (г).
Для полых волноводов дано уравнение дисперсии;
д — волновые векторы и закон преломления для па-
дения волны из свободного пространства
Беседа 4. Анизотропные среды
45
— Размеры линз, призм и других устройств существенно
превышают длину волны. При этом в диапазоне сверхвысо-
ких частот размеры этих устройств превышают несколько
метров. Их вес должен превышать десятки тонн. Так, на-
пример, линза из стекла с удельным весом 2,7 при средней
толщине 1м и диаметре 10 м весит примерно 200 т. Искус-
ственные диэлектрики менее материалоемки и существенно
легче: при тех же габаритах вес линзы уменьшится пример-
но до 1 т.
— А как быть с волноводом, частично заполненным ди-
электриком? Существует область длин волн, в которой кри-
вая дисперсии неоднозначна. Это что же, в среде окажутся
сразу две преломленные волны?
— Да. Такое явление называется двойным лучепреломле-
нием. Только в обычных анизотропных кристаллах оно свя-
зано не с длиной волны, а с поляризацией электромагнитного
поля.
— Что такое двойное лучепреломление, связанное с по-
ляризацией?
— Ты знаешь, что в электромагнитной волне (и, в част-
ности, в световой) векторы электрического и магнитного по-
ля лежат в плоскости, перпендикулярной лучу. В этой плос-
кости векторы могут принимать произвольное направление.
Обычно в луче света в разные моменты времени оно раз-
лично. Если векторы имеют одно определенное направление
(точнее, параллельны некоторой прямой), то говорят, что
волна линейно поляризована. Для анизотропных кристал-
лов существуют два взаимно перпендикулярных направления
вектора электрического поля (точнее, индукции электриче-
ского поля), каждому из которых соответствуют свои изо-
частоты. Если поляризация падающей волны не совпадает
ни с каким из двух направлений, то волна как бы распада-
ется на две составляющие, каждая из которых преломляется
46
Беседа 4. Анизотропные среды
по-своему. Это и есть двойное лучепреломление, связанное с
поляризацией.
В искусственных средах двойное лучепреломление может
возникать и при одной поляризации. При этом на одних ча-
стотах оно есть, а на других — нет. Такое явление возни-
кает при неоднозначной дисперсионной характеристике, на-
пример, такой, как у искусственного диэлектрика из вол-
новодов, частично заполненных диэлектриком (см. рис. 4.4),
или из структур, изображенных на рис. 4.56 В искусствен-
ных диэлектриках возможно двойное лучепреломление, свя-
занное с углом падения. Оба из этих типов лучепреломления
не встречаются в обычных материалах.
— Ничего не понял. Почему только для двух направлений
электрического поля существуют свои изочастоты и почему
при других направлениях волна распадается на две соста-
вляющие?
— В рамках школьных знаний этот эффект объяснить
трудно. Но это явление подтверждается на опыте. Суще-
ствуют кристаллы, например исландский шпат, в которых
луч света расщепляется на два луча, причем поляризованный
свет не расщепляется при двух определенных направлениях
поляризации, которые взаимно перпендикулярны.
— Какие особенности имеют искусственные диэлектри-
ки, соответствующие рис. 4.5?
— Для всех рассмотренных сред величина (3 волнового
вектора 7^ зависит не только от частоты I/, но и от на-
правления, т. е. от угла 0. Коэффициент замедления п тоже
зависит от и и 0\ п = n(i/, 0). Из рассмотренных сред мож-
но построить искусственные кристаллы (решетки). Приме-
ры таких решеток даны на рис. 4.8. Их изочастоты предста-
вляют цилиндры с образующими в виде двумерных картин,
приведенных на рис. 4.5 и рис. 4.6. На рис. 4.8 символом Е и
стрелкой указано направление электрического поля в волне.
Беседа 4. Анизотропные среды
47
Рис. 4.8. Примеры искусственных диэлектриков в
виде системы плоскостей: без неоднородностей (а),
а также — нагруженных ребрами (б) и зубьями (в)
— Ты привел целый ряд искусственных диэлектриков с
необычными формами изочастот. Какие особенности имеют
законы преломления в этих диэлектриках?
48
Беседа 4. Анизотропные среды
— Направления волновых векторов (сплошные стрелки)
и групповых скоростей (штриховые стрелки) для ряда форм
изочастот приведены на рис. 4.9. С направлениями группо-
вых скоростей практически совпадают лучи. Для каждой
формы изочастот дано два рисунка: прохождение волны че-
рез границу раздела двух сред и через пластину.
Характерной особенностью лучей на рис. 4.9а,б,в являет-
ся то, что будучи расходящимися в свободном пространстве,
они выходят из пластины сходящимися. Картина, предста-
вленная на рис. 4.9а, соответствует изочастотам на рис. 4.5
и рис. 4.6а, если только волновые векторы достаточно вели-
ки. При этом граница раздела должна проходить через бис-
сектрису угла £Ог]. Такой ход лучей можно наблюдать и в
обычных кристаллах, но при очень коротких длинах волн,
сравнимых с межатомными расстояниями. Он реализуется
только в рентгеновском диапазоне частот. Ходу лучей на
рис. 4.95 соответствуют изочастоты той же формы, но ко-
гда граница раздела перпендикулярна либо оси Of, либо оси
Otj, При угле падения, близком к нулю, волна испытывает
полное отражение и лишь при падении под некоторым углом
она проходит в пластину, ибо только в этом случае можно
построить волновой вектор преломленной волны, оканчива-
ющийся на какой-то изочастоте.
Ходу лучей на рис. 4.9в,г соответствуют изочастоты на
рис. 4.65 для случая, когда граница раздела перпендикуляр-
на либо оси Of, либо оси От/, либо биссектрисе угла £От].
В случае, изображенном на рис. 4.9г, в зависимости от угла
падения одной падающей волне может соответствовать ли-
бо одна (вектор 1), либо две (вектор 2) преломленных волны.
Иными словами, здесь возможно возникновение двойного лу-
чепреломления в зависимости от угла падения волны.
Отдельно следует отметить рис. 4.95, соответствующий
изочастотам на рис. 4.6в. Здесь направление преломленной
Беседа 4. Анизотропные среды
49
Рис. 4.9. Волновые векторы (-) и ход лучей (—),
соответствующие прохождению волны из свободно-
го пространства через границы раздела сред и через
пластины из материалов с изочастотами, изображен-
ными на рис. 4.5 и 4.6а, рис. 4.66, рис. 4.6в для случа-
ев, когда граница раздела параллельна одной из осей
£ и т/ (6, в) и идет по биссектрисе угла между этими
осями (а, г, д)
50
Беседа 4. Анизотропные среды
волны слабо зависит от угла падения, но существенно зави-
сит от частоты.
— Все это интересно. А как можно использовать эти
явления в технике?
— Эти законы частично используют при создании линз,
призм и других устройств из искусственных диэлектриков.
Так, например, для радиорелейных линий связи иногда дела-
ют собирающие линзы из волноводов (рис. 4.10). Поскольку
коэффициент замедления п в волноводе меньше единицы, со-
бирающая линза не выпуклая, а вогнутая.
Рис. 4.10. Пример линзы, составленной из отрезков
полых волноводов
Среды с разными видами дисперсионных характеристик
широко используются в электронных вакуумных приборах
сверхвысоких частот, которые служат для усиления и ге-
нерирования электромагнитных колебаний и широко при-
меняются в радиолокационных и других радиотехнических
устройствах. В этих приборах энергия поступательного дви-
жения электронов преобразуется в энергию поля электро-
Беседа 4. Анизотропные среды
51
магнитной волны. Передача энергии осуществляется наибо-
лее эффективно, когда фазовая скорость волны v близка к
скорости электронов ve, причем необходимо, чтобы ve > v.
В свободном пространстве величина ve всегда меньше фа-
зовой скорости с. Чтобы обеспечить взаимодействие, волну
«замедляют», т. е. пускают в среде, в которой коэффициент
замедления п = с/v > 1. Такими средами служат, в част-
ности, волноводы, нагруженные ребрами или диафрагмами,
как на рис. 4.4.
В усилительных приборах (их называют лампами с бе-
гущей волной, или коротко — ЛБВ) используются среды с
положительной дисперсией. В них фазовая и групповая ско-
рости направлены одинаково, так что энергия распростра-
няется туда же, куда движутся электроны. При этом нет
обратной связи выхода прибора со входом.
В генераторных приборах (их называют лампами с об-
ратной волной, или коротко — ЛОВ) используются среды с
отрицательной дисперсией. В них энергия бежит навстречу
электронному потоку, за счет чего создается обратная связь,
приводящая к самовозбуждению колебаний.
В рассматриваемых приборах используются среды, веду-
щие волны в одном измерении. Существуют также электрон-
ные приборы, использующие среды, в которых волны могут
распространяться в двух измерениях.
И все же, пока используют лишь простейшие законы пре-
ломления. Весьма богаты по своим свойствам изделия из так
называемых ферритов. В них возможны магнитостатиче-
ские волны. Они имеют достаточно необычные изочастоты.
О них я тебе сейчас расскажу.
Беседа 5
Магнитостатические волны
в ферритовых пленках
Во всем есть своя мораль,
нужно только уметь ее найти.
Льюис Кэррол
— В школе ты проходил, что такое ферромагнетики?
— Да, это такие вещества (железо, никель и т.п.), в ко-
торых отдельные атомы или молекулы представляют ма-
ленькие магниты. Они объединяются в более крупные на-
магниченные блоки, называемые доменами. В обычных усло-
виях домены ориентированы хаотически, так что вещество
не является магнитом. Во внешнем магнитном поле доме-
ны выстраиваются почти одинаково, и вещество становится
магнитом. Существуют материалы, которые близки по свой-
ствам к ферромагнетикам. Их называют ферритами. В ка-
ждой их молекуле содержится пара немного отличающихся
магнитов, которые выстраиваются не одинаково, а навстре-
чу друг ДРУГУ- При этом материал не имеет столь высоких
магнитных проницаемостей, как у ферромагнетиков. Фер-
риты обладают рядом интересных свойств и широко приме-
няются в технике сверхвысоких частот. А какое отношение
имеют ферриты к законам преломления и отражения?
Беседа 5. Магнитостатические волны
53
— Если с помощью внешнего постоянного магнитного
поля выстроить почти одинаково все элементарные магни-
тики, то в феррите можно возбудить магнитостатические
волны. Их обнаружили в 1961г. Р. У. Деймон (R.W. Damon)
и Дж. Р. Эшбах (J. R. Eschbach). Они представляют электро-
магнитные волны, сопровождаемые колебаниями элементар-
ных магнитов. По своей природе магнитостатические вол-
ны похожи на волны в диэлектрике. Известно, что волны в
диэлектрике распространяются медленнее, чем в свободном
пространстве. Такое замедление связано с возбуждением вол-
ны поляризации молекул в диэлектрике, которую формально
учитывают введением понятия «диэлектрическая проница-
емость среды» и рассматривают электромагнитную волну в
среде с определенной диэлектрической проницаемостью.
Аналогичная картина имеет место для волн в ферри-
тах. Их влияние учитывается введением понятия «магнитной
проницаемости среды», а магнитостатические волны рассма-
триваются как электромагнитные волны в соответствую-
щей среде. Внешнее магнитное поле приводит к некоторо-
му усложнению понятия магнитной проницаемости, но мы
не будем его касаться.
На основе магнитостатических волн в технике создает-
ся множество разных устройств: фильтры, обеспечивающие
выделение из сложного сигнала его составляющей в некото-
рой полосе частот, делители и сумматоры этих сигналов и
т. п. Все эти устройства широко используются в радиотех-
нике на сверхвысоких частотах. Как правило, в основе этих
устройств лежат пленки феррита, в которых возбуждаются
магнитостатические волны. Раз существуют волны, то они
и преломляются на границах, и отражаются от них.
— Как же возбуждают эти волны в пленке феррита?
— Магнитостатические волны представляют собой част-
ный случай электромагнитных волн. Обычно на пленку фер-
54
Беседа 5, Магнитостатические волны
рита наносят металлические полоски, которые соединяют с
линиями передачи сверхвысокочастотных колебаний, напо-
добие того, как к телевизору подводится сигнал от антенны
с помощью специального кабеля.
— Какие изочастоты соответствуют волнам в ферритах?
— Если поместить ферритовую пленку в магнитное поле
Но, направленное вдоль оси £, параллельно пленке, то изо-
частоты для них примут вид, приведенный на рис. 5.1 или
рис. 5.2. Первый из этих рисунков соответствует случаю,
Рис. 5.1. Изочастоты ферритовой пленки
когда пленка расположена в свободном пространстве. Изоча-
стоты на втором рисунке получены в результате расчета для
конкретной пленки толщиной 0,1мм, нанесенной на метал-
лическую пластину и экранированную с противоположной
стороны. Компоненты волнового вектора указаны в см-1.
Около кривых указаны частоты в ГГц (1 ГГц = 109 Гц, т. е.
Беседа 5. Магнитостатические волны
55
Рис. 5.2. Результаты расчета изочастот ферритовой
пленки, нанесенной на металлическую подложку и
экранированной с другой стороны
миллиард колебаний в секунду). На рисунок нанесены вол-
новые векторы и стрелки, указывающие направление груп-
повой скорости. Видно, что по мере изменения частоты на-
правление групповой скорости слегка меняется. Угол между
56
Беседа 5. Магнитостатические волны
направлениями волновых векторов (фазовых скоростей) и
групповых скоростей может быть как меньше л/2 (векторы
— /Зб)> так и больше -тг/2 (векторы — /Зю). Часть изо-
частот имеет форму эллипса с центром в начале координат.
Другая часть несимметрична относительно начала коорди-
нат. Некоторые из них имеют форму замкнутых кривых.
— Какие эффекты могут быть обусловлены столь не-
обычными формами изочастот?
— На рис. 5.3 изображены изочастоты для случая, ко-
гда волна падает из изотропной пленки на ферритовую
(рис. 5.4), причем граница раздела параллельна оси совпа-

Рис. 5.3. Построение волновых векторов для случая
падения волны из изотропной пленки на ферритовую
(совпадают оси т/ и z). Векторы /31, /Зз и /З4 соответ-
ствуют двойному лучепреломлению, а векторы /З2 и
— обычному
Беседа 5. Магнитостатические волны
57
/	граница /	Л
/	раздела /	Гу
) ферритовая [изотропная /
пленки	~у
Рис. 5.4. Сочленение изотропной и ферритовой пле-
нок, в которых бегут, отражаются и преломляются
волны
дающей с осью х, а волновые векторы лежат в плоскости
£0/3z (оси г] и /Зг совпадают). Возможно два случая. В пер-
вом случае (Z?i) волна падает под достаточно малым углом.
При этом имеет место двойное лучепреломление. Во вто-
рой среде распространяются два луча и в проти-
воположные стороны относительно оси /Зх. Во втором слу-
чае (/%) существует лишь одна преломленная волна, причем
ее луч направлен навстречу падающей волне относи-
тельно оси /Зх. С ростом угла падения убывает угол прелом-
ления.
— Ты говорил, для преломленной волны можно постро-
ить два волновых вектора. Один из них, справа от вертика-
ли, направлен от границы раздела, а другой, слева, как на
рис. 1.15, — к границе раздела. Почему же ты построил оба
вектора справа?
— Групповая скорость преломленной волны должна быть
направлена от границы раздела. Ведь волна возбуждается
на границе. Эта скорость направлена по нормали к изоча-
стоте в сторону возрастания частоты. Расчеты показыва-
ют, что для ферритовой пленки полуоси изочастот, похожих
по форме на эллипсы и гиперболы, растут с частотой, т. е.
групповые скорости направлены по внешней нормали «элли-
псов» и по внутренней нормали «гипербол». Это и показано
58
Беседа 5. Магнитостатические волны
на рис. 5.3. Волновым векторам, идущим к границе раздела,
соответствуют групповые скорости, направленные к той же
границе. Поэтому они не возбуждаются волнами, соответ-
ствующими /?1 и /?2-
На рис. 5.5 приведено три возможных направления (/?i,
/?2, /?з), падающих из изотропной среды волн на границу
раздела, параллельную оси у (совпадают оси х и z). Вектору
/31 соответствует ход лучей (vj) во второй среде, который
подобен случаю падения волны из изотропного материала на
обычный анизотропный кристалл. Вектору Дг соответству-
ет полное отражение (на рисунке ради простоты не изобра-
жены волновые векторы отраженных волн), так как во вто-
рой среде нет соответствующих изочастот. Вектору Дз со-
ответствует луч с групповой скоростью v$. Таким образом,
при малых и больших углах падения волна проходит во вто-
рую среду, а при средних — нет. Такие явления в обычной
оптике не наблюдаются.
— Почему на рис. 5.5 групповая скорость изображе-
на по внешней нормали «гиперболы»? Ведь ты сказал, что
она должна быть направлена в сторону возрастания часто-
ты, т. е. по внутренней нормали.
— Строго говоря, изочастоты следует строить полно-
стью. При этом волновой вектор преломленной волны равен
Z?5z, и групповая скорость направлена так, как ты сказал.
— На рис. 5.2 приведены изочастоты, состоящие из кри-
вых, похожих на эллипсы и гиперболы. Им соответствуют
групповые скорости, направленные внутрь «эллипсов» и «ги-
пербол».
— Ты прав, но не во всем. Заметил ли ты маленькие эл-
липсы вокруг начала координат?
— Да, заметил.
— Этим эллипсам соответствуют групповые скорости,
направленные наружу, как на рис. 5.1, 5.3, 5.5.
Беседа 5. Магнитостатические волны
59
Рис. 5.5. Построение волновых векторов для случая
падения волны из изотропной пленки на феррито-
вую. Совпадают оси х и z. Вектору /Зг соответству-
ет полное отражение. Векторам /31 и /Зз падающих
волн соответствуют векторы /З4 и /З5 преломленных
волн
— Чем же интересны изочастоты на рис. 5.2?
— Представь себе пленку, ограниченную экраном. При
этом преломленная волна отсутствует. Возможен случаи
(вектор /31 на рис. 5.6), в котором падающей волне нельзя
поставить в соответствие отраженную.
— Странно. Волна падает на границу раздела, не отра-
жается и не преломляется. Куда же девается энергия? Ведь
ты говорил, что пренебрегаем потерями.
— Она переносится краевой волной вдоль границы раз-
дела сред. Это явление наблюдалось в эксперименте профес-
сором А. В. Вашковским и его сотрудниками.
— Обязательно ли ограничивать пленку экраном?
60
Беседа 5. Магнитостатические волны
Рис. 5.6. Построение волновых векторов для волны
в ферритовой пленке, падающей на границу раздела
и не испытывающей ни отражения, ни преломления
— Вовсе нет. Даже если нет экрана и пленка феррита
граничит с пленкой изотропного диэлектрика, преломленной
волны может не быть. Об экране я сказал лишь для боль-
шей убедительности, чтобы никак нельзя было подумать,
что энергия уходит в другую среду с преломленной волной.
— Ты рассказал о многих интересных явлениях при отра-
жении и преломлении волн. Однако во всех примерах энергия
могла распространяться либо вдоль прямой, либо в плоско-
сти. Наблюдаются ли подобные явления при распростране-
нии энергии в произвольном направлении?
— Да. Примеры сред, допускающих волны в трех измере-
ниях и имеющих необыкновенную форму изочастот, я тебе
сейчас приведу.
Беседа 6
Среды, в которых энергия может
распространяться в любом направлении
... любое знание ведет к приложениям.
Луи де Бройль
— Как мы с тобою говорили, в обычно встречающихся в
природе средах изочастоты представляют собой либо сферы,
либо эллипсоиды1, содержащие в центре начало координат
(/3 = 0). Групповая скорость в таких средах всегда напра-
влена по внешней нормали к эллипсоиду или сфере. Все иные
формы изочастот приводят к необычным законам преломле-
ния и отражения. Дальше речь пойдет только об изочасто-
тах, поскольку законы отражения и преломления для соот-
ветствующих сред аналогичны тем, о которых я уже расска-
зывал. Из сред, в которых энергия может распространяться
в любом направлении, необычными изочастотами обладает
плазма в магнитном поле.
Эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды относят-
ся к поверхностям второго порядка, т. е. описываются уравнениями вто-
рой степени от координат (см. рис. 6.3-6.6). В канонической форме эти
уравнения имеют вид
(х/а)2 4- (у/Ь)2 4- (z/c)2 = 1 для эллипсоида;
(х/а)2 4- (1//Ь)2 — (z/c)2 = 1 для однополостного гиперболоида;
(х/а)2 — (у/Ь)2 — (z/c)2 = 1 для двуполостного гиперболоида.
62 Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении
— Что такое плазма?
— Это частично или полностью ионизированный газ, в
котором плотности положительных и отрицательных заря-
дов практически одинаковы. Ее изочастоты (рис. 6.1) при
наличии внешнего магнитного поля похожи на те, что име-
ет ферритовая пленка (рис. 5.1). Поэтому законы преломле-
ния и отражения на границах плазмы и вакуума похожи на
рассмотренные выше законы (на границе ферритовой и ди-
электрической пленок): возможно двойное лучепреломление
при малых углах падения, если граница раздела перпендику-
лярна оси т/, т. е. совпадает с осью z, а также может суще-
ствовать угол полного наружного отражения при некоторых
углах падения, если граница раздела параллельна оси т/.
Рис. 6.1. Изочастоты плазмы, помещенной в магнит-
ное поле
Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении 63
— Существуют ли среды с необыкновенными формами
изочастот без внешнего магнитного поля?
— В принципе — должны существовать, но я их не знаю.
О возможности существования таких сред говорит тот факт,
что в трехмерных цепочках (рис. 6.2), состоящих из индук-
тивностей L и емкостей С, возможны изочастоты различ-
ной формы (рис. 6.3-6.6). На этих рисунках изображено по
одной ячейке (по одному периоду) электрической схемы, пе-
риодической в трех измерениях. Так то типа цепочки часто
используют в качестве эквивалентных схем, моделирующих
процессы в тех или иных средах. Изочастоты этих цепочек
подобны тем, что приведены на рис. 4.4-4.5, только это уже
не кривые, а поверхности. Их уравнени дисперсии, связыва-
ющие компоненты	волновых векторов с частотой,
приведены на рис. 6.3 - 6.6. При произвольных значениях вол-
новых векторов их изобразить достаточно рудно. Для ма-
лых значений |Ь|, когда в уравнениях дисперсии синусы мож-
но заменить их аргументами, соответствующие изочастоты
приведены на рис. 6.3-6.6.
Изочастоты на рис. 6.3 имеют форму эллипсоидов, на
рис. 6.4 — однополостных гиперболоидов, на рис. 6.5 — дву-
полостных гиперболоидов, на рис. 6.6 — конусов. На каждом
из этих рисунков одной и той же форме изочастоты соответ-
ствуют две схемы, для одной из которых вместе с частотой
растут полуоси эллипсов и гиперболоидов, а также углы при
вершинах конусов. Для другой — они убывают, так что двум
схемам соответствуют противоположные направления груп-
повых скоростей при одинаковой форме изочастот.
— Непонятно, как цепочки из индуктивностей и емко-
стей моделируют те или иные среды?
— Ячейки электрических цепочек, которые приведены на
рис. 6.2-6.6, иллюстрируют лишь факт существования не-
обычных форм изочастот (отличных от сферы и эллипса).
64 Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении
о *0
Ti = 2—; i = x,y,z.
Xi
При Zq -» 00
Рис. 6.2. Ячейка из реактивных сопротивлений
Z, Z$,Zn,Z{ электрической цепочки, периодической
в трех измерениях, и ее уравнение дисперсии
Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении 65
в* 02	02
Л/2	Аур + Azp ~ ’
.	_8тг2 Lx'V'zC
Ax,y,z -	&	;
Р02 , ?02 , п _.
Ах Ау + Az
Ах'у'г = 2iPLCXty,z<P'
Рис. 6.3. Две ячейки периодической в трех измере-
ниях цепочки, состоящей из индуктивностей и емко-
стей L^L^L^C и C^C^C^L соответственно, их
уравнения дисперсии и форма изочастот в виде эл-
липсоида
66 Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении
Рис. 6.4. Две ячейки периодической в трех измере-
ниях цепочки, состоящей из индуктивностей и емко-
стей 1^,С^,С{,С и	соответственно, их
уравнения дисперсии и форма изочастот в виде двух-
полостного гиперболоида
Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении 67
Рис. 6.5. Две ячейки периодической в трех измере-
ниях цепочки, состоящей из индуктивностей и емко-
стей L^L^C^C и C^C^L^L соответственно, их
уравнения дисперсии и форма изочастот в виде од-
нополостного гиперболоида
68 Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении
Рис. 6.6. Две ячейки периодической в трех измере-
ниях цепочки, состоящей из индуктивностей и емко-
стей Lfj, и , Cn, Lq соответственно, их урав-
нения дисперсии и форма изочастот в виде конуса
Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении 69
Для построения модели рассмотрим на примере среду, веду-
щую волну в одном направлении. В частности, полый вол-
новод (рис. 4.46) в широком диапазоне частот отображается
цепочкой из индуктивностей и емкостей, изображенной на
рис. 6.7а, а волновод с металлическими ребрами (рис. 4.4в) —
цепочкой — на рис. 6.76. При определенном выборе значений
индуктивностей Z, Li и емкостей (7, С\ совпадают дисперси-
онные характеристики представленных цепочек и соответ-
ствующих волноводов.
Рис. 6.7.
Электрические цепочки, моделирующие
полый волновод (а) и волновод с гребнями (6)
— Ты рассказал о многих интересных законах отражения
и преломления. А как дальше может развиваться эта наука?
— Раз имеются необычные законы отражения и прелом-
ления, значит должны существовать и новые приборы на их
основе. Тебе их и создавать. Должны быть найдены новые
вещества с этими необычными свойствами.
— Где же их искать?
— Такие вещества следует искать среди кристаллов с
крупными ячейками: белки, жидкие кристаллы, сверхрешёт-
ки и т. д.
— Что такое жидкие кристаллы и сверхрешетки?
70 Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении
— Жидкие кристаллы — это некоторые виды жидко-
стей, молекулы которых образуют кристаллическую решет-
ку. С этими кристаллами ты в какой-то мере знаком, так как
их широко используют в качестве циферблатов электронных
часов и табло карманных калькуляторов. Некоторые типы
таких кристаллов чувствительны к температуре; на их осно-
ве делают термометры.
Теперь несколько слов о сверхрешетках. В обычных кри-
сталлических решетках период содержит не более несколь-
ких атомов. Величина периода составляет десятые доли на-
нометра. Если же тем или иным способом сделать период
решетки, содержащим тысячи и более атомов, то соответ-
ствующие вещества называются сверхрешетками. В послед-
ние годы в физике твердого тела такие сверхрешетки интен-
сивно исследуются.
— Разве законы преломления и отражения зависят от
размера ячеек решетки?
— Нет, конечно, но в случае укрупнения ячеек появля-
ется больше возможностей в создании различных структур.
Ведь структуры, изображенные на рис. 4.4 - 4.8, можно рас-
сматривать как своеобразные сверхрешетки.
— Почему необычные законы преломления следует ис-
кать среди кристаллов с такими крупными ячейками?
— Почти все искусственные диэлектрики, о которых я те-
бе рассказал, имеют необычные «оптические» свойства при
длинах волн, сравнимых с периодами решеток соответству-
ющих «кристаллов». Длина волны видимого света составляет
десятые доли микрона, а межатомные расстояния в обычных
кристаллах имеют порядок десятых долей нанометра.
В кристаллах типа NaCl существуют ветви дисперсион-
ных характеристик, которым соответствует отрицательная
дисперсия, однако эти ветви лежат в области частот, соот-
ветствующих рентгеновскому диапазону.
Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении 71
Есть основание предполагать, что необычными диспер-
сионными характеристиками должны обладать кристал-
лы из молекул белка. Эти молекулы имеют форму спира-
лей. С другой стороны, профессором В. М. Дашенковым в
Саратовском государственном университете исследовались
дисперсионные характеристики искусственных кристаллов
(решеток), построенных из металлических спиралей. Он об-
наружил, что такие решетки могут обладать отрицательной
дисперсией. В связи с этим интересно исследовать оптиче-
ские свойства белковых кристаллов.
— Ты сказал, что необычные «оптические свойства» воз-
никают в средах, когда период соответствующих решеток
сравним с длиной волны. Но ведь в плазме нет никаких ре-
шеток, а в феррите расстояния между элементарными маг-
нитиками малы по сравнению с длиной волны. Тем не менее
ты говоришь, что они обладают необычными свойствами.
Почему?
— Как мы уже говорили, в кристаллах дисперсия воз-
никает либо при длине волны, сравнимой с размерами ячей-
ки, либо при близких частотах волны и колебаний атомов.
При наличии внешнего магнитного поля появляется еще один
фактор — частота прецессии. Дело в том, что элементарные
магнитики представляют собой как бы волчки, быстро вра-
щающиеся вокруг своей оси. Во внешнем магнитном поле
оси этих волчков начинают дополнительно и более медленно
вращаться вокруг направления магнитного поля наподобие
того, как вращаются соответствующие детские игрушки во-
круг направления силы тяжести. Это явление и называет-
ся прецессией. Если частоты колебаний волны и прецессии
близки, то возникают «оптические» явления, о которых я те-
бе рассказал.
Заканчивая наши беседы о необычных законах отраже-
ния и преломления волн, хочу заметить, что мы с тобой
72 Беседа 6. Среды с волнами в любом направлении
говорили лишь о простейших явлениях, связанных с этими
законами. Обсуждая необычные оптические явления мы рас-
сматривали лишь углы падения, отражения и преломления.
Такое рассмотрение неполно. Необходимо знать еще и ко-
эффициенты отражения и прохождения. Их определение со-
ставляет весьма трудную задачу, нерешенную до настоящего
времени для большинства сред. Вместе с тем, рассмотренные
выше LC цепочки позволяют определять не только углы, но
и коэффициенты прохождения и отражения. Правда, трудно
построить такую цепочку, чтобы она правильно отображала
характеристики той или иной среды.
В заключение еще раз сформулирую те необычные зако-
ны отражения и преломления, о которых я рассказал:
о преломленная волна может бежать не от границы раздела
сред, а к ней;
о отраженная волна может бежать к границе раздела, а не
от нее;
о угол преломления может убывать по мере роста угла па-
дения;
о падающая и отраженная волны могут бежать к границе
раздела сред одновременно;
о волна может падать на границу раздела сред без отраже-
ния (энергия уносится боковой поверхностной волной);
о наличие двойного лучепреломления может зависеть либо
от угла падения, либо от частоты, а не от поляризации
поля;
о при малых углах падения может возникнуть полное на-
ружное отражение, тогда как при больших — волны про-
ходят в другую среду.
Возможны и другие закономерности.
Литература
Краткий обзор литературы для более глубокого
изучения необычных оптических явлений
Изложенные выше законы отражения и преломления опи-
саны, как правило, на основе работ [2] - [5] автора этой книги
и его сотрудников. Эти работы поначалу были обусловле-
ны необходимостью теоретического исследования периоди-
ческих волноводов [2], [7] для вакуумных электронных при-
боров сверхвысоких частот.
Характеристики волн в обычных изоторопных и неизо-
тропных средах описаны во многих учебниках и моногра-
фиях (например, книги [8] - [11]). Исходными для построения
необычных законов преломления и отражения послужили ра-
боты Л. И. Мандельштама [12], [13], в которых он не только
показал, что при отрицательной дисперсии среды, в кото-
рую падает волна из свободного пространства, закон пре-
ломления иной, чем при положительной, но и привел пример
среды (кристалл типа NaCl), в которой можно попытаться
обнаружить соответствующий закон преломления для упру-
гих волн.
Один из случаев необычного закона отражения описан
в книге Ф. И. Федорова и В. В. Филиппова [11]; там (с.135)
показано, что при падении волны из обычного анизотропно-
го кристалла на плоскую границу возможно возникновение
отраженной волны, направленной также к границе.
74
Литература
Вопросы, близкие к изложенным в настоящей книге, рас-
смотрены в книге [14], но иным методом. Авторы исполь-
зуют понятия электрической и магнитной проницаемости
среды, определенные с учетом взаимодействия не только со-
седних атомов. При этом (в отличие от изложенного в на-
стоящей книге метода изочастот) необходимо, чтобы длина
волны в среде существенно превышала межатомные рассто-
яния. Авторы [14] получили ряд дисперсионных характери-
стик, похожих на описанные в настоящей книге.
Изочастота, приведенная на рис. 6.1 для волн в плазме,
заимствовала из [15].
С закономерностями распространения магнитостатиче-
ских волн можно познакомиться, например, в книге [16].
В работе [17] описан результат наблюдения магнитостати-
ческой волны, падающей на границу ферритовой пленки без
отражения. Это явление предсказано в [6], а обнаружено и
объяснено в [17].
В жидких кристаллах [18, с. 254] обнаружены отрицатель-
ная дисперсия и неоднозначность дисперсионной характери-
стики, но пока не построены изочастоты, так что трудно
говорить о соответствующих законах отражения и прелом-
ления.
Возможности создания различных типов сверхрешеток
для устройств оптического диапазона частот описаны, на-
пример, в [19]-[20].
Список литературы
[1]	Силин Р. А. О дисперсионных свойствах двумерно-и
трехмерно-периодических систем (искусственные ди-
электрики). Радиотехника и электроника, 1960, 5(4),
688-691.
Литература
75
[2]	Силин Р. А., Сазонов В.П. Замедляющие системы.
М.: Сов. радио, 1966.
[3]	Силин Р. А. Оптические свойства искусственных ди-
электриков. Изо. высш, учебн. заведений. Радиофизика,
1972, 15(6), 809-820.
[4]	СилинР.А.О возможности создания плоскопараллель-
ных линз. Оптика и спектроскопия, 1978, 44(1), 189 —
191.
[5]	Демченко Н.П., Нефедов И.С., Силин Р. А.
Особенности распространения поверхностных электро-
магнитных волн в слоистых гиротропных структурах.
В кн.: Взаимодействие электромагнитных волн с полу-
проводниками и полупроводниково-диэлектрическими
структурами и проблемы создания интегральных КВЧ
схем. 4.2. Саратов: Изд. Саратовского университета,
1985, 94-95.
[6]	Иванов В.Н., Демченко Н.П., Нефедов И.С.,
Силин Р. А. Волны в касательно намагниченном
ферритовом слое (электродинамический расчет и рав-
номерные асимптотики). Изв. высш, учебн. заведений.
Радиофизика, 1989, 32(6), 764-776.
[7]	Силин Р. А. Периодические волноводы. М.: ФАЗИС,
в печати.
[8]	Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Перев. с англ. М.:
Наука, 1970.
ВогпМ., WolfE. Principles of optics; electromagnetic
theory of propagation, interference and diffraction of light.
4th ed. Oxford-New York: Pergamon Press, 1969.
76
Литература
[9]	Ландсберг Г.С. Оптика. Изд. 5-е. М.: Наука, 1976.
[10]	СивухинД.В. Общий курс физики. Т.4: Оптика.
Учебное пособие. Изд. 2-е. М.: Наука, 1985.
[11]	Федоров Ф.И., Филиппов В.В. Отражение и пре-
ломление света прозрачными кристаллами. Минск: На-
ука и техника, 1976.
[12]	МандельштамЛ.И. Лекции по некоторым вопросам
теории колебаний (1944 г.) Четвертая лекция. В кн.:
МандельштамЛ.И. Полное собрание трудов, Т.5. М.:
Изд. АН СССР, 1950, 461-467.
[13]	МандельштамЛ.И. Групповая скорость в кристал-
лической решетке. В кн.: МандельштамЛ.И. Полное со-
брание трудов, Т.2. М.: Изд. АН СССР, 1947, 334-338.
[14]	Агранович В.М., Гинзбург В. Л. Кристаллоопти-
ка с учетом пространственной дисперсии и теория эк-
ситонов. М.: Наука, 1965.
[15]	ФелсенЛ., МаркувицН. Излучение и рассеяние
волн. Перев. с англ. Т. 1,2. М.: Мир, 1978.
FelsenL., Marcuvitz N. Radiation and scattering of
waves. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.,
1973.
[16]	Вашковский A.B., Стальмахов В.С., Шараев-
ский Ю.П. Магнитостатические волны в электронике
сверхвысоких частот. Саратов: СГУ, 1993.
[17]	Вашковский А.В., Стальмахов А.В., Шахна-
зарян Д. Г. Формирование, отражение и преломление
волновых пучков магнитостатических волн. Изв. высш,
учебн. заведений. Физика, 1988, 31(1), 67-75.
Литература
77
[18]	Б л и н о в Л. М. Электро- и магнитооптика жидких кри-
сталлов. М.: Наука, 1978.
[19]	Joannopoulos J.D., Villeneuve Р.R., FanS.
Photonic cristals: putting a new twist on light. Nature,
1997, 13 March, 386(6621), 143-149.
[20]	MacGillivray L.R., Atwood J.L. A chiral spherical
molecular assembly held together by 60 hydrogen bonds.
Nature, 1997, 2 October, 389(6650), 469-472.
[21]	UmbanhowarP. Patterns in the sand. Nature, 1997,
9 October, 389(6651), 541-542.
[22]	Rigby P., Krauss T. F. The Vs and Qs of optical micro-
cavities. Nature, 1997, 13 November, 390(6656), 125.
Послесловие
Кто бы мог представить себе лет тридцать тому назад,
что искусственные среды, придуманные автором этой кни-
ги для демонстрации необычных законов отражения и пре-
ломления электромагнитных волн, сегодня окажутся на пе-
реднем крае науки и техники! Эти среды, первоначально на-
званные автором искусственными диэлектриками и которые
сейчас называют фотонными кристаллами, стали предметом
активного теоретического и экспериментального изучения;
ежегодно им посвящаются десятки статей, публикуемых в
ведущих научных журналах. Вполне возможно, что фотон-
ные кристаллы сыграют не последнюю роль в наступающей
эпохе информационных технологий с ее терабитными пото-
ками данных, передаваемых каждую секунду.
Главной идеей, направляющей исследования по фотонным кри-
сталлам, служит возможность перенесения огромного количества
результатов, накопленных за десятилетия изучения электронных
состояний в кристаллических твердых телах, в особенности в по-
лупроводниках, на состояния электромагнитного поля в искус-
ственно созданных средах. Часто фотонные кристаллы и дела-
ются так, чтобы как можно точнее моделировать расположение
атомов в кристаллической решетке того или иного вещества, на-
пример, алмаза. Причем, большое внимание уделяется фотонным
кристаллам, обладающим запрещенной зоной, — полосой частот,
в которой электромагнитные волны не могут распространяться
(т. е. полосой непропускания), аналогичной запрещенной зоне по-
лупроводников.
Послесловие
79
Включая в решетку фотонного кристалла участки с нелиней-
ными оптическими характеристиками, удается получить оптиче-
ские аналоги многих электронных приборов — переключателей,
ограничителей, диодов и транзисторов. Ограничитель, например,
пропускает световой пучок низкой интенсивности и отражает или
поглощает — высокой. В случае оптического диода, пучок про-
ходит или отражается в зависимости от направления распростра-
нения. Замещая один из узлов фотонного кристалла на активный
атом или молекулу, аналогично легированию полупроводника, по-
лучают усилители и генераторы света с весьма необычными и по-
лезными свойствами. Все эти приборы на основе фотонных кри-
сталлов имеют микронные размеры и могут служить основой для
оптических устройств обработки, хранения и передачи гигант-
ских объемов информации.
Более того, уже созданы световоды, в которых световая вол-
на распространяется не благодаря полному внутреннему отраже-
нию от границы стекла с воздухом, как в обычных волоконно-
оптических линиях передачи, а за счет того что созданная в волок-
не периодическая структура, напоминающая в сечении пчелиные
соты, — двумерный фотонный кристалл на основе чередующихся
по определенному закону участков воздуха и стекла, — разрешает
распространение световой волны только строго вдоль оси светово-
да. В таких световодах дисперсия волн (т. е. зависимость скорости
от частоты) имеет иной вид, чем в обычных световодах; этот эф-
фект может быть полезным для компенсации искажений сигнала
при передаче информации на дальние расстояния.
Удачной попыткой обобщения и систематизации исследо-
ваний в этой области является готовящаяся к печати новая
книга Р. А. Силина «Периодические волноводы*, предназна-
ченная для специалистов. Теперь вполне можно сказать, что
научный путь автора соответствует одному из принципов
Кавендишской лаборатории: не следует заниматься модным
направлением — главные открытия там уже сделаны или
делаются в настоящее время; заниматься следует тем, что
будет в моде через 20-30 лет, а сейчас об этом мало кто
знает.
80
Послесловие
Этот же принцип автор положил и в основу данной кни-
ги, которая открывает читателю путь в малоисследованные
области науки, где способных и трудолюбивых ждут откры-
тия новых явлений, изобретения новых устройств. Так что
эта книга, рассчитанная в первую очередь на старшекласс-
ников, может быть интересной и полезной также вполне зре-
лым научным работникам — физикам и инженерам. Такие
книги встречаются нечасто!
Е. И, Голант
Москва - Фрязино
сентябрь, 1999
Реальная Природа гораздо интересней и богаче, чем
может представить самое раздраженное воображение,
и она заслуживает того, чтобы отдать душевные силы
на постижение ее красоты, не растрачивая их на то,
что только засоряет ум.
М. В. Терентьев
В книге доктора технических наук, профессора
Роберта Андреевича Силина
на уровне, доступном старшеклассникам,
рассказано о необычном поведении электромагнитных волн
на границе раздела двух сред:
движение преломленной волны не от границы раздела,
как обычно, а к границе,
движение падающей и отраженной волн к границе раздела
одновременно,
наличие падающей волны в отсутствие
отраженной и преломленной,
а также ряд других явлений,
известных лишь узкому кругу специалистов.
Некоторые из описанных явлений существуют сегодня
лишь на бумаге в виде результатов расчета.
Другие исследованы экспериментально и уже реализованы
в виде СВЧ-приборов, т.е. не в оптическом диапазоне длин волн,
а в микроволновом (диапазоне сверхвысоких частот).
“Автор надеется, что издание этой книги стимулирует
исследования в области необычных оптических явлений,
поиски их применения и создание устройств на их основе.”