Автор: Литвин-Седой М.З.  

Теги: техника средств транспорта   космические аппараты   космическая техника   полет в космос   теория полёта  

Похожие

Управление космическими летательными аппаратами

Управление движением космического аппарата в атмосфере Марса

Механика космического полета. Проблемы оптимизации.

Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу

Текст 
                    

ИЗДАТЕЛЬСТВО
московского
УНИВЕРСИТЕТА



мл. лит вин-се дой
УПРАВЛЕНИЕ 1
КОСМИЧЕСКИМИ
КОРАБЛЯМИ
в элементарном
изложении

УДК 629. 19. 04
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Научный редактор А. К. Платонов
Книга знакомит с научными основами техники
автоматического управления космическими кораб-
лями. В ней рассматриваются законы и явления»
используемые для управления космическими ко-
раблями, и способы практического применения их
в космической технике; изложены основы механи-
ки применительно к технике космического полета;
описаны также некоторые конструкции устройст-
ва управления. Вместе с тем в книге системати-
чески проводится элементарный расчет приборов
управления и процесса управления кораблем, при
этом применяются лишь основные математические
действия, входящие в школьную программу.
Издание рассчитано на учащихся 8—10-х клас-
сов средней школы, студентов старших курсов
техникумов, курсантов средних авиационно-техни-
ческих и военно-технических училищ. Оно может
служить дополнительным учебным пособием для
авиационно-технических школ и училищ, а также
использоваться в качестве учебного пособия при
подготовке к вступительным экзаменам по физи-
ке для поступления в вузы. Книга может быть по-
лезной также для инженеров и техников неавиа-
ционных специальностей, желающих получить об-
щее представление о предмете.
3—1—4
3 — 66

os
1
ВВЕДЕНИЕ
§1-
Назначение устройств
управления космиче-
скими кораблями
В истории техники созданию всякой новой маши-
ны сопутствовала разработка устройств для управле-
ния ею. Древние мореходы, строя корабли, преду-
сматривали в конструкции мачт возможность управ-
ления парусом. Уже в древних колесницах и телегах
передняя ось могла поворачиваться относительно
корпуса, что было сделано для обеспечения возмож-
ности придавать их движению нужное направление.
Знаменитый египетский механик Герои Александрий-
ский (I в.) изобрел первый известный нам реактив-
ный двигатель, служивший для открывания дверей
храма богини Изиды, и он же создал управляющее
устройство для своего двигателя.
И. И. Ползунов, разработавший первый промыш-
ленный паровой котел, осуществил первый поплавко-
вый регулятор уровня воды в котле. Создатель паро-

в
вой машины Уатт изобрел и центробежный регуля-
тор оборотов вала машины. Народоволец Н. И. Ки-
бальчич, впервые предложивший схему летательного
аппарата с реактивным двигателем, продумал и воп-
рос об управлении полетом своего аппарата с по-
мощью регулирования направления тяги реактивно-
го двигателя. В 1887 г. профессор Московского уни-
верситета Ф. А. Слуцкий разработал основы первого
«автоматически управляемого летательного снаряда».
Основоположник современной ракетной техники
К. Э. Циолковский создал одновременно и различ-
ные схемы ракетных аппаратов и различные схемы
управления ими.
Бурное развитие техники космических полетов в
последние годы сопровождается не менее бурным
развитием средств автоматики, являющихся неотъем-
лемой частью современного космического корабля.
Многие космические объекты уже в настоящее время
представляют собой полностью автоматические
устройства, выполняющие многочисленные и сложные
действия без вмешательства человека. На пилотируе-
мом космическом корабле также имеются автоматы,
помогающие космонавту управлять кораблем в тех
случаях, когда время управления мало (секунды и
доли секунды) или слишком велико (часы, сутки, а
в будущем — месяцы и годы).
Управление космическими аппаратами произво-
дится с целью сообщить им требуемое движение или
привести их в заданное положение или состояние.
Чтобы описать общие требования к системам уп-
равления кораблями (ручным и автоматическим),
нужно представить себе назначение и характер дви-
жения космических аппаратов.
Движение ракеты при выведении на орбиту спут-
ника Земли. Наиболее общий вид движения искусст-
венных космических тел — вывод их на орбиту спут-
ника Земли при запуске с поверхности Земли (взлет
двухступенчатой космической ракеты показан на
рис. 1). Рассмотрим, например, в несколько упрощен-
Рис. 1. Взлет космической ракеты с пусковой установки



8
ном виде процесс вывода на орбиту трехступенчатой
ракеты. Первая (нижняя) ступень представляет со-
бой ракету, состоящую из ракетных двигателей и ба-
ков с топливом. Двигатели выбрасывают вниз струю
газов, образующихся при сгорании топлива. Таким
образом, за счет энергии, заключенной в топливе, га-
зовые частицы отталкиваются вниз от днища и сте-
нок камеры сгорания и извергаются наружу через
выхлопную трубу — реактивное сопло. Но, отталки-
ваясь от поверхности двигателя вниз, газовые части-
цы одновременно толкают двигатель ракеты вверх,
подобно тому как человек, отталкиваясь ногой от но-
са лодки, чтобы выпрыгнуть из нее на пристань, не-
избежно отталкивает лодку от пристани. Совокупное
действие всех газовых частиц струи образует реак-
тивную силу (тягу), приложенную к двигателю раке-
ты. А так как он жестко скреплен с корпусом раке-
ты, образующей первую ступень, то реактивная сила
поднимает вверх всю первую ступень и с нею осталь-
ные ступени.
С физической точки зрения основное различие
между подъемом ракеты под действием реактивной
силы и отходом лодки при прыжке человека на при-
стань состоит только в природе используемой энер-
гии: лодка отплывает от берега за счет мускульной
энергии человека, а ракета поднимается в небо за
счет энергии топлива, выделяющейся при горении.
Во время работы двигателей первой ступени дви-
гатели остальных ступеней не включены, поэтому пер-
вая ступень, поднимаясь, несет на себе вторую и
третью ступени просто как груз.
Когда ракета поднимется на определенную высо-
ту, наступает время «ложиться на курс» — переходить
от вертикального подъема к полету по дуге, выводя-
щей ее последнюю ступень на орбиту спутника Зем-
ли (рис. 2). Переход на пологую траекторию выпол-
няется, например, с помощью отклонения газовой
струи в сторону от оси ракеты. Возможно также ис-
пользовать воздушные рули, подобные самолетным.
По истечении некоторого времени после перехода
на наклонную траекторию весь запас топлива в пер-

9
вой ступени выгорает, и тяга прекращается. После
этого первая ступень больше не нужна, она становие
ся лишь мертвым грузом и автоматически отбрасы-
вается от остальной части ракеты (в точке А на
рис. 2). При выводе спутников на орбиты средней вы-
соты (порядка 500 км над уровнем моря) скорость
ракеты в момент отделения первой ступени равна
примерно 6500 км/час.	г
Сразу же после отбрасывания первой ступени
включаются двигатели второй ступени ракеты, раз-
гоняющие ее до скорости порядка 20 000 км/час. По-
сле выгорания топлива и эта ступень, в свою оче-
редь, отбрасывается от ракеты (точка В на рис. 2).
Рис. 2. Обычная траектория вывода
искусственного спутника на орбиту
вокруг Земли

10
Благодаря достижению весьма высокой скорости
полета после использования второй ступени оказы-
вается выгодным предоставить последней ступени на-
брать дополнительную высоту при свободном движе-
нии по восходящей ветви траектории. На этой высоте
сопротивление воздуха движению очень мало и прак-
тически не тормозит полет третьей ступени. Таким
образом, например на отрезке ВС траектории
(рис. 2), третья ступень летит как камень при броске
его вверх и вперед пли как обычный артиллерийский
снаряд на восходящем участке траектории. В этом
движении на третью ступень практически действует
только сила земного притяжения; притягивая ступень
к центру Земли, она постепенно отклоняет ее траек-
торию вниз, т. е. делает ее более пологой.
Если не придать ракете дополнительную скорость,
то ракета, достигнув вершины траектории, начнет
приближаться к Земле по нисходящей дуге. Поэтому
двигатель третьей ступени следует включить, не до-
жидаясь перехода ракеты на нисходящий полет.
Наивыгоднейший момент включения двигателя треть-
ей ступени определяется расчетом на основании за-
конов механики. Тяга этого двигателя доводит ско-
рость ракеты до так называемой орбитальной скоро-
сти— скорости, по достижении которой всякое тело,
в том числе и третья ступень ракеты, несущая спут-
ник, будет обращаться вокруг Земли, не падая на
нее, но и не удаляясь от нее больше, чем на опреде-
ленное расстояние. Если при достижении орбиталь-
ной скорости, направленной перпендикулярно направ-
лению к центру Земли, спутник обращается по кру-
говой орбите, то такая скорость называется круговой.
Каждой высоте орбиты над Землей соответствует свое
значение круговой скорости. Зависимость величины
этой скорости от радиуса орбиты спутника опреде-
ляется законами механики и будет выведена ниже.
Для орбиты высотой 500 км над поверхностью Земли
круговая скорость равна 27 400 км!час.
После того как будет достигнута орбитальная
скорость, остается отделить спутник от ракеты. Это
делается с помощью порохового заряда, сильно ежа-

11
той пружины и т. п. При этом ракета и спутник от-
брасываются одна от другого с небольшой скоростью.
Например, с помощью пружины можно разделить
ракету и спутник с относительной скоростью поряд-
ка 4 м]сек.
Из описания вывода спутника на орбиту вытека-
ют основные требования к системе автоматики, уп-
равляющей запуском спутника. Автоматы должны
вести ракету вертикально вверх до достижения пред-
писанной высоты, причем на этой высоте ракета
должна иметь заданную же скорость подъема. На
определенной высоте они должны отклонить ракету
от вертикали и повести ее по расчетной пологой вос-
ходящей траектории.
От автоматов требуется обеспечить включение в
расчетные моменты времени двигателей и своевре-
менное отделение от ракеты первой и второй ступе-
ней, а также отделение спутника от последней ступе-
ни. При этом следует иметь в виду, что в полете к
кораблю, как правило, приложены воздействия, не
поддающиеся точному учету: порывы ветра, откло-
нения величины и направления реактивной тяги от
расчетных значений, вызванные неучтенной неравно-
мерностью горения или технологическими погрешно-
стями в изготовлении и сборке двигательной установ-
ки, и т. п. Эти случайные воздействия способны на-
рушить желаемое движение ракеты-носителя и спут-
ника. Поэтому автоматы управления полетом долж-
ны обладать способностью обнаруживать едва наме-
чающееся отклонение полета от расчетного и воздей-
ствовать на ракету так, чтобы восстановить заданное
движение. Как говорят механики, автоматы должны
обеспечивать устойчивость движения.
Сборка космической станции на орбите. Более
сложным видом управления полетом в космосе яв-
ляется управление сборкой космической станции на
орбите. Космической станцией называется большой
и долговечный спутник, предназначенный для выпол-
нения разносторонних и длительных научных иссле-
дований в космическом пространстве, а также для
обслуживания космических кораблей, совершающих

12
межпланетные перелеты и другие дальние космиче-
ские полеты. Для таких кораблей станция может слу-
жить посадочной палубой для временной остановки,
осмотра и починки космического корабля, заправки
его топливом, пополнения запасов воздуха, воды,
продовольствия и других предметов потребления для
космических путешественников; станция может обес-
печивать навигацию кораблей — посылкой световых и
радиосигналов, управляющих движением корабля
или помогающих космонавтам ориентироваться в про-
странстве. В этом отношении назначение станции по-
добно назначению маяков (обычных и радиомаяков)
в кораблевождении и самолетовождении.
Космическая станция может быть спутником не
только Земли, но и других планет и Солнца. Можно
ожидать, что в будущем в нашей солнечной системе
на различных орбитах будут построены многочислен-
ные космические станции. Тогда, в какую бы часть
солнечной системы ни залетали космические кораб-
ли, всюду они будут находиться в радиусе действия
той или иной космической станции и пользоваться ею
для навигационных нужд, связи, пополнения запа-
сов, а космонавты смогут находить убежище в слу-
чае аварий. Станциями называют также и небольшие
научно-исследовательские спутники широкого назна-
чения, например советские спутники «Электрон»,
«Протон», а также автоматические лаборатории, по-
сылаемые к Луне и планетам солнечной системы.
Если вес станции на Земле настолько велик, что ее
нельзя вывести на орбиту с помощью существующих
ракет-носителей, то можно запускать отдельные ее
части порознь. Каждая такая часть будет обращать-
ся по орбите как искусственный спутник. После этого
следует собрать отдельные части вместе в единую
космическую станцию. В технологическом отношении
собирать станцию на орбите в какой-то мере легче,
чем собирать ее на Земле; действительно, на орбите
все части станции находятся в состоянии невесомо-
сти, поэтому для сборки их не нужно «поднимать»,
преодолевать их вес, не нужно, следовательно, и гру-
зоподъемных устройств. Сблизить и соединить две ча-

13
сти станции на орбите можно с помощью довольно
слабых усилий, во всяком случае намного меньших
веса каждой из этих частей на Земле. Сборку стан-
ции на орбите можно сравнить со сборкой большого
плота на воде из отдельных плавающих частей его:
эти части не нужно поднимать, а достаточно их сбли-
зить и соединить, для чего не требуется больших уси-
лий. Конечно, при сборке станции в космосе возник-
нут свои трудности, главным образом в части управ-
ления сборкой.
На рис. 3 изображен возможный вид космической
станции, собранной на орбите. Видны опорные рамы
для сборки, образующие каркас сооружения, напо-
минающие мостовую ферму. На рис. 4 представлена
Рис. 3. Возможный вид космической
станции, собранной на орбите

Рис. 4. Схема космической
станции-лаборатории с боль-
шими рабочими помеще-
ниями
Рис. 5.[Сборка космической
станции (проект)

15
схема космической станции-лаборатории с большими
рабочими помещениями. На рис. 5 показана сборка
космической станции. Можно мыслить ручное или
автоматическое осуществление сборки, или полуавто-
матическое — станцию собирают автоматические
устройства, люди же только наблюдают за сборкой
и вмешиваются лишь для задания автоматам очеред-
ной программы или в случае возникновения неисправ-
ностей. Рис. 5 соответствует ручной или полуавтома-
тической сборке.
На рис. 6 изображен проект ракеты-«парома» для
доставки людей с Земли на станцию и обратно. Для
создания людям, работающим на сборке, условий,
более близких к земным, предложено заключать ча-
сти станции, уже сближенные вместе, в огромную на-
дувную оболочку воздушного шара. Внутри этой обо-
лочки должно поддерживаться давление воздуха,
равное давлению на поверхности Земли, и люди смо-
гут снимать шлемы и кислородные маски, сохраняя
их лишь на случай аварии, например порыва оболоч-
ки из-за удара метеорита. На рис. 7 показана карти-
на починки оболочки. На рис. 8 изображена возмож-
ная схема космического корабля для выполнения про-
изводственных работ на орбите, для сборки станции,
ремонта ее и т. д. Рабочие устройства корабля пока-
заны в виде «щупалец» многозвенных механизмов,
последние звенья которых несут рабочие орудия
(сверло, приспособление для одевания и завинчива-
ния гаек, сварочный аппарат и т. д.). Промежуточные
звенья и шарниры, их соединяющие, служат для при-
дания рабочему орудию любого требуемого положе-
ния по отношению к обрабатываемому предмету.
Примерная картина использования космической
станции для заправки космического корабля топли-
вом изображена на рис. 9. Корабль-заправщик (сле-
ва) соединяют гибкими трубопроводами с заправляе-
мым кораблем (справа). Благодаря состоянию неве-
сомости для этого, как и при сборке станции на ор-
бите, не нужно грузоподъемных устройств. Справа
видна планета, около которой обращаются оба ко-
рабля, вдали — другой корабль и космическая стан-

16
Рис. 6. Проект ракеты-«парома> для
доставки людей с Земли на станцию
и обратно
ция. Заправке предшествует сближение корабля со
станцией (рис. 10). Сближение может осуществлять-
ся автоматически или летчиком. В обоих случаях,
чтобы сблизить корабль со станцией, можно приме-
нять реактивный двигатель, подобно тому как в мо-
ре на катере включают двигатель, чтобы приблизить-
ся к борту океанского корабля. При подходе косми-
ческого корабля к станции двигатель выключается,
подобно тому как выключают машину катера уже
на некотором расстоянии от корабля.
Требования к строительству и использованию кос-
мических станций, описанные выше, показывают, на-
сколько важна задача управления (прежде всего ав-
томатического) движением космических объектов.
Управляющие устройства должны обеспечивать вы-
вод частей станции с достаточной точностью на об-
щую орбиту и в достаточной близости одна от дру-
гой; они должны обеспечивать правильную взаимную
ориентацию собираемых частей согласно проекту
станции, сближение частей-спутников к опорному
спутнику сборки так, чтобы не произошло резких со-
ударений, которые могли бы привести к поврежде-
ниям. Далее, автоматические приборы должны со-
брать сами или помочь космонавтам собрать

17
Рис. 7. Картина
починки оболочки
надувного спут*
ника (проект)
станцию согласно проекту, включая автоматы
управления станцией, проверить работу устройств
станции, устранить неисправности и привести стан-
цию и все ее системы и механизмы в состояние го-
товности.
Автоматы станции должны управлять посадкой и
взлетом космических кораблей, их движением в об-
Рис. 8. Корабль для выполнения производ-
ственных работ в условиях космического
полета (проект)

18
Рис. 9. Заправка космического ко-
рабля топливом на орбите (проект)
ласти пространства, обслуживаемой данной станци-
ей, связью с Землей и с кораблями; они должны вы-
полнять ремонтные и другие работы, обеспечивающие
исправность научных приборов станции и обслужи-
ваемых кораблей.
Посадка космического корабля на поверхность
планеты. Следующей задачей управления движением
является задача управления посадкой космического
корабля на поверхность какой-либо планеты. Плане-
та может быть окружена атмосферой (Земля, Вене-
ра, Юпитер и т. д.), свойства которой надо учесть
при посадке и использовать для торможения кораб-
ля. Если атмосфера отсутствует, например в случае

19-
посадки на Луну, то торможение осуществляется ре-
активным двигателем, тяга которого подбирается по
величине и направлению так, чтобы корабль совер-
шил мягкую посадку. Этот случай наиболее трудный
для посадки. Поверхность планеты, как правило, не
приспособлена для посадки — на ней могут быть не-
ровности, ямы и т. п. Эти обстоятельства предъявля-
ют к управлению посадкой корабля на планеты
сложные требования.
Например, для осуществления посадки на неров-
ную поверхность предложены коленчатые стойки с
Рис. 10. Автоматическое сближение
корабля с космической станцией для
заправки топливом на орбите
(проект)

20
шарнирными сочленениями. В конструкции корабля,
изображенной на рис. 11, предусмотрены четыре
стойки («лапы»), эти стойки и их отдельные звенья
способны перемещаться относительно корпуса кораб-
ля; благодаря этому корабль может стоять верти-
кально, несмотря на неровности местности. Конечно,
с геометрической точки зрения достаточно трех стоек,
так как плоскость определяется тремя точками — в
данном случае точками соприкосновения концов трех
стоек с поверхностью планеты. Однако добавление
четвертой стойки придает кораблю большую устой-
чивость. При посадке на стойки задача системы уп-
равления кораблем заключается в придании звеньям
стоек положений, отвечающих форме участка по-
верхности, на которую они должны опереться.
Серьезной задачей является точное определение
характеристик движения корабля (скорость, высота
и т. д.) относительно планеты при посадке. На осно-
ве’"информации об истинном движении спускающегося
корабля в автоматическом устройстве должны выра-
батываться команды управления аэродинамическими
рулями или тормозным двигателем. Выдающимся
подвигом советской науки и техники явилось осу-
ществление мягкой посадки на Луну космической
станции «Луна-9» в феврале 1966 г.
Управление движением системы спутников. В не-
которых видах совместных полетов нескольких ко-
раблей или спутников возникает задача поддержания
неизменного взаимного расположения кораблей, по-
добно выдерживанию строя самолетов. Такая задача
возникает, например, при осуществлении непрерывно
действующей общемировой системы телевидения с по-
мощью искусственных спутников Земли.
Один спутник, снабженный приемно-передаточны-
ми телевизионными антеннами и устройствами, мо-
жет обеспечить надежный и устойчивый прием теле-
визионных изображений на части поверхности Зем-
ли, охватываемой конусом, показанным на рис. 12
Рис. 11. Корабль, предназначенный
для посадки на неровную поверхность (проект)





23
Рис. 14. Схема приема телеви-
зионного изображения при ис-
пользовании трех спутников
на низкой орбите (области «ра-
диотени» заштрихованы)
(в двух положениях). Очевидно, что части поверхно-
сти Земли, лежащие за линией касания этой поверх-
ности с конусом, «затемнены» по отношению к радио-
волнам, посылаемым со спутника; в этих частях по-
верхности могут приниматься лишь отраженные изо-
бражения и поэтому ослабленные. По этой причине
одного спутника недостаточно для построения всемир-
ной системы телевидения.
Как следует из схемы на рис. 13, всемирную си-
стему телевидения можно осуществить с помощью
трех спутников, обращающихся по общей достаточно
высокой орбите, лежащей в плоскости экватора Зем-
ли. Действительно, излучения, исходящие с таких
трех спутников, покрывают всю поверхность Земли,
за исключением небольших областей около полюсов,
находящихся в «радиотени».
Подчеркнем, что орбита этих трех спутников не
может быть слишком низкой, в противном случае и
при наличии трех спутников, даже расположенных
равномерно на орбите, на Земле возникнут области
«радиотени» (заштрихованы на рис. 14). Наиболее
целесообразной из достаточно высоких орбит оказы-
вается так называемая суточная круговая орбита,
расположенная в плоскости экватора Земли и нахо-
дящаяся на такой высоте над экватором, что период
обращения спутника по этой орбите совпадает с пе-
риодом суточного вращения Земли, т. е. равен 24 час.
Тогда по отношению к Земле такой спутник будет
казаться неподвижным, висящим над одной и той
же точкой экватора. В гл. II будет показано, что вы-

24
сота суточной орбиты над Землей составляет около
36 000 км. Это означает, что спутник будет переда-
вать изображение так, как его передавала бы теле*
визионная антенна, установленная на вершине баш*
ни высотой приблизительно в 36 000 км, построенной
где-либо на экваторе.
Назначение системы телевизионных спутников,
рассчитываемой на годы и десятилетия надежной ра-
боты, обусловливает дополнительные требования к
управляющим ими устройствам. Необходимо прежде
всего обеспечить постоянство положения каждого
спутника над той точкой экватора, над которой он
должен «висеть» согласно заданию. В связи с этим
отметим, что спутник, выведенный на суточную ор-
биту в полном соответствии с заданием, может через
некоторое время сойти с требуемой орбиты, если не
применять средств управления им.
В самом деле, спутник всегда подвергается неко-
торым внешним воздействиям, способным нарушить
предписанное движение. Известно, что солнечные лу-
чи оказывают давление на поверхность тел, освещае-
мую ими. Благодаря этому давлению создается си-
ла, смещающая спутник относительно Земли. Кроме
того, суточный спутник обращается вокруг Земли в
области пространства, где находятся заряженные эле-
ментарные частицы. Взаимодействуя с металлически-
ми частями спутника, заряженные частицы порожда-
ют электростатическую силу, также вызывающую от-
клонение движения спутника от расчетного. Далее,
некоторое влияние на движение спутника оказывает
неравномерность распределения массы Земли по ее
объему. Хотя эта масса распределена приблизитель-
но симметрично относительно экватора, все же сила
притяжения спутника к Земле из-за местных анома-
лий силы тяжести не направлена точно вертикально
вниз. Наконец, удары микрометеоритов также откло-
няют спутник от его орбиты. Сила притяжения спут-
ника Луной также неодинакова в различных точках
орбиты спутника, так как спутник, обращаясь вокруг
Земли, то несколько приближается к Луне, то не-
сколько удаляется от нее.

25
Конечно, все эти силы ничтожно малы по обыч-
ным земным представлениям. Например, сила, созда-
ваемая давлением солнечных лучей, составит меньше
одного миллиграмма, если освещенная солнцем по-
верхность спутника равна 1 лЛ Но эти малые силы,
действуя непрерывно в течение длительного времени
(месяцы и годы), способны заметно увести спутник
от заданного положения по отношению к Земле. По-
этому прежде всего нужно предусмотреть на спутни-
ке вспомогательный двигатель, который в нужные
промежутки времени развивал бы реактивную тягу,
предназначенную для восстановления исходного по-
ложения спутника по отношению к Земле. Так как
возмущающие силы малы, двигатель может быть до-
статочно слабым, т. е. способным развивать лишь не-
большую тягу, порядка нескольких граммов или де-
сятков граммов (порядка нескольких сотых или де-
сятых долей ньютона). Зато от двигателя требуется
способность поддерживать эту слабую тягу в течение
весьма длительных промежутков времени. Таким ус-
ловиям хорошо удовлетворяют ионные двигатели —
двигатели, у которых реактивная струя состоит из
заряженных частиц. Возможен и другой путь: исполь-
зуя двигатель большой тяги, производить время от
времени исправление орбиты спутника. В любом из
этих случаев автоматы спутника должны обнаружить
отклонение спутника от заданного ему положения
над экватором, рассчитать величину, направление и
длительность действия тяги, потребные для исправ-
ления орбиты. Далее, они должны в нужные момен-
ты времени включить двигатели так, чтобы их тяга
действовала в правильном направлении, обеспечивая
восстановление расчетного положения спутника.
Для пользования телевизионными спутниками не
обязательно выводить их на суточную орбиту, яв-
ляющуюся, по ее определению, непременно эквато-
риальной. Для стран, расположенных ближе к одно-
му из полярных кругов, чем к экватору, удобно поль-
зоваться орбитой, наклоненной к экватору. Спутник,
обращаясь по такой орбите, регулярно пролетает над
территорией страны, что улучшает качество изобра-

26
жения. Именно так решена задача телевизионных пе-
редач через космос в СССР с помощью спутников
«Молния».
Изменение орбит космических аппаратов. Многие
научно-исследовательские космические станции долж-
ны обладать способностью изменять свою орбиту для
того, чтобы в нужное время оказываться в областях
пространства, представляющих в это время особый
научный интерес. Прообразом таких станций могут
служить маневрирующие космические аппараты
«Полет». Как известно, эти аппараты имеют специаль-
ные реактивные двигатели, включение которых позво-
ляет изменять направление полета спутника. Изме-
нять направление своего движения могут также ап-
параты, предназначенные для полетов к Луне и пла-
нетам солнечной системы. Так как расстояния до пла-
нет огромны по сравнению с размерами планет, не-
большие ошибки на участке выведения приводят к
значительным отклонениям аппаратов от планеты
назначения. Поэтому в ходе полета необходимо оп-
ределять ошибки движения и совершать корректиру-
ющие маневры, исправляющие эти ошибки. Ось двига-
тельной установки, предназначенной для осуществле-
ния корректирующего маневра космического аппара-
та, должна занимать во время включения установки
строго определенное направление в пространстве.
Отсюда вытекает следующее требование к автома-
тическим системам аппарата: они должны, например,
с помощью вычислительных устройств находить нуж-
ное направление реактивной силы, момент включе-
ния и время работы двигателя. Эти автоматические
системы должны также развернуть аппарат таким
образом, чтобы ось двигателя заняла нужное направ-
ление в пространстве, и включить двигатель в нуж-
ный момент.
Управление работой аппаратуры спутников. Боль-
шие требования предъявляются к бортовым автома-
там научно-исследовательских кораблей и спутников.
Такие спутники снабжены устройством автоматиче-
ского регулирования температуры, что необходимо
для устойчивой работы радиопередатчиков, радио-

27
приемников, научных приборов и автоматов. Темпе-
ратура внутри спутника регулируется, например, с по-
мощью поворотных ставен, прикрывающих или от-
крывающих по мере надобности стенки спутника, че-
рез которые тепло солнечных лучей проникает внутрь
станции. Когда помещения охлаждаются, автомат
приоткрывает ставень, и солнечные лучи нагревают
спутник; если помещения перегреваются — автомат
прикрывает ставень.
Станции снабжены солнечными батареями —
источниками электроэнергии для питания бортовых
автоматов и приборов. Для получения наибольшей
возможной отдачи от этих батарей нужно, чтобы при
всех положениях станции плоскости рабочих пластин
батарей были перпендикулярны направлению солнеч-
ных лучей; бортовые автоматы должны, следователь-
но, развертывать батареи по Солнцу (подобно раз-
вертыванию паруса морского судна по ветру) неза-
висимо от ориентации корпуса станции в простран-
стве. Могут быть и другие конструкции.
Одна из таких научных космических станций, со-
ветская станция «Электрон-1», показана на рис. 15.
Известно, что даже в обычных телевизорах и ра-
диоприемниках подчас необходимо стабилизировать
питающее напряжение. Тем более это необходимо для
правильной работы точнейших измерительных при-
боров станции. Поэтому электрическое напряжение,
вырабатываемое солнечными батареями, подается на
бортовые приборы, как правило, не непосредственно,
а через автоматические стабилизаторы напряжения.
Антенны, сложенные во время выведения станции
на орбиту, нужно по окончании работы двигателей
развернуть в требуемое положение, и это выполняют
автоматические устройства.
Все эти автоматические устройства должны рабо-
тать надежно и точно в течение всего времени рабо-
чего существования станции.
На метеорологических спутниках также устанав-
ливаются различные автоматы, обеспечивающие пра-
вильное действие научных приборов. Помимо автома-
тов, управляющих действием источников питания, ра-

28
диоустройств и т. п.» на метеорологическом спутнике
особое значение имеют автоматы ориентации фото-
приборов, снимающих земную поверхность и облака
под спутником. Очевидно, что для получения наибо-
лее отчетливого изображения поверхности под спут-
ником оптическую ось фотоприбора следует напра-
вить на снимаемый объект (например, бурю на Зем-
ле) и стабилизировать ее в этом положении в полете.
Для этого предусматривается отдельная система
автоматики. Образец снимка срединной области
Рис, 15, Общий вид советской кос-
мической исследовательской станции
«Электрон-1»

2»
бури, снятой с борта спутника, изображен
на рис. 16.
Общий вид метеорологического спутника показан
на рис. 17. Здесь телевизионные приборы 3 жестко
скреплены с корпусом спутника. Поэтому ориентация
оптических осей осуществляется ориентацией самого
спутника. Чтобы подавлять отклонения спутника от
положения, в котором оптические оси «смотрят» пря-
мо вниз (т. е. направлены по местной вертикали), в
конструкции спутника предусмотрены небольшие
вспомогательные реактивные сопла 1.
Но при этом возникает вопрос, каким образом
измерять отклонение спутника от положения, в
котором оси фотоприборов направлены по вертикали»
Одним из средств определения отклонения, широко
используемым на американских спутниках, является
так называемый тепловой (инфракрасный) искатель
горизонта. А именно, к корпусу спутника крепятся
(жестко, как и фотоприборы) чувствительные прибо-
ры— датчики теплового излучения 2, реагирующие
на тепловое излучение, исходящее с поверхности
Земли. Эти датчики построены по принципу фотоэле-
ментов. Ось симметрии каждого датчика устанавли-
вается параллельно оптическим осям фотоприборов.
Датчики обладают способностью измерять мощность
теплового излучения, воспринимаемого ими. Оказы-
вается, что тепловое излучение, исходящее из косми-
ческого пространства, окружающего Землю, намного
слабее излучения, исходящего с поверхности Земли.
Поэтому, как только ось датчика почему-либо откло-
нится от направления местной вертикали, симметрия
теплового потока, воспринимаемого датчиками, на-
рушится: датчики покажут уменьшение притока теп-
ла со стороны, в которую отклонили оси фотоприбо-
ров спутника. Действительно, именно с этой стороны
«поле зрения» датчиков захватит часть пространства
за горизонтом, где излучения слабее. Тогда автомати-
ческие устройства должны отклонить спутник в об-
ратную сторону и тем самым привести его в правиль-
ное положение.
Задачи, решаемые автоматическими устройствами

30
Рис. 16. Снимок
срединной части
бури, снятой с
борта спутника

Рис. 17. Общий вид американского спутника «Нимбос»:
1—вспомогательные реактивные двигатели для управления угловым положением
спутника, 2—инфракрасные искатели горизонта, 3—телевизионный передат-
чик, 4—антенна, 5—пластины солнечных источников энергии

31
космических аппаратов. Обобщая рассмотренные вы*
ше примеры, перечислим возможные виды управле-
ния полетом космических аппаратов:
движение космического корабля по заранее пред-
писанной траектории около некоторой планеты или
в межпланетном пространстве;
определение истинного движения, исправление
ошибок, осуществление поправочного движения и вы-
держивание заданной орбиты космического корабля;
осуществление посадки космического корабля на
Землю или на поверхность другого небесного тела;
сближение космического корабля с естественным
или искусственным небесным телом;
соприкосновение с другим космическим кораблем
для осуществления сборки космической станции;
поворот космического корабля для придания
нужного направления реактивной струе двигателя,
оптической оси фотоаппарата и т. д.;
управление ориентацией отдельных частей аппа-
рата: солнечных батарей — на Солнце, антенн — на
Землю и т. д., независимо от ориентации корпуса ап*
парата.
Кроме того, нужно обеспечить «жизнедеятель-
ность» аппаратуры космического объекта регулиро-
ванием температурного режима, давления, постоян-
ства напряжения и т. д., включение и выключение
различных приборов, радиоаппаратуры и т. д.
§ 2.
Научная постановка
задачи об автомати-
ческом управлении
полетом
Перейдем от описательного повествования об уп-
равлении движением космических кораблей к изло-
жению научной постановки задачи об управлении
полетом этих кораблей. Такой переход требует изве-
стного отвлечения от разобранных выше частных воп-
росов и замены их более общей задачей, охватываю-
щей все частные случаи. В этом мы следуем общему

32
приему научного исследования: обобщая частные,
конкретные явления, находить закономерности, общие
для широкой совокупности явлений.
Переменные величины. Определим некоторые по*
нятия, используемые ниже. Все величины, встречаю*
щиеся в математике, физике, технике и вообще в
естествознании, можно разделить на постоянные и
переменные. Постоянной называется величина, не
изменяющая ‘своего значения с течением времени.
Переменной называется величина, изменяющаяся с
течением времени.
Постоянной величиной является всякое число, на-
пример 1; 3/4; —2,5; л (отношение длины окружно*
з >---------------------
сти к диаметру); у — 17 . Постоянными являются
единицы измерения—-сантиметр, вольт и т. д.; посто-
янное значение сохраняют многие физические величи-
ны— скорость распространения света в пустоте
(около 300 000 км/сек), ускорение силы тяжести в
данной точке земной поверхности, значение первой
космической скорости на данной высоте над уровнем
моря и т. п.
К числу переменных величин относится, напри-
мер, скорость всякого тела, которое, свободно падает
в пустоте вблизи поверхности Земли; она возрастает
пропорционально времени падения. Обозначим ско-
рость падения через v, время — через t, а ускорение
силы тяжести — через g. Тогда последнее утвержде-
ние записывается в виде
v = v0 + gt,	(2.1)
где у0 — начальная скорость, т. е. скорость тела в
момент начала отсчета времени падения (когда
/ = 0); £^9,81 м/сек2. Скорость v возрастает со вре-
менем, и поэтому она является величиной переменной.
Переменным является и расстояние от ракеты, ле-
тящей к Луне, до поверхности Луны. Если ракета по-
падает на Луну, то это расстояние становится равным
нулю и остается нулем и впредь.
Читатель без труда приведет и другие примеры
переменных величин.

33
Когда необходимо подчеркнуть, что некоторая ве-
личина— переменная, условимся ставить вслед за ма-
тематическим обозначением этой величины круглые
скобки с буквой t (время) внутри. Пусть переменная
величина обозначена, например, через х\ тогда напи-
шем, что х = х(/). Эта запись читается так: величина
х зависит от времени, т. е. может изменяться со вре-
менем, принимать различные значения в различные
моменты времени. Запись x(t) еще не указывает, ка-
ким именно образом меняется величина х, не задает
значений величины х в определенные моменты вре-
мени. Эта запись имеет лишь качественный харак-
тер; она указывает только на то, что величина х —
переменная, т. е. что она способна изменяться со вре-
менем, но не определяет насколько. Чтобы описать
изменение переменной величины количественно, нуж-
но задать соотношение между переменной величиной
и временем. Например, для случая свободного паде-
ния тела в пустоте у поверхности Земли запись
v = v(t) означает лишь, что скорость v падения со
временем изменяется. О том, каким именно образом
она изменяется, свидетельствует соотношение (2.1):
оно определяет значение скорости v, находя-
щейся в левой части соотношения, для каждого
момента времени t, входящего в правую часть
соотношения.
Заметим, что всякую постоянную величину можно
рассматривать как частный случай переменной ве-
личины: постоянная величина — это переменная ве-
личина, изменение которой за любой промежуток вре-
мени равно нулю.
Закон движения точки на плоскости и в простран-
стве. С помощью понятия переменной величины вве-
дем важное физическое определение — определение
закона движения точки. Законом движения точки на-
зывается зависимость, определяющая положение точ-
ки, движущейся в пространстве в каждый момент
времени. Пусть, например, ракета поднимается вер-
тикально вверх над пусковым столом. Тогда ее вы-
сота над поверхностью Земли, т. е. над этим столом,
возрастает по мере движения. Если нас интересует

34
только изменение высоты ракеты, зависимость, опре-
деляющая высоту h ракеты от времени, является за-
коном ее движения. Если бы ракета поднималась рав-
номерно ускоренно по отношению к Земле с некото-
рым ускорением а, то закон движения определялся
бы выражением, известным из школьного курса
физики:
, at*
Космическая ракета, достигнув заданной высоты,
переходит на полет по дуге, как изображено на рис. 2.
В этом полете закон движения по отношению к Зем-
ле уже нельзя определить описанием изменения од-
ной лишь высоты над Землей. При вертикальном
подъеме изменение высоты ракеты полностью опре-
делило ее движение по той причине, что движение
точки по прямой полностью определяется изменением
одной координаты — текущего расстояния точки от ее
начального положения (от пускового стола в случае
подъема ракеты, т. е. от точки Ао на рис. 2).
Когда точка (обозначим ее буквой Л4) движется
по плоскости, то ее положение в каждый момент
времени определяется двумя числами. Эти числа на-
зываются координатами точки. В качестве координат
можно выбрать расстояния х и у от начала коорди-
нат О до проекций точки М на одноименные
оси координат (рис. 18). Можно выбрать координаты
точки на плоскости и иначе: задать расстояние R от
начала координат О до точки М и угол 0, образуе-
мый прямой ОМ с осью Ох\ угол 0 условимся отсчи-
тывать в направлении, противоположном движению
часовой стрелки (рис. 18). Оба способа задания по-
ложения точки на плоскости равноправны. Действи-
тельно,
х = R cos 0, r/ = /?sin0,	(2.2)
Я = ]/\2 + у2

35
в любой момент времени. Для описания плоского дви-
жения ракеты нужно, таким образом, задать закон
изменения двух переменных величин x(t) и y(t) или
/?(/) и 0(0.
В пространстве положение точки задается уже
тремя координатами, например X, У, Z или расстоя-
нием точки от начала координат R и двумя углами
X и ф (рис. 19). Угол ф представляет собой угол меж-
ду направлением ОМ на точку М и проекцией ОМ'
прямой ОМ на плоскость xOz. Угол ф принято счи*
тать положительным, когда точка М находится над
плоскостью xOz для наблюдателя, расположившего-
ся на положительном конце оси у. Как и
в случае плоского движения, в пространственном
движении x = x(t), y=y(t), z = z(t) и R = R(t),
Х=Х(/), ф=ф(0-
Тройки координат х, у, z и R, X, ф равноправны,
т. е. задание координат R, X, ф определяет и коорди*

36
наты х, у, z в соответствующий момент времени, а
задание последних трех координат определяет рас-
стояние 7? и тригонометрические функции от углов
Z и ф. В самом деле, по определению проекции точ-
ки на прямую и проекции точки на плоскость углы
ОМКМГ и ММ'О на рис. 19 — прямые. Следовательно,
треугольник OWM. — прямоугольный; тогда
(ОЛТ) = R cos ф.
Треугольники OMJW и ОМУМ — также прямоуголь-
ные, поэтому z = (ОЛТ) cos X, х= (OM')sin Л, а у =
= /?sin ср. Следовательно,
х = Я cos фэшХ, г/ = 7?Б1пф, z —cos ф cos X. (2.3)
Итак, зная координаты R, X, ф движущейся точки
в какой-либо момент времени, можно подсчитать ее
координаты х, у, z в тот же момент времени. Наобо-
рот, пусть даны координаты х, у, z. По теореме Пи-
фагора R2= (OM')2 + f/2. Но (ОЛГ)2 = х2 + г2 и R2 =
= х2 + у2 + г2. Далее, поделим почленно первое и
третье равенство (2.3), получим: x/z = sin л/cos л.
Разрешим второе соотношение (2.3) относительно
БШф. В итоге придем к равенствам:
R =	tg% = -у.
Таким образом, для того чтобы описать движение
точки в пространстве, необходимо задать три функ-
ции времени, например %(/), #(/), г(/) или /?(/), МО,
Ф(/).
Системы координат, применяемые в механике
полета. Координатами R, л, ф удобно, например,
пользоваться при определении закона движения ра-
кеты с помощью радиолокатора. В этом случае на-

37
Рис. 20. Горизонтальная систе-
ма координат
чало О системы координат помещают в месте распо-
ложения радиолокационной установки, ось у направ-
ляют в зенит, а оси к и z в плоскости горизонта так,
чтобы ось z была направлена на юг. Такая система
координат называется горизонтальной, или топоцент-
рической (от греческого слова «топос»—место).
В горизонтальной системе координат угол X (рис.19)
называется азимутом, а угол ф— углом возвышения
точки Л1. Азимут показывает направление на точку
М в плоскости горизонта, угол возвышения — высоту
точки М над плоскостью горизонта. Если угол возвы-
шения равен 90°, то азимут неопределен.
Если радиолокационная установка «захватила»
ракету, изображаемую точкой М, то ось ее антенны
направлена прямо на ракету (рис. 20). Поэтому для
определения закона движения ракеты удобно наблю-
дать изменение во времени азимута X(Z) и угла воз-
вышения ф(/) оси антенн. Для измерения углов при-
меняются приборы, выполненные на основе обычного
угломера, но, конечно, более точные и более слож-
ные. Оставшаяся координата — расстояние 7?(/) до
ракеты, определяется радиотехническим способом,
путем измерения времени между посылкой радиосиг-
нала и возвращением сигнала, отраженного от ра-
кеты.
Для описания движения спутника или дальней
космической ракеты относительно Земли удобно ис-
пользовать экваториальную геоцентрическую (от
греческого слова «гео» — земля) систему координат.
Начало этой системы расположено в центре Земли,
ось Оу проведена по оси мира (оси вращения Зем-

38
Рис. 21. Экваториальная систе-
ма координат
ли), а оси Ох и Oz лежат в плоскости экватора
(рис. 21). Если экваториальная система координат
неподвижна относительно Земли, то угол <р есть ши-
рота, а угол X — долгота точки М относительно мери-
диана, проходящего через ось г. Обычно в качестве
такого нулевого меридиана принимается меридиан
пригорода Лондона — Гринвича, где расположена од-
на из старейших обсерваторий мира. Такая система
координат называется гринвичской системой коорди-
нат. Гринвичская система вращается вместе с Зем-
лей относительно звезд.
Экваториальная система координат, оси которой
неподвижны относительно звезд, называется абсолют-
ной экваториальной системой координат. Смысл это-
го названия станет ясным в следующей главе. На-
чало отсчета угла X — ось z в наших обозначениях —
в абсолютной экваториальной системе направляется
в ту точку небесной сферы, в которой видно Солнце
в гринвичский полдень дня весеннего равноденствия.
В этом случае угол X называется прямым восхожде-
нием, а угол <р — склонением точки М. Эти углы ши-
роко применяются в астрономии для описания место-
положения и движения светил. Их удобно применять
и для описания движения спутника или космической
ракеты по небесной сфере.
Материальная точка. Траектория материальной
точки. Определив основные системы координат, ис-
пользуемые в механике космических полетов, введем

39
основополагающие понятия материальной точки и
траектории точки.
Точкой в геометрии называется объект, не имею-
щий размеров (так же, как плоскость не имеет тол-
щины, а линия — толщины и ширины). Точка опре-
деляется лишь ее положением в пространстве, т. е.
ее координатами в некоторой системе координат.
В механике точке приписывается еще одна характе-
ризующая ее величина — масса. Точка, обладающая
массой, называется материальной точкой или мате-
риальной частицей. Научная абстракция часто позво-
ляет заменять исследуемое тело совокупностью ма-
териальных точек, известным образом расположен-
ных друг относительно друга, или даже просто одной
материальной точкой с массой, равной массе тела.
Последняя абстракция возможна в случае, когда раз-
меры тела и его ориентация не оказывают влияния
на движение. Например, в небесной механике, зани-
мающейся изучением движения планет и других тел
солнечной системы, и Солнце, и планеты, и другие
более мелкие тела предполагаются в большинстве
случаев материальными частицами.
Траекторией движущейся материальной частицы
называется совокупность точек пространства, после-
довательно проходимых частицей в ее движении. При
этом вид траектории, так же как и закон движения,
зависит от системы координат. Пусть, например, си-
стема координат связана с Землей. Тогда траекто-
рией ракеты, 'поднимающейся вертикально вверх, бу-
дет вертикальная прямая; именно так представит се-
бе эту траекторию наблюдатель на земной поверхно-
сти. Но по отношению к системе координат, связан-
ной со звездами, эта траектория будет выглядеть ина-
че: наблюдатель, глядящий на Землю со звезд, бу-
дет видеть, и как Земля обращается вокруг Солнца
(точнее, вокруг центра тяжести солнечной системы),
и как она совершает суточное вращение; траектория
поднимающейся ракеты ему представится сложной
кривой, отражающей как подъем ракеты относитель-
но Земли, так и движение Земли. Поэтому при за-
дании закона движения или траектории полета всег-

40
да надо указывать систему координат, по отношению
к которой рассматривается движение.
Фазовое пространство и фазовая траектория. Вве-
дем далее понятия фазового пространства и фазовой
траектории. Выше мы убедились, что для полного
описания движения корабля нужно задать соответст-
вующее число величин, каждая из которых характе-
ризует отдельное свойство движения (например, ско-
рость полета, расстояние до центра Земли, азимут
и т. п.). Число этих величин зависит от того, что по-
нимается под описываемым движением корабля.
В теории регулирования под движением понимается
всякое изменение состояния регулируемого объекта
с течением времени. Если речь идет о механическом
движении материальной точки, то, как уже говори-
лось, движение полностью определяется тремя функ-
циями времени, например тремя координатами %(/),
z/(f), z(/) в выбранной системе координат. При опи-
сании механического движения твердого тела следует
задать еще три функции времени, определяющие ори-
ентацию тела (три угла) в выбранной системе коор-
динат. Вместо того чтобы задавать функции времени,
можно задавать определенное число параметров,
позволяющих вычислять эти функции времени, поль-
зуясь законами механики. Например, вместо функций
%(/), z/(f), 2(f), определяющих механическое движе-
ние точки, можно в некоторый момент времени за-
дать координаты точки и параметры, определяющие
все силы, действующие на материальную точку в за-
висимости от ее положения, скорости и времени. Это-
го достаточно, чтобы (в крайнем случае с помощью
вычислительной машины) вычислить закон движения
исследуемой точки и ее траекторию.
В более общем случае движения рассматривается
изменение с течением времени не только положения
и ориентации корабля в пространстве, но и других
его характеристик, например температуры, давле-
ния, характеристик системы электропитания и т. п.
К перечисленным выше определяющим параметрам
следует добавить параметры, характеризующие состо-
яние корабля с указанных точек зрения.

41
Рис. 22. Пример фазовой плос-
кости
Фазовая
Т/ траектория
] Давление
Каждый из параметров, определяющих движение,
может изменяться независимо от остальных пара-
метров. Состояние корабля в каждый момент време-
ни определяется значениями указанных параметров
в этот момент времени.
Если таких параметров только два (высота и ско-
рость корабля при вертикальном подъеме или темпе-
ратура и давление внутри корабля), то все их воз-
можные значения образуют пространство двух изме-
рений, которые можно изобразить в прямоугольной
системе координат на плоскости (рис. 22). Тогда
каждому состоянию корабля в определенный момент
времени соответствует положение некоторой точки
в этой системе координат, а всему движению кораб-
ля — траектория в этой системе координат. Аналогич-
но— трем определяющим параметрам соответствуют
точка и траектория в трехмерном пространстве, четы-
рем — в четырехмерном * и т. д. Такое пространство
определяющих параметров называется в теории регу-
лирования фазовым пространством. Иными словами,
состояние объекта есть точка в фазовом пространст-
ве, а изменение состояния с течением времени описы-
вается движением точки в фазовом пространстве по
некоторой траектории. Этот прием позволяет свести
все виды движения к одному — перемещению точки в
фазовом пространстве. Так очень древняя наука меха-
* Четырехмерное пространство основано на системе коорди-
нат, имеющей четыре взаимно перпендикулярные оси (например,
х, у, z, и). Такое пространство трудно представить, но математи-
чески описать так же легко, как двухмерное и трехмерное. По-
добным образом определяются и пространства большей размер-
ности— пятимерное и т. д.

42
ника стала служить и весьма молодой дисциплине —
теории автоматического регулирования.
Управляемая величина. Управляющая величина.
Управляющей величиной называется всякая величи-
на, воздействием на которую можно влиять на дви-
жение корабля в широком смысле. Это определение
позволяет отвлечься от конкретных величин, опреде-
ляющих движение; оно подчеркивает основное свой-
ство управляющей величины: способность влиять на
траекторию в фазовом пространстве.
Управляемой величиной называется именно та
величина, заданное изменение которой в процессе
движения и служит целью управления. Иными слова-
ми, управляемой величиной может быть любая фа-
зовая переменная, изменяемая воздействием управ-
ляющих величин и наблюдаемая путем непосредст-
венных измерений или измерений других величин с
последующими вычислениями. Последнее требование
вытекает из того факта, что нельзя управлять тем,
о чем ничего не известно: «Информация — основа ор-
ганизации»,— говорил создатель кибернетики, зна-
менитый американский математик Н. Винер. Физи-
ческая природа управляемой величины не ограничи-
вается. Управляемой величиной могут быть расстоя-
ние космического корабля от Земли, его скорость по
отношению к Земле или по отношению к другому не-
бесному телу, температура, ориентация корабля, на-
пряжение в системе электропитания и т. д.
Возмущенное движение корабля. Установим те-
перь понятие возмущенного движения корабля. Обыч-
но в механике возмущенным движением называется
всякое движение, отличающееся от заранее предпо-
лагаемого. Мы сделаем это определение более
конкретным, будем называть движение корабля
в фазовом пространстве возмущенным, если оно
протекает с отклонением от заданного движения,
поддерживаемого системой управления. Приведем
примеры:
пусть корабль на начальном участке вывода на
орбиту должен подниматься вертикально (участок
AqA на рис. 2). Если в действительности корабль в

43
какой-то момент подъема отклонился от вертикали,
то с этого момента его движение является возмущен-
ным. Задача системы управления состоит в том, что-
бы подавить едва наметившееся возмущение, т. е.
восстановить требуемое движение корабля — подъем
по вертикали, проходящей через пусковой стол раке-
ты— носителя корабля;
пусть требуется, чтобы корабль не только подни-
мался вертикально вверх над пусковым столом раке-
ты-носителя, но также двигался вдоль этой вертика-
ли по предписанному закону. Это означает, что за-
дана также и скорость подъема корабля относительно
Земли. Движение корабля будет возмущенным, если,
как и в предыдущем примере, корабль сойдет с за-
данной вертикали. Однако не только в этом случае
движение окажется возмущенным также и тогда, ког-
да корабль, поднимаясь строго по вертикали, будет
иметь начиная с некоторого момента времени ско-
рость, отличную от предписанной (расчетной) для
этого момента. Система управления должна изме-
нить скорость подъема так, чтобы восстановить за-
данный закон полета.
Если спутник вышел на орбиту, отличную от рас-
четной, его движение является возмущенным. Авто-
маты управления полетом должны изменить движе-
ние спутника так, чтобы перевести его с исходной ор-
биты на расчетную орбиту.
Пусть космический корабль предназначен для ки-
носъемки заданного участка поверхности какой-либо
планеты. Если он летит так, что в момент, когда оп-
тическая ось киноаппарата уже должна проходить
через заданную точку поверхности планеты, эта ось
в действительности отклонена от соответствующего
направления, полет является возмущенным. Тогда
автоматы должны развернуть оптическую ось в нуж-
ную сторону. Если киноаппарат жестко укреплен на
корпусе корабля, для этого нужно развернуть весь
корабль. Если киноаппарат подвешен к кораблю с
помощью подвижных рычагов, то достаточно нуж-
ным образом повернуть эти рычаги относительно кор-
пуса корабля.

44
Рассогласование по управляемой величине. Нако-
нец, введем еще одно важное понятие — рассогласо-
вание по управляемой величине. Рассогласованием
(по данной управляемой величине) называется раз-
ность между предписанным значением управляемой
величины в данный момент времени и действитель-
ным ее значением в этот же момент времени. Вели-
чина рассогласования может изменяться со време-
нем; поэтому в общем случае рассогласование — пере-
менная величина.
Пусть, например, спутник выведен на круговую
орбиту заданного радиуса, но плоскость орбиты ока-
залась наклоненной к экватору под углом г = 89°30Л
вместо угла /о = 9О°, который задан по условию (орби-
та, плоскость которой перпендикулярна экватору, на-
зывается полярной). Тогда начальное значение рас-
согласования равно z’o—г = 30'. Если система управ-
ления исправит наклонение орбиты и спутник начнет
обращаться по полярной орбите, то его движение пе-
рестанет быть возмущенным, а рассогласование об-
ратится в нуль.
Математическая постановка задачи автоматиче-
ского управления. Используем введенные понятия
для математической постановки задачи об автомати-
ческом управлении полетом. Заданное движение или
состояние систем космического корабля может быть
изображено в виде закона движения или просто по-
ложения точки в фазовом пространстве управляемых
переменных. Истинное возмущенное движение или
состояние корабля также описывается законом дви-
жения точки в фазовом пространстве тех же перемен-
ных. Задачей системы автоматического управления
является перевод этой точки либо на заданную тра-
екторию, либо в заданную точку в фазовом прост-
ранстве.
Такой перевод может быть осуществлен, вообще
говоря, многими способами. Желательно из всех воз-
можных способов управления выбрать один — наи-
более выгодный (оптимальный) в том или ином
смысле. Например, в теории автоматического регу-
лирования рассматриваются управления, наивыгод-

45
нейшие по быстродействию (т. е. наиболее быстрые
переходы к заданному движению от возмущенного),
наилучшие по расходу энергии, наилучшие по точно-
сти управления и т. п. Методы решения математиче-
ской задачи о наивыгоднейшем управлении состав-
ляют различные главы высшей математики (вариа-
ционное исчисление, теория операций, теория случай-
ных функций и т. п.) и в настоящей книге не рассмат-
риваются.
Строение системы управления космического ко-
рабля. Таким образом, суть автоматического уп-
равления космическим кораблем заключается в сле-
дующем: космическому кораблю предписывается оп-
ределенное движение, задаваемое математически в
виде зависимостей, связывающих фазовые координа-
ты корабля и время движения. В результате различ-
ного рода причин фазовая траектория космического
корабля будет возмущенной. Заранее предполагает-
ся, что имеются управляющие величины, т. е. имеет-
ся возможность изменять некоторые фазовые пере-
менные с целью управления движением, — в против-
ном случае задача об автоматическом управлении не
имела бы смысла. Такими управляющими величина-
ми на космическом корабле могут быть величина тя-
ги, угол поворота аэродинамического руля, степень
раскрытия ставня системы регулирования темпера-
туры и т. п.
Поведение объекта регулирования — в данном
случае космического корабля — зависит от истинных
значений управляющих величин. Если задать значе-
ния управляющих параметров (как функции време-
ни) в предположении, что движение будет невозму-
щенным, то под действием различных возмущений
траектория такого космического корабля может от-
личаться от заданной. Такие системы управления,
называемые разомкнутыми системами управления,
применяются в случаях, когда не требуются высокие
точности регулирования или когда возмущения малы.
В общем случае автоматического управления
строится замкнутая система управления, в которой
значения управляющих воздействий зависят от рас-

46
в<
Рис. 23. Примерная схема
автоматического управления
кораблем
согласования выбранных для отслеживания управ-
ляемых величин.
Пусть, например, на борту корабля стоит автопи-
лот, который должен обеспечить заданное изменение
угла наклона оси корабля к горизонту, высоты и ско-
рости движения корабля. Тогда система управления
работает следующим образом. Измерительное устрой-
ство автопилота измеряет истинные значения управ-
ляемых величин в ходе полета. Эти значения автома-
тически сравниваются с заданными значениями уп-
равляемых величин, соответствующими моменту из-
мерения. В итоге вырабатываются рассогласования,
т. е. отклонения истинных (возмущенных) значений
управляемых величин от их требуемых значений.
Оценив отклонение движения от требуемого, автопи-
лот, изменяя управляющие величины, воздействует
на движение корабля так, чтобы обратить рассогла-
сования в нуль и тем самым уничтожить отклонения
движения от предписанного. Практически автоматы
не обращают рассогласования в нуль точно, а умень-
шают их до небольшой величины, допускаемой тех-
ническими условиями.
Примерная схема автоматического управления
кораблем приведена на рис. 23. Через хь х2 и х3
обозначены управляемые величины. Число управляе-
мых величин может быть любым в зависимости от
назначения полета и способа управления им. Здесь
для определенности это число принято равным трем,
например — угол наклона ракеты к горизонту,
х2 — высота ракеты и х3— скорость ракеты. Фигура

47
Рис. 24. Общая схема автопилота
космического корабля
в прямоугольнике условно изображает ракету. Из
прямоугольника вправо выходят стрелки с пометка'
ми X], х2, х3; они символически обозначают истинные
значения управляемых величин. Линии Д1В1С1,
Л2В2С2, Л3В3С3, замыкающие так называемый «кон-
тур управления», называются обратными связями.
Название объясняется тем, что по линиям Л1В1С1
сигналы о состоянии управляемых величин проходят
в направлении от места образования управляемых
величин к'месту их измерения; это направление —
обратное по отношению к направлению прохождения
управляющих сигналов.
Кружками на схеме обозначены измерительные
устройства автопилота. Они производят в каждый
момент времени измерение текущих (истинных) зна-
чений управляемых величин и сравнивают последние
со значениями Х2, Х3, которые управляемые ве-
личины должны принимать в тот же момент време-
ни по расчету. Разности этих значений и представ-
ляют собой рассогласования.
На рисунке 23 от измерителей выходят стрелки
вправо и упираются в квадрат с условным изобра-
жением корабля. Эти стрелки схематически обозна-
чают передачу сведений об отклонении полета от
требуемого течения на устройства автопилота, кото-
рые воздействуют на движение корабля и возвраща-
ют его к расчетному движению. Если корабль дви-
жется правильно, то все рассогласования равны ну-
лю, и изменять течение полета не следует. Например,
если при задании строго вертикального подъема от-
клонение направления движения от вертикали равно
нулю, то автопилот бездействует — надобности в его
вмешательстве нет.
Итак, автопилот космического корабля выполняет
различные действия — производит измерения, пере-

48
дает данные об измеренных величинах и выправляет
движение корабля. Каждое из таких действий тре-
бует включения в состав автопилота определенных
узлов и звеньев. Поэтому автопилот представляет
собой совокупность инженерных узлов различного
назначения. Общая схема автопилота изображена на
рис. 24.
Сечение крыла самолета изображает управляю-
щее устройство, непосредственно воздействующее на
полет путем приложения к космическому кораблю
определенной силы. Устройства, непосредственно при-
лагающие силы к кораблю, называют силовыми уст-
ройствами (обозначение в виде сечения крыла выбра-
но по той причине, что в обычных самолетах силовые
устройства выполняются преимущественно в виде
воздушных рулей, представляющих собой небольшие
подвижные крылья). Таким устройством может быть
отдельный реактивный двигатель, способный повора-
чиваться относительно корабля и тем воздействовать
на направление полета корабля. Шестерня условно
обозначает механизм, служащий для непосредствен-
ного управления работой силового устройства; этот
механизм называется исполнительным приводом ав-
топилота. Исполнительный привод, по существу,
представляет собой некоторый двигатель, работаю-
щий либо за счет энергии реактивных двигателей ко-
рабля, либо за счет энергии, запасенной на борту
корабля в виде электрических батарей, сжатого
воздуха и т. п., либо за счет получения внеш-
ней энергии, например от солнечных батарей
корабля.
Знаком < обозначен усилитель. Назначение уси-
лителя вытекает из следующих обстоятельств. Изме-
рительные устройства автопилота обычно бывают
маломощными. Как правило, рассогласование на вы-
ходе измерителя физически осуществляется в виде
электрического напряжения, пропорционального из-
меряемому рассогласованию. Электрическое напря-
жение в измерительных приборах обычно мало и не
превышает десятков милливольт. Поэтому мощность,
развиваемая в системах измерения рассогласования,

49
недостаточна для включения исполнительного при-
вода. Например, стрелка барометрического указате-
ля высоты самолета не может непосредственно при-
вести в движение шасси (убрать или выпустить),
а только дает соответствующий сигнал. Поэтому в
цепи автопилота между измерителем и исполнитель-
ным приводом приходится вводить усилитель, также
работающий за счет энергии, запасенной на борту
корабля, или черпающий ее от солнечных батарей*.
Усилитель повышает мощность выходного тока
измерителя до величины, достаточной для срабатыва-
ния пусковых устройств исполнительного привода.
Усилители и исполнительные приводы очень ши-
роко распространены и в «земной» технике, а физи-
ческие основы действия усилителей и приводов косми-
ческих кораблей не отличаются от физических основ
действия обычных промышленных усилителей и при-
водов. Наоборот, измерительные и силовые устройст-
ва космических кораблей появились в основном в свя-
зи с потребностями космической техники. Поэтому из
перечисленных главных узлов автопилотов, ниже мы
подробно рассмотрим именно силовые устройства и
измерители.
Подводя итог, отметим, что задача об автоматиче-
ском управлении космическими кораблями включает
в себя: исследования общих свойств движения в кос-
мическом пространстве, позволяющие понять свойст-
ва фазового пространства и оценить возможные воз-
мущения; исследования возможных принципов пост-
роения силовых и измерительных элементов систем
автоматического управления в космосе; исследование
возможных схем систем автоматического управления
космическим кораблем.
* Регуляторы с усилителями, использующие внешние источ-
ники энергии, называются регуляторами непрямого действия, в
•отличие от регуляторов прямого действия, использующих лишь
энергию, передаваемую от объекта регулирования к чувствитель-
ному элементу. Примером регулятора прямого действия может
служить поплавковый регулятор уровня топлива в карбюраторе
бензинового двигателя.

50
Управление космическим кораблем в конечном
счете сводится к управлению силами, действующими
на корабль или отдельные его части. Поэтому задача
управления космическим кораблем является прежде
всего задачей механики, так как механика является
наукой о движении тел, и именно она устанавливает
связь между силами, приложенными к телу, и его
движением. Следующая глава содержит изложение
основ механики полета. Подготовленный читатель мо-
жет опустить ее без ущерба для понимания после-
дующего материала.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ДВИЖЕНИЯ И УСТРОЙСТВ
УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕС-
КИХ КОРАБЛЕЙ
§ 3.
Исходные положения
механики полета
Всякое перемещение механической системы совер-
шается во времени и в пространстве. Свойства дви-
жения механических систем определяются на основа-
нии законов механики. Поэтому и процесс управле-
ния полетом, как процесс придания движению лета-
тельного аппарата заранее заданных свойств, осно-
вывается на законах механики.
Решение задачи об управлении полетом требует,
как это принято в механике, определения объекта
управления (в частности, космического корабля) как
механического объекта, выбора удобной системы от-
счета, по отношению к которой рассматривается пе-
ремещение объекта управления, и установления спо-
собов использования законов механики для осу-
ществления управляемого полета.

52
Рис. 25,а. Общая схема
космического корабля
Механическая модель кос-
мического корабля. Современ-
ные летательные аппараты и в
особенности космические ко-
рабли представляют собой
сложную совокупность разно-
образных физических тел: кор-
пуса, различных двигателей и
насосов, пластин солнечных
источников энергии, подвиж-
ных узлов приборов и указа-
телей, отделяемых частей кон-
струкции (например, топлив-
ных баков, тормозных двига-
телей), посадочных оснований
(шасси), масс сжатого воздуха, охлаждающих ве-
ществ, запасов жидкого горючего и окислителя,
устройств управления, телескопов и фотоприборов,
антенн радиоустройств, парашютов и т. д. В полете
эти части летательного аппарата по мере надобности
перемещаются одни относительно других; тем самым
вид механической системы, образующей летательный
аппарат, с течением времени изменяется. Следова-
тельно, движение какой-либо составной части аппара-
та, рассматриваемое по отношению к некоторому
внешнему телу (например, Земле), в общем случае
отличается от движения других составных частей ап-
парата по отношению к этому же телу. Поэтому
прежде всего следует условиться о том, что назы-
вается движением летательного аппарата. Для этого,
в свою очередь, нужно определить механический
смысл понятия «летательный аппарат», т. е. устано-
вить так называемую механическую модель летатель-
ного аппарата.
Из приведенного состава космического корабля
следует возможность описания корабля как системы
параллельных цепей последовательно соединенных
твердых тел, несущих жидкие и газообразные массы,
Рис. 25,6. Общий вид первого французского спутника



54
схематически показанной на рис. 25,а. К основному
телу, называемому ниже твердым телом О, например
корпусу космического корабля, присоединяется твер-
дое тело 1 первой цепи так, что это тело может со-
вершать определенные перемещения по отношению к
телу О. К телу 1 присоединяется твердое тело 2 так,
что оно может определенным образом перемещаться
по отношению к телу Д Этот процесс продолжается
П\ раз; в итоге первая цепь оказывается состоящей
из Hi-го твердого тела, причем каждое последующее
тело может некоторым образом двигаться относи-
тельно предыдущего.
Подобным же образом к основному телу присое-
диняется независимо от тел первой цепи твердое те-
ло 1 второй цепи, состоящей из п2 твердых тел. И в
этой цепи каждое последующее тело имеет возмож-
ность нужным образом передвигаться по отношению
к предыдущему. Таким же способом образуются
третья, четвертая, ..., s-ая цепи: в любой цепи
всякое тело обладает способностью определенным
образом перемещаться по отношению к предыдущему
телу.
В качестве примера на рис. 25,6 показан спутник,
снабженный четырьмя пластинами солнечного источ-
ника энергии и антеннами. Если эти пластины и ан-
тенны можно поворачивать относительно корпуса
спутника, то спутник представляет собой совокуп-
ность тел, способных перемещаться одно относитель-
но другого.
На рис. 25,в изображен спутник «Пегас», предназ-
наченный для измерения плотности потоков микроме-
теоритов в околоземном пространстве. С этой целью
спутник снабжен длинным крылом; удары метеори-
тов по крылу отмечаются и подсчитываются с по-
мощью электронной системы, а итоги измерения пе-
редаются на Землю по радио. Спутник выводится на
орбиту в положении 1 — крыло сложено. По радио-
сигналу с Земли вспомогательные механизмы раскры-
вают крыло (положения 2 и 3). Положение 4 соот-
ветствует окончательному виду спутника — крыло
полностью раскрыто. Пластины, образующие крыло,

55
представляют собой подвижные тела, отвечающие
общей схеме на рис. 25,а.
Механическая модель, приведенная на рис. 25,а,
пригодна для описания летательного аппарата, со-
стоящего лишь из твердых тел. В более общем слу-
чае можно принять, что твердые тела, составляющие
аппарат, содержат также жидкие и газообразные
массы. При этом количество вещества, заключенного
в исходном габаритном объеме аппарата, может с те-
чением времени изменяться. Оно уменьшается за счет
отбрасывания частей конструкции (ступеней ракеты,
колпаков-обтекателей); истечения газовых струй, вы-
брасываемых реактивными двигателями, или истече-
ния сжатого газа из баллонов, находящихся на бор-
ту корабля; из-за уноса вещества с поверхности ап-
Рис. 25,в. Схема раскрытия крыла
спутника «Пегас»

56
парата, разогреваемой при движении его в атмосфе-
ре со скоростью, близкой к космической.
Оно увеличивается за счет возможного нагнета-
ния воздуха во внутренние части корабля при полете
в атмосфере, соединения с другими искусственными
космическими телами, прилипания заряженных ча-
стиц к кораблю.
Для описания кораблей, содержащих помимо
твердых тел жидкие и газообразные вещества, мож-
но сохранить механическую модель, показанную на
рис. 25,«, при условии, что: 1) твердые тела имеют
полости, содержащие жидкости и газы. Эти полости
могут быть замкнутыми (топливный бак до открытия
трубопроводов -в камеру сгорания) или сообщающи-
мися с наружным inpocTpaiHCTBOM (бак после откры-
тия упомянутых трубопроводов, сопло реактивного
двигателя); 2) некоторые из тел могут отделяться от
системы.
Наконец, в действительных условиях тела системы
не являются жесткими, а способны деформироваться
под влиянием нагрузки. Например, продольная ось
корпуса ракеты в полете при работающем двигателе
совершает изгибные колебания, подобные поперечным
колебаниям натянутой струны после удара по ней
молоточком. Следовательно, достаточно общая меха-
ническая модель летательного аппарата представляет
собой совокупность деформируемых тел, соединенных
по схеме, представленной на рис. 25,а, причем каждое
из этих тел может содержать жидкие и газообразные
вещества и в некоторые моменты времени отделяться
от остальной системы.
Выбор конкретного вида механической модели ле-
тательного аппарата зависит от цели расчета или
исследования, в котором аппарат заменяется мо-
делью. Единой модели, пригодной для любого иссле-
дования, не существует, точнее — такой моделью яв-
ляется только само изделие в натуре со всей беско-
нечно сложной совокупностью механических, физиче-
ских, химических и, может быть, иных явлений, при-
сущих веществу. Без отвлечения от явлений, второ-
степенных или несущественных для данной задачи,

57
невозможно выполнить никакое исследование. Поэто-
му в конкретном расчете действительный космиче-
ский корабль заменяется его упрощенной схемой,
т. е. моделью, сохраняющей главные черты интере-
сующего нас процесса. Так, при расчете траектории
полета космического корабля последний иногда мож-
но заменять материальной частицей, совпадающей
с его центром тяжести и имеющей массу, равную мас-
се корабля; корабль сводится к телу, рассматривае-
мому как материальная точка.
При разработке системы управления ориентацией
тормозного двигателя возвращаемого корабля-спут-
ника материальная частица уже не может служить
механической моделью корабля. Действительно, для
точки понятие ориентации не имеет смысла. В дан-
ной задаче в качестве модели нужно выбрать уже
целое тело.
В задаче об обеспечении заданного разворота ко-
рабля в пространстве при одновременном сохранении
неизменного направления приемной антенны корабля
необходимо осуществлять вращение антенны относи-
тельно корабля так, чтобы разворот последнего не
приводил к отклонению антенны от требуемого на-
правления в пространстве. Здесь модель корабля уме-
стно выбрать в виде совокупности двух твердых тел:
корпуса О корабля и антенны 1 (рис. 25,я).
При расчете корабля на прочность уже нельзя
пользоваться твердым телом в качестве механической
модели корпуса корабля; твердое тело, по определе-
нию,— это условное тело, не способное деформиро-
ваться и разрушаться. Поэтому исследование проч-
ности твердого тела является бессмыслицей. Подчас
нельзя считать корабль твердым телом и при расчете
системы управления. Например, если корпус ракеты
несколько изогнут в полете, то направление реактив-
ной силы будет отличаться от расчетного. В подоб-
ных задачах нужно рассматривать корабль как де-
формируемое тело.
Таким образом, при выборе механической модели
космического корабля, как и всякого инженерного
изделия, в зависимости от цели исследования произ-

58
Те/to О
Рис. 26. Отсчетная и связанная
системы координат
гп^перия
-к'
z Обязанная система
координат
Отсчетная система координат
водится различное теоретическое и опытное изучение
свойств объекта (т. е. корабля). Поэтому обоснова-
ние выбора механической модели подчас представля-
ет собой задачу, сравнимую по трудности и объему
работы с самим исследованием, для выполнения ко-
торого эта модель предназначается.
Связанная система координат. Движением лета-
тельного аппарата называется движение его механи-
ческой модели. Когда механической моделью аппара-
та является материальная точка, то движение этой
точки и называется движением аппарата. Положение
точки, символизирующей аппарат, определяется в
каждый момент времени тремя координатами, отсчи-
тываемыми вдоль осей системы координат, относи-
тельно которой наблюдается перемещение аппарата.
Пусть моделью аппарата служит некоторое твер-
дое тело О. В пространстве, связанном с этим телом,
выберем некоторую точку N (рис. 26), например
центр масс тела О.- Мы говорим о пространстве, свя-
занном с телом О, а не о самом теле О, по той при-
чине, что в точке ЛГ может не оказаться никакой ма-
териальной частицы (так, центр массы однородного
кругового кольца лежит вне объема, занимаемого
материальными частицами кольца). Далее, введем
систему взаимно перпендикулярных осей х, у, х, пе-
ресекающихся в точке N. Направление каждой из
осей жестко свяжем с телом О. Координатный трех-
граник Nxyz называется связанной системой коорди-
нат. Одновременно введем отсчетную систему коор-

59
динат OXYZ (также прямоугольную), относительно
которой будем рассматривать движение тела О. Си-
стемой OXYZ может быть, например, экваториальная
геоцентрическая система координат, описанная во
введении.
Для удобства описания полета аппарата принято
разделять его движение на движение вдоль траекто-
рии и на вращательное (или угловое) движение.
Движением аппарата вдоль траектории называется
движение точки N, т. е. 'начала связанной системы
координат. Как правило, это начало выбирают в цен-
тре массы аппарата. Именно такое движение имеет
обычно в виду всякий наблюдатель, когда он говорит
о направлении полета аппарата. Перемещение свя-
занной системы координат относительно системы ко-
ординат NX'Y'Z', начало которой совпадает с нача-
лом У связанной системы, а оси остаются параллель-
ными соответствующим осям отсчетной системы ко-
ординат OXYZ, называется вращательным движением
аппарата по отношению к отсчетной системе. Именно
это движение имеет в виду наблюдатель, когда он
говорит, что аппарат поворачивается или разверты-
вается.
Движением летательного аппарата в отсчетной си-
стеме координат называется совокупность движения
вдоль траектории начала связанной системы коорди-
нат и вращательного движения трехгранника связан-
ной системы координат по отношению к осям отсчет-
ной системы.
Пусть теперь механической моделью летательного
аппарата служит система твердых тел. Тогда под
движением аппарата понимается совокупность дви-
жения основного тела по отношению к отсчетной си-
стеме и движений составляющих тел по отношению
к основному телу.
В примере, рассмотренном в начале параграфа,
модель состояла из двух тел: корпуса аппарата и
подвижной антенны. Движение данного аппарата от-
носительно некоторой отсчетной системы координат
представляет собой совокупность двух следующих
перемещений: движения корпуса аппарата по отноше-

60
нию к отсчетной системе и движения антенны относи-
тельно корпуса.
Инерциальная система координат. Первый закон
механики (закон инерции) утверждает, что всякая
материальная частица сохраняет состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения до тех пор,
пока воздействие со стороны внешних тел не нарушит
это состояние.
Осмысливая этот закон, мы неизбежно задаем се-
бе вопрос: по отношению к какой системе отсчета
рассматриваемая точка покоится или перемещается
равномерно и прямолинейно и при каких условиях?
Ведь движение одной и той же точки может пред-
ставляться совершенно различным образом для на-
блюдателей, разместившихся на различных телах.
Пусть, например, по одной и той же орбите вокруг
Земли обращаются три одинаковых спутника. В ка-
честве механической модели каждого спутника вы-
берем материальную частицу с массой, равной массе
спутника, в качестве механической модели Земли —
материальную частицу с массой, равной массе Зем-
ли, и находящуюся в центре Земли. Предположим
еще, что орбита, по которой обращаются спутники,
представляет собой окружность и ее центр совпадает
с центром Земли и что на движение каждого спут-
ника влияет только Земля. Тогда взаимное располо-
жение всех трех спутников не будет изменяться с те-
чением времени. Поэтому для наблюдателя, разме-
стившегося где-либо на прямой, соединяющей любые
два спутника, третий спутник будет казаться непо-
движным.
Не обнаружит никакого движения и наблюдатель,
расположившийся в центре Земли и опирающийся на
прямую, соединяющую этот центр с любым из спут-
ников так, что его взгляд остается в плоскости ор-
биты спутников. Но наблюдатель, расположившийся
в центре Земли и опирающийся па прямую, соединяю-
щую этот центр с некоторой звездой, находящейся
в плоскости орбиты спутников, будет видеть, что луч,
проведенный из центра орбиты на любой из спутни-
ков, все время поворачивается в одну и ту же сторо-

61
ну относительно направления на избранную звезду.
Назовем такого наблюдателя для краткости звезд-
ным.
Этот пример наглядно показывает, каким обра-
зом вид движения одной и той же точки зависит от
выбора системы отсчета, по отношению к которой
движение точки рассматривается.
Выберем систему отсчета такой, чтобы в ней был
справедлив закон инерции, и назовем ее инерциаль-
ной системой координат. Обратим внимание на два
обстоятельства.
1. Всякая система отсчета (система координат)
непременно связана с некоторым материальным те-
лом. Чтобы задать систему координат, необходимо и
достаточно располагать тремя материальными части-
цами, не лежащими на одной прямой (хотя бы и пе-
ремещающимися одна относительно другой). Тогда
в плоскости, образуемой тремя такими частицами,
можно выбрать точку, положение которой в любой
момент времени заданным образом определено по
отношению к упомянутым частицам, и принять эту
точку за начало координат. В частности, началом мо-
жет служить одна из этих частиц. Из начала коор-
динат в плоскости частиц проводится прямая линия,
направленная некоторым определенным образом по
отношению к частицам, например всегда параллель-
ная прямой, соединяющей две первые частицы. Эта
прямая принимается за первую ось координат. Вто-
рая ось координат проводится из начала координат
также в плоскости трех частиц перпендикулярно пер-
вой. Третья ось координат проводится из начала пер-
пендикулярно плоскости первых двух осей, т. е. пло-
скости трех исходных материальных частиц. Указа-
ние положительного направления отсчета координат
по каждой из осей — обычно от начала координат —
завершает построение системы координат на основе
трех материальных частиц, не лежащих на одной
прямой. Если эти три частицы сохраняют неизмен-
ное взаимное расположение, то они могут принадле-
жать твердому телу. Система координат, построен-
ная на таких частицах, называется связанной с твер-

62
дым телом. Но в пустом пространстве, лишенном
материальных частиц, задача о выборе системы
координат лишена смысла так же, как и понятие
перемещения. Поэтому искомая система отсчета
обязательно строится на некотором материальном
теле.
2. Закон инерции подразумевает, что состояние
покоя или равномерного прямолинейного движения
материальной частицы может измениться под влия-
нием других частиц. Именно на это указывает ого-
ворка: «До тех пор, пока воздействие со стороны
внешних тел не нарушит это состояние».
Но во вселенной нам неизвестны области прост-
ранства, в которых бы не проявилось притяжение
различных тел. Поэтому, где бы ни находилась ма-
териальная частица, она непременно будет взаимо-
действовать с другими телами вселенной, и ее движе-
ние не будет прямолинейным и равномерным. Отсю-
да следует вывод, на первый взгляд неожиданный:
движение по инерции неосуществимо. Итак, в попыт-
ке отыскать систему отсчета, в которой уединенная
материальная частица могла бы двигаться по
инерции, мы пришли логическим путем, исходя из
свойств вселенной, к отрицанию самого движения
по инерции.
То обстоятельство, что в природе нет тел, не вза-
имодействующих между собой, делает неразрешимой
задачу о разыскании тела, с которым можно было
бы связать инерциальную систему отсчета. Однако
положение не оказывается безнадежным, и механика
указывает выход из него: попытаемся найти во все-
ленной некоторое тело и свяжем с ним систему ко-
ординат так, чтобы движение материальной частицы
по отношению к этому телу заведомо не отличалось
от ее движения по инерции больше, чем в пределах
заданной точности.
Именно, обратимся к звездам, окружающим сол-
нечную систему. Строго говоря, совокупность этих
звезд не остается неизменяемой, звезды перемещают-
ся одна по отношению к другой. Но эти звезды уда-
лены от солнечной системы на очень большое рас-

63
стояние (ближайшая звезда отстоит от нас на 4 све-
товых года, т. е. на расстояние, которое луч света,
двигаясь со скоростью 300 000 км/сек, проходит за
4 года). Поэтому видимые изменения расстояния
между звездами составляют малые величины секунды
дуги по небесной сфере в год. Пренебрежение собст-
венным движением звезд за промежутки времени,
сравнимые с длительностью космических полетов в
пределах солнечной системы, не сказывается замет-
ным образом на точности расчетов движения косми-
ческих кораблей. На этом основании совокупность
звезд на небесной сфере можно считать неизменяе-
мой и звезды принято называть неподвижными.
Систему координат, связанную с неподвижными
звездами, примем за приближение инерциальной си-
стемы. Движение по отношению к этой системе на-
зовем движением по отношению к звездам, или, ина-
че, абсолютным движением. Таким образом, переме-
щение, скорость и ускорение всякой частицы по отно-
шению к звездам называются абсолютными. Очевид-
но, что движение уединенной материальной части-
цы по отношению к звездам практически неотличимо
от движения по инерции.
Выберем, например, в качестве модели солнечной
системы частицу, помещенную в центре массы сол-
нечной системы и имеющую массу, равную массе сол-
нечной системы. Тогда по отношению к звездам центр
массы солнечной системы перемещается равномерно
и прямолинейно. Свяжем с этой точкой некоторую
подвижную систему координат — систему отсчета, на-
чало которой совпадает с началом подвижной систе-
мы, а оси остаются параллельными соответствующим
осям инерциальной системы. Эту систему осей назо-
вем системой координат, присоединенной к инерци-
альной. Систему координат, присоединенную к инер-
циальной и имеющую начало в центре массы солнеч-
ной системы, назовем солнечной. Движение любой си-
стемы координат, присоединенной к инерциальной,
называется поступательным движением. Отсюда сле-
дует, что движение твердого тела может быть разло-
жено на поступательное и вращательное движения.

64
Рис. 27. Сло-
жение двух сил
по правилу па-
раллелограмма
Векторы. Всем известно знаменитое правило па-
раллелограмма: если к материальной частице одно-
временно приложены две силы, то итоговая сила,
действующая на эту частицу, изображается диаго-
налью параллелограмма, построенного на этих силах;
сила, изображаемая диагональю, называется равно-
действующей исходных сил, приложенных к частице.
Известно также свойство равнодействующей силы:
состояние материальной частицы не изменится, если
вместо исходных сил к ней приложить их равнодей-
ствующую. Например, если частица под действием
исходных сил покоилась по отношению к некоторой
системе отсчета, то она по-прежнему будет покоиться
в этой системе после замены исходных сил равнодей-
—>	—->
ствующей. На рис. 27,a Fx и F2— исходные силы,
F — равнодействующая, М — частица, к которой при-
ложены силы; F = Fi + F2.
По правилу параллелограмма складываются и
скорости частицы. Пусть, например, самолет летит с
некоторой скоростью относительно Земли. Из ствола
самолетной пушки вылетает снаряд, имеющий по от-
ношению к самолету определенную скорость. Ско-
рость снаряда по отношению к Земле в момент вы-
лета его из дула орудия определяется также по пра-
вилу параллелограмма. Для этого можно воспользо-
ваться тем же рис. 27,а, понимая под направленным
отрезком Ki скорость самолета относительно Земли,
а под направленным отрезком F2 — скорость снаряда
по отношению к самолету. Отрезок F — диагональ —
изображает искомую скорость снаряда по отношению
к Земле.

65
Существуют и другие физические, а также мате-
матические величины, складывающиеся по правилу
параллелограмма. Поэтому целесообразно отвлечься
на время от конкретной физической природы таких
величин и изучить общие свойства величин, склады-
вающихся по этому правилу. Действуя таким обра-
зом, мы следуем способу обобщения, описанному вы-
ше.
Величины, складывающиеся по правилу паралле-
лограмма, называются векторами, какой бы ни была
физическая природа данной величины. Глядя на па-
раллелограмм, легко убедиться, что равнодействую-
щая зависит не только от длины, но и от направле-
ния слагаемых. Так, на рис. 27,6 показано сложение
двух величин А и Г2, причем величина Fi равна ве-
личине fi на рис. 27,а, а величина Г2 равна величи-
не F2. Но вектор F 2 направлен иначе, чем вектор Г2.
Поэтому направленный отрезок, изображаемый
диагональю F' параллелограмма, не совпадает с диа-
гональю F не только по направлению, но и по длине:
F'#=F, хотя Fi = F\ и F2 = F2 (но F2=#F2 ). Иначе,
длина диагонали и ее направление зависят как от
длины, так и от направлений сторон-слагаемых. По-
этому вектор нужно определить следующим образом:
вектором называется величина, имеющая направле-
ние.
Таким образом, для задания вектора недостаточно
указать число, а нужно еще описать направление, в
котором действует эта величина. Именно поэтому век-
тор удобно изображать с помощью отрезка прямой,
оканчивающегося стрелкой; стрелка указывает на-
правление действия вектора.
Такие величины, как скорость, ускорение точки,
являются векторами. Действительно, пусть, например,
о движении самолета сообщено лишь то, что он вы-
летел из определенного места и летит на постоянной
высоте над Землей со скоростью 800 км/час относи-
тельно Земли. На основании только этих сведений

66
Рис. 28. Вектор, изображающий
скорость точки, равную
800 кмIчас, в масштабе 1 мм =
= 100 км>час
невозможно определить, где самолет будет находить-
ся через некоторое время, хотя бы через 10 мин или
через 1 час, для этого нужно знать еще направление
движения. Направление движения указывается отрез-
ком прямой, длина которого соответствует численной
величине скорости в определенном масштабе, напри-
мер 1 мм длины отрезка отвечает скорости в
100 км/час. Тогда скорость в 800 км/час изображает-
ся отрезком длиной в 8 мм, простирающимся в на-
правлении полета; это направление указано стрелкой
(рис. 28).
Величина, полностью определяемая заданием
только ее числового значения, называется скалярной.
Примерами скалярных величин служат температура,
электрическое напряжение, масса, плотность вещест-
ва. Пусть, например, задано, что напряжение на за-
жимах электрической цепи, составлявшее в некото-
рый момент времени 40 в, убывает ежеминутно на
5 в, т. е. быстрота падения этого напряжения равна
5 в/мин. Очевидно, что этих данных — исходного на-
пряжения и быстроты падения напряжения — доста-
точно для подсчета напряжения через любое число
минут. Так, через 10 мин напряжение на зажимах
этой цепи 'Составит 40—5-10 = —10 в. Таким образом,
напряжение электрической цепи определяется в лю-
бой момент времени лишь одним числом — числом
единиц его измерения (вольт), откуда и вытекает
скалярный характер напряжения.

67
Рис. 29. Сложение векторов в про-
странстве
Рис. 30. Пример вектора, ле-
жащего в координатной плос-
кости
Говоря о направлении вектора, мы молчаливо
подразумеваем направление по отношению к некото-
рой системе координат, ибо без системы отсчета са-
мое понятие направления не имеет смысла. Так, гля-
дя в хорошую погоду на спутник, наблюдатель опре-
деляет направление его движения по отношению к
странам света (спутник летит на восток, северо-во-
сток и т. д.), тем самым мысленно сравнивая направ-
ление вектора скорости спутника с направлениями
стран света.
Рассмотрим в общем случае положение некоторо-
—>	—
го вектора V=OA в системе координат OXYZ. Отрез-
ки Vx = ОАх, VY = OAY и VZ = OAZ, каждый из которых
ограничен началом О вектора и проекцией его кон-
ца А на оси X, Y, Z, соответственно называются про-
екциями вектора V на эти оси. Напомним, что проек-
цией точки на ось называется основание перпендику-
ляра, опущенного из точки на эту ось.
На рис. 29 Vjr>0, Vy>0, Vz>0, так как проекции
Ах, Ay, Az точки А на оси координат расположены
на положительных половинах этих осей. На рис. 30

68
Рис. 31. Примеры переменных
V;r>0, Vy<0. vz = o
(вектор V лежит в пло-
скости XOY).
Обозначим через V
величину (длину) век-
тора V, V=(OA). По
теореме Пифагора
(рис. 29)
V =	+ Vy + Vz .
Таким образом, век-
тор полностью опреде-
ляется тремя его про-
екциями на оси коор-
динат. Исходя из этого
свойства, можно опре-
делить вектор и ина-
че— как величину, за-
даваемую тремя скаля-
рами одновременно,
причем каждый из этих
скаляров считается
проекцией вектора на
соответствующую ось.
Как отмечено выше,
векторов	скалярная величина
называется перемен-
ной, если она с течением времени принимает
различные числовые значения. Вектор же назы-
вается переменным, если с течением времени изме-
няется его величина или его направление (или и то
и другое). Исходя из второго определения вектора,
можно сказать, что вектор изменяется в том случае,
если изменяется хотя бы одна из его проекций. На
рис. 31 представлены несколько примеров перемен-
ных векторов, индексы 1 и 2 относятся к состояниям
вектора в два различных момента времени. На
рис. 31,а изменение вектора V обусловлено только его
поворотом из положения Vi = OAi в положение

69
V=OA2\ длина же вектора остается прежней. На
рис. 31,6 изменение вектора V обусловлено только
увеличением его длины, направление же осталось
прежним. На рис. 31,в вектор V изменяется и по ве-
личине, и по направлению так, что две проекции (VY
и Vz) остаются постоянными, а переменной является
только проекция Vx- При этом
и Уу2>^у1» Vzi = Vz2 = 0-
Сила. Понятие силы очевидно из повседневного
соприкосновения с физическим миром, т. е. из прак-
тического опыта — как осознанного, так и подсозна-
тельного. Но интуитивного представления недостаточ-
но для решения задачи о нахождении силы, которую
нужно приложить к космическому кораблю для обес-
печения требуемых свойств его движения (высоты,
скорости и т. п.). Для решения этой задачи нужно
прежде всего дать научное определение силы как фи-
зического понятия. Далее, отправляясь от этого опре-
деления, необходимо выразить силу как физическую
величину через другие физические величины, уже оп-
ределенные независимо от определения силы. Только
тогда можно будет обращаться с силой как с физи-
ческой величиной, только тогда сила станет величи-
ной расчетной.
Сила, приложенная ко всякой материальной ча-
стице, качественно определяется как воздействие дру-
гих материальных частиц на данную частицу. Слово
«качественно» подчеркивает здесь, что это определе-
ние лишь описывает физическую природу силы; оно
указывает, что сила, приложенная к данной частице,
создается за счет влияния других частиц. Из этого
общего определения сразу же следует, что если бы
в пространстве, связанном со звездами, находилась
лишь одна материальная частица, достаточно уда-
ленная от звезд, то такая частица двигалась бы по
инерции, а понятие силы не имело бы смысла.
Чтобы связать силу как физическую величину с
физическими величинами, определенными ранее, при-

70
M и/
OL-----—♦ ------------  Рис. 32.
Разложение вектора абсо-
ускорения точки на каса-
и нормальную составляющие
дадим определенный механический смысл слову «воз-
действие», использованному в описании понятия си-
лы. В качестве признака, свидетельствующего о на-
личии воздействия на рассматриваемую материаль-
ную частицу со стороны других частиц, механика из-
бирает отклонение абсолютного движения данной
частицы от движения по инерции. Но всякое откло-
нение частицы от состояния равномерного и прямо-
линейного движения по отношению к звездам (в ча-
стном случае, от состояния покоя) проявляется в воз-
никновении ускорения — величины, определяющей
изменение скорости. При этом движение по инерции
относится к звездам, поэтому ускорение, указываю-
щее на отступление движения от движения по инер-
ции, рассматривается также по отношению к звездам,
т. е. речь идет об абсолютном ускорении.
Пусть материальная частица сначала перемеща-
лась по инерции. Начиная с некоторого момента вре-
мени, она стала двигаться (в абсолютной системе ко-
ординат) или неравномерно, или непрямолинейно
(или и то и другое вместе). Это явление указывает,
что, начиная с отмеченного момента времени, на рас-
сматриваемую материальную частицу оказывают воз-
действие другие частицы. Иными словами, на рас-
сматриваемую частицу с этого момента подействова-
ла сила.
Мерой силы служит абсолютное ускорение, опре-
деляющее скорость отклонения абсолютного движе-
ния частицы от равномерного и прямолинейного дви-

71
жения по инерции. Если ускоренное движение остает-
ся прямолинейным, то ускорение w рассматриваемой
частицы М действует вдоль прямой (рис. 32,а). Если
движение частицы остается равномерным, но траек-
тория ее искривляется (рис. 32,6), то ускорение
в каждый момент времени направлено перпендику-
лярно касательной к траектории. Действительно, до-
пустим от противного, что в некоторой точке А тра-
ектории линия действия ускорения w не перпендику-
лярна к касательной. Спроектируем вектор w. на на-
—>
правление касательной к точке А. Составляющая Wk
вектора ускорения w определяет изменение скорости
частицы, которая направлена в каждый момент време-
ни по касательной. Но по условию частица переме-
щается по траектории с постоянной скоростью. Отсю-
да следует, что Wk = 0, т. е. ускорение w перпендику-
лярно касательной. При этом оно направлено в сто-
рону вогнутости траектории, ибо это ускорение опре-
деляет искривление траектории. Если ускоренное дви-
жение является и непрямолинейным и неравномер-
ным одновременно, то обе составляющие ускорения
отличны от нуля.
В соответствии с определением силы как воздей-
ствия материальных частиц на рассматриваемую ча-
стицу и выбором абсолютного ускорения в качестве
меры этого воздействия определим силу как величи-
ну, пропорциональную абсолютному ускорению ча-
стицы:
F = mw.	(3.1)
Здесь w — абсолютное ускорение материальной ча-
стицы; F — сила, к ней приложенная; т — скалярный
множитель. Это соотношение выражает второй (ос-
новной) закон механики: сила, приложенная к мате-
риальной частице, прямо пропорциональна ее абсо-
лютному ускорению. При ш=0 сила отсутствует:
Е=0, и частица движется по инерции. Обобщая на-

72
блюдения за движением планет и падением тел на
Земле, Ньютон установил этот закон и смысл мно-
жителя т\ величина т определяет количество веще-
ства, заключенного в частице, совершающей ускорен-
ное движение; он назвал этот множитель инертной
массой. По физическому смыслу масса всякой части-
цы положительна (т>0).
Обратимся вновь к движению космического кораб-
ля, в котором его механическую модель допустимо
выбрать в качестве материальной частицы. Для уп-
равления движением частицы необходимо определен-
ным образом воздействовать на нее со стороны ча-
стиц и тел, используемых для создания управляющей
силы. Закон (3.1) утверждает, что чем сильнее тре-
буется отклонить движение корабля от движения по
инерции, тем большее воздействие на него нужно
приложить со стороны материальных частиц и тел,
используемых для управления кораблем. С другой
стороны, одинаковое отклонение двух кораблей раз-
личной массы от движения по инерции потребует бо-
лее сильного воздействия на корабль, обладающий
большей массой.
Закон действия и противодействия (третий закон
механики). Выше выяснено, что сила, приложенная
ко всякой материальной частице, может возникнуть
только благодаря влиянию какой-либо другой части-
цы на данную. В свою очередь, к этой другой части-
це приложена сила, создаваемая благодаря влиянию
первой частицы; как говорят механики, действию со-
путствует противодействие. Сила, приложенная к пер-
вой частице со стороны второй, и сила, приложенная
ко второй частице со стороны первой, не независимы.
Они подчиняются определенному правилу, выражае-
мому законом действия и противодействия: две ма-
териальные частицы действуют одна на другую с рав-
ными и противоположными силами, направленными
вдоль прямой, их соединяющей.
Прикладное значение этого закона заключается
в следующем: пусть известна сила FA, приложенная
к частице А со стороны частицы В. Тогда сила F Б,

73
приложенная к частице В со стороны частицы А, оп-
ределена по закону действия и противодействия:
Fb = -Fa.
Закон независимости действия сил. В выражениях
второго и третьего законов механики, по существу,
рассматриваются только две материальные частицы.
Второй закон определяет ускорение частицы, созда-
ваемое действием на нее некоторой другой частицы.
Третий закон связывает силы взаимодействия между
частицами. Но как быть, если имеется много взаимо-
действующих частиц, в частности твердое тело?
Способ применения второго и третьего законов
к совокупности многих материальных частиц указы-
вается с помощью так называемого закона независи-
мости действия сил: если на материальную частицу
действует одновременно несколько сил, то каждая из
этих сил действует независимо от других и сообщает
частице абсолютное ускорение, определяемое основ-
ным уравнением механики.
Тогда ускорение частицы под действием всех сил,
к ней приложенных, равно ускорению, приобретаемо-
му этой частицей под действием силы, равной сумме
(векторной) всех приложенных сил. Сумма сил на-
ходится последовательным применением правила па-
раллелограмма. Подобным же образом третий закон
применяется к каждой паре частиц независимо от
остальных частиц.
Законы механики и законы образования сил. Вы-
ше описаны четыре закона механики: закон инерции,
основной закон, закон действия и противодействия,
закон независимости действия сил.
Законы механики определяют взаимодействие со-
вокупности материальных частиц и движение каждой
частицы под действием сил, к ней приложенных. За-
коны имеют всеобщий характер — они остаются спра-
ведливыми, какова бы ни была физическая природа
сил, действующих на частицы. Это могут быть силы
притяжения масс, электрического притяжения или от-
талкивания, трения и т. д. Законы механики выра-
жают правила обращения с силами, приложенными

74
к взаимодействующим частицам, для нахождения
ускорения каждой из частиц.
Но для определения ускорения нужно еще знать
сами силы, а не только законы их действия. Физика
изучает силы самой различной природы и устанавли-
вает законы образования сил, т. е. зависимость сил
от других физических величин.
Так, известен закон всемирного тяготения, откры-
тый Ньютоном: две материальные частицы притяги-
ваются одна к другой с силой, прямо пропорциональ-
ной их массам и обратно пропорциональной квадрату
расстояния между ними. По закону Кулона такой же
характер имеет взаимодействие двух точечных элек-
трических зарядов или двух точечных магнитных
масс: два точечных электрических заряда (две точеч-
ные магнитные массы) притягиваются или отталки-
ваются с силой, прямо пропорниональной их зарядам
(магнитным массам) и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними.
§ 4.
Движение материальной
точки в поле притяжения
планеты
Рассмотрим некоторые приложения изложенной
теории к орбитальному обращению космических ко-
раблей.
Разберем сначала физический смысл орбитально-
го движения, выясним, по каким причинам оно воз-
никает, а далее подсчитаем орбитальную скорость
спутника светила.
Различные виды движения материальной точки
вблизи планеты. Пусть в пространстве находится све-
тило О (рис. 33), достаточно удаленное от других
тел; им может быть Солнце, а также Земля, Луна
или другая планета. Предположим, что из глубин
пространства в сторону этого светила приближается
некоторое тело М (метеор, космический корабль),
имеющее массу tn, ничтожно малую по сравнению
с массой светила. Условимся в данном рассужде-
нии заменить как светило, так и тело их механике-

75
сними моделями. В качестве модели выберем в обоих
случаях простейшую материальную частицу: светило
заменим частицей массы то, тело — частицей мае-
сы т, причем т С т} (знак < означает «намного
меньше»).
По закону всемирного тяготения между частицами
О и М возникает сила взаимного притяжения. Как
известно, эта сила обратно пропорциональна квадра-
ту расстояния между частицами. Поэтому по мере
приближения частицы М (корабля или метеора)
к светилу О сила, с которой частица притягивает све-
тило, а светило — частицу, возрастает.
Следовательно, по основному закону механики
(3.1) частица М. приобретает ускорение, направлен-
ное к светилу, и будет приближаться к нему все бы-
стрее; в свою очередь, светило под действием притя-
жения со стороны частицы приобретет ускорение, на-
правленное к частице М, и начнет перемещаться ей
навстречу. Для упрощения дальнейшего рассуждения
обратим внимание на следующее обстоятельство.
По условию масса светила намного превосходит
массу прилетевшей частицы; поэтому сила, притяги-
вающая светило к частице М, сообщит светилу лишь
ничтожно малое ускорение по сравнению с ускоре-
нием частицы М в направлении к светилу. Поэтому

76
в первом приближении условимся пренебрегать уско-
рением светила и считать светило неподвижным.
Тогда двигаться будет только частица М. Например,
камень, брошенный вверх, строго говоря, не только
притягивается Землей, но и притягивает Землю к се-
бе. Однако по отношению к неподвижной системе ко-
ординат перемещение Земли навстречу камню нич-
тожно мало по сравнению с перемещением камня
навстречу Земле. На этом основании говорят, что
камень падает на Землю.
Предположим, что на большом удалении от све-
тила («в глубинах вселенной») тело очень быстро
движется вдоль неподвижной прямой АВ, не прохо-
дящей через светило О,. Когда расстояние между те-
лом и светилом очень велико, сила взаимного притя-
жения ничтожно мала и движение тела почти не от-
личается от равномерного и прямолинейного переме-
щения вдоль прямой АВ с некоторой постоянной ско-
ростью v. По мере приближения тела М к светилу
сила, притягивающая тело к светилу, возрастает. По
основному закону механики увеличивается и абсолют-
ное ускорение тела М, направленное всегда к свети-
лу О (рис. 33). Следовательно, тело сходит с пря-
мой АВ, несколько приближаясь к точке О одновре-
менно с движением в направлении, параллельном
АВ. Его траектория искривляется (кривая 1 на
рис. 33). В положении М' тело достигает наибольше-
го приближения к светилу; в этом положении искрив-
ление его траектории будет наиболее сильным. Далее
тело вновь начнет удаляться от светила О. Притяже-
ние ослабевает, его траектория искривляется все
меньше и меньше. В конечном счете притяжение тела
к светилу станет мало заметным. И движение тела
вновь будет мало отличаться от равномерного и пря-
молинейного движения — но уже вдоль новой пря-
мой А'В'.
Мы предположили, что скорость v — очень боль-
шая. Благодаря этому тело находилось очень малое
время в области, где притяжение его к светилу было
значительным. Поэтому траектория тела не успела

77
искривиться достаточно сильно, тело «проскочило» ми-
мо светила на большой скорости, испытав его влияние
лишь в течение непродолжительного времени.
Пусть тело М приближается к светилу вдоль пря-
мой АВ с несколько меньшей скоростью, чем в пре-
дыдущем случае. Тогда оно пробудет в области силь-
ного притяжения к светилу большее время. Из-за
этого притяжение светила окажет на полет тела боль-
шее влияние, и его траектория искривится сильнее
(кривая 2). Если исходная скорость приближения
к светилу еще меньше, тело полетит по траектории,
уже весьма крутой (кривая 3).
В частности, когда исходная скорость равна ну-
лю, тело в некоторых случаях будет падать на све-
тило и в конечном счете пройдет через него или ра-
зобьется об него. Пусть, наконец, тело приближается
к светилу, начиная свое движение не «в глубинах
вселенной», а вблизи светила, имея небольшую на-
чальную скорость в точке Л10, направленную, как и
в предыдущих примерах, вдоль прямой АВ. Тогда,
если начальная скорость достаточно мала, тело уже
не сможет вырваться из области притяжения свети-
ла. Оно будет обращаться вокруг него по замкнутой
траектории 4 — орбите, проходящей через исходную
точку тИ0.
Подойдем к задаче с другой стороны. Предполо-
жим, что в исходный момент времени тело М, нахо-
дясь в точке Мо, покоится (v = 0) и предоставлено
самому себе. Под действием силы притяжения свети-
ла оно будет падать на него по прямой М0О
(рис. 34,а). Пусть теперь в начальный момент тело
Л4 движется вдоль прямой АВ с небольшой исходной
скоростью (рис. 33). Тогда тело будет приближаться
к светилу — рассматриваемому как материальная ча-
стица— по искривленной траектории: путь частицы
искривляется сначала слабо, затем все сильнее до
положения Л4' на траектории. После этого тело вновь
вернется в исходную точку Af0 и будет продолжать
обращаться по орбите (траектория 4 на рис. 33).
Следовательно, существует определенное погра-
—>
ничное значение и величины v скорости и, облада-

78
a
в
A	B
Puc. 34. Изменение вида
траектории частицы, про-
летающей мимо притя-
гивающего центра О, по
мере увеличения ее ис-
ходной скорости
витель'но, при движении
ющее свойством: при
v > и тело уходит от све-
тила и вновь не возвра-
щается, при v<u — дви-
жется по орбите вокруг
светила.
В приведенном рас-
суждении светило рас-
сматривалось как точеч-
ное. Если это светило —
шар, то, когда скорость v
очень мала, тело М упа-
дет на его поверхность;
этот случай показан на
рис. 34,6. Начиная с не-
которого более высокого
значения скорости и, не
превышающего величины
w, тело будет обращаться
вокруг светила по орбите
(рис. 33), не пересекаю
щей его поверхность.
При некотором опре-
деленном значении ско-
рости v, кроме того, при
условии, что вектор ио =
= v направлен перпенди-
кулярно прямой ОМ
(рис. 34,в), орбита точки
М будет круговой. Дейст-
точки по окружности ее ско-
рость всегда перпендикулярна радиусу, откуда и сле-
дует данное утверждение.
В небесной механике доказывается, что величина
скорости и связана с величиной скорости uQ соотно-
шением *
 m=u0/2.	(4.1)
* Простой вывод соотношения J4. 1) приведен на стр. 63 в
книге Е. А. Гребенникова и В. Г. Демина «Межпланетные поле-
ты» (М., «Наука», 1965).

79
Скорость Uo называет-
ся первой космической
скоростью, или круговой
скоростью. Скорость и
называется второй косми-
ческой скоростью, или
скоростью освобождения.
Таким образом, вид дви-
жения космического ко-
рабля зависит от величи-
ны и направления его ско-
рости в момент выключе-
ния двигателя. Отсюда
следует, что выведением
спутника на заданную ор-
биту можно управлять в
момент достижения тре-
буемого значения скоро-
сти v путем выключения
двигателей.
Перейдем к подсчету
скорости спутника, обра-
Рис. 35. Построение к подсчету
абсолютного ускорения точки
в круговом движении
щающегося вокруг свети-
ла по круговой орбите.
Абсолютное ускорение
точки в равномерном кру-
говом движении. Пусть спутник М движется с посто-
янной скоростью и<} по окружности радиуса г. По от-
ношению к инерциальной системе центр О окружно-
сти неподвижен, а плоскость окружности не меняет
своего положения. При равномерном движении вели-
—>
чина ио окружной скорости и0 (рис. 35,а) равна отно-
шению длины окружности к времени обращения Т.
2пг
ио ~~ ?
Вектор Un всегда направлен по касательной к ок-
ружности и начинается в каждый момент времени
из точки окружности, в которой в этот момент нахо-
дится движущаяся точка М. Следовательно, вектор

80
Uo непрерывно изменяет свой наклон по отношению
к осям ОХ и OZ инерциальной (неподвижной) систе-
мы. После каждого полного оборота спутника по ок-
ружности вектор ио оказывается в исходном положе-
нии. Отправляясь от этого свойства скорости uG, по-
строим вспомогательный график следующим обра-
зом: из некоторой точки В будем проводить векто-
ры, равные скорости ц0, в последовательные моменты
времени. Геометрическое место концов векторов ско-
рости спутника, отвечающих совокупности положений
спутника на орбите, называется годографом скорости
спутника. При равномерном обращении величина
постоянна и годограф скорости спутника будет ок-
ружностью радиуса uQ (рис. 35,6). Величина w ок-
ружной скорости точки М' равна, очевидно,
2ли0
w =------.
т
Таким образом, w представляет собой скорость
изменения скорости и0, т. е. ускорение спутника М.
Деля почленно оба последние равенства, получим
соотношение
Цр = г
W и0
ИЛИ
ио
w = —.	(4.2)
Г
Последнее соотношение определяет величину уско-
рения точки, в частности спутника, в равномерном
движении по окружности, неподвижной по отношению
к инерциальной системе отсчета. Это ускорение —
центростремительное, оно направлено по радиусу
ОМ от точки М к центру О. Центростремительное
ускорение обусловливает изменение скорости uQ по
направлению, все время отклоняя точку М от равно-
мерного и прямолинейного движения вдоль касатель-
ной, которое она имела бы, если бы перемещалась

81
по инерции. Выражая окружную скорость ц0 точки Л4
через угловую скорость со луча ОМ\ uQ = ^ry где
(о = 2л/т, приведем выражение (4.2) центростреми-
тельного ускорения к другому виду:
w = со2 г.	(4.3)
Круговая скорость спутника. Зная выражение для
центростремительного ускорения спутника, можно
подсчитать орбитальную скорость (первую косми-
ческую скорость) для круговой орбиты заданного ра-
диуса г. Единственной силой, действующей на спут-
ник, является сила притяжения светила. Обозначим,
как и выше, через то массу светила, через m — массу
спутника. Через k обозначим постоянную всемирного
тяготения. Спутник притягивается к светилу с силой
Р. По закону всемирного тяготения
р _ А mmQ
В силу основного уравнения механики (3.1) вели-
чина w абсолютного ускорения w спутника равна
Р
W = —,
m
т. е.
ш =	(4.4)
Г2
По условию спутник обращается по круговой ор-
бите. Круговое движение полностью симметрично,
спутник во всех точках орбиты находится в одинако-
вых условиях по отношению к светилу и поэтому ве-
личины скорости и ускорения его не меняются. Уско-
рение приводится к центростремительному, а его фи-
зическим источником служит сила притяжения со сто-
роны светила. Следовательно, центростремительное
ускорение спутника равно его ускорению, создавае-
мому притяжением светила:
'2
"о _ и mo

82
Но отношение Р1т = кт^1г2 представляет собой ве-
личину силы притяжения, действующую на единицу
массы спутника, — это ускорение g силы тяготения
на расстоянии г от центра орбиты. Тогда w = g и
причем
£Г -= —°
' Г2 *
Окончательно:
1/—	-« / kmtt
u0 = Vrg = I —Д.
(4.5)
В соответствии с равенством (4.1)
и = y/~2rg =	2	.
Предположим, что центр Земли движется по инер-
ции, ось вращения Земли не изменяет своего наклона
в инерциальном пространстве, а ускорение силы тя-
жести зависит только от расстояния от центра Земли
(сферически симметричная Земля). Тогда на орбите,
радиус г которой равен среднему радиусу Земли,
R^ 6367,1 км, g^9,81 м! сек2 и
u0 =/6367,1-IO3-9,81 ^7,91 KMlceK.
Это значение первой космической скорости не за-
висит от наклона орбиты спутника к экватору ввиду
предположения о сферической симметрии поля тяго-
тения Земли.
Рассмотрим теперь спутник, движущийся в эква-
ториальной плоскости Земли, по-прежнему по круго-
вой орбите. В качестве радиуса возьмем средний ра-
диус Земли 7?^6367,1 км. Пусть спутник до выведе-
ния на орбиту находился где-либо на экваторе. При
этом его абсолютная скорость сводилась к скорости

83
щэ точек экватора, обусловленной вращением Земли:
э j. >
7 ЗВ
где Тзв — время полного оборота Земли относительно
звезд — так называемые звездные сутки;
~86 164,1 сек = 23 час 56 мин 4,1 сек. (За 24 час, т. е.
за «солнечные сутки», Земля поворачивается относи-
тельно звезд на угол примерно 361° с учетом ее дви-
жения по орбите вокруг Солнца.)
2л-6367,1 п км
щ	--— = 0,46-------.
э 86164,1	сек
После выведения на орбиту uo~7,91 км]сек. Если
спутник запущен в восточном направлении, и0 = иэ+
+ v9, где и3 — скорость экваториального спутника для
наблюдателя на земном экваторе; иначе, иэ — от-
носительная скорость, для сообщения которой спут-
нику и нужна ракета-носитель. Тогда, учитывая ра-
венство (4.5), найдем:
иэ = и0 — v9 = rg — v3 7,91 — 0,46 = 7,45 км!сек.
Если спутник запущен в западном направлении, то
Uq = u3 — v3, и
иэ = ио + иэ ~ 7,91 + 0,46 = 8,37 км!сек.
Таким образом, для запуска экваториального спут-
ника в сторону, противоположную вращению Земли,
нужна большая мощность ракеты-носителя, чем при
запуске его по вращению Земли. Этот случай являет-
ся самым невыгодным, случай запуска в восточном
направлении — самым выгодным. Обратим внимание
на то, что эта разница обнаружена благодаря при-
менению основного уравнения механики (3.1) по от-
ношению к инерциальной системе отсчета. Если при-
нять за инерциальную систему отсчета систему, вра-
щающуюся вместе с Землей (т. е. считать Землю не-
вращающейся), то было бы для обоих направлений

84
уэ = 0 и uo = u9; ошибка по скорости при этом составит
(2^э/и0) • 100%^12%. Спутник, выходящий на
орбиту в восточном направлении, приобретет абсо-
лютную скорость на 6% большую заданной, в запад-
ном— на 6% меньшую заданной; этот последний
спутник на орбиту не выйдет, а первый выйдет на
нерасчетную орбиту.
В качестве второго примера вычислим высоту над
Землей экваториального суточного спутника Земли,
описанного в § 1. Выведем общую зависимость, вы-
ражающую радиус орбиты спутника, имеющего за-
ранее заданный период Т обращения. Круговая ско-
рость Uq такого спутника равна
где г — радиус орбиты спутника, имеющего период
обращения Т.
Единственной силой, действующей на точечный
спутник, обращающийся в пустоте, является сила
притяжения его центральным телом. Поэтому в со-
отношении (4.3) ускорение w представляет собой
ускорение g силы тяготения на расстоянии г от цент-
ра тела: w = g и
km0
г2
Подставим вместо величин ио и g в равенстве
(4.5) их (выражения, Тогда
4л2г2 _ km0
Т2г “ Г2 '
Окончательно:
r= V 
Для суточного спутника Т = 1 звездные
сутки = 86164,1 сек. Из курса физики известна
величина постоянной всемирного тяготения:
& = 6,67-10~8 сл<3/г-сек2, масса Земли составляет

85
m-> = 5,974-1027 г, т. e. kma=3,9860 • 1020 см21 сек2. Сле-
довательно, радиус гэ орбиты экваториального суточ-
ного спутника Земли равен
3/~ 3,9860-1020 (86164,Т)2
Гэ = V 4-9,8696
3^-----------
^/74,9-1027 см3^4,2-109 см = 4,2-104 км,
т. е. го~42 000 км. Чтобы найти высоту h3 суточного
спутника над экватором Земли, вычтем из радиуса гэ
экваториальный радиус Земли, равный 6378,24 км\
/?э^42 000 км — 6380 /gw = 35 620 км.
Движение космического корабля относительно
планеты. Абсолютное движение космического кораб-
ля можно рассматривать как определенное наложе-
ние (сумму) движения корабля относительно некото-
рого небесного тела и абсолютного движения этого
тела. Если абсолютное движение данного небесного
тела и абсолютное движение корабля известны, то
относительное движение корабля определится как
разность (в определенном смысле) между абсолют-
ными движениями корабля и небесного тела. Слова
«в определенном смысле» указывают, что эта раз-
ность не является, в общем случае, простой арифме-
тической или даже векторной разностью, а представ-
ляет собой более сложное понятие, основанное на
законах механики. Для пояснения сказанного разбе-
рем пример.
Пусть небесное тело — планета П (рис. 36) с пе-
риодом Т суточного вращения. Корабль М выведен
на экваториальную круговую орбиту спутника плане-
ты, имеющую радиус г. Нужно найти период т обра-
щения корабля по орбите по отношению к планете.
Период Т считается известным. Предположим, что
абсолютное ускорение w корабля, рассматриваемого
как материальная точка, каким-то образом измере-
но с помощью бортовых приборов. За неподвижную
систему отсчета принимается система координат
OXYZ, начало которой совпадает с центром планеты,

86
Рис. 36. Построение к подсчету ско-
рости спутника по отношению к вра-
щающейся планете
а оси сохраняют неизменные направления по отно-
шению к звездам. На рис. 36 ось OY проведена по
оси суточного вращения планеты.
В указанных условиях абсолютное движение ко-
рабля совпадает с орбитальным. Абсолютное ускоре-
ние сводится к центростремительному ускорению в
орбитальном движении. Обозначим через v абсолют-
ную скорость корабля — скорость перемещения по ор-
бите по отношению к неподвижной системе. Соотно-
шение (4.2) принимает вид:
ri2
w =-----.	(4.6)
Продолжим отрезок OD, соединяющий центр О
планеты с произвольной точкой D на ее экваторе, до
пересечения с орбитой спутника (в точке Е). Вспо-
миная рассуждение, проведенное в начале этого раз-
->
дела, напишем выражение скорости с точки Е, обус-
ловленной только суточным вращением планеты око-
ло оси OY\
с=-~г = аг,	(4.7)
где (о = 2л/Г — угловая скорость планеты (абсолют-
ная, т. е. в суточном движении в наших предположе-
ниях). Абсолютная скорость v корабля складывается
из скорости с движения вместе с планетой и скоро-
сти V движения относительно планеты (рис. 36):
v = с + V.

87
Скорости с, V и v направлены вдоль общей пря-
мой по касательной к окружности, служащей траек-
торией спутника. Поэтому u = c+V. В силу равенст-
ва (4.6)
(4.8)
Г
Обозначим через fi угловую скорость луча ОМ отно-
сительно планеты,тогда
V = fir,	(4.9)
причем
т =	(4.10)
Заменяя в соотношении (4.8) величины с и V их вы-
ражениями (4.7) и (4.9), получим, что
w = г (fi + «)2.
Разрешим это уравнение относительно неизвест-
ной fi:
Q= ± у- —®.
Знак « + » перед корнем отвечает абсолютному обра-
щению спутника по орбите против часовой стрелки,
как показано на рис. 36, а знак «—» обращению по
часовой стрелке. Искомый период определяется ра-
венством (4.10):
При обращении спутника против часовой стрелки
(4.11}
Пусть радиус г орбиты выбран из условия fi = 0:
(4.12}

88
Это означает, что спутник не перемещается отно-
сительно планеты, а неподвижно висит над некоторой
точкой ее экватора. Такой спутник является суточ-
ным, так как его период обращения по отношению к
неподвижному пространству совпадает с периодом
суточного вращения планеты, т. е. равен суткам пла-
неты. Действительно, выразим в равенстве (4.12) аб-
солютное ускорение w через радиус орбиты и период
та его обращения в неподвижной системе отсчета.
Применяя равенство (4.2), найдем, что w =
= (2л/та)2 Г.
Используя еще равенство а) = 2л/7’, получим:
/ 2л
---------- г
г = - Та ----,
/ 2л \2
\ т;
откуда следует, что та = Л
Заметим, что если период Т известен из наблюде-
ния, то соотношение (4.6) или (4.11) можно приме-
нить для определения радиуса г или массы планеты.
Раскроем скобки в правой части равенства (4.8):
с2 . V2
w =-------1-----
г г
2сУ
г
:(4.1з)
Слагаемое с21г представляет собой величину цен-
тростремительного ускорения, обусловленного суточ-
ным вращением планеты; в механике это ускорение
называется переносным ускорением спутника. Сла-
гаемое V2/r представляет собой величину центростре-
мительного ускорения корабля в его обращении по
отношению к планете. Это ускорение есть относитель-
ное ускорение корабля. Слагаемое 2cVfr представ-
ляет собой величину так называемого поворотного
ускорения, или ускорения Кориолиса (по имени фран-
цузского ученого, открывшего его).
Мы рассматривали абсолютное обращение спут-
ника как наложение его обращения относительно
планеты на абсолютное движение планеты. Из выра-
жения (4.13) легко усмотреть, какой грубейшей ошиб-

89
кой было бы предположение о том, что абсолютное
ускорение корабля выражается как сумма ускорений
в составляющих движениях. При таком предположе-
нии в выражении (4.13) было бы упущено ускорение
Кориолиса. При более сложных движениях абсолют-
ное ускорение корабля и подавно не совпадает с сум-
мой ускорений в составляющих движениях. Для на-
хождения соотношений между абсолютным и состав-
ляющими ускорениями нужно исходить из законов
механики. Только когда составляющие движения —
прямолинейные, абсолютное ускорение частицы рав-
но сумме ее ускорений в составляющих движениях;
это свойство будет использовано в § 5.
§ 5.
Рабочие приближения
инерциальной системы
Исследуем величину ошибки при определении аб-
солютного ускорения, обусловленной переносом на-
чала инерциальной системы координат из центра
масс солнечной системы в центр Земли.
Неподвижная система координат. Пусть с Земли
отправлен космический корабль, предназначенный
для дальних космических полетов. Сравним два вы-
ражения абсолютного ускорения корабля: абсолютно-
—>
го ускорения w\m корабля при выборе солнечной си-
стемы кординат OXYZ в качестве инерциальной и аб-
солютного ускорения w'm корабля при выборе инер-
циальной системы в виде системы координат O'X'Y'Z'
с началом в центре Земли и осями X', У' и Z', сохра-
няющими неизменное направление относительно
звезд. Систему координат О'Х'У'/' можно образно
определить как систему, связанную с условной невра-
щающейся Землей.
Наблюдатель, расположившийся во второй из этих
систем координат, не заметит орбитального движения
Земли, тогда как наблюдатель, расположившийся в
первой системе, будет видеть также и орбитальное
движение Земли. Иначе, по отношению к наблюдате-
лю в первой из упомянутых систем, начало О' коор-

90
Рис. 37. Движение основной си-
стемы отсчета по отношению к
солнечной
динат второй системы (т. е. центр Земли) будет дви-
гаться ускоренно. Ускорение начала О' обозначим
через w. (Если орбиту центра Земли принять круго-
вой, то вектор w всегда направлен по радиусу, к
Солнцу — рис. 37.)
->
Обозначим через / ускорение корабля в системе
осей O'X'Y'Z', т. е. то отношению к условной невра-
щающейся Земле, центр которой описывает орбиту
вокруг Солнца. Тогда при отождествлении инерциаль-
ной системы с солнечной системой координат абсо-
лютное ускорение корабля равно векторной сумме
ускорений:
®т = ™+Г	(5.1)
а при отождествлении ее с системой O'X'Y'Z' иско-
мое ускорение имеет вид:
w'm = j.
Отсюда следует, что
wm—wm = w.
Таким образом, ошибка в оценке абсолютного уско-
рения космического корабля, вызванная пренебреже-
нием ускорением w центра О' Земли в орбитальном
движении, как раз и равна ускорению центра О'
в этом движении.

91
Каким же образом скажется подобная ошибка на
полете корабля? Для ответа на этот вопрос обратим-
ся к основному закону механики (3.1). Корабль при-
мем за материальную частицу массы т. В полете на
корабль действуют силы притяжения со стороны Зем-
ли, Солнца и, в общем случае, других небесных тел.
Обозначим через F суммарную силу, приложенную
к кораблю со стороны упомянутых тел. Кроме того,
к кораблю следует приложить для управления его
полетом реактивную тягу — силу R.
Пусть в начальный момент движения корабль на-
ходится в некоторой точке космического пространст-
ва. Требуется в этот момент времени сообщить ему
->
абсолютное ускорение т. е. ускорение, измеряе-
мое по отношению к инерциальной системе отсчета.
В первом случае в качестве инерциальной систе-
мы выбрана система OXYZ — солнечная. Выше было
отмечено, что движение Солнца по отношению к звез-
дам практически является равномерным и прямоли-
нейным. Поэтому будем рассматривать солнечную си-
стему как инерциальную. Тогда закон (3.1) примет
вид:
tnwm = F + R.	(5.2)
Пусть в рассматриваемый момент движения ко-
раблю требуется сообщить заданное ускорение j по
отношению к земной системе O'X'Y'Z'. Согласно ра-
венству (5.1), абсолютное ускорение точки, движущей-
ся с ускорением j по отношению к системе O'X'Y'Z',
равно w + j, поэтому уравнение (5.2) принимает вид:
т (w + j) = F + /?.
Это уравнение определяет тягу R, которую нужно
создать в рассматриваемый момент времени для со-
общения кораблю ускорения / в системе O'X'Y'Z':
— R = F — tn(w + j).

92
При этом масса корабля предполагается извест-
ной. Известным считается и положение корабля в
рассматриваемый момент времени по отношению к
Земле и другим притягивающим массам. Знание это-
го положения необходимо для подсчета силы F по
закону всемирного тяготения.
Во втором случае в качестве инерциальной систе-
мы выбрана система O'X'Y'Z', связанная с условной,
невращающейся Землей. Тогда под абсолютным уско-
рением w'm корабля следует понимать его ускорение
по отношению к системе O'X'Y'Z'. Подсчитаем абсо-
лютное ускорение w'm в тот же момент времени и в
том же положении корабля, что и в первом случае,
когда
tnwm = F -\-R.
Принимая систему O'X'Y'Z' за инерциальную, мы
задаем ускорение ш'т также в этой системе: w'm = j
и
— R = F — tnj.
Сравнивая выражения искомой тяги R в двух ра-
зобранных случаях, обнаруживаем, что они отлича-
ются слагаемым mw. Иначе, они различаются на
слагаемое, представляющее собой по величине и на-
правлению некоторую силу: эта сила не зависит от
положения и скорости корабля * и равна произведе-
нию массы т корабля на абсолютное ускорение w
начала О' неинерциальной системы, принятой нами
в качестве инерциальной.
Таким образом, если не проявить должной осто-
рожности при выборе рабочего приближения инер-
циальной системы отсчета, можно допустить ошибку
при подсчете управляющей реактивной силы кораб-
ля. Так, если в расчете принять систему O'X'Y'Z' за
* Только в случае, когда оси системы O'X'Y'Z' параллельны
осям абсолютной системы OXYZ.

93
инерциальную, то истинное ускорение корабля по от-
ношению к этой системе окажется равным j + w, а не
->
/, как нужно по заданию.
В практических условиях иногда в качестве инер-
циальной системы можно пользоваться системой, свя-
занной с движущимся телом. Это допустимо в тех
случаях, когда ошибка не влияет на полет в недопу-
стимой мере. В ряде случаев это возможно ввиду на-
личия у корабля замкнутой системы управления, ис-
правляющей ошибки расчета. Например, если систе-
ма управления поддерживает заданное движение от-
носительно системы OX'Y'Z', то ошибка w управляю-
щего ускорения приведет к возмущению движения.
Таким образом, при наличии на корабле замкнутой
системы управления различные методические погреш-
ности расчетов приводят лишь к дополнительным на-
грузкам на систему управления и могут быть учтены.
В каждой конкретной задаче, отступая от инерциаль-
ной системы, обязательно нужно оценивать последст-
вия такого отступления.
Определение массы материальной частицы. При
использовании соотношения (3.1) нужно знать массу
материальной частицы. Будем рассматривать силу F
как управляющую силу, с помощью которой косми-
ческому кораблю нужно сообщить требуемое ускоре-
ние w. Тогда чем точнее известна масса корабля, тем
точнее можно подсчитать требуемую управляющую
силу.
Определение массы как меры количества вещест-
ва является описательным, подобно определению си-
лы как меры воздействия на данную частицу со сто-
роны других частиц. Рассмотрим практические прие-
мы определения массы корабля.
Выпишем скалярное соотношение, отвечающее
векторному равенству (3.1):
F = mw.	(5.3)
Если найти хоть один вид силы, поддающейся из-
мерению непосредственным образом, т. е. без исполь-

94
зования закона (3.1), то массу данной частицы мож-
но найти на основании соотношения (5.3):
т = —.	(5.4)
W
Такой силой может служить сила притяжения.
Пусть на частицу М действует только одна сила — си-
ла притяжения к некоторой другой частице Л40 извест-
ной массы. Эту силу можно подсчитать по закону
всемирного тяготения. Если каким-либо образом из-
мерить абсолютное ускорение w частицы, то отноше-
ние (5.4) определит ее массу.
Разберем задачу подробнее, приняв последова-
тельно два предположения о состоянии частиц М и
Мо, и осуществим два опыта.
1) Предположим, что в начальный момент обе ча-
стицы, притягиваемые одна к другой по закону все-
мирного тяготения, — неподвижны. Для измерения
силы притяжения поместим между этими частицами
пружину (рис. 38,а), не напряженную в исходном по-
ложении частиц. Под действием притяжения частицы
начнут сближаться. По мере сближения частиц Мо
и М пружина начнет сжиматься и исходное расстоя-
ние го=(Л1оЛ4) между частицами будет убывать. Тем
самым мы как бы взвешиваем частицы одну по отно-

95
шению к другой. При этом со стороны каждой из ча-
стиц к пружине приложены сжимающие усилия. По
закону действия и противодействия, со стороны пру-
жины к левой частице приложена сила, равная по ве-
личине силе, приложенной со стороны этой частицы
к пружине, и направленная в противоположную сто-
рону; то же справедливо и для правой частицы. По
мере сближения частиц пружина сжимается и напря-
гается все сильнее. Одновременно увеличивается и
сила взаимного притяжения частиц. Если пружина
достаточно тугая, то она не сожмется до конца, т. е.
до соприкосновения витков. Тогда наступит такое со-
стояние системы «массы — пружина», при котором
сила F взаимного притяжения частиц станет равной
по величине силе F', развиваемой пружиной за счет
ее сжатия. Если в этот момент остановить обе части-
цы, то они останутся в состоянии равновесия
(рис. 38,6). В этом состоянии к левой частице Мо
приложены две силы: сила притяжения со сторо-
ны М, стремящаяся сместить пружину вправо, и си-
ла F'n пружины, стремящаяся оттолкнуть частицу Мо
влево. Частица может покоиться только при условии,
что силы, к ней приложенные, уравновешены: Fn =
= —F'n. Подобное же условие имеет место и для пра-
вой частицы: Fn = —F'n. Но пружина также покоится,
а к ней приложены только две силы: сила Ед, стре-
мящаяся сместить ее левый конец вправо, и сила
Fin, стремящаяся сместить ее правый конец влево.
Поэтому Fn = —Fn. Из этого и предшествующих ра-
венств следует, что
K = -K = -Fn = K (4.5)
Все эти силы действуют вдоль общей прямой, по-
этому из равенства следует, что численно (т. е. по ве-
личине) все они равны между собой:
= Рп = F’n = F'n.

96
Обозначим через mQ и т массы частиц Мо и М
соответственно, через г — расстояние между ними в
состоянии равновесия. Из рис. 38,6 следует, что про-
гиб х пружины равен г0 — г. Пусть пружина протари-
рована заранее, как, например, пружина безмена:
известно, сколько единиц силы надо приложить к кон-
цам пружины, чтобы сжать ее на единицу длины. Со-
ответствующее число называется жесткостью пружи-
ны К. Например, если сила в 1 кГ сжимает пружину
на 5 мм, то ее жесткость К=\ кГ/5 мм=0,2 кГ/мм =
= 2 кГ/см (рис. 38,в).
По закону всемирного тяготения сила, сжимаю-
щая пружину, равна
F = k	(5.5)
Сила пружины пропорциональна прогибу х:
F = Кх.	(5.6)
Приравнивая величины (5.5) и (5.6), найдем иско-
мую массу
Для такого опыта необходимо иметь оттарирован-
ную пружину и эталонную массу
2) Определим массу частицы путем взвешивания
ее на поверхности Земли. Дело в том, что прием на-
хождения массы, изложенный в первом опыте, невоз-
можно осуществить в земных условиях. Действитель-
но, в этом опыте существенно, что частицы Мо и М
покоятся в неподвижном пространстве после сжатия
пружины. Но если за притягивающую массу Л40 при-
нять Землю и взвешивать частицу М на поверхности
Земли, то эта частица будет покоиться относительно
Земли, а не по отношению к неподвижному простран-
ству: Земля совершает суточное вращение, обращает-
ся вокруг Солнца по орбите и испытывает притяже-
ние (хотя и слабое) со стороны Луны и других пла-
нет. В этих движениях вместе с Землей участвует и

97
взвешиваемая частица;
она также испытывает
притяжение со стороны
указанных небесных тел.
Поэтому равенство (5.7)
уже не будет иметь места.
А так как взвешивать те-
ла мы в состоянии толь-
ко на Земле, необходимо
видоизменить опыт и су-
меть определить массу
тела путем взвешивания
его на поверхности Земли.
Итак, будем взвеши-
вать частицу М на пру-
жинных весах, находя-
щихся на поверхности
Земли где-либо на широ-
те <р (рис. 39,а, б). Для
простоты условимся не
учитывать сжатие Земли.
Под действием взаимного
притяжения частица и Зем-
ля несколько сблизятся
Рис. 39. Влияние центробежной
силы на взвешивание тел
и сожмут пружину весов.
Однако, в отличие от усло-
вий предыдущего опыта, здесь прогиб пружины зави-
сит не только от силы притяжения между Землей й
частицей: взвешивание происходит на движущейся
Земле. Чтобы оценить влияние движения Земли на
итог взвешивания, зададимся рабочим приближением
инерциальной системы. Именно, в качестве неподвиж^
ной системы отсчета выберем систему OX'Y'Z', свя-
занную с условной невращающейся Землей. Тогда
абсолютным движением взвешиваемой частицы
является обращение по окружности радиуса
г'=(О'Л4), обусловленное суточным вращением Зем-
ли (рис. 39,6). В этом движении частица обладает
центростремительным ускорением (4.2), причем угло-
вой скоростью со будет угловая скорость Q суточного
вращения Земли, рассматриваемого по отношению к

98
звездам. На основании сделанного выбора неподвиж-
ной системы отсчета центростремительное ускорение
w в данном случае является абсолютным ускорением
частицы. Следовательно, по основному закону меха-
ники к частице М помимо силы притяжения к Земле
приложена еще сила, равная произведению массы т
частицы на ее центростремительное ускорение mw =
и направленная к оси вращения Земли (т. е.
к точке О' — в ту же сторону, что и центростреми-
тельное ускорение). Эта дополнительная сила обус-
ловлена вращением Земли и физически осуществляет-
ся пружиной, удерживающей частицу, т. е. пружиной
весов. По закону действия и противодействия, к пру-
жине со стороны частицы приложена сила, равная по
величине упомянутому произведению, т. е. величина
mQ2r, и направленная в противоположную сторону —
от оси вращения Земли; эту силу называют центро-
бежной— она стремится удалить конец пружины, не-
сущей частицу, от оси вращения Земли.
По условию ход пружины весов происходит вдоль
прямой М0М, т. е. вдоль направления к центру Земли,
именно в этом направлении пружина прогибается и
именно в этом направлении действует сила взаимно-
го притяжения частицы и Земли. Но центробежная
сила действует под углом к этому направлению. По-
этому на прогиб пружины влияет только составляю-
щая центробежной силы по направлению к центру
Земли. Пользуясь правилом параллелограмма, пред-
ставим центробежную силу F' в виде суммы двух сил:
силы Fq, действующей вдоль направления к центру
Земли, и силы F", действующей в плоскости горизон-
та и проходящей через частицу М (рис. 39,6в):
F'=F'Q + F". Только сила F'Q влияет на прогиб пру-
жины. По построению, треугольник MBA — прямо-
угольный, и Л = F'cos<p.
Итак, в состоянии равновесия весов прогиб пру-
жины обусловлен совокупным действием двух сил:
силы Fo взаимного притяжения частицы М и Земли,

99
сжимающей пружину, и составляющей F'o центро-
бежной силы, растягивающей пружину. Подсчитаем
эти силы. По построению, треугольник MqO'M— пря-
моугольный, и r' = /?cos<p; R— радиус Земли, прини-
маемой, как оговорено, шарообразной. Таким обра-
зом,
F' == mf Q2 =•= m/?Q2 cos ф.
Следовательно,
Fo mR й2 со>2 ф.
(5.8)
Сила F» определяется по закону всемирного тяго-
1ения:
F2
где — масса Земли. Сила F, сжимающая пружину,
равна разности Ли — F'Q :
F - ni(-k^ — RQ2 cos’«Л.
\ R2	J
(5.9)
Обозначим через у прогиб пружины в данном
опыте. Жесткость пружины будем по-прежнему счи-
тать равной жесткости К, как в первом опыте, т. е.
пружину в обоих случаях возьмем одинаковую. Тогда
Заменяя в последнем равенстве величну F ее выра-
жением (5.9), найдем искомую массу т:
т----------------------.	(5.10)
ГПо
k---- R Q2 cos2<r
Это соотношение определяет массу т по прогибу
пружины весов на широте ф в предположении, что
масса Земли известна. В частности, при взвешивании

100
на экваторе (<р = 0) центростремительное ускорение
частицы — наибольшее, и
т =,
На полюсах (ф=±90°) центростремительное ус-
корение отсутствует, и
KR2 у
tn =-----
km0
Последнее соотношение совпадает с равенством (5.7)
с точностью до обозначения, что и должно быть при
взвешивании на неподвижном основании. Действи-
тельно, при сделанном выборе неподвижной системы,
точки, расположенные на оси вращения Земли, вклю-
чая полюсы, считаются неподвижными.
Для оценки влияния вращения Земли на опреде-
ление массы взвешиваемой частицы подсчитаем отно-
шение F'o /F. Наибольшее влияние этого вращения
имеет место на экваторе, поэтому положим costp=l.
Тогда
F'o _ /?3Q2
Fo km0
Подставим числа: экваториальный радиус Земли
/?э = 6378 км, произведение /гт() = 3,986-1020 см^сек2.
Звездные сутки составляют 86 164,1 сек, поэтому
Й = 2л/86 164 сек. В итоге
Fo _ (6378-105 см)* (6,28)а сек2 _ g 0Q3
Го (86 164 сек)2 3,987-1020 см*
Таким образом, поправка на вращение Земли при
определении массы тел взвешиванием их на экваторе
составляет примерно 0,3%. Во многих задачах полета
в ближайшей окрестности Земли погрешность в 0,3%
при подсчете массы летательного аппарата можно
считать несущественной, т. е. не влияющей заметно
на течение полета. Тогда вращение Земли не учиты-

101
вается, и позволительно применять равенство (5.7),
понимая в нем под величиной массу Земли. Но
при расчете межпланетных полетов даже столь ма-
лая ошибка в величине массы способна привести к
заметному отклонению истинного движения от расчет-
ного. Тогда необходимо пользоваться соотношением
(5.10), учитывающим влияние вращения Земли на
величину прогиба пружины весов при взвешивании
космического корабля.
С теоретической точки зрения и соотношение
(5.10) все равно является приближенным, хотя и до-
статочным для прикладных нужд. В самом деле, оно
получено при условии, что абсолютное движение
взвешиваемой частицы представляет собой движение
по окружности, обусловленное суточным вращением
Земли; именно таков смысл выбора земной системы
отсчета в качестве неподвижной системы. Если же
перейти к более точному выбору неподвижной систе-
мы и принять за нее систему, связанную с неподвиж-
ными звездами, то мы получим несколько более точ-
ное значение измеряемой массы. Действительно, про-
гиб пружины, наблюдающийся при взвешивании, не
зависит от наших предположений о целесообразно-
сти выбора той или иной системы отсчета в качестве
неподвижной; он определяется только физической
стороной процесса взвешивания. Поэтому и сила пру-
жины, равная произведению прогиба пружины на ее
жесткость, также не зависит от выбора неподвижной
системы. Но величина w приближения абсолютного
ускорения взвешиваемой частицы зависит от этого
выбора. Так, при выборе звездной системы в качест-
ве неподвижной при расчете массы нужно учесть по-
мимо центробежной силы еще и влияние движения
Земли по орбите вокруг Солнца.
В количественном отношении эти поправки неве-
лики, но в теоретическом отношении получен вывод
на первый взгляд невероятный: масса тела, т. е. ко-
личество вещества, имеет различное значение в зави-
симости от выбора неподвижной системы отсчета. Это
нелепо, ибо количество вещества в теле не может за-
висеть от наших суждений о системах отсчета. Исти-

102
на же заключается в том, что задача совершенно точ-
ного определения массы тела требует и совершенно
точного знания положения инерциальной системы
отсчета, так как в основном законе механики рассмат-
ривается абсолютное ускорение. А так как в механи-
ке приходится довольствоваться лишь системами от-
счета, приближенно принимаемыми за инерциальную,
то и в определении массы им приходится ограничи-
ваться только приближенными значениями. Следова-
тельно, не масса тела меняется от выбора неподвижной
системы отсчета, а каждому приближению инерциаль-
ной системы отвечает свое приближенное значение
массы тела.
Следует обратить внимание на то, что заметное
отклонение величины (5.10) от истинной обусловле-
но пренебрежением влияния сжатия Земли, допущен-
ным при выводе этого соотношения. Для учета влияния
сжатия Земли надо ввести поправки в величины q
и в силу земного тяготения на широте q).
Наконец, еще одна неточность выражения (5.10) со-
стоит в том, что в определении массы используются
классические законы механики без учета поправки,
вносимой теорией относительности.
В данном изложении большое внимание уделено
выбору рабочего приближения инерциальной систе-
мы. Вместе с тем мы здесь ограничиваемся понятием
одновременности событий, существовавшим до созда-
ния теории относительности и основанным на подсоз-
нательном представлении о существовании единого
времени для всех точек пространства. Теория относи-
тельности показывает, что масса всякого тела — ве-
личина переменная в ускоренном движении и зависит
от скорости движения. Однако при скорости, малой
по сравнению с огромной скоростью распростране-
ния света в пустоте (^300 000 км/сек), увеличение
массы является крайне незначительным. При полетах
в пределах солнечной системы зависимость массы от
скорости едва ли имеет прикладное значение в рас-
чете динамики полета космических кораблей. Поэто-
му в данной книге вопросы, связанные с теорией от-
носительности. не рассматриваются.

103
Рис. 40. Сила тяжести материальной ча-
стицы
Сила тяжести. Из изложения предыдущего разде-
ла следует, что весы, установленные на Земле, изме-
ряют не силу притяжения взвешиваемого груза к Зем-
ле, а равнодействующую этой силы и центробежной
силы. Равнодействующую силу притяжения и цент-
робежной силы материальной частицы, покоящейся
на поверхности Земли, называют ее весом, или силой
тяжести. Эта равнодействующая G находится по пра-
вилу параллелограмма: G = bo + F' (рис. 40). Как
видно из рассмотрения этого рисунка, вектор G, изо-
бражающий вес частицы, направлен не к центру Зем-
ли; к центру Земли направлена только сила Fo при-
тяжения частицы.
Подсчитаем величину G силы тяжести (не учиты-
вая влияние сжатия Земли) и угол а= Z (Fo, G) откло-
нения ее направления от направления к центру Зем-
ли. Применяя теорему косинусов к треугольнику
MCD, найдем величину G равнодействующей G, как
длину диагонали МС параллелограмма сил MDCB-.
G = VfS + (F')2 —2F0F'cos<p .
Выше найдено, что F^km^nlR2, F' = m/?Q2cos ф.
Подставим эти выражения, тогда получим:
G = m |/ ——-— 2 — m0 Q2 cos <р + cos2 <р =
= ±	---₽£22cos <р).

104
Величина G силы тяжести по своему физическому
смыслу положительна. Сила притяжения намного
превосходит центробежную силу, поэтому kmlR2
^>/?Q2cos(p , и чтобы было G>0 перед скобкой нуж-
но взять знак « + ».
Угол а находится применением теоремы синусов
в том же треугольнике:
sin (DMC) ____ sin (MDC)
(DC) ~ (МС) ’
т. е.
sin а _ sin ф
” G ’
откуда следует, что
sin а = —— sin <р.
Уже было подсчитано, что центробежная сила на
поверхности Земли не превышает 0,3% от силы при-
тяжения. В такой же мере мала и разность между
силой притяжения и весом частицы, очень мал и
угол а.
§ 6.
Общие свойства движения
механической системы
Основной закон механики, описываемый уравне-
нием (3.1), определяет динамику материальной ча-
стицы. При исследовании движения космических ко-
раблей во многих случаях нельзя удовлетвориться вы-
бором материальной частицы в качестве механиче-
ской модели корабля, а нужно переходить к более
сложной механической системе, например к системе
твердых тел (рис. 25). Но уравнение (3.1) непосред-
ственно можно применить только к каждой отдель-
ной материальной частице, составляющей это тело
или систему. Поэтому в механике выводятся общие
закономерности, определяющие свойства движения

105
механических систем, в частности твердых тел. Обзо-
ру некоторых из таких закономерностей и их исполь-
зования при управлении космическими кораблями и
посвящен настоящий параграф.
Пусть нам задана некоторая совокупность матери-
альных частиц в виде совокупности отдельных ча-
стиц, твердых, жидких или газообразных тел. Предпо-
ложим, что эта совокупность настолько удалена от
всех других материальных образований, что ни одна
из ее частей не испытывает воздействия со стороны
посторонних частиц. В этом случае говорят, что на
данную совокупность не действуют внешние силы. Но
частицы совокупности могут взаимодействовать: при-
тягиваться по закону всемирного тяготения, сбли-
жаться или удаляться под влиянием упругих соеди-
нений (пружин), магнитных или электромагнитных
сил и т. д.
Движение механической системы, свободной от
внешних сил, обладает следующими особыми свой-
ствами.
Движение центра масс частиц при отсутствии
внешних сил. Будем исследовать абсолютное движе-
ние центра масс заданной совокупности материаль-
ных частиц, свободных от действия внешних сил, по
отношению к некоторой неподвижной системе отсче-
та. Перенумеруем в каком-либо порядке материаль-
ные частицы упомянутой совокупности и будем обо-
значать их символами Л4Ь Л12, Л43, ..., Л4г-... Многото-
чие после символа означает, что символы частиц
следуют до исчерпания всех частиц совокупности.
Предположим сначала, что материальные частицы
упомянутой совокупности не взаимодействуют. Тогда
каждая частица Л1г- движется по инерции. Абсолют-
ная скорость Vi частицы остается с течением вре-
мени неизменной. Поэтому остается постоянным и
произведение массы любой частицы на ее абсо-
лютную скорость. Это произведение называется абсо-
лютным количеством движения частицы
(6.1)

106
Сложим количества движения всех частиц:
Q — Qi 4- Qi + • • • 4* Qi 4~  • • = ВД 4" Wt4-
4- ... +т^+ ...	(6.2)
—>
Вектор Q называется абсолютным количеством
движения механической системы. Он равен Q=(mi +
—►
+ m2 + .. . + mi + .. .)ис, где vc — скорость центра масс
системы. Вектор Q можно построить, последователь-
но складывая векторы-слагаемые Qi, Q2, ...» Qi, •
по правилу параллелограмма. Так как каждое сла-
гаемое не меняется с течением времени (ни по вели-
чине, ни по направлению), сумма Q также сохраняет
постоянное значение. Подробнее полученный вывод
можно выразить следующими словами: абсолютное
количество движения механической системы, состоя-
щей из материальных частиц, не взаимодействующих
и свободных от действия внешних сил, остается при
движении системы постоянным, т. е. не изменяется
ни по величине, ни по направлению.
Взаимное расположение частиц, движущихся рав-
номерно и прямолинейно с одинаковыми абсолютны-
ми скоростями, с течением времени не изменяется.
Поэтому центр масс механической системы, состоя-
щей из таких частиц, также совершает равномерное
и прямолинейное движение или, в частности, поко-
ится.
Если абсолютные скорости частиц, движущихся
равномерно и прямолинейно, не одинаковы, то вза-
имное расположение их изменяется, но так, что за
каждый промежуток времени все взаимные расстоя-
ния, а следовательно, и расстояния от центра масс
меняются в одно и то же число раз. Поэтому центр
масс по-прежнему движется равномерно и прямоли-
нейно или покоится.
Перейдем к более сложному случаю движения
рассматриваемой совокупности материальных частиц.
Именно, допустим теперь, что частицы взаимодейст-

107
вуют; это означает, что некоторая частица создает
силы, приложенные к другим частицам совокупности
(всем или некоторым). Однако внешние силы пусть
ио-прежнему отсутствуют.
Дадим строгое определение внутренней силы и
внешней силы. Всякая сила, обусловленная взаимо-
действием частиц, принадлежащих заданной совокуп-
ности материальных частиц, называется силой, вну-
тренней по отношению к данной совокупности. Все
прочие силы, действующие на частицы данной сово-
купности, называются внешними по отношению к ней.
Из последнего определения следует, что внешние си-
лы возникают при взаимодействии частиц данной со-
вокупности с частицами, не входящими в эту сово-
купность. Таким образом, разделение сил на внешние
и внутренние относительное; оно имеет смысл только
при задании совокупности частиц, по отношению к
которой производится разбиение сил, приложенных
к частицам, на внешние и внутренние.
Пусть, например, в космосе летят два корабля на
небольшом расстоянии один от другого, причем ко-
рабли обладают заметными магнитными массами.
Будем рассматривать совокупность / материальных
частиц, образующих первый корабль. Магнитная си-
ла Fi, с которой второй корабль притягивает первый,
является внешней по отношению к первому кораблю,
т. е. по отношению к совокупности /. Теперь рассмот-
рим материальные частицы обоих кораблей как еди-
ную совокупность //; по отношению к ней магнитная
сила Fi и магнитная сила F2, с которой первый ко-
рабль притягивает второй, — обе внутренние. При
этом по закону действия и противодействия Fi=—F2.
Вернемся к изучению движения совокупности
взаимодействующих частиц. Выясним, что происхо-
дит с абсолютным количеством движения такой си-
стемы. Пусть для простоты изучаемая совокупность
содержит всего две частицы, Mi и М2 (рис. 41). Со
стороны частицы М2 к частице Мх приложена сила
Fi, со стороны частицы Мi к частице М2 приложена сила

108
1_______Мг
е--------------------•
Рис. 41. Схема взаимодействия
двух материальных частиц
F2. Физически силы и F2 могут быть силами меха-
нического или электрического притяжения (или от-
талкивания), упругими силами и т. д. По закону дей-
ствия и противодействия сила воздействия первой
частицы на вторую равна по величине силе воздейст-
вия второй частицы на первую и направлена в сто-
рону, ей противоположную:
А =—Л-	(6.3)
Применим к каждой из частиц Mi и М2 основное
уравнение механики (3.1). Обозначая через гсч и
абсолютные ускорения соответствующих частиц, т. е.
ускорения по отношению к неподвижной системе от-
счета, выпишем уравнения, определяющие ускорения
Wi и w2:
= Fx, m2w2 = F2,
где mi и m2 — массы частиц Мх и М2 соответственно.
В силу соотношения (6.3)
- F1, ni2w2 = —F^
Иначе,
miwl 4- fntw2 = 0.	(6.4)
В целях упрощения математических выкладок
—>
предположим, что сила Fi — постоянная. Тогда на ос-
новании соотношения (6.3) постоянной будет и сила
F2. Из соотношений
, W, =------—	(6.5)
tnv	m2
вытекает, что каждое из ускорений Wi и w2 также
постоянно.

109
Равенства (6.3) и (6.5) показывают, что если мае*
сы частиц различны (т^т2), то ускорения, сооб*
щаемые частицам, также различны по величине:
110! |=#|и>2| . Абсолютная скорость частицы возраста-
ет пропорционально абсолютному ускорению, поэто-
му величины приращения абсолютных скоростей ча-
стиц и М2, рассматриваемые в одни и те же мо-
менты времени, не одинаковы. Но нетрудно показать,
что абсолютное количество движения системы частиц
Mi и М2, определяемое выражениями (6.1), останется
неизменным.
Начнем отсчитывать движение частиц Mi и М2 от
некоторого момента времени, который примем за на-
чальный: / = 0. Пусть в начальный момент времени
частица Mi имела скорость (абсолютную) Vi, части-
ца М2— скорость V2. Тогда в любой более поздний
момент времени /(/>0) абсолютные скорости гд и v2
соответствующих частиц определяются выражениями:
V7! + MJ, = У2 + w2t.
Умножим все члены первого из этих выражений
на массу второго — на массу т2 и сложим по*
членно:
/И101 4- m2v2 туу + ту2 4- (miwi 4- m2w2) t.
Учитывая уравнение (6.4), приведем последнее р<г
венство к виду
m&L 4- m2v2 = тух 4- m2V2.
(6.6)
Обратим внимание, что левая часть этого равенства
представляет собой сумму Q абсолютных количеств
движения Qi = miVi и Q2 = m2^2 частиц Mi и М2, соот-
ветствующих любому моменту времени: Qi + Q2^Q-
Правая часть равенства (6.6) представляет собой сум-
му Qo абсолютных количеств движений этих же ча-
стиц, соответствующих начальному моменту. Следо-

но
вательно, равенство (6.6) можно переписать в виде
Q = Qo или Qi + & = Qo- (6.7)
Проводя такое же рассуждение для произвольно-
го числа частиц, вновь придем к соотношению (6.7).
причем теперь
Q =	+ т2щ + ... + -г ... [
Qo = mlVi 4- m2Vt + ... + m.v'. 4- ... )
Наконец, отметим, что соотношение (6.7) остается
справедливым и в том случае, когда силы F\, F2, . . . ,
Fi меняются с течением времени. Математическое ис-
следование при этом усложняется, но механический
смысл задачи остается тот же.
Итак, установлено свойство: абсолютное количест-
во движения механической системы, свободной от
внешнего воздействия, с течением времени не изме-
няется. (Так как количество движения — величина
векторная, мы, говоря о постоянстве абсолютного ко-
личества движения, имеем в виду, что оно не изме-
няется ни по величине, ни по направлению.) Иными
словами, одни только внутренние силы не могут изме-
нить количество движения такой системы.
В частном случае, когда в исходный момен!
/ = 0 все частицы системы покоятся в неподвижной си-
стеме отсчета (И( -= V? .. V, -= ... - 0), то Qo = 0,
и равенство (6.7) принимает вид
Q - 0,
т. е. абсолютное количество движения системы
остается нулем во все время движения.
Выше мы отметили, что, когда частицы не взаимо-
действуют, центр масс совокупности этих частиц дви-
жется равномерно и прямолинейно. Это же свойство
центра массы сохраняется и в общем случае движе-
ния механической системы, свободной от действия
внешних сил.

Ill
Действительно, если мы заменяем механическую
систему ее моделью в виде материальной точки, сов-
падающей с центром масс системы и имеющей мас-
су системы, то мы должны этой точке приписать ско-
рость центра масс системы Vc- Но, с другой стороны,
абсолютное количество движения материальной точ-
ки— модели механической системы, также должно
совпадать с абсолютным количеством движения рас-
сматриваемой системы — так утверждает механика.
Следовательно, например, для двух точек:
(fflj + тг) Vc = m1Vi + /n2V2 - Q,
Vc = —
+ т2
н если абсолютное количество Q есть постоянная ве-
личина, то и скорость центра масс есть постоянная
величина.
Отсюда можно сделать определенный вывод и о
движении системы, находящейся под действием
внешних сил. Так как внутренние силы в системе не
могут сообщить центру масс системы абсолютного
ускорения, последнее определяется исключительно
внешними силами. Это утверждение называется тео-
ремой о движении центра масс, которая гласит: центр
масс системы движется как материальная частица,
к которой приложены все внешние силы, действую-
щие на систему.
Вернемся к изучению систем, свободных от дейст-
вия внешних сил.
Рассмотрим изменение состояния системы частиц
Mi и М2 за некоторое время t. За время t скорости
частиц системы могли претерпеть изменения, вызван-
ные влиянием внутренних сил в системе: срабатыва-
нием пружин, взрывом порохового заряда, отбрасы-
вающего частицы одну от другой, действием сил вза-
имного притяжения и т. и. Обозначим через щ при-
ращение абсолютной скорости частицы М\ за время
t, через «а — то же для частицы М2:
Vi^Vy+iit, vt = Vt + ut,

112
Подставляя в левую часть равенства (6.7) вместо
скоростей Vi и и2 их последние выражения, придем к
равенству
ОЛ + «1) +	(V2 + u2) - Qo.
Сокращая одинаковые суммы Qo в обеих частях
последнего равенства, получим соотношение
+ m2u2 = 0,	(6.9)
связывающее возможные приращения абсолютных
скоростей частиц системы. Оно означает, что с по-
мощью внутренних сил в механической системе мож-
но произвести только такие изменения абсолютных
скоростей частиц, которые удовлетворяют условию
(6.9), т. е. при которых абсолютное количество дви-
жения системы не изменяется.
Предположим теперь, что на систему помимо вну-
тренних сил действуют также силы внешние. При
этом свойство постоянства абсолютного количества
движения системы в общем случае не имеет места,
равенство (6.7) не является обязательным. Однако
и при наличии внешних сил можно указать случай,
при котором соотношение (6.7) практически сохра-
няет свое значение. Рассмотрим так называемые им-
пульсные внутренние силы, способные изменять ско-
рости частиц практически мгновенно. Импульсные
силы создаются взрывом порохового заряда, быстрым
сгоранием жидкого топлива, резким растяжением или
сжатием пружины, внезапным передвижением от-
дельных масс системы с помощью быстродействую-
щих двигателей и т. д. Что касается внешних сил, то
примем, что эти силы либо постоянные, либо изме-
няются сравнительно медленно. Ввиду скоротечности
процесса изменения скоростей частиц системы за
счет действия импульсных сил внешние силы (напри-
мер, силы тяготения) не успеют за это время произ-
вести сколько-нибудь заметное дополнительное изме-
нение скоростей. Таким образом, благодаря кратко-
временности рассматриваемого процесса все измене-

113
ния скоростей частиц системы практически обуслов-
ливаются только действием внутренних сил. Иначе,
хотя изменения в системе требуют некоторого време-
ни, ввиду малости этого времени можно описать эти
изменения с помощью определенной модели явления:
модели мгновенного изменения скоростей в рамках
постоянства абсолютного количества движения.
В качестве примера исследуем процесс разъедине-
ния ступеней двухступенчатой ракеты. Пусть ракета
поднимается вертикально вверх. За неподвижную си-
стему отсчета выберем земную систему координат,
тогда абсолютной скоростью всякой точки будет ее
скорость относительно Земли.
Рассмотрим движение ракеты между моментом
'=0 окончания работы первой ступени и моментом
включения двигателей второй ступени. В качестве ме-
ханической модели ракеты в данной задаче выберем
систему двух материальных частиц Мх (первая сту-
пень) и М2 (вторая ступень). До момента / = 0 обе
ступени перемещались как единое тело, и к моменту
/ = 0 окончания работы двигателей первой ступени
—>
ракета приобрела вертикальную скорость v0. Пусть
в этот момент производится подрыв порохового за-
ряда, отбрасывающий первую ступень от второй вер-
->
тикально вниз с относительной скоростью U. Подсчи-
таем абсолютную скорость второй ступени после от-
брасывания первой, принимая процесс отделения
мгновенным и пренебрегая массой порохового заря-
да, ничтожной по сравнению с массами ступеней.
Абсолютное количество движения Qo в момент,
непосредственно предшествующий разделению ступе-
ней, определяется соотношением (6.8):
Qo = (^1 + ^1)^0.
Сразу же после подрыва заряда и разделения
ступеней абсолютные скорости первой и второй сту-
пеней изменяются; обозначим новые значения этих
скоростей Vi и v2 соответственно. По условию ско-

114
рость U отбрасывания первой ступени направлена
вдоль вертикали, поэтому векторы Ui и и2 направле-
ны также вдоль вертикали.
Обозначим через U\ и U2 приращения абсолютной
скорости первой и второй ступеней, созданные взры-
вом порохового заряда. Благодаря предположению
о мгновенном протекании взрыва условие (6.9) сохра-
няется (силы взаимодействия между ступенями при
взрыве — внутренние силы):
tnlUl + m2U2 --- 0,	(6.10)
т. е.
----— Й2.
Последнее равенство означает, что приращения
скоростей ступеней, созданные взрывом, направлены
в противоположные стороны, что отвечает механиче-
скому смыслу процесса разделения ступеней, а вели-
чины ил и U2 этих приращений обратно пропорцио-
нальны массам соответствующих ступеней.
Подсчитаем новые абсолютные скорости щ и с>2.
Перед разделением обе ступени имели общую ско-
рость и0, поэтому, по определению приращений и
t/2, V\=Vq+Ui, V2 = Vq+U2. С другой стороны, по
определению относительной скорости U как скоро-
сти отбрасывания первой ступени от второй
Vi = v2 + 0.	(6.11)
Таким образом,
их = Vi — Го = V2 +	U2 = v2 — Vq.
—►	- >
Подставляя эти выражения для приращений 1Ц и U2
в левую часть соотношения (6.10), получим уравне-
ние относительно скорости v2:
(mt + ma) v, + m/J — (гг^ + тг) v0 = 0,

115
лкуда следует, что
f» : - «о-—U,
т
(6J2)
где т = т\ + т2 — масса всей ракеты в момент разде-
ления ступеней. Скорость находится из равенства
(6.11) с учетом соотношения (6.12):
.
т
(6.13)
Перейдем от векторов к величинам и и2 абсо-
лютных скоростей ступеней после отделения. За поло-
жительное направление вдоль вертикали примем на-
правление вверх, т. е. по начальной скорости и0. Тог-
да проекция вектора U на вертикаль равна —(7, ибо
по условию относительная скорость U направлена
вниз. Векторы Ц) и v2 являются искомыми и мы за-
ранее не знаем, как они направлены, поэтому пред-
положим, например, что они направлены вверх;
в противном случае их значения окажутся отрица-
тельными. Тогда, проектируя векторные равенства
10.12) и (6.13) на вертикальную ось, получим:
vt = v0-— U) == v0 +U,
т	гп
Щ = v. + -^(-(7) =
т	т
Таким образом, абсолютные скорости ступеней
после разделения зависят от относительной скорости
(7(t7>0) их разделения, создаваемой за счет внутрен-
ней энергии пороха, освобождаемой при взрыве. Ско-
рость v2 второй ступени всегда превосходит началь-
ную скорость Цо, так как пороховые газы действуют
на вторую ступень снизу вверх; математически этот

116
вывод следует из первого соотношения (6.14), в пра-
вой части которого оба слагаемых положительны.
Скорость Ц1 первой ступени всегда меньше на-
чальной скорости Уо, так как пороховые газы дейст-
вуют на первую ступень сверху вниз; математически
этот вывод следует из второго соотношения (6.14),
в правой части которого находится разность двух по-
ложительных величин. Если заряд пороха сравни-
тельно слабый, такой, что
Q<U<U' = — и0,	(6.15)
т2
то щ>0 — после отделения первая ступень продол-
жает подниматься в течение некоторого времени, хо-
тя и с уменьшенной скоростью. Если заряд такой, что
U= U*, то ui=0 — взрыв пороха полностью «гасит»
скорость первой ступени ракеты, и она на мгновение
неподвижно повиснет над Землей, после чего начнет
падать без начальной скорости. Если применен заряд
настолько сильный, что (7>(7*, то
Vl = — =
tn	m
т. e. ^i<0 — следовательно, вектор щ в этом случае
направлен вниз, и первая ступень сразу же устрем-
ляется вниз с начальной скоростью |Vi|.
Пусть первая ступень весит на Земле (без топли-
ва) 10 т, вторая (с топливом)—7 т; ^о = 6ОО м/сек.
(7=15 м/сек. Так как в выражении скоростей
и (7* массы входят только в виде отношений тч'гп.
mi/m, последние можно заменить отношением соот-
ветствующих весов. Тогда в данном примере
= 600----— • 15 = 593,83 м/сек.
17
v2 = 600 4- — • 15 = 608,83 м/сек.

117
Скорость [7*, нужная для полной остановки пер-
вой ступени, составила бы
£7* = -у- . 600	858 м/сек.
Было бы неправильно полагать, что для полной
остановки первой ступени имеющей до отделения ско-
рость и() (600 м/сек в данном случае), достаточно от-
бросить ее вниз от второй ступени также со скоростью
U = vQ (т. е. 600 м/сек). Так как m/m2>l, из равен-
ства (6.15) следует, что (7>и0. Действительно, чтобы
«погасить» абсолютную скорость U) (т. е. скорость,
отсчитываемую в неподвижной системе координат),
нужно сообщить первой ступени скорость, равную t’o
и направленную в противоположную сторону —
вниз — также по отношению к неподвижной системе
координат. А скорость U отбрасывания первой сту-
пени является относительной, она измерена в систе-
ме координат, связанной со второй ступенью, имею-
щей в момент разделения ступеней абсолютную ско-
рость V2 = vo+U. И только при U=U*, когда
U*>vQ, абсолютное изменение U\ скорости первой
ступени составляет U\ = V\—и0=—v.} и ^1 = 0. Этот
пример еще раз показывает, как важно в механике
четко определять системы координат, в которых изме-
ряется движение.
С помощью соотношений (6.14) легко убедиться,
что после разделения ступеней общее абсолютное ко-
личество движения их сохранилось: составляя сумму
Q = tn\V\ + m2^2, убедимся, что
Q = (^1 + ™a) VQ = tnvQ = Qo.
Образец действительной механической системы —
двухступенчатой космической ракеты, расчетной мо-
делью которой служит рассмотренная система двух
частиц, схематически изображен на рис. 42; взлет та-
кой ракеты показан на рис. 1.
Вращательное движение системы частиц при от-
сутствии внешних сил. Исследуем общие свойства
движения системы материальных частиц, когда это
движение состоит во вращении около неподвижной оси.

118
При таком движении абсолютными траекториями
частиц служат окружности с центрами, расположен-
ными на общей неподвижной прямой, причем плоско-
сти всех окружностей перпендикулярны указанной
прямой.
Рассмотрим, как и выше, систему, состоящую из
двух частиц. Пусть частицы Afi и Л12 с массами Ш\
и т2 соответственно могут перемещаться только по
окружностям одинакового радиуса а, причем плоско-
сти обеих окружностей параллельны. Движение ча-
стиц рассматривается по отношению к неподвижной
системе координат OXYZ. За одну из неподвижных
осей, например ось ОУ, примем прямую, соединяю-
< Рис. 42. Схема двухступенчатой
ракеты обычного вида:
/ — горючее, 2 — окислитель, 3 — камера
сгорания, 4 — приборы управления, 5—по-
лезный груз, 6 — парашют для спуска
первой ступени
4 Рис. 43. Схема измене-
ния абсолютных скоро
стей двух материальных
частиц, обращающихся
по общей окружности
под действием внутрен-
них сил

119
щую центры 01 и О2, траекторий частиц Afj и М2 со-
ответственно; О — некоторая точка на оси OjO2, оси
0Z и ОХ проведем в плоскости, параллельной пло-
скостям траекторий частиц Mi и М2 (рис. 43). Поло-
жительное направление оси вращения 0Y выберем
так, что, если смотреть с положительного конца оси
0Y, вращение казалось бы происходящим против ча-
совой стрелки.
В некоторый момент времени обе частицы нахо-
дятся в одинаковых положениях на соответствующих
окружностях: Z1ZO\M\ = Z.ZO2M2 = ^ и имеют одина-
ковую скорость Пусть в этот же момент времени
срабатывают силы, внутренние по отношению к си-
стеме двух частиц Mi и М2. Под действием этих сил
скорости частиц претерпевают изменение по величи-
не, но не по направлению. Считая, что действие внут-
ренних сил осуществляется практически мгновенно,
мы можем применить для оценки величин новых аб-
солютных скоростей Vi и v2 частиц Мх и М2 соотно-
шения (6.14), где по-прежнему U — величина отно-
сительной скорости частиц ЛЬ и М2 сразу же после
срабатывания внутренних сил, созданная за счет этих
сил. Вектор U направлен по касательной к окружно-
сти, как и вектор у»; тогда по этой же касательно!!
->
направлены и векторы vx и v2.
Введем лучи OjAfi и О2М2, соединяющие центры
окружностей частиц Mi и М2 с самими частицами.
До осуществления изменения скоростей частиц лучи
01Л11 и О2М2 поворачивались, оставаясь параллель-
ными. С момента осуществления этого изменения лу-
чи расходятся. Обозначим через <о0 величину общей
угловой скорости лучей OiAh, О2М2 непосредственно
перед разделением, через соi и 102 — величины угловых
скоростей соответственных лучей сразу после разде-
ления. По определению угловой скорости

120
Рис. 44. Схема изменения аб-
солютных скоростей двух ма-
териальных частиц, обращаю-
щихся по концентрическим ок-
ружностям различных радиусов,
под действием внутренних сил
Вводя угловую скорость Q разделения лучей.
Q = со2 — coj = ---t
а
перепишем соотношения (6.14) для случая враща-
тельного движения в виде
<01 = соо-—	(о, = (оо + Q. (6.16)
m	m
Перейдем теперь к исследованию более сложного
случая отделения частиц, обращающихся по концен-
трическим окружностям различных радиусов. Нач-
нем вновь с рассмотрения системы двух частиц Mi и
М2 (рис. 44), обращающихся по окружностям радиу-
сов а и Ь.
Перед разделением обе частицы перемещались по
соответствующим окружностям, находясь на общей
радиальной прямой OA4iM2i имеющей угловую ско*
рость со0. Под действием внутренних сил точки
разделяются, причем радиусы ОМ{ и ОМ2
мгновенно расходятся с относительной угловой
скоростью Q.
Представим себе, например, что частица М2 ук-
реплена на свободном конце невесомого жесткого
стержня ОМ2 длины Ь, а частица М} — на свободном

121
конце невесомого жесткого стержня ОМХ длины а.
Перед разделением частиц оба стержня соединены
вместе. Разделение происходит под действием внут-
ренних сил, отталкивающих стержни один от другого
так, что быстрота вращения одного из них возраста-
ет, а другого — убывает.
Пусть источник Als энергии, разобщающий стерж-
ни (порох, пружина и т. п.), помещен между стерж-
нями на произвольном расстоянии s от оси вращения
(рис. 44); для определенности на рисунке принято
a<s<b.
При освобождении внутренней энергии (подрыве
заряда, отпускании поджатой пружины и т. п.) воз-
нпкают внутренние силы Si и S2, приложенные к
стержням ОМу и ОМ2 и направленные по касатель-
ной к окружности радиуса s, проведенной в точке Als.
(OAfs)=s. Область, в которой действуют пороховые
газы, пружина или иные возможные материальные
источники внутренних сил, условно показана на
рис. 44 в виде сплошного кружка около точки Als.
—У	—
Действие внутренних сил Si и S2, возникающих
при освобождении энергии, приводит к взаимодейст-
вию стержней OAfi и ОМ2\ они отталкиваются друг
от друга в точке Als. Поэтому по закону действия и
противодействия в момент освобождения энергии
S, - -S2.	(6.17)
Для определения сил F} и F2 (рис. 44), приложен-
ных в этот же момент времени к материальным ча-
стицам All и Л12, заметим, что каждый из стержней
OMi и ОМ2 представляет собой рычаг второго рода,
т. е. рычаг, в котором обе силы F и S приложе-
ны с одной стороны от точки опоры О.
По правилу рычага
aF' = sSf, bF2 = sS2.
(6.18)

122
Во время срабатывания источника энергии сила Ft
сообщает частице ускорение Wi, направленное по
этой силе и имеющее величину
1 г
----F,.
"«1
В силу первого из соотношений (6.18)
s <?
= ----St.
atnt
->
Предположим, что сила Si постоянная (тем са-
мым постоянная и сила S2). Обозначим через Vi и
—>
У2 скорости частиц Mi и М2 в момент времени, не-
посредственно предшествовавший срабатыванию
•—>	->
источника энергии, через vx и v2— скорости этих же
частиц сразу по окончании его действия. Тогда при-
ращение скорости частицы М\ за время t составляет
по величине
= wvt
или иначе
Таким же образом, учитывая второе из соотношений
(6.18) и равенство (6.17), получим, что
Знак «—» указывает на то, что силы Si и S2 направ-
лены в противоположные стороны (рис. 44).
Исключая из двух последних равенств величину
5/-S1, придем к уравнению
(t^ — V\) + bm2 (v2 — Va) = 0.
Переходя от абсолютных линейных скоростей к

123
абсолютным УГЛОВЫМ скоростям (1)1 И 0)2 лучей ОМХ
и ОМ. с помощью соотношений
придем к уравнению
/п1а2о)1 4- /и2Ь2о)2 = (тха2 + m2b2) w0.	(6.19)
По определению относительной угловой скоро-
сти Q разделение радиусов ОМ\ и ОМ2 выражается
равенством
Q о)2 — Wf.	(6.20)
Последовательно заменяя в уравнении (6.19) угловые
скорости 0)1 и о)2 их выражениями oj2 — Q и оъ + й.
найдем искомые величины o>t и о)2:
___
тха2 4- т2Ь2
mia2	о
тха2 4~ т2Ь2
(6.21)
Эти соотношения совпадают с выражениями (6.16)
при а = Ь.
Заметим, что от сделанного выше предположения
о постоянстве сил Sj и S2 можно освободиться ценой
усложнения рассуждений.
Вновь обратимся к уравнению (6.19). Каждый
член этого уравнения представляет собой произведе-
ние массы соответствующей частицы, квадрата рас-
стояния ее до оси вращения и угловой скорости соот-
ветствующего луча. Произведение массы некоторой
частицы на квадрат ее расстояния до некоторой оси
называется моментом инерции частицы относительно
данной оси. Величины
/j тха2, /а -- mtb2

124
суть моменты инерции частиц М\ и Л42 относительно
оси вращения. Масса частицы и квадрат ее расстоя-
ния до всякой оси (не проходящей через самое ча-
стицу)— величины положительные, поэтому моменты
инерции всегда представляют собой положительные
величины. Таким образом, выражения (6.21) могут
быть переписаны в виде
/, о
со, = соп--------------------£2,
Л + /2
Обозначая / = Л+/2 и учитывая, что Q=()2—0)ь
получим:
/со0 = Лео, + /2С02 = Л,
К =	+ tn2V2r2.	(6.22)
Величина / называется моментом инерции системы
относительно оси вращения О. Величина К = Ао0 на-
зывается величиной кинетического момента системы;
величина Ki = h(SH называется величиной кинетиче-
ского момента материальной частицы I. Кинетиче-
ский момент по определению есть вектор, направле-
ние которого совпадает с положительным направле-
нием оси вращения.
Из рассмотренного случая вращения системы во-
круг неподвижной оси можно сделать следующие вы-
воды.
1. Кинетический момент системы К равен сумме
кинетических моментов материальных частиц, состав-
ляющих систему
+	... +Kt + ...	(6.23)
2. При действии только внутренних сил кинети-
ческий момент системы есть величина постоянная.
Эти выводы доказываются и в более общем слу-

125
чае произвольного движения системы при действии
только внутренних сил.
Понятия момента инерции и кинетического момен-
та являются основными понятиями теоретической ме-
ханики. Сравнивая соотношения (6.22) и (6.23) с со-
отношениями (6.1) и (6.2), мы видим полное подобие
вращательного движения системы и так называемого
поступательного движения системы. При этом в слу-
чае вращательного движения роль массы т играет
момент инерции /, роль скорости V — угловая ско-
рость со и роль количества движения Q — кинетиче-
ский момент К.
Использование описанных выше общих закономер-
ностей движения механических систем — теоремы о
сохранении количества движения и кинетического мо-
мента при отсутствии внешних сил — позволяет вы-
числять характеристики движения и параметры си-
стем управления космических кораблей.
Перейдем теперь к системе многих частиц, обра-
зующих космический корабль. В качестве механиче-
ской модели корабля выберем сначала круговую ци-
линдрическую оболочку. Пусть стенка цилиндра для
упрощения расчета принята настолько тонкой, что
расстояния всех материальных частиц, образующих
цилиндр, до его оси можно считать одинаковыми.
Момент инерции / такого корабля относительно оси
цилиндра (называемой продольной осью корабля)
равен сумме произведений массы каждой частицы на
квадрат ее расстояния до этой оси. По условию все
частицы отстоят от оси цилиндра на одинаковом рас-
стоянии, равном радиусу г цилиндра. Тогда
/ = /п.г2 + /и2г2 4- ... + /п(- г? 4- ... =
= (m1 + m2+ ... 4-/nf + ...)r2.
Но сумма в скобках представляет собой сумму
масс всех частиц, образующих цилиндр, поэтому она
равна массе корабля т и
/ = тг2.

126
(Напомним, что по условию вся масса корабля рас-
пределена по боковой поверхности цилиндра.)
Зададим теперь механическую модель корабля б
виде системы двух соосных тонкостенных оболочек
указанного выше вида, причем оболочки могут по-
ворачиваться одна относительно другой около общей
оси обоих цилиндров. Пусть сначала оба цилиндра
вращались около их общей оси вместе, как единое
твердое тело, с угловой скоростью шо. Затем под воз-
действием сил, внутренних по отношению к кораб-
лю, цилиндры стали вращаться один относительно
другого (около той же оси) с угловой скоростью Q
Обозначим через coi и <о2 абсолютные угловые скоро-
сти первого и второго цилиндров. Тогда относитель-
ная угловая скорость Q цилиндров по-прежнему удов-
летворяет соотношению (6.20).
Пусть на корабль не действуют внешние силы
Обобщая рассуждение применительно к системе двух
материальных частиц, движущихся по окружностям,
напишем по образцу соотношений (6.21) соотношения,
определяющие искомые угловые скорости вц и о>2:
(О2 - - (1)0 --
-Д---Q.
Л + h
(6.24)
Из выражений (6.24) следует, что если в полете
в некоторый момент времени внутри корабля начнет
вращаться какой-либо прибор (например, вентилятор
системы терморегулирования), имеющий момент
инерции /2, то корпус корабля, если не принять спе-
циальных мер, начнет поворачиваться в противопо-
ложную сторону тем быстрее, чем больше относитель-
ная скорость вращения прибора Q.
Заметим, что расстояние s=(OMs) от оси враще-
ния до места приложения источника энергии, порож-
дающего внутренние силы, в уравнения (6.21) и

127
(6.24) не вошло. Таким образом, это расстояние не
имеет значения — лишь бы мощность источника энер-
гии соответствовала условию разделения лучей ОМ\
и ОМ2 с заданной относительной угловой ско-
ростью Q. Иными словами, в нашей задаче все свой-
ства источника энергии заданы следствием его дей-
ствия— относительной угловой скоростью Q.
Указанное свойство корабля — реагирование на
вращение отдельных его частей — можно использо-
вать для управления ориентацией корабля в прост-
ранстве (см. § 9).
Движение твердого тела при действии внешних
сил. Выше уже говорилось, что движение твердого
гела может быть представлено как сумма двух дви-
жений— движения центра масс тела и вращательного
движения тела около центра масс.
Движение центра масс тела под действием внеш-
них сил подчиняется соотношению (3.1), где под w
следует понимать абсолютное ускорение центра масс
тела в некоторый момент, под m — массу тела, а под
F— равнодействующую всех внешних сил, приложен-
ных к телу в этот момент. Таким образом,
tnwc =	+ Fa + ... + FN = F. (6.25)
Вращение тела около центра масс по аналогии с
уравнением (3.1) зависит от момента инерции / тела
и действующих на тело моментов внешних сил.
Установим закон, связывающий вращение твердо-
го тела около неподвижной оси с силами, приложен-
ными к частицам, составляющим тело. Будем рас-
сматривать это тело как совокупность большого чи-
сла материальных частиц массы пц каждая. Обо-
значим через Г1 расстояние частицы Mi от оси враще-
ния, через Fi — величину силы, действующей на нее.
Если вращение тела равномерное, то ускорение каж-
дой частицы сводится к ускорению центростремитель-
ному, а сила —центростремительная сила. Если
же вращение не равномерное, — а этот случай и еле-

128
дует изучить, — то каждая частица обладает еще ка-
сательным ускорением (§ 3). Проектируя на направ-
ление касательной к окружности, описываемой части-
цей Мг, обе части уравнения (3.1), напишем:
Лл = mwlk,
где Wik — величина касательного ускорения частицы
Mf, Fih — величина касательной составляющей силы,
приложенной к частице Mi. Неравномерность враще-
ния тела около оси характеризуется угловым ускоре-
нием р, причем
= Рг£.
Тогда
Fik = miri Р-
Для частиц, не находящихся на оси вращения.
гг->0 и обе части последнего равенства можно умно-
жить на радиус /у.
G Fik =
Напишем это равенство для каждой частицы тела
и просуммируем левые и правые части соответствую-
щих равенств:
fi ik +	+ • • • + ri^ik + * * * P + m2r2 +
+ ... + mi r2i).
Левая часть представляет собой сумму моментов
внешних сил, приложенных к частицам твердого те-
ла и взятых относительно оси вращения. Обозначим
эту сумму через L. Сумма в скобках в правой части
представляет собой момент инерции I тела относи-
тельно оси вращения. Тогда уравнение вращения
твердого тела около неподвижной оси принимает вид
/р = L.
(6.26)

129
Угловое ускорение и момент силы суть величины
векторные, эти векторы направлены вдоль оси вра-
щения в одну и ту же сторону. Поэтому это уравне-
ние можно переписать в векторном виде:
/p = L.	(6.27)
В то время как ускорение материальной частицы,
находящейся под воздействием данной силы, зависит
от массы частицы — согласно уравнению (3.1), — уг-
ловое ускорение твердого тела, находящегося под воз-
действием данных моментов сил, зависит, через ве-
личину / в уравнении (6.25), не только от массы те-
ла, но и от расстояний частиц тела до оси вращения,
т. е. от распределения массы в теле.
Заметим в заключение раздела, что уравнение
(6.27) остается в силе и для случая равномерного
перемещения оси вращения в пространстве парал-
лельно самой себе и скольжения тела вдоль оси вра-
щения с произвольной скоростью. Если тело симмет-
рично относительно оси вращения, то уравнение
(6.27) сохраняет силу и при неравномерном переме-
щении оси вращения параллельно самой себе.
Может возникнуть вопрос: для чего мы умножили
на радиус обе части уравнений движения частицы, а
не стали сразу суммировать правые и левые части
этих уравнений?
Дело в том, что среди сил, приложенных к вра-
щающемуся телу, имеется, в общем случае, и сила,
приложенная к нему со стороны оси вращения, назы-
ваемая силой реакции. Эта сила заранее неизвестна;
при сложении сил сила реакции вышла бы в качест-
ве второй неизвестной, помимо искомой неизвестной
р. Благодаря умножению всех уравнений движения
на радиусы мы исключили силу реакции: действи-
тельно, в уравнение (6.26) входят не сами силы, а
моменты сил около оси вращения. Но сила реакции
проходит через ось вращения, поэтому ее момент ра-
вен нулю (ибо ее плечо относительно оси вращения
равно нулю, какими бы ни были ее величина и на-

130
правление). Если нужно, силу реакции можно найти
с помощью общих уравнений механики.
Движение механической системы под действием
реактивных сил. В рассказе А. Куприна «Ольга Сур»
описано выдающееся цирковое представление. Акро-
бат, стоя на высоком помосте, прыгает вниз, на пол
сцены, держа в каждой руке по тяжелой гире. У са-
мого пола акробат резким движением отбрасывает
гири от себя, вниз и немного назад. В этот момент
его падение приостанавливается, и акробат на мгно-
вение как бы повисает в воздухе без всякой опоры,
а затем плавно опускается на подушку, заранее по-
ложенную на пол в определенном месте.
Вероятно, всем знакомо и более обычное наблю-
дение: человек, поскользнувшийся около двери, вы-
брасывает руку по направлению к двери, чтобы о нее
опереться. Если дверь открывается наружу по отно-
шению к местонахождению падающего и последний
кладет руку на дверь мягким движением, то дверь
отходит под действием руки и не задерживает замет-
ным образом его падения. Но если человек отталки-
вается рукой от двери резким движением, то, хотя
дверь и распахивается настежь, человеку удается со-
хранить равновесие — приблизительно так, как если
бы он спокойно оперся о стену или о запертую дверь.
Следующий пример можно взять из введения, где
говорилось о том, что частицы топлива, сгорая в ка-
мере реактивного двигателя, вылетают наружу через
сопло, отталкиваясь от днища камеры и сопла, и тем
самым толкают их и с ними ракету в противополож-
ную сторону.
Эти явления, внешне различные, имеют общую
механическую основу — особые свойства, присущие
движению механической системы, когда некоторая
часть такой системы резко отбрасывается внутренни-
ми силами от оставшейся части. Последняя при этом
приобретает ускорение. Сила, вызывающая это уско-
рение, называется реактивной. Движение космиче-
ского корабля под действием реактивной силы, созда-
ваемой с помощью реактивного двигателя, мы будем
называть реактивным движением.

131
Из существа этого движения следует, что при ра-
боте реактивного двигателя состав космического ко-
рабля изменяется. Действительно, массы топлива,
первоначально находившиеся в корабле, при работе
двигателя извергаются из его сопла во внешнее про-
странство в виде реактивной струи; следовательно,
количество вещества, образующего космический ко-
рабль, убывает.
Ввиду этой особенности корабля, снабженного ре-
активным двигателем, необходимо установить меха-
нический смысл понятия корабля переменного соста-
ва. После этого можно будет подсчитать реактивную
силу, действующую на такой корабль.
Когда мы рассматриваем истечение газа или жид-
кости из какого-либо сосуда и говорим об уменьше-
нии количества этого газа или жидкости в сосуде,
мы подсознательно подразумеваем некоторый опре-
деленный объем, по отношению к которому имеет
смысл понятие уменьшения количества вещества — в
данном случае объем сосуда. Например, при выли-
вании воды из стакана количество воды в природе
не уменьшается, а уменьшается ее количество только
в этом стакане, точнее — в объеме, называемом
объемом стакана. Таким же образом при истечении
реактивной струи из сопла двигателя корабля проис-
ходит уменьшение количества вещества в некотором
определенном объеме, но не в произвольно большом
объеме.
Для уточнения понятия летательного аппарата
переменного состава введем понятие контрольного
объема, понимая под этим габаритный объем, т. е.
объем прямого кругового цилиндра длины, равной
наибольшей длине аппарата вдоль его продольной
оси, и диаметра, равного наибольшему диаметру ап-
парата. Контрольный объем можно себе представить
как наименьший прямой круговой цилиндр, вмещаю-
щий в себя данный летательный аппарат (ракету,
космический корабль и т. д.). Изменение состава ле-
тательного аппарата условимся рассматривать по
отношению к его контрольному объему.
Определим летательный аппарат переменного со-

132
става как совокупность его материальных частиц, за-
ключенных в каждый момент времени в его контроль-
ном объеме. Согласно этому определению, материаль-
ные частицы, первоначально принадлежавшие аппа-
рату, а затем покинувшие его контрольный объем,
перестают принадлежать аппарату с момента выхода
из контрольного объема.
Предположим еще, что материальные частицы,
покидающие контрольный объем, перестают с этого
момента оказывать влияние на движение летательно-
го аппарата; это предположение называется условием
близкодействия *.
Приступим к выводу зависимости реактивной си-
лы от определяющих параметров.
Рассмотрим сначала случай двух материальных
частиц Mi и М2, имеющих массы гтц и т2 соответст-
венно; частица Мх рассматривается как механическая
модель неизменяемой части космического корабля,
частица М2 является топливом. До сгорания частицы
М2 обе частицы двигались вместе, как единое целое.
Пусть в момент времени /=0, непосредственно пред-
шествующий воспламенению топлива, обе частицы
—>
имели общую абсолютную скорость и0. При воспла-
менении продукты сгорания, по-прежнему символизи-
руемые частицей М2, отбрасываются от частицы Мх с
относительной скоростью U, создаваемой за счет хи-
мической энергии, выделяющейся при горении. Так
как рассматривается система двух материальных
частиц, контрольный объем, окружающий эти частицы
в их исходном состоянии, можно выбрать сколь
угодно малым.
* При этих предположениях в теоретической механике до-
казывается, что в каждый момент времени движение тела пере-
менной массы совпадает с движением тела постоянной массы
(равной массе тела в контрольном объеме), к которому кроме
внешних сил и моментов приложены дополнительно реактивные
силы и моменты реактивных сил. Заметим, что впервые движе-
ние тела переменной массы было исследовано в работах профес-
сора Петербургского университета И. В. Мещерского в 1893—
1904 гг.

133
Энергия, вызывающая разобщение частиц Ah и
М2, является внутренней по отношению к системе этих
частиц; следовательно, действие внутренних сил, при-
водящее к отделению частицы М2 от частицы со
->
скоростью [7, не изменяет абсолютного количества
движения этих частиц. Поэтому применимо уравне-
ние (6.6) сохранения количества движения. Обозна-
чим через Vi и v2 абсолютные скорости частиц Mi
и М2 сразу после отделения, через с — приращение
абсолютной скорости частицы Afb обусловленное от-
-> —►	—>
делением, Pi = ^o + £, ^2=^1 + U, тогда
(т, + m2) и0 =	+ ^2	+1/),
откуда следует, что
с =-----^—U.
т, + т2
(6.28)
Следовательно, изменение абсолютной скорости
первой частицы пропорционально скорости U отбра-
сывания второй частицы от первой.
В более общем случае при истечении газовой
струи из сопла реактивного двигателя со скоростью
U изменение абсолютной скорости корабля (отож-
дествляемого с частицей АЛ) осуществляется за счет
одновременного отбрасывания некоторой совокуп-
ности газовых частиц (каждая из которых отождеств-
ляется с частицей Af2). Поэтому в этом случае прира-
щение скорости корабля также пропорционально ско-
рости U отбрасывания. Отсюда можно заключить, что
скорости отбрасывания пропорционально и абсолют-
ное ускорение корабля, следовательно, и сила /?, по-
рождающая это ускорение.
Физически очевидно, что чем больше газовых
частиц извергается из сопла за одно и то же время

134
(со скоростью U общей для всех частиц), тем боль-
ше ускорение корабля. Введем расход р, массы топ-
лива: расход р равен массе топлива, выбрасываемой
из сопла (т. е. за пределы контрольного объема) в
единицу времени; величина р имеет размерность
масса/время, например кг!сек. Отсюда следует, что
сила /?, приложенная к кораблю при истечении газов
из сопла двигателя, определяется выражением
R = — pU.	(6.29)
Как и в соотношении (6.28), знак «—» указывает,
что сила действует в сторону, противоположную на-
правлению истечения реактивной струи.
В зависимости от режима работы двигателя рас-
ход р массы топлива может изменяться, поэтому
будем писать, в общем случае, что р = р(/) —расход
массы зависит от времени. Таким же образом и ско-
рость U истечения струи может изменяться (как по
величине, так и по направлению): U = 0(/). Поэтому
соотношение (6.29) удобно записывать также в виде
я = — И(0(/(0.	(б.зо)
Сила R обусловлена отбрасыванием от корабля
газовых масс, образуемых горением топлива, следова-
тельно, она и является реактивной силой.
При равномерном истечении реактивной струи
скорость постоянна, как и расход р. Тогда масса
корабля уменьшается пропорционально времени горе-
ния:
tn = mQ — р/,	(6.31)
где /По — исходная масса корабля. Так как т>0,
время Т* работы реактивного двигателя ограничено:
Г*<т0/р.

135
Таким образом, величина тяги зависит от расхода
топлива в единицу времени и скорости истечения га-
зов из сопла двигателя.
Принимая
=	(6.32)
S
где GceK — весовой расход топлива за 1 сек, получим:
/? =	(6.33)
g
Величина /?у = является важной характеристикой
g
эффективности реактивного двигателя и называется
удельной тягой двигателя. Из выражения
К = ХУЛОсек	(6.34)
следует, что величина /?уд определяет тягу, создавае-
мую каждым килограммом топлива, сгоревшим за
одну секунду. Чем больше удельная тяга, тем мень-
ше топлива необходимо сжигать в каждую секунду
для получения требуемой тяги.
Величина удельной тяги зависит от химического
состава топлива, от давления в камере сгорания, от
совершенства рабочего процесса сгорания топлива и
от степени расширения газов в сопле двигателя. Все
эти параметры выбираются таким образом, чтобы при
прочих равных условиях получить максимальное зна-
чение удельной тяги, а следовательно, и скорости
истечения:
U = ^уд.	(6.35)
Поэтому для измерения тяги наиболее удобным
параметром является секундный расход топлива
GceK. Изменение этой величины в некотором диапазо-
не практически не влияет на значение удельной тяги,
а следовательно, и не снижает эффективности работы
двигателя. Заметим, что соотношения (6.30), (6.32)
и (6.35) определяют величину тяги лишь в случае,
когда давление на срезе реактивного сопла рс равно
окружающему давлению ро. Более общая формула,

136
учитывающая равнодействующую сил давления на
поверхность контрольного объема, есть *:
/? = /?Уд^Х-/с(Рс-Ро),	(6.36)
где fc — площадь среза реактивного сопла. Формула
(6.36) определяет изменение тяги двигателя с изме-
нением высоты полета, так как величина давления р()
зависит от высоты. В частности, при полете в пустоте
тяга двигателя максимальна и равна
Яп = Куя-°сгК — fcPc-	(6-37)
Для того чтобы представить себе некоторые осо-
бенности реактивного движения, рассмотрим верти-
кальный подъем ракеты в пустоте. Чтобы поднять
ракету, реактивная сила должна преодолеть ее вес.
Предположим сначала, что реактивная сила в точ-
ности равна весу всей ракеты. Тогда топливо в нача-
ле движения будет расходоваться напрасно: ракета,
хотя и не будет опираться на пусковую установку, не
будет и подниматься; она будет неподвижно висеть
подобно вертолету, парящему над определенным
участком Земли. И лишь спустя некоторое время,
когда вес ракеты уменьшится, тяга превысит вес и
ракета начнет подниматься.
Пусть теперь реактивная сила вдвое превышает
вес всей ракеты, но запас топлива остается прежним.
Увеличение тяги достигается путем увеличения вдвое
количества газов, выбрасываемых из сопла в каждую
секунду (при неизменной скорости истечения газовых
частиц из сопла). В этом случае реактивная сила не
только уравновесит вес ракеты, но избыток тяги дви-
гателя над весом ракеты увлечет ее вверх. Этот избы-
ток в первый момент равен весу ракеты и направлен
вверх. Ракета станет подниматься так, как если бы ее
вес был направлен не вниз, а вверх, т. е. будет как бы
* Вывод этой формулы приводится, например, в книге
Г. Б. Синярева и М. В. Добровольского «Жидкостные ракетные
двигатели».

137
«падать наверх»: в каждый момент времени в начале
движения ее скорость будет равна скорости, какую
она имела бы при свободном падении у поверхности
Земли в безвоздушном пространстве, но направлена
ее скорость будет вверх. С течением времени масса
ракеты будет становиться все меньше и меньше, а
ускорение — все больше и больше.
Сразу же видно, что второй случай выгоднее: ра-
кета поднимается вверх и за время сгорания топлива
достигает некоторой высоты и скорости, тогда как в
первом случае она вначале не сдвинется с места, а за-
тем будет подниматься очень медленно. Конечно,
продолжительность работы двигателей в первом слу-
чае вдвое больше, чем во втором, так как в первом
случае топливо расходуется вдвое медленнее. Но из
этого никак не следует, что в первом случае ракета
приобретает вдвое большую скорость, чем во втором,
ибо, как уже отмечено, двигатели вначале работают
почти понапрасну и не сообщают ракете большой
скорости.
Пусть теперь двигатели — еще более мощные, и
реактивная сила тяги превосходит вес ракеты, напри-
мер, в три, пять или десять раз. Однако общий запас
топлива тот же и в каждом из этих случаев он сго-
рает быстрее. Избыток тяги над весом становится все
большим. При 10-кратном превышении вес ракеты
сказывается уже незначительно и в основном ско-
рость ракеты определяется тягой.
В работе 1903 г. «Исследование мировых про-
странств реактивными приборами» К. Э. Циолковский
показал, что скорость ракеты, развиваемая ею в пус-
тоте и при отсутствии сил тяжести, не зависит от
тяги ракеты и определяется относительным запасом
топлива и величиной скорости истечения:
=	(6.38)
где Go — начальный вес ракеты; — конечный вес
ракеты, после выгорания всего топлива; е — число,
приблизительно равное 2,71 (число е называется осно-

138
ванием натуральных логарифмов и имеет исключи-
тельно важное значение в математике). Такая ско-
рость называется характеристической скоростью ра-
кеты.
При вертикальном движении под действием сил
тяжести скорость в конце выгорания топлива ракеты
равна
v = V-gtt	(6.39)
где t — время горения топлива, a g — ускорение сил
тяжести. Из формулы (6.39) следует, что чем больше
время горения топлива, т. е. чем меньше тяга раке-
ты, тем больше потери на силу тяжести и тем меньше
конечная скорость подъема ракеты.
Таким образом, чем быстрее сгорает топливо при
одном и том же его запасе, тем большую скорость
развивает вертикально взлетающая ракета к моменту
выгорания всего топлива.
Наиболее выгодное использование топлива соот-
ветствует мгновенному сжиганию всего запаса, т. е.
сжиганию его в условиях взрыва. При этом скорость
ракеты равна характеристической скорости.
Заметим, что если ракета поднимается в атмосфе-
ре, то ее движению противодействуют уменьшение
силы тяги в соответствии с соотношением (6.36) и
сила сопротивления воздуха.
Сила сопротивления быстро увеличивается с рос-
том скорости ракеты по отношению к воздуху. Поэто-
му при медленном подъеме ракеты воздух препятст-
вует ей сравнительно слабо, а при увеличении ско-
рости сила сопротивления становится весьма замет-
ной. Противодействуя тяге, сила сопротивления воз-
духа, по существу, уменьшает силу, приводящую ра-
кету в движение, а следовательно, и конечную ско-
рость движения.
Поэтому при вертикальном подъеме в атмосфере
мгновенное сжигание топлива уже не является наибо-
лее выгодным. В этом случае существует некоторая
промежуточная скорость сжигания топлива, при ко-
торой затраты топлива для сообщения ракете задан-

139
ной скорости по окончании работы двигателей будут
наименьшими. Этой промежуточной скорости сжига-
ния топлива отвечает некоторая промежуточная ве-
личина тяги — наивыгоднейшая тяга.
Заметим также, что большая тяга приводит к
большим усилиям в конструкции ракеты, особенно в
конце сгорания топлива, когда ускорения наибольшие.
Поэтому при увеличении тяги вес конструкции раке-
ты приходится увеличивать, и соответственно умень-
шается характеристическая скорость.
§ 7-
Электрическое моделиро-
вание законов движения
В прямолинейном равномерно ускоренном движе-
нии точки перемещение точки s за время t и скорость
ее v в момент времени t определяются известными
соотношениями:
s = s0 + vQt +	/2; v = и0 +
где s0 — исходное расстояние точки от начала отсче-
та пути; Уо — начальная скорость ее; w — ускорение,
по условию постоянное. Исключение времени из этих
двух соотношений приводит к зависимости между
значениями скорости и пути, соответствующими мо-
менту времени /, не содержащей самого времени t
s =	(7.1)
2w
В частности, при so = O и = 0 будет s = v2/2w, или
v = V2ws ,
Таким же образом и при движении более слож-
ном, чем равномерно ускоренное, имеет место непо-
средственная связь между пройденным путем, ско-
ростью и ускорением точки, но вид этой связи зави-
сит от характера движения. При движении космиче-
ских кораблей скорость и ускорение изменяются со

140
временем подчас достаточно сложным образом. Тогда
не существует простых соотношений, подобных соот-
ношению (7.1). Вместе с тем для управления косми-
ческим кораблем часто необходимо находить путь
и скорость корабля, зная его ускорение, находить
ускорение корабля, зная его скорость, и т. д. Пусть,
например, обнаружено, что путь корабля отклонился
от заданного. Для исправления движения можно при-
ложить к кораблю управляющую силу, которая по
закону (3.1) пропорциональна ускорению корабля в
искомом поправочном движении. Следовательно, авто-
матические приборы на борту корабля, располагая
данными об отклонении истинного пути от требуемо-
го, должны выработать величину ускорения корабля
в поправочном движении, чтобы затем по уравнению
(3.1) определить управляющую силу.
Техническое решение этой задачи и ей подобных
основано на способе физического моделирования дви-
жения: изменения механических величин, описываю-
щих полет корабля, исследуются путем наблюдения
за изменением некоторых электрических величин.
Именно, сопоставим зависимости между ускорением
и скоростью, с одной стороны, и между количеством
электричества и силой тока — с другой.
Ускорением называется быстрота изменения ско-
рости; силой тока в проводнике (или просто током)
называется количество электрических зарядов, проте-
кающих в единицу времени через некоторое сечение
проводника.
Следовательно, ток в проводнике характеризует
скорость протекания некоторого количества электри-
ческих зарядов через какое-либо сечение проводника
так же, как ускорение характеризует скорость изме-
нения механической скорости. Поэтому если ток в
проводнике пропорционален ускорению, то накопле-
ние количества электричества за некоторое время
пропорционально изменению скорости за то же время.
Тогда говорят, что ток моделирует это ускорение, а
количество электричества моделирует скорость.
Пусть известен закон изменения w(t) ускорения
корабля со временем. При помощи средств электро-

141
техники и электроники осуществим на борту корабля
изменение тока i в проводнике, пропорциональное
ускорению w:
i(t) = dww(t),	(7.2)
где dw — электрический масштаб ускорения w, выби-
раемый из технологических соображений. В этом
случае накопление q количества электричества моде-
лирует изменение с скорости корабля, происходящее
за время t\
q(t)= dc-c(f),	(7.3)
где dc — электрический масштаб скорости.
Легко видеть, что числа dc и dw имеют одинако-
вую размерность: единицей измерения числа dc может
служить кулон/(м/сек), единица 'измерения числа du
имеет вид
кулон : сек _ кулон
м : сек2 (м/сек)
Измеряя накопление q количества электричества
за некоторое время с помощью соответствующего
прибора, найдем искомое изменение скорости за то
же время:
с = ^-
Если известно значение v0 скорости с корабля в
момент включения прибора, то скорость v(t) корабля
к концу времени t наблюдения определится равенст-
вом
о (0 = Vo + c(0 = vo + ~p-
®с
Наоборот, если в течение некоторого времени из-
вестна скорость v корабля и нужно найти его ускоре-
ние w в заданный момент времени, то можно осущест-

142
влять в проводнике накопление зарядов по закону
(7.3) и измерять ток i в проводнике. Тогда
оцО =
Таким же образом находится путь, пройденный
кораблем за некоторое время, если известно соответ-
ствующее изменение скорости, и наоборот.
Метод электрического моделирования механиче-
ских характеристик широко применяется в технике
управления космическими кораблями. В качестве
моделирующих величин не обязательно принимать
ток и количество электричества. Можно пользоваться
напряжением и другими электрическими величинами.

СИЛОВЫЕ УПРАВЛЯЮЩИЕ
УСТРОЙСТВА КОСМИЧЕС-
КИХ КОРАБЛЕЙ
Для сообщения космическому кораблю требуемо-
го движения нужно приложить к кораблю определен-
ные силы. Среди этих сил имеются управляющие
силы, с помощью которых в процессе полета исправ-
ляются различного рода ошибки движения. Техниче-
ские приспособления, создающие силы и служащие
для управления кораблем, называются силовыми
\ иравляющими устройствами.
По физическим основам действия силовые управ-
ляющие устройства можно разделить на три вида:
реактивные; действующие за счет сил, внутренних по
отношению к космическому кораблю; работающие на
основе взаимодействия с телами, внешними по отно-
шению к кораблю.

144
8 8-
Реактивные управля-
ющие устройства
Управление космическим кораблем с помощью
реактивных сил заключается в создании в нужный
момент реактивных сил определенной величины и на-
правленных нужным образом по отношению к кораб-
лю. С этой целью на корабле устанавливаются реак-
тивные двигатели различных конструкций.
Реактивные силы, развиваемые двигателями, поз-
воляют управлять как поступательным, так и враща-
тельным движением ракет и космических кораблей.
Реактивная сила, как и всякая другая сила, сооб-
щает кораблю ускорение, определяемое основным за-
коном механики. В этом смысле нет различия между
реактивной тягой и внешней силой, однако создание
реактивной тяги связано с уменьшением массы кораб-
ля. С другой стороны, технические устройства для
создания тяги совершенно не похожи на устройства
для создания внешних сил. Поэтому целесообразно
рассмотреть управление с помощью реактивных сил
отдельно.
Общая схема управления с помощью реактивных
сил. Ракеты и космические корабли часто оснащают
несколькими реактивными двигателями, имеющими
различное назначение. Основной двигатель — или
систему основных двигателей — обычно устанавли-
вают так, чтобы реактивные струи истекали вдоль
продольной оси аппарата, в сторону, противополож-
ную направлению движения. На рис. 45, а газовые
струи вытекают через 4 сопла, неподвижные относи-
тельно корпуса ракеты, причем оси сопел параллель-
ны ее продольной оси Nx\ нижний рис. 45,а показыва-
ет вид ракеты снизу.
По основному закону механики реактивная сила
—►
R сообщает аппарату в каждый момент времени i
работы двигателей абсолютное ускорение

145
где m(t)—масса аппарата
в его контрольном объеме,
соответствующая моменту
времени а сила R опреде-
ляется соотношением (6.30).
->
Величину ускорения w
можно изменять путем изме-
нения расхода р массы газо-
вых частиц; это осуществ-
ляется регулированием ко-
личества топлива, поступаю-
щего в камеры сгорания
двигателя. При этом жела-
тельно сжигать горючее наи-
более эффективным обра-
зом, т. е. так, чтобы преоб-
разование химической энер-
гии топлива в механическую
энергию движения газов бы-
ло бы наибольшим — это
условие предопределяет ско-
рость истечения газовой
струи.
В технической литерату-
ре указывается, что тягу
двигателей иногда стремят-
ся делать возможно боль-
шей. Управление же при
этом производят включени-
ем и выключением двигате-
лей и изменением направле-
ния тяги.
Для осуществления неко-
торого маневра космическо-
го аппарата (ракеты или
корабля) иногда достаточно
изменять направление реак-
тивной силы по отношению
к этой ракете или кораблю.
В самом деле, пусть реак-
Рис. 45. Управление манев-
ром космического корабля
путем изменения направле-
ния реактивной силы

146
тивная сила R направлена под углом х к продольной
оси Nx (рис. 45,5) в плоскости этого рисунка. Как бу-
дет двигаться центр масс аппарата в этом случае?
Примем для простоты, что центр массы корабля
все время находится в точке W ракеты. В любой мо-
мент времени
w = — Я = — -^-U.
т (/)	т (О
Это означает, что абсолютное ускорение w центра
масс параллельно реактивной силе.
Вращательное движение аппарата определяется
уравнением (6.27). Здесь в качестве механической
модели выберем твердое тело. Будем рассматривать
поворот аппарата около оси, проходящей через
центр массы — начало N, и перпендикулярной плос-
кости, образованной силой R и точкой N. Момент L
силы R относительно оси поворота равен по величи-
не произведению R(NN"). Обозначим через I рас-
стояние (NN'), тогда (AW") =/sin х, и этот момент
равен Rl sin х, т. е.
L = l\tfJ sin х-
Следовательно, под действием реактивной силы,
отклоненной от продольной оси аппарата, последний
будет совершать поступательное движение в направ-
лении этой силы и поворачиваться около указанной
оси с угловым ускорением p = L//, где / — момент
инерции аппарата относительно оси поворота. Но
вместе с поворотом аппарата будет поворачиваться
в абсолютном пространстве и действующая реактив-
ная сила. Поэтому траектория центра масс аппарата
будет искривляться. Изменяя с течением времени
угол х=х(О» можно осуществить требуемый маневр
космического аппарата.
Иногда необходимо повернуть космический ко-
рабль около некоторой оси, не смещая при этом центр
его массы. Для этого достаточно приложить к кораб-
лю две параллельные реактивные силы, равные по

147
Рис. 46. Разворот корабля с
помощью пары реактивных сил
величине, направленные в противоположные стороны
и расположенные симметрично относительно оси,
около которой требуется осуществить разворот кораб-
ля, т. е. пару сил. Пусть, например, нужно сообщить
кораблю вращательное движение около его продоль-
ной оси Nx. С этой целью приложим к точкам А" и
/Г корабля реактивные силы R и — R, как показано
на рис. 46. Эти силы образуют пару сил с моментом
2 г/?. В силу уравнения (6.26) упомянутая пара сил
сообщает кораблю вращение с угловым ускорением:
2rR
/
Описанный способ приложения пары сил для раз-
ворота тела около неподвижной оси впервые приме-
нил Герои Александрийский 2000 лет назад.
Зададимся, например, целью раскрутить корабль
около оси Nx до угловой скорости wo за время Т.
Для упрощения рассуждений условимся прене-
брегать изменением момента инерции / корабля, об-
условленным уменьшением массы корабля за счет
истечения реактивной струи. В этом случае при по-
стоянной величине реактивной силы угловое ускоре-
ние р будет постоянным. Следовательно, угловая ско-
рость (о вращения корабля будет изменяться пропор-
ционально времени; при расположении сил, показан-
ном на рис. 46, корабль будет поворачиваться против
часовой стрелки для наблюдателя, находящегося на
положительном конце оси х: со>0. Следовательно,
(D = р/	—— I.

148
Подставляя в последнее выражение вместо вели-
чин со и t их требуемые значения о)0 и Т в конце про-
цесса, найдем требуемую величину реактивной силы
в минуту. Здесь /=10 сек, (оо=--
|М0:6-28- _ 5,23 кг.
2-Ь10.60
силу соотношения (6.29)
составит
/? 5,23
и = -- = —----
г и	1000
Полученная величина
По истечении времени Т следует снять реактивные
силы, т. е. выключить двигатели. Тогда при t^T ко*
рабль будет вращаться по инерции с постоянной аб-
солютной скоростью coo, достигнутой к моменту t=T
выключения двигателей.
Например, пусть /=1000 кГ-м-сек2, г=1 м и за
10 сек требуется сообщить кораблю вращение со ско-
ростью 1 оборот
= 2л/60 рад!сек,
R =
Если двигатели обеспечивают выброс газовых
струй с относительной скоростью U = I км!сек, то в
требуемый расход топлива
= 0,00523——.
(м/сек)
ц показывает, что каждую
секунду необходимо расходовать 0,00523 технической
единицы массы (тем). Нагляднее оценить расход не
по числу единиц массы топлива, сгорающего за одну
секунду, а по числу единиц веса этого топлива
(имеется в виду вес на поверхности Земли). Обозна-
чим через |i* весовой расход топлива. По основному
закону (3.1) тело массы m весит mg единиц силы
Поэтому |i* = pg, тогда
|Г = и. 9,81 — = 0,0513
сек2	сек
Умножая величину ц* на 7=10 сек, получим, чт<
необходимо израсходовать в рассмотренном примере
0,513 кГ топлива.

(49
Рис. 47. Поворотный (качаю-
щийся ) реактивный двигатель
с гидравлическим силовым при-
водом:
I — ракетный двигатель, 2 — мехаь и-
ческая передача с шар иром в точке А,
3 — поршень, 4 — гидравлический ци-
линдр, 5 — крепление цили дра к кор-
пусу кораоля, 6 — корпус корабля
Управление с помощью поворотного двигателя.
Для изменения направления реактивной струи по от-
ношению к корпусу космического корабля широко
используется способ подвеса двигателя с помощью
шарнира, позволяющего устанавливать ось двигателя
в любом направлении по отношению к корпусу ко-
рабля. В простейшем случае двигатель устанавли-
вают на корабле так, что он может поворачиваться
относительно корпуса около оси, неподвижной в этом
корпусе. Поворот двигателя около оси, след которой
на плоскости рис. 47 помечен буквой О, осущест-
вляется с помощью гидравлического привода. По-
следний представляет собой поршень, помещенный в
цилиндре, вдоль которого этот поршень может сколь-
зить. В одну из полостей цилиндра подается мине-
ральное масло под сильным давлением р, нагнетае-
мое насосом. Масло, заполняя полость, давит на
поршень с силой P = pS, где S — площадь поршня.
Например, при р= 100 кГ1см2, S= 10 см2, сила Р со-
ставляет 1 т. Под действием этой силы поршень пе-
ремещается в цилиндре и поворачивает двигатель с
помощью механической передачи. Тем самым изме-
няется и направление реактивной струи, вытекающей
из сопла двигателя вдоль оси у вправо (рис. 47).
Когда масло под давлением подается через отвер-
стие I (условно показанное жирной чертой в стенке
цилиндра), оно толкает поршень влево; влево пере-
мещается и шарнир Л, заставляя корпус реактивного
двигателя поворачиваться против часовой стрелки.
При использовании полного рабочего хода поршня

150
(до края отверстия II) двигатель поворачивается на
угол + 6. В этом движении отверстие I соединено
с источником масла под давлением — трубопроводом
высокого давления, идущим от насоса, а отвер-
стие II — со сливным баком. По мере перемещения
поршня влево последний легко вытесняет масло из
левой полости в сливной бак, откуда это масло вновь
забирается насосом. При движении поршня вправо
двигатель поворачивается по часовой стрелке и мо-
жет быть отклонен на угол —б.
Часть системы управления поворотом двигателя,
изображенная на рис. 47, называется силовым при-
водом: в гидравлическом цилиндре создается сила,
достаточная для поворота ракетного двигателя отно
сительно корабля. Заметим попутно, что сила, разви-
ваемая поршнем, должна быть достаточно большой,
если двигатель массивный и его надо повернуть за
очень короткое время. Вследствие этого гидравличе-
ский цилиндр и опорная плита, с помощью которой
он крепится к корпусу корабля, несколько деформи-
руются — растягиваются или сжимаются во время
работы поршня. Поэтому крепление 5 условно пока-
зано в виде пружины. Деформации цилиндра и креп-
ления искажают правильное действие системы управ-
ления поворотом двигателя и иногда их нужно учи-
тывать при расчете силового привода.
Из приведенного описания следует, что направле-
ние поворота двигателя зависит от того, в какое из
двух отверстий, I и II, поступает масло, нагнетаемое
насосом. Схема управления потоком масла показана
на рис. 48. В средний трубопровод Н поступает мас-
ло, нагнетамое насосом под высоким давлением. Дви-
жением потока масла управляет золотник, представ-
ляющий собой жесткий стержень /, несущий пояски 2
и 3. Золотник может перемещаться вдоль оси х впра-
во и влево. В положении, показанном на рис. 48, зо-
лотник смещен вправо от положения, в котором
пояски 2 и 3 расположены симметрично по отноше-
нию к отверстиям. В симметричном положении по-
ясок 2 перекрывает отверстие II, поясок 3 — отвер-
стие I, и масло не поступает в цилиндр, поршень

151
Рис. 48. Схема управле-
ния потоком масла в дви-
гателе:
I —стержень золот ика,2, 3—
пояски, 4 — стержень сердеч-
ника, 5,6—обмотка сердечника,
7 — гидравлический цилиндр,
8 — поршень
бездействует. При смещении золотника вправо масло
поступает из питающего трубопровода Н в отвер-
стие I, омывая по пути стержень 1. Под действием
силы давления масла поршень начинает двигаться
влево. Поясок 2 закрывает потоку масла доступ в от-
верстие II, через которое он мог бы, не будь этого
пояска, перелиться в бак, вместо того чтобы переме-
щать поршень. Масло из левой полости цилиндра
вытекает в сливной бак через отверстие II и левый
трубопровод с. Поясок 3 перекрывает правый слив-
ной трубопровод с, не позволяя потоку масла, пода-
ваемого насосом, вытекать на слив через этот трубо-
провод.
Если золотник смещен влево, то масло из питаю-
щего трубопровода Н поступит в отверстие II, и пор-
шень будет двигаться вправо.
Таким образом, перемещение золотника управляет
перемещением поршня. Перемещением же золотника
можно управлять с помощью соленоида. На стер-
жень 4, жестко соединенный с пояском 3, насажи-
вается сердечник 5 электромагнита. Подавая на
входные зажимы а н b обмотки электрическое напря-
жение U нужной величины и полярности, можно при-
водить золотник в движение вдоль оси х.
Итак, управляя входным напряжением U соле-
ноида, можно осуществлять с помощью гидравличе-
ского привода разворот ракетного двигателя по тре-
буемому закону.
Во многих случаях недостаточно поворачивать
двигатель только в одной плоскости. В самом деле,
уже при выводе спутника на орбиту с поверхности
Земли траектория не укладывается в какую-либо

152
одну плоскость, а яв-
ляется пространствен-
ной кривой. Чтобы ра
кета-носитель спутни-
ка описала заданную
пространственную кри-
вую, недостаточно по-
ворачивать ось ракет-
ного двигателя только
в одной какой-либо
плоскости: нужно од-
новременно приложить
к ракете реактивную
силу также и в пер-
пендикулярной плоско-
сти. Для этого можно
Рис. 49. Карданов подвес	поставить на ракете
второй поворотный
двигатель так, чтобы
он качался около оси, неподвижной в корпусе ракеты
и перпендикулярной оси качания первого двигателя.
Но в техническом отношении часто оказывается
выгоднее обходиться одним ракетным двигателем
вместо двух. Для этого нужно освободить ось враще-
ния двигателя от жесткой связи с корпусом ракеты.
Тогда самое ось вращения двигателя можно будет
поворачивать относительно корпуса ракеты и одно-
временно поворачивать двигатель около этой оси.
В итоге реактивной тяге можно будет придать любое
направление в пространстве в соответствии с расче-
том траектории. Такой подвес двигателя представ-
ляет собой пространственный шарнир. Конструктив-
но этот шарнир выполняется с помощью так назы-
ваемого карданова подвеса (рис. 49).
Это название произошло от имени итальянского
механика XVI в. Кардано, впервые его предложив-
шего. В теле О подвешена рама 1 (наружная), спо-
собная поворачиваться по отношению к телу О около
оси С'С”, неподвижной в теле О. В раме 1 подвешена
другая рама, 2 (внутренняя), способная поворачи-
ваться по отношению к раме / около оси В'В", непо-

Рис. 50. Установка поворотного двигателя в кардановом подвесе:
1—корпус двигателя, 2—внутренняя рама (кольцо) подвеса, несущая двигатель,
3—наружная рама подвеса, 4—гидравлический привод для поворота реактивное о
двигателя около оси В'В", 5 — гидравлический привод для поворота реактив-
ного двигателя около оси С'С", 6 — выходной трубопровод насоса, подающего
горючее из баков, 7—трубопровод подачи горючего в камеры сгорания, 8—выход-
ной трубопровод насоса, подающего окислитель из баков, 9 — клапан, управля-
ющий подачей окислителя, 10 — трубопровод подачи окислителя в камеры
сгораеия, 11 — клапан, управляющий подачей топлива, 12—подшипники наруж-
ной рамы, 13 — подшипники внутренней рамы, 14 — стенка реактивного сопла,
15 — крепления кожухов подшипников 12 наружной рамы к корпусу корабля

154
движной в раме 1 и перпендикулярной оси С'С".
С рамой 2 жестко скреплен корпус двигателя. Ось
А'А" симметрии двигателя, оси В'В" и С'С" пересе-
каются в общей точке О, именуемой центром подвеса
Конструкция подвеса позволяет устанавливать ось
двигателя в любом направлении по отношению к те-
лу О. На рис. 49 стрелками показано направление
истечения реактивной струи из сопла двигателя. На
рис. 50 показан пример конструктивного осуществле-
ния установки двигателя в кардановом подвесе. Так
как двигатель подвешен, необходимо подавать горю-
чее и окислитель в камеры сгорания из баков корабля
через сложную систему трубопроводов, условно пока-
занных жирными стрелками в кардановом подвесе.
На рис. 51 показан старт американской космиче-
ской ракеты «Атлас», управляемой с помощью вспо-
могательных реактивных двигателей. Внизу видно
дымовое облако от работы основных ракетных двига-
телей. На рис. 52 показано управляющее сопло аме-
риканского суточного спутника «Синком», предназна-
ченное для поддержания направления антенны спут-
ника к Земле, по местной вертикали.
Управление путем перераспределения тяги между
неподвижными двигателями. В схеме на рис. 45, а
предполагалось, что все четыре двигателя — одина-
ковые, работают одновременно и совершенно одина-
ковым образом. Предположим теперь, что мы нару-
шили эту симметрию путем изменения режима пита-
ния двигателей. Обозначим через Rti величину реак-
тивной силы, развиваемой f-м двигателем (г=1, 2,
3, 4), через R— величину тяги каждого двигателя до
изменения режима работы. Пусть требуется осуще-
ствить разворот корабля около оси Ny ± плоскости
рис. 53 в положительном направлении (против часо-
вой стрелки). Для этого уменьшим тягу первого дви-
гателя и увеличим тягу третьего двигателя, оставив
тягу второго и четвертого двигателей без изменения;
тогда


Рис. 51. Старт ракеты «Атлас», управляемой с помощью вспомогательных реактивных двигателей

156
Рис. 52. Управля-
ющие двигатели на
суточном эквато-
риальном телеви-
зионном спутнике
(показано несколь-
ко последователь-
ных положений
спутника ).
где /?=/?2=/?4 — общее значение тяги двигателей 2
и 4. Такое изменение тяг можно осуществить путем
уменьшения количества топлива, поступающего в еди-
ницу времени в камеры сгорания двигателя 1, и на-
правления сооответствующего избытка топлива в ка-
меры сгорания двигателя 3. Тогда Ri=R—Ro, /?з = Я +
+ Ro, где Ro — изменение тяг двигателей 1 и 3. Заме-
тим, что O<Ro<R\ действительно, при Ro>R Ri<0 —
это означает, что реактивная сила двигателя 1 будет
направлена против движения, что невозможно при
принятой схеме регулирования тяги.
Для простоты вновь предположим, что центр массы
корабля остается в точке N. В качестве механической
модели корабля опять зададимся твердым телом.
->
Равнодействующая F всех реактивных сил, прило-
женных к кораблю в контрольном объеме, равна
F = R, + 2R + R3 = 4R
(напомним, что реактивная сила рассматривается как
сила внешняя, ибо она создается частицами топлива
в момент приобретения ими относительной скорости,
а в этот момент такие частицы топлива уже не принад-
лежат контрольному объему корабля). Следовательно,
величина ускорения центра массы корабля в любой мо-

157
мент t времени изменяется
из-за перераспределения то-
плива между двигателями 1
и 3. Применим уравнение
(6.26) относительно оси Ny,
тогда абсолютное угловое
ускорение корабля опреде-
ляется выражением
rR3 — г
I
Момент силы и момент
силы относительно оси у
равны нулю, тогда
f}= -y-k(₽ + /?o)-
-r(K-R0)] = ^.
Следовательно, под дей-
ствием момента 2г/?0, об-
условленного разностью тяг
двигателей 1 и 3, корабль
Рис. 53. Управление разво-
ротом корабля путем пере-
распределения топлива меж-
ду двигателями
будет разворачиваться около
оси у против часовой стрелки с угловым ускорением 0.
Поэтому и полная реактивная сила 4/?, всегда направ-
ленная по оси х, будет поворачиваться по отношению
к неподвижному пространству. Тем самым и ускорение
w центра масс корабля, создаваемое реактивной си-
лой 4/? и направленное поэтому вдоль оси корабля, бу-
дет поворачиваться в неподвижном пространстве вме-
сте с этой осью.
Последовательные положения направления уско-
рения w (т. е. оси Nx) во времени в неподвижной
плоскости XOZ движения корабля показаны на
рис. 54, где цифры 0, 1,2, ..., п относятся к последо-
вательным моментам времени О, Л, /2, ... tn (0</i<
<t2<...<tn). При этом начало N описывает в пло-

158
Рис. 54. Изменение на-
правления реактивной
силы ракеты при пово-
роте в плоскости полета
OXZ
скости XOZ некоторую траекторию, показанную на
рис. 54 сплошной линией. Эта траектория такова, что
в каждой ее точке продольная ось Nx корабля на-
правлена в сторону вогнутости траектории; последнее
обстоятельство следует из свойств ускорения, рас-
смотренных в § 3. Следовательно, изменение реак-
тивных сил двигателей 1 и 3 обеспечивает выполне-
ние определенного маневра корабля в неподвижной
плоскости. Если еще изменять тяги двигателей 2 и 4,
то корабль, в общем случае, опишет некоторую про-
странственную траекторию. Этот способ управления
направлением тяги имеет определенные недостатки,
связанные с необходимостью увеличивать и умень*
шать тягу двигателей в процессе полета. По ряду
причин (эффективность работы камеры сгорания, на-
дежность работы двигателя и т. п.) изменение тяги
Ro не может быть очень большим. Поэтому такой спо-
соб управления может привести к необходимости уве-
личивать поперечные размеры ракеты с целью уве-
личения плеча г и управляющего углового ускоре-
ния р.
Вместо распределения топлива по камерам сгора-
ния нескольких двигателей можно сжигать топливо
в одной общей камере сгорания и выпускать горячие
газы не через одно сопло, а через различные сопла од-
новременно. Общая схема такого распределения горя-
чих газов приведена на рис. 55. Круг в середине ко-
рабля условно изображает общую камеру сгорания, а
линии указывают выводные трубопроводы от камеры к
соплам. Стрелками показаны реактивные силы, созда-
ваемые в соплах. Ускорение центра массы корабля и

159
его угловое ускорение находят-
ся, как и в предыдущих зада-
чах, применением уравнений
(3.1) и (6.27), если известна
реактивная сила в каждом
сопле.
Распределение газов по со-
плам можно производить с по-
мощью жаростойких заслонок,
перекрывающих выводные ка-
налы, ведущие от камеры сго-
рания к соплам.
Следует отметить значи-
тельные технические трудности
осуществления подобного спо-
соба управления, связанные с
высокой температурой и боль-
шой скоростью газов, омываю-
щих управляющие заслонки.
§ 9.
Управляющие устрой-
ства, действующие с
помощью внутренних сил
Настоящий параграф посвя-
щен описанию способа управ-
ления космическим кораблем с
помощью сил, внутренних по от-
ношению к системе, образую-
щей космический корабль. Из-
Рис. 55. Управление раз-
воротом корабля путем
перераспределения горя-
чих газов по реактивным
соплам: 1 — поворотная
распределительная за-
слонка
ложение опирается на законо-
мерности, исследованные в § 6.
Поворот искусственного спутника около его про-
дольной оси с помощью маховика. Пусть спутник пе-
ремещается по орбите так, что его продольная ось Nx
(рис. 56) сохраняет неизмененное направление в не-
подвижном пространстве, т. е. по отношению к непо-
движной системе отсчета OXYZ. Назовем вращением
спутника около продольной оси вращение его около
оси Nx по отношению к системе координат NX'Y'Z',
начало этой системы совпадает с началом N связан-

160
Рис. 56. Спутник,, состоящий из
двух соосных цилиндрических
оболочек
ной системы координат, а
оси NX', NY', NZ' всегда
параллельны неподвиж-
ным осям OX, OY, OZ
соответственно.
Пусть на спутнике
имеется маховик /, вы
полненный в виде тонко
стенного цилиндра радиу-
са /*1 и массы /щ; маховик
может вращаться относи-
тельно корпуса спутника
около его продольной
оси х. Сам спутник рас-
сматривается как тонко-
стенный цилиндр О радиу
са г0, соосный с маховиком
(рис. 56); его массу обо*
значим как т0.
Маховик включен в конструкцию спутника как си
ловое устройство, предназначенное для сообщения
спутнику вращательного движения около оси Nx
Если это вращение создается силами, внутренними по
отношению ко всей системе спутника, а момент внеш-
них сил равен пулю, момент количества движения
всего спутника не изменится ври вращении маховика,
и корпус спутника повернется в обратную сторону.
Таким образом, в данной задаче механическая мо-
дель спутника представляет собой совокупность твер-
дых тел О (корпус) и 1 (маховик).
В исходном положении маховик 1 покоится отно-
сительно корпуса спутника О. В некоторый момент
времени, принимаемый за начальный / = 0, маховик/
приводится во вращение относительно тела О с угло-
вой скоростью Q. Эта скорость создается за счет ис-
точника энергии, запасенной на спутнике. Например,
эта энергия может быть электрической, сохраняемой
с помощью батареи; тогда телом / — маховиком —
служит якорь электродвигателя, станина которого
скреплена с корпусом спутника и выполнена также
в виде тонкостенного цилиндра радиуса г0-

161
По отношению к системе тел О и 1 силы, раскру-
чивающие маховик, являются внутренними. Эти си-
лы, как указывалось выше, вызывают такое враще-
ние корпуса вокруг оси Nx, которое может быть ис-
пользовано для управления ориентацией спутника.
Рассмотрим задачу о развороте спутника вокруг оси
Nx на заданный угол Ф с помощью маховика, уста-
новленного на спутнике. Движение спутника около
центра масс под действием внутренних сил рассмат-
ривалось в § 6. Воспользуемся выводами этого пара-
графа, принимая следующие обозначения: Ц — мо-
мент инерции маховика 1 около оси х; Л — момент
инерции корпуса около этой же оси; о2— абсолютная
угловая скорость спутника О относительно названной
оси; о)1—то же маховика. Пусть начальная угловая
скорость спутника о)о = 0. Примем, что источник энер-
гии разгоняет маховик от состояния покоя до угловой
скорости Q практически мгновенно. Уточним, что по-
ворот спутника на угол Ф следует осуществить в на-
правлении, противоположном вращению часовой
стрелки для наблюдателя на положительном конце
оси х, т. е. Ф>0. Для этого абсолютное вращение
спутника можно осуществить также в положительном
направлении (против движения часовой стрелки):
о)2>0. Так как мы приняли, в отличие от (6.20),
(Dj = й)2 "Т"
то второе соотношение (6.24) имеет в данном слу-
чае вид
со2 = — eQ,
где
‘-Т±г (0<е<1).
ЧТ У2
Отсюда следует, что Q<0, маховик нужно поворачи-
вать в отрицательном направлении (по движению ча-
совой стрелки).
Время Т осуществления поворота спутника на тре-
буемый угол Ф при вращении его с угловой скоростью
о)2 равно
т = —
(I),
ф
ей '
(9.1)

162
Величина е определяется через значения масс
спутника т0 и маховика trt\ и радиусы rQ и гг.
Ш! г\
е =--------------,
r\ + morl
ИЛИ
где
1 + ИРа ’
/Ио	Го
р = —-	и р = ——.
mi	гх
Выберем Ф = 60°,
р =	= 20; р = 1, т. е. g = г0.
mi
Тогда е = 0,0476,
/ л >
т = .-> 3_>
0,0476 Q
Относительная угловая скорость Q зависит от
мощности источника энергии — мощности электриче-
ского двигателя маховика; чем больше эта мощность,
тем больше абсолютная величина |£2| угловой скоро-
сти Q и, в силу соотношения (9.1), тем меньше время
Т разворота спутника на угол Ф.
Пусть, например, маховик делает относительно
спутника (тела О) два оборота в секунду, тогда пе-
риод Гц вращения маховика равен 0,5 сек, Q =
= —2jt/ru = —4л (11сек) и
Т =	104
4-3-476
1,75 сек.
Если по осуществлении поворота спутника на
угол Ф требуется прекратить его дальнейшее враще-
ние, то нужно остановить двигатель. Остановка дви-
гателя, как и его разгон, выполняется за счет внут-
ренних сил.

163
После остановки двигателя вновь будет (oi = co2 =
= Q = 0. График изменения величин coj, w2, Q во вре-
мени изображен на рис. 57.
На рис. 58 изображено устройство управления
угловым положением космической станции для ис-
следования верхних слоев атмосферы, основанное на
применении маховика.
Изменение скорости вращения космического ко-
рабля путем изменения его момента инерции. Избе-
рем следующую механическую модель космического
корабля (рис. 59): к основному телу О корабля при-
креплены два одинаковых тела I и 2, принимаемые
для простоты материальными частицами массы ш
каждая. Частицы могут перемещаться относительно
тела О вдоль прямой g'Ng", проходящей через центр
массы N тела О. При этом частицы всегда располо-
жены симметрично относительно продольной оси.
В исходном положении тело О вращается около
оси х с некоторой абсолютной угловой скоростью соо,
а массы 1 и 2 отстоят от оси вращения на расстоя-
ние а. Требуется замедлить вращение тела О, умень-
шив его угловую скорость в а раз (а>1) путем пере-
мещения масс 1 и 2 на расстояние b в направлении
от оси вращения (рис. 59). Действительно, при уда-
лении этих масс от оси вращения их момент инерции
относительно этой оси возрастает; так как внешние
силы по условию отсутствуют, то из сохранения вели-
чины кинетического момента следует, что угловая
скорость корабля должна уменьшиться.
Произведем расчет характеристик подобного спо-
соба изменения скорости вращения. В исходном по-
ложении момент инерции каждой массы относительно
оси вращения тела О равен та2; в новом положении
момент инерции принимает значение т(а + Ь)2>та2.
Напишем выражения для кинетического момента
корабля до и после изменения положения масс и при-
равняем их. Пусть момент инерции корпуса корабля
(без управляющих масс) равен /0. Тогда
(70 4- 2/иа2) соо = (/0 + 2тс2) о>;
с = а + Ь.

164
◄ Рис. 57. График угловых
скоростей корпуса спут-
ника и маховика
▼ Рис. 58. Устройство для сооб-
щения вращательного движе-
ния космической станции:
О — корпус станции; 1 — маховик, 2—
ведомая шестерня, связанная с махови-
ком, 3—ведущая шестерня, связанная
с выходным валом электродвигателя
4, приводящего маховик во вращение

165
Рис. 59. Схема космического
корабля с передвижными
массами
Отсюда находится новая угловая скорость корабля:
(9-2)
/0 4- 2/пд2
со = —---------соо.
/0 + 2/пс2
Очевидно, что при с>а будет |со| < |соо|. Знаки скоро-
стей со и о)О одинаковы, т. е. направления вращения
не меняются. Подставим в уравнение (9.2) вместо ве-
личины оз ее требуемое значение соо/а; тогда
(/0 + 2/тш2) <оо = (/0 4- 2mc2)
а
По условию о)о=/= 0, и поэтому обе части последнего
уравнения можно сократить на величину о)о. Решая
это уравнение относительно нового расстояния с пе-
редвижных масс от оси вращения, получим:
С = 1/ (а — 1)+ аа2 •
V 2т
Расстояние с всегда положительно, так как оно
измеряется от оси вращения. При а>1 подкоренное
выражение заведомо положительное.
Итак, для замедления вращения корабля в а раз
нужно передвинуть массы 1 и 2 на расстояние
Ь = с—а,
Ь = 1/	(а- 1) + аа2 — а. (9.3)
V 2т
Это расстояние не зависит от величины (о0 исходной
скорости вращения, а зависит лишь от относитель-
ного замедления а = (0о/о), а также от масс системы

166
и их исходного расположения относительно оси вра-
щения. При а=1 формула (9.3) имеет очевидное ре-
шение & = 0: для сохранения исходного вращения сле-
дует не изменять удаления масс от оси вращения.
Если вместо удаления масс 1 и 2 от оси вращения
приближать их к этой оси, то момент инерции всей
системы уменьшится, и вращение станет более бы-
стрым. Действительно, пусть 0<а<1, т. е. |(oj > [соо|,
тогда решение (9.3) удобно переписать в виде
6=У
причем 1—а>0. В этом случае подкоренное выраже-
ние не остается положительным при всех значениях
отношения а между нулем и единицей. Например,
при значении а, очень близком к нулю, слагаемые
аа2 и ha!2m становятся очень малыми в сравнении
с абсолютной величиной отрицательного слагаемо-
го— /0/2т. Иными словами, знак подкоренного вы-
ражения совпадает со знаком последнего слагаемого,
т. е. подкоренное выражение отрицательно и расстоя-
ние Ь оказывается комплексной величиной. Физически
это означает, что при выбранном малом значении а
нет возможности ускорить вращение системы в
1/а раз путем перемещения масс 1 и 2 к оси враще-
ния. Действительно, передвинем эти массы к оси вра-
щения (насколько возможно, а именно — примем
Ь=—а, т. е. разместим эти массы на самой оси вра-
щения. При этом момент инерции всей системы будет
иметь наименьшее значение, равное моменту /0 основ-
ного тела; массы же 1 и 2 в этом положении на мо-
менте инерции всей системы не сказываются, ибо рас-
стояние от оси вращения до каждой из них равно
нулю и т-02 = 0. Момент инерции всей системы будет
в этом положении таким же, как если бы эти массы
были вообще убраны из системы. Следовательно, уве-
личение скорости вращения корабля путем прибли-
жения передвижных масс к оси вращения имеет пре-
дел, равный увеличению скорости при размещении
этих масс на самой оси вращения. Обозначим через Л

167
наименьшее осуществимое значение отношения а при
заданных величинах а, т и /0. Величина Л равна наи-
меньшему значению отношения а, при котором под-
коренное выражение в формуле (9.3) остается неот-
рицательным. Поэтому величину Л можно найти,
приравняв нулю подкоренное выражение:
Л =------.
/0 4- 2/иа2
(9.4)
Очевидно, что А<1 и Л>0. Соотношение (9.4) пред-
ставляет собой решение уравнения (9.3) относитель-
но величины а при Ь = —а. Так как масса передвиж-
ных тел 1 и 2 входит в знаменатель последнего отно-
шения, предельное значение Л тем меньше, чем
больше масса т: при прочих равных условиях, при
больших передвижных массах можно добиться боль-
шего ускорения вращения корабля. Таким образом,
чем больше исходное расстояние а каждой из пере-
движных масс от оси вращения, тем больше предель-
но достижимое ускорение вращения корабля при про-
чих равных условиях.
Рассмотрим основное тело О корабля, характери-
зуемое следующими числовыми величинами: PQ — вес
корпуса на Земле равен 900 кГ, г0 — радиус цилиндра
равен 1 м. Пусть вес каждого из точечных тел 1 и 2
составляет на Земле 7^1 = 10 кГ, а = 2Ь см. На сколько
нужно отодвинуть передвижные массы 1 и 2 от оси
вращения, чтобы замедлить вращение корабля на 5% ?
Здесь соо — со = 0,05 соо и а = 1,0526;
/И —	, /о — ---
g	g
Тогда
Ь=\/	!) + аа2— а =
/ 900 1
2-10
0,0526+ 1,0526-0,0625 —0,25	1,31 м.

168
Мы видим, что в этом случае с = а + Ь составляет
1,54 ж, т. е. превышает радиус корпуса корабля.
Если в исходном положении передвижные массы
расположены на расстоянии а = г0 от оси вращения,
то предельное достижимое увеличение скорости вра-
щения определяется величиной

J________	1	__	_45_
2Р,	~	2-10	~	46 ’
Ро	900
т. е. составляет примерно 2,2%. Очевидно, что с уве-
личением отношения P\IPq управляющая способность
тел 1 и 2 будет возрастать.
Подчеркнем, что описанным перемещением масс
можно лишь изменять скорость уже имеющегося вра-
щения, т. е. способ годится только при соо^О. Если
о)о = 0, то никаким изменением расстояния масс до оси
нельзя сообщить основному телу корабля вращатель-
ное движение. Этот вывод следует из рассмотрения
уравнения (9.2) при соо = 0 и очевиден физически.
Перемещение центра массы корабля. Рассмотрим
космический корабль как систему двух твердых тел:
основного О массы т0 и материальной частицы 1 мас-
сы /П], способной перемещаться относительно основ-
ного тела под действием сил, внутренних по отноше-
нию к системе этих тел. Тогда из выводов § 6 сле-
дует, что при условии постоянства количества движе-
ния всей системы перемещение частицы 1 относитель-
но тела О приводит к абсолютному перемещению
центра массы основного тела О.
Возможности управления движением основного
тела корабля путем осуществления относительных пе-
ремещений внутренних тел всегда весьма ограниче-
ны, так как из конструктивных условий невозможно
производить сколько-нибудь большие относительные
перемещения. Так, трудно перемещать какие-либо те-
ла на расстояние, превышающее габариты основного
тела корабля. Поэтому такой способ управления по-
ступательным перемещением основного тела корабля

169
Рис. 60. Схема взаимного
расположения двух кораб-
лей, движущихся по инерции
Itfl d,
Рис. 61. Схема перемещений
корабля II (рис. 60) и его
ползуна
имеет смысл применять лишь для осуществления
очень небольшого поступательного перемещения, на-
пример при сборке космической станции на орбите.
Пусть два корабля I и II перемещаются по одной
и той же прямолинейной космической траектории
—>
(рис. 60) с одинаковой постоянной скоростью v, тогда
расстояние I между ними остается неизменным. На
какое расстояние s относительно корабля II надо пе-
редвинуть ползун /, чтобы правый торец ползуна кос-
нулся левого торца корабля I, если масса корабля II
равна т0, а масса его ползуна равна mi?
Если корабли I и II соединены, то s = l. Но по
условию каждый корабль движется по инерции; сле-
довательно, центр масс каждого корабля сохраняет
постоянную скорость независимо от относительных
перемещений составляющих его тел. Поэтому при вы-
движении ползуна вперед основное тело корабля II
отодвинется назад по отношению к центру масс С все-
го корабля. По этой причине, чтобы ползун I пере-
двинулся на заданное расстояние I относительно
центра С массы корабля, его нужно передвинуть от-
носительно основного тела корабля на большее рас-
стояние: s>l. На рис. 61 N и JVi — положения цент-
ров масс тел О и 1 соответственно корабля II в ис-

170
ходном положении; N' и — положения этих же
центров после выдвижения ползуна 1 на расстояние s
вперед.
Обозначим: d и d\ — координаты центров N и ЛГЬ
отсчитываемые от центра масс С в исходном поло-
жении (di>0, d<0); d' и d'i — координаты этих же
центров после перемещения ползуна на требуемое
расстояние I по отношению к кораблю I (d'i>0,
d'<0). По определению, длина s равна изменению
расстояния между центрами N и Л^:
s =	N') — (Nfl) = d\ — d'~ (dL — d) =
= (d\ — dY) — (d' — d) = rfj — di + d — d'.
Но разность d'i—d{ равна /, требуемому смещению
центра N[ массы ползуна 1 по отношению к центру С
массы всего корабля II. Разность d'—d=(NN') пред-
ставляет собой смещение центра N массы основного
тела (d'—d<0) по отношению к центру С; обозначим
d'-d = 1^<0-
Следовательно,
s =	(9.5)
Запишем в математическом виде условие того, что
точка С является центром массы корабля II как си-
стемы тел О и 1. В исходном положении
/nod + m,idi = 0.
После требуемого перемещения ползуна
mQd' -\-niid\ = 0.
Вычтем почленно последние два равенства:
/п0 (d — d) + nii (dj — dL) = 0
или иначе
/и0£ + mJ = °-

171
Рис. 62. Способ со-
единения двух
спутников с по-
мощью	каната
(проект)
Последнее соотношение позволяет выразить коорди-
нату I через координату /:
£ =	(£<о, />0).
т0
Подставляя в правую часть равенства (9.5) вместо
координаты £ ее последнее выражение, найдем иско-
мое относительное перемещение s:
s = (l +
\ rnQ J
Очевидно, что s>/, как и было выше установлено из
физических соображений. Пусть, например, Z=1 л/,
а тела О и 1 весят на Земле: Ро=1000 кГ и Р1 = 50кГ.
Тогда
s = (l +	= ( 1 + -LA1 = 1,05 м.
\ Pa J \	20 J
Сборка космической станции на орбите соедине-
нием спутников-частей при помощи канатов. Другой
способ соединения спутников — частей космической

172
станции, не требующий использования внешних сил,
основан на применении соединительных канатов.
С одного из спутников «выстреливают» соединитель-
ным крюком на канате так, чтобы крюк достиг дру-
гого спутника и захватил его. После этого достаточно
подтягивать канат на любом из спутников и таким
образом сближать их, на сколько нужно. В одном из
американских проектов предложено производить вы-
брос крюка с помощью реактивного снаряда со сле-
дящим прицелом, автоматически наводящим снаряд
с крюком на источник тепла или света на спутнике-
цели (рис. 62). Такой способ соединения спутников
напоминает охоту за китами с помощью остроги, вы-
стреливаемой из китобойной пушки; острогу может
нести и реактивный снаряд (реактивный китобойный
снаряд для доставки остроги предложен в США сто
лет назад).
Движение спутников после соединения их канатом
обладает любопытным свойством. В общем случае,
орбиты спутников, подлежащих соединению, могут
несколько различаться между собой. Пусть два оди-
наковых спутника, моделируемые материальными ча-
стицами А и В, обращаются по различным круговым
орбитам, лежащим в одной плоскости и имеющим
общий центр О (рис. 63). Окружная скорость перво-
го спутника Vi, второго v2; из соотношения (4.5) сле-
дует, что v2>vi. Предположим, что спутники в неко-
торый момент времени соединяются нерастяжимыми
канатами в положении, показанном на рис. 63. Как
они будут двигаться дальше?
Если бы спутники не были связаны и двигались
независимо, то второй, более близкий к центру орби-
ты, обогнал бы первый. Но обгон не может иметь
места из-за действия каната, связывающего спутни-
ки. Поэтому первый спутник, обращающийся медлен-
нее, будет задерживать второй; второй спутник будет
ускорять движение первого. Канат окажется натяну-
тым. Под действием натяжения каната спутники сой-
дут со своцх орбит и начнут описывать окружность,
показанную пунктиром на рис. 63, продолжая обра-

173
щаться около притягивающего
центра О как единый спутник.
Итак, при соединении кана-
том спутников, имеющих раз-
личные абсолютные скорости,
новый спутник, образованнып
соединением двух отдельных
спутников, приобретает враща-
тельное движение. Это обстоя-
тельство следует иметь в виду
при использовании описанного
способа сборки станции на
орбите: станция после сборки
помимо обращения по орбите
будет вращаться по отноше-
нию к неподвижной системе ко-
ординат. При необходимости остановить или замед-
лить это вращение придется прибегнуть к одному из
способов изменения угловой скорости вращающегося
тела, например к одному из способов, описанных в
настоящей главе.
4

2
I
,о
Рис. 63. Движение двух
спутников после соеди-
нения их канатом
§ 10.
Управляющие устрой-
ства, использующие
внешние силы
Когда космический корабль находится в области
пространства, в которой действуют силы, внешние по
отношению к механической системе, отождествляемой
с кораблем, то в общем случае эти силы оказывают
воздействие и на корабль. Тем самым внешние силы
изменяют движение центра масс корабля и враща-
тельное движение корабля. Если с помощью борто-
вых устройств корабля осуществлять определенное
изменение величины и направления внешних сил, дей-
ствующих на частицы вещества, образующие корабль,
а также перемещать точки приложения этих сил, то
можно управлять поступательным и вращательным
движением корабля. В настоящем параграфе описано
действие устройств, 'позволяющих изменять силы вза-

174
имодействия между кораблем и телами, внешними по
отношению к кораблю.
Управление с помощью аэродинамических сил.
Когда космический корабль летит в воздушной среде,
например при выходе на космическую траекторию
или при возвращении из космоса, для управления ко-
раблем можно использовать силы взаимодействия
между воздушной средой и кораблем. Управление
движением космического корабля с помощью аэро-
динамических сил по физическому существу не отли-
чаются от управления полетом обычного самолета.
Разберем основы действия аэродинамических органов
управления.
При движении корабля в воздухе материальные
частицы корабля, образующие его наружную поверх-
ность, соприкасаются с частицами воздуха. Переме-
щение корабля возмущает движение частиц воздуха,
заставляет их «расступаться» перед ним. Таким об-
разом, перемещение корабля изменяет абсолютное
движение частиц воздуха, окружающих корабль в
каждый данный момент времени. Тем самым под
влиянием движения корабля частицы воздуха при-
обретают абсолютное ускорение. В силу основного
уравнения механики (3.1) к каждой такой частице
воздуха оказывается приложенной некоторая сила,
обусловленная взаимодействием этой частицы с соот-
ветствующей частицей поверхности корабля. По за-
кону действия и противодействия на упомянутую ча-
стицу поверхности корабля, в свою очередь, дейст-
вует сила, равная по величине силе, приложенной со
стороны корабля к соответствующей частице возду-
ха, и направленная в противоположную сторону. Со-
вокупность сил, приложенных к кораблю со стороны
частиц воздуха (аэродинамических сил), его обду-
вающих, сообщает ему в общем случае поступатель-
ное и угловое ускорения.
Для подсчета величины ускорения применим спо-
соб приведения сил к единому центру. Обозначим че-
рез Аг аэродинамическую силу в точке поверхно-
сти корабля (рис. 64). Приложим мысленно к центру

175
Рис. 64. Действие аэродинамической
силы на поверхностную частицу
корабля
N массы корабля систему аэродинамических сил Ai
и —Лг- (показаны пунктиром). Суммы Л^+(—А^) рав-
ны нулю, поэтому на движении корабля как твердого
тела такое перенесение сил не отразится. Далее при-
меним уравнения (3.1) и (6.27). При исследовании
движения центра массы корабля за его механиче-
скую модель примем материальную точку. Тогда
центр N массы корабля движется как материальная
частица, к которой приложены все действующие на
систему силы. В данном случае на систему действуют
аэродинамические силы Ль Л2,	Лг-,... Обозначим че-
рез А вектор, равный сумме этих сил, Л1+Л2 + ...+
—>
+Лг + ... = Л. По закону независимости действия сил
ускорение центра массы корабля определяется урав-
нением
w = — Л.
m
При исследовании вращательного движения ко-
рабля за его механическую модель примем твердое
тело.
Обозначим через Li момент силы Лг- относительно
центра N массы.
Тогда вектор L = Lj + L2 + ... + Li + ... представляет
собой сумму моментов всех аэродинамических сил,
приложенных к кораблю. Применим уравнение (6.27)
к вращению корабля около оси, проходящей через
центр AZ массы корабля параллельно вектору L, тогда

176
A
Рис. 65. Симметричный обдув сим-
метричного корабля
Рис. 66. Аэродинамическая си-
ла, действующая на крылатый
корабль
Рис. 67. Аэродинамическая си-
ла при косом обдуве космиче-
ского корабля
где / — момент инерции корабля около этой оси. Be-
личина и направление вектора А, а также вектора L
определяются, как правило, опытным путем с по-
мощью обдува модели корабля в аэродинамической
трубе. Очевидно, что величины А и L и углы, обра-
зуемые векторами А и L с осями связанной систе-
мы координат, зависят при прочих равных условиях
от очертания наружной поверхности корабля и от на-
правления потока воздуха, обдувающего корабль, по
отношению к кораблю. Например, на рис. 65 симмет-
ричный корабль обдувается потоком воздуха, сим-
метричным относительно его продольной оси х. В силу
симметрии обтекания аэродинамическая сила А на-
правлена вдоль оси симметрии в сторону воздушного

\п
течения, показанного тремя стрелками. Эта сила про-
тиводействует движению корабля в направлении
оси х, т. е. является тормозящей, она называется
аэродинамическим сопротивлением. На рис. 66 тот же
корабль снабжен двумя одинаковыми крыльями, рас-
положенными симметрично по отношению к плоско-
сти Nxy, а поток по-прежнему параллелен оси х.
Однако, как видно из рисунка, профиль крыла вы-
бран несимметричным, поэтому при обдуве корабля
в плоскости симметрии аэродинамическая сила уже
будет отклонена от направления оси х, но будет ле-
жать в плоскости симметрии.
Разложим силу А по осям х и у: А=АХ + АУ. Со-
ставляющая Ах является аэродинамическим сопро-
тивлением. Составляющая Ау сообщает кораблю
ускорение в направлении, перпендикулярном направ-
лению потока, она стремится поднять корабль и на-
зывается подъемной силой. На рис. 67 корабль вновь
симметричен относительно продольной оси х, но по-
ток, его обдувающий в плоскости симметрии Nxy, не
параллелен оси х. Аэродинамическая сила А пред-
ставляет собой совокупность подъемной силы и аэро-
динамического сопротивления. Что касается аэроди-
—>
намического момента L, то в первом случае (рис. 65)
он равен нулю в силу осевой симметрии картины об-
дува. В остальных случаях (рис. 66 и 67) осевая сим-
метрия не имеет места и момент L в общем случае
отличен от нуля. Заметим, что в последних случаях
имеет место симметрия относительно плоскости дви-
жения. Поэтому все пары силы (А;,—Аг-) лежат в
плоскостях, параллельных плоскости симметрии, а
момент L ей перпендикулярен, т. е. параллелен оси г.
Поэтому момент L стремится развертывать корабль
в плоскости симметрии Nxy.
Из приведенных примеров следует, что измене-
нием наружного очертания корабля можно изменять
аэродинамическую силу и момент, а следовательно,

178
Рис. 68. Схема образования управляющей
силы воздушного руля
управлять ускорениями w\ и р. Для изменения вида
наружной поверхности корабля применяются различ-
ные подвижные тела, щитки, небольшие вспомога-
тельные крылья и т. п. Перемещение этих тел относи-
тельно корабля меняет его наружную поверхность и
тем самым векторы А и L.
Такие подвижные тела соответствуют рулям са-
молета. Разберем подробнее управление кораблем
с помощью воздушного руля.
Пусть корабль снабжен двумя одинаковыми ру-
лями /, выполненными в виде симметричных крылье-
вых профилей и расположенных симметрично относи-
тельно плоскости Nxy (рис. 68). Оба руля могут по-
ворачиваться по отношению к кораблю около общей
оси, параллельной оси z корабля. В исходном поло-
жении оси симметрии профилей совпадают с продоль-
ной осью корабля: обтекание является осесимметрич-
ным и подъемная сила отсутствует.
Пусть в некоторый момент времени корабль нуж-
но развернуть около оси z, например по часовой
стрелке. Для этого повернем рули на некоторый угол
б в положение, показанное пунктиром. Тогда плос-
кость Nxy останется плоскостью симметрии обдува,
но ось х, перестанет быть осью симметрии. На осно-
вании предыдущего к каждому профилю руля ока-
жется приложенной помимо аэродинамического со-
противления А1Х также подъемная сила Aiy. Величи-

179
ны А]х и Aiy зависят от угла 6 поворота руля. Как
показывают теория и опыт продувки моделей кораб-
лей в аэродинамических трубах, во многих конструк-
циях подъемная сила пропорциональна углу отклоне-
ния руля:
лу = 4д,
где с*—коэффициент, характеризующий способность
данного руля создавать подъемную силу. При одина-
ковой воздушной скорости корабля и одинаковой
плотности обдувающего воздуха коэффициент сьу за-
висит от размеров и очертаний руля. Численно коэф-
фициент (Ау равен величине подъемной силы руля, соз-
даваемой при отклонении его от симметричного поло-
жения на единицу измерения угла отклонения; чем
больше величина с*, тем действеннее руль.
Выберем начало N связанной системы корабля в
центре масс корабля. Примем, что ось вращения руля
проходит через центр массы самого руля. Тогда
центр масс корабля сохраняет неизменное положе-
ние в основном теле при любом угловом отклонении
руля.
Предположим еще, что отклонение руля не нару-
шает осевой симметрии обдува основного тела; такое
предположение можно сделать, если размеры руля
малы сравнительно с размерами корабля. Как и вы-
ше, отождествим сначала корабль с материальной
точкой.
После отклонения руля на угол б центр N будет
двигаться в неподвижном пространстве как мате-
риальная частица, к которой дополнительно прило-
жена аэродинамическая сила А[—Aio=Aix+Aiy—Лю,
где А ю — аэродинамическое сопротивление руля в ис-
ходном положении. Следовательно, под действием
отклонения руля корабль получит поступательное
ускорение
W = — &х — Ао + Aly)-
т

180
Для подсчета углового ускорения р обратимся к
уравнению (6.27), применив его по отношению к оси
z, вновь отождествляя корабль с твердым телом.
Сила аэродинамического сопротивления проходит че-
рез центр массы руля лежащий по условию на
оси Nx симметрии основного тела корабля. Поэтому
моменты сил А\х и Лю относительно оси z равны ну-
лю. Момент подъемной силы руля равен —А\у1. Та-
ким образом,
Следовательно, отклонение руля вызывает изме-
нение как поступательного, так и углового движения
корабля. Если подъемная сила руля мала по сравне-
нию с весом корабля, то основное действие руля
заключается в управлении угловым движением ко-
рабля.
Для отклонения руля применяется силовой при-
вод: гидравлический, электрический или пневматиче-
ский; привод руля обычно называют рулевой маши-
ной. Гидравлическая рулевая машина по существу ее
действия не отличается от силового привода качаю-
щегося реактивного двигателя, привода, изображен-
ного на рис. 47. Схема гидравлической рулевой ма-
шины показана на рис. 69 с несколько большими тех-
ническими подробностями. Между местом ввода
управляющего напряжения U и соленоидом помещен
электронный усилитель 4. Электрический контур 5
в цепи управления усилителем придает системе управ-
ления большую гибкость и способствует более плав-
ной и устойчивой работе ее. Крепление 8 цилиндра 10
к корпусу 7 корабля и крепление 9 руля 6 к поршню 3
показаны упругими — по причине, указанной в § 8.
Золотник имеет три пояска; средний поясок служит
для запирания питающего канала Н в симметричном
положении золотника. Пружины 11 служат для воз-
вращения золотника в среднее положение, когда
входное напряжение выключают ([7 = 0).

181
Рис. 69. Схема гидравлической рулевой
машины:
1—золотник, 2—обмотки, 3—поршень, 4—электронный
усилитель, 5—контур управления, 6—руль, 7—корпус
корабля, 8, 9—крепления, 10—гидравлический цилиндр,
11—центрирующие ~ пружины золотника; А—шарнир
Следует отметить также способ аэродинамическо-
го торможения космического корабля с помощью так
называемого надувного крыла (рис. 70). Оно пред-
ставляет собой складывающуюся несущую поверх-
ность, сочетающую крыло и парашют, и похожую на
половину воронки. При возвращении корабля из кос-
мического полета в воздушную оболочку Земли на-
дувное крыло раскрывается над кораблем. Набегаю-
щий воздух заполняет «воронку» крыла и тормозит
корабль. Можно сказать, что надувное крыло пред-
ставляет собой своеобразный парашют, размещенный
во время торможения над кораблем, а не позади его.
По окончании торможения, когда скорость полета
мала, это крыло работает, как парашют. На
рис. 70 показано надувное крыло в раскрытом
положении.
Существует много ' других аэродинамических
устройств управления, отличающихся от рассмотрен-
ного руля конструкцией: выдвижные пластины, кана-
лы переменного сечения, крылья изменяемой формы

182
Рис. 70. Схема надув-
ного крыла для тор-
можения космического
корабля при входе в
воздушную оболочку
Земли по возвраще-
нии из космического
полета (направление
полета — влево)
и площади и т. д. Однако все эти устройства, различ-
ные по конструкции, объединяет общий принцип дей-
ствия, основанный на изменении аэродинамических
сил и моментов, приложенных к кораблю.
Управление угловым движением спутника с по-
мощью сил тяготения. Способ основан на использо-
вании различия в силах притяжения к Земле мате-
риальных частиц космического корабля, удаленных от
центра Земли на неодинаковые расстояния. Чтобы
выявить существо этого способа наиболее наглядным
образом, зададимся механической моделью корабля в
виде системы трех точечных масс О, 1 и 2, расположен-
ных на одной прямой (рис. 71). Массы крайних частиц
1 и 2 выберем одинаковыми и равными /и, расстояния
между соседними частицами — одинаковыми, равны-
ми а. Все частицы можно представить себе соединен-
ными с помощью жесткого невесомого стержня, причем
крайние массы могут перемещаться вдоль него сим-
метрично относительно 'средней массы с помощью не-
которого приводного устройства, т. е. длину а можно
изменять.
Массы О, 1 и 2, образующие корабль, взаимодейст-
вуют с массами всех материальных частиц Земли
(и других тел солнечной -системы) по закону всемир-
ного тяготения. Считая, что корабль находится к Земле
ближе, чем к другим телам, ограничимся учетом при-
тяжения частиц корабля только Землею. Далее, за
механическую модель Земли примем материальную
точку, масса которой равна массе пг0 Земли, и распо-

183
ложим эту точку в центре мас-
сы Земли.
Предположим, что в началь-
ный момент времени t = 0 ко-
рабль не имеет абсолютной
угловой скорости, т. е. прямая
1—2 (на рис. 71) не вращается
по отношению к неподвижному
пространству. Для исследова-
ния дальнейшего абсолютного
углового движения корабля
применим уравнение (6.26) от-
носительно оси и, проходящей
через центр массы корабля пер-
пендикулярно плоскости, со-
держащей точечные массы ко-
рабля и центр О0 Земли (плос-
кости рисунка). Момент инер-
ции I корабля относительно
этой оси равен: 1 = 2та2. Обо-
значим: г—расстояние от
средней частицы О до центра
Земли, Г1, г2— расстояния ча-
стиц 1 и 2 соответственно до
центра Земли, Р\ и Р2— силы
притяжения Землей частиц / и
2 соответственно:
Рас. 71. Схема трех
материальных частиц
в поле притягивающего
центра
Pi = km” P2 = km0-^-
П	rl
Единственной внешней силой, приложенной к ча-
стице 1 и дающей отличный от нуля момент около
упомянутой оси и, является сила Р\; для частицы 2 —
сила Р2. Подсчитаем моменты этих сил около оси п.
Разложим силу Pl{ по двум направлениям: вдоль пря-
мой 1—2 и перпендикулярно ей, тогда Pi = P'i + P"i.
Сила Р'\ проходит через ось и, поэтому ее момент
относительно этой оси равен нулю. Длина перпенди-

184
куляра, опущенного из центра масс корабля, т. е. из
точки О на линию действия силы равна а. Сле-
довательно, момент силы Р"\ относительно оси п ра-
вен произведению —Р"\а; знак «—» обусловлен тем,
что для наблюдателя, разместившегося на конце оси
п, направленном к читателю, вращение плоскости ри-
сунка под действием силы P"i происходит по часовой
стрелке. Таким же образом величина момента силы
->
Р"2 равна Р"2а. Из прямоугольного треугольника
\СХС' следует
Р\ = Pl cos а.
Угол а выражается через заданные линейные разме-
ры г и а и через заданный угол ср наклона оси кораб-
ля в исходном положении. Применим теорему сину-
сов к треугольнику О01О:
Г	>1
sin (90° + a)	sin <р
Но
sin (90° 4- а) = cos а и cos а = — sin ф.
По теореме косинусов
= V г2 + а2 — 2ar cos ф ,
поэтому
г sin ср
cos а = г________	,
У г2 + а2 — 2ar cos ф
и момент силы Р\ относительно оси п принимает вид
km^m	г .	ktnQmaг sin q
---------— а — sin ф --------0	-
г ।	г 1	ул(г2 + а2 — 2ar cos ф)3

185
Таким же образом момент силы Р2 относительно
оси п выражается в виде
km^nar sin <р
у'' (г2 + а2 -Т 2ar cos ф)3
Теперь выпишем уравнение (6.26) абсолютного угло-
вого движения корабля:
km^tnar sin ф
/
km^r Г	1
2а [ у (г2 4- а3 — 2аг cos ф)3
(10.1)
--------	1	1 sin Ф
V (г2 + а2 + 2ar cos ф)3 J
Обратим внимание на то, что величина р углового
ускорения не зависит от массы пг. Это легко объяс-
нить физически: с одной стороны, чем больше масса
пг, тем больше величина момента a(P"i—P"z), создаю-
щего ускорение, и тем больше величина углового
ускорения корабля; с другой стороны, чем больше эта
масса, тем больше и момент I инерции корабля и тем
самым меньше величина углового ускорения ко-
рабля. Совокупное влияние этих двух противодей-
ствующих зависимостей приводит к тому, что ускоре-
ние р не зависит от массы т. (Несколько ниже мы
приведем другую механическую схему корабля, более
близкую к действительным системам, в которой вели-
чина ускорения р уже зависит от массы т.)
Но от расстояния а каждой из частиц 1 и 2 (мас-
сы т) ускорение р зависит. Для установления этой
зависимости исследуем подробнее правую часть урав-
нения (10.1).
Отметим сразу же, что это уравнение непримени-
мо при а=0, так как в этом случае частицы 1 и 2 сов-

186
падают с центральной частицей О. А для материаль-
ной точки понятие углового движения не имеет смыс-
ла, не имеет смысла и угол ср при а = 0. При умень-
шении длины а знаменатель правой части выражения
(10.1) убывает, вызывая увеличение абсолютной вели-
чины этого выражения; сомножитель, заключенный в
квадратные скобки, стремится к нулю, вызывая
уменьшение этой абсолютной величины. Чтобы вы-
явить совокупное влияние двух указанных противо-
действующих зависимостей на абсолютную величину
—>
|Р| ускорения р, преобразуем сомножитель в квадрат-
ных скобках:
[V(г‘ + а'2 + 2ar cos ф)3 —
г3 г3
— (г2 + а2 — 2ar cos ср)3 ] =
____1
(Г1Г2)3
[уЛ(г2 + Q2 + 2аг coscp)3 — у/(л2 4~ Д2 — 2ar cos ср)3 ]
1 (г2 + а2 + 2ar cosqp)3 -f- У (г2	а2 — 2arcos ср)3
X [}Л(^2 4- а2 + 2arcos (f)3 4" 7 (г2 4~ а2—2arcos ср)3] .
Числитель последнего отношения равен
(г2 + а2 + 2ar cos ср)3 — (г2 4- а2 — 2агcos ср)3 =
= 1(г2 + а2) 4- 2ar cos ср]3 — [(г2 + а2) — 2ar cos ср]3.
Раскрывая последние скобки, как кубы сумм, преоб-
разуем числитель к виду
4га [3 (г2 4- а2)2 4- 4a2r2 cos2 ср] cos ср.

187
Возвращаясь к уравнению (10.1) и учитывая, что
sin 2 ф = 2 sin ф cos ф, напишем:
Р = — ktnQ
г2
и3 г3
1 Г2
(Ю.2)
3 (г2 + а2)2 + 4а2л2 cos2 ф
------------. -	------r	sin 2<р.
У (г2 + а2 + 2ar cos ф)3 +	(г2 + а2 — 2ar cos ф)3
Очевидно, что знаменатель правой части уравнения
(10.2) всегда строго положителен, если только а<г,
т. е. если наибольший габаритный размер космиче-
ского корабля меньше его расстояния от центра Зем-
ли, что само собой очевидно. В знаменателе уравне-
ния (10.2) длина а уже не входит множителем, в от-
личие от знаменателя уравнения (10.1); исключение
множителя а из знаменателя и составляло цель про-
веденных преобразований.
Для числовых подсчетов уравнение (10.2) гораздо
удобнее, чем уравнение (10.1). Изменение удалениям
частиц 1 и 2 от центра масс корабля оказывает уп-
равляющее влияние на угловое ускорение корабля:
при одинаковых значениях величин г и ф величина
ускорения р зависит только от удаления а — каждо-
му значению длины а отвечает угловое движение
корабля, определяемое зависимостью (10.2).
Следует отметить, что численное значение
углового ускорения р очень мало. В этом можно
убедиться и без числовых подсчетов из следующих
соображений.
Предположим, что мы пренебрегли бы различием
в величинах сил Р\ и Р2 и в направлениях этих сил:
Р\ = Р2. Тогда моменты этих сил около оси п взаимно
уравновешиваются, и р = 0. Оценим смысл сделанного
предположения, что Pi = P2. Из рис. 71 видно, что

188
угол между векторами Pi и Р2 равен ei + ег, причем по
теореме синусов:
а	.	а
Sin =------sin ф, sin е2 = ---sin ф.
П	r2
Синус и косинус «никогда не превосходят единицы.
Учтем, что отношение двух величин тем больше, чем
больше числитель и чем меньше знаменатель. Поэто-
му, чтобы оценить абсолютную величину | sinej, за-
меним sin ф его наибольшим возможным значением,
равным единице. Величина cos ф, входящего в выраже-
ние знаменателя, также заменим его наибольшим
значением, равным единице, при котором величина Г\
будет наименьшей при заданных значениях а и г.
Тогда
г2 + а2 — 2аг г — а
Пусть, например, 2 а — длина космического ко-
рабля— равна 20 м, т. е. d=10 м, а его расстояние
от центра Земли равно г= 10 000 км. Тогда
sin Si <-----------------
1	10 000 000 — 10
10-*.
Этому значению синуса отвечает угол, меньший двух
десятых угловой секунды. Таким же образом
I sin е21 <--------
г — а
и угол (Л, P2)=ei + e2 имеет порядок нескольких
десятых секунды.	Разность
Pi — Р2	=	ktn^tn	(—------— \	> 0.
г2	г2
\	Г1	г2	)

189
Наибольшее значение этой разности имеет место при
<р = 0 (при <р = л/2, Г1 = Г2 и Р2 — Pi = 0), т. е. когда рас-
стояние ri является наименьшим, а расстояние г2 —•
наибольшим:
Л — Рг < ktnom
1
г2 + а2 — 2аг
= ktnotn
(г + а)2 — (г — а)2
[(r_e)(r + e)]2 ’
т. е.
р _р < №тотаг
1	2^(г2—а2)2’
Пусть массы 1 и 2 весят на Земле по 10 кГ = 98,1 н.
Произведение kme постоянной всемирного тяготения
на массу Земли равно 3,986-1020 см?1сек?. Тогда, при
прежних значениях длин а и г, получим, что разность
A = Pi — Р2 не превышает величины
4-3,986-1020-104-103-109
981. (1018 _ 10в)2
0,01 дн.
Эта разность составляет по отношению к величине
силы Р\ при ф = 0
Л __ ^km^mar (г — а)2 _ 4аг
Pi (г2 — a2) kmQm	(г + а)2
..	4.10М0. ^4-103	4 10_в
(107 + 10)2	" 101*
или
4-10-М00 % = 0,0004 %.

190
Из этих подсчетов видно, насколько мало отклоне-
ние направления сил Р\ и Р2 от направления прямой,
соединяющей центр массы корабля с центром Земли,
и насколько мала разность между величинами этих
сил, а при Р\=Р2 будет р = 0. Следовательно, управ-
ляющее воздействие, вызывающее угловое ускорение
корабля, создается исключительно за счет существова-
ния разности в силах притяжения Землею частиц 1
и 2, обусловленной различием в расстояниях от этих
частиц до центра Земли, различием, не превышающим
длины 2 а. Так как это различие практически ничтож-
но, то ничтожен момент сил, развертывающий ко-
рабль, чрезвычайно мала и величина р углового уско-
рения. Поэтому способ управления угловым движе-
нием, основанный на использовании разности в силах
притяжения Землею (или другой планетой) двух
масс, размещенных по разные стороны от центра
массы корабля, практически применим только при
длительном полете вне плотных слоев воздуха и при
выключенном двигателе. В этих условиях пара сил,
обусловленная различием сил притяжения этих масс
планетой, является, по существу, господствующим мо-
ментом внешних сил, приложенных к кораблю. Хотя
эта пара сил и мала, она в течение длительного вре-
мени оказывает заметное влияние на угловое движе-
ние корабля.
В частности, применение масс 1 и 2 позволяет
стабилизировать направление продольной оси спут-
ника к центру Земли. Действительно, из всех угловых
положений спутника, характеризуемых всевозможны-
ми значениями угла ф (рис. 71), только два положе-
ния отличаются обращением углового ускорения в
нуль. Из соотношения (10.1) или (10.2) следует, что
равенство р = 0 имеет место при зт2ф = 0, т. е. при
Ф=0 и при ф = 90°. Так как центр массы корабля
является и центром его симметрии, положения, отве-
чающие значениям ф=180° и ф =—90°, ничем не от-
личаются от положений, в которых ф = 0 и ф = 90°
соответственно. То, что р = 0 только при sinq) = 0 или
созф = 0, очевидно и из чисто геометрических сообра-

191
жений, так как только в этих
положениях корабль распо-
лагается симметрично по от-
ношению к местной вертика-
ли. Эти положения показаны
на рис. 72. В любом из них
корабль может сохранять
неизменное угловое положе-
ние, так как в них отсутст-
вует момент сил, который бы
мог выводить корабль из
этого положения. Однако
между состояниями корабля,
соответствующими значени-
0о
Рис. 72. Разновесные поло-
жения спутника на орбите:
неустойчивое (у=90°) и
устойчивое (ф = 0)
ям ф = 0 и ф=90°, имеет мес-
то коренное различие в свой-
ствах. Именно, при ф = 0
угловое положение спутника
является устойчивым, а при
Ф = 90° — неустойчивым.
Под устойчивостью углового
понимается следующее свойство:
жение корабля нарушается под влиянием некоторого
кратковременного внешнего воздействия. Если после
положения корабля
пусть угловое поло*
исчезновения такого воздействия, называемого возму-
щающим, корабль вернется в исходное угловое поло-
жение, то исходное угловое положение называется
устойчивым. Если же корабль не вернется к исходно-
му угловому положению, то оно называется неустой-
чивым. Классическими примерами устойчивого и не-
устойчивого положений служат нижнее и верхнее по-
ложения равновесия маятника: в нижнем положении
маятник возвращается к исходному состоянию, будучи
отклоненным от него; в верхнем положении этого не
наблюдается.
Пусть в исходном состоянии ф = 0 (рис. 72). От-
клоним продольную ось спутника на некоторый угол
ф(0<ф<90°) в положение 1' 2' на рис. 72 и предоста-
вим спутник самому себе. Тогда sin 2ф>0 и в силу
уравнения (10.2) р<0: продольная ось спутника под
действием разности моментов сил Р\ и Р2 (рис. 7!)

192
начнет поворачиваться по направлению движения
часовой стрелки — будет приближаться к исходному
состоянию равновесия: <р = 0. Это свойство очевидно и
физически: в возмущенном положении спутника
(0<ф<90°) (рис. 72) нижняя масса 1' ближе к цент-
ру Земли, чем верхняя масса 2'. По закону всемир-
ного тяготения нижняя масса сильнее притягивается
к Земле и оказывает главное влияние на поворот
оси спутника, обусловливая возвращение ее в исход-
ное положение ф=0.
Пусть теперь в исходном состоянии продольная
ось спутника перпендикулярна направлению к центру
Земли; ф = 90°. Отклоним ось спутника, приведя ее
в прежнее возмущенное положение Г 2' (рис. 72).
Но если положение /' 2' продольной оси корабля
рассматривать как отклоненное от исходного положе-
ния, отвечающего значению ф = 90°, то нетрудно убе-
диться, что исходное положение будет неустойчивым,
ибо, как показано выше, из положения V 2' ось
будет поворачиваться только к положению, отве-
чающему ф = 0.
На этом свойстве основан один из способов стаби-
лизации продольной оси спутника относительно цент-
ра Земли. Пусть в некоторый момент времени спут-
ник находится в точке I на орбите и ф = 0 (рис. 73),
тогда р = 0. Через некоторый небольшой промежуток
времени спутник переместился в положение II на ор-
бите. Так как в исходном положении £ = 0, то в пер-
вые моменты времени после прохождения точки I
ось спутника не вращается по отношению к неподвиж-
ному пространству, т. е. перемещается параллельно
самой себе. Тем самым в положении II эта ось уже
отклонилась от направления к центру О0 Земли. Так
как расстояния от центра Земли до частиц 1 и 2 не
одинаковые, возникает угловое движение оси спутни-
ка, рассмотренное выше. Благодаря устойчивости ис-
ходного положения ось спутника стремится вернуть-
ся к положению, в котором она вновь будет проходить
через центр Земли и вновь ф = 0.
Рассмотрим несколько более общую механическую
модель корабля. Вместо центральной частицы О

193
введем твердое тело О (рис. 74) в виде однородного
твердого шара радиуса b(b<a) с центром в середине
отрезка 1—2\ О — основное тело спутника. Тогда
1 = 2 та2 + 1о, где /0 — момент инерции тела О относи-
тельно оси п. Для такой механической модели вместо
равенства (10.1) будем иметь:
ktn^mar sin ф / 1
/0 + 2та2 ( г
^fPuc. 73. Схема стабилизации направ-
ления оси спутника к притягивающе-
му центру

194
Рис. 75. Изменение управляю-
щей способности концевых масс
спутника в зависимости от их
массы
Здесь величина углового ускорения спутника уже
зависит от массы т. Отношение Г = ш/(/о + 2 та2)
равно
г =------!—,	(Ю.З)
2а2 + —
т
абсолютная величина |£| возрастает с увеличением
массы т или уменьшением момента инерции /0.
При т-+-0 отношение Io/т и вместе с ним зна-
менатель 2а2 + /о/т становятся неограниченно боль-
шими, и Г->0. При очень больших значениях массы т
отношение IJtn становится пренебрежимо малым,
и отношение (10.3) стремится к предельному зна-
чению
1
2а2 ’
а величина |р| приобретает, при прочих равных ус-
ловиях наибольшее теоретически достижимое значе-
ние:
kmQ г | sin ф |
2а
£
7
г2
1
3
График зависимости отношения (10.3) от массы
т изображен на рис. 75. Из графика следует, что в
области малых значений массы т угловое ускорение
спутника при прочих равных условиях возрастает
сравнительно быстро. Дальнейшее же увеличение
массы т не представляется целесообразным, так как
в области достаточно больших значений этой массы
дополнительное увеличение массы почти не увеличи-
вает значения Г. Следовательно, путь повышения дей-
ственности стабилизации оси спутника, основанный

195
на увеличении масс тел 1 и 2, не является целесо-
образным: существует некоторое значение ап*
массы т (рис. 75), практи-
чески являющееся предель-
ным. Зато увеличение рас-
стояния а является обещаю-
щим.
Из изложенного следует,
что система двух масс, сим-
метричных относительно
центра массы спутника,
создает момент, поворачива-
ющий спутник к положе-
нию устойчивого равновесия
(ср = О)—положению, в ко-
тором ось системы двух масс
совпадает с направлением к
притягивающему центру, т. е.
с направлением местной вер-
тикали. Иначе, такая систе-
ма, казалось бы, приводит
Рис. 76. Схема спутника,
снабженного успокоителем
колебаний
спутник к определенному положению относительно
местной вертикали. Однако при обращении по доста-
точно высокой орбите, на которой сопротивление воз-
духа движению практически отсутствует, ось системы
двух масс будет совершать незатухающие колебания
около положения местной вертикали, подобно идеаль-
ному маятнику.
Чтобы установить ось системы стабилизирующих
масс в направлении местной вертикали, нужно рас-
сеять энергию таких колебаний. Для этого целесооб-
разно применять устройства, искусственно создающие
трение, называемые успокоителями. На рис. 76 изобра-
жена возможная схема гидравлического успокоителя:
стабилизирующие массы 1 и 2, связанные со спутни-
ком, помещены в непроницаемый кожух 3, заполнен-
ный жидкостью или газом. Кожух 3 может свободно
вращаться около оси спутника, проходящей через его
центр масс О и перпендикулярной прямой 1—2.
Пусть кожух — однородный и симметричный относи-
тельно упомянутой оси спутника.

196
Когда спутник под влиянием стабилизирующих
масс поворачивается к положению ф = 0, эти массы
будут перемещать жидкость (газ) в кожухе, вытес-
няя ее по мере поворота оси 1—2 в кожухе. При этом
внутреннее трение в жидкости окажет сопротивление
повороту оси 1—2, энергия колебаний нагреет жид-
кость, тепло рассеется, и спутник в конечном счете
установится в положении, в котором ось 1—2 стаби-
лизирующих масс совпадает с направлением местной
вертикали.
Техническое использование способа стабилизации
спутника по местной вертикали с помощью концевых
масс основано на применении так называемых вы-
движных стержней, несущих эти массы (рис. 77).
Спутник О снабжен мачтой О', несущей узел выдвиж-
ных стержней. Во время вывода на орбиту стержни
сложены во избежание поломки при действии пере-
грузок. По выходе на орбиту, стержни автоматически
разводятся, неся концевые массы 1—4. Образование
стержней происходит по способу разматывания лис-
товой полосы с барабана (рис. 78), подобно разматы-
ванию металлической ленты в измерительной рулет-
ке. После образования стержней барабаны становят-
ся концевыми массами (рис. 77), стабилизирующими
корабль по местной вертикали, как описано выше.
Начальные колебания спутника около местной вер-
тикали подавляются с помощью успокоителей 5 и 6.
На рис. 77 массы 1 и 2 и успокоитель 5 стабилизируют
мачту спутника в плоскости орбиты, а массы 3 и 4 и
успокоитель 6 — в плоскости, перпендикулярной ор-
бите.
Чем длиннее стержни, тем больше расстояние а и
разность между расстояниями от концевых масс
стержня до центра Земли при отклонении мачты
спутника от местной вертикали и тем больше вос-
станавливающий момент сил притяжения (10.2). Сле-
довательно, действенность данной системы стабилиза-
ции спутника тем выше, чем длиннее выдвижные
стержни.
Плавание под солнечным парусом. Великий рус-
ский физик П. Н. Лебедев открыл, что солнечные

197
Рис. 77. Спутник с выдвижными ста-
билизирующими стержнями (показан
в двух положениях — I и 11 — на ор-
бите, см. также рис. 12)
Рис. 78. Схема образования стерж-
ней с концевыми массами.


198
лучи оказывают давление на освещаемую ими поверх-
ность. На расстоянии от Солнца, равном среднему
расстоянию до Земли, давление о световых лучей на
плоскую зеркальную поверхность, перпендикулярную
направлению к Солнцу, составляет примерно
сг = 0,9 мГ1м2. По мере удаления от Солнца световое
давление уменьшается.
Световая сила, приложенная даже к большому
космическому кораблю, слишком мала для преодоле-
ния его веса и взлета с Земли. Однако при полете в
межпланетном пространстве, где корабль находится,
по существу, лишь под действием солнечного притя-
жения и световой силы солнечных лучей, световая
сила может заметно сказываться на его движении.
Сравним ускорение силы тяжести корабля, нахо-
дящегося под действием солнечного притяжения, с
его ускорением под действием световой силы. Так
как источником обеих сил является Солнце, обе силы
направлены вдоль прямой, соединяющей корабль
с Солнцем: ускорение gs силы тяжести направ-
лено к Солнцу, ускорение h световой силы — от
Солнца.
Для использования светового давления целесооб-
разно снабдить корабль отражающими поверхностя-
ми, воспринимающими световое давление, происходя-
щее за счет светового излучения Солнца. Эти поверх-
ности служат по отношению к световому потоку па-
русами, подобно обычным парусам по отношению к
потоку воздуха. Меняя площади этих поверхностей и
их расположение по отношению к солнечным лучам
и по отношению к основному телу корабля, можно
менять и световую силу, действующую на корабль, и
перемещать точку ее приложения. Управление движе-
нием космического корабля в космическом простран-
стве с помощью освещаемых отражающих поверхнос-
тей называется плаванием под солнечным парусом.
Пусть солнечный парус установлен перпендикуляр-
но направлению солнечных лучей, падающих на ко-
рабль. Тогда двигательная способность паруса про-
порциональна его площади So и обратно пропорцио-

199
нальна его массе; последнее следует из закона (3.1),
так как при одной и той же силе ускорение, создавае-
мое ею, обратно пропорционально массе ускоряемой
точки. При неизменной средней толщине паруса
масса паруса равна произведению его площади на
поверхностную плотность X; величина X равна массе
единицы площади паруса и имеет размерность «мас-
са/квадрат длины», например г/сж2. Для исследова-
ния полета корабля вновь отождествим его с мате-
риальной частицей. Приложим всю световую силу,
действующую на парус, к центру массы паруса. Ве-
личина h ускорения h центра массы паруса, обуслов-
ленная отталкивающим действием солнечных лучей,
равна в силу уравнения (3.1) отношению S0o —
световой силы, действующей на парус, — к массе
m = XSo паруса:
/i — *^°	_ а
~ so X X ’
Отношение о/Х имеет размерность ускорения. Напри-
мер, в системе CGS эта размерность равна
дина: см2 _ дина __ см
г: см2	г сек2
На орбите Земли ускорение gs силы тяжести, со-
здаваемое притяжением Солнца, составляет
0,593 см/сек2. По опубликованным в печати оцен-
кам, современная космическая техника может обеспе-
чить создание солнечных парусов, для которых
А = 0,3 см!сек2 на орбите Земли. Следовательно, вели-
чины gs и h одного порядка, и применение солнечных
парусов может иметь существенное значение в меж-
планетных полетах.
При несимметричном расположении парусов по
отношению к прямой, соединяющей центр массы ко-
рабля с центром Солнца, паруса будут придавать
кораблю не только ускорение вдоль траектории, но и
ускорение угловое, т. е. солнечные паруса применимы
и для разворота корабля. При этом, как обычно,

200
Рис. 79. Схема плавания под
солнечным парусом
отождествим корабль уже не с точкой, а с твердым
телом. На рис. 79 на парус 1 площади So падает по-
ток солнечных лучей. Ввиду огромного расстояния до
Солнца лучи, исходящие из различных точек поверх-
ности Солнца, считаем параллельными. Действие сол-
нечных лучей на парус приводится к силе F, прило-
->
женной в его центре массы. Будем считать силу F
существенно превосходящей по величине световую
силу, приложенную к основному телу О корабля; это
имеет место при достаточно большой площади паруса.
Приложим к центру С массы всего корабля две силы:
F и —F, в сумме равные нулю (сила F, приложенная
к точке С, показана на рис. 79 пунктиром). Тогда
сила F сообщает центру С массы корабля абсолютное
—►
ускорение h, направленное от Солнца, а остальные
две силы образуют пару сил с моментом Fa, развер-
тывающую корабль с угловым ускорением р, опреде-
ляемым уравнением (6.26):
о Fa oaS0
Здесь I — момент инерции всего корабля относи-
тельно оси, проходящей через его центр массы пер-
пендикулярно плоскости, проходящей через центры
масс Солнца, корабля и паруса; около этой оси и
происходит угловой разворот корабля под действием

201
солнечного паруса (на рис. 79 эта ось перпендикуляр-
на плоскости рисунка).
Управление на основе взаимодействия с магнит-
ным полем Земли. Вокруг Земли существует магнит-
ное поле. Укрепим на борту корабля проводник, по
которому протекает электрический ток. Как известно
из основ электротехники, при движении проводника
с током в магнитном поле к проводнику оказывается
приложенной сила, зависящая от напряженности
поля, силы тока, формы и размеров проводника и от
вещества, из которого он изготовлен. Меняя силу
тока в проводнике, его форму и размеры, можно из-
менять величину и направление силы, приложенной
к нему благодаря действию магнитного поля. Так
как проводник связан с кораблем, то при этом изме-
няются величина и направление силы, приложенной
к кораблю. Тем самым осуществляется управление
движением корабля.
Силовые воздействия электродинамического про-
исхождения возникают и при нахождении корабля в
потоках заряженных космических частиц, например в
области поясов радиации вокруг Земли. Эти воздей-
ствия также мыслимо использовать в целях управле-
ния полетом.
Электромагнитные силы мыслимо применять и
при осуществлении соприкосновения двух кораблей,
летящих на сравнительно близком расстоянии один от
другого. Это можно выполнить на основе устройства
промышленных электромагнитных подъемных кранов,
снабдив один корабль электромагнитом (намагничи-
вающимся сердечником с обмоткой). При пропуска-
нии тока через обмотку электромагнит будет притяги-
вать металлические массы другого корабля. Регули-
рованием тока в обмотке, числа витков и их располо-
жения в первом корабле можно управлять силой
взаимного притяжения кораблей.
Известно, что стрелка компаса указывает направ-
ление к магнитным полюсам Земли, т. е. устанавли-
вается вдоль направления магнитного поля. Пусть
компас помещен в космической окрестности Земли.
Тогда его стрелка будет поворачиваться до совмеще-

202
ния ее направления с направлением магнитного поля
Земли. Если магнитную стрелку жестко скрепить с
корпусом компаса, то стрелка, поворачиваясь, увле-
чет за собой и корпус компаса. Конечно, весь компас
будет развертываться медленнее, чем одна только
стрелка, ибо момент инерции всего компаса около
оси поворота стрелки больше момента инерции одной
только стрелки. Но в конечном счете компас займет
положение, определяемое магнитными свойствами
стрелки.
Это явление можно использовать для выполне-
ния разворота космического корабля. Установим на
корабле сильный постоянный магнит, скрепив его с
корпусом корабля так, чтобы магнитная ось магнита
образовала с направлением магнитного поля Земли
угол, на который требуется повернуть корабль. Маг-
нит, стремясь совместить свою магнитную ось с на-
правлением магнитного поля, увлечет за собой и ко-
рабль. Благодаря этому корабль повернется на тре-
буемый угол.
После отделения корабля от ракеты-носителя
может оказаться, что корабль обладает вращением,
приобретенным при совместном полете с носителем
за счет возможных колебаний ракеты и за счет несим-
метричности сил, приложенных к кораблю при отде-
лении от ракеты. Во многих случаях требуется пода-
вить это вращение, например для стабилизации оси
спутника по местной вертикали. Раньше уже был ука-
зан способ успокоения колебаний корабля с помощью
успокоителя с жидкими массами (рис. 76); сейчас
мы рассмотрим способ успокоения, основанный на
взаимодействии проводящих веществ корабля с маг-
нитным полем Земли.
Установим на корабле стержень из прово-
дящего вещества, хорошо подверженного намаг-
ничиванию. Пусть стержень установлен так, что.
участвуя во вращении или колебаниях корабля,
этот стержень попеременно располагается то вдоль
магнитного поля планеты, то перпендикулярно ему.
Тогда магнитный поток в стержне будет периодиче-
ски изменяться, то возрастать до наибольшей величи-

Рис. 80. Крышка аме-
риканского спутника
связи «Транзит», несу-
щая систему металли-
ческих стержней для
успокоения вращения
спутника
ны, то исчезать. Благодаря явлению гистерезиса в
стержне возникнут достаточно сильные вихревые
токи. Взаимодействуя с магнитным полем планеты,
эти токи создадут момент сил, направленный против
вращения.
Таким образом, данный момент, как и момент
трения, является тормозящим. Величина этого
момента убывает по мере замедления вращения. Мо-
мент обращается в нуль, когда вращение спутника
практически прекратится. Быстроту торможения мож-
но увеличить, если охватить стержень коротко замк-
нутой обмоткой. Тогда стержень будет сердечником
электромагнита. При вращении вместе с сердечником
в магнитном поле планеты в обмотке возникнет
ток, который усилит торможение. На рис. 80
показана крышка американского спутника связи
«Транзит», несущая систему металлических стерж-
ней для успокоения вращения спутника по указан-
ному способу.
Способы разворота космических кораблей, опи-
санные в настоящем параграфе, применимы только
при условии, что корабль не находится одновременно
и в состоянии вращения около продольной оси. При-
чина этой оговорки будет указана в § 12.

204
§11-
Некоторые механичес-
кие особенности дейст-
вия силовых устройств
космических кораблей
В настоящей главе действие силового устройства
каждого вида разобрано порознь; более того, в целях
выделения в чистом виде механической основы дей-
ствия каждого устройства из рассмотрения были
исключены побочные явления, сопутствующие основ-
ному действию устройства и способные усиливать,
ослаблять или искажать основное действие.
В качестве примера одновременного влияния раз-
личных воздействий рассмотрим подробнее разворот
корабля с помощью качающегося реактивного двига-
теля. Основное управляющее действие двигателя при
развороте его в кардановом подвесе заключается в
изменении плеча тяги двигателя относительно центра
массы всей системы корабля; тем самым изменяется и
вращающий момент, приводящий корабль во враще-
ние. Предположим на мгновение, что двигатель не
включен и поворачивается в подвесе относительно
корабля как мертвая масса. Тогда реактивная тяга
отсутствует, момент ее равен нулю, но корпус кораб-
ля все же придет во вращение: в самом деле, такой
двигатель можно рассматривать как своего рода ма-
ховик, поворачивающийся относительно корпуса ко-
рабля. А так как внешние силы к кораблю не прило-
жены и тяга отсутствует, то по свойству системы,
свободной от действия внешних сил при вращении
двигателя относительно корпуса корабля, последний
также придет во вращение. Если в это время двига-
тель разовьет очень слабую тягу, на вращение кор-
пуса начнет влиять также и момент реактивной силы,
но в основном вращение корпуса может определяться
не столько моментом реактивной силы, сколько воз-
действием двигателя как маховой массы. Это явле-
ние получило название «хвост виляет собакой»: по-
бочное воздействие двигателя как маховой массы
становится главным. С возрастанием тяги двигателя

205
будет возрастать и сравнительное влияние момента
тяги на разворот корабля в пространстве. Наконец,
при достаточно большом моменте реактивной тяги его
влияние на разворот корабля при относительном вра-
щении двигателя станет господствующим.
Но влияние качания двигателя как поворота ма-
ховой массы не является единственным побочным
влиянием, сопутствующим основному. Действительно,
при сгорании топлива и выбросе реактивной струи
меняются масса корабля (в контрольном объеме),
расположение масс в корабле и положение центра
массы корабля относительно его корпуса. Из-за этого
меняются: плечо реактивной силы относительно оси
разворота, проходящей через центр массы корабля,
а тем самым и момент этой силы; момент инерции
корабля, от которого зависит угловое ускорение ко-
рабля в силу уравнения (6.26).
Кроме того, при колебании оси двигателя по от-
ношению к неподвижному пространству меняется и
абсолютное направление скоростей газовых частиц
в сопле двигателя; тем самым возникает дополнитель-
ное ускорение этих частиц и, следовательно, допол-
нительная сила. Физически изменение скорости части-
цы осуществляется за счет давления стенки сопла на
частицу, когда эта стенка поворачивается в простран-
стве и заставляет газовую частицу, движущуюся вдоль
оси сопла, перемещаться также и перпендикулярно
оси. По закону действия и противодействия при этом
на стенку сопла со стороны газовых частиц действует
сила, подчас оказывающая существенное влияние на
вращательное движение корабля.
Механические перемещения в системах приводных
устройств, осуществляющих требуемый разворот дви-
гателя относительно корпуса корабля, также оказы-
вают дополнительное воздействие, главным образом
на вращение корабля.
Побочные воздействия появляются и при срабаты-
вании других силовых устройств — аэродинамических
И т. д.
По этим причинам расчет управления произ-
водится с учетом по крайней мере некоторых из по-

бочных явлений, возникающих при срабатывании
силовых устройств.
Во многих случаях наиболее выгодное управление
полетом достигается при одновременном применении
силовых устройств различных видов. При этом меха-
ническая картина движения корабля усложняется еще
больше. Расчет полета требует одновременного учета
основных управляющих силовых воздействий и наи-
более существенных воздействий побочных, исходя из
законов механики в их общем виде *.
* Еще одно силовое устройство — гироскопическое, будет
описано в гл. IV после изложения основных свойств гироскопа

4
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ УСТ-
РОЙСТВА КОСМИЧЕС-
КИХ КОРАБЛЕЙ
Настоящая глава содержит описание основ дейст-
вия приборов, служащих для измерения на борту
космического корабля его положения, скорости и ус-
корения в неподвижном пространстве. При этом рас-
сматриваются приборы замкнутого действия (авто-
номные): так называются бортовые измерительные
устройства, не требующие получения каких-либо дан-
ных извне (например, с Земли, в виде радиосигналов,
световых сигналов и т. п.). Измерители замкнутого
действия обладают тем важным достоинством, что их
показания не зависят от надежности связи с внешни-
ми телами и для них не нужна ни приемная, ни пере-
дающая аппаратура связи с внешним миром.
Измерители положения и движения космических
кораблей обычно представляют собой механическую
систему, состоящую из нескольких тел; эта система

208
устанавливается на корабле таким образом, что одно
из тел — опорное, жестко связано с корпусом корабля,
а остальные части системы имеют возможность пере-
мещаться в определенных пределах относительно
опоры. Если система устроена так, что относительные
перемещения ее подвижных частей зависят от абсо-
лютного движения корабля, то эти относительные
перемещения и служат мерой абсолютного движения.
Такая система является измерителем движения ко-
рабля.
Ниже излагаются основы действия бортовых из-
мерительных приборов.
§ 12.
Г ироскопические изме-
рители
В технике управления самыми различными само-
движущимися аппаратами, в том числе космическими
кораблями, огромное распространение получили ме-
ханические измерители, содержащие быстро вращаю-
щийся волчок — гироскоп. Такие измерители назы-
ваются гироскопическими.
Гироскоп в полном кардановом подвесе как меха-
ническая система памяти. В технике управления по-
летом возникает необходимость осуществлять на
борту летательного аппарата неподвижное направле-
ние, чтобы иметь возможность сравнивать истинное
угловое положение аппарата с требуемым и включать
нужным образом силовые устройства для восстанов-
ления предписанного углового положения аппарата.
Устройство, осуществляющее на борту аппарата на-
правление, не изменяющееся по отношению к непод-
вижному пространству (практически, по отношению
к звездам) независимо от движения аппарата, можно
назвать системой памяти: оно как бы «помнит» не-
подвижное направление при всех изменениях углово-
го положения аппарата.
Предположим, что в неподвижном пространстве
имеется стержень, достаточно удаленный от других
тел в том смысле, что на этот стержень не действуют

209
никакие внешние силы. Пусть в исходный момент вре-
мени стержень не вращается. Так как внешние силы
отсутствуют, их момент около любой оси всегда равен
нулю. В силу уравнения (6.26) угловое ускорение
стержня р = 0 относительно любой оси. По условию в
исходный момент времени стержень не изменяет свое-
го абсолютного углового положения. Поэтому из ра-
венства (3 = 0 вытекает, что угловое положение стерж-
ня по отношению к звездам не будет нарушаться и в
дальнейшем. Следовательно, ось стержня сохраняет
со временем одно и то же направление в неподвижном
пространстве. Такой стержень, образно говоря—лю-
бая палка, представляет собой механическую систему
памяти. При этом, по теореме о движении центра мас-
сы, центр массы стержня может не только покоиться,
но и перемещаться по инерции (так как стержень не
совершает углового движения, то в этом случае ско-
рости всех частиц стержня одинаковы и равны скорос-
ти движения его центра массы).
Стержень продолжает служить системой памяти и
при наличии внешних сил, если только эти силы дей-
ствуют на стержень симметрично, т. е. момент внеш-
них сил равен нулю относительно любой оси, прохо-
дящей через центр массы стержня перпендикулярно
его продольной оси. Центр массы будет двигаться
как точка, к которой приложены все внешние силы,
действующие на стержень, и его абсолютное ускоре-
ние определится уравнением (3.1). Но направление
оси стержня по отношению к звездам остается неиз-
менным благодаря условию о равенстве нулю момен-
тов внешних сил около любой поперечной оси стерж-
ня, проходящей через его центр массы.
Отсюда, казалось бы, открывается возможность
простого решения задачи о создании неподвижного
направления в космическом корабле: установить в ап-
парате некоторый стержень, сперев его строго в
центре массы так, чтобы вращение корабля ему не
передавалось (с помощью, например, шарового шар-
нира). Центр массы стержня, неподвижный в аппа-
рате, будет двигаться вместе с аппаратом, а ось
стержня сохранит заданное неподвижное направление.

210
Рис. 81. Гироскоп в полном кардановом
подвесе
Такое решение, справедливое теоретически, труд-
но осуществить в действительности из-за трения в
опоре стержня, которое будет увлекать стержень за
аппаратом при каждом его угловом колебании;
кроме того, всякая погрешность в совмещении центра
массы стрежня с центром шарнира приведет к воз-
никновению маятниковости стержня, и последний
при ускоренном движении корабля будет отклоняться
от исходного положения, подобно маятнику.
Техническое решение поставленной задачи может
быть достигнуто, если придать стержню очень быстрое
вращение около его продольной оси, т. е. превратить
его в гироскоп. Гироскоп размещается на борту аппа-
рата в так называемом полном кардановом подвесе.
Этот подвес устроен по схеме, приведенной на рис. 49.
Подвешенное тело (гироскоп) может вращаться
около оси А'А" относительно внутренней рамы. Как
показано на рис. 81, гироскоп Г устанавливается в
подшипниках рамы I, которая устанавливается в под-

211
шипниках, несомых рамой II, так, что она может сво-
бодно поворачиваться по отношению к раме II около
оси В'В", перпендикулярной оси А'А" гироскопа.
В свою очередь, рама II крепится в подшипниках,
установленных в основном теле аппарата, так что она
может поворачиваться по отношению к основному
телу аппарата. При этом все три оси А'А", В'В" и
С'С" пересекаются в общей точке Е—центре подвеса,
а гироскоп укрепляется на оси А'А" таким образом,
чтобы его центр массы находился в центре подвеса.
Как и в случае установки двигателя в кардановом
подвесе, конструкция подвеса позволяет оси А'А"
гироскопа сохранять исходное неподвижное направ-
ление в неподвижном пространстве при любых угло-
вых колебаниях основного тела аппарата, происходя-
щих также в неподвижном пространстве. Рама I, не-
сущая гироскоп, называется внутренним кольцом
подвеса, рама II — его наружным кольцом. Гироскопу
сообщается быстрое вращение около оси А'А" отно-
сительно внутреннего кольца, порядка десятков тысяч
оборотов в минуту. Вращение гироскопа по отноше-
нию к внутреннему кольцу называется собственным
вращением гироскопа.
Выявим, в чем смысл замены невращающегося
стержня гироскопом, приведенным в быстрое враще-
ние. Пусть гироскоп не вращается, а оси гироскопа,
внутреннего и наружного колец взаимно перпендику-
лярны, как на рис. 81. Приложим к некоторой точке
оси гироскопа силу Р, перпендикулярную этой оси
и параллельную оси наружного кольца (оси С'С").
Применяя уравнение (6.27) относительно оси внут-
реннего кольца (оси В'В"), убедимся, что под дейст-
вием силы Р система «Г» — гироскоп + внутреннее
кольцо — начнет поворачиваться около этой оси. Если
сила Р при этом движении остается в плоскости осей ги-
роскопа и наружного кольца, то ось внутреннего коль-
ца останется осью поворота системы «Г», происходя-
щего под действием силы Р, а сама ось внутреннего
кольца будет сохранять исходное направление в непод-

212
V
Риг. 82. Схема отклонения оси
гироскопа
мд\ в
пространстве. Плоскость, образованная осями
вижном
гироскопа и наружного кольца, является плоскостью
симметрии для данного движения системы «Г».
Пусть теперь гироскоп быстро вращается, имея
собственную угловую скорость Q, направленную вдоль
оси А'А". Снова приложим силу Р так же, как и рань-
ше, и вновь применим уравнение (6.27) относительно
оси В'В" внутреннего кольца, предполагая, что, как
и в предыдущем случае, поворот системы «Г» будет
происходить около оси внутреннего кольца. Однако
при быстром вращении гироскопа предположение о
том, что ось гироскопа будет поворачиваться около оси
внутреннего кольца, приведет нас к противоречию.
В самом деле, величина абсолютного ускорения
системы «Г» равна
Ра
где /в — момент инерции системы «Г» около оси
В'В"\ вектор [3 абсолютного углового ускорения на-
правлен, по предположению, по этой оси, а=(ЕМо).
Иначе, мы предположили, что вращение гироскопа
около оси А'А" (собственное вращение) не приводит
к изменению углового движения системы «Г» по сравне-
нию с ее движением при невращающемся гироско-
пе. Тогда по истечении некоторого промежутка вре-
мени ось А'А" гироскопа отклонится под действием
->
силы Р на определенный угол 0 (рис. 82) в плоскос-
ти П, образуемой осями гироскопа и наружного коль-
ца п содержащей вектор Р. Это означает, что: 1) век-
тор (о угловой скорости системы «Г» направлен по

213
осп внутреннего кольца; 2) вектор Q собственной
угловой скорости гироскопа, всегда направленный по
оси А'А" гироскопа, отклонится (по отношению к не-
подвижному пространству) на угол 0 от его исходно-
го направления.
Следовательно, гироскоп при отклонении его на
угол 0 участвует одновременно в двух вращениях с
двумя взаимно перпендикулярными угловыми скорос-
тями со и Q. Но одновременное вращение твердого
тела около двух пересекающихся осей равносильно
его вращению около осп, проходящей через диаго-
наль параллелограмма, построенного на угловых ско-
ростях составляющих вращений. Это следует из того,
что угловые скорости — величины векторные и, сле-
довательно, складываются как векторы. Таким обра-
зом, гироскоп вращается около оси а)п — диа-
гонали параллелограмма, причем величина соп его
абсолютной угловой скорости равна по теореме
Пифагора
®п = /й2 + ®2 .
Вектор (on=(o + Q уже не лежит в исходной пло-
скости поворота системы «Г», плоскости, образуемой
осями гироскопа и наружного кольца. Итак, предпо-
ложив, что под действием силы Р система «Г» будет
поворачиваться около оси внутреннего кольца, мы
пришли к выводу, что система «Г» будет поворачи-
ваться около оси, отклоненной от оси внутреннего
кольца тем больше, чем быстрее собственное враще
ние гироскопа. Из полученного противоречия следует,
что ось внутреннего кольца не может быть осью абсо-
лютного вращения системы «Г».
Но как же тогда происходит действительный пово-
рот системы «Г» при быстром собственном вращении
гироскопа? Обозначим искомую угловую скорость
этой системы через cdp и оценим составляющие этого
вектора по трем взаимно перпендикулярным осям,
совпадающим последовательно с осями гироскопа,
внутреннего и наружного колец подвеса в их исход-

214
ном положении. Сразу очевидно, что проекция векто-
ра Юр на ось гироскопа равна нулю: по конструкции
подвеса (рис. 81) внутреннее кольцо не может пово-
рачиваться около оси гироскопа. Из только что обна-
руженного противоречия следует, что проекция век-
тора (ор на ось внутреннего кольца не может быть
основной проекцией этого вектора, т. е. той из трех
проекций, которая имеет наибольшую абсолютную
величину и, по существу, определяет движение.
Тогда способом исключения остается заключить, что
основной проекцией вектора сор является его проекция
на ось наружного кольца: движение системы «Г» под
действием силы Р представляет собой в основном
вращение около оси С'С" наружного кольца *.
Этот вывод на первый взгляд представляется не-
ожиданным и даже противоречащим основному зако-
ну механики, выражаемому уравнением (3.1). В са-
мом деле, пусть в исходном положении подвеса
(рис. 81) сила Р приложена к материальной частице,
расположенной на оси гироскопа в точке Мё. До при-
ложения силы Р эта частица покоится и вращение
гироскопа не нарушает ее покоя, поскольку это вра-
щение не порождает силы, которая была бы прило-
жена к частице, находящейся на самой оси вращения.
Следовательно, в момент приложения силы Р эта
сила является единственной, нарушающей равнове-
сие частицы в точке М#. На основании уравнения
(3.1) эта частица должна переместиться, по крайней
мере в первый момент времени, именно вдоль силы, а
не перпендикулярно ей. А тогда система «Г» долж-
на бы повернуться, по крайней мере в первый момент
времени, — не около оси наружного кольца, а около
оси кольца внутреннего. Сопоставим это заключение
с выводом о том, что при быстром собственном вра-
щении гироскопа система «Г» поворачивается около
* Физическое обоснование этого явления подробно изложе-
но в книге проф. Е. И. Николаи «Гироскоп» (Гостехиздат, М .
1947).

215
оси наружного кольца. Тогда мы
обнаружим, что эти два движения
не исключают одно другое только
при следующем предположении о
характере движения системы «Г»:
в первый момент времени точка Мё
приобретает ускорение в направле-
нии действия силы Р и система «Г»
приобретает угловую скорость со
Рис. 83. Нутация
оси гироскопа
около оси внутреннего кольца.
Но сразу же возникает и угловая скорость системы
«Г» около оси наружного кольца; на частицу же, на-
ходящуюся в точке Мё, начинает помимо силы Р дейст-
вовать сила реакции оси гироскопа, т. е. сила с которой
ось гироскопа действует на частицу. Дальнейшее дви-
жение точки Мё происходит под действием геометриче-
ской суммы силы Р и силы реакции, уже не обязатель-
но направленной вдоль силы Р. В итоге система «Г»,
поворачиваясь около оси наружного кольца, испыты-
вает одновременно частые колебания около оси внут-
реннего кольца (рис. 83).
Составляющая движения системы «Г», опреде-
ляемая ее вращением около оси наружного кольца,
называется прецессией гироскопа. Составляющая это-
го движения, выражаемая колебаниями оси гироскопа
около внутреннего кольца, называется нутацией гиро-
скопа. Направление прецессии зависит от направле-
ния собственного вращения гироскопа; изменение
направления собственного вращения приводит к из-
менению направления прецессии.
Отличие движения системы «Г» при остановлен-
ном гироскопе от ее движения при вращающемся ги-
роскопе обусловливается влиянием собственного вра-
щения гироскопа. Поэтому чем быстрее собственное
вращение гироскопа, тем в большей мере его движе-
ние под действием силы Р, приложенной к его оси,
параллельной оси С'С", отличается от вращения око-
ло оси внутреннего кольца. Следовательно, с ростом

216
угловой скорости собственного вращения гироскопа
прецессия становится основной видимой составляю-
щей движения оси гироскопа, а нутация — все менее
заметной. Это свойство гироскопа в полном подвесе
дает основание говорить, что под действием внешней
силы ось быстро вращающегося гироскопа совершает
прецессию, т. е. поворачивается в направлении, пер-
пендикулярном силе. Пользуясь последним определе-
нием, нужно помнить, что наряду с прецессией гиро-
скопа всегда имеет место его нутация, хотя влияние
этой величины во многих случаях количественно не-
существенно.
Подсчитаем величину о)р угловой скорости
прецессии. Скорость сор зависит от величины силы Р,
ее плеча а, момента инерции I гироскопа около оси
его собственного вращения и от угловой скорости Q
собственного вращения гироскопа. Заметим, что ско-
рость о)р обращается в нуль (прецессия отсутствует)
при обращении в нуль силы Р и плеча а. Действи-
тельно, в обоих случаях момент силы равен нулю и
нет причины, вызывающей прецессию. Поэтому разум-
но предположить, что скорость прецессии пропорцио-
нальна величинам Р и а, возведенным в общем слу-
чае в некоторые степени а и [3 соответственно. Дейст-
вительно, если показатели степени аир положитель-
ны, то величины Ра и обращаются в нуль при
Р = 0 и а = 0. Наоборот, чем больше момент инерции/
гироскопа относительно оси Л'Л" его собственного
вращения, тем труднее заставить гироскоп прецесси-
ровать. Поэтому естественно предположить, что ско-
рость прецессии обратно пропорциональна моменту
инерции системы «Г», возведенному в общем случае
в некоторую степень. Такое же рассуждение можно
провести и в отношении скорости собственного вра-
щения. Запишем эту зависимость, пока неизвестную,
в общем виде:
(ор = Ра№6,	(12.1)
где а, р, у, д — показатели степени, подлежащие
определению. По предыдущему следует ожидать, что

217
y<0, 6<0, ибо скорость cop должна убывать с ростом
каждой из величин I и Й. Обозначим через Le, Ме>
Те единицы измерения основных физических вели-
чин— длины, массы и времени соответственно. На-
пример, Ье = см, Тс = сек, Ме = г. Угловая скорость
имеет размерность Те~\ и обе части формулы (12.1)
имеют размерность 7V1. Сила выражается произве-
дением массы на ускорение и имеет размерность
MeLeTe~2. Размерность правой части формулы (12.1)
имеет вид
(MeTe2LeyL^(MeL2e)y (Т71)6 =
_ £а-1-0+2? тт2а~6
Приравнивая показатели размерности в левой и
правой частях уравнения (12.1), получим систему
трех линейных уравнений относительно четырех пока-
зателей а, р, у и 6:
а + у = 0, а + Р + 2у =-- 0, — 2а — S = — 1.
Система имеет решение а = [3 =—у, 6=1—2а.
Итак, величины Р и а входят в формулу (12.1) с
одинаковыми показателями степени, т. е. зависимость
скорости прецессии от силы и ее плеча приводится к
зависимости от момента силы, равного Ра. Но по
уравнению (6.26) угловое ускорение пропорциональ-
но моменту силы, следовательно, пропорциональна
ему и угловая скорость и а = [3 = 1. Тогда у = б = — 1,
и формула (12.1) принимает вид
% =7*	(!2-2)
Отсюда следует, что скорость прецессии возрас-
тает с увеличением момента Ра внешней силы, при-
ложенной к оси гироскопа параллельно оси наруж-
ного кольца, и обратно пропорциональна произведе-
нию /й, называемому собственным моментом гироско-
па. Однако было бы неправильно заключить из соот-
ношения (12.2), что при очень медленном собствен-
ном вращении гироскопа (величина |Й| мала),
когда знаменатель /Й очень мал по абсолютной ве-
личине, прецессия будет очень быстрой. Ведь форму-
ла (12.2) выведена для быстро вращающегося гиро-

218
скопа, когда прецессия является основной составляю-
щей движения системы «Г», а нутация несуществен-
на и ее влияние при выводе формулы не учтено. По-
этому соотношение (12.2) справедливо лишь при
достаточно больших (по абсолютной величине) зна-
чениях собственной угловой скорости Q; при малых
ее значениях пользование этим соотношением недо-
пустимо, ибо тогда движение системы «Г» мало отли-
чается от вращения около внутреннего кольца.
Теперь сравним угловые перемещения оси гиро-
скопа под действием внешней силы Р (рис. 81) при
остановленном гироскопе и при быстром собственном
вращении. Примем, что сила Р — постоянная по ве-
личине и во время поворота системы «Г» остается все
время перпендикулярной осям гироскопа и внутрен-
него кольца. При Q = 0 угловое ускорение системы
«Г» определяется уравнением (6.27):
Напомним, что здесь 1В — момент инерции всей систе-
мы «Г» относительно оси В'В", тогда как / — момент
инерции гироскопа относительно оси 4'4". Так как
ускорение 0—постоянное, система «Г» поворачи-
вается равномерно ускоренно. За время t ось А'А"
гироскопа отклонится от исходного направления на
угол
1	Ра
0 = 4₽^ =	(12.з)
При быстром вращении гироскопа его ось А'А" —
и с нею наружное и внутреннее кольца — под дейст-
вием силы Р прецессирует с постоянной угловой ско-
ростью сор, даваемой соотношением (12.2). За вре-
мя t ось А'А" отклонится от исходного направления
на угол 0Р, пропорциональный времени t движения:
<124)

219
Сравним углы 0 и 0Р отклонения оси гироскопа от
заданного направления в обоих случаях за одно и то
же время Л В силу равенств (12.3) и (12.4):
9Р_- 21 в	(12.5)
0 IQt
Это отношение показывает, что при быстром вра-
щении гироскопа отклонение его оси от заданного
направления тем меньше по сравнению с отклоне-
нием оси невращающегося гироскопа за одно и то
же время, чем больше собственная угловая скорость
гироскопа. Поэтому чем быстрее вращается гироскоп,
тем медленнее его ось покидает заданное направле-
ние при действии внешней силы, т. е. тем лучше он
«помнит» заданное направление.
Пусть центр массы гироскопа не совпадает в точ-
ности с центром подвеса из-за технологической ошиб-
ки при сборке подвеса. Тогда сила Р — вес гироскопа;
причем Р=\ кГ, плечо а = 0,1 мм. Гироскоп Г будем
считать выполненным в виде тонкостенного полого
цилиндра радиуса г = 5 см. Тогда (§ 6) 1~тг2. Число
оборотов п гироскопа в минуту зададим равным
25 000: Й = 2лп. По формуле (12.2) вычислим:
Ра	ag
ак = ------------- = ----в
Р о Л	2лпг2
---г2 • 2лп
g
_------0,01-98j---= 0 00015 рад[сек
25 000
6,28------- -25
60
е.
а>„ =•-- 0,000015 -8— = 0°,0086/ сек.
Л
За одну секунду ось гироскопа отклонится от заданно-
го направления на угол
0р = 0°,0086^31",
за 100 секунд — на угол
0р = 0,0086-100 = 0°,86^51',5.
Отклонение при остановленном гироскопе опреде-
ляется равенством (12.3). Обычно высота гироскопа

220
меньше его радиуса, тогда 1В<1, так как расстояние
до обода от оси Л'Д" заведомо больше расстояния от
.оси В'В" до самых удаленных от нее частиц гироско-
па. Поэтому
0>
2/	2г2
При
,	1	0,01-981 по л
t =-- 1 сек 0 >*-----0,2 рад,
2-25
т. е. 0^>1Г,4, тогда как за ту же секунду 0р = ЗГ.
Итак, чем быстрее вращается гироскоп, тем мень-
ше его ось отклонится от заданного направления под
действием силы, к ней приложенной. В этом и заклю-
чается значение гироскопа как системы памяти. При
космических полетах, в условиях невесомости или
близких к ним, смещение центра массы гироскопа от-
носительно центра подвеса не приводит к появлению
силы Р, а трение в опорах колец мало, и ось гиро-
скопа сохраняет требуемое направление с высокой
точностью.
Отметим в заключение любопытное обстоятельство,
вытекающее из изложенной теории согласно уравне-
нию (6.27). Твердое тело, способное поворачиваться
около неподвижной оси, вращается под действием
постоянного момента с постоянным угловым ускоре-
нием, т. е. равномерно ускоренно (замедленно).
Гироскоп, которому сообщено быстрое собственное
вращение, под действием постоянного момента, при-
ложенного к оси внутреннего кольца, прецессирует
(если не учитывать нутацию) с постоянной угловой
с к о р о с т ь ю, т. е. вращается равномерно около оси
наружного кольца. Однако явление прецессии гиро-
скопа вовсе не нарушает закона (6.27), так как пре-
цессии неизбежно сопутствует нутация. Хотя амплиту-
да нутации гироскопа мала, наличие нутации не
позволяет утверждать, что под действием постоянного
момента ось гироскопа поворачивается в точности с
постоянной угловой скоростью; это постоянство имеет
место лишь с определенным приближением.

22!
Рис. 84. Гироскоп в неполном
кардановом подвесе
Гироскоп в неполном кардановом подвесе как из-
меритель абсолютной угловой скорости космического
корабля. Если наружное кольцо полного подвеса, изо-
браженного на рис. 81, жестко скрепить с корпусом
корабля, лишив тем самым это кольцо возможности
вращаться по отношению к корпусу, то получится так
называемый неполный карданов подвес (рис. 84).
В неполном подвесе ось А'А" гироскопа уже не может
занимать любое направление по отношению к непод-
вижному пространству независимо от углового поло-
жения корпуса в этом пространстве. Поэтому прило-
жение силы к оси гироскопа в точке, не совпадающей
с центром подвеса, уже не приведет к возникновению
прецессии. Если эта сила имеет составляющую, пер-
пендикулярную плоскости рамы I неполного подвеса
(плоскости А'А", В'В"), то система «Г» — рама + ги-
роскоп — просто повернется около оси В'В" рамы по
закону (6.26).
Рассмотрим теперь случай, когда корпус корабля,
в котором подвешена рама с гироскопом, поворачи-
вается около оси С'С", перпендикулярной исходному
положению плоскости рамы. По отношению к непод-
вижному пространству такое вращение можно рас-
сматривать как искусственную или принудительную
прецессию гироскопа: в этом движении сам корабль
(точнее, его корпус) является наружным кольцом.
Ось В'В" рамы, вновь становящейся внутренним
кольцом полного подвеса, поворачивается в плоскос-
ти рамы, увлекая за собой ось гироскопа. Тем самым
к этой оси оказывается приложенной со стороны ра-
мы пара сил, стремящаяся отклонить ось гироскопа

222
(быстро вращающегося) от ее исходного направления.
Рассуждая как и в предыдущем разделе, можно
показать, что в явлении прецессии причину и следст-
вие можно поменять местами: в случае гироскопа в
полном подвесе сила, приложенная к его оси парал-
лельно оси наружного кольца, заставляет гироскоп
прецессировать. Наоборот, при осуществлении прину-
дительной прецессии гироскопа возникнет сила, при-
ложенная к оси гироскопа параллельно оси наруж-
ного кольца; эта сила создаст момент около оси
В'В" внутреннего кольца, поворачивающий систему
«Г» около оси внутреннего кольца. Вращение систе-
мы «Г» около оси В'В" также описывается соотно-
шением (12.2). Но в рассматриваемом случае ско-
рость сор прецессии является величиной, предписан-
ной заранее вращением корпуса корабля около оси
С'С" прецессии, а момент Lg = Pa, вращающий сис-
тему «Г» около оси В'В", равен
=	(12.6)
этот момент называется гироскопическим.
Из приведенного рассуждения следует, что гиро-
скоп в неполном подвесе может служить измерителем
угловой скорости космического корабля. Для этого
включим в конструкцию подвеса пружину, скрепив
один конец ее с рамой, а другой — с корпусом кораб-
ля (рис. 85) следующим образом: в исходном поло-
жении рамы гироскопа пружина не напряжена, при
повороте рамы относительно корпуса тела О (около
оси В'В") на небольшой угол р (положительный на
рис. 85) пружина растягивается; при повороте рамы
в противоположном направлении пружина сжимается.
При прогибе пружины возникает упругая сила F,
приложенная к оси гироскопа на расстоянии а от оси
А'А", выбираемом при проектировании прибора. Сила
равна по величине произведению прогиба б пружины
(рис. 85) на жесткость К пружины. Длины а и б свя-
заны соотношением 6=а tg р.
При вращении корабля около направления С'С",
перпендикулярного исходному положению плоскости
рамы, возникает гироскопический момент (12.6). Под

223
Рис. 85. Схема поворота оси гироскопа
.< неполном кардановом подвесе
а'
а
его действием система «Г» повернется около оси В'В" <
прогибая при этом пружину, которая будет противо-
действовать этому повороту. В установившемся поло-
жении прибора гироскопический момент и момент
упругой силы пружины относительно оси В'В", рав-
ный Fa, уравновесятся при некотором значении
угла р:
/<atgp = /Й сор,
т. е.
№tgp
(о„ =------.
р /Q
Последнее соотношение определяет угловую ско-
рость сор разворота корабля. Для подсчета достаточ-
но измерить на борту корабля угол р поворота пло-
скости рамы гироскопа от ее исходного положения от-
носительно корабля. Жесткость пружины, плечо а
точки ее закрепления и собственный момент /Q гиро-
скопа заданы конструкцией прибора. Направление
вращения корабля около оси С'С" определяется на-
правлением отклонения системы «Г» относительно
корпуса корабля.
Технические средства установки гироскопов на
космических кораблях. Применение карданового под-
веса для установки гироскопа на корабле необходимо
для сохранения постоянного направления оси гироско-
па в пространстве независимо от вращательного дви-
жения корабля при одновременном обеспечении пере-
мещения гироскопа вместе с кораблем. Иными слова-
ми, карданов подвес позволяет оси гироскопа не
участвовать во вращательном движении корабля и
принуждает ее участвовать в его поступательном дви-
жении. Однако устройство подвеса (рис. 81) связано

224
с неизбежным существованием трения в осях рамок,
которое при колебаниях корабля и наружного коль-
ца в конечном счете отклоняет ось гироскопа от за-
данного направления.
Например, пусть корабль вместе с наружной рам-
кой II (рис. 81) поворачивается около оси В'В" внут-
ренней рамки. Из-за трения в опорах оси В'В" этс
вращение в какой-то мере передается и внутренней
рамке I, т. е. рамка II увлекает за собой рамку I. Тог-
да направление оси А'А" гироскопа отклонится от за-
данного, и гироскоп будет показывать ориентацию
корабля уже с ошибкой. Один путь борьбы с трением
состоит в разработке подшипников все более высоко-
го качества. Но этот путь имеет свои ограничения.
Кроме того, отклонение оси гироскопа от заданного
направления происходит не только из-за трения, но и
под влиянием неизбежных технологических ошибок 'в
изготовлении, сборке и смазке подшипников, даже
если эти ошибки и находятся в пределах производ-
ственных допусков. Такие ошибки выражаются в раз-
бросе размеров шариков и колец подшипников, воз-
никновении зазоров и натягов при сборке, в неодно-
родности смазочного масла, омывающего подшипни-
ки, и т. п. В итоге подчас возникают моменты сил,
приводящие карданные рамки во вращение и тем са-
мым уводящие ось гироскопа от верного направле-
ния. В известных пределах с этим злом можно бо-
роться путем применения так называемых вращаю-
щихся подшипников.
Способ уменьшения вредного влияния технологи-
ческих ошибок на точность показаний гироскопа в
полном подвесе, основанный на введении вращающих-
ся подшипников, состоит в следующем: ось кардан-
ного кольца — пусть это будет для определенности
ось В'В" внутренней рамки (рис. 81)—крепится в
наружной рамке на двух шариковых подшипниках
(рис. 86). С помощью приводного электродвигателя/
наружные кольца 2 и 3 обоих подшипников повора-
чиваются во взаимно противоположных направле-
ниях, попеременно изменяя направление вращения
автоматическим переключателем 4. Благодаря такому

225
Рис. 86. Подвес гироскопа с вращающи-
мися подшипниками
искусственному вращению колец подшипников момен-
ты сил, обусловленных отдельными технологическими
погрешностями, в каждом новом положении колец
подшипников имеют в общем случае новые значения.
В итоге сильно возрастает вероятность их взаимного
уравновешивания, и ось гироскопа в меньшей мере
отклоняется от нужного направления. Влияние вра-
щения колец подшипников на состояние внутренней
рамки подвеса можно в определенном смысле срав-
нить с влиянием броуновского движения жидких час-
тиц на тело, погруженное в жидкость: жидкие части-
цы в огромном числе толкают тело в самых различ-
ных направлениях, и совокупное влияние этих частиц
на тело практически сводится к нулю — тело практи-
чески покоится в жидкости.
Американские изготовители сообщают, что при
использовании обычных шариковых подшипников
ось гироскопа, помещенного на вибрирующее основа-
ние, отклоняется на ±Ъ°1час\ применение вращающих-
ся подшипников снизило это отклонение до \°/час в
эксплуатационных условиях и до ±0,25°/чяс в лабо-
раторных условиях.
Но новые космические полеты требуют все более
высокой точности сохранения заданного направления
оси гироскопа, точности, по-видимому, недостижимой
с помощью самых совершенных подвесов на подшип-

226
никах. Поэтому наметился существенно иной путь
освобождения гироскопа от жестких связей с кораб-
лем. Именно, наилучшее решение задачи об избавле-
нии оси гироскопа от паразитных моментов, присущих
обычному кардановому подвесу, состоит в создании
свободного подвеса — подвеса без кардановых колец,
г. е. подвеса без механической опоры, без соприкос-
новения гироскопа с телом корабля: гироскоп должен
вращаться в условиях свободного «парения» внутри
корабля, он должен следовать за кораблем в его по-
ступательном движении и не участвовать в его вра-
щательном движении. Современная техника способна
создавать подвесы, обеспечивающие установку гиро-
скопа на космическом корабле без всякой материаль
ной опоры.
Первым шагом на пути создания безопорного под-
веса явилось появление так называемого гидростати-
ческого подвеса: кожух с гироскопом (т. е. с ротором)
помещается в замкнутый сосуд, заполненный жид-
костью. Сосуд жестко укреплен в корабле. Жидкость
подбирается так, чтобы она не была слишком вязкой
и имела плотность, равную средней плотности кожуха
с гироскопом. Тогда при возникновении поступатель-
ного ускорения корабля кожух с гироскопом не будет
перемещаться в корабле (т. е. относительно сосуда):
благодаря одинаковой плотности веществ жидкости
и гироскопического узла этот узел (кожух с гироско-
пом) и жидкость будут одинаково увлекаться посту-
пательным движением корабля. Следовательно, центр
гироскопического узла не будет смещаться относи-
тельно центра сосуда. Тем самым выполнено требова-
ние об участии гироскопа в поступательном движе-
нии корабля. Но при возникновении вращательного
движения корабля кожух почти не будет увлекаться
этим движением, так как благодаря переходу от со-
прикосновения по металлическим поверхностям (хотя
и смазанным), имеющему место в шариковых под-
шипниках, к соприкосновению металла с жидкостью
в гидростатическом подвесе трение резко снижается.
Гироскопический узел, установленный в гидроста-
тическом подвесе, называют поплавковым, ибо он

227
плавает в жидкости, как поплавок. Температурный
режим всего устройства приходится поддерживать
постоянным с помощью устройств автоматики, по-
скольку плотность вещества изменяется с температу-
рой. Действительно, жидкость и гироскоп выполнены,
в общем случае, из разных веществ и при одном и
тОхМ же изменении температуры их плотность изме-
нится различным образом. Поэтому поддержание
постоянства температуры необходимо для сохране-
ния относительного положения центра гироскопиче-
ского узла в сосуде.
По способу поплавка выполняют и гироскопы в
неполном кардановом подвесе. Ось гироскопа в не-
полном подвесе не сохраняет постоянного направле-
ния, а поворачивается вместе с рамкой около оси
В'В" на рис. 87. Поэтому в гироскопе сохраняется
механическое крепление оси 1 рамки с помощью под-
шипников, но кожух 2 с гироскопом 3 и рамкой (ги-
роскопический узел) помещается в сосуде 4 с жид-
костью. По-прежнему плотность жидкости равна
средней плотности гироскопического узла, благодаря
чему существенно уменьшается трение в подшипниках
рамки и повышается точность изменения угловой ско-
рости корабля.
Дальнейшее развитие жидкостного подвеса при-
вело к созданию гидродинамического гироскопа
(рис. 88). Около оси А'А" быстро вращается с постоян-
ной скоростью ротор 1. В нем выполнена шаровая
полость, целиком заполненная жидкостью 2 большой
плотности. Ось А' А" жестко связана с космическим
кораблем с помощью шариковых подшипников. Если
корабль движется так, что эта ось перемещается па-
раллельно самой себе, т. е. не изменяет своего направ-
ления в неподвижном пространстве, то через некоторое
время после запуска ротор и жидкость в нем станут
вращаться как единое целое. Под действием центро-
бежной силы, развивающейся при вращении в жидко-
сти возникает давление. В силу симметрии прибора
относительно оси А'А" это давление будет одинаковым
во всех точках объема жидкости, одинаково удален-
ных от оси вращения. Иначе, распределение давления

228
Рис. 88. Гидродинамический
гироскоп
Рис. 87. Поплавковый гироскоп
по объему будет симмет-
ричным относительно оси
вращения.
Пусть теперь корабль
поворачивается около оси,
перпендикулярной нап-
равлению А'А", например,
около оси, перпендику-
лярной плоскости рис. 88,
в направлении, указанном
стрелкой. Тогда ось А'А”
вращения начнет сама из-
менять свое направление
в неподвижном простран-
стве. Ротор /, являясь
твердым телом, мгновен-
но увлечется этим поворо-
том. Но жидкость, не
имея жесткой связи с ро-
тором, еще в течение не-
которого времени будет
вращаться по-старому,
именно около того направ-
ления в неподвижном про-
странстве, около которо-

229
го ротор и жидкость вращались как единое це-
лое до начала разворота корабля — около исход-
ного направления оси /ГЛ". В итоге в первый
момент времени после возникновения поворота кораб-
ля около упомянутой оси распределение давления по
объему жидкости сохранит симметрию относительно
исходного положения оси А'А" в неподвижном про-
странстве, но не будет симметричным относительно
нового положения а'а" этой оси. В частности, величи-
ны давления жидкости в точках объема, расположен-
ных по обе стороны от оси А'А" на одинаковом рас-
стоянии от нее, станут различными; разность между
этими величинами послужит мерой углового движе-
ния корабля около оси, перпендикулярной плоскости
рис. 88. Для измерения этой разности — перепада
давления, вызванного попоротом корабля, — предус-
мотрен датчик (измеритель), выполненный в виде
упругой перемычки 3 на рис. 88. Противоположные
поверхности перемычки соприкасаются с жидкостью,
поступающей в соответствующие полости измерителя
через симметричные отверстия в роторе. Перемычка
прогибается в сторону полости, где давление меньше.
Величина прогиба служит мерой абсолютного угло-
вого движения корабля, а направление прогиба опре-
деляет направление вращения корабля.
В жидкостных подвесах жесткая опора гироскопи-
ческого узла заменяется жидкой, но материальная
опора все же остается. Переход к электрическому
подвесу позволяет обойтись совсем без материальной
опоры и полностью уничтожить трение.
Одной из разновидностей электрического подвеса
является подвес электростатический. Ротор гироскопа
выполнен в виде полого шара из легкого металла
(обычно бериллия) и помещен в шаровую же полость.
Внутренние стенки полости снабжены электродами,
которые создают электростатическое поле, предназна-
ченное для удержания ротора в середине полости
во взвешенном состоянии, несмотря на перемещение
корабля в пространстве. Благодаря симметрии по-
лости, ротора и электростатического поля относи-
тельно центра подвеса ось собственного вращения ро-

230
тора не увлекается кораблем при его вращении И
сохраняет неизменное направление в неподвижном
пространстве. В механическом отношении отличие
подвеса электростатического от гидростатического
состоит в замене силы гидростатической (архимедо-
вой) силой электростатической.
Хотя в последнем подвесе трение между ротором
и стенками полости полностью исключено, в нем
имеются свои источники паразитных моментов сил,
способных сбивать ось гироскопа с приданного ему
направления. Это моменты, обусловленные ошибками
изготовления, нарушающими симметрию поля и по-
лости относительно центра подвеса.
Рассмотрим еще электромагнитный подвес гиро-
скопа, основанный на использовании взаимодействия
магнитного поля со сверхпроводником. Напомним,
что явление сверхпроводимости заключается в умень-
шении электрического сопротивления некоторых про-
водников— практически до нуля — при охлаждении
до температуры, близкой к абсолютному нулю (поряд-
ка —270°С). Здесь шаровой ротор подвешен также
в шаровой полости. Отличие электромагнитного под-
веса от электростатического состоит лишь в природе
сил, удерживающих гироскоп в середине полости не-
зависимо от поступательного движения корабля.
Удерживающее поле является магнитным, и обмотки
магнита выполнены из вещества, обладающего свой-
ством сверхпроводимости (например, из ниобия), а
весь подвес охлаждается жидким гелием. Магнитное
поле, взаимодействуя со сверхпроводником, не прони-
кает внутрь ротора и поэтому создает лишь силы
выталкивания, подобные гидростатическим силам.
Эти силы выталкивания и увлекают гироскоп вслед
за кораблем, обеспечивая принудительное участие
гироскопа в поступательном движении корабля.
В поисках средств дальнейшего повышения точ-
ности системы памяти неподвижного направления на
борту корабля возникла мысль использовать свойст-
ва элементарных частиц. Известно, что в определен-
ных условиях эти частицы находятся в состоянии
быстрого вращения, подобно гироскопу. Наложением

231
постоянного магнитного поля на некоторое количество
вещества, находящегося в жидком или газообразном
состоянии, можно ориентировать оси собственного
вращения молекул или атомов в одном и том же на-
правлении — направлении поля. Оказывается, что
если после этого выключить магнитное поле, то оси
собственного вращения частиц сохраняют приданное
им общее направление в неподвижном пространстве
в течение определенного времени—несколько часов
в случае молекул жидкого гелия. Благодаря ориента-
ции всех частиц рабочего вещества в едином направ-
лении поведение вещества по отношению к внешним
воздействиям (световым лучам, электрическому на-
пряжению и т. и.) будет различным в зависимости от
(ого, приложено ли это воздействие вдоль направле-
ния ориентации осей собственного вращения или под
углом к нему. Отсюда открывается возможность вы-
явления направления ориентации осей собственного
вращения. Это направление и составит систему па-
мяти неизменяемого направления в неподвижном про-
странстве.
Гироскопическое силовое устройство. Явление пре-
цессии гироскопа может быть использовано не только
в измерительных приборах, но и в силовых устрой-
ствах для осуществления разворота космического ко-
рабля. Было показано, что если к оси маховика (ги-
роскопа), приведенного в быстрое вращение около его
продольной оси, приложить пару сил, перпендикуляр-
ных этой оси, то маховик начнет прецессировать око-
ло прямой, перпендикулярной оси собственного вра-
щения маховика и лежащей в плоскости пары. Ис-
пользуем это явление для разворота корабля. В под-
шипниках, укрепленных в корпусе корабля, установим
быстро вращающийся маховик. На концах вала ма-
ховика поставим два одинаковых источника реактив-
ных сил, перпендикулярных оси маховика и дейст-
вующих в противоположные стороны; тогда ось махо-
вика будет прецессировать и передавать вращение
корпусу корабля. Возможная схема устройства при-
ведена па рис. 89, где О — корпус корабля, 1 — ма-
ховик, 2 — подшипники вала маховика, укрепленные

232
Рис. 89. Гироскопический силовой
привод для разворота космическо-
го корабля
в корпусе, 3 и 4 — вспомогательные реактивные дви-
гатели, изображенные в виде баллонов со сжатым
газом; корпуса баллонов связаны с корпусом кораб-
ля. Направление истечения газов показано стрелками;
реактивная сила R каждого двигателя действует в
сторону, противоположную направлению соответ-
ствующей струи. Под действием реактивных сил и
благодаря явлению прецессии корпус корабля придет
во вращение около оси О'О", При заданном направ-
лении собственного вращения маховика направление
вращения корабля зависит от знака пары сил
(Л, —/?). При изменении направления истечения га-
зов из баллонов 3 и 4 на обратное корабль начнет
поворачиваться в противоположную сторону около
той же оси О'О",
Если бы маховик 1 и представлял собой весь ко-
->
рабль, то величина реактивной силы R, необходимой
для сообщения кораблю требуемой постоянной угло-
вой скорости соо около прямой О'О", определялась бы
соотношением (12.2), рассматриваемым при P = 2R,
а—$ *, о) р —=u)(j.
(127)
2а*
где / — момент инерции маховика относительно оси
его собственного вращения; й — его собственная угло-
вая скорость; а* — расстояние между соплами.
В схеме на рис. 89 маховик применен для разво-
рота около прямой О'О" всего корабля, несущего ма-
ховик и его вал. В этих условиях соотношения (12.2)
и (12.7) уже не применимы: действительно, вывод со-
отношения (12.2) основан на исследовании поведения

233
маховика, приведенного в быстрое вращение. Массы
колец подвеса, изображенного на рис. 81, считались
пренебрежимо малыми. Чтобы представить себе по-
ведение системы «корабль + вращающийся маховик»
при приложении к оси собственного вращения махо-
вика пары сил, ей перпендикулярных, разберем два
крайних случая.
Первый случай. Корабль О, изображенный на
рис. 89, велик, например корабль, весящий на
Земле 5 т, а маховик ничтожно мал — например,
стальная иголка, вращающаяся около продольной оси
со скоростью обычного гироскопа. Тогда корабль под
действием пары (R, —R) будет в основном двигаться
как не вращающееся твердое тело в соответствии с
уравнением (6.27): корабль совершит разворот около
оси z, проходящей через его центр массы перпенди-
кулярно плоскости пары, т. е. около оси, перпендику-
лярной плоскости рис. 89. Это вращение — ускорен-
ное, с угловым ускорением 0 = 2a*R//o, где /0— мо-
мент инерции корабля около оси z. Вращающаяся
иголка будет стремиться прецессировать, но из-за
малости ее собственного кинетического момента она
не может увлечь массивный корабль в сколько-нибудь
заметной мере.
Второй случай. Маховик / весьма велик и масси-
вен, например ротор мощной турбины, и быстро вра-
щается, а корабль О представляет собой легкий ко-
жух. Тогда движение корабля под действием пары
сил (R, — R) в основном сведется к прецессии около
оси О'О", и угловая скорость прецессии рассчиты-
вается соотношением (12.2).
В промежуточном случае, когда влияния маховика
и невращающейся массы — одного порядка, итоговое
движение системы под действием пары (R, — R) пред-
ставит собой определенное наложение прецессии ма-
ховика на ускоренный разворот корпуса корабля, не
обладающего собственным вращением. Однако это
итоговое движение не будет просто суммой двух упо-
мянутых вращений, а окажется более сложным. Что-
бы прецессия была господствующей составляющей

234
движения, нужно повысить собственный момент ма-
ховика.
В механическом отношении различие между спо-
собом непосредственного разворота космического ко-
рабля с помощью реактивной пары (§ 8) и способом,
основанным на явлении прецессии, состоит в следую-
щем: в первом случае, после выключения двигателей,
корабль продолжает вращаться по инерции с угловой
скоростью, достигнутой к моменту выключения дви-
гателей; во втором случае, при выключении двигате-
лей, прекращается и вращение корабля, так как при
этом исчезает и прецессия. В общем виде мы уже об-
ращали внимание на это обстоятельство.
Замечание. Явлением прецессии обусловлена ого-
ворка в § 10 о том, что разворот корабля по способу
«магнитной стрелки» осуществим лишь при отсут-
ствии его вращения около продольной оси. В против-
ном случае под действием момента магнитных сил
корабль будет прецессировать: его продольная ось
вместо того, чтобы установиться по направлению маг-
нитного поля планеты, будет описывать коническую
поверхность около этого направления.
§ 13.
Некоторые измерители
расстояния до планеты
По закону всемирного тяготения сила взаимного
притяжения двух материальных частиц зависит от
расстояния между ними. Поэтому две частицы косми-
ческого корабля, находящиеся на различных расстоя-
ниях от центра Земли, притягиваются Землей с раз-
ной силой; как ни мала эта сила, она существует, и
поэтому в определенных условиях может быть исполь-
зована для определения расстояния от корабля до
центра Земли или иного притягивающего центра.
В § 10 описано использование этого явления для ста-
билизации углового положения корабля, здесь мы рас-
смотрим его как основу действия измерительного при-
бора на борту корабля.
Определение местоположения корабля по натяже-
нию стержня, соединяющего две массы. Пусть косми-

235
ческий корабль свободно падает к притягивающему
центру О (рис. 90). Примем для простоты, что в этом
падении продольная ось х корабля проходит через
центр О, и установим вдоль нее жесткий стержень
длины I, несущий на концах две одинаковые мате-
риальные частицы М\ и М2 массы т каждая; сам
стержень будем считать невесомым. Эти частицы при-
тягиваются к центру О с силами Р\ и Р2, направлен-
ными к центру О:
р _ ktn^m р __ kmjn
1 ~ г2 ’	2 ~ (г + /)2 ’
где — масса притягивающего центра; г = ОМ\.
Если бы поле тяготения было однородным, т. е.
РХ = Р2, то стержень был бы не напряжен. Но в дей-
ствительности по
Р\>Р2, и стержень
закону всемирного тяготения
растягивается силой F=P\—Р2:
F = kmQm
1
г2
kmQm
г* (г + /)2
(2г + /)/.
Длина / стержня очень мала по сравнению с рас-
стоянием г корабля от центра О, поэтому можно при-
нять
2г + / ~ 2г, г + / г (например, / = 1 м, г = 10 000 км),
р__________________________ 2kmoml
г3
тогда
3/ 2kmQml
F
Эта формула определяет расстояние корабля до
центра О по измеренному натяжению F стержня, если
заданы масса т, длина I и известна масса т$ притя-
гивающего центра. Практическая трудность в опреде-
лении расстояния по этой формуле состоит в слож-
ности точного измерения величины натяжения стерж-
ня, обычно незначительной. Например, для Земли
/?т0^3,986-1020 см?/сек2, при т=10 г, /=100 см,
r= 106 м = 108 см,
с 2-4-1020-10-100 под п о Г
Fzz-----------------= 0,8 дн^0,8мГ.
1018.10е

236
х
Рис. 90. Измерение расстояния корабля до притяги-
вающего центра с помощью жесткого стержня с дву-
мя концевыми массами
• О
Определение местоположения корабля по относи-
тельному перемещению пробных масс на борту ко-
рабля. Поместим внутрь корабля, свободно падаю-
щего к центру О, материальные частицы Mi и М2
массы m каждая, но в этот раз не будем соединять их
ни с кораблем, ни между собой. Тогда корабль и каж-
дая из частиц падают к притягивающему центру не-
зависимо. Если бы поле тяготения было однородным,
то все частицы корабля и обе пробные частицы при-
тягивались бы с одинаковой силой, и расстояние меж-
ду ними не изменялось бы. В действительности, если
начальные удаления частиц Mi и М2 от центра О раз-
личаются на длину Zo, то и ускорения их будут не-
сколько отличны и, следовательно, с течением време-
ни будет изменяться и расстояние между частицами.
Обозначим через Wi и ш2 абсолютные ускорения ча-
стиц Mi и М2 соответственно. По уравнению (3.1):
/и
КУ2
km0
(г + 02
и относительное
ускорение j пробных частиц равно
! = Wi — w2
2km0
г3
(13.1)
Пусть до эксперимента относительная скорость
частиц Mi и М2 равнялась нулю; например, частицы*
скреплены с корпусом корабля на расстоянии /0 вдоль
направления движения, а в начальный момент опыта
(Z=0) освобождаются от связей с кораблем без на-

237
чальной относительной скорости. Из равенства (13.1)
следует:
гз = 2kmQ
i
Расстояние / между частицами в момент времени t
можно автоматически определять на борту корабля,
но измерять величину относительного ускорения / чрез-
вычайно трудно из-за ее малости. Поэтому для при*
ближенной оценки расстояния г поступим иначе. Вви-
ду большого начального удаления го корабля от
центра О силы Р\ и Р2 меняются медленно, и на про-
тяжении некоторого промежутка времени примем аб-
солютное движение каждой из пробных частиц рав-
номерно ускоренным, соответствующим значению
г = го в правой части соотношения (13.1). Тогда через
промежуток времени t расстояния гх и г2 частиц Мj
и М2 соответственно от центра О составят по нашей
оценке
Го — V9t
гг = r0 + l0 — vat
Лт0 . 2
—~ zo* »
km* t2
2^о
km0
2(r0 + W2 ’
где — начальная абсолютная скорость частиц. Со-
ставляя разность г2—Г\ = 1, получим:
J 1
г2 ('о + 'оУ
/—/0 =
отсюда следует, что
Подкоренное выражение положительно, ибо />/0, так
как в силу равенства (13.1) />0.
В некоторых условиях полета расстояние г до при-
тягивающего центра может быть определено заранее,
например астрономическим способом: если измерить
угол а, под которым виден с корабля диаметр d све-
тила (величина d заранее известна), то расстояние I
(13.2)

238
определяется простым тригонометрическим соотно-
шением:
Л . а
2sin —
2
(Однако в общем случае точность подобного мето-
да невелика, так как изменения малого знаменателя
sin -у- из-за ошибок измерений приводят к существен-
ным погрешностям оцениваемой величины г.) Тогда
соотношение (13.2) позволяет определить массу это-
го центра по наблюдению на борту расстояния /, от-
вечающего времени t:
Масса Луны вычислена с точностью до четырех
значащих цифр после запятой, масса Земли — до ше-
сти значащих цифр; отсюда следует, что расстояние I
необходимо измерять с точностью, лучшей чем 0,01 мм.
Поэтому технические трудности, возникающие при
попытке применить этот способ измерения, весьма
велики.
§ 14.
Измерение ускорения с
помощью пробной мас-
сы, перемещающейся в
корпусе корабля
Существует множество способов для измерения
ускорения корабля путем наблюдений за относитель-
ным перемещением пробной массы, уединенной от
действия внешних сил. Соответствующие измеритель-
ные устройства, основанные на использовании инер-
циальных свойств движения пробной массы, называ-
ются обычно инерциальными измерителями.
Маятниковый измеритель ускорения. Простейшим
примером инерциальной системы измерителя может
служить математический маятник М, подвешенный
в самолете, летящем прямолинейно и горизонтально

239
с постоянным ускорением w вдоль траекторной пря-
мой х (рис. 91). Подвес позволяет маятнику качаться
в вертикальной плоскости Nxy по окружности радиуса
с = АМ, равного длине маятника.
Найдем положение относительного равновесия
маятника, т. е. положение его покоя по отношению
->
к самолету. К маятнику приложены силы: вес mg и
сила F, благодаря которой нить AM маятника удер-
живает его на расстоянии с от точки А опоры (т. е.
сила F—натяжение нити). Абсолютное ускорение
маятника определяется уравнением (3.1):
= mg + F.
Нить нерастяжимая, поэтому маятник увлекается
кораблем, и =
Предположим на мгновение, что нам известно не
только ускорение g силы тяжести, но и ускорение w ко-
рабля, а определить надо натяжение F нити, т. е. ве-
личину вектора F и его направление. Тогда F =
= mw—mg, или, в несколько иной записи.
F mw + (—mg).
Следовательно, вектор F находится сложением
векторов mw и —mg по правилу параллелограмма;
он построен на рис. 92. Натяжение нити — сила F,
натравлено вдоль нити, поэтому угол а наклона нити
маятника к вертикали определяется соотношением
lga = —.Считая теперь угол а известным, перепишем
последнее равенство в виде
w = gtga.
Эта формула определяет ускорение самолета по на-
блюдению угла а на борту самолета, если известно

240
Рис. 91. Схема подвеса маятни-
ка на борту самолета для из-
мерения абсолютного ускорения
ускорение силы тяжести на высоте полета (по вели-
чине и направлению).
Струнный датчик ускорения (рис. 93). Грузик М
массы m подвешен в середине растянутой струны АВ,
ее концы А и В закреплены в корпусе корабля. Когда
корабль ускоренно перемещается в направлении, па-
раллельном струне (например, вправо по рис. 93),
имея ускорение w, грузик М увлекается в этом же
направлении. При этом правая половина нити растя-
гивается еще больше и ее натяжение F\ возрастает,
а натяжение F2 левой половины струны уменьшается.
По закону (3.1), разность сил F}—F2 пропорцио-
нальна величине ускорения, изменяющего натяжения
половинок струны:
Ft —F2 = mw и
= —(Л-F,).
m
Измерение ускорения w сводится, таким образом,
к измерению разности натяжения F\—F2. Благодаря
упругости струны каждая из ее половинок, находясь
под действием соответствующей силы натяжения, бу-
дет совершать высокочастотные колебания, подобно
пружине, выведенной из состояния равновесия. Ча-
стоты vi и у*2 колебаний левой и правой половинок
струны зависят от натяжения F} и F2 соответственно
так же, как высота звучания струны музыкального
инструмента зависит от ее натяжения. Частота коле-
баний надежно измеряется с помощью современных
электронных приборов. Следовательно, разность сил
натяжения струны F{—F2 непосредственно опреде-

241
ляется путем измерения разности частот vi—v2. Итак,
мерой ускорения w служит разность частот vj— v2.
Силовой датчик ускорения. Пусть корабль О дви-
жется ускоренно параллельно неподвижной оси X
(рис. 94). Примем для простоты, что продольная ось
Nx корабля остается параллельной прямой X. Между
двумя жесткими стенками 1 и 2, связанными с кораб-
лем, поместим без зазора жесткий шарик 3 массы ш.
При возникновении ускорения w шарик будет давить
на соответствующую стенку (левую при направлении
ускорения вправо, как на рис. 94) с силой F, равной
по закону (3.1) произведению mw. Силу F можно из-
мерить, например, с помощью пьезокварцевого кри-
сталла, электрические характеристики которого ме-
няются при изменении давления. Очевидно, что
w = F/m.
Пружинные измерители ускорения. Пробную мас-
су можно заставить участвовать в движении корабля
также и путем упругого соединения ее с корпусом
корабля — в виде подвеса на пружине. Такое соеди-
нение позволяет измерять ускорение корабля путем
измерения величины растяжения пружины.
Рассмотрим корабль, движущийся с ускорением
вдоль неподвижной прямой. В точке А (рис. 95) укреп-
лен конец пружины, другой конец которой свободен
и несет материальную частицу XI массы in'. Пружина
увлекает частицу М в своем движении вместе с ко-
раблем. Отрезок ЛЛо представляет собой длину пру-
жины в ненапряженном состоянии. Когда пружина

242
Рис. 94. Силовой измеритель
ускорения
Рис. 95. Схема подвеса массы
на пружине на борту космиче-
ского корабля
увлекает пробную массу, она растягивается или сжи-
мается в зависимости от направления ускорения ко-
рабля. Пусть для определенности пружина растянута,
например, когда ускорение корабля направлено впра-
во (рис. 95). Ее удлинение х, отсчитываемое от точ-
ки Ло, пропорционально величине силы F, действую-
щей вдоль пружины и служащей причиной ее растя-
жения. Сила F, приложенная к свободному концу пру-
жины, равна по величине произведению Кх, где К —
жесткость пружины.
В силу уравнения (3.1):
tn'w = F.
Но F = Кх, т. е. tn'w = Кх и
w = —х.	(14.1)
пг'
В установившемся состоянии пружины это соот-
ношение определяет ускорение правого конца пружи-
ны и тем самым корабля. Масса tn' и жесткость К
определяются конструкцией прибора и известны за-
ранее, а удлинение х пружины автоматически изме-
ряется на борту корабля.
Измерение ускорения корабля в поле сил тяжести.
Выше, рассматривая движение корабля с ускоре-

243
нием w, мы ничего не говорили о природе сил, вызы-
вающих это ускорение. Предполагалось только, что
эти силы, действуя на поверхность корпуса корабля,
не действуют на пробную массу.
Силы, для которых можно указать поверхность их
приложения, называются в механике поверхностными
силами. Такими силами являются сила аэродинами-
ческого сопротивления, подъемная сила, сила тяги
и др. Поверхностные силы вызывают напряжения и
деформацию в конструкции корабля и могут быть
измерены непосредственными методами.
Кроме поверхностных сил в природе существуют
еще массовые силы: они действуют на каждую части-
цу вещества корабля. Классическим примером мас-
совой силы является сила тяжести. Если поле массо-
вых сил однородно, т. е. на каждую материальную
частичку корабля действует одинаковая сила, то та-
кие массовые силы не вызывают относительных пере-
мещений частиц массы, а следовательно, и напряже-
ний в конструкции корабля. В этом случае массовые
силы не могут быть обнаружены или измерены. В об-
щем случае космический корабль движется под дей-
ствием как поверхностных, так и массовых сил.
Рассмотрим действие инерциальной системы из-
мерения ускорения, описанной в предыдущем разделе,
в условиях, когда на пробную массу действует мас-
совая сила притяжения со стороны некоторого цент-
ра О (например, Земли, отождествляемой с матери-
альной частицей). Предположим для простоты, что
пробная масса может скользить без трения по про-
дольной оси корабля. Что касается корабля, то он
совершает ускоренное движение вдоль неподвижной
оси ОХ (рис. 96). Тогда к пробной массе приложены
две силы: упругая поверхностная сила F пружины,
направленная, как и выше, вдоль оси X, и массовая
сила — сила притяжения Р.
По закону всемирного тяготения
о _ а т^т'

244
Рис. 96. Измерение абсолютно-
го ускорения корабля с по-
мощью пружинного измерителя
при движении корабля в поле
тяготения
где k — постоянная всемирного тяготения; ги0 — масса
притягивающего центра; г — расстояние до него.
—>	—>
Силы Р и F действуют вдоль оси ОХ\ сила Р на-
правлена к притягивающему центру О, т. е. в сторону,
противоположную положительному направлению на
оси ОХ. На рис. 96 пружина изображена в растяну-
том состоянии; сила F направлена вправо, т. е. по по-
ложительному направлению оси ОХ. Пружина увле-
кает за собой пробную массу, заставляя ее двигаться
по отношению к неподвижному пространству с уско-
рением, равным ускорению закрепленного конца пру-
жины (т. е. с ускорением w корабля).
Таким образом, пробная масса приобретает абсо-
лютное ускорение w под действием сил Р и F. Соглас-
но закону (3.1),
tn'w = F 4- Р;
следовательно
w =— k-^-.	(14.2)
tn'	г2
Здесь отношение km,Qlr2 = Plm' = g — ускорение си-
лы тяжести на расстоянии г от центра О. Масса та
притягивающего центра считается известной. Заме-
тим, что соотношение (14.1) отличается от соотноше-
ния (14.2) слагаемым, равным ускорению силы тя-
жести.
Для выяснения физической сущности этого слагае-
мого, обусловленного влиянием поля тяготения, про-
изведем мысленный эксперимент: на поверхности Зем-
ли подвесим (наподобие груза на безмене) некоторую
массу т' на пружине, верхний конец которой непо-
движен: w = 0. При этом пружина растянется под дей-

245
ствием веса массы rnf и реакции опоры пружины на
величину х = т'§ъ/К — ускорение силы тяжести на
поверхности Земли). Обращаясь к соотношению
(14.2), получим:
т	т л
При этом показание прибора для величины х от-
личается от нуля.
В другом случае предоставим кораблю свободно
падать на Землю и предположим, что поле сил тяже-
сти внутри корабля однородно, — размеры корабля
малы по сравнению с расстоянием до Земли. Тогда
грузик вместе со всеми частицами корабля тоже бу-
дет свободно падать на Землю, как если бы он не был
связан с кораблем. Следовательно, пружина не будет
напряжена, и показание прибора будет нулевым: х = 0.
Из соотношения (14.2) следует, что w=—kmdr2,4.e.
w = —g.	(14.3)
Равенство (14.3) описывает свободное падение кораб-
ля. Итак, нулевое показание прибора (х = 0) при на-
хождении корабля в поле тяготения указывает на со-
стояние свободного падения.
Пусть теперь корабль движется по той же прямой
ОХ и реактивный двигатель работает; тогда к кораб-
лю приложена помимо силы веса реактивная сила R.
Сила R действует вдоль прямой ОХ и направлена,
например, вправо (по рис. 96), т. е. от притягиваю-
щего центра. В общем случае корабль может нахо-
диться также под действием аэродинамических сил,
магнитных сил и т. д. Объединим все эти силы еди-
ным вектором Х\ ограничимся рассмотрением случая,
когда сила X действует вдоль прямой ОХ, и предпо-
ложим, что эта сила направлена влево (по рис. 96).
Пусть пробная масса на борту корабля не подвер-
гается действию сил R и X. По отношению к аэроди-
намической силе для этого достаточно поместить мае-

246
су в закрытом помещении внутри корабля, тогда по-
ток воздуха, обтекающий корабль, не окажет непо-
средственного действия на эту массу. Соответствую-
щим экранированием массы можно устранить воздей-
ствие на нее со стороны магнитных полей. В этих
условиях на пробную массу окажут действия только
силы Р и F, и соотношение (14.2) останется в силе.
Вместе с тем, влияние сил R и X скажется на удли-
нении х пружины, по наблюдению которого, исполь-
зуя соотношение (14.1), можно рассчитать ускорение
корабля. Заметим, что для такого расчета необходи-
мо знание величины и направления ускорения силы
тяжести g в точке измерения, так как на показание
—>
прибора х ускорение силы тяжести g не влияет.
Таким образом, выявляется исключительная осо-
бенность, присущая силе притяжения и не характер-
ная для остальных сил. Это обстоятельство основано
на том, что имеются технические возможности уеди-
нять пробную массу от действия аэродинамических,
реактивных, световых, магнитных сил путем экрани-
рования. Поэтому все описанные выше инерциальные
измерители определяют не полное ускорение корабля,
а так называемое кажущееся ускорение, отли-
чающееся от полного на величину ускоре-
ния силы притяжения, не поддающуюся изме-
рению. Это свойство и отражается в соотношении
(14.2). Если бы нашлось средство экранировать,
а следовательно, и измерять силу притяжения, то со-
отношение (14.1) оставалось бы справедливым во
всех условиях. (Описание датчика, позволяющего, хо-
тя бы в принципе, измерять ускорение силы, приво-
дится в следующем разделе.)
В действительных условиях силы, действующие на
корабль, не всегда известны в точности. Так, истин-
ная сила тяги может отличаться от расчетной, аэро-
динамические силы, магнитные силы, сила давления
световых лучей также подчас не поддаются точному
расчету.
Покажем, как по наблюдениям за удлинением
пружины х можно непосредственно определить дей-

247
ствительные силы X или R+X. Пользуясь соотноше-
нием (14.2), космонавт обнаружит, что истинное уско-
рение корабля несколько отличается от расчетного.
Для расчета дальнейшего движения корабля жела-
тельно найти силы, нарушающие расчетный полет,
т. е. найти вектор X. Это можно сделать, если рас-
сматривать весь корабль как своего рода пробную
массу, летящую вдоль оси ОХ под действием силы
тяжести, реактивной тяги и неизвестной силы X.
Отождествляя корабль с материальной частицей мас-
сы пг, напишем уравнение его
ние (3.1):
движения — уравне-
— X.
n l тто
mw = R — k----5-
r2
Перед величиной X поставлен знак «—», так как, по
предположению, эта сила действует влево, т. е. про-
тив положительного направления оси ОХ; так дей-
ствует аэродинамическая сила (если она имеет ме-
сто), тормозящая движение корабля.
Но сумма ускорений w и ускорения силы тяжести
k"^
известна по наблюдению удлинения х пружины
и определяется соотношением (14.2). Предположим,
что реактивная тяга, масса т корабля, масса /п0 при-
тягивающего центра и расстояние г известны в каж-
дый момент движения. Тогда неизвестная сила X на-
ходится из последнего уравнения:
X =	R — (k-^-	+mw\	(14.4)
\ г2	/
Определение силы	X на борту корабля	целесооб-
разно производить	с	помощью	автоматического вы-
числительного устройства, выполняющего действия,
предусмотренные последним соотношением.
Мы предположили, что сила X направлена влево,
т. е. к притягивающему центру. Но, так как она за-
—►
ранее неизвестна, этот выбор направления силы X
может оказаться ошибочным. Однако соотношение
(14.4) все равно сохраняет силу. Действительно, если

248
в итоге подсчета по формуле (14.4) получено поло-
жительное значение для силы X (например, Х =
= +100 к), то это означает, что истинное направле-
—►	—>
ние силы X совпадает с принятым в расчете: сила X
направлена влево. Если же получится Х<0 (напри-
—'►
мер, Х=—100 я), то истинное направление силы X
будет обратным по отношению к принятому в расчете.
Из соотношения (14.4) следует, в частности, вы-
вод: если корабль движется равномерно, это вовсе не
значит, что на него не действуют никакие силы. В са-
мом деле, пусть оу = 0; соотношение (14.4) показы-
вает, что в этом случае
— х —	= 0.
г2
пружина растяги-
грузика x = m'g/K
точка закрепления
ОХ равномерно и
(«без-
Силы приложены к кораблю, но они взаимно уравно-
вешиваются. Равенство (14.2) принимает вид
, tn'mQ
х = k-----—.
Кг*
Действительно, в этом случае
вается только под действием веса
(g = 6/n0/r2). Корабль — и с ним
пружины — движется вдоль оси
прямолинейно. Система «грузик — пружина»
мен»), установленная на корабле, летящем равномер-
но и прямолинейно, находится в таком же состоянии,
в каком она находилась бы на неподвижном корабле.
«Безмен» одинаково растянут в обоих случаях. Это
свойство отражает принцип относительности Галилея:
механические явления протекают одинаково во всех
системах отсчета, перемещающихся одни по отноше-
нию к другим прямолинейно и равномерно.
При выводе соотношения (14.4) корабль вместе
с грузиком и пружиной был заменен одной матери-
альной частицей. Когда искомая сила X и все прочие
силы, приложенные к кораблю, очень малы, такая
модель всей системы может оказаться слишком гру-
бой. Действительно, при строгом рассуждении надо
учесть, что к кораблю приложена также и сила пру-

249
жины. Закон действия и противодействия указывает
на следующее: к кораблю со стороны растянутой пру-
жины приложена сила, равная по величине и проти-
воположная по направлению силе, с которой эта же
пружина действует на грузик. И если (величина /<х
этой силы сравнима с величинами остальных сил, вхо-
дящих в соотношение (14.4), нужно пользоваться в
расчете более сложной моделью корабля: системой
двух частиц, соединенных пружиной. В этом случае
с материальной точкой можно отождествлять только
сам корабль без включения в него пробного грузика.
Датчик ускорения с круговым маятником. При
полете корабля с отключенными двигателями вдали
от притягивающих масс величина ускорения корабля,
обусловленная только этими далекими массами, мала.
Для измерения ускорения в этих условиях предложен
следующий способ: около оси, связанной с кораблем
(рис. 97), очень быстро вращается жесткий стер-
жень /, несущий па конце грузик М. На рисунке ось
вращения стержня перпендикулярна плоскости ри-
сунка, D — след оси. Пусть для простоты ускорение
w корабля направлено вдоль неподвижной прямой,
проходящей через притягивающий центр О. При
вращении стержня расстояние МО грузика М до
центра О изменяется иначе, чем если бы стержень с
грузиком нс вращался. В соответствии с этим ме-
няется и сила притяжения грузика притягивающим
центром, которая в каждый момент времени обратно
пропорциональна квадрату расстояния МО. В соот-
ветствии с изменением расстояния (Л4О) меняется и
давление стержня па ось его вращения. Колебания
давления вращающегося стержня па его ось служат
мерой ускорения w. Таким образом, в описанном дат-
чике для определения ускорения силы притяжения
используется неоднородность поля тяготения.
Отмстим в заключение, что выше рассмотрена за-
дача об измерении ускорения только в прямолиней-
ном движении корабля. При пространственном дви-
жении механическая сущность измерения остается
та же, хотя технические средства и расчетные соот-
ношения сильно усложняются.

250
§ 15.
Измерение линейного
ускорения по способу
силового уравновеши-
вания
Рис (П. Измеритель ускорения
н виде кругового маятника
Почти во всех датчиках, описанных выше, мерой
движения служило механическое перемещение нп
борту корабля. На выполнение перемещения, вызы-
ваемого движением корабля, затрачивается некоторое
время, поэтому такие датчики, строго говоря, отра-
жают состояние движения в некоторый момент вре-
мени, предшествующий моменту измерения, а не точ-
но в момент измерения. Для уменьшения времени за-
паздывания, возникающего за счет времени срабаты-
вания датчика, целесообразно заменять измерение
перемещения на борту корабля измерением сил, не-
обходимых для удержания подвижной части датчика
в исходном положении.
Силы, удерживающие подвижные части приборов
в исходном положении, искусственно создаются с по-
мощью вспомогательных систем автоматического
управления. Рассмотрим образцы таких измерителей.
Гироскопический измеритель кажущегося ускоре-
ния и кажущейся скорости корабля (рис. 98). Пусть
корабль перемещается ускоренно параллельно непод-
вижной прямой ОХ. Около оси С'С", связанной с кор-
пусом 1 корабля и проведенной вдоль направления
ОА, может поворачиваться кожух 2. На подшипниках
оси В'В", укрепленных в кожухе, подвешен гироско-
пический узел — рамка 3, несущая гироскоп 4, вра-
щающийся около оси Д'/!", перпендикулярной оси

25 i
Рис. 98. Гироскопический из
меритель ускорения и скорости
корабля
В'В". Осп Л'Л", В'В" и С'С" пересекаются в общей
точке—центре подвеса. Гироскопический узел, под-
вешенный в кожухе 2 около оси В'В", образует гиро-
скоп в неполном кардановом подвесе. В отличие от
гироскопа в неполном кардановом подвесе, изобра-
женного на рис. 84, центр массы рассматриваемого
гироскопического узла смещен относительно оси
В'В” вращения рамки в кожухе. Это достигается
путем размещения на одной из сторон рамки тяжело-
го грузика 5. Рамка и грузик образуют единое твер-
дое тело, центр массы которого лежит вне оси В'В".
Благодаря этому в описываемом приборе гироскопи-
ческий узел обладает свойством маятниковости по
отношению к оси В'В", рассматриваемой как ось
качания этого маятника.
При сообщении кораблю кажущегося ускорения
(т. е. ускорения, вызываемого поверхностными сила-
ми) в направлении, параллельном оси ОХ, рамка 3
будет отклоняться от исходного положения, подобно
маятнику, опору которого начали передвигать в на-
правлении, перпендикулярном исходному положению
нити. При этом в исходном положении гироскопиче-
ский узел установлен так, что ось А'А" собственного
вращения гироскопа перпендикулярна направлению
полета. Едва начнется поворот рамки с грузиком
около оси В'В" по отношению к кожуху 2, как вспо-
могательный измеритель 6 уловит это вращение и
подаст на усилитель 7 электрическое напряжение,

252
пропорциональное углу поворота рамки относительно
кожуха. Это напряжение после усиления приведет в
действие вспомогательный исполнительный двига-
тель 8 (электрический). Якорь двигателя 8 повернет
с помощью зубчатой передачи кожух 2 около оси
С'С". Вместе с кожухом около прямой С'С" повер-
нется и ось В'В" — и с нею рамка 3. Тогда гироскоп
начнет прецессировать, поворачивая рамку 3 около
оси В'В". При правильном выборе знака и величины
тока, выдаваемого усилителем, прецессия приведет к
возвращению рамки в исходное положение по отно-
шению к кожуху. Ток, необходимый для восстанов-
ления исходного положения рамки в кожухе, и
служит мерой кажущегося ускорения w корабля.
При высоком качестве отдельных звеньев (датчи-
ка 6, усилителя 7, двигателя 8 и др.) система будет
срабатывать очень быстро и запаздывание в измере-
нии ускорения окажется достаточно малым. Такой
прибор способен указывать не только ускорение, но
также и скорость v корабля в направлении его по-
лета. В общем случае для получения значений ско-
рости полета по уже найденному ускорению можно
воспользоваться способом электрического моделиро-
вания переменных движения. Но в данном случае
прибор позволяет считывать скорость полета в виде
механического перемещения непосредственно.
В самом деле, при ускоренном полете корабля мо-
мент, отклоняющий рамку гироскопа, действует в те-
чение всего времени движения с ускорением. Одно-
временно должен существовать и восстанавливающий
момент, обусловленный явлением прецессии и зави-
сящий от изменения ускорения ш. Прецессия возни-
кает за счет принудительного вращения кожуха 2 с
помощью двигателя 8, управляемого системой авто-
матики. Следовательно, для удержания рамки 3 в ис-
ходном положении по отношению к кожуху, т. е. для
осуществления равенства восстанавливающего момен-
та моменту отклоняющему, двигатель 8 должен по-
ворачивать кожух около оси в течение всего времени
ускоренного полета. Чем больше ускорение, тем боль-
ше возмущающий момент, тем больше должен быть

253
и восстанавливающий момент и, следовательно,
больше будет угол поворота кожуха около оси С'С"
за одно и то же время полета. Но чем больше уско-
рение, тем большей окажется скорость v корабля по
истечении одного и того же времени. Поэтому мерой
изменения скорости полета от действия поверхност-
ных сил служит угол, на который к моменту измере-
ния повернется кожух относительно корпуса корабля
около оси С'С".
Несколько более подробная схема измерителя
изображена на рис. 99.
Измерение ускорения корабля с помощью гиро-
скопов в электрическом подвесе, В § 12 описаны тех-
нические основы системы, принуждающей гироскопы
в электростатическом и электродинамическом подве-
сах участвовать в поступательном движении корабля.
Очевидно, что в электродинамическом подвесе сила
тока, требующаяся для удержания гироскопа в цент-
ре шаровой полости при ускоренном движении кораб-
ля, тем больше, чем больше ускорение. В самом деле,
выберем в качестве механической модели гироскопа по
отношению к движению вместе с кораблем вдоль тра-
ектории материальную точку, находящуюся в центре
массы гироскопа и имеющую массу, равную массе ги-
роскопа. Тогда сила, необходимая для увлечения гиро-
скопа вместе с кораблем, по закону (3.1) пропорцио-
нальна абсолютному ускорению. Часть этой силы есть
сила притяжения, действующая на гироскоп; другая
часть, пропорциональная поверхностным силам, дейст-
вующим на корабль, создается электрическими силами
подвеса. Следовательно, величина тока, необходимая
для создания поля, удерживающего гироскоп в центре
полости (и тем самым увлекающего его вместе с ко-
раблем), служит мерой кажущегося ускорения кораб-
ля в поступательном движении.
В электростатическом подвесе мерой этого ускоре-
ния служит напряженность электростатического поля.
Таким образом, гироскоп в электрическом подвесе
представляет собой датчик как абсолютного углового
положения корабля, так и его кажущегося линейного
ускорения одновременно.

254
Рис. 99. Конструктивная схема
гироскопического измерителя
ускорения и скорости
§ 16.
Выражение показаний
механических измерите-
лей через электричес-
кие величины
Как отмечено в § 7,
представление характери-
стик движения корабля в
виде электрических вели-
чин позволяет методами
электрического моделиро-
вания вычислять на борту
корабля производные ве-
личины по измеренным:
скорость — по ускорению
и т. д. Поэтому желатель-
но получать данные об из-
меряемых переменных полета в виде электрических ве-
личин— чаще всего в виде электрического напряже-
ния, пропорционального измеряемой величине. В из-
мерителях, устроенных по способу силового уравнове-
шивания (§ 15), выходной величиной часто является
ток или напряжение: например, выходом гироскопиче-
ского измерителя ускорения служит выходное напря-
жение усилителя. Но при нахождении скорости полета
с помощью этого же измерителя выходом служит меха-
ническое перемещение — угол поворота кожуха прибо-
ра. В приборах, основанных на измерении движения по
наблюдению относительного перемещения подвижных
частей на борту корабля (гироскопы, маятники и т. п.),
непосредственным физическим выходом служит меха-
ническое перемещение. Для создания электрического
напряжения, пропорционального измеряемой величине,
применяют преобразователи перемещения в электри-
ческое напряжение.
Потенциометрический преобразователь. Так на-
зывается преобразователь, выполненный на основе
реостата со скользящим движком (рис. 100, а). При-
бор представляет собой электрический мост, состав-
ленный из четырех одинаковых сопротивлений /, 2, 3

255
и 4 и движка, выполненного
в виде контактных проводя-
щих щеток 5 и 6. Постоянное
питающее напряжение моста
подается на зажимы 7 и 8.
Когда движок расположен
симметрично по отношению
к зажимам 7 и 8 (щетки ка-
саются сопротивлений в точ-
ках 11 и 12), мост уравнове-
шен. Напряжение на выход-
ных зажимах щеток 9 и 10
отсутствует. Когда система
сопротивлений повернется
относительно движка на не-
который угол ср (рис. 100, б),
сопротивление участков
между точками 7 и 12, 8 и 11
окажется больше 'Сопротив-
ления участков между точ-
ками 7 и 11, 8 и 12. Равно-
весие моста нарушится, и
между зажимами 9 и 10 ще-
ток возникнет напряжение
U, пропорциональное углу
поворота:
U = dq, (16.1)
Рис. 100. Потенциометр
для преобразования ме-
ханического перемещения
в электрическое напря-
жение-
где d — электрический масштаб. Величина d равна чис-
лу единиц напряжения постоянного тока, отвечаю-
щего повороту системы сопротивлений на единицу
измерения угла. Например, [d] = Me на 1 градус
поворота.
На рис. 101 показана схема измерения угла пово-
рота космического корабля относительно неподвиж-
ной системы отсчета с помощью гироскопа в полном
подвесе (рис. 81) с применением потенциометриче-
ского преобразователя. Здесь щетки жестко связаны
с наружным кольцом II гироскопа, а система сопро-
тивлений — с корпусом корабля. Во время поворота,
корабля ось А'А" гироскопа сохраняет неизменное:

256
Рис. 101. Схема измерения угла
поворота космического корабля
с помощью гироскопа и потен-
циометра
направление в неподвиж-
ном пространстве. Благо-
даря этому при повороте
корабля около оси С'С"
положение наружного
кольца не меняется по от-
ношению к неподвижному
пространству, а система
сопротивлений вместе с
кораблем повертывается
около оси С'С" в этом
пространстве. Выходное
напряжение U потенцио-
метрического преобразо-
вателя пропорционально
углу поворота корабля по
отношению к неподвиж-
ному пространству и оп-
ределяется соотношением
(16.1).
Недостаток потенцио-
метрического преобразо-
вателя состоит в том, что
соприкосновение между сопротивлениями и щетками
создает трение. Момент сил трения обусловливает то,
что корабль в своих колебаниях около оси измерения
увлекает в некоторой мере рамку II гироскопа, нару-
шая точность измерения. Таким образом, потенцио-
метр служит источником погрешностей измерения в до-
полнение к погрешностям, описанным в § 12. Поэтому
более обещающими являются преобразователи без
механического соприкосновения (бесконтактные пре-
образователи) .
Емкостный преобразователь. Известно, что рас-
стояние между обкладками конденсатора влияет на
его емкость. Если одну обкладку конденсатора соеди-
нить с наружным кольцом гироскопа, а другую — с
корпусом корабля, то вращение корабля около оси
измерения приведет к изменению емкости конденса-
тора. Тем самым будет изменяться и напряжение
переменного тока в цепи, содержащей этот конден-

257
Рис. 102. Индуктивный преоб-
разователь механического пере-
мещения в электрическое на-
пряжение
сатор. После выпрямления переменного тока, снимае-
мого с выхода конденсатора, напряжение соответ-
ствующего постоянного тока окажется пропорцио-
нальным углу поворота корабля около оси измере-
ния.
Индуктивный преобразователь (рис. 102). Это сис-
тема двух одинаковых электромагнитов / и 2, питае-
мых переменным током, снабженная якорем 3. Преоб-
разователь устроен по мостовой схеме. При отклоне-
нии якоря от среднего положения по отношению к
сердечникам изменяется коэффициент самоиндукции
преобразователя. Следовательно, изменяется напря-
жение в цепи переменного тока, содержащей преоб-
разователь. При соединении якоря с кольцом II
гироскопа, а сердечников — с корпусом корабля,
напряжение выпрямленного выходного тока преоб-
разователя будет пропорциональным углу абсолютно-
го поворота корабля около оси измерения.
Преобразователи описанного вида применимы ко
всем измерителям, непосредственным выходом кото-
рых является перемещение. Существуют бесконтакт-
ные преобразователи и других видов, в частности
оптико-электрические, особенно полезные для снятия
показаний гироскопов в электрических подвесах.
С математической точки зрения рассматриваемые
преобразователи суть устройства умножения пере-
менной механической величины на положительное
число согласно равенству (16.1). Поэтому такие
преобразователи представляют собой наипростейшие
вычислительные устройства.
Заметим, что напряжение, снимаемое с описанных
преобразователей, иногда непосредственно служит
входным напряжением U, управляющим действием

258
силового привода; например, на рис. 69 входное на-
пряжение U усилителя 4 и есть выходное напряже-
ние преобразователя.
§ 17.
Особенности действия
измерителей характе-
ристик движения
При рассмотрении основ действия измерителей
движения, как и при описании основ действия сило-
вых устройств кораблей, явления выделялись в
«чистом» виде: поведение каждого измерителя иссле-
довалось только под влиянием измеряемого движе-
ния, без учета сопутствующих движений. По этой
причине неоднократно делалась оговорка о том, что
рассматривается полет вдоль неподвижной прямой.
Теперь рассмотрим задачу измерения движений в
действительных условиях, когда космический корабль
одновременно движется по произвольной траектории
и совершает произвольное вращательное движение,
т. е. совершает движение самого общего вида.
Измерение движения корабля в общем случае.
Приведем сначала пример, поясняющий происхожде-
ние такой задачи. Пусть абсолютное движение кораб-
ля представляет собой равномерное вращение около
оси, сохраняющей неизменяемое направление в не-
подвижном пространстве. Установим на корабле из-
меритель абсолютного линейного ускорения, предна-
значенный в общем случае для измерения абсолютно-
го ускорения корабля в направлении продольной оси
корабля. Этот датчик выберем, например, в виде
грузика на пружине, как в § 14. Пусть осью враще-
ния корабля служит связанная ось Nz (рис. 103),
перпендикулярная продольной оси. При вращении
корабля около оси Nz пробный грузик приобретает
центростремительное ускорение, определяемое равен-
ством (4.3): w = l со2, где со — угловая скорость кораб-
ля, /=(ЛМ4). По условию скорость со — абсолютная,
поэтому абсолютное ускорение грузика приводится к
—>
центростремительному; ускорение w — абсолютное.

259
Рис. 103. Схема измерения аб-
солютного ускорения вращаю-
щегося корабля
Единственной внешней силой, приложенной к грузику
вдоль его оси Nx, является упругая сила пружины.
Применяя закон (3.1) и используя обозначения § 14,
напишем уравнение, определяющее положение грузи-
ка на продольной оси корабля при его вращении:
/п7со2 =/С (/—/0).
Но I— 1о = х, поэтому смещение х грузика от поло-
жения, отвечающего ненапряженному состоянию пру-
жины, равно (Iq = NAq на рис. 95).
т'со2 ,
X = ------- /о-
К — т'ы2
(17.1)* *
Итак, если не знать заранее вид движения кораб-
ля, то по наблюдению прогиба х пружины можно
прийти к ложному выводу о том, что корабль пере-
мещается поступательно вдоль своей продольной оси
с абсолютным ускорением wy определяемым соотноше-
нием (14.1). Если же знать, что абсолютное движение
корабля представляет собой равномерное вращение
около оси Nz, то наблюдение прогиба х составит с
помощью равенства (17.1) угловую скорость ко-
рабля **’
К
* При со2- --соотношение (17. 1) дает х=оо: прогиб пру-
пг'
жины бесконечно велик. Однако прямая пропорциональность
прогиба пружины силе имеет место только до определенного пре-
дела, поэтому присо=+1/ — соотношение уже не справед-
V т'
ЛИБО.
** Прибор не позволяет различать направление вращения ко-
рабля, а дает только абсолютную величину угловой скорости.
Это объясняется тем, что центростремительное ускорение пропор-
ционально квадрату угловой скорости. Так как со2>0 и при (о>0
и при (о<0, величина центростремительного ускорения одинакова
при вращении в обоих направлениях.

260
co =
Кх
т' (х + /0)
(17.2)
Следовательно, одно и то же показание измерителя
допускает различные истолкования. Но как же тогда
определять истинное движение корабля, ничего не
зная о нем заранее?
Приведенный пример показывает, что с помощью
только одного измерителя нельзя правильно опреде-
лять движение. Для нахождения движения необходи-
мо снабдить корабль несколькими измерителями, как
правило — шестью. Вспомним, что задание одного
вектора равносильно заданию трех скаляров — проек-
ций вектора на оси системы координат. Поэтому пол-
ное измерение ускорения корабля равносильно изме-
рению трех его проекций, для чего нужны три дат-
чика. Таким же образом для полного измерения угло-
вого движения корабля нужны еще три датчика.
Как показано выше, в общем случае движения из-
меритель, связанный с кораблем, не выдает измеряе-
мой величины непосредственно. Выходная величина
каждого отдельного датчика является поэтому про-
межуточной, «полуфабрикатом». Для получения
окончательных сведений о движении нужно эти
промежуточные величины переработать в соответствии
с законами механики. Такую переработку первичных
данных может выполнять автоматическое электронное
вычислительное устройство. Входными величинами
вычислительного устройства обычно служат выходные
напряжения датчиков, снимаемые с преобразовате-
лей измеряемых величин.
Основы действия измерителей и преобразователей,
описанные в § 12—16, остаются при этом неизменны-
ми. Усложняется лишь задача истолкования выходных
величин измерителей. Вместе с тем существует и иное
решение задачи, при котором измерители дают сразу
окончательное значение измеряемой величины ценой
определенного усложнения системы измерения. Об
этом решении будет сказано в § 18.
Влияние паразитных движений. Как и всякое фи-
зическое тело, космический корабль является дефор-

261
Рис. 104. Схема возникновения
искажений в измерении ускоре-
ния из-за вибрации основания
измерителя
мируемым телом. В нем возникают внутренние пере-
мещения; последние могут восприниматься измерите-
лями и вносить ложные составляющие в их показа-
ния. Приведем примеры. Пусть корабль перемещает-
ся прямолинейно с ускорением w, не вращаясь
(рис. 104). Из-за работы реактивного двигателя в ко-
рабле возникает вибрация: опора пружинного датчика
ускорения, выполненная в виде консольной балочки,
колеблется по отношению к корпусу корабля с высо-
кой частотой (амплитуда вибрации обычно мала).
Прямые NDi и ND2 показывают крайние положения
балочки.
Таким образом, грузик участвует не только в по-
ступательном движении корабля, но еще колеблется
относительно корабля по дуге DXDD2 окружности ра-
диуса l = ND. Это колебание приводит к возникнове-
нию центростремительного ускорения w * грузика (по
отношению к кораблю). В точках и D2 направле-
ние относительного движения грузика меняется на
обратное, и относительная скорость его равна нулю.
В точке D эта скорость достигает наибольшего значе-
ния и*, определяемого частотой и амплитудой вибра-
ции. На основании соотношения (4.2) в точках D\ и
D2 йУ* = О; в точке D ш* = Это значение уско-
рения имеет место как при движении грузика от Di
к £)2, так и от D2 к D\. Поэтому за каждый период
вибрации среднее значение wc центростремительного
ускорения заключено между нулем (его наименьшим
значением) и W (его наибольшим значением):
О < wc <^W = (и*)2/1. Благодаря высокой частоте виб-
рации переменное центростремительное ускорение
w* можно с хорошей точностью заменить в расчете
его средним значением wc. Ускорение wc направлено

262
по оси измерения (оси Nx) против направления поле-
та. Оно вызывает дополнительное растяжение пружи-
ны помимо растяжения, обусловленного измеряемым
поступательным ускорением w корабля. Поэтому на
выходе преобразователя датчика появится дополни-
тельное электрическое напряжение, вызванное вибра-
цией и искажающее величину истинного ускорения.
В другом случае при измерении угла поворота ко-
рабля с помощью гироскопа в полном кардановом
подвесе (рис. 100 и 101) ложное показание может
возникнуть при прогибе опоры щеток 5 и 6, приво-
дящем к нарушению электрического равновесия мо-
ста. Прибор укажет на поворот корабля, тогда как
в действительности повернется только опора движка
потенциометра (относительно корабля).
Для борьбы с искажающим влиянием деформаций
нужно либо размещать измерители в местах, прак-
тически свободных от деформации, либо измерять де-
формацию и учитывать ее влияние с помощью вычис-
лительного устройства, либо принять деформацию
за неизвестную величину и находить ее так же, как
силу X (§ 14).
Различные физические явления, используемые для
измерения движения. Помимо средств измерения дви-
жения, описанных в настоящей главе, существуют и
многие другие. Так, известен электрохимический из-
меритель ускорения: при осуществлении электролиза
на борту корабля выделяющиеся ионы, имея различ-
ную плотность, увлекаются движением корабля по-
разному; при этом изменяется выходной ток устрой-
ства, который и служит мерой абсолютного ускоре-
ния корабля.
В самое последнее время возникли предложения
об измерении абсолютного движения корабля на ос-
нове зависимости некоторых внутриядерных процес-
сов от абсолютного движения (явление это названо
именем немецкого физика Мессбауэра, недавно его
открывшего).
Большое значение для определения движения кос-
мических кораблей имеют оптические и радиосредст-
ва. Например, для быстрого построения местной вер-

263
тикали (устройства', описанные в § 13, имеют дли-
тельное время срабатывания) используются инфра-
красные датчики горизонта. Эти датчики измеряют
на борту спутника мощность теплового излучения той
части пространства, в сторону которого они направ-
лены (гл. I).
Когда направление измерения проходит через на-
правление касательной, проведенной от спутника в
его текущем положении к поверхности Земли
(рис. 105), наступает резкое изменение мощности из-
лучения. Таким образом, датчик мощности излучения
позволяет найти направление касательной к поверх-
ности Земли. Применение нескольких искателей по-
зволяет найти образующие конуса с вершиной в точ-
ке М, описанного вокруг Земли. Зная же определен-
ное число образующих конуса, можно построить его
Рис. 106. Построение оси кру-
гового конуса по трем образу-
ющим
Рис. 105. Схема измерения на борту
спутника мощности теплового излу-
чения, исходящего с поверхности Зем-
ли и из межпланетного пространства
ось. Так как окружность определяется тремя точка-
ми, не лежащими на одной прямой, это число равно
трем: по трем произвольно выбранным направлениям,
определяющим образующие конуса, можно восстано-
вить направление оси конуса путем очевидного гео-

264
метрического построения (рис. 106). Если бы поверх-
ность Земли была в точности шаровой, то ось такого
конуса всегда бы проходила через центр Земли, была
бы местной вертикалью.
Сплюснутость Земли приводит, в общем случае, к
некоторому несовпадению оси конуса с местной вер-
тикалью, под которой понимается направление к цент-
ру Земли. Во многих случаях это несовпадение несу-
щественно. Когда нужна более высокая степень точ-
ности построения вертикали, необходимо учитывать
истинную фигуру Земли. Для этого нужно знать зем-
ную широту спутника в момент измерения, так как
радиус Земли меняется с широтой. Присоединив к из-
мерителю вертикали счетно-решающее устройство,
автоматически определяющее угол между искомой
вертикалью и осью конуса по заданной широте, мож-
но получить истинное направление вертикали. Дейст-
вие измерителя теплового излучения основано на
свойствах радиоволн сверхвысоких частот.

СИСТЕМЫ АВТОМА-
ТИЧЕСКОГО УПРАВ-
ЛЕНИЯ КОСМИЧЕС-
КИМ КОРАБЛЕМ
Отдельные устройства космического корабля,
разобранные порознь в предыдущих главах, обра-
зуют систему автоматического управления космиче-
ским кораблем. Здесь рассматриваются некоторые
способы построения подобных систем и некоторые их
свойства.
§ 18.
Системы навигации
(кораблевождения)
Системой навигации называется система получе-
ния информации о движении корабля для управле-
ния его полетом. Системы подразделяются на авто-
номные (т. е. не требующие внешних данных) и на
зависящие от данных, получаемых извне.

266
Инерциальная система навигации. Основным ви-
дом автономной системы навигации является система,
основанная на измерении на борту корабля кажуще-
гося ускорения * корабля. Тем самым измеряется от-
клонение движения корабля от движения по инерции;
поэтому система, основанная на измерении кажуще-
гося ускорения корабля, называется инерциальной.
Коль скоро это ускорение измерено, абсолютная ско-
рость корабля и его абсолютное перемещение (тем
самым и его местоположение) могут быть определе-
ны на борту корабля автоматически, с помощью счет-
но-решающих устройств.
Заметим, что инерциальные системы могут приме-
няться лишь на тех участках траектории космическо-
го корабля, на которых действуют активные силы, соз-
дающие кажущееся ускорение (силы тяги, сопротив-
ления и т. п.). На пассивных участках орбиты, где
действуют лишь силы тяготения, инерциальные сис-
темы безмолвствуют — показания их датчиков равны
нулю.
Установим на борту корабля три датчика ускоре-
ния таким образом, чтобы: 1) оси измерения (чувст-
вительности) всех датчиков были взаимно перпенди-
кулярны; 2) датчики увлекались кораблем в его дви-
жении вдоль траектории и не участвовали в его вра-
щении.
Первое условие легко осуществить, укрепив соот-
ветствующим образом кожухи датчиков на общей
жесткой опоре. Чтобы удовлетворить второму усло-
вию, необходимо установить опору датчиков в пол-
ном кардановом подвесе. Тогда, при отсутствии тре-
ния в осях подвеса, ось чувствительности каждого
датчика сохранит неизменное направление по отноше-
нию к неподвижному пространству независимо от вра-
щательного движения корабля. Следовательно, каж-
дый из трех датчиков ускорения, размещенных на бор-
ту корабля на общей опоре, установленной в полном
кардановом подвесе, измеряет ускорение вдоль соот-
ветствующего неподвижного направления. Если вы-
* Кажущееся ускорение отличается от абсолютного на вели-
чину ускорения сил притяжения в точке измерения (см. § 14).

267
Рис. 107. Установка измерите-
лей кажущегося ускорения на
площадке неизменяемой ориен-
тации, помещенной в кардано-
вом подвесе на борту космиче-
ского корабля:
О — корабль; 1—наружное кольцо кар-
данова подвеса, 2 — подшипники оси
наружного кольца, 3 — внутреннее
кольцо подвеса, 4 — подшипники оси
внутреннего кольца, 5 — площадка
неизменяемой ориентации, 6—подшип-
ники оси плошадки, 7, 8, 9 — датчики
кажущегося ускорения, размещенные
на площадке 5
браны пружинные датчики, то измерение соответст-
вующей проекции ускорения корабля происходит, как
описано в § 14.
Направим ось чувствительности первого датчика
параллельно оси ОХ неподвижной системы отсчета
OXYZ, второго — -параллельно оси ОУ, третьего — па-
раллельно оси OZ. Тогда первый датчик измерит
проекцию wx кажущегося ускорения w корабля на
ось ОХ, второй — проекцию wY ускорения w на ось
—>
ОУ, третий — проекцию wz ускорения w на ось OZ
(рис. 107). На рисунке О — корабль, Nxyz— связан-
ная система координат; 1 — наружное кольцо подве-
са, ось которого крепится в подшипниках 2 вдоль
оси Nz\ 3 — его внутреннее кольцо (ось кольца уста-
новлена в подшипниках 4, несомых кольцом /); 5 —
опора датчиков; 6 — ее подшипники в кольце 3; 7, 8
и 9 — датчики, измеряющие проекции wXi wY и wz
соответственно. Величина w ускорения w равна
Оу = У шХ + Wy + Wz .
Сравним действие датчика, размещенного на опо-
ре, установленной в кардановом подвесе, с действием
того же датчика при непосредственной установке его
в корпусе корабля. В первом случае датчик выдает
величину измеряемого кажущегося ускорения непо-
средственно, без дальнейшего пересчета. Во втором
случае, как показано в § 17, показание датчика служит
лишь промежуточной величиной, подлежащей пере-

268
счету вместе с величинами, снимаемыми с остальных
датчиков. Непосредственное измерение ускорения в
первом случае происходит благодаря применению
карданового подвеса, освобождающего датчик от
связи с кораблем по отношению к вращательному
движению; как иногда говорят инженеры, корабль и
датчики «развязаны». Можно сказать, что в опреде-
ленном смысле введение карданового подвеса для
размещения датчиков заменяет введение вычислите-
ля, необходимого при жестком креплении кожухов
датчиков на самом корабле. Поэтому при такой уста-
новке датчиков отпадает надобность в вычислителе,
упомянутом в § 17.
Однако остается необходимость в вычислителе,
учитывающем влияние поля тяготения на движение
корабля.
Как уже говорилось выше, для того чтобы полу-
чить абсолютное ускорение корабля в точке измере-
ния, необходимо к ускорению, непосредственно изме-
ряемому прибором, добавить поправку с помощью
формулы (14.2). Поэтому необходимо знать ускоре-
ние силы тяжести в точке пространства, в которой
производятся измерения. Так как ускорение силы тя-
жести зависит от расстояния до притягивающих цент-
ров, то для этого надо знать местоположение кораб-
ля. Но ведь определение местоположения корабля и
является конечной целью измерения ускорения! Таким
образом, возникает 'порочный круг: с одной стороны,
для нахождения абсолютных координат корабля, т. е.
для определения его местоположения в пространстве,
достаточно измерять его абсолютное ускорение, после
этого скорость полета и координаты корабля могут
быть найдены, например, с помощью электрического
моделирования движения. С другой стороны, для из-
мерения этого ускорения нужно уже знать абсолютное
местоположение корабля, без чего невозможно под-
считать ускорение силы тяжести, которое следует до-
бавлять с учетом направления его действия к показа-
ниям датчика ускорения. Возникает сомнение: не яв-
ляется ли попытка создания системы инерциальной
навигации попыткой вытащить самого себя из болота

269
Рис. 108. Схема измерения про-
екции абсолютного ускорения
корабля с помощью цепи об-
ратной связи
за волосы? Оказывается, что нет: для решения за-
дачи, вообще говоря, достаточно знать абсолютные
координаты и скорость корабля в некоторый отправ-
ной момент времени — например, в момент запуска
с Земли или с известной орбиты; такие сведения
всегда имеются. На рис. 108 изображена схема изме-
рения проекций wx абсолютного ускорения корабля
на основе использования обратной связи. Предпола-
гается, что движение происходит вдоль оси X так,
что Y = Z = 0. В ней выполняются следующие действия:
1) подсчет координаты Х = г— текущего расстояния
корабля от притягивающего центра О — по ускоре-
нию wx\ для этого служат электрические устройст-
ва Bi и В2, моделирующие движение, как описано в
§ 7; 2) подсчет проекции gx ускорения силы тяжести
на ось ОХ по входной величине х, осуществляемый
вычислительным устройством В gX; 3) подсчет ускоре-
ния wx как суммы выходной величины w'x датчика
ускорения и величины gXi подводимой от цепи ABgXC
обратной связи. Благодаря высокому качеству упо-
мянутых устройств все три действия выполняются
практически одновременно. Следовательно, в каждый
момент измерения для подсчета текущего значения
координаты корабля используется значение ускорения
силы тяжести, отвечающее самому искомому значе-
нию этой координаты. Таким образом,
wx = w' + gx-	(18.1)
Для пружинного датчика (§ 14) соотношение
(18.1) имеет вид (14.2). Измеряемая координата X
снимается с выхода вычислителя В2.
При произвольном движении корабля нужно ввес-
ти три схемы измерения, устроенные по способу, ука-

270
занному на рис. 108. Тогда в каждый момент времени
будут известны все три координаты X, Y и Z корабля.
Общая схема системы навигации будет иметь вид,
сходный со схемой на рис. 23. Путем пересчета коор-
динат, если необходимо, можно перейти от абсолют-
ных координат корабля к земным координатам: широ-
те, долготе и высоте. Для этого нужен вспомогатель-
ный вычислитель или устройство, ему равносильное.
В действительных условиях вычислители ускоре-
ния силы тяжести могут выполнять более сложные
действия. В общем случае поле тяготения планет
сложнее поля точечного притягивающего центра. Кро-
ме того, при выводе корабля с околоземной орбиты в
межпланетное пространство на корабль действуют
силы притяжения со стороны Луны и Солнца. Поэто-
му поле тяготения оказывается еще более сложным.
К тому же оно меняется со временем из-за вращения
Земли и орбитального обращения Луны. Все эти яв-
ления можно отражать в устройстве вычислителя
ускорения силы тяжести.
Остановимся на способах, при помощи которых
обеспечивается неизменяемость углового положения
опоры датчиков ускорения, несомой в кардановом
подвесе. Даже если бы не было трения в осях колец
подвеса этой опоры, она могла бы несколько изменять
свою ориентацию из-за неизбежного несовпадения
центра подвеса и центра массы опоры, из-за возмож-
ной вибрации и т. п. Поэтому заданную ориентацию
опоры по отношению к неподвижному пространству
приходится поддерживать с помощью средств авто-
матики, вводя вспомогательно систему автоматическо-
го поддержания ориентации опоры (рис. 109): опо-
ра 1 установлена на корабле с помощью карданового
подвеса; 2 — внутреннее кольцо подвеса; 3 — его на-
ружное кольцо. На опоре 1 помимо датчиков ускоре-
ния 4, 5 и 6 установлены два гироскопа 7, S, каждый
также в полном кардановом подвесе. Оси роторов
обоих гироскопов взаимно перпендикулярны. Гиро-
скопы будут указывать отклонение опоры 1 от тре-
буемого абсолютного углового положения, в каком
бы направлении это отклонение ни произошло. Вы-

Рис. 109. Схема автоматического поддержания
ориентации опоры датчиков кажущегося ускоре-
ния (площадки неизменяемой ориентации)

272
ходное напряжение преобразователей угла в напряже-
ние, подключенного к гироскопам, после усиления при-
ведет в действие вспомогательные двигатели; послед-
ние вернут опору в исходное положение. Например,
гироскоп 7 может служить измерителем поворотов
опоры 1 около осей наружного и внутреннего колец
этого гироскопа, тогда с помощью гироскопа 8 доста-
точно измерять только одно вращение опоры — около
оси его внутреннего кольца. Как и во всех системах
автоматики, упоминавшихся выше, выходные напря-
жения приводят в действие исполнительные двигате-
ли 9, 10 и 11, возвращающие опору в ее исходное по-
ложение. Эти двигатели называют разгрузочными,
имея в виду разгрузку опоры от возмущающих мо-
ментов сил. Например, двигатель 10 поворачивает
опору около оси А'А", двигатель 9 поворачивает ее,
через кольца 2 и 3, около оси С'С". Пунктиром пока-
заны линии передачи сигналов от гироскопов на дви-
гатели, измерители углов поворота рамок (конец)
гироскопов условно показаны в виде системы щет-
ка— движок (потенциометров).
Вместо гироскопов в полном подвесе в качестве
датчиков абсолютного углового положения опоры
можно применять три гироскопа в неполном подвесе.
Обычно применяются поплавковые гороскопы.
Возможно и вообще обойтись без гироскопов, что
значительно упрощает систему. В начале § 12 было
отмечено, что указателем направления в неподвижном
пространстве может служить любой стержень, сво-
бодно опертый на корабле в центре его массы и не
обязательно обладающий вращением. Использование
этой возможности для сохранения ориентации опоры
датчиков ускорения основано на применении высоко-
качественных подвесов специальной конструкции.
Имеется в виду, что такие подвесы практически
свободны от трения: в них применена система автома-
тики для гашения остаточных моментов внешних сил,
нарушающих заданное угловое положение опоры.
На рис. НО изображена схема подвеса опоры (пло-
щадки) 1 во внутреннем кольце 2 ее подвеса. Опора 1
установлена в кожухе 3, как в гидростатическом под-

273
Рис. ПО. Площадка неизменяе-
мой ориентации без применения
гироскопов
весе, т. е. находится в жидкости. Кожух 3 подвешен
в кольце 2 с помощью шариковых подшипников 4.
Опора 1 соединена с кожухом 3 посредством тонкой
нити 5, работающей на кручение: нить соосна оси под-
веса кожуха в кольце 2. Техническая основа подвеса
опоры заключена в применении двух независимых ис-
полнительных двигателей: наружного 6 и внутренне-
го 7. Двигатель 6, сравнительно более мощный, уста-
новлен между кожухом 3 и кольцом 2 основного под-
веса; он является исполнительным приводом системы
автоматического поддержания заданного углового
положения кожуха 3. Возмущающие моменты, прило-
женные к кожуху 3, пропорциональны ускорению ко-
рабля: действительно, при ускоренном полете увели-
чивается трение в подшипниках 4 из-за прижатия ша-
риков к оси; сказывается момент, обусловленный
маятниковостью, т. е. несовпадением центра подвеса
с центром массы кожуха и т. д. Поэтому система ав*
томатики управляет двигателем 6 так, что тот разви-
вает момент, пропорциональный абсолютному уско-
рению корабля, устраняя возмущающий момент, вы-
званный ускорением. Благодаря введению кожуха
между опорой 1 и кольцом 2 внешние возмущения,
которые могли бы нарушить абсолютное угловое по-
ложение опоры /, в основном устраняются наружным
двигателем и почти «не доходят» до опоры. Двига-
тель 7 установлен между кожухом и опорой, он воз-
вращает опору в исходное положение относительно
кожуха. Тем самым достигается хорошая точность
сохранения абсолютного положения опоры.
В заключение настоящего раздела для нагляднос-
ти целесообразно привести полную картину движения
космического корабля, снабженного инерциальной
системой навигации (рис. 111,6); корабль покидает

274
Рис. Ill, а. Инерциальная система навигации управления полетом
космической ракеты:
О — корпус ракеты,, П—площадка неизменяемой ориентации
в кардановом подвесе, показанном в виде шарового шарнира;
1 — Узел датчиков ускорения на площадке П, 2 — вы-
числитель местоположения ракеты, работающий по спосо-
бу электрического моделирования полета, 3 — задающий
прибор, в который заложена требуемая программа полета,
4 — устройство сравнения — вычислитель рассогласований
между истинными координатами корабля и требуемыми в
тот же момент времени, 5 — вычислительное устройство,
вырабатывающее управляющий сигнал для исполнительного
(силового) привода 6 ракеты, 7 — поворотный реактивный
двигатель ракеты
Рис. 111, б. Общая картина движения искусственного спутника
Земли, несущего площадку неизменяемой ориентации:
1 — основное тело (корпус) спутника, 2 — стабилизирующие
стержни с концевыми массами, 3 — шаровой шарнир площад-
ки П неизменяемой ориентации, 4 — мачта спутника
орбиту спутника под действием его реактивных двига-
телей и устремляется по новой траектории, показан-
ной дугой со стрелкой. На этом рисунке показано дви-
жение Земли по орбите вокруг Солнца и исходное

275
движение корабля по орбите спутника Земли. Спут-
ник показан в виде системы с концевыми массами.
На мачте спутника установлен карданов подвес, не-
сущий площадку П неизменяемой ориентации; карда-
нов подвес условно показан в виде шарового шарни-
ра. Площадка П не вращается по отношению к не-
подвижной системе OXYZ благодаря применению
какой-либо из систем автоматического поддержания
ориентации; это площадка неизменяемой ориентации.
С площадкой П можно связать систему координат
N'X'Y'Z' так, что оси N'X't N'Y\ N'Z' параллельны
осям OX, OY, OZ соответственно. Как бы ни повора-
чивался, ни качался сам корабль вместе с мачтой и
стержнями, площадка в кардановом подвесе сохранит
постоянную ориентацию по отношению к звездам.
Каждый из датчиков ускорения, размещенных на пло-
щадке 77, измеряет составляющую кажущегося уско-
рения корабля по соответствующей оси X, Y или Z.
Схема всей инерциальной системы навигации кос-
мической ракеты показана на рис. 111, а; для просто-
ты здесь приведена схема управления ракетой только
в одной плоскости. Силовой привод 6 качающегося
реактивного двигателя 7 может иметь вид, подробнее
изображенный на рис. 47.
Неавтономные системы навигации. К незамкнутым
(неавтономным) системам относятся прежде всего
системы радиоуправления. Радиосредства служат как
для определения координат и скорости космического
корабля по отношению к радиоустановке, так и для
передачи на борт корабля управляющих сигналов,
приводящих в движение силовые устройства
(рис. 112). Радиолокатор, показанный на этом рисун-
ке, измеряет текущее расстояние R до корабля. Авто-
матическое измерение положения оси радиолокатора
по отношению к плоскости горизонта позволяет опре-
делить азимут X и угол повышения ср (§2). Вычис-
лительное устройство системы радиоуправления авто-
матически сравнивает значения переменных R, Z и
ср (§2), отвечающие расчетной траектории, с истин-
ными значениями этих переменных, сложившимися в
полете. В итоге этого сравнения автоматически выра-

276
батываются рассогласования по переменным /?, X и
<р. Исходя из значений рассогласований, вычислитель-
ное устройство вырабатывает управляющие сигналы.
По радиолинии связи с кораблем эти сигналы пере-
даются на борт корабля и приводят в действие сило-
вые устройства. Силовые устройства выправляют
движение корабля. Если корабль движется точно по
расчету, рассогласования равны нулю, и система
радиоуправления не вырабатывает никаких попра-
Рис. 112. Наземная радиосистема управления
выведением корабля на космическую
траекторию:
/ — антенна радиолокатора в кардановом подвесе, 2 —
система управления радиолокатором, 3 — вычислительное
устройство, вырабатывающее управляющий сигнал для
бортовых силовых устройств ракеты

277
вочных сигналов. Таким образом, корабль и наземная
система радиоуправления образуют единую систему
автоматического управления, изображенную в схема-
тическом виде на рис. 23.
Радиоуправление представляет собой чрезвычайно
важный раздел космической техники, и для описания
его основ нужна отдельная книга.
В самое последнее время наметились исключитель-
но обещающие возможности передачи сигналов на
борт космического корабля, основанные на примене-
нии так называемых квантовых генераторов (лазе-
ров) — источников волн светового диапазона. Эти
возможности обусловлены высокой направленностью
и мощностью излучений таких генераторов, небыва-
лой до сих пор устойчивостью частоты излучения и
другими свойствами.
Высказаны предложения об использовании устой-
чивых радиоизлучений вселенной в качестве осей не-
подвижной системы отсчета. Речь идет главным об-
разом об использовании сравнительно мощного и
весьма устойчивого излучения, исходящего от так на-
зываемой крабовидной туманности.
Огромное значение имеют астрономические сис-
темы навигации. Направления на звезды определяют
неизменяемые оси в неподвижном пространстве. Авто-
матическое наблюдение светил, имеющих поперечник,
доступный измерению (Солнце, планеты), позволяет
грубо находить расстояние от корабля до них по спо-
собу, описанному в конце § 13.
Более точные астрономические способы определе-
ния положения корабля основаны на измерениях ви-
димого углового положения Солнца, Луны, Земли и
ближайших планет относительно неподвижных звезд.
Положение ближайших к кораблю небесных тел, ви-
димое на небесной сфере, изменяется при изменении
местоположения корабля. Поэтому, наблюдая види-
мое расположение ближайших небесных тел среди
звезд, можно определить путем вычислений коорди-
наты корабля. Однако и здесь требуется высокая точ-
ность угловых наблюдений ввиду больших расстояний
до небесных тел.

278
Основным звеном системы астрономической нави-
гации служит телескоп, сохраняющий направление
оптической оси на заданную звезду независимо от ко-
лебаний корпуса корабля. Оптическая ось такого те-
лескопа представляет собой систему памяти непод-
вижного направления, подобную системе памяти не-
Рис. 113. Схема телескопа в кардановом подвесе, со-
храняющего направление на заданную звезду:
1 — телескоп, 2 — исполнительный двигатель, поворачивающий
телескоп около оси х, 3 — двигатель, поворачивающий раму 4
с телескопом около оси у

279
Рис. 114. Внешний
вид телескопа в
кардановом под-
весе
подвижного направления, осуществляемую с по-
мощью оси гироскопа в полном кардановом подвесе.
Схема телескопа, автоматически сохраняющего на-
правление на заданную звезду, и его внешний вид
показаны на рис. 113 и 114. Такой телескоп устанав-
ливается на площадке в кардановом подвесе, позво-
ляющем направлять его оптическую ось на любую
выбранную звезду. Благодаря применению карданова
подвеса с помощью телескопов оказывается возмож-
ным определять и географические координаты кораб-
ля. Для этого нужно знать в каждый момент времени
направление местной вертикали (направление к цент-
ру Земли). Если поворачивать площадку телескопа
относительно неподвижного пространства так, чтобы
перпендикуляр к площадке был в течение всего по-
лета направлен по местной вертикали, то тем самым
плоскость площадки будет параллельна плоскости
местного горизонта. Если при этом с помощью карда-
нова подвеса сохранять направление оптической оси
телескопа на выбранную звезду, то тем самым будут
известны ориентация плоскости горизонта и направ-
ление на опорную звезду. В этом случае автоматиче-
ская система астрономической навигации «знает» те
же величины, какие знает штурман морского кораб-
ля, производящий определение географических коор-

280
динат корабля с помощью секстанта. Вычисления, ко-
торые должен произвести штурман, может произво-
дить автоматическое вычислительное устройство.
Но как определить текущее направление местной
вертикали в полете? Штурман знает это направление
по наблюдению горизонта. В системе автоматической
астрономической навигации космического корабля
можно найти это направление по крайней мере одним
из трех способов: с помощью датчиков горизонта
(искателей вертикали, § 17); применением стержней
с концевыми массами (§ 10); применением инерциаль-
ной системы навигации, дающей на активном участке
полета местоположение корабля относительно основ-
ной системы отсчета.
Местоположение корабля по отношению к земной
системе отсчета может быть определено пересчетом.
Как указано выше, при вращении площадки, на
которой установлен телескоп, оптическая ось послед-
него должна все время сохранять направление на за-
данную звезду. Это достигается введением в систему
телескопа (рис. 113) двух вспомогательных двигате-
лей, развертывающих ось телескопа относительно его
площадки так, чтобы ось неизменно «смотрела» на
звезду при любом повороте площадки относительно
неподвижного пространства.
Наконец, существуют смешанные системы навига-
ции, основанные на применении инерциальной систе-
мы навигации совместно с астрономическими и радио-
техническими средствами управления.
§ 19.
Комбинированная само-
настраивающая систе-
ма автоматического уп-
равления космическим
кораблем
Система с обратной связью, изображенная на
рис. 23, является основой всякой системы автоматиче-
ского управления. Повышение требований к точности
и быстродействию систем управления космическими
кораблями привело к определенному усовершенство-

281
Рис. 115. Схема автоматического разворота корабля
около оси неизменяемого направления
ванию исходной системы с обратной связью. Ниже
следует разбор таких усовершенствованных систем.
Комбинированная система автоматического управ-
ления. Пусть требуется повернуть космический ко-
рабль, движущийся по инерции, на угол Ф около свя-
занной оси Ny, сохраняющей неизменяемое направле-
ние в пространстве. Каким образом осуществить этот
разворот с помощью системы автоматического управ-
ления (системы с обратной связью), изображенной на
рис. 23? Выберем в качестве датчика угла поворота
корабля гироскоп в полном кардановом подвесе,
установив его по схеме, приведенной на рис. 101.
Ось С'С" наружного кольца установлена по оси Ny
корабля. В исходном положении ось В'В" подвеса
внутреннего кольца совпадает с продольной осью Nx
корабля. По основному свойству гироскопа ось В'В"
сохранит неизменное направление в неподвижном
пространстве независимо от вращения корабля около
оси Ny. Поворот корабля около оси Ny определяется
отклонением его продольной оси Nx от оси В'В"\
текущий угол между этими направлениями обозна-
чим через ср (рис. 101), 0 <ф < Ф.
В данной задаче имеется только одна управляе-
мая величина — угол %1=ф. При этом Х=Ф, е=Ф —
— ф. Схемы на рис. 23 и 24 применительно к нашему
случаю можно изобразить в виде единой схемы на
рис. 115.
Для осуществления поворота нужно искусственно
ввести в систему управления кораблем рассогласова-
ние во, отвечающее отклонению корабля на требуемый
угол Ф от исходного положения: ео=Ф. С этой целью
подадим на вход измерителя напряжение связан-
ное с требуемым углом Ф соотношением (16.1):
и0 = б/Ф.

282
Технически введение рассогласования осуществ-
ляется поворотом на угол Ф движка потенциометра,
т. е. опоры щеток 5 и 6 на рис. 100. Движок повора-
чивается с помощью вспомогательного (маломощно-
го) электрического двигателя. При этом нарушится
равновесие электрического моста, что приведет к по-
явлению напряжения Uo на выходе потенциометра.
После усиления это напряжение приведет в действие
исполнительный привод системы — например, элект-
рический привод маховика, непосредственно осуществ-
ляющего разворот корабля, как описано в § 9. По
мере поворота корабля угловое расстояние между
требуемым конечным положением корабля (ф = Ф) и
его текущим положением, определяемым углом ср,
будет уменьшаться. Соответственно система сопро-
тивлений потенциометра, связанная с кораблем, будет
поворачиваться относительно движка к положению
равновесия моста. При ср=Ф рассогласование исчез-
нет: 8=Ф — Ф = 0, мост вновь уравновесится, и его
выходное напряжение упадет до нуля. Исполнитель-
ный привод отключится, и корабль остановится в тре-
буемом положении.
Обобщая этот пример, заключим, что и при осу-
ществлении более сложных движений надо подать на
входы измерительных устройств, показанных на
рис. 23, напряжения, пропорциональные требуемым
значениям управляемых координат корабля. Тем са-
мым искусственно вводится рассогласование в систе-
му. Выходные напряжения измерителей соответствую-
щих координат будут пропорциональны введенным
рассогласованиям. Цепь, простирающаяся от входа
измерителя до выхода силового устройства, срабо-
тает, и корабль придет в движение. Для искусствен-
ного создания рассогласования применяются устрой-
ства, называемые задающими. Простейшим образцом
служит исполнительный привод движка в рассмотрен-
ном примере.
Однако по мере повышения требований к быстроте
выполнения предписываемого движения корабля спо-
соб введения искусственного рассогласования стано-
вился все менее удовлетворительным. На прохожде-

283
ние управляющего сигнала от задающего устройства
до силового требуется некоторое время, что вносит
нежелательное запаздывание в работу системы. По-
этому иногда целесообразно осуществлять непосред-
ственное управляющее воздействие на исполнитель-
ные приводы силовых устройств. Для этого нужно по
заданному закону движения корабля рассчитать
законы отклонений силовых устройств, нужных для
осуществления движения; по найденным законам от-
клонений силовых устройств — рассчитать законы дей-
ствия соответствующих исполнительных приводов,
и, наконец, законы изменения входных напряжений ис-
полнительных приводов, обеспечивающие потребные
отклонения приводов. Тогда нужным образом срабо-
тают силовые устройства, и корабль выполнит задан-
ное движение. Обратная связь при этом отключается.
Найденные входные напряжения исполнительных
приводов можно технически осуществить с помощью
электронного вычислителя и подать их непосредствен-
но на входы приводов. Такая схема приведена на
рис. 116, где В — вычислитель входных напряжений
исполнительных приводов. На рисунке 1 = 1 (/) —уп-
равляющее напряжение, вырабатываемое вычислите-
лем; Х = Х (/) —требуемый закон изменения выходной
координаты х. По отношению к системе автоматиче-
ского управления, показанной на рис. 115, цепь, изо-
браженная на рис. 116, называется разомкнутой, т. е.
лишенной обратной связи. Напряжение g вырабаты-
вается вычислительным устройством, чтобы выходная
координата изменялась по заданному закону: x = X(t).
Но управление по способу разомкнутой цепи не
может дать высокой точности осуществления заданно-
го движения. В истинных условиях свойства корабля
и управляющих устройств никогда не известны иде-
ально точно. Например, масса корабля, его момент
инерции, питающее напряжение преобразователя из-
вестны только с определенными погрешностями.
Кроме того, корабль и его устройства подвержены не-
избежным возмущающим воздействиям — силам, точ-
ные величины которых неизвестны: порывам ветра,
магнитным силам, создаваемым случайными потока-

284
X
Рис. 116. Схема прямого управления
(без обратной связи)
Рис. 117. Схема комбинированной си-
стемы автоматического управления
ми заряженных частиц, и т. п. Поэтому в действитель-
ности выходная координата разомкнутой цепи не
будет в точности равна требуемой величине Х\ воз-
никнет ошибка, тем большая, чем меньше точность
задания входных величин для расчета.
Более совершенная система автоматического уп-
равления основана на одновременном использовании
как разомкнутой цепи, так и цепи обратной связи.
Такая система называется комбинированной
(рис. 117). Управление ведется с помощью разомкну-
той цепи, но одновременно с помощью цепи обратной
связи на выходе измеряется рассогласование. В итоге
исполнительным двигателем управляет напряжение
(7, равное алгебраической сумме управляющего на-
пряжения Z разомкнутой системы и поправочного на-
пряжения т], пропорционального рассогласованию:
Так как т] = de, то
где
е = X — х.
(19.1)

285
Устройство для сложения напряжений £ и г) пока-
зано на рис. 117 жирной точкой. Отметим, что в этом
случае необходимо иметь устройство, задающее необ-
ходимый вид функции X(t).
В комбинированной системе рассогласование мень-
ше, чем ошибка в разомкнутой системе. Если бы вход-
ные данные для расчета напряжения U были извест-
ны идеально точно, то было бы т] = 0, и обратная
связь бездействовала бы.
Уравнения движения космического корабля. Рас-
чет цепи управления производится на основе уравне-
ний движения корабля. Эти уравнения связывают аб-
солютное ускорение центра массы корабля с прило-
женными к нему силами и абсолютное угловое
ускорение корабля с моментами сил. Уравнения
движения центра массы корабля, рассматриваемого
как материальная точка, получаются с помощью ос-
новного закона (3.1). При полете в космическом про-
странстве к кораблю приложены силы притяжения со
стороны притягивающих тел и силы, создаваемые
силовыми устройствами корабля. Из последних учтем
только реактивную силу. Из притягивающих тел
учтем для определенности три: Солнце, Луну и Зем-
лю. Эти тела заменим точечными притягивающими
центрами. Обозначим через /?с, Rn, R3 расстояния от
корабля до Солнца, Луны и Земли соответственно,
через R — реактивную силу. Массу т корабля будем
считать переменной, так как при работе двигателя
количество вещества в контрольном объеме корабля
убывает. Применим уравнение (3.1) к произвольному
моменту времени полета:
m(f)w = Рс +Рл +Р3-\-R. (19.2)
—>
Здесь Рс — сила притяжения корабля Солнцем и т. д.
Очевидно, что
Рс = £	, Pn = k
тлт (/)
*л
р = k т3т (/)
%

286
где mc, шл и m3 — массы Солнца, Луны и Земли соот-
ветственно.
Спроектируем все векторы в уравнении (19.2) на
О'Си ОХ, ОУ и OZ неподвижной системы отсчета.
Проекция вектора на ось равна (произведению его ве-
личины на косинус угла между вектором и осью. Обо-
значим через е2, 03 косинусы углов между векто-
->
ром Рс и осями ОХ, ОУ и OZ соответственно. Косину-
сы углов между векторами Рл, Рз и неподвижными
осями обозначим через fi, f2, /з, Ль Л2, Л3 соответст-
венно; косинусы углов между вектором R и этими
осями — через гь г2, г3.
Например, проекция Rx реактивной силы R на ось
ОХ равна Rr{ и т. д. Заменим реактивную силу ее
выражением (6.30), тогда уравнение (19.2) примет
вид
tn(t)w = Pc + PJl + P-li(l)u(t).
Векторное уравнение (19.2) равносильно трем
скалярным уравнениям:
m(t)wK = k сУ-е1 + к '-A +
«с	*л
«2з
т (г) wy = «-----— е2-\- k-----— / 2 +
*с	*л
Ц-fe	(19.3)
«з
,, тст (t)	. , тлт (/) р .
т (t) wz = k У-е3 + k -^~У~ /з +
+ k тзт9(°-А3-н(0«(0/-з-
Rl

287
Здесь wx, wy, wz — проекции абсолютного ускоре-
ния w корабля на неподвижные оси, уже встречав-
шиеся в § 18. Заметим, что косинусы гь г2, г3 не не-
зависимы. Как показано в § 3,
Но
Rx = R>\, Ry = Rrz, Rz = Rr3,
тогда
R2 (r2 + rl + rl) = R2.
Отсюда вытекает соотношение, связывающее эти ко-
синусы:
г2+г22 + г23=1.	(19.4)
Таким же образом
+ £2 + 4 = 1, f\ + /2 + /з = 1,	(19.5)
/4 + Й2 + Л3 = 1.
Найдем с помощью уравнений движения корабля
величину и направление силы, необходимой для осу-
ществления заданного полета. Если абсолютное дви-
жение корабля предписано заранее, то его расстояние
до Солнца, Луны и Земли в каждый момент движе-
ния определено. Поэтому известны и косинусы
hi (z=l, 2, 3). Конечно, они удовлетворяют соотноше-
ниям (19.5). Проекции wx, ^y, wz ускорения корабля
находятся по заданному закону его движения.
В уравнениях движения корабля неизвестными яв-
ляются величины, от которых зависит управляющая
реактивная сила: расход топлива ц, скорость и газо-
вой струи, косинусы Г1, г2 и г3, определяющие направ-
ление реактивной силы по отношению к неподвижной
системе отсчета — всего пять неизвестных. Расход
р(г) представляет собой быстроту изменения массы
m(t) корабля так же, как ускорение представляет
собой быстроту изменения скорости. Поэтому, зная
расход ц(/) и начальную массу корабля, можно

288
найти текущую массу его (например, по способу элект-
рического моделирования), и масса т уже не будет
неизвестной.
Для определения пяти неизвестных имеется четыре
уравнения — три уравнения (19.3) и уравнение (19.4).
Следовательно, одним неизвестным можно задаться
произвольно, например скоростью и струи.
С помощью вычислительных устройств систему
уравнений (19.3) и (19.4) можно решить. Тем самым
будут найдены реактивная сила R = [iu и закон пово-
рота двигателя в кардановом подвесе, определяемый
косинусами углов, образуемых реактивной силой с не-
подвижными осями координат.
Подобным образом выписываются и решаются
уравнения вращательного движения корабля вокруг
его центра масс.
Продолжая расчет, можно найти требуемое движе-
ние исполнительного двигателя, осуществляющего
поворот двигателя в кардановом подвесе, и входное
напряжение, управляющее работой двигателя. Таким
образом, определится входная величина разомкнутой
цепи управления кораблем.
Закон управления, В схемах систем автоматики
(рис. 23, 115) осталось выразить связь между вход-
ным напряжением исполнительного привода и рас-
согласованием. Эта связь называется законом управ-
ления, так как она определяет меру срабатывания
исполнительного привода и силового устройства при
отклонении движения корабля от предписанного. На-
пример, равенство (19.1) выражает закон управления
в комбинированной системе; равенство
т] = de	(19.6)
— закон управления в цепи обратной связи. Отноше-
ние d = т]/е называется усилением. Величина эта опре-
деляет меру воздействия системы автоматики на ко-
рабль. Чем больше усиление, тем сильнее система
воздействует на корабль при одном и том же откло-
нении его от предписанного движения.
Выясним требования к закону управления кораб-
лем, рассмотрев подходящий пример. Пусть кораблю

289
предписано плоское движение — полет по кривой,
изображенной на рис. 54. Под влиянием неизбежных
возмущающих сил, не учтенных при расчете разомк-
нутой цепи (рис. 116) комбинированной системы, ко-
рабль отклонится от заданной плоскости XOZ поле-
та. Отклонение Y корабля от этой плоскости и будет
рассогласованием 8= У. С появлением рассогласо-
вания придет в действие обратная связь, которая
будет возвращать корабль в плоскость XOZ. Для
возвращения корабля в плоскость XOZ предусмотре-
но силовое устройство — боковой реактивный двига-
тель, развивающий тягу вдоль оси OY.
Рассмотрим закон управления (19.6). В нем знак
величины т] изменяется с изменением знака отклоне-
ния е. Это означает, что управляющее напряжение т]
положительно при отклонении корабля в одну сторо-
ну от плоскости полета (при У>0) и отрицательно
при отклонении его в другую сторону (при У<0).
Благодаря такому свойству силовое устройство (на-
пример, реактивный двигатель) действует в противо-
положных направлениях при отклонениях корабля
от плоскости XOZ в разные стороны. Поэтому тяга
двигателя всегда направлена против направления от-
клонения — система возвращает корабль в плоскость
заданного движения.
Вместе с тем, по закону (19.6) усиление всегда
одно и то же как для малых, так и для больших от-
клонений корабля от плоскости XOZ. Но, чтобы ско-
рее вернуть корабль в эту плоскость, при большом
отклонении может оказаться необходимым воздейст-
вовать на корабль в большей мере, чем это делается
при постоянном усилении. Поэтому целесообразно
выбрать такой закон управления, при котором усиле-
ние тем больше, чем больше отклонился корабль от
исходной плоскости движения. Именно, вместо зави-
симости (19.6) можно было бы выбрать соотношение
т] = /Се2,
где К' — положительное число. Здесь усиление т)/е,
равное /Се, уже не постоянно, а возрастает пропор-
ционально отклонению 8. Но в этом случае напряже-

290
ние т] будет всегда положительным при любом знаке
отклонения е, так как е2>0 при положительных и при
отрицательных значениях е. Поэтому при пользовании
последним законом боковой реактивный двигатель
будет всегда действовать только в одну сторону, в
каком бы направлении ни отклонился корабль. Чтобы
избежать этого явления, нужно заменить приведенный
закон несколько более сложным:

/Се2
при
при
е > 0,
е < 0,
или, в другой записи,
т] = /Се|е|.
(19.7)
Возможны и другие виды закона управления, на-
пример т] = /С,'е3: здесь усиление, равное /С'е2, пропор-
ционально уже квадрату рассогласования.
Но иногда корабль, находясь под действием воз-
мущающих сил, быстро приобретает скорость vY
удаления от заданной плоскости полета; vY— ско-
рость бокового сноса. В первые моменты времени от-
клонение е=У еще мало, но скорость vY уже имеет
значительную величину. Поэтому закон (19.7) ока-
жется неудовлетворительным, так как в начальные
моменты, когда отклонение е невелико, усиление K's
или — K's будет незначительным. Боковой реактив-
ный двигатель, управляемый в соответствии с зако-
ном (19.7), не разовьет сколько-нибудь достаточной
тяги. И только после значительного отклонения кораб-
ля от плоскости XOZ, когда усиление K's станет
существенным, тяга усилится и ускорит возвращение
корабля в эту плоскость. Следовательно, в законе
управления целесообразно учесть не только величину
отклонения корабля от заданной плоскости движе-
ния, но и скорость изменения этого отклонения. Тогда
закон управления может принять следующий вид:
Т) = /с е I е I 4- Uy I vY I,
где К\ — положительное число. В только что описан-
ном движении сноса при малом отклонении слагаемое

291
/Се I е | будет незначительным, но слагаемое
| vу | окажется достаточно большим. Благодаря
этому управляющее напряжение т] будет значитель-
ным с самого начала движения сноса. Боковой реак-
тивный двигатель сработает, «не дожидаясь» возрас-
тания отклонения, при котором первое слагаемое
стало бы существенным. В более общем случае мож-
но учитывать и ускорение сноса:
П = е | е | + Ki | fly | + /<2 w |йУУ|. (19.8)
Ускорение wy, входящее в закон (19.8), можно на-
ходить с помощью системы инерциальной навигации,
а скорость Пу — по способу электрического модели-
рования движения. Управляющее напряжение т] вы-
рабатывается в соответствии с законом управления
вычислительным устройством, объединенным на
рис. 24 и 115 вместе с усилителем.
После усиления напряжение т] сможет привести
в действие силовой привод. Обозначим через U на-
пряжение, пропорциональное напряжению т] и полу-
чаемое после усиления напряжения тр Напряжение U
подается на вход силовых приводов, как показано на
рис. 48, а; 69.
Нахождение закона управления, отвечающего тре-
буемым условиям движения, составляет одну из са-
мых важных частей расчета системы автоматики.
Покажем теперь, что наиболее целесообразный за-
кон управления кораблем зависит от вида корабля,
свойств управляющих устройств и внешних сил, дей-
ствующих на корабль, т. е. от многих неизвестных
факторов. Для этого разберем пример.
Корабль, летящий в межпланетном пространстве,
нужно, как и раньше, повернуть по отношению к не-
подвижной системе отсчета на угол Ф около его про-
дольной оси х. Используем для этой цели пару реак-
тивных сил R и —/?, как описано в § 8 (рис. 46).
Однако, в отличие от разобранной там задачи, здесь
требуется прекратить вращение корабля по выполне-
нии поворота его на заданный угол Ф (рис. 118, а).

292
a
Рис. 118. Поворот космического корабля на заданный
угол ср около продольной оси х. Пунктирными прямы-
ми показано исходное положение связанных осей у и
г корабля, сплошными — их требуемое положение
после поворота корабля на заданный угол. Ф. Пунк-
тиром с точками (на рис. 118,6) показано промежу-
точное положение оси у корабля
По какому закону следует управлять величиной R
реактивных тяг для выполнения заданного поворота?
Прежде всего очевидно, что в конечном счете должно
быть R = 0: по окончании разворота управляющие дви-
гатели должны быть выключены. Тогда корабль, бу-
дучи повернут в новое положение, в нем и останется.
В начальный же момент времени тяга R и — R дви-
гателей должны образовывать пару сил, развертываю-
щую корабль против движения часовой стрелки, как
показано на рис. 46 и 118, а. Следовательно, по мере
поворота корабля нужно уменьшить реактивную си-
лу R, съедя ее в конечном счете к нулю. Этому требо-
ванию отвечает закон управления, выбранный по
образцу закона (19.6):
/? = /<(Ф — <₽)»	(19.9)
где ср — текущий (промежуточный) угол поворота
корабля, изменяющийся по заданию от нуля до зна-
чения ф = Ф (0<ф< Ф). Угол е = Ф — ф представ-
ляет собой рассогласование в данном движении — от-
клонение углового положения корабля от заданного

293
конечного положения, в котором оси у и z показаны
сплошными прямыми на рис. 118, а. е = 0, когда ф = Ф,
т. е. по завершении поворота. К — положительная ве-
личина, постоянная (усиление). В выражении закона
(19.9) число K=R/& определяет требуемую величину
реактивной силы в каждый момент времени.
Закон (19.9) можно переписать в виде
R = Ro — /Сф,
где /?0 = КФ— начальное значение управляющей тяги.
Уменьшение тяги каждого двигателя от начальной ве-
личины Ro до нуля можно осуществить уменьшением
расхода ц топлива, согласно соотношению (6.30), от
некоторого начального значения до нуля при ф —Ф.
Выясним, можно ли применять закон (19.9) для
нашей задачи; именно, прекратится ли вращение ко-
рабля после поворота его на угол Ф, если реактивная
сила двигателей изменяется по закону (19.9)? В но-
вом положении (ф = Ф) реактивная сила обратится в
нуль в силу этого закона. Однако корабль не прекра-
тит вращения. Действительно, в течение всего поворо-
та на угол Ф момент L пары реактивных сил (/?,
—R), по условию действовал в одном и том же на-
правлении — против движения часовой стрелки,
т. е. А>0. Согласно уравнению (6.27), корабль раз-
вертывался при этом ускоренно, т. е. со все возрас-
тавшей угловой скоростью; угловое ускорение 0 также
положительное. Конечно, момент пары реактивных
сил, равный L = <lrR, по мере поворота корабля убы-
вал от величины 2г/?0 при ф = 0 до нуля при ф = Ф.
Но этот момент все время раскручивал корабль в на-
правлении к его новому требуемому положению.
И хотя по мере поворота корабля это раскручиваю-
щее действие ослабевало, согласно закону (19.9) уг-
ловая скорость разворота корабля возрастала снача-
ла быстро, затем медленнее.
Следовательно, когда корабль повернется на угол
Ф, он не остановится в этом положении, несмотря на
то, что реактивные силы двигателей в это время упа-
дут до нуля. Корабль «проскочит» это положение,

294
Рис. 119. График колеба-
ний корабля около его
продольной оси (измене-
ние рассогласования 8
во времени): а — при за-
коне управления (19.9);
б — при том же законе с
добавлением аэродина-
мического трения; в —
при законе управления
(19.10) и наличии аэро-
динамического трения
имея угловую скорость, до-
стигнутую к моменту време-
ни, в который ф = Ф.
Что будет дальше? Ко-
рабль, продолжая вращать-
ся в том же направлении,,
окажется в положении, по-
казанном на рис. 118,6. Угол
Ф превысит заданный угол
Ф, и рассогласование е =
= Ф—Ф станет отрицатель-
ным: ф—Ф<0. Измеритель
рассогласования (например,
гироскоп) подаст соответст-
вующий управляющий си-
гнал на прибор, управляю-
щий двигателями по закону
(19.9). Правая часть этого
равенства окажется отрица-
тельной. Тогда прибор
управления двигателем из-
менит направления истече-
ния газовых струй из сопел
двигателей на противопо-
ложные (рис. 118,6). Пара
сил (R, —R) станет тормо-
зить вращение корабля, воз-
вращая его к требуемому
положению.
Тормозящая сила образуется по-прежнему по за-
кону (19.9), по которому вначале создавалась раскру-
чивающая сила. Поэтому тормозящий момент реак-
тивных сил остановит корабль, как только он про-
скочит требуемое положение, на угол Ф, т. е. когда
повернется на угол ф=Ф+Ф=2Ф от исходного по-
ложения. В момент остановки е = Ф — 2Ф = —Ф: рас-
согласование будет наибольшим (по абсолютной ве-
личине) и отрицательным по знаку. Следовательно,
момент L реактивных сил будет равен 2rR по вели-
чине и действовать по движению часовой стрелки.

295
Корабль начнет развертываться опять к положению
<р = Ф, опять проскочит его, и далее эти колебания
будут повторяться многократно, подобно колебаниям
маятника—до иссякания запаса топлива двигателей.
Изменение угла <р во времени показано на рис. 119, а.
Таким образом, с помощью закона управления
(19.9) нельзя решить поставленную задачу — повер-
нуть корабль на угол Ф с непременной остановкой его
в этом положении. Эту задачу можно было бы решить,
используя закон управления в форме (19.8), но для
этой цели необходимо иметь в системе управления из-
меритель угловой скорости корабля.
Предположим теперь, что разворот корабля про-
исходит не в пустоте, а в плотных слоях воздушной
оболочки планеты. Что изменится при этом? Враще-
ние тела в воздухе всегда тормозится трением между
частицами наружной поверхности корабля и частица-
ми воздуха. Поэтому вращение корабля происходит
под совокупным действием уже двух моментов сил:
момента пары реактивных сил, как и ранее, и момен-
та сил трения. Трение между частицами поверхности
корабля и воздуха называется аэродинамическим.
По физическому смыслу трения оно действует всегда
против движения — тормозит движение. Итак, при
полете в воздухе корабль при прочих равных условиях
будет поворачиваться медленнее; когда он повернет-
ся в первый раз на угол Ф от исходного положения,
его угловая скорость будет меньше угловой скорости,
с которой он проходил требуемое положение ср = Ф
в пустоте. Благодаря аэродинамическому трению
уменьшается и размах последующих колебаний
(рис. 119,6); при этом промежутки времени между
двумя соседними прохождениями через положение
Ф = Ф удлиняются по сравнению со случаем, когда тре-
ния нет. В конечном счете размахи колебаний умень-
шатся настолько, что практически корабль займет тре-
буемое положение <р = Ф. Чтобы избежать ненужных
колебаний, можно видоизменить закон (19.9) по об-
разцу закона (19.8), сделав, например, (рис. 119, в)
/? = № + /Се|е|.	(19.10)

296
Обозначим через LA момент сил аэродинамическо-
го трения относительно оси х разворота корабля. При-
меним уравнение (6.26) к вращению корабля около
оси х. Напишем уравнение вращения корабля в воз-
духе:
₽= -±-(2rf + LA).
Здесь р — угловое ускорение корабля; R — управ-
ляющая сила; г — ее плечо. Момент LA всегда на-
правлен в сторону, противоположную направлению
вращения корабля: LA<0 при повороте корабля про-
тив движения часовой стрелки и LA>0 в противном
случае. В первом приближении момент LA пропор-
ционален угловой скорости со корабля относительно
окружающего воздуха: LA=—/гдсо, kA—положитель-
ное число, характеризующее величину трения, т. е.
тормозящее действие воздуха; оно зависит как от со-
става воздуха и других его свойств (температуры,
влажности и т. п.), так и от материала поверхности
корабля и качества ее обработки. Чем больше момент
трения при одной и той же угловой скорости, тем
больше число kA. Тогда
Р = ±[2г(№ + К'е|8|)-^лО)].	(19.11)
Подбирая коэффициенты Kf К' в зависимости от kA,
можно добиться, что р и со никогда не будут менять
знак и будут стремиться к нулю <с уменьшением рассо-
гласования е, т. е. поставленная задача будет решена.
Итак, с помощью разобранного примера установ-
лено, что вид закона управления, отвечающего задан-
ным требованиям к управлению полетом, зависит от
внешних сил, приложенных к кораблю. В данном при-
мере закон (19.9) или (19.10) можно применять толь-
ко при полете в достаточно плотных слоях воздуха,
и коэффициенты К и К' при этом зависят от плот-
ности воздуха. Можно показать, что закон управле-

297
ния следует строить также и с учетом свойств кораб-
ля (его массы, моментов инерции и т. д.), свойств его
силовых устройств, измерителей движения и прочих
приборов автоматики.
Мы уже не раз упоминали, что в условиях косми-
ческого полета, особенно в неизведанные области кос-
моса, внешние силы не всегда известны заранее. По-
этому не всегда заранее возможно рассчитать и закон
управления, обеспечивающий протекание полета со-
гласно заданным требованиям. Но от системы авто-
матики корабля требуют обеспечения благополучного
протекания полета. А для этого нужно заложить в
систему автоматики закон управления, подходящий
для данного полета; без достаточно же точного
знания свойств 1про£транства, куда направляется
корабль, сделать этого нельзя. Опять заколдованный
круг!
На помощь приходит способ самонастраивающей-
ся системы.
Самонастраивающаяся система управления. В ус-
ловиях космического полета многие входные данные,
нужные для расчета разомкнутой цепи комбинирован-
ной системы и закона управления в цепи обратной
связи, подчас отсутствуют. Так, не полностью извест-
ны поля тяготения планет, аэродинамические силы,
приложенные к кораблю в атмосфере планет (Вене-
ры, Марса и др.), магнитные силы и т. д. В этих ус-
ловиях целесообразно не задавать закон управления
заранее, а предусмотреть в системе автоматики воз-
можность находить этот закон автоматически. В та-
кой системе усилитель-вычислитель, исходя из изме-
рения движения, сам выработает закон управления,
наиболее подходящий для условий движения на каж-
дом участке полета.
Система автоматики, в которую закон управления
не заложен заранее, а вырабатывается автоматически,
называется самонастраивающейся. Наиболее целесо-
образной системой управления космическим кораб-
лем служит комбинированная самонастраивающаяся
система автоматического управления космическим
кораблем, т. е. комбинированная система, в ко-

298
торой цепь обратной связи является самонастраи-
вающейся.
Разберем работу такой системы на примере сле-
дующего предполагаемого полета. На планету Венера
отправлена автоматическая исследовательская ракета
с целью совершить облет и изучение планеты в доста-
точной близости от ее поверхности, а может быть и
совершить мягкую посадку. Естественно, что в окрест-
ности планеты ракете придется выполнять различные
движения, включая повороты около ее продольной
оси, рассматривавшиеся выше.
Известно, что Венера окружена густой атмосфер-
ной оболочкой, свойства которой (химический со-
став, плотность, влажность, степень ионизации, про-
тяженность и т. д.) исследованы далеко не досто-
верно. Разумно не считать известной и величину коэф-
фициента kA аэродинамического трения при полете
в воздухе Венеры. Тогда поступим следующим обра-
зом: будем рассматривать уравнение (19.11) «с об-
ратной стороны», т. е. угловое ускорение 0 примем
известным, а коэффициент kA — неизвестным. Пусть
в окрестности планеты начался разворот ракеты по
способу, только что разобранному. Сразу же вклю-
чается измеритель угловой скорости со разворота ра-
кеты по отношению к планете. По способу электриче-
ского моделирования движения сразу же находится
и абсолютное угловое ускорение 0 ракеты. Расстояние
г, момент инерции / корабля около оси х и реактив-
ная сила R известны заранее. Тогда в уравнении
(19.11) известны все величины, кроме коэффициен-
та kA. Вычислительное устройство находит значение
коэффитиента kA аэродинамического трения в дан-
ной окрестности Венеры:
kA = — (2rR - /р) = — [2Rr (Ф - <р) - /р].
(О	(О
Вычисление по приведенному соотношению техни-
чески осуществимо только с момента времени, когда
ракета приобретает заметную угловую скорость со от-
носительно планеты (в самом деле, деление на нуль

299
не определено, и поэтому до начала разворота это
соотношение не имеет физического смысла и не может
быть воспроизведено техническими средствами).
Итак, величина kA измерена, тем самым свойства
внешних сил (аэродинамических в данном случае)
найдены и открыта возможность построения закона
управления, соответствующего данным свойствам
внешней среды. Закон управления вырабатывает
вычислительное устройство, в которое заранее
заложены основные физические законы, имеющие
отношение к данному движению, включая законы
механики.
«Зная» эти законы, а также внешние силы, при-
ложенные к кораблю, и свойства самого корабля, вы-
числительное устройство способно выработать закон
управления, отвечающий заданным требованиям к
данному космическому полету. Система автоматики,
способная автоматически вырабатывать закон управ-
ления для самой себя, и называется самонастраиваю-
щейся.
Здесь рассмотрен простейший случай. В более об-
щем случае неизвестны — или недостаточно извест-
ны— не только свойства аэродинамических сил на
других планетах, но и отклонения поля тяготения
планеты от центрального, магнитные и электромагнит-
ные силы, действующие на корабль в окрестности
планеты, ее суточное вращение и т. д. Чем больше
число неизвестных величин, тем больше надо произ-
водить измерений, тем сложнее самонастраивающаяся
система.
Более того, даже свойства самого корабля не всег-
да в точности известны. Например, количество топли-
ва, оставшегося на борту ракеты после окончания
очередного периода работы реактивных двигателей,
может несколько не совпадать с расчетным из-за от-
клонения истинного течения процесса горения от
расчетного. Тогда истинное значение массы корабля
не совпадает с расчетным. Многие внешние воздейст-
вия имеют случайный характер, т. е. являются не-
предвиденными: магнитные бури, порывы ветра
и т. д. Все эти сложные обстоятельства должна учесть

300
самонастраивающаяся система. Для благополучного
осуществления полета она должна подвергать сомне-
нию многие из расчетных данных. Сравнивая истин*
ное движение корабля с расчетным и обнаруживая
различие, самонастраивающаяся система автоматиче*
ского управления космическим кораблем перера-
батывает выявленное расхождение на основании
физических законов и строит нужный закон управ-
ления.
Таким образом, сама самонастраивающаяся систе-
ма является измерителем истинных свойств простран-
ства и корабля. С точки зрения этого измерителя сам
корабль служит не только объектом управления, но
и пробной массой, а его полет — пробным движением,
позволяющим выявлять расхождение между расчет-
ным и истинным движениями. Поэтому такая система
помимо решения задачи управления кораблем одно-
временно решает и другую задачу — исследования
истинных свойств космического пространства.
Отметим, что самонастраивающаяся система долж-
на измерять эти свойства достаточно быстро и быстро
преобразовывать их в закон управления, иначе могут
сложиться условия полета, гибельные для корабля.
Предположим, что закон управления, обеспечиваю-
щий безопасный спуск ракеты в воздушной оболочке
Венеры, вырабатывается очень медленно. Тогда ко-
рабль будет снижаться по траектории, не отвечающей
истинным свойствам этой оболочки, и сгорит или
разобьется до того, как система вычислит требуемый
закон управления. Отсюда следует, что вычислитель-
ное устройство и измерители системы должны быть
весьма быстродействующими.
Со способом самонастройки тесно связана и дру-
гая задача управления, исключительно важная для
осуществления космических полетов, — задача надеж-
ности работы системы корабля. Космический корабль
состоит из тысяч отдельных узлов и приборов, и
едва ли возможно добиться, чтобы ни один из них
никогда не отказывал. Но нужно и можно уменьшить
до допустимой меры вредные последствия отказа
того или иного устройства. Совершенно очевидно, что

301
выход из строя какого-либо устройства корабля —
это тоже изменение свойств корабля. Самонастраи-
вающаяся система управления должна обнаружить
отказ устройства, например, по его едва намечающим-
ся последствиям и сразу же «сообразить», какие
меры, предусмотренные в конструкции системы уп-
равления, следует принять для уменьшения опасных
последствий отказа и осуществить их.
Пусть, например, во время подъема ракеты один
из четырех двигателей на жидком топливе вышел из
строя. Самонастраивающаяся система в этом случае
обеспечит снижение вредных последствий поврежде-
ния до минимально возможного уровня следующим
способом: топливо, предназначавшееся для сжигания
в отказавшем двигателе, она направит в остальные
двигатели. Эти три двигателя будут работать соответ-
ственно дольше. Корабль, возможно, не выйдет на
расчетную космическую траекторию, но сможет быть
выведен на некоторую безопасную орбиту или благо-
получно опущен на Землю.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выше мы рассмотрели назначение системы управ-
ления полетом космического корабля и изложили ос-
новные требования к ней. Далее, после обзора зако-
нов механики, мы разобрали основы действия измери-
тельных приборов корабля и различных устройств,
непосредственно создающих управляющие силы, а
также устройство системы автоматики, управляющей
движением корабля. Теперь мы имеем возможность
подвести итог изложения, описав действие системы
управления космическим кораблем при осуществлении
различных видов полетов.
Вывод искусственного спутника на орбиту. Для
осуществления переходной траектории, показанной на
рис. 2, нужно в конце участка вертикального подъема
ракеты-носителя со спутником начать отклонять на-
правление реактивной тяги ракеты от вертикального.
Управление переходным движением, осуществляемое

302
путем отклонения направления реактивной тяги,
включает две задачи: нахождение закона поворота
вектора реактивной тяги в пространстве и осуществ-
ление полета ракеты-носителя по переходной траек-
тории в соответствии с найденным законом поворота
вектора тяги.
Первая задача, как правило, решается на Земле,
еще до запуска ракеты. Закон поворота вектора
реактивной тяги ракеты на участке между точкой
схода с вертикальной прямой и точкой ввода в орбиту
находится с помощью законов механики, исходя из
следующих требований: 1) в конце движения (т. е. в
момент ввода в орбиту) скорость ракеты, несущей
спутник, должна в пределах заданной точности сов-
пасть по величине и направлению с требуемой орби-
тальной скоростью; 2) количество топлива, затрачи-
ваемого на вывод спутника на орбиту, должно быть
наименьшим возможным; 3) перегрузки и нагрев ра-
кеты и спутника во время движения по переходной
траектории не должны превосходить величин, пре-
дельно допускаемых по соображениям прочности и
работоспособности изделия.
Нахождение закона разворота в пространстве
вектора реактивной тяги означает, что определена по-
следовательность положений оси реактивного двига-
теля, обеспечивающая движение ракеты в соответст-
вии с заданными требованиями. Полученный закон
изменения направления реактивной тяги представ-
ляет собой закон срабатывания разомкнутой цепи
управления ракетой в переходном движении. Если
возмущающие силы, действующие на ракету, не ве-
лики, а разомкнутая цепь управления срабатывает в
пределах заданной точности по расчетному закону, то
ракета выведет спутник на нужную орбиту в соответ-
ствии с требованиями 1), 2) и 3).
Для решения второй задачи необходимо настроить
входное устройство системы управления в соответст-
вии с найденным законом разворота оси реактивного
двигателя: как иногда говорят инженеры, «заложить»
программу поворота ракеты в систему управления
ею. Для этого используются бортовые задающие уст-

303
ройства, описанные выше (например, поворотный по-
тенциометр гироскопа), или же система радиоуправ-
ления, подающая управляющий сигнал с Земли.
По сигналу от подобного задающего устройства при-
водится в действие исполнительный привод системы,
осуществляющей требуемый разворот вектора реак-
тивной тяги.
Во многих случаях возмущающие воздействия,
испытываемые ракетой во время вывода ее на орби-
ту (т. е. в течение нескольких минут), несуществен-
ны; тогда можно ограничиться разомкнутой системой
управления. Когда же требуется вывести спутник на
заданную орбиту с большой точностью и нужно устра-
нить последствия даже довольно слабых возмущаю-
щих воздействий, то разомкнутую систему следует
дополнить цепью обратной связи, т. е. применять
комбинированную систему управления.
Следует отметить, что в общем случае требование
обеспечить минимально возможный расход топлива
приводит к довольно сложной программе управления
ракетой. Иногда целесообразно упростить эту про-
грамму ценой некоторого незначительного увеличения
количества топлива, расходуемого на вывод спутника
на орбиту. Конструктору автоматических управляю-
щих устройств часто приходится искать компромисс
между простотой и оптимальностью разрабатываемой
им системы управления.
Мягкая посадка на поверхность Луны. Осуществ-
ление мягкой посадки советской автоматической стан-
ции «Луна-9» на поверхность Луны потребовало по-
следовательного выполнения сложных управляющих
действий, в том числе:
вывод на промежуточную околоземную орбиту
станции вместе с ракетной системой, предназначен-
ной для последующего разгона станции по направле-
нию к Луне;
разворот станции вместе с ее ракетной системой
так, чтобы в момент включения разгонного двигателя
его ось занимала в пространстве расчетное направле-
ние, обеспечивающее полет к Луне по расчетной
траектории;

304
включение и выключение разгонного двигателя в
расчетные моменты времени;
измерение истинных координат и скорости станции
на пути между Землей и Луной и сравнение измерен-
ных значений этих величин с их расчетными значе-
ниями для определения истинного движения;
нахождение направления, продолжительности дей-
ствия и момента включения корректирующего реак-
тивного двигателя станции для перевода ее на задан-
ную траекторию, от которой она могла отклониться
под действием различных возмущений при разгоне;
разворот станции для придания корректирующему
двигателю найденного направления в пространстве;
включение и выключение корректирующего двигате-
ля в соответствующие моменты времени с целью вы-
полнения коррекции движения;
построение лунной вертикали при подлете к Лу-
не при помощи оптических средств для разворота
станции так, чтобы ось тормозного реактивного дви-
гателя была направлена к Луне соплом вперед:
измерение текущей высоты над лунной поверхно-
стью вдоль лунной вертикали (с помощью радиовы-
сотомера): включение тормозного двигателя на вы-
соте 75 км над лунной поверхностью;
проверка работы устройств станции после посад-
ки; включение телевизионной установки и передача
изображения поверхности Луны на Землю.
Для выполнения перечисленных операций была
создана сложная система управления станцией,
включающая как элемент контура системы управле-
ния наземный командно-измерительный комплекс.
Встреча корабля-спутника со спутником, обра-
щающимся по другой орбите. В предвидимом буду-
щем возникнет необходимость переводить спутник
с одной околоземной орбиты на другую для осущест-
вления стыковки данного корабля с кораблем, обра-
щающимся по этой другой орбите; переход с одной
орбиты на другую уже выполняли советские манев-
рирующие космические аппараты «Полет» и амери-
канские спутники «Джемини». При этом орбиты мо-

305
гут не лежать в общей плоскости; например, речь мо-
жет идти о переводе корабля с экваториальной орби-
ты на полярную, и наоборот.
Изменение орбиты выполняется при помощи ре-
активных двигателей корабля. Управление начинает-
ся с работы бортовых вычислительных устройств,
определяющих наиболее целесообразную последова-
тельность включений и выключений реактивного
двигателя (или двигателей) управляемого спутника,
обеспечивающую сближение с другим спутником.
Система автоматики должна, по данным, снимаемым
с выхода вычислительного устройства, обеспечить
каждый раз правильную ориентацию оси двигателя
и производить его включение и выключение в соот-
ветствии с управляющими сигналами, поступающими
с вычислительного устройства.
В итоге управляемый спутник приблизится к дру-
гому спутнику, и тем ближе, чем точнее были извест-
ны исходные данные о положении последнего спут-
ника. По окончании этого предварительного сбли-
жения следует приступить к стыковке. Радио-
локатор или оптическая система (или оба вместе)
определят расстояние между спутниками, величину
и направление относительной скорости. Окончатель-
ным сближением будет управлять следящая система.
Управляемыми величинами послужат прежде всего
расстояние между кораблями и относительная ско-
рость сближения. В конце сближения расстояние
между кораблями должно уменьшиться до некоторо-
го небольшого расстояния, заданного заранее (по-
рядка нескольких метров или даже дециметров); от-
носительная скорость должна уменьшиться до вели-
чины, при которой соприкосновение кораблей не
приведет к столкновению, опасному для них.
Для стыковки важно обеспечить не только мяг-
кое соприкосновение кораблей, но и правильное
взаимное расположение их, отвечающее конструкции
сборочных приспособлений. Поэтому система авто-
матики должна при окончательном сближении под-
вести спутник к спутнику с нужной стороны и в нуж-
ном положении. Следовательно, управляемыми вели-

306
чинами будут помимо относительных расстояния и
скорости также и углы, определяющие взаимное по-
ложение кораблей.
Дальнейшее развитие систем управления косми-
ческими кораблями. По мере увеличения дальности
и продолжительности космических полетов и услож-
нения заданий, выполняемых автоматическими и пи-
лотируемыми кораблями, будут возрастать и требо-
вания к системам управления ими. Можно предви-
деть по крайней мере некоторые из направлений,
в которых будут развиваться исследования по усо-
вершенствованию систем управления космическими
кораблями.
Прежде всего нужно повышать надежность всех
систем корабля — как путем повышения надежности
каждого отдельного устройства, так и путем совер-
шенствования схем автоматики, обеспечивающих
удовлетворительное действие всей системы при вы-
ходе из строя некоторых отдельных устройств ко-
рабля.
С возрастанием длительности полета требуется
все больший запас бортовой энергии, в частности для
нужд управления кораблем. Поэтому необходимо
разрабатывать новые хранилища энергии, обладаю-
щие большим отношением количества энергии, храни-
мым в единице массы и в единице объема хранили-
ща. Важно повышать также и к. п. д. солнечных
источников энергии.
По мере расширения целей и задач космических
полетов (например, при исследовании дальних пла-
нет солнечной системы) возникает необходимость
в создании автоматических систем управления, спо-
собных достаточно полно оценить обстановку, сло-
жившуюся на корабле и в окружающем простран-
стве, сопоставить различные пути продолжения по-
лета и выбрать наиболее подходящий из них исходя
из целевого назначения полета и с учетом безопас-
ности людей на борту. Подобные системы управле-
ния будут способны сами вырабатывать закон управ-
ления движением корабля в зависимости от сложив-
шейся обстановки. Для создания таких систем нужно

307
разрабатывать все более емкие и быстродействую-
щие вычислительные устройства, повышать точность
измерительных приборов, усилителей, исполнитель-
ных приводов и других устройств, составляющих си-
стему управления.
Наконец, очень важное направление состоит
в поиске новых физических явлений и путей исполь-
зования их для совершенствования систем управле-
ния космическими кораблями.

ЛИТЕРАТУРА
Циолковский К. Э. Реактивные летательные аппараты. М.,
«Наука», 1964.
Космические полеты
Александров С. Г., Федоров Р. Е. Советские спутники и
космическая ракета. М., Изд-во АН СССР, 1959.
Александров С. Г., Федоров Р. Е. Советские спутники и
космические корабли. М., Изд-во АН СССР, 1961.
Бубнов И. Н., Каманин Л. Н. Обитаемые космические стан-
ции. М., Воениздат, 1964.
Васильев М. Человек идет к звездам. М., «Машиностроение»,
1964.
Гребенников Е. А., Демин В. Г. Межпланетные полеты.
М., «Наука», 1965.
Дмитриевский А. А., Кошевой В. Н. Основы теории по-
лета ракет. М., Воениздат, 1964.
Жданов Г. Б., Т и н д о И. П. Лаборатории в космосе. М., «Мо-
лодая гвардия», 1959.
Игумнов В. И. К далеким мирам. М., Воениздат, 1965.
Искусственные спутники Земли (100 вопросов и ответов). М.,
«Знание», 1959.
Каз невский В. П. Космические полеты. М., Учпедгиз, 1961;
его же. Разведчики межпланетного пространства. М.,
Изд-во ДОСААФ, 1957.
Киселев С. П. Ракета в воздушном океане. М., «Машинострое-
ние», 1965.
К р о ш к и н М. Г. Человек проникает в космос. М., Воениздат,
1961; его же. Ракета покидает Землю. М., Профиздат, 1959;
его же. Космос ... что мы знаем о нем. М., Воениздат, 1966;
его же. Спутник Солнца. М., «Знание», 1959.
Л е в а н т о в с к и й В. И. Пути к Луне и планетам солнечной сис-
темы. М., Воениздат, 1965; его же. Советская ракета иссле-
дует космос. М., Физматгиз, 1959; его же. Ракетой к Луне.
М., Физматгиз, 1960.
Ленский В. С. и Л и тв ин-Се д ой М. 3. Механика (для по-
ступающих в МГУ). Изд-во МГУ, 1962.
Ляпунов Б. В. Рассказы о ракетах. М., ГЭИ, 1955; его же.
Ракеты и межпланетные полеты. М.» Воениздат, 1962; его
ж е. Станция вне Земли. М., Воениздат, 1963.
Меркулов И. А. На космических орбитах. М., «Знание», 1965.

309
Перельман Р. Г. Звездные корабли. М., «Советская Россия»,
1961.
Петров В. П. и СочивкоА. А. Искусственные спутники Зем-
ли и погода. М., Гидрометеоиздат, 1961.
Победоносцев Ю. А. Путь в космос. М., Воениздат, 1962;
его же. Искусственные спутники Земли. М.» «Знание». 1957.
Сушков Ю. Н. Полеты в космос. М., Воениздат, 1963.
Небесная механика и движение космических кораблей
Левантовский В. И. Небесная баллистика. М., «Знание»,
1965; его же. Тяжесть, невесомость, перегрузка. М.,
«Знание», 1964.
Рябов Ю. А. Движение небесных тел, изд. 2. М., Физматгиз,
1962.
Штернфельд А. А. Межпланетные полеты. М., ГТТИ, 1955;
его же От искусственных спутников к межпланетным поле-
там. М., ГТТИ, 1957; его же. Искусственные спутники. М.,
ГТТИ, 1958.
Реактивные и ракетные двигатели
Ляпунов Б. В. Ракета. М., Детгиз, 1960; его же. Ракета. М.,
Воениздат, 1960.
Меркулов И. А. Газовая турбина. М., ГТТИ, 1957.
Сушков Ю. Н. Двигатели космических кораблей. М., Воениз-
дат, 1962.
Атомные ракетные двигатели, атомные ракеты
Гильз ин К. А. Электрические межпланетные корабли. М. «Нау-
ка», 1964.
Новиков И. Д. Теория относительности и межзвездные пере-
леты. М., «Знание», 1960.
Перельман Р. Г. Двигатели галактических кораблей. М.,
Изд-во АН СССР, 1962.
С е п ч е н к о в А. П., Атомные ракеты и проблемы освоения
космоса. М., Атомиздат, 1964.
Соколовский Ю. И., Шилов В. И. Фотонный звездолет.
Изд-во Харьк. ун-та, 1960.
Ракеты и высотные летательные аппараты
Богданов А. П., Виноградов Г. Р. Сверхзвуковые крыла-
тые летательные аппараты. М., Воениздат, 1961.
Гончаренко М. Н. Ракеты и проблема антиракет. М., Изд-во
ДОСААФ, 1962.
Марисов В. И. и Кучеров И. К. Управляемые ракеты. М.,
Воениздат, 1959.
Николаев М. Н. Ракета против ракеты. М., Воениздат, 1963.
Переезда С. А. Зенитные управляемые ракеты. М., Воениздат,
1961.

310
Татарченко А. Е. Баллистическая ракета. AL, Воениздат,
1961; его же. Управляемые снаряды и ракеты. М., Изд-во
ДОСААФ, 1962.
Навигационные спутники
Смирнов Г. Д. Навигационные спутники. М., Воениздат, 1963.
Гироскопы
Краснов А. И. Волчок и применение его свойств. М., ГИТТЛ,
1958.
Назаров Б. И. Гироскоп на ракете. М., Воениздат, 1964.
Николаи Е. И. Гироскоп и некоторые его технические приме-
нения. М., ГИТТИ, 1947.	'
Павлов В. А. Гироскопический эффект, его проявления и ис-
пользование. М., Судопромгиз, 1961.
Хол од ня к А. И. Полезный волчок. М., Военгиз, 1948.
Общие вопросы управления летательными аппаратами
Вермишев Ю. X. Управление ракетами. М., Воениздат, 1961.
Воробьев Л. М. Навигация космических кораблей.
Гончаренко ДА. Н. Кибернетика в военном деле. М., Изд-во
ДОСААФ, 1963.
Гутчин И. Б. Кибернетика и космические корабли. М.,
«Знание», 1965.
Денисов В. Г. Навигационное оборудование летательных ап-
паратов М., Воениздат, 1963.
Добронравов В. В. Космическая навигация. М., «Знание»,
1956.
Крысенке Г. Д. Управление реактивными снарядами. М., Во-
ениздат, 1960.
Куркоткин В. И., Стерлигов В. Л. Самонаведение ракет.
М., Воениздат, 1963.
Петров В. П., С оч и в ко А. А. Управление ракетами. М.,
Воениздат, 1963.
Селезнев В. П., К и р с т М. А. Системы навигации космиче-
ских аппаратов. М., Воениздат, 1965.
Радиоуправление летательными аппаратами
Асташенков П. Т. Радиоэлектроника в управлении сна-
рядами. М., Воениздат, 1960.
Г и л ь з и н К. А. Ракета и радио. М., Воениздат, 1963.
Г у т к и н Л. С. Принципы радиоуправления беспилотными
объектами. М., «Советское радио», 1959.

311
Дружкин Л. А., Литвиненко Д. Г. Полеты в космос и
радиоэлектроника. М., «Знание», 1962.
Крикунов Л. 3., Усольцев И. Ф. Инфракрасные устройст-
ва самонаведения управляемых снарядов. М., «Советское
радио», 1963.
К у б а р к и н Л. В. Рассказ о радиоэлектронике. М., «Энергия»,
1965.
Максимов М. В., Г о р г о н о в Г. И. Радиоуправление раке-
тами. М., «Советское радио», 1964.
Пригода Б. А., Кокунько В. С. Антенны летательных
аппаратов. М., Воениздат, 1964.
Хлебцев ич Ю. С. Радиотелеуправление космическими раке-
тами. М., «Знание», 1955.
Юрьев Э. Ю. Радиосвязь с космическими ракетами. М.,
Воениздат, 1963.

312
ОГЛАВЛЕНИЕ
1	Введение	.........................	.	5
§ 1.	Назначение устройств управления космическими
кораблями ........................................ 5
§ 2.	Научная постановка задачи об автоматическом
управлении полетом .............................. 31
2	Механические основы движения и устройств управ-
ления космических кораблей .	.............. 51
§ 3.	Исходные положения механики полета .	.	51
§ 4.	Движение материальной точки в поле притяжения
планеты...........................................74
§ 5.	Рабочие приближения инерциальной системы 89
§ 6.	Общие свойства движения механической системы 104
§ 7.	Электрическое моделирование законов движения 139
3	Силовые управляющие устройства космических
кораблей .	.	...........................143
§ 8.	Реактивные управляющие устройства .	.	.	144
§ 9.	Управляющие устройства, действующие с по-
мощью внутренних сил ............................159
§ 10.	Управляющие устройства, использующие внеш-
ние силы ........................................173
§ 11.	Некоторые механические особенности действия
силовых устройств космических кораблей .	204
4	Измерительные устройства космических кораблей 207
§ 12.	Гироскопические измерители.................208
§ 13.	Некоторые измерители расстояния до планеты 234
§ 14.	Измерение ускорения с помощью пробной мас-
сы, перемещающейся в корпусе корабля .	.	238
§ 15.	Измерение линейного ускорения по способу
силового уравновешивания.....................".	250
§ 16.	Выражение показаний механических измерите-
лей через электрические величины	....	254
§ 17.	Особенности действия измерителей характе-
ристик движения..................................258

313
5	Системы автоматического управления космическим
кораблем..........................................265
§ 18.	Системы навигации (кораблевождения) .	.	265
§ 19.	Комбинированная самонастраивающая систе-
ма автоматического управления космическим
кораблем.......................................280
Заключение	.	......................301
Литература	.............................308

Михаил Зиновьевич Литвин-Седой
Управление космическими кораблями
Оформление художника В. Б. Янкилезского
Тематический план 1966 г. № 3
Редактор Ч. И. Дозорцева
Художественный редактор Н. Ю. Калмыкова
Технический редактор И. Л. Тимашева
Корректоры М. А. Гришаков, Л. С. Клочкова, И. С. Хлыстова

Сдано в набор 6 IX-1966 г.
Подписано к печати 6 V-1967 г.
Л-41915	Формат 84X108 32
Физ. печ. л. 9.875 Усл. печ. л. 16,59
Уч.-изд.	л. 15,85	Изд. № 35
Зак. 276. Бум. тип. № 1 Тираж 12 000 экз.
Цена 1 руб
Издательство Московского
университета
Москва, Ленинские горы
Административный корпус.
Типография Изд- ва МГУ
Москва, Лени некие горы