Курс физики - Трофимова Т.И.

Автор: Трофимова Т.И.

Теги: физика естественные науки учебное пособие физические законы

ISBN: 5-06-001540-8

Год: 1990

Похожие

Курс физики

Краткий курс физики

Сборник задач по курсу физики

Текст

Т И. Трофимова
ос
ФИЗИКИ
Издание второе,
исправленное и дополненное
Допущено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия для студентов
технических специальностей
высших учебных заведений
Москва «Высшая школа» 1990

ББК 22.3
Т70
УДК 53
Рецензенты:
кафедра физики Ленинградского политехнического института
им. М. И. Калинина;
кафедра физики Уральского политехнического института
им. С. М. Кирова
Трофимова Т. И.
Т70 Курс физики: Учеб. пособие для вузов.—2-е изд.,
перераб. и доп.— М.: Высш. шк., 1990.— 478 с: ил.
ISBN 5-06-001540-8
Пособие составлено в соответствии с программой по физике для сту-
студентов вузов. Оно состоит из семи частей, в которых излагаются физические
основы механики, молекулярной физики и термодинамики, электричества и
магнетизма, оптики, квантовой физики атомов, молекул и твердых тел, фи-
физики атомного ядра и элементарных частиц. В пособии устанавливается
логическая преемственность и связь между классической и современной
физикой.
Во второе издание A-е—1985 г.) внесены изменения, приведены кон-
контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.
_ 1604010000 D309000000)-363 ,л„ „„ ББК 22'3
т оокоо-90 102-90 53
ISBN 5-06-001540-8 © Т. И. Трофимова, 1990

Предисловие
Учебное пособие написано в соответствии
с действующей программой курса физики
для инженерно-технических специально-
специальностей высших учебных заведений.
Небольшой объем учебного пособия
достигнут с помощью тщательного отбора
и лаконичного изложения материала.
Книга состоит из семи частей. В пер-
первой части дано систематическое изложе-
изложение физических основ классической меха-
механики, а также рассмотрены элементы спе-
специальной (частной) теории относительно-
относительности. Вторая часть посвящена -основам
молекулярной физики и термодинамики.
В третьей части изучаются электростати-
электростатика, постоянный электрический ток и элек-
электромагнетизм. В четвертой части, посвя-
посвященной изложению колебаний и волн, ме-
механические и электромагнитные колебания
рассматриваются параллельно, указыва-
указываются их сходства и различия и сравнива-
сравниваются физические процессы, происходящие
при соответствующих колебаниях. В пятой
части рассмотрены элементы геометриче-
геометрической и электронной оптики, волновая опти-
оптика и квантовая природа излучения.
Шестая часть посвящена элементам кван-
квантовой физики атомов, молекул и твердых
тел. В седьмой части излагаются элементы
физики атомного ядра и элементарных
частиц.
Изложение материала ведется без гро-
громоздких математических выкладок, долж-
должное внимание обращается на физическую
суть явлений и описывающих их понятий
и законов, а также на преемственность
современной и классической физики.
Обозначения и единицы физических вели-
величин соответствуют Государственным стан-
стандартам СССР и стандартам СЭВ.
При подготовке второго издания за-
заново написаны некоторые параграфы, вне-
внесены исправления и дополнения по всему
курсу, расширен иллюстративный матери-
материал. К каждой главе даны контрольные
вопросы и задачи.
Для обозначения векторных величин
на всех рисунках и в тексте использован
полужирный шрифт, за исключением вели-
величин, обозначенных греческими буквами,
которые по техническим причинам набра-
набраны в тексте светлым шрифтом со стрелкой.
Настоящий курс предназначен для
студентов высших технических учебных
заведений дневной формы обучения с ог-
ограниченным числом часов по физике,
с возможностью его использования на ве-
вечерней и заочной формах обучения.
Автор выражает глубокую признатель-
признательность коллегам и читателям, чьи доброже-
доброжелательные замечания и пожелания способ-
способствовали улучшению книги. Автор считает
своим долгом поблагодарить кафедру фи-
физики Уральского политехнического инсти-
института и кафедру экспериментальной физики
Ленинградского политехнического инсти-
института, взявших на себя труд рецензирова-
рецензирования рукописи при подготовке второго из-
издания.
Автор будет благодарен за замечания
и советы по улучшению пособия. Просьба
направлять их в издательство «Высшая
школа» по адресу: 101430, Москва, ГСП-4,
Неглинная ул., д. 29/14.
Автор

Введение
Предмет физики
и ее связь с другими науками
Окружающий нас мир, все существующее
вокруг нас и обнаруживаемое нами по-
посредством ощущений представляет собой
материю. «Материя есть философская ка-
категория для обозначения объективной ре-
реальности, которая... отображается наши-
нашими ощущениями, существуя независимо от
них» (Ленин В. И. Поли. собр. соч. Т. 18.
С. 131).
Неотъемлемым свойством материи
и формой ее существования является дви-
движение. Движение в широком смысле сло-
слова — это всевозможные изменения мате-
материи — от простого перемещения до слож-
сложнейших процессов мышления. «Движение,
рассматриваемое в самом общем смысле
слова, т. е. понимаемое как способ су-
существования материи, как внутренне при-
присущий материи атрибут, обнимает собою
все происходящие во Вселенной измене-
изменения и процессы, начиная от простого пере-
перемещения и кончая мышлением» (Эн-
(Энгельс Ф. Диалектика природы.—
К- Маркс, Ф. Энгельс. Соч. 2-е изд. Т. 20.
С. 391).
Разнообразные формы движения мате-
материи изучаются различными науками, в том
числе и физикой. Предмет физики, как,
впрочем, и любой науки, может быть раск-
раскрыт только по мере его детального изло-
изложения. Дать строгое определение пред-
предмета физики довольно сложно, потому что
границы между физикой и рядом смежных
дисциплин условны. На данной стадии
развития нельзя сохранить определение
физики только как науки о природе.
Академик А. Ф. Иоффе A880—1960;
советский физик) * определил физику как
* Все данные приведены по биографичес-
биографическому справочнику Ю. А. Храмова «Физики»
(М.: Наука, 1983).
науку, изучающую общие свойства и за-
законы движения вещества и поля. В на-
настоящее время общепризнано, что все вза-
взаимодействия осуществляются посредством
полей, например гравитационных, элек-
электромагнитных, полей ядерных сил. Поле
наряду с веществом является одной из
форм существования материи. Неразрыв-
Неразрывная связь поля и вещества, а также разли-
различие в их свойствах будут рассмотрены по
мере изучения курса.
Физика — наука о наиболее простых
и вместе с тем наиболее общих формах
движения материи и их взаимных превра-
превращениях. Изучаемые физикой формы дви-
движения материи (механическая, тепловая
и др.) присутствуют во всех высших и бо-
более сложных формах движения материи
(химических, биологических и др.). Поэто-
Поэтому они, будучи наиболее простыми, явля-
являются в то же время наиболее общими
формами движения материи. Высшие и бо-
более сложные формы движения материи —
предмет изучения других наук (химии,
биологии и др.).
Физика тесно связана с естественными
науками. Как сказал академик С. И. Ва-
Вавилов A891 —1955; советский физик и об-
общественный деятель), эта теснейшая
связь физики с другими отраслями
естествознания привела к тому, что физи-
физика глубочайшими корнями вросла в астро-
астрономию, геологию, химию, биологию и дру-
другие естественные науки. В результате об-
образовался ряд новых смежных дисциплин,
таких, как астрофизика, геофизика, физи-
физическая химия, биофизика и др.
Физика тесно связана и с техникой,
причем эта связь носит двусторонний ха-
характер. Физика выросла из потребностей
техники (развитие механики у древних
греков, например, было вызвано запро-
запросами строительной и военной техники того
времени), и техника, в свою очередь, опре-
определяет направление физических исследо-

Внсденне
ваний (например, в свое время задача
создания наиболее экономичных тепловых
двигателей вызвала бурное развитие
термодинамики). С другой стороны, от
развития физики зависит технический уро-
уровень производства. Физика — база для
создания новых отраслей техники (элек-
(электронная техника, ядерная техника и др.).
Физика тесно связана и с философией.
Такие крупные открытия в области физи-
физики, как закон сохранения и превращения
энергии, соотношение неопределенностей
в атомной физике и др., являлись и явля-
являются ареной острой борьбы между матери-
материализмом и идеализмом. Верные философ-
философские выводы из научных открытий в об-
области физики всегда подтверждали основ-
основные положения диалектического материа-
материализма, поэтому изучение этих открытий
и их философское обобщение играют боль-
большую роль в формировании научного миро-
мировоззрения.
Бурный темп развития физики, расту-
растущие связи ее с техникой указывают на
двоякую роль курса физики во втузе: с од-
одной стороны, это фундаментальная база
для теоретической подготовки инженера,
без которой его успешная деятельность
невозможна, с другой — это формирова-
формирование диалектико-материалистического и на-
научно-атеистического мировоззрения.
Единицы физических величин
Основным методом исследования в физике
является опыт — основанное на практике
чувственно-эмпирическое познание объек-
объективной действительности, т. е. наблюдение
исследуемых явлений в точно учитывае-
учитываемых условиях, позволяющих следить за
ходом явлений и многократно воспроизво-
воспроизводить его при повторении этих условий.
Для объяснения экспериментальных
фактов выдвигаются гипотезы. Гипоте-
Гипотеза — это научное предположение, выдви-
выдвигаемое для объяснения какого-либо явле-
явления и требующее проверки на опыте и тео-
теоретического обоснования для того, чтобы
стать достоверной научной теорией.
В результате обобщения эксперимен-
экспериментальных фактов, а также результатов дея-
деятельности людей устанавливаются физи-
физические законы — устойчивые повторяющи-
повторяющиеся объективные закономерности, су-
существующие в природе. Наиболее важные
законы устанавливают связь между физи-
физическими величинами, для чего необходимо
эти величины измерять. Измерение физи-
физической величины есть действие, выполняе-
выполняемое с помощью средств измерений для
нахождения значения физической величи-
величины в принятых единицах. Единицы физи-
физических величин можно выбрать произволь-
произвольно, но тогда возникнут трудности при их
сравнении. Поэтому целесообразно ввести
систему единиц, охватывающую единицы
всех физических величин и позволяющую
оперировать с ними.
Для построения системы единиц про-
произвольно выбирают единицы для несколь-
нескольких не зависящих друг от друга физиче-
физических величин. Эти единицы называются
основными. Остальные же величины и их
единицы выводятся из законов, связываю-
связывающих эти величины с основными. Они на-
называются производными.
В СССР, согласно Государственному
стандарту (ГОСТ 8.417—81), обязательна
к применению Система Интернациональ-
Интернациональная (СИ), которая строится на семи основ-
основных единицах — метр, килограмм, секунда,
ампер, Кельвин, моль, кандела — и двух
дополнительных — радиан и стерадиан.
Метр (м) — длина пути, проходимого
светом в вакууме за 1/299 792 458 с.
Килограмм (кг) — масса, равная мас-
массе международного прототипа килограмма
(платиноиридиевого цилиндра, храняще-
хранящегося в Международном бюро мер и весов
в Севре, близ Парижа).
Секунда (с) — время, равное
9 192 631 770 периодам излучения, соот-
соответствующего переходу между двумя
сверхтонкими уровнями основного состоя-
состояния атома цезия-133.
Ампер (А) — сила неизменяющегося
тока, который при прохождении по двум
параллельным прямолинейным проводни-
проводникам бесконечной длины и ничтожно ма-
малого поперечного сечения, расположенным
в вакууме на расстоянии 1 м один от дру-
другого, создает между этими проводниками
силу, равную 2 • 10 7 Н на каждый метр
длины.

Внедение
Кельвин (К) — 1/273,16 часть термо-
термодинамической температуры тройной точ-
точки воды.
Моль (моль) — количество вещества
системы, содержащей столько же струк-
структурных элементов, сколько атомов содер-
содержится в нуклиде |2С массой 0,012 кг.
Кандела (кд) — сила света в задан-
заданном направлении источника, испускающе-
испускающего монохроматическое излучение частотой
540-1012 Гц, энергетическая сила света ко-
которого в этом направлении составляет
1/683 Вт/ср.
Радиан (рад) — угол между двумя ра-
радиусами окружности, длина дуги между
которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср)—телесный угол
с вершиной в центре сферы, вырезающий
на поверхности сферы площадь, равную
площади квадрата со стороной, равной
радиусу сферы.
Для установления производных еди-
единиц используют физические законы, свя-
связывающие их с основными единицами. На-
Например, из формулы равномерного прямо-
прямолинейного движения v = s/t (s — пройден-
пройденный путь, / — нремя) производная едини-
единица скорости получается равной 1 м/с.
Размерность физической величины
есть ее выражение в основных единицах.
Исходя, например, из второго закона
Ньютона, получим, что размерность силы
где М — размерность массы; L — размер-
размерность длины; Т — размерность времени.
Размерности обеих частей физических
равенств должны быть одинаковыми, так
как физические законы не могут зависеть
от выбора единиц физических величин.
Исходя из этого можно проверять пра-
правильность полученных физических формул
(например, при решении задач), а также
устанавливать размерности физических
величин.

Физические
основы механики
Механика — часть физики, которая изуча-
изучает закономерности механического движе-
движения и причины, вызывающие или изменяю-
изменяющие это движение. Механическое движе-
движение — это изменение с течением времени
взаимного расположения тел или их частей.
Развитие механики как науки начина-
начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий
ученый Архимед B87—212 до н. э.) сфор-
сформулировал закон равновесия рычага и за-
законы равновесия плавающих тел. Основ-
Основные законы механики установлены италь-
итальянским физиком и астрономом Г. Галиле-
Галилеем A564—1642) и окончательно сформу-
сформулированы английским ученым И. Ньюто-
Ньютоном A643-1727).
Механика Галилея — Ньютона назы-
называется классической механикой. В ней
изучаются законы движения макроскопи-
макроскопических тел, скорости которых малы по
сравнению со скоростью света в вакууме.
Законы движения макроскопических тел
со скоростями, сравнимыми со скоро-
скоростью с, изучаются релятивистской меха-
механикой, основанной на специальной тео-
теории относительности, сформулированной
А.Эйнштейном A879—1955). Для описа-
описания движения микроскопических тел (от-
(отдельные атомы и элементарные частицы)
законы классической механики непримени-
неприменимы — они заменяются законами кванто-
квантовой механики.
В первой части нашего курса мы будем
иметь дело с механикой Галилея —
Ньютона, т. е. будем рассматривать дви-
движение макроскопических тел со скорос-
скоростями, значительно меньшими скорости с.
В классической механике общепринята
концепция пространства и времени, разра-
разработанная И. Ньютоном и господствовав-
господствовавшая в естествознании на протяжении
XVII—XIX вв. Механика Галилея —
Ньютона рассматривает пространство
и время как объективные формы су-
существования материи, но в отрыве друг от
друга и от движения материальных тел,
что соответствовало уровню знаний того
времени.
Так как механическое описание на-
наглядно и привычно и с его помощью мож-
можно объяснить многие физические явления,
в XIX в. некоторые физики стали сводить
все явления к механическим. Эта точка
зрения соответствовала философскому ме-
механистическому материализму. Дальней-
Дальнейшее развитие физики показало, однако,
что многие физические явления не могут
быть сведены к простейшему виду движе-
движения — механическому. Механистический
материализм должен был уступить место
материализму диалектическому, рассмат-
рассматривающему более общие виды движения
материи и учитывающему все разнообра-
разнообразие реального мира.
Механика делится на три раздела:
1) кинематику; 2) динамику; 3) стати-
статику.
Кинематика изучает движение тел, не
рассматривая причины, которые это дви-
движение обусловливают.
Динамика изучает законы движения
тел и причины, которые вызывают или
изменяют это движение.
Статика изучает законы равновесия
системы тел. Если известны законы дви-
движения тел, то из них можно установить
и законы равновесия. Поэтому законы ста-
статики отдельно от законов динамики физи-
физика не рассматривает.

I Фишческмс (K'lioHiii механики
Глава 1
Элементы кинематики
§ 1. Модели в механике.
Система отсчета.
Траектория, длина пути,
вектор перемещения
Механика для описания движения тел в
зависимости от условий конкретных задач
использует разные физические модели.
Простейшей моделью является матери-
материальная точка — тело, обладающее массой,
размерами которого в данной задаче мож-
можно пренебречь. Понятие материальной точ-
точки — абстрактное, но его введение облег-
облегчает решение практических задач. Напри-
Например, изучая движение планет по орбитам
вокруг Солнца, можно принять их за мате-
материальные точки.
Произвольное макроскопическое тело
или систему тел можно мысленно разбить
на малые взаимодействующие между со-
собой части, каждая из которых рассматри-
рассматривается как материальная точка. Тогда
изучение движения произвольной системы
тел сводится к изучению системы матери-
материальных точек. В механике сначала изуча-
изучают движение одной материальной точки,
а затем переходят к изучению движения
системы материальных точек.
Под воздействием тел друг на друга
тела могут деформироваться, т. е. изме-
изменять свою форму и размеры. Поэтому
в механике вводится еще одна модель —
абсолютно твердое тело. Абсолютно твер-
твердым телом называется тело, которое ни
при каких условиях не может деформиро-
деформироваться и при всех условиях расстояние
между двумя точками (или точнее между
А
двумя частицами) этого тела остается по-
постоянным.
Любое двикение твердого тела можно
представить как комбинацию поступатель-
поступательного и вращательного движений. Поступа-
Поступательное движение — это движение, при
котором любая прямая, жестко связанная
с движущимся телом, остается параллель-
параллельной своему первоначальному положению.
Вращательное движение — это движение,
при котором все точки тела движутся по
окружностям, центры которых лежат на
одной и той же прямой, называемой осью
вращения.
Движение тел происходит в простран-
пространстве и во времени. Поэтому для описания
движения материальной точки надо знать,
в каких местах пространства эта точка
находилась и в какие моменты времени
она проходила то или иное положение.
Положение материальной точки опре-
определяется по отношению к какому-либо
другому, произвольно выбранному телу,
называемому телом отсчета. С ним связы-
связывается система отсчета — совокупность
системы координат и часов, связанных
с телом отсчета. В декартовой системе
координат, используемой наиболее часто,
положение точки А в данный момент вре-
времени по отношению к этой системе ха-
характеризуется тремя координатами х,
у и 2 или радиусом-вектором г, проведен-
проведенным из начала системы координат в дан-
данную точку (рис. 1).
При движении материальной точки ее
координаты с течением времени изменяют-
изменяются. В общем случае ее движение определя-
определяется скалярными уравнениями
y=y(t),
.2 = 2@,
(i.i;
Рис. I
эквивалентными векторному уравнению
г = г@- A-2)
Уравнения A.1) (соответственно A.2))
называются кинематическими уравнения-
уравнениями движения материальной точки.

Глава I. Элементы кинематики
Рис. 2
Число независимых координат, полно-
полностью определяющих положение точки
в пространстве, называется числом степе-
степеней свободы. Если материальная точка
свободно движется в пространстве, то, как
уже было сказано, она обладает тремя
степенями свободы (координаты х, у и z);
если она движется по некоторой поверхно-
поверхности, то — двумя степенями свободы, ес-
если — вдоль некоторой линии, то — одной
степенью свободы.
Исключая / в уравнениях A.1)
и A.2), получим уравнение траектории
движения материальной точки. Траекто-
Траектория движения материальной точки — ли-
линия, описываемая этой точкой в простран-
пространстве. В зависимости от формы траектории
движение может быть прямолинейным или
криволинейным.
Рассмотрим движение материальной
точки вдоль произвольной траектории
(рис. 2). Отсчет времени начнем с момен-
момента, когда точка находилась в положении
А. Длина участка траектории АВ, прой-
пройденного материальной точкой с момента
начала отсчета времени, называется дли-
длиной пути As и является скалярной фун-
функцией времени:Дя = Ля(^). Вектор Дг = г —
— Го, проведенный из начального положе-
положения движущейся точки в положение ее
в данный момент времени (приращение
радиуса-вектора точки за рассматривае-
рассматриваемый промежуток времени), называется пе-
перемещением.
При прямолинейном движении вектор
перемещения совпадает с соответствую-
соответствующим участком траектории и модуль пе-
перемещения |Дг| равен пройденному пу-
пути As.
§ 2. Скорость
Для характеристики движения материаль-
материальной точки вводится векторная величина —
скорость, которой определяется как
быстрота движения, так и его направление
в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется
по какой-либо криволинейной траектории
так, что в момент времени / ей соответ-
соответствует радиус-вектор го (рис. 3). В течение
малого промежутка времени At точка прой-
пройдет путь As и получит элементарное (бес-
(бесконечно малое) перемещение Дг.
Вектором средней скорости (v) назы-
называется отношение приращения Дг радиуса-
вектора точки к промежутку времени Д^:
<v>=^-. B.1)
Направление вектора средней скоро-
скорости совпадает с направлением Дг. При
неограниченном уменьшении At средняя
скорость стремится к предельному значе-
значению, которое называется мгновенной ско-
скоростью v:
.. Дг dr
v= lim =——.
д/^о At dt
Мгновенная скорость v, таким образом,
есть векторная величина, равная первой
производной радиуса-вектора движущей-
движущейся точки по времени. Так как секущая
в пределе совпадает с касательной, то
вектор скорости v направлен по касатель-
касательной к траектории в сторону движения
(рис. 3). По мере уменьшения At путь As
все больше будет приближаться к |Дг|,
поэтому модуль мгновенной скорости
= lim
.. Дг
lim
At д/^о Д'
ds
dt
4
Рис. 3

1A
I. Физические осноны механики
Таким образом, модуль мгновенной скоро-
скорости равен первой производной пути по
времени:
ds B.2)
v=-
dt'
При неравномерном движении модуль
мгновенной скорости с течением времени
изменяется. В данном случае пользуются
скалярной величиной (v) —средней ско-
скоростью неравномерного движения:
. . As
V-
Из рис. 3 вытекает, что ( v ) > | ( v ) |,
так как Дя>|Дг|, и только в случае пря-
прямолинейного движения
As= |Лг|.
Если выражение ds = vdt (см. форму-
формулу B.2)) проинтегрировать по времени
в пределах от t до t-\-At, то найдем длину
пути, пройденного точкой за время At:
t+м
s= $ vdt. B.3)
В случае равномерного движения число-
числовое значение мгновенной скорости посто-
постоянно; тогда выражение B.3) примет вид
t + ht
s = v \ At = vAt.
t
Длина пути, пройденного точкой за
промежуток времени от t\ до /г, дается
интегралом
=J v(t)dt.
§ 3. Ускорение и его составляющие
В случае неравномерного движения важно
знать, как быстро изменяется скорость
с течением времени. Физической величи-
величиной, характеризующей быстроту измене-
изменения скорости по модулю и направлению,
является ускорение.
Рассмотрим плоское движение,
т. е. такое, при котором все участки тра-
траектории точки лежат в одной плоскости.
Пусть вектор v задает скорость точки
Рис. 4
А в момент времени /. За время At движу-
движущаяся точка перешла в положение
В и приобрела скорость, отличную от v как
по модулю, так и направлению и равную
vi=v+Av. Перенесем вектор Vi в точку
А и найдем Av (рис.4).
Средним ускорением неравномерного
движения в интервале от t до t-\-At на-
называется векторная величина, равная от-
отношению изменения скорости Ду к интер-
интервалу времени At:
Мгновенным ускорением а (ускорени-
(ускорением) материальной точки в момент време-
времени / будет предел среднего ускорения:
Ду dv
а= lim (a) = lim = ——.
,\t-*o д/-»о At dt
Таким образом, ускорение а есть вектор-
векторная величина, равная первой производной
скорости по времени.
Разложим вектор Ду на две составля-
составляющие. Для этого из точки А (рис. 4) по
направлению скорости v отложим вектор
AD, по модулю равный vi. Очевидно, что
вектор CD, равный А\г, определяет изме-
изменение скорости по модулю за время
At:Avz = vt — v. Вторая же составляющая
вектора Ду — Ду„ характеризует изменение
скорости за время At no направлению.
Тангенциальная составляющая уско-
ускорения
ar= lim
А
т ,. Av dv
= lim = ~r'
^ д/-о At dt

Глава I. Элементы кинематики
I I
т.е. равна первой производной по времени
от модуля скорости, определяя тем самым
быстроту изменения скорости по модулю.
Найдем вторую составляющую ускоре-
ускорения. Допустим, что точка В достаточно
близка к точке А, поэтому As можно счи-
считать дугой окружности некоторого радиу-
радиуса г, мало отличающейся от хорды АВ.
Тогда из подобия треугольников АОВ
и EAD следует &vn/AB = V\/r, но так как
AB = vM, то
В пределе при Д/->-0 получим vi-»-v.
Поскольку Vi-»-v, угол EAD стремится
к нулю, а так как треугольник EAD равно-
равнобедренный, то угол ADE между v и Avn
стремится к прямому. Следовательно, при
Д<-*-0 векторы Avn и v оказываются взаим-
взаимно перпендикулярными. Так как вектор
скорости направлен по касательной к тра-
траектории, то вектор Avn, перпендикулярный
вектору скорости, направлен к центру ее
кривизны. Вторая составляющая ускоре-
ускорения, равная
.. А«. v2
ап= lim -т—=—,
д/^о Дг г
называется нормальной составляющей ус-
ускорения и направлена по нормали к тра-
траектории к центру ее кривизны (поэтому
ее называют также центростремительным
ускорением).
Полное ускорение тела есть геометри-
геометрическая сумма тангенциальной и нормаль-
нормальной составляющих (рис.5):
dv .
а а1 + ап.
Итак, тангенциальная составляющая
ускорения характеризует быстроту изме-
нения скорости по модулю (направлена по
касательной к траектории), а нормальная
составляющая ускорения — быстроту из-
изменения скорости по направлению (на-
(направлена к центру кривизны траекто-
траектории). ,
В зависимости от тангенциальной и
нормальной составляющих ускорения дви-
движение можно классифицировать следую-
следующим образом:
1) at = 0, а„ = 0 — прямолинейное рав-
равномерное движение;
2) at = a = const, an = 0 — прямолиней-
прямолинейное равнопеременное движение. При та-
таком виде движения
At)
At
а =а= =
Если начальный момент времени /|=0,
а начальная скорость v\ = vo, то, обозна-
обозначив ti = t и U2 = f, получим a = (v — vo)/t,
откуда
Проинтегрировав эту формулу в пре-
пределах от нуля до произвольного момента
времени t, найдем, что длина пути, прой-
пройденного точкой, в случае равнопеременно-
равнопеременного движения
Рис.
3) ax = f(t), а„ = 0—прямолинейное
движение с переменным ускорением;
4) ат = 0, а„ = const. При ат = 0 ско-
скорость по модулю не изменяется, а изменя-
изменяется по направлению. Из формулы ап =
= v2/r следует, что радиус кривизны до-
должен быть постоянным. Следовательно,
движение по окружности является равно-
равномерным;
5) ат=0, апф0 — равномерное кри-
криволинейное движение;
6) aT = const, а„Ф0—криволинейное
равнопеременное движение;
7) a^ = f(t), ап Ф 0 — криволинейное
движение с переменным ускорением.

12
1. Физические ос ноны механики
§ 4. Угловая скорость
и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое враща-
вращается вокруг неподвижной оси. Тогда от-
отдельные точки этого тела будут описывать
окружности разных радиусов, центры ко-
которых лежат на оси вращения. Пусть не-
некоторая точка движется по окружности
радиуса R (рис.6). Ее положение через
промежуток времени At зададим углом Ац>.
Элементарные (бесконечно малые) углы
поворота рассматривают как векторы. Мо-
Модуль вектора dф равен углу поворота,
а его направление совпадает с направле-
направлением поступательного движения острия
винта, головка которого вращается в на-
направлении движения точки по окружности,
т. е. подчиняется правилу правого винта
(рис.6). Векторы, направления которых
связываются с направлением вращения,
называются псевдовекторами или акси-
аксиальными векторами. Эти векторы не имеют
определенных точек приложения: они мо-
могут откладываться из любой точки оси
вращения.
Угловой скоростью называется вектор-
векторная величина, равная первой производной
угла поворота тела по времени:
— .. Аф dф
со = lim = —-—.
д/_(] At at
(Ь
Рис. 6
Вектор to направлен вдоль оси вращения
по правилу правого винта, т. е. так же, как
и вектор dф (рис. 7). Размерность угловой
скорости dimo) = T~l, а ее единица —
радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
и= lim
As .. /?Дф
—= lim -——-
о At д/-*о At
ы-*о At
т. е.
В векторном виде формулу для линей-
линейной скорости можно написать как вектор-
векторное произведение:
При этом модуль векторного произведе-
произведения, по определению, равен oiR sin (со R),
а направление совпадает с направлением
поступательного движения правого винта
при его вращении от со к R.
Если o> = const, то вращение равномер-
равномерное и его можно характеризовать перио-
периодом вращения Т — временем, за которое
точка совершает один полный оборот,
т. е. поворачивается на угол 2я. Так как
промежутку времени At = T соответствует
Аф = 2л, то A) = 2л/7\ откуда
Г = 2я/со.
Число полных оборотов, совершаемых
телом при равномерном его движении по
окружности, в единицу времени называет-
называется частотой вращения:
п—\/Т = ш/Bл),
откуда
Угловым ускорением называется век-
векторная величина, равная первой производ-
производной угловой скорости по времени:
- dw
е=-
Рис. 7
dt '
При вращении тела вокруг неподвижной
оси вектор углового ускорения направлен
вдоль оси вращения в сторону вектора
элементарного приращения угловой ско-
скорости. При ускоренном движении вектор

Глава I. Элементы кинематики
13
при
ему
Рис. 8
е сонаправлен вектору (о (рис.8),
замедленном — противонаправлен
(рис.9).
Тангенциальная составляющая уско-
dv
рения ах = — v = u>R и
а/
Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линейны-
линейными (длина пути s, пройденного точкой по
дуге окружности радиуса R, линейная ско-
скорость v, тангенциальное ускорение ат, нор-
нормальное ускорение а„) и угловыми величи-
величинами (угол поворота <р, угловая скорость
(о, угловое ускорение в) выражается сле-
следующими формулами:
В случае равнопеременного движения
точки по окружности (е = const)
где шо — начальная угловая скорость.
Контрольные вопросы
• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?
• Что такое система отсчета?
• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути,
пройденному точкой?
• Какое движение называется поступательным? вращательным?
• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости
и мгновенного ускорения. Каковы их направления?
• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая
ускорения? Каковы их модули?
• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное
ускорение? Приведите примеры.
• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением?. Как определяются их направления?
• Какова связь между линейными и угловыми величинами?
Задачи
1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A-\-Bt-\-Ctl -{-Dt3
(С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с1). Определить: 1) через какое время после начала движения
ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение (а) тела за этот промежуток
времени. AI0 с; 2) 1,1 м/с2 )
1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к гори-
горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [ 45° j
1.3. Колесо радиуса /? = 0,1 м враа^ается так, что зависимость угловой скорости от времени
задается уравнением w = 2At + 5Bt* [A =2 рад/с2 и В = \ рад/с5). Определить полное
ускорение точек обода колеса через /= I с после начала вращения и число оборотов, сделан-
сделанных колесом за это время. [а = 8,5 м/с2; /V = 0,48 ]

14
1. Фи.шчсткис осиоии механики
1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса л = 4 м, задается уравне-
уравнением an = A+Bt + Ct2 (/5 = 1 м/с2, Я = 6 м/с1, С = 3 м/с4). Определить: 1) тангенциальное
ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время Л =5 с после начала движения; 3)
полное ускорение для момента времени h=\ с. [1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]
1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за /=1 мин уменьшилась от
300 до 180 мин~'. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов,
сделанных колесом за это время. (I) 0,21 рад/с2; 2) 3601
1.6. Диск радиусом /?=|0 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла
поворота радиуса диска от времени задается уравнением ц> = А ~\-Bt + Ct''-\-Dt3 (B= 1 рад/с,
С=1 рад/с2, О=1 рад/с3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды
после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ат; 2) нормальное ускорение а„; 3)
полное ускорение я. [ I) 0,14 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]
Глава 2
Динамика материальной точки
и поступательного движения твердого тела
§5. Перный :$акон Ньютона.
Масса. Сила
Динамика является основным разделом
механики, в ее основе лежат три закона
Ньютона, сформулированные им
в 1687 г. Законы Ньютона играют исклю-
исключительную роль в механике и являются
(как и все физические законы) обобщени-
обобщением результатов огромного человеческого
опыта. Их рассматривают как систему
взаимосвязанных законов и опытной про-
проверке подвергают не каждый отдельный
закон, а нею систему в целом.
Первый закон Ньютона: всякая мате^
риальная точка (тело) сохраняет состоя-
состояние покоя или равномерного прямолиней-
прямолинейного движения до тех пор, пока воздейст-
воздействие со стороны других тел не заставит
ее изменить это состояние.
Стремление тела сохранять состояние
покоя или равномерного прямолинейного
движения называется инертностью. По-
Поэтому первый закон Ньютона называют
также законом инерции.
Механическое движение относительно,
и его характер зависит от системы отсче-
отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не
во всякой системе отсчета, а те системы,
по отношению к которым он выполняется,
называются инерциальными системами от-
отсчета. Инерциальной системой отсчета яв-
является такая система, которая либо по-
покоится, либо движется равномерно и пря-
прямолинейно относительно какой-то другой
инерциальной системы. Первый закон
Ньютона утверждает существование инер-
циальных систем отсчета.
Опытным путем установлено, что
инерциальной можно считать гелиоцен-
гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета
(начало координат находится в центре
Солнца, а оси проведены в направлении
определенных звезд). Система отсчета,
связанная с Землей, строго говоря, неи-
нерциальна, однако эффекты, обусловлен-
обусловленные ее неинерциальностью (Земля враща-
вращается вокруг собственной оси и вокруг Со-
Солнца), при решении многих задач прене-
пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно
считать инерциальной.
Из опыта известно, что при одинако-
одинаковых воздействиях различные тела неоди-
неодинаково изменяют скорость своего движе-
движения, т. е., иными словами, приобретают
различные ускорения. Ускорение зависит
не только от величины воздействия, но
и от свойств самого тела (от его мас-
массы).
Масса тела — физическая величина,
являющаяся одной из основных характе-
характеристик материи, определяющая ее инерци-
инерционные (инертная масса) и гравитацион-
гравитационные (гравитационная масса) свойства.
В настоящее время можно считать дока-
доказанным, что инертная и гравитационная
массы равны друг другу (с точностью, не
меньшей 10~12 их значения).

[ л ;i в а 2. Динамика материальной точки
Чтобы описывать воздействия, упоми-
упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят
понятие силы. Под действием сил тела
либо изменяют скорость движения,
т. е. приобретают ускорения (динамиче-
(динамическое проявление сил), либо деформируют-
деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры
(статическое проявление сил). В каждый
момент времени сила характеризуется чис-
числовым значением, направлением в про-
пространстве и точкой приложения. Итак,
сила — это векторная величина, являюща-
являющаяся мерой механического воздействия на
тело со стороны других тел или полей,
в результате которого тело приобретает
ускорение или изменяет свою форму и раз-
размеры.
§6. Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона — основной за-
закон динамики поступательного движе-
движения — отвечает на вопрос, как изменяет-
изменяется механическое движение материальной
точки (тела) под действием приложен-
приложенных к ней сил.
Если рассмотреть действие различных
сил на одно и то же тело, то оказывается,
что ускорение, приобретаемое телом, всег-
всегда прямо пропорционально равнодейст-
равнодействующей приложенных сил:
a~F (m = const). F.1)
При действии одной и той же силы на
тела с разными массами их ускорения
оказываются различными, а именно:
а~\/т (F = const). F.2)
Используя выражения F.1) и F.2) и учи-
учитывая, что сила и ускорение — величины
векторные, можем записать
a = fcF/m. F.3)
Соотношение F.3) выражает второй
закон Ньютона: ускорение, приобретаемое
материальной точкой (телом), пропорцио-
пропорционально вызывающей его силе, совпадает
с нею по направлению и обратно
пропорционально массе материальной точ-
точки (тела).
В СИ коэффициент пропорционально-
пропорциональности k=-1. Тогда
a=F/m,
или
dv
At'
F.4)
Учитывая, что масса материальной
точки (тела) в классической механике есть
величина постоянная, в выражении F.4)
ее можно внести под знак производной:
F = — )
At (тУ}'
F.5)
Векторная величина
p = mv,
F.6)
численно равная произведению массы ма-
материальной точки на ее скорость и име-
имеющая направление скорости, называется
импульсом (количеством движения) этой
материальной точки.
Подставляя F.6) в F.5), получим
At
F.7)
Это выражение — более общая формули-
формулировка второго закона Ньютона: скорость
изменения импульса материальной точки
равна действующей на нее силе. Выраже-
Выражение F.7) называется уравнением движе-
движения материальной точки.
Единица силы в СИ — ньютон (Н):
1 Н — сила, которая массе в 1 кг сообща-
сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении дейст-
действия силы:
1 Н=1 кг-м/с2.
Второй закон Ньютона справедлив
только в инерциальных системах отсчета.
Первый закон Ньютона можно получить
из второго. Действительно, в случае ра-
равенства нулю равнодействующей сил (при
отсутствии воздействия на тело со стороны
других тел) ускорение (см. F.3)) также
равно нулю. Однако первый закон Ньюто-
Ньютона рассматривается как самостоятельный
закон (а не как следствие второго зако-
закона), так как именно он утверждает су-
существование инерциальных систем отсче-
отсчета, в которых только и выполняется урав-
уравнение F.7).

I. Физические неновы механики
В механике большое значение имеет
принцип независимости действия сил: если
на материальную точку действует одно-
одновременно несколько сил, то каждая из
этих сил сообщает материальной точке
ускорение согласно второму закону
Ньютона, как будто других сил не было.
Согласно этому принципу, силы и ускоре-
ускорения можно разлагать на составляющие,
использование которых приводит к су-
существенному упрощению решения задач.
Например, на рис. 10 действующая сила
F = ma разложена на два компонента:
тангенциальную силу FT (направлена но
касательной к траектории) и нормальную
силу Fn (направлена по нормали к центру
кривизны). Используя выражения
dv v2
и ап = —, а также v = Rw, можно
Си
записать:
FT = та., = т
dv
dt '
F „ = тап = mv2/R = mco2/?.
Если на материальную точку действует
одновременно несколько сил, то, согласно
принципу независимости действия сил, под
F во втором законе Ньютона понимают
результирующую силу.
§7. Третий закон Ньютона
Взаимодействие между материальными
точками (телами) определяется третьим
законом Ньютона: всякое действие мате-
материальных точек (тел) друг на друга носит
характер взаимодействия; силы, с которы-
которыми действуют друг на друга материальные
точки, всегда равны по модулю, противо-
противоположно направлены и действуют вдоль
прямой, соединяющей эти точки:
F,2=—Fai, G.1)
где Fi2 — сила, действующая на первую
материальную точку со стороны второй;
F21 — сила, действующая на вторую мате-
материальную точку со стороны первой. Эти
силы приложены к разным материальным
точкам (телам), всегда действуют парами
и являются силами одной природы.
При использовании законов динамики
иногда допускают следующую ошибку;
так как действующая сила всегда вызыва-
вызывает равную по модулю и противоположную
по направлению силу противодействия, то,
следовательно, их равнодействующая до-
должна быть равна нулю и тела вообще не
могут приобрести ускорения. Однако надо
помнить, что во втором законе Ньютона
речь идет об ускорении, приобретаемом
телом под действием приложенных к нему
сил. Равенство нулю ускорения означает
равенство нулю равнодействующей сил,
приложенных к одному и тому же телу.
Третий же закон Ньютона говорит о равен-
равенстве сил, приложенных к различным телам.
На каждое из двух взаимодействующих
тел действует только одна сила, которая
и сообщает данному телу ускорение.
Третий закон Ньютона позволяет осу-
осуществить переход от динамики отдельной
материальной точки к динамике системы
материальных точек. Это следует из того,
что и для системы материальных точек
взаимодействие сводится к силам парного
взаимодействия между материальными
точками.
§ 8. Силы трения
Обсуждая до сих пор силы, мы не интере-
интересовались их происхождением. Однако
в механике мы будем рассматривать раз-
различные силы: трения, упругости, тяготе-
тяготения.
Из опыта известно, что всякое тело,
движущееся по горизонтальной поверхно-
поверхности другого тела, при отсутствии действия
на него других сил с течением времени
замедляет свое движение и в конце концов
останавливается. Это можно объяснить
существованием силы трения, которая

[ лапа 2. Динамика материальной точки
17
препятствует скольжению соприкасаю-
соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы
трения зависят от относительных скоро-
скоростей тел. Силы трения могут быть разной
природы, но в результате их действия ме-
механическая энергия всегда превращается
во внутреннюю энергию соприкасающих-
соприкасающихся тел.
Различают внешнее (сухое) и внутрен-
внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним
трением называется трение, возникающее
в плоскости касания двух соприкасающих-
соприкасающихся тел при их относительном перемещении.
Если соприкасающиеся тела неподвижны
друг относительно друга, говорят о трении
покоя, если же происходит относительное
перемещение этих тел, то в зависимости от
характера их относительного движения
говорят о трении скольжения, качения или
верчения.
Внутренним трением называется тре-
трение между частями одного и того же тела,
например между различными слоями жид-
жидкости или газа, скорости которых меняют-
меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего
трения здесь отсутствует трение покоя.
Если тела скользят относительно друг дру-
друга и разделены прослойкой вязкой жидко-
жидкости (смазки), то трение происходит в слое
смазки. В таком случае говорят о гидроди-
гидродинамическом трении (слой смазки доста-
достаточно толстый) и граничном трении (тол-
(толщина смазочной прослойки «0,1 мкм
и меньше).
Обсудим некоторые закономерности
внешнего трения. Это трение обусловлено
шероховатостью соприкасающихся повер-
поверхностей; в случае же очень гладких по-
поверхностей трение обусловлено силами
межмолекулярного притяжения.
Рассмотрим лежащее на плоскости те-
тело (рис. И), к которому приложена гори-
N
Рис. 12
зонтальная сила F. Тело придет в движе-
движение лишь тогда, когда приложенная сила
F будет больше силы трения FTp. Француз-
Французские физики Г. Амонтои A663—1705)
и Ш. Кулон A736—1806) опытным путем
установили следующий закон: сила трения
скольжения Fip пропорциональна силе
N нормального давления, с которой одно
тело действует на другое:
где f — коэффициент трения скольжения,
зависящий от свойств соприкасающихся
поверхностей.
Найдем значение коэффициента тре-
трения. Если тело находится на наклонной
плоскости с углом наклона а (рис. 12), то
оно приходит в движение только когда
тангенциальная составляющая F силы тя-
тяжести Р больше силы грепия F,,,. Следова-
Следовательно, в предельном случае (начало
скольжения тела)
F=Frn,
или
откуда
Р sin <x() = jN — fP cos an
Таким образом, коэффициент трения ра-
равен тангенсу угла а0, при котором на-
начинается скольжение тела по наклонной
плоскости.
Для гладких поверхностей определен-
определенную роль начинает играть межмолекуляр-
межмолекулярное притяжение. Поэтому Б. В.Деряги-
ным (р. 1902) предложен закон трения
скольжения

18
I. Фичнческие (к'моиы механики
где ра — добавочное давление, обус-
обусловленное силами межмолекулярного при-
притяжения, которые быстро уменьшаются
с увеличением расстояния между частица-
частицами; S — площадь контакта между телами;
/ист — истинный коэффициент трения
скольжения.
Трение играет большую роль в при-
природе и технике. Благодаря трению движет-
движется транспорт, удерживается забитый
в стену гвоздь и т. д.
В некоторых случаях силы трения ока-
оказывают вредное действие, и поэтому их
надо уменьшать. Для этого на трущиеся
поверхности наносят смазку (сила трения
уменьшается примерно в 10 раз), которая
заполняет неровности между этими повер-
поверхностями и располагается тонким слоем
между ними так, что поверхности как бы
перестают касаться друг друга, а скользят
друг относительно друга отдельные слои
жидкости. Таким образом, внешнее трение
твердых тел заменяется значительно мень-
меньшим внутренним трением жидкости.
Радикальным способом уменьшения
силы трения является замена трения
скольжения трением качения (шариковые
и роликовые подшипники и т.д.). Сила
трения качения определяется по закону
Кулона:
Fi9 = LN/r, (8.1)
где г — радиус катящегося тела; /к —
коэффициент трения качения, имеющий
размерностьсИш fK = L. Из (8.1) следует,что
сила трения качения обратно пропорцио-
пропорциональна радиусу катящегося тела.
§ 9. Закон сохранения импульса.
Центр масс
Для вывода закона сохранения импульса
рассмотрим некоторые понятия. Совокуп-
Совокупность материальных точек (тел), рассмат-
рассматриваемых как единое целое, называется
механической системой. Силы взаимодей-
взаимодействия между материальными точками ме-
механической системы называются внутрен-
внутренними. Силы, с которыми на материальные
точки системы действуют внешние тела,
называются внешними. Механическая
система тел, на которую не действуют
внешние силы, называется замкнутой (или
изолированной). Если мы имеем механиче-
механическую систему, состоящую из многих тел,
то, согласно третьему закону Ньютона,
силы, действующие между этими телами,
будут равны и противоположно направле-
направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних
сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему,
состоящую из п тел, масса и скорость
которых соответственно равны гп\, т% . ..,
тп и vi, V2, .., v,. Пусть F', F2, . ..,
F'n — равнодействующие внутренних сил,
действующих на каждое из этих тел, a Fi,
Fa, • • •, Fn — равнодействующие внешних
сил. Запишем второй закон Ньютона для
каждого из п тел механической системы:
-^-("JiVj —
— (m2v2)=F2
А/ш V)=F' + F
Складывая почленно эти уравнения,
получим
d
—г- fflf
at
Но так как геометрическая сумма внутрен-
внутренних сил механической системы по третьему
закону Ньютона равна нулю, то
~(ml
или
(9.1)
где р= У ту, — импульс системы. Таким
образом, производная по времени от им-
импульса механической системы равна гео-
геометрической сумме внешних сил, дейстпу-
ющих на систему.

Глава 2. Динамика материальной точки
19
В случае отсутствия внешних сил
(рассматриваем замкнутую систему)
dp V d , . ,,
?=l?('№)=0'
т. е.
у, = const.
Это выражение и является законом
сохранения импульса: импульс замкнутой
системы сохраняется, т. е. не изменяется
с течением времени.
Закон сохранения импульса справед-
справедлив не только в классической физике, хотя
он и получен как следствие законов
Ньютона. Эксперименты доказывают, что
он выполняется и для замкнутых систем
микрочастиц (они подчиняются законам
квантовой механики). Этот закон носит
универсальный характер, т. е. закон со-
сохранения импульса — фундаментальный
закон природы.
Закон сохранения импульса является
следствием определенного свойства сим-
симметрии пространства — его однородности.
Однородность пространства заключается
в том, что при параллельном переносе
в пространстве замкнутой системы тел как
целого ее физические свойства и законы
движения не изменяются, иными словами,
не зависят от выбора положения начала
координат инерциальной системы отсчета.
Отметим, что согласно (9.1), импульс
сохраняется и для незамкнутой системы,
если геометрическая сумма всех внешних
сил равна нулю.
В механике Галилея — Ньютона из-за
независимости массы от скорости импульс
системы может быть выражен через ско-
скорость ее центра масс. Центром масс (или
центром инерции) системы материальных
точек называется воображаемая точка С,
положение которой характеризует распре-
распределение массы этой системы. Ее радиус-
вектор равен
ГП;Г,
где rnL и г, — соответственно масса
и радиус-вектор 1-й материальной точки;
л — число материальных точек в системе;
'=1 т'~
масса системы.
Скорость центра масс
V dr."
drr I^'dT
m
m
Учитывая, что p, = m,v,, a ) p, есть
импульс р системы, можно написать
p = mvc, (9.2)
т. е. импульс системы равен произведе-
произведению массы системы на скорость ее цент-
центра масс.
Подставив выражение (9.2) в уравне-
уравнение (9.1), получим
m-^=F1 + F2 + ...+ Fn, (9.3)
т. е. центр масс системы движется как
материальная точка, в которой сосредото-
сосредоточена масса всей системы и на которую
действует сила, равная геометрической
сумме всех внешних сил, действующих на
систему. Выражение (9.3) представляет
собой закон движения центра масс.
В соответствии с (9.2) из закона со-
сохранения импульса вытекает, что центр
масс замкнутой системы либо движется
прямолинейно и равномерно, либо остает-
остается неподвижным.
§ 10. Уравнение движения тела
переменной массы
Движение некоторых тел сопровождается
изменением их массы, например масса ра-
ракеты уменьшается за счет истечения газов,
образующихся при сгорании топлива,
и т. п.
Е$ыведем уравнение движения тела пе-
переменной массы на примере движения ра-
ракеты. Если в момент времени / масса раке-
ракеты гп, а ее скорость v, то по истечении
времени dt ее масса уменьшится на dm

20
I. Физические основы механики
и станет равной т — dm, а скорость станет
равной v + dv. Изменение импульса систе-
системы за отрезок времени dt
dp = [(m — dm)(v + dv) + dm (v + u)]— mv,
где u — скорость истечения газов относи-
относительно ракеты. Тогда
dp = m dv + udm
(учли, что dm dv—малый высшего
порядка малости по сравнению с осталь-
остальными).
Если на систему действуют внешние
силы, то dp=Fd^, поэтому
Fd^ = m dv + udm,
или
Член — и
dv
dm
A0Л)
dm
называют реактивной силой
F|,. Если и противоположен v, то ракета
ускоряется, а если совпадает с v, то тормо-
тормозится.
Таким образом, мы получили уравне-
уравнение движения тела переменной массы
ma = F + Fp, A0.2)
которое впервые было выведено И. В. Ме-
Мещерским A859—1935).
Идея применения реактивной силы для
создания летательных аппаратов высказы-
высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем
A854—1881). К.Э.Циолковский A857—
1935) в 1903 г. опубликовал статью, где
предложил теорию движения ракеты и ос-
основы теории жидкостного реактивного
двигателя. Поэтому его считают основате-
основателем отечественной космонавтики.
Применим уравнение A0.1) к движе-
движению ракеты, на которую не действуют ни-
никакие внешние силы. Полагая F = 0 и счи-
считая, что скорость выбрасываемых газов
относительно ракеты постоянна (ракета
движется прямолинейно), получим
dv_
dt
dm
~dT'
откуда
f dm , . „
v= — и \ = — и lnm + C.
J m
Значение постоянной интегрирования
С определим из начальных условий. Если
в начальный момент времени скорость ра-
ракеты равна нулю, а ее стартовая масса т0,
то С = и In то. Следовательно,
v = u[n(mo/m). A0.3)
Это соотношение называется формулой
Циолковского. Она показывает, что:
I) чем больше конечная масса ракеты т,
тем больше должна быть стартовая масса
ракеты то; 2) чем больше скорость истече-
истечения и газов, тем больше может быть ко-
конечная масса при данной стартовой массе
ракеты.
Выражения A0.2) и A0.3) получены
для нерелятивистских движений, т. е. для
случаев, когда скорости v "и и малы по
сравнению со скоростью света с.
Контрольные вопросы
Какая система отсчета называется инерциальнои? Почему система отсчета, связанная с Зем-
Землей, строго говоря, неинерциальна?
Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?
Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона? Почему?
Сформулировав три закона Ньютона, покажите, какова взаимосвязь между этими законами.
В чем заключается принцип независимости действия сил?
Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие виды
внешнего (сухого) трения Вы знаете?
Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Является ли
Вселенная замкнутой системой? Почему?
В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? Почему он
является фундаментальным законом природы?

Глава 3. Работа и энергии 21
• Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения импульса?
• Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс за-
замкнутой системы?
Задачи
2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Опреде-
Определить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения
0,15. [ 10,9 м/с]
2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая
скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли? [28 м/с ]
2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы а =
= 30" и A = 45°. Гири равной массы (mi=mo = 2 кг) соединены нитью, перекинутой через
блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные
плоскости равными /,=/2 = / = 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определить: 1) ускорение,
с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с2; 2) 12 Н]
2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится
выстрел вдоль полотна под углом а = 45 ° к горизонту. Масса платформы с пушкой М =20 т,
масса снаряда т=1() кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами / =
= 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на рас-
расстояние s = 3 м. [ vu = M -\[2fgs/(m cos a) = 970 м/с]
2.5. На катере массой m = 5 t находится водомет, выбрасывающий ц = 25 кг/с воды со скоростью
ц = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, опреде-
определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную ско-
скорость катера. [1) v=u(\—е"|'//'" = 6,6 м/с; 2) 7 м/с]
Глава 3
Работа и энергия
§ 11. Энергия, работа, мощность количественно характеризовать процесс
обмена энергией между взаимодействую-
Энергия — универсальная мера различ- щими телами, в механике вводится по-
ных форм движения и взаимодействия. нятие работы силы.
С различными формами движения мате- Если тело движется прямолинейно
рии связывают различные формы энергии: и на него действует постоянная сила F,
механическую, тепловую, электромагнит- которая составляет некоторый угол а с на-
ную, ядерную и др. В одних явлениях правлением перемещения, то работа этой
форма движения материи не изменяется силы равна произведению проекции силы
(например, горячее тело нагревает холод- Fs на направление перемещения (Fs =
ное), в других —переходит в иную фор- =Fcosa), умноженной на перемещение
му (например, в результате трения меха- точки приложения силы;
ническое движение превращается в тепло- A = Fss — Fso.os а. (II 1)
вое). Однако существенно, что во всех
случаях энергия, отданная (в той или иной Б общем случае сила может изменять-
форме) одним телом другому телу, равна ся как по модулю, так и по направлению,
энергии, полученной последним телом. поэтому формулой A1.1) пользоваться не-
Изменение механического движения льзя. Если, однако, рассмотреть элемен-
тела вызывается силами, действующими тарное перемещение dr, то силу F можно
на него со стороны других тел. Чтобы считать постоянной, а движение точки ее

22
I. Физические основы механики
Рис. 13
приложения — прямолинейным. Элемен-
Элементарной работой силы F на перемещении dr
называется скалярная величина
АА = F dr = f cos a-ds = Fs ds,
где а — угол между векторами F и dr;
ds = I dr| —элементарный путь; Fs — про-
проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).
Работа силы на участке траектории от
точки / до точки 2 равна алгебраической
сумме элементарных работ на отдельных
бесконечно малых участках пути. Эта сум-
сумма приводится к интегралу
2 2
=j Fsds.
A1.2)
Для вычисления этого интеграла надо
знать зависимость силы Fs от пути s вдоль
траектории /—2. Пусть эта зависимость
представлена графически (рис. 14), тогда
искомая работа А определяется на графи-
графике площадью закрашенной фигуры. Если,
например, тело движется прямолинейно,
сила /7 = const и a = const, то получим
2 2
А = [ F ds cos a = F cos a[ ds = Fs cos a,
l l
где s — пройденный телом путь (см. также
формулу A1.1)).
Из формулы A1.1) следует, что при
а<я/2 работа силы положительна,
в этом случае составляющая Fs совпадает
по направлению с вектором скорости дви-
движения v (см. рис. 13). Если а>я/2, то
работа силы отрицательна. При а = л/2
(сила направлена перпендикулярно пере-
перемещению) работа силы равна нулю.
Единица работы—джоуль (Дж):
1 Дж — работа, совершаемая силой в 1 Н
на пути в 1 м A Дж = 1 Н-м).
Чтобы охарактеризовать скорость со-
совершения работы, вводят понятие мощ-
мощности:
dA
At
A1.3)
За время At сила F совершает работу Fdr,
и мощность, развиваемая этой силой,
в данный момент времени
а/—ЛЁ!_р
At ~ '
т. е. равна скалярному произведению век-
вектора силы на вектор скорости, с которой
движется точка приложения этой силы;
N — величина скалярная.
Единица мощности — ватт (Вт):
1 Вт — мощность, при которой за время
1 с совершается работа в 1 Дж A Вт =
= 1 Дж/с).
§12. Кинетическая
и потенциальная энергии
Кинетическая энергия механической
системы — это энергия механического
движения этой системы.
Сила F, действуя на покоящееся тело
и вызывая его движение, совершает рабо-
работу, а энергия движущегося тела возраста-
возрастает на величину затраченной работы. Таким
образом, работа dA силы F на пути, кото-
который тело прошло за время возрастания
скорости от 0 до v, идет на увеличение
кинетической энергии dT тела, т. е.
AA=dT.
Используя второй закон Ньютона F =
dv
= /n—j— и умножая обе части равен-
равенства на перемещение dr, получим
dt

Глава 3. Работа и энергия
23
_ dr
Так как v==—, то
At
откуда
= \ mv Av =
Таким образом, тело массой т, движущее-
движущееся со скоростью v, обладает кинетической
энергией
= mv2/2.
A2.1)
Из формулы A2.1) видно, что кинети-
кинетическая энергия зависит только от массы
и скорости тела, т. е. кинетическая энергия
системы есть функция состояния ее дви-
движения.
При выводе формулы A2.1) предпола-
предполагалось, что движение рассматривается
в инерциальной системе отсчета, так как
иначе нельзя было бы использовать за-
законы Ньютона. В разных инерциальных
системах отсчета, движущихся друг отно-
относительно друга, скорость тела, а следова-
следовательно, и его кинетическая энергия будут
неодинаковы. Таким образом, кинетиче-
кинетическая энергия зависит от выбора системы
отсчета.
Потенциальная энергия — механиче-
механическая энергия системы тел, определяемая
их взаимным расположением и характе-
характером сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществля-
осуществляется посредством силовых полей (напри-
(например, поля упругих сил, поля гравитацион-
гравитационных сил), характеризующихся тем, что
работа, совершаемая действующими сила-
силами при перемещении тела из одного поло-
положения в другое, не зависит от того, по
какой траектории это перемещение прои-
произошло, а зависит только от начального
и конечного положений. Такие поля на-
называются потенциальными, а силы, дей-
действующие в них,— консервативными. Если
же работа, совершаемая силой, зависит от
траектории перемещения тела из одной
точки в другую, то такая сила называется
диссипативной; ее примером является си-
сила трения.
Тело, находясь в потенциальном поле
сил, обладает потенциальной энергией П.
Работа консервативных сил при элемен-
элементарном (бесконечно малом) изменении
конфигурации системы равна приращению
потенциальной энергии, взятому со знаком
минус, так как работа совершается за счет
убыли потенциальной энергии:
cM=-dn. A2.2)
Работа dA выражается как скалярное
произведение силы F на перемещение dr
и выражение A2.2) можно записать в
виде
Fdr=-dII. A2.3)
Следовательно, если известна функция
П (г), то из формулы A2.3) можно найти
силу F по модулю и направлению.
Потенциальная энергия может быть
определена исходя из A2.3) как
П=—\ Fdr + C,
где С — постоянная интегрирования, т. е.
потенциальная энергия определяется с
точностью до некоторой произвольной по-
постоянной. Это, однако, не отражается на
физических законах, так как в них входит
или разность потенциальных энергий
в двух положениях тела, или производная
II по координатам. Поэтому потенциаль-
потенциальную энергию тела в каком-то определен-
определенном положении считают равной нулю (вы-
(выбирают нулевой уровень отсчета), а энер-
энергию тела в других положениях отсчитыва-
отсчитывают относительно нулевого уровня.
Для консервативных сил
' дх ' у ду г
или в векторном виде
F=—gradll,
где
дг '
A2.4)
gradll=—1 + -_J+_kA2.5)
(i, j, k — единичные векторы координат-
координатных осей). Вектор, определяемый выраже-
выражением A2.5), называется градиентом ска-
скаляра п. ;

24
1. Физические основы механики
Для него наряду с обозначением grad П
применяется также обозначение VII- V («на-
бла») означает символический вектор, называе-
называемый оператором Гамильтона* или набла-опе-
ратором:
ции Ах, равна
дх
дг
Конкретный вид функции П зависит от
характера силового поля. Например, по-
потенциальная энергия тела массой т, под-
поднятого на высоту h над поверхностью Зем-
Земли, равна
U = mgh, A2.7)
где высота h отсчитывается от нулевого
уровня, для которого По = О. Выражение
A2.7) вытекает непосредственно из того,
что потенциальная энергия равна работе
силы тяжести при падении тела с высоты
h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается
произвольно, то потенциальная энергия
может иметь отрицательное значение (ки-
(кинетическая энергия всегда положитель-
положительна!). Если принять за нуль потенциальную
энергию тела, лежащего на поверхности
Земли, то потенциальная энергия тела,
находящегося на дне шахты (глубина /г'),
n=—mgh'.
Найдем потенциальную энергию упру-
упругодеформированного тела (пружины).
Сила упругости пропорциональна дефор-
деформации:
Г hy
1 хулр "¦*••
где Fjiynp — проекция силы упругости на
ось х; k — коэффициент упругости (для
пружины — жесткость), а знак минус ука-
указывает, что /^упр направлена в сторону,
противоположную деформации х.
По третьему закону Ньютона, дефор-
деформирующая сила равна по модулю силе
упругости и противоположно ей направле-
направлена, т. е.
Элементарная работа dA, совершаемая
силой Fx при бесконечно малой деформа-
а полная работа
=\ kxdx = kx'2/2
идет на увеличение потенциальной энергии
пружины. Таким образом, потенциальная
энергия упругодеформированного тела
Потенциальная энергия системы, подо-
подобно кинетической энергии, является функ-
функцией состояния системы. Она зависит толь-
только от конфигурации системы и ее положе-
положения по отношению к внешним телам.
Полная механическая энергия систе-
системы — энергия механического движения
и взаимодействия:
* У. Гамильтон A805—1865) — ирланд-
ирландский математик и физик.
т. е. равна сумме кинетической и потен-
потенциальной энергий.
§ 1'А. Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии — результат
обобщения многих экспериментальных
данных. Идея этого закона принадлежит
М.В.Ломоносову A711 —1765), изложив-
изложившему закон сохранения материи и движе-
движения, а количественная формулировка за-
закона сохранения энергии дана немецким
врачом Ю. Майером A814—1878) и не-
немецким естествоиспытателем Г. Гельм-
гольцем A821 — 1894).
Рассмотрим систему материальных то-
точек массами т\, гпч, ..., mn, движущихся со
скоростями vi, V2, ..., у„. Пусть F\, F2, ...,
F'n — равнодействующие внутренних кон-
консервативных сил, действующих на каждую
из этих точек, a Fi, F2, ..., Fn— равнодей-
равнодействующие внешних сил, которые также
будем считать консервативными. Кроме
того, будем считать, что на материальные
точки действуют еще и внешние некон-
неконсервативные силы; равнодействующие
этих сил, действующих на каждую из ма-
материальных точек, обозначим fi, Гг, ...,
fn. При у<Сс массы материальных точек

[ .1 у в а 3 Работ я и энергии
25
постоянны и уравнения второго закона действующих на систему. Таким образом,
Ньютона для этих точек следующие: имеем
-&А. A3.2)
т.
dt
dv2
^-df='
При переходе системы из состояния / в ка-
какое-либо состояние 2
Двигаясь под действием сил, точки
системы за интервал времени dt соверша-
совершают перемещения, соответственно равные
dri, dr2, ..., dr,,. Умножим каждое из урав-
уравнений скалярно на соответствующее
перемещение и, учитывая, что dri = v,dt,
получим:
mi(vi dv,) —(F', +F,) dr, = f, dr,,
m2 (v2 dv2) — (F2 + F2) dr2 = f2 dr2,
Сложи эти уравнения, получим
? ,(v,.dv,.)-? (Fj + F,)dr,
m,
A3.1)
Первый член левой части равенства
A3.1)
f m,(v,.dv,.)= V d(m,v?/2) = dr,
где d7" есть приращение кинетической энер-
п
гии системы. Второй член У (F/+ F,) dr?
(= 1
равен элементарной работе внутренних
и внешних консервативных сил, взятой со
знаком минус, т. е. равен элементарному
приращению потенциальной энергии dll
системы (см. A2.2)).
Правая часть равенства A3.1) задает
работу внешних неконсервативных сил,
т. е. изменение полной механической энер-
энергии системы при переходе из одного со-
состояния в другое равно работе, совершен-
совершенной при этом внешними неконсервативны-
неконсервативными силами. Если внешние неконсерватив-
неконсервативные силы отсутствуют, то из A3.2)
следует, что
d (Г + П) = О,
откуда
A3.3)
т. е. полная механическая энергия системы
сохраняется постоянной. Выражение
A3.3) представляет собой закон сохране-
ння механической энергии: в системе тел,
между которыми действуют только кон-
консервативные силы, полная механическая
энергия сохраняется, т. е. не изменяется со
временем.
Механические системы, на тела кото-
которых действуют только консервативные си-
силы (внутренние и внешние), называются
консервативными системами. Закон сохра-
сохранения механической энергии можно сфор-
сформулировать так: в консервативных систе-
системах полная механическая энергия сохра-
сохраняется.
Закон сохранения механической энер-
энергии связан с однородностью времени,
т. е. инвариантностью физических зако-
законов относительно выбора начала отсчета
времени. Например, при свободном паде-
падении тела в поле сил тяжести его скорость
и пройденный путь зависят лишь от на-
начальной скорости и продолжительности
свободного падения тела и не зависят от
того, когда тело начало падать.
Существует еще один вид систем —
диссипативные системы, в которых меха-
механическая энергия постепенно уменьшается
за счет преобразования в другие (немеха-

26
I. Физические1 основы механики
нические) формы энергии. Этот процесс
получил название диссипации (или рассе-
рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы
в природе являются диссипативными.
В консервативных системах полная
механическая энергия остается постоян-
постоянной. Могут происходить лишь превраще-
превращения кинетической энергии в потенциаль-
потенциальную и обратно в эквивалентных количе-
количествах, так что полная энергия остается
неизменной. Поэтому, как указывает
Ф. Энгельс, этот закон не есть просто за-
закон количественного сохранения энергии,
а закон сохранения и превращения энер-
энергии, выражающий и качественную сторо-
сторону взаимного превращения различных
форм движения друг в друга. Закон со-
сохранения и превращения энергии — фун-
фундаментальный закон природы, он справед-
справедлив как для систем макроскопических тел,
так и для систем микротел.
В системе, в которой действуют также
неконсервативные силы, например силы
трения, полная механическая энергия
системы не сохраняется. Следовательно,
в этих случаях закон сохранения механи-
механической энергии несправедлив. Однако при
«исчезновении» механической энергии
всегда возникает эквивалентное количест-
количество энергии другого вида. Таким образом,
энергия никогда не исчезает и не появля-
появляется вновь, она лишь превращается из
одного вида в другой. В этом и заключает-
заключается физическая сущность закона сохране-
сохранения и превращения энергии — сущность
неуничтожимости материи и ее движения.
§ 14. Графическое представление
энергии
Во многих задачах рассматривается одно-
одномерное движение тела, потенциальная
энергия которого является функцией лишь
одной переменной (например, координаты
х), т. е. 1] = Щх). График зависимости по-
потенциальной энергии от некоторого аргу-
аргумента называется потенциальной кривой.
Анализ потенциальных кривых позволяет
определить характер движения тела.
Будем рассматривать только консерва-
консервативные системы, т. е. системы, в которых
взаимные превращения механической
Рис. 15
энергии в другие виды отсутствуют. Тогда
справедлив закон сохранения энергии
в форме A3.3). Рассмотрим графическое
представление потенциальной энергии для
тела в однородном поле тяжести и для
упругодеформированного тела.
Потенциальная энергия тела массой
т, поднятого на высоту h над поверхно-
поверхностью Земли, согласно A2.7), ll(h) = mgh.
График данной зависимости Ii = II(/i) —
прямая линия, проходящая через начало
координат (рис. 15), угол наклона которой
к оси h тем больше, чем больше масса тела
(так как tga = mg).
Пусть полная энергия тела равна Е (ее
график—прямая, параллельная оси h).
На высоте h тело обладает потенци-
потенциальной энергией П, которая определяется
отрезком вертикали, заключенным между
точкой h на оси абсцисс и графиком П(/г).
Естественно, что кинетическая энергия
Т задается ординатой между графиком
П(/г) и горизонтальной прямой ЕЕ. Из
рис. 15 следует, что если /i = /imax, то Т =
= 0 и П = E = mghmltx, т. е. потенциальная
энергия становится максимальной и рав-
равной полной энергии.
Из приведенного графика можно най-
найти скорость тела на высоте h:
Т = Е—П,
т. е.
откуда
mv /2 =
Зависимость потенциальной энергии
упругой деформации U = kx2/2 от дефор-
деформации х имеет вид параболы (рис. 16),
где график заданной полной энергии
тела Е — прямая, параллельная оси

Глава 3. Работа и энергии
27
~-Xmax
о
Рис. 16
абсцисс х, а значения Г и П определя-
определяются так же, как на рис. 15. Из
рис. 16 следует, что с возрастанием де-
деформации х потенциальная энергия тела
возрастает, а кинетическая — уменьшает-
уменьшается. Абсцисса хтах определяет максимально
возможную деформацию растяжения тела,
а —хтах—максимально возможную де-
деформацию сжатия, тела. Если х = ±хтах,
то 7" = 0 и П = ? = ?л^ах/2, т.е. потенци-
потенциальная энергия становится максимальной
и равной полной энергии.
Из анализа графика на рис. 16 вы-
вытекает, что при полной энергии тела, рав-
равной ?, тело не может сместиться правее
хтах и левее — *тах, так как кинетическая
энергия не может быть отрицательной ве-
величиной и, следовательно, потенциальная
энергия не может быть больше полной.
В таком случае говорят, что тело находит-
находится в потенциальной яме с координатами
В общем случае потенциальная кривая
может иметь довольно сложный вид, на-
например с несколькими чередующимися
максимумами и минимумами (рис.17).
Проанализируем эту потенциальную кри-
кривую. Если ? — заданная полная энергия
частицы, то частица может находиться
только там, где II(x)s^?, т.е. в обла-
областях / и ///. Переходить из области / в ///
и обратно частица не может, так как
ей препятствует потенциальный барьер
CDG, ширина которого равна интерва-
интервалу значений х, при которых ?< II, а его вы-
высота определяется разностью 1\тг% — Е.
Для того чтобы частица смогла пре-
преодолеть потенциальный барьер, ей не-
необходимо сообщить дополнительную энер-
энергию, равную высоте барьера или превы-
превышающую ее. В области / частица с полной
энергией Е оказывается «запертой» в по-
потенциальной яме ABC и совершает коле-
колебания между точками с координатами
хл и хс.
В точке В с координатой х0 (рис. 17)
потенциальная энергия частицы мини-
минимальна. Так как действующая на частицу
сила (см. § 12) Fx= ——- (II — функция
только одной координаты), а условие ми-
дП .
нимума потенциальной энергии ——=0, то
в точке В Fx = 0. При смещении частицы
из положения Xq (и влево, и вправо) она
испытывает действие возвращающей си-
силы, поэтому положение Хо является поло-
положением устойчивого равновесия. Указан-
Указанные условия выполняются и для точки х'о
(для Птах). Однако эта точка соответству-
соответствует положению неустойчивого равновесия,
так как при смещении частицы из положе-
положения х'о появляется сила, стремящаяся уда-
удалить ее от этого положения.
§ 15. Удар абсолютно упругих
и неупругих тел
Примером применения законов сохране-
сохранения импульса и энергии при решении ре-
реальной физической задачи является удар
абсолютно упругих и неупругих тел.
Удар (или соударение) — это столкно-
столкновение двух или более тел, при котором
взаимодействие длится очень короткое
время. Исходя из данного определения,
кроме явлений, которые можно отнести
к ударам в прямом смысле этого слова

I. Фи:)ич1'ски1- основы механики
(столкновения атомов или биллиардных
шаров), сюда можно отнести и такие, как
удар человека о землю при прыжке
с трамвая и т. д. При ударе в телах воз-
возникают столь значительные внутренние
силы, что внешними силами, действующи-
действующими на них, можно пренебречь. Это по-
позволяет рассматривать соударяющиеся те-
тела как замкнутую систему и применять
к ней законы сохранения.
Тела во время удара претерпевают
деформацию. Сущность удара заключает-
заключается в том, что кинетическая энергия относи-
относительного движения соударяющихся тел на
короткое время преобразуется в энергию
упругой деформации. Во время удара име-
имеет место перераспределение энергии меж-
между соударяющимися телами. Наблюдения
показывают, что относительная скорость
тел после удара не достигает своего пре-
прежнего значения. Это объясняется тем, что
нет идеально упругих тел и идеально глад-
гладких поверхностей. Отношение нормальных
составляющих относительной скорости тел
после и до удара называется коэффици-
коэффициентом восстановления е:
Если для сталкивающихся тел е = 0, то
такие тела называются абсолютно неупру-
неупругими, если s-= 1 — абсолютно упругими.
На практике для всех тел 0<е<1
(например, для стальных шаров е«
»0,56, для шаров из слоновой кости е«
ж0,89, для свинца е«0). Однако в не-
некоторых случаях тела можно с большой
точностью рассматривать либо как абсо-
абсолютно упругие, либо как абсолютно не-
неупругие.
Прямая, проходящая через точку со-
соприкосновения тел и нормальная к повер-
поверхности их соприкосновения, называется
линией удара. Удар называется централь-
центральным, если тела до удара движутся вдоль
прямой, проходящей через их центры
масс. Мы будем рассматривать только
центральные абсолютно упругие и абсо-
абсолютно неупругие удары.
Абсолютно упругий удар — столкнове-
столкновение двух тел, в результате которого в обо-
обоих взаимодействующих телах не остается
никаких деформаций и вся кинетическая
Рис. 18
энергия, которой обладали тела до удара,
после удара снова превращается в кинети-
кинетическую энергию.
Для абсолютно упругого удара вы-
выполняются закон сохранения импульса
и закон сохранения кинетической энергии.
Обозначим скорости шаров массами
т\ и mi до удара через vi и V2, после
удара — через v' и v'> (рис. 18). При пря-
прямом центральном ударе векторы скоростей
шаров до и после удара лежат на прямой
линии, соединяющей их центры. Проекции
векторов скорости на эту линию равны
модулям скоростей. Их направления учтем
знаками: положительное значение припи-
припишем движению вправо, отрицательное —
движению влево.
При указанных допущениях законы
сохранения имеют вид
,-,p2 = m(o\ -\-tn2v2, A5.1)
2 ¦ 2 2 " + -1n-<I5-2>
Произведя соответствующие преобра-
преобразования в выражениях A5.1) и A5.2), по-
получим
т[ (У| — v\) = m2(v2 — v2), A5.3)
откуда
A5.4)
A5.5)
Решая уравнения A5.3) и A5.5), находим
А A5.6)
тл -\-т2
v'2 =
/и | -\-т2
Разберем несколько примеров.
mlvt
. A5.7)

Глава 3. Работа и энергия
29
При ц2 =
тг
т.
v'2 =
1
ml-\-m2
2m,
A5.8)
A5.9)
Проанализируем выражения A5.8)
и A5.9) для двух шаров различных масс:
а) mi = m2. Если второй шар до удара
висел неподвижно (i»2 = 0) (рис.19), то
после удара остановится первый шар
(и' = 0), а второй будет двигаться с той
же скоростью и в том же направлении,
в котором двигался первый шар до удара
Рис. 19
б) т\>гп2. Первый шар продолжает
двигаться в том же направлении, как и до
удара, но с меньшей скоростью (v'\<vi).
Скорость второго шара после удара боль-
больше, чем скорость первого после удара
(v'2>v\) (рис.20);
Рис. 20
в) mi<m2. Направление движения
первого шара при ударе изменяется —
шар отскакивает обратно. Второй шар
движется в ту же сторону, в которую
двигался первый шар до удара, но с
меньшей скоростью, т.е. иг<0| (рис.
21);
г) ni2^>m\ (например, столкновение
шара со стеной). Из уравнений A5.8)
и A5.9) следует, что г>'=— ui, у?~
Рис. 21
2) При т.\ = т.2 выражения
и A5.7) будут иметь вид
A5.6)
т. е. шары равной массы «обмениваются»
скоростями.
Абсолютно неупругий удар — столкно-
столкновение двух тел, в результате которого тела
объединяются, двигаясь дальше как еди-
>-, V, '"г
/л, *тг
Рис. 22
ное целое. Продемонстрировать абсолют-
абсолютно неупругий удар можно с помощью ша-
шаров из пластилина (глины), движущихся
навстречу друг другу (рис. 22).
Если массы шаров т.\ и тг, их скоро-
скорости до удара vi и \2, то, используя закон
сохранения импульса, можно записать
2 = (mi-|- m2) v,
откуда
v = —
| + m2v2
A5.10)
Если шары движутся навстречу друг
другу, то они вместе будут продолжать
двигаться в ту сторону, в которую двигал-
двигался шар, обладающий большим импульсом.
В частном случае если массы шаров равны
(т\ = т.2), то
v = (v,+v2)/2.
Выясним, как изменяется кинетиче-
кинетическая энергия шаров при центральном аб-
абсолютно неупругом ударе. Так как в про-
процессе соударения шаров между ними дей-

30
I. Физические основы механики
ствуют силы, зависящие не от самих
деформаций, а от их скоростей, то мы
имеем дело с силами, подобными силам
трения, поэтому закон сохранения механи-
механической анергии не должен соблюдаться.
Вследствие деформации происходит «по-
«потеря» кинетической энергии, перешедшей
в тепловую или другие формы энергии.
Эту «потерю» можно определить по раз-
разности кинетической энергии тел до и после
удара:
Д7'
m,v.
ч. ^_
(
2 2
Используя A5.10), получим
.,,, m\tnт[ (масса неподвижного тела
очень большая), то d<Cui и почти вся
кинетическая энергия тела при ударе пере-
переходит в другие формы энергии. Поэтому,
например, для получения значительной де-
деформации наковальня должна быть мас-
массивнее молотка. Наоборот, при забивании
гвоздей в стену масса молотка должна
быть гораздо большей (т|>тг), тогда
ч«В| и практически вся энергия затрачи-
затрачивается на возможно большее перемещение
гвоздя, а не на остаточную деформацию
стены.
Абсолютно неупругий удар — пример
того, как происходит «потеря» механиче-
механической энергии под действием диссипатив-
ных сил.
Контрольные вопросы
Ф В чем различие между понятиями энергии и работы?
ф Как найти работу переменной силы?
ф Какую работу совершает равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движу-
движущемуся но окружности?
ф Что такое мощность? Вывести ее формулу.
Ф Дайте определения и выведите формулы для известных вам видов механической энергии.
ф Какова связь между силой и потенциальной энергией?
ф Почему изменение потенциальной энергии обусловлено только работой консервативных сил?
# В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняет-
выполняется?
ф Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранения механической
энергии?
ф В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он является
фундаментальным законом природы?
ф Каким свойством времени обусловливается справедливость закона сохранения механической
энергии?
Ф Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?
Ф Какие заключения о характере движения тел можно сделать из анализа потенциальных кри-
кривых?
ф Как охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия? В чем их разли-
различие?
ф Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?
ф Как определить скорости тел после центрального абсолютно упругого удара? Следствием каких
законов являются эти выражения?

Г л ;i на 4. Мех;шикл твердого тол г
Задачи
3.1. Определить: I) работу поднятия груза по наклонной: плоскости; 2) среднюю и 3) максималь-
максимальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной плоскости
2 м, угол ее наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с.
[1) 170 Дж; 2) 85 Вт; 3) 173 Вт]
3.2. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивле-
сопротивлением воздуха, определить: I) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала
движения его кинетическая энергия 60 Дж; 2) потенциальную энергию камня через 1 с после
начала движения. [ 1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж ]
3.3. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту, с которой должна скатываться тележ-
тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную
петлю и не выпала из желоба. [ 25 м ]
3.4. Пуля массой т=10 г, летевшая горизонтально со скоростью и = 500 м/с, попадает в балли-
баллистический маятник длиной /=1 м и массой Af = 5 кг и застревает в нем. Определить угол
отклонения маятника. [ 18°30' ]
3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от расстояния г до
центра поля задается выражением П(л) = —-——, где А и В — положительные постоянные.
Определить значение га, соответствующее равновесному положению частицы. Является ли
это положение положением устойчивого равновесия? [га = 2А/В]
3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой т.\ ударяется в по-
покоящееся тело массой т?, в результате чего скорость первого тела уменьшается в п= 1,5 ра-
раза. Определить: 1) отношение mi/тг; 2) кинетическую энергию Ti, с которой начнет двигать-
двигаться второе тело, если первоначальная кинетическая энергия первого тела Т\ = 1000 Дж. [1M;
2) 555 Дж ]
3.7. Тело массой т.\=\ кг движется со скоростью У|==3 м/с и ударяется о неподвижное тело
такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты,
выделившееся при ударе. [9 Дж ]
Глава 4
Механика твердого тела
§16. Момент инерции где интегрирование производится по всему
объему тела. Величина г в этом случае
При изучении вращения твердого тела есть функция положения точки с коорди-
пользуются понятием момента инерции. натами х, у, z.
Моментом инерции системы (тела) отно- В качестве примера найдем момент
сительно оси вращения называется физи- инерции однородного сплошного цилиндра
ческая величина, равная сумме произведе- высотой h и радиусом R относительно его
ний масс п материальных точек системы геометрической оси (рис.23). Разобьем
на квадраты их расстояний до рассматри-
рассматриваемой оси:
'=1
В случае непрерывного распределения
масс эта сумма сводится к интегралу
' = \r2dm, _ „„
1 Рис. 23

1. Физические основы механики
цилиндр на отдельные полые концентриче-
концентрические цилиндры бесконечно малой толщины
Аг с внутренним радиусом г и внешним —
— r + dr Момент инерции каждого полого
цилиндра dJ = r2dm (так как dr<Cr, то
считаем, что расстояние всех точек ци-
цилиндра от оси равно г), где dm — масса
всего элементарного цилиндра; его объем
2nrh dr. Если р — плотность материала, то
dm=p-2nrh dr и AJ = 2nftp/-3d/\ Тогда мо-
момент инерции сплошного цилиндра
R
но так как nR2h — объем цилиндра, то
его масса m = nRlh\>, а момент инерции
/ = ' /2mR2.
Если известен момент инерции тела
относительно оси, проходящей через его
центр масс, то момент инерции относи-
относительно любой другой параллельной оси
определяется теоремой Штеинера: момент
инерции тела J относительно любой оси
вращения равен моменту его инерции
1С относительно параллельной оси, про-
проходящей через центр масс С тела, сло-
сложенному с произведением массы т те-
Таблица I
Ге/10
Полый тонко-
тонкостенный цилиндр
радиусом R
Сплошной ци-
цилиндр или диск
радиусом R
Прямой тонкий
стержень длиной /
Прямой тонкий
стержень длиной /
Шар радиусом
R
Положение оси
вращения
Ось симметрии
То же
Ось перпенди-
перпендикулярна стержню
и проходит через
его середину
Ось перпенди-
перпендикулярна стержню
и проходит через
его конец
Ось проходит че-
через центр шара
Момент
инерции
rnR2
'Am/?2
'/Г2ГП1'2
Уэ ml*
Vs mR'2
ла на квадрат расстояния а между осями:
]=]с+та2. A6.1)
В заключение приведем значения мо-
моментов инерции (табл.I) для некоторых
тел (тела считаются однородными, т —
масса тела).
§ 17. Кинетическая
энергия вращения
Рассмотрим абсолютно твердое тело
(см. § I), вращающееся около неподвиж-
неподвижной оси 2, проходящей через него
(рис. 24). Мысленно разобьем это тело на
маленькие объемы с элементарными мас-
массами т\, mi, ..., тп, находящиеся на рас-
расстоянии г\, Г2, ..-, гп от оси вращения. При
вращении твердого тела относительно не-
неподвижной оси отдельные его элементар-
элементарные объемы массами т, опишут окружно-
окружности различных радиусов Г{ и имеют раз-
различные линейные скорости v,. Но так как
мы рассматриваем абсолютно твердое те-
тело, то угловая скорость вращения этих
объемов одинакова:
Кинетическую энергию вращающегося
тела найдем как сумму кинетических энер-
энергий его элементарных объемов:
m,v.
fllt)U<)
+ —-+¦¦¦+-
Рис. 24

n ;l '1 Mon;.'HHK;i ] ;".'[>Д'>1''
3.4
ИЛИ
A trip-;
Используя выражение A7.1), получим
L J
где J' г — момент инерции тела относитель-
относительно оси г. Таким образом, кинетическая
энергия вращающегося тела
7-вр = У2со2/2. t A7.2)
Из сравнения формулы A7.2) с вы-
выражением A2.1) для кинетической энер-
энергии тела, движущегося поступательно
(T=tnv2/2), следует, что момент инерции
вращательного движения — мера инер-
инертности тела. Формула A7.2) справедлива
для тела, вращающегося вокруг непод-
неподвижной оси.
В случае плоского движения тела, на-
например цилиндра, скатывающегося с на-
наклонной плоскости без скольжения, энер-
энергия движения складывается из энергии
поступательного движения и энергии вра-
вращения:
2 i 2
rnvr Jra
Т = -+--—,
2 2
где m — масса катящегося тела; vc — ско-
скорость центра масс тела; Jc — момент
инерции тела относительно оси, проходя-
проходящей через его центр масс; и — угловая
скорость тела.
§ 18. Момент силы.
Уравнение динамики
вращательного движения
твердого тела
Моментом силы F относительно неподвиж-
неподвижной точки О называется физическая вели-
величина, определяемая векторным произведе-
произведением радиуса-вектора г, проведенного из
точки О в точку А приложения силы, на
силу F (рис. 25):
Рис. 2,г)
Здесь М — псевдовектор, его направление
совпадает с направлением поступательно-
поступательного движения правого винта при его враще-
вращении от г к F.
Модуль момента силы
M = Fr sin a = Fl, A8.1)
где а — угол между г и F; rsina = / —
кратчайшее расстояние между линией дей-
действия силы и точкой О — плечо силы.
Моментом силы относительно непод-
неподвижной оси z называется скалярная вели-
величина М2, равная проекции на эту ось век-
вектора М момента силы, определенного от-
относительно произвольной точки О данной
оси z (рис.26). Значение момента Мг не
зависит от выбора положения точки О на
оси 2.
Р.сли ось 2 совпадает с направлением
вектора М, то момент силы представля-
П" '*>
2 Т. И. Трофимова

.44
MC\:iHMt\H
Учитывая, что ы =
Рис. 27
ется в виде вектора, совпадающего с
осью:
M2 = [rF]2.
Найдем выражение для работы при
вращении тела (рис.27). Пусть сила
F приложена в точке В, находящейся от
оси вращения на расстоянии г, а — угол
между направлением силы и радиусом-
вектором г. Так как тело абсолютно твер-
твердое, то работа этой силы равна работе,
затраченной на поворот всего тела. При
повороте тела на бесконечно малый угол
dcp точка приложения В проходит путь
ds = rd(f, и работа равна произведению
проекции силы на направление смещения
на величину смещения:
(L4 = Fsin ard(f. A82)
Учитывая A8.1), можем записать
&A=MZ dcp,
где Fr sin a. = Fl = M2—момент силы от-
относительно оси г. Таким образом, работа
при вращении тела равна произведению
момента действующей силы на угол пово-
поворота.
Работа при вращении тела идет на
увеличение его кинетической энергии:
но
поэтому
или
= У ш dco,
p = /2(i) dco,
dcp
~d7'
получим
A8.3)
Уравнение A8.3) представляет собой
уравнение динамики вращательного дви-
движения твердого тела относительно непод-
неподвижной оси.
Можно показать, что если ось враще-
вращения совпадает с главной осью инерции
(см. §20), проходящей через центр масс,
то имеет место векторное равенство
М = Уе, A8.4)
где / — главный момент инерции тела
(момент инерции относительно главной
оси).
§ 19. Момент импульса
и закон его сохранения
При сравнении законов вращательного
и поступательного движений просматрива-
просматривается аналогия между ними, только во вра-
вращательном движении вместо силы «вы-
«выступает» ее момент, роль массы играет
момент инерции. Какая же величина будет
аналогом импульса тела? Ею является
момент импульса тела относительно оси.
Моментом импульса (количества дви-
движения) материальной точки Л относитель-
относительно неподвижной точки О называется физи-
физическая величина, определяемая векторным
произведением:
L==[rp] = [r mv],
M
dcp
——
=У,со
dco
Рис. 28

I ;i а и a 4. Механика твердого tivni
.45
где г — радиус-вектор, проведенный из
точки О в точку A; p = mv — импульс ма-
материальной точки (рис.28); L — псевдо-
псевдовектор, его направление совпадает с на-
направлением поступательного движения
правого винта при его вращении от г к р.
Модуль вектора момента импульса
L = rp sin a — tnvr sin a —pi,
где a — угол между векторами г и р, I —
плечо вектора р относительно точки О.
Моментом импульса относительно не-
неподвижной оси 2 называется скалярная
величина L2, равная проекции на эту ось
вектора момента импульса, определенного
относительно произвольной точки О дан-
данной оси. Значение момента импульса Lz не
зависит от положения точки О на оси г.
При вращении абсолютно твердого те-
тела вокруг неподвижной оси z каждая от-
отдельная точка тела движется по окружно-
окружности постоянного радиуса г, с некоторой
СКОРОСТЬЮ Vi. СКОРОСТЬ V, И ИМПуЛЬС niiVi
перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра-
радиус является плечом вектора m,v,. Поэто-
Поэтому можем записать, что момент импульса
отдельной частицы
L^m^r, A9.1)
и направлен по оси в сторону, определяе-
определяемую правилом правого винта.
Момент импульса твердого тела отно-
относительно оси есть сумма моментов импуль-
импульса отдельных частиц:
1=1
Используя формулу A7.1) и,- = <ол,-,
получим
Lz=
mi rf =
т. е.
A9.2)
Таким образом, момент импульса твердого
тела относительно оси равен произведе-
произведению момента инерции тела относительно
той же оси на угловую скорость.
2*
Продифференцируем уравнение A9.2)
по времени:
dt ¦ \.dt
Т. е.
1 и
dt - *¦
Это выражение — еще одна форма урав-
уравнения (закона) динамики вращательного
движения твердого тела относительно
неподвижной оси: производная момента
импульса твердого тела относительно
оси равна моменту сил относительно той
же оси.
Можно показать, что имеет место век-
векторное равенство
~=М- A9.3)
В замкнутой системе момент внешних
сил М = 0 и —— = 0, откуда
- = const.
A9.4)
Выражение A9.4) представляет собой
закон сохранения момента импульса: мо-
момент импульса замкнутой системы сохра-
сохраняется, т. е. не изменяется с течением
времени.
Закон сохранения момента импуль-
импульса — фундаментальный закон природы.
Он связан со свойством симметрии про-
пространства — его изотропностью, т. е. с ин-
Рис. 29

I. Физические ocunnu Mt-чнникн
Поступательное движение
Масса
Скорость
Ускорение
Сила
Импульс
Основное уравнение динамики
Работа с
Кинетическая энергия
т
dr
Л ~ ~dt~
F
p = rav
F = ma,
F=lf
lA = Fsds
mv2/4
T
Вращательное движение
Момент инерции
Угловая скорость
Углояое ускорение
Момент силы
Момент импульса
Основное уравнение динамики
Работа вращения
Кинетическая энергия вращения
аб
0)
е =
Мг
1-2
м
лица 2
/
dtp
= аТ
da)
= ЧГ
или М
= 7,0)
= Ле:
~~dt
Мг dtp
вариантностью физических законов отно-
относительно выбора направления осей коор-
координат системы отсчета (относительно
поворота замкнутой системы в простран-
пространстве на любой угол).
Продемонстрировать закон сохране-
сохранения момента импульса можно с помощью
скамьи Жуковского. Пусть человек, сидя-
сидящий на скамье, которая без трения враща-
вращается вокруг вертикальной оси, и держа-
держащий в вытянутых руках гантели (рис. 29),
приведен во вращение с угловой скоро-
скоростью Ш|. Если человек прижмет гантели
к себе, то момент инерции системы умень-
уменьшится. Поскольку момент внешних сил
равен нулю, момент импульса системы со-
сохраняется и угловая скорость вращения со2
возрастает. Аналогично, гимнаст во время
прыжка через голову поджимает к тулови-
туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой
момент инерции и увеличить тем самым
угловую скорость вращения.
Сопоставим основные величины
и уравнения, определяющие вращение те-
тела вокруг неподвижной оси и его поступа-
поступательное движение (табл.2).
§ 20. Свободные оси. Гироскоп
Для того чтобы сохранить положение оси
вращения твердого чела с течением време-
времени неизменным, используют подшипники,
в которых она удерживается. Однако су-
существуют такие оси вращения тел, кото-
которые не изменяют своей ориентации в про-
пространстве без действия на нее внешних
сил. Эти оси называются свободными ося-
осями (или осями свободного вращения)
Можно доказать, что в любом теле су-
существуют три взаимно перпендикулярные
оси, проходящие через центр масс тела,
которые могут служить свободными осями
(они называются главными осями инерции
тела). Например, главные оси инерции
однородного прямоугольного параллеле-
параллелепипеда проходят через центры противопо-
противоположных граней (рис. 30). Для однородно-
однородного цилиндра одной из главных осей инер-
инерции является его геометрическая ось,
а в качестве остальных осей могут быть
две любые взаимно перпендикулярные оси,
проведенные черен центр масс в плоско-
плоскости, перпендикулярной геометрической оси
цилиндра. Главными осями инерции шара
Рис. 30

на ^1. Моханика тиерАого
37
являются любые три взаимно перпендику-
перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.
Для устойчивости вращения большое
значение имеет, какая именно из свобод-
свободных осей служит осью вращения.
Можно показать, что вращение во-
вокруг главных осей с наибольшим и наи-
наименьшим моментами инерции оказывается
устойчивым, а вращение около оси со
средним моментом — неустойчивым. Так,
если подбросить тело, имеющее форму
параллелепипеда, приведя его одновре-
одновременно во вращение, то оно, падая, будет
устойчиво вращаться вокруг осей
/ и 2 (рис. 30).
Если, например, палочку подвесить за
один конец нити, а другой конец, закреп-
закрепленный к шпинделю центробежной маши-
машины, привести в быстрое вращение, то па-
палочка будет вращаться в горизонтальной
плоскости около вертикальной оси, пер-
перпендикулярной оси палочки и проходящей
через ее середину (рис.31). Это и есть
свободная ось вращения (момент инерции
при этом положении палочки максималь-
максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся
вокруг свободной оси, освободить от внеш-
внешних связей (аккуратно снять верхний ко-
конец нити с крючка шпинделя), го положе-
положение оси вращения в пространстве в тече-
течение некоторого времени сохраняется.
Свойство свободных осей сохранять свое
положение в пространстве широко при-
применяется в технике. Наиболее интересны
в этом плане гироскопы — массивные од-
однородные тела, вращающиеся с большой
угловой скоростью около своей оси сим-
симметрии, являющейся свободной осью.
\
Рис. :н
Рассмотрим одну из разновидностей
гироскопов — гироскоп на кардановом
подвесе (рис.32). Дискообразное тело —
гироскоп — закреплено на оси АА, кото-
которая может вращаться вокруг перпендику-
перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ, кото-
которая, в свою очередь, может поворачивать-
поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три
оси пересекаются в одной точке С, являю-
являющейся центром масс гироскопа и остаю-
остающейся неподвижной, а ось гироскопа мо-
может принять любое направление в про-
пространстве. Силами трения в подшипниках
всех трех осей и моментом импульса колец
пренебрегаем.
Так как трение в подшипниках мало,
то, пока гироскоп неподвижен, его оси
можно придать любое направление. Если
начать гироскоп быстро вращать (напри-
(например, с помощью намотанной на ось вере-
веревочки) и поворачивать его подставку, то
ось гироскопа сохраняет свое положение
в пространстве неизменной. Это можно
объяснить с помощью основного закона
динамики вращательного движения. Для
свободного вращающегося гироскопа сила
тяжести не может изменить ориентацию
его оси вращения, так как эта сила при-
приложена к центру масс (центр вращения
С совпадает с центром масс), а момент
силы тяжести относительно закрепленного
центра масс равен нулю. Моментом сил
трения мы также пренебрегаем. Поэтому
если момент внешних сил относительно его
закрепленного центра масс равен нулю,
то, как следует из уравнения A9.3), L =

38
[. Физические шмоны механики
= const, т. е. момент импульса гироскопа
сохраняет свою величину и направление
в пространстве. Следовательно, вместе
с ним сохраняет свое положение в про-
пространстве и ось гироскопа.
Чтобы ось гироскопа изменила свое
направление в пространстве, необходимо,
согласно A9.3), отличие от нуля момента
внешних сил. Если момент внешних
сил, приложенных к вращающемуся
гироскопу относительно его центра масс,
отличен от нуля, то наблюдается явле-
явление, получившее название гироскопичес-
гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что
под действием пары сил F, приложенной
к оси вращающегося гироскопа, ось ги-
гироскопа (рис. 33) поворачивается вокруг
прямой ОзОз, а не вокруг прямой О^Оч, как
это казалось бы естественным на первый
взгляд (OiOi и О^Оч лежат в плоскости
чертежа, а О3Оз и силы F перпендикуляр-
перпендикулярны ей).
Гироскопический эффект объясняется
следующим образом. Момент М пары сил
F направлен вдоль прямой О2О2. За время
dt момент импульса L гироскопа получит
приращение dL=Md/ (направление dL
совпадает с направлением М) и станет рав-
равным L—L + dL. Направление вектора L'
совпадает с новым направлением оси вра-
вращения гироскопа. Таким образом, ось вра-
вращения гироскопа повернется вокруг пря-
прямой О3О3. Если время действия силы мало,
то, хотя момент сил М и велик, изменение
момента импульса dL гироскопа будет
также весьма малым. Поэтому кратковре-
кратковременное действие сил практически не при-
приводит к изменению ориентации оси враще-
вращения гироскопа в пространстве. Для ее
изменения следует,: прикладывать силы
в течение длительного времени.
Если ось гироскопа закреплена под-
подшипниками, то вследствие гироскопиче-
гироскопического эффекта возникают так называемые
гироскопические силы, действующие на
опоры, в которых вращается ось гироско-
гироскопа. Их действие необходимо учитывать
при конструировании устройств, содержа-
содержащих быстровращающиеся массивные со-
составные части. Гироскопические силы
имеют смысл только во вращающейся си-
системе отсчета и являются частным случаем
кориолисовой силы инерции (см. §27).
Гироскопы применяются в различных
гироскопических навигационных приборах
(гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое
важное применение гироскопов — поддер-
поддержание заданного направления движения
транспортных средств, например судна
(авторулевой) и самолета (автопилот)
и т. д. При всяком отклонении от курса
вследствие каких-то воздействий (волны,
порыва ветра и т. д.) положение оси ги-
гироскопа в пространстве сохраняется. Сле-
Следовательно, ось гироскопа вместе с рама-
рамами карданова педвеса поворачивается от-
относительно движущегося устройства. По-
Поворот рам карданова подвеса с помощью
определенных приспособлений включает
рули управления, которые возвращают
движение к заданному курсу.
Впервые гироскоп применен француз-
французским физиком Ж.Фуко A819—1868) для
доказательства аращения Земли.
§21. Деформации твердого тела
Рассматривая механику твердого тела, мы
пользовались понятием абсолютно твердо-
твердого тела. Однако в природе абсолютно
твердых тел нет, так как все реальные тела
под действием сил изменяют свою форму
и размеры, т. е. деформируются.
Деформация называется упругой, если
после прекращения действия внешних сил
тело принимает первоначальные размеры
и форму. Деформации, которые сохраня-

лава 4. Механика твердого тола
39
Рис. 34
ются в теле после прекращения действия
внешних сил, называются пластическими
(или остаточными). Деформации реально-
реального тела всегда пластические, так как они
после прекращения действия внешних сил
никогда полностью не исчезают. Однако
если остаточные деформации малы, то ими
можно пренебречь и рассматривать уп-
упругие деформации, что мы и будем де-
делать.
В теории упругости доказывается, что
все виды деформаций (растяжение или
сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут
быть сведены к одновременно происходя-
происходящим деформациям растяжения или сжа-
сжатия и сдвига.
Рассмотрим однородный стержень
длиной I и площадью поперечного сечения
S (рис. 34), к концам которого приложены
направленные вдоль его оси силы Fi и F2
(Z7, =/72 = /г), в результате чего длина стер-
стержня меняется на величину Д/. Естествен-
Естественно, что при растяжении Д/ положительно,
а при сжатии — отрицательно.
Сила, действующая на единицу пло-
площади поперечного сечения, называется на-
напряжением:
a = F/S. B1.1)
Если сила направлена по нормали к по-
поверхности, напряжение называется нор-
нормальным, если же по касательной к по-
поверхности — тангенциальным.
Количественной мерой, характеризую-
характеризующей степень деформации, испытываемой
телом, является его относительная дефор-
деформация. Так, относительное изменение дли-
длины стержня (продольная деформация)
е = Д///, B1.2)
относительное поперечное растяжение
(сжатие)
где d — диаметр стержня.
Деформации е и е' всегда имеют раз-
разные знаки (при растяжении Д/ положи-
положительно, a Ad отрицательно, при сжатии Д/
отрицательно, a Ad положительно). Из
опыта вытекает взаимосвязь е и &':
где jjl — положительный коэффициент, за-
зависящий от свойств материала, называе-
называемый коэффициентом Пуассона *.
Английский физик Р. Гук A635—
1703) экспериментально установил, что
для малых деформаций относительное уд-
удлинение е и напряжение а прямо про-
пропорциональны друг другу:
о = ?е, B1.3)
где коэффициент пропорциональности
Е называется модулем Юнга **. Из вы-
выражения B1.3) видно, что модуль Юнга
определяется напряжением, вызывающим
относительное удлинение, равное единице.
Из формул B1.2), B1.3) и B1.1) вы-
вытекает, что
о _ F
Е~ ES'
Д/
или
B1.4)
где k — коэффициент упругости. Выраже-
Выражение B1.4) также задает закон Гука, со-
согласно которому удлинение стержня при
упругой деформации пропорционально
действующей на стержень силе.
Деформации твердых тел подчиняются
закону Гука до известного предела. Связь
между деформацией и напряжением пред-
представляется в виде диаграммы напряже-
напряжений, которую мы качественно рассмотрим
для металлического образца (рис. 35). Из
рисунка видно, что линейная зависимость
а(е), установленная Гуком, выполняется
* С. Пуассон A781 —1840) — француз-
французский ученый.
** Т. Юнг A773—1829) — английский
ученый.

I Физические псионы механики
0 F
Рис. 35
лишь в очень узких пределах до так на-
называемого предела пропорциональности
(стп). При дальнейшем увеличении напря-
напряжения деформация еще упругая (хотя за-
зависимость а(е) ужи не линейна) п до пре-
предела упругости (<7У) остаточные деформа-
деформации не возникают. За пределом упругости
в теле возникают остаточные деформации
и график, описывающий возвращение тела
в первоначальное состояние после прекра-
прекращения действия силы, изобразится не кри-
кривой ВО, а параллельной ей — CF. Напря-
Напряжение, при котором появляется заметная
остаточная деформация («0,2 %), назы-
называется пределом текучести (ат) — точка
С на кривой. В области CD деформация
возрастает без увеличения напряжения,
т. е. тело как бы «течет». Эта область
называется областью текучести (или об-
областью пластических деформаций). Мате-
Материалы, для которых область текучести
значительна, называются вязкими, для ко-
которых же она практически отсутствует —
хрупкими. При дальнейшем растяжении
(за точку D) происходит разрушение тела.
Максимальное напряжение, возникающее
в теле до разрушения, называется преде-
пределом ПРОЧНОСТИ (Ор).
Диаграмма напряжений для реальных
твердых тел зависит от различных факто-
факторов. Одно и то же твердое тело может при
кратковременном действии сил проявлять
себя как хрупкое, а при длительных, но
слабых силах является текучим.
Рис. 36
Вычислим потенциальную энергию уп-
упру гор астянутого (сжатого) стержня, кото-
которая равна работе, совершаемой внешними
силами при деформации:
л/
ГТ==Л=Л F Ах,
где х — абсолютное удлинение стержня,
изменяющееся в процессе деформации от
0 до Л/. Согласно закону Гука B1.4), F =
= kx = ESx/t. Поэтому
т. е. потенциальная энергия упругорастя-
нутого стержня пропорциональна квадра-
квадрату деформации (А/J.
Деформацию сдвига проще всего осу-
осуществить, если взять брусок, имеющий
форму прямоугольного параллелепипеда,
и приложить к нему силу Fr (рис.36),
касательную к его поверхности (нижняя
часть бруска закреплена неподвижно).
Относительная деформация сдвига опре-
определяется из формулы
где As — абсолютный сдвиг параллельных
слоев тела относительно друг друга; h —
расстояние между слоями (для малых уг-
углов tgv«v)-

( л а на 4. Механика твердого тела
41
Контрольные вопросы
Что такое мо«*ент инерции тела?
Какова роль момента инерции во вращательном движении?
Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и как
ее вывести?
Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? относительно неподвижной
оси? Как определяется направление момента силы?
Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется направле-
направление момента импульса?
В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В каких систе-
системах он выполняется? Приведите примеры.
Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона сохранения
момента импульса?
Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений,
прокомментировав их аналогию.
Что такое свободные оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми?
Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?
Сформулируйте закон Гука. Когда он справедлив?
Дайте объяснение качественной диаграммы напряжений а (г). Что такое пределы пропорцио-
пропорциональности, упругости и прочности?
Каков физический смысл модуля Юнга?
Задачи
4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения
сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить: 1) отноше-
отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне, 2) их отношение в данный момент време-
времени. [ 1) 14/15; 2) 14/15 ]
4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом # = 0,5 м приложена постоянная касатель-
касательная сила f-=100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М = 2 Н-м.
Определить массу т диска, если известно, что его угловое ускорение е. постоянно и равно
12 рад/с2. [32 кг]
4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой т= 1 кг перекину-
перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами т\ — 1 кг и пц = 2 кг. Прене-
Пренебрегая трением в оси блока, определить: I) ускорение грузов; 2) отношения Т?/Т\ сил на-
тяжйния нити. [1) 2,8 м/с2; 2) 1,11 ]
4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 кг- м2, вращающегося при торможении
равнозамедлеино, за время t=\ мин уменьшилась от ni=300 об/мин до и2 = 180 об/мин.
Определить: 1) угловое ускорение е колеса; 2| момент М силы торможения; 3) работу силы
торможения. [I) 0,21 рад/с"; 2) 0,42 Н-м; 3) 630 Дж ]
4.5. Человек массой т = 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 100 кг,
вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой rti = 10 мин~',
переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точеч-
точечной массой, определить, с какой частотой и а будет тогда вращаться платформа. [26 мин~' ]
4.6. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении
затрачена работа 621 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм', модуль
Юнга для алюминия Е = 69 ГПа. [ А/// = \:2Aj(ESI) =0,03 ]

42
I. Физические основы механики
Глава 5
Тяготение. Элементы теории поля
§ 22. Законы Кеплера.
Закон всемирного тяготения
Еще в глубокой древности было замечено,
что в отличие от звезд, которые неизменно
сохраняют свое взаимное расположение
в пространстве в течение столетий, плане-
планеты описывают среди звезд сложнейшие
траектории. Для объяснения петлеобраз-
петлеобразного движения планет древнегреческий
ученый К. Птоломей (II в. н.э.), считая
Землю расположенной в центре Вселен-
Вселенной, предположил, что каждая из планет
движется по малому кругу (эпициклу),
центр которого равномерно движется по
большому кругу, в центре которого на-
находится Земля. Эта концепция получила
название птоломеевой геоцентрической
системы мира и при поддержке католиче-
католической церкви господствовала почти полто-
полторы тысячи лет.
В начале XVI в. польским астрономом
Н. Коперником A473—1543) обоснована
гелиоцентрическая система (см. § 5), сог-
согласно которой движения небесных тел
объясняются движением Земли (а также
других планет) вокруг Солнца и суточным
вращением Земли. Теория и наблюдения
Коперника воспринимались как занима-
занимательная фантазия.
К началу XVII столетия большинство
ученых убедилось, однако, в справедливо-
справедливости гелиоцентрической системы мира.
И. Кеплер A571 — 1630), обработав
и уточнив результаты многочисленных на-
наблюдений датского астронома Т. Браге
A546—1601), изложил законы движения
планет:
1. Планеты движутся по эллипсам,
в одном из фокусов которого находится
Солнце.
2. Радиус-вектор планеты за равные
промежутки времени описывает одинако-
одинаковые площади.
3. Квадраты периодов обращения пла-
планет вокруг Солнца относятся как кубы
больших полуосей их орбит.
Впоследствии И. Ньютон, изучая дви-
движение небесных тел, на основании законов
Кеплера и основных законов динамики
открыл всеобщий закон всемирного тя-
тяготения: между любыми двумя материаль-
материальными точками действует сила взаимного
притяжения, прямо пропорциональная
произведению масс этих точек (mi и /яг)
и обратно пропорциональная квадрату
расстояния между ними (г2):
F=Gmlm2/r2. B2.1)
Эта сила называется гравитационной (или
силой всемирного тяготения). Силы тяго-
тяготения всегда являются силами притяже-
притяжения и направлены вдоль прямой, проходя-
проходящей через взаимодействующие тела. Ко-
Коэффициент пропорциональности G на-
называется гравитационной постоянной.
Закон всемирного тяготения установ-
установлен для тел, принимаемых за материальные
точки, т. е. для таких тел, размеры кото-
которых малы по сравнению с расстоянием
между ними. Если же размеры взаимодей-
взаимодействующих тел сравнимы с расстоянием
между ними, то эти тела надо разбить на
точечные элементы, подсчитать по форму-
формуле B2.1) силы притяжения между всеми
попарно взятыми элементами, а затем гео-
геометрически их сложить (проинтегриро-
(проинтегрировать), что является довольно сложной ма-
математической задачей.
Впервые экспериментальное доказа-
доказательство закона всемирного тяготения для
земных тел, а также числовое определение
гравитационной постоянной G проведено
английским физиком Г. Кавендишем
A731 —1810). Принципиальная схема
опыта Кавендиша, применившего крутиль-
крутильные весы, представлена на рис. 37. Легкое
коромысло А с двумя одинаковыми шари-
Рис. 37

Г л ;i п у 5. Тяготение. Элементы теории моля
43
ками массой те = 729 г подвешено на уп-
упругой нити В. На коромысле С укреплены
на той же высоте массивные шары массой
М=158 кг. Поворачивая коромысло С во-
вокруг вертикальной оси, можно изменять
расстояние между шарами с массами
т и М. Под действием пары сил, при-
приложенных к шарам т со стороны шаров
М, коромысло А поворачивается в гори-
горизонтальной плоскости, закручивая
нить В до тех пор, пока момент сил упру-
упругости не уравновесит момента сил тяготе-
тяготения. Зная упругие свойства нити, по изме-
измеренному углу поворота можно найти воз-
возникающие силы притяжения, а так как
массы шаров известны, то и вычислить
значение G.
Значение G, приводимое в табли-
таблицах фундаментальных физических пос-
постоянных, принимается равным
6,6720- 10" "Н-м2/кг2, т.е. два точечных
тела массой по 1 кг каждое, находящиеся
на расстоянии 1 м друг от друга, при-
притягиваются с силой 6,6720-10~"Н. Очень
малая величина G показывает, что сила
гравитационного взаимодействия может
быть значительной только в случае боль-
больших масс.
§ 23. Сила тяжести и вес.
Невесомость
На любое тело, расположенное вблизи
Земли, действует сила тяготения F, под
влиянием которой, согласно второму за-
закону Ньютона, тело начнет двигаться
с ускорением свободного падения g. Та-
Таким образом, в системе отсчета, связанной
с Землей, на всякое тело массой т дей-
действует сила
P = mg,
называемая силой тяжести.
Согласно фундаментальному физиче-
физическому закону — обобщенному закону Га-
Галилея, все тела в одном и том же поле
тяготения падают с одинаковым ускорени-
ускорением. Следовательно, в данном месте Земли
ускорение свободного падения одинаково
для всех тел. Оно изменяется вблизи по-
поверхности Земли с широтой в пределах от
9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на
полюсах. Это обусловлено суточным вра-
вращением Земли вокруг своей оси, с одной
стороны, и сплюснутостью Земли — с
другой (экваториальный и полярный ра-
радиусы Земли равны соответственно
6378 и 6357 км). Так как различие значе-
значений g невелико, ускорение свободного па-
падения, которое используется при решении
практических задач, принимается равным
9,81 м/с2.
Если пренебречь суточным вращением
Земли вокруг своей оси, то сила тяжести
и сила гравитационного тяготения равны
между собой:
где М — масса Земли; R — расстояние
между телом и центром Земли. Эта форму-
формула дана для случая, когда тело находилось
на поверхности Земли.
Пусть тело расположено на высоте
h от поверхности Земли, Ra — радиус Зем-
Земли, тогда
P=GmM/(R0 + hf,
т. е. сила тяжести с удалением от повер-
поверхности Земли уменьшается.
В физике применяется также понятие
веса тела. Весом тела называют силу,
с которой тело вследствие тяготения
к Земле действует на опору (или подвес),
удерживающую тело от свободного паде-
падения. Вес тела проявляется только в том
случае, если тело движется с ускорением,
отличным от g, т. е. когда на тело кроме
силы тяжести действуют другие силы. Со-
Состояние тела, при котором оно движется
только под действием силы тяжести, на-
называется состоянием невесомости.
Таким образом, сила тяжести действу-
действует всегда, а вес появляется только в том
случае, когда на тело кроме силы тяжести
действуют еще другие силы, вследствие
чего тело движется с ускорением а, отлич-
отличным от g. Если тело движется в поле
тяготения Земли с ускорением a=^=g, то
к этому телу приложена дополнительная
сила N, удовлетворяющая условию
= ma.

44
i. Фтичоскпс
Тогда вес тела
Р' = — N = Р — та = mg — та = m(g — a),
т. е. если тело покоится или движется
прямолинейно и равномерно, то а =
= 0 и P' = mg. Если тело свободно дви-
движется в поле тяготения по любой траекто-
траектории и в любом направлении, то а =
= g и Р' = 0, т. е. тело будет невесомым.
Например, невесомыми являются тела, на-
находящиеся в космических кораблях, сво-
свободно движущихся в космосе.
§ 24. Поле тяготения
и его напряженность
Закон тяготения Ньютона определяет за-
зависимость силы тяготения от масс взаимо-
взаимодействующих тел и расстояния между ни-
ними, но не показывает, как осуществляется
это взаимодействие. Тяготение принадле-
принадлежит к особой группе взаимодействий. Си-
Силы тяготения, например, не зависят от
того, в какой среде взаимодействующие
тела находятся. Тяготение существует
и в вакууме.
Гравитационное взаимодействие меж-
между телами осуществляется с помощью по-
поля тяготения, или гравитационного поля.
Это поле порождается телами и является
формой существования материи. Основное
свойство поля тяготения заключается
в том, что на всякое тело массой т, вне-
внесенное в это поле, действует сила тяготе
ния, т. е.
F = mg. B4.1)
Вектор g не зависит от m и называется
напряженностью поля тяготения. Напря-
Напряженность поля тяготения определяется си-
силой, действующей со стороны поля на
материальную точку единичной массы,
и совпадает по направлению с действую-
действующей силой. Напряженность есть силовая
характеристика поля тяготения.
Поле тяготения называется однород-
однородным, если его напряженность во всех точ-
точках одинакова, и центральным, если во
всех точках поля векторы напряженности
направлены вдоль прямых, которые пере-
пересекаются в одной точке (А), неподвижной
по отношению к какой-либо инерциальной
системе отсчета (рис.38).
Для графического изображения сило-
силового поля используются силовые линии
(линии напряженности). Силовые линии
выбираются так, что вектор напряженно-
напряженности поля действует по касательной к сило-
силовой линии.
§ 25. Работа и поле тяготения.
Потенциал поля тяготения
Рассмотрим, чему равна работа, соверша-
совершаемая силами поля тяготения при переме-
перемещении в нем материальной точки мас-
массой т. Вычислим, например, какую надо
затратить работу для удаления тела мас-
массой т от Земли. На расстоя-
расстоянии R (рис. 39) на данное тело действует
сила
F=GmM/R2.
При перемещении этого тела на расстоя-
расстояние dR затрачивается работа
тМ
cL4 = — G
dR.
B5.1)
Знак минус появляется потому, что сила
и перемещение в данном случае противо-
противоположны по направлению (рис.39).
Если тело перемещать с расстояния Ri
Земля
Рис-. М9

Г л ;i на Г). Тяготение. Элементы теории ноля
до R>, то затрачивается работа
GM GM
B5.2)
Из формулы B5.2) вытекает, что за-
затраченная работа в иоле тяготения не
зависит от траектории перемещения, а оп-
определяется лишь начальным и конечным
положениями тела, т. е. силы тяготения
действительно консервативны, а поле тя-
тяготения является потенциальным
(см. §12).
Согласно формуле (i2.2), работа, со-
совершаемая консервативными силами, рав-
равна изменению потенциальной энергии
системы, взятому со знаком минус, т. е.
Л = -ДП=-A12-И|) = П1-П!!.
Из формулы B5.2) получаем
П,—П2 == - m(GM/R, — GM/R2).
B5.3)
Так как в формулы входит только раз-
разность потенциальных энергий н двух со-
состояниях, то для удобства принимают по-
потенциальную энергию при R-2—> <х> равной
нулю ( Urn П2 = 0). Тогда B5.3) запишет-
запишется в виде IIi = — GrnM/R\. Так как пер-
первая точка была выбрана произвольно, то
П= — GmM/R.
Величину
Ф=П/т,
являющуюся энергетической характери-
характеристикой поля тяготения, называют потенци-
потенциалом. Потенциал поля тяготения ф ¦— ска-
скалярная величина, определяемая потенци-
потенциальной энергией тела единичной массы
в данной точке поля или работой по пере-
перемещению единичной массы из данной точ-
точки поля в бесконечность. Таким образом,
потенциал поля тяготения, создаваемого
телом массой М, равен
B5.4)
где R — расстояние от этого тела до рас-
рассматриваемой точки.
Из формулы B5.4) вытекает, что гео-
геометрическое место точек с одинаковым
потенциалом образует сферическую повер-
поверхность (А! = const). Такие поверхности,
для которых потенциал постоянен, назы-
называются эквипотенциальными.
Рассмотрим взаимосвязь между потен-
потенциалом поля тяготения (<р) и его напря-
напряженностью ([<). Из выражений B5.1)
и B5.4) следует, что элементарная работа
<1Д, совершаемая силами ноля при малом
перемещении тела массой т, равна
d,4 = — m ёф.
С другой стороны, t\A =-- F Al (d/ — эле-
мен гарное перемещение). Учитывая
B4.1), получим, что
AA = mg d/,
d/--= — m d<p
или
g=-~
d/
drp
Величина -— характеризует изменение
потенциала на единицу длины в направле-
направлении перемещения в поле тяготения.
Можно показать, что
g==—grad
B5.5)
где gl.ad<r=_1 + _-,+--k -
градиент скаляра ф (см. A2.5)). Знак
минус в формуле B5.5) указывает, что
вектор напряженности g направлен в ста-
старому убывания потенциала.
В качестве частного примера, исходя
из представлений теории тяготения, рас-
рассмотрим потенциальную энергию тела, на-
находящегося на высоте h относительно
Земли:
1Ь=--
GmM
С n
Ro-\-h
где Ro — радиус Земли.
Gra/Vlh

1. Физические основы механики
Так как
P=GmM/R% и g = P/m=GM/R20,
B5.6)
то, учитывая условие /г<С/?о, получим
Таким образом, мы вывели формулу, со-
совпадающую с A2.7), которая постулиро-
постулировалась раньше.
§ 26. Космические скорости
Для запуска ракет в космическое про-
пространство надо в зависимости от постав-
поставленных целей сообщать им определенные
начальные скорости, называемые космиче-
космическими.
Первой космической (или круговой)
скоростью V] называют такую минималь-
минимальную скорость, которую надо сообщить те-
телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Зем-
Земли по круговой орбите, т. е превратиться
в искусственный спутник Земли. На спут-
спутник, движущийся по круговой орбите ра-
радиусом г, действует сила тяготения Зем-
Земли, сообщающая ему нормальное ускоре-
ускорение vi/r. По второму закону Ньютона,
Если спутник движется недалеко от
поверхности Земли, тогда rxzRo (радиус
Земли) и g — GM/R2o(cw- B5.6)), поэтому
у поверхности Земли
^=у?^= 7,9 км/с.
Первой космической скорости недоста-
недостаточно для того, чтобы тело могло выйти из
сферы земного притяжения. Необходимая
для этого скорость называется второй кос-
космической. Второй космической (или пара-
параболической) скоростью V2 называют ту
наименьшую скорость, которую надо со-
сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть
притяжение Земли и превратиться в спут-
спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле
тяготения Земли стала параболической.
Для того чтобы тело (при отсутствии со-
сопротивления среды) могло преодолеть
земное притяжение и уйти в космическое
пространство, необходимо, чтобы его кине-
кинетическая энергия была равна работе, со-
совершаемой против сил тяготения:
оо
= $ G-^-dr=GmM/R0,
mv\
откуда
= -d2gR0=l\,2 км/с.
Третьей космической скоростью из на-
называют скорость, которую необходимо со-
сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло
пределы Солнечной системы, преодолев
притяжение Солнца. Третья космическая
скорость из=16,7 км/с. Сообщение телам
таких больших начальных скоростей явля-
является сложной технической задачей. Ее
первое теоретическое осуществление на-
начато К. Э. Циолковским, им была выведе-
выведена уже рассмотренная нами формула
A0.3), позволяющая рассчитывать ско-
скорость ракет.
Впервые космические скорости были
достигнуты в СССР: первая — при за-
запуске первого искусственного спутника
Земли в 1957 г., вторая — при запуске ра-
ракеты в 1959 г. После исторического полета
Ю. А. Гагарина в 1961 г. начинается бур-
бурное развитие как советской, так и зару-
зарубежной космонавтики.
§ 27. Неинерциальные
системы отсчета.
Силы инерции
Как уже отмечалось (см. § 5,6), законы
Ньютона выполняются только в инерци-
альных системах отсчета. Системы отсче-
отсчета, движущиеся относительно инерциаль-
ной системы с ускорением, называются
неинерциальными. В неинерциальных
системах законы Ньютона, вообще говоря,
уже несправедливы. Однако законы дина-
динамики можно применять и для них, если
кроме сил, обусловленных воздействием
тел друг на друга, ввести в рассмотрение
силы особого рода — так называемые си-
силы инерции.
Если учесть силы инерции, то второй
закон Ньютона будет справедлив для лю-
любой системы отсчета: произведение массы
тела на ускорение в рассматриваемой
системе отсчета равно сумме всех сил,
действующих на данное тело (включая

Г .;i ;i n ,') 5. Гяго'1 <.'H
тоорин поля
47
и силы инерции). Силы инерции Гт при
этом должны быть такими, чтобы вместе
с силами F, обусловленными воздействием
тел друг на друга, они сообщали телу
ускорение а', каким оно обладает в неи-
нерциальных системах отсчета, т. е.
ma' = F+FMll. B7.1)
Так как F = ma (a — ускорение тела
в инерцналыюй системе отсчета), то
Силы инерции обусловлены ускорен-
ускоренным движением системы отсчета относи-
относительно измеряемой системы, поэтому в об-
общем случае нужно учитывать следующие
случаи проявления этих сил: 1) силы инер-
инерции при ускоренном поступательном дви-
движении системы отсчета; 2) силы инерции,
действующие на тело, покоящееся во вра-
вращающейся системе отсчета; 3) силы инер-
инерции, действующие на тело, движущееся во
вращающейся системе отсчета.
Рассмотрим эти случаи.
1. Силы инерции при ускоренном поступа-
поступательном движении системы отсчета. Пусть на
тележке к штативу на нити подвешен шарик
массой m (оис. 40). Пока тележка покоится или
движется равномерно и прямолинейно, нить,
удерживающая шарик, занимает вертикальное
положение и сила тяжести Р уравновешивается
реакцией нити Т.
Если тележку привести в поступательное
движение с ускорением ао, то нить начнет откло-
отклоняться от вертикали назад до такого угла а,
пока результирующая сила F = P + T не обеспе-
обеспечит ускорение шарика, равное ао. Таким обра-
образом, результирующая сила F направлена в сто-
сторону ускорения тележки а0 и для установивше-
установившегося движения шарика (шарик теперь движется
вместе с тележкой с ускорением ао) равна
F = mg tga = maQ,
откуда угол отклонения нити от вертикали
т. е. тем больше, чем больше ускорение тележки.
Относительно системы отсчета, связанной
с ускоренно движущейся тележкой, шарик по-
покоится, что возможно, если сила F уравновеши-
уравновешивается равной и противоположно направленной
ей силой Fk, которая является ничем иным, как
силой инерции, так как на шарик никакие дру-
другие силы не действуют. Таким образом,
FH=-ma0.
B7.5
Проявление сил инерции при поступатель-
поступательном движении наблюдается в повседневных яв-
явлениях. Например, когда поезд набирает ско-
скорость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под
действием силы инерции прижимается к спинке
сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила
инерции направлена в противоположную сторо-
сторону и пассажир отделяется от спинки сиденья.
Особенно эти силы заметны при внезапном тор-
торможении поезда. Силы инерции проявляются
в перегрузках, которые возникают при запуске
и торможении космических кораблей.
2. Силы инерции, действующие на тело,
покоящееся во вращающейся системе отсчета.
Пусть диск равномерно вращается с угловой
скоростью to (<i)=const) вокруг вертикальной
оси, проходящей через его центр. На диске, на
разных расстояниях от оси вращения, установ-
установлены маятники (на нитях подвешены шарики
массой т). При вращении маятников вместе
с диском шарики отклоняются от вертикали на
некоторый угол (рис.41).
В инерциальной системе отсчета, связан-
связанной, например, с помещением, где установлен
диск, шарик равномерно вращается по окруж-
окружности радиусом R (расстояние от точки крепле-
крепления маятника к диску до оси вращения). Следо-
Следовательно, на него действует сила, равная F =
— mw2R и направленная перпендикулярно оси
рр:ш1ения диска. Она является равнодействую-
равнодействующей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т:
F=P + T. Когда движение шарика установит-
Рис. 41

4«
i;llbi IW'.Wtl
ся, то F —mg tga—ты2R, откуда
т. е. углы отклонения нитей маятников будут
тем больше, чем больше расстояние R от шари-
шарика до оси вращения диска и чем больше угловая
скорость вращения а>.
Относительно системы отсчета, связанной
с вращающимся диском, шарик покоится, что
возможно, если сила F уравновешивается рав-
равной и противоположно направленной ей силой
F,,, которая является ничем иным, как силон
инерции, так как на шарик никакие другие с мл и
не действуют. Сила Fa, называемая центробеж-
центробежной силой инерции, направлена по горизонтали
от оси вращении диска и равна
Fu=-mc.2/?. B7.3)
Действию центробежных сил инерции под-
подвергаются, например, пассажиры в движущем-
движущемся транспорте на поворотах, летчики при выпол-
выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные
силы инерции используются бо всех центробеж-
центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д.,
где они достигают огромных значений. При
проектировании быстро вращающихся деталей
машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) при-
принимаются специальные меры для уравновеши-
уравновешивания центробежных сил инерции.
Из формулы B7.3) вытекает, что центро-
центробежная сила инерции, действующая на тела во
вращающихся системах отсчета в направлении
радиуса от оси вращения, зависит от угловой
скорости вращения <л системы отсчета и радиу-
радиуса R, но не зависит от скорости тел относитель-
относительно вращающихся систем отсчета. Следователь-
Следовательно, центробежная сила инерции действует во
вращающихся системах отсчета на все тела,
удаленные от оси вращения на конечное рассто-
расстояние, независимо от того, покоятся ли они
в этой системе (как мы предполагали до сих
пор) или движутся относительно нее с какой-то
скоростью.
3. Силы инерции, действующие на тело,
движущееся во вращающейся системе отсчета.
Пусть шарик массой т движется с постоянной
скоростью v' вдоль радиуса равномерно враща-
вращающегося диска (o'=const, л) = const, n'lis).
Если диск не вращается, то шарик, направлен
ный вдоль радиуса, движется по радиальной
прямой и попадает в точку А, если же диск
привести во вращение в направлении, указан-
указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ
(рис. 42, а), причем его скорость у' относитель-
относительно диска изменяет свое направление. Это воз-
возможно лишь тогда, если на шарик действует
сила, перпендикулярная скорости и'.
Для того чтобы заставить шарик катиться
по вращающемуся диску вдоль радиуса, исполь-
используем жестко укрепленный вдоль радиуса диска
стержень, на котором шарик движется без тре-
трения равномерно и прямолинейно со скоростью и'
(рис. 42, б). При отклонении шарика стержень
действует на него с некоторой силой F. Относи-
Относительно диска (вращающейся системы отсчета)
шарик движется равномерно и прямолинейно,
что можно объяснить тем, что сила F уравнове-
уравновешивается приложенной к шарику силой инер-
инерции F«, перпендикулярной скорости v'. Эта си-
сила называется кориолисовой силой инерции.
Можно показать, что сила Кориолиса *
FK = 2m [v'<o] . B7.4)
Вектор F|< перпендикулярен векторам скорости
v' тела и угловой скорости вращения ы системы
отсчета в соответствии с правилом правого
винта.
Сила Кориолиса действует только на тела,
движущиеся относительно вращающейся систе-
системы отсчета, например относительно Земли. По-
Поэтому действием этих сил объясняется ряд на-
наблюдаемых па Земле явлений. Так, если тело
движется в северном полушарии на север
(рис. 43), то действующая на него сила Корио-
Кориолиса, как это следует из выражения B7.4),
будет направлена i-пргзо л о отношению к на-
направлению движения, т. е. тело несколько от-
отклонится на восток. Если тело движется на юг,
то сила Кориолиса также действует вправо,
если смотреть по направлению движения,
т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в север-
пом полушарии наблюдается более сильное под-
подмывание правых берегов рек; правые рельсы
железнодорожных путей по движению изнаши-
* Г. Кориолис A792—1843) — француз-
французский физик и инженер.

4:t
Баются 6i.ii.riiec, чем левые, и т. д. Аналогично
можно полагать, что и южном нолункф!- ¦ и сила
КорнолИ'.и, действующая на дпижунинся тип.
будет направлена влево по отношению к ;;а-
пран.чснию движения.
Благодаря силе Кориолиса падающие на
поверхность Земли тела отклоняются к иостоку
(на UinpoTc НО" это отклонение должно состав-
составлять I "м при падении с высоты 100 м). С си-
силой Корколиса связано поььден.и маятника Фу
ко, явпшпееся в слое время одним из докачя-
тельсти вращения Земли. Если бы згой силы не
было, то плоскость колебании качающегося
вблизи no!ic|).v.Hoeiи Земли маятника оставалась
бы неизменной (относительно Зем.'ш). Действие
же сил Кприолнса приводит к вращению
плоскости колебании вокруг вертикального на-
направления.
Раскрывая содержание F,,1( в формуле
B7.1), получим основной закон динамики
для неинерциальных систем отсчета:
ma' = F+F1(+Fu + FK,
где силы инерции задаются формулами
B7.2) — B7.4).
Обратим еще pay внимание на то, что
силы инерции вызываются не взаимодей-
взаимодействием тел, а ускоренным движением
системы отсчета. Поэтому они не подчиня-
подчиняются третьему закону Ньютона, так кап
если на какое-либо тело действует сила
инерции, то не существует противодей-
противодействующей силы, приложенной к данному
телу. Два основных положения механики,
согласно которым ускорение всегда вы-
вызывается силой, а сила всегда обусловле-
обусловлена взаимодействием между телами,
в системах отсчета, движущихся с ускоре-
ускорением, одновременно не выполняются.
Для любого из тел, находящихся в не-
инерцкальной системе отсчета, силы инер-
инерции являются внешними; следовательно,
здесь пет замкнутых систем. Это означает,
что в неинерциальных системах отсчета не
выполняются законы сохранения импуль-
импульса, чнергии и момента импульса. Таким
образом, силы инерции действуют только
в неинерциальных системах. В инерциаль-
ных системах отсчета таких сил не су-
существует.
Возникает вопрос о «реальности» или «фик-
«фиктивности:» сил инерции. В ньютоновской механи-
механике, согласно которой сила есть результат взаи-
взаимодействия тел, на силы инерции можно смот-
смотреть как на «фиктивные», «исчезающие»
и ьперциалышх системах отсчета. Однако воз-
возможна и другая их интерпретация. Так как
взаимодействия тел осуществляются посредст-
посредством силовик полей, то силы инернии рассматри-
рассматриваются как воздействия, которым подвергаются
тел;:, со стороны каких-то реальных силовых
полей, и тогда их можно считать «реальными».
Независимо от того, рассматриваются ли силы
инерции в качестве «фиктивных» или «реаль
!<ых;>, многие явления, о которых упоминалось
к настоящем параграфе, объясняются с по-
помощью сил инерции.
Силы инерции, действующие на тела в неи-
иерциальной системе отсчета, пропорциональны
их массам и при прочих равных условиях со-
оощлют этим телам одинаковые ускорения. По-
Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся
совершенно одинаково, если только одинаковы
начальные условия. Тем же свойством облада-
обладают тела, находящиеся иод действием сил поля
тяготения.
При некоторых условиях силы инерции и
силы тяготения невозможно различить. Напри-
Например, движение тел в равноускоренном лифте
происходит точно так же, как и в неподвижном
лифте, висящем в однородном поле тяжести.
Никакой эксперимент, выполненный внутри
лифта, не может отделить однородное поле тя-
тяготения от однородного ноля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения
и силами инерции лежит в основе принципа
эквивалентности гравитационных сил
и сил инерции (принципа эквивалентности
Эйнштейна): все физические явления в по-
поле тяготении происходят совершенно так
же, как и в соответствующем поле сил
инерции, если напряженности обоих полей
в соответствующих точках пространства
еоьпадаю'1, а прочие начальные условия
для рассматриваемых тел одинаковы. Этот
принцип является основой общей теории
относительности.

50 I. Физические оснонь! механики
Контрольные вопросы
• Как определяется I навигационная постоянная и каков ее физический смысл?
• Что такое lii'c тола? R чем отлччис веса тола от силы тяжести?
• Как (I'l'Mienim. пошикповепно невесомости при свободном падении?
• Что T;iKOC !|;111))!1ЖС'11П(HТ1> ПОЛЯ ТЯГОТЩИЯ?
• Какое ноле тяготения называется однородным? центральным?
• Какие величины вводятся для характеристики поля тяготения v какова связь между ними?
Дайте их определения.
• Известно, что сила тяготения пропорциональна массе тела. Почему же тяжелое тело не падает
быстрее легкого.?
• Покажите, что силы тяготения консернативны.
• Чему рапно максимальное значение потенциальной энергии системы из двух тел, находящихся
н ноле тяготения? Когда оно достигается?
• Какие траектории движения имеют спутники, получившие первую и вторую космические скоро-
скорости?
• Как вычисляются первая и вторая космические скорости?
• Когда и почему необходимо рассматривать силы инерции?
• Что такое силы инерции? Чем они отличаются от сил, действующих в ннерциальных системах
отсчета?
• Как направлены центробежная сила инерции и сила Кориолиса? Когда они проявляются? От
ЧСГО 1И1Н1СЯТ?
• В семерном полушарии производится выстрел вдоль меридиана на север. Как скажется на
чинжеими снарядл суточное вращение Земли?
• ''формулируйте и поясните принцип эквивалентности Эйнштейна.
Задачи
5.1. Дна одинаковых однородных шири из одинакового материала, соприкасаясь друг с другом,
притягиваются. Определить, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить
в п = 4 раза. | Возрастет в 6,3") раза ]
5.2. Плотность вещества некоторой шарообразной планеты составляет 3 г/см'. Каким должен
быть период обращения планеты вокруг собственной оси, чтобы на экваторе тела были не-
невесомыми? [ 7' = \/Зл7(G(>) = 1,0 ч ]
5.3. Определить, и какой точке (считая от Земли! па прямой, соединяющей центры Земли и Луны,
напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны
равно А", масса Земли в HI рлз больше массы Луны. [0,9 R ]
5.4. Два одинаковых однородных шара in одинакового материала соприкасаются друг с другом.
Определить, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимодействия, если
массу шаров уподичпть и четыре раза. | Возрастет в 14,6 раза]
5.5. Два спутника одинаковой массы движутся вокруг Земли по кр\говым орбитам радиусов Ri
и R>. Определить: I) отношение полных энергий спутников E\/F.i\ 2) отношение их моментов
импульса L\IL-i. | I) R>IR\- 2> v RJR-, j
5.6. Вагон катится вдоль горизонтального участка дороги. Сила трения составляет 20% от веса
вагона. К потолку нагона на нити подвешен шарик массой 10 г. Определить: I) силу, дей-
действующую на нить. 2) угол отклонения нпгн от вертикали. | I) 0,10 Н; 2) I I °35' |
5.7. Тело массой 1,5 кг, падая свободно в течение 5 с, попадает на Землю в точку с географиче-
географической широтой ф = 45°. Учитывая вращение Земли, нарисовать и определить все силы, дей-
действующие на тело в момент его падения на Землю. [ I) 14,7 Н: 2) 35,7 Н; 3) 7,57 мН ]

Г л а пя 6. Э-пементы механик1! жидкостей
51
Глава 6
Элементы механики жидкостей
§ 28 Давление в жидкости и газе
Молекулы газа, совершая беспорядочное,
хаотическое движение, не связаны или
весьма слабо связаны силами взаимодей-
взаимодействия, поэтому они движутся свободно
и в результате соударений стремятся раз-
разлететься во все стороны, заполняя весь
предоставленный им объем, т. е. объем
газа определяется объемом того сосуда,
который газ занимает.
Как и газ, жидкость принимает форму
того сосуда, в который она заключена. Но
в жидкостях в отличие от газов среднее
расстояние между молекулами остается
практически постоянным, поэтому жид-
жидкость обладает практически неизменным
объемом.
Хотя свойства жидкостей и газов во
многом отличаются, в ряде механических
явлений их поведение определяется одина-
одинаковыми параметрами и идентичными урав-
уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика —
раздел механики, изучающий равновесие
и движение жидкостей и газов, их взаимо-
взаимодействие между собой и обтекаемыми ими
твердыми телами,— использует единый
подход к изучению жидкостей и газов.
В механике с большой степенью точно-
точности жидкости и газы рассматриваются как
сплошные, непрерывно распределенные
в занятой ими части пространства. Плот-
Плотность жидкости мало зависит от давления.
Плсшюеть же газов от давления зависит
существенно. Из опыта известно, что сжи-
сжимаемостью жидкости и газа во многих за-
задачах можно пренебречь и пользоваться
единым понятием несжимаемой жидко-
сти — жидкости, плотность которой всюду
одинакова и не изменяется со временем.
Если в покоящуюся жидкость по-
поместить тонкую пластинку, то части жид-
жидкости, находящиеся по разные стороны от
нее, будут действовать на каждый ее эле-
элемент AS с силами AF, которые независимо
от того, как пластинка ориентирована,
будут равны по модулю и направлены
перпендикулярно площадке AS, так как
наличие касательных сил привело бы
частицы жидкости в движение (рис. 44).
Физическая величина, определяемая
нормальной силой, действующей со сторо-
стороны жидкости на единицу площади, назы-
называется давлением р жидкости:
Единица давления—паскаль (Па):
1 Па равен давлению, создаваемому си-
силой 1 Н, равномерно распределенной по
нормальной к ней поверхности площадью
1 м2 A Па = 1 Н/м2).
Давление при равновесии жидкостей
(газов) подчиняется закону Паскаля *:
давление в любом месте покоящейся жид-
жидкости одинаково по всем направлениям,
причем давление одинаково передается по
всему объему, занятому покоящейся жид-
жидкостью.
Рассмотрим, как влияет вес жидкости
на распределение давления внутри покоя-
покоящейся несжимаемой жидкости. При рав-
равновесии жидкости давление по горизонта-
горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы
равновесия. Поэтому свободная повер-
поверхность покоящейся жидкости всегда гори-
горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если
жидкость несжимаема, то ее плотность не
зависит от давления. Тогда при попере-
поперечном сечении S столба жидкости, его вы-
высоте h и плотности р вес P = pgSh, а дав-
давление на нижнее основание
B8.1)
Рис 14
* Б. Паскаль
ский ученый.
A623—1662) — француз-

I. Фичическис основы механики
т. е. давление изменяется линейно с высо-
высотой. Давление pgh называется гидростати-
гидростатическим давлением.
Согласно формуле B8.1), сила давле
ния на нижние слои жидкости будет боль-
больше, чем на верхние, поэтому на тело, по
груженное в жидкость, действует выталки-
выталкивающая сила, определяемая законом
Архимеда: на тело, погруженное в жид-
жидкость (газ), действует со стороны этой
жидкости направленная вверх выталкива-
выталкивающая сила, равная весу вытесненной те-
телом жидкости (газа):
где р—плотность жидкости, V—объем
погруженного в жидкость тела.
§ 29. Уравнение неразрывности
Движение жидкостей называется течени-
течением, а совокупность частиц движущейся
жидкости — потоком. Графически движе-
движение жидкостей изображается с помощью
линий тока, которые проводятся так, что
касательные к ним совпадают по направ-
направлению с вектором скорости жидкости в со-
соответствующих точках пространства
(рис. 45). Линии тока проводятся так,
чтобы густота их, характеризуемая отно-
отношением числа линий к площади перпенди-
перпендикулярной им площадки, через которую они
проходят, была больше там, где больше
скорость течения жидкости, и меньше там,
где жидкость течет медленнее. Таким об-
образом, по картине линий тока можно су-
судить о направлении и модуле скорости
в разных точках пространства, т. е. можно
определить состояние движения жидкости.
Линии тока в жидкости можно «проя-
«проявить», например, подмешав в нее какие-
либо заметные взвешенные частицы.
Часть жидкости, ограниченную линия-
линиями тока, называют трубкой тока. Течение
=*?
Рис. 4Г>
Рис. 4«
жидкости называется установившимся
(или стационарным), если форма и распо-
расположение линий тока, а также значения
скоростей в каждой ее точке со временем
не изменяются.
Рассмотрим какую-либо трубку тока.
Выберем два ее сечения .Si и 52, перпенди-
перпендикулярные направлению скорости
(рис. 46).
За время А/ через сечение 5 проходит
объем жидкости Su,\t; следовательно, за
1 с через S\ пройдет объем жидкости SiVi,
где ui — скорость течения жидкости
в месте сечений S>. Через сечение 52 за
1 с пройдет оСъем жидкости S'iv>>, где
V2 — скорость течения жидкости в месте
сечения 5г. Здесь предполагается, что ско-
скорость жидкости в сечении постоянна. Ес-
Если жидкость не:жимаема (р = const), то
через сечение S. пройдет такой же объем
жидкости, как и через сечение 5|, т. е.
S,z>, =S2i', = const B9.1)
Следователь ш, произведение скоро-
скорости течения несжимаемой жидкости на
поперечное сечение трубки тока есть ве-
величина постоянная для данной трубки то-
тока. Соотношение B9.1) называется урав-
уравнением неразрывности для несжимаемой
жидкости.
§ 30. Уравнение Ьсрнулли
и следствия из него
Выделим в стационарно текущей идеаль-
идеальной жидкости [физическая абстракция,
т. е. воображаемая жидкость, в которой от-
отсутствуют силы пнутреннего трения) труб-
трубку тока, ограниченную сечениями S\ и 5г,
по которой слевг> направо течет жидкость
(рис. 47). Пусть в месте сечения Si ско-
скорость течения vi, давление р\ и высота, на
которой это сечение расположено, /г,. Ана-
Аналогично, г, месте сечения 5'г скорость тече-

\ j ;i ii a (i. Элементы механики жидкостей
Подставляя '30.3) и C0.4) в C0.1)
и приравнивая C0.1) и C0.2), получим
mv2
¦-- +mgkr\-p.1S2v2At. C0.5)
Ри. 47
Согласно ураынению неразрывности
для несжимаемой жидкости B9.1), объем,
занимаемый жидкостью, остается посто-
постоянным, т. е.
ния V9, давление рь и высота сечения //;>.
За малый промежуток примени At жид-
жидкость перемещается от сечений S\ и Si к
сечениям 51 и Si.
Согласно закону сохранения энергии,
изменение полной энергии ??—-?( идеаль-
идеальной несжимаемой жидкости должно быть
равно работе А внешних сил по перемеще-
перемещению массы т жидкости:
?3 — Е,=Л, C0.1)
где Е\ и ?а — полные энергии жидкости
массой т в местах сечений S; и S-_> соответ-
соответственно.
С другой стороны, А - это работа,
совершаема,! при перемещении всей жид-
жидкости, заключенной между сечениями Si
и S% за рассматриваемый малый проме-
промежуток времени АЛ Для перенесения массы
т от S\ до S\ жидкость должна переме-
переместиться на расстояние ti = v\i\t и от 5г ДО
Si — на расстояние li = viAt. Отметим, что
/i и 1ч настолько малы, что всем точкам
объемов, закрашенных на рис. 47, припи-
приписывают постоянные значения скоро-
скорости и, даьления р и высоты h. Следова-
Следовательно,
, C0.2)
где F\=p\S\ и /Г2=— P2S2 (отрицательна,
так как направлена в сторону, противопо-
противоположную течению жидкости; рис.47).
Полные энергии Е\ и ?г будут склады-
складываться из кинетической и потенциальной
энергий массы т жидкости:
tnv]
?,=---' -t-тя'г,,
mv
C0.3)
C0.4)
Разделив выражение C0.5) на AV, по-
получим
-у- + Vgh, + Р, == -9-- + PRh2 + р2,
где р — плотность жидкости. Но так как
сечения выбирались произвольно, то мо-
можем записать
--— + pgh + p = const.
C0.6)
Выражение C0.6) выведено швейцарским
физиком Д. Бернулли A700—1782; опуб-
опубликовано в 1738 г.) и называется уравне-
уравнением Бернулли. Как видно из его вывода,
уравнение Бернулли -- выражение закона
сохранения энергии применительно к уста-
установившемуся течению идеальной жидко-
жидкости. Оно хорошо выполняется и для реаль-
реальных жидкостей, внутреннее трение кото-
которых не очень велико.
Величина р в формуле C0.6) называ-
называется статическим давлением (давление
жидкости на поверхность обтекаемого ею
тела), величина р^'2/2 — динамическим
давлением. Как уже указывалось выше
(см. §28), величина pg/i представляет со-
собой гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока (h\ =
= /in) выражение C0.6) принимает вид
. 2
—-—|-р = const, C0.7)
где p + pt'2/2 называется полным давле-
давлением.
Из уравнения Бернулли C0.7) для
горизонтальной трубки тока и уравнения
неразрывности B9.1) следует, что при те-

I. Физические псионы механики
Рис. 48
чении жидкости по гори онтал!,ной трубе,
имеющем различные сечения, скорость
жидкости больше в местах сужения, а ст,м-
тическое давление больше- п более широ-
широких местах, т. е. тяч, где скорость меньше.
Это можно продемонстрировать, устано-
установив вдоль трубы ряд манометров
(рис.48). В соответствии с уравнением
Бернулли опыт покалывает, что в мано-
манометрической трубке В, прикрепленной
к узкой части трубы, уровень жидкости
ниже, чем в манометрических трубках
А и С, прикрепленных к широкой части
трубы.
Так к-!К динамическое давление связа-
связано со скоростью движения жидкости (га-
(газа), то уравнение Бернулли позволяет из-
измерять скорость потока жидкости. Для
этого применяется трубка Пито—Пран-
дтля (рис. 49). Прибор состоит из двух
изогнутых под прямым углом трубок, про-
противоположные концы которых присоедине-
присоединены к манометру. С помощью одной из
трубок измеряется полное давление (ро),
с помощью другой статическое (р). Ма-
Манометром измеряется разность давлений:
pn — p = (tllfth, C0.8)
где рп — плотность жидкости в манометре.
С другой стороны, согласно уравнению
Бернулли, разность полного п статическо-
статического давлений рання динамическому давле-
давлению:
C0.9)
Воздух
Вода+воздух
Рис. 50
Из формул C0.8) и C0.9) получаем иско-
искомую скорость потока жидкости:
Уменьшение статического давления
в точках, где скорость потока больше,
положено в основу работы водоструйного
насоса (рис.50). Струя воды подается
в трубку, открытую в атмосферу, так что
давление на выходе из трубки равно ат-
атмосферному. В трубке имеется сужение,
по которому вода течет с большей скоро-
скоростью. В этом месте давление меньше ат-
атмосферного. Это давление устанавливает-
устанавливается и в откачанном сосуде, который связан
с трубкой через разрыв, имеющийся в ее
узкой части. Воздух увлекается вытекаю-
вытекающей с большой скоростью водой из узкого
конца. Таким образом можно откачивать
воздух из сосуда до давления 100 мм
рт. ст. A мм рт. ст. = 133,32 Па).
Уравнение Бернулли используется для
нахождения скорости истечения жидкости
через отверстие в стенке или дне сосуда.
Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид-
жидкостью, в боковой стенке которого на не-
некоторой глубине ниже уровня жидкости
имеется маленькое отверстие (рис. 51).
Рассмотрим два сечения (на уровне h,
свободной поверхности жидкости в сосуде
и на уровне hi выхода ее из отверстия).
Напишем для них уравнение Бернулли:
Pi'? РУ2
—2—НЙ'Л +р
Рис. 49
Так как давления р\ и рг в жидкости на
уровнях первого и второго сечений равны

Глава 6. Элементы механики жидкостей
55
Рис. 51
атмосферному, т. е. р\=р2, то уравнение
будет иметь вид
Из уравнения неразрывности B9.1) следу-
следует, что V2/v, = S\/S2, где Si и 52 — площа-
площади поперечных сечений сосуда и отвер-
отверстия. Если Si3>S2, то членом v\/2 можно
пренебречь и
Это выражение получило название форму-
формулы Торричелли *.
§ 31. Вязкость (внутреннее трение).
Ламинарный и турбулентный
режимы течения жидкостей
Вязкость (внутреннее трение) — это свой-
свойство реальных жидкостей оказывать со-
сопротивление перемещению одной части
жидкости относительно другой. При пере-
перемещении одних слоев реальной жидкости
относительно других возникают силы
внутреннего трения, направленные по ка-
касательной к поверхности слоев. Действие
этих сил проявляется в том, что со сторо-
стороны слоя, движущегося быстрее, на слой,
движущийся медленнее, действует ускоря-
ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движу-
движущегося медленнее, на слой, движущийся
быстрее, действует тормозящая сила.
Сила внутреннего трения F тем боль-
больше, чем больше рассматриваемая площадь
Рис. 52
поверхности слоя S (рис. 52), и зависит от
того, насколько быстро меняется скорость
течения жидкости при переходе от слоя
к слою. На рисунке представлены два
слоя, отстоящие друг от друга на расстоя-
расстоянии Лх и движущиеся со скоростями Vi
и V2 При этом Vi—V2 = Av. Направление,
в котором отсчитывается расстояние меж-
между слоями, перпендикулярно скорости те-
чения слоев. Величина
Ах
показывает,
как быстро меняется скорость при перехо-
переходе от слоя к слою в направлении х, пер-
перпендикулярном направлению движения
слоев, и называется градиентом скорости.
Таким образом, модуль силы внутреннего
трения
Ах
S,
C1.1)
* Э. Торричелли A608—1647) —итальян-
—итальянский физик и математик.
где коэффициент пропорциональности т|,
зависящий от природы жидкости, называ-
называется динамической вязкостью (или просто
вязкостью).
Единица вязкости — паскаль-секунда
(Па-с): 1 Па-с равен динамической вязко-
вязкости среды, в которой при ламинарном те-
течении и градиенте скорости с модулем,
равным 1 м/с на 1 м, возникает сила
внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 поверх-
поверхности касания слоев A Па-с=1 Н-с/м2).
Чем больше вязкость, тем сильнее
жидкость отличается от идеальной, тем
большие силы внутреннего трения в ней
возникают. Вязкость зависит от темпера-
температуры, причем характер этой зависимости
для жидкостей и газов различен (для
жидкостей г\ с увеличением температуры
уменьшается, у газов, наоборот, увеличи-
увеличивается), что указывает на различие в них

56
I. Физические основы механики
механизмов внутреннего трения. Особенно
сильно от температуры зависит вязкость
масел. Например, вязкость касторового
масла в интервале 18—40 СС падает в че-
четыре раза. Советский физик П. Л. Капица
A894—1984; Нобелевская премия 1978 г.)
открыл, что при температуре 2,17 К жид-
жидкий гелий переходит в сверхтекучее со-
состояние, в котором его вязкость равна
нулю.
Существует два режима течения жид-
жидкостей. Течение называется ламинарным
(слоистым), если вдоль потока каждый
выделенный тонкий слой скользит относи-
относительно соседних, не перемешиваясь с ни-
ними, и турбулентным (вихревым), если
вдоль потока происходит интенсивное вих-
реобразование и перемешивание жидкости
(газа).
Ламинарное течение жидкости наблю-
наблюдается при небольших скоростях ее дви-
движения. Внешний слой жидкости, примыка-
примыкающий к поверхности трубы, в которой она
течет, из-за сил молекулярного сцепления
прилипает к ней и остается неподвижным.
Скорости последующих слоев тем больше,
чем больше их расстояние до поверхности
трубы, и наибольшей скоростью обладает
слой, движущийся вдоль оси трубы.
При турбулентном течении частицы
жидкости приобретают составляющие ско-
скоростей, перпендикулярные течению, поэто-
поэтому они могут переходить из одного слоя
в другой. Скорость частиц жидкости быст-
быстро возрастает по мере удаления от по-
поверхности трубы, затем изменяется дово-
довольно незначительно. Так как частицы жид-
жидкости переходят из одного слоя в другой,
то их скорости в различных слоях мало
отличаются. Из-за большого градиента
скоростей у поверхности трубы обычно
происходит образование вихрей.
Профиль усредненной скорости при
турбулентном течении в трубах (рис. 53)
отличается от параболического профиля
при ламинарном течении более быстрым
возрастанием скорости у стенок трубы и
меньшей кривизной в центральной части
течения.
Английский ученый О. Рейнольде
A842—1912) в 1883 г. установил, что ха-
характер течения зависит от безразмерной
величины, называемой числом Рейнольдса:
Re =2i2l± = JilK
1) V
где v = T)/p — кинематическая вязкость;
р — плотность жидкости; (v) — средняя
по сечению трубы скорость жидкости; d —
характерный линейный размер, например
диаметр трубы.
При малых значениях числа Рейнольд-
Рейнольдса (Re^lOOO) наблюдается ламинарное
течение, переход от ламинарного течения
к турбулентному происходит в области
1000<Re<2000, а при Re = 2300 (для
гладких труб) течение — турбулентное.
Если число Рейнольдса одинаково, то ре-
режим течения различных жидкостей (га-
(газов) в трубах разных сечений одинаков.
§ 32. Методы определения вязкости
1. Метод Стокса *. Этот метод определе-
определения вязкости основан на измерении скоро-
скорости медленно движущихся в жидкости не-
небольших тел сферической формы.
На шарик, падающий в жидкости вер-
вертикально вниз, действуют три силы: сила
тяжести P = */3iir3pg (p — плотность ша-
шарика), сила Архимеда FА = */зпг p'g (p' —
плотность жидкости) и сила сопротивле-
сопротивления, эмпирически установленная
Дж. Стоксом: F — 6nr\rv, где г — радиус
шарика, v — его скорость. При равномер-
равномерном движении шарика
Ламинарное
Турбулентное
Рис. 53
* Дж. Стоке A819- 1903) — английский
физик и математик.

Глава 6. Элементы механики жидкостей
57
Рис. 54
или
откуда
Измерив скорость равномерного движения
шарика, можно определить вязкость жид-
жидкости (газа).
2. Метод Пуазейля *. Этот метод осно-
основан на ламинарном течении жидкости
в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр
радиусом R и длиной I. В жидкости мыс-
мысленно выделим цилиндрический слой ради-
радиусом г и толщиной dr (рис. 54). Сила внут-
внутреннего трения (см. C1.1)), действующая
на боковую поверхность этого слоя,
где dS — боковая поверхность цилиндри-
цилиндрического слоя; знак минус означает, что при
возрастании радиуса скорость уменьша-
уменьшается.
Для установившегося течения жидко-
жидкости сила внутреннего трения, действую-
действующая на боковую поверхность цилиндра,
уравновешивается силой давления, дей-
действующей на его основание:
dv 2
— Т|2лП —;—=ДрЛГ ,
dr
Ар
dv= г rdr.
2т)/
* Ж. Пуазейль A799—1868) — француз-
французский физиолог и физик.
После интегрирования, полагая, что у
стенок имеет место прилипание жидкости,
т. е. скорость на расстоянии R от оси равна
нулю, получим
Отсюда видно, что скорости частиц жид-
жидкости распределяются по параболиче-
параболическому закону, причем вершина параболы
лежит на оси трубы (см. также рис.53).
За время / из трубы вытечет жидкость,
объем которой
vt- 2кг dr =
f- \r (Я2 - г2) dr =
nbpt Г r2R2 r*y_
"" " 2ri/ L 2 ' 4 Jo"
2Л/
откуда вязкость
8V
nRA Apt
"П =—5"TT
8VI
§ 33. Движение тел
в жидкостях и газах
Одной из важнейших задач аэро- и гидро-
гидродинамики является исследование движе-
движения твердых тел в газе и жидкости,
в частности изучение тех сил, с которыми
среда действует на движущееся тело. Эта
проблема приобрела особенно большое
значение в связи с бурным развитием
авиации и увеличением скорости движе-
движения морских судов.
На тело, движущееся в жидкости или
газе, действуют две силы (равнодействую-
Рис. 55

58
1. Физически*1 основы механики
щую их обозначим R), одна из которых
(Rjr) направлена в сторону, противопо-
противоположную движению тела (в сторону по-
потока),— лобовое сопротивление, а вторая
(Rj,) перпендикулярна этому направле-
направлению—подъемная сила (рис.55).
Если тело симметрично и его ось сим-
симметрии совпадает с направлением скоро-
скорости, то на него действует только лобовое
ссоотивление, подъемная же сила в этом
случае равна нулю. Можно доказать,
Рис. 56
что в идеальной жидкости равномерное
движение происходит без лобового сопро-
сопротивления. Если рассмотреть движение ци-
цилиндра в такой жидкости (рис.56), то
картина линий тока симметрична как от-
относительно прямой, проходящей через точ-
точки Л и В, так и относительно прямш'г,
проходящей через точки С и D, т. е. ре-
результирующая сила давления на повер-
поверхность цилиндра будет равна нулю.
Иначе обстоит дело при движении тел
в вязкой жидкости (особенно при увеличе-
увеличении скорости обтекания). Вследствие вяз-
вязкости среды в области, прилегающей к по-
поверхности тела, образуется пограничный
слой частиц, движущихся с меньшими ско-
скоростями. В результате тормозящего дейст-
действия этого слоя возникает вращение частиц
и движение жидкости в пограничном слое
становится вихревым. Если тело не имеет
обтекаемой формы (нет плавно утончаю-
утончающейся хвостовой части), то пограничный
слой жидкости отрывается от поверхности
тела. За телом возникает течение жидко-
жидкости (газа), направленное противоположно
набегающему потоку. Оторвавшийся по-
Рис. 57
граничный слой, следуя за этим течением,
образует вихри, вращающиеся в противо-
противоположные стороны (рис. 57).
Лобовое сопротивление зависит от
формы тела и его положения относительно
потока, что учитывается безразмерным ко-
коэффициентом сопротивления Сх, определя-
определяемым экспериментально:
pv2
Rx=cx—^-s, (зз.1)
где р — плотность среды; v — скорость
движения тела; S — наибольшее попере-
поперечное сечение тела.
Составляющую R, можно значитель-
значительно уменьшить, подобрав тело такой фор-
формы, которая не способствует образованию
завшхрения.
Подъемная сила может быть определе-
определена формулой, аналогичной C3.1):
где Су — безразмерный коэффициент
подъемной силы.
Для крыла самолета требуется боль-
большая подъемная сила при малом лобовом
сопротивлении (это условие выполняется
при малых углах атаки а (угол к потоку);
см. рис. 55). Крыло тем лучше удовлетво-
удовлетворяет этому условию, чем больше величина
К=Су/Сх, называемая качеством крыла.
Большие заслуги в конструировании тре-
требуемого профиля крыла и изучении влия-
влияния геометрической формы тела на ко-
коэффициент подъемной силы принадлежат
«отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому
A847—1921).

л а в a G. Элементы механики жидкостей
Контрольные вопросы
О
lIto такие давление и жидкости? Давление величина векторная или скалярная? Какова
единица давления в СИ?
Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда.
Что называют линией тока? трубкой тока?
Что характерно для установившегося течения жидкости?
Каков физический смысл и как нынести уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости?
Какой закон выражлет уравнение Пернулли для идеальном несжимаемой жидкости? Выведите
это уравнение.
Как в потоке жидкости измерить статическое давление? динамическое давление? полное давле-
давление?
Что такое градиент скорости?
Каком физический смысл коэффициента динамической нюкостн?
Какое течение жидкости называется ламинарным? турбулентным? Что характеризует число
Рейнольдса?
Поясните (с выводом) практическое применение методой Стикса к Пуазейля.
Каковы причины возникновения лобового сопротивлений icj.a, движущегося в жидкости?
Может ли оно быть равным нулю?
Как объяснить возникновение подъемной силы (см. рис, ,гM)?
Задачи
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
Полый железный шар (|> = 7.87 г/см'1) весит в воздухе 5 Н, и и воде ((>'-= ' г/см3) —
А Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определить объем внутренней полости
шара. | 139 см' |
Бак цилиндрической формы площадью основания 5=1 м~ и объемом V = A м3 запол-
заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определи!т, время (, необходимое для опусто-
опустошения бака, если на дне оака образовалось круглое отверстие площадью Si = 10 см2.
U
Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой // = f> м, имеет форму усеченного
конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечении Ji=6 см, верхнего di = 1 см. Вы-
Высота сопла Л=1 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле,
определить: 1) расход воды в I с, подаваемой фонтаном, 2) разнос!ь Лр давления в нижнем
|i=l
I) \l'2gH nd /4 =
сечении и атмосферного давления. Плотность поды
ХЮ :l м:)/с; 2) \p = vgh + t>t>H (\ -dt / <Я) = Ян:А ullii |
На горизонтальной поверхности стоит цилиндрическим сосуд, и боковой поверхности которого
имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше поперечного сечения
самого сосуда. Отверстие расположено па расстоянии /г, =64 см ниже уровня воды в со-
сосуде, который поддерживается постоянным, и на расстоянии h-: — 'iu см от дна сосуда. Прене-
Пренебрегая вязкостью воды, определить, па каком расстоянии по горизонтали от сосуда падает на
поверхность струя, вытекающая из отверстия. |Й1) см|
В широком сосуде, наполненном глицерином (илотность |i=l,2 i/cm1), падает с устано-
установившейся скоростью Г) см/с стеклянный шарик (|>' = 12,7 г/см') диаметром I мм. Определить
динамическую вячкопь глицерина. |1,б Па-с]
В боковую поверхность цилиндрического сосуда, уетаноилеппого на сыле, вставлен на высо-
высоте h\ =5 см от его дна капилляр инутренним диаметром J = 2 мм и длиной /= 1 см. В сосуде
поддерживается постоянный уровень машинного масла (плогнос!ь |i=0,9 г/см'1 и динамиче-
динамическая вязкость г| = 0,1 Па-с) на высоте Лз = 8О см выше капилляра. Определить, на каком

1. Физические осипни механики
расстоянии но горизонтали от конца капилляра падает на гюрерчмосль стола струя масла,
вытекающая из отверстия. [ s—d'uki \:2yni/ (А'21'ч) =8,9 см]
6.7. Определить наибольшую скорость, которую ыожег приобрести егюоодпо падающий и воздухе
(р—1,29 г/см'') стальной шарик (р' = 9 г/см'1) массой /л/ =20 I. Коэффициент (\ принять
равным 0,5. [ 94 см/о ]
Глава 7
Элементы специальной (частной) теории относительности
§34. Преобразования Галилея.
Механический принцип
отногительности
Если системы отсчета движутся относи-
относительно друг друга равномерно и прямоли-
прямолинейно и в одной из них справедливы :>.;i-
коны динамики Ньютона, то чти системы
являются и нер циа л ьн ы у, и. V ста но ьлено
также, что во всех иперциальных си-
системах отсчета законы классической дина-
динамики имеют одинаковую форме; в этом
суть механического принципа относитель-
относительности (принципа относительности Гали-
Галилея).
Для его доказательства рассмотрим
две системы отсчета: инерциальную систе-
систему К (с координатами х, у, г), которую
условно будем считать неподвижной,
и систему /С (с координатами х', (/', г'),
движущуюся относительно К равномерно
и прямолинейно со скоростью и (и==
= const). Отсчет времени начнем с момен-
момента, когда начала координат обеих систем
совпадают. Пусть в произвольный момент
времени / расположение этих систем друг
относительно друга имеет вид, изображен-
изображенный на рис. 58. Скорость и направлена
вдоль 00', радиус-вектор, проведенный
из О в О', Го = и/.
им
/
Найдем связь между координатами
произвольной точки А в обеих системах.
Из рис. 58 нидно, что
г = г'-г го = г' -|-и/. C4.1)
Уравнение C4.1) можно записать в про-
проекциях на оси координат:
!х = х' -\-uJ,
!J----y' + uyt, C4.2)
Уравнения C4.1) и C4.2) носят название
преобразований координат Галилея.
В частном случае, когда система К'
движется со скоростью v вдоль положи-
положительного направления оси х системы К
(в начальный момент времени оси коорди-
координат совпадают), преобразования коорди-
координат1 Галилея имеют вид
==x'+vt,
\у--=у',
В классической механике предполага-
предполагается, что ход времени не зависит от отно-
относительного движения систем отсчета,
т. е. к преобразованиям C4.2) можно до-
добавить еще одно уравнение:
1 = 1'. C4.3)
Записанные соотношения справедливы
лишь в случае классической механики
(и<с), а при скоростях, сравнимых со
скоростью света, преобразования Галилея
заменяются более общими преобразовани-
преобразованиями Лоренца* (§36).
Продифференцировав выражение
C4.1) по времени (с учетом C4.3)), полу-
Рис. 5Х
* X. Лоренц A853—1928)
ский физик-теоретик.
нидерланд-

l'.iai!;] У. Элементы специальной (частной) теории относительности
61
чим уравнение
v =
u,
C4.4)
которое представляет собой правило сло-
сложения скоростей в классической механике.
Ускорение в системе отсчета К
_ dv _ d (v' + u) dv' ,
~~ At ~ At ~ At ~
Таким образом, ускорение точки А
в системах отсчета К и К', движущихся
друг относительно друга равномерно
и прямолинейно, одинаково:
а = а'. C4.5)
Следовательно, если на точку Л другие
тела не действуют (а = 0), то, согласно
C4.5), и а' = 0, т.е. система К' является
инерциальной (точка движется относи-
относительно нее равномерно и прямолинейно
или покоится).
Таким образом, из соотношения C4.5)
вытекает доказательство механического
принципа относительности: уравнения ди-
динамики при переходе от одной инерциаль-
инерциальной системы отсчета к другой не изменя-
изменяются, т. е. являются инвариантными по
отношению к преобразованиям координат.
Галилей обратил внимание, что никакими
механическими опытами, проведенными
в данной инерциальной системе отсчета,
нельзя установить, покоится ли она или
движется равномерно и прямолинейно.
Например, сидя в каюте корабля, дви-
движущегося равномерно и прямолинейно, мы
не можем определить, покоится корабль
или движется, не выглянув в окно.
§ 35. Постулаты специальной (частной)
теории относительности
Классическая механика Ньютона прекрас-
прекрасно описывает движение макротел, движу-
движущихся с малыми скоростями (ц<с). Од-
Однако в конце XIX в. выяснилось, что выво-
выводы классической механики противоречат
некоторым опытным данным, в частности
при изучении движения быстрых заря-
заряженных частиц оказалось, что их движе-
движение не подчиняется законам механики. Да-
Далее возникли затруднения при попытках
применить механику Ньютона к объясне-
нию распространения света. Если источник
и приемник света движутся друг относи-
относительно друга равномерно и прямолинейно,
то, согласно классической механике, изме-
измеренная скорость должна зависеть от отно-
относительной скорости их движения. Амери-
Американский физик А. Майкельсон A852—
1913) в своем знаменитом опыте в 1881 г.,
а затем в 1887 г. совместно с Е. Морли
(американский физик, 1838—1923) —
опыт Майкельсона — Морли — пытался
обнаружить движение Земли относительно
эфира (эфирный ветер), применяя интер-
интерферометр Майкельсона (см. § 175). Обна-
Обнаружить эфирный ветер Майкельсону не
удалось, как впрочем, не удалось его об-
обнаружить и в других многочисленных опы-
опытах. Опыты «упрямо» показывали, что ско-
скорости света в двух движущихся друг отно-
относительно друга системах равны. Это
противоречило правилу сложения скоро-
скоростей классической механики.
Одновременно было показано противо-
противоречие между классической теорией и урав-
уравнениями (см. § 139) Дж. К. Максвелла
(английский физик, 1831 —1879), лежащи-
лежащими в основе понимания света как электро-
электромагнитной волны.
Для объяснения этих и некоторых дру-
других опытных данных необходимо было со-
создать новую механику, которая, объясняя
эти факты, содержала бы ньютоновскую
механику как предельный случай для ма-
малых скоростей (в<с). Это и удалось сде-
сделать А. Эйнштейну, одному из основателей
современной физики, который, по словам
В. И. Ленина, является одним «из великих
преобразователей естествознания». А. Эйн-
Эйнштейн пришел к выводу о том, что миро-
мирового эфира — особой среды, которая мог-
могла бы быть принята в качестве абсолют-
абсолютной системы,— не существует. Существо-
Существование постоянной скорости распростране-
распространения света в вакууме находилось в со-
согласии с уравнениями Максвелла.
Таким образом, А. Эйнштейн заложил
основы специальной теории относительно-
относительности. Эта теория представляет собой совре-
современную физическую теорню пространства
и времени, в которой, как и в классической
ньютоновской механике, предполагается,
что время однородно (см. § 13), а про-

62
1. Физические псионы
странстио однородно (см. § 9) и изотропно
(см. §19). Специальная теория относи-
относительности часто называется также реляти-
релятивистской теорией, а специфические явле-
явления, описываемые этой теорией,— реляти-
релятивистскими эффектами.
В основе специальной теории относи-
относительности лежат постулаты Эйнштей-
Эйнштейна, сформулированные им в 1905 г.
I. Принцип относительности: никакие
опыты (механические, электрические, оп-
оптические), проведенные внутри данной
инерциальной системы отсчета, не дают
возможности обнаружить, покоится ли
эта система или движется равномерно
и прямолинейно; все законы природы ин-
инвариантны по отношению к переходу от
одной инерциальной системы отсчета
к другой.
II. Принцип инвариантности скорости
света: скорость света в вакууме не зависит
от скорости движения источника света или
наблюдателя и одинакова во всех инерци-
альных системах отсчета.
Первый постулат Эйнштейна, являясь
обобщением механического принципа от-
относительности Галилея на любые физиче-
физические процессы, утверждает, таким обра-
образом, что физические законы инвариантны
по отношению к выбору инерциальной
системы отсчета, а уравнения, описываю-
описывающие эти законы, одинаковы по форме во
всех инерциальных системах отсчета. Со-
Согласно этому постулату, все инерциальные
системы отсчета совершенно равноправны,
т. е. явления (механические, электродина-
электродинамические, оптические и др.) во всех инер-
циальных системах отсчета протекают
одинаково.
Согласно второму постулату Эйнштей-
Эйнштейна, постоянство скорости света — фунда-
фундаментальное свойство природы, которое
констатируется как опытный факт.
Специальная теория относительности
потребовала отказа от привычных пред-
представлений о пространстве и времени, при-
принятых в классической механике, поскольку
они противоречили принципу постоянства
скорости света. Потеряло смысл не только
абсолютное пространство, но и абсолют-
абсолютное время.
Постулаты Эйнштейна и теория, по-
построенная на их основе, установили новый
взгляд на мир и новые пространственно-
временные представления, такие, напри-
например, как относительность длин и проме-
промежутков времени, относительность одновре-
одновременности событий. Эти и другие следствия
из теории Эйнштейна находят надежное
экспериментальное подтверждение, явля-
являясь тем самым обоснованием постулатов
Эйнштейна — обоснованием специальной
теории относительности.
§ ЗС>. Преобразований Лоренца
Анализ явлений в инерциальных системах
отсчета, проведенный А. Эйнштейном на
основе сформулированных им постулатов,
показал, что классические преобразования
Галилея несовместимы с ними и, следова-
следовательно, должны быть заменены преобразо-
преобразованиями, удовлетворяющими постулатам
теории относительности.
Для иллюстрации этого вывода рас-
рассмотрим две инерциальные системы отсче-
отсчета: К (с координатами х, у, z) и К' (с ко-
координатами х', у', z'), движущуюся отно-
относительно К (вдоль оси х) со скоростью
v = const (рис.59). Пусть в начальный
момент времени t = t' = Q, когда начала
координат О и О' совпадают, излучается
световой импульс. Согласно второму по-
постулату Эйнштейна, скорость света в обе-
обеих системах одна и та же и равна с. По-
Поэтому если за время / в системе К сигнал
дойдет до некоторой точки Л (рис.59),
пройдя расстояние
x = ct, C6.1)
то в системе К' координата светового им-
импульса в момент достижения точки А
x' = ct', C6.2)
О'
к1
л/ А
X X1
Рис. 59

г
Л II il / - .-l.'ICMl'l
специллытй Окитной j теории относительности
G3
где ? — время прохождения светового им-
импульса от начала координат до точки А
в системе К'- Вычитая C6.1) из C6.2),
получим
Так как х'' фх (система К' перемешается
по отношению к системе К), то
t'?=t,
т. е. отсчет времени в системах К и К'
различен — отсчет времени имеет относи-
относительный характер (в классической физике
считается, что время во всех инерциаль-
ных системах отсчета течет одинаково,
т.е. t = t').
Эйнштейн показал, что в теории отно-
относительности классические преобразования
Галилея, описывающие переход от одной
инерциальной системы отсчета к другой
(см.§34):
К->К' К'^К
' = x — vt.
x = x' + vt,
t=f.
— заменяются преобразованиями Лорен-
Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эй-
Эйнштейна (формулы представлены для слу-
случая, когда К' движется относительно К со
скоростью v вдоль оси*)-
Эти преобразования предложены Ло-
ренцом в 1904 г., еще до появления теории
относительности, как преобразования,
относительно которых уравнения Макс-
Максвелла (см. § 139) инвариантны.
Преобразования Лоренца имеют
вид
->-Д Л —>-Л
х — vt
У = У-
t-vx/c\
= у\
C6.3)
) = v/c.
Из сравнения приведенных уравнений вы-
вытекает, что они симметричны и отличают-
отличаются лишь знаком при и. Это очевидно, так
как если скорость движения системы К'
относительно системы К раина v, то ско-
скорость движения К относительно К' рав-
Из преобразований Лоренца вытекает
также, что при малых скоростях (по срав-
сравнению со скоростью света), т. е. когда
Р<С1, они переходят в классические пре-
преобразования Галилея (в этом заключается
суть принципа соответствия), которые яв-
являются, следовательно, предельным случа-
случаем преобразований Лоренца. При v>c
выражения C6.3) для х, /, х', ? теря-
теряют физический смысл (становятся мнимы-
мнимыми). Это находится, в свою очередь, в со-
соответствии с тем, что движение со скоро-
скоростью, большей скорости света в вакууме,
невозможно.
Из преобразований Лоренца следует
очень важный вывод о том, что как рассто-
расстояние, так и промежуток времени между
двумя событиями меняются при переходе
от одной инерциальной системы отсчета
к другой, в то время как в рамках пре-
преобразований Галилея эти величины счита-
считались абсолютными, не изменяющимися
при переходе от системы к системе. Кроме
того, как пространственные, так и времен-
временные преобразования (ем. C6.3)) не явля-
являются независимыми, поскольку в закон
преобразования координат входит время,
а в закон преобразования .зремени — про-
пространственные координаты, т. с. устанав-
устанавливается взаимосвязь пространства и вре-
времени. Таким образом, теория Эйнштейна
оперирует не с трехмерным простран-
пространством, к которому присоединяется понятие
времени, а рассматривает неразрывно свя-
связанные пространственные и временные ко-
координаты, образующие четырехмерное
пространство-нремя.
§ 37. Следствия
из преобразований Лоренца
1. Одновременность событий в разных
системах отсчета. Пусть в системе К в точ-
точках с координатами х\ и хч в моменты
времени t\ и t> происходят два события.

A4
Ф|ММ'ЛТКШ- IH'lHH'.lil VO V М I! II К I!
В системе Л'' им соответствуют координа-
координаты х\ и А'2 и моменты времени /' и t',. Если
события в системе К происходят в одной
точке {х\=Хч) и являются одновременны-
одновременными (/| = Ь), то, согласно преобразованиям
Лоренца C6.3),
т. е. эти события являются одновременны-
одновременными и пространственно совпадающими для
любой инерциальной системы отсчаа.
Если события в системе К простран-
пространственно разобщены (х\фхъ), но {Одновре-
{Одновременны (t] = ti), то в системе К', согласно
преобразованиям Лоренца C6.3),
x, — vt x., — vt
it " //
ox2/c'
yi--p2
Таким образом, в системе К' эти события,
оставаясь пространственно разобщенны-
разобщенными, оказываются и неодновременными.
Знак разности ti—-t\ определяется знаком
выражения ь{х\—хч), поэтому в различ-
различных точках системы отсчета К' (при раз-
разных v) разность t'i — t'\ будет различной но
величине и может отличаться по знаку.
Следовательно, в одних системах отсчета
первое событие может предшествовать
второму, в то время как в других системах
отсчета, наоборот-, второе событие пред-
предшествует первому. Сказанное, однако, не
относится к причинно-следственным собы-
событиям, так как можно показать, что по-
порядок следования причинно-следственных
событии одинаков во всех инерциальных
системах отсчета.
2. Длительность событий в разных
системах отсчета. Пусть о некоторой точке
(с координатой х), покоящейся относи-
относительно системы К. происходит событие,
длительность которого (разность показа-
показаний часов в конце и начале события) т--
= t2 — t{, где индексы 1 и 2 соответствуют
началу и концу события. Длительность
этого же события в системе К
f = t'r-t\, C7.1)
причем началу и концу события, согласно
C<г.З) , соответствую!
U2 — vx/c2
/;> ¦:— -¦- —-—.
¦ 2
C7.2)
Подставляя C7.2) в C7.1). получим
ил и
T':,:=T/\/l-fV\ C7.3)
Из соотношения C7.3) вытекает, что
!<т', т.е. длительность события, проис-
происходящего в некоторой точке, наименьшая
в топ инерциальной системе отсчета, отно-
относительно которой эта точка неподвижна.
Эт от результат может быть еще истолко-
истолкован следующим образом: интервал време-
времени г', отсчитанный по часам в системе А"',
с точки зрения наблюдателя в системе А",
продолжительнее интервала т, отсчитан-
отсчитанного по его часам. Следовательно, часы,
движущиеся относительно инерциальной
системы отсчета, идут медленнее покоя-
покоящихся часов, т. е. ход часов замедляется
в системе отсчета, относительно которой
часы движутся. На основании относитель-
относительности понятий «неподвижная» и «движу-
«движущаяся* системы соотношения для г и т'
обратимы. Из C7.3) следует, что замедле-
замедление хода часов становится заметным лишь
при скоростях, близких к скорости света
в nai-ууме..
Fs связи с обнаружением релятивист-
релятивистского эффекта замедления хода часов в
свое время возникла проблема «парадок-
«парадокса часов» (иногда рассматривается как
«парадокс близнецов:;), вызвавшая много-
многочисленные дискуссии. Представим себе,
что осуществляется фантастический кос-
космический полет к звезде, находящейся на
расстоянии 500 световых лет (расстояние,
на которое свет от звезды до Земли до-
доходит за 500 лет), со скоростью, близкой

Г ..'I л и а 7. Элементы специальной (частной) теории относительности
tiiS
к скорости света (у 1 — Р2 = 0,001). По зем-
земным часам полет до звезды и обратно
продлится 1000 лет, в то время как для
системы корабля и космонавта в нем такое
же путешествие займет всего 1 год. Таким
образом, космонавт возвратится на Землю
в 1/Д/1 — р2 раз более молодым, чем его
брат-близнец, оставшийся на Земле. Это
явление, получившее название парадокса
близнецов, в действительности парадокса
не содержит. Дело в том, что принцип
относительности утверждает равноправ-
равноправность не всяких систем отсчета, а только
инерциальных. Неправильность рассужде-
рассуждения состоит в том, что системы отсчета,
связанные с близнецами,— не эквивалент-
эквивалентны: земная система инерциальна, а кора-
корабельная — неинерциальна, поэтому к ним
принцип относительности неприменим.
Релятивистский эффект замедления
хода часов является совершенно реаль-
реальным и получил экспериментальное под-
подтверждение при изучении нестабильных,
самопроизвольно распадающихся элемен-
элементарных частиц в опытах с л-мезонами.
Среднее время жизни покоящихся л-мезо-
нов (по часам, движущимся вместе с ни-
ними) т«2,2-10~8с. Следовательно, я-ме-
зоны, образующиеся в верхних слоях ат-
атмосферы (на высоте «30 км) и движущи-
движущиеся со скоростью, близкой к скорости
света, должны были бы проходить рассто-
расстояния стяг 6,6 м, т. е. не могли бы достигать
земной поверхности, что противоречит
действительности. Объясняется это реля-
релятивистским эффектом замедления хода
времени: для земного наблюдателя срок
жизни л-мезона т' =
а путь этих
частиц в атмосфере ит' = (}ст' д
Так как р« 1, то эт'»ст.
3. Длина тел в разных системах отсче-
отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный
вдоль оси х' и покоящийся относительно
системы К'- Длина стержня в системе К'
будет /6 = *2 — х'\, где х\ и х'2 — не изменя-
изменяющиеся со временем /' координаты начала
и конца стержня, а индекс 0 показывает,
что в системе отсчета К' стержень покоит-
покоится. Определим длину этого стержня
в системе К, относительно которой он дви-
движется со скоростью v. Для этого необхо-
необходимо измерить координаты его концов Х\
и Xi в системе К в один и тот же момент
времени t. Их разность l = Xi — Х\ и даст
длину стержня в системе К- Используя
преобразования Лоренца C6.3), полу-
получим
,-vt
т. е.
'о = '/ V1 — Р2- C7-4)
Таким образом, длина стержня, измерен-
измеренная в системе, относительно которой он
движется, оказывается меньше длины, из-
измеренной в системе, относительно которой
стержень покоится. Если стержень покоит-
покоится в системе К, то, определяя его длину
в системе К', опять-таки придем к выраже-
выражению C7.4).
Из выражения C7.4) следует, что ли-
линейный размер тела, движущегося относи-
относительно инерциальной системы отсчета,
уменьшается в направлении движения
в у 1 —р2 раз, т. е. так называемое лорен-
цево сокращение длины тем больше, чем
больше скорость движения. Из второго
и третьего уравнений преобразований Ло-
Лоренца C6.3) следует, что
«/'г— У\=У2— У\ и z'2 — z\=22 — zh
т. е. поперечные размеры тела не зависят
от скорости его движения и одинаковы во
всех инерциальных системах отсчета. Та-
Таким образом, линейные размеры тела наи-
наибольшие в той инерциальной системе от-
отсчета, относительно которой тело покоит-
покоится.
4. Релятивистский закон сложения
скоростей. Рассмотрим движение матери-
материальной точки в системе К', в свою очередь
движущейся относительно системы К со
скоростью v. Определим скорость этой же
точки в системе К- Если в системе К дви-
движение точки в каждый момент времени /
определяется координатами х, у, z,
а в системе К' в момент времени ? —
3 Т. И. Трофимова

66
1. Физические основы механики
координатами х', у', z', то
d* do
дг
и' =
At"
if
и' =
dz'
dt'
представляют собой соответственно проек-
проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скоро-
скорости рассматриваемой точки относительно
систем К и К' ¦
Согласно преобразованиям Лоренца
C6.3),
dx' + vdt' . ,
= dz',
dt =
dt' + vdx'/c2
Произведя соответствующие преобразова-
преобразования, получаем релятивистский закон сло-
сложения скоростей специальной теории от-
относительности:
А —*-А Л—*-1\
их = -
\+vu'x/c2
l+vu'Jc2
\+vu'x/c2
и'=-
в классической механике (см. C4.4)). Та-
Таким образом, законы релятивистской ме-
механики в предельном случае для малых
скоростей (по сравнению со скоростью
света) переходят в законы классической
физики, которая, следовательно, является
частным случаем механики Эйнштейна
для малых скоростей.
Релятивистский закон сложения ско-
скоростей подчиняется второму постулату Эй-
Эйнштейна (см. §35). Действительно, если
и' = с, то формула C7.6) примет вид и =
C + V
= = с (аналогично можно пока-
l+cv/c
зать, что при и-=с скорость и' также рав-
равна с). Этот результат свидетельствует
о том, что релятивистский закон сложения
скоростей находится в согласии с постула-
постулатами Эйнштейна.
Докажем также, что если складывае-
складываемые скорости сколь угодно близки к скоро-
скорости света с, то их результирующая ско-
скорость будет всегда меньше или равна с.
В качестве примера рассмотрим предель-
предельный случай u'=--v = c. После подстановки
в формулу C7 6) получим и = с. Таким
образом, при сложении любых скоростей
результат не может превысить скорости
света с в вакууме. Скорость света в вакуу-
вакууме есть предельная скорость, которую не-
невозможно превысить. Скорость света в ка-
какой-либо среде, равная с /п. (п — абсолют-
абсолютный показатель преломления среды),
предельной величиной не является (под-
(подробнее см. § 189).
\-vuJc2 §38. Интервал между событиями
ur —
\-vuJc1
C7.5)
Если материальная точка движется
параллельно оси х, то скорость и относи-
относительно системы К совпадает с их, а скоро-
скорость и' относительно К' — с и'х. Тогда закон
сложения скоростей примет вид
и' -\-v
ы=-
l+vu'/c
2 '
«=
. C7.6)
Легко убедиться в том, что если скоро-
скорости у, и' и и малы по сравнению со скоро-
скоростью света с, то формулы C7.5) и C7.6)
переходят в закон сложения скоростей
Преобразования Лоренца и следствия из
них приводят к выводу об относительности
длин и промежутков времени, значение
которых в различных системах отсчета
разное. В то же время относительный ха-
характер длин и промежутков времени в тео-
теории Эйнштейна означает относительность
отдельных компонентов какой-то реальной
физической величины, не зависящей от
системы отсчета, т. е. являющейся инвари-
инвариантной по отношению к преобразованиям
координат. В четырехмерном пространстве
Эйнштейна, в котором каждое событие
характеризуется четырьмя координатами

Г л а и а 7. Элементы специальной (частной) теории относительности
(х, у, z, t), такой физической величиной
является интервал между двумя событи-
событиями:
—(У2—уО2—(г2 —г,J,
/OQ 1 \
= /12— расстояние между точками обыч-
обычного трехмерного пространства, в которых
эти события произошли. Введя обозначе-
обозначение t\2 = t2 — t\, ПОЛуЧИМ
Покажем, что интервал между двумя
событиями одинаков во всех инерциаль-
ных системах отсчета. Обозначив Д< = Ь —
t\, Дх = л:2 — Х\, Ау = у2 — у\ и Дг = 2г—
2|, выражение C8.1) можно записать
в виде
s|2 = с2 (ДО2 — (АхJ — (ДуJ — (ДгJ.
Интервал между теми же событиями
в системе К' равен
(S;2J = с2 (At'f -(Ax'f -(Ay'f -(Az'f.
C8.2)
Согласно преобразованиям Лоренца
C6.3),
Подставив эти значения в C8.2), по-
после элементарных преобразований полу-
получим, что EЬJ = с2(Д0222
-(ДгJ, т. е.
Обобщая полученные результаты,
можно сделать вывод, что интервал, опре-
определяя пространственно-временные соотно-
соотношения между событиями, является инва-
инвариантом при переходе от одной инерциаль-
ной системы отсчета к другой. Инвари-
Инвариантность интервала означает, что, не-
несмотря на относительность длин и про-
промежутков времени, течение событий носит
объективный характер и не зависит от
системы отсчета.
Теория относительности, таким обра-
образом, сформулировала новое представление
о пространстве и времени, обобщенное
далее в диалектическом материализме.
Пространственно-временные отношения
являются не абсолютными величинами,
как утверждала механика Галилея —
Ньютона, а относительными. Следователь-
Следовательно, представления об абсолютном про-
пространстве и времени являются несостоя-
несостоятельными. Кроме того, инвариантность
интервала между двумя событиями свиде-
свидетельствует о том, что пространство и вре-
время органически связаны между собой
и образуют единую форму существования
материи — пространство-время. Про-
Пространство и время не существуют вне ма-
материи и независимо от нее. Ф. Энгельс
подчеркивал, что «обе эти формы су-
существования материи без материи суть
ничто, простые представления, абстрак-
абстракции, существующие только в нашей голо-
голове» (Маркс К. и Энгельс Ф. Соч. 2-е изд.
Т. 20. С. 550).
Дальнейшее развитие теории относи-
относительности (общая теория относительно-
относительности, или теория тяготения) показало, что
свойства пространства-времени в данной
области определяются действующими
в ней полями тяготения. При переходе
к космическим масштабам геометрия про-
пространства-времени не является евклидо-
евклидовой (т. е. не зависящей от размеров об-
области пространства-времени), а изменяет-
изменяется от одной области к другой в за-
зависимости от концентрации масс в этих
областях и их движения.
§ 39. Основной закон
релятивистской динамики
материальной точки
Согласно представлениям классической
механики, масса тела есть величина по-
постоянная. Однако в конце XIX столетия на
опытах с быстро движущимися электрона-
электронами было установлено, что масса тела за-
зависит от скорости его движения, а имен-
именно возрастает с увеличением скорости

68
I. Физические основы механики
по закону
т=-
C9.1)
где /По—масса покоя материальной точ-
точки, т. е. масса, измеренная в той инерци-
альной системе отсчета, относительно ко-
которой материальная точка находится в по-
покое; с — скорость света в вакууме; т —
масса точки в системе отсчета, относи-
относительно которой она движется со скоростью и.
Из принципа относительности Эйн-
Эйнштейна (см. §35), утверждающего инва-
инвариантность всех законов природы при пе-
переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой, следует условие инвари-
инвариантности уравнений физических законов
относительно преобразований Лоренца.
Основной закон динамики Ньютона
оказывается также инвариантным по от-
отношению к преобразованиям Лоренца, ес-
если в нем справа стоит производная по
времени от релятивистского импульса.
Основной закон релятивистской дина-
динамики материальной точки имеет вид
F =
или
где
d/
C9.2)
C9.3)
> = mv=-
-° v C9.4)
— релятивистский импульс материальной
точки.
Отметим, что уравнение C9.3) внешне
совпадает с основным уравнением ньюто-
ньютоновской механики F.7). Однако физиче-
физический смысл его другой: справа стоит про-
производная по времени от релятивистского
импульса, определяемого форму-
формулой C9.4). Таким образом, уравне-
уравнение C9.2) инвариантно по отношению
к преобразованиям Лоренца и, следова-
следовательно, удовлетворяет принципу относи-
относительности Эйнштейна. Следует учитывать,
что ни импульс, ни сила не являются инва-
инвариантными величинами. Более того, в об-
общем случае ускорение не совпадает по
направлению с силой.
В силу однородности пространства
(см. § 9) в релятивистской механике вы-
выполняется закон сохранения релятивист-
релятивистского импульса: релятивистский импульс
замкнутой системы сохраняется, т. е. не
изменяется с течением времени. Часто во-
вообще не оговаривают, что рассматривают
релятивистский импульс, так как если тела
движутся со скоростями, близкими к с, то
можно использовать только релятивист-
релятивистское выражение для импульса.
Анализ формул C9.1), C9.4) и C9.2)
показывает, что при скоростях, значитель-
значительно меньших скорости света, уравне-
уравнение C9.2) переходит в основной закон
(см. F.5)) классической механики. Следо-
Следовательно, условием применимости законов
классической (ньютоновской) механики
является условие и<Сс. Законы классиче-
классической механики получаются как следствие
теории относительности для предельного
случая и<с (формально переход осуще-
осуществляется при с->-оо). Таким образом,
классическая механика — это механика
макротел, движущихся с малыми скоро-
скоростями (по сравнению со скоростью света
в вакууме).
Экспериментальное доказательство за-
зависимости массы от скорости C9.1) явля-
является подтверждением справедливости спе-
специальной теории относительности. В даль-
дальнейшем (см. §116) будет показано,
что на основании этой зависимости про-
производятся расчеты ускорителей.
§ 40. Закон взаимосвязи
массы и энергии
Найдем кинетическую энергию релятиви-
релятивистской частицы (материальной точки).
Раньше (§ 12) было показано, что при-
приращение кинетической энергии материаль-
материальной точки на элементарном перемещении
равно работе силы на этом перемещении:
d7" = cL4 или d7'=Fdr. D0.1)

I !! ,i н ;i 7 Элементы специальной (частной) теории otikkiitwiukk-tii
СИ)
Учитывая, что dr = v d/, и подставив сальной зависимости между полной энер-
в D0.1) выражение C9.2), получим гией тела ? и его массой т:
=. D0.6)
с1Г = —
dt
= vd
Преобразовав данное выражение с учетом
того, что vdv = odt), и формулы C9.1),
придем к выражению
тпс
)
We2 dm,
D0.2)
т. е. приращение кинетической энергии
частицы пропорционально приращению ее
массы.
Так как кинетическая энергия покоя-
покоящейся частицы равна нулю, а ее масса
равна массе покоя та, то, проинтегриро-
проинтегрировав D0.2), получим
Т = (т — то)с2, D0.3)
или кинетическая энергия релятивистской
частицы имеет вид
Т=тп
'
)
D0.4)
Выражение D0.4) при скоростях и<с пе-
переходит в классическое:
T = m0v2/2
(разлагая в ряд A — у2/с2)~'/2= 1 +уХ
V2 3 у4
X-s- + -7-~T+- при и «с, правомерно
с в с
пренебречь членами второго порядка ма-
малости).
А. Эйнштейн обобщил положение
D0.2), предположив, что оно справедли-
справедливо не только для кинетической энергии
материальной точки, но и для полной энер-
энергии, а именно: любое изменение массы Am
сопровождается изменением полной энер-
энергии материальной точки,
Д? = с2Лт. D0.5)
Отсюда А. Эйнштейн пришел к универ-
универУравнение D0.6), равно как и D0.5), вы-
выражает фундаментальный закон приро-
природы— закон взаимосвязи (пропорциональ-
(пропорциональности) массы и энергии: полная энергия
системы равна произведению ее массы на
квадрат скорости света в вакууме. Отме-
Отметим, что в полную энергию Е не входит
потенциальная энергия тела во внешнем
силовом поле.
Закон D0.6) можно, учитывая выра-
выражение D0.3), записать в виде
откуда следует, что покоящееся тело (Т =
= 0) также обладает энергией
называемой энергией покоя. Классическая
механика энергию покоя ?о не учитывает,
считая, что при v = 0 энергия покоящегося
тела равна нулю.
В силу однородности времени
(см. § 13) в релятивистской механике, как
и в классической, выполняется закон со-
сохранения энергии: полная энергия замкну-
замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменя-
изменяется с течением времени.
Из формул D0.6) и C9.4) найдем
релятивистское соотношение между пол-
полной энергией и импульсом частицы:
D0.7)
Возвращаясь к уравнению D0.6), от-
отметим еще раз, что оно имеет универсаль-
универсальный характер. Оно применимо ко всем
формам энергии, т. е. можно утверждать,
что с энергией, какой бы формы она ни
была, связана масса
= Е/с2
D0.8)
и, наоборот, со всякой массой связана
определенная энергия D0.6).
Чтобы охарактеризовать прочность

70
Физические оспины механики
связи и устойчивость системы каких-либо
частиц (например, атомного ядра как
системы из протонов и нейтронов), рас-
рассматривают энергию связи. Энергия связи
системы равна работе, которую необходи-
необходимо затратить, чтобы разложить эту систе-
систему на составные части (например, атомное
ядро—на протоны и нейтроны). Энергия
связи системы
D0.9)
где то, — масса покоя г-й частицы в сво-
свободном состоянии; Ма — масса покоя
системы, состоящей из п частиц.
Закон взаимосвязи (пропорционально-
(пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвер-
подтвержден экспериментом о выделении энергии
при протекании ядерных реакций. Он ши-
широко используется для расчета энергетиче-
энергетических эффектов при ядерных реакциях и
превращениях элементарных частиц.
Рассматривая выводы специальной те-
теории относительности, видим, что она, как,
впрочем, и любые крупные открытия, по-
потребовала пересмотра многих установив-
установившихся и ставших привычными представле-
представлений. Масса тела не остается постоянной
величиной, а зависит от скорости тела;
длина тел и длительность событий не яв-
являются абсолютными величинами, а носят
относительный характер; наконец, масса
и энергия оказались связанными друг
с другом, хотя они и являются качественно
различными свойствами материи.
Эту ломку укоренившихся представле-
представлений некоторые буржуазные философы пы-
пытались использовать для распространения
двух разновидностей идеализма: энерге-
энергетизма и философского релятивизма. Пер-
Первая из этих теорий рассматривала воз-
возможность преобразования массы в энер-
энергию и, наоборот, энергии в массу,
«доказывая» «эквивалентность материи
и энергии». Закон взаимосвязи массы
и энергии действительно утверждает, что
любые превращения энергии тела сопро-
сопровождаются изменениями его массы, одна-
однако при этом магса не «переходит в энер-
энергию». Закон взаимосвязи массы и энергии
является подтверждением неразрывности
материи и движения — одного из основ-
основных положений диалектического материа-
материализма.
Философский релятивизм считает, что
наше познание относительно и зависит «от
выбора точки зрения наблюдателя». Одна-
Однако из постулатов и следствий теории Эйн-
Эйнштейна относительность нашего познания
не вытекает. Тот факт, что длина тел
и длительность событий в разных инерци-
альных системах отсчета различны, не да-
дает оснований считать, что объективное
описание окружающего нас мира невоз-
невозможно. В. И. Ленин в книге «Материализм
и эмпириокритицизм» писал: «Человече-
«Человеческие представления о пространстве и вре-
времени относительны, но из этих относитель-
относительных представлений складывается абсо-
абсолютная истина, эти относительные пред-
представления, развиваясь, идут по линии
абсолютной истины, приближаются к ней.
Изменчивость человеческих представле-
представлений о пространстве и времени так же мало
опровергает объективную реальность того
и другого, как изменчивость научных зна-
знаний о строении и формах движения мате-
материи не опровергает объективной реально-
реальности внешнего мира» (Поли. собр. соч.
Т. 18. С. 181).
Основной вывод теории относительно-
относительности сводится к тому, что пространство
и время органически взаимосвязаны и об-
образуют единую форму существования ма-
материи — пространство-время. Только по-
поэтому пространственно-временной интер-
интервал между двумя событиями является
абсолютным, в то время как простран-
пространственные и временные промежутки между
этими событиями относительны. Следова-
Следовательно, вытекающие из преобразований
Лоренца следствия являются выражением
объективно существующих пространствен-
пространственно-временных соотношений движущейся
материи.

Г л а и а 7. Элементы специальной (частной) теории относительности 71
Контрольные вопросы
В чем физическая сущность механического принципа относительности?
В чем заключается правило сложения скоростей в классической механике?
Каковы причины возникновения специальной теории относительности?
В чем заключаются основные постулаты специальной теории относительности?
Зависит ли от скорости движения системы отсчета скорость тела? скорость света?
Запишите и прокомментируйте преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят
в преобразования Галилея?
Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Лоренца?
Одновременны ли события в системе К', если в системе К они происходят в одной точке и одно-
одновременны? в системе К события разобщены, но одновременны? Обосновать ответ.
Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел и длитель-
длительности событий в разных системах отсчета? Обосновать ответ.
При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит
25%?
В чем состоит «парадокс близнецов» и как его разрешить?
В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей? Как показать, что он находится
в согласии с постулатами Эйнштейна?
Как определяется интервал между событиями? Доказать, что он является инвариантом при
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики материальной точки? Чем он отли-
отличается от основного закона ньютоновской механики?
В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса? релятивистской массы?
Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике? При каком условии реляти-
релятивистская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу?
Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущ-
сущность? Приведите примеры его экспериментального подтверждения.
Задачи
7.1. Определить собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относительно которой
стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с измеритель-
измерительными приборами) его скорость и = 0,8 с, длина 1=\ м и угол между ним и направлением
движения Ф = 30°. Г/п =
0 = /Д Д l--^-sin2« J(l — t»2/c2)= 1,53 м]
7.2. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5% от времени жизни по неподвижным
часам. Определить р = и/с. [0,172]
7.3. Тело с массой покоя 2 кг движется со скоростью 200 Мм/с в системе К', которая сама дви-
движется относительно системы К со скоростью 200 Мм/с. Определить: I) скорость тела относи-
относительно системы /(; 2) его массу в этой системе. [ 1) 277 Мм/с; 2) 5,2 кг]
7.4. Воспользовавшись тем, что интервал — инвариантная величина по отношению к преобразо-
преобразованиям координат, определить расстояние, которое пролетел я-мезон с момента рождения до
распада, если время его жизни в этой системе отсчета At = 5 мкс, а собственное время жизни
(время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) Д/0 = 2,2 мкс. [ 1,35 км ]
7.5. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютонов-
ньютоновский импульс в пять раз. [0,98 с]
7.6. Определить скорость, полученную электроном, если он прошел ускоряющую разность по-
потенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с]
7.7. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого 1 Гэв.
[5,34-109 Н-с]

Основы
молекулярной физики
и термодинамики
Статистический и термодинамический
методы исследования. Молекулярная фи-
физика и термодинамика — разделы физики,
в которых изучаются макроскопические
процессы в телах, связанные с огромным
числом содержащихся в телах атомов
и молекул. Для исследования этих про-
процессов применяют два качественно раз-
различных и взаимно дополняющих друг дру-
друга метода: статистический (молекулярно-
кинетический) и термодинамический. Пер-
Первый лежит в основе молекулярной физики,
второй — термодинамики.
Молекулярная физика — раздел физи-
физики, изучающий строение и свойства ве-
вещества исходя из молекулярно-кинетиче-
ских представлений, основывающихся на
том, что все тела состоят из молекул,
находящихся в непрерывном хаотическом
движении.
Идея об атомном строении вещества
высказана древнегреческим философом
Демокритом D60—370 дон. э.). Атомисти-
Атомистика возрождается вновь лишь в XVII в.
и развивается в работах М. В.Ломоно-
В.Ломоносова, взгляды которого на строение ве-
вещества и тепловые явления были близки
к современным. Строгое развитие молеку-
молекулярной теории относится к середине
XIX в. и связано с работами немецкого
физика Р. Клаузиуса A822—1888), ан-
английского физика Дж. Максвелла A831 —
1879) и австрийского физика Л. Больцма-
на A844—1906).
Процессы, изучаемые молекулярной
физикой, являются результатом совокуп-
совокупного действия огромного числа молекул.
Законы поведения огромного числа моле-
молекул, являясь статистическими закономер-
закономерностями, изучаются с помощью статисти-
статистического метода. Этот метод основан на
том, что свойства макроскопической систе-
системы в конечном счете определяются свой-
свойствами частиц системы, особенностями их
движения и усредненными значениями ди-
динамических характеристик этих частиц
(скорости, энергии и т.д.). Например,
температура тела определяется скоростью
беспорядочного движения его молекул, но
так как в любой момент времени разные
молекулы имеют различные скорости, то
она может быть выражена только через
среднее значение скорости движения мо-
молекул. Нельзя говорить о температуре од-
одной молекулы. Таким образом, макроско-
макроскопические характеристики тел имеют физи-
физический смысл лишь в случае большого
числа молекул.
Термодинамика — раздел физики, изу-
изучающий общие свойства макроскопиче-
макроскопических систем, находящихся в состоянии
термодинамического равновесия, и про-
процессы перехода между этими состояниями.
Термодинамика не рассматривает микро-
микропроцессы, которые лежат в основе этих
превращений. Этим термодинамический
метод отличается от статистического.
Термодинамика базируется на двух на-
началах — фундаментальных законах, уста-
установленных в результате обобщения опыт-
опытных данных.
Область применения термодинамики
значительно шире, чем молекулярно-кине-
тической теории, ибо нет таких областей
физики и химии, в которых нельзя было бы
пользоваться термодинамическим мето-
методом. Однако, с другой стороны,
термодинамический метод несколько огра-
ограничен: термодинамика ничего не говорит
о микроскопическом строении вещества,
о механизме явлений, а лишь устанавли-
устанавливает связи между макроскопическими

[ л ii в а 8. Молокулярно-кинети'ачкяи теория идеальных
711
свойствами вещества. Молекулярно-кине-
Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно
дополняют друг друга, образуя единое
целое, но отличаясь различными методами
исследования.
Термодинамика имеет дело с термоди-
термодинамической системой — совокупностью
макроскопических тел, которые взаимо-
взаимодействуют и обмениваются энергией как
между собой, так и с другими телами
(внешней средой). Основа термодинами-
термодинамического метода — определение состояния
термодинамической системы. Состояние
системы задается термодинамическими
параметрами (параметрами состояния) —
совокупностью физических величин, ха-
характеризующих свойства термодинамиче-
термодинамической системы. Обычно в качестве парамет-
параметров состояния выбирают температуру,
давление и удельный объем.
Температура — одно из основных по-
понятий, играющих важную роль не только
в термодинамике, но и в физике в целом.
Температура—физическая величина, ха-
характеризующая состояние термодинами-
термодинамического равновесия макроскопической
системы. В соответствии с решением XI
Генеральной конференции по мерам и
весам A960) в настоящее время можно
применять только две температурные шка-
шкалы — термодинамическую и Международ-
Международную практическую, градуированные соот-
соответственно в кельвинах (К) и в градусах
Цельсия (°С).
В Международной практической шка-
шкале температура замерзания и кипения во-
воды при давлении 1,013-105 Па соответ-
соответственно 0 и 100 °С (так называемые ре-
перные точки).
Термодинамическая температурная
шкала определяется по одной реперной
точке, в качестве которой взята тройная
точка воды (температура, при которой
лед, вода и насыщенный пар при давле-
давлении 609 Па находятся в термодинамиче-
термодинамическом равновесии). Температура этой точки
по термодинамической шкале равна
273,16 К (точно). Градус Цельсия равен
кельвину. В термодинамической шкале
температура замерзания воды равна
273,15 К (при том же давлении, что
и в Международной практической шкале),
поэтому, по определению, термодинамиче-
термодинамическая температура и температура по Меж-
Международной практической шкале связаны
соотношением Т = 273,15-\-t. Температура
Т== 0 называется нулем Кельвин. Анализ
различных процессов показывает, что 0 К
недостижим, хотя приближение к нему
сколь угодно близко возможно.
Удельный объем v — это объем едини-
единицы массы. Когда тело однородно, т. е. его
плотность р = const, тоа= V/m— 1/р. Так
как при постоянной массе удельный объем
пропорционален общему объему, то мак-
макроскопические свойства однородного тела
можно характеризовать объемом тела.
Параметры состояния системы могут
изменяться. Любое изменение в термоди-
термодинамической системе, связанное с измене-
изменением хотя бы одного из ее термодинамиче-
термодинамических параметров, называется термодина-
термодинамическим процессом. Макроскопическая
система находится в термодинамическом
равновесии, если ее состояние с течением
времени не меняется (предполагается, что
внешние условия рассматриваемой систе-
системы при этом не изменяются).
Глава 8
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
§ 41. Опытные законы идеального га (а
В молекулярно-кинетической теории поль-
пользуются идеализированной моделью идеаль-
идеального газа, согласно которой:
1) собственный объем молекул газа
пренебрежимо мал по сравнению
с объемом сосуда;
2) между молекулами газа отсутству-
отсутствуют силы взаимодействия;
3) столкновения молекул газа между
собой и со стенками сосуда абсолютно
упругие.
Модель идеального газа можно ис-
использовать при изучении реальных газов,
так как они в условиях, близких к нор-

74
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
мальным (например, кислород и гелий),
а также при низких давлениях и высоких
температурах близки по своим свойствам
к идеальному газу. Кроме того, внеся по-
поправки, учитывающие собственный объем
молекул газа и действующие молекуляр-
молекулярные силы, можно перейти к теории реаль-
реальных газов.
Опытным путем, еще до появления мо-
лекулярно-кинетической теории, был уста-
установлен целый ряд законов, описывающих
поведение идеальных газов, которые мы
и рассмотрим.
Закон Бойля — Мариотта *: для дан-
данной массы газа при постоянной температу-
температуре произведение давления газа на его
объем есть величина постоянная:
pV = const D1.1)
при 7" = const, m = const.
Кривая, изображающая зависимость меж-
между величинами р и V, характеризующими
свойства вещества при постоянной темпе-
температуре, называется изотермой. Изотермы
представляют собой гиперболы, располо-
расположенные на графике тем выше, чем выше
температура, при которой происходит про-
процесс (рис. 60).
Рис. 60
Закон Гей-Люссака **: 1) объем дан-
данной массы газа при постоянном давлении
изменяется линейно с температурой:
V=V0(\+at) D1.2)
при p = const, m = const;
* Р. Бойль A627—1691) —английский
ученый; Э. Мариотт A620—1684) — француз-
французский физик.
** Ж. Гей-Люссак A778—1850) —фран-
—французский ученый.
. *Мч
-i/s
'¦"¦?/У
Рис. 61
2) давление данной массы газа при по-
постоянном объеме изменяется линейно
с температурой:
p = pQ(\+at) D1.3)
при K = const, m = const.
В этих уравнениях t — температура по
шкале Цельсия, ро и Vo — давление
и объем при 0 °С, коэффициент а =
= 1/273,15 К.
Процесс, протекающий при постоян-
постоянном давлении, называется изобарным. На
диаграмме в координатах V, t (рис.61)
этот процесс изображается прямой, на-
называемой изобарой. Процесс, протекаю-
протекающий при постоянном объеме, называется
изохорным. На диаграмме в координатах
р, t (рис. 62) он изображается прямой,
называемой изохорой.
Из D1.2) и D1.3) следует, что изо-
изобары и изохоры пересекают ось темпера-
температур в точке /= — 1/а= —273,15 °С, опре-
определяемой из условия 1+а/ = 0. Если
сместить начало отсчета в эту точку, то
происходит переход к шкале Кельвина
(рис. 62), откуда
Рис. 62

Г л а п а Н. Молекулярмо-кимгтичсс'кля теории илея./iыii,in газов
7Г>
Вводя в формулы D1,2) и D1.3)
термодинаминескую температуру, законам
Гей-Люссака можно придать более удоб-
удобный вид:
V=Va(l+at)=V0[l+a(T-l/a)]=
р = р0 (\+at) = p0 [l+a(T-l/a)]=poaT,
или
V1/Va = T,/71a D1.4)
при р = const, m = const,
Pi/Pi = Ti/T2 D1.5)
при l/ = const, m=const,
где индексы 1 и 2 относятся к произволь-
произвольным состояниям, лежащим на одной изо-
изобаре или изохоре.
Закон Авогадро*: моли любых газов
при одинаковых температуре и давлении
занимают одинаковые объемы. При нор-
нормальных условиях этот объем равен
22,4Ы0~3м3/моль.
По определению, в одном моле различ-
различных веществ содержится одно и то же
число молекул, называемое постоянной
Авогадро:
ЫА = 6,022-1023 моль.
Закон Дальтона**: давление смеси
идеальных газов равно сумме парциаль-
парциальных давлений входящих в нее газов, т. е.
P = Pi+p2 + -•• + ?„,
где /?i, рг, • . •, рл—парциальные давле-
давления — давления, которые оказывали бы
газы смеси, если бы они одни занимали
объем, равный объему смеси при той же
температуре.
§42. Уравнение
Клапейрона — Менделеева
Как уже указывалось, состояние некото-
некоторой массы газа определяется тремя тер-
термодинамическими параметрами: давлени-
* А. Авогадро A776—1856) — итальян-
итальянский физик и химик.
** Дж. Дальтон A766—1844) — англий-
английский химик и физик.
1>ис. «3
ем р, объемом V и температурой Т.
Между этими параметрами существует
определенная связь, называемая уравне-
уравнением состояния, которое в общем виде
дается выражением
f{p,V,T) = O,
где каждая из переменных является фун-
функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Кла-
Клапейрон A799—1864) вывел уравнение со-
состояния идеального газа, объединив за-
законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака.
Пусть некоторая масса газа занимает
объем Vi, имеет давление pi и находится
при температуре Т\. Эта же масса газа
в другом произвольном состоянии харак-
характеризуется параметрами рг, V2, Тч
(рис.63). Переход из состояния / в со-
состояние 2 осуществляется в виде двух
процессов: 1) изотермического (изотерма
/ — /'), 2) изохорного (изохора /'—2).
В соответствии с законами Бойля —
Мариотта D1.1) и Гей-Люссака D1.5)
запишем:
=p\v2,
D2.1)
D2.2)
P±=I±
Рг Т-2
Исключив из уравнений D2.1) и D2.2) р',
получим
Р,^
Так как состояния / и 2 были выбраны
произвольно, то для данной массы газа

2. Основы молекулярной физики и термодинамики
величина pV/T остается постоянной,
т. е.
pV/T = В = const. D2.3)
Выражение D2.3) является уравнением
Клапейрона, в котором В — газовая по-
постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев
A834—1907) объединил уравнение Кла-
Клапейрона с законом Авогадро, отнеся урав-
уравнение D2.3) к одному молю, использовав
молярный объем Vm. Согласно закону
Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех
газов занимают одинаковый молярный
объем Vm, поэтому постоянная В будет
одинаковой для всех газов. Эта общая для
всех газов постоянная обозначается
R и называется молярной газовой посто-
постоянной. Уравнению
p]/m = RT D2.4)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно
является уравнением состояния идеально-
идеального газа, называемым также уравнением
Клапейрона — Менделеева.
Числовое значение молярной газовой
постоянной определим из формулы D2.4),
полагая, что моль газа находится при
нормальных условиях (ро= 1,013-105 Па,
7"о = 273,15 К, Vm = 22,41 • 10'3 м3/моль):
/? = 8,31 Дж/(моль-К).
От уравнения D2.4) для моля газа
можно перейти к уравнению Клапейро-
Клапейрона — Менделеева для произвольной массы
газа. Если при некоторых заданных давле-
давлений и температуре один моль газа занимает
молярный объем Vm, то при тех же условиях
масса пг газа займет объем V = (m/M) Vm,
где М — молярная масса (масса одного
моля вещества). Единица молярной мас-
массы — килограмм на моль (кг/моль). Урав-
Уравнение Клапейрона — Менделеева для мас-
массы m газа
Исходя из этого уравнение состояния
D2.4) запишем в виде
m
1л
D2.5)
где v = m/M— количество вещества.
Часто пользуются несколько иной фор-
формой уравнения состояния идеального газа,
вводя постоянную Больцмана:
= 1,38-10"3 Дж/К.
где NA/Vm = n — концентрация молекул
(число молекул в единице объема). Таким
образом, из уравнения
p = nkT D2.6)
следует, что давление идеального газа при
данной температуре прямо пропорцио-
пропорционально концентрации его молекул (или
плотности газа). При одинаковых темпе-
температуре и давлении все газы содержат
в единице объема одинаковое число моле-
молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м3
газа при нормальных условиях, называется
числом Лошмидта *:
0) = 2,68-1025 м.
§ 43. Основное уравнение
молекулярно-кинетической
теории идеальных газов
Для вывода основного уравнения молеку-
молекулярно-кинетической теории рассмотрим
одноатомный идеальный газ. Предполо-
Предположим, что молекулы газа движутся хаоти-
хаотически, число взаимных столкновений меж-
между молекулами газа пренебрежимо мало
по сравнению с числом ударов о стенки
сосуда, а соударения молекул со стенками
сосуда абсолютно упругие. Выделим на
стенке сосуда некоторую элементарную
площадку AS (рис. 64) и вычислим давле-
давление, оказываемое на эту площадку. При
каждом соударении молекула, движущая-
движущаяся перпендикулярно площадке, передает
ей импульс mov— (— mov) = 2mov, где
mo — масса молекулы, v — ее скорость. За
время At площадки AS достигнут только те
молекулы, которые заключены в объеме
цилиндра с основанием AS и высотой vAt
(рис.64). Число этих молекул равно
nASvAt (n — концентрация молекул).
Необходимо, однако, учитывать, что
реально молекулы движутся к площадке
* И. Лошмидт A821 —1895) — австрий-
австрийский химик и физик.

Глава 8. Молекулярно-кинетическая теории идеальны.»
Рис. 64
AS под разными углами и имеют различ-
различные скорости, причем скорость молекул
при каждом соударении меняется. Для
упрощения расчетов хаотическое движе-
движение молекул заменяют движением вдоль
трех взаимно перпендикулярных направ-
направлений, так что в любой момент времени
вдоль каждого из них движется '/з моле-
молекул, причем половина молекул ('/в) дви-
движется вдоль данного направления в одну
сторону, половина — в противоположную.
Тогда число ударов молекул, движущихся
в заданном направлении, о площадку AS
будет '/б nASvAt. При столкновении с пло-
площадкой эти молекулы передадут ей им-
импульс
Тогда давление газа, оказываемое им на
стенку сосуда,
р = АР/(Д/Л5)='/зпт0У2. D3.1)
Если газ в объеме V содержит N молекул,
ДВИЖУЩИХСЯ СО СКОРОСТЯМИ V\, V2, •, VN, ТО
целесообразно рассматривать среднюю
квадратичную скорость
D3.2)
характеризующую всю совокупность моле-
молекул газа.
Уравнение D3.1) с учетом D3.2) при-
примет вид
dkb>2. D3.3)
Выражение D3.3) называется основ-
основным уравнением молекулярно-кинетиче-
ской теории идеальных газов. Точный рас-
расчет с учетом движения молекул по все-
всевозможным направлениям дает ту же
формулу.
Учитывая, что n = N/V, получим
ч 2
D3.4)
или
pV = ^N-° X2KB/ =у?, D3.5)
где Е — суммарная кинетическая энергия
поступательного движения всех молекул
газа.
Так как масса газа т = Л/то, то урав-
уравнение D3.4) можно переписать в виде
= M (M — моляр-
молярДля одного моля газа
ная масса), поэтому
где Vт — молярный объем. С другой сто-
стороны, по уравнению Клапейрона — Мен-
Менделеева, pVm = RT. Таким образом,
. 2
KB>2
откуда
D3.6)
Так как M = moNA, где то—масса од-
одной молекулы, а Л/д — постоянная Авогад-
ро, то из уравнения D3.6) следует, что
. D3.7)
где k = R/Nk — постоянная Больцмана.
Отсюда найдем, что при комнатной темпе-
температуре молекулы кислорода имеют сред-
среднюю квадратичную скорость 480 м/с, во-
водорода — 1900 м/с. При температуре жид-
жидкого гелия те же скорости будут соответ-
соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия посту-
поступательного движения одной молекулы иде-
идеального газа
(использовали формулы D3.5) и D3.7))
пропорциональна термодинамической тем-
температуре и зависит только от нее. Из этого
уравнения следует, что при 7 = 0 (ео) =0,

78
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
т. е. при О К прекращается поступательное
движение молекул газа, а следовательно,
его давление равно нулю. Таким образом,
термодинамическая температура является
мерой средней кинетической энергии по-
поступательного движения молекул идеаль-
идеального газа и формула D3.8) раскрывает
молекул ярно-кинетическое толкование
температуры.
§ 44. Закон Максвелла
для распределения молекул
идеального газа по скоростям
и энергиям теплового движения
При выводе основного уравнения молеку-
лярно-кинетической теории молекулам за-
задавали различные скорости. В результате
многократных соударений скорость каж-
каждой молекулы изменяется по модулю и на-
направлению. Однако из-за хаотического
движения молекул все направления дви-
движения являются равновероятными,
т. е. в любом направлении в среднем дви-
движется одинаковое число молекул.
По молекулярно-кинетической теории,
как бы ни изменялись скорости молекул
при столкновениях, средняя квадратичная
скорость молекул массой то в газе, на-
находящемся в состоянии равновесия при
7 = const, остается постоянной и равной
(vK0) =^3kT/m0- Это объясняется тем,
что в газе, находящемся в состоянии
равновесия, устанавливается некоторое
стационарное, не меняющееся со временем
распределение молекул по скоростям, ко-
которое подчиняется вполне определенному
статистическому закону. Этот закон теоре-
теоретически выведен Дж. Максвеллом.
При выводе закона распределения мо-
молекул по скоростям Максвелл предпола-
предполагал, что газ состоит из очень большого
числа N тождественных молекул, находя-
находящихся в состоянии беспорядочного тепло-
теплового движения при одинаковой температу-
температуре. Предполагалось также, что силовые
поля на газ не действуют.
Закон Максвелла описывается некото-
некоторой функцией f(v), называемой функцией
распределения молекул по скоростям. Ес-
Если разбить диапазон скоростей молекул на
малые интервалы, равные dv, то на каж-
каждый интервал скорости будет приходиться
некоторое число молекул dN(v), имеющих
скорость, заключенную в этом интервале.
Функция f(v) определяет относительное
число молекул d/V (v)/N, скорости которых
лежат в интервале от v до v-\-dv, т. е.
откуда
f(v) =
dN(v)
N dv '
Применяя методы теории вероятно-
вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) —
закон для распределения молекул идеаль-
идеального газа по скоростям:
3/2
Л-"»" тП. D4.1)
Из D4.1) видно, что конкретный вид фун-
функции зависит от рода газа (от массы моле-
молекулы) и от параметра состояния (от тем-
температуры Т).
График функции D4.1) приведен на
рис. 65. Так как при возрастании v мно-
„/()
житель е уменьшается быстрее,
чем растет множитель v2, то функция f(v),
начинаясь от нуля, достигает максимума
при vB и затем асимптотически стремится
к нулю. Кривая несимметрична относи-
относительно va.
Относительное число молекул dN(v)/N,
скорости которых лежат в интервале от
v до v-\-dv, находится как площадь бо-
более светлой полоски на рис. 65. Площадь,
ограниченная кривой распределения
Рис. 65

Г' .1 а и а 8. Модекулярмо-кинетическая теория идеальных газов
79
и осью абсцисс, равна единице. Это озна- деляется по формуле
чает, что функция f(v) удовлетворяет усло-
условию нормировки (v
Скорость, при которой функция рас-
распределения молекул идеального газа по
скоростям максимальна, называется наи-
наиболее вероятной скоростью. Значение наи-
наиболее вероятной скорости можно найти
продифференцировав выражение D4.1)
(постоянные множители опускаем) по ар-
аргументу v, приравняв результат нулю и ис-
используя условие для максимума выраже-
выражения f(v):
dv
Значения v = 0 и у=оо соответствуют
минимумам выражения D4.1), а значе-
значение v, при котором выражение в скобках
становится равным нулю, и есть искомая
наиболее вероятная скорость vB'-
D4.2)
Из формулы D4.2) следует, что при
повышении температуры максимум функ-
функции распределения молекул по скоростям
(рис. 66) сместится вправо (значение наи-
наиболее вероятной скорости становится
больше). Однако площадь, ограниченная
кривой, остается неизменной, поэтому при
повышении температуры кривая распреде-
распределения молекул по скоростям будет растя-
растягиваться и понижаться.
Средняя скорость молекулы (v)
(средняя арифметическая скорость) опре-
,
Подставляя сюда f(v) и интегрируя, по-
получим
(лМ). D4.3)
Скорости, характеризующие состояние
газа: 1) наиболее вероятная vB=~\j2RT/M;
2) средняя <о)=У8/?77(яА4)=1,13р.; 3)
средняя квадратичная (vKB) =д/3/?Г/Л1 =
= 1,22 и» (рис.65).
Исходя из распределения молекул по
скоростям
D4.4)
можно найти распределение молекул га-
газа по значениям кинетической энергии е.
Для этого перейдем от переменной v к пе-
переменной е = то?>2/2. Подставив в D4.4)
о = д/2е/т0 и dw = Bm°e)~'/2de, получим
= Nf (е) de,
где dA/(e) — число молекул, имеющих ки-
кинетическую энергию поступательного дви-
движения, заключенную в интервале от е
до e--|-de.
Таким образом, функция распределе-
распределения молекул по энергиям теплового дви-
движения
2 ,, „ч-3/2 е1/2 е-е/(*Г)
Средняя кинетическая энергия {г)
молекулы идеального газа
оо
<е>=\ e/(e)de =
-,Л*Г) de =
У"
Рис. 66
т. е. получили результат, совпадающий
с формулой D3.8).

80
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
§ 45. Барометрическая формула.
Распределение Больцмана
При выводе основного уравнения молеку-
лярно-кинетической теории газов и мак-
свелловского распределения молекул по
скоростям предполагалось, что на молеку-
молекулы газа внешние силы не действуют, по-
поэтому молекулы равномерно распределены
по объему. Однако молекулы любого газа
находятся в потенциальном поле тяготе-
тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны,
и тепловое движение молекул — с другой,
приводят к некоторому стационарному со-
состоянию газа, при котором давление газа
с высотой убывает.
Выведем закон изменения давления
с высотой, предполагая, что поле тяготе-
тяготения однородно, температура постоянна
и масса всех молекул одинакова. Если
атмосферное давление на высоте h равно
р (рис. 67), то на высоте /i + d/i оно равно
p + dp (при d/j>0 dp<0, так как давле-
давление с высотой убывает). Разность давле-
давлений р и p + dp равна весу газа, заклю-
заключенного в объеме цилиндра высотой dh
с основанием площадью, равной единице
площади:
р — (p + dp) = pg dh,
где р — плотность газа на высоте h (dh
настолько мало, что при изменении высоты
в этом пределе плотность газа можно счи-
считать постоянной). Следовательно,
dp=-pgd/i. D5.1)
Воспользовавшись уравнением состоя-
состояния идеального газа pV = (m/M) RT (т —
масса газа, М—молярная масса газа),
«,-r
р+йр- ::
d/>
p _ _*щ_
находим, что
9 = m/V = pM/(RT).
Подставив это выражение в D5.1),
получим
или
р ~ RT °П-
С изменением высоты от h\ до hi дав-
давление изменяется от р\ до p<z (рис. 67), т. е.
ИЛИ
D5.2)
Выражение D5.2) называется барометри-
барометрической формулой. Она позволяет найти
атмосферное давление в зависимости от
высоты или, измерив давление, найти вы-
высоту. Так как высоты обозначаются отно-
относительно уровня моря, где давление счита-
считается нормальным, то выражение D5.2)
может быть записано в виде
„ _ ~—Mgh/(RT), (лс. '\\
Р—Ро*- угО.о)
где р — давление на высоте h.
Прибор для определения высоты над
земной поверхностью называется высото-
высотомером (или альтиметром). Его работа ос-
основана на использовании формулы D5.3).
Из этой формулы следует, что давление
с высотой убывает тем быстрее, чем тяже-
тяжелее газ.
Барометрическую формулу D5.3)
можно преобразовать, если воспользо-
воспользоваться выражением D2.6) p = nkT:
где п — концентрация молекул на высо-
высоте h, по — то же на высоте /г = 0. Так как
M = mOjVA (jVa—постоянная Авогадро,
то—масса одной молекулы), a R = kNA,
то
Рис. 67
i — noe
D5.4)

[ л а в а 8. Молокулярно-кинетическая теория идеальных газов
81
где mogh = ll — потенциальная энергия
молекулы в поле тяготения, т. е.
„ = rtoe-[|/<^>. D5.5)
Выражение D5.5) называется распре-
распределением Больцмана во внешнем потенци-
потенциальном поле. Из него следует, что при
постоянной температуре плотность газа
больше там, где меньше потенциальная
энергия его молекул.
Если частицы имеют одинаковую мас-
массу и находятся в состоянии хаотического
теплового движения, то распределение
Больцмана D5.5) справедливо в любом
внешнем потенциальном поле, а не только
в поле сил тяжести.
§46. Среднее число столкновений
и средняя длина
свободного пробега молекул
Молекулы газа, находясь в состоянии хао-
хаотического движения, непрерывно сталки-
сталкиваются друг с другом. Между двумя по-
последовательными столкновениями молеку-
молекулы проходят некоторый путь /, который
называется длиной свободного пробега.
В общем случае длина пути между по-
последовательными столкновениями различ-
различна, но так как мы имеем дело с огромным
числом молекул и они находятся в бес-
беспорядочном движении, то можно говорить
о средней длине свободного пробега моле-
молекул </>.
Минимальное расстояние, на которое
сближаются при столкновении центры
двух молекул, называется эффективным
диаметром молекулы d (рис.68). Он за-
зависит от скорости сталкивающихся моле-
молекул, т. е. от температуры газа (несколько
уменьшается с ростом температуры).
Так как за 1 с молекула проходит
в среднем путь, равный средней арифмети-
Рис. 69
ческой скорости (и), и если (z) —сред-
—среднее число столкновений, 'испытываемых
одной молекулой газа за 1 с, то средняя
длина свободного пробега
Для определения (z) представим себе
молекулу в виде шарика диаметром d,
которая движется среди других «застыв-
«застывших» молекул. Эта молекула столкнется
только с теми молекулами, центры кото-
которых находятся на расстояниях, рав-
равных или меньших d, т. е. лежат внутри
«ломаного» цилиндра радиусом d (рис.
69).
Среднее число столкновений за 1 с
равно числу молекул в объеме «ломано-
«ломаного» цилиндра:
где п—концентрация молекул, V =
= ndi{v) ((v) — средняя скорость мо-
молекулы или путь, пройденный ею за
1 с). Таким образом, среднее число
столкновений
(z) =nnd\v).
Расчеты показывают, что при учете дви-
движения других молекул
Тогда средняя длина свободного про-
пробега
Рис. 68
т.е. (I) обратно пропорциональна кон-
концентрации п молекул. С другой стороны,
из D2.6) следует, что при постоянной
температуре п пропорциональна давлению
р. Следовательно,
<*i) _п2 _Рг
</,,) /г, /7, "

2. Осноны молекулярной (физики и термодинамики
§ 47. Опытное обоснование
молекулярно-кинетической
теории
Рассмотрим некоторые явления, экспери-
экспериментально подтверждающие основные по-
положения и выводы молекулярно-кинетиче-
молекулярно-кинетической теории.
1. Броуновское движение. Шотланд-
Шотландский ботаник Р. Броун A773—1858), на-
наблюдая под микроскопом взвесь цветочной
пыльцы в воде, обнаружил, что частицы
пыльцы оживленно и беспорядочно двига-
двигались, то вращаясь, то перемещаясь
с места на место, подобно пылинкам в сол-
солнечном луче. Впоследствии оказалось,
что подобное сложное зигзагообразное
движение характерно для любых частиц
малых размеров (~1 мкм), взвешенных
в газе или жидкости. Интенсивность этого
движения, называемого броуновским, по-
повышается с ростом температуры среды,
с уменьшением вязкости и размеров
частиц (независимо от их химической при-
природы). Причина броуновского движения
долго оставалась неясной. Лишь через
80 лет после обнаружения этого эффекта
ему было дано объяснение: броуновское
движение взвешенных частиц вызывается
ударами молекул среды, в которой части-
частицы взвешены. Так как молекулы движутся
хаотически, то броуновские частицы полу-
получают толчки с разных сторон, поэтому
и совершают движение столь причудливой
формы. Таким образом, броуновское дви-
движение является подтверждением выводов
молекулярно-кинетической теории о хао-
хаотическом тепловом движении атомов и мо-
молекул.
2. Опыт Штерна. Первое эксперимен-
экспериментальное определение скоростей молекул
выполнено немецким физиком О. Штерном
A888—1970). Его опыты позволили также
оценить распределение молекул по скоро-
скоростям. Схема установки Штерна представ-
представлена на рис. 70. Вдоль оси внутреннего
цилиндра с щелью натянута платиновая
проволока, покрытая слоем серебра, кото-
которая нагревается током при откачанном
воздухе. При нагревании серебро испаря-
испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель,
попадают на внутреннюю поверхность вто-
Рис. 70
рого цилиндра, давая изображение щели
О. Если прибор привести во вращение
вокруг общей оси цилиндров, то атомы
серебра осядут не против щели, а сместят-
сместятся от точки О на некоторое расстояние
s. Изображение щели получается размы-
размытым. Исследуя толщину осажденного
слоя, можно оценить распределение моле-
молекул по скоростям, которое соответствует
максвелловскому распределению.
Зная радиусы цилиндров, их угловую
скорость вращения, а также измеряя s,
можно вычислить скорость движения ато-
атомов серебра при данной температуре про-
проволоки. Результаты опыта показали, что
средняя скорость атомов серебра близка
к той, которая следует из максвелловского
распределения молекул по скоростям.
3. Опыт Ламмерт. Этот опыт позволя-
позволяет более точно определить закон распреде-
распределения молекул по скоростям. Схема ваку-
вакуумной установки приведена на рис.71.
Молекулярный пучок, сформированный
источником, проходя через щель, попадает
в приемник. Между источником и прием-
приемником помещают два диска с прорезями,
закрепленных на общей оси. При непод-
неподвижных дисках молекулы достигают при-
приемника, проходя через прорези в обоих
Приемник
Источнии

Глава 8. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
83
дисках. Если ось привести во вращение, то
приемника достигнут только те прошедшие
прорезь в первом диске молекулы, которые
затрачивают для пробега между дисками
время, равное или кратное времени оборо-
оборота диска. Другие же молекулы задержива-
задерживаются вторым диском. Меняя угловую ско-
скорость вращения дисков и измеряя число
молекул, попадающих в приемник, можно
выявить закон распределения скоростей
молекул. Этот опыт также подтвердил
справедливость максвелловского распре-
распределения молекул по скоростям.
4. Опытное определение постоянной
Авогадро. Воспользовавшись идеей рас-
распределения молекул по высоте (см. форму-
формулу D5.4)), французский ученый Ж. Пер-
рен A870—1942) экспериментально опре-
определил постоянную Авогадро. Исследуя под
микроскопом броуновское движение, он
убедился, что броуновские частицы рас-
распределяются по высоте подобно молекулам
газа в поле тяготения. Применив к ним
больцмановское распределение, можно за-
записать
_ -(m-mx)gh/(kT)
где т — масса частицы, mi — масса вы-
вытесненной ею жидкости: т = 4/злг3р,
т| = 4/злгар1 (г— радиус частицы, р —
плотность частицы, pi — плотность жидко-
жидкости).
Если П[ и пг—концентрации частиц
на уровнях h\ и hi, a k=^R/NA, то
3/?Г1п(п,/л2)
Значение А/д, получаемое из работ
Ж- Перрена, соответствовало значениям,
полученным в других опытах, что под-
подтверждает применимость к броуновским
частицам распределения D5.4).
§ 48. Явления переноса
в термодинамически
неравновесных системах
В термодинамически неравновесных систе-
системах возникают особые необратимые про-
процессы, называемые явлениями переноса,
в результате которых происходит про-
пространственный перенос энергии, массы,
импульса. К явлениям переноса относятся
теплопроводность (обусловлена переносом
энергии), диффузия (обусловлена перено-
переносом массы) и внутреннее трение (обуслов-
(обусловлено переносом импульса). Для простоты
ограничимся одномерными явлениями пе-
переноса. Систему отсчета будем выбирать
так, чтобы ось х была ориентирована в на-
направлении переноса.
1. Теплопроводность. Если в одной об-
области газа средняя кинетическая энергия
молекул больше, чем в другой, то с течени-
течением времени вследствие постоянных стол-
столкновений молекул происходит процесс вы-
выравнивания средних кинетических энергий
молекул, т. е., иными словами, выравнива-
выравнивание температур.
Перенос энергии в форме теплоты под-
подчиняется закону Фурье:
AT
Ах'
D8.1)
где /Е — плотность теплового потока —
величина, определяемая энергией, перено-
переносимой в форме теплоты в единицу времени
через единичную площадку, перпендику-
лярную оси х, X — теплопроводность,
— градиент температуры, равный скоро-
скорости изменения температуры на единицу
длины х в направлении нормали к этой
площадке. Знак минус показывает, что
при теплопроводности энергия переносит-
переносится в направлении убывания температуры
AT
(поэтому знаки ]Е и —— противополож-
противоположны). Теплопроводность X численно равна
плотности теплового потока при градиенте
температуры, равном единице.
Можно показать, что
Ь=7эС„Р<1>></>, D8.2)
где c,v — удельная теплоемкость газа при
постоянном объеме (количество теплоты,
необходимое для нагревания 1 кг газа на
1 К при постоянном объеме), р — плот-
плотность газа, (v) —средняя скорость теп-
теплового движения молекул, {I) — средняя
длина свободного пробега.

2. Основы молекулярной физики и термодинамики
2. Диффузия. Явление диффузии за-
заключается в том, что происходит самопро-
самопроизвольное проникновение и перемешива-
перемешивание частиц двух соприкасающихся газов,
жидкостей и даже твердых тел; диффузия
сводится к обмену масс частиц этих тел,
возникает и продолжается, пока су-
существует градиент плотности. Во время
становления молекулярно-кинетической
теории по вопросу диффузии возникли
противоречия. Так как молекулы движутся
с огромными скоростями, диффузия до-
должна происходить очень быстро. Если же
открыть в комнате сосуд с пахучим ве-
веществом, то запах распространяется дово-
довольно медленно. Однако противоречия
здесь нет. Молекулы при атмосферном
давлении обладают малой длиной свобод-
свободного пробега и, сталкиваясь с другими
молекулами, в основном «стоят» на месте.
Явление диффузии для химически од-
однородного газа подчиняется закону Фика:
/т=-О"|Ь D8.3)
где \т — плотность потока массы — ве-
величина, определяемая массой вещества,
диффундирующего в единицу времени че-
через единичную площадку, перпендикуляр-
перпендикулярную оси х, D — диффузия (коэффициент
dp
диффузии),
dx
— градиент плотности,
равный скорости изменения плотности на
единицу длины х в направлении нормали
к этой площадке. Знак минус показывает,
что перенос массы происходит в направле-
направлении убывания плотности (поэтому знаки \т
и -р- противоположны). Диффузия D чис-
численно равна плотности потока массы при
градиенте плотности, равном единице.
Согласно кинетической теории газов,
D = '/3(v) </>. D8.4)
3. Внутреннее трение (вязкость). Ме-
Механизм возникновения внутреннего трения
между параллельными слоями газа (жид-
(жидкости), движущимися с различными ско-
скоростями, заключается в том, что из-за
хаотического теплового движения проис-
происходит обмен молекулами между слоями,
в результате чего импульс слоя, движуще-
движущегося быстрее, уменьшается, движущегося
медленнее — увеличивается, что приводит
к торможению слоя, движущегося
быстрее, и ускорению слоя, движущегося
медленнее.
Согласно формуле C1.1), сила внут-
внутреннего трения между двумя слоями газа
(жидкости) подчиняется закону Ньютона:
=r]
dv
S,
D8.5)
где Ti — динамическая вязкость (вяз-
. dv
кость), — градиент скорости, показы-
показывающий быстроту изменения скорости
в направлении х, перпендикулярном на-
направлению движения слоев, S — площадь,
на которую действует сила F.
Взаимодействие двух слоев согласно
второму закону Ньютона можно рассмат-
рассматривать как процесс, при котором от од-
одного слоя к другому в единицу времени
передается импульс, по модулю равный
действующей силе. Тогда выражение
D8.5) можно представить в виде
dv
D8.6)
где jp — плотность потока импульса — ве-
величина, определяемая полным импульсом,
переносимым в единицу времени в поло-
положительном направлении оси х через еди-
единичную площадку, перпендикулярную оси
dv _
х, — градиент скорости. Знак минус
указывает, что импульс переносится в на-
направлении убывания скорости (поэтому
знаки jp и —— противоположны).
Динамическая вязкость г\ численно
равна плотности потока импульса при гра-
градиенте скорости, равном единице; она вы-
вычисляется по формуле
^> (О-
D8.7)
Из сопоставления формул D8.1),
D8.3) и D8.6), описывающих явления
переноса, следует, что закономерности
всех явлений переноса сходны между со-
собой. Эти законы были установлены задол-
задолго до того, как они были обоснованы

Г л я в а 8. Молекулярно-кинетическая теория идеальных
и выведены из молекулярно-кинетической
теории, позволившей установить, что
внешнее сходство их математических вы-
выражений обусловлено общностью лежаще-
лежащего в основе явлений теплопроводности,
диффузии и внутреннего трения молеку-
молекулярного механизма перемешивания моле-
молекул в процессе их хаотического движения
и столкновений друг с другом.
Рассмотренные законы Фурье, Фика
и Ньютона не вскрывают молекуляр-
но-кинетического смысла коэффициентов
X, D и т|. Выражения для коэффициентов
переноса выводятся из кинетической тео-
теории. Они записаны без вывода, так как
строгое рассмотрение явлений переноса
довольно громоздко, а качественное — не
имеет смысла. Формулы D8.2), D8.4)
и D8.7) связывают коэффициенты перено-
переноса и характеристики теплового движения
молекул. Из этих формул вытекают про-
простые зависимости между к, D и т\:
Используя эти формулы, можно по най-
найденным из опыта одним величинам опреде-
определить другие.
§ 49. Вакуум и методы его получения.
Свойства ультраразреженных
газов
Если из сосуда откачивать газ, то по мере
понижения давления число столкновений
молекул друг с другом уменьшается, что
приводит к увеличению их длины свобод-
свободного пробега. При достаточно большом
разрежении столкновения между молеку-
молекулами относительно редки, поэтому основ-
основную роль играют столкновения молекул со
стенками сосуда. Вакуумом называется
состояние газа, при котором средняя дли-
длина свободного пробега </) сравнима или
больше характерного линейного размера
d сосуда, в котором газ находится. В за-
зависимости от соотношения (/) и d разли-
различают низкий ((I) <Св), средний ((I) S^d),
высокий (</)> d) и сверхвысокий (<I) >
>d) вакуум. Газ в состоянии высокого
вакуума называется ультраразреженным.
Рис. 72
Вопросы создания вакуума имеют
большое значение в технике, так как, на-
например, во многих современных электрон-
электронных приборах используются электронные
пучки, формирование которых возможно
лишь в условиях вакуума. Для получения
различных степеней разрежения применя-
применяются накуумные насосы. В настоящее вре-
время применяются вакуумные насосы, по-
позволяющие получить предварительное
разрежение (форвакуум) до «0,13 Па,
а также вакуумные насосы и лаборатор-
лабораторные приспособления, позволяющие полу-
получить давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа
A0~7—
мм рт. ст.).
Принцип работы форвакуумного на-
насоса представлен на рис. 72. Внутри ци-
цилиндрической полости корпуса враща-
вращается эксцентрично насаженный цилиндр.
Две лопасти / и /', вставленные в разрез
цилиндра и раздвигаемые пружиной 2,
разделяют пространство между цилинд-
цилиндром и стенкой полости на две части. Газ из
откачиваемого сосуда поступает в область
3, по мере поворачивания цилиндра ло-
лопасть / отходит, пространство 3 увеличи-
увеличивается и газ засасывается через трубку
4. При дальнейшем вращении лопасть /'
отключает пространство 3 от трубки
4 и начинает вытеснять газ через клапан
5 наружу. Весь процесс непрерывно по-
повторяется.
Для получения высокого вакуума при-
применяются диффузионные насосы (рабочее
вещество— ртуть или масло), которые не
способны откачивать газ из сосудов на-
начиная с атмосферного давления, но спо-
способны создавать добавочную разность
давлений, поэтому их употребляют вместе
с форвакуумными насосами. Рассмотрим
схему действия диффузионного насоса
(рис. 73). В колбе ртуть нагревается, пары
ртути, поднимаясь по трубке /, вырывают-

2. Основы молекулярной физики и термодинамики
Высокий вакуум
Рис. 73
си из сопла 2 с большой скоростью, увле-
увлекая за собой молекулы газа из откачивае-
откачиваемого сосуда (в нем создан предваритель-
предварительный вакуум). Эти пары, попадая затем
в «водяную рубашку», конденсируются
и стекают обратно в резервуар, а захва-
захваченный газ выходит в пространство (через
трубку 3), в котором уже создан форваку-
форвакуум. Если применять многоступенчатые на-
насосы (несколько сопл расположены по-
последовательно), то реально при хороших
уплотнениях можно с помощью них полу-
получить разрежение до 10~7 мм рт. ст.
Для дальнейшего понижения давления
применяются так называемые «ловушки».
Между диффузионным насосом и откачи-
откачиваемым объектом располагают специально
изогнутое колено (/ или 2) соединитель-
соединительной трубки (ловушку), которую охлажда-
охлаждают жидким азотом (рис.74). При такой
температуре пары ртути (масла) вымора-
вымораживаются и давление в откачиваемом со-
сосуде понижается приблизительно на 1 —
2 порядка. Описанные ловушки называют
охлаждаемыми; можно применять также
неохлаждаемые ловушки. Специальное
рабочее вещество (например, алюмогель)
помещают в один из отростков соедини-
соединительной трубки вблизи откачиваемого
объекта, которое поддерживается при тем-
температуре 300 °С. При достижении высо-
высокого вакуума алюмогель охлаждается до
комнатной температуры, при которой он
начинает поглощать имеющиеся в системе
пары. Преимущество этих ловушек состо-
состоит в том, что с их помощью в откачивае-
откачиваемых объектах можно поддерживать высо-
высокий вакуум уже после непосредственной
откачки в течение даже нескольких суток.
Остановимся на некоторых свойствах
ультраразреженных газов. Так как в со-
состоянии ультраразрежения молекулы
практически друг с другом не сталкивают-
сталкиваются, то газ в этом состоянии не обладает
внутренним трением. Отсутствие соударе-
соударений между молекулами разреженного газа
отражается также на механизме теплопро-
теплопроводности. Если при обычных давлениях
перенос энергии молекулами производится
«эстафетой», то при ультраразрежении
каждая молекула сама должна перенести
энергию от одной стенки сосуда к другой.
Явление уменьшения теплопроводности
вакуума при понижении давления исполь-
используется на практике для создания тепловой
изоляции. Например, для уменьшения теп-
теплообмена между телом и окружающей
средой тело помещают в сосуд Дьюара *,
имеющий двойные стенки, между которы-
которыми находится разреженный воздух, тепло-
теплопроводность которого очень мала.
Рассмотрим два сосуда / и 2, под-
поддерживаемых соответственно при темпера-
Рис. 75
турах Т\ и Ti (рис. 75) и соединенных
между собой трубкой. Если длина сво-
свободного пробега молекул гораздо меньше
диаметра соединительной трубки (</><С
<Cd), то стационарное состояние газа ха-
характеризуется равенством давлений в обо-
обоих сосудах (р1=р^). Стационарное же
Рис. 74
Д. Дьюар A842—1923) — английский
химик и физик.

Глава 8. Молекулярно-кинетичеекаи теория идеальных газов
87
состояние ультраразреженного газа
(</)»d), находящегося в двух сосудах,
соединенных трубкой, возможно лишь
в том случае, когда встречные потоки
частиц, перемещающихся из одного со-
сосуда в другой, одинаковы, т. е.
и, (vl)=n2 (vi), D9.1)
где rti и «2 — концентрации молекул в обо-
обоих сосудах, (v\) и <и2) — средние
скорости молекул. Учитывая, что п =
= p/(kT) и (v)=^8RT/(nM), из условия
D9.1) получаем
p,/p2 = yr,/T2, D9.2)
т.е. в условиях высокого вакуума вырав-
выравнивания давлений не происходит. Если
в откачанный стеклянный баллон (рис. 76)
на пружину / насадить слюдяной листо-
листочек 2, одна сторона которого зачернена,
и освещать его, то возникнет разность
температур между светлой и зачерненной
К насосу
Рис. 76
поверхностями листочка. Из выражения
D9.2) следует, что в данном случае раз-
разным будет и давление, т. е. молекулы от
зачерненной поверхности будут оттал-
отталкиваться с большей силой, чем от свет-
светлой, в результате чего листочек отклонит-
отклонится. Это явление называется радиометри-
радиометрическим эффектом. На радиометрическом
эффекте основано действие радиометриче-
радиометрического манометра.
Контрольные вопросы
Почему термодинамический и статистический (молекулярно-кинетический) методы исследова-
исследования макроскопических систем качественно различны и взаимно дополняют друг друга?
Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические параметры вам известны?
Как объяснить закон Бойля—Мариотта с точки зрения молекулярно-кинетической теории?
Какими законами описываются изобарные и изохорные процессы?
Каков физический смысл постоянной Авогадро? числа Лошмидта?
При некоторых значениях температуры и давления азот количеством вещества 1 моль занимает
объем 20 л. Какой объем при этих же условиях займет водород количеством вещества 1 моль?
В чем заключается молекулярно-кинетическое толкование давления газа? термодинамической
температуры?
В чем содержание и какова цель вывода основного уравнения молекулярно-кинетической
теории газов?
Каков физический смысл функции распределения молекул по скоростям? по энергиям?
Как, зная функцию распределения молекул по скоростям, перейти к функции распределения по
энергиям?
Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения молекул при переходе от кислорода
к водороду?
В чем суть распределения Больцмана?
Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему?
Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления?
В чем сущность явлений переноса? Каковы они и при каких условиях возникают?
Объяснить физическую сущность законов Фурье? Фика? Ньютона?
Каков механизм теплопроводности ультраразреженных газов?

88
i. Оснопы молекуляриоп физики м термодинамики
Задачи
8.1. Начертить и объяснить графики изотермического и изобарного процессов в координатах
р и V, р и Т, Т и V.
8.2. В сосуде при температуре < = 20°С и давлении р = 0,2 МПа содержится смесь газов —
кислорода массой mi = 16 г и азота массой т^ = 2\ г. Определить плотность смеси.
[2,5 кг/м3]
8.3. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении
40 кПа составляет 0,35 кг/м3. [478 м/с]
8.4. Используя закон для распределения молекул идеального газа по скоростям, найти закон,
выражающий распределение молекул по относительным скоростям и (u = v/v,). [/(ц) =
8.5. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по относительным скоростям
(см. задачу 8.4), определить, какая доля молекул кислорода, находящегося при темпера-
температуре / = 0°С, имеет скорости от 100 до 110 м/с. [0,4]
8.6. На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плотность на уровне моря?
Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К. [5,5 км ]
8.7. Определить среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при темпера-
температуре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул принять равным
0,28 нм. [ 170 не ]
8.8. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых условиях равны соответст-
соответственно 1,42-10~4 м2/с и 8,5 мкПа-с. Определить концентрацию молекул воздуха при этих
условиях. [ 1,25- 1024 м ]
Глава 9
Основы термодинамики
§50. Число степеней
свободы молекулы.
Закон равномерного
распределения энергии
по степеням свободы молекул
Важной характеристикой термодинамиче-
термодинамической системы является ее внутренняя
энергия U — энергия хаотического (тепло-
(теплового) движения микрочастиц системы
(молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.)
и энергия взаимодействия этих частиц. Из
этого определения следует, что к внутрен-
внутренней энергии не относятся кинетическая
энергия движения системы как целого
и потенциальная энергия системы во
внешних полях.
Внутренняя энергия — однозначная
функция термодинамического состояния
системы, т. е. в каждом состоянии система
обладает вполне определенной внутренней
энергией (она не зависит от того, как
система пришла в данное состояние). Это
означает, что при переходе системы из
одного состояния в другое изменение внут-
внутренней энергии определяется только раз-
разностью значений внутренней энергии этих
состояний и не зависит от пути перехода.
В § 1 было введено понятие числа
степеней свободы — числа независимых
переменных (координат), полностью опре-
определяющих положение системы в простран-
пространстве. В ряде задач молекулу одноатомного
газа (рис. 77, а) рассматривают как мате-
материальную точку, которой приписывают три
Рис. 77

Г л ;i u ii 9. Огншш тсрмодиплммки
степени свободы поступательного движе-
движения. При этом энергию вращательного
движения можно не учитывать (г-»-0, / =
= тА+0, ГВр = Уш2/2—0).
В классической механике молекула
двухатомного газа в первом приближении
рассматривается как совокупность двух
материальных точек, жестко связанных
недеформируемой связью (рис. 77,6). Эта
система кроме трех степеней свободы по-
поступательного движения имеет еще две
степени свободы вращательного движе-
движения. Враще.ние вокруг третьей оси (оси,
проходящей через оба атома) лишено
смысла. Таким образом, двухатомный газ
обладает пятью степенями свободы (i = 5).
Трехатомная (рис. 77,в) и многоатомная
нелинейные молекулы имеют шесть степе-
степеней свободы: три поступательных и три
вращательных. Естественно, что жесткой
связи между атомами не существует. По-
Поэтому для реальных молекул необходимо
учитывать также степени свободы колеба-
колебательного движения.
Независимо от общего числа степеней
свободы молекул три степени свободы
всегда поступательные. Ни одна из по-
поступательных степеней свободы не имеет
преимущества перед другими, поэтому на
каждую из них приходится в среднем оди-
одинаковая энергия, равная '/3 значения
<ео)в D3.8):
В классической статистической физике
выводится закон Больцмана о равномер-
равномерном распределении энергии по степеням
свободы молекул: для статистической
системы, находящейся в состоянии термо-
термодинамического равновесия, на каждую по-
поступательную и вращательную степени
свободы приходится в среднем кинетиче-
кинетическая энергия, равная АгГ/2, а на каждую
колебательную степень свободы — в сред-
среднем энергия, равная kT. Колебательная
степень «обладает» вдвое большей энер-
энергией потому, что на нее приходится не
только кинетическая энергия (как в слу-
случае поступательного и вращательного дви-
движений), но и потенциальная, причем сред-
средние значения кинетической и потенциаль-
потенциальной энергий одинаковы. Таким образом,
средняя энергия молекулы
<е>=уА7\
где / — сумма числа поступатель-
поступательных, числа вращательных и удвоенного
числа колебательных степеней свободы
молекулы:
^ —" ^пост ~| ^вращ ~г ~ ^колеб-
В классической теории рассматривают
молекулы с жесткой связью между атома-
атомами; для них i совпадает с числом степеней
свободы молекулы.
Так как в идеальном газе взаимная
потенциальная энергия молекул равна ну-
нулю (молекулы между собой не взаимодей-
взаимодействуют), то внутренняя энергия, отнесен-
отнесенная к одному молю газа, будет равна
сумме кинетических энергий jVa молекул:
Um=^kTNK = ^RT. E0.1)
Внутренняя энергия для произвольной
массы т газа
где М — молярная масса, v — количе-
количество вещества.
§ГИ. Псрное начало термодинамики
Рассмотрим термодинамическую систему,
для которой механическая энергия не из-
изменяется, а изменяется лишь ее внутрен-
внутренняя энергия. Внутренняя энергия системы
может изменяться в результате различных
процессов, например совершения над
системой работы и сообщения ей теплоты.
Так, вдвигая поршень в цилиндр, в кото-
котором находится газ, мы сжимаем этот газ,
в результате чего его температура повы-
повышается, т. е. тем самым изменяется (уве-
(увеличивается) внутренняя энергия газа.
С другой стороны, температуру газа и его
внутреннюю энергию можно повысить за
счет сообщения ему некоторого количест-
количества теплоты — энергии, переданной систе-
системе внешними телами путем теплообмена
(процесс обмена внутренними энергиями
при контакте тел с разными температу-
температурами) .

90
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
Таким образом, можно говорить о двух
формах передачи энергии от одних тел
к другим: работе и теплоте. Энергия меха-
механического движения может превращаться
в энергию теплового движения и наоборот.
При этих превращениях соблюдается за-
закон сохранения и превращения энергии;
применительно к термодинамическим про-
процессам этим законом и является первое
начало термодинамики, установленное
в результате обобщения многовековых
опытных данных.
Допустим, что некоторая система (газ,
заключенный в цилиндр под поршнем),
обладая внутренней энергией U\, получи-
получила некоторое количество теплоты Q и,
перейдя в новое состояние, характеризую-
характеризующееся внутренней энергией U?, совершила
работу А над внешней средой, т. е. против
внешних сил. Количество теплоты считает-
считается положительным, когда оно подводится
к системе, а работа — положительной,
когда система совершает ее против внеш-
внешних сил. Опыт показывает, что в соответ-
соответствии с законом сохранения энергии при
любом способе перехода системы из перво-
первого состояния во второе изменение внутрен-
внутренней энергии &U=U2 — U\ будет одинако-
одинаковым и равным разности между количест-
количеством теплоты Q, полученным системой,
и работой А, совершенной системой про-
против внешних сил:
или
E1.1)
Уравнение E1.1) выражает первое начало
термодинамики: теплота, сообщаемая
системе, расходуется на изменение ее
внутренней энергии и на совершение ею
работы против внешних сил.
Выражение E1.1) в дифференциаль-
дифференциальной форме будет иметь вид
или в более корректной форме
E1.2)
где dV — бесконечно малое изменение
внутренней энергии системы, ЬА — эле-
элементарная работа, 6Q — бесконечно ма-
малое количество теплоты. В этом выраже-
выражении <Ш является полным дифференциа-
дифференциалом, а ЬА и 6Q таковыми не являются.
В дальнейшем будем использовать запись
первого начала термодинамики в форме
E1.2).
Из формулы E1.1) следует, что в СИ
количество теплоты выражается в тех же
единицах, что работа и энергия,
т. е. в джоулях (Дж).
Если система периодически возвраща-
возвращается в первоначальное состояние, то изме-
изменение ее внутренней энергии AU = 0. Тогда,
согласно первому началу термодинамики,
т. е. вечный двигатель первого рода —
периодически действующий двигатель, ко-
который совершал бы большую работу, чем
сообщенная ему извне энергия,— невоз-
невозможен (одна из формулировок первого
начала термодинамики).
§ 52. Работа газа
при изменении его объема
Для рассмотрения конкретных процессов
найдем в общем виде внешнюю работу,
совершаемую газом при изменении его
объема. Рассмотрим, например, газ, на-
находящийся под поршнем в цилиндриче-
цилиндрическом сосуде (рис. 78). Если газ, расширя-
расширяясь, передвигает поршень на бесконечно
малое расстояние d/, то производит над
ним работу
где S — площадь поршня, S d/ = dV — из-
изменение объема системы. Таким образом,
&A=pdV. E2.1)
Полную работу А, совершаемую газом при
изменении его объема от Vi до V?, найдем
Рис. 78

Глава 9. Основы термодинамики
Р '
Рис. 79
интегрированием формулы E2.1):
A=\pdV.
E2.2)
Результат интегрирования определяется
характером зависимости между давлением
и объемом газа. Найденное для работы
выражение E2.2) справедливо при любых
изменениях объема твердых, жидких и га-
газообразных тел.
Произведенную при том или ином про-
процессе работу можно изобразить графиче-
графически с помощью кривой в координатах р,
V. Например, изменение давления газа
при его расширении изобразится кривой
на рис. 79. При увеличении объема на dV
совершаемая газом работа равна pdV,
т. е. определяется площадью полоски
с основанием dV на рисунке. Поэтому
полная работа, совершаемая газом при
расширении от объема V\ до объема Vч,
определяется площадью, ограниченной
осью абсцисс, кривой p — f(V) и прямыми
V, и V2.
Графически можно изображать только
равновесные процессы — процессы, состо-
состоящие из последовательности равновесных
состояний. Они протекают так, что измене-
изменение термодинамических параметров за ко-
конечный промежуток времени бесконечно
мало. Все реальные процессы неравновес-
неравновесны (они протекают с конечной скоростью),
но в ряде случаев неравновесностью
реальных процессов можно пренебречь
(чем медленнее процесс протекает, тем он
ближе к равновесному). В дальнейшем
рассматриваемые процессы будем считать
равновесными.
§ 53. Теплоемкость
Удельная теплоемкость вещества не-
неличина, равная количеству теплоты, не-
необходимому для нагревания 1 кг вещест-
вещества на 1 К:
с =
mdT
Единица удельной теплоемкости — джоуль
на килограмм-кельвин (Дж/(кг-К))
Молярная теплоемкость — величина,
равная количеству теплоты, необходимому
для нагревания 1 моля вещества на 1 К:
с-=т?г E31)
где \~т/М — количество вещества, вы-
выражающее число молей.
Единица молярной теплоемкости —
джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль-К)).
Удельная теплоемкость с связана с мо-
молярной Ст соотношением
Ст = сМ, E3.2)
где М — молярная масса вещества.
Различают теплоемкости при постоян-
постоянном объеме и постоянном давлении, если
в процессе нагревания вещества его
объем или давление поддерживается по-
постоянным.
Запишем выражение первого начала
термодинамики E1.2) для 1 моля газа
с учетом формул E2.1) и E3.1):
Если газ нагревается при постоянном
объеме, то работа внешних сил равпи ну-
нулю (см. E2.1)) и сообщаемая газу пзине
теплота идет только на увеличение его
внутренней энергии:
Cv = ^, E3.4)
т. е. молярная теплоемкость газа при по-
постоянном объеме Cv равна изменению
внутренней энергии 1 моля газа при повы-
повышении его температуры на 1 К. Согласно
формуле E0.1),
dUw=~RdT,

2. Осжшы молекулярной физики и термодинамики
тогда
, = iR/2.
E3.5)
Если газ нагревается при постоянном
давлении, то выражение E3.3) можно за-
записать в виде
Учитывая, что
AT
dT
Г
Pdl/m
не зависит от вида
процесса (внутренняя энергия идеального
газа не зависит ни от р, ни от V, а опреде-
определяется лишь температурой 7") и всегда
равна Су (см. E3.4)); продифферен-
продифференцировав уравнение Клапейрона — Мен-
Менделеева p]/m = RT D2.4) по Т (р = const),
получим
E3.6)
Выражение E3.6) называется уравнением
Майера; оно показывает, что Ср всегда
больше Cv на величину молярной газовой
постоянной. Это объясняется тем, что при
нагревании газа при постоянном давлении
требуется еще дополнительное количество
теплоты на совершение работы расшире-
расширения газа, так как постоянство давле-
давления обеспечивается увеличением объема
газа.
Использовав E3.5), выражение E3.6)
можно записать в виде
п
E3.7)
При рассмотрении термодинамических
процессов важно знать характерное для
каждого газа отношение Ср к Cv:
y = Cp/Cv = (i + 2)/L E3.8)
Из формул E3.5) и E3.7) следует, что
молярные теплоемкости определяются
лишь числом степеней свободы и не за-
зависят от температуры. Это утверждение
молекулярно-кинетической теории спра-
справедливо в довольно широком интервале
температур лишь для одноатомных газов.
Уже у двухатомных газов число степеней
свободы, проявляющееся в теплоемкости,
зависит от температуры. Молекула двух-
двухатомного газа обладает тремя поступа-
Рис. 80
тельными, двумя вращательными и одной
колебательной степенями свободы.
По закону равномерного распределе-
распределения энергии по степеням свободы (см.
§ 50), для комнатных температур Cv =
= 7/г/?. Из качественной эксперименталь-
экспериментальной зависимости молярной теплоемкости
Cv водорода (рис. 80) следует, что Су за-
зависит от температуры: при низкой темпера-
температуре (ж50 К) CV=3/?R, при комнатной —
Cv = b/iR (вместо расчетных 1/iR\)
и очень высокой — Cy = 7/?R. Это можно
объяснить, предположив, что при низких
температурах наблюдается только посту-
поступательное движение молекул, при ком-
комнатных — добавляется их вращение, а
при высоких — к этим двум видам дви-
движения добавляются еще колебания моле-
молекул .
Расхождение теории и эксперимента
нетрудно объяснить. Дело в том, что при
вычислении теплоемкости надо учитывать
квантование энергии вращения и колеба-
колебаний молекул (возможны не любые враща-
вращательные и колебательные энергии, а лишь
определенный дискретный ряд значений
энергий). Если энергия теплового движе-
движения недостаточна, например, для возбуж-
возбуждения колебаний, то эти колебания не вно-
вносят своего вклада в теплоемкость (соот-
(соответствующая степень свободы «заморажи-
«замораживается» — к ней неприменим закон равно-
равнораспределения энергии). Этим объясняет-
объясняется, что теплоемкость моля двухатомного
газа — водорода — при комнатной темпе-
температуре равна ъli R вместо 7/г R- Аналогич-
Аналогично можно объяснить уменьшение тепло-
теплоемкости при низкой температуре («замо-
(«замораживаются» вращательные степени сво-

Глава 9. Основы термодинамики
Ч.Ч
боды) и увеличение при высокой («воз-
(«возбуждаются» колебательные степени сво-
свободы).
§ 54. Применение первого начала
термодинамики к изопроцессам
Среди равновесных процессов, происходя-
происходящих с термодинамическими системами,
выделяются изопроцессы, при которых
один из основных параметров состояния
сохраняется постоянным.
Изохорный процесс (V = const). Диаг-
Диаграмма этого процесса (изохора) в коорди-
координатах р, V изображается прямой, парал-
параллельной оси ординат (рис. 81), где процесс
/—2 есть изохорное нагревание, а /—3 —
изохорное охлаждение. При изохорном
процессе газ не совершает работы над
внешними телами, т. е.
6Л =р dV = 0.
Как уже указывалось в § 53, из первого
начала термодинамики FQ = dL/ + 6/4) для
изохорного процесса следует, что вся теп-
теплота, сообщаемая газу, идет на увеличе-
увеличение его внутренней энергии:
Р4-
. 2
Рис. 82
натах р, V изображается прямой, парал-
параллельной оси V. При изобарном процессе
работа газа (см. E2.2)) при расширении
объема от 1Л до V-2 равна
E4.2)
и определяется площадью прямоугольни-
прямоугольника, выполненного в цвете на рис. 82. Если
использовать уравнение D2.5) Клапейро-
Клапейрона — Менделеева для выбранных нами
двух состояний, то
откуда
Согласно формуле E3.4),
Тогда для
лучим
произвольной массы газа по-
поE4.1)
Изобарный процесс (р = const). Диаг-
Диаграмма этого процесса (изобара) в коорди-
2
1
5 ¦
Рис. 81
Тогда выражение E4.2) для работы изо-
изобарного расширения примет вид
A=-^-R{T2 — Ti). E4.3)
Из этого выражения вытекает физический
смысл молярной газовой постоянной R:
если Т> — Т\ = 1 К, то для 1 моля газа /? =
Л, т. е. R численно равна работе изо-
изобарного расширения 1 моля идеального
газа при нагревании его на 1 К.
В изобарном процессе при сообщении
газу массой m количества теплоты
его внутренняя энергия возрастает на ве-
величину (согласно формуле E3.4))
При этом газ совершит работу, определяе-
определяемую выражением E4.3).

94
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
Изотермический процесс G" = const).
Как уже указывалось в § 41, изотермиче-
изотермический процесс описывается законом Бой-
ля — Мариотта:
Диаграмма этого процесса (изотерма)
в координатах р, V представляет собой
гиперболу (см. рис.60), расположенную
на диаграмме тем выше, чем выше темпе-
температура, при которой происходил процесс.
Исходя из выражений E2.2) и D2.5)
найдем работу изотермического расшире-
расширения газа:
m . m . Pi
=— ЛГ In —-=—- RT In —.
M V| M p2
Так как при T = const внутренняя энергия
идеального газа не изменяется:
то из первого начала термодинамикиFQ =
dU-\-&A) следует, что для изотермиче-
изотермического процесса
т. е. все количество теплоты, сообщаемое
газу, расходуется на совершение им рабо-
работы против внешних сил:
М р2 М V\
E4.4)
Следовательно, для того чтобы при рабо-
работе расширения температура не уменьша-
уменьшалась, к газу в течение изотермического
процесса необходимо подводить количест-
количество теплоты, эквивалентное внешней работе
расширения.
§ 55. Адиабатический процесс.
Политропный процесс
Адиабатическим называется процесс, при
котором отсутствует теплообмен FQ = 0)
между системой и окружающей средой.
К адиабатическим процессам можно от-
отнести все быстропротекающие процессы.
Например, адиабатическим процессом
можно считать процесс распространения
звука в среде, так как скорость распро-
распространения звуковой волны настолько вели-
велика, что обмен энергией между волной
и средой произойти не успевает. Адиаба-
Адиабатические процессы применяются в двига-
двигателях внутреннего сгорания (расширение
и сжатие горючей смеси в цилиндрах),
в холодильных установках и т. д.
Из первого начала термодинамики
FQ = d?/-f-6\4) для адиабатического про-
процесса следует, что
bA=—dif, E5.1)
т. е. внешняя работа совершается за счет
изменения внутренней энергии системы.
Используя выражения E2.1) и E3.4),
для произвольной массы газа перепишем
уравнение E5.1) в виде
М
E5.2)
Продифференцировав уравнение состоя-
состояния для идеального газа pV = —-RT, no-
М
лучим
pdV+V dp = ~
М
E5.3)
Исключим из E5.2) и E5.3) температу-
температуру Т.
pdV+Vdp R__ Cp-Cv
pdV ~ Cv ~ Cv
Разделив переменные и учитывая, что
Cp/Cv = y (см. E3.8)), найдем
dp/p=-ydV/V.
Интегрируя это уравнение в пределах от
р\ до рг и соответственно от V\ до Уг,
а затем потенцируя, придем к выражению
Так как состояния 1 и 2 выбраны про-
произвольно, то можно записать
р\Г> = const.
E5.4)

Глава 9. Основы термодинамики
Полученное выражение есть уравнение
адиабатического процесса, называемое
также уравнением Пуассона.
Для перехода к переменным Т, V или
р, Т исключим из E5.4) с помощью урав-
уравнения Клапейрона — Менделеева
соответственно давление или объем:
Гр'~т = const.
E5.5)
E5.6)
Выражения E5.4) — E5.6) представ-
представляют собой уравнения адиабатического
процесса. В этих уравнениях безразмер-
безразмерная величина (см. E3.8) и E3.2))
E5.7)
называется показателем адиабаты (или
коэффициентом Пуассона). Для одно-
одноатомных газов (Ne, He и др.), достаточно
хорошо удовлетворяющих условию иде-
идеальности, i = 3, у = 1,67. Для двухатомных
газов (Н2, N2, О2 и др.) г' = 5, у = 1,4. Зна-
Значения у, вычисленные по формуле E5.7),
хорошо подтверждаются экспериментом.
Диаграмма адиабатического процесса
(адиабата) в координатах р, V изобража-
изображается гиперболой (рис.83). На рисунке
видно, что адиабата (pVy = const) более
крута, чем изотерма (pV = const). Это
объясняется тем, что при адиабатическом
сжатии /—3 увеличение давления газа
обусловлено не только уменьшением его
объема, как при изотермическом сжатии,
но и повышением температуры.
r=const
Вычислим работу, совершаемую газом
в адиабатическом процессе. Запишем
уравнение E5.2) в виде
Если газ адиабатически расширяется от
объема Vi до V2, то его температура
уменьшается от Т\ до Ti и работа расши-
расширения идеального газа
т„
М v
E5.8)
Применяя те же приемы, что и при
выводе формулы E5.5), выражение E5.8)
для работы при адиабатическом расшире-
расширении можно преобразовать к виду
Рис. 83
_ RT, m Г /У.у-'1
V-1 М [ \V3) j
где p,Vi =-rr^i-
Работа, совершаемая газом при адиа-
адиабатическом расширении 1—2 (определяется
площадью, выполненной в цвете на рис. 83),
меньше, чем при изотермическом. Это
объясняется тем, что при адиабатическом
расширении происходит охлаждение газа,
тогда как при изотермическом —темпера-
—температура поддерживается постоянной за счет
притока извне эквивалентного количества
теплоты.
Рассмотренные изохорный, изобарный,
изотермический и адиабатический процес-
процессы имеют общую особенность—они про-
происходят при постоянной теплоемкости.
В первых двух процессах теплоемкости
соответственно равны Cv и Ср, в изотерми-
изотермическом процессе (d7" = 0) теплоемкость
равна ±оо, в адиабатическом FQ = 0)
теплоемкость равна нулю. Процесс, в ко-
котором теплоемкость остается постоянной,
называется политропным.
Исходя из первого начала термодина-
термодинамики при условии постоянства теплоемко-
теплоемкости (C = const) можно вывести уравнение
политропы:
pV" = const, E5.9)

2. Основы молекулярной физики и термодинамики
где n = (C — Cp)/(C — Cv) — показатель
политропы. Очевидно, что при С = 0, и = у
из E5.9) получается уравнение адиабаты;
при С=оо, п =1 —уравнение изотермы;
при С=СР, п = 0 — уравнение изобары,
при С = Су, л=±°° —уравнение изохо-
ры. Таким образом, все рассмотренные
процессы являются частными случаями
политропного процесса.
§56. Круговой процесс (цикл).
Обратимые и необратимые
процессы
Круговым процессом (или циклом) назы-
называется процесс, при котором система,
пройдя через ряд состояний, возвращает-
возвращается в исходное. На диаграмме процессов
цикл изображается замкнутой кривой
(рис.84). Цикл, совершаемый идеальным
газом, можно разбить на процессы расши-
расширения (/—2) и сжатия B—/) газа. Рабо-
Работа расширения (определяется площадью
фигуры /a2V/2V|/) положительна (dV>0),
работа сжатия (определяется площадью
фигуры 2blV\Vi2) отрицательна (dV<0),
Следовательно, работа, совершаемая
газом за цикл, определяется площадью,
охватываемой замкнутой кривой. Если
за цикл совершается положительная ра-
работа /4=фрс1К>0 (цикл протекает по
часовой стрелке), то он называется пря-
прямым (рис. 84, а), если за цикл совершает-
совершается отрицательная работа Л=фрсИ/<0
(цикл протекает против часовой стрел-
стрелки), то он называется обратным (рис.
84,6).
Прямой цикл используется в тепловых
двигателях — периодически действующих
двигателях, совершающих работу за счет
полученной извне теплоты. Обратный цикл
Р +
используется в холодильных машинах —
периодически действующих установках,
в которых за счет работы внешних сил
теплота переносится к телу с более высо-
высокой температурой.
В результате кругового процесса
система возвращается в исходное состоя-
состояние и, следовательно, полное изменение
внутренней энергии газа равно нулю. По-
Поэтому первое начало термодинамики
E1.1) для кругового процесса
A, E6.1)
т. е. работа, совершаемая за цикл, равна
количеству полученной извне теплоты. Од-
Однако в результате кругового процесса
система может теплоту как получать, так
и отдавать, поэтому
где Q\ — количество теплоты, полученное
системой, Qi—количество теплоты, от-
отданное системой. Поэтому термический
коэффициент полезного действия для кру-
кругового процесса
=
E6.2)
Рис. 84
Термодинамический процесс называет-
называется обратимым, если он может происходить
как в прямом,так и в обратном направле-
направлении, причем если такой процесс происхо-
происходит сначала в прямом, а затем в обратном
направлении и система возвращается в ис-
исходное состояние, то в окружающей среде
и в этой системе не происходит никаких
изменений. Всякий процесс, не удовлетво-
удовлетворяющий этим условиям, является необра-
необратимым.
Любой равновесный процесс является
обратимым. Обратимость равновесного
процесса, происходящего в системе, следу-
следует из того, что ее любое промежуточное
состояние есть состояние термодинамиче-
термодинамического равновесия; для него «безразлично»,
идет процесс в прямом или обратном на-
направлении. Реальные процессы сопровож-
сопровождаются диссипацией энергии (из-за тре-
трения, теплопроводности и т.д.), которая
нами не обсуждается. Обратимые процес-
процессы — это идеализация реальных процес-
процессов. Их рассмотрение важно по двум при-

Глава 9. Основы термодинамики
97
чинам: I) многие процессы в природе
и технике практически обратимы; 2) обра-
обратимые процессы являются наиболее эконо-
экономичными; имеют максимальный термиче-
термический коэффициент полезного действия, что
позволяет указать пути повышения
к. п. д. реальных тепловых двигателей.
§ 57. Энтропия,
ее статистическое толкование
и свя*ь с термодинамической
вероятностью
Понятие энтропии введено в 1865 г.
Р. Клаузиусом. Для выяснения физическо-
физического содержания этого понятия рассматри-
рассматривают отношение теплоты Q, полученной
телом в изотермическом процессе, к темпе-
температуре Т теплоотдающего тела, называе-
называемое приведенным количеством теплоты.
Приведенное количество теплоты, со-
сообщаемое телу на бесконечно малом
участке процесса, равно 6Q/T. Строгий
теоретический анализ показывает, что
приведенное количество теплоты, сообща-
сообщаемое телу а любом обратимом круговом
процессе, равно нулю;
6Q
Ф
-=0.
E7.1)
Из равенства нулю интеграла E7.1), взя-
взятого по замкнутому контуру, следует, что
подынтегральное выражение 6Q/T есть
полный дифференциал некоторой фун-
функции, которая определяется только состоя-
состоянием системы и не зависит от пути, каким
система пришла в это состояние. Таким
образом,
8Q
-=dS.
E7.2)
Функция состояния, дифференциалом ко-
которой является 6Q/T, называется энтро-
энтропией и обозначается S.
Из формулы E7.1) следует, что для
обратимых процессов изменение энтропии
AS=0. E7.3)
В термодинамике доказывается, что эн-
энтропия системы, совершающей необрати-
необратимый цикл, возрастает;
Д5>0. E7.4)
Выражения E7.3) и E7.4) относятся
только к замкнутым системам, если же
система обменивается теплотой с внешней
средой, то ее энтропия может вести себя
любым образом. Соотношения E7.3)
и E7.4) можно представить в виде не-
неравенства Клауз нуса
AS 3*0, E7.5)
т. е. энтропия замкнутой системы может
либо возрастать (а случае необратимых
процессов), либо оставаться постоянной
(в случае обратимых процессов).
Если система совершает равновесный
переход из состояния / в состояние 2, то,
согласно E7.2), изменение энтропии
2 cs^ 2
E7.6)
где подынтегральное выражение и преде-
пределы интегрирования надо выразить через
величины, характеризующие исследуемый
процесс. Формула E7.6) определяет эн-
энтропию лишь с точностью до аддитивной
постоянной. Физический смысл имеет не
сама энтропия, а разность энтропии.
Исходя из выражения E7.6), найдем
изменение энтропии в процессах иде-
идеального газа. Так как 6U = -ггСи AT,
= pdV=—~RT-¦—, то
M V
AS i _^2== S2 — S1 =
m
ИЛИ
-гг-М57-7)
т. е. изменение энтропии AS|_^2 идеального
газа при переходе его из состояния / в со-
состояние 2 не зависит от вида процесса
перехода 1-+2.
Так как для адиабатического процесса
6Q=0, то AS=0 и, следовательно, S =
const, т. е. адиабатический обратимый
4 Т. И. Трофимова

98
'I. Оспины молекулярной фнлики и термодинамики
процесс протекает при постоянной энтро-
энтропии. Поэтому его часто называют изоэн-
тропийным процессом. Из формулы E7.7)
следует, что при изотермическом процессе
при изохорном процессе (У| =
Энтропия обладает свойством
аддитивности: энтропия системы равна
сумме энтропии тел, входящих в систему.
Свойством аддитивности обладают также
внутренняя энергия, масса, объем (темпе-
(температура и давление таким свойством не
обладают).
Более глубокий смысл энтропии вскры-
вскрывается в статистической физике, энтропия
связывается с термодинамической веро-
вероятностью состояния системы. Термодина-
Термодинамическая вероятность W состояния систе-
системы — это число способов, которыми может
быть реализовано данное состояние мак-
макроскопической системы, или число микро-
микросостояний, осуществляющих данное мак-
макросостояние (по определению, W^\,
т. е. термодинамическая вероятность не
есть вероятность в математическом смыс-
смысле (последняя ^1!)).
Согласно Бальцману A872), энтропия
S системы и термодинамическая вероят-
вероятность связаны между собой следующим
образом:
S = k\nW, E7.8)
где k — постоянная Больцмана. Таким об-
образом, энтропия определяется логариф-
логарифмом числа микросостояний, с помощью
которых может быть реализовано данное
макросостояние. Следовательно, энтропия
может рассматриваться как мера
вероятности состояния термодинамиче-
термодинамической системы. Формула Больцмана E7.8)
позволяет дать энтропии следующее ста-
статистическое толкование: энтропия являет-
является мерой неупорядоченности системы.
В самом деле, чем больше число микросо-
микросостояний, реализующих данное макрососто-
макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии
равновесия — наиболее вероятного состо-
состояния системы — число микросостояний
максимально, при этом максимальна и эн-
энтропия.
Так как реальные процессы необрати-
необратимы, то можно утверждать, что все про-
процессы в замкнутой системе ведут к увели-
увеличению ее энтропии — принцип возраста-
возрастания энтропии. При статистическом толко-
толковании энтропии это означает, что про-
процессы в замкнутой системе идут в на-
направлении увеличения числа микросостоя-
микросостояний, иными словами, от менее вероятных
состояний к более вероятным, до тех пор
пока вероятность состояния не станет мак-
максимальной.
Сопоставляя выражения E7.5)
и E7.8), видим, что энтропия и термоди-
термодинамическая вероятность состояний за-
замкнутой системы могут либо возрастать
(в случае необратимых процессов), либо
оставаться постоянными (в случае обрати-
обратимых процессов).
Отметим, однако, что эти утверждения
имеют место для систем, состоящих из
очень большого числа частиц, но могут
нарушаться в системах с малым числом
частиц. Для «малых» систем могут на-
наблюдаться флуктуации, т. е. энтропия
и термодинамическая вероятность состоя-
состояний замкнутой системы на определенном
отрезке времени могут убывать, а не воз-
возрастать, или оставаться постоянными.
§ 58. Второе начало
термодинамики
Первое начало термодинамики, выражая
закон сохранения и превращения энергии,
не позволяет установить направление про-
протекания термодинамических процессов.
Кроме того, можно представить множе-
множество процессов, не противоречащих перво-
первому началу, в которых энергия сохраняется,
а в природе они не осуществляются. По-
Появление второго начала термодинамики —
необходимость дать ответ на вопрос, какие
процессы в природе возможны, а какие
нет — определяет направление развитии
процессов.
Используя понятие энтропии и нера-
неравенство Клаузиуса (см. §57), второе на-

Г .'I ;i и а 0. Основы термодинамики
99
чало термодинамики можно сформулиро-
сформулировать как закон возрастания энтропии зам-
замкнутой системы при необратимых процес-
процессах: любой необратимый процесс в замкну-
замкнутой системе происходит так, что энтропия
системы при этом возрастает.
Можно дать более краткую формули-
формулировку второго начала термодинамики:
в процессах, происходящих в замкнутой
системе, энтропия не убывает. Здесь су-
существенно, что речь идет о замкнутых
системах, так как в незамкнутых системах
энтропия может вести себя любым обра-
образом (убывать, возрастать, оставаться по-
постоянной). Кроме того, отметим еще раз,
что энтропия остается постоянной в за-
замкнутой системе только при обратимых
процессах. При необратимых процессах
в замкнутой системе энтропия всегда воз-
возрастает.
Формула Больцмана E7.8) позволяет
объяснить постулируемое вторым началом
термодинамики возрастание энтропии
в замкнутой системе при необратимых
процессах: возрастание энтропии означает
переход системы из менее вероятных в бо-
более вероятные состояния. Таким образом,
формула Больцмана позволяет дать стати-
статистическое толкование второго начала
термодинамики. Оно, являясь статистиче-
статистическим законом, описывает закономерности
хаотического движения большого числа
частиц, составляющих замкнутую систе-
систему.
Укажем еще две формулировки второ-
второго начала термодинамики:
1) по Кельвину: невозможен круговой
процесс, единственным результатом кото-
которого является превращение теплоты, полу-
полученной от нагревателя, в эквивалентную
ей работу;
2) по Клаузиусу: невозможен круговой
процесс, единственным результатом кото-
которого является передача теплоты от менее
нагретого тела к более нагретому.
Можно довольно просто доказать
(предоставим это читателю) эквивален-
эквивалентность формулировок Кельвина и Клаузи-
уса. Кроме того, показано, что если в за-
замкнутой системе провести воображаемый
процесс, противоречащий второму началу
термодинамики в формулировке Клаузиу-
са, то он сопровождается уменьшением
энтропии. Это же доказывает эквивален-
эквивалентность формулировки Клаузиуса (а следо-
следовательно, и Кельвина) и статистичес-
статистической формулировки, согласно которой энт-
энтропия замкнутой системы не может убы-
убывать.
В середине XIX в. возникла проблема так
называемой тепловой смерти Вселенной. Рас-
Рассматривая Вселенную как замкнутую систему
и применяя к ней второе начало термодинамики,
Клаузиус свел его содержание к утверждению,
что энтропия Вселенной должна достигнуть сво-
своего максимума. Это означает, что со временем
все формы движения должны перейти в тепло-
тепловую. Переход же теплоты от горячих тел к хо-
холодным приведет к тому, что температура всех
тел во Вселенной сравняется, т. е. наступит
полное тепловое равновесие и все процессы во
Вселенной прекратятся — наступит тепловая
смерть Вселенной. Ошибочность вывода о теп-
тепловой смерти заключается в том, что бессмыс-
бессмысленно применять второе начало термодинамики
к незамкнутым системам, например к такой без-
безграничной и бесконечно развивающейся систе-
системе, как Вселенная. На несостоятельность выво-
вывода о тепловой смерти указывал также Ф. Эн-
Энгельс в работе «Диалектика природы».
Первые два начала термодинамики да-
дают недостаточно сведений о поведении
термодинамических систем при нуле Кель-
Кельвина. Они дополняются третьим началом
термодинамики, или теоремой Нерн-
ста * — Планка: энтропия всех тел в со-
состоянии равновесия стремится к нулю по
мере приближения температуры к нулю
Кельвина:
MmS=0.
Так как энтропия определяется с точно-
точностью до аддитивной постоянной, то эту
постоянную удобно взять равной нулю
(отметим, однако, что это произвольное
допущение, поскольку энтропия по своей
сущности всегда определяется с точно-
точностью до аддитивной постоянной). Из тео-
теоремы Нернста—Планка следует, что теп-
теплоемкости Ср и Cv при 0 К равны нулю.
* В. Ф. Г. Нернст A864—1941) — немец-
немецкий физик и физикохимик.

100
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
§ 59. Тепловые двигатели
и холодильные машины.
Цикл Карно и его к. п. д.
для идеального газа
Из формулировки второго начала термо-
термодинамики по Кельвину следует, что вечный
двигатель второго рода — периодически
действующий двигатель, совершающий
работу за счет охлаждения одного источ-
источника теплоты,— невозможен. Для ил-
иллюстрации этого положения рассмотрим
работу теплового двигателя (исторически
второе начало термодинамики и возникло
из анализа работы тепловых двигате-
двигателей).
Принцип действия теплового двигате-
двигателя приведен на рис. 85. От термостата *
с более высокой температурой Т[, называ-
называемого нагревателем, за цикл отнимается
количество теплоты Q\, а термостату с бо-
более низкой температурой Гг, называемому
холодильником, за цикл передается коли-
количество теплоты Qi, при этом совершается
работа /1 = Q| — Q2.
Чтобы термический коэффициент по-
полезного действия теплового двигателя
E6.2) был г)=1, должно быть выполнено
условие ??2 = 0, т. е. тепловой двигатель
должен иметь один источник теплоты, а это
невозможно. Так, французский физик и ин-
инженер Н. Л. С. Карно A796—1832) пока-
показал, что для работы теплового двигателя
необходимо не менее двух источников теп-
теплоты с различными температурами, иначе
это противоречило бы второму началу
термодинамики.
Двигатель второго рода, будь он возможен,
был бы практически вечным. Охлаждение, на-
например, воды океанов на 1° дало бы огромную
энергию. Масса воды в мировом океане состав-
составляет примерно 10" т, при охлаждении которой
на 1° выделилось бы примерно 1024 Дж теплоты,
что эквивалентно полному сжиганию 10'4 т угля.
Железнодорожный состав, нагруженный этим
количеством угля, растянулся бы на расстояние
10"' км, что приблизительно совпадает с разме-
размерами Солнечной системы!
Тепловой
двигатель
Рис. 85
Рис. 86
* Термодинамическая система, которая мо-
может обмениваться теплотой с телами без изме-
изменения температуры.
Процесс, обратный происходящему
в тепловом двигателе, используется в хо-
холодильной машине, принцип действия ко-
которой представлен на рис. 86. Системой за
цикл от термостата с более низкой темпе-
температурой 7*2 отнимается количество теплоты
<3г и отдается термостату с более высокой
температурой Т\ количество теплоты Q\.
Для кругового процесса, согласно E6.1),
Q = yi, но, по условию, Q = Q2 —Qi<0,
поэтому Л <0 и Q2 — Q\= —А, или Qi =
= Qi-\-A, т. е. количество теплоты Q\, от-
отданное системой источнику теплоты при
более высокой температуре Т\, больше
количества теплоты Q2, полученного от
источника теплоты при более низкой тем-
температуре 7*2, на величину работы, совер-
совершенной над системой. Следовательно, без
совершения работы нельзя отбирать теп-
теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее
более нагретому. Это утверждение есть не
что иное, как второе начало термодинами-
термодинамики в формулировке Клаузиуса.
Однако второе начало термодинамики
не следует представлять так, что оно со-
совсем запрещает переход теплоты от менее
нагретого тела к более нагретому. Ведь
именно такой переход осуществляется
в холодильной машине. Но при этом надо
помнить, что внешние силы совершают
работу над системой, т. е. этот переход не
является единственным результатом про-
процесса.
Основываясь на втором начале термо-
термодинамики, Карно вывел теорему, носящую
теперь его имя: из всех периодически дей-
действующих тепловых машин, имеющих оди-
одинаковые температуры нагревателей G"i) и
холодильников (Тг), наибольшим к. п. д.
обладают обратимые машины; при этом

Г л ;i в а 9. Основы термодинамики
101
Изотермы
Адпава
V
Рис. 87
к. п. д. обратимых машин, работающих
при одинаковых температурах нагревате-
нагревателей G"i) и холодильников (Гг), равны друг
другу и не зависят от природы рабочеготела
(тела, совершающего круговой процесс
и обменивающегося энергией с другими
телами).
Карно теоретически проанализировал
обратимый наиболее экономичный цикл,
состоящий из двух изотерм и двух адиабат,
и называемый циклом Карно. Рассмотрим
прямой цикл Карно, в котором в качестве
рабочеготела используется идеальный газ,
заключенный в сосуд с подвижным порш-
поршнем.
Цикл Карно изображен на рис. 87, где
изотермические расширение и сжатие за-
заданы соответственно кривыми /—2 и 3—4,
а адиабатические расширение и сжатие —
кривыми 2—3 и 4—/. При изотермическом
процессе ?/ = const, поэтому, согласно
E4.4), количество теплоты Qi, полученное
газом от нагревателя, равно работе рас-
расширения Ли, совершаемой газом при пере-
переходе из состояния / в состояние 2:
М V[
При адиабатическом расширении 2—3
теплообмен с окружающей средой отсут-
отсутствует и работа расширения /Ьз соверша-
совершается за счет изменения внутренней энергии
(см. E5.1) и E5.8)):
Количество теплоты Q2, отданное газом
холодильнику при изотермическом сжа-
сжатии, равно работе сжатия Ai4:
Работа адиабатического сжатия
i44,= —^-Cv,(Tl-712)=-
Работа, совершаемая в
кругового процесса,
результате
и, как можно показать, определяется пло-
площадью, выполненной в цвете на рис. 87.
Термический к. п. д. цикла Карно, со-
согласно E6.2),
Применив уравнение E5.5) для адиабат
2—3 и 4—/, получим
откуда
E9.3)
Подставляя E9.1) и E9.2) в формулу
E6.2) и учитывая E9.3), получим
Т1==—'"Я—L==
m
m
m
~M
RT
_ Г,
i In ¦
-Г
"г, "
V
V
2
2
1
М
^-=-Q2. E9.2)
E9.4)
т. е. для цикла Карно к. п. д. действитель-
действительно определяется только температурами на-
нагревателя и холодильника. Для его повы-
повышения необходимо увеличивать разность
температур нагревателя и холодильника.
Например, при 7", =400 К и Г2 = 300К
т] = 0,25. Если же температуру нагревателя
повысить на 100 К, а температуру холо-
холодильника понизить на 50 К, то т] =
= 0,5. К. п. д. всякого реального теплового
двигателя из-за трения и неизбежных теп-
тепловых потерь гораздо меньше вычисленно-
вычисленного для цикла Карно.
Обратный цикл Карно лежит в основе
действия тепловых насосов. В отличие от
холодильных машин тепловые насосы до-

102 Ч. Основы молекулярном физики и термодинамики
лжны как можно больше тепловой энергии используется в качестве нагревателя, дру-
отдавать горячему телу, например системе гое — холодильника. Из равенства E9.5)
отопления. Часть этой энергии отбирается видно, что отношение температур тел рав-
от окружающей среды с более низкой тем- но отношению отданного в этом цикле
пературой, а часть — получается за счет количества теплоты к полученному. Со-
механической работы, производимой, на- гласно теореме Карно, химический состав
пример, компрессором. рабочего тела не влияет на результаты
Теорема Карно послужила основанием сравнения температур, поэтому такая
для установления термодинамической термодинамическая шкала не связана со
шкалы температур. Сравнив левую и пра- свойствами какого-то определенного
вую части формулы E9.4), получим термометрического тела. Отметим, что
j и —п in C59 51 пРактически таким образом сравнивать
21 2 i> • температуры трудно, так как реальные
т. е. для сравнения температур Т\ и Тз термодинамические процессы, как уже
двух тел необходимо осуществить обрати- указывалось, являются необратимыми,
мый цикл Карно, в котором одно тело
Контрольные вопросы
В чем суть закона Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы молекул?
Почему колебательная степень свободы обладает вдвое большей анергией, чем поступательная
и вращательная?
Что такое внутренняя энергия идеального газа? Какими параметрами она определяется?
В результате каких процессов может изменяться внутренняя энергия системы?
Что такое теплоемкость газа? Какая из теплоемкостей — Cv или Ср — больше и почему?
Как объяснить температурную зависимость молярной теплоемкости водорода?
Чему равна работа изобарного расширения моля идеального газа при нагревании на 1 К?
Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется при постоянном давлении?
Температура газа в цилиндре постоянна. Запишите на основе первого начала термодинамики
соотношение между сообщенным количеством теплоты и совершенной работой.
• Газ переходит из одного и того же начального состояния / в одно и то же конечное состояние
2 в результате следующих процессов: а) изотермического; б) изобарного; в) изохорного. Рас-
Рассмотрев эти процессы графически, показать: 1) когда работа расширения максимальна; 2)
когда газу сообщается максимальное количество теплоты.
• Газ переходит из одного и того же начального состояния / в одно и то же конечное состояние
2 в результате следующих процессов: а) изобарного процесса; б) последовательных изохорного
и изотермического процессов. Рассмотрите эти переходы графически. Одинаковы или различны
в обоих случаях: 1) изменение внутренней энергии? 2) затраченное количество теплоты?
• Почему адиабата более крута, чем изотерма?
• Как изменится температура газа при его адиабатическом сжатии?
• Показатель политропы п> 1. Нагревается или охлаждается идеальный газ при сжатии?
• Чем отличаются обратимые и необратимые процессы? Почему все реальные процессы необрз-
тимы?
• В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы? незамкнутой системы?
• Дайте понятие энтропии (определение, размерность и математическое выражение энтропии для
различных процессов).
• Изобразите в системе координат Т, S изотермический и адиабатический процессы.
• Возможен ли процесс, при котором теплота, взятая от нагревателя, полностью преобразуется
в работу?
• Представив цикл Карно на диаграмме р, V графически, укажите, какой площадью определяет-
определяется: 1) работа, совершенная над газом; 2) работа, совершенная самим расширяющимся газом.
• Представьте графически цикл Карно в переменных Т, S.

Г л а н а 10. Реальные газы, жидкости и тнердые re.'ia 103
Задачи
9.1. Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Определить: 1) внутреннюю энергию
молекул азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул азота.
Газ считать идеальным. [1) 208 кДж; 2) 83,1 кДж ]
9.2. Определить удельные теплоемкости cv и ср некоторого двухатомного газа, если плотность
этого газа при нормальных условиях 1,43 кг/м3. [ (^ = 650 Дж/(кг-К), ср = 910 Дж/(кг-К)]
9.3. Водород массой т = 20 г был нагрет на Д7'=100 К при постоянном давлении. Определить:
1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) приращение AU внутренней энергии газа;
3) работу А расширения. [1) 29,3 кДж; 2) 20,9 кДж; 3) 8,4 кДж]
9.4. Кислород объемом 2 л находится под давлением I МПа. Определить, какое количество тепло-
теплоты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление вдвое в результате изохорного
процесса. [ 5 кДж ]
9.5. Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и под давлением 0,5 МПа.
В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в три раза. Работа, за-
затраченная на сжатие, Л = — 1,37 кДж. Определить: 1) какой это газ; 2) первоначальный
удельный объем газа. [ I) гелий; 2) 1,25 м3/кг ]
9.6. Двухатомный идеальный газ занимает объем V\ = 1 л и находится под давлением р\ =
= 0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуется объемом Vi и давлением рг.
В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной темпе-
температуры, а его давление рз = 0,2 МПа. Определить: I) объем V?; 2) давление pi. Представить
эти процессы графически. [ 1) 0,5 л; 2) 0,26 МПа |
9.7. Идеальный газ количеством вещества v = 2 моль сначала изобарно нагрели так, что его
объем увеличился в л = 2 раза, а затем изохорно охладили так, что давление газа уменьши-
уменьшилось в л = 2 раза. Определить приращение энтропии в ходе указанных процессов. [ 11,5 Дж/К ]
9.8. Тепловая машина, совершая обратимый цикл Карно, за один цикл совершает работу 1 кДж.
Температура нагревателя 400 К, а холодильника 300 К. Определить: 1) к.п.д. машины;
2) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за цикл; 3) количество теплоты,
отданное холодильнику за цикл. [1) 25%; 2) 4 кДж; 3) 3 кДж ]
9.9. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический к.п.д. которого равен 0,3. Определить
работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения составляет
300 Дж. [-210 Дж]
Глава 10
Реальные газы, жидкости и твердые тела
§ 60. Силы и потенциальная энергия кулами, поэтому необходимо учитывать
межмолекулярного объем молекул и взаимодействие между
взаимодействия ними. Так, в 1 м3 газа при нормальных
условиях содержится 2,68-1025 молекул,
Модель идеального газа, используемая занимающих объем примерно 10~4 м3 (ра-
в молекулярно-кинетической теории газов, диус молекулы примерно 10~10 м), кото-
позволяет описывать поведение разрежен- рым по сравнению с объемом газа A м3)
ных реальных газов при достаточно высо- можно пренебречь. При давлении
ких температурах и низких давлениях. 500 МПа A атм= 101,3 кПа) объем моле-
При выводе уравнения состояния идеаль- кул составит уже половину всего объема
ного газа размерами молекул и их взаимо- газа. Таким образом, при высоких дав-
действием друг с другом пренебрегают, лениях и низких температурах ука-
Повышение давления приводит к умень- занная модель идеального газа непри-
шению среднего расстояния между моле- годна.

104
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
г,м
Рис. 88
При рассмотрении реальных газов —
газов, свойства которых зависят от взаи-
взаимодействия молекул, надо учитывать силы
межмолекулярного взаимодействия. Они
проявляются на расстояниях ^ 10~9 м
и быстро убывают при увеличении рассто-
расстояния между молекулами. Такие силы на-
называются короткодействующими.
В XX в., по мере развития представле-
представлений о строении атома и квантовой механи-
механики, было выяснено, что между молекулами
вещества одновременно действуют силы
притяжения и силы отталкивания. На
рис. 88, а приведена качественная зависи-
зависимость сил межмолекулярного взаимодей-
взаимодействия от расстояния г между молекулами,
где Fo и Fn — соответственно силы оттал-
отталкивания и притяжения, a F — их результи-
результирующая. Силы отталкивания считаются
положительными, а силы взаимного при-
притяжения — отрицательными.
На расстоянии г = го результирующая
сила F = 0, т. е. силы притяжения и оттал-
отталкивания уравновешивают друг друга. Та-
Таким образом, расстояние Ло соответствует
равновесному расстоянию между молеку-
молекулами, на котором бы они находились в от-
отсутствие теплового движения. При г<га
преобладают силы отталкивания (f>0),
при г>га — силы притяжения (F<0). На
расстояниях г>10~9 м межмолекулярные
силы взаимодействия практически отсут-
отсутствуют (f-»-0).
Элементарная работа ЬА силы F при
увеличении расстояния между молекула-
молекулами на Аг совершается за счет уменьше-
уменьшения взаимной потенциальной энергии мо-
молекул, т. е.
bA=F Аг=-А\\. F0.1)
Из анализа качественной зависимости по-
потенциальной энергии взаимодействия мо-
молекул от расстояния между ними
(рис. 88, б) следует, что если молекулы
находятся друг от друга на расстоянии, на
котором межмолекулярные силы взаимо-
взаимодействия не действуют (г->-оо), то П =
= 0. При постепенном сближении молекул
между ними появляются силы притяжения
(/г<0), которые совершают положитель-
положительную работу (8A=FAr>0). Тогда, со-
согласно F0.1), потенциальная энергия вза-
взаимодействия уменьшается, достигая мини-
минимума при г = го- При г<га с уменьшением
г силы отталкивания (F^>0) резко воз-
возрастают и совершаемая против них работа
отрицательна FA=FAr<0). Потенци-
Потенциальная энергия начинает тоже резко воз-
возрастать и становится положительной. Из
данной потенциальной кривой следует, что
система из двух взаимодействующих мо-
молекул в состоянии устойчивого равновесия
(л = го) обладает минимальной потенци-
потенциальной энергией.
Критерием различных агрегатных со-
состояний вещества является соотношение
величин nmirl и kT. Пт!п — наименьшая
потенциальная энергия взаимодействия
молекул — определяет работу, которую
нужно совершить против сил притяже-
притяжения для того, чтобы разъединить моле-
молекулы, находящиеся в равновесии (г = го);
kT определяет удвоенную среднюю энер-
энергию, приходящуюся на одну степень сво-
свободы хаотического теплового движения
молекул.
Если Ylmin<CkT, то вещество находится
в газообразном состоянии, так как интен-
интенсивное тепловое движение молекул пре-
препятствует соединению молекул, сблизив-

Г л а в а 10. Реальные газы, жидкости и твердые re.ia
105
шихся до расстояния го, т. е. вероятность
образования агрегатов из молекул доста-
достаточно мала. Если Пт!п>/г7\ то вещество
находится в твердом состоянии, так как
молекулы, притягиваясь друг к другу, не
могут удалиться на значительные расстоя-
расстояния и колеблются около положений равно-
равновесия, определяемого го- Если Пттж1гТ,
то вещество находится в жидком состоя-
состоянии, так как в результате теплового дви-
движения молекулы перемещаются в про-
пространстве, обмениваясь местами, но не
расходясь на расстояние, превышающее Гц.
Таким образом, любое вещество в за-
зависимости от температуры может нахо-
находиться в газообразном, жидком или твер-
твердом агрегатном состоянии, причем темпе-
температура перехода из одного агрегатного
состояния в другое зависит от значения
Ilmin для данного вещества. Например,
у инертных газов Пт1п мало, а у метал-
металлов — велико, поэтому при обычных (ком-
(комнатных) температурах они находятся со-
соответственно в газообразном и твердом со-
состояниях.
§61. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Как уже указывалось в § 60, для реальных
газов необходимо учитывать размеры мо-
молекул и их взаимодействие друг с другом,
поэтому модель идеального газа и уравне-
ниеКлапейрона—Менделеева D2.4) pVm =
= RT (для моля газа), описывающее иде-
идеальный газ, для реальных газов непри-
непригодны.
Учитывая собственный объем молекул
и сил межмолекулярного взаимодействия,
голландский физик И. Ван-дер-Ваальса
A837—1923) вывел уравнения состояния
реального газа. Ван-дер-Ваальсом в урав-
уравнение Клапейрона—Менделеева введены
две поправки.
I. Учет собственного объема молекул.
Наличие сил отталкивания, которые про-
противодействуют проникновению в занятый
молекулой объем других молекул, сводит-
сводится к тому, что фактический свободный
объем, в котором могут двигаться молеку-
молекулы реального газа, будет не Vn], a Vm — b,
где Ь — объем, занимаемый самими моле-
молекулами. Объем b равен учетверенному соб-
собственному объему молекул. Если, напри-
например, в сосуде находятся две молекулы,
то центр любой из них не может при-
приблизиться к центру другой молекулы на
расстояние, меньшее диаметра d молеку-
молекулы. Это означает, что для центров обеих
молекул оказывается недоступным сфери-
сферический объем радиуса d, т. е. объем, рав-
равный восьми объемам молекулы, а в расче-
расчете на одну молекулу — учетверенный
объем молекулы.
2. Учет притяжения молекул. Действие
сил притяжения газа приводит к появле-
появлению дополнительного давления на газ,
называемого внутренним давлением. По
вычислениям Ван-дер-Ваальса, внутрен-
внутреннее давление обратно пропорционально
квадрату молярного объема, т. е.
p' = a/V2m, F1.1)
где а — постоянная Ван-дер-Ваальса, ха-
характеризующая силы межмолекулярного
притяжения, Vm — молярный объем.
Вводя эти поправки, получим уравне-
уравнение Ван-дер-Ваальса для моля газа (урав-
(уравнение состояния реальных газов):
(p + a/V2m){Vm — b) = RT. F1.2)
Для произвольного количества вещества v
газа (v = m/M) с учетом того, что V = vVnl,
уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид
или
v2a/V2)(V — vb) = \RT,
где поправки а и b — постоянные для каж-
каждого газа величины, определяемые опыт-
опытным путем (записываются уравнения Ван-
дер-Ваальса для двух известных из опыта
состояний газа и решаются относительно
а и Ь).
При выводе уравнения Ван-дер-Вааль-
Ван-дер-Ваальса сделан целый ряд упрощений, поэтому
оно также весьма приближенное, хотя
и лучше (особенно для несильно сжатых
газов) согласуется с опытом, чем уравне-
уравнение состояния идеального газа.

106
2. Основы молекулярном физики и термодинамики
Уравнение Ван-дер-Ваальса не единствен-
единственное уравнение, описывающее реальные газы.
Существуют и другие уравнения, некоторые из
них даже точнее описывают реальные газы, но
не рассматриваются из-за их сложности.
§ 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса
и их анализ
Для исследования поведения реального
газа рассмотрим изотермы Ваи-дер-Ва-
альса — кривые зависимости р от Vm при
заданных Т, определяемые уравнением
Ван-дер-Ваальса F1.2) для моля газа.
Эти кривые (рассматриваются для четы-
четырех различных температур; рис. 89) имеют
довольно своеобразный характер. При вы-
высоких температурах (Т>ТК) изотерма ре-
реального газа отличается от изотермы иде-
идеального газа только некоторым искажени-
искажением ее формы, оставаясь монотонно спада-
спадающей кривой. При некоторой температуре
Тц на изотерме имеется лишь одна точка
перегиба К- Эта изотерма называется кри-
критической, соответствующая ей температу-
температура 7"к — критической температурой. Кри-
Критическая изотерма имеет лишь одну точку
перегиба /С, называемую критической точ-
точкой; в этой точке касательная к ней па-
параллельна оси абсцисс. Соответствующие
этой точке объем VK и давление рк на-
называются также критическими. Состояние
с критическими параметрами (pKi VK, TK)
называется критическим состоянием. При
низких температурах (Т<ТК) изотермы
имеют волнообразный участок, сначала
монотонно опускаясь вниз, затем монотон-
Рис. 89
Рис. 90
но поднимаясь вверх и снова монотонно
опускаясь.
Для пояснения характера изотерм пре-
преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса
F1.2) к виду
pV3m-(RT + pb) V2m + aVm-ab = 0.
F2.1)
Уравнение F2.1) при заданных р и Т
является уравнением третьей степени
относительно Vm; следовательно, оно мо-
может иметь либо три вещественных корня,
либо один вещественный и два мнимых,
причем физический смысл имеют лишь ве-
вещественные положительные корни. Поэто-
Поэтому первому случаю соответствуют изотер-
изотермы при низких температурах (три значения
объема газа V\, V2 и Кз отвечают (символ
«т» для простоты опускаем) одному зна-
значению давления р\), второму случаю —
изотермы при высоких температурах.
Рассматривая различные участки изо-
изотермы при Т<СТК (рис.90), видим, что на
участках /—3 и 5—7 при уменьшении
объема Vm давление р возрастает, что
естественно. На участке 3—5 сжатие ве-
вещества приводит к уменьшению давления;
практика же показывает, что такие со-
состояния в природе не осуществляются.
Наличие участка 3—5 означает, что при
постепенном изменении объема вещество
не может оставаться все время в виде
однородной среды; в некоторый момент
должно наступить скачкообразное измене-
изменение состояния и распад вещества на две
фазы. Таким образом, истинная изотерма
будет иметь вид ломаной линии 7—6—2—/.
Часть 7—6 отвечает газообразному со-
состоянию, а часть 2—/ — жидкому. В со-
состояниях, соответствующих горизонталь-

Глава 10. Реальные гаяы, жидкости и твердью гола
107
ному участку изотермы 6—2, наблюдается
равновесие жидкой и газообразной фаз
вещества. Вещество в газообразном со-
состоянии при температуре ниже критиче-
критической называется паром, а пар, находящий-
находящийся в равновесии со своей жидкостью, на-
называется насыщенным.
Данные выводы, следующие из анали-
анализа уравнения Ван-дер-Ваальса, были под-
подтверждены опытами ирландского ученого
Т. Эндрюса A813—1885), изучавшего изо-
изотермическое сжатие углекислого газа. От-
Отличие экспериментальных (Эндрюс) и тео-
теоретических (Ван-дер-Ваальс) изотерм за-
заключается в том, что превращению газа
в жидкость в первом случае соответствуют
горизонтальные участки, а во втором —
волнообразные.
Для нахождения критических пара-
параметров подставим их значения в уравне-
уравнение F2.1) и запишем
F22)
(символ «т» для простоты опускаем). По-
Поскольку в критической точке все три корня
совпадают и равны VK, уравнение приво-
приводится к виду
или
F2.3)
Так как уравнения F2.2) и F2.3) тожде-
тождественны, то в них должны быть равны
и коэффициенты при неизвестных соответ-
соответствующих степеней. Поэтому можно за-
записать
Решая полученные уравнения, найдем:
VK = 3b, pK = a/B7b\ TK = 8a/B7Rb).
F2.41
Если через крайние точки горизонталь-
горизонтальных участков семейства изотерм провести
линию, то получится колоколообразная
кривая (рис. 91), ограничивающая об-
область двухфазных состояний вещества.
Эта кривая и критическая изотерма делят
Рис. 91
диаграмму р, Vm под изотермой на три
области: под колоколообразной кривой
располагается область двухфазных состо-
состояний (жидкость и насыщенный пар), сле-
слева от нее находится область жидкого со-
состояния, а справа — область пара. Пар
отличается от остальных газообразных со-
состояний тем, что при изотермическом сжа-
сжатии претерпевает процесс сжижения. Газ
же при температуре выше критической не
может быть превращен в жидкость ни при
каком давлении.
Сравнивая изотерму Ван-дер-Ваальса
с изотермой Эндрюса (верхняя кривая на
рис. 92), видим, что последняя имеет пря-
прямолинейный участок 2—6, соответствую-
соответствующий двухфазным состояниям вещества.
Правда, при некоторых условиях могут
быть реализованы состояния, изображае-
изображаемые участками ван-дер-ваальсовой изо-
изотермы 5—6 и 2—3. Эти неустойчивые со-
состояния называются метастабильными.
Участок 2—3 изображает перегретую
жидкость, 5—6 — пересыщенный пар. Обе
фазы ограниченно устойчивы.
> if.'*-'
Рис. 92

1A8
2, Основы молекулярной физики и термодинамики
При достаточно низких температурах
изотерма пересекает ось Vm, переходя
в область отрицательных давлений (ниж-
(нижняя кривая на рис. 92). Вещество под
отрицательным давлением находится в со-
состоянии растяжения. При некоторых усло-
условиях такие состояния также реализуются.
Участок 8—9-на нижней изотерме соответ-
соответствует перегретой жидкости, участок 9—
10 — растянутой жидкости.
§ 63. Внутренняя энергия
реального газа
Внутренняя энергия реального газа скла-
складывается из кинетической энергии тепло-
теплового движения его молекул (определяет
внутреннюю энергию идеального газа,
равную CVT; см. § 53) и потенциальной
энергии межмолекулярного взаимодей-
взаимодействия. Потенциальная энергия реального
газа обусловлена только силами притяже-
притяжения между молекулами. Наличие сил при-
притяжения приводит к возникновению внут-
внутреннего давления на газ (см. F1.1)):
Работа, которая затрачивается для прео-
преодоления сил притяжения, действующих
между молекулами газа, как известно из
механики, идет на увеличение потенциаль-
потенциальной энергии системы, т. е. bA=p'dVm =
dVm, откуда
= 6П, или 611=
П=-а/Ут
(постоянная интегрирования принята рав-
равной нулю). Знак минус означает, что моле-
молекулярные силы, создающие внутреннее
давление р', являются силами притяжения
(см. § 60).
Учитывая оба слагаемых, получим, что
внутренняя энергия моля реального газа
Um = CvT-a/Vm F3.I)
растет с повышением температуры и уве-
увеличением объема.
Если газ расширяется без теплообмена
с окружающей средой (адиабатический
процесс, т. е. 6Q = 0) и не совершает
внешней работы (расширение газа в ваку-
вакуум, т. е. 6Л=0), то на основании первого
начала термодинамики (&Q = (U2—U\)-\-
+ 671) получим, что
Ui = U2. F3.2)
Следовательно, при адиабатическом рас-
расширении без совершения внешней работы
внутренняя энергия газа не изменяется.
Равенство F3.2) формально справед-
справедливо как для идеального, так и для реаль-
реального газов, но физически для обоих случа-
случаев совершенно различно. Для идеального
газа равенство U[ = Ui означает равенст-
равенство температур (T\ = Tz), т. е. при адиаба-
адиабатическом расширении идеального газа
в вакуум его температура не изменяется.
Для реального газа из равенства F3.2),
учитывая, что для моля газа
Ul=CvT,-a/V{, U2=CvT2-a/V2,
получаем
Т,-Т9 = -
F3.3)
Так как Уч> 1Л. то Т\ > Т%, т. е. реальный
газ при адиабатическом расширении в ва-
вакуум охлаждается. При адиабатическом
сжатии реальный газ нагревается.
§ 64. Эффект Джоуля — Томсона
Если идеальный газ адиабатически рас-
расширяется и совершает при этом работу, то
он охлаждается, так как работа в данном
случае совершается за счет его внутрен-
внутренней энергии (см. § 55). Подобный процесс,
но с реальным газом — адиабатическое
расширение реального газа с совершением
внешними силами положительной рабо-
работы — осуществили английские физики
Дж. Джоуль A818—1889) и У. Томсон
(лорд Кельвин, 1824—1907).
Рассмотрим эффект Джоуля — Томсо-
Томсона. На рис. 93 представлена схема их
опыта. В теплоизолированной трубке с по-
пористой перегородкой находится два пор-
поршня, которые могут перемещаться без
трения. Пусть сначала слева от перего-
перегородки газ под поршнем 1 находится под
давлением р,, занимает объем V\ при тем-
температуре Т\, а справа газ отсутствует (по-

Глава 10. Реальные газы, жидкости и тве|и
%ие тела
109
Рис. 93
ршень 2 придвинут к перегородке). После
прохождения газа через пористую перего-
перегородку в правой части газ характеризуется
параметрами рг, Vi, 7Y Давления р\ и pi
поддерживаются постоянными (pi>p2).
Так как расширение газа происходит
без теплообмена с окружающей средой
(адиабатически), то на основании первого
начала термодинамики
0. F4.1)
Внешняя работа, совершаемая газом, со-
состоит из положительной работы при дви-
движении поршня 2 (Ai = p2V2) и отрицатель-
отрицательной при движении поршня / (j4 i = piVi),
т.е. 6Л = Лг— А\. Подставляя выраже-
выражения для работ в формулу F4.1), полу-
получим
U\ -\-p\ V\ = и%-\-piV?. F4.2)
Таким образом, в опыте Джоуля — Томсо-
Томсона сохраняется (остается неизменной) ве-
величина U-\-pV. Она является функцией
состояния и называется энтальпией.
Ради простоты рассмотрим / моль га-
газа. Подставив в формулу F4.2) выраже-
выражение F3.3) и рассчитанные из уравнения
Ван-дер-Ваальса F1.2) значения piVi
и P2V2 (символ «т» опять опускаем)
и производя элементарные преобразова-
преобразования, получим
2a{\/V2-\/Vl)-b(p2-Pi)
1 2 — I i — т
F4.3)
Из выражения F4.3) следует, что знак
разности (Ti — T\) зависит от того, какая
из поправок Ван-дер-Ваальса играет боль-
большую роль. Проанализируем данное выра-
выраab{\/V\-\/V])
жение, сделав допущение, что
И V,>V,:
1) а«0 — не учитываем силы притя-
притяжения между молекулами, а учитываем
лишь размеры самих молекул. Тогда
— b (po — р.
т. е. газ в данном случае нагревается;
2) 6«0 — не учитываем размеров мо-
молекул, а учитываем лишь силы притяже-
притяжения между молекулами. Тогда
т. е. газ в данном случае охлаждается;
3) учитываем обе поправки. Подставив
в выражение F4.3) вычисленное из урав-
уравнения Ван-дер-Ваальса F1.2) значение pi,
имеем
т т ~
1 о / I ¦—'
Ьа
V]
ab
V,-b
2a
Д-, F4.4)
т. е. знак разности температур зависит от
значений начального объема 1Л и началь-
начальной температуры Т\.
Изменение температуры реального га-
газа в результате его адиабатического рас-
расширения, или, как говорят, аднабатиче-
ского дросселирования — медленного про-
прохождения газа под действием перепада
давления сквозь дроссель (например, по-
пористую перегородку), называется эффек-
эффектом Джоуля — Томсона. Эффект Джоу-
Джоуля — Томсона принято называть положи-
положительным, если газ в процессе дросселиро-
дросселирования охлаждается (АГ<0), и отрица-
отрицательным, если газ нагревается (Л7>0).
Е> зависимости от условий дросселиро-
дросселирования для одного и того же газа эффект
Джоуля — Томсона может быть как поло-
положительным, так и отрицательным. Темпе-
Температура, при которой (для данного давле-
давления) происходит изменение знака эффек-
эффекта Джоуля — Томсона, называется темпе-

2. Ociionid молекулярной фишки и тер мол и f: ;i vihkii
т
2а
Rb
Т2-Т,>0
[ Г2-Г,<0
Рис. 94
ратурой инверсии. Ее зависимость от
объема получим, приравняв выражение
F4.4) нулю:
т=жA-у) F45)
Кривая, определяемая уравнением
F4.5),— кривая инверсии — приведена на
рис. 94. Область выше этой кривой со-
соответствует отрицательному эффекту
Джоуля — Томсона, ниже — положитель-
положительному. Отметим, что при больших перепа-
перепадах давления на дросселе температура
газа изменяется значительно. Так, при
дросселировании от 20 до 0,1 МПа и на-
начальной температуре 17 °С воздух охлаж-
охлаждается на 35 °С.
Эффект Джоуля — Томсона обуслов-
обусловлен отклонением газа от идеальности.
В самом деле, для моля идеального газа
pVm = RT, поэтому выражение F4.2) при-
примет вид
откуда следует, что 7"i = 7.
§ 65. Сжижение газов
Превращение любого газа в жидкость —
сжижение газа — возможно лишь при
температуре ниже критической (см. §62).
При ранних попытках сжижения газов
оказалось, что некоторые газы (СЬ, СОг,
NH3) легко сжижались изотермическим
сжатием, а целый ряд газов (О2, N2, Н2,
Не) сжижению не поддавался. Подобные
неудачные попытки объяснил Д. И. Мен-
Менделеев, показавший, что сжижение этих
газов производилось при температуре,
большей критической, и поэтому заранее
было обречено на неудачу. Впоследствии
удалось получить жидкий кислород, азот и
водород (их критические температуры рав-
Рис. 95
ны соответственно 154,4, 126,1 и 33 К),
а в 1908 г. нидерландский физик Г. Ка-
мерлинг-Оннес A853—1926) добился
сжижения гелия, имеющего самую низкую
критическую температуру E,3 К).
Для сжижения газов чаще применяют-
применяются два промышленных метода, в основе
которых используется либо эффект Джоу-
Джоуля — Томсона, либо охлаждение газа при
совершении им работы.
Схема одной из установок, в которой
используется эффект Джоуля Томсона,—
машины Линде* — представлена на
рис. 95. Воздух в компрессоре (К) сжима-
сжимается до давления в десятки мегапаскаль
и охлаждается в холодильнике (X) до
температуры ниже температуры инверсии,
в результате чего при дальнейшем расши-
расширении газа наблюдается положительный
эффект Джоуля — Томсона (охлаждение
газа при его расширении). Затем сжатый
воздух проходит по внутренней трубе теп-
теплообменника (ТО) и пропускается через
дроссель (Др), при этом он сильно расши-
расширяется и охлаждается. Расширившийся
воздух вновь засасывается по внешней
трубе теплообменника, охлаждая вторую
порцию сжатого воздуха, текущего по
внутренней трубе. Так как каждая следую-
следующая порция воздуха предварительно ох-
охлаждается, а затем пропускается через
дроссель, то температура понижается все
больше. В результате 6—8-часового цикла
часть воздуха («5%), охлаждаясь до
температуры ниже критической, сжижает-
сжижается и поступает в дьюаровский сосуд (ДС)
(см. §49), а остальная его часть возвра-
возвращается в теплообменник.
Второй метод сжижения газов основан
* К. Линде A842—1934) —немецкий фи-
физик и инженер.

['./i a is ;i 10. Pea.iuiue гп:ш, жидкости ц твердые тела
I II
на охлаждении газа при совершении им
работы. Сжатый газ, поступая в поршне-
поршневую машину (детандер), расширяется
и совершает при этом работу по передви-
передвижению поршня. Так как работа соверша-
совершается за счет внутренней энергии газа, то
его температура при этом понижается.
Академик П. Л. Капица предложил
вместо детандера применять турбодетаи-
дер, в котором газ, сжатый всего лишь до
500—600 кПа, охлаждается, совершая ра-
работу по вращению турбины. Этот метод
успешно применен Капицей для сжижения
гелия, предварительное охлаждение кото-
которого производилось жидким азотом. Со-
Современные мощные холодильные установ-
установки работают по принципу турбодетандера.
§ 66. Свойства жидкостей.
Поверхностное натяжение
Жидкость является агрегатным состояни-
состоянием вещества, промежуточным между газо-
газообразным и твердым, поэтому она облада-
обладает свойствами как газообразных, так
и твердых веществ. Жидкости, подобно
твердым телам, обладают определенным
объемом, а подобно газам, принимают
форму сосуда, в котором они находятся
(см. §28). Молекулы газа практически не
связаны между собой силами межмолеку-
межмолекулярного взаимодействия, и в данном слу-
случае средняя энергия теплового движения
молекул газа гораздо больше средней по-
потенциальной энергии, обусловленной сила-
силами притяжения между ними (см. § 60),
поэтому молекулы газа разлетаются
в разные стороны и газ занимает предо-
предоставленный ему объем. В твердых и жид-
жидких телах силы притяжения между моле-
молекулами уже существенны и удерживают
молекулы на определенном расстоянии
друг от друга. В этом случае средняя
энергия хаотического теплового движения
молекул меньше средней потенциальной
энергии, обусловленной силами межмоле-
межмолекулярного взаимодействия, и ее недоста-
недостаточно для преодоления сил притяжения
между молекулами, поэтому твердые тела
и жидкости имеют определенный объем.
Рентгеноструктурный анализ жидко-
жидкостей показал, что характер расположения
частиц жидкости промежуточен между га-
газом и твердым телом. В газах молекулы
движутся хаотично, поэтому нет никакой
закономерности в их взаимном расположе-
расположении. Для твердых тел наблюдается так
называемый дальний порядок в располо-
расположении частиц, т. е. их упорядоченное рас-
расположение, повторяющееся на больших
расстояниях. В жидкостях имеет место так
называемый ближний порядок в располо-
расположении частиц, т. е. их упорядоченное рас-
расположение, повторяющееся на расстояни-
расстояниях, сравнимых с межатомными.
Теория жидкости до настоящего вре-
времени полностью не развита. Разработка
ряда проблем в исследовании сложных
свойств жидкости принадлежит
Я- И. Френкелю A894—1952). Тепловое
движение в жидкости он объяснял тем, что
каждая молекула в течение некоторого
времени колеблется около определенного
положения равновесия, после чего скач-
скачком переходит в новое положение, отстоя-
отстоящее от исходного на расстоянии порядка
межатомного. Таким образом, молекулы
жидкости довольно медленно перемеща-
перемещаются по всей массе жидкости и диффузия
происходит гораздо медленнее, чем в га-
газах. С повышением температуры жидкости
частота колебательного движения резко
увеличивается, возрастает подвижность
молекул, что, в свою очередь, является
причиной уменьшения вязкости жидкости.
На каждую молекулу жидкости со сто-
стороны окружающих молекул действуют си-
силы притяжения, быстро убывающие с рас-
расстоянием (см. рис. 88); следовательно,
начиная с некоторого минимального рас-
расстояния силами притяжения между моле-
молекулами можно пренебречь. Это расстояние
(порядка 10~9 м) называется радиусом
молекулярного действия г, а сфера радиу-
радиуса г — сферой молекулярного действия.
Выделим внутри жидкости какую-либо
молекулу А (рис. 96) и проведем вокруг
нее сферу радиуса г. Достаточно, согласно
определению, учесть действие на данную
молекулу только тех молекул, которые на-
находятся внутри сферы молекулярного дей-
действия. Силы, с которыми эти молекулы
действуют на молекулу А, направлены
в разные стороны и в среднем скомпенси-

112
2. Основы молекулярной фишки и термодинамики
Рнс. 96
рованы, поэтому результирующая сила,
действующая на молекулу внутри жидко-
жидкости со стороны других молекул, равна
нулю. Иначе обстоит дело, если молекула,
например молекула В, расположена от
поверхности на расстоянии, меньшем
г. В данном случае сфера молекулярного
действия лишь частично расположена
внутри жидкости. Так как концентрация
молекул в расположенном над жидкостью
газе мала по сравнению с их концентра-
концентрацией в жидкости, то равнодействующая
сил F, приложенных к каждой молекуле
поверхностного слоя, не равна нулю и на-
направлена внутрь жидкости. Таким обра-
образом, результирующие силы всех молекул
поверхностного слоя оказывают на жид-
жидкость давление, называемое молекуляр-
молекулярным (или внутренним). Молекулярное
давление не действует на тело, помещен-
помещенное в жидкость, так как оно обусловлено
силами, действующими только между мо-
молекулами самой жидкости.
Суммарная энергия частиц жидкости
складывается из энергии их хаотическо-
хаотического теплового движения и потенциальной
энергии, обусловленной силами межмоле-
межмолекулярного взаимодействия. Для переме-
перемещения молекулы из глубины жидкости в
поверхностный слой надозатратить работу.
Эта работа совершается за счет кинетиче-
кинетической энергии молекул и идет на увеличе-
увеличение их потенциальной энергии. Поэтому
молекулы поверхностного слоя жидкости
обладают большей потенциальной энер
гией, чем молекулы внутри жидкости. Эту
дополнительная энергия, которой облада
ют молекулы в поверхностном слое жидко-
жидкости, называемая поверхностной энергией.
пропорциональна площади слоя AS:
AE = aAS, F6.1)
где а — поверхностное натяжение, опре-
определяемое как плотность поверхностной
энергии.
Так как равновесное состояние харак-
характеризуется минимумом потенциальной
энергии, то жидкость при отсутствии
внешних сил будет принимать такую фор-
форму, чтобы при заданном объеме она имела
минимальную поверхность, т. е. форму ша-
шара. Наблюдая мельчайшие капельки, взве-
взвешенные в воздухе, можем видеть, что они
действительно имеют форму шариков, но
несколько искаженную из-за действия сил
земного тяготения. В условиях невесомо-
невесомости капля любой жидкости (независимо от
ее размеров) имеет сферическую форму,
что доказано экспериментально на косми-
космических кораблях.
Итак, условием устойчивого равнове-
равновесия жидкости является минимум повер-
поверхностной энергии. Это означает, что жид-
жидкость при заданном объеме должна иметь
наименьшую площадь поверхности,
т. е. жидкость стремится сократить пло-
площадь свободной поверхности. В этом слу-
случае поверхностный слой жидкости можно
уподобить растянутой упругой пленке,
в которой действуют силы натяжения.
Рассмотрим поверхность жидкости
(рис. 97), ограниченную замкнутым кон-
контуром. Под действием сил поверхностного
натяжения (направлены по касательной
к поверхности жидкости и перпендикуляр-
перпендикулярно участку контура, на который они дей-
действуют) поверхность жидкости сократи-
сократилась и рассматриваемый контур переме-
переместился в положение, отмеченное светло-се-
светло-серым цветом. Силы, действующие со сторо-
стороны выделенного участка на граничащие
с ним участки, совершают работу
XA=fAlAx,
Рис. 97

Глава 10. Реальные газы, жидкости и твердые тела
113
где f = F/Al— сила поверхностного натя-
натяжения, действующая на единицу длины
контура поверхности жидкости.
Из рис. 97 видно, что A/A* = AS, т. е
AA=fAS. F6.2)
Эта работа совершается за счет уменьше-
уменьшения поверхностной энергии, т. е.
АА=АЕ. F6.3)
Из сравнения выражений F6.1) —
F6.3) видно, что
а = /, F6.4)
т. е. поверхностное натяжение ст равно
силе поверхностного натяжения, приходя-
приходящейся на единицу длины контура, ограни-
ограничивающего поверхность. Единица повер-
поверхностного натяжения — ньютон на метр
(Н/м) или джоуль на квадратный метр
(Дж/м2) (см. F6.4) и F6.1)). Большин-
Большинство жидкостей при температуре
300 К имеет поверхностное натяжение по-
порядка 10^2—10 ' Н/м. Поверхностное на-
натяжение с повышением температуры
уменьшается, так как увеличиваются
средние расстояния между молекулами
жидкости.
Поверхностное натяжение существен-
существенным образом зависит от примесей, имею-
имеющихся в жидкостях. Вещества, ослабляю-
ослабляющие поверхностное натяжение жидкости,
называются поверхностно-активными. На-
Наиболее известным поверхностно-активным
веществом по отношению к воде является
мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхно-
поверхностное натяжение (примерно с 7,5-10~2 до
4,5-10~2 Н/м). Поверхностно-активными
веществами, понижающими поверхност-
поверхностное натяжение воды, являются также
спирты, эфиры, нефть и др.
Существуют вещества (сахар, соль),
которые увеличивают поверхностное на-
натяжение жидкости благодаря тому, что их
молекулы взаимодействуют с молекулами
жидкости сильнее, чем молекулы жидко-
жидкости между собой. Например, если посолить
мыльный раствор, то в поверхностный
слой жидкости выталкивается молекул
мыла больше, чем в пресной воде. В мыло-
мыловаренной технике мыло «высаливается»
этим способом из раствора.
§ 67. Смачивание
Из практики известно, что капля воды
растекается на стекле и принимает форму,
изображенную на рис. 98, в то время как
ртуть на той же поверхности превращает-
превращается в несколько сплюснутую каплю
(рис. 99). В первом случае говорят, что
жидкость смачивает твердую поверхность,
во втором — не смачивает ее. Смачивание
зависит от характера сил, действующих
между молекулами поверхностных слоев
соприкасающихся сред. Для смачивающей
жидкости силы притяжения между моле-
молекулами жидкости и твердого тела больше,
чем между молекулами самой жидкости,
и жидкость стремится увеличить повер-
поверхность соприкосновения с твердым телом.
Для несмачивающей жидкости силы при-
притяжения между молекулами жидкости
и твердого тела меньше, чем между моле-
молекулами жидкости, и жидкость стремится
уменьшить поверхность своего соприкос-
соприкосновения с твердым телом.
К линии соприкосновения трех сред
(точка О есть ее пересечение с плоскостью
чертежа) приложены три силы поверхно-
поверхностного натяжения, которые направлены по
касательной внутрь поверхности соприкос-
соприкосновения соответствующих двух сред
(рис. 98 и 99). Эти силы, отнесенные
к единице длины линии соприкосновения,
равны соответствующим поверхностным
\>ис. 99

1 14
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
натяжениям О|2, <Ji3, о23. Угол в между
касательными к поверхности жидкости
и твердого тела называется краевым уг-
углом. Условием равновесия капли
(рис. 98) является равенство нулю суммы
проекций сил поверхностного натяжения
на направление касательной к поверхно-
поверхности твердого тела, т. е.
COS 6 = 0,
откуда
cos e = (ai3 —
F7.
Из условия F7.1) вытекает, что крае-
краевой угол может быть острым или тупым
в зависимости от значений сц и Ст|2. Если
Oi3><Ti2, то cos9>0 и угол 9 — острый
(рис. 98), т.е. жидкость смачивает твер-
твердую поверхность. Если ai3<<7i2, то
cos 9 < 0 и угол 9 — тупой (рис. 99),
т. е. жидкость не смачивает твердую по-
поверхность.
Краевой угол удовлетворяет условию
F7.1), если
I сг i з — Я|2|/о2з^1. F7.2)
Если условие F7.2) не выполняется, то
капля жидкости 2 ни при каких значениях
9 не может находиться в равновесии. Если
О|з>а|2 + а2з, то жидкость растекается по
поверхности твердого тела, покрывая его
тонкой пленкой (например, керосин на
поверхности стекла),— имеет место пол-
полное смачивание (в данном случае 9 = 0).
Если о\2>(Т|з + а2з, то жидкость стягива-
стягивается в шаровую каплю, в пределе имея
с ней лишь одну точку соприкосновения
(например, капля воды на поверхности
парафина),— имеет место полное несма-
несмачивание (в данном случае 9 = я).
Смачивание и несмачивание являются
понятиями относительными, т. е. жид-
жидкость, смачивающая одну твердую повер-
поверхность, не смачивает другую. Например,
вода смачивает стекло, но не смачивает
парафин; ртуть не смачивает стекло, но
смачивает чистые поверхности металлов.
Явления смачивания и несмачивания
имеют большое значение в технике. На
пример, в методе флотационного обогаще-
обогащения руды (отделение руды от пустой по-
роды) ее, мелко раздробленную, взбалты-
взбалтывают в жидкости, смачивающей пустую
породу и не смачивающей руду. Через эту
смесь продувается воздух, а затем она
отстаивается. При этом смоченные жидко-
жидкостью частицы породы опускаются на дно,
а крупинки минералов «прилипают» к пу-
пузырькам воздуха и всплывают на повер-
поверхность жидкости. При механической обра-
обработке металлов их смачивают специальны-
специальными жидкостями, что облегчает и ускоряет
обработку.
§ 68. Давление
под искривленной
поверхностью жидкости
Если поверхность жидкости не плоская,
а искривленная, то она оказывает на жид-
жидкость избыточное (добавочное) давление.
Это давление, обусловленное силами по-
поверхностного натяжения, для выпуклой
поверхности положительно, а для вогнутой
поверхности — отрицательно.
Для расчета избыточного давления
предположим, что свободная поверхность
жидкости имеет форму сферы радиуса R,
от которой мысленно отсечен шаровой сег-
сегмент, опирающийся на окружность радиу-
радиуса /• = /? sin a (рис. 100). На каждый бес-
бесконечно малый элемент длины А/ этого
контура действует сила поверхностного
натяжения AF = oAt, касательная к по-
поверхности сферы. Разложив AF на два
компонента (AFi и AF2), видим, что гео-
геометрическая сумма сил AF2 равна нулю,
так как эти силы на противоположных
сторонах контура направлены в обратные
стороны и взаимно уравновешиваются.
Поэтому равнодействующая сил поверхно-
поверхностного натяжения, действующих на вы-
вырезанный сегмент, направлена перпенди-
перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидко-
&F,

Г л a Ft а 10. Pca.'ihiiiiit' галл, жидкости и твердые тела
1 15
сти и равна алгебраической сумме со-
составляющих Д/м:
Z
i=? A/7sina =
Г ОГ V A I af О
Разделив эту силу на площадь основания
сегмента яг2, вычислим избыточное (до-
(добавочное) давление на жидкость, создава-
создаваемое силами поверхностного натяжения
и обусловленное кривизной поверхности:
R
Если поверхность жидкости вогнутая,
то можно доказать, что результирующая
сила поверхностного натяжения направле-
направлена из жидкости и равна
\p=—2o/R. F8.2)
Следовательно, давление внутри жидкости
под вогнутой поверхностью меньше, чем
в газе, на величину Др.
Формулы F8.1) и F8.2) являются
частным случаем формулы Лапласа*, оп-
определяющей избыточное давление для
произвольной поверхности жидкости двоя-
двоякой кривизны:
F8.3)
где R\ и Ri — радиусы кривизны двух
любых взаимно перпендикулярных нор-
нормальных сечений поверхности жидкости
в данной точке. Радиус кривизны положи-
положителен, если центр кривизны соответствую-
соответствующего сечения находится внутри жидкости,
и отрицателен, если центр кривизны на-
находится вне жидкости.
Для сферической искривленной повер-
поверхности (/?1=/?2 = /?) выражение F8.3) пе-
переходит в F8.1), для цилиндрической
(#i =/? и У?2= °°) —избыточное давление
Для плоской поверхности G?|=#2=О°)
силы поверхностного натяжения избыточ-
избыточного давления не создают.
§ 69. Капиллярные явления
Если поместить узкую трубку (капилляр)
одним концом в жидкость, налитую в ши-
широкий сосуд, то вследствие смачивания
или несмачивания жидкостью стенок ка-
капилляра кривизна поверхности жидкости
в капилляре становится значительной. Ес-
Если жидкость смачивает материал трубки,
то внутри ее поверхность жидкости — ме-
мениск — имеет вогнутую форму, если не
смачивает — выпуклую (рис. 101).
Под вогнутой поверхностью жидкости
появится отрицательное избыточное дав-
давление, определяемое по формуле F8.2).
Наличие этого давления приводит к тому,
что жидкость в капилляре поднимается,
так как под плоской поверхностью жидко-
жидкости в широком сосуде избыточного давле-
давления нет. Если же жидкость не смачивает
стенки капилляра, то положительное из-
избыточное давление приведет к опусканию
жидкости в капилляре. Явление изменения
высоты уровня жидкости в капиллярах
называется капиллярностью. Жидкость
в капилляре поднимается или опускается
на такую высоту /i, при которой давление
столба жидкости (гидростатическое дав-
давление) pgh уравновешивается избыточным
давлением Др, т. е.
где р — плотность жидкости, g — ускоре-
ускорение свободного падения.
Если г — радиус капилляра, 0 — крае-
краевой угол, то из рис. 101 следует, что
Ba cos Q)/r = pgh, откуда
/i = Bacos6)/(pgr). F9.1)
В соответствии с тем, что смачиваю-
смачивающая жидкость по капилляру поднимается,
а несмачивающая — опускается, из фор-
* П. Лаплас A749—1827) —французский
ученый.
Рис 101

I Hi
'2. OuiOllU MOjK'KVJil |nl(l" (JIH4MK11 ll
мулы F9.1) при В<л/2 (cosB>0) полу-
получим положительные значения А, а при
6>я/2 (cos6<0) —отрицательные. Из
выражения F9.1) видно также, что высо-
высота поднятия (опускания) жидкости в ка-
капилляре обратно пропорциональна его ра-
радиусу. В тонких капиллярах жидкость под-
поднимается достаточно высоко. Так, при
полном смачивании F = 0) вода (р =
1000 кг/м3, а = 0,073 Н/м) в капилляре
диаметром 10 мкм поднимается на высоту
йжЗ м.
Капиллярные явления играют боль-
большую роль в природе и технике. Например,
влагообмен в почве и в растениях осуще-
осуществляется за счет поднятия воды по тон-
тончайшим капиллярам. На капиллярности
основано действие фитилей, впитывание
влаги бетоном и т. д.
§ 70. Твердые тела.
Моно- и поликристаллы
Твердые тела (кристаллы) характеризу-
характеризуются наличием значительных сил межмо-
межмолекулярного взаимодействия и сохраняют
постоянными не только свой объем, но
и форму. Кристаллы имеют правильную
геометрическую форму, которая, как по-
показали рентгенографические исследования
немецкого физика-теоретика М. Лауэ
A879—1960), является результатом упо-
упорядоченного расположения частиц (ато-
(атомов, молекул, ионов), составляющих
кристалл. Структура, для которой харак-
характерно регулярное расположение частиц
с периодической повторяемостью в трех
измерениях, называется кристаллической
решеткой. Точки, в которых расположены
частицы, а точнее — точки, относительно
которых частицы совершают колебания,
называются узлами кристаллической ре-
решетки.
Кристаллические тела можно разде-
разделить на две группы: монокристаллы
и поликристаллы. Монокристаллы — твер-
твердые тела, частицы которых образуют еди-
единую кристаллическую решетку. Кристал-
Кристаллическая структура монокристаллов обна-
обнаруживается по их внешней форме. Хотя
внешняя форма монокристаллов одного
вида может быть различной, но углы меж-
между соответствующими гранями у них оста-
остаются постоянными. Это закон постоянства
углов, сформулированный М. В. Ломоно-
Ломоносовым. Он сделал важный вывод, что пра-
правильная форма кристаллов связана с за-
закономерным размещением частиц, образу-
образующих кристалл. Монокристаллами явля-
являются большинство минералов. Однако
крупные природные монокристаллы встре-
встречаются довольно редко (например, лед,
поваренная соль, исландский шпат). В на-
настоящее время многие монокристаллы вы-
выращиваются искусственно. Условия роста
крупных монокристаллов (чистый раствор,
медленное охлаждение и т. д.) часто не
выдерживаются, поэтому большинство
твердых тел имеет мелкокристаллическую
структуру, т. е. состоит из множества бес-
беспорядочно ориентированных мелких
кристаллических зерен. Такие твердые те-
тела называются поликристаллами (многие
горные породы, металлы и сплавы).
Характерной особенностью монокри-
монокристаллов является их анизотропность,
т. е. зависимость физических свойств —
упругих, механических, тепловых, электри-
электрических, магнитных, оптических — от на-
направления. Анизотропия монокристаллов
объясняется тем, что в кристаллической
решетке различно число частиц, приходя-
приходящихся на одинаковые по длине, но разные
по направлению отрезки (рис. 102),
т. е. плотность расположения частиц
кристаллической решетки по разным на-
направлениям не одинакова, что и приводит
к различию свойств кристалла вдоль этих
направлений. В поликристаллах анизотро-
анизотропия наблюдается только для отдельных
мелких кристалликов, но их различная
о • ф • о • о
Q
@
о
Риг. 102

I .1 а н а К). Реальные газы, жидкости и тисрдие ii'j;i
ориентация приводит к тому, что свойства
поликристалла по всем направлениям
в среднем одинаковы.
§71. Типы кристаллических
твердых тел
Существует два признака для классифи-
классификации кристаллов: 1) кристаллографиче-
кристаллографический; 2) физический (природа частиц, рас-
расположенных в узлах кристаллической ре-
решетки, и характер сил взаимодействия
между ними).
I. Кристаллографический признак
кристаллов. В данном случае важна толь-
только пространственная периодичность в рас-
расположении частиц, поэтому можно от-
отвлечься от их внутренней структуры, рас-
рассматривая частицы как геометрические
точки.
Кристаллическая решетка может об-
обладать различными видами симметрии.
Симметрия кристаллической решетки —
ее свойство совмещаться с собой при не-
некоторых пространственных перемещениях,
например параллельных переносах, пово-
поворотах, отражениях или их комбинациях
и т. д. Кристаллической решетке, как до-
доказал русский кристаллограф Е. С. Федо-
Федоров A853—1919), присущи 230 комбина-
комбинаций элементов симметрии, или 230 различ-
различных пространственных групп.
С переносной симметрией в трехмер-
трехмерном пространстве связывают понятие
трехмерной периодической структуры —
пространственной решетки, или решетки
Бравэ, представление о которой введено
французским кристаллографом О. Бравэ
A811 —1863). Всякая пространственная
решетка может быть составлена повторе-
повторением в трех различных направлениях од-
одного и того же структурного элемента —
элементарной ячейки. Всего существует
14 типов решеток Бравэ, различающихся
по виду переносной симметрии. Они рас-
распределяются по семи кристаллографиче-
кристаллографическим системам, или сингониям, представ-
представленным в порядке возрастающей симмет-
симметрии в табл. 3. Для описания элементар-
элементарных ячеек пользуются кристаллографиче-
кристаллографическими осями координат, которые проводят
параллельно ребрам элементарной ячейки,
а начало координат выбирают в левом
углу передней грани элементарной ячейки.
Элементарная кристаллическая ячейка
представляет собой параллелепипед, по-
построенный на ребрах а, 6, с с углами а, р
и у между ребрами (табл. 3). Величины а,
b и с и а, р и у называются параметрами
элементарной ячейки и однозначно ее оп-
определяют.
Таблица 3
Кристалло-
графиче-
графическая
система
Триклин-
ная
Моно-
Моноклинная
Ромби-
Ромбическая
Тетраго-
Тетрагональная
Ромбоэд-
Ромбоэдрическая
(триго-
нальная)
Гексаго-
Гексагональная
Кубиче-
Кубическая
Характеристика
элементарной
ячейки
а ф Ь ф с,
афЬфс,
а = $ = Жфу
афЬфс,
а = р = ? = 90°
а = Ьфс,
а = р = v = 90°
а = /; ф с,
а = р = 90'\
7 = 60°
а = b = с,
a = p = i> = 90°
Форма
элементарной
ячейки
Y> b
fill
b
f i ' !
b
л—л
/ 1 у 1
c?V—ц"1
a
a
a
Л—Л
f—\—( i
a

118
2. Основы молекулярной фишки и термодинамики
2. Физический признак кристаллов.
В зависимости от рода частиц, располо-
расположенных в узлах кристаллической решетки,
и характера сил взаимодействия между
ними кристаллы разделяются на четыре
типа: ионные, атомные, металлические,
молекулярные.
Ионные кристаллы. В узлах кристал-
кристаллической решетки располагаются пооче-
поочередно ионы противоположного знака. Ти-
Типичными ионными кристаллами являются
большинство галоидных соединений ще-
щелочных металлов (NaCl, CsCl, KBr
и т.д.), а также оксидов различных эле-
элементов (MgO, CaO и т.д.). Структуры
решеток двух наиболее характерных ион-
ионных кристаллов — NaCl (решетка пред-
представляет собой две одинаковые гранецен-
трированные кубические решетки, вложен-
вложенные друг в друга; в узлах одной из этих
решеток находятся ионы Na + , в узлах
другой — ионы CI) и CsCl (кубическая
объемно центрированная решетка —
в центре каждой элементарной решетки
находится ион) — показаны на рис. 103.
Силы взаимодействия между ионами яв-
являются в основном электростатическими
(кулоновскими). Связь, обусловленная ку-
лоновскими силами притяжения между
разноименно заряженными ионами, назы-
называется ионной (или гетерополярной).
В ионной решетке нельзя выделить отдель-
отдельные молекулы: кристалл представляет
собой как бы одну гигантскую молекулу.
Атомные кристаллы. В узлах кристал-
кристаллической решетки располагаются ней-
нейтральные атомы, удерживающиеся в узлах
решетки гомеополярными, или ковален-
тными, связями квантово-механического
происхождения (у соседних атомов обоб-
обобществлены валентные электроны, наименее
связанные с атомом). Атомными кристал-
сг
. ¦-<
¦ ~ч
1
(
Г
f
I
irfW
NaCl
CsCl
Рис. 103
Рис. 104
лами являются алмаз и графит (два раз-
различных состояния углерода), некоторые
неорганические соединения (ZnS, BeO
и т.д.), а также типичные полупроводни-
полупроводники — германий Ge и кремний Si. Структура
решетки алмаза приведена на рис. 104, где
каждый атом углерода окружен четырьмя
такими же атомами, которые располагают-
располагаются на одинаковых расстояниях от него
в вершинах тетраэдров.
Валентные связи осуществляются па-
парами электронов, движущихся по орбитам,
охватывающим оба атома, и носят направ-
направленный характер: ковалентные силы на-
направлены от центрального атома к верши-
вершинам тетраэдра. В отличие от графита ре-
решетка алмаза не содержит плоских слоев,
что не позволяет сдвигать отдельные
участки кристалла, поэтому алмаз являет-
является прочным соединением.
Металлические кристаллы. В узлах
кристаллической решетки располагаются
положительные ионы металла. При обра-
образовании кристаллической решетки валент-
валентные электроны, сравнительно слабо свя-
связанные с атомами, отделяются от атомов
и коллективизируются: они уже принад-
принадлежат не одному атому, как в случае ион-
ионной связи, и не паре соседних атомов, как
в случае гомеополярной связи, а всему
кристаллу в целом. Таким образом, в ме-
металлах между положительными ионами
хаотически, подобно молекулам газа, дви-
движутся «свободные» электроны, наличие
которых обеспечивает хорошую электро-
электропроводность металлов. Так как металличе-

Г ,'i а н ;i 10. Реальные газы, жидкости и твердые тола
екая связь не имеет направленного дейст-
действия и положительные ионы решетки оди-
одинаковы по свойствам, то металлы должны
иметь симметрию высокого порядка. Дей-
Действительно, большинство металлов имеют
кубическую объемно центрированную (Li,
Na, К, Rb, Cs) и кубическую гранецентри-
рованную (Си, Ag, Pt, Аи) решетки. Чаще
всего металлы встречаются в виде поли-
поликристаллов.
Молекулярные кристаллы. В узлах
кристаллической решетки располагаются
нейтральные молекулы вещества, силы
взаимодействия между которыми обуслов-
обусловлены незначительным взаимным смещени-
смещением электронов в электронных оболочках
атомов. Эти силы называются ван-дер-
ваальсовыми, так как они имеют ту же
природу, что и силы притяжения между
молекулами, приводящими к отклонению
газов от идеальности. Молекулярными
кристаллами являются, например, боль-
большинство органических соединений (пара-
(парафин, спирт, резина и т. д.), инертные газы
(Ne, Аг, Кг, Хе) и газы СО2, О2, N2 в твер-
твердом состоянии, лед, а также кристаллы
брома Вгг, иода Ь. Ван-дер-ваальсовы
силы довольно слабые, поэтому
молекулярные кристаллы легко деформи-
деформируются.
В некоторых твердых телах одновре-
одновременно может осуществляться несколько
видов связи. Примером этому служит гра-
графит (гексагональная решетка). Решетка
графита (рис. 105) состоит из ряда па-
параллельных плоскостей, в которых атомы
углерода расположены в вершинах пра-
правильных шестиугольников. Расстояние
между плоскостями более чем в два раза
превышает расстояние между атомами
шестиугольника. Плоские слои связаны
друг с другом ван-дер-ваальсовыми сила-
силами. В пределах слоя три валентных элек-
электрона каждого атома углерода образуют
ковалентную связь с соседними атомами
углерода, а четвертый электрон, оставаясь
«свободным», коллективизируется, но не
во всей решетке, как в случае металлов,
а в пределах одного слоя. Таким образом,
в данном случае осуществляется три вида
связи: гомеополярная и металлическая —
в пределах одного слоя; ван-дер-ваальсо-
ва — между слоями. Этим объясняется
мягкость графита, так как его слои могут
скользить друг относительно друга.
Различие в строении кристаллических
решеток двух разновидностей углерода —
графита и алмаза — объясняет различие
в их физических свойствах: мягкость гра-
графита и твердость алмаза; графит — про-
проводник электричества, алмаз — диэлект-
диэлектрик (нет свободных электронов) и т. д.
Расположение атомов в кристаллах
характеризуется также координационным
числом — числом ближайших однотипных
с данным атомом соседних атомов
в кристаллической решетке или молекул
в молекулярных кристаллах. Для модель-
модельного изображения кристаллических струк-
структур из атомов и ионов пользуются систе-
системой плотной упаковки шаров. Рассматри-
Рассматривая простейший случай плотной упаковки
шаров одинакового радиуса на плоскости,
приходим к двум способам их расположе-
расположения (рис. 106, а, б). Правая упаковка
является более плотной, так как при рав-
равном числе шаров площадь ромба со сторо-
стороной, равной стороне квадрата, меньше
площади квадрата. Как видно из рисунка,
Рис. 105
Рис. 106

120
rk'v hi j >ll'
I'll.',11 Kli il I ер ;н i/LIIH. MI1K
Рис. 1A7
различие в упаковках сводится к разли-
различию координационных чисел: в левой упа-
упаковке координационное число равно 4,
в правой—6. Т.е. чем плотнее упаковка,
тем больше координационное число.
Рассмотрим, при каких условиях плот-
плотная упаковка шаров в постранстве может
соответствовать той или иной кристалли-
кристаллической структуре, приводимой ранее. На-
Начнем строить решетку со слоя шаров,
представленных на рис. 106, б. Для упро-
упрощения дальнейших рассуждений спроеци-
спроецируем центры шаров на плоскость, на ко-
которой они лежат, обозначив их серыми
кружками (рис. 107). На эту же плоскость
спроецируем центры просветов между ша-
Рис. 108
рами, которые обозначены на рис. 107 со-
соответственно зелеными кружками и крести-
крестиками. Любой плотноупакованный слой
будем называть слоем А, если центры
его шаров расположены над серыми круж-
кружками, слоем В — если над зелеными круж-
кружками, слоем С — если над крестиками.
Над слоем А уложим второй плотноупако-
плотноупакованный слой так, чтобы каждый шар этого
слоя лежал на трех шарах первого слоя.
Это можно сделать двояко: взять в качест-
качестве второго слоя либо В, либо С. Третий
слой можно опять уложить двояко и т. д.
Итак, плотную упаковку можно описать
как последовательность АВСВАС..., в ко-
которой не могут стоять рядом слои, обозна-
обозначенные одинаковыми буквами.
Из множества возможных комбинаций
в кристаллографии реальное значение
имеют два типа упаковки: 1) двухслойная
упаковка АВАВАВ...— гексагональная
плотноупакованная структура (рис. 108);
2) трехслойная упаковка АВСАВС...—ку-
АВСАВС...—кубическая гранецентрированная структу-
структура (рис. 109). В обеих решетках координа-
координационное число равно 12 и плотность упа-
упаковки одинакова — атомы занимают 74 %
общего объема кристалла. Координацион-
Координационное число, соответствующее кубической
объемно центрированной решетке, равно
8, решетке алмаза (см. рис. 104) равно 4.
Кроме двух- и трехслойных упаковок
можно построить многослойные с большим
периодом повторяемости одинаковых сло-
слоев, например АВСВАСАВСВАС. ..—
шестислойная упаковка. Существует мо-
модификация карбида SiC с периодом по-
повторяемости 6, 15 и 243 слоя.
Если кристалл построен из атомов раз-
различных элементов, то его можно предста-
представить в виде плотной упаковки шаров раз-
разных размеров. На рис. 110 приведено мо-
Рис. 109
Рис. ПО

Г .1 ,'i и ;i Id.
и тнордьм1 г<\
121
q)
6)
Рис. II 1
дельное изображение кристалла поварен-
поваренной соли. Крупные ионы хлора (г =
= 181 пм) образуют плотную трехслойную
упаковку, у которой большие пустоты за-
заполнены меньшими по размеру ионами
натрия (г = 98 пм). Каждый ион Na окру-
окружен шестью ионами С1, и, наоборот, каж-
каждый ион С1 — шестью ионами Na.
§ 72. Дефекты в кристаллах
Рассмотренные в § 71 идеальные кристал-
кристаллические структуры существуют лишь
в очень малых объемах реальных кристал-
кристаллов, в которых всегда имеются отклонения
от упорядоченного расположения частиц
в узлах решетки, называемые дефектами
кристаллической решетки. Дефекты делят-
делятся на макроскопические, возникающие
в процессе образования и роста кристал-
кристаллов (например, трещины, поры, инородные
макроскопические включения), и микро-
микроскопические, обусловленные микроскопи-
микроскопическими отклонениями от периодичности.
Микродефекты делятся на точечные
и линейные. Точечные дефекты бывают
трех типов: 1) вакансия — отсутствие ато-
атома в узле кристаллической решетки (рис.
111, а); 2) междоузельный атом — атом,
внедрившийся в междоузельное простран-
пространство (рис. 111, б); 3) примесный атом —
атом примеси, либо замещающий атом
основного вещества в кристаллической ре-
решетке (примесь замещения, рис. 111, а),
либо внедрившийся в междоузельное про-
пространство (примесь внедрения, рис. 111, б;
только в междоузлии вместо атома основ-
основного вещества располагается атом при-
примеси). Точечные дефекты нарушают лишь
ближний порядок в кристаллах, не затра-
затрагивая дальнего порядка,— в этом состоит
их характерная особенность.
Линейные дефекты нарушают дальний
порядок. Как следует из опытов, механиче-
механические свойства кристаллов в значительной
степени определяются дефектами особого
вида — дислокациями. Дислокации — ли-
линейные дефекты, нарушающие правильное
чередование атомных плоскостей.
Дислокации бывают краевые и винто-
винтовые. Если одна из атомных плоскостей
обрывается внутри кристалла, то край
этой плоскости образует краевую дислока-
дислокацию (рис. 112, а). В случае винтовой
дислокации (рис. 112, б) ни одна из атом-
атомных плоскостей внутри кристалла не обры-
обрывается, а сами плоскости лишь приблизи-
приблизительно параллельны и смыкаются друг
с другом так, что фактически кристалл
состоит из одной атомной плоскости, изо-
изогнутой по винтовой поверхности.
Плотность дислокаций (число дисло-
дислокаций, приходящихся на единицу площади
поверхности кристалла) для совершенных
монокристаллов составляет 102— 103 см^2,
для деформированных кристаллов —
10'° — 10'2 см~2. Дислокации никогда не
обрываются, они либо выходят на повер-
поверхность, либо разветвляются, поэтому в ре-
реальном кристалле образуются плоские или
пространственные сетки дислокаций. Дис-
Дислокации и их движение можно наблюдать
с помощью электронного микроскопа,
а также методом избирательного травле-
травления — в местах выхода дислокации на по-
поверхность возникают ямки травления (ин-
а) / 6)
112

122
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
тенсивное разрушение кристалла под дей-
действием реагента), «проявляющие» дисло-
дислокации.
Наличие дефектов в кристаллической
структуре влияет на свойства кристаллов,
анализ которых проведем ниже.
§ 73. Теплоемкость твердых тел
В качестве модели твердого тела рассмот-
рассмотрим правильно построенную кристалличе-
кристаллическую решетку, в узлах которой частицы
(атомы, ионы, молекулы), принимаемые за
материальные точки, колеблются около
своих положений равновесия — узлов ре-
решетки — в трех взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных направлениях. Таким образом, каж-
каждой составляющей кристаллическую ре-
решетку частице приписывается три колеба-
колебательных степени свободы, каждая из
которых, согласно закону равнораспреде-
равнораспределения энергии по степеням свободы
(см. § 50), обладает энергией kT.
Внутренняя энергия моля твердого
тела
где /Уд — постоянная Авогадро;
(R — молярная газовая постоянная).
Молярная теплоемкость твердого
тела
AU
Cv = —^- = ЗЯ«25 Дж/(моль-К),
G3.1)
т. е. молярная (атомная) теплоемкость
химически простых тел в кристалличе-
кристаллическом состоянии одинакова (равна 3R) и не
зависит от температуры. Этот закон был
эмпирически получен французскими уче-
учеными П. Дюлонгом A785—1838) и Л. Пти
A791—1820) и носит название закона
Дюлонга и Пти.
Если твердое тело является химиче-
химическим соединением (например, NaCI), то
число частиц в моле не равно постоянной
Авогадро, а равно пЛ/д, где п — число
атомов в молекуле (для NaCI число
частиц в моле равно 2Мд, так, в одном моле
NaCI содержится Л/д атомов Na и N\ ато-
атомов CI). Таким образом, молярная теп-
теплоемкость твердых химических соедине-
соединений
2bn Дж/(моль-К),
Вещество
Алюминий А1
Алмаз С
Бериллий Be
Бор В
Железо Fe
Серебро Ag
NaCI
AgCl
CaCIa
T
а б л и ц а 4
С, Дж/(моль-К)
Теоретичес-
Теоретическое значе-
значение
25
25
25
25
25
25
50
50
75
Эксперимен-
Экспериментальное
значение
25,5
5,9
15,6
13,5
26,8
25,6
50,6
50,9
76,2
т. е. равна сумме атомных теплоемкостеи
элементов, составляющих это соединение.
Как показывают опытные данные
(табл. 4), для многих веществ закон Дю-
Дюлонга и Пти выполняется с довольно
хорошим приближением, хотя некоторые
вещества (С, Be, В) имеют значительные
отклонения от вычисленных теплоемко-
теплоемкостеи. Кроме того, так же как и в случае
газов (см. § 53), опыты по измерению
теплоемкости твердых тел при низких
температурах показали, что она зависит
от температуры (рис. 113). Вблизи нуля
Кельвина теплоемкость тел пропорцио-
пропорциональна Т3, и. только при достаточно высо-
высоких температурах, характерных для каж-
каждого вещества, выполняется условие
G3.1). Алмаз, например, имеет теплоем-
теплоемкость, равную 3R при 1800 К! Однако
для большинства твердых тел комнатная
температура является уже достаточно
высокой.
Расхождение опытных и теоретических
значений теплоемкостеи, вычисленных на
Рис. из

Глава 10. Реальные газы, жидкости и твердые гели
12:4
основе классической теории, объяснили,
исходя из квантовой теории теплоемко-
стей, А. Эйнштейн и П. Дебай A884—
1966).
§ 74. Испарение, сублимация,
плавление и кристаллизация.
Аморфные тела
Как в жидкостях, так и в твердых телах
всегда имеется некоторое число молекул,
энергия которых достаточна для преодоле-
преодоления притяжения к другим молекулам и ко-
которые способны оторваться от поверхности
жидкости или твердого тела и перейти
в окружающее их пространство. Этот про-
процесс для жидкости называется испарением
(или парообразованием), для твердых
тел — сублимацией (или возгонкой).
Испарение жидкостей идет при любой
температуре, но его интенсивность с повы-
повышением температуры возрастает. Наряду
с процессом испарения происходит ком-
компенсирующий его процесс конденсации па-
пара в жидкость. Если число молекул, по-
покидающих жидкость за единицу времени
через единицу поверхности, равно числу
молекул, переходящих из пара в жид-
жидкость, то наступает динамическое равнове-
равновесие между процессами испарения и кон-
конденсации. Пар, находящийся в равновесии
со своей жидкостью, называется насыщен-
насыщенным (см. также § 62).
Для большинства твердых тел процесс
сублимации при обычных температурах
незначителен и давление пара над повер-
поверхностью твердого тела мало; оно повы-
повышается с повышением температуры. Ин-
Интенсивно сублимируют такие вещества,
как нафталин, камфора, что обнаружива-
обнаруживается по резкому, свойственному им запаху.
Особенно интенсивно сублимация проис-
происходит в вакууме — этим пользуются для
изготовления зеркал. Известный пример
сублимации — превращение льда в пар —
мокрое белье высыхает на морозе.
Если твердое тело нагревать, то его
внутренняя энергия (складывается из
энергии колебаний частиц в узлах ре-
решетки и энергии взаимодействия этих
частиц) возрастает. При повышении тем-
температуры амплитуда колебаний частиц
ТА
а1
а) 6)
Рис. 114
увеличивается до тех пор, пока кристал-
кристаллическая решетка не разрушится,— твер-
твердое тело плавится. На рис. 114, а изо-
изображена примерная зависимость T(Q),
где Q — количество теплоты, получен-
полученное телом при плавлении. По мере со-
сообщения твердому телу теплоты его темпе-
температура повышается, а при температуре
плавления Тпл начинается переход тела из
твердого состояния в жидкое. Температу-
Температура Гщ, остается постоянной до тех пор,
пока весь кристалл не расплавится,
и только тогда температура жидкости
вновь начнет повышаться.
Нагревание твердого тела до Тн„ еще
не переводит его в жидкое состояние,
поскольку энергия частиц вещества до-
должна быть достаточной для разрушения
кристаллической решетки. В процессе
плавления теплота, сообщаемая веществу,
идет на совершение работы по разруше-
разрушению кристаллической решетки, а поэтому
rnJi = const до расплавления всего
кристалла. Затем подводимая теплота
пойдет опять-таки на увеличение энергии
частиц жидкости и ее температура начнет
повышаться. Количество теплоты, необхо-
необходимое для расплавления 1 кг вещест-
вещества, называется удельной теплотой плав-
плавления.
Если жидкость охлаждать, то процесс
протекает в обратном направлении
(рис. 114, б; Q' - количество теплоты,
отданное телом при кристаллизации): сна-
сначала температура жидкости понижается,
затем при постоянной температуре, равной
Тп„, начинается кристаллизация, после ее
завершения температура кристалла начи-
начинает понижаться. Для кристаллизации ве-
вещества необходимо наличие так нячыпло

124
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
мых центров кристаллизации — кристал-
кристаллических зародышей, которыми могут
быть не только кристаллики образующего-
образующегося вещества, но и примеси, а также пыль,
сажа и т. д. Отсутствие центров кристал-
кристаллизации в чистой жидкости затрудняет
образование микроскопических кристал-
кристалликов, и вещество, оставаясь в жидком
состоянии, охлаждается до температуры,
меньшей температуры кристаллизации,
при этом образуется переохлажденная
жидкость (на 114, б ей соответствует
штриховая кривая). При сильном пере-
переохлаждении начинается спонтанное обра-
образование центров кристаллизации и ве-
вещество кристаллизуется довольно быстро.
Обычно переохлаждение расплава
происходит от долей до десятков градусов,
но для ряда веществ может достигать
сотен градусов. Из-за большой вязкости
сильно переохлажденные жидкости теря-
теряют текучесть, сохраняя, как и твердые
тела, свою форму. Эти тела получили на-
название аморфных твердых тел; к ним отно-
относятся смолы, воск, сургуч, стекло. Аморф-
Аморфные тела, являясь, таким образом, пере-
переохлажденными жидкостями, изотропны,
т. е. их свойства во всех направлениях
одинаковы; для них, как и для жидкостей,
характерен ближний порядок в располо-
расположении частиц; в них в отличие от жидко-
жидкостей подвижность частиц довольно мала.
Особенностью аморфных тел является от-
отсутствие у них определенной точки плавле-
плавления, т. е: невозможно указать определен-
определенную температуру, выше которой можно
было бы констатировать жидкое состоя-
состояние, а ниже — твердое. Из опыта извест-
известно, что в аморфных телах со временем
может наблюдаться процесс кристаллиза-
кристаллизации, например в стекле появляются
кристаллики, оно, теряя прозрачность, на-
начинает мутнеть и превращаться в поликри-
поликристаллическое тело.
В последнее время широкое распро-
распространение в народном хозяйстве получили
полимеры — органические аморфные тела,
молекулы которых состоят из большого
числа одинаковых длинных молекулярных
цепочек, соединенных химическими (ва-
(валентными) связями. К полимерам относят-
относятся как естественные (крахмал, белок, кау-
каучук, клетчатка и др.), так и искусственные
(пластмасса, резина, полистирол, лавсан,
капрон и др.) органические вещества.
Полимерам присущи прочность и эластич-
эластичность; некоторые полимеры выдерживают
растяжение, в 5—10 раз превышающее их
первоначальную длину. Это объясняется
тем, что длинные молекулярные цепочки
могут при деформации либо сворачивать-
сворачиваться в плотные клубки, либо вытягиваться
в прямые линии. Эластичность полимеров
проявляется только в определенном интер-
интервале температур, ниже которого они ста-
становятся твердыми и хрупкими, а выше —
пластичными. Хотя синтетических поли-
полимерных материалов создано очень много
(искусственные волокна, заменители ко-
кожи, строительные материалы, заменители
металлов и др.), но теория полимеров до
настоящего времени полностью не разра-
разработана. Ее развитие определяется запро-
запросами современной техники, требующей
синтеза полимеров с заранее заданными
свойствами.
§75. Фазовые переходы I и II рода
Фазой называется термодинамически рав-
равновесное состояние вещества, отличающе-
отличающееся по физическим свойствам от других
возможных равновесных состояний того
же вещества. Если, например, в закрытом
сосуде находится вода, то эта система
является двухфазной: жидкая фаза — во-
вода; газообразная фаза — смесь воздуха
с водяными парами. Если в воду бросить
кусочки льда, то эта система станет трех-
трехфазной, в которой лед является твердой
фазой. Часто понятие «фаза» употребля-
употребляется в смысле агрегатного состояния, од-
однако надо учитывать, что оно шире, чем
понятие «агрегатное состояние». В преде-
пределах одного агрегатного состояния вещест-
вещество может находиться в нескольких фазах,
отличающихся по своим свойствам, соста-
составу и строению (лед, например, встречается
в пяти различных модификациях — фа-
фазах). Переход вещества из одной фазы
в другую — фазовый переход — всегда
связан с качественными изменениями
свойств вещества. Примером фазового пе-
перехода могут служить изменения агрегат-

[ л а па 10. Penjihiihic гп:и,, жидкости п тнорльи'
ного состояния вещества или переходы,
связанные с изменениями в составе, строе-
строении и свойствах вещества (например, пе-
переход кристаллического вещества из од-
одной модификации в другую).
Различают фазовые переходы двух ро-
родов. Фазовый перед I рода (например,
плавление, кристаллизация и т. д.) сопро-
сопровождается поглощением или выделением
теплоты, называемой теплотой фазового
перехода. Фазовые переходы I рода ха-
характеризуются постоянством температу-
температуры, изменениями энтропии и объема.
Объяснение этому можно дать следующим
образом. Например, при плавлении телу
нужно сообщить некоторое количество
теплоты, чтобы вызвать разрушение
кристаллической решетки. Подводимая
при плавлении теплота идет не на нагрев
тела, а на разрыв межатомных связей,
поэтому плавление протекает при постоян-
постоянной температуре. В подобных переходах —
из более упорядоченного кристаллическо-
кристаллического состояния в менее упорядоченное жид-
жидкое состояние — степень беспорядка уве-
увеличивается, т. е., согласно второму началу
термодинамики, этот процесс связан с воз-
возрастанием энтропии системы. Если пере-
переход происходит в обратном направлении
(кристаллизация), то система теплоту вы-
выделяет.
Фазовые переходы, не связанные с по-
поглощением или выделением теплоты и из-
изменением объема, называются фазовыми
переходами II рода. Эти переходы
характеризуются постоянством объема
и энтропии, но скачкообразным изменени-
изменением теплоемкости. Общая трактовка фазо-
фазовых переходов II рода предложена совет-
советским ученым Л. Д. Ландау A908—1968).
Согласно этой трактовке, фазовые перехо-
переходы II рода связаны с изменением симмет-
симметрии: выше точки перехода система, как
правило, обладает более высокой симмет-
симметрией, чем ниже точки перехода. Примера-
Примерами фазовых переходов II рода являются:
переход ферромагнитных веществ (желе-
(железа, никеля) при определенных давлении
и температуре в парамагнитное состояние;
переход металлов и некоторых сплавов
при температуре, близкой к 0 К, в сверх-
сверхпроводящее состояние, характеризуемое
скачкообразным уменьшением электриче-
электрического сопротивления до нуля; превраще-
превращение обыкновенного жидкого гелия (гелия I)
при 7" = 2,9 К в другую жидкую модифи-
модификацию (гелий II), обладающую свойства-
свойствами сверхтекучести.
§ 76. Диаграмма состояния.
Тройная точка
Если система является однокомпонентной,
т. е. состоящей из химически однородного
вещества или его соединения, то понятие
фазы совпадает с понятием агрегатного
состояния. Согласно § 60, одно и то же
вещество в зависимости от соотношения
между удвоенной средней энергией, при-
приходящейся на одну степень свободы ха-
хаотического теплового движения молекул,
и наименьшей потенциальной энер-
энергией взаимодействия молекул может на-
находиться в одном из трех агрегатных
состояний: твердом, жидком или газооб-
газообразном. Это соотношение, в свою очередь,
определяется внешними условиями — тем-
температурой и давлением. Следовательно,
фазовые превращения также определяют-
определяются изменениями температуры и давления.
Для наглядного изображения фазовых
превращений используется диаграмма со-
состояния (рис. 115), на которой в коорди-
координатах р, Т задается зависимость между
температурой фазового перехода и давле-
давлением в виде кривых испарения (КИ),
плавления (КП) и сублимации (КС), раз-
разделяющих поле диаграммы на три об-
области, соответствующие условиям су-
существования твердой (ТТ), жидкой (Ж)
и газообразной (Г) фаз. Кривые на ди-
диаграмме называются кривыми фазового
равновесия, каждая точка на них соответ-
р. -
Рис. 115

120
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
ствует условиям равновесия двух сосуще-
сосуществующих фаз: КП — твердого тела
и жидкости, КИ — жидкости и газа, КС —
твердого тела и газа.
Точка, в которой пересекаются эти
кривые и которая, следовательно, опреде-
определяет условия (температуру 7"тр и соответ-
соответствующее ей равновесное давление ртр)
одновременного равновесного сосущество-
сосуществования трех фаз вещества, называется
тройной точкой. Каждое вещество имеет
только одну тройную точку. Тройная точка
воды характеризуется температурой
273,16 К (по шкале Цельсия ей соответ-
соответствует температура 0,01 °С) и является ос-
основной реперной точкой для построения
термодинамической температурной шкалы.
Термодинамика дает метод расчета
кривой равновесия двух фаз одного и того
же вещества. Согласно уравнению Кла-
Клапейрона — Клаузиуса, производная от
равновесного давления по температуре
dp L
dT
G6.1)
где L — теплота фазового перехода,
(Vt — Vi) —изменение объема вещества
при переходе его из первой фазы во вто-
вторую, Т — температура перехода (процесс
изотермический).
Уравнение Клапейрона — Клаузиуса
позволяет определить наклоны кривых
равновесия. Поскольку L и Т положитель-
положительны, наклон задается знаком У г— У\- При
испарении жидкостей и сублимации твер-
твердых тел объем вещества всегда возраста-
возрастает, поэтому, согласно G6.1), dp/dT>0;
следовательно, в этих процессах повыше-
повышение температуры приводит к увеличению
давления, и наоборот. При плавлении
большинства веществ объем, как правило,
возрастает, т. е. dp/dr>0; следовательно,
увеличение давления приводит к повыше-
повышению температуры плавления (сплошная
КП на рис. 115). Для некоторых же ве-
веществ (НгО, Ge, чугун и др.) объем жид-
жидкой фазы меньше объема твердой фазы,
т. е. dp/d7"<0; следовательно, увеличение
давления сопровождается понижением
температуры плавления (штриховая ли-
линия на рис. 115).
Диаграмма состояния, строящаяся на
10
тт
Рис ПН
основе экспериментальных данных, позво-
позволяет судить, в каком состоянии находится
данное вещество при определенных р и Т,
а также какие фазовые переходы будут
происходить при том или ином процессе.
Например, при условиях, соответствую-
соответствующих точке / (рис. 116), вещество находит-
находится в твердом состоянии, точке 2 — в газо-
газообразном, а точке 3 — одновременно
в жидком и газообразном состояниях. До-
Допустим, что вещество в твердом состоянии,
соответствующем точке 4, подвергается
изобарному нагреванию, изображенному
на диаграмме состояния горизонтальной
штриховой прямой 4—5—6. Из рисунка
видно, что при температуре, соответствую-
соответствующей точке 5, вещество плавится, при более
высокой температуре, соответствующей
точке 6,— начинает превращаться в газ.
Если же вещество находится в твердом
состоянии, соответствующем точке 7, то
при изобарном нагревании (штриховая
прямая 7—8) кристалл превращается
в газ минуя жидкую фазу. Если вещество
находится в состоянии, соответствующем
точке 9, то при изотермическом сжатии
(штриховая прямая 9—10) оно пройдет
следующие три состояния: газ — жид-
жидкость — кристаллическое состояние.
На диаграмме состояний (см. рис.
115 и 116) видно, что кривая испарения
заканчивается в критической точке К- По-
Поэтому возможен непрерывный переход ве-
вещества из жидкого состояния в газообраз-
газообразное и обратно в обход критической точки,
без пересечения кривой испарения (пере-
(переход //—12 на рис. 116), т. е. такой пере-
переход, который не сопровождается фазовы-
фазовыми превращениями. Это возможно благо-
благодаря тому, что различие между газом
и жидкостью является чисто количествен-

Г .'1 a a a 10. Реальные газы, жидкости и твердые "ела 127
ным (оба эти состояния, например, явля- кривые плавления и сублимации не могут
ются изотропными). Переход же кристал- обрываться, как это имеет место для кри-
лического состояния (характеризуется вой испарения в критической точке. Кри-
анизотропией) в жидкое или газообразное вая плавления уходит в бесконечность,
может быть только скачкообразным (в ре- а кривая сублимации идет в точку, где р =
зультате фазового перехода), поэтому =0 и 7" = 0.
Контрольные вопросы
в Чем отличаются реальные газы от идеальных?
т Каков смысл поправок при выводе уравнения Ван-дер-Ваальса?
в Почему перегретая жидкость и пересыщенный пар являются метастабильными состояниями?
_ При адиабатическом расширении газа в вакуум его внутренняя энергия не меняется. Как изме-
изменится температура, если газ идеальный? реальный?
в Каковы суть и причины эффекта Джоуля — Томсона? Когда его называют положительным?
отрицательным?
т Почему у всех веществ поверхностное натяжение уменьшается с температурой?
Что представляют собой поверхностно активные вещества?
т При каком условии жидкость смачивает твердое тело? не смачивает?
в От чего зависит высота поднятия смачивающей жидкости в капилляре?
_ Чем отличаются монокристаллы от поликристаллов?
Как можно классифицировать кристаллы?
т Как получить закон Дюлонга и Пти исходя из классической теории теплоемкости?
т Некоторое количество твердого вещества смешано с тем же веществом в жидком состоянии.
Почему при некотором нагреве этой смеси ее температура не поднимается?
Чем отличается фазовый переход I рода от фазового перехода II рода?
т Что можно «вычитать» из диаграммы состояния, используемой для изображения фазовых
превращений?
Задачи
10.1. Углекислый газ массой т=1 кг находится при температуре 290 К в сосуде вместимостью
20 л. Определить давление газа, если: I) газ реальный; 2) газ идеальный. Объяснить разли-
различие в результатах. Поправки а и Ь принять равными соответственно 0,365 Н • м4/мо.пг'
и 4,3-1(Г5 м3/моль. [1) 2,44 МПа; 2) 2,76 МПа ]
10.2. Кислород, содержащий количество вещества v = 2 моль, занимает объем V{ = \ л. Опреде-
Определить изменение AT температуры кислорода, если он адиабатически расширяется в вакуум до
объема V2= 10 л. Поправку а принять равной 0,136 Н-м4/моль~'. [_п,8 К]
10.3. Показать, что эффект Джоуля — Томсона всегда отрицателен, если дросселируется газ, для
которого силами притяжения молекул можно пренебречь
10.4. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить работу А, кото-
которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от di = 2 см до d? = 6 см. Поверхностное
натяжение а мыльного раствора принять равным 40 мН/м. [0,8 \|Дж ]
10.5. Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине Л = 20 см под поверхностью
воды. Определить давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давление принять нор
мальным. Поверхностное натяжение воды ст = 73 мН/м, а ее плотность |>= 1 г/см3 [ 118 кПа |
10.6. Вертикальный открытый капилляр внутренним диаметром d = 3 мм опущен в сосуд с ртутью.
Определить радиус кривизны ртутного мениска в капилляре, если разность уровней ртути
в сосуде и в капилляре Дй = 3,7 мм. Плотность ртути (>= 13,6 г/см1, а поверхностное натяже-
натяжение а = 0,5 П/м. [2 мм]
10.7. Для нагревания металлического шарика массой 25 г от 10 до 30 °С затратили количество
теплоты, равное 117 Дж. Определить теплоемкость шарика m закона Дюлонга и Пти и мате-
материал шарика. [М«107 кг/моль; серебро |

Электричество
и электромагнетизм
Глава 11
Электростатика
§ 77. Закон сохранения
электрического заряда
Еще в глубокой древности было известно,
что янтарь, потертый о шерсть, притягива-
притягивает легкие предметы. Английский врач
Джильберт (конец XVI в.) назвал тела,
способные после натирания притягивать
легкие предметы, наэлектризованными.
Сейчас мы говорим, что тела при этом
приобретают электрические заряды. Не-
Несмотря на огромное разнообразие веществ
в природе, существует только два типа
электрических зарядов: заряды, подобные
возникающим на стекле, потертом о кожу
(их назвали положительными), и заряды,
подобные возникающим на эбоните, по-
потертом о мех (их назвали отрицательны-
отрицательными); одноименные заряды друг от друга
отталкиваются, разноименные — притяги-
притягиваются.
Опытным путем A910—1914) амери-
американский физик Р. Милликен A868—1953)
показал, что электрический заряд дискре-
дискретен, т. е. заряд любого тела составляет
целое кратное от элементарного электриче-
электрического заряда е [е= 1,6- 10~l<J Кл). Элек-
Электрон (шг = 9,11 • 10~31 кг) и протон (пгр =
= 1,67-10~27 кг) являются соответственно
носителями элементарных отрицательного
и положительного зарядов.
Все тела в природе способны электри-
электризоваться, т. е. приобретать электрический
заряд. Электризация тел может осуще-
осуществляться различными способами: сопри-
соприкосновением (трением), электростатиче-
электростатической индукцией (см. §92) и т.д. Всякий
процесс заряжения сводится к разделению
зарядов, при котором на одном из тел (или
части тела) появляется избыток положи-
положительного заряда, а на другом (или другой
части тела) — избыток отрицательного
заряда. Общее количество зарядов обоих
знаков, содержащихся в телах, не изменя-
изменяется: эти заряды только перераспределя-
перераспределяются между телами.
Из обобщения опытных данных был
установлен фундаментальный закон, при-
природы, экспериментально подтвержденный
в 1843 г. английским физиком М. Фараде-
ем A791 —1867),—закон сохранения за-
заряда: алгебраическая сумма электриче-
электрических зарядов любой замкнутой системы
(системы, не обменивающейся зарядами
с внешними телами) остается неизменной,
какие бы процессы ни происходили внутри
этой системы.
Электрический заряд — величина ре-
релятивистски инвариантная, т. е. не за-
зависит от системы отсчета, а значит, не
зависит от того, движется этот заряд или
покоится.
В зависимости от концентрации сво-
свободных зарядов тела делятся на проводни-
проводники, диэлектрики и полупроводники. Про-
Проводники — тела, в которых электрический
заряд может перемещаться по всему его
объему. Проводники делятся на две груп-
группы: 1) проводники первого рода (метал-
(металлы) — перенесение в них зарядов (свобод-
(свободных электронов) не сопровождается хими-
химическими превращениями; 2) проводники

Г .и я и а II. Электростатика
12е)
второго рода (например, расплавленные
соли, растворы кислот) — перенесение
в них зарядов (положительных и отрица-
отрицательных ионов) ведет к химическим изме-
изменениям. Диэлектрики (например, стекло,
пластмассы) — тела, в которых практиче-
практически отсутствуют свободные заряды. Полу-
Полупроводники (например, германий, крем-
кремний) занимают промежуточное положение
между проводниками и диэлектриками.
Указанное деление тел является весьма
условным, однако большое различие в них
концентраций свободных зарядов обуслов-
обусловливает огромные качественные различия
в их поведении и оправдывает поэтому
деление тел на проводники, диэлектрики
и полупроводники.
Единица электрического заряда (про-
(производная единица, так как определяется
через единицу силы тока) — кулон
(Кл) — электрический заряд, проходящий
через поперечное сечение проводника при
силе тока I А за время 1 с.
§ 78. Закон Кулона
Закон взаимодействия неподвижных то-
точечных электрических зарядов установлен
в 1785 г. Ш. Кулоном с помощью крутиль-
крутильных весов, подобных тем, которые
(см. § 22) использовались Г. Кавендишем
для определения гравитационной постоян-
постоянной (ранее этот закон был открыт Г. Ка-
Кавендишем, однако его работа оставалась
неизвестной более 100 лет). Точечным на-
называется заряд, сосредоточенный на теле,
линейные размеры которого пренебрежимо
малы по сравнению с расстоянием до дру-
других заряженных тел, с которыми он взаи-
взаимодействует. Понятие точечного заряда,
как и материальной точки, является физи-
физической абстракцией.
Закон Кулона: сила взаимодействия
F между двумя неподвижными точечными
зарядами, находящимися в вакууме, про-
пропорциональна зарядам Q\ и Q2 и обратно
пропорциональна квадрату расстояния
V между ними:
„ L IQ.Q2I
-ф-
Риг.. I I 7
где k — коэффициент пропорционально-
пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.
Сила F направлена по прямой, соеди-
соединяющей взаимодействующие заряды,
т. е. является центральной, и соответству-
соответствует притяжению (f<0) в случае разно-
разноименных зарядов и отталкиванию (F>0)
в случае одноименных зарядов. Эта сила
называется кулоновской силой.
В векторной форме закон Кулона име-
имеет вид
12 = '
QlQ2
.2
11
Г
G8.1)
где Fi2 — сила, действующая на заряд Q\
со стороны заряда Q2, п2 — радиус-век-
радиус-вектор, соединяющий заряд Q2 с зарядом Q\,
г= \r\i\ (рис. I 17). На заряд Q2 со сторо-
стороны заряда Q\ действует сила F2! = — F|2,
т. е. взаимодействие электрических точеч-
точечных зарядов удовлетворяет третьему за-
закону Ньютона.
В СИ коэффициент пропорционально-
пропорциональности равен
*=1/Dяе0).
Тогда закон Кулона запишется в оконча-
окончательном виде:
1 QiQ2
F=T ~ Т ¦ G8-2)
4я е0 г2
Величина во называется электрической
постоянной; она относится к числу фунда-
фундаментальных физических постоянных
и равна
ео = 8,85-1О"'2Кл2/(Н-м2),
е() = 8,85- 10~'2Ф/м,
G8.3)
где фарад (Ф) — единица электрической
емкости (см. §93). Тогда
1/Dяео)==9-1О9м/Ф.
5 Т. И. Трофимова

130
3. Электрнчестио и
§ 79. Электростатическое поле.
Напряженность
электростатического поля
Если в пространство, окружающее элек-
электрический заряд, внести другой заряд, то
на него будет действовать кулоновская
сила; значит, в пространстве, окружаю-
окружающем электрические заряды, существует
силовое поле. Согласно представлениям
современной физики, поле реально су-
существует и наряду с веществом является
одной из форм существования материи,
посредством которого осуществляются оп-
определенные взаимодействия между макро-
макроскопическими телами или частицами, вхо-
входящими в состав вещества. В данном слу-
случае говорят об электрическом поле —
поле, посредством которого взаимодей-
взаимодействуют электрические заряды. Мы будем
рассматривать электрические поля, кото-
которые создаются неподвижными электриче-
электрическими зарядами и называются электроста-
электростатическими.
Для обнаружения и опытного исследо-
исследования электростатического поля использу-
используется пробный точечный положительный
заряд — такой заряд, который не искажа-
искажает исследуемое поле (не вызывает пере-
перераспределения зарядов, создающих поле).
Если в поле, создаваемое зарядом Q, по-
поместить пробный заряд <3о, то на него
действует сила F, различная в разных
точках поля, которая, согласно закону Ку-
Кулона G8.2), пропорциональна пробному
заряду Qq. Поэтому отношение F/Qo не
зависит от Qq и характеризует электриче-
электрическое поле в той точке, где пробный заряд
находится. Эта величина называется на-
напряженностью и является силовой харак-
характеристикой электростатического поля.
Напряженность электростатического
поля в данной точке есть физическая вели-
величина, определяемая силой, действующей
на единичный положительный заряд, по-
помещенный в эту точку поля:
= F/Q0.
G9.1)
0 Е
в вакууме
F
или в скалярной
Е =
А
Рис. ПК
1
4яе0
форме
1
4я Ел
Q
г2
Q
г2
Г
г'
G9.2)
Направление вектора Е совпадает с на-
направлением силы, действующей на поло-
положительный заряд. Если поле создается
положительным зарядом, то вектор Е на-
направлен вдоль радиуса-вектора от заряда
во внешнее пространство (отталкивание
пробного положительного заряда); если
поле создается отрицательным зарядом,
то вектор Е направлен к заряду (рис. 118).
Из формулы G9.1) следует, что
единица напряженности электростати-
электростатического поля — ньютон на кулон
(Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого
поля, которое на точечный заряд 1 Кл
действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл = 1 В/м,
где В (вольт) — единица потенциала
электростатического поля (см. §84).
Графически электростатическое поле
изображают с помощью линий напряжен-
напряженности — линий, касательные к которым в
каждой точке совпадают с направлением
вектора Е (рис. 119). Линиям напряжен-
напряженности приписывается направление, со-
совпадающее с направлением вектора на-
напряженности. Так как в каждой данной
точке пространства вектор напряженности
имеет лишь одно направление, то линии
напряженности никогда не пересекаются.
Для однородного поля (когда вектор на-
напряженности в любой точке постоянен по
Как следует из формул G9.1) и G8.1),
напряженность поля точечного заряда
Рис lift

Г л л в а 11. Электростатика
Рис. 120
величине и направлению) линии напря-
напряженности параллельны вектору напряжен-
напряженности. Если поле создается точечным за-
зарядом, то линии напряженности — ради-
радиальные прямые, выходящие из заряда,
если он положителен (рис. 120, а), и вхо-
входящие в него, если заряд отрицателен
(рис. 120, б). Вследствие большой нагляд-
наглядности графический способ представления
электрического поля широко применяется
в электротехнике.
Чтобы с помощью линий напряженно-
напряженности можно было характеризовать не толь-
только направление, но и значение напряжен-
напряженности электростатического поля, услови-
условились проводить их с определенной густо-
густотой (см. рис. 119): число линий напряжен-
напряженности, пронизывающих единицу площади
поверхности, перпендикулярную линиям
напряженности, должно быть равно моду-
модулю вектора Е. Тогда число линий напря-
напряженности, пронизывающих элементарную
площадку AS, нормаль п которой образует
угол а с вектором Е, равно Е AS cos a =
= Еп AS, где Еп — проекция вектора Е на
нормаль п к площадке AS (рис. 121). Ве-
Величина
АФЕ = Еп dS=E dS
называется потоком вектора напряженно-
напряженности через площадку dS. Здесь dS =
= dSn — вектор, модуль которого равен
AS, а направление совпадает с направ-
направлением нормали п к площадке. Выбор
направления вектора п (а следовательно,
и dS) условен, так как его можно на-
направить в любую сторону.
Единица потока вектора напряженно-
напряженности электростатического поля— 1 В-м.
Для произвольной замкнутой повер-
поверхности S поток вектора Е через эту по-
поверхность
ф =§ E dS, G9.3)
Рис. 121
где интеграл берется по замкнутой по-
поверхности 5. Поток вектора Е является
алгебраической величиной: зависит не
только от конфигурации поля Е, но и от
выбора направления п. Для замкнутых
поверхностей за положительное направле-
направление нормали принимается внешняя нор-
нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу
области, охватываемой поверхностью.
В истории развития физики имела
место борьба двух теорий: дальнодействия
и близкодействия. Е5 теории дальнодейст-
дальнодействия принимается, что электрические явле-
явления определяются мгновенным взаимодей-
взаимодействием зарядов на любых расстояниях.
Согласно теории близкодействия, все
электрические явления определяются из-
изменениями полей зарядов, причем эти из-
изменения распространяются в пространстве
от точки к точке с конечной скоростью.
Применительно к электростатическим по-
полям обе теории дают одинаковые резуль-
результаты, хорошо согласующиеся с опытом.
Переход же к явлениям, обусловленным
движением электрических зарядов, приво-
приводит к несостоятельности теории дально-
дальнодействия, поэтому современной теорией
взаимодействия заряженных частиц явля-
является теория близкодействия.
§ 80. Принцип суперпозиции
электростатических полей.
Поле диполя
Рассмотрим метод определения значения
и направления вектора напряженности
Е в каждой точке электростатического
поля, создаваемого системой неподвиж-
неподвижных зарядов Qi, Q2, ..., Qn-

.1 И./Н'ктричестио и ¦уюктпомапитш.м
Опыт показывает, что к кулоновским
силам применим рассмотренный в механи-
механике принцип независимости действия сил
(см. §6), т.е. результирующая сила F,
действующая со стороны поля на пробный
заряд Qa, равна векторной сумме сил F;,
приложенных к нему со стороны каждого
из зарядов Qr.
F =
(80.1)
Рис. 122
IQI на плечо 1, называется электрическим
моментом диполя р или дипольным мо-
моментом (рис. 122).
Согласно принципу суперпозиции
(80.2), напряженность Е поля диполя
в произвольной точке
Согласно G9.1), F = QoE и F,= QoE;, где
Е— напряженность результирующего по-
поля, а Е; — напряженность поля, создавае-
создаваемого зарядом Qi. Подставляя последние
выражения в (80.1), получим
E =
(80.2)
Формула (80.2) выражает принцип су-
суперпозиции (наложения) электростатиче-
электростатических полей, согласно которому напряжен-
напряженность Е результирующего поля, создавае-
создаваемого системой зарядов, равна геометриче-
геометрической сумме напряженностей полей, со-
создаваемых в данной точке каждым из
зарядов н отдельности.
Принцип суперпозиции позволяет рас-
рассчитать электростатические поля любой
системы неподвижных зарядов, поскольку
если заряды не точечные, то их можно
всегда свести к совокупности точечных
зарядов.
Принцип суперпозиции применим для
расчета электростатического поля элек-
электрического диполя. Электрический ди-
диполь—система двух равных по модулю
разноименных точечных зарядов (+ Q,
— Q), расстояние / между которыми зна-
значительно меньше расстояния до рассмат-
рассматриваемых точек поля. Вектор, направлен-
направленный по оси диполя (прямой, проходящей
через оба заряда) от отрицательного за-
заряда к положительному и равный расстоя-
расстоянию между ними, называется плечом дипо-
диполя I. Вектор
P=IQ|1, (80.3)
совпадающий по направлению с плечом
диполя и равный произведению заряда
где Е+ и Е_ — напряженности полей, со-
создаваемых соответственно положительным
и отрицательным зарядами. Воспользо-
Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем на-
напряженность поля на продолжении оси
диполя и на перпендикуляре к середине
его оси.
1. Напряженность поля на продолже-
продолжении оси диполя в точке А (рис. 123). Как
видно из рисунка, напряженность поля
диполя в точке А направлена по оси дипо-
диполя и по модулю равна
Обозначив расстояние от точки А до
середины оси диполя через г, на основании
формулы G9.2) для вакуума можно за-
записать
A 4яе0
Q
Q
Q
¦-1/2J (r + l/2J
{r + l/2f-(r-l/2f
4яе0 (r~t/2J(r
Согласно определению диполя,
этому
1 2Q I 1 2р
Ел=-
4л
4л е„
2. Напряженность поля на перпенди-
перпендикуляре, восставленном к оси из его середи-
середины, в точке В (рис. 123). Точка В равноу-
равноудалена от зарядов, поэтому
4л б,,
0
~-А г. <80-4)
4лео {г'J
где г'— расстояние от точки В до середи-
середины плеча диполя. Из подобия равнобед-

Г л ana ! I. Электростатика
Ш
Рис. 123
ренных треугольников, опирающихся на
плечо диполя и вектор Ей, получим
д/(г')
откуда
(80.5)
Подставив в выражение (80.5) значение
(80.4), получим
Е =__L__QJ_ = 1 Р_
В 4л ео {r'f 4л е0 (r'f '
Вектор Ев имеет направление, противопо-
противоположное электрическому моменту диполя
(вектор р направлен от отрицательного
заряда к положительному).
§81. Теорема Гаусса
для электростатического поля
в вакууме
Вычисление напряженности поля системы
электрических зарядов с помощью при-
принципа суперпозиции электростатических
полей можно значительно упростить, ис-
используя выведенную немецким ученым
К.Гауссом A777—1855) теорему, опреде-
определяющую поток вектора напряженности
электрического поля через произвольную
замкнутую поверхность.
В соответствии с формулой G9.3) мо-
моток вектора напряженности сквозь сфери-
сферическую поверхность радиуса г, охватываю-
Рис. 124
щую точечный заряд Q, находящийся в ее
центре (рис. 124),
4я t:ar2 e«
Этот результат справедлив для замкнутой
поверхности любой формы. Действитель-
Действительно, если окружить сферу (рис. 124) про-
произвольной замкнутой поверхностью, то
каждая линия напряженности, пронизыва-
пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту по-
поверхность.
Если замкнутая поверхность произ-
произвольной формы охватывает заряд
(рис. 125), то при пересечении любой вы-
выбранной линии напряженности с поверхно-
поверхностью она то входит п нее, то выходит из
нее. Нечетное число пересечений при вы-
вычислении потока в конечном счете сводит-
сводится к одному пересечению, так как поток
считается положительным, если линии на-
напряженности выходят из поверхности,
и отрицательным для линий, входящих
14.

134
Л. Элс'ктричестно и 'Алсктромагпотипм
в поверхность. Если замкнутая поверх-
поверхность не охватывает заряда, то поток
сквозь нее равен нулю, так как число
линий напряженности, входящих в повер-
поверхность, равно числу линий напряженности,
выходящих из нее.
Таким образом, для поверхности лю-
любой формы, если она замкнута и заключа-
заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора
Е будет равен Q/eo, т. е.
= Q/e0. (81.1)
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим общий случай произволь-
произвольной поверхности, окружающей п зарядов.
В соответствии с принципом суперпозиции
(80.2) напряженность Е поля, создаваемо-
создаваемого всеми зарядами, равна сумме напря-
женностей Е*, создаваемых каждым за-
зарядом в отдельности: Е=У Е,- Поэтому
ф?=
E.dS.
Согласно (81.1), каждый из интегралов,
стоящий под знаком суммы, равен Qj/eo-
Следовательно,
Е dS =
(81.2)
Формула (81.2) выражает теорему Га-
Гаусса для электростатического поля в ваку-
вакууме: поток вектора напряженности элек-
электростатического поля в вакууме сквозь
произвольную замкнутую поверхность ра-
равен алгебраической сумме заключенных
внутри этой поверхности зарядов, делен-
деленной на ео. Эта теорема выведена матема-
математически для векторного поля любой при-
природы русским математиком М. В. Остро-
Остроградским A801 —1862), а затем неза-
независимо от него применительно к электро-
электростатическому полю — К. Гауссом.
В общем случае электрические заряды
могут быть «размазаны» с некоторой
объемной плотностью р =
i,
различной
мкнутой поверхности S, охватывающей не-
некоторый объем V,
? Q. = ^ pdl/. (81.3)
i V
Используя формулу (81.3), теорему Гаус-
Гаусса (81.2) можно записать так:
ф Е dS = ф EndS=— [ р dV.
§ 82. Применение теоремы Гаусса
к расчету некоторых
электростатических полей
в вакууме
1. Поле равномерно заряженной бесконечной
плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 126)
заряжена с постоянной поверхностной плотно-
плотностью + с (а = — заряд, приходящийся на
aS
единицу поверхности). Линии напряженности
перпендикулярны рассматриваемой плоскости
и направлены от нее в обе стороны. В качестве
замкнутой поверхности мысленно построим ци-
цилиндр, основания которого параллельны заря-
заряженной плоскости, а ось перпендикулярна
ей. Так как образующие цилиндра параллельны
линиям напряженности (cosa = 0), то поток
вектора напряженности сквозь боковую повер-
поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток
сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его
основания (площади оснований равны и для
основания ?„ совпадает с Е), т.е. равен 2ES.
Заряд, заключенный внутри построенной цилин-
цилиндрической поверхности, равен aS. Согласно
теореме Гаусса (81.2), 2?S = aS/eo, откуда
? = а/Bе0). (82.1)
Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит
от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на
любых расстояниях одинакова по модулю, ины-
в разных местах пространства. Тогда сум-
суммарный заряд, заключенный внутри за-
Рис. 126

Г л ana II. 'Электростатика
135
i:'=0
¦*
t=c
Рис. 127
ми словами, поле равномерно заряженной
плоскости однородно.
2. Поле двух бесконечных параллельных
разноименно заряженных плоскостей (рис. 127).
Пусть плоскости заряжены равномерно разнои-
разноименными зарядами с поверхностными плотно-
плотностями -\-а и —а. Поле таких плоскостей найдем
как суперпозицию нолей, создаваемых каждой
из плоскостей в отдельности. На рисунке верх-
верхние стрелки соответствуют полю от положитель-
положительно заряженной плоскости, нижние — от отрица-
отрицательной плоскости. Слева и справа от плоско-
плоскостей поля вычитаются (линии напряженности
направлены навстречу друг другу), поэтому
здесь напряженность поля ? = 0. В области
между плоскостями ? = ?++?_ (?+ и Е-
определяются по формуле (82.1)), поэтому ре-
результирующая напряженность
? = <т/е0. (82.2)
Таким образом, результирующая напряжен-
напряженность поля в области между плоскостями описы-
описывается формулой (82.2), а вне объема, ограни-
ограниченного плоскостями, равна нулю.
3. Поле равномерно заряженной сфериче-
сферической поверхности. Сферическая поверхность ра-
радиуса R с общим зарядом Q заряжена равно-
равномерно с поверхностной плотностью +п. Благо-
Благодаря равномерному распределению заряда по
поверхности поле, создаваемое им, обладает
сферической симметрией. Поэтому линии напря-
напряженности направлены радиально (рис. 128).
Построим мысленно сферу радиуса г, имеющую
общий центр с заряженной сферой. Если r>R,
то внутрь поверхности попадает весь заряд Q,
создающий рассматриваемое поле, и, по теореме
Гаусса (81.2), 4л г2 ? = Q/n0, откуда
e=-L 9
4 А
(82.3)
При r>R поле убывает с расстоянием г по
такому же закону, как у точечного заряда. Гра-
График зависимости ? от г приведен на рис. 129.
Если r'<ZR, то замкнутая поверхность не со-
содержит внутри зарядов, поэтому внутри равно-
равномерно заряженной сферической поверхности
электростатическое поле отсутствует (? = 0).
?¦
Рис. 129
4. Поле объемно заряженного шара. Шар
радиуса R с общим зарядом Q заряжен равно-
dQ
мерно с объемной плотностью р (р = за-
dv
ряд, приходящийся на единицу объема). Учиты-
Учитывая соображения симметрии (см. п. 3), можно
показать, что для напряженности поля вне ша-
шара получится тот же результат, что и в предыду-
предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара на-
напряженность поля будет другая. Сфера радиуса
/¦'</? охватывает заряд Q' = */:tn r'3 р. Поэтому,
согласно теореме Гаусса (81.2), 4л г'2 ? =
= Q'Au = 7злг'3|>/сГ|. Учитывая,
= <3/СУэл#:'), получим
Q
R3 ^
что (> =
?=-
4л е„
(82.4)
Рис.
Таким образом, напряженность поля вне равно-
равномерно заряженного шара описывается форму-
формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно
с расстоянием г' согласно выражению (82.4).
График зависимости Е от г приведен на
рис. 130.
5. Поле равномерно заряженного бесконеч-
бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр

.4. Злектричестио к лчсктромагнстнзм
Ел.
Рис. 130
§ 83. Циркуляция вектора
напряженности
электростатического поля
Если в электростатическом поле точечного
заряда Q из точки / в точку 2 вдоль про-
произвольной траектории (рис. 132) переме-
перемещается другой точечный заряд Qo, то сила,
приложенная к заряду, совершает работу.
Работа силы F на элементарном переме-
перемещении dl равна
1>ис. 131
радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно с ли-
. „ dQ
иеинои плотностью т (т = заряд, прихо-
d/
дящийся на единицу длины). Из соображений
симметрии следует, что линии напряженности
будут направлены по радиусам круговых сече-
сечений цилиндра с одинаковой густотой во все
стороны относительно оси цилиндра. В качестве
замкнутой поверхности мысленно построим ко-
коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса
г и высотой I. Поток вектора Е сквозь торцы
коаксиального цилиндра равен нулю (торцы
параллельны линиям напряженности), а сквозь
боковую поверхность —2лг1Е. По теореме
Гаусса (81.2), при r>R 2пг1Е = т t/кц, от-
откуда
? = -„—-- {r>R). (82.5)
гл е0 г
Если r<R, то замкнутая поверхность зарядов
внутри не содержит, поэтому в этой области
? = 0. Таким образом, напряженность поля вне
равномерно заряженного бесконечного цилинд-
цилиндра определяется выражением (82.5), внутри же
его поле отсутствует.
1 Q
= F al cos a =
An e0
Так как d/cosa = d/-, то
DL-cos a.
<L4=-
1
QQo
.— dr.
4л е„ г2
Работа при перемещении заряда Qo из
точки / в точку 2
1
4л е0
QQ0 \
(83.1)
Ео \ 'I ' "
не зависит от траектории перемещения,
а определяется только положениями на-
начальной / и конечной 2 точек.
Следовательно, электростатическое поле
точечного заряда является потенциаль-
потенциальным, а электростатические силы — консер-
консервативными (см. §12).

I л a n u II. Эжктростатпка
37
Из формулы (83.1) следует, что рабо-
работа, совершаемая при перемещении элек-
электрического заряда во внешнем электроста-
электростатическом поле по любому замкнутому пути
L, равна нулю, т. е.
cL4=O.
(83.2)
Если в качестве заряда, переносимого
в электростатическом поле, взять единич-
единичный точечный положительный заряд, то
элементарная работа сил поля на пути dl
равна Е dl = ?/ d/, где ?/ = ? cos a — про-
проекция вектора Е на направление элемен-
элементарного перемещения. Тогда формулу
(83.2) можно записать в виде
Её1=
ф ?,d/ = 0.
(83.3)
Интеграл ф Е dl = (Y) Etdt называется цир-
циркуляцией вектора напряженности. Следо-
Следовательно, циркуляция вектора напряжен-
напряженности электростатического поля вдоль лю-
любого замкнутого контура равна нулю.
Силовое поле, обладающее свойством
(83.3), называется потенциальным. Из об-
обращения в нуль циркуляции вектора
Е следует, что линии напряженности элек-
электростатического поля не могут быть за-
замкнутыми, они начинаются и кончаются
на зарядах (соответственно на положи-
положительных или отрицательных) или же ухо-
уходят в бесконечность.
Фор> (83.3) справедлива только
для элект^ „статического поля. В дальней-
дальнейшем будет показано, что для поля движу-
движущихся зарядов условие (83.3) не выпол-
выполняется (для него циркуляция вектора на-
напряженности отлична от нуля).
§84. Потенциал
электростатического поля
Тело, находящееся в потенциальном поле
сил (а электростатическое поле является
потенциальным), обладает потенциальной
энергией, за счет которой силами поля
совершается работа (см. §12). Как из-
известно (см. A2.2)), работа консерватив-
консервативных сил совершается за счет убыли по-
потенциальной энергии. Поэтому работу
(83.1) сил электростатического поля мож-
можно представить как разность потенциаль-
потенциальных энергий, которыми обладает точечный
заряд Qo в начальной и конечной точках
поля заряда Q:
1 QQo 1 QQo
4яе0 г, 4ле0 г2
(84.1)
откуда следует, что потенциальная энер-
энергия заряда Qo в поле заряда Q равна
4ле0 г
Она, как и в механике, определяется не
однозначно, а с точностью до произволь-
произвольной постоянной С. Если считать, что при
удалении заряда в бесконечность (г-»-оо)
потенциальная энергия обращается в нуль
(U = 0), то С = 0 и потенциальная энергия
заряда Qo, находящегося в поле заряда
Q на расстоянии г от него, равна
4ле0
(84.2)
Для одноименных зарядов QoQ>O и по-
потенциальная энергия их взаимодействия
(отталкивания) положительна, для разно-
разноименных зарядов QoQ<O и потенциаль-
потенциальная энергия их взаимодействия (притяже-
(притяжения) отрицательна
Если поле создается системой п точеч-
точечных зарядов Qi, Q2, ..., Qn, то работа
электростатических сил, совершаемая над
зарядом Qo, равна алгебраической сумме
работ сил, обусловленных каждым из за-
зарядов в отдельности. Поэтому потенциаль-
потенциальная энергия U заряда Qo, находящегося
в этом поле, равна сумме его потенциаль-
потенциальных энергий Ui, создаваемых каждым из
зарядов в отдельности:
U=Y U, = Q0Y -±!—. (84.3)
Из формул (84.2) и (84.3) вытекает,
что отношение U/Qa не зависит от Qo
и является поэтому энергетической харак-
характеристикой электростатического поля, на-
называемой потенциалом:
Ф-L'/Qo- (84.4)

3. Электр имеет но и чликтрочлгпстп im
(84.5)
Потенциал <р в какой-либо точке элек-
электростатического поля есть физическая ве-
величина, определяемая потенциальной
энергией единичного положительного за-
заряда, помещенного в эту точку.
Из формул (84.4) и (84.2) следует, что
потенциал поля, создаваемого точечным
зарядом Q, равен
=_!_.<?.
4яе0 г
Работа, совершаемая силами элек-
электростатического поля при перемещении
заряда Qo из точки / в точку
2 (см. (84.1), (84.4), (84.5)), может быть
представлена как
т. е. равна произведению перемещаемого
заряда на разность потенциалов в началь-
начальной и конечной точках. Разность потенци-
потенциалов двух точек / и 2 в электростатиче
ском поле определяется работой, соверша-
совершаемой силами поля, при перемещении
единичного положительного заряда из
точки / в точку 2.
Работа сил поля при перемещении за-
заряда Qo из точки / в точку 2 может быть
записана также в виде
2
Q0E dl. (84.7)
Приравняв (84.6) и (84.7), придем к вы-
выражению для разности потенциалов:
2 2
Ф,—Ф2 = ( Ed! = t ?, d/, (84.8)
i i
где интегрирование можно производить
вдоль любой линии, соединяющей началь-
начальную и конечную точки, так как работа сил
электростатического поля не зависит от
траектории перемещения.
Если перемещать заряд Qo из произ-
произвольной точки за пределы поля, т. е. в бес-
бесконечность, где по условию потенциал ра-
равен нулю, то работа сил электростатиче-
электростатического поля, согласно (84.6),
Таким образом, потенциал — физическая
величина, определяемая работой по пере-
перемещению единичного положительного за-
заряда при удалении его из данной точки
в бесконечность. Эта работа численно рав-
равна работе, совершаемой внешними силами
(против сил электростатического поля) по
перемещению единичного положительного
заряда из бесконечности в данную точку
поля.
Из выражения (84.4) следует, что еди-
единица потенциала — вольт (В): 1 В есть
потенциал такой точки поля, в которой
заряд в 1 Кл обладает потенциальной
энергией 1 Дж A В = 1 Дж/Кл). Учиты-
Учитывая размерность вольта, можно показать,
что введенная в § 79 единица напряжен-
напряженности электростатического поля дейст-
действительно равна 1 В/м: 1Н/Кл==
= 1Н-м/(Кл-м)=1Дж/(Кл.м) =
= 1 В/м.
Из формул (84.3) и (84.4) вытекает,
что если поле создается несколькими за-
зарядами, то потенциал поля системы за-
зарядов равен алгебраической сумме потен-
потенциалов полей всех этих зарядов:
Ф =
1
§ 85. Напряженность
как градиент потенциала.
Эквипотенциальные поверхности
Найдем взаимосвязь между напряженно-
напряженностью электростатического поля, являю-
являющейся его силовой характеристикой, и по-
потенциалом — энергетической характери-
характеристикой поля.
Работа по перемещению единичного
точечного положительного заряда из одной
точки в другую вдоль оси х при условии,
что точки расположены бесконечно близко
друг к другу и Х2 — X\=dx, равна Exdx. Та
же работа равна (pi—фг=—dq>. Прирав-
Приравняв оба выражения, можем записать
F -- Ё9-
<~~ ~дх'
(85.1)
откуда
(84.9)
где символ частной производной подчерки-
подчеркивает, что дифференцирование производит-

Г л а в а 11. Электростатика
139
ся только по х. Повторив аналогичные
рассуждения для осей у и г, можем найти
вектор Е:
где 1, j, к — единичные векторы коорди-
координатных осей х, у, г.
Из определения градиента A2.4)
и A2.6) следует, что
Е=— grad ф, или Е= — Vtp, (85.2)
т. е. напряженность Е поля равна гради-
градиенту потенциала со знаком минус. Знак
минус определяется тем, что вектор на-
напряженности Е поля направлен в сторону
убывания потенциала.
Для графического изображения рас-
распределения потенциала электростатиче-
электростатического поля, как и в случае поля тяготения
(см. §25), пользуются эквипотенциальны-
эквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во
всех точках которых потенциал ф имеет
одно и то же значение.
Если поле создается точечным заря-
зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),
1 R
г
Таким образом, экви-
г 4ле0
потенциальные поверхности в данном
случае — концентрические сферы. С дру-
другой стороны, линии напряженности в слу-
случае точечного заряда — радиальные пря-
прямые. Следовательно, линии напряженно-
напряженности в случае точечного заряда перпенди-
перпендикулярны эквипотенциальным поверхно-
поверхностям.
Линии напряженности всегда нормаль-
нормальны к эквипотенциальным поверхностям.
Действительно, все точки эквипотенциаль-
эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый по-
потенциал, поэтому работа по перемещению
заряда вдоль этой поверхности равна ну-
нулю, т. е. электростатические силы, дей-
действующие на заряд, всегда направлены по
нормалям к эквипотенциальным поверхно-
поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нор-
нормален к эквипотенциальным поверхно-
поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортого-
ортогональны этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей во-
вокруг каждого заряда и каждой системы
Рис. Ш
зарядов можно провести бесчисленное
множество. Однако их обычно проводят
так, чтобы разности потенциалов между
любыми двумя соседними эквипотенциаль-
эквипотенциальными поверхностями были одинаковы.
Тогда густота эквипотенциальных повер-
поверхностей наглядно характеризует напря-
напряженность поля в разных точках. Там, где
эти поверхности расположены гуще, на-
напряженность поля больше.
Итак, зная расположение линий на-
напряженности электростатического поля,
можно построить эквипотенциальные по-
поверхности и, наоборот, по известному рас-
расположению эквипотенциальных поверхно-
поверхностей можно определить в каждой точке
поля величину и направление напряжен-
напряженности поля. На рис. 133 для примера по-
показан вид линий напряженности (штрихо-
(штриховые линии) и эквипотенциальных повер-
поверхностей (сплошные линии) полей положи-
положительного точечного заряда (а) и за-
заряженного металлического цилиндра, име-
имеющего на одном конце выступ, а на
другом — впадину (б).
§ 86. Вычисление разности
потенциален
по напряженности поля
Установленная в § 85 связь между напря-
напряженностью поля и потенциалом позволяет
по известной напряженности поля найти
разность потенциалов между двумя про-
произвольными точками этого поля.
1. Поле равномерно заряженной бесконеч-
бесконечной плоскости определяется формулой (82.1):
? = а/Bео), где а— поверхностная плотность
заряда. Разность потенциалов между точками,
лежащими на расстояниях Х\ и х2 от плоскости

140
и члектримлгпети i
(используем формулу (85.1)), равна
2 2
-ф2= f E dx= [ -?- dx = -?-(x2-xl).
ф|
2. Поле двух бесконечных параллельных
разноименно заряженных плоскостей определя-
определяется формулой (82.2): Е = ст/е<|, где а— повер-
поверхностная плотность заряда. Разность потенциа-
потенциалов между плоскостями, расстояние между ко-
которыми равной (см. формулу (85.1)), равна
d л
с1х=Д — d* = — d. (86.1)
i e E
3. Поле равномерно заряженной сфериче-
сферической поверхности радиуса R с общим зарядом
Q вне сферы (r>R) вычисляется по (82.3):
—. Разность потенциалов между дву-
? = -
ле0 ^ г, r2 J
4ле0 .
мя точками, лежащими на расстояниях г, и г? от
центра сферы (n>/?, r2>/?), равна
(86.2)
Если принять Г\ =/¦ и гг= оо, то потенциал поля
вне сферической поверхности, согласно формуле
(86.2), задается выражением
Ф=—L_iL
4яр.(| г
(ср. с формулой (84.5)). Внутри сферической
поверхности потенциал всюду одинаков и равен
Q
График зависимости
рис. 134.
от г приведен на
4. Поле объемно заряженного шара ра-
радиуса R с общим зарядом Q вне шара (r>R)
вычисляется по формуле (82.3), поэтому раз-
разность потенциалов между двумя точками, лежа-
лежащими на расстояниях п и Гч от центра шара
(г|>А|, ri>R), определяется формулой (86.2).
В любой точке, лежащей внутри шара на рас-
расстоянии г' от его центра (r'<R), напряжен-
напряженность определяется выражением (82.4): ? =
= г' Следовательно, разность ио-
4ле0 #з
тенциалов между двумя точками, лежащими на
расстояниях г\ и г'ч от центра шара (r\ <R, г'2<_
<R), равна
5. Поле равномерно заряженного бесконеч-
бесконечного цилиндра радиуса R, заряженного с линей-
линейной плотностью т, вне цилиндра (г>/?) опреде-
определяется формулой (82.5): Е =
2яе
. Следова-
0
телыю, разность потенциалов между двумя
точками, лежащими на расстояниях г\ и Гч от оси
заряженного цилиндра (Л|>/?, r2>R), равна
_г т с аг
2 3 2ле.„ J r
Т , '2
= In —.
2яе() г,
(86.3)
Рис. 1,44
§ 87. Типы диэлектриков.
Поляризация диэлектриков
Диэлектрик (как и всякое вещество) со-
состоит из атомов и молекул. Так как поло-
положительный заряд всех ядер молекулы ра-
равен суммарному заряду электронов, то
молекула в целом электрически нейтраль-
нейтральна. Если заменить положительные заряды
ядер молекул суммарным зарядом +Q,
находящемся в центре «тяжести» положи-
положительных зарядов, а заряд всех электро-
электронов — суммарным отрицательным заря-
зарядом — Q, находящемся в центре «тя-
«тяжести» отрицательных зарядов, то моле-
молекулу можно рассматривать как электриче-
электрический диполь с электрическим моментом,
определенным формулой (80.3).
Первую группу, диэлектриков (N2, Нг,
О2, СОг, СН4, ..) составляют вещества,

Г л а и а II.
1-И
молекулы которых имеют симметричное
строение, т. е. центры «тяжести» положи-
положительных и отрицательных зарядов в отсут-
отсутствие внешнего электрического поля со-
совпадают и, следовательно, дипольный мо-
момент молекулы р равен нулю. Молекулы
таких диэлектриков называются неполяр-
неполярными. Под действием внешнего электриче-
электрического поля заряды неиолярных молекул
смещаются в противоположные стороны
(положительные по полю, отрицательные
против поля) и молекула приобретает ди-
дипольный момент.
Вторую группу диэлектриков (Н2О,
!ЧНэ, SO2, CO, ...) составляют вещества,
молекулы которых имеют асимметричное
строение, т. е. центры «тяжести» положи-
положительных и отрицательных зарядов не со-
совпадают. Таким образом, эти молекулы
в отсутствие внешнего электрического по-
поля обладают дипольным моментом. Моле-
Молекулы таких диэлектриков называются по-
ляриымн. При отсутствии внешнего поля,
однако, дипольные моменты полярных мо-
молекул вследствие теплового движения ори-
ориентированы в пространстве хаотично и их
результирующий момент равен нулю. Если
такой диэлектрик поместить во внешнее
поле, то силы этого поля будут стремиться
повернуть диполи вдоль поля и возникает
отличный от нуля результирующий момент.
Третью группу диэлектриков (NaCl,
К.С1, КВг,...) составляют вещества, моле-
молекулы которых имеют ионное строение.
Ионные кристаллы представляют собой
пространственные решетки с правильным
чередованием ионов разных знаков. В этих
кристаллах нельзя выделить отдельные
молекулы, а рассматривать их можно как
систему двух вдвинутых одна в другую
ионных иодрешеток. При наложении на
ионный кристалл электрического поля про-
происходит некоторая деформация кристал-
кристаллической решетки или относительное сме-
смещение подрешеток, приводящее к возник-
возникновению дипольных моментов.
Таким образом, внесение всех трех
групп диэлектриков во внешнее электриче-
электрическое поле приводит к возникновению от-
отличного от нуля результирующего элек-
электрического момента диэлектрика, или,
иными словами, к поляризации диэлектри-
диэлектрика. Поляризацией диэлектрика называет-
называется процесс ориентации диполей или по-
появления под воздействием электрического
поля ориентированных по полю диполей.
Соответственно трем группам диэлек-
диэлектриков различают три вида поляризации:
электронная, или деформационная, по-
поляризация диэлектрика с неполярными
молекулами, заключающаяся в возникно-
возникновении у атомов индуцированного диполь-
ного момента за счет деформации элек-
электронных орбит;
ориентационная, или димольная, поля-
поляризация диэлектрика с полярными молеку-
молекулами, заключающаяся в ориентации име-
имеющихся дипольных моментов молекул по
полю. Естественно, что тепловое движение
препятствует полной ориентации молекул,
но в результате совместного действия обо-
обоих факторов (электрическое поле и тепло-
тепловое движение) возникает преимуществен-
преимущественная ориентация дипольных моментов мо-
молекул по полю. Эта ориентация тем
сильнее, чем больше напряженность элек-
электрического поля и ниже температура;
ионная поляризация диэлектриков
с ионными кристаллическими решетками,
заключающаяся в смещении подрешетки
положительных ионов вдоль поля, а отри-
отрицательных — против поля, приводящем
к возникновению дипольных моментов.
§ 88. Поляризовинность.
Напряженность поля
в диэлектрике
При помещении диэлектрика во внешнее
электростатическое поле он поляризуется,
т. е. приобретает отличный от нуля ди-
дипольный момент pv=} р;, где р* — ди-
дипольный момент одной молекулы. Для ко-
количественного описания поляризации ди-
диэлектрика пользуются векторной величи-
величиной — поляризоваииостью, определяемой
как дипольный момент единицы объема ди-
диэлектрика:
(88.1)
Из опыта следует, что для большого
класса диэлектриков (за исключением сег-

14:2
Электричество и
нетоэлектриков, см. §91) поляризован-
ность Р линейно зависит от напряженно-
напряженности поля Е. Если диэлектрик изотропный
и Е не слишком велико, то
Р = хе0Е, (88.2)
где х —диэлектрическая восприимчивость
вещества, характеризующая свойства ди-
диэлектрика; х — величина безразмерная;
притом всегда х>0 и для большинства
диэлектриков (твердых и жидких) состав-
составляет несколько единиц (хотя, например,
для спирта хж25, для воды х = 80).
Для установления количественных за-
закономерностей поля в диэлектрике внесем
в однородное внешнее электростатическое
попе Ео (создается двумя бесконечными
параллельными разноименно заряженны-
заряженными плоскостями) пластинку из однородно-
однородного диэлектрика, расположив ее так, как
показано на рис. 135. Под действием поля
диэлектрик поляризуется, т. е. происходит
смещение зарядов: положительные сме-
смещаются по полю, отрицательные — против
поля. В результате этого на правой грани
диэлектрика, обращенного к отрицатель-
отрицательной плоскости, будет избыток положитель-
положительного заряда с поверхностной плотностью
+ ст', на левой — отрицательного заряда
с поверхностной плотностью —а'. Эти не-
скомпенсированные заряды, появляющие-
появляющиеся в результате поляризации диэлектрика,
называются связанными. Так как их по-
поверхностная плотность а' меньше плотно-
плотности а свободных зарядов плоскостей, то не
-б'
+ 6' -6
*¦-
все поле Е компенсируется полем зарядов
диэлектрика: часть линий напряжен-
напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая
же часть—обрывается на связанных за-
зарядах. Следовательно, поляризация ди-
диэлектрика вызывает уменьшение в нем
поля по сравнению с первоначальным
внешним полем. Вне диэлектрика Е=Е0.
Таким образом, появление связанных
зарядов приводит к возникновению допол-
дополнительного электрического поля Е' (поля,
создаваемого связанными зарядами), ко-
которое направлено против внешнего поля
Ео (поля, создаваемого свободными за-
зарядами) и ослабляет его. Результирующее
поле внутри диэлектрика
Е = Е0-Е'.
Поле Е' = а'/га (поле, созданное двумя
бесконечными заряженными плоскостями;
см. формулу (82.2)), поэтому
? = ?0 —ст'До- (88.3)
Определим поверхностную плотность
связанных зарядов а'. По (88.1), полный
дипольный момент пластинки диэлектрика
Pi/= PV^PSd, где S — площадь грани
пластинки, d — ее толщина. С другой сто-
стороны, полный дипольный момент, согласно
(80.3), равен произведению связанного
заряда каждой грани Q' — a'S на расстоя-
расстояние d между ними, т. е. pv — a'Sd. Таким
образом,
или
а' = Р,
(88.4)
т. е. поверхностная плотность связан-
связанных зарядов а' равна поляризованное -
ти Р.
Подставив в (88.3) выражения (88.4)
и (88.2), получим
откуда напряженность результирующего
поля внутри диэлектрика равна
? = ?0/A+к)=Я0/е. (88.5)
Безразмерная величина
Рис. 135
(88.6)

Г л а в а II. '-(лектрпстатпка
143
называется диэлектрической проницаемо-
проницаемостью среды. Сравнивая (88.5) и (88.6),
видим, что е показывает, во сколько раз
поле ослабляется диэлектриком, характе-
характеризуя количественно свойство диэлект-
диэлектрика поляризоваться в электрическом
поле.
§ 89. Электрическое смещение.
Теорема Гаусса
для электростатического поля
в диэлектрике
Напряженность электростатического поля,
согласно (88.5), зависит от свойств среды:
в однородной изотропной среде напряжен-
напряженность поля Е обратно пропорциональна е.
Вектор напряженности Е, переходя через
границу диэлектриков, претерпевает скач-
скачкообразное изменение, создавая тем са-
самым неудобства при расчете электростати-
электростатических полей. Поэтому оказалось необхо-
необходимым помимо вектора напряженности
характеризовать поле еще вектором элек-
электрического смещения, который для элек-
электрически изотропной среды по определе-
определению равен
D = eaeE. (89.1)
Используя формулы (88.6) и (88.2), век-
вектор электрического смещения можно вы-
выразить как
D = e0E^-P. (89.2)
Единица электрического смещения —
кулон на метр в квадрате (Кл/м2).
Рассмотрим, с чем можно связать век-
вектор электрического смещения. Связанные
заряды появляются в диэлектрике при на-
наличии внешнего электростатического поля,
создаваемого системой свободных элек-
электрических зарядов, т. е. в диэлектрике на
электростатическое поле свободных заря-
зарядов накладывается дополнительное поле
связанных зарядов. Результирующее поле
в диэлектрике описывается вектором на-
напряженности Е, и потому он зависит от
свойств диэлектрика. Вектором D описыва-
описывается электростатическое поле, создаваемое
свободными зарядами. Связанные заряды,
возникающие в диэлектрике, могут вы-
вызвать, однако, перераспределение свобод-
свободных зарядов, создающих поле. Поэтому век-
вектор D характеризует электростатическое
поле, создаваемое свободными зарядами
(т. е. в вакууме), но при таком их распре-
распределении в пространстве, какое имеется при
наличии диэлектрика.
Аналогично, как и поле Е, поле D изо-
изображается с помощью линий электриче-
электрического смещения, направление и густота
которых определяются точно так же, как
и для линий напряженности (см. § 79).
Линии вектора Е могут начинаться
и заканчиваться на любых зарядах —
свободных и связанных, в то время как
линии вектора D — только на свободных
зарядах. Через области поля, где находят-
находятся связанные заряды, линии вектора D про-
проходят не прерываясь.
Для произвольной замкнутой повер-
поверхности S поток вектора D сквозь эту по-
поверхность
dS = (§) DndS.
s s
Теорема Гаусса для электростатиче-
электростатического поля в диэлектрике:
D йв = ф Dn dS = ? Q,, (89.3)
т. е. поток вектора смещения электроста-
электростатического поля в диэлектрике сквозь про-
произвольную замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме заключенных внут-
внутри этой поверхности свободных электриче-
электрических зарядов. В такой форме теорема Га-
Гаусса справедлива для электростатического
поля как для однородной и изотропной,
так и для неоднородной и анизотропной
сред.
Для вакуума О„ = ео?п (е= 1), тогда
поток вектора напряженности Е сквозь
произвольную замкнутую поверхность
(ср. с (81.2)) равен
=? Q,
Так как источниками поля Е в среде
являются как свободные, так и связанные
заряды, то теорему Гаусса (81.2) для
поля Е в самом общем виде можно запи-

144
сать как
q,.cb,
где У Q, и У QUe— соответственно
ал-
гебраические суммы свободных и связан-
связанных зарядов, охватываемых замкнутой по-
поверхностью 5. Однако эта формула не-
неприемлема для описания паля Е в ди-
диэлектрике, так как она выражает свойства
неизвестного поля Е через связанные за-
заряды, которые, в свою очередь, определя-
определяются им же. Это еще раз доказывает целе-
целесообразность введения вектора электриче-
электрического смещения.
§ 90. Условия на границе раздела
двух диэлектрических сред
Рассмотрим связь между векторами
Е и D на границе раздела двух однород-
однородных изотропных диэлектриков (диэлектри-
(диэлектрические проницаемости которых ei и г^) при
отсутствии на границе свободных зарядов.
Построим вблизи границы раздела ди-
диэлектриков / и 2 небольшой замкнутый
прямоугольный контур ABCDA длины /,
ориентировав его так, как показано на
рис. 136. Согласно теореме (83.3) о цирку-
циркуляции вектора Е,
Ф
Edl = O,
откуда
ABCDA
?9т/-?|т/ =
(знаки интегралов по АВ и CD разные, так
как пути интегрирования противополож-
противоположны, а интегралы по участкам ВС и DA ни-
?2
•*¦•>» »••••! *¦¦ » -mt «< IS?
«. a- Mr щ, о-^Я* -*»—•»
*¦ м» -чк «< «•• * *• ¦«• «> • w
к-и1. 1.47
чтожно малы). Поэтому
(90.1)
Заменив, согласно (89.1), проекции
вектора Е проекциями вектора D, делен-
деленными на бое, получим
Рис. 136
На границе раздела двух диэлектриков
(рис. 137) построим прямой цилиндр ни-
ничтожной высоты, одно основание которого
находится в первом диэлектрике, дру-
другое — во втором. Основания AS настолько
малы, что в пределах каждого из них
вектор D одинаков. Согласно теореме Га-
Гаусса (89.3),
O2nAS-DleAS=0
(нормали п и п' к основаниям цилиндра
направлены противоположно). Поэтому
Din = D2n- (90.3)
Заменив, согласно (89.1), проекции
вектора D проекциями вектора Е, умно-
умноженными на еое, получим
4^=^-- (90-4)
Таким образом, при переходе через
границу раздела двух диэлектрических
сред тангенциальная составляющая
вектора Е (Ет) и нормальная составляю-
составляющая вектора D (Dn) изменяются непрерыв-
непрерывно (не претерпевают скачка), а нормаль-
нормальная составляющая вектора Е (?„) и тан-
тангенциальная составляющая вектора D (Dx)
претерпевают скачок.
Из условий (90.1) — (90.4) для со-
составляющих векторов Е и D следует, что
линии этих векторов испытывают излом
(преломляются). Найдем связь между уг-

Г л 'л и л I I. Электростатика
лами ai и n.i (на рис. 138 t2>ei).
Согласно (90.1) и (90.4), Е2Х = Е1х и е2?2л =
= ei?in. Разложим векторы Е| и Е2 у гра-
границы раздела на тангенциальные и нор-
нормальные составляющие. Из рис. 138 сле-
следует, что
tg a2 ?2т/?2„
Учитывая записанные выше условия, по-
получим закон преломления линий напря-
напряженности Е (а значит, и линий смеще-
смещения D)
tgCC, 8,
Эта формула показывает, что, входя в ди-
диэлектрик с большей диэлектрической про-
проницаемостью, линии Е и D удаляются от
нормали.
§91. Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектрики — диэлектрики, облада-
обладающие в определенном интервале темпера-
температур спонтанной (самопроизвольной) поля-
ризованностью, т. е. поляризованностью
в отсутствие внешнего электрического по-
поля. К сегнетоэлектрикам относятся, напри-
например, детально изученные советскими физи-
физиками И.В.Курчатовым A903—1960)
и П. П. Кобеко A897—1954) сегнетова
соль NaKC4H4O6-4H2O (от нее и получили
свое название сегнетоэлектрики) и тита-
нат бария ВаТЮ3.
При отсутствии внешнего электриче-
электрического поля сегнетоэлектрик представляет
собой как бы мозаику из доменов — об-
областей с различными направлениями по-
ляризованности. Это схематически показа-
показано на примере титаната бария (рис. 139),
где стрелки и знаки ©, © указывают
направление вектора Р. Так как в смеж-
смежных доменах эти направления различны,
то в целом дипольный момент диэлектрика
равен нулю. При внесении сегнетоэлектри-
ка во внешнее поле происходит переори-
переориентация дипольных моментов доменов по
полю, а возникшее при этом суммарное
электрическое поле доменов будет поддер-
поддерживать их некоторую ориентацию и после
прекращения действия внешнего поля. По-
Поэтому сегнетоэлектрики имеют аномально
большие значения диэлектрической про-
проницаемости (для сегнетовой соли, напри-
например, етах«104).
Сегнетоэлектрические свойства сильно
зависят от температуры. Для каждого сег-
нетоэлектрика имеется определенная тем-
температура, выше которой его необычные
свойства исчезают и он становится обыч-
обычным диэлектриком. Эта температура на-
называется точкой Кюри (в честь француз-
французского физика Пьера Кюри A859—1906)).
Как правило, сегнетоэлектрики имеют
только одну точку Кюри; исключение со-
составляют лишь сегнетова соль ( — 18 и
+ 24 °С) и изоморфные с нею соединения.
В сегнетоэлектриках вблизи точки Кюри
наблюдается также резкое возрастание
теплоемкости вещества. Превращение сег-
нетоэлектриков в обычный диэлектрик,
происходящее в точке Кюри, сопровожда-
сопровождается фазовым переходом II рода
(см. § 75).
Диэлектрическая проницаемость е
(а следовательно, и диэлектрическая вос-
восприимчивость у.) сегнетоэлектриков зави-
зависит от напряженности Е поля в веществе,
а для других диэлектриков эти величи-
величины являются характеристиками вещест-
вещества.
Рис. 139

14 (i
'Л. Электричество и члскгромагш'тн.чм
Рис. 140
Для сегнетоэлектриков формула
(88.2) не соблюдается; для них связь
между векторами поляризованное™ (Р)
и напряженности (Е) нелинейная и за-
зависит от значений Е в предшествующие
моменты времени. В сегнетоэлектриках'
наблюдается явление диэлектрического
гистерезиса («запаздывания»). Как видно
из рис. 140, с увеличением напряженности
Е внешнего электрического поля поляри-
зованность Р растет, достигая насыщения
(кривая /). Уменьшение Р с уменьшением
Е происходит по кривой 2, и при ? =
= 0 сегнетоэлектрик сохраняет остаточ-
остаточную поляризованность Ро, т. е. сегнето-
сегнетоэлектрик остается поляризованным в от-
отсутствие внешнего электрического поля.
Чтобы уничтожить остаточную поляризо-
поляризованность, надо приложить электрическое
поле обратного направления (— Ес). Вели-
Величина Ес называется коэрцитивной силой
(от лат. coercitio — удерживание). Если
далее Е изменять, то Р изменяется по
кривой 3 петли гистерезиса.
Интенсивному изучению сегнетоэлек-
сегнетоэлектриков послужило открытие советским фи-
физиком Б. М. Вулом A903—1985) аномаль-
аномальных диэлектрических свойств титаната ба-
бария. Титанат бария из-за его химической
устойчивости и высокой механической про-
прочности, а также из-за сохранения сегнето-
электрических свойств в широком темпе-
температурном интервале нашел большое науч-
научно-техническое применение (например,
в качестве генератора и приемника уль-
ультразвуковых волн). В настоящее время
известно более сотни сегнетоэлектриков,
не считая их твердых растворов. Сегнето-
электрики широко применяются также
в качестве материалов с большими значе-
значениями е (например, в конденсаторах).
Следует упомянуть еще о пьезоэлектри-
ках кристаллических веществах, в которых
при сжатии или растяжении в определенных
направлениях возникает электрическая поляри-
поляризация даже в отсутствие внешнего электриче-
электрического поля (прямой пьезоэффект). Следствием
прямого иьезоэффекта является обратный
пьезоэффект — появление механической дефор-
деформации под действием электрического поля. У не-
некоторых пьезоэлектриков решетка положитель-
положительных ионов в состоянии термодинамического рав-
равновесия смещена относительно решетки отрица-
отрицательных ионов, в результате чего они оказыва-
оказываются электрически поляризованными даже без
внешнего электрического поля. Такие кристал-
кристаллы называются пироэлектриками. Еще су-
существуют электреты -- диэлектрики, длительно
сохраняющие поляризованное состояние после
снятия внешнего электрического поля (электри-
(электрические аналоги постоянных магнитов). Эти
группы веществ находят широкое применение
в технике и бытовых устройствах.
§ 92. Проводники
в электростатическом поле
Если поместить проводник во внешнее
электростатическое поле или его зарядить,
то на заряды проводника будет действо-
действовать электростатическое поле, в результа-
результате чего они начнут перемещаться. Переме-
Перемещение зарядов (ток) продолжается до тех
пор, пока не установится равновесное рас-
распределение зарядов, при котором электро-
электростатическое поле внутри проводника обра-
обращается в нуль. Это происходит в течение
очень короткого времени. В самом деле,
если бы поле не было равно нулю, то
в проводнике возникло бы упорядоченное
движение зарядов без затраты энергии
от внешнего источника, что противоречит
закону сохранения энергии. Итак, напря-
напряженность поля во всех точках внутри
проводника равна нулю:
Е = 0.
Отсутствие поля внутри проводника
означает, согласно (85.2), что потенциал
во всех точках внутри проводника постоя-
постоянен (<p = const), т.е. поверхность провод-
проводника в электростатическом поле является
эквипотенциальной (см. § 85). Отсюда же

Г .I ana ! i. Электростатика
1-17
следует, что вектор напряженности поля на
внешней поверхности проводника направ-
направлен по нормали к каждой точке его по-
поверхности. Если бы это было не так, то под
действием касательной составляющей
Е заряды начали бы по поверхности про-
проводника перемещаться, что, в свою оче-
очередь, противоречило бы равновесному рас-
распределению зарядов.
Если проводнику сообщить некоторый
заряд Q, то некомпенсированные заряды
располагаются только на поверхности про-
проводника. Это следует непосредственно из
теоремы Гаусса (89.3), согласно которой
заряд Q, находящийся внутри проводника
в некотором объеме, ограниченном про-
произвольной замкнутой поверхностью, равен
<Э = ф DdS =
рядов (Q = aAS), охватываемых поверхно-
поверхностью: DAS = aAS, т. е.
так как во всех точках внутри поверхности
D = 0.
Найдем взаимосвязь между напряжен-
напряженностью Е поля вблизи поверхности заря-
заряженного проводника и поверхностной
плотностью а зарядов на его поверхности.
Для этого применим теорему Гаусса к бес-
бесконечно малому цилиндру с основаниями
AS, пересекающему границу проводник —
диэлектрик. Ось цилиндра ориентирована
вдоль вектора Е (рис. 141). Поток вектора
электрического смещения через внутрен-
внутреннюю часть цилиндрической поверхности
равен нулю, так как внутри проводника
Е| (а следовательно, и Di) равен нулю,
поэтому поток вектора D сквозь замкнутую
цилиндрическую поверхность определяет-
определяется только потоком сквозь наружное осно-
основание цилиндра. Согласно теореме Гаусса
(89.3), этот поток (DAS) равен сумме за-
заили
D==a
= ог/(е0е),
(92.1)
(92.2)
где е — диэлектрическая проницаемость
среды, окружающей проводник.
Таким образом, напряженность элек-
электростатического поля у поверхности про-
проводника определяется поверхностной
плотностью зарядов. Можно показать, что
соотношение (92.2) задает напряженность
электростатического поля вблизи поверх-
поверхности проводника любой формы.
Если во внешнее электростатическое
поле внести нейтральный проводник, то
свободные заряды (электроны, ионы) бу-
будут перемещаться: положительные — по
полю, отрицательные — против поля
(рис. 142, а). На одном конце проводника
будет скапливаться избыток положитель-
положительного заряда, на другом — избыток отрица-
отрицательного. Эти заряды называются индуци-
индуцированными. Процесс будет происходить до
тех пор, пока напряженность поля внутри
проводника не станет равной нулю, а ли-
линии напряженности вне проводника —
перпендикулярными его поверхности
(рис. 142, б). Таким образом, нейтральный
проводник, внесенный в электростатиче-
электростатическое поле, разрывает часть линий напря-
напряженности; они заканчиваются на отрица-
отрицательных индуцированных зарядах и вновь
начинаются на положительных. Индуци-
Индуцированные заряды распределяются на
внешней поверхности проводника. Явле-
Явление перераспределения поверхностных за-
зарядов на проводнике во внешнем электро-
электростатическом поле называется электроста-
электростатической индукцией.
Рис. 141
Сие.

148
Электричество и ик'ктроишгнотнчм
Из рис. 142, б следует, что индуциро-
индуцированные заряды появляются на проводнике
вследствие смещения их под действием
поля, т. е. а является поверхностной плот-
плотностью смещенных зарядов. По (92.1),
электрическое смещение D вблизи провод-
проводника численно равно поверхностной плот-
плотности смещенных зарядов. Поэтому вектор
D получил название вектора электрическо-
электрического смещения.
Так как в состоянии равновесия внут-
внутри проводника заряды отсутствуют, то
создание внутри него полости не повлияет
на конфигурацию расположения зарядов
и тем самым на электростатическое поле.
Следовательно, внутри полости поле будет
отсутствовать. Если теперь этот проводник
с полостью заземлить, то потенциал во
всех точках полости будет нулевым,
т. е. полость полностью изолирована от
влияния внешних электростатических по-
полей. На этом основана электростатическая
защита — экранирование тел, например
измерительных приборов, от влияния
внешних электростатических полей.
Вместо сплошного проводника для защи-
защиты может быть использована густая ме-
металлическая сетка, которая, кстати, явля-
является эффективной при наличии не только
постоянных, но и переменных электриче-
электрических полей.
Свойство зарядов располагаться на
внешней поверхности проводника исполь-
используется для устройства электростатических
генераторов, предназначенных для накоп-
накопления больших зарядов и достижения раз-
разности потенциалов в несколько миллионов
вольт. Электростатический генератор,
впервые изобретенный американским фи-
физиком Р. Ван-де-Граафом A901 —1967),
состоит из шарообразного полого провод-
проводника / (рис. 143), укрепленного на изо-
изоляторах 2. Движущаяся замкнутая лен-
лента 3 из прорезиненной ткани заряжается
от источника напряжения с помощью
системы остриев 4, соединенных с одним
из полюсов источника, второй полюс кото-
которого заземлен. Заземленная пластина
5 усиливает стекание зарядов с остриев на
ленту. Другая система остриев 6 снимает
заряды с ленты и передает их полому
шару, и они переходят на его внешнюю
У/////////////////////////.
Рис. 14,!
поверхность. Таким образом, сфере пере-
передается постепенно большой заряд и удает-
удается достичь разности потенциалов в не-
несколько миллионов вольт. Электростатиче-
Электростатические генераторы применяются в высо-
высоковольтных ускорителях заряженных
частиц, а также в слаботочной высоко-
высоковольтной технике.
§ 93. Электрическая емкость
уединенного проводника
Рассмотрим уединенный проводник,
т. е. проводник, который удален от других
проводников, тел и зарядов. Его потенци-
потенциал, согласно (84.5), прямо пропорциона-
пропорционален заряду проводника. Из опыта следует,
что разные проводники, будучи одинаково
заряженными, принимают различные по-
потенциалы. Поэтому для уединенного про-
проводника можно записать
Величину
(93.1)
называют электроемкостью (или просто
емкостью) уединенного проводника. Ем-
Емкость уединенного проводника определяет-
определяется зарядом, сообщение которого провод-
проводнику изменяет его потенциал на единицу.
Емкость проводника зависит от его
размеров и формы, но не зависит от мате-
материала, агрегатного состояния, формы
и размеров полостей внутри проводника.
Это связано с тем, что избыточные заряды

Г лава II. Э
лектростатика
W.
распределяются на внешней поверхности
проводника. Емкость не зависит также ни
от заряда проводника, ни от его потенциа-
потенциала. Сказанное не противоречит формуле
(93.1), так как она лишь показывает, что
емкость уединенного проводника прямо
пропорциональна его заряду и обратно
пропорциональна потенциалу.
Единица электроем кости — фарад
(Ф): 1Ф — емкость такого уединенного
проводника, потенциал которого изменяет-
изменяется на 1В при сообщении ему заряда
в 1 Кл.
Согласно (84.5), потенциал уединенно-
уединенного шара радиуса R, находящегося в одно-
однородной среде с диэлектрической проницае-
проницаемостью е, равен
1 Q
ш =
т 4ле0 &R '
Используя формулу (93.1), получим, что
емкость шара
С = 4ле0еЯ. (93.2)
Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обла-
обладал бы уединенный шар, находящийся
в вакууме и имеющий радиус /? =
= С/Dяео)«9- 10е км, что примерно
в 1400 раз больше радиуса Земли (элек-
(электроемкость Земли С»0,7мФ). Следова-
Следовательно, фарад — оче.нь большая величина,
поэтому на практике используются доль-
дольные единицы — миллифарад (мФ), микро-
микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофа-
рад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает
также, что единица электрической посто-
постоянной ео фарад на метр (Ф/м) (см.
G8.3)).
§ 94. Конденсаторы
Как видно из § 93, для того чтобы про-
проводник обладал большой емкостью, он дол-
должен иметь очень большие размеры. На
практике, однако, необходимы устройства,
обладающие способностью при малых раз-
размерах и небольших относительно окружа-
окружающих тел потенциалах накапливать зна-
значительные по величине заряды, иными сло-
словами, обладать большой емкостью. Эти
устройства получили название конденса-
конденсаторов.
Если к заряженному проводнику при
ближать другие тела, то на них возникают
индуцированные (на проводнике) или свя-
связанные (на диэлектрике) заряды, причем
ближайшими к наводящему заряду Q бу-
будут заряды противоположного знака. Эти
заряды, естественно, ослабляют поле, соз-
создаваемое зарядом Q, т. е. понижают по-
потенциал проводника, что приводит
(см. (93.1)) к повышению его электро-
электроемкости.
Конденсатор состоит из двух провод-
проводников (обкладок), разделенных диэлект-
диэлектриком. На емкость конденсатора не должны
оказывать влияния окружающие тела, поэ-
поэтому проводникам придают такую форму,
чтобы поле, создаваемое накапливаемыми
зарядами, было сосредоточено в узком
зазоре между обкладками конденсатора.
Этому условию удовлетворяют (см. § 82):
1) две плоские пластины; 2) два коакси-
коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические
сферы. Поэтому в зависимости от формы
обкладок конденсаторы делятся на
плоские, цилиндрические и сферические.
Так как поле сосредоточено внутри
конденсатора, то линии напряженности
начинаются на одной обкладке и кончают-
кончаются на другой, поэтому свободные заряды,
возникающие на разных обкладках, явля-
являются равными по модулю разноименными
зарядами. Под емкостью конденсатора по-
понимается физическая величина, равная
отношению заряда Q, накопленного в кон-
конденсаторе, к разности потенциалов (ф1 —
— фг) между его обкладками: q
(94.1)
Рассчитаем емкость плоского конден-
конденсатора, состоящего из двух параллельных
металлических пластин площадью S каж-
каждая, расположенных на расстоянии d друг
от друга и имеющих заряды +Q и
— Q. Если расстояние между пластинами
мало по сравнению с их линейными разме-
размерами, то краевыми эффектами можно пре-
пренебречь и поле между обкладками считать
однородным. Его можно рассчитать ис-
используя формулы (86.1) и (94.1). При
наличии диэлектрика между обкладками
разность потенциалов между ними, со-

150
'i. Электричество и члектромагиетичм
гласно (86.1),
(94.2)
где е — диэлектрическая проницаемость.
Тогда из формулы (94.1), заменяя Q = aS,
с учетом (94.2) получим выражение для
емкости плоского конденсатора:
(94.3)
Для определения емкости цилиндрического
конденсатора, состоящего из двух полых ко-
коаксиальных цилиндров с радиусами г\ и гг (гг>
>г\), вставленных один в другой, опять прене-
пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле ра-
диально-симметричным и сосредоточенным
между цилиндрическими обкладками. Разность
потенциалов между обкладками вычислим по
формуле (86.3) для поля равномерно заряжен-
заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотно-
плотностью т = B// (/—длина обкладок). С учетом
наличия диэлектрика между обкладками
1 , г2 Q
ф|—ф2 = -х—
Г\
lL. (94.4)
Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение
для емкости цилиндрического конденсатора:
С = 2ле„е//1п (г2/г,). (94.5)
Для определения емкости сферического кон-
конденсатора, состоящего из двух концентрических
обкладок, разделенных сферическим слоем ди-
диэлектрика, используем формулу (86.2) для раз-
разности потенциалов между двумя точками, лежа-
лежащими на расстояниях т\ и г2 {гч>г\) от центра
заряженной сферической поверхности. С учетом
наличия диэлектрика между обкладками
ф1-ф2= Q /J !_\ (94.6)
(94.7)
Если d = /-2 — fi-Cn, то Г2~г\»г и С =
= 4лЕ(]Е/-2/с(. Так как 4лг2 — площадь сфериче-
сферической обкладки, то получаем формулу (94.3).
Таким образом, при малой величине зазора по
сравнению с радиусом сферы выражения для
емкости сферического и плоского конденсаторов
совпадают. Этот вывод справедлив и для ци-
цилиндрического конденсатора: при малом зазоре
между цилиндрами по сравнению с их радиуса-
радиусами в формуле (94.5) In (гъ/г\) можно разложить
в ряд, ограничиваясь только членом первого
порядка. В результате опять приходим к форму-
формуле (94.3).
Подставив (94.6) в (94.1), получим
С —4 Г'Г'2
ri — r,
Рис. 144
Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вы-
вытекает, что емкость конденсаторов любой
формы прямо пропорциональна диэлек-
диэлектрической проницаемости диэлектрика, за-
заполняющего пространство между обк-
обкладками. Поэтому применение в качест-
качестве прослойки сегнетоэлектриков значи-
значительно увеличивает емкость конденсато-
конденсаторов.
Конденсаторы характеризуются про-
пробивным напряжением — разностью потен-
потенциалов между обкладками конденсатора,
при которой происходит пробой — элек-
электрический разряд через слой диэлектрика
в конденсаторе. Пробивное напряжение
зависит от формы обкладок, свойств ди-
диэлектрика и его толщины.
Для увеличения емкости и варьирова-
варьирования ее возможных значений конденсаторы
соединяют в батареи, при этом использу-
используется их параллельное и последовательное
соединение.
1. Параллельное соединение конденса-
конденсаторов (рис. 144). У параллельно соединен-
соединенных конденсаторов разность потенциалов
на обкладках конденсаторов одинакова
и равна фл — фй. Если емкости отдельных
конденсаторов С\, С% ..., С„, то, согласно
(94.1), их заряды равны
Q\=C\ (Фл-Фв).
а заряд батареи конденсаторов
п
Q = Z Q/ = (С1 + С2 + ¦ • • + Сп) (<(А — Фй)-
<=1

[ .1 a h a II- Э.'Ч'ктцисл ат
Полная емкость батареи
„=? с,.,
т. е. при параллельном соединении кон-
конденсаторов она равна сумме емкостей от-
отдельных конденсаторов.
2. Последовательное соединение кон-
конденсаторов (рис. 145). У последовательно
соединенных конденсаторов заряды всех
обкладок равны по модулю, а разность
потенциалов на зажимах батареи
Лф =
где для любого из рассматриваемых кон-
конденсаторов
ДФ/=B/С,.
С другой стороны,
откуда
т. е. при последовательном соединении
конденсаторов суммируются величины, об-
обратные емкостям. Таким образом, при по-
последовательном соединении конденсаторов
результирующая емкость С всегда меньше
наименьшей емкости, используемой в ба-
батарее.
§ 95. Энергия системы зарядов,
уединенного проводника
и конденсатора.
Энергия
электростатического поля
1. Энергия системы неподвижных точеч-
точечных зарядов. Электростатические силы
взаимодействия консервативны (см. § 83);
следовательно, система зарядов обладает
потенциальной энергией. Найдем потенци-
потенциальную энергию системы двух неподвиж-
неподвижных точечных зарядов Qt и Qi, находя-
находящихся на расстоянии г друг от друга.
Каждый из этих зарядов в поле другого
обладает потенциальной энергией (см.
(84.2) и (84.5)):
где ф|2 и ф21 — соответственно потенциа-
потенциалы, создаваемые зарядом Q-? в точке на-
нахождения заряда Q\ и зарядом Q\ в точке
нахождения заряда Q2. Согласно (84.5),
ф12 =
поэтому
4яео г
W х = Wi = W
Добавляя к системе из двух зарядов по-
последовательно заряды Q3, Qi, .., можно
убедиться в том, что в случае и непод-
неподвижных зарядов энергия взаимодействия
системы точечных зарядов равна
г='Л X
(95.1)
где ф, — потенциал, создаваемый в той
точке, где находится заряд Q,, всеми за-
зарядами, кроме г'-го.
2. Энергия заряженного уединенного
проводника. Пусть имеется уединенный
проводник, заряд, емкость и потенциал
которого соответственно равны Q, С, q>.
Увеличим заряд этого проводника на dQ.
Для этого необходимо перенести заряд dQ
из бесконечности на уединенный провод-
проводник, затратив на это работу, равную
Чтобы зарядить тело от нулевого потенци-
потенциала до ф, необходимо совершить работу
А =
(95.2)
Энергия заряженного проводника рав-
равна той работе, которую необходимо со-

152
3. Электр и честно и глектрткнпеппм
першить, чтобы зарядить этот проводник:
W = Сф"/2= Q<p/2= Q2/BC). (95.3)
Формулу (95.3) можно получить и из
того, что потенциал проводника во всех
его точках одинаков, так как поверхность
проводника является эквипотенциальной.
Полагая потенциал проводника равным ср,
из (95.1) найдем
где Q = y Q, — заряд проводника.
3. Энергия заряженного конденсато-
конденсатора. Как всякий заряженный проводник,
конденсатор обладает энергией, которая
в соответстЕ!ии с формулой (95.3) равна
W = C (М>?/2 = СМф/2 = Q2/BC), (95.4)
где Q — заряд конденсатора, С — его ем-
емкость, Дф — разность потенциалов между
обкладками.
Используя выражение (95.4), можно
найти механическую (пондеромотор-
ную) силу, с которой пластины конден-
конденсатора притягивают друг друга. Для этого
предположим, что расстояние х меж-
между пластинами меняется, например, на
величину dx. Тогда действующая сила со-
совершает работу
dA = Fdx
вследствие уменьшения потенциальной
энергии системы
Fdx=-dW,
откуда
d-
(95.5)
Подставив в (95.4) выражение (94,3), по-
получим
W=-— = —Q—х, (95.6)
Производя дифференцирование при кон-
конкретном значении энергии (см. (95.5)
и (95.6)), найдем искомую силу:
II !¦/ f
dW
" Ax.
A
A
2e,,eS '
где знак минус указывает, что сила F
является силой притяжения.
4. Энергия электростатического поля.
Преобразуем формулу (95,4), выражаю-
выражающую энергию плоского конденсатора по-
посредством зарядов и потенциалов, вос-
воспользовавшись выражением для емкости
плоского конденсатора (C = &o?S/d) и раз-
разности потенциалов между его обкладками
(Дф = ?^). Тогда получим
W = ^Sd = ^~-V, (95.7)
где V = Sd — объем конденсатора. Форму-
Формула (95.7) показывает, что энергия кон-
конденсатора выражается через величину, ха-
характеризующую электростатическое по-
поле,— напряженность Е.
Объемная плотность энергии электро-
электростатического поля (энергия единицы
объема)
W=W/V = eoe?2/2 = ED/2. (95.8)
Выражение (95.8) справедливо только для
изотропного диэлектрика, для которого
выполняется соотношение (88.2): Р =
= хе«Е.
Формулы (95.4) и (95.7) соответствен-
соответственно связывают энергию конденсатора с за-
зарядом на его обкладках и с напряженно-
напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос
о локализации электростатической энер-
энергии и что является ее носителем — заряды
или поле? Ответ на этот вопрос может
дать только опыт. Электростатика изучает
постоянные во времени поля неподвижных
зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие
их заряды неотделимы друг от друга. По-
Поэтому электростатика ответить на постав-
поставленные вопросы не может. Дальнейшее
развитие теории и эксперимента показало,
что переменные во времени электрические
и магнитные поля могут существовать обо-
обособленно, независимо от возбудивших их
зарядов, и распространяются в простран-
пространстве в виде электромагнитных волн, спо-
способных переносить энергию. Это убеди-
убедительно подтверждает основное положение
теории близкодействия о локализации
энергии в поле и что носителем энергии
является поле.

Глава II. Электростатика lf>3
Контрольные вопросы
В чем заключается закон сохранения заряда? Приведите примеры проявления лого за-
закона.
Запишите, сформулируйте и объясните закон Кулона.
Какие поля называются электростатическими?
Что такое напряженность Е электростатического поля? Каково нанранление вектора напря-
напряженности Е? Единица напряженности в СИ.
Что такое электрический диполь? Как направлено плечо диполя?
Пользуясь принципом суперпозиции, найдите в ноле двух точечных зарядов -f- Q и +2C,
находящихся на расстоянии / друг от друга, точку, где напряженность поля равна нулю.
Чему равно отношение напряженностей электрических полей в точке А, лежащей на продолже-
продолжении оси диполя, и в точке. В, лежащей на перпендикуляре, проходящем через середину О оси
этого диполя, если ОЛ = Ой?
В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакуу-
вакууме?
Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности зарядов?
Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток ФЕ сквозь эту
поверхность? Почему?
Как доказать, что электростатическое поле является потенциальным?
Что называется циркуляцией вектора напряженности?
Дайте определения потенциала данной точки поля и разности потенциалов двух точек поля.
Каковы их единицы?
Приведите графики зависимостей Е (г) и ф(г) для равномерно заряженной сферической по-
поверхности. Дайте их объяснение и обоснование.
Какова связь между напряженностью и потенциалом? Выведите ее и объясните. Каков физиче-
физический смысл этих понятий?
Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?
В чем различие поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами?
Определите, чему равна диэлектрическая проницаемость при построении рис. 135.
Как определяется вектор электрического смещения? Что он характеризует?
Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.
Выведите и прокомментируйте условия для векторов Е и D на границе раздела двух диэлектри-
диэлектрических сред.
Каковы напряженность и потенциал поля, а также распределение зарядов внутри и на по-
поверхности заряженного проводника?
На чем основана электростатическая защита?
Три одинаковых конденсатора один раз соединены последовательно, другой —- параллельно. Во
сколько раз и когда емкость батареи будет больше?
Выведите формулы для энергии заряженного конденсатора, выражаемые через заряд на об-
обкладках конденсатора и через напряженность поля.
Может ли электростатика ответить на вопрос: где локализована энергия и что является ее
носителем — заряды или поле? Почему?
Задачи
11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин
плотностью 0,8 г/см3. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол рас-
расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость
керосина е = 2. [1,6 t/cmj]
11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной
плотностью а= 1,5 нКл/см2 расположена круглая пластинка. Плоскость пластинки составля-
составляет с линиями напряженности угол а = 45°. Определить поток вектора напряженности через
эту пластинку, если ее радиус /-==10 см. [1,88 кВ-м|

и ¦¦.:ii'h': p-
11.3. Кольцо радиусом /• = 10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью
и — 10 нКл/м. Определить напряженность поля на оси, проходящей через центр кольца
в точке А, удаленной на расстояние а = 20 см от центра кольца. [1 кВ/м ]
11.4. Шар радиусом AJ = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью р = 5 нКл/м3. Опреде-
Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии гi =2 см от центра тара;
2) на расстоянии /-2=12 см от центра шара. Построить зависимость Е (г). [1) 3,77 В/м;
l.'i.l В/м]
11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоян-
постоянной линейной плотностью т= 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись
под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния /-|=2,5 см до г2 =
= 1,5 см? [18 Мм/с]
ll.fi. Электростатическое поле создается сферой радиусом /? = 4 см, равномерно заряженной
с поверхностной плотностью а=\ нКл/м2. Определить разность потенциалов между двумя
точками поля, лежащими на расстояниях л =6 см и Г2=\0 см. [1,2 В]
11.7. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля
но перемещению заряда Q=l нКл с расстояния /-, = 10 см до /-2 = 5 см в направлении, пер-
перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]
11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином (е = 2).
Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать
на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла
0,05 нКл/см2? [500 В]
11.9. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью р= 10 нКл/м3 по шару
радиусом /? = 5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемо-
проницаемостью е = б. Определить напряженность электростатического поля на расстояниях Л| = 2 см
и л2=Н) см от центра шара. [?| = 1,25 В/м; ?2 = 23,5 В/м]
11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (е = 7). Расстоя-
Расстояние между пластинами d — 5 мм, разность потенциалов ?/ = 500 В. Определить энергию
поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь S = 50 см2. [6,64 мкДж]
11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С= 10 пФ заряжен до разности потенциалов ?/ =
= I кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между
пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определить: 1) разность потенциалов
на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению
пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]
11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора G = 200 В. Площадь каждой пласти-
пластины 5 = 100 см2, расстояние между пластинами d= 1 мм, пространство между ними заполнено
парафином (е = 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу. [3,54 мН]
Глава 12
Постоянный электрический ток
§96. Электрический ток, ленное) движение электрических зарядов,
сила и плотность тока В проводнике под действием приложенно-
приложенного электрического поля Е свободные элек-
В электродинамике — разделе учения об трические заряды перемещаются: поло-
электричестве, в котором рассматривают- жительные — по полю, отрицательные —
ся явления и процессы, обусловленные против поля (рис. 146, а), т.е. в провод-
движением электрических зарядов или нике возникает электрический ток, на-
макроскопических заряженных тел,—важ- зываемый током проводимости. Если же
нейшим понятием является понятие элек- упорядоченное движение электрических
трического тока. Электрическим током на- зарядов осуществляется перемещением
зывается любое упорядоченное (направ- в пространстве заряженного макроскопи-

Г л а и у 12. Постоянный электрический ток
15Г)
Рис. 14Н
ческого тела (рис. 146,6), то возникает
так называемый конвекционный ток.
Для возникновения и существования
электрического тока необходимо, с одной
стороны, наличие свободных носителей то-
тока — заряженных частиц, способных
перемещаться упорядоченно, а с другой -
наличие электрического поля, энергия ко-
которого, каким-то образом восполняясь,
расходовалась бы на их упорядоченное
движение. За направление тока условно
принимают направление движения поло-
положительных зарядов.
Количественной мерой электрического
тока служит сила тока / — скалярная фи-
физическая величина, определяемая элек-
электрическим зарядом, проходящим через по-
поперечное сечение проводника в единицу
времени:
Ток, сила и направление которого не изме-
изменяются со временем, называется посто-
постоянным. Для постоянного тока
i = Q/t,
где Q — электрический заряд, проходя-
проходящий за время / через поперечное сечение
проводника.
Единица силы тока — ампер (А) (оп-
(определение см. на с. 5).
Физическая величина, определяемая
силой тока, проходящего через единицу
площади поперечного сечения проводника,
перпендикулярного направлению тока, на-
называется плотностью тока:
Выразим силу и плотность тока через
скорость (v) упорядоченного движения
зарядов в проводнике. Если концентрация
носителей тока равна а и каждый носитель
имеет элементарный заряд е (что не обя-
обязательно для ионов), то за время dt через
поперечное сечение S проводника перено-
переносится заряд dQ = ne(v)S dt. Сила тока
dQ
= — = ne<v)S,
а плотность тока
(96.1)
Платность тока — вектор, ориентирован-
ориентированный по направлению тока, т. е. направле-
направление вектора j совпадает с направлением
упорядоченного движения положительных
зарядов. Единица плотности тока — ампер
на метр в квадрате (А/м2).
Сила тока сквозь произвольную по-
поверхность S определяется как поток векто-
вектора j, т. е.
= \jdS,
(96.2)
где dS = n dS (n — единичный вектор нор-
нормали к площадке dS, составляющей с век-
вектором j угол а).
§ 97. Сторонние силы.
Электродвижущая сила
и напряжение
Если в цепи на носители тока действуют
только силы электростатического поля, то
происходит перемещение носителей (они
предполагаются положительными) от то-
точек с большим потенциалом к точкам
с меньшим потенциалом. Это приведет
к выравниванию потенциалов во всех
точках цепи и к исчезновению электричес-
электрического поля. Поэтому для существования,
постоянного тока необходимо наличие в
цепи устройства, способного создавать
и поддерживать разность потенциалов за
счет работы сил неэлектростатического
происхождения. Такие устройства называ-
называются источниками тока. Силы незлектро-
статического происхождения, действую-
действующие на заряды со стороны источников тока,
называются сторонними.
Природа сторонних сил может быть
различной. Например, в гальванических
элементах они возникают за счет энергии

I.Vi
Ч. Электричество и электромагнетизм
химических реакций между электродами
и электролитами; в генераторе — за
счет механической энергии вращения ро-
ротора генератора и т. п. Роль источника
тока в электрической цепи, образно гово-
говоря, такая же, как роль насоса, который
необходим для перекачивания жидкости
в гидравлической системе. Под действием
создаваемого поля сторонних сил электри-
электрические заряды движутся внутри источни-
источника тока против сил электростатического
поля, благодаря чему на концах цепи под-
поддерживается разность потенциалов и в це-
цепи течет постоянный электрический ток.
Сторонние силы совершают работу по
перемещению электрических зарядов.Фи-
зарядов.Физическая величина, определяемая работой,
совершаемой сторонними силами при пе-
перемещении единичного положительного
заряда, называется электродвижущей си-
силой (э. д. с.) 9, действующей в цепи:
равна
9=A/Q0.
(97.1)
Эта работа производится за счет энергии,
затрачиваемой в источнике тока, поэтому
величину 'W можно также называть элек-
электродвижущей силой источника тока, вклю-
включенного в цепь. Часто, вместо того чтобы
сказать: «в цепи действуют сторонние си-
силы», говорят: «в цепи действует э. д. с»,
т. е. термин «электродвижущая сила»
употребляется как характеристика сторон-
сторонних сил. Э. д. с, как и потенциал, выража-
выражается в вольтах (ср. (84.9) и (97.1)).
Сторонняя сила FlT, действующая на
заряд Q», может быть выражена как
где Е<т — напряженность поля сторонних
сил. Работа же сторонних сил по переме-
перемещению заряда Qo на замкнутом участке
цепи равна
Tdl. (97.2)
Разделив (97.2) на Qo, получим выражение
для э.д.с, действующей в цепи:
Sf =фЕстсН,
т. е. э.д.с, действующая в замкнутой цепи,
может быть определена как циркуляция
вектора напряженности поля сторонних
сил. Э.д.с, действующая на участке /—2,
r,2= ECTdl.
(97.3)
На заряд Qo помимо сторонних сил
действуют также силы электростатическо-
электростатического поля Fe = QoE. Таким образом, резуль-
результирующая сила, действующая в цепи на
заряд Qo, равна
Работа, совершаемая результирующей
силой над зарядом Qo на участке /—2,
равна
Л|2 = (
Edl.
Используя выражения (97.3) и (84.8),
можем записать
i4|2 = QAy,a + QoD>,-<p2). (97.4)
Для замкнутой цепи работа электростати-
электростатических сил равна нулю (см. §83), поэтому
в данном случае Ai2 = QqW \2-
Напряжением U на участке /—2 на-
называется физическая величина, определя-
определяемая работой, совершаемой суммарным
полем электростатических (кулоновских)
и сторонних сил при перемещении еди-
единичного положительного заряда на дан-
данном участке цепи. Таким образом, соглас-
согласно (97.4),
Понятие напряжения является обоб-
обобщением понятия разности потенциалов:
напряжение на концах участка цепи равне
разности потенциалов в том случае, если
на этом участке не действует э.д.с, т. е.
сторонние силы отсутствуют.
§ 98. Закон Ома.
Сопротивление проводников
Немецкий физик Г. Ом A787—1854) эк-
экспериментально установил, что сила то-
тока /, текущего по однородному металличе-
металлическому проводнику (т. е. проводнику, в ко-
котором не действуют сторонние силы),
пропорциональна напряжению U на кон-

[' лава VI. Постоянный электрический ток
1Г,7
цах проводника:
где величина
l=U/R,
(98.1)
Y=l/f>,
где R — электрическое сопротивление про-
проводника. Уравнение (98.1) выражает за-
закон Ома для участка цепи (не содержаще-
содержащего источника э.д.с): сила тока в проводни-
проводнике прямо пропорциональна приложенному
напряжению и обратно пропорциональна
сопротивлению проводника. Формула
(98.1) позволяет установить единицу со-
сопротивления— ом (Ом): 1Ом — сопро-
сопротивление такого проводника, в котором при
напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А.
Величина
G=\/R
называется электрической проводимостью
проводника. Единица проводимости — си-
менс (См): 1 См — проводимость участка
электрической цепи сопротивлением 1 Ом.
Сопротивление проводников зависит
от его размеров и формы, а также от
материала, из которого проводник изго-
изготовлен. Для однородного линейного про-
проводника сопротивление R прямо пропор-
пропорционально его длине / и обратно пропор-
пропорционально площади его поперечного сече-
сечения S:
Я = р4- (98.2)
где р — коэффициент пропорционально-
пропорциональности, характеризующий материал провод-
проводника. Он называется удельным электриче-
электрическим сопротивлением. Единица удель-
удельного электрического сопротивления —
ом-метр (Ом-м). Наименьшим удельным
сопротивлением обладают серебро
A,6- 10~"8Ом-м) и медь A,7-10~8 Ом-м).
На практике наряду с медными применя-
применяются алюминиевые провода. Хотя алюми-
алюминий и имеет большее, чем медь, удельное
сопротивление B,6-10~8Ом-м), но зато
обладает меньшей плотностью по сравне-
сравнению с медью.
Закон Ома можно представить в диф-
дифференциальной форме. Подставив выра-
выражение для сопротивления (98.2) в закон
Ома (98.1), получим
обратная удельному сопротивлению, на-
называется удельной электрической прово-
проводимостью вещества проводника. Не едини-
единица— сименс на метр (См/м). Учитывая,
что U/1 — E— напряженность электриче-
электрического поля в проводнике, I/S = j ¦¦- плот-
плотность тока, формулу (98.3) можно запи-
записать в виде
/=??-¦
(98.4)
4
5
(98-3)
Так как в изотропном проводнике носите-
носители тока в каждой точке движутся в на-
направлении вектора Е, то направления
j и Е совпадают. Поэтому формулу. (98.4)
можно записать в виде
J=VE. (98.5)
Выражение (98.5) — закон Ома в диффе-
дифференциальной форме, связывающий плот-
плотность тока в любой точке внутри провод-
проводника с напряженностью электрического
поля в этой же точке. Это соотношение
справедливо и для переменных полей.
Опыт показывает, что в первом прибли-
приближении изменение удельного сопротивле-
сопротивления, а следовательно, и сопротивления,
с температурой описывается линейным
законом:
¦ = р„A + а/),
» = /?0A+а/),
где р и ро, R и /?п — соответственно удель-
удельные сопротивления и сопротивления про-
проводника при / и О °С, а — температурный
коэффициент сопротивления, для чистых
металлов (при не очень низких температу-
температурах) близкий к 1/273 К"'. Значит, тем-
температурная зависимость сопротивления
может быть представлена в виде
R = aRJ,
где Т термодинамическая температура.
Качественная температурная зависи-
зависимость сопротивления металла представле-
представлена на рис. 147 (кривая /). Впоследствии
было обнаружено, что сопротивление мно-
многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.)
и их сплавов при очень низких температу-
температурах 7"к @,14-20 К), называемых крити-
критическими, характерных для каждого не-

1 Г>8
¦ \. Электрически) и электромагнетизм
Рис. 147
щества, скачкообразно уменьшается до
нуля (кривая 2), т.е. металл становится
абсолютным проводником. Впервые это
явление, называемое сверхпроводимостью,
обнаружено в 1911 г. Г. Камерлинг-Онне-
сом для ртути. Явление сверхпроводимо-
сверхпроводимости объясняется на основе квантовой тео-
теории. Практическое использование сверх-
сверхпроводящих материалов (в обмотках
сверхпроводящих магнитов, в системах
памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за ни-
низких их критических температур. Правда,
в настоящее время обнаружены и активно
исследуются керамические материалы, об-
обладающие сверхпроводимостью при темпе-
температуре выше 100 К-
На зависимости электрического сопро-
сопротивления металлов от температуры осно-
основано действие термометров сопротивле-
сопротивления, которые позволяют по градуирован-
градуированной взаимосвязи сопротивления от темпе-
температуры измерять температуру с точно-
точностью до 0,003 К. Применение же в ка-
качестве рабочего вещества термометра
сопротивления полупроводников, приго-
приготовленных по специальной технологии,—
термисторов — позволяет отмечать изме-
изменение температуры в миллионные доли
кельвин и использовать термисторы для
измерения температур в случае малых га-
габаритов полупроводников.
? 99. Работа и мощность тока.
Закон Джоуля — Ленца
Рассмотрим однородный проводник, к кон-
концам которого приложено напряжение U. За
время dt через сечение проводника перено-
переносится заряд dq = I dt. Так как ток пред-
представляет собой перемещение заряда dq под
действием электрического поля, то, по
формуле (84.6), работа тока
dA = U dq = lU dt. (99.1)
Если сопротивление проводника R, то, ис-
используя закон Ома (98.1), получим
-?"•
(99.2)
Из (99.1) и (99.2) следует, что мощ-
мощность тока
(99.3)
Если сила тока выражается в амперах,
напряжение — в вольтах, сопротивле-
сопротивление — в омах, то работа тока выражается
в джоулях, а мощность — в ваттах. На
практике применяются также внесистем-
внесистемные единицы работы тока: ватт-час
(Вт-ч) и киловатт-час (кВт-ч). 1 Вт-ч—
работа тока мощностью в 1 Вт в течение
1 ч: 1 Вт-ч = 3600 Вт-с = 3,6-103 Дж;
1 кВт-ч=103 Вт-ч = 3,6-106 Дж.
Если ток проходит по неподвижному
металлическому проводнику, то вся работа
тока идет на его нагревание и, по закону
сохранения энергии,
dQ = dA. (99.4)
Таким образом, используя выражения
(99.4), (99.1) и (99.2), получим
dQ = IU dt = I2R dt=~dt. (99.5)
Выражение (99.5) представляет собой за-
закон Джоуля — Ленца, экспериментально
установленный независимо друг от друга
Дж. Джоулем и Э. X. Ленцем *.
Выделим в проводнике элементарный
цилиндрический объем dV = dS d/ (ось ци-
цилиндра совпадает с направлением тока),
сопротивление которого R = p-—-. По за-
кону Джоуля — Ленца, за время dt в этом
объеме выделится теплота
= I2R dt=-^-
dS
/ = p/2 dV dt.
Количество теплоты, выделяющееся за
единицу времени в единице объема, на-
называется удельной тепловой мощностью
Э. X. Ленд A804-1865) — русский
физик.

'лава 12. Постоянный электрический ток
159
тока. Она равна
w = pj2. (99.6)
Используя дифференциальную форму за-
закона Ома (j = yE) и соотношение p=l/v>
получим
w = jE = yE'2. (99.7)
Формулы (99.6) и (99.7) являются обоб-
обобщенным выражением закона Джоуля —
Ленца в дифференциальной форме, при-
пригодным для любого проводника.
Тепловое действие тока находит широ-
широкое применение в технике, которое нача-
началось с открытия в 1873 г. русским инжене-
инженером А. Н. Лодыгиным A847—1923) лам-
лампы накаливания. На нагревании про-
проводников электрическим током основано
действие электрических муфельных печей,
электрической дуги (открыта русским ин-
инженером В. В. Петровым A761-1834)),
контактной электросварки, бытовых элек-
электронагревательных приборов и т. д.
§ 100. Закон Ома
для неоднородного участка цепи
Мы рассматривали закон Ома (см. (98.1))
для однородного участка цепи, т. е. тако-
такого, в котором не действует э.д.с. (не дей-
действуют сторонние силы). Теперь рассмот-
рассмотрим неоднородный участок цепи, где дей-
действующую э.д.с. на участке /—2 обозна-
обозначим через If а, а приложенную на концах
участка разность потенциалов — через
ф1 — ф2-
Если ток проходит по неподвижным
проводникам, образующим участок /—2,
то работа А]? всех сил (сторонних и элек-
электростатических), совершаемая над носите-
носителями тока, по закону сохранения и пре-
превращения энергии равна теплоте, выделя-
выделяющейся на участке. Работа сил, со-
совершаемая при перемещении заряда Qo на
участке /—2, согласно (97.4),
^12=0A«Г12 + <Зо(ф|-«Р2)- A00.1)
Э.д.с. ^12, как и сила тока /,— величи-
величина скалярная. Ее необходимо брать либо
с положительным, либо с отрицательным
знаком в зависимости от знака работы,
совершаемой сторонними силами. Если
э.д.с. способствует движению положитель-
положительных зарядов в выбранном направлении
(в направлении /—2), то ^i2>0. Если
э.д.с. препятствует движению положитель-
положительных зарядов в данном направлении, то
За время / в проводнике выделяется
теплота (см. (99.5))
Q = l2Rt = IR(It)=lRQQ. A00.2)
Из формул A00.1) и A00.2) получим
//? = (Ф,-%)+»,2, (ЮО.З)
откуда
i
Ф|-Ф2+'
A00.4)
Выражение A00.3) или A00.4) представ-
представляет собой закон Ома для неоднородного
участка цепи в интегральной форме, кото-
который является обобщенным законом Ома.
Если на данном участке цепи источник
тока отсутствует (^12 = 0), то из A00.4)
приходим к закону Ома для однородного
участка цепи (98.1):
(при отсутствии сторонних сил напряже-
напряжение на концах участка равно разности
потенциалов (см. §97)). Если же электри-
электрическая цепь замкнута, то выбранные точки
/ и. 2 совпадают, ф| = ф2; тогда из A00.4)
получаем закон Ома для замкнутой цепи:
где сё — э.д.с, действующая в цепи, R —
суммарное сопротивление всей цепи.
В общем случае R = r-\-R\, где г — внут-
внутреннее сопротивление источника э.д.с,
R\ — сопротивление внешней цепи. По-
Поэтому закон Ома для замкнутой цепи
будет иметь вид
Если цепь разомкнута и, следователь-
следовательно, в ней ток отсутствует (/ = 0), то из
закона Ома A00.4) получим, что ^Г|2 =
= ф2 — ф1, т. е. э.д.с, действующая в разо-
разомкнутой цепи, равна разности потенциа-
потенциалов на ее концах. Следовательно, для того
чтобы найти э.д.с. источника тока, надо
измерить разность потенциалов на его
клеммах при разомкнутой цепи.

.4. Электричество и электромагнетизм
§ 101. Правила Кирхгофа
для разветвленных цепей
Обобщенный закон Ома (см. A00.3)) по-
позволяет рассчитать практически любую
сложную цепь. Однако непосредственный
расчет разветвленных цепей, содержащих
несколько замкнутых контуров (контуры
могут иметь общие участки, каждый из
контуров может иметь несколько источни-
источников э.д.с. и т. д.), довольно сложен. Эта
задача решается более просто с помощью
двух правил Кирхгофа*.
Любая точка разветвления цепи, в ко-
которой сходится не менее трех проводников
с током, называется узлом. При этом ток,
входящий в узел, считается положитель-
положительным, а ток, выходящий из узла,— отрица-
отрицательным.
U
Рис. 148
Первое правило Кирхгофа: алгебраи-
алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле,
равна нулю:
Например, для рис. 148 первое правило
Кирхгофа запишется так:
Первое правило Кирхгофа вытекает из
закона сохранения электрического заряда.
Действительно, в случае установившегося
постоянного тока ни в одной точке про-
проводника и ни на одном его участке не
должны накапливаться электрические за-
заряды. В противном случае токи не могли
бы оставаться постоянными.
Второе правило Кирхгофа получается
из обобщенного закона Ома для разветвлен-
разветвленных цепей. Рассмотрим контур, состоящий
Рис. 149
из трех участков (рис. 149). Направление
обхода по часовой стрелке примем за по-
положительное, отметив, что выбор этого на-
направления совершенно произволен. Все
токи, совпадающие по направлению с на-
направлением обхода контура, считаются по-
положительными, не совпадающие с на-
направлением обхода — отрицательными.
Источники э.д.с. считаются положительны-
положительными, если они создают ток, направленный
в сторону обхода контура. Применяя
к участкам закон Ома A00.3), можно
записать:
складывая почленно эти уравнения, по-
получим
физик.
Г. Кирхгоф A824—1887) — немецкий
Уравнение A01.1) выражает второе
правило Кирхгофа: в любом замкнутом
контуре, произвольно выбранном в развет-
разветвленной электрической цепи, алгебраиче-
алгебраическая сумма произведений сил токов /, на
сопротивления /?, соответствующих
участков этого контура равна алгебраиче-
алгебраической сумме э.д.с. 9 к, встречающихся
в этом контуре:
?4. A01.2)
При расчете сложных цепей постоян-
постоянного тока с применением правил Кирхгофа
необходимо:
1. Выбрать произвольное направление
токов на всех участках цепи; действитель-
действительное направление токов определяется при
решении задачи: если искомый ток полу-
получится положительным, то его направление
было выбрано правильно, отрицатель-
отрицательным — его истинное направление противо-
противоположно выбранному.

Г.i а и ;i 12. Постоянный члоктричсскпи ток
161
2. Выбрать направление обхода кон-
контура и строго его придерживаться; про-
произведение IR положительно, если ток на
данном участке совпадает с направлением
обхода, и наоборот, э.д.с, действующие по
выбранному направлению обхода, счита-
считаются положительными, против — отрица-
отрицательными.
3. Составить столько уравнений, что-
чтобы их число было равно числу искомых
величин (в систему уравнений должны
входить все сопротивления и э.д.с. рас-
рассматриваемой цепи); каждый рассматри-
рассматриваемый контур должен содержать хотя бы
один элемент, не содержащийся в преды-
предыдущих контурах, иначе получатся уравне-
уравнения, являющиеся простой комбинацией
уже составленных.
В качестве примера использования правил
Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измери-
измерительного моста Уитстоиа*. Сопротивления R,,
R?, Из и Ra образуют его плечи. Между точками
А и fl моста включена батерея с э.д.с. W и со-
сопротивлением г, между точками С и D включен
гальванометр с сопротивлением RG. Для узлов
А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа,
получим
A01.3)
Для контуров АСВ%А, ACDA и С В DC, соглас-
согласно второму правилу Кирхгофа, можно запи-
записать:
Если известны все сопротивления и э.д.с, то,
решая полученные шесть уравнений, можно
найти неизвестные токи. Изменяя известные
сопротивления R?, Лз и Rt, можно добиться
того, чтобы ток через гальванометр был равен
нулю (/о = 0). Тогда из A01.3) найдем
1\=12- /3 = /4- О01'5)
а из A01.4) получим
С016)
Из A01.5) и A01.6) вытекает, что
ил и R| =
R0
Я.ч
A01.7)
Таким образом, в случае равновесного моста
(/о = 0) при определении искомого сопротивле-
сопротивления R, э.д.с. батареи, сопротивления батареи
и гальванометра роли не играют.
Рис. 151
На практике обычно используется реохорд-
ный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле-
сопротивления /?з и /?4 представляют собой длинную одно-
однородную проволоку (реохорд) с большим удель-
удельным сопротивлением, так что отношение Rs/Ri
можно заменить отношением U/U. Тогда, ис-
используя выражение A01.7), можно записать
«!=«2—. A0I.8)
физик.
Ч. Уитстон A802—1875) — английский
Длины /3 и U легко измеряются по шкале,
а /?2 всегда известно. Поэтому уравнение
A01.8) позволяет определить неизвестное со-
сопротивление R\.
6 Т. И. Трофимова

¦ i. .-XlCKI pil'K'i ll'.u II v [I'M [KIM.и ll'-'i !! iM
Контрольные вопросы
• Что называется силой тока? плотностью тока? Каковы их единицы? (Дать определения.)
• Назовите условия возникновения и существования электрического тока.
• Что такое сторонние силы? Какова их природа?
• В чем заключается физический смысл электродвижущей силы, действующей в цепи? напряже-
напряжения? разности потенциалов?
• Почему напряжение является обобщенным понятием разности потенциалов?
• Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и удельной
проводимостью? Каковы их единицы? (Дать определения.)
• В чем заключается явление сверхпроводимости? Каковы его перспективы?
• На чем основано действие термометров сопротивления?
• Выведите законы Ома и Джоуля — Ленца в дифференциальной форме.
• В чем заключается физический смысл удельной тепловой мощности тока?
• Проанализируйте обобщенный закон Ома. Какие частные законы можно из него получить?
• Как формулируются правила Кирхгофа? На чем они основаны?
• Как составляются уравнения, выражающие правила Кирхгофа? Как избежать лишних уравне-
уравнений?
Задачи
12.1. По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток; сила тока I А. Определить среднюю
скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на
каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3.
[74 мкм/с]
12.2. Определить, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего через платиновую печь, если
при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t\ = 20°C до <2 =
= 1200°С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным
3,65- |0 К"'. [В 5 раз]
12.3. По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определить силу, действующую на
отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление
меди 17 нОм-м. [2,72-Ю-21 Н]
12.4. Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от /0 = 3 А до / = 0 за
30 с. Определить выделившееся за это время в проводнике количество теплоты. [900 Дж]
12.5. Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5 А/см2. Определить удельную
тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 нОм -м. [65 Дж/(м3-с) ]
12.6. Определить внутреннее сопротивление г источника тока, если во внешней цепи при силе тока
/, = 5 А выделяется мощность Р| = 10 Вт, а при силе тока /г = 8А — мощность Р? =
= 12 Вт. [0,17 Ом]
12.7. Три источника тока с э.д.с. 2Г| = 1,8 В, ^2= 1,4 В и ?Гз= 1,1 В соединены накоротко однои-
одноименными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника г, =0,4 Ом, второго —
г2 = 0,6 Ом. Определить внутреннее сопротивление третьего источника, если через первый
источник идет ток Л = 1,13 А. [0,2 Ом]

I .1 а и ;-i 1,1. Электрические токи » mit.'ujii:., пукууие п r n;i.\
1 ti.4
Глава 13
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
§ 102. Элементарная
классическая теория
электропроводности металлов
Носителями тока в металлах являются
свободные электроны, т. е. электроны,
слабо связанные с ионами кристалличе-
кристаллической решетки металла. Это представление
о природе носителей тока в металлах осно-
основывается на электронной теории проводи-
проводимости металлов, созданной немецким фи-
физиком П. Друде A863—1906) и разрабо-
разработанной впоследствии нидерландским фи-
физиком X. Лоренцем, а также на ряде
классических опытов, подтверждающих
положения электронной теории.
Первый из таких опытов — опыт Рик-
ке * A901), в котором в течение года
электрический ток пропускался через три
последовательно соединенных с тщательно
отшлифованными торцами металлических
цилиндров (Си, А1, Си) одинакового ради-
радиуса. Несмотря на то что общий заряд,
прошедший через эти цилиндры, достигал
огромного значения («3,5-106 Кл), ни-
никаких, даже микроскопических, следов пе-
переноса вещества не обнаружилось. Это
явилось экспериментальным доказательст-
доказательством того, что ионы в металлах не участву-
участвуют в переносе электричества, а перенос
заряда в металлах осуществляется части-
частицами, которые являются общими для всех
металлов. Такими частицами могли быть
открытые в 1897 г. английским физиком
Д. Томсоном A856—1940) электроны.
Для доказательства этого предполо-
предположения необходимо было определить
знак и величину удельного заряда но-
носителей (отношение заряда носителя
к его массе). Идея подобных опытов за-
заключалась в следующем: если в металле
имеются подвижные, слабо связанные
с решеткой носители тока, то при резком
торможении проводника эти частицы дол-
должны по инерции смещаться вперед, как
физик.
К. Рикке A845—1915) — немецкий
смещаются вперед пассажиры, стоящие
в вагоне при его торможении. Результатом
смещения зарядов должен быть импульс
тока; по направлению тока можно опреде-
определить знак носителей тока, а зная размеры
и сопротивление проводника, можно вы-
вычислить удельный заряд носителей. Идея
этих опытов A913) и их качественное
воплощение принадлежат советским физи-
физикам С. Л. Мандельштаму A879—1944)
и Н. Д. Папалекси A880—1947). Эти
опыты в 1916 г. были усовершенствованы и
проведены американским физиком Р. Тол-
меном A881 —1948) и ранее шотландским
физиком Б. Стюартом A828—1887). Ими
экспериментально доказано, что носители
тока в металлах заряжены отрицательно,
а их удельный заряд приблизительно оди-
одинаков для всех исследованных металлов.
По значению удельного заряда носителей
электрического тока и по определенному
ранее Р. Милликеном элементарному
электрическому заряду была определена
их масса. Оказалось, что значения удель-
удельного заряда и массы носителей тока
и электронов, движущихся в вакууме, со-
совпадали. Таким образом, было оконча-
окончательно доказано, что носителями электри-
электрического тока в металлах являются свобод-
свободные электроны.
Существование свободных электронов
в металлах можно объяснить следующим
образом: при образовании кристалличе-
кристаллической решетки металла (в результате сбли-
сближения изолированных атомов) валентные
электроны, сравнительно слабо связанные
с атомными ядрами, отрываются от ато-
атомов металла, становятся «свободными»
и могут перемещаться по всему объему.
Таким образом, в узлах кристаллической
решетки располагаются ионы металла,
а между ними хаотически движутся сво-
свободные электроны, образуя своеобразный
электронный газ, обладающий, согласно
электронной теории металлов, свойствами
идеального газа.
Электроны проводимости при своем
движении сталкиваются с ионами решет-
решетки, в результате чего устанавливается тер-

3. Элоктричеспн! и
модинамическое равновесие между элек-
электронным газом и решеткой. По теории Дру-
де — Лоренца, электроны обладают такой
же энергией теплового движения, как и мо-
молекулы одноатомного газа. Поэтому, при-
применяя выводы молекулярно-кинетической
теории (см. D4.3)), можно найти среднюю
скорость теплового движения электронов
которая для 7 = 300 К равна 1,1-105 м/с.
Тепловое движение электронов, являясь
хаотическим, не может привести к возник-
возникновению тока.
При наложении внешнего электриче-
электрического поля на металлический проводник
кроме теплового движения электронов
возникает их упорядоченное движение,
т. е. возникает электрический ток. Сред-
Среднюю скорость (v) упорядоченного движе-
движения электронов можно оценить согласно
формуле (96.1) для плотности тока: /' =
ne{v). Выбрав допустимую плотность
тока, например для медных проводов
107 А/м2, получим, что при концентрации
носителей тока п = 8-1028 м~3 средняя
скорость (v) упорядоченного движения
электронов равна 7,8-10~4 м/с. Следова-
Следовательно, (и)<С(и), т. е. даже при очень
больших плотностях тока средняя ско-
скорость упорядоченного движения электро-
электронов, обусловливающего электрический ток,
значительно меньше их скорости теплово-
теплового движения. Поэтому при вычислениях
результирующую скорость ((v) -\- (и))
можно заменять скоростью теплового дви-
движения (и).
Казалось бы, полученный результат
противоречит факту практически мгновен-
мгновенной передачи электрических сигналов на
большие расстояния. Дело в том, что
замыкание электрической цепи влечет за
собой распространение электрического
поля со скоростью с (с = 3-10в м/с).
Через время t = l/c (/ — длина цепи) вдоль
цепи установится стационарное электри-
электрическое поле и в ней начнется упорядо-
упорядоченное движение электронов. Поэтому
электрический ток возникает в цепи
практически одновременно с ее замыка-
замыканием.
§ 103. Вывод основных законов
электрического тока
в классической теории
электропроводности металлов
1. Закон Ома. Пусть в металлическом
проводнике существует электрическое по-
поле напряженностью ? = const. Co стороны
поля заряд е испытывает действие силы
F = eE и приобретает ускорение a = F/m =
= еЕ/т. Таким образом, во время сво-
свободного пробега электроны движутся рав-
равноускоренно, приобретая к концу свобод-
свободного пробега скорость
где (t) —среднее время между двумя
последовательными соударениями элек-
электрона с ионами решетки.
Согласно теории Друде, в конце сво-
свободного пробега электрон, сталкиваясь
с ионами решетки, отдает им накопленную
в поле энергию, поэтому скорость его упо-
упорядоченного движения становится равной
нулю. Следовательно, средняя скорость
направленного движения электрона
Классическая теория металлов не учи-
учитывает распределения электронов по ско-
скоростям, поэтому среднее время (/) сво-
свободного пробега определяется средней
длиной свободного пробега (/) и средней
скоростью движения электронов относи-
относительно кристаллической решетки провод-
проводника, равной (и) + (v) ((и) —средняя
скорость теплового движения электронов).
В §102 было показано, что
поэтому
Подставив значение (t) в формулу
A03.1), получим
(v)=eE(t)/Bm(u}).
Плотность тока в металлическом провод-
проводнике, по (96.1),
\ = пе (v) =
2т (и)
откуда видно, что плотность тока пропор-
пропорциональна напряженности поля,

I" ;i ii в ;i I,!. Электрические токи и металлах, вакууме к [;i:i;ix
16Г>
т. е. получили закон Ома в дифференци-
дифференциальной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент
пропорциональности между / и ? есть не
что иное, как удельная проводимость ма-
материала
Т =
пе\1)
A03.2)
2m'
которая тем больше, чем больше концен-
концентрация свободных электронов и средняя
длина их свободного пробега.
2. Закон Джоуля — Ленца. К концу
свободного пробега электрон под действи-
действием поля приобретает дополнительную ки-
кинетическую энергию
ти„
„2 / i \ 2
6 (/> . Е\ A03.3)
2т(иJ
При соударении электрона с ионом эта
энергия полностью передается решетке
и идет на увеличение внутренней энергии
металла, т. е. на его нагревание.
За единицу времени электрон испыты-
испытывает с узлами решетки в среднем (z)
столкновений:
<2> = <и>/</>. A03.4)
Если п — концентрация электронов, то
в единицу времени происходит n.(z) стол-
столкновений и решетке передается энергия
?к>, A03.5)
которая идет на нагревание проводника.
Подставив A03.3) и A03.4) в A03.5),
получим таким образом энергию, переда-
передаваемую решетке в единице объема провод-
проводника за единицу времени,
"" ")-Е2. A03.6)
Величина w называется удельной тепловой
мощностью тока (см. §99). Коэффициент
пропорциональности между w и Е2 по
A03.2) есть удельная проводимость 7; сле-
следовательно, выражение A03.6) —закон
Джоуля — Ленца в дифференциальной
форме (ср. с (99.7)).
3. Закон Видемана — Франца. Метал-
Металлы обладают как большой электропровод-
электропроводностью, так и высокой теплопроводностью.
Это объясняется тем, что носителями тока
и теплоты в металлах являются одни и те
же частицы — свободные электроны, кото-
которые, перемещаясь в металле, переносят не
только электрический заряд, но и прису-
присущую им энергию хаотического теплового
движения, т. е. осуществляют перенос
теплоты.
Видеманом и Францем в 1853 г. экспе-
экспериментально установлен закон, согласно
которому отношение теплопроводности (X)
к удельной проводимости (v) для всех
металлов при одной и той же температуре
одинаково и увеличивается пропорцио-
пропорционально термодинамической температуре:
где р — постоянная, не зависящая от рода
металла.
Элементарная классическая теория
электропроводности металлов позволила
найти значение |3: р = 3(/г/еJ, где k — пос-
постоянная Больцмана. Это значение хорошо
согласуется с опытными данными. Однако,
как оказалось впоследствии, это согласие
теоретического значения с опытным слу-
случайно. Лоренц, применив к электронному
газу статистику Максвелла — Больцмана,
учтя тем самым распределение электронов
по скоростям, получил р = 2(/г/еJ, что
привело к резкому расхождению теории
с опытом.
Таким образом, классическая теория
электропроводности металлов объяснила
законы Ома и Джоуля — Ленца, а также
дала качественное объяснение закона Ви-
Видемана — Франца. Однако она помимо
рассмотренных противоречий в законе Ви-
Видемана — Франца столкнулась еще с ря-
рядом трудностей при объяснении различных
опытных данных. Рассмотрим некоторые
из них.
Температурная зависимость сопротив-
сопротивления. Из формулы удельной проводимо-
проводимости A03.2) следует, что сопротивление
металлов, т. е. величина, обратно пропор-
пропорциональная v, должна возрастать пропор-
пропорционально д/7 (в A03.2) пи (I) от темпе-
температуры не зависят, а (и) ~^Т). Этот
вывод электронной теории противоречит
опытным данным, согласно которым
R~T (см. §98).

I се,
Оценка средней длины свободного про-
пробега электронов в металлах. Чтобы по
формуле A03.2) получить v. совпадающие
с опытными значениями, надо принимать
(I) значительно больше истинных, иными
словами, предполагать, что электрон про-
проходит без соударений с ионами решетки
сотни междоузельных расстояний, что не
согласуется с теорией Друде — Лоренца.
Теплоемкость металлов. Теплоемкость
металла складывается из теплоемкости
его кристаллической решетки и теплоемко-
теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная
(т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоем-
теплоемкость металла должна быть значительно
большей, чем атомная теплоемкость ди-
диэлектриков, у которых нет свободных элек-
электронов. Согласно закону Дюлонга и Пти
(см. §73), теплоемкость одноатомного
кристалла равна 3R. Учтем, что теплоем-
теплоемкость одноатомного электронного газа
равна ^/iR. Тогда атомная теплоемкость
металлов должна быть близка к 4,5/?.
Однако опыт доказывает, что она равна 3R,
т. е. для металлов, так же как и для
диэлектриков, хорошо выполняется закон
Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие
электронов проводимости практически не
сказывается на значении теплоемкости,
что не объясняется классической электрон-
электронной теорией.
Указанные расхождения теории с опы-
опытом можно объяснить тем, что движение
электронов в металлах подчиняется не
законам классической механики, а зако-
законам квантовой механики и, следовательно,
поведение электронов проводимости надо
описывать не статистикой Максвелла —
Больцмана, а квантовой статистикой. По-
Поэтому объяснить затруднения элементар-
элементарной классической теории электропровод-
электропроводности металлов можно лишь квантовой тео-
теорией, которая будет рассмотрена в даль-
дальнейшем. Надо, однако, отметить, что клас-
классическая электронная теория не утратила
своего значения и до настоящего времени,
так как во многих случаях (например, при
малой концентрации электронов проводи-
проводимости и высокой температуре) она дает
правильные качественные результаты
и является по сравнению с квантовой тео-
теорией простой и наглядной.
§ 104. Работа выхода электронов
и:1 металла
Как показывает опыт, свободные электро-
электроны при обычных температурах практиче-
практически не. покидают металл. Следовательно,
в поверхностном слое металла должно
быть задерживающее электрическое поле,
препятствующее выходу электронов из ме-
металла в окружающий вакуум. Работа, ко-
которую нужно затратить для удаления
электрона из металла в вакуум, называет-
называется работой выхода. Укажем две вероятные
причины появления работы выхода:
1. Если электрон по какой-то причине
удаляется из металла, то в том месте,
которое электрон покинул, возникает из-
избыточный положительный заряд и элект-
электрон притягивается к индуцированному им
самим положительному заряду.
2. Отдельные электроны, покидая ме-
металл, удаляются от него на расстояния
порядка атомных и создают тем самым
над поверхностью металла «электронное
облако», плотность которого быстро убы-
убывает с расстоянием. Это облако вместе
с наружным слоем положительных ионов
решетки образует двойной электрический
слой, поле которого подобно полю плоско-
плоского конденсатора. Толщина этого слоя рав-
равна нескольким межатомным расстояниям
A0~10 — 10~9 м). Он не создает элек-
электрического поля во внешнем пространстве,
но препятствует выходу свободных элек-
электронов из металла.
Таким образом, электрон при вылете
из металла должен преодолеть задержи-
задерживающее его электрическое поле двойного
слоя. Разность потенциалов Аф в этом
слое, называемая поверхностным скачком
потенциала, определяется работой выхода
(А) электрона из металла:
где е — заряд электрона. Так как вне
двойного слоя электрическое поле отсут-
отсутствует, то потенциал среды равен нулю,
а внутри металла потенциал положителен
и равен Дф. Потенциальная энергия сво-
свободного электрона внутри металла равна
— еДф и является относительно вакуума
отрицательной. Исходя из этого можно

I л а и ;i 14. Электрические тики и металлах, иакууме и [а.:а\
считать, что весь объем металла для элек-
электронов проводимости представляет потен-
потенциальную яму с плоским дном, глубина
которой равна работе выхода А.
Работа выхода выражается в элект-
электрон-вольтах (эВ): 1 эВ равен работе, со-
совершаемой силами поля при перемещении
элементарного электрического заряда (за-
(заряда, равного заряду электрона) при про-
прохождении им разности потенциалов
в 1 В. Так как заряд электрона равен
1,6-КГ19 Кл, то 1 эВ= 1,6- Ю-'9 Дж.
Работа выхода зависит от химической
природы металлов и от чистоты их по-
поверхности и колеблется в пределах не-
нескольких электрон-вольт (например, у ка-
калия А=2,2 эВ, у платины Л = 6,3 эВ).
Подобрав определенным образом покры-
покрытие поверхности, можно значительно
уменьшить работу выхода. Например, если
нанести на поверхность вольфрама (А =
= 4,5 эВ) слой оксида щелочно-земельно-
го металла (Са, Sr, Ba), то работа выхода
снижается до 2 эВ.
§ 105. Эмиссионные явления
и их применение
Если сообщить электронам в металлах
энергию, необходимую для преодоления
работы выхода, то часть электронов может
покинуть металл, в результате чего на-
наблюдается явление испускания электро-
электронов, или электронной эмиссии. В зависи-
зависимости от способа сообщения электронам
энергии различают термоэлектронную, фо-
фотоэлектронную, вторичную электронную
и автоэлектронную эмиссии.
1. Термоэлектронная эмиссия — это
испускание электронов нагретыми метал-
металлами. Концентрация свободных электро-
электронов в металлах достаточно высока, поэто-
поэтому даже при средних температурах вслед-
вследствие распределения электронов по скоро-
скоростям (по энергии) некоторые электроны
обладают энергией, достаточной для прео-
преодоления потенциального барьера на гра-
границе металла. С повышением температуры
число электронов, кинетическая энергия
теплового движения которых больше ра-
работы выхода, растет и явление термоэлек-
термоэлектронной эмиссии становится заметным.
Рис. 152
Исследование закономерностей термо-
термоэлектронной эмиссии можно провести с по-
помощью простейшей двухэлектродной лам-
лампы — вакуумного диода, представляюще-
представляющего собой откачанный баллон, содержащий
два электрода: катод К и анод А. В про-
простейшем случае катодом служит нить из
тугоплавкого металла (например, воль-
вольфрама), накаливаемая электрическим то-
током. Анод чаще всего имечч форму ме-
металлического цилиндра, окружающего ка-
катод. Если диод включить в цепь, как это
показано на рис. 152, то при накаливании
катода и подаче на анод положительного
напряжения (относительно катода)
в анодной цепи диода возникает ток. Если
поменять полярность батареи Ба, то ток
прекращается, как бы сильно катод ни
накаливали. Следовательно, катод ис-
испускает отрицательные частицы — элек-
электроны.
Если поддерживать температуру на-
накаленного катода постоянной и снять за-
зависимость анодного тока /а от анодного
напряжения U3 — вольт-амперную харак-
характеристику (рис. 153), то оказывается, что
она не является линейной, т. е. для ваку-
вакуумного диода закон Ома не выполняется.
Зависимость термоэлектронного тока / от
анодного напряжения в области малых
t
"не 1Г>,Ч

3. Электричестио и элсктримаг петизм
положительных значений U описывается
законом трех вторых (установлен русским
физиком С. А. Богуславским A883—
1923) и американским физиком И. Ленг-
мюром A881 — 1957)):
где В — коэффициент, зависящий от фор-
формы и размеров электродов, а также их
взаимного расположения.
При увеличении анодного напряжения
ток возрастает до некоторого максималь-
максимального значения /нас, называемого током на-
насыщения. Это означает, что почти все
электроны, покидающие катод, достигают
анода, поэтому дальнейшее увеличение на-
напряженности поля не может привести
к увеличению термоэлектронного тока.
Следовательно, плотность тока насыщения
характеризует эмиссионную способность
материала катода.
Плотность тока насыщения определя-
определяется формулой Ричардсона — Дешмана,
выведенной теоретически на основе кван-
квантовой статистики:
/нас—Ll1 е
где А — работа выхода электронов из ка-
катода, Т — термодинамическая температу-
температура, С — постоянная, теоретически одина-
одинаковая для всех металлов (это не подтвер-
подтверждается экспериментом, что, по-видимому,
объясняется поверхностными эффектами).
Уменьшение работы выхода приводит
к резкому увеличению плотности тока на-
насыщения. Поэтому применяются оксидные
катоды (например, никель, покрытый ок-
оксидом щелочно-земельного металла), ра-
работа выхода которых равна 1 —1,5 эВ.
На рис. 153 представлены вольт-ам-
вольт-амперные характеристики для двух темпера-
температур катода: 7"i и Тч, причем T2>Ti. С по-
повышением температуры катода испуска-
испускание электронов с катода интенсивнее, при
этом увеличивается и ток насыщения.
При Ua=0 наблюдается анодный ток,
т. е. некоторые электроны, эмиттируемые
катодом, обладают энергией, достаточной
для преодоления работы выхода и дости-
достижения анода без приложения электриче-
электрического поля.
Явление термоэлектронной эмиссии ис-
используется в приборах, в которых необхо-
необходимо получить поток электронов в вакуу-
вакууме, например в электронных лампах, рен-
рентгеновских трубках, электронных микро-
микроскопах и т. д. Электронные лампы широко
применяются в электро- и радиотехнике,
автоматике и телемеханике для выпрямле-
выпрямления переменных токов, усиления электри-
электрических сигналов и переменных токов, гене-
генерирования электромагнитных колебаний
и т. д. В зависимости от назначения
в лампах используются дополнительные
управляющие электроды.
2. Фотоэлектронная эмиссия — это
эмиссия электронов из металла под
действием света, а также коротковол-
коротковолнового электромагнитного излучения
(например, рентгеновского). Основные
закономерности этого явления будут
разобраны при рассмотрении фотоэлек-
фотоэлектрического эффекта.
3. Вторичная электронная эмиссия —
это испускание электронов поверхностью
металлов, полупроводников или диэлек-
диэлектриков при бомбардировке их пучком
электронов. Вторичный электронный поток
состоит из электронов, отраженных повер-
поверхностью (упруго и неупруго отраженные
электроны), и «истинно» вторичных элек-
электронов — электронов, выбитых из металла,
полупроводника или диэлектрика первич-
первичными электронами.
Отношение числа вторичных электро-
электронов «2 к числу первичных /ii, вызвавших
эмиссию, называется коэффициентом вто-
вторичной электронной эмиссии:
Коэффициент 6 зависит от природы мате-
материала поверхности, энергии бомбардиру-
бомбардирующих частиц и их угла падения на поверх-
поверхность. У полупроводников и диэлектриков б
больше, чем у металлов. Это объясняется
тем, что в металлах, где концентрация
электронов проводимости велика, вторич-
вторичные электроны, часто сталкиваясь с ними,
теряют свою энергию и не могут выйти из
металла. В полупроводниках и диэлектри-
диэлектриках же из-за малой концентрации элек-
электронов проводимости столкновения вто-
вторичных электронов с ними происходят го-

Г.1 а в у 1.4. Электрические токи и металлах, вакууме и ивах
169
13 5 7 9
Рис. 1Г>4
?,кэВ
раздо реже и вероятность выхода вторич-
вторичных электронов из эмиттера возрастает
в несколько раз.
Для примера на рис. 154 приведена
качественная зависимость коэффициента
вторичной электронной эмиссии б от энер-
энергии Е падающих электронов для КС1.
С увеличением энергии электронов б воз-
возрастает, так как первичные электроны все
глубже проникают в кристаллическую ре-
решетку и, следовательно, выбивают больше
вторичных электронов. Однако при некото-
некоторой энергии первичных электронов б на-
начинает уменьшаться. Это связано с тем,
что с увеличением глубины проникновения
первичных электронов вторичным все
труднее вырваться на поверхность. Значе-
Значение бтах для КС1 достигает «12 (для
чистых металлов оно не превышает 2).
Явление вторичной электронной эмис-
эмиссии используется в фотоэлектронных ум-
умножителях (ФЭУ), применяемых для уси-
усиления слабых электрических токов. ФЭУ
представляет собой вакуумную трубку
с фотокатодом К и анодом А, между кото-
которыми расположено несколько электро-
электродов— эмиттеров (рис. 155). Электроны,
вырванные с фотокатода под действием
света, попадают на эмиттер Э|, пройдя
ускоряющую разность потенциалов между
К и Э|. Из эмиттера Э| выбивается б
электронов. Усиленный таким образом
э, э,
Свет I
ш
электронный поток направляется на эмит-
эмиттер Ээ, и процесс умножения повторяется
на всех последующих эмиттерах. Если
ФЭУ содержит п эмиттеров, то на аноде А,
называемом коллектором, получается уси-
усиленный в б" раз фотоэлектронный ток.
4. Автоэлектронная эмиссия — это
эмиссия электронов с поверхности метал-
металлов под действием сильного внешнего
электрического поля. Эти явления можно
наблюдать в откачанной трубке, конфигу-
конфигурация электродов которой (катод —
острие, анод — внутренняя поверхность
трубки) позволяет при напряжениях при-
примерно 103 В получать электрические поля
напряженностью примерно 1Q7 В/м. При
постепенном повышении напряжения уже
при напряженности поля у поверхности
катода примерно 105-М06 В/м возникает
слабый ток, обусловленный электронами,
испускаемыми катодом. Сила этого тока
увеличивается с повышением напряжения
на трубке. Токи возникают при холодном
катоде, поэтому описанное явление назы-
называется также холодной эмиссией. Объяс-
Объяснение механизма этого явления возможно
лишь на основе квантовой теории.
§ 106. Ионизация газов.
Несамостоятельный
газовый разряд
Газы при не слишком высоких температу-
температурах и при давлениях, близких к атмосфер-
атмосферному, являются хорошими изоляторами.
Если поместить в сухой атмосферный воз-
воздух заряженный электрометр с хорошей
изоляцией, то его заряд долго остается
неизменным. Это объясняется тем, что га-
газы при обычных условиях состоят из ней-
нейтральных атомов и молекул и не содержат
свободных зарядов (электронов и ионов).
Газ становится проводником электричест-
электричества, когда некоторая часть его молекул
ионизуется, т. е. произойдет расщепление
нейтральных атомов и молекул на ионы
и свободные электроны. Для этого газ
надо подвергнуть действию какого-либо
ионизатора (например, поднеся к заря-
заряженному электрометру пламя свечи, на-
наблюдаем спад его заряда; здесь электро-
электропроводность газа вызвана нагреванием).

I 70
Элок'[ ричостт; и :»лек'[ роммпк/'пг'.м
При ионизации газов, таким образом,
под действием какого-либо ионизатора
происходит вырывание из электронной
оболочки атома или молекулы одного или
нескольких электронов, что приводит к об-
образованию свободных электронов и поло-
положительных ионов. Электроны могут при-
присоединяться к нейтральным молекулам
и атомам, превращая их в отрицательные
ионы. Следовательно, в ионизованном газе
имеются положительные и отрицательные
ионы и свободные электроны. Прохожде-
Прохождение электрического тока через газы на-
называется газовым разрядом.
Ионизация газов может происходить
под действием различных ионизаторов:
сильный нагрев (столкновения быстрых
молекул становятся настолько сильными,
что они разбиваются на ионы), короткое
электромагнитное излучение (ультрафио-
(ультрафиолетовое, рентгеновское и 7"излУчения).
корпускулярное излучение (потоки элек-
электронов, протонов, а-частиц) и т. д. Для
того чтобы выбить из молекулы (атома)
один электрон, необходимо затратить оп-
определенную энергию, называемую энер-
энергией ионизации, значения которой для
атомов различных веществ лежат в преде-
пределах 4^-25 эВ.
Одновременно с процессом ионизации
газа всегда идет и обратный процесс —
процесс рекомбинации: положительные
и отрицательные ионы, положительные
ионы и электроны, встречаясь, воссоединя-
воссоединяются между собой с образованием ней-
нейтральных атомов и молекул. Чем больше
ионов возникает под действием ионизато-
ионизатора, тем интенсивнее идет и процесс ре-
рекомбинации.
Строго говоря, электропроводность га-
газа нулю не равна никогда, так как в нем
всегда имеются свободные заряды, обра-
образующиеся в результате действия на газы
излучения радиоактивных веществ, имею-
имеющихся на поверхности Земли, а также
космического излучения. Эта незначитель-
незначительная электропроводность воздуха (интен-
(интенсивность ионизации под действием указан-
указанных факторов невелика) служит причиной
утечки зарядов наэлектризованных тел да-
даже при хорошей их изоляции.
Характер газового разряда определя-
Рис. 156
ется составом газа, его температурой
и давлением, размерами, конфигурацией
и материалом электродов, приложенным
напряжением, плотностью тока.
Рассмотрим цепь, содержащую газо-
газовый промежуток (рис.156), подвергаю-
подвергающийся непрерывному, постоянному по ин-
интенсивности воздействию ионизатора.
В результате действия ионизатора газ
приобретает некоторую электропровод-
электропроводность и в цепи потечет ток, зависимость
которого от приложенного напряжения да-
дана на рис. 157.
На участке кривой ОА сила тока воз-
возрастает пропорционально напряжению,
т. е. выполняется закон Ома. При дальней-
дальнейшем увеличении напряжения закон Ома
нарушается: рост силы тока замедляется
(участок АВ) и наконец прекращается
совсем (участок ВС). Это достигается
в том случае, когда ионы и электроны,
создаваемые внешним ионизатором за
единицу времени, за это же время до-
достигают электродов. В результате получа-
получаем ток насыщения (/„ас), значение которо-
которого определяется мощностью ионизатора.
Рис. 157

;< iM. Илоктрнчссклс Tdsn и vi'tm.'i.m.n, iwmyvM' i i;i-i;i.x
Ток насыщения, таким образом, является
мерой ионизирующего действия ионизато-
ионизатора. Если в режиме ОС прекратить дейст-
действие ионизатора, то прекращается и раз-
разряд. Разряды, существующие только под
действием внешних ионизаторов, называ-
называются несамостоятельными. При дальней-
дальнейшем увеличении напряжения между элек-
электродами сила тока вначале медленно
(участок CD), а затем резко (участок DE)
возрастает. Механизм этого явления будет
рассмотрен в следующем параграфе.
§ 107. Самостоятельный
i'азоиый разряд
и его тины
Разряд в газе, сохраняющийся после
прекращения действия внешнего иониза-
ионизатора, называется самостоятельным.
Рассмотрим условия возникновения са-
самостоятельного разряда. Как уже указыва-
указывалось в § 106, при больших напряжениях
между электродами газового промежутка
(см. рис. 156) ток сильно возрастает
(участки CD и DE на рис. 157). При боль-
больших напряжениях возникающие под дей-
действием внешнего ионизатора электроны,
сильно ускоренные электрическим полем,
сталкиваясь с нейтральными молекулами
газа, ионизируют их, в результате чего
образуются вторичные электроны и поло-
положительные ионы (процесс / на рис. 158).
Положительные ионы движутся к катоду,
а электроны — к аноду. Вторичные элек-
электроны вновь ионизируют молекулы газа, и,
следовательно, общее количество электро-
электронов и ионов будет возрастать по мере
продвижения электронов к аноду лавино-
лавинообразно. Это является причиной увеличе-
« L +
о*~*о .— 4~° о
о
О
О
о
I'm.
ния электрического тока на участке CD
(см. рис. 157). Описанный процесс назы-
называется ударной ионизацией.
Однако ударная ионизация под дей-
действием электронов недостаточна для под-
поддержания разряда при удалении внешнего
ионизатора. Для этого необходимо, чтобы
электронные лавины «воспроизводились»,
т. е. чтобы в газе под действием каких-то
процессов возникали новые электроны. Та-
Такие процессы схематически показаны на
рис. 158: 1) ускоренные полем положи-
положительные ионы, ударяясь о катод, выбивают
из него электроны (процесс 2); 2) поло-
положительные ионы, сталкиваясь с молекула-
молекулами газа, переводят их в возбужденное
состояние; переход таких молекул в нор-
нормальное состояние сопровождается ис-
испусканием фотона (процесс 3); 3) фотон,
поглощенный нейтральной молекулой,
ионизирует ее, происходит так называе-
называемый процесс фотонной ионизации молекул
(процесс 4); 4) выбивание электронов из
катода под действием фотонов (про-
(процесс 5).
Наконец, при значительных напряже-
напряжениях между электродами газового проме-
промежутка наступает момент, когда положи-
положительные ионы, обладающие меньшей дли-
длиной свободного пробега, чем электроны,
приобретают энергию, достаточную для
ионизации молекул газа (процесс 6),
и к отрицательной пластине устремляются
ионные лавины. Когда возникают кроме
электронных лавин еще и ионные, сила
тока растет уже практически без увеличе-
увеличения напряжения (участок DE на рис. 157).
В результате описанных процессов
(/—6) число ионов и электронов в объеме
газа лавинообразно возрастает и разряд
становится самостоятельным, т. е. сохра-
сохраняется после прекращения действия внеш-
внешнего ионизатора. Напряжение, при кото-
котором возникает самостоятельный разряд,
называется напряжением пробоя.
В зависимости от давления газа, кон-
конфигурации электродов, параметров внеш-
внешней цепи можно говорить о четырех типах
самостоятельного разряда: тлеющем,
искровом, дуговом и коронном.
1. Тлеющий разряд возникает при ни-
низких давлениях. Если к электродам, впа-

\T1
Л. Электричество и ъ К'К'1 рома
янным в стеклянную трубку длиной 30—
50 см, приложить постоянное напряжение
в несколько сотен вольт, постепенно отка-
откачивая из трубки воздух, то при давлении
« 5,3-г6,7кПа возникает разряд в виде
светящегося извилистого шнура краснова-
красноватого цвета, идущего от катода к аноду.
При дальнейшем понижении давления
шнур утолщается, и при давлении да 13 Па
разряд имеет вид, схематически изобра-
изображенный на рис. 159.
EZ it
Рис. 159
Непосредственно к катоду прилегает
тонкий светящийся слой / — первое катод-
катодное свечение, или катодная пленка, затем
следует темный слой 2 — катодное темное
пространство, переходящее в дальнейшем
в светящийся слой 3 — тлеющее свечение,
имеющее резкую границу со стороны като-
катода, постепенно исчезающую со стороны
анода. Оно возникает из-за рекомбинации
электронов с положительными ионами.
С тлеющим свечением граничит темный
промежуток 4 — фарадеево темное про-
пространство, за которым следует столб иони-
ионизированного светящегося газа 5 — поло-
положительный столб. Положительный столб
существенной роли в поддержании разря-
разряда не имеет. Например, при уменьшении
расстояния между электродами трубки его
длина сокращается, в то время как катод-
катодные части разряда по форме и величине
остаются неизменными. В тлеющем разря-
разряде особое значение для его поддержания
имеют только две его части: катодное тем-
темное пространство и тлеющее свечение.
В катодном темном пространстве происхо-
происходит сильное ускорение электронов и поло-
положительных ионов, выбивающих электроны
с катода (вторичная эмиссия). В области
тлеющего свечения же происходит удар-
ударная ионизация электронами молекул газа.
Образующиеся при этом положительные
ионы устремляются к катоду и выбивают
из него новые электроны, которые, в свою
очередь, опять ионизируют газ и т. д. Та-
Таким образом непрерывно поддерживается
тлеющий разряд.
При дальнейшем откачивании трубки
при давлении яв 1,3 Па свечение газа ос-
ослабевает и начинают светиться стенки
трубки. Электроны, выбиваемые из катода
положительными ионами, при таких разре-
разрежениях редко сталкиваются с молекулами
газа и поэтому, ускоренные полем, ударя-
ударяясь о стекло, вызывают его свечение, так
называемую катодолюминесценцию. По-
Поток этих электронов исторически получил
название катодных лучей. Если в катоде
просверлить малые отверстия, то положи-
положительные ионы, бомбардирующие катод,
пройдя через отверстия, проникают в про-
пространство за катодом и образуют резко
ограниченный пучок, получивший назва-
название каналовых (или положительных) лу-
лучей, названных по знаку заряда, который
они несут.
Тлеющий разряд широко используется
в технике. Так как свечение положитель-
положительного столба имеет характерный для каж-
каждого газа цвет, то его используют в газо-
газосветных трубках для светящихся надписей
и реклам (например, неоновые газораз-
газоразрядные трубки дают красное свечение,
аргоновые — синевато-зеленое). В лампах
дневного света, более экономичных, чем
лампы накаливания, излучение тлеющего
разряда, происходящее в парах ртути, по-
поглощается нанесенным на внутреннюю по-
поверхность трубки флуоресцирующим ве-
веществом (люминофором), начинающим
под воздействием поглощенного излучения
светиться. Спектр свечения при соответ-
соответствующем подборе люминофоров близок
к спектру солнечного излучения. Тлеющий
разряд используется для катодного напы-
напыления металлов. Вещество катода в тлею-
тлеющем разряде вследствие бомбардировки
положительными ионами, сильно нагрева-
нагреваясь, переходит в парообразное состояние.
Помещая вблизи катода различные пред-
предметы, их можно покрыть равномерным
слоем металла.
2. Искровой разряд возникает при
больших напряженностях электрического
поля (« 3-Ю6 В/м) в газе, находящемся
под давлением порядка атмосферного.
Искра имеет вид ярко светящегося тонко-

I .1 a !'. и Hi. Электрические токи и металлах, вакууме i i,iia\
173
го канала, сложным образом изогнутого
и разветвленного.
Объяснение искрового разряда дается
на основе стримерной теории, согласно
которой возникновению ярко светящегося
канала искры предшествует появление
слабосветящихся скоплений ионизованно-
ионизованного газа — стримеров. Стримеры возника-
возникают не только в результате образования
электронных лавин посредством ударной
ионизации, но и в результате фотонной
ионизации газа. Лавины, догоняя друг
друга, образуют проводящие мостики из
стримеров, по которым в следующие мо-
моменты времени и устремляются мощные
потоки электронов, образующие каналы
искрового разряда. Из-за выделения при
рассмотренных процессах большого коли-
количества энергии газ в искровом промежутке
нагревается до очень высокой температу-
температуры (примерно 104 К), что приводит к его
свечению. Быстрый нагрев газа ведет к по-
повышению давления и возникновению удар-
ударных волн, объясняющих звуковые эффек-
эффекты при искровом разряде — характерное
потрескивание в слабых разрядах и мощ-
мощные раскаты грома в случае молнии, явля-
являющейся примером мощного искрового раз-
разряда между грозовым облаком и Землей
или между двумя грозовыми облаками.
Искровой разряд используется для
воспламенения горючей смеси в двигате-
двигателях внутреннего сгорания и предохране-
предохранения электрических линий передачи от пе-
перенапряжений (искровые разрядники).
При малой длине разрядного промежутка
искровой разряд вызывает разрушение
(эрозию) поверхности металла, поэтому
он применяется для электроискровой точ-
точной обработки металлов (резание, сверле-
сверление). Его используют в спектральном ана-
анализе для регистрации заряженных частиц
(искровые счетчики).
3. Дуговой разряд. Если после зажи-
зажигания искрового разряда от мощного
источника постепенно уменьшать расстоя-
расстояние между электродами, то разряд стано-
становится непрерывным — возникает дуговой
разряд. При этом сила тока резко воз-
возрастает, достигая сотен ампер, а напряже
ние на разрядном промежутке падает до
нескольких десятков вольт. Дуговой раз-
разряд можно получить от источника низкого
напряжения минуя стадию искры. Для
этого электроды (например, угольные)
сближают до соприкосновения, они сильно
раскаляются электрическим током, потом
их разводят и получают электрическую
дугу (именно так она была открыта
В. В. Петровым). При атмосферном дав-
давлении температура катода приблизительно
равна 3900 К. По мере горения дуги
угольный катод заостряется, а на аноде
образуется углубление — кратер, являю-
являющийся наиболее горячим местом дуги.
По современным представлениям, ду-
дуговой разряд поддерживается за счет вы-
высокой температуры катода из-за интенсив-
интенсивной термоэлектронной эмиссии, а также
термической ионизации молекул, обуслов-
обусловленной высокой температурой газа.
Дуговой разряд находит широкое при-
применение в народном хозяйстве для сварки
и резки металлов, получения высококаче-
высококачественных сталей (дуговая печь) и освеще-
освещения (прожекторы, проекционная аппара-
аппаратура). Широко применяются также дуго-
дуговые лампы с ртутными электродами
в кварцевых баллонах, где дуговой разряд
возникает в ртутном паре при откачанном
воздухе. Дуга, возникающая в ртутном
паре, является мощным источником уль-
ультрафиолетового излучения и используется
в медицине (например, кварцевые лампы).
Дуговой разряд при низких давлениях
в парах ртути используется в ртутных
выпрямителях для выпрямления перемен-
переменного тока.
4. Коронный разряд — высоковольт-
высоковольтный электрический разряд при высоком
(например, атмосферном) давлении в рез-
конеоднородном поле вблизи электродов
с большой кривизной поверхности (напри-
(например, острия). Когда напряженность поля
вблизи острия достигает 30 кВ/см, то во-
вокруг него возникает свечение, имеющее
вид короны, чем и вызвано название этого
вида разряда.
В зависимости от знака коронирующе-
го электрода различают отрицательную
или положительную корону. В случае от-
отрицательной короны рождение электронов,
вызывающих ударную ионизацию молекул
газа, происходит за счет эмиссии их из

I /4
Hu-ki ;>и«:c-i г ни
катода под действием положительных
ионов, в случае положительной — вслед-
вследствие ионизации газа вблизи анода.
В естественных условиях корона возника-
возникает под влиянием атмосферного электриче-
электричества у вершин мачт (на этом основано
действие молниеотводов), деревьев*.
Вредное действие короны вокруг проводов
высоковольтных линий передачи проявля-
проявляется в возникновении вредных токов утеч-
утечки. Для их снижения провода высоковоль-
высоковольтных линий делаются толстыми. Коронный
разряд, являясь прерывистым, становится
также источником радиопомех.
Используется коронный разряд в элек-
электрофильтрах, применяемых для очистки
промышленных газов от примесей. Газ,
подвергаемый очистке, движется снизу
вверх в вертикальном цилиндре, по оси
которого расположена коронирующая
проволока. Ионы, имеющиеся в большом
количестве во внешней части короны, осе-
оседают на частицах примеси и увлекаются
полем к внешнему некоронирующему элек-
электроду и на нем оседают. Коронный разряд
применяется также при нанесении порош-
порошковых и лакокрасочных покрытий.
§ !08. Плазма и ее свойства
Плазмой называется сильно ионизован-
ионизованный газ, в котором концентрации положи-
положительных и отрицательных зарядов практи-
практически одинаковы. Различают высокотемпе-
высокотемпературную плазму, возникающую при
сверхвысоких температурах, и газоразряд-
газоразрядную плазму, возникающую при газовом
разряде. Плазма характеризуется сте-
степенью ионизации а — отношением числа
ионизованных частиц к полному их числу
в единице объема плазмы. В зависимости
от величины а говорят о слабо (а со-
составляет доли процента), умеренно (а—
несколько процентов) и полностью (а
близко к 100 %) ионизованной плазме.
Заряженные частицы (электроны,
ионы) газоразрядной плазмы, находясь
в ускоряющем электрическом поле, обла-
обладают различной средней кинетической
* Это явление получило в древности на-
название огней святого Эльма.
энергией. Это означает, что температура
Те электронного газа одна, а ионного 7"„ —
другая, причем Те>Т„. Несоответствие
этих температур указывает на то, что газо-
газоразрядная плазма является неравновес-
неравновесной, поэтому она называется также неизо-
неизотермической. Убыль числа заряженных
частиц в процессе рекомбинации в газо-
газоразрядной плазме восполняется ударной
ионизацией электронами, ускоренными
электрическим полем. Прекращение дейст-
действия электрического поля приводит к исчез-
исчезновению газоразрядной плазмы.
Высокотемпературная плазма являет-
является равновесной, или изотермической,
т. е. при определенной температуре убыль
числа заряженных частиц восполняется
в результате термической ионизации. В та-
такой плазме соблюдается равенство сред-
средних кинетических энергий составляющих
плазму различных частиц. В состоянии
подобной плазмы находятся звезды, звезд-
звездные атмосферы, Солнце. Их температура
достигает десятков миллионов градусов.
Условием существования плазмы яв-
является некоторая минимальная плотность
заряженных частиц, начиная с которой
можно говорить о плазме как таковой. Эта
плотность определяется в физике плазмы
из неравенства /.;§>?), где L — линейный
размер системы заряженных частиц, D —
так называемый дебаевский радиус экра-
экранирования, представляющий собой то рас-
расстояние, на котором происходит экраниро-
экранирование кулоновского поля любого заряда
плазмы.
Плазма обладает следующими основ-
основными свойствами: высокой степенью иони-
ионизации газа, в пределе — полной иониза-
ионизацией; равенством нулю результирующего
пространственного заряда (концентрация
положительных и отрицательных частиц
в плазме практически одинакова); боль-
большой электропроводностью, причем ток
в плазме создается в основном электрона-
электронами, как наиболее подвижными частицами;
свечением; сильным взаимодействием
с электрическим и магнитным полями; ко-
колебаниями электронов в плазме с большой
частотой (яз 10й Гц), вызывающими об-
общее вибрационное состояние плазмы;
«коллективным» — одновременным взаи-

'~).,ll'KT[l 1I40CKIK'
модействием громадного числа частиц Низкотемпературная плазма (< 105 К)
(в обычных газах частицы взаимодейству- применяется в газовых лазерах, в
ют друг с другом попарно). Эти свойства термоэлектронных преобразователях
определяют качественное своеобразие и магнитогидродинамических генераторах
плазмы, позволяющее считать ее особым, (МГД-генераторах) — установках для не-
четвертым, состоянием вещества. посредственного преобразования тепловой
Изучение физических свойств плазмы энергии в электрическую, в плазменных
позволяет, с одной стороны, решать мно- ракетных двигателях, весьма перспектив-
гие проблемы астрофизики, поскольку ных для длительных космических поле-
в космическом пространстве плазма — тов.
наиболее распространенное состояние ве- Низкотемпературная плазма, получае-
щества, а с другой — открывает принци- мая в плазмотронах, используется для рез-
пиальные возможности осуществления уп- ки и сварки металлов, для получения неко-
равляемого термоядерного синтеза. Ос- торых химических соединений (например,
новным объектом исследований по управ- галогенидов инертных газов), которые не
ляемому термоядерному синтезу является удается получить другими способами,
высокотемпературная плазма (ж 108 К) и т. д.
из дейтерия и трития (см. § 268).
Контрольные вопросы
• Какие опыты были поставлены для выяснения природы носителей электрического тока в метал-
металлах?
• Каковы основные идеи теории Друде — Лоренца?
• Сравните порядок средних скоростей теплового и упорядоченного движения электронов в ме-
металлах (при условиях, близких к нормальным и приемлемых в электротехнике).
• Почему тепловое движение электронов не может привести к возникновению электрического
тока?
• Выведите на основе классической теории электропроводности металлов дифференциальную
форму законов Ома и Джоуля — Ленца.
• Как классическая теория электропроводности металлов объясняет зависимость сопротивления
металлов от температуры?
• В чем заключаются трудности элементарной классической теории электропроводности ме-
металлов? Каковы границы ее применения?
• Что называется работой выхода электрона и чем она обусловлена? От чего она зави-
зависит?
• Какие существуют разновидности эмиссионных явлений? Дайте их определения.
• Объясните вольт-амперную характеристику для вакуумного диода.
• Можно ли изменять силу тока насыщения вакуумного диода? Если да, то как?
• Каким образом можно вырвать электроны из холодного катода? Как называется это явле-
явление?
• Дайте объяснение качественной зависимости коэффициента вторичной электронной эмиссии
диэлектрика от энергии падающих электронов.
• Охарактеризуйте процесс ионизации; рекомбинации.
© В чем отличие самостоятельного газового разряда от несамостоятельного? Каковы условия,
необходимые для его существования?
• Может ли возникнуть ток насыщения при самостоятельном газовом разряде?
• Охарактеризуйте типы самостоятельного газового разряда. В чем их особенности?
• К какому типу газового разряда относится молния?
9 В чем отличие равновесной плазмы от неравновесной?
• Приведите основные свойства плазмы. Каковы возможности ее применения?

3. Электричество и члектромагнети.чм
Задачи
13.1. Концентрация электронов проводимости в металле равна 2,5-
скорость их упорядоченного движения при плотности тока
I022 см 3. Определить среднюю
А/мм2. [0,25 мм/с]
13.2. Работа выхода электрона из вольфрама составляет 4,5 эВ. Определить, во сколько раз увели-
увеличится плотность тока насыщения при повышении температуры от 2000 до 2500 К. [В 290 раз]
13.3. Работа выхода электрона из металла равна 2,5 эВ. Определить скорость вылетающего из
металла электрона, если он обладает энергией 10~18 Дж. [1,15 Мм/с]
13.4. Воздух между пластинами плоского конденсатора ионизируется рентгеновским излучением.
Сила тока, текущего между пластинами, 10 мкА. Площадь каждой пластины конденсатора
равна 200 см2, расстояние между ними 1 см, разность потенциалов 100 В. Подвижность поло-
положительных ионов й + = 1,4 см2/(В-с) и отрицательных й_ = |,9 см2/(В-с); заряд каждого
иона равен элементарному заряду. Определить концентрацию пар ионов между пластинами,
если ток далек от насыщения. [9,5- 10й м^3]
13.5. Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен 9,6 пА. Определить число пар ионов,
создаваемых в 1 с внешним ионизатором. [3-Ю7]
Глава 14
Магнитное поле
§ 109. Магнитное поле
и его характеристики
Опыт показывает, что, подобно тому, как
в пространстве, окружающем электриче-
электрические заряды, возникает электростатиче-
электростатическое поле, так в пространстве, окружаю-
окружающем токи и постоянные магниты, возника-
возникает силовое поле, называемое магнитным.
Наличие магнитного поля обнаруживается
по силовому действию на внесенные в него
проводники с током или постоянные маг-
магниты. Название «магнитное поле» связы-
связывают с ориентацией магнитной стрелки
под действием поля, создаваемого током
(это явление впервые обнаружено датским
физиком X. Эрстедом A777—1851)).
Электрическое поле действует как на
неподвижные, так и на движущиеся в нем
электрические заряды. Важнейшая осо-
особенность магнитного поля состоит в том,
что оно действует только на движущиеся
в этом поле электрические заряды. Опыт
показывает, что характер воздействия
магнитного поля на ток различен в за-
зависимости от формы проводника, по кото-
которому течет ток, от расположения провод-
проводника и от направления тока. Следователь-
Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное
поле, надо рассмотреть его действие на
определенный ток.
Подобно тому, как при исследовании
электростатического поля использовались
точечные заряды, при исследовании маг-
магнитного поля используется замкнутый
плоский контур с током (рамка с током),
размеры которого малы по сравнению
с расстоянием до токов, образующих маг-
магнитное поле. Ориентация контура в про-
пространстве характеризуется направлением
нормали к контуру. В качестве положи-
положительного направления нормали принима-
принимается направление, связанное с током пра-
правилом правого винта, т. е. за положитель-
положительное направление нормали принимается
направление поступательного движения
винта, головка которого вращается в на-
Рис. 160

Г л а и а 14. Магнитное поле
177
правлении тока, текущего в рамке
(рис. 160).
Опыты показывают, что магнитное поле
оказывает на рамку с током ориентирую-
ориентирующее действие, поворачивая ее определен-
определенным образом. Этот результат связывается
с определенным направлением магнитного
поля. За направление магнитного поля
в данной точке принимается направление,
вдоль которого располагается положи-
положительная нормаль к рамке (рис.161). За
направление магнитного поля может быть
также принято направление, совпадающее
с направлением силы, которая действует
л
N f
[
ч
Рис. 161
на северный полюс магнитной стрелки,
помещенной в данную точку. Так как оба
полюса магнитной стрелки лежат в близ-
близких точках поля, то силы, действующие
на оба полюса, равны друг другу. Следо-
Следовательно, на магнитную стрелку действу-
действует пара сил, поворачивающая ее так,
чтобы ось стрелки, соединяющая южный
полюс с северным, совпадала с направле-
направлением поля.
Рамкой с током можно воспользовать-
воспользоваться также и для количественного описания
магнитного поля. Так как рамка с током
испытывает ориентирующее действие по-
поля, то на нее в магнитном поле действует
пара сил. Вращающий момент сил зависит
как от свойств поля в данной точке, так
и от свойств рамки:
М=[ртВ], A09.1)
где В — вектор магнитной индукции, яв-
являющейся количественной характеристи-
характеристикой магнитного поля, рт — вектор магнит-
магнитного момента рамки с током. Для плоского
контура с током /
pm = /Sn, A09.2)
где S — площадь поверхности контура
(рамки), п—единичный вектор нормали
к поверхности рамки. Направление рт
совпадает, таким образом,с направлением
положительной нормали.
Если в данную точку магнитного поля
помещать рамки с различными магнитны-
магнитными моментами, то на них действуют раз-
различные вращающие моменты, однако от-
отношение Мтах/рт {Мтах — максимальный
вращающий момент) для всех контуров
одно и то же и поэтому может служить
характеристикой магнитного поля, назы-
называемой магнитной индукцией:
Магнитная индукция в данной точке
однородного магнитного поля определяет-
определяется максимальным вращающим моментом,
действующим на рамку с магнитным мо-
моментом, равным единице, когда нормаль
к рамке перпендикулярна направлению
поля. Следует отметить, что вектор В мо-
может быть выведен также из закона Ампера
(см. §111) и из выражения для силы
Лоренца (см. § 114).
Так как магнитное поле является сило-
силовым, то его, по аналогии с электрическим,
изображают с помощью линий магнитной
индукции—линий, касательные к кото-
которым в каждой точке совпадают с направ-
направлением вектора В. Их направление зада-
задается правилом правого винта: головка
винта, ввинчиваемого по направлению то-
тока, вращается в направлении линий маг-
магнитной индукции.
Линии магнитной индукции можно
«проявить» с помощью железных опилок,
намагничивающихся в исследуемом поле
и ведущих себя подобно маленьким маг-
магнитным стрелкам. На рис. 162, а показаны
линии магнитной индукции поля кругового
тока, на рис. 162, б — линии магнитной
индукции поля соленоида (соленоид —
равномерно намотанная на цилиндричес-
Р'ис. 162

кую поверхность проволочная спираль, по
которой течет электрический ток).
Линии магнитной индукции всегда за-
замкнуты и охватывают проводники с током.
Этим они отличаются от линий напряжен-
напряженности электростатического поля, которые
являются разомкнутыми (начинаются на
положительных зарядах и кончаются на
отрицательных (см. §79)).
На рис. 163 изображены линии магнитной
индукции полосового магнита; они выходят из
северного полюса и входят в южный. Вначале
казалось, что здесь наблюдается полная анало-
аналогия с линиями напряженности электростатичес-
электростатического поля и полюсы магнитов играют роль маг-
магнитных «зарядов» (магнитных монополей).
Опыты показали, что, разрезая магнит на части,
его полюсы разделить нельзя, т. е. в отличие от
электрических зарядов свободные магнитные
«заряды» не существуют, поэтому линии маг-
магнитной индукции не могут обрываться на полю-
полюсах. В дальнейшем было установлено, что внут-
внутри полосовых магнитов имеется магнитное поле,
аналогичное полю внутри соленоида, и линии
магнитной индукции этого магнитного поля яв-
являются продолжением линий магнитной индук-
индукции вне магнита. Таким образом, линии магнит-
магнитной индукции магнитного поля постоянных
магнитов являются также замкнутыми.
До сих пор мы рассматривали макро-
макроскопические токи, текущие в проводниках.
Однако, согласно предположению фран-
французского физика А. Ампера A775—1836),
в любом теле существуют микроскопиче-
микроскопические токи, обусловленные движением элек-
электронов в атомах и молекулах. Эти микро-
микроскопические молекулярные токи создают
свое магнитное поле и могут поворачи-
поворачиваться в магнитных полях макротоков.
Например, если вблизи какого-то тела по-
поместить проводник с током (макроток), то
под действием его магнитного поля микро-
микротоки во всех атомах определенным обра-
зом ориентируются, создавая в теле до-
дополнительное магнитное поле. Вектор маг-
магнитной индукции В характеризует резуль-
результирующее магнитное поле, создаваемое
всеми макро- и микротоками, т. е. при
одном и том же токе и прочих равных
условиях вектор В в различных средах
будет иметь разные значения.
Магнитное поле макротоков описыва-
описывается вектором напряженности Н. Для од-
однородной изотропной среды вектор маг-
магнитной индукции связан с вектором на-
напряженности следующим соотношением:
= цоцН,
A09.3)
где цо — магнитная постоянная, ц — без-
безразмерная величина — магнитная прони-
проницаемость среды, показывающая, во сколь-
сколько раз магнитное поле макротоков Н уси-
усиливается за счет поля микротоков среды.
Сравнивая векторные характеристики
электростатического (Е и D) и магнитного
(В и Н) полей, укажем, что аналогом
вектора напряженности электростатиче-
электростатического поля Е является вектор магнитной
индукции В, так как векторы Е и В опреде-
определяют силовые действия этих полей и за-
зависят от свойств среды. Аналогом вектора
электрического смещения D является век-
вектор напряженности Н магнитного поля.
у 1 10. Закон tiи«> Ciiiuipa —-
Лапласа, и его применение
к расчету магнитного моля
Магнитное поле постоянных токов различ-
различной формы изучалось французскими уче-
учеными Ж. Био A774—1862) и Ф. Саваром
A791 —1841). Результаты этих опытов бы-
были обобщены выдающимся французским
математиком и физиком П. Лапласом.
Закон Био — Савара — Лапласа для
проводника с током /, элемент которого d/
создает в некоторой точке А (рис. 164)
индукцию поля dB, записывается в виде
dB =
Mot* /[dl, г]
4л ? '
A10.1)
Pm. Ui.'f
где dl — вектор, по модулю равный длине
dl элемента проводника и совпадающий по
направлению с током, г — радиус-вектор,

Глава 14. Магнитное поле
179
Рис. 164
проведенный из элемента dl проводника
в точку А поля, г — модуль радиуса-векто-
радиуса-вектора г. Направление dB перпендикулярно dl
и г, т. е. перпендикулярно плоскости, в ко-
которой они лежат, и совпадает с каса-
касательной к линии магнитной индукции. Это
направление может быть найдено по пра-
правилу нахождения линий магнитной индук-
индукции (правилу правого винта): направле-
направление вращения головки винта дает направ-
направление dB, если поступательное движение
винта соответствует направлению тока
в элементе.
Модуль вектора dB определяется вы-
выражением
dB^lM^LSLt (П02)
где а — угол между векторами dl и г.
Для магнитного поля, как и для элек-
электрического, справедлив принцип суперпо-
суперпозиции: магнитная индукция результирую-
результирующего поля, создаваемого несколькими то-
токами или движущимися зарядами, равна
векторной сумме магнитных индукций
складываемых полей, создаваемых каж-
каждым током или движущимся зарядом в от-
отдельности:
В =
A10.3)
1 = 1
Расчет характеристик магнитного поля
(В и Н) по приведенным формулам в об-
общем случае довольно сложен. Однако если
распределение тока имеет определенную
симметрию, то применение закона Био —
Савара — Лапласа совместно с принци-
принципом суперпозиции позволяет довольно
просто рассчитать конкретные поля. Рас-
Рассмотрим два примера.
1. Магнитное поле прямого тока—
тока, текущего по тонкому прямому про-
Рис. 165
воду бесконечной длины (рис. 165).
В произвольной точке А, удаленной от
оси проводника на расстояние R, векторы
dB от всех элементов тока имеют одина-
одинаковое направление, перпендикулярное
плоскости чертежа («к нам»). Поэтому
сложение векторов dB можно заменить
сложением их модулей. В качестве по-
постоянной интегрирования выберем угол а
(угол между векторами dl и г), выразив
через него все остальные величины. Из
рис. 165 следует, что
R
sin a
-, d/ =
г йа
sin a
(радиус дуги CD вследствие малости d/
равен г, и угол FDC по этой же причине
можно считать прямым). Подставив эти
выражения в A10.2), получим, что маг-
магнитная индукция, создаваемая одним эле-
элементом проводника, равна
A10.4)
Так как угол а для всех элементов прямо-
прямого тока изменяется в пределах от 0 до я,
то, согласно A10.3) и A10.4),
М-оМ. /
М-оМ- 2/
г. С J г, ГОР I С . , РОГ U
В = \ dB = — \ sin a da=— —.
J 4я R J 4я R
о
Следовательно, магнитная индукция поля
прямого тока
М-оЦ 2/
в=———.
A10.5)
2. Магнитное поле в центре кругового
проводника с током (рис. 166). Как следу-
следует из рисунка, все элементы кругового
проводника с током создают в центре маг-

.4. Электричество и АЮктромлпкч
dB.B
Рис. 166
нитное поле одинакового направления —
вдоль нормали от витка. Поэтому сложе-
сложение векторов dB можно заменить сложени-
сложением их модулей. Так как все элементы
проводника перпендикулярны радиусу-
вектору (sina=l) и расстояние всех эле-
элементов проводника до центра кругового
тока одинаково и равно R, то, согласно
A10.2),
Тогда
Следовательно, магнитная индукция поля
в центре кругового проводника с током
§111. Закон Ампера.
Взаимодействие
параллельных токов
Магнитное поле (см. § 109) оказывает на
рамку с током ориентирующее действие.
Следовательно, вращающий момент, ис-
испытываемый рамкой, есть результат дейст-
действия сил на отдельные ее элементы. Обоб-
Обобщая результаты исследования действия
магнитного поля на различные проводники
с током, Ампер установил, что сила dF,
с которой магнитное поле действует на
элемент проводника d/ с током, находяще-
находящегося в магнитном поле, прямо пропорцио-
пропорциональна силе тока / в проводнике и век-
векторному произведению элемента дли-
длиной dl проводника на магнитную индук-
индукцию В:
dF = /[dl, В]. A111)
Направление вектора dF может быть
найдено, согласно A11.1), по общим пра-
правилам векторного произведения, откуда
следует правило левой руки: если ладонь
левой руки расположить так, чтобы в нее
входил вектор В, а четыре вытянутых
пальца расположить по направлению тока
в проводнике, то отогнутый большой палец
покажет направление силы, действующей
на ток.
Модуль силы Ампера (см. A11.1))
вычисляется по формуле
dF = /Bd/sina, (И 1.2)
где a — угол между векторами dl и В.
Закон Ампера применяется для опре-
определения силы взаимодействия двух токов.
Рассмотрим два бесконечных прямолиней-
прямолинейных параллельных тока Л и h (направле-
(направления токов указаны на рис. 167), расстоя-
расстояние между которыми равно R. Каждый из
проводников создает магнитное поле, ко-
которое действует по закону Ампера на дру-
другой проводник с током. Рассмотрим, с ка-
какой силой действует магнитное поле тока
/i на элемент d/ второго проводника с то-
током 1ч- Ток /| создает вокруг себя магнит-
магнитное поле, линии магнитной индукции кото-
которого представляют собой концентрические
окружности. Направление вектора Bi за-
задается правилом правого винта, его мо-
модуль по формуле A10.5) равен
2/,
В,=-
4я R
i' кс ) 67

Г л а в а 14. Магнитное поле
181
Направление силы dFi, с которой поле
В| действует на участок d/ второго тока,
определяется по правилу левой руки
и указано на рисунке. Модуль силы, со-
согласно A11.2), с учетом того, что угол а
между элементами тока li и вектором В|
прямой, равен
dF,=/2B, d/,
или, подставляя значение для В\, получим
Р.Л I 1 ШшЫ ЛВ ¦ I ¦ ¦J
df'=?Td/' A11-3)
Рассуждая аналогично, можно пока-
показать, что сила dF2, с которой магнитное
поле тока li действует на элемент d/ пер-
первого проводника с током Л, направлена
в противоположную сторону и по модулю
равна
|хоц 2/,/2
dFa = /lflad/ = ——d/. A11.4)
Сравнение выражений A11.3) и A11.4)
показывает, что
df,=df2,
т. е. два параллельных тока одинакового
направления притягиваются друг к другу
с силой
df=iirVd/- A1L5)
Если токи имеют противоположные на-
направления, то, используя правило левой
руки, можно показать, что между' ними
действует сила отталкивания, определяе-
определяемая формулой A11.5).
§ 112. Магнитная постоянная.
Единицы магнитной индукции
и напряженности
магнитного поля
Если два параллельных проводника с то-
током находятся в вакууме (ji=l), то сила
взаимодействия на единицу длины про-
проводника, согласно A11.5), равна
лр ixn 2/,/,
— = — ——. (Ц2.1)
d/ 4я R v '
Для нахождения числового значения \\,о
воспользуемся определением ампера, со-
согласно которому при Л = /2= 1А и R= 1 м
—-—= 2-1О~7 Н/м. Подставив это зна-
d/
чение в формулу A12.1), получим
р,(| = 4я-10~7 Н/А2 = 4я-10~7 Гн/м,
где генри (Гн) — единица индуктивности
(см. § 126).
Закон Ампера позволяет определить
единицу магнитной индукции В. Предпо-
Предположим, что элемент проводника 61 с током
/ перпендикулярен направлению магнит-
магнитного поля. Тогда закон Ампера
(см. A11.2)) запишется в виде
откуда
/ d/ '
Единица магнитной индукции — тесла
(Тл): 1 Тл—магнитная индукция такого
однородного магнитного поля, которое
действует с силой в 1 Н на каждый метр
длины прямолинейного проводника, распо-
расположенного перпендикулярно направлению
поля, если по этому проводнику проходит
ток в 1 А:
1Тл=1Н/(А.м).
Так как ^о = 4-1?Г Н/А2, а в случае
вакуума (ц=1), согласно A09.3), б =
\ial1, то для данного случая
Единица напряженности магнитного
поля — ампер на метр (А/м): 1 А/м —
напряженность такого поля, магнитная
индукция которого в вакууме равна
4я-10 Тл.
§ 113. Магнитное поле
движущегося заряда
Каждый проводник с током создает в ок-
окружающем пространстве магнитное поле.
Электрический же ток представляет собой
упорядоченное движение электрических
зарядов. Поэтому можно сказать, что лю-
любой движущийся в вакууме или среде за-
заряд создает вокруг себя магнитное поле.
В результате обобщения опытных данных

'А .Чк'ктрича
Рис. KiS
был установлен закон, определяющий по-
поле В точечного заряда Q, свободно движу-
движущегося с : нерелятивистской скоростью
v. Под свободным движением заряда по-
понимается его движение с постоянной ско-
скоростью. Этот закон выражается формулой
в (пз.1)
4л г
где г — радиус-вектор, проведенный от за-
заряда Q к точке наблюдения М (рис. 168).
Согласно выражению A13.1), вектор
В направлен перпендикулярно плоскости,
в которой расположены векторы v и г,
а именно: его направление совпадает с на-
направлением поступательного движения
правого винта при его вращении от v к г.
Модуль магнитной индукции A13.1)
вычисляется по формуле
sin а,
A13.2)
где a — угол между векторами v и г.
Сравнивая выражения A10.1)
и A13.1), видим, что движущийся заряд
по своим магнитным свойствам эквива-
эквивалентен элементу тока:
/dl = Qv.
Приведенные закономерности A13.1)
и A13.2) справедливы лишь при малых
скоростях (а<Сс) движущихся зарядов,
когда электрическое поле свободно движу-
движущегося заряда можно считать электроста-
электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным
зарядом, находящимся в той точке, где
в данный момент времени находится дви-
движущийся заряд.
Формула A13.1) определяет магнит-
магнитную индукцию положительного заряда,
движущегося со скоростью v. Если дви-
движется отрицательный заряд, то Q надо
заменить на — Q. Скорость v — относи-
относительная скорость, т. е. скорость относи-
относительно наблюдателя. Вектор В в рассмат-
рассматриваемой системе отсчета зависит как от
времени, так и от положения точки М на-
наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть
относительный характер магнитного поля
движущегося заряда.
Впервые поле движущегося заряда
удалось обнаружить американскому физи-
физику Г. Роуланду A848—1901). Окончатель-
Окончательно этот факт был установлен профессором
Московского университета А. А. Эйхен-
вальдом A863—1944), изучившим магнит-
магнитное поле конвекционного тока, а также
магнитное поле связанных зарядов поля-
поляризованного диэлектрика. Магнитное поле
свободно движущихся зарядов было из-
измерено академиком А. Ф. Иоффе, доказав-
доказавшим эквивалентность, в смысле возбужде-
возбуждения магнитного поля, электронного пучка
и тока проводимости.
$ 114. Действие- ма1ни1ного поля
на движущийся ларяд
Опыт показывает, что магнитное поле дей-
действует не только на проводники с током
(см. §111), но и на отдельные заряды,
движущиеся в магнитном поле. Сила, дей-
действующая на электрический заряд Q, дви-
движущийся в магнитном поле со скоростью
V, называется силон Лоренца и выражает-
выражается формулой
F=Q[vB], (П4.1)
где В — индукция магнитного поля,
в котором заряд движется.
Направление силы Лоренца определя-
определяется с помощью правила левой руки: если
ладонь левой руки расположить так, что-
чтобы в нее входил вектор В, а четыре вы-
вытянутых пальца направить вдоль вектора
v (для Q> 0 направления / и v совпада-
совпадают, для Q<0—противоположны), то
отогнутый большой палец покажет на-
направление силы, действующей на положи-
положительный заряд. На рис. 169 показана вза-
взаимная ориентация векторов v, В (поле
направлено к нам, на рисунке показано
точками) и F для положительного заряда.
На отрицательный заряд сила действует
в противоположном направлении.

Глава 14. Магнитное m.
183
• • о v »•
Рис. 169
Модуль силы Лоренца (см. A14.1))
равен
F=QvB sin a,
где а — угол между v и В.
Отметим еще раз (см. § 109), что маг-
магнитное поле не действует на покоящийся
электрический заряд. В этом существенное
отличие магнитного поля от электрическо-
электрического. Магнитное поле действует только на
движущиеся в нем заряды.
Так как по действию силы Лоренца
можно определить модуль и направление
вектора В, то выражение для силы Лорен-
Лоренца может быть использовано (наравне
с другими, см. § 109) для определения
вектора магнитной индукции В.
Сила Лоренца всегда перпендикуляр-
перпендикулярна скорости движения заряженной части-
частицы, поэтому она изменяет только направ-
направление этой скорости, не изменяя ее модуля.
Следовательно, сила Лоренца работы не
совершает. Иными словами, постоянное
магнитное поле не совершает работы над
движущейся в нем заряженной частицей
и кинетическая энергия этхТи частицы
при движении в магнитш»м поле не изме-
изменяется.
Если на движущийся электрический
заряд помимо магнитного поля с индук-
индукцией В действует и электрическое поле
с напряженностью Е, то результирующая
сила F, приложенная к заряду, равна век-
векторной сумме сил — силы, действующей со
стороны электрического поля, и силы Ло-
Лоренца:
F = QE+Q[vB].
Это выражение называется формулой Ло-
Лоренца. Скорость v в этой формуле есть
скорость заряда относительно магнитного
поля.
§ 115. Движение заряженных частиц
в магнитном поле
Выражение для силы Лоренца A14.1) по-
позволяет найти ряд закономерностей дви-
движения заряженных частиц в магнитном
поле. Направление силы Лоренца и на-
направление вызываемого ею отклонения за-
заряженной частицы в магнитном поле за-
зависят от знака заряда Q частицы. На этом
основано определение знака заряда
частиц, движущихся в магнитных полях.
Для вывода общих закономерностей
будем считать, что магнитное поле одно-
однородно и на частицы электрические поля не
действуют. Если заряженная частица дви-
движется в магнитном поле со скоростью v
вдоль линий магнитной индукции, то
угол а между векторами v и В ра-
равен 0 илия. Тогда по формуле A14.1)
сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное
поле на частицу не действует и она дви-
движется равномерно и прямолинейно.
Если заряженная частица движется
в магнитном поле со скоростью v, перпен-
перпендикулярной вектору В, то сила Лоренца
F=Q[vB] постоянна по модулю и нор-
нормальна к траектории частицы. Согласно
второму закону Ньютона, эта сила создает
центростремительное ускорение. Отсюда
следует, что частица будет двигаться по
окружности, радиус г которой определяет-
определяется из условия
— mv2/r,
откуда
m v
A15.1)
Период вращения частицы, т. е. вре-
время Т, затрачиваемое ею на один полный
оборот,
Подставив сюда выражение A15.1), по-
получим
_ 2я т
~~~B~~~Q'
A15.2)
т. е. период вращения частицы в однород-
однородном магнитном поле определяется только
величиной, обратной удельному заряду

'Л. Электричество н члектромагпегизм
* У
Рис. 170
(Q/m) частицы, и магнитной индукцией
поля, но не зависит от ее скорости (при
v^ic)). На этом основано действие цикли-
циклических ускорителей заряженных частиц
(см. §116).
Если скорость v заряженной частицы
направлена под углом а к вектору В
(рис. 170), то ее движение можно пред-
представить в виде суперпозиции: 1) равно-
равномерного прямолинейного движения вдоль
поля со скоростью vц = v cos a; 2) равно-
равномерного движения со скоростью fj_ =
= v sin а по окружности в плоскости, пер-
перпендикулярной полю. Радиус окружности
определяется формулой A15.1) (в данном
случае надо заменить v на yx = usina).
В результате сложения обоих движений
возникает движение по спирали, ось кото-
которой параллельна магнитному полю
(рис. 170). Шаг винтовой линии
h = v^T = vT cos a.
Подставив в последнее выражение
A15.2), получим
cos a./(BQ).
Направление, в котором закручивается
спираль, зависит от знака заряда ча-
частицы.
Если скорость v заряженной частицы
составляет угол а с направлением векто-
вектора В неоднородного магнитного поля, ин-
индукция которого возрастает в направле-
направлении движения частицы, то г и h уменьша-
уменьшаются с ростом В. На этом основана
фокусировка заряженных частиц в маг-
магнитном поле.
§ 116. Ускорители заряженных частиц
Ускорителями заряженных частиц назы-
называются устройства, в которых под дей-
действием электрических и магнитных полей
создаются и управляются пучки высоко-
энергетичных заряженных частиц (элек-
(электронов, протонов, мезонов и т.д.).
Любой ускоритель характеризуется
типом ускоряемых частиц, энергией, со-
сообщаемой частицам, разбросом частиц
по энергиям и интенсивностью пучка.
Ускорители делятся на непрерывные (из
них выходит равномерный по времени пу-
пучок) и импульсные (из них частицы вы-
вылетают порциями — импульсами). По-
Последние характеризуются длительностью
импульса. По форме траектории и меха-
механизму ускорения частиц ускорители делят-
делятся на линейные, циклические и индукци-
индукционные. В линейных ускорителях траекто-
траектории движения частиц близки к прямым
линиям, в циклических и индукционных —
траекториями частиц являются окружно-
окружности или спирали.
Рассмотрим некоторые типы ускорите-
ускорителей заряженных частиц.
1. Линейный ускоритель. Ускорение
частиц осуществляется электростатиче-
электростатическим полем, создаваемым, например, вы-
высоковольтным генератором Ван-де-Граафа
(см. §92). Заряженная частица проходит
поле однократно: заряд Q, проходя раз-
разность потенциалов epi — ф2, приобретает
энергию И/ = ф(ф|— фг). Таким способом
частицы ускоряются до «ЮМэВ. Их
дальнейшее ускорение с помощью источ-
источников постоянного напряжения невозмож-
невозможно из-за утечки зарядов, пробоев и т.д.
2. Линейный резонансный ускоритель.
Ускорение заряженных частиц осуще-
осуществляется переменным электрическим по-
полем сверхвысокой частоты, синхронно из-
изменяющимся с движением частиц. Таким
способом протоны ускоряются до энергий
порядка десятков мегаэлектрон-вольт,
электроны — до десятков гигаэлектрон-
вольт.
3. Циклотрон — циклический резонан-
резонансный ускоритель тяжелых частиц (прото-
(протонов, ионов). Его принципиальная схема
приведена на рис. 171. Между полюсами

Г .'[ а в ;i 14. М;н пнтшк' ноле
Рис. 171
сильного электромагнита помещается ва-
вакуумная камера, в которой находятся два
электрода (/ и 2) в виде полых металличе-
металлических полуцилиндров, или дуантов. К ду-
антам приложено переменное электриче-
электрическое поле. Магнитное поле, создаваемое
электромагнитом, однородно и перпенди-
перпендикулярно плоскости дуантов.
Если заряженную частицу ввести
в центр зазора между дуантами, то она,
ускоряемая электрическим и отклоняемая
магнитным полями, войдя в дуант /,
опишет полуокружность, радиус кото-
которой пропорционален скорости частицы
(см. A15.1)). К моменту ее выхода из
дуанта / полярность напряжения изменя-
изменяется (при соответствующем подборе изме-
изменения напряжения между дуантами), по-
поэтому частица вновь ускоряется и, перехо-
переходя в дуант 2, описывает там уже полу-
полуокружность большего радиуса и т. д.
Для непрерывного ускорения частицы
в циклотроне необходимо выполнить усло-
условие синхронизма (условие «резонан-
«резонанса») — периоды вращения частицы в маг-
магнитном поле и колебаний электрического
поля должны быть равны. При выполне-
выполнении этого условия частица будет двигать-
двигаться по раскручивающейся спирали, полу-
получая при каждом прохождении через зазор
дополнительную энергию. На последнем
витке, когда энергия частиц и радиус ор-
орбиты доведены до максимально допусти-
допустимых значений, пучок частиц посредством
отклоняющего электрического поля выво-
выводится из циклотрона.
Циклотроны позволяют ускорять про-
протоны до энергий примерно 20 МэВ. Даль-
Дальнейшее их ускорение в циклотроне ограни-
ограничивается релятивистским возрастанием
массы со скоростью (см. C9.1)), что при-
приводит к увеличению периода обращения
(по A15.2) он пропорционален массе),
и синхронизм нарушается. Поэтому цик-
циклотрон совершенно неприменим для ус-
ускорения электронов (при ? = 0,5 МэВ
ш = 2то, при ?=10 МэВ т = 28то!).
Ускорение релятивистских частиц
в циклических ускорителях можно, од-
однако, осуществить, если применять
предложенный в 1944 г. советским
физиком В. И. Векслером A907—1966)
и в 1945 г. американским физиком Э. Мак-
Милланом (р. 1907) принцип автофази-
ровки. Его идея заключается в том, что
для компенсации увеличения периода вра-
вращения частиц, ведущего к нарушению син-
синхронизма, изменяют либо частоту ускоря-
ускоряющего электрического, либо индукцию
магнитного полей, либо то и другое. Прин-
Принцип автофазировки используется в фа-
фазотроне, синхротроне и синхрофазотроне.
4. Фазотрон (синхроциклотрон) —
циклический резонансный ускоритель тя-
тяжелых заряженных частиц (например,
протонов, ионов, а-частиц), в котором уп-
управляющее магнитное поле постоянно,
а частота ускоряющего электрического по-
поля медленно изменяется с периодом. Дви-
Движение частиц в фазотроне, как и в цикло-
циклотроне, происходит по раскручивающейся
спирали. Частицы в фазотроне ускоряются
до энергий, примерно равных 1 ГэВ (огра-
(ограничения здесь определяются размерами
фазотрона, так как с ростом скорости
частиц растет радиус их орбиты).
5. Синхротрон — циклический резо-
резонансный ускоритель ультрарелятивистских
электронов, в котором управляющее маг-
магнитное поле изменяется во времени,
а частота ускоряющего электрического по-
поля постоянна. Электроны в синхротроне
ускоряются до энергий 5—10 ГэВ.
6. Синхрофазотрон — циклический ре-
резонансный ускоритель тяжелых заряжен-
заряженных частиц (протонов, ионов), в котором
объединяются свойства фазотрона и син-
синхротрона, т. е. управляющее магнитное
поле и частота ускоряющего электрическо-
электрического поля одновременно изменяются во вре-
времени так, чтобы радиус равновесной орби-
орбиты частиц оставался постоянным. Прото-

186
3. Электричество и электромагнетизм
ны ускоряются в синхрофазотроне до
энергий 500 ГэВ.
7. Бетатрон — циклический индукци-
индукционный ускоритель электронов, в котором
ускорение осуществляется вихревым элек-
электрическим полем (см. §137), индуцируе-
индуцируемым переменным магнитным полем, удер-
удерживающим электроны на круговой орбите.
В бетатроне в отличие от рассмотренных
выше ускорителей не существует пробле-
проблемы синхронизации. Электроны в бетатроне
ускоряются до энергий 100 МэВ. При
№> 100 МэВ режим ускорения в бетатро-
бетатроне нарушается электромагнитным излуче-
излучением электронов. Особенно распростране-
распространены бетатроны на энергии 20—50 МэВ (вы-
(выпускаются серийно).
§ 117. Эффект Холла
Эффект Холла * A879) — это возникнове-
возникновение в металле (или полупроводнике) с то-
током плотностью j, помещенном в магнит-
магнитное поле В, электрического поля в направ-
направлении, перпендикулярном В и j.
Поместим металлическую пластинку
с током плотностью j в магнитное поле В,
перпендикулярное j (рис. 172). При дан-
данном направлении j скорость носителей
тока в металле — электронов — направ-
направлена справа налево. Электроны испытыва-
испытывают действие силы Лоренца (см. §114),
которая в данном случае направлена
вверх. Таким образом, у верхнего края
пластинки возникнет повышенная концен-
концентрация электронов (он зарядится отрица-
отрицательно), а у нижнего — их недостаток (за-
(зарядится положительно). В результате это-
этого между краями пластинки возникнет
дополнительное поперечное электрическое
поле, направленное снизу вверх. Когда
напряженность Ев этого поперечного поля
достигнет такой величины, что его дейст-
действие на заряды будет уравновешивать силу
Лоренца, то установится стационарное
распределение зарядов в поперечном на-
направлении. Тогда
i = eoB, или Дср = !
Рис. 172
где а — ширина пластинки, Д<р — попереч-
поперечная (холловская) разность потенциалов.
Учитывая, что сила тока / = jS = nevS
(S — площадь поперечного сечения
пластинки толщиной d, n — концентрация
электронов, v — средняя скорость упоря-
упорядоченного движения электронов), получим
Аф = TBaz= 3- = Я^7"-
a
nead
en
* Э. Холл A855—1938) — американский
физик.
A17.1)
т. е. холловская поперечная разность по-
потенциалов прямо пропорциональна маг-
магнитной индукции В, силе тока / и обратно
пропорциональна толщине пластинки d.
В формуле A17.1) R=\/(en) — постоян-
постоянная Холла, зависящая от вещества. По
измеренному значению постоянной Холла
можно: 1) определить концентрацию носи-
носителей тока в проводнике (при известных
характере проводимости и заряде носите-
носителей); 2) судить о природе проводимости
полупроводников (см. §242, 243), так как
знак постоянной Холла совпадает со зна-
знаком заряда е носителей тока. Эффект Хол-
Холла поэтому наиболее эффективный метод
изучения энергетического спектра носите-
носителей тока в металлах и полупроводниках.
Он применяется также для умножения
постоянных токов в аналоговых вычисли-
вычислительных машинах, в измерительной техни-
технике (датчики Холла) и т. д.
§118. Циркуляция вектора В
для магнитного поля
в вакууме
Аналогично циркуляции вектора напря-
напряженности электростатического поля
(см. § 83) введем циркуляцию вектора
магнитной индукции. Циркуляцией векто-
вектора В по заданному замкнутому контуру

I л a ii a 14. Мамштпоо иоле
называется интеграл
В с11^ф В, d/,
где d/ — вектор элементарной длины кон-
контура, направленной вдоль обхода контура,
Bi = B cos a — составляющая вектора В
в направлении касательной к контуру
(с учетом выбранного направления обхо-
обхода), а — угол между векторами В и dl.
Закон полного тока для магнитного
поля в вакууме (теорема о циркуляции
вектора В): циркуляция вектора В по про-
произвольному замкнутому контуру равна
произведению магнитной постоянной |Хо на
алгебраическую сумму токов, охватывае-
охватываемых этим контуром:
п
ф В с!1=ф S, d/=n0 ? 1к> D8.1)
где п — число проводников с токами, ох-
охватываемых контуром L произвольной
формы. Каждый toij-учитывается столько
раз, сколько раз ой-, охватывается конту-
контуром. Положительным считается ток, на-
направление которого связано с направлени-
направлением обхода по контуру правилом правого
винта; ток противоположного направления
считается отрицательным. Например, для
системы токов, изображенных на рис. 173,
Выражение A18.1) справедливо толь-
только для поля в вакууме, поскольку, как
будет показано ниже, для поля в веществе
необходимо учитывать молекулярные токи.
Продемонстрируем справедливость
теоремы о циркуляции вектора В на при-
J
Рис.
мере магнитного поля прямого тока /, пер-
перпендикулярного плоскости чертежа и на-
направленного к нам (рис. 174). Представим
себе замкнутый контур в виде окружности
радиуса г. В каждой точке этого контура
вектор В одинаков по модулю и направлен
по касательной к окружности (она являет-
является и линией магнитной индукции). Следо-
Следовательно, циркуляция вектора В равна
В, 0/ = & В А1 =
Рис. 17Л
1 = В-2лг.
Согласно выражению A18.1), получим
б-2лг = р,о/ (в вакууме), откуда
В = цо//Bяг).
Таким образом, исходя из теоремы о цир-
циркуляции вектора В получили выражение
для магнитной индукции поля прямого
тока, выведенное выше (см. A10.5)).
Сравнивая выражения (83.3)
и A18.1) для циркуляции векторов Е и В,
видим, что между ними существует при-
принципиальное различие. Циркуляция векто-
вектора Е электростатического поля всегда рав-
равна нулю, т. е. электростатическое поле яв-
является потенциальным. Циркуляция век-
вектора В магнитного поля не равна нулю.
Такое поле называется вихревым.
Теорема о циркуляции вектора В имеет
в учении о магнитном поле такое же значе-
значение, как теорема Гаусса в электростатике,
так как позволяет находить магнитную
индукцию поля без применения закона
Био — Савара — Лапласа.
§ I !!1. Магнитное поле
соленойчя и троим;)
Рассчитаем, применяя теорему о циркуля-
циркуляции, индукцию магнитного поля внутри
соленоида. Рассмотрим соленоид длиной /,

1ЯН
3. Электричество и электромагнетизм
да (в вакууме):
Рис. 175
имеющий N витков, по которому течет ток
(рис. 175). Длину соленоида считаем во
много раз больше, чем диаметр его витков,
т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно
длинный. Экспериментальное изучение маг-
магнитного поля соленоида (см. рис. 162, б)
показывает, что внутри соленоида поле
является однородным, вне соленоида —
неоднородным и очень слабым.
На рис. 175 представлены линии маг-
магнитной индукции внутри и вне соленоида.
Чем соленоид длиннее, тем меньше маг-
магнитная индукция вне его. Поэтому при-
приближенно можно считать, что поле бес-
бесконечно длинного соленоида сосредоточе-
сосредоточено целиком внутри него, а полем вне
соленоида можно пренебречь.
Для нахождения магнитной индукции
В выберем замкнутый прямоугольный кон-
контур ABCDA, как показано на рис. 175.
Циркуляция вектора В по замкнутому кон-
контуру ABCDA, охватывающему все N вит-
витков, согласно A18.1), равна
ф
ABCDA
Интеграл по ABCDA можно представить
в виде четырех интегралов: по АВ, ВС,
CD и DA. На участках АВ и CD контур
перпендикулярен линиям магнитной ин-
индукции и В< = 0. На участке вне соленоида
В = 0. На участке DA циркуляция векто-
вектора В равна В1 (контур совпадает с линией
магнитной индукции); следовательно,
\ Bidl = Bl=
DA
A19.1)
A19.2)
Получили, что поле внутри соленоида од-
однородно (краевыми эффектами в об-
областях, прилегающих к торцам соленоида,
при расчетах пренебрегают). Однако от-
отметим, что вывод этой формулы не совсем
корректен (линии магнитной индукции за-
замкнуты, и интеграл по внешнему участку
магнитного поля строго нулю не равен).
Корректно рассчитать поле внутри солено-
соленоида можно применяя закон Био — Сава-
ра — Лапласа; в результате получается та
же формула A19.2).
Важное значение для практики имеет
также магнитное поле тороида—кольце-
тороида—кольцевой катушки, витки которой намотаны на
сердечник, имеющий форму тора
(рис. 176). Магнитное поле, как показыва-
показывает опыт, сосредоточено внутри тороида,
вне его поле отсутствует.
Линии магнитной индукции в данном
случае, как следует из соображений сим-
симметрии, есть окружности, центры которых
расположены по оси тороида. В качестве
контура выберем одну такую окружность
радиуса г. Тогда, по теореме о циркуля-
циркуляции A18.1),
откуда следует, что магнитная индукция
внутри тороида (в вакууме)
где N — число витков тороида.
Если контур проходит вне тороида, то
токов он не охватывает и В-2лг = 0. Это
означает, что поле вне тороида отсутству-
отсутствует (что показывает и опыт).
Из A19.1) приходим к выражению для
магнитной индукции поля внутри соленои-
Рис. 176

[ .'i а и у 1-1. Магнитное пило
§ 120. Поток
вектора магнитной индукции.
Теорема Гаусса для поля В
Потоком вектора магнитной индукции
(магнитным потоком) через площадку dS
называется скалярная физическая величи-
величина, равная
d<DB=BdS = Bn dS, A20.1)
где Вп — В cos a — проекция вектора В на
направление нормали к площадке dS
(а — угол между векторами п и В), dS =
= dSn — вектор, модуль которого ра-
равен dS, а направление совпадает с направ-
направлением нормали п к площадке. Поток век-
вектора В может быть как положительным,
так и отрицательным в зависимости от
знака cos а (определяется выбором поло-
положительного направления нормали п).
Обычно поток вектора В связывают с оп-
определенным контуром, по которому течет
ток. В таком случае положительное на-
направление нормали к контуру нами уже
определено (см. §109): оно связывается
с током правилом правого винта. Таким
образом, магнитный поток, создаваемый
контуром через поверхность, ограничен-
ограниченную им самим, всегда положителен.
Поток вектора магнитной индук-
индукции Фв через произвольную поверхность S
равен
= \ BndS.
A20.2)
Для однородного поля и плоской по-
поверхности, расположенной перпендикуляр-
перпендикулярно вектору В, Вп — В — const и
Из этой формулы определяется единица
магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб—
магнитный поток, проходящий через
плоскую поверхность площадью 1 м2, рас-
расположенную перпендикулярно однородно-
однородному магнитному полю, индукция которого
равна 1 Тл A Вб=1 Тл-м2).
Теорема Гаусса для поля В: поток век-
вектора магнитной индукции через любую
замкнутую поверхность равен нулю:
:ndS=O. A20.3)
Эта теорема отражает факт отсутствия
магнитных зарядов, вследствие чего линии
магнитной индукции не имеют ни начала,
ни конца и являются замкнутыми.
Итак, для потоков векторов В и Е
сквозь замкнутую поверхность в вихревом
и потенциальном полях получаются раз-
различные выражения (см. A20.3), (81.2)).
В качестве примера рассчитаем поток
вектора В через соленоид. Магнитная ин-
индукция однородного поля внутри соленои-
соленоида с сердечником с магнитной проницае-
проницаемостью \i, согласно A19.2), равна
Магнитный поток через один виток со-
соленоида площадью 5 равен
$>r-=BS,
а полный магнитный поток, сцепленный со
всеми витками соленоида и называемый
потокосцеплением,
S.A20.4)
§ 121. Работа по перемещению
проводника и контура с тони.'.;
в магнитном поле
На проводник с током в магнитном поле
действуют силы, определяемые законом
Ампера (см. §111). Если проводник не
закреплен (например, одна из сторон кон-
контура изготовлена в виде подвижной пере-
перемычки, рис. 177), то под действием силы
Ампера он будет в магнитном поле переме-
перемещаться. Следовательно, магнитное поле
совершает работу по перемещению про-
проводника с током.
Для определения этой работы рас-
•••12
Рис. 177

190
3. Электричество и электромагнетизм
смотрим проводник длиной / с током / (он
может свободно перемещаться), помещен-
помещенный в однородное внешнее магнитное по-
поле, перпендикулярное плоскости контура.
При указанных на рис. 177 направлениях
тока и поля сила, направление которой
определяется по правилу левой руки,
а значение — по закону Ампера
(см. A11.2)), равна
Под действием этой силы проводник пере-
переместится параллельно самому себе на от-
отрезок dx из положения / в положение 2.
Работа, совершаемая магнитным полем,
равна
так как /dx = dS— площадь, пересекае-
пересекаемая проводником при его перемещении
в магнитном поле, В dS = dO — поток век-
вектора магнитной индукции, пронизываю-
пронизывающий эту площадь. Таким образом,
йА = 1йФ, A21.1)
т. е. работа по перемещению проводника
с током в магнитном поле равна произве-
произведению силы тока на магнитный поток,
пересеченный движущимся проводником.
Полученная формула справедлива и для
произвольного направления вектора В.
Вычислим работу по перемещению за-
замкнутого контура с постоянным током /
в магнитном поле. Предположим, что кон-
контур М перемещается в плоскости чертежа
и в результате бесконечно малого переме-
перемещения займет положение М', изображен-
изображенное на рис.178 штриховой линией. На-
Направление тока в контуре (по часовой
стрелке) и магнитного поля (перпендику-
(перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж)
указано на рисунке. Контур М мысленно
Рис. 178
разобьем на два соединенных своими кон-
концами проводника: ABC и CDA.
Работа dA, совершаемая силами Ам-
Ампера при рассматриваемом перемещении
контура в магнитном поле, равна алгебра-
алгебраической сумме работ по перемещению
проводников ABC (dAt) и CDA (dAi),
т. е.
dA = dA[-\-dA2. A21.2)
Силы, приложенные к участку CDA
контура, образуют с направлением пере-
перемещения острые углы, поэтому совершае-
совершаемая ими работа dAi>0. Согласно A21.1),
эта работа равна произведению силы то-
тока/в контуре на пересеченный проводни-
проводником CDA магнитный поток. Провод-
Проводник CDA пересекает при своем движении
поток do сквозь поверхность, выполнен-'
ную в цвете, и поток d<b2, пронизывающий
контур в его конечном положении. Сле-
Следовательно,
dA2 = l (d<D0 + d<D2). A21.3)
Силы, действующие на участок ABC
контура, образуют с направлением пе-
перемещения тупые углы, поэтому совер-
совершаемая ими работа dAt <0. Провод-
Проводник ABC пересекает при своем движении
поток d(Do сквозь поверхность, выполнен-
выполненную в цвете, и поток dOb пронизывающий
контур в начальном положении. Следова-
Следовательно,
dA{ = — I (dd>0 + d(D,). A21.4)
Подставляя A21.3) и A21.4)
в A21.2), получим выражение для эле-
элементарной работы:
dA =I (d<D2 — do,),
где d<p2 — d<Di = dfl?' — изменение магнит-
магнитного потока через площадь, ограниченную
контуром с током. Таким образом,
dA = l d<&'. A21.5)
Проинтегрировав выражение A21.5), оп-
определим работу, совершаемую силами Ам-
Ампера, при конечном произвольном переме-
перемещении контура в магнитном поле:
Л=/ДФ, A21.6)
т. е. работа по перемещению замкнутого

Г л л и а II. ЛЬним .'нос по. ic i!>!
контура с током в магнитном поле равна с контуром. Формула A21.6) остается
произведению силы тока в контуре на из- справедливой для контура любой формы
менение магнитного потока, сцепленного в произвольном магнитном поле.
Контрольные вопросы
• Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников постоянного
тока?
• Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?
• Что называют индукцией магнитного поля? Как определяют направление вектора магнитной
индукции В?
• Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока.
• Что такое линии магнитной индукции? Как определяется их направление? Чем они отличаются
от линий напряженности электростатического поля?
• Почему магнитное поле является вихревым?
• Записав закон Био—Савара—Лапласа, объясните его физический смысл.
• Рассчитайте, применяя закон Био—Савара—Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока;
2) в центре кругового проводника с током.
• Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных одинаковых
токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил.
• Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Дайте их определе-
определения.
• Определите числовое значение магнитной постоянной.
• Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?
• Чему равна и как направлена сила, действующая на отрицательный электрический заряд,
движущийся в магнитном поле?
• Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле? Ответ обосновать.
• Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг
спирали? (Ответы подтвердите выводами формул.)
• Что такое ускорители заряженных частиц? Какие они бывают и чем характеризуются?
» Почему циклотроны не применяются для ускорения электронов?
• В чем заключается принцип автофазировки? Где он используется?
• В чем заключается эффект Холла? Выведите формулу для холловской разности потенциалов.
• В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции В? Применив ее, рас-
рассчитайте магнитное поле прямого тока.
• Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов Е и В?
• Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции В, рассчитайте магнитное поле
тороида.
• Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулируется?
• Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного
поля, объяснив ее физический смысл.
• Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.
• Чему равна работа по перемещению проводника с током в магнитном поле? замкнутого контура
с током? Выведите эти формулы; чем они принципиально отличаются?
Задачи
14.1. Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределенный с ли-
линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с" относительно
оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить отноше-
отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса.
[251 нКл/кг]

'Л. Электричество и ^лсктримагпстичм
14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоянный ток
3 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата. [1,41 мкТл]
14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между кото-
которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Определить маг-
магнитную индукцию В в точке, удаленной на n=30 см от первого и г2 = 40 см от второго про-
проводника. [9,5 мкТл]
14.4. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, по
которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца.
[10,7 мкТл]
14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, текущими
в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до
расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа /1=220 нДж.
Определить силу тока в проводниках. [10 А]
14.6. Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со
скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей
на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона.
[15,9 А/м]
14.7. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле
с индукцией 0,1 Тл, движется но окружности. Определить радиус этой окружности. [3,23 см]
14.8. Определить, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно об-
область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с Е =
= 10 кВ/м и В =0,2 Тл, не отклоняется. E0 км/с]
14.9. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при
индукции магнитного поля 1 Тл. |>47 см]
14.10. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластинка помеща-
помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки
и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации
атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциа-
потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см3. [2,6 мкВ]
14.11. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определить, пользуясь теоре-
теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии
15 см от проводника. [20 мкТл]
14.12. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напряженность маг-
магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 300 витков,
протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см. [0,24 мТл;
191 А/м]
14.13. Поток магнитной индукции через площадь поперечного сечения соленоида (без сердечника)
ф = 5 мкВб. Длина соленоида / = 25 см. Определить магнитный момент рт этого соленоида.
[1 А-м2]
14.14. Круглая рамка с током площадью 20 см2 закреплена параллельно магнитному полю (В —
= 0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН-м. Рамку освободили, после пово-
поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с"'. Определить: 1) силу тока, текущего в рамке;
2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [I) 1,5 А; 2) 3-10~° кг-м2]

H I'iliil,]] I! I i "I Hfl)!
10.4
Глава 15
Электромагнитная индукция
§ 122. Якление
электромагнитной индукции
(опыты Фарадея)
В гл. 14 было показано, что электрические
токи создают вокруг себя магнитное поле.
Связь магнитного поля с током привела
к многочисленным попыткам возбудить
ток в контуре с помощью магнитного поля.
Эта фундаментальная задача была
блестяще решена в 1831 г. английским
физиком М. Фарадеем, открывшим явле-
явление электромагнитной индукции, заключа-
заключающееся в том, что в замкнутом проводя-
проводящем контуре при изменении потока маг-
магнитной индукции, охватываемого этим
контуром, возникает электрический ток,
получивший название индукционного.
Рассмотрим классические опыты Фа-
Фарадея, с. помощью которых было обнару-
обнаружено явление электромагнитной индукции.
Опыт I (рис. 179, а). Если в замкнутый на
гальванометр соленоид вдвигать или выдвигать
постоянный магнит, то в моменты его вдвигания
или выдвигания наблюдается отклонение стрел-
стрелки гальванометра (возникает индукционный
ток); направления отклонений стрелки при
вдвигании и выдвигании магнита противопо-
противоположны. Отклонение стрелки гальванометра тем
больше, чем больше скорость движения магнита
относительно катушки. При изменении полюсов
магнита направление отклонения стрелки изме-
изменится. Для получения индукционного тока маг-
магнит можно оставлять неподвижным, тогда нуж-
нужно относительно магнита передвигать соленоид.
Опыт II. Концы однойлиз катушек, встав-
вставленных одна в другую, присоединяются к галь-
гальванометру, а через другую катушку пропускает-
пропускается ток. Отклонение стрелки гальванометра на-
наблюдается в моменты включения или вы-
выключения тока, в моменты его увеличения или
Рис 17!)
7 Т. И. Трофимова
уменьшения или при перемещении катушек друг
относительно друга (рис. 179, б). Направления
отклонений стрелки гальванометра также про-
противоположны при включении и выключении то-
тока, его увеличении и уменьшении, сближении
и удалении катушек.
Обобщая результаты своих многочис-
многочисленных опытов, Фарадей пришел к выводу,
что индукционный ток возникает всегда,
когда происходит изменение сцепленного
с контуром потока магнитной индукции.
Например, при повороте в однородном
магнитном поле замкнутого проводящего
контура в нем также возникает
индукционный ток. В данном случае ин-
индукция магнитного поля вблизи проводни-
проводника остается постоянной, а меняется только
поток магнитной индукции через площадь
контура.
Опытным путем было также установ-
установлено, что значение индукционного тока
совершенно не зависит от способа измене-
изменения потока магнитной индукции, а опреде-
определяется лишь скоростью его изменения
(в опытах Фарадея также доказывается,
что отклонение стрелки гальванометра
(сила тока) тем больше, чем больше ско-
скорость движения магнита, или скорость
изменения силы тока, или скорость движе-
движения катушек).
Открытие явления электромагнитной
индукции имело большое значение, так
как была доказана возможность получе-
получения электрического тока с помощью маг-
магнитного поля. Этим была установлена вза-
взаимосвязь между электрическими и магнит-
магнитными явлениями, что послужило в даль-
дальнейшем толчком для разработки теории
электромагнитного поля.
§ 12,4. Закон Фарадея и его вывод
и» закона сохранения энергии
Обобщая результаты своих многочислен-
многочисленных опытов, ^Фарадей пришел к количе-
количественному закону электромагнитной ин-
индукции. Он показал, что всякий раз, когда
происходит изменение сцепленного с кон-
контуром потока магнитной индукции, в кон-

191
туре возникает индукционный ток; возник-
возникновение индукционного тока указывает на
наличие в цепи электродвижущей силы,
называемой электродвижущей силой элек-
электромагнитной индукции. Значение индук-
индукционного тока, а следовательно, и э. д. с.
электромагнитной индукции 'ё',- определя-
определяются только скоростью изменения магнит-
магнитного потока, т. е.
dO
At '
A23.1)
Теперь необходимо выяснить знак 9i.
В § 120 было показано, что знак магнитно-
магнитного потока зависит от выбора положитель-
положительной нормали к контуру. В свою очередь,
положительное направление нормали свя-
связано с током правилом правого винта
(см. § 109). Следовательно, выбирая опре-
определенное положительное направление нор-
нормали, мы определяем как знак потока маг-
магнитной индукции, так и направление тока
и э. д. с. в контуре. Пользуясь этими пред-
представлениями и выводами, можно соответ-
соответственно прийти к формулировке закона
электромагнитной индукции Фарадея:
какова бы ни была причина
потока магнитной индукции,
емого замкнутым проводящим
возникающая в контуре э. д. с.
jiO_
'~ dt '
изменения
охватыва-
охватываконтуром,
A23.2)
Знак минус показывает, что увеличе-
ние потока
чу
)
вызывает
вызывает э. д. с.
0, т. е. поле индукционного тока на-
направлено навстречу потоку; уменьшение
потока (—г—<0
т. е. направления потока и поля индукци-
индукционного тока совпадают. Знак минус в фор-
формуле A23.2) является математическим
выражением правила Ленца — общего
правила для нахождения направления ин-
индукционного тока, выведенного в 1833 г.
Правило Ленца: индукционный ток
в контуре имеет всегда такое направление,
что создаваемое им магнитное поле
препятствует изменению магнитного по-
потока, вызвавшего этот индукционный ток.
Закон Фарадея (см. A23.2)) может
быть непосредственно получен из закона
сохранения энергии, как это впервые сде-
сделал Г. Гельмгольц. Рассмотрим проводник
с током /, который помещен в однородное
магнитное поле, перпендикулярное плоско-
плоскости контура, и может свободно переме-
перемещаться (см. рис. 177). Под действием си-
силы Ампера F, направление которой пока-
показано на рисунке, проводник перемещается
на отрезок dx. Таким образом, сила Ампе-
Ампера производит работу (см. A21.1)) dA =
= 1 dO, где dO — пересеченный проводни-
проводником магнитный поток.
Если полное сопротивление контура
равно R, то, согласно закону сохранения
энергии, работа источника тока за вре-
время dt (91 dt) будет складываться из рабо-
работы на джоулеву теплоту (I'2R dt) и работы
по перемещению проводника в магнитном
поле (/ dO):
t = I2Rdt-\-I
откуда
dO
где н7~=^' есть не что иное> как за'
кон Фарадея (см. A23.2)).
Закон Фарадея можно сформулиро-
сформулировать еще таким образом: э. д. с. &, элек-
электромагнитной индукции в контуре числен-
численно равна и противоположна по знаку ско-
скорости изменения магнитного потока сквозь
поверхность, ограниченную этим конту-
контуром. Этот закон является универсальным:
э. д. с. t'i не зависит от способа изменения
магнитного потока.
Э. д. с. электромагнитной индукции
выражается в вольтах. Действительно,
учитывая, что единицей магнитного потока
является вебер (Вб), получим
dO"l Вб _Тл-м2 _ Н-м2 _
dt J с с А-М-с
Дж _ А-В-с
А-с А-с
= В.
Какова природа э. д. с. электромагнит-
электромагнитной индукции? Если проводник (подвиж-
(подвижная перемычка контура на рис. 177) дви-

i л а в ;i 15. Электромагнитная индукции
195
жется в постоянном магнитном поле, то
сила Лоренца, действующая на заряды
внутри проводника, движущиеся вместе
с проводником, будет направлена противо-
противоположно току, т. е. она будет создавать
в проводнике индукционный ток противо-
противоположного направления (за направление
электрического тока принимается движе-
движение положительных зарядов). Таким обра-
образом, возбуждение э. д. с. индукции при
движении контура в постоянном магнит-
магнитном поле объясняется действием силы Ло-
Лоренца, возникающей при движении про-
проводника.
Согласно закону Фарадея, возникнове-
возникновение э. д. с. электромагнитной индукции
возможно и в случае неподвижного кон-
контура, находящегося в переменном магнит-
магнитном поле. Однако сила Лоренца на непод-
неподвижные заряды не действует, поэтому
в данном случае ею нельзя объяснить воз-
возникновение э. д. с. индукции. Максвелл
для объяснения э. д. с. индукции в непод-
неподвижных проводниках предположил, что
всякое переменное магнитное поле воз-
возбуждает в окружающем пространстве
электрическое поле, которое и является
причиной возникновения индукционного
тока в проводнике. Циркуляция векто-
вектора Ей этого поля по любому неподвижному
контуру L проводника представляет собой
э. д. с. электромагнитной индукции:
1=—^5-, A23.3)
§ 124. Вращение рамки
в магнитном поле
Явление электромагнитной индукции при-
применяется для преобразования механиче-
механической энергии в энергию электрического
тока. Для этой цели используются генера-
генераторы, принцип действия которых можно
рассмотреть на примере плоской рамки,
вращающейся в однородном магнитном
поле (рис. 180).
Предположим, что рамка вращается
в однородном магнитном поле (В = const)
равномерно с угловой скоростью ft) =
= const. Магнитный поток, сцепленный
с рамкой площадью S, в любой момент
Рис. !80
времени?, согласно A20.1), равен
Ф = BnS — BS cos a = BS cos at,
где a = u>t— угол поворота рамки в мо-
момент времени t (начало отсчета выбрано
так, чтобы при t = 0 a=0).
При вращении рамки в ней будет воз-
возникать переменная э. д. с. индукции
(см. A23.2))
<Ш1 =—~=
sin at, A24.1)
изменяющаяся со временем по гармониче-
гармоническому закону. При sinco<=l Wt макси-
максимальна, т. е.
#max = BSft) A24.2)
определяет максимальные значения, до-
достигаемые колеблющейся э. д. с. Учитывая
A24.2), выражение A24.1) можно запи-
записать в виде
Таким образом, если в однородном маг-
магнитном поле равномерно вращается рам-
рамка, то в ней возникает переменная э. д. с,
изменяющаяся по гармоническому закону.
Из формулы A24.2) вытекает, что
^тах (следовательно, и э. д. с. индукции)
находится в прямой зависимости от вели-
величин ft), В и S. В СССР принята стандарт-
стандартная частота тока v = <o/Bn) = 50 Гц, поэто-
поэтому возможно лишь увеличение двух
остальных величин. Для увеличения В
применяют мощные постоянные магниты
или в электромагнитах пропускают значи-
значительный ток, а также внутрь электромаг-
электромагнита помещают сердечники из материалов
с большой магнитной проницаемостью \i.
Если вращать не один, а ряд витков,
соединенных последовательно, то тем са-

'Л. Электричество и ч.;1ект[)'.р\],чг нгтимм
мым увеличивается S. Переменное напря-
напряжение снимается с вращающегося витка
с помощью щеток, схематически изобра-
изображенных на рис. 180.
Процесс превращения механической
энергии в электрическую обратим. Если
через рамку, помещенную в магнитное по-
поле, пропускать электрический ток, то в со-
соответствии с A09.1) на нее будет дей-
действовать вращающий момент и рамка на-
начнет вращаться. На этом принципе
основана работа электродвигателей, пред-
предназначенных для превращения электриче-
электрической энергии в механическую.
§ 125. Вихревые токи (токи Фуко)
Индукционный ток возникает не только
в линейных проводниках, но и в массивных
сплошных проводниках, помещенных в пе-
переменное магнитное поле. Эти токи оказы-
оказываются замкнутыми в толще проводника
и поэтому называются вихревыми. Их так-
также называют токами Фуко — по имени
первого исследователя.
Токи Фуко, как и индукционные токи
в линейных проводниках, подчиняются
правилу Ленца: их магнитное поле на-
направлено так, чтобы противодействовать
изменению магнитного потока, индуциру-
индуцирующего вихревые токи. Например, если
между полюсами невключенного электро-
электромагнита массивный медный маятник со-
совершает практически незатухающие коле-
колебания (рис. 181), то при включении тока
он испытывает сильное торможение
и очень быстро останавливается. Это
объясняется тем, что возникшие токи Фу-
Фуко имеют такое направление, что действу-
действующие на них со стороны магнитного поля
силы тормозят движение маятника. Этот
факт используется для успокоения (дем-
(демпфирования) подвижных частей различ-
различных приборов. Если в описанном маятнике
сделать радиальные вырезы, то вихревые
токи ослабляются и торможение почти
отсутствует.
Вихревые токи помимо торможения
(как правило, нежелательного эффекта)
вызывают нагревание проводников. По-
Поэтому для уменьшения потерь на нагрева-
нагревание якоря генераторов и сердечники
трансформаторов делают не сплошными,
а изготовляют из тонких пластин, отде-
отделенных одна от другой слоями изолятора,
и устанавливают их так, чтобы вихревые
токи были направлены поперек пластин.
Джоулева теплота, выделяемая токами
Фуко, используется в индукционных ме-
металлургических печах. Индукционная печь
представляет собой тигель, помещаемый
внутрь катушки, в которой пропускает-
пропускается ток высокой частоты. В металле воз-
возникают интенсивные вихревые токи, спо-
способные разогреть его до плавления. Такой
способ позволяет плавить металлы в ваку-
вакууме, в результате чего получаются сверх-
сверхчистые материалы.
Вихревые токи возникают и в прово-
проводах, по которым течет переменный ток.
Направление этих токов можно определить
по правилу Ленца. На рис. 182, а показано
направление вихревых токов при возраста-
возрастании первичного тока в проводнике, а на
й>о
Рис. 181
a) S)
Рис. 182

1 j » ii a i;>. Илсктр'Щптитнля индукции
197
рис. 182, б — при его убывании. В обоих
случаях направление вихревых токов тако-
таково, что они противодействуют изменению
первичного тока внутри проводника и спо-
способствуют его изменению вблизи повер-
поверхности. Таким образом, вследствие воз-
возникновения вихревых токов быстропере-
менный ток оказывается распределенным
по сечению провода неравномерно — он
как бы вытесняется на поверхность про-
проводника. Это явление получило название
скин-эффекта (от англ. skin — кожа) или
поверхностного эффекта. Так как токи вы-
высокой частоты практически текут в тонком
поверхностном слое, то провода для них
делаются полыми.
Если сплошные проводники нагревать
токами высокой частоты, то в результате
скин-эффекта происходит нагревание
только их поверхностного слоя. На этом
основан метод поверхностной закалки ме-
металлов. Меняя частоту поля, он позволяет
производить закалку на любой требуемой
глубине.
§ 12в. Индуктивность контура.
Самоиндукция
Электрический ток, текущий в замкнутом
контуре, создает вокруг себя магнитое по-
поле, индукция которого, по закону Био —
Савара—Лапласа (см. A10.2)), пропор-
пропорциональна току. Сцепленный с контуром
магнитный поток Ф поэтому пропорциона-
пропорционален току / в контуре:
Ф = И, A26.1)
где коэффициент пропорциональности L
называется индуктивностью контура.
При изменении силы тока в контуре
будет изменяться также и сцепленный
с ним магнитный поток; следовательно,
в контуре будет индуцироваться э. д. с.
Возникновение э. д. с. индукции в прово-
проводящем контуре при изменении в нем силы
тока называется самоиндукцией.
Из выражения A26.1) определяется
единица индуктивности генри (Гн):
1 Гн — индуктивность такого контура,
магнитный поток самоиндукции которого
при токе в 1 А равен 1 Вб:
1 Гн=1 Вб/А=1В-с/А.
Рассчитаем индуктивность бесконечно
длинного соленоида. Согласно A20.4),
полный магнитный поток через соленоид
(потокосцепление) равен
N2l
I
5. Под-
Подставив это выражение в формулу A26.1),
получим
I* =
A26.2)
т. е. индуктивность соленоида зависит от
числа витков соленоида N, его длины /,
площади S и магнитной проницаемости ц
вещества, из которого изготовлен сердеч-
сердечник соленоида.
Можно показать, что индуктивность
контура в общем случае зависит только от
геометрической формы контура, его разме-
размеров и магнитной проницаемости той среды,
в которой он находится. В этом смысле
индуктивность контура — аналог электри-
электрической емкости уединенного проводника,
которая также зависит только от формы
проводника, его размеров и диэлектриче-
диэлектрической проницаемости среды (см. §93).
Применяя к явлению самоиндукции
закон Фарадея (см. A23.2)), получим, что
э. д. с. самоиндукции
,.-_-»_ -А .
Если контур не деформируется и магнит-
магнитная проницаемость среды не изменяется
(в дальнейшем будет показано, что по-
последнее условие выполняется не всегда),
то L=- const и
9=—L—, A26.3)
где знак минус, обусловленный правилом
Ленца, показывает, что наличие индуктив-
индуктивности в контуре приводит к замедлению
изменения тока в нем.
Если ток со временем возрастает, то
d/
— >0 и ^s<0, т. е. ток самоиндукции
направлен навстречу току, обусловленно-
обусловленному внешним источником, и тормозит его
возрастание. Если ток со временем убыва-

198
¦i. Электричество и электромагнетизм
ет, то-—<0 и 9s>0, т. е. индукционный
ток имеет такое же направление, как
и убывающий ток в контуре, и замедляет
его убывание. Таким образом, контур, об-
обладая определенной индуктивностью, при-
приобретает электрическую инертность, за-
заключающуюся в том, что любое изменение
тока тормозится тем сильнее, чем больше
индуктивность контура.
§ 127. Токи при размыкании
и замыкании цепи
При всяком изменении силы тока в про-
проводящем контуре возникает э. д. с. само-
самоиндукции, в результате чего в контуре
появляются дополнительные токи, называ-
называемые экстратоками самоиндукции. Экстра-
Экстратоки самоиндукции, согласно правилу
Ленца, всегда направлены так, чтобы пре-
препятствовать изменениям тока в цепи,
т. е. направлены противоположно току, со-
создаваемому источником. При выключении
источника тока экстратоки имеют такое
же направление, что и ослабевающий ток.
Следовательно, наличие индуктивности
в цепи приводит к замедлению исчезнове-
исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока
в цепи, содержащей источник тока
с э. д. с. 9, резистор сопротивлением R
и катушку индуктивностью L. Под дей-
действием внешней э. д. с. в цепи течет по-
постоянный ток
Io=9/R
(внутренним сопротивлением источника
тока пренебрегаем).
В момент времени t = 0 отключим
источник тока. Ток через катушку индук-
индуктивности L начнет уменьшаться, что при-
приведет к возникновению э. д. с. самоиндук-
ции 9s= — L—rr, препятствующей, со-
согласно правилу Ленца, уменьшению тока.
В каждый момент времени ток в цепи
определяется законом Ома I=9S/R,
или
* — L%. A27Л)
Разделив в выражении A27.1) перемен-
d/ R j, ,,
ные, получим ——= —— at. Интегрируя
это уравнение по / (от /о до /)
и / (от 0 до/), находим 1п(///о) =
= —Rt/L, или
/ = /ое-"\ A27.2)
где t = L/R — постоянная, называемая
временем релаксации. Из A27.2) следует,
что т есть время, в течение которого сила
тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения
источника э. д. с. сила тока убывает по
экспоненциальному закону A27.2) и опре-
определяется кривой / на рис. 183. Чем больше
индуктивность цепи и меньше ее сопро-
сопротивление, тем больше т и, следовательно,
тем медленнее уменьшается ток в цепи при
ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней
э. д. с. 9 возникает э. д. с. самоиндукции
ЯГ,= —L—, препятствующая, согласно
правилу Ленца, возрастанию тока. По за-
закону Ома, IR=9 -\-9s, или
Введя новую переменную u — IR—9, пре-
преобразуем это уравнение к виду
йи dt_
и т
где т — время релаксации.
В момент замыкания (t = 0) сила тока
/ = 0 и ы=—9. Следовательно, интегри-
интегрируя по и (от — 9 до IR — 9) и t (от 0 до t),
у^ <g
находим In —
g
——=—t/x, или
/ = /0A-е-'А), A27.3)
где Io=9/R — установившийся ток (при
L
Икс. 183

Глава 15. Электромагнитная индукция
199
Таким образом, в процессе включения
источника э. д. с. нарастание силы тока
в ц ли задается функцией A27.3) и опре-
определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока
возрастает от начального значения / = 0
и асимптотически стремится к устано-
установившемуся значению Io=W/R. Скорость
нарястания тока определяется тем же вре-
временем релаксации z = L/R, что и убыва-
убывание тока. Установление тока происходит
тем быстрее, чем меньше индуктивность
цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э. д. с. самоиндук-
самоиндукции 'Шs, возникающей при мгновенном уве-
увеличении сопротивления цепи постоянного
тока от Ro до R. Предположим, что мы
размыкаем контур, когда в нем течет уста-
установившийся ток /о=2Г/Яо. При размыка-
размыкании цепи ток изменяется по формуле
A27.2). Подставив в нее выражение для /о
и т, получим
/ e-RI/L
Э. д. с. самоиндукции
«г / d/
т. е. при значительном увеличении сопро-
сопротивления цепи (/?//?<>>• 1) обладающей
большой индуктивностью, э. д. с. самоин-
самоиндукции может во много раз превышать
э. д. с. источника тока, включенного
в цепь. Таким образом, необходимо учиты-
учитывать, что контур, содержащий индуктив-
индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это
(возникновение значительных э. д. с. само-
самоиндукции) может привести к пробою изо-
изоляции и выводу из строя измерительных
приборов. Если в контур сопротивление
вводить постепенно, то э. д. с. самоиндук-
самоиндукции не достигнет больших значений.
§ 128. Взаимная индукция
Рассмотрим два неподвижных контура
(/ и 2), расположенных достаточно близко
друг от друга (рис. 184). Если в конту-
контуре / течет ток Л, то магнитный поток, со-
создаваемый этим током (поле, создающее
этот поток, на рисунке изображено сплош-
сплошными линиями), пропорционален Л. Обоз-
Рис. 184
начим через Ф21 ту часть потока, которая
пронизывает контур 2. Тогда
Ф21 = 121/„ A28.1)
где /.л — коэффициент пропорциональ-
пропорциональности
Если ток 1\ изменяется, то в конту-
контуре 2 индуцируется э. д. с. &а, которая по
закону Фарадея (см. A23.2)) равна
и противоположна по знаку скорости из-
изменения магнитного потока Ф21, созданно-
созданного током в первом контуре и пронизываю-
пронизывающего второй:
a dt *' dt '
Аналогично, при протекании в конту-
контуре 2 тока /2 магнитный поток (его поле
изображено на рис. 184 штриховой линией)
пронизывает первый контур. Если Ф|2—
часть этого потока, пронизывающего кон-
контур /, то
Если ток /г изменяется, то в контуре / ин-
индуцируется э. д. с. Фн, которая равна
и противоположна по знаку скорости из-
изменения магнитного потока Ф|2, созданно-
созданного током во втором контуре и пронизываю-
пронизывающего первый:
J~ d/2
'\2
dt
= —L
12
Ж
Явление возникновения э. д. с. в одном
из контуров при изменении силы тока
в другом называется взаимной индукцией.
Коэффициенты пропорциональности Li\
и L\-i называются взаимной индуктивно-
индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые
опытом, показывают, что Li\ и L\2 равны
друг другу, т. е.
L12 = L2I. A28.2)

200
Л. Электричество и чломромашетизм
Коэффициенты L\n и L21 зависят от гео-
геометрической формы, размеров, взаимного
расположения контуров и от магнитной
проницаемости окружающей контуры сре-
среды. Единица взаимной индуктивности та
же, что и для индуктивности,— ген-
генри (Гн).
Рассчитаем взаимную индуктивность
двух катушек, намотанных на общий торо-
тороидальный сердечник. Этот случай имеет
большое практическое значение
(рис. 185). Магнитная индукция поля, со-
создаваемого первой катушкой с числом вит-
витков N\, током /| и магнитной проницаемо-
проницаемостью р. сердечника, согласно A19.2),
Л/,/1
= \io[i
где / — длина сердечника
по средней линии. Магнитный поток через
один виток второй катушки Фг =
Тогда полный магнитный поток (по-
токосцепление) сквозь вторичную обмот-
обмотку, содержащую Ni витков,
Поток Ч* создается током /|, поэтому, со-
согласно A28.1), получаем
/,
I
A28.3)
Если вычислить магнитный поток, создава-
создаваемый катушкой 2 сквозь катушку /, то
для L,2 получим выражение в соответст-
соответствии с формулой A28.3). Таким образом,
взаимная индуктивность двух катушек,
намотанных на общий тороидальный сер-
сердечник,
§ 129. Трансферглаторы
Принцип действия трансформаторов, при-
применяемых для повышения или понижения
напряжения переменного тока, основан на
явлении взаимной индукции. Впервые
трансформаторы были сконструированы
и введены в практику русским электро-
электротехником П. Н. Яблочковым A847—1894)
и русским физиком И. Ф. Усагиным
A855—1919). Принципиальная схема
•-\ч — i-21—
С
¦о
трансформатора показана на рис. 186.'
Первичная и вторичная катушки (обмот-
(обмотки), имеющие соответственно Ni и Nt вит-
витков, укреплены на замкнутом железном
сердечнике. Так как концы первичной об-
обмотки присоединены к источнику перемен-
переменного напряжения с э.д.с. Я \, то в ней
возникает переменный ток 1\, создающий
в сердечнике трансформатора переменный
магнитный поток Ф, который практически
полностью локализован в железном сер-
сердечнике и, следовательно, почти целиком
пронизывает витки вторичной обмотки.
Изменение этого потока вызывает во вто-
вторичной обмотке появление э.д.с. взаим-
взаимной индукции, а в первичной — э.д.с.
самоиндукции.
Ток /| первичной обмотки определяется
согласно закону Ома:
где /?i — сопротивление первичной обмот-
обмотки. Падение напряжения hR[ на сопро-
сопротивлении Ri при быстропеременных полях
мало по сравнению с каждой из двух
э. д. с, поэтому
& 1 ^Ч.
ctt
A29.1)

[лава 15. Электромагнитная индукция
201
Э. д. с. взаимной индукции, возникающая
во вторичной обмотке,
d<D
--tf2i*, A29.2)
Сравнивая выражения A29.1) и A29.2),
получим, что э. д. с, возникающая во вто-
вторичной обмотке,
У2=—j^-У,, A29.3)
где знак минус показывает, что
э. д. с. в первичной и вторичной обмотках
противоположны по фазе.
Отношение числа витков N?/N], по-
показывающее, во сколько раз э. д. с. во
вторичной обмотке трансформатора боль-
больше (или меньше), чем в первичной, на-
называется коэффициентом трансформации.
Пренебрегая потерями энергии, кото-
которые в современных трансформаторах не
превышают 2 % и связаны в основном
с выделением в обмотках джоулевой теп-
теплоты и появлением вихревых токов, и при-
применяя закон сохранения энергии, можем
записать, что мощности тока в обеих об-
обмотках трансформатора практически оди-
одинаковы:
У /
2' 2
/
II»
откуда, учитывая соотношение A29.3),
найдем
т. е. токи в обмотках обратно пропорцио-
пропорциональны числу витков в этих обмотках.
Если N2/N[ > 1, то имеем дело с повы-
повышающим трансформатором, увеличиваю-
увеличивающим переменную э. д. с. и понижающим
ток (применяются, например, для переда-
передачи электроэнергии на большие расстояния,
так как в данном случае потери на
джоулеву теплоту, пропорциональные
квадрату силы тока, снижаются); если
Ni/Ni<il, то имеем дело с понижающим
трансформатором, уменьшающим э. д. с.
и повышающим ток (применяются, на-
например, при электросварке,,так как для
нее требуется большой ток при низком
напряжении).
Мы рассматривали трансформаторы,
имеющие только две обмотки. Однако
трансформаторы, используемые в радио-
радиоустройствах, имеют 4—5 обмоток, обла-
обладающих разными рабочими напряжениями.
Трансформатор, состоящий из одной об-
обмотки, называется автотрансформатором.
В случае повышающего автотрансформа-
автотрансформатора э.д.с. подводится к части обмотки,
а вторичная э.д.с. снимается со всей об-
обмотки. В понижающем автотрансформато-
автотрансформаторе напряжение сети подается на всю об-
обмотку, а вторичная э.д.с. снимается
с части обмотки.
§ 130. Энергия магнитного моля
Проводник, по которому протекает элек-
электрический ток, всегда окружен магнитным
полем, причем магнитное поле появляется
и исчезает вместе с появлением и исчезно-
исчезновением тока. Магнитное поле, подобно
электрическому, является носителем энер-
энергии. Естественно предположить, что энер-
энергия магнитного поля равна работе, которая
затрачивается током на создание этого
поля.
Рассмотрим контур индуктивностью
L, по которому течет ток /. С данным
контуром сцеплен магнитный поток
(см. A26.1)) U> = L/, причем при измене-
изменении тока на d/ магнитный поток изменяет-
изменяется на d(D = L d/. Однако для изменения
магнитного потока на величину d<D
(см. § 121) необходимо совершить работу
dA = l АФ = Ы dl. Тогда работа по созда-
созданию магнитного потока Ф будет равна
= LI2/2.
Следовательно, энергия магнитного поля,
связанного с контуром,
U7=L/2/2. A30.1)
Исследование свойств переменных маг-
магнитных полей, в частности распростране-
распространения электромагнитных волн, явилось до-
доказательством того, что энергия магнитно-
магнитного поля локализована в пространст-
пространстве. Это соответствует представлениям те-
теории поля.
Энергию магнитного поля можно пред-

202 3. Электричество и электромагнетизм
ставить как функцию величин, характери- ной объемной плотностью
зующих это поле в окружающем простран- 2 2
стве. Для этого рассмотрим частный слу- w— — ^ _ °
рр у w
чай — однородное магнитное поле внутри ^ ^ol* 2 2
длинного соленоида. Подставив в формулу ^30 3)
A30.1) выражение A26.2), получим
2г2 Выражение A30.3) для объемной
W=—цоц S. плотности энергии магнитного поля имеет
^ ' вид, аналогичный формуле (95.8) для
Так как I = ВI/(\jlq\kN) (см. A19.2)) и В= объемной плотности энергии электроста-
= цоц# (см. A09.3)), то тического поля, с той разницей, что элек-
2 oli трические величины заменены в нем Mar-
Marly^ V= V, A30.2) нитными. Формула A30.3) выведена для
2ц.оц. 1 однородного поля, но она справедлива
где5/=К — объем соленоида. и для неоднородных полей. Выражение
Магнитное поле соленоида однородно A30.3) справедливо только для сред, для
и сосредоточено внутри него, поэтому которых зависимость В от Н линейная,
энергия (см. A30.2)) заключена в объеме т. е. оно относится только к пара- и диа-
соленоида и распределена в нем с постоян- магнетикам (см. § 132).
Контрольные вопросы
« В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты Фаридея.
щ Что является причиной возникновения э.д.с. индукции в замкнутом проводящем контуре? От
чего и как зависит э.д.с. индукции, возникающая в контуре?
Ф Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник
в виде катушки, а не в виде одного витка провода?
0 Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.
Ф Всегда ли при изменении потока магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает
э.д.с. индукции? индукционный ток?
Ф Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однород-
однородном магнитном поле?
* Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.
Ф Какова природа э.д.с. электромагнитной индукции?
« Выведите выражение для э.д.с. индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в одно-
однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?
Ф Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?
щ Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?
ф В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите э.д.с. индукции
для обоих случаев.
Ф В чем заключается физический смысл времени релаксации t = Z./#? Докажите, что оно имеет
размерность времени.
Ф Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышающего транс-
трансформатора.
« Когда э.д.с. самоиндукции больше — при замыкании или размыкании цепи постоянного тока?
в Какая физическая величина выражается в генри? Дайте определение генри.
Ф В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивности двух
контуров? От чего они зависят?
« Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электростатического
и магнитного полей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнитного поля?
« Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность
энергии магнитного поля?

Г л а и а 16. Магнитгые свойства вещостпа 203
Задачи
15.1. Кольцо из алюминиевого провода (р = 26 нОм-м) помещено в магнитное поле перпендику-
перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм. Опреде-
Определить скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. [0,33 Тл/с]
15.2. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равномерно с частотой 300 мин
вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Пло-
Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось крашения перпендикулярна оси катушки
и направлению магнитного поля. Определить максимальную э.д.с, индуцируемую в катушке.
[31,4 В].
15.3. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром
0,3 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром
1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн. [304]
15.4. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предельного значе-
значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением 10 Ом и индуктивностью
0,4 Гн. [0,16 с]
15.5. Два соленоида (индуктивность одного Li=0,36 Гн, второго Z.2 = 0,64 Гн) одинаковой длины
и практически равного сечения вставлены один в другой. Определить взаимную индуктив-
индуктивность соленоидов. [0,48 Гн]
15.6. Автотрансформатор, понижающий напряжение с U, =5,5 кВ до L/2 = 220 В, содержит в пер-
первичной обмотке М = 1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки Ri = 2 Ом. Сопротивле-
Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) /? = 13 Ом. Пренебрегая сопротив-
сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке трансформатора.
[68]
Глава 16
Магнитные свойства вещества
§ 131. Магнитные моменты обусловленные движением электронов
электронов и атомов в атомах и молекулах.
Для качественного объяснения маг-
Рассматривая действие магнитного поля нитных явлений с достаточным приближе-
приближена проводники с током и на движущиеся нием можно считать, что электрон движет-
заряды, мы не интересовались процесса- ся в атоме по круговым орбитам. Элек-
ми, происходящими в веществе. Свойства трон, движущийся по одной из таких
среды учитывались формально с помощью орбит, эквивалентен круговому току, по-
магнитной проницаемости ц. Для того что- этому он обладает орбитальным магиит-
бы разобраться в магнитных свойствах иым моментом (см. A09.2)) pm = /Sn, мо-
сред и их влиянии на магнитную индук- дуль которого
цию, необходимо рассмотреть действие = /S = e\S, A31.1)
магнитного поля на атомы и молекулы
вещества. где / = ev — сила тока, v — частота вра-
Опыт показывает, что все вещества, щения электрона по орбите, S — площадь
помещенные в магнитное поле, намагничи- орбиты. Если электрон движется по часо-
ваются. Рассмотрим причину этого явле- вой стрелке (рис. 187), то ток направлен
ния с точки зрения строения атомов и мо- против часовой стрелки и вектор рт в со-
лекул, положив в основу гипотезу Ампера ответствии с правилом правого винта на-
(см. § 109), согласно которой в любом правлен перпендикулярно плоскости орби-
теле существуют микроскопические токи, ты электрона.

204
H'K'h
T'l II' i II ¦¦* К1 К /f'HiM.'ll 1UM 1) '.M
С другой стороны, движущийся по ор-
орбите электрон обладает механическим мо-
моментом импульса Le, модуль которого, со-
согласно A9.1),
Le = mvr = 2mxS, A31.2)
где v — 2n\r, nr2 = S. Вектор Le (его на-
направление также подчиняется правилу
правого винта), называется орбитальным
механическим моментом электрона.
Из рис. 187 следует, что направления
Рт И Le ПРОТИВОПОЛОЖНЫ, ПОЭТОМУ, уЧИТЫ-
вая выражения A31.1) и A31.2), получим
Pm=-~Le = gL,, A31.3)
где величина
2т
A31.4)
называется гиромагнитным отношением
орбитальных моментов (общепринято пи-
писать со знаком « — », указывающим на то,
что направления моментов противополож-
противоположны). Это отношение, определяемое уни-
универсальными постоянными, одинаково для
любой орбиты, хотя для разных орбит
значения v и г различны. Формула A31.4)
выведена для круговой орбиты, но она
справедлива и для эллиптических орбит.
Экспериментальное определение гиро-
гиромагнитного отношения проведено в опытах
Эйнштейна и де Гааза* A915), которые
наблюдали поворот свободно подвешенно-
подвешенного на тончайшей кварцевой нити железно-
железного стержня при его намагничении во внеш-
внешнем магнитном поле (по обмотке соленои-
соленоида пропускался переменный ток с часто-
частотой, равной частоте крутильных колебаний
стержня). При исследовании вынужден-
вынужденных крутильных колебаний стержня опре-
определялось гиромагнитное отношение, кото-
которое оказалось равным —(е/т). Таким об-
образом, знак носителей, обусловливающих
молекулярные токи, совпадал со знаком
заряда электрона, а гиромагнитное отно-
отношение оказалось в два раза большим, чем
введенная ранее величина g (см. A31.4)).
Для объяснения этого результата, имев-
имевшего большое значение для дальнейшего
развития физики, было предположено,
а впоследствии доказано, что кроме орби-
орбитальных моментов (см. A31.1) и A31.2))
электрон обладает собственным механиче-
механическим моментом импульса Les, называемым
спином. Считалось, что спин обусловлен
вращением электрона вокруг своей оси,
что привело к целому ряду противоречий.
В настоящее время установлено, что спин
является неотъемлемым свойством элек-
электрона, подобно его заряду и массе. Спину
электрона LeS соответствует собственный
(спиновый) магнитный момент р„,,, про-
пропорциональный Les и направленный в про-
противоположную сторону:
Pms = gsLes- A31.5)
Величина gs называется гиромагнитным
отношением спиновых моментов.
Проекция собственного магнитного
момента на направление вектора В может
принимать только одно из следующих днух
значений:
* В. И. де Гааз A878—1960) — нидерлан-
нидерландский физик.
где h = h/Bn) (h — постоянная Планка),
\iB — магнетон Бора, являющийся едини-
единицей магнитного момента электрона.
В общем случае магнитный момент
электрона складывается из орбитального
и спинового магнитных моментов. Магнит-
Магнитный момент атома, следовательно, склады-
складывается из магнитных моментов входящих
в его состав электронов и магнитного мо-
момента ядра (обусловлен магнитными мо-
моментами входящих в ядро протонов и ней-
нейтронов). Однако магнитные моменты ядер
в тысячи раз меньше магнитных моментов
электроьов, поэтому ими пренебрегают.

si a Hi. Магнитные евойнва
205
Таким образом, общий магнитный момент
атома (молекулы) ра равен векторной сум-
сумме магнитных моментов (орбитальных
и спиновых) входящих в атом (молекулу)
электронов:
п»- A31.6)
Еще раз обратим внимание на то, что
при рассмотрении магнитных моментов
электронов и атомов мы пользовались
классической теорией, не учитывая огра-
ограничений, накладываемых на движение
электронов законами квантовой механики.
Однако это не противоречит полученным
результатам, так как для дальнейшего
объяснения намагничивания веществ су-
существенно лишь то, что атомы обладают
магнитными моментами.
§ 132 Диа- и парамагнетизм
Всякое вещество является магнетиком,
т. е. оно способно под действием магнитно-
магнитного поля приобретать магнитный момент
(намагничиваться). Для понимания меха-
механизма этого явления необходимо рассмот-
рассмотреть действие магнитного поля на движу-
движущиеся в атоме электроны.
Ради простоты предположим, что элек-
электрон в атоме движется по круговой орби-
орбите. Если орбита электрона ориентирована
относительно вектора В произвольным об-
образом, составляя с ним угол а (рис. 188),
то можно доказать, что она приходит в та-
такое движение вокруг В, при котором век-
вектор магнитного момента рт, сохраняя по-
постоянным угол а, вращается вокруг на-
Ииг.
правления В с некоторой угловой скоро-
скоростью. Такое движение в механике на-
называется прецессией. Прецессию вокруг
вертикальной оси, проходящей через точку
опоры, совершает, например, диск волчка
при замедлении движения.
Таким образом, электронные орбиты
атома под действием внешнего магнитно-
магнитного поля совершают прецессионное движе-
движение, которое эквивалентно круговому то-
току. Так как этот микроток индуцирован
внешним магнитным полем, то, согласно
правилу Ленца, у атома появляется со-
составляющая магнитного поля, направлен-
направленная противоположно внешнему полю. На-
Наведенные составляющие магнитных полей
атомов (молекул) складываются и обра-
образуют собственное магнитное поле вещест-
вещества, ослабляющее внешнее магнитное по-
поле. Этот эффект получил название диа-
диамагнитного эффекта, а вещества, на-
намагничивающиеся во внешнем магнитном
поле против направления поля, называют-
называются диамагнетиками.
В отсутствие внешнего магнитного по-
поля диамагнетик немагнитен, поскольку
в данном случае магнитные моменты элек-
электронов взаимно компенсируются, и сум-
суммарный магнитный момент атома (он ра-
равен векторной сумме магнитных моментов
(орбитальных и спиновых) составляющих
атом электронов) равен нулю. К диамаг-
нетикам относятся многие металлы (на-
(например, Bi, Ag, Аи, Си), большинство
органических соединений, смолы, углерод
и т. д.
Так как диамагнитный эффект обус-
обусловлен действием внешнего магнитного
поля на электроны атомов вещества, то
диамагнетизм свойствен всем веществам.
Однако наряду с диамагнитными ве-
веществами существуют и парамагнитные —
вещества, намагничивающиеся во внеш-
внешнем магнитном поле по направлению поля.
У парамагнитных веществ при отсутст-
отсутствии внешнего магнитного поля магнитные
моменты электронов не компенсируют друг-
друга, и атомы (молекулы) парамагнети-
парамагнетиков всегда обладают магнитным момен-
моментом. Однако вследствие теплового движе-
движения молекул их магнитные моменты ори-
ориентированы беспорядочно, поэтому пара-

206
3. Электричеотпо и электрочягнетитм
магнитные вещества магнитными свой-
свойствами не обладают. При внесении пара-
парамагнетика во внешнее магнитное поле
устанавливается преимущественная ори-
ориентация магнитных моментов атомов по
полю (полной ориентации препятствует
тепловое движение атомов). Таким обра-
образом, парамагнетик намагничивается, со-
создавая собственное магнитное поле, со-
совпадающее по направлению с внешним
полем и усиливающее его. Этот эффект
называется парамагнитным. При ослабле-
ослаблении внешнего магнитного поля до нуля
ориентация магнитных моментов вследст-
вследствие теплового движения нарушается и па-
парамагнетик размагничивается. К парамаг-
парамагнетикам относятся редкоземельные эле-
элементы, Pt, AI и т. д. Диамагнитный эффект
наблюдается и в парамагнетиках, но он
значительно слабее парамагнитного и по-
поэтому остается незаметным.
Из рассмотрения явления парамагне-
парамагнетизма следует, что его объяснение совпа-
совпадает с объяснением ориентационной (ди-
польной) поляризации диэлектриков с по-
полярными молекулами (см. §87), только
электрический момент атомов в случае
поляризации надо заменить магнитным
моментом атомов в случае намагничения.
Подводя итог качественному рассмот-
рассмотрению диа- и парамагнетизма, еще раз
отметим, что атомы всех веществ являют-
являются носителями диамагнитных свойств. Ес-
Если магнитный момент атомов велик, то
парамагнитные свойства преобладают над
диамагнитными и вещество является па-
парамагнетиком; если магнитный момент
атомов мал, то преобладают диамагнит-
диамагнитные свойства и вещество является диа-
магнетиком.
§ 133. Намагниченное п..
Магнитное поле и веществе
Подобно тому, как для количественного
описания поляризации диэлектриков вво-
вводилась поляризованность (см. §88), для
количественного описания намагничения
магнетиков вводят векторную величину —
намагниченность, определяемую магнит-
магнитным моментом единицы объема магнетика:
где Рт = У ра — магнитный момент маг-
магнетика, представляющий собой векторную
сумму магнитных моментов отдельных мо-
молекул (см. A31.6)).
Рассматривая характеристики магнит-
магнитного поля (см. § 109), мы вводили вектор
магнитной индукции В, характеризующий
результирующее магнитное поле, создава-
создаваемое всеми макро- и микротоками, и век-
вектор напряженности Н, характеризующий
магнитное поле макротоков. Следователь-
Следовательно, магнитное поле в веществе складыва-
складывается их двух полей: внешнего поля, со-
создаваемого током, и поля, создаваемого
намагниченным веществом. Тогда вектор
магнитной индукции результирующего
магнитного поля в магнетике равен век-
векторной сумме магнитных индукций внеш-
внешнего поля Во (поля, создаваемого намаг-
намагничивающим током в вакууме) и поля
микротоков В' (поля, создаваемого моле-
молекулярными токами):
В = В0+В', A33.1)
где Во = цоН (см. A09.3)).
Для описания поля, создаваемого мо-
молекулярными токами, рассмотрим магне-
магнетик в виде кругового цилиндра сечения
S и длины /, внесенного в однородное
внешнее магнитное поле с индукцией Во.
Возникающее в магнетике магнитное поле
молекулярных токов будет направлено
противоположно внешнему полю для диа-
магнетиков и совпадать с ним по направ-
направлению для парамагнетиков. Плоскости
всех молекулярных токов расположатся
перпендикулярно вектору Во, так как век-
векторы их магнитных моментов рт антипа-
раллельны вектору Во (для диамагнети-
ков) и параллельны Во (для парамагнети-
парамагнетиков). Если рассмотреть любое сечение
цилиндра, перпендикулярное сто оси, то во
внутренних участках сечения магнетика
молекулярные токи соседних атомов на-
направлены навстречу друг другу и взаимно
компенсируются (рис. 189). Нескомпенси-
рованными будут лишь молекулярные то-
токи, выходящие на боковую поверхность
цилиндра.
Ток, текущий по боковой поверхности
цилиндра, подобен току в соленоиде и со-
создает внутри него поле, магнитную индук-

Г .л а»а 16. Магнитные с«ой.:тв;| всшестиа
207
Ph., ISil
цию В' которого можно вычислить, учиты-
учитывая формулу A19.2) для N=\ (соленоид
из одного витка):
B' = ixul'/l, A33.2)
где /' — сила молекулярного тока, / —
длина рассматриваемого цилиндра, а маг-
магнитная проницаемость ц принята равной
единице.
С другой стороны, Г/1 — ток, приходя-
приходящийся на единицу длины цилиндра, или
его линейная плотность, поэтому магнит-
магнитный момент этого тока p = I'lS/l = I'V/I,
где V — объем магнетика. Если Р — маг-
магнитный момент магнетика объемом V, то
P/V—намагниченность магнетика У. Та-
Таким образом,
1=1'/I. A33.3)
Сопоставляя
чим, что
A33.2) и A33.3), полу-
полуили в векторной форме
B' = mJ.
Подставив выражения для Во и В'
в A33.1), получим
- A33.4)
или
М-о
A33.5)
Как показывает опыт, в несильных по-
полях намагниченность прямо пропорцио-
пропорциональна напряженности поля, вызывающе-
вызывающего намагничение, т. е.
J=xH, A33.6)
где х — безразмерная величина, называе-
называемая магнитной восприимчивостью вещест-
ва. Для диамагнетиков х отрицательна
(поле молекулярных токов противополож-
противоположно внешнему), для парамагнетиков — по-
положительна (поле молекулярных токов со-
совпадает с внешним).
Используя формулу A33.6), выраже-
выражение A33.4) можно записать в виде
, A33.7)
откуда
Н=—
В
Mi+хГ
Безразмерная величина
A33.8)
представляет собой магнитную проницае-
проницаемость вещества. Подставив A33.8)
в A33.7), придем к соотношению A09.3)
В = [д,(|Ц,Н, которое ранее постулировалось.
TziK как абсолютное значение магнит-
магнитной восприимчивости для диа- и парамаг-
парамагнетиков очень мало (порядка 10~4—
1(Р6), то для них и- незначительно отлича-
отличается от единицы. Это просто понять, так
как магнитное поле молекулярных токов
значительно слабее намагничивающего
поля. Таким образом, для днамагнетиков
Х<0 и ц<1, для парамагнетиков х>0
и ц>1.
Закон полного тока для магнитного
поля в веществе (теорема о циркуляции
вектора В) является обобщением закона
A18.1):
где / и /' — соответственно алгебраиче-
алгебраические суммы макротоков (токов прово-
проводимости) и микротоков (молекулярных
токов), охватываемых произвольным за-
замкнутым контуром L. Таким образом, цир-
циркуляция вектора магнитной индукции В по
произвольному замкнутому контуру равна
алгебраической сумме токов проводимости
и молекулярных токов, охватываемых
этим контуром, умноженной на магнитную
постоянную. Вектор В, таким образом,
характеризует результирующее поле, со-
созданное как макроскопическими токами
в проводниках (токами проводимости),

20H
t .'1/11 КГрИ'1
vk'KT |>'I,vlijl !lr Mi t\l
так и микроскопическими токами в магне-
магнетиках, поэтому линии вектора магнитной
индукции В не имеют источников и явля-
являются замкнутыми.
Можно доказать, что циркуляция на-
намагниченности J по произвольному зам-
замкнутому контуру L равна алгебраической
сумме молекулярных токов, охватываемых
этим контуром:
Ф
iA\-=l'.
Тогда закон полного тока для магнитного
поля в веществе можно записать также
в виде
A33.9)
где /, подчеркнем это еще раз, есть алгеб-
алгебраическая сумма токов проводимости.
Выражение, стоящее в скобках
в A33.9), согласно A33.5), есть не что
иное, как введенный ранее вектор Н на-
напряженности магнитного поля. Итак, цир-
циркуляция нектора Н по произвольному за-
замкнутому контуру L равна алгебраической
сумме токов проводимости, охватывае-
охватываемых этим контуром:
f
Н dl =
A33.10)
Выражение A33.10) представляет собой
теорему о циркуляции вектора Н.
на t р/.иицс pa i.i; ;t:i
iuvvx магист икон
Рассмотрим условия для векторов
В и Н на границе раздела двух однород-
однородных магнетиков (магнитные проницаемо-
проницаемости [м и р,г) при отсутствии на границе
тока проводимости.
Построим вблизи границы раздела
магнетиков / и 2 прямой цилиндр ничтож-
ничтожно малой высоты, одно основание которого
находится в первом магнетике, другое —
во втором (рис. 190). Основания AS на-
настолько малы, что в пределах каждого из
них вектор В одинаков. Согласно теореме
Гаусса A20.3),
B2rlAS-BirlAS = 0
(нормали п и п' к основаниям цилиндра
направлены противоположно). Поэтому
Ви = В2„. A34.1)
Заменив, согласно В = цоцН, проекции
вектора В проекциями вектора Н, умно-
умноженными на (хоц, получим
//_, и,
¦1Г-=—¦ A34.2)
Вблизи границы раздела двух магне-
магнетиков / и 2 построим небольшой замкну-
замкнутый прямоугольный контур ABCDA дли-
длиной /, ориентировав его так, как показано
на рис.191. Согласно теореме A33.10)
о циркуляции вектора Н,
Н dl = 0
ABCDA
(токов проводимости на границе раздела
нет), откуда
H2Tt-Nul = 0
(знаки интегралов по АВ и CD разные, так
как пути интегрирования противополож-
противоположны, а интегралы по участкам ВС и DA ни-

I'.'i a (i a 1(>. iU.'iniiiTiiijit-' снойп нл
чтожно малы). Поэтому
A34.3)
Заменив, согласно В = р.оцН, проекции
вектора Н проекциями вектора В, делен-
деленными на |ЛоЩ получим
A34.4)
Таким образом, при переходе через
границу раздела двух магнетиков нор-
нормальная составляющая вектора В (В„)
и тангенциальная составляющая вектора
Н (//t) изменяются непрерывно (не пре-
претерпевают скачка), а тангенциальная со-
составляющая вектора В (Вх) и нормальная
составляющая вектора Н (//„) претерпева-
претерпевают скачок.
Из полученных условий A34.1) —
A34.4) для составляющих векторов
В и Н следует, что линии этих векторов
испытывают излом (преломляются). Как
и в случае диэлектриков (см. §90), можно
найти закон преломления линий В (а зна-
значит, и линий Н):
tg «2 _ \h
(предоставим это сделать по аналогии
(см. § 90) читателю). Из этой формулы
следует, что, входя в магнетик с большей
магнитной проницаемостью, линии
В и Н удаляются от нормали.
§ 13Г>. Ферромагнетики и их свойства
Помимо рассмотренных двух классов ве-
веществ — диа- и парамагнетиков, называе-
называемых слабомагнитными веществами, су-
существуют еще сильномагнитные вещест-
вещества — ферромагнетики — вещества, обла-
обладающие спонтанной намагниченностью,
т. е. они намагничены даже при отсутствии
внешнего магнитного поля. К ферромагне-
ферромагнетикам кроме основного их представите-
представителя — железа (от него и идет название
«ферромагнетизм») — относятся, напри-
например, кобальт, никель, гадолиний, их спла-
сплавы и соединения.
Ферромагнетики помимо способности
сильно намагничиваться обладают еще
и другими свойствами, существенно отли-
отличающими их от диа- и парамагнетиков.
Если для слабомагнитных веществ зависи-
зависимость J от Н линейна (см. A33.6)
и рис. 192), то для ферромагнетиков эта
зависимость, впервые изученная
в 1878 г. методом баллистического галь-
гальванометра для железа русским физиком
А. Г. Столетовым A839—1896), является
довольно сложной. По мере возрастания
Н намагниченность J сначала растет быст-
быстро, затем медленнее и, наконец, достигает-
достигается так называемое магнитное насыщение
¦/нас, уже не зависящее от напряженности
поля. Подобный характер зависимости
J от Н можно объяснить тем, что по мере
увеличения намагничивающего поля уве-
увеличивается степень ориентации молеку-
молекулярных магнитных моментов по полю, од-
однако этот процесс начнет замедляться,
когда остается все меньше и меньше нео-
неориентированных моментов, и, наконец,
когда все моменты будут ориентированы
по полю, дальнейшее увеличение J пре-
прекращается и наступает магнитное насы-
насыщение.
Магнитная индукция В = цо(# + У)
(см. A33.4)) в слабых полях растет быст-
быстро с ростом Н вследствие увеличения У,
а в сильных полях, поскольку второе сла-
слагаемое постоянно (У = /Иас), В растет
с увеличением Н по линейному закону
(рис. 193).

210
3. Электричество и электромагнетизм
Рис. 194
Существенная особенность ферромаг-
ферромагнетиков — не только большие значения ц
(например, для железа — 5000, для спла-
сплава супермаллоя — 800 000!), но и зависи-
зависимость ц от Н (рис. 194). Вначале ц растет
с увеличением Н, затем, достигая макси-
максимума, начинает уменьшаться, стремясь
в случае сильных полей к 1 (ц =
= В/(цо#)= 1+J/H, поэтому при / =
= /Hac = const с ростом Н отношение
У/Я-ч-0, а ц-И).
Характерная особенность ферромагне-
ферромагнетиков состоит также в том, что для них
зависимость / от Н (а следовательно,
и В от Н) определяется предысторией на-
намагничения ферромагнетика. Это явле-
явление получило название магнитного гисте-
гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик
до насыщения (точка /, рис. 195), а за-
затем начать уменьшать напряженность
Н намагничивающего поля, то, как по-
показывает опыт, уменьшение 1 описывает-
описывается кривой /—2, лежащей выше кривой
/—0. При Я = 0 / отличается от нуля,
т. е. в ферромагнетике наблюдается оста-
остаточное намагничение Jx- С наличием оста-
остаточного намагничения связано существо-
существование постоянных магнитов. Намагниче-
J,
¦/гас
Рис. 195
ние обращается в нуль под действием
поля Не, имеющего направление, противо-
противоположное полю, вызвавшему намагниче-
намагничение. Напряженность Не называется ко-
коэрцитивной силой.
При дальнейшем увеличении проти-
противоположного поля ферромагнетик пе-
ремагничивается (кривая 3—4), и при
#= — Яиас достигается насыщение (точ-
(точка 4). Затем ферромагнетик можно опять
размагнитить (кривая 4—5—6) и вновь
перемагнитить до насыщения (кривая
6-1).
Таким образом, при действии на фер-
ферромагнетик переменного магнитного поля
намагниченность / изменяется в соответ-
соответствии с кривой /—2—3—4—5—6—/, кото-
которая называется петлей гистерезиса (от
греч. «запаздывание»). Гистерезис приво-
приводит к тому, что намагничение ферромагне-
ферромагнетика не является однозначной функцией
Н, т. е. одному и тому же значению Н со-
соответствует несколько значений 1.
Различные ферромагнетики дают раз-
разные гистерезисные петли. Ферромагнетики
с малой (в пределах от нескольких тысяч-
тысячных до 1—2 А/см) коэрцитивной силой
Не (с узкой петлей гистерезиса) называ-
называются мягкими, с большой (от нескольких
десятков до нескольких тысяч ампер на
сантиметр) коэрцитивной силой (с широ-
широкой петлей гистерезиса) — жесткими. Ве-
Величины Не, /ос и Umax определяют при-
применимость ферромагнетиков для тех или
иных практических целей. Так, жесткие
ферромагнетики (например, углеродистые
и вольфрамовые стали) применяются для
изготовления постоянных магнитов, а мяг-
мягкие (например, мягкое железо, сплав же-
железа с никелем) — для изготовления сер-
сердечников трансформаторов.
Ферромагнетики обладают еще одной
существенной особенностью: для каждого
ферромагнетика имеется определенная
температура, называемая точкой Кюри,
при которой он теряет свои магнитные
свойства. При нагревании образца выше
точки Кюри ферромагнетик превращается
в обычный парамагнетик. Переход вещест-
вещества из ферромагнитного состояния в пара-
парамагнитное, происходящий в точке Кюри,
не сопровождается поглощением или вы-

Глав a IG. Магнитные свойства вещества
211
делением теплоты, т. е. в точке Кюри про-
происходит фазовый переход II рода
(см. §75).
Наконец, процесс намагничения фер-
ферромагнетиков сопровождается изменени-
изменением его линейных размеров и объема. Это
явление получило название магнитострик-
ции. Величина и знак эффекта зависят от
напряженности Н намагничивающего по-
поля, от природы ферромагнетика и ориента-
ориентации кристаллографических осей по отно-
отношению к полю.
§ 136. Природа ферромагнетизма
Рассматривая магнитные свойства ферро-
ферромагнетиков, мы не вскрывали физическую
природу этого явления. Описательная тео-
теория ферромагнетизма была разработана
французским физиком П. Вейссом
A865—1940). Последовательная количе-
количественная теория на основе квантовой ме-
механики развита советским физиком
Я- И. Френкелем и немецким физиком
В. Гейзенбергом A901 — 1976).
Согласно представлениям Вейсса,
ферромагнетики при температурах ниже
точки Кюри обладают спонтанной намаг-
намагниченностью независимо от наличия внеш-
внешнего намагничивающего поля. Спонтанное
намагничение, однако, находится в кажу-
кажущемся противоречии с тем, что многие
ферромагнитные материалы даже при тем-
температурах ниже точки Кюри не намагниче-
намагничены. Для устранения этого противоречия
Вейсс ввел гипотезу, согласно которой
ферромагнетик ниже точки Кюри разбива-
разбивается на большое число малых макроскопи-
макроскопических областей — доменов, самопроиз-
самопроизвольно намагниченных до насыщения.
При отсутствии внешнего магнитного
поля магнитные моменты отдельных до-
доменов ориентированы хаотически и ком-
компенсируют друг друга, поэтому результи-
результирующий магнитный момент ферромагнети-
ферромагнетика равен нулю и ферромагнетик не
намагничен. Внешнее магнитное поле ори-
ориентирует по полю магнитные моменты не
отдельных атомов, как это имеет место
в случае парамагнетиков, а целых об-
областей спонтанной намагниченности. По-
Поэтому с ростом Н намагниченность
J (см. рис. 192) и магнитная индукции
В (см. рис. 193) уже в довольно слабых
полях растут очень быстро. Этим объясня-
объясняется также увеличение \и ферромагнетиков
до максимального значения в слабых по-
полях (см. рис. 194). Эксперименты показа-
показали, что зависимость б от Я не является
такой плавной, как показано на рис. 193,
а имеет ступенчатый вид. Это свидетель-
свидетельствует о том, что внутри ферромагнетика
домены поворачиваются по полю скачком.
При ослаблении внешнего магнитного
поля до нуля ферромагнетики сохраняют
остаточное намагничение, так как тепло-
тепловое движение не в состоянии быстро дезо-
дезориентировать магнитные моменты столь
крупных образований, какими являются
домены. Поэтому и наблюдается явление
магнитного гистерезиса (рис.195). Для
того чтобы ферромагнетик размагнитить,
необходимо приложить коэрцитивную си-
силу; размагничиванию способствуют также
встряхивание и нагревание ферромагнети-
ферромагнетика. Точка Кюри оказывается той темпера-
температурой, выше которой происходит разруше-
разрушение доменной структуры.
Существование доменов в ферромагне-
ферромагнетиках доказано экспериментально. Пря-
Прямым экспериментальным методом их на-
наблюдения является метод порошковых фи-
фигур. Па тщательно отполированную по-
поверхность ферромагнетика наносится во-
водная суспензия мелкого ферромагнитного
порошка (например, магнетита). Частицы
оседают преимущественно в местах мак-
максимальной неоднородности магнитного по-
поля, т. е. на границах между доменами.
Поэтому осевший порошок очерчивает
границы доменов и подобную картину мож-
можно сфотографировать под микроскопом.
Линейные размеры доменов оказались рав-
равными Ю~4—10~2 см.
Дальнейшее развитие теории ферро-
ферромагнетизма Френкелем и Гейзенбергом,
а также ряд экспериментальных фактов
позволили выяснить природу элементар-
элементарных носителей ферромагнетизма. В насто-
настоящее время установлено, что магнитные
свойства ферромагнетиков определяются
спиновыми магнитными моментами элек-
троно.ч (прямым экспериментальным ука-
указанием этого служит опыт Эйнштейна и де

2! 2
Л Э.нктрнчеотпо и
Гааза, см. § 131). Установлено также, что
ферромагнитными свойствами могут обла-
обладать только кристаллические вещества,
в атомах которых имеются недостроенные
внутренние электронные оболочки с не-
скомпенсированными спинами. В подо-
подобных кристаллах могут возникать силы,
которые вынуждают спиновые магнитные
моменты электронов ориентироваться па-
параллельно друг другу, что и приводит
к возникновению областей спонтанного
намагничения. Эти силы, называемые об-
обменными силами, имеют квантовую при-
природу — они обусловлены волновыми свой-
свойствами электронов.
Так как ферромагнетизм наблюдается
только в кристаллах, а они обладают ани-
анизотропией (см. § 70), то в монокристаллах
ферромагнетиков должна иметь место
анизотропия магнитных свойств (их за-
зависимость от направления в кристалле).
Действительно, опыт показывает, что при
одних направлениях в кристалле его на-
намагниченность при данном значении на-
напряженности магнитного поля наиболь-
наибольшая (направление легчайшего намагниче-
намагничения), в других — наименьшая (направле-
(направление трудного намагничения). Из рассмот-
рассмотрения магнитных свойств ферромагнети-
ферромагнетиков следует, что они похожи на сегнето-
электрики (см. §91).
Существуют вещества, в которых об-
обменные силы вызывают антипараллельную
ориентацию спиновых магнитных момен-
моментов электронов. Такие тела называются
антиферромагнетиками. Их существова-
существование теоретически было предсказано
Л. Д. Ландау. Антиферромагнетиками
являются некоторые соединения марганца
(МпО, MnFj), железа (FeO, FeCb) и мно-
многих других элементов. Для них также су-
существует антиферромагнитная точка Кю-
Кюри (точка Нееля *), при которой магнит-
магнитное упорядочение спиновых магнитных
моментов нарушается и антиферромагне-
антиферромагнетик превращается в парамагнетик, пре-
претерпевая фазовый переход II рода
(см. §75).
В последнее время большое значение
приобрели полупроводниковые ферромаг-
ферромагнетики — ферриты, химические соедине-
соединения типа MeO-Fe2O3, где Me — ион двух-
двухвалентного металла (Мп, Со, Ni, Cu, Mg,
Zn, Cd, Fe). Они отличаются заметными
ферромагнитными свойствами и большим
удельным электрическим сопротивлением
(в миллиарды раз большим, чем у ме-
металлов). Ферриты применяются для изго-
изготовления постоянных магнитов, феррито-
вых антенн, сердечников радиочастотных
контуров, элементов оперативной памяти
в вычислительной технике, для покрытия
пленок в магнитофонах и видеомагнитофо-
видеомагнитофонах и т. д.
* Л. Неель (род. 1904) — французский
физик.
Контрольные вопросы
Почему орбитальные магнитный и механический моменты электрона в атоме противоположно
направлены?
Что называют гиромагнитным отношением?
Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома?
Что такое диамагнетики? парамагнетики? В чем различие их магнитных свойств?
Что такое намагниченность? Какая величина может служить ее аналогом в электростатике?
Запишите и объясните соотношения между магнитными проницаемостью и восприимчивостью
для парамагнетика; для диамагнетика.
Выведите связь между векторами магнитной индукции, напряженности магнитного поля и на-
намагниченности.
Объясните физический смысл циркуляции по произвольному замкнутому контуру векторов:
1) В; 2) Н; 3) J.
Выведите и прокомментируйте условия для векторов В и Н на границе раздела двух магнети-
магнетиков.
Объясните петлю гистерезиса ферромагнетика. Что такое магнитострикция?

I ,n ;i ;i ;i 17 Основные теории Макгнсллч л.'я ч.чск; (!¦
• Какие ферромагнетики являются магнитомягкими? магнитожесткими? Где их применяют?
• Каков механизм намагничения ферромагнетиков?
• Какую температуру для ферромагнетика называют течкой Кюри?
Задачи
16.1. Напряженность однородного магнитного поля в меди равна 10 А/м. Определить магнитную
индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если диамагнитная восприимчивость
меди |х|=8,8. Ю-8. [1,11 пТл1
16.2. По круговому контуру радиусом 50 см, погруженному в жидкий кислород, течет ток 1,5 А. Оп-
Определить намагниченность в центре этого контура, если магнитная восириимчипость жидкого
кислорода 3,4-10~3. [5,1 мА/м]
16.3. По обмотке соленоида индуктивностью 1 мГн, находящегося в диамагнитной среде, течет ток
2 А. Соленоид имеет длину 20 см, площадь поперечного сечения 10 см2 и 400 витков. Опреде-
Определить внутри соленоида: 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность. [1M мТл; 2) 20 А/м]
16.4. Алюминиевый шарик радиусом 0,5 см помещен в однородное магнитное поле (В,) = 0,1 Тл).
Определить магнитный момент, приобретенный шариком, если магнитная восприимчивость
алюминия 2,1-10~5. [8,75 мкА-м2]
Глава 17
Основы теории Максвелла для электромагнитного поля
§ 137. Вихревое электрическое поле
Из закона Фарадея (см. A23.2))
Ъ i = — следует, что любое изменение
at
сцепленного с контуром потока магнитной
индукции приводит к возникновению элек-
электродвижущей силы индукции и вследствие
этого появляется индукционный ток. Сле-
Следовательно, возникновение э.д.с. электро-
электромагнитной индукции возможно и в непод-
неподвижном контуре, находящемся в перемен-
переменном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой
цепи возникает только тогда, когда в ней
на носители тока действуют сторонние
силы — силы неэлектростатического про-
происхождения (см. § 97). Поэтому возника-
возникает вопрос о природе сторонних сил в дан-
данном случае.
Опыт показывает, что эти сторонние
силы не связаны ни с тепловыми, ни с хи-
химическими процессами в контуре; их воз-
возникновение также нельзя объяснить сила-
силами Лоренца, так как они на неподвижные
заряды не действуют. Максвелл высказал
гипотезу, что всякое переменное магнит-
магнитное поле возбуждает в окружающем про-
пространстве электрическое поле, которое
и является причиной возникновения ин-
индукционного тока в контуре. Согласно
представлениям Максвелла, контур, в ко-
котором появляется э.д.с, играет второсте-
второстепенную роль, являясь своего рода лишь
«прибором», обнаруживающим это поле.
Итак, по Максвеллу, изменяющееся во
времени магнитное поле порождает элек-
электрическое поле Ед, циркуляция которого,
по A23.3),
ф
Еяс11 =
EB,dl = -
At
A37.1)
где Еш — проекция вектора Ев на направ-
направление dl.
Подставив в формулу A37.1) выраже-
выражение Ф = \ В dS (см. A20.2)), получим
ф
Евё1 -^-
Если поверхность и контур неподвиж-
неподвижны, то операции дифференцирования и ин-
интегрирования можно поменять местами.
Следовательно,
Bdl=—J-^-dS, A37.2)

214
3. Электричество и электромагнетизм
где символ частной производной подчерки-
подчеркивает тот факт, что интеграл \ BdS является
функцией только от времени.
Согласно (83.3), циркуляция вектора
напряженности электростатического поля
(обозначим его Eq) вдоль любого замкну-
замкнутого контура равна нулю:
ф
EQldl = Q. A37.3)
L L
Сравнивая выражения A37.1) и A37.3),
видим, что между рассматриваемыми по-
полями (Ей и Eg) имеется принципиальное
различие: циркуляция вектора Ев в отли-
отличие от циркуляции вектора EQ не равна
нулю. Следовательно, электрическое поле
Ев, возбуждаемое магнитным полем, как
и само магнитное поле (см. § 118), явля-
является вихревым.
§ 138. Ток смещения
Согласно Максвеллу, если всякое пере-
переменное магнитное поле возбуждает в окру-
окружающем пространстве вихревое электри-
электрическое поле, то должно существовать и об-
обратное явление: всякое изменение элек-
электрического поля должно вызывать появле-
появление в окружающем пространстве вихрево-
вихревого магнитного поля. Для установления
количественных соотношений между изме-
изменяющимся электрическим полем и вызыва-
вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел
в рассмотрение так называемый ток сме-
смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока,
содержащую конденсатор (рис. 196).
Между обкладками заряжающегося
и разряжающегося конденсатора имеется
переменное электрическое поле, поэтому,
согласно Максвеллу, через конденсатор
+ 9 и -О
«протекают» токи смещения, причем в тех
участках, где отсутствуют проводники.
Найдем количественную связь между
изменяющимся электрическим и вызывае-
вызываемым им магнитным полями. По Максвел-
Максвеллу, переменное электрическое поле в кон-
конденсаторе в каждый момент времени со-
создает такое магнитное поле, как если бы
между обкладками конденсатора су-
существовал ток проводимости, равный току в
подводящих проводах. Тогда можно утвер-
утверждать, что токи проводимости (/) и сме-
смещения (/см) равны: /см = /. Ток проводи-
проводимости вблизи обкладок конденсатора
dQ _ d
A38.1)
. да .„ \ 3D ,с
(поверхностная плотность заряда a на об-
обкладках равна электрическому смещению
D в конденсаторе (см. (92.1)). Подынтег-
Подынтегральное выражение в A38.1) можно рас-
рассматривать как частный случай скалярно-
6D ,_ 3D
го произведения ——dS, когда —— и dS
at at
взаимно параллельны. Поэтому для обще-
общего случая можно записать
Сравнивая это выражение с / = /см =
= \jCMdS (см. (96.2)), имеем
6D
A38.2)
Рис. 196
Выражение A38.2) и было названо Мак-
Максвеллом плотностью тока смещения.
Рассмотрим, каково же направление
векторов плотностей токов проводимости
и смещения j и jCM. При зарядке конденса-
конденсатора (рис. 197, а) через проводник, соеди-
соединяющий обкладки, ток течет от правой
обкладки к левой; поле в конденсаторе
усиливается, вектор D растет со временем;
dD _ 3D
следовательно, —т— >0, т. е. вектор
dt
dt

Г л а в а 17. Основные теории Максвелла для электромагнитного поля
215
где
дЕ
^:
at
— плотность тока смещения
Рис. 197
направлен в ту же сторону, что и D. Из
рисунка видно, что направления векторов
—- и j совпадают. При разрядке конден-
конденсатора (рис. 197, б) через проводник, сое-
соединяющий обкладки, ток течет от левой
обкладки к правой; поле в конденсаторе
ослабляется, вектор D убывает со време-
временем; следовательно, ——<0, т. е. вектор
dt
дР
~~дТ
направлен противоположно вектору
3D
D. Однако вектор —-— направлен опять так
же, как и вектор j. Из разобранных при-
примеров следует, что направление вектора j,
а следовательно, и вектора jCM совпадает
3D
с направлением вектора ~~аГ'
как это и следует из формулы A38.2).
Подчеркнем, что из всех физических
свойств, присущих току проводимости,
Максвелл приписал току смещения лишь
одно — способность создавать в окружаю-
окружающем пространстве магнитное поле. Таким
образом, ток смещения (в вакууме или
веществе) создает в окружающем про-
пространстве магнитное поле (линии индук-
индукции магнитных полей токов смещения при
зарядке и разрядке конденсатора показа-
показаны на рис. 197 штриховой линией).
В диэлектриках ток смещения состоит
из двух слагаемых. Так как, согласно
(89.2), D = e0E + P, где Е—напряжен-
Е—напряженность электростатического поля, а Р —
поляризованность (см. § 88), то плотность
тока смещения
Jc« = eo-^ + ^-, A38.3)
в вакууме,
дР
dt
— плотность тока поляри-
поляризации — тока, обусловленного упорядо-
упорядоченным движением электрических зарядов
в диэлектрике (смещение зарядов в не-
неполярных молекулах или поворот диполей
в полярных молекулах). Возбуждение
магнитного поля токами поляризации пра-
правомерно, так как токи поляризации по
своей природе не отличаются от токов
проводимости. Однако то, что и другая
часть плотности тока смещения
не связанная с движением зарядов, а обус-
обусловленная только изменением электричес-
электрического поля во времени, также возбуждает
магнитное поле, является принципиально
новым утверждением Максвелла. Даже
в вакууме всякое изменение во времени
электрического поля приводит к возникно-
возникновению в окружающем пространстве маг-
магнитного поля.
Следует отметить, что название «ток
смещения» является условным, а точ-
точнее — исторически сложившимся, так как
ток смещения по своей сути — это изменя-
изменяющееся со временем электрическое поле.
Ток смещения поэтому существует не
только в вакууме или диэлектриках, но
и внутри проводников, по которым течет
переменный ток. Однако в данном случае
он пренебрежимо мал по сравнению с то-
током проводимости. Наличие токов смеще-
смещения подтверждено экспериментально со-
советским физиком А. А. Эйхенвальдом, изу-
изучавшим магнитное поле тока поляризации,
который, как следует из A38.3), является
частью тока смещения.
Максвелл ввел понятие полного тока,
равного сумме токов проводимости (а так-
также конвекционных токов) и смещения.
Плотность полного тока
Jiiojih J Т ~Af~'
Введя понятия тока смещения и полного
тока, Максвелл по-новому подошел к рас-
рассмотрению замкнутости цепей переменного
тока. Полный ток в них всегда замкнут,

.4. Элсктричсг.тнп и wi
т. е. на концах проводника обрывается
лишь ток проводимости, а в диэлектрике
(вакууме) между концами проводника
имеется ток смещения, который замыкает
ток проводимости.
Максвелл обобщил теорему о циркуля-
циркуляции вектора Н (см. A33.10)), введя в ее
правую часть полный ток /пшш = \ jn<MHdS
сквозь поверхность S, натянутую на замк-
замкнутый контур L. Тогда обобщенная теоре-
теорема о циркуляции вектора Н запишется
в виде
A38.4)
Выражение A38.4) справедливо всегда,
свидетельством чего является полное со-
соответствие теории и опыта.
§ KJ9. Уравнения Максвелла
для электромагнитного поля
Введение Максвеллом понятия тока сме-
смещения привело его к завершению создан-
созданной им единой макроскопической теории
электромагнитного поля, позволившей
с единой точки зрения не только объяснить
электрические и магнитные явления, но
и предсказать новые, существование кото-
которых было впоследствии подтверждено.
В основе теории Максвелла лежат рас-
рассмотренные выше четыре уравнения:
1. Электрическое поле (см. § 137) мо-
может быть как потенциальным (Eg), так
и вихревым (Еа), поэтому напряженность
суммарного поля E=Eq+Eb. Так как
циркуляция вектора EQ равна нулю
(см. A37.3)), а циркуляция вектора Ев оп-
определяется выражением A37.2), то цир-
циркуляция вектора напряженности суммар-
суммарного поля
ф
Е dl = —
дЬ
dt
dS.
Это уравнение показывает, что источни-
источниками электрического поля могут быть не
только электрические заряды, но и меняю-
меняющиеся во времени магнитные поля.
2. Обобщенная теорема о циркуляции
вектора Н (см. A38.4)):
Это уравнение показывает, что магнит-
магнитные поля могут возбуждаться либо дви-
движущимися зарядами (электрическими то-
токами), либо переменными электрическими
полями.
3. Теорема Гаусса для поля D
(см. (89.3)):
§dS = Q. A39.1)
Если заряд распределен внутри замкнутой
поверхности непрерывно с объемной плот-
плотностью р, то формула A39.1) запишется
в виде
ф D dS = $ p dV.
4. Теорема Гаусса для поля В
(см. A20.3)):
ф В dS = O.
Итак, полная система уравнений Максвел-
Максвелла в интегральной форме:
i
Н й\ =
L S
dS; ф В dS = O.
Величины, входящие в уравнения Мак-
Максвелла, не являются независимыми и меж-
между ними существует следующая связь
(изотропные не сегнетоэлектрические и не
ферромагнитные среды):
где ео и \lq — соответственно электриче-
электрическая и магнитная постоянные, е и \i —
соответственно диэлектрическая и магнит-
магнитная проницаемости, у — удельная прово-
проводимость вещества.

I .1
li ;i 17. Ос и (in и i
ici.pnn Mav.mvua дли
2 i 7
Из уравнений Максвелла вытекает,
что источниками электрического поля мо-
могут быть либо электрические заряды, либо
изменяющиеся во времени магнитные по-
поля, а магнитные поля могут возбуждаться
либо движущимися электрическими заря-
зарядами (электрическими токами), либо пере-
переменными электрическими полями. Уравне-
Уравнения Максвелла не симметричны относи-
относительно электрического и магнитного полей.
Это связано с тем, что в природе су-
существуют электрические, заряды, но нет
зарядов магнитных.
Для стационарных полей (Е = const
и В = const) уравнения Максвелла при-
примут вид
ф Е dl = 0;
L
ф H di = /; ф В dS = O,
L S
т. е. источниками электрического поля
в данном случае являются только электри-
электрические заряды, источниками магнитно-
магнитного — только токи проводимости. В данном
случае электрические и магнитные поля
независимы друг от друга, что и позволяет
изучать отдельно постоянные электриче-
электрическое и магнитное поля.
Воспользовавшись известными из
векторного анализа теоремами Стокса
и Гаусса
ф
l = $rot AdS;
S
= $ div Adi/,
можно представить полную систему урав-
уравнений Максвелла в дифференциальной
форме (характеризующих поле в каждой
точке пространства):
rot E=-
rot H=j
dt '
ар
" dt '
div D = p;
div B = 0.
Если заряды и токи распределены
в пространстве непрерывно, то обе формы
уравнений Максвелла — интегральная
и дифференциальная — эквивалентны.
Однако когда имеются поверхности разры-
разрыва — поверхности, на которых свойства
среды или полей меняются скачкообразно,
то интегральная форма уравнений являет-
является более общей.
Уравнения Максвелла в дифференци-
дифференциальной форме предполагают, что все вели-
величины в пространстве и времени изменяют-
изменяются непрерывно. Чтобы достичь математи-
математической эквивалентности обеих форм урав-
уравнений Максвелла, дифференциальную
форму дополняют граничными условиями,
которым должно удовлетворять электро-
электромагнитное поле на границе раздела двух
сред. Интегральная форма уравнений
Максвелла содержит эти условия. Они
были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):
D\n= Din, Eu =
\n = B2n, //it =
(первое и последнее уравнения отвечают
случаям, когда на границе раздела нет
ни свободных зарядов, ни токов прово-
проводимости).
Уравнения Максвелла — наиболее об-
общие уравнения для электрических и маг-
магнитных полей в покоящихся средах. Они
играют в учении об электромагнетизме
такую же роль, как законы Ньютона в ме-
механике. Из уравнений Максвелла следует,
что переменное магнитное поле всегда свя-
связано с порождаемым им электрическим
полем, а переменное электрическое поле
всегда связано с порождаемым им магнит-
магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля
неразрывно связаны друг с другом — они
образуют единое электромагнитное поле.
Теория Максвелла, являясь обобщени-
обобщением основных законов электрических и маг-
магнитных явлений, смогла объяснить не
только уже известные экспериментальные
факты, что также является важным ее
следстиием, но и предсказала новые явле-
явления. Одним из важных выводов этой тео-
теории явилось существование магнитного
поля токов смещения (см. § 138), что по-
позволило Максвеллу предсказать существо-
существование электромагнитных волн — перемен-
переменного электромагнитного поля, распростра-
распространяющегося в пространстве с конечной
скоростью. В дальнейшем было доказано,

218
3. Электричество и электромагнетизм
что скорость распространения свободного
электромагнитного поля (не связанного
с зарядами и токами) в вакууме равна
скорости света с = 3-108 м/с. Этот вывод
и теоретическое исследование свойств
электромагнитных волн привели Максвел-
Максвелла к созданию электромагнитной теории
света, согласно которой свет представляет
собой также электромагнитные волны.
Электромагнитные волны на опыте были
получены немецким физиком Г. Герцем
A857—1894), доказавшим, что законы их
возбуждения и распространения полно-
полностью описываются уравнениями Максвел-
Максвелла. Таким образом, теория Максвелла
была экспериментально подтверждена.
К электромагнитному полю применим
только принцип относительности Эйнштей-
Эйнштейна, так как факт распространения электро-
электромагнитных волн в вакууме во всех системах
отсчета с одинаковой скоростью с не
совместим с принципом относительности
Галилея.
Согласно принципу относительности
Эйнштейна, механические, оптические
и электромагнитные явления во всех инер-
циальных системах отсчета протекают
одинаково, т. е. описываются одинаковыми
уравнениями. Уравнения Максвелла инва-
инвариантны относительно преобразований Ло-
Лоренца: их вид не меняется при переходе
от одной инерциальной системы отсчета
к другой, хотя величины Е, В, D, Н в них
преобразуются по определенным прави-
правилам.
Из принципа относительности вытека-
вытекает, что отдельное рассмотрение электри-
электрического и магнитного полей имеет относи-
относительный смысл. Так, если электрическое
поле создается системой неподвижных
зарядов, то эти заряды, являясь непод-
неподвижными относительно одной инерциаль-
инерциальной системы отсчета, движутся относи-
относительно другой и, следовательно, будут
порождать не только электрическое, но
и магнитное поле. Аналогично, неподвиж-
неподвижный относительно одной инерциальной
системы отсчета проводник с постоянным
током, возбуждая в каждой точке про-
пространства постоянное магнитное поле, дви-
движется относительно других инерциальных
систем, и создаваемое им переменное маг-
магнитное поле возбуждает вихревое электри-
электрическое поле.
Таким образом, теория Максвелла, ее
экспериментальное подтверждение, а так-
также принцип относительности Эйнштейна
приводят к единой теории электрических,
магнитных и оптических явлений, базиру-
базирующейся на представлении об электромаг-
электромагнитном поле.
Контрольные вопросы
• Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отличается от
электростатического поля?
• Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?
• Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?
• Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.
• В каком смысле можно сравнивать ток смещения и ток проводимости?
• Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора напря-
напряженности магнитного поля.
• Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах
и объясните их физический смысл.
• Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособленно друг
от друга? Запишите для них уравнение Максвелла в обеих формах.
• Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?
• Какие основные выводы можно сделать на основе теории Максвелла?

Колебания
и волны
Глава 18
Механические и электромагнитные колебания
§ 140. Гармонические колебания
и их характеристики
Колебаниями называются движения или
процессы, которые характеризуются опре-
определенной повторяемостью во времени. Ко-
Колебательные процессы широко распро-
распространены в природе и технике, например
качание маятника часов, переменный
электрический ток и т. д. При колебатель-
колебательном движении маятника изменяется ко-
координата его центра масс, в случае пере-
переменного тока колеблются напряжение
и ток в цепи. Физическая природа колеба-
колебаний может быть разной, поэтому различа-
различают колебания механические, электромаг-
электромагнитные и др. Однако различные колеба-
колебательные процессы описываются одинако-
одинаковыми характеристиками и одинаковыми
уравнениями. Отсюда следует целесооб-
целесообразность единого подхода к изучению ко-
колебаний различной физической природы.
Например, единый подход к изучению ме-
механических и электромагнитных колеба-
колебаний применялся английским физиком
Д. У. Рэлеем A842—1919), А. Г. Столето-
Столетовым, русским инженером-экспериментато-
инженером-экспериментатором П.Н.Лебедевым A866—1912). Боль-
Большой вклад в развитие теории колебаний
внесли советский физик Л. И. Мандель-
Мандельштам A879—1944) и его ученики.
Колебания называются свободными
(или собственными), если они совершают-
совершаются за счет первоначально сообщенной
энергии при последующем отсутствии
внешних воздействий на колебательную
систему (систему, совершающую колеба-
колебания). Простейшим типом колебаний явля-
являются гармонические колебания — колеба-
колебания, при которых колеблющаяся величина
изменяется со временем по закону синуса
(косинуса). Рассмотрение гармонических
колебаний важно по двум причинам:
1) колебания, встречающиеся в природе
и технике, часто имеют характер, близкий
к гармоническому; 2) различные периоди-
периодические процессы (процессы, повторяющие-
повторяющиеся через равные промежутки времени)
можно представить как наложение гармо-
гармонических колебаний. Гармонические коле-
колебания неличины s описываются уравнени-
уравнением типи
s=A cos
A40.1)
где А — максимальное значение колеблю-
колеблющейся величины, называемое амплитудой
колебаний, со о—круговая (циклическая)
частота, ср — начальная фаза колебаний
в момент времени ^=0, (<aot + ф) — фаза
колебаний в момент времени t. Так как
косинус изменяется в пределах от +1 до
— 1, то s может принимать значения от
+ А до —А.
Определенные состояния системы, со-
совершающей гармонические колебания, по-
повторяются через промежуток времени Г,
называемый периодом колебания, за кото-
который фаза колебания получает приращение
2я, т. е.
оH (t + Т) + ф = (aat + ф) + 2л,
откуда
= 2я./<в0. A40.2)

Величина, обратная периоду коле-
колебаний,
v=l/7, A40.3)
т. е. число полных колебаний, совершае
мых в единицу времени, называется часто-
частотой колебаний. Сравнивая A40.2)
и A40.3), получим
5
+ А
Единица частоты — герц (Гц):1 Гц —
частота периодического процесса, при ко-
которой за 1 с совершается один цикл про-
процесса.
Запишем первую и вторую производ-
производные по времени от гармонически колеблю-
колеблющейся величины s (соответственно ско-
скорость и ускорение):
ds
-= —Лсоо sin
= Л<о0 cos
A40.4)
d~s
df
= — Ami cos (о>о* + ф) =
A40.5)
т. е. имеем гармонические колебания с той
же циклической частотой. Амплитуды ве-
величин A40.4) и A40.5) соответственно
равны Лшо и Аш1. Фаза скорости A40.4)
отличается от фазы величины A40.1) на
л/2, а фаза ускорения A40.5) отличается
от фазы величины A40.1) на л. Следова-
Следовательно, в моменты времени, когда s = 0,
—— приобретает наибольшие значения;
at
когда же s достигает максимального отри-
с!2.5
цательного значения, то —j- приобретает
наибольшее положительное значение
(рис. 198).
Из выражения A40.5) следует диффе-
дифференциальное уравнение гармонических ко-
колебаний
A40.6)
US ¦
(И
Г'ис. IftM
нием этого уравнения является выражение
A40.1).
Гармонические колебания изобража-
изображаются графически методом вращающегося
вектора амплитуды, или методом вектор-
векторных диаграмм. Для этого из произвольной
точки О, выбранной на оси х, под углом ф,
равным начальной фазе колебания, откла-
откладывается вектор А, модуль которого равен
амплитуде А рассматриваемого колебания
(рис. 199). Если этот вектор привести во
вращение с угловой скоростью шо, то про-
проекция конца вектора будет перемещаться
по оси х и принимать значения от —А до
-\-А, а колеблющаяся величина будет из-
изменяться со временем по закону s =
A cos (шо/ + ф). Таким образом, гармо-
гармоническое колебание можно представить
проекцией на некоторую произвольно
выбранную ось вектора амплитуды А, от-
отложенного из произвольной точки оси под
углом ф, равным начальной фазе, и вра-
вращающегося с угловой скоростью «о вокруг
этой точки.
(где учтено, что s = /
. Реше-
Ги1

I л л н :) I*. Мгх-шичгскнс и j.iicK1 ром пг (и;тг( im: ко.:н
221
В физике часто применяется другой
метод, который отличается от метода вра-
вращающегося вектора амплитуды лишь по
форме. В этом методе колеблющуюся ве-
величину представляют комплексным чис-
числом. Согласно формуле Эйлера, для ком-
комплексных чисел
A40.7)
где * = д/— 1—мнимая единица. Поэтому
уравнение гармонического колебания
A40.1) можно записать в экспоненциаль-
экспоненциальной форме:
5 = Ле;(Ш0'+ф). A40.8)
Вещественная часть выражения A40.8)
Re (s) = A cos (coo* + ф) = s
представляет собой гармоническое коле-
колебание. Обозначение Re вещественной
части условимся опускать и A40.8) будем
записывать в виде
В теории колебаний принимается, что ко-
колеблющаяся величина s равна веществен-
вещественной части комплексного выражения, стоя-
стоящего в этом равенстве справа.
§ 141. Механические
гармонические колебания
Пусть материальная точка совершает пря-
прямолинейные гармонические колебания
вдоль оси координат х около положения
равновесия, принятого за начало коорди-
координат. Тогда зависимость координаты х от
времени t задается уравнением, аналогич-
аналогичным уравнению A40.1), где s = jc:
х = А cos(co0' + <p). A41.1)
Согласно выражениям A40.4) и A40.5),
скорость v и ускорение а колеблющейся
точки соответственно равны
sin
и= —
= Дшо cos
а= — Аы1 cos
л/2);
A41.2)
Сила F=ma, действующая на колеблю-
колеблющуюся материальную точку массой пг,
с учетом A41.1) и A41.2) равна
Следовательно, сила пропорциональна
смещению материальной точки из положе-
положения равновесия и направлена в противопо-
противоположную сторону (к положению равнове-
равновесия).
Кинетическая энергия материальной
точки, совершающей прямолинейные гар-
гармонические колебания, равна
mv'2 mAh
"о . 2
— sin
A41.3)
или
7=-
m/.2<o
'-[1—с
A41.4)
Потенциальная энергия материальной
точки, совершающей гармонические коле-
колебания под действием упругой силы F,
равна
пгЛ
о 9
A41.5)
или
П =
[1 +cos 2 К<
A41.6)
Сложиз A41.3) и A41.5), получим форму-
формулу для полной энергии:
A41.7)
Полная энергия остается постоянной, так
как при гармонических колебаниях спра-
справедлив закон сохранения механической
энергии, поскольку упругая сила консер-
консервативна.
Из формул A41.4) и A41.6) следует,
что Т и П изменяются с частотой 2шо,
т. е. с частотой, которая в два раза превы-
превышает частоту гармонического колебания.

222
4. Колебании и волны
г
?
0
п
Е
П
\
г
1
\
\\
\
/1
i
1
\
\
\
/
V
t
Рис. 200
На рис. 200 представлены графики зави-
зависимости х, Т и П от времени. Так как
<sin2a> = <cos2a> = 1/2, то из формул
A41.3), A41.5) и
= <П>=У2?.
A41.7) следует, что
§ 142. Гармонический осциллятор.
Пружинный, физический
и математический маятники
Гармоническим осциллятором называется
система, совершающая колебания, описы-
описываемые уравнением вида A40.6):
s + co^s = 0. A42.1)
Колебания гармонического осциллятора
являются важным примером периодиче-
периодического движения и служат точной или при-
приближенной моделью во многих задачах
классической и квантовой физики. При-
Примерами гармонического осциллятора яв-
являются пружинный, физический и матема-
математический маятники, колебательный контур
(для токов и напряжений столь малых, что
элементы контура можно было бы считать
линейными; см. § 146).
1. Пружинный маятник — это груз мас-
массой /я, подвешенный на абсолютно упругой
пружине и совершающий гармонические
колебания под действием упругой силы
F= — kx, где k — коэффициент упругости,
в случае пружины называемый жестко-
жесткостью. Уравнение движения маятника
mx= —kx,
или
ir-f— x = 0.
m
Из выражений A42.1) и A40.1) следует,
что пружинный маятник совершает гармо-
гармонические колебания по закону д; =
A cos ((Hot + <p) с циклической частотой
wo = V^7m A42.2)
и периодом
Т = 2лфф1. A42.3)
Формула A42.3) справедлива для упругих
колебаний в пределах, в которых выпол-
выполняется закон Гука (см. B1.3)), т. е. когда
масса пружины мала по сравнению с мас-
массой тела.
Потенциальная энергия пружинного
маятника, согласно A41.5) и A42.2),
равна
U = kx2/2.
2. Физический маятник — это твердое
тело, совершающее под действием силы
тяжести колебания вокруг неподвижной
горизонтальной оси подвеса, не проходя-
проходящей через центр масс С тела (рис.201).
Если маятник отклонен из положения
равновесия на некоторый угол а, то в со-
соответствии с уравнением динамики враща-
вращательного движения твердого тела A8.3)
момент М возвращающей силы можно
тд
Рис. 201

Глава 18 Механические и электромагнитные колеба) ия
223
записать в виде
M = Je = Ja = FTl=— mgl sin a «s — mgla,
A42.4)
где / — момент инерции маятника относи-
относительно оси, проходящей через точку О, I —
расстояние между точкой подвеса и цент-
центром масс маятника, FT = — mg sin a «
«—mga. — возвращающая сила (знак
минус обусловлен тем, что направления
Fx к а всегда противоположны; sin а я» а
соответствует малым колебаниям маятни-
маятника, т. е. малым отклонениям маятника из
положения равновесия).
Уравнение A42.4) можно записать
в виде
Ja-\-mgla = 0,
или
= 0.
Принимая
получим уравнение
A42.5)
a + o)oa = О-
идентичное с A42.1), решение которого
A40.1) известно:
a = a0 cos (co0/ + <р). A42.6)
Из выражения A42.6) следует, что
при малых колебаниях физический маят-
маятник совершает гармонические колебания
с циклической частотой со0 (см. A42.5))
и периодом
Т = 2л/со0 = 2л
) = 2л
A42.7)
где L = J/(ml) — приведенная длина физи-
физического маятника.
Точка О' на продолжении прямой ОС,
отстоящая от оси подвеса на расстоянии
приведенной длины L, называется центром
качаний физического маятника (рис. 201).
Применяя теорему Штейнера A6.1), по-
получим
т. е. 00' всегда больше ОС. Точка подвеса
О и центр качаний О' обладают свойством
взаимозаменяемости; если ось подвеса пе-
перенести в центр качаний, то точка О пре-
прежней оси подвеса станет новым центром
качаний и период колебаний физического
маятнкка не изменится.
3. Математический маятник — это
идеализированная система, состоящая из
материальной точки массой т, подвешен-
подвешенной на нерастяжимой невесомой нити,
и колеблющаяся под действием силы тя-
тяжести. Хорошим приближением математи-
математического маятника является небольшой тя-
тяжелый шарик, подвешенный на тонкой
длинной нити.
Момент инерции математического ма-
маятника
J = ml2, A42.8)
где / — длина маятника.
Так как математический маятник мож-
можно представить как частный случай физи-
физического маятника, предположив, что вся
его масса сосредоточена в одной точке —
центре масс, то, подставив выражение
A42.8) в формулу A42.7), получим вы-
выражение для периода малых колебаний
математического маятника
= 2n\ll/g.
ml
A42.9)
Сравнивая формулы A42.7) и A42.9),
видим, что если приведенная длина L фи-
физического маятника равна длине / матема-
математического маятника, то их периоды коле-
колебаний одинаковы. Следовательно, приве-
приведенная длина физического маятника —
это длина такого математического маятни-
маятника, период колебаний которого совпадает
с периодом колебаний данного физическо-
физического маятника.
§ 143. Свободные
гармонические колебания
в колебательном контуре
Среди различных электрических явлений
особое место занимают электромагнитные
колебания, при которых электрические ве-
величины (заряды, токи) периодически изме-
изменяются и которые сопровождаются взаим-

4. ku-joC-Mf ул и ни
ными превращениями электрического и
магнитного полей. Для возбуждения и
поддерживания электромагнитных колеба-
колебаний используется колебательный контур —
цепь, состоящая из включенных последо-
последовательно катушки индуктивностью L, кон-
конденсатора емкостью С и резистора сопро-
сопротивлением /?.
Рассмотрим последовательные стадии
колебательного процесса в идеализиро-
идеализированном контуре, сопротивление которого
пренебрежимо мало (R~0). Для возбуж-
возбуждения в контуре колебаний конденсатор
предварительно заряжают, сообщая его
обкладкам заряды ztQ- Тогда в началь-
начальный момент времени / = 0 (рис. 202, а)
между обкладками конденсатора возник-
возникнет электрическое поле, энергия которого
—--- Q2(cm. (95.4)). Если замкнуть конден-
сатор па катушку индуктивности, он на-
начнет разряжаться, и в контуре потечет
возрастающий со временем ток /. В ре-
результате энергия электрического поля бу-
будет уменьшаться, а энергия магнитного
| ,2
поля катушки (она равна — LQ ) — воз-
возрастать.
Так как /?«0, то, согласно закону
сохранения энергии, полная энергия
так как она на нагревание не расходуется.
Поэтому в момент t—*/\T, когда конден-
конденсатор полностью разрядится, энергия
электрического поля обращается в нуль,
а энергия магнитного поля (а следователь-
следовательно, и ток) достигает наибольшего значения
t-o
(рис. 202, б). Начиная с этого момента ток
в контуре будет убывать; следовательно,
начнет ослабевать магнитное поле катуш-
катушки, и в ней индуцируется ток, который
течет (согласно правилу Ленца) в том же
направлении, что и ток разрядки конден-
конденсатора. Конденсатор начнет перезаря-
перезаряжаться, возникнет электрическое поле,
стремящееся ослабить ток, который в кон-
конце концов обратится в нуль, а заряд на
обкладках конденсатора достигнет макси-
максимума (рис. 202, в). Далее те же процессы
начнут протекать в обратном направлении
(рис. 202, г) и система к моменту времени
i = T придет в первоначальное состояние
(рис. 202, а). После этого начнется повто-
повторение рассмотренного цикла разрядки
и зарядки конденсатора. Если бы потерь
энергии не было, то в контуре совершались
бы периодические незатухающие колеба-
колебания, т. е. периодически изменялись (коле-
(колебались) бы заряд Q на обкладках кон-
конденсатора, напряжение U на конденсаторе
и сила тока /, текущего через катушку
индуктивности. Следовательно, в контуре
возникают электрические колебания, при-
причем колебания сопровождаются превра-
превращениями энергий электрического и маг-
магнитного полей.
Электрические колебания в колеба-
колебательном контуре можно сопоставить с ме-
механическими колебаниями маятника
(рис.202 внизу), сопровождающимися
взаимными превращениями потенциаль-
потенциальной и кинетической энергий маятника.
В данном случае энергия электрического
поля конденсатора (Q2/BC)) аналогична
потенциальной энергии упругой деформа-
w-j кх2
Рис. ¦>№

Глава 18. Механические и электромагнитные колебания
225
ции (kx2/2), энергия магнитного поля ка-
катушки (LQ2/2)—кинетической энергии
(тх2/2), сила тока в контуре — скорости
движения маятника. Индуктивность L
играет роль массы т, а сопротивление
контура — роль силы трения, действующей
на маятник.
Согласно закону Ома, для контура,
содержащего катушку индуктивностью L,
конденсатор емкостью С и резистор сопро-
сопротивлением R,
IR + UC=%S,
где IR — напряжение на резисторе, Uc=
= Q/C—напряжение на конденсаторе,
9= — L —г- э. д. с. самоиндукции, воз-
возникающая в катушке при протекании в ней
переменного тока (Ws—единственная
э. д. с. в контуре). Следовательно,
L + 'Я+?0. A43Л)
Разделив A43.1) на L и подставив / =
= Q и -^- = Q, получим дифференциаль-
дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в кон-
контуре:
Q+4-Q+7Z^Q = 0- A43-2)
В данном колебательном контуре
внешние э. д. с. отсутствуют, поэтому рас-
рассматриваемые колебания представляют
собой свободные колебания (см. §140).
Если сопротивление Л = 0, то свободные
электромагнитные колебания в контуре
являются гармоническими. Тогда из
A43.2) получим дифференциальное урав-
уравнение свободных гармонических колеба-
колебаний заряда в контуре:
Q +
LC '*-"¦
Из выражений A42.1) и A40.1) вы-
вытекает, что заряд Q совершает гармониче-
гармонические колебания по закону
Q = Qm cos (<о0/ + ф), A43.3)
где Qm — амплитуда колебаний заряда
конденсатора с циклической частотой <оо,
называемой собственной частотой конту-
контура, т. е.
шо=1/д/1с, A43.4)
8 Т. И. Трофимова
и периодом
T = 2n\JLC. A43.5)
Формула A43.5) впервые была получена
У. Томсоном и называется формулой Том-
сон а. it, ¦¦;;¦,
Сила тока в колебателмЕом контуре
(см. A40.4))
l=Q= — <iHQrnsin
/2), A43.6)
где /ra = <«HQm— амплитуда силы тока.
Напряжение на конденсаторе
Q Qm
= Um cos (аH<-(-ф), A43.7)
где Um = Qm/C — амплитуда напряже-
напряжения.
Из выражений A43.3) и A43.6) вы-
вытекает, что колебания тока / опережают по
фазе колебания заряда Q на я/2, т. е.,
когда ток достигает максимального значе-
значения, заряд (а также и напряжение
(см. A43.7)) обращается в нуль, и наобо-
наоборот.
§ 144. Сложение гармонических
колебаний одного направления
и одинаковой частоты. Биения
Колеблющееся тело может участвовать
в нескольких колебательных процессах,
тогда необходимо найти результирующее
колебание, иными словами, колебания не-
необходимо сложить. Сложим гармониче-
гармонические колебания одного направления и оди-
одинаковой частоты
i=yii cos ( ф)
2 =^2 COS ((Hot + ф2),
воспользовавшись методом вращающего-
вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Постро-
Построим векторные диаграммы этих колебаний
(рис. 203). Так как векторы Ai и А2 вра-
вращаются с одинаковой угловой скоростью
шо, то разность фаз (ф2 — ф!) между ними
остается постоянной.
Очевидно, что уравнение результирую-

226
4. Колебания и волны
Рис. 203
щего колебания будет
х = Х\+Х2 = А cos (шо< + ф). A44.1)
В выражении A44.1) амплитуда
А и начальная фаза <р соответственно за-
задаются соотношениями
Л2' = А] + А\ + 2А\А2 cos (ф2 —ф,);
A44.2)
sin ф2
А\
__
А\ cos ф1+Л2 cos ф2
Таким образом, тело, участвуя в двух гар-
гармонических колебаниях одного направле-
направления и одинаковой частоты, совершает так-
также гармоническое колебание в том же
направлении и с той же частотой, что
и складываемые колебания. Амплитуда
результирующего колебания зависит от
разности фаз (фг — ф|) складываемых ко-
колебаний.
Проанализируем выражение A44.2)
в зависимости от разности фаз (фг — фО:
1) ф2 — ф| = ±2тя (яг = 0, 1, 2,...), тог-
тогда А=А\+А2, т.е. амплитуда результи-
результирующего колебания А равна сумме ампли-
амплитуд складываемых колебаний;
2) ф2 — ф|= ± Bт + 1)л (т = 0, 1,
2,...), тогда А = \А\—Лг|, т.е. амплиту-
амплитуда результирующего колебания равна
разности амплитуд складываемых коле-
колебаний.
Для практики особый интерес пред-
представляет случай, когда два складываемых
гармонических колебания одинакового на-
направления мало отличаются по частоте.
В результате сложения этих колебаний
получаются колебания с периодически из-
изменяющейся амплитудой. Периодические
изменения амплитуды колебания, возника-
возникающие при сложении двух гармонических
колебаний с близкими частотами, называ-
называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых коле-
колебаний равны А, а частоты равны w и со + Дш,
причем Да><Сш. Начало отсчета выберем
так, чтобы начальные фазы обоих колеба-
колебаний были равны нулю:
( *,=
1 л2 =
*,=Л cos Ш,
cos
Складывая эти выражения и учитывая, что
во втором сомножителе Дш/2<Сш, найдем
* = BЛ cos -^—1) cos at. A44.3)
Получившееся выражение есть произведе-
произведение двух колебаний. Так как Д<а-<а>, то
сомножитель, стоящий в скобках, почти не
изменяется, когда сомножитель cos Ы со-
совершит несколько полных колебаний. По-
Поэтому результирующее колебание х мож-
можно рассматривать как гармоническое
Рис. 204

Глава 18 Механические и электромагнитные колебания
227
с частотой «о, амплитуда Ац которого изме-
изменяется по следующему периодическому за-
закону:
Лв=|2Лсо8-~Л. A44.4)
Частота изменения Ац в два раза боль-
больше частоты изменения косинуса (так как
берется по модулю), т. е. частота биений
равна разности частот складываемых ко-
колебаний: шв = Да).
Период биений
Т6 = 2я/Лш.
Характер зависимости A44.3) показан на
рис. 204, где сплошные жирные линии да-
дают график результирующего колебания
A44.3), а огибающие их — график мед-
медленно меняющейся по уравнению A44.4)
амплитуды.
Определение частоты тона (звука оп-
определенной высоты (см. §158)) биений
между эталонным и измеряемым колеба-
колебаниями — наиболее широко применяемый
на практике метод сравнения измеряемой
величины с эталонной. Метод биений ис-
используется для настройки музыкальных
инструментов, анализа слуха и т. д.
Любые сложные периодические коле-
колебания s = f(t) можно представить в виде
суперпозиции одновременно совершаю-
совершающихся гармонических колебаний с различ-
различными амплитудами, начальными фазами,
а также частотами, кратными циклической
частоте шо:
cos
A44.5)
Представление периодической функции
в виде A44.5) связывают с понятием гар-
гармонического анализа сложного периодиче-
периодического колебания, или разложения Фурье *.
Члены ряда Фурье, определяющие гармо-
гармонические колебания с частотами шо, 2шо,
Зшо,..., называются первой (или основной),
второй, третьей и т. д. гармониками слож-
сложного периодического колебания.
§ 145. Сложение
взаимно перпендикулярных
колебаний
Рассмотрим результат сложения двух гар-
гармонических колебаний одинаковой часто-
частоты ш, происходящих во взаимно перпенди-
перпендикулярных направлениях вдоль осей
х и у. Для простоты начало отсчета вы-
выберем так, чтобы начальная фаза первого
колебания была равна нулю:
(х = А cos cof,
\y = Bcosi
A45.1)
Разность фаз обоих колебаний равна ф,
А и В — амплитуды складываемых коле-
колебаний.
Уравнение траектории результирую-
результирующего колебания находится исключением
из выражений A45.1) параметра t. За-
Записывая складываемые колебания в виде
х/Л = cos <nt;
= cos (of cos ф — sin utt sin tp
и заменяя во втором уравнении cos <nt на
х/А и sin a>t на д/1—(х/ЛJ, получим по-
после несложных преобразований уравнение
эллипса, оси которого ориентированы
относительно координатных осей произ-
произвольно:
п 1
* Ж.Фурье A768—1830) —французский
ученый.
A45.2)
Так как траектория результирующего ко-
колебания имеет форму эллипса, то такие
колебания называются эллиптически по-
поляризованными.
Ориентация осей эллипса и его разме-
размеры зависят от амплитуд складываемых
колебаний и разности фаз <р. Рассмотрим
некоторые частные случаи, представляю-
представляющие физический интерес:
1) ф = тл(т = 0, ±1, ±2,...). В дан-
данном случае эллипс вырождается в отрезок
8*

228
4. Колебания и полны
m=0.±2,±At...
—А
/п=±1,±3,...
-А
В I
A x
i/,
Рис. 205
Рис. 206
прямой
У=±(В/А)х, A45.3)
где знак плюс соответствует нулю и
четным значениям т (рис. 205, a), a
знак минус — нечетным значениям
т (рис. 205, б). Результирующее колеба-
колеба:(тСО9/яя}
= arctg ( -t-cos mn J. В данном случае
имеем дело с линейно поляризованными
колебаниями.
2) Ф =
у (ш = 0, ±1, ±2, ...).
ние является гармоническим колебанием в данном слуцае уравнение примет вид
с частотой ш и амплитудой Д/Л2 + В2,
совершающимся вдоль прямой A45.3), _^ . У _ ,
составляющей с осью х угол ф= А2 В2
A45.4)
<р=0
Я/4
JT/2
3JT/4
1:1
1:2
V3
2:3
Рис. 207

Глава 18. Механические и электромагнитные колеба 1ия
229
Это уравнение эллипса, оси которого со-
совпадают с осями координат, а его полуоси
равны соответствующим амплитудам
(рис.206). Кроме того, если Л=В, то
эллипс A45.4) вырождается в окруж-
окружность. Такие колебания называются цир-
кулярно поляризованными колебаниями
или колебаниями, поляризованными по
кругу.
Если частоты складываемых взаимно
перпендикулярных колебаний различны,
то замкнутая траектория результирующе-
результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые
траектории, прочерчиваемые точкой, со-
совершающей одновременно два взаимно
перпендикулярных колебания, называются
фигурами Лиссажу *. Форма этих кривых
зависит от соотношения амплитуд, частот
и разности фаз складываемых колебаний.
На рис. 207 представлены фигуры Лисса-
Лиссажу для различных соотношений частот
(указаны слева) и разностей фаз (указа-
(указаны вверху).
Отношение частот складываемых коле-
колебаний равно отношению числа пересече-
пересечений фигур Лиссажу с прямыми, парал-
параллельными осям координат. По виду фигур
можно определить неизвестную частоту по
известной или определить отношение
частот складываемых колебаний. Поэтому
анализ фигур Лиссажу — широко исполь-
используемый метод исследования соотношений
частот и разности фаз складываемых ко-
колебаний, а также формы колебаний.
§ 146. Дифференциальное уравнение
свободных затухающих
колебаний (механических
и электромагнитных)
и его решение. Автоколебания
Рассмотрим свободные затухающие коле-
колебания — колебания, амплитуда которых
из-за потерь энергии реальной колебатель-
колебательной системой с течением времени умень-
уменьшается. Простейшим механизмом умень-
уменьшения энергии колебаний является ее пре-
превращение в теплоту вследствие трения
в механических колебательных системах,
а также омических потерь и излучения
электромагнитной энергии в электриче-
электрических колебательных системах.
Закон затухающих колебаний опреде-
определяется свойствами колебательных систем.
Обычно рассматривают линейные систе-
системы — идеализированные реальные систе-
системы, в которых параметры, определяющие
физические свойства системы, в ходе про-
процесса не изменяются. Линейными система-
системами являются, например, пружинный маят-
маятник при малых растяжениях пружины
(когда справедлив закон Гука), колеба-
колебательный контур, индуктивность, емкость
и сопротивление которого не зависят ни от
тока в контуре, ни от напряжения. Различ-
Различные по своей природе линейные системы
описываются идентичными линейными
дифференциальными уравнениями, что по-
позволяет подходить к изучению колебаний
различной физической природы с единой
точки зрения, а также проводить их моде-
моделирование, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение свобод-
свободных затухающих колебаний линейной
системы задается в виде
at
+ 2S-^f
= 0, A46.1)
где s — колеблющаяся величина, описы-
описывающая тот или иной физический про-
процесс, fi = const— коэффициент затухания,
шо — циклическая частота свободных не-
незатухающих колебаний той же колебатель-
колебательной системы, т. е. при 6=0 (при отсутствии
потерь энергии) называется собственной
частотой колебательной системы.
Решение уравнения A46.1) рассмот-
рассмотрим в виде
A46.2)
= e~~s'u,
* Ж. Лиссажу A822—1880) — француз-
французский физик.
где u=u(t). После нахождения первой
и второй производных выражения A46.2)
и подстановки их в A46.1) получим
м + (ш^-б2)м=0. A46.3)
Решение уравнения A46.3) зависит от
знака коэффициента перед искомой вели-
величиной. Рассмотрим случай, когда этот ко-
коэффициент положителен:
ш2 = ш^ — ?? A46.4)

23П
4. Колебания и волны
(если (м2 —62)>0, то такое обозначение
мы вправе сделать). Тогда получим урав-
уравнение типа A42.1)
решением которого является функция
и=А0 cos (о)^
мулы A46.4) равен
(см. A40.1)).
Таким образом, решение уравнения
A46.1) в случае малых затуханий F2<ш2)
s = Aoe~6' cos (at + if), A46.5)
где
A=AQe~st A46.6)
— амплитуда затухающих колебаний, а
Ао — начальная амплитуда. Зависимость
A46.5) показана на рис.208 сплошной
линией, а зависимость A46.6) — штри-
штриховыми линиями. Промежуток времени
т=1/6, в течение которого амплитуда за-
затухающих колебаний уменьшается в е раз,
называется временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность
колебаний, поэтому затухающие колеба-
колебания не являются периодическими и, строго
говоря, к ним неприменимо понятие перио-
периода или частоты. Однако если затухание
мало, то можно условно пользоваться по-
понятием периода как промежутка времени
между двумя последующими максимума-
максимумами (или минимумами) колеблющейся фи-
физической величины (рис. 208). Тогда пери-
период затухающих колебаний с учетом фор-
Если A(t) и A(t + T) — амплитуды двух
последовательных колебаний, соответству-
соответствующих моментам времени, отличающимся
на период, то отношение
A(t)
A(t + T)
= е
называется декрементом затухания,
логарифм
а его
6=1п
A(t + T)
A46.7)
Рис. 208
— логарифмическим декрементом затуха-
затухания; Ne — число колебаний, совершаемых
за время уменьшения амплитуды в е раз.
Логарифмический декремент затухания —
постоянная для данной колебательной
системы величина.
Для характеристики колебательной
системы пользуются понятием добротно-
добротности Q, которая при малых значениях лога-
логарифмического декремента равна
JT ТТ (On
Q=-!r=nJV«=-T?-=-sr- <146-8)
9 оТ0 26
(так как затухание невелико F2<Са>о), то
Т принято равным То)-
Из формулы A46.8) следует, что до-
добротность пропорциональна числу колеба-
колебаний Ne, совершаемых системой за время
релаксации.
Применим выводы, полученные для
свободных затухающих колебаний линей-
линейных систем, для колебаний различной фи-
физической природы — механических (в ка-
качестве примера рассмотрим пружинный
маятник) и электромагнитных (в качестве
примера рассмотрим электрический коле-
колебательный контур).
1. Свободные затухающие колебания
пружинного маятника. Для пружинного
маятника (см. § 142) массой т, совершаю-
совершающего малые колебания под действием уп-
упругой силы F=—kx, сила трения про-
пропорциональна скорости, т. е.
Ftp = — TV = — ГХ,

Глава 18. Механические и электромагнитные колебания
231
где г — коэффициент сопротивления; знак
минус указывает на противоположные на-
направления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения
маятника будет иметь вид
тх = — kx — rx. A46.9)
с частотой, согласно A46.4),
Используя формулу (о0
(см. A42.2)) и принимая, что коэффици-
коэффициент затухания
6 =/-/Bт), A46.10)
получим идентичное уравнению A46.1)
дифференциальное уравнение затухающих
колебаний маятника:
Из выражений A46.1) и A46.5) вытекает,
что маятник колеблется по закону
cos
частотой
4т2
A46.4)).
Добротность пружинного маятника,
согласно A46.8) и A46.10), Q=—д/йт.
2. Свободные затухающие колебания
в электрическом колебательном контуре.
Дифференциальное уравнение свободных
затухающих колебаний заряда в контуре
(при Я=т*=0) имеет вид (см. A43.2))
Учитывая выражение A42.2) и принимая
коэффициент затухания
b = R/BL), A46.11)
дифференциальное уравнение A43.2)
можно записать в идентичном уравнению
A46.1) виде
Из выражений A46.1) и A46.5) вытекает,
что колебания заряда совершаются по
закону
-V'
меньшей собственной частоты контура соо
(см. A43.4)). При Я = 0 формула A46.13)
переходит в A43.4).
Логарифмический декремент затуха-
затухания определяется формулой A46.7), а до-
добротность колебательного контура
(см. A46.8))
<Э=^гЛ/-^-
= Qme
-6'
cos И+ Ф) A46.12)
A46.14)
В заключение отметим, что при увели-
увеличении коэффициента затухания 6 период
затухающих колебаний растет и при 6 = (оо
обращается в бесконечность, т. е. движе-
движение перестает быть периодическим. В дан-
данном случае колеблющаяся величина асим-
асимптотически приближается к нулю, когда
t-+oo. Процесс не будет колебательным.
Он называется апериодическим.
Огромный интерес для техники пред-
представляет возможность поддерживать коле-
колебания незатухающими. Для этого необхо-
необходимо восполнять потери энергии реальной
колебательной системы. Особенно важны
и широко применимы так называемые ав-
автоколебания — незатухающие колебания,
поддерживаемые в диссипативной системе
за счет постоянного внешнего источника
энергии, причем свойства этих колебаний
определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отлича-
отличаются от свободных незатухающих колеба-
колебаний, происходящих без действия сил,
а также от вынужденных колебаний
(см. §147), происходящих под действием
периодической силы. Автоколебательная
система сама управляет внешними воз-
воздействиями, обеспечивая согласованность
поступления энергии определенными пор-
порциями в нужный момент времени (в такт
с ее колебаниями).
Примером автоколебательной системы
могут служить часы. Храповой механизм
подталкивает маятник в такт с его колеба-
колебаниями. Энергия, передаваемая при этом
маятнику, берется либо за счет раскручи-

2H2
4. Колебания и волны
вающейся пружины, либо за счет опуска-
опускающегося груза. Колебания воздуха в ду-
духовых инструментах и органных трубах
также возникают вследствие автоколеба-
автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей.
Автоколебательными системами явля-
являются также двигатели внутреннего сгора-
сгорания, паровые турбины, ламповый генера-
генератор и т. д.
§ 147. Дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний
(механических
и электромагнитных)
и его решение
Чтобы в реальной колебательной системе
получить незатухающие колебания, надо
компенсировать потери энергии. Такая
компенсация возможна с помощью какого-
либо периодически действующего фактора
X(t), изменяющегося по гармоническому
закону:
) = *o cos со/.
Если рассматривать механические ко-
колебания, то роль X(t) играет внешняя вы-
вынуждающая сила
F = F0cosat. A47.1)
С учетом силы A47.1) закон движения
для пружинного маятника A46.9) запи-
запишется в виде
тх = — kx — rx -\- Fo cos ш/.
Используя A42.2) и A46.10), придем
к уравнению
l (F0/m) cos ш/. A47.2)
Если рассматривать электрический ко-
колебательный контур, то роль X(t) играет
подводимая к контуру внешняя периодиче-
периодически изменяющаяся по гармоническому за-
закону э. д. с. или переменное напряжение
U=Umcoswt. A47.3)
Тогда уравнение A43.2) с учетом A47.3)
можно записать в виде
к уравнению
Q-\-28Q + <alQ= (UJL) cos to/.
A47.4)
Колебания, возникающие под действи-
действием внешней периодически изменяющейся
силы или внешней периодически изменя-
изменяющейся э. д. с, называются соответствен-
соответственно вынужденными механическими и вы-
вынужденными электромагнитными колеба-
колебаниями.
Уравнения A47.2) и A47.4) можно
свести к линейному неоднородному диффе-
дифференциальному уравнению
—^- + 26 ——\-a2os=xo cos at,
it it
A47.5)
применяя впоследствии его решение для
вынужденных колебаний конкретной фи-
физической природы (ха в случае механиче-
механических колебаний равно Fo/tn, в случае элек-
электромагнитных — Um/L).
Решение уравнения A47.5) равно сум-
сумме общего решения A46.5) однородного
уравнения A46.1) и частного решения не-
неоднородного уравнения. Частное решение
найдем в комплексной форме (см. § 140).
Заменим правую часть уравнения A47.5)
на комплексную величину хфш1:
s + 26s + m'oS — x(fimt ¦ A47.6)
Частное решение этого уравнения будем
искать в виде
S = Soe"«.
Подставляя выражение для s и его про-
производных (s=Jtisoe', s= — r^soe') в
уравнение A47.6), получим
A47.7)
Так как это равенство должно быть
справедливым для всех моментов времени,
то время / из него должно исключаться.
Отсюда следует, что ti = m. Учитывая это,
из уравнения A47.7) найдем величину Sa
и умножим ее числитель и знаменатель на
(соо — со2 — 2?6ш):
Используя A43.4) и A46.11), придем

Глава 18. Механические и электромагнитные колебания
233
ц — ш2) — 2г'6ш
Это комплексное число удобно предста-
представить в экспоненциальной форме:
где
A47.8)
26ш
.
A47.9)
a>5 — u>"
Следовательно, решение уравнения
A47.6) в комплексной форме примет вид
Его вещественная часть, являющаяся ре-
решением уравнения A47.5), равна
s=A cos(o)/ — ф), A47.10)
где А и ф задаются соответственно форму-
формулами A47.8) и A47.9).
Таким образом, частное решение не-
неоднородного уравнения A47.5) имеет вид
-X
X cos
/ „ 2бо) \
/a)<-arctg— -У
A47.11)
Решение уравнения A47.5) равно сум-
сумме общего решения однородного урав-
уравнения
s,=yl0e-6'cos(oj^ + 91) A47.12)
(см. 146.5)) и частного решения A47.11).
Слагаемое A47.12) играет существенную
роль только в начальной стадии процесса
(при установлении колебаний) до тех пор,
пока амплитуда вынужденных колебаний
не достигнет значения, определяемого ра-
равенством A47.8). Графически вынужден-
вынужденные колебания представлены на рис. 209.
Следовательно, в установившемся режиме
вынужденные колебания происходят
с частотой о и являются гармоническими;
амплитуда и фаза колебаний, определяе-
Рис. 209
мые выражениями A47.8) и A47.9), так-
также зависят от (о.
Запишем формулы A47.10), A47.8)
и A47.9) для электромагнитных колеба-
колебаl
ний,
учитывая,
что <al=\/(LC)
(см. A43.4)) и & = R/BL) (см. A46.11)):
«L
--LY
tga = -
A47.13)
Продифференцировав Q = Qm cos (totf — a)
no t, найдем силу тока в контуре при
установившихся колебаниях:
/= —(oQm sin (w/ —a) =
, A47.14)
где
A47.15)
Выражение A47.14) может быть записано
в виде
l = lm cos (u>t — ф),
где ф = а —л/2 — сдвиг по фазе между
током и приложенным напряжением
(см. A47.3)). В соответствии с выражени-
выражением A47.13)
A47.16)

234
4. Колебания и волны
Из формулы A47.16) вытекает, что ток
отстает по фазе от напряжения (ф>0),
если <oZ. > 1/(шС), и опережает напряже-
напряжение (ф<0), если (oL<l/(u)C).
Формулы A47.15) и A47.16) можно
также получить с помощью векторной ди-
диаграммы. Это будет сделано в § 149 для
переменных токов.
§ 148. Амплитуда
и фаза вынужденных колебаний
(механических
и электромагнитных).
Резонанс
Рассмотрим зависимость амплитуды А вы-
вынужденных колебаний от частоты ш. Меха-
Механические и электромагнитные колебания
будем рассматривать одновременно, на-
называя колеблющуюся величину либо сме-
смещением (х) колеблющегося тела из поло-
положения равновесия, либо зарядом (Q) кон-
конденсатора.
Из формулы A47.8) следует, что ам-
амплитуда А смещения (заряда) имеет мак-
максимум. Чтобы определить резонансную
частоту Шрез — частоту, при которой ам-
амплитуда А смещения (заряда) достигает
максимума,— нужно найти максимум фун-
функции A47.8), или, что то же самое, мини-
минимум подкоренного выражения. Продиффе-
Продифференцировав подкоренное выражение по ш
и приравняв нулю, получим условие, опре-
определяющее Шрез:
Это равенство выполняется при ш = 0,
-?¦ д/coq — 2б2, у которых только лишь
положительное значение имеет физи-
физический смысл. Следовательно, резонанс-
резонансная частота
A48.1)
Явление резкого возрастания амплитуды
вынужденных колебаний при приближе-
приближении частоты вынуждающей силы (частоты
вынуждающего переменного напряжения)
к частоте а>рез называется резонансом (со-
(соответственно механическим или электриче-
электрическим). При б2<Са>о значение <орез практиче-
практически совпадает с собственной частотой <йо
Рис. 210
колебательной системы. Подставляя
A48.1) в формулу A47.8), получим
A48.2)
На рис. 210 приведена зависимость
амплитуды вынужденных колебаний от
частоты при различных значениях б. Из
A48.1) и A48.2) вытекает, что чем мень-
меньше б, тем выше и правее лежит максимум
данной кривой. Если ш->-0, то все кривые
(см. также A47.8)) приходят к одному
и тому же, отличному от нуля, предельному
значению хо/сй2, так называемому статиче-
статическому отклонению. В случае механических
колебаний хо/а^ = /•"оД/пш2), в случае элек-
электромагнитных — Um/(Lu>l). Если ш->-оо, то
все кривые асимптотически стремятся
к нулю. Приведенная совокупность кривых
называется резонансными кривыми.
Из формулы A48.2) вытекает, что при
малом затухании F2<С<о2) резонансная ам-
амплитуда смещения (заряда)
Xq 0)q Xq Xq
Лреэ = ne =~OA Г=^ 2 '
где Q — добротность колебательной систе-
системы (см. A46.8)), Jco/Wo — рассмотренное
выше статическое отклонение. Отсюда
следует, что добротность Q характеризует
резонансные свойства колебательной
системы: чем больше Q, тем больше Лрез.
На рис. 211 представлены резонансные
кривые для амплитуды скорости (тока).
Амплитуда скорости (тока)
хпи>

Глава 18. Механические и электромагнитные колебания
235
Рис. 211
v-(
- + 462
максимальна при шреа = сйо и равна хо/B6),
т. е. чем больше коэффициент затухания 6,
тем ниже максимум резонансной кривой.
Используя формулы A42.2), A46.10)
и A43.4), A46.11), получим, что амплиту-
амплитуда скорости при механическом резонансе
равна {Av)miy. = xJBb) = FJr, а амплитуда
тока при электрическом резонансе
Из выражения tg ф = 26ш/(шо —ш2)
(см. A47.9)) следует, что если затухание
в системе отсутствует F = 0), то только
в этом случае колебания и вынуждающая
сила (приложенное переменное напряже-
напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех
других случаях ф=т*=0.
Зависимость <р от со при разных ко-
коэффициентах 6 графически представлена
на рис. 212, из которого следует, что при
изменении ш изменяется и сдвиг фаз ср. Из
формулы A47.9) вытекает, что при ш =
= 0 <fi = 0, а при ш = о)о независимо от
значения коэффициента затухания 6ср =
= я/2, т. е. сила (напряжение) опережает
по фазе колебания на я/2. При дальней-
дальнейшем увеличении ш сдвиг фаз возрастает
и при ш>||1о ф->п, т. е. фаза колебаний
почти противоположна фазе внешней силы
(переменного напряжения). Семейство
кривых, изображенных на рис. 212, назы-
называется фазовыми резонансными кривыми.
Явления резонанса могут быть как
вредными, так и полезными. Например,
при конструировании машин и различного
рода сооружений необходимо, чтобы со-
собственная частота колебаний их не со-
совпадала с частотой возможных внешних
воздействий, в противном случае возник-
возникнут вибрации, которые могут вызвать
серьезные разрушения. С другой стороны,
наличие резонанса позволяет обнаружить
даже очень слабые колебания, если их
частота совпадает с частотой собственных
колебаний прибора. Так, радиотехника,
прикладная акустика, электротехника ис-
используют явление резонанса.
Л § 149. Переменный ток
Рассмотренные установившиеся вынуж-
вынужденные электромагнитные колебания мож-.
но рассматривать как протекание в цепи,
содержащей резистор, катушку индуктив-
индуктивности и конденсатор, переменного тока.
Переменный ток можно считать квазиста-
квазистационарным, т. е. для него мгновенные зна-
значения силы тока во всех сечениях цепи
практически одинаковы, так как их изме-
изменения происходят достаточно медленно,
а электромагнитные возмущения распро-
распространяются по цепи со скоростью, равной
скорости света. Для мгновенных значений
квазистационарных токов выполняются
закон Ома и вытекающие из него правила
Кирхгофа, которые будут использованы
применительно к переменным токам (эти
законы уже использовались при рассмот-
рассмотрении электромагнитных колебаний).
Рассмотрим последовательно процес-
процессы, происходящие в цепи, содержащей
резистор, катушку индуктивности и кон-

236
4. Колебания и волны
а)
участка цепи имеет вид
S)
откуда
Рис. 213
денсатор, при приложении к ней перемен-
переменного напряжения
U=Umcoswt, A49.1)
где Um — амплитуда напряжения.
1. Переменный ток, текущий через ре-
резистор сопротивлением R (L->-0, C-»-0)
(рис. 213, а). При выполнении условия
квазистационарности ток через резистор
определяется законом Ома:
I = U/R=(UJR) cos Ш = 1т cos <о/,
где амплитуда силы тока
Для наглядного изображения соотно-
соотношений между переменными токами и на-
напряжениями воспользуемся методом век-
векторных диаграмм. На рис. 213, б дана век-
векторная диаграмма амплитудных значений
тока /т и напряжения Um на резисторе
(сдвиг фаз между /га и Um равен нулю).
2. Переменный ток, текущий через ка-
катушку индуктивностью L (R->-0, C-*-Q)
(рис. 214, а). Если в цепи приложено пере-
переменное напряжение A49.1), то в ней по-
потечет переменный ток, в результате чего
возникнет э. д. с. самоиндукции
(см. A26.3)) 9s=—L-j-. Тогда закон
Ома (см. A00.3)) для рассматриваемого
L
о-)
->
L -j-= Um cos at. A49.2)
Так как внешнее напряжение приложено
к катушке индуктивности, то
U -L d/
A49.3)
есть падение напряжения на катушке. Из
уравнения A49.2) следует, что
dl = (Um/L)coswtdt,
или после интегрирования, учитывая, что
постоянная интегрирования равна нулю
(так как отсутствует постоянная составля-
составляющая тока), получим
= -^Г" sin ю'=-^- cos ( ш~\ =
где
lm=UJ(toL).
= /mcos
A49.4)
Величина
A49.5)
называется реактивным индуктивным со-
сопротивлением (или индуктивным сопро-
сопротивлением). Из выражения A49.4) выте-
вытекает, что для постоянного тока (ш = 0)
катушка индуктивности не имеет сопротив-
сопротивления. Подстановка значения t/m = o}L/m
в выражение A49.2) с учетом A49.3)
приводит к следующему значению падения
напряжения на катушке индуктивности:
UL —
cos
A49.6)
Рис. 214
Сравнение выражений A49.4) и A49.6)
приводит к выводу, что падение напряже-
напряжения UL опережает по фазе ток /, текущий
через катушку, на я/2, что и показано на
векторной диаграмме (рис. 214,6).
3. Переменный ток, текущий через
конденсатор емкостью С (/?-»-0, L-+0)

Глава 18. Механические и электромагнитные колебания
237
^ __
S)
Рис. 215
(рис. 215, а). Если переменное напряже-
напряжение A49.1) приложено к конденсатору, то
он все время перезаряжается, и в цепи
потечет переменный ток. Так как все внеш-
внешнее напряжение приложено к конденсато-
конденсатору, а сопротивлением подводящих прово-
проводов можно пренебречь, то
Q/C= Vc=Um cos со/.
Сила тока
at
= /„ cos
A49.7)
где
Величина
называется реактивным емкостным сопро-
сопротивлением (или емкостным сопротивлени-
сопротивлением). Для постоянного тока (ю = 0) /?с= °°,
т. е. постоянный ток через конденсатор
течь не может. Падение напряжения на
конденсаторе
——^/mcos (at.
A49.8)
Сравнение выражений A49.7) и A49.8)
приводит к выводу, что падение напряже-
напряжения Uc отстает по фазе от текущего через
конденсатор тока / на л/2. Это показано
на векторной диаграмме (рис. 215, б).
в)
Рис. 216
4. Цепь переменного тока, содержа-
содержащая последовательно включенные ре-
резистор, катушку индуктивности и конден-
конденсатор. На рис. 216, а представлена цепь,
содержащая резистор сопротивлением R,
катушку индуктивностью L и конденсатор
емкостью С, на концы которой подается
переменное напряжение A49.1). В цепи
возникнет переменный ток, который вы-
вызовет на всех элементах цепи соответству-
соответствующие падения напряжения UR, UL и Uc.
На рис. 216, б представлена векторная ди-
диаграмма амплитуд падений напряжений
на резисторе (UR), катушке (UL) и кон-
конденсаторе (Uc). Амплитуда Um приложен-
приложенного напряжения должна быть равна
векторной сумме амплитуд этих падений
напряжений. Как видно из рис. 216, б,
угол ф определяет разность фаз между
напряжением и силой тока. Из рисунка
следует, что (см. также формулу A47.16))
^«. A49.9)
К
Из прямоугольного треугольника получа-
J
ем
да амплитуда силы тока имеет значение
A49.10)
совпадающее с A47.15).

4. Колебания и волны
Следовательно, если напряжение в це-
цепи изменяется по закону
U=Um cos at,
то в цепи течет ток
/ = /mcos((o/-<p),
A49.11)-
где ф и 1т определяются соответственно
формулами A49.9) и A49.10).
Величина
¦Rcf A49.12)
называется полным сопротивлением цепи,
а величина
— реактивным сопротивлением.
Рассмотрим частный случай, когда
в цепи отсутствует конденсатор. В данном
случае падения напряжений UR и UL
в сумме равны приложенному напряже-
напряжению U. Векторная диаграмма для данного
случая представлена на рис. 217, из кото-
которого следует, что
A4913)
Выражения A49.9) и A49.10) совпадают
с A49.13), если в них 1/(<оС) = 0, т. е. С =
= оо. Следовательно, отсутствие конден-
конденсатора в цепи означает С=<х>, а не С =
= 0. Данный вывод можно трактовать сле-
следующим образом: сближая обкладки
конденсатора до их полного соприкоснове-
соприкосновения, придем к цепи, в которой конденсатор
отсутствует (расстояние между обкладка-
обкладками стремится к нулю, а емкость — к бес-
бесконечности; см. (94.3)).
§ 150. Резонанс напряжений
Если в цепи переменного тока, содержа-
содержащей последовательно включенные конден-
конденсатор, катушку индуктивности и резистор
(см. рис. 216),
ш1=1/(<оС), A50.1)
то угол сдвига фаз между током и на-
напряжением A49.9) обращается в нуль
(ф = 0), т. е. изменения тока и напряжения
происходят синфазно. Условию A50.1)
удовлетворяет частота
а>ри=1/У?с. A50.2)
В данном случае полное сопротивление
цепи Z A49.12) становится минимальным,
равным активному сопротивлению R цепи,
и ток в цепи определяется этим сопро-
сопротивлением, принимая максимальные (воз-
(возможные при данном Um) значения. При
этом падение напряжения на активном
сопротивлении равно внешнему напряже-
напряжению, приложенному к цепи (UR=U), а па-
падения напряжений на конденсаторе (Uc) и
катушке индуктивности (UL) одинаковы
по амплитуде и противоположны по фазе.
Это явление называется резонансом на-
напряжений (последовательным резонан-
резонансом), а частота A50.2) — резонансной
частотой. Векторная диаграмма для резо-
резонанса напряжений приведена на рис.218,
а зависимость амплитуды силы тока от ш
уже была дана на рис.211.
В случае резонанса напряжений
поэтому, подставив в эту формулу значе-
значения резонансной частоты и амплитуды на-
напряжений на катушке индуктивности
Рис. 218

Глава 18. Механические и электромагнитные колебании
239
и конденсаторе, получим
/рез
где Q — добротность контура, определяе-
определяемая выражением A46.14). Так как до-
добротность обычных колебательных конту-
контуров больше единицы, то напряжение как
на катушке индуктивности, так и на кон-
конденсаторе превышает напряжение, прило-
приложенное к цепи. Поэтому явление резонан-
резонанса напряжений используется в технике для
усиления колебания напряжения какой-
либо определенной частоты. Например,
в случае резонанса на конденсаторе мож-
можно получить напряжение с амплитудой
QVm (Q в данном случае — добротность
контура), которая может быть значительно
больше Um). Это усиление напряжения
возможно только для узкого интервала
частот вблизи резонансной частоты кон-
контура, что позволяет выделить из многих
сигналов одно колебание определенной
частоты, т. е. на радиоприемнике настро-
настроиться на нужную длину волны. Явление
резонанса напряжений необходимо учиты-
учитывать при расчете изоляции электрических
линий, содержащих конденсаторы и ка-
катушки индуктивности, так как иначе мо-
может наблюдаться их пробой.
§ 151. Резонанс токов
Рассмотрим цепь переменного тока, со-
содержащую параллельно включенные кон-
конденсатор емкостью С и катушку индуктив-
индуктивностью L (рис.219). Для простоты до-
допустим, что активное сопротивление обеих
ветвей настолько мало, что им можно пре-
пренебречь. Если приложенное напряжение
I,
h
г
II
II
L
С
2'
изменяется по закону U = Um cos со/(см.
A49.1)), то, согласно формуле A49.11),
в ветви 1С2 течет ток
амплитуда которого определяется из вы-
выражения A49.10) при условии /? = 0
и L = 0:
U
Начальная фаза ф1 этого тока по формуле
A49.9) определяется равенством
tg<Pi=— °°.
Ф,=Bп + 3/2) я, где п= 1,2, 3, ... .
A51.1)
Аналогично, сила тока в ветви 1L2
амплитуда которого определяется из
A49.10) при условии R = 0 и С=оо (ус-
(условие отсутствия емкости в цепи,
см. § 149):
Начальная фаза
(см. A49.9))
этого
тока
откуда
я, где/г= 1,2, 3,
A51.2)
Из сравнения выражений A51.1)
и A51.2) вытекает, что разность фаз токов
в ветвях 1С2 и 1L2 равна ф1—фг = л,
т. "е. токи в ветвях противоположны по
фазе. Амплитуда силы тока во внешней
(неразветвленной) цепи
/m=|/m|-/m2l=f;m|(oC-l/((oL)|.
и
Рис. 219
Явление резкого уменьшения амплитуды
силы тока во внешней цепи, питающей
параллельно включенные конденсатор
и катушку индуктивности, при приближе-
приближении частоты (о приложенного напряжения
к резонансной частоте соРез называется ре-
резонансом токов (параллельным резонан-

240
4. Колебания и волны
сом). В данном случае для резонансной
частоты получили такое же значение, как
и при резонансе напряжений (см. § 150).
Амплитуда силы тока /т оказалась
равна нулю потому, что активным сопро-
сопротивлением контура пренебрегли. Если
учесть сопротивление R, то разность фаз
ф1—Фг не будет равна л, поэтому при
резонансе токов амплитуда силы тока
/т будет отлична от нуля, но примет наи-
наименьшее возможное значение. Таким об-
образом, при резонансе токов во внешней
цепи токи /| и h компенсируются и сила
тока / в подводящих проводах достигает
минимального значения, обусловленного
только током через резистор. При резонан-
резонансе токов силы токов /| и h могут значи-
значительно превышать силу тока /.
Рассмотренный контур оказывает
большое сопротивление переменному току
с частотой, близкой к резонансной, поэто-
поэтому это свойство резонанса токов использу-
используется в резонансных усилителях, позволяю-
позволяющих выделять одно определенное колеба-
колебание из сигнала сложной формы. Кроме
того, резонанс токов используется в ин-
индукционных печах, где нагревание метал-
металлов производится вихревыми токами
(см. § 125). В них емкость конденсатора,
включенного параллельно нагревательной
катушке, подбирается так, чтобы при
частоте генератора получился резонанс
токов, в результате чего сила тока через
нагревательную катушку будет гораздо
больше, чем сила тока в подводящих про-
проводах.
§ 152. Мощность, выделяемая
в цепи переменного тока
Мгновенное значение мощности перемен-
переменного тока равно произведению мгновенных
значений напряжения и силы тока:
P(t)=U{t)l(t),
где U(t)=Umcos<ot, / @ = lm cos (<о/ — q>)
(см. выражения A49.1) и A49.11)). Раск-
Раскрыв cos (со/ —ф), получим
Р (t) = /m Um COS (wt — ф) COS <s)t =
= ImUm(cos2<otcost sin ф).
Практический интерес представляет не
мгновенное значение мощности, а ее сред-
среднее значение за период колебания. Учиты-
Учитывая, что (cos2 tot) = '/2, (sin tot coso>/) =
= 0, получим
'/2/m?/mcos9. A52.1)
Из векторной диаграммы (см. рис. 216)
следует, что t/mcos ф = /?/т.
Поэтому
Такую же мощность развивает постоян-
постоянный ток / = /тд/2.
Величины
называются соответственно действующи-
действующими (или эффективными) значениями тока
и напряжения. Все амперметры и вольт-
вольтметры градуируются по действующим зна-
значениям тока и напряжения.
Учитывая действующие значения тока
и напряжения, выражение средней мощно-
мощности A52.1) можно записать в виде
=/f/cosq>,
A52.2)
где множитель cos ф называется коэффи-
коэффициентом мощности.
Формула A52.2) показывает, что мощ-
мощность, выделяемая в цепи переменного
тока, в общем случае зависит не только от
силы тока и напряжения, но и от сдвига
фаз между ними. Если в цепи реактивное
сопротивление отсутствует, то cos ф =
= 1 и Р = Ш. Если цепь содержит только
реактивное сопротивление (R — 0), то
cos ф = 0 и средняя мощность равна нулю,
какими бы большими ни были ток и на-
напряжение. Если cos ф имеет значения, су-
существенно меньшие единицы, то для пере-
передачи заданной мощности при данном на-
напряжении генератора нужно увеличивать
силу тока /, что приведет либо к выделе-
выделению джоулевой теплоты, либо потребует
увеличения сечения проводов, что повы-
повышает стоимость линий электропередачи.
Поэтому на практике всегда стремятся
увеличить cos ф, наименьшее допустимое
значение которого для промышленных
установок составляет примерно 0,85.

Глава 18. Механические и электромагнитные колебания 241
Контрольные вопросы
• Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические про-
процессы?
• Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колебания.
• Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при прямолинейных гармони-
гармонических колебаниях?
• В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?
• Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции
времени.
• Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии
при гармонических колебаниях.
• Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному значению
возвращающей силы, вызывающей это колебание?
• Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подвешивании
этих масс к пружине?
• Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим? матема-
математическим?
• Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического
маятников.
• Что такое приведенная длина физического маятника?
• Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебательном кон-
контуре? Чем определяется их период?
• Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических колеба-
колебаний в контуре.
щг Что такое биения? Чему равна частота биений? период?
• Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных
гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? прямая?
• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?
• Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Проанализи-
Проанализируйте их для механических и электромагнитных колебаний.
• Как изменяется частота собственных колебаний с уЕ1еличением массы колеблющегося тела?
• По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие
колебания периодическими?
• Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных колебаний
системы?
• Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент за-
затухания? В чем заключается физический смысл этих величин?
• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?
• Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающих
колебаний? Где они применяются?
• Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний и решите его. Проведите их анализ для механических и электромагнитных колеба-
колебаний.
• От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для амплитуды
и фазы при резонансе.
• Нарисуйте, проанализируйте резонансные кривые для амплитуды смещения (заряда) и скоро-
скорости (тока). В чем их отличие?
• Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?
• Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе?
• Что называется резонансом? Какова его роль?
• От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление? Что называется ре-
реактивным сопротивлением?
• Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через
конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать также с помощью вектор-
векторных диаграмм.

242 4. Колебании и полны
Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последовательно
включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.
Назовите характерные признаки резонанса напряжений; резонанса токов. Приведите графики
резонанса токов и напряжений.
Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэффици-
коэффициентом мощности?
Задачи
18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 2 Гц, в момент
времени / = 0 проходит положение, определяемое координатой *o = 6 см, со скоростью t»o =
= 14 см/с. Определить амплитуду колебаний. [6.1 см]
18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила,
действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период
колебаний равен 2 с, а начальная фаза я/3. [х = 0,04 cos (л/ + я/3)]
18.3. При подвешивании грузов массами т\ =500 г и т2 = 400 г к свободным пружинам последние
удлинились одинаково (/=15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды
колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энер-
энергией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]
18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Опреде-
Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колеба-
колебаний была максимальной. [7,2 см]
18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на Д/= 16 см, совершают за одно
и то же время: один п\ = 10 колебаний, другой п2 = 6 колебаний. Определить длины маятни-
маятников /i и h. [/i=9 см, /2 = 25 см]
18.6 Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индуктивно-
индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2нФ. Максимальное напряжение на обкладках кон-
конденсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий
катушку. [0,3 мкВб]
18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода
8 с и одинаковой амплитудой 2 см составляет я/4. Написать уравнение движения, получаю-
получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна
нулю, [а: = 0,037 cos (—i-\
18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно
перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями * = cosn/ и i/ = cos—/.
Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается
в три раза. Определить добротность системы. [286]
18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью
10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества
Qm=l мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент
затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках кон-
конденсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,05; 3) U— |00e~20' cos 636л/]
18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением ПО Ом и конденсатор подключены
к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказалось, что
амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между
током и внешним напряжением. [60°]

Глава 19. Упругие полны
243
18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см н площадью по-
поперечного сечения 10 см2, содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивление
катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]
18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно
120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амплитудное
значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]
18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГц и конденсатор емкостью
2 мкФ. Для поддержания в колебательном контур незатухающих гармонических колебаний
с амлитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю
мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить
добротность данного контура. [100]
Глава 19
Упругие волны
§ 153. Волновые процессы.
Продольные и поперечные волны
Колебания, возбужденные в какой-либо
точке среды (твердой, жидкой или газо-
газообразной), распространяются в ней с ко-
конечной скоростью, зависящей от свойств
среды, передаваясь от одной точки среды
к другой. Чем дальше расположена части-
частица среды от источника колебаний, тем
позднее она начнет колебаться. Иначе го-
говоря, фазы колебаний частиц среды
и источника тем больше отличаются друг
от друга, чем больше это расстояние. При
изучении распространения колебаний не
учитывается дискретное (молекулярное)
строение среды и среда рассматривается
как сплошная, т. е. непрерывно распреде-
распределенная в пространстве и обладающая уп-
упругими свойствами.
Процесс распространения колебаний
в сплошной среде называется волновым
процессом (или волной). При распростра-
распространении волны частицы среды не движутся
вместе с волной, а колеблются около своих
положений равновесия. Вместе с волной от
частицы к частице среды передаются лишь
состояние колебательного движения и его
энергия. Поэтому основным свойством
всех волн, независимо от их природы, яв-
является перенос энергии без переноса ве-
вещества.
Среди разнообразных волн, встречаю-
встречающихся в природе и технике, выделяются
следующие их типы: волны на поверхности
жидкости, упругие и электромагнитные во-
волны. Упругими (или механическими) во-
волнами называются механические возму-
возмущения, распространяющиеся в упругой
среде. Упругие волны бывают продольные
и поперечные. В продольных волнах части-
частицы среды колеблются в направлении рас-
распространения волны, в поперечных —
в плоскостях, перпендикулярных направ-
направлению распространения волны.
Продольные волны могут распро-
распространяться в средах, в которых возника-
возникают упругие силы при деформации сжа-
сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких
и газообразных телах. Поперечные во-
волны могут распространяться в среде,
в которой возникают упругие силы при
деформации сдвига, т. е. фактически
только в твердых телах; в жидкостях
и газах возникают только продольные
волны, а в твердых телах — как про-
продольные, так и поперечные.
Упругая волна называется гармониче-
гармонической, если соответствующие ей колебания
частиц среды являются гармоническими.
На рис. 220 представлена гармоническая
поперечная волна, распространяющаяся
со скоростью v вдоль оси х, т. е. приведена
зависимость между смещением | частиц
среды, участвующих в волновом процессе,
и расстоянием х этих частиц (например,
частицы В) от источника колебаний О для
какого-то фиксированного момента време-
времени t. Хотя приведенный график функции
| (х, t) похож на график гармонического
колебания, но они различны по существу.
График волны дает зависимость смещения

244
4. Колебания и волны
Рис. 220
всех частиц среды от расстояния до источ-
источника колебаний в данный момент времени,
а график колебаний — зависимость сме-
смещения данной частицы от времени.
Расстояние между ближайшими части-
частицами, колеблющимися в одинаковой фазе,
называется длиной волны к (рис.220).
Длина волны равна тому расстоянию, на
которое распространяется определенная
фаза колебания за период, т. е.
или, учитывая, что Т= 1/v, где v — часто-
частота колебаний,
v = k\.
Если рассмотреть волновой процесс
подробнее, то ясно, что колеблются не
только частицы, расположенные вдоль оси
х, а колеблется совокупность частиц, рас-
расположенных в некотором объеме, т. е. во-
волна, распространяясь от источника коле-
колебаний, охватывает все новые и новые об-
области пространства. Геометрическое место
точек, до которых доходят колебания к мо-
моменту времени t, называется волновым
фронтом. Геометрическое место точек, ко-
колеблющихся в одинаковой фазе, называет-
называется волновой поверхностью. Волновых по-
поверхностей можно провести бесчисленное
множество, а волновой фронт в каждый
момент времени — один. Волновой фронт
также является волновой поверхностью.
В принципе волновые поверхности могут
быть любой формы, а в простейшем случае
они представляют собой совокупность
плоскостей, параллельных друг другу, или
совокупность концентрических сфер. Со-
Соответственно волна называется плоской
или сферической. .
§ 154. Уравнение бегущей волны.
Фазовая скорость.
Волновое уравнение
Бегущими волнами называются волны, ко-
которые переносят в пространстве энергию.
Перенос энергии в волнах количественно
характеризуется вектором плотности по-
потока энергии. Этот вектор для упругих
волн называется вектором Умова (по име-
имени русского ученого Н. А. Умова A846—
1915), решившего задачу о движении
энергии в среде). Направление вектора
Умова совпадает с направлением переноса
энергии, а его модуль равен энергии, пере-
переносимой волной за единицу времени через
единичную площадку, расположенную
перпендикулярно направлению распро-
распространения волны.
Для вывода уравнения бегущей во-
волны — зависимости смещения колеблю-
колеблющейся частицы от координат и времени —
рассмотрим плоскую волну, предполагая,
что колебания носят гармонический ха-
характер, а ось х совпадает с направлением
распространения волны (рис. 220). В дан-
данном случае волновые поверхности перпен-
перпендикулярны оси х, а так как все точки
волновой поверхности колеблются одина-
одинаково, то смещение ? будет зависеть только
от х и t, т. е. i = | (x, t).
На рис. 220 рассмотрим некоторую
частицу среды В, находящуюся от источ-
источника колебаний О на расстоянии х. Если
колебания точек, лежащих в плоскости
х = 0, описываются функцией g @, *) =
= Л cos (at, то частица среды В колеблется
по тому же закону, но ее колебания будут
отставать по времени от колебаний источ-
источника на т, так как для прохождения во-
волной расстояния х требуется время т =
= x/v, где v — скорость распространения
волны. Тогда уравнение колебаний частиц,
лежащих в плоскости х, имеет вид
i(*. t)=A cosw(? — x/v), A54.1)
откуда следует, что | (х, t) является не
только периодической функцией времени,
но и периодической функцией координаты
х. Уравнение A54.1) есть уравнение бегу-
бегущей волны. Если плоская волна распро-
распространяется в противоположном направле-

Глава 19. Упругие волны
245
НИИ, ТО
В общем случае уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль поло-
положительного направления оси х в среде, не
поглощающей энергию, имеет вид
A54.2)
где /4=const — амплитуда волны, to —
циклическая частота волны, фо — началь-
начальная фаза колебаний, определяемая в об-
общем случае выбором начал отсчета х и t,
[to (t—*/и)+фо]—фаза плоской волны.
Для характеристики волн использует-
используется волновое число
L 2я
Учитывая A54.3),
можно придать вид
2я
vT
A54.3)
уравнению A54.2)
A54.4)
Уравнение волны, распространяющейся
вдоль отрицательного направления оси х,
отличается от A54.4) только знаком чле-
члена kx.
Основываясь на формуле Эйлера
A40.7), уравнение плоской волны можно
записать в виде
где физический смысл имеет лишь дей-
действительная часть (см. § 140).
Предположим, что при волновом про-
процессе фаза постоянна, т. е.
= const. A54.5)
Продифференцировав выражение A54.5)
и сократив на ш, получим At djc = O,
откуда
6х
dt
A54.6)
Следовательно, скорость v распростране-
распространения волны в уравнении A54.6) есть не что
иное, как скорость перемещения фазы во-
волны, и ее называют фазовой скоростью.
Повторяя ход рассуждений для
плоской волны, можно доказать, что урав-
уравнение сферической волны — волны, волно-
волновые поверхности которой имеют вид кон-
концентрических сфер, записывается как
I (/-, t)=— cos (tot — kr + ф0), A54.7)
где г — расстояние от центра волны до
рассматриваемой точки среды. В случае
сферической волны даже в среде, не по-
поглощающей энергию, амплитуда колеба-
колебаний не остается постоянной, а убывает
с расстоянием по закону 1/л. Уравнение
A54.7) справедливо лишь для г, значи-
значительно превышающих размеры источника
(тогда источник колебаний можно считать
точечным).
Из выражения A54.3) вытекает, что
фазовая скорость
v = (o/k. A54.8)
Если фазовая скорость волн в среде за-
зависит от их частоты, то это явление на-
называют дисперсией волн, а среда, в кото-
которой наблюдается дисперсия волн, называ-
называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной
изотропной среде в общем случае описы-
описывается волновым уравнением — диффе-
дифференциальным уравнением в частных про-
производных
дх'
v2 dt2
или
dt2
A54.9)
где v — фазовая скорость, А=—~-\-
+Ь
дг2
— оператор
дх2
Лапласа. Ре-
шением уравнения A54.9) является урав-
уравнение любой волны. Соответствующей под-
подстановкой можно убедиться, что уравне-
уравнению A54.9) удовлетворяют, в частности,
плоская волна (см. A54.2)) и сфериче-
сферическая волна (см. A54.7)). Для плоской
волны, распространяющейся вдоль оси х,
волновое уравнение имеет вид
A54.10)
дх2 V dt2

246
4. Колебания и волны
§ 155. Принцип суперпозиции.
Групповая скорость
Если среда, в которой распространяется
одновременно несколько волн, линейна,
т. е. ее свойства не изменяются под дей-
действием возмущений, создаваемых волной,
то к ним применим принцип суперпозиции
(наложения) волн: при распространении
в линейной среде нескольких волн каждая
из них распространяется так, как будто
другие волны отсутствуют, а результирую-
результирующее смещение частицы среды в любой
момент времени равно геометрической
сумме смещений, которые получают части-
частицы, участвуя в каждом из слагающих во-
волновых процессов.
Исходя из принципа суперпозиции
и разложения Фурье (см. A44.5)) любая
волна может быть представлена в виде
суммы гармонических волн, т. е. в виде
волнового пакета, или группы волн. Вол-
Волновым пакетом называется суперпозиция
волн, мало отличающихся друг от друга
по частоте, занимающая в каждый мо-
момент времени ограниченную область про-
пространства.
«Сконструируем» простейший волно-
волновой пакет из двух распространяющихся
вдоль положительного направления оси
х гармонических волн с одинаковыми ам-
амплитудами, близкими частотами и волно-
волновыми числами, причем dco-С со и
. Тогда
l=A0cos(a>t — kx) +
+А0 cos [(co + dco) t-(k + dk)x]=
= 2A0 cos
/ / dco— x dk\ . A , .
( l cos (со/ — kx).
Эта волна отличается от гармонической
тем, что ее амплитуда
/ dco —х dk
есть медленно изменяющаяся функция ко-
координаты х и времени t.
За скорость распространения этой не-
негармонической волны (волнового пакета)
принимают скорость перемещения макси-
максимума амплитуды волны, рассматривая
тем самым максимум в качестве центра
волнового пакета. При условии, что
/dco — xdfc = const, получим
d* dco
Скорость и есть групповая скорость. Ее
можно определить как скорость движения
группы волн, образующих в каждый мо-
момент времени локализованный в простран-
пространстве волновой пакет. Хотя выражение
A55.1) получено для волнового пакета из
двух составляющих, можно доказать, что
оно справедливо в самом общем случае.
Рассмотрим связь между групповой
м = ^— (см. A55.1)) и фазовой и = ш/А:
dk
(см. A54.8)) скоростями. Учитывая, что
к = 2п/к (см. A54.3)), получим
dco d(vk) , , dv
или
dv dk
u = v — к
dv
dk'
dv
A55.2)
Из формулы A55.2) вытекает, что и мо-
может быть как меньше, так и больше v в за-
dv n
висимости от знака -j—. В недиспергирую-
Ак'
dv
щей среде —тт-=0 и групповая скорость
dA,
совпадает с фазовой.
Понятие групповой скорости очень
важно, так как именно она фигурирует при
измерении дальности в радиолокации,
в системах управления космическими
объектами и т. д. В теории относительно-
относительности доказывается, что групповая скорость
и^.с, в то время как для фазовой скоро-
скорости ограничений не существует.
§ 156. Интерференция волн
Согласованное протекание во времени
и пространстве нескольких колебательных
или волновых процессов связывают с по-
понятием когерентности. Волны называются

Глава 19. Упругие волны
247
Рис. 221
когерентными, если разность их фаз оста-
остается постоянной во времени. Очевидно, что
когерентными могут быть лишь волны,
имеющие одинаковую частоту. При нало-
наложении в пространстве двух (или несколь-
нескольких) когерентных волн в разных его точ-
точках получается усиление или ослабление
результирующей волны в зависимости от
соотношения между фазами этих волн.
Это явление называется интерференцией
волн.
Рассмотрим наложение двух когерент-
когерентных сферических волн, возбуждаемых то-
точечными источниками Si и S? (рис.221),
колеблющимися с одинаковыми амплиту-
амплитудой Ай и частотой <о и постоянной разно-
разностью фаз. Согласно A54.7),
Ло
?,= cos {(at — k,
т\
AQ
|2= cos (Ш — k
Ч
где г\ и гг — расстояния от источников
волн до рассматриваемой точки В, k —
волновое число, ф! и фг — начальные фазы
обеих накладывающихся сферических
волн. Амплитуда результирующей волны
в точке В по A44.2) равна
cos [k (n —гг) — (ф| —
Так как для когерентных источников
разность начальных фаз (ф| — фг) = const,
то результат наложения двух волн
в различных точках зависит от величи-
величины Д = ri — г2, называемой разностью хо-
хода волн.
В точках, где
* (г\ — г2) — (ф, — ф2)= ±2тп
(т = 0, 1,2,...), A56.1)
наблюдается интерференционный макси-
максимум: амплитуда результирующего колеба-
колебания А=Ай/г\-\-Ай/г% В точках, где
(г, —г2) — (ф, — ф2)= ±Bт+ 1) я
(т = 0, 1,2, ...),
A56.2)
наблюдается интерференционный мини-
минимум: амплитуда результирующего колеба-
колебания A=\A<,/ri—An/r2\ (m = 0, I, 2, ...,)
называется соответственно порядком ин-
интерференционного максимума или мини-
минимума.
Условия A56.1) и A56.2) сводятся
к тому, что
г,—/-2 = const. A56.3)
Выражение A56.3) представляет собой
уравнение гиперболы с фокусами в точках
Si и S2- Следовательно, геометрическое
место точек, в которых наблюдается уси-
усиление или ослабление результирующего
колебания, представляет собой семейство
гипербол (рис. 221), отвечающих условию
ф, — ф2 = 0. Между двумя интерференци-
интерференционными максимумами (на рис. 221 сплош-
сплошные линии) находятся интерференционные
минимумы (на рис. 221 штриховые линии).
§ 157. Стоячие волны
Особым случаем интерференции являются
стоячие волны — это волны, образующие-
образующиеся при наложении двух бегущих волн, рас-
распространяющихся навстречу друг другу
с одинаковыми частотами и амплитудами.
Для вывода уравнения стоячей волны
предположим, что две плоские волны рас-
распространяются навстречу друг другу
вдоль оси х в среде без затухания, причем
обе волны характеризуются одинаковыми
амплитудами и частотами. Кроме того,
начало координат выберем в точке, в кото-
которой обе волны имеют одинаковую фазу,
а отсчет времени начнем с момента, когда
фазы обеих волн равны нулю. Тогда со-

248
4. Колебания и волны
ответственно уравнения волны, распро-
распространяющейся вдоль положительного на-
направления оси х, и волны, распространяю-
распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид
,=Л cos(<o/ — kx),
='4 cos
(i57.i;
Сложив эти уравнения и учитывая, что
й = 2я/>. (см. A54.3)), получим уравнение
стоячей волны:
= 2>4 cos
cos ш/ =
= ЧА cos Bя*Д) cos
A57.2)
Из уравнения стоячей волны A57.2)
вытекает, что в каждой точке этой волны
происходят колебания той же частоты ш
с амплитудой Аст= \2А cos Bл.х/К)\, зави-
зависящей от координаты х рассматриваемой
точки.
В точках среды, где
2пх/Х=±тп (т = 0, 1,2, ...), A57.3)
амплитуда колебаний достигает макси-
максимального значения, равного 2 А. В точках
среды, где
2яхД=±(т+1/2)я (т = 0, 1, 2, ...),
A57.4)
амплитуда колебаний обращается в нуль.
Точки, в которых амплитуда колебаний
максимальна (ЛСТ = 2А), называются
пучностями стоячей волны, а точки, в ко-
которых амплитуда колебаний равна нулю
(Лст = 0), называются узлами стоячей во-
волны. Точки среды, находящиеся в узлах,
колебаний не совершают.
Из выражений A57.3) и A57.4) полу-
получим соответственно координаты пучностей
и узлов:
Xn=±m~ (m = 0, 1,2, ...), A57.5)
= 0,1,2,...).
A57.6)
Из формул A57.5) и A57.6) следует, что
расстояния между двумя соседними пуч-
пучностями и двумя соседними узлами одина-
одинаковы и равны к/2. Расстояние между со-
соседними пучностью и узлом стоячей волны
равно К/4.
В отличие от бегущей волны, все точки
которой совершают колебания с одинако-
одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по
фазе (в уравнении A57.1) бегущей волны
фаза колебаний зависит от координаты
х рассматриваемой точки), все точки стоя-
стоячей волны между двумя узлами колеблют-
колеблются с разными амплитудами, но с одинако-
одинаковыми фазами (в уравнении A57.2) стоя-
стоячей волны аргумент косинуса не зависит
от х). При переходе через узел множитель
2А cos BлхД) меняет свой знак, поэтому
фаза колебаний по разные стороны от
узла отличается на я, т. е. точки, лежащие
по разные стороны от узла, колеблются
в противофазе.
Образование стоячих волн наблюдают
при интерференции бегущей и отраженной
волн. Например, если конец веревки за-
закрепить неподвижно, то отраженная
в месте закрепления веревки волна будет
интерферировать с бегущей волной и об-
образует стоячую волну. На границе, где
происходит отражение волны, в данном
случае получается узел. Будет ли на гра-
границе отражения узел или пучность, за-
зависит от соотношения плотностей сред.
Если среда, от которой происходит отра-
отражение, менее плотная, то в месте отраже-
отражения получается пучность (рис. 222, а), ес-
если более плотная — узел (рис. 222, б). Об-
Образование узла связано с тем, что волна,
отражаясь от более плотной среды, меняет
фазу на противоположную и у границы
происходит сложение колебаний противо-
противоположных направлений, в результате чего
получается узел. Если же волна отражает-
отражается от менее плотной среды, то изменения
фазы не происходит и у границы колеба-
колебания складываются с одинаковыми фаза-
фазами — получается пучность.
Если рассматривать бегущую волну,
то в направлении ее распространения пе-
переносится энергия колебательного движе-
движения. В случае же стоячей волны переноса
энергии нет, так как падающая и отражен-
отраженная волны одинаковой амплитуды несут
одинаковую энергию в противоположных
направлениях. Поэтому полная энергия
результирующей стоячей волны, заклю-

Глава 19. Упругие волны
249
ченной между узловыми точками, остается
постоянной. Лишь в пределах расстояний,
равных половине длины волны, происхо-
происходят взаимные превращения кинетической
энергии в потенциальную и обратно.
§ 158. Характеристика звуковых воли
Звуковыми (или акустическими) волнами
называются распространяющиеся в среде
упругие волны, обладающие частотами
в пределах 16—20 000 Гц. Волны указан-
указанных частот, воздействуя на слуховой аппа-
аппарат человека, вызывают ощущение звука.
Волны с v< 16 Гц (инфразвуковые) и v>
>20 кГц (ультразвуковые) органами слу-
слуха человека не воспринимаются.
Звуковые волны в газах и жидкостях
могут быть только продольными, так как
эти среды обладают упругостью лишь по
отношению к деформациям сжатия
(растяжения). В твердых телах звуковые
волны могут быть как продольными, так
и поперечными, так как твердые тела обла-
обладают упругостью по отношению к дефор-
деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.
Интенсивнрстью звука (или силой зву-
звука) называется величина, определяемая
средней по времени энергией, переносимой
звуковой волной в единицу времени сквозь
единичную площадку, перпендикулярную
направлению распространения волны:
Единица интенсивности звука в СИ —
ватт на метр в квадрате (Вт/м2).
Чувствительность человеческого уха
различна для разных частот. Для того
чтобы вызвать звуковое ощущение, волна
должна обладать некоторой минимальной
интенсивностью, но если эта интенсив-
интенсивность превышает определенный предел, то
звук не слышен и вызывает только болевое
ощущение. Таким образом, для каждой
частоты колебаний существует наимень-
наименьшая (порог слышимости) и наибольшая
(порог болевого ощущения) интенсив-
интенсивность звука, которая способна вызвать
звуковое восприятие. На рис. 223 пред-
представлена зависимость порогов слышимо-
слышимости и болевого ощущения от частоты зву-
звука. Область, расположенная между этими
двумя кривыми, является областью слы-
слышимости.
Если интенсивность звука является ве-
величиной, объективно характеризующей во-
волновой процесс, то субъективной характе-
характеристикой звука, связанной с его интенсив-
интенсивностью, является громкость звука, за-
зависящая от частоты. По физиологическо-
физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом
интенсивности звука громкость возрастает
по логарифмическому закону. На этом ос-
основании вводят объективную оценку гром-
громкости звука по измеренному значению его
интенсивности:
где /о — интенсивность звука на пороге
слышимости, принимаемая для всех зву-
1,3/п/м2
Ш
10s
Болевой порог
Область слышимости
>v У Порог
^**«^- S СЛЫШИ1
102 103 10* 10s и, Гц
Рис. 223

250
4. Колебания и волны
ков равной 10 '2 Вт/м2. Величина L на-
называется уровнем интенсивности звука
и выражается в белах (в честь изобретате-
изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются
единицами, в 10 раз меньшими,— децибе-
децибелами (дБ).
Физиологической характеристикой
звука является уровень громкости, кото-
который выражается в фонах (фон). Гром-
Громкость для звука в 1000 Гц (частота стан-
стандартного чистого тона) равна 1 фон, если
его уровень интенсивности равен 1 дБ. На-
Например, шум в вагоне метро при большой
скорости соответствует «90 фон, а шепот
на расстоянии 1 м — «20 фон.
Реальный звук является наложением
гармонических колебаний с большим на-
набором частот, т. е. звук обладает акустиче-
акустическим спектром, который может быть
сплошным (в некотором интервале при-
присутствуют колебания всех частот) и ли-
линейчатым (присутствуют отделенные друг
от друга определенные частоты).
Звуковое ощущение характеризуется
помимо громкости еще высотой и тембром.
Высота звука — качество звука, определя-
определяемое человеком субъективно на слух и за-
зависящее от частоты звука. С ростом часто-
частоты высота звука увеличивается, т. е. звук
становится «выше». Характер акустиче-
акустического спектра и распределения энергии
между определенными частотами опреде-
определяет своеобразие звукового ощущения,
называемое тембром звука. Так, различ-
различные певцы, берущие одну и ту же ноту,
имеют различный акустический спектр,
т. е. они имеют различный тембр.
Источником звука может быть всякое
тело, колеблющееся в упругой среде со
звуковой частотой (например, в струнных
инструментах источником звука является
струна, соединенная с корпусом инстру-
инструмента).
Совершая колебания, тело вызывает
колебания прилегающих к нему частиц
среды с такой же частотой. Состояние
колебательного движения последователь-
последовательно передается к все более удаленным от
тела частицам среды, т. е. в среде распро-
распространяется волна с частотой колебаний,
равной частоте ее источника, и с опреде-
определенной скоростью, зависящей от плотно-
плотности и упругих свойств среды. Скорость
распространения звуковых волн в газах
вычисляется по формуле
v^yRT/M, A58.1)
где R — молярная газовая постоянная,
М — молярная масса, v— Cp/Cv — отно-
отношение молярных теплоемкостей газа при
постоянных давлении и объеме, Т —
термодинамическая температура. Из фор-
формулы A58.1) вытекает, что скорость звука
в газе не зависит от давления р газа, но
возрастает с повышением температуры.
Чем больше молярная масса газа, тем
меньше в нем скорость звука. Например,
при Т = 273 К скорость звука в воздухе
(М = 29-10-3 кг/моль) i> = 331 м/с, в во-
водороде (М = 2-10~3 кг/моль) v =
= 1260 м/с. Выражение A58.1) соответ-
соответствует опытным данным.
При распространении звука в атмос-
атмосфере необходимо учитывать целый ряд
факторов: скорость и направление ветра,
влажность воздуха, молекулярную струк-
структуру газовой среды, явление преломления
и отражения звука на границе двух сред.
Кроме того, любая реальная среда обла-
обладает вязкостью, поэтому наблюдается за-
затухание звука, т. е. уменьшение его ампли-
амплитуды и, следовательно, интенсивности зву-
звуковой волны по мере ее распространения.
Затухание звука обусловлено в значитель-
значительной мере его поглощением в среде, связан-
связанным с необратимым переходом звуковой
энергии в другие формы энергии (в основ-
основном в тепловую).
Для акустики помещений большое
значение имеет реверберация звука —
процесс постепенного затухания звука
в закрытых помещениях после выключе-
выключения его источника. Если помещения
пустые, то происходит медленное затуха-
затухание звука и создается «гулкость» помеще-
помещения. Если звуки затухают быстро (при
применении звукопоглощающих материа-
материалов), то они воспринимаются приглушен-
приглушенными. Время реверберации — это время,
в течение которого интенсивность звука
в помещении ослабляется в миллион раз,
а его уровень — на 60 дБ. Помещение об-
обладает хорошей акустикой, если время
реверберации составляет 0,5—1,5 с.

Глава 19. Упругие волны
§ 159. Эффект Доплера в акустике
Эффектом Доплера * называется измене-
изменение частоты колебаний, воспринимаемой
приемником, при движении источника этих
колебаний и приемника друг относительно
друга. Например, из опыта известно, что
тон гудка поезда повышается по мере его
приближения к платформе и понижается
при удалении, т. е. движение источника
колебаний (гудка) относительно приемни-
приемника (уха) изменяет частоту принимаемых
колебаний.
Для рассмотрения эффекта Доплера
предположим, что источник и приемник
звука движутся вдоль соединяющей их
прямой; оИст и о„р — соответственно ско-
скорости движения источника и приемника,
причем они положительны, если источ-
источник (приемник) приближается к приемни-
приемнику (источнику), и отрицательны, если уда-
удаляется. Частота колебаний источника рав-
равна v0.
1. Источник и приемник покоятся от-
относительно среды, т.е. vKCr=vnp = 0. Если
v — скорость распространения звуковой
волны в рассматриваемой среде, то длина
волны X=vT = v/\o- Распространяясь
в среде, волна достигнет приемника и вы-
вызовет колебания его звукочувствительного
элемента с частотой
Следовательно, частота v звука, которую
зарегистрирует приемник, равна частоте
vo, с которой звуковая волна излучается
источником.
2. Приемник приближается к источни-
источнику, а источник покоится, т.е. unp>0,
dkct=0. В данном случае скорость распро-
распространения волны относительно приемника
станет равной ti + Onp. Так как длина во-
волны при этом не меняется, то
(
V~ X ~ vT ~ v
т. е. частота колебаний, воспринимаемых
приемником, в (и + о„р)/и раз больше
частоты колебаний источника.
Рис. 224
3. Источник приближается к приемни-
приемнику, а приемник покоится, т.е. иИст>0,
?>пр = 0. Скорость распространения колеба-
колебаний зависит лишь от свойств среды, поэто-
поэтому за время, равное периоду колебаний
источника, излученная им волна пройдет
в направлении к приемнику расстояние vT
(равное длине волны X) независимо от
того, движется ли источник или покоится.
За это же время источник пройдет в на-
направлении волны расстояние vHc,T
(рис.224), т.е. длина волны в направле-
направлении движения сократится и станет равной
X' = X — VhctT = (v — vikt)T, тогда
и vxn
(О —ИИСт)' О — «ист
т. е. частота v колебаний, воспринимаемых
приемником, увеличится в v/(v — vHCr) раз.
В случаях 2 и 3, если оист<0 и ипр<0,
знак будет обратным.
4. Источник и приемник движутся от-
относительно друг друга. Используя резуль-
результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно
записать выражение для частоты колеба-
колебаний, воспринимаемых источником:
A59.1)
* X. Доплер A803—1853) — австрийский
физик, математик и астроном.
причем верхний знак берется, если при
движении источника или приемника про-
происходит их сближение, нижний знак —
в случае их взаимного удаления.
Из приведенных формул следует, что
эффект Доплера различен в зависимости
от того, движется ли источник или при-
приемник. Если направления скоростей и„Р
и 1>ист не совпадают с проходящей через
источник и приемник прямой, то вместо

252
4. Колебания и волны
этих скоростей в формуле A59.1) надо
брать их проекции на направление этой
прямой.
§ 160. Ультразвук
и его применение
По своей природе ультразвук представля-
представляет собой упругие волны, и в этом он не
отличается от звука (см. § 158). Однако
ультразвук, обладая высокими частотами
(v>20kFu) и, следовательно, малыми
длинами волн, характеризуется особыми
свойствами, что позволяет выделить его
в отдельный класс явлений. Из-за малых
длин волн ультразвуковые волны, как
и свет, могут быть получены в виде строго
направленных пучков.
Для генерации ультразвука использу-
используются в основном два явления.
Обратный пьезоэлектрический эффект
(см. также §91) —это возникновение де-
деформации в вырезанной определенным об-
образом кварцевой пластинке (в последнее
время вместо кварца применяется титанат
бария) под действием электрического по-
поля. Если такую пластинку поместить в вы-
высокочастотное переменное поле, то можно
вызвать ее вынужденные колебания. При
резонансе на собственной частоте
пластинки получают большие амплитуды
колебаний и, следовательно, большие ин-
интенсивности излучаемой ультразвуковой
волны. Идея кварцевого ультразвукового
генератора принадлежит французскому
физику П. Ланжевену A872—1946).
Магнитострикция — это возникнове-
возникновение деформации в ферромагнетиках под
действием магнитного поля. Поместив
ферромагнитный стержень (например, из
никеля или железа) в быстропеременное
магнитное поле, возбуждают его механи-
механические колебания, амплитуда колебаний
которых максимальна в случае резонанса.
Ультразвуки широко используются
в технике, например для направленной
подводной сигнализации, обнаружения
подводных предметов и определения глу-
глубин (гидролокатор, эхолот). Например,
в эхолоте от пьезокварцевого генератора,
укрепленного на судне, посылаются на-
направленные ультразвуковые сигналы, ко-
которые, достигнув дна, отражаются от него
и возвращаются обратно. Зная скорость
их распространения в воде и определяя
время прохождения (от подачи до воз-
возвращения) ультразвукового сигнала, мож-
можно вычислить глубину. Прием эха также
производится с помощью пьезокварца.
Звуковые колебания, дойдя до пьезоквар-
пьезокварца, вызывают в нем упругие колебания,
в результате чего на противоположных
поверхностях кварца возникают электри-
электрические заряды, которые измеряются.
Если пропускать ультразвуковой сиг-
сигнал через исследуемую деталь, то N. >жно
обнаружить в ней дефекты по характерно-
характерному рассеянию пучка и по появлению уль-
ультразвуковой тени. На этом принципе со-
создана целая отрасль техники—ультра-
техники—ультразвуковая дефектоскопия, начало кото-
которой положено С. Я. Соколовым A897—
1957). Применение ультразвука легло
также в основу новой области акустики —
акустоэлектроники, позволяющей на ее
основе разрабатывать приборы для обра-
обработки сигнальной информации в микрора-
микрорадиоэлектронике.
Ультразвук применяют для воздейст-
воздействия на различные процессы (кристаллиза-
(кристаллизацию, диффузию, тепло- и массообмен в ме-
металлургии и т. д.) и биологические объек-
объекты (повышение интенсивности процессов
обмена и т.д.), для изучения физических
свойств веществ (поглощения, структуры
вещества и т.д.). Ультразвук использует-
используется также для механической обработки
очень твердых и очень хрупких тел, в ме-
медицине (диагностика, ультразвуковая хи-
хирургия, микромассаж тканей) и т. д.
Контрольные вопросы
• Как объяснить распространение колебаний в упругой среде? Что такое волна?
• Что называется поперечной волной? продольной? Когда они возникают?
• Что такое волновой фронт? волновая поверхность?

Глава 19. Упругие волны 253
• Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, скоростью и периодом?
• Какая волна является бегущей, гармонической, плоской, сферической? Каковы их уравнения?
• Что такое волновое число? фазовая и групповая скорости?
• В чем заключается физический смысл вектора Умова?
• При каких условиях возникает интерференция волн? Назовите условия интерференционных
максимума и минимума.
• Две волны с одинаковым периодом распространяются в одном направлении. Разность хода
равна четному числу полуволн. Что получится в результате интерференции?
• Две волны, распространяющиеся навстречу друг другу, отличаются только амплитудами.
Образуют ли они стоячую волну?
• Чем стоячая волна отличается от бегущей?
• Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? двумя соседними
пучностями? соседними пучностью и узлом?
• Что такое звуковые волны? Звуковые волны в воздухе продольные или поперечные? Почему?
• Может ли звук распространяться в вакууме?
• От чего зависят громкость, высота и тембр звука?
• Что такое эффект Доплера? Чему будет равна частота колебаний, воспринимаемых покоящим-
покоящимся приемником, если источник колебаний от него удаляется?
• Какое влияние оказывает скорость ветра на эффект Доплера?
• Как определить частоту звука, воспринимаемую приемником, если источник звука и приемник
движутся?
Задачи
19.1. Плоская гармоническая волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положитель-
положительным направлением оси х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью ц=12 м/с. Две
точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях х\ = 7 ми х? = 12 м от источника колеба-
колебаний, колеблются с разностью фаз А<р=—я. Амплитуда волны Л =6 см. Определить:
6
1) длину волны X; 2) уравнение волны; 3) смещение |г второй точки в момент времени t =
= 3 с. [1) 12 м; 2) I (х, 0 =0,06 cos Bnt — ~x)\ 3) 6 см)
6
19.2. Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и воспроизводят один и тот же
музыкальный тон на частоте 1000 Гц. Приемник находится на расстоянии 4 м от центра
динамиков. Принимая скорость звука 340 м/с, определить, на какое расстояние от централь-
центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафиксировал
первый интерференционный минимум. [0,34 м]
19.3. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется
труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между
соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте 1700 Гц,
составляет 10 см. Определить скорость звука в воздухе. [340 м/с]
19.4. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых условиях со-
составляет 461 м/с. Определить скорость распространения звука при тех же условиях.
[315 м/с)
19.5. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает звуковой
сигнал. Приемник воспринимает скачок частоты Av = 54 Гц. Принимая скорость звука
равной 340 м/с, определить частоту тона звукового сигнала гудка поезда. [611 Гц]

254
4. Колебания и волны
Глава 20
Электромагнитные волны
§ 161. Экспериментальное получение
электромагнитных волн
Существование электромагнитных волн —
переменного электромагнитного поля, рас-
распространяющегося в пространстве с ко-
конечной скоростью,— вытекает из уравне-
уравнений Максвелла (см. § 139). Уравнения
Максвелла сформулированы в 1865 г. на
основе обобщения эмпирических законов
электрических и магнитных явлений. Как
уже указывалось, решающую роль для
утверждения максвелловской теории сыг-
сыграли опыты Герца A888), доказавшие,
что электрические и магнитные поля дей-
действительно распространяются в виде волн,
поведение которых полностью описывает-
описывается уравнениями Максвелла.
Источником электромагнитных волн
в действительности может быть любой
электрический колебательный контур или
проводник, по которому течет переменный
электрический ток, так как для возбужде-
возбуждения электромагнитных волн необходимо
создать в пространстве переменное элек-
электрическое поле (ток смещения) или со-
соответственно переменное магнитное поле.
Однако излучающая способность источни-
источника определяется его формой, размерами
и частотой колебаний. Чтобы излучение
играло заметную роль, необходимо увели-
увеличить объем пространства, в котором пере-
переменное электромагнитное поле создается.
Поэтому для получения электромагнитных
волн непригодны закрытые колебательные
контуры, так как в них электрическое поле
сосредоточено между обкладками конден-
конденсатора, а магнитное — внутри катушки
индуктивности.
Герц в своих опытах, уменьшая число
витков катушки и площадь пластин кон-
конденсатора, а также раздвигая их
(рис. 225, а, б), совершил переход от за-
закрытого колебательного контура к откры-
открытому колебательному контуру (вибратору
Герца), представляющему собой два стер-
стержня, разделенных искровым промежутком
(рис. 225, в). Если в закрытом колебатель-
колебательном контуре переменное электрическое по-
поле сосредоточено внутри конденсатора
(рис. 225, а), то в открытом оно заполняет
окружающее контур пространство
(рис. 225, в), что существенно повышает
интенсивность электромагнитного излуче-
излучения. Колебания в такой системе поддер-
поддерживаются за счет источника э. д. с, под-
подключенного к обкладкам конденсатора,
а искровой промежуток применяется для
того, чтобы увеличить разность потенциа-
потенциалов, до которой первоначально заряжают-
заряжаются обкладки.
Для возбуждения электромагнитных
волн вибратор Герца В подключался к ин-
индуктору И (рис.226). Когда напряжение
на искровом промежутке достигало про-
пробивного значения, возникала искра, за-
закорачивающая обе половины вибратора,
и в нем возникали свободные затухающие
Рис. 225
Рис. 226

Глава 20. Электромагнитные волны
255
колебания. При исчезновении искры кон-
контур размыкался и колебания прекраща-
прекращались. Затем индуктор снова заряжал кон-
конденсатор, возникала искра и в контуре
опять наблюдались колебания и т. д. Для
регистрации электромагнитных волн Герц
пользовался вторым вибратором, называе-
называемым резонатором Р, имеющим такую же
частоту собственных колебаний, что и из-
излучающий вибратор, т. е. настроенным
в резонанс с вибратором. Когда электро-
электромагнитные волны достигали резонатора,
то в его зазоре проскакивала электриче-
электрическая искра.
С помощью описанного вибратора
Герц достиг частот порядка 100 МГц и по-
получил волны, длина X которых составляла
примерно 3 м. П. Н. Лебедев, применяя
миниатюрный вибратор из тонких плати-
платиновых стерженьков, получил миллиметро-
миллиметровые электромагнитные волны с к=6—
4 мм. Дальнейшее развитие методики эк-
эксперимента в этом направлении позволило
в 1923 г. советскому физику А. А. Глаголе-
Глаголевой-Аркадьевой A884—1945) сконструи-
сконструировать массовый излучатель, в котором
короткие электромагнитные волны, воз-
возбуждаемые колебаниями электрических
зарядов в атомах и молекулах, генериро-
генерировались с помощью искр, проскакиваемых
между металлическими опилками, взве-
взвешенными в масле. Так были получены
волны от 50 мм до 80 мкм. Тем самым
было доказано существование волн, пере-
перекрывающих интервал между радиоволна-
радиоволнами и инфракрасным излучением.
Недостатком вибраторов Герца и Ле-
Лебедева и массового излучателя Глаголе-
Глаголевой-Аркадьевой являлось то, что свобод-
свободные колебания в них быстро затухали
и обладали малой мощностью. Для полу-
получения незатухающих колебаний необходи-
необходимо создать автоколебательную систему
(см. §146), которая обеспечивала бы по-
подачу энергии с частотой, равной частоте
собственных колебаний контура. Поэтому
в 20-х годах нашего столетия перешли
к генерированию электромагнитных волн
с помощью электронных ламп. Ламповые
генераторы позволяют получать колеба-
колебания заданной (практически любой) мощ-
мощности и синусоидальной формы.
Электромагнитные волны, обладая ши-
широким диапазоном частот (или длин волн
Х = с/\, где с — скорость электромагнит-
электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от
друга по способам их генерации и ре-
регистрации, а также по своим свойствам.
Поэтому электромагнитные волны делятся
на несколько видов: радиоволны, световые
волны, рентгеновское и -уизлУчения
(табл.5). Следует отметить, что границы
между различными видами электромаг-
электромагнитных волн довольно условны.
Таблица 5
Вид излучения
Радиоволны
Световые волны:
инфракрасное
излучение
видимый свет
ультрафиолето-
ультрафиолетовое излучение
Рентгеновское излу-
излучение
7-Излучение
Длина волны, м
ю3—ю-"
5-10—8-10-'
8-10-'—4-10"'
4-10-'—Ю-9
2-10-9—6-102
<б-ю-'2
Частота волны, Гц
3-Ю5—3-10'2
6-10"—3,75-10й
3,75-10'4—7,5-10"
7,5-10"—3-10"
1,5-10"-5-1019
>5-1019
Источник излучения
Колебательный контур
Вибратор Герца
Массовый излучатель
Ламповый генератор
Лампы
Лазеры
Трубки Рентгена
Радиоактивный распад
Ядерные процессы
Космические процессы

256
4. Колебания и ваты
§ 162. Дифференциальное уравнение
электромагнитной волны
Как уже указывалось (см. §161), одним
из важнейших следствий уравнений Мак-
Максвелла (см. § 139) является существова-
существование электромагнитных волн. Можно по-
показать, что для однородной и изотропной
среды вдали от зарядов и токов, создаю-
создающих электромагнитное поле, из уравнений
Максвелла следует, что векторы напря-
женностей Е и Н переменного электро-
электромагнитного поля удовлетворяют волново-
волновому уравнению типа A54.9):
1 д2Е
ДЕ=—^^, A62.1)
dt2'
дн- 1
A62.2)
где
дх2 ' ду2 ' дг2
— оператор Лапласа, v — фазовая ско-
скорость.
Всякая функция, удовлетворяющая
уравнениям A62.1) и A62.2), описывает
некоторую волну. Следовательно, электро-
электромагнитные поля действительно могут су-
существовать в виде электромагнитных
волн. Фазовая скорость электромагнитных
волн определяется выражением
A62.3)
где с= 1/д/ео|хо, е<> и цо — соответственно
электрическая и магнитная постоянные, е
и ц — соответственно электрическая
и магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при е=1 и (х = 1) скорость
распространения электромагнитных волн
совпадает со скоростью с. Так как е(д,> 1,
то скорость распространения электро-
электромагнитных волн в веществе всегда мень-
меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распростра-
распространения электромагнитного поля по формуле
A62.3) получается результат, достаточно
хорошо совпадающий с эксперименталь-
экспериментальными данными, если учитывать зависи-
зависимость е и |х от частоты. Совпадение же
размерного коэффициента в A62.3) со
Рис. 227
скоростью распространения света в вакуу-
вакууме указывает на глубокую связь между
электромагнитными и оптическими явле-
явлениями, позволившую Максвеллу создать
электромагнитную теорию света, согласно
которой свет представляет собой электро-
электромагнитные волны.
Следствием теории Максвелла являет-
является поперечность электромагнитных волн:
векторы Е и Н напряженностей электриче-
электрического и магнитного полей волны взаимно
перпендикулярны (на рис. 227 показана
моментальная «фотография» плоской
электромагнитной волны) и лежат в плос-
плоскости, перпендикулярной вектору v скоро-
скорости распространения волны, причем векто-
векторы Е, Н и v образуют правовинтовую
систему. Из уравнений Максвелла следует
также, что в электромагнитной волне век-
векторы Е и Н всегда колеблются в одина-
одинаковых фазах (см. рис.227), причем мгно-
мгновенные значения ? и Я в любой точке
связаны соотношением
^. A62.4)
Следовательно, Е и Н одновременно
достигают максимума, одновременно об-
обращаются в нуль и т. д.
От волновых уравнений A62.1)
и A62.2) можно перейти к уравнениям
1
дх2
д? '
дх2
A62.5)
A62.6)
где соответственно индексы у и z при
Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы

Глана 20. Электромагнитные полны
257
Ей Н направлены вдоль взаимно перпен-
перпендикулярных осей у и г.
Уравнениям A62.5) и A62.6) удов-
удовлетворяют, в частности, плоские монохро-
монохроматические электромагнитные волны
(электромагнитные волны одной строго
определенной частоты), описываемые
уравнениями
, A62.7)
, A62.8)
где ?о и Но — соответственно амплитуды
напряженностей электрического и магнит-
магнитного полей волны, со — круговая частота
волны, Л = ш/и — волновое число, <р —
начальные фазы колебаний в точках с ко-
координатой х = 0. В уравнениях A62.7)
и A62.8) ф одинаково, так как колебания
электрического и магнитного векторов
в электромагнитной волне происходят
с одинаковой фазой.
§ 163. Энергия
электромагнитных волн.
Импульс
электромагнитного поля
Возможность обнаружения электромаг-
электромагнитных волн указывает на то, что они
переносят энергию. Объемная плотность
w энергии электромагнитной волны скла-
складывается из объемных плотностей ьиьл
(см. (95.8)) и wK (см. A30.3)) электриче-
электрического и магнитного полей:
w = о/эл + wK = еое?2/2 + ц0цЯ2/2.
Учитывая выражение A62.4), получим,
что плотность энергии электрического
и магнитного полей в каждый момент вре-
времени одинакова, т.е. w<ul = wM. Поэтому
w = 2лиал = еоеЕ2 = д/еоцо ^JГ\i. ЕН.
Умножив плотность энергии w на скорость
v распространения волны в среде
(см. A62.3)), получим модуль плотности
потока энергии:
S = wv = EH.
Так как векторы Е и Н взаимно пер-
перпендикулярны и образуют с направлением
распространения волны правовинтовую
9 Т. И. Трофимова
систему, то направление вектора [ЕН]
совпадает с направлением переноса энер-
энергии, а модуль этого вектора равен ЕН.
Вектор плотности потока электромагнит-
электромагнитной энергии называется вектором Умова—
Пойнтинга:
S = [EH]
Вектор S направлен в сторону рас-
распространения электромагнитной волны,
а его модуль равен энергии, переносимой
электромагнитной волной за единицу вре-
времени через единичную площадку, перпен-
перпендикулярную направлению распростране-
распространения волны.
Если электромагнитные волны погло-
поглощаются или отражаются телами (эти яв-
явления подтверждены опытами Г. Герца),
то из теории Максвелла следует, что элек-
электромагнитные волны должны оказывать
на тела давление. Давление электромаг-
электромагнитных волн объясняется тем, что под
действием электрического поля волны за-
заряженные частицы вещества начинают
упорядоченно двигаться и подвергаются
со стороны магнитного поля волны дейст-
действию сил Лоренца. Однако значение этого
давления ничтожно. Можно оценить, что
при средней мощности солнечного излуче-
излучения, приходящего на Землю, давление для
абсолютно поглощающей поверхности со-
составляет примерно 5 мкПа. В исключи-
исключительно тонких экспериментах, ставших
классическими, П. Н. Лебедев в 1899 г. до-
доказал существование светового давления
на твердые тела, а в 1910 г.— на газы.
Опыты Лебедева имели огромное значение
для утверждения выводов теории Мак-
Максвелла о том, что свет представляет собой
электромагнитные волны.
Существование давления электромаг-
электромагнитных волн приводит к выводу о том, что
электромагнитному полю присущ механи-
механический импульс. Импульс электромагнит-
электромагнитного поля
p=W/c,
где W — энергия электромагнитного поля.
Выражая импульс как р = те (поле в ва-
вакууме распространяется со скоростью с),
получим p = mc=W/c, откуда
W = mc2. A63.1)

258
4. Колебания и волны
Это соотношение между массой и энергией
свободного электромагнитного поля явля-
является универсальным законом природы
(см. также §40). Согласно специальной
теории относительности, выражение
A63.1) имеет общее значение и справед-
справедливо для любых тел независимо от их
внутреннего строения.
Таким образом, рассмотренные свойст-
свойства электромагнитных волн, определяемые
теорией Максвелла, полностью подтвер-
подтверждаются опытами Герца, Лебедева и вы-
выводами специальной теории относительно-
относительности, сыгравшими решающую роль для
подтверждения и быстрого признания этой
теории.
§ 164. Излучение диполя.
Применение
электромагнитных волн
Простейшим излучателем электромагнит-
электромагнитных волн является электрический диполь,
электрический момент которого изменяет-
изменяется во времени по гармоническому закону
р = р0 cos <a<,
где ро — амплитуда вектора р. Примером
подобного диполя может служить система,
состоящая из покоящегося положительно-
положительного заряда +Q и отрицательного заряда
— Q, гармонически колеблющегося вдоль
направления р с частотой ш.
Задача об излучении диполя имеет
в теории излучающих систем важное зна-
значение, так как всякую реальную излучаю-
излучающую систему (например, антенну) можно
рассчитывать рассматривая излучение ди-
диполя. Кроме того, многие вопросы взаимо-
взаимодействия излучения с веществом можно
объяснить на основе классической теории,
рассматривая атомы как системы зарядов,
в которых электроны совершают гармони-
гармонические колебания около их положений
равновесия.
Характер электромагнитного поля ди-
диполя зависит от выбора рассматриваемой
точки. Особый интерес представляет так
называемая волновая зона диполя — точ-
точки пространства, отстоящие от диполя на
расстояниях г, значительно превышающих
длину волны (г~^>\),— так как в ней кар-
картина электромагнитного поля диполя силь-
сильно упрощается. Это связано с тем, что
в волновой зоне диполя практически оста-
остаются только «отпочковавшиеся» от дипо-
диполя, свободно распространяющиеся поля,
в то время как поля, колеблющиеся вместе
с диполем и имеющие более сложную
структуру, сосредоточены в области рас-
расстояний л^Х.
Если волна распространяется в одно-
однородной изотропной среде, то время про-
прохождения волны до точек, удаленных от
диполя на расстояние г, одинаково. Поэто-
Поэтому во всех точках сферы, центр которой
совпадает с диполем, фаза колебаний оди-
одинакова, т. е. в волновой зоне волновой
фронт будет сферическим и, следователь-
следовательно, волна, излучаемая диполем, есть сфе-
сферическая волна.
В каждой точке векторы Е и Н ко-
колеблются по закону cos (со/— kr), амплиту-
амплитуды этих векторов пропорциональны — sin Ф
(для вакуума), т. е. зависят от расстояния
г до излучателя и угла О между направле-
направлением радиуса-вектора и осью диполя. От-
Отсюда следует, что интенсивность излуче-
излучения диполя в волновой зоне
A64.1)
Зависимость A64.1) / от Ь при заданном
значении г, приводимая в полярных ко-
координатах (рис.228), называется диаг-
диаграммой направленности излучения дипо-
диполя. Как видно из выражения A64.1)
и приведенной диаграммы, диполь сильнее
всего излучает в направлениях, перпенди-
перпендикулярных его оси @ = л/2). Вдоль своей
оси (О = 0 и й = л) диполь не излучает
вообще. Диаграмма направленности излу-
излучения диполя позволяет формировать из-
излучение с определенными характеристика-
Рис. 228

Г л а на 20. Электромагнитные вол ни
2 Г) 0
ми и используется при конструировании
антенн.
Впервые электромагнитные волны бы-
были использованы через семь лет после
опытов Герца. 7 мая 1895 г. преподаватель
физики офицерских минных классов
А. С. Попов A859—1906) на заседании
Русского физико-химического общества
продемонстрировал первый в мире радио-
радиоприемник, открывший возможность прак-
практического использования электромагнит-
электромагнитных волн для беспроволочной связи, пре-
преобразившей жизнь человечества. Первая
переданная в мире радиограмма содержа-
содержала лишь два слова: «Генрих Герц». Изо-
Изобретение радио Поповым сыграло огром-
огромную роль в деле распространения и разви-
развития теории Максвелла.
Электромагнитные волны сантиметро-
сантиметрового и миллиметрового диапазонов, встре-
встречая на своем пути преграды, отражаются
от них. Это явление лежит в основе радио-
радиолокации — обнаружения предметов (на-
(например, самолетов, кораблей и т. д.) на
больших расстояниях и точного определе-
определения их положения. Помимо этого, методы
радиолокации используются для наблюде-
наблюдения прохождения и образования облаков,
движения метеоритов в верхних слоях ат-
атмосферы и т. д.
Для электромагнитных волн характер-
характерно явление дифракции — огибания волна-
волнами различных препятствий. Именно благо-
благодаря дифракции радиоволн возможна
устойчивая радиосвязь между удаленными
пунктами, разделенными между собой вы-
выпуклостью Земли. Длинные волны (сотни
и тысячи метров) применяются в фототе-
фототелеграфии, короткие волны (несколько мет-
метров и меньше) применяются в телевидении
для передачи изображений на небольшие
расстояния (немногим больше пределов
прямой видимости). Электромагнитные
волны используются также в радиогеоде-
радиогеодезии для очень точного определения рассто-
расстояний с помощью радиосигналов, в радио-
радиоастрономии для исследования радиоизлу-
радиоизлучения небесных тел и т. д. Полное описание
применения электромагнитных волн дать
практически невозможно, так как нет об-
областей науки и техники, где бы они не
использовались.
Контрольные вопросы
• Что такое электромагнитная волна? Какова скорость ее распространения?
• Что может служить источником электромагнитных волн?
• Каковы физические процессы, приводящие к возможности существования электромагнитных
волн?
• Почему Герц в своих опытах использовал открытый колебательный контур?
• Как можно представить себе шкалу электромагнитных волн, и каковы источники излучения
разных видов волн?
• Какие характеристики поля периодически изменяются в бегущей электромагнитной волне?
для понимания
Почему член -^—в уравнении Максвелла® Hdl=\( j + —т—JdS нужен
L s
распространения электромагнитной волны?
Запишите волновое уравнение для векторов Е и Н переменного электромагнитного поля. Про-
Проанализируйте его решения и объясните физический смысл.
Как определяется фазовая скорость электромагнитных волн?
Как определить объемную плотность энергии в электромагнитной волне?
В чем заключается физический смысл вектора Умова—Пойнтинга? Чему он равен?
Почему важна задача об излучении диполя?
В чем заключается физический смысл диаграммы направленности излучения диполя?

260 4. Колебании и волны
Задачи
20.1. Электромагнитная волна с частотой 4 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью е = 3 в вакуум. Определить приращение ее длины волны. [31,7 м)
20.2. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а вторые индуктивно соедине-
соединены с генератором электромагнитных колебаний, погружены в спирт. При соответствующем
подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя
узлами стоячих волн на проводах равно 0,5 м. Принимая диэлектрическую проницаемость
спирта е = 26, а его магнитную проницаемость ц= 1, определнть частоту колебаний генерато-
генератора. [58,8 МГц}
20.3. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда на-
напряженности электрического поля волны составляет 18,8 В/м. Определить интенсивность
волны, т. е. среднюю энергию, приходящуюся за единицу времени на единицу площади,
расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. [0,47 Вт/м2]

Оптика.
Квантовая природа
излучения
Глава 21
Элементы геометрической и электронной оптики
§ 165. Основные законы оптики.
Полное отражение
Еще до установления природы света были
известны следующие основные законы оп-
оптики: закон прямолинейного распростра-
распространения света в оптически однородной среде;
закон независимости световых пучков
(справедлив только в линейной оптике);
закон отражения света; закон преломле-
преломления света.
Закон прямолинейного распростране-
распространения света: свет в оптически однородной
среде распространяется прямолинейно.
Доказательством этого закона являет-
является наличие тени с резкими границами от
непрозрачных предметов при освещении
их точечными источниками света (источ-
(источники, размеры которых значительно мень-
меньше освещаемого предмета и расстояния
до него). Тщательные эксперименты пока-
показали, однако, что этот закон нарушается,
если свет проходит сквозь очень малые
отверстия, причем отклонение от прямо-
прямолинейности распространения тем больше,
чем меньше отверстия.
Закон независимости световых пучков:
эффект, производимый отдельным пучком,
не зависит от того, действуют ли одновре-
одновременно остальные пучки или они устранены.
Разбивая световой поток на отдельные
световые пучки (например, с помощью
диафрагм), можно показать, что действие
выделенных световых пучков независимо.
Если свет падает на границу раздела
двух сред (двух прозрачных веществ), то
падающий луч / (рис. 229) разделяется на
два — отраженный // и преломленный
///, направления которых задаются за-
законами отражения и преломления.
Закон отражения: отраженный луч ле-
лежит в одной плоскости с падающим лучом
и перпендикуляром, проведенным к грани-
границе раздела двух сред в точке падения;
угол i\ отражения равен углу i\ падения:
Закон преломления: луч падающий,
луч преломленный и перпендикуляр, про-
проведенный к границе раздела в точке паде-
падения, лежат в одной плоскости; отношение
синуса угла падения к синусу угла пре-
преломления есть величина постоянная для
данных сред:
Sin «,/sin '2 = И21> A65.1)
где «21 — относительный показатель пре-
преломления второй среды относительно пер-
первой. Индексы в обозначениях углов i\, i\, ij
указывают, в какой среде (первой или
второй) идет луч.
Относительный показатель преломле-
| Отраженный лмч

2Г,2
5. Оптика. Квантовая природа излучения
ния двух сред равен отношению их абсо-
абсолютных показателей преломления:
nii=n2/n[. A65.2)
Абсолютным показателем преломле-
преломления среды называется величина п, равная
отношению скорости с электромагнитных
волн в вакууме к их фазовой скорости
v в среде:
n = c/v. A65.3)
Сравнение с формулой A62.3) дает, что
п = д/еA„ где е и ц — соответственно элек-
электрическая и магнитная проницаемости
среды. Учитывая A65.2), закон преломле-
преломления A65.1) можно записать в виде
п{ sin i\=n2 sin t2. A65.4)
Из симметрии выражения A65.4) вытека-
вытекает обратимость световых лучей. Если об-
обратить луч /// (рис.229), заставив его
падать на границу раздела под углом i?, то
преломленный луч в первой среде будет
распространяться под углом ii, т. е. пойдет
в обратном направлении вдоль луча /.
Если свет распространяется из среды
с большим показателем преломления п\
(оптически более плотной) в среду с мень-
меньшим показателем преломления пг (оптиче-
(оптически менее плотную) (п|>иг), например из
стекла в воду, то, согласно A65.4),
sin i2
sin i.
=—->1
n2
и преломленный луч удаляется от нормали
и угол преломления k больше, чем угол
падения it (рис. 230, а). С увеличением
угла падения увеличивается угол прелом-
преломления (рис. 230, б, в) до тех пор, пока при
некотором угле падения (i\ =inp) угол пре-
преломления не окажется равным я/2. Угол
;„р называется предельным углом. При уг-
углах падения i'i>inp весь падающий свет
полностью отражается (рис. 230, г).
По мере приближения угла падения
к предельному интенсивность преломлен-
преломленного луча уменьшается, а отраженного —
растет (рис.230, а—в). Если ii=inp, то
интенсивность преломленного луча обра-
обращается в нуль, а интенсивность отражен-
отраженного равна интенсивности падающего
(рис. 230, г). Таким образом, при углах
падения в пределах от inp до л/2 луч не
преломляется, а полностью отражается
в первую среду, причем интенсивности от-
отраженного и падающего лучей одинако-
одинаковы. Это явление называется полным отра-
отражением.
Предельный угол /пр определим из фор-
формулы A65.4) при подстановке в нее h =
= я/2. Тогда
sin гпр = П2/П| =«21- A65.5)
Уравнение A65.5) удовлетворяет значени-
значениям угла inp при лг^яь Следовательно,
явление полного отражения имеет место
только при падении света из среды оптиче-
оптически более плотной в среду оптически менее
плотную.
Явление полного отражения используется
в призмах полного отражения. Показатель пре-
преломления стекла равен пяз 1,5, поэтому предель-
предельный угол для границы стекло — воздух in? =
= arcsin A/1,5) = 42°. Поэтому при падении све-
света на границу стекло — воздух при i>42°
всегда будет иметь место полное отражение. На
рис.231, а—в показаны призмы полного отра-
отражения, позволяющие: а) повернуть луч на 90 °;
б) повернуть изображение; в) обернуть лучи.
Такие призмы применяются в оптических при-
приборах (например, в биноклях, перископах),
Рис. 230

Гла в а 21. Элементы геометрической и электронной оптики
263
Рис. 231
а также в рефрактометрах, позволяющих опре-
определять показатели преломления тел (по закону
преломления, измеряя <„р, определяем относи-
относительный показатель преломления двух сред,
а также абсолютный показатель преломления
одной из сред, если показатель преломления
второй среды известен).
Явление полного отражения используется
также в световодах (светопроводах), представ-
представляющих собой тонкие, произвольным образом
изогнутые нити (волокна) из оптически про-
прозрачного материала. В волоконных деталях
применяют стеклянное волокно, световедущая
жила (сердцевина) которого окружается стек-
стеклом — оболочкой из другого стекла с меньшим
показателем преломления. Свет, падающий на
торец световода под углами, большими предель-
предельного, претерпевает на поверхности раздела
сердцевины и оболочки полное отражение и
распространяется только по световедущей
жиле.
Таким образом, с помощью световодов
можно как угодно искривлять путь светового
пучка. Диаметр световедущих жил лежит в пре-
пределах от нескольких микрометров до нескольких
миллиметров. Для передачи изображений, как
правило, применяются многожильные светово-
световоды. Вопросы передачи световых волн и изо-
изображений изучаются в специальном разделе
оптики — волоконной оптике, возникшей
в 50-е годы XX столетия. Световоды использу-
используются в электронно-лучевых трубках, в электрон-
электронно-счетных машинах, для кодирования инфор-
мации, в медицине (например, диагностика же-
желудка), для целей интегральной оптики и т.д.
§ 166. Тонкие линзы.
Изображение предметов
с помощью линз
Раздел оптики, в котором законы распро-
распространения света рассматриваются на ос-
основе представления о световых лучах, на-
называется геометрической оптикой. Под
световыми лучами понимаются нормаль-
нормальные к волновым поверхностям линии,
вдоль которых распространяется поток
световой энергии. Геометрическая оптика,
оставаясь приближенным методом постро-
построения изображений в оптических системах,
позволяет разобрать основные явления,
связанные с прохождением через них све-
света, и является поэтому основой теории
оптических приборов.
Линзы представляют собой прозрач-
прозрачные тела, ограниченные двумя поверхно-
поверхностями (одна из них обычно сферическая,
иногда цилиндрическая, а вторая — сфе-
сферическая или плоская), преломляющими
световые лучи, способные формировать
оптические изображения предметов. Мате-
Материалом для линз служат стекло, кварц,
кристаллы, пластмассы и т. п. По внешней
форме (рис. 232) линзы делятся на:
1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые;
3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые;
5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпук-
вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствам линзы де-
делятся на собирающие и рассеивающие.
Линза называется тонкой, если ее тол-
толщина (расстояние между ограничивающи-
ограничивающими поверхностями) значительно меньше
по сравнению с радиусами поверхностей,
ограничивающих линзу. Прямая, проходя-
у
" О
0 J_
1
2
0
3
Рис.
232
> 6

264
5. Оптика. Квантовая природа излучении
света по траектории АОВ
Рис. 233
щая через центры кривизны поверхностей
линзы, называется главной оптической
осью. Для всякой линзы существует точка,
называемая оптическим центром линзы,
лежащая на главной оптической оси и об-
обладающая тем свойством, что лучи прохо
дят сквозь нее не преломляясь. Для
простоты оптический центр О линзы бу-
будем считать совпадающим с геометричес-
геометрическим центром средней части линзы (это
справедливо только для двояковыпуклой
и двояковогнутой линз с одинаковыми
радиусами кривизны обеих поверхностей;
для плосковыпуклых и плосковогнутых
линз оптический центр О лежит на пересе-
пересечении главной оптической оси со сфериче-
сферической поверхностью).
Для вывода формулы тонкой линзы —
соотношения, связывающего радиусы кри-
кривизны R\ и Ri поверхностей линзы с рас-
расстояниями а и b от линзы до предмета
и его изображения,— воспользуемся прин-
принципом Ферма *, или принципом наимень-
наименьшего времени: действительный путь рас-
распространения света (траектория светового
луча) есть путь, для прохождения которо-
которого свету требуется минимальное время по
сравнению с любым другим мыслимым
путем между теми же точками.
Рассмотрим две траектории светового
луча (рис. 233) — прямую, соединяющую
точки А и В (луч АОВ), и траекторию,
проходящую через край линзы (луч
АСВ),— воспользовавшись условием ра-
равенства времени прохождения света по
этим траекториям. Время прохождения
* П. Ферма A601 —1665) — французский
математик и физик.
где N = n/ti\ —относительный показатель
преломления (п и п\ — соответственно аб-
абсолютные показатели преломления линзы
и окружающей среды). Время прохожде-
прохождения света по траектории АСВ равно
Так как t\ = /2, то
= У(а + ef + h2 ^
A66.1)
Рассмотрим параксиальные (приосе-
вые) лучи, т. е. лучи, образующие с опти-
оптической осью малые углы. Только для па-
параксиальных лучей получается стигмати-
стигматическое изображение, т. е. все лучи па-
параксиального пучка, исходящего из точки
А, пересекают оптическую ось в одной
и той же точке В. Тогда
и
»/ * V
2\а+е)
2(а +
Аналогично,
Подставив найденные
в A66.1), получим
выражения
г)
b + d
A66.2)
Для тонкой линзы е<о и d<g.b, поэто-
поэтому A66.2) можно представить в виде

Глава 21. Элементы геометрической и электронной оптики
265
Учитывая, что e = R2—\R2— h2 =
-j(h/R2f]=h2/BR2) и
ственно d = h2/BR\), получим
(Л-1)(тН--к-1=-г+-г-
соответ-
1
Выражение A66.3) представляет собой
формулу тонкой линзы. Радиус кривизны
выпуклой поверхности линзы считается по-
положительным, вогнутой — отрицательным.
Если а= оо, т. е. лучи падают на лин-
линзу параллельным пучком (рис. 234. а), то
> Ъ
Соответствующее этому случаю расстоя-
расстояние b = OF = f называется фокусным рас-
расстоянием линзы:
1
(^-1)(^- + -5-
Оно зависит от относительного показателя
преломления и радиусов кривизны.
Если 6=оо, т.е. изображение нахо-
находится в бесконечности и, следовательно,
лучи выходят из линзы параллельным пуч-
пучком (рис. 234, б), то a = OF = f. Таким об-
образом, фокусные расстояния линзы, окру-
окруженной с обеих сторон одинаковой средой,
равны. Точки F, лежащие по обе стороны
линзы на расстоянии, равном фокусному,
называются фокусами линзы. Фокус — это
точка, в которой после преломления со-
собираются все лучи, падающие на. линзу
параллельно главной оптической оси.
Величина
называется оптической силой линзы. Ее
единица—диоптрия (дптр), Диоптрия—
оптическая сила линзы с фокусным рас-
расстоянием 1 м: 1 дптр = 1/м.
Линзы с положительной оптической си-
силой являются собирающими, с отрицатель-
отрицательной — рассеивающими. Плоскости, прохо-
проходящие через фокусы линзы перпендику-
перпендикулярно ее главной оптической оси, называ-
называются фокальными плоскостями. В от-
отличие от собирающей рассеивающая лин-
линза имеет мнимые фокусы. В мнимом
фокусе сходятся (после преломления) во-
воображаемые продолжения лучей, падаю-
падающих на рассеивающую линзу параллельно
главной оптической оси (рис.235).
Учитывая A66.4), формулу линзы
A66.3) можно записать в виде
_L,±=_L
а Ь f
Для рассеивающей линзы расстояния
/ и b надо считать отрицательными.
Построение изображения предмета
в линзах осуществляется с помощью сле-
следующих лучей:
1) луча, проходящего через оптиче-
оптический центр линзы и не изменяющего свое-
своего направления;
2) луча, идущего параллельно глав-
главной оптической оси; после преломления
в линзе этот луч (или его продолжение)
проходит через второй фокус линзы;
3) луча (или его продолжения), про-
проходящего через первый фокус линзы; по-
Рис 235

266
5. Оптика. Квантонаи природа излучения
Рис. 2,46
еле преломления в ней он выходит из лин-
линзы параллельно ее главной оптической
оси.
Для примера приведены построения
изображений в собирающей (рис. 236)
и в рассеивающей (рис. 237) линзах: дей-
действительное (рис. 236, а) и мнимое
(рис. 236, б) изображения — в собираю-
собирающей линзе, мнимое — в рассеивающей.
Отношение линейных размеров изо-
изображения и предмета называется линей-
линейным увеличением линзы. Отрицательным
значениям линейного увеличения соответ-
соответствует действительное изображение (оно
перевернутое), положительным — мнимое
изображение (оно прямое). Комбинации
собирающих и рассеивающих линз при-
применяются в оптических приборах, исполь-
используемых для решения различных научных
и технических задач.
§ 167. Аберрации (погрешности)
оптических систем
Рассматривая прохождение света через
тонкие линзы, мы ограничивались парак-
параксиальными лучами (см. § 166). Показатель
преломления материала линзы считали не
зависящим от длины волны падающего
света, а падающий свет — монохромати-
монохроматическим. Так как в реальных оптических
системах эти условия не выполняются, то
в них возникают искажения изображения,
называемые аберрациями (или погрешно-
погрешностями).
1. Сферическая аберрация. Если рас-
расходящийся пучок света падает на линзу,
то параксиальные лучи после преломления
пересекаются в точке S' (на расстоянии
OS' от оптического центра линзы), а лучи,
более удаленные от оптической оси,—
в точке S", ближе к линзе (рис.238).
В результате изображение светящейся
точки на экране, перпендикулярном опти-
оптической оси, будет в виде расплывчатого
пятна. Этот вид погрешности, связанный
со сферичностью преломляющих повер-
поверхностей, называется сферической аберра-
аберрацией. Количественной мерой сферической
аберрации является отрезок 6= OS" —
— OS'. Применяя диафрагмы (ограничи-
(ограничиваясь параксиальными лучами), можно
сферическую аберрацию уменьшить, одна-
однако при этом уменьшается светосила линзы.
Сферическую аберрацию можно практиче-
практически устранить, составляя системы из со-
собирающих F<0) и рассеивающих F>0)
линз. Сферическая аберрация является
частным случаем астигматизма.
2. Кома. Если через оптическую систе-
систему проходит широкий пучок от светящейся
точки, расположенной не на оптической
Рис. 237
Рис. 238

Глава 21. Элементы геометрической и электронной оптики
267
л
f
\
\
N
-
-
-
s
г
a) S)
Рис. 239
оси, то получаемое изображение этой точ-
точки будет в виде освещенного пятнышка,
напоминающего кометный хвост. Такая
погрешность называется поэтому комой.
Устранение комы производится теми же
приемами, что и сферической аберрации.
3. Дисторсия. Погрешность, при кото-
которой при больших углах падения лучей на
линзу линейное увеличение для точек
предмета, которые находятся на разных
расстояниях от главной оптической оси,
несколько различается, называется
дисторсией. В результате нарушается гео-
геометрическое подобие между предметом
(прямоугольная сетка, рис. 239, а) и его
изображением (рис. 239, б — подушкооб-
подушкообразная дисторсия, рис. 239, в — бочкооб-
бочкообразная дисторсия). Дисторсия особенно
опасна в тех случаях, когда оптические
системы применяются для съемок, напри-
например при аэрофотосъемке, в микроскопии
и т. д. Дисторсию исправляют соответ-
соответствующим подбором составляющих частей
оптической системы.
4. Хроматическая аберрация. До сих
пор мы предполагали, что коэффициенты
преломления оптической системы постоян-
постоянны. Однако это утверждение справедливо
лишь для освещения оптической системы
монохроматическим светом (А.= const);
при сложном составе света необходимо
учитывать зависимость коэффициента
преломления вещества линзы (и окружаю-
окружающей среды, если это не воздух) от длины
волны (явление дисперсии). При падении
на оптическую систему белого света от-
отдельные составляющие его монохромати-
монохроматические лучи фокусируются в разных точ-
точках (наибольшее фокусное расстояние
имеют красные лучи, наименьшее — фио-
фиолетовые) , поэтому изображение размыто
и по краям окрашено. Это явление на-
называется хроматической аберрацией. Так
как разные сорта стекол обладают различ-
различной дисперсией, то, комбинируя собираю-
собирающие и рассеивающие линзы из различных
стекол, можно совместить фокусы двух
(ахроматы) и трех (апохроматы) различ-
различных цветов, устранив тем самым хромати-
хроматическую аберрацию. Системы, исправлен-
исправленные на сферическую и хроматическую
аберрации, называются апланатами.
5. Астигматизм. Погрешность, обус-
обусловленная неодинаковостью кривизны оп-
оптической поверхности в разных плоскостях
сечения падающего на ее светового пучка,
называется астигматизмом. Так, изобра-
изображение точки, удаленной от главной опти-
оптической оси, наблюдается на экране в виде
расплывчатого пятна эллиптической фор-
формы. Это пятно в зависимости от расстоя-
расстояния экрана до оптического центра линзы
вырождается либо в вертикальную, либо
в горизонтальную прямую. Астигматизм
исправляется подбором радиусов кривиз-
кривизны преломляющих поверхностей и их фо-
фокусных расстояний. Системы, исправлен-
исправленные на сферическую и хроматическую
аберрации и астигматизм, называются
анастигматами.
Устранение аберраций возможно лишь
подбором специально рассчитанных слож-
сложных оптических систем. Одновременное
исправление всех погрешностей — задача
крайне сложная, а иногда даже неразре-
неразрешимая. Поэтому обычно устраняются пол-
полностью лишь те погрешности, которые
в том или ином случае особенно вредны.
§ 168. Основные фотометрические
величины и их единицы
Фотометрия — раздел оптики, занимаю-
занимающийся вопросами измерения интенсивно-
интенсивности света и его источников. В фотометрии
используются следующие величины:
1) энергетические — характеризуют
энергетические параметры оптического из-
излучения безотносительно к его действию
на приемники излучения;
2) световые — характеризуют физио-
физиологические действия света и оцениваются
по воздействию на глаз (исходят из так
называемой средней чувствительности
глаза) или другие приемники излучения.

26H
5. Оптика. Квантовая природа излучения
1. Энергетические величины. Поток из-
излучения Фг — величина, равная отноше-
отношению энергии W излучения ко времени /, за
которое излучение произошло:
Единица потока излучения — ватт
(Вт).
Энергетическая светимость (излуча-
тельность) Re—величина, равная отно-
отношению потока излучения Фе, испускаемого
поверхностью, к площади S сечения,
сквозь которое этот поток проходит:
т. е. представляет собой поверхностную
плотность потока излучения.
Единица энергетической светимости —
ватт на метр в квадрате (Вт/м2).
Энергетическая сила света (сила излу-
излучения) /е определяется с помощью поня-
понятия о точечном источнике света — источ-
источнике, размерами которого по сравнению
с расстоянием до места наблюдения мож-
можно пренебречь. Энергетическая сила света
1е — величина, равная отношению потока
излучения Фг источника к телесному углу
со, в пределах которого это излучение рас-
распространяется:
Единица энергетической силы света —
ватт на стерадиан (Вт/ср).
Энергетическая яркость (лучистость)
Be— величина, равная отношению энерге-
энергетической силы света А/е элемента излуча-
излучающей поверхности к площади AS проек-
проекции этого элемента на плоскость, пер-
перпендикулярную направлению наблюде-
наблюдения:
Be = AIe/AS.
Единица энергетической яркости —
ватт на стерадиан-метр в квадрате
(Вт/(ср.м2)).
Энергетическая освещенность (облу-
(облученность) Ее характеризует величину по-
потока излучения, падающего на единицу
освещаемой поверхности. Единица энерге-
энергетической освещенности совпадает с едини-
единицей энергетической светимости (Вт/м2).
2. Световые величины. При оптических
измерениях используются различные при-
приемники излучения (например, глаз, фото-
фотоэлементы, фотоумножители), которые не
обладают одинаковой чувствительностью
к энергии различных длин волн, являясь,
таким образом, селективными (избира-
(избирательными). Каждый приемник излучения
характеризуется своей кривой чувстви-
чувствительности к свету различных длин волн.
Поэтому световые измерения, являясь
субъективными, отличаются от объектив-
объективных, энергетических и для них вводятся
световые единицы, используемые только
для видимого света. Основной световой
единицей в СИ является единица силы
света—кандела (кд), определение кото-
которой дано выше (см. Введение). Определе-
Определение световых единиц аналогично энергети-
энергетическим.
Световой поток Ф определяется как
мощность оптического излучения по вы-
вызываемому им световому ощущению (по
его действию на селективный приемник
света с заданной спектральной чувстви-
чувствительностью).
Единица светового потока — люмен
(лм): 1 лм — световой поток, испускаемый
точечным источником силой света в 1 кд
внутри телесного угла в 1 ср (при равно-
равномерности поля излучения внутри телесного
угла) A лм=1 кд-ср).
Светимость R определяется соотно-
соотношением
R = <D/S.
Единица светимости — люмен на метр
в квадрате (лм/м2).
Яркость Вф светящейся поверхности
в некотором направлении <р есть величина,
равная отношению силы света / в этом
направлении к площади S проекции све-
светящейся поверхности на плоскость,
перпендикулярную данному направле-
направлению:
BV = 1/(S cos <p).
Единица яркости — кандела на метр
в квадрате (кд/м2).
Освещенность ? — величина, равная
отношению светового потока Ф, падающе-
падающего на поверхность, к площади S этой по-

Глава 21. Элементы геометрической и электронной оптики
269
верхности:
Единица освещенности — люкс (лк):
1 лк — освещенность поверхности, на 1 м2
которой падает световой поток в 1 лм
A лк=1 лм/м2).
§ 169. Элементы электронной оптики
Область физики и техники, в которой изу-
изучаются вопросы формирования, фокуси-
фокусировки и отклонения пучков заряженных
частиц и получения с их помощью изо-
изображений под действием электрических
и магнитных полей в вакууме, называется
электронной оптикой. Комбинируя различ-
различные электронно-оптические элементы —
электронные линзы, зеркала, призмы,—
получают электронно-оптические приборы,
например электронно-лучевую трубку,
электронный микроскоп, электронно-опти-
электронно-оптический преобразователь.
1. Электронные линзы представляют
собой устройства, с помощью электриче-
электрических и магнитых полей которых формиру-
формируются и фокусируются пучки заряженных
частиц. Существуют электростатические
и магнитные линзы. В качестве электро-
электростатической линзы может быть использо-
использовано электрическое поле с вогнутыми
и выпуклыми эквипотенциальными повер-
поверхностями, например в системах металли-
металлических электродов и диафрагм, обладаю-
обладающих осевой симметрией. На рис. 240 изо-
изображена простейшая собирающая элек-
электростатическая линза, где А — точка
предмета, В — ее изображение, пунктиром
изображены линии напряженности поля.
Магнитная линза обычно представляет
собой соленоид с сильным магнитным по-
полем, коаксиальным пучку электронов. Что-
Рис. 240
бы магнитное поле сконцентрировать на
оси симметрии, соленоид помещают в же-
железный кожух с узким внутренним кольце-
кольцевым разрезом.
Если расходящийся пучок заряженных
частиц попадает в однородное магнитное поле,
направленное вдоль оси пучка, то скорость каж-
каждой частицы можно разложить на два компо-
компонента: поперечный и продольный. Первый из
них определяет равномерное движение по ок-
окружности в плоскости, перпендикулярной на-
направлению поля (см. §115), второй — равно-
равномерное прямолинейное движение вдоль поля.
Результирующее движение частицы будет про-
происходить по спирали, ось которой совпадает
с направлением поля. Для электронов, испуска-
испускаемых под различными углами, нормальные со-
составляющие скоростей будут различны, т. е. бу-
будут различны и радиусы описываемых ими спи-
спиралей. Однако отношение нормальных со-
составляющих скорости к радиусам спиралей за
период вращения (см. §115) будет для всех
электронов одинаково; следовательно, через
один оборот все электроны сфокусируются в од-
одной и той же точке на оси магнитной линзы.
«Преломление» электростатических и
магнитных линз зависит от их фокусных
расстояний, которые определяются
устройством линзы, скоростью электронов,
разностью потенциалов, приложенной
к электродам (электростатическая линза),
и индукцией магнитного поля (магнитная
линза). Изменяя разность потенциалов
или регулируя ток в катушке, можно изме-
изменить фокусное расстояние линз. Стигмати-
Стигматическое изображение предметов в электрон-
электронных линзах получается только для парак-
параксиальных электронных пучков. Как и в оп-
оптических системах (см. § 167), в электрон-
электронно-оптических элементах также имеют
место погрешности: сферическая аберра-
аберрация, кома, дисторсия, астигматизм. При
разбросе скоростей электронов в пучке
наблюдается также и хроматическая абер-
аберрация. Аберрации ухудшают разрешаю-
разрешающую способность и качество изображения,
а поэтому в каждом конкретном случае
необходимо их устранять.
2. Электронный микроскоп — это
устройство, предназначенное для получе-
получения изображения микрообъектов; в нем
в отличие от оптического микроскопа
вместо световых лучей используют уско-

270
5. Оптика. Кнантоваи природа излучения
ренные до больших энергий C0—100 кэВ
и более) в условиях глубокого вакуума
(примерно 0,1 мПа) электронные пучки,
а вместо обычных линз — электронные
линзы. В электронных микроскопах пред-
предметы рассматриваются либо в проходя-
проходящем, либо в отраженном потоке элек-
электронов, поэтому различают просвечиваю-
просвечивающие и отражательные электронные микро-
микроскопы.
На рис. 241 приведена принципиаль-
принципиальная схема просвечивающего электронного
микроскопа. Электронный пучок, форми-
формируемый электронной пушкой /, попадает
в область действия конденсорной линзы 2,
которая фокусирует на объекте 3 элек-
электронный пучок необходимого сечения и ин-
интенсивности. Пройдя объект и испытав
в нем отклонения, электроны проходят
вторую магнитную линзу — объектив 4 —
и собираются ею в промежуточное изо-
изображение 5. Затем с помощью проекцион-
проекционной линзы 6 на флуоресцирующем экране
достигается окончательное изображение 7.
Разрешающая способность электрон-
электронного микроскопа ограничивается, с одной
стороны, волновыми свойствами (дифрак-
(дифракцией) электронов, с другой — аберрация-
аберрациями электронных линз. Согласно теории,
разрешающая способность микроскопа
пропорциональна длине волны, а так как
длина волны применяемых электронных
пучков (примерно I пм) в тысячи раз
меньше длины волны световых лучей, то
разрешение электронных микроскопов со-
соответственно больше и составляет 0,01 —
0,0001 мкм (для оптических микроскопов
приблизительно равно 0,2—0,3 мкм). С по-
помощью электронных микроскопов можно
добиться значительно больших увеличений
(до 106раз), что позволяет наблюдать
детали структур размерами 0,1 нм.
3. Электронно-оптический преобразо-
преобразователь — это устройство, предназначенное
для усиления яркости светового изображе-
изображения и преобразования невидимого глазом
изображения объекта (например, в ин-
инфракрасных или ультрафиолетовых лу-
лучах) в видимое. Схема простейшего элек-
электронно-оптического преобразователя при-
приведена на рис. 242. Изображение предмета
А с помощью оптической линзы / проеци-
проецируется на фотокатод 2. Излучение от
объекта вызывает с поверхности фотока-
фотокатода фотоэлектронную эмиссию, пропор-
пропорциональную распределению яркости спро-
спроецированного на него изображения. Фото-
Фотоэлектроны, ускоренные электрическим по-
полем C— ускоряющий электрод), фокуси-
фокусируются с помощью электронной линзы 4 на
флуоресцирующий экран 5, где электрон-
электронное изображение преобразуется в световое
(получается окончательное изображение
А"). Электронная часть преобразователя
находится в высоковакуумном сосуде 6.
Из оптики известно, что всякое увели-
увеличение изображения связано с уменьшени-
уменьшением его освещенности. Достоинство элек-
Рис. 241
Рис. 242

Глава 22. Интерференция света 271
тронно-оптических преобразователей за- составляет 25—60 штрихов на 1 мм. Ко-
ключается в том, что в них можно эффициент преобразования — отношение
получить увеличенное изображение А" да- излучаемого экраном светового потока
же большей освещенности, чем сам пред- к потоку, падающему от объекта на фото-
мет А, так как освещенность определяется катод,— у каскадных электронно-оптиче-
энергией электронов, создающих изобра- ских преобразователей достигает »106.
жение на флуоресцирующем экране. Раз- Недостаток этих приборов — малая разре-
решающая способность каскадных (не- шающая способность и довольно высокий
скольких последовательно соединенных) темновой фон, что влияет на качество
электронно-оптических преобразователей изображения.
Контрольные вопросы
е В чем заключается физический смысл абсолютного показателя преломления среды? Что такое
относительный показатель преломления?
При каком условии наблюдается полное отражение?
В чем заключается принцип работы световодов?
В чем заключается принцип Ферма?
Как осуществляется построение изображения предметов в линзах?
Чем отличаются энергетические и световые величины в фотометрии? Какие они бывают?
Почему разрешающая способность электронных микроскопов гораздо выше, чем обычных?
Можно ли в электронно-оптических преобразователях получить увеличенное изображение
большей освещенности, чем предмет? Почему?
Задачи
21.1. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (я = 1,5) толщиной 6 см падает под углом
35° луч света. Определить боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку.
[1,41 см]
21.2. Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической силой 6 дптр. Определить радиус
кривизны выпуклой поверхности линзы, если показатель преломления материала линзы
равен 1,6. [10 см]
21.3. Определить, на какую высоту необходимо повесить лампочку мощностью 300 Вт, чтобы
освещенность под ней была равна 50 лк. Наклон доски составляет 35°, а световая отдача
лампочки равна 15 лм/Вт. Принять, что полный световой поток, испускаемый изотропным
точечным источником света, Ф0 = 4л/. [2,42 м]
Глава 22
Интерференция света
§ 170. Развитие представлений ставления о природе света возникли
о природе света У древних греков и египтян, которые
в дальнейшем, по мере изобретения и усо-
Основные законы оптики известны еще вершенствования различных оптических
с древних веков. Так, Платон D30 г. до инструментов, например параболических
н.э.) установил законы прямолинейного зеркал (XIII в.), фотоаппарата и микро-
микрораспространения и отражения света, скопа (XVI в.), зрительной трубы
Аристотель C50г. до н.э.) и Птоломей (XVII в.), развивались и трансформиро-
изучали преломление света. Первые пред- вались. В конце XVII в. на основе многове-

272
Г). Оптика. Квапп
природл излучения
кового опыта и развития представлений
о свете возникли две теории света: корпу-
корпускулярная (И. Ньютон) и волновая
(Р. Гук и X. Гюйгенс).
Согласно корпускулярной теории (тео-
(теории истечения), свет представляет собой
поток частиц (корпускул), испускаемых
светящимися телами и летящих по прямо-
прямолинейным траекториям. Движение свето-
световых корпускул Ньютон подчинил сформу-
сформулированным им законам механики. Так,
отражение света понималось аналогично
отражению упругого шарика при ударе
о плоскость, где также соблюдается закон
равенства углов падения и отражения.
Преломление света Ньютон объяснял при-
притяжением корпускул преломляющей сре-
средой, в результате чего скорость корпускул
меняется при переходе из одной среды
в другую. Из теории Ньютона следовало
постоянство синуса угла падения «| к сину-
синусу угла преломления i2:
sin ?, v
—. =—=n,
sin t2 с
A70.1)
где с — скорость распространения света
в вакууме, v — скорость распространения
света в среде. Так как я в среде всегда
больше единицы, то, по теории Ньютона,
v>c, т. е. скорость распространения света
в среде должна быть всегда больше скоро-
скорости его распространения в вакууме.
Согласно волновой теории, развитой
на основе аналогии оптических и акустиче-
акустических явлений, свет представляет собой
упругую волну, распространяющуюся
в особой среде — эфире. Эфир заполняет
все мировое пространство, пронизывает
все тела и обладает механическими свой-
свойствами — упругостью и плотностью. Со-
Согласно Гюйгенсу, большая скорость рас-
распространения света обусловлена особыми
свойствами эфира.
Волновая теория основывается на прин-
принципе Гюйгенса: каждая точка, до кото-
которой доходит волна, служит центром вто-
вторичных волн, а огибающая этих волн дает
положение волнового фронта в следующий
момент времени. Напомним, что волновым
фронтом называется геометрическое место
точек, до которых доходят колебания к мо-
моменту времени /. Принцип Гюйгенса по-
Рис. 243
зволяет анализировать распространение
света и вывести законы отражения и пре-
преломления.
Выведем законы отражения и преломления
света, исходя из принципа Гюйгенса. Пусть на
границу раздела двух сред падает плоская во-
волна (фронт волны — плоскость АВ), распро-
распространяющаяся вдоль направления / (рис.243).
Когда фронт волны достигнет отражающей по-
поверхности в точке А, эта точка начнет излучать
вторичную волну. Для прохождения волной рас-
расстояния ВС требуется время At = BC/v. За это
же время фронт вторичной волны достигнет
точек полусферы, радиус AD которой равен
vAt = BC. Положение фронта отраженной во-
волны в этот момент времени в соответствии с при-
принципом Гюйгенса задается плоскостью DC,
а направление распространения этой волны —
лучом //. Из равенства треугольников ABC
и ADC вытекает закон отражения: угол отраже-
отражения if равен углу падения i\.
Для вывода закона преломления предполо-
предположим, что плоская волна (фронт волны —
плоскость АВ), распространяющаяся в вакууме
вдоль направления / со скоростью света с, пада-
падает на границу раздела со средой, в которой
скорость ее распространения равна v (рис.244).
Пусть время, затрачиваемое волной для про-
Рис. 244

I" л а в а 22. Интерференция (вета
хождения пути ВС, равно А/. Тогда BC = cAt,
За это же время фронт волны, возбуждаемый
точкой А в среде со скоростью и, достигнет
точек полусферы, радиус которой ДО = уДЛ По-
Положение фронта преломленной волны в этот
момент времени в соответствии с принципом
Гюйгенса задается плоскостью DC, а направле-
направление ее распространения — лучом ///. Из
рис. 244 следует, что
AC = BC/s\n i, = AD/sin i2,
c\t/sin il =
откуда
A70.2)
Сравнивая выражения A70.2)
и A70.1), видим, что волновая теория при-
приводит к выводу, отличному от вывода тео-
теории Ньютона. По теории Гюйгенса, v<c,
т. е. скорость распространения света
в среде должна быть всегда меньше скоро-
скорости его распространения в вакууме.
Таким образом, к началу XVIII в. су-
существовало два противоположных подхо-
подхода к объяснению природы света: корпуску-
корпускулярная теория Ньютона и волновая теория
Гюйгенса. Обе эти теории объясняли пря-
прямолинейное распространение света, зако-
законы отражения и преломления. XVIII век
стал веком борьбы этих теорий. Экспери-
Экспериментальное доказательство справедливо-
справедливости волновой теории было получено
в 1851 г., когда Э. Фуко (и независимо от
него А. Физо) измерил скорость распро-
распространения света в воде и получил значе-
значение, соответствующее формуле A70.2).
К началу XIX столетия корпускулярная
теория была полностью отвергнута и вос-
восторжествовала волновая теория. Большая
заслуга в этом отношении ' принадлежит
английскому физику Т. Юнгу, исследовав-
исследовавшему явления дифракции и интерферен-
интерференции, и французскому физику О. Френелю
A788—1827), дополнившему принцип
Гюйгенса и объяснившему эти явления.
Несмотря на признание волновой тео-
теории, она обладала целым рядом недостат-
недостатков. Например, явления интерференции,
дифракции и поляризации могли быть
объяснены только в том случае, если свето-
световые волны считать поперечными. G другой
стороны, если световые волны — попереч-
поперечные, то их ¦ носитель — эфир — должен
обладать свойствами твердых тел. Попыт-
Попытка же наделить эфир свойствами твердого
тела успеха не имела, так как эфир не
оказывает заметного воздействия на дви-
движущиеся в нем тела. Далее эксперименты
показали, что скорость распространения
света в разных средах различна, поэтому
эфир должен обладать в разных средах
различными свойствами. Теория Гюйгенса
не могла объяснить также физической
природы наличия разных цветов. :
Наука о свете накапливала экспери-
экспериментальные данные, свидетельствующие
о взаимосвязи световых, электрических
и магнитных явлений, что позволило Мак-
Максвеллу в 70-х годах прошлого столетия
создать электромагнитную теорию све-
света (см. § 139). Согласно электромагнитной
теории Максвелла (см. A62.3)),
где с и v — соответственно скорости рас-
распространения света в вакууме ив среде
с диэлектрической проницаемостью е
и магнитной проницаемостью р.. Это со-
соотношение связывает оптические, электри-
электрические и магнитные постоянные вещества.
По Максвеллу, е и ц—величины, не за-
зависящие от длины волны света, поэтому
электромагнитная теория не могла объяс-
объяснить явление дисперсии (зависимость по-
показателя преломления от длины волны).
Эта трудность была преодолена в конце
XIX в. Лоренцем, . предложившим элек-
электронную теорию, согласно которой диэлек-
диэлектрическая проницаемость е зависит "от
длины волны падающего света. Теория
Ло.ренца ввела.представление об электро-
электронах, колеблющихся внутри атома, и' до-
дозволила объяснить явления испускания
и поглощения света веществом.
Несмотря на огромные успехи электро-
электромагнитной теории Максвелла и электрон-
электронной теории Лоренца, они были несколько
противоречивы и при их применении встре-
встречался ряд затруднений. Обе теории осно-
основывались на гипотезе об эфире, только
«упругий эфир» был заменен «эфиром
электромагнитным» (теория Максвелла)

274
5. Оптика. Квантомая природа излучения
или «неподвижным эфиром» (теория Ло-
Лоренца). Теория Максвелла не смогла
объяснить процессов испускания и погло-
поглощения света, фотоэлектрического эффек-
эффекта, комптоновского рассеяния и т. д. Тео-
Теория Лоренца, в свою очередь, не смогла
объяснить многие явления, связанные
с взаимодействием света с веществом,
в частности вопрос о распределении энер-
энергии по длинам волн при тепловом излуче-
излучении черного тела.
Перечисленные затруднения и проти-
противоречив были преодолены благодаря сме-
смелой гипотезе A900) немецкого физика
М. Планка A858—1947), согласно кото-
которой излучение и поглощение света про-
происходит не непрерывно, а дискретно,т. е.
определенными порциями (квантами),
энергия которых определяется частотой v:
eo = Av, A70.3)
где h — постоянная Планка.
Теория Планка не нуждалась в по-
понятии об эфире. Она объяснила тепловое
излучение черного тела. Эйнштейн
в 1905 г. создал квантовую теорию света,
согласно которой не только излучение све-
света, но и его распространение происходит
в виде потока световых квантов — фото-
фотонов, энергия которых определяется соот-
соотношением A70.3), а масса
Квантовые представления о свете хо-
хорошо согласуются с законами излучения
и поглощения света, законами взаимодей-
взаимодействия света с веществом. Однако как с по-
помощью этих представлений объяснить та-
такие хорошо изученные явления, как интер-
интерференция, дифракция и поляризация
света? Эти явления легко объясняются на
основе волновых представлений. Все мно-
многообразие изученных свойств и законов
распространения света, его взаимодейст-
взаимодействия с веществом показывает, что свет
имеет сложную природу. Он представляет
собой единство противоположных видов
движения — корпускулярного (квантово-
(квантового) и волнового (электромагнитного).
Длительный путь развития привел к со-
современным представлениям о двойствен-
двойственной корпускулярио-волновой природе све-
света. Выражения A70.3) и A70.4) связыва-
связывают корпускулярные характеристики излу-
излучения — массу и энергию кванта — с во-
волновыми — частотой колебаний и длиной
волны. Таким образом, свет представляет
собой единство дискретности и непрерыв-
непрерывности, что находится в полном соответст-
соответствии с выводами материалистической диа-
диалектики.
§ 171. Когерентность
и монохроматичность
световых волн
Интерференцию света можно объяснить
рассматривая интерференцию волн
(см. § 156). Необходимым условием интер-
интерференции волн является их когерентность,
т. е. согласованное протекание во времени
и пространстве нескольких колебательных
или волновых процессов. Этому условию
удовлетворяют монохроматические во-
волны — неограниченные в пространстве
волны одной определенной и строго по-
постоянной частоты. Так как ни один реаль-
реальный источник не дает строго монохромати-
монохроматического света, то волны, излучаемые лю-
любыми независимыми источниками света,
всегда некогерентны. Поэтому на опыте не
наблюдается интерференция света от не-
независимых источников, например от двух
электрических лампочек.
Понять физическую причину немоно-
немонохроматичности, а следовательно, и некоге-
некогерентности волн, испускаемых двумя неза-
независимыми источниками света, можно исхо-
исходя из самого механизма испускания света
атомами. В двух самостоятельных источ-
источниках света атомы излучают независимо
друг от друга. В каждом из таких атомов
процесс излучения конечен и длится очень
короткое время (т«10~8с). За это время
возбужденный атом возвращается в нор-
нормальное состояние и излучение им света
прекращается. Возбудившись вновь, атом
снова начинает испускать световые волны,
но уже с новой начальной фазой. Так как
разность фаз между излучением двух та-
таких независимых атомов изменяется при
каждом новом акте испускания, то волны,
спонтанно излучаемые атомами любого

Глава 22. Интерференция света
275
источника света, некогерентны. Таким об-
образом, волны, испускаемые атомами, лишь
в течение интервала времени «10~8с
имеют приблизительно постоянные ампли-
амплитуду и фазу колебаний, тогда как за боль-
больший промежуток времени и амплитуда,
и фаза изменяются. Прерывистое излуче-
излучение света атомами в виде отдельных ко-
коротких импульсов называется волновым
цугом.
Описанная модель испускания света
справедлива и для любого макроскопиче-
макроскопического источника, так как атомы светяще-
светящегося тела излучают свет также независимо
друг от друга. Это означает, что началь-
начальные фазы соответствующих им волновых
цугов не связаны между собой. Помимо
этого, даже для одного и того же атома
начальные фазы разных цугов отличаются
для двух последующих актов излуче-
излучения. Следовательно, свет, испускаемый
макроскопическим источником, некогерен-
некогерентен.
Любой немонохроматический свет
можно представить в виде совокупности
сменяющих друг друга независимых гар-
гармонических цугов. Средняя продолжитель-
продолжительность одного цуга тКОг называется време-
временем когерентности. Когерентность су-
существует только в пределах одного цуга,
и время когерентности не может превы-
превышать время излучения, т.е. тКОг<т. При-
Прибор обнаружит четкую интерференцион-
интерференционную картину лишь тогда, когда время раз-
разрешения прибора значительно меньше
времени когерентности накладываемых
световых волн.
Если волна распространяется в одно-
однородной среде, то фаза колебаний в опреде-
определенной точке пространства сохраняется
только в течение времени когерентности
Тког. За это время волна распространяется
в вакууме на расстояние /Ког = стКОг, на-
называемое длиной когерентности (или дли-
длиной цуга). Таким образом, длина коге-
когерентности есть расстояние, при прохожде-
прохождении которого две или несколько волн
утрачивают когерентность. Отсюда следу-
следует, что наблюдение интерференции света
возможно лишь при оптических разностях
хода, меньших длины когерентности для
используемого источника света.
Чем ближе волна к монохроматиче-
монохроматической, тем меньше ширина Д<о спектра ее
частот и, как можно показать, больше ее
время когерентности тког, а следователь-
следовательно, и длина когерентности /ког. Когерент-
Когерентность колебаний, которые совершаются в
одной и той же точке пространства, опре-
определяемая степенью монохроматичности
волн, называется временной когерент-
когерентностью.
Наряду с временной когерентностью,
для описания когерентных свойств волн
в плоскости, перпендикулярной направле-
направлению их распространения, вводится поня-
понятие пространственной когерентности. Два
источника, размеры и взаимное располо-
расположение которых позволяют (при необходи-
необходимой степени монохроматичности света)
наблюдать интерференцию, называются
пространственно-когерентными. Радиусом
когерентности (или длиной пространствен-
пространственной когерентности) называется макси-
максимальное поперечное направлению распро-
распространения волны расстояние, на котором
возможно проявление интерференции. Та-
Таким образом, пространственная когерен-
когерентность определяется радиусом когерен-
когерентности.
Радиус когерентности
где к — длина световых волн, <р — угловой
размер источника. Так, минимально воз-
возможный радиус когерентности для солнеч-
солнечных лучей (при угловом размере Солнца
на Земле ф«10~2рад и Х«0,5мкм) со-
составляет «0,05 мм. При таком малом ра-
радиусе когерентности невозможно непо-
непосредственно наблюдать интерференцию
солнечных лучей, поскольку разрешающая
способность человеческого глаза на рас-
расстоянии наилучшего зрения составляет
лишь 0,1 мм. Отметим, что первое наблю-
наблюдение интерференции провел в 1802 г.
Т. Юнг именно с солнечным светом, для
чего он предварительно пропускал солнеч-
солнечные лучи через очень малое отверстие в не-
непрозрачном экране (при этом на несколь-
несколько порядков уменьшался угловой размер
источника света и тем самым резко увели-
увеличивался радиус когерентности (или дли-
длина пространственной когерентности)).

276
5. Оптика. Квантовая природа излучении
§ 172. Интерференция света
Предположим, что две монохроматические
световые волны, накладываясь друг на
друга, возбуждают в определенной точке
пространства колебания одинакового на-
направления: Х\ =Л| COS (ш/-г-ф|) И Х2 =
— Aq cos (<х>/ + фа). Под х понимают на-
напряженность электрического ? или маг-
магнитного Н полей волны; векторы Е и Н ко-
колеблются во взаимно перпендикулярных
плоскостях (см. §162). Напряженности
электрического и магнитного полей под-
подчиняются принципу суперпозиции
(см. §80 и 110). Амплитуда результирую-
результирующего колебания в данной точке Л2 = Л? +
Л1 + 2Л|Л2соз(ф2-(р|) (см. 144.2)).
Так как волны когерентны, то cos (фг — <pi)
имеет постоянное во времени (но свое для
каждой точки пространства) значение, по-
поэтому интенсивность результирующей во-
волны (/~Л2)
/ = /,+/2 + 2д/л7;со5(ф2-ф|). A72.1)
В точках пространства, где cos (фг — фО >
0, интенсивность />/|+/г, где
cos (фг —фО<0, интенсивность /</]+/г.
Следовательно, при наложении двух (или
нескольких) когерентных световых волн
происходит пространственное перераспре-
перераспределение светового потока, в результате
чего в одних местах возникают максиму-
максимумы, а в других — минимумы интенсивно-
интенсивности. Это явление называется интерферен-
интерференцией света.
. Для некогерентных волн разность
Ф2 —ф1 непрерывно изменяется, поэтому
среднее во времени значение cos (фг — <pi)
равно нулю, и интенсивность результирую-
результирующей волны всюду одинакова и при /|=/г
равна 2/| (для когерентных волн при дан-
данном условии в максимумах / = 47i, в мини-
минимумах / = 0).
Как можно создать условия, необходи-
необходимые для возникновения интерференции
световых волн? Для получения когерент-
когерентных световых волн применяют метод раз-
разделения волны, излучаемой одним источ-
источником, на две части, которые после про-
прохождения разных оптических путей на-
накладываются друг на друга и наблюдается
интерференционная картина.
Пусть разделение на две когерентные
волны происходит в определенной точке
О. До точки М, в которой наблюдается
интерференционная картина, одна волна
в среде с показателем преломления п\
прошла путь st, вторая — в среде с по-
показателем преломления пч — путь s^. Если
в точке О фаза колебаний равна Ш, то
в точке М первая волна возбудит колеба-
колебание А\ cos ш (/ — st/vt), вторая волна —
колебание Л2 cos ш (t — s-i/vi), где vi =
c/tii, V2 = c/ri2 — соответственно фазо-
фазовая скорость первой и второй волны.
Разность фаз колебаний, возбуждаемых
волнами в точке М, равна
2л
=-—(Vb-Si"i) =
*2 5i \ 2л
1 = -—
v2 vx Хп
Kq
(учли, что a>/c = 2nv/c = 2n/h), где А.о --
длина волны в вакууме). Произведение
геометрической длины s пути световой во-
волны в данной среде на показатель п пре-
преломления этой среды называется оптиче-
оптической длиной пути L, а Д = ?.2 — L\ —раз-
—разность оптических длин проходимых во-
волнами путей — называется оптической
разностью хода.
Если оптическая разность хода равна
целому числу волн в вакууме
= 0, 1,2,,..), A72.2)
то 6= +2мл и колебания, возбуждаемые
в точке М обеими волнами, будут про-
происходить в одинаковой фазе. Следователь-
Следовательно, A72.2) является условием интерферен-
интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода
~
= 0, 1,2,...),
A72.3)
то б=±Bт+1)л и колебания, возбуж-
возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут
происходить в противофазе. Следователь-
Следовательно, A72.3) является условием интерферен-
интерференционного минимума.

Глава 22. Интерференция света
§ 173. Методы наблюдения
интерференции света
Для осуществления интерференции света
необходимо получить когерентные свето-
световые пучки, для чего применяются различ-
различные приемы. До появления лазеров
(см. § 233) во всех приборах для наблюде-
наблюдения интерференции света когерентные
пучки получали разделением и последую-
последующим сведением световых лучей, исходя-
исходящих из одного и того же источника. Прак-
Практически это можно осуществить с по-
помощью экранов и щелей, зеркал и пре-
преломляющих тел. Рассмотрим некоторые из
этих методов.
1. Метод Юнга. Источником света слу-
служит ярко освещенная щель S (рис.245),
от которой световая волна падает на две
узкие равноудаленные щели Si и S-i, па-
параллельные щели S. Таким образом, щели
Si и S2 играют роль когерентных источни-
источников. Интерференционная картина (об-
(область ВС) наблюдается на экране (Э),
расположенном на некотором расстоянии
параллельно Si и S2. Как уже указывалось
(см. §171), Т. Юнгу принадлежит первое
наблюдение явления интерференции.
Рис. 245
3. Зеркала Френеля. Свет от источника
S (рис. 246) падает расходящимся пучком
на два плоских зеркала А\О и А2О, распо-
расположенных относительно друг друга под
углом, лишь немного отличающимся от
180° (угол ф мал). Учитывая правила по-
построения изображения в плоских зерка-
зеркалах, можно показать, что и источник, и его
изображения Si и S2 (угловое расстояние
Рис 246
между которыми равно 2ф) лежат на од-
одной и той же окружности радиуса г с цент-
центром в О (точка соприкосновения зеркал).
Световые пучки, отразившиеся от обо-
обоих зеркал, можно считать выходящими из
мнимых источников Si и S2, являющихся
мнимыми изображениями S в 'зеркалах.
Мнимые источники Si и S2 взаимно коге-
когерентны, и исходящие из них световые пуч-
пучки, встречаясь, друг с другом, интерфери-
интерферируют в области взаимного перекрывания
(на рис. 246 она выполнена зеленым цве-
цветом). Можно показать, что максимальный
угол расхождения перекрывающихся пуч-
пучков не может быть больше 2ф. Интерфе-
Интерференционная картина наблюдается на экра-
экране (Э), защищенном от прямого попадания
света заслонкой C).
3. Бипризма Френеля. Она состоит из
двух одинаковых, сложенных основаниями
призм с малыми преломляющими углами.
Свет от источника S (рис. 247) преломля-
преломляется в обеих призмах, в результате чего за
бипризмой распространяются световые лу-
лучи, как бы исходящие из мнимых источни-
Рис 247

278
5. Оптика. Квантовая природа излучения
ков Si и 5г, являющихся когерентными.
Таким образом, на поверхности экрана
(в области, выполненной в цвете) про-
происходит наложение когерентных пучков и
наблюдается интерференция.
4. Расчет интерференционной картины
от двух источников. Расчет интерференци-
интерференционной картины для рассмотренных выше
методов наблюдения интерференции света
можно провести используя две узкие па-
параллельные щели, расположенные доста-
достаточно близко друг к другу (рис. 248). Ще-
Щели Si и S2 находятся на расстоянии d друг
от друга и являются когерентными (реаль-
(реальными или мнимыми изображениями источ-
источника S в какой-то оптической системе)
источниками света. Интерференция на-
наблюдается в произвольной точке А экрана,
параллельного обеим щелям и располо-
расположенного от них на расстоянии /, причем
l~5>d. Начало отсчета выбрано в точке О,
симметричной относительно щелей.
Интенсивность в любой точке А экра-
экрана, лежащей на расстоянии х от О, опре-
определяется оптической разностью хода А =
= S2 — S\ (см. §172). Из рис.248 имеем
откуда
или
— si = 2xd,
Л = s2 — s, = 2xd/(s i + s2).
Из условия />d следует, что Si+S2»2/,
поэтому
A = xd/l. A73.1)
Подставив найденное значение Д
A73.1) в условия A72.2) и A72.3), полу-
получим, что максимумы интенсивности будут
наблюдаться при
A73.2)
а минимумы — при
¦*min :
(m = 0, 1,2,...).
Рис. 248
A73.3)
Расстояние между двумя соседними
максимумами (или минимумами), называ-
называемое шириной интерференционной полосы,
равно
Ах=—-V A73.4)
Ах не зависит от порядка интерференции
(величины т) и является постоянной для
данных /, d и Хо. Согласно формуле
A73.4), Ах обратно пропорционально d;
следовательно, при большом расстоянии
между источниками, например при d»l,
отдельные полосы становятся неразличи-
неразличимыми. Для видимого света Аю«10"~7м,
поэтому четкая доступная для визуально-
визуального наблюдения интерференционная карти-
картина имеет место при l^g>d (это условие
и принималось при расчете). По измерен-
измеренным значениям /, d и Ах, используя
A73.4), можно экспериментально опреде-
определить длину световой волны. Из выражений
A73.2) и A73.3) следует, таким образом,
что интерференционная картина, создава-
создаваемая на экране двумя когерентными
источниками света, представляет собой
чередование светлых и темных полос, па-
параллельных друг другу. Главный макси-
максимум, соответствующий т = 0, проходит че-
через точку О. Вверх и вниз от него на
равных расстояниях друг от друга распо-
располагаются максимумы (минимумы) первого
(т=1), второго (т = 2) порядков и т.д.
Описанная картина, однако, справедлива
лишь при освещении монохроматическим
светом (ko = const). Если использовать бе-
белый свет, представляющий собой непре-
непрерывный набор длин волн от 0,39 мкм (фио-
(фиолетовая граница спектра) до 0,75 мкм
(красная граница спектра), то интерфе-

Глава 22. Интерференция света
279
ренционные максимумы для каждой длины
волны будут, согласно формуле A73.4),
смещены друг относительно друга и иметь
вид радужных полос. Только для т =
= 0 максимумы всех длин волн совпадают
и в середине экрана будет наблюдаться
белая полоса, по обе стороны которой
симметрично расположатся спектрально
окрашенные полосы максимумов первого,
второго порядков и т. д. (ближе к белой
полосе будут находиться зоны фиолетово-
фиолетового цвета, дальше — зоны красного цвета).
§ 174. Интерференция света
в тонких пленках
В природе часто можно наблюдать радуж-
радужное окрашивание тонких пленок (масля-
(масляные пленки на воде, мыльные пузыри, ок-
оксидные пленки на металлах), возникаю-
возникающее в результате интерференции света,
отраженного двумя поверхностями пленки.
Пусть на плоскопараллельную про-
прозрачную пленку с показателем преломле-
преломления п и толщиной d под углом i (рис. 249)
падает плоская монохроматическая волна
(для простоты рассмотрим один луч). На
поверхности пленки в точке О луч разде-
разделится на два: частично отразится от верх-
верхней поверхности пленки, а частично пре-
преломится. Преломленный луч, дойдя до точ-
точки С, частично преломится в воздух (яо =
= 1), а частично отразится и пойдет
к точке В. Здесь он опять частично отра-
отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за
малой интенсивности не рассматриваем)
и преломится, выходя в воздух под углом
L Вышедшие из пленки лучи / и 2 когерент-
когерентны, если оптическая разность их хода мала
по сравнению с длиной когерентности па-
падающей волны. Если на их пути поставить
собирающую линзу,, то они сойдутся в
одной из точек Р фокальной плоскости
линзы и дадут интерференционную'кар-
интерференционную'картину, которая определяется оптической
разностью хода между интерферирующи-
интерферирующими лучами.
Оптическая разность хода, возникаю-
возникающая между двумя интерферирующими лу-
лучами от точки О до плоскости АВ,
Ь = п(ОС+СВ)-(ОА± ко/2),
где показатель преломления окружающей
пленку среды принят равным 1, а член
±Хо/2 обусловлен потерей полуволны при
отражении света от границы раздела. Ес-
Если п>по, то потеря полуволны произойдет
в точке О и вышеупомянутый член будет
иметь знак минус, если же я<ло, то
потеря полуволны произойдет в точке
С и ко/2 будет иметь знак плюс. Со-
Согласно рис.249, OC=CB = d/cosr, OA =
= OB sin i = 2d tg r sin i. Учитывая для
данного случая закон преломления sin i =
= n sin г, получим
= 2d,n cos r =
= 2dn уГ — sin2 r = 2d д/га2 — sin2 i.
С учетом потери полуволны для оптиче-
оптической разности хода получим
A74.1)
изображенного на
Для случая,
рис. 249 (л>ло),
Д = 2d д/я2 - sin2 i + ко/2.
В точке Р будет максимум,
(см.A72.2))
ЧА "\/л2 —sin2 i + Xq/2 = тк0
(m = 0, 1,2,...),
и минимум, если (см. A72.3))
если
A74.2)
(m = 0, 1,2,...).
A74.3)
Рис. 249
Доказывается, что интерференция наблю-
наблюдается только, если удвоенная толщина
пластинки меньше длины когерентности
падающей волны.

280
5. Оптика. Квантовая природа излучения
-V/
</л
\
\
Ч
\
\
/
/
1 (^
/
\^
Л/
Рис.
/у
250
-74
/ /
/
1. Полосы равного наклона (интерфе-
(интерференция от плоскопараллельной пластин-
пластинки). Из выражений A74.2) и A74.3) сле-
следует, что интерференционная картина
в плоскопараллельных пластинках (плен-
(пленках) определяется величинами Хп, d,
п и L Для данных 10, d и п каждому на-
наклону i лучей соответствует своя интер-
интерференционная полоса. Интерференцион-
Интерференционные полосы, возникающие в результате
наложения лучей, падающих на плоскопа-
раллельную пластинку под одинаковыми
углами, называются полосами равного на-
наклона.
Лучи /' и /", отразившиеся от верхней
и нижней граней пластинки (рис.250),
параллельны друг другу, так как пластин-
пластинка плоскопараллельна. Следовательно, ин-
интерферирующие лучи /' и /" «пересекают-
«пересекаются» только в бесконечности, поэтому гово-
говорят, что полосы равного наклона локали-
локализованы в бесконечности. Для их на-
наблюдения используют собирающую линзу
и экран (Э), расположенный в фокальной
плоскости линзы. Параллельные лучи /'
и /" соберутся в фокусе F линзы (на
рис. 250 ее оптическая ось параллельна лу-
лучам /' и /"), в эту же точку придут и дру-
другие лучи (на рис.250 — луч 2), парал-
параллельные лучу /, в результате чего увеличи-
увеличивается общая интенсивность. Лучи 3,
наклоненные под другим углом, соберутся
в другой точке Р фокальной плоскости
линзы. Легко показать, что если оптиче-
оптическая ось линзы перпендикулярна повер-
поверхности пластинки, то полосы равного на-
наклона будут иметь вид концентрических
колец с центром в фокусе линзы.
2. Полосы равной толщины (интерфе-
(интерференция от пластинки переменной толщи-
толщины). Пусть на клин (угол а между боковы-
боковыми гранями мал) падает плоская волна,
направление распространения которой со-
совпадает с параллельными лучами
/ и 2 (рис. 251). Из всех лучей, на которые
разделяется падающий луч /, рассмотрим
лучи /' и /", отразившиеся от верхней
и нижней поверхностей клина. При опре-
определенном взаимном положении клина
и линзы лучи /' и /" пересекутся в не-
некоторой точке А, являющейся изображе-
изображением точки В. Так как лучи /' и /" коге-
когерентны, они будут интерферировать. Если
источник расположен довольно далеко от
поверхности клина и угол а достаточно
мал, то оптическая разность хода между
интерферирующими лучами /' и /" может
быть с достаточной степенью точности вы-
вычислена по формуле A74.1), где в качест-
качестве d берется толщина клина в месте паде-
падения на него луча. Лучи 2' и 2", образо-
образовавшиеся за счет деления луча 2,
падающего в другую точку клина,
собираются линзой в точке А'. Оптическая
разность хода уже определяется толщиной
d'. Таким образом, на экране возникает
система интерференционных полос. Каж-
Каждая из полос возникает за счет отражения
от мест пластинки, имеющих одинаковую
толщину (в общем случае толщина
пластинки может изменяться произволь-
произвольно). Интерференционные полосы, возника-
возникающие в результате интерференции от мест
одинаковой толщины, называются полоса-
полосами равной толщины.
Так как верхняя и нижняя грани клина
не параллельны между собой, то лучи /'
и /" B' и 2") пересекаются вблизи
пластинки, в изображенном на
рис. 251 случае — над ней (при другой

Глава 22. Интерференция света
281
конфигурации клина они могут пересе-
пересекаться и под пластинкой). Таким образом,
полосы равной толщины локализованы
вблизи поверхности клина. Если свет па-
падает на пластинку нормально, то полосы
равной толщины локализуются на верхней
поверхности клина.
3. Кольца Ньютона. Кольца Ньютона, явля-
являющиеся классическим примером полос равной
толщины, наблюдаются при отражении света от
воздушного зазора, образованного плоскопа-
плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся
с ней плосковыпуклой линзой с большим радиу-
радиусом кривизны (рис.252). Параллельный пучок
света падает нормально на плоскую повер-
поверхность линзы и частично отражается от верхней
и нижней поверхностей воздушного зазора меж-
между линзой и пластинкой. При наложении отра-
отраженных лучей возникают полосы равной толщи-
толщины, при нормальном падении света имеющие
вид концентрических окружностей.
В отраженном свете оптическая разность
хода (с учетом потери полуволны при отра-
отражении), согласно A74.1), при условии,
что показатель преломления воздуха п=\,
a t = 0,
где d — ширина зазора. Из рис. 252 следует, что
R2 = (R — df-\-r2, где R— радиус кривизны
линзы, г — радиус кривизны окружности, всем
точкам которой соответствует одинаковый зазор
d. Учитывая, что d мало, получим d = r2/BR).
Следовательно,
2- О74-4)
Приравняв A74.4) к условиям максимума
A72.2) и минимума A72.3), получим выраже-
выражения для радиуса m-го светлого кольца
(«=1.2.3...
Рис. 252
и радиуса m-го темного кольца
= 0,1,2,...).
Измеряя радиусы соответствующих колец, мож-
можно (зная радиус кривизны линзы R) определить
Хп и, наоборот, по известной Хо найти радиус
кривизны линзы R.
Как для полос равного наклона, так
и для полос равной толщины положение
максимумов зависит от длины волны Хо
(см. A74.2)). Поэтому система светлых
и темных полос получается только при
освещении монохроматическим светом.
При наблюдении в белом свете получается
совокупность смещенных друг относитель-
относительно друга полос, образованных лучами раз-
разных длин волн, и интерференционная кар-
картина приобретает радужную окраску. Все
рассуждения были проведены для отра-
отраженного света. Интерференцию можно на-
наблюдать и в проходящем свете, причем
в данном случае не наблюдается потери
полуволны. Следовательно, оптическая
разность хода для проходящего и отра-
отраженного света отличатся на Ао/2, т. е. мак-
максимумам интерференции в отраженном
свете соответствуют минимумы в проходя-
проходящем, и наоборот.
§ 175. Применение
интерференции света
Явление интерференции обусловлено во-
волновой природой света; его количествен-
количественные закономерности зависят от длины во-
волны \о- Поэтому это явление применяется
для подтверждения волновой природы
света и для измерения длин волн (интер-
(интерференционная спектроскопия).
Явление интерференции применяется
также для улучшения качества оптических
приборов (просветление оптики) и получе-
получения высокоотражающих покрытий. Про-
Прохождение света через каждую преломляю-
преломляющую поверхность линзы, например через
границу стекло — воздух, сопровождается
отражением «4 % падающего потока
(при показателе преломления стекла
ж 1,5). Так как современные объективы
содержат большое количество линз, то
число отражений в них велико, а поэтому
велики и потери светового потока. Таким

282
5. Оптика. Квантовая природа излучения
Просветляющий слой
Воздух
Рис. 253
образом, интенсивность прошедшего света
ослабляется и светосила оптического при-
прибора уменьшается. Кроме того, отражения
от поверхностей линз приводят к возник-
возникновению бликов, что часто (например,
в военной технике) демаскирует положе-
положение прибора.
Для устранения указанных недостат-
недостатков осуществляют так называемое про-
просветление оптики. Для этого на свободные
поверхности линз наносят тонкие пленки
с показателем преломления меньшим, чем
у материала линзы. При отражении света
от границ раздела воздух — пленка
и пленка — стекло возникает интерферен-
интерференция когерентных лучей /' и 2' (рис.253).
Толщину пленки d и показатели преломле-
преломления стекла пс и пленки п можно подобрать
так, чтобы интерферирующие лучи гасили
друг друга. Для этого их амплитуды до-
должны быть равны, а оптическая разность
хода —равна Bт + 1)-^- (см. A72.3)).
Расчет показывает, что амплитуды отра-
отраженных лучей равны, если
п = л/^. A75.1)
Так как яс, п и показатель преломления
воздуха яо удовлетворяют условиям пс>
>п>по, то потеря полуволны происходит
на обеих поверхностях; следовательно, ус-
условие минимума (предполагаем, что свет
падает нормально, т. е. / = 0)
Bm+l)
где nd — оптическая толщина пленки.
Обычно принимают т = 0, тогда
Таким образом, если выполняется ус-
условие A75.1) и оптическая толщина плен-
пленки равна Хо/4, то в результате интерферен-
интерференции наблюдается гашение отраженных лу-
лучей. Так как добиться одновременного
гашения для всех длин волн невозможно,
то это обычно делается для наиболее вос-
восприимчивой глазом длины волны Хо«
«0,55 мкм. Поэтому объективы с просвет-
просветленной оптикой кажутся голубыми.
Создание высокоотражающих покры-
покрытий стало возможным лишь на основе
многолучевой интерференции. В отличие
от двухлучевой интерференции, которую
мы рассматривали до сих пор, многолуче-
многолучевая интерференция возникает при наложе-
наложении большого числа когерентных световых
пучков. Распределение интенсивности
в интерференционной картине существен-
существенно различается; интерференционные мак-
максимумы значительно уже и ярче, чем при
наложении двух когерентных световых
пучков. Так, результирующая амплитуда
световых колебаний одинаковой амплиту-
амплитуды в максимумах интенсивности, где сло-
сложение происходит в одинаковой фазе,
в N раз больше, а интенсивность в N2 раз
больше, чем от одного пучка (N — число
интерферирующих пучков). Отметим, что
для нахождения результирующей ампли-
амплитуды удобно пользоваться графическим
методом, используя метод вращающегося
вектора амплитуды (см. §140). Многолу-
Многолучевая интерференция осуществляется
в дифракционной решетке (см. § 180).
Многолучевую интерференцию можно
осуществить в многослойной системе чере-
чередующихся пленок с разными показателями
преломления (но одинаковой оптической
толщиной, равной Хо/4), нанесенных на
отражающую поверхность (рис.254).
Можно показать, что на границе раздела
пленок (между двумя слоями ZnS с боль-
большим показателем преломления п\ находит-
находится пленка криолита с меньшим показате-
показателем преломления пч) возникает большое
число отраженных интерферирующих лу-
лучей, которые при оптической толщине пле-
пленок Хо/4 будут взаимно усиливаться,
т. е. коэффициент отражения возрастает.
Характерной особенностью такой высоко-
высокоотражательной системы является то, что
она действует в очень узкой спектральной
области, причем чем больше коэффициент

Глава 22. Интерференция свети
283
Криолит
Л23=1,32
шиют
Сульфид
3 цинка (ZnS)
"Г 23
Стекло
Рис. 254
отражения, тем уже эта область. Напри-
Например, система из семи пленок для области
0,5 мкм дает коэффициент отражения р«
«96 % (при коэффициенте пропускания
«3,5 % и коэффициенте поглощения
<0,5%). Подобные отражатели
применяются в лазерной технике, а также
используются для создания интерференци-
интерференционных светофильтров высокой (узкополос-
(узкополосных оптических фильтров).
Явление интерференции также приме-
применяется в очень точных измерительных при-
приборах, называемых интерферометрами.
Все интерферометры основаны на одном и
том же принципе и различаются лишь
конструкционно. На рис. 255 представлена
упрощенная схема интерферометра Май-
кельсона. Монохроматический свет от
источника S падает под углом 45° на
плоскопараллельную пластинку Pi. Сторо-
Сторона пластинки, удаленная от S, посеребрен-
ная и полупрозрачная, разделяет луч на
две части: луч / (отражается от посе-
посеребренного слоя) и луч 2 (проходит через
него). Луч / отражается от зеркала ЛЬ и,
возвращаясь обратно, вновь проходит че-
через пластинку Pi (луч /'). Луч 2 идет
к зеркалу Мг, отражается от него, воз-
возвращается обратно и отражается от
пластинки Pi (луч 2') Так как первый из
лучей проходит пластинку Pi дважды, то
для компенсации возникающей разности
хода на пути второго луча ставится
пластинка Рг (точно такая же, как и Pi,
только не покрытая слоем серебра).
Лучи /' и 2' когерентны; следователь-
следовательно, будет наблюдаться интерференция, ре-
результат которой зависит от оптической
разности хода луча /¦ от точки О до зерка-
зеркала Mi и луча 2 от точки О до зеркала ЛЬ-
При перемещении одного из зеркал на
расстояние Хо/4 разность хода обоих лучей
увеличится на Хо/2 и произойдет смена
освещенности зрительного поля. Следова-
Следовательно, по незначительному смещению ин-
интерференционной картины можно судить
о малом перемещении одного из зеркал
и использовать интерферометр Майкель-
сона для точного (порядка 10~7 м) из-
измерения длин (измерения длины тел,
длины световой волны, изменения длины
тела при изменении температуры (интер-
(интерференционный дилатометр)).
Советский физик В. П. Линник A889—
1984) использовал принцип действия
интерферометра Майкельсона для созда-
создания микроинтерферометра (комбинация
интерферометра и микроскопа), служаще-
служащего для контроля чистоты обработки по-
поверхности.
Интерферометры — очень чувстви-
чувствительные оптические приборы, позволяю-
позволяющие определять незначительные измене-
изменения показателя преломления прозрачных
тел (газов, жидких и твердых тел) в за-
зависимости от давления, температуры, при-
примесей и т. д. Такие интерферометры полу-
получили название интерференционных реф-
рефрактометров. На пути интерферирующих
лучей располагаются две одинаковые кю-
кюветы длиной /, одна из которых заполнена,
например, газом с известным (ло), а дру-
другая — с неизвестным (пх) показателями

284 ' 5. Оптика. Квантовая природа излучения
преломления. Возникшая между интерфе- с очень высокой точностью (до
рирующими лучами дополнительная опти- 1/1000 000).
ческая разность хода Д = (их —Ио)/- Изме- Применение интерферометров очень
нение разности хода приведет к сдвигу многообразно. Кроме перечисленного, они
интерференционных полос. Этот сдвиг применяются для изучения качества изго-
можно характеризовать величиной товления оптических деталей, измерения
т =ДА = (п —пI/Х углов, исследования быстропротекающих
" ' процессов, происходящих в воздухе, обте-
где то показывает, на какую часть шири- кающем летательные аппараты, и т. д.
ны интерференционной полосы сместилась Применяя интерферометр, Майкельсон
интерференционная картина. Измеряя ве- впервые провел сравнение международно-
личину та при известных /, «о и X, можно го эталона метра с длиной стандартной
вычислить пх или изменение пх — по. На- световой волны. С помощью интерферо-
пример, при смещении интерференционной метров исследовалось также распростра-
картины на '/s полосы при /= 10 см и Х= нение света в движущихся телах, что при-
= 0,5 мкм пх — по=1О~6, т.е. интерферен- вело к фундаментальным изменениям
ционные рефрактометры позволяют изме- представлений о пространстве и време-
рять изменение показателя преломления ни.
Контрольные вопросы
• Каковы основные положения и выводы корпускулярной и волновой теорий света? Почему
возникло представление о двойственной корпускулярно-волновой природе света?
• Какую величину называют временем когерентности? длиной когерентности? Какова связь между
ними?
• Для чего вводятся понятия временной и пространственной когерентностей?
• Что такое оптическая длина пути? оптическая разность хода?
• Два когерентных световых пучка с оптической разностью хода Д=—X интерферируют в не-
некоторой точке. Максимум или минимум наблюдается в этой точке? Почему?
• Почему интерференцию можно наблюдать от двух лазеров и нельзя от двух электроламп?
• Как изменится интерференционная картина в опыте Юнга (см. рис. 245), если эту систему
поместить в воду?
• Будут ли отличаться интерференционные картины от двух узких близколежащих параллельных
щелей при освещении их монохроматическим и белым светом? Почему?
• Что такое полосы равной толщины и равного наклона? Где они локализованы?
• Освещая тонкую пленку из прозрачного материала монохроматическим светом, падающим
нормально к поверхности пленки, на ней наблюдают параллельные чередующиеся равноуда-
равноудаленные темные и светлые полосы. Одинакова ли толщина отдельных участков пленки?
• Почему центр колец Ньютона, наблюдаемых в проходящем свете, обычно светлый?
• Между двумя пластинками имеется воздушный клин, освещая который монохроматическим
светом наблюдают интерференционные полосы. Как изменится расстояние между полосами,
если пространство заполнить прозрачной жидкостью?
• Когда и почему слой (слои) с оптической толщиной в четверть длины волны служит (служат)
для полного гашения отраженных лучей и для получения высокоотражающих покрытий?
Задачи
22.1. Определить, какую длину пути si пройдет фронт волны монохроматического света в вакууме
за то же время, за которое он проходит путь S2= 1,5 мм в стекле с показателем преломления
/12=1,5. [2,25 мм]

Глава 23. Дифракция света
285
22.2. В опыте Юнга щели, расположенные на расстоянии 0,3 мм, освещались монохроматическим
светом с длиной волны 0,6 мкм. Определить расстояние от щелей до экрана, если ширина
интерференционных полос равна 1 мм. [0,5 мм]
22.3. На стеклянный клин (п=1,5) нормально падает монохроматический свет (Х = 698 нм).
Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между двумя соседними
интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мк. [4']
22.4. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падаю-
падающим нормально. При заполнении пространства между линзой и стеклянной пластинкой
прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,21 раза.
Определить показатель преломления жидкости. [1,46]
22.5. На линзу с показателем преломления 1,55 нормально падает монохроматический свет с дли-
длиной волны 0,55 мкм. Для устранения потерь отраженного света на линзу наносится тонкая
пленка. Определить: 1) оптимальный показатель преломления пленки; 2) толщину пленки.
[1) 1,24; 2) 0,11 мкм]
22.6. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерференционной картины на
450 полос зеркало пришлось переместить на расстояние 0,135 мм. Определить длину волны
падающего света. [0,6 мкм]
22.7. На пути одного из лучей интерференционного рефрактометра поместили откачанную трубку
длиной 10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина сместилась на
131 полосу. Определить показатель преломления хлора, если наблюдение производится
с монохроматическим светом с длиной волны 0,59 мкм. [1,000773]
Глава 23
Дифракция света
§ 176. Принцип Гюйгенса — Френеля
Дифракцией называется огибание волна-
волнами препятствий, встречающихся на их пу-
пути, или в более широком смысле — любое
отклонение распространения волн вблизи
препятствий от законов геометрической
оптики. Благодаря дифракции волны могут
попадать в область геометрической тени,
огибать препятствия, проникать через не-
небольшие отверстия в экранах и т. д. На-
Например, звук хорошо слышен за углом
дома, т. е. звуковая волна его огибает.
Явление дифракции объясняется с по-
помощью принципа Гюйгенса (см. § 170),
согласно которому каждая точка, до кото-
которой доходит волна, служит центром вто-
вторичных волн, а огибающая этих волн дает
положение волнового фронта в следующий
момент времени.
Пусть плоская волна нормально пада-
падает на отверстие в непрозрачном экране
(рис. 256). Согласно Гюйгенсу, каждая
точка выделяемого отверстием участка во-
волнового фронта служит источником вто-
вторичных волн (в однородной изотропной
среде они сферические). Построив огиба-
огибающую вторичных волн для некоторого мо-'
мента времени, видим, что фронт волны
заходит в область геометрической тени,
т. е. волна огибает края отверстия.
Явление дифракции характерно для
волновых процессов. Поэтому если свет
является волновым процессом, то для него
должна наблюдаться дифракция, т. е. све-
ь :
й.
Рис. 256

286
5. Оптика. Ква-новая природа излучении
товая волна, падающая на границу како-
какого-либо непрозрачного тела, должна оги-
огибать его (проникать в область геометриче-
геометрической тени). Из опыта, однако, известно,
что предметы, освещаемые светом, иду-
идущим от точечного источника, дают резкую
тень и, следовательно, лучи не отклоняют-
отклоняются от их прямолинейного распространения.
Почему же возникает резкая тень, если
свет имеет волновую природу? К сожале-
сожалению, теория Гюйгенса ответить на этот
вопрос не могла.
Принцип Гюйгенса решает лишь за-
задачу о направлении распространения во-
волнового фронта, но не затрагивает вопро-
вопроса об амплитуде, а следовательно, и об
интенсивности волн, распространяющихся
по разным направлениям. Френель вло-
вложил в принцип Гюйгенса физический
смысл, дополнив его идеей интерференции
вторичных волн.
Согласно принципу Гюйгенса — Фре-
Френеля, световая волна, возбуждаемая ка-
каким-либо источником S, может быть пред-
представлена как результат суперпозиции ко-
когерентных вторичных волн, «излучаемых»
фиктивными источниками. Такими источ-
источниками могут служить бесконечно малые
элементы любой замкнутой поверхности,
охватывающей источник S. Обычно в ка-
качестве этой поверхности выбирают одну из
волновых поверхностей, поэтому все фик-
фиктивные источники действуют синфазно.
Таким образом, волны, распространяющи-
распространяющиеся от источника, являются результатом
интерференции всех когерентных вторич-
вторичных волн. Френель исключил возможность
возникновения обратных вторичных волн
и предположил, что если между источни-
источником и точкой наблюдения находится не-
непрозрачный экран с отверстием, то на
поверхности экрана амплитуда вторичных
волн равна нулю, а в отверстии — такая
же, как при отсутствии экрана.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн
позволяет в каждом конкретном случае
найти амплитуду (интенсивность) резуль-
результирующей волны в любой точке простран-
пространства, т. е. определить закономерности рас-
распространения света. В общем случае рас-
расчет интерференции вторичных волн дово-
довольно сложный и громоздкий, однако, как
будет показано ниже, для некоторых слу-
случаев нахождение амплитуды результирую-
результирующего колебания осуществляется алгебраи-
алгебраическим суммированием.
§ 177. Метод зон Френеля.
Прямолинейное
распространение света
Принцип Гюйгенса — Френеля в рамках
волновой теории должен был ответить на
вопрос о прямолинейном распространении
света. Френель решил эту задачу, рас-
рассмотрев взаимную интерференцию вторич-
вторичных волн и применив прием, получивший
название метода зон Френеля.
Найдем в произвольной точке М ам-
амплитуду световой волны, распространяю-
распространяющейся в однородной среде из точечного
источника S (рис. 257). Согласно принци-
принципу Гюйгенса — Френеля, заменим дейст-
действие источника S действием воображаемых
Рис. 257

Г лава 23. Дифракция енота
287
источников, расположенных на вспомога-
вспомогательной поверхности Ф, являющейся по-
поверхностью фронта волны, идущей из
5 (поверхность сферы с центром S). Фре-
Френель разбил волновую поверхность Ф на
кольцевые зоны такого размера, чтобы
расстояния от краев зоны до М отлича-
отличались на у2, т. е. Р\М — РаМ — РгМ —
-Р1М = Р3М-Р2М = ... = Х/2. Подобное
разбиение фронта волны на зоны можно
выполнить, проведя с центром в точке М
сферы радиусами *>+у> b + 2—, *+3"о~'
тывая, что
..., Ь + т—. Так как колебания от сосед-
соседних зон проходят до точки М расстояния,
отличающиеся на Х/2, то в точку М они
приходят в противоположной фазе и при
наложении эти колебания будут взаимно
ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда
результирующего светового колебания
в точке М
А=А1-А2+А3-А4 + ...±Ат,
A77.1)
где А\, Ai, ..., Ат — амплитуды колебаний,
возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., m-й зонами.
Для оценки амплитуд колебаний най-
найдем площади зон Френеля. Внешняя гра-
граница т-л зоны выделяет на волновой по-
поверхности сферический сегмент высоты hm
(рис. 258). Обозначив площадь этого сег-
сегмента через ат, найдем, что площадь
m-Pi зоны Френеля равна Дага = ат — ат-\,
где ат-1 — площадь сферического сегмен-
сегмента, выделяемого внешней границей
(т—1)-й зоны. Из рисунка следует, что
A77.2)
После элементарных преобразований, учи-
учии Я.<сЬ, получим
ЬтХ
~2{а
A77.3)
Площадь сферического сегмента
паЬХ
а площадь /л-й зоны Френеля
паЬХ
а-\-Ь
A77.4)
Выражение A77.4) не зависит от т; сле-
следовательно, при не слишком больших
т площади зон Френеля одинаковы. Та-
Таким образом, построение зон Френеля раз-
разбивает волновую поверхность сферической
волны на равные зоны.
Согласно предположению Френеля,
действие отдельных зон в точке М тем
меньше, чем больше угол <рт (рис. 258)
между нормалью п к поверхности зоны
и направлением на М, т. е. действие зон
постепенно убывает от центральной (око-
(около Ра) к периферическим (до нуля). Кроме
того, интенсивность излучения в направле-
направлении точки М уменьшается с ростом
т и вследствие увеличения расстояния от
зоны до точки М. Учитывая оба этих фак-
фактора, можем записать
Общее число зон Френеля, умещаю-
умещающихся на полусфере, очень велико; напри-
например, при а = 6=10 см и Х = 0,5 мкм N =
о „2
= —-(a-\-b) = 8-105. Поэтому в качест-
паиХ
ве допустимого приближения можно счи-
считать, что амплитуда колебания Ат от неко-
некоторой ш-й зоны Френеля равна среднему
арифметическому от амплитуд примыкаю-
примыкающих к ней зон, т. е.
Лт=—'+Лт+1. A77.5)
Тогда выражение A77.1) можно записать
в виде
А, /А, А
Рис. 258

288
5. Оптика. Квантовая природа излучения
так как выражения, стоящие в скобках,
согласно A77.5), равны нулю, а оставша-
оставшаяся часть от амплитуды последней зоны
±Ат/2 ничтожно мала.
Таким образом, амплитуда, создавае-
создаваемая в произвольной точке М сферической
волновой поверхностью, равна половине
амплитуды, создаваемой одной централь-
центральной зоной. Следовательно, действие всей
волновой поверхности на точку М сводит-
сводится к действию ее малого участка, меньше-
меньшего центральной зоны.
Если в выражении A77.2) положим,
что высота сегмента /1„<а (при не слиш-
слишком больших т), тогда r2m = 2ahm. Под-
Подставив сюда значение A77.3), найдем ра-
радиус внешней границы т-й зоны Френеля:
ab
-т.к.
а + b
При а = й=10 см и Х = 0,5 мкм радиус
первой (центральной) зоны Т\ =
0,158 мм. Следовательно, распростра-
распространение света от S к М происходит так,
будто световой поток распространяется
внутри очень узкого канала вдоль SM,
т. е. прямолинейно. Таким образом,
принцип Гюйгенса — Френеля позволяет
объяснить прямолинейное распростране-
распространение света в однородной среде.
Правомерность деления волнового
фронта на зоны Френеля подтверждена
экспериментально. Для этого используют-
используются зонные пластинки — в простейшем слу-
случае стеклянные пластинки, состоящие из
системы чередующихся прозрачных и не-
непрозрачных концентрических колец, по-
построенных по принципу расположения зон
Френеля, т. е. с радиусами гт зон Френеля,
определяемыми выражением A77.7) для
определенных значений а, Ь и X (т = 0, 2,
4, ... для прозрачных и ш=\, 3, 5, ... для
непрозрачных колец). Если поместить зон-
зонную пластинку на расстоянии а от то-
точечного источника и на расстоянии b от
точки наблюдения на линии, соединяющей
эти две точки, то для света длиной волны X
она перекроет четные зоны и оставит сво-
свободными нечетные начиная с центральной.
В результате этого результирующая ам-
амплитуда А=А\ +Лз+^5 + ..- должна
быть больше, чем при полностью открытом
фронте. Действительно, на опыте зонная
пластинка во много раз увеличивает ин-
интенсивность света в точке М, действуя
подобно собирающей линзе.
§ 178, Дифракция Френеля
на круглом отверстии и диске
Рассмотрим дифракцию сферических
волн, или дифракцию Френеля, осуще-
осуществляемую в том случае, когда дифракци-
дифракционная картина наблюдается на конечном
расстоянии от препятствия, вызвавшего
.дифракцию.
1. Дифракция на круглом отверстии.
Сферическая волна, распространяющаяся
из точечного источника S, встречает на
своем пути экран с круглым отверстием.
Дифракционную картину наблюдаем на
экране (Э) в точке В, лежащей на линии,
соединяющей 5 с центром отверстия (рис.
259). Экран параллелен плоскости отвер-
отверстия и находится от него на расстоянии
Ь. Разобьем открытую часть волновой по-
поверхности Ф на зоны Френеля. Вид диф-
дифракционной картины зависит от числа зон
Френеля, укладывающихся в отверстии.
Амплитуда результирующего колебания,
возбуждаемого в точке В всеми зонами
(см. A77.1) и A77.6)),
A=AX/2±AJ2,
где знак плюс соответствует нечетным
m и минус — четным т.
Когда отверстие открывает нечетное
число зон Френеля, to амплитуда (интен-
(интенсивность) в точке В будет больше, чем при
в
Рис. 259

V л а п а 23. Лифр.пшия света
28A
свободном распространении волны, если
четное, то амплитуда (интенсивность) бу-
будет равна нулю. Если в отверстие уклады-
укладывается одна зона Френеля, то в точке
В амплитуда А=Аи т. е. вдвое больше,
чем в отсутствие непрозрачного экрана
с отверстием (см. §177). Интенсивность
света больше соответственно в четыре ра-
раза. Если в отверстии укладываются две
зоны Френеля, то их действия в точке
S практически уничтожат друг друга из-за
интерференции. Таким образом, дифрак-
дифракционная картина от круглого отверстия
вблизи точки б будет иметь вид чередую-
чередующихся темных и светлых колец с центрами
в точке В (если т четное, то в центре
будет темное кольцо, если т нечетное —
то светлое кольцо), причем интенсивность
максимумов убывает с расстоянием от
центра картины.
Расчет амплитуды результирующего
колебания на внеосевых участках экрана
более сложен, так как соответствующие
им зоны Френеля частично перекрываются
непрозрачным экраном. Если отверстие
освещается не монохроматическим, а бе-
белым светом, то кольца окрашены.
Число зон Френеля, укладывающихся
в отверстии, зависит от его диаметра. Если
он большой, то Am<g.A\ и результирующая
амплитуда А=А\/2, т. е. такая же, как
и при полностью открытом волновом фрон-
фронте. Никакой дифракционной картины не
наблюдается, свет распространяется, как
и в отсутствие круглого отверстия, прямо-
прямолинейно.
2. Дифракция на диске. Сферическая
волна, распространяющаяся от точечного
источника S, встречает на своем пути
диск. Дифракционную картину наблюдаем
на экране (Э) в точке В, лежащей на
линии, соединяющей S с центром диска
(рис. 260). В данном случае закрытый
диском участок фронта волны надо исклю-
исключить из рассмотрения и зоны Френеля
строить начиная с краев диска. Пусть диск
закрывает т первых зон Френеля. Тогда
амплитуда результирующего колебания
в точке В равна
А=Ат + ] Ат+2-\-Ат + 3 ...=
лт+\
лт+\
или
так как выражения, стоящие в скобках,
равны нулю. Следовательно, в точке
В всегда наблюдается интерференционный
максимум (светлое пятно), соответствую-
соответствующий половине дейстния первой открытой
зоны Френеля. Центральный максимум ок-
окружен концентрическими с ним темными
и светлыми кольцами, а интенсивность
максимумов убывает с расстоянием от
центра картины.
С увеличением радиуса диска первая
открытая зона Френеля удаляется от точ-
точки В и увеличивается угол срт (см. рис.
258) между нормалью к поверхности этой
зоны и направлением на точку В. В ре-
результате интенсивность центрального мак-
максимума с увеличением размеров диска
уменьшается. При больших размерах
диска за ним наблюдается тень, вблизи
границ которой имеет место весьма слабая
дифракционная картина. В данном случае
дифракцией света можно пренебречь
и считать свет распространяющимся пря-
прямолинейно.
Отметим, что дифракция на круглом от-
отверстии и дифракция на диске впервые
рассмотрены Френе/ем.
10 Т. И. Трофимова

290
5. Оптика. Квантоная природа излучения
§ 179. Дифракция Фраунгофера
на одной щели
Немецкий физик И. Фраунгофер A787—
1826) рассмотрел дифракцию плоских све-
световых волн, или дифракцию в параллель-
параллельных лучах. Дифракция Фраунгофера, име-
имеющая большое практическое значение,
наблюдается в том случае, когда источник
света и точка наблюдения бесконечно уда-
удалены от препятствия, вызвавшего диф-
дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осу-
осуществить, достаточно точечный источник
света поместить в фокусе собирающей
линзы, а дифракционную картину иссле-
исследовать в фокальной плоскости второй со-
собирающей линзы, установленной за пре-
препятствием.
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера
от бесконечно длинной щели (для этого
практически достаточно, чтобы длина ще-
щели была значительно больше ее ширины).
Пусть плоская монохроматическая свето-
световая волна падает нормально плоскости
узкой щели шириной а (рис. 261, а). Опти-
Оптическая разность хода между крайними
лучами МС и ND, идущими от щели в про-
rs~
1,0
I \ 0,01,7
У V7v
алп
-stmp
гк -А
1 а а
4 +2-4
Рис. 261
извольном направлении ср,
\ = NF = a sin q>, A79.1)
где F — основание перпендикуляра, опу-
опущенного из точки М на луч ND.
Разобьем открытую часть волновой по-
поверхности в плоскости щели MN на зоны
Френеля, имеющие вид полос, параллель-
параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны
выбирается так, чтобы разность хода от
краев этих зон была равна к/2, т. е. всего
на ширине щели уместится А : к/2 зон.
Так как свет на щель падает нормально,
то плоскость щели совпадает с фронтом
волны; следовательно, все точки фронта
в плоскости щели будут колебаться в оди-
одинаковой фазе. Амплитуды вторичных
волн в плоскости щели будут равны, так
как выбранные зоны Френеля имеют оди-
одинаковые площади и одинаково наклонены
к направлению наблюдения.
Из выражения A79.1) вытекает, что
число зон Френеля, укладывающихся на
ширине щели, зависит от угла ф. От числа
зон Френеля, в свою очередь, зависит ре-
результат наложения всех вторичных волн.
Из приведенного построения следует, что
при интерференции света от каждой пары
соседних зон Френеля амплитуда резуль-
результирующих колебаний равна нулю, так как
колебания от каждой пары соседних зон
взаимно погашают друг друга. Следова-
Следовательно, если число зон Френеля четное
a sin cp= ±2m— (m= 1, 2, 3, ...),
A79.2)
то в точке В наблюдается дифракционный
минимум (полная темнота), если же число
зон Френеля нечетное
asiti(p=±Bm+l)y (m=l, 2, 3, ...),
A79.3)
то наблюдается дифракционный макси-
максимум, соответствующий действию одной не-
скомпенсированной зоны Френеля. Отме-
Отметим, что в прямом направлении (ф = 0)
щель действует как одна зона Френеля,
и в этом направлении свет распространя-
распространяется с наибольшей интенсивностью,
т. е. в точке So наблюдается центральный
дифракционный максимум.

Глава 23. Дифракция света
291
Из условий A79.2) и A79.3) можно
найти направления на точки экрана, в ко-
которых амплитуда (а следовательно, и ин-
интенсивность) равна нулю (sin (pmin =
= dzmX/a) или максимальна (sin фтах =
= ±Bт + 1) к/Bа)). Распределение ин-
интенсивности на экране, получаемое вслед-
вследствие дифракции (дифракционный
спектр), приведено на рис. 261, б. Расчеты
показывают, что интенсивности централь-
центрального и последующих максимумов относят-
относятся как 1:0,047:0,017:0,0083:..., т. е. основ-
основная часть световой энергии сосредоточена
в центральном максимуме. Из опыта и со-
соответствующих расчетов следует, что су-
сужение щели приводит к тому, что цен-
центральный максимум расплывается, а его
яркость уменьшается (это, естественно,
относится и к другим максимумам). Нао-
Наоборот, чем щель шире (а>А,), тем карти-
картина ярче, но дифракционные полосы уже,
а число самих полос больше. При аЗ>А.
в центре получается резкое изображение
источника света, т. е. имеет место прямо-
прямолинейное распространение света.
Положение дифракционных максиму-
максимумов зависит от длины волны к, поэтому
рассмотренный вид дифракционная карти-
картина имеет лишь для монохроматического
света. При освещении щели белым светом
центральный максимум имеет вид белой
полоски; он общий для всех длин волн
(при ф = 0 разность хода равна нулю для
всех X). Боковые максимумы радужно ок-
окрашены, так как условие максимума при
любых т различно для разных X. Таким
образом, справа и слева от центрального
максимума наблюдаются максимумы пер-
первого (т=\), второго (т = 2) и других
порядков, обращенные фиолетовым краем
к центру дифракционной картины. Однако
они настолько расплывчаты, что отчетли-
отчетливого разделения различных длин волн
с помощью дифракции на одной щели
получить невозможно.
§ 180. Дифракция Фраунгофера
на дифракционной решетке
Большое практическое значение имеет
дифракция, наблюдаемая при прохожде-
прохождении света через одномерную дифракцион-
дифракционную решетку — систему параллельных
щелей равной ширины, лежащих в одной
плоскости и разделенных равными по ши-
ширине непрозрачными промежутками. Рас-
Рассматривая дифракцию Фраунгофера на
щели, мы видели, что распределение ин-
интенсивности на экране определяется на-
направлением дифрагированных лучей. Это
означает, что перемещение щели парал-
параллельно самой себе Елево или вправо не
изменит дифракционной картины. Следо-
Следовательно, если перейти от одной щели ко
многим (к дифракционной решетке), то
дифракционные картины, создаваемые
каждой щелью в отдельности, будут оди-
одинаковыми.
Дифракционная картина на решетке
определяется как результат взаимной ин-
интерференции волн, идущих от всех щелей,
т. е. в дифракционной решетке осущест-
осуществляется многолучевая интерференция ко-
когерентных дифрагированных пучков све-
света, идущих от всех щелей.
Рассмотрим дифракционную решетку.
На рис. 262 для наглядности показаны
только две соседние щели MN и CD. Если
ширина каждой щели равна а, а ширина не-
непрозрачных участков между щелями Ь, то
величина d = a-\-b называется постоянной
(периодом) дифракционной решетки.
Пусть плоская монохроматическая волна
падает нормально к плоскости решетки.
Так как щели находятся друг от друга на
одинаковых расстояниях, то разности хода
лучей, идущих от двух соседних щелей,
будут для данного направления ф одина-
одинаковы в пределах всей дифракционной ре-
Ш1ШШ
Н N
С И
Рис. 262
10*

292
5. Оптика. Квантовая природа излучения
шетки:
= dsin ф. A80.1)
Очевидно, что в тех направлениях,
в которых ни одна из щелей не распро-
распространяет свет, он не будет распростра-
распространяться и при двух щелях, т. е. прежние
(главные) минимумы интенсивности будут
наблюдаться в направлениях, определяе-
определяемых условием A79.2): «я*-
asincp=±mX (m=l, 2, 3, ...).
A80.2)
Кроме того, вследствие взаимной интерфе-
интерференции световых лучей, посылаемых двумя
щелями, в некоторых направлениях они
будут гасить друг друга, т. е. возникнут
дополнительные минимумы. Очевидно, что
эти дополнительные минимумы будут на-
наблюдаться в тех направлениях, которым
соответствует разность хода лучей к/2,
ЗА./2, ..., посылаемых, например, от край-
крайних левых точек М и С обеих щелей.
Таким образом, с учетом A80.1) условие
дополнительных минимумов:
dsin<p=±Bm+l)y (m = 0, I, 2, ...).
Наоборот, действие одной щели будет уси-
усиливать действие другой, если
A80.3)
d sin ф= ±2m —=
(т = 0, 1, 2, ...),
т. е. выражение A80.3) задает условие
главных максимумов.
Таким образом, полная дифракцион-
дифракционная картина для двух щелей определяется
из условия:
главные минимумы
a sin ф = А,, 2А,, ЗА,, ...;
дополнительные минимумы
А ¦ к 3 1 5 1
dsin(p=—, —к, —к, ...;
главные максимумы
d sin ф == 0, А., 2А,, ЗА,, ...,
т. е. между двумя главными максимумами
располагается один дополнительный мини-
мум. Аналогично можно показать, что
между каждыми двумя главными макси-
максимумами при трех щелях располагается два
дополнительных минимума, при четырех
щелях — три и т. д.
Если дифракционная решетка состоит
из N щелей, то условием главных миниму-
минимумов является условие A80.2), условием
главных максимумов — условие A80.3),
а щловнем дополнительных минимумов
d sin ф= zttn'k/N
(m'=l, 2, ..., Л/-1, N+\, ..., 2N-\,
2Л/+1, ...),
A80.4)
где т' может принимать все целочислен-
целочисленные значения, кроме 0, N, 2N', ..., т. е. кро-
кроме тех, при которых условие A80.4) пере-
переходит в A80.3). Следовательно, в случае
N щелей между двумя главными максиму-
максимумами располагается N— 1 дополнитель-
дополнительных минимумов, разделенных вторичными
максимумами, создающими весьма сла-
слабый фон.
Чем больше щелей N, тем большее
количество световой энергии пройдет че-
через решетку, тем больше минимумов обра-
образуется между соседними главными макси-
максимумами, тем, следовательно, более интен-
интенсивными и более острыми будут максиму-
максимумы. На рис. 263 качественно представлена
дифракционная картина от восьми щелей.
Sin If
Рис. 263

Глава 23. Дифракция света
293
Так как модуль sin ф не может быть боль-
больше единицы, то из A80.3) следует, что
число главных максимумов
определяется отношением периода решет-
решетки к длине волны.
Положение главных максимумов за-
зависит от длины волны А, (см. A80.3)).
Поэтому при пропускании через решетку
белого света все максимумы, кроме цен-
центрального (т = 0), разложатся в спектр,
фиолетовая область которого будет обра-
обращена к центру дифракционной картины,
красная — наружу. Это свойство дифрак-
дифракционной решетки используется для иссле-
исследования спектрального состава света (оп-
(определения длин волн и интенсивностей
всех монохроматических компонентов),
т. е. дифракционная решетка может быть
использована как спектральный прибор.
Дифракционные решетки, используе-
используемые в различных областях спектра, разли-
различаются размерами, формой, материалом
поверхности, профилем штрихов и их
частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм, что
позволяет перекрывать область спектра от
ультрафиолетовой его части до инфрак-
инфракрасной). Например, ступенчатый профиль
решетки позволяет концентрировать ос-
основную часть падающей энергии в направ-
направлении одного определенного ненулевого
порядка.
§ 181. Пространственная решетка.
Рассеяние света
Дифракция света наблюдается не только
на плоской одномерной решетке (штрихи
нанесены перпендикулярно некоторой пря-
прямой линии), но и на двумерной решетке
(штрихи нанесены во взаимно перпендику-
перпендикулярных направлениях в одной и той же
плоскости). Большой интерес представля-
представляет также дифракция на пространственных
(трехмерных) решетках — пространствен-
пространственных образованиях, в которых элементы
структуры подобны по форме, имеют гео-
геометрически правильное и периодически по-
повторяющееся расположение, а также по-
постоянные (периоды) решеток, соизмери-
соизмеримые с длиной волны электромагнитного
излучения. Иными словами, подобные про-
пространственные образования должны иметь
периодичность по трем не лежащим в од-
одной плоскости направлениям. В качестве
пространственных дифракционных реше-
решеток могут быть использованы кристалли-
кристаллические тела, так как в них неоднородности
(атомы, молекулы, ионы) регулярно по-
повторяются в трех направлениях.
Дифракция света может происходить
также в так называемых мутных средах —
средах с явно выраженными оптическими
неоднородностями. К мутным средам отно-
относятся аэрозоли (облака, дым, туман),
эмульсия, коллоидные растворы и т. д.,
т. е. такие среды, в которых взвешено мно-
множество очень мелких частиц инородных
веществ. Свет, проходя через мутную сре-
среду, дифрагирует от беспорядочно располо-
расположенных микронеоднородностей, давая
равномерное распределение интенсивно-
интенсивностей по всем направлениям, не создавая
какой-либо определенной дифракционной
картины. Происходит так называемое рас-
рассеяние света в мутной среде. Это явление
можно наблюдать, например, когда узкий
пучок солнечных лучей, проходя через за-
запыленный воздух, рассеивается на пылин-
пылинках и становится тем самым видимым.
Рассеяние света (как правило, слабое)
наблюдается также и в чистых средах, не
содержащих посторонних частиц.
Л. И. Мандельштам объяснил рассеяние
света в средах нарушением их оптической
однородности, при котором показатель
преломления среды не постоянен, а меня-
меняется от точки к точке. В дальнейшем поль-
польский физик М. Смолуховский A872—
1917) указал, что причиной рассеяния све-
света могут быть также флуктуации плотно-
плотности, возникающие в процессе хаотического
теплового движения молекул среды. Рас-
Рассеяние света в чистых средах, обусловлен-
обусловленное флуктуациями плотности, анизотропии
или концентрации, называется молекуляр-
молекулярным рассеянием.
Молекулярным рассеянием объясняет-
объясняется, например, голубой цвет неба. Согласно
закону Д. Рэлея, интенсивность рассеян-
рассеянного света обратно пропорциональна чет-
четвертой степени длины волны (/~Х,^4),
поэтому голубые и синие лучи рассеивают-

294
5. Оптика. Квантован природа излучения
ся сильнее, чем желтые и красные, обус-
обусловливая тем самым голубой цвет неба.
По этой же причине свет, прошедший че-
через значительную толщу атмосферы, ока-
оказывается обогащенным более длинными
волнами (сине-фиолетовая часть спектра
полностью рассеивается) и поэтому при
закате и восходе Солнце кажется крас-
красным. Флуктуации плотности и интенсив-
интенсивность рассеяния света возрастают с увели-
увеличением температуры. Поэтому в ясный
летний день цвет неба является более на-
насыщенным по сравнению с таким же зим-
зимним днем.
§ 182. Дифракция
на пространственной решетке.
Формула Вульфа — Брэггов
Для наблюдения дифракционной картины
необходимо, чтобы постоянная решетки
была того же порядка, что и длина волны
падающего излучения (см. A80.3)).
Кристаллы, являясь трехмерными про-
пространственными решетками (см. § 181),
имеют постоянную порядка 10~'° м и, сле-
следовательно, непригодны для наблюдения
дифракции в видимом свете (А,«
«5-10~7 м). Эти факты позволили не-
немецкому физику М. Лауэ A879—1960)
прийти к выводу, что в качестве естествен-
естественных дифракционных решеток для рентге-
рентгеновского излучения можно использовать
кристаллы, поскольку расстояние между
атомами в кристаллах одного порядка с X
рентгеновского излучения («10~12-f-
Н-10-8 м).
Простой метод расчета дифракции
рентгеновского излучения от кристалличе-
кристаллической решетки предложен независимо друг
от друга советским физиком Г. В. Вульфом
A863—1925) и английскими физиками
Г. и Л. Брэггами (отец A862—1942) и сын
A890—1971)). Они предположили, что
дифракция рентгеновских лучей является
результатом их отражения от системы па-
параллельных кристаллографических плос-
плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы
(атомы) кристаллической решетки).
Представим кристаллы в виде совокуп-
совокупности параллельных кристаллографиче-
кристаллографических плоскостей (рис. 264), отстоящих друг
t
1'
2'
/ \
dsini) dsini>
Рис. 264
от друга на расстоянии d. Пучок параллель-
параллельных монохроматических рентгеновских лу-
лучей (/, 2) падает под углом скольжения О
(угол между направлением падающих лу-
лучей и кристаллографической плоскостью)
и возбуждает атомы кристаллической ре-
решетки, которые становятся источниками
когерентных вторичных волн /'и 2', интер-
интерферирующих между собой, подобно вто-
вторичным волнам, от щелей дифракционной
решетки. Максимумы интенсивности (диф-
(дифракционные максимумы) наблюдаются
в тех направлениях, в которых все отра-
отраженные атомными плоскостями волны бу-
будут находиться в одинаковой фазе. Эти
направления удовлетворяют формуле
Вульфа — Брэггов
2dsind=mX (m= 1, 2, 3, ...), A82.1)
т. е. при разности хода между двумя
лучами, отраженными от соседних кри-
кристаллографических плоскостей, кратной
целому числу длин волн X, наблюдается
дифракционный максимум.
При произвольном направлении паде-
падения монохроматического рентгеновского
излучения на кристалл дифракция не воз-
возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, повора-
поворачивая кристалл, найти угол скольжения.
Дифракционная картина может быть полу-
получена и при произвольном положении кри-
кристалла, для чего нужно пользоваться не-
непрерывным рентгеновским спектром, испу-
испускаемым рентгеновской трубкой. Тогда для
таких условий опыта всегда найдутся дли-
длины волн к, удовлетворяющие условию
A82.1). «
Формула Вульфа — Брэггов использу-
используется при решении двух важных задач:
1. Наблюдая дифракцию рентгенов-
рентгеновских лучей известной длины волны на

Глава 23. Дифракция света
295
кристаллической структуре неизвестного
строения и измеряя д и т, можно найти
межплоскостное расстояние (d), т. е. оп-
определить структуру вещества. Этот метод
лежит в основе рентгеноструктурного ана-
анализа. Формула Вульфа — Брэггов остает-
остается справедливой и при дифракции элек-
электронов и нейтронов. Методы исследования
структуры вещества, основанные на диф-
дифракции электронов и нейтронов, называ-
называются соответственно электронографией
и нейтронографией.
2. Наблюдая дифракцию рентгенов-
рентгеновских лучей неизвестной длины волны на
кристаллической структуре при известном
d и измеряя О и от, можно найти длину
волны падающего рентгеновского излуче-
излучения. Этот метод лежит в основе рентгенов-
рентгеновской спектроскопии.
§ 183. Разрешающая способность
оптических приборов
Используя даже идеальную оптическую
систему (такую, для которой отсутствуют
дефекты и аберрации), невозможно полу-
получить стигматическое изображение точеч-
точечного источника, что объясняется волновой
природой света. Изображение любой све-
светящейся точки в монохроматическом свете
представляет собой дифракционную кар-
картину, т. е. точечный источник отображает-
отображается в виде центрального светлого пятна,
окруженного чередующимися темными
и светлыми кольцами.
Согласно критерию Рэлея, изображе-
изображения двух близлежащих одинаковых точеч-
точечных источников или двух близлежащих
спектральных линий с равными интенсив-
ностями и одинаковыми симметричными
контурами разрешимы (разделены для
восприятия), если центральный максимум
дифракционной картины от одного источ-
источника (линии) совпадает с первым миниму-
минимумом дифракционной картины от другого
(рис. 265, а). При выполнении критерия
Рэлея интенсивность «провала» между
максимумами составляет 80 % интенсив-
интенсивности в максимуме, что является достаточ-
достаточным для разрешения линий "к\ и Кг. Если
критерий Рэлея нарушен, то наблюдается
одна линия (рис. 265, б).
1. Разрешающая способность объекти-
объектива. Если на объектиь падает свет от двух
удаленных точечных источников Si и Ss
(например, звезд) с некоторым угловым
расстоянием di|>, то вследствие дифракции
световых волн на краях дифрагмы, огра-
ограничивающей объектив, в его фокальной
плоскости вместо двух точек наблюдаются
максимумы, окруженные чередующимися
темными и светлыми кольцами (рис. 266).
Ри(. 266
Можно доказать, что две близлежащие
звезды, наблюдаемые в объективе в моно-
монохроматическом свете, разрешимы, если уг-
угловое расстояние между ними
Ф>1,22А.Д>, A83.1)
где X — длина волны света, D — диаметр
объектива.
Разрешающей способностью (разре-
(разрешающей силой) объектива называется ве-
величина
где dt() — наименьшее угловое расстоя-
расстояние между двумя точками, при котором они
еще оптическим прибором разрешаются.
Согласно критерию Рэлея, изображе-
изображения двух одинаковых точек разрешимы,
когда центральный максимум дифракцион-
дифракционной картины для одной точки совпадает
с первым минимумом дифракционной кар-

296
5. Оптика. Квантовая природа излучения
тины для другой (рис.266). Из рисунка
следует, что при выполнении критерия
Рэлея угловое расстояние между точками
dt|) должно быть равно ф, т. е. с учетом
A83.1)
, d-ф = ф = 1,22Я/?).
Следовательно, разрешающая способ-
способность объектива
A83.2)
т. е. зависит от диаметра и длины волны
света.
Из формулы A83.2) видно, что для
увеличения разрешающей способности оп-
оптических приборов нужно либо увеличить
диаметр объектива, либо уменьшить длину
волны. Поэтому для наблюдения более
мелких деталей предмета употребляют
ультрафиолетовое излучение, а получен-
полученное изображение в данном случае наблю-
наблюдается с помощью флуоресцирующего эк-
экрана либо фиксируется на фотопластинке.
Еще большую разрешающую способность
можно было бы получить с помощью рент-
рентгеновского излучения, но оно обладает
большой проникающей способностью
и проходит через вещество не преломля-
преломляясь; следовательно, в данном случае не-
невозможно создать преломляющие линзы.
Потоки электронов (при определенных
энергиях) обладают примерно такой же
длиной волны, как и рентгеновское излуче-
излучение. Поэтому электронный микроскоп име-
имеет очень высокую разрешающую способ-
способность (см. § 169).
Разрешающей способностью спек-
спектрального прибора называют безразмер-
безразмерную величину
R = k/Fk), A83.3)
где 6Х — абсолютное значение минималь-
минимальной разности длин волн двух соседних
спектральных линий, при которой эти ли-
линии регистрируются раздельно.
2. Разрешающая способность дифрак-
дифракционной решетки. Пусть максимум от-го
порядка для длины волны Я.2 наблюдается
под углом ф, т.е., согласно A80.3),
d sin ф = тХг. При переходе от максимума
к соседнему минимуму разность хода ме-
меняется на k/N (см. A80.4)), где N —
число щелей решетки. Следовательно, ми-
минимум к[, наблюдаемый под углом фт|П,
удовлетворяет условию d sin фт,п = тк\ +
-\-k\/N. По критерию Рэлея, Ф = Фт,п,
т.е. тк2 = тк[ -\-X\/N, или к^/(к^ — к\) =
= mN. Так как к[ и кг близки между
собой, т.е. к2 — к\=Ьк, то, согласно
A83.3),
Таким образом, разрешающая способ-
способность дифракционной решетки пропорцио-
пропорциональна порядку т спектров и числу N ще-
щелей, т. е. при заданном числе щелей увели-
увеличивается при переходе к спектрам высших
порядков. Современные дифракционные
решетки обладают довольно высокой раз-
разрешающей способностью (до 2-Ю5).
§ 184. Понятие о голографии
Голография (от греч. «полная запись») —
особый способ записи и последующего
восстановления волнового поля, основан-
основанный на регистрации интерференционной
картины. Она обязана своим возникнове-
возникновением законам волновой оптики — законам
интерференции и дифракции.
Этот принципиально новый способ
фиксирования и воспроизведения про-
пространственного изображения предметов
изобретен английским физиком Д. Габо-
ром A900—1979) в 1947 г. (Нобелевская
премия 1971 г.). Экспериментальное во-
воплощение и дальнейшая разработка этого
способа (советским ученым Ю. Н. Дени-
сюком в 1962 г. и американскими физика-
физиками Э. Лейтом и Ю. Упатниексом в 1963 г.)
стали возможными после появления
в 1960 г. источников света высокой степе-
степени когерентности — лазеров (см. § 233).
Рассмотрим элементарные основы
принципа голографии, т. е. регистрации и
восстановления информации о предмете.
Для регистрации и восстановления волны
необходимо уметь регистрировать и вос-
восстанавливать амплитуду и фазу идущей от
предмета волны. Это в принципе возможно,
так как распределение интенсивности
в интерференционной картине, описы-
описываемое формулой A44.2), A2 = A]-\-Al-\-
аг —ai) (учитывая, что
определяется как амплитудой

Глава 23. Дифракция света
297
интерферирующих волн, так и разностью
их фаз. Поэтому для регистрации как
фазовой, так и амплитудной информа-
информации кроме волны, идущей от предмета
(так называемой предметной волны), ис-
используют еще когерентную с ней волну,
идущую от источника света (так называе-
называемую опорную волну). Идея голографиро-
голографирования состоит в том, что фотографируется
распределение интенсивности в интерфе-
интерференционной картине, возникающей при су-
суперпозиции волнового поля объекта и ко-
когерентной ему опорной волны известной
фазы. Последующая дифракция света на
зарегистрированном распределении почер-
почернений в фотослое восстанавливает волно-
волновое поле объекта и допускает изучение
этого поля при отсутствии объекта.
Практически эта идея может быть осу-
осуществлена с помощью принципиальной
схемы, показанной на рис. 267, а. Лазер-
Лазерный пучок делится на две части, причем
а)
Зеркало
Предмет
Лазер
Голограмма
Лазер
Диафрагма
Мнимое //-—
изображение! \__
Действительное
изображение
Рис. 267
одна его часть отражается зеркалом на
фотопластинку (опорная волна), а вторая
попадает на фотопластинку, отразившись
от предмета (предметная волна). Опорная
и предметная волны, являясь когерентны-
когерентными и накладываясь друг на друга, образу-
образуют на фотопластинке интерференционную
картину. После проявления фотопластин-
фотопластинки и получается голограмма — зарегистри-
зарегистрированная на фотопластинке интерферен-
интерференционная картина, образованная при сло-
сложении опорной и предметной волн.
Для восстановления изображения
(рис. 267, б) голограмма помещается в то
же самое положение, где она находилась
до регистрации. Ее освещают опорным пуч-
пучком того же лазера (вторая часть лазер-
лазерного пучка перекрывается диафрагмой).
В результате дифракции света на интер-
интерференционной структуре голограммы вос-
восстанавливается копия предметной волны,
образующая объемное (со всеми присущи-
присущими предмету свойствами) мнимое изобра-
изображение предмета, расположенное в том мес-
месте, где предмет находился при голографи-
голографировании. Оно кажется настолько реальным,
что его хочется потрогать. Кроме того, вос-
восстанавливается еще действительное изобра-
изображение предмета, имеющее рельеф, обрат-
обратный рельефу предмета, т. е. выпуклые места
заменены вогнутыми, и наоборот (если на-
наблюдение ведется справа от голограммы).
Обычно пользуются мнимым гологра-
фическим изображением, которое по зри-
зрительному восприятию создает полную ил-
иллюзию существования реального предме-
предмета. Рассматривая из разных положений
объемное изображение предмета, давае-
даваемое голограммой, можно увидеть более
удаленные предметы, закрытые более
близкими из них (заглянуть за ближние
предметы). Это объясняется тем, что, пе-
перемещая голову в сторону, мы восприни-
воспринимаем изображение, восстановленное от пе-
периферической части голограммы, на кото-
которую при экспонировании падали также
и лучи, отраженные от скрытых предметов.
Голограмму можно расколоть на несколь-
несколько кусков. Но даже малая часть голограм-
голограммы восстанавливает полное изображение.
Однако уменьшение размеров голограммы
приводит к ухудшению четкости получае-

298 5. Оптика. Квантовая природа излучения
мого изображения. Это объясняется тем, Методы голографии позволяют записы-
что голограмма для опорного пучка слу- вать в сотни раз больше страниц печатно-
жит дифракционной решеткой, а при го текста, чем методы обычной микрофо-
уменьшении числа штрихов дифракцион- тографии. По подсчетам, на фотопластин-
фотопластинной решетки (при уменьшении размеров ку размером 32X32 мм можно записать
голограммы) ее разрешающая способ- 1024 голограммы (площадь каждой из них
ность уменьшается. 1 мм2), т. е. на одной фотопластинке мож-
Методы голографии (запись голограм- но «разместить» книгу объемом свыше
мы в трехмерных средах, цветное и пано- тысячи страниц. В качестве будущих раз-
рамное голографирование и т. д.) находят работок могут служить ЭВМ с голографи-
все большее развитие. Применения голог- ческой памятью, голографический элек-
рафии разнообразны, но наиболее важные, тронный микроскоп, голографические кино
приобретающие все большее значение, яв- и телевидение, голографическая интерфе-
ляются запись и хранение информации. рометрия и т. д.
Контрольные вопросы
Ф Каковы дополнения Френеля к принципу Гюйгенса?
Ф В чем заключается принцип построения зон Френеля?
ф В чем заключается принцип действия зонных пластинок?
Ф Когда наблюдается дифракция Френеля? дифракция Фраунгофера?
ф Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и больших дисках?
ф Как влияет на дифракцию Фраунгофера от одной щели увеличение длины волны и ширины
щели?
Ф Как определить наибольший порядок спектра дифракционной решетки?
Ф Как изменится дифракционная картина при удалении экрана от решетки?
Ф Почему при использовании белого света только центральный максимум белый, а боковые
максимумы радужно окрашены?
ф Почему штрихи на дифракционной решетке должны быть тесно расположены друг к другу?
Почему их должно быть большое число?
Ф Запишите условия дифракционных минимумов для одной щели и главных максимумов для
решетки. Каков характер этих дифракционных картин?
Ф Почему на кристаллах не наблюдается дифракция видимого света и наблюдается дифракция
рентгеновского излучения?
Ф Каков механизм рассеяния света в мутной среде? в чистой среде?
Ф Как объяснить голубой цвет неба? Почему при закате и восходе солнце кажется красным?
Ф Какие практические применения имеет формула Вульфа—Брэггов?
Ф Когда два одинаковых точечных источника разрешимы по Рэлею?
ф От чего зависит разрешающая способность дифракционной решетки и как вывести формулу
для ее определения?
Ф Почему для получения голограммы кроме предметной волны необходима еще и опорная волна?
ф В чем заключается идея голографирования?
Задачи
23.1. Плоская световая волна с длиной волны 0,6 мкм падает нормально на диафрагму с круглым
отверстием диаметром I см. Определить расстояние от точки наблюдения до отверстия, если
отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля. [1J0,8 м; 2) 13,9 м]
23.2. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохрома-
монохроматического света (Я = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится
диафрагма с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифрак-
дифракционной картины на экране будет наиболее темным. [0,55 мм]

Г .'i a ii и 24. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
299
23.3. На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны
0,5 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллельно
щели на расстоянии 1 м. Определить расстояние между первыми дифракционными миниму-
минимумами, расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума. [5 см]
23.4. Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу л/2 соответствует
максимум пятого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм.
[400 мм]
23.5. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на грань
кристалла с расстоянием 0,28 нм между его атомными плоскостями. Определить длину
волны рентгеновского излучения, если под углом 30° к плоскости грани наблюдается дифрак-
дифракционный максимум второго порядка. [140 пм]
23.6. Определить постоянную дифракционной решетки, если она в первом порядке разрешает две
спектральные линии калия (Я, =578 нм и Хг = 580 нм). Длина решетки 1 см. [34,6 мкм]
Глава 24
Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
§ 185. Дисперсия света
Дисперсией света называется зависимость
показателя преломления п вещества от
частоты v (длины волны X.) света или
зависимость фазовой скорости v световых
волн (см. § 154) от его частоты v. Диспер-
Дисперсия света представляется в виде зависи-
зависимости
n = f(X).
A85.1)
Следствием дисперсии является разложе-
разложение в спектр пучка белого света при про-
прохождении его через призму. Первые экспе-
экспериментальные наблюдения дисперсии
света принадлежат И. Ньютону A672 г.).
Рассмотрим дисперсию света в призме.
Пусть монохроматический пучок света па-
падает на призму с показателем преломле-
преломления п (рис. 268) под углом а\. После
двукратного преломления (на левой и пра-
правой гранях призмы) луч оказывается от-
отклоненным от первоначального направле-
направления на угол <р. Из рисунка следует, что
A85.2)
= огг-а2 — А.
Рис. 268
Предположим, что углы А и а\ малы,
тогда углы аг, Pi и р2 будут также малы
и вместо синусов этих углов можно вос-
воспользоваться их значениями. Поэтому
a,/pi=n, р2/а2=1/л, а так как Pi + p2 =
= Л, то
= п (А — aJn) = nA — аь
at-\-a2 = nA. A85.3)
Из выражений A85.3) и A85.2) следу-
следует, что
(f = A(n — 1), A85.4)
т. е. угол отклонения лучей призмой тем
больше, чем больше преломляющий угол
призмы.
Из выражения A85.4) вытекает, что
угол отклонения лучей призмой зависит от
величины п—1, аи — функция длины во-
волны, поэтому лучи разных длин волн после
прохождения призмы окажутся отклонен-
отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого
света за призмой разлагается в спектр,
что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким
образом, с помощью призмы, так же как
и с помощью дифракционной решетки,

300
5. Оптика. Квантован природа излучения
разлагая свет в спектр, можно определить
его спектральный состав.
Рассмотрим различия в дифракцион-
дифракционном и призматическом спектрах.
1. Дифракционная решетка разлагает
падающий свет непосредственно по дли-
длинам волн (см. A80.3)), поэтому по изме-
измеренным углам (по направлениям соответ-
соответствующих максимумов) можно вычислить
длину волны. Разложение света в спектр
в призме происходит по значениям показа-
показателя преломления, поэтому для определе-
определения длины волны света надо знать за-
зависимость п =f(X) A85.1).
2. Составные цвета в дифракционном
и призматическом спектрах располагают-
располагаются различно. Из A80.3) следует, что
в дифракционной решетке синус угла от-
отклонения пропорционален длине волны.
Следовательно, красные лучи, имеющие
большую длину волны, чем фиолетовые,
отклоняются дифракционной решеткой
сильнее. Призма же разлагает лучи
в спектр по значениям показателя пре-
преломления, который для всех прозрачных
веществ с увеличением длины волны моно-
монотонно уменьшается (рис. 269). Следова-
Следовательно, красные лучи, имеющие меньший
показатель преломления, чем фиолетовые,
отклоняются призмой слабее.
Величина
An
~ АХ'
называемая дисперсией вещества, показы-
показывает, как быстро изменяется показатель
преломления с длиной волны. Из
рис. 269 следует, что показатель прелом-
преломления для прозрачных веществ с уменьше-
уменьшением длины волны монотонно увеличива-
ется; следовательно, величина
An
——
АХ
по мо-
дулю также увеличивается с уменьшением
X. Такая дисперсия называется нормаль-
нормальной. Как будет показано ниже, ход кривой
п (X) — кривой дисперсии — вблизи линий
и полос поглощения будет иным: п умень-
уменьшается с уменьшением X. Такой ход за-
зависимости п от X называется аномальной
дисперсией.
На явлении нормальной дисперсии ос-
основано действие призменных спектрогра-
спектрографов. Несмотря на их определенные недо-
недостатки (например, необходимость градуи-
градуировки, различная дисперсия в разных
участках спектра) при определении спек-
спектрального состава света, призменные
спектрографы находят широкое примене-
применение в спектральном анализе. Это объясня-
объясняется тем, что изготовление хороших призм
значительно проще, чем изготовление хо-
хороших дифракционных решеток. В при-
призменных спектрографах также легче полу-
получить большую светосилу.
§ 186. Электронная теория
дисперсии света
Из макроскопической электромагнитной
теории Максвелла следует, что абсолют-
абсолютный показатель преломления среды
200
600
Рис. 269
где е — диэлектрическая проницаемость
среды, pi — магнитная проницаемость.
В оптической области спектра для всех
веществ [А«1, поэтому
п = уё. A86.1)
Из формулы A86.1) выявляются не-
некоторые противоречия с опытом: величина
п, являясь переменной (см. § 185), остает-
остается в то же время равной определенной
постоянной д/8. Кроме того, значения п,
получаемые из этого выражения, не со-
согласуются с опытными значениями. Труд-
Трудности объяснения дисперсии света с точки
зрения электромагнитной теории Максвел-
Максвелла устраняются электронной теорией Ло-
Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света
рассматривается как результат взаимо-

Г .л ;а в а 24. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
301
действия электромагнитных волн с заря-
заряженными частицами, входящими в состав
вещества и совершающими вынужденные
колебания в переменном электромагнит-
электромагнитном поле волны.
Применим электронную теорию дис-
дисперсии света для однородного диэлектри-
диэлектрика, предположив формально, что диспер-
дисперсия света является следствием зависимо-
зависимости е от частоты со световых волн.
Диэлектрическая проницаемость вещест-
вещества по определению (см. (88.6) и (88.2))
равна
е=1+х=1+Р/(ео?),
где х — диэлектрическая восприимчивость
среды, ео — электрическая постоянная,
Р — мгновенное значение поляризованно-
сти. Следовательно,
п2=1+Р/(е0?),
A86.2)
т. е. зависит от Р. В данном случае основ-
основное значение имеет электронная поляриза-
поляризация, т. е. вынужденные колебания элек-
электронов под действием электрической со-
составляющей поля волны, так как для
ориентационной поляризации молекул
частота колебаний в световой волне очень
высока (v«1015 Гц).
В первом приближении можно считать,
что вынужденные колебания совершают
только внешние, наиболее слабо связан-
связанные с ядром электроны — оптические
электроны. Для простоты рассмотрим ко-
колебания только одного оптического элек-
электрона. Наведенный дипольный момент
электрона, совершающего вынужденные
колебания, равен р = ех, где е — заряд
электрона, х — смещение электрона под
действием электрического поля световой
волны. Если концентрация атомов в ди-
диэлектрике равна по, то мгновенное значе-
значение поляризованности
A86.3)
Из A86.2) и A86.3) получим
п2=\+п0ех/(г0Е). A86.4)
Следовательно, задача сводится к опреде-
определению смещения х электрона под действи-
действием внешнего поля ?. Поле световой волны
будем считать функцией частоты ш,
т. е. изменяющимся по гармоническому
закону: ? = ?ocosw/.
Уравнение вынужденных колебаний
электрона (см. § 147) для простейшего
случая (без учета силы сопротивления,
обусловливающей поглощение энергии па-
падающей волны) запишется в виде
•• 2 Fo е _.
Х-\-<х>пХ= COS (i>t= En COS COI,
т т
A86.5)
где /го = е?о — амплитудное значение си-
силы, действующей на электрон со стороны
поля волны, соо = д/fe/m — собственная
частота колебаний электрона, т — масса
электрона. Решив уравнение A86.5), най-
найдем г = п2 в зависимости от констант ато-
атома (е, т, соо) и частоты to внешнего поля,
т. е. решим задачу дисперсии.
Решение уравнения A86.5) можно за-
записать в виде
х = A cos tot, A86.6)
где
А =
еЕп
т (cog — ш2)'
A86.7)
в чем легко убедиться подстановкой
(см. A47.8)). Подставляя A86.6)
и A86.7) в A86.4), получим
1
(соо-со2)'
A86-8)
Если в веществе имеются различные за-
заряды ei, совершающие вынужденные коле-
колебания с различными собственными часто-
частотами COot, ТО
е0 Lj со™ — ь>
A86.9)
где rut — масса i-ro заряда.
Из выражений A86.8) и A86.9) вы-
вытекает, что показатель преломления п за-
зависит от частоты со внешнего поля, т. е. по-
полученные зависимости действительно под-
подтверждают явление дисперсии света, хотя
и при указанных иыше допущениях, кото-

302
5. Оптика. Квантовая природа излучения
рые в дальнейшем надо устранить. Из
выражений A86.8) и A86.9) следует, что в
области от ш=0 до (О = @о я2 больше еди-
единицы и возрастает с увеличением ш (нор-
(нормальная дисперсия); при ш = а>о л2 =
= ±°о; в области от ш = (Оо до ш=оо
п2 меньше единицы и возрастает от — сю
до 1 (нормальная дисперсия). График за-
зависимости п от ш представлен на рис. 270.
Подобное поведение п вблизи собствен-
собственной частоты шо получилось в результате
допущения об отсутствии сил сопротив-
сопротивления при колебаниях электронов. Если
принять в расчет и это обстоятельство,
то график функции л (ш) вблизи шо за-
задается штриховой линией АВ. Область
АВ — область аномальной дисперсии
(и убывает при возрастании ш), осталь-
остальные участки зависимости п от ш опи-
описывают нормальную дисперсию (п воз-
возрастает с возрастанием ш).
Советскому физику Д. С. Рожде-
Рождественскому A876—1940) принадлежит
классическая работа по изучению ано-
аномальной дисперсии в парах натрия. Он
разработал интерференционный метод для
очень точного измерения показателя пре-
преломления паров и экспериментально по-
показал, что формула A86.9) правильно ха-
характеризует зависимость п от ш, а также
ввел в нее поправку, учитывающую кван-
квантовые свойства света и атомов.
§ 187. Поглощение (абсорбция) света
Поглощением (абсорбцией) света называ-
называется явление потери энергии световой во-
волной, проходящей через вещество, вслед-
вследствие преобразования энергии волны
в другие формы (внутреннюю энергию
вещества и в энергию вторичного излу-
чения других направлений и спектрально-
спектрального состава). В результате поглощения ин-
интенсивность света при прохождении через
вещество уменьшается.
Поглощение света в веществе описы-
описывается законом Бугера*:
/ = /ое-", A87.1)
где /о и / — интенсивности плоской моно-
монохроматической световой волны на входе
и выходе слоя поглощающего вещества
толщиной х, а — коэффициент поглоще-
поглощения, зависящий от длины волны света,
химической природы и состояния вещества
и не зависящий от интенсивности света.
При х=\/а. интенсивность света / по
сравнению с /о уменьшается в е раз.
Коэффициент поглощения зависит от
длины волны К (или частоты ш) и для
различных веществ различен. Например,
одноатомные газы и пары металлов
(т. е. вещества, в которых атомы рас-
расположены на значительных расстояниях
друг от друга и их можно считать изо-
изолированными) обладают близким к нулю
коэффициентом поглощения и лишь для
очень узких спектральных областей (при-
(примерно 10"2— 10~~"м) наблюдаются рез-
резкие максимумы (так называемый линейча-
линейчатый спектр поглощения). Эти линии со-
соответствуют частотам собственных коле-
колебаний электронов в атомах. Спектр
поглощения молекул, определяемый коле-
колебаниями атомов в молекулах, характери-
характеризуется полосами поглощения (примерно
Ю-10_10-7м).
Коэффициент поглощения для диэлек-
диэлектриков невелик (примерно 10~3—
10~5см~'), однако у них наблюдается
селективное поглощение света в опреде-
определенных интервалах длин волн, когда а
резко возрастает, и наблюдаются сравни-
сравнительно широкие полосы поглощения,
т. е. диэлектрики имеют сплошной спектр
поглощения. Это связано с тем, что в ди-
диэлектриках нет свободных электронов
и поглощение света обусловлено явлением
резонанса при вынужденных колебаниях
* П. Бугер A698—1758) —французский
ученый.

Глава 24. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
303
электронов в атомах и атомов в молекулах
диэлектрика.
Коэффициент поглощения для метал-
металлов имеет большие значения (примерно
103—105 см) и поэтому металлы являют-
являются непрозрачными для света. В металлах
из-за наличия свободных электронов, дви-
движущихся под действием электрического
поля световой волны, возникают быстро-
переменные токи, сопровождающиеся вы-
выделением джоулевой теплоты. Поэтому
энергия световой волны быстро уменьша-
уменьшается, превращаясь во внутреннюю энер-
энергию металла. Чем выше проводимость ме-
металла, тем сильнее в нем поглощение света.
На рис. 271 представлены типичная
зависимость коэффициента поглощения а
от длины волны света X и зависимость
показателя преломления п от к в области
полосы поглощения. Из рисунка следует,
что внутри полосы поглощения наблюда-
наблюдается аномальная дисперсия (п убывает
с уменьшением X). Однако поглощение ве-
вещества должно быть значительным, чтобы
повлиять на ход показателя преломления.
Зависимостью коэффициента поглоще-
поглощения от длины волны объясняется окра-
окрашенность поглощающих тел. Например,
стекло, слабо поглощающее красные
и оранжевые лучи и сильно поглощающее
зеленые и синие, при освещении белым
светом будет казаться красным. Если на
такое стекло направить зеленый и синий
свет, то из-за сильного поглощения света
этих длин волн стекло будет казаться чер-
черным. Это явление используется для изго-
изготовления светофильтров, которые в зави-
зависимости от химического состава (стекла
с присадками различных солей, пленки из
пластмасс, содержащие красители,
d,n
растворы красителей и т. д.) пропускают
свет только определенных длин волн, по-
поглощая остальные. Разнообразие преде-
пределов селективного (избирательного) погло-
поглощения у различных веществ объясняет
разнообразие и богатство цветов и красок,
наблюдающееся в окружающем мире.
Явление поглощения широко использу-
используется в абсорбционном спектральном ана-
анализе смеси газов, основанном на измере-
измерениях спектров частот и интенсивностей
линий (полос) поглощения. Структура
спектров поглощения определяется соста-
составом и строением молекул, поэтому изуче-
изучение спектров поглощения является одним
из основных методов количественного
и качественного исследования веществ.
188. Эффект Доплера
Эффект Доплера в акустике (см. § 159)
объясняется тем, что частота колебаний,
воспринимаемых приемником, определяет-
определяется скоростями движения источника коле-
колебаний и приемника по отношению к среде,
являющейся носителем звуковых волн.
Эффект Доплера наблюдается также
и для световых волн. Так как особой сре-
среды, служащей носителем электромагнит-
электромагнитных волн, не существует, то частота свето-
световых волн, воспринимаемых приемником
(наблюдателем), определяется только от-
относительной скоростью источника и при-
приемника (наблюдателя).
Согласно принципу относительности
Эйнштейна (см. §35), уравнение световой
волны во всех инерциальных системах от-
отсчета одинаково по форме. Используя пре-
преобразования Лоренца (см. §36), можно
получить уравнение волны, посылаемой
источником, в направлении приемника
в другой инерциальной системе отсчета,
а следовательно, и связать частоты свето-
световых волн, излучаемых источником (vo)
и воспринимаемых приемником (v). Теория
относительности приводит к следующей
форме, описывающей эффект Доплера для
электромагнитных волн в вакууме:
Рис. 271
1+pcosft'
A88.1)

304
5. Оптика. Квантовая природа излучения
где v — скорость источника света относи-
относительно приемника, с — скорость света
в вакууме, $ = v/c, О — угол между векто-
вектором скорости v и направлением наблюде-
наблюдения, измеряемый в системе отсчета, свя-
связанной с наблюдателем.
Из выражения A88.1) следует, что
при f} = 0
A88.2)
Формула A88.2) определяет так называе-
называемый продольный эффект Доплера, наблю-
наблюдаемый при движении приемника вдоль
линии, соединяющей его с источником.
При малых относительных скоростях v
(и<с), разлагая A88.2) в ряд по степе-
степеням р и пренебрегая членом порядка р2,
получим
v = vo(l-p) = vo(l-»A). (I88.3)
Следовательно, при удалении источни-
источника и приемника друг от друга (при их
положительной относительной скорости)
наблюдается сдвиг в область более длин-
длинных волн (v<v0, Х>Ха) —так называе-
называемое красное смешение. При сближении же
источника и приемника (при их отрица-
отрицательной относительной скорости) наблю-
наблюдается сдвиг в область более коротких волн
(v>vo, X<.Xq) — так называемое фиолето-
фиолетовое смещение.
Если О = л/2, то выражение A88.1)
примет вид
i-^A2=v0Vi-f
A88.4)
Формула A88.4) определяет так называе-
называемый поперечный эффект Доплера, наблю-
наблюдаемый при движении приемника перпен-
перпендикулярно линии, соединяющей его
с источником.
Из выражения A88.4) следует, что
поперечный эффект Доплера зависит
от р2, т. е. при малых р является эффектом
второго порядка малости по сравнению
с продольным эффектом, зависящим от р
(см. A88.3)). Поэтому обнаружение по-
поперечного эффекта Доплера связано
с большими трудностями. Поперечный эф-
эффект, хотя и много меньше продольного,
имеет принципиальное значение, так как
не наблюдается в акустике (при у<Сс из
A88.4) следует, что v = vo!), и является,
следовательно, чисто релятивистским эф-
эффектом. Он связан с замедлением течения
времени движущегося наблюдателя. Эк-
Экспериментальное обнаружение поперечно-
поперечного эффекта Доплера явилось еще одним
подтверждением справедливости теории
относительности; он был обнаружен
в 1938 г. в опытах американского физика
Г. Айвса.
Продольный эффект Доплера был
впервые обнаружен в 1900 г. в лаборатор-
лабораторных условиях русским астрофизиком
А. А. Белопольским A854—1934) и повто-
повторен в 1907 г. русским физиком Б. Б. Голи-
Голицыным A862—1919). Продольный эффект
Доплера используется при исследовании
атомов, молекул, а также космических тел,
так как по смещению частоты световых
колебаний, которое проявляется в виде
смещения или уширения спектральных ли-
линий, определяется характер движения из-
излучающих частиц или излучающих тел.
Эффект Доплера получил широкое
распространение в радиотехнике и радио-
радиолокации, например в радиолокационных
измерениях расстояний до движущихся
объектов.
§ 189. Излучение
Вавилова — Черенкова
Советский физик П. А. Черенков A904—
1990), работавший под руководством Ва-
Вавилова, показал, что при движении реля-
релятивистских заряженных частиц в среде с
постоянной скоростью v, превышающей
фазовую скорость света в этой среде,
т. е. при условии v>c/n (n — показатель
преломления среды), возникает электро-
электромагнитное излучение, названное впослед-
впоследствии излучением (эффектом) Вавило-
Вавилова — Черенкова. Природа данного излуче-
излучения, обнаруженного для разнообразных
веществ, в том числе и для чистых жидко-
жидкостей, подробно изучалась С. И. Вавило-
Вавиловым. Он показал, что данное свечение не
является люминесценцией (см. §245), как

Глава 24. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
305
считалось ранее, и высказал предположе-
предположение, что оно связано с движением свобод-
свободных электронов через вещество.
Излучение Вавилова — Черенкова
в 1937 г. было теоретически объяснено со-
советскими учеными И. Е. Таммом A895—
1971) и И.М.Франком (р. 1908) (Черен-
(Черенков, Тамм и Франк в 1958 г. удостоены
Нобелевской премии).
Согласно электромагнитной теории,
заряженная частица (например, элек-
электрон) излучает электромагнитные во-
волны лишь при движении с ускорением.
Тамм и Франк показали, что это утвер-
утверждение справедливо только до тех пор,
пока скорость заряженной частицы не пре-
превышает фазовой скорости с/п электромаг-
электромагнитных волн в среде, в которой частица
движется. Если частица обладает скоро-
скоростью v>c/n, то, даже двигаясь равномер-
равномерно, она будет излучать электромагнитные
волны. Таким образом, согласно теории
Тамма и Франка, электрон, движущийся
в прозрачной среде со скоростью, пре-
превышающей фазовую скорость света в дан-
данной среде, должен сам излучать свет.
Отличительной особенностью излуче-
излучения Вавилова — Черенкова является его
распространение не по всем направлени-
направлениям, а лишь по направлениям, составляю-
составляющим острый угол д с траекторией частицы,
т. е. вдоль образующих конуса, ось кото-
которого совпадает с направлением скорости
частицы. Определим угол ¦&
cosft=(c/rt)/u = c/(no). A89.1)
Возникновение излучения Вавилова — Че-
Черенкова и его направленность истолкова-
истолкованы Франком и Таммом на основе пред-
представлений об интерференции света с ис-
использованием принципа Гюйгенса.
На основе излучения Вавилова — Че-
Черенкова разработаны широко используе-
используемые экспериментальные методы для ре-
регистрации частиц высоких энергий и опре-
определения их свойств (направление движе-
движения, величина и знак заряда, энергия).
Счетчики для регистрации заряженных
частиц, в которых используется излучение
Вавилова — Черенкова, получили назва-
название черенковских счетчиков. В этих счет-
счетчиках частица регистрируется практиче-
практически мгновенно (при движении заряженной
частицы в среде со скоростью, превышаю-
превышающей фазовую скорость света в данной
среде, возникает световая вспышка, пре-
преобразуемая с помощью фотоэлектронного
умножителя (см. § 105) в импульс тока).
Это позволило в 1955 г. итальянскому фи-
физику Э. Сегре (р. 1905) открыть в черен-
ковском счетчике короткоживущую анти-
античастицу — антипротон.
Контрольные вопросы
Чем отличается нормальная дисперсия от аномальной?
По каким признакам можно отличить спектры, полученные с помощью призмы и дифракцион-
дифракционной решетки?
В чем заключаются основные положения и выводы электронной теории дисперсии света?
Почему металлы сильно поглощают свет?
В чем основное отличие эффекта Доплера для световых волн и эффекта Доплера в акустике?
Почему поперечный эффект Доплера чисто релятивистский эффект? Чем он обусловлен?
Когда возникает излучение Вавилова—Черенкова?
Задачи
24.1. На грань стеклянной призмы (п=1,5) нормально падает луч света. Определить угол откло-
отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол равен 25°. [14°21']
24.2. При прохождении света в некотором веществе пути х его интенсивность уменьшилась в два
раза. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении им пути
Ах. [В 16 раз]

306
5. Оптика. Квантовая природа излучения
24.3. Источник монохроматического света с длиной волны А.0 = 0,6 мкм движется по направлению
к наблюдателю со скоростью о = 0,15 с (с — скорость света в вакууме). Определить длину
волны Я, которую зарегистрирует приемник наблюдателя. [516 нм]
24.4. Определить минимальную кинетическую энергию (в мегаэлектронвольтах), которой должен
обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления 1,5 возникло излучение Вави-
Вавилова— Черенкова. [0,17 МэВ]
Глава 25
Поляризация света
§ 190. Естественный
и поляризованный свет
Следствием теории Максвелла (см. § 162)
является поперечность световых волн: век-
векторы напряженностей электрического Е
и магнитного Н полей волны взаимно пер-
перпендикулярны и колеблются перпендику-
перпендикулярно вектору скорости v распространения
волны (перпендикулярно лучу). Поэтому
для описания закономерностей поляри-
поляризации света достаточно знать поведение
лишь одного из векторов. Обычно все
рассуждения ведутся относительно све-
светового вектора — вектора напряженно-
напряженности Е электрического поля (это название
обусловлено тем, что при действии света
на вещество основное значение имеет
электрическая составляющая поля волны,
действующая на электроны в атомах ве-
вещества).
Свет представляет собой суммарное
электромагнитное излучение множества
атомов. Атомы же излучают световые во-
волны независимо друг от друга, поэтому
световая волна, излучаемая телом в це-
целом, характеризуется всевозможными рав-
равновероятными колебаниями светового век-
вектора (рис. 272, а; луч перпендикулярен
плоскости рисунка). В данном случае рав-
равномерное распределение векторов Е
объясняется большим числом атомарных
Рис. 272
излучателей, а равенство амплитудных
значений векторов Е — одинаковой
(в среднем) интенсивностью излучения
каждого из атомов. Свет со всевозможны-
всевозможными равновероятными ориентациями векто-
вектора Е (и, следовательно, Н) называется
естественным.
Свет, в котором направления колеба-
колебаний светового вектора каким-то образом
упорядочены, называется поляризован-
поляризованным. Так, если в результате каких-либо
внешних воздействий появляется преиму-
преимущественное (но не исключительное!) на-
направление колебаний вектора Е
(рис. 272, б), то имеем дело с частично
поляризованным светом. Свет, в котором
вектор Е (и, следовательно, Н) колеблется
только в одном направлении, перпендику-
перпендикулярном лучу (рис. 272, в), называется
плоскополяризованным (линейно поляри-
поляризованным).
Плоскость, проходящая через направ-
направление колебаний светового вектора плос-
кополяризованной волны и направление
распространения этой волны, называ-
называется плоскостью поляризации. Плоскопо-
ляризованный свет является предельным
случаем эллиптически поляризованного
света — света, для которого вектор Е
(вектор Н) изменяется со временем так,
что его конец описывает эллипс, лежащий
в плоскости, перпендикулярной лучу. Если
эллипс поляризации вырождается
(см. § 145) в прямую (при разности фаз ц>,
равной нулю или л), то имеем дело с
рассмотренным выше плоскополяризо-
плоскополяризованным светом, если в окружность (при
Ф=нЬл/2 и равенстве амплитуд склады-
складываемых волн), то имеем дело с циркулярно
поляризованным (поляризованным по кру-
кругу) светом.

Глава 25. Поляризация света
307
Степенью поляризации называется ве-
величина
Р =
'max 'min
'maxT'min
где /max и /min — максимальная и мини-
минимальная интенсивности света, соответ-
соответствующие двум взаимно перпендикуляр-
перпендикулярным компонентам вектора Е. Для
естественного света /тах = Лшп и Р = 0, для
плоскополяризованного /т1п=0 и Р=1.
Естественный свет можно преобразо-
преобразовать в плоскополяризованный, используя
так называемые поляризаторы, пропуска-
пропускающие колебания только определенного на-
направления (например, пропускающие ко-
колебания, параллельные плоскости поляри-
поляризатора, и полностью задерживающие
колебания, перпендикулярные этой
плоскости). В качестве поляризаторов мо-
могут быть использованы среды, анизотроп-
анизотропные в отношении колебаний вектора Е,
например кристаллы (их анизотропия из-
известна, см. §70). Из природных кристал-
кристаллов, давно используемых в качестве поля-
поляризатора, следует отметить турмалин.
Рассмотрим классические опыты с
турмалином (рис.273). Направим естест-
естественный свет перпендикулярно пластинке
турмалина Ti, вырезанной параллельно
так называемой оптической оси 00
(см. §192). Вращая кристалл Ti вокруг
направления луча, никаких изменений ин-
интенсивности прошедшего через турмалин
света не наблюдаем. Если на пути луча
поставить вторую пластинку турмалина Тг
и вращать ее вокруг направления луча, то
интенсивность света, прошедшего через
пластинки, меняется в зависимости от уг-
угла а между оптическими осями кристал-
кристаллов по закону Мал юса*:
/ = /0 cos а,
A90.1)
где /о и / — соответственно интенсивности
света, падающего на второй кристалл
и вышедшего из него. Следовательно, ин-
интенсивность прошедшего через пластинки
света изменяется от минимума (полное
Естественный
свет
0'
Плоскопошгризованный свет
Рис. 273
гашение света) при а = л/2 (оптические
оси пластинок перпендикулярны) до мак-
максимума при а = 0 (оптические оси пласти-
пластинок параллельны). Однако, как это следу-
следует из рис. 274, амплитуда Е световых коле-
колебаний, прошедших через пластинку Т2,
будет меньше амплитуды световых колеба-
колебаний Ео, падающих на пластинку Т2:
? = ?0 cos a.
Так как интенсивность света пропорцио-
пропорциональна квадрату амплитуды, то и получа-
получается выражение A90.1).
Результаты опытов с кристаллами тур-
турмалина объясняются довольно просто, ес-
если исходить из изложенных выше условий
пропускания света поляризатором. Пер-
Первая пластинка турмалина пропускает ко-
колебания только определенного направле-
направления (на рис. 273 это направление показано
стрелкой АВ) т. е. преобразует естествен-
естественный свет в плоскополяризованный. Вторая
же пластинка турмалина в зависимости от
ее ориентации из поляризованного света
пропускает большую или меньшую его
часть, которая соответствует компонен-
компоненту Е, параллельному оси второго турмали-
турмалина. На рис. 273 обе пластинки расположе-
расположены так, что направления пропускаемых
ими колебаний АВ и А'В' перпендикуляр-
* Э. Малюс A775—1812)—французский
физик.

308
5. Оптика. Квантовая природа излучения
ны друг другу. В даном случае Т| про-
пропускает колебания, направленные поАВ,
а Т2 их полностью гасит, т. е. за вторую
пластинку турмалина свет не проходит.
Пластинка Ti, преобразующая ес-
естественный свет в плоскополяризован-
ный, является поляризатором. Пластин-
Пластинка Т2, служащая для анализа степени по-
поляризации света, называется анализато-
анализатором. Обе пластинки совершенно одинако-
одинаковы (их можно поменять местами).
Если пропустить естественный свет че-
через два поляризатора, плоскости которых
образуют угол а, то из первого выйдет
лоскополяризованный свет, интенсив-
интенсивность КОТОРОГО /о='/2/ест, ИЗ ВТОРОГО, СО-
гласно A90.1), выйдет свет интенсивно-
интенсивностью / = /ocos2a. Следовательно, ин-
интенсивность света, прошедшего через два
поляризатора,
/='/VecTCOS2 a,
ОТКуДа /max ='/г/ест (пОЛЯриЗЭТОрЫ ПЭ-
раллельны) и /т|П = 0 (поляризаторы
скрещены).
§ 191. Поляризация света
при отражении и преломлении
на границе двух диэлектриков
Если естественный свет падает на границу
раздела двух диэлектриков (например,
воздуха и стекла), то часть его отражает-
отражается, а часть преломляется и распространя-
распространяется во второй среде. Устанавливая на
пути отраженного и преломленного лучей
анализатор (например, турмалин), убеж-
убеждаемся в том, что отраженный и прелом-
преломленный лучи частично поляризованы: при
поворачивании анализатора вокруг лучей
интенсивность света периодически усили-
усиливается и ослабевает (полного гашения не
наблюдается!). Дальнейшие исследования
показали, что в отраженном луче преобла-
преобладают колебания, перпендикулярные
плоскости падения (на рис. 275 они обоз-
обозначены точками), в преломленном — коле-
колебания, параллельные плоскости падения
(изображены стрелками).
Степень поляризации (степень выделе-
выделения световых волн с определенной ори-
Рис. 275
ентацией электрического (и магнитного)
вектора) зависит от угла падения лучей
и показателя преломления. Шотландский
физик Д. Брюстер A781 —1868) установил
закон, согласно которому при угле паде-
падения *в (угол Брюстера), определяемого со-
соотношением
tg'B=1
(П21 — показатель преломления второй
среды относительно первой), отраженный
луч является плоскополяризованным (со-
(содержит только колебания, перпендикуляр-
перпендикулярные плоскости падения) (рис.276). Пре-
Преломленный же луч при угле падения iB по-
поляризуется максимально, но не полностью.
Если свет падает на границу раздела
под углом Брюстера, то отраженный
и преломленный лучи взаимно перпендику-
лярны^ /в = sin t'B/cos /B,rt2i =sin tB/sin i2
(B — угол преломления), откуда cos('B =
Рис. 276

Глава 25. Поляризация света
309
= sint2)- Следовательно, 4в + «2 = я/2,
но 1в = (в (закон отражения), поэтому
Степень поляризации отраженного
и преломленного света при различных уг-
углах падения можно рассчитать из уравне-
уравнений Максвелла, если учесть граничные ус-
условия для электромагнитного поля на гра-
границе раздела двух изотропных диэлектри-
диэлектриков (так называемые формулы Френеля).
Степень поляризации преломленного
света может быть значительно повышена
(многократным преломлением при условии
падения света каждый раз на границу
раздела под углом Брюстера). Если, на-
например, для стекла (и = 1,53) степень по-
поляризации преломленного луча составляет
«15%, то после преломления на 8—
10 наложенных друг на друга стеклянных
пластинок вышедший из такой системы
свет будет практически полностью поляри-
поляризованным. Такая совокупность пластинок
называется стопой. Стопа может служить
для анализа поляризованного света как
при его отражении, так и при его пре-
преломлении.
§ 192. Двойное
лучепреломление
Все прозрачные кристаллы (кроме
кристаллов кубической системы, которые
оптически изотропны) обладают способно-
способностью двойного лучепреломления, т. е. раз-
раздваивания каждого падающего на них
светового пучка. Это явление,
в 1669 г. впервые обнаруженное датским
ученым Э. Бартолином A625—1698) для
исландского шпата (разновидность каль-
кальцита СаСОз), объясняется особенностями
распространения света в анизотропных
средах и непосредственно вытекает из
уравнений Максвелла.
Если на толстый кристалл исландского
шпата направить узкий пучок света, то из
кристалла выйдут два пространственно
разделенных луча, параллельных друг
другу и падающему лучу (рис. 277). Даже
в том случае, когда первичный пучок пада-
падает на кристалл нормально, преломленный
пучок разделяется на два, причем один из
них является продолжением первичного,
а второй отклоняется (рис.278). Второй
из этих лучей получил название необыкно-
необыкновенного (е), а первый — обыкновенно-
обыкновенного (о).
В кристалле исландского шпата имеет-
имеется единственное направление, вдоль кото-
которого двойное лучепреломление не наблю-
наблюдается. Направление в оптически анизот-
анизотропном кристалле, по которому луч света
распространяется, не испытывая двойного
лучепреломления, называется оптической
осью кристалла. В данном случае речь
идет именно о направлении, а не о прямой
линии, проходящей через какую-то точку
кристалла. Любая прямая, проходящая
параллельно данному направлению, явля-
является оптической осью кристалла. Кристал-
Кристаллы в зависимости от типа их симметрии
бывают одноосные и двуосные, т. е. имеют
одну или две оптические оси (к первым
и относится исландский шпат).
Плоскость, проходящая через направ-
направление луча света и оптическую ось
кристалла, называется главной плоско-
плоскостью (или главным сечением кристалла).
Анализ поляризации света (например,
с помощью турмалина или стеклянного
зеркала) показывает, что вышедшие из
кристалла лучи плоско поляризованы во
взаимно перпендикулярных плоскостях:
колебания светового вектора (вектора на-
напряженности Е электрического поля)
Рис. 277
Nc. 278

310
5. Оптика. Квантовая природа излучения
в обыкновенном луче происходят перпен-
перпендикулярно главной плоскости, в необыкно-
необыкновенном — в главной плоскости (рис. 278).
Неодинаковое преломление обыкно-
обыкновенного и необыкновенного лучей указы-
указывает на различие для них показателей
преломления. Очевидно, что при любом
направлении обыкновенного луча колеба-
колебания светового вектора перпендикулярны
оптической оси кристалла, поэтому обык-
обыкновенный луч распространяется по всем
направлениям с одинаковой скоростью и,
следовательно, показатель преломления п0
для него есть величина постоянная. Для
необыкновенного же луча угол между на-
направлением колебаний светового вектора
и оптической осью отличен от прямого
и зависит от направления луча, поэтому
необыкновенные лучи распространяются
по различным направлениям с разными
скоростями. Следовательно, показатель
преломления пе необыкновенного луча яв-
является переменной величиной, зависящей
от направления луча. Таким образом,
обыкновенный луч подчиняется закону
преломления (отсюда и название «обыкно-
«обыкновенный»), а для необыкновенного луча
этот закон не выполняется. После выхода
из кристалла, если не принимать во внима-
внимание поляризацию во взаимно перпендику-
перпендикулярных плоскостях, эти два луча ничем
друг от друга не отличаются.
Как уже рассматривалось, обыкновен-
обыкновенные лучи распространяются в кристалле
по всем направлениям с одинаковой ско-
скоростью vo = c/no, а необыкновенные —
с разной скоростью ve = c/ne (в зависимо-
зависимости от угла между вектором Е и оптиче-
оптической осью). Для луча, распространяюще-
распространяющегося вдоль оптической оси, по^=пе, vo = ve,
т. е. вдоль оптической оси существует
только одна скорость распространения
света. Различие во, и vo для всех на-
направлений, кроме направления оптической
оси, и обусловливает явление двойного
лучепреломления света в одноосных
кристаллах.
Допустим, что в точке S внутри одно-
одноосного кристалла находится точечный
источник света. На рис. 279 показано рас-
распространение обыкновенного и необыкно-
необыкновенного лучей в кристалле (главная
Рис. 279
плоскость совпадает с плоскостью черте-
чертежа, 00' — направление оптической оси).
Волновой поверхностью обыкновенного
луча (он распространяется с t/o = const)
является сфера, необыкновенного луча
(о<.=^= const)— эллипсоид вращения. Наи-
Наибольшее расхождение волновых поверхно-
поверхностей обыкновенного и необыкновенного лу-
лучей наблюдается в направлении, перпен-
перпендикулярном оптической оси. Эллипсоид
и сфера касаются друг друга в точках их
пересечения с оптической осью 00'. Если
Ve<V0 (пе>По), ТО ЭЛЛИПСОИД НеобыК-
новенного луча вписан в сферу обыкно-
обыкновенного луча (эллипсоид скоростей вы-
вытянут относительно оптической оси) и од-
одноосный кристалл называется положи-
положительным (рис. 279, а). Если ve>vo (ne<.
<п0), то эллипсоид описан вокруг сферы
(эллипсоид скоростей растянут в направ-
направлении, перпендикулярном оптической оси)
и одноосный кристалл называется отрица-
отрицательным (рис. 279, б). Рассмотренный вы-
выше исландский шпат относится к отрица-
отрицательным кристаллам.
В качестве примера построения обык-
обыкновенного и необыкновенного лучей рас-
/0
Рис. 280

Глава 25. Поляризация света
311
смотрим преломление плоской волны на
границе анизотропной среды, например
положительной (рис.280). Пусть свет па-
падает нормально к преломляющей грани
кристалла, а оптическая ось 00' составля-
составляет с нею некоторый угол. В точках А
и В построим сферические волновые по-
поверхности, соответствующие обыковенно-
му лучу, и эллипсоидальные — необыкно-
необыкновенному лучу. В точке, лежащей на 00',
эти поверхности соприкасаются. Согласно
принципу Гюйгенса, поверхность, каса-
касательная к сферам, будет фронтом (а — а)
обыкновенной волны, поверхность, каса-
касательная к эллипсоидам,— фронтом (Ь —
Ь) необыкновенной волны. Проведя к точ-
точкам касания прямые, получим направле-
направления распространения обыкновенного (о)
и необыкновенного (е) лучей. Таким обра-
образом, в данном случае обыкновенный луч
пойдет вдоль первоначального направле-
направления, необыкновенный же отклонится от
первоначального направления.
§ 193. Поляризационные призмы
и поляроиды
В основе работы поляризационных при-
приспособлений, служащих для получения по-
поляризованного света, лежит явление двой-
двойного лучепреломления. Наиболее часто
для этого применяются призмы и полярои-
поляроиды. Призмы делятся на два класса:
1) призмы, дающие только плоскопо-
ляризованный луч (поляризационные при-
призмы);
2) призмы, дающие два поляри? эн-
энных во взаимно перпендикулярных плоско-
плоскостях луча (двоякопреломляющие при-
призмы).
Поляризационные призмы построены
по принципу полного отражения
(см. § 165) одного из лучей (например,
обыкновенного) от границы раздела, в то
время как другой луч с другим показате-
показателем преломления проходит через эту гра-
границу. Типичным представителем поляри-
поляризационных призм является призма Нико-
Николя *, называемая часто нйколем. Призма
Рис. 281
Николя (рис.281) представляет собой
двойную призму из исландского шпата,
склеенную вдоль линии АВ канадским
бальзамом с и =1,55. Оптическая ось 00'
призмы составляет с входной гранью
угол 48°. На передней грани призмы
естественный луч, параллельный реб-
ребру СВ, раздваивается на два луча: обык-
обыкновенный (ио=1,6()) и необыкновенный
(пе=\,Ь\). При соответствующем подборе
угла падения, равного или большего пре-
предельного, обыкновенный луч испытывает
полное отражение (канадский бальзам
для него является средой оптически менее
плотной), а затем поглощается зачернен-
зачерненной боковой поверхностью СВ. Необыкно-
Необыкновенный луч выходит из кристалла парал-
параллельно падающему лучу, незначительно
смещенному относительно него (ввиду
преломления на наклонных гранях АС
и BD).
Двоякопреломляющие призмы исполь-
используют различие в показателях преломления
обыкновенного и необыкновенного лучей,
чтобы развести их возможно дальше друг
от друга. Примером двоякопреломляющих
призм могут служить призмы из исланд-
исландского шпата и стекла, призмы, составлен-
составленные из двух призм из исландского шпата
со взаимно перпендикулярными оптиче-
* У. Николь A768—1851) — шотландский
ученый.
Рис. 282

312
5. Оптика. Кнантовая природу излучения
скими осями. Для первых призм (рис. 282)
обыкновенный луч преломляется в шпате
и стекле два раза и, следовательно, сильно
отклоняется, необыкновенный же луч при
соответствующем подборе показателя пре-
преломления стекла п (плте) проходит при-
призму почти без отклонения. Для вторых
призм различие в ориентировке оптиче-
оптических осей влияет на угол расхождения
между обыкновенным и необыкновенным
лучами.
Двоякопреломляющие кристаллы об-
обладают свойством дихроизма, т. е. различ-
различного поглощения света в зависимости от
ориентации электрического вектора свето-
световой волны, и называются дихроичными
кристаллами. Примером сильно дихроич-
ного кристалла является турмалин, в кото-
котором из-за сильного селективного поглоще-
поглощения обыкновенного луча уже при толщине
пластинки 1 мм из нее выходит только нео-
необыкновенный луч. Такое различие в по-
поглощении, зависящее, кроме того, от дли-
длины волны, приводит к тому, что при осве-
освещении дихроичного кристалла белым
светом кристалл по разным направлениям
оказывается различно окрашенным.
Дихроичные кристаллы приобрели еще
более важное значение в связи с изобрете-
изобретением поляроидов. Примером поляроида
может служить тонкая пленка из целлуло-
целлулоида, в которую вкраплены кристаллики
герапатита (сернокислого иод-хинина).
Герапатит — двоякопреломляющее ве-
вещество с очень сильно выраженным дих-
дихроизмом в области видимого света. Уста-
Установлено, что такая пленка уже при толщи-
толщине ж0,1 мм полностью поглощает обыкно-
обыкновенные лучи видимой области спектра,
являясь в таком тонком слое совершенным
поляризатором. Преимущество полярои-
поляроидов перед призмами — возможность изго-
изготовлять их с площадями поверхностей до
нескольких квадратных метров. Однако
степень поляризации в них сильнее за-
зависит от к, чем в призмах. Кроме того, их
меньшая по сравнению с призмами про-
прозрачность (приблизительно 30 %) в соче-
сочетании с небольшой термостойкостью не
позволяет использовать поляроиды в мощ-
мощных световых потоках. Поляроиды при-
применяются, например, для защиты от ос-
ослепляющего действия солнечных лучей
и фар встречного автотранспорта.
Разные кристаллы создают различ-
различное по значению и направлению двойное
лучепреломление, поэтому, пропуская че-
через них поляризованный свет и измеряя
его изменение после прохождения
кристаллов, можно определить их оптиче-
оптические характеристики и производить мине-
минералогический анализ. Для этой цели ис-
используются поляризационные микроскопы.
§ 194. Анализ поляризованного света
Пусть на кристаллическую пластинку, вы-
вырезанную параллельно оптической оси,
нормально падает плоскополяризованный
свет (рис. 283). Внутри пластинки он раз-
разбивается на обыкновенный (о) и необык-
необыкновенный (е) лучи, которые в кристалле
пространственно не разделены (но дви-
движутся с разными скоростями), а на вы-
выходе из кристалла складываются.
Так как в обыкновенном и необыкно-
необыкновенном лучах колебания светового вектора
совершаются во взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных направлениях, то на выходе из
пластинки в результате сложения этих
колебаний возникают световые волны, век-
вектор Е (а следовательно, и Н) в которых
меняется со временем так, что его конец
описывает эллипс, ориентированный про-
произвольно относительно координатных
осей. Уравнение этого эллипса
(см. A45.2)):
X2 2хУ , У2 -2 ппл м
—2 cos фН—=!Y = sin ф, A94.1)
Е„ Е0Ее ?
У
'О'
Рис. 283

Глава 25. Поляризация света
313
где Ео и Ее — соответственно составляю-
составляющие напряженности электрического поля
волны в обыкновенном и необыкновенном
лучах, ф — разность фаз колебаний. Та-
Таким образом, в результате прохождения
через кристаллическую пластинку плоско-
поляризованный свет превращается в эл-
эллиптически поляризованный.
Между обыкновенным и необыкновен-
необыкновенным лучами в пластинке возникает оптиче-
оптическая разность хода
или разность фаз
V^riionjd,
где d — толщина пластинки, Хй— длина
волны в вакууме.
Если Д = («о — ne)d = X/4, ф=±л/2,
то уравнение A94.1) примет вид
х2 и2
2 1 п ~^ )
F
т. е. эллипс ориентирован относительно
главных осей кристалла. При Е0 = Ее (ес-
(если световой вектор в падающем на
пластинку плоскополяризованном свете
составляет угол а = 45° с направлением
оптической оси пластинки)
т. е. на выходе из пластинки свет ока-
оказывается циркулярно поляризованным.
Вырезанная параллельно оптической
оси пластинка, для которой оптическая
разность хода
(m = 0, 1,2, ...),
называется пластинкой в четверть волны
(пластинкой Х./4). Знак плюс соответству-
соответствует отрицательным кристаллам, минус —
положительным. Плоскополяризованный
свет, пройдя пластинку Х/4, на выходе
превращается в эллиптически поляризо-
поляризованный (в частном случае циркулярно по-
поляризованный). Конечный результат, как
уже рассматривали, определяется разно-
разностью фаз ф и углом а.
Пластинка, для которой
(m = 0, 1,2, ...),
называется пластинкой в полволны и т. д.
В циркулярно поляризованном свете
разность фаз ф между любыми двумя вза-
взаимно перпендикулярными колебаниями
равна ±я/2. Если на пути такого света
поставить пластинку Х/4, то она внесет
дополнительную разность фаз ±я/2. Ре-
Результирующая разность фаз станет рав-
равной О или п. Следовательно (см. A94.1)),
циркулярно поляризованный свет, пройдя
пластинку Х/4, становится плоскополяри-
зованным. Если теперь на пути луча по-
поставить поляризатор, то можно добиться
полного его гашения. Если же падающий
свет естественный, то он при прохождении
пластинки Х/4 таковым и останется (ни
при каком положении пластинки и поляри-
поляризатора погашения луча не достичь).
Таким образом, если при вращении
поляризатора при любом положении
пластинки интенсивность не меняется, то
падающий свет естественный. Если интен-
интенсивность меняется и можно достичь пол-
полного гашения луча, то падающий свет
циркулярно поляризованный, если полного
гашения не достичь, то падающий свет
представляет смесь естественного и цирку-
циркулярно поляризованного.
Если на пути эллиптически поляризо- ¦
ванного света поместить пластинку Х/4,
оптическая ось которой ориентирована
параллельно одной из осей эллипса, то
она внесет дополнительную разность фаз
±я/2. Результирующая разность фаз ста-
станет равной нулю или я. Следовательно,
эллиптически поляризованный свет, прой-
пройдя пластинку Х/4, повернутую определен-
определенным образом, превращается в плоскополя-
плоскополяризованный и может быть погашен пово-
поворотом поляризатора. Этим методом можно
отличить эллиптически поляризованный
свет от частично поляризованного или
циркулярно поляризованный свет от
естественного.

314
5. Оптика. Квантовая природа излучения
§ 195. Искусственная
оптическая анизотропия
Двойное лучепреломление имеет место
в естественных анизотропных средах
(см. § 192). Существуют, однако, различ-
различные способы получения искусственной оп-
оптической анизотропии, т. е. сообщения оп-
оптической анизотропии естественно изо-
изотропным веществам.
Оптически изотропные вещества ста-
становятся оптически анизотропными под
действием: 1) одностороннего сжатия или
растяжения (кристаллы кубической систе-
системы, стекла и др.); 2) электрического поля
(эффект Керра *; жидкости, аморфные те-
тела, газы); 3) магнитного поля (жидкости,
стекла, коллоиды). В перечисленных слу-
случаях вещество приобретает свойства од-
одноосного кристалла, оптическая ось кото-
которого совпадает с направлением деформа-
деформации, электрического или магнитного полей
соответственно указанным выше воздей-
воздействиям.
Мерой возникающей оптической ани-
анизотропии служит разность показателей
преломления обыкновенного и необыкно-
необыкновенного лучей в направлении, перпендику-
перпендикулярном оптической оси:
(в случае деформации);
(в случае электрического поля);
A95.1)
(в случае магнитного поля),
где k\, k% k3 — постоянные, характеризую-
характеризующие вещество, а — нормальное напряже-
напряжение (см. §21), Е и // — соответственно
напряженность электрического и магнит-
магнитного полей.
На рис. 284 приведена установка для
наблюдения эффекта Керра в жидкостях
(установки для изучения рассмотренных
явлений однотипны). Ячейка Керра — кю-
кювета с жидкостью (например, нитробензо-
Рис. 284
лом), в которую введены пластины кон-
конденсатора, помещается между скрещен-
скрещенными поляризатором Р и анализатором А.
При отсутствии электрического поля свет
через систему не проходит. При наложе-
наложении электрического поля жидкость стано-
становится двоякопреломляющей; при измене-
изменении разности потенциалов между электро-
электродами меняется степень анизотропии ве-
вещества, а следовательно, и интенсивность
света, прошедшего через анализатор. На
пути / между обыкновенным и необыкно-
необыкновенным лучами возникает оптическая раз-
разность хода
(с учетом формулы A95.1)) или соответ-
соответственно разность фаз
Д. Керр A824—1904) — шотландский
физик.
где B = ki/X—постоянная Керра.
Эффект Керра — оптическая анизот-
анизотропия веществ под действием электриче-
электрического поля — объясняется различной по-
поляризуемостью молекул жидкости по раз-
разным направлениям. Это явление практиче-
практически безынерционно, т. е. переход вещества
из изотропного состояния в анизотропное
при включении поля (и обратно) состав-
составляет приблизительно 10~'° с. Поэтому
ячейка Керра служит идеальным световым
затвором и применяется в быстропротека-
ющих процессах (звукозапись, воспроиз-
воспроизводство звука, скоростная фото- и кино-
киносъемка, изучение скорости распростране-
распространения света и т.д.), в оптической локации,
в оптической телефонии и т. д.
Искусственная анизотропия под дей-
действием механических воздействий позволя-
позволяет исследовать напряжения, возникающие
в прозрачных телах. В данном случае
о степени деформации отдельных участков
изделия (например, остаточных деформа-

Глава 25. Поляризация света
315
ций в стекле при закалке) судят по распре-
распределению в нем окраски. Так как применяе-
применяемые обычно в технике материалы (метал-
(металлы) непрозрачны, то исследование на-
напряжений производят на прозрачных
моделях, а потом делают соответствующий
пересчет на проектируемую конструкцию.
§ 196. Вращение
плоскости поляризации
Некоторые вещества (например, из твер-
твердых тел — кварц, сахар, киноварь, из
жидкостей — водный раствор сахара, вин-
винная кислота, скипидар), называемые опти-
оптически активными, обладают способностью
вращать плоскость поляризации.
Рис. 285
Вращение плоскости поляризации
можно наблюдать на следующем опыте
(рис.285). Если между скрещенными по-
поляризатором Р и анализатором А, дающи-
дающими темное поле зрения, поместить оптиче-
оптически активное вещество (например, кювету
с раствором сахара), то поле зрения ана-
анализатора просветляется. При повороте
анализатора на некоторый угол ф можно
вновь получить темное поле зрения. Угол ф
и есть угол, на который оптически актив-
активное вещество поворачивает плоскость по-
поляризации света, прошедшего через поля-
поляризатор. Так как поворотом анализатора
можно получить темное поле зрения, то
свет, прошедший через оптически актив-
активное вещество, является плоскополяризо-
ванным.
Опыт показывает, что угол поворота
плоскости поляризации для оптически ак-
активных кристаллов и чистых жидкостей
для оптически активных растворов
A96.1)
где d — расстояние, пройденное светом
в оптически активном веществе, a ([a]) —
так называемое удельное вращение, чис-
численно равное углу поворота плоскости по-
поляризации света слоем оптически активно-
активного вещества единичной толщины (единич-
(единичной концентрации — для растворов), С —
массовая концентрация оптически актив-
активного вещества в растворе, кг/м3. Удельное
вращение зависит от природы вещества,
температуры и длины волны света в ва-
вакууме.
Опыт показывает, что все вещества,
оптически активные в жидком состоянии,
обладают таким же свойством
и в кристаллическом состоянии. Однако
если вещества активны в кристаллическом
состоянии, то не всегда активны в жидком
(например, расплавленный кварц). Следо-
Следовательно, оптическая активность обуслов-
обусловливается как строением молекул вещества
(их асимметрией), так и особенностями
расположения частиц в кристаллической
решетке.
Оптически активные вещества в за-
зависимости от направления вращения
плоскости поляризации разделяются на
право- и левовращающие. В первом слу-
случае плоскость поляризации, если смотреть
навстречу лучу, вращается вправо (по
часовой стрелке), во втором — влево
(против часовой стрелки). Вращение плос-
плоскости поляризации объяснено О. Френелем
A817 г.). Согласно теории Френеля ско-
скорость распространения света в оптически
активных веществах различна для лу-
лучей, поляризованных по кругу вправо и
влево.
Явление вращения плоскости поляри-
поляризации и, в частности, формула A96.1)
лежат в основе точного,метода определе-
определения концентрации растворов оптически ак-
активных веществ, называемого поляримет-
рией (сахариметрией). Для этого исполь-
используется установка, показанная на рис. 285.
По найденному углу поворота плоскости
поляризации ф и известному значению [а]
из A96.1) находится концентрация
растворенного вещества.
Впоследствии М. Фарадеем обнаруже-
обнаружено вращение плоскости поляризации в оп-
оптически неактивных телах, возникающее
под действием магнитного поля. Это явле-
явление получило название эффекта Фарадея

316 Г) Оптика. Квантовая природа излучения
(или магнитного вращения плоскости по- нием, в котором обнаружилась связь меж-
ляризации). Оно имело огромное значе- ду оптическими и электромагнитными
ние для науки, так как было первым явле- процессами.
Контрольные вопросы
• Что называется естественным светом? плоскополяризованным светом? частично поляризован-
поляризованным светом? эллиптически поляризованным светом?
• Как практически можно отличить плоскополяризованный свет от естественного?
• Интенсивность естественного света, пропущенного через два поляризатора, уменьшилась
вдвое. Как ориентированы поляризаторы?
• Чем замечателен угол Брюстера?
• Покажите, что при выполнении закона Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно
перпендикулярны.
• Что называется оптической осью кристалла? Чем отличаются двуосные кристаллы от одноос-
одноосных?
• Чем обусловлено двойное лучепреломление в оптически анизотропном одноосном кристалле?
• Чем отличаются отрицательные кристаллы от положительных? Приведите построение волновых
поверхностей для обыкновенного и необыкновенного лучей.
• Какие поляризационные приборы вы знаете? В чем заключается принцип их действия?
• Что называется пластинкой в четверть волны? в полволны?
• Можно ли с помощью только поляризатора отличить эллиптически поляризованный свет от
частично поляризованного? Почему?
• На поляризатор падает циркулярно поляризованный свет, интенсивность которого равна /о.
Какова интенсивность света за поляризатором?
• Как, используя пластинку в четверть волны и поляризатор, отличить циркулярно поляризован-
поляризованный свет от естественного?
• Каково будет действие пластинки в полволны на естественный свет? на плоскополяризованный
свет, плоскость поляризации которого составляет угол 45° с оптической осью пластинки?
• Что такое эффект Керра? Какова физическая причина его возникновения?
• Какие вещества называются оптически активными?
• В чем отличие оптической активности от двойного лучепреломления?
Задачи
25.1. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего
через два поляризатора, расположенные так, что угол между их главными плоскостями равен
45°, а в каждом из николей теряется 5 % интенсивности падающего на него света. [В 4,43 ра-
раза]
25.2. Предельный угол полного отражения для пучка света на границе кристалла каменной соли
с воздухом равен 40,5°. Определить угол Брюстера при падении света из воздуха на повер-
поверхность этого кристалла. [57°]
25.3. Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме Я.= 600 нм, падает на пластин-
пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Принимая показатели преломле-
преломления для исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно по =
= 1,66 и пг= 1,49, определить длины волн этих лучей в кристалле. [А.О = 361 нм, ^ = 403 нм]
25.4. Определить наименьшую толщину кристаллической пластинки в полволны для А, = 589 нм,
если разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей для данной
длины волны /г0 — гг^, = О, 17. [1,73 мкм]

I" лава 26. Квантовая природа излучения
317
25.5. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных николей,
между которыми находится кварцевая пластинка толщиной 4 мм, вырезанная перпендику-
перпендикулярно оптической оси. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошедшего через
эту систему, если удельное вращение кварца равно 15 угл. град/мм? [В 2,67 раза]
Глава 26
Квантовая природа излучения
§ 197. Тепловое излучение
и его характеристики
Тела, нагретые до достаточно высоких
температур, светятся. Свечение тел, обус-
обусловленное нагреванием, называется тепло-
тепловым (температурным) излучением. Тепло-
Тепловое излучение, являясь самым распростра-
распространенным в природе, совершается за счет
энергии теплового движения атомов и мо-
молекул вещества (т. е. за счет его внутрен-
внутренней энергии) и свойственно всем телам
при температуре выше О К. Тепловое излу-
излучение характеризуется сплошным спект-
спектром, положение максимума которого за-
зависит от температуры. При высоких темпе-
температурах излучаются короткие (видимые и
ультрафиолетовые) электромагнитные
волны, при низких — преимущественно
длинные (инфракрасные).
Тепловое излучение — практически
единственный вид излучения, который мо-
может быть равновесным. Предположим, что
нагретое (излучающее) тело помещено
в полость, ограниченную идеально отра-
отражающей оболочкой. С течением времени,
в результате непрерывного обмена энер-
энергией между телом и излучением, наступит
равновесие, т. е. тело в единицу времени
будет поглощать столько же энергии,
сколько и излучать. Допустим, что равно-
равновесие между телом и излучением по какой-
либо причине нарушено и тело излучает
энергии больше, чем поглощает. Если
в единицу времени тело больше излучает,
чем поглощает (или наоборот), то темпе-
температура тела начнет понижаться (или по-
повышаться). В результате будет ослаблять-
ослабляться (или возрастать) количество излучае-
излучаемой телом энергии, пока, наконец, не
установится равновесие. Все другие виды
излучения неравновесны.
Количественной характеристикой теп-
теплового излучения служит спектральная
плотность энергетической светимости (из-
лучательности) тела — мощность излуче-
излучения с единицы площади поверхности тела
в интервале частот единичной ширины:
где dW"™+iv— энергия электромагнитно-
электромагнитного излучения, испускаемого за единицу
времени (мощность излучения) с единицы
площади поверхности тела в интервале
частот от v до v-(-dv.
Единица спектральной плотности энер-
энергетической светимости (Rvj) — джоуль на
метр в квадрате в секунду (Дж/(м2-с)).
Записанную формулу можно предста-
представить в виде функции длины волны:
dW™+iv = RvJ dv = RKT АХ.
Так как с =
то
,. = ^7.—. A97.1)
dv v2 с '
где знак минус указывает на то, что с воз-
возрастанием одной из величин (v или X)
другая величина убывает. Поэтому в даль-
дальнейшем знак минус будем опускать. Таким
образом,
а!
с
С помощью формулы A97.1) можно пе-
перейти от RvT к R^T и наоборот.
Зная спектральную плотность энерге-
энергетической светимости, можно вычислить
интегральную энергетическую светимость
(интегральную излучательность) (ее на-
называют просто энергетической светимо-
светимостью тела), просуммировав по всем
частотам:
ос
R = \ Rv dv. A97.2)

318
5. Оптика. Квантовая природа излучения
Способность тел поглощать падающее
на них излучение характеризуется спек-
спектральной поглощательной способностью
dW7v,v + dv'
показывающей, какая доля энергии, при-
приносимой за единицу времени на единицу
площади поверхности тела падающими на
нее электромагнитными волнами с частота-
частотами от v до v + dv, поглощается телом.
Спектральная поглощательная способ-
способность — величина безразмерная. Rv T
и Av T зависят от природы тела, его термо-
термодинамической температуры и при этом раз-
различаются для излучений с различными
частотами. Поэтому эти величины относят
к определенным Т и v (вернее, к достаточ-
достаточно узкому интервалу частот от v до v + dv).
Тело, способное поглощать полностью
при любой температуре все падающее на
него излучение любой частоты, называется
черным. Следовательно, спектральная по-
поглощательная способность черного тела
для всех частот и температур тождествен-
тождественно равна единице (Л*г=1). Абсолютно
черных тел в природе нет, однако такие
тела, как сажа, платиновая чернь, черный
бархат и некоторые другие, в определен-
определенном интервале частот по своим свойствам
близки к ним.
Идеальной моделью черного тела яв-
является замкнутая полость с небольшим
отверстием О, внутренняя поверхность ко-
которой зачернена (рис.286). Луч света,
попавший внутрь такой полости, испыты-
испытывает многократные отражения от стенок,
в результате чего интенсивность вышед-
вышедшего излучения оказывается практически
равной нулю. Опыт показывает, что при
размере отверстия, меньшего 0,1 диаметра
полости, падающее излучение всех частот
«полностью поглощается». Вследствие
этого открытые окна домов со стороны
улицы кажутся черными, хотя внутри ком-
комнат достаточно светло из-за отражения
света от стен.
Наряду с понятием черного тела ис-
используют понятие серого тела — тела, по-
поглощательная способность которого мень-
меньше единицы, но одинакова для всех частот
и зависит только от температуры, матери-
материала и состояния поверхности тела. Таким
образом, для серого тела AcvT = AT =
= const < 1.
Исследование теплового излучения
сыграло важную роль в создании кванто-
квантовой теории света, поэтому необходимо
рассмотреть законы, которым оно подчи-
подчиняется.
§ 198. Закон Кирхгофа
Кирхгоф, опираясь на второй закон термо-
термодинамики и анализируя условия равно-
равновесного излучения в изолированной систе-
системе тел, установил количественную связь
между спектральной плотностью энергети-
энергетической светимости и спектральной погло-
поглощательной способностью тел. Отношение
спектральной плотности энергетической све-
светимости к спектральной поглощательной
способности не зависит от природы тела;
оно является для всех тел универсальной
функцией частоты (длины волны) и темпе-
температуры (закон Кирхгофа):
4^=V7. A98.1)
Рис. 286
Для черного тела Л*г=1, поэтому из
закона Кирхгофа (см. A98.1)) вытекает,
что RvT для черного тела равна гхТ. Таким
образом, универсальная функция Кирхго-
Кирхгофа rv T есть не что иное, как спектральная
плотность энергетической светимости чер-
черного тела. Следовательно, согласно закону
Кирхгофа, для всех тел отношение спек-
спектральной плотности энергетической свети-
светимости к спектральной поглощательной
способности равно спектральной плотно-

Глава 26. Квантовая природа излучения
319
сти энергетической светимости черного те-
тела при той же температуре и частоте.
Из закона Кирхгофа следует, что спек-
спектральная плотность энергетической свети-
светимости любого тела в любой области спект-
спектра всегда меньше спектральной плотности
энергетической светимости черного тела
(при тех же значениях Т hv), так как
AvT<\ и поэтому Rvj<rvJ. Кроме того,
из A98.1) вытекает, что если тело не
поглощает электромагнитные волны ка-
какой-то частоты, то оно их и не Излучает,
так как при AvT = 0 RxT — 0.
Используя закон Кирхгофа, выраже-
выражению для энергетической светимости тела
A97.2) можно придать вид
Для серого тела
где
,т dv.
= ATRe, A98.2)
A98.3)
— энергетическая светимость черного тела
(зависит только от температуры).
Закон Кирхгофа описывает только теп-
тепловое излучение, являясь настолько ха-
характерным для него, что может служить
надежным критерием для определения
природы излучения. Излучение, которое
закону Кирхгофа не подчиняется, не явля-
является тепловым.
§ 199. Законы Стефана — Больцмана
и смещения Вина
Из закона Кирхгофа (см. A98.1)) следу-
следует, что спектральная плотность энергети-
энергетической светимости черного тела является
универсальной функцией, поэтому нахож-
нахождение ее явной зависимости от частоты
и температуры является важной задачей
теории теплового излучения.
Австрийский физик Й. Стефан A835—
1893), анализируя экспериментальные
данные A879), и Л. Больцман, применяя
термодинамический метод A884), решили
эту задачу лишь частично, установив за-
зависимость энергетической светимости Re
от температуры. Согласно закону Стефа-
Стефана — Больцмана,
Re=aT\
A99.1)
т. е. энергетическая светимость черного
тела пропорциональна четвертой степени
его термодинамической температуры; <т —
постоянная Стефана — Больцмана: ее эк-
экспериментальное значение равно
5,67-10-8Bt/(m2-K4).
Закон Стефана — Больцмана, опреде-
определяя зависимость Re от температуры, не
дает ответа относительно спектрального
состава излучения черного тела. Из экспе-
экспериментальных кривых зависимости функ-
т=—j- rv т ) от длины волны X
ции гк
при различных температурах (рис. 287)
следует, что распределение энергии в спек-
спектре черного тела является неравномерным.
Все кривые имеют янно выраженный мак-
максимум, который по мере повышения темпе-
температуры смещается в сторону более корот-
коротких волн. Площадь, ограниченная кривой
зависимости гх1 от Я. и осью абсцисс, про-
пропорциональна энергетической светимости
Re черного тела и, следовательно, по за-
закону Стефана — Больцмана, четвертой
степени температуры.
Немецкий физик В. Вин A864—1928),
опираясь на законы термо- и электродина-
электродинамики, установил зависимость длины во-
волны Хтах, соответствующей максимуму
функции гхт, от температуры Т. Согласно
закону смещения Вина,
ктях = Ь/Т, A99.2)
Ри<:. 287

320
5. Оптика. Квантовая природа излучения
т. е. длина волны А,так, соответствующая
максимальному значению спектральной
плотности энергетической светимости rx T
черного тела, обратно пропорциональна
его термодинамической температуре, Ь —
постоянная Вина: ее экспериментальное
значение равно 2,9-10~3м-К. Выраже-
Выражение A99.2) потому называют законом сме-
смещения Вина, что оно показывает смещение
положения максимума функции гкт по ме-
мере возрастания температуры в область
коротких длин волн. Закон Вина объясня-
объясняет, почему при понижении температуры
нагретых тел в их спектре все сильнее
преобладает длинноволновое излучение
(например, переход белого каления
в красное при остывании металла).
Несмотря на то что законы Стефана —
Больцмана и Вина играют в теории тепло-
теплового излучения важную роль, они являют-
являются частными законами, так как не дают
общей картины распределения энергии по
частотам при различных температурах.
§ 200. Формулы Рэлея — Джинса
и Планка
Из рассмотрения законов Стефана —
Больцмана и Вина следует, что термоди-
термодинамический подход к решению задачи
о нахождении универсальной функции
Кирхгофа /\,,г не дал желаемых резуль-
результатов. Следующая строгая попытка теоре-
теоретического вывода зависимости гхТ принад-
принадлежит английским ученым Д. Рэлею
и Д. Джинсу A877—1946), которые при-
применили к тепловому излучению методы
статистической физики, воспользовавшись
классическим законом равномерного рас-
распределения энергии по степеням свободы.
Формула Рэлея — Джинса для спек-
спектральной плотности энергетической свети-
светимости черного тела имеет вид
kT, B00.1)
где (s,}=kT — средняя энергия осцилля-
осциллятора с собственной частотой v. Для осцил-
осциллятора, совершающего колебания, сред-
средние значения кинетической и потенциаль-
потенциальной энергий одинаковы (см. §50), поэтому
По Рэлею -Джмнсу
Вину
Рис. 288
средняя энергия каждой колебательной
степени свободы <е)=й7\
Как показал опыт, выражение B00.1)
согласуется с экспериментальными данны-
данными только в области достаточно малых
частот и больших температур. В области
больших частот формула Рэлея — Джин-
Джинса резко расходится с экспериментом,
а также с законом Вина (рис. 288). Кроме
того, оказалось, что попытка получить за-
закон Стефана — Больцмана (см. A99.1))
из формулы Рэлея — Джинса приводит
к абсурду. Действительно, вычисленная
с использованием B00.1) энергетическая
светимость черного тела (см. A98.3))
2я/г7"
2
v dv=
в то время как по закону Стефана —
Больцмана Re пропорциональна четвертой
степени температуры. Этот результат по-
получил название «ультрафиолетовой ка-
катастрофы». Таким образом, в рамках клас-
классической физики не удалось объяснить
законы распределения энергии в спектре
черного тела.
Правильное, согласующееся с опытны-
опытными данными выражение для спектральной
плотности энергетической светимости чер-
черного тела было найдено в 1900 г. немецким
физиком М. Планком. Для этого ему при-
пришлось отказаться от установившегося по-
положения классической физики, согласно
которому энергия любой системы может
изменяться непрерывно, т. е. может прини-
принимать любые сколь угодно близкие значе-
значения. Согласно выдвинутой Планком кван-
квантовой гипотезе, атомные осцилляторы из-
излучают энергию не непрерывно, а опреде-

Глава 26. Кваитоная природа излучения
321
ленными порциями — квантами, причем
энергия кванта пропорциональна частоте
колебания (см. A70.3)):
B00.2)
где /1 = 6,625.104 Дж-с — постоянная
Планка. Так как излучение испускается
порциями, то энергия осциллятора е мо-
может принимать лишь определенные
дискретные значения, кратные целому чис-
числу элементарных порций энергии ео:
e = nhv (п = 0, 1, 2,...).
В данном случае среднюю энергию
(е) осциллятора нельзя принимать рав-
равной kT. Вероятность, что осциллятор на-
находится в состоянии с энергией е„, про-
„/(П
порциональна е , но при вычислении
средних значений (при дискретных значе-
значениях энергии) интегралы заменяются сум-
суммами. При данном условии средняя энер-
энергия осциллятора
<е>=-
'—1
а спектральная плотность энергетической
светимости черного тела
2лу2 hv
-1
Таким образом, Планк вывел для уни-
универсальной функции Кирхгофа формулу
1
—, B00.3)
которая блестяще согласуется с экспери-
экспериментальными данными по распределению
энергии в спектрах излучения черного те-
тела во всем интервале частот и темпера-
температур. Теоретический вывод этой формулы
М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на
заседании Немецкого физического общест-
общества. Этот день стал датой рождения кванто-
квантовой физики.
В области малых частот, т.е. при
(энергия кванта очень мала по сравнению
с энергией теплового движения kT), формула
Планка B00.3) совпадает с формулой Рэлея —
Джинса B00.1). Для доказательства этого раз-
разложим экспоненциальную функцию в ряд, огра-
ограничившись для рассматриваемого случая двумя
первыми членами:
е ~ +ТГ' е ~ kT'
Подставляя последнее выражение в формулу
Планка B00.3), найдем, что
у3I2лу2
2л/;у3
с2 hv/(kT)
т. е. получили формулу Рэлея — Джинса
B00.1).
Из формулы Планка можно получить закон
Стефана — Больцмана. Согласно A98.3)
и B00.3),
-dv.
Введем безразмерную переменную jc =
= hv/(kT); Ax = hAv/(kT); dv = kT dx/h. Фор-
Формула для Re преобразуется к виду
*,=
с2й3 J ех— 1
B00.4)
где
x3dx
с2А3 J ех-1 15 с2/!3
= . Таким образом, действи-
действием I 1 о
о
тельно формула Планка позволяет получить за-
закон Стефана—Больцмана (ср. формулы A99.1)
и B00.4)). Кроме того, подстановка числовых
значений k, с и ft дает для постоянной Стефана—
Больцмана величину, хорошо согласующуюся
с экспериментальными данными.
Закон смещения Нина получим с помощью
формул A97.1) и B00.3):
с
X2
1
— 1
откуда
дгкТ
2nc2h
he
kTX
>— 1
phc/{kTX)_
Значение Xmax, при котором функция достигает
максимума, найдем, приравняв нулю эту про-
11 Т. И. Трофимова

322
Оптика. Квантоиая природа излучения
изводную. Тогда, введя x = hc/(kTXmlix), полу-
получим уравнение
хех — 5(е*— 1) = 0.
Решение этого трансцендентного уравнения
методом последовательных приближений дает
* = 4,965. Следовательно, hc/(kTXmax) = 4,965,
откуда
т. е. получили закон смещения Вина
(см. 199.2)).
Из формулы Планка, зная универсаль-
универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить
постоянные Стефана — Больцмана а
и Вина Ь. С другой стороны, зная экспери-
экспериментальные значения а и Ь, можно вы-
вычислить значения h и k (именно так и было
впервые найдено числовое значение по-
постоянной Планка).
Таким образом, формула Планка не
только хорошо согласуется с эксперимен-
экспериментальными данными, но и содержит в себе
частные законы теплового излучения,
а также позволяет вычислить постоянные
в законах теплового излучения. Следова-
Следовательно, формула Планка является полным
решением основной задачи теплового
излучения, поставленной Кирхгофом. Ее
решение стало возможным лишь благода-
благодаря революционной квантовой гипотезе
Планка.
§2A1, Оптическая пирометрии.
Тепловые источники света
Законы теплового излучения используют-
используются для измерения температуры раскален-
раскаленных и самосветящихся тел (например,
звезд). Методы измерения высоких темпе-
температур, использующие зависимость спек-
спектральной плотности энергетической свети-
светимости или интегральной энергетической
светимости тел от температуры, па н.ш.иог
ся оптической пирометрией. Приборы для
измерения температуры нагретых тел по
интенсивности их теплового излучения
в оптическом диапазоне спектра называ-
называются пирометрами. В зависимости от того,
какой закон теплового излучения исполь-
используется при измерении температуры тел,
различают радиационную, цветовую и яр-
костную температуры.
1. Радиационная температура — это
такая температура черного тела, при кото-
которой его энергетическая светимость Re
(см. A98.3)) равна энергетической свети-
светимости Rr (см. A97.2)) исследуемого тела.
В данном случае регистрируется энергети-
энергетическая светимость исследуемого тела и по
закону Стефана — Больцмана A99.1) вы-
вычисляется его радиационная температура:
Радиационная температура 7Р тела
всегда меньше его истинной температуры
Т. Для доказательства этого предполо-
предположим, что исследуемое тело является се-
серым. Тогда, используя A99.1) и A98.2),
можно записать
С другой стороны,
Из сравнения этих выражений вытека-
вытекает, что
Так как Ат<\, то Тр<Т, т.е. истинная
температура тела всегда выше радиаци-
радиационной.
2. Цветовая температура. Для серых
тел (или тел, близких к ним по свойствам)
спектральная плотность энергетической
светимости
где Лг = const < 1. Следовательно, рас-
распределение энергии в спектре излучения
серого тела такое же, как и в спектре
черного тела, имеющего ту же температу-
температуру. Поэтому к серым телам применим за-
закон Вина (см. A99.2)), т.е., зная длину
волны Хтах, соответствующую максималь-
максимальной спектральной плотности энергетиче-
энергетической светимости R^T исследуемого тела,
можно определить его температуру
которая называется цветовой температу-
температурой. Для серых тел цветовая температура

Глава 26. Квантован природа излучения
323
совпадает с истинной. Для тел, которые
сильно отличаются от серых (например,
обладающих селективным поглощением),
понятие цветовой температуры теряет
смысл. Таким способом определяется тем-
температура на поверхности Солнца (Т„«
«6500 К) и звезд.
3. Яркостная температура 7"я — это
температура черного тела, при которой для
определенной длины волны его спектраль-
спектральная плотность энергетической светимости
равна спектральной плотности энерге-
энергетической светимости исследуемого тела,
'kt. = Rx,t, B01.1)
где Т — истинная температура тела. По
закону Кирхгофа (см. A98.1)), для иссле-
исследуемого тела при длине волны X
или, учитывая B01.1),
AKT = rkJ/rKT. B01.2)
Так как для нечерных тел А < 1, то гКТй<
<rkJ и, следовательно, ТЯ<Т, т.е. ис-
истинная температура тела всегда выше яр-
костной.
В качестве яркостного пирометра
обычно используется пирометр с исчезаю-
исчезающей нитью. Накал нити пирометра под-
подбирается таким, чтобы выполнялось усло-
условие B01.1). В данном случае изображение
нити пирометра становится неразличимым
на фоне поверхности раскаленного тела,
т. е. нить как бы «исчезает». Используя
проградуированный по черному телу мил-
миллиамперметр, можно определить яркост-
ную температуру.
Зная поглощательную способность АкГ
тела при той же длине волны, по яркост-
ной температуре можно определить истин-
истинную. Переписав формулу Планка B00.3)
в виде
__с_ _ 2nc2h 1
ГКТ— 2 rv,r— 71 Лс/(кТк) ,
Л Л С 1
и учитывая это в B01.2), получим
т. е. при известных Ахт и X можно опреде-
определить истинную температуру исследуемого
тела.
11*
4. Тепловые источники света. Свечение
раскаленных тел используется для созда-
создания источников света, первые из кото-
которых — лампы накаливания и дуговые лам-
лампы — были соотвестиенно изобретены рус-
русскими учеными А. Н. Лодыгиным
в 1873 г. и П. Н. Яблочковым в 1876 г.
На первый взгляд кажется, что черные
тела должны быть наилучшими тепловыми
источниками света, так как их спектраль-
спектральная плотность энергетической светимости
для любой длины волны больше спек-
спектральной плотности энергетической свети-
светимости нечерных тел, взятых при одинако-
одинаковой температуре. Однако оказывается, что
для некоторых тел (например, вольфра-
вольфрама), обладающих селективностью тепло-
теплового излучения, доля энергии, приходяща-
приходящаяся на излучение в видимой области спект-
спектра, значительно больше, чем для черного
тела, нагретого до той же температуры.
Поэтому вольфрам, обладая еще и высо-
высокой температурой плавления, является на-
наилучшим материалом для изготовления
нитей ламп.
Температура вольфрамовой нити в ва-
вакуумных лампах не должна превышать
2450 К, поскольку при более высоких тем-
температурах происходит ее сильное распыле-
распыление. Максимум излучения при этой темпе-
температуре соответствует длине волны
«1,1 мкм, т.е. очень далек от максиму-
максимума чувствительности человеческого глаза
(«0,55 мкм). Наполнение баллонов ламп
инертными газами (например, смесью
криптона и ксенона с добавлением азота)
при давлении «50кПа позволяет увели-
увеличить температуру нити до 3000 К, что при-
приводит к улучшению спектрального состава
излучения. Однако светоотдача при этом
не увеличивается, так как возникают до-
дополнительные потери энергии из-за тепло-
теплообмена между нитью и газом вследствие
теплопроводности и конвекции. Для
уменьшения потерь энергии за счет тепло-
теплообмена и повышения светоотдачи газона-
газонаполненных ламп нить изготовляют в виде
спирали, отдельные витки которой обогре-
обогревают друг друга. При высокой температу-
температуре вокруг этой спирали образуется непод-
неподвижный слой газа и исключается теплооб-
теплообмен вследствие конвекции. Энергетический

324
5. Оптика. Квантован природа их/цчения
к. п. д. ламп накаливания в настоящее
время не превосходит 5 %.
§202. Виды
фотоэлектрического эффекта.
Законы внешнего фотоэффекта
Гипотеза Планка, блестяще решившая за-
задачу теплового излучения черного тела,
получила подтверждение и дальнейшее
развитие при объяснении фотоэффекта —
явления, открытие и исследование которо-
которого сыграло важную роль в становлении
квантовой теории. Различают фотоэффект
внешний, внутренний и вентильный. Внеш-
Внешним фотоэлектрическим эффектом (фото-
(фотоэффектом) называется испускание элек-
электронов веществом под действием элек-
электромагнитного излучения. Внешний фото-
фотоэффект наблюдается в твердых телах (ме-
(металлах, полупроводниках, диэлектриках),
а также в газах на отдельных атомах
и молекулах (фотоионизация). Фотоэф-
Фотоэффект обнаружен A887 г.) Г. Герцем, на-
наблюдавшим усиление процесса разряда
при облучении искрового промежутка
ультрафиолетовым излучением.
Первые фундаментальные исследова-
исследования фотоэффекта выполнены русским уче-
ученым А. Г. Столетовым. Принципиальная
схема для исследования фотоэффекта при-
приведена на рис. 289. Два электрода (катод
К из исследуемого металла и анод А —
в схеме Столетова применялась метал-
металлическая сетка) в вакуумной трубке под-
подключены к батарее так, что с помощью
потенциометра R можно изменять не толь-
только значение, но и знак подаваемого на них
напряжения. Ток, возникающий при осве-
Свет
Рис. 289
щении катода монохроматическим светом
(через кварцевое окошко), измеряется
включенным в цепь миллиамперметром.
Облучая катод светом различных длин
волн, Столетов установил следующие за-
закономерности, не утратившие своего зна-
значения до нашего времени: 1) наиболее
эффективное действие оказывает ультра-
ультрафиолетовое излучение; 2) под действием
света вещество теряет только отрицатель-
отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающего
под действием света, прямо пропорцио-
пропорциональна его интенсивности.
Дж. Дж. Томсон в 1898 г. измерил
удельный заряд испускаемых под действи-
действием света частиц (по отклонению в электри-
электрическом и магнитном полях). Эти измере-
измерения показали, что под действием света
вырываются электроны.
Внутренний фотоэффект — это вы-
вызванные электромагнитным излучением
переходы электронов внутри полупровод-
полупроводника или диэлектрика из связанных со-
состояний в свободные без вылета наружу.
В результате концентрация носителей то-
тока внутри тела увеличивается, что приво-
приводит к возникновению фотопроводимости
(повышению электропроводности полу-
полупроводника или диэлектрика при его осве-
освещении) или к возникновению э. д. с.
Вентильный фотоэффект — возникно-
возникновение э. д. с. (фото-э. д. с.) при освещении
контакта двух разных полупроводников
или полупроводника и металла (при отсут-
отсутствии внешнего электрического поля).
Вентильный фотоэффект открывает, таким
образом, пути для прямого преобразова-
преобразования солнечной энергии в электрическую.
На рис. 289 приведена эксперимен-
экспериментальная установка для исследования
вольт-амперной характеристики фотоэф-
фотоэффекта — зависимости фототока /, образуе-
образуемого потоком электронов, испускаемых ка-
катодом под действием света, от напряжения
U между электродами. Такая зависимость,
соответствующая двум различным осве-
щенностям ?е катода (частота света
в обоих случаях одинакова), приведена на
рис. 290. По мере увеличения U фототок
постепенно возрастает, т. е. все большее
число фотоэлектронов достигает анода.
Пологий характер кривых показывает, что

Глава 26. Квантовая природа излучения
325
-ип
Рис. 290
электроны вылетают из катода с различ-
различными скоростями. Максимальное значение
тока /„ас — фототок насыщения — опреде-
определяется таким значением U, при котором
все электроны, испускаемые катодом, до-
достигают анода:
где п — число электронов, испускаемых
катодом в 1 с.
Из вольт-амперной характеристики
следует, что при U = 0 фототок не исчеза-
исчезает. Следовательно, электроны, выбитые
светом из катода, обладают некоторой на-
начальной скоростью v, а значит, и отличной
от нуля кинетической энергией и могут
достигнуть анода без внешнего поля. Для
того чтобы фототок стал равным нулю,
необходимо приложить задерживающее
напряжение II о. При U=Ua ни один из
электронов, даже обладающий при вылете
из катода максимальной скоростью vmax,
не может преодолеть задерживающего по-
поля и достигнуть анода. Следовательно,
B02.1)
т. е., измерив задерживающее напряжение
Uo, можно определить максимальные зна-
значения скорости и кинетической энергии
фотоэлектронов.
При изучении вольт-амперных харак-
характеристик разнообразных материалов (важ-
(важна чистота поверхности, поэтому изме-
измерения проводятся в вакууме и на све-
свежих поверхностях) при различных часто-
частотах падающего на катод излучения и раз-
различных энергетических освещенностях ка-
катода и обобщения полученных данных
были установлены следующие три закона
внешнего фотоэффекта.
I. Закон Столетова: при фиксирован-
фиксированной частоте падающего света число фото-
фотоэлектронов, вырываемых из катода в еди-
единицу времени, пропорционально интенсив-
интенсивности света (сила фототока насыщения
пропорциональна энергетической осве-
освещенности Ее катода).
II. Максимальная начальная ско-
скорость (максимальная начальная кинети-
кинетическая энергия) фотоэлектронов не за-
зависит от интенсивности падающего све-
света, а определяется только его частотой
v, а именно линейно возрастает с увели-
увеличением частоты.
III. Для каждого вещества существует
«красная граница» фотоэффекта, т. е. ми-
минимальная частота v0 света (зависящая от
химической природы вещества и состояния
его поверхности), при которой свет лю-
любой интенсивности фотоэффекта не вызы-
вызывает.
Качественное объяснение фотоэффек-
фотоэффекта с волновой точки зрения на первый
взгляд не должно было бы представлять
трудностей. Действительно, под действием
поля световой волны в металле возникают
вынужденные колебания электронов, ам-
амплитуда которых (например, при резонан-
резонансе) может быть достаточной для того,
чтобы электроны покинули металл; тогда
и наблюдается фотоэффект. Кинетическая
энергия, с которой электрон вырывается
из металла, должна была бы зависеть от
интенсивности падающего света, так как
с увеличением последней электрону пере-
передавалась бы большая энергия. Однако
этот вывод противоречит II закону фото-
фотоэффекта. Так как, по волновой теории,
энергия, передаваемая электронам, про-
пропорциональна интенсивности света, то
свет любой частоты, но достаточно боль-
большой интенсивности должен был бы вы-
вырывать электроны из металла; иными сло-
словами, «красной границы» фотоэффекта не
должно быть, что противоречит III за-
закону фотоэффекта. Кроме того, волновая
теория не смогла объяснить безынер-
ционность фотоэффекта, установленную
опытами. Таким образом, фотоэффект не-
необъясним с точки зрения волновой теории
света.

326
5. Оптика. Квантовая природа излучения
§ 203. Уравнение Эйнштейна
для внешнего фотоэффекта.
Экспериментальное
подтверждение
квантовых свойств света
А. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явле-
явление фотоэффекта и его закономерности
могут быть объяснены на основе предло-
предложенной им квантовой теории фотоэффек-
фотоэффекта. Согласно Эйнштейну, свет частотой v
не только испускается, как это предпола-
предполагал Планк (см. § 200), но и распространя-
распространяется в пространстве и поглощается ве-
веществом отдельными порциями (кванта-
(квантами), энергия которых eo = /iv. Таким
образом, распространение света нужно
рассматривать не как непрерывный волно-
волновой процесс, а как поток локализованных
в пространстве дискретных световых кван-
квантов, движущихся со скоростью с распро-
распространения света в вакууме. Эти кванты
электромагнитного излучения получили
название фотонов.
По Эйнштейну, каждый квант погло-
поглощается только одним электроном. Поэтому
число вырванных фотоэлектронов должно
быть пропорционально интенсивности све-
света (I закон фотоэффекта). Безынерцион-
ность фотоэффекта объясняется тем, что
передача энергии при столкновении фото-
фотона с электроном происходит почти мгно-
мгновенно.
Энергия падающего фотона расходует-
расходуется на совершение электроном работы вы-
выхода А из металла (см. § 104) и на со-
сообщение вылетевшему фотоэлектрону ки-
кинетической энергии mvmax/2. По закону
сохранения энергии,
hx = A -\-mvmax/2. B03.1)
Уравнение B03.1) называется уравнением
Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.
Уравнение Эйнштейна позволяет
объяснить II и III законы фотоэффекта.
Из B03.1) непосредственно следует, что
максимальная кинетическая энергия фото-
фотоэлектрона линейно возрастает с увеличе-
увеличением частоты падающего излучения и не
зависит от его интенсивности (числа фото-
фотонов), так как ни А, ни v от интенсивности
света не зависят (II закон фотоэффекта).
Так как с уменьшением частоты света
кинетическая энергия фотоэлектронов
уменьшается (для данного металла А =
= const), то при некоторой достаточно ма-
малой частоте v = vo кинетическая энергия
фотоэлектронов станет равной нулю и фо-
фотоэффект прекратится (III закон фотоэф-
фотоэффекта). Согласно изложенному, из B03.1)
получим, что
vo=A/h
B03.2)
и есть «красная граница» фотоэффекта
для данного металла. Она зависит лишь от
работы выхода электрона, т. е. от химиче-
химической природы вещества и состояния его
поверхности.
Выражение B03.1), используя B02.1)
и B03.2), можно записать в виде
= h(\ — v0).
Уравнение Эйнштейна было подтвер-
подтверждено опытами Милликена. В его при-
приборе A916 г.) поверхность исследуемого
металла подвергалась очистке в вакууме
(фотоэффект и работа выхода сильно за-
зависят от состояния поверхности). Иссле-
Исследовалась зависимость максимальной кине-
кинетической энергии фотоэлектронов (изме-
(изменялось задерживающее напряжение Uo
(см. B02.1)) от частоты v и определялась
постоянная Планка. В 1926 г. советские
физики П. И. Лукирский A894—1954)
и С. С. Прилежаев для исследования фо-
фотоэффекта применили метод вакуумного
сферического конденсатора. Анодом в их
установке служили посеребренные стенки
стеклянного сферического баллона, а ка-
катодом— шарик (/?«1,5см) из исследуе-
исследуемого металла, помещенный в центр сферы.
В остальном схема принципиально не от-
отличается от описанной на рис. 289. Такая
форма электродов позволила увеличить
наклон вольт-амперных характеристик
и тем самым более точно определять за-
задерживающее напряжение Uq (а следова-
следовательно, и h). Значение Л, полученное из
данных опытов, согласуется со значения-
значениями, найденными другими методами (по
излучению черного тела (§ 200) и по ко-
коротковолновой границе сплошного рентге-

Глава 26. Квантсшан природа излучения
327
новского спектра (§ 229)). Все это являет-
является доказательством правильности уравне-
уравнения Эйнштейна, а вместе с тем и его
квантовой теории фотоэффекта.
Если интенсивность света очень боль-
большая (лазерные пучки; см. § 233), то воз-
возможен многофотонный (нелинейный) фо-
фотоэффект, при котором электрон, испуска-
испускаемый металлом, может одновременно
получить энергию не от одного, а от Л/ фо-
фотонов (Л/ = 2-^7). Уравнение Эйнштейна
для многофотонного фотоэффекта
В опытах с фокусируемыми лазерными
пучками плотность фотонов очень боль-
большая, поэтому электрон может поглотить не
один, а несколько фотонов. При этом элек-
электрон может приобрести энергию, необхо-
необходимую для выхода из вещества, даже
под действием света с частотой, меньшей
«красной границы» — порога однофотон-
ного фотоэффекта. В результате «красная
граница» смещается в сторону более длин-
длинных волн.
Идея Эйнштейна о распространении
света в виде потока отдельных фотонов
и квантовом характере взаимодействия
электромагнитного излучения с веществом
подтверждена в 1922 г. опытами
А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравова.
В электрическом поле плоского конденса-
конденсатора уравновешивалась заряженная пы-
пылинка из висмута. Нижняя обкладка кон-
конденсатора изготовлялась из тончайшей
алюминиевой фольги, которая являлась
одновременно анодом миниатюрной рент-
рентгеновской трубки. Анод бомбардировался
ускоренными до 12 кВ фотоэлектронами,
испускаемыми катодом под действием уль-
ультрафиолетового излучения. Освещенность
катода подбиралась столь слабой, чтобы
из него в 1 с вырывалось лишь 1000 фото-
фотоэлектронов, а следовательно, и число рент-
рентгеновских импульсов было 1000 в 1 с.
Опыт показал, что в среднем через каж-
каждые 30 мин уравновешенная пылинка вы-
выходила из равновесия, т. е. рентгеновское
излучение освобождало из нее фотоэлек-
фотоэлектрон, приобретающий энергию согласно
уравнению Эйнштейна B03.1).
Если бы рентгеновское излучение рас-
распространялось в виде сферических волн,
а не отдельных фотонов, то каждый рент-
рентгеновский импульс отдавал бы пылинке
очень малую часть своей энергии, которая
распределялась бы, в свою очередь, между
огромным числом электронов, содержа-
содержащихся в пылинке. Поэтому при таком ме-
механизме трудно вообразить, что один из
электронов за такое короткое время, как
30 мин, может накопить энергию, доста-
достаточную для преодоления работы выхода из
пылинки. Напротив, с точки зрения корпу-
корпускулярной теории это возможно. Так, если
рентгеновское излучение распространяет-
распространяется в виде потока дискретных фотонов, то
электрон выбивается из пылинки только
тогда, когда в нее попадает фотон. Эле-
Элементарный расчет для выбранных условий
дает, что в среднем в пылинку попадает
один фотон из 1,8-10е. Так как в I с вы-
вылетает 1000 фотонов, то в среднем в пы-
пылинку будет попадать один фотон
в 30 мин, что согласуется с результатами
опыта.
Если свет представляет собой поток
фотонов, то каждый фотон, попадая в ре-
регистрирующий прибор (глаз, фотоэле-
фотоэлемент), должен вызывать то или иное дей-
действие независимо от других фотонов. Это
же означает, что при регистрации слабых
световых потоков должны наблюдаться
флуктуации их интенсивности. Эти флук-
флуктуации слабых потоков видимого света
действительно наблюдались С. И. Вавило-
Вавиловым. Наблюдения проводились визуально.
Глаз, адаптированный к темноте, обладает
довольно резким порогом зрительного
ощущения, т. е. воспринимает свет, интен-
интенсивность которого не меньше некоторого
порога. Для света с Х = 525 нм порог зри-
зрительного ощущения соответствует у раз-
разных людей примерно 100—400 фотонам,
падающим на сетчатку за 1 с. С. И. Вави-
Вавилов наблюдал периодически повторяющи-
повторяющиеся вспышки света одинаковой длительно-
длительности. С уменьшением светового потока не-
некоторые вспышки уже не воспринимались
глазом, причем чем слабее был световой
поток, тем больше было пропусков вспы-
вспышек. Это объясняется флуктуациями ин-
интенсивности света, т. е. число фотонов

.428
о. Оптика. Квантовая природ;] излучении
оказывалось по случайным причинам
меньше порогового значения. Таким обра-
образом, опыт Вавилова явился наглядным
подтверждением квантовых свойств света.
§ 204. Применение фотоэффекта
На явлении фотоэффекта основано дейст-
действие фотоэлектронных приборов, получив-
получивших разнообразное применение в различ-
различных областях науки и техники. В настоя-
настоящее время практически невозможно ука-
указать отрасли производства, где бы не
использовались фотоэлементы — приемни-
приемники излучения, работающие на основе фо-
фотоэффекта и преобразующие энергию из-
излучения в электрическую.
Простейшим фотоэлементом с внеш-
внешним фотоэффектом является вакуумный
фотоэлемент. Он представляет собой отка-
откачанный стеклянный баллон, внутренняя
поверхность которого (за исключением
окошка для доступа излучения) покрыта
фоточувствительным слоем, служащим
фотокатодом. В качестве анода обычно
используется кольцо или сетка, помещае-
помещаемая в центре баллона. Фотоэлемент вклю-
включается в цепь батареи, э. д. с. которой
выбирается такой, чтобы обеспечить фото-
ток насыщения. Выбор материала фотока-
фотокатода определяется рабочей областью спек-
спектра: для регистрации видимого света и ин-
инфракрасного излучения используется кис-
лородно-цезиевый катод, для регистрации
ультрафиолетового излучения и коротко-
коротковолновой части видимого света — сурьмя-
но-цезиевый. Вакуумные фотоэлементы
безынерционны, и для них наблюдается
строгая пропорциональность фототока ин-
интенсивности излучения. Эти свойства по-
позволяют использовать вакуумные фотоэле-
фотоэлементы в качестве фотометрических при-
приборов, например фотоэлектрический эк-
экспонометр, люксметр (измеритель осве-
освещенности) и т. д.
Для увеличения интегральной чувстви-
чувствительности вакуумных фотоэлементов (фо-
тоток насыщения, приходящийся на 1 лм
светового потока) баллон заполняется
разреженным инертным газом (Аг или Ne
при давлении да 1,3-Н 13 Па). Фототок
в таком элементе, называемом газонапол-
газонаполненным, усиливается вследствие ударной
ионизации молекул газа фотоэлектронами.
Интегральная чувствительность газона-
газонаполненных фотоэлементов («1мА/лм)
гораздо выше, чем для вакуумных B0—
150 мкА/лм), но они обладают по сравне-
сравнению с последними большей инерционно-
инерционностью (менее строгой пропорционально-
пропорциональностью фототока интенсивности излучения),
что приводит к ограничению области их
применения.
Для усиления фототока применяются
уже рассмотренные выше (см. рис. 155)
фотоэлектронные умножители, в которых
наряду с фотоэффектом используется
явление вторичной электронной эмиссии
(см.§ 105). Размеры фотоэлектронных ум-
умножителей немного превышают размеры
обычной радиолампы, общий коэффициент
усиления составляет «107 (при напряже-
напряжении питания 1 —1,5 кВ), а их интегральная
чувствительность может достигать
10А/лм. Поэтому фотоэлектронные умно-
умножители начинают вытеснять фотоэлемен-
фотоэлементы, правда, их применение связано с ис-
использованием высоковольтных стабилизи-
стабилизированных источников питания, что не-
несколько неудобно.
Фотоэлементы с внутренним фотоэф-
фотоэффектом, называемые полупроводниковыми
фотоэлементами или фотосопротивления-
фотосопротивлениями (фоторезисторами), обладают гораздо
большей интегральной чувствительностью,
чем вакуумные. Для их изготовления ис-
используются PbS, CdS, PbSe и некоторые
другие полупроводники. Если фотокатоды
вакуумных фотоэлементов и фотоэлек-
фотоэлектронных умножителей имеют «красную
границу» фотоэффекта не выше 1,1 мкм,
то применение фотосопротивлений позво-
позволяет производить измерения в далекой ин-
инфракрасной области спектра (Зч-4мкм),
а также в областях рентгеновского и гам-
гамма-излучений. Кроме того, они малогаба-
малогабаритны и имеют низкое напряжение пита-
питания. Недостаток фотосопротивлений — их
заметная инерционность, поэтому они не-
непригодны для регистрации быстропере-
менных световых потоков.
Фотоэлементы с вентильным фотоэф-
фотоэффектом, называемые вентильными фото-
фотоэлементами (фотоэлементами с запираю-

Глава 20. Квантовая природа излучения
329
щим слоем), обладая, подобно элемен-
элементам с внешним фотоэффектом, строгой
пропорциональностью фототока интен-
интенсивности излучения, имеют большую по
сравнению с ними интегральную чув-
чувствительность (примерно 2—30 мА/лм)
и не нуждаются во внешнем источнике
э. д. с. К числу вентильных фотоэлемен-
фотоэлементов относятся германиевые, кремниевые,
селеновые, купроксные, сернисто-сереб-
сернисто-серебряные и др.
Кремниевые и другие вентильные фо-
фотоэлементы применяются для создания со-
солнечных батарей, непосредственно преоб-
преобразующих световую энергию в электриче-
электрическую. Эти батареи уже в течение многих
лет работают на советских космических
спутниках и кораблях. К. п. д. этих бата-
батарей составляет яв 10 % и, как показывают
теоретические расчеты, может быть дове-
доведен до «22 %, что открывает широкие
перспективы их использования в качестве
источников электроэнергии для бытовых
и производственных нужд.
Рассмотренные виды фотоэффекта ис-
используются также в производстве для кон-
контроля, управления и автоматизации раз-
различных процессов, в военной технике для
сигнализации и локации невидимым излу-
излучением, в технике звукового кино, в раз-
различных системах связи и т. д.
§ 205. Масса и импульс фотона.
Давление света
Согласно гипотезе световых квантов Эйн-
Эйнштейна, свет испускается, поглощается
и распространяется дискретными порция-
порциями (квантами), названными фотонами.
Энергия фотона eo = /iv. Его масса нахо-
находится из закона взаимосвязи массы
и энергии (см. D0.8)):
my = hv/c2. B05.1)
Фотон — элементарная частица, которая
всегда (в любой среде!) движется со ско-
скоростью света с и имеет массу покоя, рав-
равную нулю. Следовательно, масса фотона
отличается от массы таких элементарных
частиц, как электрон, протон и нейтрон,
которые обладают отличной от нуля мас-
массой покоя и могут находиться в состоянии
покоя.
Импульс фотона ру получим, если в об-
общей формуле D0.7) теории относительно-
относительности положим массу покоя фотона тОт = О:
pY = e0/c = /iv/c. B05.2)
Из приведенных рассуждений следует,
что фотон, как и любая другая частица,
характеризуется энергией, массой и им-
импульсом. Выражения B05.1), B05.2)
и B00.2) связывают корпускулярные ха-
характеристики фотона — массу, импульс
и энергию — с волновой характеристикой
света — его частотой v.
Если фотоны обладают импульсом, то
свет, падающий на тело, должен оказы-
оказывать на него давление. С точки зрения
квантовой теории, давление света на по-
поверхность обусловлено тем, что каждый
фотон при соударении с поверхностью пе-
передает ей свой импульс.
Рассчитаем с точки зрения квантовой
теории световое давление, оказываемое на
поверхность тела потоком монохроматиче-
монохроматического излучения (частота v), падающего
перпендикулярно поверхности. Если в еди-
единицу времени на единицу площади повер-
поверхности тела падает N фотонов, то при
коэффициенте отражения р света от по-
поверхности тела p/V фотонов отразится,
а A—p)N — поглотится. Каждый погло-
поглощенный фотон передает поверхности им-
импульс ру = hv/c, а каждый отраженный —
2py = 2h\/c (при отражении импульс фо-
фотона изменяется на —ру). Давление света
на поверхность равно импульсу, который
передают поверхности в 1 с N фотонов:
Ee есть энергия всех фотонов,
падающих на единицу поверхности в еди-
единицу времени, т. е. энергетическая осве-
освещенность поверхности (см. § 168), а
Ee/c = w — объемная плотность энергии
излучения. Поэтому давление, производи-
производимое светом при нормальном падении на
поверхность,
р = ~-A+р) = М)A+р). B05.3)
Формула B05.3), выведенная на осно-
основе квантовых представлений, совпадает

330
5. Оптика. Квантовая природа излучения
с выражением, получаемым из электромаг-
электромагнитной (волновой) теории Максвелла
(см. § 163). Таким образом, давление све-
света одинаково успешно объясняется и во-
волновой, и квантовой теорией. Как уже
говорилось (см. § 163), экспериментальное
доказательство существования светового
давления на твердые тела и газы дано
в опытах П. Н. Лебедева, сыгравших
в свое время большую роль в утверждении
теории Максвелла. Лебедев использовал
легкий подвес на тонкой нити, по краям
которого прикреплены легкие крылышки,
одни из которых зачернены, а поверхности
других зеркальные. Для исключения кон-
конвекции и радиометрического эффекта
(см. § 49) использовалась подвижная
система зеркал, позволяющая направлять
свет на обе поверхности крылышек, подвес
помещался в откачанный баллон, кры-
крылышки подбирались очень тонкими (чтобы
температура обеих поверхностей была
одинакова). Значение светового давления
на крылышки определялось по углу за-
закручивания нити подвеса и совпадало с те-
теоретически рассчитанным. В частности,
оказалось, что давление света на зеркаль-
зеркальную поверхность вдвое больше, чем на
зачерненную (см. B05.3)).
§206. Эффект Комптона
и его элементарная теория
Наиболее полно корпускулярные свойст-
свойства света проявляются в эффекте Комп-
Комптона. Американский физик А. Комптон
A892—1962), исследуя в 1923 г. рассея-
рассеяние монохроматического рентгеновского
излучения веществами с легкими атомами
(парафин, бор), обнаружил, что в составе
рассеянного излучения наряду с излучени-
излучением первоначальной длины волны наблюда-
наблюдается также излучение более длинных волн.
Опыты показали, что разность Ак = к' — К
не зависит от длины волны к падающего
излучения и природы рассеивающего ве-
вещества, а определяется только величиной
угла рассеяния в:
ДА, = Я.' — >.= 2^csin2(9/2), B06.1)
где X' — длина волны рассеянного излуче-
излучения, Xq — комптоновская длина волны
(при рассеянии фотона на электроне Хс =
= 2,426 пм). v
Эффектом Комптона называется упру-
упругое рассеяние коротковолнового электро-
электромагнитного излучения (рентгеновского
и у-излучений) на свободных (или сла-
слабосвязанных) электронах вещества, со-
сопровождающееся увеличением длины во-
волны. Этот эффект не укладывается в рам-
рамки волновой теории, согласно которой
длина волны при рассеянии изменяться не
должна: под действием периодического
поля световой волны электрон колеблется
с частотой поля и поэтому излучает рассе-
рассеянные волны той же частоты.
Объяснение эффекта Комптона дано
на основе квантовых представлений о при-
природе света. Если считать, как это делает
квантовая теория, что излучение имеет
корпускулярную природу, т. е. представля-
представляет собой поток фотонов, то эффект Комп-
Комптона — результат упругого столкновения
рентгеновских фотонов со свободными
электронами вещества (для легких ато-
атомов электроны слабо связаны с ядрами
атомов, поэтому их можно считать сво-
свободными). В процессе этого столкновения
фотон передает электрону часть своих
энергии и импульса в соответствии с за-
законами их сохранения.
Рассмотрим упругое столкновение
двух частиц (рис.291) —налетающего
фотона, обладающего импульсом pT = Av/c
и энергией eT = /iv, с покоящимся свобод-
свободным электроном (энергия покоя W0 = m0c2;
т0—масса покоя электрона). Фотон,
столкнувшись с электроном, передает ему
часть своей энергии и импульса и изменяет
направление движения (рассеивается).
Уменьшение энергии фотона означает уве-
увеличение длины волны рассеянного излуче-
излучения. Пусть импульс и энергия рассеянного
фотона равны p'y = hv'/c и e'T = /iv'. Элек-

Глава 26. Квантовая природа излучения
331
трон, ранее покоившийся, приобретает им-
импульс pt=mv, энергию W = me1 и при-
приходит в движение — испытывает отдачу.
При каждом таком столкновении выпол-
выполняются законы сохранения энергии и им-
импульса.
Согласно закону сохранения энергии,
B06.2)
а согласно закону сохранения импульса,
pv = p, + p;. B06.3)
Подставив в выражении B06.2) значения
величин и представив B06.3) в соответст-
соответствии с рис.291, получим
B06.4)
-2 —w'cose. B06.5)
с
Масса электрона отдачи связана с
его скоростью v соотношением т =
= mo/~yl — (v/cf (см. C9.1)). Возведя
уравнение B06.4) в квадрат, а затем вы-
вычитая из него B06.5) и учитывая C9.1),
получим
mQc2 (v — V) = h\v' A —cos 9).
Поскольку \ = c/X, v' = c/X' и АХ = Х' — X,
получим
h „, 2/i . о 6
sin —.
тпс
moc
B06.6)
Выражение B06.6) есть не что иное, как
полученная экспериментально Комптоном
формула B06.1). Подстановка в нее зна-
значений Л, то и с дает комптоновскую длину
волны электрона Хс = h/(moc) = 2,426 пм.
Наличие в составе рассеянного излуче-
излучения «несмещенной» линии (излучения пер-
первоначальной длины волны) можно объяс-
объяснить следующим образом. При рассмотре-
рассмотрении механизма рассеяния предполагалось,
что фотон соударяется лишь со свободным
электроном. Однако если электрон сильно
связан с атомом, как это имеет место для
внутренних электронов (особенно в тяже-
тяжелых атомах), то фотон обменивается энер-
энергией и импульсом с атомом в целом. Так
как масса атома по сравнению с массой
электрона очень велика, то атому переда-
передается лишь ничтожная часть энергии фото-
фотона. Поэтому в данном случае длина волны
к' рассеянного излучения практически не
будет отличаться от длины волны А. падаю-
падающего излучения.
Из приведенных рассуждений следует
также, что эффект Комптона не может
наблюдаться в видимой области спектра,
поскольку энергия фотона видимого света
сравнима с энергией связи электрона
с атомом, при этом даже внешний элект-
электрон нельзя считать свободным.
Эффект Комптона наблюдается не
только на электронах, но и на других
заряженных частицах, например прото-
протонах, однако из-за большой массы протона
его отдача «просматривается» лишь при
рассеянии фотонов очень высоких энергий.
Как эффект Комптона, так и фотоэф-
фотоэффект на основе квантовых представлений
обусловлены взаимодействием фотонов
с электронами. В первом случае фотон
рассеивается, во втором — поглощается.
Рассеяние происходит при взаимодействии
фотона со свободным электроном, а фото-
фотоэффект — со связанными электронами.
Можно показать, что при столкновении
фотона со свободным электроном не мо-
может произойти поглощения фотона, так
как это находится в противоречии с за-
законами сохранения импульса и энергии.
Поэтому при взаимодействии фотонов со
свободными электронами может наблю-
наблюдаться только их рассеяние, т. е. эффект
Комптона.
§ 207. Диалектическое единство
корпускулярных
и волновых свойств
электромагнитного излучения
Рассмотренные в этой главе явления —
излучение черного тела, фотоэффект, эф-
эффект Комптона — служат доказательст-
доказательством квантовых (корпускулярных) пред-
представлений о свете как о потоке фотонов.
С другой стороны, такие явления, как ин-

S.Y2
5. Оптика. Квантоная природа излучения
терференция, дифракция и поляризация
света, убедительно подтверждают волно-
волновую (электромагнитную) природу света.
Наконец, давление и преломление света
объясняются как волновой, так и кванто-
квантовой теориями. Таким образом, электромаг-
электромагнитное излучение обнаруживает удиви-
удивительное единство, казалось бы, взаимо-
взаимоисключающих свойств — непрерывных (во-
(волны) и дискретных (фотоны), которые
взаимно дополняют друг друга.
Основные уравнения (см.§205), свя-
связывающие корпускулярные свойства элек-
электромагнитного излучения (энергия и им-
импульс фотона) с волновыми свойствами
(частота или длина волны):
Более детальное рассмотрение оптиче-
оптических явлений приводит к выводу, что свой-
свойства непрерывности, характерные для
электромагнитного поля световой волны,
не следует противопоставлять свойствам
дискретности, характерным для фотонов.
Свет, обладая одновременно корпускуляр-
корпускулярными и волновыми свойствами, обнаружи-
обнаруживает определенные закономерности в их
проявлении. Так, волновые свойства света
проявляются в закономерностях его рас-
распространения, интерференции, дифракции,
поляризации, а корпускулярные — в про-
процессах взаимодействия света с веществом.
Чем больше длина волны, тем меньше энер-
энергия и импульс фотона и тем труднее обна-
обнаруживаются квантовые свойства света
(с этим связано, например, существование
«красной границы» фотоэффекта). Наобо-
Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше
энергия и импульс фотона и тем труднее
обнаруживаются волновые свойства света
(например, волновые свойства (дифрак-
(дифракция) рентгеновского излучения обнаруже-
обнаружены лишь после применения в качестве диф-
дифракционной решетки кристаллов).
Взаимосвязь между двойственными
корпускулярно-вол новыми свойствами
света можно объяснить, если использо-
использовать, как это делает квантовая оптика,
статистический подход к рассмотрению за-
закономерностей распространения света.
Например, дифракция света на щели со-
состоит в том, что при прохождении света
через щель происходит перераспределение
фотонов в пространстве. Так как веро-
вероятность попадания фотонов в различные
точки экрана неодинакова, то и возникает
дифракционная картина. Освещенность эк-
экрана пропорциональна вероятности попа-
попадания фотонов на единицу площади экра-
экрана. С другой стороны, по волновой теории,
освещенность пропорциональна квадрату
амплитуды световой волны в той же точке
экрана. Следовательно, квадрат амплиту-
амплитуды световой волны в данной точке про-
пространства является мерой вероятности по-
попадания фотонов в данную точку.
Контрольные вопросы
На фарфоровой тарелке на светлом фоне имеется темный рисунок. Почему, если ее быстро
вынуть из печи, где она нагревалась до высокой температуры, и рассматривать в темноте,
наблюдается светлый рисунок на темном фоне?
Чем отличается серое тело от черного?
В чем заключается физический смысл универсальной функции Кирхгофа?
Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость черного тела, если его термодина-
термодинамическая температура уменьшится вдвое?
Нарисуйте и сопоставьте кривые rv.r и г>..т-
Как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости rvj черного тела
с повышением температуры?
Используя формулу Планка, найдите постоянную Стефана — Больцмана.
При каких условиях из формулы Планка получаются закон Вина и формула Рэлея — Джинса?
Может ли золотая пластинка служить фотосопротивлением?
Как при заданной частоте света изменится фототок насыщения с уменьшением освещенности
катода?
Как из опытов по фотоэффекту определяется постоянная Планка?

I" л а в а 26. Квантовая природа излучения 'Л'Л'Л
Как с помощью уравнения Эйнштейна объяснить I и II законы фотоэффекта?
Нарисуйте и объясните вольт-амперные характеристики, соответствующие двум различным
освещенностям катода (при заданной частоте света) и двум различным частотам (при за-
заданной освещенности).
Чему равно отношение давлений света на зеркальную и зачерненную поверхности?
В чем отличие характера взаимодействия фотона и электрона при фотоэффекте и эффекте
Комптона?
В чем заключается диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электро-
электромагнитного излучения?
Задачи
26.1. Черное тело нагрели от температуры Г|=500 К до 7*2 = 2000 К. Определить: 1) во сколько
раз увеличилась его энергетическая светимость; 2) как изменилась длина волны, соответ-
соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости. [1) Б 256 раз;
2) уменьшилась на 4,35 мкм]
26.2. Черное тело находится при температуре 7"i = 2900 К. При его остывании длина волны, со-
соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась
на ЛХ = 9 мкм. Определить температуру 7"j, до которой тело охладилось. [290 К]
26.3. Определить работу выхода А электронов из вольфрама, если красная граница фотоэффекта
для него Хо = 275 нм. [4,52 эВ]
26.4. Определить постоянную Планка, если известно, что для прекращения фотоэффекта, вызванно-
вызванного облучением некоторого металла светом с частотой vi=2,2-1015 c~', необходимо прило-
приложить задерживающее напряжение Goi=6,6 В, а светом с частотой V2 = 4,6-1O15 c~' —
задерживающее напряжение (/о2=16,5 В. [6,6-10~34 Дж-с]
26.5. Определить в электрон-вольтах энергию фотона, при которой его масса равна массе покоя
электрона. [0,51 МэВ]
26.6. Давление монохроматического света с длиной волны 600 нм на зачерненную поверхность,
расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно 0,1 мкПа. Определить число
фотонов, падающих на поверхность площадью 10 см2 за 1 с. [9-Ю16]
26.7 Фотон с длиной волны 100 пм рассеялся под углом 180° на свободном электроне. Определить
в электрон-вольтах кинетическую энергию электрона отдачи. [580 эВ]

Элементы квантовой
физики атомов,
молекул и твердых тел
Глава 27
Теория атома водорода по Бору
§ 208. Модели атома Томсона
и Резерфорда
Представление об атомах как неделимых
мельчайших частицах вещества («ато-
мос» — неразложимый) возникло еще
в античные времена (Демокрит, Эпикур,
Лукреций). В средние века, во времена
безграничного господства церкви, учение
об атомах, будучи материалистическим,
естественно, не могло получить признания,
а тем более дальнейшего развития. К на-
началу XVIII в. атомистическая теория при-
приобретает все большую популярность, так
как к этому времени в работах А. Лаву-
Лавуазье A743—1794, французский химик),
М. В. Ломоносова и Д. Дальтона была
доказана реальность существования ато-
атомов. Однако в это время вопрос о внутрен-
внутреннем строении атомов даже не возникал,
так как атомы по-прежнему считались не-
неделимыми.
Большую роль в развитии атомистиче-
атомистической теории сыграл Д. И. Менделеев, раз-
разработавший в 1869 г. Периодическую
систему элементов, в которой впервые на
научной основе был поставлен вопрос
о единой природе атомов. Во второй поло-
половине XIX в. экспериментально было дока-
доказано, что электрон является одной из ос-
основных составных частей любого вещест-
вещества. Эти выводы, а также многочислен-
многочисленные экспериментальные данные привели
к тому, что в начале ХХв. серьезно встал
вопрос о строении атома.
Первая попытка создания на основе
накопленных экспериментальных данных
модели атома принадлежит Дж. Дж. Том-
сону A903). Согласно этой модели, атом
представляет собой непрерывно заряжен-
заряженный положительным зарядом шар радиу-
радиусом порядка 10 10 м, внутри которого око-
около своих положений равновесия колеблют-
колеблются электроны; суммарный отрицательный
заряд электронов равен положительному
заряду шара, поэтому атом в целом ней-
нейтрален. Через несколько лет было доказа-
доказано, что представление о непрерывно рас-
распределенном внутри атома положительном
заряде ошибочно.
В развитии представлений о строении
атома велико значение опытов английско-
английского физика Э. Резерфорда A871 —1937) по
рассеянию а-частиц в веществе. Альфа-
частицы возникают при радиоактивных
превращениях; они являются положитель-
положительно заряженными частицами с зарядом 2е
и массой, примерно в 7300 раз большей
массы электрона. Пучки а-частиц обла-
обладают высокой монохроматичностью (для
данного превращения имеют практически
одну и ту же скорость (порядка 107 м/с)).
Резерфорд, исследуя прохождение
а-частиц в веществе (через золотую фоль-
фольгу толщиной примерно 1 мкм), показал,
что основная их часть испытывает незна-
незначительные отклонения, но некоторые
а-частицы (примерно одна из 20 000) рез-
резко отклоняются от первоначального на-
направления (углы отклонения достигали
даже 180°). Так как электроны не могут
существенно изменить движение столь тя-
тяжелых и быстрых частиц, как а-частицы,
то Резерфордом был сделан вывод, что

Глава 27. Теория атома водорода по Бору
335
значительное отклонение а-частиц обус-
обусловлено их взаимодействием с положи-
положительным зарядом большой массы. Однако
значительное отклонение испытывают
лишь немногие а-частицы; следовательно,
лишь некоторые из них проходят вблизи
данного положительного заряда. Это,
в свою очередь, означает, что положитель-
положительный заряд атома сосредоточен в объеме,
очень малом по сравнению с объемом
атома.
На основании своих исследований Ре-
зерфорд в 1911 г. предложил ядерную
(планетарную) модель атома. Согласно
этой модели, вокруг положительного ядра,
имеющего заряд Ze (Z — порядковый но-
номер элемента в системе Менделеева, е —
.элементарный заряд), размер 10~15—
10~14 м и массу, практически равную мас-
массе атома, в области с линейными размера-
размерами порядка 10~10 м по замкнутым орби-
орбитам движутся электроны, образуя элек-
электронную оболочку атома. Так как атомы
нейтральны, то заряд ядра равен суммар-
суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра
должно вращаться Z электронов.
Для простоты предположим, что элект-
электрон движется вокруг ядра по круговой
орбите радиуса г. При этом кулоновская
сила взаимодействия между ядром и элек-
электроном сообщает электрону центростреми-
центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона
для электрона, движущегося по окружно-
окружности под действием кулоновской силы, име-
имеет вид
Zee
m.v
B08.1)
где те и v — масса и скорость электрона
на орбите радиуса г, ео — электрическая
постоянная.
Уравнение B08.1) содержит два не-
неизвестных: г и и. Следовательно, су-
существует бесчисленное множество значе-
значений радиуса и соответствующих ему зна-
значений скорости (а значит, и энергии),
удовлетворяющих этому уравнению. По-
Поэтому величины г, v (следовательно, и ?)
могут меняться непрерывно, т. е. может
испускаться любая, а не вполне опреде-
определенная порция энергии. Тогда спектры
атомов должны быть сплошными. В дей-
действительности же опыт показывает, что
атомы имеют линейчатый спектр. Из вы-
выражения B08.1) следует, что при гяа
«10~'° м скорость движения электронов
о«106 м/с, а ускорение v2/r=\022 м/с2.
Согласно электродинамике, ускоренно
движущиеся электроны должны излучать
электромагнитные волны и вследствие это-
этого непрерывно терять энергию. В резуль-
результате электроны будут приближаться к яд-
ядру и в конце концов упадут на него. Таким
образом, атом Резерфорда оказывается
неустойчивой системой, что опять-таки
противоречит действительности.
Попытки построить модель атома
в рамках классической физики не привели
к успеху: модель Томсона была опроверг-
опровергнута опытами Резерфорда, ядерная же
модель оказалась неустойчивой электро-
электродинамически и противоречила опытным
данным. Преодоление возникших трудно-
трудностей потребовало создания качественно
новой — квантовой — теории атома.
§209. Линейчатый спектр
атома водорода
Исследования спектров излучения разре-
разреженных газов (т. е. спектров излучения
отдельных атомов) показали, что каждому
газу присущ вполне определенный линей-
линейчатый спектр, состоящий из отдельных
спектральных линий или групп близко рас-
расположенных линий. Самым изученным яв-
является спектр наиболее простого атома —
атома водорода.
Швейцарский ученый И. Бальмер
A825—1898) подобрал эмпирическую
формулу, описывающую все известные
в то время спектральные линии атома во-
водорода в видимой области спектра:
(л = 3, 4, 5, ...),
B09.1)
где /?'=1,10107 м -' — постоянная Рид-
берга *. Так как v = c/X, то формула
* И. Ридберг A854—1919) — шведский
ученый, специалист в области спектроскопии.

336
(i. Элементы квантовой физики итомив, молекул и твердых тел
B09.1) может быть переписана для
частот:
'-«С
B09.2)
также постоян-
Где А; ^= [\ С ==
ная Ридберга.
Из выражений B09.1) и B09.2) вы-
вытекает, что спектральные линии, отличаю-
отличающиеся различными значениями п, образу-
образуют группу или серию линий, называемую
серией Бальмера. С увеличением п линии
серии сближаются; значение п=оо опре-
определяет границу серии, к которой со сторо-
стороны больших частот примыкает сплошной
спектр.
В дальнейшем (в начале XX в.)
в спектре атома водорода было обнаруже-
обнаружено еще несколько серий. В ультрафиолето-
ультрафиолетовой области спектра находится серия
Лаймана:
v=/?/ — "_\ Сп = 9 з 4 )
В инфракрасной области спектра были
также обнаружены:
серия Пашена
v = J
(я = 4, 5, 6, ...);
серия Брэкета
= r(~-\\ (и = 5, 6, 7, ...);
серия Пфунда
^=r(\—т) (" = 6- 7- 8< •••);
серия Хэмфри
V_*/J L^ (л_7 8 9 )
V6 «2/
Все приведенные выше серии в спектре
атома водорода могут быть описаны одной
формулой, называемой обобщенной фор-
формулой Бальмера:
где m имеет в каждой данной серии по-
постоянное значение, /п=1, 2, 3, 4, 5, 6 (оп-'
ределяет серию), п принимает целочислен-
целочисленные значения начиная с пг-\-1 (определяет
отдельные линии этой серии).
Исследование более сложных спект-
спектров — спектров паров щелочных металлов
(например, Li, Na, К) — показало, что они
представляются набором незакономерно
расположенных линий. Ридбергу удалось
разделить их на три серии, каждая из
которых располагается подобно линиям
бальмеровской серии.
Приведенные выше сериальные форму-
формулы подобраны эмпирически и долгое время
не имели теоретического обоснования, хо-
хотя и были подтверждены эксперименталь-
экспериментально с очень большой точностью. Приведен-
Приведенный выше вид сериальных формул, удиви-
удивительная повторяемость в них целых чисел,
универсальность постоянной Ридберга
свидетельствуют о глубоком физическом
смысле найденных закономерностей,
вскрыть который в рамках классической
физики оказалось невозможным.
§210. Постулаты Бора
Первая попытка построить качественно
новую — квантовую — теорию атома была
предпринята в 1913 г. датским физиком
Нильсом Бором A885—1962). Он поста-
поставил перед собой цель связать в единое
целое эмпирические закономерности ли-
линейчатых спектров, ядерную модель атома
Резерфорда и квантовый характер излуче-
излучения и поглощения света. В основу своей
теории Бор положил два постулата.
Первый постулат Бора (постулат ста-
стационарных состояний): в атоме существу-
существуют стационарные (не изменяющиеся со
временем) состояния, в которых он не
излучает энергии. Стационарным состоя-
состояниям атома соответствуют стационарные
орбиты, по которым движутся электроны.
Движение электронов по стационарным
орбитам не сопровождается излучением
электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атома элек-
электрон, двигаясь по круговой орбите, должен
иметь дискретные квантованные значения
момента импульса, удовлетворяющие ус-
условию
ml,vrn = nh (л=1, 2, 3, ...), B10.1)

Глава 27. Теория атома водорода по Бору
337
где те— масса электрона, v — его ско-
скорость по ri-vi орбите радиуса гп, h = h/ Bя).
Второй постулат Бора (правило
частот): при переходе электрона с одной
стационарной орбиты на другую излуча-
излучается (поглощается) один фотон с энер-
энергией
Av = ?„-?„, B10.2)
равной разности энергий соответствующих
стационарных состояний (Ея и Ет — со-
соответственно энергии стационарных состо-
состояний атома до и после излучения (по-
(поглощения)). При Ет<Е„ происходит из-
излучение фотона (переход атома из со-
состояния с большей энергией в состояние
с меньшей энергией, т. е. переход электро-
электрона с более удаленной от ядра орбиты на
более близлежащую), при Ет>Еп — его
поглощение (переход атома в состояние
с большей энергией, т. е. переход электро-
электрона на более удаленную от ядра орбиту).
Набор возможных дискретных частот v =
= (En — Em)/h квантовых переходов
и определяет линейчатый спектр атома.
§211. Опыты Франка и Герца
Немецкие физики Д. Франк и Г. Герц,
изучая методом задерживающего потен-
потенциала столкновения электронов с атомами
газов A913), экспериментально доказали
дискретность значений энергии атомов.
Принципиальная схема их установки при-
приведена на рис. 292. Вакуумная трубка,
заполненная парами ртути (давление при-
приблизительно равно 13 Па), содержала ка-
катод (К), две сетки (С| и Сг) и анод (А).
Электроны, эмиттируемые катодом, уско-
ускорялись разностью потенциалов, приложен-
приложенной между катодом и сеткой d. Между
сеткой С2 и анодом приложен небольшой
(примерно 0,5 В) задерживающий потен-
потенциал. Электроны, ускоренные в области /,
попадают в область 2 между сетками, где
Рис. 293
испытывают соударения с атомами паров
ртути. Электроны, которые после соударе-
соударений имеют достаточную энергию для прео-
преодоления задерживающего потенциала
в области 3, достигают анода. При неупру-
неупругих соударениях электронов с атомами
ртути последние могут возбуждаться. Со-
Согласно боровской теории, каждый из ато-
атомов ртути может получить лишь вполне
определенную энергию, переходя при этом
в одно из возбужденных состояний. Поэто-
Поэтому если в атомах действительно существу-
существуют стационарные состояния, то электроны,
сталкиваясь с атомами ртути, должны те-
терять энергию дискретно, определенными
порциями, равными разности энергий со-
соответствующих стационарных состояний
атома.
Из опыта следует (рис. 293), что при
увеличении ускоряющего потенциала
вплоть до 4,86 В анодный ток возрастает
монотонно, его значение проходит через
максимум D,86 В), затем резко умень-
уменьшается и возрастает вновь. Дальнейшие
максимумы наблюдаются при 2-4,86 и
3-4,86 В.
Ближайшим к основному, невозбуж-
невозбужденному, состоянию атома ртути является
возбужденное состояние, отстоящее от ос-
основного по шкале энергий на 4,86 эВ.
Пока разность потенциалов между като-
катодом и сеткой меньше 4,86 В, электроны,
встречая на своем пути атомы ртути, ис-
испытывают с ними только упругие соударе-

338
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
ния. При е<р = 4,86 эВ энергия электрона
становится достаточной, чтобы вызвать
неупругий удар, при котором электрон
отдает атому ртути всю кинетическую
энергию, возбуждая переход одного из
электронов атома из нормального энерге-
энергетического состояния на возбужденный
энергетический уровень. Электроны, поте-
потерявшие свою кинетическую энергию, уже
не смогут преодолеть тормозящего поля
и достигнуть анода. Этим и объясняется
первое резкое падение анодного тока при
е<р = 4,86 эВ. При значениях энергии,
кратных 4,86 эВ, электроны могут испы-
испытать с атомами ртути 2, 3, ... неупругих
соударения, потеряв при этом полностью
свою энергию, и не достигнуть анода,
т. е. должно наблюдаться резкое падение
анодного тока. Это действительно наблю-
наблюдается на опыте (рис. 293).
Таким образом, опыты Франка и Герца
показали, что электроны при столкновении
с атомами ртути передают атомам только
определенные порции энергии, причем
4,86 эВ — наименьшая возможная порция
энергии (наименьший квант энергии), ко-
которая может быть поглощена атомом рту-
ртути в основном энергетическом состоянии.
Следовательно, идея Бора о существова-
существовании в атомах стационарных состояний
блестяще выдержала экспериментальную
проверку.
Атомы ртути, получившие при соуда-
соударении с электронами энергию А?, перехо-
переходят в возбужденное состояние и должны
возвратиться в основное, излучая при
этом, согласно второму постулату Бора
(см. B10.2)), световой квант с часто-
частотой v = A?/A. По известному значению
Д? = 4,86 эВ можно вычислить длину
волны излучения: А, = Лс/Д? ж 255 нм. Та-
Таким образом, если теория верна, то атомы
ртути, бомбардируемые электронами с
энергией 4,86 эВ, должны являться источ-
источником ультрафиолетового излучения с X»
«255 нм. Опыт действительно обнаружи-
обнаруживает одну ультрафиолетовую линию с Хх
ж 254 нм. Таким образом, опыты Франка
и Герца экспериментально подтвердили не
только первый, но и второй постулат Бора.
Эти опыты сыграли огромное значение в
развитии атомной физики.
§ 212. Спектр атома водорода по Бору
Постулаты, выдвинутые Бором, позволили
рассчитать спектр атома водорода и водо-
родоподобных систем — систем, состоя-
состоящих из ядра с зарядом Ze и одного элек-
электрона (например, ионы Не+, Li2+), а так-
также теоретически вычислить постоянную
Ридберга.
Следуя Бору, рассмотрим движение
электрона в водородоподобной системе,
ограничиваясь круговыми стационарными
орбитами. Решая совместно уравнение
B08.1) mev2/r = Ze2/Dntor2), предложен-
предложенное Резерфор дом, и уравнение B10.1),
получим выражение для радиуса я-й ста-
стационарной орбиты:
B12.1)
meZe2
где я=1, 2, 3, ... . Из выражения B12.1)
следует, что радиусы орбит растут про-
пропорционально квадратам целых чисел.
Для атома водорода (Z=l) радиус
первой орбиты электрона при я=1, на-
называемый первым воровским радиусом
(а), равен
h -4лео
= 0,528-100 м = 52,8 пм,
B12.2)
что соответствует расчетам на основании
кинетической теории газов. Так как радиу-
радиусы стационарных орбит измерить невоз-
невозможно, то для проверки теории необходи-
необходимо обратиться к таким величинам, которые
могут быть измерены экспериментально.
Такой величиной является энергия, из-
излучаемая и поглощаемая атомами водо-
водорода.
Полная энергия электрона в водородо-
водородоподобной системе складывается из его ки-
кинетической энергии {mev2/2) и потенци-
потенциальной энергии в электростатическом поле
ядра ( — 2<?2/Dяеог)):
? = -
тл
Ze1
4леог
1 Ze'
2 4леп

Глава 27. Теория атома водорода по Бору
339
(учли, что
mev
1 ,
=—Ze'/Dпе0г)
(см.
B08.1)). Учитывая квантованные для ра-
радиуса я-й стационарной орбиты значения
B12.1), получим, что энергия электро-
электрона может принимать только следующие
дозволенные дискретные значения:
Z2m/
(и=1, 2, 3, ...),
B12.3)
где знак минус означает, что электрон
находится в связанном состоянии.
Из формулы B12.3) следует, что энер-
энергетические состояния атома образуют по-
последовательность энергетических уровней,
изменяющихся в зависимости от значения
п. Целое число п в выражении B12.3),
определяющее энергетические уровни
атома, называется главным квантовым
числом. Энергетическое состояние с п =
1 является основным (нормальным) со-
состоянием; состояния с п> 1 являются воз-
возбужденными. Энергетический уровень, со-
соответствующий основному состоянию ато-
атома, называется основным (нормальным)
уровнем; все остальные уровни являются
возбужденными.
Придавая п различные целчисленные
значения, получим для атома водорода
я ?,эв
_^---о.вл
Серия Серия 1.5
Пашена Брэкета
Серия
Бальмера
-3.38
Серия
Лаймана
-13.55
(Z=l), согласно формуле B12.3), воз-
возможные уровни энергии, схематически
представленные на рис. 294. Энергия ато-
атома водорода с увеличением п возрастает
(уменьшается ее отрицательная величи-
величина) и энергетические уровни сближаются
к границе, соответствующей значению п =
оо. Атом водорода обладает, таким об-
образом, минимальной энергией (?|=
= — 13,55 эВ) при п=\ и максимальной
(?ж=0) при и=оо (при удалении элек-
электрона из атома). Следовательно, значение
?„=0 соответствует ионизации атома
(отрыву от него электрона).
Согласно второму постулату Бора
(см. B10.2)), при переходе атома водоро-
водорода (Z=l) из стационарного состояния
п с большей энергией в стационарное со-
состояние т с меньшей энергией испускает-
испускается квант
_F _г / / 1
" "" 22\2
Ш2г20
/ 1 1_\
\п2 т2)'
откуда частота излучения
Qt.3 2 1 2 2 I
Рис. 294
где
Воспользовавшись при вычислении
R современными значениями универсаль-
универсальных постоянных, получим величину, со-
совпадающую с экспериментальным значе-
значением постоянной Ридберга в эмпирических
формулах для атома водорода (см. §209).
Это совпадение убедительно доказывает
правильность полученной Бором формулы
B12.3) для энергетических уровней водо-
родоподобной системы.
Подставляя, например, в формулу
B12.4) т=1 и и = 2, 3, 4, ..., получим
группу линий, образующих серию Лайма-
Лаймана (см. § 209) и соответствующих перехо-
переходам электронов с возбужденных уровней
(п = 2, 3, 4, ...) на основной (т=\). Ана-
Аналогично, при подстановке т = 2, 3, 4, 5,

340 6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
6 и соответствующих им значений п полу- атомов из основного состояния в возбуж-
чим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, денные (возникает серия Лаймана).
Пфунда и Хэмфри (часть из них схемати- Теория Бора была крупным шагом в
чески представлена на рис. 294), описан- развитии атомной физики и явилась важ-
важные в §209. Следовательно, по теории ным этапом в создании квантовой меха-
Бора, количественно объяснившей спектр ники. Однако эта теория обладает внутрен-
атома водорода, спектральные серии со- ними противоречиями (с одной стороны,
ответствуют излучению, возникающему применяет законы классической физики,
в результате перехода атома в данное а с другой — основывается на квантовых
состояние из возбужденных состояний, постулатах). Она рассмотрела спектры
расположенных выше данного. атома водорода и водородоподобных си-
Спектр поглощения атома водорода стем и вычислила частоты спектральных
является линейчатым, но содержит только линий, однако не смогла объяснить их
серию Лаймана. Он также объясняется интенсивности и ответить на вопрос: по-
теорией Бора. Так как свободные атомы чему совершаются те или иные переходы?
водорода обычно находятся в основном Серьезным недостатком теории Бора была
состоянии (стационарное состояние с наи- невозможность описания с ее помощью
меньшей энергией при п=1), то при со- спектра атома гелия — одного из простей-
общении атомам извне определенной энер- ших атомов, непосредственно следующего
гии могут наблюдаться лишь переходы за атомом водорода.
Контрольные вопросы
• Почему ядерная модель атома оказалась несостоятельной?
• Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена серия
Бальмера?
• Какой смысл имеют числа т и п в обобщенной формуле Бальмера?
• Чему равна частота излучения атома водорода, соответствующая коротковолновой грани-
границе серии Брэкета?
• Разъясните смысл постулатов Боря. Кяк с их помощью объясняется линейчатый спектр атома?
• На каких участках кривой рис. 293 наблюдаются упругие и на каких неупругие столкновения
электронов с атомами?
• Какие основные вводы можно сделать на основании опытов Франка и Герца?
• Пользуясь моделью Бора, укажите спектральные линии, которые могут возникнуть при перехо-
переходе атома водорода в состояния с я = 3 и л = 4.
• Нанесите на шкалу длин волн три линии каждой из первых двух спектральных серий атома
водорода.
• Почему спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана?
• Покажите, что формулу B12.3) можно записать в виде ?„= — 13,55/гс2, где Е выражает-
выражается в электрон-вольтах.
Задачи
27.1. Определить максимальную и минимальную энергии фотона в ультрафиолетовой серии спект-
спектра атома водорода (серии Лаймана). [/?тях =^ 13,2 эВ, ?mjn=10,2 эВ]
27.2. Определить длину волны, соответствующую границе серии Бальмера. C64 нм]
27.3. Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный момент электрона, движущего-
движущегося по второй орбите атома водорода. \рт — etiti/Bm) = 1,8-10 п А-м2]
27.4. Используя теорию Бора, определить изменение орбитального механического момента элек-
электрона при переходе его из возбужденного состояния (и = 2) в основное с испусканием фотона
с длиной волны Х=1,212-10 ' м. (Д/. = й= 1,05-10 34 Дж-с]

Глава 28. Элементы квантовой механики
341
27.5. Определить потенциал ионизации атома водорода. [13,6 В)
27.6. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода ?,= 13,6 эВ, определить второй
потенциал возбуждения этого атома. [12,1 В]
27.7. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Ei= 13,6 эВ, определить в элект-
электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии Лайма-
на. [10,2 эВ]
Глава 28
Элементы квантовой механики
§213. Корпускулярно-волновой
дуализм
свойств вещества
Французский ученый Луи де Бройль
A892—1987), осознавая существующую в
природе симметрию и развивая представ-
представления о двойственной корпускулярно-вол-
корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г.
гипотезу об универсальности корпуску-
лярно-волнового дуализма. Де Бройль ут-
утверждал, что не только фотоны, но и элек-
электроны и любые другие частицы материи
наряду с корпускулярными обладают так-
также волновыми свойствами.
Итак, согласно де Бройлю, с каждым
микрообъектом связываются, с одной сто-
стороны, корпускулярные характеристики —
энергия Е и импульс р, а с другой —
волновые характеристики — частота v
и длина волны А.. Количественные соотно-
соотношения, связывающие корпускулярные
и волновые свойства частиц, такие же, как
для фотонов:
B13. i:
Смелость гипотезы де Бройля заключа-
заключалась именно в том, что соотношение
B13.1) постулировалось не только для
фотонов, но и для других микрочастиц,
в частности для таких, которые обладают
массой покоя. Таким образом, любой
частице, обладающей импульсом, сопо-
сопоставляют волновой процесс с длиной вол-
волны, определяемой по формуле де Бройля:
B13.2)
Это соотношение справедливо для любой
частицы с импульсом р.
Вскоре гипотеза де Бройля была
подтверждена экспериментально. В 1927 г.
американские физики К. Дэвиссон
A881 — 1958) и Л. Джермер A896—1971)
обнаружили, что пучок электронов, рас-
рассеивающийся от естественной дифрак-
дифракционной решетки — кристалла никеля,—
дает отчетливую дифракционную картину.
Дифракционные максимумы соответство-
соответствовали формуле Вульфа — Брэггов A82.1),
а брэгговская длина волны оказалась
в точности равной длине волны, вычислен-
вычисленной по формуле B13.2). В дальнейшем
формула де Бройля была подтверждена
опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсо-
на, наблюдавших дифракционную картину
при прохождении пучка быстрых электро-
электронов (энергия «50 кэВ) через металличе-
металлическую фольгу (толщиной ж 1 мкм).
Так как дифракционная картина ис-
исследовалась для потока электронов, то
необходимо было доказать, что волновые
свойства присущи не только потоку боль-
большой совокупности электронов, но и каж-
каждому электрону в отдельности. Это уда-
удалось экспериментально подтвердить в
1948 г. советскому физику В. А. Фабри-
Фабриканту (р. 1907). Он показал, что даже
в случае столь слабого электронного пуч-
пучка, когда каждый электрон проходит че-
через прибор независимо от других (проме-
(промежуток времени между двумя электронами
в 104 раз больше времени прохождения
электроном прибора), возникающая при
длительной экспозиции дифракционная
картина не отличается от дифракцион-
дифракционных картин, получаемых при короткой эк-
экспозиции для потоков электронов, в де-
десятки миллионов раз более интенсивных.
Следовательно, волновые свойства частиц
не являются свойством их коллектива,

342
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
а присущи каждой частице в отдельно-
отдельности.
Впоследствии дифракционные явления
обнаружили также для нейтронов, про-
протонов, атомных и молекулярных пучков.
Это окончательно послужило доказатель-
доказательством наличия волновых свойств микроча-
микрочастиц и позволило описывать движение
микрочастиц в виде волнового процесса,
характеризующегося определенной длиной
волны, рассчитываемой по формуле де
Бройля B13.2). Открытие волновых
свойств микрочастиц привело к появлению
и развитию новых методов исследования
структуры веществ, таких, как электро-
электронография и нейтронография (см. § 182),
а также к возникновению новой отрасли
науки —электронной оптики (см. § 169).
Экспериментальное доказательство
наличия волновых свойств микрочастиц
привело к выводу о том, что перед нами
универсальное явление, общее свойство
материи. Но тогда волновые свойства до-
должны быть присущи и макроскопическим
телам. Почему же они не обнаружены
экспериментально? Например, частице
массой 1 г, движущейся со скоростью
1 м/с, соответствует волна де Бройля с
Х = 6,62-10~31 м. Такая длина волны лежит
за пределами доступной наблюдению об-
области (периодических структур с периодом
d«10~31 м не существует). Поэтому счи-
считается, что макроскопические тела про-
проявляют только одну сторону своих
свойств — корпускулярную —- и не прояв-
проявляют волновую.
Представление о двойственной корпу-
скулярно-волновой природе частиц ве-
вещества углубляется еще тем, что на части-
частицы вещества переносится связь между
полной энергией частицы е и частотой v
волн де Бройля:
e = /iv. B13.3)
Это свидетельствует о том, что соотноше-
соотношение между энергией и частотой в формуле
B13.3) имеет характер универсального
соотношения, справедливого как для фо-
фотонов, так и для любых других микроча-
микрочастиц. Справедливость же соотношения
B13.3) вытекает из согласия с опытом тех
теоретических результатов, которые полу-
получены с его помощью в квантовой механике,
атомной и ядерной физике.
Подтвержденная экспериментально
гипотеза де Бройля о корпускулярно-во-
лновом дуализме свойств вещества корен-
коренным образом изменила представления
о свойствах микрообъектов. Всем микро-
микрообъектам присущи и корпускулярные,
и волновые свойства; в то же время любую
из микрочастиц нельзя считать ни части-
частицей, ни волной в классическом понимании.
Современная трактовка корпускулярно-
волнового дуализма может быть выраже-
выражена словами советского физика-теоретика
В. А. Фока A898—1974): «Можно ска-
сказать, что для атомного объекта существу-
существует потенциальная возможность проявлять
себя, в зависимости от внешних условий,
либо как волна, либо как частица, либо
промежуточным образом. Именно в этой
потенциальной возможности различных
проявлений свойств, присущих микро-
микрообъекту, и состоит дуализм волна —
частица. Всякое иное, более буквальное,
понимание этого дуализма в виде какой-
нибудь модели неправильно» (в сб.: Фило-
Философские вопросы современной физики.—
М.: Изд-во АН СССР, 1959).
§214. Некоторые свойства
волн де Бройля
Рассмотрим свободно движущуюся со ско-
скоростью v частицу массой т. Вычислим
для нее фазовую и групповую скорости
волн де Бройля. Фазовая скорость, со-
согласно A54.8),
ш _ Йш _ Е _ тс2 с2
*аз k hk p mv v
B14.1)
(? = ЙA) и p = hk, где ?=2лД— волновое
число). Так как с > v, то фазовая скорость
волн де Бройля больше скорости света
в вакууме (фазовая скорость волн может
быть как меньше, так и больше с в отличие
от групповой скорости волн (см. § 155)).
Групповая скорость, согласно A55.1),
d(o d (ftco)
d (hk)
d?
dp'

Глава 28. Элементы квантовой механики
;ш
Для свободной частицы E = -\Jmlc4 +р2с2
(см. D0.7)) и
АЕ
рс*
mvc
тс2
Следовательно, групповая скорость волн
де Бройля равна скорости частицы.
Групповая скорость фотона и=-^— =
тсс2
= ——5~=с, т- е- равна скорости самого
тс
фотона.
Волны де Бройля испытывают диспер-
дисперсию (см. § 154). Действительно, подставив
в выражение B14.1) v^a3 = E/p формулу
D0.7) Е=^1 т1сл-\-р'гсг, увидим, что ско-
скорость волн де Бройля зависит от длины
волны. Это обстоятельство сыграло в свое
время большую роль в развитии положе-
положений квантовой механики. После установ-
установления корпускулярно-волнового дуализма
делались попытки связать корпускулярные
свойства частиц с волновыми и рассматри-
рассматривать частицы как «узкие» волновые паке-
пакеты (см. § 155), «составленные» из волн де
Бройля. Это позволяло как бы отойти от
двойственности свойств частиц. Такая ги-
гипотеза соответствовала локализации
частицы в данный момент времени в опре-
определенной ограниченной области простран-
пространства. Аргументом в пользу этой гипотезы
являлось и то, что скорость распростране-
распространения центра пакета (групповая скорость)
оказалась, как показано выше, равной
скорости частицы. Однако подобное пред-
представление частицы в виде волнового паке-
пакета (группы волн де Бройля) оказалось не-
несостоятельным из-за сильной дисперсии
волн де Бройля, приводящей к «быстрому
расплыванию» (примерно 10~26 с!) волно-
волнового пакета или даже разделению его на
несколько пакетов.
§215. Соотношение
неопределенностей
Согласно двойственной корпускулярно-во-
лновой природе частиц вещества, для опи-
описания микрочастиц используются то во-
волновые, то корпускулярные представле-
представления. Поэтому приписывать им все свойст-
свойства частиц и все свойства волн нельзя.
Естественно, что необходимо внести не-
некоторые ограничения в применении
к объектам микромира понятий классиче-
классической механики.
В классической механике всякая
частица движется по определенной тра-
траектории, так что в любой момент времени
точно фиксированы ее координата и им-
импульс. Микрочастицы из-за наличия у них
волновых свойств существенно отличают-
отличаются от классических частиц. Одно из основ-
основных различий заключается в том, что не-
нельзя говорить о движении микрочастицы
по определенной траектории и неправо-
неправомерно говорить об одновременных точных
значениях ее координаты и импульса. Это
следует из корпускулярно-волнового дуа-
дуализма. Так, понятие «длина волны в дан-
данной точке» лишено физического смысла,
а поскольку импульс выражается через
длину волны (см. B13.1)), то отсюда сле-
следует, что микрочастица с определенным
импульсом имеет полностью неопределен-
неопределенную координату. И наоборот, если микро-
микрочастица находится в состоянии с точным
значением координаты, то ее импульс яв-
является полностью неопределенным.
В. Гейзенберг, учитывая волновые
свойства микрочастиц и связанные с во-
волновыми свойствами ограничения в их
поведении, пришел в 1927 г. к выводу,
что объект микромира невозможно одно-
одновременно с любой наперед заданной точ-
точностью характеризовать и координатой
и импульсом. Согласно соотношению не-
неопределенностей Гейзенберга, микроча-
микрочастица (микрообъект) не может иметь од-
одновременно и определенную координату
(х, у, г), и определенную соответствующую
проекцию импульса (рх, ру, рг), причем не-
неопределенности этих величин.удовлетворя-
величин.удовлетворяют условиям
B15.1)
т. е. произведение неопределенностей ко-
координаты и соответствующей ей проекции

6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
импульса не может быть меньше величины
порядка h.
Из соотношения неопределенностей
B15.1) следует, что, например, если
микрочастица находится в состоянии
с точным значением координаты (Лх = 0),
то в этом состоянии соответствующая про-
проекция ее импульса оказывается совершен-
совершенно неопределенной (Арх -»¦ оо), и наобо-
наоборот. Таким образом, для микрочастицвл
не существует состояний, в которых ее ко-
координаты и импульс имели бы одновремен-
одновременно точные значения. Отсюда вытекает
и фактическая невозможность одновре-
одновременно с любой наперед заданной точно-
точностью измерить координату и импульс
микрообъекта.
Поясним, что соотношение неопределенно-
неопределенностей действительно вытекает из волновых
свойств микрочастиц. Пусть поток электронов
проходит через узкую щель шириной Ах, распо-
расположенную перпендикулярно направлению их
движения (рис.295). Так как электроны обла-
обладают волновыми свойствами, то при их про-
прохождении через щель, размер которой сравним
с длиной волны де Бройля К электрона, на-
наблюдается дифракция. Дифракционная карти-
картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризует-
характеризуется главным максимумом, расположенным сим
метрично оси У, и побочными максимумами по
обе стороны от главного (их не рассматриваем,
так как основная доля интенсивности приходит
ся на главный максимум).
До прохождения через щель электроны дви
гались вдоль оси Y, поэтому составляющая им-
импульса рл = 0, так что Ар, = 0, а координа-
координата х частицы является совершенно неопреде-
неопределенной. В момент прохождения электронов через
щель их положение в направлении
оси X определяется с точностью до ширины
щели, т. е. с точностью Дх. В этот же момент
вследствие дифракции электроны отклоняются
от первоначального направления и будут дви-
двигаться в пределах угла 2ф (<р — угол, соответ-
соответствующий первому дифракционному миниму-
минимуму). Следовательно, появляется неопределен-
неопределенность в значении составляющей импульса вдоль
оси X, которая, как следует из рис. 295 и форму-
формулы B13.1), равна
х = р sinq> =—
А
BI5.2)
Для простоты ограничимся рассмотрением
только тех электронов, которые попадают на
экран в пределах главного максимума. Из тео-
теории дифракции (см. § 179) известно, что первый
минимум соответствует углу ф, удовлетворяю-
удовлетворяющему условию
K B15.3)
где Ах ширина щели, а X — длина волны де
Вройля. Из формул B15.2) и B15.3) получим
учитывая, что для некоторой, хотя и незначи-
незначительной, части электронов, попадающих за пре-
пределы главного максимума, величина Ар*^
:*psinq>. Следовательно, получаем выражение
Рис. 295
т.е. соотношение неопределенностей B15.1).
Невозможность одновременно точно
определить координату и соответствую-
соответствующую составляющую импульса не связана
с несовершенством методов измерения или
измерительных приборов, а является след-
следствием специфики микрообъектов, отра-
отражающей особенности их объективных
свойств, а именно двойственной корпуску-
лярно-волновой природы. Соотношение не-
неопределенностей получено при одновре-
одновременном использовании классических ха-
характеристик движения частицы (коорди-
(координаты, импульса) и наличия у нее волновых
свойств. Так как в классической механике
принимается, что измерение координаты
и импульса может быть произведено с
любой точностью, то соотношение неопре-
неопределенностей является, таким образом,
квантовым ограничением применимости
классической механики к микрообъектам.
Соотношение неопределенностей, отра-
отражая специфику физики микрочастиц, по-
позволяет оценить, например, в какой мере

Глава 28. Элементы кпаитовой механики
345
можно применять понятия классической
механики к микрочастицам, в частности
с какой степенью точности можно гово-
говорить о траекториях микрочастиц. Извест-
Известно, что движение по траектории характе-
характеризуется в любой момент времени опреде-
определенными значениями координат и скоро-
скорости. Выразим соотношение неопределенно-
неопределенностей B15.1) в виде
ДхДух^А/т. B15.4)
Из этого выражения следует, что чем
больше масса частицы, тем меньше не-
неопределенности ее координаты и скоро-
скорости и, следовательно, с тем большей точ-
точностью можно применять к этой ча-
частице понятие траектории. Так, напри-
например, уже для пылинки массой 10~]'2 кг
и линейными размерами 10~6 м, коор-
координата которой определена с точностью
до 0,01 ее размеров (Дл:=10~8 м), не-
неопределенность скорости, по B15.4),
= 6,62-10~14 м/с, т.е. не будет сказы-
сказываться при всех скоростях, с которыми
пылинка может двигаться. Таким образом,
для макроскопических тел их волновые
свойства не играют никакой роли; коорди-
координата и скорость макротел могут быть од-
одновременно измерены достаточно точно.
Это же означает, что для описания движе-
движения макротел с абсолютной достоверно-
достоверностью можно пользоваться законами клас-
классической механики.
Предположим, пучок электронов дви-
движется вдоль оси х со скоростью v =
= 108м/с, определяемой с точностью до
0,01 % (До*» 104 м/с). Какова точность
определения координаты электрона? По
формуле B15.4),
h
mlS.vx
6,62-10
-34
9,11-10
-31
10'
—=7,27-10~6 м,
т. е. положение электрона может быть оп-
определено с точностью до тысячных долей
миллиметра. Такая точность достаточна,
чтобы можно было говорить о движении
электронов по определенной траектории,
иными словами, описывать их движение
законами классической механики.
Применим соотношение неопределен-
неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме
водорода. Допустим, что неопределенность
координаты электрона Д*яг10~'° м (по-
(порядка размеров самого атома, т. е. можно
считать, что электрон принадлежит дан-
данному атому). Тогда, согласно B15.4),
Дгь=6,62-10 34/(9,11- 10 а' • 10 '°) =
= 7,27- 10ь м/с. Используя законы класси-
классической физики, можно показать, что при
движении электрона вокруг ядра по круго-
круговой орбите радиуса «0,5-10~ |0 м его ско-
скорость v «2,3-106 м/с. Таким образом, не-
неопределенность скорости в несколько раз
больше самой скорости. Очевидно, что
в данном случае нельзя говорить о движе-
движении электрона в атоме по определенной
траектории, иными словами, для описания
движения электрона в атоме нельзя поль-
пользоваться законами классической физики.
В квантовой теории рассматривается
также соотношение неопределенностей
для энергии Е и времени t, т. е. неопреде-
неопределенности этих величин удовлетворяют ус-
условию
Д?Д/>Л. B15.5)
Подчеркнем, что Д? — неопределенность
энергии системы в момент ее измерения,
Д/ — неопределенность длительности про-
процесса измерения. Следовательно, система,
имеющая среднее время жизни Д/, не мо-
может быть охарактеризована определенным
значением энергии; разброс энергии Д? =
= Л/Д/ возрастает с уменьшением средне-
среднего времени жизни. Из выражения B15.5)
следует, что частота излученного фотона
также должна иметь неопределенность
Av = A?/A, т.е. линии спектра долж-
должны характеризоваться частотой, равной
v + A?//i. Опыт действительно показывает,
что все спектральные линии размыты; из-
измеряя ширину спектральной линии, можно
оценить порядок времени существования
атома в возбужденном состоянии.
Соотношение неопределенностей неод-
неоднократно являлось предметом философ-
философских дискуссий, приводивших некоторых
философов к его идеалистическому истол-
истолкованию. Например, по их мнению, соотно-

346
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
шение неопределенностей, не давая воз-
возможности одновременно точно определить
координаты и импульсы (скорости)
частиц, устанавливает границу познавае-
познаваемости мира, с одной стороны, и существо-
существование микрообъектов вне пространства
и времени — с другой. На самом деле
соотношение неопределенностей не ставит
какого-либо предела познанию микроми-
микромира, а только указывает, насколько при-
применимы к нему понятия классической ме-
механики.
§216. Волновая функция
и ее статистический смысл
Экспериментальное подтверждение идеи
де Бройля об универсальности корпуску-
лярно-волнового дуализма, ограничен-
ограниченность применения классической механики
к микрообъектам, диктуемая соотношени-
соотношением неопределенностей, а также противоре-
противоречие целого ряда экспериментов с применя-
применяемыми в начале XX в. теориями привели
к новому этапу развития квантовой тео-
теории — созданию квантовой механики,
описывающей законы движения и взаимо-
взаимодействия микрочастиц с учетом их волно-
волновых свойств. Ее создание и развитие ох-
охватывает период с 1900 г. (формулировка
Планком квантовой гипотезы; см. § 200)
до 20-х годов XX в.; оно связано прежде
всего с работами австрийского физика
Э. Шредингера A887—1961), немецкого
физика В. Гейзенберга и английского фи-
физика П.Дирака A902—1984).
На данном этапе развития возникли
новые принципиальные проблемы,
в частности проблема физической природы
волн де Бройля. Для выяснения этой про-
проблемы сравним дифракцию световых волн
и микрочастиц. Дифракционная картина,
наблюдаемая для световых волн, характе-
характеризуется тем, что в результате наложения
дифрагирующих волн друг на друга в раз-
различных точках пространства происходит
усиление или ослабление амплитуды коле-
колебаний. Согласно волновым представлени-
представлениям о природе света, интенсивность диф-
дифракционной картины пропорциональна
квадрату амплитуды световой волны. По
представлениям фотонной теории, интен-
интенсивность определяется числом фотонов,
попадающих в данную точку дифракцион-
дифракционной картины. Следовательно, число фото-
фотонов в данной точке дифракционной карти-
картины задается квадратом амплитуды свето-
световой волны, в то время как для одного
фотона квадрат амплитуды определяет ве-
вероятность попадания фотона в ту или
иную точку.
Дифракционная картина, наблюдае-
наблюдаемая для микрочастиц, также характеризу-
характеризуется неодинаковым распределением пото-
потоков микрочастиц, рассеянных или отра-
отраженных по различным направлениям,—
в одних направлениях наблюдается боль-
большее число частиц, чем в других. Наличие
максимумов в дифракционной картине
с точки зрения волновой теории означает,
что эти направления соответствуют наи-
наибольшей интенсивности волн де Бройля.
С другой стороны, интенсивность волн де
Бройля оказывается больше там, где име-
имеется большее число частиц, т. е. интенсив-
интенсивность волн де Бройля в данной точке про-
пространства определяет число частиц, попав-
попавших в эту точку. Таким образом, дифрак-
дифракционная картина для микрочастиц являет-
является проявлением статистической (вероятно^
стной) закономерности, согласно которой
частицы попадают в те места, где интен-
интенсивность волн де Бройля наибольшая.
Необходимость вероятностного подхо-
подхода к описанию микрочастиц является важ-
важнейшей отличительной особенностью кван-
квантовой теории. Можно ли волны де Бройля
истолковывать как волны вероятности,
т. е. считать, что вероятность обнаружить
микрочастицу в различных точках про-
пространства меняется по волновому закону?
Такое толкование волн де Бройля уже
неверно хотя бы потому, что тогда веро-
вероятность обнаружить частицу в некоторых
точках пространства может быть отрица-
отрицательна, что не имеет смысла.
Чтобы устранить эти трудности, не-
немецкий физик М. Борн A882—1970)
в 1926 г. предположил, что по волновому
закону меняется не сама вероятность,
а величина, названная амплитудой веро-
вероятности и обозначаемая V (х, у, z, t). Эту
величину называют также волновой фун-
функцией (или Ч'-функцией). Амплитуда ве-

Глава 28. Элементы квантовой механики
347
роятности может быть комплексной, и ве-
вероятность W пропорциональна квадрату
ее модуля:
\2
ятностей
W~\V(x,y, z, t)\
B16.1)
2 = ЧГЧГ*, W* — функция, комплексно
сопряженная с Ч*). Таким образом, описа-
описание состояния микрообъекта с помощью
волновой функции имеет статистический,
вероятностный характер: квадрат модуля
волновой функции (квадрат модуля ам-
амплитуды волн де Бройля) определяет веро-
вероятность нахождения частицы в момент
времени t в области с координатами
х и х-\-&х, у и y-\-dy, z и z + dz.
Итак, в квантовой механике состояние
микрочастиц описывается принципиально
по-новому — с помощью волновой фун-
функции, которая является основным носите-
носителем информации об их корпускулярных
и волновых свойствах. Вероятность на-
нахождения частицы в элементе объемом 6V
равна
dW=\x?\2dV. B16.2)
Величина
(квадрат модуля ^-функции) имеет смысл
плотности вероятности, т. е. определяет
вероятность нахождения частицы в еди-
единичном объеме в окрестности точки с ко-
координатами x,y,z. Таким образом, физи-
физический смысл имеет не сама Ч'-функция,
а квадрат ее модуля |ЧЧ2, которым за-
задается интенсивность волн де Бройля.
Вероятность найти частицу в момент
времени t в конечном объеме V, согласно
теореме сложения вероятностей, равна
-\лг-\
Так как |4M2dV определяется как веро-
вероятность, необходимо волновую функцию
W нормировать так, чтобы вероятность
достоверного события обращалась в еди-
единицу, если за объем V принять бесконеч-
бесконечный объем всего пространства. Это озна-
означает, что при данном условии частица
должна находиться где-то в пространстве.
Следовательно, условие нормировки веро-
вероB16.3)
где данный интеграл B16.3) вычисляется
по всему бесконечному пространству,
т. е. по координатам х, у, z от — оо до <х>.
Таким образом, условие B16.3) говорит
об объективном существовании частицы
во времени и пространстве.
Чтобы волновая функция являлась
объективной характеристикой состояния
микрочастиц, она должна удовлетворять
ряду ограничительных условий. Функция
4х, характеризуя вероятность обнаружения
действия микрочастицы в элементе объема,
должна быть конечной (вероятность не
может быть больше единицы), однознач-
однозначной (вероятность не может быть неодно-
неоднозначной величиной) и непрерывной (веро-
(вероятность не может изменяться скачком).
Волновая функция удовлетворяет
принципу суперпозиции: если система мо-
может находиться в различных состояниях,
описываемых волновыми функциями Wi,
4f2i---.4rn. •. •, то она также может находить-
находиться в состоянии W, описываемом линейной
комбинацией этих функций:
где С„ (и=1,2, ...)— произвольные, вооб-
вообще говоря, комплексные числа. Сложение
волновых функций (амплитуд вероятно-
вероятностей), а не вероятностей (определяемых
квадратами модулей волновых функций)
принципиально отличает квантовую тео-
теорию от классической статистической тео-
теории, в которой для независимых событий
справедлива теорема сложения вероятно-
вероятностей.
Волновая функция 4Г, являясь основ-
основной характеристикой состояния микро-
микрообъектов, позволяет в квантовой механике
вычислять средние значения физических
величин, характеризующих данный микро-
объект. Например, среднее расстояние (г)
электрона от ядра вычисляют по формуле
</¦>= J r |V|2dV,

348
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
где интегрирование
и в случае B16.3).
производится, как
§217. Общее уравнение Шредингера.
Уравнение Шредингера
для стационарных состояний
Статистическое толкование волн де Брой-
ля (см. §216) и соотношение неопреде-
неопределенностей Гейзенберга (см. §215) при-
привели к выводу, что уравнением движения
в квантовой механике, описывающим дви-
движение микрочастиц в различных силовых
полях, должно быть уравнение, из которо-
которого бы вытекали наблюдаемые на опыте
волновые свойства частиц. Основное урав-
уравнение должно быть уравнением относи-
относительно волновой функции W (х, у, г, /), так
как именно она, или, точнее, величина
| Ч*" j2, определяет вероятность пребывания
частицы в момент времени t в объеме dV,
т. е. в области с координатами х и x-\-dx,
у и y-\-dy, г и z + dz. Так как искомое
уравнение должно учитывать волновые
свойства частиц, то оно должно быть во-
волновым уравнением, подобно уравнению,
описывающему электромагнитные волны.
Основное уравнение нерелятивистской
квантовой механики сформулировано
в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение
Шредингера, как и все основные уравне-
уравнения физики (например, уравнения Ньюто-
Ньютона в классической механике и уравнения
Максвелла для электромагнитного поля),
не выводится, а постулируется. Правиль-
Правильность этого уравнения подтверждается со-
согласием с опытом получаемых с его по-
помощью результатов, что, в свою очередь,
придает ему характер закона природы.
Уравнение Шредингера имеет вид
B17.1)
где Й = /г/Bя), т — масса частицы А —
d2W д2У
—| ^—\~
д
оператор Лапласа (ДЧ/ =г
дх
d2W
-\
дг
дх ду
Н, ' — мнимая единица, U (х, у, z, t)
Ч1 (х, у, г, t) — искомая волновая функция
частицы.
Уравнение B17.1) справедливо для
любой частицы (со спином, равным 0;
см. §225), движущейся с малой (по срав-
сравнению со скоростью света) скоростью,
т. е. со скоростью и<Сс. Оно дополняется
условиями, накладываемыми на волновую
функцию: 1) волновая функция должна
быть конечной, однозначной и непрерыв-
непрерывен dW
ной (см. §216); 2) производные ——,——,
——, должны быть непрерывны;
дг dt
3) функция l^l2 должна быть интегриру-
интегрируема; это условие в простейших случаях
сводится к условию нормировки вероятно-
вероятностей B16.3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера,
рассмотрим свободно движущуюся частицу, ко-
которой, согласно идее деБройля, сопоставляется
плоская волна. Для простоты рассмотрим одно-
одномерный случай. Уравнение плоской волны, рас-
распространяющейся вдоль оси х, имеет вид
(см. § 154)
или в комплексной записи
Следовательно, плоская волна де Бройля име-
имеет вид
'") B17.2)
(учтено, что ш = ?/Й, k=p/h). В квантовой
механике показатель экспоненты берут со зна-
знаком минус, но поскольку физический смысл име-
имеет только 14х!2, то это (см. B17.2)) несуществен-
несущественно. Тогда
dt
дх1
откуда
dt
B17.3)
— потенциальная функция частицы в Используя взаимосвязь между энергией Е и им-
силовом поле, в котором она движется, пульсом р(Е=р2/Bт)) и подставляя выраже-

Глава 28. Элементы квантовой механики
349
ния B17.3), получим дифференциальное урав-
уравнение
2т
~
dt
которое совпадает с уравнением B17.1) для
случая (/ = 0 (мы рассматривали свободную
частицу).
Если частица движется в силовом поле,
характеризуемом потенциальной энергией U, то
полная энергия ? складывается из кинетиче-
кинетической и потенциальной энергий. Проводя анало-
аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь
между Е и р для данного случая р2/Bт) = ?—
— U, придем к дифференциальному уравнению,
совпадающему с B17.1).
Приведенные рассуждения не должны
восприниматься как вывод уравнения
Шредингера. Они лишь поясняют, как
можно прийти к этому уравнению. Доказа-
Доказательством правильности уравнения Шре-
Шредингера является согласие с опытом тех
выводов, к которым оно приводит.
Уравнение B17.1) является общим
уравнением Шредингера. Его также на-
называют уравнением Шредингера, завися-
зависящим от времени. Для многих физических
явлений, происходящих в микромире,
уравнение B17.1) можно упростить,
исключив зависимость Ц' от времени, ины-
иными словами, найти уравнение Шредингера
для стационарных состояний — состояний
с фиксированными значениями энергии.
Это возможно, если силовое поле, в кото-
котором частица движется, стационарно,
т. е. функция U =U (х, у, z) не зависит яв-
явно от времени и имеет смысл потенциаль-
потенциальной энергии. В данном случае решение
уравнения Шредингера может быть пред-
представлено в виде произведения двух фун
кций, одна из которых есть функция толь-
только координат, другая — только времени,
причем зависимость от времени выражает-
выражается множителем е -'<»' = е¦-<<?/*)', так что
Ф1 (лт, у, 2, t) =г|з (*, у, г) е <<?/*)<,
B17.4)
где Е — полная энергия частицы, постоян-
постоянная в случае стационарного поля. Под-
Подставляя B17.4) в B17.1), получим
откуда после деления на общий множи-
множитель е--'(?/*)' и соответствующих преобра-
преобразований придем к уравнению, определяю-
определяющему функцию ф:
i = 0. BI7.5)
4?
h
Уравнение B17.5) называется уравнением
Шредингера для стационарных состояний.
В это уравнение в качестве параметра
входит полная энергия Е частицы. В тео-
теории дифференциальных уравнений дока-
доказывается, что подобные уравнения имеют
бесчисленное множество решений, из кото-
которых посредством наложения граничных
условий отбирают решения, имеющие фи-
физический смысл. Для уравнения Шредин-
Шредингера такими условиями являются условия
регулярности волновых функций: волно-
волновые функции должны быть конечными,
однозначными и непрерывными вместе со
своими первыми производными. Таким об-
образом, реальный физический смысл имеют
только такие решения, которые выража-
выражаются регулярными функциями г|з. Но регу-
регулярные решения имеют место не при лю-
любых значениях параметра Е, а лишь при
определенном их наборе, характерном для
данной задачи. Эти значения энергии на-
называются собственными. Решения же, ко-
которые соответствуют собственным значе-
значениям энергии, называются собственными
функциями. Собственные значения Е мо-
могут образовывать как непрерывный, так
и дискретный ряд. В первом случае гово-
говорят о непрерывном, или сплошном, спектре,
во втором -— о дискретном спектре.
§218. Принцип причинности
в квантовой механике
Из соотношения неопределенностей часто
делают идеалистический вывод о непри-
неприменимости принципа причинности к явле-
явлениям, происходящим в микромире. При
этом основываются на следующих сообра-
соображениях. В классической механике, соглас-
согласно принципу причинности — принципу
классического детерминизма, по известно-
известному состоянию системы в некоторый момент
времени (полностью определяется значе-
значениями координат и импульсов всех частиц

350
б. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
системы) и силам, приложенным к ней,
можно абсолютно точно задать ее состоя-
состояние в любой последующий момент. Следо-
Следовательно, классическая физика основыва-
основывается на следующем понимании причинно-
причинности: состояние механической системы
в начальный момент времени с известным
законом взаимодействия частиц есть при-
причина, а ее состояние в последующий мо-
момент — следствие.
С другой стороны, микрообъекты не
могут иметь одновременно и определенную
координату, и определенную соответству-
соответствующую проекцию импульса (задаются со-
соотношением неопределенностей B15.1)),
поэтому и делается вывод о том, что в на-
начальный момент времени состояние систе-
системы точно не определяется. Если же со-
состояние системы не определено в началь-
начальный момент времени, то не могут быть
предсказаны и последующие состоя-
состояния, т. е. нарушается принцип причин-
причинности.
Необходимо, однако, отдавать себе
отчет в том, что никакого нарушения
принципа причинности применительно
к микрообъектам не наблюдается, по-
поскольку в квантовой механике понятие
состояния микрообъекта приобретает со-
совершенно иной смысл, чем в классической
механике. В квантовой механике состоя-
состояние микрообъекта полностью определяет-
определяется волновой функцией Ч7 (х, у, z, t), квад-
квадрат модуля которой IW (х, у, z, t)|2 задает
плотность вероятности нахождения части-
частицы в точке с координатами х, у, z.
В свою очередь, волновая функция
4х (х, у, 2, /) удовлетворяет уравнению
Шредингера B17.1), содержащему пер-
первую производную функции Ч7 по времени.
Это же означает, что задание функции Ч'о
(для момента времени to) определяет ее
значение в последующие моменты. Следо-
Следовательно, в квантовой механике начальное
состояние Ч'о есть причина, а состояние Ч7
в последующий момент — следствие. Это
и есть форма принципа причинности
в квантовой механике, т. е. задание функ-
функции Ч'о предопределяет ее значения для
любых последующих моментов. Таким об-
образом, состояние системы микрочастиц,
определенное в квантовой механике, одно-
однознацно вытекает из предшествующего со-
состояния, как того требует принцип при-
причинности.
§219. Движение свободной частицы
При движении свободной частицы (U(x) =
0) ее полная энергия совпадает с кине-
кинетической. Для свободной частицы, движу-
движущейся вдоль оси х, уравнение Шрединге-
ра B17.5) для стационарных состояний
примет вид
**.+ *!jj-E* = O. B.9.1)
Прямой подстановкой можно убедиться
в том, что частным решением уравнения
B19.1) является функция г|> (х) = А е'кх, где
j4 = const и fe = const, с собственным зна-
значением энергии
E = hik2/{2m). B19.2)
Функция if (х) =А е'*лг = Л eU/V^mE*
представляет собой только координатную
часть волновой функции Ч7 (х, /). Поэтому
зависящая от времени волновая функция,
согласно B17.4),
B19.3)
(здесь ш = Е/Н и k = px/h). Функция
B19.3) представляет собой плоскую мо-
монохроматическую волну де Бройля
(см. 217.2)).
Из выражения B19.2) следует, что
зависимость энергии от импульса
Е = Няк2/Bт)=р1/Bт)
оказывается обычной для нерелятивист-
нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия сво-
свободной частицы может принимать любые
значения (так как волновое число k может
принимать любые положительные значе-
значения), т.е. ее энергетический спектр явля-
является непрерывным.
Таким образом, свободная квантовая
частица описывается плоской монохрома-
монохроматической волной де Бройля. Этому соот-
соответствует не зависящая от времени плот-
плотность вероятности обнаружения частицы

Глава 28. Элементы квантовой механики
351
в данной точке пространства
причем одинаковая в любой его точке.
§ 220. Частица в одномерной
прямоугольной
«потенциальной яме»
с бесконечно высокими
«стенками»
Проведем качественный анализ решений
уравнения Шредингера применительно
к частице в одномерной прямоугольной
«потенциальной яме» с бесконечно высо-
высокими «стенками». Такая «яма» описывает-
описывается потенциальной энергией вида (для про-
простоты принимаем, что частица движется
вдоль оси х)
U(x) = )o!'
где / — ширина «ямы», а энергия отсчиты-
вается от ее дна (рис. 296).
Уравнение Шредингера B17.5) для
стационарных состояний в случае одно-
одномерной задачи запишется в виде
—|- + -V-(?-L0i|) = O. B20.1)
дх2 й2
По условию задачи (бесконечно высокие
«стенки»), частица не проникает за преде-
пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнару-
обнаружения (а следовательно, и волновая фун-
функция) за пределами «ямы» равна нулю. На
границах «ямы» (при х = 0 и *=/) непре-
непрерывная волновая функция также должна
обращаться в нуль. Следовательно, гра-
граничные условия в данном случае имеют вид
:0. B20.2)
I
I
о t
Рис. 296
В пределах «ямы» @^.х^1) уравне-
уравнение Шредингера B20.1) сведется к урав-
уравнению
или
где
дх
B20.3)
k2 = 2mE/h2. B20.4)
Общее решение дифференциального
уравнения B20.3):
i|) (x) = A sin kx-\-B cos kx.
Так как по B20.2) г|э @) = 0, тоВ = 0. Тогда
¦ф(*) = Л sin kx. B20.5)
Условие 1|)(/) = Л sin /г/ = 0 B20.2) выпол-
выполняется только при kl = nn, где п — целые
числа, т. е. необходимо, чтобы
k = nn/l. B20.6)
Из выражений B20.4) и B20.6) следу-
следует, что
? =
(я = 1,2, 3, ...), B20.7)
т. е. стационарное уравнение Шредингера,
описывающее движение частицы в «по-
«потенциальной яме» с бесконечно высокими
«стенками», удовлетворяется только при
собственных значениях ?„, 'зависящих от
целого числа п. Следовательно, энергия
Еп частицы в «потенциальной яме» с бес-
бесконечно высокими «стенками» принимает
лишь определенные дискретные значения,
т. е. квантуется. Квантованные значения
энергии Еп называются уровнями энергии,
а число п, определяющее энергетические
уровни частицы, называется главным кван-
квантовым числом. Таким образом, микрочасти-
микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно вы-
высокими «стенками» может находиться толь-
только на определенном энергетическом уровне
?„, или, как говорят, частица находится
в квантовом состоянии п.
Подставив в B20.5) значение k из
B20.6), найдем собственные функции:
i|) (jc) = A sin х.

352
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
Постоянную интегрирования А найдем из
условия нормировки B16.3), которое для
данного случая запишется в виде
А'
sin —— х dx = 1.
В результате интегрирования получим
Л=д/2//, а собственные функции будут
иметь вид
*л(х) = дДзт-у-х («=1,2,3,...).
B20.8)
Графики собственных функций
B20.8), соответствующие уровням энер-
энергии B20.7) при п= 1,2,3, приведены на
рис. 297, а. На рис. 297, б изображена
плотность вероятности обнаружения
частицы на различных расстояниях от
«стенок» ямы, равная | г|)„(*)|2 = ^п(х) г|)%(х)
для «=1,2 и 3. Из рисунка следует, что,
например, в квантовом состоянии с п —
2 частица не может находиться в сере-
середине «ямы», в то время как одинаково
часто может пребывать в ее левой и пра-
правой частях. Такое поведение частицы ука-
указывает на то, что представления о тра-
траекториях частицы в квантовой механике
несостоятельны.
Из выражения B20.7) вытекает, что
энергетический интервал между двумя со-
соседними уровнями равен
= Еп+1-Еп =
яУ
2m/2
Bя
¦п. B20.9)
Например, для электрона при размерах
ямы /=10 ' м (свободные электроны
Рис. 297
в металле) Д?„«10 ъьп Дж «
«10^|6пэВ, т.е. энергетические уровни
расположены столь тесно, что спектр
практически можно считать непрерывным.
Если же размеры ямы соизмеримы с атом-
атомными (/«10~'° м), то для электрона
ДЯ„«10~|?п Дж«102п эВ, т.е. получа-
получаются явно дискретные значения энергии
(линейчатый спектр). Таким образом, при-
применение уравнения Шредингера к частице
в «потенциальной яме» с бесконечно высо-
высокими «стенками» приводит к квантован-
квантованным значениям энергии, в то время как
классическая механика на энергию этой
частицы никаких ограничений не наклады-
накладывает.
Кроме того, квантово-механическое
рассмотрение данной задачи приводит
к выводу, что частица «в потенциальной
яме» с бесконечно высокими «стенками»
не может иметь энергию меньшую, чем
минимальная энергия, равная n2h2/ Bml2).
Наличие отличной от нуля минимальной
энергии не случайно и вытекает из соотно-
соотношения неопределенностей. Неопределен-
Неопределенность координаты Ах частицы в «яме»
шириной / равна Ах = 1. Тогда, согласно
соотношению неопределенностей B15.1),
импульс не может ййеть точное, в данном
случае нулевое, значение. Неопределен-
Неопределенность импульса Apxh/l. Такому разбросу
значений импульса соответствует кинети-
кинетическая энергия Етшж (АрJ/ Bт) =
= h2 /Bm/2). Все остальные уровни («> 1)
имеют энергию, превышающую это мини-
минимальное значение.
Из формул B20.9) и B20.7) следует,
что при больших квантовых числах (п~^> 1)
Д?1„/?„«2/п<1С 1, т.е. соседние уровни
расположены тесно: тем теснее, чем боль-
больше п. Если п очень велико, то можно
говорить о практически непрерывной по-
последовательности уровней и характерная
особенность квантовых процессов —
дискретность — сглаживается. Этот ре-
результат является частным случаем прин-
принципа соответствия Бора A923), согласно
которому законы квантовой механики до-
должны при больших значениях квантовых
чисел переходить в законы классической
физики.

Глава 28. Элементы квантовой механики
353
Более общая трактовка принципа со-
соответствия, имеющего огромную роль в со-
современной физике, заключается в следую-
следующем: всякая новая, более общая теория,
являющаяся развитием классической, не
отвергает ее полностью, а включает в себя
классическую теорию, указывая границы
ее применения, причем в определенных
предельных случаях новая теория перехо-
переходит в старую. Так, формулы кинематики
и динамики специальной теории относи-
относительности переходят при v<^c в формулы
механики Ньютона. Например, хотя гипо-
гипотеза де Бройля приписывает волновые
свойства всем телам, но в тех случаях,
когда мы имеем дело с макроскопическими
телами, их волновыми свойствами можно
пренебречь, т. е. применять классическую
механику Ньютона.
§221. Прохождение частицы
сквозь
потенциальный барьер.
Туннельный эффект
Рассмотрим потенциальный барьер про-
простейшей прямоугольной формы
(рис. 298, а) для одномерного (по оси х)
движения частицы. Для потенциального
барьера прямоугольной формы высоты
а)
U и ширины / можем записать
?<и
Рис. 298
12 Т. И. Трофимова
U(x) =
(для области /),
(для области 2),
(для области 3).
При данных условиях задачи классиче-
классическая частица, обладая энергией ?, либо
беспрепятственно пройдет над барьером
(при E>U), либо отразится от него (при
E<C.U) и будет двигаться в обратную сто-
сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь
барьер. Для микрочастицы же даже при
E>U имеется отличная от нуля вероят-
вероятность, что частица отразится от барьера
и будет двигаться в обратную сторону.
При E/, т.е. проникает сквозь
барьер. Подобные, казалось бы, парадок-
парадоксальные выводы следуют непосредственно
из решения уравнения Шредингера, опи-
описывающего движение микрочастицы при
условиях данной задачи.
Уравнение Шредингера B17.5) для
стационарных состояний для каждой
из выделенных на рис. 298, а области
имеет вид
-. 2 tig
дх
(для областей I и 3 k2 = 2mE/h2),
дх2
B21.1)
(для области 2 q2 = 2m (E-U)/h2).
Общие решения этих дифференциальных
уравнений:
~l7ut B21.2)
(для области 1);
(для области 2);
Mt>3(x) = A3eikx-\-B3e~ikx B21.3)
(для области 3).
В частности, для области / полная
волновая функция, согласно B17.4), бу-

354
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
дет иметь вид
= А ,е - (i/й) (El -p,x) _|_ g |6 - (i/K) (EI +p,x)
B21.4)
В этом выражении первый член представ-
представляет собой плоскую волну типа B19.3),
распространяющуюся в положительном
направлении оси х (соответствует части-
частице, движущейся в сторону барьера), а вто-
второй — волну, распространяющуюся в про-
противоположном направлении, т. е. отражен-
отраженную от барьера (соответствует частице,
движущейся от барьера налево).
Решение B21.3) содержит также во-
волны (после умножения на временной мно-
множитель), распространяющиеся в обе сто-
стороны. Однако в области 3 имеется только
волна, прошедшая сквозь барьер и рас-
распространяющаяся слева направо. Поэтому
коэффициент В3 в формуле B21.3) следу-
следует принять равным нулю.
В области 2 решение зависит от со-
соотношений E>U или E<U. Физический
интерес представляет случай, когда пол-
полная энергия частицы меньше высоты по-
потенциального барьера, поскольку при
E<U законы классической физики одно-
однозначно не разрешают частице проникнуть
сквозь барьер. В данном случае, согласно
B21.1), <? = /р — мнимое число, где
Учитывая значение q и Й3 = О, получим
решения уравнения Шредингера для трех
областей в следующем виде:
B21.5)
(для области /),
(для области 2),
(для области 3).
В области 2 функция B21.5) уже не
соответствует плоским волнам, распро-
распространяющимся в обе стороны, поскольку
показатели степени экспонент не мнимые,
а действительные. Можно показать, что
для частного случая высокого и широкого
барьера, когда р"/»1, Вд«0.
Качественный вид функций t|>i (x), i|J (x)
и 1|>з(*) показан на ри*. 298, vf5. Из рисунка
следует, что волновая функция не равна
нулю и внутри барьера, а |в области 3,
если барьер не^очень широк! будет опять
иметь вид в.олн де Бройля с*тем же им-
импульсом, f: е. с той же частотой, но с мень-
меньшей амплитудой. Следовательно, получи-
получили, что частица имеет отличную от нуля
вероятность прохождения сквозь потенци-
потенциальный барьер конечной ширины.
Таким образом, квантовая механика
приводит к принципиально новому специ-
специфическому квантовому явлению, получив-
получившему название туннельного эффекта, в ре-
результате которого микрообъект может
«пройти» сквозь потенциальный барьер.
Для описания туннельного эффекта
используют понятие коэффициента про-
прозрачности D потенциального барьера, оп-
определяемого как отношение плотности по-
потока прошедших частиц к плотности по-
потока падающих. Можно показать, что
D=\A3\2/\Al\2.
Для того чтобы найти отношение \Аъ/А \ |2,
необходимо воспользоваться условиями
непрерывности i|? и г|/ на границах барьера
jc = O и х = 1 (рис.298):
B21.6)
Эти четыре условия дают возможность
выразить коэффициенты А2, А3, Si и Вг
через А\. Совместное решение уравнений
B21.6) для прямоугольного потенциаль-
потенциального барьера дает (в предположении, что
коэффициент прозрачности мал по сравне-
сравнению с единицей)
D = Doexp (— -±- д/2т (U-E) I),
B21.7)
где U — высота потенциального барьера,
Е — энергия частицы, / — ширина барь-
барьера, Do — постоянный множитель, кото-
который можно приравнять единице. Из вы-

Глава 28. Элементы квантовой механики
355
Рис. 299
ражения B21.7) следует, что D сильно
зависит от массы m частицы, шири-
ширины I барьера и от (U — E); чем шире барь-
барьер, тем меньше вероятность прохождения
сквозь него частицы.
Для потенциального барьера произ-
произвольной формы (рис.299), удовлетворяю-
удовлетворяющей условиям так называемого квазиклас-
квазиклассического приближения (достаточно глад-
гладкая форма кривой), имеем
D = Doexp [—B/Й) \ -\J2rn {U-E) dx].
где U=U(x).
С классической точки зрения прохож-
прохождение частицы сквозь потенциальный
барьер при ?<?/ невозможно, так как
частица, находясь в области барьера, до-
должна была бы обладать отрицательной
кинетической энергией. Туннельный эф-
эффект является специфическим квантовым
эффектом. Прохождение частицы сквозь
область, в которую, согласно законам
классической механики, она не может про-
проникнуть, можно пояснить соотношением
неопределенностей. Неопределенность им-
импульса Др на отрезке Д* = / составляет
Др>Л//. Связанная с этим разбросом
в значениях импульса кинетическая энер-
энергия (ДрJ/Bт) может оказаться достаточ-
достаточной для того, чтобы полная энергия части-
частицы оказалась больше потенциальной.
Основы теории туннельных переходов
заложены работами Л. И. Мандельштама
и М. А. Леонтовича A903—1981). Тун-
Туннельное прохождение сквозь потенциаль-
потенциальный барьер лежит в основе многих явле-
явлений физики твердого тела (например, яв-
явления в контактном слое на границе двух
12*
полупроводников), атомной и ядерной фи-
физики (например, ос-распад, протекание
термоядерных реакций).
§ 222. Линейный гармонический
осциллятор
в квантовой механике
Линейный гармонический осциллятор —
система, совершающая одномерное дви-
движение под действием квазиупругой си-
силы,— является моделью, используемой во
многих задачах классической и квантовой
теории (см. §142). Пружинный, физиче-
физический и математический маятники — при-
примеры классических гармонических осцил-
осцилляторов.
Потенциальная энергия гармоническо-
гармонического осциллятора (см. A41.5)) равна
и = тш1х2/2, B22.1)
где шо — собственная частота колебаний
осциллятора, т — масса частицы. Зависи-
Зависимость B22.1) имеет вид параболы
(рис.300), т.е. «потенциальная яма»
в данном случае является параболической.
Амплитуда малых колебаний класси-
классического осциллятора определяется его
полной энергией Е (см. рис. 16). В точ-
точках с координатами ±хта% полная энер-
энергия Е равна потенциальной энергии. По-
Поэтому с классической точки зрения части-
частица не может выйти за пределы области
( — *тах, +*тах)-Такой выход означал бы,
что ее потенциальная энергия больше пол-
полной, что абсурдно, так как приводит к вы-
выводу, что кинетическая энергия отрица-
отрицательна. Таким образом, классический ос-
осциллятор находится в «потенциальной
яме» с координатами —хт
«без права выхода» из нее.

356
О. Элементы квантовой физики атомов, молекул и тнердых тел
Гармонический осциллятор в кванто-
квантовой механике — квантовый осциллятор —
описывается уравнением Шредингера
B17.5), учитывающим выражение
B22.1) для потенциальной энергии. Тог-
Тогда стационарные состояния квантового
осциллятора определяются уравнением
Шредингера вида
2m
4x2
B22.2)
где Е — полная энергия осциллятора.
В теории дифференциальных уравнений
доказывается, что уравнение B22.2) ре-
решается только при собственных значениях
энергии
En={n + l/2)hti>0. B22.3)
Формула B22.3) показывает, что энергия
квантового осциллятора может иметь
лишь дискретные значения, т. е. квантует-
квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от
нуля, как и для прямоугольной «ямы»
с бесконечно высокими «стенками»
(см. §220), минимальным значением энер-
энергии ?0='/2Й(о0. Существование минималь-
минимальной энергии — она называется энергией
нулевых колебаний — является типичной
для квантовых систем и представляет со-
собой прямое следствие соотношения неоп-
неопределенностей.
Наличие нулевых колебаний означает,
что частица не может находиться на дне
«потенциальной ямы», причем этот вывод
не зависит от ее формы. В самом деле,
«падение на дно ямы» связано с обраще-
обращением в нуль импульса частицы, а вместе
с тем и его неопределенности. Тогда не-
неопределенность координаты становится
сколь угодно большой, что противоречит,
в свою очередь, пребыванию частицы
в «потенциальной яме».
Вывод о наличии энергии нулевых ко-
колебаний квантового осциллятора противо-
противоречит выводам классической теории, со-
согласно которой наименьшая энергия, кото-
которую может иметь осциллятор, равна нулю
(соответствует покоящейся в положении
равновесия частице). Например, классиче-
классическая физика приводит к выводу, что при
7" = 0 энергия колебательного движения
атомов кристалла должна обращаться
в нуль. Следовательно, должно исчезать
и рассеяние света, обусловленное колеба-
колебаниями атомов. Однако эксперимент пока-
показывает, что интенсивность рассеяния света
при понижении температуры не равна ну-
нулю, а стремится к некоторому предельному
значению, указывающему на то, что при
Т —*~ 0 колебания атомов в кристалле не
прекращаются. Это является подтвержде-
подтверждением нулевых колебаний.
Из формулы B22.3) также следует, что
уровни энергии линейного гармонического
осциллятора расположены на одинаковых
расстояниях друг от друга (рис.300),
а именно расстояние между соседними
энергетическими уровнями равно йш0,
причем минимальное значение энергии
?о = -2-Йсо0.
Строгое решение задачи о квантовом
осцилляторе приводит еще к одному зна-
значительному отличию от классического рас-
рассмотрения. Квантово-механический расчет
показывает, что частицу можно обнару-
обнаружить за пределами дозволенной области
|х|<д;так (см. рис. 16) 'в то время как
с классической точки зрения она не может
выйти за пределы области ( —xmax, +*max)-
Таким образом, имеется отличная от нуля
вероятность обнаружить частицу в той
области, которая является классически
запрещенной. Этот результат (без его вы-
вывода) демонстрируется на рис.301, где
приводится квантовая плотность вероят-
вероятности w обнаружения осциллятора для
состояния /1 = 1. Из рисунка следует, что
для квантового осциллятора ДеЙСТВИТеЛЬ-
Рис. 301

Глава 28. Элементы квантовой механики 357
но плотность вероятности w имеет конеч- ми «потенциальной ямы». Существование
ные значения за пределами классически отличных от нуля значений w за предела-
дозволенной области \х\ ^хтак,т. е. имеет- ми «потенциальной ямы» объясняется воз-
ся конечная (но небольшая) вероятность можностью прохождения микрочастиц
обнаружить частицу в области за предела- сквозь потенциальный барьер (см. §221).
Контрольные вопросы
Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?
Avx \vx
В каком случае и почему при условиях <С 1 и « 1 можно говорить о движении частицы
vx vx
по определенной траектории?
Как, исходя из соотношения неопределенностей, объяснить наличие естественной ширины
спектральных линий?
Что определяет квадрат модуля волновой функции?
Почему квантовая механика является статистической теорией?
В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике?
Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины
в два раза?
Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой
«ямы»?
В чем отличие квантово-механического и классического описания гармонического осциллято-
осциллятора? В выводах этих описаний?
Задачи
28.1. Свободная частица движется со скоростью и. Доказать, что выполняется соотношение
28.2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускае-
допускаемая неопределенность скорости составляет 1 % от ее числового значения, определить неопре-
неопределенность координаты электрона. Применительно ли в данном случае для электрона понятие
траектории? [Дж = 33 нм; нет]
28.3. ф-Функция некоторой частицы имеет вид г|> = —е~'/а, где г — расстояние этой частицы от
силового центра, а — постоянная. Определить среднее расстояние <л> частицы от силово-
силового центра. [<.г> =а/2\
28.4. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося
в атоме водорода.
28.5. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной / с бес-
бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность W обнаружения электрона в средней
трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (я = 2). Пояснить физиче-
физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаруже-
обнаружения электрона в данном состоянии. [ W = 0,195]
28.6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. Определить в электрон-воль-
электрон-вольтах разность энергий U — Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь
барьер составит 0,99. [0,1 мэВ]

358
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
Глава 29
Элементы современной физики атомов и молекул
§ 223. Атом водорода
в квантовой механике
Решение задачи об энергетических уров-
уровнях электрона для атома водорода (а так-
также водородоподобных систем: иона гелия
Не+, двукратно ионизованного лития Li + +
и др.) сводится к задаче о движении элект-
электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодейст-
взаимодействия электрона с ядром, обладающим за-
зарядом Ze (для атома водорода Z=l),
*B231>
u(r)r¦
4яе0г
где г — расстояние между электроном
и ядром. Графически функция U (г) изо-
изображена жирной кривой на рис. 302, не-
неограниченно убывающей (возрастающей
по модулю) при уменьшении г, т. е. при
приближении электрона к ядру.
Состояние электрона в атоме водорода
описывается волновой функцией т|з, удов-
удовлетворяющей стационарному уравнению
Шредингера B17.5), учитывающему
значение B23.1):
= 0, B23.2)
где т — масса электрона, Е — полная
энергия электрона в атоме. Так как поле,
в котором движется электрон, является
центрально-симметричным, то для реше-
решения уравнения B23.2) обычно используют
сферическую систему координат: г, ¦&, <р.
Не вдаваясь в математическое решение
этой задачи, ограничимся рассмотрением
ь
-.1
важнейших результатов, которые из него
следуют, пояснив их физический смысл.
1. Энергия. В теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений доказывается, что уравне-
уравнения типа B23.2) имеют решения, удовлет-
удовлетворяющие требованиям однозначности, ко-
конечности и непрерывности волновой функ-
функции i|), только при собственных значениях
энергии
?n=_J_^l (n= 1,2,3,...),
B23.3)
т. е. для дискретного набора отрицатель-
отрицательных значений энергии.
Таким образом, как и в случае «по-
«потенциальной ямы» с бесконечно высокими
«стенками» (см. §220) и гармонического
осциллятора (см. §222), решение уравне-
уравнения Шредингера для атома водорода при-
приводит к появлению дискретных энергетиче-
энергетических уровней. Возможные значения Е\, ?г,
?з, ... показаны на рис. 302 в виде гори-
горизонтальных прямых. Самый нижний уро-
уровень Ei, отвечающий минимальной воз-
возможной энергии,— основной, все осталь-
остальные (?n>?i, и = 2, 3,...)— возбужденные
(см. § 212). При ?<0 движение электрона
является связанным — он находится внут-
внутри гиперболической «потенциальной ямы».
Из рисунка следует, что по мере роста
главного квантового числа п энергетиче-
энергетические уровни располагаются теснее и при
и=оо ?^=0. При ?>0 движение элек-
электрона является свободным; область непре-
непрерывного спектра ?>0 (заштрихована на
рис. 302) соответствует ионизованному
атому. Энергия ионизации атома водорода
равна
?,= —?, = те4/(8/г2ео) = 13,55 эВ.
Рис. 302
Выражение B23.3) совпадает с фор-
формулой B12.3), полученной Бором для
энергии атома водорода. Однако если Бо-
Бору пришлось вводить дополнительные ги-
гипотезы (постулаты), то в квантовой меха-
механике дискретные значения энергии, явля-
являясь следствием самой теории, вытекают

Г л а и л 29 Ялгvr'iitu сояременной физики атомов и молекул
непосредственно из решения уравнения
Шредингера.
2. Квантовые числа. В квантовой ме-
механике доказывается, что уравнению Шре-
Шредингера B23.2) удовлетворяют собствен-
собственные функции i|)n(m((r, д, ф), определяемые
тремя квантовыми числами: главным п,
орбитальным / и магнитным nil.
Главное квантовое число п, согласно
B23.3), определяет энергетические уровни
электрона в атоме и может принимать
любые целочисленные значения начиная
с единицы:
/1=1,2,3, ....
Из решения уравнения Шредингера
вытекает, что момент импульса (механиче-
(механический орбитальный момент) электрона
квантуется, т. е. не может быть произволь-
произвольным, а принимает дискретные значения,
определяемые формулой
Le = h4t(T+\), B23.4)
где / — орбитальное квантовое число, ко-
которое при заданном п принимает значения
1 = 0, 1, ...,(п-1), B23.5)
т. е. всего п значений, и определяет мо-
момент импульса электрона в атоме.
Из решения уравнений Шредингера
следует также, что вектор Le момента им-
импульса электрона может иметь лишь такие
ориентации в пространстве, при которых
его проекция Lez на направление г внешне-
внешнего магнитного поля принимает квантован-
квантованные значения, кратные h
Lez = hnit, B23.6)
где nit — магнитное квантовое число, кото-
которое при заданном / может принимать зна-
значения
1, ±2, ...,
B23.7)
т. е. всего 2/+1 значений. Таким образом,
магнитное квантовое число mi определяет
проекцию момента импульса электрона на
заданное направление, причем вектор мо-
момента импульса электрона в атоме может
иметь в пространстве 2/+1 ориентации.
Наличие квантового числа nil должно
привести в магнитном поле к расщеплению
уровня с главным квантовым числом п на
2/+1 подуровней. Соответственно в спек-
спектре атома должно наблюдаться расщепле-
расщепление спектральных линий. Действительно,
расщепление энергетических уровней
в магнитном поле было обнаружено
в 1896 г. голландским физиком П. Зеема-
ном A865—1945) и получило название
эффекта Зеемана. Расщепление уровней
энергии во внешнем электрическом поле,
тоже доказанное экспериментально, назы-
называется эффектом Штарка *.
Хотя энергия электрона B23.3) и за-
зависит только от главного квантового числа
п, но каждому собственному значению Е„
(кроме ?i) соответствует несколько соб-
собственных функций tyntm, отличающихся
значениями / и т/. Следовательно, атом
водорода может иметь одно и то же значе-
значение энергии, находясь в нескольких раз-
различных состояниях. Так как при данном
п орбитальное квантовое число / может
изменяться от 0 до п— 1 (см. B23.5)),
а каждому значению / соответствует 2/+ 1
различных значений nit B23.7), то число
различных состояний, соответствующих
данному п, равно
B23.8)
Квантовые числа и их значения явля-
являются следствием решений уравнений Шре-
Шредингера и условий однозначности, непре-
непрерывности и конечности, налагаемых на
волновую функцию г|). Кроме того, по-
поскольку при движении электрона в атоме
существенны волновые свойства электро-
электрона, квантовая механика вообще отказыва-
отказывается от классического представления об
электронных орбитах. Согласно квантовой
механике, каждому энергетическому со-
состоянию соответствует волновая функция,
квадрат модуля которой определяет веро-
вероятность обнаружения электрона в единице
объема.
Вероятность обнаружения электрона
в различных частях атома различна. Элек-
Электрон при своем движениикак бы «разма-
«размазан» по всему объему, образуя электронное
* И. Штарк A874—1957) — немецкий
физик.

360
б. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
т=1
облако, плотность (густота) которого ха-
характеризует вероятность нахождения элек-
электрона в различных точках объема атома.
Квантовые числа п и I характеризуют раз-
размер и форму электронного облака, а кван-
квантовое число mt характеризует ориентацию
электронного облака в пространстве.
В атомной физике, по аналогии со
спектроскопией, состояние электрона, ха-
характеризующееся квантовыми числами / =
= 0, называют s-состоянием (электрон
в этом состоянии называют s-электроном),
/= I — р-состоянием, / = 2 — d-состояни-
ем, / = 3 — /-состоянием и т.д. Значение
главного квантового числа указывается
перед условным обозначением орбитально-
орбитального квантового числа. Например,электроны
в состояниях с и = 2 и ( = 0 и I обознача-
обозначаются соответственно символами 2s и 1р.
На рис. 303 для примера приведено
распределение электронной плотности
(формы электронного облака) для состоя-
состояний атома водорода при и = 1 и и = 2,
определяемое |ф„;т/12- Как видно из ри-
рисунка, оно зависит от п, / и mt. Так, при
/ = 0 электронная плотность отлична от
нуля в центре и не зависит от направления
(сферически-симметрична), а для осталь-
остальных состояний в центре равна нулю и за-
зависит от направления.
3. Спектр. Квантовые числа п, / и т/
позволяют более полно описать спектр
испускания (поглощения) атома водоро-
водорода, полученный в теории Бора
(см. рис. 294).
В квантовой механике вводятся прави-
правила отбора, ограничивающие число воз-
возможных переходов электронов в атоме,
связанных с испусканием и поглощением
света. Теоретически доказано и экспери-
экспериментально подтверждено, что для диполь-
ного излучения электрона, движущегося
в центрально-симметричном поле ядра,
могут осуществляться только такие пере-
переходы, для которых: 1) изменение орби-
орбитального квантового числа А/ удовлетво-
удовлетворяет условию
А/=±1; B23.9)
2) изменение магнитного квантового чис-
числа Ami удовлетворяет условию
Am, —0, ±1.
В оптических спектрах указанные пра-
правила отбора в основном выполняются. Од-
Однако в принципе могут наблюдаться и сла-
слабые «запрещенные» линии, например воз-
возникающие при переходах с Д/ = 2. Появле-
Появление этих линий объясняется тем, что
строгая теория, запрещая дипольные пере-
переходы, разрешает переходы, соответствую-
соответствующие излучению более сложных систем за-
зарядов, например квадруполей. Вероят-
Вероятность же квадрупольных переходов (пере-
(переходы с А/ = 2) во много раз меньше
вероятности дипольных переходов, поэто-
поэтому «запрещенные» линии и являются сла-
слабыми.
Учитывая число возможных состояний,
соответствующих данному п, и правило
отбора B23.9), рассмотрим спектральные
линии атома водорода (рис. 304): серии
Лаймана соответствуют переходы
пр
Is (п = 2,3,...);
серии Бальмера —
пр -»- 2s, ns -»- 2р, nd -*¦ 2р (п = 3, 4, ...)
и т. д.
Переход электрона из основного со-
состояния в возбужденное обусловлен уве-

Глава 29. Элементы современной физики атомон и молекул
361
-0,54
-0,8 А
-1,50
-3,38
- 2
-13,55й 1-
п
1J —серия Лаймана
2j-серия Бальмера
Рис. 304
личением энергии атома и может происхо-
происходить только при сообщении атому энергии
извне, например за счет поглощения ато-
атомом фотона. Так как поглощающий атом
находится обычно в основном состоянии,
то спектр атома водорода должен состоять
из линий, соответствующих переходам
Is ->- tip (гс = 2, 3, ...), что находится в пол-
полном согласии с опытом.
§224. ls-Состояние электрона
в атоме водорода
ls-Состояние электрона в атоме водорода
является сферически-симметричным,
т. е. не зависит от углов ¦& и ф. Волновая
функция iK электрона в этом состоянии
определяется только расстоянием г элек-
электрона от ядра, т. е. tf = г13юо(г), где цифры
100 соответственно указывают, что я=1,
1 = 0 и т/ = 0. Уравнению Шредингера для
ls-состояния электрона в атоме водорода
удовлетворяет функция вида
ф=Се""г/а, B24.1)
где, как можно показать, а = Н24лг0/ (те2)
— величина, совпадающая с первым бо-
ровским радиусом а (см. B12.2)) для
атома водорода, С — некоторая постоян-
постоянная, определяемая из условия нормировки
вероятностей B16.3).
Благодаря сферической симметрии
¦ф-функции вероятность обнаружения
электрона на расстоянии г одинакова по
всем направлениям. Поэтому элемент
объема dV, отвечающий одинаковой плот-
плотности вероятности, обычно представляют
в виде объема сферического слоя радиу-
радиусом г и толщиной Ar: dV = 4nr2dr. Тогда,
согласно условию нормировки вероятно-
вероятностей B16.3) с учетом B24.1),
о о
После интегрирования получим
B24.2)
Подставив выражение B24.2) в формулу
B24.1), определим нормированную волно-
волновую функцию, отвечающую ls-состоянию
электрона в атоме водорода:
„-г/а
B24.3)
Вероятность обнаружить электрон
в элементе объема (см. B16.2)) равна
Подставив в эту формулу волновую функ-
функцию B24.3), получим
Вычислим те расстояния гтзх от ядра,
на которых электрон может быть обнару-
обнаружен с наибольшей вероятностью. Иссле-
Исследуя выражения dW/dr на максимум, полу-
получим, что rmax = a. Следовательно, электрон
может быть обнаружен с наибольшей ве-
вероятностью на расстояниях, равных бо-
ровскому радиусу, т. е. имеется равная
и наибольшая вероятность обнаружения
электрона во всех точках, расположенных
на сферах радиуса а с центром в ядре
атома. Казалось бы, квантово-механиче-
ский расчет дает полное согласие с тео-
теорией Бора. Однако, согласно квантовой
механике, плотность вероятности лишь
при г = а достигает максимума, оставаясь
отличной от нуля но всем пространстве

6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
Рис. 305
(рис.305). Таким образом, в основном
состоянии атома водорода наиболее веро-
вероятным расстоянием от электрона до ядра
является расстояние, равное воровскому
радиусу. В этом заключается квантово-
механический смысл воровского радиуса.
§ 225. Спин электрона.
Спиновое квантовое число
О. Штерн и В. Герлах, проводя прямые
измерения магнитных моментов
(см. §131), обнаружили в 1922 г., что уз-
узкий пучок атомов водорода, заведомо на-
находящихся в s-состоянии, в неоднородном
магнитном поле расщепляется на два пуч-
пучка. В этом состоянии момент импульса
электрона равен нулю (см. B23.4)). Маг-
Магнитный момент атома, связанный с орби-
орбитальным движением электрона, пропорци-
пропорционален механическому моменту
(см. A31.3)), поэтому он равен нулю
и магнитное поле не должно оказывать
влияния на движение атомов водорода
в основном состоянии, т. е. расщепления
быть не должно. Однако в дальнейшем
при применении спектральных приборов
с большой разрешающей способностью
было доказано, что спектральные линии
атома водорода обнаруживают тонкую
структуру (являются дублетами) даже
в отсутствие магнитного поля.
Для объяснения тонкой структуры
спектральных линий, а также ряда других
трудностей в атомной физике американ-
американские физики Д. Уленбек A900—1974)
и С. Гаудсмит A902—1979) предположи-
предположили, что электрон обладает собственным
неуничтожимым механическим моментом
импульса, не связанным с движением
электрона в пространстве,— спином
(см. §131).
Спин электрона (и всех других микро-
микрочастиц) — квантовая величина, у нее нет
классического аналога; это внутреннее не-
неотъемлемое свойство электрона, подобное
его заряду и массе.
Если электрону приписывается со-
собственный механический момент импульса
(спин) Ls, то ему соответствует собствен-
собственный магнитный момент pms. Согласно
общим выводам квантовой механики, спин
квантуется по закону
где s — спиновое квантовое число.
По аналогии с орбитальным моментом
импульса, проекция LS2 спина квантуется
так, что вектор L, может принимать 2s + 1
ориентации. Так как в опытах Штерна
и Герлаха наблюдались только две ори-
ориентации, то 2s + 1 = 2, откуда s = '/2- Про-
Проекция спина на направление внешнего
магнитного поля, являясь квантованной
величиной, определяется выражением,
аналогичным B23.6):
где ms — магнитное спиновое квантовое
число; оно может иметь только два значе-
значения: ms= ± '/з-
Таким образом, опытные данные при-
привели к необходимости характеризовать
электроны (и микрочастицы вообще) до-
добавочной внутренней степенью свободы.
Поэтому для полного описания состояния
электрона в атоме необходимо наряду
с главным, орбитальным и магнитным
квантовыми числами задавать еще маг-
магнитное спиновое квантовое число.
§ 226. Принцип неразличимости
тождественных частиц.
Фермноны и бозоны
Если перейти от рассмотрения движения
одной микрочастицы (одного электрона)
к многоэлектронным системам, то прояв-
проявляются особые свойства, не имеющие ана-
аналога в классической физике. Пусть кван-
тово-механическая система состоит из

Глава 29. Элементы современной физики атомов и молекул
363
одинаковых частиц, например электронов.
Все электроны имеют одинаковые физиче-
физические свойства — массу, электрический за-
заряд, спин и другие внутренние характери-
характеристики (например, квантовые числа). Такие
частицы называют тождественными.
Необычные свойства системы одинако-
одинаковых тождественных частиц проявляются
в фундаментальном принципе квантовой
механики — принципе неразличимости
тождественных частиц, согласно которому
невозможно экспериментально различить
тождественные частицы.
В классической механике даже одина-
одинаковые частицы можно различить по поло-
положению в пространстве и импульсам. Если
частицы в какой-то момент времени про-
пронумеровать, то в следующие моменты вре-
времени можно проследить за траекторией
любой из них. Классические частицы, та-
таким образом, обладают индивидуально-
индивидуальностью, поэтому классическая механика
систем из одинаковых частиц принципи-
принципиально не отличается от классической меха-
механики систем из различных частиц.
В квантовой механике положение иное.
Из соотношения неопределенностей выте-
вытекает, что для микрочастиц вообще непри-
неприменимо понятие траектории; состояние
микрочастицы описывается волновой фун-
функцией, позволяющей вычислять лишь ве-
вероятность (|г|э|2) нахождения микрочасти-
микрочастицы в окрестностях той или иной точки
пространства. Если же волновые функции
двух тождественных частиц в пространст-
пространстве перекрываются, то разговор о том, ка-
какая частица находится в данной области,
вообще лишен смысла: можно лишь гово-
говорить о вероятности нахождения в данной
области одной из тождественных частиц.
Таким образом, в квантовой механике
тождественные частицы полностью теряют
свою индивидуальность и становятся не-
неразличимыми. Следует подчеркнуть, что
принцип неразличимости тождественных
частиц не является просто следствием ве-
вероятностной интерпретации волновой фун-
функции, а вводится в квантовую механику
как новый принцип, который, как уже ука-
указывалось, является фундаментальным.
Принимая во внимание физический
смысл величины |i|)|2, принцип неразличи-
неразличимости тождественных частиц можно за-
записать в виде
|*(*1,хя)|2=|1|)(*2,Х|I2. B26.1)
где Xi и *2 — соответственно совокуп-
совокупность пространственных и спиновых ко-
координат первой и второй частиц. Из вы-
выражения B26.1) вытекает, что возможны
два случая:
1|) (Х|, Х2) =
т. е. принцип неразличимости тождествен-
тождественных частиц ведет к определенному свойст-
свойству симметрии волновой функции. Если при
перемене частиц местами волновая функ-
функция не меняет знака, то она называется
симметричной, если меняет — антисиммет-
антисимметричной. Изменение знака волновой функ-
функции не означает изменения состояния, так
как физический смысл имеет лишь квадрат
модуля волновой функции. В квантовой
механике доказывается, что характер сим-
симметрии волновой функции не меняется со
временем. Это же является доказательст-
доказательством того, что свойство симметрии или
антисимметрии — признак данного типа
микрочастиц.
Установлено, что симметрия или анти-
антисимметрия волновых функций опреде-
определяется спином частиц. В зависимости от
характера симметрии все элементарные
частицы и построенные из них системы
(атомы, молекулы) делятся на два класса.
Частицы с полуцелым спином (например,
электроны, протоны, нейтроны) описыва-
описываются антисимметричными волновыми фун-
функциями и подчиняются статистике Фер-
Ферми — Дирака; эти частицы называются
фермионами. Частицы с нулевым или це-
целочисленным спином (например, п-мезо-
ны, фотоны) описываются симметричными
волновыми функциями и подчиняются ста-
статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы
называются бозонами. Сложные частицы
(например, атомные ядра), составленные
из нечетного числа фермионов, являются
фермионами (суммарный спин — полу-
полуцелый), а из четного — бозонами (сум-
(суммарный спин целый).
Зависимость характера симметрии во-
волновых функций системы тождественных
частиц от спина частиц теоретически обос-

364
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
нована швейцарским физиком В. Паули
A900—1958), что явилось еще одним до-
доказательством того, что спин является
фундаментальной характеристикой микро-
микрочастиц.
§ 227. Принцип Паули.
Распределение электронов
в атоме по состояниям
Если тождественные частицы имеют оди-
одинаковые квантовые числа, то их волновая
функция симметрична относительно пере-
перестановки частиц. Отсюда следует, что два
одинаковых фермиона, входящих в одну
систему, не могут находиться в одинако-
одинаковых состояниях, так как для фермионов
волновая функция должна быть антисим-
антисимметричной. Обобщая опытные данные,
В. Паули сформулировал принцип, соглас-
согласно которому системы фермионов встреча-
встречаются в природе только в состояниях, опи-
описываемых антисимметричными волновыми
функциями (квантово-механическая фор-
формулировка принципа Паули).
Из этого положения вытекает более
простая формулировка принципа Паули,
которая и была введена им в квантовую
теорию A925) еще до построения кванто-
квантовой механики: в системе одинаковых фер-
фермионов любые два из них не могут одно-
одновременно находиться в одном и том же
состоянии. Отметим, что число однотип-
однотипных бозонов, находящихся в одном и том
же состоянии, не лимитируется.
Напомним, что состояние электрона
в атоме однозначно определяется набором
четырех квантовых чисел:
главного и («=1, 2, 3, ...),
орбитального / (/ = 0, 1, 2, ..., п— 1),
магнитного mi (mi=—l, ..., —1, 0,
+ 1, -., +0.
магнитного спинового tns (ms= +'/2.
-'А)-
Распределение электронов в атоме
подчиняется принципу Паули, который мо-
может быть использован в его простейшей
формулировке: в одном и том же атоме не
может быть более одного электрона с оди-
одинаковым набором четырех квантовых чи-
чисел п, I, mt и ms, т. е.
Z (n, I, mt, ms) = 0 или 1,
где Z (я, I, mt, ms) — число электронов, на-
находящихся в квантовом состоянии, описы-
описываемом набором четырех квантовых чисел:
п, I, mt, ms. Таким образом, принцип Пау-
Паули утверждает, что два электрона, связан-
связанные в одном и том же атоме, различаются
значениями по крайней мере одного кван-
квантового числа.
Согласно формуле B23.8), данному
п соответствует п2 различных состояний,
отличающихся значениями / и пц. Кванто-
Квантовое число ms может принимать лишь два
значения (±'/г). Поэтому максимальное
Главное квантовое число п
Символ оболочки
Максимальное число электронов
в оболочке
Орбитальное квантовое число /
Символ подоболочки
Максимальное число электронов
в подоболочке
1
К
2
0
Is
2
г
8
0
2s
2
1
2р
6
3
М
18
0
3s
2
1
Зр
6
2
3d
10
4
Л/
32
0
4s
2
1
4р
6
2
и
10
3
4/
14
1
а б
лип
а 6
5
О
50
0
5s
2
1
5р
6
2
Ы
10
3
5/
14
4
5,
18

Глава 29. Элементы современной физики атомов и мо/екул
365
число электронов, находящихся в состоя-
состояниях, определяемых данным главным кван-
квантовым числом, равно
1 = 0
Совокупность электронов в многоэлек-
многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же
главное квантовое число п, называют
электронной оболочкой. В каждой из обо-
оболочек электроны распределяются по под-
оболочкам, соответствующим данному /.
Поскольку орбитальное квантовое число
принимает значения от 0 до «—1, число
подоболочек равно порядковому номеру п
оболочки. Количество электронов в под-
оболочке определяется магнитным и маг-
магнитным спиновым квантовыми числами:
максимальное число электронов в подобо-
лочке с данным / равно 2 B/+ 1). Обозна-
Обозначения оболочек, а также распределение
электронов по оболочкам и подоболочкам
представлены в табл. 6.
§ 228. Периодическая система
элементов Менделеева
Принцип Паули, лежащий в основе систе-
систематики заполнения электронных состоя-
состояний в атомах, позволяет объяснить Перио-
Периодическую систему элементов Д. И. Менде-
Менделеева A869) —фундаментального закона
природы, являющегося основой современ-
современной химии, атомной и ядерной физики.
Д. И. Менделеев ввел понятие поряд-
порядкового номера Z химического элемента,
равного числу протонов в ядре и соответ-
соответственно общему числу электронов в элек-
электронной оболочке атома. Расположив хи-
химические элементы по мере возрастания
порядковых номеров, он получил перио-
периодичность в изменении химических свойств
элементов. Однако для известных в то
время 64 химических элементов некоторые
клетки таблицы оказались незаполненны-
незаполненными, так как соответствующие им элементы
(например, Ga, Se, Ge) тогда еще не были
известны. Д. И. Менделеев, таким обра-
образом, не только правильно расположил из-
известные элементы, но и предсказал су-
существование новых, еще не открытых, эле-
элементов и их основные свойства. Кроме
того, Д. И. Менделееву удалось уточнить
атомные веса некоторых элементов. На-
Например, атомные веса Be и U, вычислен-
вычисленные на основе таблицы Менделеева, ока-
оказались правильными, а полученные ранее
экспериментально — ошибочными.
Так как химические и некоторые физи-
физические свойства элементов объясняются
внешними (валентными) электронами
в атомах, то периодичность свойств хими-
химических элементов должна быть связана
с определенной периодичностью в распо-
расположении электронов в атомах. Поэтому
для объяснения таблицы будем считать,
что каждый последующий элемент образо-
образован из предыдущего прибавлением к ядру
одного протона и соответственно прибав-
прибавлением одного электрона в электронной
оболочке атома. Взаимодействием элек-
электронов пренебрегаем, внося, где это не-
необходимо, соответствующие поправки.
Рассмотрим атомы химических элементов,
находящиеся в основном состоянии.
Единственный электрон атома водоро-
водорода находится в состоянии Is, характеризу-
характеризуемом квантовыми числами п=\, / = 0,
т< = 0 и ms= rfc'/2 (ориентация его спина
произвольна). Оба электрона атома Не
находятся в состоянии Is, но с антипа-
антипараллельной ориентацией спина. Электрон-
Электронная конфигурация для атома Не записы-
записывается как Is2 (два ls-электрона). На
атоме Не заканчивается заполнение
К-оболочки, что соответствует заверше-
завершению I периода Периодической системы
элементов Менделеева (табл.7).
Третий электрон атома Li (Z = 3), со-
согласно принципу Паули, уже не может
разместиться в целиком заполненной
/(-оболочке и занимает наинизшее энерге-
энергетическое состояние с я = 2 (/.-оболочка),
т. е. 25-состояние. Электронная конфигу-
конфигурация для атома Li: Is22s. Атомом Li
начинается II период Периодической
системы элементов. Четвертым электроном
Be (Z = 4) заканчивается заполнение подо-
болочки 2s. У следующих шести элементов
от В (Z = 5) до Ne (Z = 10) идет заполнение
подоболочки 2р (табл. 7). II период Пери-
Периодической системы заканчивается нео-
неоном — инертным газом, для которого под-
оболочка 2р полностью заполнена.

366
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
о
х
CL
<и
С
I
Т |
11
iff
III
IV
1 V
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
f-
X
<2J
0J
<S
H
He
Li
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
К
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mg
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
К
Is
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Z
2s
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3s
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Л1
3p
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
T
id
_
—
1
2
3
5
5
6
7
8
10
10
10
10
10
10
10
10
а б л i
4s
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
Ц
a 7
N
iP
1
2
3
4
5
6
W
Одиннадцатый электрон Na (Z=ll)
размещается в М-оболочке (п = 3), зани-
занимая наинизшее состояние 3s. Электронная
конфигурация имеет вид Is22s22p63s.
Зя-электрон (как и 2х-электрон Li) являет-
является валентным электроном, поэтому оптиче-
оптические свойства Na подобны свойствам
Li. С Z = 12 идет последовательное запол-
заполнение М-оболочки. Аг (Z= 18) оказывается
подобным Не и Ne: в его наружной обо-
оболочке все s- и р-состояния заполнены. Аг
является химически инертным и заверша-
завершает III период Периодической системы.
Девятнадцатый электрон К (Z = 19)
должен был бы занять 3<^состояние
в М-оболочке. Однако и в оптическом,
и в химическом отношениях атом К схож
с атомами Li и Na, которые имеют внеш-
внешний валентный электрон в s-состоянии.
Поэтому 19-й валентный электрон К дол-
должен также находиться в s-состоянии, но
это может быть только s-состояние но-
новой оболочки (УУ-оболочки), т.е. заполне-
заполнение N-оболочки для К начинается при
незаполненной Af-оболочке. Это означает,
что в результате взаимодействия электро-
электронов состояние л = 4, / = 0 имеет меньшую
энергию, чем состояние п = 3, / = 2. Спек-
Спектроскопические и химические свойства Са
(Z = 20) показывают, что его 20-й электрон
также находится в 45-состоянии Ы-обо-
лочки. В последующих элементах происхо-
происходит заполнение Af-оболочки (от Sc (Z = 21)
до Zn (Z = 30)). Далее ЛЛоболочка запол-
заполняется до Кг (Z = 36), у которого опять-
таки, как и в случае Ne и Аг, s- и р-со-
р-состояния наружной оболочки заполнены
полностью. Криптоном заканчивается IV
период Периодической системы.
Подобные рассуждения применимы
и к остальным элементам таблицы Менде-
Менделеева, однако эти данные можно найти
в справочниках. Отметим лишь, что и на-
начальные элементы последующих периодов
Rb, Cs, Fr являются щелочными металла-
металлами, а их последний электрон находится
в s-состоянии. Кроме того, атомы инерт-
инертных газов (Не, Ne, Аг, Кг, Хе, Rn) зани-
занимают в таблице особое положение —
в каждом из них s- и р-состояния на-
наружной оболочки полностью заполнены
и ими завершаются очередные периоды
Периодической системы.
Каждую из двух групп элементов —
лантаниды (от лантана (Z = 57) до люте-
лютеция (Z = 71)) и актиниды (от актиния (Z =
= 89) до лоуренсия (Z= 103)) — приходит-

Глава 29. Элементы современной фияики атомов и молекул
367
ся помещать в одну клетку таблицы, так
как химические свойства элементов в пре-
пределах этих групп очень близки. Это объяс-
объясняется тем, что для лантанидов запол-
заполнение подоболочки 4/, которая может со-
содержать 14 электронов, начинается лишь
после того, как полностью заполнятся под-
подоболочки 5s, 5p и 6s. Поэтому для этих
элементов внешняя Р-оболочка Fs2) ока-
оказывается одинаковой. Аналогично, одина-
одинаковой для актинидов является Q-оболочка
Gs2).
Таким образом, открытая Менделее-
Менделеевым периодичность в химических свойст-
свойствах элементов объясняется повторяемо-
повторяемостью в структуре внешних оболочек у ато-
атомов родственных элементов. Так, инертные
газы имеют одинаковые внешние оболочки
из 8 электронов (заполненные s- и р-со-
стояния); во внешней оболочке щелочных
металлов (Li, Na, К, Rb, Cs, Fr) имеется
лишь один s-электрон; во внешней обо-
оболочке щелош-ю-земельных металлов (Be,
Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) имеется два s-элек-
трона; галоиды (F, Cl, Br, I, At) имеют
внешние оболочки, в которых недостает
одного электрона до оболочки инертного
газа, и т. д.
§ 229. Рентгеновские спектры
Большую роль в выяснении строения ато-
атома, а именно распределения электронов по
оболочкам, сыграло излучение, открытое
в 1895 г. немецким физиком В. Рентгеном
A845—1923) и названное рентгеновским.
Наиболее распространенным источником
рентгеновского излучения является рент-
рентгеновская трубка, в которой сильно уско-
ускоренные электрическим полем электроны
бомбардируют анод (металлическая ми-
мишень из тяжелых металлов, например
W или Pt), испытывая на нем резкое тор-
торможение. При этом возникает рентгенов-
рентгеновское излучение, представляющее собой
электромагнитные волны с длиной волны
примерно 10~12—10~8 м. Волновая при-
природа рентгеновского излучения доказана
опытами по его дифракции, рассмотренны-
рассмотренными в § 182.
Исследование спектрального состава
рентгеновского излучения показывает, что
Рис. 306
его спектр имеет сложную структуру
(рис. 306) и зависит как от энергии элек-
электронов, так и от материала анода. Спектр
представляет собой наложение сплошного
спектра, ограниченного со стороны корот-
коротких длин волн некоторой границей Xmin, на-
называемой границей сплошного спектра,
и линейчатого спектра — совокупности от-
отдельных линий, появляющихся на фоне
сплошного спектра.
Исследования показали, что характер
сплошного спектра совершенно не зависит
от материала анода, а определяется толь-
только энергией бомбардирующих анод элек-
электронов. Детальное исследование свойств
этого излучения показало, что оно ис-
испускается бомбардирующими анод элект-
электронами в результате их торможения при
взаимодействии с атомами мишени.
Сплошной рентгеновский спектр поэтому
называют тормозным спектром. Этот вы-
вывод находится в согласии с классической
теорией излучения, так как при торможе-
торможении движущихся зарядов должно действи-
действительно возникать излучение со сплошным
спектром.
Из классической теории, однако, не
вытекает существование коротковолновой
границы сплошного спектра. Из опытов
следует, что чем больше кинетическая
энергия электронов, вызывающих тормоз-
тормозное рентгеновское излучение, тем меньше
A,min. Это обстоятельство, а также наличие
самой границы объясняются квантовой
теорией. Очевидно, что предельная энер-
энергия кванта соответствует такому случаю
торможения, при котором вся кинетиче-
кинетическая энергия электрона переходит в энер-

6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
гию кванта, т. е.
где U — разность потенциалов, за счет
которой электрону сообщается энергия
?maK, vmax — частота, соответствующая
границе сплошного спектра. Отсюда гра-
граничная длина волны
Km = c/\m,, = ch/ (eU) =cA/?max,
B29.1)
что полностью соответствует эксперимен-
экспериментальным данным. Измеряя границу рен-
рентгеновского сплошного спектра, по форму-
формуле B29.1) можно определить эксперимен-
экспериментальное значение постоянной Планка h,
которое наиболее точно совпадает с со-
современными данными.
При достаточно большой энергии бом-
бомбардирующих анод электронов на фоне
сплошного спектра появляются отдель-
отдельные резкие линии — линейчатый спектр,
определяемый материалом анода и назы-
называемый потому характеристическим рент-
рентгеновским спектром (излучением).
По сравнению с оптическими спектра-
спектрами характеристические рентгеновские
спектры элементов совершенно однотипны
и состоят из нескольких серий, обозначае-
обозначаемых К, L, М, N и О. Каждая серия, в свою
очередь, содержит небольшой набор от-
отдельных линий, обозначаемых в порядке
убывания длины волны индексами а, р, у,
¦ ¦¦ (Ка, Кр, К?, ¦.., La, Ц, Ly, ...). При перехо-
переходе от легких элементов к тяжелым струк-
структура характеристического спектра не из-
изменяется, лишь весь спектр смещается
в сторону коротких волн. Особенность этих
спектров заключается в том, что атомы
каждого химического элемента, независи-
независимо от того, находятся ли они в свободном
состоянии или входят в химическое соеди-
соединение, обладают определенным, присущим
только данному элементу линейчатым
спектром характеристического излуче-
излучения. Так, если анод состоит из нескольких
элементов, то и характеристическое рен-
рентгеновское излучение представляет собой
наложение спектров этих элементов.
Рассмотрение структуры и особенно-
особенностей характеристических рентгеновских
спектров приводит к выводу, что их воз-
Е'О
К- серия
Рис. 307
никновение связано с процессами, проис-
происходящими во внутренних, застроенных
электронных оболочках атомов, которые
имеют сходное строение.
Разберем механизм возникновения
рентгеновских серий, который схематиче-
схематически показан на рис. 307. Предположим,
что под влиянием внешнего электрона или
высокоэнергетического фотона вырывает-
вырывается один из двух электронов /(-оболочки
атома. Тогда на его место может пе-
перейти электрон с более удаленных от
ядра оболочек L, М, N Такие переходы
сопровождаются испусканием рентгенов-
рентгеновских квантов и возникновением спектраль-
спектральных линий /(-серии: Ка (L-+K), К?, (М-+К),
Ку (N-+K) и т. д. Самой длинноволновой
линией /(-серии является линия Ка- Часто-
Частоты линий возрастают в ряду Ка-+Кр-+-Ку,
поскольку энергия, высвобождаемая при
переходе электрона на /(-оболочку с более
удаленных оболочек, увеличивается. Нао-
Наоборот, интенсивности линий в ряду Ка-*-
->-К$->-Кч убывают, так как вероятность
переходов электронов с L-оболочки на
/(-оболочку больше, чем с более удален-
удаленных оболочек М и /V. /(-серия сопровожда-
сопровождается обязательно другими сериями, так
как при испускании ее линий появляются
вакансии в оболочках L, М, ..., которые
будут заполняться электронами, находя-
находящимися на более высоких уровнях.
Аналогично возникают и другие серии,
наблюдаемые, впрочем, только для тяже-
тяжелых элементов. Рассмотренные линии ха-
характеристического излучения могут иметь
тонкую структуру, поскольку уровни, опре-

Глава М. Элементы сомрсмемной физики атомом и
369
деляемые главным квантовым числом,
расщепляются согласно значениям орби-
орбитального и магнитного квантовых чисел.
Исследуя рентгеновские спектры эле-
элементов, английский физик Г. Мозли
A887—1915) установил в 1913 г. соотно-
соотношение, называемое законом Мозли:
B29.2)
где v — частота, соответствующая данной
линии характеристического рентгеновско-
рентгеновского излучения, R — постоянная Ридберга,
а — постоянная экранирования, т=\, 2,
3, ... (определяет рентгеновскую серию),
п принимает целочисленные значения
с т-\-\ (определяет отдельную линию со-
соответствующей серии). Закон Мозли
B29.2) подобен обобщенной формуле
Бальмера B09.3) для атома водорода.
Смысл постоянной экранирования за-
заключается в том, что на электрон, совер-
совершающий переход, соответствующий неко-
некоторой линии, действует не весь заряд ядра
Ze, а заряд (Z — o)e, ослабленный экрани-
экранирующим действием других электронов.
Например, для Ка-линии <т=1, и закон
Мозли запишется в виде
§ 230. Молекулы: химические связи,
понятие
об энергетических уровнях
Молекула — наименьшая частица вещест-
вещества, состоящая из одинаковых или различ-
различных атомов, соединенных между собой
химическими связями, и являющаяся но-
носителем его основных химических и физи-
физических свойств. Химические связи обус-
обусловлены взаимодействием внешних, вален-
валентных электронов атомов. Наиболее часто
в молекулах встречается два типа связи:
ионная и ковалентная (см. § 71).
Ионная связь (например, в молекулах
NaCl, KBr) осуществляется электростати-
электростатическим взаимодействием атомов при пере-
переходе электрона одного атома к другому,
т. е. при образовании положительного
и отрицательного ионов. КоваЛентная
связь (например, в молекулах Щ, Сг, СО)
осуществляется при обобществлении ва-
валентных электронов двумя соседними ато-
атомами (спины валентных электронов до-
должны быть антипараллельны). Ковалент-
Ковалентная связь объясняется на основе принципа
неразличимости тождественных частиц
(см. § 226), например электронов в моле-
молекуле водорода. Неразличимость частиц
приводит к специфическому взаимодейст-
взаимодействию между ними, называемому обменным
взаимодействием. Это чисто квантовый
эффект, не имеющий классического объяс-
объяснения, но его можно себе представить так,
что электрон каждого из атомов молекулы
водорода проводит некоторое время у яд-
ядра другого атома и, следовательно, осуще-
осуществляется связь обоих атомов, образую-
образующих молекулу. При сближении двух водо-
водородных атомов до расстояний порядка
боровского радиуса возникает их взаим-
взаимное притяжение и образуется устойчивая
молекула водорода.
Молекула является квантовой систе-
системой; она описывается уравнением Шре-
дингера, учитывающим движение электро-
электронов в молекуле, колебания атомов молеку-
молекулы, вращение молекулы. Решение этого
уравнения — очень сложная задача, кото-
которая обычно разбивается на две: для элек-
электронов и ядер.
Энергия изолированной молекулы
!• эл |~ ? кол "Т" '¦-- в
B30.1)
где Еъл — энергия движения электронов
относительно ядер, ?КОл — энергия колеба-
колебаний ядер (в результате которых периоди-
периодически изменяется относительное положе-
положение ядер), ?враш — энергия вращения ядер
(в результате которых периодически изме-
изменяется ориентация молекулы в простран-
пространстве). В формуле B30.1) не учтены энер-
энергия поступательного движения центра
масс молекулы и энергия ядер атомов
в молекуле. Первая из них не квантуется,
поэтому ее изменения не могут привести
к возникновению молекулярного спектра,
а вторую можно не учитывать, если не
рассматривать сверхтонкую структуру
спектральных линий. Отношения
?Эл:Якол:?враш= 1: \Jm/M:m/M, где т —

370
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
Возбужденное состояние
электрона
Электронные уровни
Рис. 308
масса электрона, М — величина порядка
массы ядер атомов в молекуле, т/Мх,
«1СГ5-Н0-3. ПОЭТОМУ ?м>?кол>?.р.|ц.
Доказано, что ?,л« 1 4-10 эВ, ?„ол«
«КГ2Ч-10-'эВ, ?вращ«10-5-М(Г3эВ.
Каждая из входящих в выражение
B30.1) энергий квантуется (ей соответ-
соответствует набор дискретных уровней энергии)
и определяется квантовыми числами. При
переходе из одного энергетического состо-
состояния в другое поглощается или испускает-
испускается энергия AE = hv. При таких переходах
одновременно изменяются энергии движе-
движения электронов, энергии колебаний и вра-
вращения. Из теории и эксперимента следует,
что расстояние между вращательными
уровнями энергии Д?„ращ гораздо меньше
расстояния между колебательными уров-
уровнями А?Кол, которое, в свою очередь, мень-
меньше расстояния между электронными уров-
уровнями АЕ,Л. На рис. 308 схематически пред-
представлены уровни энергии двухатомной
молекулы (для примера рассмотрены
только два электронных уровня — показа-
показаны жирными линиями).
Как будет показано в § 231 структу-
структура энергетических уровней молекул опре-
определяет их спектр излучения, возникающий
при квантовых переходах между соот-
соответствующими энергетическими уровнями.
§ 231. Молекулярные спектры.
Комбинационное рассеяние
света
Строение молекул и свойства их энергети-
энергетических уровней проявляются в молекуляр-
молекулярных спектрах — спектрах излучения (по-
(поглощения), возникающих при квантовых
переходах между уровнями энергии моле-
молекул. Спектр излучения молекулы опреде-
определяется структурой ее энергетических уров-
уровней и соответствующими правилами отбо-
отбора (так, например, изменение квантовых
чисел, соответствующих как колебатель-
колебательному, так и вращательному движению,
должно быть равно±1).
Итак, при разных типах переходов
между уровнями возникают различные ти-
типы молекулярных спектров. Частоты спек-
спектральных линий, испускаемых молекула-
молекулами, могут соответствовать переходам с од-
одного электронного уровня на другой
(электронные спектры) или с одного коле-
колебательного (вращательного) уровня на
другой (колебательные (вращательные)
спектры). Кроме того, возможны и перехо-
переходы с одними значениями ?кол и ?аращ на
уровни, имеющие другие значения всех
трех компонентов, в результате чего воз-
возникают электронно-колебательные и коле-
колебательно-вращательные спектры. Поэтому
спектр молекул довольно сложный.
Типичные молекулярные спектры —
полосатые, представляющие собой сово-
совокупность более или менее узких полос
в ультрафиолетовой, видимой и инфрак-
инфракрасной областях. Применяя спектральные
приборы высокой разрешающей способно-
способности, можно видеть, что полосы представ-
представляют собой настолько тесно расположен-
расположенные линии, что они с трудом разрешаются.
Структура молекулярных спектров раз-
различна для разных молекул и с увеличени-
увеличением числа атомов в молекуле усложняется
(наблюдаются лишь сплошные широкие
полосы). Колебательными и вращательны-
вращательными спектрами обладают только многоатом-
многоатомные молекулы, а двухатомные их не имеют.
Это объясняется тем, что двухатомные мо-
молекулы не имеют дипольных моментов (при
колебательных и вращательных переходах
отсутствует изменение дипольного момен-

Глава 29. Элементы современной физики атомов и молекул
371
та, что является необходимым условием
отличия от нуля вероятности перехода).
В 1928 г. советские ученые Г. С. Ланд-
сберг A890—1957) и Л.И.Мандель-
Л.И.Мандельштам и одновременно индийские физики
Ч. Раман A888—1970) и К. Кришнан
(р. 1911) открыли явление комбинацион-
комбинационного рассеяния света. Если на вещество
(газ, жидкость, прозрачный кристалл) па-
падает строго монохроматический свет, то
в спектре рассеянного света помимо не-
несмещенной спектральной линии обнаружи-
обнаруживаются новые линии, частоты которых
представляют собой суммы или разности
частоты v падающего света и частот v,
собственных колебаний (или вращений)
молекул рассеивающей среды.
Линии в спектре комбинационного
рассеяния с частотами v — v,-, меньшими
частоты v падающего света, называются
стоксовыми (или красными) спутниками,
линии с частотами v~|-v;, большими v,—
антистоксовыми (или фиолетовыми) спут-
спутниками. Анализ спектров комбинационно-
комбинационного рассеяния приводит к следующим выво-
выводам: 1) линии спутников располагаются
симметрично по обе стороны от несмещен-
несмещенной линии; 2) частоты v< не зависят от
частоты падающего на вещество света,
а определяются только рассеивающим ве-
веществом, т. е. характеризуют его состав
и структуру; 3) число спутников опреде-
определяется рассеивающим веществом; 4) ин-
интенсивность антистоксовых спутников
меньше интенсивности стоксовых и с повы-
повышением температуры рассеивающего ве-
вещества увеличивается, в то время как
интенсивность стоксовых спутников прак-
практически от температуры не зависит.
Объяснение закономерностей комбина-
комбинационного рассеяния света дает квантовая
теория. Согласно этой теории, рассеяние
света есть процесс, в котором один фотон
поглощается и один фотон испускается
молекулой. Если энергии фотонов одина-
одинаковы, то в рассеянном свете наблюдается
несмещенная линия. Однако возможны
процессы рассеяния, при которых энергии
поглощенного и испущенного фотонов раз-
различны. Различие энергий фотонов связано
с переходом молекулы из нормального со-
состояния в возбужденное (испущенный фо-
фотон будет иметь меньшую частоту -- воз-
возникает стоксов спутник) либо из
возбужденного состояния в нормальное
(испущенный фотон будет иметь боль-
большую частоту — возникает антистоксов
спутник).
Рассеяние света сопровождается пере-
переходами молекулы между различными ко-
колебательными или вращательными уров-
уровнями, в результате чего и возникает ряд
симметрично расположенных спутников.
Число спутников, таким образом, опреде-
определяется энергетическим спектром молекул,
т. е. зависит только от природы рассеива-
рассеивающего вещества. Так как число возбуж-
возбужденных молекул гораздо меньше, чем чис-
число невозбужденных, то интенсивность
антистоксовых спутников меньше, чем
стоксовых. С повышением температуры
число возбужденных молекул растет, в ре-
результате чего возрастает и интенсивность
антистоксовых спутников.
Молекулярные спектры (в том числе
и спектры комбинационного рассеяния
света) применяются для исследования
строения и свойств молекул, используются
в молекулярном спектральном анализе,
лазерной спектроскопии, квантовой элек-
электронике и т. д.
§ 232. Поглощение, спонтанное
и вынужденное излучения
Как отмечалось выше, атомы могут на-
находиться лишь в квантовых состояниях
с дискретными значениями энергии Е\, Е^,
?з, ••• ¦ Ради простоты рассмотрим только
два из этих состояний (/ и 2) с энергиями
Е] и ?V Если атом находится в основном
состоянии /, то под действием внешнего
излучения может осуществиться вынуж-
вынужденный переход в возбужденное состояние
2 (рис. 309, а), приводящий к поглощению
излучения. Вероятность подобных перехо-
переходов пропорциональна плотности излуче-
излучения, вызывающего эти переходы.
Атом, находясь в возбужденном со-
состоянии 2, может через некоторый про-
промежуток времени спонтанно, без каких-
либо внешних воздействий, перейти в со-
состояние с низшей энергией (в нашем
случае в основное), отдавая избыточную

372
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых
а)
5)
Рис. 309
в)
энергию в виде электромагнитного излуче-
излучения (испуская фотон с энергией hv — E2 —
— Ei). Процесс испускания фотона воз-
возбужденным атомом (возбужденной мик-
микросистемой) без каких-либо внешних
воздействий называется спонтанным
(или самопроизвольным) излучением
(рис. 309, б). Чем больше вероятность
спонтанных переходов, тем меньше сред-
среднее время жизни атома в возбужденном
состоянии. Так как спонтанные переходы
взаимно не связаны, то спонтанное излу-
излучение некогерентно.
В 1916 г. А. Эйнштейн для объяснения
наблюдавшегося на опыте термодинамиче
ского равновесия между веществом и ис-
испускаемым и поглощаемым им излучением
постулировал, что помимо поглощения
и спонтанного излучения должен су-
существовать третий, качественно иной тип
взаимодействия. Если на атом, находя-
находящийся в возбужденном состоянии 2, дей-
действует внешнее излучение с частотой,
удовлетворяющей условию Av = ?2 — E\, то
возникает вынужденный (индуцирован-
(индуцированный) переход в основное состояние / с из-
излучением фотона той же энергии hv =
= Ei — Ei (рис. 309, в). При подобном пе-
переходе происходит излучение атомом
фотона дополнительно к тому фотону, под
действием которого произошел переход.
Возникающее в результате таких перехо-
переходов излучение называется вынужденным
(индуцированным) излучением. Таким об-
образом, в процесс вынужденного излучения
вовлечены два фотона: первичный фотон,
вызывающий испускание излучения воз
бужденным атомом, и вторичный фотон,
испущенный атомом. Существенно, что
вторичные фотоны неотличимы от первич-
первичных, являясь точной их копией.
В статистической физике известен
принцип детального равновесия, согласно
которому при термодинамическом равно-
равновесии каждому процессу можно сопоста-
сопоставить обратный процесс, причем скорость
их протекания одинакова. А. Эйнштейн
применил этот принцип и закон сохране-
сохранения энергии для излучения и поглощения
электромагнитных волн в случае черного
тела. Из условия, что при равновесии пол-
полная вероятность испускания (спонтанного
и вынужденного) фотонов равна вероятно-
вероятности поглощения фотонов той же частоты,
Эйнштейн получил выведенную ранее
Планком формулу B00.3).
Эйнштейн и Дирак показали, что вы-
вынужденное излучение (вторичные фотоны)
тождественно вынуждающему излучению
(первичным фотонам): оно имеет такую же
частоту, фазу, поляризацию и направле-
направление распространения, как и вынуждающее
излучение. Следовательно, вынужденное
излучение строго когерентно с вынуждаю-
вынуждающим излучением, т. е. испущенный фотон
неотличим от фотона, падающего на атом.
Испущенные фотоны, двигаясь в од-
одном направлении и встречая другие воз-
возбужденные атомы, стимулируют дальней-
дальнейшие индуцированные переходы, и число
фотонов растет лавинообразно. Однако
наряду с вынужденным излучением воз-
возможен и конкурирующий процесс — по-
поглощение. Поэтому для усиления падаю-
падающего излучения необходимо, чтобы число
актов вынужденного излучения фотонов
(оно пропорционально заселенности воз-
возбужденных состояний) превышало число
актов поглощения фотонов (оно пропорци-
пропорционально заселенности основных состоя-
состояний). В системе атомов, находящейся
в термодинамическом равновесии, погло-
поглощение падающего излучения будет пре-
преобладать над вынужденным, т. е. падаю-

Глава 29. Элементы современной физики атомов и молекул
373
щее излучение при прохождении через
вещество будет ослабляться.
Чтобы среда усиливала падающее на
нее излучение, необходимо создать нерав-
неравновесное состояние системы, при котором
число атомов в возбужденных состояниях
было бы больше, чем их число в основном
состоянии. Такие состояния называются
состояниями с инверсией населенностей.
Процесс создания неравновесного состоя-
состояния вещества (перевод системы в состоя-
состояние с инверсией населенностей) называет-
называется накачкой. Накачку можно осуществить
оптическими, электрическими и другими
способами.
В средах в инверсном состоянии вы-
вынужденное излучение может превысить по-
поглощение, вследствие чего падающий пу-
пучок света при прохождении через эти сре-
среды будет усиливаться (эти среды на-
называются активными). В данном случае
явление протекает так, как если бы в за-
законе Бугера / = /ое~а* (см. A87.1)) ко-
коэффициент поглощения а, зависящий,
в свою очередь, от интенсивности излуче-
излучения, стал отрицательным. Активные среды
поэтому можно рассматривать в качестве
сред с отрицательным коэффициентом по-
поглощения.
Впервые на возможность получения
сред, в которых свет может усиливаться за
счет вынужденного излучения, указал
в 1939 г. советский физик В. А. Фабри-
Фабрикант, экспериментально обнаружив вы-
вынужденное излучение паров ртути, воз-
возбужденных при электрическом разряде.
Открытие явления усиления электромаг-
электромагнитных волн и изобретенный способ их
усиления (В. А. Фабрикант, М. М. Вудын-
ский, Ф. А. Бутаева; авторское свидетель-
свидетельство 1951 г.) легли в основу квантовой
электроники, разработавшей «чудо
XX в.» — квантовые усилители и кванто-
квантовые генераторы света.
§ 2.43. Оптические квантовые
генераторы (лазеры)
Практически инверсное состояние среды
осуществлено в принципиально новых
источниках излучения — оптических кван-
квантовых генераторах, или лазерах (от пер-
первых букв английского названия Light Am-
Amplification by Stimulated Emission of Radi-
Radiation — усиление света с помощью вынуж-
вынужденного излучения). Лазеры генерируют
в видимой, инфракрасной и ближней уль-
ультрафиолетовой областях (в оптическом ди-
диапазоне). Идея качественно нового прин-
принципа усиления и генерации электромаг-
электромагнитных волн, примененная в мазерах (ге-
(генераторы и усилители, работающие в сан-
сантиметровом диапазоне радиоволн) и лазе-
лазерах, принадлежит советским ученым
Н. Г. Басову (р. 1922) и А. М. Прохорову
(р. 1916) и американскому физику Ч. Та-
унсу (р. 1915), удостоенным Нобелевской
премии 1964 г.
Важнейшими из существующих типов
лазеров являются твердотельные, газовые,
полупроводниковые и жидкостные (в осно-
основу такого деления положен тип активной
среды). Более точная классификация учи-
учитывает также и методы накачки — оптичес-
оптические, тепловые, химические, электроиони-
электроионизационные и др. Кроме того, необходимо
принимать во внимание и режим генера-
генерации — непрерывный или импульсный.
Лазер обязательно имеет три основных
компонента: 1) активную среду, в которой
создаются состояния с инверсией населен-
населенностей; 2) систему накачки (устройство
для создания инверсии в активной среде);
3) оптический резонатор (устройство, вы-
выделяющее в пространство избирательное
направление пучка фотонов и формирую-
формирующее выходящий световой пучок).
Первым твердотельным лазером A960;
США), работающим в видимой области
спектра (длина волны излучения
0,6943 мкм), был рубиновый лазер
(Т. Мейман (р. 1927)). В нем инверсная
населенность уровней осуществляется по
трехуровневой схеме, предложенной
в 1955 г. Н. Г. Басовым и А. М. Прохоро-
Прохоровым. Кристалл рубина представляет собой
оксид алюминия АЬОз, в кристаллической
решетке которого некоторые из атомов А1
замещены трехвалентными ионами Сг3 +
@,03 и 0,05 % ионов хрома соответственно
для розового и красного рубина). Для
оптической накачки используется импуль-
импульсная газоразрядная лампа. При интенсив-
интенсивном облучении рубина светом мощной им-

374
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых те-i
л
to
I
a.
1
Cnw
C-) Безызлучательный
Ь^» переход
I
1
3
?
(U
с
У
D.69-4
и
Рис. 310
пульсной лампы атомы хрома переходят
с нижнего уровня / на уровни широкой
полосы 3 (рис. 310). Так как время жизни
атомов хрома в возбужденных состояниях
мало (меньше 10~7 с), то осуществляются
либо спонтанные переходы 3-*-1 (они не-
незначительны), либо наиболее вероятные
безызлучательные переходы на уровень
2 (он называется метастабильным) с пере-
передачей избытка энергии решетке кристалла
рубина. Переход 2-*-1 запрещен правила-
правилами отбора, поэтому длительность возбуж-
возбужденного состояния 2 атомов хрома поряд-
порядка 10~3с, т.е. примерно на четыре по-
порядка больше, чем для состояния 3. Это
приводит к «накоплению» атомов хрома на
уровне 2. При достаточной мощности на-
накачки их концентрация на уровне 2 будет
гораздо больше, чем на уровне /, т. е. воз-
возникает среда с инверсной населенностью
уровня 2.
Каждый фотон, случайно родившийся
при спонтанных переходах, в принципе мо-
может инициировать (порождать) в актив-
активной среде множество вынужденных пере-
переходов 2—*-1, в результате чего появляется
целая лавина вторичных фотонов, являю-
являющихся копиями первичных. Таким образом
и зарождается лазерная генерация. Одна-
Однако спонтанные переходы носят случайный
характер, и спонтанно рождающиеся фото-
фотоны испускаются в разных направлениях.
Тем самым в самых разных направлениях
распространяются и лавины вторичных
фотонов. Следовательно, излучение, состо-
состоящее из подобных лавин, не может обла-
обладать высокими когерентными свойствами.
Для выделения направления лазерной
генерации используется принципиально
важный элемент лазера — оптический ре-
резонатор. В простейшем случае им служит
пара обращенных друг к другу параллель-
параллельных (или вогнутых) зеркал на общей оп-
оптической оси, между которыми помещает-
помещается активная среда (кристалл или кювета
с газом). Как правило, зеркала изготовля-
изготовляются так, что от одного из них излучение
полностью отражается, а второе — полу-
полупрозрачно. Фотоны, движущиеся под уг-
углами к оси кристалла или кюветы, вы-
выходят из активной среды через ее боковую
поверхность. Те же из фотонов, которые
движутся вдоль оси, многократно отразят-
отразятся от противоположных торцов, каждый
раз вызывая вынужденное испускание
вторичных фотонов, которые, в свою оче-
очередь, вызовут вынужденное излучение,
и т. д. Так как фотоны, возникшие при
вынужденном излучении, движутся в том
же направлении, что и первичные, то по-
поток фотонов, параллельный оси кристалла
или кюветы, будет лавинообразно на-
нарастать. Многократно усиленный поток
фотонов выходит через полупрозрачное
зеркало, создавая строго направленный
световой пучок огромной яркости. Таким
образом, оптический резонатор «выясняет»
направление (вдоль оси) усиливаемого
фотонного потока, формируя тем самым
лазерное излучение с высокими когерент-
когерентными свойствами.
Первым газовым лазером непрерывно-
непрерывного действия A961) был лазер на смеси
атомов неона и гелия. Газы обладают
узкими линиями поглощения, лампы же
излучают свет в широком интервале длин
волн; следовательно, применять их в ка-
качестве накачки невыгодно, так как ис-
используется только часть мощности лам-
лампы. Поэтому в газовых лазерах инверсная
населенность уровней осуществляется
электрическим разрядом, возбуждаемым
в газах.
В гелий-неоновом лазере накачка про-
происходит в два этапа: гелий служит носите-
носителем энергии возбуждения, а лазерное из-
излучение дает неон. Электроны, образую-
образующиеся в разряде, при столкновениях
возбуждают атомы гелия, которые перехо-
переходят в возбужденное состояние
3 (рис.311). При столкновениях возбуж-
возбужденных атомов гелия с атомами неона
происходит их возбуждение и они перехо-
переходят на один из верхних уровней неона,

Глава 29. Элементы современной физики атомов и молекул
375
Не
Рис. 311
который расположен вблизи соответству-
соответствующего уровня гелия. Переход атома неона
с верхнего уровня 3 на один из нижних
уровней 2 приводит к лазерному излуче-
излучению с А. = 0,6328 мкм.
Лазерное излучение обладает следую-
следующими свойствами:
1. Временная и пространственная ко-
когерентность (см. § 171). Время когерент-
когерентности составляет 10~3с, что соответству-
соответствует длине когерентности порядка 105 м
(/коГ = стког), т.е. на семь порядков выше,
чем для обычных источников света.
2. Строгая монохроматичность (АХ,<
<1(Г" м).
3. Большая плотность потока энергии.
Если, например, рубиновый стержень
при накачке получил энергию № = 20 Дж
и высветился за 10 3 с, то поток излуче-
излучения Фе=20/10Дж/с = 2-104 Вт. Фо-
Фокусируя это излучение на площади
1 мм2, получим плотность потока
энергии 4>e/S = 2-107l()-6 Вт/м2 =
= 2-10'° Вт/м2.
4. Очень малое угловое расхождение
в пучке. Например, при использовании
специальной фокусировки луч лазера, на-
направленный с Земли, даст на поверхности
Луны световое пятно диаметром примерно
3 км (луч прожектора осветил бы повер-
поверхность диаметром примерно 40 000 км).
К. п. д. лазеров колеблется в широких
пределах — от 0,01 % (для гелий-неоново-
гелий-неонового лазера) до 75 % (для лазера на стекле
с неодимом), хотя у большинства лазеров
к. п. д. составляет 0,1—1 %. Создан мощ-
мощный ССЬ-лазер непрерывного действия, ге-
генерирующий инфракрасное излучение (Х =
= 10,6 мкм), к. п. д. которого C0%) пре-
превосходит к. п. д. существующих лазеров,
работающих при комнатной темпера-
температуре.
Необычные свойства лазерного излу-
излучения находят в настоящее время широкое
применение.
Применение лазеров для обработки,
резания и микросварки твердых материа-
материалов оказывается экономически более вы-
выгодным (например, пробивание калибро-
калиброванных отверстий в алмазе лазерным лу-
лучом сократило время с 24 ч до 6—8 мин).
Лазеры применяются для скоростного
и точного обнаружения дефектов в издели-
изделиях, для тончайших операций (например,
луч ССЬ-лазера в качестве бескровного
хирургического ножа), для исследования
механизма химических реакций и влияния
на их ход, для получения сверхчистых
веществ. Широко применяется лазерное
разделение изотопов, например такого
важного в энергетическом отношении эле-
элемента, как уран.
Одним из важных применений лазеров
является получение и исследование высо-
высокотемпературной плазмы. Эта область их
применения связана с развитием нового
направления — лазерного управляемого
термоядерного синтеза.
Лазеры широко применяются в изме-
измерительной технике. Лазерные интерферо-
интерферометры (в них источником света служит
лазер) используются для сверхточных
дистанционных измерений линейных пере-
перемещений, коэффициентов преломления
среды, давления, температуры. Например,
рассмотренный выше гелий-неоновый ла-
лазер из-за излучения высокой стабильно-
стабильности, направленности и монохроматичности
(полоса частот 1 Гц при частоте 10й Гц)
незаменим при котировочных и нивелиро-
нивелировочных работах. Сила лазера «прощупа-
«прощупала» поверхность Луны и помогла со-
советским ученым скорректировать ее
карту.
Интересное применение лазеры нашли
в голографии (см. § 184). Для создания
систем голографической памяти с высокой
степенью считывания и большой емкостью
необходимы газовые лазеры видимого ди-
диапазона еще более высокой монохрома-
монохроматичности и направленности излучения.
Очень перспективны и интересны полу-
полупроводниковые лазеры, так как они обла-
обладают широким рабочим диапазоном @,7—

376 6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
30 мкм) и возможностью плавной пере мя столь обширны, что даже их перечисле-
стройки частоты их излучения. ние в объеме настоящего курса просто
Применения лазеров в настоящее вре- невозможно.
Контрольные вопросы
• Что характеризуют квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное? Какие значения они
могут принимать?
• Каковы возможные значения / и mi для главного кпантового числа л = 5?
• Сколько различных состояний соответствует « = 4?
• Сравните плотности вероятности обнаружения электрона в основном состоянии атома водорода
согласно теории Бора и квантовой механики.
• Почему атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в различных
состояниях?
• Каковы правила квантования орбитального механического и собственного механического
моментов импульса электрона? их проекций на направление внешнего магнитного поля?
• В чем суть принципа неразличимости тождественных частиц?
• Какие частицы являются бозонами? фермионами? Какие волновые функции описывают их?
• Как изменилась бы структура электронных оболочек атома, если бы электроны были не ферми-
фермионами, а бозонами?
• Сколько электронов может быть в атоме, у которого в основном состоянии заполнены К-
и /.-оболочки, Зх-подоболочка и два электрона в Зр-подоболочке? Что это за атом?
• Какие квантовые числа имеет внешний (валентный) электрон в основном состоянии атома
натрия?
• Записать электронную конфигурацию для атомов: I) неона; 2) никеля; 3) германия.
• Как объяснить происхождение коротковолновой границы спектра тормозного рентгеновского
излучения?
• Почему тормозное рентгеновское излучение имеет сплошной спектр, а характеристическое —
линейчатый?
• В чем причина значительного различия оптического и характеристического рентгеновского
спектров атома?
• Какая из трех линий характеристического рентгеновского спектра — Кр, К*, /-р — самая ко-
коротковолновая? самая интенсивная?
• Какое условие необходимо для возникновения вынужденного излучения в веществе?
• Почему одним из обязательных компонентов лазера является оптический резонатор?
Задачи
29.1. Определить, сколько различных волновых функций соответствует главному квантовому числу
п = 5. [25]
29.2. Построить и объяснить диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней
и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состояниями с / =
= 2 и /=l. (d->-p переход).
29.3. Принимая, что уравнению Шредингера для ls-соетояния электрона в атоме водорода удов-
удовлетворяет функция i|) = O ''" (С- некоторая постоянная), показать, что а = Й24яе0/(те2),
равная первому боровскому радиусу. Учесть, что ls-состояние сферически-симметрично.
29.4. Электрон в атоме находится в /-состоянии. Определить: I) момент импульса (орбитальный)
Le электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса Le2 на направление
внешнего магнитного поля. [I) 3,46/?; 2) 'Щ

Г л а н а 30. Элементы квантовой статистики
377
29.5. Заполненной электронной оболочке соотвеклвует главное квантовое число л = 3. Определить
число электронов в этой оболочке, которые имеют одинаковые следующие квантовые числа:
1) ms = Y и l = 2'- 2)ms=— у и т; = 0. [1) 5; 2) 3]
29.6. Минимальная длина волны рентгеновского излучения, полученного от трубки, работающей
при напряжении 50 кВ, равна 24,8 пм. Определить по этим данным постоянную Планка.
[6,61-Ю1 Дж-с)
29.7. Определить самую длинноволновую линию /(серии характеристического рентгеновского
спектра, если анод рентгеновской трубки изготовлен из платины. Постоянную экранирования
принять равной единице. [20 пм]
Глава 30
Элементы квантовой статистики
§ 234. Квантовая статистика.
Фазовое пространство.
Функция распределения
Квантовая статистика ¦— раздел статисти-
статистической физики, исследующий системы, ко-
которые состоят из огромного числа частиц,
подчиняющихся законам квантовой меха-
механики.
В отличие от исходных положений
классической статистической физики, в ко-
которой тождественные частицы различимы
(частицу можно отличить от всех таких же
частиц), квантовая статистика основыва-
основывается на принципе неразличимости тожде-
тождественных частиц (см. § 226). При этом
оказывается, как будет показано ниже,
что коллективы частиц с целым и полуце-
полуцелым спинами подчиняются разным стати-
статистикам.
Пусть система состоит из N частиц.
Введем в рассмотрение многомерное про-
пространство всех координат и импульсов
частиц системы. Тогда состояние системы
определяется заданием 6Л/ переменных,
так как состояние каждой частицы опреде-
определяется тройкой координат х, у, z и трой-
тройкой соответствующих проекций импульса
Рх> Ру> Р>- Соответственно число «взаимно
перпендикулярных» координатных осей
данного пространства равно 6Л/. Это
e/V-мерное пространство называется фазо-
фазовым пространством. Каждому микрососто-
микросостоянию системы отвечает точка в 6Л/-мерном
фазовом пространстве,так какзаданиеточ-
ки фазового пространства означает зада-
задание координат и импульсов всех частиц си-
системы. Разобьем фазовое пространство на
малые бМ-мерные элементарные ячейки объ-
объемом dq dp = dqi dqz...dq3N dp, dp2...dp3N,
где q — совокупность координат всех
частиц, р — совокупность проекций
их импульсов. Корпускулярно-волновой
дуализм свойств вещества (см. § 213)
и соотношение неопределенностей Гейзен-
берга (см. § 215) приводят к выводу,
что объем элементарной ячейки (он на-
называется фазовым объемом) не может
быть меньше чем /г3 (h — постоянная
Планка).
Вероятность dll/ данного состояния
системы можно представить с помощью
функции распределения f(q,p):
= f(q,p)dq dp.
B34.1)
Здесь dW — вероятность того, что точка
фазового пространства попадет в эле-
элемент фазового объема dq dp, располо-
расположенного вблизи данной точки q, p. Иными
словами, dW представляет собой вероят-
вероятность того, что система находится в со-
состоянии, в котором ее координаты и им-
импульсы заключены в интервале q, q-\-dq
и р, р -f dp.
Согласно формуле B34.1), функция
распределения есть не что иное, как плот-
плотность вероятности определенного состоя-
состояния системы. Поэтому она должна быть
нормирована на единицу:
\f(q,p)dqdp=\,
где интегрирование производится по всему
фазовому пространству.
Зная функцию распределения / (q, p),

378
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
можно решить основную задачу квантовой
статистики — определить средние значе-
значения величин, характеризующих рассмат-
рассматриваемую систему. Среднее значение лю-
любой функции
{L(q,p))=\L{q,p)f(q,p)AqAp.
B34.2)
Если иметь дело не с координатами
и импульсами, а с энергией, которая кван-
квантуется, то состояние системы характеризу-
характеризуется не непрерывной, а дискретной фун-
функцией распределения.
Явное выражение функции распреде-
распределения в самом общем виде получил аме-
американский физик Д. Гиббс A839—1903).
Оно называется каноническим распре-
распределением Гиббса. В квантовой статисти-
статистике каноническое распределение Гиббса
имеет вид
/(?„) = Ле-?"/(*Г), B34.3)
где А — постоянная, определяемая из ус-
условия нормировки к единице, п — сово-
совокупность всех квантовых чисел, характе-
характеризующих данное состояние. Подчеркнем,
что / (?„) есть именно вероятность данного
состояния, а не вероятность того, что
система имеет определенное значение
энергии Еп, так как данной энергии может
соответствовать не одно, а несколько раз-
различных состояний (может иметь место вы-
вырождение).
§235. Понятие
о квантовой статистике
Бозе — Эйнштейна
и Ферми — Дирака
Одним из важнейших «объектов» изучения
квантовой статистики, как и классической,
является идеальный газ. Это связано
с тем, что во многих случаях реальную
систему можно; в хорошем приближении
считать идеальным газом. Состояние
системы невзаимодействующих частиц за-
задается с помощью так называемых чисел
заполнения М — чисел, указывающих сте-
степень заполнения квантового состояния
(характеризуется данным набором / кван-
квантовых чисел) Частицами системы, состоя-
состоящей из многих тождественных частиц.
Для систем частиц, образованных бозона-
бозонами — частицами с нулевым или целым
спином (см. § 226), числа заполнения мо-
могут принимать любые целые значения: 0, 1,
2, ... (см. § 227). Для систем частиц, обра-
образованных фермионами — частицами с по-
полуцелым спином (см. § 226), числа запол-
заполнения могут принимать лишь два значе-
значения: 0 для свободных состояний и 1 для
занятых (см. § 227). Сумма всех чисел за-
заполнения должна быть равна числу частиц
системы. Квантовая статистика позволяет
подсчитать среднее число частиц в данном
квантовом состоянии, т. е. определить
средние числа заполнения (Ni).
Идеальный газ из бозонов — бозе-
газ — описывается квантовой статистикой
Бозе — Эйнштейна *. Распределение бозо-
бозонов по энергиям вытекает из так называе-
называемого большого канонического распределе-
распределения Гиббса (с переменным числом частиц)
при условии, что число тождественных
бозонов в данном квантовом состоянии
может быть любым (см. § 227):
<*.-)=-ТЕ J/lkT) -¦ B35.1)
е ' —1
Это распределение называется распреде-
распределением Бозе — Эйнштейна. Здесь (Nt) —
среднее число бозонов в квантовом со-
состоянии с энергией Ei, к — постоянная
Больцмана, Т — термодинамическая тем-
температура, ц — химический потенциал; ц не
зависит от энергии, а определяется только
температурой и плотностью числа частиц.
Химический потенциал находится обычно
из условия, что сумма всех (Ni) равна
полному числу частиц в системе. Здесь
ц^О, так как иначе среднее число частиц
в данном квантовом состоянии отрица-
отрицательно, что не имеет физического смысла.
Он определяет изменение внутренней
энергии системы при добавлении к ней
одной частицы при условии, что все
остальные величины, от которых зависит
внутренняя энергия (энтропия, объем),
фиксированы.
Идеальный газ из фермионов — фер-
ми-газ — описывается квантовой стати-
статистикой Ферми — Дирака **. Распределе-
* Д. Бозе A858—1937) —индийский
физик.
**Э. Ферми A901 —1954) — итальянский
физик.

Глава 30. Элементы квантовой статистики
379
ние фермионов по энергиям имеет вид
где <М)—среднее число фермионов
в квантовом состоянии с энергией ?<, ц —
химический потенциал. В отличие от
B35.1) |х может иметь положительное
значение (это не приводит к отрицатель-
отрицательным значениям чисел (Л/,)). Это распреде-
распределение называется распределением Фер-
Ферми — Дирака.
Если е »1, то распределения
Бозе — Эйнштейна B35.1) и Ферми —
Дирака B35.2) переходят в классическое
распределение Максвелла — Больцмана:
<Л/,-)=Ле iA ' B35.3)
(ср. с выражением D4.4)), где
А=е?/(кТ). B35.4)
Таким образом, при высоких температурах
оба «квантовых» газа ведут себя подобно
классическому газу.
Система частиц называется вырожден-
вырожденной, если ее свойства существенным обра-
образом отличаются от свойств систем, под-
подчиняющихся классической статистике. По-
Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа
отличается от классического газа, они яв-
являются вырожденными газами. Вырожде-
Вырождение газов становится существенным при
весьма низких температурах и больших
плотностях. Параметром вырождения на-
называется величина А. При Л<С1, т.е. при
малой степени вырождения, распределе-
распределения Бозе — Эйнштейна B35.1) и Фер-
Ферми — Дирака B35.2) переходят в класси-
классическое распределение Максвелла — Боль-
цмана B35.3).
Температурой вырождения Го называ-
называется температура, ниже которой-отчетливо
проявляются квантовые свойства идеаль-
идеального газа, обусловленные тождественно-
тождественностью частиц, т.е. Го — температура, при
которой вырождение становится су-
существенным. Если Г^>Го, то поведение
системы частиц (газа) описывается клас-
классическими законами.
§ 236. Вырожденный электронный газ
в металлах
Распределение электронов по различным
квантовым состояниям подчиняется прин-
принципу Паули (см. § 227), согласно которо-
которому в одном состоянии не может быть двух
одинаковых (с одинаковым набором четы-
четырех квантовых чисел) электронов, они до-
должны отличаться какой-то характеристи-
характеристикой, например направлением спина. Сле-
Следовательно, по квантовой теории, электро-
электроны в металле не могут располагаться на
самом низшем энергетическом уровне да-
даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает
электроны взбираться вверх «по энергети-
энергетической лестнице».
Электроны проводимости в металле
можно рассматривать как идеальный газ,
подчиняющийся распределению Ферми —
Дирака B35.2). Если цо — химический по-
потенциал электронного газа при Г = 0 К, то,
согласно B35.2), среднее число (N(E))
электронов в квантовом состоянии с энер-
энергией Е равно
Для фермионов (электроны являются фер-
мионами) среднее число частиц в кванто-
квантовом состоянии и вероятность заселенности
квантового состояния совпадают, так как
квантовое состояние либо может быть не
заселено, либо в нем будет находиться
одна частица. Это означает, что для фер-
фермионов (N(E)) =f (Е), где / (Е) — функция
распределения электронов по состояниям.
Из B36.1) следует, что при Г = 0 К
г=ок
Рис. 312

380
(>. Элементы квантовой физики ятомов, молекул и твердых тел
функция распределения (N (?)> = !, если
?<(j.o, и (N (?) ) =0, если Е> ц0. Гра-
График этой функции приведен на рис. 312, а.
В области энергий от 0 до р.о функция
{N (?)) равна единице. При ?=цо она
скачкообразно изменяется до нуля. Это
означает, что при Г = 0 К все нижние
квантовые состояния, вплоть до состояния
с энергией ? = цо, заполнены электронами,
а все состояния с энергией, большей ц0,
свободны. Следовательно, цо есть не что
иное, как максимальная кинетическая
энергия, которую могут иметь электроны
проводимости в металле при 0 К. Эта мак-
максимальная кинетическая энергия называ-
называется энергией Ферми и обозначается EF
(EF = \i0). Поэтому распределение Ферми —
Дирака обычно записывается в виде
<N(E))=-
1
B36.2)
Наивысший энергетический уровень,
занятый электронами, называется уровнем
Ферми. Уровню Ферми соответствует энер-
энергия Ферми EF, которую имеют электроны
на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно,
будет тем выше, чем больше плотность
электронного газа. Работу выхода элек-
электрона из металла нужно отсчитывать не от
дна «потенциальной ямы», как это дела-
делалось в классической теории, а от уровня
Ферми, т. е. от верхнего из занятых элек-
электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком высоких
температурах выполняется неравенство
kT<^EF. Это означает, что электронный
газ в металлах практически всегда на-
находится в состоянии сильного вырожде-
вырождения. Температура То вырождения
(см. § 235) находится из условия kTQ — EF.
Она определяет границу, выше которой
квантовые эффекты перестают быть су-
существенными. Соответствующие расчеты
показывают, что для электронов в металле
7пж104К, т.е. для всех температур, при
которых металл может существовать
в твердом состоянии, электронный газ
в металле вырожден.
При температурах, отличных от 0 К,
функция распределения Ферми — Дирака
B36.2) плавно изменяется от I до 0 в уз-
узкой области (порядка kT) в окрестности
EF (рис. 312, б). (Здесь же для сравнения
пунктиром приведена функция распреде-
распределения при 7" = 0 К.) Это объясняется тем,
что при Г>0 небольшое число электронов
с энергией, близкой к EF, возбуждается за
счет теплового движения и их энергия
становится больше EF. Вблизи границы
Ферми при E<cEF заполнение электрона-
электронами меньше единицы, а при E>EF — боль-
больше нуля. В тепловом движении участвует
лишь небольшое число электронов, напри-
например при комнатной температуре 7" «300 К
и температуре вырождения 7"о = 3-104 К,—
это 10~5 от общего числа электронов.
Если (E — E^^kT («хвост» функции
распределения), то единицей в знаменате-
знаменателе B36.2) можно пренебречь по сравне-
сравнению с экспонентой и тогда распределение
Ферми — Дирака переходит в распределе-
распределение Максвелла — Больцмана. Таким об-
образом, при (E — EF)^>kT, т. е. при больших
значениях энергии, к электронам в металле
применима классическая статистика, в то
же время, когда (E — EF)^kT, к ним при-
применима только квантовая статистика Фер-
Ферми — Дирака.
§ 237. Понятие о квантовой теории
теплоемкости. Фононы
Квантовая статистика устранила трудно-
трудности в объяснении зависимости теплоемко-
теплоемкости газов (в частности, двухатомных) от
температуры (см. § 53). Согласно кванто-
квантовой механике, энергия вращательного дви-
движения молекул и энергия колебаний ато-
атомов в молекуле могут принимать лишь
дискретные значения. Если энергия тепло-
теплового движения значительно меньше разно-
разности энергий соседних уровней энергии
(kT<C&E), то при столкновении молекул
вращательные и колебательные степени
свободы практически не возбуждаются.
Поэтому при низких температурах поведе-
поведение двухатомного газа подобно одноатом-
одноатомному.
Так как разность между соседними
вращательными уровнями энергии значи-
значительно меньше, чем между колебательны-
колебательными, т.е. A?apaiu<ДЕкш. (см. §230), то

Глава 30. Элементы квантовой статистики
381
с ростом температуры возбуждаются вна-
вначале вращательные степени свободы, в ре-
результате чего теплоемкость возрастает;
при дальнейшем росте температуры воз-
возбуждаются и колебательные степени сво-
свободы и происходит дальнейший рост теп-
теплоемкости (см. рис.80).
Функции распределения Ферми -- Ди-
Дирака для 7" = 0 и 7>0 заметно различают-
различаются (рис. 312) лишь в узкой области энер-
энергий (порядка kT). Следовательно, в про-
процессе нагревания металла участвует лишь
незначительная часть всех электронов
проводимости. Этим и объясняется отсут-
отсутствие заметной разницы между теплоемко-
стями металлов и диэлектриков, что не
могло быть объяснено классической тео-
теорией (см. § 103).
Как уже указывалось (см. § 73),
классическая теория не смогла объяснить
также зависимость теплоемкости твердых
тел от температуры, а квантовая стати-
статистика решила эту задачу. Так, А. Эйн-
Эйнштейн, приближенно считая, что колеба-
колебания атомов кристаллической решетки не-
независимы (модель кристалла как сово-
совокупности независимых колеблющихся
с одинаковой частотой гармонических ос-
осцилляторов), создал качественную кван-
квантовую теорию теплоемкости кристалличе
ской решетки. Она впоследствии была
развита П. Дебаем, который учел, что ко-
колебания атомов в кристаллической решет-
решетке не являются независимыми (рассмот
рел непрерывный спектр частот гармони-
гармонических осцилляторов).
Рассматривая непрерывный спектр
частот осцилляторов, П. Дебай показал,
что основной вклад в среднюю энергию
квантового осциллятора вносят колебания
низких частот, соответствующих упругим
волнам. Поэтому тепловое возбуждение
твердого тела можно описать в виде упру-
упругих волн, распространяющихся в кристал-
кристалле. Согласно корпускулярно-вол новому
дуализму свойств вещества, упругим во
лнам в кристалле сопоставляют фононы,
обладающие энергией E = h<s>. Фонон есть
квант энергии звуковой волны (гак как
упругие волны — волны звуковые). Фоно-
Фононы являются квазичастицами — элемен-
элементарными возбуждениями, ведущими себя
подобно микрочастицам. Аналогично тому
как квантование электромагнитного излу-
излучения привело к представлению о фотонах,
квантование упругих волн привело к пред-
представлению о фононах.
Квазичастицы, в частности фононы,
сильно отличаются от обычных частиц
(например, электронов, протонов, фото-
фотонов), так как они связаны с коллективным
движением многих частиц системы. Квази-
Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они
существуют только в кристалле. Импульс
фонона обладает своеобразным свой-
свойством: при столкновении фононов
в кристалле их импульс может дискретны-
дискретными порциями передаваться кристалличе-
кристаллической решетке — он при этом не сохраняет-
сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят
о квазиимпульсе.
Энергия кристаллической решетки
рассматривается как энергия фононного
газа, подчиняющегося статистике Бозе —
Эйнштейна (см. § 235), так как фононы
являются бозонами (их спин равен нулю).
Фононы могут испускаться и поглощаться,
но их число не сохраняется постоянным;
поэтому в формуле B35.1) для фононов
необходимо ц положить равным нулю.
Применение статистики Бозе — Эйн-
Эйнштейна к фононному газу — газу из не-
невзаимодействующих бозе-частиц — приве-
привело II. Дебая к количественному выводу,
согласно которому при высоких темпера-
температурах, когда 7>7fl (классическая об-
область), теплоемкость твердых тел описы.-
вается законом Дюлонга и Пти (см. § 73),
а при низких температурах, когда 7"<СГО
(квантовая область),— пропорциональна
кубу термодинамической температуры:
CV~T3. В данном случае TD — характери-
характеристическая температура Дебая, определяе-
определяемая соотношением kTo = tiD, где шо
предельная частота упругих колебаний
кристаллической решетки. Таким образом,
теория Дебая объяснила расхождение
опытных и теоретических (вычисленных на
основе классической теории) значений
теплоемкости твердых тел (см. §73 и
рис 113).
Модель квазичастиц — фононов —
оказалась эффективной для объяснения

382
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
открытого П. Л. Капицей явления сверх-
сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31, 75).
Теория сверхтекучести, созданная A941)
Л. Д. Ландау и развитая A947) советским
ученым Н. Н. Боголюбовым (р. 1909), при-
применена впоследствии к явлению сверхпро-
сверхпроводимости (см. § 239).
§238. Выводы
квантовой теории
электропроводности
металлов
Квантовая теория электропроводности ме-
металлов — теория электропроводности, ос-
основывающаяся на квантовой механике
и квантовой статистике Ферми — Дира-
Дирака,— пересмотрела вопрос об электропро-
электропроводности металлов. Расчет электропровод-
электропроводности металлов, выполненный на основе
этой теории, приводит к выражению для
удельной электрической проводимости
металла
B38.1)
m(uF)
которое по внешнему виду напоминает
классическую формулу A03.2) для
V, но имеет совершенно другое физи-
физическое содержание. Здесь п — концентра-
концентрация электронов проводимости в металле,
</F) — средняя длина свободного пробега
электрона, имеющего энергию Ферми,
(и, ) —средняя скорость теплового дви-
движения такого электрона. Выводы, получа-
получаемые на основе формулы B38.1), полно-
полностью соответствуют опытным данным.
Квантовая теория электропроводности ме-
металлов, в частности, объясняет зависи-
зависимость удельной проводимости от темпера-
температуры: у~\/Т (классическая теория
(см. § 103) дает, что v~ 1 /д/77), а также
аномально большие величины (порядка
сотен периодов решетки) средней длины
свободного пробега электронов в металле
(см § 103).
Квантовая теория рассматривает дви-
движение электронов с учетом их взаимодей-
взаимодействия с кристаллической решеткой. Со-
Согласно корпускулярно-йолновому дуализ-
дуализму, движению электрона сопоставляют
волновой процесс. Идеальная кристалли-
кристаллическая решетка (в ее узлах находятся
неподвижные частицы и в ней отсутствуют
нарушения периодичности) ведет себя по-
подобно оптически однородной среде — она
«электронные волны» не рассеивает. Это
соответствует тому, что металл не оказы-
оказывает электрическому току — упорядочен-
упорядоченному движению электронов — никакого
сопротивления. «Электронные волны»,
распространяясь в идеальной кристалли-
кристаллической решетке, как бы огибают узлы
решетки и проходят значительные рас-
расстояния.
В реальной кристаллической решетке
всегда имеются неоднородности, которыми
могут быть, например, примеси, вакансии;
неоднородности обусловливаются также
тепловыми колебаниями. В реальной
кристаллической решетке происходит рас-
рассеяние «электронных волн» на неоднород-
ностях, что и является причиной электри-
электрического сопротивления металлов. Рассея-
Рассеяние «электронных волн» на неоднородно-
стях, связанных с тепловыми колебаниями,
можно рассматривать как столкновения
электронов с фононами.
Согласно классической теории, (м) ~
~д/7". поэтому она не смогла объяснить
истинную зависимость v от температуры
(см. § 103). В квантовой теории средняя
скорость <иР) от температуры практиче-
практически не зависит, так как доказывается, что
с изменением температуры уровень Ферми
остается практически неизменным. Однако
с повышением температуры рассеяние
«электронных волн» на тепловых колеба-
колебаниях решетки (на фононах) возрастает,
что соответствует уменьшению средней
длины свободного пробега электронов.
В области комнатных температур (lF) ~
~7'~|, поэтому, учитывая независимость
(и) от температуры, получим, что сопро-
сопротивление металлов (#~l/v) в соответст-
соответствии с данными опытов растет пропорцио-
пропорционально Т. Таким образом, квантовая тео-
теория элекропроводности металлов устрани-
устранила и эту трудность классической теории.

Глава 30. Элементы квантовой статистики
383
§ 239. Сверхпроводимость.
Понятие об эффекте
Джозефсона
Прежде чем на основе квантовой теории
приступить к качественному объяснению
явления сверхпроводимости, рассмотрим
некоторые свойства сверхпроводников.
Различные опыты, поставленные
с целью изучения свойств сверхпроводни-
сверхпроводников, приводят к выводу, что при переходе
металла в сверхпроводящее состояние не
изменяется структура его кристаллической
решетки, не изменяются его механические
и оптические (в видимой и инфракрасной
областях) свойства. Однако при таком
переходе наряду со скачкообразным изме-
изменением электрических свойств качественно
меняются его магнитные и тепловые свой-
свойства. Так, в отсутствие магнитного поля
переход в сверхпроводящее состояние со-
сопровождается скачкообразным изменени-
изменением теплоемкости, а при переходе в сверх-
сверхпроводящее состояние во внешнем маг-
магнитном поле скачком изменяются и тепло-
теплопроводность, и теплоемкость (такие явле-
явления характерны для фазовых переходов
II рода; см. § 75). Достаточно сильное
магнитное поле (а следовательно, и силь-
сильный электрический ток, протекающий по
сверхпроводнику) разрушает сверхпрово-
сверхпроводящее состояние.
Как показал немецкий физик
В. Мейсснер A882—1974), в сверхпрово-
сверхпроводящем состоянии магнитное поле в толще
сверхпроводника отсутствует. Это означа-
означает, что при охлаждении сверхпроводника
ниже критической температуры (см. § 98)
магнитное поле из него вытесняется (эф-
(эффект Мейсснера).
Общность эффектов, наблюдаемых
в сверхпроводящем состоянии различных
металлов, их соединений и сплавов, указы-
указывает на то, что явление сверхпроводимости
обусловлено физическими причинами, об-
общими для различных веществ, т. е. должен
существовать единый для всех сверхпро-
сверхпроводников механизм этого явления.
Физическая природа сверхпроводимо-
сверхпроводимости была понята лишь в 1957 г. на основе
теории (создана Ландау в 1941 г.) сверх-
сверхтекучести гелия (см. §237). Теория сверх-
сверхпроводимости создана американскими фи-
физиками Д. Бардином (р. 1908), Л.Купе-
Л.Купером (р. 1930) и Д. Шриффером (р. 1931)
и усовершенствована Н. Н. Боголюбовым.
Оказалось, что помимо внешнего сход-
сходства между сверхтекучестью (сверхтеку-
(сверхтекучая жидкость протекает по узким капил-
капиллярам без трения, т. е. без сопротивления
течению) и сверхпроводимостью (ток
в сверхпроводнике течет без сопротивле-
сопротивления по проводу) существует глубокая фи-
физическая аналогия: и сверхтекучесть,
и сверхпроводимость — это макроскопиче-
макроскопический квантовый эффект.
Качественно явление сверхпроводимо-
сверхпроводимости можно объяснить так. Между электро-
электронами металла помимо кулоновского оттал-
отталкивания, в достаточной степени ослабляе-
ослабляемого экранирующим действием положи-
положительных ионов решетки, в результате
электрон-фононного взаимодействия (вза-
(взаимодействия электронов с колебаниями
решетки) возникает слабое взаимное при-
притяжение. Это взаимное притяжение при
определенных условиях может преобла-
преобладать над отталкиванием. В результате
электроны проводимости, притягиваясь,
образуют своеобразное связанное состоя-
состояние, называемое куперовскои парой. «Раз-
«Размеры» пары много больше (примерно на
четыре порядка) среднего межатомного
расстояния, т. е. между электронами,
«связанными» в пару, находится много
«обычных» электронов.
Чтобы куперовскую пару разрушить
(оторвать один из ее электронов), надо за-
затратить некоторую энергию, которая пой-
пойдет на преодоление сил притяжения элек-
электронов пары. Такая энергия может быть
в принципе получена в результате взаимо-
взаимодействия с фононами. Однако пары сопро-
сопротивляются своему разрушению. Это
объясняется тем, что существует не одна
пара, а целый ансамбль взаимодействую-
взаимодействующих друг с другом куперовских пар.
Электроны, входящие в куперовскую
пару, имеют противоположно направлен-
направленные спины. Поэтому спин такой пары ра-
равен нулю и она представляет собой бозон.
К бозонам принцип Паули неприменим,
и число бозе-частиц, находящихся в одном
состоянии, не ограничено. Поэтому при

384 6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и тнердых тол
сверхнизких температурах бозоны скапли- зефсона не превышает некоторое критиче-
ваются в основном состоянии, из которого ское значение, то падения напряжения на
их довольно трудно перевести в возбуж- нем нет (стационарный эффект), если пре-
денное. Система бозе-частиц — Куперов- вышает — возникает падение напряжения
ских пар, обладая устойчивостью относи- U и контакт излучает электромагнитные
тельно возможности отрыва электрона, волны (нестационарный эффект). Частота
может под действием внешнего электриче- v излучения связана с U на контакте со-
ского поля двигаться без сопротивления со отношением v = 2eL///t (е — заряд элек-
стороны проводника, что и приводит трона). Возникновение излучения объяс-
к сверхпроводимости. няется тем, что куперовские пары (они
На основе теории сверхпроводимости создают сверхпроводящий ток), проходя
английский физик Б. Джозефсон (р. 1940) сквозь контакт, приобретают относительно
в 1962г. предсказал эффект, названный основного состояния сверхпроводника из-
его именем (Нобелевская премия 1973 г.). быточную энергию. Возвращаясь в основ-
Эффект Джозефсона (обнаружен ное состояние, они излучают квант элек-
в 1963г.) —протекание сверхпроводяще- тромагнитной энергии hv — 2eU.
го тока сквозь тонкий слой диэлектрика Эффект Джозефсона используется для
(пленка оксида металла толщиной точного измерения очень слабых магнит-
»1нм), разделяющий два сверхпровод- ных полей (до 10~|8Тл), токов (до
ника (так называемый контакт Джозефсо- 10~|0А) и напряжений (до 10~|5В),
на). Электроны проводимости проходят а также для создания быстродействующих
сквозь диэлектрик благодаря туннельному элементов логических устройств ЭВМ,
эффекту. Если ток через контакт Джо- усилителей и т. д.
Контрольные вопросы
В чем принципиальное отличие квантовой статистики от классической?
Что такое фазовое пространство? фазовый объем?
Чем отличается бозе-газ от ферми-газа?
Запишите распределение Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака и объясните их физический
смысл. Когда они переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана?
При каких условиях к электронам в металле можно применять классическую статистику, а ког-
когда — только квантовую?
Что такое энергия Ферми? уровень Ферми?
Почему работа выхода электрона из металла отсчитывается от уровня Ферми?
Как объясняет квантовая статистика отсутствие заметного отличия теплоемкостей металлов
и диэлектрика?
Что такое фонон? Зачем понадобилось его введение? Каковы его свойства?
Как на основе понятий квантовой теории электропроводности металлов объяснить зависимость
удельной проводимости от температуры?
Как объяснить явление сверхпроводимости?
Что такое эффект Джозефсона?
Задачи
30.1. Показать, что при малом параметре вырождения распределения Бозе — Эйнштейна и Фер-
Ферми — Дирака переходят в распределение Максвелла — Больцмана.
30.2. Определить функцию распределения для электронов, находящихся на энергетическом уровне^
?, для случая E — Ef<.kT, пользуясь: I) статистикой Ферми — Дирака; 2) статистикой
Максвелла — Больцмана. Объяснить физический емысл полученных результатов.

Глава 31. Элементы физики твердого тела
385
30.3. Определить в электрон-вольтах максимальную энергию Е фотона который может возбуж-
возбуждаться в кристалле КС1, характеризуемом температурой Дебая ТО = 227 К. Фотон какой
длины волны к обладал бы такой энергией? [? = 0,02 эВ; Я, = 63,5 мкм]
30.4. Глубина потенциальной ямы металла составляет 11 эВ, а работа выхода 4 эВ. Определить
полную энергию электрона на уровне Ферми. [?=—4 эВ]
30.5. Электрон с кинетической энергией 4 эВ попадает в металл, при этом его кинетическая энер-
энергия увеличивается до 7 эВ. Определить глубину потенциальной ямы. [3 эВ]
Глава 31
Элементы физики твердого тела
§ 240. Понятие о зонной теории
твердых тел
Используя уравнение Шредингера ¦-- ос-
основное уравнение динамики в нерелятиви-
нерелятивистской квантовой механике,— в принципе
можно рассмотреть задачу о кристалле,
например найти возможные значения его
энергии, а также соответствующие энерге-
энергетические состояния. Однако как в класси-
классической, так и в квантовой механике отсут-
отсутствуют методы точного решения динами-
динамической задачи для системы многих частиц.
Поэтому эта задача решается приближен-
приближенно сведением задачи многих частиц к од-
ноэлектронной задаче — задаче об одном
электроне, движущемся в заданном внеш-
внешнем поле. Подобный путь приводит к зон-
зонной теории твердого тела.
В основе зонной теории лежит так
называемое адиабатическое приближение.
Квантово-механическая система разделя-
разделяется на тяжелые и легкие частицы — ядра
и электроны. Поскольку массы и скорости
этих частиц значительно различаются,
можно считать, что движение электронов
происходит в поле неподвижных ядер,
а медленно движущиеся ядра находятся
в усредненном поле всех электронов. Счи-
Считая, что ядра в узлах кристаллической
решетки неподвижны, движение электрона
рассматривается в постоянном периодиче-
периодическом поле ядер.
Далее используется приближение са-
самосогласованного поля. Взаимодействие
данно! о электрона со всеми другими элек-
электронами заменяется действием на него
стационарного электрического поля, обла-
обладающего периодичностью кристалличе-
кристаллической решетки. Это поле создается усред-
усредненным в пространстве зарядом всех дру-
других электронов и всех ядер. Таким
образом, в рамках зонной теории много-
многоэлектронная задача сводится к задаче
о движении одного электрона во внешнем
периодическом поле--усредненном и со-
согласованном поле всех ядер и электронов.
Рассмотрим мысленно процесс образо-
образования твердого тела из изолированных
атомов. Пока атомы изолированы, т. е. на-
находятся друг от друга на макроскопиче-
макроскопических расстояниях, они имеют совпадаю-
совпадающие схемы энергетических уровней
(рис. 313). По мере «сжатия» нашей моде-
модели до кристаллической решетки, т. е. когда
расстояния между атомами станут равны-
равными межатомным расстояниям в твердых
телах, взаимодействие между атомами
приводит к тому, что энергетические
уровни атомов смещаются, расщепляются
и расширяются в зоны, образуется так
называемый зонный энергетический
спектр.
Из рис. 313; на котором показано рас-
расщепление уровней как функция расстоя-
расстояния г между атомами, видно, что заметно
расщепляются и расширяются лишь уров-
уровни внешних, валентных электронов, наибо-
Рис. 313
13 Т. И. Трофимова

386
ti. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
лее слабо связанных с ядром и имеющих
наибольшую энергию, а также более высо-
высокие уровни, которые в основном состоянии
атома вообще электронами не заняты.
Уровни же внутренних электронов либо
совсем не расщепляются, либо расщепля-
расщепляются слабо. Таким образом, в твердых
телах внутренние электроны ведут себя так
же, как в изолированных атомах, валент-
валентные же электроны «коллективизирова-
«коллективизированы» — принадлежат всему твердому телу.
Образование зонного энергетического
спектра в кристалле является квантово-
механическим эффектом и вытекает из
соотношения неопределенностей. В кри-
кристалле валентные электроны атомов, свя-
связанные слабее с ядрами, чем внутрен-
внутренние электроны, могут переходить от атома
к атому сквозь потенциальные барьеры,
разделяющие атомы, т. е. перемещаться
без изменений полной энергии (туннель-
(туннельный эффект, см. § 221). Это приводит к то-
тому, что среднее время жизни т валентного
электрона в данном атоме по сравнению
с изолированным атомом существенно
уменьшается и составляет примерно
10~|5с (для изолированного атома оно
примерно 10~8с). Время же жизни элек-
электрона в каком-либо состоянии связано
с неопределенностью его энергии (шири-
(шириной уровня) соотношением неопределенно-
неопределенностей А?~Л/т (см. B15.5)). Следователь-
Следовательно, если естественная ширина спектраль-
спектральных линий составляет примерно 10~7эВ,
то в кристаллах АЕх 1 ч- 10 эВ, т. е. энер-
энергетические уровни валентных электронов
расширяются в зону дозволенных значе-
значений энергии.
Энергия внешних электронов может
принимать значения в пределах закрашен-
закрашенных на рис.313 областей, называемых
разрешенными энергетическими зонами.
Каждая разрешенная зона «вмещает»
в себя столько близлежащих дискретных
уровней, сколько атомов содержит
кристалл: чем больше в кристалле атомов,
тем теснее расположены уровни в зоне.
Расстояние между соседними энергетиче-
энергетическими уровнями в зоне составляет при-
приблизительно 10~22эВ. Так как оно столь
ничтожно, то зоны можно считать практи-
практически непрерывными, однако факт конеч-
конечного числа уровней в зоне играет важ-
важную роль для распределения электронов
по состояниям.
Разрешенные энергетические зоны
разделены зонами запрещенных значений
энергии, называемыми запрещенными
энергетическими зонами. В запрещенных
зонах электроны находиться не могут. Ши-
Ширина зон (разрешенных и запрещенных)
не зависит от размера кристалла. Разре-
Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь
валентных электронов с ядрами.
§241. Металлы, диэлектрики
и полупроводники
но зонной теории
Зонная теория твердых тел позволила
с единой точки зрения истолковать су-
существование металлов, диэлектриков и по-
полупроводников, объясняя различие в их
электрических свойствах, во-первых, нео-
неодинаковым заполнением электронами раз-
разрешенных зон и, во-вторых, шириной за-
запрещенных зон.
Степень заполнения электронами энер-
энергетических уровней в зоне определяется
заполнением соответствующего атомного
уровня. Если, например, какой-то уровень
атома полностью заполнен электронами
в соответствии с принципом Паули, то об-
образующаяся из него зона также полностью
заполнена. В общем случае можно гово-
говорить о валентной зоне, которая полностью
заполнена электронами и образована из
энергетических уровней внутренних элек-
электронов свободных атомов, и о зоне про-
проводимости (свободной зоне), которая либо
частично заполнена электронами, либо
свободна и образована из энергетических
уровней внешних «коллективизированных»
электронов изолированных атомов.
В зависимости от степени заполнения
зон электронами и ширины запрещенной
зоны возможны четыре случая, изобра-
изображенные на рис.314. На рис. 314, а самая
верхняя зона, содержащая электроны, за-
заполнена лишь частично, т. е. в ней имеют-
имеются вакантные уровни. В данном случае
электрон, получив сколь угодно малую
энергетическую «добавку» (например, за
счет теплового движения или электриче-

Глава 31. Элементы физики твердого тела
387
" ' Зона
, ggpaawMQCTM
Запрещен-
Запрещенная зона
:н~ лЕ\ Запрещен- .fT
а | ная зона ., 1
металл
о.)
Металл
г)
Рис.
Диэлектрик
в)
.414
Полупроводник
г.)
ского поля), сможет перейти на более
высокий энергетический уровень той же
зоны, т. е. стать свободным и участвовать
в проводимости. Внутризонный переход
вполне возможен, так как, например, при
1 К энергия теплового движения kT «
«Ю^^эВ, т.е. гораздо больше разности
энергий между соседними уровнями зоны
(примерно 10~22 эВ). Таким образом, если
в твердом теле имеется зона, лишь частич-
частично заполненная электронами, то это тело
всегда будет проводником электрического
тока. Именно это свойственно металлам.
Твердое тело является проводником
электрического тока и в том случае, когда
валентная зона перекрывается свободной
зоной, что в конечном счете приводит к не
полностью заполненной зоне (рис. 314, б).
Это имеет место для щелочноземельных
элементов, образующих II группу таблицы
Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn, ...). В дан-
данном случае образуется так называемая
«гибридная» зона, которая заполняется
валентными электронами лишь частично.
Следовательно, в данном случае металли-
металлические свойства щелочно-земельных эле-
элементов обусловлены перекрытием валент-
валентной и свободной зон.
Помимо рассмотренного выше пере-
перекрытия зон возможно также перераспре-
перераспределение электронов между зонами, воз-
возникающими из уровней различных атомов,
которое может привести к тому, что
вместо двух частично заполненных зон
в кристалле окажутся одна целиком за-
заполненная (валентная) зона и одна сво-
свободная зона (зона проводимости). Твер-
Твердые тела, у которых энергетический
спектр электронных состояний состоит
только из валентной зоны и зоны про-
13*
водимости, являются диэлектриками или
полупроводниками ei зависимости от ши-
ширины запрещенной зоны АЕ.
Если ширина запрещенной зоны
кристалла порядка нескольких электрон-
вольт, то тепловое движение не может
перебросить электроны из валентной зоны
в зону проводимости и кристалл является
диэлектриком, оставаясь им при всех ре-
реальных температурах (рис. 314, в). Если
запрещенная зона достаточно узка (Д?
порядка 1 эВ), то переброс электронов
из валентной зоны в зону проводимости
может быть осуществлен сравнительно
легко либо путем теплового возбуждения,
либо за счет внешнего источника, спо-
способного передать электронам энергию АЕ,
и кристалл является полупроводником
(рис. 314, г).
Различие между металлами и диэлек-
диэлектриками с точки зрения зонной теории
состоит в том, что при О К в зоне про-
проводимости металлов имеются электроны,
а в зоне проводимости диэлектриков они
отсутствуют. Различие же между диэлек-
диэлектриками и полупроводниками определяет-
определяется шириной запрещенных зон: для диэлек-
диэлектриков она довольно широка (например,
для NaCl А? = 6эВ), для полупроводни-
полупроводников — достаточно узка (например, для
германия Д? = 0,72эВ). При температу-
температурах, близких к О К, полупроводники ведут
себя как диэлектрики, так как переброса
электронов в зону проводимости не про-
происходит. С повышением температуры у по-
полупроводников растет число электронов,
которые вследствие теплового возбужде-
возбуждения переходят в зону проводимости, т. е.
электрическая проводимость проводников
в этом случае увеличивается.

388
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
§ 242. Собственная проводимость
полупроводников
Полупроводниками являются твердые те-
тела, которые при 7" = 0 характеризуются
полностью занятой электронами валент-
валентной зоной, отделенной от зоны проводимо-
проводимости сравнительно узкой (Л? порядка 1 эВ)
запрещенной зоной (рис. 314, г). Своим
названием они обязаны тому, что их элек-
электропроводность меньше электропроводно-
электропроводности металлов и больше электропроводно-
электропроводности диэлектриков.
В природе полупроводники существу-
существуют в виде элементов (элементы IV, V и VI
групп Периодической системы элементов
Менделеева), например Si, Qe, As, Se, Те,
и химических соединений, например окси-
оксиды, сульфиды, селениды, сплавы элемен-
элементов различных групп. Различают со-
собственные и примесные полупроводники.
Собственными полупроводниками являют-
являются химически чистые полупроводники, а их
проводимость называется собственной
проводимостью. Примером собственных
полупроводников могут служить химиче-
химически чистые Ge, Se, а также многие химиче-
химические соединения: InSb, GaAs, CdS и др.
При О К и отсутствии других внешних
факторов собственные полупроводники ве-
ведут себя как диэлектрики. При повышении
же температуры электроны с верхних
уровней валентной зоны I могут быть пере-
переброшены на нижние уровни зоны проводи-
проводимости II (рис.315). При наложении на
кристалл электрического поля они переме-
перемещаются против поля и создают электриче-
электрический ток. Таким образом, зона II из-за ее
частичного «укомплектования» электрона-
электронами становится зоной проводимости. Про-
Проводимость собственных полупроводников,
обусловленная электронами, называется
электронной проводимостью или проводи-
проводимостью rt-типа (от лат. negative — отрица-
отрицательный).
В результате тепловых забросов элек-
электронов из зоны 1 в зону II в валентной
зоне возникают вакантные состояния, по-
получившие название дырок. Во внешнем
электрическом поле на освободившееся от
электрона место — дырку — может пере-
переместиться электрон с соседнего уровня,
а дырка появится в том месте, откуда
ушел электрон, и т. д. Такой процесс за-
заполнения дырок электронами равносилен
перемещению дырки в направлении, про-
противоположном движению электрона, так,
как если бы дырка обладала положитель-
положительным зарядом, равным по величине заряду
электрона. Проводимость собственных
полупроводников, обусловленная квази-
квазичастицами — дырками, называется ды-
дырочной проводимостью или проводимо-
проводимостью р-типа (от лат. positive — положи-
положительный).
Таким образом, в собственных полу-
полупроводниках наблюдаются два механизма
проводимости: электронный и дырочный.
Число электронов в зоне проводимости
равно числу дырок в валентной зоне, так
как последние соответствуют электронам,
возбужденным в зону проводимости. Сле-
Следовательно, если концентрации электронов
проводимости и дырок обозначить соответ-
соответственно IIе И Пр, ТО
пе = пр. B42.1)
Проводимость полупроводников всегда яв-
является возбужденной, т. е. появляется
только под действием внешних факторов
(температуры, облучения, сильных элек-
электрических полей и т.д.).
В собственном полупроводнике уро-
уровень Ферми находится в середине запре-
запрещенной зоны (рис.316). Действительно,
для переброса электрона с верхнего уров-
лЕ
Рис. 315
Рис. 316

Глава 31. Элементы физики твердого тела
389
ня валентной зоны на нижний уровень
зоны проводимости затрачивается энергия
активации, равная ширине запрещенной
зоны Д?. При появлении же электрона
в зоне проводимости в валентной зоне
обязательно возникает дырка. Следова-
Следовательно, энергия, затраченная на образова-
образование пары носителей тока, должна делиться
на две равные части. Так как энергия,
соответствующая половине ширины запре-
запрещенной зоны, идет на переброс электрона
и такая же энергия затрачивается на об-
образование дырки, то начало отсчета для
каждого из этих процессов должно на-
находиться в середине запрещенной зоны.
Энергия Ферми в собственном полупро-
полупроводнике представляет собой энергию, от
которой происходит возбуждение электро-
электронов и дырок.
Вывод о расположении уровня Ферми в се-
середине запрещенной зоны собственного
полупроводника может быть подтвержден мате-
математическими выкладками. В физике твердого
тела доказывается, что концентрация электро-
электронов в зоне проводимости
n=C,t
B42.2)
где Б? — энергия, соответствующая дну зоны
проводимости (рис.316), ?(; — энергия Ферми,
Т — термодинамическая температура, d — по-
постоянная, зависящая от температуры и эффек-
эффективной массы электрона проводимости. Эф-
Эффективная масса — величина, имеющая раз-
размерность массы и характеризующая динамиче-
динамические свойства квазичастиц — электронов про-
проводимости и дырок. Введение в зонную теорию
эффективной массы электрона проводимости по-
позволяет, с одной стороны, учитывать действие
на электроны проводимости не только внешнего
поля, но и внутреннего периодического поля
кристалла, а с другой стороны, абстрагируясь
от взаимодействия электронов проводимости с
решеткой, рассматривать их движение во внеш-
внешнем поле как движение свободных частиц.
Концентрация дырок в валентной зоне
(?|-Бр)/(*Г)
B42.3)
где Сг — постоянная, зависящая от температу-
температуры и эффективной массы дырки, Е\ — энергия,
соответствующая верхней границе валентной
зоны. Энергия возбуждения в данном случае
отсчитывается вниз от уровня Ферми (рис. 316),
поэтому величины в экспоненциальном мно-
множителе B42.3) имеют шак, обратный знаку
экспоненциального множителя в B42.2). Так
как для собственного полупроводника п,-—пр
B42.1), то
-(?2-?[:)/(*74 (E,-?F)/(*7\)
t> I e -" о^е
Если эффективные массы электронов и дырок
равны (/я* = т*), то С\=-Сг и, следовательно,
откуда
т. е. уровень Ферми в собственном полупро-
полупроводнике действительно расположен в середине
запрещенной зоны.
Так как для собственных полупровод-
полупроводников Д?^>й7", то распределение Фер-
Ферми — Дирака B35.2) переходит в распре-
распределение Максвелла — Больцмана. Поло-
Положив в B36.2) Е— ?р«А?/2, получим
B42.4)
Количество электронов, переброшенных
в зону проводимости, а следовательно,
и количество образовавшихся дырок про-
пропорциональны (Ы(Е)у. Таким образом,
удельная проводимость собственных полу-
полупроводников
у = у^? » (z4z.oj
где Yo — постоянная, характерная для
данного полупроводника.
Увеличение проводимости полупровод-
полупроводников с повышением температуры являет-
является их характерной особенностью (у метал-
металлов с повышением температуры проводи-
проводимость уменьшается). С точки, зрения
зонной теории это обстоятельство объяс-
объяснить довольно просто: с повышением тем-
температуры растет число электронов, кото-
которые вследствие теплового возбуждения
переходят в зону проводимости и участву-
участвуют в проводимости. Поэтому удельная
проводимость собственных полупроводни-
полупроводников с повышением температуры растет.
Если представить зависимость In у
от 1/7, то для собственных полупровод-
полупроводников— это прямая (рис.317), по на-

390
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых
Рис. 317
клону которой можно определить ширину
запрещенной зоны Д?, а по ее продол-
продолжению — Vo (прямая отсекает на оси
ординат отрезок, равный In-yo)-
Одним из наиболее широко распро-
распространенных полупроводниковых элементов
является германий, имеющий решетку ти-
типа алмаза, в которой каждый атом связан
ковалентными связями (см. §71) с че-
четырьмя ближайшими соседями. Упрощен-
Упрощенная плоская схема расположения атомов
в кристалле Ge дана на рис. 318, где каж-
каждая черточка обозначает связь, осуще-
осуществляемую одним электроном. В идеаль-
идеальном кристалле при 0 К такая структура
представляет собой диэлектрик, так как
все валентные электроны участвуют в об-
образовании связей и, следовательно, не
участвуют в проводимости.
При повышении температуры (или под
действием других внешних факторов) теп-
тепловые колебания решетки могут привести
к разрыву некоторых валентных связей,
в результате чего часть электронов отщеп-
отщепляется и они становятся свободными.
В покинутом электроном месте возникает
дырка (она изображена белым кружком),
заполнить которую могут электроны из
соседней пары. В результате дырка, так
Рис. 318
же как и освободившийся электрон, будет
двигаться по кристаллу. Движение элек-
электронов проводимости и дырок в отсутствие
электрического поля является хаотиче-
хаотическим. Если же на кристалл наложить элек-
электрическое поле, то электроны начнут дви-
двигаться против поля, дырки — по полю, что
приведет к возникновению собственной
проводимости германия, обусловленной
как электронами, так и дырками.
В полупроводниках наряду с процес-
процессом генерации электронов и дырок идет
процесс рекомбинации: электроны перехо-
переходят из зоны проводимости в валентную
зону, отдавая энергию решетке и испуская
кванты электромагнитного излучения.
В результате для каждой температуры
устанавливается определенная равновес-
равновесная концентрация электронов и дырок,
изменяющаяся с температурой пропорцио-
пропорционально выражению B42.4).
§ 243. Примесная проводимость
полупроводников
Проводимость полупроводников, обуслов-
обусловленная примесями, называется примесной
проводимостью, а сами полупроводники —
примесными полупроводниками. Примес-
Примесная проводимость обусловлена примесями
(атомы посторонних элементов), а также
дефектами типа избыточных атомов (по
сравнению со стехиометрическим соста-
составом), тепловыми (пустые узлы или атомы
в междоузлиях) и механическими (трещи-
(трещины, дислокации и т. д.) дефектами. На-
Наличие в полупроводнике примеси су-
существенно изменяет его проводимость.
Например, при введении в кремний при-
примерно 0,001 ат.% бора его проводимость
увеличивается примерно в 106 раз.
Примесную проводимость полупровод-
полупроводников рассмотрим на примере Ge и Si,
в которые вводятся атомы с валентностью,
отличной от валентности основных атомов
на единицу. Например, при замещении
атома германия пятивалентным атомом
мышьяка (рис. 319, а) один электрон не
может образовать ковалентной связи, он
оказывается лишним и может быть легко
при тепловых колебаниях решетки отщеп-
отщеплен от атома, т. е. стать свободным. Обра-

Глава 31. Элементы физики твердого тела
391
-. з
D
лЕ
S)
Рис. .419
зование свободного электрона не сопро-
сопровождается нарушением ковалентной свя-
связи; следовательно, в отличие от случая,
рассмотренного в § 242, дырка не возника-
возникает. Избыточный положительный заряд,
возникающий вблизи атома примеси, свя-
связан с атомом примеси и поэтому переме-
перемещаться по решетке не может.
С точки зрения зонной теории рассмот-
рассмотренный процесс можно представить следу-
следующим образом (рис. 319, б). Введение
примеси искажает поле решетки, что при-
приводит к возникновению в запрещенной
зоне энергетического уровня D валентных
электронов мышьяка, называемого при-
примесным уровнем. В случае германия с при-
примесью мышьяка этот уровень располагает-
располагается от дна зоны проводимости на расстоя-
расстоянии A?D = 0,013 эВ. Так как kED<.kT, то
уже при обычных температурах энергия
теплового движения достаточна для того,
чтобы перебросить электроны примесного
уровня в зону проводимости; образующие-
образующиеся при этом положительные заряды лока-
локализуются на неподвижных атомах мышь-
мышьяка и в проводимости не участвуют.
Таким образом, в полупроводниках
с примесью, валентность которой на еди-
единицу больше валентности основных ато-
атомов, носителями тока являются электро-
электроны; возникает электронная примесная
проводимость (проводимость «-типа). По-
Полупроводники с такой проводимостью на-
называются электронными (или полупровод-
полупроводниками п-типа). Примеси, являющиеся
источником электронов, называются доно-
донорами, а энергетические уровни этих при-
примесей — донорнымн уровнями.
Предположим, что в решетку крем-
кремния введен примесный атом с тремя ва-
валентными электронами, например бор
(рис. 320, а). Для образования связей
с четырьмя ближайшими соседями у атома
бора не хватает одного электрона, одна из
связей остается неукомплектованной
и четвертый электрон может быть захва-
захвачен от соседнего атома основного вещест-
вещества, где соответственно образуется дырка.
Последовательное заполнение образую-
образующихся дырок электронами эквивалентно
движению дырок в полупроводнике,
т. е. дырки не остаются локализованными,
а перемещаются в решетке кремния как
свободные положительные заряды. Избы-
Избыточны^ же отрицательный заряд, возника-
возникающий вблизи атома примеси, связан с ато-
^ г Ь
МП
, О,О. »
б)
Рис. 320

392
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
мом примеси и по решетке перемещаться
не может.
По зонной теории, введение трехва-
трехвалентной примеси в решетку кремния при-
приводит к возникновению в запрещенной
зоне примесного энергетического уровня
А, не занятого электронами. В случае
кремния с примесью бора этот уровень
располагается выше верхнего края вален-
валентной зоны на расстоянии Д?/1 = 0,08эВ
(рис. 320, б). Близость этих уровней к ва-
валентной зоне приводит к тому, что уже при
сравнительно низких температурах элек-
электроны из валентной зоны переходят на
примесные уровни и, связываясь с атома-
атомами бора, теряют способность перемещать-
перемещаться по решетке кремния, т. е. в проводимо-
проводимости не участвуют. Носителями тока явля-
являются лишь дырки, возникающие в валент-
валентной зоне.
Таким образом, в полупроводниках
с примесью, валентность которой на едини-
единицу меньше валентности основных атомов,
носителями тока являются дырки; возника-
возникает дырочная проводимость (проводимость
р-типа). Полупроводники с такой проводи-
проводимостью называются дырочными (или по-
полупроводниками р-типа). Примеси, захва-
захватывающие электроны из валентной зоны
полупроводника, называются акцептора-
акцепторами, а энергетические уровни этих приме-
примесей — акцепторными уровнями.
В отличие от собственной проводимо-
проводимости, осуществляющейся одновременно
электронами и дырками, примесная про-
проводимость полупроводников обусловлена
в основном носителями одного знака:
электронами — в случае донорной приме-
примеси, дырками — в случае акцепторной.
Эти носители тока называются основными.
Кроме основных носителей в полупровод-
полупроводнике имеются и неосновные носители:
в полупроводниках я-типа—дырки, в по-
полупроводниках р-типа — электроны.
Наличие примесных уровней в полу-
полупроводниках существенно изменяет поло-
положение уровня Ферми Ер. Расчеты показы-
показывают, что в случае полупроводников я-ти-
я-типа уровень Ферми ?F при 0 К расположен
посередине между дном зоны проводимо-
проводимости и донорным уровнем (рис. 321). С по-
1.S**'-4
Рис. 321
вышением температуры все большее число
электронов переходит из донорных состоя-
состояний в зону проводимости, но, помимо это-
этого, возрастает и число тепловых флуктуа-
флуктуации, способных возбуждать электроны из
валентной зоны и перебрасывать их через
запрещенную зону энергий. Поэтому при
высоких температурах уровень Ферми
имеет тенденцию смещаться вниз (сплош-
(сплошная кривая) к своему предельному поло-
положению в центре запрещенной зоны, ха-
характерному для собственного полупро-
полупроводника.
Уровень Ферми в полупроводниках
р-типа при 0 К EF располагается посере-
посередине между потолком валентной зоны
и акцепторным уровнем (рис.322).
Сплошная кривая опять-таки показывает
его смещение с температурой. При темпе-
температурах, при которых примесные атомы
Рис. 322

Глава 31. Элементы физики твердого тела
393
In Г
„Собственная
проводимость
Примесная
проводимость
оказываются
Рис. 323
полностью
истощенными
и увеличение концентрации носителей про-
происходит за счет возбуждения собственных
носителей, уровень Ферми располагается
посередине запрещенной зоны, как в соб-
собственном полупроводнике.
Проводимость примесного полупровод-
полупроводника, как и проводимость любого провод-
проводника, определяется концентрацией носите-
носителей и их подвижностью. С изменением
температуры подвижность носителей ме-
меняется по сравнительно слабому степенно-
степенному закону, а концентрация носителей —
по очень сильному экспоненциальному за-
закону, поэтому зависимость проводимости
примесных полупроводников от температу-
температуры определяется в основном температур-
температурной зависимостью концентрации носите-
носителей тока в нем. На рис. 323 дан примерный
график зависимости In v от \/Т для
примесных полупроводников. Участок А В
описывает примесную проводимость по-
полупроводника. Рост примесной прово-
проводимости полупроводника с повышением
температуры обусловлен в основном рос-
ростом концентрации примесных носителей.
Участок ВС соответствует области исто-
истощения примесей (это подтверждают и экс-
эксперименты), участок CD описывает собст-
собственную проводимость полупроводника.
§ 244. Фотопроводимость
полупроводников
Фотопроводимость (см. § 202) полупро-
полупроводников — увеличение электропроводно-
электропроводности полупроводников под действием элек-
электромагнитного излучения — может быть
связана со свойствами как основного ве-
вещества, так и содержащихся в нем при-
примесей. В первом случае при поглощении
фотонов, соответствующих собственной
полосе поглощения полупроводника,
т. е. когда энергия фотонов равна или
больше ширины запрещенной зоны (hv^
^Л?), могут совершаться перебросы
электронов из валентной зоны в зону про-
проводимости (рис. 324, а), что приведет к по-
появлению добавочных (неравновесных)
электронов (в зоне проводимости) и дырок
(в валентной зоне). В результате возника-
возникает собственная фотопроводимость, обус-
обусловленная как электронами, так и дыр-
дырками.
Если полупроводник содержит приме-
примеси, то фотопроводимость может возникать
и при h\<i\E: для полупроводников с до-
норной примесью фотон должен обладать
энергией /iv^>A?'o, а для полупроводников
с акцепторной примесью — hv^>AEA. При
поглощении света примесными центрами
происходит переход электронов с донор-
ных уровней в зону проводимости в случае
полупроводника «типа (рис. 324, б) или
из валентной зоны на акцепторные уровни
в случае полупроводника р-типа
(рис. 324, в) В результате возникает при-
примесная фотопроводимость, являющаяся
чисто электронной для полупроводников
и-типа и чисто дырочной для полупровод-
полупроводников р-типа.
1
1
ЛЕ

394
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
Таким образом, если
для собственных
полупроводников,
для примесных
полупроводников
B44.1
(АЕ„-— в общем случае энергия актива-
активации примесных атомов), то в полупровод-
полупроводнике возбуждается фотопроводимость. Из
B44.1) можно определить красную грани-
границу фотопроводимости — максимальную
длину волны, при которой еще фотопрово-
фотопроводимость возбуждается:
ka = ch/AE для собственных
полупроводников,
для примесных
полупроводников.
Учитывая значения АЕ и АЕ„ для кон-
конкретных полупроводников, можно пока-
показать, что красная граница фотопроводимо-
фотопроводимости для собственных полупроводников
приходится на видимую область спектра,
для примесных же полупроводников — на
инфракрасную.
На рис. 325 представлена типичная
зависимость фотопроводимости / и коэф-
коэффициента поглощения и от длины волны X
падающего на полупроводник света. Из
рисунка следует, что при к>Ко фотопро-
фотопроводимость действительно не возбуждает-
возбуждается. Спад фотопроводимости в коротковол-
коротковолновой части полосы поглощения объясня-
объясняется большой скоростью рекомбинации
в условиях сильного поглощения в тонком
Рис. 325
поверхностном слое толщиной jc«1mkm
(коэффициент поглощения «106м~').
Наряду с поглощением, приводящим
к появлению фотопроводимости, может
иметь место экситонный механизм погло-
поглощения. Экситоны представляют собой ква-
квазичастицы — электрически нейтральные
связанные состояния электрона и дырки,
образующиеся в случае возбуждения
с энергией, меньшей ширины запрещенной
зоны. Уровни энергии экситонов распола-
располагаются у дна зоны проводимости. Так как
экситоны электрически нейтральны, то их
возникновение в полупроводнике не приво-
приводит к появлению дополнительных носите-
носителей тока, вследствие чего экситонное по-
поглощение света не сопровождается увели-
увеличением фотопроводимости.
§ 245. Люминесценция твердых тел
В природе давно известно излучение, от-
отличное по своему характеру от всех из-
известных видов излучения (теплового излу-
излучения, отражения, рассеяния света
и т.д.). Этим излучением является люми-
люминесцентное излучение, примерами которо-
которого может служить свечение тел при облуче-
облучении их видимым, ультрафиолетовым и рен-
рентгеновским излучением, 7'излУчением
и т. д. Вещества, способные под действием
различного рода возбуждений светиться,
получили название люминофоров.
Люминесценция — неравновесное из-
излучение, избыточное при данной темпера-
температуре над тепловым излучением тела и име-
имеющее длительность, большую периода све-
световых колебаний. Первая часть этого
определения приводит к выводу, что люми-
люминесценция не является тепловым излуче-
излучением (см. §197), поскольку любое тело
при температуре выше О К излучает
электромагнитные волны, а такое излуче-
излучение является тепловым. Вторая часть по-
показывает, что люминесценция не является
таким видом свечения, как отражение
и рассеяние света, тормозное излучение
заряженных частиц и т. д. Период свето-
световых колебаний составляет примерно
10~'5с, поэтому длительность, по которой
свечение можно отнести к люминесценции,
больше—примерно 10 10 с. Признак

Глава 31. Элементы физики твердого тела
395
Рис. 326
длительности свечения дает возможность
отличить люминесценцию от других не-
неравновесных процессов. Так, по этому при-
признаку удалось установить, что излучение
Вавилова — Черенкова (см. § 189) нельзя
отнести к люминесценции.
В зависимости от способов возбужде-
возбуждения различают: фотолюминесценцию (под
действием света), рентгенолюминесцен-
цию (под действием рентгеновского излу-
излучения), катодолюминесценцию (под дей-
действием электронов), электролюминесцен-
электролюминесценцию (под действием электрического поля),
радиолюминесценцию (при возбуждении
ядерным излучением, например 7-излуче-
нием, нейтронами, протонами), хемилюми-
несценцию (при химических превращени-
превращениях), триболюминесценцию (при растира-
растирании и раскалывании некоторых кристал-
кристаллов, например сахара). По длительности
свечения условно различают: флуоресцен-
флуоресценцию (/^10"8с) и фосфоресценцию —
свечение, продолжающееся заметный про-
промежуток времени после прекращения воз-
возбуждения.
Первое количественное исследование
люминесценции проведено более ста лет
назад Дж. Стоксом *, сформулировавшим
в 1852 г. следующее правило: длина волны
люминесцентного излучения всегда боль-
больше длины волны света, возбудившего его
(рис. 326). С квантовой точки зрения пра-
правило Стокса означает, что энергия /iv па-
падающего фотона частично расходуется на
какие-то неоптические процессы, т. е.
Рис. 327
откуда глюмо или клюм>1, что и следует
из сформулированного правила.
Основной энергетической характери-
характеристикой люминесценции является энергети-
энергетический выход, введенный С. И. Вавиловым
в 1924 г.— отношение энергии, излученной
люминофором при полном высвечивании,
к энергии, поглощенной им. Типичная для
органических люминофоров (на примере
раствора флуоресцина) зависимость энер-
энергетического выхода у\ от длины волны X
возбуждающего света представлена на
рис. 327. Из рисунка следует, что вначале
т) растет пропорционально К, а затем, до-
достигая максимального значения, быстро
спадает до нуля при дальнейшем увеличе-
увеличении к (закон Вавилова). Величина энерге-
энергетического выхода для различных люмино-
люминофоров колеблется в довольно широких
пределах, максимальное ее значение мо-
может достигать примерно 80 %.
Твердые тела, представляющие собой
эффективно люминесцирующие искус-
искусственно приготовленные кристаллы с чу-
чужеродными примесями, получили назва-
название кристаллофосфоров. На примере
кристаллофосфороЕ. рассмотрим механиз-
механизмы возникновения люминесценции с точки
зрения зонной теории твердых тел. Между
валентной зоной и зоной проводимости
кристаллофосфора располагаются примес-
примесные уровни активатора (рис.328). При
* Дж. Стоке A819—1903) — английский
физик и математик.
Рис 328

396
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
поглощении атомом активатора фотона
с энергией hv электрон с примесного уров-
уровня переводится в зону проводимости, сво-
свободно перемещается по кристаллу до тех
пор, пока не встретится с ионом актива-
активатора и не рекомбинирует с ним, перейдя
вновь на примесный уровень. Рекомбина-
Рекомбинация сопровождается излучением кванта
люминесцентного свечения. Время высве-
высвечивания люминофора определяется време-
временем жизни возбужденного состояния ато-
атомов активатора, которое обычно не превы-
превышает миллиардных долей секунды. Поэто-
Поэтому свечение является кратковременным
и исчезает почти вслед за прекращением
облучения.
Для возникновения длительного свече-
свечения (фосфоресценции) кристаллофосфор
должен содержать также центры захвата,
или ловушки для электронов, представля-
представляющие собой незаполненные локальные
уровни (например, Л| и Л2), лежащие
вблизи дна зоны проводимости (рис. 329).
Они могут быть образованы атомами при-
примесей, атомами в междоузлиях и т. д. Под
действием света атомы активатора воз-
возбуждаются, т. е. электроны с примесного
уровня переходят в зону проводимости
и становятся свободными. Однако они за-
захватываются ловушками, в результате чего
теряют свою подвижность, а следователь-
следовательно, и способность рекомбиннровать
с ионом активатора. Освобождение элек-
электрона из ловушки требует затраты опреде-
определенной энергии, которую электроны могут
получить, например, от тепловых колеба-
колебаний решетки. Освобожденный из ловушки
электрон попадает в зону проводимости
и движется по кристаллу до тех пор, пока
или не будет снова захвачен ловушкой,
или не рекомбинирует с ионом активатора.
Рис. 329
В последнем случае возникает квант лю-
люминесцентного излучения. Длительность
этого процесса определяется временем
пребывания электронов в ловушках.
Явление люминесценции получило ши-
широкое применение в практике, например
люминесцентный анализ — метод опреде-
определения состава вещества по характерному
его свечению. Этот метод, являясь весьма
чувствительным (примерно 10~10 г/см3),
позволяет обнаруживать наличие ничтож-
ничтожных примесей и применяется при тончай-
тончайших исследованиях в биологии, медицине,
пищевой промышленности и т. д. Люми-
Люминесцентная дефектоскопия позволяет обна-
обнаружить тончайшие трещины на поверхно-
поверхности деталей машин и других изделий (ис-
(исследуемая поверхность покрывается для
этого люминесцентным раствором, кото-
который после удаления остается в трещинах).
Люминофоры используются в люми-
люминесцентных лампах, являются активной
средой оптических квантовых генерато-
генераторов (см. § 233) и сцинтилляторов (бу-
(будут рассмотрены ниже), применяются в
электронно-оптических преобразователях
(см. §169), употребляются для создания
аварийного и маскировочного освещения
и для изготовления светящихся указате-
указателей различных приборов.
§ 246. Контакт двух металлов
по зонной теории
Если два различных металла привести
в соприкосновение, то между ними воз-
возникает разность потенциалов, называемая
контактной разностью потенциалов.
Итальянский физик А. Вольта A745—
1827) установил, что если металлы Al, Zn,
Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd
привести в контакт в указанной последо-
последовательности, то каждый предыдущий при
соприкосновении с одним из следующих
зарядится положительно. Этот ряд назы-
называется рядом Вольта. Контактная раз-
разность потенциал.ов для различных метал-
металлов составляет от десятых до целых вольт.
Вольта экспериментально установил
два закона:
1. Контактная разность потенциалов
зависит лишь от химического состава

Глава 31. Элементы физики твердого тела
397
и температуры соприкасающихся ме-
металлов.
2. Контактная разность потенциалов
последовательно соединенных различных
проводников, находящихся при одинако-
одинаковой температуре, не зависит от химическо-
химического состава промежуточных проводников
и равна контактной разности потенциалов,
возникающей при непосредственном сое-
соединении крайних проводников.
Для объяснения возникновения кон-
контактной разности потенциалов воспользу-
воспользуемся представлениями зонной теории. Рас-
Рассмотрим контакт двух металлов с различ-
различными работами выхода А] и Лг, т/е. с раз-
различными положениями уровня Ферми
(верхнего заполненного электронами энер-
энергетического уровня). Если А\<_А2 (этот
случай изображен на рис. 330, а), то уро-
уровень Ферми располагается в металле / вы-
выше, чем в металле 2. Следовательно, при
контакте металлов электроны с более вы-
высоких уровней металла / будут переходить
на более низкие уровни металла 2, что
приведет к тому, что металл / зарядится
положительно, а металл 2 — отрицатель-
отрицательно. Одновременно происходит относитель-
относительное смещение энергетических уровней:
в металле, заряжающемся положительно,
все уровни смещаются вниз, а в металле,
заряжающемся отрицательно,— вверх.
Этот процесс будет происходить до тех
пор, пока между соприкасающимися ме-
металлами не установится равновесие, кото-
которое, как доказывается в статистической
физике, характеризуется совпадением
уровней Ферми в обоих металлах
(рис. 330, б).
Так как для соприкасающихся метал-
металлов уровни Ферми совпадают, а работы
выхода А\ и A<z не изменяются (они явля-
являются константами металлов и не зависят от
того, находятся металлы в контакте или
нет), то потенциальная энергия электро-
электронов в точках, лежащих вне металлов в не-
непосредственной близости к их поверхности
(точки Л и В на рис. 330, б), будет раз-
различной. Следовательно, между точками
А и В устанавливается разность потенци-
потенциалов, которая, как следует из рисунка,
равна
Дф' = (Д2— Ах)/е. B46.1)
Разность потенциалов B46.1), обуслов-
обусловленная различием работ выхода контакти-
контактирующих металлов, называется внешней
контактной разностью потенциалов. Чаше
говорят просто о кс I такт ной разности по-
потенциалов, подразумевая под ней внеш-
внешнюю.
Еслк уровни Феэми для двух контакти-
контактирующих металлов не одинаковы, то между
внутренними точками металлов наблюда-
наблюдается внутренняя контактная разность по-
потенциалов, которая, как следует из ри-
рисунка, равна
ДФ" = П;р — ?F )/е. B46.2)
2
В квантовой теории доказывается, что
причиной возникновения внутренней кон-
контактной разности потенциалов является
различие концентраций электронов в кон-
контактирующих металлах. Аф" зависит от
температуры Т контакта металлов (по-
(поскольку наблюдается зависимость Ер от
7), обусловливая термоэлектрические яв-
явления. Как правило, Аф"<САф'.
F-сли, например, привести в соприкос-
соприкосновение три разнородных проводника,
имеющих одинаковую температуру, то
разность потенциалов между концами ра-
разомкнутой цепи равна алгебраической
сумме скачков потенциала во всех кон-
контактах. Она, как можно показать (предо-
(предоставляем это сделать читателю), не за-
зависит от природы промежуточных провод-
проводников (второй закон Вольта).
Внутренняя контактная разность по-
потенциалов возникает в двойном электриче-
электрическом слое, образующемся в приконтактной
области, называемом контактным слоем.
Толщина контактного слоя в металлах
составляет примерно 10~10 м, т. е. соизме-

398
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
рима с междоузельными расстояниями
в решетке металла. Число электронов,
участвующих в диффузии через контакт-
контактный слой, составляет примерно 2 % от
общего числа электронов, находящихся на
поверхности металла. Столь незначитель-
незначительное изменение концентрации электронов
в контактном слое, с одной стороны, и ма-
малая по сравнению с длиной свободного
пробега электрона его толщина — с дру-
другой, не могут привести к заметному изме-
изменению проводимости контактного слоя по
сравнению с остальной частью металла.
Следовательно, электрический ток через
контакт двух металлов проходит так же
легко, как и через сами металлы, т. е. кон-
контактный слой проводит электрический ток
в обоих направлениях (/—<-2 и 2—*-1) оди-
одинаково и не дает эффекта выпрямления,
который всегда связан с односторонней
проводимостью.
§ 247. Термоэлектрические явления
и их применение
Согласно второму закону Вольта, в за-
замкнутой цепи, состоящей из нескольких
металлов, находящихся при одинаковой
температуре, э. д. с. не возникает, т. е. не
происходит возбуждения электрического
тока. Однако если температура контактов
не одинакова, то в цепи возникает элек-
электрический ток, называемый термоэлектри-
термоэлектрическим. Явление возбуждения термоэлек-
термоэлектрического тока (явление Зеебека), а так-
также тесно связанные с ним явления
Пельтье и Томсоиа называются термо-
термоэлектрическими явлениями.
1. Явление Зеебека A821). Немецкий
физик Т. Зеебек A770—1831) обнаружил,
что в замкнутой цепи, состоящей из по-
последовательно соединенных разнородных
проводников, контакты между которыми
имеют различную температуру, возникает
электрический ток.
Рассмотрим замкнутую цепь, состоя-
состоящую из двух металлических проводников
1 и 2 с температурами спаев Т\ (контакт
А) и Гг (контакт В), причем Т\>Тъ
(рис.331).
Не вдаваясь в подробности, отметим,
что в замкнутой цепи для многих пар
Рис. 331
металлов (например, Си —Bi, Ag —Си,
Аи —Си) электродвижущая сила прямо
пропорциональна разности температур
в контактах:
9=а(Тх-Т2).
Эта э. д. с. называется термоэлектродви-
термоэлектродвижущей силой. Направление тока при
T\>Ti на рис.331 показано стрелкой.
Термоэлектродвижущая сила, например
для пары металлов медь — константан,
для разности температур 100 К составляет
всего 4,25 мВ.
Причина возникновения термоэлек-
термоэлектродвижущей э. д. с. ясна уже из формулы
B46.2), определяющей внутреннюю кон-
контактную разность потенциалов на границе
двух металлов. Дело в том, что положение
уровня Ферми зависит от температуры.
Поэтому если температуры контактов раз-
разные, то разными будут и внутренние кон-
контактные разности потенциалов. Таким об-
образом, сумма скачков потенциала отлична
от нуля, что и приводит к возникновению
термоэлектрического тока. Отметим так-
также, что при градиенте температуры про-
происходит и диффузия электронов, которая
тоже обусловливает термо-э. д. с.
Явление Зеебека не противоречит вто-
второму началу термодинамики, так как
в данном случае внутренняя энергия пре-
преобразуется в электрическую, для чего ис-
используется два источника теплоты (два
контакта). Следовательно, для поддержа-
поддержания постоянного тока в рассматриваемой
цепи необходимо поддерживать постоянст-
постоянство разности температур контактов: к более
нагретому контакту непрерывно подводить
теплоту, а от холодного — непрерывно ее
отводить.
Явление Зеебека используется для измере-
измерения температуры. Для этого применяются
термоэлементы, или термопары — датчики тем-
температур, состоящие из двух соединенных между

Глава 31. Элементы физики твердого тела
399
собой разнородных металлических проводников.
Если контакты (обычно спаи) проводников
(проволок), образующих термопару, находятся
при разных температурах, то в цепи возникает
термоэлектродвижущая сила, которая зависит
от разности температур контактов и природы
применяемых материалов. Чувствительность
термопар выше, если их соединять последова-
последовательно. Эти соединения называются термобата-
термобатареями (или термостолбиками). Термопары при-
применяются как для измерения ничтожно малых
разностей температур, так и для измерения
очень высоких и очень низких температур (на-
(например, внутри доменных печей или жидких
газов). Точность определения температуры с по-
помощью термопар составляет, как правило, не-
несколько кельвин, а у некоторых термопар до-
достигает «0,01 К. Термопары обладают рядом
преимуществ перед обычными термометрами:
имеют большую чувствительность и малую
инерционность, позволяют проводить измерения
в широком интервале температур и допускают
дистанционные измерения.
Явление Зеебека в принципе может быть
использовано для генерации электрического то-
тока. Так, уже сейчас к. и. д. полупроводниковых
термобатарей достигает «18%. Следователь-
Следовательно, совершенствуя полупроводниковые термо-
термоэлектрогенераторы, можно добиться эффектив-
эффективного прямого преобразования солнечной энер-
энергии в электрическую.
2. Явление Пельтье A834). Француз-
Французский физик Ж. Пельтье A785—1845) об-
обнаружил, что при прохождении через кон-
контакт двух различных проводников электри-
электрического тока в зависимости от его направ-
направления помимо джоулевои теплоты выделя-
выделяется или поглощается дополнительная
теплота. Таким образом, явление Пельтье
является обратным по отношению к явле-
явлению Зеебека. В отличие от джоулевои теп-
теплоты, которая пропорциональна квадрату
силы тока, теплота Пельтье пропорцио-
пропорциональна первой степени силы тока и меняет
знак при изменении направления тока.
Рассмотрим замкнутую цепь, состоя-
состоящую из двух разнородных металлических
проводников / и 2 (рис. 332), по которым
пропускается ток /' (его направление
в данном случае выбрано совпадающим
с направлением термотока (на
рис.331 при условии Г|>7)). Согласно
наблюдениям Пельтье, спай А, который
при явлении Зеебека поддерживался бы
при более высокой температуре, будет те-
теперь охлаждаться, а спай В — нагревать-
нагреваться. При изменении направления тока /'
спай А будет нагреваться, спай В — ох-
охлаждаться.
Объяснить явление Пельтье можно
следующим образом. Электроны по раз-
разную сторону спая обладают различной
средней энергией (полной — кинетической
плюс потенциальной). Если электроны
(направление их движения задано на
рис. 332 пунктирным стрелками) пройдут
через спай В и попадут в область с мень-
меньшей энергией, то избыток своей энергии
они отдадут кристаллической решетке
и спай будет нагреваться. В спае А элек-
электроны переходят в область с большей
энергией, забирая теперь недостающую
энергию у кристаллической решетки,
и спай будет охлаждаться.
Явление Пельтье используется в тер-
термоэлектрических полупроводниковых хо-
холодильниках, созданных впервые в 1954 г.
под руководством А. Ф. Иоффе, и в некото-
некоторых электронных приборах.
3. Явление Томсона A856). Вильям
Томсон (Кельвин), исследуя термоэлек-
термоэлектрические явления, пришел к заключению,
подтвердив его экспериментально, что при
прохождении тока по неравномерно на-
нагретому проводнику должно происходить
дополнительное выделение (поглощение)
теплоты, аналогичной теплоте Пельтье.
Это явление получило название явления
Томсона. Его можно объяснить следую-
следующим образом. Так как в более нагретой
части проводника электроны имеют боль-
большую среднюю энергию, чем в менее на-
нагретой, то, двигаясь в направлении убыва-
убывания температуры, они отдают часть своей
энергии решетке, в результате чего про-
происходит выделение теплоты Томсона. Если

400
(i. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
же электроны движутся в сторону воз-
возрастания температуры, то они, наоборот,
пополняют свою энергию за счет энергии
решетки, в результате чего происходит
поглощение теплоты Томсона.
§ 248. Выпрямление на контакте
металл — полупроводник
Рассмотрим некоторые особенности меха-
механизма процессов, происходящих при при-
приведении в контакт металла с полупровод-
полупроводником. Для этого возьмем полупроводник
/г-типа с работой выхода А, меньшей рабо-
работы выхода Аи из металла. Соответствую-
Соответствующие энергетические диаграммы до и после
вступления в контакт показаны на
рис. 333, а, б.
Если Лч>-А, то при контакте электро-
электроны из полупроводника будут переходить
в металл, в результате чего контактный
слой полупроводника обеднится элек-
электронами и зарядится положительно, а ме-
металл — отрицательно. Этот процесс будет
происходить до достижения равновесного
состояния, характеризуемого, как и при
контакте двух металлов, выравниванием
уровней Ферми для металла и полупро-
полупроводника. На контакте образуется двойной
электрический слой d, поле которого (кон-
(контактная разность потенциалов) препят-
препятствует дальнейшему переходу электронов.
Вследствие малой концентрации электро-
электронов проводимости в полупроводнике (по-
(порядка 10'° а
вместо 10'" см :i в метал-
металлах) толщина контактного слоя в полупро-
полупроводнике достигает примерно 10~есм,
т.е. примерно в 10 000 раз больше, чем
в металле. Контактный слой полупровод-
полупроводника обеднен основными носителями то-
тока — электронами в зоне проводимости,
и его сопротивление значительно больше,
чем в остальном объеме полупроводника.
Такой контактный слой называется запи-
запирающим.
При d= 10~fi см и Дф« 1 В напряжен-
напряженность электрического поля контактного
слоя Е = Дф/rf» 108 В/м. Такое кон-
контактное поле не может сильно повлиять
на структуру спектра (например, на ши-
ширину запрещенной зоны, на энергию ак-
активации примесей и т.д.) и его действие
сводится лишь к параллельному искривле-
искривлению всех энергетических уровней полупро-
полупроводника в области контакта (рис.333, б).
Так как в случае контакта уровни Ферми
выравниваются, а работы выхода — вели-
величины постоянные, то при АМ>А энергия
электронов б контактном слое полупровод-
пика больше, чем в остальном объеме.
Поэтому в контактном слое дно зоны про-
нодимости поднимается вверх, удаляясь от
уровня Ферми. Соответственно происходит
и искривление верхнего края валентной
зоны, а также донорного уровня.
Помимо рассмотренного выше приме-
примера возможны еще следующие три случая
контакта металла с примесными полупро-
полупроводниками: а) АЧ<.А, полупроводник
и-типа; б) А*>А, полупроводник р-типа;
в) Аи<А, полупроводник р-типа. Соответ-
Соответствующие зонные схемы показаны на
рис. 334.
Если /4М<Л, то при контакте металла
с полупроводником и-типа электроны из
металла переходят в полупроводник и об-
Металл
0_
Полупроводник
О
Металл Полупроводник
л-типа
I
Рис .433

Г л л в а 31. Элементы физики твердою те.ш
Полупроводник
л-типа
Попупровопник
,о-типа
Металл
разуют в контактном слое полупроводника
отрицательный объемный заряд
(рис. .'534, а). Следовательно, контактный
слой полупроводника обладает повышен-
повышенной проводимостью, т. е. не является за-
запирающим. Рассуждая аналогично, можно
показать, что искривление энергетических
уровней по сравнению с контактом ме-
металл— полупроводник и-типа (А„>А)
происходит в обратную сторону.
При контакте металла с полупроводни-
полупроводником р-типа запирающий слой образуется
при АК<_А (рис. 334, в), так как в кон-
контактном слое полупроводника наблюдает-
наблюдается избыток отрицательных ионов акцеп-
акцепторных примесей и недостаток основных
носителей тока — дырок п валентной зоне.
Если же АМ>А (рис. 334, б), то в кон-
контактном слое полупроводника р-типа на-
наблюдается избыток основных носителей
тока — дырок в валентной зоне, контакт-
контактный слой обладает повышенной проводи-
проводимостью.
Исходя из приведенных рассуждений,
видим, что запирающий контактный слой
возникает при контакте донорного полу-
полупроводника с меньшей работой выхода,
чем у металла (см. рис. 333, б), и у акцеп-
акцепторного — с большей работой выхода, чем
у металла (рис. 333, а).
Запирающий контактный слой облада-
обладает односторонней (вентильной) проводи-
проводимостью, т. е. при приложении к контакту
внешнего электрического поля он пропу-
пропускает ток практически только в одном
направлении: либо из металла в полупро-
полупроводник, либо из полупроводника в металл.
Это важнейшее свойство запирающего
слоя объясняется зависимостью его сопро-
сопротивления от направления внешнего поля.
Если направления внешнего и контакт-
контактного полей противоположны, то основные
носители тока втягиваются в контактный
слой из объема полупроводника; толщина
контактного слоя, обедненного основными
носителями тока, и его сопротивление
уменьшаются. В этом направлении, назы-
называемом пропускным, электрический ток
может проходить через контакт металл —
полупроводник. Если внешнее поле совпа-
совпадает по знаку с контактным, то основные
носители тока будут перемещаться от гра-
границы с металлом; толщина обедненного
слоя возрастает, возрастает и его сопро-
сопротивление. Очевидно, что в этом случае ток
через контакт отсутствует, выпрямитель
заперт — это запорное направление. Для
запирающего слоя на границе металла
с полупроводником n-типа (Аа>А) про-
пропускным является направление тока из
металла в полупроводник, а для запираю-
запирающего слоя на границе металла с полупро-
полупроводником р-типа (Ам<сА) —из полупро-
полупроводника в металл.
§ 249. Контакт электронного
и дырочного полупроводником
(р-п-переход)
Граница соприкосновения двух полупро-
полупроводников, один из которых имеет элек-
электронную, а другой — дырочную проводи-
проводимость, называется электронно-дырочным
переходом (или р-ге-переходом). Эти пере-
переходы имеют большое практическое значе-
значение, являясь основой работы многих полу-

402
(i. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
Кристалл Ge р-типа
Рис. 335
проводниковых приборов. р-я-Переход не-
нельзя осуществить просто механическим
соединением двух полупроводников. Обыч-
Обычно области различной проводимости со-
создают либо при выращивании кристаллов,
либо при соответствующей обработке
кристаллов. Например, на кристалл герма-
германия я-типа накладывается индиевая «таб-
«таблетка» (рис. 335, а). Эта система нагрева-
нагревается примерно при 500 °С в вакууме или
в атмосфере инертного газа; атомы индия
диффундируют на некоторую глубину
в германий. Затем расплав медленно ох-
охлаждают. Так как германий, содержащий
индий, обладает дырочной проводимостью,
то на границе закристаллизовавшегося
расплава и германия я-типа образуется
p-w-переход (рис. 335, б).
Рассмотрим физические процессы,
происходящие в р-«-переходе (рис.336).
Пусть донорный полупроводник (работа
выхода — А„, уровень Ферми — EF ) при-
приводится в контакт (рис. 336, б) с акцеп-
акцепторным полупроводником (работа выхо-
выхода — Ар, уровень Ферми — ЕР ). Электро-
Электроны из я-полупроводника, где их кон-
концентрация выше, будут диффундировать
в р-полупроводник, где их концентрация
ниже. Диффузия же дырок происходит
в обратном направлении — в направле-
направлении р -*-п.
В «-полупроводнике из-за ухода элек-
электронов вблизи границы остается неском-
пенсированный положительный объемный
заряд неподвижных ионизованных донор-
ных атомов. В р-полупроводнике из-за
ухода дырок вблизи границы образуется
отрицательный объемный заряд непод-
Ч)
вижных ионизованных акцепторов
(рис. 336, а). Эти объемные заряды обра-
образуют у границы двойной электрический
слой, поле которого, направленное от «-об-
«-области к р-области, препятствует дальней-
дальнейшему переходу электронов в направлении
п —>-р и дырок в направлении р —*-п. Если
концентрации доноров и акцепторов в по-
полупроводниках п- и р-типа одинаковы, то
толщины слоев d\ и di (рис. 336, в), в ко-
которых локализуются неподвижные заряды,
равны (di=d2>.
При определенной толщине р-п-пере-
хода наступает равновесное состояние, ха-
характеризуемое выравниванием уровней
Ферми для обоих полупроводников
(рис. 336, в). В области р-«-перехода
энергетические зоны искривляются, в ре-
результате чего возникают потенциальные
барьеры как для электронов, так и для
дырок. Высота потенциального барьера еср
определяется первоначальной разностью
положений уровня Ферми в обоих полу-
полупроводниках. Все энергетические уровни

Г л а в а 31. Элементы физики твердого тела
403
/1-ТИП -?»¦
t* !+++
—
р-тип
н
р-тип
—1+
-
4-О
4-О
-.1+
Е
S)
Рис. 337
акцепторного полупроводника подняты от-
относительно уровней донорного полупро-
полупроводника на высоту, равную ец>, причем
подъем происходит на толщине двойного
слоя d.
Толщина d слоя p-n-перехода в полу-
полупроводниках составляет примерно 10~6 —
10~7 м, а контактная разность потенциа-
потенциалов — десятые доли вольт. Носители тока
способны преодолеть такую разность по-
потенциалов лишь при температуре в не-
несколько тысяч градусов, т. е. при обычных
температурах равновесный контактный
слой является запирающим (характеризу-
(характеризуется повышенным сопротивлением).
Сопротивление запирающего слоя
можно изменить с помощью внешнего
электрического поля. Если приложенное
к р-я-переходу внешнее электрическое по-
поле направлено от «-полупроводника
к р-полупроводнику (рис. 337, а), т. е. со-
совпадает с полем контактного слоя, то оно
вызывает движение электронов в «-полу-
«-полупроводнике и дырок в р-полупроводнике от
границы p-n-перехода в противоположные
стороны. В результате запирающий слой
расширится и его сопротивление возра-
возрастет. Направление внешнего поля, расши-
расширяющего запирающий слой, называется
запирающим (обратным). В этом направ-
направлении электрический ток через р-я-переход
практически не проходит. Ток в запираю-
запирающем слое в запирающем направлении об-
образуется лишь за счет неосновных носите-
носителей тока (электронов в р-полупроводнике
и дырок в п-полупроводнике).
Если приложенное к р-я-переходу
внешнее электрическое поле направлено
противоположно полю контактного слоя
(рис. 337, б), то оно вызывает движение
электронов в «-полупроводнике и дырок
в р-полупроводнике к границе р-«-перехо-
да навстречу друг другу. В этой области
они рекомбинируют, толщина контакт-
контактного слоя и его сопротивление уменьшают-
уменьшаются. Следовательно, в этом направлении
электрический ток проходит сквозь р-и-пе-
реход в направлении от р-полупроводника
к я-полупроводнику; оно называется про-
пропускным (прямым).
Таким образом, р-и-переход (подобно
контакту металла с полупроводником) об-
обладает односторонней (вентильной) про-
проводимостью.
На рис. 338 представлена вольт-ампер-
вольт-амперная характеристика p-n-перехода. Как
уже указывалось, при пропускном (пря-
(прямом) напряжении внешнее электрическое
поле способствует движению основных но-
носителей тока к границе р-я-перехода
(см. рис. 337, б). В результате толщина
контактного слоя уменьшается. Соответ-
Соответственно уменьшается и сопротивление пе-
перехода (тем сильнее, чем больше напря-
напряжение), а сила тока становится большой
(правая ветвь на рис. 338). Это направле-
направление тока называется прямым.
При запирающем (обратном) напря-
напряжении внешнее электрическое поле пре-
/Овра^ый
/той ,-. ¦ .
L
Рис. 338

404
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и тиердых тел
пятствует движению основных носителей
тока к границе р-и-перехода
(см. рис. 337, а) и способствует движению
неосновных носителей тока, концентрация
которых в полупроводниках невелика. Это
приводит к увеличению толщины контакт-
контактного слоя, обедненного основными носите-
носителями тока. Соответственно увеличивается
и сопротивление перехода. Поэтому в дан-
данном случае через p-n-переход протекает
только небольшой ток (он называется об-
обратным), полностью обусловленный неос-
неосновными носителями тока (левая ветвь
рис. 338). Быстрое возрастание этого тока
означает пробой контактного слоя и его
разрушение. При включении в цепь пере-
переменного тока p-n-переходы действуют как
выпрямители.
§ 250. Полупроводниковые диоды
и триоды (транзисторы)
Односторонняя проводимость контактов
двух полупроводников (или металла с по-
полупроводником) используется для вы-
выпрямления и преобразования переменных
токов. Если имеется один электронно-ды-
электронно-дырочный переход, то его действие аналогич-
аналогично действию двухэлектродной лампы —
диода (см. § 105). Поэтому полупроводни-
полупроводниковое устройство, содержащее один
р-п-переход, называется полупроводнико-
полупроводниковым (кристаллическим) диодом. Полупро-
Полупроводниковые диоды по конструкции делятся
на точечные и плоскостные.
В качестве примера рассмотрим точеч-
точечный германиевый диод (рис. 339), в кото-
котором тонкая вольфрамовая проволока
/ прижимается к я-германию 2 острием,
покрытым алюминием. Если через диод
в прямом направлении пропустить крат-
кратковременный импульс тока, то при этом
резко повышается диффузия А1 в Ge и об-
образуется слой германия, обогащенный
Рис. 339
Рис. 340
алюминием и обладающий р-проводимо-
стью. На границе этого слоя образуется
р-«-переход, обладающий высоким коэф-
коэффициентом выпрямления. Благодаря ма-
малой емкости контактного слоя точечные
диоды применяются в качестве детекторов
(выпрямителей) высокочастотных колеба-
колебаний вплоть до сантиметрового диапазона
длин волн.
Принципиальная схема плоскостного
меднозакисного (купроксного) выпрями-
выпрямителя дана на рис. 340. На медную пласти-
пластину с помощью химической обработки на-
наращивается слой закиси меди СигО, кото-
который покрывается слоем серебра. Серебря-
Серебряный электрод служит только для включе-
включения выпрямителя в цепь. Часть слоя СцаО,
прилегающая к Си и обогащенная ею,
обладает электронной проводимостью,
а часть слоя СигО, прилегающая к Ag
и обогащенная (в процессе изготовления
выпрямителя) кислородом,— дырочной
проводимостью. Таким образом, в толще
закиси меди образуется запирающий слой
с пропускным направлением тока от СигО
к Си (р^>-п).
Технология изготовления германиево-
германиевого плоскостного диода описана
в § 249 (см. рис. 325). Распространенными
являются также селеновые диоды и диоды
на основе арсенида галлия и карбида
кремния. Рассмотренные диоды обладают
целым рядом преимуществ по сравнению
с электронными лампами (малые габарит-
габаритные размеры, высокие к. п. д. и срок служ-
службы, постоянная готовность к работе
и т. д.), но они очень чувствительны к
температуре, поэтому интервал их рабо-
рабочих температур ограничен (от —70 до
-f-120°C). p-n-Переходы обладают не
только прекрасными выпрямляющими
свойствами, но могут быть использованы
также для усиления, а если в схему ввести

Глава ЗГ. Элементы физики твердого пла
обратную связь, то и для генерирования
электрических колебаний. Приборы, пред-
предназначенные для этих целей, получили
название полупроводниковых триодов или
транзисторов (первый транзистор создан
в 1949 г. американскими физиками
Д. Бардином, У. Браттейном и У. Шокли;
Нобелевская премия 1956 г.).
Для изготовления транзисторов ис-
используются германий и кремний, так как
они характеризуются большой механиче-
механической прочностью, химической устойчиво-
устойчивостью и большей, чем в других полупро-
полупроводниках, подвижностью носителей тока.
Полупроводниковые триоды делятся на
точечные и плоскостные. Первые значи-
значительно усиливают напряжение, но их вы-
выходные мощности малы из-за опасности
перегрева (например, верхний предел ра-
рабочей температуры точечного германиево-'
го триода лежит в пределах 50—80 °С).
Плоскостные триоды являются более мощ-
мощными. Они могут быть типа р-п-р и типа
п-р-п в зависимости от чередования об-
областей с различной проводимостью.
Для примера рассмотрим принцип ра-
работы плоскостного триода р-п-р, т. е. трио-
триода на основе «-полупроводника (рис. 341).
Рабочие «электроды» триода, которыми
являются база (средняя часть транзисто-
транзистора), эмиттер и коллектор (прилегающие
к базе с обеих сторон области с иным
типом проводимости), включаются в схему
с помощью невыпрямляющих контактов —
металлических проводников. Между эмит-
эмиттером и базой прикладывается постоянное
смещающее напряжение в прямом направ-
направлении, а между базой и коллектором —
постоянное смещающее напряжение в об-
обратном направлении. Усиливаемое пере-
Эмиттер База
Коллектор
Рис. 1141
менное напряжение подается на вход-
входное сопротивление /?„„, а усиленное —
снимается с выходного сопротивления
/\ В Ы X ¦
Протекание тока в цепи эмиттера
обусловлено в основном движением дырок
(они являются основными носителями то-
тока) и сопровождается их «впрыскивани-
«впрыскиванием» — инжекцией — в область базы. Про-
Проникшие в базу дырки диффундируют по
направлению к коллектору, причем при
небольшой толщине базы значительная
часть инжектированных дырок достигает
коллектора. Здесь дырки захватываются
полем, действующим внутри перехода
(притягиваются к отрицательно заряжен-
заряженному коллектору), и изменяют ток коллек-
коллектора. Следовательно, всякое изменение то-
тока в цепи эмиттера вызывает изменение
тока в цепи коллектора.
Прикладывая между эмиттером и ба-
базой переменное напряжение, получим в
цепи коллектора переменный ток, а на
выходном сопротивлении — переменное
напряжение. Величина усиления зависит
от свойств p-n-переходов, нагрузочных со-
сопротивлений и напряжения батареи Б„.
ОбыЧНО йвых^^вх, ПОЭТОМУ ?/„ых ЗНЭЧИ-
тельно превышает входное напряжение
iln (усиление может достигать 10 000).
Так как мощность переменного тока, вы-
выделяемая в /?„ых, может быть больше, чем
расходуемая в цепи эмиттера, то транзи-
транзистор дает и усиление мощности. Эта уси-
усиленная мощность появляется за счет
источника тока, включенного в цепь кол-
коллектора.
Из рассмотренного следует, что тран-
транзистор, подобно электронной лампе, дает
усиление и напряжения и мощности. Если
в лампе анодный ток управляется на-
напряжением на сетке, то в транзисторе
ток коллектора, соответствующий анодно-
анодному току лампы, управляется напряжени-
напряжением на базе.
Принцип работы транзистора п-р-п-ти-
па аналогичен рассмотренному выше, но
роль дырок играют электроны. Существу-
Существуют и другие типы транзисторов, так же
как и другие схемы их включения. Благо-
Благодаря своим преимуществам перед элек-
электронными лампами (малые габаритные

406 6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
размеры, высокие к. п. д. и срок службы, транзистор совершил революцию в об-
отсутствие накаливаемого катода (поэто- ласти электронных средств связи и обеспе-
му потребление меньшей мощности), от- чил создание быстродействующих ЭВМ
сутствие необходимости в вакууме и т.д.) с большим объемом памяти.
Контрольные вопросы
В чем суть адиабатического приближения и приближения самосогласованного поля?
Чем отличаются энергетические состояния электронов в изолированном атоме и кристалле? Что
такое запрещенные и разрешенные энергетические зоны?
Чем различаются по зонной теории полупроводники и диэлектрики? металлы и диэлектрики?
Когда по зонной теории твердое тело является проводником электрического тока?
Как объяснить увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры?
Чем обусловлена проводимость собственных полупроводников?
Почему уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен в середине запрещенной
зоны? Доказать это положение.
Каков механизм электронной примесной проводимости полупроводников? дырочной примесной
проводимости?
Почему при достаточно высоких температурах в примесных полупроводниках преобладает
собственная проводимость?
Каков механизм собственной фотопроводимости? примесной фотопроводимости? Что такое
красная граница фотопроводимости?
Каковы по зонной теории механизмы возникновения флуоресценции и фосфоресценции?
В чем причины возникновения контактной разности потенциалов?
В чем суть термоэлектрических явлений? Как объяснить их возникновение?
Когда возникает запирающий контактный слой при контакте металла с полупроводником
я-типа? с полупроводником р-типа? Объясните механизм его образования.
Как объяснить одностороннюю проводимость р-л-перехода?
Какова вольт-амперная характеристика р-л-перехода? Объясните возникновение прямого
и обратного тока.
Какое направление в полупроводниковом диоде является пропускным для тока?
Почему через полупроводниковый диод проходит ток (хотя и слабый) даже при запирающем
напряжении?
Задачи
31.1. Германиевый образец нагревают от 0 до 17 °С. Принимая ширину запрещенной зоны крем-
кремния 0,72 эВ, определить, во сколько раз возрастет его удельная проводимость. [В 2,45 раза]
31.2. В чистый кремний введена небольшая примесь бора. Пользуясь Периодической системой
Д. И. Менделеева, определить и объяснить тип проводимости примесного кремния.
31.3. Определить длину волны, при которой в примесном полупроводнике еще возбуждается фото-
фотопроводимость.

Элементы физики
атомного ядра
и элементарных частиц
Глава 32
Элементы физики атомного ядра
§251. Размер, состав
и заряд атомного ядра.
Массовое и зарядовое числа
Э. Резерфорд, исследуя прохождение
а-частиц с энергией в несколько мегаэлек-
трон-вольт через тонкие пленки золота
(см. §208), пришел к выводу о том, что
атом состоит из положительно заряженно-
заряженного ядра и окружающих его электронов.
Проанализировав эти опыты, Резерфорд
также показал, что атомные ядра имеют
размеры примерно 10~14—10~15 м (ли-
(линейные размеры атома примерно
Ю-10 м).
Атомное ядро состоит из элементар-
элементарных частиц — протонов и нейтронов (про-
тонно-нейтронная модель ядра была пред-
предложена советским физиком Д. Д. Иванен-
Иваненко (р. 1904), а впоследствии .развита
В. Гейзенбергом).
Протон (р) имеет положительный за-
заряд, равный заряду электрона, и массу
покоя т„= 1,6726-107 кг «1836т,., где
те — масса электрона. Нейтрон (и) —
нейтральная частица с массой покоя
т„= 1,6749-107 кг «1839т*. Протоны
и нейтроны называются нуклонами (от
лат. nucleus — ядро). Общее число нукло-
нуклонов в атомном ядре называется массовым
числом А.
Атомное ядро характеризуется заря-
зарядом Ze, где е — заряд протона, Z — за-
зарядовое число ядра, равное числу про-
протонов в ядре и совпадающее с порядковым
номером химического элемента в Периоди-
Периодической системе элементов Менделеева. Из-
Известные в настоящее время 107 элементов
таблицы Менделеева имеют зарядовые
числа ядер от Z=l до Z=107.
Ядро обозначается тем же символом,
что и нейтральный атом: ^Х, где X —
символ химического элемента, Z — атом-
атомный номер (число протонов в ядре), А —
массовое число (число нуклонов в ядре).
Сейчас протонно-нейтронная модель ядра
не вызывает сомнений. Рассматривалась также
гипотеза о протонно-электронном строении яд-
ядра, но она не выдержала экспериментальной
проверки. Так, если придерживаться этой гипо-
гипотезы, то массовое число Л должно представлять
собой число протонов в ядре, а разность между
массовым числом и числом электронов должна
быть равна заряду ядра. Эта модель согласовы-
согласовывалась со значениями изотопных масс и за-
зарядов, но противоречила значениям спинов
и магнитных моментов ядер, энергии связи ядра
и т. д. Кроме того, она оказалась несовместимой
с соотношением неопределенностей (см. §215).
В результате гипотеза о протонно-электронном
строении ядра была отвергнута.
Так как атом нейтрален, то заряд ядра
определяет и число электронов в атоме. От
числа же электронов зависит их распреде-
распределение по состояниям в атоме, от которого,
в свою очередь, зависят химические свой-
свойства атома. Следовательно, заряд ядра
определяет специфику данного химическо-
химического элемента, т. е. определяет число элек-
электронов в атоме, конфигурацию их элек-
электронных оболочек, величину и характер
внутриатомного электрического поля.
Ядра с одинаковыми Z, но разными А
(т.е. с разными числами нейтронов N =

408
7. Элементы физики атомного ядра и элементарных частии
Л— Z) называются изотопами, а ядра
с одинаковыми Л, но разными/—изоба-
разными/—изобарами. Например, водород (Z=l) имеет
три изотопа: |Н—протий (Z=l, jV = O),
?Н — дейтерий (Z = I, iV= 1), ?Н — тритий
(Z = 1, N = 2), олово — десять, и т. д. В по-
подавляющем большинстве случаев изотопы
одного и того же химического элемента
обладают одинаковыми химическими и по-
почти одинаковыми физическими свойствами
(исключение составляют, например, изо-
изотопы водорода), определяющимися в ос-
основном структурой электронных оболочек,
которая является одинаковой для всех
изотопов данного элемента. Примером
ядер-изобар могут служить ядра 'jBe/sB,
'°С. В настоящее время известно бо-
более 2000 ядер, отличающихся либо Z,
либо Л, либо тем и другим.
Радиус ядра задается эмпирической
формулой
R = R0A>/3, B51.1)
где /?о = A,3-Ы,7) 10~15м. Однако при
употреблении этого термина необходимо
соблюдать осторожность (из-за его неод-
неоднозначности, например из-за размытости
границы ядра). Из формулы B51.1) вы-
вытекает, что объем ядра пропорционален
числу нуклонов в ядре. Следовательно,
плотность ядерного вещества примерно
одинакова для всех ядер (« 10'7 кг/м3).
§ 252. Дефект массы
и энергия связи ядра
Исследования показывают, что атомные
ядра являются устойчивыми образования-
образованиями. Это означает, что в ядре между нукло-
нуклонами существует определенная связь.
Массу ядер очень точно можно опреде-
определить с помощью масс-спектрометров —
измерительных приборов, разделяющих
с помощью электрических и магнитных
полей пучки заряженных частиц (обычно
ионов) с разными удельными заряда-
зарядами Q/m. Масс-спектрометрические изме-
измерения показали, что масса ядра меньше,
чем сумма масс составляющих его нукло-
нуклонов. Но так как всякому изменению массы
(см. § 40) должно соответствовать измене-
изменение энергии, то, следовательно, при обра-
образовании ядра должна выделяться опреде-
определенная энергия. Из закона сохранения
энергии вытекает и обратное: для разделе-
разделения ядра на составные части необходимо
затратить такое же количество энергии,
которое выделяется при его образовании.
Энергия, которую необходимо затратить,
чтобы расщепить ядро на отдельные нук-
нуклоны, называется энергией связи ядра
(см. §40).
Согласно выражению D0.9), энергия
связи нуклонов в ядре
?CD = [Zmp + (А — Z)mn — mj с2,
B52.1)
где trip, пгп, пгя — соответственно массы
протона, нейтрона и ядра. В таблицах
обычно приводятся не массы т„ ядер,
а массы m атомов. Поэтому для энергии
связи ядра пользуются формулой
Ea = [ZmH + (A-Z)ma-m]c2, B52.2)
где Шн — масса атома водорода. Так как
тн больше шр на величину пге, то первый
член в квадратных скобках включает в се-
себя массу Z электронов. Но так как масса
атома m отличается от массы ядра тя как
раз на массу Z электронов, то вычисления
по формулам B52.1) и B52.2) приводят
к одинаковым результатам.
Величина
b.m = [Zmp-\-(A—Z) тЛ]—тя
называется дефектом массы ядра. На эту
величину уменьшается масса всех нукло-
нуклонов при образовании из них атомного ядра.
Часто вместо энергии связи рассмат-
рассматривают удельную энергию связи б?сп —
энергию связи, отнесенную к одному нук-
нуклону. Она характеризует устойчивость
(прочность) атомных ядер, т. е. чем боль-
больше б?св, тем устойчивее ядро. Удельная
энергия связи зависит от массового чис-
числа А элемента (рис. 342). Для легких ядер
(/4^12) удельная энергия связи круто
возрастает до 6Ч-7МэВ, претерпевая це-
целый ряд скачков (например, для 2Н бЕса =
1,1 МэВ, для ^Не — 7,1 МэВ, для %П
— 5,3 МэВ), затем более медленно воз-
возрастает до максимальной величины

"лава 32. Элементы физики атомного ядра
409
S?cl,MlB
9
8
7
6
S
¦
J
2
1
Ане
*—$Li
~3H
— f H
1 1 1
40
Hlu
1 1 1 1 1 1 1 1 1
80 120 160 ZOO 24€ A
Рис. 342
8,7 МэВ у элементов с А = 50 -г- 60, а потом
постепенно уменьшается у тяжелых эле-
элементов (например, для 2д®и она составляет
7,6 МэВ). Отметим для сравнения, что
энергия связи валентных электронов
в атомах составляет примерно 10 эВ
(в 106! раз меньше).
Уменьшение удельной энергии связи
при переходе к тяжелым элементам объяс-
объясняется тем, что с возрастанием числа про-
протонов в ядре увеличивается и энергия их
кулоновского отталкивания. Поэтому
связь между нуклонами становится ме-
менее сильной, а сами ядра менее проч-
прочными.
Наиболее устойчивыми оказываются
так называемые магические ядра, у кото-
которых число протонов или число нейтронов
равно одному из магических чисел: 2, 8,
20, 28, 50, 82, 126. Особенно стабильны
дважды магические ядра, у которых маги-
магическими являются и число протонов, и чис-
число нейтронов (этих ядер насчитывается
всего пять: ^Не, '|О, joCa, ^Са, 2^Pb).
Из рис. 342 следует, что наиболее
устойчивыми с энергетической точки зре-
зрения являются ядра средней части таблицы
Менделеева. Тяжелые и легкие ядра менее
устойчивы. Это означает, что энергетиче-
энергетически выгодны следующие процессы: 1) де-
деление тяжелых ядер на более легкие;
2) слияние легких ядер друг с другом в бо-
более тяжелые. При обоих процессах вы-
выделяется огромное количество энергии;
эти процессы в настоящее время осуще-
осуществлены практически (реакции деления
и термоядерные реакции).
§ 253. Спин ядра
и его магнитный момент
Использование приборов высокой разре-
разрешающей способности и специальных
источников возбуждения спектра позволи-
позволило обнаружить сверхтонкую структуру
спектральных линий. Ее существование
В. Паули объяснил A924) наличием
у атомных ядер собственного момента им-
импульса (спина) и магнитного момента.
Собственный момент импульса ядра —
спин ядра — складывается из спинов нук-
нуклонов и из орбитальных моментов импуль-
импульса нуклонов (моментов импульса, обуслов-
обусловленных движением нуклонов внутри яд-
ядра). Обе эти величины являются вектора-
векторами, поэтому спин ядра представляет их
векторную сумму. Спин ядра квантуется
по закону
где / — спиновое ядерное квантовое число
(его часто называют просто спином ядра),
которое принимает целые или полуцелые
I 3
значения 0, —, I, —, ... . Ядра с четными А
имеют целые /, с
лые /.
Атомное ядро кроме спина обладает
магнитным моментом pmfl. Магнитный мо-
момент ядра связан со спином ядра (см. ана-
аналогичное выражение A31.5) для электро-
электрона): Ртя = ?яЬя, где ga—коэффициент
пропорциональности, называемый ядер-
ядерным гиромагнитным отношением.
Единицей магнитных моментов ядер
служит ядерный магнетон
\i»=eh/Bmp) =5,0508- Ю7 Дж/Тл,
B53.1)
где trip — масса протона (ср. эту формулу
с магнетоном Бора (§ 131)). Ядерный маг-
магнетон в тр/те~ 1836 раз меньше магнето-
магнетона Бора, поэтому магнитные свойства ато-
атомов определяются в основном магнитными
свойствами его электронов.
В случае эффекта Зеемана (см. §223)
при помещении атома в магнитное поле
наблюдается расщепление энергетических
уровней и спектральных линий (тонкая
структура), обусловленное спин-орбиталь-
нечетными — полуце-

410
7. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
ным взаимодействием электронов. Во внеш-
внешнем магнитном поле также наблюдается
расщепление уровней энергии атома на
близко расположенные подуровни (сверх-
(сверхтонкая структура), обусловленное взаимо-
взаимодействием магнитного момента ядра с маг-
магнитным полем электронов в атоме.
Магнитные моменты ядер могут, таким
образом, определяться спектроскопиче-
спектроскопическим методом по сверхтонкой структуре
спектральных линий. Однако магнитные
моменты ядер примерно на три порядка
меньше магнитных моментов электронов
(см. B53.1) и (§ 131)), поэтому расщеп-
расщепление спектральных линий, соответствую-
соответствующее сверхтонкой структуре, значитель-
значительно меньше расщепления за счет вза-
взаимодействия между спиновым и орби-
орбитальным моментами электрона (тонкая
структура). Таким образом, из-за малости
эффекта, даже при использовании спек-
спектральных приборов очень большой разре-
разрешающей способности, точность этого ме-
метода невелика. Поэтому были разработа-
разработаны более точные (не оптические) методы
определения магнитных моментов ядер,
одним из которых является метод ядерно-
ядерного магнитного резонанса.
Явление ядерного магнитного резонан-
резонанса заключается в следующем: если на
вещество, находящееся в сильном посто-
постоянном магнитном поле, действовать сла-
слабым переменным радиочастотным магнит-
магнитным полем, то при частотах, соответствую-
соответствующих частотам переходов между ядерными
подуровнями, возникает резкий (резонанс-
(резонансный) максимум поглощения. Ядерный маг-
магнитный резонанс обусловлен происходя-
происходящими под влиянием переменного магнит-
магнитного поля квантовыми переходами между
ядерными подуровнями. Точность метода
задается точностью измерения напряжен-
напряженности постоянного магнитного поля и ре-
резонансной частоты, так как по их значени-
значениям вычисляются магнитные моменты ядер.
Так как для измерения этих величин при-
применяются прецизионные методы, то ртя
можно определять с высокой точностью
(до шести знаков).
Метод ядерного магнитного резонанса
позволяет наблюдать ядерный резонанс на
ядрах, обладающих магнитным моментом
порядка 0,1(хя. Количество вещества, не-
необходимое для измерений, должно состав-
составлять 10~3—10 г (в зависимости от значе-
значения рт„). Измерение значений магнитных
моментов ядер часто сводится к сравне-
сравнению резонансных частот исследуемых ядер
с резонансной частотой протонов, что по-
позволяет освободиться от точной калибров-
калибровки магнитного поля, которая является до-
довольно трудоемкой.
§ 254. Ядерные силы. Модели ядра
Между составляющими ядро нуклонами
действуют особые, специфические для ядра
силы, значительно превышающие кулонов-
ские силы отталкивания между протонами.
Они называются ядерными силами.
С помощью экспериментальных дан-
данных (рассеяние нуклонов на ядрах, ядер-
ядерные превращения и т.д.) доказано, что
ядерные силы намного превышают грави-
гравитационные, электрические и магнитные
взаимодействия и не сводятся к ним.
Ядерные силы относятся к классу так на-
называемых сильных взаимодействий.
Перечислим основные свойства ядер-
ядерных сил:
1) ядерные силы являются силами
притяжения;
2) ядерные силы являются коротко-
короткодействующими — их действие проявляется
только на расстояниях примерно 10~|5м.
При увеличении расстояния между ну-
нуклонами ядерные силы быстро уменьшают-
уменьшаются до нуля, а при расстояниях, меньших
их радиуса действия, оказываются при-
примерно в 100 раз больше кулоновских сил,
действующих между протонами на том же
расстоянии;
3) ядерным силам свойственна зарядо-
зарядовая независимость: ядерные силы, дей-
действующие между двумя протонами, или
двумя нейтронами, или, наконец, между
протоном и нейтроном, одинаковы по вели-
величине. Отсюда следует, что ядерные силы
имеют неэлектрическую природу;
4) ядерным силам свойственно насы-
насыщение, т. е. каждый нуклон в ядре взаимо-
взаимодействует только с ограниченным числом
ближайших к нему нуклонов. Насыщение
проявляется в том, что удельная энергия

Глава 32. Элементы физики атомного ядра
411
связи нуклонов в ядре (если не учитывать
легкие ядра) при увеличении числа нукло-
нуклонов не растет, а остается приблизительно
постоянной;
5) ядерные силы зависят от взаимной
ориентации спинов взаимодействующих
нуклонов. Например, протон и нейтрон
образуют дейтрон (ядро изотопа ^Н) толь-
только при условии параллельной ориентации
их спинов;
6) ядерные силы не являются цен-
центральными, т. е. действующими по линии,
соединяющей центры взаимодействующих
нуклонов.
Сложный характер ядерных сил
и трудность точного решения уравнений
движения всех нуклонов ядра (ядро с мас-
массовым числом А представляет собой систе-
систему из А тел) не позволили до настоящего
времени разработать единую последова-
последовательную теорию атомного ядра. Поэтому
на данной стадии прибегают к рассмотре-
рассмотрению приближенных ядерных моделей,
в которых ядро заменяется некоторой мо-
модельной системой, довольно хорошо опи-
описывающей только определенные свойства
ядра и допускающей более или менее про-
простую математическую трактовку. Из боль-
большого числа моделей, каждая из которых
обязательно использует подобранные про-
произвольные параметры, согласующиеся
с экспериментом, рассмотрим две: капель-
капельную и оболочечную.
1. Капельная модель ядра A936;
Н. Бор и Я. И. Френкель). Капельная мо-
модель ядра является первой моделью. Она
основана на аналогии между поведением
нуклонов в ядре и поведением молекул
в капле жидкости. Так, в обоих случаях
силы, действующие между составными
частицами — молекулами в жидкости
и нуклонами в ядре,— являются коротко-
короткодействующими и им свойственно насыще-
насыщение. Для капли жидкости при данных
внешних условиях характерна постоянная
плотность ее вещества. Ядра же характе-
характеризуются практически постоянной удель-
удельной энергией связи и постоянной плот-
плотностью, не зависящей от числа нуклонов
в ядре. Наконец, объем капли, так же как
и объем ядра (см. B51.1)), пропорциона-
лен числу частиц. Существенное отличие
ядра от капли жидкости в этой модели
заключается в том, что она трактует ядро
как каплю электрически заряженной не-
несжимаемой жидкости (с плотностью, рав-
равной ядерной), подчиняющуюся законам
квантовой механики. Капельная модель
ядра позволила получить полуэмпириче-
полуэмпирическую формулу для энергии связи нуклонов
в ядре, объяснила механизм ядерных ре-
реакций и особенно реакции деления ядер.
Однако эта модель не смогла, например,
объяснить повышенную устойчивость
ядер, содержащих магические числа про-
протонов и нейтронов.
2. Оболочечная модель ядра A949—
1950; американский физик М. Гепперт-
Майер A906—1975) и немецкий физик
X. Иенсен A907—1973)). Оболочечная
модель предполагает распределение нук-
нуклонов в ядре по дискретным энергетиче-
энергетическим уровням (оболочкам), заполняемым
нуклонами согласно принципу Паули,
и связывает устойчивость ядер с запол-
заполнением этих уровней. Считается, что ядра
с полностью заполненными оболочками
являются наиболее устойчивыми. Такие
особо устойчивые (магические) ядра дей-
действительно существуют (см. §252).
Оболочечная модель ядра позволила
объяснить спины и магнитные моменты
ядер, различную устойчивость атомных
ядер, а также периодичность изменений их
свойств. Эта модель особенно хорошо при-
применима для описания легких и средних
ядер, а также для ядер, находящихся в ос-
основном (невозбужде:нном) состоянии.
По мере дальнейшего накопления эк-
экспериментальных данных о свойствах
атомных ядер появлялись все новые фак-
факты, не укладывающиеся в рамки описан-
описанных моделей. Так возникли обобщенная
модель ядра (синтез капельной и оболо-
чечной моделей), оптическая модель ядра
(объясняет взаимодействие ядер с налета-
налетающими частицами) и т. д.
§ 255. Радиоактивное излучение
и его виды
Французский физик А. Беккерель A852—
1908) в 1896 г. при изучении люминесцен-

финики атомного ядра и элементарных частиц
ции солей урана случайно обнаружил са-
самопроизвольное испускание ими излуче-
излучения неизвестной природы, которое дей-
действовало на фотопластинку, ионизировало
воздух, проникало сквозь тонкие металли-
металлические пластинки, вызывало люминесцен-
люминесценцию ряда веществ. Продолжая исследова-
исследование этого явления, супруги Кюри — Ма-
Мария A867—1934) и Пьер — обнаружили,
что беккерелевское излучение свойственно
не только урану, но и многим другим тяже-
тяжелым элементам, таким, как торий и акти-
актиний. Они показали также, что урановая
смоляная обманка (руда, из которой до-
добывается металлический уран) испускает
излучение, интенсивность которого во
много раз превышает интенсивность из-
излучения урана. Таким образом удалось вы-
выделить два новых элемента — носителя
беккерелевского излучения: полоний ^Ро
и радий 2gaRa.
Обнаруженное излучение было назва-
названо радиоактивным излучением, а само нн-
ление — испускание радиоактивного излу-
излучения — радиоактивностью.
Дальнейшие опыты показали, что на
характер радиоактивного излучения пре-
препарата не оказывают влияния вид химиче-
химического соединения, агрегатное состояние,
механическое давление, температура,
электрические и магнитные поля, т. е. все
те воздействия, которые могли бы при-
привести к изменению состояния электронной
оболочки атома. Следовательно, радиоак-
радиоактивные свойства элемента обусловлены
лишь структурой его ядра.
В настоящее время под радиоактивно-
радиоактивностью понимают способность некоторых
атомных ядер самопроизвольно (спонтан-
(спонтанно) превращаться в другие ядра с ис-
испусканием различных видов радиоактив-
радиоактивных излучений и элементарных частиц.
Радиоактивность подразделяется на
естественную (наблюдается у неустойчи-
неустойчивых изотопов, существующих в природе)
и искусственную (наблюдается у изотопов,
полученных посредством ядерных реак-
реакций). Принципиального различия между
этими двумя типами радиоактивности нет,
так как законы радиоактивного превраще-
превращения в обоих случаях одинаковы.
Радиоактивное излучение бывает трех
типов: а.-, р- и ^-излучение. Подробное их
исследование позволило выяснить природу
и основные свойства.
а-Излучение отклоняется электриче-
электрическим и магнитным полями, обладает высо-
высокой ионизирующей способностью и малой
проникающей способностью (например,
поглощаются слоем алюминия толщиной
примерно 0,05 мм). а-Излучение представ-
представляет собой поток ядер гелия; заряд
а-частицы равен +2е, а масса совпадает
с массой ядра изотопа гелия ^Не. По от-
отклонению а-частиц в электрическом и маг-
магнитном полях был определен их удельный
заряд Q/tna, значение которого подтвер-
подтвердило правильность представлений об их
природе.
Р-Излучение отклоняется электриче-
электрическим и магнитным полями; его ионизирую-
ионизирующая способность значительно меньше
(примерно на два порядка), а проникаю-
проникающая способность гораздо больше (погло-
(поглощается слоем алюминия толщиной при-
примерно 2 мм), чем у а-частиц. р-Излучение
представляет собой поток быстрых элек-
электронов (это вытекает из определения их
удельного заряда).
Поглощение потока электронов с оди-
одинаковыми скоростями в однородном ве-
веществе подчиняется экспоненциальному
закону N = Nq?~'1x, где No и N — число
электронов на входе и выходе слоя ве-
вещества толщиной х, (i, — коэффициент по-
поглощения. Р-Излучение сильно рассеива-
рассеивается в веществе, поэтому ц зависит не
только от вещества, но и от размеров
и формы тел, на которые р-излучение
падает.
у-Излучение не отклоняется электри-
электрическим и магнитным полями, обладает от-
относительно слабой ионизирующей способ-
способностью и очень большой проникающей
способностью (например, проходит через
слой свинца толщиной 5 см), при прохож-
прохождении через кристаллы обнаруживает
дифракцию. у-Излучение представляет со-
собой коротковолновое электромагнитное
излучение с чрезвычайно малой длиной
волны А<10~к'м и вследствие этого —
ярко выраженными корпускулярными

лава 32. Элементы физики атомного ядра
свойствами, т. е. является
частиц — v-KBaHT0B (фотонов).
потоком
§256. Закон радиоактивного распада.
Правила смешения
Под радиоактивным распадом, или просто
распадом, понимают естественное радио-
радиоактивное превращение ядер, происходя-
происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, ис-
испытывающее радиоактивный распад, назы-
называется материнским, возникающее ядро —
дочерним.
Теория радиоактивного распада стро-
строится на предположении о том, что радио-
радиоактивный распад является спонтанным
процессом, подчиняющимся законам ста-
статистики. Поскольку отдельные радиоак-
радиоактивные ядра распадаются независимо
друг от друга, можно считать, что число
ядер d/V, распавшихся в среднем за интер-
интервал времени от t до t-\-dt, пропорциональ-
пропорционально промежутку времени dt и числу N не-
распавшихся ядер к моменту времени t:
dN=-kNdt, B56.1)
где X — постоянная для данного радио-
радиоактивного вещества величина, называемая
постоянной радиоактивного распада; знак
минус указывает, что общее число радио-
радиоактивных ядер в процессе распада умень-
уменьшается.
Разделив переменные и интегрируя,
т. е.
dN
—
получим
, ,t r dN . г ,t
In
JL
Nn
= —kt,
N=Noe~11, B56.2)
где No — начальное число нераспавшихся
ядер (в момент времени t = G), N — число
нераспавшихся ядер в момент времени t.
Формула B56.2) выражает закон радио-
радиоактивного распада, согласно которому
число нераспавшихся ядер убывает со вре-
временем по экспоненте.
Интенсивность процесса радиоактив-
радиоактивного распада характеризуют две величи-
величины: период полураспада Т|/2 и среднее вре-
время жизни т радиоактивного ядра. Период
полураспада Т|/2 — время, за которое ис-
исходное число радиоактивных ядер в
среднем уменьшается вдвое. Тогда, соглас-
согласно B56.2),
откуда
Г,/2 = — - = 0,693Д.
Периоды полураспада для естественно-
радиоактивных элементов колеблются от
десятпмиллионных долей секунды до мно-
многих миллиардов лет.
Суммарная продолжительность жиз-
жизни dN ядер равна t\dN\ =kNt At. Про-
Проинтегрировав это выражение по всем воз-
возможным t (т. е. от 0 до оо) и разделив на
начальное число ядер No, получим среднее
время жизни т радиоактивного ядра:
1
= % \ to'" dt = ~
(учтено B56.2)). Таким образом, среднее
время жизни т радиоактивного ядра есть
величина, обратная постоянной радиоак-
радиоактивного распада к.
Активностью А нуклида (общее на-
название атомных ядер, отличающихся чис-
числом протонов Z и нейтронов ./V) в радио-
радиоактивном источнике называется число рас-
распадов, происходящих с ядрами образца
в 1 с:
dN
~dT
B56.3)
Единица активности в СИ — бекке-
рель (Бк): 1 Бк—активность нуклида,
при которой за 1 с происходит один акт
распада. До сих пор в ядерной физике
применяется и внесистемная единица ак-
активности нуклида в радиоактивном источ-
источнике—кюри (Ки): 1 Ки = 3,7-1010 Бк.

414
7. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
Радиоактивный распад происходит
в соответствии с так называемыми прави-
правилами смещения, позволяющими устано-
установить, какое ядро возникает в результате
распада данного материнского ядра. Пра-
Правила смещения:
для ос-распада
AZZ$
для ^-распада
A
' Z+l
B56.5)
где ^Х—материнское ядро, Y — символ
дочернего ядра, гНе — ядро гелия
(а-частица), _\е — символическое обоз-
обозначение электрона (заряд его равен — 1,
а массовое число—нулю). Правила сме-
смещения являются ничем иным, как след-
следствием двух законов, выполняющихся при
радиоактивных распадах,— сохранения
электрического заряда и сохранения мас-
массового числа: сумма зарядов (массовых
чисел) возникающих ядер и частиц равна
заряду (массовому числу) исходного ядра.
Возникающие в результате радиоак-
радиоактивного распада ядра могут быть, в свою
очередь, радиоактивными. Это приводит
к возникновению цепочки, или ряда, ра-
радиоактивных превращений, заканчиваю-
заканчивающихся стабильным элементом. Совокуп-
Совокупность элементов, образующих такую це-
цепочку, называется радиоактивным семей-
семейством.
Из правил смещения B56.4) и B56.5)
вытекает, что массовое число при а-распа-
де уменьшается на 4, а при р-распаде не
меняется. Поэтому для всех ядер одного
и того же радиоактивного семейства оста-
остаток от деления массового числа на 4 оди-
одинаков. Таким образом, существует четыре
различных радиоактивных семейства, для
каждого из которых массовые числа за-
задаются одной из следующих формул:
Л = 4п, 4л + 1, 4« + 2, 4и + 3,
где п — целое положительное число. Се-
Семейства называются по наиболее долго-
живущему (с наибольшим периодом полу-
полураспада) «родоначальнику»: семейства то-
тория (от 23920Th), нептуния (от ^Np), урана
(от 2|fU) и актиния (от 28395Ас). Конечными
нуклидами соответственно являются 82РЬ,
28aBi, 2gjPb, 28зРЬ, т. е. единственное семей-
семейство нептуния (искусственно-радиоактив-
(искусственно-радиоактивные ядра) заканчивается нуклидом Bi,
а все остальные (естественно-радиоактив-
(естественно-радиоактивные ядра) — нуклидами РЬ.
B56.4) § 257. Закономерности а-распада
В настоящее время известно более двухсот
а-активных ядер, главным образом тяже-
тяжелых (Л>200, Z>82). Только небольшая
группа а-активных ядер приходится на
области с У1 = 140ч-160 (редкие земли).
р-Распад подчиняется правилу смещения
B56.4). Примером а-распада служит рас-
распад изотопа урана 238U с образовани-
образованием Th:
Скорости вылетающих при распаде
а-частиц очень велики и колеблются для
разных ядер в пределах от 1,4 -107 до
2-107м/с, что соответствует энергиям от
4 до 8,8 МэВ. Согласно современным пред-
представлениям, а-частицы образуются в мо-
момент радиоактивного распада при встрече
движущихся внутри ядра двух протонов
и двух нейтронов.
а-Частицы, испускаемые конкретным
ядром, обладают, как правило, определен-
определенной энергией. Более тонкие измерения,
однако, показали, что энергетический
спектр а-частиц, испускаемых данным ра-
радиоактивным элементом, обнаруживает
«тонкую структуру», т. е. испускается не-
несколько групп а-частиц, причем в преде-
пределах каждой группы их энергии практиче-
практически постоянны. Дискретный спектр
а-частиц свидетельствует о том, что атом-
атомные ядра обладают дискретными энер-
энергетическими уровнями.
Для а-распада характерна сильная
зависимость между периодом полураспа-
полураспада 7*1/2 и энергией Е вылетающих частиц.
Эта взаимосвязь определяется эмпириче-
эмпирическим законом Гейгера — Нэттола
A912) *, который обычно выражают в ви-
* Д. Нэттол A890—1958) — английский
физик; Х.Гейгер A882—1945) — немецкий
физик.

Глава 32. Элементы физики атомного ядра
415
де связи между пробегом Ra (расстояни-
(расстоянием, проходимым частицей в веществе до ее
полной остановки) а-частиц в воздухе
и постоянной радиоактивного распада X:
\nk = A+B\nRa, B57.1)
где А и В — эмпирические константы, Х.=
= (ln 2)/7"i/2. Согласно B57.1), чем меньше
период полураспада радиоактивного эле-
элемента, тем больше пробег, а следователь-
следовательно, и энергия испускаемых им а-частиц.
Пробег а-частиц в воздухе (при нормаль-
нормальных условиях) составляет несколько сан-
сантиметров, в более плотных средах он го-
гораздо меньше, составляя сотые доли мил-
миллиметра (а-частицы можно задержать
обычным листом бумаги).
Опыты Резерфорда по рассеянию
а-частиц на ядрах урана показали, что
а-частицы вплоть до энергии 8,8 МэВ ис-
испытывают на ядрах резерфордовское рас-
рассеяние, т. е. силы, действующие на
а-частицы со стороны ядер, описываются
законом Кулона. Подобный характер рас-
рассеяния а-частиц указывает на то, что они
еще не вступают в область действия ядер-
ядерных сил, т. е. можно сделать вывод, что
ядро окружено потенциальным барьером,
высота которого не меньше 8,8 МэВ.
С другой стороны, а-частицы, испускае-
испускаемые ураном, имеют энергию 4,2 МэВ. Сле-
Следовательно, а-частицы вылетают из а-ра-
диоактивного ядра с энергией, заметно
меньшей высоты потенциального барьера.
Классическая механика этот результат
объяснить не могла.
Объяснение а-распада дано квантовой
механикой, согласно которой вылет
а-частицы из ядра возможен благодаря
туннельному эффекту (см. §221) —про-
—проникновению а-частицы сквозь потенциаль-
потенциальный барьер. Всегда имеется отличная от
нуля вероятность того, что частица с энер-
энергией, меньшей высоты потенциального
барьера, пройдет сквозь него, т. е., дей-
действительно, из а-радиоактивного ядра
а-частицы могут вылетать с энергией,
меньшей высоты потенциального барьера.
Этот эффект целиком обусловлен волно-
волновой природой а-частиц.
Вероятность прохождения а-частицы
сквозь потенциальный барьер определяет-
определяется его формой и вычисляется на основе
уравнения Шредингера. В простейшем
случае потенциального барьера с прямо-
прямоугольными вертикальными стенками
(см. рис. 298, а) коэффициент прозрачно-
прозрачности, определяющий вероятность прохож-
прохождения сквозь него, определяется рассмот-
рассмотренной ранее формулой B21.7):
D=Doexp Г—
Г—jL
Анализируя это выражение, видим, что
коэффициент прозрачности D тем больше
(следовательно, тем меньше период полу-
полураспада), чем меньший по высоте (U)
и ширине (/) барьер находится на пути
а-частицы. Кроме того, при одной и той
же потенциальной кривой барьер на пути
частицы тем меньше, чем больше ее энер-
энергия Е. Таким образом качественно под-
подтверждается закон Гейгера — Нэттола
(см. B57.1)).
§ 258. р -Распад. Нейтрино
Явление р~-распада (в дальнейшем будет
показано, что существует и E + -распад)
подчиняется правилу смещения B56.5)
zX-+z+')Y+_?e
и связано с выбросом электрона. При-
Пришлось преодолеть целый ряд трудностей
с трактовкой р~-расп;1да.
Во-первых, необходимо было обосно-
обосновать происхождение электронов, выбрасы-
выбрасываемых в процессе р~-распада. Протонно-
нейтронное строение ядра исключает воз-
возможность вылета электрона из ядра,
поскольку в ядре электронов нет. Пред-
Предположение же, что электроны вылетают
не из ядра, а из электронной оболочки,
несостоятельно, поскольку тогда должно
было бы наблюдаться оптическое или рен-
рентгеновское излучение, что не подтвержда-
подтверждают эксперименты.
Во-вторых, необходимо было объяс-
объяснить непрерывность энергетического спек-
спектра испускаемых электронов (типичная
для всех изотопов кривая распределения
^"-частиц по энергиям приведена на
рис. 343). Каким же образом |3~-активные
ядра, обладающие до и после распада

-I И,
Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
вполне определенными энергиями, могут/
выбрасывать электроны со значениями
энергии от нуля до некоторого максималь-
максимального ?miix? Т. е. энергетический спектр ис-
испускаемых электронов является непрерыв-
непрерывным? Гипотеза о том, что при р~-распаде
электроны покидают ядро со строго опре-
определенными энергиями, но в результате ка-
каких-то вторичных взаимодействий теряют
ту или иную долю своей энергии, так что
их первоначальный дискретный спектр
превращается в непрерывный, была опро-
опровергнута прямыми калориметрическими
опытами. Так как максимальная энер-
энергия ?тах определяется разностью масс ма-
материнского и дочернего ядер, то распады,
при которых энергия электрона ?<?тах,
как бы протекают с нарушением закона
сохранения энергии. Н. Бор даже пытался
обосновать это нарушение, высказывая
предположение, что закон сохранения
энергии носит статистический характер
и выполняется лишь в среднем для боль-
большого числа элементарных процессов. От-
Отсюда видно, насколько принципиально
важно было разрешить это затруднение.
В-третьих, необходимо было разо-
разобраться с несохранением спина при
Р~-распаде. При (Г -распаде число нукло-
нуклонов в ядре не изменяется (так как не
изменяется массовое число А), поэтому не
должен изменяться и спин ядра, который
равен целому числу 1г при четном А и по-
полуцелому h при нечетном А. Однако вы-
выброс электрона, имеющего спин Й/2,
должен изменить спин ядра на величи-
величину Й/2.
Последние два затруднения привели
В. Паули к гипотезе A931) о том, что при
Р~-распаде вместе с электроном испуска-
испускается еще одна нейтральная частица —
нейтрино. Нейтрино имеет нулевой заряд,
спин Й/2 и нулевую (а скорее <i IQ~Amj
массу покоя; обозначается qvc. Впослед-
Впоследствии оказалось, что при fj^-распаде
испускается не нейтрино, а антинейтрино
(античастица по отношению к нейтрино;
обозначается q\b).
Гипотеза о существовании нейтрино
позволила Э. Ферми создать теорию
р1 "-распада A934), которая в основном
сохранила свое значение и в настоящее
время, хотя экспериментально существо-
существование нейтрино было доказано более чем
через 20 лет A956). Столь длительные
«поиски» нейтрино сопряжены с большими
трудностями, обусловленными отсутстви-
отсутствием у нейтрино электрического заряда
и массы. Нейтрино — единственная части-
частица, не участвующая ни в сильных, ни
в электромагнитных взаимодействиях;
единственный вид взаимодействий, в кото-
котором может принимать участие нейтрино,—
слабое взаимодействие. Поэтому прямое
наблюдение нейтрино весьма затрудни-
затруднительно. Ионизирующая способность ней-
нейтрино столь мала, что один акт иониза-
ионизации в воздухе приходится на 500 км пу-
пути. Проникающая же способность ней-
нейтрино столь огромна (пробег нейтрино
с энергией 1 МэВ в свинце составляет
порядка 10|!|м!), что затрудняет удержа-
удержание этих частиц в приборах.
Для экспериментального выявления
нейтрино (антинейтрино) применялся по-
поэтому косвенный метод, основанный на
том, что в реакциях (в том числе
и с участием нейтрино) выполняется закон
сохранения импульса. Таким образом, ней-
нейтрино было обнаружено при изучении от-
отдачи атомных ядер при ^"-распаде. Если
при |i -распаде ядра вместе с электроном
выбрасывается и антинейтрино, то вектор-
векторная сумма трех импульсов — ядра отдачи,
электрона и антинейтрино — должна быть
равна нулю. Это действительно подтверди-
подтвердилось на опыте. Непосредственное обнару-
обнаружение нейтрино стало возможным лишь
значительно позднее, после появления

I лава 32 Лтомемты филмки атомного ядр.ч
мощных реакторов, позволяющих полу-
получать интенсивные потоки нейтрино.
Введение нейтрино (антинейтрино) по-
позволило не только объяснить кажущееся
несохранение спина, но и разобраться
с вопросом непрерывности энергетическо-
энергетического спектра выбрасываемых электронов.
Сплошной спектр р™-частиц обязан рас-
распределению энергии между электронами
и антинейтрино, причем сумма энергий
обеих частиц равна ?тах. В одних актах
распада большую энергию получает анти-
антинейтрино, в других — электрон; в гранич-
граничной точке кривой на рис. 343, где энергия
электрона равна Етах, вся энергия распа-
распада уносится электроном, а энергия анти-
антинейтрино равна нулю.
Наконец, рассмотрим вопрос о проис-
происхождении электронов при р~-распаде. По-
Поскольку электрон не вылетает из ядра и не
вырывается из оболочки атома, было сде-
сделано предположение, что ^-электрон рож-
рождается в результате процессов, происходя-
происходящих внутри ядра. Так как при р~-распаде
число нуклонов в ядре не изменяется,
a Z увеличивается на единицу
(см. B56.5)), то единственной возможно-
возможностью одновременного осуществления этих
условий является превращение одного из
нейтронов р~-активного ядра в протон
с одновременным образованием электрона
и вылетом антинейтрино:
1оП-*\р+-Че + °оУе- B58.1)
Этот процесс сопровождается выпол-
выполнением законов сохранения электрических
зарядов, импульса и массовых чисел. Кро-
Кроме того, данное превращение энергетиче-
энергетически возможно, так как масса покоя ней-
нейтрона превышает массу атома водорода,
т. е. протона и электрона вместе взятых.
Данной разности в массах соответствует
энергия, равная 0,782 МэВ. За счет этой
энергии может происходить самопроиз-
самопроизвольное превращение нейтрона в протон;
энергия распределяется между электро-
электроном и антинейтрино.
Если превращение нейтрона в протон
энергетически выгодно и вообще возмож-
возможно, то должен наблюдаться радиоактив-
радиоактивный распад свободных нейтронов
(т.е. нейтронов вне ядра). Обнаружение
14 Т. И. Трофимов;]
этого явления было бы подтверждением
изложенной теории р "-распада. Действи-
Действительно, в 1950 г. в потоках нейтронов боль-
большой интенсивности, возникающих в ядер-
ядерных реакторах, был обнаружен радиоак-
радиоактивный распад свободных нейтронов,
происходящий по схеме B58.1). Энергети-
Энергетический спектр возникающих при этом
электронов соответствовал приведенному
на рис. 343, а верхняя граница Етгх энер-
энергии электронов оказалась равной рассчи-
рассчитанной выше @,782 МэВ).
§ ИГ>9. Гамма-излучение и ею свойства
Экспериментально установлено, что y-из-
лучение (см. § 255) не является самосто-
самостоятельным видом радиоактивности, а толь-
только сопровождает а- и р-распады и также
возникает при ядерных реакциях, при тор-
торможении заряженных частиц, их распаде
и т. д. "у-Сиектр является линейчатым.
-у-Спектр — это распределение числа
¦у-квантов по энергиям (такое же толкова-
толкование р-спектра дано в § 258). Дискретность
-у-спектра имеет принципиальное значение,
так как является доказательством
дискретности энергетических состояний
атомных ядер.
В настоящее время твердо установле-
установлено, что у-излучение испускается дочерним
(а не материнским) ядром. Дочернее ядро
в момент своего образования, оказываясь
возбужденным, за время примерно
10~'3—10~|4с, значительно меньшее вре-
времени жизни возбужденного атома (при-
(примерно 10~8 с), переходит в основное со-
состояние с испусканием у-излучения. Воз-
Возвращаясь в основное состояние, воз-
возбужденное ядро может пройти через ряд
промежуточных состояний, поэтому у-из-
лучение одного и того же радиоактивного
изотопа может содержать несколько групп
-у-квантов, отличающихся одна от другой
своей энергией.
При ¦у-излучении А и Z ядра не изме-
изменяются, поэтому оно не описывается ни-
никакими правилами смещения. -у-Излучение
большинства ядер является столь коротко-
коротковолновым, что его волновые свойства про-
проявляются весьма слабо. Здесь на первый
план выступают корпускулярные свойства,

.'¦)./:-'Mi-im ; физики ипипоги ял|>а
поэтому у-излучение рассматривают как
поток частиц — у-квантов. При радиоак-
радиоактивных распадах различных ядер у-кванты
имеют энергии от 10 кэВ до 5 МэВ.
Ядро, находящееся в возбужденном
состоянии, может перейти в основное со-
состояние не только при испускании у-кван-
та, но и при непосредственной передаче
энергии возбуждения (без предваритель-
предварительного испускания у-кванта) одному из
электронов того же атома. При этом ис-
испускается так называемый электрон кон-
конверсии. Само явление называется внутрен-
внутренней конверсией. Внутренняя конверсия —
процесс, конкурирующий с у-излучением.
Электронам конверсии соответствуют
дискретные значения энергии, зависящей
от работы выхода электрона из оболочки,
из которой электрон вырывается, и от
энергии ?, отдаваемой ядром при переходе
из возбужденного состояния в основное.
Если вся энергия Е выделяется в виде
у-кванта, то частота излучения v опреде-
определяется из известного соотношения ? = /iv.
Если же испускаются электроны внутрен-
внутренней конверсии, то их энергии равны Е — Ак,
E — AL, ... , где Ак, AL, ... — работа выхода
электрона из К- и L-оболочек. Моноэнер-
гетичность электронов конверсии позволя-
позволяет огличить их от fi-электронов, спектр
которых непрерывен (см. §258). Возник-
Возникшее в результате вылета электрона ва-
вакантное место на внутренней оболочке
атома будет заполняться электронами
с вышележащих оболочек. Поэтому внут-
внутренняя конверсия всегда сопровождается
характеристическим рентгеновским излу-
излучением.
у-Кванты, обладая нулевой массой по-
покоя, не могут замедляться в среде, поэто-
поэтому при прохождении у-излучения сквозь
вещество они либо поглощаются, либо
рассеиваются им. у-Кванты не несут элек-
электрического заряда и тем самым не испыты-
испытывают влияния кулоновских сил. При про-
прохождении пучка у-квантов сквозь вещест-
вещество их энергия не меняется, но в результате
столкновений ослабляется интенсивность,
изменение которой описывается экспонен-
экспоненциальным законом 1 — 10е~*х (/0 и 1 —
интенсивности у-излучения на входе и вы-
выходе слоя поглощающего вещества толщи-
толщиной х, и. — коэффициент поглощения). Так
как у-излучение — самое проникающее
излучение, то ц для многих веществ —
очень малая величина; \i зависит от свойств
вещества и от энергии у-квантов.
у-Кванты, проходя сквозь вещество,
могут взаимодействовать как с электрон-
электронной оболочкой атомов вещества, так и с их
ядрами. В квантовой электродинамике до-
доказывается, что основными процессами,
сопровождающими прохождение у-излуче-
ния через вещество, являются фотоэф-
фотоэффект, комптон-эффект (комптоновское
рассеяние) и образование электронно-
позитронных пар.
Фотоэффект, или фотоэлектрическое
поглощение у-излучения,— это процесс,
при котором атом поглощает у-квант и ис-
испускает электрон. Так как электрон вы-
выбивается из одной из внутренних оболо-
оболочек атома, то освободившееся место за-
заполняется электронами из вышележащих
оболочек, и фотоэффект сопровождается
характеристическим рентгеновским излу-
излучением. Фотоэффект является преоблада-
преобладающим механизмом поглощения в области
малых энергий у-квантов (^v5^ Ю0 кэВ).
Фотоэффект может идти только на связан-
связанных электронах, так как свободный элект-
электрон не может поглотить у-квант, при этом
одновременно не удовлетворяются законы
сохранения энергии и импульса.
По мере увеличения энергии уквантов
(?т«0,5 МэВ) вероятность фотоэффекта
очень мала и основным механизмом вза-
взаимодействия у-квантов с веществом явля-
является комптоновское рассеяние (см. §206).
При Еу> 1,02 МэВ = 2тес2 (те — мас-
масса покоя электрона) становится возмож-
возможным процесс образования электронно-по-
зитронных пар в электрических полях
ядер. Вероятность этого процесса пропор-
пропорциональна Z2 и увеличивается с ростом ?т.
Поэтому при ?т»10МэВ основным про-
процессом взаимодействия у-излучения в лю-
любом веществе является образование элек-
электрон но-позитронных пар.
Если энергия у-кванта превышает
энергию связи нуклонов в ядре G—
8 МэВ), то в результате поглощения
у-кванта может наблюдаться ядерный фо-

I „1 J » «1 .42. Э.Т'МОМГ! I tj"li!:!!;M1 ilTOMilOrc: fl.iPH
4 Hi
тоэффект — выброс из ядра одного из нук-
нуклонов, чаще всего нейтрона.
Большая проникающая способность
у-излучения используется в гамма-дефек-
гамма-дефектоскопии — методе дефектоскопии, осно-
основанном на различном поглощении у-излу-
у-излучения при распространении его на одина-
одинаковое расстояние в разных средах. Место-
Местоположение и размеры дефектов (ракови-
(раковины, трещины и т. д.) определяются по
различию в интенсивностях излучения,
прошедшего через разные участки просве-
просвечиваемого изделия.
Воздействие у-излучения (а также
других видов ионизирующего излучения)
на вещество характеризуют дозой ионизи-
ионизирующего излучения. Различаются:
Поглощенная доза излучения — физи-
физическая величина, равная отношению энер-
энергии излучения к массе облучаемого ве-
вещества.
Единица поглощенной дозы излуче-
излучения — грей (Гр) *: 1 Гр= 1 Дж/кг — доза
излучения, при которой облученному ве-
веществу массой 1 кг передается энергия
любого ионизирующего излучения 1 Дж.
Экспозиционная доза излучения —
физическая величина, равная отношению
суммы электрических зарядов всех ионов
одного знака, созданных электронами, ос-
освобожденными в облученном воздухе (при
условии полного использования ионизиру-
ионизирующей способности электронов), к массе
этого воздуха.
Единица экспозиционной дозы излу-
излучения— кулон на килограмм .(Кл/кг);
внесистемной единицей является рентген
(Р): 1 Р = 2,58-10-4 Кл/кг.
Биологическая доза — величина, оп-
определяющая воздействие излучения на ор-
организм.
Единица биологической дозы — биоло-
биологический эквивалент рентгена (бэр):
1 бэр — доза любого вида ионизирующего
излучения, производящая такое же био-
биологическое действие, как и доза рентгенов-
рентгеновского или у-излучения в IP A бэр =
= Ю-2 Дж/кг).
Мощность дозы излучения — величи-
величина, равная отношению дозы излучения
к времени облучения. Различают: 1) мощ-
мощность поглощенной дозы (единица — грей
на секунду (Гр/с)); 2) мощность экспози-
экспозиционной дозы (единица — ампер на кило-
килограмм (А/кг)).
§ 260. Резонансное поглощение
Y-излучения
(эффект Мё'о:бауэра *)
Как уже указывалось, дискретный спектр
у-излучения обусловлен дискретностью
энергетических уровней ядер атомов. Од-
Однако, как следует из соотношения неопре-
неопределенностей B15.5), энергия возбужден-
возбужденных состояний ядра принимает значения
в пределах AEzah/At, где At— время
жизни ядра в возбужденном состоянии.
Следовательно, чем меньше Д^, тем боль-
больше неопределенность энергии АЕ возбуж-
возбужденного состояния. А? = 0 только для ос-
основного состояния стабильного ядра (для
него At—>-oo). Неопределенность энергии
квантово-механической системы (напри-
(например, атома), обладающей дискретными
уровнями энергии, определяет естествен-
естественную ширину энергетического уровня (Г).
Например, при времени жизни возбужден-
возбужденного состояния, равного 10~13 с,
естественная ширина энергетического
уровня примерно 10эВ.
Неопределенность энергии возбужден-
возбужденного состояния, обусловливаемая ко-
конечным временем жизни возбужденных
состояний ядра, приводит к немонохрома-
немонохроматичности у-излучения, испускаемого при
переходе ядра из возбужденного состоя-
состояния в основное. Эта немонохроматичность
называется естественной шириной линии
у-излучения.
При прохождении у-излучения в ве-
веществе помимо описанных выше (см.
§ 259) процессов (фотоэффект, компто-
новское рассеяние, образование электрон-
но-позитронных пар) должны в принципе
* С. Грей A666—1736) — английский * Р. Мёссбауэр (р. 1929) — немецкий фи-
физик. зик.
14*

>' il'VM'H D lilH.ilihi-! .'ITOIWiCII i ЯЛ|1,'1 И
f'M."!iT;;i.i|i:l< ч;к'Г!
наблюдаться также резонансные эффек-
эффекты. Если ядро облучить у-квантами с энер-
энергией, равной разности одного из возбуж-
возбужденных и основного энергетических состо-
состояний ядра, то может иметь место резо-
резонансное поглощение у-излучения ядрами:
ядро поглощает 7-квант той же частоты,
что и частота излучаемого ядром у'Кванта
при переходе ядра из данного возбужден-
возбужденного состояния в основное.
Наблюдение резонансного поглощения
V-квантов ядрами считалось долгое время
невозможным, так как при переходе ядра
из возбужденного состояния с энергией ?
в основное (его энергия принята равной
нулю) излучаемый 7'квант имеет энер-
энергию Еу несколько меньшую, чем ?, из-за
отдачи ядра в процессе излучения:
?, = ?-?„,
где Ей — кинетическая энергия отдачи яд-
ядра. При возбуждении же ядра и переходе
его из основного состояния в возбужден-
возбужденное с энергией ? v-квант должен иметь
энергию Е'у несколько большую, чем ?, т. е.
Е' — Е4-Е
где ?„ — энергия отдачи, которую
должен передать поглощающему ядру.
Таким образом, максимумы линий из-
излучения и поглощения сдвинуты друг от-
относительно друга на величину 2?„
(рис.344). Используя закон сохранения
импульса, согласно которому в рассмот-
рассмотренных процессах излучения и поглоще-
поглощения импульсы у-кванта и ядра должны
быть равны, получим
р ^_ гя гу
я~ 2т, ~~2т~~~
B60.1)
Линия
поглощения
Phi ,44
Например, возбужденное состояние
I QI .
изотопа иридия у7\г имеет энергию
129 кэВ, а время его жизни поряд-
порядка 10~'° с, так что ширина уровня Г«
4-10~5эВ. Энергия же отдачи при излу-
излучении с этого уровня, согласно B60.1),
приблизительно равна 5-Ю'2 эВ, т.е. на
три порядка больше ширины уровня.
Естественно, что никакое резонансное по-
поглощение в таких условиях невозможно
(для наблюдения резонансного поглоще-
поглощения линия поглощения должна совпадать
с линией излучения). Из опытов так-
также следовало, что на свободных ядрах
резонансное поглощение не наблюдает-
наблюдается.
Резонансное поглощение 7-излУчения
в принципе может быть получено только
при компенсации потери энергии на отдачу
ядра. Эту задачу решил в 1958 г. Р. Мёс-
сбауэр (Нобелевская премия 1961 г.). Он
исследовал излучение и поглощение у-из-
лучения в ядрах, находящихся в кристал-
кристаллической решетке, т. е. в связанном со-
состоянии (опыты проводились при низ-
низкой температуре). В данном случае им-
импульс и энергия отдачи передаются не
одному ядру, излучающему (поглощаю-
(поглощающему) 7'квант. а всей кристаллической
решетке в целом. Так как кристалл обла-
обладает гораздо большей массой по сравнению
с массой отдельного ядра, то в соответ-
соответствии с формулой B60.1) потери энергии
на отдачу становятся исчезающе малыми.
Поэтому процессы излучения и погло-
поглощения 7"излУчения происходят практи-
практически без потерь энергии (идеально уп-
упруго).
Явление упругого испускания (погло-
(поглощения) 7"квантов атомными ядрами, свя-
связанными в твердом теле, не сопровождаю-
сопровождающееся изменением внутренней энергии те-
тела, называется эффектом Мёссбауэра.
При рассмотренных условиях линии излу-
излучения и поглощения v-излучения практи-
практически совпадают и имеют весьма малую
ширину, равную естественной ширине Г.
Эффект Мёссбауэра был открыт на глубо-
глубоко охлажденном х97\\г (с понижением темпе-
температуры колебания решетки «заморажива-
«замораживаются»), а впоследствии обнаружен более

Глава 32. Элементы фм.чики атомного идра
421
чем на 20.стабильных изотопах (например,
57Fe, 67Zn и т. д.).
Мёссбауэр вооружил эксперименталь-
экспериментальную физику новым методом измерений
невиданной прежде точности. Эффект
Мёссбауэра позволяет измерять энергии
(частоты) излучения с относительной точ-
точностью Г/?=10~15Ч-10~17, поэтому во
многих областях науки и техники может
служить тончайшим «инструментом» раз-
различного рода измерений. Появилась воз-
возможность измерять тончайшие детали
¦у-линий, внутренние магнитные и электри-
электрические поля в твердых телах и т. д.
Внешнее воздействие (например, зееманов-
ское расщепление ядерных уровней или смеще-
смещение энергии фотонов при движении в поле тя-
тяжести) может привести к очень малому смеще-
смещению либо линии поглощения, либо линии
излучения, иными словами, привести к ослабле-
ослаблению или исчезновению эффекта Мёссбауэра.
Это смещение, следовательно, может быть за-
зафиксировано. Подобным образом в лаборатор-
лабораторных условиях был обнаружен A960) такой тон-
тончайший эффект, как «гравитационное красное
смещение», предсказанный общей теорией отно-
относительности Эйнштейна.
§261. Методы
наблюдения и регистрации
радиоактивных излучений
и частиц
Практически все методы наблюдения и ре-
регистрации радиоактивных излучений (a, (J,
у) и частиц основаны на их способности
производить ионизацию и возбуждение
атомов среды. Заряженные частицы вы-
вызывают эти процессы непосредственно,
а 7-кванты и нейтроны обнаруживаются
по ионизации, вызываемой возникающими
в результате их взаимодействия с электро-
электронами и ядрами атомов среды быстрыми
заряженными частицами. Вторичные эф-
эффекты, сопровождающие рассмотренные
процессы, такие, как вспышка света, элек-
электрический ток, потемнение фотопластинки,
позволяют регистрировать пролетающие
частицы, считать их, отличать друг от
друга и измерять их энергию.
Приборы, применяемые для регистра-
регистрации радиоактивных излучений и частиц,
делятся на две группы:
1) приборы, позволяющие регистриро-
регистрировать прохождение частицы через опреде-
определенный участок пространства и в некото-
некоторых случаях определять ее характеристи-
характеристики, например энергию (сцинтилляционный
счетчик, черенковский счетчик, импульс-
импульсная ионизационная камера, газоразрядный
счетчик, полупроводниковый счетчик);
2) приборы, позволяющие наблюдать,
например фотографировать, следы (тре-
(треки) частиц в веществе (камера Вильсона,
диффузионная камера, пузырьковая каме-
камера, ядерные фотоэмульсии).
1. Сцинтилляционный счетчик. Наблю-
Наблюдение сцинтилляций — вспышек света при
попадании быстрых частиц на флуоресци-
флуоресцирующий экран — первый метод, позволив-
позволивший У. Круксу * и Э. Резерфорду на заре
ядерной физики A903) визуально ре-
регистрировать а-частицы. Сцинтилляцион-
Сцинтилляционный счетчик — детектор ядерных частиц,
основными элементами которого явля-
являются сцинтиллятор (кристаллофосфор)
(см. §245) и фотоэлектронный умножи-
умножитель (см. § 105), позволяющий преобразо-
преобразовывать слабые световые вспышки в элек-
электрические импульсы, регистрируемые
электронной аппаратурой. Обычно в ка-
качестве сцинтилляторов используют
кристаллы некоторых неорганических
(ZnS для а-частиц; Nal-Tl, Csl-Tl —
для C-частиц и у-квантов) или органиче-
органических (антрацен, пластмассы — для 7-кван-
тов) веществ.
Сцинтилляционные счетчики обладают
высоким разрешением по времени
A0~10—10~5с), определяемым родом ре-
регистрируемых частиц, сцинтиллятором
и разрешающим временем используемой
электронной аппаратуры (оно доведено
сейчас до 10~9—10 |0 с). Для этого типа
счетчиков эффективность регистрации —
отношение числа зарегистрированных
частиц к полному числу частиц, пролетев-
пролетевших в счетчике, примерно 100 % для за-
заряженных частиц и 30 % для -\>-квантов-
Так как для многих сцинтилляторов
(Nal-Tl, Csl-Tl, антрацен, стильбен)
* У. Крукс A832-1919) — английский фи-
физик и химик.

422
Элемент и фимики томного ядра н элементарных частно
интенсивность световой вспышки в широ-
широком интервале энергий пропорциональна
энергии первичной частицы, то счетчики
на данных сцинтилляторах применяются
для измерения энергии регистрируемых
частиц.
2. Черенковский счетчик. Принцип его
работы и свойства излучения Вавилова —
Черенкова, лежащие в основе работы
счетчика, рассмотрены в § 189. Назначение
черенковских счетчиков — это измерение
энергии частиц, движущихся в веществе
со скоростью, превышающей фазовую ско-
скорость света в данной среде, и разделение
этих частиц по массам. Зная угол испуска-
испускания излучения (см. A89.1)), можно опре-
определить скорость частицы, что при извест-
известной массе частицы равносильно определе-
определению ее энергии. С другой стороны, если
масса частицы не известна, то она может
быть определена по независимому измере-
измерению энергии частицы. Кроме того, при
наличии двух пучков частиц с разными
скоростями будут различными и углы ис-
испускания излучений, по которым можно
искомые частицы определить. Для черен-
черенковских счетчиков разрешение по скоро-
скоростям (иными словами, по энергиям) со-
составляет 10^3—10~5. Это позволяет от-
отделять элементарные частицы друг от
друга при энергиях порядка 10 ГэВ, когда
углы испускания излучения различаются
очень мало. Время разрешения счетчиков
достигает 10~8с. Счетчики Черенкова
устанавливаются на космических кораб-
кораблях для исследования космического излу-
излучения.
3. Импульсная ионизационная каме-
камера — это детектор частиц, действие кото-
которого основано на способности заряженных
частиц вызывать ионизацию газа. Иониза-
Ионизационная камера представляет собой элек-
электрический конденсатор, заполненный га-
газом, к электродам которого подается по-
постоянное напряжение. Регистрируемая
частица, попадая в пространство между
электродами, ионизует газ. Напряжение
подбирается так, чтобы все образовавшие-
образовавшиеся ионы, с одной стороны, доходили до
электродов, не успев рекомбинировать,
а с другой — не разгонялись настолько
сильно, чтобы производить вторичную
ионизацию. Следовательно, в ионизацион-
ионизационной камере на ее электродах непосред-
непосредственно собираются ионы, возникшие под
действием заряженных частиц. Ионизаци-
Ионизационные камеры бывают двух типов: интег-
интегрирующие (в них измеряется суммарный
ионизационный ток) и импульсные, являю-
являющиеся, по существу, счетчиками (в них
регистрируется прохождение одиночной
частицы и измеряется ее энергия, правда,
с довольно низкой точностью, обусловлен-
обусловленной малостью выходного импульса).
4. Газоразрядный счетчик. Газораз-
Газоразрядный счетчик обычно выполняется в ви-
виде наполненного газом металлического ци-
цилиндра (катод) с тонкой проволокой
(анод), натянутой по его оси. Хотя газо-
газоразрядные счетчики конструктивно похо-
похожи на ионизационную камеру, однако
в них основную роль играет вторичная
ионизация, обусловленная столкновения-
столкновениями первичных ионов с атомами и молеку-
молекулами газа и стенок. Можно говорить
о двух типах газоразрядных счетчиков:
пропорциональных (в них газовый разряд
несамостоятельный (см. §106), т.е. гас-
гаснет при прекращении действия внешнего
ионизатора) и счетчиках Гейгера — Мюл-
Мюллера * (в них разряд самостоятельный
(см. §107), т.е. поддерживается после
прекращения действия внешнего иониза-
ионизатора).
В пропорциональных счетчиках рабо-
рабочее напряжение выбирается так, чтобы
они работали в области вольт-амперной
характеристики, соответствующей несамо-
несамостоятельному разряду, в которой выход-
выходной импульс пропорционален первичной
ионизации, т. е. энергии влетевшей в счет-
счетчик частицы. Поэтому они не только ре-
регистрируют частицу, но и измеряют ее
энергию. В пропорциональных счетчиках
импульсы, вызываемые отдельными части-
частицами, усиливаются в 103—104 раз (иногда
и в 10е раз).
Счетчик Гейгера — Мюллера по кон-
конструкции и принципу действия существен-
физик.
Э.Мюллер A911 —1977) — немецкий

!' л а п а 32. Элементы физики атомного ядра
423
но не отличается от пропорционального
счетчика, но работает в области вольт-
амперной характеристики, соответствую-
соответствующей самостоятельному разряду
(см. § 107), когда выходной импульс не
зависит от первичной ионизации. Счетчики
Гейгера — Мюллера регистрируют части-
частицу без измерения ее энергии. Коэффици-
Коэффициент усиления этих счетчиков составля-
составляет 108. Для регистрации раздельных им-
импульсов возникший разряд следует гасить.
Для этого, например, последовательно
с нитью включается такое сопротивление,
чтобы возникший в счетчике разряд вы-
вызывал на сопротивлении падение напряже-
напряжения, достаточное для прерывания разряда.
Временное разрешение счетчиков Гейге-
Гейгера— Мюллера составляет 10~3—10 ~7 с.
Для газоразрядных счетчиков эффектив-
эффективность регистрации равна примерно 100 %
для заряженных частиц и примерно 5 %
для у-квантов.
5. Полупроводниковый счетчик — это
детектор частиц, основным элементом ко-
которого является полупроводниковый диод
(см. §250). Время разрешения составляет
примерно 10~9 с. Полупроводниковые
счетчики обладают высокой надежностью,
могут работать в магнитных полях. Малая
толщина рабочей области (порядка сотни
микрометров) полупроводниковых счетчи-
счетчиков не позволяет применять их для изме-
измерения высокоэнергетических частиц.
6. Камера Вильсона* A912)—это
старейший и на протяжении многих деся-
десятилетий (вплоть до 50—60-х годов) един-
единственный тип трекового детектора. Выпол-
Выполняется обычно в виде стеклянного цилинд-
цилиндра с плотно прилегающим поршнем.
Цилиндр наполняется нейтральным газом
(обычно гелием или аргоном), насыщен-
насыщенным парами воды или спирта. При резком,
т. е. адиабатическом, расширении газа пар
становится пересыщенным и на траектори-
траекториях частиц, пролетевших через камеру, об-
образуются треки из тумана. Образовавшие-
Образовавшиеся треки для воспроизводства их про-
пространственного расположения фотографи-
* Ч.Вильсон A869- 1959) — английский
физик.
руются стереоскопически, т. е. под разны-
разными углами. По характеру и геометрии
треков можно судить о типе прошедших
через камеру частиц (например, а-частица
оставляет сплошной жирный след,
^-частица — тонкий), об энергии частиц
(по величине пробега), о плотности иони-
ионизации (по количеству капель на единицу
длины трека), о количестве участвующих
в реакции частиц.
Советский ученый Д. В. Скобельцын
A892—1988) значительно расширил воз-
возможности камеры Вильсона, поместив
ее в сильное магнитное поле A927).
По искривлению траектории заряженных
частиц в магнитном поле, т. е. по кривизне
трека, можно судить о знаке заряда, а ес-
если известен тип частицы (ее заряд и мас-
масса), то по радиусу кривизны трека можно
определить энергию и массу частицы даже
в том случае, если весь трек в камере не
умещается (для реакций при высоких энер-
энергиях вплоть до сотен мегаэлектрон-вольт).
Недостаток камеры Вильсона — ее малое
рабочее время, составляющее пример-
примерно 1 % от времени, затрачиваемого для
подготовки камеры к последующему рас-
расширению (выравнивание температуры
и давления, рассасывание остатков тре-
треков, насыщение паров), а также трудо-
трудоемкость обработки результатов.
7. Диффузионная камера A936) — это
разновидность камеры Вильсона. В ней
рабочим веществом также является пере-
пересыщенный пар, но состояние пересыщения
создается диффузией паров спирта от на-
нагретой (до 10 °С) крышки ко дну, охлаж-
охлаждаемому (до —60 С'С) твердой углекисло-
углекислотой. Вблизи дна возникает слой пересы-
пересыщенного пара толщиной примерно 5 см,
в котором проходящие заряженные части-
частицы создают треки. В отличие от вильсо-
новской диффузионная камера работает
непрерывно. Кроме того, из-за отсутствия
поршня в ней могут создаваться давления
до 4 МПа, что значительно увеличивает ее
эффективный объем.
8. Пузырьковая камера A952; амери-
американский физик Д. Глезер (р. 1926)). В пу-
пузырьковой камере рабочим веществом яв-
является перегретая (находящаяся под дав-
давлением) прозрачная жидкость (жидкие

424
'->. h\il!I!и ||)И,1И!<и ;i
ядра
vii>4('i!:;j|)i:b.v 'i;u
водород, пропан, ксенон). Запускается ка-
камера, так же как и камера Вильсона,
резким сбросом давления, переводящим
жидкость в неустойчивое перегретое со-
состояние. Пролетающая в это время через
камеру заряженная частица вызывает рез-
резкое вскипание жидкости, и траектория
частицы оказывается обозначенной цепоч-
цепочкой пузырьков пара — образуется трек,
который, как и в камере Вильсона, фото-
фотографируется. Пузырьковая камера рабо-
работает циклами. Размеры пузырьковых ка-
камер примерно такие же, как камеры Виль-
Вильсона (от десятков сантиметров до 2 м), но
их эффективный объем на 2—3 порядка
больше, так как жидкости гораздо плотнее
газов. Это позволяет использовать пу-
пузырьковые камеры для исследования
длинных цепей рождений и распадов
частиц высоких энергий.
9. Ядерные фотоэмульсии A927; со-
советский физик Л. В. Мысовский A888—
1939)) — это простейший трековый детек-
детектор заряженных частиц. Прохождение за-
заряженной частицы в эмульсии вызывает
ионизацию, приводящую к образованию
центров скрытого изображения. После
проявления следы заряженных частиц об-
обнаруживаются в виде цепочки зерен ме-
металлического серебра. Так как эмуль-
эмульсия — среда более плотная, чем газ или
жидкость, используемые в вильсоновской
и пузырьковой камерах, то при прочих
равных условиях длина трека в эмульсии
более короткая. Так, трек длиной 0,05 см
в эмульсии эквивалентен треку в 1 м в ка-
камере Вильсона. Поэтому фотоэмульсии
применяются для изучения реакций, вы-
вызываемых частицами в ускорителях сверх-
сверхвысоких энергий и в космических лучах.
В практике исследований высокоэнергети-
высокоэнергетических частиц используются также так
называемые стопы — большое число мар-
маркированных фотоэмульсионных пластинок,
помещаемых на пути частиц и после про-
проявления промеряемых под микроскопом.
В настоящее время методы наблюде-
наблюдения и регистрации заряженных частиц
и излучений настолько разнообразны, что
их детальное описание просто невозможно.
Большое значение начинают играть
сравнительно новые A957) приборы—
искровые камеры, использующие преиму-
преимущества счетчиков (быстрота регистрации)
и трековых детекторов (полнота информа-
информации о треках). Говоря образно, искровая
камера — это набор большого числа очень
мелких счетчиков. Поэтому она близка
к счетчикам, так как информация в ней
выдается немедленно, без последующей
обработки, и в то же время обладает свой-
свойствами трекового детектора, так как по
действию многих счетчиков можно устано-
установить треки частиц.
§ 262. Ядерные реакции
и их основные типы
Ядерные реакции — это превращения
атомных ядер при взаимодействии с эле-
элементарными частицами (в том числе
и с -у-квантами) или друг с другом. Наибо-
Наиболее распространенным видом ядерной ре-
реакции является реакция, записываемая
символически следующим образом:
, или X(a,6)Y,
где X и К- исходное и конечное ядра,
а и Ъ — бомбардирующая и испускаемая
(или испускаемые) в ядерной реакции
частицы.
В ядерной физике эффективность вза-
взаимодействия характеризуют эффективным
сечением а. С каждым видом взаимодейст-
взаимодействия частицы с ядром связывают свое эф-
эффективное сечение: эффективное сечение
рассеяния определяет процессы рассея-
рассеяния, эффективное сечение поглощения —
процессы поглощения. Эффективное сече-
сечение ядерной реакции
dN
°~ nN dx'
где N — число частиц, падающих за еди-
единицу времени на единицу площади попере-
поперечного сечения вещества, имеющего в еди-
единице объема п ядер, dN — число этих
частиц, вступающих в ядерную реакцию
в слое толщиной dx. Эффективное сече-
сечение а имеет размерность площади и ха-
характеризует вероятность того, что при па-
падении пучка частиц на вещество произой-
произойдет реакция.
Единица эффективного сечения ядер-

I'.is ii и Л'2 Элементы фи siikh атомного ядр;|
'ILT)
ных
процессов — барн A барн =
В любой ядерной реакции выполняют-
выполняются законы сохранения электрических за-
зарядов и массовых чисел: сумма зарядов
(массовых чисел) ядер и частиц, вступаю-
вступающих в ядерную реакцию, равна сумме
зарядов (массовых чисел) конечных про-
продуктов (ядер и частиц) реакции. Выпол-
Выполняются также законы сохранения энергии,
импульса и момента импульса.
В отличие от радиоактивного распада,
который протекает всегда с выделением
энергии, ядерные реакции могут быть как
экзотермическими (с выделением энер-
энергии), так и эндотермическими (с поглоще-
поглощением энергии).
Важную роль в объяснении механизма
многих ядерных реакций сыграло пред-
предположение Н. Бора A936) о том, что ядер-
ядерные реакции протекают в две стадии по
следующей схеме:
Х + а-»С-» Y + 6. B62.1)
Первая стадия — это захват ядром
X частицы а, приблизившейся к нему на
расстояние действия ядерных сил (при-
(примерно 2-10~'sm), и образование проме-
промежуточного ядра С, называемого состав-
составным (или компаунд-ядром). Энергия вле-
влетевшей в ядро частицы быстро распреде-
распределяется между нуклонами составного ядра,
в результате чего оно оказывается в воз-
возбужденном состоянии. При столкновении
нуклонов составного ядра один из нукло-
нуклонов (или их комбинация, например дейт-
дейтрон — ядро тяжелого изотопа водорода —
дейтерия, содержащее один протон и один
нейтрон) или а-частица может получить
энергию, достаточную для вылета из яд-
ядра. В результате возможна вторая ста-
стадия ядерной реакции — распад составного
ядра на ядро Y и частицу Ъ.
В ядерной физике вводится характер-
характерное ядерное время — время, необходимое
для пролета частицей расстояния порядка
величины, равной диаметру ядра (d«
~10~15м). Так, для частицы с энергией
1 МэВ (что соответствует ее скорости г>«
»107м/с) характерное ядерное время
т=1СГ'5м/107м/с=1(Г22с. С другой
стороны, доказано, что время жизни со-
составного ядра равно 10 16—10 |2с,
т. е. составляет A06— 1010 )т. Это же озна-
означает, что за время жизни составного ядра
может произойти очень много столкнове-
столкновений нуклонов между собой, т. е. перерас-
перераспределение энергии между нуклонами дей-
действительно возможно. Следовательно, со-
составное ядро живет настолько долго, что
полностью «забывает», каким образом оно
образовалось. Поэтому характер распада
составного ядра (испускание им частицы
Ь) — вторая стадия ядерной реакции — не
зависит от способа образования составно-
составного ядра — первой стадии.
Если испущенная частица тождествен-
тождественна с захваченной (Ь=а), то схема B62.1)
описывает рассеяние частицы: упругое —
при Еь = Еа, неупругое — при ЕьфЕа. Ес-
Если же испущенная частица не тожде-
тождественна с захваченной (Ь=/=а), то имеем
дело с ядерной реакцией в прямом смысле
слова.
Некоторые реакции протекают без об-
образования составного ядра, они называ-
называются прямыми ядерными взаимодействия-
взаимодействиями (например, реакции, вызываемые
быстрыми нуклонами и дейтронами).
Ядерные реакции классифицируются
по следующим признакам:
1) по роду участвующих в них
частиц — реакции под действием нейтро-
нейтронов; реакции под действием заряженных
частиц (например, протонов, дейтронов,
а-частиц); реакции под действием
у-квантов;
2) по энергии вызывающих их
частиц — реакции при малых энергиях
(порядка электрон-вольт), происходящие
в основном с участием нейтронов; реак-
реакции при средних энергиях (до несколь-
нескольких мегаэлектрон-вольт), происходящие
с участием у-квантов и заряженных
частиц (протоны, а-частицы); реакции
при высоких энергиях (сотни и тысячи
мегаэлектрон-вольт), приводящие к рож-
рождению отсутствующих в свободном состоя-
состоянии элементарных частиц и имеющие
большое значение для их изучения;
3) по роду участвующих в них ядер —
реакции на легких ядрах (Л<50); реак-
реакции на средних ядрах E0< Л < 100); реак-
реакции на тяжелых ядрах (А>100);

41'li
7. Элементы физики атомтго ядра и элементарных частиц
4) по характеру происходящих ядер- ядра (см. §255), испытывающие р -рас-
мыл: превращений — реакции с испускани- пад, а реакции на В, А1 и Mg привели
к
ем нейтронов; реакции с испусканием за-
заряженных частиц; реакции захвата (в слу-
случае этих реакций составное ядро не
испускает никаких частиц, а переходит
в основное состояние, излучая один или
несколько v-квантов).
Первая в истории ядерная реакция
осуществлена Э. Резерфордом A919)
при бомбардировке ядра азота а-части-
цами, испускаемыми радиоактивным
источником:
искусственно-радиоактивным ядрам,
претерпевающим р+-распад, или позит-
ронный распад:
§ 2G3. Позитрон. р+-Распад.
Электронный захват
П. Дираком было получено A928) реляти-
релятивистское волновое уравнение для электро-
электрона, которое позволило объяснить все ос-
основные свойства электрона, в том числе
наличие у него спина и магнитного мо-
момента. Замечательной особенностью урав-
уравнения Дирака оказалось то, что из него
для полной энергии свободного электрона
получались не только положительные, но
и отрицательные значения. Этот результат
мог быть объяснен лишь предположением
о существовании античастицы электро-
электрона — позитрона.
Гипотеза Дирака, недоверчиво воспри-
воспринимавшаяся большинством физиков, была
блестяще подтверждена в 1932 г. К. Ан-
Андерсоном (американский физик (р. 1905);
Нобелевская премия 1936 г.), обнаружив-
обнаружившим позитрон в составе космического из-
излучения. Существование позитронов было
доказано наблюдением их треков в камере
Вильсона, помещенной в магнитном поле.
Эти частицы в камере отклонялись так,
как отклоняется движущийся положитель-
положительный заряд. Опыты показали, что позитрон
+°е—частица с массой покоя, в точности
равной массе покоя электрона, и спином
Й/2, несущая положительный электриче-
электрический заряд -\-е.
Жолио-Кюри — Фредерик A900—
1958) и Ирен A897—1956),—бомбарди-
A897—1956),—бомбардируя различные ядра а-частицами A934),
обнаружили искусственно-радиоактивные
(Нобелевская премия 1956 г.) Наличие
в этих реакциях позитронов доказано при
изучении их треков в камере Вильсона,
помещенной в магнитное поле.
Таким образом, в экспериментах Жо-
Жолио-Кюри, с одной стороны, открыта
искусственная радиоактивность, а с дру-
другой — впервые обнаружен позитронный
радиоактивный распад.
Энергетический р* + -спектр, как
и р~ -спектр (см. §258), непрерывен. р + -
Распад подчиняется следующему правилу
смещения:
Процесс р+-распада протекает так, как
если бы один из протонов ядра превратил-
превратился в нейтрон, испустив при этом позитрон
и нейтрино:
\Р-
B63.1)
причем одновременный выброс нейтрино
вытекает из тех же соображений, которые
излагались при обсуждении р~-распада
(см.§258). Так как масса покоя протона
меньше, чем у нейтрона, то реакция
B63.1) для свободного протона наблю-
наблюдаться не может. Однако для протона,
связанного в ядре благодаря ядерному
взаимодействию частиц, эта реакция ока-
оказывается энергетически возможной.
Вскоре после опытов К. Андерсона,
а также обоснования р+-распада было
установлено, что позитроны могут рож-
рождаться при взаимодействии у-квантов

Гла на 32. Элементы физики атомного ядра
427
большой энергии (Еу> 1,02 МэВ = 2тес2)с
веществом (см. также §259). Этот про-
процесс идет по схеме
Y-*-> + +(?e. B63.2)
Электронно-позитронные пары были дей-
действительно обнаружены в помещенной
в магнитное поле камере Вильсона, в кото-
которой электрон и позитрон, имеющие про-
противоположные по знаку заряды, отклоня-
отклонялись в противоположные стороны.
Для выполнения соотношения B63.2)
помимо выполнения законов сохранения
энергии и импульса необходимо, чтобы
фотон обладал целым спином, равным
0 или 1, поскольку спины электрона и по-
позитрона равны '/г- Ряд экспериментов и те-
теоретических выкладок привели к выводу,
что спин фотона действительно равен 1 (в
единицах h).
При столкновении позитрона с элек-
электроном происходит их аннигиляция:
_°е + +\е^>-2у; B63.3)
в ее процессе электронно-позитронная па-
пара превращается в два vKBaHTa. причем
энергия пары переходит в энергию фото-
фотонов. Появление в этом процессе двух
Y-квантов следует из закона сохранения
импульса и энергии. Реакция B63.3) под-
подтверждена прямыми экспериментами под
руководством советского ученого Л. А. Ар-
цимовича A909—1973). Процессы B63.2)
и B63.3) — процессы возникновения
и превращения электронно-позитронных
пар — являются примером взаимосвязи
различных форм материи: в этих процес-
процессах материя в форме вещества превраща-
превращается в материю в форме электромагнитно-
электромагнитного поля и наоборот.
Для многих ядер превращение протона
в нейтрон, помимо описанного процесса
B63.1), происходит посредством элек-
электронного захвата, или е-захвата, при кото-
котором ядро спонтанно захватывает электрон
с одной из внутренних оболочек атома (К,
L и т.д.), испуская нейтрино:
е-захвата:
т. е. один из протонов ядра превращается
в нейтрон, заряд ядра убывает на единицу
и оно смещается влево так же, как и при
позитронном распаде.
Электронный захват обнаруживается
по сопровождающему его характеристиче-
характеристическому рентгеновскому излучению, возни-
возникающему при заполнении образовавшихся
вакансий в электронной оболочке атома
(именно так е-захват и был открыт
в 1937 г.). При е-захвате, кроме нейтрино,
никакие другие частицы не вылетают,
т. е. вся энергия распада уносится нейтри-
нейтрино. В этом е-захват (часто его называют
третьим видом р-распада) существенно
отличается от р±-распадов, при которых
вылетают две частицы, между которыми
и распределяется энергия распада. При-
Примером электронного захвата может слу-
служить превращение радиоактивного ядра
бериллия ^Ве в стабильное ядро ^Li:
Необходимость появления нейтрино выте-
вытекает из закона сохранения спина. Схема
j 21L. Открытие нейтрона.
Ядерные реакции
под действием нейтронов
Нейтроны, являясь электрически ней-
нейтральными частицами, не испытывают ку-
лоновского отталкивания и поэтому легко
проникают в ядра и вызывают разнооб-
разнообразные ядерные превращения. Ядерные
реакции под действием нейтронов не толь-
только сыграли огромную роль в развитии
ядерной физики, но и привели к появлению
ядерных реакторов (см. §267).
Краткая история открытия нейтрона
такова. Немецкие физики В. Боте A891 —
1957) и Г. Беккер в 1930 г., облучая ряд
элементов, в частности ядра бериллия,
ос-частицами, обнаружили возникновение
излучения очень большой проникающей
способности. Так как сильно проникающи-
проникающими могут быть только нейтральные части-
частицы, то было высказано предположение, что
обнаруженное излучение — жесткие у-лу-
чи с энергией примерно 7 МэВ (энергия
рассчитана по поглощению). Дальнейшие

¦12ч
7. .Чиементы физики лтомпого ядра и ^лгметлрньг;
эксперименты (Ирен и Фредерик Жолио-
Кюри, 1931 г.) показали, что обнаружен-
обнаруженное излучение, взаимодействуя с водоро-
досодержащими соединениями, например
парафином, выбивает протоны с пробега-
пробегами примерно 26см. Из расчетов следова-
следовало, что для получения протонов с такими
пробегами предполагаемые у-кванты до-
должны были обладать фантастической по
тем временам энергией 50 МэВ вместо
расчетных 7 МэВ!
Пытаясь найти объяснение описанным
экспериментам, английский физик Д. Чэд-
вик A891 — 1974) предположил A932),
а впоследствии доказал, что новое про-
проникающее излучение представляет собой
не у-кванты, а поток тяжелых нейтраль-
нейтральных частиц, названных им нейтронами.
Таким образом, нейтроны были обнаруже-
обнаружены в следующей ядерной реакции:
Эта реакция не является единственной,
ведущей к выбрасыванию из ядер нейтро-
нейтронов (например, нейтроны возникают в ре-
реакциях ^Li (a, n) 'gB и "В (а, п) и7Ы).
Характер ядерных реакций под дей-
действием нейтронов зависит от их скорос-
скорости (энергии). В зависимости от энергии
нейтроны условно делят на две группы:
медленные и быстрые. Область энергий мед-
медленных нейтронов включает в себя область
ультрахолодных (с энергией до 10~7эВ),
очень холодных A0~7—Л0~А эВ), холод-
холодных A(Г4-1(Г3эВ), тепловых A0~3-
0,5 эВ) и резонансных @,5— 104эВ)
нейтронов. Ко второй группе можно от-
отнести быстрые A04 — 10а эВ), высокоэнер-
гетичные A08 — 1010 эВ) и релятивистские
О 10'" эВ) нейтроны.
Замедлить нейтроны можно пропуская
их через какое-либо вещество, содержа-
содержащее водород (например, парафин, вода).
Проходя через такие вещества, быстрые
нейтроны испытывают рассеяние на ядрах
и замедляются до тех пор, пока их энер-
энергия не станет равной, например, энергии
теплового движения атомов вещества-за-
вещества-замедлителя, т. е. равной приблизительно kT.
Медленные нейтроны эффективны для
возбуждения ядерных реакций, так как
они относительно долго находятся вблизи
атомного ядра. Благодаря этому вероят-
вероятность захвата нейтрона ядром становится
довольно большой. Однако энергия мед-
медленных нейтронов мала, потому они не
могут вызывать, например, неупругое рас-
рассеяние. Для медленных нейтронов харак-
характерны упругое рассеяние на ядрах (реак-
(реакция типа (я, «)) и радиационный захват
(реакция типа (я, у)). Реакция (п, у)
приводит к образованию нового изотопа
исходного вещества:
-4 + 1
например
113,
Часто в результате (п, 7)-реакции об-
образуются искусственные радиоактивные
изотопы, дающие, как правило, (J~-pac-
пад, Например, в результате реакции
образуется радиоактивный изотоп ^Р.пре-
^Р.претерпевающий Р"-распад с образованием
стабильного изотопа серы:
32 п
P
Под действием медленных нейтронов
на некоторых легких ядрах наблюдаются
также реакции захвата нейтронов с ис-
испусканием заряженных частиц — прото-
протонов и а-частиц (под действием тепловых
нейтронов):
(используется для обнаружения нейтро-
нейтронов) или
(используется для получения трития,
в частности в термоядерных взрывах;
см. §268).
Реакции типа (и, р) и (я, а), т. е. реак-
реакции с образованием заряженных частиц,
происходят в основном под действием
быстрых нейтронов, так как в случае мед-
медленных нейтронов энергии атомного ядра
недостаточно для пребдоления потенци-
потенциального барьера, препятствующего вылету

!'.¦! И И И 'Л'1. Н'к'МОПТЫ фН^ИКИ Щ'ОМНОГО ЯЛПа
¦iiiil
протонов и а-частиц. Эти реакции, как
и реакции радиационного захвата, часто
ведут к образованию р~-активных ядер.
Для быстрых нейтронов наблюдается
неупругое их рассеяние, совершающееся
по схеме
где вылетающий из ядра нейтрон обозна-
обозначен Как о«', поскольку это не тот нейтрон,
который проник в ядро; 10п' имеет энергию,
меньшую энергии 10п, а остающееся после
вылета нейтрона ядро находится в воз-
возбужденном состоянии (отмечено звездоч-
звездочкой), поэтому его переход в нормальное
состояние сопровождается испусканием
у-кванта.
Когда энергия нейтронов достигает
значений 10 МэВ, становятся возможными
реакции типа (га, 2/г). Например, в резуль-
результате реакции
образуется C -активный изотоп
претерпевающий распад по схеме
237, , 237 м I О
нов, называемых нейтронами деления. Так
как для средних ядер число нейтронов
примерно равно числу протонов {NjZm
1), а для тяжелых ядер число нейтронов
значительно превышает число протонов
(A//Zssl,6), то образовавшиеся осколки
деления перегружены нейтронами, в ре-
результате чего они и выделяют нейтроны
деления. Однако испускание нейтронов де-
деления не устраняет полностью перегрузку
ядер-осколков нейтронами. Это приводит
к тому, что осколки оказываются радио-
радиоактивными. Они могут претерпеть ряд
(^-превращений, сопровождаемых ис-
испусканием Y-квантои. Так как р~-распад
сопровождается превращением нейтрона
в протон (см. B58.1)), то после цепочки
^'-превращений соотношение между ней-
нейтронами и протонами в осколке достигнет
величины, соответствующей стабильному
изотопу. Например, при делении ядра ура-
урана
235,,
92 U
235, I | !
B65.1)
осколок деления 'i^'Xe в результате трех
актов р~-распада превращается в ста-
стабильный изотоп лантана '^La:
j 2Ь->. Иелкци',1 деления ядра
К началу 40-х годов работами многих уче-
ученых— Э.Ферми (Италия), О.Гана
A879—1968), Ф. Штрассмана A902—
1980) (ФРГ). О.Фриша A904—1979)
(Великобритания), Л. Мейтнер A878—
1968) (Австрия), Г. Н.Флерова (р. 1913),
К. Н. Петржака (СССР) — было доказа-
доказано, что при облучении урана нейтронами
образуются элементы из середины перио-
периодической системы — лантан и барий. Этот
результат положил начало ядерным ре-
реакциям совершенно нового типа — реак-
реакциям деления ядра, заключающимся
в том, что тяжелое ядро под действием
нейтронов, а как впоследствии оказалось,
и других частиц делится на несколько
более легких ядер (осколков), чаще всего
на два ядра, близких по массе.
Замечательной особенностью деления
ядер является то, что оно сопровождается
испусканием двух-трех вторичных нейтро-
139
54
|39
I39n
56Ва
139,
57
Осколки деления могут быть разно-
разнообразными, поэтому реакция B65.1) не
единственная, приводящая к делению 2Ц\3.
Возможна, например реакция
Большинство нейтронов при делении
испускается практически мгновенно (/<!
10~|4с), а часть (около 0,7%) ис-
испускается осколками деления спустя не-
некоторое время после деления @,05 c^f<!
^60 с). Первые из них называются
мгновенными, вторые — запаздывающи-
запаздывающими. В среднем на каждый акт деления
приходится 2,5 испущенных нейтронов.
Они имеют сравнительно широкий энерге-
энергетический спектр в пределах от 0 до 7 МэВ,
причем на один нейтрон в среднем при-
приходится энергия около 2 МэВ.
Расчеты показывают, что деление ядер
должно сопровождаться также выделени-

430
7. .'>.':!Wi!Tbi финики атомного ядра и :>л<.-менг;>|мих »;>. •¦:>
ем большого количества энергии. В самом
деле, удельная энергия связи для ядер
средней массы составляет примерно
8,7 МэВ, в то время как для тяжелых ядер
она равна 7,6 МэВ (см. §252). Следова-
Следовательно, при делении тяжелого ядра на два
осколка должна освобождаться энергия,
равная примерно 1,1 МэВ на один нук-
нуклон.
Эксперименты подтверждают, что при
каждом акте деления действительно вы-
выделяется огромная энергия, которая рас-
распределяется между осколками (основная
доля), нейтронами деления, а также меж-
между продуктами последующего распада
осколков деления.
В основу теории деления атомных ядер
(Н. Бор, Я. И. Френкель) положена ка-
капельная модель ядра (см. §254). Ядро
рассматривается как капля электрически
заряженной несжимаемой жидкости (с
плотностью, равной ядерной, и подчиняю-
подчиняющейся законам квантовой механики),
частицы которой при попадании нейтрона
в ядро приходят в колебательное движе-
движение, в результате чего ядро разрывается
на две части, разлетающиеся с огромной
энергией.
Вероятность деления ядер определяет-
определяется энергией нейтронов. Например, если
высокоэнергетичные нейтроны (см. §264)
вызывают деление практически всех ядер,
то нейтроны с энергией в несколько мега-
электрон-вольт — только тяжелых ядер
(Л>210). Нейтроны, обладающие энер-
энергией активации (минимальной энергией,
необходимой для осуществления реакции
деления ядра) порядка 1 МэВ, вызывают
деление ядер урана 2&и, тория 2goTh, про-
протактиния 2gjPa и плутония 2ЦРи. Тепло-
Тепловыми нейтронами делятся ядра ^U, 2ЦРи
и 92^> эоТп (два последних изотопа
в природе не встречаются, они получаются
искусственным путем). Например, изотоп
29sU получается в результате радиацион-
радиационного захвата (реакции (п.у), см. §264)
нейтронов ядром ^Th:
90
91'
233
92
и
B64.2)
§ 26fi. Ценная реакция деления
Испускаемые при делении ядер вторичные
нейтроны могут вызвать новые акты деле-
деления, что делает возможным осуществление
цепной реакции деления — ядерной реак-
реакции, в которой частицы, вызывающие ре-
реакцию, образуются как продукты этой ре-
реакции. Цепная реакция деления характе-
характеризуется коэффициентом размножения
k нейтронов, который равен отношению
числа нейтронов в данном поколении к их
числу в предыдущем поколении. Необхо-
Необходимым условием для развития цепной ре-
реакции деления является требование k~^\.
Оказывается, что не все образующие-
образующиеся вторичные нейтроны вызывают после-
последующее деление ядер, что приводит
к уменьшению коэффициента размноже-
размножения. Во-первых, из-за конечных размеров
активной зоны (пространство, где проис-
происходит цепная реакция) и большой про-
проникающей способности нейтронов часть из
них покинет активную зону раньше, чем
будет захвачена каким-либо ядром. Во-
вторых, часть нейтронов захватывается
ядрами неделящихся примесей, всегда
присутствующих в активной зоне. Кроме
того, наряду с делением могут иметь место
конкурирующие процессы радиационного
захвата и неупругого рассеяния.
Коэффициент размножения зависит от
природы делящегося вещества, а для дан-
данного изотопа — от его количества, а также
размеров и формы активной зоны. Мини-
Минимальные размеры активной зоны, при ко-
которых возможно осуществление цепной
реакции, называются критическими разме-
размерами. Минимальная масса делящегося ве-
вещества, находящегося в системе критиче-
критических размеров, необходимая для осуще-
осуществления цепной реакции, называется
критической массой.
Скорость развития цепных реакций
различна. Пусть Т — среднее время жизни
одного поколения, а N— число нейтронов
в данном поколении. В следующем поколе-
поколении их число равно kN, т. е. прирост числа
нейтронов за одно поколение dN = kN —
— N — N(k— 1). Прирост же числа нейтро-
нейтронов за единицу времени, т. е. скорость

Г л ana 32 Элементы финпк-ч атомного ядпи
нарастания цепной реакции,
Интегрируя B66.1), получим
B661)
где No — число нейтронов в начальный
момент времени, а N —их число в момент
времени I. N определяется знаком (й—1).
При k > 1 идет развивающаяся реакция,
число делений непрерывно растет и реак-
реакция может стать взрывной. При k= 1 идет
самоподдерживающаяся реакция, при ко-
которой число нейтронов с течением времени
не изменяется. При k<\ идет затухаю-
затухающая реакция.
Цепные реакции делятся на управляе-
управляемые и неуправляемые. Взрыв атомной
бомбы, например, является неуправляемой
реакцией. Чтобы атомная бомба при хра-
хранении не взорвалась, в ней ^IJU (или
2g4Pu) делится на две удаленные друг от
друга части с массами ниже критических.
Затем с помощью обычного взрыва эти
массы сближаются, общая масса деляще-
делящегося вещества становится больше крити-
критической и возникает взрывная цепная ре-
реакция, сопровождающаяся мгновенным
выделением огромного количества энергии
и большими разрушениями. Взрывная ре-
реакция начинается за счет имеющихся ней-
нейтронов спонтанного деления или нейтро-
нейтронов космического излучения. Управляемые
цепные реакции осуществляются в ядер-
ядерных реакторах (см. §267).
В природе имеется три изотопа, кото-
которые могут служить ядерным топливом
Bg2U: в естественном уране его содержится
примерно 0,7 %) или сырьем для его полу-
получения B9oTh и 292U: в естественном уране
его содержится примерно 99,3%). 2goTh
служит исходным продуктом для получения
искусственного ядерного топлива ^U
(см. реакцию B65.2)), a ^U, поглощая
нейтроны, посредством двух последова-
последовательных р~-распадов — для превращения
В ЯДРО 94РЦ:
Реакции B66.2) и B65.2), таким образом,
открывают реальную возможность воспро-
воспроизводства ядерного горючего в процессе
цепной реакции деления.
§267. Понятии о идерной энергетике
Большое значение в ядерной энергетике
приобретает не только осуществление цеп-
цепной реакции деления, но и управление
ею. Устройства, в которых осуществляется
и поддерживается управляемая цепная
реакция деления, называются ядерными
реакторами. Пуск первого реактора в мире
осуществлен в Чикагском университете
A942) под руководством Э.Ферми,
в СССР (и в Европе) — в Москве
A946) под руководством И. В. Курчатова.
Для пояснения работы реактора
рассмотрим принцип действия реак-
реактора на тепловых нейтронах (рис.345).
В активной зоне реактора расположены
тепловыделяющие элементы / и замедли-
замедлитель 2, в котором нейтроны замедляются
до тепловых скоростей. Тепловыделяющие
элементы (твэлы) представляют собой
блоки из делящегося материала, заклю-
заключенные в герметическую оболочку, слабо
поглощающую нейтроны. За счет энергии,
выделяющейся при делении ядер, твэлы
разогреваются, а поэтому для охлаждения
они помещаются в поток теплоносителя
C—канал для протока теплоносителя).
Активная зона окружается отражателем
4, уменьшающим утечку нейтронов.
Управление цепной реакцией осуще-
осуществляется специальными управляющими
стержнями 5 из материалов, сильно по-
238
B66.2)

4.42
'->.¦¦:-менты фи.'шки атомного wififi и
глощающих нейтроны (например, В, Cd).
Параметры реактора рассчитываются так,
что при полностью вставленных стержнях
реакция заведомо не идет, при постепен-
постепенном вынимании стержней коэффициент
размножения нейтронов растет и при не-
некотором их положении доходит до едини-
единицы. В этот момент реактор начинает рабо-
работать. По мере его работы количество де-
делящегося материала в активной зоне
уменьшается и происходит ее загрязнение
осколками деления, среди которых могут
быть сильные поглотители нейтронов. Что-
Чтобы реакция не прекратилась, из активной
зоны с помощью автоматического устрой-
устройства постепенно извлекаются управляю-
управляющие (а часто специальные компенсирую-
компенсирующие) стержни. Подобное управление
реакцией возможно благодаря существо-
существованию запаздывающих нейтронов
(см. §265), испускаемых делящимися яд-
ядрами с запаздыванием до 1 мин. Когда
ядерное топливо выгорает, реакция пре-
прекращается. До нового запуска реактора
выгоревшее ядерное топливо извлекают
и загружают новое. В реакторе имеются
также аварийные стержни, введение кото-
которых при внезапном увеличении
интенсивности реакции немедленно ее об-
обрывает.
Ядерный реактор является мощным
источником проникающей радиации (ней-
(нейтроны, v-излучение), примерно в 10" раз
превышающей санитарные нормы. Поэто-
Поэтому любой реактор имеет биологическую
защиту — систему экранов из защитных
материалов (например, бетон, свинец, во-
вода), располагающуюся за его отражате-
отражателем, и пульт дистанционного управление.
Ядерные реакторы различаются:
1) по характеру основных материалов,
находящихся в активной зоне (ядерное
топливо, замедлитель, теплоноситель);
в качестве делящихся и сырьевых веществ
urnniwvmTca235ll 239Dn 233II 238I I 232Th
ИСПОлЬЗуЮТСЯ дг^т 94* LI, 92*-"» 92 ¦ 9СИ ">
в качестве замедлителей — вода (обычная
и тяжелая), графит, бериллий, органиче-
органические жидкости и т. д., в качестве теплоно-
теплоносителей — воздух, вода, водяной пар, Не,
COj и т. д.;
2) по характеру размещения ядерного
топлива и замедлителя в активной зоне:
гомогенные (оба вещества равномерно
смешаны друг с другом) и гетерогенные
(оба вещества располагаются порознь
в виде блоков);
3) по энергии нейтронов (реакторы на
тепловых и быстрых нейтронах; в послед-
последних используются нейтроны деления и за-
замедлитель вообще отсутствует);
4) по типу режима (непрерывные и им-
импульсные);
5) по назначению (энергетические, ис-
исследовательские, реакторы по производст-
производству новых делящихся материалов, радио-
радиоактивных изотопов и т.д.).
В соответствии с рассмотренными при-
признаками и образовались такие названия,
как уран-графитовые, водо-водяные, гра-
фито-газовые и т. д.
Среди ядерных реакторов особое место
занимают энергетические реакторы-раз-
реакторы-размножители. В них наряду с выработкой
электроэнергии идет процесс воспроизвод-
воспроизводства ядерного горючего за счет реакции
B65.2) или B66.2). Это означает, что
в реакторе на естественном или слабообо-
гащенном уране используется не только
изотоп ^U, но и изотоп 29*U. В настоящее
время основой ядерной энергетики с вос-
воспроизводством горючего являются реакто-
реакторы на быстрых нейтронах.
Впервые ядерная энергия для мирных
целей использована в СССР. В Обнинске
под руководством И. В. Курчатова вве-
введена в эксплуатацию A954) первая атом-
атомная электростанция мощностью 5 МВт.
Принцип работы атомной электростан-
электростанции на водо-водяном реакторе приведен
на рис. 346. Урановые блоки / погружены
в воду 2, которая служит одновременно
и замедлителем, и теплоносителем. Горя-
I
I

л л на 32. Элементы физики томного ядра
-133
чая вода (она находится под давлением
и нагревается до 300 °С) из верхней чаети
активной зоны реактора поступает через
трубопровод 3 в парогенератор 4, где она
испаряется и охлаждается, и возвращает-
возвращается через трубопровод 5 в реактор. На-
Насыщенный пар 6 через трубопровод 7 по-
поступает в паровую турбину 8, возвращаясь
после отработки через трубопровод 9 в па-
парогенератор. Турбина вращает электриче-
электрический генератор 10, ток от которого по-
поступает в электрическую сеть.
Создание ядерных реакторов привело
к промышленному применению ядерной энергии.
Энергетические запасы ядерного горючего в ру-
рудах примерно на два порядка превышают за-
запасы химических видов топлива. Поэтому, если,
как предполагается, основная доля электро-
электроэнергии будет вырабатываться на АЭС, то это,
с одной стороны, снизит стоимость электроэнер-
электроэнергии, которая сейчас сравнима с вырабатывае-
вырабатываемой на тепловых электростанциях, а с другой —
решит энергетическую проблему на несколько
столетий и позволит использовать сжигаемые
сейчас нефть и газ в качестве ценного сырья для
химической промышленности.
В СССР помимо создания мощных АЭС
(например, Нововоронежской общей мощностью
примерно 1500 МВт, первой очереди Ленинград-
Ленинградской им. В. И. Ленина с двумя реакторами по
1000 МВт) большое внимание уделяется созда-
созданию небольших АЭС G50—1500 кВт), удобных
для эксплуатации в специфических условиях,
а также решению задач малой ядерной энерге-
энергетики. Так, построены первые в мире передвиж-
передвижные АЭС, создан первый в мире реактор («Ро-
(«Ромашка»), в котором с помощью полупроводни-
полупроводников происходит непосредственное преобразова-
преобразование тепловой анергии в электрическую (в актив-
активной зоне содержится 49 кг 2^U, тепловая
мощность реактора 40 кВт, электрическая —
0,8 кВт), и т. д.
Огромные возможности для развития атом-
атомной энергетики открываются с созданием ре-
реакторов-размножителей на быстрых нейтронах
(брндеров), в которых выработка энергии со-
сопровождается производством вторичного горю-
горючего — плутония, что позволит кардинально ре-
решить проблему обеспечения ядерным горючим.
Как показывают оценки, 1 т гранита содержит
примерно 3 г 2д*и и 12 г ^Th (именно они
используются в качестве сырья в реакторах-
размножителях), т.е. при потреблении энергии
5-10е МВт (на два порядка выше, чем сейчас)
запасов урана и тория в граните хватит на 109
лет при перспективной стоимости 1 кВт-ч энер-
энергии 0,2 коп.
Техника реакторов на быстрых нейтронах
находится в стадии поисков наилучших инже-
инженерных решений. Первая опытно-промышленная
станция такого типа мощностью 350 МВт постро-
построена в г. Шевченко на берегу Каспийского моря.
Она используется для производства электроэнер-
электроэнергии и опреснения морской воды, обеспечивая
водой город и прилегающий район нефтедобычи
с населением порядка 150 000 человек. Шевчен-
Шевченковская АЭС положила начало новой «атомной
отрасли» — опреснению соленых вод, которая в
связи с дефицитом пресноводных ресурсов во
многих районах может иметь большое значение.
§ 2в8. Реакция синтеза атомных ядер.
Проблема управляемых
термоядерни*. реакций
Колоссальным источником энергии может
служить реакция синтеза атомных ядер —
образование из легких ядер более тяже-
тяжелых. Удельная энергия связи ядер
(см. рис. 342) резко увеличивается при
переходе от ядер тяжелого водорода (дей-
(дейтерия ]И и трития -|Н) к литию *Li и осо-
особенно к гелию \Не, т. е. реакции синтеза
легких ядер в болей тяжелые должны со-
сопровождаться выделением большого коли-
количества энергии, что действительно под-
подтверждается расчетами. В качестве при-
примеров рассмотрим реакции синтеза:
? ? (Q = 4,0 МэВ),
;,п (Q = 3,3 МэВ),
In (Q = 17,6 МэВ),
B68.1)
^Hc (Q==22,4 МэВ),.
где Q — энерговыделение.
Реакции синтеза атомных ядер обла-
обладают той особенностью, что в них энергия,
выделяемая на один нуклон, значительно
больше, чем в реакциях деления тяжелых
ядер. В самом деле, если при делении ядра
"gjU выделяется энергия примерно
200 МэВ, что составляет на один нуклон
примерно 0,84 МэВ, то в реакции B68.1)
\Н + |

434
7. Элементы физики гпоммого ядра и элементарны* ч;к1иц
эта величина равна 17,6/5 МэВ»
«3,5 МэВ.
Оценим на примере реакции синтеза
ядер дейтерия ?Н температуру ее протека-
протекания. Для соединения ядер дейтерия их
надо сблизить до расстояния 2-10~'s м,
равного радиусу действия ядерных сил,
преодолевая при этом потенциальную
энергию отталкивания е2/Dяелг)«
«0,7 МэВ. Так как на долю каждого
сталкивающегося ядра приходится поло-
половина указанной энергии, то средней энер-
энергии теплового движения, равной
0,35 МэВ, соответствует температура,
приблизительно равная 2,6 • 109 К. Следо-
Следовательно, реакция синтеза ядер дейтерия
может происходить лишь при температуре,
на два порядка превышающей температу-
температуру центральных областей Солнца (при-
(примерно 1,3-107 К).
Однако оказывается, что для протека-
протекания реакции синтеза атомных ядер до-
достаточно температуры порядка 107 К. Это
связано с двумя факторами: 1) при темпе-
температурах, характерных для реакций синте-
синтеза атомных ядер, любое вещество нахо-
находится в состоянии плазмы, распределение
частиц которой подчиняется закону Мак-
Максвелла; поэтому всегда имеется некоторое
число ядер, энергия которых значительно
превышает среднее значение; 2) синтез
ядер может происходить вследствие тун-
туннельного эффекта (см. §221).
Реакции синтеза легких атомных ядер
в более тяжелые, происходящие при
сверхвысоких температурах (примерно
107 К и выше), называются термоядерны-
термоядерными реакциями.
Термоядерные реакции являются, по-
видимому, одним из источников энергии
Солнца и звезд. В принципе высказаны
два предположения о возможных спосо-
способах протекания термоядерных реакций на
Солнце:
1) протонно-протонный, или водород-
водородный, цикл, характерный для температур
(примерно 107 К):
2) углеродно-азотный, или углерод-
углеродный, цикл, характерный для более высоких
температур (примерно 2-107 К):
'So-
В результате этого цикла четыре протона
превращаются в ядро гелия и выделяется
энергия, равная 26,7 МэВ. Ядра же угле-
углерода, число которых остается неизменным,
участвуют в реакции в роли катализатора.
Термоядерные реакции дают наиболь-
наибольший выход энергии на единицу массы «го-
«горючего», чем любые другие превращения,
в том числе и деление тяжелых ядер. На-
Например, количество дейтерия в стакане
простой воды энергетически эквивалентно
примерно 60 л бензина. Поэтому заманчи-
заманчива перспектива осуществления термоядер-
термоядерных реакций искусственным путем.
Впервые искусственная термоядерная
реакция осуществлена в СССР A953),
а затем (через полгода) в США в виде
взрыва водородной (термоядерной) бом-
бомбы, являющегося неуправляемой реак-
реакцией. Взрывчатым веществом, в котором
происходила реакция B68.1), является
смесь дейтерия и трития, а запалом —
«обычная» атомная бомба, при взрыве ко-
которой возникает необходимая для
протекания термоядерной реакции темпе-
температура.
Особый интерес представляет осуще-
осуществление управляемой термоядерной ре-
реакции, для обеспечения которой необходи-
необходимо создание и поддерживание в ограни-
ограниченном объеме температуры порядка
108 К. Так как при данной температу-
температуре термоядерное рабочее вещество пред-
представляет собой полностью ионизованную
плазму (см. § 108), возникает проблема ее
эффективной термоизоляции от стенок ра-
рабочего объема. На данном этапе развития

.1 n я Л'2. Элементы Лччкеи л томного ядра
435
считается, что основной путь в этом на-
направлении — это удержание плазмы в ог-
ограниченном объеме сильными магнитными
полями специальной формы.
Начало широкого международного сотруд-
сотрудничества в области физики высокотемператур-
высокотемпературной плазмы и управляемого термоядерного син-
синтеза положено в знаменитом докладе
И. В. Курчатова в Харуэле в 1956 г.
Хотя проблема управляемого термоядерно-
термоядерного синтеза не решена до сих пор, но за послед-
последнее десятилетие в этом направлении достигнут
значительный прогресс. Под руководством
Л. А. Арцимовича коллектив ученых Института
атомной энергии (ИАЭ) им. И. В. Курчатова
осуществил широкий круг исследований, ре-
результатом которых явился пуск летом
1975 г. в ИЭА крупнейшей в мире термоядерной
установки «Токамак-10» (Т-10).
В Т-10, как и во всех установках этого типа,
плазма создается в тороидальной камере, на-
находящейся в магнитном поле, а само плазмен-
плазменное образование — плазменный шнур — также
имеет форму тора. В Т-10 плазма с температу-
температурой примерно G-г8)-106 К и плотностью при-
примерно 10" частиц/см3 создается в объеме, при- *
близительно равном 5 м3, на премя около физик.
1 с. Однако следует отметить, что до осуще-
осуществления критерия Лоусона* — условия, необ-
необходимого для начала самоподдерживающейся
термоядерной реакции,— еще остается значи-
значительный «путь»: примерно 20 раз по их (про-
(произведение плотности частиц на время удержа-
удержания плазмы) и примерно 10 раз по температуре.
Результаты, полученные на Т-10, вместе с ре-
результатами, ожидаемыми на создаваемых уста-
установках (например, Т-20), по мере решения раз-
разного рода инженерно-технологических проблем
служат базой для создания термоядерного ре-
реактора «Токамака».
Управляемый термоядерный синтез откры-
открывает человечеству доступ к неисчерпаемой «кла-
«кладовой» ядерной энергии, заключенной в легких
элементах. Наиболее заманчивой в этом смысле
является возможность извлечения энергии из
дейтерия, содержащегося в обычной воде. В са-
самом деле, количество дейтерия в океанской воде
составляет примерно 4 • Ю'3 т, чему соответству-
соответствует энергетический запас Ю'7 МВт-год. Другими
словами, эти ресурсы неограниченны. Остается
только надеяться, что решение этих проблем —
дело недалекого буду исто.
Дж. Лоусон (р. 1923) — английский
Контрольные вопросы
• Какие частицы образуют ядро атома цинка? Сколько их?
• Атомное ядро «составили» из N свободных нуклонов (масса каждого нуклона равна т). Чему
равны масса и удельная энергия связи этого ядра?
• Чем отличаются изобары и изотопы?
• Почему прочность ядер уменьшается при переходе к тяжелым элементам?
» Как объясняется сверхтонкая структура спектральных линий?
• Как и во сколько раз изменится число ядер радиоактивного вещества за время, равное трем
периодам полураспада?
• Как (по какому закону) изменяется со временем активность нуклида?
• Как изменится положение химического элемента в таблице Менделеева после двух а-распадов
ядер его атомов? после последовательных одного а-распада и двух ^"-распадов?
• Как объясняется а-распад на основе представлений квантовой теории?
• Как объясняется непрерывность энергетического спектра р-частиц?
• Изменится ли химическая природа элемента при испускании его ядром -у-кванта?
• Какие явления сопровождают прохождение Y-излучения через вещество и в чем их суть?
• В чем суть эффекта Мёссбауэра? Каковы его возможные применения?
• Запишите схему е-захвата. Что сопровождает е-захват? В чем егс отличие от р*-распадов?
• Чем объяснить выброс нейтрино (антинейтрино) при р±-распадах?
• По каким признакам можно классифицировать ядерные реакции?
• Под действием каких частиц (а-частиц, нейтронов) ядерные реакции более эффективны?
Почему?
• Что представляет собой реакция деления ядер? Приведите примеры.
• Охарактеризуйте нейтроны деления. Какие они бывают?
• В результате какой реакции происходит превращение ядер 2g|U в ядра 23мРи? Каковы ее пер-
перспективы?

436
7. '-)Л1.Л1'И1Ы ijjn:iHKii ;/гомнп|.. ядру и
• Что можно сказать о характере цепной реакции деления, если: 1) k>\; 2) 6=1; 3) й<1'?
• По каким признакам можно классифицировать ядерные реакторы?
• Почему деление тяжелых ядер и синтез атомных ядер сопровождаются выделением большого
количества энергии? Когда на один нуклон выделяется большая энергия? Почему?
Задачи
32.1. Определить удельную энергию связи для ядра 'jjC, если масса его нейтрального атома равна
19,9272-Ю-27 кг. [7,7 МэВ/нуклон]
32.2. Определить, какая часть (в процентах) начального количества ядер радиоактишюго изотопа
останется нераспавшейся по истечении времени /, равного трем средним временам жизни т
радиоактивного ядра. [5%]
32.3. Период полураспада радиоактивного изотопа составляет 24 ч. Определить время, за которое
распадется — начального количества ядер. [10,5 ч]
32.4. Определить, поглощается или выделяется энергия при ядерной реакции ?Н + гНе -* iH-f-sHe.
Определить эту энергию. [18,4 МэВ]
32.5. В процессе осуществления реакции у ->¦_.\е + + \'е энергия фотона была равна 2,02 МэВ.
Определить полную кинетическую энергию позитрона и электрона в момент их возникнове-
возникновения. [1 МэВ]
32.6. В ядерном реакторе на тепловых нейтронлх среднее время жизни одного поколения нейтро-
нейтронов составляет Т = 90 мс. Принимая коэффициент размножения нейтронов А = 1,003, опреде-
определить период т реактора, т. е. время, в течение которого поток тепловых нейтронов увеличится
в е раз. |т = 77(А— 1) = 30 с)
Глава 33
Элементы физики элементарных частиц
§ 269. Космическое излучение
Развитие физики элементарных частиц
тесно связано с изучением космического
излучения — излучения, приходящего на
Землю практически изотропно со всех на-
направлений космического пространства.
Измерения интенсивности космического
излучения, проводимые методами, анало-
аналогичными методам регистрации радиоак-
радиоактивных излучений и частиц (см. §261),
приводят к выводу, что его интенсивность
быстро растет с высотой, достигает макси-
максимума, затем уменьшается и с /г«50 км
остается практически постоянной
(рис. 347).
Различают первичное и вторичное кос
мические излучения. Излучение, приходя-
приходящее непосредственно из космоса, называ-
называют первичным космическим излучением.
Исследование его состава показало, что
первичное излучение представляет собой
поток элементарных частиц высокой энер-
энергии, причем более 90% из них составляют
протоны с энергией примерно I09—
I013 эВ, около 7% — а-частицы и лишь
небольшая доля (около 1%) приходится
н.ч ядра более тяжелых элементов (Z >
>20). По современным представлениям,
основанным.на данных астрофизики и ра-
радиоастрономии, считается, что первичное
космическое излучение имеет в основном
галактическое происхождение. Считается,
I I I I I I I I I I I I
20
60
100
Л, км

Г л а в <\ 33. Элементы физики элементарных частиц
437
что ускорение частиц до столь высоких
энергий может происходить при столкно-
столкновении с движущимися межзвездными маг-
магнитными полями. При h ^ 50 км
(рис. 347) интенсивность космического
излучения постоянна; на этих высотах
наблюдается лишь первичное излуче-
излучение.
С приближением к Земле интенсив-
интенсивность космического излучения возрастает,
что свидетельствует о появлении вторич-
вторичного космического излучения, которое об-
образуется в результате взаимодействия
первичного космического излучения с яд-
ядрами атомов земной атмосферы. Во вто-
вторичном космическом излучении встречают-
встречаются практически все известные элементар-
элементарные частицы. При /К20 км космическое
излучение является вторичным; с умень-
уменьшением h его интенсивность понижается,
поскольку вторичные частицы по мере про-
продвижения к поверхности Земли испытыва-
испытывают поглощение.
В составе вторичного космического
излучения можно выделить два компо-
компонента: мягкий (сильно поглощается
свинцом) и жесткий (обладает в свинце
большой проникающей способностью).
Происхождение мягкого компонента объ-
объясняется следующим образом. В кос-
космическом пространстве всегда имеют-
имеются у-кваты c энергией E>2meci, ко-
которые в поле атомных ядер превращают-
превращаются в электронно-позитронные пары (см.
§263). Образовавшиеся таким обра-
образом электроны и позитроны, тормозясь,
в свою очередь, создают 7-кванты, энер-
энергия которых еще достаточна для образо-
образования новых электронно-позитронных пар
и т. д. до тех пор, пока энергия v-квантов
не будет меньше 2тес2 (рис. 348). Опи-
Описанный процесс называется электронно-
позитронно-фотонным (или каскадным)
ливнем. Хотя первичные частицы, приво-
приводящие к образованию этих ливней, и обла-
обладают огромными энергиями, но ливневые
частицы являются «мягкими» — не про-
проходят через большие толщи вещества. Та-
Таким образом, ливневые частицы — элек-
электроны, позитроны и v-кванты — и пред-
представляют собой мягкий компонент вто-
вторичного космического излучения. Природа
жесткого компонента будет рассмотрена
в дальнейшем (см. §270).
Исследование космического излуче-
излучения, с одн<>й стороны, позволило на заре
развития физики элементарных частиц по-
получить основные экспериментальные дан-
данные, на которых базировалась эта область
науки, а с другой — дало возможность
и сейчас изучать процессы с частицами
сверхвысоких энергий вплоть до 102' эВ,
которые еще не получены искусственным
путем. Правда, с начала 50-х годов для
исследования элементарных частиц стали
применять ускорители (позволяют уско-
ускорить частицы до сотен гигаэлектрон-вольт;
см. § 116), в связи с чем космическое из-
излучение утратило свою исключительность
при их изучении, сставаясь лишь основ-
основным «источником» частиц в области сверх-
сверхвысоких энергий.
§ 270. Мюоны и их свойства
Японский физик X. Юкава A907—1981),
изучая природу ядерных сил (см. §254)
и развивая идея советских ученых
И. Е. Тамма и Д. Д. Иваненко об их об-
обменном характере, выдвинул в 1935 г. ги-
гипотезу о существовании частиц с массой,
в 200—300 раз превышающей массу элек-
электрона. Эти частицы должны, согласно
Юкаве, выполнять роль носителей ядерно-
ядерного взаимодействия, подобно тому, как фо-
фотоны являются носителями электромаг-
электромагнитного взаимодействия.'
К. Андерсон и С Неддермейер, изу-
изучая поглощение жесткого компонента вто-
вторичного космического излучения в свинцо-

(за
7. Элементы физики атомного ядра и мементгфиых частиц
вых фильтрах с помощью камеры Вильсо-
Вильсона, помещенной в магнитное поле, действи-
действительно обнаружили A936) частицы мас-
массой, близкой к ожидаемой B07 и,). Они
были названы впоследствии мюонами. До-
Доказано, что жесткий компонент вторичного
космического излучения состоит в основ-
основном из мюонов, которые, как будет по-
показано ниже, образуются вследствие рас-
распада более тяжелых заряженных частиц
(л- и /(-мезонов). Так как масса мюонов
большая, то радиационные потери для них
пренебрежимо малы, а поэтому жесткий
компонент вторичного излучения обладает
большой проникающей способностью.
Существуют положительный (ц + )
и отрицательный (ц") мюоны; заряд мю
онов равен элементарному заряду е. Мас-
Масса мюонов (оценивается по производимо-
производимому ими ионизационному действию) равна
206,8 те, время жизни ц, + - и ц~-мюонов
одинаково и равно 2,2-10~6 с. Исследова-
Исследования изменения интенсивности жесткого
компонента вторичного космического из-
излучения с высотой показали, что на мень-
меньших высотах потоки мюонов менее интен-
интенсивны. Это говорит о том, что мюоны
претерпевают самопроизвольный распад,
являясь, таким образом, нестабильными
частицами.
Распад мюонов происходит по следую-
следующим схемам:
4-lc
B70.1)
B70.2)
где дГц и дМц — соответственно «мюонные»
нейтрино и антинейтрино, которые, как
предположил советский физик Б. М. Пон-
Понтекорво (р. 1913 г.) и экспериментально
доказал A962) американский физик
Л. Ледерман (р. 1922), отличаются от
°ve и J5ve — «электронных» нейтрино
и антинейтрино, сопутствующих испуска-
испусканию позитрона и электрона соответственно
(см. §263, 258). Существование °\^ и jjv,,
следует из законов сохранения энергии
и спина.
Из схем распада B70.1) и B70.2)
следует, что спины мюонов, как и электро-
электрона, должны быть равны 1/2 (в единицах
Й), так как спины нейтрино A/2) и анти-
антинейтрино (—1/2) взаимно компенсируют-
компенсируются.
Дальнейшие эксперименты привели
к выводу, что мюоны не взаимодействуют
или взаимодействуют весьма слабо с атом-
атомными ядрами, иными словами, являются
ядерно-неактивными частицами. Мюоны,
с одной стороны, из-за ядерной пассивно-
пассивности не могут рождаться при взаимодейст-
взаимодействии первичного компонента космического
излучения с ядрами атомов атмосферы,
а с другой — из-за нестабильности не мо-
могут находиться в составе первичного кос-
космического излучения. Следовательно, ото-
отождествить мюоны с частицами, которые,
согласно X. Юкаве, являлись бы носите-
носителями ядерного взаимодействия, не уда-
удалось, так как такие частицы должны ин-
интенсивно взаимодействовать с ядрами. Эти
рассуждения и накопленный впоследствии
экспериментальный материал привели
к выводу о том, что должны существовать
какие-то ядерно-активные частицы, рас-
распад которых и приводит к образованию
мюонов. Действительно, в 1947 г. была
обнаружена частица, обладающая свой-
свойствами, предсказанными Юкавой, которая
распадается на мюон и нейтрино. Этой
частицей оказался л-мезон.
§271. Мезоны н их свойства
С. Пауэлл A903—1969; английский фи-
физик) с сотрудниками, подвергая на боль-
большой высоте ядерные фотоэмульсии дейст-
действию космических лучей A947), обнаружи-
обнаружили ядерно-активные частицы — так на-
называемые я-мезоиы (от греч. «мезос» —
средний), или пионы. В этом же году
пионы были получены искусственно в ла-
лабораторных условиях при бомбардировке
мишеней из Be, С и Си а-частицами,
ускоренными в синхроциклотроне до
300 МэВ. л-Мезоны сильно взаимодей-
взаимодействуют с нуклонами и атомными ядрами и,
по современным представлениям, обуслов-
обусловливают существование ядерных сил.
Существуют положительный (я + ), от-
отрицательный (я~) (их заряд равен эле-
элементарному заряду е) и нейтральный (л°)
мезоны. Масса л+- и я~-мезонов одинако-

Г л а в а 33. Элементы физики элементарных частиц
439
ва и равна 273,\те, масса я0-мезона равна
264,\те. Все пионы нестабильны: время
жизни соответственно для заряженных
и нейтрального я-мезонов составляет
2,6-10~8 и 0,8- Ю-16 с.
Распад заряженных пионов происхо-
происходит в основном по схемам
n~-+\i.~+o\, B71.2)
где мюоны испытывают дальнейший рас-
распад по рассмотренным выше схемам
B70.1) и B70.2). Из схем распада B71.1)
и B71.2) следует, что спины заряженных
я-мезонов должны быть либо целыми
(в единицах Й), либо равны нулю. Спины
заряженных я-мезонов, по ряду других
экспериментальных данных, оказались
равными нулю.
Нейтральный пион распадается на два
¦у-кванта:
n°-2v
Спин я0-мезона, так же как и спин
я +-мезона, равен нулю.
Исследования в космических лучах по
методу фотоэмульсий A949) и изучение
реакций с участием частиц высоких энер-
энергий, полученных на ускорителях, привели
к открытию /(-мезонов, или каонов,—
частиц с нулевым спином и с массами,
приблизительно равными 970 те. В насто-
настоящее время известно четыре типа каонов:
положительно заряженный (К+), отрица-
отрицательно заряженный (К) и два нейтраль-
нейтральных (К° и К0)- Время жизни /(-мезонов
лежит в пределах 10~а— 10~10 с в за-
зависимости от их типа.
Существует несколько схем распада
/(-мезонов. Распад заряженных /(-мезонов
происходит преимущественно по схемам
(к
М^
Распад нейтральных /(-мезонов в ос-
основном происходит по следующим схе-
схемам (в порядке убывания вероятности
распада):
для короткоживуших (K°s)
для долгоживуших (K°l)
§ 272. Типы взаимодействий
элементарных частиц
Согласно современным представлениям,
в природе осуществляется четыре типа
фундаментальных взаимодействий: силь-
сильное, электромагнитное, слабое и гравита-
гравитационное.
Сильное, или ядерное, взаимодействие
обусловливает связь протонов и нейтронов
в ядрах атомов и обеспечивает исключи-
исключительную прочность этих образований, ле-
лежащую в основе стабильности вещества
в земных условиях.
Электромагнитное взаимодействие ха-
характеризуется как взаимодействие, в осно-
основе которого лежит связь с электромагнит-
электромагнитным полем. Оно характерно для всех эле-
элементарных частиц, за исключением ней-
нейтрино, антинейтрино и фотона. Электро-
Электромагнитное взаимодействие, в частности,
ответственно за существование атомов
и молекул, обусловливая взаимодействие
в них положитель.но заряженных ядер
и отрицательно заряженных электронов.
Слабое взаимодействие — наиболее
медленное из всех взаимодействий, про-
протекающих в микромире. Оно ответственно
за взаимодействие частиц, происходящих
с участием нейтрино или антинейтрино
(например, (}-распг:д, ц-распад), а также
за безнейтринные процессы распада, ха-
характеризующиеся довольно большим вре-
временем жизни распадающейся частицы
(т>10-10 с).

14A
7. Элементы физики атомного ядра к э.лел'<'нтя;ч1ы < частиц
Гравитационное взаимодействие при-
присуще всем без исключения частицам, од-
однако из-за малости масс элементарных
частиц оно пренебрежимо мало и, по-види-
по-видимому, в процессах микромира несуще-
несущественно.
Сильное взаимодействие примерно
в 100 раз превосходит электромагнитное
и в 10м раз — слабое. Чем сильнее взаи-
взаимодействие, тем с большей интенсивно-
интенсивностью протекают процессы. Так, время жиз-
жизни частиц, называемых резонансами, рас-
распад которых описывается сильным взаи-
взаимодействием, составляет примерно
10~23 с; время жизни я°-мезона, за распад
которого ответственно электромагнитное
взаимодействие, составляет 10'° с; для
распадов, за которые ответственно слабое
взаимодействие, характерны времена жиз-
жизни 10~10 —10~8 с. Как сильное, так и сла-
слабое взаимодействия — короткодействую-
короткодействующие. Радиус действия сильного взаимо-
взаимодействия составляет примерно 10~'5м,
слабого—не превышает 10~|9м. Радиус
действия электромагнитного взаимодейст-
взаимодействия практически не ограничен.
Элементарные частицы принято делить
на три группы:
1) фотоны — эта группа состоит всего
лишь из одной частицы — фотона — кван-
кванта электромагнитного излучения;
2) лептоны (от греч. «лептос» — лег-
легкий), участвующие только в электромаг-
электромагнитном и слабом взаимодействиях. К леп-
тонам относятся электронное и мюонное
нейтрино, электрон, мюон и открытый
в 1975 г. тяжелый лептон — т-лептон, или
таон, с массой примерно 3487 те, а также
соответствующие им античастицы. Назва-
Название лептонов связано с тем, что массы
первых известных лептонов были меньше
масс всех других частиц (кроме фотона).
К лептонам относится также таонное ней-
нейтрино, существование которого в послед-
последнее время также установлено;
3) адроны (от греч. «адрос» — круп-
крупный, сильный). Адроны обладают сильным
взаимодействием наряду с электромагнит-
электромагнитным и слабым. Из рассмотренных выше
частиц к ним относятся протон, нейтрон,
пионы и каоны.
Для всех типов взаимодействия эле-
элементарных частиц выполняются законы
сохранения энергии, импульса, момента
импульса и электрического заряда.
Характерным признаком сильных вза-
взаимодействий является зарядовая незави-
независимость ядерных сил. Как уже указыва-
указывалось (см. §254), ядерные силы, действу-
действующие между парами р — р, п — п или
р — п, одинаковы. Поэтому если бы в ядре
осуществлялось только сильное взаимо-
взаимодействие, то зарядовая независимость
ядерных сил привела бы к одинаковым зна-
значениям масс нуклонов (протонов и нейтро-
нейтронов) и всех я-мезонов. Различие в массах
нуклонов и соответственно л-мезонов
обусловлено электромагнитным взаимо-
взаимодействием: энергии взаимодействующих
заряженных и нейтральных частиц раз-
различны, поэтому и массы заряженных
и нейтральных частиц оказываются неоди-
неодинаковыми.
Зарядовая независимость в сильных
взаимодействиях позволяет близкие по
массе частицы рассматривать как различ-
различные зарядовые состояния одной и той же
частицы. Так, нуклон образует дублет
(нейтрон, протон), я-мезоны— триплет
(я+, я", я") и т.д. Подобные группы
«похожих» элементарных частиц, одинако-
одинаковым образом участвующих в сильном вза-
взаимодействии, имеющие близкие массы
и отличающиеся зарядами, называют изо-
изотопическими мультиплетами. Каждый изо-
изотопический мультиплет характеризуют
изотопическим спином (изоспином) — од-
одной из внутренних характеристик адро-
нов, определяющей число (п) частиц
в изотопическом мультиплете: гс = 2/-|-1.
Тогда изоспин нуклона /='/2 (число чле-
членов в изотопическом мультиплете нуклона
равно двум), изоспин пиона /=1 (в пион-
ном мультиплете п = 2>) и т.д. Изотопиче-
Изотопический спин характеризует только число чле-
членов в изотопическом мультиплете и ни-
никакого отношения к рассматриваемому
ранее спину не имеет.
Исследования показали, что во всех
процессах, связанных с превращениями
элементарных частиц, обусловленных за-
рядово-независимыми сильными взаимо-
взаимодействиями, выполняется закон сохране-
сохранения изотопического спина. Для электро-

i i; а на ЗЛ. i)jiGMfH'[bi фимп.и элементарных частиц
441
магнитных и слабых взаимодействий этот
закон не выполняется. Так как электрон,
позитрон, фотон, мюоны и нейтрино
и антинейтрино в сильных взаимодействи-
взаимодействиях участия не принимают, то им изотопи-
изотопический спин не приписывается.
§273. Частицы и античастицы
Впервые гипотеза об античастице возник-
возникла в 1928г., когда П.Дирак на основе
релятивистского волнового уравнения
предсказал существование позитрона
(см. §263), обнаруженного спустя четыре
года К. Андерсоном в составе космическо-
космического излучения. Электрон и позитрон не яв-
являются единственной парой частица —
античастица. Выводы релятивистской
квантовой теории привели к заключению,
что для каждой элементарной частицы
должна существовать античастица (прин-
(принцип зарядового сопряжения). Экспери-
Эксперименты показывают, что за немногим
исключением (например, фотона и я0-ме-
я0-мезона), действительно, каждой частице со-
соответствует античастица.
Из общих принципов квантовой теории
следует, что частицы и античастицы до-
должны иметь одинаковые массы, одинако-
одинаковые времена жизни в вакууме, одинаковые
по модулю, но противоположные по знаку
электрические заряды (и магнитные мо-,
менты), одинаковые спины и изотопиче-
изотопические спины, а также одинаковые осталь-
остальные квантовые числа, приписываемые эле-
элементарным частицам для описания за-
закономерностей их взаимодействия (леп-
тонное число (см. §275), барионное
число (см. §275), странность (см. §274),
очарование (см. § 275) и т.д.). До
1956 г. считалось, что имеется полная сим-
симметрия между частицами и античастица-
античастицами, т. е. если какой-то процесс идет между
частицами, то должен существовать точно
такой же (с теми же характеристиками)
процесс между античастицами. Однако
в 1956 г. доказано, что подобная симмет-
симметрия характерна только для сильного
и электромагнитного взаимодействий и на-
нарушается для слабого.
Согласно теории Дирака, столкнове-
столкновение частицы и античастицы должно приво-
приводить к их взаимной аннигиляции, в резуль-
результате которой возникают другие элементар-
элементарные частицы или фотоны. Примером тому
является рассмотренная реакция B63.3)
аннигиляции пары электрон — позитрон
(_?e++?e-*2V).
После того как предсказанное теорети-
теоретически существование позитрона было под-
подтверждено экспериментально, возник во-
вопрос о существовании антипротона и анти-
антинейтрона. Расчеты показывают, что для
создания пары частица — античастица
надо затратить энергию, превышающую
удвоенную энергию покоя пары, поскольку
частицам необходимо сообщить весьма
значительную кинетическую энергию. Для
создания р — р-пары необходима энер-
энергия примерно 4,4 ГэВ. Антипротон был
действительно обнаружен эксперимен-
экспериментально A955) при рассеянии протонов
(ускоренных на крупнейшем в то время
синхрофазотроне Калифорнийского уни-
университета) на нуклонах ядер мишени (ми-
(мишенью служила медь), в результате кото-
которого рождалась пара р — р
Антипротон отличается от протона
знаками электриче:кого заряда и со-
собственного магнитного момента. Антипро-
Антипротон может аннигилировать не только
с протоном, но и с нейтроном:
4-я
B73.1)
л0, B73.2)
р + п ->- я+ +л"~~ +п~ + л° + л°.B73.3)
Годом позже A956) на том же ускори-
ускорителе удалось получить антинейтрон (п)
и осуществить его аннигиляцию. Антиней-
Антинейтроны возникали в результате перезаряд-
перезарядки антипротонов при их движении через
вещество. Реакция перезарядки р состоит
в обмене зарядов между нуклоном и ан-
антинуклоном и может протекать по схемам
р-\-р-+п + п, B73.4)
. B73.5)
п отличается от п знаком собственного
магнитного момента. Если антипротоны —
стабильные частица, то свободный анти-

442
7. Элементы физики атомного ндра и чломоптарылх частим
нейтрон, если он не испытывает аннигиля-
аннигиляции, в конце концов претерпевает распад
по схеме
оИ ->- _\р + +1е-\-°ove
(ср. с B58.1)).
Античастицы были найдены также
для я+-мезона, каонов и гиперонов
(см. §274). Однако существуют частицы,
которые античастиц не имеют,— это так
называемые истинно нейтральные части-
частицы. К ним относятся фотон, л°-мезон
и т]-мезон (его масса равна 1074 те, время
жизни 7-10^'9с; распадается с образова-
образованием л-мезонов и у-квантов). Истинно
нейтральные частицы не способны к анни-
аннигиляции, но испытывают взаимные пре-
превращения, являющиеся фундаментальным
свойством всех элементарных частиц.
Можно сказать, что каждая из истинно
нейтральных частиц тождественна со
своей античастицей.
Большой интерес и серьезные трудно-
трудности представляли доказательство су-
существования антинейтрино и ответ на во-
вопрос, являются ли нейтрино и антинейтри-
антинейтрино тождественными или различными
частицами. Используя мощные потоки
антинейтрино, получаемые в реакторах
(осколки деления тяжелых ядер испыты-
испытывают р-распад и, согласно B58.1), ис-
испускают антинейтрино), американские фи-
физики Ф. Рейнес и К. Коуэн A956) надежно
зафиксировали реакцию захвата элек-
электронного антинейтрино протоном:
о^е + \р-*ап + +1е. B73.6)
Аналогично зафиксирована реакция за-
захвата электронного нейтрино нейтроном:
Oil I I 0 /(*7 О *7\
0Уе~Т0П~*~[Р~1—1е- B73.7)
Таким образом, реакции B73.6) и B73.7)
явились, с одной стороны, бесспорным до-
доказательством того, что v, и v, — реаль-
реальные частицы, а не фиктивные понятия,
введенные лишь для объяснения C-распа-
да, а с другой — подтвердили вывод о том,
что ve и \е — различные частицы.
В дальнейшем эксперименты по рож-
рождению и поглощению мюонных нейтрино
показали, что и v,! и v,, — различные
частицы. Также доказано, что пара \е,
v,,— различные частицы, а пара \е, ve не
тождественна паре v,,, v,,. Согласно идее
Б. М. Понтекорво (см. §271), осуществля-
осуществлялась реакция захвата мюонного нейтрино
(получались при распаде n+-+-\i + + vll
B71.1)) нейтронами и наблюдались воз-
возникающие частицы. Оказалось, что реак-
реакция B73.7) не идет, а захват происходит
по схеме
т. е. вместо электронов в реакции рожда-
рождались ц~-мюоны. Это и подтверждало раз-
различие между \е и v,,.
По современным представлениям, ней-
нейтрино и антинейтрино отличаются друг от
друга одной из квантовых характеристик
состояния элементарной частицы — спи-
ральностью, определяемой как проекция
спина частицы на направление ее движе-
движения (на импульс). Для объяснения экспе-
экспериментальных данных предполагают, что
у нейтрино спин s ориентирован антипа-
раллельно импульсу р, т. е. направления
р и s образуют левый винт и нейт-
нейтрино обладает левой спиральностью
(рис. 349, а). У антинейтрино направления
р и s образуют правый винт, т. е. антиней-
антинейтрино обладает правой спиральностью
(рис. 349, б). Это свойство справедливо
в равной мере как для электронного, так
и для мюонного нейтрино (антинейтрино).
Для того чтобы спиральность могла
быть использована в качестве характери-
характеристики нейтрино (антинейтрино), масса
нейтрино должна приниматься равной ну-
нулю. Введение спиральности позволило
объяснить, например, нарушение закона
сохранения четности (см. §274) при сла-
Нейтрино
о)
Антинейтрино
S)
Рис. .449

Г л а в а 33. Элементы фишки элементарных частиц
4414
бых взаимодействиях, вызывающих рас-
распад элементарных частиц и р-распад. Так,
ц~-мюону приписывают правую спираль-
ность, ц+-мюону — левую.
После открытия столь большого числа
античастиц на повестку дня встала новая
задача — найти антиядра, иными слова-
словами, доказать существование антивещест-
антивещества, которое построено из античастиц, так
же как вещество из частиц. Антиядра
действительно были обнаружены. Первое
антиядро—антидейтрон (связанное со-
состояние р и п) — было получено
в 1965 г. группой американских физиков
под руководством Л. Ледермана. Впослед-
Впоследствии на Серпуховском ускорителе были
синтезированы ядра антигелия A970)
и антитрития A973).
Следует, однако, отметить, что воз-
возможность аннигиляции при встрече
с частицами не позволяет античастицам
длительное время существовать среди
частиц. Поэтому для устойчивого состоя-
состояния антивещества оно должно быть от
вещества изолировано. Если бы вблизи
известной нам части Вселенной существо-
существовало скопление антивещества, то должно
было бы наблюдаться мощное аннигиля-
ционное излучение (колоссальные взрывы
с выделением огромных количеств энер-
энергии). Однако пока астрофизики ничего
подобного не зарегистрировали. Исследо-
Исследования, проводимые для поиска антиядер
(в конечном счете антиматерии), и до-
достигнутые в этом направлении первые ус-
успехи имеют фундаментальное значение
для дальнейшего познания строения ве-
вещества.
§ 274. Гипероны. Странность и четность
элементарных частиц
В ядерных фотоэмульсиях (конец 40-х го-
годов) и на ускорителях заряженных частиц
E0-е годы) обнаружены тяжелые неста-
нестабильные элементарные частицы массой,
большей массы нуклона, названные гиперо-
гиперонами (от греч. hyper—сверх, выше).
Известно несколько типов гиперонов: лям-
лямбда (Л°), сигма A\ 2 + , 2~), кси (S + ,
3~) и омега (й~). Существование
О~-гиперона следовало из предложенной
A961) М. Гелл-Манном (р. 1929) (амери-
(американский физик; Нобелевская премия
1969 г.) схемы для классификации сильно
взаимодействующих элементарных час-
гиц. Все известные в то время частицы
укладывались в эту схему, но в ней оста-
оставалось одно незаполненное место, которое
должна была занять отрицательно заря-
заряженная частица массой, равной примерно
3284 те. В результате специально постав-
поставленного эксперимента был действительно
обнаружен Й~-гиперон массой 3273т,..
Гипероны имеют массы в пределах
B183—3273)гпе, их спин равен '/г (только
спин &2~"-гиперона равен s/i), время жиз-
жизни приблизительно HI'"0 с (для 2"-гиперо-
на время жизни равно приблизительно
IO~VU с). Они участвуют в сильных взаи-
взаимодействиях, т. е. принадлежат к группе
адронов. Гипероны распадаются на нукло-
нуклоны и легкие частицы (я-мезоны, электро-
электроны, нейтрино и v-кванты).
Детальное исследование рождения
и превращения гиперонов привело к уста-
установлению новой квантовой характеристи-
характеристики элементарных чгстиц — так называе-
называемой странности. Ее введение оказалось
необходимым для объяснения ряда пара-
парадоксальных (с точки зрения существовав-
существовавших представлений) свойств этих частиц.
Дело в том, что гипероны должны были,
как представлялось обладать временем
жизни примерно 10~2:i с, что в 1013 раз (!)
меньше установленного на опыте. По-
Подобные времена жи:ши можно объяснить
лишь тем, что распад гиперонов происхо-
происходит за счет слабого взаимодействия. Кро-
Кроме того, оказалось, что всякий раз гиперон
рождается в паре с /'(-мезоном. Например,
в реакции
р + л~"--i-A°-f- K° B74.1)
с Ли-гипероном всегда рождается /(''-ме-
/(''-мезон, в поведении которого обнаруживают-
обнаруживаются те же особенности, что и у гиперона.
Распад же Л°-гиперона происходит по
схеме
Ли-»л"+р. B74.2)
Особенности поведения гиперонов
и /(-мезонов были объяснены в 1955 г.
М. Гелл-Манном с помощью квантового

444
7. Элементы фи.чикм aTOMiiuio ядра и 'i.ic.ui'HTiipiiux частик
числа — странности S, которая сохраняет-
сохраняется в процессах сильного и электромагнит-
электромагнитного взаимодействий. Если приписать као-
нам S = \, а Л°- и 2-гиперонам S= — 1
и считать, что у нуклонов и я-мезонов
5 = 0, то сохранение суммарной странно-
странности частиц в сильном взаимодействии
объясняет как совместное рождение Л° -ги-
-гиперона с К°-мезоном, так и невозмож-
невозможность распада частиц с не равной нулю
странностью за счет сильного взаимодей-
взаимодействия на частицы, странность которых рав-
равна нулю. Реакция B74.2) идет с наруше-
нарушением странности, поэтому она не может
происходить за счет сильного взаимодей-
взаимодействия. Н-Гнперонам, которые рождаются
совместно с двумя каонами, приписывают
S=— 2; Q-гиперонам—S——3.
Из закона сохранения странности сле-
следовало существование частиц, таких, как
Я0-мезон, 2°-, 3°-гипероны, которые впос-
впоследствии были обнаружены эксперимен-
экспериментально. Каждый гиперон имеет свою ан-
античастицу.
Элементарным частицам приписывают
еще одну квантово-механическую величи-
величину — четность Р — квантовое число, ха-
характеризующее симметрию волновой фун-
функции элементарной частицы (или системы
элементарных частиц) относительно зер-
зеркального отражения. Если при зеркаль-
зеркальном отражении волновая функция части
цы не меняет знака, то четность частицы
Р= -\- I (четность положительная), если
меняет знак, то четность частицы Р= — 1
(отрицательная).
Из квантовой механики вытекает за-
закон сохранения четности, согласно которо-
которому при всех превращениях, претерпевае-
претерпеваемых системой частиц, четность состояния
не изменяется. Сохранение четности свя-
связано со свойством зеркальной симметрии
пространства и указывает на инвариан-
инвариантность законов природы по отношению
к замене правого левым, и наоборот. Од-
Однако исследования распадов А^-мезонов
привели американских физиков Т. Ли
и Ч. Янга A956 г.; Нобелевская премия
1957 г.) к выводу о том, что в слабых
взаимодействиях закон сохранения четно-
четности может нарушаться. Целый ряд опытов
подтвердили это предсказание. Таким об-
образом, закон сохранения четности, как
и закон сохранения странности, выполня-
выполняется только при сильных и электромагнит-
электромагнитных взаимодействиях.
§ 275. Классификация
элементарных частиц.
Кварки
В многообразии элементарных частиц, из-
известных к настоящему времени, обнару-
обнаруживается более или менее стройная систе-
система классификации. Для ее пояснения
в табл. 8 представлены рассмотренные вы-
выше элементарные частицы, для которых
приводятся основные характеристики. Ха-
Характеристики для античастиц не приво-
приводятся, поскольку, как указывалось в § 273,
модули зарядов и странности, массы, спи-
спины, изотопические спины и время жизни
частиц и их античастиц одинаковы, они
различаются лишь знаками зарядов
и странности, а также знаками других
величин, характеризующих их электриче-
электрические (а следовательно, и магнитные) свой-
свойства. В таблице нет также античастиц
фотона и л° - и т)° -мезонов, так как антифо-
антифотон и антипи-ноль- и антиэта-ноль-мезоны
тождественны с фотоном и ли- и ^"-мезо-
^"-мезонами.
В табл. 8 элементарные частицы
объединены в три группы (см. § 272): фо-
фотоны, лептоны и адроны. Элементарные
частицы, отнесенные к каждой из этих
групп, обладают общими свойствами и ха-
характеристиками, которые отличают их от
частиц другой группы.
К группе фотонов относится един-
единственная частица — фотон, который пере-
переносит электромагнитное взаимодействие.
В электромагнитном взаимодействии
участвуют в той или иной степени все
частицы, как заряженные, так и нейтраль-
нейтральные (кроме нейтрино).
К группе лептонов относятся электрон,
мюон, таон, соответствующие им нейтри-
нейтрино, а также их античастицы. Все лептоны
имеют спин, равный 1/2, и, следовательно,
являются фермионами (см. §226), подчи-
подчиняясь статистике Ферми — Дирака
(см. §235). Поскольку лептоны в сильных
взаимодействиях не участвуют, изотопиче-

Г." ri в я Х\. 'Лпсмелч'л фишки -,гл ¦¦г.и.-нтарних
44 Г)
ский спин им не приписывается. Стран-
Странность лептонов равна нулю.
Элементарным частицам, относящимся
к группе лептонов, приписывают так на-
называемое лептонное число (лептонный за-
заряд) L. Обычно принимают, что L= + l
для лептонов (е~, |V~, т~, ve, v,,, vT),
L= —1 для антилептонов (е + , ц + , т + , v<,,
v,i, vT) и L = 0 для всех остальных эле-
элементарных частиц. Введение L позволяет
сформулировать закон сохранения лептон-
ного числа: в замкнутой системе при всех
без исключения процессах взаимопревра-
взаимопревращаемости элементарных частиц лептонное
число сохраняется.
Теперь понятно, почему при распаде
B58.1) нейтральная частица названа
антинейтрино, а при распаде B63.1) —
нейтрино. Так как у электрона и нейтрино
L= + l, а у позитэона и антинейтрино
L= — 1, то закон сохранения лептонного
числа выполняется лишь при условии,
что антинейтрино возникает вместе с элек-
электроном, а нейтрино — с позитроном.
Основную часть элементарных частиц
составляют адроны. К группе адронов от-
относятся пионы, каопы, т]-мезон, нуклоны,
гипероны, а также их античастицы
(в табл.8 приведены не все адроны).
Адронам приписывают барионное чис-
число (барионный заряд) В. Адроны с В —
= 0 образуют подгруппу мезонов (пионы,
Таблица 8
Группа
Фотоны
Лептоны
Адроны
Мезоны
Барионы
Название
частицы
Фотон
Электрон
Электронное
нейтрино
Мюон
Мюонное
нейтрино
Таон
Таонное
нейтрино
Пионы
Каоны
Эта-мезон
Протон
Нейтрон
Гипероны:
лямбда
сигма
КС И
омега
Символ
частицы
1
анти-
античастицы
У
е~
Ve
т~
vT
е+
ve
A+
сц
т+
V,
{ я°
\к+
л
Р
п
t
Л°
Г 2°
i
ь-
\ 3°
Q-
р
п
Л°
2°
f+
н°
й-
Заряд, е,
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
ж
о
о
с
0
1
0
206,8
0
3487
0
264,1
273,1
974,0
966,2
1074
1836,2
1838,7
2183
2334
2328
2343
2573
2586
3273
«
Спин, ед
1
72
72
V.
7,
72
72
0
0
0
0
0
72
72
72
72
72
72
72
72
Изоспин
—
__
—
—
—
—
—
1
1
72
72
'Л
72
0
1
1
1
72
72
0
о
!§
II
0
+ 1
+ 1
-j-1
+ 1
¦+• 1
+ 1
с
с
с
с
с
С'
A
A
A
A
A
A
0
A
п
Барионн!
число В
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+1
л
о
Странно
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+ 1
+ 1
0
0
0
— 1
1
— 1
— 1
-2
— 2
-3
Приблизи-
Приблизительное
время
жизни, с
Стабилен
Стабилен
Стабильно
Стабильно
«ю-12
?
ж 10"8
ю-|0-10-8
wlO"8
«ИГ"
Стабилен
« 10а
«ю-10
ж 10~20
«ю-10
ж 1С)-10
ж Ю-10
«ю-10

¦44fi
7. Элементы физики ;л'(ШН1; о я/ipji и ълсм'-нггфш,:.* ч;и;;щ
каоны, ц-мезон), а адроны с В= + 1 об-
образуют подгруппу бариоиов (от греч. «ба-
рис» — тяжелый; сюда относятся нуклоны*
и гипероны). Для лептонов и фотона 5 =
= 0. Если принять для барионов fi= + l,
для антибарионов (антинуклоны, антиги-
антигипероны) В= — 1, а для всех остальных
частиц 5 = 0, то можно сформулировать
закон сохранения барионного числа: и
замкнутой системе при всех процессах
взаимопревращаемостн элементарных
частиц барионное число сохраняется.
Из закона сохранения барионного
числа следует, что при распаде бари-
она наряду с другими частицами обяза-
обязательно образуется барион. Примерами
сохранения барионного числа являются
реакции B73.1) — B73.5). Барионы имеют
спин, равный 1/2 (только спин Й~-гиперо-
на равен 3/2), т. е. барионы, как и лепто-
ны, являются фермионами.
Странность S для различных частиц
подгруппы барионов имеет разные значе-
значения (см. табл. 8).
Мезоны имеют спин, равный нулю, и,
следовательно, являются бозонами
(см. § 226), подчиняясь статистике Бозе —
Эйнштейна (см. §235). Для мезонов леп-
тонные и барионные числа равны нулю.
Из подгруппы мезонов только каоны обла-
обладают 5= + 1, а пионы и г]-мезон имеют
нулевую странность.
Подчеркнем еще раз, что для процес-
процессов взаимопревращаемости элементарных
частиц, обусловленных сильными взаимо-
взаимодействиями, выполняются все законы со-
сохранения (энергии, импульса, момента им-
импульса, зарядов (электрического, лептон-
ного и барионного), изоспина, странности
и четности). В процессах, обусловленных
слабыми взаимодействиями, не сохраня-
сохраняются только изоспин, странность и чет-
четность.
В последние годы увеличение числа
элементарных частиц происходит в основ-
основном за счет расширения группы адронов.
Поэтому развитие работ по их класси-
классификации все время сопровождалось по-
поисками новых, более фундаментальных
частиц, которые могли бы служить бази-
базисом для построения всех адронов. Гипоте-
Гипотеза о существовании таких частиц, назван-
названных кварками, была высказана независи-
независимо друг от друга A964) австрийским
физиком Дж. Цвейгом (р. 1937) и Гелл-
Манном. Название «кварк» заимствовано
из романа ирландского писателя Дж.
Джойса «Поминки по Финнегану» (герою
снится сон, в котором чайки кричат: «Три
кварка для мастера Марка»).
Согласно модели Гелл-Манна — Цвей-
Цвейга, все известные в то время адроны мож-
можно было построить, постулировав сущест-
существование трех типов кварков (и, d, s) и со-
соответствующих антикварков (и, d, s), если
им приписать характеристики, указанные
в табл. 9 (в том числе дробные! электриче-
электрические и барионные заряды). Самое удиви-
удивительное (почти невероятное) свойство
кварков связано с их электрическим за-
зарядом, поскольку еще никто не находил
частицы с дробным значением элементар-
элементарного электрического заряда. Спин кварка
равен 'li, поскольку только из фермионов
можно «сконструировать» как фермионы
(нечетное число фермионов), так и бозоны
(четное число фермионов).
Адроны строятся из кварков следую-
следующим образом: мезоны состоят из пары
кварк — антикварк, барионы — их трех
кварков (антибарион — из трех антиквар-
антикварков). Так, например, пион я+ имеет квар-
ковую структуру ud, пион n~ — ud,
каон K+—ds, протон—uud, нейтрон —
udd, 2 + -гиперон — uus, 2° -гиперон — uds
и т. д.
Во избежание трудностей со статисти-
статистикой (некоторые барионы, например
й~-гиперон, состоят из трех одинаковых
кварков (sss), что запрещено принципом
Таблица 9
Кварк
(антн-
кварк)
и(п)
did)
sis)
с (с)
Электриче-
Электрический заряд,
ед. е
+7з(-7з)
-7з( + 7з)
-Уз( + Уз)
+ 7з(-2/з)
Бариоиное
число В
+ 'Л(
+ 7з(
+ Уз(
+ Уз(
-Уз)
-Уз)
-Уз)
-Уз)
Спин,
ед. h
lh
У»
'Л
У»
Стран-
Странность S
0
0
- 1(+ I)
-М+1)

Г .г ;i в я 33. Элементы физики элементарных частиц
447
Паули; см.§227) на данном этапе пред-
предполагают, что каждый кварк (антикварк)
обладает специфической квантовой ха-
характеристикой — цветом: «желтым», «си-
«синим» и «красным». Тогда, если кварки
имеют неодинаковую «окраску», принцип
Паули не нарушается.
Углубленное изучение модели Гелл-
Манна — Цвейга, а также открытие
в 1974 г. истинно нейтрального джей-пси-
мезона (J/^V) массой около 6000 те, вре-
временем жизни примерно 10~20 с и спином,
равным единице, привело к введению но-
нового кварка — так называемого с-кварка
и новой сохраняющейся величины — «оча-
«очарования» (от англ. charm). Подобно
странности и четности, очарование сохра-
сохраняется в сильных и электромагнитных вза-
взаимодействиях, но не сохраняется в слабых.
Закон сохранения очарования объясняет
относительно долгое время жизни J/W-ме-
зона. Основные характеристики с-кварка
приведены в табл. 9.
Частице JJW приписывается кварковая
структура ее. Структура ее называется
чармонием — атомоподобная система, на-
напоминающая позитроний (связанная во-
дородоподобная система, состоящая из
электрона и позитрона, движущихся во-
вокруг общего центра масс).
Кварковая модель оказалась весьма
плодотворной, она позволила определить
почти все основные квантовые числа адро-
нов. Например, из этой модели, поскольку
спин кварков равен '/э. следует целочис-
целочисленный (нулевой) спин для мезонов и по-
полуцелый — для барионов в полном соот-
соответствии с экспериментом. Кроме того, эта
модель позволила предсказать также и но-
новые частицы, например Q^-гиперон. Одна-
Однако при использовании этой модели воз-
возникают и трудности. Кварковая модель не
позволяет, например, определить массу
адронов, поскольку для этого необходимо
знание динамики взаимодействия кварков
и их масс, которые пока неизвестны.
В настоящее время существует точка
зрения, что между лептонами и кварками
существует симметрия: число лептонов до-
должно быть равно числу типов кварков.
В 1977 г. был открыт сверхтяжелый мезон
массой около 20 000т*, который представ-
представляет собой структуру из кварка и антик-
антикварка нового типа й-кварка (является
носителем сохраняющейся в сильных вза-
взаимодействиях величины, названной «пре-
«прелестью» (от англ. beauty)). Заряд 6-квар-
ка равен — '/з- Предполагается, что су-
существует и шестой кварк i с зарядом
+ 2/з, который уже решено назвать истин-
истинным (от англ. truth — истина), подобно
тому как с-кварк называют очарованным,
6-кварк—прелестным. В физике элемен-
элементарных частиц введен «аромат» — харак-
характеристика типа кварка (и, d, s, с, b, t?),
объединяющая совокупность квантовых
чисел (странность, очарование, прелесть
и др.), отличающи> один тип кварка от
другого, кроме цвета. Аромат сохраняется
в сильных и электромагнитных взаимодей-
взаимодействиях. Является ли схема из шести лепто-
лептонов и шести кварков окончательной или
же число лептонов (кварков) будет расти,
покажут дальнейшие исследования.
Контрольные вопросы
в Какова природа первичного и вторичного космического излучения? Назовите их свойства.
• Приведите схемы распада мюонов. Чем объясняется выброс мюонного нейтрино (антинейтри-
(антинейтрино)?
• Приведите схемы распада я-мезонов. Дайте характеристику п-мезоьам.
• Какие фундаментальные типы взаимодействий осуществляются в природе и как их можно
охарактеризовать? Какой из них является универсальным?
в Какие законы сохранения выполняются для всех типов взаимодействий элементарных частиц?
с Что является фундаментальным свойством всех элементарных частиц?
в Назовите свойства нейтрино и антинейтрино. В чем их сходство и различие?
» Какие характеристики являются для частиц и античастиц одинаковыми? Какие—разными?

4-18 7. ."-Элементы фишки .-itdmmoi'd млрл и 'элементарных чиетнц
Что такое странность и четность элементарных частиц? Для чего они вводятся? Всегда ли
выполняются законы их сохранения?
Почему магнитный момент протона имеет то же направление, что и спин, а у электрона на-
направления этих векторов противоположны?
Какие имеются группы элементарных частиц? Каковы критерии, по которым элементарные
частипы относятся к той или иной группе?
Какие законы сохранения выполняются при сильных взаимодействиях элементарных частиц?
при слабых взаимодействиях?
Каким элементарным частицам и почему приписывают лептонное число? барионное число?
В чем заключаются законы их сохранения?
Зачем нужна гипотеза о существовании кварков? Что объясняется с ее помощью? В чем ее
трудность?
Почему потребовалось введение таких характеристик кварков, как цвет и очарование?
Задачи
33.1. Принимая, что энергия релятивистских мюонов в космическом излучении составляет 3 ГэВ,
определить расстояние, проходимое мюопами за время их жизни, если собственное время
жизни мгоона 2,2 мке, а энергия покоя 100 МэВ. [19,8 км]
33.2. Нейтральный пион распадается на два 7-кванта: п"^>-2у. Принимая массу покоя пиона рав-
равной 264,1 trie, определить энергию каждого из возникших ^-квантов. [67,7 МэВ]
33.3. При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их аннигиляция, в результате чего
возникают два vKBaHTa. a энергия частиц переходит в энергию 1>-квантов. Определить
энергию каждого из возникших 7"квантов, принимая, что кинетическая энергии нейтрона
и позитрона до их столкновения пренебрежимо мала. [942 МэВ]
33.4. Определить, какие из приведенных ниже процессов запрещены законом сохранения лептонно-
го числа: 1) К"~-*¦ Ц" + V 2) К^-*е+ + л° + \;.
33.5. Определить, какие из приведенных ниже процессов разрешены законом сохранения странно-
странности: 1) р + л--+Х + К~; 2) р + л"— К +
33.6. Определить, какие законы сохранения нарушаются в приведенных ниже запрещенных спосо-
способах распада: 1) п" -\-п ->-Л0 +К~\ 2) р-\-р -»-/з + я + .

Заключение
Итак, изложение курса физики закон-
закончено. Начав его детальное изучение с
физических основ механики, мы последо-
последовательно рассмотрели основы молекуляр-
молекулярной физики и термодинамики, учение об
электричестве и электромагнетизме, коле-
колебания и волны, оптику, элементы кванто-
квантовой физики и физики твердого тела, физи-
физики ядра и элементарных частиц.
Приведенный перечень разделов, изло-
изложенных в курсе, позволяет проследить ло-
логику развития физики и эволюцию ее идей,
а также представить основные периоды
и этапы ее становления.
Со времени выхода в свет труда
И. Ньютона «Математические начала на-
натуральной философии» A687), в котором
он сформулировал три основных закона
механики и закон всемирного тяготения,
прошло более трехсот лет. За это время
физика прошла путь от макроскопическо-
макроскопического уровня изучения явлений до исследо-
исследования материи на уровне элементарных
частиц.
Однако, несмотря на огромные успехи,
которых физика достигла за это время
и особенно в XX столетии, современная
физика и астрофизика стоят перед целым
рядом нерешенных проблем.
Например, проблемы физики плаз-
плазмы — разработка методов разогрева плаз-
плазмы до примерно 109 К и ее удержание
в течение времени, достаточного для про-
протекания термоядерной реакции; квантовой
электроники — существенное повышение
к. п. д. лазеров, расширение диапазона
длин волн лазерного излучения с плавной
перестройкой по частоте и т. д.; физики
твердого тела — получение материалов
с наперед заданными свойствами и,
в частности, с экстремальными параметра-
параметрами по большому «спектру» характеристик,
создание высокотемпературных сверхпро-
сверхпроводников и т. д.; физики атомного ядра —
осуществление управляемого термоядер-
термоядерного синтеза, поиск долгоживущих эле-
элементов с 2=114-^126, предсказанных
теорией, построение теории сильных взаи-
взаимодействий и т. д.; физики элементарных
частиц — доказательство реальности су-
существования кварков и глюонов (частиц,
осуществляющих взаимодействие между
кварками), построение квантовой теории
тяготения и т. д.; астрофизики — природа
квазаров (мощных внегалактических
источников электромагнитного излуче-
излучения), причины вспышек сверхновых звезд,
состояние материи при огромных плотно-
плотностях и давлениях внутри нейтронных звезд
и т. д.
В настоящее нремя с особой силой
подчеркивается практическая важность
фундаментальных исследований. Это
в первую очередь относится к исследова-
исследованиям к области современной физики. Ре-
Решение стоящих перед ней проблем являет-
является важнейшим условием ускорения науч-
научно-технического прогресса.
15 Т. И. Трофимова

Основные законы и формулы
I. Физические основы механики
Средняя скорость
Кинематические уравнения равноперемен-
равнопеременного вращательного движения
Мгновенная скорость
_ dr
Среднее ускорение
( = <aot±— .
Связь между линейными и угловыми вели-
величинами при вращательном движении
s = R<p, v = R<a;
Мгновенное ускорение
dv
W
а=-
Тангенциальная составляющая ускорения
dv
^ = 1Г
Нормальная составляющая ускорения
Полное ускорение
Кинематические уравнения равноперемен-
равнопеременного поступательного движения
at*
Угловая скорость
d/
Угловое ускорение
Импульс (количество движения)
p = mv.
Второй закон Ньютона
dp
F=ma=—!-.
Сила трения скольжения
Закон сохранения импульса (для замкну-
замкнутой системы)
р= У mIv1 = const.
Работа переменной силы на участке траек-
траектории 1—2
2
А = \ F cos a ds.
Мгновенная мощность
*-¦?-*¦
Кинетическая энергия
т ^
Потенциальная энергия тела, поднятого
над поверхностью Земли,
ИГ

Основные законы и формулы
451
Потенциальная энергия упругодеформиро- Кинетическая энергия вращающегося тела
ванного тела относительно неподвижной оси
П = -
Полная механическая энергия системы
Закон сохранения механической энергии
(для консервативной системы)
Скорость шаров массами т\ и пц после
абсолютно упругого центрального удара
(т{ —m2) a, +2m2t>2
Скорость шаров после абсолютно неупруго-
неупругого удара
Момент силы относительно неподвиж-
неподвижной точки
M==[rF].
Момент силы относительно неподвиж-
неподвижной оси
Момент импульса материальной точки от-
относительно неподвижюй точки
L = [rp| = [r, mv].
Момент импульса твердого тела относи-
относительно неподвижной сси
Lz=
Уравнение динамики вращательного дви-
жения твердого тела
Момент инерции системы (тела) г г • ^ ¦
п
j == у mr2 Закон сохранения момента импульса
i=i L = const.
Моменты инерции полого и сплошного Закон всемирного тяготения
цилиндров (или диска) относительно оси сим-
симметрии F—G 'П[ГП2
~ч . 1 ~о Г
Момент инерции шара относительно оси,
проходящей через центр шара,
э
Момент инерции тонкого стержня относи-
относительно оси, перпендикулярной стержню и про-
проходящей через его середину,
Момент инерции тонкого стержня относи-
относительно оси, перпендикулярной стержню и про-
проходящей через его конец,
,-!«/¦.
Теорема Штейнера
Сила тяжести
P = ,7lg.
Напряженность поля тяготения
g:=F/m.
Потенциал поля тяготения
П г М
т m R
Взаимосвязь мехду потенциалом поля тя-
тяготения и его напряхенностью
g=_grad ф.
Уравнение неразрывности
Sv = const.
Уравнение Бернулли
..2
pv
+ Pi',h+p = const.
15*

452
Основные законы и формулы
Релятивистское замедление хода часов
т
Средняя квадратичная скорость молекулы
Релятивистское (лоренцево) сокращение
длины стержня
Релятивистский закон сложения скоростей
и' -\-v
U — V
l+vu'/c2 l—vu/c2
Масса релятивистской частицы
Релятивистский импульс
т0
Закон взаимосвязи массы и энергии
2 "V2
Связь между полной энергией и импульсом
релятивистской частицы
2. Основы молекулярной физики
и термодинамики
Закон Бойля—Мариотта
pK = const при 7", m = const.
Законы Гей-Люссака
V=V0(l +at) при р, m = const,
р = роA+а<) при V, m = const.
Закон Дальтона
Уравнение Клапейрона—Менделеева для
произвольной массы газа
М
Основное уравнение молекулярно-кинетиче-
ской энергии
Ч>2
Средняя арифметическая скорость моле-
молекулы
<»> =
Наиболее вероятная скорость молекулы
I2RT
Барометрическая формула
р = рое-л«*Л*г».
Средняя длина свободного пробега молекул
Среднее число столкновений молекулы
за 1 с
(г ) = \2 nd п ( v ).
Закон теплопроводности Фурье
• - х dT
Теплопроводность (коэффициент)
1
Закон диффузии Фика
т dx
Диффузия (коэффициент)
— 3
Закон Ньютона для внутреннего трения
(вязкости)
. __ do
Динамическая вязкость
I
Средняя энергия молекулы
Внутренняя энергия произвольной массы

Основные законы и формулы
453
Первое начало термодинамики
Молярная теплоемкость газа при постоян-
постоянном объеме
с„=-?-«.
Молярная теплоемкость газа при постоян-
постоянном давлении
С -' + 2 R
Уравнение Ван-дер-Ваальса для моля ре-
реального газа
(Vm-b) =
Работа газа при изменении его объема
&A=pAV.
Работа газа при изобарном расширении
3. Электричество и электромагнетизм
Закон Кулона
Напряженность электростатического поля
Работа газа при изотермическом расши-
расширении
р2
Поток вектора напряженности электроста-
электростатического поля через замкнутую поверхность S
Ф? = ф EdS = ф?,1dS.
Принцип суперпсзиции
п
'- I *¦
( = 1
Электрический момент диполя
P==IQI I-
Теорема Гаусса для электростатического
Уравнения адиабатического процесса поля в вакууме
(уравнение Пуассона)
Рр'-^ const.
Объемная, поверхностная и линейная плот-
Работа газа при адиабатическом расши- ности заряда
Рении AQ AQ AQ
dV
о =
AS '
d/
Напряженность поля, создаваемого равно-
равномерно заряженной бесконечной плоскостью,
Термический коэффициент полезного дейст- Напряженность поля, создаваемого двумя
вия для кругового процесса бесконечными параллельными разноименно за-
п п ряженными плоскостями,
Я= q ¦ с_ а
' ео'
Напряженность поля, создаваемого равно-
равномерно заряженной сферической поверхностью,
4я(.„ ,2
Термический к. п. д. цикла Карно
Т|=-

454
Основные законы и формулы
?=0 (/¦<*).
Напряженность поля, создаваемого объем-
объемно заряженным шаром,
_'<?,/ „<.
Е 4ле0 лз ' - —"
Напряженность поля, создаваемого равно-
равномерно заряженным бесконечным цилиндром,
1
Е=-
2 л е0 г
Циркуляция вектора напряженности элек-
электростатического поля вдоль замкнутого кон-
контура L
f
= ф?, d/ = 0.
Потенциал электростатического поля
_ U = А~
Связь между потенциалом электростатиче-
электростатического поля и его напряженностью
Е=— grad ф; Е= — V<f>.
Поляризованность
водника
С = -
Электрическая емкость тара
С = 4леое/?.
Электрическая емкость плоского конден-
конденсатора
Электрическая емкость цилиндрического
конденсатора
С=-
lni
Электрическая емкость сферического кон-
конденсатора
4ле0е-
Г1'2
'2~М
Электрическая емкость параллельно соеди-
соединенных конденсаторов
Электрическая емкость последовательно со-
соединенных конденсаторов
с L с.:
р
Связь между векторами Р и Е
Связь между е и у.
Связь между векторами электрического
смещения и напряженностью электростатиче-
электростатического поля
Теорема Гаусса для электростатического
поля в диэлектрике
?
Энергия заряженного уединенного про-
проводника
ц,_ Сф2 ^_ <Эф_ Q2
2 2 2С
Энергия заряженного конденсатора
С(ДФJ_ QAy_ Q2
2 2 2С'
Объемная плотность энергии электростати-
электростатического поля
W
V
Сила тока
еое?
dQ
ЕР
2 '
Плотность тока
Электрическая емкость уединенного про-

проОсновные законы и формулы
Электродвижущая сила, действующая Магнитная индукция поля в центре круго-
в цепи, вого проводника с током
V=A/Q0; V
Закон Ома для однородного участка цепн Закон Ампера
l = U/R, dF = /[dl, В].
Закон Ома в дифференциальной форме Магнитное поле свободно движущегося
j=vE. заряда
Мощность тока В — :__*Л1!
АА 2 2 4:t '3
Сила Лоренца
Закон Джоуля—Ленца Р q, „,
dQ = /?/ d< = /2/? At=—— dt. Холловская поперечная разность потен-
циалов
Закон Джоуля—Ленца в дифференциаль- . ,„ ¦„
ной форме Лт = =Л .
en d d
Закон полного тока для магнитного поля
Закон Ома для неоднородного участка цепи в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)
(обобщенный закон Ома)
R
Правила Кирхгофа Магнитная индукция поля внутри соленои-
соленоида (в вакууме), имеющего N витков,
N1
Коэффициент вторичной электронной
эмиссии Поток вектора магнитной индукции (маг-
„ , нитный поток) через произвольную поверхность
о —п2/п,.
Магнитный момент рамки с током
Вращательный момент, действующий на Теорема Гаусса для поля с магнитной ин-
рамку с током в магнитном поле, дукцией В
(|)BdS==(feflndS = O.
Связь между индукцией и напряженностью
магнитного поля
В = цоцН. Работа по перемещению проводника с то-
током в магнитном поле
Закон Био—Савара—Лапласа для элемен- _
та проводника с током
ц,ор, i rji ri Работа по перемещению замкнутого кон-
dB=—; ^—. тура с током в магнитном поле
4л г3
Магнитная индукция поля прямого тока Закон Фарадея
Н0Ц 2/ „ d<D
4л Л 'At

456 Основные законы и формулы
Э. д. с. самоиндукции в дифференциальной форме"
%S=—L—-. rotE=— — ; divD = p,
s ut dt
Индуктивность бесконечно длинного соле- ар.
ноида, имеющего N витков, rot H=JH—-—; div B = 0.
dt
4. Колебания и волны
Ток при размыкании цепи
Уравнение гармонического колебания
1 = 1ое ¦ s = Acos(a0t + (i,); то = 2п/Т = 2nv.
Ток при замыкании цепи
Дифференциальное уравнение свободных
/ = 'оA~е )• гармонических колебаний величины s
Энергия магнитного поля, связанного j2s
с контуром, ——+ oHs = 0.
W = LI2/2.
Объемная плотность энергии магнитного Период колебаний физического маятника
поля
W V-aV-H2 ВН Т = 2я
Период колебаний математического ма-
маятника
Намагниченность
* У—• Формула Томсона
Связь между векторами J и И Т = 2:
•1 = хН. Дифференциальное уравнение свободных
Связь между ц и Х затухающих колебаний величины 5
Закон полного тока для магнитного поля
в веществе (теорема о циркуляции вектора В) „
Логарифмический декремент затухания
<Ь В dl = (J)Bzd/ = |j.o (/ + /')• A(t)
_ „ Дифференциальное уравнение вынужден-
Теорема о циркуляции вектора Н Z. v „
ных колебании величины s
Hdl = /' d2. 9Я d. 2
+ 26 —— + 0)nS = A:n cos (й/.
At2 At- ° °
Плотность тока смещения
лг« ас зО Индуктивное сопротивление
1см~~дГ~г°~дТ ~дТ' Rl = (uL.
Полная система уравнений Максвелла: Емкостное сопротивление
в интегральной форме 1
4)Edl=-\-^dS; <$)DdS = \pdF,
J ss V Полное сопротивление цепи
?Hdl = j(j+4?.)dS;|l
S; (J)BdS = O, Z--

Основные законы и формулы
457
Длина волны
X=vT.
Уравнение плоской волны
I (х, t) = A cos ((at — kx + ф0).
Уравнение сферической волны
Ао
?(/¦,/) = cos (со* — kr + ф0).
Фазовая скорость
Энергетическая с !етимость
_Фе
Энергетическая сила света
Энергетическая яркость
Л/.
• AS'
Показатель преломления среды
Волновое уравнение
^V4
v2 dt2
Групповая скорость
Уравнение стоячей волны
1 = 2-4 cos —-— cos W.
Эффект Доплера в акустике
Вектор Умова—Пойнтинга
S = [EH].
Скорость распространения электромагнит-
электромагнитных волн в среде
с
'ер
Г>. Оптика. Квантовая природа излучении
Закон отражения света
Закон преломления света
sin i,
sin
'2Г
Формула тонкой линзы
w-\)D-+-?
Оптическая длина пути
L=ns.
Оптическая разность хода
A=L2-Z.,.
Условие интерференционных максимумов
Д=±т\, (т = 0, 1, 2, ...).
Условие интерференционных минимумов
\>
А=±Bт+1)-— (т = 0, 1,2, ...)•
Оптическая разн эсть хода в тонких пленках
в отраженном свете
Радиусы зон Френеля
аЬ
Поток излучения
Условие дифракционных максимумов от од-
одной щели
a sin ф=±Bт + 1)— (т= 1, 2, 3,. . .).
Условие дифракционных минимумов от од-
одной щели
a sin ф= ±2т —- (т= 1, 2, 3,. . .)•
Условие главных максимумов дифракцион-
дифракционной решетки
dsinq>=±mX (m = 0, 1,2,...).
Условие дополнительных минимумов диф-
дифракционной решети
О, N,2N,. ..).

458
Основные законы и формулы
Формула Вульфа—Брэггов
2dsinO = m>. (т= 1, 2, 3,.. .).
Разрешающая способность спектрального
прибора
Разрешающая способность дифракционной
решетки
R = mN.
Закон Бугера
Продольный эффект Доплера
/1+и/с
Поперечный эффект Доплера
Степень поляризации
max min
max ' min
Р =
Закон Малюса
/ = /0 cos2 a.
Закон Брюстера
Оптическая разность хода в эффекте Керра
Угол вращения плоскости поляризации
в кристаллах и растворах
Закон Кирхгофа для теплового излучения
Ч Т~~д ¦
"v, T
Энергетическая светимость черного те-
*r=\r,,rdv.
Формула Рэлея—Джинса
с1
Формула Планка
2nv2 hv
Закон Стефана—Больцмана
Закон смещения Вина
Уравнение Эйнштейна для внешнего фото-
фотоэффекта
hv — A +
Энергия фотона
9о— v
Масса фотона
т? с2
Импульс фотона
Ру с
mvL*
2 '
_ hc
ТГ'
i hv
с2'
hv
с
Давление света при нормальном падении
на поверхность
Изменение длины волны при эффекте
Комптона
АХ = A — cos 8) = sin —.
mnc mnc 2
й. Элементы киантовой физики атомон,
молекул и твердых тел
Обобщенная формула Бальмера
Первый постулат Бора
mevnrn = nh (« = 1, 2, 3,...).
Второй постулат Бора (правило частот)
Энергия электрона в водородоподобном
атоме
*-—^sr ("=1'2-3-)-

Основные законы н формулы
Длина волны де Бройля Нормированная волновая функция, отвеча-
^ ющая ls-состоянию электрона в атоме водо-
Я. = —. рода,
" I
Соотношение неопределенностей ^юоМ= е
К
h, AEAt^h. Закон Мозли
Вероятность нахождения частицы в эле-
менте объема dV
Распределение Бозе—Эйнштейна
dUP=|4M2dV.
Условие нормировки вероятностей \"j) =~?\_
, е '
j |т| aV = \. Распределение <1рерми—Дирака
Общее уравнение Шредингера (",) (ё^_
AT I U(x и г t)*? = ih-——
2m ' ' dt ' Уровень Ферми в собственном полупро-
Уравнение Шредингера для стационарных в°днике
состояний Е +?2 Д?
2т F 2 2
h Удельная проводимость собственных полу-
Волновая функция, описывающая состоя- ПРОВ°Д и
ние частицы в одномерной прямоугольной «по- -у = -у (е
тенциальной яме» с бесконечно высокими _ _
Правило Стокса для люминесцентного из-
излучения
7. Элементы фшики атомного ядра
Собственные значения энергии частицы „ элементарных частиц
в «потенциальной яме» с бесконечно высокими
«стенками» Радиус ядра
?л = ^1(п = 1,2,з,...). R-=«°AU3-
2m' Энергия связи нуклонов в ядре
Коэффициент прозрачности прямоугольно- ?св = Ктр~К'4 ?)т„ — т,\с .
го потенциального барьера Дефект массы ядра
Магнетон Бора
Энергия квантового осциллятора »
Ц
Ядерный магнетон
Уравнение Шредингера для электрона
в атоме водорода \>'~-?—
/ 2 \
At I [ Е-\ | tb=0 Закон радиоактивного распада
h2 \ 4пб0л I
\ / и — ы /.-*¦'
N =Noe~u.

4()() Основные законы и формулы
Период полураспада Правило смещения для а-распада
/|/2 —. Z Z-2 "Г2 ^
Правило смещения для р~-распада
Среднее время жизни радиоактивного ядра
к Правило смещения для р+-распада
Активность нуклида ZX -»¦ Z_{Y+ + {e.
Символическая запись ядерной реакции
= XN' " ¦ " ¦ ' Х(а, 6)Y.

Предметный указатель
Аберрации (погрешности) оп-
оптических систем 266
— астигматизм 267
— дисторсия 267
— кома 266
— сферическая 266
— хроматическая 267
Автоколебания 231
Адиабата 95
Адроны 440, 445, 446
Активность нуклида 413
Акустоэлектроника 252
Акцепторы 392
Альфа-распад 414
Ампер (единица силы тока) 5,
155
Амплитуда вероятности 346
— волны 245
— колебаний гармонических
219
— — затухающих 230
Анализ гармонический 227
— люминесцентный 396
— минералогический 312
— рентгеноструктурный 295
— спектральный абсорбцион-
абсорбционный 303
Анализатор 308
Анастигматы 267
Анизотропия оптическая
искусственная 314
Анизотропность 116
Аннигиляция 427
Антикварк 447
Антинейтрино 416, 438
Антинейтрон 441
Антипротон 441
Античастицы 441
Антиядра 443
Апланаты 267
Апохроматы 267
Атом водорода в квантовой ме-
механике 358
— — — теории Бора 338
Ахроматы 267
База 405
Барионы 446
Барн 425
Барьер потенциальный 27, 353
Беккерель (единица активно-
активности) 413
Бел 250
Бета-распад 415—417, 426
Бетатрон 186
Биения 226
Бипризма Френеля 277
Бозе-газ 378
Бозоны 363
Бридер 433
Бэр 419
Вакуум 85
Ватт (единица мощности) 22
Вебер (единица магнитного
потока) 189
Вектор магнитной индукции
177
— магнитного момента рамки
с током 177
— напряженности магнитного
поля 178
— — электростатического по-
поля 130
— перемещения 9
— плотности потока энергии
244
— — — — электромагнит-
электромагнитной 257
— скорости мгновенной 9
— — средней 9
— Умова 244
— Умова — Пойнтинга 257
— ускорения 19
— электрического смещения
143
Векторы аксиальные (псевдо-
(псевдовекторы) 12
Вероятность термодинамиче-
термодинамическая 98
Вес тела 43
Весы крутильные 42, 129
Вещества оптически активные
315
— лево- и правовращающие
315
— поверхностно - активные
1 13
Взаимодействие гравитацион-
гравитационное 440
— обменное 369
— проводников с токами 180
— сильное 439
— слабое 439
— электромагнитное 439
Волна бегущая 244
— гармоническая 243
— де Бройля 342
— монохроматическая 274
— эпорная 297
— плоская 244
— предметная 297
— стоячая 247
— сферическая 244
— упругая поперечная 243
— — продольная 243
— электромагнитная 243,
257
— —, поперечность 256
Волны звуковые (акустиче-
(акустические) 249
— когерентные 247
— упругие (или механиче-
механические) 243
— электромагнитные 217
Вольт (единица потенциала)
138
Восприимчивость вещества ди-
диэлектрическая 142, 301
— — магнитная 207
Вращение плоскости поляри-
поляризации 315
— удельное 315
Время жизни радиоактивного
ядра среднее 413
— когерентности 275
— реверберации 250
— релаксации 198, 230
Высотомер (альтиметр) 80
Высота звука 250
Выход энергетический 395
Вязкость 55
— динамическая 55
— кинематическая 56

462
Предметный указатель
Газ идеальный 73,
— реальный 74, 104
— ультраразреженный 85
Гамма-дефектоскопия 419
Гамма-излучение 417
Гармоники периодического ко-
колебания 227
Генератор 195
— оптический квантовый 373
— электростатический 148
Генри (единица индуктивно-
индуктивности) 197
Герц (единица частоты) 220
Гидроаэромеханика 51
Гипероны 443
Гипотеза 5
— квантовая Планка 320
Гироскоп 37
Глюоны 449
Голограмма 297
Голография 296
Градиент скаляра 23
— скорости 55
Градус Цельсия 73
Граница красная фотоэф-
фотоэффекта 325
Грей 419
Громкость звука 249
Группа пространственная 117
Давление 51
— внутреннее 105
— гидростатическое 52, 53,
115
— динамическое 53
— критическое 106
— молекулярное 112
— парциальное 75
— полное 53
— света 329
— статическое 53
Двигатель вечный первого ро-
рода 90
— — второго рода 100
— тепловой 96, 100
Движение апериодическое 231
— броуновское 82
— заряженной частицы в маг-
магнитном поле 183
— вращательное 8
— поступательное 8
— неравномерное 10
— — плоское 10
— — равномерное 10
Двойственность корпускуляр-
но-волновая света 274
— — — частиц вещества 341
Декремент затухания 230
— — логарифмический 230
Детандер 111
Дефект массы 408
Дефекты в кристаллах 121
Дефектоскопия люминесцент-
люминесцентная 396
— ультразвуковая 252
Деформация 38, 39
— относительная 39
— пластическая (остаточ-
(остаточная) 39
— сдвига 40
— упругая 38
Децибел 250
Джоуль (единица работы,
энергии) 22, 90
Диаграмма направленности
излучения диполя 258
— напряжений 39
— состояния 125
Диамагнетики 205
Диамагнетизм 205
Диаметр молекулы эффектив-
эффективный 81
Динамика 7
Диод вакуумный 167
— полупроводниковый 404
— плоскостной 404
— точечный 404
Диоптрия 265
Диполь электрический 132,
258
Дислокации 121
Дисперсия аномальная и нор-
нормальная 300
— вещества 300
— волн 245
— света 299, 301
— .электромагнитная теория
301
Диссипация (рассеяние) энер-
энергии 26
Дифракционная решетка одно-
одномерная 291
— — трехмерная (простран-
(пространственная) 293
Дифракция на пространствен-
пространственной решетке 294
— рентгеновского излучения
294
— света 285
— Френеля на диске 289
— — на круглом отверстии
288
— Фраунгофера (в парал-
параллельных лучах) 290
Диффузия 84
Дихроизм 312
Диэлектрик изотропный 152
Диэлектрики 129, 140
Длина волны 244
— когерентности 275
— приведенная физического
маятника 223
— пути 9
— пути оптическая 276
— свободного пробега моле-
молекул 81
— — — средняя 81
— тел в разных системах от-
отсчета 65
Длительность событий 64
Добротность колебательной
системы 230
Доза биологическая 419
— излучения поглощенная
419
— — экспозиционная 419
Домены 145, 211
Доноры 391
Дросселирование адиабати-
адиабатическое 109
Дроссель 109
Дуант 185
Дырка 388
Единица физической величи-
величины 5
— — — основная 5
— — — производная 5
Емкость электрическая 148
— — конденсатора 149
— — — плоского 150
— — — сферического 150
— — — цилиндрического 150
— — уединенного проводника
148
— — — шара 149
Жесткость 24, 222
Жидкость, свойства 111
— несжимаемая 51
— перегретая 107, 108
— переохлажденная 124
— сжимаемая 51
— сплошная 51
Зависимость сопротивления
температурная 165
Закон Авогадро 75
— Амонтона — Кулона 17
— Ампера 181
— Архимеда 52
— Био — Савара — Лапласа
178
— Бойля — Мариотта 74

Предметный указатель
463
- Больцмана 89
- Брюстера 308
- Бугера 302
- Вавилова 395
- взаимосвязи массы и энер-
энергии 69
- Видемана — Франца 165
- всемирного тяготения 42
- Галилея обобщенный 43
- Гейгера — Нэттола 414
- Гей-Люссака 74
- Гука 39
- Дальтона 75
- движения центра масс 19
- Джоуля — Ленца 158, 159,
165
- динамики основной для не-
инерциальных систем отсче-
отсчета 49
- для распределения молекул
идеального газа по скоро-
скоростям 78
- — — — — — — энерги-
энергиям теплового движения
79
- Дюлонга и Пти 122
- инерции 14
- Кеплера первый 42
- — второй 42
- — третий 42
- Кирхгофа 318
- Кулона 129
- Малюса 307
- Мозли 369
- независимости световых
пучков 261
- Ньютона (для внутреннего
трения) 84
- первый 14
- — второй 15
- — третий 16
- тяготения 44
- Ома 164
- — для замкнутой цепи
159
_ — — участка цепи 157,
159
- — обобщенный 159
- отражения света 261
- Паскаля 51
- полного тока для магнит-
магнитного поля в вакууме 187
- — — — — в веществе
207
- постоянства углов 116
- преломления света 261
- прямолинейного распро-
распространения света 261
— радиоактивного распада
413
— релятивистской динамики
основной 68
— — — релятивистский 65
— смещения Вина 319, 321
— сохранения заряда 128
— — барионного числа 446
— — лептонного числа 445
— — изоспина 440
— — импульса 19
— — момента импульса 35
— — странности 444
— — четности 444
— — энергии 25, 69
— — — механической 25
— Стефана— Больцмана 319
— Столетова 325
— трения скольжения 17, 18
— трех вторых 168
— Фарадея 194
— Фика 84
— Фурье 83
Законы физические 5
— Вольта 396, 397
Замедление хода времени ре-
релятивистское 64
Заряд атомного ядра 407
— электрический 128
точечный 129, 137
— — ядра атома 407
Заряды индуцированные 147
— связанные 142
Захват электронный 427
Защита электростатическая
148
Зеркала Френеля 277
Значение тока действующее
(эффективное) 240
— напряжение действующее
240
— энергии дискретное 351
— — собственное 349
Зона активная 430
— диполя волновая 258
— энергетическая 386
— — валентная 386
— — запрещенная 386
— — проводимости 386
— — разрешенная 386
Зоны Френеля 286—288
Излучатель массовый 255
Излучение Вавилова — Черен-
кова (эффект) 304
— вынужденное (индуциро-
(индуцированное) 372
— космическое вторичное 436
— — жесткое 437
— — мягкое 437
— — первичное 436
— лазерное 374, 375
— радиоактивное 412
— рентгеновское 367
— спонтанное 372
— тепловое (температурное)
317
— — равновесное 317
Изобара 74, 93
Изобары 408
Изображение стигматическое
264
Изомультиплеты 440
Изопроцессы 93
— изобарный 93
— изотермический 94
— изохорный 93
Изотерма 74, 94
— критическая 106
Изотермы Ван-дер-Ваальса
106
Изотопы 408
Изохора 74, 93
Импульс материальной точки
15
— релятивистский 68
— системы 18
— фотона 329, 332
Инверсия населенностей 373
Индуктивность взаимная 199
— контура 197
Индукция взаимная 199
— магнитная 177
— электростатическая 147
Инжекция 405
Интенсивность звука 249
Интерференция волн 247
— многолучевая 282
— света 276
Интерферометр 283
— лазерный 375
— Майкельсона 61, 283
Ионизатор 169
Ионизация атома 339
— ударная 171
Испарение (парообразование)
123
Испускание (излучение) само-
самопроизвольное 412
Источник света пространствен-
пространственно-когерентный 275
— — тепловой 323
— тока 155
Камера Вильсона 423, 427
— диффузионная 423

464
Предметный указатель
— ионизационная импульсная
422
— — интегрирующая 422
— искровая 424
— пузырьковая 423
Каидела (единица силы све-
света) 6, 268
Каоны (К-мезоны) 439
Капилляр 115
Капиллярность 115
Катодолюминесценция 172
Качество крыла 58
Квазиимпульс 381
Квант 274, 321
— энергии звуковой волны 381
Кварки 444
— истинные 447
Кельвин (единица температу-
температуры) 6
Килограмм 5
Кинематика 7
Когерентность 246, 276
— временная 275
— пространственная 275
Колебания 219
— механические 232
— электромагнитные 232
— гармонические 219
— затухающие 229
— колебательного контура
свободные затухающие 231
— линейно поляризованные
228
— пружинного маятника сво-
свободные затухающие 230
— эллиптически поляризо-
поляризованные 227
— свободные 219
— циркулярно поляризован-
поляризованные 229
Количество вещества 76
— движения 15
— теплоты (теплота) 90
— — приведенное 97
Коллектор 169, 405
Кольца Ньютона 281
Компаунд-ядро 425
Комптон-эффект 418
Конверсия внутренняя 418
Конденсатор 149
— плоский 149
— сферический 149
— цилиндрический 149
Конденсация 123
Контур колебательный 224,
254
Концентрация молекул 76
Катодолюминесценция 395
Коэффициент восстановления
28
— вторичной электронной
эмиссии 168
— диффузии 84
— затухания 229
— мощности 240
— поглощения 302
— полезного действия для
кругового процесса 96
— — — цикла Карно 101
— прозрачности 354
— Пуассона 39
— размножения нейтронов
430
— сопротивления 157, 231
— трансформации 201
— трения скольжения 17
— упругости 24, 39, 222
Кривая дисперсии 300
— инверсии ПО
— потенциальная 26
Кривые резонансные 234
— фазового равновесия 125
Кристаллофосфоры 395
Кристаллы 117
— атомные 118
— дихроичные 312
— двухосные 309
— ионные 118
— металлические 118
— молекулярные 119
— одноосные 309
— — отрицательные 310
— — положительные 310
Кристаллизация 123
Критерий Лоусона 435
— Рэлея 295
Кюри (единица активности
нуклида) 413
Кулон (единица электрическо-
электрического заряда) 129
Лазер 373
— газовый 373
— жидкостный 373
— полупроводниковый 373
— твердотельный 373
Лептоны 440, 444
Ливень электронно-позитрон-
но-фотонный 437
Линза 263
— конденсорная 270
— магнитная 269
— проекционная 270
— рассеивающая 263, 265
— собирающая 263, 265
— тонкая 263
— электронная 269
— электростатическая 269
Линии напряженности 44
— — электростатического по-
поля 130
— магнитной индукции 177
— электрического смещения
143
Линия тока 52
Ловушки неохлаждаемые 86
— охлаждаемые 86
Луч необыкновенный 309
— обыкновенный 309
Лучепреломление двойное 309
Лучи каналовые (положитель-
(положительные) 172
— катодные 172
— параксиальные (приосе-
вые) 264
Люкс (единица освещенности)
269
Люмен (единица светового по-
потока) 268
Люминесценция 394
Люминофоры 394
Магнетон Бора 204
— ядерный 409
Магнит постоянный 210
Магнитострикция 211
Магнетик 205
Мазер 373
Максимум дифракционный
290
— интерференционный 247
Манометр 54
— радиометрический 87
Масса критическая 430
— молярная 76
— покоя 68
— тела 14
— фотона 329
— эффективная 389
— инертная 14
— гравитационная 14
Масс-спектрометр 408
Материал вязкий 40
— хрупкий 40
Машина Линде 110
— холодильная 96, 100
Маятник математический 223
— пружинный 222
— физический 222
МГД-генератор 175
Мезоны 438, 439, 446, 447
Мениск 115
Метод вакуумного сферическо-
сферического конденсатора 326

Предметный указатель
465
— вращающегося вектора
амплитуды (векторных диаг-
диаграмм) 220
— зон Френеля 286
— избирательного травления
121
— исследования статистиче-
статистический 72
— — термодинамический 72
— порошковых фигур 211
— Пуазейля 57
— Стокса 56
— Юнга 277
— ядерного магнитного резо-
резонанса 410
Метр 5
Механика 7
— квантовая 7, 346
— классическая 7
— релятивистская 7
Микроинтерферометр 283
Микроскоп поляризационный
312
— электронный 269
Минимум дифракционный 290
— — дополнительный 292
— —, условия 292
— интерференционный 290
Модель атома ядерная (плане-
(планетарная) 335
— идеального газа 73
— кварковая 447
— ядра капельная 411
— — оболочечная 411
— — обобщенная 411
— — оптическая 411
Модуль Юнга 39
Молекулы неполярные 141
— полярные 141
Моль 6
Момент атома магнитный 362
— диполя электрический 132
— импульса электрона 359,
362
— — относительно неподвиж-
неподвижной оси 35
— — твердого тела 35
— — относительно неподвиж-
неподвижной точки 34
— — собственный механиче-
механический (спин) 204
— инерции системы (тела)
31
— механический орбитальный
204
— магнитный 203, 409
— — собственный 204
— молекулы дипольный 141
— силы относительно непод-
неподвижной оси 33
— — — — точки 33
Монокристалл 116
Мост Уитстона 161
— — реохордный 161
Мощность 22
— дозы излучения 419
— — поглощенной 419
— — экспозиционной 419
— — тепловая удельная 158
Мультиплеты изотопические
440
Мюоны 438
Нагреватель 100
Намагниченность 206
Накачка 373
Направление тока запирающее
(обратное) 403
— — запорное 401
— — пропускное 401
— — прямое 403
Напряжение 39
— задерживающее 325
— нормальное 39
— пробивное 150
— пробоя 171
— тангенциальное 39
— электрическое 156
Напряженность поля тяготе-
тяготения (гравитационного) 44
— — магнитного 178
— — электростатического 130
Напыление катодное 172
Насос вакуумный 85
— водоструйный 54
— диффузионный 85
Насосы тепловые 101
Насыщение магнитное 209
Натяжение поверхностное 113
Начало термодинамики вто-
второе 98
— — первое 90
— — третье 99
Невесомость 43
Нейтрино 416, 417
— мюонное 438
— таонное 445
— электронное 438
Нейтронография 295
Нейтроны 407, 428
— быстрые 428
— высокоэнергетичные 428
— деления 429
— запаздывающие 429
— очень холодные 428
— мгновенные 429
— медленные 428
— резонансные 428
— релятивистские 428
— тепловые 428
— ультрахолодные 428
— холодные 428
Неравенство Клаузиуса 97
Несмачивание полное 114
Ноль Кельвина 73
Носители тока 155
Нуклон 407
Ньютон (единица силы) 15
Обкладки конденсатора 149
Область слышимости 249
— текучести (область пласти-
пластических деформаций) 40
Обогащение флотационное 114
Оболочки электронные в атоме
365
Образование электронно-по-
зитронных пар 418
Объектив 270
Объем критический 106
— молярный 76
— удельный 73
— фазовый (объем элемен-
элементарной ячейки) 377
Одновременность событий 64
Однородность времени 69
— пространства 19, 68
Ом (единица сопротивления)
157
Оператор Гамильтона (набла-
оператор) 24
— Лапласа 245
Оптика 261
— волоконная 263
— геометрическая 263
— электронная 269
Опыт 5
— Ламмерт 82
— Лебедева 330
— Майкельсона — Морли 61
— Рикке 163
— Штерна 82
Опыты Резерфорда 334
— Франка и Герца 337
— Штерна и Герлаха 362
Освещенность 268
— энергетическая (облучен-
(облученность) 268
Осциллятор гармонический
222
— квантовый 356
Ось вращения 8
— инерции главная 36
— оптическая 307

466
Предметный указатель
свободная (свободного
вращения) 36
Отклонение статическое 234
Отношение гиромагнитное ор-
орбитальных моментов 204
— — спиновых моментов 204
— — ядерное 409
Отношения пространственно-
временные 67
Отражение полное 262
Оценка средней длины свобод-
свободного пробега электронов
в металлах 166
Очарование 447
Пакет волновой 246
Пар насыщенный 107, 123
— пересыщенный 107
Парадокс часов (близнецов)
64
Парамагнетизм 206
Парамагнетики 205
Параметр вырождения 379
Параметры состояния системы
термодинамические 73
— элементарной ячейки 117
Пары куперовские 383
Паскаль (единица давления)
51
Переход фазовый I рода
125
П рода 125
— электронно-дырочный (р-
я-переход) 401, 403
Период вращения 12
— колебаний 219
— полураспада 413
Переход вынужденный (инду-
(индуцированный) 372
Петля гистерезиса 210
Пирометр оптический 322
Пирометрия оптическая 322
Пироэлектрики 146
Плавление 123
Плазма 174
— высокотемпературная 174
— газоразрядная 174
—, дебаевский радиус экрани-
экранирования 174
— изотермическая 174
— ионизованная 174
— неизотермическая 174
—, свойства 174
—, степень ионизации 174
Пластинка зонная 288
— в полволны 313
— — четверть волны 313
Плечо диполя 132
Плоскость главная кристалла
309
— поляризации 306
— фокальная 265
Плотность вероятности 347
— дислокаций 121
— линейная 136
— объемная 135
— —энергии электростатиче-
электростатического поля 152
— — магнитного поля
202
— поверхностная 134
— потока импульса 84
— — массы 84
— теплового потока 83
— тока 155
— — поляризации 215
— — смещения 214
— — — в вакууме 215
— энергетической светимости
и спектральная (излучатель-
ность) 317
— — — черного тела 318
Поверхность волновая 244
— разрыва 217
— эквипотенциальная 45, 139
Поглощение света (абсор-
(абсорбция) 302
Подоболочки 365
Позитрон 426
Позитроний 447
Показатель адиабаты 95
— преломления относитель-
относительный 261
— — абсолютный 262
Поле вихревое 187
— магнитное 176
— — движущегося заряда
182
— — соленоида 188
— — тороида 188
— — кругового тока 179
— — прямого тока 179
— потенциальное 23, 137
— — электростатическое
136
— самосогласованное 385
— силовое 130
— тяготения (гравитацион-
(гравитационное) 44
— — однородное 44
— — центральное 44
— электромагнитное 217
— электростатическое 130
— — потенциальное 187
Поликристалл 116
Полимеры 124
Полосы интерференционные
равного наклона 280
— — равной толщины 280
— поглощения света 302
Полупроводники 129
— дырочные (р-типа) 392
— собственные 388
— примесные 388
— электронные (га-типа) 391
Поляризатор 307, 308
Поляризация диэлектрика 141
— — электронная (деформа-
(деформационная) 141
— — ионная 141
— — ориентационная (ди-
польная) 141
Поляризованность 141
— остаточная 146
Поляриметрия (сахаримет-
(сахариметрия) 315
Поляроиды 312
Порог болевого ощущения 249
Порог слышимости 249
Порядок в расположении
частиц ближний 111
— —— — дальний III
— интерференционного мак-
максимума 247
— — минимума 247
Постоянная Авогадро 75, 83
— аддитивная 97
— Больцмана 76
— гравитационная 42
— магнитная 181
— молярная газовая 76
— дифракционной решетки
291
— Планка 321
— радиоактивного распада
413
— Ридберга 335
— Стефана — Больцмана 319
— Холла 186
— электрическая 129
Постулат Бора второй (прави-
(правило частот) 337
— — первый (постулат ста-
стационарных состояний) 336
Потенциал поля тяготения 45
— — электростатического 138
— химический 378
Поток вектора напряженности
131
— — магнитной индукции
(магнитный поток) 189
— световой 268
Потокосцепление 189
Правила Кирхгофа 160

Предметный указатель
467
— отбора 360
— смещения для альфа-рас-
альфа-распада 414
— — — бета-распада 414
Правило правого винта 12
— левой руки 180, 182
— Ленца 194
— сложения скоростей в клас-
классической механике 61
— Стокса 395
Предел пропорциональности
40
— текучести 40
— упругости 40
Прелесть 447
Преобразования Галилея 60,
63
— Лоренца 63
Преобразователь электронно-
оптический 270
Прецессия 205
Приближение адиабатическое
385
Приемник излучения 268
— — селективный 268
Призма двоякопреломляющая
311
— Николя (николь) 311
— поляризационная 311
Примесь внедрения 121
— замещения 121
Принцип автофазировки 185
— возрастания энтропии 98
— Гюйгенса 272, 285, 305
— Гюйгенса — Френеля 286
— детального равновесия 372
— инвариантности скорости
света (постулаты Эйнштей-
Эйнштейна) 62
— независимости действия
сил 16
— неразличимости тожде-
тождественных частиц 363
— относительности Галилея
62
— — механический 60
Эйнштейна 218
— Паули 364
— причинности 349
— соответствия 63
Бора 352, 353
— суперпозиции (наложения)
волн 246, 347
— — полей магнитных 179
— — — электромагнитных
179
— — — электростатических
131
— Ферма 264
— эквивалентности гравита-
гравитационных сил и сил инерции
(Эйнштейна) 49
Природа света 274
Пробой 150
Проводимость контактного
слоя односторонняя 401
— полупроводника примесная
390
— — — дырочная (р-типа)
392
— — — электронная (п-ти-
па) 388, 391
— — собственная 388
— p-n-перехода односто-
односторонняя (вентильная) 403
— электрическая 157
— — удельная 157
Проводник уединенный 148
Проводники первого рода 128
— второго рода 129
Проницаемость среды ди-
диэлектрическая 143
— — магнитная 178
Пространство катодное темное
172
— фазовое 377
— фарадеево темное 172
Просветление оптики 281
Протон 128, 407
Процесс волновой (волна) 243
— адиабатический 94
— изобарный 74
— изохорный 74
— изотермический 74
— изоэнтропийный 98
— круговой (цикл) 96
— политропный 95
— рекомбинации 170
— термодинамический 73
— — необратимый 96
— — обратимый 96
— электронно-позитронно-фо-
тонный (каскадный) 437
Процессы апериодические 231
— периодические 219
— равновесные 91
Псевдовекторы 12
Пси-функция 346
Пучность стоячей волны 248
Пьезоэлектрики 146
Пьезоэффект обратный 146
— прямой 146
Работа выхода электрона из
металла 166
— силы 21
— — элементарная 22
Равновесие динамическое 123
— неустойчивое 27
— устойчивое 27
— термодинамическое 73
Радиан 6
Радиоактивность 412
— естественная 412
— искусственная 412
Радиолюмииесценция 395
Радиус боровский первый 338
— когерентности (длина про-
пространственной когерентно-
когерентности) 275
— молекулярного действия
111
Радиус-вектор точки 8
Радиус ядра 408
Размерность физической вели-
величины 6
— угловой скорости 12
Размеры активной зоны крити-
критические 430
Разность потенциалов 138
— —- контактная 396
— — — внешняя 397
— — — внутренняя 397
— хода волн 247
— — оптическая 276
Разряд газовый 170
— — несамостоятельный 171
— — самостоятельный 171
— — — дуговой 173
— — — искровой 172
— — — коронный 173
— — — тлеющий 171
Распад радиоактивный 413
Распределение Бозе — Эйн-
Эйнштейна 378
— Гиббса 378
— Ферми — Дирака 379
Рассеяние света в мутной сре-
среде 293
— — молекулярное 293
— частиц 425
Расстояние линзы фокусное
265
Расширение адиабатическое
95
— изотермическое 95
Реактор ядерный 431
— — гетерогенный 432
— — гомогенный 432
— — на тепловых и быстрых
нейтронах 432
Реакторы-размножители 432
Реакции термоядерные 434
— ядерные 425

468
Предметный указатель
— —, классификация 424—
426
— — экзотермические 425
— — эндотермические 425
Реакция деления 429
— — развивающаяся 431
— — самоподдерживающая-
самоподдерживающаяся 431
— — цепная 430
— — — неуправляемая
431
— — — управляемая 431
— синтеза атомных ядер 433
Реверберация звука 250
Резонанс 440
— механический 234
— напряжений 239
— токов 240
— электрический 234
Резонатор оптический 373
Рекомбинация 390
Рентген (единица экспозици-
экспозиционной дозы) 419
Рентгенолюминесценция 395
Рефрактометр 263, 283
Решетка гексагональная 119
— дифракционная 291
— — одномерная 291
— — двумерная 293
— — трехмерная (простран-
(пространственная) 293
— кристаллическая 116, 382
— пространственная (Бравэ)
117
Ряд Вольта 396
— радиоактивных превраще-
превращений 414
Самоиндукция 197
Сверхпроводимость 158, 383
Сверхтекучесть 125
Свет естественный 306
— линейно поляризованный
306
— циркулярно поляризован-
поляризованный 306
— частично поляризованный
306
— эллиптически поляризо-
поляризованный 306
Светимость энергетическая
(излучательность) 268
— — интегральная 317
— — черного тела 319
Световоды (светопроводы) 263
Светофильтр 303
Свечение катодное 172
— тлеющее 172
Свойство взаимозаменяемости
223
Связь ионная 118, 369
— ковалентная 118, 369
Сдвиг абсолютный 40
Сегнетоэлектрики 145
Секунда 5
Семейства радиоактивные 414
Серия Бальмера 336, 340
— Брекета 336, 340
— Лаймана 336, 339
— Пашена 336, 340
— Пфунда 336, 340
— Хэмфри 336, 340
Сетки дислокаций 121
— плоские 121
— пространственные 121
Сжижение газа 110
Сила 15
— внутреннего трения 55
-.- выталкивающая 52
— гравитационная (всемир-
(всемирного тяготения) 42
— диссипативная 23
— инерции 46
— консервативная 23
— — кориолисова 48
— — коэрцитивная 146, 210
— — центробежная 48
— кулоновская 129
— линзы оптическая 265
— — отрицательная 265
— — положительная- 265
— Лоренца 183
— механическая (пондеромо-
торная) 152
— нормальная 16
— натяжения 112
— поверхностного натяжения
112, 113
— подъемная 58
— равнодействующая (ре-
(результирующая) 16
— реактивная 20
— света энергетическая (сила
излучения) 268
— тангенциальная 16
— тока 155
— трения 17
— — качения 18
— тяжести 43
— упругости 24
— электродвижущая 156
— — электромагнитной ин-
индукции 194
Силы Ван-дер-Ваальса 119
— внешние 18
— внутренние 18
— гироскопические 38
— кулоновские 129
— межмолекулярного взаимо-
взаимодействия 108
— обменные 212
— отталкивания 104
— притяжения 104
— сторонние 155
— электростатические 136
— ядерные 410
Симметрия кристаллической
решетки 117
Синхротрон 185
Синхрофазотрон 185
Система водородоподобная
338
— вырожденная 379
— декартова 8
— диссипативная 25
— единиц 5
— консервативная 25
— кристаллографическая
117
— линейная 229
— механическая 18
— — замкнутая (изолирован-
(изолированная) 18
— отсчета 8, 46
— — инерциальная 14
— — неинерциальная 46
— термодинамическая 73
— элементов Периодическая
334, 365
Система гелиоцентрическая
42
— птолемеева геоцентриче-
геоцентрическая 42
— накачки 373
Скачок потенциала поверхно-
поверхностный 166
Скин-эффект (поверхностный
эффект) 197
Скорость волн групповая 246,
342
фазовая 245, 342
— космическая первая (кру-
(круговая) 46
— — вторая (параболиче-
(параболическая) 46
— — третья 46
— наиболее вероятная 79
— обтекания 58
— средняя квадратичная 77
— средняя молекул 79
— точки 9
— — мгновенная 9
— — средняя 9, 10
— угловая 12

Предметный указатель
469
Сложение гармонических ко-
колебаний взаимно перпенди-
перпендикулярных 227
— — — одного направления
225
Слой контактный запирающий
400
— — пропускной 401, 403
Смачивание 113
Смерть Вселенной тепловая 99
Смещение красное 304
— фиолетовое 304
— электрическое 143
Соединение конденсаторов 150
Сокращение лоренцево 65
Соленоид 187
Соотношения неопределенно-
неопределенностей Гейзенберга 343
Сопротивление лобовое 58
— полное 238
— реактивное 236, 237
— — емкостное 237
— — индуктивное 236
— электрическое критическое
157
— — удельное 157
Состояние критическое 106
— метастабильное 107
Состояние системы с инвер-
инверсией населенностей 373
— — энергетическое 339
— электрона в атоме водорода
361
Сосуд Дьюара 86
Соударения молекул абсолют-
абсолютно упругие 76
Спектр акустический 250
— — линейчатый 250
— — сплошной 250
Спектр 360
— атома водорода 335
— дискретный 349
— дифракционный 291
— молекулярный 370
— — колебательный 370
— — колебательно-враща-
колебательно-вращательный 370
— — электронно-колебатель-
электронно-колебательный 370
— — электронный 370
— — — поглощения 340
— линейчатый 302
— сплошной 302, 349
— призматический 300
— рентгеновский 367
— — характеристический 368
— тормозной 367
— энергетический 350
— — зонный 385
Спектрограф призменный
300
Спектроскопия интерференци-
интерференционная 281
— рентгеновская 295
Спин изотопический 440
— электрона 362
— ядра атома 409
Спиральность 442
Способность поглощательная
323
— разрешающая дифракци-
дифракционной решетки 296
— — объектива 295
— — спектрального прибора
296
— — спектральная поглоща-
поглощательная 318
Спутники стоксовы 371
— антистоксовы 371
Среда активная 373
— диспергирующая 245
— сплошная 243
Статика 7
Статистика квантовая 377
— — Бозе — Эйнштейна 378
— — Ферми — Дирака 378
Степень ионизации плазмы 174
— поляризации 308
— свободы колебательного
движения 89, 122
Стерадиан 6
Столб ионизованного газа
172
Стопа 309
Странность 443
Стримеры 173
Сублимация (возгонка) 123
Сфера молекулярного дейст-
действия 111
Сцинтилляции 421
Счетчик газоразрядный 422
— — Гейгера — Мюллера 422
— — пропорциональный 422
— полупроводниковый 423
— сцинтилляционный 421
— черенковский 422
Тело абсолютно твердое 8,
116
— аморфное 124
— неупругое 28
— отсчета 8
— серое 318
— упругое 28
— черное 318
Тембр звука 250
Температура 72
— вырождения 379
— Дебая характеристическая
381
— инверсии ПО
— критическая 106
— радиационная 322
— термодинамическая 78,
157
— цветовая 322
— яркостная 323
Теорема Гаусса 134, 144
— — для магнитного поля
189
— — — электростатического
поля в вакууме 134
— — — — — — диэлектри-
диэлектрика 143
— Карно 100
— Нернста — Планка 99
— о циркуляции вектора
магнитной индукции 187
— — — — напряженности
магнитного поля 208
— — — — — электростати-
электростатического поля 137
— Штейнера 32
Теория близкодействия 131
— Бора 340
— дальнодействия 131
— жидкости 111
— Максвелла электромагнит-
электромагнитная 330
— относительности общая
49, 67
— — специальная (релятиви-
(релятивистская) 7, 61
— проводимости 163
— релятивистская 62
— света 272
— — волновая 272
— — корпускулярная 272
— электромагнитная
273
— — электронная 273
— твердых тел зонная 385
Теория электропроводности
металлов квантовая 382
— теплоемкости квантовая
380
Теплоемкость 91
— металлов 166
— молярная 91, 122
— удельная 91
Теплопроводность 83
Теплота плавления удельная
123
— фазового перехода 125

470
Предметный указатель
Термобатарея (термостолби-
(термостолбики) 399
Термодинамика 72
Термистор 158
Термометр сопротивления 158
Термостат 100
Термоэлементы 398
Тесла (единица магнитной
индукции) 181
Течение 52
— ламинарное (слоистое) 56
— турбулентное (вихревое)
56
— установившееся (стацио-
(стационарное) 52
Ток индукционный 193
— квазистационарный 235
— конвекционный 155
— насыщения 168
— переменный 235
— постоянный 155
— проводимости 154
— смещения 214
— термоэлектрический 398
— электрический 154
Токи вихревые (ФукО) 196
Тороид 188
Точка критическая 106
— Кюри 145, 210, 212
— материальная 8
— тройная 73, 126
Точки реперные 73
Траектория 9
Трансформатор 200
— автотрансформатор 201
— повышающий 201
— понижающий 201
Трение граничное 17
— гидродинамическое 17
—- верчения 17
— внешнее 17
— внутреннее 17, 84
— качения 17
— покоя 17
— скольжения 17
Триболюминесценция 395
Триод полупроводниковый
(транзистор) 405
— — плоскостной 405
— — точечный 405
Турбодетандер 111
Трубка Пито — Прандтля
54
— тока 52
Увеличение линзы 266
Угол атаки 58
— Брюстера 308
— краевой 114
— предельный 262
— скольжения 294
Удар (соударение) 27
— абсолютно неупругий 29
— — упругий 28
— центральный 28
Узел стоячей волны 248
— электрической цепи 160
Узлы кристаллической решет-
решетки 116, 122
Ультразвук 252
Умножитель фотоэлектронный
169, 328
Упаковка шаров 119
— двухслойная 120
— плотная 119
— трехслойная 120
Уравнение адиабаты 96
— Бернулли 53
— Ван-дер-Ваальса 105
— волновое 245, 348
— волны бегущей 244
— — стоячей 248
— движения материальной
точки 15
— — тела переменной мас-
массы 20
— изобары 96
— изотермы 96
— изохоры 96
— Клапейрона 76
— Клапейрона — Менделеева
76
— Клапейрона — Клаузиуса
126
— колебаний гармонических
220
— вынужденных 232
— — свободных затухающих
229
— Майера 92
— Максвелла для электромаг-
электромагнитного поля 216, 217
— неразрывности 52
— основное молекулярно-ки-
нетической теории идеаль-
идеальных газов 77
— Пуассона 95
— состояния 75
— — идеального газа 76
— Шредингера 348
— Эйнштейна для внешнего
фоэтоэффекта 326
Уравнения движения точки ки-
кинематические 8
Уровень громкости 250
— интенсивности звука 250
- энергетический
339
основной
возбужденный 339
Уровни акцепторные 392
— энергетические 358, 359
— — возбужденные 358
— — донорные 391
— — основные 358
— — примесные 391
— энергии 351
Ускорение 10
— мгновенное 10
—, нормальная составляю-
составляющая 11
— полное 11
— среднее 10
—, тангенциальная состав-
составляющая 10
— угловое 12
— центростремительное 11
ускорители заряженных
частиц 184
— — — индукционные 184
— — — импульсные 184
— — — линейные 184
— — — — резонансные 184
— — — непрерывные 184
— — — циклические 184
Условие интерференционного
максимума 276
— — минимума 276
— нормировки вероятностей
347
Установка Штерна 82
Участок цепи неоднородный
159
Фаза (в термодинамике) 124
— волны плоской 245
— колебаний 219
— — начальная 245
Фазотрон 185
Фарад (единица электриче-
электрической емкости) 149
Ферми-газ 378
Фермионы 363
Ферриты 212
Ферромагнетики 209, 210
Фигуры Лиссажу 229
Физика молекулярная 72
— квантовая 321
Флуоресценция 395
Фокус линзы 265
Фон 250
Фононы 381
Формула барометрическая 80
— Бальмера обобщенная 336
— Вульфа — Брэггов 294

Предметный указатель
471
— де Бройлн 341
— Лапласа 115
— Лоренца 183
— Планка 321
— Ричардсона — Дэшмана
168
— Рэлея — Джинса 320
— Томсона 225
— Торричелли 55
— Френеля 309
— Циолковского 20
Фосфоресценция 395
Фотолюминесценция 395
Фотометрия 267
Фотон 274, 326, 329, 440, 444
Фотопроводимость 324
— полупроводников 393
— примесная 393
— собственная 393
Фотоэлемент 328
— вакуумный 328
— вентильный 328, 329
— полупроводниковый 328
Фотоэмульсии ядерные 424
Фотоэффект 324, 418
—, безынерционность 325
— вентильный 324
— внешний 324
— внутренний 324
— многофотонный 327
— ядерный 419
Фронт волновой 244
Функция волновая 346
— — антисимметричная 363
— — симметричная 363
— Кирхгофа 318
— распределения Максвелла
78
— — Больцмана 81
— — молекул по скоростям 78
— — — по энергиям тепло-
теплового движения 79
Характеристика вольт-ампер-
вольт-амперная 167
— — фотоэффекта 324
Хемилюминесценция 395
Холодильник 100
Цвет 447
Центр захвата 396
— качания физического маят-
маятника 223
— кристаллизации 124
— линзы оптический 264
— масс (инерции) системы 19
Цепь переменного тока 237
Цикл обратный 96
— прямой 96
— Карно обратный 101
— — прямой 101
— термоядерной реакции 434
— — — протонно-протонный
434
— — — углеродно-азотный
434
Циклотрон 184
Циркуляция вектора магнит-
магнитной индукции 186
— — напряженности элект-
электростатического поля 137
— — — поля сторонних сил
156
Цуг волновой 275
Чармоний 447
Частицы истинно нейтральные
442
— тождественные 363
— элементарные, классифи-
классификация 444
Частота вращения 12
— колебаний 220
— контура собственная 225
— резонансная 234, 238
— собственная 229
Четность 444
Числа заполнения 378
Число барионное 445
— волновое 245
— зарядовое ядра 407
— квантовое 351, 359
главное 339, 359
— — магнитное 359
— — — орбитальное 359
— — спиновое ядерное 409
— координационное 119
— лептонное 445
— Лошмидта 76
— Рейнольдса 56
— столкновений среднее 81
— степеней свободы молекул
88
— — — точки 9
Ширина интерференционной
полосы 278
— энергетического уровня
естественная 419
Шкала температурная 73
— — международная практи-
практическая 73
— — термодинамическая 73
Экситоны 394
Экстратоки самоиндукции 198
Электреты 146
Электризация тел 128
Электродинамика 154
Электродвигатель 196
Электролюминесценция 395
Электрон 128, 334
Электрон-вольт 167
Электронография 295
Эмиссия автоэлектронная 169
— термоэлектронная 167
— фотоэлектронная 168
— электронная 167
Эмиттер 169, 405
Энергия 21
— активации 389, 430
— внутренняя 88
— заряженного конденсатора
152
— — уединенного проводника
151
— ионизации 170
— кинетическая 22
— — гармонических колеба-
колебаний 221
— механическая 21
— — полная 24
— нулевых колебаний 356
— поверхностная 112
— покоя 69
— полная 221
— поля магнитного 201
— — электростатического 152
— потенциальная 23, 221
— — гармонических колеба-
колебаний 221
— — молекулярного взаимо-
взаимодействия 103
— — упругодеформированно-
го тела 24
— — ядра 408
— связи системы 70
— системы неподвижных то-
точечных зарядов 151
— удельная 408
— Ферми 380
— электромагнитных волн 21
Энтальпия 109
Энтропия 97
Эффект гироскопический 38
— Джозефсона 384
— — нестационарный 384
— — стационарный 384
— Джоуля — Томсона 109
— диамагнитный 205
— Доплера в акустике 251,
303
— — для электромагнитных
волн 303
— — поперечный 304

472
Предметный указатель
— продольный 304
Зеемана 359
Керра 314
Комптона 330
Мейсснера 383
Мёссбауэра 420
парамагнитный 206
радиометрический 87
релятивистский 61
туннельный 354
— Фарадея 315
— Холла 186
— Штарка 359
Явление Зеебека 398
— Пельтье 399
— Томсона 399
— электромагнитной
ции 193
индук-
Явления переноса 83
— гистерезиса электричес-
электрического 146
— — магнитного 210
Ядро атома дочернее 413
— — материнское 413
Яма потенциальная 27
Яркость энергетическая 268
Ячейка Керра 314
— элементарная 117

Оглавление
Предисловие 3
Введение 4
Предмет физики и ее связь с другими
науками 4
Единицы физических величин . ... 5
1
Физические основы
механики
Глава I. Элементы кинематики .... 8
§ 1. Модели в механике. Система отсче-
отсчета. Траектория, длина пути, вектор
перемещения 8
§ 2. Скорость 9
§3. Ускорение и его составляющие . . 10
§ 4. Угловая скорость и угловое ускоре-
ускорение 12
Контрольные вопросы 13
Задачи 13
Глава 2. Динамика материальной точки
и поступательного движения твердого
тела 14
§ 5. Первый закон Ньютона. Масса.
Сила 14
§ 6. Второй закон Ньютона 15
§ 7. Третий закон Ньютона 16
§ 8. Силы трения 16
§ 9. Закон сохранения импульса. Центр
масс 18
§ 10. Уравнение движения тела перемен-
переменной массы 19
Контрольные вопросы 20
Задачи 21
Глава 3. Работа и энергия 21
§ 11. Энергия, работа, мощность ... 21
§ 12. Кинетическая и потенциальная
энергии 22
§ 13. Закон сохранения энергии . ... 24
§ 14. Графическое представление энер-
энергии 26
§ 15. Удар абсолютно упругих и неупру-
неупругих тел 27
Контрольные вопросы 30
Задачи 31
Глава 4. Механика твердого тела ... 31
§ 16. Момент инерции 31
§ 17. Кинетическая энергия вращения 32
§ 18. Момент силы. Уравнение динамики
вращательного движения твердо-
твердого тела 33
§ 19. Момент импульса и закон его со-
сохранения 34
§ 20. Свободные оси. Гироскоп .... 36
§ 21. Деформации твердого тела ... 38
Контрольные вопросы 41
Задачи 41
Глава 5. Тяготение. Элементы теории
поля 42
§ 22. Законы Кеплера. Закон всемирного
тяготения 42
§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость 43
§ 24. Поле тяготения и его напряжен-
напряженность 44
§ 25. Работа в поле тяготения. Потен-
Потенциал поля тяготения 44
§ 26. Космические скорости 46
§27. Неинерциальные системы отсчета.
Силы инерции 46
Контрольные вопросы 50
Задачи 50
Глава 6. Элементы механики жидкостей 51
§ 28. Давление в жидкости и газе ... 51
§ 29. Уравнение неразрывности .... 52
§ 30. Уравнение Бернулли и следствия из
него 52
§ 31. Вязкость (внутреннее трение). Ла-
Ламинарный и турбулентный режимы
течения жидкостей 55
§ 32. Методы определения вязкости 56
§ 33. Движение тел в жидкостях и газах 57
Контрольные вопросы 59
Задачи 59
Глава 7. Элементы специальной (част-
(частной) теории относительности
§ 34. Преобразования Галилея. Механи-
Механический принцип относительности
§ 35. Постулаты специальной (частной)
теории относительности ....
§ 36. Преобразования Лоренца . . .
§ 37. Следствия из преобразований Ло-
Лоренца
60
60
61
62
63

474
Оглавление
§ 38. Интервал между событиями ... 66
§ 39. Основной закон релятивистской ди-
динамики материальной точки ... 67
§ 40. Закон взаимосвязи массы и энер-
энергии 68
Контрольные вопросы 71
Задачи 71
Основы молекулярной физики
и термодинамики
Глава 8. Молекулярно-кинетическая тео-
теория идеальных газов 73
§ 41. Опытные законы идеального
газа 73
§ 42. Уравнение Клапейрона — Менде-
Менделеева 75
§43. Основное уравнение молекулярно-
кинетической теории идеальных га-
газов 76
§ 44. Закон Максвелла для распределе-
распределения молекул идеального газа по
скоростям и энергиям теплового
движения 78
§ 45. Барометрическая формула. Распре-
Распределение Больцмана 80
§ 46. Среднее число столкновений и сред-
средняя длина свободного пробега
молекул 81
§ 47. Опытное обоснование молекуляр-
но-кинетической теории .... 82
§ 48. Явления переноса в термодинами-
термодинамически неравновесных системах 83
§ 49. Вакуум и методы его получения.
Свойства ультраразреженных га-
газов 85
Контрольные вопросы 87
Задачи 88
Глава 9. Основы термодинамики ... 88
§ 50. Число степеней свободы молеку-
молекулы. Закон равномерного распреде-
распределения энергии по степеням свободы
молекул 88
§ 51. Первое начало термодинамики 89
§ 52. Работа газа при изменении его
объема 90
§ 53. Теплоемкость 91
§ 54. Применение первого начала термо-
термодинамики к изопроцессам .... 93
§ 55. Адиабатический процесс. Поли-
тропный процесс 94
§ 56. Круговой процесс (цикл). Обрати-
Обратимые и необратимые процессы ... 96
§ 57. Энтропия, ее статистическое тол-
толкование и связь с термодинамичес-
термодинамической вероятностью 97
§ 58. Второе начало термодинамики 98
§ 59. Тепловые двигатели и холодиль-
холодильные машины. Цикл Карно и его
к. п. д. для идеального газа . . . 100
Контрольные вопросы 102
Задачи 103
Глава 10. Реальные газы, жидкости и
твердые тела ЮЗ
§ 60. Силы и потенциальная энергия
межмолекулярного взаимодействия 103
§ 61. Уравнение Ван-дер-Ваальса . . . 105
§ 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их
анализ 106
§ 63. Внутренняя энергия реального га-
газа 108
§ 64. Эффект Джоуля — Томсона ... 108
§ 65. Сжижение газов 110
§ 66. Свойства жидкостей. Поверхност-
Поверхностное натяжение 111
§ 67. Смачивание 113
§ 68. Давление под искривленной по-
поверхностью жидкости 114
§ 69. Капиллярные явления .... 115
§ 70. Твердые тела. Моно- и поли-
поликристаллы 116
§ 71. Типы кристаллических твердых
тел 117
§ 72. Дефекты в кристаллах .... 121
§ 73. Теплоемкость твердых тел . . . 122
§ 74. Испарение, сублимация, плавление
и кристаллизация. Аморфные тела 123
§ 75. Фазовые переходы I и II рода 124
§ 76. Диаграмма состояния. Тройная
точка 125
Контрольные вопросы 127
Задачи 127
Электричество
и электромагнетизм
Глава 11. Электростатика 128
§ 77. Закон сохранения электрического
заряда 128
§ 78. Закон Кулона
§ 79. Электростатическое поле. Напря-
Напряженность электростатического
поля 130
§ 80. Принцип суперпозиции электро-
электростатических полей. Поле диполя 131
§ 81. Теорема Гаусса для электростати-
электростатического поля в вакууме .... 133
§ 82. Применение теоремы Гаусса к рас-
расчету некоторых электростатичес-
электростатических полей в вакууме 134
§ 83. Циркуляция вектора напряжен-
ти электростатического поля . . 136
§ 84. Потенциал электростатического
поля 137

Оглавление 475
Глава 14. Магнитное поле 176
§ 109. Магнитное поле и его характерис-
характеристики 176
§ 110. Закон Био—Савара—Лапласа и
его применение к расчету магнит-
магнитного поля 178
§ 111. Закон Ампера. Взаимодействие
параллельных токов 180
§ 112. Магнитная постоянная. Единицы
магнитной индукции и напряжен-
напряженности магнитного поля .... 181
§ 113. Магнитное поле движущегося за-
заряда 181
§ 114. Действие магнитного поля на дви-
движущийся заряд 182
§ 115. Движение заряженных частиц в
магнитном поле 183
§ 116. Ускорители заряженных частиц 184
§ 117. Эффект Холла 186
§ 118. Циркуляция вектора В для маг-
магнитного поля в вакууме .... 186
§ 119. Магнитное поле соленоида и то-
роида 187
§ 120. Поток вектора магнитной индук-
индукции. Теорема Гаусса для поля В 189
§ 121. Работа по перемещению проводни-
проводника и контура с током в магнитном
поле 189
Контрольные вопросы 191
Задачи / 191
§ 85. Напряженность как градиент по-
потенциала. Эквипотенциальные по-
поверхности 138
§ 86. Вычисление разности потенциалов
по напряженности поля .... 139
§ 87. Типы диэлектриков. Поляризация
диэлектриков 140
§ 88. Поляризованность. Напряжен-
Напряженность поля в диэлектрике . ... 141
§ 89. Электрическое смещение. Теорема
Гаусса для электростатического
поля в диэлектрике 143
§ 90. Условия на границе раздела двух
диэлектрических сред 144
§ 91. Сегнетоэлектрики 145
§ 92. Проводники в электростатическом
поле 146
§ 93. Электрическая емкость уединен-
уединенного проводника 148
§ 94. Конденсаторы 149
§ 95. Энергия системы зарядов, заря-
заряженного уединенного проводника
и заряженного конденсатора. Энер-
Энергия электростатического поля 151
Контрольные вопросы 153
Задачи 153
Глава 12. Постоянный электрический
ток 154
§ 96. Электрический ток, сила и плот-
плотность тока 154
§ 97. Сторонние силы. Электродви-
Электродвижущая сила и напряжение ... 155
§98. Закон Ома. Сопротивление провод-
проводников 156
§ 99. Работа и мощность тока. Закон
Джоуля—Ленца 158
§ 100. Закон Ома для неоднородного
участка цепи 159
§ 101. Правила Кирхгофа для развет-
разветвленных цепей 160
Контрольные вопросы 162
Задачи 162
Глава 13. Электрические токи в металлах,
вакууме и газах 163
§ 102. Элементарная классическая тео-
теория электропроводности металлов 163
§ 103. Вывод основных законов электри-
электрического тока из классической тео-
теории электропроводности металлов 164
§ 104. Работа выхода электронов из ме-
металла 166
§ 105. Эмиссионные явления и их приме-
применение 167
§ 106. Ионизация газов. Несамостоятель-
Несамостоятельный газовый разряд 169
§ 107. Самостоятельный газовый разряд
и его типы 171
§ 108. Плазма и ее свойства 174
Контрольные вопросы 175
Задачи 176
Глава 15. Электромагнитная индукция 193
§ 122. Явление электромагнитной индук-
индукции (опыты Фарадея) 193
§ 123. Закон Фарадея и его вывод из за-
закона сохранения энергии . . . . 193
§ 124. Вращение рамки в магнитном
поле 195
§ 125. Вихревые токи (токи Фуко) ... 196
§ 126. Индуктивность контура. Самоин-
Самоиндукция 197
§ 127. Токи при размыкании и замыкании
цепи 198
§ 128. Взаимная индукция 199
§ 129. Трансформаторы 200
§ 130. Энергия магнитного поля ... 201
Контрольные вопросы 202
Задачи 203
Глава 16. Магнитные свойства вещества 203
§ 131. Магнитные моменты электронов
и атомов ^ио
§ 132. Дна- и парамагнетизм .... 205
§ 133. Намагниченность. Магнитное поле
в веществе 206
§ 134. Условия на границе раздела двух
магнетиков 208
§ 135. Ферромагнетики и их свойства 209
§ 136. Природа ферромагнетизма ... 211
Контрольные вопросы 212
Задачи 213

476
Оглавление
Глава 17. Основы теории Максвелла для
электромагнитного поля 213
§ 137. Вихревое электрическое поле . . 213
§ 138. Ток смещения 214
§ 139. Уравнения Максвелла для элек-
электромагнитного поля 216
Контрольные вопросы 218
Колебания и волны
Глава 18. Механические и электромаг-
электромагнитные колебания 219
§ 140. Гармонические колебания и их ха-
характеристики 219
§ 141. Механические гармонические ко-
колебания . 221
§ 142. Гармонический осциллятор. Пру-
Пружинный, физический и математи-
математический маятники 222
§ 143. Свободные гармонические коле-
колебания в колебательном контуре 223
§ 144. Сложение гармонических колеба-
колебаний одного направления и одина-
одинаковой частоты. Биения . . ¦. . 225
§ 145. Сложение взаимно перпендику-
перпендикулярных колебаний 227
§ 146. Дифференциальное уравнение
свободных затухающих колебаний
(механических и электромагнит-
электромагнитных) и его решение. Автоколебания 229
§ 147. Дифференциальное уравнение вы-
вынужденных колебаний (механиче-
(механических и электромагнитных) и его
решение 232
§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных
колебаний (механических и элек-
электромагнитных). Резонанс . . . 234
§ 149. Переменный ток 235
§ 150. Резонанс напряжений 238
§ 151. Резонанс токов 239
§ 152. Мощность, выделяемая в цепи пе-
переменного тока 240
Контрольные вопросы 241
Задачи 242
Глава 19. Упругие волны 243
§ 153. Волновые процессы. Продольные
и поперечные волны 243
§ 154. Уравнение бегущей волны. Фазо-
Фазовая скорость. Волновое уравнение . 244
§ 155. Принцип суперпозиции. Группо-
Групповая скорость 246
§ 156. Интерференция волн 246
§ 157. Стоячие волны 247
§ 158. Характеристика звуковых волн 249
§ 159. Эффект Доплера в акустике. . . 251
§ 160. Ультразвук и его применение 252
Контрольные вопросы ....... 252
Задачи 253
Глава 20. Электромагнитные волны . . . 254
§ 161. Экспериментальное получение
электромагнитных волн .... 254
§ 162. Дифференциальное уравнение
электромагнитной волны .... 256
§ 163. Энергия электромагнитных волн
Импульс электромагнитного поля 257
§ 164. Излучение диполя. Применение
электромагнитных волн .... 258
Контрольные вопросы 259
Задачи 260
5
Оптика. Квантовая природа
излучения
Глава 21. Элементы геометрической и
электронной оптики 261
§ 165. Основные законы оптики. Полное
отражение 261
§ 166. Тонкие линзы. Изображение пред-
предметов с помощью линз . .... 263
§ 167. Аберрации (погрешности) опти-
оптических систем 266
§ 168. Основные фотометрические вели-
величины и их единицы 267
§ 169. Элементы электронной оптики . . 269
Контрольные вопросы 271
Задачи 271
Глава 22. Интерференция света .... 271
§ 170. Развитие представлений о природе
света 271
§ 171. Когерентность и монохроматич-
монохроматичность световых волн . . . . . 274
§ 172. Интерференция света 276
§ 173. Методы наблюдения интерферен-
интерференции света 277
§ 174. Интерференция света в тонких
пленках 279
§ 175. Применение интерференции света 281
Контрольные вопросы 284
Задачи 284
Глава 23. Дифракция света 285
§ 176. Принцип Гюйгенса—Френеля . . 285
§ 177. Метод зон Френеля. Прямолиней-
Прямолинейное распространение света . . . -^86
§ 178. Дифракция Френеля на круглом
отверстии и диске 288
§ 179. Дифракция Фраунгофера на одной
щели 290
§ 180. Дифракция Фраунгофера на ди-
дифракционной решетке 291
§ 181. Пространственная решетка. Рас-
Рассеяние света 293
§ 182. Дифракция на пространственной
решетке. Формула Вульфа—Брэг-
Вульфа—Брэггов 294

Оглавление
477
§ 183. Разрешающая способность опти-
оптических приборов 295
§ 184. Понятие о голографии .... 296
Контрольные вопросы 298
Задачи 298
Глава 24. Взаимодействие электромаг-
электромагнитных волн с веществом 299
§ 185. Дисперсия света 299
§ 186. Электронная теория дисперсии
света 300
§ 187. Поглощение (абсорбция) света 302
§ 188. Эффект Доплера 303
§ 189. Излучение Вавилова — Черенкова 304
Контрольные вопросы 305
Задачи 305
Глава 25. Поляризация света .... 306
§ 190. Естественный и поляризованный
свет 306
§ 191. Поляризация света при отраже-
отражении и преломлении на границе двух
диэлектриков 308
§ 192. Двойное лучепреломление . . . 309
§ 193. Поляризационные призмы и поля-
поляроиды 311
§ 194. Анализ поляризованного света . . 312
§ 195. Искусственная оптическая анизо-
анизотропия 314
§ 196. Вращение плоскости поляризации 315
Контрольные вопросы 316
Задачи 316
Глава 26. Квантовая природа излучения 317
§ 197. Тепловое излучение и его характе-
характеристики 317
§ 198. Закон Кирхгофа 318
§ 199. Законы Стефана—Больцмана и
смещения Вина 319
§ 200. Формулы Рэлея—Джинса и План-
Планка 320
§ 201. Оптическая пирометрия. Тепловые
источники света 322
§ 202. Виды фотоэлектрического эффек-
эффекта. Законы внешнего фотоэффекта 324
§ 203. Уравнение Эйнштейна для внеш-
внешнего фотоэффекта. Эксперимен-
Экспериментальное подтверждение квантовых
свойств света 326
§ 204. Применение фотоэффекта . . . 328
§ 205. Масса и импульс фотона. Давле-
Давление света 329
§ 206. Эффект Комптона и его элемен-
элементарная теория 330
§ 207. Диалектическое единство корпус-"
кулярных и волновых свойств элек-
электромагнитного излучения ... 331
Контрольные вопросы 332
Задачи 333
Элементы квантовой
физики атомов,
молекул и твердых тел
Глава 27. Теория атома водорода по
Бору 334
§ 208. Модели атома Томсона и Резер-
форда 334
§ 209. Линейчатый спектр атома водоро-
водорода 335
§ 210. Постулаты Бора 336
§ 211. Опыты Франка и Герца .... 337
§ 212. Спектр атома Е.одорода по Бору 338
Контрольные вопросы 340
Задачи 340
Глава 28. Элементы квантовой механики 341
§ 213. Корпускулярно-волновой дуализм
свойств веществ 341
§ 214. Некоторые свойства волн де
Бройля 342
§ 215. Соотношение неопределенностей 343
§ 216. Волновая функция и ее статисти-
статистический смысл 346
§ 217. Общее уравнение Шредингера.
Уравнение Шредингера для ста-
стационарных состояний 348
§ 218. Принцип причинности в квантовой
механике 349
§ 219. Движение свободной частицы . . 350
§ 220. Частица в одномерной прямоуголь-
прямоугольной «потенциальной яме» с бес-
бесконечно высокими «стенками» . . 351
§ 221. Прохождение частицы сквозь по-
потенциальный барьер. Туннельный
эффект 353
§ 222. Линейный гармонический осцил-
осциллятор в квантовой механике. . . 355
Контрольные вопросы 357
Задачи 357
Глава 29. Элементы современной физики
атомов и молекул 358
§ 223. Атом водорода в квантовой меха-
механике 358
§ 224. ls-состояние электрона в атоме
водорода 361
§ 225. Спин электрона. Спиновое кванто-
квантовое число 362
§ 226. Принцип неразличимости тож-
тождественных частиц. Фермионы и
бозоны 362
§ 227. Принцип Паули. Распределение
электронов в атоме по состояниям 364
§ 228. Периодическая система элементов
Менделеева 365
§ 229. Рентгеновские спектры .... 367
§ 230. Молекулы: химические связи, по-
понятие об энергетических уровнях 369

478
Оглавление
§ 231. Молекулярные спектры. Комбина-
Комбинационное рассеяние света .... 370
§ 232. Поглощение, спонтанное и вынуж-
вынужденное излучения 371
§ 233. Оптические квантовые генераторы
(лазеры) . 373
Контрольные вопросы 376
Задачи 376
Глава 30. Элементы квантовой статистики 377
§ 234. Квантовая статистика. Фазовое
пространство. Функция распреде-
распределения 377
§ 235. Понятие о квантовых статистиках
Бозе—Эйнштейна и Ферми—Ди-
Ферми—Дирака 378
§ 236. Вырожденный электронный газ в
металлах 379
§ 237. Понятие о квантовой теории тепло-
теплоемкости. Фононы 380
§ 238. Выводы квантовой теории электро-
электропроводности металлов 382
§ 239. Сверхпроводимость. Понятие об
эффекте Джозефсона 383
Контрольные вопросы 384
Задачи 384
Глава 31. Элементы физики твердого тела 385
§ 240. Понятие о зонной теории твердых
тел 385
§ 241. Металлы, диэлектрики и полупро-
полупроводники по зонной теории . . . 386
§ 242. Собственная проводимость полу-
полупроводников 388
§ 243. Примесная проводимость полу-
полупроводников 390
§ 244. Фотопроводимость полупроводни-
полупроводников 393
§ 245. Люминесценция твердых тел . . 394
§ 246. Контакт двух металлов по зонной
теории 396
§ 247. Термоэлектрические явления и их
применение 398
§ 248. Выпрямление на контакте ме-
металл — полупроводник .... 400
§ 249. Контакт электронного и дырочного
полупроводников (р-л-переход) . 401
§ 250. Полупроводниковые диоды и трио-
триоды (транзисторы) 404
Контрольные вопросы 406
Задачи 406
7
Элементы физики
атомного ядра
и элементарных частиц
Глава 32. Элементы физики атомного
ядра 407
'¦§ 251. Размер, состав и заряд атомного
ядра. Массовое и зарядовое числа 407
§ 252. Дефект массы и энергия связи
ядра 408
§ 253. Спин ядра и его магнитный момент 409
§ 254. Ядерные силы. Модели ядра 410
§ 255. Радиоактивное излучение и его
виды 411
§ 256. Закон радиоактивного распада.
Правила смещения 413
§ 257. Закономерности а-распада . . . 414
§ 258. Р"-Распад. Нейтрино . .... 415
§ 259. Гамма-излучение и его свойства 417
§ 260. Резонансное поглощение •у-излуче-
ния (эффект Мёссбауэра) . . . 419
§ 261. Методы наблюдения и регистра-
регистрации радиоактивных излучений и
частиц 421
§ 262. Ядерные реакции и их основные
типы 424
§ 263. Позитрон. р+Распад. Электрон-
Электронный захват 426
§ 264. Открытие нейтрона. Ядерные
реакции под действием нейтронов 427
§ 265. Реакция деления ядра 429
§ 266. Цепная реакция деления .... 430
§ 267. Понятие о ядерной энергетике 431
§ 268. Реакция синтеза атомных ядер.
Проблема управляемых термо-
термоядерных реакций 433
Контрольные вопросы 435
Задачи 436
Глава 33. Элементы физики элементар-
элементарных частиц 436
§ 269. Космическое излучение .... 436
§ 270. Мюоны и их свойства 437
§ 271. Мезоны и их свойства .... 438
§ 272. Типы взаимодействий элементар-
элементарных частиц 439
§ 273. Частицы и античастицы ... 441
§274. Гипероны. Странность и четность
элементарных частиц .... 443
§ 275. Классификация элементарных ча-
частиц. Кварки 444
Контрольные вопросы 447
Задачи 448
Заключение 449
Основные законы и формулы 450
1. Физические основы механики . . . 450
2. Основы молекулярной физики и
термодинамики 452
3. Электричество и электромагнетизм 453
4. Колебания и волны 456
5. Оптика. Квантовая природа излуче-
излучения 457
6. Элементы квантовой физики атомов,
молекул и твердых тел 458
7. Элементы физики атомного ядра
и элементарных частиц 459
Предметный указатель 461

Учебное издание
Трофимова Таисия Ивановна
КУРС ФИЗИКИ
Зав. редакцией
Е. С. Гридасова
Редактор
Л. С. Куликова
Младший редактор
Н. П. Майкова
Художественный редактор
В. И. Пономаренко
Художник
Ю. Д. Феднчкин
Технический редактор
Г. А. Фетисова
Корректор
Г. И. Кострикова
И Б №8563
Изд. № ФМ—14. Сдано в набор 17.08.89. Подп.
в печать 03.05.90. Формат 70Х ЮО'/ie- Бум.
офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать
офсетная. Объем 39,00 усл. печ. л. 78,00 усл.
кр.-отт. 40,26 уч.-изд. л. Тираж 100 000 экз.
Зак. № 298. Цена 1 р. 70 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва,
Неглннная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградское производственно-
техническое объединение «Печатный Двор» имени
А. М. Горького при Госкомпечати СССР. 197136,
Ленинград,.П-136, Чкаловский пр., 15.